tod Univerza v Ljubljani FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN TEHNOLOGIJO Odsek za matematiko Josip Globevnik ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Disertacija { 1 Ljubljana 1972 jj 921 ¦w M o .M* 2 PREDGOVOR Klasična analitična funkcija, katere absolutna vrednost je na nekem polju konstantna, je tudi sama tam konstanta. Za vektorske analitične funkcije to velja le v primeru, ko so njih vrednosti v specialnih Banachovih prostorih - tistih, v katerih je vsaka točka na enotni krogli kompleksna ekstremna točka (Thorp-Whitley [20]). Taki so n.pr. strogo konveksni Banachovi prostori. Po drugi strani pa obstoji širok razred prostorov, ki omenjene lastnosti nimajo - n.pr. skoraj vse operatorske algebre. Dejstvo, da so operatorske Banachove algebre važen poseben primer Banachovih prostorov, da težo problemu, ki ga je postavil prof. Vidav - karakterizirati analitične funkcije s konstantno normo. V znani literaturi ta problem ni obravnavan, Njega reševanje je namen tega dela. Delo je razdeljeno na tri poglavja. V prvem poglavju proučujemo analitične funkcije s konstantno normo, z vrednostmi v Banachovem prostoru. Vsakemu vektorju a prostora X priredimo podprostor E(a) tistih vektorjev, ki pokažejo, da a/][ajj ni kompleksna ekstremna točka na enotni krogli prostora X. Ta podprostor je osnovni pojem v dveh izrekih o karakterizaclji analitičnih funkcij s konstantno normo, ki ju dokažemo v prvem poglavju. V drugem poglavju se ukvarjamo z analitičnimi funkcijami s konstantno normo, z vrednostmi v Banachovih algebrah. Metode, uporabljene v prvem poglavju, ne dajo nič novega. Zato uporabimo druge metode, pri čemer se omejimo na specialne primere: C*-algebre, komutativne Banachove algebre in algebre operatorjev nad enakomerno konveksnimi Banachovimi prostori. V tretjem poglavju proučujemo analitične funkcije, katerih norma je enaka absolutni vrednosti klasične analitlč- 3 ne funkcije. Dokažemo izrek o karakterizaciji takih funkcij in nekaj zanimivih posledic. Nekateri posebni primeri takih funkcij so podrobno proučeni. Mentor tega dela je bil profesor Ivan Vidav. Vedno je bil pripravljen prisluhniti težavam pri delu, svetovati in pomagati, rad je dal prenekatero idejo in vlival je optimizem ob težkih trenutkih. Za vse to se mu najlepše zahvaljujem. Menim, da doktorska disertacija predstavlja konec prvega zamaha v študiju. Naj se tu zahvalim vsem, ki so mi pri tem pomagali, zlasti profesorju Vidavu, svojemu prvemu učitelju profesorici Mariji Pilgram, docentu Antonu Suha-dolcu, ki me je usmeril v funkcionalno analizo, in kolegom iz Zagreba za temperament in vzdušje, ki sem se ga navzel, ko sem študiral pri njih, J.G. Ljubljana, maja 1972 4 KAZALO 0. UVODNO POGLAVJE 0.0. Dogovori in oznake ............................ 6 0.1. Osnovne definicije, nekateri znani rezultati ..................................... 7 1. ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Z VREDNOSTMI V BANACHOVEM PROSTORU 1.0. Pomožen rezultat iz teorije skalarnih analitičnih funkcij ........................... 9 1.1. Podprostor E(a) in njegove lastnosti .......... 11 1.2. Lokalna karakterlzacija analitičnih funkcij s konstantno normo .................... 17 1.3. Globalna karakterlzacija analitičnih funkcij s konstantno normo ........ ............ 21 2. ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Z VREDNOSTMI V BANACHOVIH ALGEBRAH 2.0. O ekstremnih točkah na enotni krogli v C*-algebrah ................................. 27 2.1. Analitične funkcije s konstantno normo z vrednostmi v C*-algebrah ...................... 30 2.2. Analitične funkcije s konstantno normo z vrednostmi v komutativnih Banachovih algebrah ........................................ 36 2.3. Analitične funkcije s konstantno normo z vrednostmi v pperatorskih algebrah ............ 40 3. ANALITIČNE FUNKCIJE Z NORMO, ENAKO ABSOLUTNI VREDNOSTI SKALARNE ANALITIČNE FUNKCIJE 3.0. Karakterlzacija analitičnih funkcij z 5 normo, enako absolutni vrednosti skalarne analitične funkcije ............ 3.1. 0 f{ÇA), kjer je A normalen operator na Hilbertovem prostoru in f cela skalama analitična funkcija..................... 3.2. Primeri analitičnih funkcij, katerih norma je enaka absolutni vrednosti skalarne analitične funkcij e ..................... LITERATURA .............................. - Klasifikacija MOS (AMS) : 30A96, 46L05, 46L20 . G 0. UVODNO POGLAVJE 0.0. DOGOVORI IN OZNAKE Oznake prevzemamo iz standardnih učbenikov funkcionalne analize. IR je obseg realnih števil, C obseg kompleksnih števil. Polje je odprta povezana množica v kompleksni ravnini. Analitična funkcija f, definirana na polju OD je vedno funkcija, ki je definirana na polju L) in tam analitična. Tedaj z f (ff) označimo zalogo vrednosti funkcije f. Klasične analitične funkcije (z vrednostmi v C ) imenujemo skalarne analitične funkcije. Če je H topološki prostor in SC H , z S označimo zaprtje množice S. Naj bo X linearen prostor, če je SCX, s co S označimo konveksno lupino množice S in s čo S zaprto konveksno lupino množice S. Če je a,b,...,pLX, tedaj z Jt(a,b,... ,p) označimo linearno lupino množice elementov a,d,..*,p . Namesto Banachov prostor, Banachova algebra, Hilbertov prostor pišemo B-prostor, B-algebra, H-prostor. Kompleksen B-prostor je B-prostor nad obsegom C. Če je X B-prostor, je S(X) = {xLX : ||x[j =1} , X_^_ je dualni prostor (prostor vseh zveznih linearnih funkcionalov na X s sup normo) in L(X) algebra omejenih linearnih operatorjev, definiranih na prostoru X, z zalogo vrednosti v X , opremljena z enakomerno operatorsko topologijo. Število, ki ga funkcional uLX' priredi vektorju xLX, označimo z . Če je a element kompleksne B-algebre z enoto, je Ç(_a> resolventna množica, 0*(a) spekter, R (^,a) resolventa in spr a = sup{|z| : z€0"(a) } spektralni radij elementa a. Če ima B-algebra enoto e, a priori predpostavimo (|e||= 1. 7 Ko je X Hilbertov prostor, je X znak za ortogonalnost in JB znak za ortogonalno vsoto. Če je tedaj T€L(X) , označimo z &(T) zalogo vrednosti operatorja T, z vV(T) jedro operatorja T in s T^ operatorju T adjungiranl operator. Končno, če je neki enakosti (neenakosti) na desni strani pripisano <ÇëA) , to pomeni, da omenjena enakost (neenakost) velja za vsak Ye^ * 0.1. OSNOVNE DEFINICIJE, NEKATERI ZNANI REZULTATI Znano je (gl. [12]) , da za normo vrednosti analitične funkcije t, definirane na polju 2> v kompleksni ravnini, z vrednostmi v kompleksnem B-prostoru, velja t.i. princip maksima norme: če eksistira točka X»€&t da velja llf1l < i|f(t#)|l !i= i:*n <çé») * Med skalarnimi analitičnimi funkcijami, definiranimi na polju & , samo konstante zadoSČajo zgornji enakosti: če za skalarno analitično funkcijo f, definirano na polju 2) v kompleksni ravnini, eksistira konstanta M, da je |f(i>|- M (Tf«a> , tedaj je f konstanta, t.j. eksistira z0éC da je i\%)m Z(, (x&) . 0.1.0 DEFINICIJA V kompleksnem B-prostoru X velja strogi princip maksima norme, če ni polja v kompleksni ravnini in na njem definirane nekonstantne analitične funkcije z vrednostmi v X, ki bi imela na tem polju konstantno normo. s 0.1.1 DEFINICIJA (gl. [20]) Naj bo X kompleksen B-pro-stor. Točka aLS(x) je kompleksna ekstremna točka na S(X>, če iz tU + Ly||< 1 (lîl< 1) sledi y = 0 . 0.1.2 DISKUSIJA Naj bo X kompleksen B-prostor. če točka aLS (x) ni kompleksna ekstremna točka na S (X)', tedaj eksi-stira y*0, da je ||a + ^y|| < 1 t\%\< D. Po principu maksima norme od tod sledi || a + %y\\ž= 1 (\x\ž. D • Naslednja definicija je ekvivalentna definiciji 0.1.1 (gl.[20]). ,0.1..3 DEFINICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor. Točka aeS(X) je kompleksna ekstremna točka na S(X), če iz Ha + y||< 1, ila - y||< 1, || a + iy||< 1, ||a - iy||< 1 sledi y = 0 . Običajne ekstremne točke, ki jih bomo tudi potrebovali, bomo za razliko od kompleksnih ekstremnih točk imenovali realne ekstremne točke. 0.1*4 DEFINICIJA Naj. bo X kompleksen B-prostor. Točka aéS(x) je realna ekstremna točka na S(X), če iz l!a + y||< 1» Ila - yll< 1 sledi y = 0. Naslednji izrek karakterizira prostore, v katerih velja strogi princip maksima norme. 0.1.5 IZREK (Thorp-Whitley [20]) Naj bo X kompleksen B-prostor. Strogi princip maksima norme v X velja natanko takrat, ko je vsaka točka na S{X) kompleksna ekstremna točka na S(X). Prostorov, v katerih strogi princip maksima norme ne velja, je veliko in nekateri zelo važni primeri so med njimi (n.pr. algebra L(X) nad kompleksnim H-prostorom X, če je dim X>2). Če v nekem prostoru X strogi princip maksima norme ne velja, tedaj eksistirajo nekonstantne analitične funkcije s konstantno normo, z vrednostmi v X. Proučevanje takih funkcij je osnovni namen tega dela. 9 1. ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Z VREDNOSTMI V BANACHOVEM PROSTORU 1.0. POMOŽEN REZULTAT IZ TEORIJE SKALARNIH ANALITIČNIH FUNKCIJ V tem razdelku navedeni lemma 1.0.0 je dokazal L.A. Harris [il] in pokazal, da je z njegovo pomočjo mogoče precej poenostaviti prvotni dokaz osnovnega rezultata Thorpa-Whitleya (izreka 0.1.5). V nadaljnjih razdelkih bomo lemma 1.0.0, oziroma posledico - lemma 1.0.1 uporabili kot ključno orodje pri dokazu izrekov o karakterizaciji analitičnih funkcij s konstantno normo. 1.0.0 LEMMA (L.A.Harris [il]) Naj bo f skalama analitična funkcija, definirana na odprtem enotnem krogu v kompleksni ravnini, za katero velja |ff(t)| (|t|< D . (î.o.o) TrikotniŠka neenakost da |i - flö)f (r) | < i - |f(o)|2 + |f(0)||f(o) - f . Od tod s pomočjo neenakosti i - Iti < i - lrll*w.| (irl< d in 1 - |f(0)|2 < 2(1 - |f(0)|) sledi |f(X) - f(0)|(l - |t|) < 2|Y|(1 - |f(0)|) (|t|< D, torej |f(0) | + A_^-^l|f(<ç) - f(0) | < 1 (|c|< 1, f*0K Q.E.D. 1.0.1 LEMMA Naj bo f skalama analitična funkcija, definirana na krogu |f -1?o| < r t za katero velja \ttX)\ < M (|X -Xo\ < r) . Tedaj velja !f{To>1 + r2k!-ydt<>1|f(y) "f(*o,t -M l0, da velja j. Ila +*x|i < ||a|| (|tl < r) . 1.1.1 DISKUSIJA Površno povedano, če je X kompleksen B-prostor in ae S (X) , so v E(a) vsi tisti vektorji, ki pokažejo, da a ni kompleksna ekstremna točka na S{X). Tedaj je E(a) = {0} očitno natanko takrat, ko je a kompleksna ekstremna točka na S(X). 1.1.2 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in aeX. Tedaj je x € E(a) natanko takrat, ko eksistira konstanta M , da velja || |) (u€S(X')) . Dokaz. Naj eksistira konstanta M , da velja |[ < Mx(||aS| - ||) (u€S(X')) . Sledi l| < ||a|| - || <|?| < 1/Mx , uéS(X')), torej II« *v4 < M (k! < i/mx) . Obrat. Naj eksistira r>0, da je II» *t*l < M Mt\ < r> • To pomeni | + ?| < H41| (KI <'* i uéS(X')) , od koder sledi ||+ r|| < ||a|| (ueS(X')), torej ll |} (uéS(X')). Q.E.D. 12 1.1.3 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in aLX, Tedaj je E(a) linearen podprostor prostora X. Dokaz. Naj bo xLE(a). Po propoziciji 1.1.2 eksistira M , da je || < Mx(||al| - ||) (uLS(X')). Če je cteC poljuben, sledi || = \oi\ it < KlHx(iafl - l|) ), in po propoziciji 1.1.2 je xLE(a). Če je tudi yLE{a), eksistira M , da je || <,My(l|a|| - |l) | < || + || < mv + M) (|| al! - ||) (ues(X')i. Po propoziciji 1.1.2 sledi x + y€E(a). Q.E.D. 1.1.4 DISKUSIJA Podprostor E (a) je števna unija zaprtih množic: m E(a) = U{x: || < k(!|a|| - ||)} (uLS{X')) . Sam podprostor E(a) pa v splošnem ni zaprt, kar kaže naslednji primer: naj bo X kompleksna B-algebra zveznih kompleksnih funkcij na intervalu [-1,1"] s sup normo, če je aLX, takoj vidimo, da je b€E(a) natanko takrat, ko eksistira konstanta M. , da je |Mt>| < Mb(||a|| - |a(t).|) = ||a|( . 1.1.6 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in aLX. Naj bo xéP(a) . Tedaj je || a + x|| > || a|| . Dokaz. Predpostavimo nasprotno, da je || a + xfj < |Ja|j . Po Hahn-Banachovem izreku eksistira uéS(X'), da je ¦ ||a|] . Ker je po predpostavki xLP(a) , je = 0, torej = |J a[| , kar pa je v protislovju z || a + x|| < |]a|| . Q.E.D. * 1.1.7 PROPOZICiJA Naj bo X kompleksen B-prostor in a€X. Tedaj je E (a) C P (a) . Dokaz. Ker je P(a) kot presek zaprtih hiperravnln zaprt/ je za dokaz propozicije dovolj , öe dokažemo E(a)CP(a) . Naj bo x^P(a) . Tedaj po definiciji podprostora P (a) eksistira u€S(X'), da je = || a|| in <;x,u> jh 0 . Od tod sledi, da je za vsak if[, || večje od ||aj| , torej x^E(a) . Q.E.D. 1.1.8 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in ag-X. Ce je o6éC, «1+0, tedaj je E («a) = E (a) . ¦ Dokaz. Trivialen. 1.1.9 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor* a,bLX in co{a,b}CS(X) . Tedaj podprostor E[«a + (l-*:)b] ni odvisen od «€(0,1), t.J. E[oća + U~*)b] s E {Q«L<1) , pri čemer velja E(a)cE , E(b)CE . Dokaz. Naj bo co{u,v}c:s (X) in naj bo xLE(u). Tedaj eksistira - r>0, da je |ju + ^x|| < 1 (\x\ < r) • Pišimo g(X) = <*(u + X*) + (1 - °<)v = OtU + (1 - U)V + T(oćX , I pri čemer naj bo 0<«<1 . Tedaj velja l|g(?>l! < *l!u + xxll + ci - ot)||vj| < i {\x\ < r). Ker je po predpostavki co{u,v}LS (X), je ||eću + (1 - «)v|| =1 , torej je «ixé.E[«u + (1 -oijv] . Po privzetku je oi^O , pa po propoziciji 1.1.3 sledi x€ E[tfu + (1 - ot)v] . Tako smo dobili, da je E(u)C C Efoiu + (1 -«O v] (0| < M (|| a|| - ||) } 1.1.11 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in aLX. Tedaj je {E{a) , ||&} (z linearno strukturo, inducirano z linearno strukturo v X) normiran prostor. Dokaz. Po propoziciji 1.1.3 je E{a) linearen prostor. Ocit- no Je llxl!a= ° za vsak x^E(a). Dalje, če je ||x||a»« 0, to pomeni ¦ 0 (uÉS(X')), torej x m 0. Če je ;WC , je ||*x||a = inf{M: |<*x,u>| < M(|a|| - ||) (uLS(X'))> = inf{|*|N : !| < N(||a|| - ||) (uéS(X')} I = IAI!|x||a . ¦ Dalje, iz || < ||x||a(||a|| - ||) , l| < l|y||a(||a|| - ka,u>|) u>l < (Il*lla + Il y|| ai (Il «II - l|) (uéS(X')), kar da ! II* + Via ^ Ha + N'a • ' Q'E*D* 1.1.12 DEFINICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in a€X. Če je xLE{a), definiramo ra(x) = sup {r: || a + x*|| < |*| (|tl < r) 1.1.13 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor in aéX. Tedaj velja ra(x) = l/||x||a (xfE(a)) . Dokaz. Naj bo lla + xA < IMI liti < r> • (i.i.o) ¦ To pomeni | + *! < ]|a|| (|x| < r , uéS[+r|i < ||a|l (uéS(X')) , torej || < i(||a[| - ||) 1 * sledi IIa + y\\ = llall* Na3 *» sedaJ xÉE{a) , 16 x=ÉO , in naj bo 0 < r < {1 - ||y|L)/||x|l • p° propoziciji a a. 1.1.11 je || norma, zato sledi I By+t*lla < l|ylla + Cd - lly|[a>/Nla]1Mla = I (1x1 1 r> » torej Il y *3f«la < p < i (Iti < r> . To pomeni, da je I Ha + Ç(y + Çx)|| < Ifa|| (|ç| < r , |f| < l/p) , od koder pri ^ = 1 dobimo I Ila + y + *x|| < ||a|| «= ||a + y|| (|y| < r) . Sledi xLË(â + y) , torej je res E (a + y) o E (a) . Naj bo sedaj ||y|L < 1/2 . Po prvem delu dokaza je tedaj E(a + y):>E(a) in ||a + y|| = ||a|| . Po propoziciji 1.1.13 iz ||y|l < 1/2 sledi, da za nek R>2 velja v- I ]|a + l , da je [|a + y +?yll < ||a|| = ||a + y|| (|^ < *) , kar pomeni, da je y e E (a + y) in Ilyl!a+V < 1 • po Pr~ vem delu dokaza sledi E(aI3>E(a+y) . Q.E.D 17 1.2. LOKALNA KARAKTERIZACIJA ANALITIČNIH FUNKCIJ S KONSTANTNO NORMO 1.2.0 IZREK (Lokalna karakterizacija) Naj bo f> natanko takrat, ko velja (i) aiL E(a0> (i = 1,2,...) J2 ± (ii) vrsta 2_ ||a.|| .r konvergira pri nekem i-1 x a0 r >0 . Dokaz. Naj bo (| f (L) |j s ||a0|| (\x\ < R) . To pomeni, da je | + < + ...| < ||a0|[ (\x\ < R , uéS(X')), od koder po lemma 1.0.1 sledi |t+ ^2 + ...| < ||a0|| - || iltl < R/3 » u€S(X')). (1.2.0) Če je ^ poljubna skalama analitična funkcija, definirana pri \x\ < r , za katero je | L(X> | < M (\X\ < r) , po Cauchy-ju velja ocena | f(n) (0) | < M.r"n.nl (n = 1,2,...) . Če to oceno uporabimo v (1.2.0), dobimo l| ^(D^-dl'aoIl - l|) . (uLS(X').> i = 1,2,...). Po propoziciji 1.1.2 to pomeni, da je a,ĆE(a0) (i » 1,2,..) in j H*i>«0 i (S)1 (1 = 1,2,...). ^ 18 Sledi, da pri r < R/3 vrsta 5". ||a.[j .r konvergira. Obrat. Naj bo a^Efag) (i = 1,2,,..) in naj bo pri nekem r>0 O a. || - r1 » M <©o . To po definiciji 1.1.10 pomeni, da je L Ua.ri,u>| <-M(||a0|| - ||) oziroma (uéS(X')) , l| + ^gl]| < j|aQ|| če je N = max{l, l/M} , sledi Ua0,u>| +^|0 . j.2.2 KOROLAR Naj bo X kompleksen B-prostor in a^ex (i » 0,1,2,.,m). Tedaj za polinom = a0 + a. eksistira okolica 11(0) točke 0, v kateri je ¦l|f(5C)|| = l|a0|| (X«U(0)) natanko takrat, ko je a1€ E(aQ) (i ¦ 1,2,..,ai) . Dokaz. Trivialen. f(i) * a0 + a^ + ... + amVn 1.2i3 KOROLAR Naj bo X kompleksen B-prostor in a^X (i «= 0,1,2,,.. ,m) . Naj za polinom 19 €(%) = a0 + alX + ... + am*m eksistlra neka okolica točke 0, v kateri je fffc)! = )|antf. Če so vektorji b,, bj/ ..., b v lineami lupini 0' X(a,r a_, • ¦•? a ), tedaj tudi za polinom g(r) = a0 + b^ + ... + bnLn eksistira neka okolica točke 0, v kateri je | = a + t(^iai) + t2tf2*2) + *¦• eksistira neka okolica točke 0, v kateri je ||f (X) l!=l|a|l . Dokaz. Števila oc, tako izberemo, da vrsta ee ^a0 . Upoštevamo, i i aQ da je | || norma (torej homogena) in uporabimo izrek 1.2.0 . Q.E.D. 1.2.5 DISKUSIJA V izreku 1.2.0 lahko pogoj (ii) izpustimo, če je analitična funkcija, ki jo proučujemo, polinom (ko~ rolar 1.2.2). Naslednji izrek pove, da isto lahko napravimo v primeru, ko je ustrezni podprostor E(a) končnodimen-zionalen. 1.2.6 IZREK Naj bo f « ) = aQ + a^ + &2% + ••• analitična funkcija, definirana v okolici točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v kompleksnem B-pro-storu X. Naj bo dim Efag) < oo . Tedaj eksistira neka okolica točke 0, v kateri je ||f (i)|js |ja0|| natanko takrat, ko je &^E[aQ) (i=l,2,...) 20 Slednje torej velja v posebnem primeru, ko je prostor X konČnodimenzionalen. Dokaz, če je |j f (ç)|| s* ||aJ| v neki okolici točke 0, tedaj po izreku 1.2.0 sledi a1€E(aQ) (i =» 1,2,...). Obrat. Naj bo a.tEfaJ {i = 1,2,...). Naj vrsta a0 + al^ + a2^2 + *** konvergira v krogu |Xl = 6^ ( j=l ,2,... ,n) . Če na obeh straneh v (1.2.1) uporabimo ta funkclonal, dobimo ^(x) = (-|ç| < R) , kar pove, da so funkcije f, (i ¦ 1,2,...,n) na krogu |ç| < R analitične. Dalje, ker je e,€E{a0) (i ¦= l,2,*..,n), po propoziciji 1.1.2 eksistirajo konstante M. (i=l,2,...,n), da je || <, M± (|!a0f| - ||) (i = 1,2.....h -, u€S(X')), torej eksistira konstanta M, da je || < M(j|a0|| - l|) (i - 1,2,... ,n s u€S(X')() . Analitične funkcije jf. (i ¦ 1,2,..,,n) so zvezne. Ker velja ^(0) «= 0 (i » 1,2,...,n), eksistira krog |Xl| = | L. ^ictrxe1,u>| < t. Itfitrî jM(||a0|| - ||) ? < ||a0|| - || (|^| < r i uéS(X'i) , torej || L ix)\\ = || a0 + g (?) || < ||a0|| (\x\ < r) , od koder po principu maksima norme sledi || f (f) ||=|| aJ| (|^|) , (ii) fO&J - liXa) e E («ć$, Laé3>) . Obratno, naj velja (i'i zaprtje podprostora E[f(0] ni odvisno odi x&t t. j. E[f«)l = F (<€-2>> , (ii') fît») -f(ra)€ F (XicÄ, &ÉA) . Tedaj je il f (f) II konstantna na 2) . Dokaz. Naj bo || f (<) || = M (çe2l) . Naj bo {%i \x~ tf I 1 < « (IX-^o | < r j uéS(X')i , od koder po lemma 1.0.1 sledi || + Vl^-tôÎ^ ,1 ~ M (|^-Xol < r , X*Xo'f uéS(X')) . To pomeni i, U>| < r !^y"5°J0|0|f(?0)ll - Kf(?0>rU>1) tlt-t* I < r ¦ <*V°i u€S(X'J) . Po propoziciji 1.1.2 sledi fllL(yt) < r -^y'^l «It -Vol < ri , 22 torej je Utt) - f <*> > U f (to ) < l/2 tf< -tei < r/5) . Po propoziciji 1.1.14 je tedaj E[f(r)] - E[f (To) + ffci - ftlÇoî] - E[fftL>] t\t-X*\ < r/5> - Zgornje lahko napravimo za vsako točko Yo^55. Ker je poljubni dve točki polja 5) mogoče povezati s kompaktnim lokom, po definiciji kompaktnosti sledi E[f(^)]= E ( - f(frt)] in iz ftÇni -L(&)€ F - E[f (ti)] po propozicijah 1.1.7 in 1.1.6 sledi |lf(&>|| > \\t(Ki)h Ker sta &&€& poljubna, sledi, da je H f (if) II konstantna na polju «Ö « Q.E.D. 1.3.1 KOROLAR (Thorp-Whitley[20]) Naj bo X kompleksen E-prostor in f analitična funkcija, definirana na polju Sü v kompleksni ravnini, z vrednostmi v X. Naj bo ||f(i)||s 1 (çé#D . Če eksistira taka točka &6&, da je f(Ço) kompleksna ekstremna točka na S(X), tedaj je f konstanta. Obratno, naj aćS{X) ne bo kompleksna ekstremna točka na S (X). Tedaj eksistira nekonstant-na analitična funkcija g, definirana v neki okolici U(0) točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v X, za katero velja g (0) = a in |jg(ç)||= 1 iX^il(Q) ). Dokaz. Prvi del. Iz |fff)|a 1 {çtL) po izreku 1.3.0 sledi E[f(Ç)] == E (LLID) . Če je f fL ) kompleksna ekstremna točka na S (X) , je po diskusiji 1.1.1 E[f0$] » = {0} , torej E = {0}. Po izreku 1.3.0 iz ||f (Ç)||== 1 (féio) sledi tudi f{^) - f{Lz)€E (XuXzL&), kar da f(xa) = f(?L» (&,&L#) • Drugi del. Naj aLS(X) ne bo kompleksna ekstremna točka 23 na S(X). Po diskusiji l.l.l je E(a).-{0}. Eksistira torej xÇE(a) , x^-0 . Funkcija LH>g(if) * a + fx ima po izreku 1.2.0 zahtevane lastnosti . Q.E.D. 1.3.2 KOROLAR {Thorp-Whitley [20] ) Naj bo X kompleksen Đ-prostor. Tedaj v X velja strogi princip maksima norme natanko takrat, ko je vsaka točka na S(X) kompleksna ekstremna točka na S(X). Specialno, v strogo konveksnem B-prostoru velja strogi princip maksima norme. Dokaz. Trivialen. 1.3.3 DISKUSIJA V preostanku tega razdelka bomo posplošili osnovni rezultat Thorpa-Whitleya (korolar 1.3.1). 1.3.4 PROPOZICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor, a,bex in co{a,b}cS{X). Naj bo b - a 6E (a)AE (b) . Tedaj podprostor E [eia + (l-đi)b] ni odvisen od océ[0,l] , t.j. E[oća + U-oOb] a E (0 < pC < 1) . Dokaz. Po propoziciji 1.1.9 je E(a)/lE(b)C E[oca + (4 -*r)b] {0<°C<1), pa od tod in iz b-a LE(a)OE{bî sledi b-aLE[oća + U-oOb] (0<) . Q.E.D. 1.3.5 LEMMA Naj bo X linearen prostor in a-,a«, ... a é X . Naj bo aLco{a.,a-,...,a }. Tedaj lahko zapi-Semo a = ^u + (1 ~^)a t kjer je uéco{a.,a„*••'an_iî in 0a }CS(X) . Naj bo (i) Efa^s E (i = 1,2,...,n) (ii) a± - a.€E (i,j = l,2,...,n) . Tedaj velja E(a)==E (a€co{a1,a2,.. . ,an)) . Dokaz. Najprej za vsak i = 1,2,..., n-1 in uéco{a.,a2, ... ,a, } velja ai+i~ U€E. Imamo namreč ai+r u " ai+r^^aj - jli^n+i " Li*jaj = i = X «(a (a, + ,- a.). Po predpostavki je aJ + i"" a-t 6 E (j = 1,2,...,i), pa zaradi linearnosti podprostora E sle- di ga2-'- °a2 • Če gremo sedaj od zadaj korak za korakom, vidimo, da so na vsakem koraku izpolnjeni pogoji propozicije 1.3.4, pa dobimo E = E (a.) ¦ E(u .) = E(u _) =...= E (u.) = E (a) , Q.E.D, i n-i n~2 o 1.3.7 PROPOZICIJA (Thorp-Whitley[20]) Naj bo X kompleksen B-prostor in f analitična funkcija, definirana na polju Sb v kompleksni ravnini, z vrednostmi v X, za katero velja || f 001| - 1 (T^Ä) . Tedaj velja co f (&) C S (X) . Dokaz..(Thorp-Whitley [203) . Naj bo y € co f tö) . Tedaj ek-sistirajo tf.>0 (i=l ,2,... ,n) , X°^ " 1 ln točke <,,<,, . ..,L , da je X. ^f { =* 1. Ker je || < ||f (V)||.||u|| - 1 (r«Ä) , po strogem principu maksima norme za skalarne analitične funkcije sledi Hl ixtSSi . Torej je = X oC. = 1, kar pomeni, da je ||y|| > 1 . Po drugi strani pa je bil < X sil*(*i>ll = * - Q.E-D. 1-1 1.3.8 IZREK Naj bo X kompleksen B-prostor in f analitična funkcija, definirana na polju S) v kompleksni ravnini, z vrednostmi v X, za katero velja Hf(î)||a 1 (?é2>) . Tedaj velja E (a) m E (aeco f (Ä) ) . Dokaz. Po propoziciji 1.3.7 je co f CD) C S (X) , Naj bo a e co f(<3) . Tedaj eksistirajo točke Xl t %* • •. tVn L & » da je aéco{f (^) ,f (t2) ,...,f (Yn) } • Po izreku 1.3.0 je E[f (Ç)] BS E (ÇÉA) in f o (ini, 2,... ,n) , Xoc. = 1 ) . Naj bo x€ f*1 E (a.) . Po definiciji prostora E( ) eksistirajo konstante Tj> 0 (i ¦ l,2r...,n), da je IIai + XXH L * 1\X\ Ž. ri (1 "" 1.2,...,n) ) . Sledi lli^a +ix|| = H Xo^ (a± + Y*H < 2_ ^lUi + <*ll = 1 (|<| < min rH ) , kar pomeni, da je xéE(a). Q.E.D. 1.3.12 DISKUSIJA Korolar 1.3.9 (in izrek 1.3.8) ne velja, ce co f ($) zamenjamo s čo f (JÖ) . Primer, da to vidimo, je v prostoru X dvojic kompleksnih števil s sup normo funkcija f(V) = [1,?]. Tedaj je [|f(?)||al (\X\ < l), pa je f(l) = [1,1] kompleksna ekstremna točka na S(X). Torej Že f (X)) lahko vsebuje kompleksno ekstremno točko na S(x), pa ni nujno, da je f konstanta. 27 2. ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Z VREDNOSTMI V BANACHOVIH ALGEBRAH 2,0. O EKSTREMNIH TOČKAH NA ENOTNI KROGLI V C*-ALGEBRAH V tem razdelku bomo navedli nekaj znanih rezultatov o realnih in kompleksnih ekstremnih točkah na enotni krogli v C*-algebrah. 2.0.0 DEFINICIJA Naj bo X kompleksen H-prostor. Algebra A CL(X) je sebi adjunglrana, če iz AéA sledi A*eA . 2.0.1 DEFINICIJA Naj bo X kompleksen H-prostor. C -algebra je sebi adjungirana, kompleksna algebra omejenih linearnih operatorjev na prostoru X, zaprta v enakomerni operatorski topologiji. 2.0.2 IZREK (Kadison [13D Naj bo X kompleksen H-prostor. Naj C*~algebra ACL(X) vsebuje identični operator I. Tedaj je operator UeA realna ekstremna točka na S (A) natanko takrat, ko je (i) U je parcialno izometričen operator (ii) velja (I - UU*)A,1] . Jasno je PX©QX ¦ X. Naj bo S >0 . Definirajmo operator BLL(X) takole: BQ = 0 in BP = ÄP . Očitno je BA*A = A*AB . Naj bo sedaj zčS{X), z = x + y (xéPX, y€QX). Dobimo 1 (A*A + A*AB2) (x+y}||2 = ||a*A(1+S2)x + A*Ay||2 = ||A*A(l+52)xl[2 + ||AÄAy|l2 < A2(l+52)2||x||2 + ||y||2 in ||A*"A(I+B)20, da je %il+& )<1 in A(I+») ]© ax0;^€Ci in v istem smislu razstavimo poljuben vektor z€S(X) : 30 z « p + q + r Dobimo (A+B) z = Ap + Br in 0 , da je A±(I - F^) = A±*(I - E^) =0 (i » 1,2,...) , kjer sta E^ in F^ spektralni družini za operatorja A0AÔ* in Ag*An ' I Pa identični operator. V posebnem primeru, ko je A= 1 izolirana točka spektra operatorja AnA0* t je P°goj (i) potreben in zadosten. Dokaz prvega dela izreka. Znano je, da velja a(AQA0 ) = = 0"(AQ*A0) . Po predpostavki je |Aq| m 1, torej je točka ^ = 1 v spektru operatorjev A0A(f in A*AQ. Sedaj imamo dve možnosti: (a) \ - 1 je lastna vrednost operatorja A0An ¦ Tedaj je (trivialno) A = 1 lastna vrednost operatorja An*An * (b) ^ = 1 je v zveznem spektru operatorja A0A0 in tudi v zveznem spektru operatorja aq*aq • V primeru (b) je P = Q »= 0 in je zato (1) trivialno izpolnjeno. Predpostavimo torej, da je % = 1 lastna vrednost operatorjev AgAo in Ao*An • Naj vrsta (2.1.0) konvergira v krogu \x\< L"-• Tedaj vrsta iz norm Členov vrste (2.1.0) v vsakem manjšem krogu enakomerno konvergira (gl.Ll2]). Naj bo |f (Y)||b i (Ifl<^i ¦ Če vrsti za f (L) in f ("<¦)* členoma zmnožimo, dobimo f(i)*IW = A0*Ao + A0*A1? + A* A0* + *** ' Členska integracija da 2~ $ f(reieî*f1/2. Iz (2.1.5) sledi T* = (T*T)1/2W*, torej TT*= W(T*T) W*. Ker je &0 velja f (r)*"f (<)x s A0*A0x (xeîl(I - F^g) i \x\ < R) . Naj bo sedaj zéS (X) poljuben. Pišimo z = x + y , kjer je xé^I-F^j) , yXx . Jasno je l|A*A0y|| L (1 - $)M . (2.1.7) Sledi 35 ||f(Ç)z||2 = (f(ç)z,f<Ç)z) = (f (f)*f (*>z,z) = {f {xffW x,x) + (f «)*f + (f«)*f(ij)y,x) + (f(Y)*f«)y,y> = (f (X)*L (X)x,x) + (f (^)*f (Ç)x,y) + (y,f(t)*f (t>x) + 0 eksistira M(r), da velja [[f(^)*f(t)y|i < (i-5iINI ¦ ix1M(r>lly|l (|tl . Če je sedaj \X\< ro = min{ r, fi/M(r)} , sledi It tO 4 < lizlf (^S(x)i \x\L2> velja || =1. 37 Tedaj eksistira f: O <,f<27c , da je s e C*€Ä) . Dokaz. Po predpostavki je Çv-*- skalama analitična funkcija na &, za katero velja fcfCtf »»>!< II f (OHII«II = 1 K€Ä) in || = ! • Trditev lemma sedaj sledi po strogem principu maksima norme za skalarne analitične funkcije. Q.E.D. 2.2.1 LEMMA Naj bo X kompleksen B-prostor in f(lf) = a0 + ig + a^2 + ... analitična funkcija, definirana v okolici 11(0) točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v X, za katero velja l'fCtfl«1 i (| = 1 , tedaj je = 0 (i » 1,2,...) . Dokaz. Trivialen, uporabimo lemma 2.2.0 . Q.E.D. 2.2.2 DEFINICIJA Naj bo L> kompleksna komutativna Đ-al-gebra z enoto. TTKfo). je razred vseh linearnih multi-pllkativnih funkcionalov na 1b ( = razred vseh maksimalnih idealov algebre ft). 2.2.3 IZREK Naj bo Ô kompleksna komutativna B-algebra z enoto. Naj bo f ix) » a0 + at (if - Xo) + a2 « - Vo) 2 + • • • analitična funkcija, definirana na polju <2>3Çb v kompleksni ravnini, z vrednostmi v S), za katero velja l|f(f)||= i tr*a>. (i) Naj bo točka oC, \oi\ = 1 v spektru elementa a0 . Tedaj je tfLCr[f<*)] (?eÄ) in Oe^Tia^ (1-1,2,..), (ii) Specialno, naj bo ves spekter elementa a_ na enotni krožnici. Tedaj so vsi elementi a, (i-1,2,...) 38 kvazinilpotentni in velja c\ = 1, leži v 0"(a0) . Po Gel-fandu eksistira mć 1H(Î)) , da je ^aQ,m> = = °C (2.2.0) Ker je ||m| = 1, po lemma 2.2.0 sledi e o6 (= 0 (i = 1,2,...) , torej je po Gelfandu 0Č 0~(aj) (i=l,2,...) . Naj bo sedaj ves spekter elementa a~ na enotni krož- nici. To po Gelfandu pomeni, da je l| = 1 (méTîKtii , (2.2.1) od koder po lemma 2.2.1 sledi = 0 (méTTl(8); i ¦ = 1,2,...), torej so elementi a.(1=1,2,...) res kvazinilpotentni. Dalje, ker je f(! ¦ 1 (méTÎKA)), od koder po lemma 2.2,0 dobimo = (m eiTttÔ) i &&\ , kar po Gelfandu pomeni, da je CT[f(<)] s kompleksna B-algebra z enoto, v kateri velja |]a|[ = spr a (aéL>) . Naj bo f (<) = a0 + ajÇ + a2Y,2 + ... analitična funkcija, definirana v okolici točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v &. Naj bo ||aJ| => 1 in naj eksistira 8>0, da je kolobar 1-5<]^|<1 v resolventni množici elementa a-, Tedaj eksistira neka okolica točke 0, v kateri je |f( = 0 (i=l,2,..) za vse tiste funkcionale meiTKß) r za katere je ||- = 1 . Dokaz. Najprej iz ||a]| = spr a (aL2>) sledi, da je algebra & komutativna (gl. [S]) . Naj bo || f (<)|| siv neki okolici točke 0 in naj bo || =1 za nek me1U(ß). Za vsak tak m tedaj po lemma 2.2.1 velja = 0 (i=l,2,..). 39 Obrat. Naj bo funkcija f definirana v okolici U(0) točke 0. Naj bo » 0 (1=1,2,...) za vse tiste m € 711(0) t za katere je || = 1. Če je sedaj raéTîMô) tak, da je || -¦« 1 , sledi |[s | + i<+ ... | s !| . Naj bo sedaj melTKÄ) tak, da je || < 1. Po Gel-fandu tedaj iz prepostavk izreka sledi || < 1- S . Dalje, očitno eksistira R > 0 , da velja ffj [yNRICUCOI in ||f - f(0)|I < o" (!<|| i |f + |^f(X)-f (0) ,m>| < 1-5+5 = 1 (|<| < R) . če vse to upoštevamo, dobimo |i f «) || - spr f(0 < i (|t;| < R) . Ker je ||f(0)|| = ||aJ| = 1 , po principu maksima norme sledi || f 001 si ( |^| < R) . Q.E.D. 2.2.5 KOROIAR Naj bo L> kompleksna komutativna B-alge-bra z enoto brez radikala. Naj bo f analitična funkcija, definirana na polju L) v kompleksni ravnini, z vrednostmi v $>, za katero velja | f (Z) || «s 1 (JftÄ) . Če pri nekem C06«Ö spekter elementa f-(.Ço) leži na enotni kroznici, tedaj je f konstanta.. Dokaz. Razvijmo funkcijo f v okolici točke " _ v vrsto f(<) ¦ fCCo) + a^V- ç0) + a2(L - to)2 + •-• • Po izreku 2.2.3 so tedaj elementi a, (i ¦ 1,2,...) v radikalu, algebre X>. Po predpostavki je L> brez radikala, pa sledi a, = 0 (i = 1,2,...), torej je f v okolici točke ^0 konstanta. Trditev korolarja sledi od tod po principu 40 o analitiCnem nadaljevanju. Q.E.D. Z uporabo rezultatov razdelka 2.0. dobimo Se naslednji izrek. 2.2.6 IZREK Naj bo X kompleksen H-prostor in ACL(X) komutativna C*-algebra, ki vsebuje identični operator. Maj bo f analitična funkcija, definirana na polju S v kompleksni ravnini, z vrednostmi v A, za katero velja || f (V) || s 1 CfćA) . Ce co f(«3i vsebuje unltaren operator, tedaj je f konstanta. Obratno, naj AéS tft) ne bo unltaren operator. Tedaj eksistira Jiekonstantna analitična funkcija g, definirana v neki okolici U(0) točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v A , za katero velja ||g(if)j|3 1 iXe U(0)) in g(0) - A. Dokaz. Po izreku 2.0.2 je zaradi komutatlvnosti algebre Jt operator AeA realna ekstremna točka na S (A) natanko takrat, ko je unltaren. Trditev izreka tedaj sledi s pomočjo izreka 2.0.5 in korolarjev 1.3.9 in 1.3.1. Q.E.D. 2.3. ANALITIČNE FUNKCIJE S KONSTANTNO NORMO Z VREDNOSTMI V OPERATORSKIH ALGEBRAH Namen tega razdelka je razširiti rezultate Brown-Douglasa [6](izrek 2.1,2) na analitične funkcije, katerih vrednosti so omejeni linearni operatorji nad enakomerno konveksnim B-prostorom. 2.3.0 DEFINICIJA Naj bo X kompleksen B-prostor. Točka A je v aprokslmativnem točkastem spektru operatorja AtL(X), če eksistira zaporedje (x }CS(X), da je lim ||Ax -hj = 0 . 2.3.1 LEMMA Naj bo X kompleksen B-prostor in \ robna 41 točka spektra operatorja ALL(X) . Tedaj je % v aproksimativnem točkastem spektru operatorja A. Ookaz. Znano je (gl. [7]), da velja ||Rtt,A>H> 1/distU, CT(A)} aL<3xJI = 0 . (2.3.1) Sedaj je {\ - A)RlÄ„,A)xn = xfl (n-1,2,...), torej ATtR(^/A)xn /JlRtXntAjxJI - AR(^,A)xn /|| R (^ ,A) xj « x^ljRU^AjxJI (n = 1,2,...) . Sledi ^0R(^,A)xn /|!R(^,A)xn|| - ARtttl,A)xn /||R 0, da je nk sup llxl > L (k - 1,2,...) . Il*n ±yhl ' nk Od tod sledi, da eksistira zaporedje {y, }LX , da je ||y ||> L/2 (k = 1,2,...) (2.3.3) 42 pri čemer je K_ ± yn [[ ai n n, (k = 1 r2, —) 'k "k Ker je prostor X po predpostavki enakomerno konveksen, eksistira L(L) > 0 , da iz (2.3.3) in (2.3.4) sledi !|xn II < 1 ¦ - 6(e) (k - 1,2,...) , nk kar pa je v nasprotju s predpostavko lim ||x || - 1. Q.E.D. ¦n-?oo n 2.3.3 LEMMA Naj bo X enakomerno konveksen kompleksen B-prostor in AeL(X) . Naj bo B e E (A) . Tedaj je točka 0 v aproksimativnem točkastem spektru operatorja B. Dokaz. Ker je E(0) = {0\ , po propoziciji 1.1.8 lahko brez izgube splošnosti predpostavimo, da je ||a|| = 1. Iz B€E(A) sledi, da eksistira r>0, da je ||a + Y*\\< 1 tlXlir)/ torej specialno ||Ax + rBx]| < 1 (xéS(X)). Iz ||a|| =1 pa sledi, da eksistira zaporedje (x }LS(X), za katero je lim||Ax || ±= 1. Iz ||a|| = 1 sledi ||Ax || < n-voo n n » <1 (n=l,2,...), torej po lemma 2.3.2 iz |]Axn+rBxnll5, * (n=l,2,...) sledi lim r| Bx || > 0, torej lim ||Bx l| = 0. n-»-oo . n ti->oo n Slednje pove, da je točka 0 v aproksimativnem točkastem (2.3.4) spektru operatorja B, Q.E.D. 2.3.4 I2REK Naj bo X enakomerno konveksen kompleksen B-prostor in f«) = AQ + A1t + A2X2 + ... analitična funkcija, definirana v neki okolici \L{0) točke 0 v kompleksni ravnini, z vrednostmi v L(X), za katero velja l!f(<>!l s ||a0|! (l|s 1 0Cć3) . (2.3.5) (ii) Naj velja (i), pri čemer naj bo prostor X strogo konveksen. Če tedaj za nek xéX, x^= 0 velja ||f(fpHI =I1XH' teda3 Je funkcija ^H>f«)x konstanta» Specialno, če je operator f(^0) izometri-čen, tedaj je funkcija f konstanta. (iii) Naj velja (i), pri Čemer naj bo prostor X enakomerno konveksen. Tedaj je točka 0 v apro-ksimativnem točkastem spektru vsakega operatorja A. (i ¦ 1,2,...). Dalje, naj bo X, |^| = 1, v spektru operatorja A_. Tedaj je % v aproksimativnem točkastem spektru vsakega operatorja f (Ç) (X€°o) . Natančneje, tedaj iz -fx lLS(X) in lim ||Aftx„ - %xjl - 0 sledi * n» ii->oo un n lim ||f«)x„ - ÄxJ| =0 in lim Ja.xJI - 0 (1-1,2,...). Dokaz. Iz (2.3.5) sledi A±6E (AQ) (1=1,2/...) .po^izreku 1.2.0. Torej eksistirajo r.>0 (i=l,2,...), da je ||A0 + rriAiJ| < 1 0 , da velja {L: |^ - &| | < 1 (|^-Vo|| + |[ < 1 (|Y-rulxn + Vn"K pri \%-%o\<;r/3 enakomerno konvergira k 0. Dokazali bomo, da velja lim II f {r)x - ^xJ! = 0 (tTe^) . Predpostavimo na- t\-*oo n nM sprotno, da eksistirata Xn^ ^n pođzapoređje {'fV : k=l,2,.>, da je |[f»_ (Çii[|>L>0 (k=l,2,...). Po Hahn-Banachovem iz- k "" reku tedaj eksistira zaporedje {u.}C S(X'), da za skalarne analitične funkcije 'V.(ç) = <^n (C) /Ufc> velja l\(^H> e > 0 . (2.3.6) Dalje, velja še 45 < !if(t)iiiixn « + miixn ii k k {k = 1,2,...) . (2.3.7) Zaradi (2.3.7) je {%} normalna familija (gl. [2]), pa lahko najdemo podzaporedje {"^. ; i=*l,2,...} , ki enako- 1 memo konvergira na vsaki kompaktni podmnožici polja «O (:=> k neki analitični funkciji). Po drugi strani zaporedje {Sf_(^) } pri |L-^0|| m || f «)|| ttSÄi. Vse skalarne analitične funkcije, za katere velja (3.0.0), so tedaj določene z fflfl = eioi fTé2)) , kjer je 0 < ot < 2X . Dokaz. Naj eksistira uLS(X'), da je ]\ ss Hf(îî|| tt€Ä). (3.0.U Definirajmo f(<) = fcsÄ). Iz analitičnosti funkcije f sledi, da je f skalama analitična funkcija, za katero zaradi (3.0.1) velja II f OC) Il e ItttH K*Ä). Obrat. Naj bo 47 |ftt)l« If«) J (rtAI , (3.0.2) kjer je *f> skalama analitična funkcija. Če je f ("O*3 0 Ctf&5)) , izrek očitno velja. Naj bo torej ^f(^) L 0 . Tedaj eksistira polje UL 2) , da je f (Y)# 0 (fell ) . Funkcija X^* yty) f W ^e tedaJ" na polju U analitična in zanjo velja H^ij-fOOl = 1 «élt) . (3.0.3) Naj bo ^„éU poljuben. Po Hahn-Banachovem izreku eksistira u€S(X') , da je = |hp|5TftVi = * • (3*0,4) Ker razen tega za skalarno analitično funkcijo L»•* <*SCrf H) #«> zaradi (3.0.3) velja še k^yfCO,u>| < 1 (<ćA) , po strogem principu maksima norme za skalarne analitične funkcije eksistira ß, 0 m e1* OpEU) . Zaradi (3.0.4) je e** = 1 , pa dobimo Y«) = KćU) . Ker je f analitična funkcija na polju ^ , po principu o analitičnem nadaljevanju sledi, da je skalarno analitično funkcijo 'f mogoče nadaljevati na vse polje S) , pri čemer je Hf^^ (LtÄ) , s čimer je prvi del izreka v celoti dokazan. Preostane še, da dokažemo, da so vse analitične funkcije, ki izpolnjujejo (3.0.0), določene z ?(X) = eioC CçéAÎ , kjer je 0 (YéiO) , (3.0.4) kjer je ueS(X'). Po predpostavki je f cela funkcija, pa iz (3.0.4) sledi, da je tudi f cela funkcija. Q.E.D. 3.1. O f(YA), KJER JE A NORMALEN OPERATOR NA HILBERTOVEM PROSTORU IN f CELA SKALARNA ANALITIČNA FUNKCIJA Naj bo f cela skalama analitična funkcija. Tedaj lahko pišemo f(X) = cQ + c^ + c2%2 + ... , (3.1.0) pri čemer vrsta na desni absolutno konvergira v vsej kompleksni ravnini. Naj bo AéL(X) operator nad kompleksnim H-prostorom X. Zaradi absolutne konvergence vrste (3.1.0) v vsej kompleksni ravnini tudi vrsta f(^A) = cQI + c^A + c2(^A)2 + ... (3.1.1) (kjer je I identični operator) absolutno konvergira v 49 vsej kompleksni ravnini in tako določa celo analitlfino funkcijo, definirano v kompleksni ravnini, z vrednostmi v L(X) . 3.1.0 IZREK Maj bo A€L{X) normalen operator na kompleksnem H-prostoru X in f nekonstantna cela skalama analitična funkcija. Tedaj na nekem polju & v kompleksni ravnini eksistira skalama analitična funkcija g, da je |f(tfU) s I g«) I t natanko takrat, ko v spektru 0"(A) eksistira točka f|o, da je Naj bo zgornje izpolnjeno. Tedaj je \g(X)\ s [f (XVI K€2)) . Dalje, *y\9 je robna točka spektra 0"(A) , pri čemer je Tjo = 0 natanko takrat, ko je g konstanta, Dokaz. Po predpostavki je A normalen operator. Tedaj iz (3.1,1) sledi, da je f (ÇA) normalen operator za vsak Y. Haj eksistira *V)ttć ) - Ker je po predpostavki f cela funkcija, je tuđi g cela funkcija. Dalje, operatorji f ("ÇA) so normalni, pa po izreku o preslikavi spektra dobimo |f(TA)| = spr f(VA) « |f(XVl = I g (V) I ftreÄ» . Obrat. Naj bo Il f (ÇA) H = |g (xi | (té») , (3.1.2) 50 kjer je g skalama analitična funkcija, definirana na polju 3. Naj bo ri = $R(^,A); *€Ç,(A)j (drugi komutant) . Znano je (gl. [12]), da je Î>CL(X) komutatlvna kompleksna B-algebra z enoto I, ki vsebuje A, f (fA) in ki ima lastnost, da spekter poljubnega elementa iz ß glede na ß sovpada z njegovim spektrom glede na L(X) . Po izreku 3.0.0 velja (3.1.2) natanko takrat, ko eksistl-ra u06S') , da je || s j|f (xA)|j Kéô) . (3.1.3) če pogledamo, kako v dokazu izreka 3.0.0 konstruiramo u» in če upoštevamo, da zaradi normalnosti operatorjev f«A) velja |j f (ÇA) || = spr f (^A) , vidimo, da smemo vzeti u0€in(t>). Sedaj iz (3.1.3) sledi |j < | € l (^a;-rie(r(A)) (3.1.4) Tako je obrat dokazan. Naj bodo zgornji pogoji izpolnjeni. Iz prvega dela izreka je jasno, da velja jg(Ç) i a |f (vV I (Çé3) . (3.1.5) DokaŽimo sedaj, da je *v\t robna točka spektra ö"(A) . Predpostavimo nasprotno, da eksistira neka njena okolica U(^o)C(T(A). Naj bo Xt€&* Ko^O • Tedaj je ttUi«\t) * ^z: z= XW t *l^tt(*l«')| okolica točke Vt - ^o^o • Zaradi (3.1.4) mora za vsak r v tej okolici veljati | f (r) lil f (re ) | , kar pa je po strogem principu maksima norme za skalarne analitične funkcije mogoče le, če je f konstanta, v nasprotju s predpostavko v izreku. Dokazano protislovje pove, da je Y|

M, da velja !*(*>! ¦ lfH) . (3.2.0I Tedaj eksistira cela skalama analitična funkcija Tf/ in elementi aQ, a. ,..., an-1€ X t da je za vsak X f(X) = 1*0 pri |t|^M končno število ničel X0, \, ..., Xn_2 . Funkcija ^-^ ^j-L (<) je 52 tedaj meromorfna funkcija, ki je pri J"Ç| >M regularna, ker tam zaradi (3.2.0) velja -fOCill m 1 {|tl>MI. (3.2.2) llTl<) Njeni poli pri |5Ç|oo Rn pa po Liouville-ovem izreku (gl.[8] ) sledi, da je h polinom stopnje, ki ni večja od n-1 . Zaradi (3.2.2) pa stopnja polinoma h ni manjša od n-1 . Torej eksistirajo elementi aQ, a,, ..., a .LX , a .^tO, da je h(Ç) = a0 + &xx + a2V2 + ... + Vi**'* ' oziroma f(t) = -^(<)hte;) , kjer je cela skalama analitična funkcija, ki pr-1 [ifl^M očitno nima ničel. Prvi del izreka je s tem dokazan. Za dokaz drugega dela predpostavimo, da ima f pri |^|M, da je II f K) | S |f«) | (|x-|>M) . če (cela) funkcija ^f pri |^|^H nima ničel, tedaj eksi-stira xex, da velja f «I s f(X)x . 3.2.2 DISKUSIJA Izreka 3.2.0 ni mogoče obrniti. Mogoče je namreč konstruirati polinom, katerega norma zunaj Še tako velikega kroga ni enaka absolutni vrednosti nobene skalarne analitične funkcije: Naj bo X " I»(Y) # kjer je Y kompleksen H-prostor dvojic kompleksnih števil. Oglejmo si funkcijo f : (C->X , definirano takole: -> ¦ c a+ 0) I r - 1[ (ReC<0) . Ce naj bo || f «) || s |f «) | (|v|>M)f mora biti vp 0) in vf «) « eifb(*r - 1) (Re X < 0) » kar P* ni mogoče,ker je f pri |<|>M analitična funkcija. Torej skalarne analitične funkcije, za katero bi veljalo ||f(#!| s |Y«) I lM>M> , ni. V drugem primeru si bomo ogledali cele analitične funkcije z vrednostmi v B-prostoru, katerih norma je v polravnini konstantna. V ta namen najprej navedemo naslednji lemma iz klasične teorije slalarnih analitičnih funkcij, ki je preprosta posledica izreka iz L1!» str. 220 , 55 3.2.3 LEMMA Naj bo *f cela skalama analitična funkcija, za katero velja 'Re f1# > 0 (Re? > 0) Re y ix) - 0 (Rer = 0) . Tedaj je funkcija *f oblike kjer sta ß,jf realni konstanti, $ >0 . 3.2.4 LEMMA Naj bo f cela analitična funkcija, definirana v kompleksni ravnini, z vrednostmi v kompleksnem B-prostoru X. Ce eksistirata točka \A in njena okolica UC&) , da je llfOOl!« Hf(^)|| ( Il f or« »H «*o. Dokaz. Razvijmo funkcijo f v Taylorjevo vrsto f (Ç) = f (Ko) + ax(Ç - C« 1 + a2(Ç - Co)2 + ... • Po izreku 1.2.0 iz predpostavk sledi a±ć E[f(ft)] d = 1,2,...) torej je f«) - f (To) EE[f (fai] (oCÎ. Od tod, Če zapišemo f (Ç) = f«6) + [f(ÇÎ - f (Ife )] » po propozicijah 1.1.7 in 1.1.6 sledi If «ili > P (t»)|| tÇeC). Q.E.D. 3.2.5 IZREK Naj bo f cela analitična funkcija, definirana v kompleksni ravnini, z vrednostmi v kompleksnem B-prostoru, za katero velja |[f (Ç)|| s 1 (Rex-< 0). (3.2.4) Če eksistira skalama analitična funkcija i> , da velja fl*«>H s |f(t) I (Ret > 0) , (3.2.5) 56 tedaj je kjer sta p In ^ realni konstanti, f ^0 » Dokaz. Po lemma 3.2.4 iz (3.2.4) sledi H*<çi|| > 1 01- (3.2,6) Po korolarju 3.0.1 je *f> cela funkcija, za katero zaradi (3.2.4), (3.2.5) in (3.2.6) velja |y(L) | > 1 (Reç > 0) , | f OC) ! = 1 (ReX= 0) . Funkcija ^ v polravnini Re^ > 0 nima ničel, zato je ?•-> y(X) " lo9 fi?) analitična funkcija v polravnini Reç L0 , za katero velja Re t(Ç) > 0 (Re< > 0) , Re yf> cela funkcija. Od tod in iz (3.2,7) po lemma 3.2.3 sledi, da eksistirata realni konstanti fb , $ -f Ç >0 , da je tttf = if'+ K (T«C). Ker je ip(C) = log f (# f sledi ffcf)» e^e*^ {?L€) . Q.E.D. V nadaljnjem si bomo ogledali naS drugi primer v posebnem primeru, ko Ima analitična funkcija f vrednosti v algebri L(X) nad kompleksnim H-prostorom X. 3.2.6 PRIMER Naj bo X kompleksen H-prostor In AÉL(X) sebi adjungiran operator, za katerega velja 0"{A)č:CO,1] , oe 0) . e^A|l m 1 (Rer < 0), 57 Na vprašanje, all je cela funkcija f z vrednostmi v L(X), za katero velja I! f COll * |eXl (Re^< 0) (ReL > 0) nujno oblike f(ç) - e**e?A , kjer je AL(X) definirana takole: f OC) e^ 0 Ker je za vsak "Ç matrika f (^) normalna, takoj vidimo, da velja !|f 0) . Ni pa operatorja AĆL(X) , da bi bilo f (<) ¦ eVA (i^C) , saj (e^)"1 = e~*A eksistlra za vsak <€* g (I^A) , kjer je g cela skalarna analitična funkcija in AéL (X) . 3.2.7 IZREK Naj bo X kompleksen H-prostor in A6L (X), A*0 . Naj bo f cela skalarna analitična funkcija, za katero velja f'(0)^0 . Dalje, naj velja ||f«A)| s' 1 (Re^r< 0) (3.2.8) in naj bo v polravnini Reç >0 norma || f (^"A) || enaka absolutni vrednosti neke skalarne analitične funkcije. Tedaj je f (do konstantnega faktorja natančno) eksponentna funkcija, operator A pa je oblike kjer je P pozitiven operator in 00 enaka absolutni vrednosti neke skalarne analitične funkcije, po izreku 3.2.5 eksistira ^ >0, da je JfCtAJl» \e?*\ (ReV>0) . (3.2.10) V našem primeru je jf >0. Če bi namreö bilo L= 0, bi iz (3.2.8) in (3.2.10) sledilo || f (fA) || s l (<é0) . Po zgoraj dokazanem je f*0 , torej je po izreku 3.1.0 t^O . Sledi \tiX)\m \e{lt/^)X\ (Re^>0). Torej je f res eksponentna funkcija |f«)|« \eđ/Ar[o)X\ mCl . Naj bo sedaj *V\6 (T (A) , ^0 . Dokazali bomo, da je tedaj 59 -*)^cr{A) . Iz (3.2.8) po Izreku 3.1.0 sledi l*C?nH i |f(0)| (Re<<0| ^eđT(A)), torej |«"^**t|< 1 (Re^<0» ^eđ-(A)). (3.2.11) Predpostavimo, da je. ^^- 0, +*)eYt| « ! (Reir<0) , kar pa ni mogoče, ker je $ >0 in *<\j»0 . Protislovje dokazuje, da