GG ˇ  GG ˇ  P50(2022/2023)4 18 Ponazoritev limite zaporedja Bˇ  K Koncept limite zaporedja je verjetno eden zah- tevnejših v srednješolski matematiki. ˇ Ceprav se limito zaporedja nauˇ cimo izraˇ cunati s pomoˇ cjo ra- ˇ cunskih pravil, je marsikomu težko pojasniti, kaj limita zaporedja sploh pomeni. Nekoliko približno lahko povemo, da seˇ cleni zaporedja v neskonˇ cno- sti približujejo limiti na tak naˇ cin, da so v majhni okolici limite vsi dovolj pozni ˇ cleni zaporedja. S pomoˇ cjo GeoGebre bomo to poskusili natanˇ cneje ilustrirati. Spomnimo se formalne definicije limite. Realno število L je limita zaporedja (a n ) n∈N , ˇ ce za vsak ε > 0 obstaja neko naravno število n 0 ∈ N, da je |a n −L|<ε za vsakn≥n 0 . Oglejmo si, kaj to pomeni v konkretnem primeru. Naj bo zaporedje dano s splošnimˇ clenom a n = 3n+1 2n+5 . Limita tega zaporedja je enaka L= lim n→∞ 3n+1 2n+5 = lim n→∞ 3+ 1 n 2+ 5 n = 3 2 (imenovalec in števec ulomka smo delili zn ter ugo- tovili, da grestaˇ clena 1 n in 5 n proti 0, ko gren→∞). Izberimo si konkretenε= 0,5. Potem definicija li- mite pove, da obstaja takšno število n 0 , da je |a n − 3 2 |< 0,1 za vse n≥n 0 . To število lahko dolo- ˇ cimo z reševanjem neenaˇ cbe 3n+1 2n+5 − 3 2 < 1 2 . S preurejanjem jo hitro preoblikujemo v enakovre- dno neenaˇ cbo 4 < n. ˇ Cleni a n se torej od limite razlikujejo za manj kot 1/2, ˇ ce je n vsaj 5. Iskano številon 0 je v tem primeru torej enako 5. SLIKA1. Interaktivna ponazoritev limite zapo- redja s splošnimˇ clenoma n = 3n+1 2n+5 .  P50(2022/2023)4 19 Nalogo pa bi lahko rešili tudi za splošen ε > 0. V tem primeru dobimo neenaˇ cbo 3n+1 2n+5 − 3 2 <ε, ki jo preuredimo v enakovredno neenaˇ cbo 13 < ε(4n+10) oziroma n > 13−10ε 4ε . Ker je n na- ravno število, bi torej lahko rekli, da je n 0 =⌊ 13−10ε 4ε ⌋+1 (za 1 poveˇ cani celi del števila). Izraˇ cunane pojme lahko zdaj ponazorimo grafiˇ c- no z naslednjimi koraki. Z ukazom Zaporedje((n,(3n+1)/(2n+5)),n, 1,30) narišemo prvih 30 ˇ clenov zaporedja kot toˇ cke v ravnini. Definiramo vrednost L=3/2, ki predstavlja limito zaporedja. Na grafu jo ponazorimo s premico, ki jo vnesemo kot y=L in ustrezno pobarvamo. Ustvarimo drsnik z vrednostmi med 0 in 1 in ga poimenujmo eps. Ustrezno ε-okolico limite na grafu ponazorimo s pasom med premicamay = 3/2±ε, kar v GeoGe- bro vnesemo kot L-eps 2023). Na vsakem takemintervalutorejpremicosekadvakrat,kar da skupaj 644 preseˇ cišˇ c. Podobno preštejemo 644 preseˇ cišˇ c za −2023 ≤ x ≤ 0. Pri tem pa smo rešitev x = 0 šteli dvakrat, vseh preseˇ cišˇ c je torej 1287. ×××