i
i
“1373-Slivnik-Razrez” — 2010/7/27 — 14:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 26 (1998/1999)
Številka 3
Strani 130–132
Tomaž Slivnik ml.:
RAZREZ KOCKE
Ključne besede: matematika, geometrija, kocke, razrezi.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1373-Slivnik.pdf
c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
RAZREZ KOCKE
Kvadrat lahko raz reže mo na 21 manj ših kvadratov, ki so med sab o vsi
različni :
27
35
50
8
19
11
15 17
6
9 I 7
24
25 18
29
16
4
42
37
33
Slika 1.
Ta razrez je let a 1978 našel A. J. W . Duijvestijn, slika pa je vzet a iz knjige
B. Bollobas , Graph Th eory, An introductory course, Springer-Verlag, 1979
(stran 34, slika 1). Dokažemo tudi lahko, da kvadrata ni mogoče razreza t i
na manj kot 21 neskladnih kvadratov.
Mat ematika
V t em pri sp evku pa bo mo pokazali , da se kocke ne da razreza ti na
manjše kocke, ki bi bile med sabo vse različne.
P a recimo, da bi bilo to mogoče. P redpostavimo, da je K kocka,
razrezana na n 2': 2 paroma neskladnih kock Ki , . . . , K n .
Pokazali bomo, da naš razrez vsebuje vsaj n + 1 kock. To protislovje
bo pokazalo, da t ak razrez ne obstaja.
Naj bo L i najmanjša med kockami Ki , ... , K n , ki leži na spodnji
ploskvi kocke K .
Opazimo, da Li ne more biti v kotu kocke K. Recimo, daje. Kocko K
zasučimo tako, da Li leži v njenem sprednjem levem kotu. Kocka , ki
leži na spo dnji ploskvi K poleg Li na njeni desni st ra ni (njena desna
"soseda"), je večja kot L i in zato utesnjuj e njeno zadnjo sosedo v prost or,
v katerega ne moremo spravit i kocke, večje od Li. Tod a t udi zadnja
soseda Li je večja kot Li . To protislovje nas prepriča, da Li res ne more
bit i v kotu kocke K.
Prav tako vidimo, da se L i ne more dotikati rob ov kocke K. P a
predpostavimo, da se dotika enega od robov. K zasučimo tako, da se Li
dotika njenega sprednjega roba. Vemo , da Li ni v kotu in ima zato levo
in desno sosedo . Ti sosedi sta obe večji od L i in zato utesnjujeta zadnjo
sosedo kocke Li v pros tor, v katerega ne moremo sprav it i kocke, večje od
L i . Toda spe t je zadnja soseda Li večja kot L i. To protislovje pokaže,
da se Li res ne more dotikati robov kocke K .
Torej mora spodnja ploskev kocke L i v celot i ležati v notranj osti
spo dnje ploskve K . Ker so vse sosede Li večje od nje, je Li ogr aj ena s
kockami , ki so višje od nje (kot na sliki 2).
pogled od zgo raj pogled od spo da j
Slika 2. LJ je ogra jena s kockami , ki so večje od nje .
Torej obstaj a vsaj ena kocka med Ki , ... , K n , ki leži nad Li. Poleg
tega mora biti spo dnja ploskev vsake kocke K i, ki se dotika notranj osti
zgornje stranske ploskve Li , v celot i vsebovana v zgornji ploskvi Li'
Pa naj bo Lz najmmjiia med kaekami Kl, .. . , K,, ki Mi na agomji 
stranski plod& L1. Kot v prirneru razmideh za L1 vidimo, da 1;1 ne I& 
ne v kotu ne na robu zgomje ploskve L.1. Spodnja ploskev & je torej v 
celoti mbovana v notrctnjd ago4e  ploskve L1. Ker je 151 naj- 
kocka, ki 1& na sgornji ploakvi L1, je tudi Lz ograjena, s kockaslf, ki M j o  
na l%orqji ploalrvi Ll in so viiije od b. 
2daj je jasno, kako nadaljuj- na enak n&h, kot smo naiSli L1 
in L2, poieEemo b kocke L3,. . ,&,+I. &+I najdemo kot najmaqjso 
bcko, ki le3i na zgorqji p l o t h i  Li. Spet v i b ,  da le%i spodqja plo- 
skev Li+l v doti v notranjaati zgornje plaskve Li in da mora biti Li+l 
ograjena 8 kockami, ki l&jo na zgomji plcrskvi Li in ki so vi@e od Li+l 
(d=2,3 ,..., n). 
P O W  sm0, da med m&mi n kockami Kr,.  ., K, laUo najdemo 
a + 1 razliEnih kack, ki Mijo e m  vrh dru@;e. To protidmje dokarmje, da 
r m  ko& K na lroGke Kl,.  ., K, sploh ne obstaja. 
?brej ae kdGka res ne da raarezfati na k0nEn.o mnogo manjsih kock, ki 
so med mbo vse razlihe, 
Za bnec pa bralam dav l jam b tri v p r ~ a :  
Vpr-e 1: V naiZem do- smo predpostavili, da mmjo  biti s t m  
n i c e ~ v ~ u ~ n a b A & l o m n o g l o ~ k o c k ~ s  
stranicami celotne bcke. Ali via, kje amo to predpmtavili? Ali je nab 
predpostavka ntemeljena?