ERK'2022, Portorož, 363-366 363 Primerjava algoritmov QPS-PSO in jDE r na potencialu Lennard-Jones Jana Herzog 1 , Borko Boˇ skovi´ c 2 , Janez Brest 3 1 Fakulteta za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko, Univerza v Mariboru, Koroˇ ska cesta 46, 2000, Maribor, Slovenija E-poˇ sta: jana.herzog1@um.si The Comparison of QPS-PSO and jDE r algorithms for the Lennard-Jones Potential This paper presents a statistical analysis and compari- son of two algorithms, the particle swarm optimization with quasi-physical strategy and jDE algorithm with a random re-initialization, while tackling the optimization problem of Lennard-Jones potential. The algorithms are compared based on two criteria; the predetermined stop- ping condition and hit ratio, while also observing the quality of the solutions. The main focus was whether the stopping condition affects the quality of the solutions and the hit ratio of both algorithms. 1 Uvod Potencial Lennard-Jones predstavlja enega izmed najzah- tevnejˇ sih optimizacijskih problemov [15]. Gre za iska- nje najstabilnejˇ se strukture atomov v tridimenzionalnem evklidskem prostoru. Problem je izredno multimodalen, zato ima lahko algoritem teˇ zave pri iskanju globalnega optimuma [16]. Velikokrat se zgodi, da algoritem za- ide v enega izmed lokalnih minimumov, iz katerega se ne uspe reˇ siti. To privede do prezgodnje konvergence [12]. ˇ Stevilo lokalnih minimumov naraˇ sˇ ca eksponentno glede na ˇ stevilo atomov. Prikaz eksponentnega naraˇ sˇ canja lo- kalnih minimumov v razmerju s ˇ stevilom atomov pri- kazuje tabela 1. Velja, da je problem iskanja poten- ciala Lennard-Jones NP-teˇ zek problem [12]. Potencial Lennard-Jones predstavlja problem iz resniˇ cnega sveta in je bil leta 2011 del testnih funkcij tekmovanja CEC (IEEE Congress on Evolutionary Computation) [5]. Pri problemu potenciala Lennard-Jones matematiˇ cno gledano raˇ cunamo globalni minimum kar odraˇ za stabilno stanje agregata. V skupku Lennard-Jones je vsak atom podvrˇ zen sili drugih atomov, pod vplivom katerih se bo atom premikal: ko sta dva atoma zelo blizu, se bo- sta odbijala; ko pa sta daleˇ c narazen, pa se bosta pri- vlaˇ cila. Delovanje sil odbijanja in privlaˇ cenja ter poten- cial Lennarda-Jonesa prikazuje slika 1. Problem opiˇ semo z enaˇ cbama (1) in (2), kjer v i,j predstavlja potencialno energijo medi-tim inj-tim atomom. Evklidska razdalja med koordinatama vektorjev x i in x j je predstavljena z r i,j , medtem kox i predstavlja koordinatoi− tega atoma. Energija je izraˇ zena kotE LJ , kjerε =σ = 1.N predsta- vlja ˇ stevilo atomov. Spremenljivke so podrobneje pred- Slika 1: Graf prikazuje krivulje za potencial Lennard-Jones ter sili odbijanja in privlaˇ cenja. stavljene v tabeli 2. E LJ = 4ε X i v i,j (1) E LJ = 4ε N− 1 X i=1 N X j=i+1 ( σ r i,j ) 12 − ( σ r i,j ) 6 (2) Za reˇ sevanje tega problema so bili uporabljeni ˇ stevilni al- goritmi, in sicer genetski algoritem [9], algoritem simu- liranega ohlajanja [8] in algoritem optimizacije z rojem delcev [13]. V tem prispevku smo se lotili reˇ sevanja potenciala Lennard-Jones z dvema stohastiˇ cnima algoritmoma, in sicer z algoritmom optimizacije z rojem delcev, kateremu je dodana kvazi-fiziˇ cna strategija privlaˇ cenja in odbija- nja (QPS-PSO) [12] in evolucijskim algoritmom jDE [2], kateremu je dodan mehanizem nakljuˇ cne reinicializacije. Ta algoritem smo poimenovalijDE r . Algoritma smo analizirali in primerjali na podlagi kvalitete reˇ sitve, ki jo doseˇ zeta ob upoˇ stevanju zaustavi- tvenega pogoja, kateri je doloˇ cen z najveˇ cjim dovoljenim ˇ stevilom funkcijskih ovrednotenj (maxFEs) in glede na uspeˇ snost zadetkov pri doseganju najboljˇ se znane reˇ sitve (doslej najmanjˇ se doseˇ zene energije skupka atomov). Za- nimal nas je vpliv zaustavitvenega pogoja na kvaliteto reˇ sitve in na uspeˇ snost zadetkov. 364 ˇ Clanek ima sledeˇ co strukturo. V drugem poglavju opiˇ semo sorodna dela. Tretje poglavje podaja opis eks- perimenta, rezultate in primerjavo algoritmov. V zadnjem poglavju sledi zakljuˇ cek in zastavitev dela za naprej. Tabela 1: ˇ Stevilo atomov in ˇ stevilo pripadajoˇ cih lokalnih mini- mumov. ˇ Stevilo atomov ˇ Stevilo lokalnih minimumov 6 2 7 4 8 8 9 21 10 57 11 145 12 366 13 988 15 10 4 25 10 6 55 10 10 100 10 40 147 10 60 2 Sorodna dela Optimizacijski problem potenciala Lennard-Jonesa velja za teˇ zek, a hkrati zanimiv problem, saj je teˇ zko najti optimalno energijo atomov, ki predstavlja najstabilnejˇ so strukturo atomov. Matematiˇ cno gledano velja problem potenciala Lennard-Jones za problem globalne optimi- zacije brez omejitev [19]. Za reˇ sevanje problema je bilo uporabljenih veliko razliˇ cnih algoritmov. Avtorji so si prizadevali najti najboljˇ so globalno reˇ sitev, tako je Wille [17] z razliˇ cico algoritma simuliranega ohlajanja naˇ sel globalne optimume do velikosti skupkovN = 25. Wales in Doye sta v prispevku [15] s pomoˇ cjo algoritma, ki uporablja Monte Carlo optimizacijo (optimizacijski algoritem), potrdila prejˇ snje najboljˇ se najdene reˇ sitve na skupkih atomov do velikosti 110 in hkrati dosegla naj- manjˇ se energije za skupke atomov 69,78 in 107. Le- ary [11] je z algoritmom Big Bang naˇ sel optimalne ener- gije skupkov velikosti N = 69,78,88,107,113,115. Deaven [6] je z genetskim algoritmom naˇ sel optimalno reˇ sitev za N = 88. Najboljˇ se znane energije do ato- mov velikosti 45 so prikazane v tabeli 3. Za iskanje op- timalne energije skupkov so bili uporabljeni ˇ stevilni evo- lucijski algoritmi: CCDE, CCPSO2, CSO, DECC-DG, EPSO, HCLPSO in VLPSO-FS [12], saj lahko z njimi reˇ sujemo vse velikosti skupkov, prav tako pa ne zahte- vajo vnaprej nastavljene zaˇ cetne konfiguracije. Evolu- cijski algoritmi so se pri reˇ sevanju tega problema izka- Tabela 2: Tabela prikazuje razlago spremenljivk, uporabljenih v enaˇ cbah potenciala Lennard-Jones. V medmolekularni potencial med atomoma ϵ globina in pokazatelj, kako moˇ cno se delca privlaˇ cita σ razdalja, kjer je medmolekularni potencial med obema delcema enak niˇ c r razdalja loˇ cevanja med obema delcema (merjeno od srediˇ sˇ ca enega delca do srediˇ sˇ ca drugega) zali za zelo uspeˇ sne, vendar pa imajo eno pomanjklji- vost – hitro zapadejo v lokalni minimum. Da bi to pre- preˇ cili, so avtorji [12] razvili razliˇ cico algoritma optimi- zacije roja delcev, ki mu je bila dodana strategija, katera posnema obnaˇ sanje atomov, in sicer je vkljuˇ cena opera- cija privlaˇ cenja in odbijanja. V dodani strategiji se simu- lira realno atomsko strukturo, ki vkljuˇ cuje medatomsko silo. Algoritem so poimenovali QPS-PSO. Tabela 3: Najboljˇ sa znana energija [15] glede na ˇ stevilo atomov. ˇ Stevilo Najboljˇ sa atomov znana energija 7 − 16,50 13 − 44,32 18 − 66,53 24 − 97,34 27 − 112,87 30 − 128,28 38 − 173,92 44 − 207,68 45 − 213,78 3 Eksperiment Za izvedbo eksperimenta smo uporabili dva stohastiˇ cna algoritma QPS-PSO in jDE r , in sicer smo ju primer- jali glede na kvaliteto reˇ sitve in uspeˇ snost zadetkov pri reˇ sevanju problema potenciala Lennard-Jones. Za iz- vedbo eksperimenta smo uporabili superraˇ cunalnik Vega in raˇ cunalnik z GNU C++ prevajalnikom verzija 9.3.0, Intel(R) Core(TM) i5-9400 s 3.2 GHz CPE in 6 jedri ter Matlab 2021a na sistemu Windows 11 z 16GB RAM. Algoritem QPS-PSO predstavlja razliˇ cico algoritma optimizacije roja delcev (Particle Swarm Optimiza- tion) [10], kateri vsebuje kvazi-fiziˇ cno strategijo. Ta stra- tegija ima dve operaciji, in sicer operacijo privlaˇ cenja in odbijanja ter dva sproˇ zilna pogoja. Operacija privlaˇ cenja pomaga roju delcev najti lokalni minimum. Operacija od- bijanja pa pomaga roju delcev zapustiti lokalni minimum in ponovno zagnati postopek iskanja. Konˇ cni cilj stra- tegije je najti globalni minimum. To poˇ cne s pomoˇ cjo fizikalne medatomske sile. Torej iˇ sˇ cemo najstabilnejˇ so strukturo skupka Lennard Jones v tridimenzionalnem ev- klidskem prostoru. Sproˇ zilna pogoja preverjata, ali je zadoˇ sˇ ceno kvazi-fiziˇ cni strategiji. Obenem pa zago- tavljata, da so rezultati iteracije algoritma konvergen- tni. Parametri algoritma QPS-PSO so bili nastavljeni na sledeˇ ce vrednostiNP = 30,w = 0,5,c 1 = 1,5,c 2 = 2, τ = 100,k = 0,1. Algoritem QPS-PSO je implementi- ran v orodju Matlab. Zaustavitveni pogojmaxFEs,vpliva na ˇ cas izvedbe eksperimenta. Zaradi raˇ cunske zahtev- nosti eksperimenta smo za veˇ cje dimenzije problema in veˇ cji zaustavitveni pogoj uporabili superraˇ cunalnik HPC Vega 1 . Algoritem jDE [2] je razliˇ cica algoritma diferencialne evolucije [14], ki uporablja samo-prilagodljiv mehanizem krmilnih parametrov, kjer ima vsak posameznik v popu- laciji svoji vrednosti za krmilna parametraF i inCR i [4]. 1 http://www.sling.si/sling/ 365 Shema parametrov je prikazana v enaˇ cbah (3) in (4). Ve- likost populacije (NP) je nastavljena na 30. F i,g +1 = F l +rand 1 · F u , ˇ ce rand 2 <τ 1 , F i, g , drugaˇ ce . (3) CR i,g +1 = rand 3 , ˇ ce rand 4 <τ 2 , CR i, g , drugaˇ ce . (4) Algoritmu jDE smo dodali mehanizem nakljuˇ cne reinici- alizacije [3], saj smo ˇ zeleli s tem mehanizmom izboljˇ sati uˇ cinkovitost algoritma pri doseganju najboljˇ se znane op- timalne energije potenciala Lennard-Jones. Mehanizem ponovnem reinicializacije pomaga algoritmu pri vzposta- vitvi veˇ cje raznolikosti populacije, kar pri danem pro- blemu omogoˇ ca, da algoritem ne zaide v lokalni mini- mum. Tovrstni mehanizem je bil uporabljen pri problemu zvijanja proteinov [1]. Algoritem smo poimenovali jDE r . Algoritem jDE r je implementiran v programskem jeziku C++. Tovrstna implementacija pripomore tudi k hitrejˇ si izvedbi eksperimenta kljub veliki raˇ cunski zahtevnosti optimizacijskega problema. Izvedli smo 30 zagonov pri zaustavitvenem pogoju 10 6 ovrednotenj in beleˇ zili povpreˇ cno doseˇ zeno energijo, standardni odklon [12] ter uspeˇ snost zadetkov. Rezul- tati do ˇ stevila atomov 45 so prikazani v tabeli 4. Za- nimalo nas je, v kolikih zagonih algoritem doseˇ ze opti- malno energijo, in sicer smo izmerili uspeˇ snost zadetkov [%], ki je prikazana v tabeli 5. Opazimo, da algoritem jDE ne dosega najboljˇ sih zna- nih optimalnih energij. Da bi preverili, ali je med algorit- moma jDE in jDE r signifikantna razlika, smo uporabili Wilcoxonov test [7] s stopnjo signifikantnostiα = 0,05. Glede na to, da velja (p< 0,05) lahko reˇ cemo, da je med algoritmoma signifikantna razlika. Rezultat kaˇ ze na to, da smo z mehanizmom nakljuˇ cne reinicializacije algori- tem jDE signifikantno izboljˇ sali (jDE r ). V nadaljevanju primerjamo algoritma QPS-PSO in jDE r . Pri manjˇ sih velikostih problema algoritma QPS- PSO in jDE r dosegata 100% uspeˇ snost, npr. pri 7 ato- mih. Poudariti je potrebno, da je ˇ stevilo atomov (N) po- mnoˇ zeno s 3, saj se nahajamo v tridimenzionalnem ev- klidskem prostoru. Oba algoritma, QPS-PSO in jDE r imata teˇ zave pri doseganju optimalne energije od veliko- sti problema 27 naprej. Glede na povpreˇ cne rezultate 30 zagonov opazimo, da je algoritem QPS-PSO uspeˇ snejˇ si pri pribliˇ zevanju globalnemu minimumu, medtem ko ima algoritem jDE r pri tem teˇ zave. Razlog je v velikem ˇ stevilu lokalnih minimumov, ki z velikostjo problema naraˇ sˇ cajo. To algoritmu oteˇ zuje iskanje globalnega mini- muma. Glede na uspeˇ snost zadetkov, opazimo, da imata oba algoritma velike teˇ zave pri iskanju globalnega mini- muma. Glede na to, da Wilcoxonov test pokaˇ ze (p < 0,05), lahko reˇ cemo, da je med algoritmoma signifikan- tna razlika. ˇ Ceprav je bilo spreminjanje ˇ stevila ovrednotenj na potencialu Lennard-Jones ˇ ze predhodno preuˇ cevano [18], nas je kljub temu zanimal vpliv zaustavitvenega pogoja na uspeˇ snost zadetkov. Iz tega razloga smo eksperiment Tabela 4: Primerjava algoritmov QPS-PSO, jDE in jDEr glede na povpreˇ cno vrednost in standardni odklon za30 zagonov pri zaustavitvenem pogojumaxFEs =10 6 . ˇ Stevilo atomov QPS-PSO jDE jDE r 7 − 16,50± 0,00 − 15,45± 0,36 − 16,50± 0,00 13 − 44,23± 0,52 − 37,40± 0,71 − 40,61± 1,36 18 − 66,05± 0,27 − 52,51± 1,87 − 62,14± 1,80 24 − 96,33± 0,82 − 63,28± 1,91 − 90,57± 2,04 27 − 111,61± 0,95 − 76,07± 1,33 − 103,54± 3,98 30 − 126,86± 0,67 − 79,87± 2,44 − 114,94± 5,69 38 − 169,73± 0,79 − 109,25± 3,23 − 145,27± 8,72 44 − 203,10± 1,82 − 119,29± 4,09 − 169,92± 16,22 45 − 209,06± 1,61 − 124,34± 5,10 − 172,72± 13,60 Tabela 5: Primerjava algoritmov QPS-PSO in jDEr glede na uspeˇ snost zadetkov [%] v30 zagonih pri zaustavitvenih pogojih maxFEs =10 6 inmaxFEs =6 · 10 6 . ˇ Stevilo maxFEs = 10 6 maxFEs = 6· 10 6 atomov QPS-PSO jDE r QPS-PSO jDE r 7 100 100 100 100 13 96 3 100 11 18 10 0 15 0 24 23 0 20 0 27 0 0 13 0 30 0 0 1 0 38 0 0 0 0 ponovili z zaustavitvenim pogojem maxFEs = 6· 10 6 . Rezultati eksperimenta so prikazani v tabeli 6. Pri po- skusu smo opazovali kvaliteto reˇ sitve in uspeˇ snost zadet- kov, torej v koliko zagonih algoritem zadane optimalno reˇ sitev. Glede na tabelo 5 lahko opazimo, da se pri manjˇ sihN izboljˇ sa uspeˇ snost zadetkov pri veˇ cjem ˇ stevilu maxFEs, vendar to ne velja za veˇ cjeN, kjer je uspeˇ snost zadetkov ˇ se vedno0. Pri obeh algoritmih se izboljˇ sa kva- liteta reˇ sitve, ˇ ceprav se algoritem QPS-PSO ˇ se vedno bolj pribliˇ za optimalnim reˇ sitvam kot algoritem jDE r . Z Wil- coxonovim testom smo ugotovili, da med algoritmoma obstaja siginifikantna razlika, in sicer (p < 0,05). Tako lahko potrdimo vpliv zaustavitvenega pogoja na kvali- teto reˇ sitev. Pri obeh algoritmih se dogaja, da ne najdeta toˇ cnega globalnega optimuma. Slednje nakazuje slaba uspeˇ snost zadetkov, zlasti pri veˇ cjih dimenzijah problema potenciala Lennard-Jones. 4 Zakljuˇ cek V prispevku smo se osredotoˇ cili na reˇ sevanje problema potencial Lennard-Jones z dvema novejˇ sima algorit- moma, in sicer z algoritmom QPS-PSO in algoritmom jDE r , kateri vsebuje mehanizem nakljuˇ cne reinicializica- cije. Potencial Lennard-Jones velja za NP-teˇ zek prob- lem. S poveˇ cevanjem dimenzije problema eksponentno naraˇ sˇ ca tudi iskalni prostor. Optimizacijski problem je izredno multimodalen, kar se kaˇ ze v velikem ˇ stevilu lo- kalnih minimumov. Algoritmi imajo pri iskanju opti- 366 Tabela 6: Primerjava algoritmov QPS-PSO in jDEr glede na povpreˇ cno vrednost in standardni odklon za30 zagonov pri za- ustavitvenem pogojumaxFEs =6 · 10 6 . ˇ Stevilo atomov QPS-PSO jDE r 7 − 16,50± 0,00 − 16,50± 0,00 13 − 44,32± 0,00 − 42,15± 1,07 18 − 66,42± 0,12 − 65,03± 1,05 24 − 97,21± 0,33 − 94,35± 1,70 27 − 112,53± 0,43 − 108,73± 2,10 30 − 126,86± 0,90 − 124,01± 2,30 38 − 171,03± 2,08 − 162,95± 3,53 44 − 200,27± 2,99 − 193,56± 8,33 45 − 203,99± 2,22 − 197,26± 11,99 malne globalne energije teˇ zave, saj lahko hitro zapadejo v enega izmed lokalnih minimumov, kar pa povzroˇ ci pre- hitro konvergenco. Z razliˇ cnimi mehanizmi so razisko- valci ˇ zeleli izboljˇ sati delovanje algoritmov. Tako je algo- ritmu PSO dodana strategija privlaˇ cenja in odbijanja, ki posnema obnaˇ sanje medatomskih sil. Algoritmu jDE pa je dodan mehanizem nakljuˇ cne reinicializacije. Algoritma QPS-PSO in jDE r smo analizirali iz dveh vidikov, in sicer glede na kvaliteto reˇ sitev in na zausta- vitveni pogoj. Pokazali smo, da je algoritem QPS-PSO uspeˇ snejˇ si pri pribliˇ zevanju najboljˇ si globalni reˇ sitvi, vendar pri tem ni natanˇ cen. Za velike dimenzije pro- blema je uspeˇ snost zadetkov 0. To se zgodi zaradi veli- kega ˇ stevila lokalnih minimumov. S pomoˇ cjo statistiˇ cne analize smo pokazali, da je med algoritmoma signifikan- tna razlika. Prav tako pa smo pokazali vpliv zaustavitve- nega pogoja na kvaliteto reˇ sitve. Poveˇ canje zaustavitve- nega pogoja pripomore k boljˇ si kvaliteti reˇ sitve. Potencial Lennard-Jones ˇ se zmeraj predstavlja zahte- ven optimizacijski problem. V prihodnje nam izziv pred- stavlja nadaljnja izboljˇ sava algoritma jDE r . 5 Zahvala Priznavamo financiranje prispevka s strani Javne agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenija, razisko- valni program P2-0041- Raˇ cunalniˇ ski sistemi, metodolo- gije in inteligentne storitve. Literatura [1] Borko Boˇ skovi´ c and Janez Brest. Protein folding opti- mization using differential evolution extended with local search and component reinitialization. Information Scien- ces, 454-455:178–199, 2018. [2] Janez Brest, Saˇ so Greiner, Borko Boˇ skoviˇ c, Marjan Mer- nik, and Viljem ˇ Zumer. Self-adapting control parameters in differential evolution: A comparative study on numeri- cal benchmark problems. IEEE transactions on evolutio- nary computation, 10(6):646–657, 2006. [3] Janez Brest, Mirjam Sepesy Mauˇ cec, and Borko Boˇ skovi´ c. Differential evolution algorithm for sin- gle objective bound-constrained optimization: Algorithm j2020. In 2020 IEEE Congress on Evolutionary Compu- tation (CEC), strani 1–8. IEEE, 2020. [4] Janez Brest, Jan Popiˇ c, Mirjam Sepesy Mauˇ cec, and Borko Boˇ skoviˇ c. Analiza algoritma jDE100 za eno- kriterijsko globalno optimizacijo z realnimi vrednostmi. V Zborniku osemindvajsete mednarodne Elektrotehniˇ ske in raˇ cunalniˇ ske konference ERK 2019, strani 215–218. IEEE, 2019. [5] Swagatam Das and Ponnuthurai N Suganthan. Problem definitions and evaluation criteria for CEC 2011 compe- tition on testing evolutionary algorithms on real world optimization problems. Jadavpur University, Nanyang Technological University, Kolkata, strani 341–359, 2010. [6] DM Daven, N Tit, JR Morris, and KM Ho. Structural optimization of Lennard-Jones clusters by a genetic algo- rithm. Chemical physics letters, 256(1-2):195–200, 1996. [7] Joaqu´ ın Derrac, Salvador Garc´ ıa, Daniel Molina, and Francisco Herrera. A practical tutorial on the use of nonparametric statistical tests as a methodology for com- paring evolutionary and swarm intelligence algorithms. Swarm and Evolutionary Computation, 1(1):3–18, 2011. [8] Abdel-Rahman Hedar, Ahmed Fouad Ali, and Taysir Has- san Abdel-Hamid. Genetic algorithm and tabu search ba- sed methods for molecular 3D-structure prediction. Nu- merical Algebra, Control & Optimization, 1(1):191, 2011. [9] John H Holland. Genetic algorithms. Scientific american, 267(1):66–73, 1992. [10] James Kennedy and Russell Eberhart. Particle swarm opti- mization. V Proceedings of ICNN’95-international confe- rence on neural networks, del 4, strani 1942–1948. IEEE, 1995. [11] Robert H Leary. Global optima of Lennard-Jones clusters. Journal of Global Optimization, 11(1):35–53, 1997. [12] Guizhen Mai, Yinghan Hong, Shen Fu, Yingqing Lin, Zhi- feng Hao, Han Huang, and Yuanhao Zhu. Optimization of Lennard-Jones clusters by particle swarm optimization with quasi-physical strategy. Swarm and Evolutionary Computation, 57:100710, 2020. [13] Riccardo Poli, James Kennedy, and Tim Blackwell. Parti- cle swarm optimization. Swarm intelligence, 1(1):33–57, 2007. [14] Kenneth V Price. Differential evolution. V Handbook of optimization, strani 187–214. Springer, 2013. [15] David J Wales and Jonathan PK Doye. Global optimiza- tion by basin-hopping and the lowest energy structures of Lennard-Jones clusters containing up to 110 atoms. The Journal of Physical Chemistry A, 101(28):5111–5116, 1997. [16] Xipeng Wang, Sim´ on Ram´ ırez-Hinestrosa, Jure Dobnikar, and Daan Frenkel. The Lennard-Jones potential: when (not) to use it. Physical Chemistry Chemical Physics, 22(19):10624–10633, 2020. [17] LT Wille. Minimum-energy configurations of atomic clu- sters: new results obtained by simulated annealing. Che- mical Physics Letters, 133(5):405–410, 1987. [18] Aleˇ s Zamuda and Janez Brest. On tenfold execution time in real world optimization problems with differential evo- lution in perspective of algorithm design. V 2018 25th international conference on systems, signals and image Processing (IWSSIP), strani 1–5. IEEE, 2018. [19] Jun Zhang and Michael Dolg. ABCluster: the artificial bee colony algorithm for cluster global optimization. Physical Chemistry Chemical Physics, 17(37):24173–24181, 2015.