OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 59    ŠT. 4    STR. 121–160   JULIJ  2012
C  KM Y 
2012
Letnik 59
4
i
i
“kolofon” — 2012/10/25 — 14:49 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2012, letnik 59, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za knjigo Repu-
blike Slovenije.
c© 2012 DMFA Slovenije – 1883 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
NEKAJ NESTANDARDNIH METOD ZA RAČUNANJE
DETERMINANT
EDVARD KRAMAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 15A15, 1501, 1503
V članku prikažemo nekaj enostavnih nestandardnih postopkov računanja determi-
nant. Pri tem uporabljamo dvovrstne poddeterminante, izrezovanje stolpca in vrstice ali
odštevanje števila od vseh elementov matrike.
SOME NONSTANDARD METHODS FOR EVALUATION OF
DETERMINANTS
In this article we present some simple nonstandard algorithms for evaluation of de-
terminants. We are using subdeterminants of order two, removing some row and column
or subtracting some number from all elements of the matrix.
Uvod
Računanje determinante kvadratne matrike večjih redov je zamudno delo.
Algoritmi računanja z računalnikom običajno uporabljajo razcep matrike
na produkt spodnje in zgornje trikotne matrike (glej na primer [1]). Ta
postopek je v tesni zvezi s tako imenovanimi elementarnimi operacijami na
vrsticah in stolpcih matrike. Kadar računamo determinante
”
ročno“, torej
brez uporabe računalnika, običajno prav z omenjenimi operacijami skušamo
priti do čim bolj enostavne oblike. Namen prispevka je prikazati nekaj manj
znanih metod računanja determinant, ki so lahko same po sebi zanimive.
1. Računanje determinante s pomočjo dvovrstnih
poddeterminant
Vzemimo matriko A reda n×n in v njej izberimo poljuben neničelni element
aik, ki ga na kratko označimo z α.
A =

a11 · · · a1,k−1 a1k a1,k+1 · · · a1n
a21 · · · a2,k−1 a2k a2,k+1 · · · a2n
...
. . .
...
...
...
. . .
...
ai−1,1 · · · ai−1,k−1 ai−1,k ai−1,k+1 · · · ai−1,n
ai1 · · · ai,k−1 α ai,k+1 · · · ain
ai+1,1 · · · ai+1,k−1 ai+1,k ai+1,k+1 · · · ai+1,n
...
. . .
...
...
...
. . .
...
an1 · · · an,k−1 ank an,k+1 · · · ann

. (1)
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 121
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Na stolpcih sj , kjer je j 6= k, naredimo naslednje elementarne operacije:
sj → α · sj − aij · sk. Tako dobimo matriko
αa11 − a1kai1 · · · αa1,k−1 − a1kai,k−1 a1k αa1,k+1 − a1kai,k+1 · · · αa1n − a1kain
αa21 − a2kai1 · · · αa2,k−1 − a2kai,k−1 a2k αa2,k+1 − a2kai,k+1 · · · αa2n − a2kain
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 α 0 · · · 0
...
. . .
...
...
...
. . .
...
αan1 − ankai1 · · · αan,k−1 − ankai,k−1 ank αan,k+1 − ankai,k+1 · · · αann − ankain
.
Determinanto te matrike razvijmo po i-ti vrstici. Pri tem faktor (−1)i+k
upoštevamo tako, da pred tem v zgornji matriki pomnožimo zadnje n − i
vrstice in zadnje n − k stolpce s številom −1. Rezultat moramo še deliti
s faktorjem αn−1 in ugotovimo, da je determinanta naše matrike A enaka
1
αn−2 -kratniku determinante naslednje matrike
αa11−a1kai1 · · · αa1,k−1−a1kai,k−1 a1kai,k+1−αa1,k+1 · · · a1kain−αa1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
αai−1,1−ai−1,kai1 · · · αai−1,k−1−ai−1,kai,k−1 ai−1,kai,k+1−αai−1,k+1 · · · ai−1,kain−αai−1,n
ai+1,kai1−αai+1,1 · · · ai+1,kai,k−1−αai+1,k−1 αai+1,k+1−ai+1,kai,k+1 · · · αai+1,n−ai+1,kain
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
ankai1−αan1 · · · ankai,k−1−αan,k−1 αan,k+1−ankai,k+1 · · · αann−ankain
,
(2)
ki jo označimo z B. Hitro se lahko prepričamo, da elemente te matrike lahko
pǐsemo kot dvovrstne determinante
B =

∣∣∣∣a11 a1kai1 α
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣a1,k−1 a1kai,k−1 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a1k a1,k+1α ai,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣a1k a1nα ain
∣∣∣∣
...
. . .
...
...
. . .
...∣∣∣∣ai−1,1 ai−1,kai1 α
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai−1,k−1 ai−1,kai,k−1 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ai−1,k ai−1,k+1α ai,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai−1,k ai−1,nα ain
∣∣∣∣∣∣∣∣ ai1 αai+1,1 ai+1,k
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ ai,k−1 αai+1,k−1 ai+1,k
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α ai,k+1ai+1,k ai+1,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ α ainai+1,k ai+1,n
∣∣∣∣
...
. . .
...
...
. . .
...∣∣∣∣ai1 αan1 ank
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ai,k−1 αan,k−1 ank
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α ai,k+1ank an,k+1
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ α ainank ann
∣∣∣∣

.
Med determinantama obeh matrik velja torej zveza
det(A) =
1
αn−2
det(B). (3)
Metoda sestavljanja matrike B je enostavna. Najprej izberemo v matriki
A neničelni element α, na primer v i-ti vrstici in k-tem stolpcu. Nato se
122 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
postavimo na to mesto in sestavljamo dvovrstne determinante tako, da ele-
ment α vsakokrat dopolnimo s tekočim elementom ars (kjer r 6= i in s 6= k)
matrike in dvema elementoma, ki sta na križǐsču ustrezne vrstice in stolpca
z i-to vrstico in k-tim stolpcem. Pri tem ohranimo pozicijo elementov, kot
so v prvotni matriki, in nam tudi ni treba misliti na predznake. Pri ročnem
računanju je seveda pametno, da izberemo za α element 1 ali −1, če tak ob-
staja. Naj opomnimo, da v primeru izbire α = a11, če je to število neničelno,
dobimo tako imenovano Chiòvo formulo (glej na primer [4]). Računanje de-
terminante reda n smo prevedli na računanje determinante reda n − 1. S
ponavljanjem postopka pridemo nazadnje do ene same determinante reda
2. Naredimo zgled:∣∣∣∣∣∣∣∣
5 3 0 4 2
3 0 4 0 7
1 0 2 0 3
7 2 1 3 4
5 1 2 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
−10 6 2 7
3 −4 0 −7
1 −2 0 −3
−3 3 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣−4 0 −33 −4 71 −2 3
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 8 −9−2 2
∣∣∣∣ = −2.
Krepko smo označili števila, ki smo jih izbrali za naslednji korak. Oglejmo
si še primer iz [6]
Dn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1b1 a1b2 a1b3 · · · a1bn−1 a1bn
a1b2 a2b2 a2b3 · · · a2bn−1 a2bn
a1b3 a2b3 a3b3 · · · a3bn−1 a3bn
...
...
...
. . .
...
...
a1bn a2bn a3bn · · · an−1bn anbn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
kjer avtor predlaga, da najprej poǐsčemo zvezo med Dn in Dn−1. Vzemimo
najprej, da je a1bn 6= 0. Če uporabimo zvezo (3) na desnem zgornjem
vogalnem elementu, hitro ugotovimo, da dobimo determinanto, ki ima vse
elemente nad glavno diagonalo enake 0, diagonalni elementi pa so po vrsti:
a1bn(a2b1−a1b2), a1bn(a3b2−a2b3), . . ., a1bn(anbn−1−an−1bn). Tako dobimo
po kraǰsanju z (a1bn)
n−2 za vrednost determinante rezultat:
Dn = a1bn
n−1∏
k=1
(ak+1bk − akbk+1).
Če je a1bn = 0, ta zveza trivialno velja.
Zvezo (3) lahko najprej posplošimo tako, da izberemo dva neničelna
elementa neke vrstice. Če na primer izberemo elementa α = aik 6= 0 in
β = air 6= 0, kjer je 1 ≤ k < r < n, podobno kot zgoraj z elementarnimi
operacijami na stolpcih
sj → α · sj − aij · sk, j = 1, 2, . . . , r, j 6= k,
sj → β · sj − aij · sr, j = r + 1, . . . , n
121–133 123
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
izpeljemo zvezo
det(A) =
1
αr−2βn−r
det(B), (4)
kjer je matrika B sestavljena iz poddeterminant drugega reda, tvorjenih tako
kot zgoraj, pri čemer prvi parameter α uporabimo za prvih r − 1 stolpcev,
za naslednje stolpce pa uporabimo parameter β. Zgoraj smo vzeli r 6= n, v
nasprotnem dobimo zvezo z enim samim parametrom.
Kot primer vzemimo matriko A reda 5 × 5, v kateri izberimo elementa
α = a32 in β = a34
A =

a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 α a33 β a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
.
Za determinanto te matrike velja zveza
det(A) =
1
α4−2β5−4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣ a11 a12a31 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a12 a13α a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a12 a14α β
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a14 a15β a35
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a21 a22a31 α
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a22 a23α a33
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a22 a24α β
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a24 a25β a35
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a31 αa41 a42
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α a33a42 a43
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α βa42 a44
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ β a35a44 a45
∣∣∣∣
∣∣∣∣ a31 αa51 a52
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α a33a52 a53
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ α βa52 a54
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ β a35a54 a55
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Zgornjo zvezo lahko posplošimo še na več izbranih elementov. Tako velja:
če v i-ti vrstici matrike (1) izberemo neničelne elemente ai,k1 , ai,k2 , . . . , ai,kr
(največ n − 2), kjer je 1 ≤ k1 < k2 < . . . < kr < n, potem velja naslednja
zveza:
det(A) =
1
ak2−2i,k1 a
k3−k2
i,k2
· · · an−kri,kr
det(B), (5)
kjer je matrika B iz dvovrstnih poddeterminant, tvorjenih na zgoraj opisani
način. Pri tem preskočimo pri vsakem izbranem stolpcu na naslednji para-
meter. Zanimivo je, da v zvezah (4) in (5) pozicija prvega parametra nima
vpliva na faktor pred novo determinanto. V posebnem lahko izberemo n−2
124 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
neničelnih elementov neke vrstice, na primer vse razen prvega in zadnjega.
Če smo to naredili v i-ti vrstici, dobimo zvezo
det(A) =
1
ai2ai3 · · · ai,n−1
det(B), (6)
kjer je matrika B iz determinant reda 2, tvorjenih na zgornji način, pri čemer
na vsakem koraku preskočimo na sosednji parameter. Podobne formule, kot
so (4), (5) in (6), veljajo, če parametre izbiramo v nekem stolpcu. Za zgled
s pomočjo zveze (6) izračunajmo naslednjo determinanto reda n:
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
an−11 a
n−2
1 b1 · · · a1b
n−2
1 b
n−1
1
an−12 a
n−2
2 b2 · · · a2b
n−2
2 b
n−1
2
...
...
. . .
...
...
an−1n a
n−2
n bn · · · anbn−2n bn−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣. (7)
Najprej predpostavimo, da so vsa števila neničelna. Uporabimo zvezo (6) na
prvi vrstici in v dobljeni determinanti iz vseh stolpcev izpostavimo potence
števil a1 in b1 ter skupne faktorje v vrsticah. Po okraǰsanju dobimo zvezo:
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
= (a1b2 − a2b1) · · · (a1bn − anb1) ·D(a2, a3, . . . , an; b2, b3, . . . , bn). (8)
Zveza velja tudi, če je kakšno od števil enako nič. Vzemimo npr., da je
a1 = 0. Razvijmo za ta primer determinanto (7) po prvi vrstici in dobimo:
D(0, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
= (−1)n+1bn−11 a2a3 · · · anD(a2, a3, . . . , an; b2, b3, . . . , bn).
Isto pa dobimo, če v zvezi (8) postavimo a1 = 0. Zvezo (8) rekurzivno upo-
rabimo na vse manǰsih determinantah, dokler ne pridemo do determinante
drugega reda, ki je enaka D(an−1, an; bn−1, bn) = an−1bn − anbn−1. Tako
pridemo do identitete
D(a1, a2, . . . , an; b1, b2, . . . , bn) =
∏
1≤i<j≤n
(aibj − ajbi). (9)
Naj opomnimo, da lahko pridemo do zgornje zveze tudi z uporabo Vander-
mondove determinante (glej npr. [4]). Po drugi strani pa dobimo zvezo za
Vandermondovo determinanto, če v (9) postavimo bi = 1 za vse i.
121–133 125
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Oglejmo si, kako lahko uporabimo npr. zvezo (3) za računanje determi-
nante Hessenbergove matrike. Ta ima obliko
A =

a11 a12 a13 · · · a1,n−1 a1n
a21 a22 a23 · · · a2,n−1 a2n
0 a32 a33 · · · a3,n−1 a3n
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · an−1,n−1 an−1,n
0 0 0 · · · an,n−1 ann

.
Vzemimo, da je a11 6= 0. Hitro opazimo, da z uporabo formule (3) na tem
elementu dobimo le v prvi vrstici determinante reda 2, vse druge vrstice pa
so samo pomnožene s faktorjem a11. Tega lahko izpostavimo iz teh vrstic,
ga okraǰsamo in dobimo:
det(A) = det

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a13a21 a23
∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ a11 a1,n−1a21 a2,n−1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a1na21 a2n
∣∣∣∣
a32 a33 · · · a3,n−1 a3n
0 a43 · · · a4,n−1 a4n
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · an−1,n−1 an−1,n
0 0 · · · an,n−1 ann

. (10)
Če je a11 = 0 in je a21 6= 0, začnemo s tem elementom in dobimo enak
rezultat. Če pa sta oba omenjena elementa enaka nič, zgornja zveza trivi-
alno velja. Vidimo, da moramo izračunati samo dvovrstne determinante iz
prvih dveh vrstic, druge vrstice ostanejo nespremenjene in opustimo prvi
stolpec. Tako postopno pridemo do ene same determinante drugega reda.
Izračunajmo primer:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 2 1
2 3 4 5 2
0 2 5 6 5
0 0 1 6 6
0 0 0 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1 0
2 5 6 5
0 1 6 6
0 0 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 4 5
1 6 6
0 9 8
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2 19 8
∣∣∣∣ = 7.
Zveze (3), (4), (5), (6) in (10) so bile predstavljene v [5].
2. Dodgsonova kondenzacijska metoda
Najprej si bomo ogledali neko zvezo med determinanto dane matrike in
petimi njenimi poddeterminantami. Vzemimo matriko (1) z elementi (aij)
126 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
in uvedimo kraǰso oznako
(aij , ars) =
∣∣∣∣ aij aisarj ars
∣∣∣∣, i < r, j < s.
Elemente te determinante dobimo tako, da skozi elementa aij in ars v ma-
triki potegnemo vodoravni ter navpični vzporednici, in presečǐsča teh pre-
mic nam določajo elemente v determinanti. Podobno z (aij , akm, ars), kjer
je i < k < r in j < m < s, označimo poddeterminanto reda 3, ki ima v
oklepaju navedene elemente po vrsti na glavni diagonali, preostala mesta
pa dopolnimo z elementi iz matrike, kot nam narekujejo indeksi na zgoraj
opisani način. Podobno označevanje lahko uporabimo za poddeterminante
vǐsjih redov. Zaradi enostavnosti vzemimo, da je matrika A reda 4×4 z ele-
menti (aij) in predpostavimo, da je a22 6= 0 in (a22, a33) 6= 0. Pri računanju
determinante matrike A upoštevajmo zvezo (3) z elementom a22 in nato še
enkrat to zvezo na dobljenem srednjem elementu (a22, a33):
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
a222
∣∣∣∣∣∣
(a11, a22) (a12, a23) (a12, a24)
(a21, a32) (a22, a33) (a22, a34)
(a21, a42) (a22, a43) (a22, a44)
∣∣∣∣∣∣ =
=
1
a222(a22, a33)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣ (a11, a22) (a12, a23)(a21, a32) (a22, a33)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ (a12, a23) (a12, a24)(a22, a33) (a22, a34)
∣∣∣∣
∣∣∣∣ (a21, a32) (a22, a33)(a21, a42) (a22, a43)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ (a22, a33) (a22, a34)(a22, a43) (a22, a44)
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Namesto števila a222 v imenovalcu ulomka lahko pǐsemo pred vsako notra-
njo determinanto število 1a22 . Potem pa prek zveze (3) spoznamo, da so
na štirih mestih notranje determinante v resnici vrednosti štirih trivrstnih
determinant. Tako pridemo do zveze
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣ =
1
(a22, a33)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a12 a13 a14
a22 a23 a24
a32 a33 a34
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a22 a23 a24
a32 a33 a34
a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
. (11)
Ali na kraǰsi način:
det(A) =
1
(a22, a33)
∣∣∣∣ (a11, a22, a33) (a12, a23, a34)(a21, a32, a43) (a22, a33, a44)
∣∣∣∣ .
121–133 127
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Podobno lahko z indukcijo, kjer primerno uporabimo zvezo (3), ugotovimo,
da za determinanto matrike A reda n× n velja
det(A) =
1
(a22, . . . , an−1,n−1)
∣∣∣∣ (a11, . . . , an−1,n−1) (a12, . . . , an−1,n)(a21, . . . , an,n−1) (a22, . . . , ann)
∣∣∣∣ (12)
ob predpostavki, da je determinanta v imenovalcu od nič različna. Elementi
v dvovrstni determinanti na desni so tvorjeni tako, da po vrsti zapǐsemo
štiri vogalne determinante reda n − 1, ki jih dobimo iz dane matrike. Ta
zveza se imenuje tudi Desnanot-Jacobijeva identiteta. Na njeni podlagi
sloni Dodgsonova metoda kondenzacije, ki jo je predlagal C. L. Dodgson
([3]), bolj znan pod psevdonimom Lewis Carroll in delu Alica v čudežni
deželi. Dogovorimo se še za dve poimenovanji. Sosedski minor (kraǰse s-
minor) reda r imenujmo determinanto podmatrike, ki jo dobimo tako, da
izberemo r sosednjih vrstic neke matrike, druge izpustimo, ter r sosednjih
stolpcev in druge izpustimo. Torej se morajo deli izbranih vrstic in stolpcev
držati skupaj. Sredǐsčno ali centralno podmatriko (kraǰse c-podmatriko) pa
imenujmo podmatriko, ki jo dobimo iz neke matrike, če odstranimo prvo in
zadnjo vrstico ter prvi in zadnji stolpec. V zvezi (11) nastopajo na desni
štirje s-minorji reda 3, v imenovalcu pa imamo determinanto c-podmatrike
začetne matrike.
Vzemimo sedaj dano matriko A reda n × n in definirajmo zaporedje
matrik Ak in Bk, za k = 0, 1, . . . , n − 1 po naslednjem pravilu. Najprej
postavimo A0 = A, medtem ko naj bo B0 matrika reda (n − 1) × (n − 1)
iz samih enojk. Potem pa za vsak k ∈ {1, 2, . . . , n − 1} elemente matrike
Ak dobimo tako, da po vrsti računamo s-minorje reda 2 matrike Ak−1 in
jih delimo z istoležnimi elementi matrike Bk−1, za matriko Bk pa vzamemo
c-podmatriko matrike Ak−1. Seveda moramo privzeti, da so vseskozi vsi
elementi matrik Bk različni od nič. Matrika An−1 je reda 1× 1 in je ravno
vrednost determinante začetne matrike A, matrika Bn−1 pa je prazna, saj
naj bi bila c-podmatrika preǰsnje matrike reda 2×2. Oglejmo si ta postopek
na primeru:
A =

1 0 2 2 1
1 1 2 1 2
2 1 1 2 3
1 2 1 3 1
0 1 2 1 0
, B0 =

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
,
A1 =

1 −2 −2 3
−1 −1 3 −1
3 −1 1 −7
1 3 −5 −1
, B1 =
 1 2 11 1 2
2 1 3
,
128 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
A2 =
 −3 −4 −74 2 −10
5 2 −12
, B2 = [ −1 3−1 1
]
,
A3 =
[
−10 18
2 −4
]
, B3 =
[
2
]
,
A4 =
[
2
]
, B4 =
[ ]
.
Torej det(A) = 2. Na tem primeru pojasnimo, zakaj res dobimo na koncu
vrednost determinante začetne matrike. Primerjajmo način računanja ele-
mentov matrik Ak z zvezo (12), seveda glede na velikost ustreznih pod-
matrik. V matriki A1 so ravno s-minorji matrike A reda 2, v matriki B1
pa minorji reda 1 notranjega dela matrike A. Opazimo, da so v matriki
A2 izračunani s-minorji reda 3 matrike A, v matriki B2 pa s-minorji reda
2 notranjega dela matrike A, ki potem pridejo v poštev pri računanju s-
minorjev reda 4 matrike A, ti so potem zbrani v matriki A3. Element v B3
je ravno determinanta c-podmatrike reda 3 × 3 začetne matrike. Nazadnje
je v matriki A4 izračunani s-minor reda 5 matrike A. Ker je ta en sam, je
seveda to vrednost iskane determinante. Pomanjkljivost te metode je, da
odpove, kakor hitro je kakšen element v matrikah Bk enak nič. Ko naletimo
na ničelni element v eni od teh matrik, moramo postopek prekiniti. Lahko
gremo sicer nazaj na začetno matriko in ji zamenjamo dve ali več vrstic
oziroma stolpcev ter znova začnemo postopek, mislimo pa si lahko, kako
je tako ponavljanje mučno delo. Hitro pa se da najti primere matrik, pri
katerih nobena zamenjava začetnih vrstic ali stolpcev ne pomaga.
3. Računanje determinante z izrezovanjem stolpcev in vrstic
Vzemimo zopet matriko (1) z izbranim neničelnim elementom α = aik. To-
krat pa razdelimo matriko na bloke tako, da posebno izdvojimo i-to vrstico
in k-ti stolpec. Posameznim podmatrikam dajmo svoje oznake, tako lahko
pǐsemo
A =
 W11 v1 W12uT1 α uT2
W21 v2 W22
.
Sedaj naredimo enako kot v prvem razdelku in matriko B v (2) pǐsimo v
obliki razlike
B =
[
αW11 −αW12
−αW21 αW22
]
−
[
v1
−v2
] [
uT1 −uT2
]
.
Dodajmo k drugemu členu faktor αα . Upoštevajmo zvezo (3) med determi-
nantama matrik A in B in pri računanju determinante matrike B upošte-
121–133 129
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
vajmo faktor αn−1. Tako dobimo
det(A) = α · det
([
W11 −W12
−W21 W22
]
− 1
α
[
v1
−v2
] [
uT1 −uT2
])
. (13)
Pogosto je ugodno izbrati kar spodnji desni element, če je različen od nič;
in dobimo zvezo
det(A) = det
[
W v
uT α
]
= α · det
(
W − 1
α
(vuT )
)
. (14)
Tako lahko zaporedoma izražamo determinante z determinantami nižjih re-
dov. Pri ročnem računanju se splača izbirati števila 1 ali −1, če obstajajo,
ali vsaj ne prevelikih števil ter take, da je v izbrani vrstici ali stolpcu čim
več ničel. Omenjeno metodo najdemo v [2]. Prikažimo postopek na zgledu,
pri tem s črtami označimo mesta razrezov:
det

5 3 0 4 2
3 0 4 0 7
1 0 2 0 3
7 2 1 3 4
5 1 2 2 3
 =
= 2 det


5 3 −4 −2
3 0 0 −7
−7 −2 3 4
−5 −1 2 3
− 12

0
4
−1
−2
 [ 1 0 0 −3 ]

= 2 det
12

10 6 −8 −4
2 0 0 −2
−13 −4 6 5
−8 −2 4 0


=
2(−2)
24
det
 10 6 −813 4 −6
8 2 −4
+ 1
2
 −4−5
0
 [ 2 0 0 ]

=
−1
22
det
 6 6 −88 4 −6
8 2 −4
 = 4
22
det
([
6 6
8 4
]
+
1
4
[
−8
−6
] [
8 2
])
= det
[
−10 2
−4 1
]
= −2.
130 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
Pri tem bi lahko tudi zadnjo determinanto računali po istem pravilu, npr.
1 · ((−10)− (2)(−4)/1) = −2. Zgoraj je seveda šlo le za ilustracijo metode,
med potjo bi lahko še marsikaj poenostavili ali primerneje izbirali elemente.
Zanimiva je zveza, ki jo dobimo iz (13) tedaj, ko so na primer nad
elementom α v stolpcu in desno od njega v vrstici same ničle. Po kratkem
računu dobimo
det
 W11 0 W12uT1 α 0
W21 v2 W22
 = α · det [ W11 −W12−W21 + v2uT1 /α W22
]
in podobne zveze, če se ničle glede na parameter α nahajajo levo in zgoraj,
levo in spodaj oziroma desno in spodaj. V posebnem, če je element α edini
od nič različen element v neki vrstici ali stolpcu dane matrike A, dobimo
det(A) = α · det
[
W11 −W12
−W21 W22
]
.
4. Računanje determinante z odštevanjem istega števila od vseh
elementov
Na koncu omenimo še en preprost postopek računanja determinante, ki
je uspešen takrat, ko ima matrika veliko enakih elementov. Označimo s
C matriko, ki jo dobimo iz dane matrike A tako, da od vseh elementov
odštejemo isto število α, torej cij = aij − α, i, j = 1, . . . , n. Determinanta
naše matrike ima potem obliko
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 + α c12 + α · · · c1n + α
c21 + α c22 + α · · · c2n + α
...
...
. . .
...
cn1 + α c2n + α · · · cnn + α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
Upoštevajmo, da je determinanta multilinearna funkcija stolpcev, in izpu-
stimo determinante z vrednostjo 0, ker imajo enaka dva ali več stolpcev.
Preostane nam vsota n+ 1 determinant∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
α c12 · · · c1n
α c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
α cn2 · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 α · · · c1n
c21 α · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 α · · · cnn
∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . .+
∣∣∣∣∣∣∣∣
c11 c12 · · · α
c21 c22 · · · α
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · α
∣∣∣∣∣∣∣∣.
121–133 131
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Edvard Kramar
Razvijmo zadnjih n determinant po stolpcih, v katerih nastopa zgolj para-
meter α, in izpostavimo skupni faktor, ta je torej pomnožen z vsoto vseh
kofaktorjev KCij determinante matrike C. Prǐsli smo do zveze
det(A) = det(C) + α
n∑
i,j=1
KCij . (15)
Vidimo, da bomo uspešni, če bo determinanto matrike C lahko izračunati
in če bo kofaktorjev v determinanti matrike C čim manj oziroma bodo čim
bolj sorodni. Zgornjo zvezo zasledimo v zbirki [6]. Za zgled izračunajmo
determinanti naslednjih dveh matrik reda n:
A =

a1 b · · · b b
b a2 · · · b b
...
...
. . .
...
...
b b · · · an−1 b
b b · · · b an
, B =

a b · · · b x
b a · · · b b
...
...
. . .
...
...
b b · · · a b
−x b · · · b a
,
kjer so a1, a2, . . . , an, a, b in x dana števila. Pri prvi matriki naj bo n ≥ 2, pri
drugi pa n ≥ 3. Če od vseh elementov matrike A odštejemo število b, dobimo
matriko, ki ima samo po diagonali po vrsti razlike ai − b, i = 1, 2, . . . , n,
drugod pa imamo ničle. Determinanto dobljene matrike je lahko izračunati,
kofaktorje pa ima od nič različne le k diagonalnim elementom. Iz zveze (15)
sledi
det(A) =
n∏
i=1
(ai − b) + b
n∑
k=1
n∏
i=1
i 6=k
(ai − b).
Tudi pri matriki B odštejmo povsod število b, dobimo matriko, ki ima ne-
ničelne elemente samo na glavni diagonali ter na zgornjem desnem in spo-
dnjem levem vogalnem mestu. Samo na teh mestih so tudi neničelni kofak-
torji. Če za hip pǐsemo z = a− b, dobimo
det(B) = zn + (x− b)(x+ b)zn−2 +
+ b
(
2zn−1 + (n− 2)zn−3(z2 − (b2 − x2))− (x− b)zn−2 − (−x− b)zn−2
)
.
Zamenjamo nazaj z z a− b, izraz še uredimo in dobimo:
det(B) = (a− b)n−3
(
(a+ (n− 3)b)(a2 + x2)− 2(n− 2)ab2
)
.
132 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Kramar” — 2012/10/24 — 10:40 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
Sklep
Namen prispevka ni bil obravnavati računanje determinante iz zornega kota
numerične analize. S te strani je gotovo med najbolǰsimi metoda, ki temelji
na razcepu matrike na produkt spodnje in zgornje trikotne matrike. Prika-
zali smo nekaj drugih manj znanih postopkov, ki pa za numerično računanje
determinante splošne matrike vsi gotovo niso zanimivi. Morda vseeno za me-
tode iz prvih treh razdelkov povejmo, da so po časovni zahtevnosti enake
tradicionalni metodi, ki uporablja razcep matrike. Število potrebnih aritme-
tičnih operacij za izračun determinante reda n je pri vseh velikostnega reda
n3. Natančneǰse štetje operacij pokaže, da postopka iz prvega in tretjega
razdelka zahtevata približno enako operacij, sicer nekaj več od metode z raz-
cepom matrike, še nekaj več operacij pa zahteva Dodgsonova metoda. Če
metodo prvega razdelka za numerično rabo modificiramo tako, da vsakokrat
izpostavimo parameter iz izbrane vrstice, preden računamo dvovrstne deter-
minante, pa je število potrebnih operacij skoraj enako kot pri tradicionalni
metodi brez pivotiranja. Računanje determinante Hessenbergove matrike je
v splošnem smiselno le z metodama iz prvega in tretjega razdelka. Za obe je
število potrebnih operacij velikostnega reda n2, kar je enako kot pri metodi,
opisani v [1]. Natančneje, omenjena metoda in metoda z izrezovanjem zah-
tevata celo enako aritmetičnih operacij, metoda iz prvega razdelka pa nekaj
več.
LITERATURA
[1] Z. Bohte, O računanju determinante, Obzornik mat. fiz. 26 (1979), 161–177.
[2] F. C. Chang in C. T. Su, More on quick evaluation of determinants, Appl. Math.
Comput. 93 (1998), 97–99.
[3] C. L. Dodgson, Condensation of determinants, being a new and brief method for
computing their arithmetical values, Proc. R. Soc. London 15 (1866–1867), 150–155.
[4] H. Eves, Elementary matrix theory, Dover Publ., New York, 1966.
[5] E. Kramar, On the evaluation of determinants using two order subdeterminants,
Austral. Math. Soc. Gaz. 36 (2009), 201–207.
[6] I. V. Proskurjakov, Sbornik zadač po linejnoj algebre, 4. izd., Nauka, Moskva, 1970.
http://www.obzornik.si/
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
121–133 133
UTRIPANJE ŽARNICE
ALEŠ MOHORIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 44.40.+a, 02.60.Lj
Žarnica sveti zato, ker v njej električni tok drobno kovinsko žico segreje do zelo
visoke temperature. Svetilnost žarnice, priključene na izmenično napetost, niha z dvojno
frekvenco toka in zaostaja v fazi za trenutno električno močjo zaradi omejenega toplotnega
toka in toplotne kapacitete žareče žice.
BEATING OF A LIGHT BULB
An incandescent bulb radiates light because electric current heats up its filament to
a very high temperature. The luminosity of an incandescent lamp driven by AC oscillates
at the double frequency of the current and is out of phase with the electric power supplied
because of the finite heat capacity of the filament and the limited rate at which it radiates
heat.
Žarnica je svetilo, ki sveti z razžarjeno žico, in je izpodrinila svetila, v katerih
žarijo saje v plamenu gorečega fosilnega goriva. Dolgo je bila najpogosteǰsi
vir razsvetljave v našem domu. Zdaj jo izpodrivajo druga, bolj učinkovita
svetila, kot so sveteče diode ali fluorescenčne sijalke. Vir svetlobe je kovin-
ska žica, segreta do visoke temperature. Žica se segreje zaradi električnega
toka, ki teče skoznjo, in je običajno narejena iz volframa, ki je primeren
zato, ker ima visoko talǐsče pri 3695 K. V navadni žarnici se žica segreje do
približno 2800 K, kaj dosti čez pa žarnici močno skraǰsa življenjsko dobo.
Vendar žice ne obvaruje niti to, da je njena temperatura precej nižja od
talǐsča. Sčasoma iz žice izpari dovolj volframa, da se žica pretrga in žarnica
postane neuporabna. Ko se ta proces začne, potem teče vedno hitreje, saj je
žica na tanǰsem delu bolj vroča in volfram tam še hitreje izpareva. Če pride
vroča žica v stik z zrakom, ki vsebuje dovolj kisika, takoj zagori (oksidira).
Zato je žica nepredušno zaprta v stekleno bučo, v kateri je inerten plin,
običajno dušik ali argon. Tipična žarnica je prikazana na sliki 1. Pri žarnici
ločimo naslednje dele: stekleno bučo, žico, oporne žice ter kovinski navoj.
Na sliki je z okvirjem označen del, ki je na naslovnici prikazan povečano. V
povečavi (slika na naslovnici) opazimo, da je žica zvita v dvojno vijačnico.
Tako je izkoristek žarnice nekoliko bolǰsi in življenjska doba dalǰsa, saj se
del izsevane toplote in izparelega volframa lažje absorbira. Poleg navadnih
žarnic uporabljamo tudi halogenske žarnice. Te žarnice so podobne nava-
dnim, le da je v njih žica segreta do 3200 K ali več, odvisno od namena in
134 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
Utripanje žarnice
Slika 1. Žarnica z volframovo žico, opornimi in dovodnimi žicami, stekleno bučo ter
kovinskim navojem. Na sliki označeni izsek je na naslovnici prikazan povečano. V povečavi
opazimo dvojno vijačnico, v katero je navita žica.
stroškov, ki smo jih pripravljeni vložiti v proizvodnjo in nakup. Halogenka
zadovoljivo deluje pri vǐsji temperaturi zato, ker je v stekleni buči para ha-
logenega elementa, običajno broma, ki se ob buči, kjer je temperatura nižja,
kemijsko veže z izparelim volframom. Ob žici, kjer je temperatura vǐsja,
spojina razpade in volfram se naloži nazaj na žico. Tako se izparevanje
volframa občutno zmanǰsa in življenjska doba žarnice podalǰsa. Halogenske
žarnice so običajno manǰse ali celo narejene iz notranje in zunanje buče, saj
je tako obnova žarilne žice bolj učinkovita in je vroča notranja buča ločena
od okolice zaradi požarne varnosti. Halogene svetilke so namreč precej bolj
vroče od navadnih žarnic – temperatura buče lahko preseže 1000 ◦C, pri
navadnih žarnicah pa je buča segreta na 200 do 400 ◦C.
134–141 135
Aleš Mohorič
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Λ @nmD
2´ 1027
4´ 1027
6´ 1027
8´ 1027
1´ 1028
dj
2 Π h c2 dΛ
@m-5D
Slika 2. Spekter sevanja segretega telesa. Polna krivulja ustreza telesu, segretemu na
2800 K (navadna žarnica), črtkana pa telesu, segretemu na 3200 K (halogenska žarnica).
S sivo je označeno območje vidne svetlobe.
Poǐsčimo najprej temperaturo žice v žarnici, priključeni na enosmerno
napetost U . Upor žarnice je R = ζl
πr2
, pri čemer je l dolžina, r pa polmer
žice. ζ je specifični upor snovi, iz katere je žica. V toplotnem ravnovesju
žarnica prejeto električno moč Pe =
U2
R odda kot toplotni tok. Večino
toplote žarnica odda s sevanjem. Spekter sevanja segretega telesa opǐse
Stefan-Planckov zakon:
dj
dλ
= ǫ
2πhc2
λ5
1
ehc/λkT − 1
.
Tu so: j gostota energijskega toka, λ valovna dolžina elektromagnetnega
valovanja, ǫ izsevnost, h = 6,62 · 10−34 Js Planckova konstanta, c = 3,0 ·
108 m/s svetlobna hitrost, k = 1,38 · 10−23 J/K Boltzmannova konstanta in
T absolutna temperatura sevajočega telesa. Izsevnost je to, kar odbojnosti
ali albedu manjka do 1, pri volframu je približno enaka 0,4. Odvisna je od
valovne dolžine, vendar bomo v računih to odvisnost zanemarili. Spektra
navadne in halogenske žarnice sta prikazana na sliki 2.
Celotni izsevani energijski tok je:
Ps = 2πrl
∫
∞
0
dj
dλ
dλ = ǫ2πrlσT 4.
136 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
Utripanje žarnice
Izraz poznamo tudi kot Stefanov zakon in σ = 2π
5k4
15h3c2
= 5,67·10−8 W/m2 K4
je Stefanova konstanta. Sevanje izhaja iz plašča valja, s katerim predstavimo
žico. Plašč ima ploščino 2πrl. Efektivno je sicer površina žice zaradi njenega
navitja manǰsa, saj se del izsevane svetlobe ponovno absorbira. V ravnovesju
velja:
U2
R
= ǫσ2πrl(T 4 − T 4z ).
Zadnji člen vsebuje segrevanje žarnice zaradi sevanja iz okolice, ki ima tem-
peraturo Tz. Ta člen bomo zanemarili, saj je vsaj tri velikostne rede manǰsi
od sorodnega člena, v katerem nastopa temperatura žice. Ravnovesna tem-
peratura žice je:
T = 4
√
rU2
2ζǫσl2
.
Ocenimo dimenzije žice v žarnici, ki je pri napetosti U segreta do želene
temperature in sveti z močjo P . Delovna napetost in nazivna moč sta
najbolj običajna podatka za žarnico. Iz pogoja za ravnovesje sledita polmer:
r =
3
√
P 2ζ
2π2ǫσU2T 4
ter dolžina
l =
πr2U2
Pζ
= 3
√
PU2
4πζǫ2σ2T 8
.
Za 20-vatno žarnico z nazivno napetostjo 12 V tako izračunamo premer
88 µm in dolžino 5,2 cm, kar dobro ustreza pravim vrednostim. Žica v enaki
halogenski žarnici ima premer 78 µm in dolžino 3,4 cm, v enako močni žar-
nici, namenjeni (efektivni) napetosti 220 V, pa je premer 13 µm in dolžina
36 cm. Upoštevali smo, da se specifični upor volframa spreminja s tempe-
raturo, in smo vstavili specifični upor 85 µΩcm pri temperaturi 2800 K za
žarnico in 100 µΩcm pri temperaturi 3200 K za halogensko žarnico. Tem-
peraturna odvisnost specifičnega upora volframa je skoraj linearna in jo
prikazuje graf na sliki 3.
Odgovorimo še na vprašanje, zakaj imamo poleg navadnih tudi halogen-
ske žarnice, ki so manj trpežne in tehnološko zahtevneǰse? Žarnice so bolj
enostavne in ceneǰse za izdelavo, halogenke pa jih izpodrivajo zaradi bolj-
šega izkoristka. Izkoristek žarnice je razmerje med izsevano energijo vidne
svetlobe in vloženo električno energijo. Na sliki 2 vidimo, da žarnica večino
energije izseva v infrardečem delu spektra, to je pri valovnih dolžinah nad
134–141 137
Aleš Mohorič
Slika 3. Specifični upor volframa kot funkcija temperature.
700 nm. Delež energije vidne svetlobe dobimo z integralom
jvidna
j
=
∫ λ2
λ1
dj
dλf(λ)dλ
ǫσT 4
.
Integriramo v mejah vidnega spektra, to je od 400 do 700 nm. Pri izračunu
izkoristka upoštevamo še občutljivost očesa, ki ni enaka pri vseh valovnih
dolžinah. Dobro jo opǐse Gaussova funkcija z vrhom pri λ0 = 555 nm in
širino δ = 60 nm: f(λ) = e−(λ−λ0)
2/δ2 . Integral numerično rešimo brez
težav in slika 4 kaže izkoristek kot funkcijo temperature. Na grafu vidimo,
kako dobro so naše oči usklajene s primarnim virom zemeljske svetlobe –
Soncem.1
Tudi doma bi radi imeli svetilko, ki bi čim bolj posnemala Sonce in bi
imela obenem tudi najbolǰsi izkoristek. Izkoristek je najvǐsji pri zelo vi-
soki temperaturi (vǐsji od temperature Sončevega površja 6000 K), žal pa
nimamo na voljo snovi, ki bi pri tej temperaturi še ostala trdna. Naj-
vǐsje talǐsče2 med elementi ima ogljik, ki pri normalnem tlaku sublimira pri
temperaturi 4000 K. Ogljik prevaja električni tok, če je v alotropski obliki
grafita, ki so ga uporabljali v prvih žarnicah, vendar pa ima slabe mehanske
1Nekaj o tem si lahko preberete tudi v [1], str. 271–272.
2Talǐsče je temperatura, pri kateri snov preide iz trdne v kapljevinasto fazo. Pri grafitu
bi morali govoriti o temperaturi sublimacije.
138 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
Utripanje žarnice
2000 4000 6000 8000 10000
T @KD
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
PsPe
2600 2800 3000 3200 3400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Slika 4. Izkoristek termičnega sevanja telesa kot funkcija temperature. Največji izkori-
stek za človeško oko je pri temperaturi nad 6000 K. Izkoristek pri nižjih temperaturah je
precej nižji in je prikazan na povečanem izseku.
lastnosti. Zato je za uporabo v žarnici bolj primeren volfram, ki je ele-
ment z drugim najvǐsjim talǐsčem pri 3695 K. Spojina z najvǐsjim3 talǐsčem
je tantal-hafnijev karbid Ta4HfC5. Kakorkoli, pravilo, ki sledi iz grafa, je:
vǐsja temperatura žice pomeni bolǰsi izkoristek žarnice. Izkoristek navadne
žarnice je 2 %, halogenske pa 4 %. S halogenko torej dobimo enak vidni
učinek pri pol manǰsi električni moči. Če želimo enostavno, trpežno svetilo,
bo navadna žarnica v redu, dokler jo zakon ne prepove. Za primerjavo po-
vejmo, da doseže zeleni laser z valovno dolžino 555 nm izkoristek 100 %,
natrijeve plinske svetilke do 30 %, sveteče diode do 22 %, fluorescentne si-
jalke pa do 16 %. Spektri svetlobe teh svetil ne ustrezajo spektru sevanja
segretega črnega telesa in ne vzbudijo v očesu vtisa bele svetlobe, temveč
obarvane. Ta vtis pogosto opǐsemo s temperaturo, ki bi jo imelo segreto telo
enake barve. Tako modrikasto barvo fluorescentnih sijalk opǐse vǐsja tem-
peratura, in sicer 5500 K, kot rumenkasto barvo navadnih žarnic, ki žarijo
pri temperaturi 2800 K, čeprav so fluorescentne sijalke na dotik hladneǰse.
V gospodinjstvih so žarnice običajno priključene na izmenično omrežno
napetost. Seveda ne vse, nekatere so na omrežje priključene prek adapterja,
ki usmeri in zniža napetost. Temperatura žarnice, priključene na izmenično
3avtorju znanim
134–141 139
Aleš Mohorič
napetost, niha in s tem niha tudi njena svetlost. Amplituda nihanja sve-
tlosti je tako majhna in frekvenca dovolj velika, da preslepi človeško oko, ki
svetlobo dojema kot nespremenljivo. Električni tok v hǐsni napeljavi niha s
frekvenco ν = 50 Hz, kar pomeni nihajni čas 20 ms. Če zanemarimo kapaci-
teto in induktivnost žarnice, je električna moč žarnice Pe =
U2
0
R cos
2 ωt. U0 je
amplituda napetosti (v Evropi je to 325 V) in ω = 2πν. Energijski zakon za
žico pove, kako se v kratkem časovnem intervalu dt spremeni temperatura
žarnice dT :
mcdT =
U20
R
cos2 ωtdt− ǫσS2T
4dt.
Pri tem je m masa žice, c pa njena specifična toplota. Zanemarili smo segre-
vanje iz okolice in privzeli, da je temperatura po preseku žice povsod enaka,
prav tako ne bomo upoštevali spreminjanja upora s temperaturo. Rešitev
te enačbe je obravnavana v [1]. Nas bo zanimala samo kvazistacionarna
rešitev, ko prehodni pojavi pri vklopu žarnice izginejo in privzamemo, da
temperatura niha harmonično z enako frekvenco kot električna moč, in sicer
okoli povprečne temperature
T0 =
4
√
rU20
4ζǫσl2
.
Z brezdimenzijskima časom τ = ωt in temperaturo θ = TT0 lahko preuredimo
enačbo v
θ̇ = a(1 + cos 2τ)− aθ4.
Pika pomeni odvod po času τ . Vpeljali smo konstanto a = 12ωmc
4
√
2U6
0
ǫσS2
R3 .
Rešitev diferencialne enačbe poǐsčemo z nastavkom θ = 1+ θ0 sin(2τ + δ), s
katerim v prvem približku izrazimo θ4
.
= 1+4θ0 sin(2τ+δ), saj pričakujemo,
da je θ0 majhen. Enostavno pokažemo (kot bi rekel Kuščer), da θ niha z
amplitudo
θ0 =
a
2
√
1 + 4a2
in zaostaja v fazi za električno močjo
tan δ = 2a.
Kvocient amplitude nihanja svetilnosti in povprečne svetilnosti je v prvem
približku enak 4θ0. Od tu lahko določimo a =
2θ0√
1−16θ2
0
, v katerem se skri-
vata toplotna kapaciteta ter efektivna površina žice. To je pričakovano in
140 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
Utripanje žarnice
bi uganili tudi na pamet. Toplotne prevodnosti, ki bi jo pričakovali pri raz-
sežneǰsih telesih, v izrazu ni, ker smo naredili približek, da je temperatura
žice po vsem preseku enaka.
Poskus, s katerim izmerimo nihanje svetilnosti žarnice, naredimo tako,
da žarnico priključimo na izmenično napetost ter izmerimo časovni potek
napetosti, toka in gostote svetlobnega toka. Rezultati so prikazani na sliki
5. Iz meritve sledi, da je θ0 = 0,015. Od tu lahko ocenimo maso žice na
18 mg, če upoštevamo specifično toploto volframa 130 J/kgK. Pri poskusu
smo uporabili 25-vatno žarnico, namenjeno napetosti 5 V, z žico premera
180 µm, dolžino 3,1 cm in maso 16 mg, ki jo izračunamo iz m = ρV , kjer
uporabimo gostoto volframa 19 kg/dm3.
0 10 20 30
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
 = t
I/
I 
P
/P
 
( x:31,681  y:0,989)
Auto Fit for: Latest | P/P 
CC 2 = A*sin(B*x+C)+D
A: 0,5014 +/- 0,002379
B: 1,999 +/- 0,0005244
C: 2,327 +/- 0,009417
D: 0,4250 +/- 0,001684
RMSE: 0,02660
Auto Fit for: Latest | I/I 
CC 2 = A*sin(B*x+C)+D
A: 0,05803 +/- 0,0001883
B: 1,999 +/- 0,0003588
C: 1,428 +/- 0,006525
D: 0,9999 +/- 0,0001335
RMSE: 0,002104
Slika 5. Trenutna električna moč in svetilnost žarnice, priključene na izmenično napetost.
Svetilnost niha z amplitudo 0,06 povprečne svetilnosti in v fazi zaostaja za močjo.
Tako smo natresli nekaj podatkov za žarnice. Jih bomo prihodnjič opa-
zovali v drugačni luči?
LITERATURA
[1] I. Kuščer in A. Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, DMFA, 112–114 (1994).
[2] A. Mohorič, Utripanje luči, Presek 38 (2011), 20–21.
[3] P. Gluck in J. King, Physics of Incandescent Lamp Burnout, Phys. Teach. 46 (2008),
29–29.
[4] B. Ray, Don’t Zap that Light Bulb!, Phys. Teach. 44 (2006), 374–374.
[5] B. Denardo, Temperature of a lightbulb filament, Phys. Teach. 40 (2002), 101–101.
[6] W. S. Wagner, Temperature and color of incandescent lamps, Phys. Teach. 29 (1991),
176–176.
[7] D. MacIsaac, G. Kanner in G. Anderson, Basic physics of the incandescent lamp
(lightbulb), Phys. Teach. 37 (1999), 520–520.
[8] J. King, Incandescent Lamps, Am. J. Phys. 31 (1963), xiv.
[9] V. Zanetti, Sun and lamps, Am. J. Phys. 52 (1984), 1127–1127.
[10] D. C. Agrawal, H. S. Leff in V. J. Menon, Efficiency and efficacy of incandescent
lamps, Am. J. Phys. 64 (1996), 649–649.
[11] V. Zanetti, Temperature of incandescent lamps, Am. J. Phys. 53 (1985), 546–546.
134–141 141
i
i
“Prelog” — 2012/10/25 — 14:48 — page 142 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
OB ROB PRISPEVKA PETRA PRELOGA O STANJU V
NAŠEM ŠOLSTVU
BOJAN HVALA IN DAMJAN KOBAL
V 1. številki Obzornika 2012 je izšel članek Petra Preloga, ki se odziva na
dva članka (Babič, Zabret) o slabem stanju v našem šolstvu.
Peter zaskrbljeno ugotavlja, da se nihče od poklicanih strokovnjakov na
članka ni odzval, da ni nikogar, ki bi se (bralcem Obzornika, učiteljem,
staršem, učencem in vsem drugim) čutil dolžnega stvari v šoli postaviti na
pravo mesto. Peter niti ni razočaran nad ministrom in državnim aparatom,
ampak nad strokovnjaki, ki se ne oglasijo in ne povedo dovolj jasno in glasno,
kako narobe so stvari.
Petrovi jezi in očitkom, vsaj nekateri, težko oporekamo. Zagotovo je
velika odgovornost vseh nas, ki ne storimo dovolj, da bi se stanje izbolǰsalo.
Za situacijo, kakršnakoli že je, smo soodgovorni vsi. Se pa odgovornost deli
glede na možnosti, položaj in pristojnosti, ki jih imamo.
Preden nadaljujeva, naj poudariva, da ta prispevek nikakor ni odziv
strokovne javnosti, ki ga Peter pogreša. Celo nasprotno, verjameva, da je
velik del problemov (tako v družbi kot v izobraževanju) prav v pomanjkanju
osebne odgovornosti, ki se je skoraj povsem umaknila abstraktni strokovni
odgovornosti. Zapisane misli so torej le osebna stalǐsča človeka, učitelja,
matematika, starša in državljana z imenom in priimkom.
1. O
”
postavljanju stvari na pravo mesto“.
Res je, da so družbeni problemi kompleksneǰsi od problemov eksaktnih zna-
nosti. Zato so tudi resnice teže preverljive, napake teže dokazljive in
”
prave
rešitve“ teže določljive. Tako se, drugače od resnic v matematiki, mnenja o
resnicah v šolstvu razhajajo. Nekateri menimo, da je situacija v izobraže-
vanju (in na sploh v družbi) res zelo slaba. Drugi verjamejo, da smo priča
začasnim težavam na poti napredka. Nekateri verjamejo celo to, da so bili
trendi v šolstvu zadnje čase pozitivni in da je problem le v tem, da jih nismo
razvijali še hitreje.
Nekaj tipičnih (prepletajočih se) tematik, ob katerih so mnenja v družbi
zelo različna:
• permisivna vzgoja, odnos do odrekanja, napora in trdega dela;
• poklicno usmerjanje (glede na želje ali/in glede na sposobnosti ter po-
trebe družbe);
• potreba po selektivnosti in primerni organizaciji šolske mreže;
• elitizem ali egalitarizem ocenjevanja in znanja;
142 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Prelog” — 2012/10/25 — 14:48 — page 143 — #2 i
i
i
i
i
i
Ob rob prispevka Petra Preloga o stanju v našem šolstvu
• vloga prava v šolski praksi;
• imeti ali vedeti (razvijati strast/potrebo po posedovanju ali po razume-
vanju);
• način sprejemanja temeljnih odločitev (v šoli in v družbi).
To so le nekatera področja, na katerih ni soglasja. Zato ni presenetljivo, da
v družbeni organizaciji, kot jo poznamo, nimamo
”
pravih rešitev“. Se pa
strinjamo, da je obseg vsebinske in zavezujoče razprave o vseh teh temah
presenetljivo ozek.
2. O vtisu, da na dogajanje v šolstvu ni ustreznih odzivov.
Res je, kot pravi Peter, da ni odzivov, ki bi kaj spremenili. Ni pa res, da
odzivov na dogajanje v šolstvu sploh ni. V 4. številki Obzornika 2010 sta
podpisnika tega zapisa predstavila nekaj precej jasnih smeri, po katerih bi
bilo treba stopiti, da bi se kakovost v naših šolah izbolǰsala. V članku so
navedena stalǐsča glede večine zgoraj navedenih dilem v šolstvu in jih zato
na tem mestu ne bi ponavljali. Omenjeni članek je bil prispevek na enem
od posvetov, ki jih je organiziral SAZU na temo problematičnih razmer v
šolstvu, na katerih so na težave opozarjali tudi drugi.
Seveda je tudi drugih kritičnih zapisov in mnenj o omenjenih dilemah
veliko. Iz množice opozoril glede pogubnih posledic permisivne vzgoje iz-
postavimo že precej staro, a temeljno delo Bogdana Žorža [1]: Razvajenost,
rak sodobne vzgoje. Strokovnjaki, predvsem tisti, ki se na terenu praktično
ukvarjajo z zdravljenjem psihičnih težav in odvisnosti med mladostniki, na
to temo že dlje časa bijejo plat zvona. O mnogih vidikih prevladujoče vzgoje,
npr. o odsotnosti zavesti, da sta tudi nelagodje in napor normalna sestavna
dela vsake človekove aktivnosti, prepričljivo govori Viljem Ščuka ([2]). Zna-
menita je njegova krivulja, podobna grafu funkcije f(x) = − sinx na in-
tervalu [0, 2π], ki opisuje ugodje v različnih obdobjih vsakega človekovega
projekta. Brez
”
negativnega ugodja“ (napetosti, napora in dela) tudi
”
pozi-
tivnega ugodja“ (uspeha, zadovoljstva in rezultata) ni. Znana so tudi poglo-
bljena razmǐsljanja uglednih pravnikov, npr. Mira Cerarja ([3]) o mejah im-
plementacije prava in formalnega v šolskem prostoru. Poleg formalne ravni
namreč obstajajo še druge (zdravorazumske, etične), ki jih mora šola skrbno
gojiti in upoštevati. Tudi v zvezi z inflacijo odličnih ocen smo bili priče šte-
vilnih opozoril tako v strokovni literaturi ([4]) kot tudi v časopisih in na okro-
glih mizah ter predavanjih. Na to temo smo pred kratkim brali tudi odmeven
članek maturanta ([5]), ki v duhu Cesarjevih novih oblačil opozarja tudi na
splošno pomanjkanje zavesti, da je v fazi načrtovanja osebne kariere poleg
individualnih želja nujno upoštevati tudi osebne danosti in sposobnosti.
Tako bi lahko naštevali še naprej. Žal vsa ta razmǐsljanja v morju nav-
zkrižnih mnenj in neargumentiranega odločanja ostajajo premalo slǐsana in
neupoštevana.
142–146 143
i
i
“Prelog” — 2012/10/25 — 14:48 — page 144 — #3 i
i
i
i
i
i
Bojan Hvala in Damjan Kobal
3. Ali do spremembe lahko pride s poenotenjem strokovne
javnosti?
Bojimo se, da ne. Tako javnost posameznikov kot strokovna javnost sta
pogosto zapredeni v mreži egoizma in razpada vrednot.
”
Strokovnost“ je
postala tržno blago. Nekoč (npr. po Josephu Priestleyu (1733–1804)) je bila
znanost iskalka absolutne resnice in znanstvenika (strokovnjaka) so definirali
radovednost, pozornost/občutljivost, vztrajnost, verodostojnost, dvom, pogu-
mna ponǐznost, predanost. Danes strokovnjaka definira diploma, vrednost
in verodostojnost znanosti pa se meri z dodano vrednostjo. Spreminjajo se
način komunikacije, pomen in zavest o resnici. Z zavestjo, ki množično spre-
jema in celo promovira
”
individualne in relativne resnice“, je vse težje priti
do smiselnih družbenih rešitev. Ali, kot pǐse Ben Dupré v [6, str. 55]:
Dandanes posebno zahrbtno oviro nalogi izobraževanja predstavlja [. . . ]
relativizem, ki ne priznava ničesar, kar bi bilo neizpodbitno, kot glavno me-
rilo pa vidi posameznika in njegove želje. Pod pretvezo svobode pa [relativi-
zem] postane zapor za slehernika, saj ljudi med seboj razdvaja in jih prikla-
plja same nase, na
”
ego“.
Kako zelo se spreminja dojemanje argumenta in
”
resnice“, nam lahko
pove knjižica On Bullshit (O nakladanju/govoričenju) ([7]), ki jo je napisal
ugledni moralni filozof Harry Frankfurt. V njej govori o tem, kako usodna
je za razvoj družbe inflacija (pomena) besed. Nakladanje je po njegovem
mnenju nevarneǰse od laži. Pri laži se namreč pojem resnice ohranja, saj
lažnivec resnico skriva in se je zato (vsaj) zaveda. Nakladač (in njegovi
poslušalci) pa postopoma postanejo povsem indiferentni do laži in resnice,
saj je razlika med njima povsem nepomembna in obe uporablja le, če mu
služita (v obsesiji potrošnǐskega ugodja).
Na podlagi razbitja iluzije o vsemogočnem človeškem umu so zadnja
desetletja zaznamovana s pretiranim krčenjem razsvetljenskega zaupanja v
moč razuma. Namreč, reakcija na (sicer povsem razumno) spoznanje, da
razum niti ne ponuja vseh rešitev niti ne more povsem zaobjeti vseh spo-
znavnih vidikov, je bila pretirana. Nihalo je zanihalo nazaj in videti je, kot
bi celo v povsem preprostih situacijah začeli iskati rešitve z
”
alternativnimi
sredstvi“, brez moči argumenta. Ali, kot pǐse Francis Wheen v [8, str. 19]:
. . . [po razsvetljenstvu] je naslednjih 200 let razum ohranil svoje mesto kot
arbiter resnice in kot temelj objektivnega védenja. [Sedaj pa] razum naza-
duje tako kot ideal in tudi kot realnost. [. . . ] Ko pa razum spi, se v ospredje
prerinejo pošasti, in zadnji dve desetletji sta jih ustvarili obilo.
V svetu s takšnimi trendi je poučevanje matematike še posebej težavno.
V svojem bistvu namreč matematika uči prav to, kar moderni svet vrednot
zanika, to je občutljivost za argument. In jasno je, da se mnogim v hipe-
rinflaciji besed in ob razcvetu
”
lahkotnosti bivanja v objemu alternativnih
metod“ matematika zdi nekoristna in sitna starka.
144 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Prelog” — 2012/10/25 — 14:48 — page 145 — #4 i
i
i
i
i
i
Ob rob prispevka Petra Preloga o stanju v našem šolstvu
4. Kje je torej rešitev?
Kje, kako torej začeti z akcijo? Ugledni in že davno upokojeni profesor
Barry MacDonald (Univerza Vzhodne Anglije) je že pred iztekom minulega
tisočletja o reformah v šolstvu povedal tole:
Vsi vemo, da gredo stvari v šoli hudo narobe. Politiki in reformatorji so
prepričani, da vedo, kaj je treba storiti. Ker smo, ne da bi kdaj kdo priznal
napako, v zadnji polovici stoletja imeli že veliko propadlih reform, refor-
matorjem nihče ne verjame. Potrebujemo nov kurikulum za skepticizem,
potrebujemo pokaži-ne-govori kurikulum . . . Reforme so šolo pripeljale do
sterilnosti, ki mrtvi um, onemogoča ustvarjalnost in inteligenco ter vsiljuje
surovo tehnologijo.
Takšne in drugačne reforme, ki so nas tudi pripeljale v trenutno stanje,
so se vse dogajale z blagoslovom in podporo strokovnjakov ter v imenu slabo
premǐsljenih in navidezno zveličavnih idej. Zato namesto novih naivnih in
bojevitih reform predlagamo raje zbran razmislek s sklonjeno glavo.
V zgodovini smo imeli in tudi še imamo družbe in skupnosti, ki so spod-
bujale iniciativnost ljudi, ki so ustvarjale občutek, da se z lastno aktivnostjo
da napredovati, da se agilnost splača, da bo vložena energija posameznika
mnogotero poplačana. To so bile in so družbe in skupnosti v vzponu. Poleg
teh smo imeli in imamo tudi družbe, kjer je iniciativnost nezaželena, dis-
kreditirana ali celo kaznovana. Ozračje v našem šolstvu spominja bolj na
to drugo. Sistem je obsežen, odtujen, vzgibi odločanja netransparentni in
povezani z birokracijo in strankokracijo. Večji strokovni premiki imajo svoje
korenine v vsakokratnih na hitro sestavljenih koalicijskih pogodbah, te pa v
programih strank, ki šolstvu posvečajo premalo pozornosti, v odločanje pa
jim ne uspe pritegniti ustreznih ljudi. Zato medli upanje, da bi posameznik
z lastnim vložkom lahko plemenitil ali izbolǰsal kaj več kot svoje področje
najožje osebne odgovornosti, ki se čedalje bolj krči. Širi se malodušje in
indiferentnost. Prav indiferentnost pa je kuga moderne dobe.
Za izhod iz vsega tega vidimo dve možnosti. Prva je, da bi zavest o nuj-
nosti sprememb pod težo dejstev diskreditirala staro in še vedno moderno
paradigmo udobja do te mere, da bi se nam, zbranim okrog nekega razu-
mnega in karizmatičnega jedra, uspelo poenotiti za niz tihih, a vsebinsko
pomembnih sprememb. A kot je videti pri nas, tudi v drugih družbenih
sistemih stare paradigme ne padajo zlahka, prav tako pa se karizmatična
jedra z zbranimi treznimi rešitvami ne pojavljajo prav pogosto. Morda za
to preprosto še ni dozorel čas. Zato bi bila morda druga rešitev v večji
svobodi, večjem pluralizmu in iniciativnosti v našem (javnem!) šolstvu. Če
glede osnovnih izhodǐsč nimamo enotnih mnenj, pa naredimo šole, ki bodo
bolj različne, kot so zdaj, ki bodo bolj paradigmatično oblikovane. Tako
bodo starši z izrazito skrbjo za otrokovo udobje dobili šolo, kjer bo – kot
je nekoč že veljalo – učenec na uro lahko zamudil prvih 15 minut, odšel
142–146 145
i
i
“Prelog” — 2012/10/25 — 14:48 — page 146 — #5 i
i
i
i
i
i
Bojan Hvala in Damjan Kobal
15 minut pred koncem, kjer domače naloge ne bodo obvezne in kjer bodo
prevladovale odlične ocene ter nenehne pohvale in aplavzi. Starši, ki želimo,
da se naši otroci razvijejo v delovne in odgovorne posameznike, pa bomo
dobili šole, ki bodo polne izzivov in otrok ne bodo podcenjevale, v katerih
bosta delo in spoštovanje dogovorov samoumevna, ki bodo sicer zagotavljale
dostojanstvo vsakega učenca, a tudi zaznale njegovo (vsakovrstno) sposob-
nost in priznale delovni vložek. V teh šolah se inšpektorji in odvetniki ne
bodo ukvarjali s formalnimi malenkostmi in kraljevali bodo iskriva radove-
dnost, medsebojno spoštovanje, zavzetost in moč argumenta. V soočenju
dveh (lahko tudi več) konceptov bi morda na kratki rok vzpodbudili inici-
ativnost pri izgradnji identitete in stila posamezne šole. Zaradi možnosti
izbire opcij bi se v družbi morebiti posledično odprl (dejanski in vsebinski)
diskurz o prednostih in pomanjkljivostih različnih pristopov. Na dolgi rok
pa bi morda kakovost (še zlasti če bi bila prepoznana tudi na zaposlitvenem
trgu) le prevladala nad navideznim udobjem.
5. Za konec
Odziv g. Petra Preloga je dragocen izraz senzibilnosti in primer upravičenega
protesta ter kritične odločnosti, ki, nasprotno od škodljivega malodušja,
drami zavest odgovornosti. Taki odzivi so pomembni ne toliko zaradi kmalu
pričakovanih rešitev, ampak zaradi odmevov, ki jih zbudijo v naših glavah,
in zaradi zaveznǐstev, ki jih utegnejo vzpostaviti med podobno mislečimi.
Za reševanje matematičnih problemov so potrebni sposobni ljudje. Druž-
beni problemi so kompleksneǰsi od matematičnih. Zato bi za njihovo reševa-
nje potrebovali najsposobneǰse. Kako poskrbeti za to, da bi odločali najbolj
sposobni in ne najbolj samozavestni, ostaja težak problem od začetkov ci-
vilizacije.
LITERATURA
[1] Bogdan Žorž, Razvajenost, rak sodobne vzgoje, Mohorjeva družba, Celje, 2002.
[2] Viljem Ščuka, Šolar na poti do sebe, Oblikovanje osebnosti, Priročnik za učitelje in
starše, Didakta, Radovljica, 2007.
[3] Miro Cerar, Pamet v krizi, Razmǐsljanja o miselnih, čustvenih in duhovnih izzivih
sodobnega človeka, Tempo trade, Škofja Loka, 2011.
[4] Darko Zupanc, Matevž Bren, Inflacija pri internem ocenjevanju v Sloveniji, Sodobna
pedagogika 61 (2010), št. 3, str. 208–228.
[5] Andrej Šterman, Pismo maturanta — Absurdi, dostopno na spletu: http://www.
delo.si/mnenja/blog/pismo-maturanta-absurdi.html, povzeto 8. 10. 2012.
[6] Ben Dupré, Filozofija, Najpomembneǰsa dognanja človeštva, Videotop, Maribor,
2011.
[7] Harry Frankfurt, On Bullshit, Princeton University Press, Princeton, Oxford, 2005.
[8] Francis Wheen, Kako so prodajalci megle zavladali svetu, Mladinska knjiga Založba,
Ljubljana, 2004.
146 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Planinsic” — 2012/10/24 — 10:50 — page 147 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Gorazd Planinšič: Didaktika fizike – aktivno učenje ob poskusih,
I. Mehanika in termodinamika, DMFA - založnǐstvo, Ljubljana
2012, 215 str.
Knjiga me je pritegnila s svojo vse-
bino s tolikšno silo, da sem jo pre-
bral skoraj v celoti že prvi dan
po nakupu. Vsa
”
nujna“ dela so
morala počakati. Ko bi bila iz-
dana pred desetletjem, bi mi pri-
hranila marsikatero iskanje poti do
pravilne in ustrezne razlage. Ure
fizike bi bile za moje učence še
bolj zanimive in njihovo razumeva-
nje naravoslovja bi bilo bolj bogato.
Sodobno didaktično literaturo Slo-
venci potrebujemo.
Gorazda Planinšiča poznamo kot
izvrstnega predavatelja, didaktika
in odličnega izvajalca fizikalnih po-
skusov. V knjigi je uporabil vse
svoje izkušnje in znanje, ki si jih je
pridobil pri pedagoškem delu, postavitvi poskusov v Hǐsi eksperimentov, vo-
denju vsakoletnega seminarja
”
Stalno strokovno spopolnjevanje“, delovanju
v mednarodnih združenjih in pri pisanju člankov. Knjiga si zasluži, da jo
postavi vsak učitelj fizike v svoj kabinet in jo uporablja pri pripravah na
pouk.
Podnaslov Mehanika in termodinamika obljublja, da avtor snuje nadalje-
vanje, za kar bi mu bili vsi hvaležni. V uvodnem delu knjige se je osredotočil
na namen in na vlogo izvajanja poskusov pri pouku. Podal je pregledno
razdelitev vrste poskusov in opisal, kje in kako jih uporabiti.
”
Očetovski
nasveti“ so odlični in bodo prihranili učitelju marsikatero razočaranje pri
poučevanju in eksperimentiranju. Poudari znano resnico, da si je treba
sproti zapisovati dejstva in opažanja pri pripravi pouka in sami izvedbi ter
izbolǰsevati izvajanje ur iz leta v leto. Pri poučevanju fizike so pomembna
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 147
i
i
“Planinsic” — 2012/10/24 — 10:50 — page 148 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
vprašanja učencem. Ta naj bodo nedvoumna in nikakor zavajajoča. Učitelj
naj ne odgovarja na vprašanja sam. Posluša naj učenca do konca, tudi če je
v zmoti. Vzpodbuja naj razmǐsljanje. Odgovore naj učenci utemeljujejo. Za
pravilen odgovor naj pohvali, za napačnega naj vzpodbudi diskusijo, zakaj
je nepravilen.
Učitelj naj ne izvaja v razredu poskusov, ki jih ne zna razložiti ali jih
učenci niso sposobni razumeti. Pozornost naj bo usmerjena na sam pojav.
Izid eksperimenta naj opǐsejo učenci. Vsak poskus moramo vrednotiti z očmi
poslušalca. Če je le možno, poskus ponovimo. Ponovitve lahko izvajajo
učenci. Učenci naj bodo aktivni in naj čim več sodelujejo pri izvajanju
poskusov. Če je le mogoče, izvajajmo v šoli realne poskuse in ne virtualnih
(računalnǐske simulacije ali posnete poskuse). Vsak poskus je treba dobro
pripraviti in se izuriti v njegovi izvedbi.
Avtor je pripravil zelo koristen opis pomembneǰsih merilnih naprav in
pripomočkov, ki naj bi jih učitelj uporabljal pri pouku. Svetuje, kateri
pripomočki so bolj uporabni pri pouku, tako da učitelj ne bi zapravljal
denarja za naprave, ki bi obležale v kabinetu. Poučujemo generacije za pri-
hodnost, zato naj bi učitelj vključeval in uporabljal sodobne naprave, ne
zastarelih, ki jih ni več v splošni rabi. Sodobna oprema nam z digitaliza-
cijo omogoča prikaz meritev v realnem času, omogoča obdelavo podatkov
in risanje diagramov. Med cenovno dosegljive naprave uvršča: računalnik,
vmesnik, merilne sonde, laser, digitalni fotoaparat, infrardeči termometer,
svetleče diode. Za delo z noveǰsimi pripomočki se učitelji srednjih šol uspo-
sabljajo v okviru Stalnega strokovnega spopolnjevanja (http://sss.fmf.uni-
lj.si/index.php?mode=1&sub=1), učitelji osnovnih šol pa na seminarjih
Pedagoške fakultete.
Mehanika in termodinamika sta obdelani po temah učnega načrta. Pri
vsaki temi avtor povzame bistvena dejstva, ki naj bi jih učenci spoznali.
Za učitelja so zlata vredna opozorila na težave učencev in dijakov pri razu-
mevanju posameznih pojmov in na njihove predstave o pojmih in pojavih.
Predstave, s katerimi pridejo učenci k pouku, se pogosto ne ujemajo s fizi-
kalnimi (npr. teža in masa). Svetuje, kako poučevati, da učenci postopoma
zgradijo pravilne predstave. Ali ste vedeli, da je vzgon posledica gravitacij-
skega privlaka? Toplota je proces in ne stanje ali lastnost telesa.
Knjiga privlači s konkretnimi poskusi. Na izbranih primerih predstavi
način kako obravnavati posamezna poglavja. Opis izvedbe je podrobno opi-
148 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Planinsic” — 2012/10/24 — 10:50 — page 149 — #3 i
i
i
i
i
i
Didaktika fizike – aktivno učenje ob poskusih
san skupaj z natančnimi nasveti, na kaj moramo paziti pri pripravi samega
poskusa. Omeji se na preproste poskuse, ki so nazorni, zanimivi in jih dijaki
lahko ponovijo in izvedejo sami tudi doma. Zagovarja aktivno sodelovanje
učencev.
Avtorjev način, kako pripravi in izvede poskus, je sodoben, marsikdaj
že raziskovalen. Vsak poskus ima dodatek z raznimi možnostmi razširitve,
variacijami in dopolnitvami. Mnoge poskuse avtor obdela v veliko možnih
variantah, da si jih učitelj lahko prilagodi svojim ciljem in potrebam. Hkrati
daje možnost dijakom, da poskus obdelajo samostojno v obliki seminarskih
nalog. Vedno opozori na podrobnosti, ki lahko pomembno vplivajo na izid
poskusa. Dijake vzpodbuja, da sami razložijo izid poskusa, in predlaga
dodatne poskuse, s katerimi lahko ovržemo tipične napačne razlage. V po-
skusih ǐsče pogosto tudi humor in presenečenja.
Pri prebiraju knjige se bo učitelj pogosto zavedel, kje vse je napačno
ravnal pri demonstraciji poskusov. Knjiga vzbudi pri bralcu razmǐsljanje,
kako bi posamezni poskus izvedel in izpopolnil, katere poskuse bi še lahko
prikazal za bolǰse razumevanje snovi. Za poskuse Planinšič pogosto uporabi
material in predmete, ki jih kot neuporabne mečemo v smeti. Za razlago
pogosto uporablja primere iz vsakdanje uporabe, ki so slikovita ilustracija
posameznih zakonov. Poznani primeri pomagajo k razumevanju zakonov, še
bolj pa so napotek k pravilnim predstavam dogajanja in pomoč za pomnjenje
posameznih teoretičnih zaključkov.
Knjiga kaže na avtorjev izvrsten pregled čez didaktično literaturo. Že
med tekstom opozarja na uporabno literaturo, kjer najdemo izvorne podrob-
neǰse informacije. Seznam literature na koncu knjige obsega kar osem strani.
Veliko predstavljene literature je slovenske, za kar zasluži avtor pohvalo.
Če potrebujem poskuse za svoja občasna poljudna predavanja, samo
prelistam knjigo, in že je nabor poln. V knjigi sem dobil tudi veliko idej za
svojo zbirko nalog Znam za več, Fizika 8 in 9, izdano pri založbi Rokus.
To knjigo smo učitelji fizike potrebovali, kar dokazuje, da je bila prva
naklada razprodana v manj kot letu dni. Težko pričakujemo že nadaljevanje.
Knjiga je bila ponatisnjena in jo lahko kupite pri DMFA – založnǐstvo
po članski ceni 23,99 EUR.
Stane Arh
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 149
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 150 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Uta C. Merzbach in Carl B. Boyer, A history of mathematics,
Third edition, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 2011,
688 strani.
Knjiga izčrpno in pregledno po-
daja razvoj matematike skozi zgo-
dovino od najstareǰsih časov do da-
nes, tako kot v večini tovrstnih del.
Smiselno je razdeljena na štiriin-
dvajset poglavij. Ko je govor o ma-
tematiki različnih dežel, navadno
najprej opǐse ustrezno obdobje in
najpomembneǰse vire.
Delo se prične z opisom najsta-
reǰsih dejavnosti, ki so povezane
z matematiko: štetjem in zapiso-
vanjem števil. Sledita, kot je na-
vada v matematičnozgodovinskih
knjigah, matematiki nam najbliž-
jih starih kultur: egipčanska in
mezopotamska. Nato je razme-
roma obširno obravnavana starogr-
ška matematika, od Talesa in Pi-
tagore do Platonove Akademije in
Aristotela. Evklidu in njegovim
Elementom je posvečeno posebno poglavje, prav tako Arhimedu in Apolo-
niju iz Perge. Nadaljevanje pripoveduje o uspešnem aleksandrijskem obdo-
bju, v katerem so se na primer izkazali Eratosten, Ptolemaj, Heron, Diofant
in Papos, ter zaton tega obdobja, po katerem so omembe vredni le še Boetij
in nekateri bizantinski matematiki.
Potem sta v knjigi na vrsti kitajska in indijska matematika. Slednji je
odmerjenega nekoliko več prostora, saj smo iz Indije posredno dobili deseti-
ški številski sistem, znak za ničlo, nekaj algebre in izbolǰsano trigonometrijo.
Posredniki med indijsko in evropsko matematiko so bili večinoma arabski in
perzijski matematiki, katerim gre zahvala, da se je ohranilo tudi marsika-
tero starogrško matematično delo. Medtem ko je kar nekaj stoletij cvetela
islamska matematika, je zahodni, latinski svet v znanosti nasploh bolj ali
manj životaril, toda med obema svetovoma je kljub vsemu ves ta čas priha-
jalo do pristnih stikov in Evropejci so počasi le napredovali. Ustanavljale
150 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 151 — #2 i
i
i
i
i
i
A history of mathematics
so se prve univerze in akademije. Veliko se je tudi prepisovalo, ker še ni bilo
tiska, in prevajalo, predvsem starogrška in arabska dela. Tu in tam pa so
matematiki odkrili in staremu dodali tudi kaj novega.
Velik razmah znanosti in umetnosti ter z njima tudi matematike je v
Evropi nastopil z renesanso. Velik preobrat je bilo splošno sprejetje de-
setǐskega številskega sistema, vpeljava simbolov za računske operacije in
uporaba črk za spremenljivke in konstante.
Razvoja matematike potem ni bilo več moč zaustaviti. Postopoma so
se uvajali logaritmi, novi računski pripomočki in infinitezimalne metode.
Matematiki različnih dežel so začeli med seboj intenzivno pisno komunicirati
in potovati iz kraja v kraj. Postavljali so se novi in novi problemi, zlasti v
geometriji in teoriji števil. Do novih rezultatov so prihajali matematiki na
evropskem kontinentu, znanstveno pa so napredovali tudi v Veliki Britaniji.
Posebna poglavja v knjigi so namenjena Eulerju, francoskim matemati-
kom pred veliko buržoazno revolucijo in po njej ter Gaussu. Tako kot vedno
je veliko nove matematike nastalo iz konkretnih potreb, veliko pa tudi na
popolnoma abstraktnih osnovah, tako kot že pri starih Grkih.
Naslednja tri poglavja so namenjena geometriji, algebri in analizi. Ome-
nimo le nekaj tem oziroma matematikov, ki so povezani s temi področji: opi-
sna geometrija, projektivna geometrija, analitična geometrija, neevklidske
geometrije, večrazsežni prostori, algebraična geometrija; Boole, De Morgan,
Hamilton, Cayley, Sylvester, Grassmann; Riemann v Göttingenu, Weier-
strass v Berlinu, Dedekind, Cantor, matematična fizika, analiza v Franciji.
Predzadnje poglavje pokriva dvajseto stoletje in njegovo dedǐsčino. Po-
udarjeno je, da so matematična raziskovanja v tem stoletju postala svetoven
proces. Od osebnosti izstopajo Hilbert, Poincaré in Bourbaki, od področij
pa teorija mere, funkcionalna analiza, splošna topologija, moderna algebra,
diferencialna geometrija, tenzorska analiza, homološka algebra, teorija ka-
tegorij, algebraična geometrija, logika in računalnǐstvo.
Zadnje poglavje pripoveduje o noveǰsih raziskovanjih v matematiki, kot
so na primer problem štirih barv, klasifikacija končnih enostavnih grup,
Fermatov zadnji izrek, Poincaréjeva hipoteza. Rečeno je, da so veliko vlogo
pri rešitvi problema štirih barv odigrali računalniki, matematiki pa kljub
temu ǐsčejo klasičen dokaz. Delo se konča s pogledom v prihodnost in mislijo
Andréja Weila, da bodo v matematiki velike ideje tiste, ki poenostavljajo,
tako kot je bilo že v preteklosti.
Po knjigi se da kar hitro iskati, ker ima že na začetku izčrpno glavno
kazalo, na koncu pa še stvarno kazalo z imeni in osnovnimi pojmi. Seveda je
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 151
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 152 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
dodan tudi obsežen seznam literature, poleg splošnega še za vsako poglavje
posebej. Knjiga je ilustrirana s številnimi skicami in fotografijami. Morda
bi ji bilo dobro dodati le še kaj malega o japonski matematiki, teoriji kaosa,
fraktalov in katastrof.
Še nekaj besed o avtorjih. Uta C. Merzbach, rojena leta 1933, je študi-
rala matematiko na univerzi v Austinu v Teksasu in na Harvardu, kjer je
leta 1965 doktorirala iz matematike in zgodovine znanosti. Napisala je več
del s tega področja, kjer je aktivna tudi po svoji upokojitvi. Carl B. Boyer
(1906–1976) je doktoriral na univerzi Columbia leta 1939. Od leta 1952 do
svoje smrti je bil profesor matematike na brooklinskem kolidžu. Napisal je
več del iz zgodovine matematike.
Marko Razpet
Alexander Ostermann in Gerhard Wanner, Geometry by its hi-
story, Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, 2012, 449 strani.
Avtorja predstavljata geometrijo
zgodovinsko, tako kot je nastajala.
Knjigo sta razdelila na dva dela. V
prvem obravnavata klasično, v dru-
gem pa analitično geometrijo. Prvi
del sta razdelila na pet, drugega
pa na sedem poglavij. Ker se-
veda ni mogoče celotne geometrije
z vsemi podrobnostmi zajeti v eni
sami knjigi, predstavita le bistvene
ideje.
Prvih pet poglavij avtorja po-
svetita stari grški geometriji. V
prvem poglavju so zajete naslednje
vsebine: Talesov izrek, podobni liki,
lastnosti kotov, pravilni večkotniki,
računanje ploščin, Pitagorov izrek
in trije znameniti problemi grške ge-
ometrije. Drugo poglavje je v glav-
nem posvečeno nekaterim knjigam Evklidovih Elementov. Pomembne vse-
bine tega poglavja so: lastnosti krogov in kotov, teorije razmerij, tudi Ev-
152 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 153 — #4 i
i
i
i
i
i
Geometry by its history
doksova, v kateri je 22 stoletij kasneje Dedekind verjetno dobil navdih za
svojo teorijo presekov, iracionalnost, prostorska geometrija, ploščina kroga,
prostornina piramide, stožca in krogle ter platonska telesa. Tretje poglavje
predstavlja stožnice, ki jih je študiral že Apolonij iz Perge. Pomembnost sto-
žnic se je pokazala šele s Keplerjevimi zakoni. Četrto poglavje predstavlja
nekatere nadaljnje napore in rezultate v evklidski geometriji, na primer: tre-
tjinjenje kota z Nikomedovo konhoido, Arhimedovo spiralo, znamenite točke
v trikotniku, Menelajev in Cevov izrek, Eulerjevo premico, Steinerjeve in
druge izreke v zvezi s trikotniki in krogi. Zadnje poglavje prvega dela knjige
obravnava trigonometrijo, kakršno so poznali stari Grki in Arabci. Kotnih
funkcij, kakršne imamo danes, v antičnih časih še niso poznali. Ptolemaj je v
svojem Almagestu uporabljal samo eno: tetivno funkcijo, ki obodnemu kotu
v krogu priredi dolžino ustrezne tetive. Pod vplivom indijske matematike se
je od 7. stoletja naprej začela uporabljati polovica tetive, ki ustreza polovici
sredǐsčnega kota, kar nam je dalo sinusno funkcijo. V tem poglavju je po-
kazano, kako razrešujemo ravninske in sferne trikotnike, kaj je stereografska
projekcija in velika Keplerjeva ter Newtonova odkritja.
V drugem delu knjige prva tri poglavja pokažejo, kako je napredovala
geometrija, vzporedno z razvojem algebre v času Descartesa, Eulerja in Ga-
ussa. Spoznamo, kako so se lotili približne konstrukcije pravilnega sedem-
in devetkotnika, tretjinjenja kota in reševanja kubične enačbe. Izpeljani sta
formuli za ploščino trikotnika in tetivnega štirikotnika z znanimi stranicami
– Heronova in Brahmaguptova formula. Nato delo preide na kartezične ko-
ordinate. Podani so zapisi enačbe premice, krožnice, stožnic in nekaterih
drugih krivulj v teh koordinatah. Prav tako so vpeljani zapisi krivulj v pa-
rametrični in polarni obliki. Tu se srečamo s problemom iskanja tangent na
krivulje in njihovih ukrivljenosti, pa tudi s problemom ekstremnih vredno-
sti funkcije. Poglavje v zvezi s konstruktibilnostjo z neoznačenim ravnilom
in šestilom avtorja pričneta s kompleksnimi števili in logaritemsko spiralo.
Med drugim opǐseta Gaussovo konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika in
navedeta pogoj za konstruktibilnost pravilnega n-kotnika. Dokažeta, da ni
možno z neoznačenim ravnilom in šestilom konstruirati pravilnega sedemko-
tnika in da tudi ni možno rešiti treh znamenitih problemov grške geometrije
samo s tema dvema pripomočkoma.
Deveto poglavje obravnava prostorsko geometrijo in vektorsko algebro.
Poudarek je na uporabi vektorjev v analitični geometriji v prostoru, opisana
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 153
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 154 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
sta Gaussova eliminacijska metoda in računanje prostornine paralelepipeda z
vektorji, s katerimi so izpeljani nekateri izreki sferne geometrije. Tu najdemo
tudi Pickov izrek, arhimedska telesa in veliko drugih zanimivosti. Deseto po-
glavje uvaja matrike in linearne preslikave, zamenjavo koordinat, Gramove
determinante, ortogonalne preslikave in izometrije, Cayleyjevo transforma-
cijo, lastne vrednosti in lastne vektorje matrik, kvadratne forme, stožnice
in ploskve drugega reda. Predzadnje poglavje razloži osnovne pojme pro-
jektivne geometrije, njeno zgodovino in konča s projektivno teorijo stožnic.
Zadnje poglavje vsebuje rešitve nalog, ki so v knjigi zapisane na koncu vsa-
kega poglavja. Na koncu so našteti viri, dodano pa je tudi stvarno kazalo.
Knjiga prinaša veliko primerov, nalog, skic, geometrijskih konstrukcij,
avtentičnih fotografij zgodovinskih predmetov in besedil. V njej je tudi
mnogo citatov, komentarjev in izčrpnih pojasnil, tako da bralcu vse skupaj
ponuja motivacijo za študij geometrije, obenem pa mu zagotavlja prijetno
branje. Knjiga je namenjena predvsem dodiplomskim študentom in učite-
ljem.
Še nekaj besed o piscih. Oba sta avtorja ali soavtorja več matematič-
nih knjig in se očitno precej trudita, da bi bila matematika čim bolj odprta
tudi navzven. A. Ostermann, rojen leta 1960, je doktoriral leta 1988 na
univerzi v Innsbrucku in je profesor na matematičnem oddelku univerze v
Innsbrucku. Opravljal je tudi funkcijo predstojnika tega oddelka in dekana
fakultete za matematiko, računalnǐstvo in fiziko ter matematičnega inšti-
tuta. Med drugim se ukvarja s časovno odvisnimi nelinearnimi parcialnimi
diferencialnimi enačbami, ki so močno orodje za modeliranje kompleksnih
dinamičnih procesov.
G. Wanner, rojen leta 1942, je doktoriral leta 1965 na univerzi v Inns-
brucku. Bil je profesor na oddelku za matematiko univerze v Ženevi, pred-
stojnik tega oddelka, predsednik enega od oddelkov švicarske akademije
naravoslovnih znanosti in predsednik švicarskega matematičnega društva.
Njegovo glavno raziskovalno področje je numerično reševanje diferencialnih
enačb. Od leta 2004 je v pokoju. Omenimo knjigo Analysis by Its History,
ki jo je Wanner napisal skupaj z Ernstom Hairerjem in je prav tako izšla
pri Springerju leta 1996.
Marko Razpet
154 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 155 — #6 i
i
i
i
i
i
Lust am Forschen
Walter Thirring, Lust am Forschen – Lebensweg und Begegnun-
gen, Seifert Verlag, Dunaj, 2008, 288 strani + zgoščenka.
Avtorja knjige, ki jo predstavljamo,
smo spoznali že v Obzorniku za ma-
tematiko in fiziko, 57, št. 4 (2010)
na straneh 144–146, kjer smo pred-
stavili knjižico Einstein entformelt,
ki sta jo napisala Cornelia Faust-
mann in Walter Thirring. V njej
skušata bralcem čim enostavneje po-
jasniti Einsteinovo teorijo relativno-
sti. Medtem smo izvedeli, da je
Cornelia uspešno doktorirala, Wal-
ter Thirring, rojen leta 1927 na Du-
naju, pa je prejel častno maturi-
tetno listino na gimnaziji, ki jo je
nekoč začel obiskovati pa je zaradi
druge svetovne vojne nikoli ni do-
končal.
Tokrat pa predstavljamo Thi-
rringovo avtobiografijo, katere na-
slov in podnaslov pomenita Želja po
raziskovanju – življenjska pot in srečanja. Avtor bralcu že na začetku po-
jasni, da ni ravno leposlovni pisatelj in da bo zato njegov jezik razmeroma
preprost. To praktično pomeni, da nam res ni treba znati posebno visoke
nemščine, pa se knjigo že da kar prijetno prebirati, in to brez večjih težav.
Avtor najprej opǐse izvor svojega priimka in svojo družino. Njegov oče,
Hans Thirring (1888–1976), je bil tudi pomemben avstrijski teoretični fizik.
Leta 1938–1945, od priključitve Avstrije k Tretjemu rajhu do konca druge
svetovne vojne, so bila za Walterja ukradena mladost. Stareǰsi brat Harald
je izginil v vojni vihri neznano kje, očeta so zaradi njegovih pacifističnih
nazorov in odobravanja Einsteinove in Freudove teorije prisilno upokojili,
Walterja pa kot še ne šestnajstletnega leta 1943 vpoklicali za pomočnika v
protiletalski obrambi. Takoj po vojni je bil kot nemški vojak nekaj let v
francoskem ujetnǐstvu, tako da ni mogel maturirati. Imel pa je veliko srečo,
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 155
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 156 — #7 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
da se mu je ob splošnem pomanjkanju ljudi s fizikalnim znanjem uspelo
vključiti v delo na univerzi v Innsbrucku. Razmere so se sčasoma uredile,
tako da je leta 1949 kljub formalno nedokončani gimnaziji, a z dovolj znanja
matematike in fizike, lahko doktoriral na Dunaju. Najbolj so ga pritegnile
teorija relativnosti, kvantna fizika, kvantna elektrodinamika in kvantna te-
orija polja.
Njegova pot je potem šla hitro navzgor. Kraǰsi čas je delal in raziskoval
v Dublinu, Glasgowu, Göttingenu, Zürichu, Bernu, Princetonu, na slovitem
MIT-u, v Seattlu, na Dunaju in v Ženevi. Za svoje najplodneǰse obdobje si
šteje leta od 1959 naprej. Leta 1971 se je dokončno vrnil na Dunaj, kjer je
veliko napora vložil v ustanovitev Schrödingerjevega inštituta.
Na svoji življenjski poti se je osebno spoznal s pomembnimi fiziki, kot
so na primer Erwin Schrödinger, Albert Einstein, Werner Heisenberg, Wol-
fgang Pauli, Robert Feynman, Elliott Lieb, Murray Gell-Mann, Arnold Som-
merfeld, Guido Beck, Felix Ehrenhaft, pa tudi z drugimi osebnostmi, kot je
bil na primer dunajski kardinal Franz König. Thirring se je upokojil leta
1997.
V Thirringovi knjigi ne najdemo samo veliko osebnih avtorjevih spomi-
nov in ne spoznamo le njegove splošne razgledanosti, ampak izvemo tudi
veliko o pomembnih fizikih, ki so ogromno pripomogli k sodobnemu znan-
stvenemu pogledu na svet, in nasploh dobimo dober pregled nad tem, kaj
se je v fiziki pa tudi v matematiki dogajalo v 20. stoletju. Knjiga se konča
s poglavjem Kaj je prineslo raziskovanje?, kjer je na kratko razloženo prav
to.
Thirring je avtor oziroma soavtor več fizikalnih knjig, ki so na voljo
tudi v nekaterih naših knjižnicah. Spomnimo, da ima okoli 150 znanstvenih
objav, številna mednarodna odlikovanja, med drugim Eötvösovo medaljo
(1967), Schrödingerjevo nagrado (1969), Planckovo medaljo (1978), častni
doktorat Univerze Comenius v Bratislavi (1994) in Poincaréjevo nagrado
(2000). Thirringova druga velika ljubezen pa je glasba. Morda je ravno
zato opisani knjigi dodana zgoščenka s posnetki njegove komorne glasbe, ki
so jo izvedli ob njegovem 80. rojstnem dnevu na Dunaju.
Marko Razpet
156 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“FoldIt” — 2012/10/22 — 23:57 — page 157 — #1 i
i
i
i
i
i
How to fold it
Joseph O’Rourke, How to fold it – The Mathematics of Linkages,
Origami, and Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge
in drugje, 189 strani.
Sam naslov knjige ne pove prav ve-
liko in bo marsikdo morda prehitro
sklepal, da v njej ne gre za preveč
resno matematiko in da nas avtor
skuša naučiti le nekaj o prepogiba-
nju papirja. Toda podnaslov pove,
da se v knjigi obravnava prepogi-
banje še česa drugega. Kot otroci
smo se radi igrali z mizarskim zlo-
žljivim metrom, ki smo ga prepogi-
bali v zglobih in oblikovali različne
like. Avtor to posploši in pǐse o
linkages, kar pomeni nekakšno dro-
govje, v katerem so z zglobi pove-
zani posamezni drogi. Besedi ori-
gami in polieder pa sta nam vseka-
kor bolj znani.
Vsebina knjige je logično raz-
deljena na tri dele. Prvi del obrav-
nava drogovja, ki nas še najbolj
spominjajo na robotske roke. Ma-
tematični model drogovja sestavlja določeno število daljic, ki predstavljajo
toge droge, lahko različnih dolžin. Prva daljica je z enim krajǐsčem vrtljivo
vpeta v neki negibni točki prostora, v tako imenovanem ramenu, preostale
daljice pa so zaporedoma druga za drugo v krajǐsčih vrtljivo vpete razen
zadnje, ki ima eno krajǐsče prosto. Najprej se vprašamo, kaj je območje
dosega zadnje točke drogovja. Modelov je več vrst glede na to, kakšna je
svoboda zasukov drogov v zglobih. Zanimiva so drogovja, pri katerih se
izbrana točka lahko giblje po daljici oziroma po črti, ki je skoraj daljica.
Spomnimo se na pantograf kot del električne lokomotive ali pa na pantograf
v stari risarski tehniki. V ta del knjige spada tudi obravnava proteinske
hrbtenice, pri kateri se neprestano ohranja kot med prečkami. Tu je po-
glavitno vprašanje, kolikšno največjo dolžino lahko doseže taka hrbtenica.
Celo posebna vrsta tako imenovane pop up kartice spada v to področje. To
so take prepognjene kartice, pri katerih ne vidimo, kaj se v njih skriva. Ko
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 157
i
i
“FoldIt” — 2012/10/22 — 23:57 — page 158 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
pa jih odpremo približno za pravi kot, izskočijo v prostor različne papirnate
podobe.
Drugi del knjige je posvečen origamiju. Origami je japonska umetnost
prepogibanja papirja, znana že od njegove iznajdbe na Kitajskem pred več
kot 2000 leti. Za plosko prepognjene oblike je v knjigi zapisanih nekaj splo-
šnih izrekov. Zanimiv je na primer izrek, ki pravi, da lahko vsak lik, ki
ga narǐsemo z ravnimi črtami na pravokoten kos papirja, izstrižemo že z
enim samim strigom z dovolj dolgimi škarjami, če le pred tem papir pra-
vilno prepognemo v plosko obliko. Sledi problem, kako spraviti z gubanjem
polieder v ploščato obliko, kako zgubati zemljevid na žepni format in kako
izdelati nakupovalne vrečke, ki se dajo stisniti v ravninsko obliko, da s tem
pri skladǐsčenju porabijo čim manj prostora.
Tretji del knjige se ukvarja s poliedri in njihovimi mrežami. Pokaže, kako
s prirezovanjem iz enega poliedra dobimo drugega. Na znameniti grafiki Me-
lencolia I, ki jo je ustvaril Albrecht Dürer, je marsikaj matematičnega, med
drugim tudi magični kvadrat 4 × 4 in neki polieder, ki je nastal s prire-
zovanjem kocke. Knjiga omenja tudi okoli 500 let star Dürerjev problem,
ki sprašuje, ali ima vsak konveksen polieder mrežo. Nato pridejo na vrsto
problemi, kako polieder prerezati po čim manj robovih, da ga potem lahko
razgrnemo v ravnini. Obravnavani so primeri poliedrov, ki imajo mrežo. Po-
stavljen je še nerešen problem, ali ima vsak prizmatoid mrežo. Prizmatoid
je konveksna ogrinjača dveh konveksnih poligonov, ki ležita v vzporednih
ravninah. Vsebina se nato nadaljuje z ortogonalnimi poliedri, posebno s
tistimi, ki imajo pravokotno osnovno ploskev, in mrežami takih poliedrov.
Konča pa se s prepogibanjem poligonov v konveksne poliedre.
Knjiga je lepo oblikovana. Ima svoje definicije, leme, izreke, posledice,
dokaze, primere, še nerešene probleme, naloge z rezultati in številne slike.
Na koncu so zbrani tudi osnovni pojmi in njihova razlaga, ne manjkata pa
niti stvarno kazalo in dodatna literatura za študij. Morda bo delo koga
vzpodbudilo k raziskovanju navedenih problemov.
Joseph O’Rourke je profesor računalnǐstva in matematike na kolidžu
Smith v Massachusettsu. Njegovo glavno raziskovalno področje je računal-
nǐska geometrija. Bil je prvi, ki je objavil algoritem, s katerim dani množici
točk v trirazsežnem prostoru določimo minimalni kvader, ki to množico vse-
buje. Je avtor ali soavtor več del na področju računalnǐske geometrije in
diskretne matematike.
Marko Razpet
158 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Gajsar” — 2012/10/22 — 23:16 — page 159 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
MARS 2012
Od petka do petka med 17. in 24. avgustom letos je potekal že sedmi ta-
bor za srednješolce MARS (matematično raziskovalno srečanje srednješolcev
Slovenije). Marsovci smo se zbrali ob Kolpi, natančneje v Centru šolskih
in obšolskih dejavnosti Fara v občini Kostel. Odpravo smo vodili dr. Bo-
štjan Kuzman, PeF UL, Matej Aleksandrov, Maja Alif, Nino Bašić, David
Gajser, Nejc Rosenstein, Jaka Špeh in Jana Vidrih, FMF UL, ter Matej Ro-
škarič, FNM UM. V drugi polovici tabora se je posadki pridružil še Dejan
Širaj, doktorski študent matematike na Univerzi v Warwicku. Za dijake,
letos jih je bilo štiriindvajset, smo pripravili osem matematičnih tem, ki so
jih raziskovali v skupinah po tri – vsaka skupina svojo temo. Vsak dan so
po nekaj ur namenili delu pri svojem projektu. To delo je poleg reševanja
matematičnih problemov vključevalo tudi pisanje kraǰsega sestavka, izdelavo
morebitne računalnǐske aplikacije in pripravo predstavitve projekta. Slednja
je bila izvedena na zaključnem dogodku tabora – pristanku, na katerega so
bili vabljeni tudi starši in učitelji udeležencev. Več informacij o projektih,
vključno z računalnǐskimi aplikacijami in sestavki, najdete na spletni strani
http://mars.famnit.upr.si/projekti.html.
Prve štiri dni je bil z nami na MARS-u dr. Jernej Tonejc, FMF UL, ki
je pripravil izvrstno malo šolo kriptografije. Na štirih dvournih predavanjih
nas je seznanil z zgodovino, pomenom in uporabo matematike šifriranja. Ob
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 159
i
i
“Gajsar” — 2012/10/22 — 23:16 — page 160 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
sprehodu skozi zgodovino pošiljanja skrivnih sporočil smo spoznali klasične
metode, ki so jih pošiljatelji in prejemniki uporabljali, da so si lahko prikrito
dopisovali. Med bolj znanimi sta Vigenérjeva šifra, ki so ji dolgo pravili tudi
le chiffre indéchiffrable (iz fr. nezlomljiva šifra) in Enigma, uporabljana na
nemški strani med drugo svetovno vojno. Spoznali smo, kako lahko zviti ma-
tematiki razvozlajo prešibko zašifrirano sporočilo, in utemeljili, da le chiffre
indéchiffrable ni najbolj posrečen naziv za Vigenérjevo šifro. Kot primer
dobre oblike šifriranja smo si pogledali RSA algoritem in videli, da tudi pri
takem šifriranju obstajajo načini, kako priti do zašifriranih podatkov, četudi
za to nismo
”
pooblaščeni“.
Večere smo imeli rezervirane za gostujoče predavatelje, ki so se letos še
posebej trudili približati se srednješolcem. Ti so jih z zanimanjem poslušali
in večkrat kaj povprašali. Prvi je pred mladino stopil dr. Matjaž Konvalinka,
FMF UL, ki je razložil osnove rodovnih funkcij. Spoznali smo, da je zapis
zaporedja z rodovno funkcijo lahko elegantneǰsi od eksplicitnega zapisa. Sle-
dilo je predavanje dr. Gašperja Jakliča, FMF UL, ki je razložil, kako nam
lahko numerika pomaga pri izračunu optimalne poti na vrh gore. Za primer
je vzel Šmarno goro, pri kateri je izračunane optimalne poti primerjal z že
obstoječimi. Zadnja tri predavanja so bila zelo povezana z računalnǐstvom.
Kako Google ocenjuje pomembnost spletnih strani, nam je pojasnila dr. He-
lena Šmigoc, School of Mathematical Sciences, University College Dublin,
možgane in računalnike je primerjal dr. Barak A. Pearlmutter, Hamilton
Institute, National University of Ireland Maynooth, analizo prijateljev in
sovražnikov v socialnih omrežjih (kot je npr. Facebook) pa smo izvedli z
dr. Juretom Leskovcem, Stanford University. Slednji nam je svetoval, da
moramo stareǰsim, uveljavljenim matematikom neutrudno težiti, naj nam
pomagajo. To naj bi njega pripeljalo zelo daleč.
Med strokovnim delom programa MARS 2012 omenimo še dvourni de-
lavnici LATEX in Python, ki ju je vodil Nino Bašić. Na prvi je predstavil
osnove rokovanja z najpopularneǰsim matematičnim urejevalnikom besedil,
kar so dijaki s pridom uporabili pri pripravi članka. Na drugi pa je predsta-
vil osnove programiranja v Pythonu, tako da so udeleženci lahko razumeli
programčke, ki jih je za svoja predavanja pripravil dr. Tonejc. Znanje pro-
gramiranja so uporabile tudi nekatere skupine pri svojem projektu.
Kljub napornemu urniku je bilo ozračje na taboru izjemno. V prostem
času so se igrale razne družabne igre, začenši z Mafijo in Naseljenci otoka
Catan, bil je čas za sprehode, kopanje v Kolpi, igranje košarke, pingponga
. . . Posebnost letošnjega tabora je bila jutranja telovadba z matematič-
nimi zgodbicami. Tako so udeleženci nekaj minut med jutranjim razgibava-
njem poslušali o temah: Abelova nagrada, Millenium prize problems, Tycho
Brahe, Alan Turing in Wolfgang Doeblin. Vsak dan je bil objavljen tudi
160 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Gajsar” — 2012/10/22 — 23:16 — page 161 — #3 i
i
i
i
i
i
Prof. Ivana Mulec (1939–2011)
problem dneva, s katerim smo si kraǰsali proste urice tako posadka kot ude-
leženci. Podali smo se tudi na dalǰsi pohod do večjega tolmuna, kjer smo se
kopali, zadnje popoldne pa je bila pripravljena velika MARS-ovska avantura.
Na njej je sodelovalo osem letošnjih ekip ter tri ekipe povabljencev. Šlo je
za orientacijski pohod s šestimi kontrolnimi točkami, na katerih so ekipe re-
ševale različne matematične in praktične probleme. Med najzanimiveǰsimi
problemi je bil naslednji:
Natanko s štirimi štiricami sestavi vsa števila od 1 do 20. Uporabljaš
lahko seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, kvadratno korenjenje, fa-
kultete in oklepaje. Imaš pet minut časa.
Zvečer so nam sodelujoči udeleženci olimpijad iz fizike, kemije, lingvi-
stike in matematike pripravili predstavitve teh velikih tekmovanj, na katera
so se letos uvrstili. Sledila je razglasitev rezultatov avanture in piknik ob
žaru, kjer se je oglasila tudi kitara. MARS 2012 so finančno podprli Mi-
nistrstvo za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo RS, ŠOU v Ljubljani ter
DMFA Slovenije. Tabor so zaznali tudi mediji, več informacij o tem na
http://mars.famnit.upr.si/index.html.
David Gajser
PROF. IVANA MULEC (1939–2011)
Ivana Mulec se je po maturi leta 1958 odločila za študij matematike in fi-
zike na tedanji Naravoslovni fakulteti Univerze v Ljubljani. Bila je ena od
treh, ki so iz tiste generacije napredovali v drugi letnik. Njeno prvo delovno
mesto je bila ljubljanska Gimnazija Poljane, kjer je poučevala matematiko
in fiziko skoraj dve desetletji. Nato je navdušeno sprejela mesto pedagoške
svetovalke za matematiko na Zavodu za šolstvo, a ga je, ker je bilo delo bolj
politične kot strokovne narave, zapustila še pred iztekom prvega mandata.
Do upokojitve leta 1998 je nato poučevala matematiko na Srednji železni-
čarski šoli v Ljubljani. Ves čas je pomagala tudi pri usposabljanju študentov
pedagoške matematike, saj jim je omogočala hospitacije in nastope v svojih
razredih.
Profesorica Mulčeva je soavtorica več matematičnih učbenikov za razre-
dno stopnjo osnovne šole in avtorica pripadajočih priročnikov za učitelje.
Aktivno je delovala tudi v DMFA Slovenije. V sedemdesetih letih je bila
blagajničarka društva in od 1993. do 1997. leta vodja Komisije za pedagoško
dejavnost, v okviru katere je skrbela za izobraževalne seminarje za učitelje
matematike. Za svoje delo je leta 1998 prejela društveno priznanje. Ponosni
smo, da smo jo poznali. Pogrešali jo bomo.
Marija Vencelj
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2012/10/25 — 14:49 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2012
Letnik 59, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Nekaj nestandardnih metod za računanje determinant
(Edvard Kramar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133
Utripanje žarnice (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–141
Šola
Ob rob prispevka Petra Preloga o stanju v našem šolstvu
(Bojan Hvala in Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142–146
Nove knjige
Gorazd Planinšič: Didaktika fizike – aktivno učenje ob poskusih,
I. Mehanika in termodinamika (Stane Arh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–149
Uta C. Merzbach in Carl B. Boyer, A history od mathematics
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–152
Alexander Ostermann in Gerhard Wanner, Geometry by its history
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–154
Walter Thirring, Lust am Forschen – Lebensweg und Begegnungen
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156
Joseph O’Rourke, How to fold it – The Mathematics of Linkages,
Origami, and Polyhedra (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–158
Vesti
MARS 2012 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159–XV
Prof. Ivana Mulec (1939–2011) (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
CONTENTS
Articles Pages
Some nonstandard methods for evaluation of determinants
(Edvard Kramar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133
Beating of a light bulb (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–141
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142–146
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–158
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159–XV
Slika na naslovnici: Volframska žica v navadni žarnici je navita v dvojno spiralo.
To izboljša izkoristek in življenjsko dobo žarnice. Na spodnjem delu slike je precej
debelejša dovodna žica. Dovodna žica ne žari, ko skoznjo teče električni tok, saj
je njen upor zanemarljiv v primerjavi z uporom tanke žice. Slika je narejena s
35-kratno povečavo.