i
i
“1265-Grasselli-prastevila” — 2010/7/22 — 13:27 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 3
Strani 134–136
Jože Grasselli:
OBSTOJNA PRAŠTEVILA
Ključne besede: matematika, teorija števil, praštevila, permutacije
števk.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1265-Grasselli.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Matematika I
OBSTOJNA PRAŠTEVILA
Ko vpraštevilu 13 zamenjamo vrstni red števk , dobimo prašt evilo 31. Če
napravimo isto spraštevilom 19, pr idemo do št evila 91 = 7 . 13, ki ni
praštevilo.
Imenujmo dvo ali večmestno praštevilo obstoj no, če vsaka permut a-
cij a njegovih št evk pr ipelje do praštevila. Tor ej : pr ašt evilo 13 je obstojno ,
praštevilo 19 pa ne.
Takoj vidimo , da v desetiškem zap isu obstojnega pr aštevila ne mor e
biti števke 2. Števke namreč lahko pre uredimo tako , da pride 2 na me-
sto enic. Dvo ali večmestno št evilo, ki se končuj e z 2, pa ni praštevilo.
Iz podobnih razlogov se v obstojnem pr aštevilu ne more pojavljati tud i
nob ena od 'števk O, 4, 6, 8, 5. Zato : V desetiškem zap is u obstojnega
praštevila nastopajo le š tevke 1 , 3, 7, 9.
Poiščimo vsa dvomestna obstoj na praš tev ila . Najdemo jih med ti-
st imi dvomestnimi praštevili, ki se zapišejo le s št evkami 1, 3, 7, 9; torej
med praš te vili
11,1 3, 17,1 9, 31, 37, 71,73,79, 97, (1)
ki so vsa razen 19 obstojna. Vseh dvomestnih praštevil j e 21, po (1) je
devet obstojnih .
Kako bi našl i vsa trimest na obstojna praštevila? Podobno kot v (1)
bi iz seznama vseh trimest nih praštevil, ki imajo v zap isu le števke 1, 3,
7, 9, odbrali obstojna pr aštevila . Rav namo pa lahko še drugače .
V zap isu trimestnega števila so , ali vse števke enake ali vse št evke
raz li čne ali pa dve št evki enaki.
Če so vse št evke enake, je tr imestno število deljivo s 3 in ni praštevilo .
Naj bodo vse št evke raz li čne. Iz števil
137, 139,179 ,379 (2)
dobimo s permut acijami števk vsa tr imestna št evila , ki imajo v zap isu
same različne števke 1, 3, 7, 9. Števila (2) so sicer prašt evila , ni pa
nobeno obstojno. J e namreč
371 = 7· 53, 319 = 11 · 29, 791 = 7 · 113, 793 = 13 · 61.
Obstoj nih trimestn ih praštevil s tr emi razl ičnimi št evkami torej ni .
Naj bosta sedaj v številu od tre h št evk dve enaki. Napravimo seznam
št evil, ki se zapi šejo z 1, 3, 7, 9 in imajo prvi šte vki enaki:
113,111,119, 331, 337, 339, 771, 773,7 79, 991, 993, 997. (3)
IMat ematika
Obstoj na trimestna praštevila z dvema enakima št evkama so nujno med
št evili (3) . Podčrtana števila so deljiva s 3, torej niso praštevila . Ker je
119 = 7 ·17, 133 = 7 ·19, 737 = 11 ·67, 779 = 19 · 41, 979 = 11 . 89,
se seznam (3) skrči na
113, 337, 991. (4)
Če j e kaj trimestnih obstoj nih prašt evil z dvema enakima števkama, so
zaj eta v (4) . Preizkus ali pogled v prašt evilsko tabelo potrdi , da so števila
(4) praštevila. Permutacije števk v (4) privedejo do števil
113,1 31,311 ; 337,3 73,733; 991,919,199 , (5)
ki so obenem praštevila .
Sklep : Med trimestnimi praštevili j e devet obstojnih, navedena so v
(5) . Dodajmo še, da je vseh trimestnih prašt evil 143.
Pri iskanju štirimestnih obstoj nih prašt evil je treba upoštevati mož-
nosti: Od štirih števk, vzetih izmed št evk 1, 3, 7, 9, so , ali vse št iri
razli čne ali tri razl ične ali dve raz l ičn i ali vse štiri enake. Če si pomagamo
s praštevilsko tabelo, hitro ugotovimo, da štirimestnih obstojnih prašt evil
ni. Na tak način bi mog li nadaljevati pr i določanju pet in večmestnih
obstoj nih prašt evil.
Večmestno število, ki im a vse števke enake c, ob vsaki permutaciji
št evk preide vase. Tako število pri c # 1 ni prašt evilo , saj premore delitelj
c > 1. Vzemimo sedaj, da v št evilu anastopa samo št evka 1, in to j - krat.
Če j e j sestavljeno št evilo , je tudi a sestavljeno število. Naj bo namreč
j = st in s, t naravni števili , večji od ena . V številu
b = lOs - 1 + lOs - 2 + ...+ 10 + 1
so vse šte vke 1 in j ih je s . Ker je
a = b . l Oj -s + b . l Oj - 2s + ...+ b . lOS + b,
deli b št evilo a. Zaradi 1 < s,l < t j e tud i 1 < b < a in asest avlj eno
št evilo.
b a e  ugotovitve bhaja: Stevilo, ki ima B cla&&em iapitm we 
&evb enah 1, bi mogto biti praStevilo kveZjemu tedaj, ko ja &do %evk 
j pr~tevilQ. Za j = 2 dobimo pr&teviEo 11. Ne velja pa ta ea j = 
= 3,5,7,11,13,17. Saj je 
l l l l l l l l l l l l l  = 53 79 -265371653 
l l l l l l l f  111111111 = 20717B 513222357. 
Pa€ pa dobho prastavila 5a j = 13,23, potem pa ae j = 29,31,37,41 
*pet ne. 
Znano je, da j e  praiited n&nEno. Ali medl irtevili, ki se &ap%jo 
a a& &mi, &nFnokrat naletimo na prdtevila? Ali je obrptoj- 
nih p r M  neskonEno? Na ~sastarljeni vp-i p k  teh vrstic ae ve 
odgo~ora 
NaI~ga. Zguraj so obramama o k & a  v deseti&em sa 
pieu. Naj bo p pmiitevilo. V d v o j k  sapirm js bJmti obtojna prsitevih 
le gled M-movimi Btevil i  1.,.1 = 2p - 1 (6bvka 1 nastopa na levl 
pkrat). PmpxiEaj se o tem. 
Joie Gresselli