* 1092 1 a U.d h m Univerza Edvarda Kardelja v Ljubljani FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN TEHNOLOGIJO VTO MATEMATIKA IN MEHANIKA Bojan Magajna ELEMENTARNI OPERATORJI NA CALKINOVI ALGEBRI IN VON NEUMANN-SCHATTENOVIH RAZREDIH Disertacija Ljubljana 1985 KAZALO UVOD ............................................................ 3 I. SISTEMI OPERATORSKIH ENAČB.................................. 6 1. Nekompaktnost elementarnih operatorjev na enostavnih Banachovih algebrah .......................... 8 2. Linearna neodvisnost zožitev operatorjev .................... 15 3. Kompaktni elementarni operatorji na algebri 8(H) ............. 20 4. Bistveno linearno neodvisni operatorji ..................... 23 5. Razdalja operatorja od eno-razsežnega prostora ............. 30 6. Numerična razdalja operatorja od množice skalarjev ......... 36 II. POSPLOŠENA ODVAJANJA IN TENZORSKI PRODUKTI ................... 39 7. Norme posplošenih odvajanj ................................. 42 8. Numerični zakladi posplošenih odvajanj ..................... 47 9. 0 bistvenih numeričnih zakladih posplošenih odvajanj ....... 50 10. Nekaj opomb o numeričnem zakladu tenzorskega produkta operatorjev ........................... 60 11. Hiponormalna posplošena odvajanja in tenzorski produkti ...................................... 65 12. Subnormalna posplošena odvajanja in tenzorski produkti ...................................... 69 DODATEK (Posplošitev Jacobsonovega izreka o gostoti) ............. 72 LITERATURA ...................................................... 76 OZNAKE 79 t Math. Subj. Class. (1980): 47A62, 47B47, 47A12, 47B20, 46H10. POVZETEK Naj bo H Hilbertov prostor in 8(H) algebra vseh omejenih linearnih operatorjev na njem. V prvem delu disertacije raziskujemo sistem enačb m E X.A.Y- = B., i=1,..,r j=1 ° 1 J 1 kjer so A- in B. znani, X. in Y. pa neznani elementi algebre B(H). V i i J J 9 \ i primeru m=r podamo potreben in zadosten pogoj, ki mu morajo zadoščati operatorji A-, da bo gornji sistem rešljiv pri poljubnih B.eB(H). Dobljeni rezultat (katerega milejša oblika velja tudi v splošnejših Banachovih algebrah z enim samim maksimalnim idealom) je uporaben pri proučevanju vprašanja, kdaj je zaloga vrednosti danega elementarnega operatorja vsebovana v kakem idealu algebre B(H). Kot posledico spoznamo, da na Calkinovi algebri ni neničelnih kompaktnih elementarnih operatorjev. Drugi del naloge se omejuje na posebne primere elementarnih operatorjev, predvsem na t.i. posplošena odvajanja. Med drugim pokažemo, kako se izraža bistveni numerični zaklad zožitve posplošenega odvajanja na Hilbert- Schmidtov razred C (H) z numeričnima in bistvenima numericnima zakladoma operatorjev, ki ga inducirata. Nadalje opredelimo subnormalna in kvazi- 2 normalna posplošena odvajanja na C {H). -3- UVOD I. Elementarni operator na Banachovi algebri A je operator oblike EAB(X) = L AiXBi' XeA ' " kjer sta A*(A.»..YÄ) in B=(B1,.. ,B ) dani r-terki elementov algebreA. V zadnjem času je več avtorjev proučevalo predvsem spektralne lastnosti elementarnih operatorjev na algebri B(H) vseh omejenih operatorjev Hilbertovega prostora H ([32] ,[17]), na Schattenovih idealih vB(H) [24] in na splošnih C*-algebrah [40]. Pokazali so, da je v primeru, ko sta r-terki A in B komutativni, spekter operatorja EftB mogoče izraziti z združenima spektroma r-terk A in B. (Pojem združenega spektra je posplo-šitev pojma spektra enega operatorja na več operatorjev. Obstaja več takih posplošitev: zelo preprosta je Harte-jeva [31], najbolj zadovoljiva pa Taylor-jeva [55].) Posebno pomembni primeri elementarnih operatorjev, ki so jih najprej proučevali, so posplošena odvajanja, to je operatorji oblike DAB(X) = AX-XB, Xe4 kjer sta A in B dana elementa algebre A. Spekter posplošenega odvajanja D.„ je mogoče izraziti kar z običajnima spektroma operatorjev A in B kot o(DAB) = {\-n; \Ga(A), nGa(B)} To zvezo je dokazal deloma že Rosenblum v [45], kasneje pa so njegove rezultate izboljšali in posplošili ( [38] J21 ] ,[22] ,[23] ,[34]). Med drugim je Fialkow v [24] določil tudi bistvene spektre splošnih elementarnih operatorjev naB(H). Kako izračunati Fredholmov indeks splošnega elementarnega operatorja pa je še vedno odprt problem. (Za posplošena odvajanja je ta problem rešen v [23].) Math. Subj. Class. (1980): 47A62, 47B47, 47A12, 47B20, 46H10. -4- Poznavanje elementarnih operatorjev lahko pomaga tudi pri raziskovanju povsem splošnih omejenih linearnih operatorjev. Tako na primer iz opisa spektra posplošenih odvajanj takoj sledi, da spektra dveh kvazipodobnih operatorjev na Hilbertovem prostoru nista disjunktna. Kot drugi, mnogo globlji rezultat, ki je prispeval k boljšemu razumevanju algebraičnih operatorjev, omenimo Apostolovo karakterizacijo odvajanj na B(K) z zaprto zalogo vrednosti [2]. Bralec lahko najde še druge uporabe odvajanj v [3]. II. Vsebino obeh poglavij tega dela bomo povzeli na začetku poglavij; zato omenimo na tem mestu le nekatere od novih rezultatov. Izhodišče za prvo poglavje je bila hipoteza Fonga in Sourour-a v [26], da na Calkinovi algebri ni netrivialnih kompaktnih elementarnih operatorjev. V prvem razdelku bomo spoznali kriterij o linearni neodvisnosti (izrek 1.2), ki nam bo omogočil dokazati, da velja ta hipoteza v vsaki kompleksni enostavni neskončno-razsežni Banachovi algebri z enoto. Ko je bilo to delo že napisano, smo izvedeli, da sta hipotezo Fonga in Sourour-a dokazala tudi Apostol in Fiaikow, vendar velja njun dokaz (ki do trenutka pisanja teh vrstic še ni bil objavljen) samo za Calkinovo algebro in je bistveno drugačen od dokaza, ki ga bomo predstavili tukaj. Prvi razdelek nam namigne, da je vprašanje linearne neodvisnosti elementov A.,..,A kake enostavne Banachove algebre v tesni zvezi z rešljivostjo sistema enačb s (*) S X-A.Y. = B,, i=1,..,r j=1 J i J i pri vseh mogočih desnih straneh B.eA. Tukaj so neznanke X.,Y. elementi algebre A in s naravno število. Sedaj se porodi naravno vprašanje, kako je z rešljivostjo sistema enačb (*}, če Banachova algebra A ni enostavna. Pri raziskovanju tega vprašanja smo se omejili na algebro omejenih operatorjev Hilbertovega prostora. Osrednji rezultat prvega poglavja (izrek 4.3) pove, kakšnemu pogoju morajo zadoščati operatorji A,,..,A iz 8(H), da bo sistem (*) (za s=r) rešljiv v 8(H) pri poljubnih Bp..,B iz 8(H). Ta rezultat je uporaben pri proučevanju zalog vrednosti elementarnih operatorjev na 8(H). Drugo poglavje se omejuje na posplošena odvajanja in operatorje oblike X * AXB. Zanimali nas bodo numerični zakladi takih operatorjev. Numerične zaklade posplošenih odvajanj na B(H) je določil že Kyle v [60], nedavno pa je Shaw v [49] posplošil Kyle-jeve rezultate. Od izida članka [25] igra pri raziskovanju operatorjev na Hilbertovem prostoru vidno vlogo tudi bistveni numerični zaklad. V drugem poglavju bomo spoznali (izrek 9.2), kako se izraža bistveni numerični zaklad zožitve posplošenega odvajanja na Hilbert-Schmidtov razred. S pomočjo numeričnega zaklada je mogoče hitro ugotoviti, kdaj je posplošeno odvajanje hermitski, normalen ali hiponormalen operator {[60], 2 [49]). Ker je Hilbert-Schmidtov razred C (f/) Hubertov prostor, lahko 2 govorimo tudi o subnormalnih operatorjih na C (H), V zadnjem razdelku bomo karakterizirali subnormalna posplošena odvajanja ter operatorje oblike X - AXB na prostoru C2{H). Na tem mestu se želim zahvaliti trem profesorjem in kolegu, brez katerih tega dela ne bi bilo. Veselje za operatorsko teorijo in funkcionalno analizo ter osnovno znanje iz teh področij sta mi posredovala prof, Ivan Vidav in prof. Anton Suhadolc. To delo je bilo napisano pod mentorstvom profesorja Vidava. Profesor Vidav je spremljal njegov razvoj, me opozarjal na pomanjkljivosti in tako prispeval k večji jasnosti dokazov. Ideja, da bi tudi v Ljubljani proučevali elementarne operatorje, pripada prof. Matjažu Omladiču. Na njegovo pobudo je imel Janko Gravner nekaj zanimivih predavanj, na katerih smo se seznanili z nekaj še odprtimi problemi o elementarnih operatorjih. Janku Gravnerju se zahvaljujem tudi za prijetne razgovore o operatorski teoriji. I. SISTEMI OPERATORSKIH ENAČB Uvod V tem poglavju bomo najprej izpeljali kriterij za linearno neodvisnost elementov enostavne kompleksne Banachove algebre z enoto, ki nam bo omogočil dokazati, da na taki algebri ni nenicelnih kompaktnih elementarnih operatorjev (če je algebra neskončno-razsežna). Kot poseben primer, bomo tako dokazali hipotezo Fonga in Sourourja, da na Calkinovi algebri ni nenicelnih kompaktnih elementarnih operatorjev. Naj bo H Hilbertov prostor, 8(H) algebra vseh omejenih linearnih operatorjev na H in K(H) (edini) maksimalni ideal v B(H). Potem je C(H);=B(H)/K{H) enostavna Banachova algebra. Za poljubno r-terko operatorjev A-,...,A iz B(K) in poljubno naravno število m opazujmo sistem operatorskih enačb m (1) ^ X A.Y. = B,, i=1,..,r j=1 J i J i kjer so neznanke X. in Y. omejeni operatorji na H. Opazujmo tudi ustrez- J J ni sistem enačb v algebri C(M) m (2) 2 xiany-; = bi> t*1*..»r j=1 J n J n kjer so a. ,b. ,x.,y. odseki v C(H), ki pripadajo elementom A.,B-,X-,Y.. V prvem razdelku bomo videli, da sta ekvivalentni naslednji izjavi: (i) Obstaja tak m, da ima sistem (2) rešitev pri poljubnih b.eC(H). (ii) Elementi a., i=1,..,r, so linearno neodvisni. Ta ugotovitev takoj sproži naslednji vprašanji: (i) Koliko je, pri dani r-terki a^.-.a , najmanjši tak m, da je sistem (2) rešljiv za poljubne b,,.,,b iz C(H) ? (ii) Ali je mogoče {pri danih A- in B.) vsako rešitev sistema (2) dvigniti do rešitve sistema (1) ? -7- Odgovora na prvo vprašanje v splošnem ne poznam; toda, če je mogoče elemente a. predstaviti s komutirajočimi normalnimi operatorji na sepa-rabilnem prostoru, potem je minimalni m enak 1. To bo sledilo s pomočjo nekega rezultata Browna, Douglasa in Fillmora. Odaovor na drugo vprašanje je negativen celo v separabilnem Hilbertovem prostoru, zato seje smiselno vprašati : (iii) Kakšnemu pogoju morajo zadoščati operatorji A,,..,A , da bo za kako naravno Število m sistem (1) rešljiv pri poljubnih B.,..,B iz 8(H) ? Na zadnje vprašanje bomo odgovorili v četrtem razdelku, kjer bomo pokazali, da je sistem enačb (1) rešljiv za m=r, Če so elementi A.+K(H) Calkinove algebre linearno neodvisni. Videli bomo, da lahko tedaj operatorje Y, določimo kot izometrije s paroma ortogonalnimi zalogami vrednosti. V nekoliko splošnejših Banachovih algebrah kot 8(H) odgovarja na vprašanje (iii) korolar D 5 v dodatku. Na koncu poglavja bomo še posplošili formulo za razdaljo danega operatorja od množice skalarnih operatorjev (ki jo je dokazal T. Ando, glejte [3]) in poiskali podobno formulo za numerično razdaljo danena operatorja od množice skalarnih operatorjev, Posplošitev Ando-jevega rezultata bomo potrebovali pri dokazovanju rešljivosti sistema opera-torskih enačb XAjY - B1 XA2Y = B2 kjer sta B^Bp poljubna, A. in A~ pa bistveno linearno neodvisna omejena operatorja na H ter vsaj eden navzdol omejen. Drugi razdelek je tehnična priprava za dokazovanje kasnejših izrekov, morda pa bodo rezultati tega razdelka zanimivi tudi sami zase. V tretjem razdelku pa bomo na nov način dokazali dva že znana rezultata o elementarnih operatorjih. -8- 1. Nekompaktnost elementarnih operatorjev na enostavnih Banachovih algebrah 1.1. Definicija. Elementarni operator na algebri A je operator oblike r (1.1) Ex = e c.xa., xçA i = 1 1 1 kjer so a^c. dani elementi algebre A. V tem razdelku naj bo A enostavna kompleksna Banachova Algebra z enoto. Ker ima A enoto, to pomeni, da A ne vsebuje nobenega dvostranskega ideala {zaprtega ali ne) različnega od {0} in A. 1.2, IZREK. Poljubna r-terka elementov a. (i=1,..,r, r ^ dim A) algebre A je linearno neodvisna natanko tedaj, ko za poljubne b-eA obstajajo taki elementi x^y-eA, j=1,..,m , da velja m (1.2) z x.a,y. = b-, 1=1,.. ,r j = 1 J J Dokaz. Predpostavimo najprej, da velja (1.2), kjer naj bodo b. linearno neodvisni. Potem iz 1=1 -1 1 1 sledi m r r m 0 = L j=l "i=i ¦ j= E x,(e KitAy* = E xA L x.a.y.) = s \.b. 1=1 J i=1 T n J t=1 n i=1 J 1 J 1=1 1 n Zaradi linearne neodvisnosti elementov b. sledi od tod \-=Q, torej so elementi a. linearno neodvisni. Dokažimo še obratno smer. Označimo z e algebro vseh elementarnih. operatorjev na A in naj bo E' njen komutant. {E' je torej množica vseh tistih linearnih operatorjev na A, ki komutirajo z vsemi elementarnimi operatorji na A-) če je TeE", potem T komutira z vsemi levimi in desnimi -9- množenji, torej za poljubna a,xeA velja T(ax)=aT(x) in T(xa)=(Tx)a. Ko vstavimo x=1, dobimo Ta=a(T1)=(T1)a, torej je T operator množenja s centralnim elementom TI. Med drugim, so vsi operatorji v E' omejeni, kar pove, da je E' Banachova algebra. Ker je algebra A enostavna, je ireducibilna kot E-modul (nima netrivialnih podmodulov); torej je E* obseg (po Schurovi lemi, [57],[36]). Toda vsaka kompleksna Banachova algebra, ki je hkrati obseg, je izomorfna obsegu kompleksnih števil t [57]; zato imamo sedaj E' = JC1 _ Torej so elementi a. linearno neodvisni nad E'. Zato obstaja po Jacobsonovem izreku o gostoti (glejte dodatek) tak EeE, da je Ea.=b. za vse i=1,..,r. // 1.3. KOROLAR. če je algebra A neskončno-razsežna, potem je operator 0 edini kompakten elementaren operator na A. Dokaz. Naj bo E elementaren kompakten operator na A in denimo, da je E^O. Očitno lahko E izrazimo v obliki {1.1}, kjer so a- linearno neodvisni in prav tako c linearno neodvisni elementi algebre A. Po izreku 1.2 obstajajo taki elementi x-,y, algebre A, da velja J J m (1.3) ^Yi'i = «H ' Za vsak aeA označimo z K, operator desnega množenja z a {t.j., R,x=xa, a a XGA). Ker je E kompakten, je kompakten tudi operator m E' a -EA ERx j=1 yj *j Iz (1.3) in (1.1) dobimo E'x=c.x za vsak xeA. Če sedaj ponovimo isti argument, toda z levimi množenji namesto desnih, vidimo, da bi moral biti identični operator na algebri A kompakten. Toda to je nemogoče, ker je A neskončno-razsežen Banachov prostor. // Korolar 1.3 je mogoče uporabiti, na primer, na najpopularnejši med vsemi C* algebrami- Calkinovi algebri. Naj bo H separabilen Hubertov prostor. Calkinova algebra prostora tf, C(H), je definirana kot faktorska algebra algebre 8(H) vseh omejenih operatorjev na H po idealu K(H) -10- vseh kompaktnih operatorjev na H. C{H) = B(H)/K(H) Calkinovo izvirno obravnavo algebre C{H) lahko najde bralec v [15] . Kot kvocientna algebra C*-algebre po dvostranskem idealu, je Calkinova algebra C*-algebra. Ker je K(H) maksimalni ideal v 8(H), je C{H) enostavna algebra. Da na Calkinovi algebri ni netrivialnih kompaktnih elementarnih operatorjev, sta domnevala že Fong in Sourour v [26]. Izrek 1.2 omogoča tudi naslednjo posplošitev izreka 3 iz [26]. 1.4. KOROLAR. Naj bo X poljuben Banachov prostor, K maksimalen ideal v B(X) in n:B(X) * B(X)/K naravna preslikava. Nadalje naj bodo A.,C., 1=1,..,r, taki elementi algebre B(X), da je operator r Z CXA. i = 1 n 1 v idealu K za vsak XeS(X). Ce so elementi n(A.) linearno neodvisni, potem so vsi operatorji C. v idealu K. Dokaz. Po predpostavki je elementaren operator r x ¦* E n(C.)xn(A. ) i = 1 1 1 ki deluje na algebri B{X)/K> enak 0. Ce posnemamo dokaz korolarja 1.3, vidimo, da je potem tudi operator x -* n(C,)x enak 0. Torej je n(C.)=0, oziroma C.eK. Prav tako je C.eK za i=2,..,r. // Ce je H separabilen Hubertov prostor, potem je K ideal kompaktnih operatorjev in korolar 1.4 je v tem primeru že znan rezultat, dokazan v [26] s pomočjo Voiculescujevega izreka o približno ekvivalentnih repre-zentacijah C*-algeber. Za poljuben Hubertov prostor H je znano, kaj so vsi zaprti dvostranski ideali algebre B{H); znano je, da vsebuje algebra B(H) en sam maksimalni ideal K(H). Ideal K{H) je zaprtje množice vseh tistih operatorjev ¦ 11- TgB(H) za katere je dim T(H)< dimH [27, str. 106]. (Tukaj pomeni dim kardinalno Število ortonormirane baze.) Za separabilen Hubertov prostor se K(H) ujema z idealom kompaktnih operatorjev. Za splošen Banachov prostor X (mi) ni znana struktura maksimalnih idealov algebre B(X) . toda; če je X eden od prostorov lp (lLp<«) ali cQ, potem je edini zaprt dvostranski ideal algebre B(X) ideal kompaktnih operatorjev [42, str. 82]. Naj bodo a-, i=1,..r, linearno neodvisni elementi Calkinove algebre. Koliko je tedaj najmanjši m, da je sistem enačb (1.2) rešljiv pri poljubnih b.eC(H) ? Odgovora na to vprašanje v splošnem ne poznam, toda pri dodatnih predpostavkah lahko pokažemo, da je minimalni m enak 1. 1.5. TRDITEV. Naj bo H separabilen Hubertov prostor in a.,b-elementi Calkinove algebre C(H) za i=1,..,r. Potem obstajata taka x,yeC(H), da je xa.y = bj, i=1,.. ,r vsaj v primeru, ko je izpolnjen eden od naslednjih pogojev: (i) Elementi a. so linearno neodvisni in obstajajo taki normalni operatorji A^eBtH), da je n(Ai-)=ai in A.A^A.A^ za poljubna i,j=1,..,r. (ii) Obstajajo taki A-eB(K), da je n(Ai)=ai in da C*-algebra generirana z A., i = 1,..,r, ne vsebuje nobenega neničelnega kompaktnega operatorja. Dokaz. V obeh primerih so elementi a, linearno neodvisni. Po izreku 1.2 obstajajo taki elementi x.,y., jst*..»(ft, v C(H), da velja (1.2). Naj bodo X-,Y.es(H) taki, da je n{Xi)=x, in n(Y.)=y.. Označimo s H^ direkt-no vsoto m primerkov prostora H. Naj bosta X:H(m)- H in YT:H - H(m) operatorja, definirana z J=1 Nadalje naj bo A^m':H'm' - H^m' direktna vsota m-primerkov operatorja A. -12- za vsak i = 1,..,r. Obstaja tak unitaren operator U:fr '* H, da je operator U A-U-A^ kompakten za vsak i. V primeru (i) sledi eksistenca takega operatorja U iz dejstva, da predstavlja r-terka (A.,..,A ) komutirajocih normalnih operatorjev trivialno ekstenzijo C*-algebre zveznih funkcij na združenem bistvenem spektru operatorjev A.,..,A . (Natančneje, inverzna preslikava od Gelfandove reprezentacije C*-algebre generirane z a.,..,a je trivialna ekstenzija, [18], [20].) V Drimeru (ii) na zagotavlja eksistenco operatorja U Voiculescujev izrek ([59], [8, str. 343]), ki pove, da je identična reprezentacija, id, C*-algebre generirane z operatorji A. približno ekvivalentna direktni vsoti m primerkov identične reprezentacije. (Tukaj bomo opustili natančnejšo pojasnitev Voiculescu-ovega izreka, ker ga kasneje ne bomo več potrebovali.) Sedaj v diagramu T A^) H U"1 Ju A, Î H-------—*¦ K kvadrat komutira do kompaktnosti natančno. Postavimo y=n(UY ) in x=n(XU ). Potem imamo xa.y = n(Xlf VuY1) = n(XA mV ) ¦ n( e X.A.Y,) = e x.a.y. * b. // 1.6. Definicija. Naj bo tf (ne nujno separabilen) Hubertov prostor, K(H) edini maksimalni ideal algebre B(H) in n:S(H) * C(H>8{tf)/K(H) naravna preslikava. Operatorji A.,..,A iz B(K) so bistveno linearno neodvisni, če in samo če so odseki n(A.) linearno neodvisni. Naj bodo A. bistveno linearno neodvisni, B., i=1,..,r, pa poljubni omejeni linearni operatorji na H. Označimo, kot običajno: a.=n(A,), &|"n{B|} in naj bo Xj.y,*» J»1 *,..»»., poljubna rešitev sistema (1.2). Ali obstajajo taki operatorji X.,Y.eB(H), da je n(X,)=x., n(Y.)=y, in J J J J J J m (1.4) E X.-A.Y. - B., i=1,..,r j=1 J 1 J 1 Kot pove naslednji primer, je odgovor v splošnem negativen. -13- 1.7. Primer. Ni mogoče vsake rešitve enačbe x 1 y = 1 v Calkinovi algebri dvigniti do rešitve operatorske enačbe X I Y = I. Naj bo na primer x obrnljiv element z negativnim Fredholmovim indeksom in y njegov inverz. Vsak operator X, ki zadošča pogoju n(X)=x ima potem tudi negativen indeks { ind X - ind x, [58, str. 60]), torej ni surje-ktiven in zato ne more zadoščati pogoju XY=I. Ker ni mogoče vsake rešitve sistema (1.2) dvigniti do rešitve sistema (1.4), se lahko vprašamo, ali je sistem (1.4) sploh rešljiv, čeprav so operatorji A. bistveno linearno neodvisni. Da bi lahko odgovorili na to vprašanje, bomo morali najprej ugotoviti, kakšna je zveza med linearno neodvisnostjo dane r-terke operatorjev in linearno neodvisnostjo njihovih zožitev na končno-razsežne podprostore. To bomo ugotovili v naslednjem razdelku, sedaj pa si oglejmo le najpreprostejši primer sistema (1.4), ko je m=r=l. 1.8. Nekaj opomb c> operatorski enačbi (1.5) XAY = B Znano je in lahko je pokazati, da je na končno-razsežnem prostoru enačba (1.5) rešljiva natanko tedaj, ko je rang operatorja B manjši ali enak rangu operatorja A, Tudi v neskoncno-razsežnem separabilnem Hilbertovem prostoru H obstaja enostaven kriterij za rešljivost enačbe (1.5). Imamo dve možnosti: (i) Ce operator A ni kompakten, vsebuje njegova zaloga vrednosti kak neskončno-razsežen zaprt podprostor [19, str. 125]. Od tod je lahko videti, da je tedaj enačba (1.5) rešljiva za vsak BeB(H). To je opazil že Calkin [15, str. 842], sledilo pa bo tudi iz trditve 1.9. (ii) če je operator A kompakten in enačba (1.5) rešljiva, mora biti kompakten tudi operator B. Naj bodo x.a x 9 ä .. a 0 lastne vrednosti 1/2 pozitivnega kompaktnega operatorja lAi * (A*A) , \x* >* \x?> .. ž 0 pa lastne vrednosti operatorja iBi. Iz (1.5) sledi u L HXII xIJYll, [48, str. 22], Torej je potreben pogoj za rešljivost enačbe (1.5) obstoj take konstante M, da je \x ä M\ za vse n=1,2,.. . Da je ta pogoj tudi -14- zadosten, je mogoče pokazati v dveh korakih. Najprej s pomočjo polarnega zapisa operatorjev A in B prevedemo problem na pozitivna operatorja A in B. Nato brez škode enega od operatorjev nadomestimo z unitarno ekvivalentnim operatorjem, tako da lahko potem oba operatorja predstavimo z diagonalnima matrikama v isti ortonormirani bazi. Tedaj pa je lahko najti diagonalna operatorja X in Y, ki zadoščata enačbi (1.5). (Pri tem lahko vzamemo kar X=I in nato določimo Y.) Podrobnosti prepuščamo bralcu. Za zaključek razdelka, dodajmo še nek elementaren rezultat o reslji-vosti enačbe (1.5) v posebnem razredu Banachovih prostorov. 1.9. TRDITEV. Naj bo X tak Banachov prostor, da vsak njegov neskon-čno-razsežen zaprt podprostor V vsebuje zaprt podprostor lS Y, ki je komplementi ran v X in izomorfen prostoru X. Tedaj je pri danem AeS(X) enačba (1.5) rešljiva za vsak BeB(X) natanko tedaj, ko operator A ni strogo singularen. Dokaz. Če je operator A strogo singularen, potem enačba XAY=I ni rešljiva, saj sestavljajo strogo singularni operatorji pravi ideal algebre B(X), [37]. Vzemimo, da A ni strogo singularen. To pomeni, da je za kak neskon-čno-razsežen zaprt podprostor V ä X operator A i V navzdol omejen. Naj bo Z s A(V) zaprt podprostor, komplementi ran v X in izomorfen X; označimo -1 -1 ta izomorfizem z Y.:X - Z. Kompozitum Y={Ai[A (Z)nV]) Y, je izo- -1 morfizem prostora X na podprostor A (ZjTlV. Torej je operator AY izomorfizem prostora X na podprostor Z. Ker je Z komplementiran podprostor prostora X, obstaja zvezna razširitev operatorja (AY) :Z ¦* X na ves prostor X; označimo to razširitev z X. Sedaj je XAY=I. // Edini (meni znani) primeri Banachovih prostorov, ki zadoščajo pogoju trditve 1.9, so prostori lp, läpo in c , [37, str. 53], Za te prostore pa je ta trditev že znana [42]. -15- 2. Linearna neodvisnost zožitev operatorjev Naj bodo A.,..,A taki linearni operatorji na H, da so za vsak xeH vektorji A,x,..,A x linearno odvisni; potem operatorji A^ niso nujno linearno odvisni. (Za protiprimer lahko služi poljubna linearno neodvisna r-terka operatorjev, ki imajo zalogo vrednosti vsebovano v istem (r-l)-razsežnem podprostoru.) Ce pa so za vsak r-razsežen pod-prostor L zožitve A.iL linearno odvisni operatorji, potem je mogoče pokazati, da so tudi operatorji A- linearno odvisni. Za omejene operatorje A.,..,A lahko definiramo mero linearne neodvisnosti kot r (2.1) a(Ar..,Ar) = min{l t E ^Aflli {X} ,.. .X^ëS^ r r r 2 kjer označuje S enotsko sfero v t (S »{(**,.. ,x )g& ; t l\.| *1>). " r i r . . i Da smemo v (2.1) pisati "min" namesto "inf" sledi iz kompaktnosti sfere S . Očitno so operatorji A«,..,A linearno neodvisni natanko takrat, ko je a(A.,..,A ) > 0. Za vsak operator AeB(tf) in vsak podprostor L Hilbertovega prostora H označimo z Al L zožitev operatorja A na L, s P. ortogonalni projektor na L in z A, kompresijo operatorja A na L (t.j., A.=P.AiL). Za vsako naravno število r naj pomeni F družino vseh r-razsežnih podprostorov Hilbertovega prostora H. Za poljubne A*,.. ,A iz B(H) postavimo (2.2) &(A1,..,Ar) = suptatA^L.-.^AplL); LeFr> in (2-3) Y(Ar..,Ar) = sup{a(Au,..,ArL); t€Ff) Lahko je videti, da velja (2.4) y(A,,..,\J S &(Ar..,Ar) ž a(Ar..,Ar) toda potrebovali bomo ocene v obratno smer. Pri izpeljavi le teh se izkaže, da so računi nekoliko preprostejši, če delamo z numeričnim radijem namesto operatorske norme. Naj w(A) označuje numerični radij I t -16- operatorja A. Spomnimo se, da iz polarizacijske identitete sledi (2.5) 1 /251 All ž w(A) s HAH 2.1. LEMA. Naj bodo A.....A taki omejeni operatorji na H, da je (2.6) w( Z X.A.) S w(A,) 1=1 n n n za vse (x.,..,x )eS in naj bo (u ) tako zaporedje enotskih vektorjev iz prostora H, da je (2-7) Potem je limKA-u ,o„>l = w{A, ) i n n l (2.8) lim =0 za i=2,..,r. n-™ i n n Dokaz. Po (2.6) je (2.9) E \.l ž W(A.) i=1 iirin i za vsak nđN in vsak (x,,.,^ )eS . Izberimo je{2,..,r> in poljuben te(0,1) Pri fiksnem n postavimo \.=0 za ijM.j, K.4=t exp(-i/-1arg) in •j i /o i J j n n ' X^fl-t ) ' exp{-v'-1arg). Potem dobimo iz (2.9) tl| + (1-t2)1/2l|S w(Aj) oziroma (2.10) K A^o^U ^[w(A1)-KAlQn,G)n>l]+ {[1-(1-t2)1/2]ll Naj bo (t ) zaporedje števil iz intervala (0,1), ki konverqira proti 1 0 tako počasi, da tudi zaporedje f-[w(A, )-]l ] konvergira proti 0. (To je mogoče zaradi (2.7).} če sedaj vstavimo v (2.10) t=t in pošljemo n proti neskončnosti, dobimo (2.8) za i=j. // V naslednji lemi bomo dokazali nekoliko več kot bomo kasneje -17- potrebovali,toda dokaz zaradi tega ne bo daljši. Lema bo med drugim povedala naslednje: če so operatorji A-,..,A linearno neodvisni, potem obstaja tak r-razsežen podprostor L s H, da so kompresije teh operatorjev na L linearno neodvisne.- 2.2. LEMA. Za poljubne omejene operatorje A, ,..,A na fl velja (2.11) Y(Ar..,Ar) ä ^qra(Ar..,Ar) kjer je q - (-=— ) r 4r-1 Dokaz. Postavimo r (2.12) a'(Ar..,Ar) = min{ w( É \.A.); (x] ,. . ,Xr)eSr> in (2.13) T'(Ar..,Ar) - sup{a'(Au,..,ArL); LcF^} Dovolj je dokazati oceno (2.H) T'(Ar..,Ar) S qra'(A1,..,Ar) kajti potem sledi po (2.5) T(Ar..,Ar) ž T'(Ar..,Ar) % qrc1'(A1)..,Ar) k |qr.a(A1 ,.. ,Ap) - Pri dokazovanju relacije (2.14) smemo predpostaviti, da je izpolnjen pogoj (2.6), V nasprotnem primeru namreč lahko nadomestimo operatorje A. z operatorji r 1 k-1 K1 K kjer so koeficienti |i, . taki, da je matrika [^kl-] unitarna in je njen prvi stolpec tako izbran, da je r w(A;) - max{w( L \,A.); (\.,.. ,v )eS > i i=1 i i i r r ¦18- Ker je matrika [jj., .] unitarna in ker vsaka unitarna matrika preslika sfero S bijektivno samo vase, je a'(A/,..,A')=a'{A<,..,A ) in t'(A.',. . ,A')=t'(A. ,.. ,A )- Privzemimo torej, da velja (2.6), Neenakost (2.14) bomo dokazali z indukcijo na r. Za r*1 velja očitno enakost v (2.14) (obe strani neenačbe sta tedaj enaki w(A.}). Privzemimo, da velja (2.14) za r-1 operatorjev, da je torej (2.15) T'(A2,..,Ar) >. q^a'^,..^) Zaradi krajšega zapisa postavimo ar =a*(Ai»**»Ar)» ar-i = a'(A2""Ar) Po (2.15) in (2.13) obstaja za vsako naravno število n tak podprostor Mn6Fr-r da velja (2.16) a'(A2M ,..,A ) a q^a^ - ± n 'n Naj bo (a ) tako zaporedje enotskih vektorjev v H, da je limii=w(A1} in za vsako naravno Število n naj bo L„ tak pod-n-*°° inni n prostor v H, da je M žL.» u el in dim i =r. Z namenom, da bi pokazali n n n n n (2.14), ocenimo najprej «'{A*, »¦¦>Ar, )¦ Naj bo (x.,..,x )eS . če je IX. I ä q a'/w(A-), potem imamo r r w(( e \.A.)i ) ä k e \-A.u ,u >i (ker je unel ) i=1 i i Ln -=1 i i n n n n r S IX. I KA.m ,co >[- E IX. 1 ll -i ^O Hr r a ^'^VV'-.^'VVVV1 Po lemi 2.1 konvergira desna stran te ocene proti q„a', ko gre n proti neskončnosti. Predpišimo poljuben e>0. Potem je (2.17) w(( E X.A.), ) S q a'-e i=1 1 n Ln r r Iv,«' za vse dovolj velike n, če je i\,i > q„a7w(A.). Ce pa je ]X]]< ^ij~\^ -19- potem imamo r r w(( E A.A.) ) g w(( L \,A.) ) {ker je M št ) r s w{( E A..A.).. )-ix.lw(A1) (ker ima w lastnosti norme) i=2 1 1 Mn ] n r 2 1/2 ä ( E \\.\ ) a'(A?,. ,..,A . )-ix,iw(A,.) (po definiciji količine-a* i-2 7 ' mi\ r"n ' zar-l operatorjev) ä c1"<^r.)^1/z^Viar-rz^,xi,w^i (p0 (2J6) in zaradi -E,xi|2 = 1-1^1^ Hq^/wfA^)2) a (1-qr) /2{qr„1ar;- ^)~Vr (zaradi ^i1^^)' in ker je oč1tno a^w(At) ter ccpScj*^) = qrar - TrCI-q^)172 (ker je (1-q*)1/2qr_rqr=qr) Od tod sledi, da velja ocena (2.17) pri dovolj velikem n tudi, če je l\1in=1 in (po definiciji) (f®^)ö=<ö»f>^ za vsak ueH. Oba izreka tega razdelka bosta hitro sledila iz naslednje leme. ,A linearno neodvisni elementi algebre 3.1. LEMA. Naj bodo A1 B(H), P=i^S(j> pa poljuben operator ranga 1 na prostoru H, kjer je l!$lM Potem-obstajajo taki X.,Y-eB(H), da je J J (3.1) j=1 J i J 6MP -21- Dokaz. Po korolarju 2,3 obstaja tak r-razsežen podprostor lLH, da so operatorji A.iL linearno neodvisni. Naj bo {«.,..,u ) baza prostora L in 1 fri ir naj označuje fr ' direktno vsoto r-primerkov prostora H. Ker so operatorji ( r) A.\L linearno neodvisni, so vektorji (A. o.,,.,A.o )e/r % 1*1»..»f, linearno 1 fri neodvisni. Zato obstaja tak omejen linearen operator X:KV ' - H, da je X(Aio1,.. ,Aicor) a 6^, 1=1,., ,r Naj bodo operatorji X.33(H) definirani z X(ç.,..,ç ) ji V-eB(H) pa z E X-Ç., operator- ja J J V = "r V{^ = ° Potem imamo in {,f/jAiYj^= LxjVj= 6h* = (6hp)» ( E X.A.Y.)I{*}X = 0 = (S.-PJlU)*1 -j _ i J i J ¦ i Od tod takoj sledi (3.1). // 3.2. Opomba. Lema 3.1 velja tudi v splošnem Banachovem prostoru; dokaz je tak kot v Hilbertovem prostoru, Če upoštevamo opombo 2.5. 3.3. IZREK. (Fong, Sou rour [26]} Naj bodo C^,..»(L poljubni, A^,.,,A^ pa linearno neodvisni omejeni operatorji na Hilbertovem prostoru H. če je (3.2) E C*XAi = 0 i = 1 i i za vsak XeB(H), potem je C.=0 za vsak i=1,..,r. Ookaz. Naj bo N$#$ poljuben projektor ranqa 1 na H. Po lemi 3.1 obstajajo taki X.,Y.eS(tf), da je izpolnjena enakost (3.1). če sedaj J J uporabimo idejo dokaza korolarja 1.3, vidimo, da iz (3.2) sledi -22- (3.3) CjXP - O za vsak Xeß(H) Ko vstavimo v (3.3) namesto X operator $$$, kjer je ^ poljuben vektor iz H, dobimo (C.^gtj^O. Ker sta tukaj vektorja $ in $ poljubna (le 114111=1), sledi C,=0. Podobno vidimo, da je C.=0 za i=2,..,r. // 3.4. IZREK. (Fong, Sourour [26]) Bodita {A,,..»Al in {€*,.*,€} linearno neodvisni podmnožici algebre B(H). Potem je elementaren operator r E:B{H) + ß(H), EX * E C-XA. i=1 n n kompakten natanko tedaj, ko so kompaktni vsi operatorji A.,C.. Dokaz. Privzemimo, da je E kompakten operator in naj bo P=4>«<{i poljuben projektor ranga 1 na H. Z uporabo leme 3.1 in dokaza korolarja 1.3 vidimo, da je tedaj kompakten tudi operator 8(H) - 8(H), X - C^P Toda potem je kompakten tudi kompozitum H - B(H) - 8(H) - H k - ?»$ - c^m)P ¦* [c^ç^jp]* = c^ Torej je C. kompakten operator in podobno dokažemo, da so kompaktni tudi vsi ostali operatorji C,A.. Za dokaz v obratno smer je dovolj videti, da je operator X * CXA kompakten, če sta kompaktna operatorja A in C (Saj je E vsota takih operatorjev) To pa je dobro znano dejstvo, ki ga ne bomo dokazovali [9, str. 201 // Oba izreka veljata tudi za operatorje na splošnih Banachovih prostorih. -23- 4. Bistveno linearno neodvisni operatorji 4.1. Definicija. Za poljubne operatorje A,,..,A iz alaebre 8(H) definirajmo mero bistvene linearne neodvisnost^ kot r (4.1) ae(A1#..,Ar) « min{ME \.n(A.)lli (^ ,.. ,\r)eSr> kjer je n naravna preslikava iz B(H) v C{H)=B(H)/K(K). (K(H) označuje, kot ponavadi, edini maksimalni ideal v 8(H),) V idealu K{H) so natanko tisti operatorji TeB(H), za katere ne obstaja tak p o H n met m- KH. da bi bilo dim L - dim H in operator TiL navzdol omej.en [48, str. 25]. Razlago strukture množice zaprtih idealov algebre B(H) za neseparabilen prostor H lahko najde bralec v [27]; brez Škode za osnovno idejo pa lahko vzame, da je H separabilen prostor. Kot običajno bomo s P. označevali ortogonalni projektor na podprostor LéH in z A, kompresijo operatorja A na podprostor L. 4.2. TRDITEV. Za poljubne A»Ö5{H)» i=1,..,r, velja x (4.2) ae(Ap..,Ar) - inf{a(A1L,..,ArL);/.sH , dim/. < dim H) Dokaz, če je dim L i = infdiAP^n; LeF}, za vsak AeB(H) Ker je it^A^n^iAP^ii in ker je A-P^AP.eK(H), sledi iz te enakosti iin(A}ii=inf{iiP^AF^Il; LeF} , oziroma Mn(A)ii = inf{nA,ii ;LeF> r za vsak Aeß(tf). Ko uporabimo zadnjo enakost na operatorju A= z \.A-, i=1 pri čemer je r-terka {\.,..,\r)eS tako izbrana, da velja r il E ?virr(Ai )ll = ae{A1,..,An) dobimo ¦25- r r aJA.,.. ,AJ = II n( E \.A. ) II - inf{ii( E \,A.),li; LeF} e i r . = 1 i i Hni > inf{a(AlL,..,ArL); LeF} Zato tudi desna stran v (4.2) ne more biti večja od leve. // Za algebro C(H) lahko sedaj izboljšamo izrek 1.2. 4.3. IZREK. Naj bodo A.,..,A omejeni operatorji na Hilbertovem prostoru H. Sistem operatorskih enačb (4.3) E X.A.Y. = B,, i = 1,..,r j=1 ° 1 J n je rešljiv v algebri B(H) pri poljubnih B.eB(H) natanko tedaj, ko so operatorji A. bistveno linearno neodvisni. Dokaz, če je sistem (4.3) rešljiv pri bistveno linearno neodvisnih operatorjih B., potem morajo biti operatorji A. bistveno linearno neodvisni. To vidimo kot v dokazu izreka 1.2. Predpostavimo, da so A- bistveno linearno neodvisni operatorji. Potem za vsak zaprt podprostor L%H, ki zadošča pogoju dim L 7tlrae(A1)..,Ar) po korolarju 2.3. Označimo t= ^q a (A-,..,A ). Iz {4.4} (in (2.2)) sledi obstoj takega r-razsežnega podprostora MsL, da je a(A,,IM,..,A ,iM)>t. Potem je tudi a^iM,..,A IM) S t Na podlagi tega dejstva lahko s transfinitno rekurzijo (ali pa s pomočjo Zornove leme) definiramo tako družino (M ; n t za vsak nt. Tako lahko s transfinitno indukcijo definiramo r r iskano družino podprostorov {M : nZrn*) Iz (4.6) sledi, da so M paroma ortoconalni podprostori Hilbertovega prostora H^r^=HQ .. ©H; torej je ©M podprostor v H^rK Naj bo {iK ,..,i|j } ortonormirana oaza prostora W za vsak n ; n za vse i=1,..,r in n ortonormirana baza prostora H, je zadnja enakost ekvivalentna s (4.3). // 4.4. Opomba. Dokaz izreka 4.3 pove, da so operatorji Y. izometrije s paroma pravokotnimi zalogami vrednosti, operatorje X. pa lahko dolo-čimo tako, da velja liX j II u crmax{IßjU; j=1, -. ,r}/ae(A1,.. ,Ap), cr = 4(r{4r-1)/3) 1/2 Ker te ocene ne bomo potrebovali, bomo opustili njeno podrobnejšo izpeljavo. Izkaže se, da velja milejša oblika izreka 4.3 v vsaki kompleksni Banachovi algebri z enoto, ki vsebuje samo en maksimalni ideal. V tem delu ne bomo raziskovali kriterijev za rešljivost sistema enačb -29- m (4.12) E x.a.y. = b-, 1*1,..,r j=1 ° n J v splošnih ßanachovih algebrah; omenimo le problem, ki bi bil lahko predmet kakšne kasnejše raziskave. 4.5. Problem. Naj bo A kompleksna Banachova algebra z enoto in a.,..,a taki njeni elementi, da so za vsak maksimalen ideal KžA odseki a-+K linearno neodvisni v algebri k/K. Ali potem pri poljubnih elementih b,,..,b algebre A obstaja tako naravno število m, da je sistem (4.12) rešljiv v algebri A ? Kakšnemu pogoju mora ustrezati algebra A, da bo odgovor pritrdilen ? Da je odgovor na gornje vprašanje pritrdilen v enostavnih Banachovih algebrah, pove že izrek 1.2. Korolar D 5 (v dodatku) pove, da je odgovor pritrdilen v vsaki Banachovi algebri z enim samim maksimalnim idealom-take algebre so na primer vsi von Neumannovi faktorji [54]. Odgovor pa je gotovo pritrdilen tudi v nekaterih algebrah, ki vsebujejo mnogo maksimalnih idealov. Tako je na primer problem trivialen za algebro zveznih kompleksnih funkcij C(X) na kompaktnem Hausdorffovem prostoru X (in sploh za vsako komutativno algebro). Pokazati je mogoče, da ima problem 4.5 pozitivno rešitev tudi v algebri C(X)(*)Ln,n vseh n * n zveznih matričnih funkcij na kompaktnem Hausdorffovem prostoru X. Naslednji problem s tem v zvezi je, določiti pri danem r minimalni m, da je sistem (4.12) rešljiv. Izrek 4.3 pove, da je za algebro B(H) minimalni m manjši ali enak r (če so operatorji A. bistveno linearno neodvisni). V prihodnjem razdelku bomo obravnavali poseben primer, ko je r=2. 4.6. Opomba. Za poljuben AeB(H) je količina a (A,I) povezana z n-funkcijo Browna in Pearcy-a [13]. Po [3, str. 208] lahko ti(A) definiramo kot razdaljo elementa n(A)GC(f/) od množice vseh skalarnih večkratnikov enote. Kot poseben primer neenakosti (5.10) iz naslednjega razdelka, imamo ae(A,I)Sn(A)Sa (A,I)(1+2»tt(A)ii ), -30- 5. Razdalja operatorja od eno-razsežnega podprostora T. Ando je izpeljal naslednji izraz za razdaljo operatorja A od množice skalarnih operatorjev [3, str. 206]: (5.1) dist.(A,LI) ¦ sup{ii; ç,nef/, &fl =inl =1, Un* V tem razdelku bomo posplošili formulo (5.1) in s pomočjo te posplo-šitve izboljšali izrek 4.3 za primer dveh operatorjev. Najprej pa bomo posplošili dva Stampflijeva rezultata iz [52]; dokaza teh posplošitev sta (razen morda kake nepomembne poenostavitve) skoraj identična s Stampf!ijevimi dokazi njegovih rezultatov. 5.1. Definicija. Za poljubna A,BeB(H) definirajmo WA(B*A) = {\eL;3 Un)eH, 1IÇ JI =1, lim=\, limllAçjl =llAl[} V primeru B=I nam ta definicija da Stampflijev maksimalni numerični zaklad operatorja A ([52], [33, str. 54] ). Očitno je W.(B*A) neprazna zaprta podmnožica zaprtja numeričnega zaklada operatorja B*A. 5.2. LEMA. W„(B*A) je konveksna množica. Dokaz. Naj bo a,beWfl(B*A), a^b in (l), (ni taki zaporedji enotskih vektorjev v H, da je (5.2) lim = a in lim = b ter (5.3) limiiAc Ji = hA» = HmliAnJl Naj bo c poljubno kompleksno število na daljici od a do b. Za vsak nëN je klasični numerični zaklad kompresije operatorja B*A na dvorazsežni podprostor, napet na vektorja | in n , konveksna množica (po Hausdorff-Toeplitzovem izreku, [30, str. 113]). Zato obstaja tako zaporedje vektorjev -31- da je (5.4) n E = a L + 3 n ^n n^n n 'n 11^1 * 1 lim = e Torej zadošča pokazati, da je limllAç ll = liAil. Najprej opazimo, da iz (5.2) in iz a^b sledi (5.5) l<Çn,Tin>l S 9 < 1 kjer je e neko pozitivno število. (Za dokaz, uporabimo identiteto NE-e^nii =2(1-ii ), kjer je HEii = iiril=1 in $= arq. če bi se števila ,l lahko poljubno približala številu 1, bi s pomočjo te identitete iz (5.2) sledilo b=a.) Iz (5,5) in (5.4) sledi, da sta zaporedji skalarjev a in ß omejeni. (Po (5.4) imamo namreč iani2+ieni2+2Re(anën<^n,nn>>1s torej (po (5.5)) ic^i2+iiy 2-2ianßneis1. Zadnja neenakost da najprej 2ia ß Ul/(1-e), nato še O O Mrl la l +13 1 5l/(l-e}) Iz (5.3) in iz omejenosti zaporedij (O. (O sledi, da gredo na desni strani enakosti 2 2 llAç^l -iiAir 2 2 2 llAgJl -IlAll \%J] ? ? ? 7 2 7 la i (HAfJi -iiAn)+iß i (nAnnii -iiAii ) + 2Re(anßn <(A*A-iiAi Kn,nn>) vsi členi, razen morda zadnji člen, proti 0. Da gre tudi zadnji člen proti 0, ko gre n proti neskončnosti pa vidimo iz ocene 7 7 ? ? ? 4 II(A*A-iiAii )i; M - iiA*Ae: il -2nAifliAQi +11A11 2 2 2 2 4 S IIAII llAçnll -211A11 tlAO +IIA1I v kateri gre desna stran proti 0 po (5.3). Tako vidimo, da je res limiiAc^! = iiAli. // -32- 5.3. LEMA. Neenakost (5.6) llA+\Bll ailAll velja za vsak \et natanko tedaj, ko je OeWA(B*A). Dokaz. Naj bo OeW„(B*A), [| ) pa tako zaporedje enotskih vektorjev, da je lim=0 in limiiAç it=iiAii. Potem imamo pri vsakem \et ? ? ? 2 iiA+aBii S limsupn(A+\B)çji > limsup(llAç^l +2Re(\) = NÄH Predpostavimo sedaj, da velja (5.6) in pokažimo, da je potem OeW.(B*A). Pokazali bomo, da nasprotna možnost, 0LW.(B*A), pelje v protislovje, če pomnožimo operator B s poljubnim skalarjem t z absolutno vrednostjo 1, se relacija (5.6) ohrani, množica W.(B*A) pa se pomnoži s t. Recimo, da 001.(B*A). Potem smemo privzeti, da je za kak 0 (5.7) Re WA(B*A) ä -6 saj je W„(B*A) kompaktna in konveksna množica (lema 5.2). Iz (5.6) sledi, da za vsak \e% obstaja tak vektor ç.eHi nçji=1, da je h K (5.8) 2 2 2 !l(A+\B)U! a llAlI -1X1 A. Iz (5.8) sledi 2Ref\)ä-iM2(llBll2+1 ). Torej obstaja tako proti 0 A A konvergirajoče zaporedje (a ), da konvergira zaporedje (Re) A A proti nekemu nenegativnemu številu. Toda, ker konvergira zaporedje (llAç il) proti u AII (po (5.8)), je to v protislovju z (5.7). // An Pri poljubnih A,BeS(H) označimo z 6„{A) razdaljo operatorja A od množice skalarnih mnogokratnikov operatorja B. Spomnimo se, da za dan Hubertov prostor H označuje F. družino vseh 1-razsežnih podprostorov. 5.4. IZREK, če je operator B navzdol omejen, potem je (5.9) 6B(A) = sup{6B|l(AlL); M=Ft) -33- Dokaz. Naj bo e> 0 tako število, da je iiBail>aicdl za vsak ueH, Ker je nA+xBn veliko število za velike lAi, obstaja (zaradi kompaktnosti zaprtih krogov v t) tak \m$* da je nA+uBii =inf{ nA+aBii;\ejI}=<5b{A). Ker je očitno SB(A+uB)=<5B(A) in <5ß ^{(A+nB )i L)=6ß (Al L) za vsak ood-prostor LiH, smemo vzeti, da je n=0. (V nasprotnem orirneru nadomestimo operator A z operatorjem A+uB.) Potem je OeWA(B*A) (po lemi (5.3)). Torej obstaja tako zaporedje enotskih vektorjev s^Etf» da je limiiAu ii = nAi in lim=0. Naj bo i =Lu za vsak nđN in ocenimo 60ll (AlL„) n n n n b!L n' pri velikih n. Vzemimo poljuben xejS. če je ms2iiAi/9, potem je II(A+\B)|L II = ll(A+xB)unll >= m llBu^l-llAaJJfc —'^e-llAlI = llAl! za vsak n. Po drugi strani pa velja pri poljubnem e>0 za vsak dovolj velik n neenakost ll(A+\B)lLnll2 = ll(A+>B)oJJ2 S llAöJ] -2Re(\) a I|Aii2-e 2 2 enakomerno za vse i Aiä2iiAn/e. Torej je li(A+xB)i L JI SllA.il -e za vsak \t če je le n dovolj velik. Ker je tukaj e poljubno pozitivno število, sledi od tod, da desna stran v relaciji (5.9) ni manjša od leve. Da tudi leva stran ni manjša od desne, je skoraj očitno. // Desno stran enakosti (5.9) je mogoče izraziti tudi nekoliko drugače, če je L enotski vektor v 1-razsežnem podprostoru UH in ç ortogonalna projekcija vektorja Aç na podprostor 0L» potem je 5B ,(AiL) = inf{n(A+\B)çii; %&} = liAç-çll = sup{ii ; neH, i hn 11 = 1, nlBç} = sup{iî; neH.iinil =1. nlBL) Po 5.9 je potem oß(A)=sup{ ; ç,neH, HÇ!l = 1=llnll,niBç}. Za B=I smo tako dokazali enakost (5.1). V dokazu naslednjega izreka bomo potrebovali še neko elementarno -34- neenakost. Za poljubna neničelna vektorja a*. *% v danem normiranem prostoru naj bo in a(cj- ,CJr>) = mIn{ II X,ÜJ+Xo"^l ) {\l)\y)SSy} I (0m) = nrin{!fei|+x©Jti xe L> Prva od naslednjih dveh neenakosti (5.10) ¦i'. Y ah>"2>ä ^h1 s iu2\üq^vaz] je skoraj očitna in jo ne bomo dokazovali. Da bi dokazali drugo neenakost, pišimo e=(i+2lto^l/ltoJI}"" , vzemimo poljuben par (x1Jx?)eS2 in pokažimo, da je H^.u.+AouJlses (a,). Ce je u.ise, potem imamo \\\,q.+\?uA\ = IX« wia. + iXy/^] )tuJls8ô (uA Ce pa je i\J. (1-e ) ' IbpH-SIbjll ä eib.ii (To sledi po kratkem računu iz izraza za e) i; s 6Su2^0 Za poseben primer dveh operatorjev lahko sedaj izboljšamo izrek 4.3. 5.5. IZREK. Naj bodo A. ,B., i = 1,2, omejeni operatorji na Hilbertovem prostoru H, pri čemer sta A, in A- bistveno linearno neodvisna in A« navzdol omejen operator. Potem obstajata taka X,YeB{H), da je XA.Y = &., i=1,2 Dokaz. Označimo z 5 . (A.) razdaljo elementa n{A.) od množice Ln(Ao)> ki je podprostor v C(H). Naj bo 6>0 tako število, da je iiAoolß elicali za vsak uetf. Velja enakost ôeA (A1^ = inf^A (A1l'; LžH' dini L kjer označuje w numerični radij operatorjev [10]. Geometrijsko, je p(A) polmer najmanjšega zaprtega kroga, ki še vsebuje numerični zaklad operatorja A. Izpeljali bomo formulo za p(A), ki bo analogna formuli za normno razdaljo operatorja od množice skalar-nih operatorjev. To bo formula 6.1. 6.1. TRDITEV. Za poljuben AeB(H) velja zveza (6.1) p(A) = sup{p(AL); LeF3> kjer označuje A. kompresijo operatorja A na podprostor L in F-, družino vseh 3-razsežnih podprostorov Hilbertovega prostora H, Preden začnemo dokazovati to trditev, se prepričajmo, da na desni strani v (6.1) ne bi zadoščali dvo-razsežni podprostori. Očitno eno-razsežni podprostori ne zadoščajo, kajti za vsak eno-razsežen podprostor L je kompresija A. skalaren operator, torej p(A)=0. 3 6.2. Primer. Naj bo A normalen operator na t , podan z diagonalno matriko, ki ima na diagonali vse tri kubične korene enote. Numerični zaklad operatorja A je enakostranični trikotnik, katerega oglišča so kubični koreni enote. Polmer najmanjšega kroga, ki vsebuje numerični zaklad W(A) je torej 1; zato je p(A)=1. Oglejmo si sedaj numerični zaklad kompresije operatorja A na polju-ben dvo-razsežen podprostor L prostora t . Numerični zaklad operatorja na dvo-razsežnem Hilbertovem prostoru je lahko samo elipsa (skupaj z notranjim območjem), če se dogovorimo, da so krogi, daljice in točke -37- posebni primeri elips. Ker je W{A.) Ç W(A), je torej W(A,) el ipsa, vsebovana v enakostraničnem trikotniku. Pol-os take elipse ne more biti daljša od polovice stranice trikotnika, polmer najmanjšega kroga, ki vsebuje elipso, pa je enak pol-osi elipse. Od tod sledi, da je 3 p(A,)s^3/2 za vsak dvo-razsežen podprostor LsL . Pri dokazovanju trditve 6.1 bomo potrebovali lemo, ki je analogna lemi 5.3. 6.3. LEMA. Naj bo AeB(H), A^O in (6.2) w(A+M) a w(A) za vsak xet- Potem obstajajo take točke ç.eC:={çeW(A); içi=w(A)}, i=1,2,3, da za vsak \e2-{0} velja vsaj ena od neenakosti (6.3) iarg(x)-arg(ç.)] ä j( 1*1,2,3 Pri tem dopuščamo možnost, da se dve od točk ç. zlijeta v eno; tedaj imamo dve diametralno nasprotni točki, (Argument kompleksnih števil pa naj zavzema vrednosti med 0 in 2fl\) Dokaz. Recimo, da take točke ;. ne bi obstajale. Potem bi obstajala taka premica skozi koordinatno izhodišče, da bi celotna množica C ležala na enem njenem bregu. Če pomnožimo operator A s kako konstanto z absolutno vrednostjo 1, se neenakost (6.2) ohrani, zato smemo privzeti, da je omenjena premica kar ordinatna os. Ker je C kompaktna množica, obstaja tako pozitivno število e, da je (6.4) Re ç > e za vsak çeC Ker je kompaktna množica {çeW(A); Reç^e} vsebovana v notranjosti kroga lxli= ( ii -2xRe^6, potem lahko desno stran v enakosti (5.6) omejimo navzgor z H* (po (6.5)), v nasprotnem primeru pa z M..) Iz (5.6) sledi w(A-xI) <, w(A) za tako izbrani \, toda to nasprotuje privzetku (6.2). // Dokaz trditve 6.1. Brez škode smemo vzeti, da je izpolnjen pogoj (6.2) (sicer nadomestimo A z operatorjem A+xI za primeren \çL). Privzeti smemo, da je Aj*0, sicer je dokaz trivialen. Po lemi 6.3 obstajajo tedaj take točke c.eW(A), U-i=w(A), za i=1,2,3, da za vsak x^-{0} velja vsaj ena od neenakosti (6.3). Naj bodo ('*&-)» 1-1)2,3, taka zaporedja enotskih vektorjev v H, da je (6.7) lim "in> = tfp i=1»2,3 n-™ Za vsak n naj bo L 3-razsežen podprostor v H, ki vsebuje vektorje <&**%* in o~ . Naj bosta e in 9 majhni pozitivni števili (taki, da velja el äw(A)-| in da za vsak \i0 velja vsaj ena od neenakosti (6.8) iarg(x)-arg()is \ +e, i = 1,2,3 Če pri danem x/0, ixis2w(A), izberemo i tako, da velja (6.8), potem preprost račun pove, da je k(A+U)q. ,a- >isw(A)-e. Ta ocena očitno velja tudi, če je uu2w(A) ali če je x=0. Ker podprostor / vsebuje vektorje "in* i = 1»2'3» sledi w((A+xI). }sw(A)-e za vsak %0t torej P(A )sw(A)-e. Ko pošljemo e proti 0, vidimo, da desna stran v (6.1) ni manjša od leve. Da leva stran ni manjša od desne, je očitno. // -39- II. POSPLOŠENA ODVAJANJA IN TENZORSKI PRODUKTI Uvod V prejšnjem poglavju smo obravnavali splošne elementarne operatorje, v tem poglavju pa se borno omejili na posebne vrste elementarnih operatorjev: posplošena odvajanja in operatorje oblike X - AXB. Te operatorje bomo opazovali na ireducibilnih C*-podalgebrah algebre S(H) in na simetričnih normiranih idealih (v Schattenovem smislu) algebre B(H). Ideal J algebre B(tf) imenujemo simetrični normiran ideal, če obstaja kaka norma na J, za katero je J Banachov prostor, norma pa ima še naslednji lastnosti: (i) iliAiti =iiAii za vsak operator ranga 1 (imi je običajna norma); (fi) iiiXAYiii^iiXli iiiAiii i IVI i za vsak AeJ in poljubna X,YeB(H). V zvezi s točko (i) naj pripomnimo, da vsebuje vsak ideal algebre 1(H) vse operatorje končneaa ranga [15]. Vsak ideal v B(H) je tudi sebi-adjungiran: če je TgJ, potem je T*eJ. Ce je J simetrični normiran ideal z normo m m, potem velja niT*!ll= lilTni za vsak TeJ. Zelo dostopno razlago normiranih idealov v B(H), kjer so dokazana vsa pravkar omenjena dejstva, lahko najdemo v [48]. Posebni primeri simetričnih normiranih idealov so von Neumann-Schattenovi razredi (T(H) za lLp<°°, ki jih bomo sedaj definirali. Za poljuben kompakten operator T naj bo (\ ) zaporedje vseh (pozitivnih) lastnih vrednosti operatorja iTi (=vT*T) in . util =( s xP)1/p p n=1 n Po definiciji, je (T(tf) množica vseh tistih kompaktnih operatorjev na prostoru H, za katere je iiTn <«. Da se dokazati, da je n n norma in p ¦ (T(H) simetrični normiran ideal za to normo (qlejte [44]). Ideal C (H) imenujemo tudi razred operatorjev s_ sledjo; za vsak TeC (H) lahko namreč definiramo sled s predpisom ¦40- r(T) = Z n=1 n n kjer je {u; n=1,2,..} poljubna ortonormirana baza prostora H. (če H ni separabilen prostor, je v ustrezni vsoti še vedno samo Števno od 0 različnih Členov.) 2 Ideal C (H) imenujemo tudi Hilbert-Schmid tov razred, njeqove eie- 1 mente pa Hilbert-Schmidtovi operatorji. C (H) je za normo II ju celo Hilbertov prostor; skalami produkt, ki porodi normo u il je definiran :(S*T) {Dokazati je namreč mogoče, da je produkt poljubnih dveh Hilbert- Schmidtovih operatorjev element ideala C (H), tako da obstaja sled t operatorja S*T.) Ker je C (H) Hilbertov prostor, ni presenetljivo, da bomo lahko Še 2 največ povedali prav o elementarnih operatorjih na C (H). Včasih je ugodno te operatorje izraziti s tenzorskimi produkti, kot bomo sedaj opisali. Naj bo H prostoru H konjugirani Hilbertov prostor. (R je ista množica kot H, seštevanje vektorjev je enako kot v H, množenje s skalarjem je definirano z \»m$jä (\eL, uGH), skalami produkt pa z [|*n]**i Vsak linearen operator A na prostoru H inducira linearen oDerator Ä na prostoru ff, Äu=Au za vsak ueH. Obstaja izometrični izomorfizem Hilbert- 2 ovega prostora HCtf na Hilbertov prostor C (H); iducira ga predpis L©n - SÇTie(T(H), S^{ç) =<ç,nH Kot pokaže preprost račun, posreduje ta izomorfizem tudi unitarno ekvi- _ 2 valenco med operatorjema A©B* in X * AXB na prostorih HQH in C (H)» za poljubna A.BeB(H). (Za dokaze qlejte [47, str.110-113] ali [14].) 2 Podobno odgovarja zožitvi posplošenega odvajanja X •» AX-XB na C (H) na prostoru H© H operator A ©I - I © B* . Tenzorske produkte bomo uporabljali v devetem in desetem razdelku, povsod drugod pa bomo izreke in dokaze 2 oblikovali za elementarne operatorje na prostoru C (H). Da bi bilo poglavje kolikor toliko zaključena celota, bomo v sedmem -41- razdelku predstavili Stampfli-jev izrek o normi posplošenih odvajanj, V osmem razdelku pa Shaw-ov izrek o numeričnem zakladu posplošenih odvajanj. Pokazali bomo, da velja $haw-ov rezultat tudi za posplošena odvajanja na ireducibilnih C*-podalgebrah v 8(H). V devetem razdelku se bomo ukvarjali z bistvenim numeričnim zakladom posplošenih odvajanj na Hilbert-Schmidtovem razredu; nekaj pa bomo lahko povedali tudi o bistvenem numeričnem zakladu posplošenih odvajanj na poljubnih simetričnih normiranih idealih. Deseti razdelek je skoraj v celoti posvečen vprašanju, kakšnemu pogoju mora zadoščati omejen operator A, da bo za vsak omejen operator B algebraični numerični zaklad operatorja A©B enak konveksni ogrinjači produkta numeričnih zakladov operatorjev A in B. Zadnja dva razdelka pa vsebujeta karakterizacijo hiponormalnih in subnormalnih operatorjev oblike A© I - I © A in A ©B. \ -42- 7. Norme posplošenih odvajanj le v uvodu smo omenili, da je spekter posplošenega odvajanja neodvisen od tega, ali ga opazujemo kot operator na algebri B(H) ali pa kot operator na kakem simetričnem normiranem idealu. V nasprotju s tem pa je norma posplošenega odvajanja odvisna od tega, na katerem prostoru ga opazujemo. Naj bosta $*$ ortogonalna enotska vektorja v Hilbertovem prostoru H ter U ortogonalni projektor na linearno lupino vektorjev $ in $. Za vsak normiran ideal J z normo 111 III označimo IIIUIII (Količina e j je neodvisna od izbora vektorjev $»$, ker je norma ili II! invariantna za unitarno ekvivalenco. Invariantnost norme III III je dokazana v [48], sledi pa zelo hitro iz točke (ii) v uvodu k temu poglavju.) Za poljubna A,Be8(tf) definirajmo 6{A,B) = min{llA+Ul1 + liB+\Ill; k^\ 7.1. IZREK, (i) (Stampfli [52]) Naj bo A ireducibilna C*-Dodalgebra algebre B(H), A,BeA in B.zožitev posplošenega odvajanja D„B na A. Potem je (7.1) mDaii » 6(A,B) (ii) (Fialkow [21]) Pri poljubnih A,BeS{H) velja za normo zožitve D, posplošenega odvajanja na poljuben simetričen normiran ideal J ocena (7.2) J_ö{A,B) s iiDjll u fi(A,B) Fialkov je v [21] dokazal oceno (7.2) le za primer B=A. Pri dokazovanju izreka 7.1 bomo v osnovni ideji sledili Stampfliju. V razdelku 5 smo že omenili maksimalni numerični zaklad W.(A) (definicija 5.1). Tukaj bomo potrebovali še normalizirani maksimalni numerični zakljd, W (A), ki je (po definiciji) enak maksimalnemu numeričnemu zakladu -43- operatorja A/iiAii. Po lemi 5.2 je W (A) vedno konveksna množica. 7.2. LEMA. Bodita A,BeB(H) neničelna operatorja. Ce velja neenakost (7.3) llA+Aill+llB+Alli a llAll+llBll za vsak Ae(L, potem je Wn(A)nW (-B) / 0. Velja tudi obratna trditev, vendar jo ne bomo potrebovali. Dokaz leme 7.2 je v osnovni ideji podoben dokazu leme 5.3. Dokaz leme 7.2. Predpostavimo nasprotno, da bi bilo W (A)nW (-B)=0. Ker sta množici W (A) in Iff (B) konveksni in kompaktni, sinemo privzeti (ko pomnožimo A in B s primerno konstanto z absolutno vrednostjo 1), da je Re Wn(A)sM-E Potem imamo Re W (A)sM-E in Re W (-B)žM, kjer sta MëR in e>0 primerni konstanti. (7.4) Re(Wn(A)+Wn{8)) S -E Po drugi strani pa obstajata zaradi (7.3) za vsak \€t taka enotska vektorja ?x»n^eH, da je ? (7.5) I!(A+\I)ç.I1+h{B+U)tU1 S llAll+llBlMJU K A Ko gre \ proti 0, mora zaradi (7.5) llAç.11 konvergirati proti iiAii, nBnJipa A A proti [[Bil. Za dovolj majhne pozitivne a lahko prvi člen na levi strani relacije (7.5) ocenimo takole: !I(A+UK. II i iiAn(1+2\Re-----^%- + —9)t/2 K »Ali JiAif - = UAH + ARe-----2—2- + 0{A ) HA il 2 2 2 2 Pri tem je 0{\ ) taka funkcija argumenta A , da ostane izraz 0(x )/x omejen, ko gre a proti 0 po pozitivnih vrednostih. Ce ocenimo na enak ¦ način še drugi člen na levi strani relacije (7.5), potem dobimo iz (7.5) -44- kjer je lira Ö,{\)=0. Toda, ko gre X proti 0, je zadnja neenakost v protislovju z neenakostjo (7.4). // V dokazu izreka 7.1 bomo potrebovali Še tranzitivnostni izrek za ireducibilne C*-podalgebre v B{H). {C*-podalgebra A v B(H) je ireduci-bilna, če ne obstaja netrivialen skupen invarianten podprostor za vse operatorje iz A.) Izrek o tranzitivnosti. Naj bo A ireducibilna C*-podalgebra v B(H) in PeB(H) poljuben projektor končnega ranga. (i) Za vsak BeB(tf) in vsak e>0 obstaja tak AeA, da je AP=BP in liAitä{1+E:)!iBPii. (ii) če je IeA, potem za vsak unitaren operator UeB(H) obstaja tak unitaren operator VeA, da je UP=VP. Navedli smo samo tisti del tranzitivnostnega izreka, ki ga bomo potrebovali. Točko (i) bomo uporabili že v naslednjem dokazu, točko (ii) pa v prihodnjem razdelku. Popolna formulacija in dokaz tranzitivnostnega izreka sta v [54, str. 92]. Točka (i) pove med drugim, da lahko vsako končno linearno neodvisno množico vektorjev iz H operatorji iz A preslikajo v poljubno množico z isto močjo. Dokaz izreka 7.1. če je eden od operatorjev A,B skalami večkratnik identičnega operatorja, se odvajanje reducira na levo ali pa desno množenje in tedaj je dokaz tako enostaven, da ga bomo opustili. Vzemimo torej, da nobeden od operatorjev A,B ni skalami večkratnik identičnega operatorja. (i) Ker je za vsak \eZ in vsak XeA DAX = (A+xI)X-X(B+jJ) je neenakost tiDns<5{A,B) očitna. V dokazu nasprotne neenakosti smemo vzeti, da zavzame funkcija iiA+\Iil+iiB+\In minimum v točki \=0. (V nasprotnem primeru nadomestimo operatorja A in B z A+\nI in B+xnI, kjer je \n 9788 -45- točka, v kateri je minimum dosežen.) Potem je po lemi 7.2 množica W (A)fiW (-B) neprazna. Naj bo f*ël(A)nW _{-B) • Po definiciji normalizira-nega maksimalnega numeričnega zaklada obstajata taki zaporedji enotskih vektorjev ^»i^eH, da velja lim iiA^ii - MAn, lim - 0 n-™ n-» n Iz teh enakosti sledi še (7.6) limila +Ji5!yW,Z- 1-W2- »»lll^ "OTV2 n-™ n*» Sedaj ločimo dve možnosti. Ce je Ipt^l, potem sta vektorja B i„ - n" + iiBlfn n n (1 - IjU2)1'* pri velikem n skoraj ortonormirana, isto pa velja tudi za vektorja s -4* *n uAirn ?n in ?n = ~ ~7VW (1 - |)i 1 J Zato lahko tedaj definiramo linearne operatorje U gb(H) s predpisom Unnn = %* Un% = sn' Unl{Vnn> = ° Potem je očitno lim ti U 11 = 1 in U B™ = - rrrrfii • Po tranzitivnostnem n n n j i m i i n izreku za ireducibilne C*-algebre obstajajo taki operatorji V ga> da Je Vnnn = h* VnBnn " " nffîh lim u V u = 1 fl-w (7.7) in (7.8) Sedaj imamo lim irD n-°° -46- = MAn + liB it (ker je lim uAÇ u = HAD) Ker imajo vektorji n normo 1 in ker velja (7.8), sledi od tod, da je llD.llillAll + iiBilžfi{A,B). Obravnavati moramo Še primer ini=1. Tedaj definiramo linearne operatorje U eB(H) s predpisom ^lnTin=Sn» Ufll {nn/"=0. Po tranzitivnostnem izreku obstajajo taki operatorji V GA, da je lim H Vi) =1 in Ker je zaradi (7.6) sedaj lim ilBn + niBln II = 0 = limllAç - ullAliç 11 (saj je Fjil«t) sledi iz (7.9), da velja Enak račun kot zgoraj sedaj pokaže, da je lim HD.(V )n II = llAn + iiBil. r\ n n (ii) Neenakost liDJhs 6(A,B) dokažemo tako kot v točki (i). Za dokaz neenakosti II Djiföo{A,ß)/6, pa je treba najprej opaziti, da pripadajo zgoraj definirani operatorji U idealu J (ker imajo končen rang) in da je liml!lUnlil=eJ, ko je tjiijM ter Iti U III *1, ko je iui=1. Z uporabo ocene HlXlllsiiXll, XeJ (glejte [48]), imamo m DJ(Un)lll^llDJ(U ) IeHDj(U )n II, kjer so n vektorji, definirani v točki (i). Od tod naprej sklepamo kot v točki (i). // 7.3. Opombe, (i) S primeri se da pokazati, da sta lahko obe neenakosti v (7.2) strogi. Za normo posplošenega odvajanja na simetričnih normiranih idealih (mi) ni znana nobena eksplicitna formula. (ii) Norme notranjih odvajanj na C*-algebrah sta obravnavala tudi Apostol in Zsido v [4], (iii) Lahko je pokazati, da je norma operatorja X -* AXB (definiranega na algebri B(H) ali pa na simetričnih normiranih idealih v B(tf)) enaka liAiilßil. Za splošen elementaren operator na B(H) pa ni znano, kako izračunati njegovo normo. -47- 8. Numerični zakladi posplošenih odvajanj 8.1 Nekaj uvodnih opomb. Za poljubno Banachovo algebro A z enoto 1 (ii1ii = 1) in poljuben AeA je algebraični numerični zaklad, V(A) definiran z V(A) = {f(A|; tek", nf!i=1, f{1H> Tukaj označuje A' prostor vseh zveznih linearnih funkcionalov na A. če je A algebra omejenih linearnih operatorjev na kakem Banachovem prostoru X, je za vsak njen element definiran tudi prostorski numerični zaklad W(A) s predpisom W(A) = {f(Ax); xeX, feX\ iwi = nfit=f(x)=1> (X' označuje seveda dualni prostor prostora X.) Znano je, da je V(A) kompaktna konveksna podmnožica v L. Prostorski numerični zaklad W(A) pa v splošnem ni niti kompaktna niti konveksna množica, toda zaprtje njene konveksne ogrinjače je vedno V(A). Klasična vira za numerične zaklade sta [10] in [11]. Za vsak AeA naj pomeni L. levo, R, pa desno množenje z A na algebri A. če je J poljuben invarianten podprostor za operator L„ (oziroma RA), lahko govorimo o numeričnem zakladu zožitve L.lJ {oziroma R„i J}. Iz dejstva, da sta preslikavi A - L.lJ in A -> R.iJ linearni kontrakciji, ki preslikata enoto v enoto, sledi (s pomočjo Hahn-Banachovega izreka), da velja (8.1) V(LAU)e V(A), V{RAU) SV(A) če je A C*-algebra, potem sta preslikavi A -> L. in A + R. tudi izometri čni, od koder sledi (8.2) V(LA) = V(A). V(PA) = V{A) 8.2. IZREK, (i) (Shaw [49},) Numerični zaklad zožitve D., posplošenega odvajanja DAß na poljuben simetrični normiran ideal J se izraža kot (8.3) V(DT) = V(A)-V(B) = {\-n; WEV(A), hGV(B)} (ii) Isti rezultat velja tudi za zožitev posplošenena odvajanja na poljubno ireducibilno C*-podalgebro A L B(tf) z enoto I, če je A,BeA. Dokaz, (i) Zaradi D^^U-RgU imamo V(Dj) L V(UlJ)-V(RglJ) Ç. V(A)-V(B), pri čemer smo uporabili (8.1). Torej je treba dokazati le še inkluzijo V(A)-V(B) LV(Dj) Ker sta tnnožici V(A) in V{B) zaprti konveksni ogrinjači prostorskih numeričnih zakladov W(A) in W(B) ter V(Dj) kompaktna in konveksna množica, zadošča dokazati inkluzijo (8.4) W(A)-W(B)ç V(Dj) V ta namen, vzemimo poljuben \eW(A) in uLW(B) ter taka enotska vektorja š.neH, da je =A. in =n. Potem je operator ç&n v idealu J (ker ima končen rang) fn liç®niM. Definirajmo linearen funkcionai föB(J) ' s predpisom f(T) = <[T(ç®h)]n,ç>, TëB(J) Potem imamo lf(T)lLllTll za vsak TGB(J) in f(I)=1. Končno,je tudi f(D,)= <(Dj(ç®n))n,L>=-=?L-u, torej x-ueV(Dj). (ii) Dokaz je podoben dokazu točke (i). Zaradi (8.2) je dovolj dokazati inkluzijo W(A)-W{B) Š V(D.). Naj bo \eW(A), i*0f(B) in ç.neH taka enotska vektorja, da je X=, n=. S pomočjo tranzitivnosnega izreka za ireducibilne C*-algebre (glejte prejšnji razdelek) dobimo tak unitaren operator UeA, da je Un=š. Definirajmo sedaj linearen funkcionai feB(A)' s predpisom f{T)=, T6B(A). Tudi tukaj je iifll=1=f(I) in f([^=<(AU-UB)n,ç>=-=X-ii. // S pomočjo točke (ii) izreka 8.2 lahko določimo numerični zaklad posplošenega odvajanja na Calkinovi algebri. Izražal se bo z bistvenima -49- numeričnima zakladoma operatorjev A in B, ki inducirata odvajanje. Bistveni numerični zaklad operatorja AeB(H) je (po definiciji) numerični zaklad odseka n{A) v Calkinovi algebri. 8.3. KOROLAR. Za posplošeno odvajanje 0' inducirano z operatorjema A,Be8(H) na Calkinovi algebri (D'x = n(A)x-xn(B), x€C{H)} velja V(D') ¦ Ve(A)-Ve(B) kjer označuje V (A) bistveni numerični zaklad operatorja A. Dokaz. Ker Calkinova algebra ne vsebuje netrivialnih idealov» je vsaka njena neničelna reprezentacija injektivna. Iz vsakega čistega stanja na Calkinovi algebri C(H) lahko dobimo ireducibilno reprezentacijo p:C(H) -» B(H ) (po Gelfand-Naimark-Segalovi konstrukciji, [7]), eksistenca Čistih stanj pa je zagotovljena s Krein-Milmanovim izrekom. Ker je vsaka injektivna reprezentacija C*-algebre izometrija, je Calkinova algebra C(H) izometrično izomorfna ireducibilni podalgebri p(C(H)) v 8(H ). Korolar sedaj sledi iz izreka 8.2(ii). // 8.4. Pripomba. Omejen operator T na kakem Banachovem prostoru imenujemo hermitski (v Vidavovem smislu), če je njegov numerični zaklad realen ([10, str. 46], [58, str. 81]). S pomočjo izreka 8.2 lahko hitro dobimo karakterizacijo hermitskih posplošenih odvajanj na simetričnih normiranih idealih in ireducibilnih C*-algebrah: Posplošeno odvajanje X •* AX-XB je hermitski operator natanko tedaj, ko sta za kak xeL operatorja A+\I in B+\I oba hermitska. Vendar je to le poseben primer znane karakterizacije vseh hermitskih operatorjev na normiranih idealih in C*-alaebrah. Sourour je namreč v [51] dokazal, da je vsak hermitski opera- 2 tor na minimalnem normiranem idealu JJC (H) oblike X * AX-XB, kjer sta A in B hermitska operatorja na H. Podoben rezultat velja tudi za algebro B(H), [50]. -50- 9. 0 bistvenih numeričnih zakladih posplošenih odvajanj V prejšnjem razdelku smo videli, da se numerični zaklad posplošenega odvajanja izraža podobno kot spekter. (Kako se izraža spekter, smo omenili že v uvodnem pregledu.) Za bistveni spekter posplošenega odvajanja velja zveza o (DAB)=(o (A)-o(B))u(o(A)-o (B)), [22]. Ali smemo pričakovati podobno zvezo za bistveni numerični zaklad ? Bistveni numerični zaklad, V (T), operatorja T na Banachovem prostoru X je definiran kot numerični zaklad odseka n(T) v algebri B(X)/K(X), kjer označuje K(K) ideal kompaktnih operatorjev. Znana je enakost Ve(T) * n{V(T+K); KeK(X)i V Hilbertovem prostoru lahko bistveni numerični zaklad opredelimo tudi prostorsko. V resnici so po [25] ekvivalentne naslednje izjave: O") wyoî (ii) Obstaja tako ortonormirano zaporedje (o ) c H, da je lim = \; n n (iii) Obstaja tak ortogonalen projektor P neskončnega ranga, da je kompresija operatorja T-xI na podprostor PH kompaktna. V točki (ii) lahko ortonormirano zaporedje nadomestimo z zaporedjem enotskih vektorjev, ki šibko konvergira proti 0. Ker je bistveni numerični zaklad konveksna množica, lahko domnevamo, da se numerični zaklad posplošenega odvajanja izraža na naslednji način: (9.1) Ve(DAB) = co[(ve{A)-V{B))u(V(AHe{B))] Tukaj je "co" znak za konveksno ogrinjačo, znak "-" pa pomeni razliko v številskem (ne množično-teoretičnem) smislu. Inkluzije v eno smer ne bo zelo težko dokazati (trditev (9.1)). Inkluzijo v drugo smer Da znamo dokazati le za posplošena odvajanja na Hilbert-Schmidtovem razredu. 9.1. TRDITEV. Naj bo A ireducibilna C*-podalgebra v 8(H) in A,BeA ali pa naj bo A simetričen normiran ideal in A,BeS{H). Za zožitev D posplošenega odvajanja D.„ na A velja inkluzija -51- (9.2) Ve(D) S co[(Ve(/»H(B))u{V(A)-Ve(B))] Dokaz. Ker je množica VQ(D) kompaktna in konveksna in v Hilbertovem prostoru algebraičm" numerični zaklad enak zaprtju prostorskega, zadošča pokazati inkluziji Ve(A)-W(B) cVe(D], W(A)-Ve(B)SVe(D) Dokazali bomo samo prvo inkluzijo, kajti dokaz druge je podoben. Naj bo torej xeV (A) in jjg W(B). Po že navedeni prostorski karakterizaciji bistvenega numeričnega zaklada obstaja tako ortonormirano zaporedje (ç ) v H, da je lim=x. Naj bo neH tak enotski vektor, da je =u-- Ce je A simetrični normiran ideal, naj bo U =ç On; če na je A ireducibilna C*-podalgebra, naj bo U eA tak unitaren oDerator, da je U ri=ç (obstaja po tranzitivnostnem izreku). Naj bo Lim kaka kompleksna Banachova limita na 1™. (Po definiciji je Lim kompleksen linearen funkcional na 1™, ki zadošča še pooojema: i Lim a lslimsupta | in Lim a ,=lim a za poljubno zaporedje (a^el™. Med drugim, se Lim ujema z navadno limito na konvergentnih zaporedjih.Za dokaz eksistence Banachove limite glejte [46, str. 82].) Definirajmo linearen funkcional feB(A)' s predpisom f(T) = Lim , TeB(A) Definicija je smiselna, saj je zaporedje () omejeno. Funkcional f je zvezen, saj velja (9.3) lf(T)t S limsuptl S llTll . - za vsak TeB(A). Zadošča tudi pogoju f(I)=1 (kajti f(I)=Lim = lim 1 »1), Pokazali bomo, da f uniči vse kompaktne operatorje na A, Naj bo K poljuben kompakten operator na A. Trdimo, da je lim=0. Od tod takoj sledi, da f uniči kompaktne operatorje. Za dokaz trditve, naj bo e>0 in {V.*..*V_} končna L-mreŽa za množico K(Ai ). (Tukaj označuje A. zaprto enotsko kroglo v algebri A.) Ker je -52- zaporedje (ç ) ortonormirano, obstaja tak r\ç.€H, da je lKe za vsak n>nn in vsak j=1,..,m. Za poljuben n>nQ obstaja tak j6{1,,.,m}, da je HK(U J-V.IKe;. Od tod sledi KK(U )n ,ç >ISHK(U )-V,!i+i'S2e. Ker funkcional f uniči ideal K(A) vseh kompaktnih operatorjev na A, inducira zvezen funkcional f" na algebri B(A)/K(A). Lahko je preveriti, da je f'(1 )=1 = ilf H. (Za dokaz enakosti "f'li=l uporabimo oceno (9.3) na vseh kompaktnih motnjah T+K operatorja T.) Končno, naslednji račun pove, da je *.-^V (D). f*(D+K(A)) = f(D) Lim = Lim <(AU -UnB)n,L„> v n' n v n n ' n Lim - Lim lim - lim = \-VL if čeprav v splošnem obratne inkluzije ne znamo dokazati, lahko problem nekoliko zreduciramo. Če bi uspeli dokazati inkluzijo (9.4) Ve(DA8) L co[(Ve(A)-V(B))u(V(A)-Ve(B))] za posplošena odvajanja na algebri S{H), bi potem hitro sledila tudi njena veljavnost za zožitev DAßi A na poljubno Banachovo podalgebro A v B(H). V splošnem namreč velja za poljuben omejen operator T na poljubnem Banachovem prostoru X in poljuben invarianten podprostor !f§J! inkiuzija Ve(Ti/) S V (T). To takoj sledi iz dejstva, da inducira preslikava S - S f y linearno kontrakcijo algebre B(X)/K(X) v algebro B{V)/K{V). Nadalje lahko prenesemo problem iz algebre S{H) na C (H) z uporabo dualnosti b(h) '= c\h); JAB -(DBA1CV))' in z uporabo splošno veljavnega dejstva V_(T')=V (T). Tukaj je T poljuben omejen operator, s črtico pa smo označili adjungirani operator. (Prva od teh treh enakosti je splošno znana, drugo lahko preverimo z neposrednim računom, zadnjo enakost, Va(T')=V„(T), pa bomo sedaj dokazali. Ker velja e e ¦53- enakost V(S')=V(S) za poljuben omejen operator S na Banachovem prostoru X (glejte [10]), imamo Ve(T') = n{V(T'+H); HeK(X')}c n{V(T'+K'); KeK(X)} = n{V(T+K); KeK(X)> = v (T) Ce sedaj uporabimo pravkar dokazano inkluzijo V (T*)S V (T) na operatorju T', dobimo še V (T") ç V (T'). Toda, ker je T v bistvu zožitev operatorja T" na invariantni podprostor X, velja tudi V (T) L V (T"). Torej je res V (T')=V (T).) Morda je problem bistvenega numeričnega 1 zaklada posplošenih odvajanj na razredu C {H) lažji kot na algebri B(K), 1 ker poznamo konkretno predstavitev dualnega prostora od C (H). V nadaljevanju tega razdelka bomo obravnavali inkluzijo (9.4) za 2 posplošena odvajanja na Hilbert-Schmidtovem razredu C (H). Pri tem je ugodno izkoristiti jezik tenzorskih produktov. Za vsak Hubertov prostor H bomo z lu označili identični operator na H. Bodita H in L separabilna Hilbertova prostora, Ae8(H) in BeB(L). Dokazali bomo inkluzijo (9.5) %(WL-lfi»)S co[(Ve(A)-V(B))u(V(A)-Ve(B))] že v uvodu k temu poglavju smo omenili, da je zožitev posplošenega odvajanja 2 D.R na Hilbert-Schmidtov razred C (H) unitarno ekvivalentna operatorju /©In-Iip3* na prostoru H&H; torej sledi iz inkluzije (9.5) in trditve 9.1 naslednji 9.2. IZREK. Naj bo H separabilen Hilbertov prostor. Za poljubna A,BeB(H) 2 se bistveni numerični zaklad zožitve posplošenega odvajanja na C (H) izraža z enakostjo (9.1). Za dokaz inkluzije (9.5) potrebujemo najprej neko preprosto lemo. Za poljubno podmnožico V v t in poljuben e>0 označimo (V)e = {\SL; razdalja(X,V)-a1<1. Privzemimo induktivno, da smo že dobili tako ortonormi- rano množico vektorjev a* »..»#- «* da je i-aI<-? za j=1,..,n-1. i. n— i j_ J J J Postavimo H ={u,,..,a -} - Ker je dim H <«, je točka \ v numeričnem zakladu kompresije operatorja T na podprostor H ; torej obstaja tak enotski 1 vektor a eH . da je i-xi<-. Na ta način konstruiramo tako orto- normirano zaporedje (u ) v H, da je 1im=a. Toda potem bi bilo \eV (T) (po že omenjeni karakterizaciji bistvenega numeričnega zaklada). Torej mora podprostor H res obstajati. A. Ker je V(T ) zaprta množica, obstaja za vsak A.eV(T)\Va(T) taka odprta A. G okolica U točke \t da je U nV(T )=0. Naj bo {U ,..,U } končno pokritje A A. A. A.< Aj. kompaktne množice V{T)\(V (T)) s takimi okolicami. Postavimo n f/ = nff, L j=l xj in naj bo T kompresija operatorja T na podprostor H . Potem je j. L e dim H <« in imamo e V(T ) != n V(T } c n (V(T)vj. ) ç (Ve(T)) // E 3-1 xj M xj e L Inkluzijo (9.5) bomo dokazali najprej v posebnem primeru, ko sta A in B kvazidiagonalna operatorja. Kvazidiaqonalne operatorje je vpeljal Halmos v [28], Danes je znanih več karakterizacij kvazidiagonalnih operatorjev (glejte na primer [33, str. 146]); za naše namene je najugodnejša naslednja. Operator Teß(H) je kvazidiagonalen natanko tedaj, ko za vsak e>0 in za vsak končno-razsežen podprostor HQ v H obstaja tak končno-razsežen podprostor Hj v H, da H, vsebuje Hq in da imata v matričnem zapisu operatorja T glede na razcep H=H&SH. izven-diagonalna elementa normo manjšo od z. (Z drugimi besedami, če je P ortogonalni projektor na H., mora biti m{I-P)TPike in ¦55- !1PT(I-P)ji0. Bodita ti. in L. končno-razsežna podprostora prostorov H in L (natančneje ju bomo opredelili kmalu), naj bo Hj>=HT, j. 1.2=1,, označimo z A. in B. kompresije operatorjev A in B na podprostore ti. in t. za i=1,2 ter postavimo R = ft-(Ai@ftž), S = B-(81@B2) Po lemi 9.3 lahko podprostora ti. in L. izberemo tako, da je (9-6) V(A2) S(Ve(A))E, V{B2) C (Ve(B))g Še več, ker sta operatorja A in B kvazidiagonalna, lahko dosežemo (če podprostora ti. in L. še povečamo), da velja (9.7) NRlI < e, llSil < e Za vsak Hubertov prostor ti naj bo I„ identični oDerator na ti. Hubertov n prostor ti&L razpade na ortogonalno vsoto 2 HOL - © H .®L, i,j=1 n ° Temu ustrezno lahko operator D=AOI,-I^=[ (A^^+RJOI.-I j$[ (B^^+S] napišemo kot (9.8) D = E{A1«tL -^OB^ ©D'] + R0IL - ife kjer je ^^ D' = t±7 (i,JV(U) ' LJ "i (A^I^-I^âBj) Ker za poljubna operatorja T. in T„ velja inkluzija V (T.+Tg)c: V (T.)+Ve(T;?) (to sledi takoj iz definicije numeričnega zaklada v normiranih algebrah), -56- sklepamo iz (9.8) in (9.7), da je (9.9) Ve(D) ç (Ve[{A1(StL -I^Qß^eD'])^ Bistveni numerični zaklad poljubnega operatorja T na Hilbertovem prostoru je enak bistvenemu numeričnemu zakladu kompresije operatorja T na poljuben podprostor končne ko-dimenzije (glejte [25] ali [11, str. 129]). Ker je HML, končno-razsežen podprostor prostora H&L, sledi iz (9.9), da je Ve(D}c (Ve(D'))2e, torej je tembolj (9.10) Ve(DJ Ç(V(D'))2e Numerični zaklad operatorja D' bomo izrazili z uporabo znanega dejstva, da je numerični zaklad direktne vsote operatorjev na Hilbertovih prostorih enak konveksni ogrinjači unije numeričnih zakladov sumandov. (Za prostorske zaklade lahko to dejstvo preverimo z neposrednim računom; ker je algebra-icni zaklad enak zaprtju prostorskega, mora isto veljati tudi za algebra-icni numerični zaklad.) Ce se za trenutek zopet spomnimo, da so operatorji A.QI. -I,,©*.: v bistvu posplošena odvajanja na prostorih C (/..,fM, vidimo (kot i izreku 8.2(i)), da je V(A.<9l, -IH $B ,)=V(A. )-V(B,). Tako imamo (9.11) V(D*) = co[ U (V(A.)-V(B.))] (UMU) J Sedaj sledi iz (9.10), (9.11), (9.6) in iz očitnih inkluzij V(A.)LV(A), V(8t)s.V(B), da velja Ve(D) s{co[(V(A)-(Ve(B))e)u((Ve(A))e-V(B))u({Ve(A))E-(Ve(B))e)])2e Ko pošljemo v zadnji inkluziji e proti 0, dobimo (9.5). // Da bi dokazali inkluzijo (9.5) za splošna operatorja A in B, potrebujemo še eno lemo. V dokazu te leme bomo uporabili zvezo VD(T@S)=co[V0(T)uVQ(S)], ki velja za poljubna omejena operatorja T in S, delujoča na Hilbertovih prostorih. To zvezo, ki je verjetno splošno znana, lahko hitro dokažemo z uporabo karakterizacije (ii) bistvenega numericnega zaklada (glejte začetek razdelka); le da ortonormirano zaporedje lahko nadomestimo s poljubnim zaporedjem enotskih vektorjev, ki šibko konvergira proti 0. ¦57- 9.5. LEMA. Za vsak TeB(H) (kj'er je H separabilen Hubertov prostor) in vsak e>0 obstaja tak omejen linearen operator S (delujoč na nekem separabilnem Hilbertovem- prostoru), da je operator Q=T@5 kvazidiagonalen in (9-12) , V(Q)S(V{T))e, Ve{Q)o (Ve{T))L Dokaz. Obstoj takega operatorja S, da je operator Q=TSS kvazidiagonalen, je dokazal Arveson v [8]. Tukaj bomo pokazali samo, da veljata za ustrezni Q tudi inkluziji (9.12). Najprej pokažimo, da obstaja tak kompakten operator K na prostoru H, da za operator T'=T-K velja (9.13) * v(r) ç(ve(T))E/2 Po lemi 9.3 obstaja tak podprostor HQ končne ko-dimenzije v H, da je V(Tq) cz (V (T)) /2, kjer je TQ kompresija operatorja T na podprostor tfQ. Naj bo P ortogonalni projektor na Hq in u poljubna točka iz V{TQ). Potem je operator K=T-PTP-p(I-P) kompakten (v resnici ima končen rang) in velja V(T-K) = V(PTP+M(r-P)} = V(T0+yIHx) = V(TQ) Po [8, str. 334-335] obstaja tako zaporedje pozitivnih operatorjev končnega ranga E eB{H) in tak kompakten operator K' z normo nK'iKe/2, delujoč na Hilbertovem prostoru L = © EH (H n da je operator T' unitarno ekvivalenten nekemu direktnemu sumandu operatorja oo n=1 kjer je T' kompresija operatorja T' na podprostor ÉJi prostora H. To pomeni, da obstajata taka operatorja T" in S, da je Q* = T"(+)S in T" unitarno ekvivalenten operatorju T.J Ker je očitno V(T')c.V(T') za vsak n in ker je iiK'uY(ns(V(T'U n=1 n E/ć Sedaj lahko zaključimo iz (9.13), da je V(Q') o(V (T)) . Ker je Q'=T"0. Po lemi 9.5 obstajata taka omejena operatorja A' in B' (delujoča na separabilnih Hilbertovih prostorih), da sta operatorja A=A©A' in B=B#B' kvazidiagonalna in velja V(A) L(V(A))L, Ve.(Â)ç(Ve(A))L (9.15) V{3)s(V(B))e, Ve(B) s(Ve(B))e Operator D=A©I.-IjS8 je direktni sumand operatorja D=/felj-Ifj©B (kjer sta H in L prostora, na katerih delujeta operatorja  in 6), torej je A. » * V (D)sV (D). Po že dokazanem, velja inkluzija (9.5) za operatorja A in B namesto operatorjev A in B. Torej iz (9.15) sledi Ve(D)sco[({Ve(A))L-(V(B))e)u((V(A))e-(Ve(B))e)] Ko v zadnji inkluziji konvergira e proti 0, sledi (9.5). // ¦59- Za konec razdelka navedimo še dve preprosti posledici trditve 9.1. 9.7. KOROLAR. Posplošeno odvajanje D^g na prostoru B(tf} je kompakten operator samo, če je DflR=0. Enak zaključek velja tudi za zožitve operatorja Dug na normirane ideale v B(H). Dokaz. Ce je operator DAR kompakten, potem je Ve(DAß)={0}. Trditev 9.1 pove, da je tedaj Ve(A)-V(B) » {0} in V{A)-Ve(B) * {0} Prva od teh dveh enakosti je mogoča samo v primeru, ko je V„(A}={x}=V(B) za kak \ëL. Od tod dobimo V(B-\I)={0}, oziroma B=?J. Podobno vidimo, da je A=^I za nek. ueL. Ker pa je Va(A)={\}, mora biti \p>\, Potem je seveda e DAß=0. Dokaz za zožitve posplošenega odvajanja na normirane ideale v 8{H) je enak. // Korolar 9.7 bi lahko dokazali tudi s pomočjo izreka 3.4. Omejen operator T na Banachovem prostoru X imenujemo bistveno hermitski, če je hermitski element, ki mu pripada v Banachovi algebri S(X)/K(X). 9.8. KOROLAR. Operator DAB na prostoru B(H) je bistveno hermitski natanko tedaj, ko obstaja tak \0 in taka hermitska operatorja A. in B, na prostoru H, da je A=A,+?J in B=B«+?J. Tedaj pa je DAR hermitski operator. Ista trditev velja tudi za zožitve operatorja D.„ na normirane ideale v 8(H). Dokaz. Operator DAR je bistveno hermitski natanko tedaj, ko je Ve(DAB)glR. Po trditvi 9.1 sledi od tod (9.16) Ve(A)-V(B) S R in V(A)-Vfi(B)S R Brez škode smemo vzeti, da je OeV (B) (sicer nadomestimo operatorja A in B z A-\I in B-\I, kjer je \eV (B)). Potem iz druge inkluzije (9.16) sledi, da je V(A)€R. Torej je tudi V (A) = R in zato sledi iz prve inkluzije (9.16) še V(B) gA, To pove, da sta A in B hermitska operatorja. Po izreku 8.2 imamo sedaj V(DAg) çR, kar pomeni, da je tudi DAR hermitski operator. // • -60- 10. Nekaj opomb o numericnem zakladu tenzorskega produkta operatorjev V tem razdelku bomo poskusili nekaj povedati o numeričnem zakladu operatorjev oblike (10.1) TAB:c2(H) * c2(H)' TAB(X) = AXB kjer sta A in B omejena operatorja na H. že v uvodu k temu poglavju smo omenili, da je operator T.ß unitarno ekvivalenten operatorju A ® B* na prostoru H ©H. V resnici je tukaj unodneje delati s tenzorskim produktom kot pa operatorjem T»B, kajti potrebovali bomo nek rezultat iz teorije tenzorskih produktov C*-algeber, ki qa nismo močili elementarno dokazati 2 v okviru operatorjev na C (H). Kako bi lahko izrazili numericni zaklad tenzorskega produkta dveh operatorjev ? Najprej se domislimo zveze (10.2) V(A©B) = co[V(A)V(B)] vendar so znani preprosti primeri 2*2 matrik, ko ta enakost ne velja, [35, str. 224]. Da enakost (10.2) ne velja vedno, bo sledilo tudi iz trditve 10.1. Vedno pa je res inkluzija (10.3) V(A©B) 5 co[V(A)V(B)] ki velja tudi v širšem okviru tenzorskih produktov Banachovih algeber [11, str. 44]. Ker je dokaz inkluzije (10.3) zelo kratek, ga bomo takoj navedli. Zadostuje dokazati inkluzijo W(A)W(B)s V(A©B), ki takoj sledi iz enakosti <(A €>B)U 0 n) ,ç © n> = {l!çil=i!n!l=1). Videli bomo, da obstaja precej širok razred operatorjev A, ki imajo lastnost, da za vsak operator B velja enakost (10.2). 10.1. TRDITEV. Naj bo A tak omejen operator, da za vsak omejen operator B (na poljubnem Hilbertovem prostoru) velja enakost (10.2). Potem je operator A normaloiden (to pomeni, da je w(A}=iiAm). -61- 2 Dokaz. Naj A deluje na Hilbertovem prostoru H in naj bo B operator na % , predstavljen z matriko B ¦C i 2 Z glede na naravno bazo v t ¦ Prostor H©L lahko naravno izenačimo z direktno vsoto H©tf, operator A©B pa z matriko A - f° A' .0 0. Za poljuben vektor a-(a, ,G>2)eH © H je <Âs)g)>=) torej _ 2 2 w(A) = sup{ I"i>I i u.^eH, fkSiir+lfeutt i*1J i sup{iö1>i ; a. .c^eH, Mu, in ib, iî=/^ = -tj-iiAii Preprost račun pove, da je v/(B) = 1/2. Ce naj velja enakost (10.2), mora •t 1 biti w{A)=w{A © B)sw(A)w(B}= -*w(A) {kajti desna stran v {10.2) je vsebovana v krogu s središčem v 0 in radijem w(A)w(B)). Iz obeh pravkar izpeljanih _i "- 1 neenakosti, w(A)> -inAii in w(A)s -öW(A) , sledi nAiisw(A). Ker vedno velja tudi w(A)šltAtl» je trditev dokazana. // Oglejmo si sedaj še nek zadosten pogoj za enakost (10.2). Kompaktna množica l(ce je spektralna za operator AeB(H), če je o(A) L X in ilf(A)iiLiifil za vsako racionalno funkcijo f s poli izven množice X. Tukaj je irf iL=sup{if(x)i ; xeX). Za vsako kompaktno množico X S g je njena pol i -nomska ogrinjača, X, unija množice X in vseh omejenih komponent množice LNX. 10.2. TRDITEV. Naj bo AeB(H) tak operator, da je pol inomska ogrinjača njegovega spektra, a{A), spektralna množica za A. Potem velja za vsak BeB{L) enakost (10.2). (H in L sta Hilbertova prostora.) Dokaz. Po dilacijskem izreku Bergerja, Foiasa in Lebowa obstaja tak normalen operator N, delujoč na Hilbertovem prostoru Hs H, da je o(N)c 3a(A) in A=PNitf, kjer označuje P ortogonalni projektor iz M na H. (V resnici dilacijski izrek pove še več, da je An=PNnltf za vsak neN, vendar tega ne bomo potrebovali. Privlačna in splošna obravnava dilacijske teorije je v [5]in [6].} Sedaj imamo AQ8 = (P© I){N© B)iH® l torej je V(A©B) çV(N©B). Nadalje iz o(N)Sc{A) sledi V(N)=co[a(N)] «co[cf(A)] çv(A). Pri tem smo upoštevali, da algebraični numerični zaklad vedno vsebuje konveksno ogrinjačo spektra in ji je za normalne operatorje enak. Če pokažemo, da je (10.4) V(N©B)sco[V(N)V(B)] = :V bomo imeli V(A© B) ç co[ V{N)V(B)] c co[ V(A)V(B)]. Ker obratna inkluzija vedno velja, bo s tem trditev dokazana. Torej je dovolj dokazati inkluzijo (10.4). Naj bo A1 C*-algebra generirana z N in enoto I,,, A~ C*-alaebra oene-rirana z B in I,, A pa njun tenzorski produkt v minimalni C*-normi, A=AfeA, Algebra A je napolnitev algebraičnega tenzorskega produkta algeber A« in A? v operatorski normi prostora B(M©L). Da bi dokazali (10.4), zadostuje videti, da je ü(N©B)sV za vsako stanje u na C*-algebri A. Ker je vsako stanje limita konveksnih kombinacij čistih stanj v šibki* topologiji, zadošča pokazati relacijo o(N 0 B)eV za čista stanja o- Toda, ker je C*-algebra A. komutativna, so vsa čista stanja a na A oblike u3«.© ag» za primerni čisti stanji @, in ö„ na A, in A? (qlejte [54, str. 211]). Torej imamo Q)(N©B)-o)1(N)co2(B)eV(N)V(B)c V. // 10.3. K0R0LAR. Za poljubna omejena operatorja A in B je numerični zaklad njunega tenzorskega produkta vsebovan v zaprtem krogu š središčem 0 in polmerom iiAnw{B). Dokaz. Operator A/iiAn je kontrakcija in ima zato unitarno dilacijo N, [30, str. 326]. Po prejšnji trditvi je V(N © B)=co[ V{N)V(B)], torej je V(N©B) vsebovan v krogu s polmerom w(B) in središčem 0. Sedaj upoštevamo 37 -63- Še, da je operator A/iiAii©B kompresija operatorja N ©B, torej V(A/ llAll OB) ç V(N 08). // Za konec, si oglejmo še, kako je mogoče izraziti numerični zaklad tenzorskega produkta s pomočjo matričnih zakladov faktorjev. Za vsak omejen operator T na Hilbertovem prostoru H in vsako naravno število n je n-ti prostorski matrični zaklad operatorja T, Kn/T), definiran kot množica tistih linearnih operatorjev na Z , ki so unitarno ekvivalentni kakšni kompresiji operatorja T na n-razsežen podprostor prostora H. Obstaja tudi algebraicni matrični zaklad, ki ga je definiral Arveson v [6], vendar ga tukaj ne bomo potrebovali. Matrične zaklade operatorjev je obravnavalo že več avtorjev; občutek, da so uporabni, lahko dobi bralec že iz [11]. Ce za trenutek identificiramo Hubertov prostor H®L s prostorom vseh Hilbert-Schmidtovih operatorjev iz T v H, vidimo, da so elementi oblike (10.5) X = z \.LJ$iAi \-L0, ç-gH, tuet» ii "EM gosti v H&L. Norma elementa X, izraženega v obliki (10.5), je 2 n 2 1 = 1 1 Potemtakem je numerični zaklad operatorja A©B enak zaprtju množice vseh števil oblike (10.6) <(A$B)X,X> = E \,\. i,j = 1 n J 1 J n J Tipični matriki v matričnem zakladu operatorjev A in B izgledata kot ......<*%>%> ......np' ¦... kjer sta {L,,«**»€ > in {ni>.--,n } ortonormirani množici v H in L -64- Ce označimo z A stolpec z elementi \y..,\ in z R © S matriko, ki jo dobimo, ko pomnožimo enakoležne elemente matrik R in S, potem lahko desno stran enakosti (10.6) napišemo v obliki AT(R(EJS)A T kjer označuje A stolpcu A transponirano vrstico. Tako spoznamo, da je V(A©B) * u {AT(R0S)A; R%j(A), Say t), AES+} kjer smo označili - S* = {(Ar..,\n)eRni VtSO,..,XftSO, LXy]i Na ta način se numerični zaklad operatorja A0B izraža z matričnimi zakladi operatorjev A in 8. -SS- II. Hiponormalna posplošena odvajanja in tenzorski produkti Posamezni razredi posplošenih odvajanj so bili v oreteklosti deležni precejšnje pozornosti. V [1] sta Anderson in Foias karakterizirala spektralna posplošena odvajanja, v [49] oa je Shaw karakten'ziral hermitska in normalna posološena odvajanja na podprostorih v B(H), ki zadoščajo določenim pooojem. Ce se omejimo na Hilbert-Schmidtov razred C (H), lahko 2 govorimo o raznih posplošitvah pojma normalnosti, kajti C (H) je Hubertov prostor. V tem razdelku bomo karakterizirali hiponormalna, v prihodnjem pa subnormalna posplošena odvajanja in tenzorske produkte. Rezultati so vzeti iz [39]. Skozi ves razdelek bosta A,B dana omejena operatorja na H, D.D zožitev posplošenega odvajanja na Hilbert-Schmidtov razred C (H), L. levo, R» pa desno množenje z A na prostoru C (H). 2 Z upoštevanjem definicije skalarnega produkta v prostoru C (H) je lahko preveriti zveze (L.)*=L.*, (RB)*=RB*> (dab^*=DA*B*" Na^ pomeni znak [S,T] komutator elementov S in T, [S,T]=ST-TS; komutator [T*,T] pa označimo kar z [T]. Dejstvo, da je operator T normalen, lahko napišemo kot [T]=0. Z neposrednim računom lahko preverimo identiteto f'1-" IDAB1 ¦ D[A][B] i Operator T, delujoč na Hilbertovem prostoru, imenujemo hiponormalen, če in samo če je [T]sQ. Oglejmo si, kdaj je Dosplošeno odvajanje hiponor-malen operator. Iz (11.1) sledi, da je DflB hiponormalen operator natanko tedaj, ko je Dr,.-jrj,-|äO. Ta zahteva pa je po izreku o numeričnem zakladu posplošenih odvajanj (izrek 8.2) ekvivalentna s pogojem (11.2) V([A])-V([B]) ä 0 če za trenutek priznamo dejstvo, da je za poljuben operator Se8(H) vedno OeV([S]), potem vidimo, da je pogoj (11.2) ekvivalenten z zahtevama V][A]}SS in V([B])žO. To pa pomeni, da sta operatorja A in B* hiponormalna. ¦66- Pokažimo sedaj, da je vedno OeV([S]) za poljuben Ses(H). Ce je [S]>0, potem velja za vsak ueH in \e$ (11.3) ll{S-U)ull2-l](S-U)*ulI2 = <[S]uto> >. 0 Vstavimo sedaj v (11.3) za \ kako aproksimativno lastno vrednost operatorja S in naj bo (sa ) ustrezno zaporedje približnih lastnih vektorjev. Potem sledi iz (11.3) najprej OžliiBSupfll(S-\I)*0jUflimii(S-\I)Q^!=0, nato še lim!i[S]1/2unii2=lim<[S]ün)ün>=0. Torej je 0&j([S]1/2) in zato tudi 0&([S]), OeV([S]). če je [S]sO, sklepamo podobno. Ce pa ni niti [5}>Q niti [S]sO, potem je v numeričnem zakladu hermitskena operatorja [S] vsaj eno pozitivno in vsaj eno negativno število. Zaradi konveksnosti numeričnega zaklada, mora biti potem tudi OeV([S]). Podobno lahko karakteriziramo tudi hiponormalne tenzorske produkte. Tukaj je ugodno obravnavati tenzorski produkt v konkretni predstavitvi (10.1). 11.1. IZREK, (i) Posplošeno odvajanje D.R na prostoru C (H) je hipo-normalen operator natanko tedaj, ko sta hiponormalna operatorja A in B*. (ii) Za A^O, B^O je operator T.„ (definiran z (10.1)) hiponormalen natanko tedaj, ko sta A in B* hiponormalna ODeratorja. Dokaz. Točko (i) smo že dokazali, zato ostane za dokazati le še točka (ii). Pogoj za hiponormalnost (11.4) 0 S <[TAß]X,X> = t[X*(A*AXBB*-AA*XB*B)], XgC2(H) lahko napišemo v obliki (11.5) t(B*X*(A*A-AA*)XB) + t(A*X(BB*-B*B)X*A) >. 0, *ÇCZ{H) (Tukaj smo uporabili identiteto t(YZ)=t{ZY) za YeB(H), ZeC1(H) in za Y,ZeC (H), [44, str. 100].) Ce sta operatorja A in B* hiponormalna, potem je (XB)*[A]XB>0 in (X*A)*[B*]X*A^0 za vse XeB{H), torej velja tedaj tudi (11.5). -67- Obratno, če je T.„ hiponormalen operator, vstavimo X=§©n v (11.4), Ab kjer sta |,ti poljubna vektorja iz H. Po kratkem računu dobimo (11.6) RMAB*t}ir-IlA*|fllIŠfiI?as 0 Pokazali bomo, kako iz (11.6) sledi hiponormalnost operatorja B*; da je tudi A hiponormalen operator, pokažemo podobno. Privzemimo za trenutek, da obstaja zaporedje enotskih vektorjev Zn&i> ki zadošča pogojema (11.7) limliA*^ II ¦ limiftç N > 0 Potem sledi hiponormalnost operatorja ß* takoj, ko vstavimo ç=ç v (11.6) in pošljemo n proti neskončnosti. Pri dokazovanju eksistence zaporedja (ç } ločimo tri primere, če je [AteO, zadošča pogojema (11.7) poljubno zaporedje približnih lastnih vektorjev % L odgovarjajočih kaki neničelni približni lastni vrednosti x operatorja A. (Za X lahko vzamemo katerokoli neničelno robno točko spektra operatorja A.) Da je temu res tako, pove sklep v odstavku, ki vsebuje identiteto (11.3). če je [A]žO, sklepamo podobno, le da začnemo z neničelno približno lastno vrednostjo operatorja A*. Ostane še tretja možnost, ko ni niti [A'teO niti [A]sO. Tedaj nam samo dejstvo, da je 0ËW([A]), ne pomaga, ker bi bili limiti v (11.7) lahko enaki 0. Pač Da uporabimo spektralni izrek za sebi-adjungiran operator [A], v obliki, v kakršni je naveden v [43, str. 13]. Po spektralnem izreku je operator [A] unitarno ekvivalenten množenju z neko merljivo funkcijo f na določenem prostoru L (u), kjer je m pozitivna mera na nekem merljivem prostoru. Ker zavzame funkcija f tako pozitivne kot negativne vrednosti na množici s pozitivno mero, ni težko doka- 7 zati eksistence take funkcije 4>eL (u), da je - 2 / f<)> dy = 0 in / fii dp > 0 To pomeni, da obstaja tak enotski vektor |öf, da je <[A]ç,ç>=0 in ii[A]çn^0. Tedaj ustreza pogojema (11.7) kar konstantno zaporedje |ftsf- // Izrek 11.1 karakterizira tudi normalna posplošena odvajanja, saj je -68- poljuben operator T normalen natanko tedaj, ko sta operatorja T in T* hiponormalna. Potemtakem je operator D.R normalen natanko tedaj, ko sta normalna operatorja A in B. Iz točke (ii) izreka 11.1 sledi, da je tenzorski produkt dveh neničelnih operatorjev hiponormalen natanko tedaj, ko sta oba faktorja hiponormalna. Za splošne elementarne operatorje ne obstaja nobena podobna karakter-izacija normalnosti. Na primer operator X -* AXB+A*XB* je sebi-adjungiran na prostoru C (H) za poljubna (ne nujno normalna) operatorja A,Be8(tf). 11.2. Opombi. (i) Pojem hiponormalnega operatorja je mogoče definirati tudi na Banachovih prostorih. Omejen operator T na Banachovem prostoru X imenujemo hiponormalen, če ga lahko napišemo v obliki T=H+iK, kjer sta H in K hermitska operatorja in operator H'=i(HK-KH) ne-negativen (t.j., V(H'}o{\eR; XeO}). Članek [61], ki obravnava lastnosti hiponormalnih operatorjev na enakomerno c-konveksnih prostorih (v Globevnikovem smislu), vsebuje med drugim tudi karakterizacijo sploh vseh hiponormalnih operatorjev na prostorih K(H) in C* (H), 1sp<°°, p^2. Edini hiponormalni operatorji na teh prostorih so posplošena odvajanja D.g, pri Čemer sta operatorja A in B* na prostoru H hiponormalna. V [61] je dokazana tudi točka (i) izreka 11.1 in sicer v precej splošnejšem okviru Banachovih prostorov. (ii) Normalna odvajanja na algebri B(X), kjer je X Banachov prostor, je obravnaval tudi Kyle v [60]. Del izreka 8.2, ki smo ga pripisali Shawu, izvira dejansko iz [60], V [60] je namreč dokazana formula (8.3) za posplošena odvajanja na algebri B(X). -69- 12. Subnormal na posplošena odvajanja in tenzorski produkti Operator AeB(K) imenujemo subnormalen, če obstaja tak normalen operator NeB(L), kjer je L?M, da je NiH=A. Z drugimi besedami, subnormalen operator je zožitev normalnega operatorja na invarianten Dodnrostor. Naj imata oznaki T„ß in D.g enak pomen kot v prejšnjem razdelku. 12.1 IZREK, (i) Operator D.R je subnormalen natanko tedaj, ko sta subnormalna operatorja A in B*. (ii) če je A^O in B^O, velja isti zaključek tudi za ODerator T.g. Dokaz. Predpostavimo najprej, da sta A in B* subnormalna operatorja ter označimo z M in N* njuni (ne nujno minimalni) normalni razširitvi. Vzeti smemo, da delujeta operatorja M in N na istem Hilbertovem prostoru j, LH. Glede na razcep L= H ©H lahko predstavimo ooeratorja M in N* z matrikama M A A, 0 A, N* B* B. 0 B, kjer so &*,&*&. Ji* določeni linearni operatorji. Hilbertov Drostor C (H) lahko smatramo za podprostor v C (L), saj obstaja naravna vložitev C2{H) - C2(L), X- K 0 jO a Po prejšnjem razdelku je posplošeno odvajanje Dl«, normalen operator na prostoru C (L). Neposredno matrično množenje Dokaže, da je C (H) invari- 2 anten podprostor za Dm in DMNiC (H)=D.R. Torej je D.R subnormalen operator JMN 'm AB' "AB in podoben sklep pove, da je subnormalen tudi operator T.„. Za dokaz v obratno smer bomo potrebovali naslednji izrek Brama in Halmosa ([16],[12]): Operator TeB(H) je subnormalen natanko tedaj, ko je (12.1) z ä 0 j,k=0 K J za vsako končno podmnožico {çn,..,ç } g H, ¦70- Predpostavimo, da je D.ß subnormalen operator. Potence operatorja D.g lahko izrazimo po formuli DJ.RX = E {-l}S{J)Aj_SXBS, XeC2(K), 5=0,1,2,., AB s=0 s 2 Ce upoštevamo Še definicijo skalarnega produkta v C (H), vidimo, da se pogoj (12.1) za operator T=DAß glasi takole: n i k (12.2) E E S (-1)r+S(J')(k)r(B*SX*A*k"sAj_rX. Br) >. 0 j,k=0 r=0 s=0 r s j k 2 kjer so Xq,..,X poljubni elementi prostora C (H). Vstavimo sedaj v (12.2) X.=E.0n., kjer so ç,->n- poljubni vektorji iz prostora H za vsak J J J J J j=0,..,n. Po enostavnem računu dobimo n i k (12.3) E E E (-l)r+S(Jj(k) ä 0 j\k=0 r=0 s=0 r S K J J K Pokazali bomo, kako sledi iz (12,3) subnormalnost operatorja A. Dokaz, da je operator B* subnormalen, je podoben. Brez škode za splošnost smemo vzeti, da je 0 približna lastna vrednost operatorja B*. (V nasprotnem primeru nadomestimo operatorja A in B z A-xI in B-\I, kjer je x približna lastna vrednost operatorja B*.) Naj bo (r ) odgovarjajoče zaporedje približnih lastnih vektorjev (llç ii=1 in lirniiB*? 11=0). Vstavimo v (12.3) v m m ' . n0=n1=''=nn=çm 1n nato P°šljim° ni proti neskončnosti. Dobimo n i k E s 0 j,k=0 K J Po Bram-Halmosevem izreku je to zadosten pogoj za subnormalnost operatorja A. Dokaz, da tudi subnormalnost operatorja T.ß vključuje subnormalnost operatorjev A in B* je podoben. Namesto pogoja (12.3) imamo sedaj analogen pogoj (12.4) E * 0 j,k=0 K J J K Ker smo privzeli, da je A^O in B^O, imamo T.R^0. Ker je norma vsakega -71- subnormalnega operatorja enaka njegovemu spektralnemu radiju [30, str. 311], je tfCflg)^ 0 . Izrek Browna in Pearcy-a [14] pove, da je cr(TAB)= a(A)ü(ß); torej je a{B)f 0 . Zato obstaja točka ß^O v robu množice a(8*). Ta točka je približna lastna vrednost operatorja B*; naj bo (ç ) ustrezno zaporedje približnih lastnih vektorjev. Nadomestimo sedaj v (12.4) vse vektorje n- z istim vektorjem ç in pošljimo nato m proti neskončnosti. Dobimo n k-i i k j>0 k J To pa je zadosten pogoj za subnormalnost operatorja A, saj so vektorji |. poljubni in e^O. // Opombe, (i) Operator TeB(H) imenujemo kvazinormalen, če komutira z operatorjem T*T. Vsak normalen operator je očitno kvazinormalen. Dokazati je mogoče, da je vsak kvazinormalen operator subnormalen [16, str. 115] in ni težko videti, da je vsak subnormalen operator hiponormalen. Kljub tem odnosom pa je karakterizacija kvazinormalnih posplošenih odva- 2 janj na C (H) nekoliko drugačna od karakterizacije subnormalnih in hiponormalnih posplošenih odvajanj. Operator D.R je kvazinormalen natanko v enem od naslednjih primerov: (1) operatorja A in B sta oba normalna; (2) obstaja tak \eL, da je A=xl in operator (B-\I)* kvazinormalen; (3) obstaja tak \eL, da je B=^I in operator A-U kvazinormalen. Za operatorje T»B pa velja pričakovana trditev: T.„ je kvazinormalen operator natanko tedaj, ko sta kvazinormalna operatorja A in B* (pri pogoju A^O^B). Dokaz obeh trditev je v [39], (ii) Za poljubna unitarna.operatorja U,V na Hilbertovem prostoru H 2 2 je Ty„ unitaren operator na prostoru C (H). Ker je C (H) Hubertov prostor, je na njem mnogo unitarnih operatorjev, ki se ne dajo izraziti v obliki Tag, V nasprotju s tem pa je mogoče na ostalih simetričnih normiranih idealih in na algebri B(H) opredeliti vse surjektivne izometrije. Vse imajo obliko X * UXV ali pa X - UX V, kjer sta U in V unitarna operatorja na pro- T štoru H in kjer označuje X operatorju X transponirani operator glede na dano ortonormirano bazo prostora H. Za algebre je dokazal to že Kadison, za simetrične normirane ideale pa Sourour v [S13- -72- DODATEK Posplošitev Jacobsonovega izreka o gostoti V tem dodatku bomo posplošili Jacobsonov izrek o gostoti na module, ki vsebujejo pravi absolutno maksimalni podmodul in navedli dve posledici te posplositve za elementarne operatorje. Levi modul A nad kolobarjem E imenujemo ireducibilen, Če je A ^{0} in če A ne vsebuje nobenega pravega netrivialnega podmodula. Vsak netrivialen endomorfizem ireducibilnega E-modula A je izomorf-izem, kajti njegovo jedro in zaloga vrednosti sta podmodula.v A. Torej je kolobar vseh endomorfizmov modula A, EndF(A)> obseg. (To preprosto dejstvo je znano kot Schurova lema.) D 1. IZREK (Jacobsonov izrek o gostoti). Naj bodo a|,..,a nad obsegom EndF(A) linearno neodvisni, b.,..,b pa poljubni elementi E-modula A. Potem obstaja tak EeE, da je (DI) Ea. = b., i = 1,...r Dokaz izreka D 1 najdemo lahko v [36] in [57]* izrek sam pa sledi tudi iz naslednje posplositve, ki jo bomo dokazali tukaj. D 1. IZREK. Naj bo A modul nad kolobarjem E in K vsota vseh pravih podmodulov modula A. (K torej vsebuje vse prave podmodule modula A.) Privzemimo, da EA 0 in n(Fa2)/ 0 Iz n(Fa?yo namreč sledi n(EFa2)=En(Fa?)/0 (ker je modul A/K ireducibilen, [57, str. 71]). Torej podmodul EFa? modula A ni vsebovan v K in je zato EFa2=A. Potemtakem obstaja tak GeA, da je GFa2=b2. Element E2=GF sedaj ustreza zahtevama E?a,=0 in E2a2=b2. Ker sta elementa a. in a~ enakovredna, obstaja tudi tak E,eE, da je E^pb. in E.,a2=0. Potem vsota E=E.+Ep ustreza pogojem (DI) za r=2. Denimo, da element F ne bi obstajal. Potem za vsak XeE iz Xa,=0 sledi Xn(ap)-n(Xa?)-0. Torej je s predpisom f(Xa.)=Xn(a?) definirana (enolična) preslikava f:Ea. - A/K. Lahko je preveriti, da je f homomorfizem E-modulov. Ker je po hipotezi n{a.)?Q, je Ea.=A. (Tukaj sklepamo tako kot v prejšnjem odstavku za element Fa,,.) Ker je n(a?)^0 in A/K ireducibilen modul, je En(a2)=A/K. Tako vidimo, da je f homomorfizem modula A na modul A/K. Zaradi ireducibilnosti modula A/K je ker f maksimalni podmodul v A, torej ker f = K (tukaj je ker f seveda jedro homomorfizma f). Potemtakem inducira f endomorfizem f modula A/K, pri čemer velja f'(Xn(a,))=Xn(a2) za vsak X6E. Od tod sledi med drugim f*{n(a,))=n(a2) (glejte [57, str. 77]), kar pa nasprotuje linearni neodvisnosti elementov n(a,) in n(a?) nad obsegom El saj je f'O' // D 4. Dokaz izreka D 2. Izrek bomo dokazali z indukcijo na r. Za r=1 očitno velja. Privzemimo, da velja za r-1. Kot v dokazu leme D 3 vidimo, da je tudi tukaj dovolj dokazati eksistenco takega elementa FeE, da je (D3) FSj - .. ¦ Fa j = 0 in n(Fap) f 0 Po indukcijski predpostavki obstaja tak CGE, da je (D4) Ca1 = .. = Car_2 = 0 in Car = ar -74- Sedaj imamo dve možnosti. Ce sta elementa n(Ca ,) in n(a ) linearno neodvisna nad obsegom EÎ potem obstaja po lemi D 3 tak DeE, da je DCa _,=0 in Da =a . Tedaj pa element F=DCeE ustreza pogojem (D3). Tako preostane za dokazati še druga možnost, ko je rc(CaM) * f(n(ar)) za kak feE." Izberimo tak aeA, da je n(a)=f(n(a }). Potem je n(a)=n(Ca .), torej (D5) Car_1 = a+c za primeren ce/C Ker so elementi n(a, ),.. ,n(a o},n(a ..-a-c) očitno linearno neodvisni nad obsegom E' (saj je n(a ,-a-c)=n(a ,)-n(a)= n(ar_n)"'^(IT(ar)) ^n fLE')> obstaja po indukcijski predpostavki tak DeE, da velja (D6) Da1 = .. - Dar_2 = 0 in (D7) D(ar_i-a-c) = -a-c Postavimo sedaj F=D-DC+C. Potem imamo Fa,=..=Fa «=0 (po (D4) in (D6)), Far-1 = Dfa^-a-cJ+a+c (po (D5)) =0 (po (D7)) in Far = Dar-Dar+ar (po (64)) Ker je n(a )^0, ustreza F vsem zahtevam (D3). // Denimo sedaj, da je E kompleksna normirana algebra in A normiran E-modul (glejte [57, str. 28] za definicijo normiranih modulov nad algebrami). Ce je vsota K vseh pravih podmodulov modula A pravi zaprt podmodul, potem je A/K ireducibilen normiran E-modul. Vsak endomorfizem modula A/K je hkrati omejen operator normiranega prostora A/K (glejte dokaz trditve -75- 13 v [57, str. 80]). Torej je EndJA/K) normiran obseg. Ker je edina kompleksna algebra, ki je hkrati normiran obseg, algebra kompleksnih števil 0, je Endp(A/K)=L1. Linearna neodvisnost elementov n(a-) v izreku D 2 je tedaj običajna linearna neodvisnost nad t. Kot poseben primer teh razmišljanj lahko dokažemo milejšo obliko izreka 4.3 za normirane algebre z enim samim maksimalnim idealom. D 5. KOROLAR. Naj vsebuje kompleksna normirana algebra A z enoto natanko en maksimalni dvostranski ideal K in naj bodo a.eA, i=1,..,r, taki elementi algebre A, da so odseki a.+K linearno neodvisni v A/K. Potem za poljubne b-eA, i=1,..,r, obstaja tako naravno število m in taki elementi x.,y. algebre A, da velja m e x-a-v. » b., i=1,. ,,r j=1 J 1 J 1 Za dokaz korolarja zadošča opaziti, da je A normiran modul nad algebro E vseh elementarnih operatorjev na A, K absolutno maksimalni podmodul ter uporabiti izrek D 2. Na podoben način kot smo v prvem razdelku dokazali korolar 1.3 sledi sedaj iz korolarja D 5 D 6. KOROLAR. Naj vsebuje normirana kompleksna algebra z enoto samo en pravi maksimalni ideal K. Nadalje naj bo J poljuben dvostranski ideal algebre A in » r Ex = E a.xb., xeA i=1 elementaren operator na algebri A. Ce je zaloga vrednosti operatorja E vsebovana v idealu J in elementi b.+K algebre A/K linearno neodvisni, potem je a.ej za vsak i=1,..,r. Za algebro B(ff) sta korolar D 6 dokazala že Apostol in Fialkow. -76- LITERATURA [1] J. Anderson, C. Foias; Properties which normal operators share with normal derivations and related operators, Pac. J. Hath. 61 (1975) 313-325. [2] C. Apostol; Inner derivations with closed rancie, Re,i/. Roum, Hath. PuiiU et Appi. 27 (/976) 249-265. [3] C. Apostol, L.A. Fialkow, D.A. Herrero, D. Voiculescu; Approximation of Hilbert space operators Vol.11, Research Notes in Hath., Nr. 102, Pitman, Boston (1984). [4] C. Apostol, L. Zsido; Ideals in W*-algebras and the function n of A. Brown and C. Pearcyt Rev. Voum. Hath. Punu zt Appi. IS (J973) 7751-1/70. [5] VLB. Arveson; Subalgebras of C*-algebras, Acta Hath. 123 ( 7969) 747-224. [6] W.B. Arveson; Subalgebras of C*-alaebras II, Acta Hath. Ht (7972) 27I-30S. [7] W.B. Arveson; An invitation to C*-alciebras, Grad. Texts in Math. Nr. 39, Springer-Verlag, Berlin (1976). [8] W.B. Arveson; Notes on extensions of C*-alqebras, Vukz Hath. J. 44 (1977) 329-355. [9] B.A. Barnes, G.J. Murphy, M.R.F. Smyth, T.T. West;Riesz and Fredholm theory in Banach alqebras, Research Notes in Math., Nr. 67, Pitman, Boston (1982). 10] F.F. Bonsai!, J. Duncan; Numerical ranaes of operators on normed spaces and elements of normed algebras, London Math. Soc. Lecture Note Series 2, Cambridge University Press, Cambridge (1971). 11] F.F. Bonsall, J. Duncan; Numerical ranaes II, London Math. Soc. Lecture Note Series 10, Cambridge University Press, Cambridge (1973). 12] J. Bram; Subnormal operators, Vakc Hath. J. 22 ( 7955) 75-94. 13] A. Brown, CM. Pearcy; Structure of commutators of operators, Ann. oi Hath, Z2 (1965} 772-727. 14] A. Brown, CM. Pearcy, Spectra of tensor product of operators, ?koc, AmeA. Hath. Soc. 77 [1966) 162-169. 15] W. Calkin; Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Ann. oL Hath. 42 [1941] 839-873. 16] J.B. Conway; Subnormal operators, Research Notes in Math., Nr. 102, Pitman, Boston (1981). 17] R.E. Curto; The spectra of elementary operators, Indiana Univ. Hath. J. 32 (J9S3) 193-191. 18] A.M. Davie; Classification of essentially normal operators, Spaces of Analytic Functions, Springer-Verlag Lecture Notes 512 (1976) 31-55. -77- R.G. Douglas; Banach algebra techniques in operator theory, Pure and Applied Math., Vol. 49, Academic Press, New York (1972). R.G. Douglas; C*-algebra extensions and K-homology, Annals of Math. Studies, Nr. 95, Princeton University Press, Princeton (1980). L.A. Fialkow; A note on norm ideals and the operator X * AX-XB, I-SAaet J. Hath. 32 (1979] 331-34S. L.A. Fialkow; Elements of spectral theory for generalized derivations, J. Oppiatoti TkzoKy 3 [19Z0] S9-//3. L.A. Fialkow; Elements of spectral theory for qeneralized derivations II: the semi-Fredholm domain, Can. J. Math. 33 (I9SJ) 1205-1231. L.A. Fialkow; Spectral properties of elementary operators II (ptie.phA.nt). P.A. Fillmore, J.G. Stampfli, J.P. Williams; On the essential numerical range, the essential spectrum, and a problem of Halmos, Acta Sci. Math. (Szeged) 33 (1972) /79-/92. CK. Fong, A.R. Sourour; On the operator identity eA.XB.^0, Can. J. Math. 51 [/979) S45-S57. B. Gramsch; Eine Idealstruktur Banachscher Operatoralgebren, J. Rečne Angeio. IkOk. 225 [196?) 97-115. P.R. Halmos; Ten problems in Hilbert space, Bull. Amet. Math. Soc. 76 [1970] SS7-935. P.R. Halmos; Naive se theory, Undergraduate Texts in Math., Springer-Verlag, Berlin (1974). P.R. Halmos; A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Math., Nr. 19, Springer, New York (1982). R. Harte; Spectral mapping theorems, Pkoc. Poij. InJjbh. Acad. Sect. A 72 (1972) B9-1Ô7. ?.. Harte; Tensor products, multiplication operators and the spectral mapping theorem, Pkoc. Pay. l>UAh. Acad. Sac*.A 73 (/973) 255-302. D.A. Herrero; Approximation of Hilbert space operators Vol.1, Research Notes in Math. Nr. 72, Pitman, Boston (1982). T. Ichinose; Spectral properties of tensor products of linear operators I, Tmm. Ame*. Math. Soc. 235 [Hft] 75-113. V.l. Istratescu; Introduction to linear operator theory, Pure and Applied Math. 65, Marcel Dekker, INC, New York (1981). N. Jacobson; Structure of rings, Amer. Math. Soc. Colloq. Pubi., Vol. 37, Providence (1956). J. Lindenstrauss, L. Tzafriri; Classical Banach spaces I (sequence spaces), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Springer-Verlag, Berlin (1977). G. Lumer, M, Rosenblum; Linear operator equations, Pkoc. AmeA. Math. Soc. 10 (1959) 32-4/. B. Maqajna; On subnormality of generalized derivations and tensor products, BoU. AuitAal. Hath. Soc. 31 (I9S5) 235-243. ¦78- M. Mathieu; Spectral theory for multiplication operators on C*-algebras, ?Koc. Roy. IhUh. Acad. Sl&t. A 83 ( 7953) 231-249. J. von Neumann; Charakterisierung des Soectrums eines Integral Operators, Hermann, Paris (1935). A. Pietsch; Operator ideals, Mathematische Monograohien, Nr. 16, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1978). H. Radjavi, P. Rosenthal; Invariant subspaces, Ergebnisse der Math., Nr. 77, Springer-Verlag, Berlin (1973). J.R. Ringrose; Compact non-self-adjoint operators, Van Nostrand Reinhold'Math. Studies 35, London (1971). M. Rosenblum; On the operator equation 8X-XA=Q, Vakz Hath. J. 23 [1956) 263-269. W, Rudin; Functional analysis, McGraw-Hill Book Company, New York (1973). R. Schatten; A theory of cross spaces, Annals of Math. Studies, Nr. 26, Princeton University Press, Princeton (1950). R. Schatten; Norm ideals of completely continuous operators, Ergebnisse der Math., Nr. 27, Springer-Verlag, Berlin (1970). S.Y. Shaw; On numerical ranges of generalized derivations and related properties, J. AuttAal. Hath. Soc. (Sdiu A] 36 11994} 134-142. A.M. Sinclair; Jordan homomorohisms and derivations on semi-simple Banach algebras, Pwc. Amnn.. Hath. Soc. 24 (/970} 209-ZM. A.R. Sourour; Isometries of norm ideals of compact operators, J. Fund. Anal. 43 [Ml) 69-77. J.G. Stampfli; The norm of a derivation, Pac. J. 737-747. Hath. 33 (/970) P. Suppes; Axiomatic set theory, 0. Van Nostrand Company, Inc., London (I960), M. Takesaki ; Theory of operator aloebras I, Sprinaer-Verlaq, New York (1979). J.L. Taylor; A joint spectrum for several commutino operators, J. FunU. Anal. 6 [1970] I7Z-/9J. I. Vidav; Uvod v teorijo C*-algeber, Postdiplomski seminar iz matematike 12, Ljubljana (1979). I. Vidav; Banachove algebre, Postdiplomski seminar iz matematike 11, Ljubljana (1982). I. Vidav; Linearni operatorji v Banachovih prostorih, Postdiplomski seminar iz matematike 14, Ljubljana (1982) D. Voiculescu; A non-commutative Weyl-von Neumann theorem, Pev. Rcum. Mouth, VuAt* at Appi. ZI [1916] 97-113. J. Kyle; Numerical ranqes of derivations, P/loc. BcLLnbuAah Hath. Soc. 11 [197$) 33-39. K. Mattila; Complex strict and uniform convexity and hyponormal operators, Hath. Vfwc. Comb. Phil. Soc. 96 [19U) 4&3-I93. ¦79- OZNAKE Števila, ki sledijo pojasnilom, pomenijo strani, kjer so simboli definirani. Prostori A,B,C,T X,Y A©B A©B Ali A* X,y,2 Banachovi prostori H,L,M Hilbertovi prostori L i H L je podprostor prostora H L ortogonalni komplement podprostora L II prostoru H konjugirani (nasprotni) Hilbertov prostor, 40 H © L direktna vsota Hilbertovih prostorov H in L H© L tenzorski produkt Hilbertovih prostorov H in L Algebre in ideali A splošna (Banachova) algebra B{H) algebra vseh omejenih operatorjev na prostoru H K{U) ideal kompaktnih operatorjev ali pa maksimalni ideal v 8(H) C(H) Calkinova algebra, 9 C^{H) von Neumann-Schattenov razred, 39 E algebra elementarnih operatorjev na splošni (Banachovi) algebri EndE(A) kolobar endomorfizmov E-modula A Splošni operatorji linearni operatorji direktna vsota operatorjev na Hilbertovih prostorih tenzorski produkt operatorjev na Hilbertovih prostorih ortogonalni projektor na podprostor L zožitev operatorja A na podprostor L kompresija operatorja A na podprostor L, 15 operatorju A adjungirani operator -80- AB-BA A*A-AA* Elementarni operatorji splošni elementarni operator, 3, 8 posplošeno odvajanje, 3 operator x - AXB» 66 levo množenje z operatorjem A, 47 desno množenje z operatorjem A, 47 Operatorjem prirejeni parametri spekter operatorja A prostorski numerični zaklad operatorja A, 47 algebraični numerični zaklad operatorja A, 47 numerični radij operatorja A bistveni numerični zaklad operatorja A, 49, 50 maksimalni numerični zaklad operatorja A, 30 normalizirani maksimalni numerični zaklad, 42 n-ti prostorski matrični zaklad operatorja A, 63 numerična razdalja operatorja A od množice skalarnih operatorjev, 36 sled operatorja A, 40 Množicam operatorjev prirejeni parametri mera linearne neodvisnosti, 15 str. 15 str. 15 mera bistvene linearne neodvisnosti, 23 razdalja operatorja A od množice skalarnih mnogokratnikov operatorja B, 32 str. 42 -81- Neka tere splošne oznake V zaprtje množice V (V)L str. 53 co[V] konveksna ogrinjača množice V a polinomska ogrinjača podmnožice o kompleksne ravnine arg(\) argument kompleksnega Števila \ Re(\) realni del kompleksnega števila X <ç,n> skalami produkt vektorjev ç in n S enotska sfera v Lr F družina vseh r-razsežnih podprostorov danega Hilbertovega prostora H . kvocientna preslikava (npr. iz 8{H) v B{H)/K(H))