P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 5 Strani 258-260
Marjan Jerman: O DIAMETRU MNOŽICE
Ključne besede: matematika, množice.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1097-Jerman.pdf
© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
O DIAMETRU MNOŽICE
Kako bi povedali, kako velika je neka množica M v 3-razsežnem (evklidskem) prostoru (torej v prostoru, kjer živimo; ima dolžino, širino in višino)7 Ena od možnosti je, da povemo največjo mogočo razdaljo med dvema točkama te množice (dolžino najdaljše daljice, katere krajišči ležita v M). Taka razdalja ne obstaja vedno. Če obstaja, ji pravimo diameter ali premer množice M in jo označimo z diam M (včasih pa bomo tudi najdaljšo daljico samo imenovali diameter množice M). Da dvom o obstoju ni odveč, nam pokažeta naslednja zgleda.
1. Naj bo M premica v prostoru. Za poljubni d > 0 lahko najdemo na M daljico z dolžino d. (Eno krajišče naj bo poljubna točka na premici, po premici odmerimo d in končna točka je drugo krajišče daljice z dolžino d.) Lahko bi rekli, da je diameter premice enak neskončno.
2 Naj bo M odprti krog (to je krog brez oboda, brez mejne krožnice) s polmerom r. Za poljubni d < 2r lahko najdemo v M točki, ki sta oddaljeni za d (v kako točko, ki je zadosti blizu obodu, zapičimo šestilo in narišimo krožnico s polmerom d\ dobre so vse točke na tej krožnici, ki ležijo v M), za d = 2r pa nam to ne uspe, kajti vzeti bi morali točki z oboda.
Če je diameter dosežen na neki daljici, pa taka daljica ni nujno ena sama. Za zaprti krog (to je krog skupaj z obodom) je diameter dosežen na vsakem premeru {od tod tudi ime). Dobra je vsaka daljica skozi središče kroga, ki ima krajišči na obodu.
Bralec, ki bo šel študirat matematiko, bo izvedel, da diameter zagotovo obstaja za množice, ki so omejene (to je take, ki jih lahko vklenemo v kak krog - za premico ni dovolj velik noben krog) in zaprte (približno si lahko mislimo, da morajo imeti rob - odprti krog ga nima).
Da bomo bolje začutili, kaj je diameter, poiščimo diameter trikotnika in tetraedra (Četverca). Najbolj vztrajni bralci pa lahko po napornem branju, ki zahteva nekaj osnovnega znanja ravninske geometrije, rešijo še nekaj nalog, ki so jih reševali srednješolci na republiških in zveznih tekmovanjih v (bivši) Jugoslaviji, Nemčiji in Avstriji.
Trditev 1. Diameter trikotnika je dosežen na eni od njegovih stranic
Dokaz Trikotnik je zaprt in omejen, zato diameter obstaja. Vzemimo
trikotnik A ABC in diameter DE. Da morata krajišči diametra ležati na stranicah trikotnika, ugotovimo takole: če bi kako krajišče ležalo v notranjosti A ABC, bi lahko narisali premico skozi D in E, ki bi sekala obod AABC v točkah D' in E'. Daljica D'E' C A ABC bi bila daljša od daljice DE, to pa je v protislovju s predpostavko, da je DE diameter. Zato obravnajmo le primer, ko krajišči diametra ležita na stranicah trikotnika.
Najprej pokažimo, da se vsaj eno krajišče (to je vsaj ena od točk D in (:) ujtma s kakim od oglišČ A ABC. Predpostavimo nasprotno. Privzemimo oznake na sliki. Zaradi simetričnosti lahko obravnavamo le primer E G AC, D € BC (za druge lege zamenjamo vtage Črk, dokaz je isti). Naj bo e := = LAED. Narišimo daljico AD in si oglejmo trikotnika AAED in AEDC.
če je kot E topi ali pravi, je največji kot v A AED (za ostala kota skupaj ostane ie 180° — e < 90° < £ torej za vsakega posebej manj kot c). Za trikotnik velja, da nasproti največjemu kotu leži največja stranica (Radoveden bralec lahko to prebere v Pucljevem učbeniku Geometrija za 1. razred gimnazije, III.B/§6-izrek 26.) Tedaj bi torej veljalo AD > ED. to pa je v protislovju s predpostavko, da je DE diameter.
A
in je podobno kot prej DC > E D, kar je protislovje.
Dokažimo, da se tudi drugo krajišče pokriva z ogtiščem trikotnika Recimo, da to nt res. Zaradi simetričnosti lahko obravnavamo le prrmer E = A, D £ BC. Označimo i := ¿AD B. Oglejmo si trikotnika A ABD m A ADC.
Sklepajmo podobno kot prej: Če je kot i topi, je AB > AD = ED, če pa je ostri, je ¿ADC = 180° - 6 top in AC > AD Trditev je tako dokazana.
Dokažimo še podobno trditev za tetraedre1
Trditev 2. Diameter tetraedra je dosežen na enem od njegovih robov
Dokaz Tudi tetraeder (imenujmo ga ABCD) je zaprt in omejen, zato diameter obstaja. Naj bo dosežen na daljici EF Podobno kot pri trikotniku ležita krajišči F in F na ploskvah tetraedra (Sicer bi potegnili premico skozi
F in F ta bi sekala površino tetraedra v točkah E' in F' in veljalo bi E' F' > >" )
Tetraeder ima štiri oglišča, zato lahko izmed njih izberemo eno, ki se ne ujema z nobenim od krajišč diametra, recimo ogtisče A Točke A, E in F niso kolinearne. ker bi sicer veljalo ali A F > E F ali AE > EF. kar je v nasprotju s predpostavko, da je EF diameter. Potegnimo poltraka z izhodiščem v A skozi E in F, naj prebodeta ploskev ABCD v točkah F.' in F'. Ker točke A, $ in F niso kolinearne, je E' ^ F'.
EF je po predpostavki diameter tetraedra, velja pa EF C AE'AF' C ABCD. zato je EF tudi diameter trikotnika AE'AF' Po trditvi 1 se mora E F ujemati z eno od stranic trikotnika /SE' AF' Ker A ^ {F, F), mora biti E F ~ E1 F' Daljica F'F' pa leži v ABCD. Tako lahko ponovno uporabimo trditev 1. ki nam pove, da je E F E' F' ena od stranic trikotnika A BCD. Trditev je dokazana.
Naloge:
1.	(Jugoslavija, 1972) Predpostavimo, da je v neki konveksni množici diameter dosežen na več (> 2) d.iljicah. Dokaži, da imata poljubni dve od teh daljic vsaj eno skupn.o točko (Nasvet Dokazuj s protislovjem, loči primera: (1) noben od diametrov ne seka nosilke drugega, (2) en diametet seka nosilko drugega diametra )
2.	(Nemčija, 1982) Dokaži, da lahko vsak konveksni štirikotnik razrežemo z lomljeno črto tako, da sta diametra tako dobljenih delov manjša od diametra štirikotnika
3.	(Nemčija. 1962) Dokaži, da je v konveksnem štirikotniku razmerje med najdaljšo in najkrajšo razdaljo med poljubnima ogliščema večje ali enako ■/2 (Nasvet uporabi kosinusni izrek )
A (Avstrija. 197£>) IMa ravnini je poljubno izbranih šest točk Dokaži. da je razmerje med najdaljšo in najkrajšo razdaljo med točkama večje ali enako V3 (Nasvet uporabr kosinusni izrek )
Marjan Jerman