M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#2
ISSN 0351-6652
presek  letnik 39  ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 )  š t e v il k a  2
• konstrukcije trikotnikov
pri danih treh točkah
• plavajoče jabolko
• poiščimo andromedino
galaksijo
• iskanje nizov v besedilu
• Parabole in elipse so dobro znane krivulje, ki jih 
poznamo že iz antične Grčije. So enostavne in izjemno 
uporabne.
Zbiranje  
v  gor išču
Presek 
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 
letnik 39, šolsko leto 2011/2012, številka 2
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni 
pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan 
Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), 
Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun 
Berc (tekmovanja), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš 
Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik),  
Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija 
Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik.
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska 
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553,  
4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si 
Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2011/2012 je za posamezne 
naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja  
do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, 
posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara 
številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 
Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56  0310  0100  0018  787.
List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost 
Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport
Založilo DMFA–založništvo 
Tehnična urednica Tadeja Šekoranja
Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir, Ines Kristan
Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana
Naklada 1500 izvodov
© 2011 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije 
– 1854
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov 
brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati-
ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja 
prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih 
in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki 
naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen-
cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. 
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se-
dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo 
oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči-
noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki 
morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj  
8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika 
primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob-
javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do-
voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak 
med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 
1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. 
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek 
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo 
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov 
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.
k o l o f o n
n a v o d i l a  s o d e l a v c e m  P r e s e k a 
z a  o d d a j o  p r i s p e v k o v
Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe-
matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično 
društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments.
•
m
a
t
e
m
a
t
ič
n
i 
t
r
e
n
u
t
k
i
m a t e m a t i č n i  t r e n u t k i
2 presek 39 (2011/2012) 2
Izkoriščanje sončne energi-
je večinoma temelji na odboj-
ni lastnosti parabol. Ogledala 
parabolične oblike odbijajo 
svetlobo, ki vstopa vzporedno 
z osjo parabole v parabolino 
gorišče, kjer se pretvori v upo-
rabno energijo.
Podobno odbojno lastnost 
elips, ki imajo dve gorišči, 
uporabijo za neboleče nein-
vazivno razbijanje ledvičnih in žolčnih kamnov. Bolnike 
namestijo v kad, ki ima obliko polovice elipse tako, da se 
kamni nahajajo v enem od gorišč. Zvočni valovi, ki izvira-
jo v drugem gorišču, se koncentrirajo v gorišču s kamni 
in jih tako razbijejo. 
Parabole in elipse so sestavni del večje družine stožnic, 
ki jim dobimo kot preseke ravnin z neskončnim dvojnim 
stožcem. Med stožnice spadajo tudi hiperbole, s katerimi 
si lahko pomagamo pri razlagi strukture vesolja. V rav-
ninski geometriji se točke, ki so enako oddaljene od iz-
brane točke, nahajo na krožnici. V štirirazsežnem prostor 
času, ki združuje običajni trirazsežni prostor in čas, pa 
takšne točke ležijo na eni od vej hiperbole. Ta rezultat 
sledi iz enačb, ki so matematični zapis uskladitve načel 
relativnosti z našim pojmovanjem razdalje in vzročnosti. 
Čeprav je od odkritja stožnic minilo že zelo veliko 
časa, še danes vedno znova odkrivamo nove načine njiho-
ve koristne uporabe. 
Radovedni bralec si lahko prebere več v leta 2010 iz-
dani knjigi J. W. Downsa z naslovom Practical Conic Sec-
tions: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and 
Hyperbolas.
matematika
Konstrukcije trikotnikov pri  
danih treh točkah  
(Lea Števanec in Bojan Hvala)
Aleksej B. Sosinski – Vozli
(Bojan Gornik)
fizika
Plavajoče jabolko
(Nada Razpet)
Še o plinih –  
Poizkuševalnica v kuhinji
(Mojca Čepič)
Razmisli in poskusi –
Guncanje
(Mitja Rosina)
razvedrilo
Naravoslovna fotografija –
Barvita pajčevina
(avtor?)
Nagradna križanka 
(Marko Bokalič)
Rešitev nagradne križanke Presek 39/1 
(Marko Bokalič)
Barvni sudoku
računalništvo
Iskanje nizov v besedilu
(Igor Pesek)
 
matematični trenutki
Zbiranje v gorišču
astronomija
Poiščimo Andromedino galaksijo
(Bojan Kambič)
tekmovanja
47. tekmovanje za zalto Vegovo priznanje
(Klavdija Mlinšek)
49. fizikalno tekmovanje srednješolcev 
Slovenije (Ciril Dominko)
31. tekmovanje iz fizike za Stefanovo 
priznanje 2010/11
2
4–10
11
13–15,18
19
20
22–26
27–29
31
16–17
30
18, 30
12
20–21
priloga
k a z a l o
Kazalo
Slika na naslovnici: Španija je dežela Sonca, kjer se ljudje ne samo pražijo na peščenih plažah, temveč so v zadnjih letih zgradili veliko 
sončnih elektrarn. Predvsem jugozahodna dežela Andaluzija je posejana s tovrstnimi elektrarnami, ki sončno energijo izkoriščajo na različne 
načine. Ob Južni avtocesti v bližini kraja Ecija stoji 17 MW elektrarna Solar Tres. 2590 heliostatskih zrcal s skupno površino 298.000 kvadratnih 
metrov sledi gibanju Sonca po nebu in sončno svetlobo usmerja v osrednji stolp. Tam svetloba segreva staljene nitratne soli, ki dosežejo tem-
peraturo 565 stopinj Celzija. Segreta sol potuje v zbiralnik, od tam pa v uparjalnik, kjer odda toploto pari. Para žene turbine, te pa generatorje 
električne energije. Akumulacija toplote v zbiralniku staljene soli elektrarni omogoča 15-urno delovanje, tudi ko ni sonca. Pogled na elektrarno 
je zares osupljiv. Besedilo in fotografija: Andrej Guštin
3Presek 39 (2011/2012) 2
4
m a t e m a t i k a
V Preseku smo že govorili o konstrukcijah tri-
kotnikov pri danih treh podatkih [1]. Tedaj smo
obljubili, da se k tej tematiki še vrnemo, in sicer
s predstavitvijo konstrukcijskih nalog, kjer triko-
tnike konstruiramo pri danih treh točkah v ravnini.
Svojo obljubo izpolnjujemo s tem člankom.
Za uvod si oglejmo naslednji preprost primer:
Primer 1. Konstruiraj trikotnik ABC pri danem ogli-
šču A, višinski točki H in razpolovišču Mb stranice
b.
Slika 1
Oglejmo si skico. Pri danih točkah A in Mb lahko
takoj določimo točko C . Ker imamo podano višinsko
točko H, lahko narišemo premico CH. To je nosilka
višine na stranico c. Če nanjo potegnemo pravoko-
tnico iz točke A, dobimo nosilko stranice c. Iz točke
H potegnemo pravokotnico na nosilko daljice AC , to
je nosilka višine na stranico b. Kjer se zadnji dve
premici sekata, je točka B. Točke ABC povežemo in
trikotnik je konstruiran. Tako smo rešili konstruk-
cijski problem (A,Mb,H).
K obravnavi tovrstnih konstrukcij bomo sedaj pri-
stopili sistematǐcno. Najprej se moramo odločiti, iz
katerega nabora možnih točk bomo izbirali tri točke,
ki bodo določale konstrukcijsko nalogo. Vsekakor
bomo v ta nabor vključili oglišča A, B, C trikotnika
ABC . Vključili bomo tudi štiri najbolj znane značilne
točke trikotnika: težišče G, višinsko točko H, sredi-
šče očrtanega kroga O in središče včrtanega kroga I.
Poleg teh bi v nabor lahko vključili še katero od
manj znanih značilnih točk trikotnika. Na tem mestu
se naravno pojavi vprašanje, kaj značilna točka triko-
tnika sploh je in koliko jih že poznamo. Žal bi koli-
kor toliko spodoben odgovor na to vprašanje terjal
kar nekaj časa in bi zmotil glavno nit naše pripovedi.
Zato zaenkrat omenimo le, da se je z značilnimi toč-
kami trikotnika sistematično ukvarjal ameriški ma-
tematik Clark Kimberling, ki je pojem tudi natančno
definiral. Osnoval je tudi Enciklopedijo značilnih točk
trikotnika, ki je dostopna na spletni stran [2] in na
kateri objavlja vedno nove in nove značilne točke
trikotnika. Točke v tej enciklopediji so označene z
X(n), kjer je n naravno število. Tako so točke X(1),
X(2), X(3), X(4) po vrsti ravno središče včrtanega
kroga, težišče, središče očrtanega kroga in višinska
točka. Tem potem sledijo točke z nadaljnjimi inde-
ksi. Nekatere od njih spoznajo študentje matema-
tike na dodiplomskih predavanjih. Take so npr. sre-
dišče krožnice devetih točk X(5), Gergonnova X(7),
Nagelova X(8), Lemoinova X(6) in Fermatova točka
X(13) ter prva in druga Napoleonova točka X(17) in
X(18). Spisek značilnih točk trikotnika v Kimberlin-
govi enciklopediji se potem nadaljuje in je že prese-
2
Konstrukcije 
trikotnikov 
pri danih treh 
točkah
•
presek 39 (2011/2012) 2
lea števanec in bojan hvala
Preseku s o že govorili o konstrukcijah tri-
kotnikov pri danih treh podatkih [1]. Tedaj s o
obljubili, da se k tej te atiki še vrne o, in sicer
s predstavitvijo konstrukcijskih nalog, kjer triko-
tnike konstruira o pri danih treh točkah v ravnini.
Svojo obljubo izpolnjuje o s te članko .
Za uvod si oglej o naslednji preprost pri er:
Pri er 1. Konstruiraj trikotnik BC pri dane ogli-
šču , višinski točki in razpolovišču b stranice
b.
Slika 1
glej o si skico. Pri danih točkah in b lahko
takoj določi o točko C . Ker i a o podano višinsko
točko , lahko nariše o pre ico C . To je nosilka
višine na stranico c. Če nanjo potegne o pravoko-
tnico iz točke , dobi o nosilko stranice c. Iz točke
potegne o pravokotnico na nosilko daljice C , to
je nosilka višine na stranico b. Kjer se zadnji dve
pre ici sekata, je točka B. Točke BC poveže o in
trikotnik je konstruiran. Tako s o rešili konstruk-
cijski proble ( , b, ).
K obravnavi tovrstnih konstrukcij bo o sedaj pri-
stopili siste atǐcno. ajprej se ora o odločiti, iz
katerega nabora ožnih točk bo o izbirali tri točke,
ki bodo določale konstrukcijsko nalogo. Vsekakor
bo o v ta nabor vključili oglišča , B, C trikotnika
BC . Vključili bo o tudi štiri najbolj znane značilne
točke trikotnika: težišče , višinsko točko , sredi-
šče očrtanega kroga in središče včrtanega kroga I.
Poleg teh bi v nabor lahko vključili še katero od
anj znanih značilnih točk trikotnika. a te estu
se naravno pojavi vprašanje, kaj značilna točka triko-
tnika sploh je in koliko jih že pozna o. Žal bi koli-
kor toliko spodoben odgovor na to vprašanje terjal
kar nekaj časa in bi z otil glavno nit naše pripovedi.
Zato zaenkrat o eni o le, da se je z značilni i toč-
ka i trikotnika siste atično ukvarjal a eriški a-
te atik Clark Ki berling, ki je poje tudi natančno
definiral. snoval je tudi Enciklopedijo značilnih točk
trikotnika, ki je dostopna na spletni stran [2] in na
kateri objavlja vedno nove in nove značilne točke
trikotnika. Točke v tej enciklopediji so označene z
( ), kjer je naravno število. Tako so točke (1),
(2), (3), (4) po vrsti ravno središče včrtanega
kroga, težišče, središče očrtanega kroga in višinska
točka. Te pote sledijo točke z nadaljnji i inde-
ksi. ekatere od njih spoznajo študentje ate a-
tike na dodiplo skih predavanjih. Take so npr. sre-
dišče krožnice devetih točk (5), ergonnova (7),
agelova (8), Le oinova (6) in Fer atova točka
(13) ter prva in druga apoleonova točka (17) in
(18). Spisek značilnih točk trikotnika v Ki berlin-
govi enciklopediji se pote nadaljuje in je že prese-
2
V Preseku s o že govorili o konstrukcijah tri-
kotnikov pri danih treh podatkih [1]. Tedaj s o
obljubili, da se k tej te atiki še vrne o, in sicer
s predstavitvijo konstrukcijskih nalog, kjer triko-
tnike konstruira o pri danih treh točkah v ravnini.
Svojo obljubo izpolnjuje o s te članko .
Za uvod si oglej o naslednji preprost pri er:
Pri er 1. Konstruiraj trikotnik ABC pri dane ogli-
šču A, višinski točki H in razpolovišču b stranice
b.
Slika 1
Oglej o si skico. Pri danih točkah A in b lahko
takoj določi o točko C . Ker i a o podano višinsko
točko H, lahko nariše o pre ico CH. To je nosilka
višine na stranico c. Če nanjo potegne o pravoko-
tnico iz točke A, dobi o nosilko stranice c. Iz točke
H potegne o pravokotnico na nosilko daljice AC , to
je nosilka višine na stranico b. Kjer se zadnji dve
pre ici sekata, je točka B. Točke ABC poveže o in
trikotnik je konstruiran. Tako s o rešili konstruk-
cijski proble (A, b,H).
K obravnavi tovrstnih konstrukcij bo o sedaj pri-
stopili siste atǐcno. Najprej se ora o odločiti, iz
katerega nabora ožnih točk bo o izbirali tri točke,
ki bodo določale konstrukcijsko nalogo. Vsekakor
bo o v ta nabor vključili oglišča A, B, C trikotnika
ABC . Vključili bo o tudi štiri najbolj znane značilne
točke trikotnika: težišče G, višinsko točko H, sredi-
šče očrtanega kroga O in središče včrtanega kroga I.
Poleg teh bi v nabor lahko vključili še katero od
anj znanih značilnih točk trikotnika. Na te estu
se naravno pojavi vprašanje, kaj značilna točka triko-
tnika sploh je in koliko jih že pozna o. Žal bi koli-
kor toliko spodoben odgovor na to vprašanje terjal
kar nekaj časa in bi z otil glavno nit naše pripovedi.
Zato zaenkrat o eni o le, da se je z značilni i toč-
ka i trikotnika siste atično ukvarjal a eriški a-
te atik Clark Ki berling, ki je poje tudi natančno
definiral. Osnoval je tudi Enciklopedijo značilnih točk
trikotnika, ki je dostopna na spletni stran [2] in na
kateri objavlja vedno nove in nove značilne točke
trikotnika. Točke v tej enciklopediji so označene z
X(n), kjer je n naravno število. Tako so točke X(1),
X(2), X(3), X(4) po vrsti ravno središče včrtanega
kroga, težišče, središče očrtanega kroga in višinska
točka. Te pote sledijo točke z nadaljnji i inde-
ksi. Nekatere od njih spoznajo študentje ate a-
tike na dodiplo skih predavanjih. Take so npr. sre-
dišče krožnice devetih točk X(5), Gergonnova X(7),
Nagelova X(8), Le oinova X(6) in Fer atova točka
X(13) ter prva in druga Napoleonova točka X(17) in
X(18). Spisek značilnih točk trikotnika v Ki berlin-
govi enciklopediji se pote nadaljuje in je že prese-
2
.
, ,
,
.
.
:
.
,
.
.
.
, .
.
, .
,
.
, .
.
.
. ,
,
.
, ,
.
: , ,
.
.
,
.
.
,
,
.
,
.
, . ,
, ,
, ,
.
.
. .
, ,
,
.
ili t ij t i-
t i i i t t i [ ] j
lj ili t j t ti i i i
t it ij t ij i l j t i -
t i t i i i t t i i
j lj i l j j t l
i l j l ji r r t ri r
ri r tr ir j tri t i ri li-
i i i t i i r l i tr i
li
l j i i ri i t i l
t j l i t r i i i
t l ri r i j il
i i tr i j t r -
t i i t i il tr i I t
t r t i il lji t
j il i i tr i j r ji
r i i t j t i
tri t i j tr ir r ili tr -
ij i r l , ,
r i t r t i tr ij j ri-
t ili i t ti j r j r l iti i
t r r i t i ir li tri t
i l l tr ij l r
t r lj ili li tri t i
lj ili t i tiri j lj il
t tri t i t i i i t r i-
rt r i r i rt r I
l t i r l lj ili t r
j i il i t tri t i t t
r j i r j j il t t i -
t i l j i li ji l i li-
r t li r t r j t rj l
r j i i til l it ri i
t r t i l j il i i t -
i tri t i i t ti rj l ri i -
t ti l r i rli i j j t i t
ir l l j t i i l ij il i t
t i t i i j t l t i tr [ ] i
t ri j lj i il t
tri t i t j i l iji
j r j r t il t
r ti r r i rt
r t i r i rt r i i i
t t l ij t lj ji i i -
i t r ji j t tj t -
ti i l i r ji r r -
i r i ti t r
l i i r t t
t r r i r l t i
i il i t tri t i i rli -
i i l iji t lj j i j r -
5
m a t e m a t i k a
•
Presek 39 (2011/2012) 2
V Preseku smo že govorili o konstrukcijah tri-
kotnikov pri danih treh podatkih [1]. Tedaj smo
obljubili, da se k tej tematiki še vrnemo, in sicer
s predstavitvijo konstrukcijskih nalog, kjer triko-
tnike konstruiramo pri danih treh točkah v ravnini.
Svojo obljubo izpolnjujemo s tem člankom.
Za uvod si oglejmo naslednji preprost primer:
Primer 1. Konstruiraj trikotnik ABC pri danem ogli-
šču A, višinski točki H in razpolovišču Mb stranice
b.
Slika 1
Oglejmo si skico. Pri danih točkah A in Mb lahko
takoj določimo točko C . Ker imamo podano višinsko
točko H, lahko narišemo premico CH. To je nosilka
višine na stranico c. Če nanjo potegnemo pravoko-
tnico iz točke A, dobimo nosilko stranice c. Iz točke
H potegnemo pravokotnico na nosilko daljice AC , to
je nosilka višine na stranico b. Kjer se zadnji dve
premici sekata, je točka B. Točke ABC povežemo in
trikotnik je konstruiran. Tako smo rešili konstruk-
cijski problem (A,Mb,H).
K obravnavi tovrstnih konstrukcij bomo sedaj pri-
stopili sistematǐcno. Najprej se moramo odločiti, iz
katerega nabora možnih točk bomo izbirali tri točke,
ki bodo določale konstrukcijsko nalogo. Vsekakor
bomo v ta nabor vključili oglišča A, B, C trikotnika
ABC . Vključili bomo tudi štiri najbolj znane značilne
točke trikotnika: težišče G, višinsko točko H, sredi-
šče očrtanega kroga O in središče včrtanega kroga I.
Poleg teh bi v nabor lahko vključili še katero od
manj znanih značilnih točk trikotnika. Na tem mestu
se naravno pojavi vprašanje, kaj značilna točka triko-
tnika sploh je in koliko jih že poznamo. Žal bi koli-
kor toliko spodoben odgovor na to vprašanje terjal
kar nekaj časa in bi zmotil glavno nit naše pripovedi.
Zato zaenkrat omenimo le, da se je z značilnimi toč-
kami trikotnika sistematično ukvarjal ameriški ma-
tematik Clark Kimberling, ki je pojem tudi natančno
definiral. Osnoval je tudi Enciklopedijo značilnih točk
trikotnika, ki je dostopna na spletni stran [2] in na
kateri objavlja vedno nove in nove značilne točke
trikotnika. Točke v tej enciklopediji so označene z
X(n), kjer je n naravno število. Tako so točke X(1),
X(2), X(3), X(4) po vrsti ravno središče včrtanega
kroga, težišče, središče očrtanega kroga in višinska
točka. Tem potem sledijo točke z nadaljnjimi inde-
ksi. Nekatere od njih spoznajo študentje matema-
tike na dodiplomskih predavanjih. Take so npr. sre-
dišče krožnice devetih točk X(5), Gergonnova X(7),
Nagelova X(8), Lemoinova X(6) in Fermatova točka
X(13) ter prva in druga Napoleonova točka X(17) in
X(18). Spisek značilnih točk trikotnika v Kimberlin-
govi enciklopediji se potem nadaljuje in je že prese-
2
gel številko 3600.
Odločimo se, da z vključevanjem značilnih točk
trikotnika v nabor ne bomo pretiravali in se bomo
omejili le na začetne štiri. Poleg teh bomo vključili
še nekatere točke, ki ne zadoščajo Kimberlingovi de-
finiciji značilne točke trikotnika. To so razpolovišča
stranic Ma, Mb, Mc , nožišča višin Ha, Hb, Hc in pre-
sečišča stranic s simetralami notranjih kotov Ta, Tb,
Tc . Na ta način dobimo 16 točk, ki jih razdelimo v
štiri tematske sklope: A, B, C , O; Ma, Mb, Mc , G; Ha,
Hb, Hc , H in Ta, Tb, Tc , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz množice 16 točk zdaj izbiramo po tri točke, ki
bodo definirale konstrukcijski problem. To lahko
storimo na C316 =
(
16
3
)
= 560 načinov. To pomeni,
da dobimo 560 možnih trojic točk. Seveda pa je bi-
stveno različnih konstrukcijskih nalog precej manj.
Tako je zgoraj predstavljena naloga (A,Mb,H) pov-
sem analogna nalogam (A,Mc,H), (B,Ma,H),
(B,Mc,H), (C,Ma,H) in (C,Mb,H). Če konstrukcij-
ske naloge nanizamo sistematično in izločimo ana-
logne verzije, pridemo do naslednje tabele 140-ih bi-
stveno različnih konstrukcij. Trivialno konstrukcijo
(A, B,C) smo namenoma navedli kot zadnjo; v lite-
raturi jo običajno celo izpustijo in govorijo o 139-
ih konstrukcijskih problemih. Tovrstni seznam je v
članku [3] predstavil W. Wernick in se po njem ime-
nuje Wernickov seznam.
Tabela
Klasifikacija problemov
V tem razdelku bomo spoznali, da omenjenih 139
konstrukcijskih nalog lahko razvrstimo v nekaj sku-
pin. Oglejmo si jih s pomočjo njihovih tipičnih pred-
stavnikov.
1. Konstrukcijski problem 3: (A, B,Mc)
Podane imamo torej tri točke v ravnini in želimo kon-
struirati trikotnik ABC . Točka Mc označuje razpo-
lovišče stranice AB. V primeru, ko tretja od poda-
nih točk ni razpolovišče daljice, določene s prvima
dvema, iskani trikotnik ne obstaja. Če pa tretja točka
je razpolovišče daljice, lahko za oglišče C trikotnika
ABC izberemo katerokoli točko v ravnini, razen točk
na premici AB.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako O. Zanje je
značilno, da je eden od podatkov povsem odveč. Pri
danih dveh točkah je tretja točka natančno določena
in njeno podajanje je nepotrebno zapravljanje tretje
informacije. V tem primeru rešitev bodisi ni bodisi
jih je neskončno mnogo. Tovrstne konstrukcije so na
seznamu v tabeli tri. Bralca vabimo, da sam premisli,
3
gel številko 3600.
Odločimo se, da z vključevanjem značilnih točk
trikotnika v nabor ne bomo pretiravali in se bomo
omejili le na začetne štiri. Poleg teh bomo vključili
še nekatere točke, ki ne zadoščajo Kimberlingovi de-
finiciji značilne točke trikotnika. To so razpolovišča
stranic Ma, Mb, Mc , nožišča višin Ha, Hb, Hc in pre-
sečišča stranic s simetralami notranjih kotov Ta, Tb,
Tc . Na ta način dobimo 16 točk, ki jih razdelimo v
štiri tematske sklope: A, B, C , O; Ma, Mb, Mc , G; Ha,
Hb, Hc , H in Ta, Tb, Tc , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz množice 16 točk zdaj izbiramo po tri točke, ki
bodo definirale konstrukcijski problem. To lahko
storimo na C316 =
(
16
3
)
= 560 načinov. To pomeni,
da dobimo 560 možnih trojic točk. Seveda pa je bi-
stveno različnih konstrukcijskih nalog precej manj.
Tako je zgoraj predstavljena naloga (A,Mb,H) pov-
sem analogna nalogam (A,Mc,H), (B,Ma,H),
(B,Mc,H), (C,Ma,H) in (C,Mb,H). Če konstrukcij-
ske naloge nanizamo sistematično in izločimo ana-
logne verzije, pridemo do naslednje tabele 140-ih bi-
stveno različnih konstrukcij. Trivialno konstrukcijo
(A, B,C) smo namenoma navedli kot zadnjo; v lite-
raturi jo običajno celo izpustijo in govorijo o 139-
ih konstrukcijskih problemih. Tovrstni seznam je v
članku [3] predstavil W. Wernick in se po njem ime-
nuje Wernickov seznam.
Tabela
Klasifikacija problemov
V tem razdelku bomo spoznali, da omenjenih 139
konstrukcijskih nalog lahko razvrstimo v nekaj sku-
pin. Oglejmo si jih s pomočjo njihovih tipičnih pred-
stavnikov.
1. Konstrukcijski problem 3: (A, B,Mc)
Podane imamo torej tri točke v ravnini in želimo kon-
struirati trikotnik ABC . Točka Mc označuje razpo-
lovišče stranice AB. V primeru, ko tretja od poda-
nih točk ni razpolovišče daljice, določene s prvima
dvema, iskani trikotnik ne obstaja. Če pa tretja točka
je razpolovišče daljice, lahko za oglišče C trikotnika
ABC izberemo katerokoli točko v ravnini, razen točk
na premici AB.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako O. Zanje je
značilno, da je eden od podatkov povsem odveč. Pri
danih dveh točkah je tretja točka natančno določena
in njeno podajanje je nepotrebno zapravljanje tretje
informacije. V tem primeru rešitev bodisi ni bodisi
jih je neskončno mnogo. Tovrstne konstrukcije so na
seznamu v tabeli tri. Bralca vabimo, da sam premisli,
3
6
m a t e m a t i k a
•
Klasifikacija problemov
gel številko 3600.
Odločimo se, da z vključevanjem značilnih točk
trikotnika v nabor ne bomo pretiravali in se bomo
omejili le na začetne štiri. Poleg teh bomo vključili
še nekatere točke, ki ne zadoščajo Kimberlingovi de-
finiciji značilne točke trikotnika. To so razpolovišča
stranic Ma, Mb, Mc , nožišča višin Ha, Hb, Hc in pre-
sečišča stranic s simetralami notranjih kotov Ta, Tb,
Tc . Na ta način dobimo 16 točk, ki jih razdelimo v
štiri tematske sklope: A, B, C , O; Ma, Mb, Mc , G; Ha,
Hb, Hc , H in Ta, Tb, Tc , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz množice 16 točk zdaj izbiramo po tri točke, ki
bodo definirale konstrukcijski problem. To lahko
storimo na C316 =
(
16
3
)
= 560 načinov. To pomeni,
da dobimo 560 možnih trojic točk. Seveda pa je bi-
stveno različnih konstrukcijskih nalog precej manj.
Tako je zgoraj predstavljena naloga (A,Mb,H) pov-
sem analogna nalogam (A,Mc,H), (B,Ma,H),
(B,Mc,H), (C,Ma,H) in (C,Mb,H). Če konstrukcij-
ske naloge nanizamo sistematično in izločimo ana-
logne verzije, pridemo do naslednje tabele 140-ih bi-
stveno različnih konstrukcij. Trivialno konstrukcijo
(A, B,C) smo namenoma navedli kot zadnjo; v lite-
raturi jo običajno celo izpustijo in govorijo o 139-
ih konstrukcijskih problemih. Tovrstni seznam je v
članku [3] predstavil W. Wernick in se po njem ime-
nuje Wernickov seznam.
Tabela
Klasifikacija problemov
V tem razdelku bomo spoznali, da omenjenih 139
konstrukcijskih nalog lahko razvrstimo v nekaj sku-
pin. Oglejmo si jih s pomočjo njihovih tipičnih pred-
stavnikov.
1. Konstrukcijski problem 3: (A, B,Mc)
Podane imamo torej tri točke v ravnini in želimo kon-
struirati trikotnik ABC . Točka Mc označuje razpo-
lovišče stranice AB. V primeru, ko tretja od poda-
nih točk ni razpolovišče daljice, določene s prvima
dvema, iskani trikotnik ne obstaja. Če pa tretja točka
je razpolovišče daljice, lahko za oglišče C trikotnika
ABC izberemo katerokoli točko v ravnini, razen točk
na premici AB.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako O. Zanje je
značilno, da je eden od podatkov povsem odveč. Pri
danih dveh točkah je tretja točka natančno določena
in njeno podajanje je nepotrebno zapravljanje tretje
informacije. V tem primeru rešitev bodisi ni bodisi
jih je neskončno mnogo. Tovrstne konstrukcije so na
seznamu v tabeli tri. Bralca vabimo, da sam premisli,
3
gel številko 3600.
loči o se, a z vklj čeva je z ačil i točk
trikot ika v abor e bo o retiravali i se bo o
o ejili le a začet e štiri. Poleg te bo o vklj čili
še ekatere točke, ki e za oščajo i berli govi e-
iciji z ačil e točke trikot ika. o so raz olovišča
stra ic a, b, c , ožišča viši a, b, c i re-
sečišča stra ic s si etrala i otra ji kotov a, b,
c . a ta ači obi o 16 točk, ki ji raz eli o v
štiri te atske sklo e: , , , ; a, b, c , ; a,
b, c , i a, b, c , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz ožice 16 točk z aj izbira o o tri točke, ki
bo o e irale ko str kcijski roble . o la ko
stori o a 316
(
16
3
)
560 ači ov. o o e i,
a obi o 560 ož i trojic točk. Seve a a je bi-
stve o različ i ko str kcijski alog recej a j.
ako je zgoraj re stavlje a aloga ( , b, ) ov-
se a alog a aloga ( , c, ), ( , a, ),
( , c, ), ( , a, ) i ( , b, ). ˇe ko str kcij-
ske aloge a iza o siste atič o i izloči o a a-
log e verzije, ri e o o asle je tabele 140-i bi-
stve o različ i ko str kcij. rivial o ko str kcijo
( , , ) s o a e o a ave li kot za jo; v lite-
rat ri jo običaj o celo iz stijo i govorijo o 139-
i ko str kcijski roble i . ovrst i sez a je v
čla k [3] re stavil . er ick i se o je i e-
je er ickov sez a .
abela
l si cij r l v
te raz elk bo o s oz ali, a o e je i 139
ko str kcijski alog la ko razvrsti o v ekaj sk -
i . glej o si ji s o očjo ji ovi ti ič i re -
stav ikov.
1. o str kcijski roble 3: ( , , c)
Po a e i a o torej tri točke v rav i i i želi o ko -
str irati trikot ik . očka c oz ač je raz o-
lovišče stra ice . ri er , ko tretja o o a-
i točk i raz olovišče aljice, oloče e s rvi a
ve a, iska i trikot ik e obstaja. ˇe a tretja točka
je raz olovišče aljice, la ko za oglišče trikot ika
izbere o katerokoli točko v rav i i, raze točk
a re ici .
brav ava o ko str kcijo vršča o v s i o
o str cijs i ro le o z oz a o . a je je
z ačil o, a je e e o o atkov ovse o več. Pri
a i ve točka je tretja točka ata č o oloče a
i je o o aja je je e otreb o za ravlja je tretje
i for acije. te ri er rešitev bo isi i bo isi
ji je esko č o ogo. ovrst e ko str kcije so a
sez a v tabeli tri. Bralca vabi o, a sa re isli,
3
l t il .
Odl im , d lju nj m n ilnih t
tri tni n r n m pr tir li in m
m jili l n tn tiri. l t h m lju ili
n t r t , i n d j Kim rlin i d -
fini iji n iln t tri tni . T r p l i
tr ni M , M , Mc , n i i in H , H , Hc in pr -
i tr ni im tr l mi n tr njih t T , T ,
Tc . N t n in d im t , i jih r d lim
tiri t m t l p : A, B, C , O; M , M , Mc , G; H ,
H , Hc , H in T , T , Tc , I.
li , , ,
I mn i t d j i ir m p tri t , i
d d finir l n tru ij i pr l m. T l h
t rim n C316 = 163 = n in . T p m ni,
d d im m nih tr ji t . d p j i-
t n r li nih n tru ij ih n l pr j m nj.
T j r j pr d t lj n n l A,M ,H p -
m n l n n l m A,Mc,H , B,M ,H ,
B,Mc,H , C,M ,H in C,M ,H . C n tru ij-
n l n ni m i t m ti n in i l im n -
l n r ij , prid m d n l dnj t l -ih i-
t n r li nih n tru ij. Tri i ln n tru ij
A,B,C m n m n m n dli t dnj ; lit -
r turi j i jn l i pu tij in rij -
ih n tru ij ih pr l mih. T r tni n m j
l n u [ ] pr d t il W. W rni in p nj m im -
nuj W rni n m.
T l
Kla ifika ija p oble o
V t m r d l u m p n li, d m nj nih
n tru ij ih n l l h r r tim n j u-
pin. O l jm i jih p m j njih ih tipi nih pr d-
t ni .
. K n tru ij i pr l m : A,B,Mc
d n im m t r j tri t r nini in lim n-
truir ti tri tni ABC . T Mc n uj r p -
l i tr ni AB. V prim ru, tr tj d p d -
nih t ni r p l i d lji , d l n pr im
d m , i ni tri tni n t j . C p tr tj t
j r p l i d lji , l h li C tri tni
ABC i r m t r li t r nini, r n t
n pr mi i AB.
O r n n n tru ij u r m kupin
k n t uk ij kih p bl m v n k O. Z nj j
n iln , d j d n d p d t p m d . ri
d nih d h t h j tr tj t n t n n d l n
in nj n p d j nj j n p tr n pr lj nj tr tj
inf rm ij . V t m prim ru r it di i ni di i
jih j n n n mn . T r tn n tru ij n
n mu t li tri. r l im , d m pr mi li,
gel številko 3600.
Odločimo se, da z vključevanjem značilnih točk
trikotnika v nabor ne bomo pretiravali in se bomo
omejili le na začetne štiri. Poleg teh bomo vključili
še nekatere točke, ki ne zadoščajo Kimberlingovi de-
finiciji značilne točke trikotnika. To so razpolovišča
stranic Ma, Mb, Mc , nožišča višin Ha, Hb, Hc in pre-
sečišča stranic s simetralami notranjih kotov Ta, Tb,
Tc . Na ta način dobimo 16 točk, ki jih razdelimo v
štiri tematske sklope: A, B, C , O; Ma, Mb, Mc , G; Ha,
Hb, Hc , H in Ta, Tb, Tc , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz množice 16 točk zdaj izbiramo po tri točke, ki
bodo definirale konstrukcijski problem. To lahko
storimo na C316 =
(
16
3
)
= 560 načinov. To pomeni,
da dobimo 560 možnih trojic točk. Seveda pa je bi-
stveno različnih konstrukcijskih nalog precej manj.
Tako je zgoraj predstavljena naloga (A,Mb,H) pov-
sem analogna nalogam (A,Mc,H), (B,Ma,H),
(B,Mc,H), (C,Ma,H) in (C,Mb,H). Če konstrukcij-
ske naloge nanizamo sistematično in izločimo ana-
logne verzije, pridemo do naslednje tabele 140-ih bi-
stveno različnih konstrukcij. Trivialno konstrukcijo
(A, B,C) smo namenoma navedli kot zadnjo; v lite-
raturi jo običajno celo izpustijo in govorijo o 139-
ih konstrukcijskih problemih. Tovrstni seznam je v
članku [3] predstavil W. Wernick in se po njem ime-
nuje Wernickov seznam.
Tabela
ifikacija problemov
V tem razdelku bomo spoznali, da omenjenih 139
konstrukcijskih nalog lahko razvrstimo v nekaj sku-
pin. Oglejmo si jih s pomočjo njihovih tipičnih pred-
stavnikov.
1. Konstrukcijski problem 3: (A, B,Mc)
Podane imamo torej tri točke v ravnini in želimo kon-
struirati trikotnik ABC . Točka Mc označuje razpo-
lovišče stranice AB. V primeru, ko tretja od poda-
nih točk ni razpolovišče daljice, določene s prvima
dvema, iskani trikotnik ne obstaja. Če pa tretja točka
je razpolovišče daljice, lahko za oglišče C trikotnika
ABC izberemo katerokoli točko v ravnini, razen točk
na premici AB.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako O. Zanje je
značilno, da je eden od podatkov povsem odveč. Pri
danih dveh točkah je tretja točka natančno določena
in njeno podajanje je nepotrebno zapravljanje tretje
informacije. V tem primeru rešitev bodisi ni bodisi
jih je neskončno mnogo. Tovrstne konstrukcije so na
seznamu v tabeli tri. Bralca vabimo, da sam premisli,
3
presek 39 (2011/2012) 2
točke tip
1. A B O L
2. A B M
a
R
3. A B M
c
O
4. A B G R
5. A B H
a
L
6. A B H
C
L
7. A B H R
8. A B T
a
R
9. A B T
C
L
10. A B I R
11. A O M
a
R
12. A O M
b
L
13. A O G R
14. A O H
a
R
15. A O H
b
R
16. A O H R
17. A O T
a
R
18. A O T
b
R
19. A O I R
20. A M
a
M
b
R
21. A M
a
G O
22. A M
a
H
a
L
23. A M
a
H
b
R
24. A M
a
H R
25. A M
a
T
a
R
26. A M
a
T
b
N
27. A M
a
I R
28. A M
b
M
c
R
29. A M
b
G R
30. A M
b
H
a
L
31. A M
b
H
b
L
32. A M
b
H
c
L
33. A M
b
H R
34. A M
b
T
a
R
35. A M
b
T
b
L
36. A M
b
T
c
R
37. A M
b
I R
38. A G H
a
L
39. A G H
b
R
40. A G H R
41. A G T
a
R
42. A G T
b
N
43. A G I R
44. A H
a
H
b
R
45. A H
a
H L
46. A H
a
T
a
L
47. A H
a
T
b
R
48. A H
a
I R
49. A H
b
H
c
R
50. A H
b
H L
51. A H
b
T
a
R
52. A H
b
T
b
L
53. A H
b
T
c
R
54. A H
b
I R
55. A H T
a
R
56. A H T
b
N
57. A H I R
58. A T
a
T
b
R
59. A T
a
I L
60. A T
b
T
c
R
61. A T
b
I R
62. O M
a
M
b
R
63. O M
a
G R
64. O M
a
H
a
L
65. O M
a
H
b
R
66. O M
a
H R
67. O M
a
T
a
L
68. O M
a
T
b
N
69. O M
a
I R
70. O G H
a
R
71. O G H O
72. O G T
a
N
73. O G I N
74. O H
a
H
b
N
75. O H
a
H R
76. O H
a
T
a
R
77. O H
a
T
b
V
78. O H
a
I V
79. O H T
a
N
80. O H I N
81. O T
a
T
b
V
82. O T
a
I R
83. M
a
M
b
M
c
R
84. M
a
M
b
G R
85. M
a
M
b
H
a
R
86. M
a
M
b
H
c
R
87. M
a
M
b
H R
88. M
a
M
b
T
a
N
89. M
a
M
b
T
c
N
90. M
a
M
b
I N
91. M
a
G H
a
L
92. M
a
G H
b
R
93. M
a
G H R
94. M
a
G T
a
R
95. M
a
G T
b
N
96. M
a
G I R
97. M
a
H
a
H
b
R
98. M
a
H
a
H L
99. M
a
H
a
T
a
L
100. M
a
H
a
T
b
N
101. M
a
H
a
I R
102. M
a
H
b
H
c
L
103. M
a
H
b
H R
104. M
a
H
b
T
a
R
105. M
a
H
b
T
b
R
106. M
a
H
b
T
c
N
107. M
a
H
b
I N
108. M
a
H T
a
N
109. M
a
H T
b
N
110. M
a
H I N
111. M
a
T
a
T
b
N
112. M
a
T
a
I R
113. M
a
T
b
T
c
V
114. M
a
T
b
I N
115. G H
a
H
b
N
116. G H
a
H R
117. G H
a
T
a
R
118. G H
a
T
b
V
119. G H
a
I V
120. G H T
a
N
121. G H I N
122. G T
a
T
b
V
123. G T
a
I V
124. H
a
H
b
H
c
R
125. H
a
H
b
G R
126. H
a
H
b
T
a
R
127. H
a
H
b
T
c
V
128. H
a
H
b
I V
129. H
a
H T
a
L
130. H
a
H T
b
N
131. H
a
H I R
132. H
a
T
a
T
b
V
133. H
a
T
a
I R
134. H
a
T
b
T
c
V
135. H
a
T
b
I V
136. H T
a
T
b
V
137. H T
a
I V
138. T
a
T
b
T
c
N
139. T
a
T
b
I R
140. A B C R
•
•
7
m a t e m a t i k a
če v skupino O sodi tudi konstrukcijski problem 21:
(A,Ma,G).
2. Konstrukcijski problem 1: (A, B,O)
Spomnimo se, da je središče očrtane krožnice O pre-
sečišče vseh treh simetral stranic trikotnika. Zato
mora točka O med drugim ležati tudi na simetrali
stranice AB. Če so torej podane tri točke, kjer točka
O ne leži na simetrali stranice AB, potem ustrezne
rešitve naloge ni. V primeru, ko pa točka O leži na
simetrali stranice AB, lahko narišemo očrtano kro-
žnico s središčem O in polmerom |OA|. Ker drugih
zahtev nimamo, lahko oglišče C poljubno izberemo
na tej očrtani krožnici. To pomeni, da imamo ne-
skončno mnogo ustreznih rešitev.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako L. Zanje je
značilno, da je pri danih dveh točkah lega tretje točke
iz trojice omejena (v našem primeru mora ležati na
simetrali daljice), vendar pa ta za razliko od skupine
O ni povsem določena. To pomeni, da tretja točka
trojice prinaša določeno informacijo in torej le ni
povsem odveč. Tudi v tem primeru rešitve bodisi
ni (če tretja točke ne zadošča omejitvi) bodisi je reši-
tev neskončno mnogo. Na seznamu v tabeli je takih
konstrukcij 23.
Bralca vabimo, da sam premisli, da v to skupino
sodi tudi konstrukcijska naloga 5 (A, B,Ha). Ome-
nimo še, da v to kategorijo sodi tudi konstrukcijska
naloga 9 (A, B, Tc). S to nalogo se bomo ukvarjali v
razdelku o prepogibanju papirja.
3. Konstrukcijski problem 80: (O,H, I)
Čeprav to na prvi pogled ni videti posebej težka na-
loga, se izkaže za kar trd oreh. S to nalogo se je
ukvarjal že znani matematik Leonhard Euler (1707–
1783) v članku [7] z naslovom Preprosta rešitev ne-
katerih zelo težkih geometrijskih problemov. Pri re-
ševanju konstrukcijskega problema (O,H, I) je Euler
mimogrede odkril, da točke O, G in H v poljubnem
trikotniku ležijo na isti premici, ki jo danes imenu-
jemo Eulerjeva premica trikotnika ABC . Še več, od-
kril je, da točka G vedno leži na tretjini daljice OH.
Čeprav to danes dojemamo kot pomemben rezultat,
je bil Euler toliko zaposlen s centralnim problemom,
da odkritju ni pripisal posebne pozornosti. Je pa od-
kril, kako se z razdaljami med podanimi točkami O,
H, I izražajo stranice a, b, c trikotnika ABC . Iz teh
računov današnji matematik hitro razbere, da čeprav
pri danih točkah O, H, I trikotnik ABC obstaja, nje-
govih oglišč ne moremo vedno konstruirati samo z
uporabo šestila in ravnila.
Konstrukcije, za katere je dokazano, da jih pri do-
ločenih legah podanih točk ne moremo izvesti le s
šestilom in ravnilom, tvorijo skupino z oznako N.
Takih je na seznamu 26.
Tako smo spoznali tri posebne skupine konstruk-
cijskih problemov. Poleg teh obstaja še običajna, naj-
večja skupina problemov, ki jo označimo z R in vse-
buje konstrukcije, ki so izvedljive s šestilom in ravni-
4
če v skupino O sodi tudi konstrukcijski problem 21:
(A,Ma,G).
2. Konstrukcijski problem 1: (A, B,O)
Spomnimo se, da je središče očrtane krožnice O pre-
sečišče vseh treh simetral stranic trikotnika. Zato
mora točka O med drugim ležati tudi na simetrali
stranice AB. Če so torej podane tri točke, kjer točka
O ne leži na simetrali stranice AB, potem ustrezne
rešitve naloge ni. V primeru, ko pa točka O leži na
simetrali stranice AB, lahko narišemo očrtano kro-
žnico s središčem O in polmerom |OA|. Ker drugih
zahtev nimamo, lahko oglišče C poljubno izberemo
na tej očrtani krožnici. To pomeni, da imamo ne-
skončno mnogo ustreznih rešitev.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako L. Zanje je
značilno, da je pri danih dveh točkah lega tretje točke
iz trojice omejena (v našem primeru mora ležati na
simetrali daljice), vendar pa ta za razliko od skupine
O ni povsem določena. To pomeni, da tretja točka
trojice prinaša določeno informacijo in torej le ni
povsem odveč. Tudi v tem primeru rešitve bodisi
ni (če tretja točke ne zadošča omejitvi) bodisi je reši-
tev neskončno mnogo. Na seznamu v tabeli je takih
konstrukcij 23.
Bralca vabimo, da sam premisli, da v to skupino
sodi tudi konstrukcijska naloga 5 (A, B,Ha). Ome-
nimo še, da v to kategorijo sodi tudi konstrukcijska
naloga 9 (A, B, Tc). S to nalogo se bomo ukvarjali v
razdelku o prepogibanju papirja.
3. Konstrukcijski problem 80: (O,H, I)
Čeprav to na prvi pogled ni videti posebej težka na-
loga, se izkaže za kar trd oreh. S to nalogo se je
ukvarjal že znani matematik Leonhard Euler (1707–
1783) v članku [7] z naslovom Preprosta rešitev ne-
katerih zelo težkih geometrijskih problemov. Pri re-
ševanju konstrukcijskega problema (O,H, I) je Euler
mimogrede odkril, da točke O, G in H v poljubnem
trikotniku ležijo na isti premici, ki jo danes imenu-
jemo Eulerjeva premica trikotnika ABC . Še več, od-
kril je, da točka G vedno leži na tretjini daljice OH.
Čeprav to danes dojemamo kot pomemben rezultat,
je bil Euler toliko zaposlen s centralnim problemom,
da odkritju ni pripisal posebne pozornosti. Je pa od-
kril, kako se z razdaljami med podanimi točkami O,
H, I izražajo stranice a, b, c trikotnika ABC . Iz teh
računov današnji matematik hitro razbere, da čeprav
pri danih točkah O, H, I trikotnik ABC obstaja, nje-
govih oglišč ne moremo vedno konstruirati samo z
uporabo šestila in ravnila.
Konstrukcije, za katere je dokazano, da jih pri do-
ločenih legah podanih točk ne moremo izvesti le s
šestilom in ravnilom, tvorijo skupino z oznako N.
Takih je na seznamu 26.
Tako smo spoznali tri posebne skupine konstruk-
cijskih problemov. Poleg teh obstaja še običajna, naj-
večja skupina problemov, ki jo označimo z R in vse-
buje konstrukcije, ki so izvedljive s šestilom in ravni-
4
•
lom. Tak je npr. konstrukcijski problem 33
(A,Mb,H), ki smo ga navedli v uvodu. Na seznamu
v tabeli je takih problemov 73.
Ostanejo nam še konstrukcijski problemi, za ka-
tere še ni znano, v katero skupino sodijo. Ti so na
seznamu označeni z V. V prvotnem Wernickovem
seznamu iz leta 1982 je bilo takih 50. V članku [4] iz
leta 1996 je L. F. Meyers sporočil, da je bilo medtem
30 od teh odprtih problemov razrešenih, torej raz-
vrščenih v skupini R oz. N. Odprtih je tako ostalo še
20 problemov. V članku [5] iz leta 2009 A. V. Usti-
nov dokaže, da konstrukcija 138 sodi v skupino N.
Spletna stran [6] navaja napredek pri nadaljnjih šti-
rih problemih: 90, 109, 110 in 111 naj bi sodili v
skupino N. Vsebinska dopolnila na tej spletni strani
se zaključijo avgusta 2009.
Tako je po avtorjema znanih podatkih danes še
vedno odprtih 15 problemov.
Nadaljnji primeri konstrukcij
V tem razdelku bomo spoznali nekaj nadaljnjih kon-
strukcij iz skupine R.
Primer 2. Konstrukcijski problem 139: (Ta, Tb, I)
Slika 6
Dane so tri nekolinearne točke: središče včrtane
krožnice I, točka Ta , ki je presečišče simetrale kota
α s stranico BC , in točka Tb, ki je presečišče sime-
trale kota β s stranico AC . Za začetek narišimo pre-
mici sa skozi točki I in Ta ter sb skozi točki I in Tb; to
sta simetrali kotov α in β. Če točko Ta prezrcalimo
čez premico sb, dobimo točko T ′a, za katero vemo,
da se nahaja na premici AB. Analogno točko Tb pre-
zrcalimo čez premico sa in njeno sliko označimo s
T ′b. Tudi točka T
′
b leži na nosilki stranice AB. Zato je
premica T ′aT
′
b nosilka stranice AB. Vemo, da se pre-
mici AB in ITa sekata v točki A, premici AB in ITb pa
v točki B. Oglišče C dobimo kot presečišče premic
ATb in BTa. Navidez brezupen primer je torej imel
preprosto in elegantno rešitev.
Nadaljujmo z nekaj zahtevnejšimi konstrukcijami.
Primer 3. Konstrukcijski problem 124: (Ha,Hb,Hc)
Slika 7
Točke Ha, Hb in Hc so oglišča tako imenovanega
višinsko – nožiščnega trikotnika HaHbHc trikotnika
ABC . Na kratko si oglejmo nekaj njegovih lastnosti.
Naj bo ABC ostrokotni trikotnik. Najprej opazimo,
da so štirikotniki AHcHHb, BHaHHc , CHbHHa in
ABHaHb tetivni. Premislimo to za štirikotnik
AHcHHb, pri drugih razmislek poteka podobno. Tri-
kotnik AHcH je pravokotni, zato je središče njegove
očrtane krožnice v razpolovišču hipotenuze. Še več;
5
gel številko 3600.
Odločimo se, da z vključevanjem značilnih točk
trikotnika v nabor ne bomo pretiravali in se bomo
omejili le na začetne štiri. Poleg teh bomo vključili
še nekatere točke, ki ne zadoščajo Kimberlingovi de-
finiciji značilne točke trikotnika. To so razpolovišča
stranic Ma, Mb, Mc , nožišča višin Ha, Hb, Hc in pre-
sečišča stranic s simetralami notranjih kotov Ta, Tb,
Tc . Na ta način dobimo 16 točk, ki jih razdelimo v
štiri tematske sklope: A, B, C , O; Ma, Mb, Mc , G; Ha,
Hb, Hc , H in Ta, Tb, Tc , I.
Slika 2, 3, 4, 5
Iz množice 16 točk zdaj izbiramo po tri točke, ki
bodo definirale konstrukcijski problem. To lahko
storimo na C316 =
(
16
3
)
= 560 načinov. To pomeni,
da dobimo 560 možnih trojic točk. Seveda pa je bi-
stveno različnih konstrukcijskih nalog precej manj.
Tako je zgoraj predstavljena naloga (A,Mb,H) pov-
sem analogna nalogam (A,Mc,H), (B,Ma,H),
(B,Mc,H), (C,Ma,H) in (C,Mb,H). Če konstrukcij-
ske naloge nanizamo sistematično in izločimo ana-
logne verzije, pridemo do naslednje tabele 140-ih bi-
stveno različnih konstrukcij. Trivialno konstrukcijo
(A, B,C) smo namenoma navedli kot zadnjo; v lite-
raturi jo običajno celo izpustijo in govorijo o 139-
ih konstrukcijskih problemih. Tovrstni seznam je v
članku [3] predstavil W. Wernick in se po njem ime-
nuje Wernickov seznam.
Tabela
Klasifikacija problemov
V tem razdelku bomo spoznali, da omenjenih 139
konstrukcijskih nalog lahko razvrstimo v nekaj sku-
pin. Oglejmo si jih s pomočjo njihovih tipičnih pred-
stavnikov.
1. Konstrukcijski problem 3: (A, B,Mc)
Podane imamo torej tri točke v ravnini in želimo kon-
struirati trikotnik ABC . Točka Mc označuje razpo-
lovišče stranice AB. V primeru, ko tretja od poda-
nih točk ni razpolovišče daljice, določene s prvima
dvema, iskani trikotnik ne obstaja. Če pa tretja točka
je razpolovišče daljice, lahko za oglišče C trikotnika
ABC izberemo katerokoli točko v ravnini, razen točk
na premici AB.
Obravnavano konstrukcijo uvrščamo v skupino
konstrukcijskih problemov z oznako O. Zanje je
značilno, da je eden od podatkov povsem odveč. Pri
danih dveh točkah je tretja točka natančno določena
in njeno podajanje je nepotrebno zapravljanje tretje
informacije. V tem primeru rešitev bodisi ni bodisi
jih je neskončno mnogo. Tovrstne konstrukcije so na
seznamu v tabeli tri. Bralca vabimo, da sam premisli,
3
 Tak je npr. ko stru cijski problem 33 (A,M
b
,H), ki 
smo ga navedli v uvodu. Na seznamu v tabeli je t kih 
pro l mov 73.
Presek 39 (2011/2012) 2
8
m a t e m a t i k a
•
očrtana krožnica tega trikotnika je krožnica s pre-
merom AH. Isto velja tudi za pravokotni trikotnik
AHHb. Torej je krožnica s premerom AH očrtana
krožnica štirikotnika AHcHHb.
Zdaj pa analizirajmo kote na sliki 7. Iz tetivno-
sti omenjenih štirikotnikov sledi, da sta HHcHb in
HAHb obodna kota nad istim lokom in zato enaka.
Podobno sta enaka kota HHcHa in HBHa. Ker pa
velja HBHa = HBHa = 90◦ −α, sta kota HHcHb
in HHcHa enaka, kar pomeni, da je premica HHc
simetrala kota HaHcHb. Podobno velja za premici
HaH inHbH. Nosilke višin osnovnega trikotnikaABC
so torej simetrale kotov trikotnika HaHbHc . Od tod
sledi, da je točka H središče včrtanega kroga triko-
tnika HaHbHc .
Zdaj pa se znova vrnimo k naši konstrukciji. Pri
danih nekolinearnih točkah Ha, Hb in Hc narišemo
trikotnik HaHbHc , konstruirajmo simetrale njegovih
notranjih kotov in dobimo središče včrtanega kroga
I′ trikotnika HaHbHc . Zgoraj smo ugotovili, da je
I′ = H. Pravokotnice iz točke Ha na premico HHa,
iz točke Hb na premico HHb in iz točke Hc na pre-
mico HHc , so zato nosilke stranic trikotnika ABC .
Označimo njihova presečišča z A, B, C in naloga je
rešena.
Omenimo še, da v primeru, ko je osnovni triko-
tnik ABC topokotni, točka H ni središče trikotniku
HaHbHc včrtane krožnice, pač pa središče ene od
njegovih pričrtanih krožnic. Na tej podlagi bi z iz-
biro vsakega od središč treh pričrtanih krožnic za
točko H, nalogo lahko rešili tudi v tem primeru. Pri
danih točkah Ha, Hb, Hc torej v splošnem dobimo
štiri rešitve, eno ostrokotno in tri topokotne. Dejan-
sko so topokotne rešitve posebej preproste. Bralce,
ki že poznajo najpomembnejše o trikotniku pričrta-
nih krožnicah, vabimo, da o njih natančneje razmi-
slijo. Morda si topokotne rešitve najprej pozorno
ogledate na primerni sliki v enem od progamov za
dinamično geometrijo, npr. v GeoGebri.
Zaključimo naše raziskovanje s še enim zanimi-
vim primerom.
Primer 4. Konstrukcija (A,O, Ta)
Slika 8
Dane so tri nekolinearne točke: oglišče A, središče
očrtane krožnice O in presečišče Ta simetrale kota α
s stranico BC . Takoj lahko konstruirajmo trikotniku
ABC očrtano krožnico s središčem O in polmerom
|OA|. Nato narišemo poltrak ATa. Drugo presečišče
poltraka in krožnice označimo z A1 (slika 8). Točka
A1 bo v tej in sorodnih konstrukcijah igrala odločilno
vlogo, zato o njej dokažimo naslednjo lemo:
Lema. Naj bo A1 drugo presečišče simetrale kota z
očrtano krožnico trikotnika ABC . Potem točka A1
leži na simetrali stranice BC . Poleg tega je točka A1
središče krožnice, na kateri ležijo točke B, C in I.
6
lom. Tak je npr. konstrukcijski problem 33
(A,Mb,H), ki smo ga navedli v uvodu. Na seznamu
v tabeli je takih problemov 73.
Ostanejo nam še konstrukcijski problemi, za ka-
tere še ni znano, v katero skupino sodijo. Ti so na
seznamu označeni z V. V prvotnem Wernickovem
seznamu iz leta 1982 je bilo takih 50. V članku [4] iz
leta 1996 je L. F. Meyers sporočil, da je bilo medtem
30 od teh odprtih problemov razrešenih, torej raz-
vrščenih v skupini R oz. N. Odprtih je tako ostalo še
20 problemov. V članku [5] iz leta 2009 A. V. Usti-
nov dokaže, da konstrukcija 138 sodi v skupino N.
Spletna stran [6] navaja napredek pri nadaljnjih šti-
rih problemih: 90, 109, 110 in 111 naj bi sodili v
skupino N. Vsebinska dopolnila na tej spletni strani
se zaključijo avgusta 2009.
Tako je po avtorjema znanih podatkih danes še
vedno odprtih 15 problemov.
Nadaljnji primeri konstrukcij
V tem razdelku bomo spoznali nekaj nadaljnjih kon-
strukcij iz skupine R.
Primer 2. Konstrukcijski problem 139: (Ta, Tb, I)
Slika 6
Dane so tri nekolinearne točke: središče včrtane
krožnice I, točka Ta , ki je presečišče simetrale kota
α s stranico BC , in točka Tb, ki je presečišče sime-
trale kota β s stranico AC . Za začetek narišimo pre-
mici sa skozi točki I in Ta ter sb skozi točki I in Tb; to
sta simetrali kotov α in β. Če točko Ta prezrcalimo
čez premico sb, dobimo točko T ′a, za katero vemo,
da se nahaja na premici AB. Analogno točko Tb pre-
zrcalimo čez premico sa in njeno sliko označimo s
T ′b. Tudi točka T
′
b leži na nosilki stranice AB. Zato je
premica T ′aT
′
b nosilka stranice AB. Vemo, da se pre-
mici AB in ITa sekata v točki A, premici AB in ITb pa
v točki B. Oglišče C dobimo kot presečišče premic
ATb in BTa. Navidez brezupen primer je torej imel
preprosto in elegantno rešitev.
Nadaljujmo z nekaj zahtevnejšimi konstrukcijami.
Primer 3. Konstrukcijski problem 124: (Ha,Hb,Hc)
Slika 7
Točke Ha, Hb in Hc so oglišča tako imenovanega
višinsko – nožiščnega trikotnika HaHbHc trikotnika
ABC . Na kratko si oglejmo nekaj njegovih lastnosti.
Naj bo ABC ostrokotni trikotnik. Najprej opazimo,
da so štirikotniki AHcHHb, BHaHHc , CHbHHa in
ABHaHb tetivni. Premislimo to za štirikotnik
AHcHHb, pri drugih razmislek poteka podobno. Tri-
kotnik AHcH je pravokotni, zato je središče njegove
očrtane krožnice v razpolovišču hipotenuze. Še več;
5
lom. Tak je npr. konstrukcijski problem 33
(A,Mb,H), ki smo ga navedli v uvodu. Na seznamu
v tabeli je takih problemov 73.
Ostanejo nam še konstrukcijski problemi, za ka-
tere še ni znano, v katero skupino sodijo. Ti so na
seznamu označeni z V. V prvotnem Wernickovem
seznamu iz leta 1982 je bilo takih 50. V članku [4] iz
leta 1996 je L. F. Meyers sporočil, da je bilo medtem
30 od teh odprtih problemov razrešenih, torej raz-
vrščenih v skupini R oz. N. Odprtih je tako ostalo še
20 problemov. V članku [5] iz leta 2009 A. V. Usti-
nov dokaže, da konstrukcija 138 sodi v skupino N.
Spletna stran [6] navaja napredek pri nadaljnjih šti-
rih problemih: 90, 109, 110 in 111 naj bi sodili v
skupino N. Vsebinska dopolnila na tej spletni strani
se zaključijo avgusta 2009.
Tako je po avtorjema znanih podatkih danes še
vedno odprtih 15 problemov.
Nadaljnji primeri konstrukcij
V tem razdelku bomo spoznali nekaj nadaljnjih kon-
strukcij iz skupine R.
Primer 2. Konstrukcijski problem 139: (Ta, Tb, I)
Slika 6
Dane so tri nekolinearne točke: središče včrtane
krožnice I, točka Ta , ki je presečišče simetrale kota
α s stranico BC , in točka Tb, ki je presečišče sime-
trale kota β s stranico AC . Za začetek narišimo pre-
mici sa skozi točki I in Ta ter sb skozi točki I in Tb; to
sta simetrali kotov α in β. Če točko Ta prezrcalimo
čez premico sb, dobimo točko T ′a, za katero vemo,
da se nahaja na premici AB. Analogno točko Tb pre-
zrcalimo čez premico sa in njeno sliko označimo s
T ′b. Tudi točka T
′
b leži na nosilki stranice AB. Zato je
premica T ′aT
′
b nosilka stranice AB. Vemo, da se pre-
mici AB in ITa sekata v točki A, premici AB in ITb pa
v točki B. Oglišče C dobimo kot presečišče premic
ATb in BTa. Navidez brezupen primer je torej imel
preprosto in elegantno rešitev.
Nadaljujmo z nekaj zahtevnejšimi konstrukcijami.
Primer 3. Konstrukcijski problem 124: (Ha,Hb,Hc)
Slika 7
Točke Ha, Hb in Hc so oglišča tako imenovanega
višinsko – nožiščnega trikotnika HaHbHc trikotnika
ABC . Na kratko si oglejmo nekaj njegovih lastnosti.
Naj bo ABC ostrokotni trikotnik. Najprej opazimo,
da so štirikotniki AHcHHb, BHaHHc , CHbHHa in
ABHaHb tetivni. Premislimo to za štirikotnik
AHcHHb, pri drugih razmislek poteka podobno. Tri-
kotnik AHcH je pravokotni, zato je središče njegove
očrtane krožnice v razpolovišču hipotenuze. Še več;
5
lom. Tak je npr. k n trukcijski problem 33
(A,Mb,H), ki smo ga navedli uvodu. Na seznamu
v tabeli je takih problemov 73.
Ostanejo nam še konstrukcijski problemi, za ka-
tere še ni znano, v katero skupino sod jo. Ti so na
seznamu označeni z V. V prvo nem Wernickovem
seznamu iz leta 1982 je bilo takih 50. V članku [4] iz
leta 1996 j L. F. Meye s sporočil, da je bilo medtem
30 od teh odprtih problemov razreše ih, torej raz
vrščenih v skupini R oz. N. Odprtih je t ko o talo še
20 roblemov. V članku [5] iz leta 2009 A. V. Usti-
nov dokaže, da konstrukcija 138 sodi v skupino N.
Spletna stran [6] navaja napredek pri nadaljnjih šti-
rih problem : 90, 109, 110 in 111 naj bi sodili v
skupino N. Vsebinska dopolnila na tej spletni strani
se zaključijo avgusta 2009.
Tako je po avtorjema znanih podatkih danes še
vedno odprtih 15 pr blemov.
Nadaljnji primeri konstrukcij
V tem razdelku bomo spoznali nekaj nadaljnjih kon-
strukcij iz skupine R.
Primer 2. Konstrukcijski problem 139: (Ta, Tb, I)
Slika 6
Dane s tri nekol earn točke: središče včrtane
krožnic I, točka Ta , ki je pr secišče simetrale kota
α s stran BC , in točka Tb, ki je presečišče si e-
trale kota β s stranico AC . Za z četek narišimo
mici sa skozi točki I in T ter sb skozi t čki I in Tb; to
sta simetrali kotov α i β. Če točko Ta prezrc limo
čez premico sb, dobimo točko T ′a, za katero vemo,
da se nahaja na premici AB. nalogno točko Tb pre-
zrcalimo čez premico sa in njeno sliko označimo s
T ′b. Tudi točka T
′
b l ži na nosilki stranice AB. Zato je
mica T ′aT
′
b nosilka stranice AB. Vemo, da se pre-
mici AB in ITa sekat v točki A, premici AB in ITb pa
v točki B. Oglišče C dobimo kot presečišče premic
ATb in BTa. Navidez brezupen primer je torej imel
preprosto in elegantno rešitev.
Nadaljujmo z nekaj zahtevnejšimi konstrukcijami.
Primer 3. Konstrukcijski problem 124: (Ha,Hb,Hc)
Slika 7
Točke Ha, Hb n Hc so oglišča tako imenovanega
višinsko – nožiščnega trikotnika HaHbHc trikotnika
BC . Na kratko si oglej o nekaj njegovih lastnost .
Naj bo BC ostrokotni trikotnik. Najprej opazimo,
da so šti ikotniki AHcHHb, BHaHHc , CHbHHa in
ABHaHb tetivni. Premislimo to za štirikotnik
AHcHHb, pri drugih razmislek poteka podobno. Tri-
kotnik AHcH je pravokotni, zato je središče njegove
očrtane krožnice v razpolovišču hipotenuze. Še več;
5
presek 39 (2011/2012) 2
lom. Tak je npr. konstrukcijski problem 33
(A,Mb,H), ki smo ga navedli v uvodu. Na seznamu
v tabeli je takih problemov 73.
Ostanejo nam še konstrukcijski problemi, za ka-
tere še ni znano, v katero skupino sodijo. Ti so na
seznamu označeni z V. V prvotnem Wernickovem
seznamu iz leta 1982 je bilo takih 50. V članku [4] iz
leta 1996 je L. F. Meyers sporočil, da je bilo medtem
30 od teh odprtih oblemov razrešenih, torej raz-
vrščenih v s upini R oz. N. Odprtih je tako ostalo še
20 probl mov. V članku [5] iz leta 2009 A. V. Usti-
nov dokaže, da konstrukcija 138 sodi v skupino N.
Spl tna stran [6] av ja napredek pri nadaljnjih šti-
rih problemih: 90, 109, 110 in 111 naj bi sodili v
kupino N. Vsebinska dopolnila na tej spletni strani
se zaključijo vgusta 2009.
Tako je po avtorjema znanih podatkih danes še
d o odprtih 15 problemov.
Nadaljnji primeri kon truk ij
V tem razdelku bomo spoznali eka nadaljnjih kon-
trukcij iz skupine R.
Primer 2. Konstrukcijski problem 139: (Ta, Tb, I)
Slik 6
Dane so tri nekolinearne točke: središče včrtane
krožnice I, točka Ta , ki je presečišče simetrale kota
α s stranic BC , in točka Tb, ki je presečišče sime-
trale kota β s stranico AC . Za začetek narišimo pre
mici sa skozi točki I in Ta ter sb skozi točki I in Tb; to
sta simetrali kotov α in β. Če točko Ta prezrcalimo
čez p emic b, dobimo točko T ′a, za katero vemo,
da se nahaja na premici AB. Analogno točko Tb pre-
zrcalimo čez pr mico sa in njeno sliko označimo s
T ′b. Tudi točka T
′
b leži na nosilki stranice AB. Zato je
premic T ′aT
′
b nosilka str nice AB. Vemo, da se pr
mici AB in ITa sekata v točki A, pr mici AB in ITb pa
v točki B. Oglišče C dobimo kot prese išče premic
ATb in BTa. Navidez brezup n primer je o ej i el
preprosto in elega tno rešitev.
Nadaljujmo z nekaj zahtevnejšimi o strukcijami.
Primer 3. Konstrukcijski prob em 124: (Ha,Hb,Hc)
Slika 7
Točke Ha, Hb in Hc s oglišča tako imenovaneg
išinsko – nož nega trikotni a HaHbHc trikotnika
BC . Na kratko si oglejmo n kaj njegovih lastnosti.
Naj b ABC ostrokotni trikotnik. Najprej opazimo,
da so štirikotniki AHcHHb, BHaHHc , CHbHHa in
ABHaHb tetivni. Premislimo to za štirikotnik
AHcHHb, pri drugih razmislek poteka podobno. Tri-
kotnik AHcH je pravokotni, zato je središče njegove
očrtane krožnice v razp lovišču hipotenuze. Še več;
5
i pri ri st
9
m a t e m a t i k a
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na simetrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. Dokažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi meri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in trikotnik je konstruiran.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, da v primeru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s prepogibanjem papirja.
Vzemimo list prosojnega papirja in nanj narišimo
točko A ter premico p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepognimo list papirja po premici p. Sled točke
A označimo z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregiba.
Sled točke A označimo z A′ in razgrnimo. Opazimo,
da sta prepogiba pravokotna in da je točka A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prepogibanjem pa-
pirja lepo izvajamo zrcaljenja čez točko in čez pre-
mico. Podobno lahko npr. „prepognemo“ pravoko-
tnico na dano premico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglejmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na simetrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. Dokažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi meri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in trikotnik je konstruiran.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, da v primeru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s prepogibanjem papirja.
Vzemimo list prosojnega papirja in nanj narišimo
točko A ter premico p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepognimo list papirja po premici p. Sled točke
A označimo z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregiba.
Sled točke A označimo z A′ in razgrnimo. Opazimo,
da sta prepogiba pravokotna in da je točka A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prepogibanjem pa-
pirja lepo izvajamo zrcaljenja čez točko in čez pre-
mico. Podobno lahko npr. „prepognemo“ pravoko-
tnico na dano premico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglejmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na simetrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. Dokažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi meri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in trikotnik je konstruiran.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, da v primeru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s prepogibanjem papirja.
Vzemimo list prosojnega papirja in nanj narišimo
točko A ter premico p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepognimo list papirja po premici p. Sled točke
A označimo z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregiba.
Sled točke A označimo z A′ in razgrnimo. Opazimo,
da sta prepogiba pravokotna in da je točka A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prepogibanjem pa-
pirja lepo izvajamo zrcaljenja čez točko in čez pre-
mico. Podobno lahko npr. „prepognemo“ pravoko-
tnico na dano premico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglejmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
okaz: ajprej opazi o (slika 9), da je trikotnik BC
enakokraki, njegov kot pri oglišču pa je središčni
kot nad loko BC in zato eri 2 (slika 9). Ker je
tudi kot C 1 središčni in je 1 si etrala kota ,
velja C 1 . To po eni, da je pre ica 1 si-
etrala kota C B v enakokrake trikotniku, kar po-
eni, da je tudi si etrala nasprotne stranice. Točka
1 torej res leži na si etrali stranice BC . d tod
takoj sledi | 1B| | 1C|. okaži o še, da je ta raz-
dalja enaka tudi | 1I|. glej o si trikotnik CI 1 in
izračunaj o njegove kote. Kot pri oglišču 1 je obo-
dni kot nad loko C in zato eri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika IC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
2
γ
2
. Zdaj po-
zna o dva kota trikotnika in lahko izračuna o tre-
tjega, ki tudi eri
2
γ
2
. To po eni, da je trikotnik
CI 1 enakokraki. Zato je | 1I| | 1C|. S te je
le a dokazana.
Slika 9
Vrni o se k naši konstrukciji. ariši o pre ico
skozi točki 1 in . Iz pravkar dokazane le e sledi,
da je to si etrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na pre ico 1 nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka a. glišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Poveži o ogli-
šči B in C z oglišče in trikotnik je konstruiran.
Pozoren bralec bo i ogrede opazil, da v pri eru
| | | Tα| trikotnik ne obstaja.
a podoben način razreši o tudi konstrukcije
( , , Tb), ( , , I), ( , , Ta) in ( , , Ta).
Pre i a je a irja
Že v članku [1] s o o enili, da v literaturi zasledi o
izvedbo geo etrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. oslej s o izvajali konstrukcije s šesti-
lo in ravnilo , zdaj pa se za hip po udi o še pri
konstrukcijah s prepogibanje papirja.
Vze i o list prosojnega papirja in nanj nariši o
točko ter pre ico p, ki ne poteka skozi točko .
Prepogni o list papirja po pre ici p. Sled točke
označi o z ′. Razgrni o list in ugotovi o, da
je točka ′ slika točke pri zrcaljenju čez pre ico
p. Vze i o znova list papirja in nariši o točki
ter S. ajprej list prepogni o tako, da bosta točki
in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrne o
in ga še enkrat prepogni o, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregiba.
Sled točke označi o z ′ in razgrni o. pazi o,
da sta prepogiba pravokotna in da je točka ′ slika
točke pri zrcaljenju čez točko S.
Tako s o spoznali, da lahko s prepogibanje pa-
pirja lepo izvaja o zrcaljenja čez točko in čez pre-
ico. Podobno lahko npr. „prepogne o“ pravoko-
tnico na dano pre ico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglej o, kako bi s prepogibanje pa-
7
Dokaz: Najprej opazimo (sli a 9), da je trik tnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je sr diščni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pom ni, a je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrak m trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na simetrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. D kažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi meri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. N rišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme s edi,
da je to simetrala dalji BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranic a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta p esečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in triko nik je ko struir n.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, d v pri eru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirj
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi z sledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hi pomudimo še pri
konstrukcijah s prep gibanjem papirja.
Vzemimo list p os jnega papirja in n nj nariši o
točko A ter premic p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepognimo list papirja po premici p. Sled točke
A označimo z A′. Ra grni o list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polov ca sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregib .
Sled točke A označimo z A′ in r zgrnimo. Opazimo,
da sta prepogiba pravokotna in da je točk A′ slika
točke A pri zrcaljen u čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prep gibanjem a-
pirja lepo izvajamo zrc ljenja čez toˇko in čez pre-
mico. Podobno lahko n r. „prepognemo“ pravoko-
tnico na dano premico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglejmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
Dokaz: Najprej opazi o (slika 9), da je trik tnik BC
enakokraki, njegov kot pri oglišču pa je sr diščni
kot nad loko BC in zato eri 2α (slika 9). Ker
tudi kot C A1 središčni in je AA1 si etrala kota α,
velja C A1 = α. To po ni, a je pre ica A1 si-
etrala kota C B v enakokrak trikotniku, kar po-
eni, da je tudi si etrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na si etrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. D kaži o še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglej o si trikotnik CIA1 n
izračunaj o njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad loko AC in zato eri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih otov, torej
α + . Zdaj po-
zna o dva kota trikotnika in lahko izračuna o tre-
tjega, ki tudi eri
α
2
+ γ
2
. To po eni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S te je
le a dokazana.
Slika 9
Vrni o se k naši konstrukciji. N riši o pre ico
skozi točki A1 in . Iz pravkar dokazane le e sledi,
da je to si etrala dalji BC . Zato je pravokotn ca z
točke Ta na pre ico A1 nosilka stranic a, njeno
nožišče pa je točka a. Oglišči B in C sta p esečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Poveži o ogli-
šči B in C z oglišče A in triko nik je o struir n.
Pozoren bralec bo i ogrede opazil, da v pri eru
| A| < | Tα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razreši o tudi konstrukcije
(A, , Tb), (A, , I), (A,G, Ta) in (A, , Ta).
Prepogibanje papirj
Že v članku [1] s o o enili, da v literaturi z sledi o
izvedbo geo etrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej s o izvajali konstrukcije s šesti-
lo in ravnilo , zdaj pa se za hi po udi o še pri
konstrukcijah s prep gibanje papirja.
Vze i o list p os jnega papirja in n nj nariši o
točko A ter pre ic p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepogni o list papirj po pre ici p. Sled točk
A označi o z A′. Ra grnimo list in ugotovi o, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez pre ico
p. Vze i o znova list papirja in nariši o točki A
ter S. Najprej list prepog i o tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrne o
in ga še enkrat prepogni o, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polov ca sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregib .
Sled točke A označi o z A′ in r zgrni o. Opazi o,
da sta prepogiba pravokotna in da je točk A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako s o spoznali, da lahko s prepogibanje a-
pirja lepo izvaja o zrc ljenja čez točko in čez pre-
ico. Podobno lahko n r. „prepogne o“ pravoko-
tnico na dano pre ico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglej o, kako bi s prepogibanje pa-
7
k
2 2
k
: ,
,
.
,
. ,
,
, .
.
. ,
.
.
.
, .
, . ,
. .
.
.
. ,
.
,
.
.
.
,
.
, , .
,
.
,
.
, .
.
. ,
.
. ,
,
, ,
,
.
. ,
.
,
. .
.
,
m O
O
m m
O m
O m m O
m O m
m m
m
m
m
m
m m
m m
m m
m
m
m m m
O m
m
m O
M
m
m
m m
O O
m
O O H
m m m
m
m
m m m m
m
m m
m
m m
m m
m
m m m
m
m
m
m m m
m m
m
m m
m
m m
D : N m , O
, O
m m α .
OA AA m α,
 OA = α. m , m OA
m O m ,
m , m .
A m . O
A = A . D m ,
A . O m A
m . A
m A m .
A
,
α + .
m m
, m . m ,
A . A = A . m
m .
m . N m m
A O. m ,
m .
m A O ,
M . O
. m
m A .
m m , m
OA < O .
N m
A O , A O , A G A H .
pog b n p p
m m , m
m
. D m
m m, m m
m .
m m m
A m , A.
m m .
A m A . m m ,
A A m
. m m m A
. N m ,
A , m
m , ,
,
.
A m A m . O m ,
A
A .
m , m
m
m . . m
m .
m , m
okaz: aj rej o azi o (slika 9), a je trikot ik
e akokraki, jegov kot ri oglišč a je sre išč i
kot a loko i zato eri 2 (slika 9). er je
t i kot 1 sre išč i i je 1 si etrala kota ,
velja 1 . o o e i, a je re ica 1 si-
etrala kota v e akokrake trikot ik , kar o-
e i, a je t i si etrala as rot e stra ice. očka
1 torej res leži a si etrali stra ice . to
takoj sle i | 1 | | 1 |. okaži o še, a je ta raz-
alja e aka t i | 1I|. glej o si trikot ik I 1 i
izrač aj o jegove kote. ot ri oglišč 1 je obo-
i kot a loko i zato eri . ot ri oglišč
I je z a ji kot trikot ika I i je zato e ak vsoti
e rilež i otra ji kotov, torej
2 2
. aj o-
z a o va kota trikot ika i la ko izrač a o tre-
tjega, i i eri . o o e i, a je trikot ik
I 1 e akokr ki. ato je | 1I| | 1 |. S te je
le a okaza a.
Slika 9
r i o se k aši ko str kciji. ariši o re ico
skozi točki 1 i . Iz ravkar okaza e le e sle i,
a je to si etrala aljice . ato je ravokot ica iz
točke a a re ico 1 osilka stra ice , je o
ožišče a je točka a. glišči i sta resečišči
te ravokot ice i očrta e krož ice. Poveži o ogli-
šči i z oglišče i trikot ik je ko str ira .
Pozore bralec bo i ogre e o azil, a v ri er
| | | α| trikot ik e obstaja.
a o obe ači razreši o t i ko str kcije
( , , b), ( , , I), ( , , a) i ( , , a).
r i j irj
e v čla k [1] s o o e ili, a v literat ri zasle i o
izve bo geo etrijski ko str kcij z orabo različ-
i oro ij. oslej s o izvajali ko str kcije s šesti-
lo i rav ilo , z aj a se za i o i o še ri
ko str kcija s re ogiba je a irja.
ze i o list rosoj ega a irja i a j ariši o
točko ter re ico , ki e oteka skozi točko .
Pre og i o list a irja o re ici . Sle točke
oz ači o z ′. azgr i o list i gotovi o, a
je točka ′ slika točke ri zrcalje j čez re ico
. ze i o z ova list a irja i ariši o točki
ter S. aj rej list re og i o tako, a bosta točki
i S krati ležali a regib , ato list razgr e o
i ga še e krat re og i o, tokrat tako, a bo ov
regib vseboval točko S, krati a bo olovica sta-
rega regiba rekrila r go olovico starega regiba.
Sle točke oz ači o z ′ i razgr i o. azi o,
a sta re ogiba ravokot a i a je točka ′ slika
točke ri zrcalje j čez točko S.
ako s o s oz ali, a la ko s re ogiba je a-
irja le o izvaja o zrcalje ja čez točko i čez re-
ico. Po ob o la ko r. „ re og e o“ ravoko-
t ico a a o re ico skozi a o točko.
aj a si oglej o, kako bi s re ogiba je a-
7
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je pr mic OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
ni, da je tudi sim tr la nasprotne stranice. Točka
A1 torej r s leži na simetr li stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. Dokažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zat meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, i udi meri To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokr ki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazan .
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 i O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zat je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. glišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A i trik t ik je konstruiran.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, da v primeru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s prepogibanjem papirja.
Vzemimo list ros jnega papirja in nanj narišimo
točko A ter premico p, ki ne poteka skozi točko A.
Prep gnimo list papirja po premici p. Sled t čke
A označi z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcalje j čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nat list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokr t tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregib .
Sled točke A označimo z A′ in razgrnimo. O azimo,
da sta pr pogiba pravokotna in da je točka A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prepogibanjem pa-
pirj lepo izvajamo zrc ljenja čez točko in č z pre-
mico. P dobno lahko npr. „prepognemo“ pravoko-
tni na dano premic skozi dano točko.
Zdaj pa si ogl jmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
očrtana krožnica tega trikotnika je krožnica s pre-
merom AH. Isto velja tudi za pravokotni trikotnik
AHHb. Torej je krožnica s premerom AH očrtana
krožnica štirikotnika AHcHHb.
Zdaj pa analizirajmo kote na sliki 7. Iz tetivno-
sti omenjenih štirikotnikov sledi, da sta HHcHb in
HAHb obodna kota nad istim lokom in zato enaka.
Podobno sta enaka kota HHcHa in HBHa. Ker pa
velja HBHa = HBHa = 90◦ −α, sta kota HHcHb
in HHcHa enaka, kar pomeni, da je premica HHc
simetrala kota HaHcHb. Podobno velja za premici
HaH inHbH. Nosilke višin osnovnega trikotnikaABC
so torej simetrale kotov trikotnika HaHbHc . Od tod
sledi, da je točka H središče včrtanega kroga triko-
tnika HaHbHc .
Zdaj pa se znova vrnimo k naši konstrukciji. Pri
danih nekolinearnih točkah Ha, Hb in Hc narišemo
trikotnik HaHbHc , konstruirajmo simetrale njegovih
notranjih kotov in dobimo središče včrtanega kroga
I′ trikotnika HaHbHc . Zgoraj smo ugotovili, da je
I′ = H. Pravokotnice iz točke Ha na premico HHa,
iz točke Hb na premico HHb in iz točke Hc na pre-
mico HHc , so zato nosilke stranic trikotnika ABC .
Označimo njihova presečišča z A, B, C in naloga je
rešena.
Omenimo še, da v primeru, ko je osnovni triko-
tnik ABC topokotni, točka H ni središče trikotniku
HaHbHc včrtane krožnice, pač pa središče ene od
njegovih pričrtanih krožnic. Na tej podlagi bi z iz-
biro vsakega od središč treh pričrtanih krožnic za
točko H, nalogo lahko rešili tudi v tem primeru. Pri
danih točkah Ha, Hb, Hc torej v splošnem dobimo
štiri rešitve, eno ostrokotno in tri topokotne. Dejan-
sko so topokotne rešitve posebej preproste. Bralce,
ki že poznajo najpomembnejše o trikotniku pričrta-
nih krožnicah, vabimo, da o njih natančneje razmi-
slijo. Morda si topokotne rešitve najprej pozorno
ogledate na primerni sliki v enem od progamov za
dinamično geometrijo, npr. v GeoGebri.
Zaključimo naše raziskovanje s še enim zanimi-
vim primerom.
Primer 4. Konstrukcija (A,O, Ta)
Slika 8
Dane so tri nekolinearne točke: oglišče A, središče
očrtane krožnice O in presečišče Ta simetrale kota α
s stranico BC . Takoj lahko konstruirajmo trikotniku
ABC očrtano krožnico s središčem O in polmerom
|OA|. Nato narišemo poltrak ATa. Drugo presečišče
poltraka in krožnice označimo z A1 (slika 8). Točka
A1 bo v tej in sorodnih konstrukcijah igrala odloč lno
vlogo, zato o njej dokažimo naslednjo lemo:
Lema. Naj bo A1 drugo presečišče simetrale kota z
očrtano krožnico trikotnika ABC . Potem točka A1
leži na simetrali stranice BC . Poleg tega je točka A1
središče krožnice, na kateri ležijo točke B, C in I.
6
očrtana krožnica tega trik t ika je krožnica s pre-
mer m AH. Isto velja tudi za pravokotni trikotnik
AHHb. Torej je krožnica s premerom AH očrtana
krožnica štirikotnika AHcHHb.
analizir jmo kote na sli i 7. Iz tetivno-
sti omenjen h štiriko nikov sledi, da sta HHcHb in
HAHb obodna kota ad istim l ko in zato naka.
P dobno sta enaka k ta HHcHa in HBHa. Ker p
velja HBHa = HBHa = 90◦ −α, sta k ta HHcHb
in  HcH enaka, kar p meni, da je premica HHc
simetrala kota HaH Hb. Podobno velja za premici
HaH in bH. Nosilke višin osnov ega trikotnikaABC
so torej simetrale kotov trikotnika HaHbHc . Od tod
sledi, da je točka H središče včrtanega kroga triko-
tnika HaHbHc .
Zdaj pa se zn va vrnimo k aši konstrukciji. Pri
danih nekolinearnih točkah Ha, Hb in Hc narišemo
trikotnik HaHbHc , konstruirajmo simetrale njegovih
notranjih kotov in dobimo središ e včrtanega krog
I′ trikotnika HaHbHc . Zgoraj smo ugotovili, da je
I′ = H. Pr vokotnice iz točk Ha na pre ico HHa,
iz točke Hb na premico HHb in z toč e Hc na pre
mico HHc , s zato nosilke tranic trik tnika ABC .
Označimo njihova presečišča z A, B, C in naloga je
rešena.
Omenimo še, da v prime u, ko je osnovni triko-
tnik ABC to okotni, toč a H i središče trikotniku
HaHbHc včrtane krožnice, pač pa s edišče ene od
njegovih pričrtanih krožnic. Na tej podlagi bi z iz
b ro vsakega od središč treh pričrtanih krožnic za
točko H, nalogo lahko rešili tudi v tem primeru. Pri
danih točkah Ha, Hb, Hc torej v splošnem dobimo
štiri rešitve, eno ostrokotno in tri topokotne. Dejan-
sko so topokotne rešitve posebej preproste. Bralce,
ki že poznajo najpomembnejše o trikotniku pričrta-
nih krožnicah, vabimo, da o njih natančneje razmi-
slijo. Morda si topokotne rešitve najprej pozorno
ogledate na primerni sliki v en m od progamov za
dinamično geometr jo, npr. v G oGebri.
Zaključimo n še raziskova je s še enim zanimi-
vim primerom.
Primer 4. Konstrukcija (A,O, Ta)
Slika 8
Dane so tri nekolinearne točke: oglišče A, središče
očrtane krožnice O in presečišče Ta simetrale kota α
s stranico BC . Takoj lahko konstruirajmo trikotniku
ABC očrtano krožnico s središčem O in polmerom
|OA|. Nato narišemo poltrak ATa. Drugo presečišče
poltraka in krožnice označimo z A1 (slika 8). Točka
A1 bo v tej in sorodnih konstrukcijah igrala odločilno
vlogo, zato o njej dokažimo naslednjo lemo:
Lema. Naj bo A1 drugo presečišče simetrale kota z
očrtano krožnico trikotnika ABC . Potem točka A1
leži na simetrali stranice BC . Poleg tega je točka A1
središče krožnice, na kateri ležijo točke B, C in I.
6
o
o
c
o
s
i
•
Presek 39 (2011/2012) 2
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 t rej res leži na simetrali stranice BC . O tod
akoj sledi | 1B| = |A1C|. Dokažimo še, d je ta raz-
dal enaka tudi |A1I|. Oglejmo si triko nik CI 1 in
izračunajmo njego kote. Kot pri oglišču A1 je ob
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot triko nika AIC in j zato enak vs ti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zd j po
z mo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi m ri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slik 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta presečišči
te p avokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in tri otni je konstruiran.
Poz ren bralec bo mimogrede p il, da v prim ru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obst j .
Na podoben na ǐn razre imo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] sm ome ili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo razl č-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s repogibanjem papirja.
Vzemimo list prosojnega p pirja in nanj nariš
točko A t r pre ic p, ki ne poteka sk zi točko A.
Prepognim li t papirja po premici p. Sl d točke
A oz ačimo z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljen u čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
er S. Najprej list prepo nimo tako, da bosta t čki
A in S hkrati l žali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat pre ognim , tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo pol vica sta-
r ga preg ba prekrila drugo polovico starega giba.
Sled točke A označimo z A′ n razgrnimo. Op zimo,
da sta pre ogiba pravokotna in d je točk A′ slika
točke A p i zrcaljenju čez t čko S.
T ko mo spoznali, da lahk s prepogibanjem p
irja lepo izvajamo zrcaljenj čez točko in čez pre
mico. Podobno lahko npr. „prepog e “ pr vok -
tnico na dano premic skozi dano točk .
Zd j pa si og ejmo, kako b s prepogibanjem pa-
7
-
r j  rj
10
m a t e m a t i k a
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle constructions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] Wernicks liste von Dreieckskonstruktionen,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hydra.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonhard Euler, Solutio facilis problematum quo-
rumdam geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pno kot članek s številko 325 na spletni strani:
http://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, Paper – folding and Euler’s Theo-
rem Revisited, Forum Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encycloped /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle constructions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] Wernicks liste von Dreieckskonstruktionen,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonhard Euler, Solutio facilis problematum quo-
rumdam geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pno kot članek s številko 325 na spletni str ni:
http://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, Paper – folding and Euler’s Theo-
rem Revisited, Forum Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encycloped /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle constructions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktionen,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonhard Eul r, Solutio facilis pr blematum quo-
rumdam geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pn kot član k s številko 325 na spletni str ni:
ht p://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s Theo-
rem Revisited, Forum Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedi /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle co structions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktio en,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonh rd Eul r, Solutio facilis problematum quo-
rum am eometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pn kot član k s številko 325 na spletni str ni:
ht p://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s The -
rem Revisited, Forum Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle c nters (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encycloped /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Updat on William Wernick’s „Tri-
angle co structions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktio en,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonh rd Eul r, Solutio facilis problematum quo-
rum am geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pn kot članek s številko 325 na spletni str ni:
ht p://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s The -
re Revisited, Foru Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle constructions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktionen,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hydra.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonhard Eul r, Solutio facilis problematum quo-
rumdam geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pno kot članek s številko 325 na spletni strani:
http://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s Theo-
rem Revisited, Forum Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
str. 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encycloped /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F. Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle co structions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktio en,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonh rd Eul r, Solutio facilis problematum quo-
rum am geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pn kot članek s številko 325 na spletni str ni:
ht p://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s The -
re Revisited, Foru Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
Literatura
[1] M. Trost, B. Hvala, Konstrukcije trikotnikov z da-
nimi tremi podatki, Presek 37 (2009/2010), št. 5,
st . 4–9.
[2] C. Kimberling: Encyclopedia of trian-
gle centers (ETC), dostopno na spletu:
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedi /
ETC.html Povzeto dne 17. 5. 2011.
[3] W. Wernick, Triangle constructions with three lo-
cated points, Math. Magazine, 55 (1982) str. 227–
230.
[4] L. F Meyers, Update on William Wernick’s „Tri-
angle constructions with three located points’,
Math. Magazine, 69 (1996) str. 46–49.
[5] A. V. Ustinov, On the construction of a triangle
from the feet of its angle bisectors, Forum Geo-
metricorum, 9 (2009), str. 279–280.
[6] W rnicks liste von Dreieckskonstruktionen,
spletna stran Eckarda Spechta z Univerze v
Magdeburgu, Nemčija, http://hyd a.nat.uni-
magdeburg.de/wernick/. Povzeto 21. 5. 2011.
[7] Leonhard Eul r, Solutio facilis problematum quo-
rumdam geometricorum difficillimorum, Novi
commentarii academiae scentiarum imperialis
Petropolitanae 11 (1765) str. 103–123. Dosto-
pn kot članek s številko 325 na spletni str ni:
ht p://www.math.dartmouth.edu/ euler/
[8] B. Scimemi, P per – folding and Euler’s Theo-
re Revisited, Foru Geometricorum, 2 (2002),
str. 93–104.
9
teratura
 Kimberling: Encyclop ia of triangle centers 
(ETC), dostopno na spletu: ht p://faculty.evansville.
edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 
Povze o dne 17.5.2011.
k  liste vo  Dr ieckskonstrukti nen, splet a 
tran Eckarda Specht  z Univ rze v Magd burgu, 
Nemč ja, http://hydra. at.unimagdeburg. e/wernick/. 
Povzeto 21. 5. 2011.
•
presek 39 (20 1/2012) 2
Dokaz: Najprej opazimo (slika 9), da je trikotnikOBC
enakokraki, njegov kot pri oglišču O pa je središčni
kot nad lokom BC in zato meri 2α (slika 9). Ker je
tudi kot COA1 središčni in je AA1 simetrala kota α,
velja COA1 = α. To pomeni, da je premica OA1 si-
metrala kota COB v enakokrakem trikotniku, kar po-
meni, da je tudi simetrala nasprotne stranice. Točka
A1 torej res leži na simetrali stranice BC . Od tod
takoj sledi |A1B| = |A1C|. Dokažimo še, da je ta raz-
dalja enaka tudi |A1I|. Oglejmo si trikotnik CIA1 in
izračunajmo njegove kote. Kot pri oglišču A1 je obo-
dni kot nad lokom AC in zato meri β. Kot pri oglišču
I je zunanji kot trikotnika AIC in je zato enak vsoti
nepriležnih notranjih kotov, torej
α
2
+ γ
2
. Zdaj po-
znamo dva kota trikotnika in lahko izračunamo tre-
tjega, ki tudi meri
α
2
+ γ
2
. To pomeni, da je trikotnik
CIA1 enakokraki. Zato je |A1I| = |A1C|. S tem je
lema dokazana.
Slika 9
Vrnimo se k naši konstrukciji. Narišimo premico
skozi točki A1 in O. Iz pravkar dokazane leme sledi,
da je to simetrala daljice BC . Zato je pravokotnica iz
točke Ta na premico A1O nosilka stranice a, njeno
nožišče pa je točka Ma. Oglišči B in C sta presečišči
te pravokotnice in očrtane krožnice. Povežimo ogli-
šči B in C z ogliščem A in trikotnik je konstruiran.
Pozoren bralec bo mimogrede opazil, da v primeru
|OA| < |OTα| trikotnik ne obstaja.
Na podoben način razrešimo tudi konstrukcije
(A,O, Tb), (A,O, I), (A,G, Ta) in (A,H, Ta).
Prepogibanje papirja
Že v članku [1] smo omenili, da v literaturi zasledimo
izvedbo geometrijskih konstrukcij z uporabo različ-
nih orodij. Doslej smo izvajali konstrukcije s šesti-
lom in ravnilom, zdaj pa se za hip pomudimo še pri
konstrukcijah s prepogibanjem papirja.
Vzemimo list prosojnega papirja in nanj narišimo
točko A ter premico p, ki ne poteka skozi točko A.
Prepognimo list papirja po premici p. Sled točke
A označimo z A′. Razgrnimo list in ugotovimo, da
je točka A′ slika točke A pri zrcaljenju čez premico
p. Vzemimo znova list papirja in narišimo točki A
ter S. Najprej list prepognimo tako, da bosta točki
A in S hkrati ležali na pregibu, nato list razgrnemo
in ga še enkrat prepognimo, tokrat tako, da bo nov
pregib vseboval točko S, hkrati pa bo polovica sta-
rega pregiba prekrila drugo polovico starega pregiba.
Sled točke A označimo z A′ in razgrnimo. Opazimo,
da sta prepogiba pravokotna in da je točka A′ slika
točke A pri zrcaljenju čez točko S.
Tako smo spoznali, da lahko s prepogibanjem pa-
pirja lepo izvajamo zrcaljenja čez točko in čez pre-
mico. Podobno lahko npr. „prepognemo“ pravoko-
tnico na dano premico skozi dano točko.
Zdaj pa si oglejmo, kako bi s prepogibanjem pa-
7
pirja rešili eno od konstrukcijskih nalog z našega se-
znama.
Primer 4. Konstrukcija (A, B, Tc).
Naloga sodi v skupino L, saj je lega točke Tc omejena:
ležati mora na daljici AB. Vzemimo list prosojnega
papirja in označimo točke A, B in Tc . Točka Tc naj
leži na daljici AB, vendar naj je ne razpolavlja. Pre-
pognimo list papirja tako, da bo točka Tc na pregibu
in razgrnimo. Pravkar nastala premica, imenujmo
jo q, bo simetrala kota γ v končni rešitvi trikotniku
ABC . Če bo temu res tako, bo slika premice BC pri
zrcaljenju preko premice q premica AC . Točko B
zato prezrcalimo preko premice q, kar s prepogiba-
njem papirja lahko storimo, in dobimo točko B′, ki
leži na premici AC . Pregib skozi točki A in B′ nam
torej izriše nosilko stranice b; kjer ta seka premico
q, je točka C . Tako pri poljubno izbrani premici q
dobimo eno rešitev, en trikotnik ABC .
Če bi točka Tc razpolavljala daljico AB, pa rešitve
na ta način ne bi dobili. V tem primeru bi bili namreč
premici AB′ in q vzporedni, saj bi bila v tem primeru
premica q nosilka srednjice v trikotniku ABB′. Ven-
dar pa tudi v tem primeru dobimo neskončno mnogo
rešitev. Simetrala kota γ namreč razpolavlja stra-
nico AB natanko tedaj, ko je trikotnik enakokraki z
osnovnico AB. V tem primeru simetrala kota γ so-
vpada s simetralo osnovnice AB. Papir prepognemo
tako, da se točki A in B prekrijeta; razgrnemo in do-
bimo simetralo stranice. Če na njej kjerkoli izberemo
točko C , dobimo rešitev konstrukcijskega problema.
Konstrukcijo (A, B, Tc) bi seveda – namesto s pre-
pogibanjem papirja – zelo podobno lahko izvedli tudi
s šestilom in ravnilom. Pristop s prepogibanjem pa-
pirja smo v tem kontekstu predstavili z razlogom.
Izkaže se namreč, da konstrukcij s prepogibanjem
papirja ne gre podcenjevati. Velja izrek, ki trdi, da
lahko vsako konstrukcijo, ki je izvedljiva s šestilom
in ravnilom, izvedete tudi s prepogibanjem papirja.
Izkaže pa se še nekaj veliko bolj nenavadnega. Ob-
stajajo konstrukcije, ki s šestilom in ravnilom niso
izvedljive, s prepogibanjem papirja pa so. Ena takih
je npr. tudi zgoraj omenjeni konstrukcijski problem
80 (O,H, I), s katerim se je ubadal Euler. Več o tem
si lahko ogledate v članku [8].
8
pirja rešili eno od konstrukcijskih nalog z našega se-
znama.
Primer 4. Konstrukcija (A, B, Tc).
Naloga sodi v skupino L, saj je lega točke Tc omejena:
ležati mora na daljici AB. Vzemimo list prosojnega
papirja in označimo točke A, B in Tc . Točka Tc naj
leži na daljici AB, vendar naj je ne razpolavlja. Pre-
pognimo list papirja tako, da bo točka Tc na pregibu
in razgrnimo. Pravkar nastala premica, imenujmo
jo q, bo simetrala kota γ v končni rešitvi trikotniku
ABC . Če bo temu res tako, bo slika premice BC pri
zrcaljenju preko premice q premica AC . Točko B
zato prezrcalimo preko premice q, kar s prepogiba-
njem papirja lahko storimo, in dobimo točko B′, ki
leži na premici AC . Pregib skozi točki A in B′ nam
torej izriše nosilko stranice b; kjer ta seka premico
q, je točka C . Tako pri poljubno izbrani premici q
dobimo eno rešitev, en trikotnik ABC .
Če bi točka Tc razpolavljala daljico AB, pa rešitve
na ta način ne bi dobili. V tem primeru bi bili namreč
premici AB′ in q vzporedni, saj bi bila v tem primeru
premica q nosilka srednjice v trikotniku ABB′. Ven-
dar pa tudi v tem primeru dobimo neskončno mnogo
rešitev. Simetrala kota γ namreč razpolavlja stra-
nico AB natanko tedaj, ko je trikotnik enakokraki z
osnovnico AB. V tem primeru simetrala kota γ so-
vpada s simetralo osnovnice AB. Papir prepognemo
tako, da se točki A in B prekrijeta; razgrnemo in do-
bimo simetralo stranice. Če na njej kjerkoli izberemo
točko C , dobimo rešitev konstrukcijskega problema.
Konstrukcijo (A, B, Tc) bi seveda – namesto s pre-
pogibanjem papirja – zelo podobno lahko izvedli tudi
s šestilom in ravnilom. Pristop s prepogibanjem pa-
pirja smo v tem kontekstu predstavili z razlogom.
Izkaže se namreč, da konstrukcij s prepogibanjem
papirja ne gre podcenjevati. Velja izrek, ki trdi, da
lahko vsako konstrukcijo, ki je izvedljiva s šestilom
in ravnilom, izvedete tudi s prepogibanjem papirja.
Izkaže pa se še nekaj veliko bolj nenavadnega. Ob-
stajajo konstrukcije, ki s šestilom in ravnilom niso
izvedljive, s prepogibanjem papirja pa so. Ena takih
je npr. tudi zgoraj omenjeni konstrukcijski problem
80 (O,H, I), s katerim se je ubadal Euler. Več o tem
si lahko ogledate v članku [8].
8
11
m a t e m a t i k a
Vzameš vrv, jo zavozlaš in stakneš oba konca
vrvi. Tako dobljeni sklenjeni zavozlani vrvi v ma-
tematiki pravimo vozel. Za dva vozla pravimo, da
sta ekvivalentna, če je moč enega s premikanjem
sklenjene vrvi (ne da bi vrv pri tem prerezali in
ob predpostavki idealne skrčljivosti/raztezljivost
vrvi) postaviti v lego drugega. Ali je ta kos vrvi za-
vozlan?, je tako poseben primer vprašanja o ekvi-
valentnosti vozlov. Študij lastnosti vozlov in pre-
poznavanje ekvivalentnih vozlov sta osrednji na-
logi teorije vozlov.
Knjiga Vozli avtorja Alekseja B. Sosinskega v pre-
vodu Jožeta Vrabca v kronološkem vrstnem redu
oriše nekatere mejnike v razvoju teorije vozlov. Pov-
sem se ogne uporabi zahtevnejših matematičnih oro-
dij za študij vozlov in temo predstavi popolnoma
kombinatorno. Zaradi te lastnosti in ker knjiga ne
predpostavlja kakršnegakoli predznanja o temi, je
povsem primerna za matematično navdahnjenega
bralca s srednješolskim znanjem matematike in lah-
ko služi kot prvo srečanje z zanimivim svetom vo-
zlov. Pisana je v sproščenem, neformalnem slogu,
avtor pogosto na novo uvedene ideje in nekatere do-
kaze poda povsem intuitivno in jih poskuša vizuali-
zirati s slikami. Knjiga vsebuje celo nekaj avtorjevih
povsem osebnih izkušenj s teorijo vozlov. Nikoli pa
na račun tega, bralcu prijaznega tona, ne trpi natanč-
nost, kar je v znatni meri zasluga prevajalca, ki je
odpravil mnoge napake originala.
Za predstavo o temah, ki so obravnavane v knjigi,
za pokušino izpostavimo šesto poglavje, ki opisuje
Jonesov polinom. To poglavje bralcu s srednješol-
skim znanjem omogoča popolnoma matematično ko-
rektno dokazati, da kak vozel ni ekvivalenten dru-
gemu vozlu. Jonesov polinom je namreč predpis,
ki vsakemu vozlu priredi polinom in ima lastnost,
da ekvivalentnim vozlom priredi enak polinom. Ta-
kemu predpisu pravimo invarianta vozla in služi pre-
poznavanju neekvivalentnih vozlov. Predstavljajmo
si, da nam nekdo v roke potisne navidezno zavozlan
kos vrvi in nas vpraša, če je vrv res zavozlana ali ne.
V praksi bi v takem primeru verjetno prijeli za oba
konca vrvi, ju potegnili narazen in opazovali, če se
bo vrv razvozlala ali ne. V matematiki, ko imamo vo-
zel narisan na kosu papirja, še zlasti, če je vozel zelo
zapleten, takega načina prepoznavanja zavozlanosti
ne moremo uporabiti. Zato bi izračunali Jonesov po-
linom danega vozla in ga primerjali z Jonesovim po-
linomom nezavozlanega vozla; če bi dobili različni
vrednosti, bi vedeli, da je naš vozel zavozlan.
2
Vzameš vrv, jo zavozlaš in stakneš oba konca
vrvi. Tako dobljeni sklenjeni zavozlani vrvi v ma-
tematiki pravimo vozel. Za dva vozla pravimo, da
sta ekvivalentna, če je moč enega s premikanjem
sklenjene vrvi (ne da bi vrv pri tem prerezali in
ob predpostavki idealne skrčljivosti/raztezljivost
vrvi) postaviti v lego drugega. Ali je ta kos vrvi za-
vozlan?, je tako poseben primer vprašanja o ekvi-
valentnosti vozlov. Študij lastnosti vozlov in pre-
poznavanje ekvivalentnih vozlov sta osrednji na-
logi teorije vozlov.
Knjiga Vozli avtorja Alekseja B. Sosinskega v pre-
vodu Jožeta Vrabca v kronološkem vrstnem redu
oriše nekatere mejnike v razvoju teorije vozlov. Pov-
sem se ogne uporabi zahtevnejših matematičnih oro-
dij za študij vozlov in temo predstavi popolnoma
kombinatorno. Zaradi te lastnosti in ker knjiga ne
predpostavlja kakršnegakoli predznanja o temi, je
povsem primerna za matematično navdahnjenega
bralca s srednješolskim znanjem matematike in lah-
ko služi kot prvo srečanje z zanimivim svetom vo-
zlov. Pisana je v sproščenem, neformalnem slogu,
avtor pogosto na novo uvedene ideje in nekatere do-
kaze poda povsem intuitivno in jih poskuša vizuali-
zirati s slikami. Knjiga vsebuje celo nekaj avtorjevih
povsem osebnih izkušenj s teorijo vozlov. Nikoli pa
na račun tega, bralcu prijaznega tona, ne trpi natanč-
nost, kar je v znatni meri zasluga prevajalca, ki je
odpravil mnoge napake originala.
Za predstavo o temah, ki so obravnavane v knjigi,
za pokušino izpostavimo šesto poglavje, ki opisuje
Jonesov polinom. To poglavje bralcu s srednješol-
skim znanjem omogoča popolnoma matematično ko-
rektno dokazati, da kak vozel ni ekvivalenten dru-
gemu vozlu. Jonesov polinom je namreč predpis,
ki vsakemu vozlu priredi polinom in ima lastnost,
da ekvivalentnim vozlom priredi enak polinom. Ta-
kemu predpisu pravimo invarianta vozla in služi pre-
poznavanju neekvivalentnih vozlov. Predstavljajmo
si, da nam nekdo v roke potisne navidezno zavozlan
kos vrvi in nas vpraša, če je vrv res zavozlana ali ne.
V praksi bi v takem primeru verjetno prijeli za oba
konca vrvi, ju potegnili narazen in opazovali, če se
bo vrv razvozlala ali ne. V matematiki, ko imamo vo-
zel narisan na kosu papirja, še zlasti, če je vozel zelo
zapleten, takega načina prepoznavanja zavozlanosti
ne moremo uporabiti. Zato bi izračunali Jonesov po-
linom danega vozla in ga primerjali z Jonesovim po-
linomom nezavozlanega vozla; če bi dobili različni
vrednosti, bi vedeli, da je naš vozel zavozlan.
2
, j l i
i. lj i l j i l i i -
i i i l. l i ,
i l , j i j
l j i ( i i li i
i i l lji i lji
i) i i l . li j i -
l , j i j i-
l i l . ij l i l i -
j i l i l ji -
l i ij l .
ji li j l j . i -
l
i j i j ij l . -
i j i i i -
ij ij l i i l
i . i l i i ji
lj li j i, j
i i j
l j l i j i i l -
l i j i i i -
l . i j , l l ,
i j i -
i i i i ji i li-
i i li i. ji j l j j i
i i j ij l . i li
, l ij , i -
, j i i l j l , i j
il i i l .
, i ji i,
i i i l j , i i j
li . l j l j l-
i j l i -
i, l i i l -
l . li j i ,
i l i i li i i l ,
i l i l i i li . -
i i i i l i l i -
j i l i l . lj j
i, i i l
i i , j l li .
i i i j ij li
i, j ili i li,
l l li . i i, i -
l i i j , l i, j l l
l , i j l i
i i. i i li -
li l i i j li i -
li l l ; i ili li i
i, i li, j l l .
t
t t
t t
t
t t t t
t t t
t
t t t t t
t t
t
t r r
J t r r r t r
r t r r t r
r t t t r
t t r t
t r r t t t r
r t r r t
r r t t
r r t t
t r r t
r f r
t r t t r
t t
r t t r
t r
r t r r t tr t
t r t r r
r r
r t t r
t t
J r r
t t
r t t t r
J r r
r r t t
t r r
r r r t r
t r t
r t
r r r r
r t r r r t r
r t r
r r t t
r r t
t t r t
r r t t r J
r r J
r
r t
Vza eš vrv, jo zavozlaš in s akneš oba konca
vrvi. Tako dobljeni sklenjeni zavozlani vrvi v a-
e a iki pravi o vozel. Za dva vozla pravi o, da
s a ekvivalen na, če je oč enega s pre ikanje
sklenjene vrvi (ne da bi vrv pri e prerezali in
ob predpos avki idealne skrčljivos i/raz ezljivos
vrvi) pos avi i v lego drugega. Ali je a kos vrvi za-
vozlan?, je ako poseben pri er vprašanja o ekvi-
valen nos i vozlov. Š udij las nos i vozlov in pre-
poznavanje ekvivalen nih vozlov s a osrednji na-
logi eorije vozlov.
Knjiga Vozli av o ja Alekseja B. Sosinskega v p e-
vodu ože a V abca v k onološke v s ne edu
o iše neka e e ejnike v azvoju eo ije vozlov. Pov-
se se ogne upo abi zah evnejših a e a ičnih o o-
dij za š udij vozlov in e o p eds avi popolno a
ko bina o no. Za adi e las nos i in ke knjiga ne
p edpos avlja kak šnegakoli p edznanja o e i, je
povse p i e na za a e a ično navdahnjenega
b alca s s ednješolski znanje a e a ike in lah-
ko služi ko p vo s ečanje z zani ivi sve o vo-
zlov. Pisana je v sp oščene , ne o alne slogu,
av o pogos o na novo uvedene ideje in neka e e do-
kaze poda povse in ui ivno in jih poskuša vizuali-
zi a i s slika i. Knjiga vsebuje celo nekaj av o jevih
povse osebnih izkušenj s eo ijo vozlov. Nikoli pa
na ačun ega, b alcu p ijaznega ona, ne pi na anč-
nos , ka je v zna ni e i zasluga p evajalca, ki je
odp avil noge napake o iginala.
Za p eds avo o e ah, ki so ob avnavane v knjigi,
za pokušino izpos avi o šes o poglavje, ki opisuje
onesov polino . To poglavje b alcu s s ednješol-
ski znanje o ogoča popolno a a e a ično ko-
ek no dokaza i, da kak vozel ni ekvivalen en d u-
ge u vozlu. onesov polino je na eč p edpis,
ki vsake u vozlu p i edi polino in i a las nos ,
da ekvivalen ni vozlo p i edi enak polino . Ta-
ke u p edpisu p avi o inva ian a vozla in služi p e-
poznavanju neekvivalen nih vozlov. P eds avljaj o
si, da na nekdo v oke po isne navidezno zavozlan
kos v vi in nas vp aša, če je v v es zavozlana ali ne.
V p aksi bi v ake p i e u ve je no p ijeli za oba
konca v vi, ju po egnili na azen in opazovali, če se
bo v v azvozlala ali ne. V a e a iki, ko i a o vo-
zel na isan na kosu papi ja, še zlas i, če je vozel zelo
zaple en, akega načina p epoznavanja zavozlanos i
ne o e o upo abi i. Za o bi iz ačunali onesov po-
lino danega vozla in ga p i e jali z onesovi po-
lino o nezavozlanega vozla; če bi dobili azlični
v ednos i, bi vedeli, da je naš vozel zavozlan.
2
t
t t
t t
t
t t t t
t t t
t
t t t t t
t t
t
t r r
J t r r r t r
r t r r t r
r t t t r
t t r t
t r r t t t r
r t r r t
r r t t
r r t t
t r r t
r f r
t r t t r
t t
r t t r
t r
r t r r t tr t
t r t r r
r r
r t t r
t t
J r r
t t
r t t t r
J r r
r r t t
t r r
r r r t r
t r t
r t
r r r r
r t r r r t r
r t r
r r t t
r r t
t t r t
r r t t r J
r r J
r
r t
, j l i
i. lj i l j i l i i -
i i i l. l i ,
i l , j i j
l j i ( i i li i
i i l lji i lji
i) i i l . li j i -
l , j i j i-
l i l . ij l i l i -
j i l i l ji -
l i ij l .
ji li j l j . i -
l
i j i j ij l . -
i j i i i -
ij ij l i i l
i . i l i i ji
lj li j i, j
i i j
l j l i j i i l -
l i j i i i -
l . i j , l l ,
i j i -
i i i i ji i li-
i i li i. ji j l j j i
i i j ij l . i li
, l ij , i -
, j i i l j l , i j
il i i l .
, i ji i,
i i i l j , i i j
li . l j l j l-
i j l i -
i, l i i l -
l . li j i ,
i l i i li i i l ,
i l i l i i li . -
i i i i l i l i -
j i l i l . lj j
i, i i l
i i , j l li .
i i i j ij li
i, j ili i li,
l l li . i i, i -
l i i j , l i, j l l
l , i j l i
i i. i i li -
li l i i j li i -
li l l ; i ili li i
i, i li, j l l .
, j l i
i. lj i l j i l i i -
i i i l. l i ,
i l , j i j
l j i ( i i li i
i i l lji i lji
i) i i l . li j i -
l , j i j i-
l i l . ij l i l i -
j i l i l ji -
l i ij l .
ji li j l j . i -
l
i j i j ij l . -
i j i i i -
ij ij l i i l
i . i l i i ji
lj li j i, j
i i j
l j l i j i i l -
l i j i i i -
l . i j , l l ,
i j i -
i i i i ji i li-
i i li i. ji j l j j i
i i j ij l . i li
, l ij , i -
, j i i l j l , i j
il i i l .
, i ji i,
i i i l j , i i j
li . l j l j l-
i j l i -
i, l i i l -
l . li j i ,
i l i i li i i l ,
i l i l i i li . -
i i i i l i l i -
j i l i l . lj j
i, i i l
i i , j l li .
i i i j ij li
i, j ili i li,
l l li . i i, i -
l i i j , l i, j l l
l , i j l i
i i. i i li -
li l i i j li i -
li l l ; i ili li i
i, i li, j l l .
•
bojan gornik
Aleksej  B. 
Sosinski:
Vozli
Vzameš vrv, jo zavozlaš in stakneš oba konca
vrvi. Tako dobljeni sklenjeni zavozlani vrvi v ma-
tematiki pravimo vozel. Za dva vozla pravimo, da
sta ekvivalentna, če je moč enega s premikanjem
sklenjene vrvi (ne da bi vrv pri tem prerezali in
ob predpostavki idealne skrčljivosti/raztezljivost
vrvi) postaviti v lego drugega. Ali je ta kos vrvi za-
vozlan?, je tako poseben primer vprašanja o ekvi-
valentnosti vozlov. Študij lastnosti vozlov in pre-
poznavanje ekvivalentnih vozlov sta osrednji na-
logi teorije vozlov.
Knjiga Vozli avtorja Alekseja B. Sosinskega v pre-
vodu Jožeta Vrabca v kronološkem vrstnem redu
oriše nekatere mejnike v razvoju teorije vozlov. Pov-
sem se ogne uporabi zahtevnejših matematičnih oro-
dij za študij vozlov in temo predstavi popolnoma
kombinatorno. Zaradi te lastnosti in ker knjiga ne
predpostavlja kakršnegakoli predznanja o temi, je
povsem primerna za matematično navdahnjenega
bralca s srednješolskim znanjem matematike in lah-
ko služi kot prvo srečanje z zanimivim svetom vo-
zlov. Pisana je v sproščenem, neformalnem slogu,
avtor pogosto na novo uvedene ideje in nekatere do-
kaze poda povsem intuitivno in jih poskuša vizuali-
zirati s slikami. Knjiga vsebuje celo nekaj avtorjevih
povsem osebnih izkušenj s teorijo vozlov. Nikoli pa
na račun tega, bralcu prijaznega tona, ne trpi natanč-
nost, kar je v znatni meri zasluga prevajalca, ki je
odpravil mnoge napake originala.
Za predstavo o temah, ki so obravnavane v knjigi,
za pokušino izpostavimo šesto poglavje, ki opisuje
Jonesov polinom. To poglavje bralcu s srednješol-
skim znanjem omogoča popolnoma matematično ko-
rektno dokazati, da kak vozel ni ekvivalenten dru-
gemu vozlu. Jonesov polinom je namreč predpis,
ki vsakemu vozlu priredi polinom in ima lastnost,
da ekvivalentnim vozlom priredi enak polinom. Ta-
kemu predpisu pravimo invarianta vozla in služi pre-
poznavanju neekvivalentnih vozlov. Predstavljajmo
si, da nam nekdo v roke potisne navidezno zavozlan
kos vrvi in nas vpraša, če je vrv res zavozlana ali ne.
V praksi bi v takem primeru verjetno prijeli za oba
konca vrvi, ju potegnili narazen in opazovali, če se
bo vrv razvozlala ali ne. V matematiki, ko imamo vo-
zel narisan na kosu papirja, še zlasti, če je vozel zelo
zapleten, takega načina prepoznavanja zavozlanosti
ne moremo uporabiti. Zato bi izračunali Jonesov po-
linom danega vozla in ga primerjali z Jonesovim po-
linomom nezavozlanega vozla; če bi dobili različni
vrednosti, bi vedeli, da je naš vozel zavozlan.
2
Presek 39 (2011/2012) 2
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo
priznanje. Nanj se po pravilniku uvrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vego-
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udeležilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, Astrono-
mija in nočno opazovanje, Matematični triki, Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane večere. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile podeljene v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
Uroš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo
priznanje. Nanj se po pravilniku uvrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vego-
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
osmem 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udeležilo Polet e
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli s učenci poslušali nasle-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geometrij
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, Astrono
mija in nočno opazovanje, Matematični tr ki, Geome
tri nek lik drugače. Poleg pred va j so imeli ud
leženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane večere. Svoje m či so lahko
nabir li tudi z vesl jem po Bohinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savic , z igranjem odbojke in ta oka.
Nagrade, ki so bile podeljen v Kol seju, so prejeli
n jboljši tekmovalci, in sic r:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Kop ivnica
8. razred
I. nagrada
Uroš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
, . ,
.
, -
,
-
.
l i l i ili i l i i
i i i i. lili ,
i l i i i .
l i l l il l
l i , i il . . i
i . l i li i l li l
: i i l , i -
l i i i, -
i i , i i i i, -
ij li . l i li -
l i l l i i i
i i i . i l
i li i l i ,
l i , i i .
, i il l l , li
l i l i, i i :
I
, i , l
II
, l
, i
III
, i i
, i
I
,
, l
i
II
, i l il
III
j lj i l i r i t j
t ril rili i
r ij r t j l t
ri j j r il i r ti
l l i t l
r j t r i i ji l i
r t j i r r
t l i ij
j j t r j t -
r j r r
t t r j
j j t j t
t t j j j
j t -
j r j r j j tr j
j t t tr
j j t t tr
tr r r j e
t t t r rt -r r t
r r r r j
r t j j j r -
r j j t r
r j e j r j
j j t er
. r r
. r
j J j j
. r
ij j j
ij r
. r
i i r
ij
. r r
. r
t
J J ij j r j r -
. r
i r rj -
t j
. r
a bo š osnovnošo c s pod očn h ek ovan
so se v sobo o, 16. ap a 2011, po e v os h
eg ah na d žavne ek ovan u za z a o Vegovo
p znan e. an se po p av n ku uv s do 1% vseh
sed ošo cev, os ošo cev n deve ošo cev s posa-
eznega pod oč a e še učenc , k h na pod ag
dosežkov na pod očne ek ovan u zbe e d žav-
na ek ova na ko s a.
Na bol ši ek ovalci so bili nag a eni z zla i i Vego
vi i p iznan i. V sed e az edu s o podelili 64,
v os e 65 in v deve e 65 zla ih Vegovih p iznan .
Na bol ših 20 deve ošolcev se e udeležilo Pole ne
šole a e a ike, ki e bila od 24. do 28. uni a 2011
v Bohin u. V pole ni šoli so učenci poslušali nasle
dn a p edavan a: snovni iz ek del en a, Geo e i -
ske naloge in okazovan a v a e a iki, As ono-
i a in nočno opazovan e, a e a ični iki, Geo e-
ija nekoliko d ugače. Poleg p edavan so i eli ud -
leženci pole ne šole udi pes e špo no ek ea ivni
p og a in ani i ane veče e. Svo e oči so lahko
nabi ali udi z veslan e po Bohin ske eze u, po
hodu k slapu Savica, z ig an e odbo ke in a oka.
Nag ade, ki so bile podel en v Kolose u, so p e eli
na bol ši ek ovalci, in sic :
7 az ed
I nag ada
Alekse urca, Š Ledina, L ubl ana
II nag ada
Luc a Bogata , Š Pol ane
Evgen a Burger, Š B usnice
III nag ada
at c Ernožn k, Š Ži i
Luc a Župevc, Š Kop ivnica
8 az ed
I nag ada
Uroš Prešern, Š očec
akob ur Sno , Š Belok an skega od eda Se
ič
II nag ada
Katar na Černač, Š i oslava Vilha a Po
s o na
III nag ada
2
N j lj i l i i t j
t il ili i
ij t j l t
i j N j il i ti
l l i t l
j t i i ji l i
t j i
t l i ij
j j t r j t -
r j r r
t t r j
j j t j t
t t j j j
j t -
j r j O r j j tr j
D j t t tr
j j M t t tr
tr r r j
t t t r rt -r r t
r r r r j
r t j j j r -
r j j t r
r j j r j
j j t r
.
. r
j J O j j
. r
ij j O j
ij O r
. r
M i i O r
ij O r
.
. r
O Ot
J J ij j O r j r -
. r
i O M r rj -
t j
. r
r m
, . r , m r m
r r m m
r . r r
m , m -
m r r ,
r m m r r -
m m .
l i m l i ili i l imi
imi i i. m m m lili ,
m m i m l i i i .
l i l l il l
l m m i , i il . . i
i . l i li i l li l
: i i l , m i -
l i m m i i, -
mi i , m i i i i, m -
ij li . l im li e-
l i l l i i i
m i imi . m i l
i li i l m i m ,
l i , i m i .
, i il l e l , li
l i m l i, i i e :
r r
I
, i , l
II
, l
, i
III
, i i
, i i
r r
I
,
, l
mi
II
, i l il
III
•
klavdija mlinšek
47. tekmovanje 
za zlato Vegovo 
priznanje
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo
priznanje. Nanj se po pravilniku uvrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vego-
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udeležilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, Astrono-
mija in nočno opazovanje, Matematični triki, Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane večere. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile podeljene v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
Uroš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
j lj i l i r i t j
t , . ril , rili i
r ij r t j l t
ri j . j r il i r ti
l , l i t l -
r j t r i, i ji l i
r t j i r r -
t l i ij .
j ljši t lci s ili r j i l ti i -
i i ri ji. s r r s lili ,
s i t l ti i ri j.
j ljši t š lc s j l il l t
š l t ti , i j il . . j ij
i j . l t i š li s c ci sl š li sl -
j r j : s i i r lj j , trij-
s l i j t ti i, str -
ij i c j , t tic i tri i, -
trij li r c . l r j s i li -
l ci l t š l t i st r š rt -r r ti i
r r i i ir c r . j ci s l
ir li t i sl j i js j r , -
sl ic , i r j j i t r .
r , i s il lj l s j , s r j li
j ljši t lci, i sic r:
. r r
I. r
l s j J , i , j lj
II. r
ij j, lj
ij , r s ic
III. r
i i , iri
ij , ri ic
. r r
I. r
š š , t c c
J J ij j, l r js r -
ic
II. r
i , ir sl il rj -
st j
III. r
Najboljši osnovnošolci s pod očnih ek ovanj
so se v sobo o, 16. ap ila 2011, po e ili v os ih
egijah na d žavne ek ovanju za zla o Vegovo
p iznanje. Nanj se po p avilniku uv s i do 1% vseh
sed ošolcev, os ošolcev in deve ošolcev s posa-
eznega pod očja e še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na pod očne ek ovanju izbe e d žav-
na ek ovalna ko isija.
Najbolj i ek oval i o bili nag ajeni z zla i i Vego-
vi i p iznanji. V ed e az edu o podelili 64,
v o e 65 in v deve e 65 zla ih Vegovih p iznanj.
Najbolj ih 20 deve o ol ev e je udeležilo Pole ne
ole a e a ike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V pole ni oli o uˇen i po lu ali na le-
dnja p edavanja: O novni iz ek deljenja, Geo e ij-
ke naloge in Dokazovanja v a e a iki, A ono-
ija in noˇno opazovanje, Ma e a iˇni iki, Geo e-
ija nekoliko d ugaˇe. Poleg p edavanj o i eli ude-
ležen i pole ne ole udi pe e po no- ek ea ivni
p og a in ani i ane veˇe e. Svoje o ǐ o lahko
nabi ali udi z ve lanje po Bohinj ke jeze u, po-
hodu k lapu Savi a, z ig anje odbojke in a oka.
Nag ade, ki o bile podeljene v Kolo eju, o p ejeli
najbolj i ek oval i, in i e :
7 az ed
I. nag ada
A ek e urca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nag ada
Luc a Bogata , OŠ Poljane
Evgen a Burger, OŠ B u ni e
III. nag ada
Mat c Ernožn k, OŠ Ži i
Luc a Župevc, OŠ Kop ivni a
8 az ed
I. nag ada
Uro Pre ern, OŠ O oˇe
akob ur Sno , OŠ Belok anj kega od eda Se-
iˇ
II. nag ada
Katar na Černač, OŠ Mi o lava Vilha ja Po-
ojna
III. nag ada
2
j lj i l i i j
, . il , ili i
ij j l
i j . j il i i
l , l i l -
j i, i ji l i
j i -
l i ij .
j lj i l i ili j i l i i -
i i i ji. lili ,
i l i i i j.
j lj i l j l il l
l i , i j il . . j ij
i j . l i li i l li l -
j j : i i lj j , ij-
l i j i i, -
ij i j , i i i i, -
ij li . l j i li -
l i l l i - i i
i i i . j i l
i li i l j i j j , -
l i , i j j i .
, i il lj l j , j li
j lj i l i, i i :
I.
, i , j lj
II.
, lj
, i
III.
, i i
, i i
I.
,
, l j -
i
II.
, i l il j -
j
III.
Najboljši osnovn šolci s področnih tekmovanj
so se v s b to, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Veg vo
priz anje. Nanj se po pravilnik uvrsti do 1% vseh
sedm šolcev, osm šolcev in d vet šolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, k jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izb re držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vego-
vimi priz anji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v d vetem 65 zlatih Vegovih priz anj.
Najboljših 20 d vet šolcev se je udeležilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja pred vanja: Osnovni izrek d ljenja, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, Astr no-
mija in nočno opazovanje, Matematični triki, Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg pred vanj so imeli ude-
l ženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane v č re. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem j zeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile pod lj ne v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagr da
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljublj na
II. nagr da
Lucija Bog taj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagr da
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagr da
Uroš Pr šern, OŠ Otoˇec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagr da
K tarina Černač, OŠ Mirosl va Vilharja Po-
stojna
III. nagr da
2
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo
priznanje. Nanj se po pravilniku uvrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vego-
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih prizn nj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udeležilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, Astrono-
mija in nočno opazovanje, Matematični triki, Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane večere. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem jezeru, p -
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile podeljene v Koloseju, so pre eli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
U oš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so se v sobot , 16. aprila 201 , pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo
priznanje. Nanj se po pravilniku vrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komis ja.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z latimi Vego-
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v devet m 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udel žilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 201
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematik , Astrono-
mija in očno pazovanje, Matematični trik , Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletne šole tudi pester športno-rekreativni
program in animirane večer . Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile podeljene v Kol seju, so prej li
najboljši tekmovalci, n sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, OŠ Žir
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
Uroš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj
so e v sob to, 16. aprila 201 , pomeril v osmih
regijah na državnem tekmovanju za lato Vegov
priznanje. Nanj se po ravilniku uvrsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovaln komisija.
Najboljši tekmovalci so bil nagr jeni z zlatimi Vego-
vimi priznanji. V sedme raz edu smo p deli 64,
v osme 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se j udeležilo Poletn
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 201
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali nasle-
dnja predavanj : Osnovni zrek deljen a, Geometrij-
ske naloge in Dokazovanj v matematiki, Astrono-
mija n nočno opazovanje, Matematičn tr ki, Geome-
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletn šole tudi pest r športno-rek ativn
program in a imirane v čere. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po B hinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in taroka.
Nagr de, ki so bile podeljene v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagr da
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagr da
Lucija Bogat j, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
II . nagr da
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivn ca
8. razred
I. nagr da
Uroš Prešern, OŠ točec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odre a Se-
mič
II. nagr da
Kat rina Černač, OŠ Miroslava Vilharj Po-
stojna
II . nagr da
2
ajboljši osn vnošolci s podr čnih tek ovanj
so e v sobot , 16. aprila 2011, po erili v os ih
regijah na državne tek ovanju za l to egovo
priznanje. anj se po ravilniku vrsti do 1 vseh
sed ošolcev, os ošolcev in devetošolcev s posa-
ezn ga podr čja ter še učen i, k jih na podlagi
dosežkov na podr čne tek ovanju izber držav-
na tek ovaln ko is ja.
ajboljši tek ovalci so bili nagr jeni z lati i Vego-
vi i pr znanji. V sed e raz edu s o p delili 64,
v os e 65 in v devet 65 zlatih Vegovih priznanj.
ajboljših 20 devetošolcev se je udel ži o P letn
šole ate atike, i je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učen i poslušali nasle-
dnja predavanj : snov i izrek deljenja, eo etrij-
ske naloge in okazovanj v ate atik , strono-
ija in oč pazovanje, ate atični trik , eo e-
trija nekoli drugače. Poleg predavanj so i eli ude-
leženci poletn šole tudi pester športno-rek ativni
prog a in a i irane v č r . Svoje oči so lahko
nabiral tudi z veslanje po B hinjske jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranje odb jke in taroka.
agr de, ki so bile podeljene v Kol seju, so prej li
najboljši tek ovalci, n s cer:
. raz e
I. nagr da
leks j Jurca, Š Ledina, Ljubljana
I . nagr da
Lucija Bogataj, Š Poljane
Evgenija Burge , Š Brusnice
I . nagr da
atic Ernožnik, Š Žiri
Lucija Župevc, Š Koprivnica
. raz e
I. nagr da
roš Prešern, Š točec
Jakob Jurij Snoj, Š Belokranjskega odre a Se-
ič
I . nagr da
Katarina Černač, Š iroslava Vilharja Po-
stojna
I . nagr da
2
Najboljši osnov š lci s področnih tekmovanj
so se v sob t , 16. aprila 201 , pomeril v osmih
regijah n državnem t kmovanju za lato Vegov
prizna je. Nanj se po praviln ku uvrsti do 1% vseh
sedmoš lcev, osm š lcev in dev toš lcev s po a-
meznega področja ter š uč nci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem t kmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bil nagrajeni z latim Vego-
vim prizna ji. V sedm razredu smo podeli 64,
v osme 65 in v de et m 65 zlatih Vegovih prizna j.
Najboljših 20 devetošolcev s j udel žilo Poletne
šole mate atike, ki je bila od 24. do 28. junija 201
v Bohinju. V poletni šol s učenci poslušali n sle-
dnja predavanja: Osnovni zrek d lj nja, Geom trij-
ske naloge in Dokazov nja v mate atiki, Astron -
mija in nočno pazov nje, Matematični tr ki, Geom -
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imel ude-
leženci poletne šole tudi pest r športn -rekreativni
program in anim rane večer . Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem j zeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in tarok .
Nagrade, ki so bile podelj n v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrad
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljan
II. nagrad
Lucija Bogat j, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrad
Matic Ernož ik, OŠ Žir
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrad
Uroš Preše n, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrad
Kat rina Černač, OŠ Miroslava Vilharj Po-
stojna
III. nagrad
2
Najboljši osn vnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmova ju za zlato Vego o
priznanje. Nanj se po pravilniku u rsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s sa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Veg -
vimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 64,
v osmem 65 in v devetem 65 zlatih Vegovih priznanj.
Najboljših 20 devetošolcev se je udeležilo Poletne
šole matematike, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so učenci poslušali na le-
dnja predavanja: Osnovni izrek deljenja, Geo etrij-
ske naloge in Dokazovanja v matematiki, As o o-
mija in nočno opazovanje, Matematični triki, G om -
trija nekoliko drugače. Poleg predavanj so imeli ude-
leženci poletne šole tudi pester športno-rekre tivn
program in animirane večere. Svoje moči so lahko
nabirali tudi z veslanjem po Bohinjskem jezeru, po-
hodu k slapu Savica, z igranjem odbojke in tarok .
Nagrade, ki so bile podeljene v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucija Bogataj, OŠ Poljane
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
Matic Ernožnik, Š Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
Uroš Prešern, OŠ Otočec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
Katarina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. grada
2
Najboljši snovn šolci s p dročnih tekmovanj
so se v s b to, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmovanju z zlato Veg vo
priz anje. Nanj se po prav lnik uvrsti do 1% vseh
sedm šolcev, osm šolcev in d vet šolcev s posa-
m znega p dročja ter še uˇenci, k jih na podlagi
dosežkov na p dročnem tekmovanju izb e držav-
na tekmovalna komisija.
Na boljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlat mi Vego-
v m priz anji. V sedmem razredu sm podelili 64,
v osmem 65 in v d vetem 65 zlatih Vegovih priz anj.
Na boljših 20 d vet šolcev s je ude ežil Poletne
šole matemati e, ki je bila od 24. do 28. junija 2011
v Bohinju. V poletni šoli so uˇenci poslušali nasle-
dnja pred vanja: Os ovni izrek d ljenja, Geometrij-
sk naloge in Dokazovanja v matematiki, Astr no-
m a i čno opazovanje, Matemat čn triki, Geome-
trija ne liko drugače. Poleg pred vanj so imeli ude-
l ženci poletne šole tudi p ster športno-rekreativni
program i an mirane v č re. Svoje moči so lahko
n birali tudi z veslanjem po Bohinjskem j zeru, po-
odu k slapu S vica, z igranjem dbojke in taroka.
Nagrade, ki so bile pod lj ne v K loseju, so prejeli
na boljši tekmovalci, n sicer:
7. azred
I. nagr da
Al ksej Jurca, OŠ Ledina, L ublj na
I . nagr da
Lucija Bog taj, OŠ Poljane
Evgenija Bu ger, OŠ Brusnice
I . nagr da
Matic Ernožnik, OŠ Žiri
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. azred
I. nagr da
Uroš Pr šern, Š Otoˇec
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega o reda Se-
mič
I . nagr da
K tarina Černač, OŠ Mirosl va Vilh rja Po-
stojna
I . nagr da
2
Najboljši osn vnošolci s področnih tekmovanj
so se v soboto, 16. aprila 2011, pomerili v osmih
regijah na državnem tekmova ju za zlato Vego o
priznanje. Nanj se po pravilniku u rsti do 1% vseh
sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s sa-
meznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi
dosežkov na področnem tekmovanju izbere držav-
na tekmovalna komisija.
Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlat mi Vego-
i i priz a ji. V s d em razr du smo podelili 64,
v smem 65 in v d vet m 65 zlatih V g v h priz a j.
Najboljših 20 devetoš cev se je udelež lo Poletne
šole matematik , k je b la d 24. d 28. ju ja 2011
v Bohinju. V polet i šol so uče ci poslušali nasle
d ja predavanj : Os ov i izrek d ljenja Ge metrij
ske al ge in D k zovanj v ema i Astrono
mij in n čn op zovanj , Mat m tič i triki, G om
trija nek iko drugače. Poleg p edava j so im li ude-
leženc polet e šole tudi pester šp rtn -rekre tivni
p ogr m in animir večere. Svoj oči so lahko
nabir li t di z esl njem po B hinjs m jeze u, po-
h u k slapu Savica, z igra j m db jke in ta oka.
N grad , i s b le pod lj ne v Koloseju, so prejeli
najboljši tekmovalci, in sicer:
7. razred
I. nagrada
Aleksej Jurca, OŠ Ledina, Ljubljana
II. nagrada
Lucij o ataj, Polja
Evgenija Burger, OŠ Brusnice
III. nagrada
M tic Ernožnik, Š Ži
Lucija Župevc, OŠ Koprivnica
8. razred
I. nagrada
Ur š Prešer , Š toč c
Jakob Jurij Snoj, OŠ Belokranjskega odreda Se-
mič
II. nagrada
K t rina Černač, OŠ Miroslava Vilharja Po-
stojna
III. nagrada
2
Mihael Rajh, OŠ Polzela
Erika Stanković, OŠ Danila Lokarja Ajdovščina
9. razred
I. nagrada
Urban Stanič, OŠ Vodmat, Ljubljana
II. nagrada
Luka Medic, OŠ Mladika, Ptuj
III. nagrada
Ula Arkar, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana
Maruša Lekše, OŠ Trnovo, Ljubljana
Alenka Križan, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana
Petra Pavšič, OŠ Danile Kumer, Ljubljana
3
, l l
, il j j i
I.
, , j lj
II.
, l i , j
III.
, j i , j lj
, , j lj
, j i , j lj
, il , j lj
ihael Rajh, OŠ Polzela
Erika Stanković, OŠ Danila Lokarja Ajdovščina
9. razred
I. nagrada
Urban Stanič, OŠ Vod at, Ljubljana
II. nagrada
Luka edic, OŠ ladika, Ptuj
III. nagrada
Ula Arkar, OŠ ajde Vrhovnik, Ljubljana
aruša Lekše, OŠ Trnovo, Ljubljana
Alenka Križan, OŠ ajde Vrhovnik, Ljubljana
Petra Pavšič, OŠ Danile Ku er, Ljubljana
3
Mi j , l l
i i , il rj j i
.
I. r
i , m t, j lj
II. r
M i , Ml i , t j
III. r
, M j r i , j lj
M , r , j lj
i , M j r i , j lj
i , il m r, j lj
l e
šc
r r
l e
š š
l e
š e e
ihae Rajh, OŠ Polz la
Erika Stanković, OŠ Danila Lokarja Ajdov ǐna
9. az ed
I. nagrada
Urban Stanič, OŠ Vod at, Ljubljana
II. nagrada
Luka edic, OŠ ladika, Ptuj
III. nagrada
U a Arkar, OŠ ajd Vrhovnik, Ljubljana
aru a Lek e, OŠ Trnovo, Ljubljana
A enka Križan, OŠ ajd Vrhovnik, Ljubljana
Petra Pav ič, OŠ Danil Ku r, Ljubljana
3
12
t e k m o v a n j a
7. razred
9. razred
8. razred
. agrada
I. n gr da
I. nagr da
I. nagrada
III. nagrada
I. nagr da
. nagrada
I. nagrada
. nagrada
presek 39 (2011/2012) 2
13
f i z i k a
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodoravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presekov.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo in zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravokotnice, to pomeni, da je
kot β večji od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
•
•
nada razpet
Plavajoče
jabolko
•
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodoravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presekov.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo in zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravokotnice, to pomeni, da je
kot β večji od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
V kroglasto stek eno posod smo nalili vodo in
vanjo položi i j bolk . Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, i gleda iz vode, vidimo n ravni liko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. N vedli b mo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodoravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presekov.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo in zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravokotnice, to pomeni, da je
kot β večji od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
. .
, ,
. , , .
.
, .
, .
.
. ,
.
, ,
.
.
.
.
, ,
,
. .
.
,
. .
.
, ,
,
.
.
.
: .
, ,
.
,
, ,
. ,
.
l t t l lili i
j l ili j l l i l l
j l i l i i i i li -
ti l i j t lj j
j i l j l li l ti t
il ti i i t l j
r l i i tr j l i j l i-
r l l ( lj i ) li r r il l ( r t-
i ) li ir l i i l i (l i) r -
li j l l
l t r l li r t ( j l -
lj i r i) r ti il r i
l ( l i li i t t j r
j lj i l lj i r ) -
t l li l ti i l i l
t i i
li
r r l ti l r l lij l-
r l i j r i r i t i ri r
r lj il i i r -
li j li i li r -
t i l j j r t i l i
j ri r j l l i t -
l j t l l j l
j i l i
li
ri i t t l
tl i t l t i i r -
j l li l l l li r -
i r r i r i ri i
i t r
li
i i l i i l li i
i i r
1 i 2 i 1 , 2 .
tl i ij j l ji
i r l i r r j tl i ti
t j r t ti r j r t
l i tr r t i t i j
t ji t t j l j ◦ j
i r r ij j j ji t
. .
, ,
. , , .
.
, .
, .
.
. ,
.
, ,
.
.
.
.
, ,
,
. .
.
,
. .
.
, ,
,
.
.
.
: .
, ,
.
,
, ,
. ,
.
č
slika 1.
V polkroglo smo nalili vodo. Ko jo držimo v primerni razdalji 
od besedila, vidimo povečano sliko.
Presek 39 (2011/2012) 2
14
f i z i k a
•
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodoravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presekov.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo in zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravokotnice, to pomeni, da je
kot β večji od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodoravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presekov.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo in zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravokotnice, to pomeni, da je
kot β večji od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poišče o pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
V dimo lahk torej le tiste s etl bne žarke, i pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišem vpadni pravokotnici, izmerimo v
na kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov loml enih žark v ( očka O). Z dr-
enjem izbrane točke E po obodu jabolka pr gram
nariše slik teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posod
videti navpično postavljena palica. Kako j vidimo,
je tako kot prej odvisn od t ga, od kod in iz kakš
razdalj gleda o alico, in seved od lege a ice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
b zu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
S ka 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo eluje kot lupa. Del jabolka
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
svetlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vodo avno ravnino so krogi. Narišimo
enega izmed teh presek v.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon i lomna količnika za obe
snovi: vodo i zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od vpadne pravok tnice, to pomeni, da je
ot β večji d kota α. Kot β je lahko naj eč 90◦, saj
se sicer žarek odbije azaj v v do. Največji k t α
2
V kroglasto stekleno posodo smo nalili vodo in
vanjo položili jabolko. Jabolko na vodi plava. Del
jabolka, ki gleda iz vode, vidimo v naravni veliko-
sti. Del, ki je potopljen, pa je povečan. Povečava
je odvisna od lege jabolka. Navedli bomo le tiste
značilnosti, ki so bistvene za razlago pojava.
Leče
Kdor slabo vidi, potrebuje očala. Ta imajo lahko zbi-
ralne leče (daljnovidno oko) ali razpršilne leče (krat-
kovidno oko). V šoli z zbiralnimi lečami (lupami) pre-
slikujemo plamen sveče na zaslon. Rečemo, da na
zaslonu nastane realna slika predmeta (sekajo se lo-
mljeni žarki). Drobno tiskano besedilo beremo skozi
lupo (gledamo navidezno sliko, ki nastane tam, kjer
se sekajo podaljški lomljenih žarkov). Lupe so na-
vadno steklene ali plastične. Lupo si lahko izdelamo
tudi sami.
Slika 1
V prozorno plastično polkroglo nalijemo vodo. Pol-
kroglo, ki jo držimo v roki, postavimo v primerno
razdaljo od besedila in opazimo, da so črke pove-
čane. Slika je nekoliko popačena. Tu smo imeli pred-
met izven leče. Kaj pa če je predmet v „sami lupi“?
To je primer, ko jabolko gledamo skozi stene po-
sode. Posoda z vodo deluje kot lupa. Del jabol a
je v sami lupi.
Slika 2
Privzemimo, da so stene posode tanke, da loma
sv tlobe skozi steklo ne upoštevamo, in da ima pre-
sek jabolka obliko zelo malo sploščene elipse. Pre-
seki posode z vod ravno ravnino so krogi. Narišimo
enega izme teh presek v.
Slika 3
Zapišimo lomni zakon in lomna količnika za obe
snovi: vodo i zrak.
n1 sinα = n2 sinβ n1 = 1,33 n2 = 1 .
Svetloba, ki se odbije od jabolka, se na meji med
vodo in zrakom lomi. Ker prehaja svetloba iz optično
gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo, se
lomi stran od v dne pravo otnice, to pomeni, da je
kot β večj od kota α. Kot β je lahko največ 90◦, saj
se sicer žarek odbije nazaj v vodo. Največji kot α
2
slika 2.
Jabolko plava na vodi. Levo v kroglasti posodi, desno v valja-
sti posodi. Potopljeni del jabolka je videti večji.
slika 3.
Vodoravni presek posode z vodo in jabolkom (rdeče). Sredi-
šče kroga je označeno z A. 
presek 39 (2011/2012) 2
15
f i z i k a
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
slika 4.
A je središče leče. Poltraka f in h sta vpadni pravokotnici, 
z rdečimi puščicami so označeni svetlobni žarki. Podaljški 
lomljenih žarkov so označeni z rdeče črtkano črto. Del slike 
jabolka je označen z debelo rdečo krivuljo.
slika 6.
Podobno kot pri sliki 4 je tudi tu debela rdeča krivulja slika 
prereza palice.
slika 5.
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
S i
Z risanjem vod ravnih p esekov bi lahk narisali
cel ploskev tistega d a jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Po robneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično p stavljena palica. Kako j vidimo,
je tako kot prej odvisno d tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo š ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na liki 7? Upoštevali
b o l tiste ž rke, ki so lizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek sk z
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povez ve med oti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
•
Presek 39 (2011/2012) 2
na
da
lje
va
nj
e 
na
 s
tr
an
i
18
r a z v e d r i l o
16
Nagradna kr ižanka
presek 39 (2011/2012) 2
r a z v e d r i l o
17
n a g r a d n i  r a z p i s
•  Črke iz označenih polj po vrsti zapišite 
na Preseku priloženo dopisnico, dodajte 
tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi-
snice pošljite na Presekov naslov (poštni-
na je že plačana) do 15. novembra 2011, 
ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo 
za nagrado prejeli  Presekov paket. 
Presek 39 (2011/2012) 2
18
f i z i k a
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki pa-
dejo na steno posode pod kotom, manjšim od 49◦, in
po prehodu v zrak padejo v oko. Zopet si pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žarka, ki izhajata iz te
točke, narišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna kota, izračunamo lomna kota in poiščemo pre-
sečišča podaljškov lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z risanjem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično postavljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšne
razdalje gledamo palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
(mejni kot) lahko izračunamo:
sinβ = 1 sinαm =
1
n1
= 0,75 αm ≈ 49◦ .
Vidimo lahko torej le tiste svetlobne žarke, ki p
ej na st no posode p d kotom, manjšim d 49◦, in
pr hodu v zr k padejo v oko. Zopet i pomagamo
s sliko. S programom GeoGebra izberemo točko E na
obodu jabolka, izberemo dva žark , ki izhajata iz te
točke, rišemo vpadni pravokotnici, izmerimo vpa-
dna ta, izračunamo lomna kota in po ščemo pre-
sečišča podaljšk v lomljenih žarkov (točka O). Z dr-
senjem izbrane točke E po obodu jabolka program
nariše sliko teh točk. Ker se sekajo podaljški žarkov
je slika navidezna.
Slika 4
Z ris njem vodoravnih presekov bi lahko narisali
celo ploskev tistega dela jabolka, ki je pod vodno gla-
dino. Presečni krogi kroglaste posode imajo različne
polmere. Če ima posoda obliko valja, so ti polmeri
med seboj enaki.
Podrobneje poglejmo še, kakšna je v isti posodi
videti navpično pos avljena palica. Kako jo vidimo,
je tako kot prej odvisno od tega, od kod in iz kakšn
razdalje gledam palico, in seveda od lege palice v
posodi.
Slika 5
Narišimo še ta primer. Tako kot prej uporabimo
program GeoGebra. Iz slike je razvidno, zakaj vi-
dimo palico „premaknjeno“ in debelejšo.
Slika 6
Kam se preslika točka P na sliki 7? Upoštevali
bomo le tiste žarke, ki so blizu optične osi. To je
blizu premice skozi točki A in B. Žarek, ki gre skozi
točko P se lomi tako, da gre njegov podaljšek skozi
točko T .
Slika 7
Vpeljimo oznake:
d(A,B) = r d(P, B) = p d(T , B) = k .
Poiščimo še povezave med koti:
α = ε − γ β = δ− γ .
3
slika 7.
Točka P, ki leži znotraj leče, se preslika v točko T.
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
žnici s središčem T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, mer-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
žnici s središčem T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, mer-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
žnici s sre išče T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, er-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
ž ici s sre išče T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, er-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
ž ici s sre išče T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, er-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
žnici s središčem T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, mer-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
žnici s središčem T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, mer-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in kro-
ž ici s sre išče T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, er-
jenimi seveda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi primeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnjega
dela posode? Te primere naj bralci Preseka rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe smo torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
i l . i i i i .
lj :
.
j j , i li lj i:
.
i li , i l i : -
i i i , i i i i -
ni i di m .
i i l i i j , j-
l i i i, m -
j i i i i . I
i i
l i
.
lj j ji i li i
i
.
i i i lj i , l ij i-
l . j lj i li j j
l i j l i ij
i.
j i l
l j l ili, j j l j l
i .
Označimo lok

JB z L. Kote izrazimo v radianih. Za
kot γ vedno velja:
γ = L
r
.
Če je kot γ majhen, približno velja tudi:
ε = L
p
δ = L
k
.
Privzeli smo, da pripada lok L trem krožnicam: kro-
žnici s središčem v A, krožnici s središčem P in r -
i i r i T .
Zapišimo lomni zakon in upoštevajmo, da za maj-
hne kote lahko sinuse nadomestimo kar s koti, er-
jenimi s veda v radianih. Iz
n1 sinα = n2 sinβ
sledi
⇒ n1α = n2β .
Z vstavljanjem gornjih približkov dobimo
n1
(
L
p
− L
r
)
= n2
(
L
k
− L
r
)
in od tu končno
n1
p
− n2
k
= n1 −n2
r
.
Vsi rimeri so postavljeni tako, da ležijo pred „sredi-
ščem“ leče. Kaj pa če so postavljeni bližje zadnj ga
dela posode? Te primere naj bralci Presek rešijo
sami.
Samo z poznavanjem osnovnih zakonov o lomu
svetlobe sm torej razložili, zakaj je del jabolka v
vodi povečan.
4
presek 39 (2011/2012) 2
na
da
lje
va
nj
e 
s 
st
ra
ni
15
•
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh 8 števil.
1
•
Barvni sudoku
1 7 4
8
4 6 3
8
5 3 8
6 7 1
2 8 3
5 2
mojca čepič
Še o plinih 
p
o
iz
k
u
š
e
v
a
l
n
ic
a
 v
 k
u
h
in
ji
19
f i z i k a
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve prozorni posodi, lahko večji plastenki z odre-
zanim gornjim delom, ali dva velika kozarca za vla-
ganje;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame-
njate z običajnim loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
steklenico koka kole ali šumečo tabletko z manj-
šim kozarčkom;
helijev balon;
vžigalice.
Slika 1
Storimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavimo steklenico koka kole in
jo v posodi odpremo. Lahko jo tudi malo potresemo,
da mehurčki izhajajo bolj burno. Namesto koka kole
lahko uporabimo kozarček z nekaj vode, ga posta-
vimo v posodo in vanj vržemo šumečo tableto. Poča-
kamo, da se tableta raztopi.
V prozorno posodo na dno postavimo svečko in
jo prižgemo. Steklenico koka kole ali kozarček vza-
memo iz posode. Predstavljajmo si, da je v posodi
voda in želimo z njo pogasiti gorečo svečo. Čeprav v
posodi ne vidimo ničesar, nagnimo posodo nad po-
sodo z gorečo svečo in poglejmo, kaj se zgodi.
Poskusimo narediti še nekaj drugega. Na vogal
mize postavimo svečko, lahko jo damo tudi na pod-
stavek. Čeznjo poveznemo prozorno posodo tako,
da je mogoč dotok zraka pod posodo (slika 2, posta-
vitev poskusa v tlorisu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori dalje. Sedaj pod rob mize in posode pri-
slonimo balon, napolnjen s helijem, in ga prav počasi
praznimo tako, da se vsaj del plina iz balona ujame
pod poveznjeno posodo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s svečama?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve prozorni posodi, lahko večji plastenki z odre-
zanim gornjim delom, ali dva lika kozarca za vla
g je;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame-
njate z običajnim loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
steklenico koka kole ali šumečo tabletko z manj-
šim kozarˇkom;
helijev balon;
vžigalice.
Slika 1
Storimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavim steklenico k ka kole in
jo v posodi dprem . L hko jo tudi malo potresemo,
da mehurčki izhajajo bolj burno. Na esto koka kole
lahko uporabimo k zarček z nekaj vode, ga posta-
vimo v posodo in vanj vržemo šumečo tableto. Poč
ka o, da e tableta raztopi.
V prozorno posodo na dno postavimo svečko in
jo prižgemo. Steklenico koka kole ali kozarč k vza-
memo iz p sod . Predstavlj jmo si, da je v posodi
voda in želim z njo pogasiti gorečo svečo. Čeprav v
p sodi n vidimo ničesar, na nimo posodo nad po-
s d z gorečo svečo in poglejmo, kaj se zg di.
P skusimo narediti še n kaj drugega. Na vogal
mize po tavimo svečko, lahko o damo tudi na pod-
stav k. Čeznjo poveznemo prozorno posodo tako,
da j mogoč d tok zraka p d p s do (slika 2, posta-
vitev poskusa v tlorisu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori d lje. Sedaj pod ob miz in posode pri-
slonimo balon, napolnjen s helije , in ga rav počasi
praznimo tako, da se vsaj del plina iz balona ujame
od poveznjeno po odo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s svečama?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve pr zorni posodi, l večji plastenki z dre-
zanim gornjim delom, ali dva lika kozarca za vla
g je;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame-
njate z običajnim loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
stekleni o koka kol ali šumečo tabletko z manj-
šim kozarˇkom;
helijev balon
vžigalice.
Slika 1
Storimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavim steklenico k ka kole in
jo v posodi d rem . Lahko jo tudi malo potres mo,
da mehurčki izhajaj bolj burno. Na est o a kole
lahko uporabimo k zarček z nekaj vode, ga posta-
vimo v posodo in vanj vržemo šumečo tableto. Poč
ka , da e tableta raztopi.
V prozorno posodo na dno postavimo svečk in
jo prižgemo. Steklenico koka kole ali kozarč k vza-
memo iz p s d . Predstavlj jm si, da je posodi
v da in želim z njo pogasiti gorečo svečo. C prav v
p sodi n vidimo ničesar, na nimo posodo nad po-
s z gorečo sveč in poglejmo, kaj se zg di.
P skusimo narediti še n kaj drugega. Na vogal
mize po tavimo svečko, lahko d mo tudi na pod-
stav k. Čeznjo poveznemo prozorno posodo tako,
da j mogoč d tok zraka p d p s do (slika 2, posta
vitev poskusa v tl risu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori d lje. Sed j pod ob miz in posode pri
slonim balon, napolnje s helije , in ga rav počasi
praznimo tako, da se vsaj el plina iz bal na ujame
d poveznjeno po odo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s sveč ma?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj z
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve pr zorni posodi, l večji plastenki z dre-
zanim gornjim delom, a i dva lika kozarca za vla
g je;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame
njate z običajnim loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
stekleni o koka kol ali šumeč t bletko z manj
šim kozarčkom;
helijev balon
vžigalice.
Slika 1
torimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavim steklenico k ka kole in
jo v posodi d rem . Lahko jo tudi malo potres mo,
da mehurč i izhajaj bolj burno. Na est o a kole
lahko uporabim k zarček z nekaj v de, g posta-
vimo v posodo in vanj vržem š mečo table o. Poč
k , da e tablet raztopi.
V prozorno p sodo na dno posta imo svečk in
jo prižgem . Stekle ico koka kole ali kozarč k vz
memo iz p s d . P edstavlj jm si, da je posodi
v da in želimo z njo pog siti gorečo svečo. C prav v
posodi n vidimo ničesar, n nimo pos do nad po
s z gorečo sveč in poglejmo, kaj se zg di.
P skusimo narediti še n kaj drugega. Na vogal
mize po ta imo svecko, lahko d m tudi pod
tav k. Čeznjo poveznemo pr zorno pos o tako,
da j mogoč d tok zraka p d p s do (slika 2, post
vitev kusa v tl risu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori d lje. Sed j pod ob miz in posode pri
sloni balon, napolnje s helije , in ga rav časi
praznimo tako, da se vsaj el plina iz bal na ujame
d poveznjeno po odo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s sveč ma?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj z
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve pr zo ni posodi, l večji plastenki z dre-
zanim gornjim delom, a i dva lika kozarca za vla
g je;
če imate eno sam večjo p sodo, lahko eno zam
njate z običajnim ncem za kuhanje (vsaj 2 l);
stekleni o koka kol ali šumeč t bletko z manj
šim koz rčkom;
helijev balon
vžigalice.
Slika 1
torimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavim steklenico k ka kole in
jo v posodi d rem . L hko jo tudi malo potres mo,
da mehurč i izhajaj bolj burno. Na est o a kole
lahko uporabim k zarče z nekaj v de, g posta
v mo v posodo in vanj vržem š mečo table o. Poč
k , da e tabl t raztopi.
V prozorno p sodo na dno posta im svečk in
jo prižgem . Stekle ico koka kole ali kozarč k vz
memo iz p s d . P edstavlj jm si, da je posodi
v da in želimo z njo pog siti gorečo svečo. Č prav v
posodi n vidim ničesar, n nimo pos do nad po
s z gorečo sveč in poglejm , k j se zg di.
P skusimo narediti še n kaj drugega. Na vogal
mize po ta imo sveck , lahko d m tudi pod
tav k. Čeznjo poveznemo pr zorno pos o tak ,
da j mogoč d tok zraka p d p s do (slika 2, post
vitev skusa v tl risu in arisu). Sveča pod pos do
rno gori d lje. S d j pod b miz in posode pri
loni balon, napolnje s helije , in ga rav časi
praznimo tako, da se vsaj el plina iz bal na ujame
d poveznjeno po odo. K j se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki p ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s sveč ma?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj z
poskuse potrebujemo:
ma jšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve pr zo ni posodi, l večji plastenki z dre-
zanim gornjim delo , a i dva lika kozarca za vla
g je;
če imate eno sam večjo p sodo, lahko eno zam
njate z običaj m ncem za kuhanje (vsaj 2 l);
st kleni o koka kol ali šumeč t bletko z manj
šim koz rčkom;
h lijev balo ;
vžigalice.
Slika 1
torimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavim steklenico k ka kole in
jo v posodi d rem . L hko jo tudi malo potres mo,
da mehurč i izhajaj bolj burno. Na est o a kole
lahko uporabim k zarče z nekaj v de, g posta
v mo v posodo in vanj vržem š mečo table o. Poč
k , da e tabl t raztopi.
V prozorno p sodo na dn posta im svečk in
jo prižgem . Stekle ic koka kole li kozarč k vz
memo iz p s d . P edstavlj jm si, da je posodi
da in želim z njo pog siti gorečo svečo. Č prav v
posodi n vidim ničesar, n nimo pos do nad po
s z goreč sveč in poglejm , k j se zg di.
P skusimo narediti še n kaj drugega. Na vog l
ize po ta imo sveck , l hko d m tudi p
tav k. Čeznjo poveznemo pr zorno pos o t k ,
da j mogoč t k zrak p d p s do (slika 2, post
vitev skusa v tl risu in arisu). Sveča pod pos do
rno gori d lje. S d j pod b miz in posode pri
loni b lon, napolnje s heli e , in ga rav časi
praznimo tako, da s vsaj el plina iz bal na uj me
d poveznjeno po odo. K j se zgodi to rat?
S ika 2a,
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki p ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s sveč ma?
2
.
, ,
, . ,
:
, ;
,
,
;
,
;
;
;
.
.
. ,
.
,
.
, .
.
. ,
.
,
, .
.
,
. ,
,
.
.
, ,
,
.
,
,
.
ili i iti
i j t
t t iti l j j j j
t j
j li l t i j
r r i i l ji l t i r -
i r ji l li li r l -
j
i t j l -
j t i j i l j ( j l)
t l i l li t l t j-
i r
lij l
i li
li
t ri j t r j ji i l-
i i [ ] t i t l i l i
j i r j t i l tr
r i i j j lj r t l
l r i r j t -
i i j r t l t -
t l t r t i
r r t i i
j ri t l i l li r -
i r t lj j i j i
i li j iti r r
i i i i r i -
r i l j j i
i r iti j r l
i t i l j t i -
t j r r t
j t r ( li t -
it tl ri i ri )
ir ri lj j r i i ri-
l i l l j lij i r i
r i t j l li i l j
j j i t r t
li
l it r ti
i j t it r li i i i i i j
i
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
poskuse potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve prozorni posodi, lahko večji plastenki z odre-
zanim gornjim delom, ali dva velika kozarca za vla-
ganje;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame-
njate z običajnim loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
steklenico koka kole ali šumečo tabletko z manj-
šim kozarčkom;
helijev balon;
vžigalice.
Slika 1
Storimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavimo steklenico koka kole in
jo v posodi odpremo. Lahko jo tudi malo potresemo,
da mehurčki izhajajo bolj burno. Namesto koka kole
lahko uporabimo kozarček z nekaj vode, ga posta-
vimo v posodo in vanj vržemo šumečo tableto. Poča-
kamo, da se tableta raztopi.
V prozorno posodo na dno postavimo svečko in
jo prižgemo. Steklenico koka kole ali kozarček vza-
memo iz posode. Predstavljajmo si, da je v posodi
voda in želimo z njo pogasiti gorečo svečo. Čeprav v
posodi ne vidimo ničesar, nagnimo posodo nad po-
sodo z gorečo svečo in poglejmo, kaj se zgodi.
Poskusimo narediti še nekaj drugega. Na vogal
mize postavimo svečko, lahko jo damo tudi na pod-
stavek. Čeznjo poveznemo prozorno posodo tako,
da je mogoč dotok zraka pod posodo (slika 2, posta-
vitev poskusa v tlorisu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori dalje. Sedaj pod rob mize in posode pri-
slonimo balon, napolnjen s helijem, in ga prav počasi
praznimo tako, da se vsaj del plina iz balona ujame
pod poveznjeno posodo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s svečama?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj ena od metod, kako
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
poskuse potrebujemo:
ma jšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve prozorni posodi, lahko večji plastenki z odre-
zanim gornjim delo , ali dva velika kozarca za vla-
ganje;
če imate eno samo večjo posodo, lahko eno zame-
njate z običaj m loncem za kuhanje (vsaj 2 l);
st klenico koka kole ali šumečo tabletko z manj-
šim kozarčkom;
h lijev balo ;
vžigalice.
Slika 1
Storimo nekaj podobnega kot v prejšnji poizkuševal-
nici [1]. V posodo postavimo steklenico koka kole in
jo v posodi odpremo. Lahko jo tudi malo potresemo,
da mehurčki izhajajo bolj burno. Namesto koka kole
lahko uporabimo kozarček z nekaj vode, ga posta-
vimo v posodo in vanj vržemo šumečo tableto. Poča
kamo, da se tableta raztopi.
V prozorno posodo na dn postavimo svečko in
jo prižgemo. Steklenic koka kole li kozarček vza-
memo iz posode. Predstavljajmo si, da je v posodi
oda in želim z njo pogasiti gorečo svečo. Čeprav v
posodi ne vidimo ničesar, nagnimo posodo nad po-
sodo z goreč sveč in poglejmo, kaj se zgodi.
Poskusimo narediti še nekaj drugega. Na vog l
ize postavimo svečko, l hko jo damo tudi na p -
stavek. Čeznjo poveznemo pr zorno posodo t ko,
da je mogoč ot k zrak pod posodo (slika 2, posta
vitev poskusa v tlorisu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori dalje. Sedaj pod rob mize in posode pri-
slonim b lon, napolnjen s heli em, in ga prav počasi
praznimo tako, da s vsaj del plina iz balona uj me
pod poveznjeno posodo. Kaj se zgodi to rat?
S ika 2a,
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s svečama?
2
Danes bomo poskusili upihniti svečo. To seveda
vsi znamo, a morda bo vsaj na od metod, k ko
to storiti, za vas nova. Poglejmo najprej, kaj za
po us potrebujemo:
manjšo svečo ali dve, lahko tudi čajno svečko;
dve prozor i posodi, lahko večji plastenki z odre-
zanim gornjim delom, ali dva velika kozarca za vla-
ganje;
če imat en sam večjo posodo, lahko eno zame
jate z bič jnim lonc m za kuhanje (vsaj 2 l);
stekle ic koka kol li šum čo tabletk z manj
š k zarč o ;
helijev b l n;
vž galice.
Slik 1
S orim n kaj podobne kot v prejšnji p izkuševal
nici [1]. V p s d postavimo stekle ico koka kole in
j posodi pr mo. Lahk tu i alo p tresem
meh rčki izhajajo bolj burn . N esto k ka k le
lahk uporabim ko arček z n kaj v de, ga
mo v p sod in vanj vržemo šu eč t blet . P č
k m , da se tableta zto i.
V r zorno pos o na n postav mo svečk in
jo priž mo. Stekl nic koka kole al koz rček vza
memo iz p s de. Pred tavl ajmo s , d je v sod
v in želim z njo pogasiti gorečo svečo. Čepr v v
sodi ne vidimo ničesar, nagnim posodo nad po-
sod z gorečo sveč in poglejmo, kaj s zgodi.
imo narediti še nekaj drugega. Na vogal
mize po tavi o svečko, ahko jo damo tu i na pod-
stavek. Č znjo poveznemo prozorno posodo tako
da je mog dotok zraka pod posodo (slika 2, posta-
v tev po kus v tlorisu in narisu). Sveča pod posodo
mirno gori d lje. Sedaj pod rob m ze in posode pri-
slonimo balon, napolnjen s helijem, in ga prav počasi
praznimo tako, da se vsaj del plina iz balona ujame
pod poveznjeno posodo. Kaj se zgodi tokrat?
Slika 2a,b
Poskusa lahko ponovite z dvema svečama hkrati,
ki pa ju postavite na različni višini v posodi. Kaj se
zgodi s svečama?
2
sli a 1.
P trebščine za i -
edb  p skusa
slika 2.
( ) S prozorno pos do pok ij mo svečo tako, da se plini lah
ko iz enjujejo na d eh mestih. (b) Helij v balon od posode 
ekoliko odmaknemo, d  pla ena sveč  ne upihnemo n po-
sredno  curk m lina iz b lona. 
•
Pr sek 39 (2011/2012) 2
He
Regijsko tekmovanje je bilo izvedeno 25. marca
2011 istočasno na osmih srednjih šolah v posame-
znih regijah: Šolski center Velenje, Gimnazija; Sre-
dnja šola Črnomelj; Tehniški šolski center Kranj;
Škofijska klasična gimnazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gimnazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gimna-
zija Piran in Gimnazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tekmovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na tekmovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo osem regijskih komisij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na
tekmovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. Komisije iz posameznih regij so predlagale
skupno 127 tekmovalcev za državno tekmovanje.
Državno tekmovanje je bilo 9. aprila 2011 na Gim-
naziji Ptuj. Tekmovanja se je izmed predlaganih z
regijskega tekmovanja udeležilo 126 tekmovalcev iz
34-ih srednjih šol. Tekmovanje je tako kot vsako leto
doslej izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije,
stroške tekmovanja pa so krili Društvo, Ministrstvo
za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tek-
movanja – Gimnazija Ptuj. Pri izvedbi tekmovanja in
ocenitvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavci
FMF, Oddelek za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. Na tekmovanju je komisija razglasila tri prve
nagrade, sedem drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
je prejelo 22 tekmovalcev. Svečana podelitev nagrad
je bila 18. maja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Skupina I
I. nagrada
Ni bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Samo Curk, II. gimnazija Maribor
Jernej Vajda, Gimnazija Ptuj
Timotej Kapus, Gimnazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka
Jasmina Simonič, Škofijska gimnazija Vipava
Patrik Gubeljak, II. gimnazija Maribor
Bine Brank, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Skupina II
I. nagrada in zlato priznanje
2
ciril dominko
49. fizikalno 
tekmovanje 
srednješolcev 
Slovenije
•
20
t e k m o v a n j a
Regijsko tekmovanje je bilo izvedeno 25. marca
2011 istočasno na osmih srednjih šolah v posame-
znih regijah: Šolski center Velenje, Gimnazija; Sre-
dnja šola Črnomelj; Tehniški šolski center Kranj;
Škofijska klasična gimnazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gimnazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gimna-
zija Piran in Gimnazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tekmovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na tekmovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo osem regijskih komisij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na
tekmovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. Komisije iz posameznih regij so predlagale
skupno 127 tekmovalcev za državno tekmovanje.
Državno tekmovanje je bilo 9. aprila 2011 na Gim-
naziji Ptuj. Tekmovanja se je izmed predlaganih z
regijskega tekmovanja udeležilo 126 tekmovalcev iz
34-ih srednjih šol. Tekmovanje je tako kot vsako leto
doslej izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije,
stroške tekmovanja pa so krili Društvo, Ministrstvo
za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tek-
movanja – Gimnazija Ptuj. Pri izvedbi tekmovanja in
ocenitvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavci
FMF, Oddelek za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. Na tek ovanju je komisija razglasila tri prve
nagrade, sedem drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
je prejelo 22 tekmovalcev. Svečana podelitev nagrad
je bila 18. maja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Skupina I
I. nagrada
Ni bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Samo Curk, II. gimnazija Maribor
Jernej Vajda, Gimnazija Ptuj
Timotej Kapus, Gimnazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka
Jasmina Simonič, Škofijska gimnazija Vipava
Patrik Gubeljak, II. gimnazija Maribor
Bine Brank, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Skupina II
I. nagrada in zlato priznanje
2
m
ij j j il i .
i i ji l -
i ij : l i l j , i ij ; -
j l lj; i i l i j;
j l i i ij , j lj ; l -
i - l i l i i ij j -
lj ; j i j l ; i -
ij i i i ij ij I ij . I
j il l i i I, II i III, i
li l i. j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l ij i i ij, i j -
l l i lj i i l j i l.
j j il lj i i i-
j. i ij i i ij l l
l j .
j j il . il i -
iji j. j j i l i
ij j l il l i
-i ji l. j j l
l j i l l i ij l ij ,
j ili t , i i t t
l t i t i -
j i ij t j. i i i j i
i i i l l li j , l i
, l i i l i I i
. j j i ij l il i
, i i ji . l i j
j j l l . li
j il . j i i i l j j -
lj i.
lj i l i j
i I
I.
i il lj .
II. i l i j
, II. i ij i
, i ij j
, i ij j
III. i l i j
, i ij j
, j i ij i
, II. i ij i
, i ij i , j lj
i II
I. i l i j
t
t
t
t
t t
t
t t
t
t
t
t t
t t
r t r
t r
r t t
r t t t
t
tr t r š s s
š s š t r r t r r t
r t
t t t
t t t J f
t f t r tr r
r r tr t t r
r t t r
r r t
r t r
r
r t r
r r
J j j t
i j r
r t r
i j i f
J i i i
i j r r
i r
r t r
Regijsko ek ovanje je bilo izvedeno 25. arca
2011 is očasno na os ih srednjih šolah v posa e-
znih regijah: Šolski cen er Velenje, Gi nazija; Sre-
dnja šola Črno elj; Tehniški šolski cen er Kranj;
Škofijska klasična gi nazija, Ljubljana; Elek ro eh-
niško-računalniška s rokovna šola in gi nazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gi na-
zija Piran in Gi nazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v reh ek ovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na ek ovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo ose regijskih ko isij, v ka erih je so-
delovalo 88 uči eljev fizike iz sodelujočih šol. Na
ek ovanju je bilo podeljenih 289 bronas ih pri-
znanj. Ko isije iz posa eznih regij so predlagale
skupno 127 ek ovalcev za državno ek ovanje.
D žavno ek ovanje je bilo 9. ap ila 2011 na Gi -
naziji P uj. Tek ovanja se je iz ed p edlaganih z
egijskega ek ovanja udeležilo 126 ek ovalcev iz
34-ih s ednjih šol. Tek ovanje je ako ko vsako le o
doslej izvedla ek ovalna ko isija D FA Slovenije,
s oške ek ovanja pa so k ili Dru tvo, ini tr tvo
za ol tvo in port e soo ganiza o d žavnega ek-
ovanja – Gi nazija Ptuj. P i izvedbi ek ovanja in
oceni vi izdelkov so sodelovali š uden je, sodelavci
F F, Oddelek za fiziko in sodelavci Inš i u a ože
S e an. Na ek ovanju je ko isija azglasila i p ve
nag ade, sede d ugih in 16 e jih. Zla o p iznanje
je p ejelo 22 ek ovalcev. Svečana podeli ev nag ad
je bila 18. aja 2011 na p i edi vi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nag ade in zla a p iznanja
Skupina I
I. nag ada
Ni bila podeljena.
II. nag ada in zla o p iznanje
Samo Curk, II. gi nazija a ibo
erne Va da, Gi nazija P uj
T mote Kapus, Gi nazija K anj
III. nag ada in zla o p iznanje
Ž ga Kra n k, Gi nazija Ško ja Loka
asm na S mon č, Škofijska gi nazija Vipava
Patr k Gubel ak, II. gi nazija a ibo
B ne Brank, Gi nazija Bežig ad, Ljubljana
Skupina II
I. nag ada in zla o p iznanje
2
t
t
t
t
t t
t
t t
t
t
t
t t
t t
r t r
t r
r t t
r t t t
t M
tr t r š M s s
š s š t r r t r r t
r t
t t t
M t t t J f
t f t r tr r
r r tr t t r
r t t r
r r t
r t r
r
r t r
M r r
J j j t
i j r
r t r
i j i f
J i i i
i j M r r
i r
r t r
ij m j j il i . m
i mi ji l m -
i ij : l i l j , im ij ; -
j l m lj; i i l i j;
j l i im ij , j lj ; l -
i - l i l i im ij j -
lj ; j i j l ; im -
ij i i im ij ij I ij . I
j il m l i i I, II i III, i
li l i. m j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l m ij i mi ij, i j -
l l i lj i i l j i l.
m j j il lj i i i-
j. mi ij i m i ij l l
m l m j .
m j j il . il im-
iji j. m j j i m l i
ij m j l il m l i
-i ji l. m j j l
l j i l m l mi ij l ij ,
m j ili t , i i t t
l t i t i -
m j im ij t j. i i i m j i
i i i l l li j , l i
, l i i l i I i
. m j j mi ij l il i
, m i i ji . l i j
j j l m l . li
j il . m j i i i l j j -
lj i.
lj i l i j
i I
I.
i il lj .
II. i l i j
, II. im ij i
, im ij j
, im ij j
III. i l i j
, im ij j
, j im ij i
, II. im ij i
, im ij i , j lj
i II
I. i l i j
egijsko tek ovanje je bilo izvedeno 25. arca
2011 istočasno na os ih srednjih šolah v posa e-
znih regijah: Šolski center elenje, i nazija; Sre-
dnja šola Črno elj; Tehniški šolski center ranj;
Škofijska klasična gi nazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gi nazija Lju-
bljana; vojezična srednja šola Lendava; i na-
zija Piran in i nazija Jurija ege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tek ovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. a tek ovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo ose regijskih ko isij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. a
tek ovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. o isije iz posa eznih regij so predlagale
skupno 127 tek ovalcev za državno tek ovanje.
ržavno tek ovanje je bilo 9. aprila 2011 na i -
naziji Ptuj. Tek ovanja se je iz ed predlaganih z
regijskega tek ovanja udeležilo 126 tek ovalcev iz
34-ih srednjih šol. Tek ovanje je tako kot vsako leto
doslej izvedla tek ovalna ko isija F Slovenije,
stroške tek ovanja pa so krili ruštvo, inistrstvo
za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tek-
ovanja – i nazija Ptuj. Pri izvedbi tek ovanja in
ocenitvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavci
F F, ddelek za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. a tek ovanju je ko isija razglasila tri prve
nagrade, sede drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
je prejelo 22 tek ovalcev. Svečana podelitev nagrad
je bila 18. aja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Sk i a I
I. nagrada
i bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Sa o Curk, II. gi nazija aribor
Jernej Vajda, i nazija Ptuj
Ti otej Kapus, i nazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, i nazija Škofja Loka
Jas ina Si onič, Škofijska gi nazija Vipava
Patrik ubeljak, II. gi nazija aribor
Bine Brank, i nazija Bežigrad, Ljubljana
Sk i a II
I. nagrada in zlato priznanje
2
R
V G
K
D G
G V
N
N
K
D G
D A
D
G
O
N
up n
N
m
G
m G
G
m m
G
G
up n
ij j j il i .
i i ji l -
i ij : l i l j , i ij ; -
j l lj; i i l i j;
j l i i ij , j lj ; l -
i - l i l i i ij j -
lj ; j i j l ; i -
ij i i i ij ij I ij . I
j il l i i I, II i III, i
li l i. j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l ij i i ij, i j -
l l i lj i i l j i l.
j j il lj i i i-
j. i ij i i ij l l
l j .
j j il . il i -
iji j. j j i l i
ij j l il l i
-i ji l. j j l
l j i l l i ij M l ij ,
j ili t , Mi i t t
l t i t i -
j i ij t j. i i i j i
i i i l l li j , l i
M , l i i l i I i
. j j i ij l il i
, i i ji . l i j
j j l l . li
j il . j i i i l j j -
lj i.
lj i l i j
i I
I.
i il lj .
II. i l i j
, II. i ij M i
, i ij j
, i ij j
III. i l i j
, i ij j
, j i ij i
, II. i ij M i
, i ij i , j lj
i II
I. i l i j
t
t
t
t
t t
t
t t
t
t
t
t t
t t
r t r
t r
r t t
r t t t
t
tr t r š s s
š s š t r r t r r t
r t
t t t
t t t J f
t f t r tr r
r r tr t t r
r t t r
r r t
r t r
r
r t r
r r
J j j t
i j r
r t r
i j i f
J i i i
i j r r
i r
r t r
egijs o e o a je je ilo iz e e o 25. arca
2011 is očas o a os i sre ji šola osa e-
z i regija : Šols i ce er ele je, i azija; Sre-
ja šola ˇr o elj; e iš i šols i ce er ra j;
Š o js a lasič a gi azija, Lj lja a; Ele ro e -
iš o-rač al iš a s ro o a šola i gi azija Lj -
lja a; ojezič a sre ja šola Le a a; i a-
zija Pira i i azija J rija ege I rija. Iz e e o
je ilo re e o al i s i a – I, II i III, i
so se razli o ale o s o i. a e o a j je so e-
lo alo 784 ija o iz 53-i sre ji šol. Iz el e je
oce je alo ose regijs i o isij, a eri je so-
elo alo 88 či elje zi e iz so el joči šol. a
e o a j je ilo o elje i 289 ro as i ri-
z a j. o isije iz osa ez i regij so re lagale
s o 127 e o alce za rža o e o a je.
žav o ek ova je je bilo 9. a ila 2011 a i -
aziji P j. ek ova ja se je iz e e laga i z
egijskega ek ova ja eležilo 126 ek ovalcev iz
34-i s e ji šol. ek ova je je ako ko vsako le o
oslej izve la ek oval a ko isija F Slove ije,
s oške ek ova ja a so k ili r tvo, i i tr tvo
za ol tvo i port e soo ga iza o žav ega ek-
ova ja – i azija Pt j. P i izve bi ek ova ja i
oce i vi iz elkov so so elovali š e je, so elavci
F F, elek za ziko i so elavci I š i a ože
S e a . a ek ova j je ko isija azglasila i ve
ag a e, se e gi i 16 e ji . la o iz a je
je ejelo 22 ek ovalcev. Sveča a o eli ev ag a
je bila 18. aja 2011 a i e i vi v olosej v Lj -
blja i.
Po elje e ag a e i zla a iz a ja
i I
I. nag a a
i bila o elje a.
II. nag a a in zla o iznanje
S r , II. gi azija a ibo
er e , i azija P j
te p s, i azija a j
III. nag a a in zla o iznanje
r , i azija Ško ja Loka
s S č, Ško jska gi azija i ava
P tr bel , II. gi azija a ibo
B e Br , i azija Bežig a , Lj blja a
i II
I. nag a a in zla o iznanje
2
.
: , ;
; ;
, ;
; ;
.
, ,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
,
,
.
,
,
.
, .
.
.
.
.
, .
,
,
,
,
, .
, ,
•
mitja rosina
Razmisli 
in poskusi —
Guncanje
44. Guncanje Gotovo si se kot otrok rad gugal na
gugalnici. Kmalu si se naučil, da je treba pri gibanju
naprej noge stegniti, pri gibanju nazaj pa skrčiti. Le
zakaj? Otroci o tem ne razmišljajo, ti pa boš morda
znal razložiti ta pogon.
Privošči si še enkrat guncanje in opazuj, kaj se
dogaja. Preveri, ali deluješ s silo, da lahko stegneš
oziroma skrčiš noge. Zakaj se s tem odrineš naprej
oziroma nazaj? Ali opraviš pri tem delo? Čemu?
2
pr sek 39 (2011/2012) 2
i. skupina
ii. skupina
iii. skupina
I. nagrada
I. nagrada
www.presek.si
www.dmfa.si
21
t e k m o v a n j a
Regijsko tekmovanje je bilo izvedeno 25. marca
2011 istočasno na osmih srednjih šolah v posame-
znih regijah: Šolski center Velenje, Gimnazija; Sre-
dnja šola Črnomelj; Tehniški šolski center Kranj;
Škofijska klasična gimnazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gimnazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gimna-
zija Piran in Gimnazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tekmovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na tekmovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo osem regijskih komisij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na
tekmovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. Komisije iz posameznih regij so predlagale
skupno 127 tekmovalcev za državno tekmovanje.
Državno tekmovanje je bilo 9. aprila 2011 na Gim-
naziji Ptuj. Tekmovanja se je izmed predlaganih z
regijskega tekmovanja udeležilo 126 tekmovalcev iz
34-ih srednjih šol. Tekmovanje je tako kot vsako leto
doslej izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije,
stroške tekmovanja pa so krili Društvo, Ministrstvo
za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tek-
movanja – Gimnazija Ptuj. Pri izvedbi tekmovanja in
ocenitvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavci
FMF, Oddelek za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. Na tekmovanju je komisija razglasila tri prve
nagrade, sedem drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
je prejelo 22 tekmovalcev. Svečana podelitev nagrad
je bila 18. maja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Skupina I
I. nagrada
Ni bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Samo Curk, II. gimnazija Maribor
Jernej Vajda, Gimnazija Ptuj
Timotej Kapus, Gimnazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka
Jasmina Simonič, Škofijska gimnazija Vipava
Patrik Gubeljak, II. gimnazija Maribor
Bine Brank, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Skupina II
I. nagrada in zlato priznanje
2
Regijsko tekmovanje je bilo izvedeno 25. marca
2011 istočasno na osmih srednjih šolah v posame-
znih regijah: Šolski center Velenje, Gimnazija; Sre-
dnja šola Črnomelj; Tehniški šolski center Kranj;
Škofijska klasična gimnazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gimnazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gimna-
zija Piran in Gimnazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tekmovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na tekmovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo osem regijskih komisij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na
tekmovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. Komisije iz posameznih regij so predlagale
skupno 127 tekmovalcev za državno tekmovanje.
Državno tekmovanje je bilo 9. aprila 2011 na Gim-
naziji Ptuj. Tekmovanja se je izmed predlaganih
regijskega tekm vanja udeležilo 126 tekmov lcev iz
34-ih srednjih šol. Tekmovanje je t ko kot vsako leto
doslej izvedla tekmov lna komisija DMFA Slovenije,
stroške tekmovanja pa s kril Društvo, Ministrstvo
za šolstvo in šport ter soorgan ator državnega tek-
movanja – Gimnazija Ptuj. Pri izvedbi tekmovanj in
ocenitvi izd lkov so s delovali študentje, sodelavci
FMF, Oddel za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. Na tek ovanju je komisija razglasila tri prv
nagrad , sedem drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
prejelo 22 tekmovalcev. Sv čana podelitev nagrad
je bila 18. maja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Skupina I
. nagrada
Ni bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Samo Curk, II. gi ij Maribor
Jernej Vajda, Gimnazija Ptuj
Timotej Kapus, Gimnazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka
Jasmina Simonič, Škofijsk gimn zija Vipava
Patrik Gubeljak, II. gimnazij Maribor
Bine Brank, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Skupina II
I. nagrada in zlato priznanje
2
ij t j j il i .
i t i ji l -
i ij : l i t l j , i ij ; -
j l lj; i i l i t j;
j l i i ij , j lj ; l t t -
i - l i t l i i ij j -
lj ; j i j l ; i -
ij i i i ij ij I ij . I
j il t t l i i I, II i III, i
li l i. t j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l ij i i ij, t i j -
l l it lj i i l j i l.
t j j il lj i ti i-
j. i ij i i ij l l
t l t j .
t j j il . il i -
iji t j. j j i l i
ij t j l il t l i
-i ji l. j j t t l t
l j i l t l i ij l ij ,
t t j ili t , i i t t
l t i t t i t t -
j i ij t j. i i i t j i
it i i l l li t tj , l i
, l i i l i I tit t
t . t j j i ij l il t i
, i i t tji . l t i j
j j l t l . lit
j il . j i it i l j j -
lj i.
lj i l t i j
i I
I.
i il lj .
II. i l t i j
, II. i nazija i
, i ij t j
i , i ij j
III. i l t i j
i i , i ij j
i i i , j a i a ij i
i , II. i ija i
i , i ij i , j lj
i II
I. i l t i j
Regijsko tek ovanje je bilo izvedeno 25. arca
2011 istočasno na os ih srednjih šolah v posa e-
znih regijah: Šolski center Velenje, Gi nazija; Sre-
dnja šola Črno elj; Tehniški šolski center Kranj;
Škofijska klasična gi nazija, Ljubljana; Elektroteh-
niško-računalniška strokovna šola in gi nazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gi na-
zija Piran in Gi nazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v treh tek ovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na tek ovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo ose regijskih ko isij, v katerih je so-
delovalo 88 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na
tek ovanju je bilo podeljenih 289 bronastih pri-
znanj. Ko isije iz posa eznih regij so predlagale
skupno 127 tek ovalcev za državno tek ovanje.
Državno tek ovanje je bilo 9. aprila 2011 na Gi -
naziji Ptuj. Tek ovanja se je iz ed predlaganih z
regijskega tek ovanja udeležilo 126 tek ovalcev iz
34-ih srednjih šol. Tek ovanje je tako kot vsako leto
doslej izvedla tek ovalna ko isija D FA Slovenije,
stroške tek ovanja pa so krili Društvo, inistrstvo
za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tek-
ovanja – Gi nazija Ptuj. Pri izvedbi tek ovanja in
ocenitvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavci
F F, Oddelek za fiziko in sodelavci Inštituta Jožef
Stefan. Na tek ovanju je ko isija razglasila tri prve
nagrade, sede drugih in 16 tretjih. Zlato priznanje
je prejelo 22 tek ovalcev. Svečana podelitev nagrad
je bila 18. aja 2011 na prireditvi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nagrade in zlata priznanja
Skupina I
I. nagrada
Ni bila podeljena.
II. nagrada in zlato priznanje
Samo Curk, II. gim ij aribor
Jernej Vajda, Gi nazija Ptuj
Timotej Kapus, Gi nazija Kranj
III. nagrada in zlato priznanje
Žiga Krajnik, Gi nazija Škofja Loka
Jasmina Simonič, Škofijsk gi n zija Vipava
Patrik Gubeljak, II. gi nazij aribor
Bine Brank, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
Skupina II
I. nagrada in zlato priznanje
2
ij t m j j il i . m
i t mi ji l m -
i ij : l i t l j , im ij ; -
j l m lj; i i l i t j;
j l i im ij , j lj ; l t t -
i - l i t l i im ij j -
lj ; j i j l ; im -
ij i i im ij ij I ij . I
j il t t m l i i I, II i III, i
li l i. t m j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l m ij i mi ij, t i j -
l l it lj i i l j i l.
t m j j il lj i ti i-
j. mi ij i m i ij l l
t m l t m j .
r t m j j il . ril im-
iji t j. m j j i m r l i
r ij t m j l il t m l i
-i r ji l. m j j t t l t
l j i l t m l mi ij M l ij ,
tr t m j rili št , Mi ist st
š lst i š t t r r i t r r t -
m j im ij t j. ri i i t m j i
it i i l l li t tj , l i
M , l i i l i I tit t J f
t f . t m j j mi ij r l il tri r
r , m r i i tr tji . l t ri j
j r j l t m l . lit r
j il . m j rir it i l j j -
lj i.
lj r i l t ri j
i I
I. r
i il lj .
II. r i l t ri j
, II. i nazija M ri r
J j j , im ij t j
i j , im ij r j
III. r i l t ri j
i j i , im ij fj
J i i i , j a im a ij i
i j , II. im ija M ri r
i , im ij i r , j lj
i II
I. r i l t ri j
Regijsko ek ovanje je bilo izvedeno 25. arca
2011 is očasno na os ih srednjih šolah v posa e-
znih regijah: Šolski cen er Velenje, Gi nazija; Sre-
dnja šola Črno elj; Tehniški šolski cen er Kranj;
Škofijska klasična gi nazija, Ljubljana; Elek ro eh-
niško-računalniška s rokovna šola in gi nazija Lju-
bljana; Dvojezična srednja šola Lendava; Gi na-
zija Piran in Gi nazija Jurija Vege Idrija. Izvedeno
je bilo v reh ek ovalnih skupinah – I, II in III, ki
so se razlikovale po snovi. Na ek ovanju je sode-
lovalo 784 dijakov iz 53-ih srednjih šol. Izdelke je
ocenjevalo ose regijskih ko isij, v ka erih je so-
delovalo 88 uči eljev fizike iz sodelujočih šol. Na
ek ovanju je bilo podeljenih 289 bronas ih pri-
znanj. Ko isije iz posa eznih regij so predlagale
skupno 127 ek ovalcev za državno ek ovanje.
D žavno ek ovanje je bilo 9. ap ila 2011 na Gi -
naziji P uj. Tek ovanja se je iz ed p edlaganih z
egijskega ek ovanja udeležilo 126 ek ovalcev iz
34-ih s ednjih šol. Tek ovanje je ako ko vsako le o
doslej izvedla ek ovalna ko isija D FA Slovenije,
s oške ek ovanja pa so k ili Dru tvo, ini tr tvo
za ol tvo in port e soo ganiza o d žavnega ek-
ovanja – Gi nazija Ptuj. P i izvedbi ek ovanja in
oceni vi izdelkov so sodelovali š uden je, sodelavci
F F, Oddelek za fiziko in sodelavci Inš i u a ože
S e an. Na ek ovanju je ko isija azglasila i p ve
nag ade, sede d ugih in 16 e jih. Zla o p iznanje
je p ejelo 22 ek ovalcev. Svečana podeli ev nag ad
je bila 18. aja 2011 na p i edi vi v Koloseju v Lju-
bljani.
Podeljene nag ade in zla a p iznanja
Skupina I
I. nag ada
Ni bila podeljena.
II. nag ada in zla o p iznanje
Samo Curk, II. gi ij a ibo
erne Va da, Gi nazija P uj
T mote Kapus, Gi nazija K anj
III. nag ada in zla o p iznanje
Ž ga Kra n k, Gi nazija Ško ja Loka
asm na S mon č, Škofijsk gi n zija Vipava
Patr k Gubel ak, II. gi nazij a ibo
B ne Brank, Gi nazija Bežig ad, Ljubljana
Skupina II
I. nag ada in zla o p iznanje
2
ij t j j il i .
i t i ji l -
i ij : l i t l j , i ij ; -
j l lj; i i l i t j;
j l i i ij , j lj ; l t t -
i - l i t l i i ij j -
lj ; j i j l ; i -
ij i i i ij ij I ij . I
j il t t l i i I, II i III, i
li l i. t j j -
l l ij i -i ji l. I l j
j l ij i i ij, t i j -
l l it lj i i l j i l.
t j j il lj i ti i-
j. i ij i i ij l l
t l t j .
r t j j il . ril i -
iji t j. j j i r l i
r ij t j l il t l i
-i r ji l. j j t t l t
l j i l t l i ij l ij ,
tr t j rili št , i ist st
š lst i š t t r r i t r r t -
j i ij t j. ri i i t j i
it i i l l li t tj , l i
, l i i l i I tit t J f
t f . t j j i ij r l il tri r
r , r i i tr tji . l t ri j
j r j l t l . lit r
j il . j rir it i l j j -
lj i.
lj r i l t ri j
i I
I. r
i il lj .
II. r i l t ri j
, II. imnazija ri r
J j j , i ij t j
i j , i ij r j
III. r i l t ri j
i j i , i ij fj
J i i i , j a i a ij i
i j , II. i ija ri r
i , i ij i r , j lj
i II
I. r i l t ri j
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
J z , i azija Bežigra , Lj lja a
II. a ra a i zlat riz a je
J Š t js, i azija Bežigra , e aro a
šola
i el iˇ, i azija Bežigra , Lj blja a
III. a ra a i zlat riz a je
l , i azija Bežigra , Lj blja a
i s , i azija ič, Lj blja a
i e i , Šolski ce ter ele je, i azija
L e ˇ , i azija ežigra , Lj lja a
b , i azija Jese ice
i III
I. a ra a
P el s, i azija Bežigra , Lj lja a
istij , Šolski ce ter ele je, i a-
zija
II. a ra a i zlat riz a je
itj i , Sre ja šola Josi a J rčiča Iva č a
orica
e Ip e , i azija Bežigra , Lj lja a
III. a ra a i zlat riz a je
Lj b ti , Sre ja šola Josi a J rčiča
Iva č a orica
e , i azija Bežigra , Lj lja a
j Pete , II. gi azija ari or
III. a ra a
Le t e iˇ, Sre ja šola Slove jska Bi-
strica
i t i i e , Sre ja šola Jo-
si a J rčiča Iva č a orica
i e , i azija ra j
i Pe , II. gi azija ari or
Iz ir o tek ova je za oli ijsko eki o je ilo 6. a-
ja 2011 a Fak lteti za ate atiko i ziko, e-
lek za ziko. Pova lje i je ilo 11 aj oljši tek o-
valcev iz III. tek oval e sk i e. Pavel os z i a-
zije Bežigra je il vrše a oli ija o avto atsko,
ker je a re o i oli ija i rejel e aljo. Poleg
jega so se a 42. e aro o zikal o oli ija o,
ki je ila o 10. o 18. j lija 2011 v Ba gkok , aj-
ska, vrstili še: o e I avec z i azije Bežigra ,
Lj lja a, ristija ar s Šolskega ce tra ele je,
i azija i itja i ar ter arko Lj oti a, o a s
Sre je šole Josi a J rčiča Iva č a orica.
3
b
n n o n n
n n o n n
r
r
r r
B c B b
r r
n
b
r r
n n o n n
r
b
n n o n n
r
r r b
b
n
r r r
r
r
r b
b b
b b b
b
b
b
b b
J z , i nazija Bežigra , Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
J Š t js, i nazija Bežigra , e naro na
šola
ic el ič, i nazija Bežigra , Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
r l , i nazija Bežigra , Ljubljana
Ži s r, i nazija ič, Ljubljana
Ži re ri , Šolski center elenje, i nazija
L Be č , i nazija Bežigra , Ljubljana
rb r, i nazija Jesenice
S i III
I. nagrada
P el s, i nazija Bežigra , Ljubljana
ristij r, Šolski center elenje, i na-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
itj Zi r, Sre nja šola Josi a Jurčiča Ivančna
orica
e Ip ec, i nazija Bežigra , Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
r Lj b ti , Sre nja šola Josi a Jurčiča
Ivančna orica
e r r, i nazija Bežigra , Ljubljana
j Pete , II. gi nazija aribor
III. nagrada
Le rt re rič, Sre nja šola Slovenjska Bi-
strica
ri t i i e , Sre nja šola Jo-
si a Jurčiča Ivančna orica
i er , i nazija ranj
Ži Per , II. gi nazija aribor
Izbirno tek ovanje za oli ijsko eki o je bilo 6. a-
ja 2011 na Fakulteti za ate atiko in ziko, e-
lek za ziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tek o-
valcev iz III. tek ovalne sku ine. Pavel os z i na-
zije Bežigra je bil uvršen na oli ija o avto atsko,
ker je na re ho ni oli ija i rejel e aljo. Poleg
njega so se na 42. e naro no zikalno oli ija o,
ki je bila o 10. o 18. julija 2011 v Bangkoku, aj-
ska, uvrstili še: o en I avec z i nazije Bežigra ,
Ljubljana, ristijan uhar s Šolskega centra elenje,
i nazija in itja Zi ar ter arko Ljubotina, oba s
Sre nje šole Josi a Jurčiča Ivančna orica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina I
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, I . gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, I . gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz I . tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
J , i ij e i r , j lj
II. r i l t ri j
J js, i ij e i r , e r
š l
i l i , i ij e i r , j lj
II . r i l t ri j
l , i ij e i r , j lj
i s , i ij ic, j lj
i i , ls i ce ter ele je, i ij
, i ij e i r , j lj
, i ij Jese ice
i II
I. r
l s, i ij e i r , j lj
is ij , ls i ce ter ele je, i -
ij
II. r i l t ri j
i j i , re j š l J si J rcic I c
ric
I , i ij e i r , j lj
II . r i l t ri j
j i , re j š l J si J rcic
I c ric
, i ij e i r , j lj
j , II. i ij ri r
II . r
i , re j š l l e js i-
stric
i i i , re j š l J -
si J rcic I c ric
i , i ij r j
i , II. i ij ri r
I ir te je li ijs e i je il . -
j lteti te ti i i , e-
le i . lje i je il j ljši te -
lce i II . te l e s i e. el s i -
ije e i r je il rše li ij t ts ,
er je re i li ij i rejel e lj . le
je s se . e r i l li ij ,
i je il . . j lij , j-
s , rstil še: e I ec i ije e i r ,
j lj , ristij r s ls e ce tr ele je,
i ij i itj i r ter r j ti , s
re je š le J si J rcic I c ric .
Jan Ro m n, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nag ada i zlato priznanje
Jan Šunt js, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nag ada i zlato priznanje
Omar Alh dy, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Ž ga Nos r, Gimnazij Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazija
Luka Benč n, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urb n Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šo ski center Velenje, Gimna-
zija
II. nag ada i zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Dome Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nag ada i zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. g mnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, rednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Mih Kern, Gimnazija Kranj
Ži a Perko, II. g mnazija Maribor
Izbirno tek ovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na F kulte za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiz ko. Povablje ih je b lo 11 najboljših tekmo-
valce iz III. tekmovaln skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen n li pijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi preje medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednar dno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 8. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili š : Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, K i tijan Kuhar s Šolsk ga centra Velenje,
G mnazija in Mitj Zidar ter Mark Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazij
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljublj a
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velen e, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fi iko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljš h tekmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel m d lj . Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno ol mpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežig ad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centr Vele je,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, ba
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
J z , i nazija Bežigra , Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
J Š t js, i nazija Bežigra , e naro na
šola
ic el ič, i nazija Bežigra , Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
r l , i nazija Bežigra , Ljubljana
Ži s r, i nazija ič, Ljubljana
Ži re ri , Šolski center elenje, i nazija
L Be č , i nazija Bežigra , Ljubljana
rb r, i nazija Jesenice
S i III
I. nagrada
P el s, i nazija Bežigra , Ljubljana
ristij r, Šolski center elenje, i na-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
itj Zi r, Sre nja šola Josi a Jurčiča Ivančna
orica
e Ip ec, i nazija Bežigra , Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
r Lj b ti , Sre nja šola Josi a Jurčiča
Ivančna orica
e r r, i nazija Bežigra , Ljubljana
j Pete , II. gi nazija aribor
III. nagrada
Le rt re rič, Sre nja šola Slovenjska Bi-
strica
ri t i i e , Sre nja šola Jo-
si a Jurčiča Ivančna orica
i er , i nazija ranj
Ži Per , II. gi nazija aribor
Izbirno tek ovanje za oli ijsko eki o je bilo 6. a-
ja 2011 na Fakulteti za ate atiko in ziko, e-
lek za ziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tek o-
valcev iz III. tek ovalne sku ine. Pavel os z i na-
zije Bežigra je bil uvršen na oli ija o avto atsko,
ker je na re ho ni oli ija i rejel e aljo. Poleg
njega so se na 42. e naro no zikalno oli ija o,
ki je bila o 10. o 18. julija 2011 v Bangkoku, aj-
ska, uvrstili še: o en I avec z i nazije Bežigra ,
Ljubljana, ristijan uhar s Šolskega centra elenje,
i nazija in itja Zi ar ter arko Ljubotina, oba s
Sre nje šole Josi a Jurčiča Ivančna orica.
3
k d p
d
k
d
d
p
k
p p
dd
p
d p d
p d d p d p d
d d p d
d d
p d
d
d p
Jan Ro man, Gim ij e i r d, j lj
II. r i l t ri j
Jan un ajs, Gim ij e i r d, Med r d
š l
Mi h l Adami , Gim ij e i r d, j lj
III. r i l t ri j
Oma Alhady, Gim ij e i r d, j lj
iga Nosa , Gim ij Vic, j lj
iga G go in, ls i ce ter Vele je, Gim ij
uka n an, Gim ij e i r d, j lj
U an Mu , Gim ij Jese ice
kupina III
I. r
av l Kos, Gim ij e i r d, j lj
K is ijan Kuha , ls i ce ter Vele je, Gim -
ij
II. r i l t ri j
Mi ja ida , red j š l J sip J rcic I c
G ric
Dom n I av , Gim ij e i r d, j lj
III. r i l t ri j
Ma o ju o ina, re j š l J si J rcic
I c G ric
V no M amo , Gim ij e i r , j lj
Maja , II. im ij M ri r
III. r
na G go i , re j š l l e js i-
stric
Ma ion An onia van Midd n, re j š l J -
si J rcic I c G ric
Miha K n, Gim ij Kr j
iga o, II. im ij M ri r
I ir te m je lim ijs e i je il . m -
j lteti m tem ti i fi i , O e-
le fi i . lje i je il j ljši te m -
lce i III. te m l e s i e. el K s Gim -
ije e i r je il rše lim ij t m ts ,
er je re i lim ij i rejel me lj . le
je s se . me r fi i l lim ij ,
i je il . . j lij , T j-
s , rstili še: D me I ec Gim ije e i r ,
j lj , Kristij K r s ls e ce tr Vele je,
Gim ij i Mitj i r ter M r j ti , s
re je š le J si J rcic I c G ric .
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina I
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
I . nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, I . gimnazija Maribor
I . nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, I . gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz I . tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Vel nje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Vel nje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurči a Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurči a
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Mid en, Srednja šola Jo-
sipa Jurči a Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 201 na Fakulte i za matematiko in fiziko, Od e-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 1 najboljših tekmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen a olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prej l medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno limpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 201 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Vel nje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurči a Ivančna Gorica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
I . nagrad in zlato prizna je
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
I . nagrad in zlato prizna je
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Žiga Nosar, Gimnazija Vič, Ljubljan
Žiga Gregorin, Šolski center Vel nje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Urban Mur, Gimnazija Jes nice
Skupina I
I. nagrad
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Kristijan Kuhar, Šolski center Vel nje, Gimna-
zija
I . nagrad in zlato prizna je
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurči a Ivanč a
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
I . nagrad in zlato prizna je
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurči a
Ivanč a Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Maj Pet k, I . gimnazija Maribor
I . nagrad
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Mid en, Srednja šola Jo-
sipa Jurči a Ivanč a Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, I . gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulte i za matematiko in fiziko, Od e-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz I . tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen a olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prej l medaljo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno limpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangko u, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad,
Ljublj n , Krist jan Kuhar s Šolskega centra Vel nje,
Gimnazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Sredn e šole Josipa Jurči a Ivanč a Gorica.
3
z naz a B ž g a L ub ana
nag ada n z a o p znan e
Š t naz a B ž g a na o na
o a
c e č naz a B ž g a L ub ana
nag ada n z a o p znan e
r naz a B ž g a L ub ana
Ž r naz a ˇ L ub ana
Ž re r Šo k n n naz a
L Be č naz a B ž g a L ub ana
rb r naz a n
S
nag ada
P e naz a B ž g a L ub ana
r t r Šo k n n na
z a
nag ada n z a o p znan e
t Z r S n a o a o a u ˇ ˇa vanˇna
o a
e p ec naz a B ž g a L ub ana
nag ada n z a o p znan e
rk L b t S dn a o a o pa u ˇ ˇa
vanˇna o a
e r r naz a B ž g ad L ub ana
Petek g naz a a bo
nag ada
Le rt re r č S dn a o a S ov n ka B
a
r t e S dn a o a o
pa u ˇ ˇa vanˇna o a
er naz a an
Ž Perk g naz a a bo
zb no k ovan za o p ko k po b o 6 a
a 2011 na Faku za a a ko n z ko dd
k za z ko Povab n h b o 11 na bo h k o
va v z k ova n kup n Pav o z na
z B ž g ad b uv n na o p ado av o a ko
k na p dhodn o p ad p da o Po g
n ga o na 42 dna odno z ka no o p ado
k b a od 10 do 18 u a 2011 v Bangkoku a
ka uv o n pav z naz B ž g ad
L ub ana an uha Šo k ga n a n
naz a n a Z da a ko L ubo na oba
S dn o o pa u ˇ ˇa vanˇna o a
3
J , i ij i , j lj
II. r i l t ri j
J j , i ij i ,
l
i i , i ij i , j lj
III. r i l t ri j
, i ij i , j lj
i , i ij i , j lj
i i , l i t l j , i ij
, i ij i , j lj
, i ij J i
i III
I. r
, i ij i , j lj
i ij , l i t l j , i -
ij
II. r i l t ri j
i j i , j l J i J i I
i
I , i ij i , j lj
III. r i l t ri j
j i , j l J i J i
I i
, i ij i , j lj
j , II. i ij i
III. r
i , j l l j i-
t i
i i i , j l J -
i J i I i
i , i ij j
i , II. i ij i
I i t j li ij i j il . -
j lt ti t ti i i , -
l i . lj i j il j lj i t -
l i III. t l i . l i -
ij i j il li ij t t ,
j i li ij i j l lj . l
j . i l li ij ,
i j il . . j lij , j-
, tili : I i ij i ,
j lj , i tij l t l j ,
i ij i itj i t j ti ,
j l J i J i I i .
Ja Ro m n, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nag ad i zlato priznanje
Jan Šunt js, Gimnazija Bežigr d, Mednarodna
šola
Michel Ad mič, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nag ad i zlato priznanje
Omar Alh dy, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Ž g Nos r, Gimn zija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šo ski center Velenje, Gimnazija
Luka Benč n, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Urb n Mur, G mnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
K istijan Kuha , Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nag ad i zlato priznanje
Mitja Zid r, Srednja šol Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Do e Ip v c, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nag ad i zlato priznanje
Marko Ljubotin , Srednj šol Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno Mramor, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. g mnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Sred ja šola Slovenjska Bi-
strica
M rio Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurč ˇ Ivančna Gorica
Mih Kern, Gimnazija Kranj
Ž a Perko, II. g mnazija Maribor
Izbirno tek ovanj za limp jsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na F kulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. P vablje ih je bilo 11 najboljših tekmo-
valce iz III. tekmov lne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je b l uvršen n li pijado avtomatsko,
ker je na redhodni o i pij di prej medaljo. Poleg
njega so se na 42. med ar dno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 8. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili š : Do e Ipav c z G mnazije Bežigrad,
L ubljan , K i tijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
G mnaz j in itj Zidar ter M rk Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurč ˇ Ivančna Gorica.
3
Jan Roz an, Gimnaz ja Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
J n Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Ad mič, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Omar A hady, Gi nazija Bežigrad, Ljublj n
Žig Nosar, Gimnazij Vič, Ljubljan
Žiga Gregorin, Šolski c ter Velenje, Gim zija
Luka Benčan, Gimnazija B žigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Ju ˇ ˇ Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
M rko Ljubotina, Srednja šola Josip Ju ǐč
Ivančna Gorica
Veno ramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maj etek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
stric
Marion Anton a van Midden, Srednja šol Jo-
sipa Jurč č Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in , Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 n jboljših -
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil vrše n olimpijado avtomatsk ,
ker je na predhodni olimpijadi pre l medaljo. Poleg
njeg so se na 42. mednarodno fiz alno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
sk , uvrstili še: Dom n Ip vec z Gimnazi e Bež grad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega ce tr Velen e,
in Mitja Zid r ter Marko Ljubotina, ba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
Jan Roz an, Gimnazija B žigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Jan Šu tajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Ad mič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljan
Žig N sar, Gimnazija Vič, Ljubljana
Žig G ego in, Šolsk center Velenje, Gim azija
Luka Be č n, Gimnazija Bežigrad, Lju ljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina I
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
I . nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Ju čiča Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
I . nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josip Jur ǐˇ
Iv nčna Gorica
Veno ram , Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, I . gimnazija Maribor
I . nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Midden, Srednja šol Jo-
sipa Jurčič Ivančna Gorica
Miha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, I . gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 n jboljš h tek o-
valcev iz I . tekmovalne skupine. Pav l Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil vrše na olimpijado avtomats ,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
njeg so se na 42. mednarodno fizi alno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v B ngkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ip vec z Gimnazi e Bež g ad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega ce tr Velenje,
n M tj Zid r t r M rko Ljubotina, oba
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
Jan Roz an, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in lato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Michel Adamič, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in lato priznanje
Omar Alhady, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimnazi a Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Vele je, Gi nazija
Luk Benčan, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, Gimnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
Kristij n Kuhar, Šolski center Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in lato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Jos pa Jurčič Ivančna
Gorica
Dom n Ipavec, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in lato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josip Jurčiča
Ivanˇna Gorica
Ven Mra or, Gimnazij Bežigrad, Ljubljana
M ja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
Mari Antonia van Midden, Srednja šola Jo-
sipa Jurčič Ivanˇna Gorica
Miha Kern, Gimn zija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulte i za mate atiko in fiziko, Odde-
le za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz III. tekmoval skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ke je na predhodni olimpijadi prejel medaljo. Poleg
nj ga so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila d 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ka, uvrstili še: Domen Ipavec Gimnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija in Mitja Zid ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčič Ivanˇna Gorica.
3
Jan Rozman, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna
šola
Miche Adamič, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato znanje
Omar Alhady, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gimn zija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center V lenje, Gimnazija
Luka Benčan, Gimnazija Beži rad, Ljubljana
Urban Mu , Gimnazija Jese ice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, Gimnazija B žigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski c nter Velenje, Gimna-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
Mitja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivanˇna
Gorica
Domen Ipavec, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčič
Ivančna Gorica
Veno Mramor, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. gimnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenj ka Bi-
strica
Marion Antonia v n Midden, Srednja šol o-
sipa Jurčiča Ivančna Gorica
M ha Kern, Gimnazija Kranj
Žiga Perko, II. gimnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših t kmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
zije Bežigrad je bil uvršen na olimpijado avtomatsko,
ker je na predhodni olimpijadi prejel medal o. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno olimpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z Gimnazije Bežigrad
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gi nazija in Mitja Zidar ter Marko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
J , i ij i r , j lj
II. r i l t ri j
J j , i ij i r , r
l
i i , i ij i r , j lj
III. r i l t ri j
, i ij i r , j lj
i , i ij i , j lj
i i , l i t r l j , i ij
, i ij i r , j lj
, i ij J i
i III
I. r
, i ij i r , j lj
i ij , l i t r l j , i -
ij
II. r i l t ri j
i j i , r j l J i J r i I
ri
I , i ij i r , j lj
III. r i l t ri j
j i , r j l J i J r i
I ri
, i ij i r , j lj
j , II. i ij ri r
III. r
i , r j l l j i-
tri
i i i , r j l J -
i J r i I ri
i , i ij r j
i , II. i ij ri r
I ir t j li ij i j il . -
j lt ti t ti i i , -
l i . lj i j il j lj i t -
l i III. t l i . l i -
ij i r j il r li ij t t ,
r j r i li ij i r j l lj . l
j . r i l li ij ,
i j il . . j lij , j-
, r tili : I i ij i r ,
j lj , ri tij r l tr l j ,
i ij i itj i r t r r j ti ,
r j l J i J r i I ri .
Jan Rozma , G mnazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrad in zlato priznanje
Jan Šuntajs, G mnazija Bežigra , Mednarodna
šola
Michel Adamič, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrad in zlato priznanje
Omar Alhady, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Žig Nosar, G mnazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Vel nje, G mnazija
Luka Benča , G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Urban Mur, G mnazija Jesenice
Skupina III
I. nagrada
Pavel Kos, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski center Vel nje, Gimna-
zija
II. nagrad in zlato priznanje
M tja Zidar, Srednja šola Josipa Jurči a Ivančna
Gorica
Domen Ipavec, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrad in zlato priznanje
Marko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurči a
Ivančna Gorica
Veno Mramor, G mnazija Bežigrad, Ljubljana
Maja Petek, II. g mnazija Maribor
III. nagrada
Lenart Grego ič, Srednja š la Slovenjska Bi-
strica
Marion Antonia van Mid n, Srednja šola Jo-
sipa Jurči a Ivančna Gorica
Miha Ker , G mnazija Kranj
Žiga Perko, II. g mnazija Maribor
Izbirno tekmovanje za olimpijsk ekip je bilo 6. ma-
ja 2011 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Od e-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmo-
valcev iz III. tekmovalne skupine. Pavel Kos z Gimna-
z je Bežigrad je bil uvršen a olimpijado vtomatsko,
ker je na predhodni olim ijadi prej l meda jo. Poleg
njega so se na 42. mednarodno fizikalno limpijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Domen Ipavec z G mnazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Vel nje,
G mnazija in Mitja Zidar ter Mark Ljub tina, oba s
Srednje šole Josipa Jurči a Ivančna Gorica.
3
Jan Roz an, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
II. nagrada in zlato priznanje
Jan Šuntajs, Gi nazija Bežigrad, ednarodna
šola
ichel Ada ič, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana
III. n grada in zlato priznanje
O r Alhady, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
Žiga Nosar, Gi nazija Vič, Ljubljana
Žiga Gregorin, Šolski center Velenje, Gi nazija
Luk Benčan, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
U ban r, Gi nazija Jese ice
S upina III
I. nag ada
Pavel Kos, Gi nazija Bež grad, Ljubljana
Kristijan Kuhar, Šolski c nter Velenje, G na-
zija
II. nagrada in zlato priznanje
itja Zidar, Srednja šola Josipa Jurčiča Ivančna
Gorica
Do en Ipavec, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
III. nagrada in zlato priznanje
arko Ljubotina, Srednja šola Josipa Jurčiča
Ivančna Gorica
Veno ra or, Gi nazija Bežigrad, Ljubljana
aja Petek, II. gi nazija aribor
III. nagrada
Lenart Gregorič, Srednja šola Slovenjska Bi-
strica
arion Antonia van idden, Srednja šola Jo-
sip Jurčiča Iv nčna Gorica
iha Kern, Gi n zija Kranj
Žiga Perko, II. i nazija aribor
Izbirno tek ovanje za oli pijsko ekipo je bilo 6. a-
ja 2011 na Fakulteti za ate atiko in fiziko, Odde-
lek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tek o-
valcev iz III. tek ovalne skupine. Pavel Kos z Gi na-
zije Bežigrad je bil uvršen na oli pijado avto ats o,
ker je na predhodni oli pijadi prejel edaljo. Poleg
njega so se na 42. ednarodno fizikalno oli pijado,
ki je bila od 10. do 18. julija 2011 v Bangkoku, Taj-
ska, uvrstili še: Do en Ipavec z Gi nazije Bežigrad,
Ljubljana, Kristijan Kuhar s Šolskega centra Velenje,
Gimnazija i itja Zida ter arko Ljubotina, oba s
Srednje šole Josipa Jurčiča Ivančna Gorica.
3
I. nagrada in zlato priznan e
I. nagrada in zlato priznanje
I. n gr da in zlato priznanje
I. n gr da
I. nagrada in zlato priznanje
I. nagr da in zlato prizn nje
II. nagr da in zlato priznanje
I. nagrada in zlato priznanje
Presek 39 (2011/2012) 2
a s t r o n o m i j a
22
V mednarodnem letu letu astronomije 2009 je
večina slovenskih osnovnih in srednjih šol dobila
teleskop. A pokazalo se je, da obstaja velika ne-
varnost, da bo to čudovito darilo Ministrstva za
šolstvo in šport ostalo zaprašeno v kabinetih kot
del obveznega inventarja, namesto da bi učenci in
učitelji spoznavali lepote nočnega neba. Vzroka za
to sta predvsem dva: neveščost dela s teleskopom
in težave pri iskanju nebesnih objektov. Prvo te-
žavo mora rešiti vsak učitelj sam, tako da zbrano
prebere navodila, ki so priložena k vsakemu tele-
skopu. Druga težava je resnejša; iskanje nebesnih
objektov je brez dobrih iskalnih kart Sizifovo delo.
Majhno zorno polje teleskopa vse skupaj še do-
datno otežuje. A tudi ta težava je hitro rešljiva,
če bi učitelji imeli dober priročnik za opazovalce
z majhnimi teleskopi, kakršen je npr. Opazujmo
ozvezdja z daljnogledom 10× 50. Kot primer si po-
glejmo slavno Andromedino galaksijo, ki je v teh
zimskih večerih najviše na nebu in torej v najugo-
dejši legi za opazovanje.
Ozvezdje Andromeda
Andromeda je veliko in pomembno jesensko ozvez-
dje severnega neba. Razteza se od Pegaza v smeri
proti Kapeli (Alfa Voznika). Najsvetlejše zvezde so
Alfa ali Sirah, oranžnordeča Beta ali Mirah in zla-
torumena Gama (vse 2m1) ter rumenooranžna Delta
(3m3).
Alfe na nebu prav gotovo ne moremo zgrešiti.
Zvezda predstavlja severovzhodno oglišče Pegazo-
vega asterizma Veliki kvadrat. V starejših zvezdnih
atlasih in celo v nekaterih sodobnih tabelah jo bomo
našli pod imenom Delta Pegaza, saj so zvezdo šele
kasneje priključili k Andromedi kot Alfo. Je 55. naj-
svetlejša zvezda na našem nebu, oddaljena 97 sve-
tlobnih let, njen izsev pa je približno 100-krat večji
od Sončevega.
Slika 1
Beta ali Mirah je 57. najsvetlejša zvezda na našem
nebu, rdeča orjakinja, 200 svetlobnih let oddaljena
od nas. Njen izsev je 410-krat večji od izseva našega
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
2
bojan kambič
Poiščimo 
Andromedino
galaksijo
•
V mednarodnem letu letu astronomije 2009 je
večina slovenskih osnovnih in srednjih šol dobila
teleskop. A pokazalo se je, da obstaja velika ne-
varnost, da bo to čudovito darilo Ministrstva za
šolstvo in šport ostalo zaprašeno v kabinetih kot
del obveznega inventarja, namesto da bi učenci in
učitelji spoznavali lepote nočnega neba. Vzroka za
to sta predvsem dva: neveščost dela s teleskopom
in težave pri iskanju nebesnih objektov. Prvo te-
žavo mora rešiti vsak učitelj sam, tako da zbrano
prebere navodila, ki so priložena k vsakemu tele-
skopu, ga odnese domov, in se sam, v miru spozna
z napravo. Kako jo sestavimo, nastavimo na se-
verni nebesni pol, kako jo usmerjamo k izbranim
objektom . . . Druga težava je resnejša. Iskanje ne-
besnih objektov je brez dobrih iskalnih kart Sizi-
fovo delo. Majhno zorno polje teleskopa vse sku-
paj še dodatno otežuje. A tudi ta težava je hitro
rešljiva, če bi učitelji imeli dober priročnik za opa-
zovalce z majhnimi teleskopi, kakršen je na primer
Opazujmo ozvezdja z daljnogledom 10 times50.
Kot primer si poglejmo slavno Andromedino gala-
ksijo, ki je v teh zimskih večerih najviše na nebu
in torej v na ugodejš legi za opazovanje.
Ozvezdje Andromeda
Andromeda je veliko in pomembno jesensko ozvez-
dje severnega neba. Razteza se od Pegaza v smeri
proti Kapeli (Alfa Voznika). Najsvetlejše zvezde so
Alfa ali Sirah, oranžnordeča Beta ali Mirah in zla-
torumena Gama (vse 2m1) ter rumenooranžna Delta
(3m3).
Alfe na nebu prav gotovo ne moremo zgrešiti. Zvezda
predstavlja severovzhodno oglišče Pegazovega aste-
rizma Veliki kvadrat. V starejših zvezdnih atlasih
in celo v nekaterih sodobnih tabelah jo bomo našli
pod imenom Delta Pegaza, saj so zvezdo šele kasneje
priključili k Andromedi kot Alfo. Je 55. najsvetlejša
zvezda na našem nebu, oddaljena 97 svetlobnih let,
njen izsev pa je približno 100-krat večji od Sonče-
vega.
Slika 1
Beta ali Mirah je 57. najsvetlejša zvezda na našem
nebu, rdeča orjakinja, 200 svetlobnih let oddaljena
od nas. Njen izsev je 410-krat večji od izseva našega
2
. ,
,
,
.
:
.
,
,
, , ,
. ,
,
. . . .
.
.
,
,
.
,
.
.
.
,
.
.
.
,
. .
, ,
.
.
, ,
.
l t l t t ij j
i l i i i ji l il
t l l j t j li -
t t it il i i t t
l t i t t l i ti t
l i t j t i i i
it lji li l t
t t t l t l
i t i i j i j t t -
iti it lj t
il i il t l -
i i
j t i t i -
i i l j j i i
j t t j j I j -
i j t j i i l i t i i-
f l j lj t l -
j t t j t i t t j it
lji i it lji i li i i -
l j i i t l i j i
j j lj l ti
t i i l j l i l -
ij i j t i i i j i
i t j j l i j
j
r j li i j -
j r t ri
r ti li ( lf i ) j tl j
lf li ir r r t li ir i l -
t r ( ) t r r r lt
( )
lf r t r r iti
r t lj r li t -
ri li i r t t r j i i tl i
i l t ri i t l j li
i lt j l j
ri lj ili r i t lf J j tl j
lj tl i l t
j i j ri li - r t ji -
li
t li ir j j tl j
r rj i j tl i l t lj
j i j - r t ji i
e aro e e e as ro o e 2009 e
eč a s o e s os o sre šo o a
e es o . o aza o se e, a o s a a e a e
ar os , a o o č o o ar o s rs a za
šo s o š or os a o za raše o a e o
e o ez ega e ar a, a es o a če c
č e s oz a a e o e oč ega e a. zro a za
o s a re se a: e eščos e a s e es o o
eža e r s a e es o e o . Pr o e
ža o ora reš sa č e sa , a o a z ra o
re ere a o a, so r ože a sa e e e
s o , ga o ese o o , se sa , r s oz a
z a ra o. a o o ses a o, as a o a se
er e es o , a o o s er a o z ra
o e o . . . r ga eža a e res e ša. s a e e
es o e o e rez o r s a ar S z
o o e o. a o zor o o e e es o a se s
a še o a o o ež e. a eža a e ro
reš a, če č e e o er r roč za o a
zo a ce z a e es o , a rše e a r er
z o ozvez z og e o 10 es50.
o r er s og e o s a o ro e o ga a
s o, e e z s ečer a še a e
ore a go e š eg za o azo a e.
v r
o e a e ve ko o e b o ese sko ozvez
e seve ega eba. az eza se o Pegaza v s e
o a e a oz ka . a sve e še zvez e so
a a S a , o a ž o eča Be a a a z a
o e a a a vse 2 1 e e oo a ž a e a
3 3 .
e a eb av go ovo e o e o zg eš . vez a
e s av a seve ovz o o og šče Pegazovega as e
z a e k kva a . s a e š zvez a as
ce o v eka e so ob abe a o bo o aš
o e o e a Pegaza, sa so zvez o še e kas e e
k č k o e ko o. e 55. a sve e ša
zvez a a aše eb , o a e a 97 sve ob e ,
e zsev a e b ž o 100 k a več o So če
vega.
S ka 1
Be a a a e 57. a sve e ša zvez a a aše
eb , eča o ak a, 200 sve ob e o a e a
o as. e zsev e 410 k a več o zseva ašega
2
V dn dn l tu l tu t n ij j
v in l v n kih n vnih in dnjih l d bil
t l k p. A p k l j , d b t j v lik n -
v n t, d b t ud vit d il ini t tv
l tv in p t t l p n v k bin tih k t
d l bv n inv nt j , n t d bi u n i in
u it lji p n v li l p t n n n b . V k
t t p dv dv : n v t d l t l k p
in t v p i i k nju n b nih bj kt v. v t -
v iti v k u it lj , t k d b n
p b n v dil , ki p il n k v k u t l -
k pu, dn d v, in , v i u p n
n p v . K k j t vi , n t vi n -
v ni n b ni p l, k k j u j k i b ni
bj kt . . . D u t v j n j . I k nj n -
b nih bj kt v j b d b ih i k lnih k t i i-
f v d l . jhn n p lj t l k p v ku-
p j d d tn t uj . A tudi t t v j hit
ljiv , bi u it lji i li d b p i nik p -
v l jhni i t l k pi, k k n j n p i
Opa uj dja daljn l d ti .
K t p i i p l j l vn And din l -
k ij , ki j v t h i kih v ih n jvi n n bu
in t j v n ju d j i l i p v nj .
z ezdje And o eda
Andr d j li in p n j n -
dj rn n . R t d ri
pr ti K p li (Alf V ni ). N j tl j d
Alf li ir h, r n n rd t li Mir h in l -
t ru n G ( m ) t r ru n r n n D lt
( m ).
Alf n n u pr t n r r iti. Z d
pr d t lj r h dn li t -
ri V li i dr t. V t r j ih dnih tl ih
in l n t rih d nih t l h j n li
p d i n D lt , j d l n j
pri lju ili Andr di t Alf . J . n j tl j
d n n n u, dd lj n tl nih l t,
nj n i p j pri li n - r t ji d n -
.
li
t li Mir h j . n j tl j d n n
n u, rd rj inj , tl nih l t dd lj n
d n . Nj n i j - r t ji d i n
m m m
M
m
m m
m m
m
m m m
m m
m m m
m
M
m
m m m
m m
m m m
m
O
m m m
m
m m m
m m
m
m
m m
m
m
m
e aro e le le as ro o ije 2009 je
eči a slo e s i os o i i sre ji šol o ila
eles o . o azalo se je, a o s aja eli a e-
ar os , a o o č o i o arilo i is rs a za
šols o i š or os alo za raše o a i e i o
el o ez ega i e arja, a es o a i če ci i
či elji s oz a ali le o e oč ega e a. zro a za
o s a re se a: e eščos ela s eles o o
i eža e ri is a j e es i o je o . Pr o e-
ža o ora reši i sa či elj sa , a o a z ra o
re ere a o ila, i so rilože a sa e ele-
s o , ga o ese o o , i se sa , ir s oz a
z a ra o. a o jo ses a i o, as a i o a se-
er i e es i ol, a o jo s erja o iz ra i
o je o . . . r ga eža a je res ejša. Is a je e-
es i o je o je rez o ri is al i ar Sizi-
o o elo. aj o zor o olje eles o a se s -
aj še o a o o ež je. i a eža a je i ro
rešlji a, če i či elji i eli o er riroč i za o a-
zo alce z aj i i eles o i, a rše je a ri er
z o ozvez z l ogle o 10 mes50.
o ri er si oglej o sla o ro e i o gala-
sijo, i je e zi s i ečeri aj iše a e
i orej aj go ejši legi za o azo a je.
v j r m
o e a je veliko i o e b o jese sko ozvez-
je seve ega eba. az eza se o Pegaza v s e i
o i a eli ( l a oz ika). ajsve lejše zvez e so
l a ali Si a , o a ž o eča Be a ali i a i zla-
o e a a a (vse 2 1) e e oo a ž a el a
(3 3).
l e a eb av go ovo e o e o zg eši i. vez a
e s avlja seve ovz o o oglišče Pegazovega as e-
iz a eliki kva a . s a ejši zvez i a lasi
i celo v eka e i so ob i abela jo bo o ašli
o i e o el a Pegaza, saj so zvez o šele kas eje
iklj čili k o e i ko l o. e 55. ajsve lejša
zvez a a aše eb , o alje a 97 sve lob i le ,
je izsev a je ibliž o 100-k a večji o So če-
vega.
Slika 1
Be a ali i a je 57. ajsve lejša zvez a a aše
eb , eča o jaki ja, 200 sve lob i le o alje a
o as. je izsev je 410-k a večji o izseva ašega
2
t t t
t t
t t t t t
t t t t t
t t
t t
t t t t
t t t
t t t
t
t t
t t
t t
f t
t t t t t t
t
t
j j j ti
t
t
t
r
r t r
r t f t
f r r r t r
t r t r r r t
f r t r r t
r t r t
r r t t r t
t r t
t
r r t f J t
t t
r r t
t r t
r r t t
r t
dn dn l u l u n ij j
v in l v n kih n vnih in dnjih l d bil
l k p. p k l j , d b j v lik n -
v n , d b ud vi d il ini v
l v in p l p n v k bin ih k
d l bv n inv n j , n d bi u n i in
u i lji p n v li l p n n n b . k
p dv dv : n v d l l k p
in v p i i k nju n b nih bj k v. v -
v i i v k u i lj , k d b n
p b n v dil , ki p il n k v k u l -
k pu, dn d v, in , v i u p n
n p v . k j vi , n vi n -
v ni n b ni p l, k k j u j k i b ni
bj k . . . u v j n j . I k nj n -
b nih bj k v j b d b ih i k lnih k i i-
v d l . jhn n p lj l k p v ku-
p j d d n uj . udi v j hi
ljiv , bi u i lji i li d b p i nik p -
v l jhni i l k pi, k k n j n p i
pa u d a dal n l d .
p i i p l j l vn nd din l -
k ij , ki j v h i kih v ih n jvi n n bu
in j v n ju d j i l i p v nj .
z ez je e a
nd d j li in p n j n -
dj n n . R d i
p i K li ( l V ni ). j l j d
l li i h, n n d li i h in l -
u n ( ) u n n n l
( ).
l n n p n i i. Z d
p d lj h dn li -
i V li i d . V j ih dnih l ih
in l n ih d nih l h j n li
p d i n l , j d l n j
p i lju ili nd di l . . n j l j
d n n n u, dd lj n l nih l ,
nj n i p j p i li n - ji d n -
.
li
li i h j . n j l j d n
n u, d j inj , l nih l dd lj n
d n . j n i j - ji d i n
V e aro e et et astro o e 2009 e
eč a s o e s os o sre šo o a
te es o . A o aza o se e, a o sta a e a e
ar ost, a o to č o to ar o strst a za
šo st o š ort osta o za raše o a et ot
e o ez ega e tar a, a esto a če c
č te s oz a a e ote oč ega e a. Vzro a za
to sta re se a: e eščost e a s te es o o
teža e r s a e es o e to . Pr o te
ža o ora reš t sa č te sa , ta o a z ra o
re ere a o a, so r ože a sa e te e
s o , ga o ese o o , se sa , r s oz a
z a ra o. Ka o o sesta o, asta o a se
er e es o , a o o s er a o z ra
o e to . . . Dr ga teža a e res e ša. s a e e
es o e to e rez o r s a art S z
fo o e o. a o zor o o e te es o a se s
a še o at o otež e. A t ta teža a e tro
reš a, če č te e o er r roč za o a
zo a ce z a te es o , a rše e a r er
O z j o ozvez j z j og e o 10 ti es50.
Kot r er s og e o s a o A ro e o ga a
s o, e te z s ečer a še a e
tore a go e š eg za o azo a e.
v d And o d
A ro e a e ve ko o e b o ese sko ozvez
e sever ega eba. az eza se o Pegaza v s er
rot a e A fa oz ka . Na svet e še zvez e so
A fa S ra , ora ž or eč Beta M ra z a
tor e a Ga a vse 2m1 ter r e oora ž a De ta
3m3 .
A fe a eb rav gotov ore o zgreš t . vez a
r stav a severovz o o og šče Pegazovega a t
r z a k kva rat. stare š zvez at as
ce o v ekater so ob tabe a o bo o aš
o e o De ta Pegaza, sa so zvez o še e kas e e
r k č k A ro e kot A fo. Je 55. a svet e ša
zvez a a aše eb , o a e a 97 svet ob et,
e zsev a e r b ž o 100 krat več o So če
vega.
S ka 1
Bet a M ra e 57. a sv t e ša zvez a a aše
eb , r eča or ak a, 200 svet ob et o a e a
o as. N e zsev e 410 krat več o zseva ašega
2
m m l l mij j
i l i i i ji l il
l . l j , j li -
, i il Mi i
l i l i i
l i j , m i i i
i lji li l .
m : l l m
i i i j i j . -
m i i i lj m,
il , i il m l -
, m , i m, mi
. j im , im -
i i l, j m j m i im
j m . . . j j . I j -
i j j i i l i i i-
l . M j lj l -
j j . i j i
lji , i i lji im li i i -
l m j imi l i, j im
m l l m .
im i l jm l m i l -
ij , i j im i i j i
i j j j i l i j .
O j
m j li i m m j -
j . m i
i li ( l i ). j l j
l li i , li i i l -
m m ( ) m l
( ).
l m m i i.
lj li
i m li i . j i i l i
i l i i l j m li
im m l , j l j
i lj ili m i l . . j l j
m , lj l i l ,
j i j i li - ji -
.
li
li i j . j l j m
, j i j , l i l lj
. j i j - ji i
dn r dn tu tu str n
v n s v nsk h sn vn h n sr dn h š d b
t sk p. p k s , d bst v k n
v rn st, d b t ud v t d r n strstv
š stv n šp rt st pr š n v k b n t h k t
d bv n nv nt r , n st d b u n n
u t sp n v p t n n n b . r k
t st pr dvs dv : n v š st d s t sk p
n t v pr sk n u n b sn h b kt v. rv t
v r r š t vs k u t s , t k d br n
pr b r n v d , k s pr n k vs k u t
sk pu, dn s d v, n s s , v ru sp n
n pr v . k s st v , n st v n s
v rn n b sn p , k k us r k br n
b kt . . . ru t v r sn š . sk n n
b sn h b kt v br d br h sk n h k rt
f v d . hn rn p t sk p vs sku
p š d d tn t u . tud t t v h tr
r š v , b u t d b r pr r n k p
v hn t sk p , k krš n n pr r
pa uj dja da jn d times .
t pr r s p s vn ndr d n
ks , k v t h sk h v r h n v š n n bu
n t r v n u d š p v n .
z ez e me a
ndr ed e e n p e n esens e
d e se erne ne . R te se d e s er
pr t K e f V n . s et e še e de s
f r h, r n n rdec et r h n
t ru en se ter ru en r n n e t
.
fe n ne pr t n re reš t . Z e d
pr dst se er h dn šce e e t -
r V dr t. V st re š h e dn h t s h
n ce ne ter h s d n h t e h n š
p d en e t e , s s e d še e sne e
pr uc ndr ed t f . Je . n s et e š
e d n n še ne u, dd en s et n h et,
n en se p e pr n r t ec d nce
e .
et r h e . n s t e š e d n še
ne u, rdec r n , s et n h et dd en
d n s. en se e r t ec d se n še
e a o e le le a o o ije 2009 je
eči a lo e i o o i i e ji ol o ila
ele o o azalo e je a o aja eli a e-
a o a o o č o i o a ilo i i a za
ol o i o o alo za a e o a i e i o
el o ez ega i e a ja a e o a i če ci i
či elji oz a ali le o e oč ega e a z o a za
o a e e a e e čo ela ele o o
i eža e i i a j e e i o je o P o e-
ža o o a e i i a či elj a a o a z a o
e e e a o ila i o ilože a a e ele-
o ga o e e o o i e a i oz a
z a a o a o jo e a i o a a i o a e-
e i e e i ol a o jo e ja o iz a i
o je o ga eža a je e ej a I a je e-
e i o je o je ez o i i al i a Sizi-
o o elo aj o zo o olje ele o a e -
aj e o a o o ež je i a eža a je i o
e lji a če i či elji i eli o e i oč i za o a-
zo alce z aj i i ele o i a e je a i e
z o ozvez z l ogle o 10 50
o i e i oglej o la o o e i o gala-
ijo i je e zi i eče i aj i e a e
i o ej aj go ej i legi za o azo a je
v j r
o a j v liko i o b o j ko ozv z-
j v ga ba az za o P gaza v i
o i a li ( l a oz ika) aj v l j zv z o
l a ali Si a o a ž o ˇa B a ali i a i zla-
o a a a (v 2 1) oo a ž a l a
(3 3)
l a b av go ovo e o o zg i i v z a
e avlja v ovz o o ogli ˇ P gazov ga as e
iz a eliki kva a a j i zv z i a la i
i lo v ka i o ob i ab la jo bo o a li
o i o l a P gaza aj o zv z o l ka j
iklj ǐli k o i ko l o 55 aj v l j a
zv z a a a b o alj a 97 v lob i l
j iz v a j ibliž o 100-k a v ˇji o So ˇ -
v ga
Slika 1
B a ali i a j 57 aj ve l j a zv z a a a
b ˇa o jaki ja 200 v lob i l o alj a
o a j iz v j 410-k a v ˇji o iz va a ga
2
V t t t
t . A , t
t, t t t t
t t t t t
t , t
t t . V
t t : t t
t t . t
t t , t
, t
, , ,
. K t , t
,
t . . . D t .
t t
f . t
t t . A t t t t
, t
t ,
O j j j ti .
K t A
, t
t .
d And o d
A r
r . t r
r t p A f . N t
A f r , r r t M r
t r G m t r r r D t
m .
A f u r t r r t .
r t r t -
r r t. t r t
t r t
D t ,
r A r t A f . J . t
, t t,
r r t
.
t M r . t n
, r r , t t
. N r t
r l l s r ij j
i sl s i s i i sr ji š l il
l s l s j s j li -
r s i ril i is rs
š ls i š r s l r š i i
l i rj s i i i
i lji s li l r
s r s š s l s l s
i ri is j s i j r -
r r ši i s i lj s r
r r il i s ril s l -
s s i s s ir s
r j s s i s i s -
r i s i l j s rj i r i
j r j r s jš Is j -
s i j j r ri is l i r i i-
l j r lj l s s s -
j š j i j i r
r šlji i i lji i li r rir i -
l j i i l s i rš j ri r
l l es
ri r si l j sl r i l -
sij i j i s i ri j iš
i r j j jši l i j
j
e je eli i e jese s e -
je se e e e e se e s e i
i eli ( l i ) js e lejše e e s
l li i ec e li i i l -
e ( se ) e e el
( )
l e e e eši i e
s lj se e lišce e e
i li i s ejši e i l si
i cel e e i s i el j šli
i e el e s j s e šele s eje
i lj cili e i l e js e lejš
e še e lje s e l i le
je i se je i li - ecji ce-
e
li
e li i je js lejš e še
e ec j i j s e l i le lje
s je i se je - ecji i se še
m dn dn m u u n m
v n v n k h n vn h n dn h d b
k p. p k , d b v k n
v n , d b ud v d M n v
v n p p n v k b n h k
d bv n nv n , n m d b u n n
u p n v p n n n b . k
p dv m dv : n v d k p m
n v p k n u n b n h b k v. v
v m v k u m, k d b n
p b n v d , k p n k v k mu
k pu, dn d m v, n m, v m u p n
n p v . k v m , n v m n
v n n b n p , k k u m m k b n m
b k m . . . u v n . k n n
b n h b k v b d b h k n h k
v d . M hn n p k p v ku
p d d n u . ud v h
v , b u m d b p n k p
v m hn m k p , k k n n p m
pa u m d a da n d m .
p m p m vn nd m d n
k , k v h m k h v h n v n n bu
n v n u d p v n .
Oz ez e r e a
nd m d n p m m n n
d n n . R d m
p K V n . d
h, n n d h n
um n m um n n n
.
n n p ne m m . Z d
p ed h dn s e
m Ve d . V h dn h h
n n h d n h h m n
p d m n m , d n
u nd m d . . n
d n n m n u, dd n n h ,
n n p p n d n
.
h . n e d n m
n u, d n , n h dd n
d n . n d n
e a o e let let a t o o ije 2009 je
eči a lo e i o o i i e ji ol o ila
tele o . o azalo e je, a o taja eli a e-
a o t, a o to č o ito a ilo i i t t a za
ol t o i o t o talo za a e o a i eti ot
el o ez ega i e ta ja, a e to a i če ci i
čitelji oz a ali le ote oč ega e a. z o a za
to ta e e a: e e čo t ela tele o o
i teža e i i a j e e i o je to . P o te-
ža o o a e iti a čitelj a , ta o a z a o
e e e a o ila, i o ilože a a e tele-
o , ga o e e o o , i e a , i oz a
z a a o. a o jo e ta i o, a ta i o a e-
e i e e i ol, a o jo e ja o iz a i
o je to . . . ga teža a je e ej a. I a je e-
e i o je to je ez o i i al i a t Sizi-
fo o elo. aj o zo o olje tele o a e -
aj e o at o otež je. t i ta teža a je it o
e lji a, če i čitelji i eli o e i oč i za o a-
zo alce z aj i i tele o i, a e je a i e
z j o ozvez j z lj ogle o 10 ti 50.
ot i e i oglej o la o o e i o gala-
ijo, i je te zi i eče i aj i e a e
i to ej aj go ej i legi za o azo a je.
v j
ro a j v liko i o b o j ko ozv z-
j v r ga ba. azt za o P gaza v ri
roti a li ( lfa oz ika). aj v tl j zv z o
lfa ali Sira , ora ž or ˇa B ta a i ira i zla-
tor a a a (v 2 1) t r r oora ž a ta
(3 3).
lf a b rav gotovo or o zgr iti. v z a
r tavlja v ro z o ogli ˇ P gazov ga a t -
riz a liki kva rat. tar j i zv z i tla i
i lo v kat ri o ob i tab la jo bo o a li
o i o lta P gaza, aj o zv z l ka j
riklj ǐli k ro i kot lf . J 55. aj v tl j a
zv z a a a b , o alj a 97 v tlob i l t,
j iz v a j ri liž o 100-krat v ˇji o So ˇ -
v ga.
Slika 1
B ta ali ira j 57. aj v tl j a zv z a a a
b , r ˇa orjaki ja, 200 v tlob i l t o alj a
o a . j iz v j 410-krat v ˇji o iz va a g
2
r s r
s s s sr š
s s s
r s r s rs
š s š r s r š
r s
s r
s r s š s s s
r s s r
r r š s s r
r r s r s
s s s s r s
r s s s s
r s s r r
r r s š s
s r r s r
r s s s
š r
r š r r r
s rš r r
mes
r r s s r
s s r š
r š
m
e e e e ese s e
e se e e e se e s
pe s e e še e e s
ec e
e se e e e
e e u e eš e
s se e šce e e
s e e s
ce e e s e š
e e e s s e še e s e e
c e s e e š
e še e e s e e
se e ec ce
e
e e s e š e n še
e ec s e e e
s e se e ec se š
l l ij j
i l i i i ji l il
l . l j , j li -
, i il i i
l i l i i
l i j , i i i
i lji li l .
: l l
i i i j i j . -
i i i lj ,
il , i il l -
, dn d v, in , v i u p n
n p . K k j vi , n vi n -
v ni n b i p l, k k j u j k i b ni
bj k . . . D u v j n j . I k nj n -
b nih bj k v j b d b ih i lnih k i i-
v d l . jhn n p lj l k p v ku-
p j d d n uj . A udi v j hi
ljiv , bi u i lji i li d b p i nik p -
v l jhni i l k pi, k k n j n p i
Opa u d a dal n l d .
K p i i p l j l vn And din l -
k ij , ki j v h i kih v ih n jvi n n bu
in j v n ju d j i l i p v nj .
z ezdje Andro eda
And d j li in p n j n -
dj n n . R d i
p i K li (Al V ni ). N j l j d
Al li i h, n n d i Mi h in l -
u n G ( m ) u n n n D
( m ).
Al n n p ne i i. Z d
p ed lj h dn li s -
i Veli i d . V j ih dnih l ih
in l n ih d nih l h j n li
p d i n D l , j d l n j
i lju ili And di Al . . n j l j
d n n n u, dd lj n l nih l ,
nj n i p j p i li n - ji d n -
.
li
li Mi h j . n j e l j d n
n u, d j inj , l nih l dd lj n
d n . Nj n i j - ji d i n
t t t
t t
t t t t t
t t t t t
t t
t t
t t t t
t t t
t t t
t
t t
t t
t t
f t
t t t t t t
t
t
j j j ti
t
t
t
r
r t r
r t f t
f r r r t r
t r t r r r t
f r t r r t
r t r t
r r t t r t
t r t
t
r r t f J t
t t
r r t
t r t
r r t t
r t
. ,
,
,
.
:
.
,
,
, ga o ese omo , i se sam, mir s oz a
z a ra o. a o jo ses a imo, as a imo a se-
er i e es i ol, a o jo smerjamo iz ra im
o je m . . . r ga eža a je res ejša. Is a je e-
s i o je o je rez o i is al i ar Sizi-
o o elo. Maj o zor o olje eles o a se s -
aj še o a o ež je. i a eža a je i ro
rešlji a, če i či elji imel o er rir č i za o a-
o alce z maj imi eles o i, a rše je a rimer
z mo ozve z l ogle om 10 es50.
o rimer si oglejmo sla o rome i o gala-
sijo, i je e zims i ečeri aj iše a e
i orej aj go ejši legi za o azo a je.
O v j
ome a je veliko i omemb o jese sko ozvez-
je seve ega ba. az eza se o Pegaza v sm i
o i a eli ( l a oz ika). ajsve lejše zvez e so
l a ali Si a , o a ž o eča Be a a i i a i zla-
o me a ama (vse 2 1) e me oo a ž a e a
(3 3).
l e a eb av go ovo mo emo zg eši i. vez a
s avlja seve o z o oglišče Pegazovega a -
izma liki kva a . s a ej i zvez i lasi
i celo v eka e i so ob i abela jo bomo ašli
o ime om el a Pegaza, saj so zvez šele kas eje
iklj čili k ome i ko l . 55. ajsve lejša
zvez a a ašem eb , o alje a 97 sve lob i le ,
j izsev a je i liž o 100-k a večji o So če-
vega.
Slika 1
Be a ali i a je 57. ajsv lejša zvez a a ašem
eb , eča o jaki ja, 200 sve lob i le o alje a
o as. je izsev je 410-k a večji o izseva aš g
presek 39 (2011/2012) 2
a s t r o n o m i j a
23
•
V mednarodnem letu letu astronomije 2009 je
večina slovenskih osnovnih in srednjih šol dobila
teleskop. A pokazalo se je, da obstaja velika ne-
varnost, da bo to čudovito darilo Ministrstva za
šolstvo in šport ostalo zaprašeno v kabinetih kot
del obveznega inventarja, namesto da bi učenci in
učitelji spoznavali lepote nočnega neba. Vzroka za
to sta predvsem dva: neveščost dela s teleskopom
in težave pri iskanju nebesnih objektov. Prvo te-
žavo mora rešiti vsak učitelj sam, tako da zbrano
prebere navodila, ki so priložena k vsakemu tele-
skopu, ga odnese domov, in se sam, v miru spozna
z napravo. Kako jo sestavimo, nastavimo na se-
verni nebesni pol, kako jo usmerjamo k izbranim
objektom . . . Druga težava je resnejša. Iskanje ne-
besnih objektov je brez dobrih iskalnih kart Sizi-
fovo delo. Majhno zorno polje teleskopa vse sku-
paj še dodatno otežuje. A tudi ta težava je hitro
rešljiva, če bi učitelji imeli dober priročnik za opa-
zovalce z majhnimi teleskopi, kakršen je na primer
Opazujmo ozvezdja z daljnogledom 10 times50.
Kot primer si poglejmo slavno Andromedino gala-
ksijo, ki je v teh zimskih večerih najviše na nebu
in torej v najugodejši legi za opazovanje.
Ozvezdje Andromeda
Andromeda je veliko in pomembno jesensko ozvez-
dje severnega neba. Razteza se od Pegaza v smeri
proti Kapeli (Alfa Voznika). Najsvetlejše zvezde so
Alfa ali Sirah, oranžnordeča Beta ali Mirah in zla-
torumena Gama (vse 2m1) ter rumenooranžna Delta
(3m3).
Alfe na nebu prav gotovo ne moremo zgrešiti. Zvezda
predstavlja severovzhodno oglišče Pegazovega aste-
rizma Veliki kvadrat. V starejših zvezdnih atlasih
in celo v nekaterih sodobnih tabelah jo bomo našli
pod imenom Delta Pegaza, saj so zvezdo šele kasneje
priključili k Andromedi kot Alfo. Je 55. najsvetlejša
zvezda na našem nebu, oddaljena 97 svetlobnih let,
njen izsev pa je približno 100-krat večji od Sonče-
vega.
Slika 1
Beta ali Mirah je 57. najsvetlejša zvezda na našem
nebu, rdeča orjakinja, 200 svetlobnih let oddaljena
od nas. Njen izsev je 410-krat večji od izseva našega
2
V mednarodnem letu letu astronomije 2009 je
večina slovenskih osnovnih in srednjih šol dobila
teleskop. A pokazalo se je, da obstaja velika ne-
varnost, da bo to čudovito darilo Ministrstva za
šolstvo in šport ostalo zaprašeno v kabinetih kot
del obveznega inventarja, namesto da bi učenci in
učitelji spoznavali lepote nočnega neba. Vzroka za
to sta predvsem dva: neveščost dela s teleskopom
in težave pri iskanju nebesnih objektov. Prvo te-
žavo mora rešiti vsak učitelj sam, tako da zbrano
prebere navodila, ki so priložena k vsakemu tele-
skopu, ga odnese domov, in se sam, v miru spozna
z napravo. Kako jo sestavimo, nastavimo na se-
verni nebesni pol, kako jo usmerjamo k izbranim
objektom . . . Druga težava je resnejša. Iskanje ne-
besnih objektov je brez dobrih iskalnih kart Sizi-
fovo delo. Majhno zorno polje teleskopa vse sku-
paj še dodatno otežuje. A tudi ta težava je hitro
rešljiva, če bi učitelji imeli dober priročnik za opa-
zovalce z majhnimi teleskopi, kakršen je na primer
Opazujmo ozvezdja z daljnogledom 10 times50.
Kot primer si poglejmo slavno Andromedino gala-
ksijo, ki je v teh zimskih večerih najviše na nebu
in torej v najugodejši legi za opazovanje.
Ozvezdj Andromeda
Andromeda je veliko in pomembno jesensko ozvez-
dje severnega neba. Razteza se od Pegaza v smeri
proti Kapeli (Alfa Voznika). Najsvetlejše zvezde so
Alfa ali Sirah, oranžnordeča Beta ali Mirah in zla-
torumena Gama (vse 2m1) ter rumenooranžna Delta
(3m3).
Alfe na nebu prav gotovo ne moremo zgrešiti. Zvezda
edstavlja severovzhodno oglišče Pegazovega aste-
rizma Veliki kvadrat. V st rejših zvezdni atlasih
in celo v nekaterih sodobnih tabelah jo bomo našli
pod imenom Delta Pegaza, saj so zvezdo šele kasneje
prik jučili k And omedi k t Alfo. Je 55. najsvetlejša
zv zda na našem nebu, oddaljena 97 svetlobnih let,
njen izs v pa je približno 100-krat čji od Sonče-
vega.
Slika 1
Beta ali Mirah je 57. najsvetlejša zvezda na našem
nebu, rdeča orjakinja, 200 svetlobnih let oddaljena
od nas. Njen izsev je 410-krat večji od izseva našega
2
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. najsvetlejša zvezda na našem nebu. Je
čudovita dvojna zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših teleskopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi-
sali kot rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni kontrast je izrazit in ga še pouda-
rimo, če okular pomaknemo nekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nista ostri, temveč rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v resnici če-
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama
dvojna. To zanimivo večzvezdje je od nas oddaljeno
356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša in najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
prostim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolgovat oblaček nežne svetlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesnaženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalostjo v srcih si lahko pred-
stavljamo, kakšen čudovit nebesni objekt bi bila, če
bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostejšega je-
dra. In na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
svetlejša.
Slika 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaksijo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz-
vpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zra-
ven vedno pridevniki kot najsvetlejša, največja, naj-
bližja, čudovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še vedno zelo, zelo daleč, predaleč, da
bi lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! Na
robu galaksije ne moremo ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opazovalne razmere
še tako idealne. V večjih amaterskih teleskopih je
vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj naj-
svetlejših kroglastih kopic in morda ena ali dve svetli
3
j  r eda slika 1.
Jesenski ozvezdji Pegaz in Andromeda na karti z zvezdami 
do 6,5 magnitude. Karta je iz Zvezdnega atlasa za epoho 
2000,0.
Presek 39 (2011/2012) 2
a s t r o n o m i j a
24
slika 2.
Podrobna iskalna karta za 
Andromedino galaksijo. Štar-
tna zvezda za lov na gala-
ksijo je kar svetla Beta, ki je 
dobro vidna s prostim oče-
som in je tudi s teleskopom 
ni težko najti. Od nje se po-
mikamo proti severozahodu 
prek zvezd Mi in Ni Andro-
mede h galaksiji. Na karti so 
zvezde do 9,5 magnitude, 
pokriva pa približno 7 x 7 
stopinj veliko območje neba. 
To je le malo več od zornega 
polja boljšega lovskega dalj-
nogleda 10 x 50!
•
S nca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, kater izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. najsve lejša zvezda na našem nebu. Je
čudovita dvojna zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših teleskopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi-
sali kot rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni ontr st je izrazit in ga še pouda-
rimo, če okular pomaknemo nekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nista ostri, temveč rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v resnici če-
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama
dvojna. To zanimivo večzvezdje je od nas oddaljeno
356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša in najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
prostim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolgovat oblaček nežne svetlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesnaženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalostjo v srcih si lahko pred-
stavljamo, kakšen čudovit nebesni objekt bi bila, če
bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostejšega je-
dra. In na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
svetlejša.
Slika 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaksijo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz-
vpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zra-
ven vedno pridevniki kot najsvetlejša, največja, naj-
bližja, čudovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še vedno zelo, zelo daleč, predaleč, da
bi lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! Na
robu galaksije ne moremo ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opazovalne razmere
še tako idealne. V večjih amaterskih teleskopih je
vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj naj-
svetlejših kroglastih kopic in morda ena ali dve svetli
3
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. najsvetlejša zvezda na našem nebu. Je
čudovita dvojna zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših teleskopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi-
sali kot rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni kontrast je izrazit in ga še pouda-
rimo, če okular pomaknemo nekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nista ostri, temveč rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v resnici če-
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama
dvojna. To zanimivo večzvezdje je od nas oddaljeno
356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša in najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
prostim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolgovat oblaček nežne svetlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesnaženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalostjo v srcih si lahko pred-
stavljamo, kakšen čudovit nebesni objekt bi bila, če
bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostejšega je-
dra. In na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
svetlejša.
Slika 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaksijo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz-
vpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zra-
ven vedno pridevniki kot najsvetlejša, največja, naj-
bližja, čudovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še vedno zelo, zelo daleč, predaleč, da
bi lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! Na
robu galaksije ne moremo ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opazovalne razmere
še tako idealne. V večjih amaterskih teleskopih je
vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj naj-
svetlejših kroglastih kopic in morda ena ali dve svetli
3
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. jsvetlejša zvezda na našem nebu. Je
č ovita dv j a zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših t l skopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi
ali ko rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni kontrast je izrazit in ga še po da-
rim , če okular pomaknemo ekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nis a ostri, tem č rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medseb jna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v r snici če
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zve d tudi sama
vojna. To zanimivo večzvezdje je od nas odd lje o
356 svetlobnih let, skupni izs v zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša i najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
pro tim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolg at oblaček nežne s etlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesn ženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
sk raj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalo tjo v sr h si lahko pred-
st vljamo, kakšen čudovit neb s i objekt bi bila, če
bi jo lahko videl v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi sk r j okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okr g svetlega, gostejšega je
dra. I na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
vet ejša.
Sli 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaks jo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz
vpitosti. K beremo o Andromedini galaksiji, so zra
ve vedno pridevnik kot najsv tlejša, naj ečja, naj
bližja, ču ovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še v dno zelo, zelo d leč, predaleč, da
b lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! Na
robu galaksije ne m remo ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opazovalne razmere
še tako i ealne. V večjih am terskih tel skopih
vidnih nekaj t mnih prog plinov in prahu, nekaj naj-
svetlejših kroglastih kopic in m rda ena ali dve svetli
3
 
presek 39 (2011/2012) 2
a s t r o n o m i j a
25
plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Androme-
dine galaksije, pa se pokaže le na fotografijah, po-
snetih z dolgimi časi osvetlitve. Pri gledanju „v živo“
nas Andromedina galaksija očara le, če vemo, kaj gle-
damo! Ko galaksijo občudujemo na nočnem nebu, ne
gledamo le najbolj oddaljenega objekta v vesolju, ki
ga še vidimo s prostim očesom, temveč gledamo tudi
najdlje v preteklost (s prostim očesom). Svetloba, ki
ta trenutek prihaja v naše oko, je galaksijo zapustila
pred 2,93 milijona leti, torej v času, ko so po Zemlji
hodili prvi človečnjaki!
Slika 3
Andromedina galaksija se je pojavila na zvezdnih
kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi.
Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi
Knjiga zvezd stalnic prvič omenja perzijski astro-
nom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak.
S teleskopom pa si je Mali oblak prvi ogledal Simon
Marius leta 1611 ali 1612.
Andromedina galaksija je članica naše Lokalne jate
in je največja v tej skupini galaksij, v katero sodijo
tudi naša Galaksija, spiralna M 33 v Trikotniku in še
cel kup manjših pritlikavk. S prvimi meritvami ve-
likosti Andromedine galaksije so dobili za njen pre-
mer 110 000 svetlobnih let. Novejše ocene, dobljene
na podlagi občutljivejših meritev, so pokazale, da je
galaksija skoraj dvakrat večja. Njen premer je malo
manjši od 200 000 svetlobnih let in sodi med najve-
čje znane spiralne galaksije! Naša Galaksija meri v
premeru približno 130 000 svetlobnih let. Androme-
dina galaksija je povsem normalna galaksija. V sre-
diščni odebelitvi prevladujejo stare zvezde – rdeče in
rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdnega plina
in prahu. Podobno kot v naši Galaksiji pa je v spiral-
nih rokavih veliko plinov in prahu, modrih, vročih,
mladih orjakinj kot sta naša Rigel ali Deneb, meglic
kot je naša Orionova meglica, planetarnih meglic in
kroglastih ter razsutih kopic. Vse to in še več lahko
povemo učencem, da popestrimo opazovanje. Po-
skusite!
Tekmovanje v znanju astronomije za osnovne
in srednje šole
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je letošnje
šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. decem-
bra, državno tekmovanje pa 17. decembra.
4
plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Androme-
dine galaksije, pa se pokaže le na fotografijah, po-
snetih z dolgimi časi osvetlitve. Pri gledanju „v živo“
nas Andromedina galaksija očara le, če vemo, kaj gle-
damo! Ko galaksijo občudujemo na nočnem nebu, ne
g edamo le najbolj o daljenega objekta v vesolju, ki
ga še vidimo s prostim česom, temveč gledamo tudi
najdlje v preteklost (s prostim očesom). Svetloba, ki
ta tre utek prihaja v naše oko, je galaksijo zapustila
pred 2,93 milijona leti, torej v času, ko so po Zemlji
ho ili prvi človečnjaki!
Slika 3
Andromedina galaksija se je pojavila na zvezdnih
kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi.
Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi
Knjiga zvezd stalnic prvič omenja perzijski astro-
nom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak.
S telesk pom pa si je Mali oblak pr i ogledal Simon
Marius leta 1611 ali 1612.
A dromedina galaksija je članica naše Lokalne jate
in e naj čja v tej skupini galaksij, v katero sodijo
tudi naša Gal ksij , spiralna M 33 Trikotniku in še
cel kup manjših pritlikavk. S prvim meritvami ve-
likosti Andromedine galaksije so dobili za njen pre-
mer 110 000 svetlobnih let. Novejše oc ne, dobljen
na podlagi obču ljivejših meritev, so pokazale, da e
galaksija skoraj dvakrat večja. Njen premer je malo
manjši od 200 000 svetlobnih let in sodi med naj
čje znane spiralne gal ksije! Naša Galaksija meri v
pr meru približno 130 000 svetlobnih l t. Androme-
dina galaksija je povsem no malna gala sij . V sre-
diščni odebelitvi prevl dujejo star zvezde – rdeče in
rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdn ga plina
in prahu. Podob o kot v naši Galaksiji pa je v spi al-
nih rokavih velik plinov in prahu, modrih, v čih,
mladih orjakin kot sta naša Rigel ali Deneb, meglic
kot je naša Orionova meglica, planetarnih meglic
kroglastih ter razsutih kopic. Vse to in še več lahko
povemo učencem, da popestrimo opazovanje. Po
skusite!
Tekmovanje v znanju astronomije za osnovne
in srednje šole
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je letošnje
šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. decem-
bra, državno tekmovanje pa 17. decembr .
4
slika 3.
Andromedina Galaksija Fo-
tografija: Bill Schoening, Va-
nessa Harvey/REU program/
NOAO/AURA/NSF
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. najsvetlejša zvezda na našem nebu. Je
čudovita dvojna zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših teleskopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi-
sali kot rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni kontrast je izrazit in ga še pouda-
rimo, če okular pomaknemo nekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nista ostri, temveč rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v resnici če-
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama
dvojna. To zanimivo večzvezdje je od nas oddaljeno
356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša in najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
prostim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolgovat oblaček nežne svetlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesnaženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalostjo v srcih si lahko pred-
stavljamo, kakšen čudovit nebesni objekt bi bila, če
bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostejšega je-
dra. In na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
svetlejša.
Slika 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaksijo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz-
vpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zra-
ven vedno pridevniki kot najsvetlejša, največja, naj-
bližja, čudovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še vedno zelo, zelo daleč, predaleč, da
bi lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! Na
robu galaksije ne moremo ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opazovalne razmere
še tako idealne. V večjih amaterskih teleskopih je
vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj naj-
svetlejših kroglastih kopic in morda ena ali dve svetli
3
Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magni-
tude je 28 ločnih sekund oddaljena od Bete in je pri-
tlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manjši od
Sončevega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in pred-
stavljata pravo dvozvezdje.
Gama je 61. najsvetlejša zvezda na našem nebu. Je
čudovita dvojna zvezda, ena najlepših, kar jih lahko
vidimo v manjših teleskopih. Svetlejša zvezda (2m3)
je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opi-
sali kot rahlo oranžno), šibkejša (5m0) pa je zeleno-
modra. Barvni kontrast je izrazit in ga še pouda-
rimo, če okular pomaknemo nekoliko izven gorišča,
da sliki zvezd nista ostri, temveč rahlo razmazani.
Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 10 ločnih sekund,
njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav
veliko spremenila. Gama Andromede je v resnici če-
tverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama
dvojna. To zanimivo večzvezdje je od nas oddaljeno
356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa prekaša
Sončevega za kar 1250-krat.
Andromedina galaksija
Ko smo s pomočjo Pegaza našli Andromedo (glej sliko
1), se lahko lotimo iskanja Andromedine galaksije (M
31), ki je zagotovo najlepši objekt v ozvezdju. Je
najsvetlejša in najbližja od vseh velikih galaksij in
edina druga galaksija, ki jo lahko brez težav vidimo s
prostim očesom. Leži približno stopinjo zahodno od
zvezde Ni, v jasni, brezmesečni noči pa je videti kot
majhen, podolgovat oblaček nežne svetlobe (seveda
velja to le v krajih z malo svetlobnega onesnaženja).
Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo
skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekva-
torialno ravnino. Le z žalostjo v srcih si lahko pred-
stavljamo, kakšen čudovit nebesni objekt bi bila, če
bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri
njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni
rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostejšega je-
dra. In na našem nebu bi bila seveda veliko večja in
svetlejša.
Slika 2
Ob odličnih opazovalnih razmerah se bo v manj-
šem teleskopu galaksija raztegnila v približno 4 sto-
pinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno sve-
tlejšo središčno zgostitvijo – pogled, ki zagotovo raz-
očara marsikaterega opazovalca na začetku kariere,
ki galaksijo vidi prvič. Vzrok za to je v njeni raz-
vpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zra-
ven vedno pridevniki kot najsvetlejša, največja, naj-
bližja, čudovita, spektakularna . . . Kljub temu, da je
najbližja, je še vedno zelo, zelo daleč, predaleč, da
bi lahko z manjšim daljnogledom videli kaj več! N
robu galaksije ne morem ločiti posameznih zvezd,
pa če je teleskop še tako velik in opaz valne r zmere
še tako i ealne. V večjih amate skih teleskopih je
vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj naj
svetlejših kroglastih kopic in rda ena ali dv svetli
3
•
Presek 39 (2011/2012) 2
a s t r o n o m i j a
26
Tekmovanje v znanju astronomije za  
osnovne in srednje šole
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je leto-
šnje šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. 
decembra, državno tekmovanje pa 17. decembra.
www.presek.si
www.dmfa.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Androme-
dine galaksije, pa se pokaže le na fotografijah, po-
snetih z dolgimi časi osvetlitve. Pri gledanju „v živo“
nas Andromedina galaksija očara le, če vemo, kaj gle-
damo! Ko galaksijo občudujemo na nočnem nebu, ne
gledamo le najbolj oddaljenega objekta v vesolju, ki
ga še vidimo s prostim očesom, temveč gledamo tudi
najdlje v preteklost (s prostim očesom). Svetloba, ki
ta trenutek prihaja v naše oko, je galaksijo zapustila
pred 2,93 milijona leti, torej v času, ko so po Zemlji
hodili prvi človečnjaki!
Slika 3
Andromedina galaksija se je pojavila na zvezdnih
kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi.
Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi
Knjiga zvezd stalnic prvič omenja perzijski astro-
nom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak.
S teleskopom pa si je Mali oblak prvi ogledal Simon
Marius leta 1611 ali 1612.
Andromedina galaksija je članica naše Lokalne jate
in je največja v tej skupini galaksij, v katero sodijo
tudi naša Galaksija, spiralna M 33 v Trikotniku in še
cel kup manjših pritlikavk. S prvimi meritvami ve-
likosti Andromedine galaksije so dobili za njen pre-
mer 110 000 svetlobnih let. Novejše ocene, dobljene
na podlagi občutljivejših meritev, so pokazale, da je
galaksija skoraj dvakrat večja. Njen premer je malo
manjši od 200 000 svetlobnih let in sodi med najve-
čje znane spiralne galaksije! Naša Galaksija meri v
premeru približno 130 000 svetlobnih let. Androme-
dina galaksija je povsem normalna galaksija. V sre-
diščni odebelitvi prevladujejo stare zvezde – rdeče in
rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdnega plina
in prahu. Podobno kot v naši Galaksiji pa je v spiral-
nih rokavih veliko plinov in prahu, modrih, vročih,
mladih orjakinj kot sta naša Rigel ali Deneb, meglic
kot je naša Orionova meglica, planetarnih meglic in
kroglastih ter razsutih kopic. Vse to in še več lahko
povemo učencem, da popestrimo opazovanje. Po-
skusite!
Tekmovanje v znanju astronomije za osnovne
in srednje šole
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je letošnje
šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. decem-
bra, državno tekmovanje pa 17. decembra.
4
plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Androme-
dine galaksije, pa se pokaže le na fotografijah, po-
snetih z dolgimi časi osvetlitve. Pri gledanju „v živo“
nas Andromedina galaksija očara le, če vemo, kaj gle-
damo! Ko galaksijo občudujemo na nočnem nebu, ne
gledamo le najbolj oddaljenega objekta v vesolju, ki
ga še vidimo s prostim očesom, temveč gledamo tudi
najdlje v preteklost (s prostim očesom). Svetloba, ki
ta trenutek prihaja v naše oko, je galaksijo zapustila
pred 2,93 milijona leti, torej v času, ko so po Zemlji
hodili prvi človečnjaki!
Slika 3
Andromedina galaksija se je pojavila na zvezdnih
kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi.
Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi
Knjiga zvezd stalnic prvič omenja perzijski astro-
nom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak.
S teleskopom pa si je Mali oblak prvi ogledal Simon
Marius leta 1611 ali 1612.
Andromedina galaksija je članica naše Lokalne jate
in je največja v tej skupini galaksij, v katero sodijo
tudi naša Galaksija, spiralna M 33 v Trikotniku in še
cel kup manjših pritlikavk. S prvimi meritvami ve-
likosti Andromedine galaksije so dobili za njen pre-
mer 110 000 svetlobnih let. Novejše ocene, dobljene
na podlagi občutljivejših meritev, so pokazale, da je
galaksija skoraj dvakrat večja. Njen premer je malo
manjši od 200 000 svetlobnih let in sodi med najve-
čje znane spiralne galaksije! Naša Galaksija meri v
premeru približno 130 000 svetlobnih let. Androme-
dina galaksija je povsem normalna galaksija. V sre-
diščni odebelitvi prevladujejo stare zvezde – rdeče in
rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdnega plina
in prahu. Podobno kot v naši Galaksiji pa je v spiral-
nih rokavih veliko plinov in prahu, modrih, vročih,
mladih orjakinj kot sta naša Rigel ali Deneb, meglic
kot je naša Orionova meglica, planetarnih meglic in
kroglastih ter razsutih kopic. Vse to in še več lahko
povemo učencem, da popestrimo opazovanje. Po-
skusite!
Tekmovanje v znanju astronomije za osnovne
in srednje šol
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je letošnje
šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. decem-
bra, državno tekmovanje pa 17. decembra.
4
•
presek 39 (2011/2012) 2
27
r a č u n a l n i š t v o
V tem prispevku si bomo pobliže ogledali iska-
nje nizov v poljubnem besedilu. Običajno ob tem
pomislimo na iskanje besed v besedilu, ki ga naj-
demo v kakšni elektronski knjigi, spletni strani ali
drugem dokumentu. Vendar je iskanje besedila
zelo uporabno tudi na drugih področjih. Pred ne-
kaj leti so znanstveniki uspeli zapisati celoten za-
pis DNK človeškega genoma, ki vsebuje približno
tri miljarde baznih parov. Iz biologije vemo, da
je veriga DNK sestavljena iz nukleotidnih baz, in
sicer iz adenina (A), timina (T), gvanina (G) in cito-
zina (C). V laboratoriju genetiki takšno verigo pre-
vedejo v zapis nukleotidnih baz, ki ga zapišejo kot
zaporedje znakov, in dobijo dolgo besedilo (npr.
AAATTGGCATGTGGTGCCAA). Prvo pomembno
vprašanje, ki si ga zastavijo, je, ali je dobljeni niz
enak ali vsaj podoben kateremu drugemu nizu,
shranjenemu v podatkovnih bankah DNK. Odgo-
vor na to vprašanje dobijo ravno z iskalnimi algo-
ritmi in kasneje v poglobljeni analizi z algoritmi
ujemanja.
Tudi v računalništvu večkrat potrebujemo iskanje ni-
zov v besedilu. Pri tem je predvsem pomembno, da
na besedilo ne gledamo kot na nekaj, kar ima za člo-
veka smisel, temveč kot na zaporedje znakov. Be-
sedilo je tako lahko tudi binarni zapis programa, v
katerem iščemo točno določeni niz – zaporedje ničel
in enic.
Dani problem bi lahko zapisali na naslednji način:
Podano je zaporedje znakov besedilo dolžine n, v
katerem iščemo zaporedje znakov niz dolžine m.
Neposredno iskanje
Najbolj preprost način iskanja niza v besedilu je, da
za vsak položaj k v besedilu pregledamo, ali je nasle-
dnjih m znakov iz iskanega niza enakih tistim v be-
sedilu. Če nastopi neskladje, še preden pregledamo
vse znake iz iskanega niza, potem poskusimo z na-
slednjim položajem (k+ 1) kot začetnim položajem
iskanja. Algoritem bi bil videti takole:
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
•
igor pesek
Iskanje nizov 
v besedilu
•
slika 1.
Neposredno iskanje
V tem prispevku si bomo pobliže ogledali iska-
nje nizov v poljubnem besedilu. Običajno ob tem
pomislimo na iskanje besed v besedilu, ki ga naj-
demo v kakšni elektronski knjigi, spletni strani ali
drugem dokumentu. Vendar je iskanje besedila
zelo uporabno tudi na drugih področjih. Pred ne-
kaj leti so znanstveniki uspeli zapisati celoten za-
pis DNK človeškega genoma, ki vsebuje približno
tri miljarde baznih parov. Iz biologije vemo, da
je veriga DNK sestavljena iz nukleotidnih baz, in
sicer iz adenina (A), timina (T), gvanina (G) in cito-
zina (C). V laboratoriju genetiki takšno verigo pre-
vedejo v zapis nukleotidnih baz, ki ga zapišejo kot
zaporedje znakov, in dobijo dolgo besedilo (npr.
AAATTGGCATGTGGTGCCAA). Prvo pomembno
vprašanje, ki si ga zastavijo, je, ali je dobljeni niz
enak ali vsaj podoben kateremu drugemu nizu,
shranjenemu v podatkovnih bankah DNK. Odgo-
vor na to vprašanje dobijo ravno z iskalnimi algo-
ritmi in kasneje v poglobljeni analizi z algoritmi
ujemanja.
Tudi v računalništvu večkrat potrebujemo iska je ni-
zov v besedilu. Pri tem je predvsem pomembno, da
na be edilo ne gledam kot na nekaj, kar ima za člo
v ka smisel, temveč kot na zaporedje znakov. Be-
sedilo je tako lahko tudi binarni apis programa, v
katerem iščemo točno določeni niz – zaporedje ničel
in enic.
D i problem bi lahko zapisali na naslednji način:
Podano je zap redje znakov besedilo dolžine n, v
katerem iščemo zaporedje znakov niz dolžine m.
Neposredno iskanje
N jbolj reprost način iskanja niza v besedilu je, da
za vsak položaj k v besedilu pregl d mo, ali je nasl
dnjih m znakov iz iskanega niza enakih tistim v be-
sedilu. Č nastopi neskladje, še preden pregledamo
vse znake iz iskanega niza, p tem poskusim z na-
sled im položajem (k+ 1) kot začetnim položajem
iskanja. Algoritem bi bil videti takole:
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
-
.
, -
,
.
. -
-
,
. ,
,
, , -
. -
,
, .
.
, , ,
,
. -
-
.
i l i i i
il . i ,
il l , i l
i l, .
il l i i i i ,
i l i i i l
i i .
i l i l i li l i i :
l i ,
i l i .
l i i i il ,
l il l , li l
i i i i i i
il . i l , l
i i i , i
l i l i l
i . l i i il i i l :
t ri i li l li i
j i lj il i j t
i li i j il i j
i l tr i ji i l t i tr i li
r t r j i j il
l r t i r i r ji r
j l ti t i i li i ti l t
i l i j ri li
tri ilj r i r I i l ij
j ri t lj i l ti i i
i r i i ( ) ti i ( ) i ( ) i it
i ( ) l r t rij ti i t ri r
j i l ti i i i j t
r j i ij l il ( r
) r
r j i i t ij j li j lj i i
li j t r r i
r j t i
r t r j ij r i l i i l
rit i i j l lj i li i l rit i
j j
r t r t tr j j -
r t j r
t j r
t t r j -
j t t r r r
t r t r j
r j
j r j s il
t r r j i
r i j
j j r r t j j
j r j
j t t -
t j r r
t -
j ( ) t t j
j r t t t
e s e s že e a s a
e z e ese . ca e
s a s a e ese ese , a a
e a š e e s , s e s a a
e e . e a e s a e ese a
ze a a c . e e
a e s z a s e s e za sa ce e za
s c eš e a e a, se e ž
a e az a . z e e , a
e e a ses a e a z e az,
s ce z a e a , a , a a c
z a . a a e e a š e e
e e za s e az, a za še
za e e z a , ese .
TT T T T . e
aša e, s a zas a , e, a e e z
e a a sa e a e e e z ,
s a e e a a a .
a aša e a z s a a
as e e e a a z z a
e a a.
v ac a š v vec a e e s a e
v v ese . P e e e vse e , a
a e e e g e a a e a , a a a c
v a s se , e vec a a e e a v. e
se e a a a a s g a a, v
a e e šce c ce – a e e ce
e c.
e a a sa a as e ac :
P a e a e e a v e e e , v
a e e šce a e e a v e .
e s ac s a a a v ese e, a
a vsa a v ese eg , a e as
a v s a ega a e a s v e
se . as es a e, še e e eg e a
vse a e s a ega a, e s s a
s e a e ace a e
s a a. g e v e a e:
V p i p vku i bo o pobli ogl d li i k -
nj ni ov v poljubn b dilu. Obiˇ jno ob
po i li o n i k nj b d v b dilu, ki g n j-
d o v k k ni l k on ki knjigi, pl ni ni li
d ug doku n u. V nd j i k nj b dil
lo upo bno udi n d ugih pod oˇjih. P d n -
k j l i o n n v niki u p li pi i lo n -
pi DNK ˇlov k g g no , ki v buj p ibli no
i ilj d b nih p ov. I biologij v o, d
j v ig DNK vlj n i nukl o idnih b , in
i i d nin (A), i in (T), gv nin (G) in i o-
in (C). V l bo o iju g n iki k no v igo p -
v d jo v pi nukl o idnih b , ki g pi jo ko
po dj n kov, in dobijo dolgo b dilo (np .
AAA GGCA G GG GCCAA). P vo po bno
vp nj , ki i g vijo, j , li j doblj ni ni
n k li v j podob n k u d ug u ni u,
h nj n u v pod kovnih b nk h DNK. Odgo-
vo n o vp nj dobijo vno i k lni i lgo-
i i in k n j v pogloblj ni n li i lgo i i
uj nj .
Tudi ˇun lni u ˇk po buj o i k j ni-
zo b dilu. i j p d po bno, d
n b s dilo n l d ko n n k j, k i z ľo-
ek i l, ˇ ko n z po dj zn ko . B -
dilo j ko l hko udi bin ni pi p o ,
k i ˇ o oˇno doloˇ ni niz z po dj niˇ l
in ni .
Da i p obl bi l hko z pi li n n l dnji n ǐn:
od no j z p dj zn ko b d o dolžin n,
k i ˇ o z po dj zn ko n z dolžin .
epos edno iskanje
Najbolj p o n ǐn i k nj niz b dilu j , d
z k polož j k b dilu p leda o, li j n le-
dnjih zn ko iz i k n niz n kih i i b -
dilu. Če n opi n kl dj , p d n p l d o
zn k iz i k n niz , p po ku i z n -
l d ji polož j k+ 1 ko z ˇ ni polož j
i k nj . Al o i bi bil id i kol :
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
t m r m
m t m
m m
m tr t tr
r m m t r
r t r r r
t t t t
m r
tr m r r m
r t t
r t m t
r t r t t r r
t t
r r
r m m
r t
t r m r m
r m t
r t r r m
r tm r tm
m
r t r t tr m n
r t m r m m m
mo t r m
m t m t r
t t r z r r m
t r m m t r
n r m
or s il
t r m m r i
N r
pr r t
r m
t t m
t r r m
ot m mo
n m m ( ) t t m m
r t m t t
e is e si liže le ali is a-
je iz lj e ese il . icaj e
isli a is a je ese ese il , i a aj-
e a š i ele s i ji i, s le i s a i ali
e e . e a je is a je ese ila
zel a i a i cji . e e-
aj le i s z a s e i i s eli za isa i cel e za-
is cl eš e a e a, i se je i liž
i ilja e az i a . Iz i l ije e , a
je e i a ses a lje a iz le i i az, i
sice iz a e i a ( ), i i a ( ), a i a ( ) i ci -
zi a ( ). la a ij e e i i a š e i e-
e ej za is le i i az, i a za išej
za e je z a , i ij l ese il ( .
). e
aša je, i si a zas a ij , je, ali je lje i iz
e a ali saj e a e e e iz ,
s a je e a i a a . -
a aša je ij a z is al i i al -
i i i as eje l lje i a alizi z al i i
je a ja.
i v ac al iš v vec a e je is a je i-
v v ese il . P i e je e vse e , a
a e e il e gle a a e aj, a i a a cl -
v a s isel, e vec a a e je a v. e-
se il je a la i i a i a is g a a, v
a e e išce c l ce i i – a e je icel
i e ic.
i le i la a isali a asle ji aci :
P a je a e je a v e e l i e , v
a e e išce a e je a v l i e m.
i j
j lj e s aci is a ja i a v ese il je, a
a vsa l aj v ese il egl , ali je asl -
ji m a v i is a ega i a e a i is i v e-
se il . as i es la je, še e e egle a
vse a e i is a ega i a, e s si a-
sle ji l aje ace i l aje
is a ja. lg i e i il vi e i a le:
t o o o og
o o . ˇ o o t
o o , g
o t o g , t t
g o t .
o o o t g o oˇ . P
t o t t ot
ˇ o g g o , o
t o . o og o,
g t ot ,
, t , g to
. o to g t t o go
o ot , g o ot
o o , o o o go o .
TT T T TC CC . P o o o
, g t o, , o
o o t g ,
o t o . go
o to o o o go
t og o go t
.
r ˇ t ˇkr t otr b o k
zo b . r t r o b o,
b s o kot k , k r z ˇ o
ek , t ˇ kot z or z ko . B
o t ko ko t b r ro r ,
k t r ˇ o toˇ o o oˇ z z or ˇ
.
a rob b ko z ˇ :
o o z r z ko ilo o ž ,
k t r ˇ o z or z ko iz o ž .
s s
a bo r ro t ˇ k z b ,
z k o ož b r e a o, e
z ko z k z k t t b
. ˇe to k , r r o
z k z k z , t o k z
o ož 1 kot z ˇ t o ož
k . or t b b t t ko :
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
pri p vku i b p bli l d li i k -
nj ni v v p ljubn b dilu bi jn b
p i li n i k nj b d v b dilu ki n j-
d v k k ni l k r n ki knji i pl ni r ni li
dru d ku n u nd r j i k nj b dil
l up r bn udi n dru ih p dr jih r d n -
k j l i n n v niki u p li pi i l n -
pi l v k n ki v buj pribli n
ri ilj rd b nih p r v I bi l ij v d
j v ri vlj n i nukl idnih b in
i r i d nin ( ) i in (T) v nin ( ) in i -
in (C) l b r riju n iki k n v ri pr -
v d j v pi nukl idnih b ki pi j k
p r dj n k v in d bij d l b dil (npr
AAA GG A G GG G AA) rv p bn
vpr nj ki i vij j li j d blj ni ni
n k li v j p d b n k r u dru u ni u
hr nj n u v p d k vnih b nk h d -
v r n vpr nj d bij r vn i k lni i l -
ri i in k n j v p l blj ni n li i l ri i
uj nj
Tudi un lni u p uj i j ni-
dilu i j p d p n d
n dil n l d n n j i l -
i l n p dj n -
dil j l h udi in ni pi p
i n d l ni ni p dj ni l
in ni
i p l i l h pi li n n l dnji n in
d n j p dj n b s d d l in
i p dj n d l in
e re i ka je
j lj p n in i nj ni dilu j d
p l j k dilu p l d li j n l -
dnjih n i i n ni n ih i i -
dilu C n pi n l dj p d n p l d
n i i n ni p p u i n -
l d ji p l j (k ) ni p l j
i nj l i i il id i l
V e s e s že e a s a
e z e ese . O ca e
s a s a e ese ese , a a
e a š e e s , s e s a a
e e . Ve a e s a e ese a
ze a a c . e e
a e s z a s e s e za sa ce e za
s DNK c eš e a e a, se e ž
a e az a . z e e , a
e e a DNK ses a e a z e az,
s ce z a e a A , a , a a G c
z a . V a a e e a š e e
e e za s e az, a za še
za e e z a , ese .
. e
aša e, s a zas a , e, a e e z
e a a sa e a e e e z ,
s a e e a a a DNK. O
a aša e a z s a a
as e e e a a z z a
e a a.
v ac a š v vec a e e s an e
v v ese . P e e e vse e , a
a e e e g e a o a e a , a a a c
v a s se , e vec a a e e a v. e
se e a a a za s g a a, v
a e e šce c ce – a e e ce
e c.
D n e a a sa a as e ac :
P a e a o e e a v e e e n, v
a e e šce a e e a v n e .
po dno n
N p e s ac s a a a v ese e, a
a vsa a v ese eg , a e as
a v s a ega a e a s v e
se . as es a e, še e e eg e a
vse a e s a ega a, o e s s o a
s e n a e + ace a e
s a a. A g e v e a e:
t m ri i omo o li ogl li i -
j i o olj m il . iˇ j o o t m
omi limo i j il , i g j-
mo i l tro i jigi, l t i tr i li
r g m o m t . r j i j il
lo or o t i r gi o roˇji . Pr -
j l ti o t i i li i ti lot -
i ˇlo g g om , i j ri li o
tri milj r i ro . I iologij mo,
j rig t lj i l oti i , i
i r i i ( ), timi ( ), g i ( ) i ito-
i ( ). l or torij g ti i t o rigo r -
jo i l oti i , i g i jo ot
or j o , i o ijo olgo ilo ( r.
TT T T T ). Pr o om m o
r j , i i g t ijo, j , li j o lj i i
li j o o t r m r g m i ,
r j m o t o i . go-
or to r j o ijo r o i l imi lgo-
ritmi i j oglo lj i li i lgoritmi
j m j .
i r ˇ l i t ˇkr t otr b j mo i k j i-
zo b il . ri t m j r m om mb o,
b s ilo l m kot k j, k r im z ľo-
ek mi l, t m ˇ kot z or j z ko . B -
ilo j t ko l ko t i bi r i i ro r m ,
k t r m i ˇ mo toˇ o oloˇ i iz z or j iˇ l
i i .
a i robl m bi l ko z i li l ji ǐ :
o o j z r j z ko s ilo olži ,
k t r m i ˇ mo z or j z ko iz olži .
N sr is j
ajbolj r ro t ǐ i k j iz b il j ,
z k olož j b il r le amo, li j le-
ji z ko iz i k iz ki ti tim b -
il . ˇe to i kl j , r r l mo
z k iz i k iz , t m o k im z -
l jim olož j m ( 1) kot z ˇ t im olož j m
i k j . l orit m bi bil i ti t kol :
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
C CC
e p ispevku si b p bliže ledali iska-
nje niz v v p ljubne besedilu. bicajn b e
p isli na iskanje besed v besedilu, ki a naj-
de v kakšni elek nski knji i, sple ni s ani ali
d u e d ku en u. enda je iskanje besedila
zel up abn udi na d u ih p d cjih. ed ne-
kaj le i s znans veniki uspeli zapisa i cel en za-
pis cl veške a en a, ki vsebuje p ibližn
i ilja de baznih pa v. Iz bi l ije ve , da
je ve i a ses avljena iz nukle idnih baz, in
sice iz adenina ( ), i ina (T), vanina ( ) in ci -
zina (C). lab a iju ene iki akšn ve i p e-
vedej v zapis nukle idnih baz, ki a zapišej k
zap edje znak v, in d bij d l besedil (np .
AAA GG A G GG G AA). v p e bn
vp ašanje, ki si a zas avij , je, ali je d bljeni niz
enak ali vsaj p d ben ka e e u d u e u nizu,
sh anjene u v p da k vnih bankah . d -
v na vp ašanje d bij avn z iskalni i al -
i i in kasneje v p l bljeni analizi z al i i
uje anja.
Tudi v acunalniš vu vec a p e uje is a je ni-
v v esedilu. P i e je p edvse p e n , da
na e edil ne gleda o na ne aj, a i a a cl -
v a s isel, e vec na ap edje na v. e-
sedil je a lah udi ina ni zapis p g a a, v
a e e išce cn d l ceni ni – ap edje nicel
in enic.
i p le i lah apisali na naslednji nacin:
P dan je apo edje na v be ed d l ine , v
a e e išce ap edje na v d l ine m.
e e i ka je
j lj ep s nacin is anja ni a v esedilu je, da
a vsa p l aj k v esedilu p egl d , ali je nasl -
dnjih m na v i is anega ni a ena ih is i v e-
sedilu. C nas pi nes ladje, še p eden p egleda
vse na e i is anega ni a, po e p s usi o na-
sled ji p l aje k ace ni p l aje
is anja. lg i e i il vide i a le:
V t r
t
tr t tr
r t V r
r t r r r
t t t t
DNK r
tr r r
r DNK t t
r A t G t
V r t r t t r r
t t
r r
r
r t
t r r
r t DNK
r t r r
r t r t
r t r t tr n
r t r
s t r
e t t r
t t r r r
t r t r
D n r
r s il n
t r r ni
po r dno n
N pr r t
r e e
t t
e t r r
t
n ( + ) t t
A r t t t
o o o og
o o . O ˇ o o
o o , g
o o g ,
g o .
o o o g o oˇ . P
o o
ˇ o g g o , o
o . o og o,
g o ,
, , g o
. o o g o go
o o , g o o
o o , o o o go o .
. P o o o
, g o, , o
o o g ,
o o . O go
o o o o o go
og o go
.
ˇ ˇk o b o k
zo b . o b o,
b o ko k , k z ˇ o
k , ˇ ko z o z ko . B
o ko ko b o ,
k ˇ o oˇ o o oˇ z z o ˇ
.
a ob b ko z ˇ :
o o z z ko o o ž ,
k ˇ o z o z ko z o ž .
s s
a bo o ˇ k z b ,
z k o ož b a o,
z ko z k z k b
. ˇ o k , o
z k z k z , o k z
o ož 1 ko z ˇ o ož
k . o b b ko :
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
is si li l li is -
j i lj s il . i j
isli is j s s il , i j-
š i l s i ji i, s l i s i li
. j is j s il
l i i ji . -
j l i s s i i s li is i l -
is l š , i s j i li
i ilj i . I i l ij ,
j i s s lj i l i i , i
si i i ( ), i i ( ), i ( ) i i -
i ( ). l ij i i š i -
j is l i i , i iš j
j , i ij l s il ( .
TT C T T T CC ).
š j , i si s ij , j , li j lj i i
li s j i ,
s j i . -
š j ij is l i i l -
i i i s j l lj i li i l i i
j j .
i c l iš ec e je is je i-
ese il . i e je e se e ,
e e il e le e j, i cl -
s isel, e ec e je . e-
se il je l i i i is ,
e e išce c l ce i i – e je icel
i e ic.
i le i l is li sle ji ci :
je e je e e l i e ,
e e išce e je l i e .
N i j
j lj e s ci is j i ese il je,
s l j ese il e l , li je sl -
ji i is e i e i is i e-
se il . s i es l je, še e e e le
se e i is e i , e s si -
sle ji l je ce i l je
is j . l i e i il i e i le:
te pr pevku b p b že eda ka
n e n z v v p ubne be ed u. b ca n b te
p na kan e be ed v be ed u, k a na
de v kak n e ektr n k kn , p etn tran a
dru e d ku entu. endar e kan e be ed a
ze up rabn tud na dru h p dr c h. red ne
ka et znan tven k u pe zap at ce ten za
p c ve ke a en a, k v ebu e pr b žn
tr arde bazn h par v. z b e ve , da
e ver a e tav ena z nuk e t dn h baz, n
cer z aden na , t na T , van na n c t
z na C . ab rat r u enet k tak n ver pre
vede v zap nuk e t dn h baz, k a zap e k t
zap red e znak v, n d b d be ed npr.
AAA GG A G GG G AA . rv p e bn
vpra an e, k a za tav , e, a e d b en n z
enak a v a p d ben katere u dru e u n zu,
hran ene u v p datk vn h bankah . d
v r na t vpra an e d b ravn z ka n a
r t n ka ne e v p b en ana z z a r t
u e an a.
Tud v ra una n tvu v rat p tr u a n
v v d u. Pr t pr dv p n , da
na s d n g da o t na n a , ar a a
ve a , t v t na ap r d na v.
d ta ah tud narn zap pr gra a, v
at r t n d n n ap r d n
n n .
pr ah ap a na na dn na n:
P dan apor d na v b s dil d n , v
at r ap r d na v i d n .
e re ka e
r pr t na n an a n a v d u , da
a v a p a k v d u pr g ed , a na e
dn h na v an ga n a na h t t v
d u. Ce na t p n ad , pr d n pr g da
v na an ga n a, pot p u o na
d p a (k ) t a tn p a
an a. g r t v d t ta :
i i o o o li ogl li i -
j i o olj il iˇ j o o
o i li o i j il i g j-
o i l o i jigi l i i li
g o j i j il
lo o o i gi o oˇji P -
j l i o i i li i i lo -
i ˇlo g g o i j i li o
i ilj i o I iologij o
j ig lj i l o i i i
i i i ( ) i i ( ) g i ( ) i i o-
i ( ) l o o ij g i i o igo -
jo i l o i i i g i jo o
o j o i o ijo olgo ilo (
) P o o o
j i i g ijo j li j o lj i i
li j o o g i
j o o i go-
o o j o ijo o i l i i lgo-
i i i j oglo lj i li i lgo i i
j j
i ˇ l i ˇk o b j o i k nj i-
zo b il i j o b o
b ilo l ko k j k i z ľo-
k i l ˇ ko z o j z ko B -
ilo j ko l ko i bi i i o
k i ˇ o oˇ o oloˇ i iz z o j iˇ l
i i
ani obl bi l ko z i li l ji ǐ
o o j z j z ko o olži
k i ˇ o z o j z ko z olži
s is j
ajbolj p o ǐ i k j iz b il j
z k olož j b il l a o li j l -
ji z ko iz i k iz ki i i b -
il ˇ o i kl j l o
z k iz i k iz o k i z -
l nji olož j 1 ko z ˇ i olož j
i k j l o i bi bil i i kol
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
.
,
,
.
.
,
. ,
,
, ,
.
,
, .
.
, , ,
,
.
.
. ,
,
, .
,
.
:
,
.
,
,
. ,
,
. :
V tem prispevku si bomo pobliže ogledali iska-
nje nizov v poljubnem besedilu. Običajno ob tem
pomislimo na iskanje besed v besedilu, ki ga naj-
demo v kakšni elektronski knjigi, spletni strani ali
drugem dokumentu. Vendar je iskanje besedila
zelo uporabno tudi na drugih področjih. Pred ne-
kaj leti so znanstveniki uspeli zapisati celoten za-
pis DNK človeškega genoma, ki vsebuje približno
tri miljarde baznih parov. Iz biologije vemo, da
je veriga DNK sestavljena iz nukleotidnih baz, in
sicer iz adenina (A), timina (T), gvanina (G) in cito-
zina (C). V laboratoriju genetiki takšno verigo pre-
vedejo v zapis nukleotidnih baz, ki ga zapišejo kot
zaporedje znakov, in dobijo dolgo besedilo (npr.
AAATTGGCATGTGGTGCCAA). Prvo pomembno
vprašanje, ki si ga zastavijo, je, ali je dobljeni niz
enak ali vsaj podoben kateremu drugemu nizu,
shranjenemu v podatkovnih bankah DNK. Odgo-
vor na to vprašanje dobijo ravno z iskalnimi algo-
ritmi in kasneje v poglobljeni analizi z algoritmi
ujemanja.
Tudi v računalništvu večkrat potrebujemo iskanje ni-
zov v besedilu. Pri tem je predvsem pomembno, da
na besedilo ne gledamo kot na nekaj, kar ima za člo-
veka smisel, temveč kot na zaporedje znakov. Be-
sedilo je tako lahko tudi binarni zapis programa, v
katerem iščemo točno določeni niz – zaporedje ničel
in enic.
Dani problem bi lahko zapisali na naslednji način:
Podano je zaporedje znakov besedilo dolžine n, v
katerem iščemo zaporedje znakov niz dolžine m.
Neposredno iskanje
Najbolj preprost način iskanja niza v besedilu je, da
za vsak položaj k v besedilu pregledamo, ali je nasle-
dnjih m znakov iz iskanega niza enakih tistim v be-
sedilu. Če nastopi neskladje, še preden pregledamo
vse znake iz iskanega niza, potem poskusimo z na-
slednjim položajem (k+ 1) kot začetnim položajem
iskanja. Algoritem bi bil videti takole:
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
V tem prispevku si bomo pobliže ogledali iska-
nje nizov v poljubnem besedilu. Običajno ob tem
pomislimo na iskanje besed v besedilu, ki ga naj-
demo v kakšni elektronski knjigi, spletni strani ali
drugem dokumentu. Vendar je iskanje besedila
zelo uporabno tudi na drugih področjih. Pred ne-
kaj leti so znanstveniki uspeli zapisati celoten za-
pis DNK človeškega genoma, ki vsebuje približno
tri miljarde baznih parov. Iz biologije vemo, da
je veriga DNK sestavljena iz nukleotidnih baz, in
sicer iz adenina (A), timina (T), gvanina (G) in cito-
zina (C). V laboratoriju genetiki takšno verigo pre-
vedejo v zapis nukleotidnih baz, ki ga zapišejo kot
zaporedje znakov, in dobijo dolgo besedilo (npr.
AAATTGGCATGTGGTGCCAA). Prvo pomembno
vprašanje, ki si ga zastavijo, je, ali je dobljeni niz
enak ali vsaj podoben kateremu drugemu nizu,
shranjenemu v podatkovnih bankah DNK. Odgo-
vor na to vprašanje dobijo ravno z iskalnimi algo-
ritmi in kasneje v poglobljeni analizi z algoritmi
ujemanja.
Tudi v računalništvu večkrat potrebujemo iskanje ni-
zov v besedilu. Pri tem je predvsem pomembno, da
na besedilo ne gledamo kot na nekaj, kar ima za člo-
veka smisel, temveč kot na zaporedje znakov. Be-
sedilo je tako lahko tudi binarni zapis programa, v
katerem iščemo točno določeni niz – zaporedje ničel
in enic.
Dani problem bi lahko zapisali na naslednji način:
Podano je zaporedje znakov besedilo dolžine n, v
katerem iščemo zaporedje znakov niz dolžine m.
Neposredno iskanje
Najbolj preprost način iskanja niza v besedilu je, da
za vsak položaj k v besedilu pregledamo, ali je nasle-
dnjih m znakov iz iskanega niza enakih tistim v be-
sedilu. Če nastopi neskladje, še preden pregledamo
vse znake iz iskanega niza, potem poskusimo z na-
slednjim položajem (k+ 1) kot začetnim položajem
iskanja. Algoritem bi bil videti takole:
1 k = 0
2 dokler k <= n ponavljaj
3 j = 0
4 dokler j <= m in niz[j+1]
= besedilo[k+j+1] ponavljaj
5 j = j + 1
6 če je j = m potem
7 vrni k
8 sicer
9 k = k + 1
2
plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Androme-
dine galaksije, pa se pokaže le na fotografijah, po-
snetih z dolgimi časi osvetlitve. Pri gledanju „v živo“
nas Andromedina galaksija očara le, če vemo, kaj gle-
damo! Ko galaksijo občudujemo na nočnem nebu, ne
gledamo le najbolj oddaljenega objekta v vesolju, ki
ga še vidimo s prostim očesom, temveč gledamo tudi
najdlje v preteklost (s prostim očesom). Svetloba, ki
ta trenutek prihaja v naše oko, je galaksijo zapustila
pred 2,93 milijona leti, torej v času, ko so po Zemlji
hodili prvi človečnjaki!
Slika 3
Andromedina galaksija se je pojavila na zvezdnih
kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi.
Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi
Knjiga zvezd stalnic prvič omenja perzijski astro-
nom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak.
S teleskopom pa si je Mali oblak prvi ogledal Simon
Marius leta 1611 ali 1612.
Andromedina galaksija je članica naše Lokalne jate
in je največja v tej skupini galaksij, v katero sodijo
tudi naša Galaksija, spiralna M 33 v Trikotniku in še
cel kup manjših pritlikavk. S prvimi meritvami ve-
likosti Andromedine galaksije so dobili za njen pre-
mer 110 000 svetlobnih let. Novejše ocene, dobljene
na podlagi občutljivejših meritev, so pokazale, da je
galaksija skoraj dvakrat večja. Njen premer je malo
manjši od 200 000 svetlobnih let in sodi med najve-
čje znane spiralne galaksije! Naša Galaksija meri v
premeru približno 130 000 svetlobnih let. Androme-
dina galaksija je povsem normalna galaksija. V sre-
diščni odebelitvi prevladujejo stare zvezde – rdeče in
rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdnega plina
in prahu. Podobno kot v naši Galaksiji pa je v spiral-
nih rokavih veliko plinov in prahu, modrih, vročih,
mladih orjakinj kot sta naša Rigel ali Deneb, meglic
kot je naša Orionova meglica, planetarnih meglic in
kroglastih ter razsutih kopic. Vse to in še več lahko
povemo učencem, da popestrimo opazovanje. Po-
skusite!
Tekmovanje v znanju astronomije za osnovne
in srednje šole
Učenci, dijaki in mentorji ne pozabite, da je letošnje
šolsko tekmovanje v znanju astronomije 1. decem-
bra, državno tekmovanje pa 17. decembra.
4
 i
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposrednega iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da algoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po iskanju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo črko v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črke gotovo ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
se bomo posvetili kasneje, sedaj pa si poglejmo ča-
sovno zahtevnost tega algoritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo zelo veliko pona-
vljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. besedilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevnost O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje po književnem besedilu), da je časovna
zahtevnost zelo blizu linearni. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskanega niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zanka ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega iskanja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo znake, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša od števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler k <= n - m ponavljaj
Kot nadaljno optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmislite, zakaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje najhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V nadaljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
lepo pa prikaže samo delovanje algoritma. Algori-
tem obdeluje znake od desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno ležečimi znaki v besedilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v primeru neujemanja znaka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] v iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] poravnana.
Poglejmo si na primeru. Iščemo niz N =′ abcd′
v besedilu B. Najprej preverimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposrednega iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da algoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po iskanju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo črko v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črke gotovo ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
se bomo posvetili kasneje, sedaj pa si poglejmo ča-
sovno zahtevnost tega algoritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo zelo veliko pona-
vljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. besedilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevnost O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje po književnem besedilu), da je časovna
zahtevnost zelo blizu linearni. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskanega niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zanka ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega iskanja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo znake, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša od števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler <= n - m ponavljaj
Kot nadaljno optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmislite, zakaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje najhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V nadaljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
lepo pa prikaže samo delovanje algoritma. Algori-
tem obdeluje znake od desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno ležečimi znaki v besedilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v primeru neujemanja znaka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] v iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] poravnana.
Poglejmo si na primeru. Iščemo niz N =′ abcd′
v besedilu B. Najprej preverimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
Presek 39 (2011/2012) 2
t o m a ž a l i t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l
t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l a
t o m b o l a
28
r a č u n a l n i š t v o
•
Osnovna ideja algoritma namreč je, da začnemo s
primerjavo z zadnjim znakom v iskanem nizu N in
ustreznim mestom v besedilu B. Predpostavimo, da
je znak v besedilu B enak ’e’. Ker znak ni enak znaku
v iskanem nizu N , to pomeni, da naše besedilo B do
trenutne pozicije pregledovanja nikakor ne more več
vsebovati celotnega iskanega niza (saj se ne ujema v
zadnjem znaku). Zato pregledovanje prvih znakov
iz N v besedilu B ni več potrebno. Še več; ker znaka
’e’ sploh ni v iskanem nizu N , je smiselno, da z iska-
njem niza v besedilu B nadaljujemo za četrtim zna-
kom, zato prištejemo celotno dolžino iskanega niza.
Iz danega primera je razvidna še ena značilnost algo-
ritma; primerjanje poteka tako, da preverjamo znake
v iskanem nizu po vrsti od desne proti levi.
Preden lahko predstavimo celotni algoritem, defi-
nirajmo še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na katerem mestu se v iskanem nizu
znak pojavi oz. se ne pojavi. Ta podatek nam v al-
goritmu služi pri določanju, za koliko mest prema-
knemo iskalni niz N v desno, in s tem poravnamo
iskalni niz ter besedilo z znakom x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x) =


i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu N
−1 drugače
Oglejmo si delovanje funkcije last(x) na primeru.
Imejmo iskalni niz N =′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bomo zapisali niz s pripadajočimi indeksi v ta-
belo 1.
Tabela 1
Vrednosti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 4;
last(′b′) = 5, znak ’b’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 5;
last(′c′) = 3, znak ’c’ se pojavi na tretjem mestu
v iskalnem nizu;
last(′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalnem nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapišemo pseudokod Boyer-Mooreovega
algoritma.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni niz N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
Osnovna ideja algoritma namreč je, da začnemo s
primerjavo z zadnjim znakom v iskanem nizu N in
ustreznim mestom v besedilu B. Predpostavimo, da
je znak v besedilu B enak ’e’. Ker znak ni enak znaku
v iskanem nizu N , to pomeni, da naše besedilo B do
trenutne pozicije pregledovanja nikakor ne more več
vsebovati celotnega iskanega niza (saj se ne ujema v
zadnjem znaku). Zato pregledovanje prvih znakov
iz N v besedilu B ni več potrebno. Še več; ker znaka
’e’ sploh ni v iskanem nizu N , je smiselno, da z iska-
njem niza v besedilu B nadaljujemo za četrtim zna-
kom, zato prištejemo celotno dolžino iskanega niza.
Iz danega primera je razvidna še ena značilnost algo-
ritma; primerjanje poteka tako, da preverjamo znake
v iskanem nizu po vrsti od desne proti levi.
Preden lahko predstavimo celotni algoritem, defi-
nirajmo še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na katerem mestu se v iskanem nizu
znak pojavi oz. se ne pojavi. Ta podatek nam v al-
goritmu služi pri določanju, za koliko mest prema-
knemo iskalni niz N v desno, in s tem poravnamo
iskalni niz ter besedilo z znakom x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x) =


i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu N
−1 drugače
Oglejmo si delovanje funkcije last(x) na primeru.
Imejmo iskalni niz N =′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bomo zapisali niz s pripadajočimi indeksi v ta-
belo 1.
Tabela 1
Vrednosti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 4;
last(′b′) = 5, znak ’b’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 5;
last(′c′) = 3, znak ’c’ se pojavi na tretjem mestu
v iskalnem nizu;
last(′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalnem nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapišemo pseudokod Boyer-Mooreovega
algoritma.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni niz N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
snovna ideja algorit a na reč je, da začne o s
pri erjavo z zadnji znako v iskane nizu in
ustrezni esto v besedilu B. Predpostavi o, da
je znak v besedilu B enak ’e’. Ker znak ni enak znaku
v iskane nizu , to po eni, da naše besedilo B do
trenutne pozicije pregledovanja nikakor ne ore več
vsebovati celotnega iskanega niza (saj se ne uje a v
zadnje znaku). Zato pregledovanje prvih znakov
iz v besedilu B ni več potrebno. Še več; ker znaka
’e’ sploh ni v iskane nizu , je s iselno, da z iska-
nje niza v besedilu B nadaljuje o za četrti zna-
ko , zato prišteje o celotno dolžino iskanega niza.
Iz danega pri era je razvidna še ena značilnost algo-
rit a; pri erjanje poteka tako, da preverja o znake
v iskane nizu po vrsti od desne proti levi.
Preden lahko predstavi o celotni algorite , defi-
niraj o še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na katere estu se v iskane nizu
znak pojavi oz. se ne pojavi. Ta podatek na v al-
gorit u služi pri določanju, za koliko est pre a-
kne o iskalni niz v desno, in s te poravna o
iskalni niz ter besedilo z znako x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x)
i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu
1 drugače
glej o si delovanje funkcije last(x) na pri eru.
I ej o iskalni niz ′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bo o zapisali niz s pripadajoči i indeksi v ta-
belo 1.
Tabela 1
Vrednosti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a’ se zadnjič pojavi na estu
z indekso 4;
last(′b′) = 5, znak ’b’ se zadnjič pojavi na estu
z indekso 5;
last(′c′) = 3, znak ’c’ se pojavi na tretje estu
v iskalne nizu;
last(′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalne nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapiše o pseudokod Boyer- ooreovega
algorit a.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni niz N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
Osnovna ideja algoritma namreč je, da začnemo s
primerjavo zadnjim znakom v skanem nizu N in
u treznim mestom v besedilu B. Predpostavimo, da
je z ak v besedilu B enak ’ ’. Ker znak ni enak znaku
v iskanem niz N , to pomeni, da naše besedilo B do
trenutne pozicije pregledovanja nikakor ne more več
vs bovati celotn ga iska eg niza (saj se ne ujema v
zadnjem znaku). Zato pregle va je prvih znakov
i N v besedilu B ni več potrebno. Še ve ; ker znaka
’e’ sploh ni v iskanem nizu N , je smiselno, da z iska-
njem iza v besedilu B nadaljuj mo za četrtim zna-
kom, zato prištejemo celotno dolžino iskan ga niza.
Iz danega primera je razvidna še ena značilnost algo-
ritma; primerja je poteka tako, da preverj mo z ake
v is anem nizu po vrsti d desne roti l vi.
Preden lahko predstavimo celotn algoritem, defi
nirajmo še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na katerem mestu se v iskanem nizu
z ak poj vi oz. se ne pojavi. Ta podatek nam v al-
goritmu služi pri določanju, za koliko mest prema-
knemo iskalni niz N v desno, in s tem poravnamo
iskalni niz ter besedilo z nakom x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x) =


i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu N
−1 drugače
Oglejmo si delovanje funkcije last(x) na primeru.
Imejmo iskalni niz N =′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bomo zapisali niz s pripadajočimi indeksi v ta-
belo 1.
T b l 1
Vr dn sti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 4;
last(′b′) = 5, znak ’b’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 5;
last(′c′) = 3, znak ’c’ se pojavi na tretjem mestu
v iskalnem nizu;
las (′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalnem nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapišemo pseudokod Boyer-Mooreovega
algoritma.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni n z N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposrednega iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da algoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po iskanju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo črko v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črke gotovo ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
se bomo posvetili kasneje, sedaj pa si poglejmo ča-
sovno zahtevnost tega algoritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo zelo veliko pona-
vljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. besedilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevnost O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje po književnem besedilu), da je časovna
zahtevnost zelo blizu linearni. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskanega niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zanka ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega iskanja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo znake, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša od števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler k <= n - m ponavljaj
Kot nadaljno optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmislite, zakaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje najhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V nadaljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
lepo pa prikaže samo delovanje algoritma. Algori-
tem obdeluje znake od desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno ležečimi znaki v besedilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v primeru neujemanja znaka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] v iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] poravnana.
Poglejmo si na primeru. Iščemo niz N =′ abcd′
v besedilu B. Najprej preverimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposrednega iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da algoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po iskanju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo črko v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črke gotovo ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
se bomo posvetili kasneje, sedaj pa si poglejmo ča-
sovno zahtevnost tega algoritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo zelo veliko pona-
vljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. besedilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevnost O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje po književnem besedilu), da je časovna
zahtevnost zelo blizu linearni. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskanega niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zanka ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega iskanja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo znake, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša od števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler k <= n - m ponavljaj
Kot nadaljno optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmislite, zakaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje najhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V nadaljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
lepo pa prikaže samo delovanje algoritma. Algori-
tem obdeluje znake od desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno ležečimi znaki v besedilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v primeru neujemanja znaka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] v iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] poravnana.
Poglejmo si na primeru. Iščemo niz N =′ abcd′
v besedilu B. Najprej preverimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposrednega iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da algoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po iskanju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo črko v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črke gotovo ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
se bomo posvetili kasneje, sedaj pa si poglejmo ča-
sovno zahtevnost tega algoritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo zelo veliko pona-
vljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. besedilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevnost O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje po književnem besedilu), da je časovna
zahtevnost zelo blizu linearni. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskanega niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zanka ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega iskanja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo znake, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša od števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler k <= n - m ponavljaj
Kot nadaljno optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmislite, zakaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje najhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V nadaljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
lepo pa prikaže samo delovanje algoritma. Algori-
tem obdeluje znake od desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno ležečimi znaki v besedilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v primeru neujemanja znaka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] v iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] poravnana.
Poglejmo si na primeru. Iščemo niz N =′ abcd′
v besedilu B. Najprej preverimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
10 vrni "iskanje neuspešno"
Slika 1
Algoritem neposre neg iskanja je kratek, prep-
rost in intuitiven, vendar pa ni zelo „pameten“. Oglej-
mo si primer na sliki 1. Hitro opazimo, da lgoritem
preizkuša vsak nov položaj kljub temu, da je neka-
tere naslednje položaje že pregledal v prejšnjih po-
skusih. Po is anju s prvega položaja (k = 0) algori-
tem npr. poskuša po neuspehu na četrti črki primer-
jave (besedilo[3]≠niz[3]) z naslednjo r o v besedilu
(k = 1), čeprav vemo, da do četrte črk got o ne
bo uspešen. Takšnemu pametnemu preskakovanju
e bomo posvetili kasneje, sed j pa si poglejmo ča-
sovno zaht vnost tega lg ritma. V primeru najslab-
šega možnega scenarija, ko imamo elo veliko pona-
ljajočih se znakov v besedilu in nizu (npr. bes dilo
vsebuje samo znake a in je zaključeno z b), je ča-
sovna zahtevn st O(nm). Vendar se v praksi izkaže
(npr. iskanje p književ em besedilu), da je časovna
ahtevn st zelo blizu linear i. To lahko razložimo
z dejstvom, da se v književnem besedilu prvi znak
iskaneg niza ne pojavi prav pogosto in se zato no-
tranja zank ne izvede velikokrat.
Seveda pa lahko algoritem neposrednega isk ja
optimiziramo. V algoritmu na drugem koraku v zanki
pregledamo zn ke, tudi če vemo, da je dolžina iska-
nega niza daljša d števila preostalih znakov v bese-
dilu. Zato bi lahko nadomestili korak 2 z naslednjim
stavkom:
2 dokler k <= n - m ponavljaj
Kot n dalj o optimizacijo pa lahko uporabimo tu-
di stražarje na koncu besedila. Razmi lite, z kaj in
kako je mogoče algoritem optimizirati s stražarji.
Boyer-Mooreov algoritem
Boyer-Mooreov algoritem spada med učinkovitejše
algoritme iskanja nizov v običajnih aplikacijah, po-
gosto je implementiran v urejevalnikih besedila, saj
deluje ajhitreje, če je besedilo srednje dolgo in so
iskani nizi daljši.
V n daljevanju bomo predstavili enostavejšo raz-
ličico algoritma, ki ne dosega tako dobrih rezultatov,
l po pa prikaže sam delovanje algoritma. Algori-
tem bdeluje znake d desne proti levi, pričenši z
najbolj desnim znakom v iskanem nizu, in jih pri-
merja z ustrezno lež čimi znaki v bes dilu. Med iz-
vajanjem algoritma se v pri eru neujemanja zn ka
B[i] iz besedila B z znakom N[j] iskanega niza N
zgodi naslednje: če se znak B[i] iskanem nizuN ne
pojavi nikjer, potem začetek novega iskanja presta-
vimo na i+m+1 mesto. V nasprotnem primeru pre-
stavimo mesto iskanja toliko v desno, da sta znaka
B[i] in N[j] por vnana.
Poglejmo si n rimeru. Iščemo niz N =′ bcd′
v besedilu B. Najprej pr verimo, ali se ujemata če-
trti znak v besedilu in četrti znak v iskanem nizu.
3
r  l
a b a c a b
0 1 2 3 4 5
tabela 1.
Niz s pripadajočimi indeksi
presek 39 (2011/2012) 2
29
r a č u n a l n i š t v o
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.dmfa.si
www.presek.si
Osnovna ideja algoritma namreč je, da začnemo s
primerjavo z zadnjim znakom v iskanem nizu N in
ustreznim mestom v besedilu B. Predpostavimo, da
je znak v besedilu B enak ’e’. Ker znak ni enak znaku
v iskanem nizu N , to pomeni, da naše besedilo B do
trenutne pozicije pregledovanja nikakor ne more več
vsebovati celotnega iskanega niza (saj se ne ujema v
zadnjem znaku). Zato pregledovanje prvih znakov
iz N v besedilu B ni več potrebno. Še več; ker znaka
’e’ sploh ni v iskanem nizu N , je smiselno, da z iska-
njem niza v besedilu B nadaljujemo za četrtim zna-
kom, zato prištejemo celotno dolžino iskanega niza.
Iz danega primera je razvidna še ena značilnost algo-
ritma; primerjanje poteka tako, da preverjamo znake
v iskanem nizu po vrsti od desne proti levi.
Preden lahko predstavimo celotni algoritem, defi-
nirajmo še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na katerem mestu se v iskanem nizu
znak pojavi oz. se ne pojavi. Ta podatek nam v al-
goritmu služi pri določanju, za koliko mest prema-
knemo iskalni niz N v desno, in s tem poravnamo
iskalni niz ter besedilo z znakom x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x) =


i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu N
−1 drugače
Oglejmo si delovanje funkcije last(x) na primeru.
Imejmo iskalni niz N =′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bomo zapisali niz s pripadajočimi indeksi v ta-
belo 1.
Tabela 1
Vrednosti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 4;
last(′b′) = 5, znak ’b’ se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 5;
last(′c′) = 3, znak ’c’ se pojavi na tretjem mestu
v iskalnem nizu;
last(′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalnem nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapišemo pseudokod Boyer-Mooreovega
algoritma.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni niz N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
s i ej l rit rec je, c e s
ri erj ji is e i i
stre i est ese il . re st i ,
je ese il e ’e’. er i e
is e i , t e i, še ese il
tre t e icije re le j i r e re ec
se ti cel t e is e i (s j se e je
je ). t re le je r i
i ese il i ec tre . e ec; er
’e’ s l i is e i , je s isel , is -
je i ese il lj je cetrti -
, t rišteje cel t l i is e i .
I e ri er je r i še e cil st l -
rit ; ri erj je te t , re erj e
is e i rsti es e r ti le i.
re e l re st i cel t i l rite , e -
ir j še f cij l st( ), i lj i i
ece e e, tere est se is e i
j i . se e j i. te l-
rit sl i ri l c j , li est re -
e is l i i es , i s te r
is l i i ter ese il . cij je e-
ir t le:
l st( )
i i e s je j it e
i
r ce
lej si el je f cije l st( ) ri er .
I ej is l i i ′ c ′. l j re -
st is li i s ri j ci i i e si t -
el .
el
re sti f cije l st( ) s i r e e
še ece e sle je:
l st(′ ′) , ’ ’ se jic j i est
i e s ;
l st(′ ′) , ’ ’ se jic j i est
i e s ;
l st(′c′) , ’c’ se j i tretje est
is l e i ;
l st(′ ′) - , ’ ’ se is l e i e -
j i.
e j l iše se er- re e
l rit .
Osnovna ideja algoritma namreč je, da začnemo s
primerjavo z adnjim znakom v iskanem nizu N in
ustreznim mestom v besedilu B. Predpostavimo, da
je znak v besedilu B enak ’e . Ker znak ni enak znaku
v iskanem nizu N , to pomeni, da naše besedilo B do
trenutne pozic je pregledovanja nikakor ne more več
vsebovati celotnega iskanega niza (saj se ne ujema v
zadnjem znaku). Zato pregledovanje prvih znakov
iz N v besedilu B ni več potrebno. Še več; ker znaka
’e sploh ni v iskanem nizu N , je smiselno, da z iska-
njem niza v besedilu B nadaljujemo za četr im zna-
kom, zato prištej mo celotno dolžino iskanega niza.
Iz danega primera je razvidna še na značilnost algo-
ritma; primerjanje poteka tako, da preverjamo znake
v iskanem nizu po vrsti od esne proti levi.
Preden lahko predstavimo celotni algoritem, defi-
nirajmo še funkcijo last(x), ki za poljubni znak x iz
abecede pove, na kater m mestu se v iskanem nizu
znak pojavi oz. se ne pojavi. Ta podatek nam v al-
goritmu služi pri dol čanju, za koliko mest prema-
knemo iskalni niz N v desno, in s tem poravnamo
iskalni niz ter besedilo z nakom x. Funkcija je de-
finirana takole:
last(x) =


i indeks zadnje pojavitve znaka x
v nizu N
−1 drugače
Oglejmo si delovanje funkcije last(x) na primeru.
Imejmo iskalni niz N =′ abacab′. Za lažjo pred-
stavo bomo zapisali niz s pripadajočimi indeksi v ta-
belo 1.
Tabela 1
Vrednosti funkcije last(x) so za izbrane znake
naše abecede naslednje:
last(′a′) = 4, znak ’a se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 4;
last(′b′) = 5, znak ’b se zadnjič pojavi na mestu
z indeksom 5;
last(′c′) = 3, znak ’c se pojavi na tretjem mestu
v iskalnem nizu;
last(′d′) = -1, znak ’d’ se v iskalnem nizu ne po-
javi.
Sedaj lahko zapišemo pseudokod Boyer-Mooreovega
algoritma.
Vhod: Besedilo B z n znaki in
iskalni niz N z m znaki
Izhod: Indeks prvega ujemanja
iskanega niza N v besedilu B
1. izračunaj funkcijo last(x) za
celotno abecedo
4
2. i = m - 1
3. j = m - 1
4. ponavljaj
5. če N[j] = B[i] potem
6. če j=0 potem
7. vrni i
// našli smo ujemanje
8. sicer
9. i = i - 1
10. j = j - 1
11. sicer
12. i = i + m - min(j,
1 + last(B[i]))
13. j = m - 1
14. dokler i > n - 1
15. vrni "ni ujemanja"
Oglejmo si delovanje algoritma na primeru iz sli-
ke 1. V danem besedilu iščemo besedo ’TOMBOLA’.
Najprej moramo izračunati vrednosti funkcije last za
celotno abecedo. V tabeli 2 so prikazane vredno-
sti funkcije last za črke, ki se pojavijo v iskanem
nizu, ostali znaki abecede imajo vrednost funkcije
last enako −1.
Tabela 2
Po določitvi tabele za funkcijo last nadaljujemo z
izvajanjem algoritma, katerega grafični potek je pri-
kazan na sliki 2.
Slika 2
Kot vidimo, za celotno iskanje potrebujemo samo
tri skoke na novo pozicijo iskanja, medtem ko imamo
pri neposrednem iskanju kar devet skokov. V prvem
krogu iskanja Boyer-Mooreovega algoritma primer-
jamo znaka B[6] in N[6]. Ker znaka nista enaka,
povečamo indeks za ena, kar je posledica funkcije
last(x), saj najdemo znak ’L’ tudi v iskanem nizu.
Spet primerjamo zadnji znak iskanega niza s trenu-
tnim znakom v besedilu (to je znak ’I’). Ker primer-
jana znaka nista enaka in ker znaka ’I’ ni v iskanem
nizu, povečamo mesto začetka primerjanja za celo-
tno dolžino iskanega niza. Ponovimo primerjanje, ki
se uspešno zaključi, saj so bili vsi primerjani znaki
enaki.
5
lej si el je l rit ri er i sli-
e . e ese il išce ese ’ ’.
j rej r i r c ti re sti f cije l st
cel t ece . t eli s ri e re -
sti f cije l st cr e, i se j ij is e
i , st li i ece e i j re st f cije
l st e .
el
l cit i t ele f cij l st lj je
i j je l rit , tere r c i te je ri-
sli i .
li
t i i , cel t is je tre je s
tri s e icij is j , e te i
ri e sre e is j r e et s . r e
r is j er- re e l rit ri er-
j [ ] i [ ]. er ist e ,
ec i e s e , r je sle ic f cije
l st( ), s j j e ’ ’ t i is e i .
et ri erj ji is e i s tre -
t i ese il (t je ’I’). er ri er-
j ist e i er ’I’ i is e
i , ec est cet ri erj j cel -
t l i is e i . i ri erj je, i
se s eš lj ci, s j s ili si ri erj i i
e i.
2. i = m - 1
3. j = m - 1
4. ponavljaj
5. če N[j] = B[i] potem
6. če j=0 potem
7. vrni i
// našli smo ujemanje
8. sicer
9. i = i - 1
10. j = j - 1
11. sicer
12. i = i + m - min(j,
1 + last(B[i]))
13. j = m - 1
14. dokler i > n - 1
15. vrni "ni ujemanja"
Oglejmo si delovanje algoritma na primeru iz sli-
ke 1. V danem besedilu iščemo besedo ’TOMBOLA’.
Najprej moramo izračunati vrednosti funkcije last za
celotno abecedo. V tabeli 2 so prikazane vredno-
sti funkcije last za črke, ki se pojavijo v iskanem
nizu, ostali znaki abecede imajo vrednost funkcije
last enako −1.
Tabela 2
Po določitvi tabele za funkcijo last nadaljujemo z
izvajanjem algoritma, katerega grafični potek je pri-
kazan na sliki 2.
Slika 2
Kot vidimo, za celotno iskanje potrebujemo samo
tri skoke na novo pozicijo iskanja, medtem ko imamo
pri neposrednem iskanju kar devet skokov. V prvem
krogu iskanja Boyer-Mooreovega algoritma primer-
jamo znaka B[6] in N[6]. Ker znaka nista enaka,
povečamo indeks za ena, kar je posledica funkcije
last(x), saj najdemo znak ’L’ tudi v iskanem nizu.
Spet primerjamo zadnji znak iskanega niza s trenu-
tnim znakom v besedilu (to je znak ’I’). Ker primer-
jana znaka nista enaka in ker znaka ’I’ ni v iskanem
nizu, povečamo mesto začetka primerjanja za celo-
tno dolžino iskanega niza. Ponovimo primerjanje, ki
se uspešno zaključi, saj so bili vsi primerjani znaki
enaki.
5
2. i = m - 1
3. j = m - 1
4. ponavljaj
5. če N[j] = B[i] potem
6. če j=0 potem
7 vrni i
// našli smo ujemanje
8 sicer
9 i = - 1
10 j = j - 1
11 sicer
12. i = i + m - min(j,
1 + last(B[i]))
13 j = m - 1
4 dokler i > n - 1
5 vrni "ni ujemanja"
Oglejmo si delovanje algoritma na primeru iz sli-
ke 1. V danem besedilu iščemo besedo ’TOMBOLA’.
Najprej moramo izračunati vrednosti funkcije last za
celotno abecedo. V tabeli 2 so prikazane vredno-
sti funkcije last za črke, ki se pojavijo v iskanem
nizu, ostali znaki abecede imajo vrednost f nkcije
last enako −1.
Tabela 2
Po določitvi tabele za funkcijo last nadaljujemo z
izvajanjem algoritma, katerega grafični potek je pri-
k zan na sliki 2.
Slika 2
Kot vidimo, za celotno iskanje potrebujemo samo
tri skoke na novo pozicijo iskanja, medtem ko imamo
pri neposrednem iskanju kar devet skokov. V prvem
krogu iskanja Boyer-Mooreovega algoritma primer-
jamo znaka B[6] in N[6]. Ker znaka nista enaka,
povečamo indeks za ena, kar sl dica funkcije
last(x), s j najdemo znak ’L’ tudi v iskanem nizu.
Spet primerjamo zadnji zn k iskanega niza s t enu-
tnim znakom v besedilu (to je znak ’I’). Ker
na znaka nista enaka in ker znaka ’I’ ni v iskanem
nizu, povečamo mesto začetka primerjanja za celo-
tno dolžino iskan ga niza. Ponovimo primerjanje, ki
se us ešno zaključi, saj so bili vsi primerj ni znaki
e aki.
5
2 i
3 j = m - 1
4 ponavlja
5 če N[j] B[i] potem
6 če j=0 potem
7 vrni i
// našli smo ujemanje
8 sicer
9 i i
0 j = - 1
1 sicer
12. i = i + m - min(j,
1 + last(B[i]))
3 j = m - 1
4 dokler > n - 1
15. vrni "ni ujemanja"
Oglejm si delovanje algoritma na primeru iz sli-
ke 1. V dane besedilu iščemo besedo ’TOMBOLA’.
Najprej moram izračunati vrednost funkcije last za
celotno ab cedo. V tabeli 2 so prikazane vredno-
sti funkcije last z črke, ki se pojavijo v iskanem
nizu, ostali znaki abecede imajo vrednost funkcije
last enako −1.
Tabela 2
Po določitvi tabele za funkcijo l st nadaljujemo z
izvajanjem algoritma, katerega grafični potek je pri-
kazan na sliki 2.
Slika 2
Kot vidimo, za cel tno i je potrebujemo s
tri skoke na nov pozicijo iskanja, medtem ko imamo
p neposrednem i kanju kar devet skokov. V prvem
krogu is nja Boyer-Mooreov ga algoritma prim r-
jamo znaka B[6] in N[6]. Ker znaka nista enaka,
povečamo indeks z ena, kar je posledica fu kcije
las (x), saj najdemo znak ’L’ tudi v iskanem niz .
Spet primerjamo zadnji znak iskanega niza s trenu
tnim znakom v b sedilu (to je znak ). Ker prim r-
jana znaka nista enaka in ker znaka ’I’ ni v iskanem
nizu, povečamo mesto četka primerjanja za celo-
tno dolži iskanega niza. Pono imo primerjanje,
se uspešno zaključi, saj so bili vsi primerjani znaki
enaki.
5
x 'A' 'B' ... 'L' 'M' 'N' 'O' ... 'T' ...
last(x) 6 3 -1 5 2 -1 4 -1 0 -1
tabela 2.
Tabela vrednosti za funkcijo last
s a .
Iskanje z Boyer-Mo reovim algoritmom
Presek 39 (2011/2012) 2
t o m a ž a l i t o m b o l a
t o m b o
t o m b o l a
t o m b o l a
r a z v e d r i l o
30
• V prejšnji številki Preseka (Presek letnik 39, številka 
1) se je v uvodučlanka izmuznila beseda povprečno. 
Avtor govori o hitrem urejanju, ki ima v najslabšem 
primeru (tj. urejanje že urejenega seznama) časovno 
zahtevnost O (n
2
), v uvodu omenjenega članka, pa piše, 
da je časovna zahtevnost te vrste urejanja O ( n log n ). 
Seveda je bilo govora o povprečni časovni zahtevnosti, 
ki jo lahko v praksi skoraj vedno dosežemo.
Pravilen stavek v uvodu članka se torej glasi:
V praksi najpomembnejše mesto med njimi gotovo 
pripada algoritmu hitrega urejanja (quick sort), ki ima 
med algoritmi urejanja s primerjanjem teoretično 
najugodnejšo povprečno časovno zahtevnost O (n log n) 
glede na število podatkov n.
r e š i t e v 
n a g r a d n e 
k r i ž a n k e 
p r e s e k  3 9 / 1
Urejanje z 
mrežami —
popravek
• Za nagradno križanko 
iz prve številke 39. letni-
ka Preseka smo prejeli 
11 pravilnih rešitev. Na-
gradno geslo se je glasilo 
Machovo valovno čelo. 
Izžrebani reševalci,  Rajko 
Đudarić  iz Celja, Mari-
jan Hafner  iz Šenčurja in 
Oscar Križanec  iz Ptuja 
so razpisane nagrade pre-
jeli po pošti.
presek 39 (2011/2012) 2
rešitev barvni  sudoku
s str ani  18
• • •
3 2 8 5 6 1 7 4
7 6 4 1 3 8 2 5
1 7 2 4 5 6 8 3
8 3 5 6 7 2 4 1
5 1 3 2 8 4 6 7
6 4 7 8 1 5 3 2
2 8 1 7 4 3 5 6
4 5 6 3 2 7 1 8
uredništvo
Pajčevina je res nekaj posebnega. Je svilena nit,
ki jo sprede pajek v svojih žlezah, sestavljena je iz
beljakovin. Niti je več vrst, tako kot žlez, iz katerih
pridejo. Pajki nit spletejo v mrežo, v katero se ujame
njihov plen. V mreži je več vrst niti – ene so lepljive,
druge ne. Uporabljajo jih tudi za transport. Nekaj jih
izbrizgajo v zrak in pustijo, da jih veter odnese dru-
gam. Pajčevina ima izjemno veliko natezno trdnost
in je zelo raztegljiva. Natezno trdnost 1500 MPa ima
podobno jeklu a pol manjšo od kevlarja. Gostota je
le petino železove, malo večja od vode: 1,3 kg/l. Pol-
kilogramska nit bi bila dovolj dolga, da bi z njo objeli
Zemljo po ekvatorju. Niti prenesejo tudi velike raz-
tezke: nekatere vrste lahko raztegnemo na štirikra-
tno dolžino, preden se pretrgajo. Zanimivo je tudi,
da se v vodi skrčijo na polovico svoje dolžine. V pre-
meru so tanjše od lasu – približno 3 mikrometre. Še
en zanimiv pojav je moč opaziti na mreži v vogalu
spalničnega okna. Pajkova mreža ni pobarvana; za
prelivajoče barve poskrbita uklon in interferenca. Ne
upamo si trditi, da tu opazujemo pojav, ki je tak kot
pri ozki reži. Barve se namreč prelivajo, tudi če smer
opazovanja spreminjamo v ravnini, v kateri leži nit.
Mogoče k tenu kaj prispeva tudi iridiscenca, o kateri
smo v Preseku pisali lani (Barviti hrošč, Presek, 38
2010/2011, št. 4, str. 15).
2
Barvita 
pajčevina
r a z v e d r i l o
31
n
a
r
a
v
o
s
l
o
v
n
a
 f
o
t
o
g
r
a
f
ij
a
foto: Aleš Mohorič
Presek 39 (2011/2012) 2
• 
aleš mohorič
  
 
   
 
M
A
TE
M
A
TI
K
A
+F
IZ
IK
A
+A
ST
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
TV
O
#2
ISSN 0351-6652
presek  letnik 39  ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 )  š t e v il k a  2