     
P 47 (2019/2020) 64
Ploščice Tantrix
N R
Nekatere družabne igre, ki so bile priljubljene v
90-letih prejšnjega stoletja, se vračajo v novi pre-
obleki, predvsem zaradi možnosti igranja tako na
klasičen način kot z računalnikom. Ena od takih
iger je TANTRIX. Izumil jo je Mike McManaway
leta 1987 med okrevanjem po poškodbi, ki jo je
dobil pri plezanju [1]. Osnovni komplet je imel
56 šestkotnih ploščic, povezave na ploščicah pa so
bile le dveh barv. Igrali so jo na šestkotni igralni
deski. Nova različica iz leta 1991 ima povezave
štirih barv. Za igro so izdelani tudi računalniški
programi, s katerimi ne le igramo Tantrix, ampak
z njimi rešujemo tudi nekatere uganke in sesta-
vljanke.
Igra je priljubljena po vsem svetu. Obstaja sloven-
sko društvo in spletna stran (www.tantrix.si), ki
je posvečena Tantrixu. Udeležite se lahko številnih
tekmovanj v igranju te igre, če boste uspešni, celo
svetovnega prvenstva. Nas bodo zanimale predvsem
lastnosti ploščic, eno od možnih iger pa bomo ome-
nili na koncu prispevka.
Ploščice
Črne bakelitne ploščice so pravilni šestkotniki. Po
dve stranici vsakega šestkotnika sta med seboj po-
SLIKA 1.
Možne črte na ploščicah z razlǐcnim izborom barv
vezani. Povezave bomo poimenovali drugače, kot je
to v navodilih [1], da bo izrazoslovje matematično
pravilno. Na vsaki ploščici so tri povezave, tri črte,
vsaka v drugi barvi.
Črte so treh oblik:
povezava razpolovišč dveh sosednjih stranic je
krožni lok, s središčem v oglišču šestkotnika, pol-
mer pa je polovična dolžina stranice. To povezavo
bomo poimenovali lok;
povezava razpolovišč dveh nasprotnih stranic z
ravno črto, to je daljica,
povezava razpolovišč dveh stranic, med katerima
je ena prosta (ne sosednjih stranic in ne naspro-
tnih stranic), je krivulja. Pri naši natančnosti lahko
vzamemo, da je to krožni lok, ki pripada kotu 60◦
in ima polmer 3a/2, če je a stranica šestkotnika.
Središče tega kroga je na presečišču podaljškov
nesosednjih stranic šestkotnika. Ta krožni lok bo-
mo označili kot v-lok, kar pomeni večji lok.
Vse ploščice so na hrbtni strani oštevilčene (slika
2). Številke so lahko rdeče, modre, rumene, zelene ali
bele. Dve ploščici sta enaki, če lahko eno zavrtimo v
drugo.
Možne kombinacije črt na ploščicah
Dogovorjeno je, da je na ploščici
kvečjemu ena daljica (nobena ali ena daljica),
en, dva ali trije loki,
natanko dva v-loka.
Možne kombinacije črt na ploščicah kaže slika 1.
Preštejmo ploščice
Črte na ploščicah so različnih barv. Na voljo imamo
rdečo, zeleno, modro in rumeno barvo. Za vsako plo-
ščico moramo izbrati po tri različne barve, kar po-
meni, da imamo štiri ploščice z enako razporejenimi
črtami, le da so te različno obarvane. Slika 1 kaže vse
možne kombinacije črt na posamezni ploščici, pri če-
mer ima vsaka ploščica drugačno barvno trojico.
     
P 47 (2019/2020) 6 5
SLIKA 2.
Na hrbtnih straneh ploščic so barvne številke. Sliko smo osve-
tlili zato, da so številke vidnejše.
Zdaj pa se omejimo na ploščice, na katerih so os-
novne barve rdeča, modra in rumena, ter jih pre-
štejmo.
1. Dve ploščici imata tri loke. Sta zrcalno sime-
trični (slika 3), os simetrije je simetrala enega
od kotov, v našem primeru ›rdečega‹ kota.
2. Preštejmo ploščice z daljico. Imamo dve mo-
žnosti: dva loka in daljica ali pa dva v-loka in
SLIKA 3.
Dve ploščici imata tri loke.
daljica. Z zasukom ali zrcaljenjem teh ploščic
(na slikah 4a in 4b) ne dobimo novih razpore-
ditev črt na ploščicah (zakaj že?). Lahko pa se-
veda drugače porazdelimo barve posameznih
črt, kar pa pomeni, da imamo tri ploščice s čr-
tami oblike 4a in tri ploščice oblike 4b; skupaj
šest ploščic.
SLIKA 4.
Z zasuki in zrcaljenji teh dveh ploščic ne dobimo novih ploščic.
Lahko pa drugače razporedimo barve črt.
3. Ostale so nam še ploščice z dvema v-lokoma
in lokom (slika 5). Črte prezrcalimo čez sime-
tralo ›rdečega‹ kota. Dobimo novo razporedi-
tev črt. Torej imamo dve ploščici z enakimi bar-
vami črt. Lok je lahko rdeče, modre ali rumene
barve (ustrezno spremenimo potem tudi barve
v-lokov), torej imamo za vsako od teh dveh plo-
ščic po tri možnosti. Dobili smo še šest novih
ploščic.
SLIKA 5.
Ploščica z dvema v-lokoma in lokom ter njena zrcalna slika
     
P 47 (2019/2020) 66
Če seštejemo vse možnosti, dobimo
2+ 6+ 6 = 14.
Vseh ploščic z izbranimi tremi barvami je torej 14.
Ker lahko barve izbiramo na štiri načine, je vseh plo-
ščic 4 · 14 = 56 (sliki 3 in 6).
SLIKA 6.
Dvanajst Tantrixovih ploščic. Na hrbtnih straneh ploščic so
barvne številke; mi smo jih zapisali ob ploščicah.
Dolžine črt na ploščicah
Vse črte na ploščicah povezujejo razpolovišča dveh
stranic, zato lahko hitro izračunamo njihove dolžine.
Označimo osnovnico šestkotnika z a.
Dolžina daljice je razdalja med nasprotnima stra-
nicama šestkotnika, torej dvojna višini enakostranič-
nega trikotnika z osnovnico a
sdaljica = 2 ·
a
√
3
2
= a
√
3.
Polmer krožnega loka, ki določa lok, je a/2, notranji
koti šestkotnika merijo 120◦, torej je dolžina tega
loka tretjina krožnice s polmerom a/2
slok =
2πa
2 · 3 =
πa
3
.
Dolžina v-loka je šestina krožnice s polmerom 3a/2
(slika 7):
sv−lok =
2π · 3a
2 · 6 =
πa
2
.
SLIKA 7.
Polmer krožnice je 3a/2
Najdaljša je daljica, sledi ji v-lok, najkrajši je lok.
Najdaljšo dolžino vseh treh črt na ploščici imajo plo-
ščice z daljico in dvema v-lokoma, sledi ploščica z
dvema v-lokoma in lokom, potem z dvema lokoma
in daljico, najkrajšo skupno dolžino črt na ploščici
pa ima ploščica s tremi loki.
Zakaj smo računali dolžine črt? Nekatere naloge
zahtevajo, da je potrebno ploščice sestaviti tako, da
je dolžina sestavljenih krivulj najdaljša.
Kot domino
Igro lahko igra eden ali več igralcev. Kompleti, ki
jih lahko kupimo, so sestavljeni iz različnega števila
ploščic; tisti za začetnike imajo le deset ploščic. Čim
več je ploščic, tem zahtevnejša je igra.
Najenostavnejša igra je podobna domini. Ploščice
postavljamo tako, da se stikajo po stranicah in da se
vse stične črte ujemajo po barvi. To pomeni, da se
modra črta ene ploščice lahko stika le z modro črto
druge ploščice (slika 8). Med ploščicami ne sme biti
praznih prostorov, z drugimi besedami, ne sme biti
vmesnih lukenj.
Stikajoče se črte iste barve tvorijo pot. Pot se torej
razteza čez več ploščic. Na sliki 8 imamo rdeče, mo-
dre in rumene poti. Če se začetna točka in končna
točka poti ujemata, dobimo sklenjeno pot ali zanko.
Na sliki 8 ni zank. Na sliki 9 sta rdeča zanka in mo-
dra pot.
     
P 47 (2019/2020) 6 7
SLIKA 8.
Zgoraj: črte na sosednjih ploščicah se morajo ujemati po barvi.
Spodaj: napačno sestavljanje ploščic.
Igra Odkrivanje
V navodilih priporočajo začetnikom, da začnejo z
igro Odkrivanja, namenjena enemu igralcu, ki začne
s prvimi desetimi ploščicami. Igralec mora sestaviti
zanko iz črt iste barve. Na začetku so vse ploščice
obrnjene tako, da je hrbtna stran s številkami vidna.
Naprej igralec izbere ploščice s številkami 1, 2 in 3
in jih obrne. Vse tri ploščice imajo rumeno obarvane
številke. Ko igralec sestavi rumeno zanko, sestavo
razdre in doda ploščico s številko 4 in tako naprej
vse do ploščice številka 10. Barva številke ploščice,
ki jo dodajamo, določa barvo zanke, ki jo moramo
sestaviti. Seveda pa v nekaterih primerih obstaja več
SLIKA 9.
Rdeča zanka iz prvih petih ploščic in modra pot
rešitev, to pomeni, da lahko sestavimo tudi zanko
drugačne barve. Če so številke na hrbtni strani bele,
moramo sami ugotoviti, katero barvo zanke lahko se-
stavimo.
Oglejmo si nekatere primere podrobneje.
Rumena zanka
Dane so ploščice s številkami 1, 2 in 3, ki imajo vse
rumeno obarvane številke. Sestaviti moramo rumeno
zanko. Zanka, v našem primeru krožnica, ima obseg
πa. Možni sta dve postavitvi (slika 10).
Rdeča zanka
Dane so prve štiri ploščice. Sestaviti moramo rdečo
zanko. Rešitev je na sliki 11. Dolžina zanke je
5πa/3.
     
P 47 (2019/2020) 68
SLIKA 10.
Rumena zanka iz prvih treh ploščic. Drugo rešitev dobimo, če
zamenjamo ploščici 1 in 2.
SLIKA 11.
Rdeča zanka iz prvih štirih ploščic. Drugačno rešitev dobimo,
če med seboj zamenjamo legi dveh nasprotnih ploščic.
Zanke iz prvih desetih ploščic
Zanka iz vseh desetih ploščic je lahko rdeče, modre
ali rumene barve (slika 12). Ugotovite, katere barve
zanka je najdaljša.
SLIKA 12.
Modra, rumena in rdeča zanka iz prvih desetih ploščic
     
P 47 (2019/2020) 6 9
Kdaj lahko iz danega števila ploščic sestavimo
zanko?
Ali lahko sami napovemo, katere barve zanko lahko
sestavimo? Poglejmo si nekaj konkretnih primerov.
Zanka iz prvih treh ploščic. Vsota kotov, treh sta-
knjenih ploščic v skupnem oglišču je 360◦, to pa
lahko dosežemo le z rumenimi črtami. Rdeči loki
nimajo skupnega vrha v eni točki.
Zanka iz prvih štirih ploščic. Rdeča zanka je edina
možna (povezava dveh nesosednjih in dveh sosedn-
jih stranic). Rumene zanke nimajo skupnega vrha v
eni točki.
Za sestavo zanke potrebujemo sodo število
v-lokov na ploščicah, seveda v izbrani barvi. Ven-
dar to za sestavo zanke ni dovolj, saj npr. iz dveh
v-lokov in daljice ne moremo sestaviti zanke. Pa to
še dokažimo na primeru sestavljanja rdeče zanke iz
prvih desetih ploščic.
Rdeča zanka na sliki 13 naj predstavlja testno dir-
kališče za avtomobile. Ko voznik pelje po zanki,
mora zavijati. Ko naredi en obhod v nasprotni smeri
urinega kazalca, se mora avto zavrteti za +360◦, če
to smer štejemo pozitivno. Pri tem ga lok lahko za-
vrti za 120◦ v levo ali desno, v-lok pa za 60◦ v levo
ali desno. Naj bodo obrati v levo pozitivni, obrati v
desno pa negativni. Obrate po v-loku označimo z Ll
in Ld, obrate po loku pa z ll in ld. Vsota vseh kotov
mora biti 360◦. Torej velja:
Ll·60◦+Ld·(−60◦)+ll·120◦+ld·(−120◦) = 360◦,
(Ll − Ld) · 60◦ + (ll − ld) · 120◦ = 360◦.
Trditev. Za zanko v neki barvi potrebujemo sodo
število v-lokov v tej barvi.
Trditev dokažemo s protislovjem. Privzamemo,
da imamo liho število v-lokov. Vzemimo, da se pe-
ljemo po zanki v nasprotni smeri urinega kazalca.
Potem je vsota kotov +360◦, zasuki v levo so pozi-
tivni, zasuki v desno pa negativni. Torej mora biti
Ll − Ld = 2k+ 1, k ∈ Z;
(2k+ 1) · 60◦ + (ll − ld) · 120◦ = 360◦,
(k+ ll − ld) · 120◦ = 360◦ − 60◦,
2(k+ ll − ld) = 5◦.
Ampak 5 je praštevilo, torej ne moremo najti takega
števila k, da bi imel dvakratnik števila (k + ll − ld)
vrednost 5.
SLIKA 13.
Rdeča zanka iz prvih desetih ploščic z označenimi koti. Start
je v točki S, smer obhoda označuje puščica. Zasuk v levo je
pozitiven, zasuk v desno pa negativen. Vsota vseh zasukov je
360◦.
Kaj pa, če gremo v smeri urinega kazalca? Potem
pa štejemo desne obrate pozitivno, leve pa negativno
in pridemo do enakega zaključka.
Iz opisanega sledi, da ne moremo vedno sestaviti
zanke v poljubno izbrani barvi. Kdaj je možno in
kdaj ne, je odvisno od izbranih ploščic.
Nekaj nalog za bralce
Izmed 14-ih ploščic na sliki 6 izberite toliko zapore-
dnih ploščic, da bosta na sestavljenih ploščicah hkra-
ti modra in rdeča zanka. Ali lahko ploščice sestavite
tako, da bodo na njej hkrati zanke treh barv, kot je to
na sliki 14? Koliko najmanj zaporednih ploščic mo-
rate izbrati? Sestavite ploščice v obliki enakostranič-
nega trikotnika tako, da bo v sestavu vsaj ena zanka.
In kako naprej?
Na spletnih straneh in v navodilih najdete še nekaj
drugih možnosti, lahko pa se spopadete tudi še z
nalogami, ki so objavljene na [2].
Nekateri kompleti vsebujejo tudi kvadratne plo-
ščice, katerih stranice so enako dolge kot stranice
šestkotnika. Ugotovite, kateri črte so lahko na plo-
ščicah in koliko je takih ploščic, če izbiramo med šti-
rimi barvami.
         
P 47 (2019/2020) 610
SLIKA 14.
Iz kompleta 56-ih ploščic smo izbrali 15 ploščic in sestavili tri-
kotnik. Na njem so tri zanke.
Pravila igranja s ploščicami Tantrix in različne na-
loge lahko najdete na spletni strani slovenskega dru-
štva [1]. Ploščice pa lahko izdelate tudi sami.
Literatura
[1] Tantrix, Navodila, dostopno na www.tantrix.
si/, ogled 3. 12.2019.
[2] Jaap Scherphius, dostopno na www.jaapsch.
net/puzzles/tantrix.htm, ogled 3. 12. 2019.
×××
SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
4 12
10
14 9
3
10 20
8
4
7
22
19
10
̌ ̌ 
412
10
37
149
3
12
1020
8
53
4
31
7
22
796
19
964
10
19
×××