Biofizikalna merjenja Bojan Božič, Jure Derganc, Gregor Gomišček, Janja Majhenc, Mojca Mally Ljubljana 2021 Biofizikalna merjenja Avtorji Bojan Božič, Jure Derganc, Gregor Gomišček, Janja Majhenc, Mojca Mally Recenzija prof. dr. France Sevšek, prof. dr. Klemen Bohinc Slikovno gradivo Marijan Kozamernik in avtorji Kot študijsko gradivo za študente medicine in dentalne medicine založil Inštitut za biofiziko, Medicinska fakulteta, Univerza v Ljubljani. Zapis CIP Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID 68667139 ISBN 978-961-267-202-7 (PDF) Kazalo 0 Osnove merjenj in analiza meritev 3 1 Preučevanje predeljenih sistemov s sledilnimi metodami 13 2 Dvoeksponentne spremembe 21 3 Tekočine 29 4 Ultrazvok 48 5 Merjenje toplote in kalorimetrija 57 6 Mikroskop 66 7 Lastnosti in merjenje svetlobe 78 8 Prevajanje električnih sunkov po živčnem vlaknu 90 9 Prevodnost elektrolitskih raztopin 98 10 Osnove elektrokardiografije 105 11 Slikanje z jedrsko magnetno resonanco 116 12 Radioaktivnost 134 1 Predgovor Naravoslovne vede, med njimi tudi biofizika, so eden izmed temeljev študija medicine in dentalne medicine. Na fakultetah, kjer fizika ni eden izmed glavnih predmetov, je pri poučevanju treba upoštevati določene specifike. Pri poučevanju biofizike na Medicinski fakulteti gre za približevanje uporabe biofizikalnih principov in biofizikalnih merjenj potre-bam stroke, s čimer pri študentih medicine vzbudimo potrebno zanimanje. Za bodočega zdravnika in zobozdravnika je pomembno navajanje na kvantitativno obravnavanje pojavov ter poznavanje biofizikalnih osnov merskih metod, ki se uporabljajo pri diagnostiki in zdravljenju. Kvantitativnega obravnavanja biofizikalnih pojavov se sorazmerno lahko navadimo prav pri njihovem opazovanju in merjenju. V ta namen so pričujoče vaje dovolj nazorne. Kot primere takšne nazornosti lahko naštejemo uporabo radioaktivnih izotopov, ultrazvoka in laserja. Pri izvedbi meritev se študent že v prvem letniku nauči uporabljati nekatere osnovne naprave, ki jih bo srečeval v praksi. Poleg tehnike merjenj se študent nauči tudi analize merskih podatkov, kot je npr. prikaz medsebojnih zvez med količinami z diagrami ali ocenjevanje merskih napak. Izbrane vaje so specifične za medicino, saj prikazujejo predvsem meritve količin, ki jih merimo v medicinski praksi, in obravnavajo meritve pojavov, s katerimi lahko simuliramo pojave v živih organizmih. Zato študenti medicine in dentalne medicine opravljajo takšne vaje, ki so posebej pomembne pri njihovem nadaljnjem študiju in delu. Veliko fizioloških procesov lahko tudi dobro razumemo, če razumemo analogen pojav v neživi snovi. Razumevanje pojava v neživi snovi je običajno lažje, ker lahko pojav opazujemo neodvisno od drugih pojavov in ker so izdelane primerno preproste merilne tehnike. Tako je za razumevanje nekaterih vidikov krvnega obtoka važno, da razumemo pojave pri pretakanju viskozne tekočine snovi skozi tanko cev. Za razumevanje električnih pojavov v živcu je pomembno razumeti pojave v kapacitivnih tokokrogih. Pri večini znanstvenih vej, kot je npr. medicina, je kvantitativno obravnavanje pojavov zahtevno. Brez dolgoletne tradicije v stroki je praktično nemogoče izbrati za pouk najbolj primerne pojave za vaje. Zato bi se na tem mestu zahvalili prof. dr. Saši Svetini, prof. dr. Boštjanu Žekšu, prof. dr. Veroniki Kralj Iglič, doc. dr. Primožu Peterlinu in tudi ostalim, ki so tako ali drugače sodelovali in prispevali k razvoju te knjižice. Navodila za vaje za pouk študentov medicine in dentalne medicine imajo namreč dolgo tradicijo – najmanj od leta 1970, ko se je predmet Fizika na Medicinski fakulteti preimenoval v Biofiziko. Obravnavo pojavov smo iz leta v leto dopolnjevali in izboljševali. Ker je stičnih točk med biofiziko, biologijo in medicino zelo veliko, k izboljšanju pouka pri predmetu Biofizika veliko pripo-morejo tudi stiki z drugimi učnimi enotami na Medicinski fakulteti. Avtorji 2 0 Osnove merjenj in analiza meritev 0.1 Uvod Na kratko bomo predstavili osnove merjenj, pomen enot, podali nekaj splošnih napotkov za zapis in obdelavo meritev. Na koncu sledijo poglavja, v katerih je podrobneje razloženih nekaj postopkov, ki so koristni pri analizi in razumevanju rezultatov. V človeški naravi je, da stvari primerjamo – to jabolko je večje, bolj rdeče, bolj sladko od tistega. . . kar je dokaj enostavno, dokler sta stvari, ki ju primerjamo, skupaj. Ker pa je to v veliko primerih težko doseči, so se dogovorili za standarde, s katerimi določene količine primerjamo, določili so enote. Te so osnovne – določene z definicijo, ali sestavljene (iz osnovnih). Mednarodni sistem osnovnih enot obsega: enota oznaka količina meter m dolžina kilogram kg masa sekunda s čas amper A električni tok kelvin K temperatura mol n množina snovi kandela l svetilnost Sestavljene enote imajo lahko tudi svoja imena (enota za silo je na primer newton, 1 N = 1 kg m/s2). Pogosta je tudi raba delov ali večkratnikov neke enote - običajno so to desetiški večkratniki, lahko pa, velikokrat iz zgodovinskih razlogov, tudi drugi – na primer ura (3600 s). Ravno tako so iz zgodovinskih razlogov v uporabi tudi druge enote, recimo v medicini enota za tlak, mmHg, ki označuje tlak, ki ga povzroča milimeter visok stolpec živega srebra na Zemlji: 1 mm · 13.5951 kgm-3 · 9.80665 ms-2 = 133.322387415 Pa; (o tem, koliko decimalnih mest je smiselno pisati, bomo govorili v poglavju 0.4.5). Primerjava določene lastnosti neke snovi ali predmeta z enoto se imenuje merjenje, priprava, ki to omogoča, pa merilni inštrument. Rezultat meritve je številka in enota. Le če delamo primerjalno, so enote lahko poljubne, morajo pa biti med seboj enake – a še te se običajno označi: a.u. (arbitrary units – poljubne enote). Očitno je, da so se v preteklosti veliko ukvarjali z merjenjem dolžine, saj se izraz meter poleg poimenovanja za enoto dolžine uporablja tudi za ustrezni merilni inštrument, s predpono pa se uporablja tudi za druge inštrumente – voltmeter, barometer... Skriva se med drugim tudi v izrazu toplomer. S toplomerom dejansko merimo temperaturo in ne toplote. Pri uporabi izrazov moramo biti previdni, včasih lahko isti izraz v različnih oko-ljih pomeni različne stvari. V takih primerih se dogovorimo o pomenu določenega izraza (izraz definiramo). 3 0.2 Izvedba meritev Za meritve se ustrezno pripravimo: določimo, kaj bomo merili, na kakšen način in s katerimi inštrumenti (pri praktikumskih vajah je to predstavljeno v uvodu pri posamezni vaji). Rezultate meritev zapisujemo v strukturirani obliki: 1. Kaj merimo (Naslov vaje) 2. Kdaj so bile meritve izvedene (datum, navadimo se pisati tudi letnico, včasih tudi uro) 3. Protokol meritve (na kratko povzamemo osnove ali povemo, kje je postopek opisan) 4. S čim merimo (Potrebščine/Inštrumenti, če niso že določeni v protokolu) 5. Kaj moramo dejansko izmeriti (Naloge), da česa ne pozabimo 6. Meritve 7. Analiza meritev/Izračuni 8. Rezultati 9. Zaključek/Komentarji Pri meritvah vedno zapisujemo neposredne odčitke z inštrumentov, za preračunavanje je kasneje dovolj časa. Pri meritvah zapišimo, kaj predstavljajo, da ne bo treba kasneje ugibati pomena posamezne številke. Kadar neko meritev ponavljamo ali merimo neko količino v odvisnosti od druge, je bolj pregledno, če meritve pišemo v tabele. Meritve pišemo neposredno na merilni list ali v laboratorijski dnevnik, da se izognemo morebitnim napakam pri prepisovanju ali izgubi rezultatov. Ko meritve zaključimo, preden pospravimo vajo, preverimo (Naloge), če imamo vse potrebne podatke in če so ti res zapisani tako, da bi jih lahko interpretirali tudi naslednje leto, ko se same izvedbe morebiti ne bi več spomnili. Še nekaj splošnih navodil: - Ko merite, vedno pomislite, ali je rezultat smiseln, če se v kratkih rokavih dobro počutite in zapišete, da je temperatura sobe 120C, je verjetno nekaj narobe z zapisom (ali pa ste se ravno preselili s severa). - Meritev ponovite vsaj 3x, če to piše ali ne. Če katera od meritev močno odstopa (in imate možnost), naredite še dodatno meritev, da ugotovite, ali ne gre morda za grobo napako. Morebiten pomislek, da v vsakdanjem življenju meritev ne opravljamo po trikrat, je upravičen, a se je treba zavedati, da je pri večini merjenj to v bistvu bolj preverjanje kot merjenje; če dobimo pričakovan rezultat, meritve ne ponovimo. Če se tehtamo, na primer, in vidimo pričakovano številko, najbrž ne bomo ponovili tehtanja. Kdo pa v resnici ne bi ponovil postopka, če tehtnica naenkrat kaže 10 kg več/manj od pričakovanega? - Kdaj potrebujemo še več meritev? – če se dobljene vrednosti precej razlikujejo, potrebujemo pa natančno vrednost; če imajo meritve trend (naraščajo ali padajo); če nas zanima porazdelitev. . . - Vse meritve zapišemo – izločamo jih, če je potrebno, le na podlagi premisleka in premislek in vzrok izločitve ob meritvi zapišemo. - Zapišemo si okoliščine meritev, še posebej, če se je dogodilo kaj nepredvidenega. 4 0.3 Analiza meritev in predstavitev rezultatov Meritve je treba ustrezno obdelati in predstaviti. Predstavitev rezultatov bi lahko primerjali z izločanjem zlata iz zlatonosne rude: 12,3 g izločenega zlata je vredno več kot tona rude, ki ga je vsebovala, čeprav je v rudi še malo več zlata. Boljše je čiščenje, več zlata dobimo. In seveda obratno: še tako dobro čiščenje ne pomaga, če v rudi ni zlata. Enako velja pri eksperimentalnem delu: vsi rezultati so v meritvah, a šele dobra analiza in predstavitev omogočita, da odgovore/rezultate lahko hitro in brez truda razberemo. Nekaj napotkov za jasnejšo predstavitev: - Meritve naj se jasno ločijo od preračunanih količin, da lažje sledimo analizi in poiščemo morebitne napake v postopku. - Če merimo neko odvisnost in smo jo izmerili pri vsaj treh različnih vrednostih, odvisnost predstavimo z grafom; slika pove več kot 1000 besed, ali za naš primer – laže je razbrati odvisnost s pomočjo 1000 točk na grafu, kot pregledati tabelo s 1000 podatki. - V rezultatih poleg same izmerjene vrednosti obvezno navedemo tudi, kako dobra/natančna je meritev (napaka meritve). - Rezultate predstavimo v stavku, ki poleg vrednosti in ugotovitev na kratko povzame, kaj smo merili, na kakšen način, in na kakšen način je dobljena/ocenjena napaka. 0.4 Podrobneje o obdelavi meritev 0.4.1 Natančnost meritev Z natančnostjo meritev si v vsakdanjem življenju pogosto niti ne belimo glave. Če pa moramo na osnovi meritve sprejeti pomembno odločitev, je poznavanje natančnosti meritve enako pomembno kot poznavanje same vrednosti meritve. Predstavljajmo si npr., da v or-dinaciji sprejmemo bolnega nedonošenčka. Ob sprejemu mu izmerimo težo 2300 g, njegova mati pa pravi, da je imel še en dan prej 2,5 kg. Če je imel en dan prej zares 2500 g, moramo nemudoma ukrepati, saj je v enem dnevu izgubil 8 % teže. Po drugi strani pa je bila lahko podana vrednost 2,5 kg samo navzgor zaokrožena teža 2290 g in nedonošenček teže sploh ne izgublja. Zgolj na osnovi mamine izmerjene vrednosti 2,5 kg se torej sploh ne bomo mogli odločiti o primerni terapiji. Ker v medicini na osnovi meritev pogosto sprejemamo pomembne odločitve, je nujno, da poleg osnov merjenja razumemo tudi osnove ocenjevanja natančnosti meritev. Meritve so tem boljše, čim bolj je izmerjena vrednost blizu pravi vrednosti, a poglejmo, zakaj lahko pride do odstopanj. Kot primer vzemimo meritev teže dojenčka. Rezultat meritve je lahko nenatančen zaradi veliko razlogov: - Lahko se zmotimo pri zapisu meritve: namesto 3,25 kg zapišemo 3,52 kg. - Če je dojenček nemiren in ga moramo med tehtanjem držati, lahko nehote z našim dotikom malo povečamo ali zmanjšamo izmerjeno težo. - Tehtnica je lahko preprosto pokvarjena, ali pa rezultata ne poda dovolj natančno, npr. le na 0,5 kg natančno. 5 - Če dojenčka tehtamo pred previjanjem, dobimo drugačno vrednost, kot če ga tehtamo po previjanju. . . pa še kaj bi se našlo. Poglejmo, kaj posamezne napake predstavljajo, kako jih lahko zmanjšamo oziroma kako jih obravnavamo, da se informaciji o pravi vrednosti čim bolj približamo. a) Napake, kot sta zamenjani številki, ali da smo npr. pozabili šteti en premik merila, imenujemo grobe napake; tem se skušamo izogniti tako, da smo med meritvijo pozorni, meritve opravljamo v čim manj motečem okolju, opazimo pa jih, če se rezultata dveh neodvisnih meritev občutno razlikujeta. Že pregovor pravi, meri trikrat, reži enkrat. Če do takih napak pride in jih prepoznamo, take meritve iz nadaljnje obravnave izločimo. b) Tudi če se pri meritvah maksimalno potrudimo, lahko zaradi različnih vzrokov pride do odstopanj. Odmikom, ki lahko meritev zvišajo ali znižajo in se, če meritev velikokrat ponovimo, v povprečju izničijo, rečemo naključne ali statistične napake. Več kot je meritev, bolj se povprečje približa pravi vrednosti (več v poglavju Obravnava naključnih napak). c) Nenatančnostim meritve, ki so posledica merilnega sistema in jih z meritvami z danim sistemom ne moremo zmanjšati, pa če se še tako trudimo in ponavljamo meritve, rečemo sistemske napake. Nekatere zlahka opazimo; vrednosti ne moremo podati bolj natančno, kot je recimo velik najmanjši razdelek, ki ga še lahko odčitamo na analognih merilih, ali zadnja številka, ki jo imamo še izpisano na digitalnih; druge so lahko bolj skrite in jih brez dodatnih podatkov ali merjenj ne opazimo. Vemo npr., da toplotna razteznost živega srebra ni zanemarljiva, saj se je živo srebro dolgo uporabljalo v klasičnih termometrih za merjenje temperature, a pri merilcih tlaka nanjo kaj radi pozabimo. (Bi v vročem poletju izmerili nekomu višji ali nižji tlak, kot ga ima v resnici, če je merilnik umerjen/nastavljen pri temperaturi 20 0C? ) Pri sistemskih napakah običajno zaupamo podatkom proizvajalca inštrumenta; da ti držijo, preverjamo z rednimi kalibracijami (umeritvami) – sami ali od pooblaščenih služb. Če kar naprej merite visoke vrednosti krvnega tlaka, pa nimate ravno na obisku društva hipertenzikov – preverite inštrument. Za oceno nenatančnosti odčitka (∆x) vzamemo kar polovico najmanjšega razdelka na skali. Če npr. merimo razdaljo z ravnilom, ki ima označene milimetre, bo odčitek lahko razbran na 0,5 mm natančno. Po teoriji, ki presega naše okvire (varianca pri enakomerni √ porazdelitvi) je izraz za ∆x = razdelek/ 3). d) Različne izmerjene vrednosti lahko izvirajo tudi iz dejanske variabilnosti merjenca - telesna teža je drugačna pred ali po kosilu, pivu, zjutraj ali zvečer. Te variacije niso napake meritve, ker bi dobili isto vrednost, če bi meritev ponovili pod popolnoma enakimi pogoji. Variacije lahko v splošnem razdelimo na tiste, ki imajo nek vzorec spreminjanja količin (vrednost inzulina glede na zaužito hrano, telesna teža preko dneva...), in na tiste, katerih vzorca ne moremo določiti, oziroma ga ne poznamo. Če vzorca ne poznamo, velikokrat take variacije obravnavamo kot naključne. Tudi v primerih, ko merjena vrednost variira, lahko govorimo o povprečni vrednosti in lahko primerjamo povprečne vrednosti med seboj – a moramo pri vzorčenju (kdaj delamo posamezne meritve, kako jih združujemo) paziti, da 6 z načinom vzorčenja ne vplivamo na rezultat. Recimo, da se tehtamo pred in po določeni terapiji: razlika v teži pred in po dializi je dejansko dober pokazatelj uspešnosti dialize, uspešnost vikend programa hujšanja pa je pogosto podkrepljena z rezultati tehtanj, ki jih zdaj že lahko prepoznamo kot merski trik: program se začne zvečer z dobrodošlico (s sadjem in napitki), ki ji sledi tehtanje, konča pa se čez par dni zjutraj, po možnosti pred zajtrkom... Iz samih izmerjenih vrednosti (če ne zaznamo vzorca ali če vemo, da smo merili na populaciji) ne moremo ločiti med naključnimi napakami (b) in variacijami vrednosti (d), zato jih obravnavamo skupaj na isti način. Če je napaka ene vrste veliko večja od ostalih, le-te lahko zanemarimo in ohranimo samo največjo, če pa so napake približno istega velikostnega reda, pa se seštevajo pri tem pa moramo paziti, da so vse napake izražene na isti način. ( Če so posamezne napake med seboj neodvisne, kot naprimer sistemske napake ∆Xs in naključne ∆Xn, se dejansko seštevajo kvadrati po Pitagorovem izreku (ponovno razlaga presega naš okvir): ∆X2 =∆X 2 s + ∆X 2 n .) 0.4.2 Obravnava naključnih napak in (naključnih) variacij meritve Povprečno vrednost izračunamo z znano formulo 1 x = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) , (0.1) n kjer je xi vrednost posamezne meritve, n pa število meritev. Določanje napake meritve je v splošnem bolj zapleteno od določanja povprečja in se lahko razlikuje od primera do primera. Preden navedemo nekaj konkretnih napotkov za določanje napake, še nekaj teorije. Variabilnost meritev (koliko se v povprečju meritve razlikujejo od povprečja) lahko ocenimo s standardnim odklonom, ki ga izračunamo kot r 1 σ = [(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + (x3 − x)2 + ... + (xn − x)2] . (0.2) n − 1 Pri računanju standardnega odklona s kalkulatorjem moramo biti pozorni (oznake σ in Σ), saj nekateri kalkulatorji v zgornji formuli uporabljajo n namesto n − 1 – pri res velikem številu meritev je razlika zanemarljiva, pri manjšem pa ne. Če so napake pri merjenju res naključne in je število meritev veliko, so vrednosti meritev okoli svojega povprečja ¯ x porazdeljene po normalni (Gaussovi) porazdelitvi, 1 G(x) = √ e− (x−x)2 2σ2 . (0.3) σ 2π 7 Celotna površina pod zgornjo krivuljo je 1, površina nad izbranim intervalom pa ustreza verjetnosti, da posamezna meritev leži v tem intervalu. Velja si zapomniti, da v območju: ¯ x − σ do ¯ x + σ leži približno 68 % meritev (približno 2/3), ¯ x − 2σ do ¯ x + 2σ leži približno 95,4 % meritev, ¯ x − 3σ do ¯ x + 3σ leži približno 99,6 % meritev. Z večanjem števila meritev se izračunano povprečje meritev približuje pravi vrednosti, vendar pri končnem številu meritev nikoli ni povsem enaka pravi vrednosti. Če bi set n meritev še enkrat ponovili, povprečje drugega seta meritev ne bi bilo povsem enako povprečju prvega seta. Izkaže se, da je tudi porazdelitev povprečji Gaussova krivulja, njena širina pa je enaka σ σs = √ . (0.4) n Širino porazdelitve povprečij σs imenujemo standardna napaka ali napaka povprečja, saj je merilo za natančnost povprečja, določenega iz n meritev. Vidimo, da več kot je meritev, bolj natančno je določeno povprečje. Pri velikem številu meritev lahko torej z veliko verjetnostjo (95 %) rečemo, da prava vrednost leži v intervalu [¯ x − 2σs, ¯ x + 2σs] (interval zaupanja) (oziroma z verjetnostjo 68 % v intervalu [¯ x − σs, ¯ x + σs]). 0.4.3 Nekaj praktičnih nasvetov za praktikumske vaje Koliko meritev moramo narediti, je torej odvisno od natančnosti, ki jo želimo doseči: več kot bo meritev, bolj natančen bo rezultat in tudi bolje lahko ocenimo napako. Pri resnih meritvah nekako velja, da za določanje povprečja potrebujemo vsaj 10 meritev, za določanje same porazdelitve pa vsaj 30 meritev. Pri vaji Radioaktivnost se boste o tem prepričali. Za ocenjevanje natančnosti meritev oz. napake meritev (∆x) ne obstaja enotno pravilo in tudi zahtevani standardi natančnosti se lahko od primera do primera razlikujejo. Pri oceni napake ravnamo po premisleku oz. po standardih (dogovorih), ki veljajo za obravnavani primer. Pri praktikumskih vajah bomo ravnali takole: - Če je število meritev relativno veliko (vsaj 10), napako meritve določimo po formuli za napake povprečja, običajno ∆x = 2σs (95 % interval zaupanja) - Za majhno število meritev (n ≈ 4) sta vrednosti 2σs in σ podobni: zato za hitro oceno ∆x lahko vzamemo kar interval, v katerem leži 2/3 meritev; - Pri le treh meritvah pa za ∆x velikokrat vzamemo tudi največji odmik (pri treh meritvah je verjetnost, da so vse tri manjše ali večje od prave vrednosti še vedno 25 %, že pri petih meritvah ta verjetnost pade na dobrih 6 %) Najpomembneje pa je, da pri rezultatu vedno napišemo, kako in iz koliko meritev smo določili ∆x (največji odmik, interval z 2/3 meritev, 2σs ...) in pa seveda ne pozabimo na druge možne vzroke za napake. 0.4.4 Zapisovanje rezultata meritve in njene natančnosti Rezultat meritve podamo tako, da poleg povprečne vrednosti navedemo še ocenjeno napako meritve, to lahko podamo v obliki, ki pove, za koliko se lahko prava vrednost razlikuje od 8 izmerjene: x = ¯ x ± ∆x , (0.5) kjer je ¯ x povprečna vrednost, ∆x pa imenujemo absolutna napaka meritve. Rezultat lahko enakovredno predstavimo tudi tako, da povemo, kolikšen del vrednosti meritve predstavlja napaka ∆x x = ¯ x 1 ± , (0.6) ¯ x kjer kvocient ∆x/¯ x imenujemo relativna napaka. Kateri zapis – z absolutno ali relativno napako - nam več pove, je odvisno od primera do primera. Seveda izmerjene vrednosti nima smisla podajati bolj natančno, kot je velikost napake. 0.4.5 Določevanje napake pri posredni meritvi Kadar ne merimo neke količine direktno, ampak jo izračunamo iz izmerjenih količin, za izračun iskane vrednosti količine uporabimo le povprečne vrednosti posameznih izmerjenih količin. Pri vseh računih raje računamo s kakšno decimalko več kot premalo. Napako meritve določimo posebej: pri seštevanju in odštevanju se absolutne napake seštevajo, pri množenju in deljenju pa se seštevajo relativne napake. Zakaj je tako, si poglejmo na primeru pravokotne sobe, dolžine 715 cm ± 2 cm in širine 305 cm ± 1 cm. Določimo obseg (ob) in površino (P ): ob = 2(š + d) = 2(ši ± ∆š + di ± ∆d) = = 2(715 ± 2 + 305 ± 1) cm = 2040 cm ± 6 cm , kjer sta ši in di povprečna širina in dolžina, ∆š in ∆d pa ustrezni napaki. Ne moremo namreč računati na srečo, da če smo pri dolžini dobili malo preveč, smo pri širini izmerili premalo. Pravi obseg je glede na naše meritve nekje med 2034 in 2046 cm. Ko bomo kupili letvico za obrobo, bomo kupili 20,34 m ali 20,46 m dolgo? Za površino sobe pa velja: P = š·d = (ši ± ∆š) (di ± ∆d) = = šidi ± di∆š ± ši∆d ± ∆š∆d = = šidi(1 ± ∆š ± ∆d ± ∆š∆d ) ši di šidi Če izpostavimo izmerjeno vrednost in zadnji člen zanemarimo, vidimo, da se relativne napake pri množenju (in enako velja za deljenje) seštevajo. Na sliki desno se vidi, da je pri dobrih meritvah, pri katerih je napaka veliko manjša od same meritve, delček, ki smo ga zanemarili (črno) res veliko veliko manjši kot ocenjena napaka (sivo). V našem primeru izračunamo: 9 P = (715 ± 2) cm · (305 ± 1) cm = 218075(1 ± 2 ± 1 ) cm2 = 715 305 = 21,8075(1 ± 0,006076) m2 . kar pomeni, da je površina P = 21,8075 m2 ± 0,1325 m2 . Če pomislimo, da je napaka 0,13 m2, potem je v bistvu vseeno, ali je prava vrednost 21,8 ali 21,8075, zato je smiselno pisati rezultat do iste decimalke, kot je velikostni red (vodilna cifra) napake (če smo res v dilemi, pa še eno več). Pišemo torej tiste decimalke, ki še imajo pomen, v našem primeru bi napisali P = 21,8 m2 ± 0,13 m2. Pri napisani napaki je to nekako očitno, a ista logika se uporablja tudi v primerih, ko napake (netočnosti) ne zapišemo eksplicitno: pri zapisani vrednosti lahko variira kvečjemu zadnja decimalka. Če povemo, da je nek volumen 10 l, se ne moremo kaj dosti pritoževati, če na primer par decilitrov manjka, če pa namesto tega napišemo 10000 ml, pričakujemo na 1ml natančno odmerjen volumen. V določenih primerih je lahko razumevanje drugačno, recimo, ko rečemo, da ima pacient 38 0C, običajno mislimo 38,0 0C, podobno pri majhnih vrednostih osnovnih enot – če naročimo 1 l pijače, ne bomo ravno veseli, če 3 dcl manjka. . . Da ni dilem, pri meritvah (ali pogovorih zunaj ustaljene skupine) vedno povemo, s kakšno natančnostjo (intervalom zaupanja, napako) je neka vrednost podana. Se spomnite vprašanja o decimalkah pri pretvarjanju mm živega srebra v Pa? Recimo, da imamo dobre oči in lahko odčitamo višino pri merjenju krvnega tlaka na 0,5 mm natančno. Za normalne vrednosti veljajo: sistolični 110-140 mmHg, diastolični tlak 60-90 mmHg. Koliko bi bile te meje, izražene v Pa? Na koliko decimalnih mest je smiselno podajati gostoto živega srebra in težni pospešek? 0.4.6 Predstavitev odvisnosti z grafi Odvisnosti običajno predstavljamo v kartezičnih - xy grafih, kjer na vodoravno os (absciso x) po dogovoru nanašamo neodvisno ali bolj natančno izmerjeno količino, na navpično os (ordinato y) pa odvisno ali manj natančno izmerjeno količino. Če graf rišemo ročno, uporabimo milimetrski papir. Graf ni anonimen, če ima označeni obe osi, k jasnosti pa prispeva, če z naslovom grafa tudi z besedami predstavimo, kaj je na grafu (slika 0.1). Naslovov, kot je Graf 1, se izogibajmo, ker nič ne povedo, uporabimo jih le v primeru, če bi bil opis res preveč dolg; vsebino grafa potem z besedami opišemo v tekstu pod grafom. Če so na grafu prikazane meritve, morata biti obe osi opremljeni s skalo. Izbira skale: - skala je določena, če sta na njej označeni vsaj 2 točki, - skalo izberemo tako, da meritve zavzemajo čim večji del skale, 10 - oznake na posamezni osi naj bodo v enakih razmikih tako na gosto, da je odčitavanje enostavno. Ni potrebno, da se skala začne z 0, lahko pa se. Meritve na grafu prikažemo s točkami (oznakami). Meritve so naše (trudili smo se za njih in smo nanje ponosni), zato jih predstavimo tako, da se res vidijo in jih ne moremo zamenjati z napako na papirju. Če merske točke prikazujejo neko odvisnost, to lahko prikažemo na grafu – skozi točke potegnemo teoretično napovedano/pričakovano odvisnost, ki se najbolje prilega merskim točkam (vsem hkrati). Odvisnost visine od casa Graf 1 106 105 104 100 s s [m] 103 [m] 102 101 40 100 20 99 0 0 10 20 30 40 50 60 70 10 t [s] Slika 0.1: Primera grafov, ki prikazujeta iste meritve, označene s krogci. Na levi je primer dobrega, na desni pa primer slabega grafa. Na levi sliki premica prikazuje teoretično odvisnost. 0.4.7 Linearizacija grafa Velikokrat izberemo količini na oseh tako, da je odvisnost med njima linearna, kar imenujemo linearizacija grafa. Razlogi za linearizacijo so dveh vrst: - tako najlažje preverimo/pokažemo, da je določena teoretična napoved, ki napoveduje bolj kompleksno odvisnost, prava. Veliko lažje se že na oko vidi odstopanje merskih točk od premice, kot pa na primer razlika v odstopanju točk od krivulj 1/x ali 1/x2. - skozi merske točke je ročno veliko lažje potegniti premico in iz nje določiti parametre (k, n), kot pa kakšno drugo krivuljo.* Skozi točke v lineariziranem grafu povlečemo premico tako, da hkrati kar najbolje popisuje vse merske točke. Dejansko ni treba, da gre skozi katero od točk, čeprav pri dobrih/na- *Z uporabo računalnikov grafov ni več nujno linearizirati, ker programi omogočajo prilagoditev parametrov različnih krivulj glede na merske točke, čemur v pogovornem jeziku rečemo fitanje. 11 tančnih meritvah seveda običajno gre. Naklonski koeficient te premice je sorazmernostni faktor med količinama na y in x oseh. Ko določamo naklonski koeficient premice y k = 2 − y1 , (0.7) x2 − x1 vedno vnašamo vrednosti, odčitane s skale (z enotami), za točki pa si izberemo 2 točki na premici (ne dveh meritev), ki sta čim bolj narazen*. Premica (točke na njej) opisuje vse meritve, ne le izbranih dveh. V praksi najlažje določimo napako naklonskega koeficienta tako, da poleg idealne premice skozi točke narišemo še eno, ki bi tudi še kar sprejemljivo opisala točke, in razliko med naklonskima koeficientoma vzamemo kot oceno napake celotne meritve za vrednost k (slika 0.2). 6 3 y 2,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ln U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x t[s] Slika 0.2: Določanje napake pri naklonskem koeficientu. Oznaka ◦ določa mesto posamezne meritve. Polna črta označuje premico, ki se najbolje prilagaja točkam. Črtkasta črta označuje premico, ki ima nekoliko preveliko strmino, pikčasta črta pa označuje premico, ki leži nekoliko previsoko. *Glej podpoglavje o napakah: pri odčitavanju naredimo absolutno napako, ki je enako velika za katerokoli točko. Pri odštevanju se absolutne napake seštevajo. Razlika vrednosti dveh točk, ki sta blizu, je majhna, kar pomeni, da je za dve bližnji točki relativna napaka večja. Pri deljenju se seštevajo relativne napake. 12 1 Preučevanje predeljenih sistemov s sledilnimi metodami Seznanili se bomo s principom sledilnih metod, s pojmoma predelek in hitrostna konstanta ter z merjenjem koncentracije snovi s fotometrom. Človeško telo je zapleten sistem, da dobro deluje stalno izmenjuje snovi in energijo z okolico. Skoraj nemogoče je, da bi sledili ali nadzorovali, kaj se dogaja z vsemi njegovimi deli (organi, celicami...) pri vnosu posamezne snovi, zato obravnavano telo kot sistem predelkov. Predelek je lahko na primer notranjost celice, nek organ, vsa kri v telesu... Kaj vzamemo za predelek, je odvisno od procesa, ki ga preučujemo, in od natančnosti, s katero sistem obravnavamo. Posamezen predelek obravnavamo, kot da je v termodinamskem ravnovesju, kar pomeni, da je v predelku snov (ki jo obravnavamo) enakomerno porazdeljena, da so temperatura, tlak, koncentracije raztopljenih snovi... po celem predelku enake. Kadar so nekatere vrednosti termodinamskih količin v različnih predelkih različne, sistem kot celota ni v termodinamskem ravnovesju in v splošnem snov prehaja iz predelka v predelek. Običajno nas zanima, kako neka snov (zdravilo, sledilo) prehaja po telesu, zato je potrebno poznati velikosti predelkov in hitrost, s katero se snov izmenjuje med predelkom in okolico ali med predelki. Merilo za velikost predelka je lahko njegova masa ali prostornina, količina neke snovi v predelku ali kaj podobnega. Izmenjava snovi med predelkom in njegovo okolico lahko poteka tudi v stacionarnem stanju, ko se velikost predelka s časom ne spreminja. 1.1 Vpliv pritoka snovi in velikosti predelka na spreminjanje njegove velikosti Kot primer poglejmo, kako hitro se izmenjuje voda v telesu in koliko je vse vode v telesu. Voda prihaja v telo s hrano in pijačo, izloča pa se z urinom, potom, izdihanim vlažnim zrakom, solzami... Porazdelitev vode v telesu ni enakomerna, a nas zanima le celotna količina vode in njena izmenjava z okolico (telo kot en predelek). Gledamo le daljša časovna obdobja, zato lahko privzamemo, da prihaja voda v telo enakomerno. Količino vode, ki jo vnesemo v telo, lahko reguliramo, medtem ko je izločanje predvsem odvisno od količine vode v telesu. Za kvantitativni opis dogajanja označimo celotno prostornino vode (velikost predelka) z V , pritok s φ, odtok pa s kV , k je sorazmernostna konstanta z enoto s−1. Sprememba prostornine vode je v časovnem intervalu (dV /dt) podana z razliko med pritokom(φ), in odtokom (kV ): dV = φ − kV . (1.1) dt Če se volumen s časom ne spreminja: dV = 0 (1.2) dt 13 je pritok enak odtoku kV = φ . (1.3) To pomeni, da se ob povečanem pitju poveča ali masa vode v telesu ali konstanta k (ker je povezana s hitrostjo izločanja jo imenujemo hitrostna konstanta). Če izmerimo pritok (ali odtok), lahko določimo hitrostno konstanto le, če poznamo celoten volumen (in obratno). Drug način za določanje hitrostne konstante bi bil, da bi prekinili vnos vode (φ = 0) in opazovali zmanjševanje volumna s časom zaradi iztekanja. Po enačbi (1.1) velja za ta primer dV = −kV , (1.4) dt kar vodi do eksponentnega zmanjševanja volumna vode V (t) = V0e−kt , (1.5) kjer je V0 volumen v času t = 0. S poznavanjem odvisnosti volumna od časa bi lahko določili hitrostno konstanto, vendar je za človeka to neprimerna metoda, ker ne moremo za dalj časa prekiniti vnosa vode brez posledic, pa še zaradi fiziološke regulacije bi se spremenila hitrost izločanja. Zato pri proučevanju predeljenih sistemov pogosto uporabljamo sledilne metode, ki ne zmotijo normalnega delovanja sistema (organizma). Sledilo (angleško: tracer), ki ga dodamo v predelek, mora imeti neko opazno lastnost, ki jo lahko merimo, hkrati pa se mora dobro mešati s snovjo, ki jo želimo proučevati, in hkrati z njo prehajati iz predelka v predelek. V medicini se za sledilo velikokrat uporabljajo kratkoživi radioaktivni izotopi. Merljiva količina je v tem primeru radioaktivnost*. Za učenje postopkov, kot tudi za razumevanje dogajanj v naravnih sistemih si velikokrat pomagamo z opazovanjem in merjenji na modelnih sistemih. Modelni sistem je lahko vsak sistem, za katerega veljajo enake zakonitosti kot za sistem, ki nas zanima. Sledilno meritev predeljenih sistemov lahko simuliramo s hidrodinamskim modelom. Pretakamo vodo, vlogo sledila pa ima barvilo. Koncentracija barvila ustreza specifični aktivnosti, količina barvila pa celotni aktivnosti. Hidrodinamski model za sisteme z enim predelkom je posoda s pritokom in odtokom (spodnja posoda na sliki 1.2). 1.2 Določanje velikosti predelka in hitrostne konstante s sledilom Poglejmo, kaj se zgodi v trenutku, ko sledilo (barvilo) vnesemo v predelek, če se snov ne izmenjuje ali pa se zelo počasi izmenjuje z okolico. Za velikost predelka vzemimo prostornino vode. V predelek prostornine V dodamo majhno količino sledila s prostornino Vs in s koncentracijo cs. Dodano sledilo se enakomerno porazdeli po predelku, katerega prostornina je sedaj V + Vs, zato je koncentracija v predelku manjša (c). Celotna količina (masa) sledila se seveda ne spremeni, zato velja: csVs = c(V + Vs) . (1.6) *Za določanje količine vode v telesu se bi lahko uporabljala voda, ki ima namesto vodika vezan njegov radioaktivni izotop tritij. 14 Odtod lahko zapišemo izraz za izračun prostornine predelka c V = V s s − 1 . (1.7) c Običajno je pri takih meritvah prostornina sledila mnogo manjša od prostornine predelka (Vs V ), tako da približno velja c V = V s s . (1.8) c Z uporabo sledila lahko določimo tudi hitrostno konstanto. Poglejmo si predelek, ki je v stacionarnem stanju (velikost se mu ne spreminja) in izmenjuje snov z okolico. Hidrodinamski model za sistem z enim predelkom je posoda, v katero priteka čista voda, iz nje pa odteka, kar je v posodi. V času t = 0 v predelek damo znano količino sledila, ki se (z mešanjem) hitro porazdeli po celotni prostornini. Opazljiva lastnost je ponovno barva, preko katere določamo koncentracijo barvila. V pritekajoči snovi ni sledila, tako da sledilo le izteka skupaj z iztekajočo snovjo in se njegova koncentracija s časom zmanjšuje. Če se nič sledila ne vrne iz okolice nazaj v predelek, je sprememba koncentracije sledila na časovno enoto (d(cV )/dt) sorazmerna s samo koncentracijo (cV ) d(cV ) = −kcV . (1.9) dt Ker je predelek v stacionarnem stanju (V = konst.), lahko prostornino v enačbi (1.9) krajšamo in dobimo dc = −kc , (1.10) dt za spreminjanje koncentracije s časom pa c(t) = c(0)e−kt, (1.11) pri čemer je c(0) koncentracija v predelku ob času t = 0. Koncentracija v predelku pade na polovično vrednost v času t1/2: ln 2 0,693 t1/2 = = . (1.12) k k Iz izmerjene časovne odvisnosti koncentracije (c(t)) lahko določimo hitrostno konstanto (k). Ker poznamo tudi količino sledila (Vscs), ki smo ga vnesli v predelek, bi lahko po enačbi (1.8) izračunali prostornino predelka. Zato potrebujemo še koncentracijo sledila, ko se je ta porazdelil po celotnem predelku, to je koncentracijo v predelku, ko še nič sledila ni odteklo, ali z drugimi besedami koncentracijo ob času t = 0. To dobimo enostavno tako, da podaljšamo (ekstrapoliramo) izmerjeno odvisnost do časa 0. Če se spomnimo primera, ko s tritijem določamo količino vode v telesu: časovno odvisnost specifične aktivnosti pri človeku dobimo z merjenjem aktivnosti izločenega urina. Pri merjenju z radioaktivnimi sledili moramo upoštevati tudi, da se celotna aktivnost zmanjšuje zaradi radioaktivnega razpada. Razpadni časi za posamezne izotope so znani, aktivnost zaradi radioaktivnega razpada pa pada eksponentno, tako da tega popravka ni težko upoštevati. 15 1.3 Absorpcijski zakon Kolorimetrija je analitski postopek, s katerim določamo koncentracije obarvanih raztopin. Pri prehodu skozi obarvano raztopino ali neko drugo ne popolnoma prozorno snov se žarek oslabi, ker se del fotonov absorbira v snovi. Debelina snovi, ki absorbira polovico vpadnih fotonov, se imenuje razpolovna debelina. Vsaka nadaljnja taka plast absorbira ponovno polovico vpadnih fotonov, tako, da skozi n plasti pride le še (1/2)n fotonov. Odvisnost toka od debeline je splošna (ne velja le za razpolovno debelino), kar pomeni da enaka debelina (dx) vedno zaustavi enak delež fotonov (dI/I), sorazmernostni koeficient pa imenujemo absorpcijski koeficient (µ), dI = −µdx , (1.13) I integriramo, dobimo absorpcijski zakon* I = I0e−µx , (1.14) kjer je x debelina plasti, skozi katero je šel svetlobni žarek, I0 in I pa sta jakosti vpadnega in izstopnega žarka. Za majhne koncentracije barvila v prozornem topilu je absorpcijski koeficient kar sorazmeren koncentraciji barvila: µ = k0c, zato velja I = I0e−k0cx , (1.15) kjer je k0 sorazmernostna konstanta. Vidimo, da je oslabitev žarka eksponentno odvisna od dolžine, ki jo žarek prepotuje po snovi, in od koncentracije raztopine. Za različne valovne dolžine je absorpcijski koeficient lahko različen (µ(λ)), a še vedno sorazmeren s koncentracijo. Kar pomeni, da pri osvetljevanju z belo svetlobo izhodni žarek ni več bel, a je njegova jakost še vedno odvisna od koncentracije. 1.4 Fotometer Za določanje neznane koncentracije obarvane raztopine bomo uporabljali preprosto napravo za merjenje svetlobnega toka, fotometer (shematsko je prikazan na sliki 1.1). Sestavljata ga izvor svetlobe (svetlobna dioda) in polprevodniški detektor svetlobe (ki je enak kot pri vaji št. 7). Napetost na detektorju je premosorazmerna svetlobnemu toku, ki pride do njega (U = bI; b je konstanta). Med izvor svetlobe in detektor se vloži kiveta z vzorcem. Svetlobni tok se spremeni zaradi vpliva kivete in topila. Svetlobni tok, ki pride do detektorja, če ni absorbcije na topljencu, je Ik = aI0, kjer konstanta a označuje, za kolikšen faktor se zmanjša svetlobni tok zaradi absorpcije v kiveti in topilu. Če upoštevamo še absorpcijo ma topljencu, izmerimo napetost (deleži oslabitve se množijo): U = bI = baI0e−k0cx . (1.16) *Absorpcijski zakon velja tudi za absorpcijo žarkov γ (enačba (12.7) na strani 139). 16 Če izmerimo še referenčno napetost, ko je v kiveti le topilo: UR = bIR = baI0 , (1.17) vidimo, da razmerje napetosti U/UR U baI = 0e−k0cx = e−k0cx , (1.18) UR baI0 ni odvisno od vplivov kivete, topila in detektorja. Če poznamo vrednost produkta (k0x), lahko koncentracijo topila izračunamo: 1 U c = − ln . (1.19) k0x UR Ker sta x (dolžina kivete) in vrsta topljenca (k0) pri vseh meritvah enaka, je produkt k0x konstanten in ga lahko določimo iz umeritve (izmerimo odziv detektorja za znane koncentracije topila). Pri kolorimetrskih meritvah vedno naredimo referenčno meritev (s kiveto in topilom). Če se uporablja več kivet (ali topil) je potrebno narediti referenčno meritev za vsako od njih (le za enake in res čiste kivete so referenčne meritve enake). Slika 1.1: Skica sestavnih delov fotometra. Naloge: 1. Priprava pretočnega sistema 2. Umeritev fotometra 3. Določitev velikosti predelka, če se snov ne izmenjuje z okolico 4. Določitev velikosti predelka, hitrostne konstante in razpolovnega časa, ko se snov v predelku izmenjuje z okolico. 17 Potrebščine: sistem posod za pretakanje vode magnetno mešalo epruvete za vzorce in stojalo merilna pipeta standardne raztopine raztopine sledila različnih koncentracij štoparica fotometer voltmeter dve čaši zgornja posoda spodnja posoda magnet magnetno mesalo Slika 1.2: Shema postavitve potrebščin, ko se snov izmenjuje z okolico. Izvedba 1) Naloga 1: Priprava merjenja Pretočni sistem: V pretočnem sistemu preverite, če sta posodi povezani, kot je prikazano na sliki 1.2, in je magnetno mešalo v spodnji posodi. 18 - Odprite pipo in dotok vode uravnajte tako, da malo vode vseskozi odteka po cevi iz zgornje posode neposredno v lijak (s tem uravnate nivo vode v zgornji posodi). - Vključite magnetno mešalo. - Pustite, da se nivo vode v spodnji posodi ustali, medtem pa nadaljujete z drugimi nalogami. Med uravnavanjem nivoja vode in med meritvami ne spreminjajte položaja (višine) cevk in ne zapirajte vode. Fotometer - Priklopite fotometer na napetost in povežite voltmeter s kontakti na sprednji strani fotometra. Ne pozabite, napetost na fotometru je enosmerna (območje 20 V). - Prižgite izvor svetlobe v fotometru (pred prvo meritvijo počakamo kakšno minuto, da se svetilnost ustali). Med meritvami svetila ne ugašamo. - Kiveto napolnite malo čez polovico (večina podobnih optičnih priprav za dobre meritve potrebuje v kiveti vsaj 1 cm tekočine). Kiveta mora biti z zunanje strani suha. - Kiveto vstavite v odprtino, tako, da je oznaka na kiveti (trikotnik) v smeri oznake na fotometru. - Med meritvijo pokrijte kiveto s pokrovčkom (da svetloba iz okolice ne moti meritev) in odčitajte napetost. - Uporabljene raztopine zavrzite (da ne pride do mešanja različnih raztopin). - Merite vedno z isto kiveto (da zaradi morebitne obarvanosti ne pride do napak – če uporabljate več kivet, je potrebno preveriti, da so za vse kivete referenčne napetosti enake). Meritev je veliko, zato najprej opravite vse meritve, izračune in grafe pa boste izdelali na koncu. 2) Naloga 2: Umeritev fotometra (določitev produkta k0x) S fotometrom izmerite referenčno napetost UR za vodo (referenčni vzorec) in napetosti za vzorce z znanimi koncentracijami. Koncentracije raztopin so označene na stekleničkah. Analiza: Ker pričakujemo, da bo količina prepuščene svetlobe eksponentno padale s koncentracijo, narišemo graf (umeritveno krivuljo), ki prikazuje odvisnost ln(U/UR) od koncentracije (linearizacija grafa). Ne pozabite na koncentracijo c = 0. Če merske točke ležijo na premici, je odvisnost prepuščene svetlobe (in izmerjene napetosti) od koncentracije res eksponentna, naklonski koeficient premice pa je –k0x [enačba (1.19)]. 3) Naloga 3: Določitev velikosti predelka, ko se snov ne izmenjuje z okolico. V posodo z neznano količino vode (V - velikost predelka) dodamo sledilo – znan volumen (Vs = 10 ml) z znano koncentracijo (cs = 0,5 %). Počakajte, da se sledilo 19 enakomerno razporedi (lahko premešate). Vzemite vzorec in s fotometrom določite koncentracijo mešanice (c). Analiza: Koncentracijo določite z odčitavanjem iz umeritvene krivulje in izračunajte iz produkta k0x [enačba (1.19 )]. Izračunajte volumen vode V [enačba (1.8)]. Kaj bi se zgodilo, če bi vzorec vzeli prehitro, ko še ni premešano? Kakšne so posledice, če je volumen sledila primerljiv z volumnom vode? 4) Naloga 4. Določitev velikosti predelka, hitrostne konstante in razpolovnega časa, ko se snov izmenjuje z okolico. Merite na pretočnem sistemu, ki ste ga priključili na začetku. Medtem se je nivo vode (in s tem velikost predelka) v pretočnem sistemu uravnaval. S štoparico izmerite čas, potreben, da iz spodnje posode v čašo nateče 200 ml vode. Meritev ponovite 5 krat. Če so časi podobni (ne naraščajo ali padajo monotono) je volumen vode v spodnji posodi res konstanten. Iz povprečnega časa in natečenega volumna izračunajte volumski pretok. V spodnjo posodo vlijte znano količino sledila (Vs = 5 ml) z znano koncentracijo (cs = 5 %) (bolj koncentrirano sledilo) in istočasno vključite štoparico. Po 1 minuti prestrezite prvi vzorec v epruveto, nato še vsako minuto enega, da naberete 10 vzorcev. Prostornine vzetih vzorcev naj ne bodo prevelike (koncentracija se s časom spreminja). Ko ste vzeli vse vzorce, lahko zaprete vodo. S fotometrom določite koncentracijo barvila v vsakem vzorcu (kot ste storili pri nal. 3 – dovolj je na en način). Analiza: Narišite odvisnost koncentracije od časa in odvisnost naravnega logaritma koncentracije od časa (lineariziran graf). Skozi merske točke narišite še krivulji (teoretični napovedi odvisnosti), ki te točke najbolje popišeta. Iz naklonskega koeficienta premice, na grafu ln c od časa, določite hitrostno konstanto (k ) in določite razpolovni čas (t 1/2) (čas, ko se iz sistema izloči polovica barvila). Če je potrebno, podaljšajte premico in pri času t = 0 iz logaritma koncentracije izračunajte začetno koncentracijo (kakšna bi bila koncentracija, če ne bi nič barvila odteklo iz sistema) in določite volumen predelka V. Iz volumna predelka in pretoka še na drug način [enačba (1.3)] določite hitrostno konstanto (k ) in iz nje razpolovni čas. Primerjajte vrednosti za hitrostno konstanto, ki ste ju dobili iz obeh načinov, primerjajte tudi vrednosti razpolovnih časov. 20 2 Dvoeksponentne spremembe* Pri vaji št. 1 smo z modelom opisali telo kot celoto, ki izmenjuje neko snov z okolico, ki je neskončna. Če smo neko količino snovi, imenujmo jo kar zdravilo (lahko je hranilo, sledilo, toksin. . . ), dali v predelek in je bila izločena količina zdravila sorazmerna koncentraciji, se je količina zdravila v predelku eksponentno zmanjševala – približevala vrednost nič. Tak sistem dobro opisuje, kaj se dogaja s koncentracijo vodotopnega zdravila, ki smo ga injecirali v kri (bolus). Po začetnem mešanju, se zdravilo le izloča in, če je hitrost izločanja odvisna od same koncentracije, ta pada eksponentno. A velikokrat zdravilo ne ostaja le v krvi, lahko je topno v maščobi in se nalaga v njej, lahko prehaja v kakšen organ, lahko pa zdravilo zaužijemo in mora najprej preiti iz prebavnega trakta v kri... V takih primerih si zamislimo telo kot sistem več predelkov, med katerimi lahko zdravilo prehaja. 2.1 Prehajanje snovi med končno velikima predelkoma Sistem z dvema predelkoma si oglejmo na primeru, ko zaužijemo tableto. Ta se v prebavilih raztopi in zdravilo se sprosti in preko sluznice prehaja v kri, natančneje v krvno plazmo. Koncentracija zdravila v prebavilih bo padala in v plazmi naraščala – dokler ne bosta obe enaki (ni aktivnega transporta) – končna koncentracija bo v tem primeru odvisna od prostornin obeh delov (lahko rečemo tudi kapacitete). Za končno stanje koncentracij v prebavilih in plazmi velja enačba (1.6) iz prve vaje – saj je celotna količina zdravila konstantna. Prehajanje zdravila iz prebavil v plazmo traja nekaj časa (dogajanje je podobno kot pri izmenjavi snovi pri prvi vaji), in koncentracija v krvi se zmanjšuje eksponentno – a ne do nič, ampak do neke končne vrednosti. Z enako časovno odvisnostjo (kar gre iz prebavil, gre v plazmo), se končni vrednosti približuje tudi koncentracija v plazmi. Bodite pozorni, to ni eksponentna rast. Za kvantitativen opis tega dogajanja postavimo hidrodinamski model (slika 2.1): sestavljata ga dve valjasti posodi, ena predstavlja prebavila, druga pa krvno plazmo. Posodi sta na dnu povezani s cevko, da lahko voda teče iz ene posode v drugo. Voda je v vlogi zdravila. Višina vode v posodi predstavlja koncentracijo zdravila v predelku. Zdravilo prehaja iz predelka z višjo koncentracijo v predelek z nižjo koncentracijo - enako voda teče iz posode, kjer je višji tlak, v posodo z nižjim tlakom, oziroma iz posode, kjer je gladina višja, v posodo z nižjo gladino. Da bomo lahko izpeljali časovne odvisnosti dogajanja, si pomagamo z enačbami. Voda je v začetku v prvi posodi (prebavila), druga posoda (plazma) je prazna. Ko povezavo med posodama odpremo, začne voda teči zaradi razlike *Eksponentna funkcija ima zanimivo lastnost, da kjerkoli jo odrežemo, je ostanek podoben celotni funkciji in tudi odvod eksponentne funkcije je eksponentna funkcija. Kar seveda ne pomeni nič drugega, kot to, da se tudi sprememba funkcije spreminja eksponentno. Zato v realnosti eksponentna rast običajno kmalu naleti na omejujoče dejavnike in lahko eksponentno rast opazujemo le nekaj časa. Na primer, pri delitvi bakterij, ko začne zmanjkovati hrane, prostora. . . rast ni več eksponentna. Eksponentna funkcija ima med funkcijami kar neko posebno mesto, po njej se spreminjajo pasivne spremembe (to so take brez dodanega dela). 21 h 1 R h 2 Slika 2.1: Skica dveh povezanih posod. tlakov ρg(h1-h2) iz prve posode v drugo s tokom (ΦV ) : ∆V ∆p ρg∆h ΦV = = = , (2.1) ∆t R R kjer je R viskozni upor sistema. Voda teče, dokler se gladini ne izenačita (h1∞=h2∞). Kolikor vode je odteklo iz prve posode, jo je priteklo v drugo. Ker sta posodi valjasti (V = Sh; S je presek posode), velja: S1(h10 − h1∞) = S2(h20 − h2∞) . (2.2) Seveda to velja tudi za katerikoli majhen pretečen volumen: S1dh1 = −S2dh2 . (2.3) Tekočina teče po cevi zaradi razlike tlakov, ki jo povzroča različna višina vodnih stolpcev v posodi: dh ρg(h S 1 1 − h2) 1 = − . (2.4) dt R Ko tekočina teče, se razlika višin (in s tem tudi tudi tok) zmanjšuje, kar privede do eksponentne odvisnosti. Izpeljava Da rešimo enačbo (2.4), jo pomnožimo z dt in preuredimo spremenljivke, da so na isti strani, kot njihova sprememba (diferencial): dh1 ρgdt = − . (2.5) h1 − h2 S1R Ker se s spreminjanjem h1 spreminja tudi h2, je najlažje, če uvedemo novo spremenljivko u = h1 − h2. Iz srednje šole se še spomnimo, da moramo izračunati še, kako se u spreminja: S S du = dh 1 1 + S2 1 − dh2 = dh1 + dh1 = dh1 (2.6) S2 S2 22 Ko to vstavimo v našo enačbo, dobimo: du (S = − 1 + S2)ρgdt . (2.7) u S1S2R S Ko uvedemo novo spremenljivko τ = 1S2 R ρg , dobimo znano odvisnost (S1 + S2) u = u0e−t/τ , (2.8) kjer u0 predstavlja začetno razliko v višinah. Uvedena spremenljivka (τ ) je karakteristični čas za približevanje sistema ravnovesju. Končnim vrednostim se višini h1 in h2 približujeta eksponentno z istim relaksacijskim časom (τ ), ki je sicer enak obratni vrednosti hitrostne konstante (k), τ = 1/k: h1 = Ae−t/τ + B h2 = B(1 − e−t/τ ) , (2.9) kjer smo z A označili h10 −h1∞, z B pa h2∞ −h20. Če se vrnemo na analogijo s prehajanjem zdravila, kjer višina vode ustreza koncentraciji zdravila v predelku, bi vsota konstant A+B ustrezala začetni koncentraciji zdravila v prebavilih, konstanta B pa končni koncentraciji v prebavilih in krvi, ko je zdravilo enakomerno porazdeljeno. Na sliki 2.2 sta prikazana primera, kako se višini gladin v posodah približujeta ravnovesju: polni črti opisujeta primer, ko ima druga posoda enak presek kot prva, in črtkani črti, ko je presek druge posode le četrtino preseka prve posode. Hitrost približevanja (s hitrostno konstanto k = 1/τ ) je odvisna od razmerja volumnov (presekov valjastih posod) – čim manjša je druga posoda, tem hitreje se bo vzpostavilo novo ravnovesje (izpeljava v okvirčku) in tem manj se bo spremenila višina v prvi posodi (slika 2.2). Iz enačb (2.2) in (2.9) vidimo, da velja AS1 = BS2. 2.2 Praznjenje iz sistema z dvema predelkoma A običajno se snovi iz telesa izločajo (lahko direktno ali preko presnove) na več različnih načinov in seveda tudi različno hitro. V našem modelu to lahko ponazorimo z dodatno možnostjo odtekanja iz druge posode (slika 2.3). Odtok snovi iz druge posode je sorazmeren količini te snovi v tej posodi: Φ0 = k2V2 . (2.10) Če je upor cevi za odtok iz druge posode veliko večji kot upor cevi, ki povezuje posodi (R2 R), lahko za dolge čase, ko bi se gladini v posodah že izenačili, uganemo, da se 23 Slika 2.2: Spreminjanje gladine vode v valjastih posodah, ko je v začetnem trenutku druga posoda prazna. Polni črti predstavljata primer, ko sta površini posod enaki S1=S2, črtkani črti pa, ko je površina druge posode le četrtino površine prve posode; S1 =4S2. Vidimo, da se gladini izenačita hitreje (manjši τ ), če je površina (kapaciteta) druge posode manjša. h 1 R h R 2 2 Slika 2.3: Skica dveh povezanih posod z odtokom. Označeni so višini gladin (h1 in h2) ter viskozna upora delov sistema za pretok in odtok (R in R2). višina zmanjšuje eksponentno, le z daljšim relaksacijskim časom, saj se skozi odtok praznita hkrati obe posodi (kot bi bila ena posoda s površino S1+S2): h = Be−t/τp , (2.11) kjer τp opisuje, kako se praznita obe posodi skupaj: (S τ 1 + S2)R2 p = . (2.12) ρg Dejansko pa se oba procesa (pretakanje med posodama in praznjenje posod) začneta istočasno. Če sestavimo hitri in počasni del, je kot bi se višina, h kateri se višini v obeh posodah približujeta v hitrem delu (B), počasi zmanjševala (Be−t/τp), in dobimo: h1 = Ae−t/τ + Be−t/τp h2 = B2(e−t/τp − e−t/τ ) = −B2e−t/τ + B2e−t/τp . (2.13) 24 Ker se posodi praznita, kar pomeni, da teče tok tudi iz prve posode v drugo, ostaja gladina v prvi posodi višja kot v drugi (slika 2.4 levo), zato tudi konstanti B za prvo in drugo posodo nista povsem enaki, velja zveza τ B p − τ 2 = B , (2.14) τp Odvisnost [enačba (2.13)], ki jo opišemo z dvema časovnima konstantama, imenujemo dvoeksponentna funkcija. Dvoeksponentno odvisnost dobimo tudi, če je upor R2 po velikosti primerljiv uporu R1, le da sta v tem primeru časovni konstanti τ in τp odvisni od obeh uporov. Na modelu lahko opazujemo dogajanje v obeh posodah. Iz opisa (enačbi 2.13, 2.14) pa vidimo, da če poznamo obnašanje v eni posodi, lahko napovemo, kaj se dogaja v drugi, to nam pride prav, ko do posameznega predelka nimamo dostopa. Za hitro oceno dogajanja poglejmo, kakšna je maksimalna višina v drugi posodi in kdaj je ta dosežena. Maksimalno višino (h2,MAX) in čas, v katerem je ta dosežena, (tMAX) dobimo z njenim odvodom po času, dh2/dt = 0. To privede do izrazov τ h p − τ 2,MAX = B (κ−1/(κ−1) − κ−κ/(κ−1)) (2.15) τp in τ t p ln κ MAX = , (2.16) κ − 1 kjer je κ razmerje med karakterističnima časoma (τp/τ ). Vemo, da do tega časa višina narašča, po tem pa počasi pada. Izločanje snovi iz sistema smo opisali z odtokom iz 2. posode. V določenih primerih je fiziološko bolj relevantno*, če bi bil odtok iz prve posode. Enačbe ostanejo enake, le pri prehodu iz hitrega v počasni del, koncentracija v drugi posodi postane višja v drugi posodi, višja ostane ves počasni del, zato je tudi v tem primeru B2 večji od B: τ B p 2 = B , (2.17) τp − τ Napotki za določanje parametrov V praksi je relativno enostavno spremljati koncentracijo zdravila v plazmi. Iz tega, kako se koncentracija spreminja v plazmi, pa lahko sklepamo, ali se zdravilo le izloča (eksponentno zmanjševanje) ali morda prehaja v kak organ ali maščobo (dvoeksponentno). Poglejmo, kako iz časovne odvisnosti koncentracije (v modelu iz časovne odvisnosti višin) ugotovimo, za kakšne procese gre. *Na primer, splošni anestetik natrijev tiopental prehaja sorazmerno počasi iz krvi v maščobno tkivo in nazaj. Izločanje iz telesa pa poteka preko krvi. 25 Slika 2.4: Spreminjanje višin in ustrezna logaritma višin v posodah, ko sta preseka posod enaka. Če pogledamo spreminjanje višine v prvi posodi (slika 2.4 levo), vidimo, da pada. Težko pa je na prvi pogled reči, ali je to eksponentna ali več eksponentna funkcija. To enostavno preverimo, tako da narišemo ln h1 od časa (slika 2.4 desno). Če bo ta funkcija linearna, je to dokaz, da imamo opravka z eksponentno funkcijo, če pa je linearna samo na koncu, pri dolgih časih t τ , v začetku pa ne, to nakazuje, da imamo opravka z bolj zapleteno časovno odvisnostjo in da bo teže izluščiti parametre za opis spreminjanja količin. A linearnost pri dolgih časih nam da vedeti, da je v tem delu odvisnost eksponentna Be−t/τp (ali vsaj dober približek). Iz premice, ki jo potegnemo v tem delu, lahko določimo konstanti B in τp (n = lnB; k = −1/τp). Ko poznamo ti dve konstanti (B in τp), lahko prispevek počasnega dela izračunamo (za vsako meritev) in ta prispevek odštejemo od celotne odvisnosti višine h1, da dobimo novo odvisnost – lahko ji rečemo hitri del hh = h 1 1 − Be−t/τp = Ae−t/τ . (2.18) Ali je naša napoved pravilna in je tudi hiter del eksponentna funkcija, preverimo tako, da graf ponovno lineariziramo. Če sedaj vse točke (v okviru merske napake) ležijo na premici, smo dobili celotno časovno odvisnost in lahko rečemo, da se da sistem opisati z dvema časovnima konstantama in da morata obstajati vsaj dve različni poti za izmenjavo snovi (na primer: iz prebavil v krvno plazmo in izločanje). Podobno lahko naredimo za drugo posodo, kjer hitri del lahko izrazimo kot: hh = B 2 2e−t/τp − h2 = B2e−t/τ . (2.19) Naloge: 1. Izmerite in analizirajte časovno odvisnost spreminjanja višine vode v modelu z dvema predelkoma. Potrebščine: sistem merilnih posod čaša 26 kamera programa za predvajanje posnetkov in risanje grafov Izvedba Po priloženih navodilih sestavite/preverite sistem dveh merilnih posod. Poglejte si, kako deluje tablica (navodila priložena). Lahko snemate s svojimi pripomočki (telefon, tablica. . . ), a v tem primeru se najprej prepričajte, da boste s posnetka lahko razbrali višino gladine vode in čas. Izpraznite drugo posodo, prvo pa napolnite z vodo do višine 20 cm. Istočasno vključite kamero (snemanje) in odprite ventil med posodama. Snemajte nepre-kinjeno, tudi potem, ko začne gladina v drugi posodi padati. Snemajte vsaj toliko časa, da gladina v drugi posodi pade na 1/3 maksimalne višine v tej posodi. Predvajajte film in iz posnetka določite čase za višini gladin v obeh posodah na vsakih 5 mm, da dobite časovni odvisnosti za višini: h1(t) in h2(t). Čase merite od trenutka, ko ste odprli ventil. Analiza: Ker je merskih točk veliko, se jih splača obdelati s pomočjo programa. Lahko jih obdelate v katerem koli programu, ki ga poznate, lahko pa jih preračunate tudi ročno. Navodila opisujejo, kako se vnese podatke v že pripravljeno preglednico v Excelu. Tabeli imata že pripravljene stolpce in osnutke grafov za prvo in drugo posodo. A B C D E F G 1 t[s] h1 ln h1 B τp B*e−t/τp ln(h1 − B*e−t/τp) 2 3 A B C D E F G 1 t[s] h2 ln h2 B2 τp2 B2*e−t/τp2 ln(B2*e−t/τp2 − h2) 2 3 Navodila za vnašanje podatkov v pripravljeno preglednico: - odprite: program Excel ali - odprite: datoteko PredMatrica – odpre se vam že pripravljena razpredelnica in jo shranite s svojim imenom (na primer: Ime-skupina-datum). - vnesite podatke za višino gladine v prvi posodi v stolpec B in ustrezne čase v stolpec A, čas vnašajte v sekundah - poglejte, če oranžno obarvane točke, ki naj bi ustrezale počasnemu spreminjanju višine, ležijo na premici. Če nekaj oranžno obarvanih točk ne leži na premici, ali je nekaj točk, ki ležijo na premici, pa niso oranžne, spremenite izbiro podatkov (navodila, kako to storite so v dodatku na koncu navodil in priloženem listu na vajah ). 27 - Nad premico je izpisana enačba trendne črte (premice, ki se najbolje prilega oranžnim točkam - najboljšega fita). Iz koeficientov premice (k in n) izračunajte τp (k = −1/τp) in B (n = ln B). - τp in B vnesite v prvo polje stolpcev D in E (celici D2 in E2)– izračunajo se vrednosti v stolpcih F in G in izriše graf Odvisnost hitrega dela od časa“. ” - Poglejte, če rdeče točke ležijo na premici – če je potrebno popravite izbor podatkov Kratki časi, enako kot ste storili za Dolgi časi. - Tudi tu je poleg premice izpisana enačba premice in iz koeficientov premice izračunajte τ (k = −1/τ ) in A (n = ln A). Vnesite podatke o časih in višinah še za drugo posodo – v spodnjo preglednico (od vrstice 50 naprej). Ponovite ves postopek (kot za prvo posodo) in iz teh meritev izračunajte τp2, τ2, in B2 in A2 (A2 in B2 sta po modelu enaka, lahko pa do razlike pride zaradi merskih napak). Grafe si shranite na USB ključek ali si jih pošljite po e-pošti ter si jih natisnite za izdelavo poročila. - Primerjajte dobljene vrednosti relaksacijskih časov τ s τ2 in τp s τp2 ter vrednosti konstante B s B2 dobljenih iz sprememb višin v prvi in drugi posodi. - Iz karakterističnih konstant za prvo posodo (A, B, τp,τ ) izračunajte h2,MAX in tMAX (izraza 2.15 in 2.16). Izračunano točko vrišite v diagram, kjer sta prikazani višini h1 in h2 od časa. - Kakšna bi bila maksimalna višina v drugi posodi (izraz 2.15), če bi bil τp dvakrat daljši, ostale konstante (A, B, τ ) pa se ne bi spremenile? - Kaj bi se zgodilo, če druga posoda v začetku ne bi bila popolnoma prazna? - Ob jedrskih nesrečah se v zraku pojavi tudi zvišana koncentracija radioaktivnega joda. Kot preventivo pred rakom ščitnice priporočajo vzeti jodove tablete. Bi znali razložiti, zakaj naj bi to delovalo kot preventiva in kdaj je potrebno te tablete vzeti? Dodatek: Sprememba izbire podatkov v Excel programu: - z miško se postavite na eno od oranžnih pik in pritisnete desni gumb – odpre se novo okno v oknu izberite: Izberi podatke – odpre se novo okno izberite niz: Dolgi časi in Uredi – odpre se novo okno v vrsticah Vrednosti serij X in Vrednosti serij Y popravite vrednosti v zapisih, če bi želeli vključiti še tri točke začetku: Vrednost serij X iz =List1!$A$15:$A$60 na =List1!$A$12:$A$60 Vrednost serij Y iz =List1!$C$15:$C$60 na =List1!$C$12:$C$60 Oziroma, če bi želeli prvi dve točki izpustiti: Vrednost serij X iz =List1!$A$15:$A$60 na =List1!$A$17:$A$60 Vrednost serij Y iz =List1!$C$15:$C$60 na =List1!$C$17:$C$60 Izbiro shranite in zaprete okno z gumbom: V redu Izbiro shranite in zaprete okno z gumbom: V redu Izbiro shranite in zaprete okno z gumbom: V redu 28 3 Tekočine Lastnosti tekočin* so za fiziologijo pomembne, saj kar približno 70 % človeškega telesa sestavlja najpomembnejša tekočina – voda. Osnovna lastnost tekočin je, da relativno dobro ohranjajo prostornino, ne pa tudi oblike, če nanje delujemo s silo. Tako se npr. kri v žili prilagodi obliki žile. Pri tej vaji se bomo seznanili z nekaterimi lastnostmi tekočin. Merili bomo površinsko napetost (1. del), viskoznost (2. del) ter krvni tlak (3. del). Površinsko napetost in viskoznost tekočin bomo izmerili na dva različna načina. Pri merjenju krvnega tlaka bomo ugotavljali, kako je višina lege manšete glede na srce pomembna za izmerjeni krvni tlak. Pri vsakem delu vaje so pojavi najprej opisani, da pojave dobro razumemo in da lahko uspešno opravimo meritve. Vsakemu opisu pojavov sledi navodilo za izvedbo vaje. Nekateri bolj zahtevni opisi fizikalnih zakonitosti in nekatere značilnosti krvi, ki niso bistvene za razumevanje pojavov, so v dodatku. 3.1 Površinska napetost Stiki tekočine z drugimi snovmi so lahko energijsko ugodni, ali pa neugodni. Tako je npr. kri rada v stiku z žilo, njen stik z zrakom pa je neugoden. Fizikalna lastnost, ki določa, kako “rade” so snovi v stiku, je površinska napetost (σ). Površinska napetost je torej lastnost stika med dvema snovema. Čim bolj je stik neugoden, tem večja je površinska napetost. Vplive površinske napetosti lahko opazimo pri majhnih količinah tekočine, kajti takrat je razmerje med površino in prostornino največje. Stiki med plini in tekočinami so neugodni, zato si voda “želi” površino zmanjšati. Kapljica v plinu ima tako obliko krogle, saj ima krogla med vsemi telesi pri dani prostornini najmanjšo površino. Pri stiku vode in zraka (slika 3.1) površinska napetost (σ) določa silo na dolžino po-ljubnega roba na njeni površini (dodatek, str. 42) F σ = . (3.1) l Večja kot je dolžina izbranega roba (l), sorazmerno večja je tudi sila (F ). Enota za površinsko napetost je newton na meter (1 N/m = 1 J/m2). F F l Slika 3.1: Površinska napetost deluje s silo (F ) v ravnini tekočine in je pravokotna na katerikoli rob (l). *Tukaj uporabljamo izraz tekočina za snovi, ki lahko tvorijo kapljice. Snovem, ki lahko tvorijo kapljice, rečemo tudi kapljevine. V tem primeru uporabljamo izraz tekočina kot skupno ime za kapljevine in pline. 29 Tri snovi so lahko v stiku le na neki krivulji. Primer prereza takega stika, ko je na ravnem steklu kapljica vode, je prikazan na sliki 3.2. Na trojnem stiku tvori voda z zrakom glede na njen stik s steklom t.i. kot močenja (θ), ki je odvisen od površinskih napetosti med snovmi [dodatek, enačba (3.14)]. Voda moči steklo, saj so molekule raje v stiku z njim kot same s seboj, in kot θ je manjši od 90◦. Pri tekočinah, ki ne močijo podlage, je kot θ večji od 90◦. plin θ voda Slika 3.2: Presek kapljice vode, ki leži na ravnem steklu. Stik je vode s steklom je energijsko ugoden in kot steklo močenja (θ) je majši od 90◦. Učinek površinske napetosti opazimo, ko pomočimo stekleno kapilaro v vodo. Pri tem poizkusu tekočina spontano deloma napolni kapilaro (slika 3.3). Ta pojav imenujemo kapilarni dvig. Zaradi sile površinske napetosti obstaja tendenca, da bi bila stična površina zelo velika. Tej tendenci nasprotuje teža tekočine, zato se kapilara ne napolni do vrha, ampak le do določene višine. Drugače kot sila površinske napetosti je sila teže sorazmerna prostornini v kapilari. Ravnovesna višina ustreza ravnovesju sil. Izkaže se, da v ravnovesju za višino kapilarnega dviga velja enačba (dodatek, str. 44) 2σ cos θ h = , (3.2) rρg kjer so σ površinska napetost med vodo in zrakom, r polmer kapilare, ρ gostota vode in g težnostni pospešek. Odvisnosti med količinami v enačbi (3.2) lahko razumemo. Kapilarni dvig je tem večji, čim tanjša je kapilara, saj je pri tanjši kapilari večje razmerje med njeno površino in prostornino, in je tem manjši, čim večja je gostota tekočine, saj je teža, ki nasprotuje dvigu, sorazmerna gostoti. Višina kapilarnega dviga je seveda odvisna tudi od površinskih napetosti med vsemi snovmi in je večja pri bolj izrazitih močenjih, ko je kot θ manjši.* Obvezna je le ena naloga. Nalogi: 1. Izmerite površinsko napetost vode z zanko. 2. Izmerite površinsko napetost vode pri kapilarnem dvigu. Potrebščine: zanka, torzijska tehtnica, steklena kapilara, ravnilo, destilirana voda * Če tekočina kapilare ne moči, pride celo do kapilarnega spusta. 30 2 r h Slika 3.3: Kapilarni dvig za višino h. Višina kapilarnega dviga ni odvisna od globine, na katero je potopljena kapilara. Izvedba 1) Na sprednji strani torzijske tehtnice je okrogel gumb za uravnavanje sile, s katero tehtnica deluje na zanko. Na začetku nastavite začetno lego kazalčka na nič, pri čemer pazite, da se zanka ne dotika vode. Nato z vodo napolnjeno posodo dvigujte, dokler se vodna gladina ne dotakne zanke. Tik pred dotikom jo dvigujte zelo počasi. Z vrtenjem gumba povečujte silo, s katero vlečete zanko iz vode. Zanko vlecite tik pred odtrganjem zelo počasi. F Slika 3.4: Shematski prikaz vlečenja Fσ Fσ zanka zanke iz vode. Gladina vode ima ob zanki obliko kraterja. Levo zgoraj: povečan prerez zanke z označenimi si- lami, ki delujejo nanjo. Sila F , s katero voda vlečemo zanko, je navpična. Sila zaradi površinske napetosti (Fσ) je tangencilna na površino vode v točki, kjer se voda in zanka dotikata. Opazujte, kaj se dogaja z vodo ob zanki (slika 3.4). V vsakem trenutku je rezultanta sil površinske napetosti, katerih velikost se ne spreminja, nasprotno enaka sili vlečenja zanke. Z dvigovanjem zanke postaja smer sile površinske napetosti vedno bolj navpična, ker se sila vlečenja povečuje. Ko postane sila površinske napetosti navpična in silo vlečenja še malo povečamo, porušimo ravnovesje sil in zanka se odtrga od gladine. V tistem trenutku velja enačba [enačba (3.1)] F σ = , (3.3) 2lz kjer je lz obseg zanke. Dvojni obseg zanke smo vzeli, ker imamo v našem primeru dva stična roba med zanko in vodo – eno na notranji in drugo na zunanji strani zanke. 31 S torzijsko tehtnico izmerite silo (F ), pri kateri se zanka odtrga od gladine. Opravite tri meritve in izračunajte povprečno vrednost sile. Površinsko napetost izračunajte po enačbi (3.3). Ocenite natančnost meritve. 2) Izpraznjeno kapilaro pomočite globoko v posodo z vodo, da se kapilara omoči od znotraj. Kapilaro lahko omočite tudi tako, da jo daste poševno v vodo. Če je kapilara skoraj vodoravno v vodi, se skoraj v celoti napolni. Če je kapilara dovolj visoko omočena in če v njej ni zračnih mehurčkov, vodni stolpec (slika 3.3) ne sledi dviganju in spuščanju kapilare. Z merilom izmerite višino kapilarnega dviga (h). Pri meritvi upoštevajte dno meniskusa. Naredite tri meritve, kjer so kapilare različno globoko potopljene. Določite srednjo vrednost višine kapilarnega dviga. Površinsko napetost izračunajte po enačbi σ = ρghr/2, ki jo dobimo po preureditvi enačbe (3.2), pri čemer upoštevamo, da je mejni kot med vodo in steklom zanemarljivo majhen (θ ≈ 0). Polmer kapilare je naveden pri vaji. Ocenite natančnost meritve. Je višina kapilarnega dviga odvisna od dolžine kapilare pod gladino? Ali se višina kapilarnega dviga kaj spremeni, če je kapilara v poševni legi? 3.2 Viskoznost 3.2.1 Viskozno trenje in krvni obtok Z viskoznostjo se navadno srečamo na dva načina: pri pretakanju viskoznih tekočin in pri premikanju po viskoznih tekočinah. Tako bomo pri vaji najprej spoznali vlogo viskoznosti pri krvnem obtoku in nato še pri sedimentaciji. Slika 3.5: Shematski prikaz krvnega ob- toka. Srce požene kri po arterijah, le-ta pa se vrne po venah. Model za srce - črpalka - vsebuje dva dela. Desni del žene kri skozi dve krili pljuč, levi pa skozi vse ostale or- gane. 32 Kri po krvnem obtoku poganja tlak, ki ga s krčenjem ustvarja srce. Tok krvi je is-tosmeren zaradi srčnih zaklopk, ki dopuščajo pretok samo v eno smer. Krvni obtok se često obravnava z modelom, najbolj preprosto ponazorjenim s črpalko, ki predstavlja srce, in različno debelimi cevmi, ki predstavljajo krvožilni sistem (slika 3.5). Za razumevanje pretakanja krvi po žilah je pomembno, kaj vpliva na pretok.* Kri ni navadna tekočina, saj vsebuje krvne celice, zato je natančna obravnava obtoka zapletena (dodatek, str. 45). Natančna obravnava obtoka je tudi zapletena, ker so stene žil elastične. Oblika žil se namreč spremeni pri tlačnih spremembah. Zapleteno gibanje tekočine v splošnem opišemo z določitvijo velikosti in smeri hitrosti za vsak njen del. Smer hitrosti lahko ponazorimo s tokovnicami. Tokovnica je črta, za katero velja, da na izbranem mestu tangenta na tokovnico kaže smer toka oziroma hitrosti majhnega dela tekočine. Pri stacionarnem toku se hitrost ne spreminja s časom in oblika tokovnic ostaja nespremenjena. Slika 3.6: Hitrostni profil krvi v dolgi tanki žili polmera R, kjer je narisan le kratek odsek. Dolžina puščic je soraz- merna s hitrostjo plasti na izbranem me- stu. Kri teče tako, da so tokovnice ure- 2 R jene. Takemu toku pravimo laminarni vektorji hitrosti tokovnice tok. Opis gibanja krvi v tankih žilah je razmeroma preprost. Takrat je smer hitrosti kateregakoli dela tekočine povsod vzporedna z žilo in tok je laminaren, saj se plasti urejeno gibljejo druga ob drugi (slika 3.6). Hitrosti je največja na sredini žile, z oddaljenostjo od sredine se manjša, na steni žile pa je enaka nič. Pri gibanju tekočin prihaja med molekulami, ki se različno hitro gibajo, do medsebojnega trenja. Zaradi trenja počasnejše plasti molekul zadržujejo hitrejše, te pa vlečejo počasnejše. Pravimo, da delujejo med plastmi strižne sile, pojavu pa pravimo viskozno trenje. Viskozno trenje se pojavi tudi pri gibanju predmeta po viskozni tekočini. Iz vsakdanjega življenja vemo, da nekatere tekočine tečejo “lažje” kot druge – tako npr. med teče težje kot olje, ta pa težje kot voda. Lastnost tekočine, ki določa, kako “lahko” oz. “težko” teče tekočina, je viskoznost. Bolj kot je tekočina viskozna, težje teče. Če je hitrost krvi velika, kot je npr. v aorti, se ustvarjajo vrtinci, tj. tok postane tur-bulenten.„ Poleg velike hitrosti (v) je za turbulentni tok značilno, da nastane pri večji *Pomembne korake za razumevanje toka tekočin skozi cevaste strukture je opravil francoski zdravnik, fiziolog in fizik L. M. Poiseuille (1799–1869), ki so ga problemi pri pretakanju krvi po žilah motivirali za raziskovanje na tem področju. „Pri turbulentnem toku se tokovnice prepletajo in na izbranem mestu se spreminjata tako velikost kakor 33 vztrajnosti tekočine, tj. pri večji gostoti (ρ), in seveda pri manjši viskoznosti (η), ki je značilna za laminarni tok. Pomembno je še, kako velik je predmet opazovanja, kajti pri opazovanju majhnega dela tekočine opazimo vzporedne tokovnice. Tako lahko po premisleku dane količine povežemo v izraz, s katerim lahko ocenimo mejno vrednost, pod katero je tok laminaren* vρR Re = , (3.4) η kjer je R polmer žile. Količini Re pravimo Reynoldsovo število. Da je tok laminaren pri majhnih hitrostih, gostotah in dimenzijah glede na viskoznost, velja splošno. Tok v žili je laminaren, če je vrednost Reynoldsovega števila manjša od 1000.„ 3.2.2 Določanje viskoznosti z merjenjem toka tekočine skozi Ostwaldov viskozimeter Ostwaldov viskozimeter je steklena cevka v obliki črke U, ki je sestavljena iz odsekov z različnimi preseki (slika 3.7). Če višini gladin tekočine na obeh straneh viskozimetra nista enaki, tekočina teče proti strani, kjer je gladina nižja. Hitrost pretakanja tekočine je odvisna od geometrije viskozimetra. Ker ima določen odsek viskozimetra zelo majhen presek, je pretok tekočine skozi viskozimeter majhen in izenačevanje gladin poteka počasi. Bolj kot je tekočina viskozna, počasneje to poteka. Nasproten učinek pa ima gostota tekočine. Bolj kot je tekočina gosta, večjo težo ima in zato teče hitreje. Po razmisleku lahko tako pridemo do zaključka, da je čas, v katerem se pretoči določena prostornina tekočine, sorazmeren viskoznosti tekočine in obratno sorazmeren njeni gostoti (ρ) η t = κ , (3.5) ρ kjer je κ konstanta, ki je določena z geometrijo viskozimetra in prostornino pretečene tekočine . Enota za viskoznost (η) je poise (P), za katero velja 1 P = 1 Pa · s = 1 kg/ms. Viskoznost ne smemo zamenjevati z gostoto, ki določa maso izbrane prostornine tekočine §. Če vrednosti konstante κ za viskozimeter ne poznamo, lahko viskoznost določimo s primerjalno meritvijo, pri kateri čas pretoka tekočine z neznano viskoznostjo (t) primerjamo s časom pretoka tekočine z znano viskoznostjo (t0). Če v obeh primerih pretočimo enako prostornino tekočine, za tekočino z znano viskoznostjo (η0) velja zveza z isto konstanto κ tudi smer hitrosti tekočine. *Mejno vrednost prehoda pravzaprav ocenimo, če delimo izraz za silo upora pri turbulentnem toku z ustreznim izrazom za laminarni tok. Tu je naveden rezultat deljenja, pri čemer so izpuščeni številčni faktorji, ki nastopajo v izrazih za upore. „Za laminarni tok velja sorazmernost med silo trenja in hitrostjo. Za turbulentni tok velja kvadratni zakon upora pri Re > 2000. Konstanto κ bi lahko ocenili z integralom 8l R V dV , kjer je V pretečena prostornina. πr4g 0 z 0 §Da med viskoznostjo tekočine in njeno gostoto ni neposredne povezave, se lahko prepričamo, če primerjamo npr. viskoznosti in gostote medu, alkohola in vode. 34 z z 2 r 0 Slika 3.7: Shematski prikaz Ostwaldovega viskozimetra. l Ključen del viskozimetra je zelo ozka cevka z dolžino l in polmerom r0, katere upor prevladuje. Označena sta še razlika v višinah tekočin (z) in razlika v povprečnih višinah tekočin, ki na sliki ustreza kar razliki v povprečnih višinah bučk (¯ z). [enačba (3.5)], t0 = κη0/ρ0, kjer je ρ0 gostota tekočine z znano viskoznostjo. Ko medsebojno delimo izraza z znano in neznano viskoznostjo, lahko neznano viskoznost izrazimo kot t ρ η = η0 . (3.6) t0 ρ0 Do enačbe (3.5) lahko pridemo tudi z upoštevanjem Hagen-Poiseuilleove enačbe, ki določa prostorninski tok skozi nek presek cevi, tj. pretečeno prostornino na časovno enoto (ΦV = dV /dt) [dodatek, str. 47]. Pri zapisu Hagen-Poiseuilleove enačbe za naš primer je ključno upoštevati, da ima ozka cevka viskozimetra veliko manjši presek kot ostali odseki, zato lahko trenje tekočine na ostalih odsekih zanemarimo. Ob upoštevanju, da je sila upora tekočine enaka teži vodnega stolpca, lahko pretok zapišemo v obliki πr 4 Φ 0 V = ρgz , (3.7) 8ηl kjer sta r0 in l polmer in dolžina ozke cevke, produkt ρgz, kjer je z razlika v višinah gladin, pa predstavlja tlačno razliko.* Enačbo (3.2) lahko deloma razložimo. Pri večjih vrednostih l in η je trenje v cevki večje, zato je pretok skozi cev obratno sorazmeren s tema parametroma. Pretok pa je večji pri večjem preseku cevi, ki je odvisen od r0, in sorazmeren je s tlakom, ki tok poganja. Pretok ΦV je sorazmeren z gostoto in razliko v višinah ter obratno sorazmeren z viskoznostjo. Ostala parametra (r0 in l) pa sta odvisna le od geometrije cevi viskozimetra. Povprečen pretok skozi viskozimeter, t. j. pretečena prostornina iz zgornje v spodnjo bučko v določenem času, pa je sorazmeren s povprečno razliko v višinah tekočin (¯ z), V /t ∝ ρ¯ z/η. Zato je čas, v katerem se pri danih pogojih pretoči določena prostornina tekočine, sorazmeren viskoznosti tekočine in obratno sorazmeren njeni gostoti [enačba (3.5)]. *Tok tekočine bi se skozi viskozimeter ustavil, če bi na nižjo gladino delovali s tlakom ρgz. Zato ravno ta vrednost tlačne razlike poganja skozenj tekočino. 35 3.2.3 Sedimentacija Ena od osnovnih krvnih preiskav je test sedimentacije eritrocitov. Pri njej merijo, kako hitro se posedajo eritrociti v krvni plazmi. Hitrost sedimentacije je pri mnogih bolezenskih stanjih povečana, zato lahko s testom sedimentacije nespecifično ugotavljamo prisotnost bolezni. F F v u h Slika 3.8: Shematski prikaz padanja kroglice v vi- v F skozni tekočini. Tekočina je v merilnem valju, na g katerem sta oznaki, med katerima izmerimo čas pa- danja kroglice. Kroglica med oznakama pada z ena- komerno hitrostjo (v). Sila teže (Fg), vzgona (Fv) ter upora (Fu) so v ravnovesju: Fg − Fv − Fu = 0. Za razumevanje sedimentacije študiramo, kaj se dogaja s kroglico, ki pada v viskozni tekočini (slika 3.8). Ko kroglico spustimo v tekočino, nanjo delujeta sila teže navzdol in sila vzgona navzgor. Če je kroglica gostejša od tekočine, kaže rezultanta sil na kroglico navzdol in kroglica pada pospešeno. Toda na gibajočo kroglico deluje sila upora, ki nasprotuje gibanju in torej deluje navzgor. Če hitrost kroglice ni prevelika, je gibanje tekočine laminarno in velja linearni zakon upora. Če je kroglica majhna v primerjavi z razsežnostjo tekočine, se linearni zakon zapiše v obliki Stokesove enačbe, po katerem je sila upora sorazmerna hitrosti (v) njenega gibanja Fu = 6πrηv , (3.8) kjer sta r polmer kroglice in η viskoznost tekočine. Sili teže in vzgona se ne spreminjata, sila upora pa narašča z naraščanjem hitrosti gibanja kroglice, zato je naraščanje hitrosti vedno manjše. Pri določeni hitrosti padanja kroglice se hitrost kroglici ne bo več spreminjala. Po začetku gibanja se kroglici torej hitrost nekaj časa povečuje, vse dokler ne doseže končne hitrosti padanja. Kako je hitrost kroglice odvisna od njene velikosti, lahko ugotovimo iz ravnovesja sil. Sila upora je poleg hitrosti sorazmerna tudi s polmerom (r) [enačba (3.8)], sila teže (Fg) in vzgona (Fv) pa sta sorazmerni z r3: Fg = ρk · 4πr3/3 · g in Fv = ρ0 · 4πr3/3 · g, kjer sta ρk gostota kroglice in ρ0 gostota tekočine. Ko so sile v ravnovesju (slika 3.8), je zato hitrost sorazmerna z r2 2(ρ v = k − ρ0)gr2 . (3.9) 9η Končna hitrost kroglice je sorazmerna z razliko v gostotah kroglice in tekočine, ker teža in vzgon, ki sta odvisna od ρk in ρ0, delujeta v nasprotni smeri. Po pričakovanju je končna hitrost obratno sorazmerna viskoznosti, saj je pri večji viskoznosti tudi večje trenje. 36 Pri testu sedimentacije eritrocitov v krvni plazmi izkoristimo vpliv velikosti kroglice na hitrost padanja. Pri nekaterih bolezenskih stanjih se eritrociti namreč sprijemajo v skupke. Gostota takega skupka je seveda enaka gostoti posameznih eritrocitov, efektivni polmer skupka pa je večji kot efektivni polmer posameznega eritrocita. Skupki eritrocitov zato tonejo hitreje kot prosti eritrociti, kar se pozna kot povečana sedimentacija. Za ugotavljanje, ali je v okolici kroglice tok laminaren, lahko uporabimo isti izraz kot pri ceveh [enačba (3.4)], pri čemer v enačbo vstavimo kar hitrost kroglice (v) in njen radij (r). Izkaže pa se, da je tok v okolici kroglice laminaren pri manjših vrednostih števila Re, namreč ko je njegova vrednost manjša od 0,5. Obvezna je le ena naloga. Nalogi: 1. Določite viskoznost etanola z Oswaldovim viskozimetrom. Preverite, ali je gibanje tekočin laminarno. 2. Določite viskoznost glicerola z merjenjem hitrost padanja kroglic v tekočini. Preverite, ali je gibanje tekočine laminarno. Potrebščine: Ostwaldov viskozimeter, prižema za pritrditev viskozimetra, voda, katere viskoznost je podana pri vaji, etanol, pipeta, gumijasta žogica za piha-nje, štoparica, termometer, kljunasto merilo, z glicerolom napolnjen valj, steklene kroglice različnih polmerov, pinceta Izvedba 1) a) Viskoznost alkohola določimo s primerjavo časov pretoka alkohola in vode. Od-merite prostornino alkohola, ki je podana pri vaji, ter ga vlijte v viskozimeter. Nad ozkim delom cevi je bučka, ki je zgoraj in spodaj označena. S pomočjo gumijaste žogice črpajte zrak v nižji del viskozimetra, tako da ustvarite nadtlak, vse dokler se tekočina na drugem delu ne dvigne preko zgornjega znamenja na bučki, kar je nazorno prikazano na sliki pri vaji. Pri tem pazite, da v viskozimetru ni zračnih mehurčkov! Ko gumijaste cevko odstranimo, začne gladina tekočine v bučki padati. Izmerite čas, v katerem se gladina zniža od zgornjega znamenja do spodnjega znamenja na zgornji bučki. Opravite tri meritve časa pretoka za alkohol (t) in odlijte ga nazaj v pripadajočo stekleničko ter viskozimeter dobro izpraznite. Nato opravite še tri meritve časa pretoka za vodo (t0). V viskozimeter vlijete enako prostornino vode kot alkohola! Po končani meritvi z vodo, jo odlijte nazaj v pripadajočo stekleničko. Pazite, da ne zamenjate steklenički. Viskoznost alkohola izračunajte z uporabo enačbe (3.6). Gostota vode (ρ0) in alkohola (ρ) ter viskoznost vode (η0) so podane pri vaji. Upoštevajte temperaturo, ki jo odčitate s termometra na steni laboratorija. b) Ali sta tokova v viskozimetru laminarna? V ta namen izračunajte Reynoldsovo število (Re) za tok hitrejše tekočine v ozki cevki [enačba (3.4)], kjer je hitrost največja. 37 Pri izračunu števila Re je potrebno upoštevati polmer cevke (r0) in hitrost, ki jo izračunate po enačbi v = V /(St0),* kjer je V pretečena prostornina in S = πr2 je 0 presek ozkega dela viskozimetra. Podatek o pretečeni prostornini je podan pri vaji. Opozorilo: prostornina V je manjša kot celotna prostornina tekočine, kajti v času t0 se preteče le del celotne tekočine, ki jo sicer vlijemo v viskozimeter. Za izračun polmera ozke cevke, za katerega velja enačba r0 = 4 p8V η0l/(πt0ρ0g¯z) [enačba (3.7)], potrebujete še podatka o dolžini te cevke pri viskozimetru (l) in razliki v povprečnih višinah tekočin (¯ z) (slika 3.7), ki ju izmerite z ravnilom. 2) a) V merilnem valju je glicerol, v posodici pa so kroglice različnih velikosti. S pinceto vzemite po eno kroglico vsake velikosti in ji s kljunastim merilom izmerite premer (2r). Premer manjših kroglic je najlažje izmeriti, če jih položite na ravno podlago na pladnju. Kroglico spustite v tekočino in izmerite čas (t), v katerem pade kroglica od zgornje do spodnje oznake na merilnem valju. Kroglico spustite tako, da bo potovala čim bolj po sredini merilnega valja. Ko določate trenutek, v katerem kroglica pade mimo oznak na merilnem valju, glejte na kroglico v vodoravni smeri, da ne pride do napake pri meritvi zaradi paralakse. Če kroglica zaradi površinske napetosti ostane na gladini tekočine in ne potone, jo potopite s priloženo paličico. Izračunajte hitrost padanja kroglice, v = h/t, pri čemer je razdalja med oznakama (h) podana. Ponovite postopek za vse velikosti kroglic. b) Narišite diagram hitrosti padanja v odvisnosti od kvadrata radija kroglice. Če dejansko velja linearni zakon upora, kot to napoveduje enačba (3.9), ležijo točke na diagramu na premici v = kr2, kjer je k = 2g(ρk − ρ0)/(9η) ustrezen naklonski koeficient. Gostoti tekočine (ρ0) in kroglic (ρk) sta podani pri vaji. Določite koeficient k ter iz njega izračunajte viskoznost tekočine. c) Je ta tok laminaren? Izračunajte število Re za tok v okolici najhitrejše kroglice [enačba (3.4)], pri čemer upoštevate gostoto in viskoznost dane tekočine. 3.3 Krvni tlak 3.3.1 Naraščanje tlaka z globino Če tekočina miruje, sile v tekočini delujejo enakomerno v vse strani in posledično pravokotno na katerokoli izbrano ploskev (slika 3.9). Tako sila deluje pravokotno na steno posode ali na steno kateregakoli predmeta v tekočini. Ko sila F deluje na ploskev s površino S, ustrezen tlak izrazimo z enačbo p = F/S. Enota za tlak je pascal (1 Pa = 1 N/m2). Tlak v posodi narašča z globino zaradi teže tekočine, ki je nad izbranim nivojem. V nestisljivi tekočini je razlika v tlakih med dvema nivojema kar sorazmerna z razliko v višinah (h), saj *Enačbo za povprečno hitrost vode v cevki dobimo iz izraza za pretečeno prostornino V = Svt0, kjer vt0 predstavlja višino umišljenega stolpca. 38 F’ F F S’ F F F’ S S F S F Slika 3.9: Ilustracija Pascalovega zakona. Narisane so ploskvice in ustrezne sile na istem nivoju v različnih smereh, ki delujejo pravokotno na ploskvice. Površina ploskvice S0 je večja kot površina ploskvic S, zato je tudi ustrezna sila (F 0) sorazmerno večja kot sile na manjše ploskvice (F ), ki so si sicer po velikosti enake. je sila tekočine stolpca danega preseka sorazmerna z višino p = ρgh , (3.10) kjer je ρ gostota tekočine.* Zaradi sorazmernosti med tlakom in višino [enačba (3.10)], se tlak pogosto nazorno izraža tudi z ustrezno višino stolpca tekočine, ki povzroči enako vrednost tlaka. V praksi se je včasih uporabljalo predvsem merilce krvnega tlaka na živo srebro. Višino stolpca so podajali v milimetrih, zato je ustrezna okrajšava za enoto tlaka kar mmHg, za katero torej velja 1 mmHg = 13.590 kg/m3 · 9,8 m/s2 · 1 mm = 133 Pa.„ 3.3.2 Porazdelitev tlaka Srce se izmenično krči in poganja kri v obliki sunkov, kar se prenaša tudi na žile. Zato je tok skozi žile v glavnem nestacionaren in tlak na izbranem mestu arterije se spreminja (slika 3.10a). Če otipamo arterije, lahko zaznamo pulz. Z oddaljenostjo od srca se povprečen tlak po času in tudi odmik od povprečja zmanjšujeta (slika 3.10b). Ko kri vstopa v kapilare, ima povprečen tlak približno le še četrtino povprečne vrednosti ob srcu. Tlak nadalje pada še v venah in ob vstopu v srce je njegova vrednost približno enaka zračnemu tlaku. Zmanjševanje povprečnega tlaka in odmika je odvisno od več vzrokov: viskoelastičnih lastnosti žil, ki se sicer vzdolž obtoka spreminjajo, ter viskoznosti krvi. *O ustreznosti enačbe (3.10) se lahko prepričamo, če upoštevamo, da na vodoravno ploskvico s površino S deluje sila teže tekočine nad njo (F = ρShg). „Enota za tlak 1 mmHg je po definiciji enaka 1 torr in poimenovana po Evangelista Torricelli, 1608-1674. 39 sistolicni tlak a tlak diastolicni tlak cas Slika 3.10: (a) Shematski prikaz časovnega b spreminjanja tlaka v arteriji. Sistolični tlak je najvišji tlak med srčnim utripom, ko srce tlak iztisne kri v ožilje. Diastolični tlak je najnižji tlak v arterij med dvema utripoma. (b) Shematski prikaz spreminjanja tlaka vzdolž ar- terijskega krvnega obtoka. Najvišje vrednosti tlaka so prikazane s polno črto, najnižje pa s levi prekat aorta arterije kapilare črtkano. V kapilarah je tlak stacionaren. Krvni tlak je v glavnih arterijah človeka, ki leži v vodoravnem položaju, približno povsod enak. Z oddaljenostjo od srca se tlak v glavnih arterijah namreč le malo zmanjša, ker je polmer teh žil velik. Ko človek vstane, se porazdelitev tlaka tudi v glavnih arterijah bistveno prerazporedi. Do veljave namreč pride specifična teža krvi. Npr. v glavnih arterijah glave, ki so 50 cm iznad srca, je tlak znatno nižji kot v aorti. Če uporabimo enačbo (3.10), lahko ocenimo, da je vrednost tlaka v primerjavi z aorto manjša za 37 mmHg.* Sorazmerno večja razlika je med tlakom v srcu in stopalih, ki so npr. 130 cm nižje kot aorta. 3.3.3 Merjenje Krvni tlak je tako pomemben kazalec za človekovo zdravstveno stanje, da ga je potrebno pravilno izmeriti. Tlak bi lahko izmerili s tanko prozorno cevjo, katere spodnji konec bi vstavili v žilo.„ Krvni tlak bi bil potem sorazmerna z višino krvnega stolpca. Toda ta metoda ni primerna za redno uporabo. Tlak lahko izmerimo s pomočjo napihljive manšete, ki jo namestimo okrog uda. Manšeta je povezana s tlakomerom in sistemom za napihovanje. Pri napihovanju manšete se kri v žilah zaustavi, če je tlak v njej najmanj enak tlaku v žilah. Tlak, ki je potreben za zau-stavitev v arteriji, je časovno odvisen, saj se tlak v žili spreminja (slika 3.10a). Minimalni tlak, ki je potreben, da se kri v arteriji pri vseh srčnih fazah popolnoma zaustavi, imenujemo sistolični krvni tlak. Sistolični tlak ustreza torej ravno nekemu mejnemu tlaku. *Hidrostatični tlak je po enačbi (3.10) sorazmeren z gostoto in višino tekočine. Zato so višine stolpcev tekočin, v katerih je na spodnjem koncu enak tlak, obratno sorazmerne gostotam. Torej, ustrezno višino stolpca živega srebra glede na spremembo v višini krvi (hkri) lahko enostavno izračunamo po enačbi ρkrihkri hHg = . ρHg „To je bil način merjenja krvnega tlaka, ki ga je pri konjih uporabil Stephen Hales (1677-1761). 40 Če je tlak v manšeti večji od sistoličnega tlaka, kri skozi arterijo ne teče, če pa je tlak v manšeti manjši od sistoličnega tlaka, kri skozi arterijo teče, ko je tlak v žili večji od tlaka v manšeti. Najnižja vrednost tlaka, ki za zelo kratek čas še zaustavi pretok krvi skozi arterijo, imenujemo diastolični krvni tlak. Standardna meritev tlaka je takrat, ko je manšeta na nadlahti v višini srca. Pri merjenju najprej napihnemo manšeto, tako da je tlak v njej večji od sistoličnega tlaka. Nato ventil za spuščanje zraka počasi odpremo, da se tlak v manšeti počasi in enakomerno znižuje. Ko tlak v manšeti toliko pade, da je arterija občasno delno odprta, lahko ta odpiranja slišimo s stetoskopom zaradi krvnih turbulenc. Sistolični tlak ustreza mejnemu tlaku, pri katerem zaslišimo odpiranja arterije. Ko je tlak v manšeti manjši od diastoličnega tlaka, zapiranje arterije in turbulenc krvi, ki bi jih lahko s stetoskopom slišali, ni več prisotnih. Pri meritvi krvnega tlaka je torej bistveno, da se naučimo poslušati. Na meritev srčnega tlaka vpliva tudi otrdelost žil, saj jih z manšeto težje stisnemo. Ali v tem primeru izmerimo previsok ali prenizek tlak? Samodejni merilniki krvnega tlaka so različnih vrst. Pri nekaterih je možno uravnati hitrost izpusta zraka iz manšete. Merilniki zaznajo majhne tlačne spremembe v manšeti. Amplituda nihanja tlaka v manšeti je odvisna od stisnjenosti žile. Če je žila občasno odprta, so amplitude največje, če pa je stisnjenost žile zelo majhna ali zelo velika, so amplitude majhne. Vrednosti sistoličnega in diastoličnega tlaka izračuna merilnik iz vnaprej določenega algoritma. Zaradi specifičnosti lahko pri tem načinu merjenja pride pri posameznikih do precejšnjih odstopanj od prave vrednosti ali pa merilec javlja napako. Naloga: 1. Izmerite si sistolični in diastolični tlak pri treh položajih roke ter primerjajte tlake s teoretskimi napovedmi. Potrebščine: samodejni merilec tlaka, ravnilo Izvedba 1) Namestite si merilec tlaka z manšeto na zapestje. Namestitev manšete ne sme biti ne preohlapna ne pretesna. Ko pritisnete gumb za pričetek merjenja, merilec samodejno izmeri sistolični in diastolični tlak. Meritev nekaj časa traja, ker se tlak v manšeti počasi spreminja. Med meritvijo mora roka mirovati. Najprej izmerite vrednost tlaka, ko je manšeta v višini srca, nato pa še, ko imate roko iztegnjeno navzgor in ko imate roko iztegnjeno navzdol. Izmerite tudi razliki v višinah manšete. Če se meritev z navzgor iztegnjeno roko zaradi prenizkega tlaka v roki ne posreči, jo ponovite z malo manj iztegnjeno roko. Razliki v vrednostih tlakov, ko imate iztegnjeno roko navzgor ali navzdol, glede na položaj, ko je višina manšete v isti višini kot srce, ocenite po enačbi (3.10), pri čemer upoštevate razliki v višinah manšete. Gostota krvi je 1,025 kg/L. Da bi ocenili sistolični in diastolični tlak, ko imate iztegnjeno roko navzgor, vrednostma za sistolični in diastolični tlak, ko je višina manšete v isti višini kot srce, 41 odštejete ustrezno oceno za razliko tlakov. Za koliko odstotkov se oceni sistoličnega in diastoličnega tlaka razlikujeta od izmerjenih vrednosti. Nato ocenite sistolični in diastolični tlak za primer, ko imate iztegnjeno roko navzdol. Da bi ocenili sistolični in diastolični tlak za ta primer, vrednostma za tlak, ko je višina manšete v isti višini kot srce, prištejete ustrezno oceno za razliko tlakov. Za koliko odstotkov se oceni za tlak razlikujeta od izmerjenih vrednosti. 3.4 Dodatek Definicija površinske napetost Molekule v tekočini delujejo med seboj s privlačnimi silami. Molekula sredi tekočine je obkrožena z istovrstnimi molekulami v vseh smereh. Toda na stiku tekočine z drugo snovjo so razmere drugačne. Obravnavamo dva primera stika voda-zrak in voda-steklo, ki se sicer drugače obnašata. Ker v zraku praktično ni nobene molekule, površinske molekule tvorijo znatno manj vezi. Zato je energija površinskih molekul večja v primerjavi z molekulami v notranjost tekočine. Med molekulami vode in steklom pa delujejo privlačne sile. Molekule vode so celo raje v stiku s steklom kot same s seboj, zato je energija teh stičnih molekul manjša v primerjavi z molekulami v notranjost tekočine. Za oba primera lahko vpeljemo površinsko energijo, ki je kar sorazmerna s stično površino (S) WS = σS , (3.11) kjer je σ površinska napetost, ki podaja površinsko energijo na enoto površine. Ker je stik vode z zrakom energijsko neugoden, je površinska energija v tem primeru pozitivna in ustrezen koeficient σ je večji od nič. Obratno velja za stik vode s steklom. Ta stik je energijsko ugoden, površinska energija je negativna in ustrezen koeficient σ je manjši od nič. S ∆ F Slika 3.11: Sila F je nasprotno enaka sili zaradi površinske napetosti. Posebej je označena spre- memba površine (∆S), do katere pride pri opra- ∆ x vljenem delu na odseku ∆x pri širini zanke l. Po energijskem zakonu je sprememba energije enaka nekemu opravljenemu delu (A = ∆W ). Pri povečanju površine vode z zrakom torej opravimo delo, če pa se površina manjša, voda opravi delo. Kot poučen primer lahko študiramo opravljeno delo pri spremembi površine zanke (slika 3.11), pri čemer lahko zapišemo A = σ∆S = σl∆x , (3.12) 42 kjer je l širina zanke in ∆x pot, ki jo opravi zanka pri spremembi površine za ∆S. Delo je premagovanje sile na določeni poti (A = F ∆x), zato za silo, ki deluje na robu med vodo in prečko, velja F = σl . (3.13) Sila zaradi površinske napetosti je torej enaka produktu površinske napetosti in dolžine roba, na katerem deluje. Površinska napetost tako podaja silo zaradi površinske napetosti na enoto dolžine roba vode (σ = F/l). Površinska napetost kaže v smeri tangente na površino (slika 3.1) in deluje v smeri zmanjšanja površine, ker delujejo med molekulami privlačne sile. Močenje Če na gladki površini trdne snovi leži kapljica tekočine, imamo tri različne mejne površine (slika 3.12). Ko kapljica miruje, oklepa tangenta na gladino kapljice ob stiku s trdno snovjo kot močenja (θ). Ta kot je odvisen od površinskih napetosti med plinom in tekočino (σpk), med tekočino in trdno snovjo (σkt) ter med trdno snovjo in plinom (σtp). Vrednost σtp je često zanemarljivo majhna v primerjavi z vrednostjo |σkt|, saj so privlačne sile med molekulami plina majhne. σ plin pk σpk θ θ tekocina σ σ σ kt tp σ tp kt trdna snov Slika 3.12: Tekočina na levi podlago moči, tekočina na desni pa podlage ne moči. Površinska napetost med trdno snovjo in zrakom (σtp) je zanemarljivo majhna, zato je ta površinska napetost narisana z zelo kratko puščico. Koeficient površinske napetosti med podlago in levo tekočino je negativen. Na mejni črti med tremi snovmi prijemajo tri sile, katerih vsaka ima smer tangente na ustrezno površino. Mejna črta miruje, zato mora biti vsota vseh sil enaka nič. To zahtevo upoštevamo za vodoravno smer,* ki je vzporedna površini trdne snovi, tako dobimo σkt + σpk cos θ = 0 , (3.14) pri čemer smo zanemarili σtp. Pri tem smo upoštevali projekcijo sile površinske napetosti med tekočino in plinom na vodoravno smer ter iz enačbe že pokrajšali dolžino roba stikov snovi (l), saj je le-ta pri vseh treh stikih ista. *Vsota vseh sil mora biti enaka nič tudi v navpični smeri. Toda trdna snov je praktično toga, zato so njene deformacije kljub delovanju površinske napetosti med vodo in plinom zanemarljivo majhne. 43 Kadar je trdna snov raje v stiku s tekočino kot s plinom, je stik med tekočino in trdno snovjo energijsko ugoden (σkt < 0). Ker je σpk vedno pozitivna, je v tem primeru cos θ > 0 [enačba (3.14)], oziroma θ < 90◦. Pravimo, da tekočina moči površino trdne snovi. V nasprotnem primeru, kadar je trdna snov raje v stiku s plinom kot s tekočino, pa tekočina trdne snovi ne moči (θ > 90◦). Kapilarni dvig Ko pomočimo stekleno kapilaro v vodo, pride do kapilarnega dviga (slika 3.3). Do dviga pride, ker je steklo raje v stiku s tekočino kot z zrakom. Višina dviga stolpca je odvisna od sil površinskih napetosti med vodo in kapilaro (slika 3.13). σkt σpk Slika 3.13: Povečano prikazana oblika me- niskusa z ustreznim kotom močenja (θ). 2 Označeni sta tudi površinski napetosti, kot je r opredeljeno v glavnem besedilu. Izraz za višino kapilarnega dviga lahko dobimo, če upoštevamo ravnovesje sil, ki delujejo na vodni stolpec. Ker je površinska napetost med vodo in steklom negativna (σkt < 0), lahko za ravnovesje, ko je vsota sil površinske napetosti in teže enaka nič, zapišemo −σkt · 2πr = mg . (3.15) Ko v enačbi (3.15) σkt izrazimo s σpk [enačba (3.14)] in m z h (m = ρπr2h), dobimo zvezo med površinsko napetostjo med plinom in tekočino, radijem kapilare in višino kapilarnega dviga v ravnovesju: 2σpk cos θ = ρghr . (3.16) Iz te enačbe lahko izrazimo površinsko napetost ali višino kapilarnega dviga. Če kapilaro pomočimo v tekočino, ki stene ne moči (θ > 90◦), lahko iz enačbe (3.16) ugotovimo, da se tekočina v kapilari spusti pod gladino tekočine v posodi (h < 0). Nazorna predstavitev strižnega upora tekočine Najlažje študiramo upor tekočine, ko jo damo med dve vzporedni ploskvi (slika 3.14). Spodnja ploskev miruje, zgornja pa se giblje vodoravno, zato se giblje tudi tekočina. V tem primeru je strižna sila (F ) sorazmerna s površino ploskvic (S), hitrostjo zgornje ploskvice (v), obratno sorazmerna pa je z razdaljo med ploskvicama (d) v F = ηS , (3.17) d 44 kjer je η viskoznostni koeficient. Konstanta η je odvisna od snovi (tabela 3.1) in temperature – njena vrednost se s temperaturo manjša. O veljavnosti enačbe (3.17) se lahko prepričamo pri mazanju medu z nožem na kruh. Večja kot je površina rezila (S) in manjša kot je debelina namaza (d), večjo silo bomo potrebovali pri mazanju. F S v v −F S d d Slika 3.14: Shematski prikaz poenostavljene metode za merjenje strižne sile (F ). Med ploskvici damo viskozno tekočino, ki na sliki ni prikazana. Zgornja ploskev se giblje v desno in deluje s silo F na tekočino, spodnja ploskev pa miruje, vendar deluje z nasprotno silo na tekočino. Gre za dvojico sil. S poskusi ugotovimo, da je sila F sorazmerna površini stične ploskve med plastmi (S) in razmerju med hitrostjo zgornje ploskvice ter debelino sloja (v/d). Na desni sliki so narisani vektorji hitrosti na tokovnicah za ta primer. Tabela 3.1: Približne viskoznosti nekaterih tekočin pri sobni temperaturi. tekočina zrak voda kri oljčno olje med η [10−3 Pa·s] 0,017 1 4 100 20000 Uporabnost mehanike tekočin pri opisu pretakanja krvi po žilah Srce poganja kri v arterije, ki se razvejijo na manjše arterije, arteriole in v kapilare, kjer poteka izmenjava snovi med krvjo in tkivi. Kapilare se potem združujejo v venule, majhne vene in večje vene, ki dovajajo kri proti srcu. Hitrost krvi je največja v velikih žilah. Z razvejanjem arterij se njihov polmer manjša, njihovo število pa veča na tak način, da se skupni presek veča, hitrost krvi pa manjša. V aorti je povprečna hitrost krvi približno 0,2 m/s, v kapilari pa le približno 0,3 mm/s. Žile nimajo povsod okroglega preseka, prihaja tudi do razvejišč, stikov in zavojev ali kakih drugih sprememb v geometriji. Tok krvi je pretežno laminaren, kar pa ne velja v velikih arterijah in venah, pa tudi v okolici razvejišč, kjer se lahko pojavijo zastoji in vrtinci. V poglavju 3.2.1 smo kri obravnavali kot homogeno viskozno tekočino, kar seveda ni. Kri opišemo kot vodno raztopino nizkomolekularnih organskih in anorganskih snovi in beljakovin, v kateri plavajo krvne celice in lipoproteini. Rdeče krvne celice so dovolj velike in številne, da njihova prisotnost pomembno vpliva na mehanske lastnosti normalne krvi. Zaradi prisotnosti rdečih krvnih celic je viskoznost normalne krvi pri dani temperaturi odvisna od gradienta hitrosti gibanja krvi in prostorninskega deleža rdečih krvnih celic (slika 45 3.15). Meritve kažejo, da se pri majhnih prostorninskih deležih viskoznost ne spreminja s hitrostjo, njena vrednost pa je relativno majhna. Z naraščanjem prostorninskega deleža rdečih krvnih celic viskoznost postane odvisna od gradienta hitrosti. Slika 3.15: Odvisnost viskoznosti od raz- like v hitrosti glede na razdaljo med ustre- znima tokovnicama, tj. od gradienta hi- trosti ( dv ), v suspenziji rdečih krvnih ce- dr lic v plazmi pri različnih prostorninskih deležih rdečih krvnih celic. Pri velikih hitrostih krvi se rdeče krvne celice gibljejo po sredini žil (slika 3.16a), kjer so strižne sile med celicami in plazmo najmanjše, viskoznost krvi pa skoraj neodvisna od hitrosti krvi. Pri majhnih hitrostih pa so rdeče krvne celice bolj enakomerno porazdeljene po preseku žile (slika 3.16b). Majhna hitrost povečuje verjetnost za interakcije med njimi. Tvorijo se skupki rdečih krvnih celic in viskoznost naraste. Slika 3.16: Prikaz gibanja rdečih krvnih celic v žili pri veliki (a) in majhni hitrosti krvi (b). Pri majhni hitrosti krvi pride do nastajanja skupkov rdečih krvnih ce- lic. Označeni sta simetrijski osi eritroci- tov. Kljub vsem zadržkom pa na mestih, kjer hitrosti niso prevelike, lahko opišemo gibanje krvi z linearno zvezo med uporom in hitrostjo tekočine [enačba (3.17)] in na nekaterih odsekih lahko opišemo geometrijo žil z ravno okroglo cevjo s konstantnim presekom. Tam odvisnost prostorninskega toka (ΦV ) od parametrov izraža Hagen–Poiseuilleov zakon. Pretok ΦV je bistveno odvisen od polmera žile (R), njegova velikost pa je kar sorazmerna s tlačno razliko med koncema odseka (∆p). Izpeljava Hagen–Poiseuilleovega zakona ni pre-46 prosta, zato tukaj zapišemo samo rezultat πR4 ΦV = ∆p , (3.18) 8ηl kjer je l dolžina okroglega odseka. Hagen-Poiseuilleov zakon [enačba (3.18)] lahko torej uporabimo, če nam zadostuje groba ocena in opis nekaterih kvalitativnih lastnosti sistema. Hagen-Poiseuilleov zakon pove npr., da je uravnavanje pretoka krvi skozi žile s spreminjanjem njihovega polmera učinkovito. Pretok krvi do specifičnih delov telesa, uravnavajo arteriole. Stene arteriol namreč vsebujejo gladke mišice, ki se lahko skrčijo. Sistem je učinkovit, kajti zmanjšanje polmera arteriole (R) za 1 % pri dani tlačni razliki ∆p povzroči zmanjšanje krvnega pretoka za 4 %, kot lahko ocenimo po enačbi (3.18). Na osnovi Hagen-Poiseuilleovega zakona lahko tudi ocenimo, da zmanjšanje polmera za 20 % povzroči zmanjšanje krvnega pretoka za več kot 50 %. Posledica zoženj je velikokrat večje delo srca. Če nek organ potrebuje določeno količino krvi za svojo funkcijo, je tlačna razlika, ki je potrebna, da srce poganja to količino krvi, odvisna od polmera žil. Za isti pretok v krvnem sistemu se mora pri zoženjih žil povečati krvni tlak. Za določen prostorninski pretok zmanjšanje polmera žil za 1 % zahteva 4 % povečanje tlačne razlike. 47 4 Ultrazvok Pri tej vaji se bomo seznanili z osnovnimi značilnostmi ultrazvoka in njegove uporabe v medicini. S človeškim ušesom lahko zaznamo zvok s frekvencami od približno 16 Hz do 20 kHz. Zvok, ki ima višje frekvence in je človeškemu ušesu neslišen, imenujemo ultrazvok. Zaradi svoje visoke frekvence in zato majhne valovne dolžine se ultrazvok uklanja manj od slišnega zvoka in ga je mogoče dobro usmerjati. Zaradi teh lastnosti je uporaben za diagnostično slikanje. 4.1 Osnovne lastnosti zvoka in ultrazvoka Zvok se po prostoru prenaša kot nihanje snovi in zato po vakuumu ne more potovati. Pri zvočnem valovanju v plinih in kapljevinah je nihanje le v smeri potovanja zvoka, zato je tam zvočno valovanje vzdolžno (longitudinalno). Valovna dolžina (λ), frekvenca (ν) in hitrost (c) zvočnega valovanja so povezane z znano zvezo c λ = . (4.1) ν Hitrost zvoka v snovi je v splošnem odvisna od njene gostote (ρ) in stisljivosti (χ) po naslednji enačbi: 1 c = √ . (4.2) ρχ Stisljivost trdnih snovi in tekočin je zelo majhna, zato je hitrost zvoka v njih ponavadi velika. V zraku, ki je praktično idealni plin, se zgornja zveza poenostavi, saj sta gostota in stisljivost idealnih plinov med seboj povezani. Stisljivost idealnega plina pri hitrem (adiabatnem*) stiskanju je χ = 1/κp, kjer p tlak plina, κ pa je razmerje specifičnih toplot pri konstantnem tlaku in konstantni prostornini cp/cv. Pri zraku, ki je sestavljen v glavnem iz dvoatomnih plinov, je razmerje specifičnih toplot enako κ = 1, 4. Ob upoštevanju splošne plinske enačbe pV = (m/M )RT in zveze za gostoto ρ = m/V dobimo r κRT c = , (4.3) M kjer je R plinska konstanta, M molekulska masa plina, T pa temperatura. Vidimo, da se hitrost zvoka v plinih spreminja s temperaturo. Ko zvočno valovanje prehaja med snovmi, se na meji med njimi delno odbija (slika 4.1). Odboj na meji je tem večji, čimbolj se snovi razlikujeta po akustični impendanci (tabela 4.1). Akustična impendanca je produkt gostote snovi in hitrosti zvoka v snovi (Z = ρc, enota Rayl; 1 Rayl = 1 kg/m²s). Ultrazvok se tako delno odbija na mejah organov v *Stiskanje in razpenjanje zraka pri zvočnem valovanju je adiabaten proces, saj se zgoščine in razredčine zraka menjavajo hitro in med njimi praktično ni prehajanja toplote. 48 Slika 4.1: Odboj ultrazvoka pri prehodu med dvema snovema. Del zvoka nadaljuje pot, ostali del pa se odbije. Odboj je tem večji, čimbolj se snovi razlikujeta po akustični impendanci (hitrosti zvoka in gostoti). človekovem telesu. Ta pojav je uporaben pri ultrazvočnih preiskavah, kjer je mogoče s pomočjo signalov, ki se odbijajo od tkiv, določiti lego in velikost organov v notranjosti telesa. Tabela 4.1: Hitrost zvoka, gostota in akustična impendanca nekaterih snovi. snov c [m/s] ρ [kg/m³] Z [MRayl] zrak (20◦ C) 344 1,18 0,0004 voda 1497 1000 1,50 koža 1540 1110 1,71 maščoba 1478 950 1,4 mišica 1547 1050 1,62 kita 1670 1100 1,84 kri 1584 1060 1,68 žila 1571 1160 1,82 zdrava jetra 1588 1060 1,68 bolna jetra 1527 1050 1,60 kost 4080 1900 7,75 4.2 Dopplerjev pojav Če se izvor ali sprejemnik valovanja gibljeta glede na snov, po kateri se širi zvok, sprejemnik ne zazna enake frekvence, kot jo oddaja izvor. Pojav se imenuje Dopplerjev pojav in je shematično prikazan na sliki 4.2. Leva slika prikazuje primer, ko izvor valovanja miruje, sprejemnik pa se mu približuje s hitrostjo vs. Izvor oddaja valovanje s frekvenco ν, valovi se širijo enakomerno stran od izvora s hitrostjo c in valovno dolžino λ. Ker se sprejemnik giblje proti smeri valovanja, zaznava navidezno večjo hitrost valovanja c0 = c + vs, zaznana valovna dolžina valovanja 49 pa se ne spremeni. Frekvenca, ki jo zaznava sprejemnik je tako c0 c + v v ν0 = = s = ν 1 + s , (4.4) λ λ c in je višja od oddane frekvence. V primeru, ko se sprejemnik oddaljuje od izvora, je hitrost vs negativna in je frekvenca, ki jo zazna sprejemnik, nižja od oddane. Desna slika prikazuje primer, ko sprejemnik miruje, izvor valovanja pa se približuje s hitrostjo vi. V tem primeru sprejemnik zaznava nespremenjeno hitrost valovanja in zmanjšano valovno dolžino λ0, zato bo zaznana frekvenca višja od frekvence izvora. Zmanj- šanje valovne dolžine je enako razdalji, ki jo prepotuje izvor v eni periodi valovanja. Premik izvora valovanja v eni periodi je L = viτ = vi = vi λ, zato je frekvenca, ki jo zazna ν c sprejemnik enaka: c c c 1 ν0 = = = = ν , (4.5) λ0 λ − L λ − vi λ 1 − vi c c Vrednost faktorja 1 je večja od 1, zato je zaznana frekvenca ν0 večja od oddane (1−vi/c) frekvence ν. V primeru, ko pa se izvor oddaljuje od sprejemnika, ima vi negativno vrednost in je zaznana frekvenca manjša od frekvence izvora. Hitrosti gibanja so pogosto majhne v primerjavi s hitrostjo valovanja, v 1. V takih c primerih lahko uporabimo binomski razvoj, za katerega pri majhnih vrednostih x velja: (1 ± x)m ≈ 1 ± mx. Enačba (4.5) se tako poenostavi ν0 = ν(1 + vi/c), kar je enako kot v primeru, ko se oddaljuje sprejemnik in izvor miruje. Pri majhnih hitrostih torej ni razlike med gibanjem izvora in sprejemnika, zato lahko spremembo frekvence zaradi Dopplerjevega pojava zapišemo preprosto kot: v ν0 = ν 1 ± , (4.6) c kjer je v relativna hitrost med izvorom in sprejemnikom in pozitivni predznak velja za približevanje. Zaznana frekvenca se torej poveča, če se izvor in sprejemnik približujeta in zmanjša, če se izvor in sprejemnik oddaljujeta. Če je medsebojna hitrost izvora in sprejemnika enaka 1 % hitrosti zvoka, se bo tudi zaznana frekvenca spremenila za 1 %. 4.3 Izvori in detektorji ultrazvoka Navadni zvočniki in mikrofoni v splošnem niso primerni kot izvori oziroma detektorji ultrazvoka. V ta namen se največkrat uporabljajo piezoelektrični kristali. To so kristali, na katerih se ob majhnem mehanskem stiskanju ali raztegovanju pojavi električna napetost. Zvočno valovanje, ki pada na piezoelektrični kristal, povzroči izmenično stiskanje in raztezanje kristala in na kristalu se pojavi električni signal enake frekvence, kot je frekvenca vpadnega ultrazvoka. Pojav obstaja tudi v obratni smeri: ko piezoelektrični kristal priključimo na izmenično napetost, se začne izmenično raztezati in stiskati s frekvenco, ki je enaka frekvenci izmenične napetosti. Nihanje kristala se prenese na okoliško snov in kristal s tem oddaja ultrazvočno valovanje. 50 Slika 4.2: Levo: izvor valovanja miruje, sprejemnik se premika s hitrostjo vs. Desno: sprejemnik miruje, izvor valovanja pa se premika s hitrostjo vi. 4.4 Uporaba ultrazvoka v medicini Najbolj pogosta ultrazvočna tehnika v medicini je ultrazvočno slikanje (imenujemo jo tudi ehografija oz. sonografija). Pri tej metodi uporabljamo ultrazvok šibke jakosti s frekvenco nekaj MHz. S pomočjo sonde v telo usmerimo ultrazvočne sunke, ki se odbijajo na mejah med tkivi. Odboje zazna ista sonda; meri jakost odbojev in čas od oddanega sunka do odbojev. S prvimi napravami, ki so imele v sondi le en oddajnik, so lahko izmerili le jakost odbojev v odvisnosti od časa. Jakost odbojev so prikazale kot višino (amplitudo) signala v odvisnosti od prepotovane razdalje. Če sondo sestavlja veliko oddajnikov, lahko naenkrat posnamemo celoten prerez - dvodimenzionalno sliko (kot bi en oddajnik premikali v smeri sonde). Jakost odboja je prikazana s svetlostjo pike (angl. brightness). Glede na običajen način prikaza sta se uveljavili imeni amplitudni način (A-mode) za enodimenzionalni in svetlostni (B(rightness)-mode) za dvodimenzionalni ultrazvok. V kliniki se večinoma uporablja dvodimenzionalno slikanje, amplitudni način pa le, kadar natančno merijo določeno razdaljo, npr. v oftamologiji za določanje dolžine zrkla. Prostorsko sliko dobimo s premika-njem sonde pravokotno na ravnino slike. Izkušeni operaterji prostorsko sliko kar ”vidijo”, ko opazujejo spreminjanje slike ob premikaju/nagibanju sonde. Če pa tako sliko sestavi naprava, pa govorimo o 3D ultrazvoku. Namesto premikanja oziroma nagibanja linearne sonde, ki je lahko avtomatsko, se lahko uporablja tudi ploskovna sonda. Z ultrazvokom je možno enostavno slikati na primer organe v trebušni votlini, težje (a ne nemogoče!) pa je slikati skozi kosti ali zračne votline, pri katerih se gostota zelo razlikuje od okoliške in se zato tam večino valovanja odbije, skozi pa gre le malo. Sodobne tehnike slikanja uporabljajo tudi Dopplerjev pojav ter na osnovi spremenjene frekvence odbitega signala določijo npr. hitrost pretakanja krvi po ožilju. Fizikalni vplivi ultrazvoka na tkiva so predvsem mehansko nihanje in segrevanje tkiva zaradi absorpcije. Pri majhni jakosti ultrazvočnega valovanja, ki se uporablja pri slikanju, so ti fizikalni vplivi majhni in naj ne bi imeli stranskih posledic. Ker pa biološki vplivi ultrazvoka v celoti še niso povsem raziskani, se včasih kljub vsemu odsvetuje uporabo ultrazvočnega slikanja po nepotrebnem. Po drugi strani fizikalne vplive ultrazvoka s pri-51 Slika 4.3: a) Orientacija slike glede na sondo. b) Slika dela tipkovnice na ultrazvočni napravi, z gumbi za nastavitev slike in merjenje na sliki. dom uporabljajo v zobni higieni, za čiščenje zob, pri fizioterapiji, kjer naj bi pomagali pri lajšanju bolečin in celjenju ran. Poleg tega se v zadnjem času razvija t. i. ultrazvočna kirur-gija, pri kateri skalpel ni potreben, saj se npr. maligno tkivo uniči z natančno usmerjenim ultrazvočnim valovanjem zelo velike jakosti. 4.5 Navodila za uporabo ultrazvočnega naprave pri vajah Naprava se vključi z gumbom na levi stranski stranici tipkovnice. Nastavitve: Naprava je ob vklopu nastavljena (nastavitev AUTO, B mode, Probe 1). Na izbranih nastavitvah svetijo zelene diode. Probe 1 je večja linearna sonda, ki oddaja vzporeden snop ultrazvoka s frekvenco 7,5 MHz. Probe 2 je manjša konveksna sonda, ki oddaja ultrazvok s frekvenco 3,5 MHz. Opis slike v B načinu (dvodimenzionalna slika) - Vodoravna smer na sliki je smer spodnjega roba sonde. Desna stran slike je na tisti strani sonde, na kateri je na sondo priključena žica. - Navpična smer na sliki je pravokotna na rob sonde, zgornji rob slike je rob sonde. Če držite sondo tako, da je priključek na desni, spodnji rob sonde vodoraven, sonda pa je usmerjena pravokotno navzdol, je slika na zaslonu v enaki orientaciji, kot tkivo, ki ga slikamo (slika 4.3a). - Svetlost posamezne pike na sliki je odvisna od jakosti odboja na tem mestu. Kontrast si lahko prilagodite z gumboma 4 in 5 pri Gain za celotno sliko. Naprava omogoča tudi ločeno nastavitev ojačitve kontrasta blizu (Near Gain) ali daleč (Far Gain) od sonde. S temi gumbi lahko ročno nastavite kompenzacijo slike (kompenzirate zmanjševanje jakosti ultrazvoka zaradi sipanja absorpcije - atenuacijo). Slikanje: Sondo pritisnite ob model. Prehod ultrazvoka v model izboljšate z nanosom gela na sondo (ne pretiravajte s količino). Z nagibom sonde in s spreminjanjem pritiska 52 opazujte, kako se položaj odbojev spreminja. Ko ste s sliko zadovoljni, z nožnim stikalom zamrznite sliko (prižge se lučka na gumbu Freeze). Ponovni pritisk na stikalo ponovno vklopi živo sliko. Merjenje razdalje: Pritisnite Dist - na sliki se pojavi kurzor, ki ga lahko premikate s sledilno kroglo (trackball). Kurzor postavite na začetno mesto in pritisnite Set in kurzor ostane na izbranem mestu. Pojavi se nov kurzor enake oblike, ki ga lahko premikate s sledilno kroglo. Levo na ekranu se izpisuje trenutna razdalja med obema kurzorjema. Drug kurzor postavite na končno mesto meritve in pritisnite Measure. Na ekranu ostane izpisana razdalja v mm za to meritev. Za naslednjo meritev ponovno pritisnite Dist in postopek ponovite. Naprava omogoča izpis štirih meritev. Naloga: 1. Z uporabo Dopplerjevega pojava izmerite hitrost električnega vlakca. 2. Neobvezna naloga: Izmerite frekvenco zvoka, ki ga oddajajo glasbene vilice. 3. Z uporabo ultrazvočne naprave izmerite hitrost ultrazvoka v silikonu. 4. Neobvezna naloga: Slikanje: Določite položaj in približno velikost tujka v modelu. Potrebščine: Poleg osciloskopa boste pri vaji Ultrazvok uporabljali še dve škatli: v eni je merilnik frekvence, v drugi pa sta skupaj ojačevalnik in generator visokofrekvenčnih sunkov, ki imata tudi skupno napajanje. Hitrost ultrazvoka v silikonu pa boste določali z ultrazvočno napravo (nalogi 3 in 4). Ultrazvočni oddajnik je pritrjen na električni vlakec. Ultrazvočni sprejemnik. Sprejeti ultrazvočni signal je zelo šibak, zato mora biti sprejemnik najprej priključen na ojačevalnik, ta pa je naprej povezan z osciloskopom in merilnikom frekvence (slika 4.4). Sonda s sprejemnikom ima bel rob. Mikrofon. Mikrofon je prav tako kot ultrazvočni sprejemnik priključen na ojačevalnik. Na vhodu ojačevalnika je stikalo, s katerim izbirate med uporabo mikrofona in ultrazvočnega sprejemnika. Osciloskop na zaslonu prikazuje časovni potek zaznanega signala. Na njem je veliko različnih gumbov, zato med izvedbo vaje natančno sledite navodilom za nastavitve, ki so mu priložena. Merilnik frekvence signalu meri frekvenco in na zaslon vsako sekundo izpisuje njeno povprečno vrednost preko ene sekunde. Za zanesljivo pra-vilen rezultat mora meritev tako potekati nepretrgoma vsaj dve sekundi! Ultrazvočna naprava je ob vklopu nastavljen (nastavitev AUTO, B način, sonda 1). Pri izvedbi vaje natančno sledite navodilom. 53 Slika 4.4: Shema vezave pri vaji ultrazvok. Izvedba 1) Naloga 1. Priprava: Na ojačevalnik priključite mikrofon in sprejemnik ultrazvoka (sonda z belim robom) ter ojačevalnik povežite z merilnikom frekvence in osciloskopom (slika 4.4). Ojačevalnik nastavite na uporabo ultrazvoka in preverite, če je generator sunkov izklopljen. Vlakec postavite na tirnice z oddajnikom proti sprejemniku in vklopite ultrazvočni oddajnik. Osciloskop nastavite po priloženih navodilih. Če je vse pravilno povezano in nastavljeno, se na zaslonu osciloskopa pokaže periodični signal, ki se zmanjša, če z roko zaslonite sprejemnik ali če oddajnik usmerite v stran. Frekvenco ultrazvoka določite z merilnikom frekvence. Ko vlakec miruje z merilnika frekvence odčitajte frekvenco uporabljenega ultrazvoka ν. Na osciloskopu izmerite nihajni čas valovanja, pri čemer pravilno upoštevajte nastavljeno časovno enoto. Preverite, če je recipročna vrednost nihajnega časa zares enaka izmerjeni frekvenci, τ = 1/ν. Dopplerjev pojav. Pri tem delu naloge boste opazovali, kako se zaradi premikanja izvora ultrazvoka spremeni zaznana frekvenca ν0 in iz te spremembe izračunali hitrost izvora. Vlakcu nastavite hitrost ter ga vozite sem in tja po tračnicah. Opazujte, kaj se dogaja s sprejeto frekvenco, če se vlakec približuje oziroma oddaljuje od sprejemnika. Pri tem morate biti pozorni na to, da meritev frekvence poteka nepretrgano vsaj dve sekundi. Med vožnjo se signal včasih izgubi (pride do interference med direktnim in odbitim delom snopa), kar lahko za trenutek zmede merilec frekvence. Ali je sprememba frekvence res večja pri večji hitrosti vlakca? Ali je sprememba frekvence odvisna od oddaljenosti vlakca od sprejemnika? 54 Vlakcu izberite primerno hitrost ter izmerite sprejeto frekvenco ν0, če se vlakec približuje sprejemniku in če se od njega oddaljuje. Meritvi obeh frekvenc ponovite vsaj trikrat in izračunajte povprečni vrednosti. Iz izmerjenih frekvenc boste lahko po enačbi (4.6) določili hitrosti vlakca v med približevanjem oziroma oddaljevanjem. V računu uporabite izmerjeno frekvenco oddajnika v mirovanju ν iz začetka naloge, ter hitrost zvoka c, ki jo izračunate po formuli (4.3). Izmerite temperaturo zraka v učilnici in v računu privzemite, da je zrak idealni dvoatomni plin z molsko maso 29 g/mol. R = 8300 J kmol−1 K−1. Hitrost vlakca določite še neposredno, t.j. z meritvijo časa, ki ga vlakec potrebuje za pot 1,5 m, ter primerjajte to meritev z meritvijo, dobljeno preko Dopplerjevega pojava. Ko končate z meritvami izklopite ultrazvočni oddajnik in napajanje vlakca. 2) Naloga 2. (neobvezna) Na ojačevalnik priključite mikrofon in sprejemnik ultrazvoka (sonda z belim robom) ter ojačevalnik povežite z merilnikom frekvence in osciloskopom (slika 4.4). Na ojačevalniku izberite uporabo mikrofona. Preverite, da sta ultrazvočni oddajnik na vlakcu in generator sunkov izklopljena. Osciloskop nastavite po priloženih navodilih. Glasbene vilice primite čisto pri spodnjem delu in z enim krakom vilic nežno udarite po robu mize. Ko vilice lepo zazvenijo, jih približajte mikrofonu. Z osciloskopom opazujte obliko signala, z merilnikom frekvence pa izmerite njegovo frekvenco. Meritev z merilnikom frekvence mora potekati vsaj dve sekundi. Kakšen pa je signal na osciloskopu, če v mikrofon govorite (zapojete) ”A” ali ”Š”? 3) Naloga 3. Hitrost ultrazvočnega valovanja v silikonu boste določili z ultrazvočno napravo. Ultrazvočna naprava ustvari sliko struktur v telesu na osnovi odbojev ultrazvočnih sunkov na mejah med strukturami. Naprava izmeri časovne zamike, s katerimi odboji pridejo nazaj na sondo, ter razdalje do struktur izračuna ob pred-postavki, da ultrazvok po vseh tkivih potuje s hitrostjo 1540 m/s. Če je dejanska hitrost v tkivu drugačna, naprava na sliki prikaže napačne razdalje. Pri tej nalogi bomo uporabili strukture z znanimi debelinami in iz ultrazvočne slike določili hitrost ultrazvoka v teh strukturah. Kot model boste uporabili diske iz silikona, ki jih lahko v poljubnem zaporedju zložite drug na drugega in položite na mizo. Na stiku dveh diskov pride do delnega odboja ultrazvoka, kar se na sliki vidi kot svetla črta. Več kot je odboja, bolj svetla je črta in manj zvoka prodre naprej. Poskusite, kako se pozna na sliki, če je modri disk bliže ali bolj oddaljen od sonde (v skladovnici prosojnih). Če meje med posameznimi diski nikakor ne morete določiti/opaziti, vstavite med diske folijo. Pri izbiri slike, za določanje razdalj pazite, da je sonda navpično (pravokotno na površino)! Izmerite razdalje, pri katerih vidite odboje z ultrazvočno napravo. Vse razdalje merite od zgornjega roba skladovnice diskov (slike). Pri tako izvedeni meritvi so merske napake 55 manjše. Na diskih so označene debeline diskov izmerjene s kljunastim merilom (ko disk ni bil stisnjen). Opazujte sliko le pri enem silikonskem disku. Kaj opazite? Pojav je znan tudi kot reverberacija. Izmerite debelino tudi tega diska. Analiza: Določanje hitrosti ultrazvoka v silikonu: Zvok se v snovi širi s hitrostjo c, kar pomeni, da v času t prepotuje razdaljo d = ct. Naprava preračunava razdaljo (dn), kot bi se ultrazvok širil s hitrostjo vn = 1540 m/s. (Primer: če bi zvok potoval po tkivu, v katerem je hitrost 3080 m/s, bi ultrazvočna naprava strukture v tem tkivu prikazal pol manjše, kot so v resnici.) Razmerje poti je enako razmerju hitrosti (dn/d = vn/c). Narišite graf razdalje, izmerjene z ultrazvočno napravo, v odvisnosti od dejanske razdalje (dn = kd) in iz naklona premice (k) izračunajte hitrost ultrazvoka v silikonu c = vn/k. Vpliv različnih hitrosti v tkivu na ultrazvočno sliko. Modri silikonski disk s prozornim vstavkom postavite v skladovnico na drugo mesto (od zgoraj). Ponovno poglejte ultrazvočno sliko. Opazujte, kaj se zgodi s črtami, ki prikazujejo meje med diski. Ali se ujemajo z dejanskim stanjem? Skicirajte potek teh mej. Kaj lahko poveste o hitrosti ultrazvoka v prozornem delu diska? (Opazovan pojav je en od vzrokov za omejeno natančnost/ločljivost ultrazvočne slike.) 4) Naloga 4. (neobvezna) ”Ultrazvočna preiskava”. Vzemite večji model iz silikona. Poiščite katere strukture najdete v modelu. Za lažjo orientacijo pregledujte model po kvadrantih. Poskusite določiti položaj, velikost in obliko struktur. Narišite skico modela in na njej označite najdene strukture. Če boste s telefonom slikali zaslon, sliko opremite s skico modela, na kateri označite položaj in orientacijo sonde. Glejte priložena navodila. 56 5 Merjenje toplote in kalorimetrija Pri tej vaji se bomo seznanili z osnovnimi principi kalorimetrije, tj. z merjenjem izmenjevanja toplote. Pri mnogih fizikalnih, kemijskih in fizioloških pojavih se izmenjuje toplota, zato je za njihovo razumevanje ključno natančno merjenje izmenjane toplote. Pri tej vaji bomo spoznali osnovne principe merjenja toplote – kalorimetrije. Kalorimetrično bomo izmerili spremembo entalpije pri preprosti kemijski reakciji, ob tem pa se bomo spoznali tudi z nekaterimi lastnostmi termometrov. 5.1 Toplotna kapaciteta in specifična toplota Za merjenje toplote izrabimo lastnost, da se telesa ob dovajanju toplote segrejejo. V splošnem je sprememba temperature telesa (∆T ) kar sorazmerna količini dovedene toplote (Q), kar zapišemo z naslednjo enačbo: Q = C ∆T , (5.1) kjer je C lastnost telesa, ki jo imenujemo toplotna kapaciteta. Enota zanjo je J K−1. Toplotna kapaciteta homogenih snovi je sorazmerna njihovi masi (m), zato lahko za homogene snovi definiramo še specifično toploto (c), pri čemer velja C = mc . (5.2) Za homogene snovi lahko torej enačbo (5.1) zapišemo kot Q = m c ∆T . (5.3) Pri plinih je vrednost specifične toplote odvisna od tega, ali toploto plinu dovajamo pri konstantnem tlaku ali konstantni prostornini (v prvem primeru za segrevanje plina potrebujemo malo več toplote kot v drugem). Pri trdninah in kapljevinah je razlika med specifično toploto pri konstantnem tlaku in specifično toploto pri konstantni prostornini majhna in jo ponavadi lahko zanemarimo. Enota za specifično toploto je J kg−1K−1. Specifična toplota nekaterih snovi je podana v tabeli 5.1. V splošnem je specifična toplota snovi lahko odvisna od temperature, lahko pa jo vzamemo za konstantno, če se v nekem temperaturnem območju ne spreminja veliko (kar je navadno res, kadar je razlika ∆T med začetno in končno temperaturo majhna). 5.2 Kalorimeter Izmenjevanje toplote merimo z napravo, imenovano kalorimeter. Preprost kalorimeter je lahko kar dobro toplotno izolirana posoda, napolnjena z znano količino vode. Toploto, ki se izmenja ob nekem procesu, lahko izmerimo tako, da proces sprožimo v kalorimetru, 57 Tabela 5.1: Specifična toplota nekaterih snovi. snov specifična toplota [kJ kg−1K−1] maščoba (20 ◦C) 1,97 voda (15 ◦C) 4,18 led (0 ◦C) 2,23 les, 8% vlage (20 ◦C) 1,68 jeklo (20 ◦C) 0,46 živo srebro (20 ◦C) 0,14 in merimo spremembo temperature v njem. Če npr. v kalorimetru sprožimo eksotermno reakcijo, ob kateri se toplota sprosti, se vsa sproščena toplota porabi za segrevanje vode v kalorimetru in njegovih notranjih sten. To toploto lahko enostavno izračunamo iz meritve spremembe temperature v kalorimetru in uporabe enačb (5.1) in (5.3): Qkalorimeter = m c ∆T + C∆T = (mc + C)∆T , (5.4) kjer je m masa vode v kalorimetru, c je specifična toplota vode, C je toplotna kapaciteta kalorimetra, ∆T pa je razlika med končno in začetno temperaturo v kalorimetru. Pri tem smo predpostavili, da je kalorimeter dobro izoliran in se nič toplote ni izgubilo v okolico ter da ima tako na začetku kot na koncu eksperimenta voda enako temperaturo kot stene kalorimetra in je ∆T enak za oboje. Če je v kalorimetru potekel endotermen proces, zgornji razmislek in enačba ostaneta enaka, upoštevati moramo le, da kalorimeter toploto odda (Qkalorimeter < 0), da se mu pri tem temperatura zniža (∆T < 0), ter da se vsa ta toplota porabi za endotermen proces. Preprost kalorimeter lahko sestavimo iz jeklene Dewarjeve posode (termovke), magnetnega mešala in termometra. Toplotno izolacijo zagotavlja plast vakuuma med stenama posode (ni konvekcije in kondukcije) in velika odbojnost sten posode za infrardeče žarke (ni izmenjevanja toplote s sevanjem). Z vrtenjem magnetnega mešala poskrbimo, da je temperatura tekočine v posodi povsod enaka. Boljši kalorimetri imajo še dodaten plašč, napolnjen z vodo, ki ima vlogo okolice s stalno temperaturo, kar zmanjšuje vpliv sprememb v okolici na potek meritve. Pri meritvah, ki ne trajajo dolgo, pa bistvenih sprememb temperature v okolici ne pričakujemo, tako da vodni plašč ni potreben. Notranjost kalorimetra lahko obravnavamo kot toplotno izoliran sistem pri konstantnem tlaku. 5.3 Toplotna kapaciteta kalorimetra Če toplotne kapacitete kalorimetra (C) ne poznamo, jo lahko določimo posebej. To lahko napravimo tako, da znani količini vode v kalorimetru (m1) z znano temperaturo (T1) dodamo znano količino vode (m2) z znano, vendar drugačno temperaturo (T2) ter izmerimo 58 zmesno temperaturo vode (Tz) in s tem spremembo temperature vode v kalorimetru. Če se nič toplote ne izgubi v okolico, lahko zapišemo, da sta sprejeta in oddana toplota med seboj enaki: (m1 c + C)(Tz − T1) = m2 c (T2 − Tz) . (5.5) Toplotno kapaciteto kalorimetra C dobimo tako, da jo izrazimo iz zgornje enačbe, saj vrednosti vseh ostalih količin poznamo. 5.4 Sprememba entalpije reakcije S kalorimetrom lahko prav tako izmerimo spremembo entalpije pri kemičnih reakcijah, saj je sprememba entalpije pri danem tlaku kar enaka izmenjani toploti ∆H = Q . (5.6) Ob tej enačbi se je vredno spomniti, kako so definirani predznaki. Po dogovoru je toplota pozitivna, kadar pride v sistem. Eksotermne reakcije toploto sprostijo (Q < 0) in je končna entalpija manjša od začetne (∆H < 0), endotermne reakcije pa toploto sprejemajo (Q > 0) in je končna entalpija večja od začetne (∆H > 0). Pri vaji bomo izmerili spremembo entalpije pri raztapljanju soli. Pri raztapljanju se energija porablja za trganje vezi kristalne mreže soli in trganje vodikovih vezi med molekulami vode, na drugi strani pa se sprošča ob hidrataciji raztopljenih ionov (vzpostavljajo se vezi med molekulami vode in ioni soli). V splošnem je raztapljanje lahko endo- ali eksotermna reakcija. Če je za trganje vezi v kristalni mreži soli in med molekulami vode potrebno več energije, kot se je sprosti ob vzpostavljanju vezi med ioni soli in vode, je celotna reakcija endotermna in entalpija se poveča. Spremembo entalpije raztapljanja soli lahko določimo v preprostem vodnem kalorimetru. Vzamemo majhno količino soli, jo raztopimo kar v vodi v kalorimetru ter merimo spremembo temperature vode. Če je kalorimetrska posoda dobro toplotno izolirana, se nič toplote ne izgubi in lahko enačbi (5.4) in (5.6) združimo ter spremembo entalpije raztapljanja soli izračunamo iz spremembe temperature v kalorimetru: ∆H = (mv cv + C) (Tr − Tk) , (5.7) kjer so mv masa vode v kalorimetru, cv specifična toplota vode, C toplotna kapaciteta kalorimetra, Tr začetna temperatura v kalorimetru pred reakcijo in Tk končna temperatura v kalorimetru. Pri tem smo zanemarili toploto, ki se porabi za spremembo temperature soli, saj predpostavimo, da je masa soli v primerjavi z maso vode majhna, poleg tega pa je tudi specifična toplota soli majhna v primerjavi s specifično toploto vode. Spet moramo biti pozorni na predznake: če je raztapljanje endotermno (∆H > 0), se temperatura v kalorimetru zniža (Tk < Tr), če pa je raztapljanje eksotermno (∆H < 0), se temperatura v kalorimetru zviša (Tk > Tr). Če želimo izračunati še spremembo entalpije topljenja na mol soli, zgornjo enačbo delimo s številom molov soli: 59 ∆H M ∆H = = s ∆H , (5.8) n ms kjer je n število molov raztopljene soli, ms masa raztopljene soli, Ms pa njena molska masa. Za ilustracijo lahko v literaturi poiščemo podatke za entalpijo raztapljanja posameznih snovi na mol snovi v zelo razredčeni raztopini. Kot primer endotermne reakcije najdemo raztapljanje kalijevega klorida (KCl) v vodi s pozitivno spremembo entalpije na mol soli, ∆H = 17, 2 kJ/mol∗, kot primer eksotermne reakcije pa raztapljanje natrijevega hidroksida (NaOH) v vodi z negativno spremembo entalpije na mol, ∆H = −44, 5 kJ/mol. Pri relativno veliki sproščeni entalpiji moramo biti pri vmešavanju snovi previdni, saj lahko raztopina burno zavre, morebitno škropljenje kapljic pa bi lahko povzročilo poškodbe na koži, očeh in sluznicah. Preden se lotimo eksperimentov, si moramo razjasniti še eno podrobnost. Na osnovi vsakdanjih izkušenj si lahko dobro predstavljamo, da lahko eksotermni procesi potečejo spontano. Ko v kaminu gorijo drva, ta proces poteka spontano in temperatura v sobi se povečuje. Manj izkušenj imamo s spontanimi endotermnimi procesi, pri katerih se temperatura v toplotno izoliranem prostoru zmanjša. So spontani endotermni procesi sploh mogoči? Odgovor je pritrdilen, saj je za spontanost nekega procesa ključna sprememba proste entalpije (G) in ne entalpije. Proces lahko poteče spontano, če se ob tem zmanjša prosta entalpija sistema (∆G < 0). Spomnimo se, da je sprememba proste entalpije odvisna tako od spremembe entalpije kot od spremembe entropije ∆G = ∆H − T ∆S . (5.9) Pri endotermnem procesu se entalpija vedno poveča (∆H > 0). Prosta entalpija se lahko kljub temu zmanjša, če se le entropija v sistemu dovolj poveča. Pri topljenju soli se to lahko zgodi: pred reakcijo so ioni soli urejeni v kristalni mreži in je entropija sistema majhna. Ko pa se raztopijo, se razmešajo po vsej prostornini posode in entropija se zelo poveča (sistem je po topljenju mnogo bolj neurejen kot na začetku). Iz zgornje enačbe vidimo še nekaj: višja, kot je temperatura, večji bo vpliv spremembe entropije na spremembo proste entalpije. Pri višji temperaturi so zato snovi ponavadi bolje topne kot pri nizki. V grelnih (hladilnih) blazinicah, ki jih ni potrebno predhodno ogreti (ohladiti), se izkorišča spremembo entalpije reakcije. V blazinici je poleg ustrezne soli še vrečka z vodo. Za sprožitev reakcije stisnemo vrečko, da notranja vrečka, ki je iz tanjšega oziroma šibkejšega materiala, poči. Ker je vode sorazmerno malo v primerjavi s soljo, se le-ta bolj počasi topi in reakcija poteka dalj časa. Dosežena temperaturna razlika je večja, ker ima sol manjšo toplotno kapaciteto kot voda. Bolj kot pregne-temo blazinico, hitreje poteka reakcija. Obstajajo tudi grelne blazinice, pri katerih se toplota sprošča z oksidacijo snovi ali polimeriziranjem-zmrzovanjem podhlajene tekočine, zadnje so lahko tudi za večkratno uporabo. 60 5.5 Energijska vrednost živil S kalorimetrijo lahko izmerimo tudi energijsko vrednost živil, tj. toploto, ki se sprosti ob njihovi presnovi. Pri tem si pomagamo z dejstvom, da so reaktanti in produkti pri presnovi živil enaki kot pri njihovem gorenju (v obeh primerih sta končni produkt CO2 in voda). Energijsko vrednost živila lahko zato določimo s kalorimetrično meritvijo toplote, ki se sprosti ob njihovem gorenju (to velja le za živila, ki ne vsebujejo neprebavljivih vlaknin, saj vlaknine gorijo, prebavijo pa se ne). V splošnem je energijska vrednost živila odvisna od njegove kemijske sestave oziroma od tega, koliko hranil (beljakovin, ogljikovih hidratov, maščob) vsebuje. Za energijsko vrednost hrane se namesto ustaljene enote za energijo (joule, J) ponavadi uporablja enota kalorija (cal). Ena kalorija je tista količina toplote, ki segreje en gram vode za eno stopinjo Celzija. Preračunamo lahko [enačba (5.3)], da velja enakost 1 cal = 4,2 J. V vsakdanjem življenju se glede na naše energijske potrebe uporablja enota kcal (kilokalorija), ki torej ustreza 1 kcal = 4200 J. V navadnem kalorimetru je hrano težko zažgati, zato za merjenje energijske (kalorične) vrednosti hrane uporabljamo tako imenovani bombni kalorimeter. Vzorec hrane, ki ji želijo izmeriti kalorično vrednost, najprej posušijo in zmeljejo. Prašnat vzorec postavijo v bombni kalorimeter – ojačano jekleno posodo, obdano z vodo. Toplotna izolacija je okrog posode z vodo. Posodo napolnijo s čistim kisikom pod tlakom okoli 30 barov. Hrano v kalorimetru zatem z električno iskro vžgejo; v čistem kisiku živilo popolnoma zgori. Sproščanje energije je trenutno in zelo burno, kot pri eksploziji bombe. Ojačana jeklena posoda zadrži udar eksplozije, sproščena toplota pa segreje vodo, ki obdaja kalorimetrsko posodo. Iz dviga temperature vode določijo energijo, ki se je sprostila med zgorevanjem hrane, na podlagi tega pa kalorično vrednost določene mase živila. 5.6 Merjenje temperature, občutljivost, natančnost in odzivnost termometrov Za merjenje temperature se izkorišča več lastnosti snovi, ki se s temperaturo spreminjajo. Najpogostejše med njimi so - toplotno raztezanje snovi, običajno tekočine v stekleni cevki (pri klasičnih živosrebrnih ali alkoholnih termometrih) ali kovine (pri bimetalnih termometrih), - sprememba električne upornosti/prevodnosti (pri t. i. digitalnih merilnikih), - spreminjanje spektra izsevane infrardeče svetlobe (pri brezkontaktnih termometrih) - spreminjanje kontaktne napetosti med dvema kovinama (pri t. i. termočlenih). Termometer je tem bolj občutljiv, čim večja je opazovana sprememba pri dani temperaturni razliki. Ne glede na spremembo, preko katere merimo temperaturo, morajo biti termometri umerjeni. 61 Pri klasičnih tekočinskih termometrih vidimo velikost stopinje na skali in lahko ocenimo natančnost, pri digitalnih pa se zanašamo na izpis. Pri digitalnih termometrih (oziroma digitalnih merilnikih na splošno) moramo razlikovati med izpisom, občutljivostjo, ponovlji-vostjo in točnostjo (natančnostjo). Izpis je to, kar vidimo na ekrančku; digitalni termometri imajo običajno izpis na desetinko stopinje, kar nakazuje, da če se temperatura v okolici spremeni za toliko, bo termometer to zaznal, kar pa ni nujno res. Občutljivost pove, kakšno razliko temperatur dejansko zazna termometer, vendar zaradi vgrajenega spomina digitalni termometri pogosto kažejo isto vrednost, čeprav se temperatura počasi spreminja; isto vrednost pokaže tudi v primeru, če v kratkem časovnem razmiku merimo dve zelo podobni, a ne isti temperaturi (če je temperatura na meji, se bo morda zadnja številka spreminjala). Ponovljivost pove, koliko bi se nova meritev s tem merilcem razlikovala od stare pri drugačnih pogojih, in natančnost, koliko se izpisana vrednost lahko razlikuje od prave vrednosti. V primerih, ko zunanji pogoji ne vplivajo na merilnik (ali so pričakovane spremembe majhne), sta občutljivost in ponovljivost kar enaki. Natančnost ne more biti boljša od občutljivosti, dejansko je velikokrat dosti manjša. Pri termometrih na vaji je deklarirana občutljivost 0,1 stopinje Celzija, natančnost pa 0,5 stopinje Celzija. Pri meritvah majhnih sprememb temperatur moramo biti na to pozorni, še posebno, če pri različnih delih meritve uporabljamo različne termometre. Pri uporabi več termometrov vedno preverimo, ali prikazujejo enako temperaturo, sicer to pri analizi meritev upoštevamo. Ne glede na lastnost, ki jo termometer izkorišča, se mora pri merjenju temperatura termometra najprej izenačiti s temperaturo merjenca. Izenačenje temperatur je tem hitrejše, čim manjša je toplotna kapaciteta termometra (njegovega merilnega dela) in čim boljši je toplotni stik z merjencem (živo srebro ima npr. višji koeficient toplotne prevodnosti od vode in alkohola). Izjema so termometri, ki merijo temperaturo preko sevanja, pri teh fizičen stik ni potreben, pa tudi njihova sonda se ne segreva v klasičnem smislu. Krajši, kot je čas izenačevanja temperatur, bolj odziven je termometer. Naloge: 1. Določite toplotno kapaciteto kalorimetra. 2. Določite specifično entalpijo topljenja. 3. Določite časovno odzivnost termometra. Potrebščine: kalorimetrska posoda z mešalom merilne čaše in merilni valj 2 termometra sol KCl, citronska kislina v prahu, soda bikarbona digitalna tehtnica štoparica 62 Izvedba 1) Priprava: Gladek potek meritev, ki naj potekajo brez prekinitev, zahteva nekaj priprave. Izberite si eno od treh snovi, ki so na voljo pri vaji (KCl, citronska kislina v prahu in soda bikarbona), ter si jo vnaprej natehtajte 10 g. Zabeležite si, katero snov ste izbrali, ter njeno molsko maso, saj jo boste potrebovali pri drugem delu vaje. V kalorimetrsko posodo nalijte 150 mL (m1 = 0,15 kg) hladne vode iz vodovodne pipe in posodo postavite na magnetno mešalo. V kalorimetrsko posodo vstavite magnetni mešalček in vklopite mešalo. Preverite, če se magnetek vrti in po potrebi spremenite hitrost mešanja ali položaj posode na mešalu. Ko se magnetek vrti, kalorimetrske posode ne premikajte več, pokrijte jo s pokrovom, v katerem je termometer 1. Nato v čašo natočite 100 ml (m2 = 0,1 kg) vroče vode iz pipe, temperatura vode naj bo vsaj 35 ◦C. V čašo vstavite termometer 2. 2) Določitev toplotne kapacitete kalorimetra: Zdaj začnite z meritvami. Na vsakih 30 s si zapišite temperaturo vode v kalorimetru (termometer 1, vsaj 7-krat). Priporočljivo je , da termometer vsake toliko časa, recimo na vsake tri meritve, ugasnete in ponovno prižgete, sicer lahko izpis digitalnega termometra zamrzne. Takoj po zadnjem (sedmem zaporednem) odčitku s termometra 1 zapišite še temperaturo vroče vode v čaši, kjer je termometer 2, in zlijte teh 100 ml vroče vode iz čaše v kalorimeter. Neprekinjeno merite temperaturo v kalorimetru (termometer 1) in zapisujte na 30 s, vsaj 7-krat. (Celotna meritev do te točke naj bi trajala vsaj 6 minut in pol.) Brez prekinitve preidite na naslednjo nalogo: 3) Določitev specifične entalpije raztapljanja snovi: Takoj po zadnjem odčitku temperature (termometer 1) v kalorimetrsko posodo stresite odtehtano snov (10 g) in čimprej pokrijte posodo. Nadaljujte z zapisovanjem temperature na 30 s (7-krat). 4) Primerjava termometrov in ocena časovne odzivnosti termometra: Glede na to, da pri vaji uporabljate dva termometra, preverite, ali kažeta isto temperaturo: postavite oba termometra v isto posodo z vodo. To ponovite za vsaj 3 različne temperature vode (v območju, kjer so potekale vaše meritve, ali malo širšem). Vsakokrat primerjajte odčitke z obeh termometrov. Seveda naj bi oba termometra v isti čaši pokazala isto temperaturo, a v praksi se ob dani natančnosti termometrov večkrat izkaže, da se odčitani vrednosti za del stopinje razlikujeta. Določite povprečno odstopanje meritve termometra 2 od meritve termometra 1. Pri merjenju se je treba tudi zavedati, da končne vrednosti temperature ne izmerimo v trenutku, ampak je za to potrebnega nekaj časa. Za oceno časovne odzivnosti uporabite samo en termometer. Dajte ga v čašo s svežo vodo (z drugo temperaturo kot prej) in s pomočjo štoparice ocenite čas, potreben, da se izpis temperature ustali 63 (da se vsaj 5 s ne spreminja). Opazujte še, kaj se dogaja s temperaturo po 5- sekundnem intervalu, ko je bila temperatura konstantna. Premislite in komentirajte: Ali je 5-sekundni interval brez sprememb dovolj, da lahko odčitano temperaturo privzamemo za končno? Sta se odčitka temperatur z obeh termometrov razlikovala? Ali je bila razlika med odčitkoma konstantna, ali pa je bila odvisna tudi od višine merjene temperature? Kaj lahko na podlagi meritev povemo o spremembah temperature (∆T ) in kaj o absolutni temperaturi vode? Analiza 1) Določitev toplotne kapacitete kalorimetra: Če ste ugotovili, da termometra pri isti temperaturi konsistentno kažeta različne vrednosti, popravite izpisane vrednosti termometra 2 (termometra, s katerim ste merili manj). Primer: če je v isti čaši termometer 1 kazal 20 stopinj Celzija, termometer 2 pa 20,1 stopinje Celzija, odčitkom termometra 2 (merjenje temperature vroče vode) odštejte 0,1 stopinjo Celzija. Narišite diagram odvisnosti temperature vode v kalorimetru (termometer 1) od časa za vse meritve, kot je ilustrirano na sliki 5.1. Izberite tako skalo, da sta oba skoka temperatur (ko smo dodali toplo vodo in ko je bila dodana sol) lepo vidna. Iz prvega skoka temperature boste določili toplotno kapaciteto kalorimetra. Premislite, katera je najboljša ocena za temperaturo pred (T1) in po dolitju (Tz) vroče vode v kalorimetru, in odgovor utemeljite. Toplotno kapaciteto kalorimetra (C) izračunate iz enačbe (5.5). Specifična toplota vode (c) je navedena v tabeli 5.1. 2) Določitev specifične entalpije topljenja: Podobno kot prej tokrat iz drugega skoka temperature določimo temperaturo vode v kalorimetrski posodi pred reakcijo (Tr) in končno temperaturo po dodatku topljenca (Tk). Entalpijo raztapljanja snovi določite po enačbi (5.7) oziroma specifično entalpijo topljenja na mol snovi po enačbi (5.8). Rezultate komentirajte, lahko na podlagi naslednjih izhodišč: Primerjajte izračunano entalpijo na mol snovi z ustrezno vrednostjo za KCl. Sta temperaturna skoka nenadna, ali pa se temperatura sistema počasi približuje novemu ravnovesju? Zakaj? Premislite, kako bi se graf 5.1 spremenil, če bi se neka snov v vodi raztapljala zelo počasi? Je zmesna temperatura vroče in hladne vode v kalorimetru (Tz) enaka začetni temperaturi vode pred dodajanjem topljenca (Tr)? Zakaj? 64 T T z T r T T r k T k T T z 1 T 1 t Slika 5.1: Temperatura vode v kalorimetru v odvisnosti od časa pri določitvi toplotne kapacitete kalorimetra. 65 6 Mikroskop Pri tej vaji bomo spoznali uporabo leč, sestavili preprost mikroskop, določili njegovo povečavo in ločljivost ter se naučili, kako pravilno nastaviti osvetlitev. Mikroskop in druge optične inštrumente srečamo v medicini na vsakem koraku. Osnovni elementi vseh optičnih naprav so leče, zato je za njihovo pravilno uporabo ključno, da delovanje leč dobro razumemo. 6.1 Leče Leče so izdelane iz stekla ali drugih prozornih materialov, ki imajo drugačen lomni količnik od okolice, in zato preusmerjajo svetlobne žarke. Ponavadi so leče osno simetrične in ome-jene s krogelnimi ploskvami. V našem opisu se bomo omejili na tanke leče, katerih debelina je majhna tako v primerjavi s krivinskima radijema površin leče, kot tudi z razdaljama do predmeta in do slike. Simetrijsko os leče imenujemo tudi optična os. Poznamo dva glavna tipa leč: a) zbiralne leče, ki vzporedne žarke zberejo v točko in so konveksne oblike in b) razpršilne leče, ki žarke razpršijo in so konkavne oblike. Ravnino, v kateri se pri zbiralni leči vzporedni žarki zberejo v točko, imenujemo goriščna ravnina (slika 6.1 levo). Razpršilna leča razprši snop vzporednih žarkov tako, kot da bi izhajali iz točke v goriščni ravnini pred lečo (slika 6.1 desno). Točko, v kateri optična os prebode goriščno ravnino, imenujemo gorišče in jo označimo z F , razdaljo med goriščem in lečo pa imenujemo goriščna razdalja leče in jo označimo z f . Po dogovoru ima zbiralna leča pozitivno, razpršilna pa negativno goriščno razdaljo. Goriščna razdalja leče je odvisna od lomnega količnika snovi, iz katere je leča, lomnega količnika okolice in obeh krivinskih radijev leče. Če je lomni količnik snovi na obeh straneh leče enak, sta enaki tudi goriščni razdalji na obeh straneh leče in je vseeno, kako je leča pri preslikavi obrnjena. Recipročno vrednost goriščne razdalje imenujemo lomnost leče. Enota za lomnost je dioptrija D; velja 1 D = 1 m−1. Osnovna lastnost leče je, da predmet preslika v sliko. Če se vsi žarki, ki izvirajo iz ene točke predmeta, na drugi strani leče spet združijo v eni točki, nastane realna slika. Tako sliko lahko vidimo na zaslonu ali jo preslikamo naprej enako kot predmete. Če pa se žarki, ki izhajajo iz ene točke predmeta, za lečo razpršijo, kot da bi izhajali iz ene toče pred lečo (v tej točki se sekajo podaljški preslikanih žarkov), imenujemo presečišče podaljškov žarkov navidezna (imaginarna) slika. Navidezne slike ne moremo ujeti na zaslon. Iz nje nastane realna slika le, če razpršene žarke ponovno združimo z zbiralno lečo – na primer z očesom, pri katerem očesna leča razpršene žarke spet zbere v realno sliko na mrežnici. Navidezno sliko lahko slikamo tudi s fotoaparatom, saj v tem primeru razpršene žarke ponovno zbere fotoaparatov objektiv. Velikost in lego slike lahko določimo z grafično konstrukcijo, pri kateri je dovolj, da preslikavo upodobimo s tremi značilnimi obosnimi žarki, ki izhajajo z vrha predmeta. Pot treh značilnih žarkov pri zbiralni leči je prikazana na sliki 6.2 A, pri razpršilni pa na sliki 6.2 B. Značilni žarki pri leči so: 66 Slika 6.1: Shematični prikaz preslikave vzporednega snopa žarkov z zbiralno lečo (levo) in razpršilno lečo (desno). Žarki se lomijo na prehodih v in iz leče. V obeh primerih sta s pikčastima črtama označeni goriščni ravnini leč. Z F so označena gorišča, z f pa goriščne razdalje. 1. vzporedni žarek (vzporeden je optični osi), ki ga zbiralna leča lomi tako, da gre na drugi strani skozi gorišče, 2. središčni žarek, ki gre skozi središče leče in se mu pri prehodu skozi njo smer ne spremeni, in 3. goriščni žarek gre skozi gorišče in je po prehodu skozi lečo vzporeden optični osi. Kjer se vsi trije žarki sekajo, nastane realna slika. Pri razpršilni leči je vloga gorišč zame-njana (goriščna razdalja je tu negativna), zato je pot značilnih žarkov pri razpršilni leči nekoliko drugačna in je slika predmeta navidezna (slika 6.2 B). Lega, velikost in vrsta slike so odvisne od goriščne razdalje leče in od lege predmeta pred njo. Če slika nastane na drugi strani leče, kot je predmet, je realna in obrnjena, če pa je slika na isti strani kot predmet, je vedno navidezna in pokončna. Pri preslikavah predmeta z razpršilno lečo je slika vedno navidezna, pokončna in pomanjšana. Pri preslikavah z zbiralno lečo je vrsta slike odvisna od lege predmeta. Realna slika nastane v primeru, ko je razdalja med predmetom in lečo večja od goriščne razdalje, pri čemer je slika večja od predmeta le, če predmet od leče ni oddaljen za več kot dve goriščni razdalji. Če predmet leži med goriščem in lečo, je tudi pri zbiralni leči slika navidezna, pokončna in povečana. Če pa je predmet postavljen ravno v goriščno ravnino zbiralne leče, so žarki na drugi strani leče vzporedni in se sploh ne sekajo (slika 6.2 C). V tem primeru pravimo, da slika nastane v neskončnosti. Velja namreč, da so žarki z zelo oddaljenih predmetov praktično vzporedni. Velikost predmeta ponavadi označimo z A, velikost slike z B, oddaljenost predmeta od leče z a, oddaljenost slike od leče z b, z e pa označimo razdaljo od gorišča do slike, velja e = b − f (slika 6.3). Povečava preslikave N je definirana z razmerjem med velikostjo slike 67 Slika 6.2: Pot značilnih žarkov s predmeta (predmet je označen s črno puščico) pri (A) zbiralni in (B) razpršilni leči. V prvem primeru nastane realna slika (označena s sivo barvo), v drugem pa navidezna (označena z belo barvo). Slika (C) prikazuje pot žarkov, ko je predmet v gorišču zbiralne leče. Preslikani žarki so v tem primeru vzporedni in pravimo, da slika nastane v neskončnosti. in velikostjo predmeta: B N = . (6.1) A Povečavo preslikave lahko izrazimo tudi drugače, pri čemer si pomagamo z dvema paroma podobnih trikotnikov, ki jih tvorijo značilni žarki preslikave in ki sta na sliki 6.3 označena z različnim senčenjem. Iz razmerja istoležnih stranic v dveh parih podobnih trikotnikov razberemo, da veljajo razmerja A : B = a : b in A : B = f : e, zato lahko povečavo preslikave zapišemo tudi kot b e N = = . (6.2) a f Za tanke leče velja, da so oddaljenost predmeta od leče a, oddaljenost slike od leče b ter goriščna razdalja leče f med seboj povezane z enačbo leče 1 1 1 + = , (6.3) a b f ki jo lahko prav tako izpeljemo iz razmerja stranic podobnih trikotnikov. Enačba leče velja tako za zbiralne kot tudi za razpršilne leče, upoštevati moramo le, da je goriščna razdalja razpršilnih leč negativna. Po dogovoru ima a vedno pozitiven predznak, b pa ima pozitiven predznak, če je slika na drugi strani leče kot predmet in negativnega, če je na isti strani. 6.2 Lupa Navidezna velikost predmetov, ki jih opazujemo z očesom, je odvisna od zornega kota (θ), pod katerim predmet vidimo. Da bi majhne predmete bolje videli, si jih približamo in s tem povečamo zorni kot (slika 6.4). Vendar pa ima tak način “povečevanja” svojo mejo, saj z očesom predmetov, ki so preblizu, ne moremo več dobro izostriti. Za še močnejše 68 Slika 6.3: Preslikava predmeta z zbiralno lečo. Enačbo tanke leče lahko izpeljemo s pomočjo dveh parov podobnih trikotnikov. Na sliki je en par trikotnikov označen z vodoravnim, drugi pa s poševnim senčenjem. povečevanje pa lahko pomaga lupa. Lupa je optična naprava, sestavljena iz zbiralne leče z majhno goriščno razdaljo, ki jo uporabimo tako, da opazovani predmet postavimo v njeno gorišče (lahko tudi med gorišče in lečo). Žarki se pri tem na lupi lomijo tako, da predmet vidimo pod večjim zornim kotom in se nam predmet zato zdi povečan (slika 6.4). Poleg tega so žarki za lupo vzporedni (slika 6.2 C), zaradi česar se nam zdi opazovani predmet zelo daleč in ni težav s prilagajanjem očesa za gledanje na blizu (oko je najbolj sproščeno pri gledanju na daleč). Povečava optičnih inštrumentov je definirana glede na velikost predmeta, ki jo vidimo pri normalni zorni razdalji (x0), katere vrednost je določena na 25 cm. Z enačbo se povečavo definira kot razmerje tangensa zornega kota, pod katerim vidimo predmet skozi optični inštrument, ter tangensa zornega kota, pod katerim vidimo predmet, ki je na normalni zorni razdalji. Zorni kot na normalni zorni razdalji (θ0) lahko podamo z izrazom tan θ0 = A/x0, zorni kot pri gledanju z lupo pa tan θl = A/fl (slika 6.4), zato lahko povečavo lupe izrazimo kot tan θ x N l 0 l = = . (6.4) tan θ0 fl Iz enačbe (6.4) razberemo, da zbiralno lečo lahko uporabimo kot lupo le, če je njena goriščna razdalja manjša od normalne zorne razdalje. Leča z daljšo goriščno razdaljo bi predmet namreč navidezno pomanjšala. 6.3 Mikroskop Najpreprostejši mikroskop je sestavljen iz dveh zbiralnih leč: objektiva in okularja (slika 6.5). Predmet, ki ga opazujemo, postavimo malo pred goriščno ravnino objektiva, tako da na drugi strani objektiva dobimo realno, obrnjeno in povečano sliko predmeta. To sliko gledamo skozi okular, ki ga uporabimo kot lupo. Pri mikroskopu pride do povečave 69 Slika 6.4: Velikost predmeta, ki jo vidimo z očesom, je odvisna od zornega kota θ (zgoraj, na sredini). Bližje ko je predmet, večji je zorni kot in predmet se nam zdi večji. Z lupo lahko zorni kot še dodatno povečamo (spodaj). Zorni kot je pri gledanju s prostim očesom podan z izrazom tan θ = A/x, kjer je A velikost predmeta, x pa razdalja med očesom in predmetom (na sredini). Pri gledanju skozi lupo je zorni kot podan z izrazom tan θl = A/fl, kjer je fl goriščna razdalja lupe (spodaj). Ker je pri lupi predmet postavljen v gorišče, so žarki za lupo vzporedni (slika 6.2 C). 70 Slika 6.5: Pot značilnih žarkov v mikroskopu.trealala dvakrat: najprej predmet poveča objektiv, nato pa povečano sliko povečamo še z okularjem. Povečava mikroskopa je tako enaka produktu povečave objektiva in povečave okularja. Povečava objektiva je podana z enačbo za povečavo preslikave [enačba (6.2)], povečava okularja pa z enačbo za povečavo lupe [enačba (6.4)], zato je povečava mikroskopa enaka e x N 0 M = NOB · NOK = . (6.5) fOB fOK Iz slike 6.5 je razvidno, da je e pri mikroskopu enak razdalji med notranjima goriščema objektiva in okularja. Pri preslikavi z mikroskopom ne sodelujejo vsi žarki, ki prihajajo s predmeta, temveč le tisti, ki vstopajo v objektiv. Skupen presek snopa žarkov, ki sodelujejo pri preslikavi imenujemo zenica, oziroma pravimo, da je odprtina objektiva vstopna zenica. Na strani okularja je izstopna zenica, ki je slika, v katero okular preslika vstopno zenico. Pojem zenice je predstavljen na sliki 6.6, kjer sta narisana skrajna žarka, ki izhajata iz zgornjega roba predmeta (črtkani črti) in skrajna žarka, ki izhajata iz spodnjega roba predmeta (pikčasti črti). Izstopna zenica je na mestu, kjer se za okularjem sekajo skrajni žarki. Največ žarkov s predmeta (in torej največje vidno polje) lahko torej pri gledanju skozi mikroskop vidimo, če oko postavimo v lego izstopne zenice. Iz enačbe za povečavo mikroskopa bi lahko sklepali, da so dosegljive poljubno velike povečave. Potrebno bi bilo le uporabiti leče z dovolj majhnimi goriščnimi razdaljami. Izkaže pa se, da od določene povečave naprej zaradi uklona žarkov ne moremo več razločevati podrobnosti. Žarki, ki padejo na odprtino končne velikosti, se na robu namreč uklonijo in širijo tudi v geometrijsko senco. Uklon je tem bolj opazen, čim manjša je odprtina in čim večja je valovna dolžina svetlobe. Zaradi uklona se točka pri preslikavi skozi lečo ne preslika v točko, ampak v nekoliko večjo liso z zamegljenimi robovi. Če sta dve opazovani točki preblizu, se njuni sliki (lisi) zlijeta skupaj, zato ju ne moremo več razločevati. Ločljivost mikroskopa je tako definirana 71 Slika 6.6: Vstopna in izstopna zenica mikroskopa. kot najmanjša razdalja med dvema točkama, na kateri lahko v idealnih pogojih točki še razločujemo. Podroben račun pokaže, da je ločljivost mikroskopa d enaka 0,61λ d = . (6.6) NA kjer je NA numerična apertura objektiva, λ pa valovna dolžina svetlobe, s katero je osvetljen predmet. Numerična apertura je merilo za količino žarkov, ki jih zbere objektiv, in je definirana kot NA = n sin α , (6.7) kjer je n lomni količnik snovi med predmetom in objektivom in α kot med optično osjo in veznico med goriščem ter robom objektiva. Lomni količnik zraka je enak 1. Za doseganje dobre ločljivosti moramo torej uporabiti objektiv s čim večjo numerično aperturo oziroma vzorec opazovati s svetlobo s čim krajšo valovno dolžino. Kot α, in s tem tudi numerična apertura, je tem večji, čim večji je radij leče objektiva in čim manjša je njegova goriščna razdalja. Kadar uporabimo imerzijski objektiv, je med predmetom in objektivom imerzijsko olje, ki ima od zraka večji lomni količnik, n > 1. Zaradi tega so lomni koti na poti od predmeta do objektiva manjši in objektiv zbere več uklonjenih žarkov. Efektivno se s tem poveča odprtina objektiva. Ločljivosti mikroskopa ne smemo zamenjevati z najmanjšo velikostjo predmeta, ki ga še lahko opazimo, saj lahko opazimo tudi od ločljivosti dosti manjši predmet, če se le dovolj loči od okolice. Podobno kot če ponoči opazujemo približevanje avtomobila. Pri oddaljenemu avtomobilu vidimo le eno luč in šele, ko se dovolj približa, opazimo, da sta dve. 6.4 Nastavitev osvetlitve Pri mikroskopiranju si želimo čim bolj jasno in kontrastno sliko, na kateri bomo razločili čim več podrobnosti. Pri tem je ključno, da je opazovani predmet enakomerno in ravno prav močno osvetljen. Enakomerno osvetlitev z majhnim, neenakomernim svetilom (npr. 72 žarnico) nam omogoča t.i. Köhlerjeva osvetlitev, ki je ponavadi že vgrajena v mikroskope. Osnovna značilnost Köhlerjeve osvetlitve je, da svetloba z vsake točke svetila enakomerno osvetljuje celoten predmet. Za Köhlerjevo osvetlitev skrbita dve leči z zaslonkama: kolektor in kondenzor. Optične osi kolektorja, kondenzorja, objektiva in okularja se morajo ujemati, na optični osi pa mora biti tudi svetilo. Poti žarkov iz predmeta (imenujemo jih upodabljajoči žarki) in iz svetila (imenujemo jih osvetlitveni žarki) pri Köhlerjevi osvetlitvi so prikazane na sliki 6.7. Ostra slika opazovanega predmeta nastane na mestih, v katerih se zberejo upodabljajoči žarki, ostra slika žarnice svetila pa nastane, kjer se sekajo osvetlitveni žarki. Iz slike 6.7 vidimo, da pri Köhlerjevi osvetlitvi ostra slika žarnice s svetila vedno nastane na drugih mestih kot ostra slika opazovanega predmeta. Leče so pri Köhlerjevi osvetlitvi postavljene tako, da kolektor svetilo preslika v goriščno ravnino kondenzorja. Osvetlitveni žarki, ki izhajajo iz ene točke svetila so tako na drugi strani kondenzorja, kjer je opazovani predmet, vzporedni in porazdeljeni po celem svetlobnem polju. Zato jih pri gledanju skozi mikroskop vidimo kot enakomerno svetlo ozadje. Kolektorska zaslonka je postavljena v ravnino, v kateri se sekajo upodabljajoči žarki, zato jo vidimo ostro hkrati s predmetom. Z njo določamo kolikšen del predmetne ravnine oz. opazovanega predmeta je osvetljen. Nastavimo jo tako, da je osvetljeno le vidno polje, saj v nasprotnem primeru sipanje svetlobe na področjih izven vidnega polja, ki jih v okularju tako ali tako ne vidimo, sliko le pokvari. Kondenzorska zaslonka je postavljena v ravnino, v kateri se sekajo osvetlitveni žarki, zato lahko z njo uravnavamo jakost osvetlitve. Slika 6.7: Potek upodabljajočih (zgoraj) in osvetlitvenih (spodaj) žarkov pri Köhlerjevi osvetlitvi. Realne slike, ki nastanejo pri preslikavah, so narisane s sivo barvo. Iz poteka upodabljajočih žarkov je razvidno, da se skozi mikroskop skupaj s predmetom vidi ostro tudi kolektorsko zaslonko, katere slika nastane v predmetni ravnini. Povsod, kjer pa se sekajo osvetlitveni žarki, nastane slika svetila oz. kondenzorske zaslonke. 73 Osvetlitev ponavadi nastavimo po korakih: 1. najprej izostrimo predmet pri približni osvetlitvi, 2. zapremo kolektorsko zaslonko in premikamo kondenzor vzdolž optične osi tako, da hkrati vidimo skozi mikroskop izostren predmet in zaslonko kolektorja 3. kolektorsko zaslonko sedaj odpremo toliko, da se njen rob pokriva z vidnim poljem (da je ravno ne vidimo več) 4. nastavimo svetlobni izvor ali kolektorsko lečo tako, da slika svetila nastane ravno v goriščni ravnini kondenzorja (to je hkrati ravnina, kjer je kondenzorska zaslonka). Pri nastavitvi nam lahko pomaga dejstvo, da je takrat ostra slika svetila tudi v zadnji goriščni ravnini objektiva (slika 6.7). V nasprotju s kondenzorjem, ki ga v praksi nastavimo po vsaki menjavi objektiva, lahko ponavadi kolektor nastavimo le občasno in ga med vsakdanjim mikroskopiranjem ne premikamo. Naloge: 1. Narišite značilne žarke skozi lečo v naslednjih primerih (priporoča se, da to nalogo naredite že doma): - predmet stoji med zbiralno lečo in njenim goriščem - predmet je med razpršilno lečo in njenim goriščem. 2. Določite goriščno razdaljo zbiralne leče, za katero le ta ni podana (t.j. leče objektiva). 3. Na optični klopi sestavite preprost model mikroskopa (brez Köhlerjeve osvetlitve) in narišite shemo postavitve. 4. Izmerite in izračunajte povečavo mikroskopa. 5. Izmerite in izračunajte ločljivost mikroskopa. Potrebščine: Pri vaji boste uporabljali štiri leče: objektiv, okular, kolektorsko ter kon-denzorsko lečo. Poleg njih k optični klopi spadajo tudi: svetilo, dve za-slonki (ena za kolektor, druga za kondenzor), nastavek za predmet ter zaslon. Goriščna razdalja je označena na vseh lečah razen pri objektivu. Vsi optični deli in svetilo morajo biti med izvedbo vaje nastavljeni v isto optično os! Predmeti, ki jih boste v vaji opazovali so na priloženih diapozitivih. Pri večini nalog boste uporabljali diapozitiv, na katerem so črke F. Diapozitive z mrežo črtic boste potrebovali le pri nalogi 5, kjer boste določali uporabno ločljivost mikroskopa. 74 Izvedba 1) Naloga 1. V zvezek narišite poti značilnih žarkov, ki jih zahteva naloga in napišite, ali nastane realna ali navidezna slika. Pri tem si pomagajte z opisom pri sliki 6.2. Goriščna razdalja leče naj bo 3 cm (oz. −3 cm pri razpršilni leči), razdalja med lečo in predmetom 1,5 cm, velikost predmeta pa naj bo 1 cm. 2) Naloga 2. Pri tej nalogi boste določili goriščno razdaljo leče objektiva. Goriščno razdaljo najprej grobo ocenite tako, da z lečo objektiva preslikate zelo oddaljen predmet na zaslon (na primer: z lečo objektiva preslikate stropno luč na mizo, ali pa okno na nasprotno steno). Ko je slika oddaljenega predmeta na zaslonu ostra, je razdalja med lečo in zaslonom približno enaka goriščni razdalji leče, saj so žarki z zelo oddaljenega predmeta praktično vzporedni in slika pri zbiralni leči nastane v njeni goriščni ravnini. Natančno goriščno razdaljo leče določite na optični klopi. Nanjo postavite zaporedoma: svetlobni izvor, nastavek s predmetom na katerem so črke F, objektiv ter zaslon. Predmet postavite na označeno mesto, svetilo postavite čim bližje predmetu, zaslon pa naj bo od predmeta oddaljen med 25 in 40 cm. Svetilo nastavite na največjo dovoljeno moč (jakost osvetlitve nastavljate z izbiro napajalne napetosti). S premika-njem objektiva po optični klopi poiščite tisto lego, pri kateri nastane na zaslonu ostra slika predmeta. Ali je slika predmeta zares obrnjena na glavo in levo-desno? Izmerite oddaljenost predmeta od leče (a) in oddaljenost slike od leče (b) ter po enačbi (6.3) izračunajte goriščno razdaljo. Meritev opravite pri treh različnih oddaljenostih med predmetom in zaslonom. Za vsako meritev posebej izračunajte goriščno razdaljo ter kot rezultat navedite povprečno vrednost vseh treh meritev. 3) Naloga 3. Pri tej nalogi boste na optični klopi postavili enostavni model mikroskopa. Pri postavitvi si pomagajte s sliko 6.5, na kateri je prikazana pot značilnih žarkov skozi mikroskop. Iz nje je razvidno, da je pri mikroskopu razdalja med objektivom in okularjem enaka b + fOK, kjer je b razdalja med objektivom in sliko predmeta, ki jo preslika objektiv, fOK pa je goriščna razdalja okularja. Z drugimi besedami, gorišče okularja sovpada s sliko predmeta, ki jo preslika objektiv. Na optično klop postavite zaporedoma svetilo, predmet, objektiv. Predmet naj bo na označenem mestu, razdalja med predmetom in objektivom pa naj bo a = 6 cm, če vajo delate v laboratoriju I, oziroma a = 6,5 cm, če delate vajo v laboratoriju II. Na optično klop postavite še zaslon in z njegovo pomočjo določite razdaljo b med objektivom in sliko, ki jo preslika objektiv. Nato zaslon odstranite z optične klopi in nanjo na razdaljo b+fOK od objektiva postavite okular (fOK je označena na okularju). Preprost mikroskop je tako sestavljen. Ustrezno zmanjšajte jakost osvetlitve in poglejte skozi okular. Če je vse pravilno nastavljeno, vidite povečano sliko predmeta. Opazili boste, da ni vseeno, kako gledate skozi okular: zenico svojega očesa morate postaviti natančno v izstopno zenico okularja, ki je pri tem mikroskopu od okularja 75 oddaljena za kar nekaj centimetrov. Lego izstopne zenice okularja lahko določite natančno, če s pomočjo zaslona opazujete, kje se snop svetlobe, ki prihaja skozi okular, združi v najmanjšo liso (pri iskanju izstopne zenice naj bo osvetlitev nastavljena na največjo jakost). Na milimetrski papir narišite shemo mikroskopa v razmerju 1:4 (razdalja 4 cm na optični klopi je 1 cm na shemi. Primer: če je dejanska goriščna razdalja leče enaka 10 cm, je na shemi ta razdalja enaka 2,5 cm). Velikost predmeta pri risanju izberite poljubno. Na shemi narišite potek treh značilnih žarkov s predmeta (slika 6.5). Pazite na natančnost pri risanju - zaradi majhnih nenatančnosti pri risanju je lahko končna slika povsem narobe! 4) Naloga 4. Povečavo mikroskopa lahko določimo glede na velikost zornega kota, pod katerim skozi mikroskop vidimo predmet. Primerjali boste torej velikosti slike, ki jo vidite skozi mikroskop, z velikostjo predmeta, ki jo vidite z normalne zorne razdalje. Pri tem si boste pomagali z merilom. Najprej z njim izmerite dejansko velikost črke F na predmetu. Nato izmerite navidezno velikost črke F, ki jo vidite skozi mikroskop: z enim očesom glejte skozi mikroskop, z drugim pa hkrati na merilo, ki ga držite ob optični osi v normalni zorni razdalji (x0 = 25 cm) pred očesom (slika 6.8). Na ta način z merila odčitate navidezno velikost črke F. Povečava mikroskopa je v tem primeru razmerje med navidezno velikostjo slike in dejansko velikostjo črke F. x 0 Slika 6.8: Gledanje skozi mikroskop pri določanju povečave. Povečavo mikroskopa izračunajte še po enačbi (6.5), saj poznate vrednosti e, x0, fOK in fOB, ter izračunano vrednost povečave primerjajte z izmerjeno. 5) Naloga 5. Ločljivost mikroskopa določite s tem, da ocenite, katera je najmanjša razdalja med črtami na predmetu, pri kateri črte še jasno vidite. V ta namen uporabite diapozitive, na katerih so mreže z različnimi gostotami črt. Začnete z diapozitivom 76 z mrežo, pri kateri so črte najbolj narazen. Če črte v tej mreži še razločite, vzemite diapozitiv z gostejšo mrežo in tako naprej, vse dokler črt ne razločite več. Meja ločljivosti mikroskopa je približno enaka najmanjši še vidni razdalji med črtami. Za izračun največje teoretično mogoče ločljivosti po enačbi (6.6) morate najprej določiti numerično aperturo objektiva. Iz definicije numerične aperture [enačba (6.7)] je razvidno, da je za to potrebno izmeriti radij leče objektiva ROB in iz tega določiti kot α. Za valovno dolžino λ vzemite 550 nm, lomni količnik zraka pa je 1. Primerjajte izračunano ločljivost z izmerjeno. Ali je ločljivost mikroskopa v vsakem primeru tako dobra kot največja teoretična mogoča ločljivost po enačbi (6.6)? Zakaj? (namig: Pri opazovanju uporabljamo oči. Je omejitev za praktično ločljivost pri vaji mogoče majhna povečava mikroskopa ter omejena ločljivost očesa? Kakšni sta “povečava” in ločljivost očesa? Napake leč seveda tudi zmanjšajo ločljivost mikroskopa, a pri majhnih povečavah, kot je pri tej vaji, je ta prispevek skoraj zanemarljiv). 77 7 Lastnosti in merjenje svetlobe Pri tej vaji se bomo seznanili z valovno in delčno naravo svetlobe ter s pojmi spekter, uklon in interferenca. Spoznali bomo, kako se določi valovne dolžine, katere valovne dolžine v vidnem delu spektra ustrezajo katerim barvam, ter izmerili gostoto svetlobnega toka. Povedali bomo tudi nekaj o biofizikalnih osnovah zaznavanja svetlobe z očesom. Svetloba ima v živalskem in rastlinskem svetu pomembno vlogo (fotosinteza, zaznava-nje okolice s fotoreceptorji, poškodbe zaradi ultravijolične svetlobe). Uporabljamo jo pri številnih kliničnih, biofizikalnih in biokemijskih meritvah, pa tudi pri zdravljenju. Pri tem ni pomembna le jakost svetlobnega toka, ampak tudi, kako je svetlobni tok porazdeljen po valovnih dolžinah in kakšno površino obseva. Gostota svetlobnega toka, ali natančneje gostota energijskega toka svetlobe (j), je po definiciji enaka energiji, ki pade v časovni enoti na enoto površine pravokotno na smer razširjanja valovanja. 7.1 Spekter Porazdelitev gostote svetlobnega toka po valovnih dolžinah oziroma frekvencah imenujemo spekter svetlobe. Spekter lahko izmerimo, če se usmerjen svetlobni curek svetlobe iz izvora razkloni pri prehodu skozi optično prizmo ali uklonsko mrežico. Spekter je lahko zvezen ali črtast. V zveznem spektru so v nekem področju valovnih dolžin zastopane vse valovne dolžine. Predstavimo ga tako, da nanašamo na eno os valovno dolžino (λ), na drugo os pa delež gostote energijskega toka, ki pade v ozek interval valovnih dolžin (dj/dλ). Gostota energijskega toka svetlobe z valovnimi dolžinami med λ in λ + dλ je dj dj = dλ . (7.1) dλ Primer zveznega spektra je narisan na sliki 7.1. Celotno gostoto svetlobnega toka dobimo, če seštejemo prispevke vseh valovnih dolžin v spektru Z ∞ dj j = dλ . (7.2) dλ 0 Na sliki 7.1 je torej celotna gostota svetlobnega toka enaka ploščini pod krivuljo. Primeri zveznega spektra so spekter sončne svetlobe ali spektri volframovih in halogenskih žarnic. Črtast pa je spekter, v katerem nastopajo le nekatere valovne dolžine. Predstavimo ga tako, da nanašamo na eno os valovno dolžino, na drugo pa gostoto svetlobnega toka. Višina črte predstavlja gostoto svetlobnega toka z določeno valovno dolžino (slika 7.2). Črtasti spektri so značilni za svetlobo, ki jo izsevajo atomi pri prehodu iz vzbujenih stanj v nižja energijska stanja. Atomi elementov imajo svoje značilne spektre. Pri določenih svetilih pa lahko spektre razložimo kot superpozicijo črtastega in zveznega spektra. Take sestavljene spektre imajo neonske (varčne žarnice) in obločne žarnice. Zelo poznan sestavljen spekter je spekter “svetlobe”, ki jo seva rentgenska cev. 78 10 8 dj dλ 6 13 3 [ 10 W/m ] 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2 λ [ m] µ Slika 7.1: Spekter svetlobe, ki jo seva Sonce, je primer zveznega spektra. Sonce seva kot črno telo s temperaturo površine 6000 K. 7.2 Uklon in interferenca O uklonu govorimo, kadar se valovanje širi v geometrijsko senco za oviro. Pojav opazimo, če je velikost ovire ali odprtine primerljiva z valovno dolžino valovanja ali manjša od nje. Valovne dolžine vidne svetlobe so zelo majhne v primerjavi z dimenzijami predmetov iz vsakdanjega življenja, zato uklona svetlobe na njih ne opazimo. Pri zvočnem valovanju pa so dimenzije primerljive, zato slišimo zvok za drevesom, čeprav zvočila ne vidimo. Valovanja, ki se širijo iz več izvorov, med seboj interferirajo, kar pomeni, da je trenuten odmik v posamezni točki vsota trenutnih odmikov valovanj iz vseh izvorov, ki so dosegla to mesto. Valovanja iz izvorov se na določenih področjih prostora ojačujejo, na drugih pa oslabijo. Kadar dva izvora nihata z isto frekvenco in v fazi (hkrati dosegata maksimume in minimume), se valovanji iz takih izvorov najbolj ojačita na mestih, kjer je razlika poti obeh valovanj enaka celemu večkratniku valovne dolžine. Najbolj pa se valovanje oslabi na mestih, kjer se poti razlikujeta za lih večkratnik polovične valovne dolžine (fazi valovanj sta na tem mestu nasprotni). 7.3 Uklonska mrežica Optična ali uklonska mrežica je mrežica z zelo ozkimi režami v enakih medsebojnih razma-kih. Uporabljamo jo pri določanju spektrov. Svetloba se na vsaki zelo ozki reži razkloni in izhaja iz nje kot iz točkastega izvora. Mislimo si, da enobarvna svetloba z valovno dolžino λ pade pravokotno na mrežico z režami, ki so med seboj oddaljene za razdaljo D. Zaradi pravokotnega vpada žarkov iz svetila na mrežico sta na mestu sosednjih rež valovanji fazno usklajeni in po izhodu iz rež interferirata. Iz slike 7.3 je razvidno, da se dolžini optičnih poti 79 Slika 7.2: Primer črtastega spektra. valovanj zelo daleč za režama, ko lahko obravnavamo, da sta poti vzporedni, razlikujeta za d = D sin α . (7.3) Če se poti žarkov razlikujeta ravno za večkratnik valovne dolžine, se valovanji najbolj ojačujeta, na takem mestu nastane interferenčni vrh. Ti vrhovi ležijo v smereh (α), za katere velja pogoj d = D sin α = N λ , (7.4) kjer je N celo število. To število pove, za koliko valovnih dolžin se razlikujeta poti žarkov iz dveh sosednjih rež, in označuje uklonski red. Če se poti valovanj razlikujeta za lih večkratnik polovične valovne dolžine, se valovanji oslabita, kar se zgodi v smereh, za katere velja 1 d = D sin α = (N + )λ . (7.5) 2 Vidimo, da se na danih režah pri istem uklonskem maksimumu (N ) svetloba z daljšo valovno dolžino bolj ukloni kot svetloba s krajšo valovno dolžino. Smeri uklonskih maksimumov ostanejo enake, če imamo namesto dveh v enakih raz-makih rež več, maksimumi pa so izrazitejši. Če na režo ali optično mrežico pada svetloba, v kateri so zastopane različne valovne dolžine (na primer bela svetloba), se le v smeri, ki je nadaljevanje vpadnega žarka, zopet sestavijo prispevki vseh valovnih dolžin – ničti uklonski maksimum je zato enake barve kot vpadna svetloba. Ostali maksimumi so za različne valovne dolžine v različnih smereh (glej enačbo za ojačitev) in na zaslonu že lahko opazujemo spekter vpadne svetlobe. V spektrometrih, ki se uporabljajo pri preiskavah in v raziskovalne namene, so vgrajene še dodatne enote, kot so detektorji svetlobe, merilci premika, izvori svetlobe. Da so uklonski koti dovolj veliki, mora biti razdalja med zarezami primerljiva z valovno dolžino svetlobe, kar pomeni, da mora imeti uklonska mrežica od 100 do 800 zarez na milimeter. 80 uklonska mrezica uklonska mrezica α D sinα α D α α T Slika 7.3: Uklonjena žarka iz sosednjih rež opravita do iste točke na zaslonu različno dolgi poti. Če sta dolžini poti valovanj do izbrane točke (točka T) mnogo večji od razdalje med režama (desno), lahko obravnavamo žarka kot vzporedna (levo). 81 7.4 Svetlobni kvanti, fotoni Lastnosti svetlobe, kot sta uklon in interferenca, lahko enostavno razložimo, če opisujemo svetlobo kot elektromagnetno valovanje. Po drugi strani pa lahko pojave, kot je fotoelektrični pojav, razložimo, če privzamemo, da je svetloba sestavljena iz “delčkov z določeno enegijo” – fotonov. Pravimo, da ima svetloba dvojno naravo: valovno in delčno. Fotone si lahko predstavljamo kot energijske delce brez mase, ki se gibljejo s svetlobno hitrostjo c. Energija fotona je sorazmerna frekvenci svetlobe ν c W = hν = h , (7.6) λ kjer je sorazmernostni koeficient Planckova konstanta (h = 6,6 × 10−34 Js). Tudi gostoto svetlobnega toka lahko izrazimo z gostoto energije, w = nhν, pomnoženo s svetlobno hitrostjo: j = nhνc , (7.7) kjer je n število fotonov na prostorninsko enoto. 7.5 Fotoelektrični pojav V kovini je oblak prevodnih elektronov. Ti se prosto gibljejo po kristalni mreži, ki jo tvorijo ioni kovine, vendar nimajo dovolj energije, da bi premagali mrežni privlak in kovino zapustili. Elektron, ki je blizu površine, lahko zapusti kovino, če dobi iz okolice dovolj energije. Energijo, ki jo potrebuje elektron, da premaga mrežni privlak in zapusti kovino, imenujemo izstopno delo (Aiz). Pri fotoelektričnem pojavu (fotoefektu) dobijo elektroni energijo z absorpcijo fotona. Nekaj je porabijo za izstopno delo, ostalo pa gre v kinetično energijo elektrona (Wkin). Velja hν = Aiz + Wkin. (7.8) Do fotoelektričnega pojava pride v kovini le, če je energija fotona vpadle svetlobe večja od izstopnega dela za to kovino (hν > Aiz), kar pomeni, da mora imeti svetloba dovolj veliko frekvenco oziroma dovolj majhno valovno dolžino. 7.6 Polprevodniški merilniki svetlobe V trdni snovi so elektroni razporejeni po energijskih pasovih. V vsakem energijskem pasu je ogromno število energijskih nivojev za elektrone. Posamezni energijski pasovi so ločeni s prepovedanimi pasovi. Zadnjemu popolnoma zasedenemu energijskemu pasu pravimo valenčni pas, prvemu naslednjemu pa prevodni pas (slika 7.4). Fizikalne lastnosti snovi – nas zanima predvsem prevodnost – pa so odvisne od lege in zasedenosti energijskih pasov. Snov prevaja električni tok, če se elektroni lahko gibljejo, kar pomeni, da morajo biti na razpolago nezasedeni nivoji. Popolnoma prazen prevodni pas in energijsko širok prepovedani pas (10 eV ali več) dajeta snovi lastnosti izolatorja. Če je prepovedani pas ožji, je snov polprevodnik, v prevodnikih pa je prevodni pas delno zaseden z elektroni. 82 T = 0 T > 0 in ali prevodni ni osvetljen osvetljen pas energija prepovedani pas valencni pas izolator polprevodnik prevodnik Slika 7.4: Razporeditev elektronov po energijskih pasovih. Sivo so označeni zasedeni elektronski nivoji v energijskem pasu. Meja med valenčnim ter prepovedanim pasom je označena z debelo polno črto in meja med prepovedanim ter prevodnim pasom je označena z debelo črtkasto črto. Če je temperatura polprevodnika večja od nič ali če je polprevodnik osvetljen, nekaj elektronov preide v prevodni pas (tanke črte), zato v valenčnem pasu nastanejo vrzeli, ki so označene z belo črto. Če polprevodnik ni osvetljen, je pri nizkih temperaturah prevodni pas popolnoma prazen, valenčni pas pa popolnoma zaseden. Ker v valenčnem pasu ni na razpolago praznih mest, se elektroni ne morejo gibati tako, da bi prevajali električni tok. Če pa dobijo nekaj energije iz okolice (termično vzbujanje ali pa absorpcija fotona), lahko preidejo v prevodni pas, zato se polprevodnikom upor zmanjšuje s temperaturo in osvetljenostjo. Verjetnost, da bo posamezen foton “izbil” elektron v prevodni pas, je odvisna od širine prepovedanega pasu in energije (valovne dolžine) fotona. Najpogosteje uporabljamo polprevodniške merilnike (fotoupore, fotodiode, fototranzi-storje) iz silicija ali selena ter iz svinčevega in kadmijevega sulfata. Za njihovo napajanje potrebujemo nizko napetost (od 3 V do 30 V). Spektralna občutljivost (η) polprevodniškega merilnika svetlobe, ki ga uporabljamo pri vaji, je prikazana na sliki 7.5. 7.7 Oko Človeško oko je med najbolj občutljivimi merilniki svetlobe. V očeh višjih živalskih vrst preslikata roženica in očesna leča predmet na mrežnico, v kateri so za svetlobo občutljive celice, fotoreceptorji. Fotoreceptorsko celico sestavljata del, ki skrbi za energijsko preskrbo celice in električni prenos signala do živca, in del, v katerem se svetloba absorbira in se svetlobni dražljaj preko kemične pretvorbe spremeni v električnega. Bistveni sestavni del tega dela je membrana z veliko površino. V membrani 83 1 0,8 0,6 η 0,4 0,2 0 100 300 500 700 900 1100 λ [nm] Slika 7.5: Občutljivost polprevodniškega detektorja v odvisnosti od valovne dolžine. Občutljivost je prikazana v relativnih deležih glede na največjo občutljiost, ki je pri valovni dolžini 760 nm. so kromoproteini (pri človeku je to rodopsin), ki se ob absorpciji fotona kemično spremenijo (rodopsin razpade na opsin in retinal), kar sproži še druge kemijske reakcije, ki povzročijo spremembo prevodnosti celične membrane. Ravnovesna porazdelitev anionov in kationov na obeh straneh membrane se poruši, kar lahko opišemo kot napetostni sunek, ki se preko sinapse prenese na očesni živec. Za razcep kromoproteinske molekule je potrebna energija, ki jo prinese foton. Ker mora biti energija fotona dovolj velika, je oko občutljivo le za fotone z valovno dolžino, manjšo od približno 700 nm. Oko po drugi strani ne zazna fotonov z valovno dolžino, manjšo od 410 nm, ker se absorbirajo v očesni leči in roženici. Glede na to imenujemo območje elektromagnetnega valovanja med 410 nm in 700 nm vidna svetloba. Kadar so v vpadni svetlobi zastopane bolj ali manj vse valovne dolžine v tem intervalu, svetlobo zaznavamo kot belo; v tem primeru odreagirajo na vpadne fotone vse tri vrste fotoreceptorjev - čepkov, občutljivih na različne barve: rdečo, zeleno in modro. Kadar v vpadni svetlobi dobršen pas valovnih dolžin manjka, svetlobo zaznamo kot obarvano, pri čemer različne barve zaznavamo ob različnih kombinacijah aktiviranih čepkov. Kot rumeno svetlobo na primer zaznamo svetlobo, na katero se v približno enaki meri odzovejo fotoreceptorji za rdečo in zeleno barvo. Barve lahko ločimo le pri dovolj veliki gostoti svetlobnega toka. Oko je za zmerno močno svetlobo (fotopično gledanje s čepki) najbolj občutljivo za svetlobo z valovno dolžino 560 nm. Če pa je svetloba šibka, gledamo z drugimi, za svetlobo občutljivimi celicami - paličicami. Vrh občutljivosti se premakne na 510 nm (skotopično gledanje). Po eni uri v temi zazna povprečno oko nanosekunden blisk z valovno dolžino 510 nm že, če je v njem vsaj petdeset fotonov. Občutljivost se od očesa do očesa razlikuje, tako da lahko sproži 84 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 350 400 450 500 550 600 650 700 750 λ [nm] Slika 7.6: Spektralna občutljivost očesa, ki je podana v relativnih deležih glede na največjo občutljivost. Polna črta prikazuje relativno občutljivost za skotoptično gledanje, črtkana pa ustrezno občutljivost za fotoptično gledanje. dražljaj v vidnem živcu v najboljšem primeru celo že pet fotonov. Časovna ločljivost očesa je približno 1/25 s. Ustrezni spektralni občutljivosti očesa sta narisani na sliki 7.6. Daljše valovne dolžine kot vidna ima infrardeča svetloba, krajše pa ultravijolična. Del ultravijolične svetlobe z valovnimi dolžinami blizu vidne svetlobe opazimo kot rumenkasto meglico zaradi fluorescence flavina v roženici. Ultravijolična svetloba poškoduje roženico, zaščitimo se lahko s filtri (dobra sončna očala ne prepuščajo valovnih dolžin pod 400 nm), delno pa že s steklom, saj prepušča le svetlobo z valovnimi dolžinami nad 320 nm. Naloge: 1. Izmerite gostoto svetlobnega toka v odvisnosti od oddaljenosti od žarnice. 2. Določite razdaljo med zarezami mrežice, če poznate valovno dolžino (rdeče) svetlobe priloženega svetila. 3. Določite spekter bele svetlobe, ki jo seva v nosilec vpeta svetilka. Spektralna občutljivosti uporabljenega polprevodniškega detektorja je podana na sliki 7.5. 4. *Neobvezna dodatna naloga: Določite razdaljo med skrajnima barvama v opazovanem spektru. 85 U = 220 V U = 220 V transformator in usmernik transformator in usmernik x opticna klop voltmeter izvor svetlobe detektor Slika 7.7: Shema vezave pri merjenju gostote svetlobnega toka v odvisnosti od razdalje med svetilom in svetlobnim detektorjem (x). Svetilo in detektor sta postavljena na optično klop. Transformatorja z usmernikoma za napajanje svetila in detektorja sta priključena na električno napeljavo. Voltmeter je priključen na detektor. Potrebščine: optična klop izvor svetlobe (žarnica) detektor svetlobe (merilec svetlobnega toka: majhna črna kvadratna plo- ščica približno na sredini navpičnega plastičnega nosilca) merilo Izvedba 1) Merjenje svetlobnega toka v odvisnosti od razdalje med svetilom in detektorjem: Svetlobni izvor priključite na ustrezno napetost in ga postavite na optično klop. Ustrezno povežite tudi detektor, napajanje za detektor in voltmeter (slika 7.7). Preverite, če je napajanje detektorja vključeno. Vse meritve naj potekajo v temi. Voltmeter naj bo nastavljen na istosmerno na- ' petost (oznaka ). Voltmeter ima vgrajeno lučko za odčitavanje, ki jo prižgemo z rumenim gumbom, pomagate pa si lahko tudi z baterijsko svetilko. Ne svetite z njo neposredno na detektor! Odziv polprevodniškega detektorja narašča z osvetljenostjo 86 in temperaturo, zato izmerite napetost na detektorju, ko ni osvetljen. Dobljeno vrednost bomo vzeli kot referenčno napetost, saj privzamemo, da se temperatura med celotno meritvijo ne bo bistveno spreminjala. Pri vseh meritvah svetlobnega toka od izmerjene napetosti odštejte to referenčno napetost. Gostoto svetlobnega toka, ki pade na detektor, spreminjajte tako, da spreminjate razdaljo med svetilom in detektorjem (x). Gostota svetlobnega toka, ki ga točkasto svetilo seva enakomerno v vse smeri, pada s kvadratom razdalje C j = , (7.9) x2 kjer je C konstanta, ki je odvisna od moči svetila. Izpeljava Zakaj gostota svetlobnega toka pada ravno s kvadratom razdalje? Svetilo seva enakomerno v vse smeri, pri čemer je svetlobni tok (P ) konstanten in se ohranja. Če si zamislimo, da je svetilo nameščeno v središču krogle, so torej točke na notranji površini krogle (S) enakomerno osvetljene. Ker je površina krogle sorazmerna z razdaljo od svetila na kvadrat, je gostota toka (j = P/S) tako v katerikoli smeri na določeni razdalji enaka in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje. Upoštevali smo, da je absorpcijski koeficient zraka za svetlobo tako majhen, da lahko absorpcijo v zraku zanemarimo. Izmerite napetost na detektorju pri desetih oddaljenostih detektorja od svetila. Upo- števajte, da odboji znotraj ohišja navidezno povečajo svetilo, zato merite na razdaljah, ki so velike v primerjavi z dimenzijami svetila. Oddaljenosti izberite tako, da bodo točke v diagramu, ki bo prikazoval izmerjeno napetost v odvisnosti od recipročne vrednosti kvadrata razdalje, približno enakomerno porazdeljene (več točk pri manjših oddaljenostih). Narišite odvisnost napetosti U od 1/x2 in preverite, če leže dobljene točke na premici. Ker je gostota svetlobnega toka obratno sorazmerna s kvadratom razdalje x [enačba (7.9)], lahko za območje, kjer izmerjene točke ležijo na premici, zapišemo zvezo j = konst.U . 2) Določanje razdalje med režami uklonske mrežice s pomočjo merjenja uklonskega kota laserske svetlobe z valovno dolžino 650 nm. OPOZORILO: NIKOLI NE GLEJTE DIREKTNO V IZVOR SVETLOBE. Najprej prestavite detektor z optične klopi na sanke premične roke spektrometra, in prižgite svetilo. Nato preverite, če je spektrometer pravilno nastavljen. To pomeni, da so izvor svetlobe, reža in uklonska mrežica na isti osi, kar preverite tako, da je mrežica osvetljena na sredini (slika 7.8). Preverite pravokotno postavitev uklonske mrežice: oznaka 0◦ mora biti na sredinski črti, gledano z vrha. Ko je vse na mestu, je 87 U = 220 V U = 220 V mrezica transformator opticna os o in usmernik 90 α reza izvor svetlobe detektor dodatni zaslon voltmeter Slika 7.8: Shema vezave pri merjenju razdalje med režama pri uklonski mrežici in pri merjenju spektra. Detektor je na sankah premične roke spektrometra. sredina ničtega uklonskega maksimuma točno na mestu z oznako 0◦. Ugasnite svetilo in prižgite laser. Laser imejte prižgan samo med meritvijo. Za valovno dolžino laserja vzemite 650 nm. Sedaj ste vse pripravili za določitev smeri prvega uklonskega maksimuma. Premično roko z detektorjem premikate v smeri naraščanja kota α toliko časa, da je rdeča pika prvega uklonskega maksimuma točno na liniji, ki označuje sredino detektorja. Na skali odčitajte uklonski kot in izračunajte razdaljo med sosednjimi režami optične mrežice [enačba (7.4)]. 3) Merjenje spektra svetlobe, ki jo oddaja bela dioda: Prižgite belo svetilko. Enako kot pri točki 2 preverite, da je ničti uklonski maksimum res na oznaki 0◦. Opazujte prvi uklonski maksimum. Kakšen je spekter svetlobe, ki ga seva svetilo? Pri katerem kotu pričakujete rdeči del spektra? Z dodatnim zaslonom poskrbite, da na detektor pada res le svetloba, ki je prešla optično mrežico in ne tudi svetloba, ki bi do detektorja prišla neposredno od svetila – mimo mrežice. Pri vklopljenem izvoru svetlobe ponovno izmerite referenčno napetost, tako da postavite detektor v temen del med ničti in prvi uklonski maksimum. S to meritvijo boste določili ozadje za dano postavitev, to je odziv detektorja zaradi temperature in sipane svetlobe, ki ne pripada uklonskemu maksimumu. Zapišite si izmerjeno referenčno napetost (Uoz). Premerite spekter svetlobe v odvisnosti od kota. Meriti začnete na levi strani spektra 88 razklonjene svetlobe, torej tako, da postavite detektor tik pred začetek prvega uklonskega maksimuma (v pripravljeno tabelo si zapisujte kote α in ustrezne napetosti na izhodu detektorja (Ui)). Meritev ponavljajte, s tem, da vsakokrat povečate kot α za eno stopinjo, tolikokrat, da pride detektor ponovno v temno področje na drugi strani spektra. Za vsako odčitavanje z voltmetra ugasnite baterijsko svetilko! Ob zapisanih kotih in izmerjenih napetostih si zabeležite tudi barvo uklonjenih žarkov. Ker od prejšnje naloge poznate razdaljo med sosednjimi režami, v naslednji stolpec tabele pri vsaki merski točki izračunajte valovne dolžine pripadajoče svetlobe po enačbi 7.4. Pri posamezni valovni dolžini lahko nato določimo gostoto svetlobnega toka, pri čemer upoštevamo ozadje (od izmerjenih napetosti vsakokrat odštejemo referenčno napetost) in različno občutljivost polprevodniškega detektorja za svetlobe različnih valovnih dolžin (slika 7.5). Občutljivost 0,25 npr. pomeni, da detektor zazna le 25 % vpadne svetlobe in odčitek napetosti na detektorju je zato ustrezno manjši. Gostota vpadnega toka je tako sorazmerna z (Ui − Uoz)/η; pri vsaki valovni dolžini to razmerje izračunajte in vpišite v zadnji stolpec tabele. Narišite diagram odvisnosti gostote svetlobnega toka od valovne dolžine. Da je gostota svetlobnega toka linearno odvisna od napetosti na izhodu detektorja, ste ugotavljali pri točki 1. V bistvu tako izmerjen spekter podaja odvisnost ∆j/∆λ od λ, a čim bolj je ∆λ majhna, tem bolj upravičeno lahko vrhove stolpcev povežemo z gladko krivuljo in to predstavimo kot odvisnost dj/dλ. Seveda se moramo zavedati, da lahko pri malo izmerjenih točkah zaradi tega izgubimo kakšno značilnost spektra (na primer črto pri sestavljenem spektru). 4) *Neobvezna dodatna naloga: z merilom izmerite, za koliko sta razmaknjeni vijolični in rdeči pas mavrice na steni. Nato izmerite razdaljo (l) od uklonske mrežice do zaslona (stene) ter s pomočjo kotnih funkcij in prej izmerjenih kotov za obe skrajni barvi (αv za vijolično in αr za rdečo) izračunajte razmik med njima. Rezultat računa primerjajte z meritvijo. 89 8 Prevajanje električnih sunkov po živčnem vlaknu Pri tej vaji se bomo seznanili z osnovnimi značilnostmi prevajanja električnih sunkov po mieliniziranem delu živčnih vlaken. 8.1 Struktura in električne lastnosti živčnega vlakna Živčna vlakna – aksoni – so podaljški živčnih celic, po katerih se prenašajo dražljaji od ene do druge živčne celice. Debelina aksonov je nekaj mikrometrov, dolgi pa so lahko tudi več kot en meter. Membrano aksonov nekaterih tipov živčnih celic obdaja mielinska ovojnica (slika 8.1), ki jo tvorijo posebne celice — v perifernem živčevju so to Schwannove celice, v centralnem pa mielinske ovojnice tvorijo oligodendrocite. Mielinske ovojnice akson obdajajo po približno 1 mm dolgih odsekih, med katerimi so 1 µm dolgi Ranvierovi zažemi brez mielina. Raztopina v notranjosti aksona se imenuje aksoplazma. Ker se po živčnih vlaknih dražljaji prenašajo v obliki električnih signalov, je poznavanje električnih lastnosti živčnih vlaken ključno za razumevanje delovanja živčnega sistema. Slika 8.1: Tipična živčna celica z mieliniziranim živčnim vlaknom – aksonom. Enako kot vse telesne raztopine sta zaradi vsebnosti ionov električno prevodni tudi aksoplazma in raztopina, ki celice obdaja. Notranjost in zunanjost celice loči celična membrana, ki je v mirovnem stanju slabo prepustna za nekatere ione (Na+, K+...). Poleg tega aktivni membranski transport (zanj je potrebna energija v obliki molekul ATP) nepre-stano vzdržuje razliko koncentracij različnih ionov med aksoplazmo in zunanjo raztopino. 90 Zaradi različnih koncentracij ionov v notranji in zunanji raztopini je med notranjostjo in zunanjostjo celice napetostna razlika, ki ji pravimo membranski potencial. Živčne celice imajo zmožnost vzdraženja – če se njihov membranski potencial spremeni preko kritične vrednosti, se membranska ionska prepustnost zelo poveča in v aksoplazmo steče ionski tok, ki se pozna kot kratek sunek membranske napetosti (ta napetostni sunek se imenuje tudi akcijski potencial). Nastanek akcijskega potenciala na enem mestu membrane povzroči kritično spremembo napetosti v soseščini, zato se membrana vzdraži tudi tam – akcijski potencial lahko tako v živčnih celicah potuje vzdolž membrane. Mielin je električno neprevoden, zato lahko v mieliniziranih aksonih ionska izmenjava (in z njo nastanek akcijskega potenciala) poteka le v Ranvierovih zažemih ne pa tudi v mieliniziranih odsekih aksona. Ti se tako obnašajo kot pasivni električni vodniki. Električni signal torej po mieliniziranih aksonih potuje na naslednji način: vzdolž mieliniziranega odseka se napetostni sunek širi enako kot po električnem kablu, v Ranvierovih zažemih pa vzdraži membrano in povzroči nastanek dodatnega sunka napetosti ter se s tem ojači. Akcijski potencial tako ne potuje vzdolž celotne dolžine živca, ampak se pojavlja le v Ranvierovih zažemih. Tako prevajanje se imenuje saltatorno prevajanje in ima nekaj prednosti pred prevajanjem po nemieliniziranih aksonih. Predvsem je saltatorno prevajanje hitrejše in potrebuje manj ATP od prevajanja po nemieliniziranih živcih. Z izgubo mielina v živčnih vlaknih so povezana različna bolezenska stanja, na primer multipla skleroza. 8.2 Prevajanje električnega sunka po mieliniziranem odseku živca Mieliniziran odsek živca je s stališča električne prevodnosti podoben koaksialnemu električnemu kablu*: ima prevodno sredico (aksoplazmo), ki jo obdaja plašč izolacije (mielinska ovojnica), zunanjost pa je spet prevodna. Ker v splošnem velja, da je električna upornost obratno sorazmerna prečnemu preseku, skozi katerega tok teče, je električna upornost notranjosti aksona obratno sorazmerna kvadratu radija vlakna: R ∝ ξ/πr2, kjer je ξ a specifična upornost raztopine, ra pa radij aksona. Prečni presek, skozi katerega lahko teče električni tok, je v zunanjosti aksona zelo velik, zato je električni upor zunanje raztopine zanemarljiv v primerjavi z uporom notranjosti aksona. Ker je aksoplazma mnogo slabši prevodnik od kovin (tabela 8.1), je električna upornost mieliniziranega odseka živca veliko večja kot pri električnem kablu. Po koaksialnem kablu lahko električni signal brez dodatne ojačitve prepotuje tudi več sto metrov, mielinizirani živec pa potrebuje na približno vsak milimeter Ranvierov zažem, v katerem se signal ojači. V mieliniziranih odsekih zaradi električno neprevodne mielinske ovojnice ni ionske iz-menjave med aksoplazmo in zunanjo raztopino. Ker pa membrana z ovojnico predstavlja neprevodno mejo med dvema prevodnikoma, ima svojo električno kapaciteto (podobno kot električni kondenzator, slika 8.2). Napetostna razlika med aksoplazmo in zunanjo raztopino U je tako sorazmerna razliki v električnem naboju na obeh straneh e in obratno sorazmerna električni kapaciteti membrane C, U = e/C. Podobno kot v ploščatem kondenzatorju tudi pri membrani velja, da je kapaciteta sorazmerna površini prevodnikov in *Primer koaksialnega kabla je kabel, ki povezuje TV sprejemnik in anteno. 91 Tabela 8.1: Specifične električne upornosti nekaterih snovi. specifična snov upornost [Ω mm2/m] baker 0,017 aksoplazma 2 × 106 PVC 1017 obratno sorazmerna debelini izolacije. Za živce tako velja, da večji kot je radij živca (in s tem površina), večja je kapaciteta, ter večja kot je debelina mielinske ovojnice, manjša je kapaciteta. Tipična kapaciteta kvadratnega milimetra mielinizirane membrane je približno 50 pF. Slika 8.2: Celična membrana (levo) je z električnega stališča podobna električnemu kondenzatorju (desno), saj v obeh primerih izolator razmejuje dva ločena prevodna dela. Pri živčnih celicah tako električno neprevodna membrana z mielinsko ovojnico razmejuje aksoplazmo od zunanje raztopine. Razlika v naboju na obeh straneh membrane e je (podobno kot pri kondenzatorju) preko kapacitete C povezana z razliko napetosti U , e = CU . Kapaciteta je v obeh primerih sorazmerna površini prevodnikov in obratno sorazmerna debelini izolacije. Zaradi preprostih električnih lastnosti mieliniziranega odseka je mogoče natančno iz-računati, kako se po njem širijo električni sunki. Natančen račun presega naše okvire, zato bomo tu navedli le glavne rezultate. Ko na Ranvierovem zažemu pride do nastanka akcijskega potenciala, v aksoplazmo vdre nekaj pozitivnega električnega naboja. Izkaže se, da se ta naboj vzdolž mieliniziranega odseka širi podobno, kot se razširi črnilo, ki ga kapnemo v posodo z vodo. Skupaj z nabojem vzdolž živca potuje tudi električna napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino (U = e/C). Račun pokaže, da širjenje napetosti v odvisnosti od časa t in razdalje od začetka mieliniziranega odseka x popiše naslednja 92 enačba rc x2 r rc − U (t, x) = A e 4t , (8.1) t kjer je r električna upornost aksoplazme na enoto dolžine (r = R/L), c pa električna kapaciteta membrane z ovojnico na enoto dolžine (c = C/L). Konstanta A je sorazmerna √ s količino naboja eA, ki ga je živec prejel z dražljajem, A = eA/(c π). Mimogrede: funkcija iz enačbe (8.1) ima pri danem času obliko Gaussove krivulje s sredino pri x = 0 in standardno deviacijo p2t/rc. S pomočjo enačbe (8.1) lahko narišemo, kakšna je napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino vzdolž mieliniziranega odseka živca ob nekem izbranem času. Slika 8.3 prikazuje U (x) pri treh različnih časih t. Iz slike vidimo, da je v vsakem trenutku napetost v mieliniziranem odseku največja na njegovem začetku. Slika 8.3: Napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino vzdolž mieliniziranega odseka živca ob treh različnih časih od sprožitve sunka na začetku odseka. Slika je narisana s pomočjo enačbe 8.1, za vrednosti konstant: c = 2 pF/mm, r = 20 × 106 Ω/mm in eA = 8, 75 × 10−14 As. Krivulje na sliki imajo obliko Gaussove krivulje. Poleg tega si lahko s pomočjo enačbe (8.1) narišemo, kako se na nekem mestu mieliniziranega odseka napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino spreminja s časom U (t). Slika 8.4 prikazuje, kako se s časom spreminja napetost na razdalji x = 1 mm od začetka odseka. Ob času t = 0, ko je naboj ravno vdrl na začetek mieliniziranega odseka, se to pri razdalji x = 1 mm še ne pozna in je napetost tam 0 mV. Ko se naboj širi po akso-plazmi, napetost narašča, ob času tmax doseže največjo vrednost Umax in nato začne spet padati. Zaradi sunka napetosti na začetku mieliniziranega odseka aksona se torej s časovno zakasnitvijo tmax sunek napetosti pojavi tudi na drugih delih mieliniziranega odseka. 93 Slika 8.4: Časovni potek sunka napetosti med aksoplazmo in zunanjo raztopino pri x = 1 mm. Vrednosti konstant so enake kot pri sliki 8.3. Čas tmax lahko izračunamo s pomočjo enačbe (8.1). Maksimum napetosti nastopi takrat, ko je odvod napetosti U (t, x) po času enak 0. Iz tega pogoja dobimo zvezo za zakasnitev vrha signala v odvisnosti od razdalje 1 tmax(x) = rcx2 . (8.2) 2 Če ta rezultat vstavimo nazaj v enačbo (8.1) (s t = tmax), dobimo odvisnost višine signala od razdalje r e 2 1 U A max(x) = . (8.3) c πe x Vidimo, da višina signala v mieliniziranem odseku aksona pada obratno sorazmerno z razdaljo. Mielinizirani odseki tako ne morejo biti poljubno dolgi in morajo biti zato na določenih razdaljah prekinjeni z Ranvierovimi zažemi, kjer se signal ojači. Hitrost prevajanja je največja, če je produkt upornosti in kapacitete rc čim manjši. Hitrost je tako velika, ko je majhen tmax [enačba (8.2)]. Hkrati se z majhno kapaciteto c tudi Umax najmanj zmanjša [enačba (8.3)]. 8.3 Veriga členov RC kot model za mieliniziran odsek živca Meritve na pravem mieliniziranem odseku aksona so zapletene, zato si bomo pri vaji pomagali z modelom, ki ima podobne električne lastnosti. Dober model mieliniziranega odseka aksona med dvema sosednjima zažemoma je veriga členov uporov R in kondenzatorjev C. Tako kot mieliniziran akson ima tudi veriga členov RC določeno upornost in določeno kapaciteto na dolžinsko enoto (slika8.5). Napetostni sunki se zato po verigi členov RC prevajajo enako kot po mieliniziranemu odseku aksona. Ker ima zunanja raztopina v 94 primerjavi z aksoplazmo zanemarljivo upornost, so upori v verigi le na strani, ki predstavlja aksoplazmo. Sunke električne napetosti, do katerih v aksonu prihaja v Ranvierovih zažemih, bomo pri vaji ustvarili z generatorjem sunkov, ki ga priključimo na začetek verige RC. Slika 8.5: Mieliniziran odsek aksona (spodaj) ima enake električne lastnosti kot veriga členov RC (zgoraj). Stran verige z upori R predstavlja aksoplazmo, spodnja stran verige predstavlja zunanjo raztopino, kondenzatorji C pa predstavljajo kapaciteto membrane z mielinsko ovojnico. Razdaljo vzdolž verige členov RC bomo iznačevali z indeksom i, ki označuje število členov RC od začetka verige. Pri vaji bomo merili, kako se napetost na verigi RC spreminja s časom. Razdalje od začetka ne bomo označevali z x v mm ampak kar z indeksom i, ki označuje število členov RC od začetka verige (slika 8.5). Zato bomo v skladu z enačbo (8.2) na i-tem mestu izmerili maksimum napetosti po času 1 tmax(i) = RCi2 . (8.4) 2 Podobno sledi iz enačbe (8.3), da bo višina sunkov napetosti v verigi padala kot 1/i 1 Umax(i) ∝ . (8.5) i Nalogi: 1. Z osciloskopom opazujte električne sunke v verigi členov RC, ter na diagram narišite ustrezen potek napetosti. 2. Izmerite višino sunka napetosti (Umax) in njegovo časovno zakasnitev (tmax) na različnih merilnih mestih. Preverite ujemanje meritev z enačbama (8.4) in (8.5). Potrebščine: osciloskop generator napetostnih sunkov 95 veriga členov RC, R = 10 Ω, C = 0, 10 µF Izvedba 1) Vključite osciloskop in generator napetostnih sunkov, počakajte, da se ogrejeta ter ju zvežite z verigo členov RC kot kaže slika 8.6. Ozemljitvi z osciloskopa in generatorja napetostnih sunkov (črni žici) morata biti priključeni na tisto stran verige RC, ki nima uporov. Rdečo žico iz osciloskopa priključite najprej na merilno mesto i = 30. Osciloskop nastavite po navodilih, ki so priložena vaji. Osciloskop je inštrument, ki na svojem zaslonu prikazuje, kako se neka merjena napetost spreminja s časom. Generator sunkov ustvarja na začetku verige členov RC kratke sunke napetosti, ob katerih priteče v verigo nekaj naboja. Naboj se nato širi vzdolž verige, ob tem pa se vzdolž verige spreminja tudi napetost. Osciloskop na zaslonu prikazuje napetost na izbranem merilnem mestu v odvisnosti od časa. Prožilec osciloskopa (angl. trigger) je sinhroniziran z generatorjem sunkov tako, da je čas t = 0 na prikazu osciloskopa v tistem trenutku, ko generator na začetek verige RC pošlje sunek napetosti. Če sta vezava in nastavitev osciloskopa pravilni, bo na zaslonu prikazana časovna odvisnost napetostnega sunka na merilnem mestu i = 30 (potek napetosti na osciloskopu mora biti podoben tistemu s slike 8.4, le da je izhodišče koordinatnih osi na sredini zaslona). Velikost sunka napetosti se bo na različnih merilnih mestih precej razlikovala. Da bi dobili primerno sliko na vseh merilnih mestih, boste morali med meritvami prilagajali območje prikaza napetosti in časa na osciloskopu. Z delovanjem gumbov za nastavljanje območja prikaza na zaslonu se najlažje seznanite tako, da jih malo vrtite in ob tem opazujete, kako se spreminja slika signala (v navodilih za nastavitev osciloskopa so gumbi za nastavitev območja prikaza obarvani z rdečo). 2) Naloga 1. Opazujte časovni potek napetosti na treh merilnih mestih (npr. i = 10, i = 15 in i = 20). Enoti napetosti in časa nastavite tako, da je potek napetosti od časa prikazan na čim večjem delu zaslona. Koordinatno izhodišče postavite v levi spodnji kot zaslona. Če boste najprej prestavili izhodišče časovne skale in šele nato nastavili enoto časa, lahko izhodišče časovne skale pade z zaslona! Na diagram prerišite časovni potek napetosti za izbrano merilno mesto. Na narisanem diagramu ne pozabite označiti enote časa in napetosti. Se poteki napetosti iz različnih mest kdaj sekajo? Razmislite, zakaj se ne! 3) Naloga 2. Na vsakem merilnem mestu (i = 5, 10, 15, 20, 25 in 30) izmerite višino sunka napetosti Umax(i) in njegovo zakasnitev tmax(i). Pri vsaki meritvi izberite naj-primernejše časovno in napetostno območje opazovanja, tako da boste obe vrednosti 96 lahko kar najbolje razbrali z zaslona (sunek naj bo v vsakem primeru prikazan čim bolj čez ves zaslon). Vrednost Umax(i) z zaslona razberete kot razliko med izhodiščem napetosti in vrha napetosti (slika 8.4). Pri tem upoštevajte, da je višina enega kvadratka enaka izbrani enoti napetosti. Podobno določite vrednost tmax(i) — z zaslona razberete razliko med izhodiščem časa in časom vrha napetosti ter upoštevate, da je širina enega kvadratka enaka izbrani časovni enoti. Meritve zapisujete v razpredelnico. Izmerjeno višino sunkov napetosti Umax narišite kot funkcijo 1/i. Če se meritve skladajo s teorijo, točke ležijo na premici [enačba (8.3)]. Izmerjeno zakasnitev sunkov napetosti tmax narišite kot funkcijo kvadrata merilnega mesta (i2). Če se meritve skladajo s teorijo, točke ležijo na premici [enačba (8.4)]. Narišite tudi premico, ki se najbolje prilega meritvam ter določite njen naklonski koeficient, k = ∆tmax . Iz enačbe (8.4) sledi, da je vrednost naklonskega koeficienta ∆i2 enaka polovici produkta RC, k = 1 RC. Preverite, če je vrednost produkta RC, ki 2 ga določite iz naklonskega koeficienta premice k, enaka vrednosti produkta RC, ki ga izračunate iz podatkov o R in C navedenih pri potrebščinah. Slika 8.6: Shema vezave. Izhod generatorja sunkov povežite z začetkom verige členov RC, pri čemer črno žico priključite na stran brez uporov, rdečo pa na stran z upori. Drugo žico priključite na vhod osciloskopa (CH 1), ter njen nasprotni črni konec s stranjo verige RC brez uporov. Z rdečim koncem te žice boste merili na merilnih mestih i = 5, 10.... Sin-hronizirajte osciloskop in generator sunkov tako, da povežite še prožilec osciloskopa (EXT TRIG) in vhod generatorja sunkov (SINHR.). Osciloskop nastavite po navodilih, ki so mu priložena pri vaji. 97 9 Prevodnost elektrolitskih raztopin Pri tej vaji se bomo seznanili s pojmom elektrolitske raztopine, s silo, ki deluje na nabit delec v električnem polju ter s pojmi gibljivosti in ionskega toka. Naučili se bomo določiti specifično prevodnost elektrolitske raztopine in ugotovili bomo, da je specifična prevodnost raztopine približno sorazmerna koncentraciji ionov v njej. V živih sistemih prevajajo električni tok raztopine elektrolitov, tj. snovi, ki z raztapljanjem v vodi razpadejo (disociirajo) na ione. Za razliko od kovin, kjer so nosilci električnega toka prosti elektroni, prevajajo električni tok v elektrolitskih raztopinah ioni. Kadar so nosilci električnega toka ioni, govorimo o ionskem toku. Ionski tok teče med dvema mestoma, če med tema mestoma obstaja razlika elektrokemijskih potencialov, to je vsote kemijskega potenciala in energije iona v električnem potencialu. Če je elektrolitska raztopina v termodinamskem ravnovesju (povsod v raztopini so enaki temperatura, tlak in koncentracija), je razlika kemijskih potencialov enaka nič, na ionski tok pa vpliva le razlika v električnem potencialu. Ionski tokovi igrajo v živih organizmih pomembno vlogo pri bioelektričnih pojavih, kot je prevajanje sunkov po živčnih vlaknih, in tudi v celičnem metabolizmu. Pomembni so na primer tokovi ionov H+, K+, Na+ in Cl−. Marsikdaj si pomagamo z merjenjem ionskih tokov tudi pri kliničnih in laboratorijskih preiskavah (določanje prevodnosti delov telesa, določanje ionov v elektrolitih). 9.1 Elektrolitske raztopine Posamezni ioni lahko nosijo različno število osnovnih nabojev. Ker so molekule električno nevtralne, nastane pri disociaciji vedno enako število pozitivnih in negativnih nabojev; ni pa nujno, da je število pozitivno nabitih ionov (kationov) enako številu negativno nabitih ionov (anionov), primer je reakcija Na2SO4 2 Na+ + SO2− . 4 Koncentracija posamezne vrste ionov zato ni nujno enaka koncentraciji raztopine elektrolita. Vzeti pa smemo, da v razredčenih raztopinah močnih elektrolitov disociirajo vse molekule elektrolita, zato je koncentracija posamezne vrste ionov v tem primeru enaka kar celoštevilčnemu večkratniku koncentracije raztopine elektrolita. 9.2 Sila na ion v električnem polju Če na ione ne deluje zunanje električno polje, se ti v snovi, kjer so razporejeni enakomerno, gibljejo le termično. Povprečna vrednost vsake od komponent hitrosti je takrat enaka nič, tako da se ioni v povprečju ne premikajo. Če pa je v raztopini električno polje ( ~ E), ki ga npr. ustvarimo z v raztopino potopljenima elektrodama, priključeni na izvir napetosti, pa deluje na vsak ion s celotnim nabojem Ze0 sila ~ F = Ze ~ 0E . (9.1) 98 kjer je Z valenca, ki določa večkratnik osnovnega naboja, e0 pa je osnovni naboj (1,6 × 10−19 As). Zaradi te sile se kationi (Z > 0) gibljejo v smeri električne poljske jakosti, torej proti negativno nabiti elektrodi (katodi); anioni (Z < 0) pa se gibljejo v nasprotni smeri električne poljske jakosti, proti pozitivno nabiti elektrodi (anodi). Električni tok, ki teče skozi raztopino, je vsota toka anionov in toka kationov. Na gibajoče se ione deluje tudi sila upora ~ Fu. Ioni se pri gibanju skozi topilo zaletavajo v molekule topila in tako izgubljajo kinetično energijo ter se upočasnjujejo. V prvem približku lahko za silo upora na en ion uporabimo kar linearni zakon upora za kroglico (glej stran 36): ~ Fu = −6πrη~v , (9.2) kjer je r radij kroglice, ki jo zapolnjuje ion skupaj z vezanimi molekulami vode (ioni v vodi so namreč hidrirani), η pa je viskoznost tekočine. Če je ionski tok stacionaren, vemo, da sta sila električnega polja in sila upora enako veliki, in velja ~ F + ~ Fu = 0 , (9.3) Ze ~ 0E = 6πrη~ v . (9.4) Povprečna hitrost ionov je torej sorazmerna z električno poljsko jakostjo ( ~ E) Ze ~ v = 0 ~ E ≡ β ~ E , (9.5) 6πrη kjer sorazmernostnemu količniku (β) Ze β = 0 (9.6) 6πrη pravimo gibljivost. Za katione (Z > 0) je gibljivost pozitivna, kar pomeni, da se gibljejo v smeri električnega polja, za anione (Z < 0) pa je negativna, ker se gibljejo v nasprotno smer. Linearna povezava med ~ v in ~ E je splošna, sorazmernostni količnik v izrazu (9.2) pa velja točno le, če je gibajoči se delec zares kroglica, ki je dosti večja od molekul topila. Zato predstavljajo izrazi, ki smo jih izpeljali za gibljivost [enačba (9.6)], le prvi približek. Vendar je tudi iz te preproste enačbe za gibljivost razvidno, kako vplivajo na gibljivost ionov v raztopini njihova vrsta ter lastnosti raztopine, ki jih opisuje viskoznost η. Presenetljivo imajo manjši ioni pogosto večji hidracijski ovoj (in s tem r) kot večji in je posledično njihova gibljivost manjša kot pri večjih ionih. 9.3 Ionski tok in specifična prevodnost Obravnavamo raztopino, v kateri je več različnih vrst ionov. Z indeksom i označimo posamezno vrsto ionov; Zi naj bo valenca teh ionov, ci pa njihova koncentracija (v kmol/m3). 99 Najprej opazujemo le eno vrsto ionov (i), ki prispevajo k celotnemu električnemu toku. Gostota električnega toka (ji) je sorazmerna z gostoto naboja (nei) in s povprečno hitrostjo ionov (vi): ji = nei vi. Gostota naboja pa je podana s produktom naboja posameznega iona (Zie0) in števila le-teh na enoto prostornine. To številčno gostoto izrazimo kot produkt koncentracije (ci), ki nam pove število molov ionov na enoto prostornine, in Avogadrovega števila (NA), ki pove število delcev v enem molu. Skupaj lahko zapišemo: ~i = Zie0ciNA~vi . (9.7) Po enačbi (9.5) pa lahko hitrost v gornjem izrazu izrazimo kot produkt jakosti električnega polja in gibljivosti ionov (βi): ~ ~ i = Zie0ciNAβiE . (9.8) V enačbi (9.8) prepoznamo splošnejšo obliko Ohmovega zakona: ~ ~ i = σiE , (9.9) kjer je σi specifična prevodnost ionov vrste i. Enota za specifično prevodnost je (Ωm)−1, pogosto pa se zanjo uporablja tudi enota S/cm, kjer je S oznaka za enoto Siemens in velja 1 S = 1/Ω. Iz enačb (9.8) in (9.9) vidimo, da lahko pri toku v elektrolitih prispevek ene vrste ionov k električni prevodnosti izrazimo kot σi = Zie0ciNAβi . (9.10) Če predpostavimo, da velja izraz (9.6), lahko zapišemo N Z2c σ Ae2 0 i i i = . (9.11) 6πη ri Tu je ri polmer kroglic, ki predstavljajo hidrirane ione vrste i. Iz izrazov (9.8) in (9.10) vidimo, da je prispevek posamezne vrste ionov h gostoti električnega toka vedno pozitiven, tako za katione (Zi > 0, βi > 0), kot za anione (Zi < 0, βi < 0). Z drugimi besedami: v električnem polju se kationi gibljejo v smeri električnega polja, kar predstavlja pozitiven električen tok, anioni pa se gibljejo v nasprotno smer, kar pa zaradi njihovega negativnega naboja spet predstavlja pozitiven električni tok. Tudi iz izrazov (9.10) in (9.11) za električno prevodnost vidimo, da je ta vedno pozitivna. Za celotno gostoto električnega toka moramo sešteti prispevke vseh posameznih vrst ionov ! X X ~ = ~ ~ i = NAe0 Ziciβi E = σ ~ E . (9.12) i i Skupna električna prevodnost je torej enaka X X N X Z 2c σ = σ Ae2 0 i i i = NAe0 Ziciβi = . (9.13) 6πη ri i i i 100 Iz enačbe (9.13) je razvidno, da je prevodnost sorazmerna s koncentracijo elektrolita (c), ki je disociiral, saj so koncentracije posameznih vrst ionov (ci) sorazmerne s koncentracijo elektrolita. Vidimo tudi, da je prevodnost (σ) tem manjša, čim večja je viskoznost topila. Ker se viskoznost ponavadi manjša s temperaturo, raztopine pri višjih temperaturah bolje prevajajo električni tok kot pri nizkih, torej imajo pozitiven temperaturni koeficient specifične prevodnosti. Da je enačba (9.9) res posplošena oblika Ohmovega zakona, kot ga poznamo za tok po žicah, se hitro prepričamo. Spomnimo se, kako je jakost homogenega električnega polja izražena z napetostjo, E = U/l, in gostota električnega toka s tokom, j = I/S. Potrebujemo še zvezo med upornostjo (R) in specifično prevodnostjo ravnega vodnika dolžine l in preseka S: l 1 l R = ξ = . (9.14) S σ S Pri tem je ξ specifična upornost, ξ = 1/σ. Ko zvezo med specifično prevodnostjo in uporom vodnika (σ = l/RS) vstavimo v splošni Ohmov zakon [enačba (9.9)], se dolžina žice l in njen presek S pokrajšata, ostane pa I = U/R. 9.4 Določanje specifične prevodnosti in specifične upornosti V prejšnjem poglavju smo spoznali, da je specifična prevodnost elektrolitske raztopine sorazmerna koncentraciji ionov v njej [enačba (9.13)]. Destilirana voda je praktično izolator, morska voda pa električni tok dobro prevaja. Meritev specifične prevodnosti vode nam tako lahko služi kot groba ocena celotne koncentracije ionov v vodi. Čeprav natančno koncentracije in vrste ionov v raztopini na ta način ne moremo določiti (k specifični prevodnosti prispevajo ioni vseh vrst, pri čemer pa se gibljivosti različnih ionov lahko razlikujejo tudi za več kot faktor 2), pa je meritev specifične prevodnosti zelo hitra in preprosta v primerjavi z različnimi kemijskimi metodami. Specifične prevodnosti raztopine ponavadi ne določimo neposredno iz splošnega Ohmovega zakona [enačba (9.9)], saj je jakost električnega polja in gostoto električnega toka težko neposredno izmeriti. Lažje je izmeriti električni upor raztopine (R) in nato iz njega izračunati specifično upornost (ξ) in specifično prevodnost (σ) raztopine. Specifična upornost je lastnost snovi, upor nekega vodnika pa je odvisen tudi od njegove velikosti in oblike. Vedno pa velja, da je upor vodnika preprosto sorazmeren specifični upornosti snovi, iz katere je vodnik narejen: k R = kξ = , (9.15) σ kjer je k sorazmernostni koeficient, ki je odvisen le od geometrije vodnika, upoštevali pa smo tudi, da je specifična prevodnost obratna vrednost specifične upornosti. Iz enačbe (9.14) vidimo, da je k za dolgi ravni vodnik kar l/S. Oblika električnih tokovnic toka v ionski raztopini je ponavadi bolj zapletena od oblike tokovnic v dolgem ravnem vodniku, zato je koeficient k v raztopinah težko izračunati, njegova vrednost pa ni enostavno l/S. Specifično prevodnost raztopine pa lahko vseeno 101 enostavno določimo, če imamo pri roki standardno raztopino z znano specifično prevodnostjo (σ0). V posodo z elektrodama nalijemo določeno količino standardne raztopine, jo povežemo v električni tokokrog in izmerimo njen upor R0 ter izračunamo sorazmernostni koeficient [enačba (9.15)], k = σ0R0. Nato postopek ponovimo še z natanko enako količino neznane raztopine ter izmerimo tudi njen upor Rx. Ker je v obeh primerih v posodi enaka količina raztopine, bo v obeh primerih enaka oblika tokovnic električnega toka in zato tudi enak koeficient k. Ker smo koeficient k določili že s pomočjo standardne raztopine, lahko specifično prevodnost neznane raztopine (σx) brez težav določimo s pomočjo enačbe (9.15), σx = k/Rx. Iz specifične prevodnosti lahko po potrebi izračunamo še specifično upornost ξx = 1/σx. Zelo čisto destilirano vodo, iz katere smo odstranili čim več ionov, imenujemo tudi deionizirana voda. Specifična prevodnost take vode je približno 0,1 µS/cm, pri ravnanju z njo pa moramo biti previdni, saj se lahko hitro ”umaže” z neželenimi ioni (npr. že z raztapljanjem CO2 iz zraka). Destilirana voda iz lekarne ni nujno tudi deionizirana. Za primerjavo: specifična prevodnost vodovodne pitne vode je reda velikosti 400 µS/cm, gaziranih mineralnih vod pa nekaj tisoč µS/cm (k prevodnosti gaziranih vod zelo prispeva tudi raztopljeni CO2), specifična prevodnost kovin pa je reda velikosti 0,5 MS/cm. Naloga: 1. Izmerite odvisnost specifične prevodnosti raztopine NaCl od koncentracije. Potrebščine: izvor izmenične napetosti posoda z elektrodama dva multimetra, enega uporabljamo kot voltmeter, drugega pa kot ampermeter stikalo dva razdelilca vezne žice raztopine NaCl različnih koncentracij 102 Izvedba 1) Specifično prevodnost raztopine določite preko meritve upora. Upor raztopine (R) določite v posodi z elektrodama in sicer preko meritve toka (I) skozi raztopino in padca električne napetosti na raztopini (U ), saj iz Ohmovega zakona sledi R = U/I. Napetost na raztopini (U ) odčitate z voltmetrom. Ker je upor voltmetra zelo velik v primerjavi z uporom raztopine, je tok, izmerjen z ampermetrom, enak toku, ki teče skozi raztopino (I). Kot voltmeter in ampermeter boste uporabili multimetra, ki ju boste ustrezno nastavili (multimeter je inštrument, s katerim lahko merimo različne električne količine, lahko je npr. voltmeter, ampermeter, merilec frekvence ...). Izvor izmenične napetosti, multimetra, stikalo in posodo z elektrodama zvežite po sliki 9.1. Za ampermeter gumb na multimetru zavrtite na položaj mA', žici pa povežite z vhodoma COM in mA. Z gumbom SELECT izberite merjenje izmenične napetosti (na zaslonu mora biti oznaka AC, ki je okrajšava za alternating current, tj. izmenični tok, DC pa je okrajšava za direct current, tj. enosmerni tok). Za voltmeter gumb na multimetru zavrtite na merilno območje V∼, žici pa povežite z vhodoma COM in VHzΩ. Izmenično napetost uporabljamo, ker enosmeren tok v raztopini povzroči elektrolizo. Tokokrog naj bo s pomočjo stikala sklenjen le v času odčitavanja toka in napetosti. Čašo napolnite z vodovodno vodo iz pipe v laboratoriju. Določite upore različnih raztopin, pri čemer pazite, da posodo z elektrodama z vsako raztopino napolnite do enake višine. Določite upore različnih raztopin, pri čemer pazite, da pri vseh raztopinah posodo z elektrodama napolnete z enako prostornino, tj. do enake višine. Pomagate si z oznako na posodi. Napako zaradi kapljic raztopine, ki kljub vsemu ostanejo po stenah posode, zmanjšamo, če izvedemo meritev najprej z najmanj koncentrirano raztopino, nato pa jemljemo zapovrstjo vedno bolj koncentrirane elektrolitske raztopine. Po meritvi vsako raztopino odlijemo nazaj v njeno steklenico. Da se ne zmotimo, iz katere steklenice smo raztopino vzeli, to pustimo med meritvijo odprto. Ko končate meritev z vodovodno vodo, jo iz posode z elektrodama odlijete nazaj v čašo, čašo pa izpraznite v umivalnik. Gumba na multimetrih zavrtite v položaj OFF. Posode z elektrodama raje ne nosimo po laboratoriju, da se ne poškoduje. Izmerjena U in I ter izračunana R in σ za različne raztopine zapisujemo v razpredelnico. Upor izračunamo iz Ohmovega zakona. Specifične prevodnosti raztopin izračunamo iz izmerjenega upora 10 mM raztopine NaCl (R0) in podatka, da je specifična prevodnost 10 mM raztopine NaCl enaka 1000 µS/cm (σ0), iz katerega lahko izračunamo koeficient k za naš primer. Iz enačbe (9.15) sledi k = σ0R0. Ostale specifične prevodnosti lahko nato brez težav izračunamo iz zveze σx = k/Rx. Na grafu narišite 103 Slika 9.1: Shema vezave za merjenje specifične prevodnosti raztopine. Ampermeter je označen z A, voltmeter z V, izvor napetosti z U, razdelilca pa s črnima pikama. Z voltmetrom izmerimo napetost na raztopini (U ), z ampermetrom pa tok skozi raztopino (I) — upor voltmetra je v primerjavi z uporom raztopine zelo velik, zato ves izmerjen tok zares teče skozi raztopino. odvisnost specifične prevodnosti raztopin NaCl od koncentracije. Je odvisnost res sorazmerna? Dodatna vprašanja - Ali se specifična prevodnost vodne raztopine poveča, če vodi dodamo sladkor (npr. glukozo)? - Kako se spremeni upor raztopine, če jo v posodo z elektrodama nalijemo več ali manj? - Bi bila vezava voltmetra in ampermetra s slike 9.1 uporabna tudi za merjenje upornosti destilirane vode, katere upornost v primerjavi z upornostjo voltmetra ni majhna? Bi bilo mogoče upornost destilirane vode kljub vsemu izmeriti z drugačno vezavo (spomnimo se, da ima ampermeter majhen upor)? 104 10 Osnove elektrokardiografije Spoznali bomo lastnosti električnega dipola in se seznanili z opisom srca kot električnega dipola. Opisali bomo, kakšno električno polje ta ustvarja v telesu in kako ga merimo. Meritve bomo najprej izvedli na preprostem modelu, nato bomo izmerili EKG še med levo in desno roko (bipolarni standardni odvod I). Merjenje EKG (ElektroKardioGrama) je v medicini ena izmed osnovnih preiskav. S to metodo lahko opazujemo delovanje srca in iz nenormalnih potekov EKG sklepamo na različne nepravilnosti (obolenja) srca (slika 10.1). Pri tej vaji se bomo zato seznanili s fizikalnimi osnovami elektrokardiografije. Slika 10.1: Primer EKG, kjer merimo časovni potek električnih napetosti med levo nogo in desno roko, pri zdravem (levo) in pri bolnem (desno) srcu. 10.1 Osnove EKG Pri merjenju EKG merimo časovno spreminjanje električne napetosti med določenimi deli telesa (npr. levo roko – desno roko, levo nogo – levo roko, levo nogo – desno roko), glej sliko 10.2. Izmerjene napetosti so odvisne od trenutnih faz v delovanju srca (npr. sistola – skrčenje srca, diastola – razširitev srca). Ker je delovanje srca periodično (s periodo okoli ene sekunde), je tudi potek teh napetosti periodičen. Razlike v časovnem poteku EKG nastanejo, ker se bolno srce vzdraži ter kot posledica krči in širi drugače kot zdravo. Za razumevanje EKG in napetosti med posameznimi deli telesa moramo poznati pojem električnega dipola in električnega polja, ki ga tak dipol ustvarja v okolici. Pri razlagi EKG lahko namreč električne lastnosti srca v grobem približku ponazorimo z električnim dipolom, ki se mu periodično spreminjata smer in velikost. Človeško telo predstavlja okolico električnega dipola. 10.2 Električni dipol O električnem dipolu govorimo, kadar sta električna naboja enake velikosti a različnega predznaka (+e, −e) na določeni razdalji (a) (slika 10.3). Velikost vektorja električnega dipola (~ pe) je enaka produktu naboja in medsebojne razdalje, smer pa določa veznica med negativnim in pozitivnim nabojem. 105 Slika 10.2: Shematski prikaz elektrokardiogra- fije: merjenje osnovnih treh napetosti in nji- hov potek. Pri EKG imenujemo izmerjeno električno napetost med levo in desno roko bi- polarni standardni odvod I, med levo nogo in desno roko bipolarni standardni odvod II ter med levo nogo in levo roko bipolarni standar- dni odvod III. Puščica predstavlja električni dipol srca v določenem trenutku. bA Slika 10.3: Električni dipol, njegova velikost ϑ in smer. Velikost električnega polja v točki A +e b ~ r je odvisna od oddaljenosti te točke od dipola 6 ~a ~ pe , ~ pe = e~a −e b (r) in kota med smerjo dipola in veznico med dipolom in točko A (ϑ). V okolici električnega dipola je električno polje, ki ga v vsaki točki v prostoru popišemo z električno poljsko jakostjo ( ~ E) oziroma z električnim potencialom (ϕ). Električna poljska jakost je povezana z električnim potencialom z zvezo ~ E = −gradϕ. Električni potencial točkastega dipola (ϕ) pa je enak: p ϕ = e cos ϑ , (10.1) 4π0r2 kjer je r velikost vektorja ~ r, ki povezuje dipol in točko A v prostoru, ϑ pa je kot med smerjo dipola in vektorjem ~ r (slika 10.3). Dipol lahko obravnavamo kot točkasti dipol, kadar je a r. Električno polje lahko predstavimo s silnicami električnega polja ali z ekvipotencialnimi ploskvami. Ekvipotencialne ploskve so ploskve, ki povezujejo točke z istim električnim potencialom. Silnice so črte, ki so pravokotne na ekvipotencialne ploskve, tangenta na silnice kaže v vsaki točki smer električne poljske jakosti, gostota silnic pa določa njeno velikost. Ekvipotencialne črte, ki so presek ekvipotencialnih ploskev in ravnine, so pri točkastem naboju koncentrični krogi s središčem v naboju (slika 10.4 levo), oblike ekvipotencialnih črt pri električnem dipolu pa so prikazane na sliki 10.4 desno. V neposredni bližini obeh 106 A B 0 U = 0 U = C BC AB Slika 10.4: Ekvipotencialne črte (polno) in silnice (črtkano) električnega polja pri pozitiv-nem točkastem naboju (levo) in električnem dipolu (desno). Električna napetost med dvema točkama (A,B ali B,C) je enaka razliki med potencialoma ekvipotencialnih črt, ki potekata skozi ti dve točki (UAB = ϕ(A) − ϕ(B) ali UBC = ϕ(B) − ϕ(C)). nabojev so krogi, premico dobimo v sredini med nabojema, kjer je potencial enak nič. Električna napetost med dvema točkama je enaka razliki med električnima potencialoma, ki pripadata izbranima točkama. Če torej merimo električno napetost med dvema točkama, ki ležita na različnih ekvipotencialnih črtah (točki A in B, slika 10.4), dobimo napetost različno od nič in enako razliki potencialov teh dveh ekvipotencialnih črt. Če pa jo merimo med dvema točkama na isti ekvipotencialni črti (točki B in C, slika 10.4), dobimo seveda električno napetost enako nič. 10.3 Srce kot električni dipol Delujoče srce lahko v vsakem trenutku ponazorimo z električnim dipolom*. Določa ga vsota električnih dipolov posameznih srčnih mišičnih celic (glej dodatek na strani 115). Električni dipol srca ustvarja v svoji okolici (človeško telo) električno polje, ki ga lahko popišemo z ekvipotencialnimi ploskvami (slika 10.5). Točke na telesu, kjer merimo EKG, so na različnih ekvipotencialnih ploskvah in izmerjene električne napetosti ustrezajo razliki potencialov teh ekvipotencialnih ploskev (slika 10.2). V različnih fazah delovanja srca se v njem vzdražijo različne mišične celice, skladno s tem se spreminjata tudi velikost in smer električnega dipola srca (slika 10.6 levo). Spreminjajoč se električni dipol pa pomeni, da potekajo skozi točke na telesu, med katerimi merimo EKG, različne ekvipotencialne ploskve v različnih trenutkih. Tako dobimo spreminjajoče se električne napetosti v času ene srčne periode (slika 10.6 desno) in periodično funkcijo, če merimo več srčnih period (slika 10.7). *Zaradi nazornejše razlage bomo obravnavali srce kot električni dipol, človeško telo pa kot neprevodno snov. O upravičenosti te slike, kajti človeško telo je prevodno, bomo razpravljali v naslednjem razdelku. 107 Slika 10.5: Trenutni električni dipol srca ustvarja v človeškem telesu električno polje. Na sliki so prikazane ekvipotencialne črte v koronarni ravnini, ki so presek ekvipotencialnih ploskev in te ravnine. Ker je človeško telo končno in nehomogeno, ekvipotencialne črte daleč od srca niso identične s tistimi iz slike 10.4 levo. 10.4 Električno polje v telesu Ugotoviti moramo, ali enačba za električni potencial dipola v praznem prostoru, ki smo jo uporabili pri razlagi EKG, ustreza tudi za prevodno človeško telo. V prevodni snovi lahko teče električni tok, zato je ustreznejša razlaga naslednja. Med depolarizacijo mišične celice se naboji na membrani prerazporedijo (slika 10.11) in električni tok, ki teče v nekem trenutku v okolico, lahko, kot bomo pokazali v naslednjem odstavku, opišemo s trenutnim tokovnim dipolom, ki ima isto smer kot električni dipol celice. Vsota vseh trenutnih tokovnih dipolov celic da trenutni tokovni dipol srca. V nadaljevanju tega razdelka bomo pokazali, da lahko njegove ekvipotencialne ploskve opišemo z enačbo za električni potencial v praznem prostoru [enačba (10.1)]. Poglejmo najprej, kako se električna poljska jakost pri točkastem tokovnem izvoru razlikuje od električnega polja zaradi naboja e, ki se nahaja v praznem prostoru. Izpeljati moramo torej enačbo, ki velja za električno poljsko jakost stalnega točkastega tokovnega izvora v prevodni snovi. Točkasti tokovni izvor je točka v prostoru, v kateri se pojavljajo novi pozitivni naboji na časovno enoto. Ker so naboji enako nabiti, novi naboji odri-vajo prejšnje, v prostoru pa dobimo prostorsko spreminjajoči se električni potencial. Po določenem času se v prostoru vzpostavi stacionarno stanje. Kolikor naboja v enoti časa priteče v nek prostorski element snovi, ga tudi odteče. Ker naboji zaradi simetrije odte-kajo od tokovnega izvora na vse strani enakomerno, je gostota električnega toka (j) na oddaljenosti r od točkastega izvora na vseh mestih te oddaljenosti enaka in sicer taka, da je celotni tok skozi krogelno ploskev površine 4πr2 enak naboju na časovno enoto (I), ki se pojavi v točkovnem izvoru (j · 4πr2 = I). Gostota toka na oddaljenosti r od izvora je torej enaka I j = . (10.2) 4πr2 108 R x P T T P y Q QRS S Slika 10.6: Vektor električnega dipola srca opiše prostorsko krivuljo v času ene srčne periode, spreminjanje njegove projekcije na frontalno (koronarno) ravnino je narisano na sliki levo. Srčne faze so označene z velikimi tiskanimi črkami. Vektor kaže iz izhodišča koordinatnega sistema in ponazori spreminjanje velikosti in smeri električnega dipola srca (njegove projekcije na frontalno ravnino) v različnih srčnih fazah: vektor opiše v začetni fazi P najmanjšo zanko v bližini izhodišča koordinatnega sistema, sledi faza QRS, kjer vektor srčnega dipola doseže največjo velikost in največje spremembe, njegovo spreminjanje pa se konča s srednje veliko zanko v fazi T. Vpliv spreminjanja vektorja električnega dipola srca na časovni potek bipolarnega standardnega odvoda II pokaže slika desno. Skladno s spreminjanjem velikosti in smeri vektorja srčnega dipola se spreminja tudi merjena električna napetost. Na desni sliki, kjer je podana električna napetost v odvisnosti od časa, vidimo, da se napetost spremeni najbolj v fazi QRS, manj v fazi T in najmanj v fazi P. Električna poljska jakost, ki poganja ta tok, je po Ohmovem zakonu (~ = σ ~ E, σ je specifična prevodnost snovi) enaka j I E = = , (10.3) σ σ 4πr2 Ker električni tok v prevodni snovi teče v smeri silnic električnega polja, je električna poljska jakost v prostoru v okolici točkastega tokovnega izvora enako odvisna od razdalje od izvora kot električna poljska jakost naboja v praznem prostoru. Električno polje v prevodni snovi, ki nastane zaradi točkastega tokovnega izvora, lahko zato opišemo z enačbo e∗ E = , (10.4) 4π0r2 kjer je e∗ = 0I/σ navidezni naboj. Vidimo, da lahko za električno poljsko jakost pri točkastem tokovnem izvoru v prevodniku uporabimo enačbo, ki jo poznamo za prazen prostor, le vpeljati moramo navidezen naboj. Kako pa je pri tokovnem dipolu? Opisati hočemo električno poljsko jakost, kjer je v prostoru točkasti tokovni izvor (I+) in od njega za določeno razdaljo (a) odmaknjeni točkasti ponor (I−). Ponor je mesto, na katerem naboji izginjajo. Vsi naboji, ki so se 109 Slika 10.7: Elektrokardiogram (bipolarmi standardni odvodi I, II in III) je ponavljajoča se funkcija s periodo delovanja srca t0. pojavili v izvoru, v ponoru tudi poniknejo, če sta absolutni vrednosti (I+) in (I−) enaki. Ker lahko električno poljsko jakost točkastega izvora v prevodni snovi opišemo z enačbo, ki ima enako obliko kot enačba za naboj v praznem prostoru [enačba (10.4)], lahko tudi električno poljsko jakost sistema točkastih izvorov v prevodni snovi opišemo z enačbo, ki ima enako obliko kot enačba za sistem nabojev v praznem prostoru. Po analogiji s točkastim tokovnim izvorom sklepamo, da se v okolici sistema izvor – ponor vzpostavi enako električno polje, kot da bi imeli v praznem prostoru navidezni električni dipol z vrednostjo p∗ = 0I+ a . (10.5) σ Zato lahko električni potencial tokovnega dipola opišemo z enačbo (10.1), kjer nadomestimo pe s p∗. Zaključimo lahko, da je opis EKG z enačbami, ki veljajo za prazen prostor, zadovoljiv, saj oblike ekvipotencialnih ploskev točkasih tokovnih izvorov v prevodni snovi sovpadajo z oblikami ekvipotencialnih ploskev, ki jih v praznem prostoru ustvarijo ustrezni naboji. 10.5 Model za merjenje EKG Kot dvodimenzionalen model človeškega telesa uporabimo prevodno plastično folijo (črne barve). Trenutni električni dipol srca lahko ponazorimo tako, da na izvor enosmerne električne napetosti priključimo posamezni par kontaktov iste barve, ki se nahaja v sredini plošče (slike 10.8, 10.9 ali 10.10). S preklapljanjem izvora enosmerne električne napetosti 110 med tremi pari kontaktov različnih barv (1-modra, 2-rdeča, 3-rumena) ponazorimo spreminjanje električnega dipola srca (le njegove smeri, ne pa tudi velikosti), kar predstavlja različne faze srca. Zunanji kontakti (črn, siv in zelen) pa predstavljajo točke na človeškem telesu (leva roka-lr in desna roka-dr, leva noga-ln), med katerimi merimo EKG. Podobno kot pri človeku, kjer pri EKG merimo različne električne napetosti med posameznimi pari točk telesa zaradi spreminjanja električnega dipola srca, merimo tudi pri našem modelu različne električne napetosti med posameznimi pari točk na foliji pri različnih dipolih (slika 10.10). Za razliko od srca, kjer električni dipol v eni periodi opiše zapleteno krivuljo na sliki 10.6, v našem modelu dipol v eni “periodi” opiše le en krog*. Ker pri modelu lahko preklapljamo le med šestimi smermi dipola (↑, %, &,↓, . in -), izmerjeni EKG ni zvezna funkcija, pač pa dobimo le šest napetosti med posameznima točkama v eni “srčni periodi”. + IZVOR ENOSMERNE NAPETOSTI 0 − VOLTMETER ON/OFF dr lr 1 2 3 COM V ln MODEL ZA MERJENJE EKG Slika 10.8: Model za merjenje EKG, pripravljen za nastavitev trenutnega električnega dipola srca (napetosti U0). Črna folija predstavlja prevodno človeško telo, trije pari kontaktov različnih barv v sredini ponazarjajo trenutne položaje električnega dipola srca v različnih srčnih fazah (1-modra, 2-rdeča, 3-rumena) in zunanji kontakti točke na človeškem telesu (lr-črn, dr-siv in ln-zelen), kjer merimo EKG. Naloge: 1. Izmerite in narišite ekvipotencialne črte okoli prvega položaja dipola. 2. Narišite ekvipotencialne linije okoli drugega položaja dipola. 3. Izmerite bipolarni standardni odvod I in II pri različnih “trenutnih električnih dipolih srca”. 4. Narišite na modelu dobljeni EKG. *Spreminja se le smer, ne pa velikost dipola. 111 5. Izmerite si EKG med levo in desno roko (bipolarni standardni odvod I). 6. Narišite časovno odvisnost svojega izmerjenega bipolarnega standardnega odvoda I. Potrebščine: model za merjenje EKG izvor enosmerne električne napetosti voltmeter (multimeter) vezne žice naprava za merjenje EKG na človeškem telesu Izvedba 1) Povežite par kontaktov modre barve na modelu za merjenje EKG, ki ponazarja trenutni položaj električnega dipola srca, z izvorom enosmerne napetosti (slika 10.8). Pazite na polariteto izvora, saj le-ta določa smer dipola (po dogovoru je pozitivni priključek rdeč, negativni pa črn)! Napetost med poloma dipola izmerite z voltmetrom (multimetrom), ki ga pred tem nastavite na merjenje enosmerne napetosti. Priključite ga vzporedno na par kontaktov modre barve v ista kontakta, ki sta že povezana z izvorom enosmerne napetosti. Pozitivni pol dipola povežite s “pozitivnim” vhodom voltmetra (oznaka V) z rdečim kablom, s črnim kablom pa negativni pol dipola z “negativnim” vhodom voltmetra (oznaka COM oziroma ⊥). Vklopite izvor enosmerne napetosti. Napetost U0 naj bo med 190 mV in 200 mV, zato nastavite merilno območje voltmetra temu primerno (enosmerna napetost − DCV, 200 mV). Vklopite voltmeter in izmerite U0. Po potrebi uravnajte napetost z gumbom, ki je na izvoru enosmerne napetosti. Ekvipotencialno črto dipola izmerite tako, da “negativni” vhod voltmetra povežete z ničlo na izvoru enosmerne napetosti (slika 10.9). Z vezno žico, povezano s “pozitivnim” vhodom voltmetra, pa potujte po foliji in poiščite točke, ki so na istem potencialu – tedaj kaže voltmeter isto napetost. S pomočjo merila ob robu folije določite koordinate najmanj sedmih enakomerno razporejenih točk, ki približno določajo to ekvipotencialno črto. Zapišite koordinati vsake točke v razpredelnico pri izmerjeni električni napetosti in jih sproti vnesite na milimetrski papir. Skozi njih narišite ekvipotencialno črto, ki jo označite z velikostjo njenega potenciala. Na milimetrski papir vnesite tudi položaj pozitivnega in negativnega pola opazovanega dipola ter označite polariteto obeh polov. Tako določite tri karakteristične oblike ekvipotencialnih črt za merjeni dipol pri potencialih okoli 40 mV, pri potencialih okoli 20 mV ter pri potencialu 0 V. V skladu s izmerjenimi ekvipotencialnimi linijami in s teorijo nari”site (brez merjenja!) še karakteristi”cni ekvipotencialni ”crti s potencialioma −40 mV in −20 mV. 112 + IZVOR ENOSMERNE NAPETOSTI 0 - VOLTMETER ON/OFF dr lr COM V ln MODEL ZA MERJENJE EKG Slika 10.9: Model za merjenje EKG, pripravljen za merjenje ekvipotencialnih črt. 2) Na isti milimetrski papir narišite (z rdečo barvo) koordinate polov dipola, ki ga predstavlja par kontaktov rdeče barve. Označite pozitivni in negativni pol. V skladu s prej izmerjenimi ekvipotencialnimi linijami in s teorijo narišite (brez merjenja!) z rdečo barvo tri karakteristične ekvipotencialne črte za ta dipol: črte s potenciali −40 mV, 20 mV ter 0 V. Na isti milimetrski papir vnesite tudi položaj kontaktov na modelu, ki predstavljajo točke na človeškem telesu, med katerimi merimo EKG. Iz slike ocenite, kaj bi se zgodilo z električno napetostjo med kontaktoma, ki predstavljata levo nogo in desno roko, če bi spremenili dipol iz prvega v drug položaj! 3) Merjenje EKG: Pripravite si tabelo, v kateri stolpca predstavljata bipolarna standardna odvoda I in II (I – leva roka/desna roka in II – leva noga/desna roka), vrstice pa predstavljajo posamezne smeri trenutnega električnega dipola (↑, %, &,↓, . in -). Za oba bipolarna standardna odvoda (I in II, slika 10.2) izmerite napetosti za vseh šest položajev dipola (slika 10.10 – izvor napetosti preklapljajte med kontakti modre, rdeče in rumene barve; pazite na polarieto!) in izmerjene napetosti vnesite v tabelo. 4) Za ponazoritev EKG (bipolarnih standardnih odvodov I in II ) narišite enega pod drugim diagrama, kjer na abscisi ekvidistantno nanesete položaje vseh šestih dipolov (označite jih s številko ali s puščico); ordinati pa predstavljajo napetosti za posamezna odvoda. Teh šest dipolov ponazarja, kot je opisano v opisu modela za merjenje EKG, električne dipole srca pri različnih srčnih fazah. Če privzamete, da so le-te časovno enakomerno razporejene čez celo srčno periodo, lahko abscisa predstavlja časovno os. S črto povezane meritve posameznega bipolarnega standardnega odvoda na diagramu 113 + IZVOR ENOSMERNE NAPETOSTI 0 - VOLTMETER ON/OFF dr 1 lr 2 3 COM V ln MODEL ZA MERJENJE EKG Slika 10.10: Model za merjenje EKG, pripravljen za meritev standardnega bipolarnega odvoda III pri določeni smeri električnega dipola (↑). pa predstavljajo njegov potek v eni srčni periodi. S črtkano črto nadaljujte potek še za naslednjo periodo! 5) Izmerite EKG na človeškem telesu in sicer bipolarni standardni odvod I (električno napetost med levo in desno roko – slika 10.2). Za razliko od do sedaj uporabljanega modela za merjenje EKG srca, kjer je potek električnega dipola v eni periodi popisan le z eno krožnico, imamo sedaj opraviti z že prej omenjenim zapletenim potekom spreminjanja električnega dipola, ki ga popiše krivulja na sliki 10.6 (levo). Sledite k napravi za merjene EKG priloženim navodilom. 6) Skicirajte časovno odvisnost izmerjenega bipolarnega standardnega odvoda I z zaslona naprave za merjenje EKG na milimetrski papir. Ugotovite, ali se EKG postavi na glavo, če zamenjamo elektrodi za levo in desno roko. Ali je EKG, ki ga opazujemo pri različnih položajih rok glede na telo (npr. sedeči in stoječi položaj) neodvisen od položaja? Zakaj pravi EKG ni enak sinusni krivulji, ki smo jo dobili na modelu? Na ta odgovor nas napeljujejo vprašanja: v čem se razlikuje obnašanje dipola srca od tistega v modelu? Se velikost dipola v modelu spreminja? Kaj pa pri srcu? V kateri fazi velikost dipola srca najbolj naraste? A bi bilo mogoče, da bi bil v nekem trenutku dipol zelo velik, pa tega z meritvijo prvega, drugega ali tretjega odvoda sploh ne bi opazili? 114 Opozoriti velja, da je v naši vaji uporabljan naprava za merjenje EKG namenjen le kot učni pripomoček in da zato na poteku EKG ne nameravamo analizirati podrobnosti ali zdravstvenega stanja! 10.6 Dodatek: trenutni električni dipol srca Mišična celica, ki je osnovni delček srčne mišice, je nevtralna, vendar v relaksirani fazi polarizirana (slika 10.11 levo). Tedaj kljub porazdelitvi nabojev preko membrane, celica kot celota navzven ne deluje kot električni dipol v okolici. Posamezen delček polarizirane membrane si lahko predstavljamo kot dipol, a se ti dipoli paroma izničijo. Pri krčenju mišične celice pa pride do postopne depolarizacije celice (slika 10.11 desno) – naboj na membrani celice se pri tem prerazporeja (nekateri deli membrane niso več polarizirani, drugi pa še vedno), in celotna celica deluje navzven kot električni dipol. Popolnoma depolarizirana celica prav tako ne predstavlja električnega dipola. Vsota vseh električnih dipolov srčnih mišičnih celic določa trenutni električni dipol srca. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + p celica + + + + + + + + + + + + + + + + Slika 10.11: Razporeditev električnega naboja v polarizirani (levo) in v delno depolarizirani mišični celici (desno). Vidimo, da relaksirana mišična celica nima “neto” električnega dipola, pri vzdraženju pa pride do električnega dipola (~ pcelica). 115 11 Slikanje z jedrsko* magnetno resonanco Pri tej vaji bomo spoznali, da so nekatera atomska jedra magnetni dipoli, in predstavili njihovo obnašanje v zunanjem magnetnem polju. Seznanili se bomo tudi s tem, kako lahko to lastnost uporabimo za slikanje tkiv. 11.1 Uvod V zadnjih desetletjih so se razvile številne računalniško podprte metode za slikanje člo-veškega telesa, ki so povzročile velik napredek v medicinski diagnostiki. Računalniška tomografija (angl. computed tomography – CT) in slikanje z jedrsko magnetno resonanco (angl. magnetic resonance imaging – MRI) sta najbolj znani tehniki (slika 11.1). Pri računalniški tomografiji (CT) je slika odvisna od absorpcije rentgenskih žarkov v bioloških tkivih, pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco pa sliko določa obnašanje atomskih jeder v magnetnem polju. Slika 11.1: Primer slikanja z jedrsko magnetno resonanco: rezina glave (levo) in hrbtenice (desno). Ker si medicinske diagnostike ni mogoče več zamišljati brez slikanja z jedrsko magnetno resonanco, kakor tudi ne brez drugih slikovnih metod, je prav, da se seznanimo z osnovnimi načeli metod slikanja in s fizikalnimi osnovami jedrske magnetne resonance. *Pri uporabi te metode se beseda “jedrska” ponavadi izpušča. 116 11.2 Osnove jedrske magnetne resonance 11.2.1 Magnetni dipol jedra V naravi obstajajo atomi, katerih jedra so magnetni dipoli (spini). Magnetni dipol ima tudi jedro vodika (1H), kar je pomembno za slikanje z magnetno resonanco, saj približno 70 % človeškega telesa sestavlja voda. Ostala jedra, ki jih tudi lahko izkoriščamo za slikanje z jedrsko magnetno resonanco, so predvsem izotop ogljika (13C), natrij (23Na) in fosfor (31P). Če vektorsko seštejemo vse posamezne magnetne dipole jeder, dobimo skupen magnetni dipol. Magnetni dipol na volumsko enoto imenujemo magnetizacija ( ~ M ). Magnetizacija popiše povprečno urejenost jedrskih magnetnih dipolov. 11.2.2 Vzbujanje in relaksacija jeder Pri merjenju signala z jedrsko magnetno resonanco so pomembne naslednje lastnosti jedrskih magnetnih dipolov: 1. Če ni nobenega zunanjega magnetnega polja, kažejo magnetni dipoli jeder enakomerno v vse smeri. Magnetizacija je enaka nič. z Slika 11.2: Precesija magnetnega dipola ~ pm okoli smeri zunanjega magnetnega polja ~ B0. B Smer magnetnega dipola se spreminja tako, 0 da se konica vektorja giblje po krožnici v smeri puščice, medtem ko je začetek vektorja p m z v izhodišču koordinatnega sistema. Kompo- p nenta ~ p m m v smeri magnetnega polja ~ B0 je označena s ~ pm , s ~ p pa označimo kompo- z mxy p m nento, ki je prečna na smer polja (projekcija xy x y ~ pm na ravnino xy). 2. Če jedra z magnetnim dipolom postavimo v zunanje magnetno polje ~ B0,* se le-ta delno usmerijo v smer zunanjega magnetnega polja.„ Vsak magneten dipol, ki ni usmerjen natančno v smeri ~ B0, precedira okrog smeri magnetnega polja (slika 11.2). Krožna frekvenca te precesije, ki jo imenujemo Larmorjeva krožna frekvenca (ω), je odvisna od vrste jeder in od velikosti zunanjega magnetnega polja (B0). ω = 2πν = γB0 . (11.1) *Zunanje magnetno polje ~ B0 kaže po dogovoru v smeri osi z. „Energija magnetnih dipolov je v smeri magnetnega polja nižja kot proti smeri magnetnega polja. 117 V tabeli 11.1 so podana giromagnetna razmerja (γ) nekaterih jeder. Larmorjeva krožna frekvenca za vodikova jedra (γ = 267,5 MHz/T) znaša pri našem inštrumentu (B0 = 0,2 T) 53,5 MHz. Tabela 11.1: Giromagnetna razmerja (γ) jeder, ki so pomembna za medicinsko diagnostiko. Jedro γ [MHz/T] H1 267,5 C13 67,3 Na23 70,7 P31 108,3 V statičnem magnetnem polju kaže magnetizacija ~ M v ravnovesju v smeri zunanjega magnetnega polja, saj so vse komponente magnetnih dipolov v ravnini xy (~ pmxy) enako verjetne in je njihova vsota v tej ravnini enaka nič ( ~ Mxy = 0). Precesija posameznih jedrskih magnetnih dipolov zato nič ne vpliva na magnetizacijo, ki ima od nič različno le z−komponento, ki pa se s časom ne spreminja. 3. Če je vektor magnetizacije odklonjen iz smeri magnetnega polja, precedira okoli smeri zunanjega magnetnega polja z Larmorjevo frekvenco. Precesijo sistema jeder z magnetnimi dipoli lahko tudi zaznamo z detekcijsko tuljavo, ki leži pravokotno na smer zunanjega magnetnega polja (slika 11.8). Namreč, če jedra precedirajo v detekcijski tuljavi, se zaradi spreminjajoče se magnetizacije in s tem spreminjajočega se magnetnega polja v detekcijski tuljavi inducira napetost. Vektor magnetizacije lahko odklonimo iz smeri magnetnega polja za določen kot, če na sistem (jeder z magnetnimi dipoli) delujemo z dodatnim kratkim sunkom izmeničnega magnetnega polja v smeri pravokotno na ~ B0 s krožno frekvenco, ki je enaka Larmorjevi frekvenci: B1(t) = B1,0 cos ωt. Temu pravimo vzbujanje jeder. Odklonski kot je sorazmeren amplitudi dodatnega magnetnega polja (B1,0) in času njegovega delovanja, ki je reda velikosti milisekunda. Najosnovnejša sunka za vzbujanje jeder sta t. i. 90◦-ski in 180◦-ski sunek. 90◦-ski sunek (sunek π/2) je elektromagnetno valovanje visoke frekvence s tako amplitudo in dolžino trajanja, da se smer magnetizacije v vzorcu odkloni za 90◦ (slika 11.3a), 180◦-ski sunek (sunek π) pa je tisti, pri katerem se smer magnetizacije v vzorcu odkloni za 180◦. 4. Po prenehanju sevanja elektromagnetnega valovanja se magnetizacija vrača v ravnovesno stanje, torej v smer zunanjega magnetnega polja. Ta proces imenujemo relaksacija in ga opišeta dve karakteristični konstanti: spinsko-mrežni relaksacijski čas (T1) in spinsko-spinski relaksacijski čas (T2). Spinsko-mrežni 118 relaksacijski čas opiše, kako hitro oddajo jedra z magnetnim dipolom dobljeno energijo svoji okolici. Spinsko-spinski relaksacijski čas pa opiše medsebojni vpliv jeder (interakcijo) z magnetnimi dipoli, kajti posamezno jedro zaradi svojega magnetnega dipola zazna tudi magnetno polje drugih jeder, ne le ~ B0. Vzrok za magnetno polje drugih jeder so namreč njihovi magnetni dipoli. Relaksacijski čas T1 opiše hitrost vračanje komponente magnetizacije, ki kaže v smeri zunanjega magnetnega polja, (Mz) proti ravnovesni vrednosti, relaksacijski čas T2 pa hitrost zmanjševanja komponente, ki je pravokotna na smer zunanjega polja, ( ~ Mxy) proti ravnovesni vrednosti, ki je enaka nič. Spinsko-mrežni in spinsko-spinski relaksacijski čas, ki popisujeta relaksacijo jeder v tkivih, se razlikujeta med seboj tako v zdravih kakor tudi v bolnih tkivih (tabela 11.2). Glavni vzroki, ki vplivajo v biološkem tkivu na relaksacijska časa T1 in T2, so: a) koncentracija vode v tkivu, b) lastnosti makromolekul (npr. proteinov), obdanih z vodnimi molekulami ter c) koncentracija lipidov in paramagnetnih ionov. Vsi ti faktorji so v različnih kombinacijah prisotni v posameznih zdravih tkivih, spremenijo pa se tudi v istem tkivu pri različnih boleznih. Kot bomo videli kasneje, so različne vrednosti obeh relaksacijskih časov eden izmed osnovnih pogojev za kontrast (npr. med tumorjem in zdravim tkivom) pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco. Tabela 11.2: Tipična relaksacijska časa T1 in T2, ki popisujeta vračanje magnetnih dipolov jeder vodika v ravnovesno stanje v različnih zdravih in bolnih človeških tkivih. organ T1 [ms] T2 [ms] siva substanca 920 100 bela substanca 780 90 mišica 870 45 jetra 500 42 kostni mozeg 241 53 tekočina (koleno) 1980 800 maligni tumor (prsa) 995 75 benigni tumor (prsa) 1200 90 Poglejmo si še malo podrobneje spinsko-spinsko relaksacijo! Če magnetno polje ni na vseh mestih natančno enako, imajo jedra z magnetnim dipolom na različnih mestih različne precesijske frekvence ω [prim. enačbo (11.1)]. Zaradi različnih precesijskih frekvenc magnetni dipoli v izbranem trenutku po 90◦-skem sunku niso zavrteni za enak kot, saj “počasni” magnetni dipoli vse bolj zaostajajo, “hitri” pa so vse bolj spredaj (slike 11.3b, c in d). Pravimo, da se izgublja fazna povezava med magnetnimi dipoli. Shematsko so razmere po mnogih precesijskih obhodih prikazane na sliki 11.3e. 119 Komponenta magnetizacije v ravnini xy ( ~ Mxy), ki je enaka vsoti komponent posame- znih magnetnih dipolov v ravnini xy, se zato s časom manjša. Časovno spreminjanje velikosti komponente magnetizacije v ravnini xy (Mxy) lahko popišemo z eksponentno funkcijo: − t M T ∗ xy (t) = Mxy0 e 2 , (11.2) kjer je T ∗ relaksacijski čas, v katerem se izgubi fazna povezava med magnetnimi 2 dipoli, če magnetno polje ni na vseh mestih enako, Mxy0 pa njena začetna velikosti. Slika 11.3: Precesija magnetnih dipolov po odklonu magnetizacije ( ~ M ) za 90◦. Tanke puščice kažejo smeri magnetnih dipolov, zavite puščice pa smer spreminjanja smeri magnetnih dipolov. Razlike v smereh magnetnih dipolov se povečujejo zaradi različnih precesijskih frekvenc, kot prikazujejo slike po abecednem vrstnem redu. Magnetno polje ni na vseh mestih enako zaradi dveh razlogov: zaradi spremenljivega magnetnega polja, ki ga ustvarijo dipoli drugih jeder, in zaradi nehomogenosti zunanjega magnetnega polja. Zato se Mxy v splošnem zmanjšuje hitreje, kot bi se samo na podlagi sprememb magnetnega polja zaradi magnetnih dipolov. Na zmanjševanje Mxy namreč znatno vpliva nehomogenost zunanjega magnetnega polja ( ~ B0) zaradi neidealnih magnetov, s katerimi ustvarjamo magnetno polje. Zato je skupen relaksacijski čas T ∗ znatno krajši od spinsko-spinskega relaksacijskega časa T 2 2, ki ga določajo le interakcije med dipoli*. *Obratna vrednost relaksacijskega časa T ∗ je vsota obratnih vrednosti dveh prispevkov: 2 1 1 1 = + , T ∗ T T 2 2 2∆B0 120 11.2.3 Meritev signala pri jedrski magnetni resonanci Pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco položimo človeško telo v zunanje magnetno polje z gostoto magnetnega polja približno od 0,5 T do 3 T.* Jedra vzbujamo z različnimi sunkovnimi zaporedji in nato merimo odziv na vzbujanje. Navedimo dve osnovni sunkovni zaporedji: (a) vzbujanje s samo enim 90◦-skim sunkom: Napetost, ki se inducira v detekcijski tuljavici zaradi precesije magnetizacije po 90◦- skem sunku (slika 11.3), imenujemo signal proste precesije. Amplituda signala je sorazmerna Mxy(t) [enačba (11.2)]. Zato je signal proste precesije največji takoj po sunku, s časom pa se njegova amplituda zmanjšuje s časovno konstanto T ∗ zaradi zgublja-2 nja fazne povezave. Signal lahko opazujemo na zaslonu osciloskopa, vendar zaradi visoke Larmorjeve frekvence (nekaj MHz) vidimo le ovojnico hitro nihajoče inducirane napetosti (slika 11.4A). (b) vzbujanje z enim 90◦-skim sunkom, ki mu po izbranem času T E/2 sledi 180◦-ski sunek: Pri tem zaporedju zaznamo z detekcijsko tuljavo dodaten signal, ki ga imenujemo spinski odmev, z maksimumom v času T E po 90◦-skem sunku (sliki 11.4B in C). Nastanek signala spinskega odmeva je shematsko prikazan na sliki 11.5. Po 90-stopinj-skem sunku magnetizacija kroži v ravnini xy (slika 11.3). Fazna povezava med magnetnimi dipoli se izgublja in signal se zmanjšuje, kot ga opisuje relaksacijski čas T ∗. Če tedaj na 2 magnetne dipole delujemo s 180◦-skim sunkom v smeri pravokotno na ~ B0, dobimo tik po njegovem prenehanju zavrteno sliko stanja tik pred 180◦-skim sunkom. To vrtenje magnetnih dipolov okrog osi, ki je pravokotna na ~ B0, povzroči, da so sedaj “počasni” magnetni dipoli spredaj, “hitri” pa zadaj (slika 11.5). Ker “počasni” še naprej zaostajajo, “hitri” pa prehitevajo, se fazna razlika med magnetnimi dipoli zmanjšuje in ob času T E magnetni dipoli spet krožijo z isto fazo. V detekcijski tuljavi se tedaj inducira signal spinskega odmeva (sliki 11.4B in C): ko je fazna razlika med magnetnimi dipoli še velika, sta inducirana napetost in s tem opazovani signal majhna, z zmanjševanjem fazne razlike se signal povečuje, doseže maksimalno vrednost in spet pada zaradi upadanja fazne povezave pri nadaljnjem kroženju. Kljub temu, da se obnovi fazna povezava, ki se je izgubila zaradi nehomogenosti zunanjega magnetnega polja, je signal spinskega odmeva nižji kot signal proste precesije, ker v času T E nekaj magnetnih dipolov izgubi fazno povezavo zaradi interakcije. kjer je T2∆B čas, ki opisuje zmanjševanje fazne povezave med magnetnimi dipoli zaradi nehomogenosti zu-0 nanjega magnetnega polja, in T2 spinsko-spinski relaksacijski čas, do katerega pride zaradi interakcije med magnetnimi dipoli. V splošnem prevladuje vpliv nehomogenosti zunanjega magnetnega polja (T2∆B T 0 2 in T ∗ ≈ T ), zato T 2 2∆B0 2 direktno težko določimo. *Za primerjavo naj navedemo, da je gostota zemeljskega magnetnega polja desettisočkrat manjša (10−4 T). 121 A 90O t B 90O 180O I SE TE/2 TE/2 t C 90O 180O TE/2 TE/2 I SE t Slika 11.4: Shematski prikaz sunkov in signalov pri vzbujanju z 90◦-skim sunkom (A). Vzbujanje s sunkovnim zaporedjem 90- in 180◦-skega sunka za dva različna časa spinskega odmeva: krajši (B) in daljši (C). Narisana je le ovojnica visokofrekvenčnih signalov. S tanko črtkano krivuljo je shematsko narisano padanje maksimuma spinskega odmeva v odvisnosti od časa spinskega odmeva: ISE ∝ e−T E/T2. 122 Slika 11.5: Nastanek spinskega odmeva. (a) Takoj po 90◦-skem sunku kažejo magnetni dipoli v isto smer. (b) Pri 180◦-skem sunku pride do vrtenja magnetnih dipolov, ki kažejo v različne smeri. S F so označeni “hitri” magnetni dipoli, s S pa “počasni”. (c) V času T E spet kažejo magnetni dipoli v isto smer. Maksimum spinskega odmeva (ISE) je tako odvisen od gostote jeder (ρ) ter relaksacijskega časa T2, ni pa odvisen od nehomogenosti zunanjega magnetnega polja. Popišemo ga lahko z naslednjo odvisnostjo: − T E I T SE ∝ ρ e 2 , (11.3) kjer je T E čas spinskega odmeva. V praksi je potrebno sunkovna zaporedja ponavljati. V tem primeru je maksimum spinskega odmeva (ISE) odvisen tudi od relaksacijskega časa T1 in sicer: − T R − T E I T T SE ∝ ρ (1 − e 1 ) e 2 , (11.4) kjer je T R je čas ponavljanja sunkovnega zaporedja oziroma čas med 90-stopinjskimi sunki. Izraz v oklepaju popiše odvisnost velikosti spinskega odmeva od spinsko-mrežne relaksacije – v primeru daljših časov ponavljanja se komponenta magnetizacije v smeri magnetnega polja bolj relaksira in višje vrednosti Mz inducirajo v naslednjem zaporedju višji signal spinskega odmeva. Poleg zgoraj opisanih sunkovnih zaporedij, uporabljamo za vzbujanje jeder na splošno različne kombinacije visokofrekvenčnih sunkov. Izmerjeni signali so odvisni od izbire sunkov in časovnih razmikov med njimi ter od časa ponavljanja. 11.2.4 Kontrast pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco Zaporedje 90- in 180◦-skega sunka je eno izmed klasičnih zaporedij za vzbujanje jeder pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco. Enačba (11.4) prikazuje, da je maksimum spinskega 123 odmeva (ISE) odvisen tako od lastnosti tkiva (ρ, T1, T2) kakor tudi od parametrov, ki jih lahko nastavimo na aparatu (T R, T E). Tako imamo možnost, da za različne T1 in T2 v opazovanih tkivih (npr. pri tumorju in zdravem tkivu v okolici) nastavimo taka T R in T E, da se bo signal ISE iz različnih tkiv kar se da razlikoval. Le tako bomo namreč dobili dober kontrast med opazovanimi tkivi, saj velikemu signalu ISE ustreza svetlo območje na sliki, majhnemu signalu ISE pa temno. Kot primer poglejmo, kakšen čas spinskega odmeva (T E) potrebujemo, da dobimo optimalen kontrast med tumorjem in okoliškim tkivom. Privzemimo, da je T2 v tumorju veliko daljši kot v zdravem tkivu v okolici. Tedaj moramo uporabiti tak T E, pri katerem je signal iz tumorja še visok, iz zdravega tkiva v okolici pa že nizek. To bo le tedaj, ko bo T E krajši od T2 tumor in daljši od T2 zdravo tkivo [enačba (11.3)]. V tem primeru dobimo na sliki dober kontrast. Če bi vzeli krajši čas spinskega odmeva (T E < T2 zdravo tkivo), bi dobili visoke signale tako iz tumorja kakor tudi iz okoliških tkiv, torej temu primerno slab kontrast. Podobno bi se zgodilo pri času spinskega odmeva T E, daljšem od T2 tumor, le da bi v tem primeru dobili nizke signale in prav tako slab kontrast. V splošnem se izkaže, da je diagnostični potencial slikanja z jedrsko magnetno resonanco, ob danih lastnostih tkiva (ρ, T1 in T2), odvisen predvsem od pravilne izbire sunkovnih zaporedij in od primerne nastavitve časov med sunki (npr. T R in T E). 11.3 Slikanje Spoznali smo, kako merimo signal in od česa je odvisna njegova velikost. Da pa lahko jedrsko magnetno resonanco uporabimo za slikanje, moramo vedeti, od kod – iz katerega dela telesa – je signal prišel. Opazujmo rezino vzorca v ravnini xy, pri čemer se gostota magnetnega polja v eni smeri (recimo x) enakomerno spreminja: Bz = B0 + Gx . (11.5) pri čemer gradient magnetnega polja (G) določa, kako je gostota magnetnega polja odvisna od x. Lastna frekvenca jeder (ν) je sorazmerna z gostoto magnetnega polja [enačba (11.1)], zato se enakomerno s koordinato x spreminja tudi lastna frekvenca jeder 1 ν(x) = γ(B0 + Gx) . (11.6) 2π Ker se torej magnetno polje, v katerem so jedra, spreminja, je signal spinskega odmeva, ki se inducira v tuljavi, sestavljen iz množice frekvenc. Iz signala, ki je funkcija časa, z matematičnim postopkom (Fourierjevo transformacijo), ki ga izvedemo z računalnikom, izračunamo, kolikšna je višina signala v odvisnosti od frekvence oziroma koliko signala pripada posameznim frekvencam. Z gradientom dosežemo, da imajo jedra v ravnini xy iste lastne frekvence na vzporednih pasovih, ki so na isti gostoti magnetnega polja. Ko poznamo porazdelitev signala po frekvencah, vemo, s katerega pasu na ravnini xy izvira določen del signala zaradi linearne odvisnosti med ν in x [enačba (11.6)]. 124 Z eno smerjo vzorca glede na gradient smo dobili višino signalov, ki pripadajo vzpore-dnim pasovom, ki so v našem primeru pravokotni na koordinato x. Da dobimo porazdelitev signala po ravnini, je potrebno vzorec slikati iz več smeri. Pri tomografu, ki ga uporabljamo pri vaji, to napravimo tako, da postopoma vrtimo vzorec, tuljavici, ki ustvarjata gradient, pa sta pri miru. Za vsako smer posnamemo signal spinskega odmeva in s Fourierjeve trans-formacije dobimo porazdelitev signala po frekvencah. Zaradi linearne odvisnosti frekvenco od položaja vzdolž spreminjanja magnetnega polja lahko določimo še višine spinskih odmevov v odvisnosti od položaja v določenih smereh (slika 11.6). a b Bz III x I ISE II ν Slika 11.6: Shematski prikaz slikanja. Na izbranih primerih vzorcev so svetleje prikazana področja, za katera je signal spinskega odmeva visok. a) Enakomerno naraščanje gostote magnetnega polja s položajem vzdolž osi x [enačba (11.5)]. Odvisnost signala spinskega odmeva (ISE) od frekvence (ν), ki ga dobimo s Fourierjevo transformacijo za izbrano smer gradienta gleda na vzorec, pri čemer ν enakomerno narašča z x. b) Odvisnost signala spinskega odmeva od frekvence pri različnih smer gradienta glede na vzorec. Porazdelitev II je zelo podobna porazdelitvi na sliki a, čeprav se vzorca precej razlikujeta. Iz posnetih projekcij (porazdelitev signala vzdolž določenih smeri) računalnik sestavi porazdelitev signala po ravnini – sliko rezine vzorca. Pri slikanju različnih vzorcev lahko dobimo pri nekih smereh enake projekcije (slika 11.6). To pomeni, da iz posamezne projekcije v splošnem ne moremo določiti porazdelitve višin spinskih odmevov po ravnini. Ogledali si bomo, kako iz več projekcij, posnetih v različnih smereh, sestavimo sliko. Metodi pravimo rekonstrukcija iz projekcij*. Na sliko drugo za drugo nanašamo posamezne projekcije, za katere vemo smer glede na gradient. Pri posamezni projekciji vemo, kateremu pasu ustreza višina signala. Ker ne poznamo, kako so posamezni deli vzorca, ki ležijo na izbranem pasu, prispevali k višini signala, na sliki kar celotnemu pasu pripišemo isto *angl. backprojection reconstruction 125 a b III I I II Slika 11.7: Rekonstrukcija slike. a) Pripis vrednosti prve projekcije posameznim pasovom na sliki. b) Prištetje vrednosti s projekcij, ki so bile posnete pri drugih smereh. Pasovi posameznih projekcij se križajo in vsota prispevkov najbolj narašča na mestih, ki predstavljajo dele vzorca z visokim signalom. višino signala (slika 11.7a). Sliko vsakokrat razdelimo na pasove, ki so pravokotni glede smer projekciji, in vsakokrat delom slike, ki ležijo na posameznem pasu, pripišemo iste vrednosti. Nove vrednosi prištejemo vrednostim na sliki, ki smo jo do tedaj sestavili (slika 11.7b). Pasovi posameznih projekcij se križajo, zato na mestih, ki predstavljajo dele vzorca z močnim signalom, vsota prispevkov bolj naraste. Zdravnik diagnostik si želi jasne slike, na kateri bo razločil posamezne organe med seboj in ugotovil bolezenska stanja. Zahteva se torej, da je slika kontrastna in ima dobro prostorsko ločljivost. Slike rekonstruiramo in obdelujemo z računalnikom, kar pomeni, da je zapis slike digitalen. Tako sliko si lahko predstavljamo sestavljeno iz majhnih kvadratkov (npr. 256 × 256 ali 512 × 512), za katere smo za vsakega določili višino izmerjenega signala, ki jo na sliki predstavimo z barvo ali odtenkom sivine. Prostorska ločljivost slike navidezno ne predstavlja problema, saj lahko sliko razdelimo na več kvadratkov. Manjši so kvadratki, manjši volumen v vzorcu predstavljajo. A to ima smisel le, če lahko za tako majhne volumne vzorca dovolj natančno izmerimo posamezne velikosti signalov. Manjši kot je volumen, manjši je signal. Težave so tudi pri rekonstrukciji slike, saj za večjo prostorsko ločljivost potrebujemo več izmerjenih projekcij, kar pomeni daljši čas merjenja. Pri daljših časih merjenja pa je pacient težko pri miru. Na večjo prostorsko ločljivost lahko vpliva tudi dihanje ali utripanje srca. Za optimalno slikenje je potrebno iskati kompromis. Druga zahteva je, da je slika kontrastna. Pri sumu tumorja v možganih mora biti ta na sliki jasno ločen (druge barve, oster prehod) od ostalih tkiv. Zato moramo poskrbeti, da bo višina signala spinskega odmeva iz tumorja drugačna kot iz ostalih tkiv. Vemo, da je višina spinskega odmeva odvisna tako od lastnosti tkiva (T1 in T2), kot tudi od nastavitve časovnih parametrov slikanja (ponavljalnega časa T R in časa spinskega odmeva T E). Iz tabele 11.2 vidimo, da se relaksacijski časi za različna zdrava in bolna tkiva razlikujejo, kar pomeni, da lahko posnamemo sliko, na kateri bomo ta tkiva ločili med seboj, a le pri pravilni izbiri časov T E in T R. 126 Slika 11.8: Shematski prikaz lege vzorca v MR tomografu (tloris – levo, naris – desno). Tuljava za vzbujanje jeder in detekcijo signala ovija epruveto z vzorcem, ki leži med se-vernim (N) in južnim (S) polom stalnega magneta. Z gradientnima tuljavicama ustvarimo gradient magnetnega polja, ki je potreben pri slikanju. Puščica na tlorisu prikazuje smer vrtenja vzorca pri slikanju. Za dovršeno slikanje je potrebno sodelovanje zdravnikov, ki postavijo predhodno diagnozo, in operaterjev tomografa, ki izberejo sunkovna zaporedija in primerne nastavitve časovnih spremenljivk na aparatu. Sodelovanje je za zdravnike lažje, če razumejo osnove jedrske magnetne resonance. 11.4 Opis merilnega sistema, ki ga boste uporabljali pri vaji Šolski MR tomograf je sestavljen iz dveh povezanih naprav, NMR spektrometra in LCD osciloskopa, upravljamo pa ga z osebnim računalnikom. Vse naprave so v uporabi že dolgo vrsto let, zato je z njimi potrebno ravnati nežno in potrpežljivo. Pri vaji ne boste uporabljali vseh gumbov na tomografu, za pravilno delovanje pa bo vseeno potrebno vse gumbe natančno nastaviti v ustrezen položaj. Gumbi so shematsko prikazani na sliki 11.10, njihove nastavitve za vsako nalogo pa v tabeli 11.3 na koncu navodil. Osrednji del tomografa je stalni magnet z gostoto magnetnega polja 0,2 T, v sredino katerega se vstavi vzorec. Vzorec se vzbuja s pomočjo radiofrekvenčnih sunkov, ki se jih s programatorjem pošilja* v tuljavo, ovito okoli vzorca (slika 11.8). Ista tuljava služi tudi za detekcijo signalov, ki jih oddajajo jedra med relaksacijo. Signali, ki se v tuljavi inducirajo med relaksacijo, se prikažejo na zaslonu računalnika. V šolskem tomografu ustvarimo gradient magnetnega polja s pomočjo dveh fiksnih tuljavic, zato je smer tega gradienta stalna. Različne projekcije vzorca, ki jih potrebujemo za slikanje, dobimo z vrtenjem vzorca (v medicinskih tomografih pacient miruje, vrti pa se gradient magnetnega polja). Gradient magnetnega polja je šibek: pri največji možni vrednosti se magnetno polje v vzorcu spremeni le za 0,06 %. *Lučka na čelni plošči tomografa zasveti vsakič, ko vzorec vzbudimo z izbranim sunkovnim zaporedjem. 127 Slika 11.9: Tretji vzorec predstavlja model za rezino človeškega telesa, kjer pričakujete tumor. S črko T je v vzorcu označena manjša cevka, ki je napolnjena z isto raztopino kot prvi vzorec in predstavlja tumor. Preostali del vzorca, ki predstavlja zdravo tkivo, je napolnjen z isto raztopino kot drugi vzorec. Desno je slika take rezine v glavi, kjer je tumor označen prav tako s črko T. Pri vaji bomo uporabili tri vzorce. Prva dva vzorca sta raztopini, ki imata različne magnetne lastnosti in predstavljata dve tkivi (n. pr. tumor in zdrave možgane). Tretji vzorec je sestavljen iz prvih dveh in predstavlja model glave s tumorjem v zdravih možganih (vodoravni prerez tretjega vzorca je prikazan na sliki 11.9 — v večji epruveti, ki je napolnjena z raztopino iz drugega vzorca, je tanjša cevka, napolnjena z raztopino iz prvega vzorca.) Pri vaji bomo najprej izmerili lastnosti vzorcev 1 in 2, nato pa bomo slikali tretji vzorec, pri čemer se bomo naučili kako ustvariti dober kontrast med tumorjem in zdravimi možgani. Naloge: 1. Ugotovite, katero vrsto jeder lahko opazujemo s šolskim MR tomografom. 2. Opazujte spinski odmev, ki nastane po vzbujanju vzorcev 1 in 2, ter izmerite spinsko-spinski relaksacijski čas (T2) za oba vzorca. 3. Vzorec 3 slikajte pri različnih vrednostih časa spinskega odmeva (T E) ter razmislite, pri katerih vrednostih na sliki dobimo dober kontrast med tkivi. Potrebščine: MR tomograf računalnik z monitorjem zaprte epruvetke s tremi vzorci Izvedba 1) Vklop MR tomografa in računalnika 1. Vklopite MR tomograf. Stikalo za vklop je na zadnji strani osciloskopa desno zgoraj (“power on”). 128 2. Prižgite tudi računalnik in monitor. 3. S pritiskom na funkcijsko tipko F1 potrdite računalnikovo sporočilo glede nastavitve ure. 4. Ko se računalnik prebije do izbirnega menija za izbiro grafične kartice, s pritiskom na funkcijsko tipko F5 izberite prikaz EGA-LCD. Po potrditvi se na zaslonu prikaže osnovni meni programa za upravljanje tomografa. 5. Seznanite se z gumbi na tomografu. Gumbi in njihove približne nastavitve za vsako nalogo so prikazani na sliki 11.10 in v tabeli 11.3 na koncu navodil. Pozor: vrednost, na katero sta nastavljena gumba 12 (NMR resonance) in 8 (T E), je določena tako, da so v okencu gumba navedene stotice, na obodu gumba pa desetice in enice. 2) Naloga 1. Pri tej nalogi boste ugotovili, katero vrsto jeder opazujemo s šolskim MR tomografom. Pri tej nalogi ničesar ne merimo, zato jo lahko v celoti opravite na koncu vaje, po vseh opravljenih meritvah (ali pa že med pripravo doma). 1. V šolskem MR tomografu je stalno magnetno polje z gostoto 0,2 (1 ± 10 %) T. V danem magnetnem polju imajo različne vrste jeder različne resonančne (Larmorjeve) frekvence [spomnimo se enačbe (11.1)], zato bi morali različne vrste jeder v vzorcu vzbujati z različnimi frekvencami. Pri šolskem MR tomografu frekvenco vzbujanja nastavljamo z gumbom 12, pri čemer je frekvenca zbujanja v MHz povezana z vrednostjo na gumbu preko enačbe ν = ν0 + kP , (11.7) kjer je ν0 = 8,5 MHz in k = 5 · 10−5 MHz, P pa je vrednost, na katero je nastavljen gumb 12 (tabela 11.3). Iz zgornje enačbe izračunajte resonančno frekvenco, ki jo vzbujamo s šolskim MR tomografom, ter iz tega podatka ugotovite, katero vrsto jeder lahko z njim opazujemo. To naredite tako, da s pomočjo enačbe (11.1) določite giromagnetno razmerje opazovanih jeder, pri čemer v enačbo vstavite izračunano resonančno frekvenco in gostoto magnetnega polja v tomografu. Vrsto jeder nato določite iz tabele z giromagnetnimi razmerji (tabela 11.1). 2. Razmislite, ali bi s tem tomografom lahko vzbujali in opazovali tudi druga jedra? Namig: razmislite, kakšne so resonančne frekvence drugih jeder v tem aparatu, ter ali bi lahko z vrtenjem gumba 12 sploh dosegli te frekvence, če veste, da je največja vrednost na gumbu enaka P = 999? 3) Naloga 2. Pri tej nalogi boste v vzorcih 1 in 2 opazovali spinski odmev, ki nastane po vzbujanju, ter izmerili spinsko-spinski relaksacijski čas (T2) za oba vzorca. 129 1. V odprtino na zgornji strani tomografa previdno vstavite vzorec 1. Epruveta mora biti v tomograf potisnjena do plastičnega obročka. 2. Gumbe na tomografu nežno nastavite, kot je prikazano v tabeli 11.3. Na gumbih 12 (NMR resonance) in 8 (T E) je vrednost določena tako, da so v okencu gumba stotice, na obodu gumba pa desetice in enice. Za začetek vrednost gumba 8 (T E) nastavite na približno 20, vrednost gumba 7 (pulse 90◦) na približno 7, vrednost gumba 6 (pulse 180◦) pa na približno 2. 3. V osnovnem meniju na računalniku izberete F3 (osciloskopski način). Na zaslonu računalnika se pokaže časovna odvisnost signala, ki ga detekcijska tuljava zazna po sprožitvi 90◦-skega sunka. Navpična os na grafu prikazuje višino signala. Z enim pritiskom na tipko ↓ enoto na tej osi spremenite v 2 V/div. Vodoravna os prikazuje čas. Z enim pritiskom na tipko ← nastavite enoto na tej osi na 1 ms/div. Pozor: če enoto nastavite na več kot 5 ms/div, bosta tomograf in računalnik zmrznila in ju bo potrebno ponovno zagnati. 4. Če je vse pravilno nastavljeno, je slika na zaslonu podobna sliki 11.4B. Na zaslonu razpoznajte, kateri signal na sliki je 90◦-ski sunek, kateri 180◦-ski sunek in kateri je spinski odmev. Pozor: V redkih primerih proženje osciloskopa odpove in se 90◦-ski sunek na zaslonu ne pokaže ob času 0 ampak šele po nekaj ms. V takem primeru prosite vodjo vaj, da vam nastavitve popravi. 5. Gumb 7 (pulse 90◦) počasi vrtite od najmanjše do največje možne vrednosti in ga nastavite tako, da bo signal proste precesije čim večji (to je padajoči signal, ki se pojavi takoj za 90◦-skim sunkom). 6. Gumb 6 (pulse 180◦) počasi vrtite od najmanjše do največje možne vrednosti in ga nastavite tako, da bo signal spinskega odmeva čim večji. 7. Počasi vrtite gumb 8 za nastavitev časa spinskega odmeva (T E) in opazujte, kako se višina spinskega odmeva spreminja v odvisnosti od časa spinskega odmeva. Komentar: z gumbom 8 pravzaprav nastavljamo čas, ko sprožimo 180◦- ski sunek. S tem hkrati nastavljamo tudi čas, ob katerem se pojavi spinski odmev (T E), saj je le ta natanko še enkrat daljši od časa 180◦-skega sunka. Zapišite si vrednost na gumbu 8, pri kateri je T E = 3 ms, in vrednost, pri kateri je T E = 18 ms, pri čemer čas spinskega odmeva odčitate iz slike na zaslonu računalnika. Pri tem upoštevajte enoto, ki ste jo nastavili na vodoravni osi (priporočena je enota 1 ms). 8. Izmerite višino spinskega odmeva pri T E = 3 ms in pri T E = 18 ms. Višina spinskega odmeva je razlika med vrhom spinskega odmeva in signalom daleč stran, ko je signal spinskega odmeva enak nič. Pri tem upoštevajte enoto, ki ste jo nastavili na navpični osi (priporočena enota je 2 V). Pri odčitavanju z zaslona računalnika si pomagajte s priloženim ravnilom. 130 9. V tomograf vstavite še vzorec 2 in tudi pri njem opazujte, kako se višina spinskega odmeva spreminja s časom spinskega odmeva. Tudi za ta vzorec izmerite višino spinskega odmeva pri T E = 3 ms in pri T E = 18 ms. 10. Izračunajte spinsko-spinski relaksacijski čas (T2) za oba vzorca. To nalogo lahko naredite šele na koncu vseh opravljenih meritev pri vaji. Višina spinskega odmeva se eksponentno zmanjšuje s časom spinskega odmeva [enačba (11.4)]. Če enačbo za višino spinskega odmeva [enačba (11.4)] pri T E = 3 ms delimo z enačbo za višino spinskega odmeva pri T E = 18 ms, dobimo: ISE1 − T E1−T E2 = e T2 . (11.8) ISE2 Pri tem smo upoštevali, da so ρ, T1 in T R pri meritvah spinskih odmevov posameznega vzorca pri 3 ms in 18 ms enaki. Po logaritmiranju sledi: T E T 2 − T E1 2 = , (11.9) I ln SE1 ISE2 kjer sta T E1 in T E2 časa spinskega odmeva (v našem primeru enaka 3 ms in 18 ms), ISE in I pa sta višini odgovarjajočih spinskih odmevov. 1 SE2 4) Naloga 3. Pri zadnji nalogi bomo posneli magnetnoresonančno sliko vzorca 3. Spomnimo se, da je vzorec 3 sestavljen iz prvih dveh vzorcev — v večji epruveti, ki je napolnjena z raztopino iz drugega vzorca, je manjša cevka, napolnjena z raztopino iz prvega vzorca. Vzorec 3 tako predstavlja model glave s tumorjem v zdravih možganih (slika 11.9). Pri tej nalogi bomo morali najprej natančno nastaviti frekvenco vzbujanja in gradient magnetnega polja. Nato bomo z vrtenjem vzorca slikali projekcije v različnih smereh, iz česar bo na koncu računalnik izračunal 2D sliko vodoravnega preseka vzorca. Pred slikanjem še enkrat razmislite, od česa je odvisen kontrast na magnetnoresonančnih slikah. Spomnite se, da so tkiva na slikah tem bolj svetla, čim višji spinski odmev oddajajo. Če je spinski odmev iz dveh sosednjih tkiv enako močan, bosta obe tkivi na sliki enake barve, zato med njima ne bo kontrasta. Na sliki bo dober kontrast le, če bosta tkivi oddajali čim bolj različno velika odmeva. V takem primeru bo slika zares podobna primeru s slike 11.9. Na osnovi opazovanja in meritev iz prejšnje naloge razmislite, ali bo kontrast med “tumorjem” in “zdravimi možgani” v vzorcu 3 boljši, če vzorec slikamo pri T E = 3 ms ali pri T E = 18 ms. 1. V odprtino na zgornji strani tomografa vstavite vzorec 3 in gumbe na tomografu nastavite, kot je prikazano v tabeli 11.3. Gumb 14 morate prestaviti v položaj za t.i. fazno detekcijo, gumb na zadnji strani tomografa pa v srednji položaj E. 131 2. Z gumbom 8 (T E) nastavite čas spinskega odmeva na vrednost, ki ustreza T E = 3 ms (to vrednost ste si zabeležili pri nalogi 2). 3. S pritiskom na tipko ESC se vrnite v osnovni meni in v njem s pritiskom na tipko F2 izberite slikanje, v naslednjem meniju (measure & display IMAGE) pa s pritiskom na F1 izberite nastavitve parametrov MR. 4. S pritiskom na tipko F6 izberite fino nastavitev frekvence vzbujanja (resonančne frekvence). Na zaslonu računalnika se na levi strani pokaže spekter signala, ki ga izmeri detekcijska tuljava. Z vrtenjem gumba 12 (NMR resonance) nastavite frekvenco zbujanja tako, da bo vrh spektra na sredinski navpični črti (slika v levem oknu naj bo čim bolj podobna sliki v desnem oknu). 5. S pritiskom na tipko F7 izberite še nastavljanje gradienta magnetnega polja. Z vrtenjem gumba 13 (gradient) povečujte vrednost gradienta magnetnega polja v tomografu, dokler se spekter zaznanega signala ne raztegne preko frekvenc na intervalu, označenim z navpičnima črtama (slika v levem oknu naj bo čim bolj podobna sliki v desnem oknu). Od velikosti gradienta je odvisna prostorska ločljivost slike. 6. S pritiskom na tipko ESC se vrnete v meni measure & display IMAGE. V njem s tipko F2 izberete slikanje. Na zaslonu se prikažeta dve okenci: v levem okencu se ob meritvi prikazujejo izmerjene 1D projekcije signala na os x, v desnem okencu pa se po opravljeni meritvi nariše izračunana 2D slika vodoravnega preseka vzorca. Pri slikanju z medicinskimi MR tomografi pacient miruje, tomograf pa sam izmeri projekcije signala v različnih smereh. Šolski tomograf lahko izmeri projekcijo le v smeri x, projekcije v različnih smereh vzorca pa dobimo tako, da med slikanjem ročno vrtimo vzorec. Med slikanjem morate zato po vsakem pi-sku računalnika obrniti kovinsko držalo vzorca za en korak v nasprotno smer od urinega kazalca. Ko je zajemanje projekcij končano, računalnik izračuna 2D sliko vodoravnega preseka vzorca in jo nariše v okno na desni strani. 7. S pritiskom na funkcijsko tipko F2 začnete slikati (in ob piskih vrteti vzorec). 8. Je na sliki, posneti z T E = 3 ms, viden tumor? 9. Gumb za nastavitev časa spinskega odmeva nastavite na vrednost, ki ustreza T E = 18 ms, ter vzorec 3 slikajte še enkrat (s ponovnim pritiskom na tipko F2). 10. Je kontrast med tumorjem in zdravimi možgani na sliki sedaj boljši? Zakaj? Če tega ne razumete, nujno vprašajte vodjo vaj. 11. Razmislite, kako moramo v splošnem nastaviti čas spinskega odmeva T E, da bo kontrast med tkivi z različnimi relaksacijskimi časi T2 čim boljši. Ali lahko s slikanjem spinskih odmevov dobimo dober kontrast med sosednjimi tkivi, ki imajo zelo podobne T2? Se vaše ugotovitve ujemajo z opaženim pri vaji, če upoštevate izmerjena relaksacijska časa T2 za vzorca 1 in 2 ter ju primerjate z vrednostjo T E, pri kateri je bil kontrast najboljši? 132 Slika 11.10: Shematični prikaz gumbov na MR tomografu. Tabela 11.3: Povzetek nastavitev gumbov na čelni plošči MR tomografa pri različnih nalo-gah. 133 12 Radioaktivnost je naravni pojav, pri katerem nestabilna atomska jedra razpadajo in pri tem sproščajo energijo v obliki visoko-energijskih delcev oziroma žarkov, ti pa se absorbirajo v snovi in lahko vplivajo na organizme. 12.1 Uvod Izotopi nekaterih elementov so nestabilni in zato razpadajo, pri tem pa oddajajo sevanje v obliki različnih visoko-energijskih osnovnih delcev in žarkov. Pojav imenujemo radioaktivnost. Energija oddanega sevanja je dovolj velika, da lahko v snovi, skozi katero to sevanje potuje, razbija atome in molekule ter s tem ustvarja ione in proste radikale; to sevanje zato uvrščamo med ionizirajoča sevanja. Nekatere vrste tega sevanja brez težav prodirajo skozi biološko tkivo. Radioaktivnost je po eni strani tako pojav, ki je lahko škodljiv, po drugi strani pa omogoča mnoge postopke v medicini (obsevanje tumorjev, diagnostika, sterilizacija hrane in medicinske opreme. . . ). V okolju je radioaktivnost stalno prisotna, saj večina snovi (kamnine, zrak. . . ) vsebuje radioaktivne izotope določenih elementov; večina kalijevih atomov v naravi, na primer, ima v jedru 19 protonov in 20 nevtronov, kar je stabilna oblika kalija (zapišemo jo lahko tudi kot 39K19, kjer je 39 masno, 19 pa vrstno število tega izotopa). Če pa ima kalijevo jedro 21 nevtronov, le-to ni stabilno in bo prej ali slej razpadlo. V naravi je 93,26 % kalija v stabilni obliki z 20 nevtroni (oznaka jedra 39K), 6,73 % v stabilni obliki z 22 nevtroni (41K) in samo 0,012 % v nestabilni obliki z 21 nevtroni (40K). Snov, ki vsebuje kalij, je zaradi deleža 40K radioaktivna. Poleg radioaktivnosti zaradi vsebnosti nestabilnih izotopov na naš planet stalno pršijo kozmični žarki, to so visoko-energijski delci iz vesolja (90 % protoni, 9 % helijeva jedra, 1 % elektroni). Radioaktivna jedra lahko nastanejo tudi pri obstreljevanju stabilnih jeder z visokoenergijskimi delci, ki jih dobimo iz jedrskih reak-torjev in pospeševalnikov. Pri takih jedrih govorimo o umetni radioaktivnosti. Vrednosti radioaktivnosti v okolju tako niso povsod enake, kar pa je v glavnem posledica tega, da se v kamninah zemeljske skorje nahaja radioaktivni uran, iz katerega nastaja radij (226Ra), iz njega pa radioaktivni plin radon (222Rn), ki skozi razpoke v zemeljski skorji ali skozi bolj porozne kamnine pronica iz zemlje; če se stavbe nahajajo na takšnih območjih, je treba prostore redno zračiti. Radioaktivni izotopi se kemijsko ne razlikujejo od ne-radioaktivnih, zato se vgrajujejo v snovi in preko prehranjevalne verige tudi v živa bitja. V telesu človeka je od naravnih radioaktivnih snovi največ že omenjenega dolgoživega kalijevega izotopa 40K, prisotni pa so tudi radij 226Ra, ogljik 14C in tritij 3H. 12.2 Jedrski razpadi Ali so vse radioaktivne snovi enako aktivne? 134 Nekatere kombinacije števil protonov in nevtronov v jedru nekaterih izotopov so energijsko neugodne in jedra razpadejo v stabilnejše oblike. Jedrski razpad je naključen dogodek in za posamezno jedro ne moremo napovedati, kdaj bo razpadlo, tako kot na primer ne moremo napovedati, katera kocka iz množice igralnih kock, ki smo jih vrgli na mizo, bo pokazala šest pik; lahko pa govorimo o verjetnosti za razpad za posamezno vrsto izotopa. Verjetnost za razpad napoveduje, kolikšen delež jeder tega izotopa bo v nekem času razpa-del (oziroma po analogiji z igralnimi kockami: kolikšen delež kock iz množice bo pokazal šestico). Število razpadlih jeder v nekem času je definirano kot aktivnost vzorca (A). Enota za aktivnost je becquerel (izgovori bekerel), 1 Bq = 1 razpad na sekundo. Aktivnost nekega vzorca je sorazmerna s številom vseh radioaktivnih jeder v tistem vzorcu - več kot je jeder in večja kot je verjetnost za razpad za tisto vrsto izotopa, več bo tudi razpadov - iz česar sledi, da se število preostalih radioaktivnih jeder s časom zmanjšuje eksponentno (izpeljava eksponentne odvisnosti je v okvirčku spodaj). S tem se v času eksponentno niža tudi radioaktivnost (oziroma aktivnost) celotnega vzorca. Razpolovni čas, to je čas, v katerem se število radioaktivnih jeder prepolovi, je za različne radioaktivne snovi zelo različen, kar je povezano z različnimi verjetnostmi za razpad posameznih elementov: medtem ko je npr. za izotop joda 131I, ki se ga uporablja v kliniki za zdravljenje ščitnice, razpolovni čas enak 8 dni, je za 40K približno 1,27 milijarde let. Izpeljava Kako lahko opišemo upadanje radioaktivnosti s časom? Če imamo v nekem vzorcu N radioaktivnih jeder, se bo njihovo število v določenem času zmanjšalo zaradi razpadov. Hitrost zmanjševanja števila radioaktivnih jeder opiše razpadna konstanta λ, ki je povezana z verjetnostjo za razpade določenega izotopa in je torej značilna za posamezno vrsto jeder. Sprememba števila jeder v časovni enoti je odvisna od tega, kolikšna je razpadna konstanta in koliko jeder je sploh v vzorcu: dN = −λN. (12.1) dt Pojav, pri katerem je sprememba količine (dN ) v časovnem intervalu sorazmerna s samo količino oziroma številom jeder (N ) v opazovani snovi, izkazuje eksponentno odvisnost opazovane količine od časa: N N(0) 0,5 N(0) N (t) = N (0)e−λt , N(0) (12.2) e 0 0 t t 1/λ 1/2 135 kjer je N (0) začetno število jeder. Število radioaktivnih jeder se s časom zmanjšuje, kar neposredno vpliva na aktivnost vzorca (A), ki je odvisna od števila razpadov na časovno enoto: dN A = = −λN. (12.3) dt Aktivnost torej s časom ravno tako eksponentno upada: A(t) = A(0)e−λt. (12.4) Bolj pogosto kot razpadna konstanta λ pa se v praksi uporablja podatek, koliko časa mora preteči, da se radioaktivnost vzorca zmanjša za polovico – to je razpolovni čas (t1/2) radioaktivne snovi. V tem času razpade ravno polovica začetnega števila radioaktivnih jeder: N (0) N (t1/2) = = N (0)e−λt1/2. (12.5) 2 Po logaritmiranju lahko povežemo razpadno konstanto in razpolovni čas: λ = ln 2/t1/2. Ker je razpad jedra naključen, pri merjenju števila razpadov v nekem vzorcu ne dobimo vedno iste vrednosti aktivnosti vzorca, kar se še posebej pozna, če merimo v kratkih časovnih intervalih. V nekem relativno kratkem obdobju bodo rezultati meritev števila razpadov v vzorcu na časovno enoto raztreseni okrog povprečja. Na podlagi dovolj veli-kega števila meritev pa lahko to povprečje dokaj natančno določimo in na podlagi tega z ustrezno (ne)gotovostjo govorimo tudi o izmerjeni aktivnosti vzorca (A), ki jo določimo kot razmerje povprečnega števila zaznanih razpadov s časovnim intervalom, v katerem smo razpade šteli. 12.3 Sevanje pri jedrskih razpadih Ali so vsa sevanja enaka? Radioaktivno jedro torej prej ali slej razpade, od vrste jedra pa je odvisno, na kakšen način bo razpadlo in kateri delci bodo izsevani ob razpadu. Poznamo 3 vrste radioaktivnega sevanja: alfa (α), beta (β) in gama (γ) sevanje, in tudi izsevane delce poimenujemo glede na tip sevanja. Pri razpadu α so iz jedra izsevana helijeva jedra (skupki dveh protonov in dveh nevtronov se v tem primeru imenujejo α delci), pri β sevanju ločimo dva podtipa: pri β− sevanju so izsevani elektroni (β− delci), pri β+ sevanju pa pozitroni (ki se tu imenujejo β+ delci in imajo enako maso, a nasproten naboj kot elektroni). Pri vseh opisanih razpadih se izvorno radioaktivno jedro spremeni v drugo vrsto jedra, saj se mu spremeni število protonov. Sevanje γ je še en način, kako lahko jedro preide v bolj stabilno stanje: jedro izseva visoko-energijski foton, ki mu rečemo tudi γ žarek ali γ delec, pri tem pa se sestava 136 jedra ne spremeni. Velikostni red energije γ žarkov se delno prekriva z energijami rentgenskih (X) žarkov. Kakšna je razlika med γ in rentgenskim žarki? 12.4 Absorpcija v snovi Kaj se zgodi, ko izsevani delci vstopajo v snov? Kako sevanje vpliva na organizme? Pri jedrskih razpadih izsevani delci in žarki imajo dovolj veliko energijo, da lahko med potovanjem skozi snov iz atomov in molekul izbijajo elektrone in tako ustvarjajo ione oz. molekule s prostimi radikali. Ta pojav imenujemo ionizacija, sevanje radioaktivne snovi pa zato spada med ionizirajoča sevanja. Alfa (α) delec je od izsevanih delcev najtežji in najbolj električno nabit. Na svoji poti skozi snov α delci naključno trkajo ob molekule (oziroma v elektrone teh molekul) in jim oddajajo energijo, pri čemer se upočasnjujejo. Počasnejšim delcem se bistveno poveča verjetnost za trk z elektronom v snovi, tako da se α delec naposled na neki globini ustavi. Povečevanje števila ionizacij na poti α delca skozi snov ob upadanju njegove hitrosti pomeni, da bo delec največ energije izgubil tik preden se bo ustavil, kar opisuje t.i. Braggova krivulja (glej skripto, poglavje Atomsko jedro“). ” Tipična razdalja, do katere lahko izsevani α delci prodrejo v snov, se imenuje doseg“ (za ” ilustracijo glej sliko 12.1, zgoraj), ki je za vse α delce z enako začetno energijo v neki snovi približno enak – za delce z energijo 1 MeV v zraku približno 1 cm, v tekočinah in trdni snovi pa okrog 0,01 mm; α delci se praviloma ustavijo že v vrhnji, poroženeli plasti kože. Tudi beta (β) delci so nabiti, vendar so bistveno lažji. Ob trku pozitrona (β+) z elektronom v snovi se oba izničita, njuna masa se pretvori v energijo, pri čemer nastaneta zaradi ohranitve gibalne količine dva fotona, ki letita v nasprotnih smereh in lahko ionizi-rata atome na svoji poti; tudi elektroni (β−) ob prodiranju skozi snov povzročajo ionizacije. Posledica sevanja β so sekundarni efekti, kot so sekundarne ionizacije, vzbujanje elektronov in izsevanje fotonov (γ žarkov). Pri sevanju β ni smiselno govoriti o dosegu, ker se β+ delci takoj izničijo, β− delci pa ob trkih z elektroni v snovi spremenijo smer svojega gibanja, lahko pa govorimo o povprečni razdalji, ki jo opravijo β− delci v neki snovi – elektroni z začetno energijo 1 MeV na primer v vodi v povprečju prodrejo okrog 0,4 cm globoko. Ko delci prodirajo skozi snov, izgubljajo energijo, zato gostota energijskega toka delcev upada z razdaljo, ki so jo opravili delci; v splošnem opis upadanja gostote toka delcev ni enostavna funkcija, a ker imajo β− delci različne začetne energije, se izkaže, da je odvisnost njihovega energijskega toka od razdalje v nekaterih snoveh zelo podobna eksponentnemu padanju (slika 12.1, sredina). Od kod pride elektron, izsevan pri β− razpadu? 137 Slika 12.1: Shematski prikaz poti izsevanih delcev α in β v snovi oziroma prodiranja γ žarkov skozi snov (levo). V desnem stolpcu diagrami ilustrirajo upadanje gostote energijskega toka (j) α, β in gamma delcev (od zgoraj navzdol) s potovanjem skozi snov (kjer je x opravljena pot delcev), pri čemer j(x) eksponentno pojema le pri potovanju gamma žarkov skozi snov (za β− delce pa to velja le približno). Mimogrede: kako bi preverili, ali je upadanje j(x) eksponentno, če bi imeli na voljo podatke oziroma meritve? Gama (γ) delci so fotoni - elektromagnetni žarki, ki lahko snov nespremenjeni pre-letijo, lahko pa med preletom po različnih scenarijih pride do absorpcije fotona v snovi, zaradi česar snov preleti le del fotonov, ki so vanjo vstopili. Delež prepuščenih fotonov izračunamo z absorpcijskim zakonom (glej okvirček), ki podaja eksponentno upadanje izmerjenega prepuščenega energijskega toka od debeline snovi (slika 12.1, spodaj). Na podlagi tega pa vpeljemo tudi razpolovno debelino snovi x1/2, ki govori o razdalji, pri kateri se število fotonov v snopu zmanjša na polovico prvotnega, kar je povezano z absorpcijskim koeficientom snovi: x1/2 = ln 2/λ. Razpolovna debelina žarkov γ z energijo 1 MeV je v vodi približno 10 cm. Izpeljava Gostota energijskega toka na neki globini znotraj snovi je odvisna od vpadne (začetne) gostote toka (j) na površino plasti, absorpcijskega koeficienta (µ) te snovi za izsevane delce, in od debeline snovi. Na tanki plasti v snovi (dx) se absorbira majhen delež vpadlih γ delcev, zato se energijski tok zmanjša (dj): dj = −µjdx. (12.6) 138 Gostoto energijskega toka prepuščenih delcev na določeni globini snovi (x) dobimo, če zgornjo enačbo preuredimo in z integracijo seštejemo deleže absorbiranih žarkov od začetne plasti do debeline x: j(x) = j(0)e−µx , (12.7) kjer je j(0) gostota energijskega toka ob x = 0. Zakonitost, da se gostota energijskega toka žarkov v snovi zmanjšuje eksponentno z globino prodiranja, povzamemo z imenom absorpcijski zakon. Vsako od opisanih sevanj lahko povzroči spremembe v snovi, učinki pa so odvisni od tega, kakšno je bilo sevanje (kateri delci in kako globoko so prodrli v snov), koliko časa je sevanje trajalo in koliko se ga je absorbiralo. Če visokoenergijski delci vstopajo v tkiva, sevanje vpliva na celice in njihove funkcije: ali pride do direktnih poškodb biološko po-membnih molekul, na primer do sprememb proteinov ali prekinitev vezi v molekuli DNK (sprememba dednega materiala), ali pa pride do posrednih poškodb tkiva zaradi prostih radikalov, ki nastanejo pri ionizaciji vode. Učinki sevanj na tkiva so podrobneje opisani v skripti v poglavju Atomsko jedro“ oziroma podpoglavju Prehod visokoenergijskih delcev ” ” skozi snov“. 12.5 Zaznavanje sevanja Kako izmerimo, kako intenzivno jedra v nekem vzorcu razpadajo? Sevanja radioaktivnih snovi s čutili ne moremo zaznati, lahko pa ga zanesljivo odkri-vamo in merimo z instrumenti, ki delujejo na osnovi efektov, kot je ionizacija (pa tudi npr. počrnitev filma, scintilacija in termoluminiscenca, vendar so te tehnike izven dometa tega besedila). Radioaktivno sevanje najpogosteje merimo z Geiger-Müllerjevim (GM) števcem, ki deluje na podlagi ionizacije plina v GM cevi. To je števna cev z negativno nabito katodo v obliki kovinskega valja in pozitivno anodo kot tanko nitko v sredini cevi (slika 12.2). Cev je napolnjena z inertnim žlahtnim plinom. Ko visoko-energijski delec v prileti v cev, ionizira atome plina, tako da nastanejo pari ion – elektron. Če je napetost med anodo in katodo dovolj visoka, se elektroni v električnem polju med anodo in katodo tako pospešijo proti anodi, da imajo dovolj energije za nadaljnjo ionizacijo atomov plina. Tako se sproži elektronski plaz: en visokoenergijski delec, ki prileti v GM cev, sproži zaporedje ionizacij, zaradi katerih v cevi nastane plaz do 108 elektronov, kar povzroči dovolj velik električni tok, da ga lahko zaznamo (posamičnih elektronov ne bi mogli zaznati). Omejitev števca je t.i. mrtvi čas“ (ponavadi med 100 in 300 µs), znotraj katerega števec ne loči med dvema ” razpadoma, saj težki ioni še potujejo proti katodi. Šele ko se ioni rekombinirajo s kato-dnimi elektroni v atome plina, v električnem krogu pa manjkajoče elektrone nadomestijo 139 elektroni iz anode, je v cevi vzpostavljeno prvotno stanje in števec je pripravljen na novo meritev. A Geiger− Mullerjava cev katoda anoda stevna R naprava visoka napetost elektron - B atom - - + ion - - + - - + Slika 12.2: Shema Geiger-Müllerjeve števne naprave (A) in skicirana razlaga elektronskega plaza (B). Negativno nabiti elektroni (-) se gibajo proti anodi, pozitivno nabiti ioni (+) pa proti katodi. Vijugasta črta simbolizira trk med elektronom in atomom plina v cevi. Izkoristek GM cevi za nabite delce je blizu 100 %, za žarke γ pa samo 1-2 %. Z GM cevjo lahko ugotovimo, koliko je bilo delcev, ki so sprožili sunek toka, ne moremo pa ugotoviti, kateri delci so bili to, ali meriti njihovih energij. Zaradi sevanja ozadja GM merilec pokaže določeno število sunkov tudi, če v neposredni bližini ni radioaktivnega izvora. 12.6 Opis in izvedba eksperimenta Pri vaji bomo s pomočjo Geiger-Müllerjeve (GM) cevi zaznavali radioaktivno sevanje iz različnih virov ter opazovali absorpcijo v snovi. Pri analizi rezultatov bomo dobili vpogled v naravo procesa jedrskih razpadov. Radioaktivni izvor, ki ga uporabljamo pri vajah, je navadna kalijeva sol KCl. Ker majhen delež kalija v naravi predstavlja radioaktivni kalij (40K19), ga nekaj vsebuje tudi kalijeva sol. Radioaktivnega kalija je v soli tako malo, da sol ne škoduje zdravju, vseeno pa seva dovolj, da lahko njeno sevanje zaznamo z inštrumentom. 40K seva β− in γ žarke, njegov razpolovni čas pa je 1, 27 · 109 let. (Vprašanje: se bo med vajo aktivnost izvora zaradi njegovega razpadanja kaj spremenila?) Naloge: 1. Izmerite ozadje – sevanje virov v okolici Geiger-Müllerjevega števca. 140 2. a) Izmerite povprečno število razpadov vzorca kalijeve soli v 10 s in določite zaznano aktivnost izvora 40K19. b) Statistično obdelajte dobljene podatke (izračun povprečja N , standardne deviacije σ, in napake povprečja σs). c) Grafično prikažite izmerjene podatke o razpadih v histogramu in dobljeno porazdelitev primerjajte z normalno porazdelitvijo (Gaussovo krivuljo). 3. Ocenite razpolovno debelino aluminija za sevanje vzorca 40K19. 4. ∗Neobvezna dodatna naloga: Izmerite ozadje, če je v bližini Geiger- Müllerjevega števca prižgan mobilni telefon, in ga primerjajte z meritvami iz prve naloge. 5. ∗Neobvezna dodatna naloga: Izmerite sevanje iz posodice z umetnim gnojilom, in ga primerjajte z meritvami iz prvih dveh nalog. 6. ∗Neobvezna dodatna naloga: Primerjajte razpolovni debelini aluminija in še enega materiala (papir). Izvedba Najprej priključite in nastavite Geiger-Müllerjev (GM) števec. Navodila za nastavitve števca so posebej na listu pri vaji (List 1: Navodila za nastavitve Geiger-Müllerjevega ” števca“). 1. Pri ozadju nas zanima radioaktivnost virov v okolici števca (vključno s števcem samim in človekom, ki sedi pri števcu in opravlja meritve). Petkrat izmerite število sunkov na 100 s, pred čemer seveda preverite, da vzorca kalijeve soli ne bo v neposredni bližini GM cevi. 2. a) in b) Vstavite vzorec (kalijevo sol v prozorni okrogli posodici) pod G-M cev. Pripravite si tabelo za vsaj 80 meritev, na podlagi katerih boste analizirali aktivnost vzorca kalijeve soli. Interval merjenja nastavite na 10 s in vsaj 80-krat izmerite število sunkov. Sproti beležite rezultate – število razpadov v 10 s. c) Hkrati z zapisi meritev na 10 s naj kar sproti nastaja še grafični prikaz (histogram) dobljenih rezultatov: vsako meritev vrišite v diagram, ki ima na abscisi razrede s številom razpadov/10 s, na ordinati pa označite število takšnih dogodkov. Za boljši pregled nad porazdelitvijo dogodkov za vsakih deset vrisanih rezultatov uporabite svojo barvo. Listi s karo vzorcem za lažje risanje so ob G-M cevi, prav tako primer takšnega grafa (List 2). 3. Vzorec pustite v vložišču in nastavite interval merjenja spet na 100 s. Na poličko med vzorec in števno cev vstavljajte ploščice iz aluminija in izmerite število sunkov v 100 s za 5 različnih debelin ploščic, pri čemer pri vsaki debelini merite vsaj 3-krat. Različne debeline dobite preprosto tako, da ploščice naložite eno na drugo. Debeline, pri katerih boste merili, določite sami (na vsaki ploščici je debelina napisana), optimalno vam pri največji debelini meritve že kažejo približno take vrednosti kot pri meritvah ozadja, in so torej ploščice prestregle iz vzorca izsevane delce 4. ∗Preverite lahko, ali se povprečna vrednost ozadja kaj razlikuje od prej izmerjenega, če je v neposredni bližini GM cevi prižgan mobilni telefon. Merite tako, da boste lahko primerjali rezultate s prvo nalogo (5-krat izmerite število sunkov na 100 s). 141 5. ∗Preverite lahko, ali je sevanje umetnega gnojila (z visoko vsebnostjo dušika, fosforja in kalija), povečano v primerjavi z ozadjem. Pod GM cev vstavite posodico z umetnim gnojilom (v obliki granul rdeče barve). Merite tako, da boste lahko primerjali rezultate s prvo nalogo (5-krat izmerite število sunkov na 100 s) in s preračunanimi vrednostmi iz druge naloge. 6. ∗Poskusite določiti, ali je razpolovna debelina papirja večja ali manjša od razpolovne debeline aluminija. Nad vzorec s soljo vstavljajte pripravljene lističe in beležite število zaznanih razpadov pri posameznih debelinah papirja. Analiza 1. Izračunajte povprečno vrednost ozadja (N oz) in določite največje izmerjeno odstopanje od povprečja (∆Noz) kot oceno napake meritve, saj je meritev malo. 2. a) Izračunajte povprečje meritev (N ) iz vzorca izsevanih delcev v časovnih intervalih po 10 s. Kolikšna je aktivnost samega vzorca? (Upoštevajte ozadje, izmerjeno v prvi nalogi.) b) Pokažite, v kolikšni meri so meritve raztresene okrog povprečja: izračunajte standardno deviacijo (standardni odklon) porazdelitve σ [poglavje Osnove merjenj in analiza ” meritev”, enačba (0.2)]. Še en pomemben podatek o vaših meritvah je napaka povprečja“ ” (σs), ki je mera za natančnost izračunanega povprečja N . Na podlagi dosedanjih rezultatov lahko torej zdaj izračunate še σs [poglavje Osnove merjenj in analiza meritev”, enačba ” (0.4)], da dobite oceno, v kakšnem intervalu se lahko giblje vrednost pravega povprečja“. ” Ocena napake povprečja“ je pri analizi meritev zelo pomembna: z meritvami namreč ” ponavadi zajamemo le vzorec dogodkov v celotni populaciji, zato se vrednost dobljenega povprečja meritev verjetno nekoliko razlikuje od njegove prave vrednosti“. S ” σs z določeno stopnjo zaupanja ocenimo, v kako širokem intervalu okrog dobljenega povprečja se nahaja prava vrednost“ povprečja. Seveda nam večje število meritev ” pomaga, da je povprečje določeno bolj natančno, kar se pozna v manjšem σs. Kaj pa se z večanjem števila meritev dogaja z intervalom, ki ga označuje σ? c) Vsako meritev ste vpisali v ustrezen razred na histogramu; tipično je v posameznem razredu malo meritev, zato grafično združite po dva ali celo po tri razrede tako, da označite povprečno število meritev v združenih razredih. S pomočjo poglavja 0, kjer so predstavljeni pristopi k merjenjem in obdelavi meritev, poglejte, kakšni porazdelitvi najbolj ustrezajo rezultati naloge, ki so se zdaj izrisali na vašem histogramu? Izračunano standardno deviacijo označite z navpičnima črtama na histogramu. Preverite, kolikšen delež meritev pade v interval med N –σ in N + σ. Označite tudi interval zaupanja za izračunano povprečje meritev – tako, da tudi interval σs označite na histogramu. 3. Izrišite graf odvisnosti zaznanih sunkov od debeline vstavljenih ploščic. Ne pozabite vrisati točke, ki ste jo izmerili v prejšnjem delu vaje, torej zaznanega števila razpadov, ko med vzorcem soli in števno cevjo ni bilo nobene ploščice (debelina d = 0 mm)! Dobljene vrednosti povežite z gladko krivuljo, na grafu pa označite tudi, kolikšen je pri vseh debelinah ploščic prispevek ozadja. Odčitajte z grafa razpolovno debelino aluminija, torej debelino, 142 pri kateri aluminij absorbira ravno pol izsevanih delcev iz vzorca. 4. ∗Izračunajte povprečje meritev ozadja ob prižganem mobilnem telefonu (Nm), določite mersko napako, in primerjajte dobljeni rezultat s tistim iz prve naloge. Lahko na podlagi meritev sklepate o tem, ali je sevanje iz mobitela ionizirajoče ali neionizirajoče sevanje? Ali lahko z GM cevjo zaznamo neionizirajoče sevanje? 5. ∗Izračunajte povprečje meritev razpadov (N g) v posodici umetnega gnojila, določite mersko napako in primerjajte dobljeni rezultat s tistim iz prve naloge. Razmislite o vzrokih za vaša opažanja. 6. ∗Rezultate meritev narišite na isti graf kot v nalogi 3 še za drugi izbrani material (papir) in ocenite, kateri material ima večjo/manjšo razpolovno debelino, pri čemer pa bodite pozorni na merske napake. Napake izračunanih povprečij lahko grafično označite z navpičnimi črticami ustrezne velikosti. Meritve in analize, ki ste jih opravili, so vam ponudile zgolj kratek vpogled v področje statistike. Predstavitev in interpretacija rezultatov sta zelo pomembni, saj se moramo zavedati, da imamo za sklepanje o splošnem pojavu ali zakonitosti na voljo le omejeno število meritev na nekem vzorčnem izseku iz celote (pa naj bo to material ali skupina ljudi). Pri medicinsko naravnanih raziskavah se tipično srečujemo s primeri, v katerih se skupino pacientov z določenimi simptomi primerja s kon-trolno skupino. Razviti so statistični testi, ki se jih nismo v vaji niti dotaknili, ki z določeno stopnjo verjetnosti ocenijo, ali se skupina pacientov in kontrolna skupina statistično pomembno“ razlikujeta glede obravnavanega pojava, pa naj bo to ” učinek novega zdravila, nova metoda operacije, povezava (korelacija) z življenjskimi navadami. . . Osnova za interpretacijo rezultatov so izračunana povprečja meritev, standardna deviacija meritev in napaka povprečja, ključen za kvalitetno določene rezultate in zanesljive ocene korelacij pa je v vsakem primeru dovolj velik vzorec oziroma dovolj veliko število meritev. 143 Literatura in viri [1] G. B. Benedek, F. M. H. Villars: Physics with illustrative examples from medicine and biology, vol. 1., Mechanics, Addison-Wesley, Menlo Park, 1979. [2] G. B. Benedek, F. M. H. Villars: Physics with illustrative examples from medicine and biology, vol. 3., Electricity and magnetism, Addison-Wesley, Menlo Park, 1979. [3] C. G. Caro, T. J. Pedley, R. C. Schroter, W. A. Seed: The mechanics of circulation, Oxford University Press, New York, 1978. [4] K. Černe, I. Ferjan, M. Kržan, M. Lipnik-Štangelj, L. Stanovnik, L. Žiberna: Osnove splošne farmakologije in toksikologije, Medicinska fakulteta, Ljubljana, 2015. [5] J. Derganc: Biofizika za medicino, 1. del, Medicinska fakulteta, Ljubljana, 2020. [6] J. Derganc: Biofizika za medicino, 2. del, Medicinska fakulteta, Ljubljana, 2020. [7] J. Derganc: Biofizika za medicino, 3. del, Medicinska fakulteta, Ljubljana, 2020. [8] T. Fortuna: Življenje s sevanjem, Zavod za varstvo pri delu, Ljubljana, 1995. [9] R. K. Hobbie: Intermediate Physics for Medicine and Biology, J. Wiley & Sons, New York, 1978. [10] R. F. Schmidt, G. Thews: Human Physiology, Springer Verlag, Berlin, 1989. [11] G. Serša: Biološki učinki ionizirajočega sevanja, Zavod za varstvo pri delu, Ljubljana, 2004. [12] S. Silbernagl, A. Despopoulos: Taschenatlas der Physiologie, Thieme, Stuttgart, 1983. [13] F. M. H. Villars, G. B. Benedek: Physics with illustrative examples from medicine and biology, vol. 2., Statistical physics, Addison-Wesley, Menlo Park, 1979. [14] chem.libretexts.org, dostop 1. 2. 2021. 144