fdoc. dr. Borut Macuh, dr. Stanislav Škrabl, Sašo Kos •MEJNA ANALIZA NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL POD PLITVIMI TEMELJI PO TEOREMU ZGORNJE VREDNOSTI MEJNA ANALIZA NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL POD PLITVIMI TEMELJI PO TEOREMU ZGORNJE VREDNOSTI LIMIT ANALYSIS OF SHALLOW FOUNDATION BEARING CAPACITY ACCORDING TO UPPER-BOUND THEOREM dr. Stanislav Škrabl, univ. dipl. inž. grad. stanislav.skrabl@um.si Sašo Kos, mag. inž. grad. saso.kos@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Povzetek l V članku je prikazan postopek za določitev nosilnosti temeljnih tal pod plitvimi temelji po teoremu zgornje vrednosti v okviru mejne analize. Podana sta kine-matično dopustna porušitvena modela za določitev nosilnosti pasovnih temeljev na pobočju in nosilnosti pravokotnih temeljev v prostorskih razmerah, obremenjenih horizontalno in vertikalno. V analizi nosilnosti pasovnih temeljev na pobočju je mogoče upoštevati gravitacijske, hidrostatične in hidrodinamične ter seizmične obremenitve. Uporaba podanih modelov je prikazana s primerjavo dobljenih rezultatov z rezultati, dobljenimi z metodami, ki so dosegljive v literaturi. Ključne besede: nosilnost temeljnih tal, plitvi temelj, mejno stanje, teorem zgornje vrednosti Summary l The article presents the procedure for determining the bearing capacity of foundation ground under shallow foundation based on the theorem of the upper value within the limit analysis. Kinematically admissible failure models are proposed for determining the bearing capacity of strip foundation on the slope and the bearing capacity of rectangular foundations in spatial conditions, loaded horizontally and vertically. The gravity, hydrostatic and hydrodynamic and seismic loadings can be taken into account in the analysis of the bearing capacity of strip foundation on the slope. The use of the given models is shown by comparing the obtained results with those obtained by the methods available in the literature. Key words: bearing capacity of ground, shallow foundation, ultimate limit state, upper-bound theorem doc. dr. Borut Macuh, univ. dipl. inž. grad. borut.macuh@um.si Znanstveni članek UDK 519.711:624.131.524 Gradbeni vestnik • letnik 67 • december 2018 1*UVOD Določevanje nosilnosti temeljnih tal pod pasovnimi temelji je ena izmed pomembnejših osnovnih nalog v geotehniki. Z določanjem nosilnosti temeljnih tal pod pasovnimi temelji, ležečimi na zemeljskem polprostoru, so se ukvarjali mnogi avtorji ([Terzaghi, 1943], [Caquot, 1953], [Meyerhof, 1963], (Vesič, 1975], [Chen, 1975], [Michalowski, 1995]). Ne poznamo mnogo literature, ki bi na tem področju vključevala vpliv nagnjenosti pobočja ob pasovnih temeljih [Saran, 1989]. Med pasovne temelje prištevamo tiste, katerih dolžina je bistveno večja od preostalih dveh dimenzij, tako zanje velja ravninsko defor-macijsko stanje. Za dejanske temelje pravokotnih oblik so bili na osnovi empiričnih rezultatov določeni količniki posameznih vplivov: oblike temeljev, globine temeljenja, horizontalnih obtežb, nagibov temeljev in tal itd. Primerjalni podatki so pridobljeni z meritvami mejnih nosilnosti togih temeljev na realnih zemljinah, za katere že v osnovi ne velja asociativno pravilo tečenja. Tako dobljeni količniki posameznih vplivov so zato nezanesljivi in so lahko natančno določeni le naključno. Količnik oblike temeljnih ploskev je najprej za krožne in kvadratne temelje predlagal Terzaghi (Terzaghi, 1943] v obliki izraza, neodvisnega od kota notranjega trenja zemljin. Pozneje sta ga natančneje opredelila Meyerhof in Brich Hansen ((Meyerhof, 1963], (Brinch Hansen, 1970]). Vsi tako določeni vplivni količniki so do neke stopnje določeni na osnovi rezultatov empiričnih raziskav. Članek podaja metodo in tehniko mejne analize skladno s teoremom zgornje vrednosti, matematično programiranje takšnih problemov ter prikazuje primera mejne analize nosilnosti temeljnih tal pod pasovnimi temelji na pobočju in pravokotnimi temelji z uporabo teorema zgornje vrednosti. 2*METODA MEJNE ANALIZE - TEOREM ZGORNJE VREDNOSTI Osnovni teoremi mejne analize so osnovani za splošno telo, ki ima naslednje lastnosti: • material je idealno plastičen - ne pojavi se mehčanje ali utrjevanje, • ploskev tečenja je konveksna, • spremembe geometrije telesa ob mejni obtežbi so neznatne. Prva lastnost ima posledico, da napetostna točka ne more biti zunaj ploskve tečenja in da vektor spremembe napetosti deluje ob spremembi plastične specifične deformacije tangentno na ploskev tečenja. Druga lastnost pomeni, da so spremembe plastičnih specifičnih deformacij dobljene iz asociativnega pravila tečenja oz. normalitetnega pravila, iz česar sledi ¿„¿/=0. Zadnja lastnost omogoča uporabo enačb virtualnega dela. Drugi teorem (zgornje vrednosti) mejne analize pravi, da so za kompatibilni mehanizem plastičnih deformacij ((u*Ji*)=0, ki zadovoljujejo robni pogoj u *=0, sile S, B, določene z izenačitvijo spremembe dela zunanjih sil in spremembe disipacije notranje energije, večje ali enake dejanski mejni obtežbi: f^StfdA + S,, BtuldV = iv auš-jdV (1) Enačba, ki jo dobimo na takšen način, se imenuje delovna enačba za posamezni predpostavljeni mehanizem. Dejansko mejno obtežbo dobimo torej z izenačitvijo energij, ki se sprostijo na predpostavljenem kinematično dopustnem mehanizmu. Zato imenujemo reševanje problemov v mehaniki tal s pomočjo metode mejne analize na osnovi teorije zgornje vrednosti tudi kinematična ali energijska metoda. Za veljaven mehanizem je upoštevan vsak mehanizem, ki je na majhnih spremembah deformacij v telesu ali polju hitrosti združljiv ali kinematično dopusten. Kinematični pristop mejne analize s teoremom zgornje vrednosti temelji na izreku, da za vsak kinematično dopusten mehanizem sprememba disipacije notranje energije ni manjša od spremembe dela zunanjih sil, ki delujejo na obravnavani mehanizem [Micha-lowski, 2001a]: \D dV> lpt VidSv + Jqt v, dS, + J ft v, dV, (2) rs, s, r V enačbi d označuje spremembo disipacije energije na enoto prostornine V, V i vektorsko polje deformacijskih hitrosti znotraj prostornine V in na robovih porušnega mehanizma Sv in St, fi vektor prostorninske teže, p, neznani vektor oz. mejna površinska obtežba na območju robne površine Sv ter qi poznani vektor površinske obtežbe na delu površine St obravnavanega porušnega mehanizma. Kadar pri analizah upoštevamo, da za zemljine znotraj obravnavanega območja porušne-ga mehanizma velja Mohr-Coulombov kriterij plastifikacije z asociativnim modelom plastičnega tečenja, lahko spremembo disipacije notranje energije na enoto prostornine izrazimo [Drucker, 1952]. Z) = (£l-£3)-C-COS0, (3) kjer sta £l in £3 spremembi največje in najmanjše komponente glavnih specifičnih deformacij ter c in 0 pripadajoča kohezija in strižni kot zemljine. Pravilo asociativnega plastičnega tečenja za kinematično dopustna deformacijska polja ob mejnem stanju zagotavlja, da je vektor sprememb plastičnih deformacij vedno pravokoten na Mohr-Cou-lombovo površino plastifikacije: £\+Ei El-Bi (4) kjer je £v sprememba volumenske specifične deformacije in • dvakratna sprememba i max distorzijske specifične deformacije v zemljini. V izrazu (4) je upoštevan planarni tip sprememb specifičnih deformacij (£ 2 = 0), ki je značilen za kinematične porušne mehanizme z diskontinuitetnimi spremembami deformacijskih hitrosti, ki so omejene le na površine posameznih ploskev med posameznimi togimi bloki in med bloki ter zaledno zemljino. Disipacijo notranje energije lahko sedaj izvred-notimo v enostavnejši obliki: D = -evccot0 (5) Kadar analiziramo mejna stanja nosilnosti v homogenih tleh (c in 0sta konstanti), je sprememba disipacije notranje energije sorazmerna skupni vsoti sprememb volumenskih deformacij v analiziranem območju V. V izrazu (5) je sprememba volumskih deformacij zaradi dilatacije zemljin upoštevana kot negativna. 261 doc. dr. Borut Macuh, dr. Stanislav Skrabl, Sašo Kos •MEJNA ANALIZA NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL POD PLITVIMI TEMELJI PO TEOREMU ZGORNJE VREDNOSTI 3*TEHNIKA MEJNE ANALIZE S TEOREMOM ZGORNJE VREDNOSTI deformacije na predpostavljenem nizmu, Skladno s teoremom zgornje vrednosti lahko torej z izenačitvijo spremembe dela zunanjih sil s spremembo disipacije notranje energije določimo zgornjo mejno vrednost porušne oz. mejne obtežbe, ki ni na varni strani. Rešitev zgornje Matematično programiranje problemov imenujemo vsakršno optimiranje problemov, ki temelji na optimizacijskih metodah matematičnega programiranja. Pri matematičnem programiranju obravnavanih problemov opišemo vsak problem z matematičnim optimizacijskim modelom. Ta model sestoji iz namenske funkcije, sistema pogojnih (ne)enačb ter pridruženih spremenljivk in konstant (vhodni podatki). V splošnem obravnavamo naslednji omejitveni optimizacijski problem: min f(x) (6) pri pogojih: h(x)=0 (7) g(x)<0, (8) pri čemer \exe fP, (9) kjer je f(x) namenska funkcija, h(x) = 0 predstavlja M-enačb z ^-spremenljivkami x in g(x) < 0 R neenakostnih omejitev. V splošnem je število spremenljivk N večje od števila enačb M, razlika (N-M) predstavlja t. i. število pro-stostnih stopenj optimizacijskega problema. Metodi linearnega programiranja (Linear Programming - LP) in mešanega celoštevilčne- V nadaljevanju sta prikazana kinematično dopustna modela mejne analize nosilnosti temeljnih tal pod plitvimi temelji z uporabo teorema zgornje vrednosti. 5.1 Nosilnost plitvih temeljev - 2D Podan je teoretični model za določitev nosilnosti temeljnih tal pod pasovnimi temelji blizu pobočij in vključuje vplive poljubnih obtežb in nagnjeno osnovno ploskev temelja. Za vrednosti dobimo z izpolnitvijo naslednjih korakov: • predpostavimo kinematično dopusten porušni mehanizem, • izračunamo delo vseh zunanjih sil, vključno z delom lastne teže, za majhne ga linearnega programiranja (Mixed Integer Linear Programming - MILP) zaradi nelinearne narave problemov, ki se pojavljajo v inženirstvu, ne dajeta dobrih rezultatov. Zato se v inženirstvu od metod matematičnega programiranja najpogosteje uporablja metoda nelinearnega programiranja (Non-linear Programming - NLP). Poleg omenjenih metod matematičnega programiranja poznamo še mešano celoštevilčno nelinearno programiranje (Mixed Integer Non linear Programming -MINLP). LP in NLP uporabljamo pri zveznem optimiranju, tj. pri parametričnem optimiranju, kjer imamo samo zvezne spremenljivke. MILP in MINLP pa uporabljamo za diskretno zvezno optimiranje strukture in parametrov. Pri MILP in MINLP poleg zveznih spremenljivk za izračun zveznih parametrov definiramo tudi diskretne spremenljivke (binarne, celoštevilčne) za izračun diskretnih odločitev. 4.1 Nelinearno programiranje (NLP) Nelinearno programiranje je najpogosteje uporabljena metoda matematičnega programiranja za optimiranje v inženirstvu. NLP-problem lahko pišemo v obliki: min z=cTx + f(x) (10) analize je bil izbran modificirani Prandtlov mehanizem porušnega telesa, ki je sestavljen iz klina pod temeljem, logaritmične spirale in se tangentno nadaljuje z ravnim delom do pobočja. Z njim po kinematični metodi z izenačenjem spremembe dela vseh zunanjih sil in spremembe disipacije notranje energije z upoštevanjem kinematično dopustnih pomikov dobimo zgornje mejne vrednosti nosilnosti pasovnih temeljev. meha- • izračunamo disipacijo notranje energije v hitrostnih diskontinuitetah, ki predstavljajo plastično deformirana območja, • s pomočjo delovne enačbe določimo najbolj kritično oz. najnižjo rešitev zgornje vrednosti za izbrani mehanizem. pri pogojih: h(x) = 0 (11) g{x)<0 (12) Ax > 0), skupaj Slika 2* (a) Detajl klina OEG. (b) Hodograf za določitev hitrosti na diskontinuiteti OG. začetne hitrosti | V01 = 1 pasovnega temelja pa predstavljajo celotno spremembo disipaci-in klina OAB je pravokotna na ploskev OB, je notranje energije: ]TAWm = AW£ + + AW™ + AW? (16) Ko izenačimo celotni spremembi zunanjega dela (15) in disipacije notranje energije (16), dobimo delovno enačbo: ali JdAWal = JjAWial ali AW^ + AW% + AW™+AW™C +AW°cde-ocdg = AW^+AW^0T+AW^+AW^ (17) Nosilnost temeljnih tal, ki je povprečna vrednost kritične obtežbe na enoto površine, lahko zapišemo: ■N _H_ d_ _ k -Si ' Ka ~ 2 c 2 qz ■B (18) Y, 9, r,-* 7\ r Koeficient nosilnosti N je odvisen od naslednjih znanih razmerij: med horizontalno in vertikalno obtežbo, med globino in širino temelja, med težo na enoto prostornine v horizontalni in vertikalni smeri in horizontalno in vertikalno obtežbo ter kohezijskega 2c/(yzB) in obtežne-ga razmerja 2q/(YzB). Faktor nosilnosti je funkcija dveh neodvisnih spremenljivk, kotov a, in a2, ki določata geometrijo porušne ploskve ABCD. Ekstremno vrednost N(av aO - minimum - dobimo z izpolnitvijo pogojev: = 0 (19) Minimalna vrednost koeficienta nosilnosti N daje zgornjo mejno vrednost za nosilnost pasovnih temeljev. Za določitev optimalne porušne ploskve ABCD je bil izdelan računalniški program, ki vsebuje metode matematičnega programiranja. Izraz za določitev nosilnosti plitvih temeljev je prikazan zaradi izvedenih primerjav in ima običajno naslednjo obliko: q*=\r.-B-Nr + r.-d-Nt+c-Ne. (20) kjer so N, Nq in Nc koeficienti nosilnosti temeljnih tal. 5.1.3 Numerične analize in rezultati Rezultate analiz po predstavljeni metodi smo primerjali z rezultati analiz nekaterih drugih avtorjev, ki so objavljeni v literaturi. Najprej smo naredili primerjavo rezultatov z vrednostmi, ki jih je objavil Chen [Chen, 1975], ki je vpeljal v svoje izračune različne porušit-vene mehanizme. Primerjali smo rezultate koeficientov nosilnosti NY za hrapav temelj, vertikalno obtežbo, horizontalno osnovo temelja in brez nagnjenosti pobočja (3 = 0°) (preglednica 1). Iz rezultatov je razvidno, da daje predstavljena metoda nekoliko manjše zgornje 263 Razmerje [Chen, 1975] Predlagana rešitev globine P[°] P[°] d / B 20 30 40 20 30 40 0,1 7,28 30,7 161 6,807 29,304 155,253 0,2 8,76 34,9 175 8,412 33,704 169,990 0,3 10,3 39,2 189 10,064 38,242 184,909 0,4 12,0 43,6 204 11,762 42,846 200,359 0,5 13,6 48,2 219 13,498 47,601 216,214 0,6 15,4 52,9 235 15,282 52,444 231,931 0,7 17,2 57,8 251 17,118 57,397 248,073 0,8 19,0 62,8 267 18,977 62,509 264,638 0,9 20,9 67,9 283 20,889 67,651 281,628 1,0 22,8 73,1 300 22,832 72,935 298,781 Preglednica 1» Primerjava vrednosti koeficientov nosilnosti N za 3 = 0°. 5.2 Nosilnost pravokotnega plitvega temelja - 3D V pričujočem prispevku je prikazan postopek za določanje nosilnosti temeljnih tal na osnovi izboljšanega kinematično dopustnega porušnega mehanizma, ki ga je prvi obravnaval Michalowski [Michalowski, 2001b]. Mehanizem predstavlja osrednji togi blok, sestavljen iz prizmatičnih osmih piramidalnih elementov, katerih deformacijska hitrost je enaka hitrosti togega pravokotnega temelja ter usmerjena v smeri enakomerne zvezne obtežbe bloka. V vseh štirih bočnih smereh pa je končno število trikotnih blokov zemljine z ukrivljenimi bočnimi ploskvami, ki jih na vsaki lameli predstavljajo ovojnice neskončnega števila trenjskih stožcev, ki so za izbrani kinematični model tudi kinematično dopustni. Deformacijske hitrosti osrednjega bloka in vseh bočnih blokov povezuje aso- [Saran, 1989] Predlagana rešitev P[°] P[°] 30 35 40 35 40 30 49,43 91,87 28,945 54,163 25 59,12 115,65 40,823 78,324 20 66,00 143,77 56,103 107,742 P[°] [Chen, 1975] Predlagana rešitev 15 2,3 2,325 20 5,2 5,241 25 11,4 11,399 30 25,0 25,005 35 57,0 57,203 40 141,0 140,491 Preglednica 2» Primerjava vrednosti koeficientov nosilnosti NY za 3 = 0° in d / B= 0. mejne vrednosti. Primerjava koeficientov nosilnosti NY s Chenom (Chen, 1975) za temelj, ležeč na zemeljskem polprostoru, je pokazala, da se rezultati zelo dobro ujemajo (preglednica 2). Preglednica 3» Primerjava vrednosti koeficientov nosilnosti N za d / B= 1. Preglednica 3 podaja primerjavo faktorja nosilnosti NY na nagnjenem pobočju s Sar-anom [Saran, 1989]. Iz nje je razvidno, da daje predstavljena rešitev od 15 % do 41 % nižje zgornje mejne vrednosti faktorjev nosilnosti NY. ciativno pravilo plastičnega tečenja. Predloženi kinematični model se od že znanega [Michalowski, 2001b] razlikuje v ukrivljenih bočnih porušnih površinah na vseh trikotnih blokih, ki jih določa ovojnica vseh trenjskih stožcev, medtem ko so v osnovnem modelu upoštevane kot površine primerljivih plaščev stožcev, ki izhajajo iz prereza predhodnih stožcev. 5.2.1 Kinematični porušni mehanizem Obravnavamo togi pravokotni temelj s površino LxB (kjer je L dolžina in B širina pravokotnega temelja) s horizontalnim potekom površine temeljnih tal na celotnem območju ob osnovi temelja. Mejna nosilnost temeljnih tal za toge pravokotne temelje za primer enakomerne vertikalne obremenitve s polno vrednostjo trenja med temeljem in tlemi je definirana z: p = ^r-b-N\+q-N'q+c-N'c, (21) kjer je N'Y količnik nosilnosti pravokotnih temeljev zaradi vpliva lastne teže zemljine, y prostorninska teža zemljine, N'c količnik nosilnosti zaradi vpliva kohezije (c) in N'q količnik nosilnosti zaradi vpliva površinske obtežbe q. Količnike nosilnosti lahko izrazimo tudi s produktom količnikov oblike temeljev ter količnikov nosilnosti temeljev neskončne dolžine. = W Nq=sqNq K=scNc, (22) kjer sY, sq in sc označujejo količnike oblike temeljev ter NY, Nq in Nc količnike nosilnosti temeljnih tal za temelj neskončne dolžine. V analizah je upoštevano, da zaledne zemljine ustrezajo Mohr-Coulombovemu kriteriju pla-stifikacije z asociativnim pravilom plastičnega tečenja (normalitetni princip). Kinematični porušni mehanizem je v osrednjem območju temelja sestavljen iz priz-matičnega osrednjega ter osmih bočnih piramidalnih blokov, ki imajo s togim temeljem (LxB) skupno vertikalno deformacijsko hitrost V0. V prerezih x-z in y-z sta v smeri obeh koordinatnih osi (slika 3) na osrednji togi blok priključena dva poligonalna kinematično dopustna porušna mehanizma, sestavljena iz n-trikotnih togih blokov. S pravilom plastičnega tečenja so dopustne le deformacijske hitrosti v smeri, ki s posameznimi linijami diskonti-nuitet dl (/=1,2, n) in d2,- (/=1,2, n) oklepajo kot p. Hitrosti posameznih trikotnih togih blokov so enolično določene s pogojem, da so kinematično dopustne le takšne relativne hitrosti med posameznimi bloki, ki so za kot p odklonjene od bočnih kontaktnih površin l1i (/=1, 2 n) in l2i (/=1, 2 n) med posameznimi bloki. Hodografa deformacijskih hitrosti za oba poligonalna porušna mehanizma v ravninah x-z in y-z prikazuje slika 3b. Prikazani porušni mehanizem je kinematično dopusten le, če so deformacijske hitrosti vsakega predhodnega bloka /k ob mejnem stanju usmerjene navzdol relativno glede na 264 Slika 3* Prerez in oznake kinematičnega 3D-modela: (a) geometrijski podatki, (b) združena hodografa deformacijskih hitrosti za oba porušna mehanizma. ga bloka izberemo kot pozitivno, npr. V0 = i, v vertikalni smeri navzdol, lahko z izrazoma (10) enolično določimo deformacijske hitrosti celotnih porušnih mehanizmov (deformacijs-ka hitrost V0 = i je skupna za oba porušna mehanizma). Slika 4* Prerez in oznake kinematičnega 3D-modela, geometrijski podatki za: (a) porušni mehanizem 1, (b) porušni mehanizem 2. blok i+1k (k označuje ortogonalna porušna mehanizma) ter je izpolnjen še naslednji dodatni pogoj: n - fflf - /?„*! - 0 > arctan tan ^ cos 8* •y/tan2 sin2 <5f +1 (23) Ce deformacijsko hitrost togega temelja in osnovnega prizmatično-piramidalnega toge- V M = v, .t . v,M = V} Sin(fl^+af) sin(/?*.+l +<,) sin(Qf*, -«*) (24) Izraz (24) smiselno velja za oba ortogonalna porušna mehanizma (k = 1 oz. 2 za prvi oz. drugi porušni mehanizem, slika 3 in slika 4). Vsak kinematično dopustni mehanizem sestavlja po 30 togih blokov, kar je po izkušnjah tudi drugih raziskovalcev ustrezna delitev, ker nadaljnje delitve nepomembno vplivajo na dobljene rezultate. 5.2.2 Delovna enačba Za izbrani porušni mehanizem (slika 3) dobimo - z izenačenjem spremembe disipacije notranje energije s spremembami dela zaradi koristne obtežbe - lastne teže zaledne zemljine ter enakomerne površinske obtežbe, delovno enačbo: 265 doc. dr. Borut Macuh, dr. Stanislav Skrabl, Sašo Kos •MEJNA ANALIZA NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL POD PLITVIMI TEMELJI PO TEOREMU ZGORNJE VREDNOSTI 8 f D ■ dV / y ■ B2L = -i— [i1' sin <4, V 30+ Jr tan A2t sin a20 F30-I] >N+ c*Nc + q'N, - G'0 - 30 . 1 30 .2 £ Gf sin a\ V, - £ G2' sin a2 V, - ¡=1 ¡=1 q* [A1* sin a\0 V30 + A2' sin a20 V30 ] (25) kjer . 2c c — . 2q q = y.b in q y.b označujeta nor- malizirano kohezijo in normalizirano površin- ¡, _ 4a 2* _ 4A2 sko obtežbo. Površini a = bl in A = BL ter teže posameznih lamel G* -j^L označujejo posplošeni površini porušnih mehanizmov v zaledju ter posplošene teže posameznih lamel, ki jih določimo na računskem modelu pravokotnega temelja širine (B/2)* = 1, dolžine (L/B)* = L/B in z upoštevanjem posplošene prostorninske teže zemljine y = 1. 5.2.3 Numerične analize in rezultati Začetni porušni mehanizem je definiran z izborom razmerja (L/B) in 2n začetnih koordinat točk posameznih blokov (slika 3 in slika 4). Izbrane morajo biti tako, da je že začetni porušni mehanizem kinematično dopusten. Posamezne vplivne površine in prostornine posameznih blokov so linearno odvisne tudi od parametra £, ki predstavlja razmerje med širino vplivne površine in polovico širine temelja, v zgornjih izrazih pa ni eksplicitno prikazan. Pri numeričnih analizah s postopkom matematičnega optimiranja določamo kritični kinematično dopustni porušni mehanizem z minimiziranjem izraza: 30 . 1 f = Ny + c'Nc + q'Nq = G', +XG," sina,1 V,+ 30 . 2 G? sin a? F,- /=1 q* [A1' sin V30+A2* sin a320 V30 ]+ r' r -2 [A1' sin a],, K30+ A2' sin a20 Kso-l] (26) tan0 kjer f predstavlja namensko funkcijo opti-mizacijskega problema. Količnike nosilnosti temeljnih tal določajo naslednji izrazi: 30 . 1 30 .2 Nr = G0* + £ Gf sin af Vi + £ G,2* sin a2 Vi (27) ¡=1 ¡=1 r •2 Nq = [A1* sin al F30+ A2' sin a20 V30 ] (28) 1 r -2 Nc =-U1* sin «30 F30 + A2' sin a20 P30 -1] (29) Z upoštevanjem izraza (15) je količnik nosilnosti za vpliv kohezije lahko podan tudi v naslednji obliki: 1) (30) Izraz (30) predstavlja transformacijsko pravilo za določanje količnika nosilnosti Nc pravokotnih temeljev za kohezijsko-trenjske zemljine na osnovi poznanih vrednosti Nq za trenjske zemljine v osnovni obliki, kot jo je podal Caquot [Caquot, 1934]. Najprej smo za izbrani kinematični porušni mehanizem določili količnika nosilnosti za primer neskončno dolgega, povsem togega pravokotnega temelja (L/B=»). V izračunih je upoštevana polna vrednost trenja med tlemi in temeljno konstrukcijo d = p. V izbranem primeru zaradi pogoja L/B=<*> v izračunu prostornine in površine bočnih deležev na posameznih togih blokih ne nastopajo ter dobimo že standardno 2D-rešitev, ki bistveno ne odstopa od poznanih rešitev iz literature. Količniki so določeni z minimiziranjem izrazov (27) in (28) za osnovni kombinaciji y = 1, c = q = 0 pri določitvi Ny. Izračun je bil preverjen tudi s standardnim kinematičnim 2D-meha-nizmom z n = 100 togimi bloki. Primerjava rezultatov kaže na odstopanja velikosti do 0,1 % najnižje vrednosti. Nato smo analizirali še količnike nosilnosti pravokotnih temeljev za primere L/B = 1, 1,5, 2, 3, 5 in 10. Preglednica 3 podaja vrednosti količnikov nosilnosti za pravokotne temelje NY pri pogoju y" = 1, c' = q* = 0. Strižni kot Ny O (°) L/B = 1 L/B = 1,5 L/B = 2 L/B = 3 L/B = 5 L/B = 10 L/B = ~ 10 0,557 0,608 0,633 0,658 0,677 0,692 0,706 15 1,759 1,829 1,859 1,888 1,909 1,924 1,937 20 4,879 4,783 4,720 4,647 4,581 4,528 4,465 25 13,155 12,138 11,594 11,023 10,543 10,167 9,761 30 36,153 31,524 29,134 26,674 24,649 23,065 21,387 35 104,899 86,942 77,796 68,476 60,838 54,934 48,670 40 334,455 264,890 229,715 194,076 165,005 142,638 118,772 45 1231,776 936,618 788,036 638,124 516,399 423,015 322,740 Preglednica 4* Količniki nosilnosti N za pravokotne temelje. 266 MEJNA ANALIZA NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL POD PLITVIMI TEMELJI PO TEOREMU ZGORNJE VREDNOSTI • doc. dr. Borut Macuh, dr. Stanislav Škrabl, Sašo Kos 6*ZAKLJUČEK Prispevek obravnava določitev nosilnosti temeljnih tal plitvih temeljev z uporabo teorema zgornje vrednosti v okviru mejne analize. Postopek zajema predpostavljanje kine-matično dopustnega porušnega modela, s pomočjo delovne enačbe pa z matematičnim programiranjem določimo najbolj kritično oz. najnižjo rešitev zgornje vrednosti za izbrani mehanizem. Najprej je prikazan porušitveni mehanizem za določanje nosilnosti pasovnih temeljev, ki zajema vplive nagnjenosti obtežbe, nagnjeno osnovno ploskev temelja in nagnjenost pobočja. V predlaganem postopku, v katerem je uporabljen modificirani Prandtlov porušitveni mehanizem, je v analizi mogoče upoštevati tudi seizmične vplive, vplive vode in vplive zveznih obtežb na pobočju, kar še povečuje njegovo uporabnost v geotehnični praksi. Nadalje je prikazan izpopolnjeni postopek določanja nosilnosti vertikalno obremenjenih pravokotnih temeljev po metodi mejne analize z uporabo teorema zgornje vrednosti. Uporabljen je izpopolnjeni translacijski ki-nematično dopustni porušni mehanizem s končnimi številom togih blokov, katerih bočne porušne ploskve določajo ovojnice trenjskih stožcev. V računskem modelu upoštevane zemljine ustrezajo Mohr-Coulombovem kriteriju plastifikacije z asociativnim modelom plastičnega tečenja. Rezultati numeričnih analiz kažejo, da podana kinematična modela dajeta nižje vrednosti nosilnosti, kot so bile za temelje do sedaj določene po metodi mejne analize s teoremom zgornje vrednosti in prikazane v literaturi. 7*LITERATURA Caquot, A., Equilibre des massifs au frottement interne, Stabilite des terres pulverulents et coherents, Gauthier-Villars, Paris,1934. Caquot, A., Kérisel J., Sur le terme de surface dans le calcul des fondations en milieu pulvérant, Proc., 3rd Int. Conf. on Soil Mech. And Found. Engrg. ICOSOMES, Zurich, Vol. I, 336-337, 1953. Chen, W. F., Limit analysis and soil plasticity, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, The Netherlands, 1975 Drucker, D.C., Prager, W., Soil Mechanics and plastic analysis or limit design, Q. Appl. Math., Vol. 10, No. 1, 157-165, 1952. Brinch Hansen, J.B., A revised and extended formula for bearing capacity, Geotek. Inst. Bull., 28, 5-11, 1970. Meyerhof, G. G., Some recent research on the bearing capacity of foundations, Canadian Geotechnical Journal, 1(1), 16-26, 1963. Michalowski, R.L., Shi, L., Bearing capacity of footings over two-layered foundation soils, Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 121(5), 421-428, 1995. Michalowski, R.L., The Rule of Equivalent States in Limit-State Analysis of Soils, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering Division, ASCE, 127(1): 76-83, 2001a. Michalowski, R.L., Upper-bound load estimates on square and rectangular footings, Géotechnique, 51(9), 787-798, 2001b. Saran, S., Sud, V.K., Handa, S.C., Bearing Capacity of Footings Adjacent to Slopes, ASCE Journal of Geotechnical Eng. 115: 553 573, 1989. Terzaghi, K., Theoretical soil mechanics, Wiley, New York, 1943. Vesic, A. S., Bearing capacity of shallow foundations. Foundation engineering handbook, H. F. Winterkorn and H.-Y. Fang, eds., Van Nostrand Reinhold, New York, 121-147, 1975. 267