Filozofski vestnik Letnik/Volume XXIII • Številka/Number 1 • 2002 • 25-51 
K A K O L A H K O A P L I C I R A M O 
M A T E M A T I K O N A SVET? 
ANDREJ ULE 
V razpravah o matematiki se v e d n o znova zastavlja vprašanje, kako to, da lahko 
matematiko oz. matematične strukture tako d o b r o in natančno »apliciramo 
n a svet«. T o j e še zlasti aktualno danes, ko lahko na nekaterih področ j ih zna-
nosti d o l o č e n e zakonitosti predstavimo zgolj matematično, ker vsa druga in-
telektualna sredstva preprosto o d p o v e d o (npr. v mikrofiziki ali v kozmologi -
j i ) . T o vprašanje so si zastavljali že antični filozofi, zlasti Platon. Platonov pred-
l og rešitve tega vprašanja j e klasičen in v do ločen i meri še danes zanimiv. Po 
Platonu j e namreč matematika najbližja p o d o b a idej. Je »umski odraz« idej, 
za razliko o d empir ičnih stvari, ki so zgolj čutna in zato manj popo lna p o d o b a 
idej, k o t j e matematika, kot ugotavlja Platon v 6. knjigi Države (Platon, 1995). 
Če zanemar imo nižji ontološki položaj stvari pojavnega sveta v primerjavi z 
matematičnimi stvarmi, kar za nas v tej razpravi ni p o m e m b n o , imamo torej 
nekakšno trikotniško strukturo razmerij: 
Ker sta matematika in pojavni svet dva odraza idej, sta seveda m e d seboj 
tudi nu jno povezana, čeprav ta zveza ni neposredna. Pojavni svet že zaradi 
tega, ker ni idealen in j e tudi p o d o b n o s t stvari in idej n e p o p o l n a podobnost , 
le v približku ustreza matematičnim arhetipom (Platon, prav tam). Kljub temu 
Platon ni nikoli dvomil , da temeljni zakoni kozmosa izražajo do ločena mate-
matična razmerja, za Platona so bila to razmerja m e d števili in razmerja m e d 
geometri jskimi liki. V dia logu Timajje utelesil to svoje prepričanje v veličastni 
matematično-metafor ični obliki (Platon, 1959, 31-36, 5 3 d - 5 5 c ) . 
Platonova rešitev uganke, zakaj lahko svet spoznamo s p o m o č j o matema-
tike, j e n a č e l o m a zadostna, če seveda spre jmemo d o m n e v o o obstoju idej kot 
ideje 
matematika pojavni svet 
2 5 
A N D R E / ULF. 
skupni podlagi matematike in empirične stvarnosti. Ostaja pa odprto novo 
vprašanje, čemu oz. zakaj imajo ideje dve vrsti p o d o b , umsko p o d o b o v mate-
matiki in čutno p o d o b o v empiričnih stvareh. Prav tako ni odgovor j eno na 
vprašanje, zakaj j e ravno matematika umski odraz idej. Platon še ni imel izde-
lanega po jma logike, zato ne vemo, kako s i je predstavljal razmerje med logi-
ko in matematiko. Kaj bi dejal, če bi bolje poznal logiko, vsaj aristotelovsko 
silogistiko? Ali bi j o prišteval k umskemu odrazu idej, ali bi j o podredi l , ali 
nadredil matematiki? 
Zanimivo je , da si niti v antiki niti v času sholastike niso zastavljali teh 
vprašanj. Vsaj za neoplatonike se zdi, da j e bila matematika zanje nekaj višjega 
kot logika, kajti matematika nam podaja čiste oblike ( f o rme) , medtem ko j e 
logika zgolj organon, orodje razuma, in ne samostojna sfera idealnih resnic 
ali bitnosti. Več spoštovanja d o logike najdemo že pri Aristotelu, še več pa pri 
stoikih, vendar so njihova pojmovanja razmerja med logiko in matematiko 
enako nejasna in nedoločna. 
Aristotel in njegovi nasledniki so prav tako kot platoniki zgradili svojo 
teorijo matematike in j o skušali odlepiti o d platonovske »paradigme«, a ta 
teorijaje po mojem mnenju nezadostna in v končni posledici vodi k ponovitvi 
platonovske sheme, le da namesto idej stojijo substancialne forme, ki so do-
stopne zgolj umski intuiciji, vendar pa k njim težijo vse stvari. Aristotel j e 
namreč domneval, da matematične resnice temeljijo na abstrakciji do ločen ih 
potez, recimo temu kvantitativnih potez form stvari, o d drugih, rec imo temu 
kvalitativnih potez. Pri tem j e tihoma predpostavljal, da sodijo kvantitativne 
značilnosti stvari in njihovih razmerij m e d skupne in splošne značilnosti vseh 
stvari. Te značilnosti ne odkriva kak posebni čut, temveč nekakšen skupni čut 
oz. skupnost vseh čutov. Razum lahko prepozna te skupne značilnosti in jih 
miselno loči od ostalih značilnosti. Razum obravnava te značilnosti v idealizi-
rani obliki, tj. zanemari nujna odstopanja o d čistih oblik pri konkretnih stva-
reh. Telo motri npr. kot da bi bilo zgolj geometrijsko telo, kot da bi bilo daljica, 
ploskev, kot da bi bilo nedeljivo ali deljivo itd. (Aristotel, 1999, 1076-1077) . 
Zato za Aristotela matematične oblike in razmerja nimajo samostojnega ob-
stoja nasproti realnim stvarem, kot j e to domneval Platon, temveč so samo-
stojne zgolj in abstracto. 
Aristotel ni imel težav pri razlagi aplikacije matematike na svet, kajti če so 
matematične lastnosti in relacije izvedene p o abstrakciji in idealizaciji do lo -
čenih kvantitativnih lastnosti realnih bitnosti, potem j e aplikacija matema-
tičnih resnic na realne bitnosti razumljiva. Aristotelje poleg tega vnaprej omejil 
uporabo matematičnih zakonov na tista območ j ih stvarnosti, kjer vlada stro-
ga pravilnost dogajanj, npr. stroga cikličnost gibanj itd. T o j e bil predvsem t. 
i. nadlunarni svet, medtem ko j e za Aristotela v podlunarnem (tj. zemeljskem) 
2 6 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
svetu matematika uporabna le v omejeni meri. Močan napredek matematizi-
ranih znanosti o d renesanse dalje j e seveda falzificiral takšno gledanje in po-
novno zaostril vprašanje o bistvu matematičnega in vprašanje o tem, zakaj 
lahko tako uspešno apliciramo matematiko na realni svet. 
Oč i tno j e , d a j e bilo Aristotelovo pojmovanje matematike zavezano raz-
meroma ozkemu dometu matematike, ki omejuje na formalni in idealizirani 
posnetek realnosti. Vendar že naravnih števil, in zlasti ne apriorne veljavnosti 
aritmetičnih zakonov, ne bi mogli »izpeljati« iz formalnih abstrakcij realnih 
urejenosti, ne da bi j ih že na tihem predpostavili kot splošno obliko linearne 
urejenosti na sploh. 
Kljub tem omejitvam tvegajmo in zabeležimo formalno p o d o b o Aristote-
lovega pojmovanja o razmerju med matematiko in svetom oz. formami real-
nih stvari. 
Pri tem sta smeri odnosov različni. Medtem, ko ljudje iz realnega sveta 
abstrahirajo matematične f orme ( inj ih potem znovaaplicircyo na njem), to-
rej so naša miselna konstrukcija in orodje, so substancialne forme relativno 
neodvisne o d posameznih bitnosti. So imanentni smoter gibanj, ki nekako 
narekujejo bitnostim kakšne naj b o d o oz. kaj naj postanejo. Vendar ta shema 
ne more vzdržati, m o r a m o j o dopolniti, kajti ni jasno, o d kod črpa matemati-
ka svojo apriorno in splošno resničnost. T o lahko pojasnimo le tako, če tudi 
matematične f orme navežemo na substancialne forme oz. na njihove poseb-
ne, tj. kvantitativne momente . Tega Aristotel v nam znanih spisih ni jasno 
izrekel, vendar to lahko predpostavimo. V nasprotnem bi se matematika spre-
menila zgolj v začasni miselni konstrukt, ki ga načelno ne bi mogli ločiti od 
kakih fantazij. Res pa je , da pri Aristotelu v matematičnem spoznanju ne gre 
za kake odraze p o sebi veljavnih razmerij in struktur čistih form, kot pri Plato-
nu. Če pa navežemo matematične forme na substancialne forme, se v bistvu 
vrnemo k že postavljeni trikotniški platonovski shemi razmerij med svetom, 
matematiko in o b m o č j e m apriornih resnic in zakonov. Edina razlika bi bila v 
tem, da so za Platona matematične forme predpostavljene svetu, za Aristotela 
pa so nekako izpeljane iz sveta. 
Za Platona j e svet, ontološko gledano, sekundaren tako glede na mate-
matične f orme kot glede na ideje. Človekov um matematične forme le odkri-
va, pri čemer so matematične hipoteze in konstrukcije zgolj pripomoček v 
tem odkrivanju, medtem ko p o Aristotelu ljudje matematične forme konstrui-
matematične forme substancialne forme 
forme realnih stvari 
2 7 
A N D R E / ULF. 
ramo glede na momente substancialnih form in so ontološko g ledano sekun-
darne glede na svet. Matematične forme živijo tedaj le v naši miselni abstrak-
ciji in konstrukciji, ne pa po sebi. Pa tudi substancialne f orme ne obstajajo 
neodvisno o d sveta, temveč so kot notranji smoter vsebovane v bitnostih do lo -
čene vrste. Aristotelov realizem form bi lahko skicirano označili kot realizem 
brez separabilnosti, Platonov pa kot realizem s separabilnostjo form. Podob -
no velja za matematične forme - tudi tu gre pri Aristotelu za realnost brez 
separabilnosti ( od individualnih stvari), pri Platonu za realnost s separabil-
nostjo. Oz. točneje rečeno, pri Aristotelu so matematični stavki stavki o idea-
liziranih, abstrahiranih potezah realnih stvari, pri Platonu pa so o hipote-
tičnih idealnih konstruktih, ki j ih o b tihem vzoru idej naredimo na osnovi 
nepopolnih realnih modelov. Je pa iz Aristotelovega pojmovanja matematike 
in logike razvidno, d a j e matematika neodvisna o d logike, kajti logika ima 
opravka s stavki (sodbami) in sklepi, matematika pa s idealiziranimi formalni-
mi momenti realnih bitnosti. Določena posredna zveza vendarle tudi tu ob-
staja, namreč toliko, kolikor so logični sklepi nekakšen abstrakten in forma-
len posnetek vzročnih relacij, te pa zopet temeljijo na strukturnih relacijah 
med substancialnimi formami bitnosti. Težko pa j e kaj več o d te blede po-
sredne zveze reči o odnosu med logiko in matematiko pri Aristotelu. 
Na naslednjo koherentno razlago aplikabilnosti matematike na pojavni 
svet je bilo treba čakati več kot dva tisoč let, namreč d o Kanta. Vse druge 
teorije so se namreč vrtele v Platonovi oz. Aristotelovi, torej konec koncev v 
Platonovi, senci. To še zlasti velja za racionaliste, le da so namesto Platonove 
»sfere idej« postavljali sfero čistih apriornih resnic, ki so dostopne razumu. 
Matematiko in logiko so imeli za dva nujna umska izraza teh resnic, pojavni 
oz. empirični svet pa se mora prav tako ravnati p o njih, ker so to najvišji zako-
ni vsakega možnega sveta. Najjasneje j e to misel izrazil Leibniz. Nekatere o d 
umskih resnic lahko uvidimo z intelektualno intuicijo, druge pa logično izpe-
ljemo iz njih. Te naloge človekov um ne more opraviti v celoti, pač zaradi 
svoje končnosti, toda neskončni, npr. božji um bi to lahko storil. P o m e m b n a 
novost pa j e vendarle Leibnizov izrecni logicizem, saj j e izrecno trdil, d a j e ma-
tematika izpeljiva iz logike oz. so matematične resnice izpeljive iz logičnih 
resnic. Po drugi strani pa j e zanj logiko m o ž n o izraziti z računom, namreč s 
simbolnim računom, ki ga j e Leibniz vztrajno, a zaman poskušal določiti vse 
življenje. Se ena Leibnizova zamisel j e zelo pomembna , namreč zamisel o ob-
stoju objektivnih strukturnih podobnosti med formalnimi zakoni, kot j ih po-
pišemo v kakem simbolnem izrazu ali stavku ter lastnostmi stvari in relacijami 
med stvarmi v stvarnosti. Te strukturne podobnost i so p o njegovem mnenju 
tudi podlaga za aplikacijo matematike na realni svet. Le ibniz je tako prvi po -
stavil idejo o izomorfizmu struktur, k i j e podlaga za uporabo simbolnih jezikov, 
2 8 
K A K O I A I I K O APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
m e d d r u g i m tudi matematike v svetu. Pri tem j e po jem s imbolnih jezikov raz-
širil daleč nad o b s e g tedanje matematike (gl. Leibniz, 1960,1966, 1996, več o 
tem Ule, 1997) . S tem j e preciziral Aristotelovo zamisel o abstrakciji formal-
nih lastnosti in relacij v matematičnih sodbah in pojmih. Vendar so njegove 
zamisli ostale skorajda n e o p a ž e n e kar dvesto let. Ponovno so oživele v začet-
kih m o d e r n e logike pri Boo lu , Schroderju, Peirceju in seveda Fregeju. 
Racionalisti so si že začeli zastavljati tudi vprašanja o natančnejšem raz-
mer ju m e d matematiko in logiko . Descartes j e npr. strogo razločeval m e d 
log iko in matematiko in imel matematične resnice za višje kot logične. Lo-
g ične resnice, kar j e p o m e n i l o tedaj zakone silogistike, j e imel za urejevalna 
načela razuma, urejajo namreč zaporedje idej, tako da si sledijo p o miselni 
nujnosti , matematične resnice pa za splošna načela »reda in mere« , tj. uredi-
tvenih struktur na sploh. T o d a izhajanje ene resnice iz drugih resnic za Des-
cartesa ni p o d v r ž e n o zgolj logiki, temveč tudi drugim apriornim nače lom, ki 
p a j i h ni p o d r o b n e j e pojasnil, imel pa j ih je za evidentna in razvidna (Descar-
tes, 1957, pravilo IV). Nasprotno j e Leibniz težil k zbližanju in poenoten ju 
logike in matematike, vsekakor j e poskušal obo je zvesti na neki skupni sim-
bo lni račun (mathesis universalis) (Leibniz, 1996). 
Empiristi nam g lede matematike in logike nimajo kaj dosti povedati. Ne-
kateri, kot j e npr. H o b b e s , so logiko in matematiko razumeli kot nekakšen 
račun po jmov , pri č e m e r so imeli logiko (y. v obliki tradicionalne silogistike) 
za nekakšno trivialno in n e p l o d n o metodo , namreč n e p o t r e b n o nadaljnje 
razlage. Po drugi strani so empiristi še sledili Aristotelovi ideji, da matematič-
ne lastnosti in relacije, k i j ih pr i legamo naravi, d o b i m o s p o m o č j o indukcije, 
abstrakcije in idealizacije iz empiričnih pojavov, pri čemer si p o m a g a m o z 
l o g i č n o analizo pojavov v enostavnejše elemente. Tu so nekateri priznavali 
č loveško ustvarjalnost, ki lahko ustvari s imbolno posredovane miselne kon-
strukte, za katere ni nu jno , da j i m karkoli ustreza v dejanskosti, pa vendar 
lahko igrajo p o m e m b n o v logo v izpeljavah in tudi v empir ičnem raziskova-
nju. V tej točki so odstopali o d tradicionalnega razumevanja matematike kot 
abstrakcije in idealizacije kvantitativnih lastnosti in relacij iz izkustva. Metoda 
analize in matematične konstrukcije j e bila skupna tako racionalistom kot 
empir istom, predvsem pa tedanjim naravoslovcem z Galilejem na čelu. Empi-
risti pa so poudarjali , da z matematičnim raziskovanjem narave ne iščemo 
kakih skritih bistev ali vzrokov, temveč odkrivamo zgolj razmerja m e d pojavi 
in ta razmerja op i su j emo s p o m o č j o matematično formuliranih zakonov. 
Kot poudar ja Cassirer, se v tem kaže m o č novo odkritega relacijskega in 
funkci jskega razmišljanja, za razliko o d aristotelovskega in platonovskega sub-
stancializma (Cassirer, 1911, str. 417).1 P o d o b n e misli lahko na jdemo tudi pri 
1 Bacon npr. piše, da se moramo v naravoslovnih razmišljanjih previdno držati le tega, 
2 9 
A N D R E / ULF. 
Galileju, ki velja za očeta novoveškega in m o d e r n e g a naravoslovja (gl. Cassi-
rer, 1911, str. 403-4 , Becker, 1998, str. 3 2 - 3 3 ) . V teh po jmovanj ih s e j e odra-
žala na n o v o odkrita kreativna in sistematična zveza metod i čnega eksperimen-
tiranja ter analize pojavov o b p o m o č i matematičnih formulaci j splošnih zako-
nov. Matematika s e j e kazala o b e n e m kot analitično in kot konstruktivno č lo -
vekovo sredstvo, orodje. Vendar j e ostalo o d p r t o vprašanje, zakaj j e u p o r a b a 
matematike v naravoslovju in tehniki sploh uspešna in zlasti, zakaj j e tako zelo 
uspešna. Splošno prepričanje, d a j e »knjiga narave napisana v jez iku matema-
tike« (Galilei), k i j e de lno obnavljalo pitagorejsko-platonovske p o g l e d e na 
matematiko, j e bilo pač premalo za to. 
Matematika 16. in 17. stoletja j e bila že tedaj tako razvita, d a j e razvijala 
svoje lastne simbolne kalkile, ki se niso več naslanjali na abstrakcije iz izkus-
tva. In ravno nekateri takšni kalkili so se že tedaj izkazali za zelo p l o d n e v 
naravoslovju (npr. razširitev po jma števil z imaginarnimi oz. kompleksnimi 
števili, analitična geometrija itd.). Zato nam zgolj sklicevanje na spretno ma-
tematično konstrukcijo ne more razložiti uporabnost i matematike v izkustve-
nem svetu. Nekateri empiristi so imeli veliko zadreg g l ede matemat ičnega 
naravoslovja. Znano j e , d a j e npr. Berkeley ostro zavračal N e w t o n o v o fiziko 
predvsem zaradi njene »spekulativne matematičnosti« , tj. aplikacije infmite-
zimalnega računa (v Becker, 1975, str. 156 -8 ) . Niti racionalisti, niti empiristi 
niso našli zadovoljivih odgovorov na to vprašanje. V kol ikor so ga sploh tema-
tizirali, so nanj praviloma odgovarjali v okviru platonovskih ali aristotelovskih 
»trikotniških« mode lov odnosov m e d matematičnimi in naravnimi (empirični-
mi) strukturami oz. oblikami. 
V drugačno smer s e j e podal šele Kant. Matematiko j e opr l na apr iorne 
strukture čistega zora, tj. prostorskega in časovnega zora. Geometr i ja ustreza 
apriorni strukturi prostora, aritmetika apriorni strukturi časovnega reda, na 
geometrij i in aritmetiki pa temelji vsa preostala matematika. Ker j e p o Kantu 
čisti zor o b e n e m apriorna zmožnost zavesti in p o g o j možnost i za nastop poja-
vov kot stvari v svetu možnega izkustva, j e s tem tudi po jasnjeno , zakaj so ma-
tematične resnice same p o sebi apriorne in zakaj so tudi nujne resnice za 
izkustveni svet. P o d o b n o kot za zakone narave p o Kantovi teoriji velja, d a j i h 
postavlja čista zavest (natančneje, čisti razum) , ne pa, d a j i h narava zastavlja 
kar realno obstaja, vendar pa nas to ne sme ovirati pri iskanju enostavnih narav s pomočjo 
matematičnih razmišljanj. Tako lahko »zapletene naloge prestavimo v enostavne, nesoiz-
merljive, v soizmerljive, iz iracionalnih v racionalne količine, iz neskončnih in meglenih 
v končne in gotove - kakor v primeru črk abecede in glasbenih not« (Bacon, 1939, II, 8). 
Govori o tem, da ima raziskovanje narave najboljše rezultate tedaj, ko začenja s fiziko in 
končuje v matematiki. Ne smemo se bati velikih števil ali majhnih delčkov. Kajti pri števi-
lih jih lahko tisoč razumemo kot eno samo ali pa razumemo tisoči del celega kot celo 
samo (prav tam). 
3 0 
K A K O I A I I K O APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
zavesti, tudi za matematične resnice velja, da j ih naravi zastavlja čista zavest 
(natančneje, čisto zrenje) , ne pa, da j ih narava zastavlja zavesti. 
Tudi pri Kantovi teoriji lahko prikažemo shemo odnosov med empirično 
stvarnostjo, zaves^o in matematiko: 
Zopet smo dobili značilno trikotniško strukturo, kjer določena vrsta aprior-
nih f o rm o b e n e m pogojuje apriorne forme realnosti in podpira veljavnost 
matematike. Za Kantovo teorijo j e značilna veliko tesnejša povezanost med 
izkustveno stvarnostjo in matematiko, kakor pri platonovski oz. platonovsko-
aristotelovski teoriji. Pri Platonuje zveza posredna in le približna, kajti empi-
rične stvari le približno ustrezajo idejam, matematika paj im ustreza popolne-
j e , ker so tako ideje kot matematične strukture umske stvarnosti, ki obstajajo 
onkr^y empirične pojavnosti. Pri Aristotelu j e zveza zopet posredna, čeprav 
nemara tesnejša kot pri Platonu. T o pa zato, ker so matematične strukture 
abstrakcija iz realnih form in idealizacija razmerij med temi formami in niso 
stvarnost p o sebi, onkraj čutnih form. Pri Kantu pa sta apriorna struktura 
prostora in časa in apriorna struktura čistega zrenja pravzaprav le dva vidika 
iste »transcendentalne« apriornosti, e n o j e apriorna urejenost čistega akta 
zrenja, drugo j e apriorna urejenost možnih predmetov tega zrenja. Kant j e 
p o d p o j m o m »zrenja« (Anschauung) dejansko združil tako intencionalni akt 
zrenja kot tudi njegov predmet (Kant, 1980, str. 111 sq). Če njegovo tezo 
izrečemo na način Husserlove fenomenologi je , potem bi lahko dejali, da so 
za Kanta apriorne forme noez čutnega zrenja strogo izomorfne apriornim 
formam možnih n o e m čutnega zrenja. Matematika na formalen način izraža 
apriorno skupno strukturo obeh vrst form. Odtod ne izhaja zgolj načelna 
aplikabilnost matematike na prostorsko-časovne stvari, temveč tudi apriorna 
veljavnost čiste matematike. Matematikaje zato sistem čistih formalnih resnic, 
ne zgolj logični rezultat določenih konvencij. 
Moramo pa ugotoviti, da Kant s svojo načelno rešitvijo vprašanja, kako j e 
m o g o č a čista matematika, še ni dokončno odgovoril na vprašanje, kako j e 
m o g o č e tako natančno, kakor npr. v newtonovski mehaniki, aplicirati mate-
matiko na naravo. Na to vprašanje j e Kant le delno odgovoril in to šele v 
Kritiki razsodne moči. Po njegovem potrebujemo nov princip, ki utemeljuje enot-
nost vseh empiričnih principov in utemeljuje tudi možnost sistematičnega 
apriorne forme 
čistega zrenja 
apriorne f 
prostora in časa matematika 
3 1 
A N D R E / ULF. 
ujemanja m e d njimi. Ta princip j e p o Kantu v tem, da g l e d a m o na naravo kot 
na smotrno urejeno celoto , in to tako, da se sestav narave u jema z našimi 
spoznavnimi zmožnostmi (Kant, 1999, str. 20, 23 -25 , 336) .2 Ta ure jenost ni 
zagotovljena z samimi transcendentalnimi principi m o ž n e g a izkustva, saj bi 
se prav lahko zgodi lo , pravi Kant, da bi bila lahko narava tako neznansko 
mnogovrstna in heterogena, d a j e ne bi mogl i natančneje spoznati , pa čeprav 
bi spoznali transcendentalne pogo je možnega izkustva. Potrebujemo torej smo-
trno urejen sistem empiričnih zakonov, da bi bil lahko d o s t o p e n našemu ra-
zumu. Sevedaje zamisel ne-človeškega razuma le predpostavka in vodi lna ide-
j a v raziskovanju narave, ne pa dokazljiva trditev. 
V Metafizičnih osnovah naravoslovja pa j e Kant trdil, d a j e v naravoslovju le 
toliko dejanske znanosti, kolikor j e v n jem matematike. T o pa zato, ker vsako 
naravoslovje potrebuje neki apriorni del kot svojo pod lago . V e n d a r se čisto 
spoznanje naravnih reči ne doseže zgolj skozi p o j m e , temveč n u j n o potrebu-
j e m o čisti zor. T o pa pomeni konstruiranje naravoslovnih po jmov , k i j e bistve-
n o matematično. Cista filozofija narave m o r d a lahko shaja brez matematike, 
ne pa filozofija (tj. znanost) o posebnih naravnih rečeh (npr . fizika ali ps iho-
logija). Tore j , kolikor več matematike n a j d e m o v kaki empir ični znanosti, 
toliko bolj znanstvena j e (Kant, 1957, str. 14 sq) . 
O p a z i m o lahko, da Kant ni m o g e l povsem brez dopo ln i ln ih predpostavk 
utemeljiti aplikacije matematike na naravo, tako da se de jansko razrahlja -
kot se kaže v navedeni trikotniški strukturi - na videz trdna in n e d v o u m n a 
povezava m e d matematiko in empir ičnim svetom. T o pa n j e g o v o » z g o d b o « 
p o n o v n o približa že znani platonovski matematični zgodb i o matematiki in 
svetu, pri čemer predpostavljeni »razum narave« stoji na mestu platonovskih 
čistih f orm, katerih odsev so tako matematične f o r m e kot tudi realne f o r m e . 
Tako platonovska oz. aristotelovsko-platonovska kakor kantovska filozo-
fija matematike kot tudi njuna rešitev vprašanja, kako lahko (tako d o b r o ) 
apliciramo matematiko na svet, sta doživeli veliko kritik in zavračanj, tako da 
imamo danes opraviti z mešanico njunih delnih o b n o v in njihovih preostan-
kov. Vprašanje je , ali smo namesto teh postavili kake trdnejše teorije, ali vsaj 
zanesljivejše načelne pog lede ali pa še v e d n o živimo v ruševinah in o d njih. 
Najprej lahko vidimo, da so vse tri prej navedene klasične rešitve — platonov-
ska, aristotelovska in kantovska - p o svoji formi t ipično »trikotniške« struktu-
2 Ko Kant govori o smotrnosti celotne narave, misli na smotrnost narave, v kolikor 
naravo presojamo glede na našo razsodno moč, tj. glede na umsko refleksijo, ne na objek-
tivno smotrnost narave. Gre za »formalno smotrnost«, ki j o le privzamemo, ne dokazuje-
mo. Čeprav z njo ni utemeljeno »ne teoretično spoznanje narave ne praktično načelo 
svobode«, je s tem privzetkom dano načelo, kako naj iščemo zakonitosti za posebna izkus-
tva, tako da vzpostavimo koherenco izkustva (prav tam, str. 336). 
3 2 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
re. Glavna idejaj im j e , da sta tako matematika kot realni svet nekako navezani 
na neko skupno formalno osnovo, ki daje matematiki značaj splošnih in nuj-
nih formalnih resnic, empiričnim pojavom pa omogoča objektivni obstoj ter 
j ih medsebo jno veže z najsplošnejšimi in nujnimi vezmi. 
P o m e m b e n odmik o d trikotniških struktur, ki naj razložijo apriornost 
matematike in njeno splošno aplikacijo na svet, j e predstavljala Fregejeva (del-
na) vezava matematike na logiko. Frege sicer ni uspel v ambiciji, da bi logično 
izvedel aritmetiko iz logike, ker j e njegov sistem zašel v zanj nerešljivo proti-
slovje (antinomija množic ) , a če bi uspel, bi dobili v bistvu naslednjo struktu-
logika 
matematika 
I 
svet 
Po Fregeju vse tiste matematične discipline, ki izhajajo iz pojma števila 
(aritmetika, algebra, analiza), izhajajo iz logike, del matematike, namreč geo-
metrija, pa predstavlja samostojno apriorno-sintetično znanost. Zato sem v 
svoji grafični ponazoritvi »matematiko« nekoliko odmaknil od logike, vendar 
ne povsem. Ker vse znanosti predpostavljajo logiko in s tem razne logične 
zakone, s tem eo ipso predpostavljajo tudi veljavnost tistega dela matematike, 
ki izhaja iz logike. Aplikacija matematike na svet j e tedaj le poseben primer 
aplikacije logike, ki pa j e tako ali tako nujna predpostavka vseh znanosti. Ni 
potrebno, da bi bila matematika neki sekundarni odsev idej, svet pa prvotni 
odsev, kot j e bilo pri Platonu, niti ni potrebno, da bi matematične resnice s 
p o m o č j o abstrakcije in idealizacije nekako izpeljevali iz realnih form. Zadnje 
de loma velja le za geometri jo, ki izraža apriorne forme prostora (Frege, 1973, 
1987, 42 -44 ) . Frege ni pisal o tem, kako lahko apliciramo geometrijo na real-
ni svet. Morda se je strinjal s Kantom, da geometrija izraža nujne pogoje možno-
sti prostorske eksistence realnih pojavov. 
Se en namig nam lahko pomaga pojasniti Fregejevo gledanje na odnos 
logike-matematike in sveta. Po Fregeju ne moremo govoriti o dejstvih kot o 
nečem različnem od smislov oz. misli. Kot eksplicitno pravi v spisu » O misli«, 
so dejstva zgolj resnične misli (Frege, 1976, str. 50), pri tem pa j e misli razu-
mel kot objektivno veljavne in p o sebi obstoječe smisle stavkov. Če npr. astro-
n o m pri astronomskem odkritju uporabi neko matematično resnico, potem 
to lahko stori zato, ker tako matematična resnica kot astronomsko dejstvo 
brezčasno obstajata neodvisno od človeka kot »dejstvi« v kraljestvu misli in sta 
na ta način brezčasno povezani med seboj (prav tam). Dejstva le odkrivamo, 
ne pa ustvarjamo. 
3 3 
A N D R E / ULF. 
Frege se torej ne bi strinjal z mislijo, da svet sestoji iz dejstev ali vsebuje 
dejstva, ta pa potem odražamo v mislih in stavkih, razen če ne bi ves svet 
spremenili v nekakšno vseobsežno »misel«, ki ustreza celoti vseh resničnih 
misli. Glede tega nam j e Frege zapustil premalo sledi, da bi lahko natančno 
rekonstruirali njegovo stališče. V kolikor bi veljalo, d a j e svet sam morda le 
celota misli (»in ne stvari« - bi dodal Wittgenstein), potem j e seveda p o sebi 
razumljivo, da matematične oz. logične resnice »apliciramo« na svet, saj gre 
preprosto za logična razmerja med bolj in manj splošnimi resnicami. 
Vendar tudi s to shemo ni pojasnjeno, zakaj se tako d o b r o obnese jo po -
sebne in visoko »konstrukcijske« matematične teorije, začenši z infinitezimal-
nim računom. Kako to, da naš um zagrabi kakšno začasno povsem abstrakt-
no, na videz neuporabno teorijo, ki pa se čez nekaj časa, morda celo čez več 
kot sto let, izkaže za izvrstno orodje znanosti? Na to vprašanje Fregejev logici-
zem, in tudi vsak drug logicizem, ni dal pametnega odgovora. 
Sodobni filozofi v glavnem zavračajo ali vsaj m o č n o dvomijo v obstoj neke 
matematiki in svetu skupne idealne apriornosti. Takšna predpostavka velja za 
»metafizično« v slabšalnem pomenu. Zlasti logični pozitivisti so bili smrtni 
sovražniki tovrstnih zamisli. Le pri Husserlu in nekaterih f e n o m e n o l o š k o 
usmerjenih avtorjih najdemo odmeve klasične trikotniške rešitve. Pri Husser-
lu npr. v zamisli kategorialnega apriorija in kategorialnega zrenja, ki j o j e 
razvil že v Logičnih raziskavah, izrecno pa to rešitev razvija npr. v svojih zgod-
njih predavanjih o logiki in splošni teoriji znanosti iz let 1911-12 (Husserl, 
1996, str. 274-8) . Ta dva med drugim utemeljujeta apriorno resničnost mate-
matike in njeno ontološko pomenljivost in sicer kot sestavino najsplošnejše 
formalne ontologije. Toda to še zdaleč ni bil odgovor na vprašanje, kako j e 
mogoče uspešno in natančno matematično naravoslovje, kot ga pozna npr. 
moderna fizika. Husserlova kasnejša razmišljanja o tej temi bi še najlaže pri-
merjal z Aristotelovimi. Oba imata namreč matematične strukture za abstrak-
cijo kvantitativnih ali relacijskih značilnosti o d konkretnih značilnosti poja-
vov in njihovo idealizacijo v neki navidezno samostojni formalni svet. Pri Ari-
stotelu je bilo izhodišče abstrakcije polje konkretnih substanc, njihovih last-
nosti in odnosov, pri Husserlu pa primarni življenjski svet (gl. npr. Husserlo-
va izvajanja o čisti geometriji v njegovih »Vprašanjih p o izvoru geometri je« , 
1998). 
Husserlov učenec in filozof matematike O. Becker j e p o obsežni zgodo -
vinsko-filozofski raziskavi ontoloških temeljev matematike svoje delo zaključil 
z mislijo, da moramo poleg transcendence predmetnosti glede na zavest upo-
števati še e n o transcendenco, namreč božjo. Neposredno se sklicuje na Kan-
ta, kije prav tako domnevo o smotrni povezavi vseh naravnih zakonov podprl 
z ad hoc idejo božjega razuma, ki »ureja« svet (za Kanta j e to le izhod v sili, tj. 
3 4 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
domneva, k i j e nikoli ne m o r e m o dokazati ali ovreči. Je le Ideja, ki vodi razi-
skovalce narave k novim spoznanjem). Becker se sklicuje tudi na Husserla, ki 
j e v Idejah prav tako naznačil možnost boga kot transcendentnega bitja, ki 
»uredi« svet v kozmos in prepreči zmago kaosa (Becker, 1973, str. 327 sq, 
Husserl, 1997, 58. pogl . ) . Vendar j e razmišljanje o bogu hitro zaključil z ugo-
tovitvijo, da sodita po jem in obstoj boga v epoche fenomenološke redukcije, 
torej ga mora f e n o m e n o l o g opustiti iz svojih raziskav. Vprašanje se tako izteče 
nazaj v metafiziko, o d katere želijo fenomenologi pobegniti. Becker priznava, 
da je s tem naznačen tudi nerešeni del vprašanja, o načinu obstoja matematič-
nega. T o pomeni , da se vrača v platonovsko-aristotelovsko verzijo trikotniške 
rešitve problema. 
Logični pozitivisti so zavračali tudi apriorni status matematike (in včasih 
tudi logike) in j o p o večini spreminjali v določene sisteme aksiomskih kon-
vencij, pravil in logičnih izpeljav iz njih. T u j e prednjačil zlasti R. Carnap, ki se 
j e skliceval na Wittgensteinov Traktat m njegovo kasnejšo teorijo »sintaktičnih 
jezikovnih sistemov«. Za Carnapa j e bila matematika zgolj eden od sintaktič-
nih sistemov s povsem abstraktnimi pravili. Pri tem ni popo lnoma nič važen 
morebitni vsebinski p o m e n teh znakov, temveč zgolj pravilnost ali nepravil-
nost računanja z znaki (Carnap, 1968). Kasneje j e Carnap k sintaksi dodal še 
semantiko oz. mode le (interpretacije) sintaktičnih kalkilov (Carnap, 1959), 
vendar tudi s tem ni povrnil matematiki njene apriorne veljave in nepoljub-
nosti, kajti interpretacije in modeli sintaktičnih sistemov niso enolično dolo-
čeni, niso univerzalni. Lahko rečemo le to, da če se neka matematična teorija 
uspešno uporabi v kakšni empirični teoriji, kot sestavina njenega teoretskega 
dela, to pomeni , da se v model ih te empirične teorije skriva tudi neki model 
ustrezne matematične teorije. Toda od realnosti do modela teorije j e še ved-
no potreben nadaljnji konstrukcijski preskok, zato ne m o r e m o reči, da smo 
aplicirali matematiko na dejanskost, temveč smo kvečjemu določen vidik ali 
izsek dejanskosti podali v takšni obliki, da predstavlja model matematične 
teorije. Tu se vedno skriva element konvencionalnosti, izbire jezika, opisa itd. 
Carnapu se j e morda zdelo, da j e s tem vprašanje aplikabilnosti matema-
tike na svet spremenil v trivialno, namreč v vprašanje izbire sintaktičnega si-
stema in njegovega modela. Npr. za neko fizikalno teorijo »izberemo« mate-
matično teorijo grup, v posebnem, eno o d mnogih simetrijskih grup kot se-
stavino njenega teoretskega aparata. Izkaže se, da se ta teorija dobro potrdi v 
praksi, tj. daje pravilne in zelo natančne razlage in napovedi. 
Odgovor na vprašanje, kako smo lahko v tem primeru aplicirali določe-
n o strukturo grup in z njo vred teorijo grup na empirični svet, j e po Carnapu 
v tem, da smo iz sveta pojavov »izbrali« prav tak podsistem pojavov, ki vsebuje 
takšne značilnosti svojih pojavnih struktur, ki j ih lahko priredimo (preslika-
3 5 
A N D R E / ULF. 
m o ) formalnim strukturam teorije grup. T o j e v j e d r u kantovska rešitev, s to 
razliko, da namesto čistega razuma, ki »predpisuje« zakone naravi, sedaj stoji-
ta človeški izbiri - izbira teorije in izbira ustreznega empir i čnega podsistema. 
Namesto apriorno zagotovljenega in splošno veljavnega soglasja m e d mate-
matičnimi formami in prostorsko-časovnimi f o rmami pri Kantu, i m a m o pri 
Carnapu in neopozitivistih opravka z obs to j em preslikavne funkci je , ki presli-
ka del matematičnega aparata teorije v izkustveni svet. T a funkci ja ne m o r e 
zagotoviti splošne in nujne veljavnosti matematičnih resnic, saj pokriva kveč-
j e m u o m e j e n o definicijsko o b m o č j e empir ičnih pojavov. 
V p o s e b n e m primeru se lahko vprašamo, kako se matematični izrazi in 
formule prevedejo v empirijski jezik. Carnap tega pravzaprav ni nikoli kon-
sekventno izpeljal. Se najbliže temu cilju j e bil v svojem z g o d n j e m delu Logi-
čna zgradba sveta (1928). Tam j e poskusil na osnovi stavkov o čutnih podatkih 
posameznika izpeljati konstrukcijo ce lo tnega sveta. Pri tem j e moral p r e d p o -
staviti nekaj matematičnih po jmov v naprej , torej j ih ni m o g e l zvesti na čutne 
podatke (npr. po jem množice , ureditve, naravnega števila). Če v resnici ne 
m o r e m o zvesti celotne matematike na izkustvo (oz. izkustvene stavke), p o t e m 
j e vsaj del matematike »skupen« tako teoriji kot izkustvu. Vendar je prav to 
problem, ki ga vseskozi rešujemo, saj j e od loč i l en za s leherno aplikacijo ma-
tematike na svet. Vprašanje, kako j e m o g o č e aplicirati matematiko na svet, se v 
Carnapovi viziji spremeni v vprašanje, kako je m o g o č e , d a j e vsaj del matematič-
nih struktur skupen empiričnemu svetu in teorijam, ki ga razlagajo in opisujejo? 
Naj pr ipomnim, da tudi poskusi log ične izločitve vseh teorijskih termi-
nov iz teorij in redukcij teorij na čisto empir i j sko jedro , k i j e teoriji e m p i r i č n o 
ekvivalentno (kot je npr. Ramseyeva m e t o d a eliminacije teorijskih p o j m o v ) , v 
načelu ne uspejo izločiti vseh matematičnih oz. vseh abstraktnih terminov iz 
teorije.3 Če poskušamo p o teh metodah izločiti še matematične termine, p o -
tem nu jno zaidemo v o b m o č j e nepreg lednih predikatov drugega in višjih re-
dov (npr. predikatov nad množicami ali nad predikati prvega reda, predikati 
nad funkcijami itd.), ki j ih nikoli ne m o r e m o zaobiti s kako p o p o l n o in o d l o č -
ljivo logiko, ki bi se nanašala le na individué. Ob iča jne teorijske izraze, npr. 
»sila«, »masa«, »elektron« itd., sicer v prvem koraku el iminaci je tudi preobra-
zimo v ustrezne predikate in nato eksistenčno kvantificiramo nad njimi, ven-
dar se da vse te kvantifikatorje oz. vezane predikativne spremenljivke v nasled-
njem koraku analize preobraziti v kvantifikacije nad d o l o č e n i m i realnimi in-
dividui (npr. nad realnimi telesi ali prostorsko-časovnimi o b m o č j i ) oz. v veza-
ne individualne spremenljivke.4 Poleg tega tako ne m o r e m o odpraviti mate-
3 Podrobnejši prikaz te metode eliminacije teorijskih terminov si lahko bralec ogleda 
pri Stegmüllerju, 1970, str. 400-437, krajši prikaz tudi v Ule, 1992, str. 180-188. 
4 Tekoče znanstvene teorije ne potrebujejo bistveno več kot predikatno logiko prvega 
3 6 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
matičnih operaci j , ki se pogos to skrivajo v abstraktnih izrazih (npr. ulomki, 
p o t e n c e , koreni , o d v o d i itd.). 
Ce lo tako strogi empiristi in nominalistično navdahnjeni avtorji, kot sta 
npr. W . v. O . Q u i n e in H. Putnam, meni jo , d a j e n e m o g o č e izločiti matemati-
ko iz znanosti, še več, m o r a m o priznati obstoj vsaj nekaterih osnovnih ab-
straktnih objektov, kot so npr. razredi, relacije, funkcije.r ' 
Kljub vsem tem težavam obstaja nekaj p o m e m b n i h poskusov načelne eli-
minaci je abstraktnih matematičnih objektov iz naravoslovnih znanosti (nara-
voslovne znanosti so najbolj reprezentativni primer uporabe matematike v 
znanost ih) . M e d najbol j posrečenimi in najbolj doslednimi poskusi te vrste j e 
n e d v o m n o poskus Hartyja Fielda. Poskušalje zgraditi »znanost brez števil«. S 
tem j e skušal pokazati, da matematike ne potrebujemo kot teoretično ogrodje 
znanosti, temveč zgol j kot po jmovni in formalni instrument, ki nam olajša teo-
retske ali empir i čne izpeljave (Field, 1980). Njegova metoda j e v osnovi na-
slednja: vzemi d o l o č e n o empi r i čno teorijo, v kateri nastopajo matematični 
po jmi , f o rmule , stavki in poišči netrivialen in znanstveno zanimiv »nominali-
stični« preostanek te teorije, v katerem ni nobenih takšnih izrazov, po jmov, 
stavkov, temveč kot osnovni objekti nastopajo zgolj prostorskočasovne točke 
oz . prostorskočasovna o b m o č j a , kot lastnosti in relacije pa zgolj lastnosti in 
relacije teh objektov.'1 Nato do l o č i preslikave (vsaj naravni h o m o m o r f i z m a ) 
m e d tako nominal ist ično oč iščenim preostankom teorije in do ločenimi ma-
reda z identiteto, če seveda zanemarimo uporabo abstraktnih terminov, ki so bodisi po-
vsem matematični ali mešanica realnih in matematičnih terminov. Teorijski termini, ki 
bi presegali to dvoje, so »metafizični«, tj. ne moremo jim dati empirične vsebine, a tudi 
niso nujno potrebni za znanstvene razlage ali napovedi, tj. z njihovo pomočjo ne pridobi-
mo drugih resničnih stavkov kot brez njih. Več o tem gl. Carnap, 1956, Quine, 1961, 
Quine, 1992, str. 25-35. 
5 Gl. npr. argumente H. Putnama, ki se sklicuje tudi na Quina v njegovi Filozofiji logike 
(Putnam, 1979). Njegov argument bi lahko povzeli v dveh premisah in sklepu, namreč: 1. 
Moramo biti ontološko zavezani le takšni bitnosti, ki je nepogrešljiva (indispensable) v 
naših najboljših teorijah, 2. Matematične bitnosti so nepogrešljive v naših najboljših znans-
tvenih teorijah, torej smo ontološko zavezani matematičnim entitetam. Obe premisi sta 
za mnoge sporni. Prva zato, ker ni rečeno, kako daleč moramo iti z našo sprejemljivostjo, 
npr. kaj vse od zahtevnega in abstraktnega matematičnega aparata kake teorije moramo 
imeti za nepogrešljivega v kaki znanosti. Quine, Putnam in nekateri drugi teoretiki zna-
nosti menijo, da moramo sprejeti znanstvene teorije kot celoto, drugi temu oporekajo in 
menijo, da mora privzeti le določen del teorij, saj vemo, da npr. fiziki še zdaleč ne spreje-
majo vseh formalno uvedenih abstraktnih objektov kot fizikalnih entitet. Drugi premisi 
pa nasprotujejo oni, ki menijo, da lahko v načelu izločimo velik del ali celo ves matema-
tični aparat neke teorije, pa se to ne bo nujno poznalo v tistih stavkih teorije, ki imajo 
čisto empirično vsebino. 
r' Dejansko ne gre za popolni nominalizem, temveč le za izločanje abstraktnih univerza-
lij iz primarne ontološke strukture dejanskosti, Field namreč dopušča realne lastnosti in 
realne relacije ne-abstraktne vrste. 
3 7 
A N D R E / ULF. 
tematičnimi teorijami (npr. aritmetiko, teori jo realnih števil, teori jo m n o ž i c , 
teorijo vektorjev itd.), tako da d o l o č e n i m kompoz i c i jam, predikatom ali rela-
cijam nad prostorskočasovnimi točkami ali regijami ustrezajo d o l o č e n i mate-
matični ekvivalenti, npr. matematične entitete, lastnosti, relacije, funkcije, funk-
cionali itd. T o preslikavo p o zgledu Hilbertovega teorema reprezentaci je geo -
metrije v 3-D prostoru realnih števil imenuje tudi »reprezentaci ja« n o m i -
nalistične teorije v matematičnem (abstraktnem) ekvivalentu. Drug korak v 
tem postopku j e v tem, da pokažemo, da lahko d o l o č e n e kompleksne izpelja-
ve stavkov v nominalistični teoriji p r i d o b i m o tudi tako, da namesto teh izpe-
ljav izvedemo ustrezne matematične transformacije in izpeljave na ravni ab-
straktnega (matematičnega) ekvivalenta teorije in p o t e m rezultate teh trans-
formacij preslikamo nazaj v nominalist ično teorijo. Na k o n c u m o r a m o še p o -
kazati, da v tej teoriji ni n o b e n e izpeljave, k i j e ne bi mogl i v načelu doseč i že 
zgolj v nominalističnemu preostanku teorije in m o r d a še, zakaj j e ovinek sko-
zi matematični ekvivalent za nas pragmatično bol j pr imeren kot izpeljava zgolj 
na ravni nominalističnega preostanka teorije. Ta »recept« Field spretno in 
uspešno prikaže na metrični geometrij i 3D prostora, 4D prostora-časa in New-
tonovi klasični mehaniki.7 
Splošno vzeto, gre mu za to, da bi dokazal splošni konservativizem matema-
7 Vprašanje je, kako daleč gre lahko Field s to metodo. Nekateri kritiki, npr. M. D. 
Resnik, ugotavljajo, da Fieldov program ne more uspeti v nominalistični reformulaciji 
relativnostne in kvantne teorije, kajti vsebujejo veliko bolj zahtevno matematiko kot je 
Newtonova fizika. V kvantni fiziki npr. predpostavljamo neskončnodimenzionalni vek-
torski prostor (ti. Hilbertov prostor) in težko sije predstavljati neki nominalistično obse-
kani analogon tega pojma. Resnik dalje sprašuje, kako naj izgleda nominalistična reduk-
cija uporabe statističnih ipd. matematičnih metod za ocenjevanje hipotez zunaj matema-
tične fizike. Field po njegovem mnenju ni pokazal, kako apliciramo statistično sklepanje, 
natančneje, kako falsificiramo statistične hipoteze. Tu se ne bi smeli več sklicevati na 
verjetnost in sploh na nobena razmerja števil, saj moramo te nominalistično eliminirati. 
Tudi govor o »naključjih« ipd. ne pomaga, ker so tudi to abstraktne entitete. Statistične 
domneve gradijo na vzorcih dogodkov, na množicah stavkov ali možnostih itd., a vse to so 
matematične konstrukcije, ki slonijo na abstraktnih bitnostih (Resnik, 1997, str. 55-58). 
Nadalje bi moral Field uveljaviti svoj program tudi v metamatematiki, ne le v naravoslov-
nih znanostih. Field se sicer te naloge zaveda in skuša predstaviti svojo teorijo nominali-
zacije kot teorijo o konsistenci različnih teorij, nato pa izenači konsistentnost z logično 
možnostjo teorije. Tj., namesto, da rečemo, da obstaja tak in tak matematični objekt, 
rečemo, daje logično možno, da obstaja. To nas ne obvezuje k priznavanju obstoja tak-
šnega objekta, kot nas nič ne sili k priznanju obstoja enorogov, čeprav priznavamo, da so 
logično možni. Po Resniku to nasprotuje našim utijenim intuicijam glede matematike 
(poleg tega terja ustrezno nominalistično interpretacijo modalnosti, kar ne gre brez do-
ločene logike drugega reda, tj. kvantificiranja nad predikati in funkcijami). Končno Re-
snik ugotavlja, da Filedovo sprejemanje prostorsko-časovnih točk in območij kot osnov-
nih entitet ni načelno nič manj sporno kot sprejemanje obstoja kakšnih drugih standard-
nih matematičnih objektov (množice, števila itd.) (str. 59). 
3 8 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
tičnih teorij g lede na nominalist ično oč iščene teorije. Po Fieldu j e matema-
tična teorija M konservativna (glede na kako nominalistično teorijo oz. g lede 
na nominalistični opis dejanskosti) natanko tedaj, če za po l juben nominali-
stičen stavek A in p o l j u b n o m n o ž i c o nominalističnih stavkov N (iz dane no-
minalistične teorije) velja, da A ni logična posledica stavkov N + M, če ni že 
log ična pos ledica m n o ž i c e N. Ali rečeno drugače: M j e konservativna tedaj, 
če A izhaja iz izjav N + M, p o t e m izhaja že iz množice N same (gl. Field, 1980, 
str. 12).8 Iz Fieldove teorije izhaja, d a j e matematika strogo vzeto neresnična, 
čeprav koristna (str. 15). T o se ne ujema z običajnim prepričanjem, d a j e 
matematika apr iorno resnična. T o d a nasprotje m e d o b e m a izjavama bi lahko 
rešili s tem, d a j e matematika apriorno resnična le v toliko, v kolikor j o razu-
m e m o kot sestav p o g o j n i h izjav tipa »Če .. . , po tem . . . « ) , kjer v antencedensu 
nastopajo npr. izbrani matematični aksiomi in definicije, v konsekvensu pa 
kakšni matematični izreki, ki izhajajo iz njih. Kolikor pa bi gledali le konsek-
vense teh stavkov (in to ob i ča jno p o č n e m o , kadar uporabl jamo matematične 
stavke izven same matematike) , pa so ti praviloma neresnični, ker govori jo o 
abstraktnih objektih, ki ne obstajajo, temveč so kvečjemu naše idealizacije 
d o l o č e n i h realnih objektov. 
Fieldova m e t o d a razlikovanja konservativnih matematičnih reprezenta-
cij nominalist ičnih teorij v bistvu izhaja iz intuitivne domneve , da v empi-
ričnih razlagah kot premise razlage ne smejo nastopati matematično ali l og ično 
resnični stavki. Ti stavki namreč sodijo k pravilom oz. pos topkom izpeljave 
(dokazovanja) eksplanansa iz eksplananduma, saj veljajo v vseh možnih sveto-
vih (so apr iorni ) , torej ne prinašajo n o b e n e vsebinske resnice, ki bi kakorkoli 
in format ivno pogojevala razlago. Na banalni ravni to začutimo takoj, če nam 
npr . n e k d o skuša razložiti, zakaj j e nenadoma v košari le pet jabolk, malo 
pred tem pa j ih j e bi lo sedem in reče takole: 
» T o j e zato, ker sem pred tem dva vzel ven in ker je sedem minus dva enako 
pet.« Čut imo, d a j e on i matematični del razlage trivialen oz. odvečen, saj nam 
prav nič ne pove o svetu, tj. dejstvih in stanjih stvari, o katerih j e govora v 
razlagi. Pač pa zakon 7 — 2 = 5 po t rebu jemo zato, če želimo dokazati, da če j e 
b i lo v košari sprva sedem jabo lk in smo odvzeli dve ven, j e ostalo še pet jabolk. 
Natančnejši prikaz tega, kar s m o tu počel i , j e seveda bolj zahteven. 
Tudi tu na tihem p o t r e b u j e m o ustrezen matematični, abstraktni ekviva-
lent ugotovitve, da j e bi lo v košari sprva to in to' in to" in to'" in .... t o " " " 
8 Tu sem nekoliko poenostavil Fieldove formulacije, kajti on upošteva še spremembo 
kvantificiranih izjav v stavku A in stavkih N še tako, da se vse začenjajo z antecedensom, ki 
se glasi nekako takole: Ceje x število (ali kaka druga abstraktna entiteta), potem... Poleg 
tega mora Field dodati še zahtevo, da stavki N dopuščajo obstoj kakšnih ne-matematičnih 
objektov. 
5 9 
A N D R E / ULF. 
j abo lko in ugotovitve, d a j e bi lo nato m o r d a le to '" in to " " . . . in t o " " " j a b o l k o 
(pri tem naj nam indeksikalni izrazi obl ike to p o m e n i j o individualne kazal-
ke na posamezna jabo lka v košari). Ti dve ugotovitvi sta namreč povsem em-
pirični (opazovalni) in se v njih ne skl icujemo na abstraktne termine. Strog 
nominalist bi verjetno oporekal uporabi predikata » . . . j e j a b o l k o v košari«, 
kolikor bi le-ta impliciral neko množico ob jektov in ne zgolj nekakšno faktično 
ce loto objektov, a pustimo to p r i p o m b o za sedaj o b strani. 
Ugotovitvi, d a j e bilo sprva v košari to in to' in to" in to'" in ... . t o " " " j abo l -
ko, priredimo abstraktni ekvivalent, d a j e bi lo v košari 7 jabolk . Ugotovitvi, d a j e 
sedaj v njej le to'" in ... to""" jabo lko , pr iredimo abstraktni ekvivalent, d a j e 
sedaj v košari 5 jabolk. Trditvi, da sta bili iz košare odvzeti to in to' jabolko 
priredimo abstraktni ekvivalent, da sta bili odvzeti 2 jabolki . Na ravni abstrakt-
nih ekvivalentov imamo torej opravka z mešanimi matematično-realnimi poj -
mi. Nato izpeljemo stavek, da j e sedaj le pet jabo lk s tem, da u p o r a b i m o premi-
so »V košari j e (bilo) 7 jabo lk« in premiso »Iz košare smo vzeli 2 jabo lk i « ter 
d o d a m o še en matematični ekvivalent te situacije, ki »interpretira« odvzemanje 
kot matematično odštevanje števil objektov. Šele sedaj lahko apliciramo mate-
matični zakon 7 - 2 = 5 in sicer kot pravilo, p o katerem iz ugotovitve, da i m a m o 
7 objektov, in trditve, da smo odšteli 2 objekta, izpel jemo, d a j e preostalo še 5 
objektov. Nato ta rezultat prevedemo nazaj v prvotni jezik o konkretnih objek-
tih, tj. jabolkih, tj. »V košari j e še to"' in to"" in ... in to " " " j abo lko« . 
Jasno vidimo, da nam matematika kot takšna ni bistveno po t rebna za 
izpeljavo tega stavka iz podanih premis, j e pa koristen p r i p o m o č e k (in v id imo 
tudi, da preslikava m e d jabolki v košari in matematičnimi objekti ni ravno 
izomorfna, temveč h o m o m o r f n a , kajti ugotovitvi, d a j e v košari n j a b o l k ustre-
za lahko več različnih kombinacij j abo lk iz košare}.. Na realni ravni i m a m o 
torej opravka z dejanskimi celotami d o l o č e n i h objektov, ki si del i jo m e d seboj 
nekakšno »jabolkasto« podobnos t ter z p r o c e s o m izločanja nekaterih objek-
tov iz te celote. Rezultat tega procesa j e p o d a n v dejstvu, d a j e sedaj v košari 
nekoliko manj teh objektov, pri č emer to »manjšost« ne s m e m o v naprej ma-
tematično razlagati (npr. tako, da p o v e m o število ob jektov v košari). T o lahko 
storimo šele na ravni ustreznega abstraktnega-matematičnega ekvivalenta opi -
sanih dejstev, ne pa na ravni empir ične stvarnosti. 
P o d o b n o deluje Fieldova metoda. Povsod skuša izločiti re ferenco abstrakt-
nih terminov v empirični stvarnosti. In ker j e zanj to tudi ekvivalentno opusti-
tvi do ločen ih eksistenčnih trditev, o d tod izhaja, da se nam ni treba več sklice-
vati na obstoj matematičnih objektov, temveč j ih lahko i m a m o zgolj za virtual-
ni, abstraktni pr ipomoček pri proizvajanju d o l o č e n i h empir ičnih stavkov iz 
drugih empiričnih stavkov.'-1 
,J Naj dodam k temu, da Field ne sprejema metod eliminacije običajnih teorijskih ter-
4 0 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
Fieldov o d g o v o r na vprašanje, kako lahko apliciramo matematiko na svet, 
bi bil v kratkem v tem, d a j e pač struktura stvarnosti takšna, da lahko njen opis 
in še bol j n j e n o razlago poenostavimo in sistematično predstavimo (s tem, da 
apl ic iramo različne obl ike abstraktnih matematičnih ekvivalentov »nominali-
stičnih« stavkov in razlag, ki nam olajšajo p rehod o d enih k drugim nomina-
lističnim stavkom). Ne vem, če Fieldova razlaga in metoda dejansko zdrži kri-
tike, vsekakor nam ne pojasni, zakaj je matematika tako učinkovita v tem po -
slu, zakaj z n j e n o p o m o č j o , in le z njo, lahko dosežemo takšno fantastično 
natančnost razlag in napovedi , kot j o dosegamo npr. v sodobni znanosti. Po-
jasni nam kveč jemu postopek aplikacije matematike na svet in nam pomaga 
odstraniti zab lode g lede obstoja abstraktnih matematičnih bitnosti v dejan-
skosti. Pa še to ne povsem, kajti, kot sem opozori l v op. 5, j e Field že v svojo 
o s n o v n o onto l og i j o vključil p o m e m b e n »del« matematičnih struktur, namreč 
možnos t neskončn ih linearnih urejenosti elementarnih objektov in celote, ki 
predstavljajo kont inuum, tj. zvezno urejene celote (ne množ i ce ) svojih delov. 
Ni mi čisto j asno , k a k o j e to m o g o č e doseči brez po jma množice in ureditve 
množ i c , pa p o j m a funkci je , ki imajo svoje utelešenje na primarni ravni stvar-
nosti. Kot r e č e n o , ce lo če j e m o g o č a stroga nominalistična zgradba teh struk-
tur, še v e d n o ne vemo , kako to, da nam o m o g o č a j o tako fantastično uspešnost 
matematičnih ekvivalentov realnim strukturam k o t j o dokazuje moderna zna-
nost z masovno u p o r a b o matematičnih metod in matematičnih struktur.10 
minov iz znanstvenih teorij, kotjo najdemo npr. pri Craigu, kajti po njegovem mnenju 
sega vsebina empirijskih teorij nad območje neposredno opazljivega, torej v območje 
»teorijskosti«, ne pa tudi v območje abstraktnih matematičnih objektov. Slednje po nje-
govem mnenju lahko v načelu izločimo iz empiričnih teorij (Field, 1980, str. 8-10). To 
počne med drugim tudi zato, ker dopušča nekaj ključnih teoretskih, tj. načelno neopaz-
ljivih stvarnosti, ki pa po njegovem mnenju niso »abstraktna« v platonističnem pomenu, 
saj ne predstavljajo univerzalij, temveč posebne strukture partikularij. Takšne stvarnosti 
so npr. obstoj potencialno neskončnih zaporedij realnih objektov, tj. prostorsko-časov-
nih točk ali območij in realni obstoj kontinuuma, npr. zveznih prostorskočasovnih inter-
valov ali območij. 
10 Chris Mortensen je v svoji kritiki Fieldove knjige ugotovil, da Fieldova metoda ne 
deluje vedno, oz. je ponekod močno artificielna. Ne zdi se mu pametno, da se matemati-
ko predstavi kot napačno, čeprav koristno teorijo (napačno zato, ker matematika govori 
o abstraktnih entitetah, ki ne obstajajo). Navaja primere govora o številih in številskih 
razmerjih v fiziki, ki jih moramo razumeti tako, da števila oz. bolje številska razmerja 
realno obstajajo kot razmerja fizikalnih količin, ne pa zgolj kot abstraktni ekvivalent no-
minalističnih struktur dejanskosti (Mortersen, 1998). Po tem pojmovanju so kvantitete 
osnovna realnost, na katero se sklicujejo uspešne formulacije znanstvenih zakonov. Za 
kvantitete je značilno, da z njimi lahko računamo. Kvantitete različnih vrst lahko medse-
bojno množimo in delimo, medtem ko kvantitete istih vrst lahko še seštevamo in odšteva-
mo. Vsaki kvantiteti lahko pridružimo ustrezni merski sistem, tj. določimo mersko enoto 
in merilno lestvico. Potem lahko objektivna razmerja med kvantitetami izrazimo mate-
matično kot matematična razmerja med merjenimi merilnimi enotami (npr. 1 newton = 
4 1 
A N D R E / ULF. 
Eno p a j e zelo p o m e m b n o : Field j e p o m o j e m m n e n j u uspešno dokazal, 
da ne m o r e m o govoriti o tem, da bi bila matematika le uč inek abstrakcije 
do ločenih realnih kvalitet in odnosov v idealizirane strukture, kot si je to pred-
stavljal npr. Aristotel in si za njim predstavljajo m n o g i teoretiki znanosti in 
filozofi. Po t rebno je namreč transponiranje realnih objektov, nj ihovih lastno-
sti in relacij na novo raven njihovih abstraktnih matematičnih ekvivalentov. 
Ne m o r e m o reči niti to, d a j e d o l o č e n segment dejanskosti izbran za m o d e l 
(natančneje rečeno, za » m o d e l n o strukturo«) kakšnih matematičnih struk-
tur, npr. da so do l o čena prostorska razmerja izbrana za m o d e l abstraktne 
geometri je ali za m o d e l strukture tr idimenzionalnega prostora SR3 nad m n o -
žico realnih števil, kajti izbrani realni objekti , nj ihove lastnosti in relacije obi -
čajno ustrezajo zgolj nekaterim ob jektom, lastnostim in relacijam matematič-
nih objektov iz ustrezne matematične teorije, ne pa vsem matematičnim o b -
j ektom, lastnostim in relacijam. 
Že to, da v matematiki govor imo o matematičnih ekstenzijah, kot so npr. 
razredi (množ i ce ) , v realnosti pa (vsaj p o nominalistični doktrini) ni n o b e -
1 kg.m.sek"2). Potemtakem lahko rečemo, da kvantitete nekako vsebujejo števila, oz. da 
»sestojijo« iz števila in določene dimenzije. Matematične operacije nad kvantitetami lah-
ko razumemo kot par dveh operacij, namreč čisto matematične operacije nad števili in 
psevdomatematičnih operacij »seštevanja«, »odštevanja«, »množenja«, »deljenja« itd. kvan-
titet, ki morajo upoštevati ustrezne dimenzije za primerjavo istovrstnih ali raznovrstnih 
kvantitet. Brezdimenzijska števila so nam nujno potrebna za to, da izrazimo npr. enaka 
razmerja istovrstnih kvantitet, npr. 20cm/5cm = 8kg/2kg = 4. Brezdimenzijska števila 
lahko imamo torej za izraz razmerij med pari (istovrstnih) kvantitet. Obstajajo nekatere 
razlike med brezdimenzijskimi števili in čisto matematičnimi števili, kijih ne moremo 
zanemariti, npr. glede števila 0 ter razlike med razmeiji kvantitet (magnitud) in čisto 
številskimi razmerji. Kljub temu se zdi sprejemljiva misel, da so brezdimenzijska števila 
realnost, ne zgolj matematična fikcija (Mortensen, 1998, str. 198-90). Brezdimenzijska 
števila, ki izražajo razmerja med kvantitetami, imajo očitno lahko tudi vzročno vlogo, kar 
dodatno podpira domnevo, da so v nekem smislu realnost. Distribucija (racionalnih ali 
realnih) števil v univerzumu je vzročno pomenljiva, saj bi njena sprememba spremenila 
svet (npr. podvojitev vseh kvantitet sicer ne bi spremenila matematičnih razmerij med 
njimi, a bi spremenila svet). Moram pa pripomniti, da tista razmerja med kvantitetami, ki 
jih lahko izrazimo z racionalnimi števili, tj. razmerji celih števil še lahko nominalistično 
odčaramo, npr. tako kot počnemo pri tehtanju. Če rečemo, da neki objekt (povsod ena-
ke gostote) tehta 3/4kg, potem je to enako, kot če bi rekli, da bi v primeru, ko bi vzeli 
katerokoli (povsod enako gosto) telo, ki tehta 1 kg (npr. telo, ki nam predstavlja enoto 
mase) in ga razdelili na dele a, b, c, d, ki tehtajo enako - tj. se vedno paroma uravnovesijo 
na kaki ravnotežni tehtnici - potem ta objekt lahko uravnotežili s katerikolimi tremi deli 
izmed a, b, c, d (natančneje, bodisi deli a, b, c ali b, c, d, ali a, c, d ali a, b, d). 
V tem stavku nismo več potrebovali nobenih števil, uvedli smo nominalistični ekviva-
lent prvotnega stavka. Vendar tega ni mogoče storiti tedaj, kadar gre za razmerja kvanti-
tet, ki jih ne moremo dokončno izraziti z racionalnimi števili in prav takšna razmerja 
nastopajo v nekaterih ključnih naravnih zakonih (praktično si pomagamo s približnimi, 
vedno natančnejšimi meritvami, ki so faktično izražene z racionalnimi števili). 
4 2 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
nih razredov, pač pa kvečjemu mereološke celote delov, kaže na osnovno raz-
liko m e d matematičnimi abstrakcijami in empirično dejanskostjo. P o d o b n o 
velja za razliko med vsebinsko podanimi pravili, ki jim sledimo v realnosti in 
matematično določljivimi funkcijami. Matematične določljive funkcije lahko 
izenačimo povsem ekstenzionalno z množico urejenih parov, ki ustreza odgo-
varjajoči matematični funkciji (preslikavi iz ene množice v drugo) , medtem 
ko pravila, s katerimi izvajamo primerjave med realnimi objekti nikoli ne mo-
remo izčrpati z množicami urejenih parov, ki j im ustrezajo. Fieldovsko reče-
n o j e dejanskost v najboljšem primeru nepopoln model oz. nepopolna mo-
delna struktura matematike, matematične strukture pa so bolj transpozicija 
realnih struktur na abstraktno raven kot pa abstrakcija in idealizacija določe-
nih značilnosti realnih objektov in struktur. Ne moremo reči, da npr. »realne 
daljice«, »realni kvadrati«, »realne krogle«, zgolj nepopo lno ali približno us-
trezajo idealnim matematičnim (geometrijskim) likom, saj vsaj za empiriste 
takih idealnih likov sploh ni (je le sistem geometrijskih izjav oz. predpostavk, 
s katerimi skušamo »opisati« do ločena razmerja med fizičnimi telesi), temveč 
kvečjemu to, da do l o čene kvalitete fizičnih teles in razmerja med fizičnimi 
telesi preslikamo na abstraktno matematično raven in potem tam z njimi ope-
riramo naprej čisto matematično, dokler se ponovno ne »vrnemo« v dejan-
skost (npr. s postopki merjenja). 
Ugotovili smo, da vprašanje o tem, zakaj in kako j e lahko matematika 
tako uspešna v znanostih, z nominalistično redukcijo matematično formuli-
ranih teorij ni rešeno. T o in tudi druge težave v zvezi z uporabo matematike v 
sodobni znanosti silijo nekatere teoretike v ravno nasprotno smer od tiste, ki 
j o odpira Field oz. nominalizem, namreč v nekakšno novopitagorejsko tezo, 
p o kateri j e razlika med dejanskostjo in matematično stvarnostjo konec kon-
cev morda iluzija, zgolj učinek naših čutov in premajhnega poznavanja sveta, 
a z napredkom znanosti se morda približujemo temu, da b o m o ves svet vsaj v 
načelu razložili čisto matematično. 
Naj tu o m e n i m le mnenje G. Chaplina, k i je v sestavku »Ali je teoretična 
fizika isto kot matematika?« branil tezo, d a j e teoretična fizika pravzaprav še 
ne d o konca razvita matematika, oz. še več, d a j e fizikalna stvarnost konec 
koncev matematična (1999). Na to kažejo čudovita ujemanja kar najbolj ab-
straktnih matematičnih teorij in novejših fizikalnih odkritij, zlasti v teoriji su-
persimetrij, v neizogibni uporabi kompleksnih zveznih grup in matematičnih 
prostorov raznih vrst. Zdi se mu, da se fizika giblje v isto smer kot nekatera 
prizadevanja za poenotenje matematike na podlagi razmerij med temeljnimi 
matematičnimi strukturami itd. Ta misel se upira tistim, ki menijo, da j e ma-
tematika zgolj človeška konstrukcija, torej ima zgodovinski značaj, kar se upi-
ra nadzgodovinskemu značaju fizike oz. fizikalnih zakonov. Že danes lahko 
4 3 
A N D R E / ULF. 
nekatere mikroskopske pojave o p i š e m o s čistimi matematičnimi interpretaci-
jami. Po Chaplinu imamo lahko kvantno mehan iko za o s n o v n o teori jo distri-
buiranih paralelnih računalniških procesov in avtomatskega razpoznavanja 
vzorcev (str. 97). V njej se torej sistematsko druži jo matematika, teoretska 
fizika in nevrobiologi ja (oz. fizikalna teorija mentalnih pojavov) . Pri tem se 
Chaplin opira tudi na napredujoče raziskave kvantnih računalnikov in ne-
vronskih mrež in na vse več dokazov, da lahko te procese za jamemo z istimi 
matematičnimi teorijami in orodj i kot kvantno mehaniko . T o m e d drug im 
p o m e n i tudi razširitev teorij kvantne fizike iz o b m o č j a mikrosveta tudi v naš 
običajni makrosvet, oz. kaže na univerzalnost kvantne mehanike. Zaključuje z 
d o m n e v o , d a j e osnovna vez med matematiko in teoret ično fiziko sposobnost 
za razpoznavanje vzorcev v človekovih možganih . Razumljivo se m u zdi d o m -
nevati, da sposobnost človeka oz. č lovekovih možganov za matemat i čno raz-
mišljanje izhaja iz bolj temeljnega procesa razpoznavanja vzorcev v m o ž g a n i h 
(možgane lahko imamo za primer naravno nastalega procesa paralelne k o m -
putacije v možganski nevronski mreži ) . Kot r e čeno , lahko proces razpoznava-
nja vzorcev lepo prikažemo z matematičnimi formulaci jami, ko t j ih p o z n a m o 
v kvantni mehaniki.11 Avtor se zaveda spekulativnosti svoje d o m n e v e , vendar 
meni , d a j e kljub temu uporabna v teorijah kvantnega računalništva in kvant-
ne teorije informacije (str. 104). 
Kljub intuitivni privlačnosti navedene d o m n e v e pa ostaja še v e d n o neja-
sno, kaj tedaj p o m e n i enačba »matematika = teoretična fizika« oz., še bol j 
drastično, enačba »Matematika = fizika kvantne informaci je« , kot izhaja iz 
avtorjevih zaključkov. Tudi sedaj ni ukinjena načelna razlika m e d abstraktni-
mi, izvečasovnimi in neprostorskimi matematičnimi objekti in strukturami in 
realnimi, pa četudi kvantnomehanskimi objekti in strukturami. T o d a avtorje-
vo zamisel m o r a m o brati pravilneje takole: matematika je abstraktni odraz temelj-
nih fizikalnih zakonov v človeških možganih in nato v človeškem duhu. T a k o smo 
zopet pristali pri neke vrste platonovski shemi, d a j e matematika d o l o č e n for-
malni odraz bistvenih form fizikalne stvarnosti, n a m r e č j e reprezentaci ja na-
čel, p o katerih možgani razpoznavajo in prepoznavajo stabilne vzorce čutnih 
vtisov iz mor ja pridobl jenih čutnih vtisov. Po č e m se ravna ta reprezentacija, 
j e r e čeno jasneje kot pri Platonu. Ravna se p o fundamentaln ih kvantnome-
hanskih zakonih in strukturah, ki svojsko »odsevajo« v naših možganih , ko 
opažamo svet okrog sebe in razmišljamo o njem. T o spominja tudi na Heisen-
berga, k i j e p o d o b n o špekuliral o tem, da so m o r d a kvantnomehanski zakoni 
n e p o s r e d n o matematični, oz. da so nekateri matematični zakoni kar n e p o -
11 Bralci se lahko o nekaterih od teh ugotovitev na bolj poljuben način seznanijo tudi v 
delih M. Peruša, ki si vztrajno prizadeva osvetliti pomembne analogije med mentalnimi 
pojavi, nevrofiziologijo, nevronskimi mrežami in kvantno fiziko (prim. Peruš, 2000). 
4 4 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
sredno utelešeni v temeljnih strukturah fizikalnega sveta. Heisenberg sam se 
j e p o g o s t o skliceval na Platona, zlasti na dialog Timaj (npr. Heisenberg, 1977, 
pog l 20) . T a k o se n a m tudi v sodobni filozofiji in znanosti znova in znova 
vračajo klasične trikotniške sheme odnosov matematika - svet čistih form -
realni svet, s tem pa m o r d a kažejo na njihovo nepreseženost, če ne že nepre-
segljivost. 
Različne smeri v s o d o b n i filozofiji matematike, kot so logicizem, formali-
zem, intuicionizem-konstruktivizem, zagovarjajo vsaka svoj pog led na mate-
matiko, vendar vse brani jo »čistost« matematike, tj. načelno razliko matema-
tike o d izkustva. Pri logic ist ihje tako zaradi apriornega značaja logike, iz kate-
re skušajo izpeljati matematiko, pri formalistih zaradi sintaktične, čisto zna-
kovne narave matematike, pri intuicionistih zaradi kantovske teorije o aprior-
ni matematični intuiciji (intuiciji naravnih števil in intuiciji kontinuuma) . Le 
kakšni strogi finitisti govor i jo , da m o r a m o vse matematične po jme in izreke 
narediti dosegl j ivo in p reg l edno fmitne, tj. kot časovno zaključene poteke 
operaci j . V tem pr imeru se »prepad« m e d čisto matematiko in izkustvom uki-
ne, a žal tudi na račun matematike, ki v tej zožitvi ostane brez precejšnjih 
delov svoje vsebine. I m a m o torej dva dokaj neizpodbitna rezultata, ki vsak za 
sebe kličeta p o sistematični razlagi in medsebojni povezavi. 
Prvi rezultat tega razmišljanja j e , d a j e matematika bila in j e »čista« zna-
nost, vsaj en njen p o m e m b e n del se zdi aprioren, strogo splošen in vsaj 
po tenc ia lno infmitaren. Drugi rezultat pa j e , da ne m o r e m o povsem izločiti 
matematike iz izkustva, kajti matematična razmerja in pojmi so tudi neločljiva 
sestavina izkustvenih stavkov in po jmov. Zdi se, da ti dve ugotovitvi pogojujeta 
druga drugo , čeprav še ne v e m o natančno kako. Če to drži, po tem smo znova 
pred klasičnim vprašanjem »aplikacije matematike na svet« in pred na novo 
vzbujenimi klasičnimi »trikotniškimi« rešitvami.'2 
12 Tu moram opomniti, da prav zadnja leta ponovno oživljajo nove vrste matematične-
ga realizma, ki razume matematiko kot vedo o strukturah oz. še bolje, o splošnih vzorcih 
nahajanja abstraktnih objektov, npr. števil. Temu realizmu pravimo »matematični struk-
turalizem« (gl. Resnik, 1997). Po tem pojmovanju so matematični objekti brez individual-
nih potez, ki bi jim bile lastne mimo njihovega mesta v matematičnih strukturah. So zgolj 
abstraktni položaji v vzorcih nahajanja teh objektov. Ne moremo načelno razlikovati ma-
tematičnih objektov od vzorcev oz. struktur njihovega nahajanja. Npr. geometrijske toč-
ke so določene zgolj z medsebojnimi odnosi v določeni geometrijski strukturi, naravna 
števila so določena zgolj s svojim mestom v verigi naravnih števil, ki j o postuliramo s Pea-
novimi aksiomi itd. Zato matematične teorije lahko identificirajo matematične objekte le 
»do izomorfizma natančno«, tj. tako, da določajo splošne okvire konkretnih struktur, ki 
vse enako ustrezajo tem teorijam in so medsebojno izomorfne. Zato imamo lahko različ-
ne matematične teorije »enakih« matematičnih objektov, npr. različne aksiomatike na-
ravnih števil, geometrij itd., pajim vendar ustreza enak razred medsebojno izomorfnih 
struktur (vzorcev). Zato npr. ne moremo reči, ali so realna števila točke na evklidski pre-
4 5 
A N D R E / ULF. 
Ekskurz: Matematika in sintetično a priori pri Platonu in Kantu 
Nezmožnost p o p o l n e izpeljave vseh matematičnih resnic iz log ičnih za-
konov in pravil, vodi naravno d o p o n o v n e potrditve Kantove trditve, da so 
matematične sodbe sintetične sodbe a priori. T o j e bila izhodiščna točka Kan-
tove filozofije. Vendar to ni bilo le Kantovo odkritje, k o t j e sam verjel, temveč 
j e imel p o m e m b n e g a predhodnika, ki pa so ga Kant (in tudi drugi avtorji) 
spregledali. Ta p a j e kar Platon. Platon s e j e namreč upiral temu, da bi mate-
matične resnice zvedli na kake delitve ali združitve. V dia logu Faidonje Platon 
skozi usta Sokrata razpravljal o relacijah. Zagovarja misel, da npr. pri relaciji 
več je -manjše ta relacija obstoji zaradi ideje Več jega in ideje Manjšega, na ka-
terih sta udeleženi stvari, ki sta v relaciji več je -manjše (Platon, 1988, str. 204 
sq). Več je in manjše nista v relaciji več je -manjše zaradi svoje narave, svoje 
velikosti, temveč zato, ker j e velikost prvega manjša v primerjavi z drugim, oz. 
j e velikost drugega večja v primerjavi s prvim. 
Sokrat p o d o b n o ugotavlja, da če e n i c o d o d a m o enici , d o b i m o dvojko. 
Prav tako d o b i m o dvojko, če en i co (kot e n o t o ) razdel imo na dva dela. Zdi se 
čudno , da bi d o dvojke prišli na dva različna, povsem nasprotna načina. Sta-
vek: 'dve j e večje o d ena' ne nastane zaradi kakega seštevanja ali delitve, npr. 
zato, ker lahko enici prištejemo še e n o en ico in d o b i m o dvojko, ali dvojko raz-
del imo na dve enojki. Ta relacija nastane zaradi tega, ker j e dvojka udeležena v 
ideji Dvojosti, enojka pa v ideji Enosti. Tudi stvari, ki sta dve, morata biti (sku-
paj) udeleženi v ideji dvojega, čeprav sta vsaka za sebe udeleženi na Enosti. 
mici ali dedekindovski rezi racionalnih števil, kajti obe pojmovanji sta medsebojno izo-
morfni, oz. vzpostavljata enako formalno strukturo realnih števil. Matematični struktura-
lizem nasprotuje nominalističnim redukcijam teorij na nematematično jedro, vendar pa 
ne sprejema tudi vseh matematičnih stavkov kot stavkov o matematičnih objektih. Mate-
matiko lahko apliciramo v realnem svetu zato, ker materialni objekti in njihove različne 
ureditve ustrezajo določenim vzorcem, ki pajih lahko (ob določenih idealizacijah) popi-
šemo tudi z matematičnimi stavki. Pri tem lahko zaznavamo konkretne ureditve objektov, 
ne pa abstraktne matematične strukture, ki j o »naložimo« objektom. Resnik poudarja, da 
se pri tem praviloma uporabljamo vmesne vzorce, kijih sami konstruiramo, npr. grafe na 
papirju, računalniške modele itd. Ti vzorci predstavljajo vmesni korak med konkretnimi 
ureditvami v realnem svetu in abstraktnimi strukturami, kijih preciziramo v matematični 
teoriji. Ta razlaga je seveda varianta aristotelovske trikotniške strukture, ki dodatno pou-
darja konstruktivnost matematike, kajti do izrecno matematičnih struktur pridemo tako, 
dafingiramo različne fiktivne, idealizirane »posnetke« realnih ureditev, nato pa skušamo 
od tod izvleči najsplošnejše in čisto abstraktne vzorce razmerij, kjer povsem abstrahiramo 
od vseh kontingentnih, akcidentalnih lastnosti posameznih nosilcev v določenem tipu 
vzorcev. Matematika pa gre potem lahko še dalje in gradi čisto svoje matematične struktu-
re, ki se logično naslanjajo na prvotno osvojene matematične abstrakcije in idealizacije 
realnih struktur, a nadaljujejo formalne strukture v različni smeri, dokler ne dobimo 
nove, zaokrožene matematične teorije. 
4 6 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
O d t o d izhaja, da sodbe 1 + 1 = 2 ne moremo razložili zgolj kot nekako 
»dodajanje« enice drugi enici. Sokrat/Platon j e sila skromen v razlagi svoje 
misli. M o r d a j e razlog v tem, ker iz dveh ločenih enic ne more nastati eno novo 
število (tj. 2) . Tudi če vzamemo obe skupaj, še nista dve, temveč dvoje. Dejs-
tvo, da sta se enojki v sodbi 1 + 1 = 2 nekako združili, tudi ne more biti vzrok 
temu, da postaneta dvojka. 
Lahko bi dejali, da se Platon tu upira ekstenzionalnemu pojmovanju šte-
vil kot razredov. Platon gre s svojo kritiko še dlje. Sklepa da dokler smo ujeti v 
o b m o č j e predstavnega mišljenja, ne vemo ne tega, kako »nastane« enica, ne 
tega, zakaj nastane in premine kaka druga stvar. 
Če nekoliko ekstrapoliramo te Platonove misli, potem vidimo, da zavrača 
»analitično« ali kakršnokoli razdruževalno pojmovanje števil in številskih ope-
racij. Zhateva neanalitično utemeljitev na osnovi svoje teorije idej. Zdi se, da 
se tu ne more izogniti nekakšni podvojitvi relacije. Relacijo 1 j e manjše od 2 
skuša utemeljiti s tem, d a j e 1 udeležena na Enosti in 2 na Dvojosti. T o j e 
m o g o č e razumeti le tako, d a j e Enosti in Dvojosti imanentno to, d a j e Enost 
manjša o d Dvojosti. Lahko d a j e Platon tu poskušal načelno razlikovati med 
intenzionalnim pojmovanjem relacije, kije stvar uma in ekstenzionalnim poj-
movanjem, ki zadeva množice stvari (pojavov). A kakorkoli že, Platon brani 
tudi nekakšno apriorno sintetičnost že čisto elementarnih aritmetičnih re-
snic. Za razliko o d Kanta, ki j o je utemeljeval s formami čiste zavesti in pojav-
nostjo, j o Platon utemeljuje z deležnostmi na idejah. 
Kantova rešitev vprašanja, kako so mogoče sodbe čiste matematike, torej 
ni ed ino mogoča . Zanimivo j e tudi, da so za Platona pravzaprav vse matema-
tične in logične resnice sintetične a priori, namreč zato, ker j ih ne dob imo z 
delitvami ali združevanjem pojmov ali stvari, temveč z udeležbo stvari ali nji-
hovih po jmov na ustreznih idejah. »Analitične« bi bile le sodbe identitete in 
tiste, kjer predikat sodbe dejansko zgolj ponavlja eksplicitno navedeni del 
subjekta sodbe. Kantovo pojmovanje analitičnosti, češ da izhaja iz delitve poj-
mov in zakonov identitete/ protislovja, po Platonu ne bi bilo ustrezno in z njo 
ne bi mogli pojasniti apriorne veljavnosti vseh kantovskih analitičnih sodb. 
Menim, d a j e o b vsej nejasnosti in kratkosti navedenih argumentov, Platon 
vendarle zadel v bistvo stvari. 
Gre za vprašanje, kako naj imamo število obenem za p o p o l n o enoto, to-
rej nesestavljeno, in za rezultat različnih številskih operacij, torej za sestavlje-
no (na različne načine) . Kje tedaj leži nujna resničnost matematičnih sodb? 
Če se strinjamo s Platonovo implicitno kritiko običajnega razumevanja aritme-
tičnih sodb, potem seštevanje ni z ničemer zvezano s predstavami ali pojmi 
sestavljanja ali pridajanja. Na ekstenzionalen način lahko rečemo npr. le »Eno 
in e n o j e dvoje«, ne pa »Ena in ena j e dve«, kot to zahteva čista matematika. 
4 7 
A N D R E / ULF. 
Morda se zdi po stopetdesetih letih truda, da bi s p o m o č j o operacij in 
razmerij m e d množicami (razredi), ali s p o m o č j o konstruktivnih idr. definicij 
števil in aritmetičnih operacij opredelili po jem naravnega števila danes sme-
šno zagovarjati takšno intenzionalno razmišljanje o številih in aritmetiki, ven-
dar j e nujno, v kolikor sprejmemo misel, da so aritmetične sodbe po sebi resni-
čnem ne zgolj pravilne zaradi sprejetih definicij, aksiomov idr. konvencij. Tudi 
danes pogosto dokazovanje sodbe 1 + 1 = 2 s p o m o č j o unije med dvema eno-
členskima množicama pomeni tiho zamenjavanje te enakosti z blažjo, njej le 
sorodno, ne pa enakovredno enakostjo: »Eno in e n o j e dvoje«. Ta sodba se 
zlahka zamenja s kakšno empirično ugotovitvijo o »zbiranju« različnih celot v 
nove celote, a to j e daleč stran od matematike. Nekaj takšnega so imeli v mi-
slih angleški empiristi, npr. Hobbes in Mili. V tem primeru bi empir ično po-
stalo pogo j idealnemu, kar ni mogoče . 
T o kritično razmišljanje leti tudi na Fregeja, k i j e z vsemi m o č m i skušal 
ubraniti idealni in apriorni značaj obsegovne, tj. razredno-teorijske interpre-
tacije števil in številskih operacij, prav zato, da bi se ubranil psihologizma in 
empirizma. Da to v celoti vendarle ni m o g o č e doseči, so hitro pokazale različ-
ne antinomije množic. Te antinomije p o mo jem mnenju kažejo na neki ne-
zvodljiv presežek pojma števila nad p o j m o m množica (obseg, razred), oz. ka-
žejo na intenzionalni vidik pojma števila. Tudi Kantov poskus utemeljitve ari-
tmetike skozi čisto formo časovne zavesti sodi med poskuse intenzionalne ute-
meljitve aritmetike. Razlika med Platonom in Kantom j e v tem, d a j e Kanta 
zanimala predvsem aritmetična sodba kot sinteza pojmov, Platona pa so zani-
mali odnosi med pojmi, tj. prehajanje enih po jmov v nove (npr. po jma e n o v 
pojem dvoje ob navezavi na pojem vsote). Ker so po Platonu pojmi zasnovani 
na umskem uvidu v ideje, j e videl tudi utemeljitev matematičnih sodb v naslo-
nitvi na idealne bitnosti, ki so po sebi in veljajo po sebi: 
»Kaj pa, če enemu prideneš eno ali če e n o razcepiš v dve, mar se ne boš 
bal reči, da sta pridatek (seštevanje) in cepitev (deljenje) vzrok nastanaku 
dveh? Ali ne boš na vsa usta pričal, da za n o b e n o stvar ne poznaš drugega 
načina nastanka nego tega, d a j e sleherna deležna posebne bitnosti tega, k 
čemur pripada? Da torej za nastanek dveh ne veš drugega vzroka n e g o ude-
ležbo na dvojnosti? Dvojnosti torej, porečeš, mora biti deležno, kar koli h o č e 
postati dve, enosti, kar koli hoče postati eno: vse tisto deljenje in seštevanje in 
podobne tankoumnosti pa boš odklonil in prepustil l judem, ki so bolj učeni 
mimo tebe!« (Platon, 1988, str. 211-212) . 
Moramo torej razlikovati med številom in mnogost jo (tj. številom in kar-
dinalnim številom), prav tako med številom in zaporednim č lenom neke vrste 
(tj. številom in ordinalnim številom). Tako kardinalna kot ordinalna števila 
so kvečjemu vidiki ideje števila, ne pa njej enaki. Ali rečeno drugače, ena stvar 
4 8 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
j e reči »Tri knjige in štiri knjige j e sedem knjig« in »3 + 4 = 7«, prav tako j e 
nekaj drugega reči »četrti naslednik tretjega naslednika o d 1 j e sedmi nasled-
nik o d 1« in »3 + 4 = 7«. Res j e , da lahko predstavimo preslikavo navedene 
matematične resnice tako v »teorijo mnogosti« kot v »teorijo naslednikov«, a 
to ni ista stvar. M o g o č e j e predstaviti tudi ordinalna števila znotraj teorije 
množic , seveda tako, da poprej teorijo naslednikov predstavimo kot primer 
relacije stroge linearne urejenosti objektov, te pa lahko popišemo s pomoč j o 
množičnoteorijskih izrazov (npr. s pomoč j o »urejenih parov«). To kar trdim 
j e , da naravno število kot tako ni niti kardinalno niti ordinalno ali kakšno dru-
go log ično »konstruirano« število, temveč »je« nekaj pred tem. Seveda lahko 
vidimo naravna števila na različen način, npr. kot kardinalna števila ali kot ordi-
nalna števila, vendar v tem primeru govorimo o tem, da j eml jemo naravna 
števila kot model za aksiome teorije množic ali za Peanove aksiome. Se vedno s 
tem nismo izčrpali po jma in realitete števila, temveč smo zgolj odprli neki 
možen vidik števila. Se vedno pa smo prisiljeni »šteti« oz. uporabljati naravna 
števila m i m o tega vidika. Npr. v metateoriji, ko apliciramo godelizacijo teorije 
ali ko apliciramo Cantorjevo ali kako drugo diagonalizacijo znova apliciramo 
naravna števila in to mimo tistega vidika, ki ga sicer preučujemo v določeni 
teoriji (npr. v Peanovi teoriji). T o pomeni, da pojem naravnega števila »uha-
ja« vsem svojim »aspektom«, oz. j im j e predhoden. Kljub temu zajema neko 
stvarnost, saj sicer ne bi bil na tak način »aplikacijen«. 
V tem smislu govorim, da naravna števila obstajajo, oz. da »so po sebi«, a 
n o č e m govoriti o tem, kaj so naravna števila. Vsak tak odgovor bi v končni fazi 
privedel d o novega vidika naravnega števila, a ga ne bi izčrpal. Zopet bi upo-
rabili naravna števila kot mode l kake teorije »o njih«, in zopet bij ih lahko, oz. 
b i j ih morali poznati tudi neodvisno od te teorije oz. morali bi »obstajati« tudi 
neodvisno o d tega modela. Če sledimo gornjim Platonovim razmislekom, po-
tem moramo idejo (naravnih) števil razlikovati od njenih vidikov, npr. od 
po jma kardinalnih ali ordinalnih števil. Medtem ko za idejo naravnih števil 
lahko rečemo, da obstaja, tega ne moremo reči za njene vidike. Ti vidiki ob-
stajajo le posredno, namreč kot odsev ideje v matematičnih teorijah in v apli-
kaciji matematike v znanostih. Razpravo o naravnih številih in o drugih vrstah 
števil na tem mestu raje prekinjam, ker bi nas nujno vodila v zahtevne formal-
ne argumente, važen pa se mi zdi izjemno pomemben Platonov »poduk«, da 
j e število p o svoji ideji več o d vseh posebnih vidikov številskosti. Domnevamo 
lahko le, da morda p o d o b n o velja tudi za druge temeljne matematične objek-
te: kontinuum, geometrijske objekte, funkcije in operacije. 
4 9 
Literatura 
A N D R E / ULF. 
Aristotel (1999): Metafizika. Založba ZRC, Ljubljana. 
Bacon, F. (1939): Novum Organum. V: The English Philosphers from Bacon to Hume. 
The Modern Library. 
Becker, O. (1973): Mathematische Existenz. M. Niemayer Verlag, Tübingen. 
Becker, O. (1975): Grundlagen der Mathematik. Suhrkamp, München. 
Becker, O. (1998): Veličina i granice matematičkog načina mišljenja. Demetra, 
Zagreb. 
Carnap, R. (1928): Der logische Auftau der Welt. Dunaj. 
Carnap, R. (1956): »The Methodological Character o f Theoretical Concepts«. 
V: Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Vol. 1, University o f Minne-
sota Press, Minneapolis. 
Carnap, R. (1959): Introduction to Semantics. Cambridge U. P., C a m b r i d g e / 
Mass. 
Carnap, R. (1968): Logische Syntax der Sprache. Springer Verlag, Dunaj, New 
York 
Carnap, R. (1970): »Empiricism, Semantics and Ontology«. V: R. Carnap: Mea-
ning and Necessity. The University o f Chicago Press, Chicago, London . 
Cassirer, E. (1911): Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der 
neueren Zeit, 1. Zv.. Verlag B. Cassirer, Berlin. 
Chaplin, G. (1999): »Is Theoretical Physics the Same Thing as Mathematics?«. 
V: Physics Reports, 315. 
Descartes, R. (1957): Pravila, Razprava o metodi. Slovenska matica, Ljubljana. 
Field, H. (1980): Science Without Numbers. Blackwell, Oxford . 
Frege, G. (1973): »Erkenntnisquellen der Mathematik und der mathematisc-
hen Naturwissenschaften«. V: G. Frege: Schriften zur Nachlaß. Akademie 
Verlag, Berlin. 
Frege, G. (1987): Die Grundlagen der Arithmetik. Reclam, Stuttgart. 
Heisenberg, W. (1977): Del in celota. Mohorjeva družba, Celje. 
Husserl, E. (1968): Logische Untersuchungen II, Max Niemayer, Tübingen. 
Husserl, E. (1996): Logik und der allgemeine Wissenschaftstheorie. Husserliana, zv. 
X X X , Kluwer Academic Publ., Dordrecht. 
Husserl, E. (1997): Ideje za čisto fenomenologijo in fenomenološko filozofijo. Sloven-
ska matica, Ljubljana. 
Husserl, E. (1998): »Vprašanje po izvoru geometrije kot intencionalno-zgo-
dovinski problem«. V: Problemi, št. 1 /2 . 
Kant, I. (1999): Kritika razsodne moči. Založba ZRC, Ljubljana. 
Kant, I. (1957): Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft. V: I. Kant: 
Werke, IX,. Suhrkamp, Frtankfurt/M. 
5 0 
K A K O IAIIKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET? 
Kant, I. (1980): Kritik der reinen Vernunft. Reclam, Stuttgart. 
Kant, I. (1999): Kritika razsodne moči. Založba ZRC, Ljubljana. 
Leibniz, G. W. (1960): Fragmente zur Logik. Akademie Verlag, Berlin. 
Leibniz, G. W. (1966): Die Leibniz-Handschrifien der königlichen öffentlichen Bib-
liothek zu Hannover. E. Bodeman, Leipzig. 
Leibniz, G. W. (1996): »Anfangsgründe einer allgemeiner Characteristik«. V.-
G.W. Leibniz, Schriften zur Logik und zur philosophischen Grundlegung der 
Mathematik und Naturwissenschaft. Suhrkamp, Frankfurt/M. 
Mortensen, C. (1998): » O n the possibility o f science without numbers«. V: 
Australasian Journal of Philosophy, 76, št. 2. 
Peruš, M. (2000): Biomreže, mišljenje in zavest. DZS, Ljubljana. 
Platon (1959): Timaios. Rohwolt, Hamburg. 
Platon (1995): Država, Mihelač, Ljubljana. 
Platon (1988): Poslednji dnevi Sokrata: Apologija - Kriton - Faidon. Slovenska 
matica, Ljubljana. 
Putnam, H. (1979): Philosophy of Logic. V: H. Putnam, Philosophical Papers 1. 
Cambridge University Press, Cambridge. 
Quine, W. v. O. (1961): » O n what there is«. V: W. v. O., Quine, From a Logical 
Point ofVieiu., Harvard University Press, Harvard. 
Quine, W. v. O. (1992): Pursuit of Truth. Harvard University Press, Harvard. 
Resnik, M.D. (1997): Mathematics as a Science of Patterns. Clarendon Press, Ox-
ford. 
Stegmüller, W. (1970): Beobachtungssprache, Theoretische Sprache und die partielle 
Deutung von Theorien. Springer Verlag. Berlin, New York. 
Ule, A. (1992): Sodobne teorije znanosti. ZPS, Ljubljana. 
Ule, A. (1997): »Leibniz z Wittgensteinom - forma kot možnost strukture«. V: 
Analiza, 1. 
5 1