Σ Povzetek V članku predstavimo osem delovnih listov, namenjenih obravnavi izbranih matematičnih vsebin s pomočjo vizualnih prezentacij, torej pretežno s slikami oziroma z zaporedji slik. Možne pozitivne učinke tovrstnega pristopa komentiramo glede na tri članke, ki jih predstavimo v uvodu. Ključne besede: Vizualne prezentacije, utemeljevanje in doka- zovanje, pouk matematike, delovni listi Vizualne prezentacije pri pouku matematike Suzana Tomšič Mavrič Osnovna šola Janka Podežnika, Maribor Samo Repolusk Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru Bojan Hvala Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru Visual presentations at mathematics lessons Σ Abstract In the article we present eight worksheets designed for intro- ducing certain mathematical concepts with the help of visual representations, which are carried out primarily with images or sequences of images. The possible positive effects of such an approach are commented with the help of three relevant articles presented in the introduction. Keywords: Visual representations, reasoning and proof, tea- ching mathematics, worksheets a Uvod s predstavitvijo izhodišč V članku želimo predstaviti nekaj primerov uporabe vizualnih prezentacij pri pouku matematike. Tovrsten vizualni pristop k α Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 02-06 Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 050-064 051 matematiki, torej pristop brez mnogo besed (včasih celo povsem brez njih) in brez veliko računanja, se nam zdi primeren za občasno uporabo pri pouku matematike, še posebej pa pri delu z nadarjenimi učenci. Pristop se nam zdi dragocen, med drugim zato, ker razbija določene stereotipne predstave o ma- tematiki, ker predstavljene dejavnosti vklju- čujejo širši spekter in pomenijo celovitejše doživetje, ter zato, ker do že znanih rezulta- tov pripelje po alternativnih poteh, kar utrju- je vtis o enovitosti resnic v matematiki. V nadaljevanju bi želeli pravkar zapisane prednosti vizualnih prezentacij postaviti v širši kontekst. Pri tem se bomo oprli na pou- darke treh v matematični javnosti sorazmer- no odmevnih člankov. P . Lockhart in matematikova tožba V svojem znamenitem članku P. Lockhard (2002) izjemno pronicljivo ocenjuje in kritizi- ra prevladujoče stanje na področju poučeva- nja matematike. Avtor je leta 1990 doktoriral iz matematike in po nekaj letih univerzitetne kariere odšel poučevat na osnovno šolo. Ne glede na to, da njegov članek uradno ni bil nikoli objavljen, je po svojem nastanku kro- žil med matematiki ter sprožal razmišljanja in burne debate. Pozneje so ga objavili na spletni strani združenja Mathematical As- sociation of America (MAA). To je vplivno mednarodno združenje matematikov, razi- skovalcev in učiteljev z različnih šolskih ni- vojev. Na spletni strani MAA Online ima svoj kotiček slavni matematik Keith Devlin, čigar knjige poznamo tudi v slovenskih prevodih. Lockhardov članek je bil objavljen prav v tem kotičku in Keith Devlin ga je v svojem uvodniku imenoval »dinamitni članek«. Članek se začne s primerjavo matemati- ke z glasbo in slikarstvom. Če bi stanje na področju poučevanja matematike preslikali na področje glasbe, bi bila slika po mnenju avtorja naslednja. Učenci pri uri glasbe ne bi prepevali, tudi glasbenih odlomkov ne bi po- slušali, ampak bi se učili pisanja not, durovih in molovih lestvic, transformacij iz zapisa v violinskem ključu v zapis v basovskem, tran- skripcij iz enega dura v drugega in podobno. Za pravo glasbo je namreč tako na osnov- nošolski kot tudi na srednješolski ravni še prezgodaj, nanjo se je treba teoretično pri- praviti. V nadaljevanju avtor s predstavljeno prakso ostro polemizira in namesto množice rutinskih formalizmov predlaga matematiko tukaj in zdaj. Njegovo ključno poanto nam lahko simbolizirata naslednji dve sliki. [Slika 1] Ploščina trikotnika. Matematika v družboslovnih vedah 052 Sama dejstva pogosto niso tako zelo po- membna, kot je pot do njih (še posebej, če ta pot dejstvo ne le dokaže, ampak tudi poja- sni, približa in omogoči, da ga resnično do- živimo). To, da je ploščina trikotnika enaka polovici produkta osnovnice in višine, kot samo dejstvo ni tako ključno, kot je ključno ustaviti se pri levi sliki in potegniti črtkano navpičnico na desni. S to potezo matemati- ka zazveni kot glasba. Skratka, manj forma- lizma in več pravih matematičnih idej, ki so dosegljive, podobno kot pri glasbi, že na osnovnih šolskih ravneh. »Najbolj žalosten del vseh šolskih reform so poskusi, da bi »naredili matematiko za- nimivo«. Matematika je že zanimiva, in to bolj, kot smo to zmožni prenesti.« (Lockhard, 2002, str. 8) P . K. Murphy in poučevanje kot pre- pričevanje V reviji Theory into practice je leta 2001 izšla serija člankov, ki je obravnavala pogled na poučevanje, ki ni le sprejemanje novih infor- macij, ampak predvsem težnja k premiku v učenčevih osebnih stališčih. »Jasno je, da beseda prepričevanje vzbuja več asociacij in da vse niso pozitivne. Tako prepričevanje lahko razumemo kot sistema- tično vplivanje na mnenje nekoga, celo kot speljevanje ali manipulacijo. Prepričevanje v našem kontekstu bomo razumeli kot izvablja- nje sprememb v razumevanju ali stališčih gle- de določenih idej ali predpostavk. Tako opre- deljeno ima prepričevanje veliko skupnega z duhom sodobnega izobraževanja, po katerem želijo učitelji prepričati svoje učence v pomen vedenja ali razumevanja ter vplivati na razvoj oz. spremembo njihovih stališč glede različnih konceptov.« (Murphy, 2001, str. 224) V tem duhu npr. poučevanje literature ni več pretežno nizanje novih avtorjev in njiho- vih del. Bolj ključno si je vzeti čas za premik v učenčevem osebnem pogledu na literaturo. Če učitelju uspe preboj na ravni učenčevega globalnega stališča o pomenu branja, je do- sežen veliko daljnosežnejši cilj. Podobno bi se veljalo posvetiti učenče- vi globalni predstavi o tem, kaj matematika pravzaprav je, in se spoprijeti z nekaterimi s tem povezanimi zakoreninjenimi predsodki. L. M. Berman o poučevanju in poeziji L. M. Berman primerja poezijo in poučeva- nje ter najde in analizira mnoge vzporednice. »Kot poezija tudi poučevanje temelji na enotnosti misli in občutkov. Kot poezija tudi poučevanje temelji na sestavljanju, izdelova- nju, ustvarjanju. Kot poezija tudi določene vrste poučevanja temeljijo na celovitem do- živetju.« »Pesnik običajno ne živi na robu življenja, ampak poskuša izbrskati, kaj leži v naših naj- globljih razpokah, kar nam daje smisel, kaj sproži žalost, kar nam daje zagon in kaj dolo- ča smer.« (Berman, 1999, str. 18) V nadaljevanju avtorica razmišlja o ele- mentih, ki ustvarjajo dobro literaturo, in jih primerja z elementi, ki zagotavljajo dober pouk. Pri tem najde in natančno analizira nekaj skupnih elementov. Vizualne prezentacije pri pouku matematike 053 »Vabim vas, da skupaj pretehtamo nekaj lastnosti, pomembnih za dobrega pesnika in poezijo, in za katere verjamem, da označujejo tudi dobrega učitelja in poučevanje. Med temi lastnostmi so: (a) da je pričevalec, ki z nami deli resnico, (b) da je naklonjen skrivnosti, (c) da povezuje pogovore srca in pameti, (d) da daje glas neizrečenemu, (e) da uživa v prese- nečenju.« (Berman, 1999, str. 18) Kot dobra literatura torej tudi dober pouk ne sme ostati na obrobju učenčevega življe- nja, ključno je, da ga premaknemo bliže k centru. Kot dobra literatura mora tudi dober pouk pomeniti celovito doživetje, s preple- tom emocij, razuma, skrivnosti in presene- čenja. V drugem delu članka bomo predstavili nekaj delovnih listov, preko katerih bomo z uporabo vizualnih prezentacij izpeljali, dokazali ali ilustrirali nekaj matematičnih dejstev. Postopke, ki jih bomo izvajali med reševanjem delovnih listov, bomo komenti- rali glede na predstavljena uvodna stališča. Bolj kot pomen izpeljanih dejstev in celovi- tost njihovih dokazov nas bo zanimalo, ali z uporabo tovrstnih metod lahko predstavimo matematiko, ki zazveni; ali na ta način lahko posežemo v svet učenčevih predstav o ma- tematiki in ali je tako mogoče s perifernega področja učenčeve percepcije vstopiti na po- dročje bliže centru. b Delovni listi s primeri vizual - nih prezentacij V tem razdelku bomo predstavili osem de- lovnih listov, primernih za delo z učenci na različnih stopnjah izobraževanja. Nekateri od delovnih listov so primerni za samostoj- no delo učencev, drugi so spet primernejši za skupinsko vodeno raziskovanje. Vsakemu delovnemu listu sledita skica rešitve in ko- mentar. Vzorci in vsote Delovni list 1 a) i. Opazuj število pik v kvadratnem vzorcu, ki je enako vsoti števila pik po diagonalah. Katero zakonitost lahko na tej podlagi izpeljemo? Zapiši zveze za narisane primere in ugotovitev posploši. ii. Izračunaj vsoto: 1 + 2 + 3 + … + 59 + 60 + 59 + … + 3 + 2 + 1. [Slika 2] Kvadratni vzorec in diagonale. Matematika v družboslovnih vedah 054 Delovni list 1 b) Opazuj število pik v celotnem vzorcu in število pik na zarisanih območjih v obliki črke L. Do kakšnih sklepov lahko pridemo na tej podlagi? Nalogo reši na konkretnem primeru in ugotovitev nato posploši. [Slika 3] Kvadratni vzorec in L-ji. Vizualne prezentacije pri pouku matematike Rešitev: Iz dane prezentacije je razvidno, da za poljubno naravno število n velja 1+2 + ... +(n ˗ 1) + n +(n ˗ 1) +...+2+1=n 2 Rešitev: V narisanem primeru opazimo, da velja 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 =8 2 = 64. V splošnem imamo kvadratni vzorec z n 2 pikami. Vse te pike sestavljajo n vzorcev v obliki črke L s po 1, 3, … , 2n-1 pikami. Zato je Če namreč v vzorcu z n 2 pikami seštevamo število pik po diagonalah, dobimo ravno vsoto na levi. Od tod sledi, da je vsota iz toč- ke ii. enaka 60 2 = 3600. 055 1+3+5+...+(2n˗1)=n 2 Izpeljali smo torej obrazec za vsoto prvih n lihih naravnih števil. Komentar: Reševanje tovrstne naloge predstavlja kompleksno doživetje. Začnemo z opazo- vanjem vzorca, preidemo na matematični zapis, prepoznavanje zakonitosti in tvorbo hipote- ze, sledi premislek, da vizualna prezentacija pravzaprav pomeni že kar dokaz zakonitosti pri konkretnem n. Končno sledi posplošitev na splošni n. Če učenci že poznajo vsoto prvih n naravnih števil in z njo povezano Gaussovo zgodbo, je vprašanje o vsoti prvih n lihih števil še posebej smiselno. V tem primeru je smiselno, če oba rezultata tudi povežemo: vsoto lihih števil znova izračunamo tako, da od vsote prvih 2n na- ravnih števil odštejemo vsoto sodih števil. Ujemanje rezultatov oz. neodvisnost rezultata od pristopa utrjuje zavest o enovitosti resnic v matematiki, kar v pogovoru lahko še posebej izpostavimo. Če učenci vsote prvih n naravnih števil še ne poznajo, pa prvi delovni list omo- goča, da to izpeljemo takole. Če vzorcu dodamo še eno najdaljšo diagonalo, dobimo zvezo +2++(n-1)+n+n+(n-1)++2+1= n 2 +n, kar je dvakratna iskana vsota. Lahko pa na to temo pripravimo tudi novo vizualno prezentacijo, narejeno povsem v duhu Gaussove ideje: Ob obravnavi vzorcev in z njimi povezanih števil velja opozoriti na zanimiv članek Vzorci in zaporedja (Željko, 2003) iz te revije, ki se v celoti ukvarja prav s to tematiko. [Slika 4] Vsota prvih n naravnih števil. Matematika v družboslovnih vedah 056 Podobnost Delovni list 2 Na podlagi spodnjega zaporedja slik ugotovi odnos med katetami a, b, a', b' dveh podob- nih pravokotnih trikotnikov. [Slika 5] Podobna pravokotna trikotnika. Vizualne prezentacije pri pouku matematike 057 Razlika kubov Delovni list 3 Telo na sliki na levi dobimo tako, da iz kocke s stranico a izrežemo kocko s stranico b. Dobljeno telo razrežemo na tri dele, kot kaže slika. Zapiši volumen telesa na dva načina in od tod izpelji znano zvezo. Rešitev: Na zaključni sliki 5 imamo pravokotnik, razdeljen z diagonalo, in dva para skladnih trikotnikov. Ker diagonala razdeli pravokotnik na dva ploščinsko enaka dela in ker vsak od njiju vsebuje po en trikotnik iz vsakega od parov skladnih trikotnikov, se morata ujemati tudi ploščini preostankov, torej pobarvanih pravokotnikov. Velja torej: a’b = ab’ Istoležni kateti sta zato v enakem razmerju: a a’ b b’ = Komentar: Enakost razmerij je mogoče lepše doživeti v obliki enakosti produktov, sploh v osnovnošolskem ali poklicnem izobraževalnem programu. Tudi zgodovinsko bi tovrstna trditev, zapisana npr. v starem veku, utegnila biti predstavljena v obliki enakosti ploščin dveh pravokotnikov. Morda ta niz vizualnih prezentacij ni toliko primeren za samostojno delo učencev kot za skupno razmišljanje razreda pod skrbnim vodstvom učitelja. Ta način prinaša tudi prilož- nost za razjasnitev in komentar nastopajočih podrobnosti, kot so: katero transformacijo rav- nine smo izvedli v drugem koraku, kateri lik smo dobili po tretjem koraku, kaj sploh pomeni, da sta trikotnika podobna, kje v našem postopku smo to sploh upoštevali, kaj bi se zgodilo, če trikotnika ne bi bila pravokotna, ali kaj, če ne bi bila podobna itd. Če bi dijaki poznali obrazec, po katerem je ploščina paralelograma enaka produktu stranic in sinusa vmesnega kota, bi lahko obravnavali tudi posplošeno verzijo te situacije, kjer osnovni trikotnik ne bi bil več nujno pravokoten. Konfiguracijo bi v tem primeru v tretjem koraku dopolnili do paralelograma. [Slika 6] Razlika kubov Matematika v družboslovnih vedah 058 Rešitev. Telo ima prostornino a 3 ˗ b 3 . Razrezali smo ga na tri kvadre s prostorninami a 2 (a ˗ b), b 2 (a ˗ b) in ab(a ˗ b). Od tod dobimo a 3 ˗ b 3 = a 2 (a ˗ b) + b 2 (a ˗ b) + ab(a ˗ b) Izpostavimo (a ˗ b) in dobimo znano formulo za razliko kubov: a 3 ˗ b 3 =(a ˗ b)(a 2 +ab+b 2 ) . Komentar: Prvi del naloge, torej določanje volumnov treh sestavnih delov, je primeren za samostojno delo dijakov. Učni list je primeren za srednjo šolo, ko so dijaki že bolj vešči z obravnavo situacij, ko podatki niso konkretni, torej niso številski. Tudi algebraični zaključ- ni korak tu ne bi smel več biti problematičen. Če bi se nalogo reševalo potem, ko je dobljeni obrazec že poznan in utrjen, se rezultat poveže s tem znanjem. Če dijaki tega rezultata še ne poznajo, pa bi veljalo opraviti preizkus izpeljanega obrazca z množenjem produkta na desni. Dopolnjevanje do popolnega kvadrata Delovni list 4 Pri obravnavi kvadratne funkcije smo spoznali postopek za dopolnjevanje izraza oblike x 2 + ax do popolnega kvadrata: x 2 + ax = (x+ ) 2 a 2 . Zapisano enakost predstavi z vizualno prezentacijo. Nariši kvadrat s stranico x in pravo- kotnik s stranicama x in a ter ju preoblikuj tako, da bo enakost vizualno čim bolj nazorno predstavljena. Rešitev: Komentar: Primer smo tokrat namenoma obrnili: začeli smo z dijakom znano algebraično manipulacijo in od njih zahtevali ilustracijo z vizualno prezentacijo. Zelo verjetno je, da bo razmišljanje dijakov šlo v smeri od prve slike na tretjo in potem nazaj na drugo. [Slika 7] Dopolnjevanje do popolnega kvadrata Vizualne prezentacije pri pouku matematike 059 Geometrijska vrsta Delovni list 5 Pravokotnik z navpičnima daljicama razdelimo na tri enake dele, od katerih levo tretji- no pobarvamo temno, desno pa pustimo svetlo. V drugem koraku postopek ponovimo v srednji tretjini, ki jo tokrat razdelimo na tri enake dele z vodoravnima daljicama. Zgornji del pobarvamo temno, spodnji del ostane svetel. V naslednjem koraku pa postopek nadal- jujemo z navpičnima daljicama v preostali tretjini itd. a) V vsakem koraku posebej premisli, kolikšen del celotnega pravokotnika je bil v tem koraku pobarvan temno. b) Poglej sliko kot celoto: kolikšen del pravokotnika je na koncu pobarvan temno? c) Katero zvezo smo na ta način izpeljali? [Slika 8] Zaporedno barvanje tretjin pravokotnika. Rešitev: Zaporedoma temno pobarvamo naslednje dele ploščine pravokotnika: 1 3’ 1 3 2 ’ 1 3 3 ’ 1 1 3 4 ’ ... Iz slike 8 vidimo, da v n korakih obravnavamo celoten pravokotnik, razen drobnega pravokot- nika v sredini, in da v neskončno korakih obravnavamo celoten pravokotnik, razen ene točke - presečišča diagonal. Pri tem izraz »obravnavamo« pomeni, da za ustrezne točke določimo, ali bodo pobarvane temno ali bodo ostale svetle. Na koncu je temno pobarvan del pravokot- nika ploščinsko enak svetlemu delu pravokotnika. Zato je ploščina temno pobarvanega dela pravokotnika enaka ½ celotne ploščine pravokotnika. Od tod sledi, da je Matematika v družboslovnih vedah 060 Zveze s sinusi in kosinusi Delovni list 6 Delovni list 6: Narišemo (rdeči) pravokotni trikotnik s hipotenuzo 1 in kotom β. Temu spodaj dodamo (rumeni) pravokotni trikotnik s kotom α kot na sliki 9. Sliko dopolnimo do pravokotnika. S kotoma α in β izrazi kateti rdečega trikotnika. S kotoma α in β izrazi kateti rumenega trikotnika. S kotoma α in β izrazi kot ε. S kotoma α in β izrazi kateti oranžnega trikotnika. S kotoma α in β izrazi dolžino dveh črtkanih daljic. Dolžino dveh črtkanih daljic izrazi še z vsoto kotov α+β. Primerjaj rezultata v in vi. Kaj dobimo? [Slika 9] Zveze s sinusi in kosinusi. Vizualne prezentacije pri pouku matematike 23 11 11 ... 33 32   +++=     Komentar: Naloga kombinira lokalni pogled na situacijo z globalnim pogledom. Pri vsakem koraku ostane v obdelavi tretjina pravokotnika iz prejšnjega koraka in tretjino tega pobarva- mo temno. Na ta način zaporedoma dojamemo, kaj se zgodi pri vsakem posameznem kora- ku. Potem pa sliko pogledamo celovito. Beli in temni vzorec sta simetrična in zato zajemata enak del začetnega pravokotnika. Rešitev: Kateti rdečega trikotnika merita sin β in cos β, kateti rumenega pa sin α cos β in cos α cos β. Kot ε=α. Oranžni trikotnik ima zato kateti sin α sin β in cos α sin β . Dolžina navpične črtkane daljice zato znaša sin α cos β + cos α sin β, dolžina vodoravne črtkane daljice pa cos α cos β - sin α sin β. V pravo- kotnem trikotniku s črtkanima katetama meri eden izmed kotov α+β. Dolžina kotu nasprotne katete znaša sin(α+β) , dolžina kotu α+β priležne katete pa cos(α+β). Na tej podlagi dobimo: sin(α+β)=sin α cos β + cos α sin β cos(α+β)=cos α cos β - sin α sin β To sta adicijska izreka za sinus in kosinus. 061 Delovni list 7 Opazuj spodnjo sliko. 1. Zapiši zvezo, da je ploščina celotnega kvadrata enaka vsoti ploščin petih sestavnih de- lov. 2. Z neenakostjo izrazi odnos med ploščino celotnega kvadrata in štirih pravokotnikov. 3. Iz dobljene neenakosti izpelji oceno aritmetične sredine števil a in b. Rešitev: 1. (a + b) 2 = 4ab + (a - b) 2 2. (a + b) 2 ≥ 4ab 3. () 2 4 ab ab +≥ () 2 ab ab +≥ 2 ab ab + ≥ Komentar: Naloga se začne z opa- zovanjem slike in prepoznavanjem nastopajočih količin. Nato izpeljemo zahtevani enakost in neenakost. Na podlagi neenakosti ocenimo vsoto in nato še aritmetično sredino dveh števil. Na drugi strani neenakosti nastopi geometrijska sredina dveh števil, kar posebej poudarimo in komentiramo. Komentar: Naloga je primerna v situaciji, ko dijaki izpeljana obrazca že predhodno po- znajo. Predstavlja dobro vajo za utrjevanje sinusa in kosinusa v pravokotnem trikotniku. Če dijakom nalogo uspe dovolj suvereno opraviti, bi bilo morda ustrezno, da bi se z njimi pogovorili o morebitnih omejitvah na ta način izpeljanih adicijskih izrekov (denimo o velikosti kota α+β.) [Slika 10] Kvadrat, razdeljen na štiri enake pravokotni- ke in en kvadrat. Neenakosti () 2 4 ab ab +≥ () 2 ab ab +≥ 2 ab ab + ≥ () 2 4 ab ab +≥ () 2 ab ab +≥ 2 ab ab + ≥ Matematika v družboslovnih vedah 062 Delovni list 8 Narišimo kvadrat ABCD s stranico, dolgo 1, in na stranici BD izberimo točko U tako, da je |BU| = r. Presečišče premic DU in AB označimo z V. 1. Pokaži, da sta trikotnika AV D in CDU podobna. Z raztegom s središčem v točki A in koeficientom r preslikamo štirikotnik ABUD in dobi- mo štirikotnik AB'U'D'. 2. Pokaži, da leva in spodnja stranica štirikotnika AB'U'D' merita r, zgornja strani- ca pa je vzporedna premici DU. Koliko meri desna stranica? Če ta štirikotnik premaknemo za vektor AB, dobimo štirikotnik BB 1 U 1 U. 3. Pokaži, da točki U 1 in U ležita na daljici DV. Postopek ponavljamo: Uporabimo razteg s središčem B in koeficientom r, z njim presli- kamo štirikotnik BB 1 U 1 U, ga premaknemo za vektor BB 1 in dobimo štirikotnik B 1 B 2 U 2 U 1 z levo in spodnjo stranico dolgo r 2 . Postopek nadaljujemo … - Premisli, čemu je enaka vsota 1 + r + r 2 + r 3 +  - Upoštevaj i. in izpelji, da je (1-r) |AV|= 1 - Kateri znani obrazec smo na ta način dokazali? Splošna geometrijska vrsta [Slika 11] Vsota geometrijske vrste s pozitivnim količnikom Rešitev: Opisani postopek nam ponazarja obrazec za vsoto geometrijske vrste. Komentar: Naloga je dolga in sorazmerno zahtevna. Zahteva razumevanje in poznavanje lastnosti raztegov (dolžine stranic, vzporednost premic) ter obvladanje sklopa o podobnih trikotnikih. Posebna težava, pa tudi čar, je obravnava postopka, ki ima neskončno korakov. Neskončno mnogo daljic smo zložili eno poleg druge in kot unijo dobili eno samo daljico. Povsem podobno je lahko vsota neskončno mnogo časovnih intervalov enaka enemu same- Vizualne prezentacije pri pouku matematike 063 γ Za konec Tudi za izkušenega učitelja je koristno, če se tu in tam seznani s kakim novim vidikom poučevanja, saj ga to lahko spodbudi h kri- tičnemu premisleku in vrednotenju obstoje- čih poučevalnih praks ali preprosto k osve- žitvi svojih pristopov. Pri pouku matematike pa je še posebej pomembno, da ne zdrsnemo zgolj v rutinsko izvajanje postopkov, ampak da spodbujamo razvoj matematičnega mi- šljenja vsakega posameznika in da z izbiro alternativnih metod poskusimo ključne po- mu časovnemu intervalu. Primer je na tej točki mogoče povezati z zgodbo o Ahilu in želvi, s tem da naša neskončna vrsta na sliki tudi vizualno zaživi. V tem primeru je vključene veliko matematike. Problem neskončnih postopkov, ki je povzročal velike težave starim Grkom, pa že zaradi zgodovinskih okoliščin ni le tehnični detajl z obrobja človeškega zanimanja, ampak pomembna zmaga razuma pri dojemanju neskončnega. ante matematike približati tako povprečnim dijakom kot tudi tistim manj in tistim bolj nadarjenim. Vizualne prezentacije, o kate- rih smo govorili v tem članku, nam pri tem lahko pomagajo. Ob njih bodo učenci morda globlje dojeli ključne matematične ideje tako na intuitivni kot na formalni ravni. Morda nam bo tako učencem uspelo tudi nevsiljivo sporočiti, da je matematika mnogo več kot samo računanje. δ Lit er a tur a 1. Alsina, C., Nelsen, R. B. (2006). Math Made Visual. Creating Images for Understanding Mathematics. Wa- shington: The Mathematical Association of America. 2. Berman, L. M. (1999). Teacher as Poet. Theory into Practice, Vol. 38, No. 1, Redefining Teacher Quality, 18–23. 3. Giaquinto, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study. New Y ork: Oxford University Press. 4. Lockhart, P . (2002). A mathematician's lament. Povze- to s spletne strani Mathematical Association of Ame- rica Online (1. 3. 2011): http://www.maa.org/devlin/ LockhartsLament.pdf 5. Murphy, P. K. (2001). Teaching as persuasion: A new metaphor for a new decade. Theory into practice, Vol. 40, No. 4, 224–227. Matematika v družboslovnih vedah 064 6. Nelsen, R. B. (1993). Proofs Without Words. Exercises in Visual Thinking. Washington: The Mathematical Association of America. 7. Nelsen, R. B. (2000). Proofs Without Words II. More Exercises in Visual Thinking. Washington: The Mathe- matical Association of America. 8. Posamentier, A. S. [et al.] (1998). Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions: A Reso- urce for the Mathematics Teacher. Thousand Oaks, CA: Corwin Press. 9. Tomšič Mavrič, S. (2011). Primeri podpore matematič- nih dokazov z uporabo vizualnih prezentacij: diplomsko delo. Maribor: FNM UM, spletna stran: http://dkum. uni-mb.si/Dokument.php?id=21506 10. Željko, M. (2003). Vzorci in zaporedja. Matematika v šoli, letnik 10, št. 3, 4, 194–207. Vizualne prezentacije pri pouku matematike