The expansion of a chord diagram and the Genocchi numbers - Nakamigawa, Tomoki (Ars mathematica contemporanea, 2020)
Tetivni diagram ?$E$? je množica tetiv kroga, v kateri noben par tetiv nima skupnega krajišča. Naj bo ?$v_1, v_2, …, v_{2n}$? zaporedje točk, urejenih v smeri urinega kazalca vzdolž oboda kroga. Tetivni diagram ?$\{v_1v_{n+1}, v_2v_{n+2}, …, v_nv_{2n}\}$? se imenuje ?$n$?-križišče, tetivni diagram ?$\{v_1v_2, v_3v_4, …, v_{2n-1}v_{2n}\}$? pa je ?$n$?-ogrlica. Naj bo ?$E$? tetivni diagram, ki ima 2-križišče ?$S = \{x_1x_3, x_2x_4\}$?; potem se zamenjava ?$E$? z ?$E_1 = (E \setminus S) \cup \{x_2x_3, x_4x_1\}$? ali z ?$E_2 = (E \setminus S) \cup \{x_1x_2, x_3x_4\}$? imenuje razplet ?$E$? glede na ?$S$?. Če začnemo z danim tetivnim diagramom ?$E$? kot korenom, potem pa delamo tetivne razplete na oba načina, dobimo dvojiško drevo, katerega listi so izključno tetivni diagrami brez križišč. Naj bo ?$\mathcal{NCD}(E)$? mnogotera množica listov tega drevesa. V tem članku preučujemo večkratnost ?$n$?-ogrlice v mnogoteri množici ?$\mathcal{NCD}(E)$?. Poleg drugih rezultatov, ki jih dobimo, pokažemo tudi, da je večkratnost ?$n$?-ogrlice, dobljene iz ?$n$?-križišča, enaka Genocchijevemu številu, če je ?$n$? liho število, in sredinskemu Genocchijevemu številu, če je ?$n$? sodo število.
Keywords: chord diagram; chord expansion; Genocchi number; Genocchijevo število; Seidel triangle; Seidelov trikotnik; tetivni diagram; tetivni razplet