i i “1151-Prosen-enakostranicni” — 2010/7/19 — 9:48 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 6 Strani 354–355 Marijan Prosen: ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK NA SFERI Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1151-Prosen.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. /i)I.' - '-/i)I.' - 'ILI.' -, ", Ic", I,n,' ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK NA SFERI Kakšen enakostrani čn i trikotnik lahko narišemo na sferi, to je površini krogle? Odgovor je prav zanimiv . Najprej pog lejmo , kako je definiran sferni trikotnik, kot r eč emo tr ikotni ku na površini krogle . Toje trikotn ik, ki ga omej ujejo loki tre h glavnih ( n aj večj i h ) krožnic krogle (slika 1) . Loki predstavljajo strani ce t rikot nika in jih merim o z ustrez nimi središčni mi koti . Le so str anice med seboj ena ke, govorimo o enakostraničnem sfernem tr ikotniku . Tak tr ikotni k ima t udi vse kote enake. Slika 1. Sfern i trikotnik ABC s st ra nica mi a, b , c in kot i 0:,{3 , -y. Za sfern e tr ikot nike velja : O· < a + b + c < 36 0·; 180· < < o: +{3+ -y < 540· ; ploščina je manjša od površine po lkrog le 21l',2 , če r po me ni polmer krogle, na površju kat ere leži sferni t rikot nik. Slika 2. Ena kostraničn i in pra vokotni sfe r- ni t rikot nik ABC - oktant krog le. V ok- tantu merijo vse st ra nice 90· in vsi koti t u- di 90· . P lošč i na okt a nta pa je 41l',2 /8 = = 1l', 2/ 2 , če je r po lme r krogle . Zelo majhen sfe rni t rikot nik lahko obravnavamo skoraj tako kot ravnin- skega . V ravninskem t rikot niku je vsota notranj ih kotov 1800 , torej meri posam ezni notranji kot v enakostran ičnem trikotn iku natanko 600 . V majh- nem sfernem t rikot niku pa je vsota kotov nekoliko večja od 1800 , zato meri posamezni kot v majhnem enakostraničnem sfernem tr ikotniku le malo več od 600 . Recimo , da takemu sfernemu t rikot niku večarno stranice tako , da ostaja t rikotnik ves ča s enakostraničen . Pridemo do zanimivega enakostraničnega sfernega trikotnika , v katerem merijo posamezne stranice 900 in posamezni kotf tudi 90'. Tak sferni trikotnik je hkrati enekestraniEen in pravokoten (slika 2). Vxemimo, da se stranice tega sfwnega trikotnika Ee nadalje vdajo. V nedogled to ne gta. Stranice se lahko vezajo do doloEene vmlnosti, prav tako koti. da ostana sfartti trikoinik cnakostraniFw . Ni tdko ugotwiti, da stranice nt marejo biti tnakc ali vege od 120', koti pa ne morejo biti enaki ali velji od 180°. Razmistite o tern. Marian Pros&