i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
PREPOGIBANJE PAPIRJA, PODVOJITEV KOCKE IN
SLUSOVA KONHOIDA
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
S prepogibanjem papirja lahko določimo točko, ki razdeli stranico kvadrata v razmerju
1 : 3
√
2. Ta točka je presečǐsče stranice kvadrata in Slusove konhoide, ki je tudi nožǐsčna
krivulja parabole.
PAPER FOLDING, DUPLICATION OF CUBE AND CONCHOID OF DE
SLUZE
By paper folding we can determine a point that divides the side of a square in ratio
1 : 3
√
2. This point is the intersection of this side and a conchoid of de Sluze which is also
the pedal curve of a parabola.
Uvod
Podvojitev kocke, tretjinjenje kota in kvadratura kroga so trije klasični grški
geometrijski problemi, ki se jih ne da rešiti samo z neoznačenim ravnilom in
šestilom, kar so dokazali šele v 19. stoletju. Prvi problem zahteva določiti
rob kocke, ki ima prostornino enako dvakratniku prostornine dane kocke. To
pomeni, da je treba za dano daljico a konstruirati tako daljico b, za katero
je b = a 3
√
2. Pri drugem problemu je treba dani kot razdeliti na tri enake
dele, pri tretjem pa pretvoriti krog v ploščinsko enak kvadrat.
Grki so znali rešiti te tri probleme na poseben način. Problem podvojitve
kocke so rešili z Dioklovo cisoido in z uporabo stožnic, kvadraturo kroga
z Arhimedovo spiralo ali pa s Hipijevo kvadratriso in tretjinjenje kota z
Nikomedovo konhoido. Za risanje nekaterih od teh krivulj so imeli Grki
izdelana tudi posebna mehanska orodja.
Poglejmo, kako lahko rešimo problem podvojitve kocke oziroma kako
konstruiramo a 3
√
2 z uporabo dveh kotnikov, kot kaže slika 1. Ustrezno
stranico za podvojitev kocke dobimo z vǐsinskim izrekom za pravokotni tri-
kotnik BCD in z razmerjem stranic podobnih trikotnikov AED in CEB:
x2 = ay,
a
x
=
y
b
, ab = xy, x3 = a2b.
Če je b = 2a, potem je x = a 3
√
2. To konstrukcijo imenujejo tudi Platonova
podvojitev kocke (povzeto po [1]).
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 41
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 1. Podvojitev kocke z dvema kotnikoma. Če je b = 2a, je x3 = 2a3, torej x = a 3
√
2.
S prepogibanjem papirja do 3
√
2
Problem podvojitve kocke pa lahko rešimo tudi s prepogibanjem papirja.
Poglejmo, kako to naredimo (več o tem v [2]).
Najprej vzamemo kvadratni list papirja in ga razdelimo na tri skladne
dele tako, kot kaže slika 2. Kvadrat najprej prepognemo po navpični sime-
trali NO, razgrnemo in prepognemo po diagonali DB ter razgrnemo. Nato
prepognemo po diagonali NC pravokotnika NBCO. Presečǐsče diagonal
NC in DB je točka P .
Naredimo prepogib skozi točko P tako, da točki C in B drsita po vo-
doravnih stranicah kvadrata. Dobimo pregib GH. Pravokotnik AGHD
razpolovimo po njegovi navpični simetrali in dobimo pregib EF . Kvadrat
smo s tem razdelili na tri skladne pravokotnike: AEFD, EGHF in GBCH.
To res velja, ker je razdalja točke P od stranice BC (in tudi od AB) enaka
c = a/3. Da to dokažemo, vpeljemo pravokotni kartezični koordinatni sis-
tem z izhodǐsčem v oglǐsču A, abscisno osjo v smeri stranice AB in ordinatno
osjo v smeri stranice AD. Iz slike 2 razberemo enačbi premic skozi D in B
ter skozi N in C:
x+ y = a, y = 2x− a.
Njuno presečǐsče je točka P (2c, c).
Zdaj pa prepognemo kvadrat tako, da pade oglǐsče A na stranico DC
in točka E na daljico GH. Prepogib poteka po daljici TT ′. Sliki točk A in
42 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
E pri zrcaljenju čez daljico TT ′ ustrezno imenujemo A′ in E′. Trdimo, da
tedaj velja |DA′| : |A′C| = 1 : 3
√
2.
Dokaz ni težak. Da bo hitreǰsi, vzemimo |DA′| = 1, |TD| = d in |A′C| =
ξ. S tem je stranica kvadrata a = 1 + ξ in |A′H| = |DC| − |DA′| − |HC| =
(2ξ − 1)/3. Potem veljajo relacije:
Slika 2. Kvadratni list papirja razdelimo na tri skladne dele, potem pa list prepognemo
tako, kot kaže desna slika. Velja relacija |A′C| : |DA′| = 3
√
2.
|DA′| = 1, |A′C| = ξ, |A′T | = |AT | = 1 + ξ − d, |A′E′| = 1 + ξ
3
.
Iz pravokotnega trikotnika TA′D sledi:
d2 + 1 = (1 + ξ − d)2 ⇒ d = ξ
2 + 2ξ
2ξ + 2
.
Iz podobnih trikotnikov DTA′ in HA′E′ pa dobimo:
d
1 + ξ − d
=
2ξ − 1
ξ + 1
,
ξ2 + 2ξ
ξ2 + 2ξ + 2
=
2ξ − 1
ξ + 1
,
ξ3 + 3ξ2 + 2ξ = 2ξ3 + 3ξ2 + 2ξ − 2 ⇒ ξ3 = 2 ⇒ ξ = 3
√
2.
Torej nam konstrukcija omogoča delitev daljice v razmerju 1 : 3
√
2, pa tudi
konstrukcijo daljice dolžine b = a 3
√
2 za poljubno daljico dolžine a.
V opisani konstrukciji se število 3
√
2 pojavi še enkrat. Razmerje med
|GE′| − c in c, kjer je c = a/3, je
|GE′| − c
c
=
2ξ2 + 2
ξ2 + 2ξ
=
ξ(2ξ + 2/ξ)
ξ2 + 2ξ
=
ξ(2ξ + ξ2)
ξ2 + 2ξ
= ξ.
41–51 43
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Upoštevali smo zvezo ξ3 = 2 oziroma 2/ξ = ξ2. Torej je
|GE′| − c
c
= ξ =
3
√
2.
Kako pa tako prepogibanje opǐsemo analitično? Izračunati moramo koordi-
nati točke A′. Za stranico kvadrata bomo vzeli a = 3c, tako da laže kvadrat
razdelimo na tri skladne pravokotnike s stranicama a in c (slika 3).
Slika 3. Kvadrat postavimo v prvi kvadrant. Osnovnica kvadrata je 3c. Ko točka K
potuje po premici skozi G in H, točka J opisuje krivuljo K.
Tako kot prej kvadrat ABCD razdelimo z navpičnima daljicama EF in
GH na tri skladne dele. Na premici skozi G in H izberemo točko K(2c, t).
Sredǐsče daljice EK je točka L(3c/2, t/2). Simetrala daljice EK je premica
z enačbo
y − t
2
= −c
t
(
x− 3c
2
)
. (1)
Torej je točkaK zrcalna slika točke E(c, 0) prek premice (1). Prek te premice
prezrcalimo tudi točko A in njeno sliko imenujmo J . Zrcalni točki K in J
ustrezata slikama točk E in A po prepogibanju papirja vzdolž premice (1).
Premica skozi A, na kateri leži točka J , je vzporedna z daljico EK. Torej
je njena enačba
y =
tx
c
. (2)
44 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Presečǐsče premic (1) in (2) je točka M . Njeni koordinati sta:
xM =
c(t2 + 3c2)
2(t2 + c2)
, yM =
t(t2 + 3c2)
2(t2 + c2)
. (3)
Ker je točka M sredǐsče daljice AJ , hitro dobimo za točko J koordinati,
ki sta dvakratnika koordinat točke M :
xJ =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, yJ =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (4)
Ko točka K potuje po premici skozi H in G, točka J opisuje krivuljo K,
katere parametrični enačbi sta:
x =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, y =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (5)
Hitro najdemo iz enačb (5) asimptoto krivulje K. To je premica x = c. Ko
namreč |t| narašča prek vseh meja, raste tudi |y| prek vseh meja, x pa se
bliža c. Krivulja K je simetrična glede na stranico AB.
Iz enačb (5) izločimo parameter t, ki mu dovolimo vse realne vrednosti.
Ker je v (5) x 6= 0, je iz (2) t = cy/x, kar vstavimo v prvo enačbo v (5) in
dobimo
x =
c(3x2 + y2)
x2 + y2
. (6)
Našli smo krivuljo z implicitno enačbo
x(x2 + y2)− c(3x2 + y2) = 0, (7)
ki spada v družino Slusovih1 konhoid2. Splošna Slusova konhoida ima
enačbo x(x2 + y2)− (αx2 + βy2) = 0, kjer sta α in β realni konstanti.
Točka A(0, 0) je izolirana točka krivulje (7). Če točko A z nje odstra-
nimo, dobimo krivuljo K.
Kje krivulja K preseka stranico DC kvadrata ABCD? Poǐsčimo njeno
presečǐsče s stranico CD, to je presečǐsče s premico y = 3c. Iz (7) dobimo
za y = 3c kubično enačbo
x3 − 3cx2 + 9c2x− 9c3 = 0,
1René-François Walter de Sluse (1622–1685), tudi Sluze, latinizirano Renatus Franci-
scus Slusius, je bil valonski matematik in kanonik.
2Iz grške besede kónche, kar pomeni školjka.
41–51 45
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
ki ima edino realno rešitev
x1 = |DN | = c( 3
√
4− 3
√
2 + 1) = c(ξ2 − ξ + 1).
Dobimo jo s Cardanovimi formulami za korene kubične enačbe. Zato velja
|NC| = 3c− |DN |. Z upoštevanjem zveze 2/ξ = ξ2, dobimo
|NC| = c(2+ξ−ξ2) = cξ(2/ξ+1−ξ) = cξ(ξ2 +1−ξ) = |DN |ξ = |DN | 3
√
2.
Torej točka N deli stranico DC v razmerju 1 : 3
√
2, kar smo želeli pokazati.
Za t = 0 doseže krivulja K točko B, kjer ima navpično tangento, točko N in
njeno zrcalno sliko N ′ čez stranico AB pa za t = ±c(1 + ξ). Za t = ±c ima
krivulja K prevoja v točkah P1,2(2c,±2c), v katerih sta smerna koeficienta
tangent enaka ∓1. Prevoj P1 je v presečǐsču daljice GH, diagonale AC in
konhoide.
Zapǐsimo krivuljo K še v polarni obliki. V ta namen implicitno enačbo
(7) preoblikujemo v
(x− c)(x2 + y2)− 2cx2 = 0 (8)
ter nato z uvedbo polarnih koordinat r in ϕ v polarno obliko
r = c(secϕ+ 2 cosϕ). (9)
Pri tem je secϕ = 1/ cosϕ.
Slika 4. Ploščina lika med konhoido in njeno asimptoto je πa2/3.
Izračunajmo še ploščino S lika med konhoido (9) in njeno asimptoto
x = c (slika 4). Najprej zapǐsimo
x = r cosϕ = c(1 + 2 cos2 ϕ),
y = r sinϕ = c(tgϕ+ sin 2ϕ),
dx = −2c sin 2ϕdϕ.
46 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Ploščina lika je potem
S = 2
∫ 3c
c
y dx = −4c2
∫ 0
π/2
(tgϕ+ sin 2ϕ) sin 2ϕdϕ = 3πc2 =
πa2
3
.
Ploščina lika je torej enaka tretjini ploščine kroga s polmerom a.
Povezava med parabolo in krivuljo K
Nožǐsčna krivulja dane krivulje L glede na točko P je, po [3], množica pra-
vokotnih projekcij (nožǐsč) točke P na vse tangente krivulje L. Dokazali
bomo, da je nožǐsčna krivulja parabole y2 = −4c(x − 3c) glede na oglǐsče
A ravno obravnavana krivulja K. Parabola ima parameter p = 2c, gorǐsče
v točki G(2c, 0) in teme v točki B(3c, 0) (slika 5). Najprej v poljubni točki
V (s, 2t) parabole konstruiramo tangento. Nato pa spustimo pravokotnico
iz točke A(0, 0) na to tangento. Dobimo presečǐsče T (x, y). Ko točka V po-
tuje po paraboli oziroma ko se parameter t spreminja po realnih vrednostih,
točka T opisuje krivuljo K (slika 5).
Ker je za parabolo y′ = −2c/y, je smerni koeficient tangente na parabolo
v točki V enak −c/t. Enačba tangente na parabolo v točki V (s, 2t) je:
y − 2t = −c
t
(
x− 3c
2 − t2
c
)
. (10)
Pravokotnica iz točke A(0, 0) na tangento pa ima enačbo:
y =
tx
c
. (11)
Presečǐsče premic (10) in (11) je točka T s koordinatama
xT =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, yT =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (12)
Točka T opisuje krivuljo, ko teče parameter t po realnih vrednostih. Ko
primerjamo enačbi (12) z enačbama (5), ugotovimo, da je nožǐsčna krivulja
parabole y2 = −4c(x− 3c) glede na oglǐsče A krivulja K.
Parabola in krivulja K imata tri skupne točke: teme B(3c, 0) ter pre-
voja P1(2c, 2c) in P2(2c,−2c). V teh točkah imata K in parabola skupne
tangente.
41–51 47
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 5. Ko točka V (s, 2t) potuje po paraboli, točka T opisuje Slusovo konhoido. Nožǐsčna
krivulja parabole je Slusova konhoida.
Inverzija konhoide glede na krožnico
Krožnica naj ima sredǐsče v točki A(0, 0) in polmer a = 3c. Enačbo krivu-
lje, ki nastane z inverzijo krivulje K na tej krožnici, dobimo, če izvedemo
substitucijo
x→ 9c
2x
x2 + y2
, y → 9c
2y
x2 + y2
v enačbi (7). Dobimo:
3x2 − 9cx+ y2 = 0. (13)
To je enačba elipse, ki je načrtana na sliki 6. Poteka skozi točki A in
B. Brez težav poǐsčemo njeno sredǐsče in polosi, če zapǐsemo enačbo (13) v
enakovredni obliki: (
x− 3c
2
)2
+
y2
3
=
9c2
4
. (14)
Sredǐsče elipse je točka S(3c/2, 0), polosi pa sta 3c/2 in 3c
√
3/2.
48 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Slika 6. Inverzija Slusove konhoide glede na krožnico je elipsa.
Elipsa, krožnica in konhoida imajo tri skupne točke. To so
C1(3c/2, 3c
√
3/2), D1(3c/2,−3c
√
3/2) in B(3c, 0). Gorǐsči elipse sta v toč-
kah F1(3c/2, 3c
√
2/2) in F2(3c/2,−3c
√
2/2).
Slusova konhoida in zlati pravokotnik
Poǐsčimo presečǐsče krivulje K s premico x = 4c/3. V kvadratu ABCD
dobimo točko F (4c/3, 4c
√
5/3) (slika 7).
Narǐsemo krožnico s sredǐsčem v F in polmerom 4c/3. Presečǐsči krožnice
in premice x = 4c/3 sta točki H1(4c/3, 4c(
√
5 − 1)/3) in H2(4c/3, 4c(
√
5 +
1)/3). Krožnici očrtamo kvadrat D1C1C2D2, ki ima za eno simetralo pre-
mico x = 4c/3. Pravokotnik AB1C1D1 ima torej stranici
|AB1| =
8c
3
, |AD1| =
4c
3
(
√
5− 1),
ki sta v razmerju
|AB1|
|AD1|
=
2√
5− 1
=
1 +
√
5
2
= Φ,
to se pravi v zlatem razmerju. Zato je štirikotnik AB1C1D1 zlati pravoko-
tnik. Prav tako je zlati pravokotnik štirikotnik AB1C2D2.
41–51 49
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 7. Točka F (4c/3, 4c
√
5/3) leži na konhoidi. Štirikotnika AB1C1D1 in AB1C2D2
sta zlata pravokotnika.
Načrtovanje Slusove konhoide po točkah
Za konec si oglejmo, kako pridemo do konhoide z načrtovanjem po točkah.
Pri tem nam pomaga polarna oblika (9), če jo zapǐsemo v obliki
r = c secϕ+ 2c cosϕ.
Prvi člen
r1 = c secϕ
je enačba premice x = c v polarni obliki, drugi člen
r2 = 2c cosϕ
pa polarna oblika krožnice (x − c)2 + y2 = c2. To pomeni, da je Slusova
konhoida na neki način vsota premice in krožnice, kar omogoča njeno načr-
tovanje po točkah.
V ta namen najprej narǐsemo krožnico s sredǐsčem v točki S(c, 0) in
polmerom c ter pravokotnico skozi njeno sredǐsče na izbrani premer. Iz
krajǐsča premera O(0, 0) narǐsemo poltrak pod nekim kotom ϕ glede na
premer. Poǐsčemo presečǐsči T1 in T2 poltraka s pravokotnico skozi sredǐsče
krožnice in s krožnico. Nato pa daljico r2 = |OT2| podalǰsamo z daljico
r1 = |OT1|, tako da dobimo daljico |OT | = r1 + r2 (slika 8). Točka T je na
Slusovi konhoidi. Konstrukcijo ponovimo za več kotov ϕ in dobljene točke
s krivuljnikom povežemo v krivuljo.
50 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Slika 8. Risanje Slusove konhoide po točkah.
Za konec
Od prepogibanja papirja smo prǐsli do krivulje K, ki ima zanimive lastno-
sti. Z računanjem se nam ni treba posebej ukvarjati, če imamo na voljo
katerega izmed programov za dinamično geometrijo in morda še Derive ali
Mathematico, ki hitro rešujeta sisteme enačb in poenostavljata marsikateri
izračun. Skoraj vse naštete probleme lahko rešijo srednješolci, saj zahtevajo
le osnovna znanja iz geometrije in algebre.
LITERATURA
[1] G. E. Martin, Geometric Constructions, Springer, New York in drugje, 1998.
[2] T. Hull, Project Origami, Activities for Exploring Mathematics, Second Edition, CRC
Press, 2013.
[3] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
41–51 51