i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 12 — #1 i
i
i
i
i
i
PADANJE KAPLJIC, IZLOČENIH IZ DIHAL
GREGOR SKOK
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Ključne besede: epidemija, padanje kapljic, dihala
Dandanes, ko po svetu razsaja virus SARS-CoV-2, ki se med ljudmi najverjetneje
najbolj prenaša kapljično, je zelo aktualno vprašanje, koliko časa v zraku ostanejo poten-
cialno patogene kapljice, ki jih iz telesa izločimo iz dihal ob kihanju, kašljanju, govorjenju
ali dihanju. Ob določenih poenostavitvah o kemični sestavi kapljic in nekaterih drugih
predpostavkah je možno izračunati, koliko časa bi potrebovala kapljica, da pade na tla iz
neke začetne vǐsine. Rezultati kažejo, da večje kapljice (npr. tiste z radijem večjim od 50
µm) padejo iz vǐsine dveh metrov na tla v nekaj sekundah, medtem ko bi lahko manǰse
kapljice (npr. tiste z radijem manǰsim od 5 µm) padale do tal tudi več ur – seveda v ne
preveč suhem zraku, ko se ne bi povsem osušile.
FALLING OF RESPIRATORY DROPLETS
Nowadays, with the pandemic caused by the SARS-CoV-2 virus, which is most likely
transmitted between humans by respiratory droplets emitted by coughing and sneezing,
the question of how long these droplets stay airborne is relevant. With the simplification
of the chemical composition of the droplets and assuming stationary air, it is possible
to calculate how long it would take for a droplet to fall to the ground from some initial
height. The results show that larger droplets (e.g., those with a radius greater than 50
µm) fall from a height of two meters to the ground in a matter of seconds, while smaller
droplets (e.g., those with a radius less than 5 µm) can remain airborne for several hours
– assuming that the droplets don’t completely dry out.
Uvod
Dandanes, ko po svetu razsaja virus SARS-CoV-2, ki se med ljudmi naj-
verjetneje najbolj prenaša kapljično, je zelo aktualno vprašanje, koliko časa
v zraku ostanejo potencialno patogene kapljice, ki jih iz telesa izločimo iz
dihal.
Ob kihanju, kašljanju, govorjenju in dihanju se iz dihal izloča večje šte-
vilo kapljic [4]. Na primer, ob močnem kihanju se lahko izloči več kot 40 000
kapljic [9] in če si ust in nosu med kihanjem ne pokrijemo, lahko kapljice
priletijo tudi do 8 metrov daleč v horizontalni smeri [1]. Te kapljice so del
turbulentnega oblaka, ki se stran od izvora premika z veliko hitrostjo (lahko
tudi več kot 100 m/s, [9]). Med premikanjem lahko predvsem večje kapljice
iz oblaka že izpadejo in potencialno kontaminirajo različne površine na tleh
ali predmetih. Sčasoma oblak izgubi zagon in razpade, preostale kapljice v
12 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 13 — #2 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
oblaku pa začnejo intenzivneje padati in izhlapevati. Tudi pri govorjenju in
dihanju se lahko izloča večje število kapljic. Te iz telesa sicer ne izhajajo
s tako veliko hitrostjo kot pri kihanju, vendar pa se lahko med počasnim
padanjem proti tlom premikajo skupaj z okolǐskim zrakom in v tem času
lahko prepotujejo večjo horizontalno razdaljo. Pri tem glavno vlogo igra
hitrost padanja kapljic skozi zrak, saj določa, kako hitro bo neka kapljica
padla na tla, to pa je odvisno predvsem od njene velikosti. Velikost kapljic
se ob izhlapevanju manǰsa, hitrost izhlapevanja pa je močno odvisna od
temperature in vlažnosti zraka, skozi katerega padajo.
Nas predvsem zanima, koliko časa traja, da posamezna kapljica pade na
tla skozi povsem mirujoč zrak ob določeni predpostavki o relativni vlažnosti.
Ker je izhlapevanje kapljic, ki jih tvorijo kompleksne biološke tekočine, slabo
raziskano [1], bomo v naši obravnavi kemično sestavo kapljic zelo poenosta-
vili. Predpostavimo, da je sestava kapljic podobna slini, v kateri 99,5 %
mase predstavlja voda [3], ter da preostale 0,5 % mase predstavlja NaCl, ki
je v vodi raztopljen.
Ravnovesna hitrost padanja kapljic
Majhna kapljica zelo hitro doseže ravnovesno hitrost padanja. Na primer,
kapljica z radijem 30 µm doseže 99 % ravnovesne hitrosti v približno 0,05
sekunde, ko iz mirovanja pade za približno 4 mm [5]. Ravnovesno hitrost
padanja zelo majhnih kapljic (vrav) je možno preprosto izraziti ob predpo-
stavki Stokesovega zakona upora, pri čemer ima vrav približno kvadratno
odvisnost od radija kapljice ([5], enačba 10-139)
vrav = Ckr
2. (1)
V enačbi je r radij kapljice, k pa konstanta, odvisna od težnega pospeška,
gostote vode in zraka ter dinamične viskoznosti zraka. C je korekcijski
faktor, ki je pomembno različen od 1 le za zelo majne kapljice z radijem
manǰsim od 5 µm. Velja pol-empirična zveza C = 1 + 1,26 · λa/r, kjer je λa
povprečna prosta pot molekul v zraku. Pri temperaturi 20 ◦C in zračnem
tlaku 1 bar približno velja k ≈ 1,2 · 108 m−1 s−1 in λa ≈ 6,6 · 10−8 m [2].
Predpostavka o Stokesovem uporu in s tem enačba (1) dobro veljata za
kapljice z radijem 0,5 µm . r . 10 µm, vsaj približno pa še vse do r <
50 µm.
Slika 1 prikazuje ravnovesno hitrost padanja kapljic v odvisnosti od ra-
dija. Za kapljico z radijem 10 µm je ravnovesna hitrost padanja približno
1,2 cm/s, torej bi takšna kapljica z vǐsine dveh metrov na tla padla v pribli-
žno 2,7 minute (seveda spet ob predpostavki, da zrak popolnoma miruje).
Ker pa okolǐski zrak večinoma ni nasičeno vlažen, začne voda iz kapljice
izhlapevati in se kapljica manǰsa. Zato se njeno padanje upočasni in potre-
buje več časa, da pade na tla. Na primer, za kapljico z radijem 2 µm je vrav
12–22 13
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 14 — #3 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
približno 0,5 mm/s, kar pomeni, da bi za padec globok dva metra potrebo-
vala precej več časa kot kapljica z radijem 10 µm (približno 1,1 ure). Spet
drugače velja za še večjo kapljico z radijem 50 µm – za njo je vrav približno
30 cm/s, kar je dosti več kot za kapljico z radijem 10 µm. Takšna kapljica
bi za dvometrski padec potrebovala le dobrih 6 sekund, kar je premalo, da
bi se njena velikost v tem času bistveno zmanǰsala, in zato takšna kapljica
hitro pade na tla.
Slika 1. Ravnovesna hitrost padanja kapljic v mirujočem zraku (vrav) izračunana po
enačbi (1) pri temperaturi 20 ◦C in zračnem tlaku 1 bar.
Vpliv topljenca in ukrivljenosti na nasičeni parni tlak ob kapljici
Hitrost izhlapevanja vode iz kapljice je močno odvisna od vrednosti nasi-
čenega parnega tlaka tik nad površino kapljice. Razmerje med nasičenim
parnim tlakom nad površino kapljice, v kateri je raztopljena določena masa
x topljenca (es,r,x), ter nasičenim parnim tlakom nad ravno površino vode,
v kateri ni topljenca (es), opisuje Köhlerjeva enačba ([5], enačba 6-27):
ln
(
es,r,x
es
)
=
A
r
− B
r3
. (2)
Člen Ar s konstanto A, ki je sorazmerna z vrednostjo površinske napetosti
vode, opisuje vpliv ukrivljenosti površine kapljice – ta ima učinek, da nad
površino kapljice poveča nasičeni parni tlak (čim manǰsa bo kapljica, tem
bolj bo ukrivljena njena površina in tem večji bo člen A/r). Člen B
r3
z B(x),
ki je sorazmeren masi topljenca, pa opisuje vpliv topljenca – ta ima učinek,
14 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 15 — #4 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
da nad površino kapljice zniža nasičeni parni tlak. Pri majhnih kapljicah,
zaradi kubične odvisnosti od radija, prevlada učinek topljenca in posledično
je nasičeni parni tlak nad majhno kapljico praviloma nižji od tistega nad
ravno površino vode, v kateri ni topljenca.
Kapljica z radijem 10 µm ima maso približno 4,2 · 10−12 kg, kar (ob
predpostavki, da 0,5 % mase kapljice tvori NaCl) pomeni, da bi bila masa
raztopljenega NaCl približno 2,1 · 10−14 kg. Ob predpostavki, da je tempe-
ratura 20 ◦C in da je v vodi raztopljenega 2,1 · 10−14 kg NaCl, dobimo za
A ≈ 3,2 · 10−8 m in za B ≈ 3,1 · 10−18 m3 ([5], enačba 6-28).
Slika 2. Razmerje med nasičenim parnim tlakom es,r,x nad ukrivljeno kapljico s topljen-
cem in nasičenim parnim tlakom es nad ravno čisto vodo v odvisnosti od radija kapljice.
Vrednosti so izračunane iz enačbe (2) ob predpostavkah, da je temperatura 20 ◦C in da
je v vodi raztopljenega 2,1 · 10−14 kg NaCl.
Odvisnost razmerja es,r,x/es v odvisnosti od radija kapljice je prikazana
na sliki 2. Praviloma velja, da je nad površino manǰse kapljice nasičeni parni
tlak manǰsi in da vrednost z vse večjim radijem narašča proti vrednosti, ki
je nad ravno vodno površino. Na primer, pri radiju 3 µm je nasičeni parni
tlak nad površino kapljice enak približno 90 % vrednosti nasičenega parnega
tlaka nad ravno površino vode. To je predvsem posledica raztopljenega
NaCl, ki nad površino kapljice zniža nasičeni parni tlak, ter tega, da je
koncentracija enake količine NaCl v večji kapljici manǰsa. Ob izhlapevanju
se seveda koncentracija NaCl v kapljici povečuje.
Dodatno komplikacijo predstavlja dejstvo, da koncentracija raztoplje-
nega NaCl v vodi ne more biti poljubno velika. Koncentracija NaCl je
praviloma nasičena, ko parni tlak nad kapljico doseže približno 75 odstot-
kov vrednosti nasičenega parnega tlaka nad ravno čisto vodo (tako imeno-
vana točka delikvescence, [5]). Če je relativna vlažnost nižja od 75 %, se
12–22 15
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 16 — #5 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
kapljica sicer lahko povsem osuši (v tem primeru bo ostal le trdni delec
NaCl) – vendar to ni nujno. Eksperimenti kažejo, da lahko tekoče kapljice,
ki vsebujejo NaCl, obstajajo vse do vlažnosti 45 % (tako imenovana točka
efflorescence, [10]).
Trdni delec NaCl, ki nastane, če se kapljica popolnoma osuši, nima nujno
povsem sferične oblike, precej pa se spremeni tudi gostota delca (gostota
kristalizirane NaCl je približno dvakratnik gostote tekoče vode). Zato se
bomo pri nadaljnji obravnavi omejili na primere, kjer je relativna vlažnost
vsaj 50 %, pri čemer bomo predpostavili, da se kapljice ne osušijo povsem.
Hitrost manǰsanja kapljice ob izhlapevanju
Ob predpostavki, da okolǐski zrak ni nasičeno vlažen, voda iz kapljice iz-
hlapeva in kapljica se manǰsa. Pričakovali bi, da bo čez nekaj časa dosegla
ravnovesno velikost glede na vlažnost v okolici (npr. za relativno vlažnost
90 % je pri 2,1 · 10−14 kg NaCl to radij 3 µm) – seveda, če kapljica ne bo že
prej padla na tla.
Hitrost izhlapevanja kapljice je odvisna od hitrosti prenosa vodne pare
stran od kapljice, ki skozi miren zrak poteka le z molekularno difuzijo. Hi-
trost spremembe mase sferične kapljice ob izhlapevanju oziroma kondenza-
ciji lahko izrazimo z izrazom (enačba 7-7 v [6])
dm
dt
= 4πrDv(ρv − ρvr), (3)
kjer je m masa kapljice, Dv konstanta difuzivnosti vodne pare skozi zrak (pri
temperaturi ledǐsča in standardnem tlaku 1013 hPa je vrednost Dv približno
0,2 cm2/s), ρv gostota vodne pare v okolǐskem zraku, ρvr pa gostota vodne
pare tik nad površino kapljice. Enačba (3) je omenjena tudi v članku, ki
se ukvarja z zmrzovanjem podhlajenih kapljic, saj izhlapevanje pomembno
vpliva tudi na odvod toplote v okolico [8].
Za izhlapevanje je pomembno, da je gostota vodne pare tik ob kapljici
večja od tiste v okolici – v tem primeru je dm/dt < 0 in kapljica se manǰsa.
Za gostoto vodne pare tik ob površini kapljice lahko privzamemo kar nasi-
čeno vrednost – pri tem pa je treba upoštevati, da imata kapljica in zrak
tik ob kapljici nekoliko nižjo temperaturo od okolice, saj se za izhlapevanje
vode porablja toplota (pri kondenzaciji je ravno obratno).
Iz enačbe (3) je možno v nekaj korakih priti do izraza za hitrost spre-
membe velikosti kapljice
dr
dt
=
ξ
r
(
S − es,r,x
es
)
, (4)
Ta izraz je enak enačbi 7.18 v [6], le da je v števcu namesto člena 1 +
A/r −B/r3 zapisan kar bolj splošen izraz es,r,x/es, koeficienta Fk in Fd pa
16 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 17 — #6 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
sta združena v koeficient ξ = 1/(Fk + Fd). S je relativna vlažnost zraka v
okolici (razmerje med parnim tlakom v zraku in nasičenim parnim tlakom
nad čisto ravno vodo). ξ je odvisna le od temperature in zračnega tlaka
– vrednosti lahko preberemo iz slike 7.1 v [6]. Pri temperaturi 20 ◦C in
zračnem tlaku 1 bar približno velja ξ ≈ 1,3 · 10−10 m2/s.
Enačbi (3) in (4) veljata le v primeru, da kapljica glede na zrak povsem
miruje – če se kapljica glede na zrak premika, je treba upoštevati tudi kon-
vekcijski prenos vlage in toplote. Tega lahko poenostavljeno upoštevamo
s tem, da desne strani enačb (3) in (4) pomnožimo s t. i. ventilacijskim
faktorjem fv. Velja fv ≥ 1, saj konvekcija vedno poveča prevajanje toplote
oziroma prenos vodne pare. Izkaže se, da je za kapljice z radijem manǰsim
od 10 µm učinek konvekcije zanemarljiv (fv ≈ 1). Za večje kapljice pa uči-
nek ni več zanemarljiv – na primer, za kapljice z radijem 50 µm je fv ≈ 1,2
([5], enačba 13-60). V naši obravnavi bomo učinek konvekcije zanemarili,
saj se bomo omejili na velikosti kapljic do r = 50 µm. Sicer pri r = 50 µm
učinek konvekcije ni več popolnoma zanemarljiv, vendar pa ta poenostavi-
tev ni zelo velika glede na nekatere druge (npr. o kemični sestavi kapljic in
o povsem mirujočem zraku).
Najprej lahko poskušamo ugotoviti, koliko časa bi bilo potrebno, da
bi se kapljica zmanǰsala do polovičnega radija. Enačbo (4) lahko rešimo z
integracijo od začetnega radija r0 do polovičnega radija r0/2 ter od časa 0 do
tr0/2. Če predpostavimo, da je učinek topljenca in ukrivljenosti kapljice na
nasičeni parni tlak majhen (kar v primeru na sliki 2 približno velja, dokler
je r > 5 µm), lahko predpostavimo kar es,r,x/es ≈ 1. V tem primeru se
enačba 4 precej poenostavi in jo lahko rešimo s preprosto integracijo
dr
dt
=
ξ
r
(S − 1),∫ r0/2
r0
rdr = ξ(S − 1)
∫ tr0/2
0
dt, (5)
tr0/2 =
3r20
8ξ(1 − S)
.
Slika 3 prikazuje odvisnost tr0/2 od začetnega radija in vlažnosti. Za S =
0,9 in r0 = 10 µm dobimo tr0/2 = 3 s. Torej se velikost radija zelo hitro
prepolovi – padec kapljice v tem času je majhen (približno 3 cm). Če bi bila
relativna vlažnost 50 %, bi bil tr0/2 še petkrat kraǰsi (0,6 s). Prav tako bi bil
tr0/2 kraǰsi za kapljice z manǰso začetno velikostjo, saj je v izrazu kvadratna
odvisnost od r0.
Posledično lahko pričakujemo, da kapljica z začetnim radijem manǰsim
od 10 µm v nekaj sekundah doseže svojo ravnovesno velikost. Ker se pri-
lagoditev velikosti hitrosti zgodi zelo hitro, lahko spust kapljice v tem času
12–22 17
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 18 — #7 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
Slika 3. Odvisnost časa tr0/2, ki je potreben, da se kapljica zmanǰsa na polovično veli-
kost, od začetnega radija kapljice in relativne vlažnosti – enačba (5). Izračun je narejen
ob predpostavkah, da je temperatura 20 ◦C, zračni tlak 1 bar ter da je v začetni fazi
izhlapevanja učinek topljenca in ukrivljenosti na nasičen parni tlak majhen.
kar zanemarimo (v primerjavi z vǐsino dveh metrov) in predpostavimo kar
konstantno hitrost padanja.
Na primer, kapljica z začetnim radijem 10 µm v nekaj sekundah izhlapi
do ravnovesne velikosti z radijem 3 µm (velja za S = 0,9). Za tako ve-
liko kapljico je ravnovesna hitrost padanja približno 1,1 mm/s – torej bi za
dvometrski padec na tla potrebovala približno 30 minut.
Drugače pa velja za večje kapljice. Na primer, za r0 = 50 µm in S = 0,9
dobimo tr0/2 = 72 s. Ker je ravnovesna hitrost padanja kapljice z radijem
50 µm približno 30 cm/s, lahko upravičeno pričakujemo, da bo kapljica z
vǐsine 2 m v tem času že padla na tla. Hkrati tudi ne moremo več privzeti,
da ves čas pada s konstantno hitrostjo, saj med padanjem hlapi, se manǰsa
in zato pada vse počasneje, a pade na tla, preden doseže ravnovesno velikost.
Čas padca kapljice do tal
Za izračun padanja kapljice torej ne moremo vedno privzeti, da kapljica pada
s konstantno hitrostjo. Za oceno padanja lahko v enačbo (4) vstavimo izraz
za es,r,x/es iz enačbe (2), ter jo kombiniramo z enačbo (1) za ravnovesno
hitrost padanja, kjer vrav zapǐsemo kot dz/dt ter izrazimo koeficient C. Tako
18 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 19 — #8 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
Slika 4. Sprememba radija (zgoraj) in padec kapljice (spodaj) v odvisnosti od časa pri
relativni vlažnosti 50 % oziroma 90 %. Prikazani so izračuni za pet kapljic z različnimi
začetnimi velikosti, ki so označene na slikah (r0 = 2 µm, 5 µm, 10 µm, 20 µm in 50 µm).
Izračun je narejen z numerično integracijo enačb (6) ob predpostavkah, da zrak povsem
miruje, da 0,5 % začetne mase kapljice predstavlja NaCl, preostalo pa je voda, da je
temperatura 20 ◦C, da je zračni tlak 1 bar, da kapljica ves čas pada z ravnovesno hitrostjo
padanja ter da se kapljica nikoli povsem ne osuši.
dobimo sistem dveh diferencialnih enačb:
dr
dt
=
ξ
r
(
S − exp
(
A
r
− B
r3
))
, (6)
dz
dt
=
(
1 + 1,26
λa
r
)
kr2.
Ta sistem enačb lahko rešimo z numerično integracijo v času ter tako dobimo
spremembo radija in vǐsine kapljice v času. Na sliki 4 so prikazani rezultati
numerične integracije za pet velikosti kapljic in dve vrednosti relativne vla-
žnosti. Padanje vseh kapljic poteka podobno. V prvi fazi se velikost kapljic
bistveno še ne zmanǰsa in padanje je enakomerno. Prva faza je pri manǰsih
kapljicah kratka (npr. za r0 = 5 µm je med 0,1 s in 1 s, odvisno od vlažno-
12–22 19
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 20 — #9 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
sti), pri večjih pa dalǰsa (npr. za r0 = 50 µm je & 5 s). V drugi fazi, tam,
kjer se na črtah na sliki 4 zgoraj vidi koleno, se kapljica začenja manǰsati in
padanje je vse počasneǰse. V tretji fazi kapljica doseže ravnovesno velikost
in padanje spet postane enakomerno. Do tretje faze prej pride pri manǰsih
kapljicah kot pri velikih. Na padanje ima velik vpliv vlažnost okolǐskega
zraka. V bolj vlažnem zraku pride do druge in tretje faze pozneje kot v
bolj suhem zraku – posledično kapljica pri večji vlažnosti pada hitreje. Tudi
ravnovesna velikost kapljice bo v bolj vlažnem zraku večja, kar pomeni, da
bo tudi hitrost padanja v tretji fazi večja.
Z vodoravno točkasto črto je označena tudi vǐsina padca za 2 m – za kar
privzamemo, da je začetna vǐsina kapljice nad tlemi. Kapljica z r0 = 50 µm
pade na tla v približno 10 sekundah, pri čemer je še vedno v prvi fazi, saj
se njena velikost v tem času ne zmanǰsa bistveno. Kapljica z r0 = 10 µm
pride do tretje faze v približno 1 do 5 sekundah. Pri takšni kapljici je tudi
jasno viden velik vpliv vlažnosti na izhlapevanje in s tem na padanje – pri
90 % vlažnosti bo kapljica padla na tla v približno 30 minutah, pri 50 % pa
v približno 100 minutah.
Slika 5 in tabela 1 bolj podrobno kažeta odvisnost časa, v katerem ka-
pljica pade za 2 m, od začetne velikosti kapljice in vlažnosti. Za kapljice
vseh velikosti velja, da čim bolj vlažen je zrak, tem manj bodo hlapele in
zato tem prej padle na tla. Pri nekaterih kapljicah je čas padanja pri 50 %
vlažnosti lahko tudi več kot 30-krat dalǰsi kot čas pri 100 % vlažnosti (npr.
za kapljico z r0 = 10 µm je pri 50 % vlažnosti ta čas enak 1,7 ure, pri 100 %
vlažnosti pa 2,8 minute).
Slika 5. Čas, v katerem kapljica pade na tla z vǐsine 2 m, v odvisnosti od začetne velikosti
kapljice in relativne vlažnosti. Izračun je narejen pri enakih pogojih in predpostavkah kot
pri sliki 4.
20 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 21 — #10 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
začetni radij kapljice (r0)
S 2 µm 5 µm 10 µm 20 µm 50 µm
1,00 5,5 h (0,88 µm) 22 min (3,5 µm) 2,8 min (9,9 µm) 41 s (20 µm) 6,7 s (50 µm)
0,95 11 h (0,62 µm) 1,4 h (1,8 µm) 19 min (3,7 µm) 3,3 min (7,6 µm) 6,8 s (49 µm)
0,90 14 h (0,53 µm) 2,1 h (1,4 µm) 30 min (3,0 µm) 6,2 min (6,1 µm) 6,9 s (48 µm)
0,80 20 h (0,44 µm) 3,2 h (1,2 µm) 48 min (2,4 µm) 11 min (4,8 µm) 7,2 s (46 µm)
0,70 26 h (0,38 µm) 4,3 h (1,0 µm) 1,1 h (2,0 µm) 15 min (4,1 µm) 7,5 s (44 µm)
0,60 31 h (0,34 µm) 5,3 h (0,89 µm) 1,4 h (1,8 µm) 20 min (3,6 µm) 8,0 s (41 µm)
0,50 37 h (0,31 µm) 6,4 h (0,81 µm) 1,7 h (1,6 µm) 24 min (3,3 µm) 8,5 s (37 µm)
Tabela 1. Enako kot slika 5, le da so prikazane numerične vrednosti za nekatere izbrane
začetne velikosti kapljic. Vrednosti v oklepajih predstavljajo radij kapljice ob času padca
na tla.
Večje kapljice večinoma hitro padejo na tla. Na primer: kapljice z radi-
jem večjim od 40 µm padejo na tla v največ treh minutah (sicer ob pred-
postavki, da relativna vlažnost ni manǰsa od 50 %). Čas padanja manǰsih
kapljic je lahko zelo dolg – tudi več ur – še posebej, če je zrak zelo suh (a
vseeno ne toliko suh, da bi povsem izhlapele). Na primer, kapljice z radijem
5 µm pri 100 % vlažnosti potrebujejo do tal 22 minut, pri vlažnosti 50 % pa
kar 6,4 ure.
Zaključki
Čas, v katerem kapljica pade na tla, je odvisen predvsem od njene začetne
velikosti ter temperature in vlažnosti okolǐskega zraka. Večje kapljice izpa-
dejo v nekaj sekundah, medtem ko lahko manǰse kapljice ostanejo v zraku
tudi več ur – seveda ob tem delno izhlapijo. Velik vpliv na padanje ima vla-
žnost. Če je zrak bolj suh, majhne kapljice bolj izhlapijo in dosežejo manǰso
ravnovesno velikost in zato padajo počasneje. Če pa bi bil zrak zelo suh, pa
bi se lahko tudi povsem osušile in bi ostal le delec NaCl. Vpliv vlažnosti je
verjetno tudi razlog, zakaj so v notranjih prostorih kapljice prisotne v zraku
dlje časa pozimi kot poleti. Pozimi notranje prostore običajno ogrevamo
in s tem znižamo relativno vlažnost, poleti pa prostorov ne ogrevamo in je
relativna vlažnost v notranjih prostorih vǐsja in bolj podobna tisti zunaj.
Na padanje – posredno preko nasičenega tlaka vodne pare – pomembno
vpliva tudi kemična sestava kapljice. Topljenec v kapljici vpliva na nasičeni
parni tlak nad površino kapljice, ter posledično na hitrost izhlapevanja in
padanja kapljice. Pri naši obravnavi smo zelo poenostavljeno predpostavili,
da 0,5 % začetne mase kapljice predstavlja NaCl, preostalo pa je voda. V
resnici je kemična sestava kapljic, izločenih iz dihal, precej bolj zapletena.
Predpostavili smo tudi, da kapljice padajo skozi zrak, ki povsem miruje.
V resnici tudi v notranjih prostorih zrak skoraj nikoli povsem ne miruje.
Razlike v temperaturi sten oziroma različnih površin povzročijo konvekcij-
ske tokove – na primer, topli radiatorji, površine, ki so skozi okno obsijane
12–22 21
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 22 — #11 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
s sončnim sevanjem, štedilnik med kuhanjem in ne nazadnje tudi ljudje, ki
segrevamo okolǐski zrak s telesom in lahko povzročimo konvekcijsko dviganje
s hitrostjo več kot 0,2 m/s [7]. Premikanje zraka ima lahko tudi mehanske
vzroke – na primer, ventilatorji, prepih, premikanje in dihanje ljudi, od-
piranje in zapiranje vrat. Ravnovesna hitrost padanja majhnih kapljic je
pogosto manǰsa kot hitrost premikanja zraka in posledično zrak nosi te ka-
pljice s seboj naokrog, tudi navzgor. Tako lahko kapljice ostanejo v zraku
dlje časa, kot pa če bi ta povsem miroval, zračni tokovi pa jih lahko prena-
šajo tudi med različnimi prostori skozi morebitne odprtine, kot so vrata, ali
pa skozi centralno povezan prezračevalni sistem.
Zaradi poenostavitev o kemični sestavi kapljic, predpostavki o mirovanju
zraka in privzetku, da se kapljice nikoli povsem ne osušijo (tudi ko je vlažnost
manǰsa od 75 %), naši rezultati niso povsem kvantitativno uporabni. Vseeno
pa lahko služijo za kvalitativno razlago in razumevanje procesov, ki vplivajo
na padanje potencialno patogenih kapljic.
LITERATURA
[1] L. Bourouiba Turbulent, Gas Clouds and Respiratory Pathogen Emissions: Poten-
tial Implications for Reducing Transmission of COVID-19, JAMA, Published online
March 26, 2020. doi:10.1001/jama.2020.4756.
[2] S. Jennings, The mean free path in air, Journal of Aerosol Science, 19 (1988), 2,
159–166.
[3] L. K. McCorry, Essentials of Human Physiology for Pharmacy, CRC Press, 2005.
[4] L. J. G. R. Morawska, G. R. Johnson, Z. D. Ristovski, M. Hargreaves, K. Mengersen,
S. Corbett, C. Yu Hang Chao, Y. Li in D. Katoshevski, Size Distribution and Sites
of Origin of Droplets Expelled from the Human Respiratory Tract During Expiratory
Activities, Journal of Aerosol Science 40 (2009), 3, 256–69.
[5] H. R. Pruppacher in D. J. Klett, Microphysics of clouds and precipitation, 2nd Ed.,
Springer, xx+954 pp, 2010.
[6] R. R. Rogers in M. K. Yau, A Short Course in Cloud Physics, 3rd Ed., Butterworth-
Heinemann, an Imprint of Elsevier, xiv+290 pp, 1989.
[7] M. Salmanzadeh, H. Zahedi, G. Ahmadi, D. R. Marr in M. Glauser, Computational
modeling of effects of thermal plume adjacent to the body on the indoor airflow and
particle transport, Journal of Aerosol Science, 53 (2012), 29–39.
[8] G. Skok in J. Rakovec, Podhlajene vodne kapljice v ozračju, Obzornik mat. fiz., 67
(2019), 5, 171–183.
[9] J. W. Tang, et al., Factors involved in the aerosol transmission of infection and control
of ventilation in healthcare premises, Journal of Hospital Infection, 64 (2006), 2, 100–
114.
[10] M. E. Wise, T. A. Semeniuk, R. Bruintjes, S. T. Martin, L. M. Russell in P. R.
Buseck, Hygroscopic behavior of NaCl-bearing natural aerosol particles using enviro-
nmental transmission electron microscopy, J. Geophys. Res., 112 (2007), D10224,
doi:10.1029/2006JD007678.
22 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1