i i “1169-Drnovsek-0” — 2010/7/19 — 11:29 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 92–95 Roman Drnovšek: FERMATOVA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1169-Drnovsek.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. ITI"-'-/"eme"," ICI,' 1"", FERMATOVA ŠTEVILA Slavni francoski matematik Pierre de Fermat (1601 - 1665)1 je obogatil matematično znanost z množico novih spoznanj. Vsa, razen enega , so tudi dokazana, ali pa vsaj verjamemo v njihovo resničnost. 2 Edina izjema je njegov izrek o binarnih potencah. Le ta trdi, da so vsa števila oblike 2 m + 1, kjer je m = 2n , praštevila . Števila zato imenujemo Fermatova števila. 3 Leprav je bil Fermat sam prepncan o resničnosti te trditve , je ni znal dokazati . Pokazal pa je (kar je lahko), da je število 2 m + 1 sestavljeno, če naravno število m > 1 ni potenca števila 2 (naloga 1) . Seveda pa to še ne pomeni, da so potem vsa Fermatova števila pra števila, čeprav za n =1,2,3 in 4 to res velja : F4 =216 + 1 =65537 . Leta 1732 je namreč švicarski matematik Leonhard Euler (1707 - 1783) pokazal , da že za n = 5 ne dobimo praštevila , saj je število Fs deljivo s 641. Brez dolgoveznega računanja (in brez uporabe računalnika) se o tem najhitreje prepričamo na naslednji način . 5tevilo namreč deli števili kjer smo upoštevali znano pravilo o razcepu razlike četrtih potenc. Zato 641 deli tudi razliko teh števil o številu Fs je znana tudi naslednja resnična zgodba, ki bi jo Eva Longyka, če bi se zgodila pred kratkim , verjetno uvrstila med Neverjetne 1 Ve~ o Fermatu lahko prebereš v Preseku 3 (1975/76), št. 1, str. 9-14. 2 Glej prispevek o Fermatovem zadnjem izreku v 1. št evilki letošnjega Preseka. 3 O Fermatovih številih glej tudi č l a nek : B. Pavšek , Fermetove števil« , Presek 14 (1986/87), št. 4, str. 220-221. 93 zgodbe. Ameriški fenomen računanja na pamet, Z. Colburn (1804 - 1839), je na vprašanje, ali je število Fs praštevilo, po kratkem premisleku odgovoril, da to ni, ker je deljivo s 641. Kot skoraj vsi fenomeni te vrste, pa tudi on ni bil sposoben razložiti, kako je prišel do takega zaključka. (Colburn je zaradi svojih neverjetnih sposobnosti tudi vplival pri izbiri življenske poti irskega matematika Williama Hamiltona (1805 - 1865).) S pomočjo nekaterih izsledkov nemškega matematika C. F. Gaussa lahko dokažemo, da so vsa praštevila , ki se pojavijo v razcepu števila Fn (če je le to sestavljeno), oblike 2n+2 . k + 1, kjer je k naravno število. Tako je Fs = (27 ·5+ 1)(2 7 . 52347 + 1) . Od leta 1880 pa tudi vemo , da je F6 =(28 . 1071 + 1)(28.262814145745 + 1) . Leta 1905 je J. C. Morehead pokazal, da je število F7 sestavljeno. 5tiri leta kasneje pa je skupaj z A. E. Westernom prišel do enakega zaključka tudi za število F8. To je najlažje preveriti z uporabo nasled njega kriterija , ki ga navedimo brez dokaza 4 : Fn je praštevilo natanko tedaj , ko deli število 3(Fn - 1)/ 2 + 1. Na ta način pa seveda ne dobimo vsaj enega od faktorjev v Fn . Tako so šele leta 1970 oziroma 1980 faktorizirali števili F7 in F8 . Vsaj en faktor v Fn Fa je znan tudi za vse n od 9 do 19 in še za precej večja naravna štev ila, kot na primer za n = 23471. V tem zadnjem primeru je W. Keller leta 1984 ugotovil, da je število F23471 deljivo z 223473.5 + 1. To Fermatovo število je tud i eno največjih števil , ki so jih do zdaj raziskovali. 5tevilo njegovih cifer v desetiškem zapisu namreč močno presega število delcev v vesolju. Le teh naj bi bilo "samo" 51.226°. Vsi ti rezultati podpirajo domnevo , da so števila Fn za n 2: 5 sestavljena . To pa je še vedno nerešen problem . Naloge: 1. Dokaži, da je število 2m + 1 sestavljeno, če naravno število m > 1 ni poten ca števila 2! 4 Izrek je dokazan v knjigi : W. Sierpinski, Elementary Theory of Numbers, Varšava 1964, str. 347 . 94 2. 5tevila Fn resda niso vsa praštevila , so si pa paroma tuja . Dokaži! 3. S pomočjo prejšnje naloge pokaži, da množica vseh praštevil ne more biti končna! 4. Pokaži, da so števila 22n + 5, n = 1,2 ,3, ... , sestavljena ! 5. S pomočjo "približne ident it et e" 210 == 103 oceni število števk Ferma- tovega števila F23471! 6. Katero število je večje Fn ali (22 )n + 1? Rešitve nalog: 1. Denimo, da je m = 2k 1, kjer sta k in Itaki (enolično določeni) nenega - tivni celi števili, da je Iliho štev ilo. Po predpostavki je I 2: 3. S pomočjo znane formule o vsoti dveh lihih potenc dobimo , da je število deljivo z 22k + 1. 2. Z zaporedno uporabo form ule a2 - b2 = (a + b)(a - b) dobimo 2n - 1 2n - 2 2n - 2=(2 +1)(2 +1)(2 -1)= .. . 2 n - 1 2 n - 2 2 n - 3 2 2... = (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) .. . (2 + 1)(2 - 1) = Torej velja (1) Le bi števili Fm in Fn (m < n) imeli skupen delitelj, večj i od 1, bi le ta delil tudi število 2 in bi bil zato enak 2. To pa je nemogoče, saj so vsa Fermatova števila Fn liha. 3. Denimo , da ima množ ica vseh praštevil n elementov. Potem bi bili med Fermatovimi števi li FI, F2 , . . ., Fn , Fn+l vsaj dve deljivi z ist im praštevilom . Protislovje! 4. Iz t v u e (I) dobimo Zato jt Torcj ima Fcrmatovo 3tevilo hMn v dcsctiJhm rapisu p r i b l i h 10- #wk, kar je neprirnemo veli kot jc Ptevito delctv v vcrolju. 6. S parnolijo Indukcije je l a h h videti, da jc 2n <: 2" za vsako naravno ZEtrvilo n. Enakost vtlja It v primeru, ko je n = 1. Zato velja nccnakust Tmj je vcEje Fcmatovo Itevilo Fr,; Sttvili sta enaki le za n = 1. Roman Drnrrdek