DINAMIKA IZHODNEGA SIGNALA PRI KASKADNI OBLIKI IZVEDBE NEREKURZIVNIH DIGITALNIH SIT Rudolf Babič Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Ključne besede: sistemi digitalni, DSP obdelava signalov digitalna, FIR filtri digitalni nerekurzivni s trajanjem omejenim odziva pulznega, filtri digitalni stopenj višjih, oblike kaskadne, aritmetika porazdeljena, aritmetika porazdeljena modificirana, PBG dobit pasu propustnega, izvedbe praktične, rezultati praktični Povzetek: V prispevku je prikazana problematika dinamike izhodnega signala pri izvedbi nerekurzivnih digitalnih sit višjih stopenj v kaskadni obliki s klasično in modificirano porazdeljeno aritmetiko. Modificirana oblika porazdeljene aritmetike temelji na unipolarnem vhodnem signalu. Zaradi ugodnejšega normiranja delnih vsot koeficientov omogoča povečanje dinamičnega območja izhodnega signala. Zaradi manjših stopenj kaskad-nih struktur smo uspeli zmanjšati potrebno pomnilniško strukturo in s tem tudi zmanjšanje aparaturne kompleksnosti digitalnega sita. Modificirana oblika porazdeljene aritmetike s simetričnim zapisom delnih vsot koeficientov je uporabna tako v osnovni kot v kaskadni realizacijski strukturi. Povečanje dinamičnega območja izhodnega signala je pomembno predvsem pri v kaskadni realizacijski strukturi. Rezultati so prikazani za nizko-prepustnasitas 15, 31 in 41 koeficienti v izvedbi z eno, dvema in tremi kaskadnimi strukturami. S simulacijo digitalnega sita smo analizirali vplive različnega števila kaskadnih struktur in vplive kvantizacije na parametre frekvenčnega odziva in predvsem na dinamično območje izhodnega signala. The Dynamics of the Output Signal in the Cascade Form Implementation of FIR Digital Filters Keywords: digital systems, DSP Digital Signal Processing, FIR irrecursive digital filters. Finite-duration Impulse Response irrecursive digital filters, higher order digital filters, cascade forms, distributed arithmetic, modified distributed arithmetic, PBG, PassBand Gain, practical realizations, practical results Abstract: Finite impulse response (FIR) digital filters represent an integral part of digital systems in several applications. Since usual multipliers in digital filters represent complex hardware structure which consume power, and execution time, the distributed arithmetic or ROM accumulator structure for practical implementation of the inner product of two vectors is sometimes the way to overcome this problems /7,10/. The exponential growth in the memory requirements in higher order FIR digital filters is pointed out and the higher order sections cascade structure is proposed as solution to this problem. An important advantage of this structure is that the total memory requirements can be reduced at the same speed of operation as in basic distributed arithmetic structure. In this paper the implementation of FIR digital filters of high order in cascade form with higher order cascade sections using distributed arithmetic is described and dynamic range of the output signal is analized. The proposed structure of cascade form with higher order cascade sections is a compromise between direct form realization and conventional cascade form with cascade sections of first, second and fourth order /3/. Beside the basic distributed arithmetic structure the modified distributed arithmetic structure is proposed. The modified distributed arithmetic structure is based upon an unipolar presentation of the input signal in the basic distributed arithmetic structure. With this modification the enlargement of dynamic range of the output signal in comparison with the basic distributed structure is obtained, and allows also the hardware complexity reduction due to better normalization of partial sums of products. With additional use of the symmetrical presentation of the partial sums of products the memory for saving the pre-calculated sums of products was halved and required memory for storing the precalculated partial sums of products was also reduced. We have shown, that the modified distributed arithmetic structure is applicable also in the higher order cascade structure of the FIR digital filter implementation, where the enlargement of the pass band gain is very useful. The comparable simulation results for lowpass FIR digital filters with 15, 31 and 41 coefficients are shown with emphasis to the passband gain calculation of filters implemented in one, two, and three higher order sections cascade structure and with different quantization steps of hardware complexity The cascade form realization of FIR digital filter structure has a low passband gain. This is the result of great pass band ripples of the frequency responses of the individual cascade sections, and because of the preventing of the overflow problem inside the cascade sections. When we deal with distnbuted arithmetic mechanization the sum of partial products must be scaled down to prevent overflow in the arithmetic logic unit Because of this property, there is an additional decrease in passband gain, which depend on the number of cascade sections. The values of passband gain (PBG) are given in table 3 for the basic distributed arithmetic structure and in the table 4 for the modified distributed arithmetic structure respectively. The number of cascade sections has a direct influence on the dynamical range of the digital filter structure. Incur case of digital filter complexity, only two or three cascade sections can be proposed. The pass band gain then remain in the upper halve of the output signal range or is not smaller than -6 dB, The most degradation of the output range are noticed at 31 tap digital filter, implemented in three cascade sections. With the proposed modified distributed arithmetic mechanization the (PßG)=0.687, or-3.2 dB is obtained, while with basic distributed arithmetic this value is twenty times lower, {PBG)=0.033 or-29,5 dB, From the presented results we can conclude that the proposed modified distributed arithmetic structure make an improvement to the dynamic range of output signal, it is of great importance, that in restricted hardware solutions, in FPGA realization of such digital systems for example, it IS also possible to obtain the same frequency response performances in cascade form as in the basic distributed arithmetic structure. 1. Uvod Nerekurzivna digitalna sita predstavljajo integralni del digitalnih sistemov v najrazličnejših aplikacijah, ki jih najdemo pri razpoznavanju, analizi in sintezi signalov, pri prenosu in komprimiranju signalov, v telekomunikacijah, pri komunikacijah med človekom in strojem na najrazličnejših nivojih ter še marsikje. Pri tem sta zelo pomembni veji digitalne obdelave signalov digitalno filtriranje in spektralna analiza. Z vse zmogljivejšimi integriranimi vezji pri različnih načrtoval-skih pristopih postaja tudi izvedba sistemov za digitalno obdelavo signalov vedno bolj kompleksna. V prispevku je opisana kaskadna oblika izvedbe digitalnega sita s kaskad-nimi strukturami višjih stopenj v izvedbi s klasično in modificirano porazdeljeno aritmetiko. Porazdeljena aritmetika predstavlja izvedbo prenosne funkcije digitalnega sita z operacijo seštevanja in odštevanja vnaprej izračunanih vseh možnih delnih vsot koeficientov shranjenih v pomnilniku tipa EPROM ali ROM brez uporabe običajnih množilnikov. Slaba stran nerekurzivnih digitalnih sit se kaže v potrebi po sorazmerno visoki stopnji sita za dosego večjega slabljenja v zapornem frekvenčnem pasu in strmejšega prehoda iz prepustnega v zaporni frekvenčni pas. Če želimo v zapornem frekvenčnem področju doseči dušenje 60 dB, je pri različnih širinah prehodnega frekvenčnega področja fz - /p potrebno uporabiti sita s 25 do 45 koeficienti /1 / , Že pri izvedbi sita s takšnim številom koeficientov, postane uporaba klasične strukture porazdeljene aritmetike problematična zaradi eksponencialne rasti velikosti potrebnega naslovnega prostora pomnilnika s številom koeficientov N digitalnega sita, ki je določen z 2'^. Za sito s 15 koeficienti potrebujemo v osnovni strukturi pomnilnik z velikostjo 2^® naslovov oziroma pomnilnik z 32K besedami. Pri sitih višjih stopenj, ko je A/ > 30, dosega ta že okroglo vrednost 10® naslovov. To je za praktične aplikacije tudi dandanes daleč prevelika številka. Zato so prisotna prizadevanja za zmanjšanje naslovnega vektorja. Enostavni način zmanjšanja potrebnega števila pomnilnika je možen pri simetričnih delnih vsotah koeficientov /2/. Vendar s tem postopkom naslovni prostor le razpolovimo, pravo izboljšanje pa bomo dosegli s kaskadno izvedbo digitalnega sita /3, 4/. Pri tem velikost stopenj posameznih kaskadnih struktur določimo glede na aparaturno kompleksnost digitalnega sistema, posebej glede na velikost pomnilnikov za shranjevanje delnih vsot koeficientov v posameznih kaskadah. Uporaba kaskadnih struktur višjih stopenj pripelje do kompromisne rešitve /5/. Pri natančni aritmetiki se sicer ohranjajo vse prednosti osnovne izvedbe, pri upoštevanju praktičnih omejitev pri uporabi klasične porazdeljene aritmetike pa dosežemo precej slabše rezultate. Najprej je prisoten vpliv kvantizacije glede na omejeno aparaturno kompleksnost izvedbene strukture, potem pa še potreba po vnaprejšnjem normiranju delnih vsot koeficientov v vsaki kaskadni strukturi zaradi preprečevanja prelivanja vmesnih rezultatov. Zaradi slednjega se bistveno zmanjša ojačenje v prepustnem frekvenčnem področju. Pri določeni aparaturni kompleksnosti digitalnega sita se to neposredno odraža na zmanjšanju dinamike izhodnega signala. Prikazali bomo, da modificirana porazdeljena aritmetika omogoča ugodnejše normiranje delnih vsot koeficientov in s tem povečano dinamično območje izhodnega signala. Poleg modificirane porazdeljene aritmetike so za primerjavo prikazani še rezultati za klasično porazdeljeno aritmetiko, 2. Kaskadna oblika izvedbe digitalnega sita Kaskadna oblika je znana oblika izvedbe digitalnih sit, ki se običajno uporablja pri nerekurzivnih sitih predvsem zaradi enostavnejše izvedbe in manjše občutljivosti frekvenčnega odziva v zapornem frekvenčnem področju na spremembe koeficientov. To je izrazito prisotno pri splošni kaskadni obliki, ki je sestavljena iz elementarnih kaskadnih struktur prve, druge in četrte stopnje, Vendartakšna oblika ni primerna za praktično izvedbo. Prisotne so tri osnovne pomanjkljivosti /6/: splošna kaskadna oblika je sestavljena iz prevelikega števila kaskadnih struktur, pri aparaturni izvedbi z uporabo aritmetike s stalno decimalno vejico je zaradi potrebe po normiranju maksimalnega ojačenja prisotno močno zmanjšanje skupnega ojačenja kaskadne oblike v prepustnem frekvenčnem področju. Zaradi tega lahko postane razmerje signal šum popolnoma nesprejemljivo za praktično uporabo. pri frekvenčno selektivnih digitalnih sitih se pojavlja velika občutljivost na spremembe koeficientov oziroma vplivov kvantizacije v prehodnem frekvenčnem področju. To povzročajo predvsem prenosne funkcije tistih struktur, ki so v prepustnem frekvenčnem področju določene z ničlami izven kroga enote v z ravnini. Pri tem ugotovimo, da takšne strukture nimajo niz-koprepustnih frekvenčnih odzivov, čeprav gre za izvedbo nizkoprepustnega sita. Zaradi teh pomanjkljivosti je splošna kaskadna oblika izvedbe digitalnih sit s končnim trajanjem impulznega odziva bolj teoretična rešitev, ki se pri aparaturni izvedbi sooča z velikimi težavami zaradi vplivov kvantizacije. Tudi uporaba porazdeljene aritmetike teh pomanjkljivosti ne zmanjšuje, čeprav bi se zaradi majhnih stopenj osnovnih struktur v največji možni meri zmanjšale potrebe po pomnilniških kapacitetah, Z upoštevanjem lastnosti osnovne in splošne kaskadne oblike se ponuja kompromisna rešitev izvedbe digitalnega sita v kaskadni povezavi struktur višjih stopenj. Te dobimo z ustrezno združitvijo struktur prve, druge in četrte stopnje /4/, Ugotovili smo, da se s tem vse tri pomanjkljivosti splošne kaskadne povezave v veliki meri odpravijo. Predvsem pa je pomembno dejstvo, da dosežemo v kaskadni obliki izvedbe in v strukturi porazdeljene aritmetike enake hitrosti odzivov kot v direktni obliki, s tem da glede na manjše stopnje kaskadnih struktur zlahka uskladimo potrebe po pomnilniških kapacitetah za shranjevanje delnih vsot koeficientov. 3. Modificirana porazdeljena aritmetika Za nerekurzivno digitalno sito zvezo med izhodnim >'(n) in vhodnim signalom 4n) najpogosteje zapišemo s konvolu-cijsko enačbo v obliki: yi,i)=Y,h{k)x{n--k) (1) V enačbi je s h(k), k = 0,1,..., N -1 označena končna sek-venca N koeficientov impulznega odziva nerekurzivnega digitalnega sita stopnje A? - l in x{n - k) A/ časovnih otipk-ov vhodnega signala. Izhodni signal }'(n) predstavljamo v binarni obliki z Sy biti. Vhodni signal x(n) je običajno omejen v intervalu med -1 in +1 in ga v binarni obliki predstavimo z dvojiškim komplementom: (2) V enačbi (2) predstavlja Sx število bitov za zapis n-te vrednosti vhodnega signala x(n), bin) so binarne spremenljivke vhodnega signala x{n), ki zavzamejo vrednosti O ali 1. Pri tem bo(n) predstavlja predznak in bßx-An) najmanj uteženi bit z utežno vrednostjo Modificirana porazdeljena aritmetika /2/ temelji na unipo-larni predstavitvi vhodnega signala zapisanega v dvojiškem komplementu. S takšnim zapisom vhodnega signala se izognemo odštevanju zadnje delne vsote v klasični porazdeljeni aritmetiki in tako tudi zmanjšamo kompleksnost vezja. Vhodni signal x(n) predstavimo v binarni obliki z 1=0 (3) Omejen je v polodprtem intervalu [O, 2). Trenutno izhodno vrednost izhodnega signala na unipolarni vhodni signal dobimo z upoštevanjem izrazov (1) in (3) v obliki 1=0 /Jv-l 2"' (4) Z f/v; (n) so označene delne vsote koeficientov, ki jih v strukturi porazdejene aritmetike imenujemo tudi vmesni rezultati, saj njihove vrednosti predstavljajo vmesni korak pri izračunu y. Za en izračun izhodne vrednosti potrebujemo toliko delnih vsot koeficientov, kot je število bitov spremenljivke X . Izraz (4) predstavlja mehanizem delovanja modificirane porazdeljene aritmetike. Za izračun izhodne vrednosti sta potrebni le operaciji seštevanja in množenja z 2'', ki se preprosto izvaja s pomikom vsebine v aritmetično logični enoti za i - bitov v desno. Izkaže se, da je v tem primeru tudi izhodni signal unipolaren in premaknjen iz izhodišča za konstantno vrednost Ky, ki jo dobimo z zapisom kon- volucijske vsote za y' {n). A-=0 iV-1 = ^h{kXn-k)+^hik) k=0 li=Q = ><'0+ Ky. (5) Velikost konstante Ky je določena z vsoto koeficientov impulznega odziva digitalnega sita. Če sedaj vpeljemo modificirane delne vsote koeficientov v obliki, (6) bomo najbolj enostavno izničili konstantno vrednost v izhodnem signalu in dobili na izhodu spet bipolarno obliko signala. Po (6) so postale delne vsote tudi simetrične. Glede na en (5) je izhodna vrednost signala y(n) določena z ^ clvnii 2 ' = y" (;;) - Ky = y{n) (7) Skupni vsoti delnih vsot koeficientov dv; se odšteva vsota koeficientov impulznega odziva sita in izniči premaknitev, ki nastane zaradi unipolarnega zapisa vhodnega signala. Na osnovi enačb (7) in (6) lahko narišemo izvedbo digitalnega sita v modificirani obliki porazdeljene aritmetike, ki je v primerjavi s klasično porazdeljeno aritmetiko nekoliko enostavnejša, saj se v aritmetično logični enoti Izognemo odštevalni enoti. Struktura je prikazana na sliki 1. Slika 1: Izvedba digitalnega sita v modificirani obliki porazdeljene aritmetike Za razliko od delnih vsot koeficientov, ki so pri klasični porazdeljeni aritmetiki za nizkoprepustna sita izrazito pozitivne ali negativne vrednosti, so modificirane delne vsote koeficientov izračunane po enačbi (6) simetrične z nasprotnimi predznaki. V procesu normiranja delnih vsot koeficientov je takšna razporeditevvrednosti ugodnejša, saj dosežemo posebej pri nizkoprepustnih sitih zapis večjih vrednosti v pomnilnik. To je osnova povečanja dinamičnega območja izhodnega signala. Da čimbolje izkoristimo izhodno napetostno območje in hkrati preprečimo prekoračitve v izhodnem signalu, ki je omejen z Ba oziroma z ßy biti, normiramo modificirane delne vsote koeficientov glede na maksimalno in minimalno vrednost frekvenčnega odziva, Zato moramo v postopku načrtovanja za izbrano digitalno sito določiti maksimalno, in minimalno vrednost frekvenčnega odziva, . Največja vrednost delne vsote koeficientov je tedaj enaka 1, najmanjša pa -1. 4. Uporaba modificirane porazdeljene aritmetike pri izvedbi kaskadne oblike sita s strukturami višjih stopenj Pri kaskadni izvedbi digitalnega sita se prej opisane razmere bistveno ne spremenijo. Izhodni signal je po vsaki kaskadi bipolarne narave in ga moramo pred povezavo na naslednjo kaskado ponovno pretvoriti v unipolarno obliko. Simetrične modificirane delne vsote koeficientov normiramo glede na maksimalno in minimalno vrednost frekvenčnega odziva za vsako kaskadno strukturo posebej. Pri aritmetiki z neomejeno natančnostjo bi izhodni signal po vsaki kaskadi ohranjal enak nivo. V praktičnih razmerah pa se nivo izhodnega signala iz kaskade v kaskado le zmanjšuje. Izvedbo digitalnega sita v kaskadni obliki v strukturi klasične in modificirane porazdeljene aritmetike smo simulirali na bitnem nivoju in tako zajeli tudi vplive kvantizacije. Z 32 biti smo predstavili referenčno izvedbo sita; za zapis vhodnega signala, delnih vsot koeficientov, aritmetično logične enote ter izhodnega signala pa smo uporabljali 8 do 16 bitov. Frekvenčne odzive in osnovne parametre frekvenčnih odzivov, kot so ojačenje v prepustnem frekvenčnem področju (PSG), slabljenje v zapornem frekvenčnem področju {SBA) in dušenje sita smo dobili z diskretno Fourierjevo transformacijo (DPT) odziva sita na belošumni signal na vhodu. Pri spreminjanju števila otipkov vhodnega signala, smo dobili zadovoljive rezultate že s 500 otipki. V nadaljevanju je prikazan pregled zanimivejših rezultatov parametrov frekvenčnih karakteristik za nerekurzivna digitalna sita s 15, 31 in 41 koeficienti, ki smo jih izvedli v kaskadni obliki z eno, dvema in tremi strukturami. Poleg modificirane porazdeljene aritmetike je podana primerjava za klasično porazdeljeno aritmetiko /7/. Na naslednjih slikah so v grafični obliki predstavljeni simu-lacijski poteki frekvenčnih odzivov. Slika 2 prikazuje časovni potek dela vhodnega belošumnega signala, ki smo ga uporabljali za izračun frekvenčnih spektrov z DPT. Njegov frekvenčni spekter ter spekter izhodnega signala iz nizko-prepustnega digitalnega sita s 15 koeficienti pa je pri upoštevanju vplivov kvantizacije vhodnega signala zB^ =12 biti, delnih vsot koeficientov zS^^, =8 biti in aritmetično logične enote zß., =32 biti prikazan na sliki 3. Slika 2: Časovni potek dela vhodnega belošumnega signala I H((/(v)| Slika 3: Frekvenčni spekter vhodnega in izhodnega signala za nizkoprepustno digitalno sito s 15 koeficienti pri B^ =12, ß