IZ TEORIJE ZA PRAKSO 23 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 SPECIFIČNE UČNE TEž AVE PRI MATEMATIKI – oblike, značilnosti in prepoznavanje mag. Alenka Zupančič Danko Svetovalni center Maribor Povzetek V prispevku so predstavljena nekatera teoretična izhodišča o specifičnih učnih težavah pri matematiki. Opiše- mo delitev na splošne in specifične učne težave pri matematiki. Predstavljene so nekatere razvojne značilnosti, kot je občutek za števila. Opisani so nekateri primeri različnih težav pri diskalkuliji in specifičnih aritmetičnih težavah. Osnovni namen našega prispevka je osvetliti problematiko primanjkljajev pri tej skupini učencev. Ključne besede: učne težave pri matematiki, diskalkulija, specifične aritmetične učne težave. SPECIFIC LEARNINg DISABILITIES IN MAThEMATICS – Types, Characteristics and Identification Abstract The article presents a few theoretical starting points for dealing with specific learning disabilities in Mathema- tics. It describes the distinction between general and specific learning disabilities in Mathematics. It presents a few developmental characteristics such as the number sense. It also describes a few examples of different pro- blems in the case of dyscalculia and specific arithmetic learning difficulties. The main purpose of this article is to highlight the issue of disabilities in this group of students. Keywords: learning disabilities in Mathematics, dyscalculia, specific arithmetic learning difficulties. 1 Uvod V prispevku predstavljamo nekatere zna- čilnosti otrok s specifičnimi učnimi teža- vami pri matematiki, razliko med splošni- mi in specifičnimi težavami ter nekatere primere, ki se pojavljajo pri posameznih oblikah specifičnih učnih težav pri mate- matiki. Značilnosti vseh skupin otrok s specifič- nimi učnimi težavami, ki veljajo tudi za specifične učne težave pri matematiki, so: • da je kljub skupnim značilnostim to vedno individualna težava; • da je to raznolika skupina otrok z različnimi kognitivnimi, socialnimi, emocionalnimi in drugimi značil- nostmi; • da gre za težave z nevrološko osnovo; • da se po težavnosti razprostirajo na kontinuumu od blagih do težkih; • da gre za pomembno večje težave, kot jih imajo vrstniki; • da so težave nepričakovane, lahko bi rekli, da so glede na ostale dosežke presenečenje; • da srečamo od enostavnih (na enem področju matematike) do kompleks- nih oblik (komorbidnost z drugimi oblikami učnih in drugih težav je po- gosta – z motnjami branja in pisanja, z ADHD sindromom, z neverbalnimi specifičnimi učnimi težavami, z ank- sioznostjo…); • ter da poznamo kratkotrajne do vse življenjske vplive težav (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Od naštetih značilnosti je odvisna od- pornost – rezilientnost - otroka na teža- ve – torej njegova reakcija na težave, vpliv težav na učni uspeh in na otrokovo psiho- socialno področje, potreba po pomoči in podpori ter zmožnost uspešnega obvla- dovanja težav. V prispevku se bomo osredotočili le na oblike in značilnosti težav ter iz tega iz- hajajoče nekatere oblike pomoči. Način predstavitve temelji na profesionalni iz- kušnji, da učitelj matematike otroka s spe- cifičnimi učnimi težavami pri matemati- ki lahko zelo dobro razume in nato tudi podpre, ko se seznani z »dogajanjem« med reševanjem matematičnih nalog in razume načine otrokovega razmišljanja ter njegove strategije. Izkušnje kažejo, da imajo poti reševanja matematičnih nalog te skupine otrok pogosto logično razlago, ki jo pogojuje otrokov primanjkljaj in se ne ujema z matematično ali drugo narav- no pravilno razlago. 2 Opredelitev pojma »specifične učne težave pri matematiki« Pri opredelitvi pojma »specifične učne težave pri matematiki« izhajamo iz Kon- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 cepta dela učne težave v osnovni šoli (2008), ki ga je sprejel Strokovni svet RS za splošno izobraževanje oktobra 2007 in je osnova za pripravo in izvajanje Izvirnih delovnih projektov pomoči (IDPP). Izvir- ni delovni projekt pomoči je dokument, ki vsebuje dogovorjeno zaporedje nalog in odločitev v procesu pomoči vsakemu učencu z učnimi težavami ter zapis o vseh udeleženih v projektu, o njihovih pris- pevkih in učenčevih uspehih (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Specifične učne težave pri matemati- ki se tako kot vse specifične učne težave razprostirajo na kontinuumu od lažjih, zmernih do težjih in težkih. Izvirni de- lovni projekt pomoči pa je dokument, ki ga šola pripravi na prvih treh korakih pomoči in je namenjen vsem otrokom s specifičnimi učnimi težavami, ne glede na mesto kontinuuma. Po devetih letih ures- ničevanja Koncepta dela učne težave v osnovni šoli predvidevamo, da vsi učitel- ji poznajo vseh pet korakov pomoči, zato se ne bomo ustavljali ob podrobnejših razlagah posameznih korakov ter razli- kovanju med lažjimi in težjimi oblikami specifičnih učnih težav, temveč se bomo osredotočili na predstavitev posameznih oblik in njihovih značilnosti ter le omeni- li nekatere ukrepe pomoči, ki pa se lahko uporabijo na vseh petih korakih. 2.1 Učne težave pri matematiki: splošne in specifične Pri opredelitvi pojma »specifične učne težave pri matematiki« želimo najprej osvetliti razliko med splošnimi učnimi težavami in specifičnimi učnimi težavami pri matematiki. Od tega, ali gre za sploš- ne ali specifične težave, so odvisne oblike pomoči, prav tako sta odziv otrok in vpliv učnih težav na psihosocialno področje za posamezno obliko specifična. Učenec s splošnimi učnimi težavami pri matematiki: • ima lahko mejne ali podpovprečne intelektualne sposobnosti (sodi v sku- pino otrok, ki počasneje usvajajo zna- nje); • ima lahko težave z usvajanjem poj- mov, simbolov, veščin, strategij reše- vanja problemov; • pogosto izhaja iz manj spodbudnega okolja (slabo predznanje, manj spod- bud in pomoči doma …) – vzrok težav so okoljski faktorji; • slabše obvladuje jezik (jezikovne teža- ve, drugo jezično okolje …); • je manj zbran, spregleda detajle, nena- tančno prebere navodila … (Vipavc, Kavkler, 2015). Za učenca s specifičnimi učnimi težava- mi pri matematiki je značilno: • neskladje med učenčevimi povpreč- nimi ali nadpovprečnimi intelektual- nimi sposobnostmi in dobro splošno šolsko uspešnostjo pri ostalih pred- metih na eni ter izrazitimi težavami pri matematiki na drugi strani; • izrazitost učnih težav pri matematiki (nižji rezultati na matematičnih testih v primerjavi z njegovimi vrstniki ali dvoletni zaostanek za vrstniki pri ob- vladovanju matematičnih znanj); • vztrajnost učnih težav (izrazite, dol- gotrajne kljub prilagoditvam, vlože- nemu trudu ter času in pomoči); • nepričakovanost težav (Magajna, Veli- konja, 2011). 2.2 Specifične učne težave pri matematiki Specifične učne težave pri matematiki delimo v dve skupini: DISKALKULIJO in SPECIFIČNE ARITMETIČNE UČNE TEŽAVE, tako kot jih deli Koncept dela učne težave v osnovni šoli (2008). Pri obeh skupinah ugotavljamo, da: • gre za primanjkljaje aritmetičnih spo- sobnosti in spretnosti; • gre za težave na področju veščin ra- čunanja ter skupek težav pri učenju matematike in reševanju računskih nalog; • težave niso posledica motnje v dušev- nem razvoju ali neustreznega pouče- vanja; • gre za težave obvladovanja OSNOV- NIH aritmetičnih sposobnosti in spretnosti, kot so seštevanje, odšte- vanje, množenje in deljenje ter manj za težave pri bolj abstraktnih spret- nostih in sposobnostih iz algebre, tri- gonometrije in geometrije (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). V teoriji najdemo različne delitve speci- fičnih učnih težav pri matematiki. Neka- teri avtorji diskalkulijo in specifične teža- ve pri matematiki enačijo (Adler 2008, po Vipavc, 2015). Ob tem ne smemo pozabiti, da imajo lah- ko specifične težave pri matematiki tudi otroci s povprečnimi sposobnostmi, ki na vseh področjih dosegajo v glavnem pov- prečne učne dosežke, a matematika pri njih še odstopa. Še enkrat želimo pouda- riti, da specifične težave opredeljuje pred- vsem razlika med dosežki pri matematiki in dosežki na drugih področjih ter da gre za specifične – posebne - težave na nivo- jih, kjer otroci s splošnimi učnimi težava- mi in nizkimi učnimi dosežki praviloma nimajo težav. 3 Pogostost, značilnosti in prepoznavanje specifičnih učnih težav pri matematiki V literaturi tako kot pri vseh oblikah spe- cifičnih učnih težav najdemo različne po- datke o pogostosti pojavnosti specifičnih učnih težav pri matematiki: gibljejo se od 1 do 10 %, najpogosteje med 3 do 6 %, razlike so najpogosteje pogojene s kriteriji ocenjevanja (Vipavc in Kavkler, 2015). Pri številu 20 učencev v razredu lahko v pov- prečju pričakujemo enega otroka s temi težavami na razred. Za specifične učne težave pri matematiki je enako kot za vse specifične učne težave značilen specifičen način kognitivnega funkcioniranja. Nanj moramo biti po- sebej pozorni, ko pri učencu razvijamo načine pomoči, kompenzatorne in meta- kognitivne strategije reševanja težav in ko gradimo na preprečevanju sekundarnih posledic (slabi splošni ali le šolski samo- podobi, izgubi motivacije za učenje …) in na močnih področjih. 3.1 Specifične razvojne značilnosti učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki Specifične razvojne značilnosti učen- cev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki so navedene v kriterijih za opredelitev primanjkljajev na posamez- nih področjih učenja, in sicer pri opisu primanjkljajev na področju matematič- ne pismenosti (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). IZ TEORIJE ZA PRAKSO 25 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Pri otroku tako ugotavljamo težave pri razvoju • občutka za števila, • točnosti matematičnega rezoniranja, • avtomatizacije aritmetičnih dejstev ter • sposobnosti hitrega in tekočega raču- nanja oz. točnosti izvajanja in/ali av- tomatizacije aritmetičnih postopkov. a) Občutek za števila Občutek za števila ima nevrološko osnovo in je sposobnost hitro razumeti, oceniti in uporabiti številčno kvantiteto (Dehae- ne, 2001). Občutek za števila predstavlja sposob- nost: • prepoznavanja pomena in razumevan- ja števil, odnosov med njimi (npr. k 195 je treba prišteti 5, da dobimo 200) in njihove raznolike uporabe; • fleksibilne uporabe števil v vseh štirih aritmetičnih operacijah; • uporabe in razumevanja števil v stra- tegijah štetja in računanja (npr. kako pisno seštejemo 447 + 320); • razvoja strategij za reševanje komplek- snih matematičnih problemov; • merjenja, prepoznavanja odnosa del – celota (dneva) (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). Za ilustracijo: v primerjavi z vrstnikom s težavami otrok brez težav »ve«, • da 5 pomeni pet hiš, pet žog, pet raz- ličnih predmetov …, • kako se 5 razlikuje od 4, • kaj je večje – 4 ali 5, • kako si predstavljamo količine, veli- kosti, • kaj pomeni povezava numeričnega pomena številke s simbolom 5 ipd. Pri reševanju matematičnih nalog mora otrok nujno prepoznati in hitro procesira- ti številske velikostne odnose, zapisane v simbolnem jeziku. Tudi otroci s specifič- nimi učnimi težavami pri matematiki to naredijo, ne gre za celovit razpad sistema (kot pri akalkuliji), vendar porabijo več časa, da pridejo do odgovora, uporabijo druge strategije (npr. 8 + 8 - en otrok si zapomni rezultat, drugi uporabi strategi- jo seštevanja) in naredijo več napak kot vrstniki (Hinton in Fischer, 2013). Ko je prizadeto področje, ki reprezentira kvantiteto, v zgodnjem obdobju šolanja opažamo še: • zaostanek pri štetju, • težave pri prepoznavanju skupin prs- tov (štejejo prste na roki), • zaostanek pri uporabi strategije štetja pri dodajanju, • težave pri primerjanju manjših količin (npr. 7 in 9), • težave pri zapomnitvi matematičnih dejstev (npr. 2 + 3, 2 ∙ 3 …), • težave pri avtomatiziranem procesi- ranju simbolov števil – če slišimo ali preberemo 7, se hitro zgodi dostop do občutka za kvantiteto – pri teh otrocih gre to počasneje in z več napora, • težave pri miselni predstavitvi števil- skega traku in • težave pri razdruževanju števil (npr. 10 = 4 + 6). b) Matematično rezoniranje Matematično rezoniranje omogoča eval- vacijo matematične naloge ali problema, izbiro strategije reševanja naloge ali prob- lema (npr. kako sešteti 8 + 8), oblikovanje logičnih sklepov, opis rešitev in prepozna- vanje rabe teh rešitev, refleksijo rešitev in ugotovitev smiselnosti teh rešitev (npr. 195 + 5 ne more biti 205). Je argument, s katerim utemeljujemo procese, postop- ke in domneve z namenom oblikovanja močnih konceptualnih osnov in pove- zav, ki omogočajo otroku procesiranje novih informacij (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). Pri predstavitvi primerov bomo videli, da otroci s speci- fičnimi učnimi težavami pri matematiki zaradi šibkega matematičnega rezoniran- ja ne uvidijo napačnih rešitev, ki so za zu- nanjega opazovalca celo absurdne. c) Avtomatizacija aritmetičnih dejstev in sposobnost hitrega in tekočega računanja Težave v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in težave v sposobnosti hitrega in tekočega računanja predstavljamo pri podrobnejšem opisu diskalkulije in pod- skupin specifičnih aritmetičnih učnih težav. 3.2 Diskalkulija Diskalkulija pomeni zmerne in težje učne težave pri matematiki na vseh področjih od občutka za števila, priklica dejstev in postopkov do matematičnega rezoniranja (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). V praksi opažamo potrditev teoretičnih spoznanj, da so za učence z diskalkulijo značilna nihanja v izkazanem znanju. T o dejstvo bega tako učitelje kot starše, pri otroku pa povzroča dodatno stisko. Uče- nec z diskalkulijo se lahko v določenem trenutku uspešno spoprime z določeno nalogo, le trenutek kasneje ali naslednji dan pa bo pri enaki nalogi popolnoma odpovedal. Lahko tudi hitro reši katero izmed zahtevnejših nalog, a se ustavi pri enostavnem primeru, kot je 4 + 5, kjer si mora pomagati z računanjem na prste. V določenem trenutku pravilno reši naloge, takoj zatem se neke naloge sploh ne zna lotiti (Adler 2008, po Vipavc, 2015). Vpra- šamo se, kam je vso že osvojeno znanje iz- ginilo in ali je bil ves trud zaman? Čez ne- kaj časa lahko učenec znanje spet prikliče. Menimo, da je nihanje v izkazovanju znan- ja dodatna ovira pri diagnosticiranju v razredu pri pouku matematike, saj lahko učenec trenutno snov zadovoljivo obvla- da, veliko bolj enostavnih temeljev pa ne. Za otroke s splošnimi učnimi težavami pri matematiki na drugi strani je značil- no, da naloge rešujejo dokaj suvereno do določenega težavnostnega nivoja, nato pa odpovedo. Diskalkulija je lahko: • pridobljena; ta je posledica določene oblike možganske okvare – osebe s pridobljeno diskalkulijo imajo težave z dojemanjem števil in aritmetičnih operacij. Večkrat jo srečamo pri otroci s posledicami cerebralne paralize, kjer včasih govorimo o »slepi pegi« za ma- tematiko; • razvojna; ta je povezana z vsemi ele- menti matematičnega znanja; s slab- šim konceptualnim, proceduralnim in deklarativnim znanjem (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Matema- tični dosežki so glede na otrokovo starost, inteligentnost in potek izob- raževanja pomembno nižji, kot bi jih pričakovali. Za ilustracijo: 195 + 5 ali 8 – 2 še v višjih razredih (7. razred) računajo pisno. Diskalkulija; občutek za števila, števil- ska zaporedja (slika 1): 16-letna dijakinja z razvojno diskalkulijo je prva tri števila pravilno prebrala ter nadaljevala niz, kot je zapisano; pri ponovnem branju je vseh pet števil prebrala pravilno, kot so zapi- sana, vendar napake ni zaznala. Ko smo preverjali razumevanje mestnih vredno- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 26 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 sti, je za določanje enic, desetic in stotic potrebovala več časa, opazna je bila ne- gotovost, vendar se ni zmotila. Pri višjih vrednostih je negotovost še narasla, ven- dar tudi tu ni bilo napak. Težava je v tem, da tudi po določitvi mestnih vrednos- ti in po ponovnem branju sama ni ugo- tovila napake v zapisanem zaporedju. Pri matematiki z veliko truda in časa dosega oceno 3 (dobro), pri ostalih predmetih dosega prav dobre in odlične ocene brez večjega truda (zaradi matematike ji tudi zmanjka časa za ostale predmete). Diskalkulija – računanje v obsegu do 1000 (slika 2): Pri učenki je bila diagnos- ticirana diskalkulija v 7. razredu, potem ko je na razliko med matematiko in osta- limi predmeti postala pozorna učiteljica matematike. Iz preizkusa, ki ga je reševa- la skoraj 20 minut, je razvidno, da so za učenko napor že osnovne računske ope- racije. Namesto hitrega avtomatiziranega priklica uporablja strategije na nižjem nivoju (računanje na prste oz. preštevanje do 20 in pisno računanje do 10, 20, 100 in 1000 – z rdečo obkrožena števila) ter pod- porne strategije (pisanje večkratnikov pri poštevanki, ki jih nato prešteva – z rdečo obkrožena primera pri 9 . 4 = 36). Učen- ka je poštevanko utrjevala več let, a ne- uspešno. Otroci z diskalkulijo uporabljajo omejeno število strategij in jih ne spre- minjajo. Med osnovno šolo pričakujemo omejeno stopnjo razvoja in sprememb. OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI V ŠOLI: podaljšan čas in možnost uporabe žepnega računala. S tema prilagoditvama je učenka pri matematiki dosegla pozi- tivno ali celo dobro oceno, pri ostalih predmetih je dosegala prav dobre in tudi odlične ocene. 3.3 Specifične aritmetične učne težave Specifične aritmetične težave so v nas- protju z diskalkulijo razporejajo na ce- lotnem kontinuumu od lažjih do težjih. Glede na povezanost s kognitivnimi in nevrološkimi primanjkljaji jih delimo na tri podskupine: • I. Specifične aritmetične težave, ki so povezane s slabšim semantičnim spominom: ti učenci imajo težave s priklicem aritmetičnih dejstev iz dol- gotrajnega spomina (npr. poštevanke; seštevanja in odštevanja z enomestni- mi števili). • II. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z aritmetičnimi proce- duralnimi težavami: ti učenci imajo težave v obvladovanju matematičnih postopkov: jih ne avtomatizirajo, so počasni, manj točni oz. uporabljajo manj razvite ali nepopolne aritmetič- ne postopke. • III. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z vizualno-prostorskimi težavami: ti učenci neustrezno upo- rabljajo vizualno prostorske spretnosti za predstavljanje in razlago aritmetič- nih informacij. Vizualno-prostorske težave vplivajo na reševanje nalog pri aritmetiki in pri geometriji (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Vrsto težav ob reševanju matematičnih nalog ugotovimo z analizo napak in pos- Slika 1: Diskalkulija, občutek za števila Slika 2: Diskalkulija; občutek za števila, težave s priklicem deklarativnih znanj, slabše procedu- ralno in konceptualno znanje. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 27 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 lušanjem razlag načinov reševanja. Opa- zovati je treba proces reševanja in uporab- ljene strategije, ne le rezultat. V nadal- jevanju predstavljamo nekaj primerov. Opisani primeri potrebujejo še podrobno analizo vzrokov, interpretacije ter načrt za odpravljanje težav, ki nastanejo v okviru timske diagnostike (psiholog, specialni pedagog) in povezave z izvajalci pomoči (učitelj predmeta matematike, specialni pedagog). V prispevku smo samo nakaza- li nekaj smeri pomoči. I. Specifične aritmetične težave, ki so povezane s slabšim semantičnim spominom Pri teh učencih je otežen priklic osnovnih deklarativnih znanj oziroma aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina. Za ilus- tracijo predstavljamo dva niza številskih izrazov v obsegu do 1000 (slika 3), ki sta ju reševala enako stara dijaka (1. letnik). Stolpec na levi strani je reševala dijakinja s specifičnimi učnimi težavami pri mate- matiki, ki obiskuje štiriletni program in dosega dobro oceno pri matematiki; stol- pec na desni je reševal dijak triletnega po- klicnega programa, ki pri vseh predmetih dosega v povprečju dobre ocene. Največje razlike vidimo v: • času reševanja: dijakinja s težavami 8 minut, dijak brez težav 4 minute; • strategijah računanja: dijakinja names- to hitrega avtomatiziranega priklica uporablja nižje strategije pisnega seš- tevanja, v katerih pa je zanesljiva; • zanesljivosti: dijakinja brez opore s prsti dobi seštevek 12 + 8 je 30, šele opora s prsti ji da zanesljivejšo infor- macijo, v katero desetico seže rezultat. Hkrati je verjetnost napak pri razvoj- no manj zreli strategiji preštevanja večja; • računanju na pamet: pri dijakinji sko- raj ni možna manipulacija s števili s po- močjo miselne vizualizacije – vizual- ne predstave informacij. Nasprotno dijak uporablja to strategijo pri skoraj vseh primerih, tudi pri izrazih s pre- hodom in primerih dopolnjevanja. OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI V ŠOLI: podaljšan čas in možnost uporabe žepnega računala. II. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z aritmetičnimi procedu- ralnimi težavami Ti učenci uporabljajo manj razvite ali ne- popolne aritmetične postopke (npr. teža- ve imajo s sposojanjem in prenašanjem desetic pri pisnem odštevanju) (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008, str. 45); Primer 1: 63 ∙ 9 = 602 Razlaga: Učenec razloži postopek raču- nanja: »3 ∙ 9 = 27, 2 napišemo, 7 štejemo dalje; 6 ∙ 9 je 54, prištejemo 7 (se zmoti v seštevanju) in dobimo 60, pripišemo k 2 = 602«. Gre za primer, ki je le sestavni del daljše naloge in jo je učenec dobil v 7. razredu. Učenec zna določiti in pokaže ustrez- no razumevanje mestne vrednosti pri tromestnih in dvomestnih številih. Pri računanju število glasno izgovori, nato ravna tako, kot je razložil. Pri sestavljenih nalogah ima še vedno tudi težave z obra- čanjem dvomestnih števil, pri preverjan- ju zapisa, branja in razvrščanja števil te te- žave niso opazne, saj se jih zaveda in je za- vestno pozoren na ustrezne mestne vred- nosti in pravilen zapis števil. Primer 2 (učenčev zapis pisnega seštevanja): 4 8 +11 6 1 5 4 Razlaga: Učenec pravilno sešteje enice (8 + 6 = 14) in zapiše 4. Pripiše 1 (število desetic) k deseticam v drugem šestevan- cu (11). Nato pa sešteje 11 + 4. Učenec vidi 11 kot število 11, ki je nastalo z do- dajanjem števke, ne zaveda pa se, da mora števili (1 in 1) sešteti. Primer 3: 11213 ∙ 15 520353 Razlaga: Učenec izmenjaje množi enice in desetice in tudi sproti sešteva števila: Slika 3: Priklic osnovnih deklarativnih znanj – podčrtani so primeri, kjer je dijakinja uporabila nižje strategije: računanje na prste in pisno računanje (glej pomožne račune). IZ TEORIJE ZA PRAKSO 28 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 »1 ∙ 3 je 3; 3 ∙ 5 je 15, 5 napišemo, 1 dalje; 1 ∙ 2 je 2 + 1 (ki smo jo šteli dalje) je 3; 5 ∙ 2 je 10, 0 napišemo, 1 dalje; 1 ∙ 1 je 1 + 1 (ki smo jo šteli dalje) je 2; in 5 ∙ 1 je 5. Dobili smo otrokovo razlago postopka. Primer kaže le težavo, ne kaže pa nam poti iz nje in ne razkriva vzrokov. Da gre za specifične aritmične težave, nam kažejo informacije, da ne gre za otroka, ki počas- neje usvaja znanja zaradi mejnih ali pod- povprečnih intelektualnih sposobnos- ti (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrin- čič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008); da so težave pri tem otroku nepričakovane glede na njegove ostale učne dosežke, in da jih ne srečamo pri vrstnikih, ki so bili deležni enakega sistema poučevanja. Za učinkovito pomoč potrebujemo timsko diagnostike (psiholog, specialni peda- gog), načrt pomoči in povezavo z izvajalci pomoči (učitelj, specialni pedagog). III. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z vizualno-prostorskimi težavami Ti učenci neustrezno uporabljajo vizual- no-prostorske spretnosti za predstavljanje in razlago aritmetičnih informacij. Težave imajo pri smereh računanja, pri točnem podpisovanje števk, pri postavljanju de- cimalnih vejic, pojavljajo se napačni za- pisi v večmestnem številu, preskakovanje vrst ali kolon, imajo slabo orientacijo na listu in tabli (težave so prepisi, še posebej prepisi s table), imajo slabe predstave o prostoru, dolžini … Ti otroci imajo pred- vsem v nižjih razredih več težav v osva- janju orientacije na številski lestvici (levo desno, navzgor navzdol), saj ta spretnost vključuje tudi prostorsko orientacijo. Primer 4: Učenec odšteva večje minus manjše: 2 – 14 = 12 Primer 5 (učenčev zapis pisnega seštevanja): 6 5 2 + 5 1 5 1 4 11 1 7 Učenec sešteva 652 in 554 in pozna posto- pek, a ga začne na napačni strani. Najprej sešteje stotici, napiše 11 in šteje 1 naprej, nato sešteje 5 in 5 ter ponovno šteje 1 na- prej in na koncu sešteje enici 4 in 2, pri- šteje še 1 in dobi 7. Ponovno poudarjamo, da gre za otroka s specifičnimi aritmetičnimi težavami in da mora ugotovljenim težavam slediti diagnostika in načrt za odpravljanje težav. OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI: grafična opora. Vsako oporo, pripomo- ček, strategijo ali opomnik moramo učen- ca najprej naučiti uporabljati, nato naj ga uporablja v vseh fazah pouka. Uporabljamo jo v primerih, ko so speci- fične aritmetične težave, povezane z vi- zualno-prostorskimi težavami, pretežno izolirane. Kajti sicer je bolj smiselna po- moč uporaba računala. Slika 4: Primer grafične opore pri težavah z napačno smerjo pisnega seštevanja. Primer 6: 2 3 4 +3 51 8 9 5 9 2 9 Učenec napačno podpiše števili, ker pred- videva, da se morajo pri seštevanju pros- torsko ujemati na levi strani. Napako lah- ko popravi, če ga spomnimo na koncept mestne vrednosti, ni pa nujno, da mu to znanje omogoči dovolj hiter in samostojen uvid napake. Napaka ni dosledna; isti uče- nec je ne ponavlja, ampak se pojavlja ob- časno (podobno kot obračanje dvomest- nih števil v nižjih razredih). Zaključek Timothy Gowers je v knjigi Matematika – zelo kratek uvod (2011) zapisal misel, da matematika, za razliko od večine ostalih ved, ves čas gradi sama na sebi, zato omogoča napredovanje zgolj na podlagi razumevanja pred- hodne snovi, ki se dejansko tudi ne sme pozabiti. Pri specifičnih učnih težavah pri matematiki smo pogosto v situaciji, ko učenec sicer pokaže določeno stopnjo razumevanja, a ne ve oziroma ni prepričan, kaj vidi, česa se spomni, kje je in kam naj gre! Zato potrebuje pomoč. Pri vsakodnevnem praktičnem delu skušamo učencem s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki najprej na njim razumljiv način pokazati in razložiti, kaj je njihova težava in kaj se dogaja, nato pa jih skušamo opremiti z uporabnimi načini obvladovanja v prispevku predstavljenih težav. Pri tem so timska diagnostika, načrt pomoči ter podpora v šoli in doma bistvenega po- mena in bi jim morali nameniti samostojen prispevek. Pri oblikovanju načrta pomoči izhajamo iz definicije, da je kvantitativna (računska) pismenost opredeljena kot sposobnost reševanja aritmetičnih problemov, ki jih zahteva vsakodnevno življenje. Te probleme naj učenci rešujejo drugače, naj imajo več časa, z oporami in pomočjo učitelja in drugih. Pomembno je, da se jih ne ustrašijo in da specifična učna težava pri matematiki ne postane psihosocialni problem. ■ IZ TEORIJE ZA PRAKSO 29 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Viri in literatura Gowers, T. (2011): Matematika – zelo kratek uvod. Ljubljana: Krtina. Hinton, C., Fischer K. W . (2013): Učenje iz razvojne in biološke perspektive. V O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse. Lju - bljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Kalan, M. (2015): Obravnava otroka z diskalkulijo v Svetovalnem centru za otroke, mladostnike in starše v Ljubljani. V Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladost- nikom s specifičnimi učnimi težavami. Magajna, L., Čačinovič Vogrinčič, G., Kavkler, M., Pečjak, S., Bregar-Golobič, K. (2008): Učne težave v osnovni šoli: koncept dela. Lju - bljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Magajna, L., Velikonja, M. (2011): Učenci z učnimi težavami. Prepoznavanje in diagnostično ocenjevanje. Ljubljana: Pedagoška fakulteta. Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A. (2014): VII. Otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. V N. Vovk Ornik (ur.) Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebam. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Ivačič, A., Jokan, N., Podlogar, P ., Simončič, A., Tašner, M., Marija Kavkler, M., Milena Košak Babuder, M. (2014): Pomoč in podpora učitelju za delo z učenci z diskalkulijo: priročnik z osnovnimi podatki, načinom prepoznavanja in nekaterimi strategijami za pomoč: naloga pri predmetu Poglobljena diagnostična ocena in oskrba oseb s PPPU. Ljubljana: Pedagoška fakulteta. pdf (30. 4. 2016). Vipavc, J., Kavkler, M. (2015): Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki. V Težave pri učenju matema - tike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. Vipavc, J. (2015): T ežave pri učenju matematike. V T ežave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. spletna stran http://www.aboutdyscalculia.org/symptoms.html (1. 4. 2015). spletna stran http://www.unicog.org/publications/Dehaene_PrecisNumberSense.pdf (30. 4. 2016).