FIZIKA
OCala na koncu nosu
-i' -i' -i'
Jože Rakovec
Predvsem daljnovidne (tiste, ki na dalec vidijo dobro, na blizu pa ne) pogosto vidimo, da nosijo ocala na koncu nosu. Glavni razlog je, da imajo nad ocali nemoten pogled na oddaljene predmete, saj za dalec korekcijskih lec ne potrebujejo. Ob tem pa se spremeni tudi lomna učinkovitost lec. O tem v nadaljevanju.
zbira žarke. Ta drugi vzrok se pojavi pri skoraj vseh starejših ljudeh, ko njihove očesne mišice ne morejo več dovolj mocno od strani pritisniti lece, ki je zato preveč ploska, premalo izbočena (premalo »napihnjena«), torej premalo zbiralna. Zato imajo v očalih dodatne zbiralne (izbočene, konveksne) leče. Kratkovidni imajo ravno obratno napako; pri njih slika nastaja pred očesno mrežničo: ali zato, ker je njihovo oko predolgo, ali pa zato, ker njihova očesna leča premočno zbira žarke (je preveč izbočena). Zato potrebujejo v očalih dodatne razpršilne (vbočene, konkavne) leče.
SLIKA1.
Daljnovidnež pogosto gleda na dalec preko ocal, na blizu pa gleda navzdol skozi lece. Na sliki bivši ameriški predsednik Bill Clinton (www.concordmonitor.com/Archive/2016/ 01/BillClintonConcord-cm-012116).
Leče so pri pomiku na koneč nosu tudi prečej nagnjene, a pri pogledu navzdol k časopisu ali k delu na mizi je pogled vseeno približno vzdolž osi leč.
Za dober vid mora slika v očesu nastajati na zadnji steni očesa, na mrežniči, kjer so čutniče za vid. Daljnovidnim slika v očesu nastaja za očesno mrežničo: ali zato, ker imajo oko nekaj krajše od običajnega, ali pa zato, ker njihova očesna leča premalo močno
SLIKA2.
Daljnovidno oko je prekratko (ali pa leča v njem prešibka), zato slika ne nastane na mrežnici, ampak za njo. Kratkovidno oko pa je predolgo (ali pa leca v njem premocna), zato slika nastaja pred mrežnico (iz spletnega ucbenika fizike si.openprof.com/wb/opti\%C4\%8Dne_naprave?ch= 206#Kratkovidno_oko).
Pri ljudeh, ki nimajo očal, a bi jih v resniči potrebovali, pogosto vidimo nekatere tipične načine, s katerimi si pomagajo, da bi bolje videli. Daljnovidni odmikajo knjigo ali časopis, saj na daleč vidijo bolje. To gre, dokler »roke ne postanejo prekratke« -takrat je pač treba po očala. Kratkovidni brez očal pogosto gledajo skozi priprte veke. S tem zmanjšajo

11	PRESEK 45 (2017/2018) 2

FIZIKA
—^ odprtino, skozi katero svetloba vstopa v oko (efektivno zmanjšajo odprtino zenice - to je »zaslonko«). Pri majhni odprtini je slika namrec ostrejša. Manjšo »zaslonko« lahko dobimo tudi pri gledanju skozi majhno luknjico kot na sliki 3.
SLIKA 3.
Pokojnega papeža Janeza Pavla II. je moc na kar nekaj fotografijah ali TV posnetkih videti, da si je zožil »zaslonko« tako, da je gledal skozi majhno luknjico, ki si jo je ustvaril tako, daje kazalec tesno zvil ob palec (www.evangelicaloutreach.org/ images/Pope-John-Paul-II-Eyes.jpg).
Pri kratkovidnih z ocali vcasih opazimo, da repke ocal zadaj dvignejo nad ušesa, redkeje pa, da bi ocala spustili do konca nosu. Na oba nacina gledajo skozi lece postrani, ne pa vzdolž osi lece pravokotno na leco skozi njeno sredino (kar bi bilo sicer najbolje). Zakaj? Kaj se zgodi, ce skozi leco gledamo »postrani?
Kje na nosu morajo biti očala?
Oftalmologi in optiki priredijo ocala tako, da jih nosimo na grebenu nosu, tako da so lece na razdalji do od vrha puncice ocesa1; običaino je ta razdalja
1Tej razdalji rečejo verteks (latinsko vertex: vrh, maksimum; torej ie verteks razdalja od vrha izbokline roženice do leče, glej
SLIKA 4.
Z ocali je najbolje gledati »naravnost«, torej vzdolž osi lec v ocalih (levo). Vcasih pa kratkovidneži dvignejo repke ocal nad ušesa in gledajo poševno skozi ocala (sredina) - žarki od oddaljenih predmetov pridejo takrat glede na os lece »od zgoraj«; to jim očitno pomaga bolje videti. Pogled poševno skozi lece bi imeli tudi, ce bi spustili ocala na konec nosu - toda tedaj se ne bi lece le nagnile, ampak bi se hkrati povecala tudi razdalja od lec do oci, to pa bi kratkovidnežem zmanjšalo lomno ucinkovitost ocal.
14 mm. Pravimo, da sta dve leci lomno enako ucin-koviti, ce obe dajeta enako dobro sliko na mrežnici ocesa. Vzemimo za primer gledanje zelo oddaljenih objektov, od katerih prihajajo k ocesu vzporedni žarki. Ti se lomijo proti gorišcu na mrežnici ocesa. Gorišcna razdalja f od lece2 do mrežnice je vsota razdalje od lece do vrha roženice do, potem pa še razdalja d skozi oko od tam do mrežnice: f = do + d. Dolžina človeškega ocesa3 je okrog 24 mm, torej je f za ocala na grebenu nosu okrog 38 mm. Naj bo torej ena zbiralna leca na tej obicajni razdalji f od mrežnice. Leca, ki naj na mrežnici daje enako dobro sliko, a je za x dlje od mrežnice, pa ima vecjo go-rišcno razdaljo: f' = f + x. Leca dlje od ocesa je za enako dober vid torej lomno šibkejša. Oftalmologi
npr. en.wikipedia.org/wiki/Vertex_distance). Ker smo ljudje razlicni, skrbni oftalmologi in optiki to razdaljo posebej izmerijo, kar je pomembno predvsem pri mocnejših lecah.
2Pri tem zanemarimo dejstvo, da gre pri cloveku z ocali pravzaprav za sestav treh »lec« - tiste v ocalih, pa potem roženice, ki prispeva približno tri cetrtine lomne ucinkovitosti ocesa, ter še ocesne lece, ki prispeva še cetrtino. Kako pridemo do efektivne ucinkovitosti sestava vec lec, razloži Gullstrandova enacba (glej npr. instrukcije.net/wp-content/uploads/ 2013/08/lece.pdf.). Razlaga enacbe za ucinkovistost lec je npr. na drdrbill.com/downloads/optics/ophth-optics/ Lens_Effectivity.pdf
3Po en.wi ki pedia.org/wi ki/Human_eye#Si ze.
12
PRESEK 45 (2017/2018)2
FIZIKA
in optiki večinoma ne govorijo o goriščnih razdaljah, ampak o dioptrijah, ki so obratne vrednosti gorišč-nih razdalj.
Torej je za prvo lečo D = 1/f, za drugo, šibkejšo, za x dlje od očesa, ki pa daje na mrežnici enako dobro sliko: D' = 1/(f + x). Ko obe enačbi povežemo, dobimo
D' =
D
1 + xD
Na večji razdalji od oči bi daljnovidnežem (D > 0) za dober vid torej zadostovala tudi šibkejša leča (delimo z več kot ena, torej je D' manjši kot D). Ce pa očala z dioptrijo D pomaknemo na koneč nosu, je ta dioptrija pretirana - lomna učinkovitost očal je prevelika.
Dlje od očesa je zbiralna leča, tem bolj učinkovita je njena lomnost. Zato si daljnovidneži s pomikom očal na koneč nosu lahko povečajo lomno učinkovitost. Pri kratkovidnežih (z razpršilnimi lečami pa je obratno - učinkovitost leč na konču nosu se zmanjša (negativna dioptrija D < 0, števeč manjši kot ena).
Predvsem kratkovidneži uporabljajo tudi kontaktne leče, ki pa so na samem očesu in je zato x negativen: x = -d0. Negativna dioptrija D in negativni x - števeč večji od ena: zato so za kratkovidneže dioptrije kontaktnih leč praviloma šibkejše od dioptrij očal.
Še kratka pripomba: večinoma ljudje rečejo »dioptrija plus tri« ali pa »dioptrija minus pet«. V resniči bi bilo treba reči »plus tri na meter« ali pa »minus pet na meter«, saj ti vrednosti -3 ali pa -5 veljata za enote m-1. (Ob uporabi čol ali jardov ali pa čenti-metrov bi bile številke drugačne!)
Kratkovidnost in razpršilna leca
mreč prak kratkim objavljen prispevek o fotografskih objektivih in o pravokotnem ter nagnjenem prehodu svetlobe skoznje [2]. Tam je razloženo marsikaj, kar je v zvezi tudi s temle prispevkom, poleg tega pa so leče obravnavane tudi v šoli. Zato se bomo tukaj zadovoljili kar z risbami, pri katerih za vsak prehod iz zraka v lečo ali obratno upoštevamo lomni zakon. Ta zakon je ena od zgolj dveh stvari, ki jih potrebujemo za obravnavo. Z lomnim količnikom pomnoženi sinus vpadnega kota je glede na pravoko-tničo na mejno ploskev konstanten: n sin a =konst. Za zrak je lomni količnik skoraj enak ena, za steklo pa je njegova vrednost 1,5. Tako velja
■	nzr sin azr = nst sin ast — sin azr = 1,5 sin ast.
Sinus kota glede na pravokotničo je v zraku torej 1,5-krat tolikšen kot v steklu in zato je tudi kot azr vedno večji od kota ast.
Poznati moramo tudi smer pravokotniče na ploskve leče. Pravkoten na kroglo ali krog je polmer R. Za polmer, ki seka krog na razdalji l od osi leče, velja (slika 5)
■	sin & = l/R.
Zgolj ti dve enačbi zadoščata in že lahko se lotimo risanja žarkov.
		
	/	
	/	R
	/	
optična os leče	1	V-....
	rr	
Najprej povejmo nekaj o normalnem gledanju krat-kovidnežev vzdolž osi skozi razpršilno lečo. Vzemimo za primer človeka, ki ima dioptrijo D = -5/m = 1/f. Goriščna razdalja f = -1/5 m = -20 čm. Clovek s tako dioptrijo zelo dobro vidi na razdalji 20 čm - torej brez težav bere brez očal. Tisti s šibkejšo dioptrijo, npr. -4/ m, dobro vidi na razdalji 25 čm, z dioptrijo -3 /m na razdalji 33 čm.
Tu bomo preskočili vse razlage v zvezi z lečami, njihovimi gorišči in dioptrijami. V Preseku je bil na-
SLIKA 5.
Polmer R ima glede na os leče smer ki je za vsako razdaljo l od osi lece drugačna: sin<p = l/R. Na zadnji strani plan-konveksne leče je za žarek, ki tja pride na razdalji l od osi pravokotno na lečo, kot & obenem tudi vpadni kot med smerjo žarka in smerjo polmera, ki je pravokoten na ukrivljeno ploskev. Narisana sta tudi vpadni in lomljeni žarek; zaradi obravnave smernega koeficienta lomljenega žarka so označeni še koti azr in azr -

13	PRESEK 45 (2017/2018) 2

FIZIKA
—^ Vzemimo torej plan-konkavno leco, to je tako, ki ima eno stran ravno, drugo pa vboceno (latinsko pla-nus - izravnan, raven, cavea - votlina; ce bi bila zadnja stran izbočena, bi bila leca plan-konveksna latinsko convexus - ukrivljen, zaokrožen). Ker je krogelna leča simetricna, lahko namesto krogle obravnavamo kar krog. Krog vbocenosti naj ima polmer R. Izbocena okrogla površina je del površine krogle s polmerom R. Za vboceno površino pa je njena oblika odtis krogle, ki bi bila obnjo pritisnjena - ploskev lece torej ni del površine krogle, ampak »obrnjene« krogle. Zato recemo, da je radij vbocene površine negativen. Mi izberimo vrednosti R = -10 cm. Iz slike 5 je tudi razvidno, da je pri leci, katere prednja stran je ravna, za žarke, ki vpadajo na leco vzporedno z osjo lece, kot ^ tudi vpadni kot v steklu na zadnjo plosklev lece. Ce sprednja stran lece ni ravna ali ce žarki ne vpadajo pravokotno, to ne velja vec.
Na tako leco pošljimo žarke, ki vpadajo pravokotno na prednjo stran lece na razlicnih oddaljenostih od sredine lece. Na sprednji strani lece se zaradi pravokotnega vpada smer žarkom nic ne spremeni. Na zadnjo stran pridejo torej vzporedno z osjo x, toda pod kotom ^ glede na smer pravokotnice na krog, to je na smer polmera. Zato se jim tam smer spremeni po lomnem zakonu 1,5 sin ast = 1,5 sin ^ = sin azr. Kot azr velja glede na smer polmera, kot glede na smer osi lece pa po sliki azr - Znak za absolutno vrednost 11 smo zapisali zato, ker je za negativni R in pozitivni l kot ^ negativen, saj ga izracunamo iz R = l sin Splošno torej velja, da tangens kota azr + ^ pove, kakšen je naklonski kot izhajajocega žarka. Tako žarke in njihove podaljšek na prednjo stran lece lahko narišemo. Za naš primer so prikazani na sliki 6 žarki za l ± 1,6 cm ter zato, da lepo vidimo presecišca podaljškov lomljenih žarkov, še po dva pri l = +1,4 cm in ±1,8 cm.
Podaljški žarkov na sprednjo stran se vsi sekajo v skoraj isti tocki - v navideznem gorišcu pri približno -19 cm. Zakaj ne pri -20 cm, kjer je gorišce po enacbah za tanke lece in za žarke skozi leco blizu središca lece? Zato, ker naša leca ni zelo tanka in ker žarki ne gredo skoznjo zelo blizu središca lece. Zakaj pa se ne sekajo tocno v isti tocki? Spet zato, ker ne prehajajo skozi leco blizu njenega središca, ampak na nekaj vecji oddaljenosti od središca lece. Ta pojav se imenuje sfericna aberacija (krogelni odklon;
SLIKA 6.
Vzporedno vpadajoci žarki se na plan-konkavni leci razhajajo. Njihovi podaljški na prednjo stran lece se pri stekleni leci s konkavnim polmerom R = -10 cm sekajo pri približno -19 cm, vendar pa ne vsi točno v isti tocki. (Zato, da vstopni žarki ne motijo slike tam, kjer se podaljški lomljenih žarkov sekajo, so njihove smeri nakazane samo s kratkimi daljicami.)
sl .wi ki pedia.org/wi ki/Sferna_aberaci ja)4. Razlike medsebojne oddaljenosti navideznih gorišc pa so v našem primeru majhne: presecišca so pri -19,2 cm, pri -19,3 cm in pri -19,4 cm. Aberacija je torej za pravokotni vpad žarkov skoraj zanemarljiva. Jo je pa pri ocalih mogoce popraviti, denimo tako, da prednja stran lece ni ravna, temvec primerno izbo-ceno oblikovana, ravno toliko, da aberacijo odpravi. Tudi zato (pa ne samo zato!) so lece v ocalih konvek-sno-konkavne (izboceno-vbocene).
Nagnjena ocala
Na srednji sliki 4 smo prikazali, kako vcasih krat-kovidneži nagnejo svoja ocala, ce se jim zdi, da vidijo oddaljene predmete premalo ostro. Podobno kot pri pravokotnem vpadu obravnavajmo še ta primer. Ob nagibu lece okrog horizontalne osi skozi središce lece ne velja vec simetrija glede na os lece, ampak se lomnost lece spremeni vzdolž smeri gor-dol, lomnost vzdolž smeri levo-desno pa ostane (ce pa bi leco zavrteli okrog vertikalne osi, pa bi bilo obratno). Za obravnavo pa je vseeno, ali vzamemo, da je leca nagnjena in so vpadajoci žarki vzporedni osi lece, ali pa, da je leca navpicna in so vpadajoci žarki nagnjeni glede na os x. Mi izberemo ta nacin.
4sfericna aberacija; grško sphaira, latinsko sphaera - krogla, latinsko aberratio - odklon
14
PRESEK 45 (2017/2018) 2
FIZIKA
Sedaj je treba tudi za prehode v steklo in skozenj steklo nekaj več poračunati, a vsaj na ravni prednji strani leče so vpadni in lomni koti za vse žarke na kateremkoli delu leče enaki. Spet zadoščajo samo lomni zakon ter podatka o lomnem količniku za steklo nst in o polmeru vbočene strani leče R. Seveda moramo ves čas paziti na to, da upoštevamo prave vpadne in lomne kote - ti se sem in tja po leči razlikujejo.
Ker ni več simetrije glede na os leče, velja nadaljnja obravnava samo za ozek pas vzdolž vertikalne osi. Izberemo si vpadne žarke pod takim kotom azri, daje sin azri = 0,3 in potem sin ast1 = sin azri /1,5 = 0,2 (torej sta azri = 17,46° in astl = 11,54° glede na os x). Na zadnjo stran leče pridejo skozi steklo žarki pod vpadnim kotom ast2 = ast1 + (spet upoštevamo, da je za negativni R in pozitivni l kot <p negativen), lomni kot azr2 pa dobimo iz lomnega zakona sin azr2 = 1,5 sinast2. Smerni koefičienti izstopnih žarkov so - tg(azr2 + Poiščemo presečišča in narišemo premiče in daljiče žarkov. Izberemo po dva bližnja žarka okrog l = 1,6 čm, okrog l = 0 in okrog l = -1,4 čm, torej žarke, ki iz leče skozi ukrivljeno zadnjo ploskev izstopajo pri l = +1,8 čm in +1,4 čm, pri l = +0,2 čm in -0,2 čm, ter še dva, ki izstopata pri skozi ukrivljeno zadnjo ploskev leče pri l = -1,4 čmin -1,8 čm. Rezultat je prikazan na sliki 7.
Pari podaljškov žarkov na sprednjo stran leče se sekajo na prečej različnih razdaljah od leče - go-riščne razdalje f in dioptrije so za različne dele leče
						6	z (cm)
						4 2	
							x (cm)
-IS	-16	-14	-12	-10 -8	-6 i:;;		
SLIKA 7.
Podaljška žarkov, ki prehajata skozi lečo zgoraj, se sekata najdlje od leče, tista dva skozi spodnji del leče pa najbliže leči. Zato, da se presečišča dobro vidijo, so podaljški žarkov levo na sprednji strani leče narisani samo do presečišč, vpadni žarki pa samo kot daljiče blizu leče.
različne. Za gornji par žarkov je navidezno gorišče f = -20,0 čm, dioptrija torej D = -5 /m, za srednji par žarkov je navidezno gorišče pri f = -17,5 čm, dioptrija torej D = -5,7 /m, za spodnji par žarkov pa velja f = -12,0 čm, dioptrija pa D = -8,3 /m. Torej nagibanje leče pomeni okrepitev lomnosti po večini površine leče, toda hkrati tudi močno različne goriščne razdalje - torej močno sferno aberačijo.
Nagibanje leče spremeni samo dioptrijo v vertikalni smeri, nič pa dioptrije za horizontalno smer - ta bi se spremenila, če bi lečo zasukali levo-desno. Dioptrija za vertikalno smer je tem bolj povečana, čim bolj spodaj prehajajo žarki skozi lečo - v našem primeru čelo močno povečana, do D = -8,3 /m. Dioptrija za horizontalno smer pa ostane enaka prejšnji D = -5 /m. Leče s tako različnimi dioptrijami za eno ali drugo smer so torej s čilindričnim (va-ljastim) popravkom dopolnjene sferične (krogelne) leče. Taka očala z delno čilindričnimi lečami nosijo ljudje z astigmatizmom - to so tisti, katerih oko, ro-ženiča ali pa očesna leča niso v vse smri enako ukrivljeni5.
Ali nagib očal ali morda očala na koncu nosu?
Okulisti kratkovidnežem ponavadi ne predpišejo točno tiste dioptrije, za katero se pri pregledu izkaže, da ob njej na daljavo najbolje vidijo, ampak raje leče z malo šibkejšo lomnostjo. Po klasični razlagi naj bi jih to ščitilo pred napredovanjem kratkovidnosti oziroma pred potuho očem glede prilagajanja leče gledanju na različne daljave - oči naj bi se na boljšo sliko prehitro navadile6. Zato si nekateri občasno zaželijo nekaj ostrejši vid; za kratek čas tako daljnovidneži pomaknejo očala na koneč nosu, krat-kovidneži pa očala malče nagnejo - za kakih 10° ali 15° (kot na srednji sliki 4). Razložili smo, zakaj je pri nagibu del slike potem lahko tudi ostrejši, pa tudi, da vsa slika ni enako dobra - predvsem zaradi aberačije, pa tudi zaradi premočne dioptrije na spodnjem delu leč.
18
> c
Glej npr. sl.wikipedia.org/wiki/Astigmatizem_(oko).	ro
6So pa tudi oftalmologi, ki pravijo, da za te argumente ni prepričljivih podatkov - npr. doctorbase.com/forum/post/ 28263/view.
-o
ro ro d c
5
PRESEK 45 (2017/2018)2
15
RAZVEDRILO
15
T3 4-J ro ^
Kaj pa, če bi tudi kratkovidneži očala nagnili tako, da bi jih spustili na konec nosu (kot na desni sliki 4)? S tem bi jih tudi nagnili, a obenem bi bile leče tudi dlje od očesa. Kot smo povedali že v poglavju o tem, kje na nosu naj bodo očala, to za kratkovidneže ni kaj koristno - lomna učinkovitost se za razpršilne leče pri večji oddaljenosti od očesa zmanjša.
Za konec
To, da imajo daljnovidneži pogosto očala na konču nosu je razumljivo: na daleč tako ali tako dobro vidijo tudi preko očal, skoznja gledajo samo na blizu (ponavadi malče navzdol) in na konču nosu imajo njihova očala tudi večjo lomno učinkovitost.
Nagibanje očal z dviganjem repkov kratkovidne-žem pri izostritvi pogleda morda malče pomaga, a vseeno je bolje, da nam okulist določi tako dioptrijo, da bomo skozi očala videli dovolj dobro tudi brez nagibanja. Nagibanje namreč povzroči močno sferno aberačijo in zato tudi neenakomerno kvaliteto slike. No, če že, potem je vseeno bolje malo dvigniti repke očal, kot pa očala spustiti na koneč nosu.
Nagibanje leč pa je kdaj lahko tudi zelo koristno. V že omenjenem Preseku je profesor Legiša [2] pojasnil tudi t. i. Sčheimpflugovo načelo, ki pove, da z nagibanjem objektiva glede na ravnino slike (po starem ravnino filma, danes pa tipala fotoaparata) lahko dosežemo, da so vsi predeli ravne ploskve, ki jo fotografiramo, na film ali na tipalo enako ostro preslikani.
Literatura
[1]	Več internetnih virov, zajetih med 20. in 25. januarjem 2017.
[2]	P. Legiša, Fotografski objektivi in Sčheimpflugovo načelo, Presek 43, 2015/2016, 13-18.
_ XXX
Križne vsote
-> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne.
	12	11					
\						11	7
8			17		7 6		
	7			V 14			
		22					
			12				
RES ITEV KRIŽ NE VSOTE
		E	6				
		6	S	8	22		
E	6	S	41 ZL	6	8	*	
17	Z			*	L	L	
					Z	S	<
						21	
www.dmfa.si
XXX
18
PRESEK 45 (2017/2018) 2