Boštjan Rode, dipl. inž.; Jože Rodič, dipl. inž. Železarna Ravne ASM/SLA: S 12j, U 4k DK: 519.28:518.5 Statistično planiranje in vrednotenje metalurških raziskav ANALIZA VARIANCE S PROGRAMI NA RAČUNALNIKU ZUSE Z-23 Z razvojem metod matematične statistike, predvsem pa z razširjanjem uporabe elektronskih računalnikov se uveljavljajo specialne metode vrednotenja in obdelave rezultatov v kontroli kvalitete. Poseben pomen in ekonomsko - tehnično učinkovitost nudijo take metode pri planiranju raziskav. Članek opisuje statistično metodo analize variance. Za več variant te metode so izdelani programi na elektronskem računalniku ZUSE Z-23. Namen članka je prikazati metodo analize variance v taki obliki, da bo pristopna najširšemu krogu tehnično-strokovnih kadrov v proizvodnji, kontroli in raziskavah. S tem naj bi članek prispeval svoj delež vsklajevanju raziskovalno-razvoj-nega dela z najmodernejšimi metodami in splošni razširitvi uporabe matematično statističnih metod ter elektronskih računalnikov v reševanju tehničnih problemov. S tem namenom je članek napisan v obliki preprostega navodila za planiranje nalog, pripravo podatkov in tolmačenje rezultatov. Izračun analize variance z uporabo računalnika je tako vsakomur dostopen. Za poglobitev znanja in študij teoretskih osnov je podana literatura. UVOD Analiza variance je matematična tehnika, ki ima veliko moč in praktičen pomen pri vrednotenju eksperimentalnih podatkov. Pri najrazličnejših področjih raziskav je treba večkrat primerjati vzorce, serije, postopke, metode, rezultate in podobno med seboj. Vzemimo, da proizvajamo en izdelek po dveh različnih tehnoloških procesih. Zanima nas, kako tehnologija vpliva na določeno karakteristiko izdelkov. V ta namen zberemo podatke za karakteristiko izdelkov enega tehnološkega procesa in podatke za isto karakteristiko izdelkov drugega tehnološkega procesa. Statistična metoda z analizo variance nam pove, ali se karakteristika izdelkov pri enem tehnološkem procesu razlikuje od karakteristike pri drugem tehnološkem procesu. Analiza variance nam določi tudi pomembnost razlike. Primerjava dveh serij in ugotavljanje pomembnosti razlik med parametri posameznih serij je še razmeroma preprosta. Večkrat pa je treba pri raziskavah primerjati večje sisteme podatkov. Ugotavljanju statistično pomembnih razlik v celotnem sistemu sledi selekcija serij na osnovi medsebojnih primerjav po principu »vsaka z vsako«. To obsežno delo opravlja analiza variance kot posebna metoda matematične statistike, s katero je mogoče kvantitativno ugotoviti variacije v sistemu po njihovih izvorih ali posledicah in jih tudi iz celotnega sistema izdvajati. Taki problemi nastopajo pri analizah vseh vrst procesov — tehnoloških postopkov, kontrolnih postopkov in znanstveno tehničnih preizkusov. Če množico podatkov lahko klasificiramo po enem ali po več kriterijih, potem lahko variacije med podatki razdelimo na komponente in te pripišemo posameznim kriterijem klasifikacije. S preizkušanjem pomembnosti teh komponent lahko ugotovimo, kateri od upoštevanih kriterijev so povezani s pomembnim deležem celotne spremenljivosti. Na primer serija kemijskih analiz različnih vzorcev istega materiala lahko vsebuje razlike, ki so v zvezi z vzorčenjem, lahko pa tudi razlike, ki izvirajo iz same analize. Z analizo variance lahko spremembe zaradi vzorčenja in spremembe zaradi analiziranja ločimo in ocenimo njihovo jakost. Za izvedbo analize je potrebno podatke povezati v primeren model in jih obdelati z ustrezno matematično tehniko. Prednosti analize variance so zelo odvisne od dveh odločilnih faktorjev: — od sistema ureditve podatkov in od logičnosti primerjav, — od upoštevanja značilnih lastnosti modela. Uspešnost analize variance najbolje zagotovimo, če že pri planiranju poizkusov izberemo ustrezen model in s tem izkoristimo vse prednosti statistično planiranih raziskav. Že primerjava dveh serij nam da precej računskega dela, računanje obsežnejšega sistema po metodi analize variance pa je praktično izvedljivo le z uporabo elektronskih računalnikov. Računanje obsežnejše analize variance za več vplivnih faktorjev in za več kombiniranih vplivov je brez uporabe elektronskega računalnika skoraj nesmiselna izguba časa. Brez računalnika je to delo zaradi velikega števila računskih operacij skoraj neizvedljivo ali pa izredno zamudno in izpostavljeno številnim napakam. Seveda lahko trdimo, da je računanje brez računalnika nesmiselna izguba časa samo, če nam je računalnik dostopen in če imamo za ta računalnik izdelan ustrezen program. V raziskovalnem oddelku železarne Ravne že več let uporabljamo analizo variance pri vrednotenju rezultatov raziskovalnih nalog. Dosegli smo zelo vzpodbudne uspehe, predvsem, kadar smo po ustreznih modelih za analizo variance raziskavo tudi planirali in izvedli. Če eksperimentiranje ni prirejeno vnaprej določenemu delu za izračun, največkrat ne moremo izkoristiti vseh rezultatov preizkušanja. Tako ostane vedno del dragega eksperimentiranja neizkoriščen. S planiranjem raziskave lahko torej zmanjšamo stroške oziroma obseg eksperimentiranja, ali pa povečamo zanesljivost zaključkov. Široko uporabnost analize variance v metalurških raziskavah kaže že kratek pregled problemov, ki smo jih s to metodo reševali v železarni Ravne: — Vpliv peči — jeklarskega agregata na čistost jekla OCR-4 pri določeni tehnologiji; — Vpliv različnih variant jeklarske tehnologije na čistost jekla OCR-4 pri izdelavi v isti peči; — primerjava popolne oksidacije in pretalitve, — primerjava različnih načinov dezoksidacije pri postopku popolne oksidacije; — Vpliv ciklusov toplotne obdelave, geometrije rezila in pogojev rezanja na obstojnost stru-garskih nožev iz brzoreznega jekla; — Vrednotenje metalografskih pregledov in mehanskih poizkusov za različne vrste jekel; — Vpliv vsebnosti celotnega in kislinotopnega aluminija na velikost zrna pri cementacijskih jeklih; — Primerjava vsebnosti kislinotopnega aluminija v jeklih EC 80 in EC 100; — Primerjava dveh vezanih statističnih množic za ugotavljanje pomembnosti razlik čistosti jekla (stopnje vključkov) pri glavi in nogi ingota, ali za ugotavljanje pomembnosti razlike v ogljiku pri litju jekla v dve ponovci. Precej analiz variance smo izračunali brez računalnika, nato smo se posluževali standardnega programa na računalniku Elliot 803. V letu 1967 smo razvili za svoje potrebe program analize variance na računalniku ZUSE Z-23. Program torej imamo, zato v tem članku ne bomo opisovali poteka izračuna in teoretskih osnov, ampak le praktično uporabo analize variance. Za vse, ki želijo poglobiti svoje znanje in spoznati osnove ter potek izračuna, je na razpolago zelo obsežna literatura. Avtor analize variance je Fisher, ki je na mednarodnem posvetovanju matematikov v Torontu že leta 1924 prikazal to metodo. Z njo je rešil mnoge probleme, katerih se do takrat raziskovalci niso znali lotiti na primeren in učinkovit način. Prav to je bila ideja in osnova izredno hitrega razvoja statistično planiranih raziskav. Fisher in za njim še mnogi drugi statistiki — matematiki so razvili številne specializirane metode in modele za planiranje eksperimentov. Pravi razmah je tem metodam omogočila šele široka uporaba elektronskih računalnikov. Področje uporabnosti analize variance je zelo široko, zato so praktične potrebe narekovale pripravo več različnih programov za izračun analize variance z računalnikom. ANALIZA VARIANCE ZA 1 VPLIVNI FAKTOR Oznaka programa »ID FIXEN MODEL« Oglejmo si praktičen primer, pri katerem imamo 3 metalurške peči! V vsaki proizvajamo isto vrsto jekla. Zanima nas, če peč s svojimi karakteristikami vpliva na stopnjo nemetalnih vključkov v jeklu. Tu je peč vplivni faktor, za katerega izvršimo analizo variance. Zberemo podatke o stopnjah nemetalnih vključkov za nekaj šarž iz 1. peči, za nekaj šarž iz 2. peči in za nekaj šarž iz 3. peči. Število podatkov je lahko različno za posamezne peči, vendar prevelika razlika ni zaželena. Analiza variance nam bo pokazala, če se 3 skupine podatkov med seboj razlikujejo in kako pomembna je razlika med njimi. Popolnoma isto bi storili, če imamo še več peči. V tem primeru je bila peč vplivni faktor, lahko pa imamo najrazličnejše vplivne faktorje. V isti peči lahko isto vrsto jekla izdelamo na različne načine: — 1. način: popolna oksidacija, dodatek FeSi in majhen dodatek Al — 2. način: popolna oksidacija, dodatek FeSi in velik dodatek Al — 3. način: popolna oksidacija, dodatek CaSi — 4. način: pretalitev Tu je vplivni faktor način izdelave, oziroma jeklarski tehnološki postopek. Za različne karakteristike izdelkov si lahko izberemo za opazovanje še najrazličnejše vplivne faktorje. V tem poglavju bomo obravnavali le analizo variance za 1 vplivni faktor. Zbiranje podatkov in priprava za izračun na računalniku Pri zbiranju podatkov za analizo variance po programu »1 D FIXEN MODEL« je važno, da so posamezni podatki med seboj neodvisni. Torej na velikost katerega koli od zbranih podatkov vpliva le slučaj in opazovani vplivni faktor, ne pa tudi drugi podatki. Kakor bomo videli v praktičnem primeru si v jeklarstvu to lahko zagotovimo s tem, da pri določeni vrsti jekla vsak podatek vzamemo iz druge šarže. Podatki določeni iz iste šarže med seboj namreč niso neodvisni in nam za model analize variance, ki ga v tem poglavju obravnavamo, ne morejo koristiti. Pripravo zbranih podatkov za računalnik si oglejmo na praktičnem primeru: 1. primer V Železarni Ravne smo zbrali podatke za vsebnost Al v jeklu ECN 200. Pri tem smo zasledovali velikost zrna ASTM in hoteli ugotoviti, kako vsebnost Al vpliva na velikost zrna. Za vplivni faktor, Tabela 1 — Podatki vsebnosti Alcd pri posameznih velikostih zrna za 45 šari jekla ECN 200 sh O a c "H. > Velikost zrna ASTM PODATKI Vsebnost Alcci % v jeklu ECN 200 ni podatkov ni podatkov ni podatkov 3 0,009 0,009 0,052 4 0,012 0,015 0,016 0,009 0,023 5 0,018 0,033 0,033 0,020 0,046 0,045 0,024 0,019 0,002 0,006 0,018 0,016 0,014 0,021 0,016 0,023 0,014 0,025 0,027 0,015 0,012 0,024 0,015 0,007 0,019 6 0,079 0,033 0,034 0,045 0,020 0,028 0,028 0,026 0,011 7 0,024 0,039 0,042 ki je nosilec skupin smo si torej izbrali velikost zrna. Kaj je vplivni faktor in kaj je opazovana karakteristika, je pri analizi variance nepomembno. Vplivni faktor ima le pomen kriterija za razdelitev skupin, nima pa pomena pravega vpliva. Od te izbire je odvisen sistem zbiranja podatkov, (tabela 1) Za računalnik podatke natipkamo na teleprinterski trak na sledeč način: V818IV ; ECN200 AL-CEL ; 0 E2408E 4' 3' 5' 25' 12' ,009 ,009 ,052 ,012 ,015 ,009 ,016 ,023 ,018 ,033 ,033 ,02 ,046 ,024 ,019 ,002 ,006 ,018 ,016 ,014 ,021 ,016 ,023 ,014 ,027 ,015 ,012 ,024 ,015 ,007 ,019 ,0179 ,033 ,034 ,045 ,02 ,028 ,026 ,028 ,011 ,024 ,039 ,042 3' 10 2,23 5 2,84 1 4,3 Oblika pisanja je zelo važna in mora biti izvršena točno po navodilih! Zapis U8181U je vedno isti in se nanaša na program »ID FIXEN MODEL«. Med črkama U in številom 8181 ne sme biti nobenega presledka. V novo vrsto ali po dveh presledkih napišemo podpičje. Za podpičjem sledi besedilo, ki se od primera do primera spreminja in nam služi le zato, da kasneje rezultate lahko spoznamo in razločimo. Besedilo lahko vsebuje največ 50 teleprinterskih znakov, priporočljivo pa je, da je čim krajše. Za tem besedilom zopet sledi podpičje, za podpičjem pa presledek ali nova vrsta in nato neko število, npr. 0. Za številom zopet presledek in nato zapis E2408E, ki je prav tako brez presledkov med črkama E in številom 2408. V novo vrsto napišmo najprej število stanj vplivnega faktorja. Ker smo iz določenih razlogov vzeli velikost zrna 6 in 7 ASTM skupaj, je število stanj v našem primeru 4' (apostrof pomeni za ra- čunalnik celo število). Zaradi poznejšega tolmačenja rezultatov označimo ta stanja s celimi števili. 1' stanje z velikostjo zrna 3 2' stanje z velikostjo zrna 4 3' stanje z velikostjo zrna 5 4' stanje z velikostjo zrna od vključno 6 dalje Za številom stanj vplivnega faktorja pridejo po vrsti število podatkov za stanje 1', število podatkov za stanje 2' itd. Iz tabele 1 res lahko preverimo, da so števila podatkov za 4 stanja 3' 5' 25' 12' Potem na teleprinterju v novo vrsto napišemo podatke za stanje 1', nato podatke za stanje 2' itd. Na koncu podatkov moramo s posebnimi števili določiti še, s kakšno statistično pomembnostjo bomo ugotavljali razliko med skupinami podatkov za posamezna stanja vplivnega faktorja, število 3' pomeni, da smo se odločili za tri različne kriterije pomembnosti. Števila 10, 5 in 1 pomenijo, da so to verjetnosti 90 °/o, 95 o/0 in 99%. Razliko do 100% navadno označimo z grškim a. Torej je pri nas a = 10, 5 in 1. Za vsakim a je zapisana vrednost parametra F, ki jo dobimo iz tabele 7. Za vsak a imamo posebno tabelo. V isti tabeli pa se vrednosti F razlikujejo še glede na števili vi in V2, ki ju imenujemo prostostni stopnji. Tako vrednost F določimo s tremi indeksi. Fa; vi, V2 Število vi je pri analizi variance z 1 vplivnim faktorjem za eno manjše od števila stanj vplivnega faktorja. Torej v našem primeru vi = 4 — 1=3. Število v2 pa izračunamo: v2 = (število vseh podatkov) — (število stanj) Torej v našem primeru: v2 = 45 —4 = 41 Poiščimo vrednost za F5.3_ 41 V tabeli 8 za a = 5 najdemo: — za vi = 3 in v2 = 40 vrednost 2,84 — za vi = 3 in v2 = 60 vrednost 2,76. Razlika vrednosti je 0,08. Razlika med obema v2 pa 20. Zato za razliko 1 pri v2 ne moremo pričakovati niti 0,01 razlike v vrednostih F. Torej F5;3,41 =2,84 V drugih primerih bi seveda vzeli res vmesno interpolirano vrednost. (Za točno interpolacijo glej navodila v prilogi.) Tolmačenje rezultatov Pripravljen trak s podatki prečita računalnik in s programom »1 D FIXEN MODEL« izračuna rezultate, ki jih napiše v sledeči obliki: 1 D FIXEN MODEL ECN200 AL-CEL 3' 0.0233 0.0248 5' 0.0150 0.0052 25' 0.0205 0.0105 12' 0.0290 0.0101 .889760646,0—03 3 .29658688110—3 2.37 .513911582,0—02 41 .125344288,0—03 .602887646,0—2 44 ALFA = 10.0 1' 3' 0.003 4' 1' 0.006 3' 2' 0.005 4' 2' 0.024 4' 3' 0.009 ALFA = 5.0 Najprej je napisan naslov programa, po katerem je računalnik računal. Nato je napisano besedilo, ki smo ga v podatkih postavili med podpičje. Po vrsti slede za vsa 4 stanja vplivnega faktorja: število podatkov, srednja vrednost in standardna deviacija. Npr.: za stanje 1', to je zrno manjše ali enako 3, smo imeli 3 podatke s srednjo vrednostjo 0,0233 in standardno deviacijo 0,0248. Za temi 4 vrsticami je nekaj presledka, nato pa standardna računska shema za analizo variance. Za nas so morda zanimive vrednosti v 2. koloni. To sta vi = 3 in v2 = 41. Čisto na desni napiše računalnik vrednost F, ki jo je izračunal. Pri nas je F = 2,37. čim večji je F, tem pomembnejša je razlika med srednjimi vrednostmi. Nato računalnik napiše: ALFA = 10.0 kar pomeni, da bo ugotovil, če je verjetnost 90 %, da je razlika srednjih vrednosti posledica različnih stanj vplivnega faktorja. V našem primeru računalnik res odkrije take razlike srednjih vrednosti. Katere so te razlike in kako so velike nam pove v treh kolonah. V 1. koloni je vedno število stanja, ko ima opazovana karakteristika (pri nas vsebnost Al) večjo srednjo vrednost od srednje vrednosti v stanju, katero označuje število v 2. koloni. V koloni 3, pa je razlika med tema dvema srednjima vrednostima. V našem primeru piše najprej 1' 3' 0,003 To pomeni, da je srednja vrednost pri stanju 1' večja od srednje vrednosti pri stanju 3', razlika med njima pa je 0,003. Torej je 90% verjetnost, da je razlika srednjih vrednosti v stanju 1' (zrno do vključno 3) in stanju 3' (zrno 5) posledica različnih stanj vplivnega faktorja (vsebnosti Al). V celoti je računalnik napisal 5 razlik, ki so posledice različnih stanj vplivnega faktorja. Vidimo, da je potrebno največ Al v stanju 4, to je za velikost zrna 6 ali več. Za zrno 5 je potrebno več Al kot za zrno 4 in manj Al kot za zrno 6 ali 7. Za vse trditve pa je verjetnost 90 °/o, da so pravilne. Naslednji izpis računalnika je ALFA = = 5.0. Ker za njim ne sledi ničesar več ni 95 "/o verjetnosti, da je razlika srednjih vrednosti posledica različnih stanj vplivnega faktorja. Pri izpisu lahko nastopi tudi primer ALFA = 10.0 (ali 5.0) ALFA =5.0 (ali 1.0) da med dvema zaporednima izpisoma ALFA ni drugega kot prazen prostor. To pomeni, da ni 90 % (ali 95 °/o) verjetnosti, da je razlika med dvema srednjima vrednostima posledica različnih stanj vplivnega faktorja. Pač pa je 90% (ali 95 %) verjetnost, da se od 0 pomembno razlikuje vsaj en izraz oblike Ci % + C2 . % + C3 . X3 + C4 . X4 (1) kjer je Ci + c2 + c3 + c4 = o (2) Izraz (1) imenujemo pri pogoju (2) kontrast srednjih vrednosti. Razlika je le poseben primer kontrasta za Ci = 1, = —1, C3 = 0 in C4 = 0. Kontrastov je že med 4 srednjimi vrednostmi toliko, kolikor je točk v 3 dimenzionalnem prostoru, zato v praksi ne moremo odkriti vseh, omejimo se le na razlike. 2. primer Kot primer obdelan na računalniku vzemimo še vsebnost Al v jeklu EC 80 in jeklu EC 100. Zanima nas, če je vsebnost Al v teh dveh jeklih pomembno različna. Za jeklo EC 80 smo zbrali podatke za 91 šarž. Za jeklo EC 100 pa podatke za 52 šarž. Podatke pripravimo na teleprinterskem traku v obliki, ki smo jo že opisali: U8181U ; AL-TOP EC80: 100; 0 E2408E 2' 91' 52' sledi .... 91 podatkov za Al v EC 80 sledi .... 52 podatkov za Al v EC 100 3' 10 2,74 5 3,91 1 6,84 Ker smo napisali najprej 91 podatkov za vsebnost Al v EC 80 računalnik označi jeklo EC 80 kot stanje 1' vplivnega faktorja, jeklo EC 100 pa kot stanje 2' vplivnega faktorja. Izpis rezultatov je sledeč: .127167638,0—02 .150374040,a—03 8.46 1 D FIXEN MODEL AL-TOP EC 80:100 91' 0.0145 0.0091 52' 0.0307 0.0164 .127167638,0—02 1 .212027398,0—01 141 .224744161,0—01 142 ALFA = 10.0 2' 1' 0.006 ALFA = 5.0 2' 1' 0.006 ALFA = 1.0 2' 1' 0.006 Ker je tudi pod ALFA = 1.0 napisano 2' 1' 0.006 je 99 °/o verjetnost, da je v jeklu EC 100 (stanje 2') več Al-top kot v jeklu EC 80 (stanje 1'). ANALIZA VARIANCE ZA 2 VPLIVNA FAKTORJA Oznaka programa »2 D FIXEN MODEL« To je metoda, ki istočasno določi vpliv dveh faktorjev na določeno lastnost proizvoda. Tako nam ni treba dvakrat zbirati podatkov. Zato pa moramo zbirati podatke na čisto poseben način. Brez predhodnega točnega plana ne moremo zbrati potrebnega števila podatkov, ali pa bodo nekateri podatki odveč. Plan zbiranja podatkov Najprej izberemo stanje za 1. vplivni faktor. Recimo, da jih je r. Označimo jih z Ai, A i . . . Ar. Nato izberemo stanje 2. vplivnega faktorja. Teh naj bo t. Označimo jih z Bi, B2 . . . Bt. Za vsako kombinacijo obeh vplivnih faktorjev moramo zbrati enako število podatkov. Recimo, da smo se odločili za n podatkov, ki jih imenujemo ponovitve, ker pripadajo isti kombinaciji vplivnih faktorjev. Zbrati moramo torej rtn podatkov. Pripravimo si tabelo v katero bomo vpisovali podatke. Imamo 2 možnosti za obliko tabele. Prva možnost je v tabeli 2. Tabela 2 — Plan zbiranja podatkov za majhno število stanj in veliko število ponovitev. Tabela 3 — Plan zbiranja podatkov za veliko število stanj in majhno število ponovitev ai aj ar b; b: b, bi b2 b, bj bj b, 1 2 n To tabelo uporabimo, če imamo majhno število stanj 2. vplivnega faktorja in veliko število ponovitev. V nasprotnem primeru pa rajši uporabimo tabelo 3. V članku ing. Pratnekarja: »Raziskave obstojnosti brzoreznih jekel« sta prikazani tabeli za jekli Elomax in BRC-3, po katerih so bili zbrani podatki. Pri nožih iz jekla BRC - 3 sta bili opazovani 2 karakteristiki in sicer obrabna obstojnost T in širina obrabe VB. Vplivni faktorji so bili termična obdelava, cepilni kot y, naklonski kot X in hitrost rezanja v. Če si izberemo za 1. vplivni faktor termično obdelavo, za 2. vplivni faktor pa cepilni kot y, dobimo obliko tabele 2. Prvi vplivni faktor ima 5 stanj (podatkov za ciklus 1290° C + 560° C in X = + 4° tu ne vzamemo zraven), drugi vplivni faktor pa ima 3 stanja. Število ponovitev je 21 (3 X 7), ker nas trenutno ne zanimajo hitrosti rezanja. Lahko pa si izberemo za 2. vplivni faktor namesto kota y hitrost rezanja, za 1. vplivni faktor pa kombinacije ciklusa toplotne obdelave s koti X in y. Tako bi dobili 18 stanj za 1. vplivni faktor in 3 stanja za 2. vplivni faktor, ter 7 ponovitev. Če sliko 17 v članku ing. Pratnekarja gledamo na ta način, vidimo primer zbranih podatkov po tabeli 3. So še druge možnosti za izbor 2 vplivnih faktorjev izmed štirih. Tabela na sliki 17 je bila vnaprej planirana, zato se da z njo izvršiti veliko primerjav. Pri zbiranju podatkov moramo upoštevati še naslednje. Za preizkušanje velikega števila nožev smo morali uporabiti več obdelovancev. Ti obde-lovanci so bili sicer iz iste vrste jekla in celo iz iste šarže, vendar se lahko med seboj razlikujejo po trdoti. Če bi tako preizkušali nože po vrsti najprej vse enako termično obdelane na istem ob-delovancu, potem pa vse drugače termično obdelane na drugem obdelovancu, bi bile lahko razlike v obrabi posledica spremembe trdot obdelovanca, ne pa posledica toplotne obdelave. Tako bi si ves poizkus pokvarili in lahko dobili zgrešene zaključke. Temu se izognemo s slučajno določenim vrstnim redom preizkušanja nožev. Vse nože za preizkus označimo z zaporednimi števili med 100 in 1000. Potem vzamemo slučajni vrstni red števil po tabeli 4. Tabelo uporabimo tako, da določimo poljubno mesto v tabeli: npr. 80. vrsta, 19. kolona in dobimo številko 9. Od te številke gremo v tabeli poljubno desno, levo, navzgor ali navzdol in odčitamo še 2 številki, tako da dobimo 3-mestno število. Če gremo v desno, dobimo številki 7 in 9. Skupaj torej število 979. Nož s to zaporedno številko preizkušamo najprej, če noža s številko 979 ni, vzamemo naslednje 3 številke v desno, t. j. 256 in preizkušamo nož s številko 256 pri pogojih po shemi. Tako nadaljujemo, da dobimo vrstni red nožev za preizkušanje: 979, 256, 808, 340, 608,... Če noža s kakšno številko ni, potem to številko enostavno v zaporedju izpustimo. Nove člene v zaporedju lahko dobimo v kateri koli smeri od zadnje številke zadnjega člena zaporedja. Tako za 608 lahko sledi katero koli od števil 899 (desno), 385 (navzgor) ali 044 (navzdol). Seveda zadnje število odpade, ker smo označili nože s števili med 100 in 1000. Sploh je v tabeli slučajnostnih števil izbira precej prosta, le da ne preskakujemo številk brez potrebe. Podobno lahko uporabimo tudi druge tabele slučajnostnih števil. S tem, da smo nože za preizkušanje razvrstili po tabeli slučajnostnih števil, smo izključili vpliv obdelovanca, ah še bolj splošno rečeno časovni vpliv in vpliv zaporedja preizkušanja. Po določenem času se obdelovanec toliko ostruži, da ga je treba zamenjati z drugim, ki ima lahko toliko različne lastnosti, da bi te privedle do sistematske napake preizkušanja. V splošnem pri vseh poizkusih vpliva čas, ker se z njim menjajo razni pogoji, ki jih ne upoštevamo. Zato je vedno priporočljivo vrstni red meritev določiti s tabelo slučajnih števil. Priprava podatkov za računalnik in tolmačenje rezultatov Ko smo podatke zbrali v tabelo 2 ali tabelo 3, nam preostane le še, da jih napišemo na teleprinterski trak. Oblika je podobna kot pri analizi variance za 1 vplivni faktor. Napišemo po vrsti: U8181U ; oznaka podatkov 1' ime 1. vplivnega faktorja 2' ime 2. vplivnega faktorja; 0 E2408E r' t' n' podatki iz tabele 2 ali 3 napisani po stolpcih. Najprej prvi stolpec, potem drugi itd. 3' 10 F10. r — 1, rt m — i; F«; t — 1, rt (n — 1) F10; (r — I) (t — 1), rt (n — 1) 5 F5; r — 1, rt (n — 1) F5; t — 1, rt ;n — 1) ^5; (r — 1) (t — 1), rt (n — 1) 1 Fl; r — 1, rt (n — 1) Fj; t-1, rt{n-l) Fi; (r _ d (t _ rt (n — 1) Pri tem je r število stanj 1. vplivnega faktorja, t število stanj 2. vplivnega faktorja, n pa je število ponovitev. Števila Fa, yi, y2 dobimo v tabelah 7—9. Tabela 4 — Slučajnostna števila1 K°l0"f 0—4 5—9 10—14 15—19 20—24 25—29 30—34 35—39 40-^14 45—49 50—54 55—59 60—64 65—69 70—74 75—79 80—84 85—89 90—94 95—99 0 54463 22662 65905 70639 79365 67382 29085 69831 47058 08186 59391 58030 52098 82718 87024 82848 04190 96574 90464 29065 1 15389 85205 18850 39226 42249 90669 96325 23248 60933 26927 99567 76364 77204 04615 27062 96621 43918 01896 83991 51141 2 85941 40756 82414 02015 13858 78030 16269 65978 01385 15345 10363 97518 51400 25670 98342 61891 27101 37855 06235 33316 3 61149 69440 11286 88218 58925 03638 52862 62733 33451 77455 86859 19558 64432 16706 99612 59798 32803 67708 15297 28612 4 05219 81619 10651 67079 92511 59888 84502 72095 83463 75577 11258 24591 36863 55368 31721 94335 34936 02566 80972 08188 5 41417 98326 87719 92294 46614 50948 64886 20002 97365 30976 95068 88628 35911 14530 33020 80428 39936 31855 34334 64865 6 28357 94070 20652 35774 16249 75019 21145 05217 47286 76305 54463 47237 73800 91017 36239 71824 83671 39892 60518 37092 7 17783 00015 10806 83091 91530 36466 39981 62481 49177 75779 16874 62677 57412 13215 31369 62233 80827 73917 82802 84420 8 40950 84820 29881 85966 62800 70326 84740 62660 77379 90279 92494 63157 76593 91316 03505 72389 96363 52887 01087 66091 9 82995 64157 66164 41180 10089 41757 78258 96488 88629 37231 15669 56689 35682 40844 53256 81872 35213 09840 34471 74441 10 96754 17676 55659 44105 47361 34833 86679 23930 53249 27083 99116 75486 84989 23476 52967 67104 39495 39100 17217 74073 11 34367 88040 53364 71726 45690 66334 60332 22554 90600 71113 15696 10703 65178 90637 63110 17622 53988 71087 84148 11670 12 06318 37403 49927 57715 50423 67372 63116 48888 21505 80182 97720 15369 51269 69620 03388 13699 33423 67453 43269 56720 13 62111 52820 07243 79931 89292 84767 85693 73947 22278 11551 11666 13841 71681 98000 35979 39719 81899 07449 47985 46967 14 47534 09243 67879 00544 23410 12740 02540 54440 32949 13491 71628 73130 78783 75691 41632 09847 61547 18707 85489 69944 15 96614 75993 84460 62846 59844 14922 48730 73443 48167 34770 40501 51089 99943 91843 41995 88931 73631 69361 05375 15417 16 24856 03648 44898 09351 98795 18644 39765 71058 90368 44104 22518 55576 98215 82068 10798 86211 36584 67466 69373 40054 17 96887 12479 80621 66223 86085 78285 02432 53342 42846 94771 75112 30485 62173 02132 14878 92879 22281 16783 86352 00077 18 90801 21472 42615 77408 37390 76766 52615 32141 30268 18106 80327 02671 98191 84342 90813 49268 95441 15496 20168 09271 19 55165 77312 83666 36028 28420 70219 81369 41943 47366 41067 60251 45548 02146 05597 48228 81366 34598 72856 66762 17002 20 75884 12952 84318 95108 72305 64620 91318 89872 45375 85436 57430 82270 10421 05540 43648 75888 66049 21511 47676 33444 21 16777 37116 58550 42958 21460 43910 01175 87894 81378 10620 73528 39559 34434 88596 54086 71693 43132 14414 79949 85193 22 46230 43877 80207 88877 89380 32992 91380 03164 98656 59337 25991 65959 70769 64721 86413 33475 42740 06175 82758 66248 23 42902 66892 46134 01432 94710 23474 20423 60137 60609 13119 78388 16638 09134 59880 63806 48472 39318 35434 24057 74739 24 81007 00333 39693 28039 10154 95425 39220 19774 31782 49037 12477 09965 96657 57994 59439 76330 24596 77515 09577 91871 25 68089 01122 51111 72373 06902 74373 96199 97017 41273 21546 83266 32883 42451 15579 38155 29793 40914 65990 16255 17777 26 20411 67081 89950 16944 93054 87687 96693 87236 77054 33848 76970 80876 10237 39515 79152 74798 39357 09054 73579 92359 27 58212 13160 06468 15718 82627 76999 05999 58680 96739 63700 37074 65198 44785 68624 98336 84481 97610 78735 46703 98265 28 70577 42866 24969 61210 76046 67699 42054 12696 93758 03283 83712 06514 30101 78295 54656 85417 43189 60048 72781 72606 29 94522 74358 71659 62038 79643 79169 44741 05437 39038 13163 20287 56862 69727 94443 64936 08366 27227 05158 50326 59566 30 42626 86819 85651 88678 17401 03252 99547 32404 17918 62880 74261 32592 86538 27041 65172 85532 07571 80609 39285 65340 31 16051 33763 57194 16752 54450 19031 58580 47629 54132 60631 64081 49863 08478 96001 18888 14810 70545 89755 59064 07210 32 08244 27647 33851 44705 94211 46716 11738 55784 95347 72655 05617 75818 47750 67814 29575 10526 66192 44464 27058 40467 33 59497 04392 09419 89964 51211 04894 72882 17805 21896 83864 26793 74951 95466 74307 13330 42664 85515 20632 05497 33625 34 97155 16428 40293 09985 58434 01412 69124 82171 59058 82859 65988 72850 48737 54719 52056 01596 03845 35067 03134 70322 Kolone 5_9 10_14 15_19 20—24 25—29 30—34 35—39 40—44 45—49 50—54 55—59 60—64 65—69 70—74 75—79 80—84 85—89 90—94 95—99 35 98409 66162 95763 47420 20792 61527 20441 39435 11859 41567 27366 42271 44300 73399 21105 03280 73457 43093 05192 48657 36 45476 84882 65109 96597 25930 66790 66706 61203 53634 22557 567 60 10909 98147 34736 33863 95256 12731 66598 50771 83665 37 89300 69700 50741 30329 11658 23166 05400 66669 48708 03887 72880 43338 93643 58904 59543 23943 11231 83268 65938 81581 38 50051 95137 91631 66315 91428 12275 24616 68091 71710 33258 77888 38100 03062 58103 47961 83841 25878 23746 55903 44115 39 31753 85176 31310 89642 98364 02306 24617 09609 83942 22716 28440 07819 21580 51459 47971 29882 13990 29226 23608 15873 40 79152 53829 77250 20190 56535 18760 69942 77448 33278 48805 63525 94441 77033 12147 51054 49955 58312 76923 96071 05813 41 44560 38750 83635 56540 64900 42912 13953 79149 18710 68618 47606 93410 16359 89033 89696 47231 64498 31776 05383 39902 42 68328 83378 63369 71381 39564 05615 42451 64559 97501 85747 52669 45030 96279 14709 52372 87832 02735 50803 72744 88208 43 46939 38689 58625 08342 30459 85863 20781 09284 26333 91777 16738 60159 07425 62369 07515 82721 37875 71153 21315 00132 44 83544 86141 15707 96556 23068 13782 08467 89469 93842 55349 59348 11695 45751 15865 74739 05572 32688 20271 65128 14551 45 91621 00881 04900 54224 46177 55309 17852 27491 89415 23466 12900 71775 29845 60774 94924 21810 38636 33717 67596 82521 46 91896 67126 04151 03795 59077 11848 12630 98375 52068 60142 75086 23537 49939 33595 13484 97588 28617 17979 70749 35234 47 55761 62515 21108 80830 02263 29303 37204 96926 30506 09808 99495 51434 29181 09993 38190 42553 68922 52125 91077 40197 48 85156 87689 95493 88842 00664 55017 55539 17771 69448 87530 26075 31671 45386 36583 93459 48599 52022 41330 60651 91321 49 07521 56898 12236 60277 39102 62315 12239 07105 11844 01117 13636 93596 23377 51133 95126 61496 42474 45141 46660 42338 50 64249 63664 39652 40646 97306 31741 07294 84149 46797 82487 32647 31282 03345 89593 69214 70381 78285 20054 91018 16742 51 26538 44249 04050 48174 65570 44072 40192 51153 11397 58212 16916 00041 80236 55023 14253 76582 12092 86533 92426 37655 52 05845 00512 78630 55328 18116 69296 91705 86224 29503 57071 66176 34047 21005 27137 03191 48970 64825 22394 39622 79085 53 74897 68373 67359 51014 33510 83048 17056 72506 82949 54600 46299 13335 12180 16861 38043 59292 62675 63631 37020 78195 54 20872 54570 35017 88132 25730 22626 86723 91691 13191 77212 22847 47839 45385 23289 47526 54098 45683 55849 51575 64689 55 31432 96156 89177 75541 81355 24480 77243 76690 42507 84362 41851 54160 92320 69936 34803 92479 33399 71160 64777 83378 56 66890 61505 01240 00660 05873 13568 76082 79172 57913 93448 28444 59497 91586 95917 68553 28639 06455 34174 11130 91994 57 48194 57790 79970 33106 86904 48119 52503 24130 72824 21627 47520 62378 98855 83174 13088 16561 68559 26679 06238 51254 58 11303 87118 81471 52936 08555 28420 49416 44448 04269 27029 34978 63271 13142 82681 05271 08822 06490 44984 49307 62717 59 54374 57325 16947 45356 78371 10563 97191 53798 12693 27928 37404 80416 69035 92980 49486 74378 75610 74976 70056 15478 60 64852 34421 61046 90849 13966 39810 42699 21753 76192 10508 32400 65482 52099 53676 74648 94148 65095 69597 52772 71551 61 16309 20384 09491 91588 97720 89846 30376 76970 23063 35894 89262 86332 51718 70663 11623 29834 79620 73002 84886 03591 62 42587 37065 24526 72602 57589 98131 37292 05967 26002 51945 86866 09127 98021 03871 27789 58444 44832 36505 40672 30180 63 40177 98590 97161 41682 84533 67588 62036 49967 01990 72308 90814 14833 08759 74645 05046 94056 99094 65091 32663 73040 64 82309 76128 93965 26743 24141 04838 40254 26065 07938 76236 19192 82756 20553 58446 55376 88914 75096 26119 83898 43816 65 79788 68243 59732 04257 27084 14743 17520 95401 55811 76099 77585 52593 56612 95766 10019 29531 73064 20953 53523 58136 66 40538 79000 89559 25026 42274 23489 34502 75508 06059 86682 23757 16364 05096 03192 62386 45389 85332 18877 55710 96459 67 64016 73598 18609 73150 62463 33102 45205 87440 96767 67042 45989 96257 23850 26216 23309 21526 07425 50254 19455 29315 68 49767 12691 17903 93871 99721 79109 09425 26904 07419 76013 92970 94243 07316 41467 64837 52406 23225 51553 31220 14032 69 76974 55108 29795 08404 82684 00497 51126 79935 57450 55671 74346 595% 40088 98176 17896 86900 20249 77753 19099 48885 70 23854 08480 85983 96025 50117 64610 99425 62291 86943 21541 87646 41309 27636 45153 29988 94770 07255 70908 05340 99751 71 68973 70551 25098 78033 98573 79848 31778 29555 61446 23037 50099 71038 45146 06146 55211 99429 43169 66259 97786 59180 72 36444 93600 65350 14971 25325 00427 52073 64280 18847 24768 10127 46900 46984 75348 04115 33624 68774 60013 35515 62556 73 03003 87800 07391 11594 21196 00781 32550 57158 58887 73041 67995 81977 18984 64091 02785 27762 42529 97144 80407 64524 74 17540 26188 36647 78386 04558 61463 57842 90382 77019 24210 26304 80217 84934 82657 69291 35397 98714 35104 08187 48109 75 38916 55809 47982 41968 69760 79422 80154 91486 19180 15100 81994 41070 56642 64091 31229 02595 13513 45148 78722 30144 76 64288 19843 69122 42502 48508 28820 59933 72998 99942 10515 59537 34662 79631 89403 65212 09975 06118 86197 58208 16162 77 86809 51564 38040 39418 49915 19000 58050 16899 79952 57849 51228 10937 62396 81460 47331 91403 95007 06047 16846 64809 78 99800 99566 14742 05028 30033 94889 53381 23656 75787 59223 31089 37995 29577 07828 42272 54016 21950 86192 99046 84864 79 92345 31890 95712 08279 91794 94066 49337 88674 35355 12267 38207 97938 93459 75174 79460 55436 57206 87644 21296 43395 80 90363 65162 32245 82279 79256 80834 06088 99462 56705 06118 88666 31142 09474 89712 63153 62333 42212 06140 42694 43671 81 64437 32242 48431 04835 39070 59702 31508 60935 22390 52246 53365 56134 67582 92557 89520 33452 05134 70628 27612 33738 82 91714 53662 28373 34333 55791 74758 51144 18827 10704 76803 89807 74530 38004 90102 11693 90257 05500 79920 62700 43325 83 20902 17646 31391 31459 33315 03444 55743 74701 58851 27427 18682 81038 85662 90915 91631 22223 91588 80774 07716 12548 84 12217 86007 70371 52281 14510 76094 96579 54853 78339 20839 63571 32579 63942 25371 09234 94592 98475 76884 37635 33608 85 45177 02863 42307 53571 22532 74921 17735 42201 80540 54721 68927 56492 67799 95398 77642 54913 91853 08424 81450 76229 86 28325 90814 08804 52746 47913 54577 47525 77705 95330 21866 56401 63186 39389 88798 31356 89235 97036 32341 33292 73757 87 29019 28776 56116 54791 64604 08815 46049 71186 34650 14994 24333 95603 02359 72942 46287 95382 08452 62862 97869 71775 88 84979 81353 56219 67062 26146 82567 33122 14124 46240 92973 17025 84202 95199 62272 06366 16175 97577 99304 41587 03686 89 50371 26347 48513 63915 11158 25563 91915 18431 92978 11591 02804 08253 52133 20224 68034 50865 57868 22343 55111 03607 90 53422 06825 69711 67950 64716 18003 49581 45378 99878 61130 08298 03879 20995 19850 73090 13191 18963 82244 78479 99121 91 67453 35651 89316 41620 32048 70225 47597 33137 31433 51445 59883 01785 82403 96062 03785 03468 12970 64896 39336 30030 92 07294 85353 74819 23445 68237 07202 99515 62282 53809 26685 46982 06682 62864 91837 74021 89094 39952 64158 79614 78235 93 79544 00302 45338 16015 66613 88968 14595 63836 77716 79596 31121 47266 07661 02051 67599 24471 69843 83696 71402 76287 94 64144 85442 82060 46471 24162 39500 87351 36637 42833 71875 97867 56641 63416 17577 30161 87320 37752 73276 48969 41915 95 90919 11883 58318 00042 52402 28210 34075 33272 00840 73268 57364 86746 08415 14621 49430 22311 15836 72492 49372 44103 96 06670 57353 86275 92276 77591 46924 60839 55437 03183 13191 09559 26263 69511 28064 75999 44540 13337 10918 79846 54809 97 36634 93976 52062 83678 41256 60948 18685 48992 19462 96062 53873 55571 00608 42661 91332 63956 74087 59008 47493 99581 98 75101 72891 85745 67106 26010 62107 60885 37503 55461 71213 35531 19162 86406 05299 77511 24311 57257 22826 77555 05941 99 05112 71222 72654 51583 05228 62056 57390 42746 39272 96659 28229 88629 25695 94932 30721 16197 78742 34974 97528 45447 3. Primer Vzemimo kot primer podatke za obstojnost nožev iz jekla BRC-3, ki so zbrani v tabeli na si. 17 članka ing. Pratnekarja. Za 1. vplivni faktor si izberemo toplotno obdelavo, za 2. vplivni faktor pa cepilni kot v. V tej tabeli izpustimo podatke za naklonski kot X, = +4° pri toplotni obdelavi ka- ljenje 1290° C + popuščanje 560° C. Tako ima 1. vplivni faktor 5 stanj. Stanja 2. vplivnega faktorja so 3: y = 6°, r = 10° in T = 15° Ponovitev je 21. Podatke za obstojnost T je bilo treba najprej pretvoriti v sekunde. Tudi to je storil računalnik. Na teleprinterskem traku so podatki napisani po zgoraj navedenem vrstnem redu takole: U8181U ; BRC-3 T X = O 1' TOPL. OBD. 2' CEP. KOT ; O E2408E 5' 3' 21' 400 621 482 ............ . ... 672 1215 1384 3' 10 1,96 2,32 1,7 5 2,4 3,02 1,97 1 3,38 4,68 2,52 Podatki od 400 do 1384 so napisani po vrsti, najprej 1. stolpec (glej sliko 17 omenjenega članka) z 21 podatki pretvorjenimi v sekunde, nato 2. stolpec z 21 podatki, .... 12. stolpec z 21 podatki, nato so izpuščeni 3 stolpci (X = +4°), sledi 16. stolpec z 21 podatki, 17. stolpec z 21 podatki in 18. stolpec z 21 podatki. Računalnik s pogramom »2D FIXEN MODEL« prečita podatke in na teleprinterju natipka naslednje rezulate: 2 D FIKSEN MODEL BRC-3 T X = 0 1' TOPL. OBD. 2' CEP. KOT .140263320,0 + 08 4 .718289330,0+08 2 .849229600,0 + 07 8 .181864852,0 + 09 300 .276212413,0+09 314 ALFA = 10.0 1' 4' 1' 639.492 4' 2' 460.921 4' 3' 430.508 2' 2' 1' 291.543 3' 1' 1126.781 3' 2' 835.238 INTERAKCIJE ALFA = 5.0 1' 4' 1' 639.492 4' 2' 460.921 4' 3' 430.508 2' 2' 1' 291.543 3' 1' 1126.781 3' 2' 835.238 ALFA = 1.0 1' 4" 1' 639.492 2' 3' 1' 1126.781 3' 2' 835.238 Najprej računalnik napiše standardno shemo analize variance za 2 vplivna faktorja. V prvi koloni so vsote kvadratov, v drugi so prostostne stopnje, v tretji srednji kvadrati in v četrti izračunane vrednosti za F. Prvi F se nanaša na stanje 1. vplivnega faktorja (pri nas je to toplotna obdelava), drugi F se nanaša na stanja 2. vplivnega faktorja (cepilni kot y), tretji F se nanaša na kombinacije stanj obeh vplivnih faktorjev (ali kratko na interakcije), četrti F pa je vedno enak 1. Izračunane vrednosti F nam merijo, kako pomembna so za spremembe opazovane karakteristike izdelka stanja obeh vplivnih faktorjev, vsakega posebej in obeh skupaj. V našem primeru vidimo, da so najpomembnejša stanja 2. vplivnega faktorja, ko je F = 59.24. Dosti manj pomembna so stanja 1. vplivnega faktorja, čeprav, kot bomo videli, tudi njih ne smemo zanemarjati. Razlika med kombinacijami obeh vplivnih faktorjev je najmanj pomembna. Nadaljnji izpis računalnika je čisto podoben izpisu v primeru analize variance za 1. vplivni faktor. Razlika je le v tem, da za izpisom ALFA najprej sledi samo število 1', ki pomeni, da sledijo razlike srednjih vrednosti za stanja 1. vplivnega faktorja. V našem primeru pomeni (glej izpis iz računalnika) 4' 1' 639.492, da je razlika med srednjo vrednostjo obstojnosti za 4. ciklus toplotne obdelave in 1. ciklus toplotne obdelave 639.492 sekund ali 10 min. 39 sek. Pred razlikami srednjih vrednosti obstojnosti za različne y kote pa stoji sama številka 2', ker smo izbrali kot y za 2. vplivni faktor. Na koncu izpisa pod ALFA = 10.0 je še zapis INTERAKCIJE, ki pomeni 90 % verjetnost, da je razlika med srednjimi vrednostmi obstojnosti pri različnih kombinacijah toplotne obdelave in kota y (to je med srednjimi vrednostmi stolpcev) posledica kombiniranega vpliva obeh faktorjev. Za višji verjetnostni nivo ALFA = 5.0 odpade izpis INTERAKCIJE, za še višji verjetnostni nivo ALFA =1.0 pa tudi nekatere razlike med srednjimi vrednostmi tako za stanje 1. vplivnega faktorja, kot tudi za stanja 2. vplivnega faktorja. Z 99% verjetnostjo trdimo le še, da je obstojnost večja pri 4. ciklusu toplotne obdelave kot pri 1. ciklusu toplotne obdelave in da je pri kotu y = 15° obstojnost večja kot pri kotih y = 10° in y = 6°. V primerih izračuna analize variance lahko za izpisom ALFA takoj sledi 2', kar pomeni, da ni pomembnih razlik med stanji 1. vplivnega faktorja. Lahko pa imamo le 1', kar pomeni, da so le razlike v stanjih 1. vplivnega faktorja. Nastopijo lahko tudi drugi primeri izpisa, ki so opisani že v poglavju analize variance za en vplivni faktor. Manjkajoči podatki Včasih zaradi nesreče, napak ali neuspelega poizkusa v shemi za analizo variance z dvema .350658300,o+07 5.78 .359144665,0+08 59.24 .106153700,o+07 1.75 .606216173,0+06 1.00 vplivnima faktorjema manjkajo podatki v eni ali več celicah. V takih primerih ni mogoče normalno uporabiti opisane računske metode. Na osnovi teoretskih osnov metode so ta problem rešili s posebnim postopkom za oceno manjkajočih vrednosti. Če manjka samo en podatek lahko oceno te vrednosti izračunamo s pomočjo formule: aT + bB — S X = — - - -------- (a—1) (b—1) kjer pomeni: a — število stanj prvega vplivnega faktorja b — število stanj drugega vplivnega faktorja T — vsota vrednosti za prvi vplivni faktor, pri katerem manjka podatek B — vsota vrednosti za drugi vplivni faktor, pri katerem manjka podatek S — vsota vseh vrednosti To vrednost vnesemo v tabelo in normalno izvršimo analizo variance, pri čemer pa moramo izvršiti dve modifikaciji: — prostostni stopnji za napako in vsoto moramo zmanjšati za eno, —■ vsoto kvadratov za prvi vplivni faktor moramo zmanjšati za sledeči popravek: [B — (a — 1) X]2 a (a — 1) PRIMERJAVA DVEH VEZANIH STATISTIČNIH MNOŽIC Oznaka programa »VS« Imamo dve statistični množici podatkov, ki smo jih dobili pri dveh različnih stanjih vplivnega faktorja. Vsi podatki niso med seboj neodvisni, temveč tvorijo podatki iz ene množice s podatki iz druge množice pare. Par tvorita vedno dva podatka, ki smo jih dobili pri nekem skupnem stanju množice neopazovanih vplivnih faktorjev in pri različnih stanjih opazovanega vplivnega faktorja. Za primer vzemimo določevanje stopnje nemetalnih vključkov v jeklu. Za vsako šaržo izberemo 1 ingot in določimo stopnjo nemetalnih vključkov posebej v glavi in posebej v nogi ingota. Podatka za isti ingot tvorita par. Neopazovani vplivni faktorji so šarže, ingot, sestava itd. Opazovani vplivni faktor pa je mesto v ingotu. Ta ima 2 stanji: glava in noga. Prvo množico tvorijo vsi podatki za glave ingotov, drugo množico pa tvorijo vsi podatki za noge ingotov. V tem primeru nas zanima, če je stopnja nemetalnih vključkov pri glavi drugačna kot pri nogi. V splošnem označimo podatke iz ene množice z Xi,i Xi,2......Xi,n ustrezne podatke iz druge množice pa z X2,i X2,2......x2,n Razlike med podatkoma iz istega para označimo z Xi, x2......xn npr.: Xn = Xi,„ —X2,n Priprava podatkov za računalnik in tolmačenje rezultatov Podatke natipkamo na teleprinterski trak v naslednjem vrstnem redu: U1040U n' Xi,i Xi,2... Xi,n Xi,i X2,2... Xi,n Zo + IE Med črkama U in številom 1040 ne sme biti presledka. Za izrazom U1040U natipkamo najprej število parov, nato vse podatke iz ene množice in nato vse podatke iz druge množice. Paziti moramo, da podatkom ne zamenjamo vrstnega reda, ker so vezani v parih. Izraz Z0 + 1E (Z nič plus 1E) stoji vedno na koncu traku, da se računalnik ustavi, ko prečita podatke. Tudi tu ne sme biti presledkov znotraj izraza. Program VS za računalnik nam da naslednje rezultate: X,. X2. n—1 tn_! ki pomenijo 1 n srednja vrednost 1- — n i = i prve množice 1 " srednja vrednost 2' — n i 2'! ■ • ■ druge množice t n _ i......izračunana vrednost statističnega parametra t n_j.......število prostostnih stopenj za t V tabeli 5 za t poiščemo tabelarično vrednost za n—1 prostostnih stopenj pri verjetostnem nivoju 95 °/o (a = 5). Če je izračunani t večji od tabelaričnega, je 95«/o verjetnost, da je razlika srednjih vrednosti posledica različnih stanj opazovanega vplivnega faktorja. Podobno lahko ugotovimo tudi za druge verjetnostne nivoje. Vrednosti parametra t podaja tabela 5. Tabela 5 — Vrednosti parametra »t« Prostostne a = 10 % i = 5% P = 1 % stopnje v P = 90 % P = 95 % P = 99 % 1 6,31 12,71 63,66 2 2,92 4,30 9,92 3 2,35 3,18 5,84 4 2,13 2,78 4,60 5 2,02 2,57 4,03 6 1,94 2,45 3,71 7 1,90 2,36 3,50 8 1,86 2,31 3,36 9 1,83 2,26 3,25 10 1,81 2,23 3,17 11 1,80 2,20 3,11 12 1,78 2,18 3,06 13 1,77 2,16 3,01 14 1,76 2,14 3,00 15 1,75 2,13 2,95 16 1,75 2,12 2,92 17 1,74 2,11 2,90 18 1,73 2,10 2,88 19 1,73 2,09 2,86 20 1,72 2,09 2,84 21 1,72 2,08 2,83 22 1,72 2,07 2,82 23 1,71 2,07 2,81 24 1,71 2,06 2,80 25 1,71 2,06 2,79 26 1,71 2,06 2,78 27 1,70 2,05 2,77 28 1,70 2,05 2,76 29 1,70 2,05 2,76 30 1,70 2,04 2,75 60 1,67 2,00 2,66 100 1,66 1,98 2,63 00 1,64 1,96 2,38 4. Primer V jeklarni vlivamo jeklo določene vrste v dve ponovci. Zanima nas, če je vsebnost ogljika v jeklu odvisna od ponovce. Za 12 šarž zberemo podatke v parih. Tabela 6 Sarža % C 1. ponovca % C 2. ponovca 1 0,41 0,40 2 0,39 0,37 3 0,44 0,41 4 0,45 0,44 5 0,40 0,41 6 0,47 0,45 7 0,48 0,42 8 0,44 0,44 9 0,44 0,40 10 0,46 0,49 11 0,46 0,42 12 0,44 0,41 U1040U 12' 0,41 0,39 0,44 0,45 0,40 0,47 0,48 0,44 0,44 0,46 0,46 0,44 0,40 0,37 0,41 0,44 0,41 0,45 0,42 0,44 0,40 0,49 0,42 0,41 Z0 + 1E Računalnik po programu VS (vezane serije) izračuna naslednje rezultate: 0,44000,o—00 (pomeni 0,44) 0,42173,o—00 (pomeni 0,42173) 11' 2,61 Torej je tu = 2,61. Pogledamo v tabele za t in vidimo, da izračunana vrednost leži med tabelaričnima za verjetnostni nivo P = 95 *Vo in verjetnostni nivo P = 99 «/o pri 11 prostostnih stopnjah. Tako je verjetnost 95 %, da je razlika v vsebnosti ogljika posledica različnih ponovc, ne moremo pa tega trditi z 99% verjetnostjo. Take razlike večkrat imenujemo polpomembne ali negotove. Z večjim številom podatkov bi ugotovili, ali je razlika pomembna ali nepomembna. PRILOGA: Izračun vmesnih vrednosti parametra F V tabelah 7, 8 in 9 so podane vrednosti parametra F za verjetnosti 90, 95 in 99 °/o. Uporaba teh tabel je bila že opisana v praktičnih primerih za nekatere Vi in v2 neposredno. Zato si poglejmo, kako si pomagamo, če katerega od v-jev ni v tabeli, ali če manjkata oba. Za primer vzemimo, da v tabeli ni vrednosti za vi, ki leži med vi' < vi < vi". Označimo: AF = Fa; Vi', v2— Fa; vi", v2 [3] Potem je v primeru Vi > 120 (torej vi" — oo) z)F . (vi — vi') Vl Fa; vj, v2 = Fa; vi', v2 - V primeru vi < 120 pa je 17 t7 , " vl" Fa; vi, v2 = Fa; vi, v2— ---- — Vl" — Vl' [4] Vi -Vl vl [5] Prav podobno bi izračunali vrednost F, če v tabeli ni vrednosti za v2. V obrazcih le zamenjamo vlogi vi in v2. Primer: F5.3 48 = ? V tabeli za a = 5 poiščemo vrednosti: F5; 3,40 in F5; 3,60 Dobimo 2,8387 in 2,7581. Torej je JF = 2,8387 —2,7581 = 0,0806 „n„n 0,0806.60 48 — 40 F5.,48 = 2,83 87 --.-= ' ' 60 — 40 48 = 2,8387 — 0,04 = 2,7987 V primeru, ko v tabeli ni nobenega od v-jev, je račun daljši. Naj bo vi' < vi < vi" in v2' < v: < v2" kjer so vi', vi", v2' in v2" vrednosti iz tabele. Najprej izračunamo dve vrednosti Fa; vj, v2' in Fa; Vi, v2" potem pa iz teh dveh vrednosti še Fa; vi, v2 Primer: F10.36,360 = ? vi' = 30 vi" = 40 v2' =120 v2" = <*> Po obrazcu [5] izračunamo F10.36 I2o = FiO; 30,120 /F .40 36 — 30 ~ 40 — 30 36 1,4094 — 1,3676 = 0,0418 2 af — fjo; 30,120— f]0; 40,120 10; 36,360 1,4094 — 0,0418 . 1,3815 in F10; 36, <*= ~ F 10; 30, ~ — 4F.40 36 — 30 40 — 30 36 JF - Fin. 30. „ - Fin. 10; 40, 1,3419— 1,2951 = 0,0468 10; 36, 1,3419 — 0,0468 . — = 1 3107 3 -- Po obrazcu, ki je podoben obrazcu [4], le da V] in v2 zamenjata vlogi, izračunamo iz podčrtanih vrednosti še vrednost: zfF. (360—120) 10; 36,360 10; 36,120 360 AF — F10.36 120— F10. 10; 36, = 1,3815 — 1,3107 = 0,0708 Fin 10; 36,360 = 1,3815 — 0,0708 .2 = 1,3343 Tabela 7 — Kritične vrednosti parametra F za a = 10 °/o V' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1 39.864 49.500 53.593 55.833 57.241 58.204 58.906 59.439 59.858 2 8,5263 9.0000 9.1618 9.2434 9.2926 9.3255 9.3491 9.3668 9.3805 5.3427 5.3092 5.2847 5.2662 5.2517 5.2400 5.2304 5.2156 4.1073 4.0506 4.0098 3.9790 3.9549 3.9357 3.9199 3.8955 120 5.5383 5.4624 5.3908 4.544« 4.3246 4.1908 60.195 60.705 61.220 61.740 62.002 62.265 62.529 62.794 63.061 63.328 9.3916 9.4081 9.4247 9.4413 9.4496 9.4579 9.4663 9.4746 9,4829 9.4913 .2003 5.1845 5.1764 5.1681 5.1597 5.1512 5.1425 5.1337 .8689 3.8443 3.8310 3.8174 3.8036 3.7896 3.7753 3.7607 5 4.0604 3.7797 3.6195 3.5202 3.4530 3.4045 3.3679 3.3393 3.3163 3.2974 3.2682 3.2380 3.2067 3.1905 3.1741 3.1573 3.1402 3,1228 3.1050 6 3.7760 3.4633 3.2888 3.1808 3.1075 3.0546 3.0145 2.9830 2.9577 2.9369 2.9047 2.8712 2.8363 2.8183 2.8000 2.7812 2.7620 2.7423 2.7222 7 3.5894 3.2574 3.0741 2.9605 2.8833 2.8274 2.7849 2.7516 2.7247 2.7025 2.6681 2.6322 2.5947 2.5753 2.5555 2.5351 2.5142 2.4928 2.4708 8 3.4579 3.1131 2.9238 2.8064 2.7265 2.6683 2.6241 2.5893 2.5612 2.5380 2.5020 2.4642 2.4246 2.4041 2.3830 2.3614 2.3391 2.3162 2.2926 9 3.3603 3.0065 2.8129 2.6927 2.6106 2.5509 2.5053 2.4694 2.4403 2.4163 2.3789 2.3396 2.2983 2.2768 2.2547 2.2320 2.2085 2.1843 2.1592 10 3.2850 2.9245 2.7277 2.6053 2.5216 2.4606 2.4140 2.3772 2.3473 2.3226 2.2841 2.2435 2.2007 2.1784 2.1554 2.1317 2.1072 2.0818 2.0554 11 3.2252 2.8595 2.6602 2.5362 2.4512 2.3891 2.3416 2.3040 2.2735 2.2482 2.2087 2.1671 2.1230 2.1000 2.0762 2.0516 2.0261 1.9997 1.9721 12 3.1765 2.8068 2.6055 2.4801 2.3940 2.3310 2.2828 2.2446 2.2135 2.1878 2.1474 2.1049 2.0597 2.0360 2.0115 1.9861 1.9597 1.9323 1.9036 13 3.1362 2.7632 2.5603 2.4337 2.3467 2.2830 2.2341 2.1953 2.1638 2.1376 2.0966 2.0532 2.0070 1.9827 1.9576 1.9315 1.9043 1.8759 1.8462 14 3.1022 2.7265 2.5222 2.3947 2.3069 2.2426 2.1931 2.1539 2.1220 2.0954 2.0537 2.0095 1.9625 1.9377 1.9119 1.8852 1.8572 1.8280 1.7973 15 3.0732 2.6952 2.4898 2.3614 2.2730 2.2081 2.1582 2.1185 2.0862 2.0593 2.0171 1.9722 1.9243 1.8990 1.8728 1.8454 1.8168 1.7867 1.7551 16 3.0481 2.6682 2.4618 2.3327 2.2438 2.1783 2.1280 2.0880 2.0553 2.0281 1.9854 1.9399 1.89)3 1.8656 1.8388 1.8108 1.7816 1.7507 1.7182 17 3.0262 2.6446 2.4374 2.3077 2.2183 2.1524 2.1017 2.0613 2.0284 2.0009 1.9577 1.9117 1.8624 1.8362 1.8090 1.7805 1.7506 1.7191 1.6856 3.0070 2.6239 2.4160 2.2858 2.1958 2.1296 2.0785 2.0379 2.0047 1.9770 1.9333 1.8863 1.8368 1.8103 1.7827 1.7537 1.7232 1.6910 1.6567 2.9899 2.6056 2.3970 2.2663 2.1760 2.1094 2.0580 2.0171 1.9836 1.9557 1.9117 1.8647 1.8142 1.7873 1.7592 1.7298 1.6988 1.6659 1.6308 19 20 2.9747 2.5893 2.3801 2.2489 2.1582 2.0913 2.0397 1.9985 1.9649 1.9367 1.8924 1.8449 1.7938 1.7667 1.7382 1.7083 1.6768 1.6433 1.6074 21 2.9609 2.5746 2.3649 2.2333 2,1423 2.0751 2.0232 1.9819 1.9480 1.9197 1.8750 1.8272 1.7756 1.7481 1.7193 1.6890 1.6569 1.6228 1.5862 22 2.9486 2.5613 2.3512 2.2193 2.1279 2.0605 2.0084 1.9668 1.9327 1.9043 1.8593 1.8111 1.7590 1.7312 1.7021 1.6714 1.6389 1.6042 1.5668 23 2.9374 2.5493 2.3387 2.2065 2.1149 2.0472 1.9949 1.9531 1.9189 1.8903 1.8450 1.7964 1.7439 1.7159 1.6864 1.6554 1.6224 1.5871 1.5490 24 2.9271 2.5383 2.3274 2.1949 2.1030 2.0351 1.9826 1.9407 1.9063 1.8775 1.8319 1.7831 1.7302 1.7019 1.6721 1.6407 1.6073 1.5715 1.5327 25 2.9177 2.5283 2.3170 2.1843 2.0922 2.0241 1.9714 1.9292 1.8947 1.8658 1.8200 1.7708 1.7175 1.6890 1.6589 1.6272 1.5934 1.5570 1.5176 26 2.9091 2.5191 2.3075 2.1745 2.0822 2.0139 1.9610 1.9188 1.8841 1.8550 1.8090 1.7596 1.7059 1.6771 1.6468 1.6147 1.5805 1.5437 1.5036 27 2.9012 2.5106 2.2987 2.1655 2.0730 2.0045 1.9515 1.9091 1.8743 1.8451 1.7989 1.7492 1.6951 1.6662 1.6356 1.6032 1.5686 1.5313 1.4906 28 2.8939 2.5028 2.2906 2.1571 2.0645 1.9959 1.9427 1.9001 1.8652 1.8359 1.7895 1.7395 1.6852 1.6560 1.6252 1.5925 1.5575 1.5198 1.4784 29 2.8871 2.4955 2.2831 2.1494 2.0566 1.9878 1.9345 1.8918 1.8568 1.8274 1.7808 1.7306 1.6759 1.6465 1.6155 1.5825 1.5472 1.5090 1.4670 30 2.8807 2.4887 2.2761 2.1422 2.0492 1.9803 1.9269 1.8841 1.8490 1.8195 1.7727 1.7223 1.6673 1.6377 1.6065 1.5732 1.5376 1.4989 1.4564 40 2.8354 2.4404 2.2261 2.0909 1.9968 1.9269 1.8725 1.8289 1.7929 1.7627 1.7146 1.6624 1.6052 1.5741 1.5411 1.5056 1.4672 1.4248 1.3769 60 2.7914 2.3932 2.1774 2.0410 1.9457 1.8747 1.8194 1.7748 1.7380 1.7070 1.6574 1.6034 1.5435 1.5107 1.4755 1.4373 1.3952 1.3476 1.2915 2.7478 2.3473 2.1300 1.9923 1.8959 1.8238 1.7675 1.7220 1.6943 1.6524 1.6012 1.5450 1.4821 1.4472 1.4094 1.3676 1.3203 1.2646 1.1926 2.7055 2.3026 2.0838 1.9449 1.8473 1.7741 1.7167 1.6702 1.6315 1.5987 1.5458 1.4871 1.4206 1.3832 1.3419 1.2951 1.2400 1.1686 1.0000 Tabela 8 — Kritične vrednosti parametra F za a = 5 % 20 24 30 40 60 120 1 161.45 18.513 10.128 7.7086 199.50 19.000 9.5521 6.9443 215.71 19.164 9.2766 6.5914 224.58 19.247 9.1172 6.3883 230.16 19.296 9.0135 6.2560 233.99 19.330 8.9406 6.1631 236.77 19.353 6.0942 238.88 240.54 241.88 243.91 245.95 248.01 249.05 250.09 251.14 252.20 253.25 254.32 19.371 19.385 19.396 19.413 19.429 19.446 19.454 19.462 19.471 19.479 19.487 19.496 8.8452 8.8123 8.7855 8.7446 8.7029 8.6602 8.6385 8.6166 8.5944 8.5720 8.5494 8.5265 6.0410 5.9988 5.9644 5.9117 5.8578 5.8025 577.44 5.7459 5.7170 5.6878 5.6581 5.6281 6.6079 5.9874 5.5914 5.3177 5.1174 5.7861 5.1433 4.7374 4.4590 4.2565 5.4095 4.7571 4.3468 4.0662 3.8626 5.1922 4.5337 4.1203 3.8378 3.6331 5.0503 4.3874 3.9715 3.6875 3.4817 4.9503 4.2839 3.8660 3.5806 3.3738 4.8759 4.2066 3.7870 3.5005 3.2927 4.8183 4.1468 3.7257 3.4381 3.2296 4.7725 4.0990 3.6767 3.3881 3.1789 4.7351 4.0600 3.6365 3.3472 3.1373 4.6777 3.9999 3.5747 3.2840 3.0729 4.6188 3.9381 3.5108 3.2184 3.0061 4.5581 3.8742 3.4445 3.1503 2.9365 4.5272 3.8415 3.4105 3.1152 2.9005 4.4957 3.8082 3.3758 3.0794 2.8637 4.4638 3.7743 3.3404 3.0428 2.8259 4.4314 3.7398 3.3043 3.0053 2.7872 4.3984 3.7047 3.2674 2.9669 2.7475 4.3650 3.6688 3.2298 2.9276 2.7067 10 4.9646 11 4.8443 12 4.7472 13 4.6672 14 4.6001 4.1028 3.9823 3.8853 3.8056 3.7389 3.7083 3.5874 3.4903 3.4105 3.3439 3.4780 3.3567 3.2592 3.1791 3.1122 3.3258 3.2039 3.1059 3.0254 2.9582 3.2172 3.0946 2.9961 2.9153 2.8477 3.1355 3.0123 2.9134 2.8321 2.7642 3.0717 2.9480 2.8486 2.7669 2.6987 3.0204 2.8962 2.7964 2.7144 2.6458 2.9782 2.8536 2.7534 2.6710 2.6021 2.9130 2.7876 2.6866 2.6037 2.5342 2.8450 2.7186 2.6169 2.5331 2.4630 2.7740 2.6464 2.5436 2.4589 2.3879 2.7372 2.6090 2.5055 2.4202 2.3487 2.6996 2.5705 2.4663 2.3803 2.3082 2.6609 2.5309 2.4259 2.3392 2.2664 2.6211 2.4901 2.3842 2.2966 2.2230 2.5801 2.4480 2.3410 2.2524 2.1778 2.5379 2.4045 2.2962 2.2064 2.1307 15 4.5431 16 4.4940 17 4.4513 18 4.4139 19 4.3808 3.6823 3.6337 3.5915 3.5546 3.5219 3.2874 3.2389 3.1968 3.1599 3.1274 3.0556 3.0069 2.9647 2.9277 2.8951 2.9013 2.8524 2.8100 2.7729 2.7401 2.7905 2.7413 2.6987 2.6613 2.6283 2.7066 2.6572 2.6143 2.5767 2.5435 2.6408 2.5911 2.5480 2.5102 2.4768 2.5876 2.5377 2.4943 2.4563 2.4227 2.5437 2.4935 2.4499 2.4117 2.3779 2.4753 2.4247 2.3807 2.3421 2.3080 2.4035 2.3522 2.3077 2.2686 2.2341 2.3275 2.2756 2.2304 2.1906 2.1555 2.2878 2.2354 2.1898 2.1497 2.1141 2.2468 2.1938 2.1477 2.1071 2.0712 2.2043 2.1507 2.1040 2.0629 2.0264 2.1601 2.1058 2.0584 2.0166 1.9796 2.1141 2.0589 2.0107 1.9681 1.9302 2.0658 2.0096 1.9604 1.9168 1.8780 20 4.3513 21 4.3248 22 4.3009 23 4.2793 24 4.2597 3.4928 3.4668 3.4434 3.4221 3.4028 3.0984 3.0725 3.0491 3.0280 3.0088 2.8661 2.8401 2.8167 2.7955 2.7763 2.7109 2.6848 2.6613 2.6400 2.6207 2.5990 2.5727 2.5491 2.5277 2.5082 2.5140 2.4876 2.4638 2.4422 2.4226 2.4471 2.4205 2.3965 2.3748 2.3551 2.3928 2.3661 2.3419 2.3201 2.3002 2.3479 2.3210 2.2967 2.2747 2.2547 2.2776 2.2504 2.2258 2.2036 2.1834 2.2033 2.1757 2.1508 2.1282 2.1077 2.1242 2.0960 2.0707 2.0476 2.0267 2.0825 2.0540 2.0283 2.0050 1.9838 2.0391 2.0102 1.9842 1.9605 1.9390 1.9938 1.9645 1.9380 1.9139 1.8920 1.9464 1.9165 1.8895 1.8649 1.8424 1.8963 1.8657 1.8380 1.8128 1.7897 1.8432 1.8117 1.7831 1.7570 1.7331 25 4.2417 26 4.2252 27 4.2100 28 4.1960 29 4.1830 3.3852 3.3690 3.3541 3.3404 3.3277 2.9912 2.9751 2.9604 2.9467 2.9340 2.7587 2.7426 2.7278 2.7141 2.7014 2.6030 2.5868 2.5719 2.5581 2.5454 2.4904 2.4741 2.4591 2.4453 2.4324 2.4047 2.3883 2.3732 2.3593 2.3463 2.3371 2.3205 2.3053 2.2913 2.2782 2.2821 2.2655 2.2501 2.2360 2.2229 2.2365 2.2197 2.2043 2.1900 2.1768 2.1649 2.1479 2.1323 2.1179 2.1045 2.0889 2.0716 2.0558 2.0411 2.0275 2.0075 1.9898 1.9736 1.9586 1.9446 1.9643 1.9464 1.9299 1.9147 1.9005 1.9192 1.9010 1.8842 1.8687 1.8543 1.8718 1.8533 1.8361 1.8203 1.8055 1.8217 1.8027 1.7851 1.7689 1.7537 1.7684 1.7488 1.7307 1.7138 1.6981 1.7110 1.6906 1.6717 1.6541 1.6377 30 4.1709 40 4.0848 60 4.0012 120 3.9201 =° 3.8415 3.3158 3.2317 3.1504 3.0718 2.9957 2.9223 2.8387 2.7581 2.6802 2.6049 2.6896 2.6060 2.5252 2.4472 2.3719 2.5336 2.4495 2.3683 2.2900 2.2141 2.4205 2.3359 2.2540 2.1750 2.0986 2.3343 2.2490 2.1665 2.0867 2.0096 2.2662 2.1802 2.0970 2.0164 1.9384 2.2107 2.1240 2.0401 1.9588 1.8799 2.1646 2.0772 1.9926 1.9105 1.8307 2.0921 2.0035 1.9174 1.8337 1.7522 2.0148 1.9245 1.8364 1.7505 1.6664 Tabela 9 — Kritične vrednosti parametra F za a = 1 % 1.9317 1.8389 1.7480 1.6587 1.5705 1.8874 1.7929 1.7001 1.6084 1.5173 1.8409 1.7444 1.6491 1.5543 1.4591 1.7918 1.6928 1.5943 1.4952 1.3940 1.7396 1.6373 1.5343 1.4290 1.3180 1.6835 1.5766 1.4673 1.3519 1.2214 1.6223 1.5089 1.3893 1.2539 1.0000 12 20 24 30 40 60 120 4052.2 98.503 34.116 21.198 16.258 13.745 12.246 11.259 10.561 4999.5 5403.3 5624.6 5763.7 5859.0 5928.3 5981.6 6022.5 6055.8 6106.3 6157.3 6208.7 6234.6 6260.7 6286.8 6313.0 6339.4 6366 0 99.000 99.166 99.249 99.299 99.332 99.356 99.374 99.388 99.399 99.416 99.432 99.449 99.458 99.466 99.474 99.483 99.491 99 501 30.817 29.457 28.710 28.237 27.911 27.672 27.489 27.345 27.229 27.052 26.872 26.690 26.598 26.505 26.411 26.316 26.221 26.125 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.374 14.198 14.020 13.929 13.838 13.745 13.652 13.558 13 463 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 10.925 9.7795 9.1483 8.7459 8.4661 8.2600 """" "■"**" 9.5466 8.4513 7.8467 7.4604 7.1914 6.9928 8.6491 7.5910 7.0060 6.6318 6.3707 6.1776 9.7222 9.5527 9.4665 9.3793 9.2912 9.2020 9.1118 9.0204 . 1016 7.9761 7.8741 7.7183 7.5590 7.3958 7.3127 7.2285 7.1432 7.0568 6.9690 6.8801 6.8401 6.7188 6,6201 6.4691 6.3143 6.1554 6.0743 5.9921 "" "" ------------- ------ 6.0289 5.9106 5.8143 5.6668 5.5151 5.3591 5.2793 5.1981 5.1156 5^0316 «460 4 .0215 6.9919 6.4221 6.0569 5.8018 5.6129 5.4671 5.3511 5.2565 5.1114 .......... ..... ........ ......— ' 5.9084 5.8236 5.7372 5.6495 ______ ______ 5.1156 5.0316 4.9460 4.8588 .9621 4.8080 4.7290 4.6486 4.5667 4.4831 4.3978 4.3105 .3858 5.2001 5.0567 4.9424 4.8492 4.7059 4.5582 4.4054 4.3269 4.2469 4.1653 4.0819 3.9965 3.9090 .0692 4.8861 4.7445 4.6315 4.5393 4.3974 4.2509 4.0990 4.0209 3.9411 3.8596 3.7761 3.6904 3.6025 ......................0096 3.8584 3.7805 3.7008 3.6192 3.5355 3.4494 3.3608 .3.6646 3.5868 3.5070 3.4253 3.3413 3.2548 3.1654 3.6557 3.5052 3.4274 3.3476 3.2656 3.1813 3.0r ,2 3.0040 10 10.044 7.5594 6.5523 5.9943 5.6363 5.3858 11 9.6460 7.2057 6.2167 5.6683 5.3160 5.0692 I.bboi I.ms t.ojis «WJ t.ivit t 12 9.3302 6.9266 5.9526 5.4119 5.0643 4.8206 4.6395 4.4994 4.3875 4.2961 4.1553 4.uu^u j 13 9.0738 6.7010 5.7394 5.2053 4.8616 4.6204 4.4410 4.3021 4.1911 4.1003 3.9603 3.8154 3 14 8.8616 6.5149 5.5639 5.0354 4.6950 4.4558 4.2779 4.1399 4.0297 3.9394 3.8001 * * 2.9185 2.8354 2.7493 2.6597 2.5660 2.8442 2.7608 2.6742 2.5839 2.4893 20 8.0960 5.8489 4.9382 4.4307 4.1027 3.8714 3.6987 3.5644 3.4567 3.3682 3.2311 3.0880 2.9377 2.8594 2.7785 2.6947 2.6077 2.5168 2.4212 21 8.0166 5.7804 4.8740 4.3688 4.0421 3.8117 3.6396 3.5056 3.3981 3.3098 3.1729 3.0299 2.87% 2.8011 2.7200 2.6359 2.5484 2.4568 2.3603 22 7.9454 5.7190 4.8166 4.3134 3.9880 3.7583 3.5867 3.4530 3.3458 3.2576 3.1209 2.9780 2.8274 2.7488 2.6675 2.5831 2.4951 2.4029 2.3055 23 7.8811 5.6637 4.7649 4.2635 3.9392 3.7102 3.5390 3.4057 3.2986 3.2106 3.0740 2.9311 2.7805 2.7017 2.6202 2.5355 2.4471 2.3542 2.2559 7.8229 5.6136 4.7181 4.2184 3.8951 3.6667 3.4959 3.3629 3.2560 3.1681 3.0316 2, 2.7380 2.6591 2.5773 2.4923 2.4035 2.3099 2.2107 .6993 2.6203 2.5383 2.4530 2.3637 2.2695 2.1694 i.6640 2.5848 2.5026 2.4170 2.3273 2.2325 2.1315 „.„„„.. „.„„ ______ 2.9256 2.7827 2.6316 2.5522 2.4699 2.3840 2.2938 2.1984 2.0965 3.3581 3.2259 3.1195 3.0320 2.8959 2.7530 2.6017 2.5223 2.4397 2.3535 2.2629 2.1670 2.0642 7.5976 5.4205 4.5378 4.0449 3.7254 3.4995 3.3302 3.1982 3.0920 3.0045 2.8685 2.7256 2.5742 2.4946 2.4118 2.3253 2.2344 2.1378 2.0342 1107 2.0062 1.9172 1.8047 1.7263 1.6006 1.5330 1.3805 1.3246 1.0000 28 7.6356 5.4529 4.5681 4.0740 3.7539 3.5276 29 30 40 60 120 Literatura 1. G. W. Snedecor. Statistical methods, 5. izd., Iowa State Universitv Press, Ames, 1965, Iowa, USA 2. C. A. Bennet, N. L. Franklin. Statistical analvsis, John Wiley, London 1963 3. N. L. Johnson, F. C. Leone. Statistics and experimental design, Vol. II, John Wiley, London 1964 4. O. L. Davies. Statistical methods in research and pro-duction, Oliver and Boyd, London 1961 5. E. B. Wilson. An introduction to scientific research, McGraw-Hill, New York 1952 6. A. E. Waugh. Statistical Tables and problems, III. izd., McGra\v-Hill, New York 1952 7. W. Volk. Applied statistics for engineers, McGraw-Hill, New York 1958 8. W. J. Vouden, Statistical methods for chemistry, John Wilev, London 1951 9. R. L. Anderson, T. A. Bancroft. Statistical theory in research, McGraw-Hill, Nevv York 1952 10. R. A. Fisher. Statistical methods for research workers, Oliver and Bovd, Edinborough 1925—1950 11. J. Rodič. Metode matematične statistike, skripta seminarja I, II in priročnik I, II, Metalbiro Zagreb 1964 ZUSAMMENFA3SUNG Mit der Enlvvicklung von Methoden der mathemati-schen Statistik, vor allem aber mit der Verbreitung der Vervvendung von elektronischen Rechnern bekommen spezielle Methoden der VVertung und Verarbeitung der Resultate der Oualitatskontrolle besondere Geltung. Eine besondere Bedeutung und wirtschaftlich-technische Wirk-samkeit bieten solche Methoden bei der Planung der Untersuchungen. Der Artikel beschreibt die statistische Methode der Varianzanalyse. Fiir mehrere Varianten dieser Methode sind Programme auf dem elektronischen Rechner ZUSE Z-23 ausgearbeitet worden. Der Zweck des Artikels ist, die Variantenmethode in solcher Form zu zeigen, dass sie dem breitesten Kreise des technischfachmannischen Personals in der Erzeugung, in der Kontrolle und in den Forschungen zugangig sein wird. uamit solite der Artikel seinen Anteil in der t)ber-einstimmung der Untersuchung- und Entwicklungsarbeit mit den moue;nsten Methoden und der allgemeinen Verbreitung der Verwendung von mathematisch-statistischen Methoden und der elektronischen Rechner bei der Losung der technischen Probleme beigetragen haben. In diesem Sinne ist der Artikel in der Form der ein-fachen Anleitung zur Aufgabenplanung, die Vorbereitung der Unterlagen und der Erkliirung der Resultate geschrie-ben worden. Die Berechnung der Varianzanalyse mit Verwendung des elektronischen Rechners ist so jedem zugangig. Zur Vertiefung der Kenntnisse und Studium der theoretischen Grundlagen wurde die Literatur angefiihrt. SUMMARY Advanced methods of mathematical statistics and avail-ability of computers offer a possibility for a special treat-ment of results in quality control. These methods are very effective \vhen planning the research work. The article describes the statistical method for analysis of variances. For several modifications of this method a program for computer ZUSE Z-23 has been prepared. The purpose of this article is to present the method in such a form that could be used by people in production, control and research. Therefore, the article promotes the application of mathematical statistics and computers for the solution of technical problems. Instructions for planning, data collection and evalua-tion of results are presented in a simple manner. For the advanced studv a list of references is given. 3AKAKMEHHE C pa3BHTHeM MeTOAOB maTeManraecKOH CTaTHCTHKH, 0C06eHH0 c pacmnpeHHeM vnoTpeOAeiiHH 3ACKTpoHHbix cmctmi-tkou b03Hiikah cne-UHHALHHe MeTOAbi oueHKH ii o6pa6oTKH pe3yABTaTOB Kac}>eKT npeACTaBAaioT 3th MeTOAbi npn nAaHiipoBaHiiio HCCAeAO-BaHHH. B cTaTbe onncaH cTaTiicTiiHecKiiH MeroA aHaAH3a Aucnepcmi. Aaa hcckoaiiko BapHaHT 3Tora metoaa BLipaSoiaHti nporpaMBi npH noMomii cKAOMy AoCTynHo. AAa pacmiipeHiia 3HaHHa h H3yneHHa TeoperaHecKHX ochob npHBeAeHa Heo6xoAHMaa AiiTepaTypa.