OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 55 ŠT. 6 STR. 201–240 NOVEMBER 2008 C KM Y 2008 Letnik 55 6 i i “kolofon” — 2009/1/12 — 12:56 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, NOVEMBER 2008, letnik 55, številka 6, strani 201–240 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Devizna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21,00 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 33,38 EUR, za tujino 30,00 EUR. Posamezna številka za člane stane 4,18 EUR, stare številke 2,17 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2008 DMFA Slovenije – 1733 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 201  #1 NAGOVOR NA PROSLAVI STOLETNICE ROJSTVAANTONA PETERLINA∗Danes praznujemo stoto obletni o rojstva velikega slovenskega zika An-tona Peterlina. Profesor dr. Anton Peterlin je bil prvi zik v Sloveniji, kije na svojem podro£ju vpeljal mednarodno veljavne kriterije in standardeza znanstveno delo. Bil je redni profesor zike na Univerzi v Ljubljani terustanovitelj in dolgoletni vodja Instituta Joºef Stefan.Fizika sodi danes po vseh objektivnih merilih med najbolj razvite innajprodornej²e znanstvene dis ipline v Sloveniji. Slovenski ziki objavljajosvoja dela v odli£nih, zelo pogosto tudi v vrhunskih mednarodnih znanstve-nih revijah in sodelujejo pri delu mnogih skupin v svetu. Velik del zaslugza tako ugoden razvoj moramo pripisati ravno pionirskemu delu profesorjaPeterlina. V £asu, ko je nan iranje znanosti v Sloveniji sorazmerno dobrourejeno in ko je mednarodno sodelovanje na²ih znanstvenikov skoraj samopo sebi umevno, si je zelo teºko predstavljati vso teºo in veli£ino prispevkapionirjev, kot je bil Anton Peterlin. Zelo teºko si zamislimo, kako napornoje moralo biti uveljavljanje mednarodnih kriterijev v tedaj ²e nerazvitemznanstvenem okolju v Sloveniji.Fakulteta za matematiko in ziko danes zdruºuje ve£ino visoko²olskihu£iteljev zike na Univerzi v Ljubljani in je s tem eden od dedi£ev Peterlino-vega pionirskega prispevka k visoko kvalitetnemu pouku zike. U£itelji na²efakultete v Peterlinovem paviljonu pou£ujejo zikalne predmete, namenjene²tudentom na ve£ini ²tudijskih programov naravoslovno tehni²kih fakultetUniverze v Ljubljani. Pri pouku zike in pri vzgoji mladih raziskoval evsodelujejo tudi mnogi ugledni raziskoval i z Instituta Joºef Stefan. Razisko-valno in pedago²ko delo zikov na obeh ustanovah je s tem izjemno tesnoprepleteno in je zgled dobrega in plodnega sodelovanja, ki je v obojestranskokorist.Med ziko in matematiko obstajajo pregovorne povezave ºe mnogo stole-tij. Razvoj zike je vselej stimuliral razvoj matematike, razvoj matemati£nihspoznanj in orodij pa je imel tehten vpliv na razvoj zike. Pri profesorjuPeterlinu obstaja ²e druga£na povezava: k ²tudiju matematike in zike gaje prvi pritegnil tedanji profesor matematike na Univerzi v Ljubljani RihardZupan£i£. Tudi ko je spoznal, da mladega Peterlina zika mo£neje prite-guje od matematike, si profesor Zupan£i£ ni obotavljal ²e naprej pomagatiperspektivnemu znanstveniku in je Peterlinu pomagal pridobiti ²tipendijoza doktorski ²tudij zike na Univerzi v Berlinu, ki je odlo£ilno vplival nanjegov razvoj. Fran Forstneri£ ∗Institut Joºef Stefan, 25. septembra 2008. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 201 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 202  #2 VestiOB STOLETNICI ROJSTVA ANTONA PETERLINA:USTANOVITEV IN PIONIRSKA LETA IJSPetindvajsetega septembra 2008 smo na Institutu Joºef Stefan (IJS) pra-znovali stoletni o rojstva akademika prof. dr. Antona Peterlina (19081993).Istega dne smo javnosti predstavili zbornik o njegovem ºivljenju in delu,ki sta ga izdala Slovenska akademija znanosti in umetnosti (SAZU) in IJS.S tem smo po£astili delo in zasluge svetovno znanega polimernega zika,ustanovitelja slovenske zikalne ²ole in Instituta Joºef Stefan, danes najve-£jega in najbolj pomembnega raziskovalnega in²tituta na na²ih tleh, ki ga jePeterlin ustvaril in vodil v letih 19471958.Po doktoratu na univerzi v Berlinu leta 1938 je postal Peterlin prvi stalniin sposobni u£itelj zike na Univerzi v Ljubljani, ki je takoj po nastopuza£el vpeljevati moderen ²tudij zike. Po kon u 2. svetovne vojne je spetusposobil zikalni in²titut na univerzi, ki je med vojno utrpel veliko ²kodo.Ker je bil njegov namen dvigniti slovensko ziko, ki je prakti£no ni bilo, nasvetovno raven, si je prizadeval opremiti zikalni in²titut z novimi modernimiinstrumenti. Ti so bili nujno potrebni za temeljno raziskovanje zikalnihlastnosti materije, z njimi bi mogli konkurirati znanstvenim doseºkom vsvetu. Njegov prvi projekt  nakup delov za nevtronski generator na podlagireak ije D(d,n) 3He v Milanu jeseni 1945  se je ºal izjalovil.Ko je leta 1946 Boris Kidri£ postal zvezni minister za gospodarstvo inpredsednik Zvezne planske komisije, je za£el ustanavljati raziskovalne in²ti-tute, po sovjetskem vzoru ne na univerzah, temve£ pod okriljem akademij; tiin²tituti so bili nan irani iz zveznih sredstev. Zato je Peterlin ºe 28. 8. 1946predloºil Akademiji znanosti in umetnosti (AZU) na£rt za ureditev zikal-nega laboratorija za raziskavo jedrskih reak ij. Ta je nato naslednje leto(1947) ustanovila svoj Fizikalni in²titut, dana²nji Institut Joºef Stefan, zupravnikom Peterlinom. Toda in²titut ni mogel za£eti dela, kajti ni bilo neosebja, ne opreme, ne literature, ne delovnega prostora. Edina zika polegPeterlina sta bila takrat do ent Anton Moljk in asistent Ivan Ku²£er, ki ²enista imela doktorata, edini delovni prostor pa prostori Fizikalnega in²titutaFilozofske in Tehni²ke fakultete v visokem pritli£ju starega poslopja univerzena Kongresnem trgu, zelo pomanjkljiva literatura pa je bila raztresena poraznih strokovnih knjiºni ah univerze.Leta 1948 se je AZU preimenovala v Slovensko akademijo znanosti inumetnosti (SAZU). Njen Fizikalni in²titut je dobil prve sodelav e in za£elnabavljati opremo in literaturo. Ker SAZU ni imela na voljo dovolj denarjaza ºeleno hiter razvoj in²tituta in ker ji ni uspelo dobiti dodatnih sredstevod zvezne vlade, je Peterlin uvidel, da brez osebnega pogovora z ministromKidri£em ne bo pravega napredka. Zato se je sestal z njim v Beogradu15. 12. 1948 in 16. 2. 1949. Na drugem sestanku sta se domenila, da boPeterlin ustvaril in razvil in²titut za jedrsko ziko, ki bo pripravljal posta-vitev jedrskega reaktorja. V manj²em obsegu bodo v njem raziskovali tudi202 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 203  #3 Ob stoletnici rojstva Antona Peterlina: ustanovitev in pionirska leta IJS Obisk ruske atomske delega ije na IJS leta 1956makromolekule, ki so bile Peterlinovo strokovno podro£je. Kidri£ je odo-bril velikansko vsoto (v dana²njem denarju okrog 9 milijonov dolarjev) zagradnjo in²tituta na Jamovi uli i in nekaj stanovanjskih hi² (zgradili so jih²est), ki so bile nujno potrebne zaradi pomanjkanja stanovanj, ter za nabavoinstrumentov, kemikalij in literature. Dodatna sredstva so bila potrebna zanastavitev kadrov in pomoºnega osebja ter za spe ializa ijo mladih sodelav- ev v tujini.Peterlin se je z njemu lastno energijo, proni ljivostjo in smotrnostjo ta-koj lotil dela. Za£el je nabavljati opremo, instrumente, literaturo, na£rto-vati novo stavbo in²tituta in iskati sodelav e. Ker edinih moºnih sodelav evzikov ni mogel navdu²iti za delu na in²titutu in ker ni bilo drugih stro-kovnjakov, je pritegnil vanj predvsem svoje ²tudente zike, elektrotehnikein kemije. Leta 1949 je imel in²titut ºe sedem sodelav ev in nekaj ²tuden-tov vi²jih letnikov je gradilo prve nove instrumente. Jeseni so za£eli kopatitemelje nove stavbe in²tituta na Jamovi, do kon a leta pa so za za£asnorabo in²tituta adaptirali skladi²£e na dvori²£u SAZU na Salendrovi uli i.Ob selitvi v za£etku leta 1950 ni bilo v njem ne vode, ne elektrike, ne plina.Kljub za£etnim teºavam jim je kmalu uspelo urediti elektri£ni in kemijskioddelek (s steklopiha²ko delavni o), oddelek za jedrsko tehniko in skladi-²£e materiala, naslednje leto pa ²e mehansko in radijsko delavni o. Poznejeso se jima pridruºile ²e mizarska, fotografska in elektronska delavni a. Iznjih so prihajali nujno potrebni visokokvalitetni izdelki, saj bi bilo predragokupovati vso opremo in instrumente v tujini. V tem £asu so usposobili rent-gensko aparaturo, gradili dele za nevtronski generator, izdelali enostopni Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 203 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 204  #4 Vestimasni spektrometer, razne ²tev e, kvantitativne analizne in spektroskopskemetode za dolo£anje izotopov . . . in opravljali z njimi meritve. Potekale so²tudije in na£rtovanje pospe²evalnika po Van de Graau (2 MV), betatrona(31 MeV), naprave za pridobivanje teºke vode, preu£evanje literature o je-drskih reaktorjih in metod za obogatitev 235U. Posebno slednje tri so bileteºavno delo, kajti do leta 1955 so bile vse za uransko kopo bistvene snovipovsod po svetu pod zaporo in ustrezna literatura nedostopna.Na Pre²ernov praznik, 8. februarja 1953, je predsednik SAZU Josip Vid-mar sve£ano odprl novo stavbo in²tituta, ki je na Peterlinov predlog z dne24. 5. 1952 dobil ime Fizikalni institut Joºefa Stefana. Ko je 1. 1. 1955 in-²titut pre²el od SAZU pod pokroviteljstvo Zveznega izvr²nega sveta, ga jeodtlej nan irala in njegov znanstveni program dolo£ala Zvezna komisija zanuklearno energijo (ZKNE). Takrat so in²titut preimenovali v Institut JoºefStefan. ƒeprav so po Peterlinovem odhodu ime ²e nekajkrat spremenili namen je bil elo odstraniti poimenovanje po Joºefu Stefanu, najbolj vidnemin pomembnem ziku slovenskega rodu  nosi to ime ²e danes.Po selitvi na novo loka ijo je delo v in²titutu spet steklo jeseni 1953.Tega leta so izdelali uorimeter za dolo£anje urana do kon entra ije 10−4%, leto pozneje pa jim je prvi£ uspelo sintetizirati UF6, ki je bil potreben zaposkuse obogatitve urana. Te so izvajali s poskusno kolono za frak ionirnodestila ijo in z drugimi metodami, ki so jih ve£ let neuspe²no izbolj²evali. Spolindustrijsko napravo za elektrolizo, ki so jo kupili v tujini, so leta 1955za£eli proizvajati vodo, obogateno na 0,1 % D2O (navadna voda vsebuje ≈ 0,03 % D2O), a delo opustili, brº ko je bilo moºno teºko vodo uvoziti.Dogradili so prve ve£je instrumente. Nevtronski generator je leta 1954produ iral prvi pospe²eni urek protonov, naslednje leto pa tudi nevtrone,a ²ele po vgradnji radiofrekven£nega izvira devteronov so jih leta 1958 do-bili dovolj za meritve reak ij (n,p). Spomladi 1954 so na in²titutu montiralibetatron ²vi arske rme Brown Boveri, ki naj bi ga uporabljali za zikalnemeritve in obsevanje bolnikov. Zaradi nihanja jakosti in frekven e elektri£-nega omreºja so bile potrebne dogradnje, ki so trajale dve leti in s katerimiso dosegli energijsko stabiliza ijo elektronskega ºarka na ±5 keV. Ljubljanskibetatron je postal najbolj²i na svetu in tako omogo£il vrhunske raziskave fo-tonuklearnih reak ij. Leta 1954 so kupili elektronski mikroskop rme Zeiss.V letih 19531958 so na in²titutu zgradili Van de Graaov pospe²evalniklastne konstruk ije, ki je omogo£il meritve reak ije (p,γ), v letih 19541955pa masni spektrometer po Nieru za pre izno merjenje atomskih mas. Znjim so leta 1962 dokazali nepri£akovano spojino z ºlahtnim plinom XeF6(po mnenju teoretikov ni mogla obstojati), ki jo je prvi na svetu sintetiziralJoºe Slivnik. Leta 1958 je bila dokon£ana poskusna aparatura NMR, ki joje Peterlin predlagal ºe leta 1953. Zanjo je naro£il drag in to£en magnet,ki je pri²el na Institut ²ele po njegovem odhodu. Po vgradnji magneta soRobert Blin in sodelav i z izbolj²anim spektrometrom NMR kot prvi nasvetu merili fazne prehode v feroelektrikih in teko£ih kristalih.204 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 205  #5 Ob stoletnici rojstva Antona Peterlina: ustanovitev in pionirska leta IJSVe£ina zgoraj navedenih del naj bi bila priprava za glavno nalogo, po-staviti poskusni reaktor. Peterlin je najprej na£rtoval reaktor na naravni aliobogateni uran in moderator z navadno ali teºko vodo. Ker so jeseni 1952 vVin£i spremenili svoje mnenje  zavrgli so reaktor z gratnim moderatorjemin se odlo£ili prav za tip reaktorja, ki ga je favoriziral Peterlin  so se v Lju-bljani morali preorientirati na homogeni reaktor na obogaten uran. Za£ete²tudije so ustavili po Peterlinovem odhodu, kajti kupili so reaktor Triga.Peterlin je na Institutu uvedel nova raziskovalna podro£ja, ki so se muzdela obetavna, pod kamuaºo, da so potrebna za reaktorski program, £e-prav niso imela nobene ali le zelo posredno povezavo z njim. Lastnega raz-iskovalnega podro£ja ni mogel in ni hotel prikrivati pred ZKNE, zato sokone leta 1955 ukinili laboratorij za makromolekule. Na Institutu naj bi seukvarjali le z jedrsko in reaktorsko tematiko. V tem duhu sta bila leta 1956ustanovljena laboratorij za radiobiokemijo in zdravstveno za²£ito in skupinaza zikalno kemijo, ki je raziskovala nove ionske izmenjeval e. Leta 1957 jenastala ²e posebna skupina za uporabo radioizotopov.Poleg gradnje Instituta je bila verjetno Peterlinova najbolj pomembnazasluga skrb za znanstveni nara²£aj. Od svojih sodelav ev je zahteval, dana in²titutu redno ustno in pisno poro£ajo o svojem delu in da objavljajo iz-sledke svojih raziskovanj v uglednih tujih znanstvenih revijah. V ta namenje leta 1953 ustanovil in²titutsko revijo Reports s £lanki izklju£no v tujihjezikih in avtorjem stal ob strani z nasveti in pomo£jo pri pisanju. Reports(19531958) so bili tudi znak obstoja in samobitnosti Instituta in so rabiliza izmenjavo publika ij z znanstvenimi ustanovami doma in po svetu. Pe-terlin je po²iljal ne le mlade raziskoval e, temve£ tudi tehnike na strokovnousposabljanje na ugledne znanstvene ustanove v tujini. Od prvih je sevedazahteval, da s svojim delom doktorirajo. Peterlin je bil mentor pri petnaj-stih doktorskih diserta ijah v Ljubljani; leta 1950 je njegov doktorand IvanKu²£er kot prvi zik sploh promoviral na ljubljanski univerzi.Peterlin je veliko dosegel, ker je imel vizijo in ker je bil strokovno iz-redno sposoben, delaven in zahteven do sebe in drugih. Izkazal se je zaodli£nega organizatorja. ƒeprav je bil makromolekulski zik, je v kratkem£asu prakti£no iz ni£ vzpostavil izredno uspe²en in²titut za jedrske raziskavepo zahodnih vzorih, ki pa je bil hkrati tudi ²iroko kon ipiran interdis ipli-narni raziskovalni in²titut. ’tevilo zaposlenih je v 12 letih pod njegovimvodstvom naraslo z ni£ na okrog 300. Sodelav i so se s svojim raziskovalnimdelom uveljavili v mednarodnih znanstvenih krogih in tako prinesli in²titutusvetovno priznanje.Namesto da bi uºival sadove svojega dela, je bil Peterlin nekaj mese evpo praznovanju svoje 50-letni e kone leta 1958 primoran zaprositi za raz-re²itev s svoje funk ije. Znanstveno delo na polimerih je izredno uspe²nonadaljeval v tujini, najprej v Nem£iji, nato v ZDA, in zanj prejel ²tevilnavisoka priznanja. Tanja Peterlin - Neumaier Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 205 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 206  #6 VestiPROFESOR ANTON PETERLIN IZ ’TUDENTSKIH KLOPIV razvoju zike so imele pomembno vlogo zikalne ²ole. Take ²ole sona primer ustanovili Joºef Stefan in pozneje Ludwig Boltzmann na Dunaju,Hermann von Helmholtz v Berlinu, Niels Bohr v Københavnu, Lev Landauv Moskvi. Govorimo lahko tudi o Peterlinovi ²oli v Ljubljani, £eprav je bilaveliko bolj skromna in krajevno omejena. Tudi £as ji ni bil naklonjen. Kmalupo za£etku Peterlinove pokli ne poti je izbruhnila druga svetovna vojna, kiji je sledilo obdobje pomanjkanja. Na drugi strani pa je Peterlinova zikalna²ola bila za Sloven e pomembna. Proti kon u 19. stoletja so v okviru Avstro-Ogrske raziskovali v ziki Sloven i Joºef Stefan na Dunaju, Igna Klemen£i£v Innsbru ku, Simon ’ubi v Grad u. Potem pa nekaj £asa ni bilo v zikinobenega pravega slovenskega raziskoval a. V tem pogledu se razmere poustanovitvi ljubljanske univerze leta 1919 niso spremenile. Na njej so zikosprva predavali doma£i predavatelji, ki niso raziskovali v ziki, nekateri odnjih so delovali v tehniki. Poljak Woj ie h Rubinowi z je bil znan po svojemdelu o sevanju atomov v kvantni mehaniki. Vendar je na univerzi v Ljubljaniostal le nepolni dve leti in ni zapustil sledi. Avstrije Hugo Sirk, ki je bilmenda slovenskega rodu, a ni znal slovensko, se je bolj izkazal. Na univerzije ostal ²est let in je uvedel raziskovanje rentgenske svetlobe.Po Peterlinovi vrnitvi iz Berlina, kjer je opravil doktorsko delo, povezanoz rentgensko svetlobo, so se razmere v raziskovanju za£ele bolj²ati. Zaºiveloje na£elo, da brez dobrega raziskovanja ni dobrega pou£evanja. V nasle-dnjih desetletjih so se slovenski ziki za£eli vklju£evati v svetovno zikalnoraziskovanje in danes v njem enakopravno sodelujejo.Jeseni 1952 sem se vpisal na dve leti prej ustanovljeni Oddelek za teh-ni²ko ziko na Fakulteti za kemijo Tehni²ke visoke ²ole, ne da bi se zavedalvsega tega. Vendar nisem pri²el v povsem neznano okolje. V gimnaziji semprebiral Proteus in odgovarjal na vpra²anja uredni²tva. Poznal sem Obzor-nik za matematiko in ziko, ki je za£el izhajati leto pred tem. Udeleºil sem sedveh srednje²olskih matemati£nih tekmovanj, enega zelo uspe²no. Zato semse brez pomi²ljanja odlo£il za ²tudij zike. Po imenu sem poznal profesorjaAntona Peterlina, ki je predaval Fiziko I, in profesorja Josipa Plemlja, ki jepredaval Matematiko I. Predavanja iz teh glavnih predmetov smo v velikipredavalni i na stari univerzi poslu²ali skupaj ²tudenti matematike, zikein tehnike. Profesor Peterlin je nekoliko presenetljvo za£el z geometrijskooptiko. Najbrº se je tako odlo£il, ker ta del zike potrebuje le skromno ma-tematiko. Pozneje se je vrnil k bolj ustaljenemu vrstnemu redu. Poskusipri predavanjih so bili za marsikaterega ²tudenta novost. V£asih pa nisouspeli, in tedaj je profesor pograjal laboranta. Pozneje sem ugotovil, da silaborant najbrº pogosto graje ni zasluºil. Ve£krat se mi je namre£ primerilo,206 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 207  #7 Profesor Anton Peterlin iz študentskih klopida je poskus tik pred predavanjem deloval,pri predavanju pa je odpovedal.Tako so tekla predavanja do zime. Te-daj si je profesor Peterlin zlomil nogo, kotje bilo sli²ati, pri smu£anju na Krvav u. Zmav em na nogi je bilo teºko predavati. Ne-kajkrat je namesto njega predaval profesorAnton Moljk, ki pa ga to, kot je kazalo, niveselilo. Predavanja je prevzel profesor IvanKu²£er in jih pripeljal do kon a. Pri njego-vih predavanjih smo se veliko nau£ili. Doizpita se je profesor Peterlin pozdravil. U£ilsem se po njegovih skriptih, ki jih je bilo te-daj teºko dobiti. Na izpitu nisem imel teºavin ºivo se spomnim, da je profesor na kon uizpita dobrohotno rekel: No, pa mu dajmodeset. V drugem letniku smo se z dokaj tema£ne stare univerze preselili vdana²nji veliko svetlej²i Peterlinov paviljon ob Institutu Joºef Stefan, ki soga tedaj odprli. V tem letniku nam profesor Peterlin ni predaval. Z njim smose zopet sre£ali pri Teoreti£ni ziki v tretjem letniku. Predavanja smo v malizikalni predavalni i skupaj poslu²ali ²tudenti tretjega in £etrtega letnika.Najprej je bilo na vrsti elektromagnetno polje. Vaje je vodil profesor sam.Pri prvih vajah je ºelel, da pride k tabli kak ²tudent tretjega letnika. Kerni bilo prostovolj ev in ker sem sedel dovolj blizu, je izbral mene. ProfesorPeterlin je pri nas ²tudentih zbujal ob£utek, ki ga najbolje opi²emo kotstrahospo²tovanje. Pozneje se je pokazalo, da to ni bilo omejeno samo na²tudente. Ti so o njegovi strogosti pri izpitih pripovedovali srhljive zgodbe.Po eni od njih naj bi pri izpitu iz Fizike I ²tudent padel, ker je rekel α dele namesto dele α. ƒeprav mi je prizadeti to potrdil, danes vem, da pri tem²tudentom ne gre povsem zaupati. Pogosto ne povedo, kaj se je dogajaloprej.Pri opisanih vajah iz Teoreti£ne zike je bilo treba obdelati Larmorjevopre esijo. Ker sem mislil, da o tem nekaj vem, sem poskusil to znanjeuporabiti. Vendar ni ²lo. Profesor je hotel stvar dognati po svoje. Tudi takose je dobro izteklo. Vaje smo prestali in dobili podpis iz tretjega letnikatrije, ki smo pozneje postali u£itelji na Oddelku za ziko.Sledila je optika, potem pa en semester ni bilo predavanj, ker je bil profe-sor v Zdruºenih drºavah. Po vrnitvi je izjavil, da bi se kazalo lotiti jedrskihreaktorjev, in tako smo poslu²ali reaktorsko ziko in iz nje pri profesorjuopravili seminar. Predavanje iz Teoreti£ne zike smo potem poslu²ali ²e v Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 207 Peterlin-forstneri   2009/1/12  9:59  page 208  #8 Vestizimskem semestru petega letnika. Spominjam se le tega, da smo imeli izpiteposami£ v prostorih direktorja Instituta Joºef Stefan. Tedaj je bil profesorPeterlin zaposlen tudi z in²titutskimi zadevami in je bil ve£krat odsoten.Spomin na dogodke pred ve£ kot petdesetimi leti je zelo luknji£av. Brezdnevnika in drugega gradiva ni mogo£e pisati spominov. ’e ob tem previdnipis i opozorijo, da pi²ejo o svojem pogledu na dogodke.V £etrtem letniku me je Marjan Ribari£, ki je po diplomi delal na in-²titutu, povabil k sodelovanju pri ra£unih o difuziji nevtronov. Zagotovo jeravnal tako po dogovoru s profesorjem Peterlinom. Pritegnili so me tudi kza£etnim na£rtom, da bi v Ljubljani zgradili homogeni jedrski reaktor. Pro-fesor mi je naro£il, naj v revijah zbiram podatke o takih reaktorjih in me sto nalogo poslal v knjiºni o v Vin£i. S £asom je sodelovanje z Ribari£em inprofesorjem Peterlinom pripeljalo do £lankov in diplomskega dela. ProfesorPeterlin, druga£e od nekaterih drugih profesorjev, ni poznal obotavljanja pridiplomah. Tako sem kone pomladi 1957 zagovarjal diplomsko delo. V ko-misiji sta bila poleg predsednika, ki ni bil zik, profesor Peterlin in profesorKu²£er.Pred kon em voja²£ine so me povabili na asistentsko mesto na tedanjiFakulteti za rudarstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo. Opozorili some, da so postopki za izvolitev dolgotrajni. Zato sem se najprej zaposlil naInstitutu Joºef Stefan. O tem sem se posvetoval s profesorjem Peterlinom inga tudi obvestil, da bom pre²el na fakulteto. Zdelo se mi je, da je odlo£itevodobril. Tedaj, na za£etku leta 1959, nisem vedel, in to je veljalo tudi zave£ino kolegov, da profesor Peterlin odhaja v tujino. Pozneje sem profesorjasre£al ob njegovih obiskih v Ljubljani. Na enem od njih se je med pogovorompokazalo, da ve za moje pisanje u£benikov za ziko. Po njegovih izjavah jebilo mogo£e sklepati, da se mu je zdelo to potrebno in koristno delo.Pri ve£ini za£etnih diplomskih del na Oddelku za ziko je bil mentorprofesor Peterlin. Pre ej jih je bilo iz reaktorske zike, ki je bila tedaj aktu-alna. Le malo diplomskih in doktorskih del je zadevalo velike molekule, ki sobile tedaj profesorjevo pravo delovno podro£je. Ni se mogo£e otresti vtisa,da je profesor s tem, ko je sprejel mentorstvo pri delih z drugih podro£ij,²tudentom pomagal do diplom in pozneje do doktoratov ter jim s tem odprlvrata do samostojnega raziskovanja. Tako je tudi po tej strani poskrbel, dase je pri nas razvilo raziskovalno delo v ziki.Velikokrat se s spo²tovanjem in hvaleºnostjo spomnim profesorja AntonaPeterlina, ki je na za£etku moje pokli ne poti imel vlogo mentorja. Mislim,da jo je dobro opravil, kljub ²tevilnim drugim obveznostim. Janez Strnad208 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 kratek  2009/1/9  9:19  page 209  #1 O DVEH FUNKCIJSKIH ENAƒBAHIN USTREZNIH NEENAƒBAHPETER ’EMRLFakulteta za matematiko in zikoUniverza v LjubljaniMath. Subj. Class. (2000): 55M30, 55Q05Pokazali bomo, da sta Cau hyjeva in Jensenova funk ijska ena£ba skoraj ekvivalentni(do transla ij). Ko pa ²tudiramo ustrezni neena£bi, dobimo povsem razli£ne razredere²itev. ON TWO FUNCTIONAL EQUATIONSAND CORRESPONDING INEQUALITIESWe will show that the Cau hy and Jensen fun tional equations are equivalent upto translations. It is therefore somewhat surprising that the sets of solutions of the orresponding inequalities are quite unrelated.Funk ija f : R → R je aditivna, £e velja f(x + y) = f(x) + f(y) (1)za vsak par realnih ²tevil x, y. Ena£bo (1) imenujemo Cau hyjeva funk ijskaena£ba. Zelo podobna je Jensenova funk ijska ena£ba f ( x + y 2 ) = f(x) + f(y) 2 . (2)Re²itve Jensenove funk ijske ena£be so vse tiste funk ije f : R → R, za katereje pogoj (2) izpolnjen za vsak par x, y ∈ R.Zaradi podobnosti bi pri£akovali, da sta mnoºi i re²itev teh dveh funk- ijskih ena£b v tesni zvezi. In res je tako.Naj bo f poljubna aditivna funk ija in c poljubna realna konstanta.Iz (1) sledi f(2x) = 2f(x), x ∈ R. Nadomestimo x z 1 2 x. Dobimo f ( 1 2 x ) = 1 2 f(x) .Zato za funk ijo g(x) = f(x) + c velja g ( x + y 2 ) = f ( x + y 2 ) + c = 1 2 ( f(x) + f(y) ) + 1 2 (2c) = g(x) + g(y) 2 . Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 209 kratek  2009/1/9  9:19  page 210  #2 Peter ŠemrlPrivzemimo, da f : R → R re²i Jensenovo funk ijsko ena£bo. Naj bo cpoljubna realna konstanta. O£itno tudi funk ija x 7→ f(x)+c re²i Jensenovoena£bo. Posebej za funk ijo g(x) = f(x) − f(0) velja g ( x + y 2 ) = g(x) + g(y) 2 , x, y ∈ R . (3)V to enakost vstavimo y = 0. Z upo²tevanjem g(0) = 0 dobimo g(x/2) = (1/2)g(x) za vsak x ∈ R. Zato iz (3) sledi g(x + y) = g(x) + g(y), x, y ∈ R.Ugotovili smo: £e poljubni re²itvi Cau hyjeve funk ijske ena£be pri²te-jemo poljubno konstantno funk ijo, dobimo re²itev Jensenove ena£be. Inobratno: vsaka re²itev Jensenove ena£be je vsota aditivne funk ije in kon-stantne funk ije. Skratka, dovolj je ²tudirati samo eno od teh dveh ena£b,na primer, Cau hyjevo. Vsak izrek o re²itvah te ena£be impli ira zaradipravkar opisane zveze ustrezno trditev o re²itvah Jensenove ena£be.Oglejmo si ²e ustrezni funk ijski neena£bi. Funk iji f : R → R re£emosubaditivna funk ija, £e velja f(x + y) ≤ f(x) + f(y) , x, y ∈ R . (4)ƒe funk ija f : R → R zado²£a pogoju f ( x + y 2 ) ≤ f(x) + f(y) 2 , x, y ∈ R , (5)pa re£emo, da je J-konveksna (Jensenovo konveksna). Spomnimo se ²e, daje funk ija f konveksna, £e velja f ( tx + (1 − t)y ) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) (6)za vsak par realnih ²tevil x, y in vsak realen t ∈ [0, 1]. Vsaka konveksnafunk ija je J-konveksna (v posebnem primeru t = 1/2 se (6) ujema s (5)).Po analogiji s Cau hyjevo in Jensenovo funk ijsko ena£bo bi pri£akovali,da se re²itve funk ijske neena£be (4) obna²ajo podobno kot re²itve funk ijskeneena£be (5). Vendar se to pri£akovanje izkaºe za povsem zmotno!Zlahka se prepri£amo, da je za vsako nenegativno J-konveksno funk ijo f : R → R tudi f2 J-konveksna funk ija. Res, za poljubni realni ²tevili a in b velja 2ab ≤ a2 + b2 in zato ( f ( x + y 2 ))2 ≤ ( f(x) + f(y) 2 )2 = ( f(x) )2 + 2f(x)f(y) + ( f(y) )2 4 ≤ ≤ ( f(x) )2 + ( f(y) )2 2 .210 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 kratek  2009/1/9  9:19  page 211  #3 O dveh funkcijskih enačbah in ustreznih neenačbahNi£ podobnega ne velja za subaditivne funk ije. Za zgled vzemimo funk ijo f(x) = |x|, ki je J-konveksna in subaditivna. Njen kvadrat x 7→ x2 je popravkar omenjeni trditvi J-konveksen, lastnost subaditivnosti pa se je prikvadriranju izgubila.Za subaditivne funk ije f velja f(2x) ≤ 2f(x), f(3x) = f(x + 2x) ≤ 3f(x), . . . Induk ija pokaºe veljavnost formule f(nx) ≤ nf(x), n ∈ N, x ∈ R. ƒe je subaditivna funk ija f zvezna, je na zaprtem intervalu [0, 1]navzgor omejena, re imo s pozitivno konstanto M . Za x > 1 z [x] ozna£imo eli del ²tevila x. Za vsa taka ²tevila x velja f(x) = f ( ( [x] + 1 ) x [x] + 1 ) ≤ ( [x] + 1 ) M ≤ (x + 1)M < 2Mx .Na poltraku (1,∞) je mnoºi a kvo ientov f(x)/x navzgor omejena. ZvezneJ-konveksne funk ije imajo lahko povsem druga£no obna²anje. Za zgledvzemimo konveksno funk ijo g(x) = ex, ki nara²£a hitreje od vsake poten e x n, ko gre x proti ∞.Preprosto je videti, da je zvezna J-konveksna funk ija g konveksna. Zapoljubna realna x in y imamo g ( 1 4 x + 3 4 y ) = g ( x+y 2 + y 2 ) ≤ g ( x+y 2 ) + g(y) 2 ≤ ≤ g(x)+g(y) 2 + g(y) 2 = 1 4 g(x) + 3 4 g(y) .Brale bo zlahka pokazal, da velja g(tx + (1 − t)y) ≤ tg(x) + (1 − t)g(y)za vsak t oblike t = k 2n ,kjer je n naravno ²tevilo in k naravno ²tevilo < 2n. Mnoºi a takih ²tevil jegosta na intervalu [0, 1]. Zaradi zveznosti je g konveksna funk ija. Zveznafunk ija f(x) = { 1 ; x ≤ 0 e −x 2 ; x ≥ 0je subaditivna. Res, £e je x ≤ 0 ali y ≤ 0, je f(x) = 1 ali f(y) = 1,in ker je 0 < f(z) ≤ 1 za vsak realen z, v tem primeru zagotovo velja f(x + y) ≤ f(x) + f(y). Tudi v primeru x, y > 0 imamo f(x + y) = e −(x+y) 2 < e −x 2 = f(x) < f(x) + f(y) . 209–212 211 kratek  2009/1/9  9:19  page 212  #4 Peter ŠemrlV nasprotju z zveznimi J-konveksnimi funk ijami ta subaditivna funk ijani konveksna. Ker na pozitivnem poltraku velja f ′′(x) = 2e−x2(2x2 − 1), jedrugi odvod f ′′ na intervalu (0, 1√ 2 ) negativen in je zato tam funk ija f elokonkavna!Funk ija f : R → R je v to£ki x0 lokalno omejena, £e obstajata takipozitivni ²tevili δ in M , da velja |f(x)| ≤ M za vsak x ∈ (x0−δ, x0+δ). Brezdokaza (le-ta je kar zahteven) povejmo, da je vsaka J-konveksna funk ija,ki je lokalno omejena v neki to£ki, zvezna na vsej realni osi. To trditev stadokazala Bernstein in Doets h [1℄. O£itno je funk ija f(x) = { 0 ; x ∈ Q 1 ; x 6∈ Qsubaditivna. Ta funk ija je v vsaki to£ki lokalno omejena in hkrati v vsakito£ki nezvezna. Obna²anje, ki je po Bernstein-Doets hevem izreku nemo-go£e za J-konveksne funk ije! Ta zgled nam dokon£no pokoplje vsako upa-nje, da bi lahko poiskali kak²no preprosto zvezo med re²itvami funk ijskeneena£be (4) in re²itvami funk ijske neena£be (5).LITERATURA[1℄ F. Bernstein in G. Doets h, Zur Theorie der konvexen Funktionen, Math. Ann. 76(1915), str. 514526.NOVE KNJIGEZBIRKA IZBRANIH POGLAVIJ IZ FIZIKEO zikalnih dru²tvenih izdajah v Obzorniku za matematiko in ziko ºenekaj £asa nismo pisali, zato si bomo tokrat ogledali nekaj novej²ih naslovovv zeleni zbirki. Zbirko izbranih poglavij iz zike namre£ hitro prepoznamopo zna£ilni ºivozeleni barvi ovitkov. Prva knjiga v zbirki pa ²e ni bila tak²na.Bro²ura velikega formata Vaje iz zike je iz²la davnega leta 1947. Vsebovalaje navodila za 30 prakti£nih zikalnih vaj (poskusov). Kasneje so ji urednikinamenili ²tevilko 1 in s tem za£etek omenjene zbirke.Od takrat je v sodelovanju z Oddelkom za ziko Fakultete za naravo-slovje in tehnologijo in kasneje Fakultete za matematiko in ziko iz²lo velikonaslovov, tako da se danes zaporedno ²tevil£enje izdaj v zbirki bliºa ²te-vilki 50. Pri tem seveda niso v²teti vsi ponatisi in popravljene izdaje, teh je212 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 kratek  2009/1/9  9:19  page 213  #5 Zbirka izbranih poglavij iz fizikebilo bistveno ve£. Vse trenutno razpoloºljive knjige v zbirki in enik izdajlahko najdemo tudi na spletni strani http://www.dmfa-zaloznistvo.si/zipf/.Irena Dreven²ekOlenik, Bo²tjan Golob in Igor Ser²a: NALOGEIZ FIZIKE ZA ’TUDENTE TEHNI’KIH FAKULTET, Zbirka iz-branih poglavij iz zike 38, DMFAzaloºni²tvo, Ljubljana 2008,72 strani.Prvi natis knjige je iz²el leta 2003, le-tos pa je na voljo njen popravljeni ponatis.Med ²tudenti tehni²kih ²tudijskih smeri je tazbirka nalog iz zike zelo priljubljena. Av-torji so jo pripravili na podlagi ve£letnih iz-ku²enj z vodenjem vaj iz zike.Knjiga je sestavljena iz dveh delov. Vprvem so zbrane naloge po posameznih po-glavjih u£ne snovi. Uvodu s temeljnimi po-datki sledijo naloge iz Matemati£nih osnov,Mehanike, Termodinamike, Elektromagne-tizma in Optike. Drugi del pa obsega ko-lokvijske naloge, ki so jih ²tudentje re²evaliv preteklih letih.Naloge so ve£inoma izvirne, nekaj pa jih je prirejenih iz drugih podobnihzbirk. Vsem nalogam so dodane tudi ²tevilske re²itve, da jih lahko ²tuden-tje hitro primerjajo s svojimi izra£unanimi rezultati. Za laºje in hitrej²erazumevanje nekatere naloge dopolnjuje tudi ski a ali shema.V skrbi za na²e okolje je ta knjiga prvi£ natisnjena na ekolo²kem papirju.Naro£ite jo lahko pri DMFAzaloºni²tvo po £lanski eni 5,59 EUR.Primoº Ziherl in Gregor Ska£ej: RE’ENE NALOGE IZ TER-MODINAMIKE, Zbirka izbranih poglavij iz zike 42, DMFAzaloºni²tvo, Ljubljana 2007, 112 strani.Tako kot prej²nja, je tudi ta knjiga ºe ponatisnjena. Prvi£ je iz²la leta2005. Avtorja sta na vajah pri predmetu Termodinamika na FMF naredilaizbor zanimivej²ih ra£unskih zgledov, s katerim posku²ata v knjigi ilustriratitemeljne pojme te zikalne vede. Veliko nalog izhaja iz u£benika Toplota(Termodinamika, statisti£na mehanika, transportni pojavi) Ivana Ku²£erja Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 213 kratek  2009/1/9  9:19  page 214  #6 Nove knjigein Slobodana šumra, nekaj pa jih je prire-jenih iz druge literature ali povsem izvirnih.Te so ²tudentje ºe krstili na kolokvijih in pi-snih izpitih.Naloge so razdeljene na poglavja, kotsi sledijo na obi£ajnem te£aju termodina-mike: najprej Ena£ba stanja, Energijski za-kon, Entropijski zakon, Termodinami£ni po-ten iali, pa Fazne spremembe, Zmesi in na-zadnje ²e Transportni pojavi. Knjigo skle-neta parna tabela za vodo in seznam pripo-ro£ene ²tudijske literature.Vsaki nalogi sledi opis re²itve in ne zgoljnjena ²tevilska vrednost. Tako lahko pri re-²evanju sledimo ve£ini potrebnih premislekov na poti do prave re²itve. Na-loge niso ra£unsko prezahtevne in so ve£inoma analiti£no re²ljive.Knjigo lahko naro£ite pri DMFAzaloºni²tvo po £lanski eni 9,59 EUR.Ale² Mohori£: NALOGE IZ FIZIKE I ZA FIZIKALNO MERIL-NO TEHNIKO, Zbirka izbranih poglavij iz zike 45, DMFAzalo-ºni²tvo, Ljubljana 2007, 118 strani.Avtor je med dolgoletnim vodenjem vajza ²tudente zikalne merilne tehnike pripra-vil zbirko nalog iz zike I.Naloge so razporejene po poglavjih Me-ritve, Gibanje v eni dimenziji, Gibanje v rav-nini, Dinamika to£kastih teles, Delo in ener-gija, Ohranitev energije, Ohranitev gibalnekoli£ine, Trki, Vrtilna koli£ina, Ravnovesjetogih teles, Nihanje, Gravita ija, Mirujo£eteko£ine, Gibajo£e se teko£ine, Valovanje,Temperatura, Toplota, Kineti£na teorija pli-nov in Entropija, na kon u pa najdemo ²epregled zikalnih koli£in.Nekatere naloge dopolnjujejo slike, ki jihje avtor ²e posebej skrbno narisal. Veliki ve£ini nalog je dodana tudi ²tevil-ska re²itev, nekatere pa so vseeno prepu²£ene bral em v premislek. Knjigi bo214 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 kratek  2009/1/9  9:19  page 215  #7 Zbirka izbranih poglavij iz fizikekmalu sledilo njeno nadaljevanje z nalogami iz zike II, ki so ºe pripravljene.Naro£ite jo lahko pri DMFAzaloºni²tvo po £lanski eni 9,59 EUR.Sa²a Gaber²ek, Gregor Skok in Rahela šabkar: RE’ENE NA-LOGE IZ OSNOV METEOROLOGIJE, Zbirka izbranih poglavijiz zike 46, DMFAzaloºni²tvo, Ljubljana 2007, 88 strani.Avtorji so z zbiranjem primernih nalog izmeteorologije nadaljevali delo svojih pred-hodnikov: Zdravka Petkov²ka, Joºeta Ra-kov a, Tomaºa Vrhov a, Neve Pristov inGregorja Gregori£a. Nekatere njihove ºezbrane stare naloge so opremili s ski ami inre²itvami ter jih dopolnili z mnoºi o novihnalog. Vsebinsko se te navezujejo na u£be-nik Osnove meteorologije za naravoslov e intehnike Joºeta Rakov a in Tomaºa Vrhov a.Tako se zbirka v sedanji obliki lepo po-kriva z uvodnimi predavanji meteorologije.Sestavljajo jo naslednja poglavja: Merskeenote, Sestava in plasti ozra£ja, Hidrosta-tika, Osnovni zakoni, Vetrovi, Lokalne, individualne in advektivne spre-membe, Vlaºnost, Adiabatne spremembe, Emagrami, Sevanje, Fronte ter TAFin METAR depe²e. Knjigo po re²itvah sklene ²e dodatek z uporabljenimisimboli in oznakami.Znotraj poglavij si naloge sledijo po zahtevnosti, tako da so na za£etkuvedno najprej preprostej²e naloge. Njihova privla£nost je predvsem v prak-ti£ni uporabnosti, saj se z vremenom sre£ujemo vsak dan. V lo£enem po-glavju so zbrane kratke re²itve ve£ine objavljenih nalog. Nekaj zna£ilnihnalog iz posameznih poglavij pa je zaradi laºjega razumevanja opremljenihtudi s podrobnim postopkom re²evanja in slikovno ponazoritvijo.Knjigo lahko naro£ite pri DMFAzaloºni²tvo po £lanski eni 8,79 EUR.Vladimir Bensa Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 215 Monte  2009/1/12  10:03  page 216  #1 NEKATERE NOVEJ’E METODE PRI SIMULACIJAHMONTE CARLO V STATISTIƒNI FIZIKITOMAš MERTELJFakulteta za matematiko in zikoUniverza v LjubljaniPACS: 05.10.-a, 05.10.LnV £lanku so na kratko opisane nekatere najbolj pogoste metode, ki jih uporabljamopri simula ijah Monte Carlo v statisti£ni ziki. Najstarej²i Metropolisov algoritem jeosnova, iz katere izhajajo vsi novej²i algoritmi. Med novej²imi algoritmi so opisani le tistibolj univerzalni. Njihov ilj je izbolj²ati ergodi£nost pri simula ijah v sistemih, kjer imaenergija ve£ lokalnih minimumov.SOME NEW METHODS FOR MONTE CARLO SIMULATIONSIN STATISTICAL PHYSICSSome most widespread methods whi h are used in Monte Carlo simulations in stati-sti al physi s are briey des ribed. The oldest Metropolis algorithm is a foundation forall newer algorithms. Here we present only the most universal ones. Their ommon goalis to improve ergodi ity of simulations in systems where there are several lo al minima ofthe energy. UvodProdor ra£unalni²ke tehnologije v vse pore na²ega ºivljenja se kaºe tudiv znanosti. Tako so ra£unalni²ke simula ije postale pomembno orodje priraziskavah tudi v ziki, kemiji, biokemiji in na mnogih drugih podro£jih.Ena od druºin simula ij, ki jih pogosto sre£amo v statisti£ni ziki, teme-lji na uporabi zaporedij naklju£nih ²tevil. Simula ije iz te druºine se zatoimenujejo po mestu Monte Carlo, ki je med drugim znano tudi po igrah nasre£o.Uporaba simula ij Monte Carlo v statisti£ni ziki sega ºe na sam za£etekdobe digitalnih ra£unalnikov, ko je Metropolis s sodelav i odkril u£inkovitalgoritem zanje [1℄. Metropolisov algoritem, ki je zelo enostaven, a ima vnekaterih primerih teºave z ergodi£nostjo, so kasneje mnogi avtorji nadgra-dili na razli£ne na£ine. Osnovne ideje nekaterih od teh nadgradenj bompredstavil v tem £lanku, za podrobnej²i pregled z bolj popolnim seznamomliterature pa priporo£am pregledni £lanek [2℄.Naklju£no vzor£enje (Monte Carlo)V statisti£ni ziki navadno obravnavamo sisteme, ki imajo zelo velikomoºnih kongura ij. Posamezne kongura ije se med seboj razlikujejo po216 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Monte  2009/1/12  10:03  page 217  #2 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fizikienergiji. V termodinamskem ravnovesju pri konstantni temperaturi je ver-jetnost, da najdemo sistem v dani kongura iji, Boltzmannova: P (xi) ∝ e −βH(xi), (1)kjer je H(xi) energija kongura ije, xi so kongura ije sistema in β = (kBT ) −1 inverzna temperatura. Termodinamska povpre£na vrednost nekekoli£ine A(xi), ki je odvisna od kongura ije, je torej 〈A〉β = ∑ A(xi)e −βH(xi) Z(β) , Z(β) = ∑ e −βH(xi) , (2)kjer vsoti te£eta po vseh kongura ijah. Vsoto v imenoval u, Z(β), imenu-jemo tudi statisti£na vsota.’tevilo kongura ij zelo hitro nara²£a z velikostjo sistema. Poglejmo sina primer Isingov model, v katerem imamo sklopljenih N klasi£nih spinov.Energija spinov je podana s H = −J ∑ 〈i,j〉 sz,isz,j , kjer vsota te£e le po naj-bliºjih sosedih 〈i, j〉. Posamezen spin lahko kaºe dol, (sz,i = −12), ali gor,(sz,i = 12). ƒe je sklopitev J pozitivna, je to klasi£en model za feroma-gnet, ki ima v osnovnem stanju vse spine obrnjene v isto smer. V primerunegativnega J model ustreza antiferomagnetu. Vsak od spinov ima dve mo-ºni stanji, kar da 2N kongura ij. ƒe bi imeli ra£unalnik, ki izra£una en£len v vsotah (2) v nanosekundi, potem v 24 urah lahko izra£unamo vsotoza sistem velikosti N ≈ log2 24 h1 ns ≈ 46. Vsoti (2) je torej prakti£no nemo-go£e izra£unati za mezoskopske in makroskopske sisteme, saj potreben £asnara²£a eksponentno z velikostjo sistema.Zate£emo se lahko k pribliºnemu algoritmu. V vsotah (2) se²tejemosamo obvladljivo ²tevilo, n ≪ 2N , naklju£no izbranih kongura ij xi. Takalgoritem, ki temelji na naklju£nem vzor£enju kongura ij, je u£inkovit pridovolj visokih temperaturah, kjer je verjetnost (1) za vse kongura ije po-dobna. Pri nizkih temperaturah pa je pri ve£ini kongura ij verjetnost (1)zelo majhna, zato tiste kongura ije, ki znatno prispevajo k vsotama (2),ve£inoma zgre²imo in napaka mo£no naraste.Metropolisov algoritemPri nizkih temperaturah bi bilo torej bolje izbirati kongura ije siste-mati£no. ƒe bi namesto popolnoma naklju£ne izbire, kjer je verjetnost, daizºrebamo kongura ijo, enaka za vse kongura ije, ºrebali kongura ije zverjetnostjo (1), bi ustrezno vzor£ili kongura ije tudi pri nizkih tempera-turah. Ni holas Metropolis s sodelav i [1℄ je ºe daljnega leta 1953 odkrilu£inkovit algoritem za ºrebanje kongura ij z verjetnostjo (1). 216–226 217 Monte  2009/1/12  10:03  page 218  #3 Tomaž MerteljAlgoritem temelji na posnemanju £asovnega razvoja realnega sistema,ki ga v termostatu drºimo pri konstantni temperaturi. Za ilustra ijo sipoglejmo en sam Isingov spin. Energiji kongura ij naj bosta razli£ni, E↑ = H(↑) 6= E↓ = H(↓). ƒas, ki ga spin preºivi v posamezni kongura iji,je sorazmeren z verjetnostjo (1), da ga ob poljubnem £asu najdemo v tejkongura iji. Ra£unalni²ka simula ija poteka po korakih. Mislimo si, daposamezen korak ustreza nekemu ktivnemu £asu ∆t. Poskrbeti moramo,da bo ²tevilo korakov, ko bo spin v kongura iji ↑, sorazmerno z e−βE↑ in²tevilo korakov, ko bo spin v kongura iji ↓, sorazmerno z e−βE↓ .Postopek je slede£: Re imo, da je ∆E = E↑ − E↓ ≥ 0. ƒe je v da-nem koraku spin v kongura iji z ve£jo energijo (v na²em primeru ↑), gaobrnemo v kongura ijo z manj²o energijo. ƒe pa je spin v kongura ijiz niºjo energijo, ga obrnemo v kongura ijo z ve£jo energijo le z verjetno-stjo w(↓→↑) = e−β∆E . Stohasti£no zaporedje kongura ij, ki ga dobimo stem postopkom, imenujemo veriga Markova.1 Razmerje ²tevila posameznihkongura ij v verigi je: n↑ n↓ = e −β∆E 1 = e β(E ↓ −E ↑ ) , (3)in ustreza Boltzmannovi porazdelitvi po energiji kongura ij. Postopekpravzaprav temelji na izbiri razmerja verjetnosti za prehod med dvema sta-njema [1℄, w(↓→↑) w(↑→↓) = e −β∆E 1 = n↑ n↓ , (4)ki je enako razmerju (3).Za sisteme z ve£ kot dvema kongura ijama tvorimo verigo Markovadolºine L, {xi}L, podobno kot v gornjem primeru. Re imo, da je sistemv kongura iji xi. Izberemo neko novo poskusno kongura ijo x′. Slede£okongura ijo v verigi, xi+1, postavimo na x′ z verjetnostjo w(xi → x ′ ) = min { 1, e −β∆E } , ∆E = H(x ′ ) − H(xi) , (5)oziroma na stari xi z verjetnostjo 1 − w(xi → x′). O£itno je, da sprej-memo vse poskusne kongura ije, pri katerih je sprememba energije, ∆E,negativna, tiste s pozitivno spremembo pa le v£asih.ƒe ima na£in izbire novih kongura ij lastnost, da lahko v kon£nem²tevilu korakov pridemo iz poljubne kongura ije v katero koli drugo kon-gura ijo, potem velja, da se relativna pogostnost posamezne kongura ije v1Primer verige Markova, ki je najbrº bral u bolj doma£, je naklju£ni sprehod po elih²tevilih v eni dimenziji. V vsakem koraku se pomaknemo za ±1 z enako verjetnostjo.Zaporedje dobljenih ²tevil je tudi veriga Markova.218 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Monte  2009/1/12  10:03  page 219  #4 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fizikiverigi Markova asimptotsko pribliºuje Boltzmannovi porazdelitvi po energi-jah kongura ij, ko se dolºina verige L pove£uje £ez vse meje [4℄ PL(x) = nx L −→ L→∞ P (x) , (6)kjer nx ²teje, kolikokrat se ponovi neka kongura ija x v dani verigi. Ker jerelativna pogostnost posamezne kongura ije pribliºno Boltzmannova, lahkora£unanje termodinamskih povpre£nih vrednosti (2) v pribliºku nadome-stimo kar z vsoto po verigi A = 1 L ∑ {xi}L A(xi) −→ L→∞ 〈A〉 . (7)Za prakti£no uporabo je pomembno, kako hitro se z nara²£ajo£im L vsota (7)pribliºuje termodinamskemu povpre£ju. Izkaºe se, da na hitrost konvergen ezelo vpliva na£in izbire poskusnih kongura ij x′. Na primer, poskusne kon-gura ije bi lahko izbirali popolnoma naklju£no. Pri nizkih temperaturah biprej ali slej naleteli na neko kongura ijo x s sorazmerno nizko energijo. Kerbi imela ve£ina naklju£no izbranih kongura ij, x′, znatno vi²jo energijo, bibila verjetnost za prehod v novo kongura ijo (5) ve£inoma blizu 0 in bipotrebovali veliko korakov, da bi algoritem sploh zapustil kongura ijo x.Navdih za u£inkovit na£in izbire novih kongura ij spet najdemo v £asov-nem razvoju realnega sistema. V originalnem £lanku [1℄, kjer so obravnavalidel e v ²katli s poten ialom med njimi, so novo poskusno kongura ijo do-lo£ili tako, da so v trenutni kongura iji malo premaknili enega od del evvzdolº naklju£no izbrane smeri. Pri Isingovem modelu z N spini pa lahkotvorimo novo poskusno kongura ijo tako, da obrnemo samo enega od spi-nov v trenutni kongura iji. Energija nove kongura ije se zato le malorazlikuje od energije trenutne kongura ije, zato je verjetnost za prehod vnovo kongura ijo (5) tudi pri pove£anju energije znatna in algoritem hitropreskakuje med kongura ijami tudi pri niºjih temperaturah.Teºave z ergodi£nostjo Metropolisovega algoritmaMetropolisov algoritem si torej lahko predstavljamo podobno kot na-klju£ni sprehod po prostoru kongura ij. Izºrebane korake, ki peljejo k niºjienergiji, vedno sprejmemo, korake k vi²ji energiji pa le v£asih. Tak spre-hod vedno pripelje v bliºino nekega minimuma energije Hmin. Algoritem senato sprehaja preteºno po kongura ijah v okoli i tega minimuma, kate-rih energija H(x) ni ve£ja od Hmin za bistveno ve£ kot termi£no energijo, β −1 = kBT .Kadar je sistem tak, da ima energija samo en minimum, lokaliza ija spre-hajanja okoli minimuma ne povzro£a teºav. Le-te se pojavijo, kadar ima 216–226 219 Monte  2009/1/12  10:03  page 220  #5 Tomaž Merteljenergija ve£ minimumov. Pri Isingovem modelu z N spini prostor kongu-ra ij predstavljajo ogli²£a hiperko ke v N dimenzijah. Ker si je sprehod potak²nem prostoru teºko predstavljati, se zato za ilustra ijo zate£emo k pre-prostemu dvodimenzionalnemu primeru z dvema diskretnima prostostnimastopnjama x1 in x2. H(x) si v tem primeru lahko predstavljamo kot pokra-jino s kotlinami (slika 1a), med katerimi so hribi in prelazi. Za prehajanjemed kotlinami mora algoritem zlesti £ez neki prelaz oziroma energijsko za-preko. Kadar je razlika med energijama na prelazu in v kotlini veliko ve£jakot termi£na energija, je za prehod (zaradi majhne verjetnosti zaporednihkorakov navzgor) treba veliko ve£ korakov, kot jih je dejansko mogo£e izvestiv razumnem £asu. Vsota (7) zato predstavlja termodinamsko povpre£je leznotraj ene kotline, ki je poleg vsega lahko le lokalni minimum (slika 1b).Pravimo, da algoritem ni ergodi£en, saj lahko zgre²i vse kongura ije v so-sednjih kotlinah, kljub temu da imajo le-te ve£jo ali enako Boltzmannovouteº (1). Slika 1. Ilustra ija neergodi£nosti Metropolisovega algoritma. V energijski pokrajini zdvema minimumoma (a) se pri nizkih temperaturah (β = 40) algoritem lahko ujame vokoli i plitvej²ega minimuma (b). Kongura ije iz globalnega minimuma zato manjkajov verigi Markova.Oblika energijske pokrajine z ve£ kot enim minimumom je zna£ilna zasisteme z nezveznimi faznimi prehodi, kot so na primer modeli realnih plinov,in za sisteme, ki imajo vgrajen nered, kot so na primer spinska stekla. Zasimula ije v teh sistemih je treba Metropolisov algoritem nadgraditi.V literaturi najdemo veliko razli£nih nadgradenj. Nekatere temeljijo naposebnih na£inih izbire poskusnih kongura ij. Tako so koraki v energijskipokrajini dovolj dolgi, da je moºno presko£iti energijske zapreke. Na£inizbire je zato odvisen od detajlov funk ionala H(xi). V nadaljevanju oteh ne bom ve£ razpravljal. Bolj splo²ne so nadgradnje, ki ne temeljijo na220 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Monte  2009/1/12  10:03  page 221  #6 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fizikiposebnem na£inu izbire poskusnih kongura ij. Nekatere od teh bom orisalv nadaljevanju. Izbolj²ave Metropolisovega algoritmaSimulirano hlajenjeEna starej²ih metod, ki nekoliko zmanj²a teºave z neergodi£nostjo, seimenuje simulirano hlajenje [3℄. Standardno Metropolisovo simula ijo za£-nemo pri visoki temperaturi, nato pa v toku simula ije temperaturo zni-ºujemo do kon£ne temperature, pri kateri ºelimo izra£unati termodinamskekoli£ine. Pri kon£ni temperaturi nato izvedemo standardno simula ijo, prikateri izmerimo termodinamska povpre£ja. Po£asno zniºevanje tempera-ture zmanj²a moºnost, da se ujamemo v lokalne minimume energije, do ka-terih pride pri visokih energijah, ne odpravi pa teºav v primerih, kjer imamov energijski pokrajini ve£ termodinamsko enakovrednih kotlin. Simula ijolahko si er ve£krat ponovimo in jo tako kon£amo v razli£nih kotlinah, ven-dar relativne teºe kongura ij, ki pripadajo razli£nim kotlinam, ne moremodolo£iti.Kadar je kon£na temperatura dovolj nizka, je verjetnost, da simula ijakon£a v kongura iji z najniºjo energijo, zadosti velika, da to metodo lahkouporabimo za optimiza ijo oziroma iskanje osnovnih stanj. Optimiza ija jebila tudi osnovna motiva ija za vpeljavo te metode [3℄.Metoda raz²irjenih ensemblovMetoda, ki jo imenujejo tudi simulirano temperiranje, je sorodna simuli-ranemu hlajenju. Ensemble kongura ij raz²irimo tako, da inverzno tempe-raturo β (lahko tudi kak drug zunanji parameter) obravnavamo kot dodatnoprostostno stopnjo [5℄. Izberemo mnoºi o diskretnih vrednosti inverznihtemperatur, ki je urejena po velikosti {βj}. Kongura ije v raz²irjenemsistemu so dolo£ene s parom: (xi, βj), energijo pa deniramo kot: HRE(xi, βj) = βjH(xi) + ηj , (8)kjer so ηj konstante, ki jih moramo ²e dolo£iti. V raz²irjenem ensembludeniramo ²e raz²irjeno statisti£no vsoto ZRE = ∑ j ∑ i e −HRE(xi,βj) = ∑ j e −ηj ∑ i e −βjHRE(xi) = ∑ j e −ηjZ(βj) , (9)kjer je Z(βj) statisti£na vsota osnovnega sistema.Na osnovi raz²irjene statisti£ne vsote po standardnem Metropolisovemalgoritmu tvorimo raz²irjeno verigo Markova, pri £emer raz²irjene poskusne 216–226 221 Monte  2009/1/12  10:03  page 222  #7 Tomaž Mertelj Slika 2. Ilustra ija metod raz²irjenega ensembla in vzporednih verig. Veriga Markova privi²ji temperaturi (a) poskrbi, da se prei²£e ves fazni prostor, zato pri nizkih temperaturah(b) algoritem pravilno vzor£i kongura ije v obeh minimumih.kongura ije vsebujejo ali novo kongura ijo x′ ali novo inverzno tempera-turo βj . Vidimo, da je raz²irjena statisti£na vsota sestavljena iz statisti£nihvsot osnovnega sistema pri razli£nih temperaturah Z(βj). ’tevilo kongura- ij v raz²irjeni verigi, ki pripadajo osnovni statisti£ni vsoti z dano inverznotemperaturo βj , bo torej za vsak βj podobno, £e izberemo ηj = − lnZ(βj) = βjF (βj) , (10)kjer je F (βj) prosta energija osnovnega sistema. Pogostnost kongura ije xi z izbrano inverzno temperaturo βj pa bo sorazmerna Boltzmannovi uteºipri danem βj . Raz²irjeno verigo Markova torej lahko razstavimo na posa-mezne verige, ki ustrezajo osnovnim statisti£nim vsotam Z(βj) pri izbranihinverznih temperaturah βj .Prednost opisanega algoritma je o£itna. Med simula ijo bodo zaporednevrednosti inverznih temperatur difundirale po mnoºi i {βj}. To efektivnopomeni stohasti£no segrevanje in ohlajanje sistema, ki podobno kot pri simu-liranem hlajenju prepre£i ujetje v posamezne kotline energijske pokrajine.Ker pa je segrevanje in ohlajanje stohasti£no s to£no znano porazdelitvijoverjetnosti po razli£nih inverznih temperaturah, je tudi relativna teºa kon-gura ij dolo£ena.Seveda tudi metoda raz²irjenih ensemblov ni vedno tako u£inkovita, kotse mogo£e zdi na prvi pogled. Centralni problem, ki ga je treba re²iti, jeizbira ustreznih vrednosti {βj} in dolo£itev konstant ηj . Sosednje vrednosti βj ne smejo biti preve£ razli£ne, si er je verjetnost za preskok βj → βj±1premajhna, da bi bilo v toku simula ije dovolj preskokov med inverznimi222 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Monte  2009/1/12  10:03  page 223  #8 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fizikitemperaturami. Konstante ηj pa lahko dolo£imo le iterativno, saj izraz (10)vsebuje na desni strani prosto energijo, ki je ne poznamo. Preden izvedemodalj²o simula ijo, med katero zajemamo termodinamske povpre£ne vredno-sti, moramo izvesti ve£ kraj²ih simula ij. Med posameznimi simula ijamipopravljamo vrednosti ηj tako, da se pogostnost kongura ij pribliºuje ena-komerni porazdelitvi po {βj}. Konvergen a ηj k vrednostim v izrazu (10)pa ni vedno zagotovljena v dosegljivem pro esorskem £asu. Kadar nam uspedolo£iti vrednosti ηj , lahko z zvezo (10) izra£unamo tudi odvisnost prosteenergije od temperature, ki je s standardnim Metropolisovim algoritmom nemoremo.Metoda vzporednih verigTudi metoda vzporednih verig [2℄ temelji na simultani simula iji pri ve£razli£nih temperaturah. Tokrat ensemble sestavimo iz mnoºi e enakih siste-mov pri razli£nih inverznih temperaturah βj . V vsakem sistemu tvorimo ve-rigo Markova s standardnim Metropolisovim algoritmom. Sisteme sklopimomed seboj z ob£asnimi zamenjavami kongura ij med sistemi z bliºnjimitemperaturami. Izmenjava kongura ij poskrbi, da nizkotemperaturne si-mula ije ne obti£ijo v posameznih kotlinah. Simula ije pri vi²jih tempera-turah namre£ poskrbijo za prehode £ez prelaze v energijski pokrajini.Poglejmo si primer dveh enakih sistemov pri razli£nih temperaturah β1in β2. Verjetnost, da najdemo sistema v kongura ijah {xi1 ,xi2}, je soraz-merna produktu posameznih verjetnosti (1): P({xi1 ,xi2}) = P1(xi1)P2(xi2) . (11)Enako velja za verjetnost, kjer sta kongura iji zamenjani, zato je razmerjeverjetnosti: r = P({xi2 ,xi1}) P({xi1 ,xi2}) = P1(xi2) P2(xi1) P1(xi1) P2(xi2) = e (β1−β2)(H(xi1)−H(xi2)). (12)ƒe v toku simula ije izmenjavo kongura ij med sistemoma izvajamo z verje-tnostjo r, bo porazdelitev po energijah kongura ij znotraj posamezne verigeMarkova kjub izmenjavam ostala Boltzmannova tako kot pri standardnemMetropolisovem algoritmu.Tudi pri tej metodi razlike med sosednjimi temperaturami ne smejo bitiprevelike, si er je verjetnost za izmenjavo kongura ij premajhna. Veljatimora [2℄: ∆β ≈ √ kBβ 2 c(β)N , (13) 216–226 223 Monte  2009/1/12  10:03  page 224  #9 Tomaž Merteljkjer je c(β) spe i£na toplota, N velikost sistema in kB Boltzmannova kon-stanta. Dobro je, da potreben razmik med inverznimi temperaturami padale kot koren iz velikosti sistema, zato ²tevilo potrebnih vzporednih verig neraste prehitro s pove£evanjem sistema. O ena (13) tudi pove, da je v bli-ºini zveznih faznih prehodov, kjer spe i£na toplota naraste, treba manj²atitemperaturni razmik med sosednjimi verigami.Lepa lastnost metode vzporednih verig v primerjavi z metodo raz²ir-jenih ensemblov je, da ni problemov s konvergen o, saj nima ob£utljivihprostih parametrov, ki bi jih morali dolo£ati iterativno. Izbira temperatur-nega razmika (13) namre£ ni tako kriti£na kot izbira konstant ηj pri metodiraz²irjenih ensemblov.Metoda se zelo dobro obnese v neurejenih sistemih, kjer je v energijskipokrajini veliko kotlin s podobnimi energijami.Multikanoni£ne metodeMultikanoni£ne metode so druga£ne kot te, o katerih smo govorili dosedaj. Pri Metropolisovem algoritmu je teºavno prehajanje prek sedel venergijskih pokrajinah pri nizkih temperaturah posledi a hitrega padanjaBoltzmannove porazdelitve z nara²£ajo£o energijo. Prej²nje metode re²ujejoto teºavo s spreminjanjem inverzne temperature. Multikanoni£ne metode patemeljijo na zamenjavi Boltzmannove porazdelitve (1) s tak²no, ki ne padatako hitro.Prva sta na to idejo pri²la Berg in Neuhaus [6℄. Namesto Boltzman-nove verjetnosti (1) sta predlagala verjetnost, ki je sorazmerna z obratnovrednostjo gostote stanj, PMK(xi) ∝ 1 D(H(xi)) , (14)kjer je gostota stanj D(E) dolo£ena kot ²tevilo kongura ij x, za katere velja E < H(x) < E + dE.V multikanoni£ni simula iji uporabimo standardni Metropolisov algori-tem, le da poskusno kongura ijo sprejmemo z verjetnostjo, ki ustreza (14): w(xi → x ′ ) = min { 1, D(H(xi)) D(H(x′)) } . (15)Relativna pogostnost posamezne kongura ije v verigi Markova se zato asim-ptotsko pribliºuje verjetnosti (14). Tak²na porazdelitev ustreza enakomerniporazdelitvi po energijah kongura ij, zato se algoritem ne ujame ve£ vkotline v energijski pokrajini, saj so v verigi prisotna tudi stanja na prelazih.224 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Monte  2009/1/12  10:03  page 225  #10 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fiziki Slika 3. Ilustra ija ene od variant multikanoni£nega algoritma. V energijski pokrajiniz dvema minimumoma (a) generiramo verigo Markova z modi irano Boltzmannovo po-razdelitvijo2, ki zagotovi enakomerno porazdelitev po spremenljivki x1. Algoritem zatozleze tudi prek sedla med minimumi (b), kar zagotovi ustrezno prisotnost kongura ijobeh minimumov v verigi Markova tudi pri nizkih temperaturah.Osnovna teºava pri multikanoni£nem algoritmu je dolo£itev gostote stanj D(E), ki je ne poznamo. Pribliºek za D(E) zato izra£unamo iterativno zve£ zaporednimi simula ijami. Za£nemo s poskusno gostoto stanj D0(E),ki je lahko kar konstantna. Na kon u k-te simula ije izra£unamo histogram hk(E), ki je dolo£en kot ²tevilo kongura ij xi v verigi Markova, za katerevelja E < H(xi) < E + dE. Iz histograma in stare gostote stanj Dk(E)izra£unamo nov pribliºek gostote stanj Dk+1(E). Postopek ustavimo, ko jehistogram zadovoljivo plo²£at v obmo£ju energij, ki nas zanima.S kon£nim pribliºkom za gostoto stanj ˜D(E) nato izvedemo dalj²o simu-la ijo, v kateri zajemamo koli£ine, ki nas zanimajo. Pri izra£unu pribliºkovtermodinamskih povpre£ij moramo upo²tevati uporabljeno verjetnost za po-samezno kongura ijo v verigi Markova {xi}L: A = ∑ {xi}L A(xi) ˜D[H(xi)]e −βH(xi) ∑ {xi}L ˜D[H(xi)]e −βH(xi) . (16)Vidimo, da iz ene same simula ije lahko izra£unamo pribliºke termodinam-skih povpre£ij za ve£ razli£nih temperatur. Pri tem moramo paziti, da se ob-2Izberemo verjetnost: PMK(x, y) ∝ e−βH(x,y)R e−βH(x,y) dy. Ker integrala ne poznamo vnaprej,moramo PMK(x, y) dolo£iti iterativno. 216–226 225 Monte  2009/1/12  10:03  page 226  #11 Tomaž Merteljmo£je energij multikanoni£ne simula ije prekriva z obmo£jem energij ustre-zne Boltzmannove porazdelitve.Podobno kot pri metodi raz²irjenih ensemblov je tudi pri multikanoni£nimetodi konvergen a pri dolo£anju pribliºka za gostoto stanj lahko resen pro-blem. Metoda zato ne deluje dobro v vseh primerih. Izkazalo se je, da sezelo dobro obnese v sistemih, ki imajo nezvezne fazne prehode, kar pomenile nekaj podobnih minimumov v energijski pokrajini, slabo pa v neurejenihsistemih, ki imajo v energijski pokrajini veliko kotlin s podobnimi energi-jami [2, 6℄.Metodo se da posplo²iti tudi na druga£ne porazdelitve. Namesto ena-komerne porazdelitve histograma po energiji lahko zahtevamo enakomernoporazdelitev po parametru urejenosti, gostoti ali kak²ni drugi koli£ini.SklepEnostaven Metropolisov algoritem je ²e vedno temelj simula ij v sta-tisti£ni ziki. Teºave z ergodi£nostjo algoritma se da delno odpraviti znadgradnjami. Najbolj pogoste sem opisal v tem £lanku. Kljub temu danobena od nadgradenj, opisanih v tem £lanku, ne temelji na posebnostihkak²nega izbranega problema, pa nobena ni univerzalna. Tako je za sistemez nezveznimi faznimi prehodi najbolj primerna multikanoni£na metoda, zaneurejene sisteme pa metoda paralelnih verig in simulirano temperiranje.Vse metode pa so sorazmerno uspe²ne pri iskanju kongura ij, ki ustrezajoglobalnemu minimumu energije, kar je ²e posebej zanimivo za ra£unanjekonforma ij biolo²ko zanimivih proteinov.LITERATURA[1℄ N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller in E. Teller, J. Chem.Phys. 21 (1953), 1087.[2℄ Y. Iba, Int. J. Mod. Phys. C 12 (2001), 623.[3℄ S. Kirkpatri k, C. D. Gelatt in M. P. Ve hi, S ien e 220 (1983), str. 671680.[4℄ K. Binder in D. W. Heerman, Monte Carlo Simulation in Statisti al Pysi s, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg 1992.[5℄ A. P. Lyubartsev, A. A. Martsinovski, S. V. Shevkunov in P. N. Vorontsov-Velyaminov,J. Chem. Phys 96 (1992), 1776.[6℄ B. A. Berg in T. Neuhaus, Phys. Rev. Lett. 68 (1992), 9.226 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Moljk  2009/1/12  10:13  page 227  #1 VESTISPOMINJAMO SE PROFESORJA ANTONA MOLJKAMineva deset let, odkar smo se poslo-vili od profesorja dr. Antona Moljka (19161998). Brez njega bi bili siroma²nej²i zamarsikaj. Pred ²estdesetimi leti je spoznal,da je znanje zike neobhodno potrebno zauspe²en razvoj tehnike. Tako smo Sloven imed prvimi dobili ²tudij zike na inºenir-skem nivoju. Do danes je ²tevilo inºenirjevzike naraslo na tiso£. Mnogi med njimi sose posvetili znanosti in pou£evanju na do-ma£ih ali tujih univerzah.Sredi preteklega stoletja je naglo na-predovala jedrska zika. Nova spoznanjaso utrla pot novim raziskovalnim metodam.Ena od teh je bila dolo£anje starosti or-ganskih ostankov prek meritve radioaktiv-nosti ogljika. Kako izmeriti neznatno seva-nje ogljika 14? Moljk je v Glasgowu s sodelav i na²el re²itev. Rojen je bilbrezstenski propor ionalni ²teve , ki je omogo£al datiranje organskih ostan-kov tja do 40 tiso£ let. Kasneje je bil tak ²teve nenadomestljiv pri meritvahuores en£nih pridelkov lupin K in L pri vrsti elementov.ƒe smo hoteli slediti razvoju miroljubne uporabe jedrske energije, smopotrebovali jedrski reaktor. Brez Moljka, ki je tedaj uºival velik ugled vZvezni komisiji za jedrsko energijo, in brez Milana ƒopi£a, ki si je v Amerikipridobil bogato znanje o reaktorjih, bi reaktorja v Podgori i ne bilo. ’edanes tam potekajo te£aji o vodenju reaktorjev, ki jih prireja Mednarodnaagen ija za atomsko energijo, ena izmed spe ializiranih organiza ij Zdruºenihnarodov.Fiziko je treba spoznati, da jo vzljubi². Naj ne ostane le zbirka zakonov,ampak naj nam pomaga razumevati dogajanja v svetu, ki nas obdaja. Vsepa je odvisno od predstavljav a. Naloge sta se lotila Ku²£er in Moljk in leta1958 dokon£ala u£benik zike v treh delih. U£benik, ki je doºivel tri izdajein £etrto izpopolnjeno, ostaja ºiv ²e danes.Spoznanja, zaklenjena v predalih, pa ostajajo mrtva. Da zaºive, jihje treba povedati vsem. Vodilne zikalne revije so nam bile tedaj teºkodostopne. Objavo £lankov je bilo treba pla£evati v dolarjih. Moljk je bilpobudnik za izdajo revije Fizika, ki si je kmalu zagotovila svoje mesto meddrugimi revijami.Moljk je vztrajno poudarjal, da je razvoj naravoslovnih znanosti nujenpogoj za razvoj napredne in uspe²ne industrije. Kako o tem prepri£ati te-danje politi£ne veljake? Prva industrijska revolu ija je dale£ za nami, zdaj Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 227 Moljk  2009/1/12  10:13  page 228  #2 Vestije £as za drugo. Znanje je nova dobrina, ki pomaga obvladovati svet. Najtorej pri prepri£evanju pomagajo zdruºeni Rusi in Ameri£ani. Leta 1964 seje rodil niz konferen z naslovom Znanost in druºba. Udeleºevali so se jihnajvidnej²i znanstveniki obeh blokov, pa tudi vrsta jugoslovanskih politikov.Znanost je po£asi pridobivala ugled tudi pri nas.Fizika naj ne ºivi le na papirju, ampak potrebuje laboratorije. Nove za-misli je treba preverjati, preden dozore za prenos v industrijo. Oddelek zaziko Univerze v Ljubljani do leta 1968 ni imel svojih prostorov. Gostovalismo po sorodnih fakultetah, od leta 1953 pa nam je bila na razpolago tudi -zikalna predavalni a, zgrajena v sklopu Instituta Joºef Stefan. Prizadevanjazikov, ²e posebej Moljka, so vodila do nove zgradbe Fakultete za matema-tiko in ziko. Tam je na²el svoj prostor poleg ²tudentskih laboratorijev tudiIn²titut za matematiko, ziko in mehaniko, kraj²e IMFM.Znanja ni nikoli dovolj. Ve£ ga premorejo profesorji, ve£ ga lahko preli-jejo v svoje u£en e. Ku²£er in Moljk sta oktobra 1972 za£ela prvi podiplom-ski te£aj za profesorje zike. Dveletni te£aj je tekel ob petkih in sobotah,povpre£no po deset ur tedensko, s poudarkom ²tudija na samostojnem deluin re²evanju izbranih problemov ter na seminarskih referatih in razpravah.Po kon u predavanj leta 1974 si je ve£ina slu²ateljev pridobila magistrskenaslove.Kako slediti naglemu razvoju znanosti in tehnologije? Znanje, prido-bljeno do diplome ali doktorata, je v nekaj letih nezadostno. Treba ga jedopolnjevati. Moljk je na oddelku za ziko uvedel tako imenovano per-manentno izobraºevanje in ga z vsem ºarom vodil do trenutka, ko nas jenepri£akovano zapustil.Poglejmo, kako so ga videli nekateri izmed mnogih, ki so z njim delali alipa se z njim pogosto sre£evali.Peter Prelog: Za ve£ino ²tudentov matematike je bila zika nebodijetreba,zame ²e tem bolj, ker sem zaradi neurejenih povojnih razmer pri²el na fakul-teto z zelo pomanjkljivim znanjem. Nau£iti sem se moral tudi tisto, kar soso²ol i ºe znali. Profesor Moljk zaradi mojega luknji£avega znanja ni obupal,opogumil me je, da sem vztrajal, se potrudil in premagal ovire. To je bilomoje prvo sre£anje z Moljkom  prijaznim vzpodbujeval em. Kasneje sem gasre£al ²e mnogokrat. Bil je eden izmed tistih dovolj redkih ljudi, ki jim je bilomogo£e, brez strahu pred zamero, povedati nasprotno mnenje.Drago ’ulek: Dr. Moljk je bil nemiren duh s svojevrstnim menedºerskimtalentom, ki za akademsko sfero ni pogosta vrlina. Na svojih predavanjih jenamesto resni sejal dvome. Ko sem si ga izbral za mentorja, so me kolegipomilovali, saj je moj izbor veljal za tveganega. Pa ni bilo tako. Zelo hitrosem diplomiral in brez njegove vzpodbude ne bi nikoli opravil magisterija.Dlje kot sem ga poznal, bolj sem razumel in enil njegov, si er na videzneodlo£en, pa vendar karizmati£en na£in vodenja, ki je od njegovih ²tudentovin sodelav ev terjal samoini iativnost in prevzemanje lastne odgovornosti.Nikogar ni nahranil, je pa mnoge nau£il loviti ribe. In verjamem, da nisemedini, ki sem mu za to nadvse hvaleºen.228 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 Moljk  2009/1/12  10:13  page 229  #3 Spominjamo se profesorja Antona MoljkaDavorin Tomaºi£: S profesorjem Moljkom sem se prvi£ sre£al med vojno,ko sva skupaj delala v servisni delavni i radija Philips na nekdanji Aleksan-drovi esti v Ljubljani. Ponovno sva se sre£ala povsem slu£ajno leta 1946.Med pogovorom sem mu zaupal, da kon£ujem ²olo in i²£em zaposlitev. Po-nudil mi je delovno mesto na Univerzi, na katedri za ziko, kjer je delal kotdo ent. Povabila sem bil vesel. Od takrat je teklo najino sodelovanje ne-prekinjeno naslednjih 37 let. Za£el sem v pripravljalni i zikalnih poskusov,potrebnih pri predavanjih. V delo me je vpeljeval profesor Moljk. Delati znjim je bilo prijetno, ker mi je vselej vse razloºil tako, da sem natanko vedel,kaj je moja naloga. Bili smo pionirji pri opremljanju zikalnega praktikuma.Tedaj je bilo teºko priti do vsega potrebnega materiala.Profesor Moljk ima tudi velike zasluge pri gradnji dana²nje stavbe zaziko. Skupaj s profesorjem Ku²£erjem smo pogosto pozno v no£ premlevalina£rte in razporeditev prostorov.Profesor Moljk ni bil samo moj predstojnik, ampak tudi dober prijatelj,ki mi bo ostal v prijetnem spominu.Miroslav Trampu²: S profesorjem Moljkom sem se prvi£ sre£al ºe kotosnovno²ole . Udeleºil sem se nate£aja o radioaktivnosti in zaklju£no sre-£anje je bilo v Ljubljani na Institutu Joºefa Stefana. Profesor Moljk nas jeprijazno sprejel, pohvalil na²e delo in nas navdu²eval za znanost. Zame jebil pravi £udeº, ko sem bil iz podeºelskega Velenja pri²el v Ljubljano in poslu-²al univerzitetnega profesorja. Gotovo je bilo to doºivetje eden od razlogov,da sem se kasneje vpisal na ziko. Med ²tudijem nisem imel veliko stikov zMoljkom, saj me kot bodo£ega pedagoga tehni£ne podrobnosti zikalnih mer-jenj niso preve£ zanimale. Pre ej let kasneje pa se mi je Moljk pokazal v vsejsvoji mo£i. Ve£ let smo ob sobotah z veseljem prihajali na sre£anja, ki jih jeorganiziral. Bil je zelo neposreden. Ve£krat me je pokli al po telefonu in mespra²eval, ali imam kak²ne teºave s predavanjem, ki sem ga pripravljal zasre£anje, kak²ni so moji predlogi in podobno. Dober ve£er, Moljk tukaj . . . ²e danes sli²im, kadar se spomnim profesorja. Veliko nam je pomagal z na-sveti, katere knjige naj beremo, kateri £lanki so zanimivi, kaj naj napi²emo.Poleg zike nas je usmerjal tudi v druga podro£ja.Kar nekaj hudomu²nih besed je imel o poslan ih drºavnega zbora, o ma-turi in pis ih u£nih na£rtov.Joºe Kotnik: S profesorjem Moljkom sva prvi£ tesneje sodelovala pri or-ganiza iji in izvedbi olimpijade v Portoroºu pri tekmovanju v znanju zikeza dijake usmerjenega izobraºevanja. Ob vseh sre£anjih me je vzpodbujal knadaljevanju ²tudija. Ko je profesor Moljk izvedel, da se ukvarjam tudi zzaloºni²tvom, mi je zaupal natise vabil in letakov za ²tudijska sre£anja, kijih je soproga dr. Snegulka Detoni natan£no zapisovala, takrat ²e na pisalnistroj. Vselej je bilo besedilo skrbno izpiljeno. Ob najmanj²ih napakah, ki smojih si er redko zagre²ili, je bil prizanesljiv in je nanje le prijazno opozarjal,navadno ²e pred natisom. Ve£krat nam je ob odmorih pri £aju povedal kajzanimivega in pogosto predlagal: Dajmo se zakajati. Postavljati vpra²anjain probleme ter iskati odgovore nanje, preverjati hipoteze in raziskovati na- Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 229 Moljk  2009/1/12  10:13  page 230  #4 Vestiravo na vseh energijskih skalah z izvirnimi, novimi prijemi in ²iriti izobrazbou£iteljev zike so bila vodila enega zadnjih generalistov zike na Slovenskem.Bojan Golli: S profesorjem Moljkom sva se prvi£ sre£ala pri predmetuFizikalna merjenja. Ko mi je vrnil seminar iz literature, v katerem je bilove£ rde£ih popravkov in pripomb kot mojega teksta, je le rekel: No, z va²imseminarjem sem bil kar zadovoljen. Rad se spominjam tudi zikalne olim-pijade v Portoroºu 1985, kjer je profesor Moljk kot predsednik organiza ij-skega komiteja bistveno prispeval k njenemu ugledu v mednarodnem prostoruin dosegel veliko odmevnost v slovenski in tudi ²ir²i jugoslovanski javnosti.Stanislav Pirnat: Profesorja Moljka smo spoznali ²tudentje najprej posoavtorstvu u£benika Fizika. V najlep²i lu£i pa nam bodo ostala njegovaveliko kasnej²a leta, ko je, za hip se zdi, vse profesorske sposobnosti in mo£iusmeril v svoj seminar stalnega strokovnega spopolnjevanja zikov v srednjihin osnovnih ²olah. Najbrº bo ostala Moljkova izvedba te oblike izobraºevanjanepreseºena, bodisi po zastavljenih iljih bodisi po elanu in naporih, vloºenihv organiza ijo in uresni£evanje zami²ljenega.Ivo Kurnjek: Bili smo skupina ²tudentov ob delu, vpisanih na oddelek zaziko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani. Profe-sorja Moljka sem spoznal v letu 1978 pri predavanjih iz razvoja zike. Vednosi je vzel £as za posameznika in za skupino, kadarkoli je bilo to potrebno.Imel pa je tudi so ialni £ut. Z njegovo pomo£jo smo pridobili moºnosti, obkaterih je bilo mogo£e izpeljati ²tudij ob delu.Marjan Hribar: S profesorjem Moljkom sva se pogosto pogovarjala o po-u£evanju zike in o delu u£iteljev zike. Skrbelo ga je, da se s ²irjenjemzikalnih spoznanj pove£uje razkorak med ²olsko in raziskovalno ziko. Raz-mi²ljal je, kako omogo£iti profesorjem zike stik tako z ºivo ziko kakor tudiz dogajanjem v pouku zike drugod po svetu. Vzpodbujal je u£itelje zike, dabi poro£ali o svojem delu.Du²an Modi : Znal je navdu²iti. Znal je kriti£no presojati, ne da bikoga prizadel. Znal je tako vpra²ati, da je vsak mogel pokazati svoje znanje.Omahnil je sredi dela, ki ga je imel najraje: delati ziko, delati za ziko in²iriti znanje o njej.ƒetudi nas je profesor Anton Moljk zapustil, je ²e vedno z nami.Joºe PahorPrve dni septembra 1998 je imel profesor Moljk predavanje in elektronskodelavni o. Bil je sre£en, da so mu dovolili ²e eno leto voditi permanentnoizobraºevanje nove zike.5. septembra zve£er je med pogovorom za vedno zatisnil o£i. šalne sejena fakulteti ni bilo. Vsi, ki so enili njegovo znanje, ideje in navdu²enjeza ziko, ga spo²tovali kot velikega eksperimentalnega zika, humanista,intelektual a, modrega moºa in ga imeli radi, so pri²li na pogreb v Begunje,kjer so v £udovitih govorih to povedali in se poslovili od njega.Snegulka Detoni230 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 231  #1 i i i i i i Vesti STROKOVNO SREƒANJE IN OBƒNI ZBOR DMFA Pod£etrtek, 7. in 8. 11. 2008 Lansko leto smo se v Pod£etrtku dobro po£utili, zato smo se tja vrnili tudi letos. Vreme nam sicer ni bilo naklonjeno, zato pa je bil obisk nad pri£akovanji, kar nas seveda veseli. Strokovni del za u£itelje je potekal v sekcijah: matematika osnovna ²ola, matematika srednja ²ola in zika. Vodilna tema je bila preverjanje znanja. Vzporedno je potekala 6. konferenca zikov v osnovnih raziskavah in 2. slovensko sre£anje matematikov raziskovalcev. Na dru²tvenem streºniku, kjer se prijavljajo u£itelji, je bilo uradno prijavljenih 215 udeleºencev, vseh skupaj (z raziskovalci ziki in matematiki) pa nas je bilo okoli 400. Povzetke predavanj smo ºe pred sre£anjem objavili na doma£i strani dru- ²tva. Na branje doma£ih strani dru²tva so se £lani ºe navadili, kljub temu pa opaºamo, da je obve²£anje po klasi£ni po²ti ²e vedno potrebno. Vsi udele- ºenci so letos poleg biltena s povzetki prejeli ²e vre£ke iz blaga in dru²tvene koledarje za leto 2009, v katerih smo slikovno predstavili dejavnosti dru²tva, pozornost posvetili Mednarodnemu letu astronomije (2009) in se ºe pripravili na ²estdeseto obletnico dru²tva. Ker so bili povzetki ºe objavljeni tako na spletni strani kot v biltenu, naj navedem le predavatelje in naslove predavanj: Petek, 7. novembra 2008 Matematika  osnovna ²ola: • Mara Coti£ in Darjo Felda: Vrednotenje znanja pri pouku matematike v zadnjem triletju osnovne ²ole • Nada Razpet: Stara snov? • Damjan Kobal: Preverjanje, vrednotenje, merjenje ali ocenjevanje znanja • Joºef Senekovi£: Nacionalni preizkus je proces, ne dejanje • Iztok Kavkler, Matija Lokar, Alen Orbani¢ in Aljo²a Peperko: Doma£e naloge in tehnologija • Zlatan Magajna: O smislu in nesmislu ocenjevanja • Iris Valanti£: Matemati£ni problemi s preve£ in premalo podatki • Izidor Hafner: Sestavljanje poliedrov Matematika  srednja ²ola: • Marko Razpet: Izra£unajte, dokaºite, povejte, . . . • Gregor Dolinar: Poklicna matura iz matematike • Matija Lokar: MateMaturaWiki • Matija Lokar, Primoº Luk²i£, Aljo²a Peperko in Mojca Preloºnik: Avto- matsko preverjanje matemati£nega znanja • Zlatan Magajna: O smislu in nesmislu ocenjevanja • Nada Razpet: To je pa ²e stara snov Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 231 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 232  #2 i i i i i i Vesti • Damjan Kobal: Preverjanje, vrednotenje, merjenje ali ocenjevanje znanja • Marjan Jerman in Samo Repolusk: O zakonskih omejitvah pri preverjanju znanja • Iztok Kavkler, Matija Lokar, Alen Orbani¢ in Aljo²a Peperko: Doma£e naloge in tehnologija Fizika: • Nada Razpet: Kaj smo se nau£ili pri eksperimentiranju? • Jure Bajc: Sestavljanje, izbiranje, prevajanje in ocenjevanje tekmovalnih nalog na mednarodnih zikalnih olimpijadah • Ale² Mohori£: Preverjanje vstopnega znanja ²tudentov zike • Marjan Jerman in Samo Repolusk: O zakonskih omejitvah pri preverjanju znanja • Damjan Kobal: Preverjanje, vrednotenje, merjenje ali ocenjevanje znanja • Mitja Rosina: Nekaj domislic za zanimive in vzpodbudne teste iz zike • Tomaº Kranjc: ’e o u£enju zike • Janez Strnad: Po Galilejevih in Huygensovih stopinjah • Gorazd Planin²i£: Alternativne predstave ²tudentov V preddverju dvoran so si obiskovalci lahko ogledali plakat o spomin- skih obeleºjih slovenskih matematikov in zikov, predstavitveni plakat za februarski seminar O podnebnih spremembah ter nekaj slikovnega gradiva o dejavnostih v okviru Mednarodnega leta astronomije 2009. Franc Savnik je razstavil li£no in natan£no izdelane zanimive matemati£ne skulpture. Matematiki raziskovalci: • Iztok Kavkler, Matija Lokar, Primoº Luk²i£ in Aljo²a Peperko: Uporaba tehnologije pri preverjanju znanja v matematiki • Tomaº Kosem, Matija Lokar, Alen Orbani¢ in Aljo²a Peperko: Projekt Aktivna matematika • Marko Razpet: Eulerjeva ²tevila v analizi • Primoº Luk²i£: Matematika in volilni sistemi  mandatni pragovi • Boris Horvat: Predstavitve grafov z enotsko razdaljo • Mateja Gra²i£: Matri£ne algebre, dolo£ene z ni£elnim produktom Predstavitve novih doktorskih del: • Melita Hajdinjak: Dialog £lovekstroj • Matjaº Kov²e: Delne kocke in njihovi izpeljani gra • Marjetka Krajnc: Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametri£- nimi polinomskimi krivuljami • Janko Marovt: Ohranjevalci na komutativnih efektnih algebrah • Polona Oblak: O komutirajo£ih nilpotentnih matrikah * Klavdija Kutnar: Strukturne lastnosti simetri£nih grafov 232 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 233  #3 i i i i i i Strokovno srečanje in občni zbor DMFA * Matjaº Konvalinka: Combinatorics of determinantal identities * Martin Milani£: O iskanju maksimalnih neodvisnih mnoºic grafa * Mitja Pirc: Determinants, contexts and measurement of customer loyalty * Jernej Barbi£: On real-time Reduced Large-Deformation Models Avtorji, ozna£eni z *, so se v program vklju£ili v ºivo iz tujine po internetni povezavi. Matematika v industriji: • Jernej Krmelj, Bojan Orel in Boris Turk: Konstrukcija progresivne le£e • Damjan Vren£ur, Gregor Dolinar, Melita Hajdinjak, Jure Lakovi£, Kri- stjan Cafuta in Neºa Mramor - Kosta: Simulacija hidrodinami£nih la- stnosti plovil Predstavitve novih mednarodnih publikacij slovenskih avtorjev: • Sandi Klavºar: Predstavitev nove znanstvene monograje Topics in Graph Theory • Aljaº Ule: Predstavitev nove znanstvene monograje Partner Choice and Cooperation in Networks • Ted Dobson: Ars Mathematica Contemporanea  a new Slovenian inter- national math journal Matematiki raziskovalci so imeli po kon£anih predstavitvah ²e letno sejo Slovenskega odbora za matematiko, pripravili so tudi razstavo mednarodnih monograj slovenskih matematikov. Pester ve£er se je kon£al ²e z ogledom lma: J. Leys, É. Ghys in A. Al- varez: Dimenzije (animirani dokumentarni lm). Slovenske podnapise je uredil Bo²tjan Kuzman. Sobota, 8. novembra 2008 Dopoldne sta bili na sporedu vabljeni predavanji. Zoisov nagrajenec za vrhunske znanstvene in razvojne doseºke na podro£ju matematike prof. dr. Sandi Klavºar je imel predavanje z naslovom Problemi Hanojskega stolpa. Zoisova nagrajenka za vrhunske znanstvene in razvojne doseºke na podro£ju zike osnovnih delcev prof. dr. Svjetlana Fajfer pa je imela predavanje z naslovom: Kvantna kromodinamika glavna igralka in njene stranske vloge. Po ob£nem zboru smo nadaljevali program v dveh sekcijah. Matematika: • Olga Arnu²: Ocenjevanje in preverjanje znanja v programu mednarodne mature • Marija Vencelj: Optimalnost Strählejeve postavitve prijemov pri kitari • Majda ’vagan: Preverjanje in ocenjevanje znanja matemati£no nadarje- nih u£encev Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 233 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 234  #4 i i i i i i Vesti Fizika: • Tine Goleº: Ocenjevanje zikalnih poskusov dijakov • Tilka Jakob: Preverjanje znanja pri konceptualnem pouku zike v osnov- ni ²oli • Boris Kham: Kako oceniti opazovanje (dogajanje v naravi)? • Joºe Pernar: Preverjanje znanja zike na terenu. Predstavil nam je tudi zanimiv poster Fizika v naravi. 60. ob£ni zbor DMFA Ker je bilo ob 10. uri navzo£ih manj kot polovica £lanov DMFA Slovenije, se je ob£ni zbor v skladu s 16. £lenom Pravil DMFA Slovenije pri£el ob 10.30. Med premorom je Mitja Rosina obudil spomine na prof. Antona Peterlina ob stoletnici njegovega rojstva. Nekaj spominov je dodal tudi Franc Cvelbar. V delovno predsedstvo so izvoljeni: predsednik Mitja Rosina, £lana Franc Cvelbar in Emil šagar, zapisnikar Janez Kru²i£. Overovatelja zapisnika sta Marko Razpet in Zvonko Trontelj. Z minuto molka se je ob£ni zbor pokloni spominu na £lane, preminule v preteklem letu: Aleksandra Poto£nika, Ale²a Moharja, Vekoslava Ram- ²aka in Janeza Rakovca. O dolgoletnem £lanu upravnega odbora DMFA in predanem sodelavcu Aleksandru Poto£niku je spregovoril Darjo Felda. Dru²tvena priznanja so prejeli: • Lidija Gornik, predmetna u£iteljica matematike in zike na O’ Zbora odposlancev v Ko£evju, za uspe²no delo z mladimi matematiki ter za strokovno delo na pedago²kih delavnicah. • dr. Zvonko Jagli£i¢, docent za ziko na FGG Univerze v Ljubljani, za uspe²no dolgoletno vodenje raziskovalnih delavnic za najbolj²e slovenske mlade zike. • dr. Peter Legi²a, izredni profesor matematike na FMF Univerze v Lju- bljani, za uspe²no delo na podro£ju matemati£nega izobraºevanja in pu- blicisti£ne dejavnosti ter za dolgoletno vodenje nacionalnega komiteja za matematiko. • Marko Munih, profesor zke na Srednji tehni²ki ²oli v Kopru, za uspe²no delo z mladimi ziki v ²oli in zunaj nje ter za posodabljanje pouka zike v srednji ²oli. Utemeljitve je prebrala Zvonka Alt. Soglasno je bil sprejet predlog predsednika DMFA Slovenije Milana Hla- dnika, da ob jubilejnem 60. ob£nem zboru DMFA Slovenije jubilejna prizna- nja v znak zahvale za opravljeno delo in za zasluge na podro£ju dru²tvenih dejavnosti prejmejo: • Vladimir Bensa, za dolgoletno skrbno delo tehni£nega urednika pri izda- janju strokovne literature in pomo£ pri izdajanju dru²tvenih publikacij. • dr. Mirko Dobovi²ek, za dolgoletno uspe²no vodenje komisije za tisk ozi- roma dru²tva DMFAzaloºni²tvo. 234 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 235  #5 i i i i i i Strokovno srečanje in občni zbor DMFA • mag. Ciril Dominko, za dolgoletno vodstvo komisije za popularizacijo - zike v srednji ²oli in zlasti za vsakoletno pripravo in spremljanje slovenske zikalne olimpijske ekipe na tekmovanjih. • mag. Darjo Felda, za dolgoletno vodstvo komisije za popularizacijo ma- tematike v srednji ²oli. • dr. Izidor Hafner, za dolgoletno vodenje komisije za razvedrilno mate- matiko, za organizacijo tekmovanj iz razvedrilne matematike, logike in prostorske predstavljivosti ter za uspehe na podro£ju izdajanja strokovne literature. • Andreja Jakli£, za dolgoletno vestno in natan£no vodenje dru²tvenega ra£unovodstva. • mag. Lucijana Kra£un Berc, za uspe²no vodenje celjske podruºnice, ko- misije za pedago²ko dejavnost v matematiki in za organizacijo dru²tvenih seminarjev. • Janez Kru²i£, za dolgoletno vestno, natan£no in nepogre²ljivo delo tajnika dru²tva. • dr. Matjaº Omladi£, za dolgoletno uspe²no izdajanje strokovne matema- ti£ne literature, predvsem v vlogi odgovornega urednika Knjiºnice Sigma. • dr. Tomaº Pisanski, za prispevek k obujanju zanimanja za zgodovino slovenske matematike, posebej za pripravo in izvedbo prireditev in proslav v sklopu Vegovih dni 2002 in 2004, ter za vodenje nacionalnega komiteja za matematiko. • mag. Nada Razpet, za dolgoletno zavzeto delo na mestu podpredsednice dru²tva, za organizacijo ²tevilnih seminarjev in sre£anj ter za urejanje dru²tvenih publikacij. • dr. Matjaº šeljko, za pripravljanje in spremljanje slovenske matemati£ne olimpijske ekipe na tekmovanjih v minulih letih ter za uvedbo in vzdrºe- vanje informacijsko-tehnolo²ke podpore tekmovanjem in dru²tvu v celoti. Poro£ila o delu dru²tva, ki so bila objavljena v biltenu 60. ob£nega zbora, so bila sprejeta brez razprave. O usklajevanju dru²tvenih pravilnikov za tekmovanja v znanju s krovnim pravilnikom je poro£al Matjaº šeljko. Po novem morajo biti tekmovanja razpisana do konca junija za naslednje ²olsko leto, ²tevilo zlatih priznanj za dolo£eno kategorijo ne sme prese£i 65. Tekmovanje za Stefanova priznanja bo do preklica potekalo po starem. Za udeleºence s eksibilnim urnikom bo prilagojen le katalog zahtevanih znanj za ²olska tekmovanja. Prijavnina na prvi stopnji tekmovanj iz matematike in zike ostaja ne- spremenjena: 1,20 EUR za udeleºenca. Mitja Rosina je predlagal, da bi za prihodnja sre£anja veljalo sestaviti urnik tako, da se bo £asovno prekrivalo kar najmanj razli£nih predavanj. Tomaº Podobnik pa je izrazil ºeljo, da vabljeni predavanji ne bi bili isto- £asno. O tem smo ºe razmi²ljali, mnenja £lanov dru²tva so bila deljena, zato smo imeli v£asih vabljena predavanja lo£eno, v£asih pa isto£asno. Potrudili se bomo in pripravili naslednje leto predavanja lo£eno. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 235 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 236  #6 i i i i i i Vesti Ra£unovodsko in poslovno poro£ilo DMFA Slovenije za leto 2007 je so- glasno sprejeto brez razprave. O sklepih nadzornega odbora je poro£al Mitja Rosina. Pravilnost - nan£nega poslovanja za leto 2007 je nadzorni odbor ugotovil na svoji seji 11. 3. 2008. Z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi sezna- njen bodisi z navzo£nostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora. V delu upravnega odbora do ob£nega zbora ni ugotovljenih nepravilnosti. Na predlog Mitje Rosine je ob£ni zbor razre²il dosedanji upravni odbor in z javnim glasovanjem v okviru pristojnosti (18. £len Pravil DMFA Slovenije) soglasno izvolil nove organe Dru²tva matematikov, zikov in atronomov Slo- venije za obdobje dveh let. Nova sestava je objavljena na spletni strani dru²tva. Dosedanjemu predsedniku Milanu Hladniku se je v imenu DMFA Slove- nije zahvalila podpredsednica Nada Razpet. O pripravah in na£rtovanih aktivnosti v okviru Mednarodnega leta astro- nomije je poro£ala Sonja Jej£i£. O dejavnostih so bili udeleºenci sre£anja obve²£eni tudi s promocijskim gradivom (zloºenke) in plakati, ki so jih lahko dobili na razstavnem prostoru. O ostalih aktivnostih v zvezi s programom Znanost zdaj!  Promocija znanosti skozi astronomijo, ziko in matematiko, ki ga prek Programa promocije znanosti sonancira Ministrstvo za visoko ²olstvo, znanost in teh- nologijo, sestavljajo pa ga trije sklopi aktivnosti, ki izhajajo iz astronomije, zike in matematike, hkrati pa se interdisciplinarno povezujejo med seboj ter z drugimi znanstvenimi vedami, so poro£ali Jure Bajc, Matjaº šeljko in Bo²tjan Kuzman. Strokovno sre£anje in 61. ob£ni zbor bosta ob 60-letnici DMFA Slovenije v prvi polovici novembra 2009 na Bledu (Hotel Golf). Ob Mednarodnem letu astronomije bo tej vedi tudi na strokovnem sre£anju DMFA odmerjen primeren deleº. Vsem nagrajencem £estitamo. Zahvaljujemo se vsem predavateljem, ²tu- dentoma Maji Pe£ar in Uro²u Kalarju, ki sta sprejemala udeleºence, nepo- gre²ljivima soprogama na²ih dveh £lanov: Boºi Kru²i£ in Jelki Hladnik za pripravo in delitev dru²tvenih gradiv in koledarjev ter vsem drugim sodelav- cem, ki so skrbeli za izvedbo sre£anja in ob£nega zbora. Pripravila Nada Razpet in Janez Kru²i£ PREJEMNIKI DRU’TVENIH PRIZNANJ ZA LETO 2008 Dr. Peter Legi²a Prof. dr. Peter Legi²a je eden najbolj znanih slovenskih profesorjev matema- tike. S svojimi u£beniki matematike za gimnazije, ki so doºiveli mnogo izdaj in so v veljavi ²e danes, se uvr²£a na ugledno mesto med velike slovenske pisce u£benikov od Mo£nika do Kriºani£a. Sodeloval je pri evalvaciji sre- dnje²olskega izobraºevanja, uvajanju enotne mature, od leta 1992 do 1997 236 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 237  #7 i i i i i i Prejemniki društvenih priznanj za leto 2008 je bil predsednik predmetne maturitetne komisije za matematiko, kasneje je sodeloval v kurikularnem svetu in v razli£nih javnih razpravah na doma£ih in tudi mednarodnih sre£anjih o pouku matematike. Leta 1993 je dosegel uvedbo specialisti£nega podiplomskega ²tudija u£iteljev matematike na ljub- ljanski univerzi. Zadnjih petnajst let je nosilec predmeta Sodobne metode pou£evanja matematike, pri katerem uvaja ²tudente podiplomskega ²tudija izobraºevalne smeri matematike v kriti£no presojo doma£ih in tujih u£beni- kov. Pogosto je tudi recenzent u£nih na£rtov in u£benikov za matematiko. Leta 2000 je za to svoje delo prejel nagrado Republike Slovenije na podro£ju ²olstva. Pri dru²tvu je profesor Legi²a vrsto let pomagal pri organizaciji stro- kovnih sre£anj, zlasti s podro£ja pouka matematike, tako z nasveti kot z aktivnim sodelovanjem, iskanjem predavateljev, zbiranjem prispevkov in la- stnimi predavanji. V okviru svetovnega leta matematike 2000 je organiziral tekmovanje v izdelavi najbolj²ega matemati£nega plakata. Kot predsednik Nacionalnega komiteja za matematiko je aktivno delal na podro£ju medna- rodnih stikov dru²tva (sklenjena sta bila sporazuma o recipro£nosti z Ameri- ²kim matemati£nim dru²tvom AMS in s ’panskim kraljevim matemati£nim dru²tvom RSME), se udeleºeval sestankov Evropskega matemati£nega dru- ²tva ter o njih poro£al v Obzorniku za matematiko in ziko. V Obzorniku za matematiko in ziko je priob£il okrog 40 recenzij najraz- li£nej²ih matemati£nih knjig, ²tevilne strokovne prispevke in prevode o po- uku matematike neko£ in o starih matemati£nih u£benikih ter priloºnostne £lanke o piscih teh u£benikov. Pisal je tudi £lanke za Presek in za Na²e razglede ter prispevke za Enciklopedijo Slovenije. V zadnjih letih kot £lan uredni²kega odbora pri Obzorniku skrbi za rubriko matemati£ne novice, kjer objavlja vesti iz sveta matematike, zlasti tiste, ki so povezane s slovenskimi raziskovalci in so zanimive za na²e bralce. Je eden redkih slovenskih matema- tikov, ki tudi javno nastopa (za 3. program Radia Slovenije je pripravil ve£ poljudnoznanstvenih oddaj o matematiki). Poleg matematike se ljubiteljsko ukvarja tudi s fotograjo in je zato nepogre²ljiv vir slikovnega gradiva, ki ga £lani dru²tva potrebujemo za objavo v dru²tvenih glasilih ali za priloºnostne plakate in razstave v okviru DMFA Slovenije. Marko Munih Marko Munih je u£itelj zike v gimnazijskih in tehni£nih programih na Obali. Svojo poklicno pot je za£el na Srednji tehni£ni, kovinarski in prometni ²oli v Kopru, pedago²ke izku²nje si je pridobival tudi na Gimnaziji Koper in v ’olskem centru Sre£ka Kosovela v Seºani, nekaj £asa je bil zaposlen v tovarni Tomos in deset let kot svetovalec na Zavodu za ²olstvo Republike Slovenije. Pedago²ko delo Marka Muniha je vseskozi zaznamovano s prizadevanjem Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 237 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 238  #8 i i i i i i Vesti za izbolj²anje in posodabljanje pouka zike tako v ²oli kot zunaj nje. Svoje znanje in svoje navdu²enje zna prena²ati na svoje u£ence, ki jih ne u£i le obvezne snovi, ampak predvsem analiti£nega razmi²ljanja in sistemati£nega re²evanja problemov. Pripravlja izvirne demonstracijske in eksperimentalne vaje iz zike, zagovarja uporabo ra£unalnika pri pouku in sestavlja ra£u- nalni²ke programe za zikalne meritve. Na ²olah, kjer je pou£eval, je vodil kroºke iz zike in z raziskovalnimi nalogami uvajal dijake v raziskovalno delo. Poleg tega je stalno pripravljal dijake na tekmovanja iz zike, kjer nje- govi varovanci dosegajo vidne uspehe na regijskih in drºavnih tekmovanjih, vklju£no s prvimi in drugimi nagradami. Marko Munih je aktiven tudi pri neformalnih oblikah u£enja zunaj ²ole. Sodeloval je pri postavitvi Centra eksperimentov Koper, kjer je eden glav- nih na£rtovalcev zikalnih poskusov, demonstrator, predavatelj in mentor. Vsako leto prispeva eksperimente k prireditvi Oºivela ulica, ki jo organizira Klub ²tudentov obalnih ob£in in Krasa. V reviji Fizika v ²oli je objavil osem £lankov o eksperimentalnem pouku zike, ob svetovnem letu zike je pred- stavil Veriºni eksperiment v Kopru, pri zaloºbi Zavoda za ²olstvo je izdal priro£nik Interaktivna zika in zbirko nalog za srednje ²ole. S svojim delom, prizadevnostjo in prepoznavnostjo prof. Marko Munih izdatno prispeva tako k izbolj²anju in posodobitvi pouka zike kot k popu- larizaciji zike med mladimi in ²ir²e v javnosti. Lidija Gornik Lidija Gornik je ºe ve£ kot 30 let predmetna u£iteljica matematike in zike na Osnovni ²oli Zbora odposlancev v Ko£evju. Poleg uspe²nega pou£evanja vsa leta izvaja za svoje u£ence dodatni pouk matematike in jih pripravlja na tekmovanja. Njeni u£enci so pogosto prejemali bronasta, srebrna in zlata priznanja na ²olskih in regijskih tekmovanjih. V preteklih letih je vodila kroºke iz razvedrilne matematike in logike, kjer so njeni u£enci prav tako dosegali vidne uspehe, sama pa je ve£krat sodelovala pri delu ocenjevalnih komisij. Leta 2001 je organizirala regijsko tekmovanje iz logike. Svoje u£ence je po²iljala tudi na predstavitve projektov in tekmovanja v okviru Vesele ²ole. Za ta tekmovanja je sestavljala naloge iz logike in razvedrilne matematike; v reviji Pil je objavila 34 samostojnih strokovnih prispevkov s tega podro£ja. Svoje bogate pedago²ke izku²nje prena²a tako na mlaj²e sodelavce in na kolege v ²tudijskih skupinah, pa tudi na ²tudente matematike in zike, ki si pri njej pridobivajo prve pedago²ke izku²nje. Sodelovala je z razli£nimi ustanovami na podro£ju ²olstva, med drugimi s Pedago²kim in²titutom pri mednarodni raziskavi TIMSS. V okviru evropskega programa Leonardo da Vinci se je marca leta 1999 udeleºila strokovnega ²olanja za vodje raziskoval- nih delavnic v Veliki Britaniji in potem svoje znanje predstavila kolegom na 238 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 239  #9 i i i i i i Prejemniki društvenih priznanj za leto 2008 pedago²kih delavnicah na regijskih posvetih za osnovno²olske mentorje na podro£ju znanosti. V letih od 2000 do 2007 je pod okriljem Slovenske znan- stvene fundacije vodila delavnice Veselje z znanostjo na slovenskih festivalih znanosti v Ljubljani. Dr. Zvonko Jagli£i¢ Docent dr. Zvonko Jagli£i¢ u£i osnovni te£aj zike na Fakulteti za gradbe- ni²tvo in geodezijo Univerze v Ljubljani, kjer ²tudentje zelo cenijo njegovo pedago²ko delo. Raziskovalno deluje na podro£ju eksperimentalne zike tr- dne snovi pri ²tudiju magnetizma v kovinskih zlitinah, kvazikristalih itd. Vodi medin²titutski center za magnetna merjenja Cmag, na In²titutu za matematiko, ziko in mehaniko pa sodeluje v skupini prof. Zvonka Trontlja. Je mentor dvema mladima raziskovalcema, od katerih je eden iz industrije. Za obdobje 20092012 je dobil raziskovalni program in je nosilec ve£ bilate- ralnih raziskovalnih projektov. V Prekmurju, od koder prihaja, je vklju£en tudi v delo z mladimi v okviru raziskovalnih dnevov za srednje²olce in nji- hovih raziskovalnih nalog. Z Dru²tvom matematikov, zikov in astronomov Slovenije je ves £as te- sno povezan. V preteklih letih je dru²tvu pogosto pomagal pri razli£nih aktivnostih. Prav gotovo pa najbolj izstopajo vsakoletne enotedenske delav- nice za najbolj²e slovenske mlade zike, ki potekajo pod njegovim vodstvom v Plemljevi vili na Bledu. V zadnjih desetih letih je vedno znova poskrbel za vse, kar je potrebno, da te delavnice dobro potekajo: od pisanja vlog za sredstva, zaklju£nih poro£il, izbire predavateljev, priprave poskusov in dodatnih predavanj, do organizacije primernih ekskurzij. Njegova zasluga je, da zvedo mladi srednje²olci na prijeten na£in precej ve£, kot jim lahko ponudi pouk zike v okviru rednega ²olskega programa. Veliko teh dijakov se pozneje odlo£i za ²tudij zike ali matematike, saj jih zna pritegniti k delu in jih navdu²iti za nadaljnji ²tudij. Pripravila Milan Hladnik in Nada Razpet LETNO KAZALO Obzornik za matematiko in ziko 55 (2008) ²tevilke 16, strani 1240 ƒlanki  Articles Magnetoelektriki  Magnetoelectrics (Robert Blinc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528 Integrali elementarnih funkcij  Integrals of Elementary Functions (Marko Slapar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4153 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 239 i i porocil08  2009/1/12  12:32  page 240  #10 i i i i i i Letno kazalo Sodobne meritve elektromagnetnih lastnosti protonov  Modern mea- surements of electro-magnetic properties of protons (Simon ’irca) . . 5463 Tri skulpture  Three sculptures (Franc Savnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8190 Energetika dogajanj v ozra£ju  I. del: Izmerjene in modelske vrednosti  Energetics of atmospheric processes  Part I.: The measured and the modelled values (Joºe Rakovec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91101 Nekaj primerov dvojnega ²tetja  Some examples of double counting (Sandi Klavºar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121128 Energetika dogajanj v ozra£ju  II. del: Energijske pretvorbe  Energe- tics of atmospheric processes  Part II.: Energy transforms (Joºe Rakovec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129138 Huygensova naloga  The Huygens problem (Marko Razpet) . . . . . . . . . 161167 Negativni lomni koli£nik  Negative index of refraction (Janez Strnad) 176184 O dveh funkcijskih ena£bah in ustreznih neena£bah  On two functional equations and corresponding inequalities (Peter ’emrl) . . . . . . . . . . . . . 209212 Nekatere novej²e metode pri simulacijah Monte Carlo v statisti£ni ziki  Some new methods for Monte Carlo simulations in statistical physics (Tomaº Mertelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216226 ’ola  School O realnih ²tevilih  On real numbers (Peter ’emrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6476 Ob sprejetju prenovljenega u£nega na£rta gimnazijskega programa ma- tematike  Reform of the mathematics curriculum for general upper- secondary schools (Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102108 Malo druga£na tekmovanja iz zike (Irena Dreven²ek Olenik) . . . . . . . . . 108112 Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah  Limitations on the assessment of mathematics in secondary schools (Marjan Jerman in Samo Repolusk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185197 Intervju  Interview Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzi£ne preiskave (pripravil Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140160 Nove knjige  New books Kratka zgodovina skoraj vsega (Petar Pave²i¢) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2930 Raziskujmo ozvezdja z daljnogledom 10× 50 (Ale² Mohori£) . . . . . . . . . . 3031 Jubilejni zbornik: Ivan Vidav  90 let (Peter Legi²a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112114 Quetzalcóatlova zvezda: Planet Venera v Mezoameriki (Janez Strnad) . 115116 Kreisgeometrie  gestern und heute: Von der Anschauung zur Abstra- ktion (Leila Marek  Crnjac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116118 Dve knjigi za popularizacijo matematike (Peter Legi²a) . . . . . . . . . . . . . . . 118120 Pismo uredni²tvu o Brysonovi knjigi (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138139 Zbirka izbranih poglavij iz zike (Vladimir Bensa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212215 240 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 i i porocil08  2009/1/12  13:23  page 241  #11 i i i i i i Letno kazalo Vesti  News Devetdeset let profesorja Ivana Vidava (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . 1 Doktorandi o profesorju Vidavu (Joºe Grasselli, Anton Suhadolc, Zvonimir Bohte, Josip Globevnik in Matjaº Omladi£) . . . . . . . . . . . . . . 213 Profesor Vidav in Dru²tvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije (Darjo Felda in Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 Prispevki pofesorja Ivana Vidava v Obzorniku za matematiko in ziko v letih od 1951 do 2006 (Janko Bra£i£) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122 Nekaj besed o raziskovalnem delu profesorja Vidava (Josip Globevnik) 2224 Zoisove nagrade in priznanja za znanstvenoraziskovalno delo v letu 2007 3134 Strokovno sre£anje in ob£ni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Kru²i£) 3538 Priznanja DMFA Slovenije (Mitja Rosina in Lucijana Kra£unBerc) . . . 39III ’tirinajsto mednarodno tekmovanje ²tudentov matematike (Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77VII Strokovna ekskurzija DMFA v Idrijo (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Opravi£ilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Obvestilo (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Vabilo (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120XI 2. slovensko sre£anje matematikov raziskovalcev (Tomaº Pisanski, Emil šagar in Bo²tjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Novi £lani dru²tva v letu 2007 (Vladimir Bensa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Uspehi in priznanja na²im tekmovalcem in vodjem ekip (Nada Razpet) 160XV Strokovno sre£anje in 60. ob£ni zbor DMFA Slovenije . . . . . . . . . . . . . . . . . XV Ob 80. obletnici rojstva Franceta Kriºani£a (Matjaº Omladi£) . . . . . . . . . 167171 Nekaj spominov na Franceta Kriºani£a (Peter Legi²a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171175 Matemati£ne novice (Peter Legi²a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198200 58. tradicionalno sre£anje Nobelovih nagrajencev (Maja Fo²ner) . . . . . . . 200XIX Nagovor na proslavi stoletnice rojstva Antona Peterlina (Franc Forstneri£) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ob stoletnici rojstva Antona Peterlina: ustanovitev in pionirska leta IJS (Tanja Peterlin - Neumaier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202205 Profesor Anton Peterlin iz ²tudentskih klopi (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . 206208 Spominjamo se profesorja Antona Moljka (Joºe Pahor in Snegulka Detoni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227230 Strokovno sre£anje in ob£ni zbor DMFA (pripravila Nada Razpet in Janez Kru²i£) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231236 Prejemniki dru²tvenih priznanj za leto 2008 (pripravila Milan Hladnik in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236239 http://www.obzornik.si/ Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 6 XXIII i i “kolofon” — 2009/1/12 — 13:27 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, NOVEMBER 2008 Letnik 55, številka 6 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani O dveh funkcijskih enačbah in ustreznih neenačbah, Peter Šemrl . . . . . 209–212 Nekatere novejše metode pri simulacijah Monte Carlo v statistični fiziki, Tomaž Mertelj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216–226 Nove knjige Zbirka izbranih poglavij iz fizike, Vladimir Bensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212–215 Vesti Nagovor na proslavi stoletnice rojstva Antona Peterlina, Franc Forstnerič 201 Ob stoletnici rojstva Antona Peterlina: ustanovitev in pionirska leta IJS, Tanja Peterlin - Neumaier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202–205 Profesor Anton Peterlin iz študentskih klopi, Janez Strnad . . . . . . . . . . . . . 206–208 Spominjamo se profesorja Antona Moljka, Jože Pahor in Snegulka Detoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227–230 Strokovno srečanje in občni zbor DMFA, pripravila Nada Razpet in Janez Krušič . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231–236 Prejemniki društvenih priznanj za leto 2008, pripravila Milan Hladnik in Nada Razpet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–239 Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII CONTENTS Articles Pages On two functional equations and corresponding inequalities, Peter Šemrl 209–212 Some new methods for Monte Carlo simulations in statistical physics, Tomaž Mertelj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216–226 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212–215 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–XXIII Na naslovnici je posnetek Instituta Jožef Stefan iz leta 1958 (glej prispevke v prvem delu Obzornika).