NOVE KNJIGE
John A. Adam, prevod Damjana Kokol Bukovsek, Matematični sprehodi v naravo, Knjižnica Sigma 94, DMFA - založništvo, Ljubljana 2012, 265 str.
To je prevod knjige [1], ki je leta 2009 izsla pri Princeton University Press. Avtor knjige, po rodu An-gleZ, ima doktorat iz teoretiCne astrofizike. Že dolgo pouCuje matematiko na univerzi Old Dominion v Virginiji v ZDA. Kot sam pravi, ga od mladih nog privlaCijo skrivnosti narave. Zelo rad se sprehaja v naravi in tudi obiskuje naravne parke. Ukvarja se z uporabno matematiko in matematičnim modeliranjem. Napisal je knjigo Mathematics in Nature: Modelling Patterns in the Natural World. Ukvarja se tudi z modeliranjem rasti tumorjev in modeliranjem dinamike imunskega sistema.
Knjiga je namenjena sirsi publiki. Nekatere teme zahtevajo le osnovno računsko znanje, druge nekaj trigonometrije in algebre. Znanje odvoda, integrala in najpreprostejsih diferencialnih enačb pa, kar se tiče matematike, pravzaprav zadosCa za skoraj vso snov knjige. Nekaj podobnega bi lahko rekli tudi za potrebno znanje fizike. Vendar avtor, brz ko fizika postane bolj zapletena, ne izgublja časa z izpeljavami fizikalnih formul, ampak jih kar navede. V tem smislu je obravnava v knjigi blize bolj matematično usmerjenim bralčem in večinoma izpolnjuje pričakovanja, ki jih vzbuja naslov.
Število tem v knjigi je veliko, kot bomo kmalu videli. Besedilo je pre-čej strnjeno. Knjiga ima tudi obsezen seznam literature, tako da je prava zakladniča informačij s tega področja.
Na primeru taljenja snezne kepe spoznamo matematično modeliranje in omejitve takih modelov. Zanimivi so tudi inverzni problemi: Kaj lahko iz
opazovanj naravnega pojava sklepamo o vzrokih za njegov nastanek (tudi kvantitativno)?
Avtor nato zastavi bralcu nekaj testnih vprasanj, denimo: 1. Opazuješ enojno pisano mavrico (primarni lok). Katera barva je na vrhu oboka? ... 9. Oceni premer vodne kapljice v (i) hudem nalivu in (ii) v megli. ... 11. Kako dolg je povprečen zvošni val pri (Človeškem govoru? ... 14. Kako daleš je obzorje, če stojiš na plaZi in gledaš na morje? Ta vprasanja dobijo odgovor v nadaljevanju.
Sledijo nekatera Cisto raCunska vprasanja, kot: 17. Kako dolgo bi s peskom polnili Grand Canyon v ZDA? ipd. Vprasanje 21: Zakaj King Kong ne bi mogel obstajati? (V filmih je K. K. = K2 prikazan kot gorila, linearno poveCana na velikost kakih deset metrov.) Tu avtor argumentira takole: »MoC objekta, se posebej K2, je sorazmerna z velikostjo preseka njegovih kosti, ki so potrebne, da nosijo njegovo tezo. Ta presek pa je sorazmeren njegovi povrsini. Ker imamo opravka z geometrijsko podobnimi objekti, je njegova povrsina sorazmerna s kvadratom njegove velikosti.« Ta argument se mi zdi po nepotrebnem zakompliciran - ne vem, zakaj je treba na dan vleCi povrsino gorile - plosCina preseka kosti je sorazmerna kvadratu velikosti. SiCer pa na to zgodbo nimam pripomb.
Zanimiva je tudi obravnava samovziga velike kopiCe sena. Pri vprasanju 27: Zakaj so kapljice na pajkovi mreZi tako enakomerno razporejene? pa avtor pokaze svoje znanje netrivialne fizike. Bolj na kratko so obravnavana FibonaCCijeva stevila in ustrezni spiralni vzorCi v rastlinskem svetu. Vpra-sanje 32: Ali lahko ocenis tezo buce samo s pogledom? me je spomnilo na
soseda, ki je gojil buče velikanke; enkrat je v ta namen napeljal poganjke celo na streho hise in jo prakticno v celoti prekril z listjem. Vprasanje 35: Ali moja senca pospešuje? ima negativen odgovor. Vprasanje 41: Kako dobro se svetloba zvezd odbija od mirne vodne gladine? pove vrsto zanimivosti o odboju. Avtor med drugim sprasuje tudi, kaj se zgodi, če svetlobo odbija tudi dno tolmuna: (ii) Obravnavaj dno tolmuna, kot da odbije 20 odstotkov svetlobe (mogoše je na dnu kos stekla ali druge odbojne snovi)? Tole s steklom je morda potegavscina. Kdor je kdaj plaval z masko, je verjetno opazil, da steklo v vodi odbija bistveno manj svetlobe kot na suhem in ga je teze opaziti. Vzrok je v tem, daje lomni kolicnik steklo/voda enak priblizno n = 3/2 : 4/3 = 9/8. Po formuli, ki jo navaja knjiga na isti strani, je delez odbite svetlobe pri pravokotnem vpadu na prvo povrsino stekla
\n + 1;
Celotni delez svetlobe, odbite na obeh povrsinah ravnega stekla, je IR, kar je v tem primeru manj kot en odstotek. (Mimogrede, prve antirefleksne prevleke na opticnih elementih so slonele prav na podobnem fenomenu, ko so steklo prevlekli s snovjo, ki ima lomni kolicnik manjsi od lomnega kolicnika stekla.) Bel pesek na dnu tolmuna s cisto vodo pa morda lahko odbija toliksno kolicino svetlobe. Na zraku ravno steklo pri pravokotnem vpadu odbija kakih 8 odstotkov svetlobe, pri posevnem vpadu pa seveda se vec. To lepo vidimo ob soncnem zahodu.
Vprasanje 44: Kako daleš se zdi migotanje zraka nad cesto med pripeko? in 45: Zakaj je nebo modro? spet pokazeta avtorjevo znanje fizike; pri zadnjem je tudi nekaj dimenzijskih in podobnih argumentov, ki se jih matematik verjetno ne bi spomnil. Fizik, ki pozna rezultat, pa s tem nima problemov. Vprasanje 48: Zakaj se oblak kovinsko sveti? se mi je zdelo zelo zanimivo, saj iridescenco na oblakih okrog sonca pogosto vidimo. V zadnjem odstavku na strani 98 se avtor nekako ne more odlociti, ali bi napisal formulo za jakost uklonjene svetlobe ali ne; govorjenje o uporabi Besselove funkcije je zato se manj jasno, posebno za tistega, ki o tem nic ne ve.
V naslednjih vprasanjih avtor zelo izcrpno obdela mavrice, halo (obroc) okrog sonca in svetlobni (soncni) steber. To so teme, o katerih sta pisala tudi OMF in Presek. Knjiga ima v sredini barvno prilogo z lepimi fotografijami teh in drugih pojavov. Avtor sam rad prispeva tovrstne slike za spletno stran Earth Science Picture of the Day (EPOD) [3]. Sledi opis sosonca
(parhelija), zenitnega loka in glorije. (Mimogrede, se danes obžalujem, da sem pred leti zadnji dan potovanja porabil poslednji film, na poletu nazaj pa zato nisem mogel slikati krasne glorije okrog sence nasega letala na oblaku.)
Posebno poglavje je posveCeno modeliranju oblike ptiCjega jajca. Obdelani so razni naCini. Eden od njih je podoben tistemu, ki ga je uporabil Tine Golez v [2].
Poglavje V (ALI NA) VODI obsega priblizno trideset strani. Obravnava migljajoCe odseve sonca na vodni gladini in vse mogoCe o valovih: v plitvi in v globoki vodi, o energiji valov itd. Poglavje se konCa z vprasanjem 72: Kako lahko iz ladijske brazde sklepamo, daje zemlja okrogla? (in Celo oCenimo njen polmer).
Naslednje poglavje nosi naslov V GOZDU. Vprasanje 79: Kako visoko lahko zrastejo drevesa? ima razlago, ki sem ji tezko sledil. Laze je razumeti vprasanje 80: Koliko sence daje sloj listov sloju pod njim?, pa zgodbo o neprosojnosti gozda in o rasti bul na drevesu.
Poglavje V NARODNEM PARKU prinasa mnogo informaCij o reCnih meandrih, tudi podatke raznih meritev teh reCnih oblik. Poglavje NA NOČNEM NEBU vsebuje med drugim razlago magnitude zvezd, preprost model zvezde in zelo zanimivo modeliranje sonCnega mrka . . . Na konCu imamo studijo hoje.
Zaustavimo se se pri obravnavi starega hrasta kot fraktalnega objekta. Tu avtor privzame, da se vsaka veja s polmerom r razCepi v dve veji s polmeroma ri in r2. Iz rokava privleCe (brez pojasnila), da je
r3 = rl + r3.	(1)
Takoj nato privzame, da je r1 = r2, torej r1 = 2-3 r. Predpostavi, da ima deblo premer 1 m, najtanjsa veja pa 1 mm. Torej je razmerje polmerov 101 ^ 210 = (23)l0, kar pomeni, da je razvejitev priblizno 30. (Iz meni nerazumljivih razlogov avtor v raCunih operira z 0,794 namesto z 2-3). Ta model nato uspesno uporabi na zivalskem ozilju. Kot pravi, je tipiCni premer najtanjse zile - kapilare - 5 mikronov. Pri psu ima najdebelejsa zila morda premer 5 mm. Spet je razmerje polmerov 101 in imamo tako priblizno trideset "generaCij" razvejitev na dve zili. Imamo torej (priblizno) 2l0 = (210)1 ^ (101)1 = 109 kapilar, Ce zaCnemo z eno samo najdebelejso zilo. Ker imamo pri vsaki razvejitvi podvojitev, je skupno stevilo zil priblizno enako
30
^ 2n = 2l1 - 1 ^ 2 ■ 109.
ra=0
To se dobro ujema s podatkom 1,2-109 zil iz (starejse) literature. Šumim, da je avtor ta račun najprej naredil za zilni sistem in sele nato presel na hrast - ker pač drevo bolj ustreza naslovu te knjige. Nato se vrne k hrastu in naredi se eno predpostavko. Obstaja naj stevilo 0 < a < 1, tako da se vsaka veja z dolzino L razčepi na dve veji z dolzino aL. Ce je dolzina debla Lo, je torej dolzina vseh vej plus dolzina debla
(2a)"Lo ^^2!^!--! lo.
n=l
Pri a = 3 in L0 = 3 m dobi tako skupno dolzino vej 67 km. Pri a = 7 pa kar 100 000 km. To je ze na prvi pogled nerealno in spominja na potega-vsčino. Pogoj (1) meje nekako navajal na misel, da bi pri vsaki podvojitvi, če bi razdeljeni veji bili kot prostorska objekta podobni začetni, vsota prostornin obeh razdeljenih vej bila enaka prostornini začetne veje. Avtor sičer privzame nekaj malče drugačnega. Pa sledimo avtorjevi predpostavki in si se mi privosčimo manjso poenostavitev, in sičer, da je vsaka veja valjaste oblike, s polmerom r in dolzino L. Razčepi se na veji s polmerom vi = 2- 3 r in dolzino aL. Vsota prostornin teh dveh vej je
2 3 aLnr2,
kar je prostornina začetne veje, pomnozena s k = 2 3 a. Pri a = | je k ^ 1,10243... > 1 in bi torej vsaka nadaljnja generačija vej imela večjo prostornino in torej po vsej verjetnosti tehtala več kot prejsnja, kar je ze samo po sebi rdeči alarm. Škupna prostornina vseh vej bi torej bila več kot tridesetkratna prostornina debla, natančneje bi prostornina lesenih delov bila
30	k3^ 1
Vo ^ kn = Vo	^ 191 ■ Vo - 450 m3,
n=o	k "1
saj je prostornina debla Vo = 3n m3. To je le nekoliko pretirano - čeprav so v debelih drevesih lahko prečejsnje količine lesa, kot bomo videli. Vse skupaj je dobra ilustračija avtorjeve začetne ugotovitve, da imajo modeli omejitve in da jih moramo primerjati s stvarnostjo.
Še primer iz slovenske stvarnosti. V vasi Malenče v blizini Kostanje-viče na Krki, na robu zasčitenega Krakovskega gozda, stoji na Cvelbarjevi domačiji drugi največji hrast dob v Sloveniji. štar je kakih 350 let, obseg debla je 7 m. Premer debla (v visini prsi) je torej več kot dva metra. Pred
tremi desetletji je vihar odlomil eno od najvecjih vej. Gospodar domacije je povedal, da je bilo v odpadli veji okrog stiri kubike uporabnega lesa. Na-sel sem kratek video o tem drevesu [4]. (Mimogrede: Ta hrast ima sreco, da stoji v vasi. Precej drugih debelih hrastov na tem zascitenem podrocju je bilo zadnje leto ilegalno posekanih. Lesni tatovi ocitno dobro ocenjujejo prostornine dreves. Dobili so krila, saj v podobnem primeru pred leti kljub odkritim storilcem in trdnim dokazom z DNK nihce ni bil obsojen. Poplavni Krakovski gozd je cudovit, ko zacveti spomladi - v drugi polovici aprila. Vendar vzemite skornje in ostajajte na oznacenih poteh. Ena od njih se imenuje po izumitelju ladijskega vijaka inzenirju Resslu, ki je bil gozdar na tem podrocju in je dal izkopati vec kanalov v gozdu. Poleti in v zgodnji jeseni pa boste le bezali pred komarji.)
Vrnimo se h knjigi. Imamo se Kratek slovar matematišnih pojmov in funkcij. Avtor namesto rotacijski elipsoid uporablja besedo sferoid. Z opisom Besselove funkcije Ji se avtor ni ravno potrudil, povrhu pa je uporabil sliko, na kateri so se druge (nepotrebne) funkcije.
Ce strnem svoje ugotovitve: Avtor je napol fizik, napol matematik. To ima mnoge dobre strani, saj bi zelo tezko nasli matematika, ki bi toliko vedel o fizikalnem ozadju pojavov v naravi. Po drugi strani avtor razume matematicni nacin razmisljanja in se mu vecinoma dobro prilagodi. Zgoraj sem navedel pac vse (po mojem) vprasljive stvari v knjigi. Kot sami vidite, za tako obsezno knjigo tega res ni veliko. To je tudi zasluga prevajalke, ki je v soglasju z avtorjem popravila nekaj stvari iz originala. Veliko je vreden tudi obsiren seznam literature. Predvsem pa bralca pritegne avtorjevo navdušeno preuCevanje raznih, nevajenemu oCesu tudi komaj opaznih stvari in pojavov v naravi. Tisti z manj znanja matematike ali fizike bodo morali kaj preskociti. Vsak, ki bo prebral vsaj nekaj te knjige, pa bo prihodnjic na izletu ali sprehodu verjetno pozoren na nove stvari in bo tako od dozivetja narave imel vec.
LITERATURA
[1]	John A. Adam, A Mathematical Nature Walk, Princeton University Press, Princeton 2009, 246 str.
[2]	T. Golez, Prizemljitev infinitezimalnega računa,, Zavod sv. Stanislava, Ljubljana 2012, 64 str.
[3]	Earth Science Picture of the Day (EPOD) http://epod.usra.edu/, ogled 5. 12. 2013.
[4]	Malence http://www.youtube.com/watch?v=Kcy0kq_DCnE, ogled 5. 12. 2013.
Peter Legiša