 P51(2023/2024)1 5 O delitvah na enakovredne dele T Sˇ ˇ  Vsakdo izmed vas je gotovo že kdaj naletel na kakšen problem delitve na enakovredne dele, morda zgolj v obliki kakšne miselne naloge ali kaj bolj konkretnega. V tem sestavku se bomo do- taknili nekaterih zanimivih problemov delitev, od bolj teoretiˇ cnih, pa do bolj praktiˇ cnih. Kdaj sploh sta dva dela enakovredna? To je od- visno od tega, kaj nas zanima. Enkrat bo to pome- nilo, da sta dela skladna geometrijska lika, drugiˇ c lika enakih plošˇ cin, tretjiˇ c pa množici enakih kardi- nalnosti. Zaˇ cnimo z zabavnim izzivom. Problem1. (Delitevlikanaskladnedele) Dane like z eno potezo (tj. z neprekinjeno krivuljo) razrežite na dva skladna lika: SLIKA1. Ravninski liki. Ali gre tudi z ravnim (tj. premoˇ crtnim) rezom? Je to mogoˇ ce storiti na veˇ c naˇ cinov? Ali lahko katerega izmedlikovrazrežetena3,4ališeveˇ cskladnihlikov? S prvimi tremi liki na sliki 1 zagotovo ne boste imeli veˇ cjih težav, kratko obravnavo drugih dveh pa popotrebinajdetevknjigi[1,pogl. 3]. Rešitevname- noma nismo skicirali, saj bi z njimi lahko marsikoga prikrajšali za veselje pri reševanju. Problem 2. (Delitev likov na plošˇ cinsko enake dele) Ali lahko poljuben trikotnik z ravnim rezom razrežemo na dva plošˇ cinsko enaka dela? Ali lahko tudi poljubna dva pravokotnika v ravnini hkrati raz- režemo na dva plošˇ cinsko enaka dela z enim ravnim rezom? Ali velja to tudi za like bolj kompliciranih oblik? SLIKA2. Razpolovitev z enim ravnim rezom. Vemo, da težišˇ cnica razdeli trikotnik na dva tri- kotnika s skladnima stranicama in višinama nanju, ter sta zato enakih plošˇ cin. Rešitev drugega dela problema 2 je rez, ki gre skozi središˇ ci pravokotni- kov, saj vsaka premica skozi središˇ ce pravokotnika le-tega razdeli celo na skladna dela; glejte sliko 2. Odgovor na tretje vprašanje pa je morda za koga malce presenetljiv. Izrek 1. (Obstoj delitve lika na plošˇ cinsko enaka dela) Poljuben ravninski lik 1 je z ravnim rezom ve- dno mogoˇ ce razdeliti na dve plošˇ cinsko enaki polo- vici. Obstaja veˇ c takih rezov. Dokaz. Spostopkom,kimureˇ cemobisekcija,bomo konstruirali zaporedje vodoravnih rezov R n , ki se bo pomikalo proti iskanemu rezu. Ideja je vsak na- slednji rez malo vzporedno premakniti, da se plo- šˇ cini pripadajoˇ cih delov še bolj približata polovici plošˇ cine lika. Naj rez R n razdeli lik s plošˇ cino p na dva dela, tisti del na zgornji polravnini naj ima plo- šˇ cino p n , ter naj bo r n := p 2 −p n . ˇ Ce je r n blizu 0, potem jep n blizu p 2 . Izberimo najprej rezaR 1 inR 2 tako, da bo r 1 < 0 < r 2 . Nadalje denimo, da smo za nekin≥2 že izbralitake vzporednevodoravne reze R 1 ,...,R n , da je r 1 ,...,r n ≠ 0. Rez R n+1 nato izbe- remo na sredini med rezom R n in njemu najbližjim 1 Ravninski lik je obmoˇ cje v ravnini, omejeno z enostavno sklenjeno krivuljo. Kakorkoli ga s premico razrežemo na dva dela, vedno lahko doloˇ cimo plošˇ cini posameznih delov.  P51(2023/2024)1 6 že izbranim rezom, oznaˇ cimo ga z R m (m < n), da je r m nasprotnega predznaka kot r n (slika 3). Tako boštevilor n+1 zagotovomedr n inr m ,razdaljamed R n in R n+1 pa se v primerjavi z razdaljo med R n−1 inR n prepolovi. Bralec bo z nekaj osnovnega znanja o limitah znal utemeljiti, da nas to pripelje k reši- tvi. Jasno je tudi, da lahko naklon rezov izberemo poljubno, zato je ustreznih rezov neskonˇ cno.  SLIKA3. Primer štirih korakov bisekcije lika na dva dela. Izrek 2. (Izrek dveh palaˇ cink) Dva ravninska lika poljubnih oblik je mogoˇ ce z enim ravnim rezom na- enkrat razrezati na dva plošˇ cinsko enaka dela. Skica dokaza. Uporabimo prvi del izreka, natanˇ c- neje reze, ki prvi lik razdelijo na plošˇ cinsko enaka dela; na sliki 4 je poseben primer z rezi skozi eno toˇ cko. Rešitev da spet bisekcija. Podrobnosti oziroma natanˇ cen dokaz najdemo med drugim v odliˇ cni knjigi [3, pogl. 22], kjer so si- cernaizvirennaˇ cinlepoprestavljenišeštevilnidrugi matematiˇ cni problemi.  SLIKA4. Poseben primer izreka dveh palaˇ cink za en zelo simetriˇ cen lik. Velja še splošnejši izrek o delitvi treh teles v pro- storunaenakedele,t.i.izrekosendviˇ cu: Sendviˇ c je mogoˇ ce z ravnino razrezati na dva dela, ki vsebujeta prostorninsko enako kruha, salame in sira. Kot vpra- šanje ga je leta 1938 zastavil Steinhaus 2 , s pomoˇ cjo izrekov višje matematike pa dokazal Banach 3 ; glejte monografijo [2, pogl. 3]. Oglejmo si sedaj delitev množice s števno konˇ cno toˇ ckami. Problem3. (Razdelitevdvehvrstdraguljevnadva enaka dela) Krona vsebuje 6 rubinovih in 4 diaman- tne dragulje. Ali jo lahko z ravnim rezom vedno pre- režemo tako, da bo vsak od dveh delov vseboval ena- ko število rubinovih oziroma diamantnih draguljev? Kaj pa, ˇ ce je draguljev veˇ c? Zaˇ cnimo s parom rezov R 1 , ki krono razrežeta na dve polovici s po petimi dragulji. Sedaj induktivno nadaljujemo z zaporedjemR n takih parov rezov, da je vsak naslednji premaknjen za eno mesto v pozi- tivni smeri. Na sliki 5 spodaj vidimo primera rezov R 1 ,R 2 inR 3 . Jasno je število rubinovih draguljev na obeh stra- neh enako natanko tedaj, ko je na obeh straneh ena- ko tudi diamantnih draguljev. Za vsak rez R n ozna- ˇ cimo število rubinovih draguljev prve polovice z r n , število rubinovih draguljev na drugi polovici je po- tem 6−r n , razlika med polovico 3 in r n pa je d n := 3−r n (slika 5). Opazimo, da se R 6 ujema z R 1 , le vlogi polovic se zamenjata, t.j. r 6 = 6−r 1 , ter zato d 6 = 3−r 6 = r 1 −3 = −d 1 . Po drugi strani se na posameznem koraku število rubinovih draguljev ne spremenibodisisepoveˇ caalizmanjšaza1; stemse d n ne spremeni ali se spremeni za 1. ˇ Ce je d 1 = 0, je R 1 že v redu, sicer pa sta zaˇ cetni in konˇ cni ˇ clen zaporedjad n razliˇ cnega predznaka, ter lahko spet z bisekcijo, kot v dokazu izreka 1, pridemo do nekega vmesnega ˇ clena zaporedja, ki je enak 0. Pripadajoˇ ci rez je seveda rešitev naloge. Bralcu bo zagotovo uspelo rešitev problema 3 pri- lagoditi za primer poljubnih dveh sodih števil rubi- 2 Hugo Steinhaus (1887–1972) je bil poljski matematik; deja- venjebilnarazliˇ cnihpodroˇ cjih,meddrugimjebilmedzaˇ cetniki teorije verjetnosti in teorije iger. 3 Stefan Banach (1892–1945) je bil poljski matematik; zaˇ ce- tnik moderne funkcionalne analize.  P51(2023/2024)1 7 d n −1 −1 0 0 1 1 6−r n 2 2 3 3 4 4 r n 4 4 3 3 2 2 n 1 2 3 4 5 6 SLIKA5. Primer krone z razrezi R 1 , R 2 in (iskanim) R 3 , ter tabela vre- dnosti pripadajoˇ cih zaporedijr n ind n . novih in diamantnih draguljev. V duhu te rešitve bi bilo mogoˇ ce dokazati naslednji izrek. Izrek 3. (Diskretna verzija izreka dveh palaˇ cink) V ravnini je 2r rdeˇ cih in 2m modrih toˇ ck v splošni legi, tj. nobene tri ne ležijo na isti premici. Potem obstajapremica,kiravninorazdelinadvepolravnini tako, da je na vsaki od polravnin r rdeˇ cih in m mo- drih toˇ ck (slika 6). Z orodji višje matematike je mogoˇ ce dokazati t. i. diskretno verzijo izreka o sendviˇ cu: Toˇ cke treh SLIKA6. Diskretna verzija izreka dveh palaˇ cink. barv (sodo število toˇ ck vsake barve) v prostoru je mo- goˇ ce z ravnino razdeliti na dva dela, ki vsebujeta šte- vilˇ cno enako toˇ ck vsake od barv. Uporabategaizreka omogoˇ caposplošitevproblema3nakronozdragulji treh vrst dragih kamnov, ki je v literaturi znana tudi kot problem ogrlice; veˇ c o tem najdete v že omenje- nem viru [2, pogl. 3]. Zakonecjetunekajkratkihgeometrijskihnalogo razpolavljanju, ki jih poskusite rešiti sami. Naloga1. Danidvedaljicispremicohkratirazdelite na dva skladna dela. Kaj pa tri daljice? Naloga2. Dokažite,davzporednicastranicedanega trikotnika, ki plošˇ cinsko razpolovi ta trikotnik, raz- deli ostali dve stranici v razmerju 1:(1+ √ 2). Naloga 3. Trikotnik z ravnim rezom razdelite na dva trikotnika z enakima obsegoma. Ali lahko vsak ravninski lik prerežemo na dve polovici z enakima obsegoma? Naloga4. Poišˇ citekakšnoravnino,kidanotristrano piramido (lahko poševno) razdeli na dva prostornin- sko enaka dela. Naloga5. Samozuporabošestila(brezravnila)raz- delite dano krožnico na dve polkrožnici. Nekoliko težje je dano daljico s šestilom razdeliti na dva skla- dna dela. Poskusite. Morda se boste bralci kdaj sreˇ cali s kakšnim no- vim oziroma drugaˇ cnim problemom delitve. Tudi v temprimeruvamutegnepridobljenoznanjeterširši pogled na tematiko priti zelo prav. Literatura [1] M.Gardner, Aha! pa te imam: paradoksi za nape- njanje možganov in razvedrilo, DZS, ZOTKS, Lju- bljana, 1988. [2] J.Matoušek, UsingtheBorsuk-Ulamtheorem.Lec- tures on topological methods in combinatorics and geometry, Springer-Verlag, Berlin, 2003. [3] J. Tanton, Solve This: Mathematical Activities for Students and Clubs, Mathematical Association of America, 2012. ×××