9 770351 665845
4
M
A
T
E
M
A
T
IK
A
+F
IZ
IK
A
+A
S
T
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
T
V
O
#
ISSN 0351-6652
9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 8 4 5
PR E S E K L E T N I K 4 8 ( 2 0 2 0 / 2 0 2 1 ) Š T E V I L K A 4
 
 
 
   
̌:  ̌
   
             P     
              
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
letnik 48, šolsko leto 2020/2021, številka 4
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni
pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan
Golli, Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar,
Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan
Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej
Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik),
Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž
Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naročnina za šolsko leto 2020/2021 je za posamezne
naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za
skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka
6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa
znaša 30 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih
periodičnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1100 izvodov
© 2021 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2131
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike,
fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež
institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte-
vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma
razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri
ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.








̌










b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
    ̌        
P 48 (2020/2021) 42
Zmes
matematike
in kuhanja
Povezave med matematiko in kuhanjem sežejo
dlje od sadne pite, na katero nas spominja ime zna-
menite krožne konstante. Z uporabo diferencialnih
enačb za opis gibanja tekočin in prevajanja toplote
so skupine raziskovalcev odkrile, kako se špageti zvi-
jejo med kuhanjem, kako zavrteti ponev, da bi spekli
popolno palačinko, in kakšna je najboljša tempera-
tura za popoln zrezek. Izkušeni kuharji vedo pove-
dali, da je bolje meriti sestavine glede na maso kot na
prostornino, saj sladkor, moka in druge sestavine v
trdnem stanju zaradi zrnatosti ne napolnijo 100 %
prostornine posode, ki jo zasedajo, ampak včasih
precej manj.
Problemi pakiranja so aktivno področje matema-
tičnih raziskav. Raziskovalci iščejo razporeditve
objektov, ki porabijo najmanj prostora v posodi, ali
pa razporeditve, ki porabijo čim manj posod. Rezul-
tati različnih raziskav o pakiranju so lahko uporabni
tudi pri kodah za popravljanje napak, ki so ključne
za komuniciranje s pomočjo mobilnih telefonov ali
interneta. Več o tem si lahko preberete v knjigi Euge-
nie Cheng: How to bake Pi: An Edible Exploration of
the Mathematics of Mathematics. Pa dober tek!
SLIKA.
Ena izmed nagrajenih
Pit (avtor Jernej Puc)
na tekmovanju ob Pi
dnevu 14. 3. 2019 na
Fakulteti za matema-
tiko in fiziko Univerze
v Ljubljani.
Izvirno besedilo: Mixing Math and Cooking, Mathematical Mo-
ments from the AMS. Prevod in priredba: Boštjan Kuzman
ˆ ˆ ˆ
S  : Jesen ni vedno le siva in deževna, pre-
seneti nas lahko s pisanimi barvami. (Foto: Tina Ogrinc).
̌ 
2 Zmes matematike in kuhanja

4–6 Kocka Soma
(Nada Razpet)

13–15, 18 Siva mrena
(Aleš Mohorič in Jože Rakovec)

19–22 Virialni teorem
(Krištof Skok)
̌̌
23–27 O predstavitvi podatkov v računalniku:
decimalna števila
(Jure Slak)

7–8 Izjemen uspeh na 61. mednarodni
matematični olimpijadi
(Boštjan Kuzman)
8–12 21 aritmetičnih vprašanj o številu 2021
(Boštjan Kuzman)
12 Barvni sudoku
16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokalič)
28 Rešitev nagradne križanke Presek 48/2
(Marko Bokalič)
29–31 Naravoslovna fotografija – Odboj in
interferenca morskih valov
(Jurij Senič)

priloga Tekmovanje iz znanja naravoslovja –
šolsko tekmovanje
    
P 48 (2020/2021) 4 3
Kazalo
     
P 48 (2020/2021) 44
Kocka Soma
N R
Kocko Soma je iznašel Piet Hein (1905–1996), ko
je študiral naravoslovje. Leta 1936 je poslušal pre-
davanja Wernerja Heisenberga o kvantni mehaniki.
Ker je predavatelj govoril o delitvi prostora na koc-
ke, je začel iz enotskih kock sestavljati telesa. Ime-
novali jih bomo gradniki. Odločil se je, da bodo
imeli gradniki le tri ali štiri enotske kocke in da
med njimi ne bo kvadrov. Takih gradnikov, ki
imajo štiri enotske kocke, je šest, s tremi pa je
eden. Ko je imel gradnike, jih je začel sestavljati.
Ugotovil je, da lahko iz teh sedmih gradnikov se-
stavi kocko. Imenoval jo je kocka Soma. Hein se je
kasneje uveljavil kot literat, izumitelj in še kaj.
V Preseku so kocko Soma že omenjali [1]. Tokrat
se bomo posvetili možnim legam gradnikov pri se-
stavljanju kocke in načinom zapisovanja leg. Dodali
bomo še primer telesa, ki ga lahko zložimo iz teh
gradnikov.
Igra je bila prvič objavljena leta 1958 v reviji Sci-
entific American, vendar ni vzbudila splošnega zani-
manja. Priljubljena je postala šele, ko je o njej v isti
reviji julija 1969, v rubriki Mathematical Games, pi-
sal Martin Gardner [2]. Kasneje je o tem objavil še
več člankov.
Iz omenjenih gradnikov lahko sestavimo kocko na
240 različnih načinov, kar so šele v osemdesetih le-
tih prejšnjega stoletja dokazali Christoph Peter-Orth,
Jon Brunvoll s skupino avtorjev in mnogi drugi. Pri
tem iskanju in zapisovanju rešitev so si pomagali z
računalniki.
Na sliki 1 je fotografija gradnikov kocke Soma.
Gradnike si lahki predstavimo tudi s programom Ge-
ogebra. Pri sestavljanju se morajo gradniki med se-
boj dotikati po celih ploskvah enotskih kock. Gra-
dnike lahko izdelate sami iz lesenih kock ali iz pa-
pirja. Navodila za papirnate gradnike najdete na
spletu, če v iskalnik vtipkate Origami sonobe Soma
cube. Če imate 3D tiskalnik, pa jih natisnite.
Oznake gradnikov in njihove možne lege
Najprej gradnike označimo s številkami od 1 do 7,
kakor kaže slika 1. Opazimo, da sta gradnika 5 in
6 zrcalno simetrična. Gradnik 1 sestavljajo tri enot-
ske kocke, vse ostale gradnike pa štiri enotske kocke,
skupaj torej 27 enotskih kock, kar je ravno prostor-
nina kocke z robom tri enote. Različni avtorji bar-
vajo gradnike različno, poleg tega nekateri gradnike
označujejo s črkami V, L, T, Z, A, B in P.
SLIKA 1.
Sedem gradnikov, sestavljenih iz enotskih kock.
     
P 48 (2020/2021) 4 5
Kam lahko postavimo posamezni gradnik? Gra-
dnik 1, 4, 5, 6 in 7 lahko postavimo tako, da pokrijejo
en vogal ali pa nobenega (slika 2).
SLIKA 2.
Zgoraj. Gradniki 1, 4, 5, 6 in 7 ne pokrivajo vogalov sestavljene
kocke. Spodaj. Tloris gradnikov v legi, ko ne pokrivajo vogalov
kocke.
Gradnik 2 lahko pokrije nič, enega ali dva vogala.
Gradnik 3 (zaradi boljše vidljivosti je na skicah te-
mno rjave barve namesto barve lesa) pa lahko po-
krije dva vogala ali pa nobenega (slika 3).
Kako začeti?
Nekateri avtorji predlagajo, da začnemo z naslednjo
nalogo. Iz samo dveh gradnikov sestavite skulpturo
na sliki 4. Katere pare gradnikov lahko uporabimo?
Odgovor: (2,5) ali (2,8). Poskusite.
Sestavljamo kocko
Za sestavljanje kocke sta torej najpomembnejši legi
gradnikov 2 in 3. Imamo naslednje možnosti:
Gradnika 2 in 3 pokrijeta po dva vogala, ostane še
pet gradnikov, od katerih eden ne sme pokrivati
vogala (primer uravnotežene kocke).
Gradnik 2 pokrije dva vogala, gradnik 3 nobenega,
ostalih pet gradnikov pa ne more pokriti šest vo-
galov, zato na ta način ne moremo sestaviti kocke,
saj nimamo pokritih vseh osem vogalov.
Gradnik 3 pokrije dva vogala, gradnik 2 pokrije en
vogal, potem mora ostalih pet gradnikov pokriti
vsak po en vogal. Kako v tem primeru sestavimo
kocko, pa opišimo v naslednjem primeru.
SLIKA 3.
Gradnik 2 pokriva nǐc, dva ali en vogal, gradnik 3 pokriva dva
vogala ali nobenega.
SLIKA 4.
Iz samo dveh gradnikov sestavite to skulpturo.
     
P 48 (2020/2021) 46
Gradnik 3 pokrije dva vogala, vsi ostali gradniki
pa po en vogal
Poskušajmo zapisati, kako sestavimo kocko. Dogo-
vorimo se, da bomo sestavljena telesa opisovali po
plasteh, nekako tako, kot so npr. po plasteh predsta-
vljeni načrti za sestavljanje Lego kock.
Za primer vzemimo, da iz gradnikov sestavimo
kocko, ki ji rečejo tudi uravnotežena kocka, to pa
zato, ker jo lahko podpremo z enim samim prstom
na sredini spodnje osnovne ploskve, pa se ne sesuje
na sestavne dele.
Spodnja plast
2 4 6
4 4 6
4 5 3
Srednja plast
2 6 6
5 5 3
7 5 3
Zgornja plast
2 2 1
7 1 1
7 7 3
Kako smo iz gradnikov sestavili kocko, kaže slika
5. Oglejmo si najprej spodnjo plast. Sestavlja jo ena
od enotskih kock gradnikov 2, 3 in 5, dve enotski
kocki gradnika 6 in gradnik 4. Kako to zapišemo? V
prvi vrstici prvega stolpca tabele je vpisana številka
gradnika, katerega enotska kocka je v najnižji plasti
zgoraj levo, to je enotska kocka rumenega gradnika,
ki ima številko 2. V drugem stolpcu prve vrstice je
zapisana številka gradnika, katerega enotska kocka
je v najnižji plasti v zgornji vrstici na sredini, to je
enotska kocka rdečega gradnika, ki ima številko 4, in
tako naprej, vrstico za vrstico in plast za plastjo.
Sprva so mislili, da je možno sestaviti uravnote-
ženo kocko na en sam način, potem pa je Stuart Col-
lins leta 1998 ugotovil, da je takih možnosti več. Sle-
dil je plaz in z leti so dodajali nove rešitve za uravno-
teženo kocko. Leta 2012 je Hartwig Beusch zapisal
27 načinov sestavljanja uravnotežene kocke, pri če-
mer niso vštete zrcalne ali rotacijske simetrije.
Literatura
[1] F. Savnik, Pozabljeno med vsakdanjostmi, Pre-
sek, 33 (2005/2006), 7–9, DMFA – založništvo,
Ljubljana.
[2] M. Gardner, The 2nd Scientific American book
of mathematical puzzles & diversions, Univer-
sity of Chicago Press, Chicago, 65–77, 1987.
SLIKA 5.
Prva slika. Le gradnik 4 leži (ves) v prvi plasti, ostale gradnike
vidimo v prerezu. Druga in tretja slika. Sestavljanje kocke iz
gradnikov.
[3] Soma cubes, dostopno na www.
mathematische-basteleien.de/somacube.
htm, ogled 18. 1. 2021.
ˆ ˆ ˆ
     
P 48 (2020/2021) 4 7
21 aritmetičnih vprašanj
o številu 2021
B̌ K
Matematika je kraljica znanosti,
teorija števil pa kraljica matematike.
(Carl Friedrich Gauss, 1777–1855)
Pa začnimo leto 2021 po kraljevsko, z ugankami iz
teorije števil oziroma aritmetike, vede, ki je od antike
dalje vznemirjala veleume, kot so bili Pitagora, Ar-
himed, Evklid, Eratosten, Diofant, Fibonacci, Fermat,
Euler, Gauss, Legendre, Lagrange in številni drugi ve-
liki matematiki.
21 vprašanj o številu 2021 na spodnjem seznamu
je izbranih tako, da bi bila zanimiva in razumljiva
čim širšemu krogu bralcev. Večine vprašanj se lahko
lotimo povsem naivno s preiskovanjem in tabelira-
njem, vsaj dve tretjini vprašanj pa je elegantno re-
šljivih s srednješolsko matematiko (in nekaj vztraj-
nosti). Velik del vprašanj je sicer povezan s klasič-
nimi izreki teorije števil, zato bodo teoretično do-
bro podkovani bralci na nekatera vprašanja odgovo-
rili skoraj brez razmišljanja, drugi pa si bodo morali
malo pomagati z literaturo in brskanjem po spletu.
Bralci z osnovnim znanjem programiranja bi sicer ve-
čino nalog zlahka rešili s pomočjo računalnika, toda
preverjanje lastnosti števila 2021 z grobo silo je po-
dobno nabiranju travniških cvetlic z buldožerjem, či-
sto vseh odgovorov pa s pomočjo računalnika niti ni
mogoče dobiti.
Vabljeni, da sprejmete izziv in preizkusite svoje
znanje, ali pa se še kaj novega naučite. In če se
vam slučajno kje zatakne, najdete rešitve na nasle-
dnjih straneh. Tam vas čaka tudi dodatna, nagradna
uganka.
1. Ali je 2021 praštevilo?
2. Ali je 2021 popolno število?
3. Ali je 2021 Fibonaccijevo število?
4. Ali je 2021 trikotniško število?
5. Ali je 2021 k-kotniško število za kakšen k ă
2021?
6. Ali je 2021 vsota dveh praštevil?
7. Ali je 2021 vsota treh praštevil?
8. Ali je 2021 vsota treh trikotniških števil?
9. Ali je 2021 vsota vsaj treh zaporednih naravnih
števil?
10. Ali je 2021 razlika dveh kvadratov?
11. Ali je 2021 vsota dveh kvadratov?
12. Ali je 2021 vsota štirih kvadratov?
13. Katero je najmanjše število, ki ima natanko
2021 deliteljev?
14. Koliko manjših naravnih števil je tujih številu
2021?
15. Ali obstaja 2021 zaporednih sestavljenih šte-
vil?
16. Ali obstaja število z vsoto deliteljev 2021?
17. Ali obstaja celoštevilski pravokotni trikotnik s
stranico dolžine 2021?
18. Ali obstaja praštevilo med številoma 22020 in
22021?
19. Koliko je r
?
1s`r
?
2s`r
?
3s` . . .`r
?
2021s, kjer
je rxs celi del števila x?
20. S koliko ničlami se konča število 2021! v običaj-
nem desetiškem zapisu?
21. Ali velja x2021 `y2021 “ z2021 za kakšno trojico
naravnih števil x,y, z?
     
P 48 (2020/2021) 48
Odgovori
1. Če 2021 ni praštevilo, mora biti deljivo z ne-
kim praštevilom, ki je manjše od
?
2021 ă 45.
Že na daleč vidimo, da število 2021 ni deljivo
z 2,3 ali 5. Po zaporednih deljenjih s praštevili
7,11,13, . . . ,43 prav v zadnjem, štirinajstem
koraku ugotovimo, da velja 2021 “ 43¨47, torej
je število 2021 sestavljeno. Primer lepo pokaže,
kako računsko zahteven je lahko problem fak-
torizacije števila z dvema velikima prafaktor-
jema, če uporabimo najbolj preprosto metodo
z zaporednim deljenjem. Faktorizacijo bi v tem
primeru našli precej hitreje, če bi opazili, da je
2021 “ 452 ´ 22 “ p45 ´ 2qp45 ` 2q.
2. Ne, saj je vsota pravih deliteljev števila 2021
enaka 1 ` 43 ` 47 “ 91. Marsikateri bralec bi
verjetno znal iz glave našteti štiri najmanjša po-
polna števila 6, 28, 496 in 8128, ki jih je poznal
že Evklid. Ker je 2021 liho število, pa lahko
omenimo še, da je vseh 51 doslej znanih po-
polnih števil sodih. Vprašanje obstoja lihega
popolnega števila je še vedno odprto.
3. Ne. Zaporedje Fibonaccijevih števil 0,1,1,2,3,
5,8,13,21, . . . lahko opišemo z rekurzivno zve-
zo Fn “ Fn´1 ` Fn´2 za n ě 2 in začetnima
pogojema F0 “ 0, F1 “ 1. Ker števila naraščajo
zelo hitro, bomo tudi brez računalnika hitro
ugotovili, da je F17 “ 1597 in F18 “ 2584, torej
število 2021 ni Fibonaccijevo. Lahko pa bi upo-
rabili tudi kriterij Ire Gessla (1971), ki je doka-
zal, da je število N Fibonaccijevo natanko tedaj,
ko je vsaj eno od števil 5N2 ˘ 4 popoln kvadrat.
4. Ne. Trikotniška števila, katerih lastnosti so pre-
učevali že Pitagora in njegovi učenci, predsta-
vljajo vsoto prvih n naravnih števil: Tn “ 1 `
2` . . .`n “ npn`1q2 , kvadratna enačba
npn`1q
2 “
2021 pa nima rešitev v naravnih številih.
5. Ne. Že antični matematik Nikomah je v knjigi
Uvod v aritmetiko iz 2. stoletja našega štetja
ugotovil, da zvezo med večkotniškimi in triko-
tniškimi števili dobimo s pomočjo razreza k-
kotnika na trikotnike. Od tod sledi, da lahko n-
to k-kotniško število opišemo z izrazom
Pnpkq “ n2 p2 ` pk ´ 2qpn ´ 1qq in hitro se pre-
pričamo, da enačba Pnpkq “ 2021 nima rešitev
v naravnih številih za k ă 2021.
6. Ne. Ker je 2021 liho število, bi iz p ` q “ 2021
sledilo, da je eno od praštevil p,q sodo, torej 2,
toda potem bi bil drugi seštevanec 2019, to pa
ni praštevilo, ker je deljivo s 3.
7. Da. Lahko se skličemo kar na Šibko Goldba-
chovo domnevo, ki jo je dokazal Harald Hel-
fgott leta 2013: vsako liho število, večje od 5,
lahko zapišemo kot vsoto treh praštevil. Z ne-
kaj ugibanja hitro najdemo kakšno od možno-
sti, denimo 2003+13+5, iskanja vseh 3392 mo-
žnosti pa se raje lotimo z računalnikom. Kot
zanimivost pa omenimo še, da je še vedno ne-
dokazana izvirna Goldbachova domneva iz pi-
sma Eulerju leta 1742. Ta pravi, da lahko vsako
sodo število, večje od 2, zapišemo kot vsoto
dveh praštevil.
8. Da. Domnevo, da lahko vsako naravno število
zapišemo kot vsoto največ treh trikotniških šte-
vil, je zapisal že Fermat leta 1636, leta 1796 pa
jo je prvi dokazal takrat 19-letni Carl Friedrich
Gauss. Število 2021 lahko sicer zapišemo na 9
načinov, eden je T61`T15`T4 “ 1891`120`10.
Pri iskanju takega zapisa je ugodno začeti s čim
večjim prvim členom in s tem zmanjšati število
možnosti za druga dva člena.
9. Da. Enačba pa`1q` . . .`pa`kq “ ka` kpk`1q2 “
k
2 p2a ` k ` 1q “ 2021 ima za k ě 3 dve re-
šitvi v naravnih številih: pa “ 19, k “ 47q in
pa “ 25, k “ 43q. Števila, ki jih lahko zapišemo
kot vsoto vsaj dveh zaporednih naravnih šte-
vil, pa sicer imenujemo tudi trapezna števila,
saj predstavljajo razliko dveh trikotniških šte-
vil. Znano je, da so taka vsa naravna števila
razen potenc števila 2.
10. Da. Znano je, da lahko vsako liho naravno šte-
vilo vsaj na en način zapišemo kot razliko dveh
kvadratov: 2k ` 1 “ pk ` 1q2 ´ k2. Ta način
je edini, kadar gre za praštevilo, v našem pri-
meru pa z obravnavo enačbe 2021 “ x2 ´y2 “
px ` yqpx ´ yq dobimo dve rešitvi: 2021 “
452 ´ 22 “ 10112 ´ 10102.
11. Ne. Iz Fermatovega izreka o vsoti dveh kvadra-
tov sledi, da lahko dano naravno število zapi-
     
P 48 (2020/2021) 4 9
SLIKA 1.
Nekaj knjig o teoriji števil slovenskih avtorjev iz ponudbe DMFA – založništva.
šemo kot vsoto dveh kvadratov natanko tedaj,
ko v njegovem razcepu na prafaktorje vsi pra-
faktorji tipa p “ 3 pmod 4q nastopajo s sodo
potenco. To seveda ne velja v primeru števila
2021 “ 431 ¨ 471.
12. Da. Lagrangejev izrek o štirih kvadratih zagota-
vlja, da lahko vsako naravno število na vsaj en
način zapišemo kot vsoto (največ) štirih kvadra-
tov. Verjetno je to slutil že antični matematik
Diofant v svoji knjigi Aritmetika. Število 2021
lahko sicer tako zapišemo na 57 načinov, eden
je 442 ` 92 ` 22 ` 02. Brez računalnika je za-
pis najugodneje iskati tako, da začnemo s čim
večjim členom, v našem primeru 44, in posku-
simo ustrezno izbrati ostale tri.
13. Ker je 2021 “ 43 ¨ 47, iz osnovnega izreka arit-
metike sledi, da so naravna števila z natanko
2021 delitelji bodisi oblike p2020 bodisi p42q46,
kjer sta p in q različni praštevili. Najmanjše
tako število pa je 246 ¨ 342.
14. Med vključno 1 in 2020 “ 43 ¨ 47 ´ 1 je natanko
46 večkratnikov števila 43 in natanko 42 več-
kratnikov števila 47. Ker ni skupnih večkratni-
kov, je preostalih 2020 ´ 46 ´ 42 “ 1932 šte-
vil tujih 2021. Bolj elegantno lahko problem
rešimo z Eulerjevo funkcijo ϕpnq, ki označuje
število vseh števil od 1 do n´ 1, ki so tuja šte-
vilu n. Potem za praštevilo p veljaϕppq “ p´1,
saj so številu p tuja vsa manjša števila. Zdaj
lahko vsak sam poskusi dokazati, da za različni
praštevili p,q velja ϕppqq “ ϕppqϕpqq. Posle-
dično je ϕp2021q “ ϕp43qϕp47q “ 42 ¨ 46 “
1932.
15. Da. Števila 2022!`2, 2022!`3, . . ., 2022!`2022
so očitno zaporedna in sestavljena. Z istim tri-
kom lahko ugotovimo, da za vsako naravno šte-
vilo n obstaja n zaporednih sestavljenih števil.
16. Ne. Lahko bi seveda pregledali vsote deliteljev
vseh števil do 2020, nekoliko bolj elegantna, a
kljub temu precej zavita pot pa je naslednja.
Naj bo σ pnq vsota vseh pozitivnih deliteljev šte-
vila n. Znano je, da je funkcija σ multiplika-
tivna, torej je σ pabq “ σ paqσ pbq, če sta a in
b tuji števili. Če velja n “ pk ¨ m, kjer je p
praštevilo, ki je tuje m, potem sledi
σ pnq “ σ ppkqσ pmq “ p1 ` p ` . . .` pkqσ pmq.
Da bi bil ta izraz liho število, mora biti p “ 2 ali
k sodo število, za primer σ pnq “ 2021 “ 43 ¨47
pa lahko sklepamo še, da ima n največ dva pra-
faktorja, torej je n “ pk ali n “ pkql. Zato
bi moralo število σ ppkq deliti 2021 oziroma za-
vzeti vrednost 43,47 ali 2021 za neki p. Za
p “ 2 je zaporedje vrednosti σ p2kq enako 3, 7,
15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, . . . , zato
2k ne deli n. Podobno izločimo še potenco 3k
     
P 48 (2020/2021) 410
za sode k ď 6, potenco 5k za sode k ď 4 in na-
zadnje še potence p2 za praštevila med 7 in 43.
Tako smo preverili, da vsota deliteljev 2021 ni
možna.
17. Da. Število 2021 mora biti element pitagorej-
ske trojice pa,b, cq z lastnostjo a2 ` b2 “ c2.
Po Evklidovih formulah lahko vse take pitago-
rejske trojice zapišemo kot a “ tpm2 ´ n2q,
b “ tp2mnq in c “ tpm2 ` n2q, kjer so m,n, t
naravna števila, m ą n, števili m in n pa sta
tuji in različne parnosti. Iz zapisa 2021 z raz-
liko kvadratov 2021 “ 452´22 takoj razberemo
eno rešitev t “ 1,m “ 45, n “ 2, ki da pitago-
rejski trikotnik s stranicami p2021,180,2029q,
možne pa so še tri druge rešitve, katerih iska-
nje bomo prepustili kar bralcu.
18. Da. Najlažje je to utemeljiti s sklicevanjem na
Bertrandov postulat, ki pove, da za vsako na-
ravno število n ě 2 obstaja praštevilo med n
in 2n. To Bertrandovo ugotovitev je sicer prvi
uspel dokazati Pafnutij Čebišev leta 1852.
19. Opazimo lahko, da se v vsoti zapored pojavlja-
jo enaki členi: 1`1`1`2`2`2`2`2`3` . . ..
Natančneje, 2n` 1 členov med vključno r
?
n2s
in r
?
n2 ` 2ns ima vrednost n. Za zgornjo mejo
n2 `2n lahko zato z uporabo znanih formul za
vsoto kvadratov izračunamo
n2`2n
ÿ
k“1
r
?
ks “
n
ÿ
k“1
p2k` 1qk
“ 2
n
ÿ
k“1
k2 `
n
ÿ
k“1
k
“ kpk` 1qp4k` 5q
6
.
Po tej formuli zdaj hitro izračunamo iskano vre-
dnost za zgornjo mejo 2024 “ 442 ` 2 ¨ 44 in
nato odštejemo 3 ¨ 44, da dobimo iskano vre-
dnost 59598.
20. Število ničel na koncu zapisa števila n! “ 1 ¨ 2 ¨
3 ¨ . . . ¨ n “ 2a ¨ 3b ¨ 5c ¨ ¨ ¨ je enako potenci c,
s katero nastopa praštevilo 5 v razcepu števila
n! na prafaktorje, saj vsaka ničla na koncu šte-
vila nastane z množenjem para prafaktorjev 2
in 5. To potenco pa lahko presenetljivo hitro
izračunamo z uporabo De Polignacove formule
ř8
k“1
”
n
pk
ı
za najvišji eksponent praštevila v n!.
Za n “ 2021 dobimo
8
ÿ
k“1
„
2021
5k

“
„
2021
5

`
„
2021
25

`
„
2021
125

`
„
2021
625

“ 404 ` 80 ` 16 ` 3 “ 503.
21. Ne. To pove znameniti veliki Fermatov izrek,
ki ga je dokazal Sir Andrew Wiles leta 1994.
Podrobnosti dokaza prepuščamo nadebudnim
bralcem, saj na teh straneh zanje ni dovolj pro-
stora.
SLIKA 2.
Nagradna uganka
Za katera naravna števila n se število n! v običaj-
nem desetiškem zapisu konča z natanko 2021
ničlami?
Rešitev z razlago pošljite na e-naslov
info@dmfa-zaloznistvo.si s pripisom Nagradna
uganka 2021. Med pravilnimi rešitvami bomo na
Mednarodni dan matematike 14. 3. 2021 izžrebali tri
nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli knjigo o teo-
riji števil iz ponudbe DMFA – založništvo. Tudi letos
pa bo pri DMFA potekalo še nekaj aktivnosti ob Med-
narodnem dnevu matematike. Obvestila o tem bodo
objavljena na spletni strani www.dmfa.si.
ˆ ˆ ˆ
     
P 48 (2020/2021) 4 11
Izjemen uspeh na 61. mednarodni
matematični olimpijadi
B̌ K
61. Mednarodna matematična olimpijada (v na-
daljevanju MMO) je zaradi epidemije Covid-19 na-
mesto v ruskem Sankt Petersburgu potekala 21. in
22. septembra 2020 na daljavo tako, da so tekmo-
valci večine držav naloge reševali v svoji domo-
vini pod nadzorom mednarodnih predstavnikov.
Slovenski tekmovalci so naloge reševali v Plemlje-
vi vili na Bledu, kjer so preživeli nekaj dni skupaj
s švicarsko ekipo. Največji uspeh je dosegel Luka
Horjak s I. gimnazije v Celju, ki je osvojil prvo
zlato medaljo na MMO v zgodovini samostojne Slo-
venije. S 33 točkami od 42 možnih je osvojil abso-
lutno 22. mesto med 616-imi tekmovalci iz 105-ih
držav. Njegov izjemen uspeh so dopolnili še Lovro
Drofenik (I. gimnazija v Celju) s srebrno medaljo,
Job Petrovčič (Gimnazija Bežigrad) z bronasto me-
daljo ter Tevž Lotrič (Gimnazija Kranj), Jan Genc
(II. gimnazija Maribor) in Jaka Vrhovnik (I. gimna-
zija v Celju) s pohvalo.
Za radovedne bralce pa predstavimo rešitev ene
izmed letošnjih nalog. Tretja naloga prvega dneva
olimpijade je po tradiciji kombinatorična in med naj-
slabše reševanimi – letos je bil povprečni rezultat pri
tej nalogi komaj 0,94 točke od sedmih možnih. Na-
loga je enostavno razumljiva, a brez ustrezne ideje
je težko priti do rešitve. S pravim namigom pa je
rešitev čudovito preprosta.
SLIKA 1.
Luka Horjak je osvojil prvo slovensko zlato medaljo doslej.
Naloga. Na mizi je 4n kamnov, katerih mase so
1,2,3, . . . ,4n. Vsak kamen je pobarvan z eno od n
barv in z vsako barvo so pobarvani štirje kamni. Do-
kaži, da lahko razdelimo kamne na dva kupa z enako
skupno maso, tako da vsak kup vsebuje natanko dva
kamna vsake barve.
Rešitev. Vsako množico štirih kamnov iste barve si
predstavljamo kot eno vozlišče grafa, v katerem vsak
par kamnov z vsoto 4n+1 predstavlja eno povezavo.
Dobljeni (multi)graf ima lahko zanke ali več različ-
nih povezav med istim parom vozlišč. Graf ni nujno
povezan, ampak ima lahko več komponent, vsaka od
njih pa ima vsa vozlišča stopnje 4. Zato ima vsaka
komponenta grafa Eulerjev obhod sode dolžine, v ka-
terem lahko izmenično izberemo vsako drugo pove-
     
P 48 (2020/2021) 412
SLIKA 2.
Lovro Drofenik je prejel srebrno medaljo za doseženih 28 točk,
kar je tretji najboljši slovenski dosežek vseh časov.
zavo. Kamne, ki predstavljajo krajišča izbranih pove-
zav, zložimo na en kup, preostale na drugega. Tako
smo na prvi kup zbrali po dva kamna vsake barve,
skupna masa pa je ravno polovica celotne.
Zgled. Denimo, da imamo 12 kamnov različnih mas,
od tega štiri rdeče z masami 2, 5, 6, 11, štiri modre z
masami 7, 8, 9, 12 in štiri zelene z masami 1, 3, 4, 10.
Če združimo po štiri kamne iste barve v eno vozlišče
in povežemo pare kamnov z vsoto 13, dobimo pove-
zan multigraf s šestimi povezavami in tremi vozlišči
stopnje 4. Zaporedje povezav p4,9q´p7,6q´p2,11q´
p5,8q ´ p12,1q ´ p3,10q predstavlja Eulerjev obhod v
tem grafu. Če izberemo vsako drugo povezavo (ozna-
čeno črtkano) in zberemo njene kamne, ima ustre-
zni kup t1,2,4,9,11,12u po dva kamna vsake barve,
vsota mas pa je ravno polovica celotne.
10
4
3
1 12
9
8
7
11
6
5
2
ˆ ˆ ˆ
Barvni sudoku
V 8 ˆ 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 ˆ
4) nastopalo vseh osem števil.
8 7 6 3 2
3
5 3 1 6
7 8 3
1 6
6 4 7
8
2 1
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b


̌















41876532
23561847
52437168
67185423
15723684
38642715
74318256
86254371
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
ˆ ˆ ˆ
     
P 48 (2020/2021) 4 13
Siva mrena
A̌ M̌  J̌ R
Ste se kdaj vprašali, ali se vaš vid in dojemanje
barv z leti spreminjata? Zakaj je znameniti impre-
sionistični slikar Claude Monet naslikal japonski
most v svojem vrtu dvakrat tako zelo različno, kot
vidimo na sliki 1?
SLIKA 1.
Claude Monet 1840–1926 je bil francoski impresionistǐcni sli-
kar. Zgoraj je slika Vodne lilije in japonski most, ki je nastala
med leti 1897–1899, spodaj pa slika Japonski most, 1920–
1922. Isti motiv, a zelo razlǐcni sliki. Prva vsebuje mnogo po-
drobnosti ter žive, zelene barve, kot jih prǐcakujemo ob ribniku
in na vrtu, druga je zabrisana in v rumenih odtenkih s prevla-
dujočimi toplimi barvami.
Med zgornjo in spodnjo sliko 1 sta dobri dve de-
setletji razlike. Monet je prvo naslikal, ko je bil star
slabih šestdeset let, drugo pa pri starosti nad osem-
deset let. Morda bi razliko lahko pripisali eksperi-
mentiranju s slogom, a mnogi so mnenja [1, 2], da
so k drugačnim barvam bolj pripomogle težave z vi-
dom. Slavni slikar je trpel za hudo obliko sive mrene
[1, 2]. Siva mrena je degenerativna bolezen očesne
leče, ki prizadene skoraj vse starejše in je posledica
naravnega staranja. S starostjo postaja leča motna in
porumenela (slika 2 zgoraj), zato se vid spreminja ter
slabša. Svoje zaznavanje barv lahko preverite z eno-
stavnim spletnim testom [3]. Na srečo zdaj obstaja
SLIKA 2.
Zoraj: risbe očesne leče v razlǐcnih življenjskih dobah, na ka-
terih se vidi njeno rumenenje [6]. Spodaj: umetna leča, foto:
Frank C. Müller. CC BY-SA 3.0.
     
P 48 (2020/2021) 414
SLIKA 3.
Prepustnost leč iz štirih razlǐcnih snovi [4, 5]. Mlada naravna
očesna leča ima večjo prepustnost od stare leče v modrem ob-
močju. Umetne leče so narejene iz razlǐcnih prozornih mate-
rialov, prikazana sta PMMA in alkenski polimer. Leča iz al-
kenskega polimera od prikazanih prepušča največ vijolǐcne sve-
tlobe, kar je lahko moteče, če jo uporabimo kot zamenjavo za
naravno lečo. Nobena od prikazanih snovi ne prepušča ultravi-
jolǐcne svetlobe z valovno dolžino, krajšo od 300 nm.
dokaj enostavna rešitev za sivo mreno: ostarelo lečo
med ambulantno operacijo zamenjajo z umetno lečo
(slika 2 spodaj). Umetna leča ima nekoliko drugačne
optične lastnosti od naravne in spremembo pacient
zazna, a se nanjo s časom navadi.
Oglejmo si dve optični lastnosti leč, prepustnost
in lomnost. Lomnost je obratna vrednost goriščne
razdalje izražena v enotah dioptrija (1 d “ 1 m´1).
Leča z večjo lomnostjo bolj močno lomi svetlobo kot
leča z manjšo lomnostjo. Lomnost več zaporednih
leč pa je kar vsota lomnosti posameznih leč. Lo-
mnost očesa je okoli 60 d, od tega roženica prispeva
40 d, leča sama pa okoli 20 d. Prednost leče je, da se
njena lomnost prilagaja razdalji, na katero želimo z
očesom izostriti pogled. Če želimo gledati na blizu,
mišice stisnejo lečo, da se bolj ukrivi, poveča svojo
lomnost in oko lahko izostri pogled bližje očesu. Z
leti leča izgubi naravno prožnost in se čedalje slabše
odziva na stiskanje ter s tem ostrenje pogleda na bli-
žino, kar imenujemo starostna daljnovidnost. Kaj
pa je prepustnost leče? Prepustnost določimo kot
količnik prepuščenega in vpadnega svetlobnega toka.
Za prozorno snov si mislimo, da enako prepušča ka-
terokoli barvo svetlobe, pa ni tako. Pri obarvanem
steklu – barvnem filtru, takoj opazimo, da nekatere
barve prepušča bolj, druge pa manj. Rumen barvni
filter npr. prepušča več rumene in manj modre (ru-
meni komplementarne) svetlobe. Prepustnost je to-
rej lahko različna za različne barve svetlobe. Eno-
barvno (monokromatično) svetlobo opišemo z njeno
valovno dolžino. Odvisnost prepustnosti leče od va-
lovne dolžine najlažje prikažemo z grafom in za ne-
kaj leč iz različnih snovi jih kaže slika 3.
Diagram na sliki 3 obsega območje valovnih dol-
žin okoli območja vidne svetlobe, ki je za povprečno
oko v intervalu od 400 do 700 nm. Prepustnost stare
naravne leče je za modro svetlobo (krajše valovne
dolžine) precej manjša kot prepustnost mlade leče.
Slika, ki jo vidi oko s sivo mreno (s staro lečo), je v
primerjavi z mladim očesom videti porumenela. Za-
kaj porumenela? Vtis bele svetlobe v očesu ustvari
mešanica svetlobe ene barve in njej komplementarne
barve, ki pa mora imeti pravo intenziteto. Čim raz-
SLIKA 4.
Levo, pogled, kot ga vidi zdravo oko; sredina, pogled skozi sivo mreno; desno, pogled skozi umetno lečo. Pri očesu s sivo mreno
je slika rumenkasta, motna in neostra, pri očesu z umetno lečo pa modrikasta in jasna.
     
n
a
d
a
lje
va
n
je
n
a
st
ra
n
i
18
P 48 (2020/2021) 4 15
SLIKA 5.
Levo, fotografija poskusa; spredaj levo je grafoskop z režo, za objektivom grafoskopa je prizma; na desni strani leve fotogra-
fije vidimo zaslon z mavrǐcnim trakom. Sredina: trikotna prizma za objektivom grafoskopa. Desno, tloris poskusa, s prizmo,
razklonjenim snopom svetlobe in mavrǐcnim trakom na zaslonu.
merje ni pravo, se barvni vtis prevesi proti močnejši
komponenti. Modri barvi komplementarna pa je ru-
mena barva. Do enakega spoznanja pridemo, če barv-
ni vtis opišemo s tremi primarnimi barvami, npr. mo-
dro, zeleno in rdečo. Vse tri zmešane v pravem raz-
merju dajo vtis bele, če pa je modre premalo, pa pre-
vlada mešanica zelene in rdeče. Mešanica zelene in
rdeče pa je rumena.
Zaradi neprožnosti in motnosti leče je slika tudi
manj ostra in motna. Nadomestne umetne leče so
izdelane iz različnih snovi, običajno je to akrilna pla-
stika ali poli-metil metakrilat (PMMA), snov, iz katere
je narejeno pleksi steklo. Akril je poceni, enostaven
za predelavo, obstojen in ni strupen. Prepustnost leč
iz umetnih stekel je v intervalu bližnje ultravijolične,
od 300 do 400 nm, višja od prepustnosti naravne
leče. Zato pacienti po zamenjavi stare leče z umetno
opazijo nenavadno povečanje občutljivosti očesa v
modrem in vijoličnem delu spektra. Pacientu z ume-
tno lečo je vse videti nekoliko bolj modrikasto. Opi-
sane razlike v vidu med zdravim očesom, očesom s
sivo mreno in očesom z umetno lečo ponazarja slika
4. Fotografije na slikah so obdelane s programom in
prirejene na podlagi pričevanj oseb, katerim so za-
menjali lečo.
Mejo občutljivosti očesa na svetlobo pri različnih
osebah lahko primerjamo z enostavnim poskusom.
Na mavrici z opazovanjem poiščemo skrajni rob sve-
tlobe, ki jo še vidimo. Mavrico naredimo iz snopa
bele svetlobe, sončne ali svetlobe halogenske žarnice,
z uklonsko mrežico ali razklonom na prizmi. Seveda
je meja vidnosti odvisna tudi od jakosti svetlobe. Če
pa nas zanima le primerjava med različnimi očmi, je
dovolj, če poskrbimo, da so vsi opazovalci v enakih
okoliščinah. Bolnikom s sivo mreno običajno zame-
njajo lečo najprej na enem in šele čez nekaj časa tudi
na drugem očesu. Tako je pacient po prvi operaciji
idealen kandidat za primerjavo spremembe vida, saj
lahko sam primerja vid z enim in drugim očesom.
Primerjavo vida smo naredili z dvema osebama (A
in B, starima 50 in 40 let) in osebo, ki je imela eno
lečo umetno (Um), na drugi pa sivo mreno (Sm). Trak
mavrične svetlobe lahko naredimo z grafoskopom.
Na zaslon projiciramo režo, osvetljeno z belo sve-
tlobo halogenske žarnice. Režo izrežemo v karton,
ki ga položimo na grafoskop tja, kamor običajno po-
ložimo prosojnico. Grafoskop izostrimo tako, da na
zaslonu nastane ostra slika reže. Za objektiv grafo-
skopa postavimo prizmo, ki curek svetlobe iz reže
razkloni v mavrični svetlobni trak. Ta trak ne na-
         
P 48 (2020/2021) 416
Nagradna križanka
ˆ ˆ ˆ
    
Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z
osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. marca 2021, ko bomo
izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knji-
žno nagrado.
         
P 48 (2020/2021) 4 17
     
n
a
d
a
lje
va
n
je
s
st
ra
n
i
15
P 48 (2020/2021) 418
SLIKA 6.
Fotografija zaslona z mavrǐcnim trakom in označenimi kratkovalovnimi mejami, do koder vidi oko z umetno lečo (Um), oko s sivo
mreno (Sm) in dve drugi očesi (A in B).
stane tam, kjer bi nastala bela slika reže, če ne bi
postavili prizme, temveč se na prizmi odkloni in raz-
kloni. Zaslon, na katerem smo opazovali mavrični
trak, je bil vzporeden curku bele svetlobe, ki je vpa-
dal na prizmo, kot kaže slika 5.
Fotografijo zaslona z mavričnim trakom kaže sli-
ka 6. Kratkovalovno mejo vidne svetlobe je zelo eno-
stavno razbrati: na zaslonu na modrem delu mavrice
vsak opazovalec označi, do kam vidi svetlobo. Raz-
lika med očesom z umetno lečo (Um) in očesom s
sivo mreno (Sm) je očitna. Na traku sta označeni še
meji dveh mlajših očes (A in B).
Skalo za valovno dolžino smo določili s spektro-
metrom na nekaj različnih mestih. Skala ni linearna,
a iz nje lahko z linearno interpolacijo med izmerje-
nimi razdelki približno določimo kratkovalovno me-
jo vidnega območja. Pri očesu s sivo mreno je ta
pri 435 nm, pri očesu z umetno lečo pa je meja pri
375 nm, torej skladno z diagramom prepustnosti na
sliki 3.
Zdaj razumemo, zakaj je vid pri očesu s sivo mre-
no rumenkast. Manjka mu modre svetlobe, ki ne
pride skozi lečo. Ker je leča toga in motna, je vid
tudi manj oster, opazi se manj podrobnosti. Pravza-
prav je Monet s svojima slikama kar dobro zabeležil
razvoj bolezni. Zdaj težave olajšajo zdravniki z za-
menjavo leče z umetno. Z očesom z umetno lečo
vidimo svet okoli sebe v modrikastih odtenkih, saj je
modre preveč. Možgani se sčasoma navadijo drugač-
nega vida in presežek modre ni moteč.
www.presek.si
Literatura
[1] A. Gruener, The effect of cataracts and cataract
surgery on Claude Monet, British Journal of Ge-
neral Practice 65 (634) 2015, 254–255.
[2] M. F. Marmor, Ophthalmology and art: simula-
tion of Monet’s cataracts and Degas’ retinal di-
sease, Arch. Ophthalmol. 124 (12) 2006, 1764–
1769.
[3] spletni barvni test FM100, dostopno na www.
xrite.com/hue-test?PageID=77, ogled 3. 8.
2020.
[4] R. P. Najjar in sodelavci, Heterochromatic Flicker
Photometry for Objective Lens Density Quantifi-
cation, Investigative ophthalmology & visual sci-
ence 57 (3) 2016, 1063-1071.
[5] Acrylic Sheet – Optical & transmission
characteristics, Altuglas International,
Arkema Inc., 2000, dostopno na www.
plexiglas.com/export/sites/plexiglas/
.content/medias/downloads/sheet-docs/
plexiglas-optical-and-transmission-
characteristics.pdf, ogled 3. 8. 2020.
[6] S. Lerman, Radiant Energy and the Eye, Series:
Functional ophthalmology, Macmillan, 1980.
ˆ ˆ ˆ
       
P 48 (2020/2021) 4 19
Virialni teorem
K̌ S
Virialni teorem je pomembna fizikalna enačba,
ki povezuje kinetično in potencialno energijo sis-
tema delcev v stacionarnem stanju. Leta 1870 ga
je prvi formuliral nemški fizik in matematik Ru-
dolf Clausius, ki je bil eden od utemeljiteljev ter-
modinamike. Kasneje so ga nadgradili mnogi fi-
ziki in astronomi ter uporabili v raznih področjih
fizike. Viralni teorem je zelo uporaben v astrofi-
ziki, saj je močno orodje, s katerim iz opazovanj
dinamike delov sistema izračunamo ključne lastno-
sti sistema; pogosto je to njegova masa. Pri tem je
govora o zvezdnih kopicah, ki so gravitacijsko ve-
zane skupine zvezd; o galaksijah, pri katerih iz gi-
banja zvezd izračunamo t. i. virialno maso; o jatah
galaksij, ki so gravitacijsko vezane skupine gala-
ksij, in še o kakšnih drugih, ki bodo podrobneje
opisani v članku. Najprej se bomo podali v izpe-
ljavo teorema in si nato ogledali, kako je teorem
opozoril na obstoj temne snovi.
Izpeljava
Zamislimo si, da imamo sistem več delcev, tj. točka-
stih teles. Recimo, da kot Mali princ plujemo po pra-
znem vesolju, ko iz žepa zagrabimo pest N frnikol in
jih posujemo po prostoru. Gibanje naših frnikol opi-
SLIKA 1.
Slika Jate v Berenikinih kodrih posneta s kamero Advanced ca-
mera for surveys na vesoljskem teleskopu Hubble. Vidno polje
je veliko 9,01ˆ6,40 ločnih minut in zajema le središčni del jate.
Sicer se jata na nebu razprostira na območju, večjem od dveh
stopinj, foto: NASA, ESA, Hubble Heritage Team (STScI/AURA).
šemo v inercialnem sistemu. Položaje matematično
zapišemo z radij vektorji r, torej vektorji, ki kažejo
od koordinatnega izhodišča do delcev. Hitrost je po
definiciji časovni odvod položaja v “ drdt , gibalna ko-
ličina pa p “ m drdt .
Začnimo z definiranjem količine Q:
Q ”
ÿ
i
pi ¨ ri, (1)
pri čemer sta pi gibalna količina in ri radij vektor
delca i. Vsota teče po vseh delcih sistema. Na dolgo
bi vrsto zapisali kot
řN
i“1, a v literaturi je navada, če
gre vsota po vseh možnih vrednostih, ki jih sumacij-
       
P 48 (2020/2021) 420
ski indeks i lahko zavzema (tukaj od 1 do N), potem
samo napišemo
ř
i. Časovni odvod količine Q je
dQ
dt
“
ÿ
i
ˆ
dpi
dt
¨ ri ` pi ¨
dri
dt
˙
. (2)
Enačbo (1) lahko zapišemo še drugače. Namesto gi-
balne količine i-tega delca vstavimo njeno definicijo
mi
dri
dt ter namesto ri ¨
dri
dt zapišemo
1
2
d
dt
`
r 2i
˘
:
dQ
dt
“ d
dt
ÿ
i
mi
dri
dt
¨ ri “
d
dt
ÿ
i
1
2
d
dt
`
mir
2
i
˘
“ 1
2
d2I
dt2
. (3)
Na koncu prepoznamo izraz za vztrajnostni moment
i-tega delca, vsota po vseh delcih pa da celotni vztraj-
nostni moment sistema: I “
ř
i Ii “
ř
imir
2
i . Ena-
čimo oba izraza za časovni odvod ((2) in (3)) in do-
bimo
1
2
d2I
dt2
´
ÿ
i
pi ¨
dri
dt
“
ÿ
i
dpi
dt
¨ ri. (4)
Drugi člen na levi strani lahko še nadalje izračunamo:
´
ÿ
i
pi¨
dri
dt
“´
ÿ
i
mivi¨vi “ ´2
ÿ
i
1
2
miv
2
i “ ´2K.
Na koncu prepoznamo izraz za kinetično energijo i-
tega delca, vsota po vseh delcih pa nam da skupno
kinetično energijo sistema K. Ko ta rezultat vnesemo
v enačbo (4) in upoštevamo drugi Newtonov zakon
Fi “ dpidt , pridemo do izraza
1
2
d2I
dt2
´ 2K “
ÿ
i
Fi ¨ ri (5)
Na desni strani enačbe imamo količino, ki se imenuje
Clausiusov virial ali na kratko le virial. Sila, ki deluje
na delec, izvira iz ostalih delcev v sistemu. To zapi-
šemo kot Fi “
ř
j,j‰i Fij . Fi je skupna sila, ki deluje
na delec i, Fij pa je sila, s katero deluje delec j na
delec i. Vsota teče po vseh delcih j, seveda z izjemo
delca i, saj ta ne deluje s silo sam nase. Uporabimo
še en trik ri “ 12
`
ri ` rj
˘
` 12
`
ri ´ rj
˘
in zapišimo
virial malo drugače
ÿ
i
Fi ¨ ri “
ÿ
i
¨
˝
ÿ
j,j‰i
Fij
˛
‚¨ ri “
1
2
ÿ
i
¨
˝
ÿ
j,j‰i
Fij
˛
‚¨
`
ri`rj
˘
` 1
2
ÿ
i
¨
˝
ÿ
j,j‰i
Fij
˛
‚¨
`
ri´rj
˘
.
Po tretjem Newtonovem zakonu velja Fij “ ´Fji. Za-
mislimo si, da dvojno vrsto v prvem členu zadnjega
izraza na dolgo razpišemo. Ko prva vrsta po i pride
do delca k in druga vrsta po j pride do delca l, bo
ta člen vrste 12Fkl prk ` rlq. V nekem drugem členu te
vrste pa imamo obratno, i “ l in j “ k. Ta člen je
1
2Flk prl ` rkq. Ker sta si sili po tretjem Newtonovem
zakonu ravno nasprotni, se ta dva člena odštejeta.
To sklepanje velja za vsak par delcev, zatorej je celo-
tna vrsta enaka nič. Tako lahko virial zapišemo kot
ÿ
i
Fi ¨ ri “
1
2
ÿ
i
ÿ
j,j‰i
Fij ¨
`
ri ´ rj
˘
. (6)
Tipično v astrofiziki delca med sabo interagirajo
preko gravitacijske sile. Njena definicija kot vektor-
ska količina je
Fij “ G
mimj
r 2ij
rj ´ ri
rij
, (7)
pri čemer je rij “
∣
∣
∣rj ´ ri
∣
∣
∣ razdalja med delcema i
in j. Izraz za gravitacijsko silo (7) vnesemo v izraz
za virial (6) in računamo:
ÿ
i
Fi ¨ ri “ ´
1
2
ÿ
i
ÿ
j,j‰i
G
mimj
r 3ij
`
rj ´ ri
˘2
“ ´1
2
ÿ
i
ÿ
j,j‰l
G
mimj
rij
. (8)
V zadnjem izrazu smo dobili izraz za gravitacijsko
potencialno energijo med delcema
Uij “ ´
Gmimj
rij
.
Seveda velja Uij “ Uji, to je ena in ista količina. Po-
dobno kot smo imeli prej, imamo v vrsti v zadnjem
izrazu (8) pri enem členu i “ k, j “ l ter pri nekem
drugem členu i “ l, j “ k. Zato se nam v vrsti dva-
krat pojavi potencialna energija para delcev k in l in
       
P 48 (2020/2021) 4 21
je vsota vrste enaka dvakratniku celotne gravitacij-
ske potencialne energije sistema U. Končno lahko iz-
računamo virial:
ÿ
i
Fi ¨ri “ ´
1
2
ÿ
i
ÿ
j,j‰i
G
mimj
rij
“ 1
2
ÿ
i
ÿ
j,j‰i
Uij “ U.
(9)
Vrnimo se k naši prvotni izpeljavi. V izrazu (5)
virial nadomestimo s potencialno energijo sistema:
1
2
d2I
dt2
´ 2K “ U. (10)
Naslednji korak je, da zapišemo časovno povprečje
te enačbe. Povprečje matematične funkcije izraču-
namo po istem kopitu kot povprečje diskretnih koli-
čin, npr. meritev. Seštejemo vse meritve in delimo
s številom meritev. Ker je funkcija zvezna, namesto,
da seštevamo, integriramo ter namesto, da delimo
s številom sumandov, delimo z velikostjo integracij-
skega intervala. Matematično definiramo kot
xf y “
şb
a f pxq dx
b ´ a .
Časovno povprečje pa samo pomeni, da funkcijo ča-
sa integriramo po časovnem intervalu. Ravno to na-
redimo na enačbi (10)
1
2
B
d2I
dt2
F
´ 2xKy “ xUy.
Povprečje drugega odvoda vztrajnostnega momenta
lahko izračunamo:
B
d2I
dt2
F
“ 1
τ
ż τ
0
d2I
dt2
dt “ 1
τ
ˆ
dI
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
τ
´ dI
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
0
˙
. (11)
Če je sistem periodičen, kot na primer dvojne zvez-
de, lahko za τ določimo periodo sistema in se člena
zadnjega izraza odštejeta. Če pa to ne velja, pa pov-
prečje vseeno pade na nič, če le dovolj dolgo pov-
prečimo, torej τ Ñ 8. To velja za sisteme, ki so
že dosegli statistično ravnovesje, oz. rečemo, da so
virializirani. V takem primeru je odvod dIdt omejen
med največjo in najmanjšo vrednostjo, razlika v okle-
paju v (11) je končna količina, faktor 1τ pa gre proti
nič, ko gre τ proti neskončnosti. Sedaj, ko imamo
A
d2I
dt2
E
“ 0, smo končno prispeli do virialnega teo-
rema
2xKy ` xUy. “ 0 (12)
Celotna mehanska energija je E “ K ` U , zato velja
še
xEy “ ´xKy,
xEy “ 1
2
xUy.
Potencialna energija satelita v krožni Zemljini orbiti
je U “ ´GMmr , pri čemer je M masa Zemlje, m masa
satelita in r polmer kroženja. Ker je njegova krožilna
hitrost v “
b
GM
r , je kinetična energija K “
mv2
2 “
GMm
2r . Tako res velja U “ ´2K. Mehanska energija
satelita je E “ U ` K “ ´GMm2r , tako da velja tudi
E “ ´K “ 12U .
Pomen in primer uporabe
Fritz Zwicky je bil švicarski astronom, ki je večino ži-
vljenja deloval na California Institute of Technology
ter bil del osebja na observatorijih Mount Wilson in
Palomar. V času med in po drugi svetovni vojni se
je ukvarjal z raketnim pogonom. Znan je po mnogih
stvareh; ena od teh je, da je skupaj z Walterjem Ba-
adom skoval termin supernova. Te je zavzeto iskal
na nočnem nebu s primerjanjem fotografksih plošč
na oko; v življenju jih je odkril kar 120. Je tudi oče
termina nevtronska zvezda. Leta 1937 je objavil čla-
nek, dolg pol strani, v katerem je predlagal, da bi kot
posledica takrat še sveže Einsteinove splošne teorije
relativnosti galaksije delovale kot gravitacijske leče.
To bi dalo novo preizkušnjo za novo teorijo gravita-
cije ter omogočilo opazovanja sicer pretemnih, zelo
oddaljenih objektov. Nenazadnje bi to bil način me-
ritve mase galaksije, ki deluje kot leča. Tako bi lahko
razjasnili neujemanje njegovega predhodnega odkri-
tja, ki se tiče našega virialnega teorema.
Leta 1933 je Zwicky objavil članek, v katerem je
komentiral takratno novo tehniko določevanja raz-
dalj do izvengalaktičnih meglic (kot so takrat rekli
galaksijam) preko rdečega premika in možne teore-
tične kozmološke razlage tega pojava. Eno poglavje
članka nosi naslov Komentarji o disperziji hitrosti v
Jati v Berenikinih kodrih. V njem najprej omeni opa-
zovane razlike v hitrosti galaksij od 1500 do 2000
       
P 48 (2020/2021) 422
SLIKA 2.
Fritz Zwicky, foto: Caltech, Palomar Observatory.
km/s. Če je sistem Jate v Berenikinih kodrih (ang.
Coma cluster) v mehaničnem stacionarnem stanju,
potem zanjo velja virialni teorem (12). Privzemimo,
da je masa porazdeljena enakomerno po Jati, da po-
enostavimo oceno. Jata ima približen polmer R en
milijon svetlobnih let in vsebuje 800 galaksij, vsaka
z maso 109 mas Sonca. Tako imamo maso
M « 800 ¨ 109 ¨ 2 ¨ 1030 kg “ 1,6 ¨ 1042 kg.
Potencialna energija gravitacijsko vezane homogene
krogle je
U “ ´3
5
GM2
R
.
Specifična potencialna energija Jate, torej potencial-
na energija na maso, je
ǫp “
U
M
« ´64 ¨ 108m
2
s2
.
Specifična kinetična energija je potemtakem
ǫk “ ´
ǫp
2
“ 32 ¨ 108m
2
s2
.
Če to enačimo z v̄
2
2 , je povprečna hitrost v̄ “ 80
km
s .
V enem od prejšnjih poglavij izvornega članka je za-
pisana opazovana povprečna hitrost galaksij te jate,
ki je 7500 km/s, kar je mnogo več, kot smo naraču-
nali. Kot pravi Zwicky po zadnjemu rezultatu: »Da
bi pridobili, kot opazovano, zmeren Dopplerjev efekt
1000 km/s ali več, bi morala povprečna gostota Jate
v Berenikinih kodrih biti vsaj 400-krat večja kot izra-
čunana na podlagi opazovanj svetle snovi /. . . /. Če
bo to potrjeno, bo vodilo do presenetljivega rezul-
tata, da je gostota temne snovi mnogo večja od go-
stote svetle snovi.«
Ta Zwickyjev članek je prelomen v zgodovini razi-
skovanja vesolja, kajti je eno od pionirskih del, kjer
so astronomi prišli na sled obstoju temne snovi. Av-
tor je podal močan argument za njen obstoj kot re-
šitev neujemanja rezultatov novih opazovanj. Dolgo
časa so zamisel obravnavali kot le eno izmed možno-
sti za razlago uganke; široko sprejeta je postala šele
v 70-ih in 80-ih letih z odkritji ravnih rotacijskih kri-
vulj galaksij.
Predstavljen izračun, ki sledi originalnemu članku,
naj služi kot primer pomembnosti virialnega teore-
ma v astrofiziki. Več ostalih računskih primerov pa
si lahko obetate v prihodnjih številkah Preseka.
Literatura
[1] B. W. Carroll in D. A. Ostlie, Introduction to mo-
dern stellar astrophysics, Addison-Wesley Publi-
shing Company, Inc. 1996.
[2] Palomar Skies dostopno na palomarskies.
blogspot.com/2008/02/happy-birthday-
fritz-zwicky.html, ogled 24. 12. 2020.
[3] Wikipedia contributors, »Fritz Zwicky«, Wi-
kipedia, The Free Encyclopedia, dostopno
na en.wikipedia.org/w/index.php?title=
Fritz_Zwicky&oldid=980194858, ogled 23.
12. 2020.
[4] Angleški prevod originalnega članka, dostopno
na ned.ipac.caltech.edu/level5/March17/
Zwicky/frames.html, ogled 23. 12. 2020.
ˆ ˆ ˆ
www.dmfa-zaloznistvo.si
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 23
O predstavitvi podatkov v
računalniku: decimalna števila
J S
Z računalniki lahko dandanes izvajamo
kompleksne matematično-fizikalne izračune
in simulacije. V marcu 2020 je omrežje
Folding@Home, ki se uporablja za izračune zlaga-
nja proteinov, preseglo 1.5 exaFLOPS-a, to je več
kot 1,500,000,000,000,000,000 računskih operacij
na sekundo. Že v enoti sami, ki jo uporabljamo
za merjenje hitrosti FLOPS, se skriva glavni podat-
kovni tip, ki stoji za vsemi simulacijami. FLOPS na-
mreč pomeni floating point operation per second
in pove, koliko računskih operacij z decimalnimi
števili lahko naredimo v eni sekundi. V tem pri-
spevku se bomo poglobili v to, kako decimalna
števila sploh predstavimo v računalniku in kako
z njimi računamo.
Decimalna ali realna števila
Velikokrat se pogovorno reče, da v računalniku hra-
nimo realna števila. Nekateri programski jeziki, npr.
različne verzije SQL, tudi uporabljajo besedo real
za oznako tipa. Vendar kljub temu v računalniku
nekaterih realnih števil ne moremo predstaviti zelo
enostavno. Iracionalna števila, kot npr.
?
2 ali π , obi-
čajno le aproksimiramo. Ravno število π je v pro-
gramskem jeziku C definirano kot
#define M_PI 3.14159265358979323846,
torej »le« na 20 decimalk, precej manj kot trenutni
slovenski rekord 3333 decimalk, ki jih je znal na
pamet povedati zmagovalec zadnjega π -dneva. Kot
bomo videli, računalnik uporablja le racionalna šte-
vila omejene natančnosti – morebitna realna števila
so ustrezno zaokrožena. To nam omogoča enostav-
nost računanja in hitrost, natančnost pa ni največja.
A brez skrbi, večinoma so decimalna števila, ki jih
uporablja računalnik, povsem dovolj natančna.
Fiksna in plavajoča pika
FLOPS se v prvih dveh črkah nanaša na operacije
s plavajočo piko.1 Predstavitev decimalnih števil s
plavajočo piko je ena izmed dveh osnovnih načinov
predstavitve števil. Druga, enostavnejša možnost je
predstavitev s fiksno decimalno piko. Pri slednji
imamo na voljo nekaj mest za del pred piko in nekaj
mest za decimalno piko. Denimo, da imamo dve me-
sti pred in dve mesti po piki. Števila, ki jih lahko zapi-
šemo, so torej od 00.00 do 99.99. Interval od r0,100s
smo enakomerno pokrili s 10000 števili na razdalji
0.01. Tem številom rečemo predstavljiva, vseh osta-
lim pa nepredstavljiva. Vsako realno število, s kate-
rim želimo računati, moramo zaokrožiti; ponavadi
izberemo najbližje predstavljivo število. Za število x
bomo z flpxq označili predstavljivo število, kjer zao-
krožimo x.
Seštevanje in odštevanje predstavljivih števil je
enostavno in natančno, lahko pa pride do prekora-
čitve ali podkoračitve; to pomeni, da rezultat leži
izven razpona možnih vrednosti. Pri množenju in
deljenju pridemo do novih težav. Če pomnožimo
0.5 in 0.41, pri točnem računanju dobimo 0.205, kar
pa ni predstavljivo; rezultat je potrebno zaokrožiti
na najbližje predstavljivo število. V našem primeru
imamo dve izbiri: zaokrožimo lahko na 0.20 ali na
0.21. Čeprav je v resničnem življenju pogosto, da
polovice zaokrožamo navzgor, v računalništvu pona-
1Pogosto se jim v slovenščini reče tudi števila s plavajočo
vejico, saj je vejica v slovenščini ločilo, ki se uporablja za ozna-
čevanje decimalnih mest. Vendar je v računalništvu precej bolj
pogosta pika, zato jo bomo uporabljali tudi v tem prispevku.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 424
vadi velja, da polovice zaokrožamo proti »sodemu
številu«. V našem primeru bi zaokrožili k 0.20, saj
je zadnja števka 0 soda. Tako pravilo uporabljamo,
da bolj enakomerno razporedimo realna števila k nji-
hovim decimalnim številom, saj se nekatere polovice
zaokrožijo navzgor, nekatere pa navzdol. Računanje
s fiksno decimalno piko zagotavlja določeno absolu-
tno natančnost: v našem primeru bo zaokrožitvena
napaka kvečjemu 0.005, polovica ločljivosti števil, s
katerimi delamo. Napisano z enačbo:
|x ´ flpxq| ď 0.005.
Absolutna natančnost pa prinese tudi svoje težave.
Kaj če želimo izračunati 0.05 ˆ 0.08? Točen rezultat
bi bil 0.04, kar se zaokroži na 0. Podobno ne mo-
remo izračunati 30.12 ˆ 40.23, saj je rezultat večji
od 99.99. Računanje s fiksni decimalno piko prepro-
sto ni dovolj fleksibilno za delo z velikimi ali majh-
nimi števili; dobro deluje le, če so vsa števila, s ka-
terimi delamo, med 0 in 99.99. Tukaj pa je pred-
nost drugega sistema predstavitve števil, predstavi-
tev s plavajočo piko (angl. floating point). V tem sis-
temu števila predstavimo v obliki mˆ 10e, za število
m P r0,1q, ki se imenuje mantisa, in naravni ekspo-
nent e. Kako sistem deluje, si poglejmo na podob-
nem primeru kot pri predstavitvi s fiksno decimalno
piko. Denimo, da imamo na voljo dve mesti za man-
tiso m in dve za eksponent e. Nekaj možnih števil
je tako 0.23, 0.54 ¨ 1012, 0.10 ¨ 101. Za eksponente
bomo namesto dvomestnih števil od 0 do 99 dovolili
števila od ´50 do 49. Še vedno obdržimo enako koli-
čino števil, le malo jih zamaknemo, da lahko delamo
tudi z negativnimi eksponenti. Tako so tudi števila
0.1 ¨ 10´12 in 0.43 ¨ 10´33 veljavna.
Ker lahko števila zapišemo na več različnih nači-
nov (npr. 1 “ 1 “ 0.1 ¨ 101 “ 0.01 ¨ 102q, se dogovo-
rimo, da vedno pišemo v normalizirani obliki, to je
v obliki, kjer se število začne z 0.x, za neničelno de-
cimalko x. Število 0.0062 bi napisali kot 0.62 ¨ 10´2,
število 123 pa bi zaokrožili na 0.12 ¨ 102. Razpon šte-
vil, ki ga s plavajočo piko lahko dosežemo s štirimi
mesti, je precej večji kot pri fiksni piki: najmanjše
normalizirano pozitivno število je 0.1 ¨ 10´50, torej
0.0000000000000000000000000000000000000000
00000000001, največje 0.9 ¨ 1049, torej 900000000
00000000000000000000000000000000000000000.
Seveda nimamo povsod enake absolutne natančno-
sti, saj imamo še vedno na voljo samo 10000 števil –
pri številih okoli 500 bo razlika med sosednjimi šte-
vili 10 (npr. med 0.5 ¨ 103 in 0.51 ¨ 103), pri številih
okoli 700000 bo ločljivost 10000, pri številih okoli
0.0003 pa 0.00001. Vidimo, da se ločljivost prilagaja
velikosti števil. To je tudi smiselno: če računamo ne-
kaj v kilometrih, pričakujemo tudi natančnost v redu
velikosti kilometrov, če pa računamo v mikrometrih,
prav tako pričakujemo natančnost v mikrometrih. Za
števila, predstavljena s plavajočo piko, pravimo, da
imajo približno enako relativno natančnost. Če šte-
vilo x zapišemo s plavajočo piko, bo absolutna na-
paka pri zaokrožitvi morda velika, relativna napaka
| flpxq ´ x|
|x|
pa bo vedno manjša od 0.05. Tej vrednosti rečemo
osnovna zaokrožitvena napaka.
Za konec si razliko med fiksno in plavajočo vejico
poglejmo še grafično. Na sliki 1 vidimo primerjavo
predstavljivih števil v fiksni in premični piki.
Računanje s premično piko
Premična pika je bolj fleksibilna pri računskih ope-
racijah. Računalnik nam za osnovne računske ope-
racije (+, ´, ˆ, {) zagotavlja, da bo rezultat opera-
cije zaokrožen na najbližje predstavljivo število. Če
seštejemo 6.3 in 7.4 bi pri točnem izračunu dobili
13.7, vendar se rezultat zaokroži na 14, saj imamo
na voljo le dve mesti natančnosti. Formalno izračun
poteka tako:
0.63 ¨ 101 ` 0.74 ¨ 101 “ flp1.37 ¨ 101q “ 0.14 ¨ 102.
Podobno se zgodi pri množenju: 6.3 pomnoženo s
7.4 bi s točnim računanjem dalo 46.62, v premični
piki, pa se izračuna v
0.63 ¨ 101 ˆ0.74 ¨ 101 “ flp4.662 ¨ 101q “ 0.46 ¨ 102.
Ker imamo le dve mesti natančnosti, moramo pri re-
zultatu zavreči dve decimalki, toda relativna napaka
p46.62´46q{46.62 « 0.013 je manjša od osnovne za-
okrožitvene napake 0.05. Poglejmo še primer 0.05 ˆ
0.08, ki je pri fiksni decimalni piki povzročal težave.
Točen rezultat je 0.004, v premični piki dobimo
0.5 ¨ 10´1ˆ0.8 ¨ 10´1 “ flp0.04 ¨ 10´1q “ 0.4 ¨ 10´2,
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 25
0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12
0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12
fiksna pika
plavajoča pika
SLIKA 1.
Primerjava pogostosti predstavljivih
števil na treh razlǐcnih delih realne
osi. Števila s fiksno piko imajo enako
absolutno natančnost ne glede na lo-
kacijo, števila s premǐcno piko pa po-
stajajo čedalje bolj redka, toda ohra-
njajo enako relativno natančnost. Na
grafih se spreminjajo enote, zato šte-
vila s fiksno piko izgledajo, kot da so
čedalje bolj gosta, števila s premǐcno
piko pa se zdijo enako gosta.
kar je popolnoma točno. Če bi dodali malo več deci-
malk in izračunali 0.053 ˆ 0.082, bi izračun potekal
tako:
0.53 ¨ 10´1 ˆ 0.82 ¨ 10´1 “ flp0.4346 ¨ 10´1q
“ 0.43 ¨ 10´2.
V tem primeru rezultat ni točen, je pa precej boljši
kot pri fiksni piki. Njegova relativna napaka je pribli-
žno 1%.
Poučno je tudi,kaj se zgodi, če izračunamo npr.
100 ` 0.1. Dobimo
0.1 ¨ 103 ˆ 0.1 “ flp0.1001 ¨ 103q “ 0.1 ¨ 103.
Rezultat je zopet točno 100, saj vrednost 0.1 ni bila
dovolj velika, da bi jo upoštevali, in se je zgubila pri
zaokroževanju. Še vedno pa je to znotraj zaokroži-
tvene napake: 0.1 predstavlja le 0.1% od 100, kar je
močno znotraj dovoljene 5% napake.
Dejanska števila v računalniku
Pri delu z decimalnimi števili v računalniku ne upo-
rabljamo le dveh decimalnih mest, kot smo jih mi
do sedaj, a principi računanja kljub temu ostanejo
enaki. Delo z decimalnimi števili predpisuje stan-
dard IEEE 754. Glavni tip, ki ga najpogosteje upo-
rabljamo, se imenuje double. Velik je 64 bitov in
se imenuje dvojna natančnost – tako ime ima, ker je
dvakrat večji od 32-bitnega tipa single, ki predsta-
vlja enojno natančnost. Decimalna števila so shra-
njena v dvojiškem sistemu, ne v desetiškem. Primer
števila bi bilo npr.
0.101101 ˆ 23,
kar pretvorimo v
p1¨2´1`0 ¨2´2`1 ¨2´3`1 ¨2´4 ` 0 ¨ 2´5`1 ¨ 2´6q
ˆ 23 “ 5.625.
Izmed 64 bitov, ki so na voljo, jih je 11 rezervira-
nih za eksponent, 52 za mantiso (decimalke), in 1 za
predznak števila (+ ali ´). 11-bitni prosto za ekspo-
nent nam omogoča eksponente od ´1022 do 1023,
najmanjši in največji eksponent ´1023 in 1024 pa
sta rezervirana za posebna števila, o katerih bomo
več povedali kasneje. V dvojiškem sistemu velja ome-
niti tudi posebno obliko normaliziranega zapisa. Če
število zapišemo v običajnem normaliziranem zapi-
su, bo oblike 0.x, kjer je x neničelna števka. Toda v
dvojiškem je ta števka lahko le 1, zato je nepotrebno,
da jo shranjujemo, in se raje dogovorimo, da kot nor-
malizirano obliko za dvojiška decimalna števila vza-
memo 1.x, kjer je x poljuben, 0 ali 1. Tako najbolje
izkoristimo 52 dvojiških decimalk, ki jih imamo na
voljo, kar je enako približno 16 desetiškim decimal-
kam natančnosti. V tem sistemu je osnovna zaokro-
žitvena napaka enaka 1.11 ¨ 10´16.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 426
Decimalno število s 64 biti je v računalniku pred-
stavljeno kot:
s eee . . . eee
looooomooooon
11 bitov
za eksponent
mmm. . .mmm
loooooooooomoooooooooon
52 bitov za mantiso
,
kjer s predstavlja en bit za predznak.
Poglejmo si konkreten primer. Bitni zapis števila
4269.6842 je enak
0 10000001011 0000101011011010111100100
111101110110010111111101100,
kjer so vrinjeni presledki za lažje branje. Prvi bit je
enak 0, kar nam pove, da je število pozitivno. Sledi
eksponent; če 10000001011 pretvorimo v desetiško,
dobimo 1035. Vendar so eksponenti zamaknjeni, saj
nimajo razpona od 0 do 2048, temveč od ´1023 do
1024. Z upoštevanjem zamika je iskani eksponent
enak 1035 ´ 1023 “ 12. Zapisano število je tako
enako
1.000010101101101011110010011110111011
0010111111101100 ˆ 212,
kar je enako
1000010101101.101011110010011110111011
0010111111101100
oz. približno 4269.6841999999996915. Kot vidimo,
rezultat ni točno 4269.6842, temveč je za približno
3.09 ¨ 10´13, kar (relativno gledano) ustreza osnovni
zaokrožitveni napaki.
Posledice zaokroževanja
Zaokroževanje na najbližjo vrednost pomeni, da obi-
čajna pravila računanja ne držijo več. Če v računal-
niku izračunamo pa ` bq ` c, to ni več nujno enako
kot a` pb` cq. Poglejmo primer: vzemimo a “ 0.88,
b “ 0.56 in c “ 0.13 ¨ 101. Če izračunamo a` b ` c
od leve proti desni, dobimo
a` b ` c “ 0.88 ` 0.56 ` 0.13 ¨ 101
“ flp1.44q ` 0.13 ¨ 101
“ 0.14 ¨ 101 ` 0.13 ¨ 101
“ flp0.27 ¨ 101q “ 0.27 ¨ 101.
Če pa izračunamo a ` b ` c od desne proti levi,
dobimo
a` b ` c “ 0.88 ` 0.56 ` 0.13 ¨ 101
“ 0.88 ` flp1.86q “ 0.88 ` 0.19 ¨ 101
“ flp2.78q “ 0.28 ¨ 101.
Razlika je majhna, vendar števili nista enaki. To je
tudi eden izmed razlogov, da decimalna števila red-
ko neposredno primerjamo, ali imajo popolnoma
enako vrednost. Že majhne razlike v načinu izračuna
namreč lahko prinesejo napake pri zadnjih decimal-
kah. Poslužimo se raje primerjanja s toleranco: na-
mesto da bi pogledali, ali je a “ b, pogledamo, ali
je absolutna vrednost razlike med a in b manjša od
tolerance t: |a´b| ď t, za npr. t “ 0.00001. Z izbiro
vrednosti t lahko tudi določimo, kako velike napake
so še sprejemljive.
Še ena zanimivost se pojavi pri računanju aritme-
tične sredine dveh števil. V matematiki smo navajeni,
da aritmetična sredina a`b2 dveh števil a in b leži na-
tanko na sredini med številoma. Pri decimalnih števi-
lih temu ni tako: vzemimo npr. a “ 0.21 in b “ 0.24.
Njuna izračunana aritmetična sredina je
a` b
2
“ 1
2
p0.21 ` 0.24q “ 1
2
flp0.43q “
“ 1
2
p0.43q “ flp0.215q “ 0.22,
kar ni točen rezultat 0.215, toda je (eden izmed) naj-
boljših možnih približkov.
Oglejmo si še en primer izračuna aritmetične sre-
dine, tokrat za a “ 0.66 in b “ 0.67:
a` b
2
“ 1
2
p0.66 ` 0.67q “ 1
2
flp1.33q “
“ 1
2
p0.13 ¨ 101q “ flp0.65q “ 0.65.
Tokrat smo dobili, da je sredina števil 0.66 in 0.67
enaka 0.65, kar seveda leži izven intervala
r0.66,0.67s! Če pogledamo izračun, vidimo, da je bil
glavni krivec za izgubo natančnosti to, da smo zašli
v prevelika števila. Pri predstavitvi 1.33 smo lahko
obdržali le dve mesti in smo bili prisiljeni zadnjo za-
vreči, da smo shranili 1.3.
Izračun bi lahko popravili tako, da bi ga namesto
a`b
2 napisali kot a`
b´a
2 . V tem primeru ne bi prišlo
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 4 27
do dela s tako velikimi števili in rezultat bi bil
a` b ´ a
2
“ 0.66 ` 1
2
p0.67 ´ 0.66q
“ 0.66 ` 1
2
flp0.01q
“ 0.66 ` 1
2
p0.1 ¨ 10´1q
“ 0.66 ` flp0.05 ¨ 10´1q
“ 0.66 ` 0.5 ¨ 10´2 “ flp0.665q “ 0.66.
V tem primeru je rezultat do zadnjega koraka kljub
vmesnim zaokrožitvam točen, na koncu pa se zao-
kroži na najboljši možni približek.
Pokažimo še nekaj zanimivih primerov dejanske
dvojne natančnosti. V izbranem programskem je-
ziku (npr. Python) izračunajmo s “ 0.1 ` 0.1 ` 0.1 `
0.1`0.1`0.1`0.1`0.1`0.1`0.1. Če bi bilo računa-
nje točno, bi rezultat moral biti enak 1. Vendar, ko
preverimo s == 1, dobimo odgovor False, da ena-
kost ne drži. Res, če izpišemo vrednost s na dovolj
decimalk, dobimo s “ 0.99999999999999988898,
oz. razliko |s ´ 1| “ 1.110223 ¨ 10´16. Če bi pri pre-
verjanju uporabili toleranco npr. 10´15, bi dobili pra-
vilni rezultat, da sta odgovora enaka.
Ponovimo eksperiment z 0.5 namesto 0.1. Rezul-
tat bi v tem primeru moral biti 5, in vrednost s je
5.00000000000000000000 ter primerjava s == 5
vrne True. Zakaj tokrat nismo dobili 4.99999999999
999999 namesto 5? Odgovor je, da so bila vsa števila,
ki so v računu nastopala, torej 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5
itd. . . , predstavljiva in nikoli ni prišlo do zaokroževa-
nja. Tako je bil tudi rezultat točen. Če pazljivo izbi-
ramo števila, lahko sicer konstruiramo primere, kot
je zgornji, kjer napak ni. Vendar v praksi na kaj ta-
kega ne moremo računati – sprijazniti se je potrebno
z napakami in znati z njimi ustrezno ravnati.
Posebne vrednosti
Prej smo omenili, da sta eksponenta ´1023 in 1024
rezervirana za posebne vrednosti. To je potrebno,
ker poleg decimalnih števil standard vsebuje tudi po-
sebna števila ˘8 in NaN, ki predstavljajo (pozitivno
ali negativno) neskočnost, in pa posebno število »not
a number«, ki označuje, da je rezultat neveljaven ali
nedoločen. Najlažji način, da dobimo vrednost 8, ki
ga običajno napišemo z besedilom kot »inf«, je, da
poskusimo izračunati npr. 1.0 / 0.0. Večina program-
skih jezikov (z izjemo Pythona) bo vrnila vrednost
inf. Za računanje z neskončnostjo veljajo naslednja
pravila:
8 ` a “ 8
8 ´ a “ 8
8 ¨ a “
$
’
’
&
’
’
%
8; če a ą 0
NaN; če a “ 0
´8; če a ă 0
8{a “
#
8; če a ě 0
´8; če a ă 0
a8 “
$
’
’
&
’
’
%
0; če |a| ă 1
1; če |a| “ 1
8; če |a| ą 1
8a “
$
’
’
&
’
’
%
0; če a ă 0
1; če a “ 0
8; če a ą 0
Pri tem smo predpostavili, da je a običajno število
(torej ni 8 ali NaN). Definirano pa je npr. tudi 8`8 “
8 in 8 ¨ 8 “ 8. Definicije so smiselne z vidika
matematičnih limit: če imamo dve zaporedij števil,
ki gresta proti 8, gre proti 8 tudi njun produkt ali
vsota. Za razliko ali kvocient pa to ne velja, zato so
rezultati izrazov 8{8, 8 ´ 8, 0{0 ali 0 ¨ 8 enaki NaN.
Računanje z NaN pa je enostavno definirati: čim je
eden od operandov enak NaN, je tudi rezultat NaN:
torej a ` NaN “ NaN, a ¨ NaN “ NaN, aNaN “ NaN,
. . . S posebnimi vrednostmi pa znajo delati tudi ele-
mentarne funkcije. Velja npr.
?8 “ 8,
?
´2 “ NaN,
sinp8q “ NaN, arctanp8q “ π{2.
Za NaN pa velja še ena posebnost: če ga primer-
jamo samega s sabo, vrne False. Torej, če npr. nare-
dimo x = 0.0/0.0 in nato izračunamo x == x, do-
bimo False. Ta posebna lastnost velja samo za NaN
in ne drži za nobeno drugo decimalno število. Kot
smo videli, je to le ena izmed pasti, v katero se lahko
ujamemo pri delu z decimalnimi števili. S tem, kako
računati, da se v naše izračune ne prikrade preveč
napak, se ukvarja numerična matematika. Ta tudi
neveščemu računalničarju omogoča zanesljivo delo
z decimalnimi števili.
ˆ ˆ ˆ
         
P 48 (2020/2021) 428
Astronomska literatura
Astronomske efemeride
2021
NAŠE NEBO
letnik 74
82 strani
format 16 ˆ 23 cm
speto, barvni tisk
10,00 EUR
Guillaume Cannat
GLEJ JIH, ZVEZDE
Najlepši prizori na nebu
v letu 2021
format 16,5 ˆ 23,5 cm
mehka vezava
23,90 EUR
Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/astro/
Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje
cene. Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.
̌

̌
 48/3
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz tretje
številke Preseka je Kvan-
tna mehanika. Izmed
pravilnih rešitev so
bili izžrebani Andrea
Ažman iz Blejske Do-
brave, Neža Korenjak
iz Mengša in Slavko
toplak iz Lenarta v
Slovenskih goricah, ki
bodo razpisane nagrade
prejeli po pošti.
ˆ ˆ ˆ























         
P 48 (2020/2021) 4 29
Odboj in interferenca
morskih valov
J S̌
V zadnjih dnevih decembra 2019 sem se spre-
hajal po Peškeri v Poreču in opazil ter fotografiral
zanimiv valovni pojav oz. več pojavov naenkrat.
Fotografija na sliki 1 prikazuje rahlo vzvalovano
morsko gladino ob utrjenem kamnitem nabrežju, ki
v daljavi preide v kamnito morsko obalo. Najbolj oči-
tno dogajanje, ki sem ga ujel na fotografijah in ga
najbrž najprej opazi tudi bralec, je odboj ravnih va-
lov na gladini od ravnega kamnitega obalnega zidu.
Ravni valovi so tisti, ki jih lahko prikažemo z rav-
nimi valovnimi črtami, črtami, ki ležijo na vrhovih
valov.
Na sliki 2 je označena smer vpadnega in odbitega
valovanja z belima puščicama. Odbiti val je tisti, ki
se začne pri steni v točki (trenutnega) odboja T in se
njegova valovna črta nadaljuje proti spodnjemu robu
SLIKA 1.
Zanimiva morska gladina
fotografije (z zidom, rdečo premico vzdolž roba zi-
du, oklepa kot δ). Če si natančneje ogledamo val,
kjer se sreča s steno, lahko opazimo, da oklepa va-
lovna črta vpadnega vala (bel poltrak) z zidom, od
katerega se odbija, kot α, in da oklepa valovna črta
odbitega vala (drugi bel poltrak) z zidom kot δ. Od-
bojni zakon pravi, da sta kot, pod katerim valovanje
vpada na površino, in kot, pod katerim se valovanje
od površine odbije, enaka. Na fotografiji to ni očitno,
za kar je kriva projekcija 3-dimenzionalnega prizora
v ravnino fotografije. V realnem 3D svetu sicer vzpo-
redne premice (npr. rdeče premice na sliki 2) niso
videti vzporedne, zelena premica, ki je pravokotna
na zid, ni videti pravokotna na rdečo, ki je vzdolž
zidu. V eni od prihodnjih številk bom morda skušal
pojasniti, kako ugotovimo, da odboj valovanja, ki ga
prikazuje fotografija, ne krši odbojnega zakona.
SLIKA 2.
Valovna črta vala (prikazana z belima poltrakoma), ki se odbija
od ravnega zidu. Z zeleno je narisana vpadna pravokotnica, z
rdečo pa premica, vzporedna kamnitemu obalnemu zidu. Bela
puščica označuje smer vpadnega in odbitega valovanja.
         
P 48 (2020/2021) 430
Od površin se odbijajo vsa valovanja, ne le mor-
sko, in njihov odboj po odbojnem zakonu ima za-
nimive posledice. Zaradi odboja svetlobe od vodne
gladine lahko (no, z nekaj domišljije) na morski gla-
dini v daljavi opazimo odsev osončenega drevesa in
bližnje okolice. Rahlo vzvalovana vodna gladina na
sliki 3 deluje kot nagubano zrcalo, od katere se sve-
tloba odbija tudi proti opazovalcu (oz. njegovemu
fotoaparatu). Ta vidi na gladini odsev drevesa. V
bonaci, ko je gladina povsem mirna, pa je odsev tako
razločen, da mu rečemo slika.
Mojo pozornost pa je kasneje najbolj pritegnil po-
jav, ki ga pravzaprav nisem nameraval ujeti v objek-
tiv. Ob ogledu zaporedno zajetih posnetkov mi je v
oko padla podrobnost, ki se na fotografiji nahaja na
mestu, kjer se vpadni val sreča s prejšnjim, od stene
odbitim valom. Opazimo lahko, da je mesto sreča-
nja obeh valov konica z višino približno enako vsoti
višin obeh valov. Temu pojavu rečemo interferenca
valovanja in je prisotna v mnogih vsakodnevnih pri-
zorih.
Interferenca
Interferenca je seštevanje valovanj. Pri predstavi, ka-
kšno seštevanje to je, pomaga, če si prej predsta-
vljamo samo valovanje – kako se premikajo deli sno-
vi, po kateri valovanje potuje. Ko pobližje pogle-
damo, kako se premika voda ob vzvalovani gladini,
ugotovimo, da to gibanje ni najbolj enostavno. A
za to, da razumemo, kaj pomeni seštevanje valovanj,
podrobnosti niti niso bistvene. Dovolj je, če si pred-
stavljamo gladino morja in to, da se vsak delček vzva-
lovane gladine premika samo v navpični smeri kot
žoga, ki plava na gladini, se dviga in spušča, kot jo
dvigajo in spuščajo valovi, ki potujejo pod njo2. To
gibanje je nihanje gor in dol okoli ravnovesne lege;
ravnovesna lega gladine pa je tam, kjer je gladina, ko
ni valov. Frekvenco in amplitudo, s katerima delček
gladine niha, narekujejo valovi; zato sta enaki fre-
kvenci in amplitudi valovanja. Valovi narekujejo tudi
časovni potek nihanja delčka gladine. V skrajni zgor-
nji legi so, ko skozi njih potuje vrh vala, in v skrajni
spodnji, ko skozi njih potuje dolina vala. Količino, s
katero opišemo trenutno lego delčka gladine in tudi
to, ali se v tistem trenutku dviga ali spušča, imenu-
jemo faza. Če s črto povežemo sosednje delčke gla-
dine, ki so sočasno na vrhu vala (in so med seboj v
fazi), dobimo valovne črte.
Ko se dve valovanji z enako valovno dolžino in fre-
kvenco srečata na istem mestu, se glede na fazo va-
lovanja to lahko zgodi na več različnih načinov. Lo-
čimo dva skrajna primera:
V prvem primeru sta valovanji v fazi, kar pomeni,
da se srečata valovna vrhova obeh valovanj. Am-
plitudi valovanj se seštejeta in na mestu srečanja
2Ko so valovi, je obǐcajno tudi veter, ki jih povzroči. Veter po
gladini zanaša tudi žogo.
SLIKA 3.
Odsev okolice na vodni gladini in vpadni valovi pred odbojem od stene.
         
P 48 (2020/2021) 4 31
SLIKA 4.
Konstruktivna interferenca. Amplitudi dveh valovanj v fazi se
seštejeta v skupno, ki je dvakratnik posamezne. (Vir slike:
Wikipedija)
SLIKA 5.
Destruktivna interferenca. Amplitudi dveh valovanj v protifazi
se seštejeta v skupno, nǐcelno in nihanje se ustavi. (Vir slike:
Wikipedija)
dobimo dvojni vrh vala. Takšnemu pojavu rečemo
konstruktivna interferenca (slika 4).
V drugem primeru pa se srečata npr. valovni vrh
prvega in valovna dolina drugega ali obratno, če-
mur rečemo protifaza. Tudi tokrat se amplitudi se-
štejeta, vendar se zaradi njunih nasprotnih pred-
znakov takšni valovanji izničita. Takšen pojav
imenujemo destruktivna interferenca (slika 5).
Seveda pa so možni tudi vsi ostali vmesni primeri,
le da ti nimajo kakšnega posebnega poimenovanja.
Vsota amplitud vmesnih primerov je prav tako odvi-
sna od fazne razlike med obema valovanjema in se
lahko giblje med obema skrajnima primeroma bodisi
bližje konstruktivni bodisi destruktivni interferenci.
Tudi v primeru na fotografiji imata seveda obe va-
lovanji enako frekvenco, saj imata en sam izvor va-
lovanja, in sicer skupek vetrnih in plimskih pogojev,
razlikujeta pa se v smeri širjenja. Na mestu, kjer se
srečata vrhova vpadnega in od zidu odbitega valova-
nja, se ustvari ojačitev, ki jo vidimo kot višji vrh oz.
konico. Na mestih, kjer se srečata vrh in dolina ome-
njenih valovanj, pa bi morala gladina mirovati, saj se
tam ustvari oslabitev. Tega zaradi zornega kota in
večje valovne dolžine na fotografiji ne opazimo.
SLIKA 6.
Île de Ré. Foto: Michel Griffon
Dobra točka za opazovanje interference morskih
valov, ki je bila opisana v tem prispevku je zahodna
obala francoskega otoka Île de Ré, kjer se srečajo va-
lovi, ki so nastali na različnih koncih Atlantskega oce-
ana in v različnih vremenskih pogojih. Ti valovi se
sekajo pod pravim kotom in v morju izrišejo vzorec
šahovnice, kot je viden na sliki 6.
ˆ ˆ ˆ
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način za-
stavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi,
hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje
je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. V Sloveniji Društvo mate-
matikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učence od prvega razreda osnovne
šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in
strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Pred-
vsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logično mišljenje
in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane
tako dosegljiv iskriv matematični izziv.
18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR v pripravi
Pri DMFA – založništvo je izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še:
‚ Mednarodni matematični kenguru 2005–2008,
‚ Mednarodni matematični kenguru 2009–2011,
‚ Mednarodni matematični kenguru 2012–2016.
V pripravi na tisk pa je že šesta knjiga Matematičnega kenguruja. Izšla bo v februarju ali marcu.
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred-
stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starej-
ših zbirk nalog pri DMFA – založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga!