i
i
“1185-Pisanski-0” — 2010/7/19 — 12:05 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 4
Strani 195–196
Tomaž Pisanski:
UNIFORMNI POLIEDRI
Ključne besede: novice, matematika, geometrija, poliedri.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1185-Pisanski.pdf
c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
UNIFORMNI POLlEDRI
Poliedre z regularni mi stranicami in kongruentnimi oglišč i imenujemo uniform-
ni poliedri. Najbolje bo , da si to nerazumljivo definicijo ogledamo pobl iže in
jo natan čno pojasnimo . Zan imajo nas oglata telesa v prostoru , ki imajo
za str anske ploskve pravi lne ravninske večkotnike. Ti večkotniki niso nujno
konveksn i; mednje št eje mo med drugim tudi pentagram ( pet krako zvezdo) .
Nadalje ste ogliš či A in B kongruent ni, če lahko te lo zasu kamo tako, da preide
vase in se oglišče A zasuka v ogli šče B .
Očitno so vsa pla tonska tele sa (tetraeder, oktaeder , kocka , ikoza eder in
dode kaeder) unifo rm ni polied ri. Po leg njih obstaja še t rinajst dr ugih konvek-
snih unifo rm nih poliedrov ter dve neskon čni družini prizem in antiprizem (slika
spodaj) . Seved a si lahko zam islimo še n eskonč n o mnogo nekonveksnih prizem
/\
/ . \
/ . \
! ------~~.
tetraeder
prisekani
tetraeder
prisekani
kuboklaeder
rombni
ikozidodeka-
eder
oklaeder
kuboklaeder
potlačena
kocka
prisekani
ikozidodeka-
eder
kocka
(1
'
,/ """'.
."
;
. ,
prisekani
oklaeder
ikozidodeka-
eder
potlačen i
dodekaeder
ikozaeder
prisekana
kocka
prisekani
ikozaeder
' 'c-: ~
\ I
\ .
\
petkotna
prizma
dodekaeder
rombni
kuboklaeder
prisekani
dodekaeder
o
petkotna
antiprizma
196
in antiprizem, npr. pentagramsko prizmo oziroma antiprizmo . Na zgornji sliki
vidimo pentagramsko prizmo . Bralce vabimo , da nam narišejo pentagramsko
antiprizmo.
Leta 1953 so Coxeter , Longuet-Higgins in Miller konstruirali 75 uniform-
nih poliedrov. Leta 1975 je J . Skilling objavil č l a n e k, v katerem je dokazal, da
raze n prizem in antiprizem po leg teh 75 znanih ni drugih uniformnih poliedrov.
Izraelski matematik Har 'EI Zvi pa je lani našel enovit na čin opisa uniform-
nih poliedrov . Napisal je tudi program kale ido . c , ki konstruira uniformne
poliedre in njihove duale. Vsi, ki imate dostop do elektronske pošte in in-
ter neta, lahko dodatne informacije dobite s programom ftp na elekt ronskem
naslovu gauss. technion . ac. il na direktoriju kaleido . Roman Maeder ,
profesor računalništva na sloviti ETH v Švici, je v zadnji lanski številki The
Mathematica Journal - reviji, ki je v celoti posvečena sistemu za simbol-
no računanje Mathematica - objavil č l a n e k orisanj u uniformnih poliedrov,
elektronski dodatek omenjene revije pa vsebuje tudi njegov program v Math-
ematici . Slike, ki sodijo k temu prispevku (vključno naslovnica) , so vzete iz
omenjenega članka .
Leta 1980, koje Presek prvič prikazal uniformni polieder na naslovnici , je
bilo potrebno mode l izdelati iz papirja (glej zadnjo stran ovitka) , zdaj lahko
dobimo sliko neposredno z ra čunalnikom .
Tomaž Pisanski