Univerza	
v Ljubljani	
	Fakulteta za
	gradbeništvo in
	geodezijo
, \ , i^W'B
lllllil 1 l| I I M
n nl i 1 ih m
mmi
ALEŠ KROFLIČ, univ. dipl. inž. grad.
NELINEARNA ANALIZA VEČSLOJNIH KOMPOZITNIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ
DOKTORSKA DISERTACIJA
Ljubljana, marec 2012
Hrbtna stran: KROFLIČ ALEŠ
2012
Univerza	
v Ljubljani	
	Fakulteta za
	gradbeništvo in
	geodezijo
I^W.TM
11 iTTl i 1 i|. iTTl In ill 11 ill m|
Ä11I
PODIPLOMSKI STUDIJ GRADBENIŠTVA
DOKTORSKI ŠTUDIJ
Kandidat:
ALEŠ KROFLIČ, univ. dipl. inž. grad.
NELINEARNA ANALIZA VEČSLOJNIH KOMPOZITNIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ
Doktorska disertacija štev.: 222
NON-LINEAR ANALYSIS OF MULTILAYER COMPOSITE STRUCTURES
Doctoral thesis No.: 222
Temo doktorske disertacije je odobrila Komisija za doktorski študij na 8. redni seji, 8. julija 2010. Za mentorja je bil imenovan prof. dr. Goran Turk, za somentorja pa
doc. dr. Bojan Čas, ZRMK.
Ljubljana, 16. marec 2012
Univerza	
v Ljubljani	
	Fakulteta za
	gradbeništvo in
	geodezijo
I^W.TM
11 iTTl i 1 i|. iTTl In ill 11 ill m|
Ä11I
Komisijo za oceno ustreznosti teme doktorske disertacije v sestavi:
-	prof. dr. Goran Turk,
-	prof. dr. Franc Kosel, UL FS,
-	prof. dr. Igor Planinc,
-	izr. prof. dr. Boštjan Brank,
je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 10. redni seji,
dne 21. aprila 2010.
Poročevalce za oceno doktorske disertacije v sestavi:
-	doc. dr. Sebastjan Bratina,
-	prof. dr. Franc Kosel, UL FS,
-	prof. dr. Igor Planinc,
je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 27. redni seji,
dne 25. januarja 2012.
Komisijo za zagovor doktorske disertacije v sestavi:
-	prof. dr. Matjaž Mikoš, dekan UL FGG, predsednik,
-	prof. dr. Goran Turk, mentor,
-	doc. dr. Bojan Čas, ZRMK, somentor,
-	prof. dr. Franc Kosel, UL FS,
-	prof. dr. Igor Planinc,
-	doc. dr. Sebastjan Bratina,
je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 28. redni seji
dne, 29. februarja 2012.
Univerza	
v Ljubljani	
	Fakulteta za
	gradbeništvo in
	geodezijo
I^W.TM
11 iTTl i 1 i|. iTTl In ill 11 ill m|
Ä11I
IZJAVA O AVTORSTVU
Podpisani ALEŠ KROFLIČ, univ. dipl. inž. grad., izjavljam, da sem avtor doktorske disertacije z naslovom:
»NELINEARNA ANALIZA VEČSLOJNIH KOMPOZITNIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ«.
Izjavljam, da je elektronska različica v vsem enaka tiskani različici.
Izjavljam, da dovoljujem objavo elektronske različice v repozitoriju UL FGG.
Ljubljana, 16. marec 2012
(podpis)
BIBLIOGRAFSKO-DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK
UDK:
Avtor:
Mentor:
Somentor:
Naslov:
Tip dokumenta: Obseg in oprema: Kljucne besede:
624.016:624.072.2:(0.43.3) Aleš Kroflic prof. dr. Goran Turk doc. dr. Bojan Čas
Nelinearna analiza vecslojnih kompozitnih konstrukcij
doktorska disertacija
104 str., 9 pregl., 77 sl., 320 en.
vecslojni kompozitni nosilec, zdrs, razmik, lezenje in krčenje, mehčanje, elasticšni uklon, metoda koncšnih elementov, analiticšna resšitev
Izvlecšek
V doktorski disertaciji je prikazan nov numericni model za nelinearno staticno analizo vecslojnih linijskih kompozitnih konstrukcij s podajnimi veznimi sredstvi. Vsebinsko je disertacija razdeljena na dva dela. V prvem delu je predstavljen numericni model za analizo ravninskih vecslojnih okvirjev. V prikazanem modelu je vsak sloj kompozitnega okvirja modeliran z geometrijsko tocnim Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca. Pomembna novost modela je vpeljava konstitutivnega zakona veznih sredstev. Zakon, ki predstavlja poljubno nelinearno zvezo med vektorjem napetosti in vektorjem razlike pomikov na stiku med sloji, je zapisan v povprecni bazi. Tak zapis omogoca fizikalno smiselno posplošitev konstitutivnih zakonov veznih sredstev, ki so poznani pri linearnih modelih dvoslojnih linijskih nosilcev, kjer je zakon zapisan v prostorski bazi. Osnovni sistem nelinearnih ravnoteznih enacb matematicnega modela je v disertaciji rešen z Galerkinovo metodo koncnih elementov. Predstavljena je nova druzina deformacijskih koncnih elementov. Nova numericna metoda za analizo vecslojnih ravninskih kompozitnih okvirjev je zelo natancna in zato primerna za analizo togosti, duktilnosti, nosilnosti in uklonske nosilnosti vseh vrst vecslojnih kompozitnih okvirjev, ki se uporabljajo v gradbeništvu. Detajlna parametricna analiza je pokazala, da imata precna in vzdolzna togost stika velik vpliv na uklonsko nosilnost kompozitnih stebrov ter daje vpliv precne togosti stika v primerjavi z vzdolzno togostjo stika pri upogibno obremenjenih vecslojnih kompozitnih okvirjih zanemarljiv. V drugem delu doktorske disertacije je predstavljena tocna rešitev uklonskih sil pri popolnoma razslojenih elasticnih ravnih prostorskih stebrih in elasticnih zavitih prostorskih stebrih. Tocna rešitev je izpeljana z uporabo konsistentne linearizacije Reissner-Simovega matematicnega modela prostorskega nosilca in dejstva, da so kriticne tocke nelinearnega sistema enacb enake kriticnim tockam pripadajocega lineariziranega sistema enacb. S parametricnimi študijami je bilo ugotovljeno, da dolzina, lega in orientacija razslojenih delov prostorskih elasticnih stebrov pomembno vplivajo na njihovo uklonsko nosilnost ter da je uklonska nosilnost zavitih stebrov vecja od uklonske nosilnosti ravnih stebrov.
BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION
UDC:
Author:
Supervisor:
Co-supervisor:
Title:
Document type:
Notes:
Key words:
624.016:624.072.2:(0.43.3) Aleš Kroflic prof. dr. Goran Turk doc. dr. Bojan Cas
Non-linear analysis of multilayer composite structures Ph. D. Thesis
104 p., 9 tab., 77 fig., 320 eq.
multilayer composite beam, slip, uplift, creep and shrinkage, softening, elastic, buckling, finite element method, analytical solution
Summary
A new mathematical model for non-linear static analysis of multilayer composite structures with de-formable connection is presented. Doctoral thesis is divided into two parts. In the first part a new mathematical model for analysis of plane multilayer frames is presented. Each layer of composite frame is modelled with geometrically exact Reissner model of plane beam. An important novelty of the model is the introduction of a new constitutive law for connection. Arbitrary non-linear relationship between stress vector and vector of displacement differences at the contact is described in the average base. This constitutive law presents a physically reasonable generalization of constitutive laws known from linear models of two-layer beams which are described in spatial base. The basic system of non-linear equilibrium equations which represents mathematical model is solved by Galerkin's finite element method. A new family of strain-based finite elements is presented. A new numerical method for analysis of multilayer plane composite structures is very accurate and therefore suitable for analysis of stiffness, ductility, ultimate capacity and buckling capacity of different types of multilayer composite structures used in civil engineering. Detailed parametric study revealed that shear and transverse connection stiffness have a major effect on buckling capacity of composite columns. The effect of transverse connection is negligible comparing to the effect of shear connection in the case of bending of multilayer composite frames. The influence of transverse connection stiffness is negligible when composite beams are subjected to bending. The exact solution of buckling capacity of completly debonded elastic spatial beams with straight axis and pre-twisted beams is presented in the second part of the doctoral thesis. The solution is derived based on consistent linearization of Reissner-Simo's spatial beam model and the fact that critical points of linearized system of equations are equal to the critical points of corresponding non-linear system of equations. Parametric studies revealed that initial twist of cross-sections, length and position of delami-nated parts have an important effect on buckling capacity of fully delaminated elastic spatial beams. The buckling capacity is higher in the case of twisted columns.
Zahvale
Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Goranu Turku in doc. dr. Bojanu Casu za izkazano zaupanje in nesebično pomoc pri delu. Za vso pomoc, koristne nasvete in spodbudo pri delu se posebej zahvaljujem tudi prof. dr. Igorju Planincu, izr. prof. dr. Dejanu Zupanu in prof. dr. Miranu Sajetu. Hvala tudi ostalim sodelavcem Katedre za mehaniko za konstruktivne debate, pozitivno delovno vzdušje in skupna druzenja izven delovnega casa.
Hvala staršem in sestri Mateji za podporo in razumevanje. Katja, hvala za vse.
Kazalo
1	Uvod	1
1.1	Predstavitev problema in pregled stanja na obravnavanem področju........................1
1.2	Vsebina dela..................................................................................5
2	Ravninski vecslojni linijski kompozitni nosilci	7
2.1	Osnovne enačbe ravninskih večslojnih linijskih kompozitnih nosilcev ....................7
2.1.1	Kinematične enačbe................................................................7
2.1.2	RavnoteZne enačbe..................................................................10
2.1.3	Konstitutivne enačbe................................................................12
2.1.4	Robni pogoji........................................................................14
2.1.5	Vezne enačbe........................................................................14
2.1.6	Linearizačija enačb..................................................................17
2.1.7	Modifičiran izrek o virtualnem delu................................................19
2.2	Posplošene diskretne ravnotezne enačbe večslojnega linijskega kompozitnega nosilča . .	24
2.2.1	Galerkinova metoda končnih elementov............................................24
2.2.2	Reševanje diskretnih posplošenih ravnoteznih enačb večslojnega kompozitnega okvirja..............................................................................28
2.3	Računski primeri............................................................................33
2.3.1	Verifikačija numeričnega modela ..................................................33
2.3.2	Validačija numeričnega modela....................................................42
2.3.3	Parametrična študija vpliva prečne togosti stika na mehansko obnašanje dvosloj-
nih kompozitnih nosilčev ............................................................48
2.3.4	Prostolezeči armiranobetonski nosileč, ojačan s FRP-trakovi, in sovprezni nosileč
- analiza lezenja in krčenja ........................................................55
2.3.5	Prostolezeči sovprezni nosileč - analiza mehčanja ................................60
2.3.6	Dvoslojni steber iz lesa in betona - Eulerjeve uklonske sile........................66
2.3.7 Vecslojni kompozitni elasticni prostolezeci nosilec - analiticna rešitev............68
3	Uklonska nosilnost razslojenih elastičnih prostorskih stebrov	74
3.1	Geometrijski model stebra..................................................................74
3.2	Osnovne enacbe prostorskega stebra........................................................75
3.3	Linearizacija enacb..........................................................................76
3.4	Analiticšna resšitev lineariziranih enacšb ......................................................78
3.4.1	Raven elasticni razslojeni prostorski steber........................................78
3.4.2	Zavit elasticni razslojeni steber......................................................79
3.4.3	Robni pogoji ........................................................................80
3.5	Parametricne študije..........................................................................81
3.5.1	Raven elasticni razslojeni prostorski steber........................................81
3.5.2	Zavit elasticni razslojeni prostorski steber..........................................88
4	Zaključki	91
5	Povzetek	93
6	Summary	95 Literatura	97
Seznam slik
2.1 Nedeformirana in deformirana lega večslojnega linijskega kompozitnega nosilča..........8
2.1	Undeformed and deformed čonfiguration of a multilayer čomposite beam..................8
2.2	Materialna {e^, ey, e\ } in naravna {e|, e^, e^} baza sloja i kompozitnega nosilča. ...	9
2.2	Material {e^, ey, e|} and natural {e|, e^, e£} basis of layer i of čomposite beam..........9
2.3	Zveze med kinematičnimi in deformačijskimi količinami sloja i kompozitnega nosilča. .	10
2.3	Relationships between kinematič quantities and deformations of layer i of čomposite beam..........................................................................................10
2.4	Obtezba sloja i kompozitnega nosilča in obremenitev prečnega prereza....................11
2.4	Loading of layer i of čomposite beam and loading of čross sečtion........................11
2.5	Geometrijske in ravnotezne količine na stiku k med slojema i in i + 1 ter geometrijski pomen "povprečne" baze. Točki T1 in Ti+1 sta v nedeformirani legi istolezni............15
2.5	Geometričal and equilitbrium quantities of čontačt k between layers i and i + 1 and geometričal meaning of "averaged" basis. Points Tl and Ti+1 čoinčide in undeformed čonfiguration..................................................................................15
2.6	Razdelitev časovnega intervala na korake pri koračni metodi (Ghali, Favre, 1994). ...	32
2.6	Division of time into stešs for "step-by-step" analysis (Ghali, Favre, 1994)................32
2.7	Prečni prerez (a) in razpored moznikov (b) dvoslojnega lesenega nosilča....................33
2.7	Cross sečtion (a) and arrangement of čonnečtors (b) of two-layer timber beam............33
2.8	Relativna napaka numerične rešitve na stiku prostolezečega elastičnega nosilča: (a) razmik
na sredini nosilča (napakad1) in (b) zdrs (napakaA1) ob podpori............................34
2.8	Relative error of numeričal solution at the čontačt of a simply supported elastič beam:
(a) uplift at the midspan (napakad1) and (b) slip (napakaA1) at the support................34
2.9	T-prečni prerez................................................................................34
2.9	T čross-sečtion................................................................................34
2.10	Obtezba, geometrijski in materialni podatki nosilča (Girhammar, Gopu, 1993)............35
2.10	Loading, geometrič and material data of the beam (Girhammar, Gopu, 1993)..............35
2.11	Obtezba, geometrijski in materialni podatki obojestransko vpetega nosilča................37
2.11	Loading, geometric and material data of a fully clamped beam............................37
2.12	Relativna napaka navpicnega pomika wa v odvisnosti od števila elementov Ne za obtezna faktorja (a) A = 25 in (b) A = 900..........................................................37
2.12	Relative error of vertical displacement wa vs. number of elements Ne for load level (a)
A = 25 and (b) A = 900......................................................................37
2.13	Dejanske deformirane oblike polnovpetega nosilca za obtezne nivoje A = 25, 50, 900. .	38
2.13	The actual deformed shapes of a fully clamped beam for load levels A = 25, 50, 900. .	38
2.14	Obtezba in geometrijski podatki kontinuirnega nosilca......................................38
2.14	Loading and geometric data of continuous beam............................................38
2.15	Konstitutivni zakon lesa......................................................................39
2.15	Timber constitutive law......................................................................39
2.16	Nelinearni zakon stika v (a) tangentni smeri e* in (b) normalni smeri e^ (Cas, 2004a). .	39
2.16	Non-linear contact relationship in (a) tangential direction e* and (b) normal direction e^ (Cas, 2004a)..................................................................................39
2.17	(a) Relativna napaka navpicnega pomika wd v odvisnosti od števila koncnih elementov za nivoja obtezbe A = 10 in A = 54: (a) togi stik v normalni smeri (C* = 1000 kN/cm2)
in (b) nelinearni stik v normalni smeri (kot na sliki 2.16(b))................................40
2.17	(a) Relative error of vertical displacement wd vs. number of elements for load levels A = 10 and A = 54: (a) rigid normal connection (C* = 1000 kN/cm2) and (b) nonlinear contact in the normal direction (as in Fig. 2.16(b))..................................40
2.18	Geometrija, obtezba in podpiranje osno obtezenega dvoslojnega nosilca..................40
2.18	Geometry, loading and supports of axially loaded two-layer beam..........................40
2.19	Geometrija, obtezba in podpiranje dvoslojnega nosilca, obtezenega s tockovnim momentom............................................................................................41
2.19	Geometry, loading and supports of two-layer beam subjected to bending moment. ...	41
2.20	Deformirana oblika osno obremenjenega dvoslojnega nosilca pri A = 100, Z = 0.5. ...	41
2.20	Deformed shape of axially loaded two-layer beam at load level A = 100, Z = 0.5. ...	41
2.21	Deformirana oblika momentno obremenjenega dvoslojnega nosilca pri A = 150, Z =
0.5............................................................................................42
2.21	Deformed shape of two-layer beam subject to bending moment at load level A = 150,
Z = 0.5........................................................................................42
2.22	Konstitutivni zakon lesa......................................................................43
2.22	Constitutive law of timber....................................................................43
2.23	Nelinearni zakoni stika: (a) obtezba na stiku v tangencialni smeri-zdrs (pX - A) in (b) obtezba na stiku v normalni smeri-razmik (pZ - d)..........................................43
2.23 Non-linear contact relationships: (a) shear traction-slip (pX-A) relationship and (b) normal traction-uplift (pZ-d)....................................................................43
2.24 Izmerjen in izracunan odziv: (a) sila-pomik (P - ) in (b) sila-robni zdrs (P - Ab). . 44
2.24	Measured and calculated response: (a) load-deflection (P - waA) and (b) load-slip (P -
Ab) curves......................................... 44
2.25	Izmerjeni in izracunani precni pomiki spodnjega sloja................... 45
2.25	Measured and calculated vertical displacements of bottom layer.............. 45
2.26	McCutcheonov eksperimentalni preizkušanec (McCutcheon, 1986)............ 45
2.26	Experimentally tested speciment of McCutcheon (McCutcheon, 1986).......... 45
2.27	Konstitutivni zakon stika v vzdolzni smeri (McCutcheon, 1986).............. 46
2.27	Constitutive contact relationship in longitudinal direction (McCutcheon, 1986)...... 46
2.28	Obtezba, podpiranje in geometrijske lastnosti sovpreznega kontinuirnega nosilca (An-sourian, 1981)........................................ 46
2.28	Loading, supports and geometrical properties of steel-concrete continuous beam (An-sourian, 1981)........................................ 46
2.29	Materialni modeli: (a) jeklo in armatura, (b) beton, (c) obtezba stika v tangencialni smeri v odvisnosti od "povprecnega" zdrsa (p*-A*) in (d) obtezba stika v normalni smeri v normalni smeri v odvisnosti od "povprecnega" razmik (p*n-d*).............. 47
2.29	Material models of: (a) steel and reinforcement, (b) concrete, (c) traction force in tangential direction as a funciton of mean slip (p*-A*) and (d) traction force in normal direction as a function of mean uplift (p*n-d*)....................... 47
2.30	Primerjava obtezno-deformacijskih krivulj za navpicni pomik pri tocki 1 in 2....... 48
2.30	Comparison of load-deflection curves of vertical displacement at points 1 and 2.....48
2.31	Nelinearni konstitutivni zakoni stika v normalni smeri................... 49
2.31	Non-linear normal traction-uplift constitutive laws..................... 49
2.32	Zdrs A in razmik d na stiku za razlicne razporeditve zebljev in razlicne tipe konstitutivnega zakona stika v normalni smeri (obtezba deluje na zgornjem sloju)......... 50
2.32	Slip A and uplift d distributions along the contact surface for different nail arrangements and different types of the normal contact traction-uplift relationships (load acting on the upper layer). ........................................ 50
2.33	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in Qb (obtezšba deluje na zgornjem sloju). ............................ 50
2.33	Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and
Qb (load acting on the upper layer)............................. 50
2.34	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in Qb (obtezba deluje na spodnjem sloju)............................. 51
2.34	Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and
Qb (load acting on the bottom layer)............................ 51
2.35	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in Qb (obtezba deluje na spodnjem sloju)............................. 51
2.35	Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and
Qb (load acting on the bottom layer)............................ 51
2.36	Zdrs (A) in razmik (d) na stiku za razlicne tipe konstitutivnih zakonov v normalni smeri
na stiku (obtezba deluje na zgornjem sloju)......................... 52
2.36	Slip (A) and uplift (d) distribution along the contact for different types of normal contact traction-uplift relationships (load acts on the upper layer)................. 52
2.37	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in Qb (obtezba deluje na zgornjem sloju)............................. 52
2.37	Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and
Qb (load acts on the upper layer).............................. 52
2.38	Zdrs (A) in razmik (d) na stiku za razlicne tipe konstitutivnih zakonov v normalni smeri
na stiku (sila deluje na spodnjem sloju)........................... 53
2.38	Slip (A) and uplift (d) distribution along the contact for different types of normal contact traction-uplift relationships (force acts on the bottom layer)................ 53
2.39	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in Qb (obtezba deluje na zgornjem sloju)............................. 53
2.39	Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and
Qb (load acts on the upper layer).............................. 53
2.40	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na Ma in Mb....... 54
2.40	Effect of different normal contact laws on Ma and Mb.................. 54
2.41	Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na pl in p*n......... 54
2.41	Effect of different normal contact laws on pl and p*n.................... 54
2.42	Primerjava obtezno-deformacijskih krivulj za navpicni pomik pri tocki 1 in 2....... 55
2.42	Comparison of load-deflection curves of vertical displacement at points 1 and 2.....55
2.43	Obtezba, geometrijske in materialne lastnosti........................ 56
2.43	Geometry, material properties and load........................... 56
2.44	Normaliziran relaksacijski modul lezenja (Hamed, Bradford, 2010)............ 56
2.44	Normalized creep relaxation modulus (Hamed, Bradford, 2010).............. 56
2.45	Zacetni odziv: (a) osna sila v FRP-traku (f
in (b) navpicni pomik betonskega sloja (wc)............................................. 57
2.45	Instantaneous response: (a) FRP axial force (R?) and (b) vertical deflection of concrete layer (wc).......................................... 57
2.46	Tangencialna napetost na stiku slojev nosilca na koncu FRP-traku (t = 0)......... 57
2.46	Tangential contact stress at the end of FRP strip (t = 0).................. 57
2.47	Normiran casovni odziv lezenja: (a) maksimalna osna sila v FRP-traku in (b) maksimalen navpicni pomik betonskega sloja.............................. 58
2.47	Normalized creep response: (a) maximum FRP axial force and (b) maximum vertical deflection of concrete layer................................. 58
2.48	Normiran casovni odziv lezenja maksimalne tangentne napetosti na stiku slojev.....58
2.48	Normalized creep response of peak shear stress at adhesive layer............. 58
2.49	Obravnavani preizkušanec (Bradford, Gilbert, 1991a, Bradford, Gilbert, 1991b).....59
2.49	Description of the tested beam (Bradford, Gilbert, 1991a, Bradford, Gilbert, 1991b). . . 59
2.50	Pomik na sredini nosilca w................................. 60
2.50	Mid-span deflection w.................................... 60
2.51	Vzdolzna deformacija D% na sredini sovpreznega nosilca: (a) preizkušanec B1 in (b) preizkušanec B4....................................... 60
2.51	Longitudinal strain D% at the mid-span of a steel-concrete beam: (a) specimen B1 and
(b) specimen B4....................................... 60
2.52	Jekleno-betonski sovprezni nosilec............................. 62
2.52	Steel-concrete composite beam............................... 62
2.53	Konstitutivni zakoni: (a) nelinearni zakon betona (Eurocode 2, 2005) in (b) bilinearni zakon jekla.......................................... 62
2.53	Constitutive relationships: (a) non-linear concrete (Eurocode 2, 2005) and (b) bilinear steel............................................. 62
2.54	Obtezno-deformacijska krivulja............................... 63
2.54	Load-deflection curve.................................... 63
2.55	Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolz nosilca za razlicne obtezne nivoje: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti Kb........................ 64
2.55	Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels:
(a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb....................... 64
2.56	Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolz nosilca za razlicne obtezne nivoje pri dolzini območja mehcanja 44 cm: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti
Kb.............................................. 64
2.56	Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels length of softening area 44 cm: (a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb...... 64
2.57	Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolz nosilca za razlicne obtezne nivoje pri dolzini obmocja mehcanja 6 cm: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti Kb. . 65
2.57	Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels at length of softening area 6 cm: (a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb...... 65
2.58	Kratki koncni element: (a) diagram osna sila - osna deformacija (Nb - eb) in (b) upogibni moment - psevdoukrivljenosti (Mb - Kb).......................... 66
2.58	Short constant-strain finite element: (a) axial force-graph axial strain (Nb - eb) and (b) bending moment-pseudocurvature (Mb - Kb)........................ 66
2.59	Precni prerez dvoslojnega stebra iz lesa in betona..................... 67
2.59	Cross-section of a two-layer timber-concrete column........................................67
2.60	Vpliv tangentne in normalne togosti stika na uklonsko silo Fcr dvoslojnega nosilca. ...	68
2.60	Effect of tangential and normal contact stiffness on buckling load Fcr of two-layer composite beam. ................................................................................68
2.61	Vpliv oslabitve stika v tangentni in normalni smeri na velikost uklonske sile Fcr, norm dvoslojnega nosilca. ........................................................................69
2.61	Effect of contact weakening in tangential and normal direction on critical buckling load
Fcr, norm of two-layer composite beam........................................................69
2.62	Precni prerez kompozitnih nosilcev (Sousa, da Silva, 2010): (a) trislojni in (b) štirislojni.	69
2.62	Cross-section of multilayer beams (Sousa, da Silva, 2010): (a) three-layer and (b) four-layer. ........................................................................................69
2.63	Primerjava zdrsov (Sousa, da Silva, 2010): (a) trislojni nosilec in (b) štirislojni nosilec. .	70
2.63	Comparison of slips (Sousa, da Silva, 2010): (a) three-layer and (b) four-layer beam. . .	70
2.64	Sestave vecslojnih nosilcev: (a) dvoslojni, (b) štirislojni, (c) šestslojni in (d) osemslojni .	70
2.64	Multilayer beams: (a) two-layer, (b) four-layer, (c) six-layer and (d) eight-layer............70
2.65	Navpicni pomik obravnavanih vecslojnih lesenih nosilcev..................................71
2.65	Vertical displacement of considered multi-layer timber beams..............................71
2.66	Potek zdrsov vzdolz vecslojnih lesenih nosilcev: (a) osemslojni (N = 8), (b) šestslojni
(N = 6), (c) štirislojni (N = 4) in (d) dvoslojni (N = 2)..................................72
2.66	Slips along multilayer timber beams: (a) eight-layer (N = 8), (b) six-layer (N = 6), (c) four-layer (N = 4) and (d) two-layer (N = 2)..............................................72
2.67	Potek razmikov vzdolz vecslojnih lesenih nosilcev: (a) osemslojni (N = 8), (b) šestslojni
(N = 6), (c) štirislojni (N = 4) in (d) dvoslojni (N = 4)..................................73
2.67 Uplifts along multilayer timber beams: (a) eight-layer (N = 8), (b) six-layer (N = 6),
(c) four-layer (N = 4) and (d) two-layer (N = 4). ........................................73
3.1 Geometrija, obtezba in znacilni deli zavrtenega stebra......................................74
3.1	Geometry, loading and typical sections of twisted column..................................74
3.2	Definicija ß in 0..............................................................................75
3.2	Definition of ß and 0........................................................................75
3.3	Prostolezeci steber: normirana uklonska sila glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L), striznega modula (G) in lege delaminacije glede na precni prerez (ß)..............................................................................84
3.3	Simply supported column: normalized critical force vs. slenderness for various delami-nation lengths (L23/L), shear moduli (G) and delamination positions (ß)..................84
3.4	Prostolezeci steber: normirana uklonska sila glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L) in relativne vzdolzne lege delaminacije (L1rel). . .	85
3.4	Simply supported column: normalized critical force vs. relative delamination length (L23/L) and relative longitudinal position of delamination (L1,rei)............ 85
3.5	ProstoleZeci steber: normirana uklonska sila glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolZine delaminacije (L23/L) in relativne precne lege delaminacije (ß)....... 85
3.5	Simply supported column: normalized critical force vs. relative delamination length
(L23/L) and relative lateral asymmetrical lege of delamination (ß)............ 85
3.6	Konzola: normirana uklonska sila (Fcr/FE) v odvisnosti od zasuka delaminacije f (za razlicne vrednosti precne lege delaminacije ß in razlicne dolzine delaminacij L23). ... 86
3.6	Cantilever column: normalized critical force (Fcr/FE) vs. rotation of delamination f (for different values of asymmetrical position of delamination ß and for different lengths of delamination L23)...................................... 86
3.7	Obojestransko vpeti steber: normirana uklonska sila (Fcr/FE) v odvisnosti od zasuka delaminacije f (za razlicne vrednosti precne lege delaminacije ß in razlicne dolzine delaminacij L23)........................................ 87
3.7	Clamped-Clamped column: normalized critical force (Fcr/FE) vs. rotation of delamination f (for different values of asymmetrical position of delamination ß and for different lengths of delamination L23)................................ 87
3.8	Uklonske oblike konzole z nesimetricno pozicijo delaminacije (ß = 0.75) za razlicne
kote f in dolzine delaminacij L23/L............................ 88
3.8	Buckling shapes of a cantilever column with non-symmetrical delamination (ß = 0.75)
for various angles f and lengths of delaminations L23/L................. 88
3.9	Uklonske oblike obojestransko vpetega stebra z nesimetricno pozicijo delaminacije (ß = 0.75) za razlicne kote f in dolzine delaminacij L23/L................... 89
3.9	Buckling shapes of a clamped-clamped column with non-symmetrical delamination (ß = 0.75) for various angles f and lengths of delaminations L23/L.............. 89
3.10	Vpliv treh parametrov na uklonsko silo: (a) vitkost A, (b) precne lege delaminacije ß in
(c) dolzine delaminacije L23................................ 90
3.10 Effect of three parameters on the critical buckling force: (a) slenderness A, (b) asymmetrical position ß and (c) length of delamination L23..................... 90
Seznam preglednic
2.1 Analitični in numericni rezultati ter lastnosti konvergence navpičnega pomika na sredini
nosilca za različne tipe povezave v tangentni in normalni smeri.............. 35
2.1	Analytical and numerical results and convergence properties of the midpoint vertical deflection for different shear and uplift connections.................... 35
2.2	Analiticni (Girhammar, Gopu, 1993) in numericni rezultati prostolezecega linearno elas-ticnega kompozitnega nosilca................................ 36
2.2	Analytical (Girhammar, Gopu, 1993) and numerical results of a simply supported linear elastic composite beam................................... 36
2.3	Osno obremenjen dvoslojni nosilec. Primerjava rezultatov za razlicne Z pri A = 100. . . 41
2.3	Axially loaded two-layer beam. Comparison of results for different Z at A = 100..... 41
2.4	Dvoslojni nosilec, obremenjen z upogibnim momentom. Primerjava rezultatov za razlicne Z pri A = 150..................................... 42
2.4	A two-layer beam subjected to bending moment. Comparison of results for different Z at
A = 150........................................... 42
2.5	Primerjava analiticnih in numericnih rezultatov: rezultati v [kN/cm2] (elasticni modul)
in [cm] (navpicni pomik, zdrs)............................... 45
2.5	Comparisons of analytical and numerical results; results in [kN/cm2] (elastic modulus)
and [cm] (vertical deflection, slip).............................. 45
2.6	Privzeti koeficient togosti K * v tangencialni smeri stika in koristna obtezba q na nosilec. 59
2.6	Tangential stiffness K * of contact in tangential direction and superimposed load q on the beam............................................. 59
2.7	Vpliv tangentne in normalne togosti stika na uklonsko silo Fcr [kN] predstavljenega dvo-slojnega nosilca....................................... 67
2.7 Effect of tangential and normal contact stiffness on buckling load Fcr [kN] of considered
two-layer composite beam.................................. 67
3.1 Normirane uklonske sile za prostolezeci steber z dolzino delaminacije ld na relativni
višini precnega prereza rd = 0.4.............................. 83
3.1 Normalized buckling loads for simply supported column with delamination length ld at
relative vertical position rd = 0.4.............................. 83
3.2 Normalizirane uklonske sile za obojestransko vpeti steber z dolzino delaminačije ld na
relativni višini prečnega prereza rd............................. 83
3.2 Normalized bučkling loads of člamped-člamped čolumn with delamination length ld at
relative vertičal positions rd................................. 83
1 Uvod
1.1 Predstavitev problema in pregled stanja na obravnavanem področju
Pri projektiranju gradbenih konstrukčij pogosto uporabljamo konstrukčijske elemente, sestavljene iz več slojev, navadno iz različnih materialov. Kompozitne konstrukčije, kot s skupnim imenom imenujemo te konstrukčije, v novejšem času predstavljajo v gradbeništvu eno glavnih smeri razvoja. So pa kompozitne konstrukčije ze zelo dolgo zelo uveljavljene, če ne kar nepogrešljive, v ladjedelniški, avtomobilski, letalski in vesoljski industriji.
Ostra konkurenča narekuje razvoj inovativnih pristopov v vseh fazah pročesa gradnje. V grobem lahko izluščimo dva pomembna vzroka, ki sta privedla do razširjene uporabe kompozitnih konstrukčij v gradbeništvu: novi načini gradnje (polmontazna, montazna) in optimizačija porabe materiala. S polmon-tazno in montazno gradnjo pospešimo hitrost gradnje objektov, saj s tem del gradnje objekta preselimo z gradbišča v proizvodne hale, kjer imamo večjo kontrolo nad pročesom izdelave posameznega gradbenega elementa. Nekateri načini take gradnje so mozni zgolj z uporabo kompozitnih konstrukčijskih elementov. Tako na primer pri gradnji sovpreznih nosilčev iz jekla in betona na jeklene nosilče pritrdimo valovito pločevino, ki hkrati opravlja tudi funkčijo opaza na mestu vgrajene armiranobetonske plošče. Pri sanačijah premostitvenih sovpreznih konstrukčij iz jekla in betona predstavlja enega izmed inovativnejših pristopov tudi menjava obstoječih jeklenih nosilčev z nosilči FRP (angl. fibre reinforced plastic), ki so ojačani z armiranobetonsko ploščo. FRP-nosilči so v primerjavi z jeklenimi veliko lazji, kar omogoča lazjo gradnjo in tako hitrejše popravilo premostitvenega objekta, kar je pogosto ena od najpomembnejših prednosti izbire takega načina sanačije mostov.
Sanačije so vsekakor področšje gradbenisštva, pri katerem se zelo pogosto srečšamo z uporabo vseh vrst kompozitnih konstrukčij. Tako armiranobetonske konstrukčije pogosto ojačamo tako, da v natezni čoni dodamo sloj iz materiala, ki ima dobre natezne lastnosti. Eden od učinkovitih načinov sanačij nosilnih elementov je ojačitev z dolepljenimi FRP-trakovi. Ta postopek sanačije konstrukčij je enostaven in učinkovit, saj tako konstrukčijo ojačamo z minimalno količino dodanega materiala. Pred iznajdbo FRP-materialov so se nosilni deli konstrukčij ojačevali z jeklenimi trakovi, ki jih je bilo zaradi velike teze na gradbišču tezje kvalitetno pritrditi na konstrukčijo, so pa jekleni trakovi tudi zelo izpostavljeni koroziji. Lesene stropove starejših oziroma zgodovinskih stavb pogosto saniramo tako, da na obstoječo leseno konstrukčijo dodatno zabetoniramo sloj betona. Tako ustvarimo novo kompozitno konstrukčijo iz lesa in betona, pri kateri so leseni nosilči pri upogibni obtezbi natezno obremenjeni, dobetoniran betonski sloj pa tlačno. Ceprav mogoče neobičajen primer uporabe kompozitnih konstrukčij pri sanačiji dotrajanih betonskih površin armiranobetonskih plošč predstavlja tudi tehnološki postopek, s katerim obstoječi dotrajani betonski sloj konstrukčije nadomestimo s slojem novega betona. Tako smo ustvarili dvoslojno kompozitno konstrukčijo, katere sloja se zaradi različšne starosti betona tudi različšno obnasšata,
kar lahko povzrocši tudi dodatne posškodbe konstrukcije.
Siroko podrocje uporabnosti kompozitnih konstrukcij predstavlja projektiranje lesenih konstrukcij. Tu imamo v mislih predvsem uporabo sestavljenih lesenih nosilcev, ki so sestavljeni iz dveh ali vec z veznimi sredstvi povezanih slojev. Nacin povezave oziroma izbira veznih sredstev med sloji obicajno narekuje kar stopnja obdelave posameznega sloja. Glede na to jih razdelimo v razrede, katerih skrajna razreda sta: navaden tramovni sklad (brez povezave) in leseni vecšslojni kompozitni nosilci z zelo togo povezavo med sloji (kot so na primer lepljenci).
Glede na nacin povezave razdelimo kompozitne konstrukcije na tri skupine. Prvo skupino prestavljajo kompozitni nosilci z nepovezanimi sloji, drugo s togo povezanimi sloji in tretjo, teh je v gradbeništvu naj-vec, predstavljajo kompozitne konstrukcije z delno povezanimi sloji. Navadno stremimo k povezanemu delovanju slojev, ce se da togemu povezovanju slojev, saj najpogosteje tako zagotovimo tudi najvecjo togost in nosilnost kompozitne konstrukcije. Izjema so na primer betonske kompozitne konstrukcije z razlicno starimi betonskimi sloji, pri katerih toga povezava med sloji pogosto ni optimalna. Vendar zaradi razlicnih vzrokov popolne toge povezave med sloji kompozitnih gradbenih konstrukcij prakticno ne moremo zagotoviti. Pri kompozitnih konstrukcijah s podajnimi povezavami lahko med sloji zaradi zunanjih vplivov nastopi razslojevanje med sloji v precni in vzdolzni smeri. Med sloji se pojavijo razmiki ali pa se en sloj vtisne v drugega (v nadaljevanju v obeh primerih govorimo o razmikih) in zdrsi. Lahko pa pride do razmika in zdrsa hkrati. Ker nacin povezave med sloji pomembno vpliva na mehansko obnašanje kompozitnih konstrukcij, ni presenetljivo, da v znanstveni literaturi zasledimo številne raziskave o tipih veznih sredstev med sloji in konstitutivnih modelih le-teh (Almusallam, Al-Salloum, 2001, Daniels, Crisnel, 1993, Dezi, Tarantino, 1993, Fabbrocino, Manfredi, Cosenza, 1999, Foschi, 1974, Foschi, 1977, Goodman, Popov, 1968, Kamiya, 1987, Kamiya, 1988, Nguyen, Chan, Cheong, 2001, Rahimi, Hutchinson, 2001, Rassam, Goodman, 1971, Razaqpur, Nofal, 1989, Salari, Spacone, 2001, Silfwerbrand, 1985, Toutanji, Ortiz, 2001, Van Der Linden, 1999, Wheat, Vanderbilt, Goodman, 1983, Ye, 2001).
Poglobljen pregled zacšetkov eksperimentalnega raziskovanja o kompozitnih konstrukcijah je predstavil Viest (1999). Zacetki numericnega modeliranja vecslojnih kompozitnih konstrukcij (predvsem dvosloj-nih nosilcev) pa segajo v sredino prejšnjega stoletja. Prve matematicne modele kompozitnih nosilcev z upoštevanjem podajne povezave med sloji so neodvisno razvili Granholm (1949), Pleshkov (1952), Stussi (1947) in Newmark (1951). V tem obdobju so raziskovalci skušali predvsem z relativno preprostimi matematicnimi modeli cim natancneje opisati vpliv podajne povezave med slojema kompozitnega nosilca na obnašanje kompozitnega nosilca kot celote. S pojavom racunalnikov se je razvoj iskanja ucinkovitega numericnega modela za analizo obnašanja vseh vrst kompozitnih konstrukcij izredno pospešil. Vecina numericnih modelov je danes zasnovana na metodi koncnih elementov (Xu, Wu, 2007, Adekola, 1968, Bradford, Gilbert, 1992, Kroflic et al., 2010a, Manfredi, Fabbrocino, Cosenza, 1999, Schnabl et al., 2006). Ti modeli praviloma ne upoštevajo moznosti razmikanja slojev, zasnovani pa so praviloma na geometrijsko linearni teoriji ravninskih nosilcev z uposštevanjem materialno nelinearnega obnašanja slojev in veznih sredstev (Betti, Gjelsvik, 1996, Cas, Saje, Planinc, 2004b, Gattesco, 1999, Hozjan, 2009, Milner, Tan, 2001, Planinc et al., 2008, Rasheed, Pervaiz, 2002, Seracion, Oehlers, Yeo, 2001, Wang, 1998). V zadnjem casu zasledimo v znanstveni literaturi tudi numericne modele za analizo dvoslojnih kompozitnih nosilcev z upoštevanjem zdrsov med slojema, ki so zasnovani na geometrijsko nelinearnih modelih nosilcev (Cas, Saje, Planinc, 2004c, Hozjan, 2009, Ranzi, Bradford, 2007, Ranzi et al., 2010, Girhammar, Gopu, 1993), pa tudi modelov, s katerimi avtorji analizirajo vpliv zdrsa med slojema na uklonsko nosilnost kompozitnih stebrov (Kryzanovski et al., 2008, Kamiya, 1988, Rassam, Goodman, 1970).
Adekola (1968) je bil verjetno prvi, ki je analiziral vpliv zdrsov in razmikov med slojema na obnašanje dvoslojnih kompozitnih nosilcev. Izpeljal je matematicšni model za analizo sovprezšnih prostolezšecših nosilcev iz jekla in betona, dobljeni sistem navadnih diferencialnih enacb matematicnega modela pa je resšil z diferencšno metodo. V nadaljevanju sta tocšno resšitev za delno modificiran Adekolov matematicšni model v obliki eksplicitnih izrazov predstavila Robinson in Naraine (1988). Tocno rešitev za dolocitev napetostnega in deformacijskega stanja dvoslojnih elasticnih kontinuirnih nosilcev z upoštevanjem razmikov in zamikov med slojema pa so predstavili Kroflic in sodelavci (2010a). Z razvojem racunalništva se tudi na tem raziskovalnem področju pojavljajo nelinearni numericni modeli za analizo kombiniranega vpliva zamikov in razmikov med sloji na obnašanje dvoslojnih kompozitnih nosilcev. Omenimo le tiste raziskave - modele, ki za modeliranje razmikov in zamikov upoštevajo bilinearne ali pa tudi splošne nelinearne konstitutivne modele (Gara, Ranzi, Leoni, 2006, Ranzi, Gara, Ansourian, 2006, Kroflic et al., 2010b, Kroflic, Saje, Planinc, 2011). Za te numericne modele je tudi znacilno, da razslojevanje v vzdolzni in precni smeri obravnavajo nepovezano. Natancnejši so seveda modeli, ki obnašanje veznih sredstev opisšejo s povezanimi konstitutivnimi zakoni. Pregled teh matematicšnih modelov in njihovo implementacijo pri analizi razslojevanja prostorskih kompozitnih konstrukcij sta detajlno predstavila Al-fano in Crisfield (2001).
Raziskav na podrocju vecslojnih kompozitnih linijskih konstrukcij z upoštevanjem zdrsov in razmikov med sloji je relativno malo. Schnabl in sodelavci (2006) so predstavili analiticne rešitve napetostnega in deformacijskega stanja trislojnih elasticnih kompozitnih nosilcev, pri katerih se na stiku med sloji pojavijo le zdrsi. Krawczyk in sodelavca (2007) so nato predstavili nov numericni model za analizo vpliva geometrijske nelinearnosti slojev na globalno obnašanje vecslojnih elasticnih kompozitnih nosilcev. Tudi oni so se omejili na taka vezna sredstva med sloji, ki omogocajo le zdrse. Izredno zanimiva je Volokhova in Needlemanova raziskava (2002) o uklonski nosilnosti t. i. "sendvicš"-stebrov (trislojnih stebrov). Numericni model sta zasnovala na elasticnem Reissnerjevem modelu ravninskega nosilca in nelinearnem obnašanju veznih sredstev na stiku med sloji, ki omogocajo tako zamike kot tudi razmike slojev. Z numericšnim eksperimentiranjem sta ugotovila, da podajna povezava med sloji "sendvicš"-stebra pomembno vpliva na njegovo uklonsko nosilnost.
V zadnjem obdobju opazimo izredno zivahno raziskovanje o procesih razslojevanja kompozitnih nosilcev, ki so v nateznem delu ojacani s FRP-trakovi. Kot porocajo številni raziskovalci, je porušitev povezave med slojema kompozitnega nosilca v veliki meri odvisna od koncentracije striznih in normalnih napetosti na stiku med slojema. Zato so bile prve raziskave o procesu razslojevanja osredotocene predvsem na metode za dolocitev striznih in normalnih napetosti na stiku med slojema. Praviloma so pri teh raziskavah raziskovalci predpostavili linearno elasticno obnašanje slojev in veznega sredstva ter prevladujoc vpliv striznih napetosti na razslojevanje kompozitnega nosilca. Strizne napetosti so izrazili s preprostimi analiticnimi izrazi, medtem ko so normalne napetosti dolocili na osnovi kompatibilnostnih pogojev v precni smeri. Tako sta Smith in Teng (2001) predstavila rešitev prvega reda, pri kateri so strizne in normalne napetosti konstantne po debelini vmesnega sloja. Slabost te sicer preproste rešitve je v tem, da z njo ne moremo ustrezno zadostiti robnih pogojev. Med temi raziskavami omenimo le še raziskavo De Lorenzisa in sodelavcev (2006), v kateri so raziskovalci predstavili strizšne in normalne napetosti na stiku med slojema ukrivljenega kompozitnega nosilca. Fizikalno pravilni modeli razslojevanja kompozitnih konstrukcij so tisti, ki so zasnovani na mehaniki loma (Yang, Peng, Kwan, 2006, Au, Buyukozturk, 2006 in Rabanovitch, Frostig, 2001). V zadnjem casu raziskovalci modelirajo razslojevanje kompozitnih konstrukcij najpogosteje z modelom kohezijskega obmocja. Koncept modela kohezijskega obmocja sta prva neodvisno predstavila Barenblatt (1959) in Dugdale (1960). Skladno z modelom kohezijskega obmocja opišemo razslojevanje kompozitnih konstrukcij z makroskopskim konstitutivnim zakonom ad-hezijskih slojev. Pri tem lahko upoštevamo loceno ali pa povezano razslojevanje v precni (normalni)
smeri in razslojevanje v vzdolzni (strizni) smeri. Glede na nacin razslojevanja doloca model kohezij-skega območja konstitutivno zvezo med striznimi oziroma normalnimi napetostmi na stiku med slojema in skoki pomikov v precni in vzdolzni smeri na stiku med slojema oziroma zdrsi in razmiki. Te zveze dolocimo z eksperimenti in so obicajno nelinearne. Praviloma se napetosti v zacetni fazi razslojevanja s povecevanjem zdrsov in razmikov povecujejo do najvecje vrednosti, nato pa se zacnejo s povecevanjem zdrsov in razmikov manjšati do vrednosti nic, kar pomeni, da sta sloja popolnoma locena. Tako lahko z modelom kohezijskega obmocja opišemo celoten proces razslojevanja stikov med sloji kompozitne konstrukcije, in sicer od delno razslojenih slojev pa do popolnoma razslojenih (Teng, Yuan, Chen, 2006, De Lorenzis, Zavarise, 2008, Rabanovitch, 2008, Alfano, Crisfield, 2001 in številni drugi).
V zadnjih tridesetih letih je bilo narejenih veliko eksperimentalnih, analiticnih in numericnih raziskav o reoloških lastnostih betona. Tako sedaj relativno dobro poznamo krcenje in lezenje betona, hkrati pa so bili razviti številni modeli, s katerimi relativno dobro omenjena pojava tudi opišemo (Jiräsek, Bazant, 2001). Veliko manj pa je raziskav, ki analizirajo kombiniran vpliv krcenja in lezenja betona na obnašanje vecslojnih kompozitnih linijskih konstrukcij z upoštevanjem zdrsov in razmikov med sloji. Med prvimi sta vpliv krcenja in lezenja betona pri sovpreznih nosilcih iz jekla in betona s podajnim stikom v vzdolzni smeri z numericno metodo analizirala Tarantino in Dezi (1992). Kot reološka modela krcenja in lezenja sta uporabila modela, ki ju je predstavil Bazant (1972) oziroma Dilger (1985). Novejše numericne modele za analizo vpliva lezenja in krcenja betona na napetostno in deformacijsko stanje dvoslojnih kom-pozitnih nosilcev iz jekla in betona z uposštevanjem zdrsov so med drugimi predstavili Ranzi in Bradford (2008) ter Jurkiewiez s sodelavci (2005). Poleg numericnih modelov za analizo vpliva krcenja in lezenja na obnasšanje dvoslojnih kompozitnih nosilcev zasledimo v literaturi tudi eksperimentalne raziskave o teh vplivih (Bradford, Gilbert, 1991b, Roll, 2009). Teh je zaradi zahtevnosti in dolgotrajnosti eksperimentalnih raziskav in njihove visoke cene relativno malo. Zanimivo pa je, da zaenkrat raziskav o vplivu diferencnega krcenja razlicno starih betonov na napetostno in deformacijsko stanje dvoslojnih ali vecslojnih armiranobetonskih kompozitnih nosilcev s podajnimi ali togimi stiki v literaturi prakticno ni, kar je glede na pomembnost pojava, ki lahko povzroci poškodbe konstrukcije, izredno nenavadno.
Mehcanje je znacilen pojav kompozitnih materialov. Tako mehcanje opazimo pri natezno obremenjenih betonskih in kamnitih konstrukcijah, pri tlacno obremenjenih betonskih konstrukcijah iz neobjetega betona in pri strizno konsolidirani zemljini. Znano je, da postanejo matematicni modeli zaradi pojava mehcanja slabo pogojeni. Znacilnosti mehcanja materiala so tudi: podrocje mehcanja se lokalizira v tocko, obtezno-deformacijska krivulja ima vedno povratno smer (angl. snap back), porabljena energija loma je enaka nic (Jirasek, Bazant, 2001) in rešitev je odvisna od mreze koncnih elementov (Bratina, Saje, Planinc, 2004). Kot porocajo številni raziskovalci, predstavlja pojav mehcanja še vedno velik raziskovalni izziv. Pri armiranobetonskih ravninskih okvirjih sta se za analizo mehcšanja precšnih prerezov razvila dva poenostavljena modela. Pri prvem modelu predpostavimo, da se mehcšanje lokalizira v precnem prerezu okvirja. Na tem mestu v okvir vstavimo plasticni clenek, s katerim mehcanje precnega prereza opišemo z zvezo moment - zasuk. Kot poroca Jirasek (1997), je prednost tega modela njegova preprostost, slabost pa v tem, da v modelu mehcšanja ne uposštevamo osnih sil oziroma osnih deformacij. Drugi model mehcanja je zasnovan na eksperimentalni ugotovitvi, da se razpoke betona in s tem mehcanje pojavijo na ozkem obmocju s koncno dolzino. Ta dolzina obmocja mehcanja, kjer so deformacije konstantne, se doloa z eksperimenti na osnovi energije porušitve betona (Bazant, Pijaudier-Cabot, 1989, Bratina, Saje, Planinc, 2004). Poleg teh dveh poenostavljenih modelov mehcanja linijskih konstrukcij pa v literaturi zasledimo tudi posplošitve teh dveh modelov. To so t. i. nelokalne teorije mehcanja in gradientne metode (Jirasek, Bazant, 2001). Raziskav o vplivu mehcanja precnih prerezov na obnašanje vecslojnih linijskih kompozitnih okvirjev s podajnimi stiki zaenkrat v znanstveni literaturi nismo zasledili.
Razslojenost je pogost vzrok uklonske porušitve kompozitnih konstrukcij. Tako se lahko zaradi zmanjšane togosti razslojen vecslojen kompozitni steber poruši zaradi lokalnega uklona razslojenih delov stebra ali pa globalnega uklona stebra. Zato so uklonski pojavi predmet intenzivnih raziskav zadnjih trideset let. Najveckrat so te raziskave osredotocene na iskanje optimalnega matematicnega oziroma numericnega modela za analizo vpliva razslojenosti na uklonsko nosilnost vecslojnih kompozitnih konstrukcij in iskanje s tem povezanih pomembnih materialnih in geometrijskih parametrov. Ker smo dosedanje raziskave o uklonski nosilnosti delno razslojenih vecslojnih kompozitnih stebrov ze opisali, v nadaljevanju na kratko opišemo raziskave o uklonski nosilnosti popolnoma razslojenih stebrov. Razlikujejo se predvsem po številu, velikosti in legi razslojenih delov stebra ali delaminacij, kot pogosto recemo, in tudi po zahtevnosti matematicnih modelov, s katerimi te vplive analiziramo. V tem sklopu so se prve raziskave o uklonski nosilnosti popolnoma razslojenih kompozitnih elasticnih stebrov pojavile v sedemdesetih in osemdesetih letih prejšnjega stoletja (Almond, 1970, Chai, Babcock, Knauss, 1981 in Simitses, Sallam, Yin, 1985). Prelomna je Kardomateasova in Schmueserjeva raziskava (1988), v kateri sta raziskovala vpliv striga na uklonsko nosilnost elasticnega stebra z eno delaminacijo. V nadaljevanju so Chen (1991) ter Moradi in Taheri (1999) analizirali vpliv dveh delaminacij na uklonsko nosilnost razslojenih stebrov. Vsi raziskovalci so vpliv striga analizirali z nekonsistentnim modelom, pri katerem vpliv striga upoštevamo s korekcijskimi faktorji. To slabost matematicnega modela so odpravili Kryzanovski in sodelavci (2008), ki so vpliv striga na uklonsko nosilnost elasticnega stebra z eno delaminacijo analizirali z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca. V nadaljevanju so Rodman in sodelavci (2007) analizo vpliva delaminacije na uklonsko nosilnost stebrov razširili še na elasticne stebre s poljubnim številom, velikostmi in legami delaminacij. Do sedaj raziskav o vplivu razslojenosti na uklonsko nosilnost prostorskih stebrov v znanstveni literaturi nismo zasledili.
1.2 Vsebina dela
V	doktorski disertaciji se ukvarjamo z nelinearno staticno analizo vecslojnih linijskih kompozitnih konstrukcij. Detajlno nas zanima vpliv vzdolzne in precne podajnosti veznih sredstev med sloji kompozitnih konstrukcij na togost, duktilnost, nosilnost okvirjev in uklonsko nosilnost stebrov. Disertacijo razdelimo na dva vsebinsko locena dela, katerih vsebino predstavimo v dveh poglavjih. Tako ima doktorska disertacija poleg uvoda in zakljucka še dve poglavji.
V	drugem poglavju, ki je tudi osrednji del disertacije, se ukvarjamo z analizo ravninskih vecslojnih kom-pozitnih okvirjev. Predstavimo nov numericšni model in pripadajocši racšunalnisški program v programskem okolju Matlab za nelinearno staticno analizo vecslojnih kompozitnih okvirjev s podajnimi veznimi sredstvi. Pri izpeljavi matematicnega modela vsak sloj kompozitnega nosilca oziroma okvirja modeliramo z geometrijsko tocnim Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca (Reissner, 1972). Pri tem upoštevamo poljubno nelinearno obnašanje vsakega sloja in vseh veznih sredstev. Posebno pozornost v disertaciji posvetimo modeliranju veznih sredstev oziroma stika med sloji. Predpostavili bomo zelo splošen konstitutivni model veznih sredstev, ki bo omogocal modeliranje razslojevanja slojev kompo-zitnega nosilca tako v vzdolzšni kot v precšni smeri. Konstitutivni model bomo predstavili z zvezo med vektorjem napetosti na stiku med sloji kompozitnega nosilca in razliko vektorjev pomikov zgornjega in spodnjega sloja kompozitnega nosilca na stiku. Ker so lahko v splošnem te razlike komponent vektorjev pomikov med slojema tudi zelo velike, standardne zveze, ki se uporabljajo predvsem pri geometrijsko linearnih modelih dvoslojnih kompozitnih nosilcev, pri katerih je zveza zapisana v prostorskem koordinatnem sistemu, niso primerne. V disertacij bomo komponente konstitutivne zveze veznih sredstev zapisali v povprecni bazi med tangentnimi in normalnimi baznimi vektorji slojev na stiku. Tako dobi
komponentni zapis konstitutivnih zvez veznih sredstev tudi pri zelo razslojenih kompozitnih nosilcih fizikalno smiselno obliko. Osnovne ravnotezne nelinearne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca bomo v disertaciji resšili numericšno, in sicer z Galerkinovo metodo koncšnih elementov. Razvili bomo novo druzino deformacijskih koncnih elementov za analizo vseh vrst vecslojnih linijskih kompozitnih okvirjev s podajnimi veznimi sredstvi. Druzino deformacijskih koncnih elementov bomo izpeljali s pomocjo modificiranega izreka o virtualnem delu za vecslojne linijske kompozitne nosilce. Neznanke nove druzine koncnih elementov so deformacijske kolicine vsakega sloja kompozitnega nosilca in le robne vrednosti ravnotezšnih ter kinematicšnih kolicšin kompozitnega okvirja. Osnovne diskretne nelinearne ravnotezšne enacšbe vecšslojnih linijskih kompozitnih nosilcev oziroma kompozitnih okvirjev bomo v disertaciji rešili z znano Newton-Raphsonovo iteracijsko shemo, obtezno-deformacijsko krivuljo kompozitnega okvirja bomo dolocšili za znano obtezšbo s konsistentno linearizirano Crisfieldovo metodo locne dolzine (Schweizerhof, Wriggers, 1986), casovni odziv vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca okvirja zaradi lezenja in krcenja enega ali vec betonskih slojev okvirja pa z znano koracno metodo (Ghali, Favre, 1994). Dodatno bomo v disertaciji za linearne vecslojne linijske kompozitne nosilce predstavili analiticne rešitve za dolocitev njihovega napetostnega in deformacijskega stanja, kar predstavlja posplošitev sedaj znanih rešitev, ki so omejene predvsem na dvoslojne kompozitne nosilce.
Predstavljeni numericšni model za analizo vecšslojnih kompozitnih okvirjev je zelo splosšen. Z ustrezno izbiro materialnih modelov slojev in veznih sredstev omogoca geometrijsko in materialno nelinearno analizo razlicšnih vrst vecšslojnih kompozitnih okvirjev, ki se uporabljajo v gradbenisštvu. Tako lahko analiziramo kompozitne okvirje, ki so sestavljeni iz poljubnih gradbenih materialov, v mejnem stanju uporabnosti in v mejnem stanju nosilnosti. Pri vecslojnih armiranobetonskih okvirjih oziroma pri vecslojnih kompozitnih okvirjih, pri katerih je en ali vec slojev iz armiranega betona, lahko analiziramo tudi vpliv mehcšanja precšnega prereza posameznega betonskega sloja na duktilnost in nosilnost kompozit-nega okvirja in vpliv krcenja in lezenja betona na togost vecslojnih kompozitnih okvirjev. Zaradi velike splošnosti je numericni model primeren tudi za analizo razslojevanja vseh vrst kompozitnih okvirjev in za dolocitev uklonske nosilnosti razslojenih vecslojnih kompozitnih stebrov in okvirjev. To uporabnost predstavljenega numericnega modela za analizo togosti, duktilnosti in nosilnosti vecslojnih kompozitnih okvirjev ter tudi analizo natancnosti modela bomo v doktorski disertaciji predstavili s številnimi znacilnimi racunskimi primeri.
V tretjem poglavju doktorske disertacije predstavimo tocno rešitev za dolocitev uklonske nosilnosti prostorskih stebrov. Tocno rešitev dolocimo s konsistentno linearizacijo osnovnih nelinearnih enacb razslojenih prostorskih stebrov. Pri tem si pomagamo z dejstvom, da so uklonske sile lineariziranega modela stebra enake uklonskim silam osnovnega nelinearnega modela stebra (Keller, 1970). Tocšne resšitve bomo prikazali za ravne prostorske stebre z eno delaminacijo in za prostorske stebre z eno delaminacijo s sicer ravno osjo, katerih precni prerezi se navijajo okoli osi. Pri izpeljavi uklonskih sil razslojenih stebrov bomo uporabili t. i. Reissner-Simov matematicšni model za prostorske nosilce (Simo, 1985). Vpliv velikosti, lege in oblike razslojenega dela obravnavanih prostorskih stebrov bomo v doktorski disertaciji prikazali s parametricnimi študijami.
2 Ravninski veCslojni linijski kompozitni nosilci
V tem poglavju predstavimo numericni model za analizo ravninskih vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev. Posebno pozornost posvetimo izpeljavi enacb za modeliranje stika med sloji, kjer upoštevamo, da se sosednja sloja kompozitnega nosilca med deformiranjem razslojita v vzdolzšni in precšni smeri in resševanju osnovnih enacšb matematicšnega modela za analizo ravninskih vecšslojnih linijskih kompozitnih nosilcev z Galerkinovo metodo koncšnih elementov. Izpeljemo novo druzšino deformacijskih koncšnih elementov za analizo vecslojnih kompozitnih okvirjev. S številnimi numericnimi primeri na koncu poglavja prikazšemo primernost in natancšnost predstavljene numericšne metode.
2.1 Osnovne enaCbe ravninskih veCslojnih linijskih kompozitnih nosilcev 2.1.1 KinematiCne enaCbe
Opazujemo raven vecslojen kompozitni nosilec, ki ga sestavlja N slojev. Na splošnosti ne izgubimo, ce je zacetna dolzina vseh slojev kompozitnega nosilca enaka L. Precni prerezi vsakega sloja kompo-zitnega nosilca se vzdolz referencne osi sloja po obliki in velikosti ne spreminjajo, njihovo plošcino oznacimo z Ai (i = 1, 2, ... , N). Ker predpostavimo ravninsko deformiranje kompozitnega nosilca, so precni prerezi simetricni glede na ravnino deformiranja. Na sliki 2.1 prikazujemo nedeformirano in deformirano lego kompozitnega nosilca ter njegove znacšilne geometrijske kolicšine. Deformiranje nosilca analiziramo v ravnini (X, Z) nepomicnega kartezicnega prostorskega koordinatnega sistema (X, Y, Z) z ortonormiranimi baznimi vektorji Ex , Ey, Ez = Ex X Ey.
Kot referencno os sloja i kompozitnega nosilca izberemo tezišcno os. Taje v nedeformirani legi vzporedna z osjo X prostorskega koordinatnega sistema. Delce vsakega sloja kompozitnega nosilca identificiramo z materialnimi koordinatami xi,yi, zi, pri cemer referencno os vsakega sloja kompozitnega nosilca parametriziramo s pripadajoco materialno koordinato x\
Deformirano tezišcno os sloja i kompozitnega nosilca opišemo s krajevnimi vektorji ri (i = 1, 2, ... , N):
ri(xi) = xi Ex + ui(xi) = {xi + ui(xi)) Ex + wi(xi)Ez,	(2.1)
kjer smo z zgornjim indeksom (•)i oznacili kolicine, ki pripadajo sloju i. Tako kolicini ui, wi v enacbi (2.1) predstavljata komponenti v smeri X in Z vektorja pomikov ui delca na referencni osi sloja i:
ui(xi) = ui(xi)Ex + wi(xi)Ez.	(2.2)
V ravnini deformiranja kompozitnega nosilca opišemo deformirano lego poljubnega delca sloja i kom-
Slika 2.1: Nedeformirana in deformirana lega vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca. Figure 2.1: Undeformed and deformed configuration of a multilayer composite beam.
pozitnega nosilca, ki ga dolocajo materialne koordinate yi = 0, z\ s krajevnim vektorjem:
KV, zi) = xi Ex + uV) + pi(xi, zi).	(2.3)
Deformirano lego sloja i kompozitnega nosilca, ki jo doloca enacba (2.3), smo izpeljali z upoštevanjem dveh osnovnih predpostavk teorije o ravninskih nosilcih. Prvo o ravnih precnih prerezih, ki pravi, da precni prerezi, ki so ravni in pravokotni na nedeformirano os nosilca, ostanejo med deformiranjem ravni, vendar ne vecš pravokotni na deformirano referencšno os, in drugo predpostavko, ki pravi, da se oblika in velikost precnih prerezov med deformiranjem ne spreminjata. Vektor pi lahko v enacbi (2.3) zaradi omenjenih predpostavk izrazimo z vektorjem eZ, ki skupaj z vektorjema eX, ey tvori bazo materialnega koordinatnega sistema sloja i kompozitnega nosilca, z enacbo
pi(xi,zi)= zieZ (xi).	(2.4)
Bazni vektor e%x predstavlja vektor normale na precni prerez sloja i, ki v splošnem ni pravokoten na deformirano referencno os sloja i kompozitnega nosilca. Bazna vektorja eZ in ely lezita v ravnini precnega prereza. Praviloma vektor ez izberemo tako, da lezši v ravnini deformiranja kompozitnega nosilca, bazni
vektor e%y pa tako, da materialna baza tvori desnosučni koordinatni sistem. Glede na povedano lahko materialno bazo izrazimo glede na prostorsko z enačbami (slika 2.2):
eX(X) = cos ^•i(xi)EX - sin, eX (X)= Ey ,
eZ (X) = sin ^•i(xi)EX + cos ^%(x%)EZ.
(2.5)
(2.6) (2.7)
Slika 2.2: Materialna {eX, ey, e*,} in naravna {et, ej, eb} baza sloja i kompozitnega nosilča. Figure 2.2: Material {eX, e%y, e|} and natural {et, ej, eb} basis of layer i of čomposite beam.
V enačbah (2.5)-(2.7) smo s ^ označili zasuk prečnega prereza sloja i kompozitnega nosilča glede na prostorski koordinatni sistem, ki zaradi strizšnih deformačij v splosšnem ni enak zasuku referenčšne osi sloja O\ Zasuk ^ lahko zapišemo kot vsoto zasukov ^ = Oi + kjer 0 predstavlja dodaten zasuk prečnega prereza zaradi striznega deformiranja sloja (slika 2.2).
Pri izpeljavi veznih enačb kompozitnega nosilča potrebujemo tudi t. i. naravni koordinatni sistem z baznimi vektorji {et, en, eb} (slika2.2). Te glede na prostorsko bazo zapišemo z enačbami (i = 1,2, ... , N):
et(X) = cos Oi(xi)Ex - sin Oi(xi)Ez, eb (xi) = Ey ,
ej (xi) = sin Oi(xi)Ex + cos Oi(xi)Ez.
(2.8) (2.9) (2.10)
Krajevni vektor deformirane lege poljubnega delča sloja i kompozitnega nosilča je v ravnini deformiranja nosilča določen s prostorskima koordinatama X, Z, torej
Ri(xi,zi) = X(xi,zi) Ex + Z(xi,zi) Ez.	(2.11)
S primerjavo enačb (2.1) in (2.11) lahko prostorski koordinati X in Z poljubnega delča sloja i kompozitnega nosilča izrazimo s kinematičnimi količinami referenčne osi sloja i (v nadaljevanju kinematične količšine) z enačšbama:
X(xi, zi) = xi + ui(xi) + zi sin ^i(xi),	(2.12)
Z(xi, zi) = wi(xi) + zi cos ^i(xi).	(2.13)
Kinematične količine sloja i kompozitnega nosilča ui, wi in s kinematičnimi enačbami povezemo z deformačijskimi količinami ei, Ki in Yi. Glede na privzeti Reissnerjev model ravninskega nosilča so kinematične enačbe poljubnega sloja kompozitnega nosilča naslednje (Reissner, 1972) (i = 1,2, ... , N):
1 + ^^^ - (1 + £(x')) cos ^V) - Y V) sin <pi(xi) = 0, dx'
dw%(x%)
dx% df%(x%) dx%
+ (1 + £l(x1)) sin ^'(x') - Yi(xi) cos ^'(x') = 0, - kV) = 0.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
V enacbah (2.14)-(2.16) predstavlja £ specificno vzdolzno deformacijo materialnega vlakna na refe-rencni osi sloja i (in hkrati tudi specificno spremembo dolzine reference osi sloja i, ko je y' = 0), Y' predstavlja strizno deformacijo in K upogibno deformacijo precnega prereza sloja i kompozitnega nosilca. Deformacijske kolicine £% y' in K so dolocene tako, da so energijsko konjugirane inzenirjem znani ravnotezni osni sili Nprecni sili Q' in upogibnemu momentu M' (Reissner, 1972).
Skladno z Reissnerjevim modelom nosilca je vzdolzna deformacija D' poljubnega materialnega vlakna sloja i kompozitnega nosilca dolocena z enacbo (i = 1,2, ... , N)
D' (x',z') = £'(x')+ zV(x'),
strizni zasuk precnega prereza pa z enacbo
tan = 1^■
(2.17)
(2.18)
Zaradi vecje preglednosti prikazujemo zveze med kinematicnimi in deformacijskimi kolicinami še v graficni obliki na sliki 2.3 (Hjelmstad, 2004).
e1
i
Slika 2.3: Zveze med kinematicnimi in deformacijskimi kolicinami sloja i kompozitnega nosilca. Figure 2.3: Relationships between kinematic quantities and deformations of layer i of composite beam.
2.1.2 Ravnotezne enacbe
Ravnotezne enacbe predstavljajo zveze med zunanjo obtezbo in notranjimi silami. Za vecslojne kom-pozitne nosilce jih povzamemo skladno z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca (Reissner, 1972). Posebnost ravnoteznih enacb vecslojnih kompozitnih nosilcev predstavlja obtezba. Sestavljajo dejanska zunanja obtezba in zaradi interakcije med sloji tudi kontaktna obtezba na stiku med sloji. V nadaljevanju jo detajlneje predstavimo.
Obtezbo kompozitnega nosilca predstavljajo loceno, za vsak sloj posebej, tockovne sile in tockovni momenti ter linijska obtezba in linijska momentna obtezba na referencni osi sloja. Taje posledica kontaktnih sil na površini sloja (tockovne sile, linijska in ploskovna obtezba) in sil na daljavo (prostorninska
obtezba). Obtezbo staticno enakovredno prenesemo na reference osi sloja. Posebnost je ploskovna obtezšba, ki je posledica vplivov okolice in medsebojnega vpliva med sloji kompozitnega nosilca (kontaktna obtezba med sloji). Na referencno os prenešeno zunanjo ploskovno in prostorninsko obtezbo sloja i oznacimo s qs in m1, prenešeno kontaktno ploskovno obtezbo pa oznacimo s p1 in h1. V prostorski bazi zapišemo linijsko obtezbo in linijsko momentno obtezbo z enacbami (i = 1, 2, ... , N):
qs (xs) = (x*)Ex + qZ (xs)E z ,	(2.19)
m* (xs) = mY (xi)Ey,	(2.20)
ps (xs) = pX (x*)Ex + pZ (xs)E z =
= (pX,sp(xi) + pX,zg(xi))Ex + (pZ,sp(xi) + Pz,zg(xi))Ez =	(2.21)
= (Pt,sp(xi) + Pt,zg(xi))et + (pn,sp(xi) + pn,zg (xs))en h* (xs) = hY (xi)Ey =
= (^ipPX,sp(xi) + zzgpX,zg(xi))Ey =	(2.22)
((ZspPt,sp(Xi) + zzgpt,zg(x)) cos el + (zs>n,sp(x) + zzgpn,zg(xi)) sin 0i)EY,
kjer smo s pX , pZ sp, Pt,sp, P^.sp oznacili komponente linijske obtezbe, ki pripada stiku med slojema i in i — 1, s pX zg, Pz zg, Pt,zg, Pn,zg pa komponente linijske obtezbe, ki pripada stiku med slojema i in i + 1. Podobno sta zip in zzg koordinati stika med slojema i in i — 1 oziroma i in i + 1. Skladno z Reissner-jevim modelom nosilca je obtezba merjena na nedeformirano dolzino referencne osi posameznega sloja kompozitnega nosilca, deluje pa v deformirani legi (slika 2.4).
Slika 2.4: Obtezba sloja i kompozitnega nosilca in obremenitev precnega prereza. Figure 2.4: Loading of layer i of composite beam and loading of cross section.
Pogosto je preprosteje kolicšine, ki pripadajo stiku med sloji, oznacšiti z indeksom. V primeru N-slojnega kompozitnega nosilca je stikov med sloji N — 1. Ce stik med slojema oznacimo z indeksom k, potem je za stik med slojema i in i + 1 indeks k enak indeksu i (k = i). Tako lahko pX sp in pX zg v enacbi (2.21) zapišemo tudi v obliki pX sp = pX k=s-1 = PX s-1 in PX zg = PX k=s = PX r Podobno indeksiramo tudi druge kolicine, ki pripadajo stiku k. Ravnotezne enacbe ravnoteznega vecslojnega linijskega
kompozitnega nosilca zapišemo za vsak sloj posebej in so (i = 1, 2, ... , N):
dx'
dRz (x')
dx' dM *(x*)
dx'
+ (x')+ pX (x') = 0,	(2.23)
+ qZ (x')+ pZ (x') = 0,	(2.24)
- (1 + ei(xi)) QV) + y'N(x') + mY(x') + hY(x') = 0.	(2.25)
Ravnotezne kolicine RX (x'), Rz (x'), M'(x'), N'(x') in Q'(x') v enacbah (2.23)-(2.25) so komponente ravnotezne sile nt(xt) in ravnoteznega momenta m'(xt), izrazene v prostorski oziroma materialni bazi, torej (i = 1,2, ... ,N):
nv) = rx (x')Ex + RZ (x')Ez = N*(x>X + QV)eŽ,	(2.26)
mv) = m'(x')Ey = M '(x^ey.	(2.27)
Iz enacb (2.5)-(2.7) dobimo zveze med komponentami ravnotezne sile, zapisane v razlicnih bazah, ki so:
N V) = RX (x') cos ^V) - RZ (x')sin ^(x'),	(2.28)
QV) = RX (x')sin ^V) + RZ (x')cos ^V).	(2.29)
2.1.3 Konstitutivne enacbe
Tretjo skupino osnovnih enacb ravninskega vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca predstavljajo konstitutivne enacšbe. Skladno z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca jih dolocšajo zveze med ravnoteznimi silami in ravnoteznim upogibnim momentom (N', Q\ M') ter deformacijskimi kolicinami (e\ y% k'). Za vsak sloj kompozitnega nosilca posebej te enacbe zapišemo v zelo splošni obliki (i = 1,2,
... , N):
nv) = N(ev), k'(x')),	(2.30)
M v) = Mcv (x'), k'(x')),	(2.31)
QV) = qc(yv)),	(2.32)
kjer smo predpostavili homogene lastnosti po osi vsakega sloja kompozitnega nosilca.
V enacbah (2.30)-(2.32) smo tako z NC oznaali konstitutivno osno silo, s QC konstitutivno precno silo in z MC konstitutivno upogibni moment sloja i kompozitnega nosilca. Konstitutivne kolicine NC, MC in predstavljajo rezultante normalne in strizne komponente napetostnega tenzorja precnega prereza in so dolocšene z enacšbami (i = 1, 2, ... , N):
NC(x') = NC(eV), kV)) = f . ctV, z')dA = f V (D(x, z')) dA,	(2.33)
J A	J A.
MC(x') = MCV(x), kV)) = / zV(x', z')dA = / zV (D(x, z')) dA,	(2.34)
./A1	./A1
QC(x') = QCfrV)) = / t'(x', z')dA = / t' (y'(x', z')) dA,	(2.35)
./A1	JA*
kjer A' predstavlja precni prerez sloja i kompozitnega nosilca, ct' predstavlja normalno napetost in t' strizno napetost. Konstitutivni zvezi za komponenti tenzorja napetosti zapišemo z nepovezanima
enacbama (i = 1,2, ... , N):
ai(xi,zi)= S1 (Di(xi,zi)) , ti(xi,zi) = S2 (yi(xi,zi)) .
(2.36)
(2.37)
Funkciji S 1(Di) in S2(yi) sta poljubni, dolocimo ju z enoosnim in striZnim preizkusom. Pri inZenirski teoriji striga linijskih konstrukcij lahko enacbo (2.35) poenostavimo v preprosto obliko (Cowper, 1966)
QC(Yi(xi)) = t i(xi, zi)dA = GiAisY i(xi), JA
kjer Gi predstavlja strizni modul in AS < Ai strizni precni prerez sloja i kompozitnega nosilca.
(2.38)
Z materialnim modelom, ki ga doloca enacba (2.36), lahko opišemo zelo poljubno zvezo med specificno vzdolzno deformacijo materialnega vlakna sloja i kompozitnega nosilca in pripadajoco normalno napetostjo. S tako splošno zapisanim materialnim modelom, ki smo ga priredili vsakemu sloju kompozitnega nosilca posebej, lahko modeliramo zelo razlicno mehansko obnašanje kompozitnega nosilca. Tako se lahko sloji obnašajo elasticno, hiperelasticno, plasticno, viskoelasticno in tudi viskoplasticno. Konkretne oblike materialnih modelov in pripadajocih materialnih parametrov vsakega sloja kompozitnega nosilca, ki ga analiziramo v racunskih primerih, bomo opisali hkrati z racunskim primerom.
Pri implementaciji metode koncnih elementov in linearizaciji osnovnih enacb vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev potrebujemo tudi variacije oziroma linearizacijo konstitutivnih kolicin N, QC in M%c. Zaradi preglednosti teh izrazov pri izpeljavi opustimo pisanje argumentov. Z variiranjem konstitutivnih enacb (2.33)-(2.35) dobimo (i = 1,2, ... , N):
5NC =
SMC =
SQC =
dai
IA dDi
f ■ dai
-dA) Sei +
/a z dDi
f jt! dA
I A' dY
dA) Se! +
A
Sf = C3 3S7!,
f zid^dA IA dD!
,(zi)2 Ba'
SK = Ci 1Sei + Ci2SK
12S
dD!
dA) SK = C'i2Sei + C22Sk
(2.39)
(2.40)
(2.41)
kjer smo s C|1, C|2 = C21, C22 in C33 oznacili komponete tangentne konstitutivne matrike C! precnega prereza sloja i kompozitnega nosilca. V splošnem so komponente C|1, Ci2 = C21, C222 odvisne od trenutnega tangentnega materialnega modula = öai/öDi, od izbire lege reference osi in od dimenzij precšnega prereza sloja i. Tangentno konstitutivno matriko precšnega prereza sloja i kompozitnega nosilca zapišemo v obliki
0 0
o o C33
Ci
Ci1
i
C21
i
C12
i
C22
(2.42)
Za stabilne materiale, kar moramo razumeti v sklopu linijskih konstrukcij, mora biti tangentna konstitutivna matrika precnega prereza sloja i pozitivno definitna pri poljubnem x!. Ker je C33 vedno pozitivna kolicina, mora za stabilne materiale veljati (Bratina, 2003) (i = 1,2, ... , N)
Cl1 > 0
in
detCi > 0.
(2.43)
Ko pri nekem x1 (precnem prerezu) sloja i kompozitnega nosilca tem pogojem ni zadošceno, govorimo o nestabilnem precnem prerezu. Za tak precni prerez je pogosto znacilen pojav mehcanja precnega prereza, kar pomeni, da se z vecanjem deformacij precnega prereza osna sila in upogibni moment zmanjšujeta. Znacšilen gradbeni material z izrazitim mehcšanjem je beton.
2.1.4 Robni pogoji
Kinematicne, ravnotezne in konstitutivne enacbe N-slojnega linijskega kompozitnega nosilca (2.14)-(2.16), (2.23)-(2.25) in (2.30)-(2.32) sestavlja 6N navadnih diferencialnih enacb prvega reda in 3N algebrskih enacb. Zato je splošna rešitev diferencialnih enacb odvisna od 6N integracijskih konstant. Te dolocimo s pomocjo robnih pogojev. Robne pogoje vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev sestavljajo kinematicni (bistveni) in staticni (naravni) robni pogoji. Pri tem v skupino naravnih robnih pogojev spadajo predpisane posplosšene robne tocškovne sile, medtem ko v skupino bistvenih robnih pogojev spadajo predpisani posplošeni robni pomiki. V splošnem imamo tako za vsak sloj kompozitnega nosilca na voljo naslednje robne pogoje (i = 1,2, ... , N):
• xi = 0 :
RX(0) - Si = 0	ali
RŽ (0) - S2 = 0	ali
Mi(0) - S3 = 0	ali
ui(0) = u\,	(2.44)
wi(0) = U2,	(2.45)
^(0) = u3,	(2.46)
xi = L :
RX (L)	i S4	=0	ali	ui(L)	= ui4
RŽ (L)	i S5	=0	ali	wi(L)	= ui5
M i(L)	i — S6	=0	ali	^(L)	= ui6
(2.47)
(2.48)
(2.49)
V enacbah (2.44)-(2.49) predstavljajo u%m (m = 1,2, ... , 6) predpisane posplošene robne pomike, medtem ko so Sm (m = 1, 2, ... , 6) predpisane posplošene robne sile pri xi = 0 in xi = L sloja i kompo-zitnega nosilca.
2.1.5 Vezne enacbe
Z veznimi sredstvi povezemo sloje kompozitnega nosilca v celoto. Vezna sredstva so v splošnem de-formabilna. Zato je obnašanje kompozitnega nosilca kot celote v veliki meri odvisno tudi od togosti oz. podajnosti veznih sredstev med sloji. V splošnem se zato lahko sloji razslojijo v precni in vzdolzni smeri. Govorimo o razmikih in zdrsih med sloji. Ce med sloji ni povezave, govorimo o popolnoma razslojenem kompozitnem nosilcu, drugace pa o delno razslojenem kompozitnem nosilcu. Obnašanje veznih sredstev na stiku med sloji kompozitnega nosilca opišemo z veznimi enacbami.
Pri analizi vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev z geometrijsko nelinearnimi matematicnimi modeli so lahko v splošnem razmiki in zamiki med sloji tudi (zelo) veliki. Zato vezne enacbe v obliki, ki jih poznamo predvsem pri geometrijsko linearnih matematicnih modelih dvoslojnih kompozitnih nosilcev (Adekola, 1968, Bradford, Gilbert, 1992, Kroflic et al., 2010a, Manfredi, Fabbrocino, Cosenza, 1999, Schnabl et al., 2006, Xu, Wu, 2007), v osnovni obliki niso primerne za geometrijsko nelinearne modele, saj so vezne enacbe med sloji zapisane v prostorski bazi EX in EZ. V doktorski disertaciji bomo vezne enacbe med sloji kompozitnega nosilca zapisali v "povprecni" deformirani bazi na stiku med slojema (slika 2.5). "Povprecno" bazo oznacimo z vektorjema e^* in ek * in jo definiramo kot utezeno povprecje
vektorjev v naravni bazi na stiku med slojema (k = 1,2, ... , N — 1):
etfc*(xj) =
Z eUX) + (1 — Z) en+i1(xi+1)
e£*(xj) = ^ -^^-- = enX (xj)Ex + (xj)Ez,
Z en,i(xi) + (1 — Z) en+i1(xi+1) Z et,i(X) + (1 — Z) et+1(xi+1)
Z et,i(xi) + (1 — Z) et+1(xi+1)
= e& (xj )Ex + e?! (xj)Ez
fc* i
(2.50)
kjer smo z ||^|| oznacili dolZino vektorja.
Slika 2.5: Geometrijske in ravnotezne kolicine na stiku k med slojema i in i + 1 ter geometrijski pomen "povprecne" baze. Tocki Tj in Tj+1 sta v nedeformirani legi istolezni.
Figure 2.5: Geometrical and equilitbrium quantities of contact k between layers i and i + 1 and geometrical meaning of "averaged" basis. Points Tj and Tj+1 coincide in undeformed configuration.
V enacbi (2.50) predstavlja Z utez z vrednostjo med 0 in 1, e^, et+j1 in eln j, e^1 predstavljajo tangentni in normalni vektor naravne baze na sticni ravnini med slojema i in i + 1 v deformirani legi, , e^!, ekx, e?! pa predstavljajo X- in Z-komponento enotskih vektorjev ejf in ek* sloja k glede na prostorsko bazo. Omenimo še dejstvo, da vektorja ejf in ek* nista enolicno definirana, ko je e^ = — e^1 in/ali et j = — et+1. Vendar to predstavlja tako izjemen primer razslojenosti slojev kompozitnega nosilca, ki nima dejanskega fizikalnega pomena.
Skladno s tretjim Newtonovim zakonom mora linijska obtezba na stiku med slojema kompozitnega nosilca zadostiti ravnotezšnemu pogoju
pj(xj )dxj + pj+1(xj+1)dxj+1 = 0,	(2.51)
kjer pjdxj in pj+1dxj+1 predstavljata diferencial kontaktne sile v izbrani tocki na stiku k med slojema i in i + 1 (slika 2.5), dxj in dxj+1 pa diferenciala dolzine krivulje na stiku v nedeformirani legi. Ker je
dxi = dxi+1, velja
pi(xi)+ pi+1(xi+1) = 0.	(2.52)
Formulacija enacb se poenostavi, ce linijsko kontaktno obtezbo na stiku k med slojema i in i + 1 izrazimo z vektorjem pk:
pk (xi) = pi (xi) = -pi+1(xi+1) = pX (xi)Ex + pZ (xi)Ez,	(2.53)
kjer pX, P z predstavljata komponenti vektorja pk glede na prostorski koordinatni sistem. Komponenti pX in P Z lahko izrazimo tudi s komponentami pk* in pjf, ki predstavljata komponenti vektorja plX v naravni bazi ek* in e^*. Po kratkem racunu dobimo
PX (xi) = pk*(xi)ekX (xi) + pn*(xi)enx (xi),	(2.54)
pZ (xi) = pk*(xi)ekZ(xi) + pn*(xi)enZz(xi).	(2.55)
Za formulacijo veznih enacb na stiku k med slojema i in i + 1 kompozitnega nosilca v "povprecni" bazi potrebujemo tudi vektorje pomikov sloja i in i + 1 na sticnih ravninah med sloji oziroma komponente teh vektorjev pomikov v "povprecni" bazi. Za zgornji rob sloja i na stiku k je vektor pomikov dolocen z enacšbo
U i(xi, zi) = UX (xi, zi)Ex + UZ (xi, zi)Ez =
= (ui + zi sin ^i)Ex + (wi + zj cos <^)Ez	(2.56)
in za spodnji rob sloja i + 1 na stiku k z enacbo
Ui+1(xi+1,zi+1) = uX+1(xi+1,zi+1)Ex + uZ+1(xi+1 ,zi+1)Ez =
= (ui+1 + zi+1 sin ^i+1)Ex + (wi+1 + zi+1 cos </+1)Ez. (2.57)
Ko vektorje pomikov na zgornjem oziroma spodnjem robu sloja i in i + 1 kompozitnega nosilca stika k zapišemo v "povprecni" bazi ek* in e^* z enacbama
Ui(xi,zi)= u**ek* + on*,	(2.58)
U i+1(xi+1, zi+1) = uSi+1)*ek* + 1)* en*,	(2.59)
izracunamo komponente vektorjev pomikov Ui in Ui+1 v "povprecni" bazi z enacbami:
wn* i(xi) = Ui(xi,zi) ■ en*(xi),	(2.60)
ui*i(xi) = Ui(xi, zi) ■ ek *(xi),	(2.61)
1)*(xi+1) = Ui+1(xi+1, zi+1) ■ en*(xi+1),	(2.62)
u(i+1)*(xi+1) = Ui+1(xi+1, zi+1) ■ ek *(xi+1).	(2.63)
S komponentami vektorja pomikov i, w^+f1) *, ui *i in u(ii+1) * definiramo "povprecni" zdrs, Ak *, in "povprecni" razmik, dk *, na stiku k med slojema i in i + 1 kompozitnega nosilca z enacbama:
Ak*(xi) = ut*i(xi) - u(i+1) *(xi+1),	(2.64)
dk *(xi) = wn*i(xi) - w^f"1) *(xi+1).	(2.65)
Vezne enacbe ali konstitutivne enacbe stika formuliramo kot zveze med kolicinami pkk* in pk*, Ak* in dk*. Tudi te zveze dolocimo z eksperimenti. Za razlicna vezna sredstva je seveda tudi oblika konstitutivnih enacb stika drugacna. Pregled konstitutivnih enacb stika, ki se najveckrat uporabljajo pri analizi raz-slojevanja vecslojnih kompozitnih konstrukcij, sta predstavila Alfano in Crisfield (2001). Kot porocata, je razslojevanje v vzdolzni in precni smeri pogosto povezan proces, zato v takih primerih konstitutivni enacbi stika zapišemo v obliki (k = 1,2, ... ,N — 1)
pk*(xi) = Fk*(Ak*(xi),dk*(xi)),	(2.66)
■pkn*(xi) = Fk*(A k*(xi),dk*(xi)).	(2.67)
Za gradbene vecslojne linijske kompozitne nosilce pa lahko enacbi (2.66) in (2.67) še dodatno poenostavimo. Kot porocajo številni raziskovalci, je za analizo togosti, duktilnosti in nosilnosti dvoslojnih kompozitnih nosilcev obnašanje veznih sredstev v vzdolzni in precni smeri nepovezano (Adekola, 1968, Gara, Ranzi, Leoni, 2006). V teh primerih konstitutivni enacbi stika zapišemo v obliki (k = 1, 2, ... , N — 1)
pf (xi)= gk1*(Ak*(xi)),	(2.68)
Pn (xi)= Gk*(dk*(xi)).	(2.69)
Kljub poenostavitvam je tudi ta zapis konstitutivnih enacb stika zelo splošen in lahko z njim opišemo obnašanje mnogih razlicnih veznih sredstev. Tako lahko z njimi opišemo elasticno, plasticno, viskoe-lasticno pa tudi viskoplasticno obnašanje veznih sredstev.
2.1.6 Linearizacija enacb
Pri analizi togosti, duktilnosti in nosilnosti gradbenih kompozitnih konstrukcij, ki so sestavljene iz vecšslojnih linijskih kompozitnih nosilcev, se pogosto izkazše, da so zaradi geometrijskih in materialnih lastnosti konstrukcij pomiki in zasuki ter deformacije po velikosti majhne kolicine celo v fazi mejnega stanja nosilnosti konstrukcije. V takih primerih je smiselno osnovne enacbe vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev ustrezno poenostaviti. Za to so na voljo razlicni postopki. V doktoratu bomo uporabili metodo konsistentne linearizacije. Metoda konsistentne linearizacije enacb je opisana v številnih knjigah, na primer Bonet in Wood (1997) ali Holzapfel (2001). Zato v doktoratu predstavimo konsistentno linearizacijo osnovnih enacb vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev le na kratko.
Osnovne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca, ki jih predstavljajo enacbe (2.14)-(2.16), (2.23)-(2.25), (2.30)-(2.32), (2.68) in (2.69), zapišemo v zgošceni obliki
f(x) = 0.
(2.70)
Vektor neznank v enacbi (2.70) predstavljajo kinematicne, ravnotezne in deformacijske kolicine ter povprecni zamiki in razmiki na stiku med sloji kompozitnega nosilca. Linearizirane enacbe vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev dobimo s konsistentno linearizacijo enacb (2.70) okoli nedeformirane lege
xo = (0, 0, ... 0)T
f(xo + Sx) — f(xo) ^ f(x + aSx) da
(2.71)
a=0
Iz enacbe (2.71) in po daljšem racunanju dobimo linearizirane enacbe vecslojnih linijskih nosilcev. Te sestavljajo:
kinematiCne enacbe (i = 1,2, ... , N)
- eV) = 0,	(2.72)
dwi(xi)

dx
ravnoteZne enacbe (i = 1,2, ... , N)
dN
+ - Yi(xi) = 0,	(2.73)
- = 0,	(2.74)
dQ*(X) dM
+ (x*)+ px (x ) = 0,	(2.75)
+ (x*)+ pz (x*)=0,	(2.76)
- QV) + (x*) + hY (x*) = 0,	(2.77)
konstitutivne enacbe (i = 1, 2, ... , N)
nV) = C ^ (x*) + Cj 2kV),	(2.78)
M V) = C21ei(xi) + c22k*(x*),	(2.79)
Qi(xi) = C337V),	(2.80)
vezne enacbe (k = 1,2, ... , N - 1)
p* (x*) = KkAk ,	(2.81)
pZ (x*) = Ckdk (x*) ,	(2.82)
kjer smo prirastke čx oznacili kar z x, na primer ču* = u*, saj je x = 0 + čx = čx. Konstanti Kk in Ck v enacbah (2.81) in (2.82) imenujemo vzdolzna in precna togost stika. Na kratko v nadaljevanju opišemo samo linearizacijo veznih enacb. Ker velja eln * = e^1 = EZ in e* * = 1 = EX, velja tudi ejf = EZ in ek* = EX, kar pomeni, da velja ek* = e^Z = 1 in e^X = ekl = 0. Zato pa tudi velja
Ak* (x*)=Ak (x*),	(2.83)
dk* (x*) = dk (x*),	(2.84)
pk* (x*)= p* (x*),	(2.85)
pn* (x*)= pZ (x*).	(2.86)
Ko smo izpeljali zveze (2.83)-(2.86), je izpeljava enacb (2.81) in (2.82) iz (2.68) in (2.69) trivialna.
Pogosto je mehansko obnašanje vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev zaradi nelinearnih materialnih lastnosti slojev in veznih sredstev nelinearno ze pri nizkih nivojih obtezbe, kljub temu, da so pomiki, zasuki in deformacije kompozitnih konstrukcij po velikosti majhne kolicine. V takih primerih enacbe (2.72)-(2.82) preuredimo tako, da v modelu upoštevamo tudi nelinearno obnašanje materialov in veznih sredstev. Za te primere sestavljajo modificirane linearizirane osnovne enacbe vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev, kot jih imenujemo, enacbe (2.72)-(2.77) in nelinearne konstitutivne in vezne enacbe:
konstitutivne enačšbe (i = 1, 2, ... , N)
Ni(xi) = N (ei (xi) , Ki (xi)) , Mi(xi) = MC (ei (xi) ,Ki (xi)) Qi(xi) = C337i (xi) ,
vezne enačbe (k = 1,2, ... , N — 1)
pX (xi) = Gk i (Afc (xi pZ (xi) = Gk2 (dk (xi)
(2.87)
(2.88) (2.89)
(2.90)
(2.91)
Linearizirane enačbe večslojnih linijskih kompozitnih nosilčev (2.72)-(2.82) algebrskih enačb in linearnih diferenčialnih enačb prvega reda s konstantnimi koefičienti. Zato za ta sistem enačb obstajajo točne rešitve. Tako v literaturi zasledimo točno rešitev za trislojne linijske kompozitne nosilče (Skeč et al., 2012), in za dvoslojne linijske kompozitne konstrukčije (Kroflič et al., 2010a, Adekola, 1968, Robinson, Naraine, 1988). V tej disertačiji bomo v poglavju računski primeri za konkreten primer večslojnega linijskega kompozitnega nosilča predstavili točno rešitev v obliki vrste. Točno rešitev za modifičirane linearne enačbe večslojnih linijskih kompozitnih nosilčev (2.72)-(2.77) in (2.87)-(2.91) v splošnem ne obstajajo, zato te enačbe kot osnovne enačbe večslojnih linijskih kompozitnih nosilčev rešimo numerično, pogosto z metodo končnih elementov.
V nadaljevanju predstavimo točno rešitev linearnega sistema algebrskih in diferenčialnih enačb (2.72)-(2.82). Najprej algebrske konstitutivne enačbe (2.78)-(2.80) vstavimo v kinematične in ravnotezne enačbe (2.72)-(2.77). Tako dobimo sistem 6N linearnih diferenčialnih enačb prvega reda s konstantnimi koefičienti za 6N neznanih funkčij, krajše ga zapišemo kot
Z (x) = By (x) + g, y (0) = yo,
(2.92)
kjer smo z (•)' označili odvod količine po materialni koordinati x
= x = x =
xN. V enačbi (2.92)
predstavlja y vektor neznanih funkčij, g vektor zunanje obtezbe, B matriko konstantnih koefičientov in y0 vektor robnih parametrov, ki jih določimo iz robnih pogojev obravnavanega večslojnega linijskega kompozitnega nosilča. Rešitev predstavljenega nehomogenega sistema diferenčialnih enačb prvega reda s konstantnimi koefičienti je sestavljena iz homogenega in partikularnega dela (Goldberg, Sčhwartz, 1972) in jo zapisšemo v obliki
y(x) = eBy ( yo +
3-b?
g de
(2.93)
Ko na kompozitni nosileč delujejo zgolj točkovne sile, rešujemo le homogen sistem enačb, saj je g Za te primere je točna rešitev enačb (2.72)-(2.82) (Goldberg, Sčhwartz, 1972) zelo preprosta:
0.
y(x) = eByyo.
(2.94)
x
0
2.1.7 Modificiran izrek o virtualnem delu
Točna rešitev napetostno-deformačijskega stanja ravninskega večslojnega linijskega kompozitnega nosilča je mozna samo, če kompozitni nosileč modeliramo z lineariziranimi enačbami (2.72)-(2.82) (Adekola,
1968, Robinson, Naraine, 1988, Kroflic et al., 2010a, Skec et al., 2012). Zato moramo osnovne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca rešiti numericno, najveckrat z metodo koncnih elementov.
V	doktorski disertaciji bomo rešili osnovne enacbe (2.14)-(2.16), (2.23)-(2.25), (2.30)-(2.32), (2.68) in (2.69) z deformacijsko metodo koncnih elementov (Planinc, 1998), ki je zasnovana na modificiranem izreku o virtualnem delu. Izhodišce pri izpeljavi modificiranega izreka o virtualnem delu je izrek o vir-tualnem delu. Pri izpeljavi sledimo izpeljavi, ki jo je v svoji disertaciji predstavil Planinc (1998), le prilagodimo jo za vecslojne linijske nosilce. Pri tem zaradi preglednosti izpeljave izpustimo funkcijske argumente.
Izrek o virtualnem delu N-slojnega linijskega kompozitnega nosilca je vsota izrekov o virtualnem delu vsakega sloja (Washizu, 1981)
N	N f L	r L	fL
= V i = V< / N MeMx +/ QM^dx +/ M MkMx-
i=i i=AJo Jo Jo
fL	f L	f L	6	]
-	+ Px)^uidx -	+ Pz)ćwMx - (mY + hY)^dx - V] Sjćuj > = 0.
Jo	Jo	Jo	j=1 j
(2.95)
V	funkcionalu (2.95) predstavljajo kolicine	virtualne spremembe pomikov in zasukov referencne osi sloja i kompozitnega nosilca, £7% ćK pa virtualne spremembe deformacijskih kolicin. Variacije ćuj (j = 1, 2, ... , 6) so virtualne spremembe robnih kinematicnih kolicin sloja i:
ću! = 5ui(0),	= 5wi(0),	= V(0),
= ćui(L),	= ćwi(L),	ću6 = ^(L).
Z uposštevanjem kinematicšnih in konstitutivnih enacšb je funkcional (2.95) odvisen le od kinematicšnih kolicin. To odvisnost na kratko opišemo v nadaljevanju.
Ce je enacbam (2.30)-(2.32) identicno zadošceno, lahko izrek o virtualnem delu zapišemo v obliki
N	N f L	r L	fL
= V i = V< / N^dx + / QCidx + / m^kMx-
i=i i=i Uo ^	^
fL	r L
+
fL	fL	f L	6	]
- (qX + Px)ćuidx - (qZ + Pz)ćwidx - (mY + hY)^dx - V] Sjćuj > = 0 ./o	Jo	Jo	J=1 J
(2.96)
V funkcionalu (2.96) predstavljajo kinematicne enacbe (2.14)-(2.16) vezi med deformacijskimi in kine-maticnimi kolicinami. Ce se omejimo samo na sloj i, so od šestih kolicin, ui, wi, ei, Yi in Ki, neodvisne samo tri. Pri standardnih formulacijah koncnih elementov izberemo kot neodvisne spremenljivke kinematicne kolicine ui, wi, Slabosti takih koncnih elementov so dobro znane, omenimo samo obcutljivost elementov na vse vrste blokiranj (Planinc, 1998). Tem problemom se, kot je pokazal Planinc (1998), v celoti izognemo z vpeljavo deformacijskih koncnih elementov. V nadaljevanju izpeljemo modificiran izrek o virtualnem delu za vecslojne linijske kompozitne nosilce, ki je osnova izpeljave deformacijskih koncnih elementov (Planinc, 1998).
Princip virtualnega dela (2.96) dejansko predstavlja vezan variacijski princip, katerega vezi so kinematicne enacbe (2.14)-(2.16). Skladno s pravili variacijskega racuna kinematicne enacbe (2.14)-(2.16)
pomnozimo s poljubnimi, vsaj enkrat odvedljivimi funkcijami RX, RZ in MLagrangeovimi mnozitelji. Izraze nato integriramo po referencni osi vsakega sloja kompozitnega nosilca in dobljene izraze variiramo po vseh neznankah funkcionala, torej po u1, w1, e1, y1, k1, RX, RZ in M1 (i = 1, 2, ... , N). Tako dobimo:
N ,L
SE1 = V / ((1 + u1' - (1 + e1) cos - y1 sin SRX
+ (Su1' - cos ^iSei + (1 + e1) sin - sin ^Sy1 - y 1 cos ^iS^i)RX)dx, (2.97) N p L
SE2 = V / ((w1' + (1 + e1) sin - y1 cos SRZ
+ (Sw1' - sin ^iSei + (1 + e1) cos ^S^1 - cos ^Sy1 + y 1 sin ^iS^i)RŽ)dx, (2.98) N fL
SE3 = V /	- Ki)SMi + M1^1' - Sk1 )) dx,	(2.99)
kjer smo odvode kolicin po materialni koordinati x1 oznacili z d:L_ = ( )'.
Dobljene izraze prištejemo k funkcionalu SW, integrale /0L RXSu!'dx!, /QL RZSw!'dx\ /QL MiS^i'dxi pa preuredimo z integracijo po delih:
LL
/ RXSui'dxi = RX(L)Su!(L) - RX(0)Su!(0) - RXSuMx1,	(2.100)
X	X	X	X
LL
/ RZSwi'dxi = RZ(L)Sw!(L) - RZ(0)Sw!(0) - RZSwMx1,	(2.101)
Z	Z	Z	Z
LL
/ MiS^i'dxi = M1 (L)S^1 (L) - M1 (0)S^(0) - Mi'S^idx1.	(2.102)
jo	Jo
Izraze v razširjenem funkcionalu nato uredimo po neodvisnih variacijah, tako dobimo Hu-Washizejev funkcional oziroma razširjeni izrek o virtualnem delu:
SW * = SW + SE1 + SE2 + SE3 =
n f fL	fL	fL
?C - Q0 Sy1 dx + /


{/•L	rL	rL
/ (N - N■) Se!dx + / (QC - Q1) Sy1 dx + / (Mc! - M1) SkMx
c	c	c
/L (RXX + qX + PX) Su!dx - /L (RiZ + qZ + pZ) Swidx-
/L (M- (1 + e1) Q1 + y!N 1 + (mY + )) S^dx J0
+ f ((1+ u1' - (1 + e!) cos ^ - Y1 sin SRX) dx
Jo
L ( ( ) ) L( )
+ / (w1' + (1+ e1) sin ^ - y 1 cos </) SRZ dx + / - k1) SM !dx+ ( 0 ) ( Z) 0 ( )
+ (-Si - RX (0)) Su1 (0) + (-S2 - RZ (0)) Sw1 (0) + (-S3 - M1 (0)) S^ (0)
+ (-S4 + (L)) ČU (L) + (-S5 + RZ (L)) ^ (L) + (-S6 + Mi (L)) ^ (L) j = 0.
(2.103)
Variacije ću\	^ ČR^, ^R^ in ^Mi (i = 1,2, ... , N) v funkcionalu (2.103) pred-
stavljajo poljubne neodvisne funkcije, poljubni neodvisni parametri 5ui(0), 5wi(0), 5^i(0), 5ui(L), 5wi(L), ^(L) (i = 1, 2, ... , N) pa variacije robnih kolicin.
Skladno s pravili variacijskega racuna izpeljemo Euler-Lagrangeove enacbe funkcionala (2.103), ki predstavljajo (i = 1,2, ... , N):
• konstitutivne enacbe (xi G (0, L)):
/i = NC - Ni = 0,
fN+i = - Qi = 0
/2N+i = MC - Mi = 0,
(2.104)
(2.105)
(2.106)
kinematicne enacbe (xi G (0, L)):
/3N+i = 1 + U - (1 + ei) cos ^ - Yi sin ^ = 0, /4N+i = w1' + (1 + ei) sin - Yi cos = 0, /5N+i = - Ki = 0,
(2.107)
(2.108) (2.109)
ravnotežne enacbe (xi G (0, L)):
/6N+i = RX + + = 0,
/7N+i = RZZ + + Pz = 0,
/8N+i = Mi' - (1 + ei)Qi + YiNi + (mY + ) = 0;
(2.110) (2.111) (2.112)
ter pripadajoce naravne (staticne) robne pogoje:
xi = 0:
/9N+i = -Si - RX(0) = 0,
/10N+i = -S2 - RŽ(0) = 0, /11N+i = -S3 - Mi(0) = 0,
(2.113)
(2.114)
(2.115)
xi = L:
/12N+i = -S4 + RX(L) = 0 /13N+i = -S5 + Rz (L) = 0, /14N+i = -S6 + M i(L) = 0.
(2.116)
(2.117)
(2.118)
V nadaljevanju ž integriranjem tocno zadostimo kinematicnim enacbam (2.107)-(2.109) in ravnotežnim enacbam (2.110)-(2.112), saj so le te relativno preproste. Tako izrazimo kinematicne kolicine ui, wi,
in ravnoteZne kolicine , RZ, Mi z deformacijskimi kolicinami e%, Yi in Ki, torej (i = 1, 2, ... , N):
(2.119)
(2.120) (2.121) (2.122)
(2.123)
(2.124)
Ker smo tako integrandom pri variacijah	čR^, ^RZ, v funkcionalu (2.103) tocno
zadostili, ti cleni v funkcionalu odpadejo. Tako dobimo funkcional, kije odvisen samo od deformacijskih kolicin e%, 7i in Ki (i = 1, 2, ... , N) in robnih vrednosti. Dobljeni funkcional imenujemo modificiran izrek o virtualnem delu vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca
N ( ,L	, L	,L
ui(xi)	= ui(0) + j	[ ((1 + ei) cos ^ + 7i sin ^ — 1) d£, 0
wi(xi)	= wi(0) —	/•X1 / ((1 + ei) sin — 7i cos d£, 0
^i(xi)	= ^ (0) — ^	/ Kid{, 0
RX (xi)	= RX (0) —	f (& + PX) de, 0
RZi (xi)	= RZ (0) —	f (qZ + PZ) de, 0
Mi(xi)	= M i(0) +	/ ((1+ ei)Qi — 7iNi — (mY + )) d£ 0
** = Ž | ^ (NĆ — Ni) feMx + jf (Q — Qi) ^dx + ^ (MĆ — Mi) čkMx— + (—Si — (0)) ^ (0) + (—S2 — Rz (0)) (0) + (—S3 — Mi (0)) ^ (0) +
+ (—S4 + RX (L)) (L) + (—S5 + RZ (L)) (L) + (—S6 + Mi (L)) V (L) j = 0.
(2.125)
Ravnotezne kolicine na robu xi = L (i = 1, 2, ... , N), ki nastopajo v funkcionalu (2.125), izracunamo z enacbami:
RX(L) = RX(0) — fL (& + pxx) d{,	(2.126)
J 0
RZ(L) = RZ(0) —f (qZ + PZ) d{,	(2.127)
0
L
Mi(L) = Mi(0) + f ((1 + ei)Qi — 7iNi — (mY + )) d£.	(2.128)
J 0
Kot pri vsaki konstrukciji moramo tudi pri kompozitni konstukciji, ki je sestavljena iz vecslojnih linijskih nosilcev, na robovih zadostiti tudi predpisanim kinematicnim robnim pogojem. Ker so ti pogoji v splošnem predpisani tako na zacetku kot na koncu vsakega sloja kompozitnega nosilca, so med seboj
povezani. Povezujejo jih enacbe (i = 1,2, ... , N)
L
10
U(L) = u(0)+ / ((1+ ^) cos ^ + Yi sin ^ - 1) d£,	(2.129)
w^(L) = wi(0) -f ((1+ ei) sin ^ - 7i cos </) d£,	(2.130)
J 0
</(L) = <^(0) - f Kid{	(2.131)
0
oziroma, ko v enacbah (2.129)-(2.131) upoštevamo (2.44)-(2.49), enacbe:
= U +/	((1 + ei) cos ^ + Yi sin ^ - 1) d£,	(2.132)
Jo
15 = uQ - f	((1 + ei) sin ^ - 7i cos d£,	(2.133)
Jo
L
+ / (1 + r) cos ( 10
L
U 5 — Uq
Jo
U6 = U3 - f KM£.	(2.134)
Jo
Enacbe (2.132)-(2.134) so vezi, ki jim morajo zadostiti deformacijske kolicine vsakega sloja kompozitnega nosilca. Zato enacbe (2.129)—(2.131) predstavljajo tudi vezne enacbe k funkcionalu (2.125). Z enacbami (2.132)-(2.134) ali (2.129)-(2.131) zadošcamo robnim pogojem kompozitnega nosilca ali pa povezujemo nosilce v konstrukcijo. Osnovne neznanke funkcionala (2.125) so tako samo deformacijske kolicine ei, Yi in Ki (i = 1, 2, ... , N), saj ostale kinematicne in staticne kolicine nastopajo v funkcionalu le s svojimi robnimi vrednostmi. Funkcional (2.125) predstavlja izhodišce za vpeljavo druzine deforma-cijskih koncnih elementov za numericno analizo ravninskih vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev. Formulacijo diskretnih osnovnih ravnoteznih enacb ravninskega vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca, zasnovano na deformacijskih koncnih elementih, in racunske postopke za reševanje teh enacb predstavimo v nadaljevanju.
2.2 Posplošene diskretne ravnotežne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca
2.2.1 Galerkinova metoda konCnih elementov
Osnovne enacbe vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev so nelinearne. Ker tocne rešitve teh enacb ne poznamo, jih resšimo z Galerkinovo metodo koncšnih elementov. Numericšno metodo bomo zasnovali na deformacijski metodi koncnih elementov. Novo druzino koncnih elementov za analizo vecslojnih linijskih kompozitnih konstrukcij bomo izpeljali z uporabo modificiranega izreka o virtualnem delu (2.125).
Skladno z metodo koncnih elementov razdelimo vecslojni linijski kompozitni nosilec oziroma vsak njegov sloj na Ne1 koncnih elementov. Na koncni element sloja i postavimo M + 1 ekvidistancnih tock in pripadajoce deformacijske kolicine interpoliramo z Lagrangeovimi interpolacijskimi polinomi stopnje
M. Interpolacijski nastavki za deformacijske kolicine sloja i kompozitnega nosilca so:
(2.135)
(2.136)
(2.137)
V enacbah (2.135)—(2.137) predstavljajo ^m, Ym in ^m vrednosti deformacij v interpolacijskih tockah na referencni osi sloja i kompozitnega nosilca, Pm pa Lagrangeove interpolacijske polinome. Pri izbiri interpolacijskih nastavkov smo predpostavili, da vse deformacijske kolicine sloja i kompozitnega nosilca interpoliramo z interpolacijskimi polinomi iste stopnje, torej izberemo enako število interpolacijskih tock za vse sloje kompozitnega nosilca. Vendar ta predpostavka ne predstavlja pomembnejše omejitve metode.
Podobno interpoliramo tudi variacije deformacijskih kolicin:
(2.138)
(2.139)
(2.140)
M
£ (x ) = y ] Pm(x )£m,
m=l
M
Y(X) = £ Pm(X)7m,
m=l M
K(X) = £ Pm(xi)
m=l
M
5£(X) = £ Pm(xi)54
m=l
M
5Y(Xi) = £ Pm(xi)57m
m=l
M
5Ki(xi) = £ Pm(xi)5«m
m=l
Interpolacijske nastavke (2.135)-(2.140) sedaj vstavimo v modificirani izrek o virtualnem delu (2.103). Euler-Lagrangeove enacbe tega funkcionala so (i = 1, 2, ... , N):
fi m
I (N - Ni)Pmdxi = 0, J 0
/M+m = (QC - Qi)Pmdxi = 0,
J0
/2m+m = I (MC - Mi)Pmdxi = 0, 0
/3m+i = -Si + (0) = 0,
f3M+2 = S2 - (0) = 0,
/3m+3 = -S3 - Mi(0) = 0,
/3M+4 = -S1 + (L) = 0
/3M+5 = -S2 + (L) = 0,
/3m+6 = -S3 + M i(L)=0.
m = 1,..., M m = 1,..., M m = 1,..., M
(2.141)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
(2.145)
(2.146)
(2.147)
(2.148)
(2.149)
L
Skupaj z veznimi enacbami (2.129)-(2.131),
u*(L) - u*(0) -f	((1+ e*)cos ^ + sin tf - 1) d{ = 0,	(2.150) Jo
w*(L) - w*(0) + f	((1 + e*) sin tf - 7* cos </) d{ = 0,	(2.151) Jo
</(L) - </(0) + f = 0,	(2.152)
o
predstavljajo osnovne diskretne posplošene ravnotezne enacbe za N-slojni kompozitni nosilec. Kot ze receno, z veznimi enacbami (2.150)-(2.152) zagotovimo kinematicnim robnim pogojem in povezemo koncšne elemente v konstrukcijo.
Enacbe (2.141)-(2.149) predstavljajo za znano obtezbo sistem (3M + 9)N enacb za dolocitev (3M + 9)N neznanih kolicin vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca. Razdelimo jih na (3M)N + 3N neznanih notranjih prostostnih stopenj: e^, 7^ in Klm (m = 1, 2, ... , M) in RlX(0), RZ(0), M*(0) (i = 1, 2, ... , N) in 6N neznanih zunanjih prostostnih stopenj: u*(0), w*(0), ^>*(0), u*(L), w*(L) in ^>*(L) (i = 1, 2, ... , N). Neznane kolicine v enacbah (2.141)-(2.149), ki so vse funkcije osnovnih neznanih kolicin koncnega elementa, izracunamo z enacbami (i = 1, 2, ... , N), ki pripadajo slojem kom-pozitnega nosilca:
Ni	= RX cos ^	- RZ sin	(2.153)
Q*	= RX sin ^	- RZ cos	(2.154)
RX	= RX (0) -	rx' / (qX + px) de, o	(2.155)
RZ	= RZ (0)	f (qZ + pz) de, o	(2.156)
Mi	= M*(0) +	/ ((1+ e*)Q* - y*N* - (mY + )) de, o	(2.157)
N	= / jdA. JA	i	(2.158)
Ml	= / zVdA, JA'		(2.159)
Ql	= GM^*,	/L (qX + px) de, o	(2.160)
RX (L)	= RX (0) -		(2.161)
RZ (L)	= RZ (0)	/ (qZ + PZ) de, o	(2.162)
M *(L)	= M*(0) +	/ ((1+ e*)Q* - y*n* - (mY + )) de, o	(2.163)
9*	7* = u)% — arctan-r, ^ 1 + e*		(2.164)
e* et,*	= cos 9*EX -	-sin 9* EZ,	(2.165)
e*+i et,*	= cos 9*+1Ex - sin 9*+1Ez ,		(2.166)
e* •	= sin 9*Ex + cos 9* Ez,		(2.167)
en+i1 = sin<
i0i+1Ex + cos ei+1Ez, in z enacbami, ki pripadajo stikom med sloji kompozitnega nosilca (k = 1, 2, ... , N — 1):
= (ui + zi sin ^)pkn*x + (wi + zf cos Vl)Pkn*Z,
Wn
u*t *i = (ui + zl sin vl)pkt*x + (wi + zl cos fi)e'kZ,
+ (wi+1 + zi+1
w
u.
(i+1)* n,i
(i+1)* t,i
= (u
i+1 i+1
= (ui+1 + z^1 sin ^i+1)enX
+ zf+1 sin f
i+1 i+1
..k *
cos f
)eTx + (wi+1 + zi+1 cos fi+1)ekZ,
)ek * )enZ,
k
ut,i u
t,i
Ak * dk
pt
„k* r>k* i jk*\
Pn = G k (d ),
(i+1)
i
wn,i wn,i
(i+1)
k * = G k * (Ak *),
k k enX = en ■ EX
k k enZ = en ■ EZ
k k etX = et ■ EX =
k k etZ = et ■ EZ
zen,i + (1 — z) en+i1
zet,i + (1 — z) ei+1
Hi
z ei	+ (1	— z) e+ n,i
zei	+ (1	— z) en,i
zei • S cn,i	+ (1	— z) en,i
z et,i	+ (1	— z) et+1
z et,i	+ (1	— z) et+1
z et,i	+ (1-	— z) <+1
E
X,
Ez ,
E
X,
Ez .
(2.168)
(2.169)
(2.170)
(2.171)
(2.172)
(2.173)
(2.174)
(2.175)
(2.176)
(2.177)
(2.178)
(2.179)
(2.180)
Integrale v enacbah (2.141)-(2.149) izvrednotimo z Gaussovo numericno integracijsko shemo, vgne-zdene integrale pa po postopku, ki ga je v svoji doktorski disertaciji predstavil Zupan (2003b).
Poleg velike natancnosti in neobcutljivosti deformacijskih koncnih elementov na vse vrste blokiranj je njihova pomembna prednost tudi enostavna implementacija modela razpokanega območja (angl. crack band model), ki predstavlja eno izmed preprostejših modelov mehcanja precnih prerezov pri linijskih konstrukcijah (Bratina, 2003), (Bratina, Saje, Planinc, 2004). Ker je razpokano obmocje na nosilcu relativno majhno, je Bratina ta koncni element imenoval "kratki" koncni element. Kot porocajo Jiräsek (1997) in Bratina ter sodelavci (2004), lahko s "kratkim" koncnim elementom dovolj natancno modeliramo vpliv lokalizacij deformacij na nekem koncnem obmocju nosilca in s tem vpliv mehcanja precnih prerezov na nosilnost linijskih konstrukcij. To lokalizirano razpokano obmocje nosilca predstavlja tudi velikost oziroma dolzšino "kratkega" koncšnega elementa in je odvisno od geometrijskih in materialnih lastnosti konstrukcije. Ker dolzino razpokanega obmocja dolocimo z eksperimenti, je dolzina "kratkega" koncnega elementa konstitutivna kolicina in kot taka konstantna. Ker tako velikost "kratkega" koncnega elementa pri gostenju mrezše ne spreminjamo, postane s tem numericšna metoda neobcšutljiva na izbiro mrezše koncšnih elementov.
V "kratkem" koncnem elementu sloja i kompozitnega nosilca torej predpostavimo konstanten potek deformacij po referencšni osi elementa:
£i(xi) = e\ = konst., Yi(xi) = y1 = konst.,
(2.181) (2.182)
k1 (xi) = k\ = konst.	(2.183)
Ko interpolacijske nastavke za deformacije sloja i kompozitnega nosilca (2.181)—(2.183) upoštevamo v modificiranem izreku o virtualnem delu (2.125), dobimo sistem diskretnih posplošenih ravnoteznih enacb za "kratki" koncni element sloja i kompozitnega nosilca (Bratina, 2003):
/l, kratki =	(Ni - Ni)\xi_L =0, x = 2	(2.184)
f2, kratki =	(Qi - Qi)\Xi= L =0, x = 2	(2.185)
f3, kratki =	(Mi - Mi)\xi= L =0, x = 2	(2.186)
/i = J 4, kratki	-Si + RX (0) = 0,	(2.187)
fi = J 5, kratki	-S2 - RZ (0) = 0,	(2.188)
fi= J 6, kratki	-S3 - Mi (0) = 0	(2.189)
f 7, kratki =	-Si + RX (L) =0,	(2.190)
f8, kratki =	-S2 + RZZ (L) = 0,	(2.191)
f9, kratki =	-S3 + Mi (L) = 0,	(2.192)
kjer smo integrale izracunali z Gaussovo enotockovno integracijsko shemo. Prav tako upoštevamo konstanten potek deformacij tudi v kinematicnih veznih enacbah:
ui(L) - ui(0) -f ((1 + e\) cos ^ + Yi sin ^ - 1) d{ = 0,	(2.193)
Jo
wi(L) - wi(0)+ f ((1+ e\) sin ^ - cos d{ = 0,	(2.194)
J o
fi(L) - </(0) + f k\d{ = 0.	(2.195)
o
Sistem enacb (2.184)-(2.195) "kratkega" koncnega elementa sloja i kompozitnega nosilca predstavlja 12N enacb za prav toliko neznank. Kot pri osnovnih koncnih elementih tudi pri "kratkem" koncnem elementu neznane notranje prostostne stopnje elementa kondenziramo na nivoju elementa, zunanje pa zdruzimo v posplošene diskretne ravnotezene enacbe konstrukcije.
2.2.2 Reševanje diskretnih posplošenih ravnotežnih enacb vecslojnega kompozitnega okvirja
Posplošene diskretne ravnotezne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca (2.141)-(2.149) po znanih postopkih metode koncnih elementov zdruzimo v diskretne ravnotezne enacbe vecslojnega kompozitnega okvirja ali enacbe konstrukcije. V formalni obliki so te enacbe
f(u, A) = g(u) - Ap = 0,	(2.196)
kjer u predstavlja vektor neznank (sestavljajo ga komponente vozlišcnih pomikov in zasukov kompozitnega okvirja), p je zacetni vektor zunanje obtezbe in A obtezni faktor. Enoparametricni sistem alge-brskih enacb (2.196) lahko rešimo na razlicne nacine (Crisfield, 1996, Wriggers, 2008, Bonet, Wood, 1997). Nacin reševanja je seveda prilagojen mehanskemu problemu, ki ga zelimo rešiti. V doktorski
disertaciji bomo na kratko predstavili le tiste algoritme reševanja, ki jih bomo uporabili za analizo natancnosti in primernosti predstavljene numericne metode za analizo vecslojnih kompozitnih okvirjev v racunskih primerih. Tako v nadaljevanju predstavimo znano Newton-Raphsonovo kvadraticno konvergentno metodo, nato konsistentno linearizirano Crisfieldovo metodo locne dolzine in na koncu še koracno metodo.
Newton-Raphsonova metoda
Kot ze receno, je najbolj znana in tudi najuporabnejša metoda za reševanje nelinearnega sistema enacb Newton-Raphsonova metoda. Uvrsšcšamo jo med inkrementno-iteracijske metode. Postopek resševanja je naslednji. Za znani obtezni faktor A = Aznani sistem (2.196) lineariziramo okrog Aznani in linearizirani sistem rešujemo zaporedoma za it = 0,1, 2...
Kt(Uit, Aznani)SUit+1 = -f(uit, Aznani),	(2.197)
Uit+1 = Uit + Suit+1	(2.198)
do natancšnosti, ki jo izrazimo s pogojema
|| Suit+11| < eu ali	(2.199)
||Sfit+1||< ef,	(2.200)
kjer sta eu in ef poljubno majhni realni števili. KT v enacbi (2.197) predstavlja tangentno togostno matriko konstrukcije, ki jo izracunamo s konsistentno linearizacijo enacb konstrukcije (2.196) (Bonet, Wood, 1997, Holzapfel, 2001),
Kt (uit, Aznani) Suit+1 = "d f(uit + aSuit+1, Aznani)]
da
. (2.201)
a=0
Newton-Raphsonova metoda odpove, ko postane tangentna togostna matrika konstrukcije KT singularna, torej ko postane detKT(ucr, Acr) = 0. V vecini primerov se temu problemu izognemo, ko enacbe (2.196) rešimo z metodami locne dolzine.
Konsistentno linearizirana Crisfieldova metoda locne dolžine
Konsistentno linearizirana Crisfieldova metoda locšne dolzšine spada v druzšino metod locšne dolzšine. S temi metodami obtezno-deformacijsko krivuljo, ki jo doloca sistem enacb (2.196), reparametriziramo z naravnim parametrom s (Schweizerhof, Wriggers, 1986). Rešujemo torej sistem enacb
f(u, A) = g(u) - Ap = 0,	(2.202)
h(u, A, s) = 0.	(2.203)
Ker so metode locne dolzine tudi inkrementno-iteracijske metode, zapišemo vezno enacbo (2.203) v koraku (inkrementu) j + 1 z enacbo
Mu+b sj+1) = (uj+1 - uj)TW(uj+1 - uj) + (Aj+1 - Aj)2pTHp - (sj+1 - sj)2 = °
(2.204)
kjer so u, posplošeni pomiki koraka j, Aj in Sj pa pripadajoci obtezni faktor in naravni parameter poti. S pravilno izbiro matrik W in H lahko kontroliramo neuravnotezeno velikost posameznih komponent pomikov, zasukov in obtezšnega faktorja kompozitne konstrukcije ter vplivamo na robustnost algoritma. Najpogostejša izbira za matriko W je identiteta, za matriko H pa nicelna matrika.
V sklopu inkrementno-iteracijskih metod razdelimo reševanje enacb (2.202) in (2.203) na prediktorsko in korektorsko fazo. V prediktorski fazi dolocimo zacetni priblizek novega inkrementa (koraka), v ko-rektorski fazi nato z Newtonovo metodo izboljšamo natancnost zacetnega priblizka.
Prediktorska faza. Prediktorski priblizek za neznanke v koraku j + 1 izrazimo iz linearizirane oblike sistema enacb (2.196) v koraku j:
KTj j0 - pčAj+f = 0,	(2.205)
torej:
j = K-ipj°.	(2.206)
u!+° = u j + jf.	(2.207)
Prediktor za posplošene pomike koraka j + 1 tako izrazimo kot
ji = Uj + 5uj+i Podobno zapišemo še prediktor obteznega faktorja
Aj+i = Aj + 5Ajt=io.	(2.208)
Prirastek čAj+f dolocimo s pomočjo vezne enacbe (2.204) za obtezni korak j + 1
(uj+i - uj)TW(uj+io - uj) + (Aj= - Aj)2pTHp - As2+i = 0,	(2.209)
kjer je Asj+i = sj+i - Sj. Ko v enacbi (2.209) upoštevamo enacbi (2.207) in (2.208), izpostavimo
\it=o Aj+i
As2
j = sign (Ajt=io) --j+ii	.	(2.210)
/(K-jip)TW(K-jip) + pTHp
Za uspesšnost predlaganega algoritma je zelo pomembno pravilno izbrati predznak zacšetnega prirastka 5Ajt=io. Dolocimo ga tako, kot predlagajo Feng in sodelavci (1996), in sicer na podlagi smeri tangente na obtezšno pot v koraku j iz znanega koraka j - 1:
sign(Ajt=io) = sign(mTK-ip + «j),	(2.211)
kjer sta mj in aj doloceni z linearizacijo vezne enacbe
mj = 2(uj - uj-i)TW,	(2.212)
aj = 2(Aj - Aj-i)pTHp.	(2.213)
V prvem koraku je predznak prediktorja koraka enak predznaku determinante tangentne togostne matrike kompozitnega okvirja v zacšetni legi.
Korektorska faza. V korektorski fazi z znano Newtonovo metodo iterativno rešimo razširjen sistem enacšb (2.202) in (2.204):
it—1\ 'j+1 )
Kt (u
mT(uj+1) aj)
5uJt+i
5AJA+i J

f(uj+1,Aj+1) h(uj+1,Aj+1)
u
it j+1
„it— 1 i r„it
uj+1 + 5uJ
J+1,
it it—1 it Aj+1 = Aj+1 + 5AJ
J+1,
(2.214)
(2.215)
do zšelene natancšnosti
uj+1 J
ali
< f
kjer sta eu in ef dve dovolj majhni pozitivni realni števili.
Ker je konvergencni radij Newtonove metode omejen, je zelo pomembno, kako velik izberemo prirastek inkrementa locne dolzine. Numericne izkušnje kazejo, daje prirastek najbolje prilagoditi znotraj vsakega obtezšnega koraka glede na razmerje med dosezšenim in zšelenim sštevilom iteracij korektorske faze (Crisfield, 1981, Ramm, 1980 )
Asj+1 = ( - I As
I,
(2.216)
kjer I predstavlja število zelenih iteracij, I, pa število dejanskih iteracij v prejšnjem obteznem koraku j. Za ß navadno izberemo vrednost ß = 0.5 (Ramm, 1980 ).
Koračna metoda
S koracno metodo (angl. step by step method) izracunamo casovno spremenljivo napetostno in deforma-cijsko stanje betonskih konstrukcij zaradi vpliva lezenja in krcenja betona. Prilagojena je za linearne modele lezenja betona (Ghali, Favre, 1994). Za take modele lezenja predpostavimo, daje celotna vzdolzna (geometrijska) deformacija poljubnega materialnega vlakna betona sestavljena iz vsote trenutne elasticne deformacije in cšasovno odvisnih deformacij lezenja in krcšenja betona. Pri vecšslojnih linijskih kompozit-nih okvirjih geometrijsko deformacijo betonskega sloja i zapisšemo z enacšbo
Di(t) = Et°) [1 + ^(t,to)] + Dh(Mo),
(2.217)
kjer smo s ai(t0) = konst. oznacili normalno napetost sloja i pri zacetnem casu t0, Ei(t0) elasticni modul betona pri casu t0, z D^h(t, t0) smo oznacili deformacijo krcenja betona na intervalu med casoma t in t0 in s ^(t, t0) brezdimenzijski koeficient lezenja betona.
Cš e se normalna napetost s cšasom spreminja, dolocšimo vzdolzšno deformacijo poljubnega materialnega vlakna sloja i kompozitnega nosilca z enacšbo
Di(t) = a0 (t0)
1 + ^(t,t0) , f1 + ^(t,T)
E i(t0)
+

E 1(t )
dai(r)+ Dh(t,t0),
(2.218)
< '-u
ß
EnaCba (2.218) predstavlja konstitutivno zvezo med napetostmi in deformacijami. Konstiutivni enacbi (2.30) in (2.31) nam omogocata dolociti neznane deformacije ob znanih notranjih silah. Pri koracni metodi neznane deformacije izracunamo tako, da casovni interval razdelimo na J casovnih podinter-valov At j (j = 1,2, ... , J). Za normalno napetost opazovanega materialnega vlakna pa predpostavimo znotraj casovnega inkrementa j stopnicasto spreminjanje s skokom na sredini inkrementa pri casu t. a j
(slika 2.6)
a
(t) = £ Aa4 (Atj).
j=i
(2.219)
Aa* (A tj) ▼
tj tj+i
tj-1 tj t
Slika 2.6: Razdelitev casovnega intervala na korake pri koracni metodi (Ghali, Favre, 1994). Figure 2.6: Division of time into stešs for "step-by-step" analysis (Ghali, Favre, 1994).
Vzdolzno deformacijo opazovanega materialnega vlakna pri casu t izracunamo z enacbo (Gilbert, 1988)
J
D4 (Atj) = £ j=i
Aa4 (Atj)
1 + ^ (t, tj) E4(tj)
+ DSh (t, to)
(2.220)
Ker pri enacbah (2.30) in (2.31) dejansko potrebujemo odvisnost napetosti od deformacije in ne obratno, izracunamo z uporabo enacbe (2.220) zadnji prirastek napetosti z enacbo
j-i
Aa' (Atj> = 1 +J i) M - (t- «o« - £
j=1
Aa4 (Atj)
1 + ^ (t, tj) E4(tj)
(2.221)
Koracna metoda, ki smo jo predstavili, je prilagojena za geometrijsko linearne modele nosilcev oziroma slojev kompozitnega nosilca. Pri geometrijsko nelinearnem modelu ravninskega nosilca oziroma sloju kompozitnega nosilca moramo koracno metodo prilagoditi Newtonovi iteracijski shemi. V Newtonovem iteracijskem postopku D4 izrazimo kot vsoto
Dt+i (t) = Dit (t)+5Dit+i (t)
(2.222)
2.3 Računski primeri
2.3.1 Verifikacija numeričnega modela
Natancnost predstavljenega numericnega modela in konvergencne lastnosti deformacijskih koncnih elementov bomo analizirali loceno z racunskimi primeri za geometrijsko linearne in nelinearne modele dvoslojnih linijskih kompozitnih nosilcev. Dodatno bomo z numericnimi primeri analizirali tudi vpliv uteznega parametra Z "povprecne" baze na kinematicne kolicine obravnavanih dvoslojnih kompozitnih nosilcev.
Geometrijsko linearna teorija. V prvem koraku bomo verificirali predstavljeni numericni model s primerjavo numericnih rezultatov z analiticno rešitvijo linearno elasticnega dvoslojnega nosilca (Kroflic et al., 2010a). Geometrijske karakteristike obravnavanega dvoslojnega lesenega nosilca privzamemo enake, kot jih je v svojih eksperimentalnih raziskavah privzel Planinc s sodelavci (2008) in jih prikazujemo na sliki 2.7. Pri tem spodnji sloj oznacimo z indeksom 'a', zgornjega pa z indeksom 'b'. Obravnavamo prostolezeci nosilec dolzine 300 cm z razponom med podporami 280 cm. Nosilec je sestavljen iz dveh lesenih slojev razlicnih višin, ki sta povezana s standardnimi zeblji 40/100. Razdalja med zeblji znaša 60 cm. Privzeti elasticni modul lesa v tlaku in nategu znaša Et = Ec = 1150 kN/cm2. Privzeti modul zdrsa znaša K = 3.525 kN/cm2. Za modul razmika privzamemo enako obnašanje v tlaku in nategu, pri cemer znaša C = 13.497 kN/cm2. Nosilec je obremenjen na sredini razpona zgornjega sloja s tockovno silo P = 7.624 kN v smeri globalne osi Z.
(a)
sloj '6'_ sloj 'a-
5 cm
14 cm
12 cm
5|6|6|6|6|6|6|6|6|6i6 6i6|6|6|6i6
1
P
																	
»																	A
L0 c:
140 cm
Slika 2.7: Precni prerez (a) in razpored moznikov (b) dvoslojnega lesenega nosilca. Figure 2.7: Cross section (a) and arrangement of connectors (b) of two-layer timber beam.
Slika 2.8(a) prikazuje relativno napako numericne rešitve (glede na analiticno rešitev Kroflica in sodelavcev (2010a)) razmika na sredini nosilca za razlicno število mreze koncnih elementov Ne
dAumi - dAnal
(napakad1 = ——anal A ). Ugotovimo lahko, da ze model z mrezo šestih koncnih elementov daje
' dAna
rezultate v mejah natancnosti izracuna. Slika 2.8(b) prikazuje primerjavo relativne napake numericne
AB™1 - AaRnal
rešitve zdrsa na robu prostolezecega nosilca (napakaA1 = —a al a 100 %). Vidimo lahko, da so
,	Aana
rezultati v mejah natancnosti izracuna ze pri mrezi osmih koncnih elementov. Za natancnejšo verifikacijo

(A)
-a ca
S3 2
-3 -4 -5
6 8 N
10 12 14

0.1 0 -0.1
(b)
< -0.2
ca
sa
e
68 N
10 12 14
Slika 2.8: Relativna napaka numericne rešitve na stiku prostolezecega elasticnega nosilca: (a) razmik na sredini nosilca (napakad 1) in (b) zdrs (napakaA 1) ob podpori.
Figure 2.8: Relative error of numerical solution at the contact of a simply supported elastic beam: (a) uplift at the midspan (napakad1) and (b) slip (napakaA1) at the support.
numericnega modela primerjamo numericne in analiticne rezultate še za razlicne kombinacije modula zdrsa K in modula razmika C:
•	K = 0, C = 13.497 kN/cm2 (brez strizne povezave - BSP),
•	K «to, C = 13.497 kN/cm2 (toga strizna povezava - TSP),
•	K «to, C «to (popolnoma toga povezava - PTP).
Pri tem upoštevamo enak nosilec kot v prejšnjem primeru, dodatno analiziramo tudi primer s spremenjeno obliko precnega prereza, ki ga prikazujemo na sliki 2.9 (T-prerez). Pri tem smo morali v primeru brez
i 200 mm i
sloj 'b' sloj 'a'
100 mm
160 mm
100mm|
Slika 2.9: T-precni prerez. Figure 2.9: T cross-section.
2
4
strizne povezave (BSP) dodatno podpreti zgornji sloj nosilca, da izpolnimo robne pogoje dvoslojnega
nosilca. Numericno rešitev za razlicno število koncnih elementov (Ne) primerjamo z analiticno rešitvijo Kroflica in sodelavcev (2010a). V preglednici 2.1 predstavljamo analiticne rezultate in odstopanje numericnih rezultatov od analiticne rešitve (za mrezo štirih in osmih koncnih elementov) navpicnega pomika na sredini razpona spodnjega nosilca. V vseh predstavljenih numericnih izracunih privza-
Preglednica 2.1: Analiticni in numericni rezultati ter lastnosti konvergence navpicnega pomika na sredini nosilca za razlicne tipe povezave v tangentni in normalni smeri.
Table 2.1: Analytical and numerical results and convergence properties of the midpoint vertical deflection for different shear and uplift connections.
prerez povezava analiticno [mm] napaka4FE [%] napaka8FE[%]
original	BSP	1.0568	-0.08020	-0.08155
original	TSP	0.44377	-0.67189	-0.67119
original	PTP	0.44224	-0.00289	-0.00327
T	BSP	0.59806	-0.62352	-0.62336
T	TSP	0.15562	-2.66826	-2.66452
T	PTP	0.15103	0.01377	0.01893
memo normo ostanka Newtonove metode 10-8. Vsa odstopanja numericnih rezultatov od analiticne rešitve so znotraj pricakovanih mej. Opazimo lahko tudi manjše probleme pri konvergenci, posebej pri togi strizni povezavi (TSP), ko se relativna napaka stabilizira in se ne zmanjšuje z zgošcanjem mreze koncšnih elementov.
Geometrijsko nelinearna teorija. V nadaljevanju primerjamo numericne rezultate našega modela z analiticno rešitvijo Girhammarja in Gopuja (1993). Studiramo konvergenco numericnih rezultatov najprej geometrijsko linearnega elasticnega prostolezecega in nato geometrijsko nelinearnega elasticnega dvoslojnega lesenega nosilca.
Girhammar in Gopu (1993) sta predstavila tocno rešitev napetostno-deformacijskega stanja dvoslojnega prostolezecega elasticnega kompozitnega nosilca s podajno povezavo (v vzdolzni smeri) na stiku po teoriji prvega in drugega reda. Geometrijo in obtezbo nosilca podajamo na sliki 2.10. Privzeti elasticni modul spodnjega sloja znaša E = 800 kN/cm2, zgornjega pa = 1200 kN/cm2. Strizna togost stika znaša K * = 5 kN/cm2. Ponovno oznacimo spodnji sloj z indeksom 'a', zgornjega pa z indeksom 'b'. V normalni smeri, e£, smo privzeli togo povezavo (C* = 1000 kN/cm2) stika. Pri tem e^ predstavlja enotski vektor v normalni smeri "povprecene" baze obeh slojev dvoslojnega nosilca.
qb =1/100 kN/cm
Prerez I-I:
30 cm
Pm
A
pa

C
sloj 'b'
Z\
sloj 'a
P =37.5 kN

B
Pa=12.5 kN
5 cm
5 cm 15 cm
-L=400 cm-
z,Z
z,Z
I
I
Slika 2.10: Obtezba, geometrijski in materialni podatki nosilca (Girhammar, Gopu, 1993). Figure 2.10: Loading, geometric and material data of the beam (Girhammar, Gopu, 1993).
Primerjavo med dobljenimi numericnimi in Girhammerjevimi analiticnimi (Girhammar, Gopu, 1993) rezultati predstavljamo v preglednici 2.2. Numericne rezultate smo izracunali z uporabo dveh koncnih
Preglednica 2.2: Analiticni (Girhammar, Gopu, 1993) in numericni rezultati prostolezecega linearno elasticnega kompozitnega nosilca.
Table 2.2: Analytical (Girhammar, Gopu, 1993) and numerical results of a simply supported linear elastic composite beam.
	Analytical (Girhammar, Gopu, 1993)		2 FE E5	
kolicšina	GLT1	MTDR2	GLT3	GNT4
wC [mm]	7.560	9.276	7.560	9.273
NC [kN]	0.863	3.897	0.862	3.927
NC [kN]	-50.863	-53.897	-50.862	-53.927
MC [kNm]t	0.4977	0.6162	0.4978	0.6136
MC [kNm]t	0.1659	0.2054	0.1659	0.2069
[kN/cm]	11.444	13.878	11.447	13.858
1	Geometrijsko linearna teorija (Girhammar, Gopu, 1993)
2	Modificirana teorija drugega reda (Girhammar, Gopu, 1993)
3	Geometrijsko linearna teorija (Kroflic et al., 2010a)
4	Geometrijsko nelinearna teorija (izracunani rezultati) t Upogibni moment glede na tezišcno os sloja
elementov E5 (t. j. pet interpolacijskih in integracijskih tock vzdolz osi koncnega elementa (Planinc, Saje, Cas, 2001)). V preglednici prav tako prikazujemo rezultate geometrijsko linearnega modela dvo-slojnega nosilca, ki ga je avtor disertacije skupaj s sodelavci predstavil v clanku Kroflic in sodelavci (2010a). Opazimo lahko odlicno ujemanje rezultatov tako za geometrijsko linearno kot tudi za geometrijsko nelinearno teorijo (pri uporabi samo dveh koncnih elementov E5).
V nadaljevanju predstavimo vpliv števila koncnih elementov, stopnje interpolacije in reda numericne integracije na natancšnost rezultatov v dveh razlicšnih primerih. Geometrijo, obtezšbo in materialne lastnosti prvega materialno linearno elasticšnega geometrijsko nelinearnega obojestransko vpetega nosilca prikazujemo na sliki 2.11.
Konvergenco elementa merimo z analizo relativne napake, ki jo definiramo
wA 20 E« — w A k
napakami =	-M,	(2.223)
wA,20,E6
kjer wA 20 e predstavlja navpicni pomik sloja 'a' na sredini nosilca (tocka A) za mrezo 20 koncnih elementov E6 in wA k predstavlja navpicni pomik sloja 'a' v tocki A za mrezo k koncnih elementov. Rezultat za mrezo 20 koncnih elementov E6 privzamemo kot referencni rezultat, saj je odstopanje rezultatov pri taki mrezi koncnih elementov in za takšen tip elementa manj kot promil v primerjavi z analiticno rešitvijo pri elasticni obtezbi.
Konvergenco pomika wA k prikazujemo na sliki 2.12 za dva razlicna obtezna faktorja A = 25 (slika 2.12(a)) in A = 900 (slika 2.12(b) ter koncne elemente razlicnih stopenj EN (N = 2, ..., 6). Pri tem znaša sila P = 10 kN. V elementu EN smo uporabli N-tockovno Gaussovo integracijo.
S povecanjem števila koncnih elementov se opazno zmanjša napaka rešitve. Ce privzamemo polinomsko interpolacijo visoke stopnje, so rezultati vedno zelo natancni tudi pri grobi mrezi koncnih elementov.
Prerez K-K:
	k			
sloj 'b'				1 x
		A	sloj 'a	1
	K		- XP	
5 cm
H
x,x y,Y
5 cm 5 cm
L =200 cm-
j z,Z
z,Z~	'	Ea = 1150 kN/cm2
Eb = 1150 kN/cm2 K = 1 kN/cm2 C = 1 kN/cm2
Slika 2.11: Obtezba, geometrijski in materialni podatki obojestransko vpetega nosilca. Figure 2.11: Loading, geometric and material data of a fully clamped beam.
Slika 2.12: Relativna napaka navpicnega pomika wa v odvisnosti od števila elementov Ne za obtezna faktorja (a) A = 25 in (b) A = 900.
Figure 2.12: Relative error of vertical displacement wa vs. number of elements Ne for load level (a) A = 25 and (b) A = 900.
Npr.: relativna napaka navpicnega pomika wA, izravnanega pri mrezi štirih koncnih elementov E5, je okoli 0.12 % za A = 25 (slika 2.12(a)) in 0.55 % za A = 900 (slika 2.12(b)). Deformirane oblike nosilca pri obteznih nivojih A = 25, 50 in 900 predstavljamo na sliki 2.13. Pri tem opozorimo na zelo velik navpicni pomik na sredini nosilca in tudi na velik razmik med slojema.
-80
-o
s Ö -
s
80
-40 0
40
0 50 100 150 200
x [em]
Slika 2.13: Dejanske deformirane oblike polnovpetega nosilca za obteZne nivoje A = 25, 50, 900. Figure 2.13: The actual deformed shapes of a fully clamped beam for load levels A = 25, 50, 900.
V drugem verifikacijskem primeru upoštevamo geometrijsko in materialno lesen nelinearni dvoslojni kontinuirni nosilec preko dveh polj. Celotna dolZina nosilca znaša L = 600 cm, dolZina posameznega polja pa znaša Li = |L = 400 cm in L2 = 3L = 200 cm. Obtezbo in geometrijo nosilca prikazujemo na sliki 2.14. Leseni sloji so medsebojno povezani s standardnimi zeblji 40/100 v dveh vzporednih
-200 cm-

z,Z
|K
IK
Prerez K-K:
XP
20 cm
D

sloj 'b'
sloj 'a
_x_X y,Y

_ 5 cm 20 cm
-L1=400 cm-
-L2=200 cm-
z,Z
Slika 2.14: Obtezba in geometrijski podatki kontinuirnega nosilca. Figure 2.14: Loading and geometric data of continuous beam.
vrstah. Razdalja med zeblji v vzdolzni smeri znaša 6 cm. Podprt je samo spodnji sloj (slika 2.14). Privzamemo nelinearni konstitutivni zakon lesa (Pischl, 1980) (slika 2.15) z naslednjimi materialnimi parametri: Dc,e = -200/85 %0, DcJ = -6.5 %0, DtJ = 32/10 %0, fc,f = -2.88 kN/cm2, ftJ = 2.56 kN/cm2 in Ec = Et = 800 kN/cm2. Privzamemo nelinearni konstitutivni zakon "povprecni" zdrs (A *) - tangencialna obtezba stika ) in pripadajoci "povprecni" razmik (d *) - normalna obtezba stika (pn) (Cas, 2004a), kiju prikazujemo na sliki 2.16(a) in 2.16(b).
Analizo konvergence naredimo v prvem koraku ob privzetem togem stiku v normalni smeri (C * = 1000 kN/cm2), nato privzamemo nelinearni konstitutivni zakon v normalni smeri stika 2.16(b). Konvergenco elementa ponovno definiramo kot relativno napako navpicnega pomika spodnjega sloja 'a' na
D [%oj
0.8
a 0.4
o
s?
M

-0.4
(A)
-0.8
-4
-2
Slika 2.15: Konstitutivni zakon lesa. Figure 2.15: Timber constitutive law.
(b)
0
A [em]
	4
	3
	2
m]	1
e	
£	0
	
v	-1
	-2
	-3
	-4
-1
Slika 2.16: Nelinearni zakon stika v (a) tangentni smeri e* in (b) normalni smeri e^ (Čas, 2004a). Figure 2.16: Non-linear contact relationship in (a) tangential direction e* and (b) normal direction e^ (Čas, 2004a).
0
2
4
0
1
2
3
4
d [em
sredini prvega polja kontinuirnega nosilca:
WD 21 WD k
napakaw2 = -W-" ,	(2.224)
WD,21
kjer je wD 21 navpicni pomik tocke D sloja a (slika 2.14) za mrezo 21 koncnih elementov tipa E4 in k je vrednost navpicnega pomika za mrezo k koncnih elementov tipa E4. Rezultate prikazemo za dva nivoja obtezbe, A = 10 in A = 54. Obtezni nivo A = 54 predstavlja dejansko nivo porušne obtezbe konstrukcije, ko se natezno porusšijo lesena vlakna na spodnjem robu precšnega prereza.
Slika 2.17 prikazuje relativno napako navpicnega pomika wD v odvisnosti od števila koncnih elementov za nivoja obtezbe A = 10 in A = 54 za (a) togi stik v normalni smeri (C* = 1000 kN/cm2) in (b) nelinearni stik v normalni smeri (kot na sliki 2.16(b)). Opazimo lahko odlicno konvergenco za oba obtezna nivoja in konstitutivna zakona v normalni smeri stika. Ze mreza treh koncnih elementov zadostuje za
napako rezultata manjšo od 0.25 %.
0.5
0.25
(a)
-0.25
-0.5
9 12 N.
15 18 21
0.5
0.25
(b)
-0.25
-0.5
9 12 N.
15 18 21
0
0
0
3
6
3
6
Slika 2.17: (a) Relativna napaka navpicnega pomika wD v odvisnosti od števila koncnih elementov za nivoja obtezbe A = 10 in A = 54: (a) togi stik v normalni smeri (C* = 1000 kN/cm2) in (b) nelinearni stik v normalni smeri (kot na sliki 2.16(b)).
Figure 2.17: (a) Relative error of vertical displacement wD vs. number of elements for load levels A = 10 and A = 54: (a) rigid normal connection (C* = 1000 kN/cm2) and (b) non-linear contact in the normal direction (as in Fig. 2.16(b)).
Vpliv parametra Z. V enacbi (2.50) smo predstavili utez Z pri definiciji tangentnega in normalnega vektorja "povprecne" baze. V tem poglavju bomo raziskovali vpliv Z na vodoravne in navpicne pomike slojev. Obravnavamo dvoslojni nosilec z enakimi geometrijskimi in materialnimi lastnostmi kot v primeru na sliki 2.11. Pri tem privzamemo robne pogoje in obtezbo, kot je prikazana na slikah 2.18 in 2.19.
XR
sloj 'b'
z, Z
sloj 'a'

L =200 cm-
x, X
Slika 2.18: Geometrija, obtezba in podpiranje osno obtezenega dvoslojnega nosilca. Figure 2.18: Geometry, loading and supports of axially loaded two-layer beam.
V	prvem obteznem primeru je nosilec obtezen s silama AP1 = A ■ 10 kN in AP2 = A ■ 5 kN na sredini nosilca in osno silo AP3 = A ■ 50 kN na prostem robu zgornjega nosilca na stiku s spodnjim nosilcem (slika 2.18). V drugem primeru osno silo zamenjamo z upogibnim momentom AM = A ■ 50 kNcm (slika 2.19). V obeh primerih upoštevamo bilinearni konstitutivni zakon stika v normalni smeri s tan-gentnim modulom v tlaku C* = 100 kN/cm2 in nategu Ct* = 1 kN/cm2. Hkrati privzamemo linearni konstitutivni zakon stika v tangencialni smeri s K * = 1 kN/cm2.
V	preglednici 2.3 predstavljamo rezultate za razlicne vrednosti Z. Primerjamo navpicni in vodoravni pomik slojev na sredini nosilca in pomike nepodprtega dela zgornjega nosilca pri razlicnih Z. Relativna razlika med rezultati je majhna.
z, Z
XR
sloj 'b'
sloj 'a
XP2 L =200 cm-
XM
b
x, X
Slika 2.19: Geometrija, obteZba in podpiranje dvoslojnega nosilca, obteZenega s tockovnim momentom. Figure 2.19: Geometry, loading and supports of two-layer beam subjected to bending moment.
Preglednica 2.3: Osno obremenjen dvoslojni nosilec. Primerjava rezultatov zarazlicne Z pri A = 100. Table 2.3: Axially loaded two-layer beam. Comparison of results for different Z at A = 100.
Z wa[L/2] wb[L/2] ua[L/2] ub[L/2] wb[L]
ub[L]
0.50 -3.06 cm -13.22 cm 2.59 cm 10.69 cm -11.45 cm 25.87 cm
0 0.25 0.75 1.00
-1.98 % -1.01 % -0.01 % 0.30 %
0.17% 0.16% 0.32 % 0.59 %
-1.15% -0.75 % 1.05% 2.06 %
-0.11 % -0.08 % 0.12% 0.24%
0.45 % 0.38 % 0.69 % 1.28 %
0.03 % 0.04% 0.15% 0.22 %
Slika 2.20 predstavlja deformirano obliko osno obremenjenega dvoslojnega nosilca, ki smo ga predstavili na sliki 2.18, pri obteznem nivoju A = 100 ob predpostavki, daje Z = 0.5. Opazimo lahko relativno velik pomik kontaktnih površin v normalni in tangencialni smeri.
0	50	100	150	200
X [cm]
Slika 2.20: Deformirana oblika osno obremenjenega dvoslojnega nosilca pri A = 100, Z = 0.5. Figure 2.20: Deformed shape of axially loaded two-layer beam at load level A = 100, Z = 0.5.
V preglednici 2.4 primerjamo navpicni in vodoravni pomik slojev na sredini nosilca in pomike nepod-prtega dela zgornjega nosilca pri razlicšnih Z za nosilec, obremenjen z upogibnim momentom na nepod-prtem delu. Kot v prejšnjem primeru tudi tukaj opazimo relativno majhne razlike v rezultatih za razlicne vrednosti Z.
Slika 2.21 predstavlja deformirano obliko dvoslojnega nosilca, ki smo ga predstavili na sliki 2.19, pri obteznem nivoju A = 150 ob predpostavki, daje Z = 0.5. Ponovno lahko opazimo relativno velik pomik kontaktnih površin v normalni in tangencialni smeri.
Preglednica 2.4: Dvoslojni nosilec, obremenjen z upogibnim momentom. Primerjava rezultatov za ra-zlicne Z pri A = 150.
Table 2.4: A two-layer beam subjected to bending moment. Comparison of results for different Z at A = 150.
Z	w°[L/2|	wb[L/2]	u°[L/2]	ub[L/2]	wb[L]	ub[L]
0.50	-11.71 cm	-32.62 cm	-0.76 cm	- 3.26 cm	-24.50 cm	-18.04 cm
0	-0.02 %	-0.01 %	-0.22 %	0.28 %	-0.26 %	0.95 %
0.25	-0.01 %	-0.00 %	-0.16%	0.14%	-0.08 %	0.45 %
0.75	0.02 %	0.01 %	0.20 %	-0.09 %	0.05 %	-0.31 %
1.00	0.01 %	0.02 %	0.54%	0.12%	0.32%	0.63 %
-40 -20 0 20
50	100
X [cm]
150
200
0
Slika 2.21: Deformirana oblika momentno obremenjenega dvoslojnega nosilca pri A = 150, Z = 0.5. Figure 2.21: Deformed shape of two-layer beam subject to bending moment at load level A = 150, Z = 0.5.
2.3.2 Validacija numeriCnega modela
S to skupino racunskih primerov analiziramo natancnost predstavljenega matematicnega modela za analizo vecslojnih kompozitnih nosilcev s podajnimi veznimi sredstvi. Natancnost analiziramo s primerjavo med numericnimi in eksperimentalnimi rezultati iz literature. Tudi tu natancnost modela analiziramo loceno za geometrijsko linearne in nelinearne modele dvoslojnih linijskih kompozitnih nosilcev.
Geometrijsko linearna teorija. Najprej primerjamo numericne rezultate modificirane linearne teorije z eksperimentalno dobljenimi rezultati Planinca in sodelavcev (2008), ki so izvedli vec laboratorijskih preiskav mehanskih lastnosti lesa, kontaktnih parametrov povezave lesenih elementov in deformabilnosti prostolezecega lesenega kompozitnega nosilca. Povzeli bomo samo vhodne podatke, ki jih bomo uporabili v naših numericnih izracunih, in rezultate, ki jih bomo primerjali z našimi numericnimi rešitvami. Poleg glavne eksperimentalne analize nosilca so Planinc in sodelavci (2008) izvedli še dodatne eksperimentalne raziskave:
•	tlacna trdnost lesa v smeri vlaken,
•	natezna trdnost lesa v smeri vlaken,
•	nosilnost moznicenega stika na izvlek.
Obravnavamo lesen prostolezeci kompozitni nosilec enake geometrije, obtezbe in razporeditve veznih
sredstev, kot jih ima prvi primer v poglavju 2.3.1 (slika 2.7).
Les je bil glede na klasifikacijo po standardu EN 338 (2003) uvršcen v trdnostni razred C24. Privzeti materialni parametri konstitutivni zakona lesa so naslednji (slika 2.22): privzeti elasticni modul lesa v
ftu fty
CN '
a
CJ
o
m, b
-fcy
fcu
	
	X^th
	
Ech\ i i	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i
-Dc
-Dc
D
ty
Dt
D [%o]
Slika 2.22: Konstitutivni zakon lesa. Figure 2.22: Constitutive law of timber.
tlaku in nategu znaša Et = Ec = 1150 kN/cm2, vrednosti preostalih parametrov pa so
Dty = 0.32 %, Dtu = 1.00 %, Dcy = 0.35 %, = 1.03 %, Ech = 0.1EC, Eth = 0.05Et. Vrednosti
mejnih deformacij lesa smo privzeli po Pischlu (1980).
Na sliki 2.23 prikazujemo konstitutivni zakona stika. Slika 2.23(a) predstavlja konstitutivni zakon stika v tangencialni smeri (pX - A), medtem ko slika 2.23(b) predstavlja konstitutivni zakon v normalni smeri stika (pZ - d). Podrobnejši opis dolocitve konstitutivnih zakonov stika lahko zasledimo v Casovem doktoratu (2004a). Iz obeh diagramov je razvidno, da imamo tako v vzdolzni kot tudi v precni smeri stika opravka z nelinearnimi konstitutivnimi zvezami.
(A)
Z
M
(b)
s!?-1 -2
-3
-4
-4
-2 0
A [em]
-1
1 2 d [em]
2
4
0
3
4
Slika 2.23: Nelinearni zakoni stika: (a) obtezba na stiku v tangencialni smeri-zdrs (pX - A) in (b) obtezba na stiku v normalni smeri-razmik (pZ - d).
Figure 2.23: Non-linear contact relationships: (a) shear traction-slip (pX-A) relationship and (b) normal traction-uplift (pZ-d).
(a)	(b)
Slika 2.24: Izmerjen in izracunan odziv: (a) sila-pomik (P - wA) in (b) sila-robni zdrs (P - AB). Figure 2.24: Measured and calculated response: (a) load-deflection (P - wA) and (b) load-slip (P - AB) curves.
Na sliki 2.24(a) primerjamo izracunano in izmerjeno krivuljo sila - pomik na sredini spodnjega sloja.
V	izracunu smo upoštevali eksperimentalno dobljene karkateristike: nelinearni materialni model lesa in nelinearni konstitutivni zakon na stiku (v vzdolzni in precni smeri). Opazimo lahko odlicno ujemanje eksperimentalnih in numericnih rezultatov pri vseh obteznih nivojih. Prav tako se eksperimentalno ugotovljeni porusšni mehanizem sklada z dobljenim porusšnim mehanizmom iz numericšne analize. V obeh primerih pride namrecš do natezne porusšitve lesenih vlaken na spodnjem robu spodnjega nosilca na sredini razpona. Eksperimentalna porušna sila znaša P^^ = 43.6 kN, medtem ko se vzorec v numericni analizi poruši pri P™ = 42.9 kN.
Na sliki 2.24(b) prikazujemo primerjavo med izmerjenimi in izracunanimi krivuljami sila - robni zdrs (P - Ab). Robni zdrs je bil izmerjen na robu nosilca v tocki B (slika 2.7), s tem da tocko na levem robu oznacimo z IND1 in tocko na desnem robu z IND2. Splošno ujemanje rezultatov je dobro, lahko pa opazimo manjšo razliko med izmerjenimi rezultati na levem in desnem robu.
Izmerjene in izracunane deformirane oblike nosilca za razlicne nivoje obtezbe prikazujemo na sliki 2.25. Opazimo lahko zelo dobro ujemanje rezultatov za vse obtezne nivoje.
V	nadaljevanju validiramo numericni model s primerjavo numericnih rezultatov z McCutcheonovimi eksperimentalnimi rezultati (1986). Opravil je vec laboratorijskih testov lesenih T- in I-nosilcev. V našem primeru primerjamo samo rezultate za T-nosilce.
Nosilci so bili narejeni iz pasnic dimenzij 3.8x8.9x24.4 cm in stojin dimenzije 1.9x40.6 cm (CDX plywood) ali 1.1x40.6 cm (plošc OSB (angl. oriented standard board)). Pasnice so bile na stojine primoznicene s standardnimi zeblji na razmiku 15.2 cm. Da bi zmanjšali vpliv trenja, so na stik elementov dodali dvoslojno polietilensko folijo. Nosilce so podprli na razdalji 213 cm in obtezili z dvema tockovnima silama P2 = 0.89 kN (slika 2.26). Izbrane vrednosti obtezbe so izbrali zato, da napetosti nosilca v vsaki tocki zagotovo ostanejo pod kriticno mejo. Slika 2.26 prikazuje tudi meritveni tocki zdrsa (A2) in navpicnega pomika (B2) na konstrukciji. Na osnovi eksperimentalnih rezultatov je bil ocenjen elasticni modul pasnic	= 770.8 kN/cm2 oz. EOSB = 330.9 kN/cm2.
Elasticni modul stojin podajamo v preglednici 2.5 za vsak preizkušanec posebej. Slika 2.27 prikazuje konstitutivni zakon stika v vzdolzni smeri (McCutcheon, 1986), ki smo ga upoštevali v naših numericnih izracunih. Ker avtor ne podaja karakteristik stika v precni smeri, smo v naši analizi predpostavili togo
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1
x/L
Slika 2.25: Izmerjeni in izracunani precni pomiki spodnjega sloja. Figure 2.25: Measured and calculated vertical displacements of bottom layer.
71 cm
P2
71 cm
P2
71 cm
A
B
_ II5.5 cm	213 cm	__ II5.5 cm
		
Slika 2.26: McCutcheonov eksperimentalni preizkušanec (McCutcheon, 1986). Figure 2.26: Experimentally tested speciment of McCutcheon (McCutcheon, 1986).
Preglednica 2.5: Primerjava analiticnih in numericnih rezultatov: rezultati v [kN/cm2] (elasticni modul) in [cm] (navpicni pomik, zdrs).
Table 2.5: Comparisons of analytical and numerical results; results in [kN/cm2] (elastic modulus) and [cm] (vertical deflection, slip).
Pasnica	Estojina	wBt	wBm	napakaw	A!A2t	AAum A2	napakaA
	[kN/cm2 ]	[cm]	[cm]	[%]	[cm]	[cm]	[%]
CDX	1034.2	0.896	0.887	1.07	0.0603	0.0606	-0.53
CDX	944.6	0.975	0.954	2.10	0.0689	0.0652	5.38
CDX	868.7	1.037	1.022	1.45	0.0739	0.0698	5.55
OSB	979.1	1.060	0.968	8.67	0.0640	0.0623	2.66
OSB	1130.7	0.965	0.857	11.19	0.0574	0.0549	4.36
OSB	1117.0	0.884	0.866	2.04	0.0509	0.0555	9.04
povezavo med sloji. V eksperimentu so analizirali tri razlicne vzorce za vsak tip stojine. Primerjavo med eksperimentalnimi in numericnimi rezultati podajamo v preglednici 2.5. V splošnem lahko opazimo
^ 0.2 £ * 0
-0.2
-0.4
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
A [em]
Slika 2.27: Konstitutivni zakon stika v vzdolzni smeri (McČutcheon, 1986). Figure 2.27: Constitutive contact relationship in longitudinal direction (McČutcheon, 1986).
dobro ujemanje med eksperimentalnimi in numericnimi rezultati. Dolocena odstopanja nastopajo najbrz zaradi povprecšenja vrednosti elasticšnega modula pasnice, ki smo ga uporabili v numericšnih izracšunih.
Geometrijsko nelinearna teorija. Model validiramo tudi s primerjavo numericnih rezultatov z eksperimentalnimi rezultati (Ansourian, 1981) in numericnimi rezultati (Čas, 2004a) za kontinuirni sovprezni kompozitni nosilec. Čš as (2004a) je v svojem numericšnem modelu uposšteval geometrijsko linearno teorijo kompozitnih nosilcev. Obtezbo, podpiranje in geometrijo nosilca prikazujemo na sliki 2.28.
A
x p
h—- 400 cm
z, Z
	il r		beton
			
		A WAV//.	A
	il 1		2 Sjeklo
b x,x
500 cm-
Prerez L-L:
10 cm 20 cm
z,Z
H
10 cm
Slika 2.28: Obtezba, podpiranje in geometrijske lastnosti sovpreznega kontinuirnega nosilca (Ansourian, 1981).
Figure 2.28: Loading, supports and geometrical properties of steel-concrete continuous beam (Ansourian, 1981).
Betonski del nosilca je armiran z armaturnimi palicami na zgornjem in spodnjem delu prereza. Kolicina armature se vzdolz nosilca spreminja. V podrocju pozitivnih momentov (ang. sagging) imamo tako Ag = 0 cm2, Aspg = 1.6 cm2, v podrocju negativnih momentov (ang. hogging) pa Ag18 = 8.0 cm2 in Ahpog = 3.16 cm2.
Na sliki 2.29 predstavljamo v analizi uporabljene materialne konstitutivne modele. Privzamemo trilin-earni konstitutivni model jekla (2.29(a)), kjer je

= 21000 kN/cm2,	= 0.008E
fpasnka = 27.7 kN/cm2,	/Pasnica = 42. 1 kN/cm2,
/tojina = 34.0 kN/cm2,	/Utojina = 44.0 kN/cm2
/armatura = 43.0 kN/cm2,	/a—a = 53.3 kN/cm2,	= 0.012.
-A*max	^ 0	A*max	0 d*i	dtu
A [cm]	d* [cm]
Slika 2.29: Materialni modeli: (a) jeklo in armatura, (b) beton, (c) obtezba stika v tangencialni smeri v odvisnosti od "povprecnega" zdrsa (p*-A*) in (d) obtezba stika v normalni smeri v normalni smeri v odvisnosti od "povprecnega" razmik (p^-d*).
Figure 2.29: Material models of: (a) steel and reinforcement, (b) concrete, (c) traction force in tangential direction as a funciton of mean slip (p*-A*) and (d) traction force in normal direction as a function of mean uplift (p^-d*).
Za konstitutivni zakon betona privzamemo model po Desayiju in Krishnanu (1964) (slika 2.29(b)), kjer je fem = 3.0 kN/cm2, Dc1 = — 2.25 %o in Deu = —21 %o. Nelinearni model "povprecni" zdrs-obtezba stika v tangencialni smeri privzamemo po Ollgaardu in sodelavcih (1971) (2.29(c)) z naslednjimi materialnimi parametri: a = 0.558, ß = 10 cm-1 in p*,max = 6.53 kN/cm.
V literaturi lahko zasledimo razlicšne konstitutivne zakone "povprecšni" razmik-obtezšba stika v normalni smeri. Na sliki 2.29(d) prikazujemo linearni, bilinearni (Rassam, Goodman, 1970) in nelinearni (Alfano, Crisfield, 2001) konstitutivni model.
Na sliki 2.30 prikazujemo primerjavo med rezultati (Ansourian, 1981, Cas, 2004a) ter predstavljenega modela. Primerjamo navpicni pomik tocke 1 (w1) in tocke 2 (w2) pri togi povezavi stika v normalni smeri (C* = 1000 kN/cm2). Za izracun smo uporabili mrezo devetih koncnih elementov tipa E4.
200 150 100 50 0
0 1 2 3 4 5 wi, |w2|[emj
Slika 2.30: Primerjava obtezno-deformacijskih krivulj za navpicni pomik pri tocki 1 in 2. Figure 2.30: Comparison of load-deflection curves of vertical displacement at points 1 and 2.
Primerjava rezultatov kaze, da predstavljeni model zadovoljivo opiše togost, duktilnost in nosilnost sovpreznega nosilca. Tudi ocena nosilnosti nosilca 192 kN se zelo dobro ujema z eksperimentalnim rezultatom (196 kN). Na podlagi rezultatov lahko torej trdimo, da izbrano število moznikov ustvarja togo povezavo stika v normalni smeri. Prav tako je zelo dobra primerjava s Cš asovo numericšno resšitvijo (2004a), kar nakazuje, da so pomiki, zasuki in deformacije majhne kolicine. To je posledica eksperimentalnega dejstva, da pride do porusšitve konstrukcije takoj za simultano lokalizacijo deformacij v betonskem prerezu in velikega povecšanja plasticšnih deformacij v jeklenem nosilcu (Ansourian, 1981). Enak mehanizem porušitve smo zaznali pri predstavljenem numericnem modelu.
2.3.3 Parametrična študija vpliva prečne togosti stika na mehansko obnašanje dvoslojnih kompozitnih nosilcev
S to skupino racunskih primerov analiziramo vpliv precne podajnosti veznih sredstev na napetostno in deformacijsko stanje vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev. Detajlno parametricno študijo prikazemo za dvoslojeni leseni prostolezeci in kontinuirni nosilec ter kontinuirni sovprezni nosilec iz jekla in betona
Dvoslojni leseni prostoleZeči nosilec. Najprej analiziramo vpliv precne togosti stika na primeru dvosloj-nega lesenega nosilca, predstavljenega v poglavju 2.3.1 (slika 2.7). Ponovno oznacimo spodnji sloj z indeksom 'a' in zgornji sloj z indeksom 'b'. V vzdolzni smeri na stiku upoštevamo nelinearni konstitutivni
zakon pX — A za razporeditev Zebljev na razdalji 23 cm (N23), ki ga dobimo z ustrezno transformacijo (ob upoštevanju privzete razdalje med zeblji) konstitutivnega zakona stika na sliki 2.23(a).
V parametricni študiji upoštevamo tri razlicne razporeditve zebljev v normalni smeri stika: relativno tog stik z razporeditvijo zebljev na razdalji 4 cm (N4), zeblje na razdalji 23 cm (N23) in relativno podajen stik z razporeditvijo zebljev na razdalji 46 cm (N46). V nadaljnji analizi reduciramo tlacni del konstitutivnega zakona pZ — d N46 s faktorjem 0.1 (10 %, N46redl0%) in 0.01 (i %, N46redl%) glede na originalne eksperimentalno dobljene vrednosti (slika 2.31). Z upoštevanjem tako razlicnih konstitutivnih zakonov v
£
tsj -1 ^ 1
-2 -3 -4
-10
	............
-	-B-N46red1%
i	—e—N46 red10%
■ /<	—N46
	—e—N23
•	—*—N4
10 20
d [em]
30
40
0
Slika 2.31: Nelinearni konstitutivni zakoni stika v normalni smeri. Figure 2.31: Non-linear normal traction-uplift constitutive laws.
normalni smeri stika bomo zagotovili podrobno analizo vpliva na druge kolicine kompozitnega nosilca. Se pa hkrati zavedamo, da so nekateri modeli konstitutivnega zakona stika v normalni smeri nenavadni in sluzijo zgolj kot dokaz splošnosti uporabe predstavljene numericne metode. V nadaljevanju prikazujemo rezultate zgolj za kolicine, na katere ima konstitutivni zakon stika v precni smeri največji vpliv.
Najprej upoštevamo v naši študiji prostolezeci kompozitni nosilec, obremenjen s tockovno silo velikosti P = 34.9 kN v smeri globalne osi Z, ki deluje na sredini nosilca. V prvem obteznem primeru deluje sila na zgornjem robu zgornjega nosilca, v drugem pa na spodnjem robu spodnjega nosilca.
Slika 2.32(a) prikazuje vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na zdrs A. Opazimo lahko samo minimalen vpliv. Slika 2.32(b) prikazuje vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na razmik d. Opazimo lahko, da ima zmanjšanje tlacne togosti v normalni smeri pomemben vpliv na razmik d. Osnovne razporeditve zebljev imajo podoben razpored razmikov vzdolz nosilca, kar kaze na dejstvo, da je vecina stika v normalni smeri vzdolz nosilca v tlacnem obmocju konstitutivnega zakona.
Slika 2.33(a) prikazuje vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na precno silo Qa spodnjega sloja. Podobno kot pri razmiku lahko opazimo, da razlicne osnovne razporeditve zebljev nimajo opaznega vpliva na rezultate, se pa pri reduciranih konstitutivnih zakonih opazi sprememba poteka precšne sile Qa vzdolz nosilca na obmocju delovanja tockovne obtezbe. Podobno ugotovimo tudi za potek precne sile Qb v zgornjem sloju (slika 2.33(b)). V nadaljevanju upoštevamo enak nosilec kot do sedaj, spremenimo samo lego obtezbe. Tockovna sila deluje sedaj na spodnjem robu spodnjega nosilca. Se vedno je na sredini razpona nosilca in kaze v smeri globalne osi Z. Na sliki 2.34(a) prikazujemo vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na zdrs A. Tudi v tem primeru lahko vidimo, da je vpliv na rezultate zanemarljiv. Na sliki 2.34(b) prikazujemo vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na razmik d.
(A)
'S 0
-6
			—B-N46red1%
			—N46 red10%
			—N46
-			—Ö-N23
			—*—N4
	iP		
		Li	
0.25
0.5 x/L
0.75
(b)
0 -1 -2
Im 3
-4
-5 -6
		
	V	/ " X
		-B-N46red1%
		—e—N46 red10%
-	IP \ /	—N46
	\ T	—Ö-N23
	— \/	—N4
0.25
0.5 x/L
0.75
Slika 2.32: Zdrs A in razmik d na stiku za razlicne razporeditve zebljev in razlicne tipe konstitutivnega zakona stika v normalni smeri (obtezšba deluje na zgornjem sloju).
Figure 2.32: Slip A and uplift d distributions along the contact surface for different nail arrangements and different types of the normal contact traction-uplift relationships (load acting on the upper layer).
6
1
4
0
1
0
1
x/L	x/L
Slika 2.33: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Q" in Qb (obtezba deluje na zgornjem sloju).
Figure 2.33: Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Q" and Qb (load acting on the upper layer).
Izkaze se, da v tem obteznem primeru izbira konstitutivnega zakona stika v normalni smeri pomembno vpliva na rezultate, saj pride v nosilcu vecinoma do razmika med elementoma. Slika 2.35(a) prikazuje vpliv nelinearnega zakona stika v normalni smeri na precno silo Q" spodnjega sloja. Opazimo, da razlicne osnovne razporeditve zebljev nimajo opaznega vpliva na rezultate, je pa opazen vpliv razlicnih tipov konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na potek precne sile Qb vzdolz nosilca. Omenimo še, da je opazen podoben vpliv tudi na upogibne momente spodnjega in zgornjega sloja. Rezultatov za upogibne momente tukaj ne prikazujemo.
Dvoslojni leseni kontinuirni nosilec preko dveh polj. V tem poglavju obravnavamo dva razlicna obtezna primera. V prvem primeru sila P = 33.7 kN deluje na zgornjem sloju na sredini prvega razpona
(A)
(b)
6 4 2
'S 0
. Q . < -2
-4
-6
		—B—N46red1%
-		—0—N46 red10%
		—N46
■		—Ö-N23
		—*—N4
	IP A	
0.25
0.5 x/L
0.75
3.5
3
2.5
2
1.5
£ i jC 1
^ 0.5 0
-0.5 -1
■ .A ^p	—1 -B-N46red1% ~k -e-N46red10% / \ —N46 t \ —s—N23 J \ -X-N4
	...
0.25
0.5 x/L
0.75
Slika 2.34: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in (obteZba deluje na spodnjem sloju).
Figure 2.34: Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and (load acting on the bottom layer).
0
1
0
1
kontinuirnega nosilca. V drugem primeru silo samo prestavimo z zgornjega roba zgornjega na spodnji rob spodnjega nosilca. Celotna dolzina kontinuirnega nosilca je L = 700 cm. Dolzina prvega polja kontinuirnega nosilca je Li = 400 cm, drugega pa L2 = 300 cm. Vsi drugi materialni in geometrijski parametri so enaki kot pri prostolezecem nosilcu, predstavljenem v poglavju 2.3.1 (slika 2.7).
Slika 2.35: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Qa in (obtezba deluje na spodnjem sloju).
Figure 2.35: Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Qa and (load acting on the bottom layer).
Na sliki 2.36(a) lahko vidimo, da tudi v primeru kontinuirnega nosilca konstitutivni zakon stika v normalni smeri zanemarljivo vpliva na potek zdrsa. Na potek razmika pa pomembno vpliva redukcija v tlaku pri konstitutivnih zakonih v normalni smeri stika (slika 2.36(b)).
. Q . <1
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
(A)
0.5	1
x/Li
-B-N46red1%		1
—e—N46 red10%		0
—N46		
—Ö-N23		-1
~N4 j*—*-		-2
	£3 o	-3
		-4
\P		-5
		
-i Št Št -1-		-6
1.5 1.75
(b)
	
y \	
	\ ip
	i r 'VI ii A A
	1 i —B—N46red1%
	1 1 —e—N46 red10%
	1 —o—N46
	W —e—N23
	' —*—N4
0.5
1.5 1.75
x/li
Slika 2.36: Zdrs (A) in razmik (d) na stiku za razlicne tipe konstitutivnih zakonov v normalni smeri na stiku (obtezba deluje na zgornjem sloju).
Figure 2.36: Slip (A) and uplift (d) distribution along the contact for different types of normal contact traction-uplift relationships (load acts on the upper layer).
1
0
0
Slika 2.37(a) prikazuje, daje vpliv razlicnih razporeditev zebljev v normalni smeri stika na precno silo spodnjega sloja Q" zanemarljiv. Lokalno lahko opazimo manjše spremembe poteka precne sile pri reduciranih konstitutivnih zakonih. Tudi pri precni sili zgornjega sloja Qb lahko opazimo vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov v normalni smeri na stiku samo lokalno v okolici delovanja tockovne sile (slika 2.37(b)).
Slika 2.37: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili Q" in Qb (obtezba deluje na zgornjem sloju).
Figure 2.37: Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Q" and Qb (load acts on the upper layer).
V nadaljevanju prikazujemo rezultate za kontinuirni nosilec, obremenjen s tockovno silo na spodnjem robu spodnjega sloja na sredini prvega razpona. Slika 2.38(a) kaze, da je vpliv razlicnih nelinearnih zakonov stika v normalni smeri na zdrs zanemarljiv, se pa izkaze, da tako kot v primeru prostolezecega nosilca potek razmika pogojuje izbira konstitutivnega zakona stika v normalni smeri (slika 2.38(b)).
<l
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
(A)
(b)
x/Li

-0
3 5 2 5 1 5 0
5J
1
0
1.5 1.75
x/Li
Slika 2.38: Zdrs (A) in razmik (d) na stiku za razlicne tipe konstitutivnih zakonov v normalni smeri na stiku (sila deluje na spodnjem sloju).
Figure 2.38: Slip (A) and uplift (d) distribution along the contact for different types of normal contact traction-uplift relationships (force acts on the bottom layer).
Na koncu predstavljamo še vpliv izbranih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na potek precnih sil v slojih kontinuirnega nosilca. Izkaze se, da je vpliv na precno silo v spodnjem sloju ponovno zanemarljiv (slika 2.39(a)), medtem ko je opazen vpliv na potek precne sile v zgornjem sloju Qb kontinuirnega nosilca (slika 2.39(b)).
20 15 10 5
§ 0 a -5
CQ-10 -15 -20 -25
(A)
(b)
x/Li
§

1.5 1.75
2 1 0 -1 -2 -3 -4
1.5 1.75
x/L1
Slika 2.39: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na precni sili in Qb (obtezba deluje na zgornjem sloju).
Figure 2.39: Influence of different normal contact traction-uplift relationships on shear forces Q" and Qb (load acts on the upper layer).
Dvoslojni sovprezni kontinuirni nosilec preko dveh polj. Nazadnje analiziramo še vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri e£, predstavljenih na sliki 2.29(d), na razlicne notranje kolicine pri sovpreznem nosilcu, ki smo ga obravnavali v poglavju 2.3.2 (slika 2.28).
Zaradi natancnejše predstavitve rezultatov smo pri izracunu uporabili mrezo 20 koncnih elementov E4, ceprav so rezultati dovolj natancni ze pri bolj grobi mrezi koncnih elementov. Na sliki 2.40 predstavljamo potek notranjih momentov obeh slojev (Ma in M b) za razlicšne uposštevane konstitutivne zakone stika v normalni smeri. Ugotovimo, daje vpliv razlicnih kontaktnih konstitutivnih modelov na staticne kolicine zanemarljiv. Slika 2.41 prikazuje vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri e^ na
(A)
-b~C=1 kN/cm -©-C=1000 kN/cm -^-bilinear. -^nelinear.
200
400 x [cm]
600
800
(b)
600
,_, 500
g
jJjJ 400 — 300 200 100 0 100
0
200
-a-C=1 kN/cm -e-C=1000 kN/cm -O-bilinear. -^nelinear.
400 600
X [cm]
800
Slika 2.40: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na Ma in Mb. Figure 2.40: Effect of different normal contact laws on Ma and Mb.
0
obtezbo stika v tangentni (p*) in normalni smeri (p^). Kot je razvidno iz slike 2.41(a), je vpliv na p* zanemarljiv, cesar pa ne moremo trditi za p£, kjer je pri podajnem tipu povezave p^ precej drugacen kot pri togi povezavi. Opozorimo, da so največje razlike omejene na lokalno območje okoli delovanja tocškovne obtezšbe.
(A)
200
(b)
C= 1 kN/cm -c=1000 kN/cm -0-bilinear. -^nelinear.
400 600 x [cm]
800
200
-s-C=1 kN/cm -e-C=1000 kN/cm -^-bilinear. -^nelinear.
400 600
X [cm]
0
0
Slika 2.41: Vpliv razlicnih konstitutivnih zakonov stika v normalni smeri na p* in p^ Figure 2.41: Effect of different normal contact laws on p* and p^.
Analiziramo tudi vpliv vrste konstitutivnega zakona stika v normalni smeri na obtezšno-deformacijsko krivuljo. Upoštevamo dva linearna (s tangentnim modulom C * = 1 kN/cm2 in C * = 1000 kN/cm2), bilinearni (Ce* = 100 kN/cm2 in C* = 1 kN/cm2) in nelinearni (Ce* = 100 kN/cm2, C* = 40 kN/cm2, Ct*2 = 13.33 kN/cm2, d*1 = 0.25 cm in d*u = 1 cm) konstitutivni zakon stika. Primerjavo rezultatov prikazujemo na sliki 2.42. Kot lahko vidimo na sliki 2.42, je posledica zmanjšane togosti stika zmanjšana nosilnost in duktilnost nosilca. Prav tako lahko vidimo, da ima izbira konstitutivnega modela v normalni smeri stika majhen vpliv na obtezno-deformacijsko krivuljo v območju linearnih deformacij.
200 150 100 50 0
0 1 2 3 4 5 6 wi [em]
Slika 2.42: Primerjava obtezno-deformacijskih krivulj za navpicni pomik pri tocki 1 in 2.
Figure 2.42: Comparison of load-deflection curves of vertical displacement at points 1 and 2.
2.3.4 ProstoleZeči armiranobetonski nosilec, ojačan s FRP-trakovi, in sovpreZni nosilec - analiza lezenja in krcenja
V	prvem primeru primerjamo numericne rezultate casovnega odziva obnašanja dvoslojnega geometrijsko nelinearnega elasticnega prostolezecega nosilca pod vplivom delovanja lezenja betonskega sloja s Hamedovo in Bradfordovo numericno rešitvijo (2010). Obtezbo in geometrijo obravnavanega nosilca prikazujemo na sliki 2.43.
V	predstavljenem primeru je predpostavljeno, da je bil betonski nosilec po 20 letih ojacan s FRP-trakovi, dva tedna po ojacanju pa so ga dodatno obremenili. Privzeti modul elasticnosti betona je Ee = 3100 kN/cm2 in Poissonov kolicnik betona ve = 0.17. Upoštevan casovno odvisen relaksaci-jski modul betona je prikazan na sliki 2.44 (R(0) = Ee). Po znanih matematicnih obrazcih lahko na podlagi znanega relaksacijskega modula izracunamo koeficient krcenja <^(t), ki ga upoštevamo v našem izracunu.
Avtorji v izracunu privzamejo potek lezenja betona po standardu ACI Committee 209 (1982) z naslednjimi parametri: A = 0.6, c = 10 dni, 7) = 2.35.
Ker v našem matematicnem modelu ne moremo predpisati konstitutivnega zakona stika na nivoju napetosti in deformacij, dejansko ne moremo upoštevati predpisanega adhezijskega reološkega modela. Priv-zamemo kar linearni konstitutivni zakon stika v tangencialni (K* = 4000 kN/cm2) in normalni smeri (C* = 1000 kN/cm2). V našem matematicnem modelu upoštevamo geometrijsko nelinearno teorijo brez upoštevanja vpliva striznih deformacij.
• Ansourian, 1981 -a-C=1 kN/cm -©-C=1000 kN/cm -0-bilinear. -^nelinear.
q=20kN/m
|K

z, Z
\K
250 cm 300 cm
Prerez K-K:
20 cm
y,Y
15 i cm
28 cm ==0.12 cm
beton

FRP
A.
V//////,
x,X
z,Z
Slika 2.43: Obtezba, geometrijske in materialne lastnosti. Figure 2.43: Geometry, material properties and load.
2 3
t [letaj
0
1
4
5
Slika 2.44: Normaliziran relaksacijski modul lezenja (Hamed, Bradford, 2010). Figure 2.44: Normalized creep relaxation modulus (Hamed, Bradford, 2010).
Na sliki 2.45 prikazujemo primerjavo osne sile v FRP-traku vzdolz nosilca RRP (slika 2.45(a)) in navpicnega pomika betonskega sloja nosilca wc (slika 2.45(b)) ob nanosu obtezbe (t = 0). V obeh primerih lahko ugotovimo zelo dobro ujemanje rezultatov. Prav tako ugotovimo dobro ujemanje nu-mericnih rezultatov tangencialne napetosti (ra) na stiku slojev nosilca na robu FRP-traku (slika 2.45). Iz tega lahko sklepamo, da se adhezivni sloj v tangencialni smeri obnaša dejansko togo.
8 7
čN 6
(a)
5 -
o
Ä4
p
f 3
2 1 0
Kroflic
Hamed, Bradford, 2010
50 100 150 200 x [cm]
(b)
250 300
50 100 150 200 250 300 X [cm]
Slika 2.45: Zacetni odziv: (a) osna sila v FRP-traku (f in (b) navpicni pomik betonskega sloja (wc). Figure 2.45: Instantaneous response: (a) FRP axial force (RXp) and (b) vertical deflection of concrete layer (wc).
	0.07
o	0.06
£	0.05
c0	0.04
	
a	0.03
	
	0.02
	0.01
	0
-©- Kroflič — Hamed, Bradford, 2010
25 26 28 x [cm]
30
32
Slika 2.46: Tangencialna napetost na stiku slojev nosilca na koncu FRP-traku (t = 0). Figure 2.46: Tangential contact stress at the end of FRP strip (t = 0).
0
0
Na sliki 2.47 lahko opazujemo casovni potek normirane maksimalne osne sile v FRP-traku (slika 2.47(a)) in normiran potek maksimalnega navpicnega pomika betonskega sloja (slika 2.47(b)). Prav tako ugotovimo zelo dobro ujemanje casovnega poteka normirane maksimalne tangentne napetosti na stiku slojev (2.48).
(a)
(b)
2 3
t [leta]
o II
1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
-©- Kroflic
— Hamed, Bradford, 2010
23
t [leta]
4
4
0
1
5
1
5
Slika 2.47: Normiran casovni odziv lezenja: (a) maksimalna osna sila v FRP-traku in (b) maksimalen navpicni pomik betonskega sloja.
Figure 2.47: Normalized creep response: (a) maximum FRP axial force and (b) maximum vertical deflection of concrete layer.
Slika 2.48: Normiran casovni odziv lezenja maksimalne tangentne napetosti na stiku slojev. Figure 2.48: Normalized creep response of peak shear stress at adhesive layer.
V naslednjem primeru primerjamo numericno rešitev z Bradfordovimi in Gilbertovimi eksperimentalnimi rezultati (Bradford, Gilbert, 1991a, Bradford, Gilbert, 1991b) in numericno rešitvijo Jurkiewieza in sodelavcev (2005). Geometrijske karakteristike in potek obtezšbe obravnavanega sovprezšnega nosilca prikazujemo na sliki 2.49. Opravka imamo s štirimi razlicnimi primeri (B1 - B4), ki se razlikujejo po tipu obtezbe (q) in tipu strizne povezave. Razlike med obravnavanimi primeri prikazujemo v preglednici 2.6. V vseh primerih v izracunu upoštevamo lastno tezo nosilca.

L

L
z,Z
Prerez L-L:
590 cm
100 cm

beton
=1
B x,x
jeklo
	zg		
y,Y			
-200 UB25.4
7 cm 20.3 cm
z,Z
H
13.3 cm
Slika 2.49: Obravnavani preizkušanec (Bradford, Gilbert, 1991a, Bradford, Gilbert, 1991b). Figure 2.49: Description of the tested beam (Bradford, Gilbert, 1991a, Bradford, Gilbert, 1991b).
Preglednica 2.6: Privzeti koeficient togosti K * v tangencialni smeri stika in koristna obteZba q na nosilec. Table 2.6: Tangential stiffness K * of contact in tangential direction and superimposed load q on the beam.
Nosilec
B1 B2 B3 B4
K * [kN/cm2] 42 42 14 14 q [kN/m] 7.52 0 7.52 0
Privzamemo linearni konstitutivni zakon stika v tangencialni smeri z vrednostmi K * za posamezni obravnavani primer, kot je predstavljeno v preglednici 2.6, in tog stik v normalni smeri stika s C * = 1000 kN/cm2. Privzamemo linearno elasticno obnašanje jeklenega nosilca z = 20000 kN/cm2. Za betonski sloj privzamemo linearni viskoelasticni material s privzeto funkcijo lezenja po standardu CEB-FIB (1990) s privzetimi parametri /ck = 31.1 MPa, s = 0.25, RH = 50%, ho = 6.975 cm, t0 = 10 dni. Funkcijo krcenja, za katerega privzamemo, da se pojavi po t = 10 dni, povzamemo iz meritev na cilidricnih vzorcih (Bradford, Gilbert, 1992). V betonskem delu nosilca upoštevamo armaturo Azg = 1.413 cm2 (slika 2.49). V izracunu upoštevamo geometrijsko nelinearno teorijo brez upoštevanja vpliva striznih deformacij.
Na slikah 2.50(a) (eksperiment B1 in B2) in 2.50(b) (eksperiment B3 in B4) prikazujemo casovni razvoj pomika na sredini nosilca za štiri razlicne tipe obtezbe. Vidimo, da se eksperimentalni in numericni rezultati dobro ujemajo. Razlike med rezultati lahko izhajajo iz drugacnih modelov nosilcev, vzrok pa je lahko tudi izbira casovnih funkcij lezenja in krcenja.
Slika 2.50: Pomik na sredini nosilca w. Figure 2.50: Mid-span deflection w.
Na sliki 2.51 prikazujemo razvoj vzdolznih deformacij D po prerezu na sredini nosilca za preizkušanec B1 (slika 2.51(a)) in preizkušanec B4 (slika 2.51(b)). Pri tem oznaka t0 pomeni rezultate pri zacetnem casu ob nanosu obtezbe in tkon deformacije pri casu na koncu opazovanega casovnega intervala. Ugotovimo lahko, da se numericni rezultati dobro ujemajo, prihaja pa do dolocenih odstopanj med nu-mericšnimi in eksperimentalnimi rezultati.
Slika 2.51: Vzdolzna deformacija D1 na sredini sovpreznega nosilca: (a) preizkušanec B1 in (b) preizkusšanec B4.
Figure 2.51: Longitudinal strain D1 at the mid-span of a steel-concrete beam: (a) specimen B1 and (b) specimen B4.
2.3.5 ProstoleZeCi sovpreZni nosilec - analiza mehčanja
Coleman in Spacone (2001) navajata, da lahko koncept konstantne energije porušitve, ki je v literaturi ze splošno uporaben pri natezno obremenjenem betonu (Bazant, Oh, 1983, Bazant, Planas, 1998), uporabimo tudi pri mehcanju tlacno obremenjenih nosilcev. Ceprav koncept konstantne energije porušitve pri
tlacno obremenjenem betonu še ni tako splošno v veljavi, kot velja to za natezno obremenjeni beton, pa so eksperimentalne raziskave (Jansen, Shah, 1997, [Lee, William, 1997]) in Markesetovi in Hillerborgovi analiticni modeli (1995) pokazali, da teorija drzi tudi za lokalizacijo tlacno obremenjenih elementov.
Osnovna naloga procesa regularizacije je tako vpeljava dodatnega materialnega parametra - energije porušitve v tlaku (Gf) - v konstitutivni zakon betona sloja i vecslojnega kompozitnega nosilca, ki jo definiramo kot
G f = J o* dup,	(2.225)
kjer o* predstavlja napetost v betonu in up neelasticni pomik. Integral dejansko predstavlja površino pod postkriticnim delom konstitutivnega diagrama napetost-pomik.
Za splošno uporabo koncepta energije porušitve zapišemo gornji izraz v odvisnosti od napetosti in deformacij:
G f = h* J o* dDp,	(2.226)
kjer dDp predstavlja neelasticno deformacijo in h* dolzino obmocja mehcanja betonskega sloja i vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca. Za dolocitev dolzine obmocja mehcanja moramo poznati vrednosti energije porušitve G f.
Za obicšajne betone izberemo priporocšeno vrednost tlacšne energije porusšitve betona na intervalu G f = 20 — 30 N/mm. Coleman in Spacone (2001) predlagata za objeti beton vrednost tlacne porušne energije Gf = 180 N/mm. Na osnovi poznanih vrednosti energij porušitve lahko iz poznane oblike konstitutivnega zakona betona dolocimo racunsko dolzino obmocja mehcanja.
Primer mehcanja betonskega dela prereza sovprežnega nosilca. V tem poglavju obravnavamo primer mehcanja sovpreznega nosilca iz jekla in betona. S predstavljenim primerom zelimo predvsem opozoriti na splošnost predstavljenega numericnega modela. Raziskav o vplivu mehcanja precnih prerezov na obnašanje sovpreznih konstrukcij s podajnim stikom zaenkrat v znanstveni literaturi nismo zasledili, zato dejanska primerjava z eksperimentalnimi oz. numericnimi rezultati iz literature ni bila mogoca.
Obravnavamo primer prostolezecega sovpreznega nosilca dolzine L = 900 cm, ki ga prikazujemo na sliki 2.52. Spodnji sloj nosilca je prostolezece podprt. Nosilec je obremenjen s tockovno silo AP = A ■ 1 kN na zgornjem robu zgornjega sloja na sredini razpona nosilca, ki kaze v smeri globalne osi Z.
Privzamemo linearni konstitutivni zakon na stiku tako v tangencialni kot tudi normalni smeri. Pri tem privzamemo vrednost modula zdrsa K * = 50 kN/cm2 in modula razmika C * = 50 kN/cm2.
V izracunu upoštevamo nelinearni konstitutivni zakon betona v skladu s standardom Eurocode 2 (2005); prikazujemo ga na sliki 2.53(a). Pri tem smo upoštevali naslednje parametre: /cm = 3.8 kN/cm2, Dci = —2.2 %o, D*« = —3.5 %o, Ecm = 3100 kN/cm2 in G* = 2100 kN/cm2. Kot lahko razberemo iz podanih parametrov, upoštevamo v izracunu vpliv striznih deformacij na obnašanje nosilca. Betonski sloj je armiran tudi z armaturnimi palicami na zgornjem in spodnjem delu prereza, pri cšemer privzamemo Azg = 8.0 cm2 in Asp = 3.16 cm2. Konstitutivni zakon armaturnega jekla prikazujemo na sliki 2.53(b), pri cemer privzamemo v izracunu naslednje parametre: Es = 21000 kN/cm2, Esh = 600 kN/cm2, /yrm = 43 kN/cm2 in Dy« = 0.029.
Privzeli smo enak konstitutivni model jeklenega nosilca kot pri armaturi (2.53(b)), s tem da smo upoštevali drugacne osnovne parametre konstitutivnega zakona: Es = 21000 kN/cm2, Gs = 7800 kN/cm2, Esh = 600 kN/cm2, /yrm = 27.7 kN/cm2 in Dy« = 0.2. Tako kot pri betonskem nosilcu tudi
|L
V
X P
iL
z,Z
Prerez L-L:
1
900 cm
en
beton
B x,X
\
m
jeklo
IPE 200 z,Z
H
10 cm 20 cm
10 cm
(A)
fci
£
ti 0-4fcm
Slika 2.52: Jekleno-betonski sovprezni nosilec. Figure 2.52: Steel-concrete composite beam.
(b)
	Oc(<0)		
	/ / // i/ M		
			
0	d(< 0)		
Dci D [%oj
Dc
yu Dsh DylDyl
D [%]
Slika 2.53: Konstitutivni zakoni: (a) nelinearni zakon betona (Eurocode 2, 2005) in (b) bilinearni zakon jekla.
Figure 2.53: Constitutive relationships: (a) non-linear concrete (Eurocode 2, 2005) and (b) bilinear steel.
pri jeklenem nosilcu upoštevamo vpliv striznih deformacij v izracunu. Pri vseh materialnih modelih upoštevamo tudi moznost izotropnega utrjevanja materiala, kar je pri mehcanju betonskih prerezov nujno, saj v elementih, ki so izven območja mehcanja, navadno pride do razbremenitev.
V izracunu smo reševali diskretne ravnotezne enacbe konstrukcije z metodo locne dolzine, katere algoritem smo podrobneje predstavili v poglavju 2.2.2. Privzeti osnovni parametri, ki so bili pri vseh izracunih enaki, so: čA(1) = 5, A(1) = 0, W = I (enotska matrika), H = 0, eu = 10-9, ef = 10-4, ds(1) = 0, dsmin = 10-6, dsmax = 20 in ß = 0.5. Parameter I v izracunu prilagajamo v vsakem koraku, zato bomo vrednosti parametra podali pri obravnavi primerov.
Na sliki 2.54 prikazujemo obteZno-deformacijsko krivuljo obravnavanega primera. Pri tem smo upoštevali štiri razlicne razporeditve koncnih elementov v numericnem izracunu. Najprej smo izracunali obteZno-deformacijsko krivuljo za primer uporabe navadne mreze 10 koncnih elementov tipa E4. Z metodo locne dolzine smo v 15 korakih izracunali obtezno-deformacijsko krivuljo. Pri tem smo vrednost parametra I prilagajali med vrednostma 10 in 12 glede na obtezni korak. Maksimalno vrednost obteznega faktorja A = 69.2 smo dosegli v 10. koraku pri pomiku w = 18.5 cm, kije vedno merjen na sredini razpona spodnjega nosilca. V 11. obteznem koraku (oznaceno s krogcem na sliki 2.54) zaznamo negativno vrednost determinante konstitutivne matrike betonskega sloja precšnega prereza v integracijski tocki najblizji mestu delovanja zunanje sile, kar nakazuje na mehcanje prereza. Prav tako je prišlo do zmanjšanja obteznega faktorja na vrednost A = 68.6. V zadnjem obteznem koraku dosezemo A = 68.4 in wi = 19.4 cm. Racun se nato prekine, ker postane prirast locne dolzine ds manjši od predpisane minimalne vrednosti dsmira.
Slika 2.54: Obtezno-deformacijska krivulja. Figure 2.54: Load-deflection curve.
Na sliki 2.55 prikazujemo potek osnih deformacij betonskega sloja (slika 2.55(a)) in psevdoukrivl-jenosti (slika 2.55(b)) vzdolz nosilca za razlicne nivoje obtezbe pri izbrani mrezi 10 koncnih elementov. Vidimo lahko, da v obeh primerih pride do nihanja deformacijskih kolicin v koncnih elementih v okolici delovanja tockovne sile pri obteznih nivojih blizu mehcanja prereza.
Iz enacbe (2.226) izracunamo dolzino območja mehcanja, pri cemer izberemo vrednost energije porušitve Gf = 23 N/mm. Dobimo dolzino obmocja mehcanja 44 cm, ki jo upoštevamo v izracunu. Na sliki 2.54 tako prikazujemo rezultate za izbrani numericni model šestih koncnih elementov, pri cemer obmocje mehcanja modeliramo z dvema konstantnima koncnima elementoma dolzine 22 cm, preostali del nosilca pa modeliramo s štirimi koncnimi elementi tipa E4. Vrednost parametra I smo ponovno prilagajali med vrednostma 10 in 12, odvisno od obtezšnega koraka. V tem primeru dosezšemo maksimalno vrednost obteznega faktorja A = 69.8 pri pomiku w1 = 21.7 cm, ki prav tako kot v prejšnjem primeru predstavlja tudi zacetek mehcanja betonskega prereza (oznaceno na sliki 2.54). V zadnjem obteznem koraku dosezemo A = 67.0 in w1 = 22.0 cm. Racun se nato ponovno prekine, ker postane prirast locne dolzine ds manjši od predpisane minimalne vrednosti dsmin.
Na sliki 2.56 prikazujemo še potek osnih deformacij betonskega sloja (slika 2.56(a)) in psevdoukrivl-jenosti (slika 2.56(b)) vzdolz nosilca za razlicne nivoje obtezbe za predstavljeno mrezo koncnih elementov. Lahko opazimo, da v obeh primerih ni vec pojava neustreznih nihanj deformacijskih kolicin ne glede na obtezni nivo.
16 14 12 10
-o
uj g 6 4 2 0 -2
(A)
x10-3
	2.5
^=68.4	
^=69.2	2
A=41.3	
A=11.8	1.5
	
	1
	0.5
	0
_i_	-0.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
x [em]
(b)
x10-3
-9-^=68.4	
	—«—^=69.2
	—e-^=41.3
	-*-A,=11.8
	
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
X [em]
Slika 2.55: Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolz nosilca za razlicne obtezne nivoje: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti Kb.
Figure 2.55: Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels: (a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb.
7 6
5
uj 4
3 2 1 0 -1
(A)
x10-3
	r©1	-e-^=69.8
		
		-o-^=62.6
		—e-^=38.8
J	n	-k-A,=11.8 l
		
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
X [em]
10
8 6 4 2 0 -2
(b)
x10-4
-^=69.8 -^=62.6 -^=38.8 -A,=11.8
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
X [em]
Slika 2.56: Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolz nosilca za razlicne obtezne nivoje pri dolzini obmocja mehcanja 44 cm: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti Kb. Figure 2.56: Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels length of softening area 44 cm: (a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb.
V	nadaljevanju dodatno analiziramo vpliv dolzine kratkega elementa na obtezno-deformacijsko krivuljo, zato privzamemo še dve dolzini obmocja mehcanja, t. j. 22 cm in 6 cm. V obeh primerih modeliramo obmocje mehcanja z dvema kratkima koncnima elementoma, s tem da preostalo obmocje v prvem primeru modeliramo s štirimi koncnimi elementi, v drugem pa z osmimi koncnimi elementi.
V	primeru dolzine obmocja mehcanja 22 cm dosezemo maksimalni obtezni faktor A = 68.4 pri pomiku wi = 17.2 cm, ki predstavlja tudi tocko zacetka mehcanja prereza (oznaceno s krogcem na sliki 2.54). Pri dolzini obmocja mehcanja 6 cm dosezemo maksimalni obtezni faktor A = 68.11 pri pomiku w1 = 14.05 cm, ki predstavlja tudi tocko pricetka mehcanja prereza (oznaceno s krogcem na sliki 2.54). V obeh primerih smo vrednost parametra I ponovno prilagajali med vrednostma 10 in 12, odvisno od obteznega
koraka. V zadnjem obteZnem koraku doseZemo v prvem primeru A = 65.8 in w1 = 17.3 cm, v drugem pa A = 67.1 pri pomiku wi = 14.08 cm. Racun se nato ponovno prekine, ker postane prirast locne dolZine ds manjši od predpisane minimalne vrednosti dsmin.
Na sliki 2.57 prikazujemo še potek deformacijskih kolicin vzdolZ nosilca za privzeto mreZo koncnih elementov z območjem mehcanja dolZine 6 cm. Tudi v tem primeru lahko vidimo, da ne pride vec do neustreznih nihanj deformacij. Prav tako je proces mehcanja dejansko lokaliziran samo na obmocju kratkih elementov (skok deformacij).
10
8 6
t, 4 2 0 -2
(A)
x10-3
-A=68.1 -^=57.9 -A=31.2 -A=10.9
A.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
x [cm]
12 10 8 6 4 2 0 -2
(b)
x10-4
	-e-A=68.1
	—o—^=57.9
	—ö—^=31.2
: J	-*-A=10.9 L
	
100 200 300 400 500 600 700 800 900
X [cm]
0
Slika 2.57: Potek deformacijskih kolicin v betonu vzdolZ nosilca za razlicne obteZne nivoje pri dolZini obmocja mehcanja 6 cm: (a) osne deformacije eb in (b) psevdoukrivljenosti Kb.
Figure 2.57: Concrete deformation quantities along the length of the beam for different load levels at length of softening area 6 cm: (a) axial strains eb and (b) pseudocurvatures Kb.
Sedaj prikaZemo še potek osnih sil (slika 2.58(a)) in upogibnih momentov (slika 2.58(b)) v odvisnosti od osne deformacije eb oz. psevdoukrivljenosti Kb v kratkem elementu med procesom deformiranja.
Slika 2.58: Kratki koncni element: (a) diagram osna sila - osna deformacija (Nb - eb) in (b) upogibni moment - psevdoukrivljenosti (Mb - Kb).
Figure 2.58: Short constant-strain finite element: (a) axial force-graph axial strain (Nb - eb) and (b) bending moment-pseudocurvature (Mb - Kb).
Na zgornjih diagramih na slikah 2.58(a) in (b) prikazujemo razvoj kolicin med celotnim procesom deformiranja, na spodnjem diagramu pa zgolj zadnji del procesa deformiranja, da izraziteje prikazšemo proces mehcanja. Na vseh diagramih smo s krogcem oznaali tudi tocko zacetka procesa mehcanja. Pri upogibnih momentih je lepo razvidno mehcanje betonskih precnih prerezov, posebej pri upoštevani dolzini obmocja mehcanja 22 cm in 44 cm.
2.3.6 Dvoslojni steber iz lesa in betona - Eulerjeve uklonske sile
V	predzadnjem racunskem primeru obravnavamo primer dvoslojnega stebra, sestavljenega iz betonskega in lesenega nosilca dolzine L = 400 cm. Geometrijske karakteristike obravnavanega primera prikazujemo na sliki 2.59. Oba sloja nosilca sta prostolezece podprta. Privzete materialne karakteristike slojev so naslednje: elasticni modul betona je Eb = 1200 kN/cm2, strizni modul Gb = 75 kN/cm2, elasticni modul lesa Ei = 800 kN/cm2 in strizni modul lesa Gi = 50 kN/cm2. Privzamemo linearno obnašanje na stiku slojev nosilca tako v normalni kot tudi tangencialni smeri.
V	preglednici 2.7 predstavljamo parametricno študijo vpliva tangencialne in normalne togosti stika na uklonsko nosilnost predstavljenega dvoslojnega nosilca. Uklonske sile smo dobili numericšno z metodo bisekcije pri mrezi osmih koncnih elementov. Omenimo, da se rezultati zelo dobro ujemajo z analiticno rešitvijo (Schnabl, Planinc, 2012).
30 cm
beton les'
]5qm
5 cm
15 cm
Slika 2.59: Precni prerez dvoslojnega stebra iz lesa in betona. Figure 2.59: Cross-section of a two-layer timber-concrete column.
Preglednica 2.7: Vpliv tangentne in normalne togosti stika na uklonsko silo Fcr [kN] predstavljenega dvoslojnega nosilca.
Table 2.7: Effect of tangential and normal contact stiffness on buckling load Fcr [kN] of considered two-layer composite beam.
			C * [kN/cm2]		
K * [kN/cm2]	10-3	10-2	10-1 1	10	102
10-10
10-5
10-3
10-2 10-1
1 10 102 103 105 1010
47.5345 47.5352 47.6017 48.1800 52.2028 60.9942 66.3678 67.5579 67.7034 67.7195 67.7135
80.0741
80.0763
80.2956
82.2320
97.2572
144.5576
197.2588
212.6040
214.5552
214.7604
214.7626
89.7653
89.7681
90.0468
92.5180
112.3425
184.5409
286.9274
323.7312
328.7757
329.3332
329.3393
90.8817
90.8846
91.1705
93.7050
114.1205
189.7579
299.0829
339.2761
344.8332
345.4500
345.4564
90.9949
90.9978
91.2843
93.8254
114.3016
190.2999
300.3323
340.8701
346.4802
347.1378
347.1096
91.0062
91.0092
91.2958
93.8375
114.3198
190.3548
300.4580
341.0300
346.6453
347.2870
347.2937
Nazorneje predstavimo rezultate iz preglednice 2.7 na sliki 2.60. Ugotovimo lahko, da se pri togem stiku v normalni smeri uklonska nosilnost nosilca zelo povecša s povecšanjem tangentne togosti. Nasprotno pa pri podajnem stiku v precšni smeri sprememba togosti v tangentni smeri ne vpliva pomembneje na povecanje uklonske sile. Izkaze se tudi, da pri togem stiku v tangencialni smeri uklonska nosilnost predstavljenega nosilca zelo naraste, ce povecamo togost v normalni smeri.
V nadaljevanju analiziramo še vpliv nepovezanosti slojev na uklonsko nosilnost predstavljenega dvoslojnega nosilca. Predpostavimo, da lahko pride na stiku nosilcev na dolocenem mestu do oslabitev. Dolzino oslabitve v tangencialni (vzdolzni) smeri oznaamo z Ld,K, dolzino oslabitve v normalni smeri pa Ld,C. Ker bomo analizirali samo vpliv dolzine, ne pa tudi vpliva lege oslabitve na uklonsko nosilnost, postavimo oslabitev vedno simetricšno na sredino nosilca. V oslabljenem delu stika v dolocšeni smeri torej privzamemo nicelno povezavo med slojema, v neoslabljenem delu stika pa pripišemo linearni konstitutivni zakon s togostma K * = 1 kN/cm2 in C * = 1 kN/cm2. V izracunu privzamemo naslednje dolzine oslabitve: 0.2L, 0.4L, 0.6L, 0.8L. Rezultate na sliki 2.61 smo normirali glede na uklonsko silo
C*[kN/cm2]
Fcr[kNj
200
100
Slika 2.60: Vpliv tangentne in normalne togosti stika na uklonsko silo Fcr dvoslojnega nosilca. Figure 2.60: Effect of tangential and normal contact stiffness on buckling load Fcr of two-layer composite
obravnavnega dvoslojnega nosilca brez oslabitev, ki znaša Fcr = 189.7579 kN. Lahko ugotovimo, da z vecanjem dolzine oslabitve uklonska sila pada ne glede na smer oslabitve. Dolga oslabitev povzroci zmanjšanje uklonske sile na manj kot 50 % vrednosti uklonske sile neoslabljenega nosilca.
2.3.7 Večslojni kompozitni elastični prostoležeči nosilec - analitična rešitev
V	zadnjem podpoglavju racunskih primerov obravnavamo vecslojne nosilce. V numericnih izracunih upoštevamo linearizirano teorijo prvega reda vecslojnih nosilcev, ki smo jo izpeljali v poglavju 2.1.6.
V	prvem primeru bomo dobljeno analiticno rešitev primerjali z numericnimi in analiticnimi rezultati za analizo vecslojnih kompozitnih nosilcev z upoštevanjem zdrsa na stiku slojev, predstavila sta jih Sousa in da Silva (2010). Obravnavamo dva locena primera: (a) trislojni in (b) štirislojni nosilec. V obeh primerih je obojestransko nepomicno podprt samo spodnji sloj nosilca. Dolzina kompozitnega nosilca v obeh primerih znaša L = 400 cm, nosilec pa je obremenjen z zvezno linijsko obtezbo q = 0.1 kN/cm, ki deluje v obeh primerih na zgornjem robu zgornjega nosilca v smeri globalne osi Z. Precni prerez obravnavanega trislojnega nosilca prikazujemo na sliki 2.62(a), štirislojnega pa na sliki 2.62(b).
Trislojni nosilec je sestavljen iz betonskega jedra, na katerega sta pritrjeni jekleni plošci na spodnji in zgornji strani. Upoštevani elasticni modul betona znaša E2 = 3450 kN/cm2, jekla pa = 20000 kN/cm2. Pri tem upoštevamo Poissonov kolicnik za beton v2 = 0.2, za jeklo pa vi,3 = 0.3. Privzeti strizni modul spodnjega stika je K1 = 0.5 kN/cm2, medtem ko je zgornji stik znatno bolj tog s striznim modulom K2 = 4 kN/cm2. Ker materialne karakteristike stika v precni smeri niso podane, privzamemo za oba sloja togo obnašanje v precni smeri.
Elasticni modul vseh štirih slojev štirislojnega nosilca znaša E1-4 = 5000 kN/cm2. Tudi privzeti strizni
beam.
Slika 2.61: Vpliv oslabitve stika v tangentni in normalni smeri na velikost uklonske sile Fcr, norm dvoslojnega nosilca.
Figure 2.61: Effect of contact weakening in tangential and normal direction on critical buckling load Fcr, norm of two-layer composite beam.
(A)
(b)
10 cm
8 cm
6 cm 4 cm
Slika 2.62: Precni prerez kompozitnih nosilcev (Sousa, da Silva, 2010): (a) trislojni in (b) štirislojni. Figure 2.62: Cross-section of multilayer beams (Sousa, da Silva, 2010): (a) three-layer and (b) four-layer.
modul stika je za vse tri stike enak in znaša K1-3 = 0.5 kN/cm2. Tudi v tem primeru materialne karakteristike stika v precni smeri niso podane, zato privzamemo togo obnašanje v precni smeri vsakega stika. Manjka tudi podatek o striznem modulu materiala, zato privzamemo vrednost G1-4 = 100000 kN/cm2.
Na sliki 2.63(a) predstavljamo potek zdrsov na obeh sticnih ravninah vzdolz osi obravnavanega trisloj-nega kompozitnega nosilca. Kot lahko vidimo, se analiticšni rezultati predstavljenega lineariziranega modela zelo dobro ujemajo z Sousovimi in da Silvovimi numericnimi rezultati (2010). Na sliki 2.63(b)
prikazujemo potek zdrsov na sticnih ravninah vzdolZ osi obravnavanega štirislojnega kompozitnega nosilca. Dobljene rezultate primerjamo z analiticno (Euler-Bernoullijevo) in numericno rešitvijo za analizo vecslojnih nosilcev z upoštevanjem zdrsa na stiku; predstavila sta ju Sousa in da Silva (2010). Ugotovimo, da se rezultati dobro ujemajo, majhne razlike pa so lahko posledica nepoznane vrednosti striznega modula materiala.
Slika 2.63: Primerjava zdrsov (Sousa, da Silva, 2010): (a) trislojni nosilec in (b) štirislojni nosilec. Figure 2.63: Comparison of slips (Sousa, da Silva, 2010): (a) three-layer and (b) four-layer beam.
V drugem delu racunske obravnave vecslojnih ravninskih nosilcev obravnavamo prostolezeci nosilec dolzine L = 280 cm, kije obremenjen na sredini nosilca na zgornjem sloju s tockovno silo P = 7.624 kN v smeri globalne osi Z. Samo spodnji sloj nosilca je prostolezece podprt. V osnovi je precni prerez višine h = 20 cm in širine b = 12 cm. Obravnavamo razlicne primere. V prvem primeru precni prerez sestavimo iz dveh slojev (N = 2) enake višine, t.j. h2 = 10 cm, v drugem iz štirih slojev (N = 4) enake višine h4 = 5 cm, v tretjem iz šestih slojev (N = 6) enake višine h6 = 3.33 cm in v cetrtem iz osmih slojev (N = 8) enake višine h8 = 2.5 cm. Precne prereze vseh obravnavanih primerov prikazujemo na sliki 2.64. Ker imamo opravka z linearnim modelom, so tudi vse konstitutivne
12 cm
20 cm
N= 8 N= 6 N= 4 N= 2
(a) (b) (c) (d)
Slika 2.64: Sestave vecslojnih nosilcev: (a) dvoslojni, (b) štirislojni, (c) šestslojni in (d) osemslojni Figure 2.64: Multilayer beams: (a) two-layer, (b) four-layer, (c) six-layer and (d) eight-layer.
zveze linearne. Privzamemo elasticni in strizni modul vseh slojev vseh obravnavanih primerov E = 1150 kN/cm in G = 72 kN/cm2 (les C27). Prav tako na stiku med sloji privzamemo linearne zveze s strizno togostjo K = 2.45 kN/cm2 in precno togostjo C = 8.93 kN/cm2 stika. Na sliki 2.65 prikazujemo navpicne pomike slojev vseh obravnavanih primerov. Kot lahko vidimo, je število slojev pomembno vpliva na koncni pomik, saj je pri osemslojnem nosilcu pomik kar štirikrat vecji kot pri dvoslojnem.
Ocitno je torej, da karakteristike stika zelo vplivajo na togost nosilca. Ugotovimo, da se pomiki med sloji posameznega obravnavanega primera ne spreminjajo veliko. Lahko torej sklepamo, da ima pomemben vpliv na rezultate ravno strizna togost stika.
4
_ 3 S
o
2
1 -
0.25
0.5 x/L
0.75
Slika 2.65: Navpicni pomik obravnavanih vecslojnih lesenih nosilcev. Figure 2.65: Vertical displacement of considered multi-layer timber beams.
0
0
1
Na sliki 2.66 prikazujemo potek zdrsov vzdolz nosilca za obravnavane vecslojne lesene nosilce. Kot lahko ugotovimo, so za vse tipe obravnavanih vecšslojnih nosilcev maksimalni zdrsi podobnega velikostnega razreda. Logicno je, da se pri vseh vecslojnih nosilcih maksimalni zdrsi zgodijo v vmesnih slojih, medtem ko sta zdrsa na prvem oz. zadnjem stiku navadno manjša.
x/L	x/L
x/L	x/L
Slika 2.66: Potek zdrsov vzdolZ vecslojnih lesenih nosilcev: (a) osemslojni (N = 8), (b) šestslojni (N = 6), (c) štirislojni (N = 4) in (d) dvoslojni (N = 2).
Figure 2.66: Slips along multilayer timber beams: (a) eight-layer (N = 8), (b) six-layer (N = 6), (c) four-layer (N = 4) and (d) two-layer (N = 2).
Slika 2.67 prikazuje potek razmikov vzdolZ nosilca za obravnavane vecslojne lesene nosilce. Vidimo, da pride na obmocju delovanja sile do vtiskov. Pri tem se logicno najbolj vtisne zgornji sloj, vtiski pa se zmanjšujejo z oddaljenostjo slojev od sile. Prav tako ugotovimo, da so vtisi najvecji pri osemslojnem in najmanjši pri dvoslojnem nosilcu. Zanimivo je, da se na robovih vseh obravnavanih vecslojnih nosilcev najbolj vtisnejo spodnji sloji in najmanj zgornji. Prav tako so maksimalni vtisi na robovih nosilca v vseh primerih po velikostnem redu vecji od vtisov slojev na mestu delovanja tockovne sile.
0.01 0
(a) N= 8
0.01
(b) N=6
0 0.25
0.5 x/L
0.75
0.25
0.5 x/L
0.75
1
0
1
0.01 0
a -0.04
o
(C) N=4

0.07
-0.1
0 0.25
0.5 x/L

(d) N=2
0.75
0.25
0.5 x/L
0.75
1
0
1
Slika 2.67: Potek razmikov vzdolz vecslojnih lesenih nosilcev: (a) osemslojni (N = 8), (b) šestslojni (N = 6), (c) štirislojni (N = 4) in (d) dvoslojni (N = 4).
Figure 2.67: Uplifts along multilayer timber beams: (a) eight-layer (N = 8), (b) six-layer (N = 6), (c) four-layer (N = 4) and (d) two-layer (N = 4).
3 Uklonska nosilnost razslojenih elastičnih prostorskih stebrov
V tem poglavju prikažemo točno rešitev za uklonske sile razslojenih ravnih in zavitih elastičnih prostorskih stebrov. Stebre modeliramo z Reissner-Simovim modelom prostorskih nosilcev, točne uklonske sile pa določimo z linearizirano stabilnostno analizo. S parametričnimi študijami bomo analizirali vpliv lege, velikosti in orientačije popolnoma razslojenega dela stebra na njegovo uklonsko nosilnost.
3.1 Geometrijski model stebra
Vzamemo zavit prostorski steber s konstantnim prečnim prerezom (višine h in širine b), obremenjen s tlačno osno silo F (slika 3.1). Točka O predstavlja koordinatno izhodišče nepomičnega prostorskega koordinatnega sistema (X, Y, Z) z baznimi vektorji {g1, g2, g3}. Referenčno os stebra parametriziramo z materialno koordinato x. Deformirano lego stebra opišemo s krajevnim vektorjem referenčne osi rg in ortonormirano lokalno bazo {G1, G2, G3}, ki definirajo materialno bazo zavrtenega prečnega prereza. Vektorja G2 in G3 kazeta v smeri glavnih vztrajnostnih osi prečnega prereza, vektor G1 pa kaze v smeri normale prečnega prereza, {G1 = G2 x G3}. G1 v splošnem ne kaze nujno v smeri tangente deformirane referenčšne osi stebra.
Slika 3.1: Geometrija, obtezba in značilni deli zavrtenega stebra. Figure 3.1: Geometry, loading and typičal sečtions of twisted čolumn.
Lego razslojenega dela stebra oz. lego delaminačije definiramo z vpeljavo parametrov ß in 0 (slika
3.2). Asimetricno lego delaminacije glede na lokalno os G2 definiramo s parametrom ß G (-1,1). Za navpicno simetricne delaminacije je paramter ß = 0. Delaminacija je lahko tudi zavrtena v ravnini precnega prereza okoli tocke y = ß, z = 0 za kot 0. Delaminacija A-B-C-D razdeli steber dolzine
Slika 3.2: Definicija ß in 0. Figure 3.2: Definition of ß and 0.
L v vzdolzni smeri na štiri dele: elementa a in d z dolzinama L1 in L4 predstavljata nerazslojen del stebra, medtem ko dela stebra z oznakama b in c (dolzine L23) predstavljata sloja s kontaktno ravnino A-B-C-D.
3.2 Osnovne enaCbe prostorskega stebra
Privzamemo prostorske Reissner-Simove enacbe zavitega prostorskega stebra. Osnovni sistem enacb sestavljajo konstitutivne (3.1)-(3.2), ravnotezne (3.3)-(3.4) in kinematicne enacbe (3.5)-(3.6) (Zupan, Saje, 2003a):
fi = Ng (x) - R (x) C n (7 g (x), kg (x)) = 0,	(3.1)
f2 = Mg (x) - R (x) C m (Y g (x), kg (x)) = 0,	(3.2)
f3 = Ng (x) + ng (x) = 0,	(3.3)
f4 = Mg (x) + mg (x) - Ng (x) X r^ (x) = 0,	(3.4)
f5 = r^ (x) - R (x) (7g (x) - cg (x)) = 0,	(3.5)
f6 = ^g (x) - T-1 (x) (kg (x) - dG (x)) = 0.	(3.6)
Robni pogoji k diferencialnim enacbam (3.3)-(3.6) pri x = 0 in x = L so:
bi = F0 + Ng (0) = 0,	(3.7)
b2 = P0 + Mg (0) = 0,	(3.8)
b3 = FL - Ng (L) = 0,	(3.9)
b4 = PL - Mg (L) = 0.	(3.10)
Pomen oznak v predstavljenih enacbah je:
g nepomicna (oz. prostorska) ortonormirana baza {g1, g2, g3} (slika3.1); G lokalna ortonormirana baza {G1, G2, G3} z {G2, G3}, ki definirata precni prerez;
Ng, Mg rezultirajoca vektorja ravnoteznih sil in momentov precnega prereza;
CN, CM operatorja, ki definirata materialne lastnosti stebra;
YG deformacijski vektor (yg1 je osna deformacija, yg2, 7G3 sta strizni deformaciji);
kg rotacijski deformacijski vektor (kg1 je torzijska deformacija, kg2, kg3 sta upogibni deformaciji);
rg krajevni vektor referencne osi;
Jg rotacijski vektor, ki opisuje rotacije med {g1, g2, g3} in {G1, G2, G3}; § kot rotacije, § = ||Jg ||;
R rotacijska matrika, ki predstavlja isto rotacijo kot rotacijski vektor $g (Ru = u + ^Jg X u + 1-|0s^Jg X (Jg X u), u je poljuben vektor);
TT transformacijska matrika med kg in
(TTu = u - 1-fOs^Jg X u +	Jg X (tfg X u));
cg , dG variacijski konstanti, ki ju dolocimo iz znanih deformacij in kinematicnih pogojev nedeformi-ranega stebra;
ng, mg zunanja porazdeljena tockovna in momentna obtezba na enoto nedeformirane dolzine racunske osi;
F0, FL zunanji tockovni sili pri x = 0, x = L; P0, PL zunanja tockovna momenta pri x = 0, x = L.
Katerikoli predstavljen vektor lahko izrazimo glede na obe predstavljeni bazi: indeks (g ali G) predstavlja izrazavo glede na izbrano bazo. Rotacijska matrika R predstavlja tudi koordinatno transformacijo med bazama ug = RuG.
3.3 Linearizacija enačb
Enacbe (3.1)-(3.6) sestavlja 18 enacb za 18 funkcij, ki so komponente šestih vektorjev rg, Jg, Ng, Mg, Yg in kg. Ce uporabimo zapis y = [y1, y2,..., y18] za 18-komponenten vektor vseh neznanih funkcij, lahko linearizacijo komponent /jj (i = 1,..., 6), (j = 1, 2, 3) funkcije f okoli znane lege y0 zapišemo kot
18 df
f = f .	(3.11)

0
fc=
Poljubne variacije (k = 1,..., 18) izracunamo iz sistema linearnih enacb
/ ly0 = / (yo),	(3.12)
ki ga pogosto zapisšemo v obliki
K (yo) = -f(yo),	(3.13)
kjer K predstavlja tangentno togostno matriko in f(y0) vektor desnih strani. Predstavljena linearizacija je veljavna samo v linearnih vektorskih prostorih. Ker prostorske rotacije niso vektorji, moramo biti pozorni pri linearizaciji rotacijske matrike R:
öRu = ö—g x Ru,	(3.14)
kjer smo z öR oznacili variacijo rotacijske matrike, z ö—g pa variacijo rotacijskega vektorja. u je v enacbi (3.14) poljuben vektor. Podrobnejšo razlago in postopek konsistentne linearizacije prostorskih rotacij je mozno zaslediti v Argyrisovih (1982) in Ibrahimbegovicevih delih (1997).
Linearizacijo konstitutivnih enacb zapišemo z enacbama
öCN = Cyy öy g + Cyk ökg,	(3.15)
öCm = Ck y öy G + CKKÖkG,	(3.16)
kjer so komponente matrik C YY, CjK, Cky in Ckk parcialni odvodi konstitutivnih operatorjev Cn in C m glede na komponente vektorjev yg in kg.
Matriko C
CYY CYK CKY	CKK
imenujemo konstitutivna tangentna matrika precšnega prereza. Z uposštevanjem
enacbe (3.14) so linearizirane enacbe (3.3)-(3.6):
öfa = öNg,	(3.17)
öf4 = öMg - öNg X r'g - Ng X örg,	(3.18)
öf5 = örg - ö—g X R (yg - Cg) - RöYg,	(3.19)
öfa = ö—g - Rökg.	(3.20)
Pri tem smo predpostavili, da sta zunanji obtezbi ng and mg neodvisni od neznanih funkcij (Ibrahimbe-govic, 1997, Zupan, Saje, 2003a).
Ker v sistemu enacb (3.1)-(3.6) nastopajo algebrske enacbe (3.1) in (3.2) in diferencialne enacbe (3.3)-(3.6), je numericno ugodneje, da algebrske enacbe pred reševanjem diferencialnih enacb izlocimo. Enacbe (3.1) in (3.2) najprej lineariziramo:
öfi = ö—g X RCn + RCyyöyg + RCykökg - öNg,	(3.21)
öf2 = ö—g X RCm + RCky öy g + RCkkökg - öMg.	(3.22)
Nato izpostavimo deformacijski kolicini öyg in ökg, da dobimo:
öY G = C-y1Rt (öNg - ö—g X Ng) + C-^ (öMg - ö— g X Mg),	(3.23)
ökg = C-y1Rt (öNg - ö—g X Ng) + C-^ (öMg - ö— g X Mg).	(3.24)
Zapišemo še linearizirane robne pogoje (3.7)-(3.10):
öbi = -öNg (0) = 0,	(3.25)
öb2 = -öMg (0) = 0,	(3.26)
öbs = -öNg (L) = 0,	(3.27)
öb4 = -öMg (L) = 0.	(3.28)
3.4 Analitična rešitev lineariziranih enacb
3.4.1 Raven elastični razslojeni prostorski steber
Linearizirane enacbe (3.17)-(3.24) moramo izvrednotiti v osnovni legi, ki jo dolocajo pogoji
(x) = 0, Ro (x) = I,	(3.29)
nfl (x) = 0, mfl (x) = 0,	(3.30)
P0 = [0,0,0]T , PL = [0,0,0]T ,	(3.31)
čG = [1,0,0]T, dG = [0,0,0]T ,	(3.32)
ro(x) = [x, 0,0]T ,	(3.33)
F0 = [F, 0, 0]T , Fl = [-F, 0, 0]T .	(3.34)
Ker so tudi zacetne ukrivljenosti k0 in momenti Mg v osnovni legi enaki nic, sta tako osna deformacija = Yg = [71 0 0]T in osna sila Ng = [Ni 0 0]T konstantni (i = (a, b, c, d}). Ker privzamemo
konstanten precni prerez vzdolz referencne osi razslojenega stebra, velja 7" = Yb =	Yf = in Ab + Ac = A" = Ad. Osne sile posameznih delov stebra lahko tako zapišemo:
N?)S = Nidg = -F,	(3.35)
Nibg = - Ad F	(3.36)
Ac
Nic,g = - ^F.	(3.37)
Ko vstavimo enacbe (3.23)-(3.24) in (3.29)-(3.37) v enacbe (3.3)-(3.10), (3.17)-(3.20) in (3.25)-(3.28), dobimo lineariziran sistem enacb obravnavanega problema okoli osnovne lege:
ČNg = 0,	(3.38)
ĆMg - ĆNfl X r'g - Ng X = Mg,o - Ng,o x rg,o,	(3.39) ćrg - čtfg X rg - R (C-71RT (<JNg - čtfg X Ng)
-C-71Rt (5Mg - ćtfg X Mg)) = rg,o - R (7g,o - Čg) ,	(3.40) ^ - R (C-71RT (ČNg - čtfg X Ng)
-C-iRT (^Mg - ćtfg X Mg)) = tfg,o - T-T («Gfl - dG),	(3.41)
ČNg (0) = - [F, 0, 0]T - Ng (0),	(3.42)
ČMg (0) = 0,	(3.43)
-ČNg (L) = - [-F, 0, 0]T + Ng (L) ,	(3.44)
5Mg (L) = 0.	(3.45)
V osnovni legi morajo biti izpolnjene kinematicnime enacbe (3.5)-(3.6), zato so desne strani v enacbah (3.40)-(3.41) enake nic. Ker je steber obtezen z osno silo, sta vektorja Ng,o in rg,o vzporedna in je zato njun vektorski produkt enak nic.
Sistem enacb (3.38)-(3.41) je homogen sistem linearnih diferencialnih enacb prvega reda s konstantnimi koeficienti. Lahko ga zapišemo v matricni obliki
<v (x) = Bty(x), 5y(xo) = ,	(3.46)
kjer B predstavlja matriko konstantnih koeficientov in Sy(x) vektor neznank. Analiticna rešitev nehomogenega sistema diferencialnih enacb (3.46) za konstantno matriko B je (Goldberg, Schwartz, 1972):
Öy(x) = eBxß,	(3.47)
kjer je ß vektor integracijskih konstant, ki jih dolocimo iz danih robnih pogojev stebra.
Rešitev (3.47) velja za vsak del stebra, torej za dele z oznakami a, b, c in d. Ker naš matematicni model razslojenega stebra sestavljajo štirje deli, moramo dolociti skupno 48 robnih pogojev oziroma pogojev, s katerimi dele stebrov povezšemo v celoto.
3.4.2 Zavit elastični razslojeni steber
Linearizirane enacbe (3.17)-(3.24) moramo izvrednotiti v fundamentalni legi, ki jo dolocajo enacbe
tfg,0 (x) = [^ (x), 0,0]T , Ro (x) =
ng (x) = 0,
[0, 0, 0]T
P0
čG = [1, 0, 0]T , ro(x) = [x, 0, 0]T F0 = [F, 0, 0]T ,
1
0
0
mg (x) = 0,
[0, 0, 0]T
cos ^(x) — sin ^(x) sin ^(x) cos ^(x)
PL
dG = TT^g,o,
^ (x) = l^l
Fl = [—F, 0, 0]T .
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.53)
Ker so tudi sedaj zacetne ukrivljenosti k0 in momenti Mg v zacetni legi enaki nic, sta osna deformacija Yg = Yg = [71 0 0]T in osna sila Ng = [NJ 0 0]T konstantni, a ne nujno enaki po delih razslojenega zavitega stebra. Ker je precni prerez vzdolz reference osi stebra konstanten, veljajo tudi enacbe (3.35)-(3.37).
Ko pogoje (3.23)-(3.24) in (3.48)-(3.53) vstavimo v sistem enacb (3.3)-(3.10), (3.17)-(3.20) in (3.25)-(3.28), dobimo sistem
5N'g
0,
ÖMg — SNg X rg — Ng

Srg — Ötig X rg — R (C-7JRT (5Ng — Ötig X Ng)
—	C-7JRT (ÖMg — Ötig X Mg)) = 0, ötf'g — R (C—J RT (SNg — Ötig X Ng)
—	C-,JRT (ÖMg — Ötig X Mg )) = 0, SNg (0) = [—F, 0, 0]T — Ng (0),
ÖMg (0) = 0 —SNg (L) = — [—F, 0, 0]T + Ng (L), ÖMg (L) = 0.
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Sistem enacšb (3.54)-(3.57) predstavlja homogen sistem linearnih diferencialnih enacšb prvega reda z nekonstantnimi koeficienti s pripadajocimi robnimi pogoji (3.58)-(3.61). V matricni obliki lahko sistem
0
zapišemo kot
ćy'(x) = B(x)čy(x), čy(®o) = ^o,
(3.62)
kjer B(x) predstavlja matriko nekonstantnih koeficientov in čy(x) vektor neznank. Predstavljeni robni pogoji (3.58)—(3.61) ne zadostujejo zaizracun enolicne rešitve. Dodatne kinematicne pogoje bomo predstavili v nadaljevanju.
Splošno rešitev sistema enacb (3.62) lahko poišcemo po teoriji analiticnih diferencialnih sistemov (Goldberg, Schwartz, 1972):
kjer je za k = 0, 1, 2
£y(x) = Y1 ^(x - xo)k,
fc=0
(3.63)
in
čyfc+i = k+1 E B^yfc-(i+1) + i=0
^o = ^y(xo) = ß.
(3.64)
(3.65)
Matrike Bj v enacbi (3.64) predstavljajo koeficiente matricne vrste imatricne funkcije B:
B = BlM .
(3.66)
Rešitev (3.63) je splošna in jo kot rešitev uporabimo za vsak del zavitega razslojenega stebra posebej. Rešitve se razlikujejo le zaradi razlicnih robnih pogojev. Podobno kot pri ravnem stebru sestavljajo tudi zavit razslojen steber štirje deli, ki jim lahko predpišemo 12 robnih pogojev oziroma pogojev, s katerimi dele razslojenega stebra povezemo v celoto. Te pogoje podrobneje opišemo v nadaljevanju.
3.4.3 Robni pogoji
Kot receno, sestavljajo robne pogoje obravnavanih razslojenih prostorskih stebrov kinematicni in staticni robni pogoji ter pogoji, s katerimi razslojene dele stebra povezšemo v celoto. Ti kontinuitetni pogoji so (tocki Ti in T2 na sliki 3.1):
in
5^(Li) = črg (0)= črg (0), črg (Li + L23) = ćrg (Li + L23) = ćrg(0),
K(Li) = ^g (0) = (0),
(Li + L23) = ćtfg (Li + L23) = ć<(0)
5N2(Li) = ČNg (0) + ČNg (0), ČNg (Li + L23) + ĆNg (Li + L23) = ĆNd (0),
ĆMg(Li) = ĆMg (0) + ĆMg (0),
ĆMg (Li + L23) + ĆMg (Li + L23) = 5Md(0).
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
S pogoji (3.67)-(3.74) smo predpostavili togo povezanost med razslojenimi deli stebra. Enacbe (3.67)-(3.74) predstavljajo 36 skalarnih pogojev, dodatnih 12 pogojev pa dolocajo staticni in kinematicni robni pogoji.
Ti pogoji so:
za prostolezšecši steber:
(0) = 5^(0) = 0, 5M3a (0) = 0, 5<(L) = ćtf2(L) = 0, 5M3d(L) = 0, 5r1(0) = 5r2(0) = 5r3(0) = 0, 5rJ(L) = 5r3(L) = 0, 5N](L) = 0,
za previsni steber (konzola):
K(0) = 5r2(0) = 5r3(0) = 0, (0) = 5^(0) = 5^(0) = 0, 5N](L) = 5N|(L) = 5Nj(L) = 0, 5Md(L) = 5M2d(L) = 5M3d (L) = 0,
za obojestransko vpeti steber:
5r1 (0) = 5r2(0) = 5r3(0) = 0, 5^(0) = 5^(0) = 5^(0) = 0, 5< (L) = 5^d(L) = 5$d(L) = 0, 5r1 (L) = 5r32(L) = 0, 5N] (L) = 0.
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
(3.83)
(3.84)
(3.85)
(3.86)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
(3.90)
Celoten sistem pogojev za dolocitev integracijskih konstant lahko zapišemo kot homogen sistem alge-brskih enacšb
Kß = 0,	(3.91)
kjer K predstavlja matriko koeficientov, ß pa je vektor integracijskih konstant. Ker nas zanimajo zgolj netrivialne rešitve za 5y, mora biti ß razlicen od nic. Uklonske sile dolocimo torej iz pogoja, ko je matrika K singularna. Pri tem za resšitev izberemo najmanjsšo vrednost.
3.5 Parametrične studije
3.5.1 Raven elastični razslojeni prostorski steber
Najprej bomo primerjali rezultate s primerljivimi rezultati iz literature. V ta namen v numericšnih sštudijah upoštevamo linearno elasticni material. V tem primeru matriki CN(yg, kg) in CM(yg, kg) izgledata
takole:
c n (y g, kg) =
EA	0	0	0	ES2	—ES3
0	GA2	0	0	0	0
0	0	GA3	0	0	0
Y G
kg
(3.92)
cm(yg, kg) =
0	0	0	GIt	0	0
ES2	0	0	0	EI2	EI23
—ES3	0	0	0	EI23	EI3
Y G
kg
(3.93)
E in G predstavljata elasticni in striZni modul; A je plošcina precnega prereza, S2 in S3 sta staticna momenta glede na lokalni osi, It je torzijski vztrajnostni moment precnega prereza; A2 in A3 sta plošcini efektivnih striznih prerezov v smeri G2 in G3; I2 in I3 sta vztrajnostna momenta in I23 je deviatoricni vztrajnostni moment precšnega prereza glede na lokalni koordinatni sistem.
Najprej analiziramo vpliv dolzine delaminacije, polozaj delaminacije, striznega modula in vitkosti na uklonsko nosilnost. Uklonsko silo (Fcr) normiramo glede na klasicno Eulerjevo uklonsko silo (FE) nede-laminiranega stebra. Pri tem je vitkost stebra definirana kot
A = L^A,
kjer I predstavlja manjši vztrajnostni moment prereza.
(3.94)
V	nadaljevanju redstavimo rezultate za razlicna razmerja elasticnega in striznega modula. S tem zajamemo razmerja najbolj uporabljenih materialov (beton, jeklo, les in anizotropni polimeri).
Najprej primerjamo rezultate predstavljene formulacije z razlicnimi rezultati iz literature. Opazujemo prostolezeci steber z vitkostjo A = 45. Steber je delaminiran s simetricno delaminacijo v vzdolzni smeri (L1 = L4). Privzeti elasticni modul je E = 3000 kN/cm2. V preglednici 3.1 primerjamo normirane uklonske sile za relativno navpicno pozicijo delaminacije rd = 0.4 in razlicne dolzine delaminacij (1d = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8) z rezultati iz literature (Simitses, Sallam, Yin, 1985, Lim, Parsons, 1993). Vsak rezultat normiramo glede na Eulerjevo (1744) uklonsko silo nedelaminiranega stebra.
Predstavljena teorija se dobro ujema s klasicnim pristopom, ce uvedemo dolocene poenostavitve. Za pravilno primerjavo predstavljenih analiticnih izrazov s klasicnimi moramo privzeti strizno tog in osno nestisljiv material (G = to, y1 = 0). Rezultate takega modela smo v preglednici 3.1 predstavili v zadnji vrstici.
V	nadaljevanju primerjamo rezultate predstavljene teorije za obojestransko vpeti steber z delaminacijo razlicnih dolzin ld na dveh relativnih višinah precnega prereza rd = 0.2 in 0.3. Precni prerez in elasticni modul privzamemo enak kot v prejšnjem primeru, medtem ko je strizni modul enak G = E/6. V preglednici 3.2 primerjamo rezultate z rezultati Chena (1991) ter Kardomateasa in Schmueserja (Kardo-mateas, Schmueser, 1988), ki so upoštevali vpliv striga v svojih modelih. Za lazjo primerjavo rezultate normaliziramo enako, kot je to storil Chen (1991). Predstavljeni rezultati se dobro ujemajo z drugimi. Pri osno nestisljivem materialu (y1 = 0) se rezultati dobro ujemajo z rezultati Ibrahimbegovica (1997).
V	naslednjem primeru obravnavamo raven razslojeni prostolezeci steber s konstantnim precnim prerezom višine h = 20 cm in širine b = 40 cm. V analizi spreminjamo dolzino delaminacije L23 glede na celotno dolzino stebra L in upoštevamo tri razlicna razmerja med striznim in elasticnim modulom G/E = 1, 1/2, 1/10. Rezultate prikazujemo v odvisnosti od vitkosti stebra.
Preglednica 3.1: Normirane uklonske sile za prostolezeci steber z dolzino delaminacije ld na relativni višini precnega prereza rd = 0.4.
Table 3.1: Normalized buckling loads for simply supported column with delamination length ld at relative vertical position rd = 0.4.
Method	0	0.2	0.4	ld 0.6	0.8
Euler (1744)	1.0000	-	-	-	-
Timoshenko (1961)	0.9715	-	-	-	-
Reissner (1972)	0.9715	-	-	-	-
Energijska metoda (Lim, Parsons, 1993)	-	0.9997	0.9902	0.9198	0.7264
Abaqus (Lim, Parsons, 1993)	-	0.9997	0.9902	0.9197	0.7264
Simitses, Sallam, Yin (1985)	-	0.9997	0.9902	0.9198	0.7264
Kroflic (G = E/6)	0.9715	0.9712	0.9622	0.8956	0.7111
Kroflic (G = to)	1.0000	0.9997	0.9902	0.9198	0.7264
Preglednica 3.2: Normalizirane uklonske sile za obojestransko vpeti steber z dolzino delaminacije ld na relativni višini precnega prereza rd.
Table 3.2: Normalized buckling loads of clamped-clamped column with delamination length ld at relative vertical positions rd.
ld	rd	Chen (1991)	Kordomateas, Schmueser (1998)	Kroflic (yi = 0)	Kroflicš
0.2	0.2	0.7816	0.8003	0.8003	0.8130
	0.3	0.8280	0.8543	0.8543	0.8688
0.4	0.2	0.2354	0.2215	0.2215	0.2226
	0.3	0.4803	0.4689	0.4689	0.4734
0.6	0.2	0.1080	0.0997	0.0997	0.1000
	0.3	0.2322	0.2184	0.2184	0.2194
0.8	0.2	0.0615	0.0565	0.0565	0.0565
	0.3	0.1353	0.1254	0.1254	0.1258
Na sliki 3.3 predstavljamo normirana uklonske sile v odvisnosti od razlicnih vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L), striznega modula (G) in lege delaminacije glede na precni prerez (^). Delaminacije pri vseh primerih na sliki 3.3 so vzporedne z robovi precnega prereza (0 = 0). Lahko opazimo, da za manjše razmerje G/E opazno pade uklonska sila pri vitkejših stebrih. Prav tako je uklon-ska sila pricakovano precej odvisna tudi od dolzine delaminacije. Daljše delaminacije znatno zmanjšajo uklonsko silo. Prav tako se uklonska sila zelo zmanjša, ce je delaminacija na robu precnega prereza stebra.
■Cr /FE
G=E, ^=0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4 0
■Cr /FE
G=E/2, p=0
e
20 40 60 80 100 120 0
G=E, p=4/10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3 0
■cr /Fe 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20 40 60 80 100 120 0
G=E, p=8/10
20 40 60 80 100 120 0
G=E/2, ^=4/10
20 40 60 80 100 120 0
G=E/2, ^=8/10
G=E/10, ^=0
L2S/L = 0.1 L23/L=0.2 WL=0.3
L2S/L=0.4 L23/L=0.5 L23/L=0.6 L23/L=0.7 L23/L=0.8
20
40 60
G=E/10, p.=4/10
80 100 120
vitkost
20
40 60
G=E/10, ^=8/10
80 100 120
vitkost
20 40 60 80 100 120 0 20 40
60
80 100 120 0 20 40
60
80 100 120
vitkost
Slika 3.3: Prostolezeci steber: normirana uklonska sila glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L), striznega modula (G) in lege delaminacije glede na precni prerez (ß). Figure 3.3: Simply supported column: normalized critical force vs. slenderness for various delamination lengths (L23/L), shear moduli (G) and delamination positions (ß).
Slika 3.4 predstavlja normirano uklonsko silo v odvisnosti od razlicnih vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L) in relativne vzdolzne lege delaminacije (L1rel = L1/(L - L23)). Za vrednosti okoli L1rel = 0.5 (delaminacija na sredini) uklonska sila nekoliko naraste, povecanje dolzine delaminacije pa uklonsko silo zmanjša.
Slika 3.5 prikazuje normirano uklonsko silo glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L) in relativne precne lege delaminacije (ß). Lahko opazimo, da robne delaminacije znatno zmanjšajo uklonsko silo, kar je še posebej razvidno pri daljših delaminacijah. Lahko opazimo tudi zmanjšanje uklonske sile na racun manjšega razmerja G/E.
Slika 3.4: Prostolezšecši steber: normirana uklonska sila glede na razlicšne vitkosti za razlicšne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L) in relativne vzdolzne lege delaminacije (Li rel).
Figure 3.4: Simply supported column: normalized critical force vs. relative delamination length (L23/L) and relative longitudinal position of delamination (Li rel).
Slika 3.5: Prostolezeci steber: normirana uklonska sila glede na razlicne vitkosti za razlicne vrednosti dolzine delaminacije (L23/L) in relativne precne lege delaminacije (ß).
Figure 3.5: Simply supported column: normalized critical force vs. relative delamination length (L23/L) and relative lateral asymmetrical lege of delamination (ß).
V naslednjem primeru prikazujemo rezultate uklonskih sil in uklonskih oblik za konzolno in obojestransko vpeti steber s precnim prerezom debeline h = 20 cm in širine b = 40 cm. Višina stebra znaša L = 400 cm. Želimo pokazati, kako je velikost uklonske sile (Fcr) odvisna od kota delaminacije 0 za razlicne navpicne pozicije delaminacije ß in razlicne dolzine delaminacij L23. Na slikah 3.6 (konzola) in 3.7 (obojestransko vpeti steber) predstavljamo rezultate v obliki polarnih grafov, na katerih prikazujemo normirano uklonsko silo v odvisnosti od kota delaminacije.
-e—^=0 -e— ^=0.4 -e— ^=0.8
L23/L=0.25 15° 0° -15°
60°
75°
0	0.4 0.8 1.2
Fer /Fe
L23 /L=0.5
15° 0° -15°
75
0	0.4 0.8 1.2
Ri/Fe
L23 /L=0.75
15° 0° -15
CO	
45°	-45°
/ "	......
60°/ S. , , \	: ' ■ ■. ^^ \60°
	
I I	-
0	0.4 0.8 1.2
ri/re
u=0 L
15° 0° -15°
-a—L23 /L=0.25 -a—L23 /L=0.5 -a—L23 /L=0.75
75° 75°
75°
0	0.4 0.8 1.2
Rer /Re
p,=0.4
15° " -15°
-75° 75
-75°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fer /Re
^=0.8
15° 0° -15°
75° 75°
30°^	
45°/	
60°/ .•■"'. \y	■ '' ''-^V \60°
	
75°
0	0.4 0.8 1.2
Rr/Re
Slika 3.6: Konzola: normirana uklonska sila (Fcr/Fe) v odvisnosti od zasuka delaminacije ^ (za razlicne vrednosti precne lege delaminacije ß in razlicne dolzine delaminacij L23).
Figure 3.6: Cantilever column: normalized critical force (Fct/Fe) vs. rotation of delamination ^ (for different values of asymmetrical position of delamination ß and for different lengths of delamination
L23).
Pri obeh tipih podpiranj lahko opazimo padec uklonske sile za kote delaminacij okoli 0 = 0°. Pri tem je opaznejši padec pri daljših delaminacijah in za delaminacije blizje robu stebra. Ugotovimo tudi, da so te razlike vecje pri obojestransko vpetem stebru kot pri konzoli. Posledica padca uklonske sile je lokalno izbocenje ozkega delaminiranega dela stebra, ki se zgodi pri znatno nizji uklonski sili kot uklon globalnega stebra.
-e— ^=0 -e— ^=0.4 -e— ^=0.8
75°
15°
Lb /L=0.25
0°
15°
1 0 CO	
45°/	
60/ /•'''■■ '" A	/.•'''■/. .•'•■\\-60°
	
	-
75°
0 0.2 0.4 0.6 0.8
r,/Fe
L23 /L=0.5
15°
-15°
60°
75° 75°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fer /Fe
L23 /L=0.75
15°
0°
-15°
75
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fcr /Fe
u=0
15° 0° -15°
-s—L23/L=0.25 -^L23/L=0.5 -s—L23/L=0.75
30°^"'—	^--^-30°
	
60/ -	-'Z"^-XX \60°
°/ fr •'•'■	
	-
75°
15°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fcr /Fe
^=0.4
0° -15°
60°
75°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fer /Fe
15°
^=0.8
0°
-15°
-75° 75
-75°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Fer /Fe
Slika 3.7: Obojestransko vpeti steber: normirana uklonska sila (Fcr/FE) v odvisnosti od zasuka delami-nacije ^ (za razlicne vrednosti precne lege delaminacije ß in razlicne dolZine delaminacij L23). Figure 3.7: Clamped-Clamped column: normalized critical force (Fcr/FE) vs. rotation of delamination ^ (for different values of asymmetrical position of delamination ß and for different lengths of delamination
L23 ).
Na slikah 3.8 in 3.9 predstavljamo uklonske oblike konzole in obojestranskovpetega stebra za delam-inacijo pri ß = 0.75. Simbol "3D" oznacuje prostorsko uklonsko obliko. Lahko vidimo, da v obeh primerih pride do ravninskega uklona pri delaminacijah s 0 = 0°, pri delaminacijah pod kotom pa se v vseh primerih zgodi prostorski uklon. Opazimo lahko tudi, da v vecini primerov pride do "mešanega" uklona, saj se poleg globalnega uklona stebra lokalno ukloni tudi delaminiran del stebra.
L23/L_0__^/3__^/2
	3D	3D
	3D	3D
	Sfc 3D ^^	3D
Slika 3.8: Uklonske oblike konzole z nesimetrično pozicijo delaminacije = 0.75) za razlicne kote ^ in dolžine delaminacij L23/L.
Figure 3.8: Buckling shapes of a cantilever column with non-symmetrical delamination (^ = 0.75) for various angles ^ and lengths of delaminations L23/L.
3.5.2 Zavit elastični razslojeni prostorski steber
Kot v prejšnjem poglavju tudi tukaj upoštevamo linearno elasticni material (3.92) in (3.93). Obravnavamo zacetno zavit konzolni steber s konstantnim precnim prerezom višne h = 50 cm in širine b =23 cm. Zacetno zavitje precnega prereza okoli racunske osi se giblje na intervalu [0, n]. Privzamemo elasticni modul E = 1200 kN/cm2 in strizni modul G = 75 kN/cm2. Višina stebra znaša L = 300 cm.
V	rezultatih loceno prikazujemo vpliv treh parametrov na uklonsko silo. Rezultati so prikazani v odvisnosti od razlicnih velikosti zacetnega zavitja precnih prerezov ^l. Pri tem vse rezultate normiramo z Eulerjevo uklonsko silo ravnega nedelaminiranega stebra.
Najprej analiziramo vpliv vitkosti A na uklonsko silo nedelaminiranega stebra v odvisnosti od razlicnega maksimalnega zacetnega zavitja precnih prerezov ^l (slika 3.10(a)). Opazimo lahko, da uklonska sila narašca z narašcanjem zacetnega kota navitja ne glede na izbrano vitkost stebra. Na sliki je opazen tudi vpliv striga na uklonsko silo cšokatih stebra.
V	nadaljevanju analiziramo vpliv precne lege delaminacije ^ na uklonsko silo delaminiranih stebrov. Privzamemo relativno dolgo delaminacijo (L23 = 2/3L), kije v vzdolzni smeri postavljena na sredino stebra (Li = Li = 2/3L). Precno lege delaminacije spreminjamo (glede na os G2) od simetricne postavitve ^ = 0 na sredini precnega prereza proti robu stebra. Slika 3.10(b) predstavlja normirano
0.25
L23/L 0.50
0.75
Slika 3.9: Uklonske oblike obojestransko vpetega stebra z nesimetricno pozicijo delaminacije (^ = 0.75) za razlicne kote ^ in dolzine delaminacij L23/L.
Figure 3.9: Buckling shapes of a clamped-clamped column with non-symmetrical delamination (^ = 0.75) for various angles ^ and lengths of delaminations L23/L.
uklonsko silo v odvisnosti od razlicnega maksimalnega zacetnega zavitja precnih prerezov za razlicne vrednosti Lahko opazimo zanemarljiv vpliv precne pozicije delaminacije ^ za stebre z zacetnim navitjem do kota n/2.
V zadnjem primeru analiziramo vpliv dolzine delaminacije L23 na uklonsko silo. Privzamemo simetricno postavitev delaminacije glede na precni prerez ^ = 0. Vzdolzno dolzino delaminacije spreminjamo od L23 = 1/6L do L23 = 5/6L. Slika 3.10(c) predstavlja normalizirano uklonsko silo v odvisnosti od razlicnega maksimalnega zacetnega zavitja precnih prerezov ^l za razlicne dolzine delaminacij L23. Pricakovano vrednost uklonske sile pada s povecevanjem dolzine delaminacije. S povecevanjem zacetnega zavitja prerezov narašca tudi uklonska sila stebra. Ta vpliv je opaznejši pri stebrih s krajšimi delaminacijami, a ga ne moremo zanemariti tudi pri daljših delaminacijah.
(A)
Fct/FE
Fr/FE
-e-L23=5L/6 ^L23=4L/6 jsvz-L23=3L/6 -k-L^3=2L/6 -B-L23=L/6
	0
	0.08
	=0.16
	=0.24
-B-ß=	=0.32
	=0.40
-e-x=	=15.06
	22.59
	30.12
	=37.65
-H-1=	45.18
-x-1=	=82.83
	120.5
Slika 3.10: Vpliv treh parametrov na uklonsko silo: (a) vitkost A, (b) precne lege delaminacije ß in (c) dolZine delaminacije L23.
Figure 3.10: Effect of three parameters on the critical buckling force: (a) slenderness A, (b) asymmetrical position ß and (c) length of delamination L23.
4 Zaključki
V	doktorski disertaciji smo predstavili nov numericšni model za nelinearno staticšno analizo vecšslojnih linijskih kompozitnih nosilcev s podajnimi veznimi sredstvi. Vsebinsko smo disertacijo razdelili v dva dela. V prvem delu smo predstavili numericni model za analizo ravninskih vecslojnih kompozitnih okvirjev. Vsak sloj kompozitnega okvirja smo modelirali z geometrijsko tocnim Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca. Konstitutivne enacbe veznih sredstev smo zapisali v "povprecni" bazi. Tako smo fizikalno smiselno posplošili znane konstitutivne zakone veznih sredstev, ki se uporabljajo pri linearnih modelih dvoslojnih kompozitnih nosilcev in so zapisani v prostorski bazi, tudi za analizo geometrijsko nelinearnih modelov vecšslojnih kompozitnih okvirjev. Nelinearni sistem ravnotezšnih enacb matematicnega modela smo rešili z novo druzino deformacijskih koncnih elementov. S številnimi racunskimi primeri smo analizirali konvergencne lastnosti novih koncnih elementov in natancnost nu-mericnega modela za analizo vecslojnih kompozitnih okvirjev s podajnimi veznimi sredstvi. Ugotovili smo:
•	da so konvergencne lastnosti novih deformacijskih koncnih elementov zelo dobre, saj le z nekaj koncšnimi elementi, pri katerih deformacije interpoliramo z Lagrangeovimi polinomi cšetrtega reda, dobimo zelo natancšne rezultate pri geometrijsko in materialno linearnih in nelinearnih modelih vecšslojnih kompozitnih nosilcev;
•	da parameter "povprecne" baze nima pomembnega vpliva na velikost kinematicnih kolicin upo-gibno obremenjenih dvoslojnih kompozitnih nosilcev;
•	da je predstavljeni numericni model zelo natancen, saj z njim zelo natancno dolocimo togost, duktilnost in nosilnost ter nacin porušitve zelo razlicnih vrst vecslojnih kompozitnih okvirjev, ki se uporabljajo v gradbeništvu.
Dodatno smo z detajlnimi parametricšnimi analizami ugotovili:
•	da ima pri upogibno obremenjenih dvoslojnih linijskih kompozitnih nosilcih vzdolzna togost stika prevladujoc vpliv na napetostno in deformacijsko stanje;
•	da ima precna togost stika pricakovano prevladujoc vpliv pri precnem razslojevanju dvoslojnih kompozitnih nosilcev;
•	da imata precna in vzdolzna togost stika velik vpliv na uklonsko nosilnost dvoslojnih kompozitnih stebrov.
V	drugem delu doktorske disertacije smo predstavili tocno rešitev uklonskih sil pri popolnoma razslojenih ravnih in zavitih elasticnih prostorskih stebrih. Tocno rešitev smo dolocili z linearizirano stabilnos-
tno analizo. S parametricšnimi sštudijami smo analizirali vpliv velikosti, lege in orientacije razslojenega dela elasticnega prostorskega stebra na njegovo uklonsko nosilnost. Ugotovili smo:
•	da lega in velikost popolnoma razslojenega dela ravnih in zavitih elasticnih prostorskih stebrov vplivata na njihovo uklonsko nosilnost. Tako je lahko uklonska nosilnost razslojenih ravnih elas-ticnih stebrov do devetdeset odstotkov manjša kot pri nerazslojenih stebrih, pri zavitih elasticnih razslojenih stebrih pa je ta vpliv mnogo manjši, do okoli petnajst odstotkov;
•	da orientacija razslojenega dela ravnega prostorskega nosilca lahko povzroci, daje ravnina lokalne uklonske oblike sloja drugacna, kot je ravnina globalne uklonske oblike razslojenega elasticnega prostorskega stebra.
5 Povzetek
V doktorski disertaciji smo se ukvarjali z analizo vecslojnih linijskih kompozitnih konstrukcij. Detajlno nas je zanimal vpliv vzdolzne in precne podajnosti veznih sredstev med sloji kompozitnih konstrukcij na togost, duktilnost, nosilnost okvirjev in uklonsko nosilnost stebrov. Disertacijo smo razdelili na dva vsebinsko locšena dela.
Drugo poglavje je osrednji del disertacije. V njem smo predstavili nov numericni model in pripadajoa racunalniški program v programskem okolju Matlab za nelinearno staticno analizo vecslojnih kompozitnih okvirjev s podajnimi veznimi sredstvi. Vsak sloj kompozitnega nosilca smo modelirali z geometrijsko tocnim Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca, pri cemer smo upoštevali poljubno nelinearno obnasšanje vsakega sloja in vseh veznih sredstev. Posebno pozornost smo posvetili modeliranju veznih sredstev oziroma stika med sloji. Predpostavili smo zelo splošen konstitutivni model veznih sredstev, ki omogoca modeliranje razslojevanja slojev kompozitnega nosilca tako v vzdolzni kot v precni smeri. V disertaciji smo komponente konstitutivne zveze veznih sredstev zapisali v povprecni bazi med tangen-tnimi in normalnimi baznimi vektorji slojev na stiku.
Osnovne ravnotezne nelinearne enacbe vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca smo v disertaciji resšili numericšno, in sicer z Galerkinovo metodo koncšnih elementov. Predstavili smo novo druzšino de-formacijskih koncšnih elementov za analizo razlicšnih vrst vecšslojnih linijskih kompozitnih okvirjev s po-dajnimi veznimi sredstvi, ki smo jih izpeljali z modificiranim izrekom o virtualnem delu za vecslojne linijske kompozitne nosilce. Neznanke nove druzine koncnih elementov so deformacijske kolicine vsakega sloja kompozitnega nosilca in le robne vrednosti ravnoteznih ter kinematicnih kolicin kompozitnega nosilca. Osnovne diskretne nelinearne ravnotezne enacbe vecslojnih linijskih kompozitnih nosilcev oziroma kompozitnih okvirjev smo v disertaciji rešili z Newton-Raphsonovo iteracijsko shemo, obtezno-deformacijsko krivuljo kompozitnega okvirja smo za znano obtezšbo dolocšili s konsistentno linearizirano Crisfieldovo metodo locne dolzine, casovni odziv vecslojnega linijskega kompozitnega nosilca okvirja zaradi lezenja in krcenja enega ali vec betonskih slojev okvirja pa s koracno metodo. Dodatno smo v disertaciji za linearne vecslojne linijske kompozitne nosilce predstavili analiticne rešitve za dolocitev njihovega napetostnega in deformacijskega stanja.
Z ustrezno izbiro materialnih modelov slojev in veznih sredstev lahko s predstavljenim numericnim modelom izvedemo geometrijsko in materialno nelinearno analizo razlicnih vrst vecslojnih kompozitnih okvirjev, ki se uporabljajo v gradbeništvu. Pri tem lahko analiziramo kompozitne okvirje iz poljubnih gradbenih materialov v mejnem stanju uporabnosti ali v mejnem stanju nosilnosti. Pri vecslojnih armiranobetonskih okvirjih oziroma pri vecslojnih kompozitnih okvirjih, pri katerih je en ali vec slojev iz armiranega betona, lahko analiziramo tudi vpliv mehcšanja precšnega prereza posameznega betonskega sloja na duktilnost in nosilnost kompozitnega okvirja in vpliv krcenja ter lezenja betona na togost vecslojnih kompozitnih okvirjev. Zaradi velike splošnosti je numericni model primeren tudi za analizo razslojevanja
vseh vrst kompozitnih okvirjev in tudi za doloatev uklonske nosilnosti razslojenih vecslojnih kompo-zitnih stebrov ter okvirjev. Uporabnost predstavljenega numericšnega modela za analizo togosti, duktil-nosti in nosilnosti vecslojnih kompozitnih okvirjev smo v doktorski disertaciji predstavili s številnimi racunskimi primeri. Z detajlnimi parametricnimi študijami smo ugotovili, da ima pri upogibno obremenjenih dvoslojnih linijskih kompozitnih nosilcih vzdolzna togost stika prevladujoc vpliv na napetostno in deformacijsko stanje. Pri precnem razslojevanju dvoslojnih kompozitnih nosilcev se izkaze, da ima prevladujoc vpliv precna togost stika. Na uklonsko nosilnost dvoslojnih kompozitnih stebrov vplivata obe, precšna in tudi vzdolzšna togost stika.
V tretjem poglavju doktorske disertacije smo predstavili tocno rešitev za dolocitev uklonske nosilnosti razslojenih prostorskih stebrov, ki smo jo dolocili s konsistentno linearizacijo osnovnih nelinearnih enacb razslojenih prostorskih stebrov. Tocne rešitve smo prikazali za ravne in zavite prostorske stebre z eno delaminacijo. Pri izpeljavi uklonskih sil razslojenih stebrov smo uporabili Reissner-Simov matematicni model za prostorske nosilce. Vpliv velikosti, lege in oblike razslojenega dela obravnavanih prostorskih stebrov smo v doktorski disertaciji prikazali s parametricnimi študijami. Izkazalo se je, da lega in velikost razslojenih delov ravnih in zavitih elasticnih prostorskih stebrov vplivata na njihovo uklonsko nosilnost. Ugotovili smo tudi, da lahko orientacija razslojenega dela ravnega prostorskega nosilca povzrocši, da ravnina lokalne uklonske oblike sloja ne sovpada z ravnino globalne uklonske oblike raz-slojenega elasticnega prostorskega stebra.
6 Summary
The analysis of multilayer composite structures was the topic of the presented doctoral thesis. The effect of shear and transverse connection stiffness between layers of composite structure on stiffness, ductility, load capacity of frames and buckling capacity of columns was examined in detail. Doctoral thesis was devided into two parts.
The second chapter presents the main part of doctoral thesis in which a new numerical model and corresponding softwer developed in Matlab environment for non-linear static analysis of multilayer composite frames with flexible connection were presented. Each layer of composite beam was modelled by geometrically exact Reissner's plane beam model where arbitrary non-linear behaviour of connection between layers was considered. A versatile model capable of describing debonding and slipping at the contact was introduced. Components of contact constitutive relationships were described in an average base established from tangential and normal contact basis vectors.
Basic set of non-linear equations of multilayer composite beam was solved numerically by Galerkin's finite element method. A new family of strain-based finite elements for the analysis of different types of multilayer composite beams with flexible interface connection was introduced. They were derived with the use of modified principle of virtual work for multilayer composite beams. Basic unknowns of presented finite elements were deformation quantities of each layer and equilibrium and kinematic quantities at the ends of composite beam. Basic discrete non-linear equilibrium equations of multilayer composite beams or frames were solved with Newton-Raphson iteration scheme. Load-deflection curve of composite beam at known load level was defined by consistently linearized Crisfield's arc-length method. Transient response of multilayer composite beam subjected to creep and shrinkage of one or more concrete layers was determined with step-by-step method. Additionally, an analytical solution for stress and strains state in linear multilayer composite beam was introduced in the doctoral thesis.
Proper selection of material models of layers and connections enabled us to perform geometrically and materially non-linear analysis for several different multilayer composite beams used in engineering practice. The analysis can be carried out for composite frames made out of arbitrary material in ultimate or serviceabillity limit state. The effect of cross-section softening of multilayer concrete composite beam on frame ductility and load capacity and the effect of shrinkage and creep on stiffness of multilayer composite frames can also be analyzed. Due to its versatility the presented numerical model is suitable also for the debonding analysis of different types of composite frames and also for determination of buckling load capacity of debonded multilayer composite columns and frames. There were many numerical examples presented to show the versatility of presented numerical model for the analysis of stiffness, ductility and load capacity of multilayer frames. Detailed parametric studies revealed that shear stiffness has a dominant influence on stress-strain state of two-layer composite beams. Transverse contact stiffness has a dominant effect on debonding of two-layer beams. Both, shear and transverse stiffness have a
significant effect on buckling capacity of two-layer composite columns.
A new exact solution for evaluating buckling capacity of debonded spatial columns was presented in the third chapter. The consistent linearization of basic non-linear equations of debonded spatial columns was the key to the success of presented approach. Exact solutions were presented for the case of straight and twisted spatial columns with one delamination and were derived with the use of Reissner-Simo's mathematical model for spatial beams. The effect of length, position and shape of debonded part of considered composite columns was investigated. It is clear that position and length of debonded parts of a straight and twisted elastic spatial beams affect buckling capacity of the column. It was also determined that the orientation of debonded part of a straight spatial column sometimes causes local buckling shape of delaminated part in plane which doesn't coincide with the plane of global buckling shape of debonded elastic spatial column.
Literatura
ACI committee-209. 1982. Prediction of creep, shrinkage, and temperature effects in concrete structures. Detroit, Michigan, American Concrete Institute (ACI).
Adekola, A. O. 1968. Partial interaction between elastically connected elements of a composite beam. Int. J. Solids Struct. 4(11): 1125-1135.
Alfano, G., Crisfield, M. A. 2001. Finite element interface models for the delamination analysis of laminated composites: mechanical and computational issues. Int. J. Numer. Methods Eng. 50: 1701-1736.
Almond, E. A. 1970. Delamination in banded steels. Metall. Trans. 1(7): 2038-2041.
Almusallam, T. H., Al-Salloum, Y. A. 2001. Ultimate strength prediction for RC beams externally strengthened by composite materials. Comp., Part B Eng. 32(7): 609-619.
Ansourian, P. 1981. Experiments on continuous composite beams. Proc. Inst. Civ. Eng. 73(1): 25-51.
Argyris, J. H. 1982. An excursion into large rotations. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 32(1-3): 85-155.
Au, C., Buyukozturk, O. 2006. Debonding of FRP plated concrete: a tri-layer fracture treatment. Eng. Fract. Mech. 73(3): 348-365.
Barenblatt, G. I. 1959. On equilibrium cracks formed in brittle fracture. General concepts and hypotheses. Axisymmetric cracks. J. Appl. Math. Mech. 23(3): 622-636.
Bazant, Z. P. 1972. Numerical determination of long-range stress history from strain history in concrete. Mat. and Struct. 5(27): 135-141.
Bazant, Z. P., Oh, B. H. 1983. Crack band theory for fracture of concrete. Mat. and Struct. 16(3): 155177.
Bazant, Z. P., Pijaudier-Cabot, G. 1989. Measurement of characteristic length of nonlocal continuum. J. Eng. Mech. 115(4): 755-767.
Bazant, Z. P., Planas, J. 1998. Fracture and size effect in concrete and other quasibrittle materials. Boca Raton, Florida, CRC Press: 640 str.
Betti, R., Gjelsvik, A. 1996. Elastic composite beams. Comput. Struct. 59(3): 437-451.
Bonet, J., Wood, R. D. 1997. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. Cambridge, Velika Britanija, Cambridge University Press: 248 str.
Bradford, M. A., Gilbert, R. I. 1991a. Experiments on composite beams at service loads. Kensington, N.S.W. : University of New South Wales: 18 str.
Bradford, M. A., Gilbert, R. I. 1991b. Time-dependent behaviour of simply-supported steel-concrete composite beams. Mag. Concr. Res. 43(157): 265-274.
Bradford, M. A., Gilbert, R. I. 1992. Composite beams with partial interaction under sustained loads. ASCEJ. Struct. Eng. 118(7): 1871-1883.
Bratina, S. 2003. Odziv armiranobetonskih linijskih konstrukcij na pozarno obtezbo. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer: 159 str.
Bratina, S., Saje, M., Planinc, I. 2004. On materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames. Int. J. Solids Struct. 41(24-25): 7181-7207.
CEB-FIB:1990. CEB-FIB Model Code (MC-90).
Chai, H., Babcock, C. D., Knauss, W. G. 1981. One dimensional modelling of failure in laminated plates by delamination buckling. Int. J. Solids Struct. 17(11): 1069-1083.
Chen, H. P. 1991. Shear deformation theory for compressive delamination buckling and growth. AIAA J. 29(5): 813-819.
Coleman, J., Spacone, E. 2001. Localization issues in force-based frame elements. J. Struct. Eng. 127(11): 1257-1265.
Cowper, G. R. 1966. The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory. J. Appl. Mech. 33(2): 335340.
Crisfield, M. A. 1981. A fast incremental/iterative solution procedure that handles snap-through. Comput. Struct. 13(1): 55-62.
Crisfield, M. A. 1996. Non-linear finite element analysis of solids and structures. Chichester idr., John Wiley & Sons: 362 str.
Cas, B. 2004a. Nelinearna analiza kompozitnih nosilcev z upoštevanjem zdrsa med sloji. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer: 136 str.
Cas, B., Saje, M., Planinc, I. 2004b. Non-linear analysis of composite steel-concrete beams with incomplete interaction. Steel Comput. Struct. 4(6): 489-507.
Cas, B., Saje, M., Planinc, I. 2004c. Non-linear finite element analysis of composite planar frames with an interlayer slip. Comput. Struct. 82(23-26): 1901-1912.
Daniels, B. J., Crisnel, M. 1993. Composite slab behavior and strength analysis. Part II: Comparison with test results and parametric analysis. J. Struct. Eng. 119(1): 36-49.
Desayi, P., Krishnan, S. 1964. Equation for the stress-strain curve of concrete. J. Am. Conc. Inst. 61(3): 345-350.
De Lorenzis, L., Teng, J. G., Zhang, L. 2006. Interfacial stresses in curved members bonded with a thin plate. Int. J. Solids Struct. 43(25-26): 7501-7517.
De Lorenzis, L., Zavarise, G. 2008. Modeling of mixed-mode debonding in the peel test applied to superficial reinforcements. Int. J. Solids Struct. 45(20): 5419-5436.
Dezi, L., Tarantino, A. M. 1993. Creep in composite continuous beams. II: Parametric study. J. Struct. Eng. 119(7): 2112-2113.
Dilger, W. H. 1982. Method of structural creep analysis. Creep and Shrinkage in Concrete Structures, Z. P. Bazant in F. H. Wittmann, eds., London, Velika Britanija, John Wiley and Sons: 305-339.
Dugdale, D.S. 1960. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids 8: 100-104.
Euler, L. 1744. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lausanne.
EN 338: 2003. Structural timber - Strength classes.
SIST EN 1992-1-1: 2005. Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij -1-1.del: Splošna pravila in pravila za stavbe.
Fabbrocino, G., Manfredi, G., Cosenza, E. 1999. Non-linear analysis of composite beams under positive bending. Comput. Struct. 70(1): 77-89.
Feng, Y. T., Peric, D., Owen, D. R. J. 1996. A new criterion for determination of initial loading parameter in arc-length methods. Comput. Struct. 58(3): 479-485.
Foschi, R.O. 1974. Load-slip characteristic of nails. Wood Sci. 7(1): 69-76.
Foschi, R. O., Bonac, T., 1977. Load-slip characteristics for connections with common nails. Wood Sci. 9(3): 118-123.
Gara, F., Ranzi, G., Leoni, G. 2006. Displacement based formulations for composite beams with longitudinal slip and vertical uplift. Int. J. Numer. Methods Eng. 65(8): 1197-1220.
Gattesco, N. 1999. Analytical modeling of nonlinear behavior of composite beams with deformable connection. J. Constr. Steel Res. 52(2): 195-218.
Ghali, A., Favre, R. 1994. Concrete structures: stress and deformation. London, Velika Britanija, Spon Press; 2 Sub edition.
Gilbert, R. I. 1988. Time effects in concrete structures. Amsterdam, Nizozemska, Elsevier Science Ltd: 33.
Girhammar, U. A., Gopu, V. K. A. 1993. Composite beam-columns with interlayer slip - exact analysis. ASCE J. Struct. Eng. 119(4): 1265-1282.
Goldberg, J. L., Schwartz, A. J. 1972. System of ordinary differential equations: an introduction. New York: Harper & Row, Publishes.: 315 str.
Goodman, J. R., Popov, E. P. 1968. Layered beam systems with interlayer slip. J. Struct. Div. 94(11): 2535-2547.
Granholm, H. 1968. On composite beams and columns with special regard to nailed timber structures. Trans. No. 88. Goeteborg, Sweden, Chalmers University of Technology, (v švedšcni).
Hamed, E., Bradford, M. A. 2010. Creep in concrete beams strengthened with composite materials. Eur. J. Mech. A. Solids 29(6): 951-965.
Hjelmstad, K. D. 2004. Fundamentals of structural mechanics. New York, zdruzene Drzave Amerike, Springer, 2. izdaja: 494 str.
Holzapfel, K. D. 2001. Nonlinear solid Mechanics: A continuum approach for engineering. West Sussex, England, John Wiley & Sons, 1. izdaja: 455 str.
Hozjan, T. 2009. Nelinearna analiza vpliva pozara na sovprezne linijske konstrukcije. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer: 117 str.
Ibrahimbegovic, A. 1997. On the choice of finite rotation parameters. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 149(1-4): 49-71.
Jansen, D. C., Shah, S. P. 1997. Effect of length on compressive strain softening of concrete. J. Eng. Mech. 123(1): 25-35.
Jirasek, M. 1997. Analytical and numerical solutions for frames with softening hinges. J. Eng. Mech. 123(1): 8-14.
Jirasek, M., Bazant, Z. P. 2001. Inelastic analysis of structures. John Wiley and Sons, Chichester.
Jurkiewiez, B., Buzon, S., Sieffert, J. G. 2005. Incremental viscoelastic analysis of composite beams with partial interaction. Comput. Struct. 83(21-22): 1780-1791.
Kamiya, F. 1987. Buckling theory of sheated walls: Linear analysis. J. Struct. Eng. 113(9): 2009-2022.
Kamiya, F. 1988. Buckling of sheated walls: Nonlinear analysis. J. Struct. Eng. 114(3): 625-641.
Kordomateas, G. A., Schmueser, D. W. 1988. Buckling and postbuckling of delaminated composites under compressive loads including transverse shear effect. AIAA J. 26(3): 337-343
Keller, H. B., 1970. Nonlinear bifurcation. J. Differential Equations 7: 417-434.
Krawczyk, P., Frey, F., Zieliiiski, A. P. 2007. Large deflections of laminated beams with interlayer slips Part 1: model development. Int. J. Comput.-Aided Eng. Soft. 24(1): 17-32.
Kroflic, A., Planinc, I., Saje, M., Cas, B. 2010a. Analytical solution of two-layer beam including interlayer slip and uplift. Struct. Eng. Mech. 34(6): 667-683.
Kroflic, A., Planinc, I., Saje, M., Turk, G., Cas, B. 2010b. Non-linear analysis of two-layer timber beams considering interlayer slip and uplift. Eng. Struct. 32(6): 1617-1630.
Kroflic, A., Saje, M. Planinc, I. 2011. Non-linear analysis of two-layer beams with interlayer slip and uplift. Comput. Struct. 89(23-24): 2414-2424.
Kryzanovski, A., Saje, M., Planinc, I., Zupan, D. 2008. Analytical solution for buckling of asymmetrically delaminated Reissner's elastic columns including transverse shear. Int. J. Solids Struct. 45(3-4): 1051-1070.
Lee, Y.-H., William, K. 1997. Mechanical properties of concrete in uniaxial compression. ACI Mat. J. 94(6): 457-471.
Lim, Y. B., Parsons, I. D. 1993. The linearized buckling analysis of a composite beam with multiple delaminations. Int. J. Solids Struct. 30(22): 3085-3099.
Manfredi, G., Fabbrocino, G., Cosenza, E. 1999. Modeling of steel-concrete composite beams under negative bending. J. Eng. Mech. 125(6): 654-662.
Markeset, G., Hillerborg, A. 1995. Softening of concrete in compression - localization and size effect. Cem. Concr. Res. 25(4): 702-708.
McCutcheon, W. J. 1986. Stiffness of framing members with partial composite action. ASCE J. Struct. Eng. 112(7): 1623-1637.
Milner, H. R., Tan, H. H. 2001. Modelling deformation in nailed, thin-webbed timber box beams. Com-put. Struct. 79(29-30): 2541-2546.
Moradi, S., Taheri, F. 1999. Delamination buckling analysis of general laminated composite beams by differential quadrature method. Compos.: Part B 30(5): 503-511.
Newmark, N. M., Siess, C. P., Viest, I. M., 1951. Tests and analysis of composite beams with incomplete interaction. Proc. Soc. Exp. Stress Anal. 9(1): 75-92.
Nguyen, D. M., Chan, T. K., Cheong, H. K., 2001. Brittle failure and bond development length of CFRP-concrete beams. J. Compos. Constr. 5(1): 12-17.
Ollgaard, J. G., Slutter, R. G., Fischer, J. W., 1971. Shear strength of stud connectors in lightweight and normal weight concrete. AISC Eng. J. 8: 55-64.
Pischl, R. 1980. Holzbau mit kritischen betrachtungen und neuen vorschlagen zur bemessungnach theorie 1. und 2. ordnung. Institut für Stahlbau, Holzbau und Flachentragwerke, Technische Univerität Graz.
Planinc, I. 1998. Racun kriticnih tock konstrukcij s kvadraticno konvergentnimi direktnimi metodami. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer: 83f str.
Planinc, I., Saje, M., Cas, B. 2001. On the local stability condition in the planar beam finite element. Struct. Eng. Mech. 12(5): 507-526.
Planinc, I., Schnabl, S., Saje, M., Lopatic, J., Cas, B. 2008. Numerical and experimental analysis of timber composite beams with interlayer slip. Eng. Struct. 30(11): 2959-2969.
Pleshkov, P. F. 2008. Theoretical studies of composite wood structures. Soviet Union (v rušcini).
Rabanovitch, O., Frostig, Y. 2001. Delamination failure of RC beams strengthened with FRP strips - a closed-form high-order and fracture mechanics approach. J. Eng. Mech. 127(8): 852-861.
Rabanovitch, O. 2008. Debonding analysis of fiber-reinforced-polymer strengthened beams: cohesive zone modelling versus a linear elastic fracture mechanics approach. Eng. Fract. Mech. 75(10): 28422859.
Rahimi, H., Hutchinson, A. 2001. Concrete beams strengthened with externally bonded FRP plates. J. Compos. Constr. 5(1): 44-56.
Ramm, E., 1980. Strategies for tracing the nonlinear response near limit points. 2nd US-Europe Workshop on nonlinear finite element analysis in structural mechanics. (Ruhr Universität Bochum, Germany, eds. K.-J. Bathe, E. Stein & W. Wunderlich), Berlin, Springer Verlag: 63-89.
Ranzi, G., Gara, F., Ansourian, P. 2007. General method of analysis for composite beams with longitudinal and transverse partial interaction. Comput. Struct. 84(31-32): 2373-2384.
Ranzi, G., Bradford, M. A. 2007. Direct stiffness analysis of a composite beam-column element with partial interaction. Comput. Struct. 85(15-16): 1206-1214.
Ranzi, G., Bradford, M. A. 2008. Analysis of composite beams with partial interaction using the direct stiffness approach accounting for time effects. Int. J. Numer. Methods Eng. 78(5): 564-586.
Ranzi, G., Dall'Asta, A., Ragni, L., Zona, A. 2010. A geometric nonlinear model for composite beam with partial interaction. Eng. Struct. 32(5): 1384-1396.
Rassam, H. Y., Goodman, J. R. 1970. Buckling behaviour of layered wood columns. Wood Sci. 2(4): 238-246.
Rassam, H. Y., Goodman, J. R. 1971. Design of layered wood columns with interlayer slip. Wood Sci. 3(3): 149-155.
Rasheed, H. A., Pervaiz, S. 2002. Bond slip analysis of fiber-reinforced polymer-strengthened beams. J. Eng. Mech. 128(1): 78-86.
Razaqpur, A. G., Nofal, M. 1989. A finite element for modelling the nonlinear behavior of shear connectors in composite structures. Comput. Struct. 32(1): 169-174.
Reissner, E. 1972. On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem. J. App. Math. Phys. (ZAPM) 23: 795-804.
Robinson, H., Naraine, K. S. 1988. Slip and uplift effects in composite beams. Proceedings, Engineering Foundation Conference on Composite Construction (ASCE): 487-497.
Rodman, U., Saje, M., Planinc, I., Zupan, D. 2007. Exact buckling analysis of composite columns including multiple delamination and transvere shear. Eng. Struct. 30(6): 1500-1514.
Roll, F. 1971. Effects of differential shrinkage and creep on composite steel-concrete structures. Designing for effects of creep, shrinkage and temperature in composite structures SP-27, American Concrete Institute, Detroit: 187-214.
Salari, M. R., Spacone, E. 2001. Analysis of steel-concrete composite frames with bond-slip. J. Struct. Eng. 127(11): 1243-1250.
Seracion, R., Oehlers, D. J., Yeo, M. F. 2001. Partial-interaction flexural stresses in composite steel and concrete bridge beams. Eng. Struct. 23(9): 1186-1193.
Schnabl, S., Planinc, I., Saje, M., Cas, B., Turk, G. 2006. An analytical model of layered continuous beams with partial interaction. Struct. Eng. Mech. 22(3): 263-278.
Schnabl, S., Planinc, I. 2011. Exact buckling loads of two-layer Reissner's composite column with interlayer slip and uplift. Osebna komunikacija. (10.1.2011).
Schweizerhof, K. H., Wriggers, P. 1986. Consistent linearization for path following methods in nonlinear fe analysis. Comput. Method Appl. M. 59(3): 261-279.
Silfwerbrand, J. 1997. Stresses and strains in composite concrete beams subjected to differential shrinkage. ACI Structural J. 94(4): 347-353.
Simitses, G. J., Sallam, S., Yin, W. L. 1985. Effect of delamination of axially loaded homogeneous laminated plates. AIAA J. 23(9): 1437-1445.
Simo, J.C. 1985. A finite strain beam formulation. The three-dymensional dynamic problem. Part I. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 49(1): 55-70.
Smith, S. T., Teng, J. G. 2001. Interfacial stresses in plated beams. Eng. Struct. 23(7): 857-871.
Sousa Jr., J. B. M., da Silva, A. R. 2010. Analytical and numerical analysis of multilayered beams with interlayer slip. Eng. Struct. 32(6): 1671-1680.
Stüssi, F. 1947. Zusammengesetze Vollwandtrager, Int. Assoc. Bridge Struct. Eng. 8: 249-269.
Skec, L., Schnabl, S., Planinc, I., Jelenic, G. 2011. Analytical modeling of multilayer beams with compliant intervaces. Osebna komunikacija. (10.1.2012).
Tarantino, A. M., Dezi, L. 1992. Creep effects in composite beams with flexible shear connectors. J. Struct. Eng. 118(8): 2063-2081.
Teng, J. G., Yuan, H., Chen, J. F. 2006. FRP-to-concrete interfaces between two adjacent cracks: theoretical model for debonding failure. Int. J. Solids Struct. 43(18-19): 5750-5778.
Timoshenko, S. P. 1961. Theory of elastic stability. New York, Zdrmene Drzave Amerike, McGraw-Hill Book.
Toutanji, H., Ortiz, G. 2001. The effect of surface preparation on the bond interface between FRP sheets and concrete memebers. Composites, Part B 53(4): 457-462.
Van Der Linden, M. 1999. Timber-concrete composite beams. HERON, 44(3): 215-239.
Viest, I. M. 1999. Review of research on composite steel-concrete beams. J. Struct. Div. 86(6): 1-21.
Volokh, K. Y., Needleman, A., 2002. Buckling of sandwich beams with compliant interfaces. Comput. Struct. 80(14-15): 1329-1335.
Wang, Y. C. 1998. Deflection of steel-concrete composite beams with partial interaction. J. Struct. Eng. 124(10): 1159-1165.
Washizu, K. 1981. Variational methods in elasticity and plasticity. Pergamon Press, Oxford: 540 str.
Wheat, D. L., Vanderbilt, M. D., Goodman, J. R. 1983. Wood floors with nonlinear nail stiffness. J. Struct. Eng. 109(5): 1290-1302.
Wriggers, P., 2008. Nonlinear finite element methods. Springer: 572 str.
Xu, R., Wu, Y. F. 2007. Two-dimensional analytical solutions of simply supported composite beams with interlayer slips. Int. J. Solids Struct. 44(1): 165-175.
Yang, Q. S., Peng, X. R., Kwan, A. K. H., 2006. Strain energy release rate for interfacial cracks in hybrid beams. Mech. Res. Commun. 33(6): 796-803.
Ye, J. Q. 2001. Interfacial shear transfer of RC beams strengthened by bonded composite plates. Cem. Concr. Compos. 23(4-5): 411-417.
Zupan, D., Saje, M. 2003a. Finite-element formulation of geometrically exact threedimensional beam theories based on interpolation of strain measures. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 192(49-50): 5209-5248.
Zupan, D. 2003b. Rotacijsko invariantne deformacijske kolicine v geometrijsko tocni teoriji prostorskih nosilcev. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisštvo in geodezijo, Konstrukcijska smer: 210 str.