Persistent homology and geometry - Lemež, Boštjan (visokošolska dela, 2022)
V disertaciji vpeljemo nov simplicialni kompleks imenovan selektivni Ripsov kompleks. Ta kompleks je posplošitev Vietoris-Ripsovega kompleksa, kjer uporabimo zaporedje radijev namesto enega radija. Prvotna verzija selektivnega Ripsovega kompleksa je bila vpeljana z namenom, da zazna več geometrijskih lastnosti kot pripadajoči Ripsov kompleks. S proučevanjem lastnosti selektivnega Ripsovega kompleksa posplošimo že znano teorijo Vietoris-Ripsovih kompleksov. Dokažemo pripadajoč izrek o stabilnosti za selektivne Ripsove komplekse. Najpomembnejši doprinos te disertacije so različni rekonstrukcijski rezultati do homotopskega tipa z uporabo selektivnega Ripsovega kompleksa. Najprej pokažemo, da je selektivni Ripsov kompleks sklenjene Riemannove mnogoterosti ?$X$? homotopsko ekvivalenten prostoru ?$X$? za primerno majhne parametre. Ker je Vietoris-Ripsov kompleks poseben primer selektivnega Ripsovega kompleksa, s tem podamo nov dokaz Hausmannovega rekonstrukcijskega rezultata. Nadalje pokažemo končna rekonstrukcijska rezultata z uporabo selektivnega Ripsovega kompleksa in intrinzičnega Čechovega kompleksa: če je metričen prostor ?$S$? dovolj blizu sklenjeni Riemannovi mnogoterosti ?$X$? glede na Gromov-Hausdorffovo razdaljo, tedaj je selektivni Ripsov kompleks (oz. intrinzičen Čechov kompleks) na ?$S$? homotopsko ekvivalenten celotnemu prostoru ?$X$?. Kot poseben primer s tem podamo nov dokaz Latschevega rekonstrukcijskega rezultata. Nazadnje klasificiramo eno-dimenzionalno vztrajnost geodetskih prostorov porojeno s selektivnimi Ripsovimi kompleksi. Pokažemo, da sta 1-dimenzionalni vztrajnosti Vietoris-Ripsovih in selektivnih Ripsovih kompleksov do reparametirizacije izomorfni.
Keywords: computational topology; geodesic space; geodetski prostor; homotopska rekonstukcija; homotopy reconstruction; izrek o živcu; matematika; mathematics; nerve theorem; računska topologija; Riemannian manifolds; Riemannove mnogoterosti; selective Rips complex; selektivni Ripsov kompleks; Vietoris-Rips complex; Vietoris-Ripsov kompleks