Statistika Gradiva za seminarske vaje za 2. del predmeta Avtorici Polona Tominc Maja Rožman December 2021 Naslov Statistika Title Statistics Podnaslov Gradiva za seminarske vaje za 2. del predmeta Subtitle Seminar Tutorials for the 2nd Part of the Course Avtorici Polona Tominc Author (Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta) Maja Rožman (Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta) Recenzija Vesna Čančer Review (Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta) Majda Bastič (Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta) Jezikovni pregled Language edeting Alenka Plos Tehnični urednik Jan Perša Technical editor (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Oblikovanje ovitka Jan Perša Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafične priloge Graphic material Avtorici Založnik Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Published by Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://press.um.si, zalozba@um.si Izdajatelj Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta Issued by Razlagova ulica 14, 2000 Maribor, Slovenija https://www.epf.um.si, epf@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Izdano Published at Maribor, december 2021 Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/632 © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba CIP - Kataložni zapis o publikaciji / University of Maribor, University Press Univerzitetna knjižnica Maribor Besedilo / Text © Tominc in Rožman, 2021 311(076)(0.034.2) To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva-Nekomercialno-Deljenje pod enakimi pogoji 4.0 Mednarodna.. / This work is TOMINC, Polona licensed under the Creative Commons At ribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Statistika [Elektronski vir] : gradiva za International. seminarske vaje za 2. del predmeta / Polona Tominc, Maja Rožman. - 1. izd. - E-knjiga. - Uporabnikom se dovoli reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javno Maribor : Univerza v Mariboru, Univerzitetna priobčitev in predelavo avtorskega dela, če navedejo avtorja in širijo avtorsko delo/predelavo naprej pod istimi pogoji. Za nova dela, ki bodo nastala s založba, 2021 predelavo, ni dovoljena komercialna uporaba. Način dostopa (URL): Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative https://doi.org/10.18690/978-961-286-546-7 Commons, razen če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti ISBN 978-961-286-546-7 gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste morali pridobiti dovoljenje neposredno od imetnika avtorskih pravic. COBISS.SI-ID 86875651 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ ISBN 978-961-286-546-7 (pdf) DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-546-7 Cena prof. dr. Zdravko Kačič, Price Brezplačni izvod Odgovorna oseba založnika For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Tominc, P. in Rožman, M. (2021). Statistika: gradiva za seminarske vaje za 2. del predmeta. Maribor: Univerzitetna založba. Attribution doi: 10.18690/978-961-286-546-7 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman Kazalo 1 Uvod ...................................................................................................................................... 1 2 Urejanje in prikazovanje podatkov....................................................................................... 3 Naloga 1 ................................................................................................................................................................... 4 Naloga 2 ................................................................................................................................................................... 5 Naloga 3 ................................................................................................................................................................... 5 Naloga 4 ................................................................................................................................................................... 6 Naloga 5 ................................................................................................................................................................... 6 Naloga 6 ................................................................................................................................................................... 6 Naloga 7 ................................................................................................................................................................... 7 Naloga 8 ................................................................................................................................................................... 7 Naloga 9 ................................................................................................................................................................... 8 Naloga 10 ................................................................................................................................................................. 8 Naloga 11 ................................................................................................................................................................. 9 3 Deskriptivna statistika ......................................................................................................... 11 Naloga 12 ............................................................................................................................................................... 12 Naloga 13 ............................................................................................................................................................... 13 Naloga 14 ............................................................................................................................................................... 13 Naloga 15 ............................................................................................................................................................... 14 Naloga 16 ............................................................................................................................................................... 14 Naloga 17 ............................................................................................................................................................... 15 Naloga 18 ............................................................................................................................................................... 15 Naloga 19 ............................................................................................................................................................... 15 4 Teoretične porazdelitve ....................................................................................................... 17 Naloga 20 ............................................................................................................................................................... 18 Naloga 21 ............................................................................................................................................................... 18 Naloga 22 ............................................................................................................................................................... 18 5 Enostavna regresijska analiza ............................................................................................. 21 Naloga 23 ............................................................................................................................................................... 22 Naloga 24 ............................................................................................................................................................... 23 Naloga 25 ............................................................................................................................................................... 23 Naloga 26 ............................................................................................................................................................... 23 Naloga 27 ............................................................................................................................................................... 24 Naloga 28 ............................................................................................................................................................... 24 Naloga 29 ............................................................................................................................................................... 25 Naloga 30 ............................................................................................................................................................... 25 ii KAZALO. 6 Osnove vzorčenja.................................................................................................................27 Naloga 31 ............................................................................................................................................................... 28 Naloga 32 ............................................................................................................................................................... 28 Naloga 33 ............................................................................................................................................................... 29 Naloga 34 ............................................................................................................................................................... 29 Naloga 35 ............................................................................................................................................................... 29 Naloga 36 ............................................................................................................................................................... 29 Naloga 37 ............................................................................................................................................................... 30 Naloga 38 ............................................................................................................................................................... 30 Naloga 39 ............................................................................................................................................................... 30 Naloga 40 ............................................................................................................................................................... 31 Naloga 41 ............................................................................................................................................................... 31 Naloga 42 ............................................................................................................................................................... 31 Naloga 43 ............................................................................................................................................................... 31 Naloga 44 ............................................................................................................................................................... 32 Naloga 45 ............................................................................................................................................................... 32 Naloga 46 ............................................................................................................................................................... 32 Naloga 47 ............................................................................................................................................................... 32 Naloga 48 ............................................................................................................................................................... 33 7 Časovne vrste .......................................................................................................................35 Naloga 49 ............................................................................................................................................................... 36 Naloga 50 ............................................................................................................................................................... 36 Naloga 51 ............................................................................................................................................................... 37 Naloga 52 ............................................................................................................................................................... 37 Naloga 53 ............................................................................................................................................................... 38 Naloga 54 ............................................................................................................................................................... 38 Naloga 55 ............................................................................................................................................................... 39 Naloga 56 ............................................................................................................................................................... 39 Naloga 57 ............................................................................................................................................................... 40 Naloga 58 ............................................................................................................................................................... 40 Naloga 59 ............................................................................................................................................................... 40 Naloga 60 ............................................................................................................................................................... 41 8 Rešitve nalog .......................................................................................................................43 Urejanje in prikazovanje podatkov ...............................................................................................43 Naloga 2b ............................................................................................................................................................... 43 Naloga 2d ............................................................................................................................................................... 43 Naloga 3 ................................................................................................................................................................. 44 Naloga 5b ............................................................................................................................................................... 45 Naloga 6b ............................................................................................................................................................... 45 Naloga 6c ............................................................................................................................................................... 46 Naloga 7 ................................................................................................................................................................. 46 Naloga 9c ............................................................................................................................................................... 46 Naloga 10c, 10d..................................................................................................................................................... 47 Naloga 11b, 11c .................................................................................................................................................... 47 Deskriptivna statistika ..................................................................................................................47 Naloga 13a ............................................................................................................................................................. 47 Naloga 13b ............................................................................................................................................................. 48 Naloga 13c ............................................................................................................................................................. 48 Naloga 13d ............................................................................................................................................................. 48 Naloga 13e ............................................................................................................................................................. 48 KAZALO iii. Naloga 14b ............................................................................................................................................................. 49 Naloga 14c ............................................................................................................................................................. 49 Naloga 15a ............................................................................................................................................................. 49 Naloga 15b ............................................................................................................................................................. 50 Naloga 16c ............................................................................................................................................................. 50 Naloga 16d ............................................................................................................................................................. 50 Naloga 17a ............................................................................................................................................................. 50 Naloga 17b ............................................................................................................................................................. 50 Naloga 18a ............................................................................................................................................................. 51 Naloga 18b ............................................................................................................................................................. 51 Naloga 18c ............................................................................................................................................................. 51 Naloga 19b ............................................................................................................................................................. 51 Teoretične porazdelitve ................................................................................................................52 Naloga 20a ............................................................................................................................................................. 52 Naloga 20b ............................................................................................................................................................. 53 Naloga 20c ............................................................................................................................................................. 53 Naloga 21a ............................................................................................................................................................. 53 Naloga 21b ............................................................................................................................................................. 54 Naloga 21c ............................................................................................................................................................. 54 Naloga 22a ............................................................................................................................................................. 54 Naloga 22b ............................................................................................................................................................. 54 Enostavna regresijska analiza ......................................................................................................54 Naloga 23a ............................................................................................................................................................. 54 Naloga 23b ............................................................................................................................................................. 55 Naloga 23c ............................................................................................................................................................. 56 Naloga 23d ............................................................................................................................................................. 56 Naloga 23e ............................................................................................................................................................. 57 Naloga 23f .............................................................................................................................................................. 57 Naloga 23g ............................................................................................................................................................. 57 Naloga 24a ............................................................................................................................................................. 58 Naloga 26b ............................................................................................................................................................. 60 Naloga 26c ............................................................................................................................................................. 61 Naloga 27a ............................................................................................................................................................. 62 Naloga 27b ............................................................................................................................................................. 63 Naloga 28 ............................................................................................................................................................... 63 Naloga 29 ............................................................................................................................................................... 65 Naloga 30a ............................................................................................................................................................. 66 Naloga 30b ............................................................................................................................................................. 66 Osnove vzorčenja ..........................................................................................................................67 Naloga 31 ............................................................................................................................................................... 67 Naloga 32 ............................................................................................................................................................... 67 Naloga 33 ............................................................................................................................................................... 68 Naloga 34 ............................................................................................................................................................... 69 Naloga 35 ............................................................................................................................................................... 70 Naloga 36 ............................................................................................................................................................... 71 Naloga 37 ............................................................................................................................................................... 72 Naloga 38a ............................................................................................................................................................. 72 Naloga 38b ............................................................................................................................................................. 72 Naloga 38c ............................................................................................................................................................. 73 Naloga 38d ............................................................................................................................................................. 73 Naloga 38e ............................................................................................................................................................. 74 Naloga 39a ............................................................................................................................................................. 75 Naloga 39b ............................................................................................................................................................. 75 iv KAZALO. Naloga 40 ............................................................................................................................................................... 76 Naloga 41 ............................................................................................................................................................... 76 Naloga 42a ............................................................................................................................................................. 76 Naloga 42b ............................................................................................................................................................. 77 Naloga 43 ............................................................................................................................................................... 77 Naloga 44 ............................................................................................................................................................... 77 Naloga 45 ............................................................................................................................................................... 78 Naloga 46 ............................................................................................................................................................... 78 Naloga 47a ............................................................................................................................................................. 78 Naloga 47b ............................................................................................................................................................. 79 Naloga 48a ............................................................................................................................................................. 79 Naloga 48b ............................................................................................................................................................. 79 Časovne vrste ................................................................................................................................80 Naloga 50a ............................................................................................................................................................. 80 Naloga 50b ............................................................................................................................................................. 80 Naloga 51a, 51b, 51c ............................................................................................................................................ 80 Naloga 52 ............................................................................................................................................................... 80 Naloga 53a ............................................................................................................................................................. 81 Naloga 53b ............................................................................................................................................................. 81 Naloga 53c ............................................................................................................................................................. 81 Naloga 53d ............................................................................................................................................................. 82 Naloga 54a ............................................................................................................................................................. 82 Naloga 54b ............................................................................................................................................................. 82 Naloga 55a ............................................................................................................................................................. 83 Naloga 55b ............................................................................................................................................................. 83 Naloga 56a, 56b..................................................................................................................................................... 83 Naloga 56c ............................................................................................................................................................. 83 Naloga 57a ............................................................................................................................................................. 83 Naloga 57b ............................................................................................................................................................. 84 Naloga 58a ............................................................................................................................................................. 84 Naloga 58c ............................................................................................................................................................. 84 Naloga 59a ............................................................................................................................................................. 85 Naloga 59b ............................................................................................................................................................. 85 Naloga 60b ............................................................................................................................................................. 85 Tabele ......................................................................................................................................87 Ploščine H(z) za standardizirano normalno porazdelitev ............................................................................... 87 Kritične vrednosti za t porazdelitev ................................................................................................................. 88 Literatura in viri ............................................................................................................................89 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 1 Uvod Znanost o statistiki se ukvarja z zbiranjem, analizo, interpretacijo in predstavitvijo podatkov (Holmes idr., 2018; Ghauri idr., 2020). Urejanje in opisovanje podatkov sodi v področje opisne statistike. Podatke lahko opisujemo na dva načina: grafično ali pa z izračunom določenih vrednosti, ki te podatke predstavljajo, na primer povprečja. Metode inferenčne statistike pa nam omogočajo na podlagi podatkov ustrezne kakovosti (verjetnostni, reprezentativni vzorec statistične množice) sklepati o značilnostih statistične množice kot celote, z določeno verjetnostjo. Statistično sklepanje uporablja koncept verjetnosti, da ugotovimo, kako prepričani smo lahko, da so naši sklepi pravilni. Učinkovito statistično sklepanje temelji na ustreznih postopkih za pripravo podatkov in premišljenem pregledu podatkov. Cilj statistike pa vsekakor ni izvajanje številnih izračunov s pomočjo bolj ali manj zapletenih formul, temveč pridobivanje uporabnih informacij na osnovi pridobljenih podatkov. Izračune lahko opravimo s pomočjo kalkulatorja ali programskega orodja, vendar pa razumevanja uporabnosti informacij, ki jih pridobimo na osnovi statističnih izračunov, računalnik ne more nadomestiti. Zato je predmet Statistika (drugi del predmeta), za katerega je namenjena ta zbirka vaj1, pomemben za to, da študenti razvijejo sposobnost razumevanja informacij v podatkih. 1 Nekatere naloge so prirejene po zbirki nalog, ki se je uporabljala pri predmetu v preteklem obdobju (Leskovar Špacapan in Tominc, 2008). 2 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Predmet Statistika (drugi del predmeta) vsebuje naslednje vsebinske sklope: a) prikazovanje podatkov v tabelah in grafih, b) relativna števila, c) srednje vrednosti, mere variabilnosti, asimetrije in sploščenosti, d) intervalno ocenjevanje vrednosti statističnih parametrov in osnove preizkušanja domnev o statističnih parametrih, e) osnove enostavne regresije, f) osnove analize in napovedovanja vrednosti v časovnih vrstah. Študenti v okviru predmeta spoznajo uporabnost statističnih metod pri reševanju poslovnih problemov ter utrdijo in nadgradijo teoretično znanje na področju statističnih tehnik in metod, ki omogočajo spremeniti različne podatke v uporabne informacije za poslovno odločanje. Študenti osvojijo analitičen matematično statističen pristop k preučevanju poslovnih problemov, ki se sestoji iz naslednjih korakov: − formulacija problema na statističen način, − izbira ustrezne statistične metode, − reševanje problema, − interpretacija rezultatov v smislu možnih rešitev problema. V tej zbirki nalog pri nekaterih primerih uporabljamo programsko orodje IBM SPSS. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 2 Urejanje in prikazovanje podatkov S pomočjo uporabe statističnih metod želimo običajno proučiti populacijo ali statistično množico. Statistično množico sestavljajo statistične enote, ki jih proučujemo po izbranih značilnostih. Za preučevanje statistične množice pogosto izberemo (verjetnostni) vzorec. Ideja vzorčenja je izbrati del (ali podskupino) statistične množice in proučiti ta del (vzorec), da pridobimo informacije o celotni statistični množici. Ker za pregled celotne statistične množice potrebujemo veliko časa in povzroča velike stroške, je vzorčenje zelo uporabna tehnika. Vzorec mora dobro opisovati značilnosti statistične množice, da je reprezentativen (Holmes idr., 2018). Iz vzorčnih podatkov lahko izračunamo različne vzorčne vrednosti statističnih parametrov – ocene statističnih parametrov v statistični množici . Statistični parameter je številska značilnost celotne statistične množice. Spremenljivka je značilnost, ki jo je mogoče določiti za vsako statistično enoto v statistični množici. Spremenljivke so lahko številske ali opisne (Sakaran in Bougie, 2016). Vrednosti številske spremenljivke so izražene z merskimi enotami, kot so na primer teža v kilogramih, čas v urah, dobiček v EUR. Vrednosti opisne spremenljivke se izražajo z besedami. Opisne (ali kategorične) spremenljivke uvrščajo statistično enoto v določeno kategorijo, na primer sedež podjetja v eni od 12 statističnih regij v Sloveniji. Pri številskih spremenljivkah lahko podatke opišemo z izračunom različnih številskih vrednosti (lahko bi izračunali povprečno vrednost), vendar pa tega ni smiselno delati z vrednostmi opisne spremenljivke (izračun »povprečne regije« za sedež podjetij v Sloveniji ni smiseln). 4 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Najosnovnejšo obliko statističnih podatkov predstavljajo statistične vrste, ki jih delimo v tri skupine: časovne, krajevne in stvarne statistične vrste (Tominc in Kramberger, 2007). Tabelarično urejene podatke statistične vrste lahko grafično prikažemo z ustreznim grafom, ki še bolj nazorno prikazuje značilnosti statistične vrste. Vzemimo primer časovne statistične vrste, kjer so vrednosti spremenljivke urejene v nekih enakomernih časovnih presledkih. Najpomembnejša značilnost časovne statistične vrste, ki jo želimo običajno spoznati, je dinamika – spreminjanje vrednosti opazovane spremenljivke skozi čas. Za prikaz dinamike v časovni vrsti je tako zelo pogosto uporabljan grafični prikaz, ki ga imenujemo linijski grafikon. Vrednosti številske spremenljivke lahko uredimo v razrede frekvenčne porazdelitve, ki jih grafično prikazujemo s frekvenčnimi histogrami ali pologoni, vrednosti opisne spremenljivke pa grupiramo v skupine na osnovi možnih vrednosti opisne spremenljivke (Tominc in Kramberger, 2007). Izraz frekvenca označuje število ponovitev vrednosti v podatkih (bodisi posameznih vrednosti spremenljivke bodisi opredeljenega intervala za vrednosti spremenljivke). Vsota vseh frekvenc predstavlja skupno število statističnih enot v opazovanem podatkovnem nizu. Relativna frekvenca je razmerje (ali delež) med številom statističnih enot z določeno vrednostjo spremenljivke (ali vrednostjo spremenljivke v opredeljenem intervalu za vrednosti spremenljivke) in skupnim številom statističnih enot v podatkovnem nizu. Relativne frekvence so lahko izražene v deležu ali v odstotku. Strukturo podatkovnega niza (vzorca ali statistične množice) grafično najpogosteje prikazujemo s strukturnim stolpcem (Tominc in Kramberger, 2007). Naloga 1 V nekem mestu, ki šteje 350 tisoč prebivalcev, je javno podjetje, ki izvaja potniški mestni promet, zbiralo informacije o potrebni spremembi voznih redov ter cene prevozov. V ta namen so v času od 1. do 15. maja lani zbrali odgovore 150 naključno izbranih prebivalcev o najvišji ceni (v EUR), ki so jo pripravljeni odšteti za eno vožnjo z mestnim avtobusom. a) Opredelite statistično množico in vzorec. b) Opredelite statistično enoto. c) Opredelite statistično spremenljivko in njene značilnosti. 2 Urejanje in prikazovanje podatkov 5. d) Naštejte nekaj možnih statističnih parametrov pri analizi obravnavane spremenljivke. e) Ali so bili v tem primeru zbrani primarni ali sekundarni podatki? Opredelite razliko med obema viroma podatkov. Naloga 2 V preglednici so podatki o številu trgovin neke trgovske verige, v šestih slovenskih regijah, v nekem časovnem obdobju ter podatki o višini investicij v trgovske objekte te trgovske verige (v d.e.): Regija Gorenjska Goriška Primorska Koroška Pomurska Posavska Zasavska Št. trgovin 21 25 14 17 25 12 18 Investicije (v d.e.) 314 100 100 300 260 175 250 a) Kako imenujemo statistični vrsti v preglednici? b) Statistično vrsto za število trgovin prikažite grafično. c) Navedite poljubni primer stvarne in krajevne statistične vrste. d) Za podatke o višini investicij po regijah prikažite relativno strukturo skupno porabljenih sredstev po regijah. Naloga 3 Za analizirano podjetje imate na razpolago podatke o številu zaposlenih trgovskih potnikov na sredini meseca ter podatke o prodaji izdelka v prvih petih mesecih lanskega leta: Mesec I. II. III. IV. V. Vrednost prodaje (v 103 EUR) 2.600 3.800 4.100 2.900 3.200 Število zaposlenih trgovskih potnikov 30 75 82 80 90 a) Izračunajte povprečno prodajo na trgovskega potnika po mesecih. b) Izračunajte povprečno prodajo na trgovskega potnika v obravnavanem petmesečnem obdobju. 6 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 4 Za neko fakulteto poznamo za pet študijskih programov podatke o številu vpisanih študentov v preteklem akademskem letu. Študijski program A B C D E Število diplomantov 45 55 100 30 25 Prikažite relativno strukturo skupnega števila vpisanih študentov v teh pet študijskih programov fakultete. Naloga 5 V preglednici so podatki o številu diplomantov po področjih študija in stopnji študija v neki državi v preteklem letu. Področje študija Dodiplomski študij Magistrski študij Kmetijske vede 71 206 Medicinske vede 243 268 Tehniške in naravoslovne vede 793 1.112 Družbene in humanistične vede 2.110 2.921 a) Opredelite statistično enoto in statistični spremenljivki. b) Izpišite statistično vrsto diplomantov na dodiplomski stopnji po področjih študija. Kako imenujemo takšno statistično vrsto? Statistično vrsto prikažite grafično. c) Grafično prikažite relativno strukturo diplomantov magistrskega študija po področjih študija. Naloga 6 Razpolagamo s podatki o oceni zadovoljstva zaposlenih (na lestvici od 1 do 100) za 50 zaposlenih: 15 17 18 18 18 18 19 19 19 20 23 24 25 25 26 27 29 29 29 29 30 30 35 37 38 36 39 39 39 39 41 45 42 46 46 48 48 48 46 49 55 62 65 72 72 85 91 95 91 95 2 Urejanje in prikazovanje podatkov 7. a) Opredelite statistično množico, statistično enoto ter spremenljivko, njene značilnosti in zalogo vrednosti spremenljivke. b) Sestavite frekvenčno porazdelitev pri pogojih: y1,min = ymin ; i = 10, meje razredov so podane nezvezno. c) Frekvenčno porazdelitev ter kumulativno frekvenčno porazdelitev prikažite grafično. Naloga 7 Za 300 študentov, ki smo jih opazovali glede na število ur študija (zvezna spremenljivka) za izpit iz predmeta Statistika, imate na razpolago naslednje podatke: ymin = 41 ur ymax = 97 ur y1,min = 40 ur y6,max = 100 ur r = 6 i = 10 za k = 1,2,…,r F1 = 25 F2 = 75 F3 = 175 F4 = 250 F5 = 290 F6 = 300 a) Na osnovi danih podatkov sestavite frekvenčno porazdelitev in jo grafično prikažite. b) Koliko odstotkov študentov je porabilo od 60–70 ur študija? c) Koliko odstotkov študentov je porabilo do 80 ur študija? Naloga 8 Podatki za 500 kupcev glede na porabljen znesek za nakup v neki trgovini, na dan 31.12. preteklega leta, v eni od slovenskih regij so: Znesek za nakup Število kupcev Od 1 do/pod 50 80 Od 50 do/pod 100 125 Od 100 do/pod 150 148 Od 150 do/pod 200 112 Od 200 do/pod 250 35 a) Opredelite statistično enoto, statistično množico, statistično spremenljivko ter njene vrednosti. b) Prikažite relativno strukturo statistične množice s strukturnim stolpcem. 8 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 9 Določiti želimo omejitveno hitrost na cesti skozi naselje. Ena izmed možnosti je ta, da je omejitvena hitrost tista, ki jo pri neomejeni hitrosti na cesti presega 15 % vozil. a) Opišite potek statistične raziskave. Opredelite statistično enoto in statistično spremenljivko za to raziskavo. b) Pri merjenju hitrosti smo dobili podatke v preglednici. Ali so podatki, prikazani na tak način, pregledni? c) Kako bi lahko podatke pregledneje prikazali? Hitrost v km/h Število osebnih vozil 41 0 42 1 44 0 46 1 48 1 50 1 52 2 54 6 56 7 58 9 60 1 62 2 64 8 66 7 68 3 70 4 72 5 74 2 76 3 78 2 80 3 82 0 84 1 86 1 88 0 90 0 Naloga 10 V osrednjeslovenski regiji je bilo na dan 31.12. v podjetjih neke panoge toliko zaposlenih, kot prikazujejo podatki v preglednici. 2 Urejanje in prikazovanje podatkov 9. Število zaposlenih Število podjetij Od 11 do 40 15 Od 41 do 55 17 Od 56 do 70 23 Od 71 do 85 25 Od 86 do 100 17 SKUPAJ 97 a) Opredelite statistično enoto, statistično množico in spremenljivko. b) Frekvenčno porazdelitev prikažite grafično. c) Izračunajte in pojasnite člene kumulativne frekvenčne porazdelitve. d) Izračunajte in pojasnite relativne frekvence ter grafično prikažite relativno strukturo statistične množice. Naloga 11 Število vozil, ki pridejo na bencinski servis v eni uri, je podano v preglednici. a) Pojasnite statistično enoto, statistično množico, statistično spremenljivko in njene vrednosti. b) Izračunajte in pojasnite člene kumulativne frekvenčne porazdelitve in jo prikažite grafično. c) Izračunajte in pojasnite relativne frekvence ter grafično prikažite strukturo statistične množice glede na skupno število vozil po delovnih urah v posameznih razredih. Število vozil Število delovnih ur Od 0 do 4 9 Od 5 do 9 15 Od 10 do 14 5 Od 15 do 19 6 Od 20 do 24 4 Od 25 do 29 2 Od 30 do 34 2 10 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 3 Deskriptivna statistika V okviru opisne statistike običajno izračunavamo naslednje mere (Holmes idr., 2018): − kvantili: to so mere, ki opredeljujejo položaj posamezne statistične enote glede na ostale po vrednosti obravnavane statistične spremenljivke. Najpomembnejši so kvartili, decili ter mediana; − mere osrednje tendence: aritmetična sredina, modus, pa tudi že zgoraj omenjena mediana; − mere variabilnosti: variacijski razmik, kvartilni in decilni razmik, varianca in standardni odklon ter koeficient variabilnosti; − mere asimetrije in sploščenosti: koeficient asimetrije in koeficient sploščenosti. Za izračun kvantilov je treba podatke razvrstiti po vrednosti obravnavane spremenljivke od najmanjših do največjih ( ranžirna vrsta pri manjšem številu statističnih enot ali frekvenčna porazdelitev pri večjem številu statističnih enot). Kvartili (Q) razdelijo urejene podatke na četrtine (po 25 %), decili (D) pa na desetine (po 10 %). Mediana (Me) je enaka drugemu kvartilu, pa tudi petemu decilu. Med merami osrednje tendence sta najpomembnejši aritmetična sredina (𝑦𝑦 – če obravnavamo podatke statistične množice – ter 𝑌𝑌 – če obravnavamo podatke vzorca) in že omenjena mediana. Aritmetično sredino vrednosti spremenljivke izračunamo, če vsoto vseh vrednosti spremenljivke ( total) delimo s številom statističnih enot v podatkih (bodisi vzorca bodisi statistične množice). 12 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Med merami variabilnosti je najenostavnejši variacijski razmik (VR), ki je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo spremenljivke. Kvartilni razmik je mera variabilnosti, ki označuje razpon vrednosti srednjih 50 % podatkov. To je razlika med tretjim kvartilom (Q3) in prvim kvartilom (Q1). Podobno je decilni razmik razlika med devetim (D9) in prvim decilom (D1) (srednjih 80 % podatkov). Najpomembnejši meri variabilnosti sta standardni odklon in varianca. Standardni odklon predstavlja mero za skupno razpršenost vrednosti okoli aritmetične sredine v danem podatkovnem nizu. Standardni odklon (σ) je vedno pozitiven (ali nič). Za izračun standardnega odklona moramo najprej izračunati varianco. Standardni odklon je kvadratni koren iz variance. Varianca je povprečni kvadratni odklon (razlika) vrednosti spremenljivke od njene aritmetične sredine. Varianco pri podatkih statistične množice (σ2) izračunamo tako, da prej omenjeno vsoto kvadratov odklonov delimo s številom statističnih enot v statistični množici (N). Če so podatki iz vzorca in ne iz statistične množice, vsoto kvadratov odklonov delimo z n –1, za eno manj kot število statističnih enot v vzorcu (n) ( nepristranska ocena variance – s2) (Tominc in Kramberger, 2007). Koeficient variabilnosti, izražen v % (KV%), pove, koliko odstotkov aritmetične sredine predstavlja standardni odklon za dani podatkovni niz. Asimetrijo in sploščenost porazdelitve vrednosti v danem podatkovnem nizu lahko analitično proučujemo z izračunom kazalca asimetrije na podlagi mediane (KAMe) ali na podlagi modusa (KAMo). Naloga 12 Definirajte oziroma pojasnite naslednje pojme: ranžirna vrsta, kvartili, decili, mediana, modus, aritmetična sredina, variacijski razmik, kvartilni oziroma decilni razmik, varianca, standardni odklon, koeficient variabilnosti, koeficient asimetrije, koeficient sploščenosti. 3 Deskriptivna statistika 13. Naloga 13 V dveh organizacijah smo opazovali zaposlene glede na čas (v minutah), ki so ga porabili za izdelavo enega izdelka. Podatki so: Organizacija A: N = 12 yi = 26, 38, 45, 22, 33, 29, 34, 41, 40, 39, 43, 30 minut Organizacija B: N = 730 Organizacija B Poraba časa v minutah Število zaposlenih Nad 22 do 26 76 Nad 26 do 30 123 Nad 30 do 34 235 Nad 34 do 38 162 Nad 38 do 42 98 Nad 42 do 46 36 Skupaj 730 Izračunajte in pojasnite: a) kvartilni razmik in mediano (za organizacijo A), b) povprečno porabljeni čas za en izdelek v organizaciji A in v organizaciji B, c) variacijski razmik za podatke organizacije A, d) varianco in standardni odklon za podatke organizacij A in B, e) koeficient variabilnosti za podatke organizacij A in B. Naloga 14 Na nekem področju smo opazovali 260 sodnikov okrajnih sodišč po številu obravnavanih zadev v določenem časovnem razdobju. Podatki so v tabeli: Število obravnavanih zadev Število sodnikov Od 31 do 60 35 Od 61 do 90 52 Od 91 do 120 74 Od 121 do 150 41 Od 151 do 180 32 Od 181 do 210 26 Skupaj 260 14 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. a) Navedite statistično množico, enoto, spremenljivko in vrednosti spremenljivke. b) Grafično ocenite asimetrijo gornje porazdelitve. c) Izračunajte delež standardnega odklona v aritmetični sredini. Naloga 15 V banki so analizirali višino vloženih sredstev na današnji dan (v 102 EUR) za devet varčevalcev. Podatki so v sledeči: 9 12 16 41 60 80 100 120 150 a) Kolikšne zneske je vložilo 50 % varčevalcev, ki so vložili srednje velike zneske, in kolikšne zneske tistih 50 %, ki so vložili najmanj? b) V banki "Y" je višina povprečno vloženih sredstev 456 vlagateljev 7.530 EUR, varianca pa 7.022.500 EUR2. V kateri banki se vlagatelji glede na vložena sredstva med seboj bolj razlikujejo? Naloga 16 Na nekem cestnem odseku so v 45 zaporednih dneh prešteli takšno število osebnih vozil: Število osebnih vozil Število dni Od 1 do 10 6 Od 11 do 20 14 Od 21 do 30 15 Od 31 do 40 5 Od 41 do 50 5 Skupaj 45 a) Opredelite statistično množico, statistično enoto ter spremenljivko ter variacijski razmik. b) Grafično prikažite frekvenčno porazdelitev. c) Izračunajte in pojasnite aritmetično sredino. d) Izračunajte in pojasnite koeficient variabilnosti v odstotku. 3 Deskriptivna statistika 15. Naloga 17 V petih državah je bil nekega leta odstotek odraslih, ki se ukvarjajo s podjetništvom, tak: Država Brazilija Mehika Kitajska Irska Kanada % preb. 13,53 12,40 12,34 9,14 8,82 a) Povprečni BDP na prebivalca v teh državah je 18.000 $, standardni odklon pa znaša 35 % povprečnega BDP/preb. Pri kateri spremenljivki je variabilnost večja in kaj to pomeni? b) Izračunajte in pojasnite mediano. Naloga 18 Za osem podjetij imamo podatke o odstotku zmanjšanja stroškov energije, ki so ga dosegli z uvedbo izboljšanega tehnološkega postopka: 2,5 %, 3,3 %, 5,7 %, 1,2 %, 5 %, 2 %, 2,4 % in 8 %. a) Opredelite vse srednje vrednosti. b) Kolikšen odstotek zmanjšanja stroškov energije so dosegla podjetja, ki ležijo v kvartilnem razmiku? c) Podjetja smo analizirali tudi glede na dosežen dobiček, kjer smo ugotovili, da standardni odklon predstavlja 75 % aritmetične sredine. Pri kateri spremenljivki je variabilnost večja in kaj to pomeni? Naloga 19 Donosi 10-ih delnic (v d.e.) so bili v opazovanem obdobju sledeči: 10 40 50 50 71 82 800 850 1.000 1.100 a) Opredelite statistično enoto, statistično spremenljivko in statistično množico. b) Kolikšne donose je doseglo 25 % najmanj donosnih delnic in kolikšne 25 % najbolj donosnih delnic? 16 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 4 Teoretične porazdelitve V tem poglavju bomo kot najpomembnejšo teoretično porazdelitev obravnavali normalno porazdelitev, ki jo bomo uporabljali za dva namena v okviru tega dela predmeta: za računanje verjetnosti, da naključno izbrana statistična enota zavzame vrednost spremenljivke z določenega intervala, ter v postopkih regresijske analize (naslednje poglavje). Kasneje se bomo srečali še z drugo teoretično porazdelitvijo – t-porazdelitev, v poglavju o vzorčenju. Normalna porazdelitev je definirana z dvema parametroma, aritmetično sredino (𝑦𝑦 , velikokrat pa se za aritmetično sredino v statistični množici uporablja tudi oznaka μ) in standardnim odklonom (σ) (Holmes idr., 2018). Normalna porazdelitev je simetrična glede na aritmetično sredino, aritmetična sredina pa je po vrednosti hkrati tudi enaka mediani in modusu. Sprememba standardnega odklona σ povzroči spremembo oblike normalne krivulje; krivulja postane bolj sploščena ali pa bolj koničasta, odvisno od σ. Sprememba aritmetične sredine pa povzroči, da se graf premakne v levo ali desno. To pomeni, da obstaja neskončno število normalnih porazdelitev. Ena od posebno pomembnih porazdelitev v statistiki se imenuje standardizirana normalna porazdelitev. Standardizirana normalna porazdelitev je normalna porazdelitev standardiziranih vrednosti, imenovanih tudi z-vrednosti (vsaki vrednosti y spremenljivke, porazdeljeni po poljubni normalni porazdelitvi, je mogoče izračunati njeno standardizirano z-vrednost z upoštevanjem transformacijske enačbe) (Holmes idr., 2018). 18 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Povprečje za standardizirano normalno porazdelitev je enako 0, standardni odklon in varianca pa sta enaka 1, kar zelo poenostavi izračunavanje verjetnosti. Ploščine pod krivuljo normalne porazdelitve (ki so grafično predstavljene verjetnosti) so za standardizirano normalno porazdelitev prikazane v tabeli v prilogi. Naloga 20 V gospodinjstvih v neki družbi je čas uporabe družinskega računalnika v gospodinjstvu za igranje igric porazdeljen po normalni porazdelitvi, z aritmetično sredino dve uri in standardnim odklonom 0,5 ure. a) Izračunajte verjetnost, da je v naključno izbranem gospodinjstvu družinski računalnik v uporabi za igranje igric med 1,8 in 2,75 urami na dan. b) V koliko odstotkih gospodinjstev se družinski računalnik uporablja več kot 5 ur dnevno za igranje igric? c) Koliko časa je družinski računalnik v uporabi za igranje igric pri tistih 25 odstotkih gospodinjstev, kjer je ta čas najkrajši? Naloga 21 V neki državi je starost uporabnikov pametnih telefonov (analizirali smo tiste, ki so stari 13 let ali več) porazdeljena približno po normalni porazdelitvi, s povprečno starostjo 36,9 let in standardnim odklonom 13,9 let. a) Izračunajte verjetnost, da je naključno izbrani uporabnik pametnega telefona v analizirani populaciji star med 23 in 64 let. b) Izračunajte verjetnost, da je naključno izbrani uporabnik pametnega telefona v analizirani populaciji star največ 50,8 let. c) Izračunajte, kolikšna je starost 30 % najstarejših uporabnikov pametnih telefonov v analizirani populaciji. Naloga 22 Število minut pogovora na mesec pri vseh naročnikih mobilne telefonije nekega operaterja se porazdeljuje po normalni porazdelitvi, z aritmetično sredino 220 minut in standardnim odklonom 70 minut. 4 Teoretične porazdelitve 19. a) Izračunajte, kolikšna je verjetnost, da bo naključni izbrani uporabnik imel na mesec več kot 195 minut pogovora. b) Koliko minut pogovora beležimo pri tistih 68,3 % naročnikov, ki ležijo v simetričnem intervalu okoli aritmetične sredine? 20 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 5 Enostavna regresijska analiza O enostavni regresijski analizi govorimo takrat, kadar utemeljeno domnevamo, da neka spremenljivka (neodvisna spremenljivka, x) vpliva na odvisno spremenljivko (y). Analiza tega vpliva vključuje izračun linearne enačbe, ki ponazarja odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x, ter izračun osnovnih kazalnikov te odvisnosti (kazalniki linearne korelacije in regresije). Grafični prikaz, ki ga uporabljamo pri enostavni regresijski analizi, se imenuje razsevni grafikon. Linearno regresijsko enačbo enostavne regresije zapišemo v obliki y = b0 + b1x, kjer sta b0 in b1 konstanti. Konstanta b1 je regresijski koeficient, ki opisuje (povprečno) spremembo, ki se pojavi pri vrednosti odvisne spremenljivke, ko se neodvisna spremenljivka spremeni za 1 enoto. Kaže tudi smer povezanosti, glede na predznak. Regresijska konstanta b0 pa opisuje povprečno vrednost spremenljivke y, takrat ko je neodvisna spremenljivka enaka 0 (če je to smiselno) (Holmes idr., 2018). Med kazalniki linearne korelacije in regresije pri enostavni regresiji obravnavamo še naslednje kazalnike (Tominc in Kramberger, 2007): − korelacijski koeficient, ki opredeljuje smer in jakost linearne povezanosti med spremenljivkama y in x; − determinacijski koeficient, ki opisuje delež pojasnjene variance spremenljivke y v skupni varianci odvisne spremenljivke; 22 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. − standardno napako ocene odvisne spremenljivke, ki kaže na vpliv drugih (neodvisnih) spremenljivk, ki jih nismo eksplicitno vključili v analizo ter velikost slučajnih vplivov. Opisane rezultate regresijske analize lahko s pridom uporabimo pri napovedovanju vrednosti odvisne spremenljivke pri izbrani vrednosti spremenljivke x. Točkovna ocena vrednosti spremenljivke y pri izbrani vrednosti spremenljivke x je pridobljena tako, da vrednost spremenljivke x vstavimo v regresijsko enačbo. Pri intervalni oceni vrednosti spremenljivke y pri izbrani vrednosti spremenljivke x pa upoštevamo, da na odvisno spremenljivko vplivajo še druge spremenljivke in slučajni vplivi (Tebachnick in Fidel, 2013). Intervalna ocena pomeni, da z določeno stopnjo verjetnosti ocenimo, kakšno vrednost spremenljivke y lahko v povprečju pričakujemo pri izbrani vrednosti spremenljivke x, če upoštevamo tudi standardno napako ocene odvisne spremenljivke (Tominc in Kramberger, 2007). Naloga 23 Za šest podjetij so podatki o investicijah v novo tehnologijo (v 106 evrov) ter ustvarjenim dobičkom (v 103 evrov) v letu X naslednji: Podjetje A B C D E F Investicije v tehnologijo (x) 115 130 140 149 160 171 Ustvarjen dobiček (y) 328 330 390 361 421 400 a) S prikazom dvojic vrednosti opazovanih spremenljivk v razsevnem grafikonu določite obliko, smer in jakost odvisnosti med spremenljivkama. b) Z metodo najmanjših kvadratov izračunajte parametre regresijske premice, izračunano regresijsko premico vrišite v razsevni grafikon. c) Ocenite višino dobička za podjetje, ki bi investiralo v tehnologijo x = 180 (v 106 evrov), točkovna ocena. d) Izračunajte parameter, na osnovi katerega določite smer in jakost linearne korelacijske odvisnosti. e) Izračunajte delež pojasnjene variance v skupni varianci za odvisno spremenljivko. f) Izračunajte standardno napako ocene odvisne spremenljivke. g) Ob upoštevanju linearne korelacijske odvisnosti ocenite z verjetnostjo 95 % višino dobička pri x = 180 (v 106 evrov), intervalna ocena (upoštevajte, da je popravek h1 enak 0). 5 Enostavna regresijska analiza 23. Naloga 24 V banki “X” so ob različni obrestni meri (x) zabeležili naslednje zneske kratkoročnih oblik varčevanja (y): Obrestna mera v % (x) 3,4 4,2 5,6 6,4 8 Varčevanje (v d.e.) (y) 123 165 197 234 258 a) Ocenite z zanesljivostjo 95 % znesek kratkoročnih oblik varčevanja pri obrestni meri x = 7 %. b) Pojasnite vse kazalce linearne regresije in korelacije, ki ste jih izračunali pod a). Naloga 25 Pojasnite: a) smer in jakost povezanosti med odvisno in neodvisno spremenljivko, če je rxy = – 0,8; b) determinacijski koeficient, če je 2 = xy r 0,90; c) velikost standardne napake ocene (σey ), če je rxy = –1. Naloga 26 Domnevamo, da je znesek stroškov na delavca (v d.e.), ki ga podjetja namenjajo za okoljevarstvene dejavnosti, odvisen od velikosti podjetja (merjeno v številu zaposlenih). Za pet podjetij so podatki v preglednici. Število zaposlenih 25 46 120 91 37 Znesek stroškov/delavca 15 17 35 30 25 a) Narišite razsevni grafikon in ga pojasnite. b) Izračunajte in pojasnite vse kazalce linearne korelacije in regresije. c) Ocenite znesek stroškov za okoljevarstvene dejavnosti podjetja, če ima podjetje 180 zaposlenih. Upoštevajte α = 5 % (upoštevajte, da je popravek h1 enak 0). 24 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 27 V tabeli so podatki o tedenskem številu potrjenih primerov s SARS-CoV-2 glede na dve različni lokaciji prenosa okužbe, in sicer delovno mesto in trgovina. Zanima nas, ali okuženost oseb v trgovini vpliva na povečanje okuženosti oseb na delovnem mestu. Podatki o tedenskem številu potrjenih primerov s SARS-CoV-2 na delovnem mestu in v trgovini: Teden Delovno mesto Trgovina 1. (2020–47) 257 186 2. (2020–48) 260 216 3. (2020–49) 274 221 4. (2020–50) 269 266 5. (2020–51) 233 227 6. (2020–52) 178 156 7. (2020–53) 127 174 a) Ocenite osnovne značilnosti povezanosti med spremenljivkama ter izračunajte in pojasnite vse kazalce linearne korelacije in regresije. b) Izpišite enačbo regresijske premice. Naloga 28 V tabeli so podatki o zasedenosti sob v hotelih ter njihovih cenah: Povprečni % zasedenosti Cena v dolarjih 78,70 80,99 68,70 82,48 63,90 76,50 71,70 101,76 70,80 100,25 80,50 169,19 66,90 78,74 Izračunajte koeficiente linearne regresijske funkcije in ocenite, kolikšno ceno lahko pričakujemo za sobo, ki je povprečno zasedena 95 %-no (upoštevajte, da je popravek h1 enak 0). Intervalno oceno napravite s 95%-no verjetnostjo. 5 Enostavna regresijska analiza 25. Naloga 29 V preglednici so podatki o povprečni začetni plači diplomanta MBA programa (v d.e.) in o oceni kvalitete MBA programa (na lestvici od 1 do 100), ki jo je opravila zaposlitvena agencija. Ocenite osnovne značilnosti povezanosti med spremenljivkama ter izračunajte in pojasnite vse kazalce linearne korelacije in regresije. Povprečna začetna plača Ocena kvalitete programa 105,1 100 96 91 93,3 90 101 87 85,7 69 84,1 63 72,3 61 69,7 60 Naloga 30 Rezultati analize linearne korelacijske odvisnosti povprečne letne porabe izdelka A (y) od povprečne letne porabe izdelka B (x) s programom SPSS so v spodnji tabeli: Rezultati linearne korelacije in regresije Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate 1 0,840(a) 0,706 0,608 11,334 a Predictors: (Constant), povprečna poraba izdelka B Mode Unstandardized Standardized t Sig. l Coefficients Coefficients B Std. Error Beta B Std. Error 1 (Constant) –8,647 38,282 –0,226 0,836 Povprečna 0,734 0,273 0,840 2,684 0,075 poraba izdelka B a Dependent Variable: povprečna poraba izdelka A a) Izpišite in vsebinsko pojasnite vse kazalce linearne korelacije in regresije. b) Ocenite povprečno letno porabo izdelka A (y) pri povprečni letni porabi izdelka B enaki x = 180. Izračunajte točkovno oceno. Za intervalno oceno upoštevajte verjetnost 95 % (ter da je popravek h1 enak 0). 26 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 6 Osnove vzorčenja Na podlagi vzorčnih podatkov verjetnostnega vzorca lahko opravimo postopek statističnega sklepanja, ko rezultat iz vzorca posplošimo na statistično množico. Ta del statistike se imenuje inferenčna statistika. Vzorčni podatki nam služijo za izračun ocene statističnega parametra v statistični množici. Zavedamo se, da ta vzorčna oziroma točkovna ocena najverjetneje ni natančna vrednost parametra v statistični množici, ampak blizu nje. Po izračunu točkovnih ocen izračunamo intervalne ocene, imenovane intervali zaupanja, z določeno verjetnostjo, ki je rečemo stopnja zaupanja (Heumann idr., 2016). Postopek, ki ga uporabimo za izračun intervala zaupanja, je odvisen od želene stopnje zaupanja, od tega, ali razpolagamo z informacijami o porazdelitvi obravnavane spremenljivke v statistični množici (na primer znan standardni odklon v statistični množici) ter od vzorca in njegove velikost (Holmes idr., 2018). V okviru tega dela predmeta Statistika se ukvarjamo z intervali zaupanja za aritmetično sredino, strukturni odstotek in total, v velikih in malih vzorcih. Intervali zaupanja so eden od načinov za oceno statističnega parametra v statistični množici. Drug način statističnega sklepanja je preverjanje hipoteze o vrednosti določenega statističnega parametra. Na primer, prodajalec avtomobilov trdi, da njegov nov majhen tovornjak v povprečju porabi le 6 litrov na 100 prevoženih kilometrov; izobraževalna agencija trdi, da njen način poučevanja pomaga 90 % študentom, da dobijo oceno 8 ali 28 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. več; podjetje pravi, da ženske menedžerke v njihovem podjetju v povprečju zaslužijo 60.000 EUR na leto ipd. Ta postopek se imenuje preizkušanje hipotez. Testiranje hipoteze vključuje zbiranje podatkov iz slučajnega vzorca in vrednotenje zbranih podatkov. Na podlagi analize podatkov se odločimo, ali obstaja dovolj dokazov za zavrnitev ničelne hipoteze (H0) ali ne. Ničelna hipoteza, H0, je trditev, da ni razlike med vzorčno aritmetično sredino (ali vzorčnim strukturnim odstotkom ali vzorčno oceno totala statistične množice) in aritmetično sredino (ali strukturnim odstotkom ali totalom) statistične množice. Z drugimi besedami, razlika je enaka 0 oziroma vzorčna ocena parametra in parameter v statistični množici sta enaka. Alternativna ali raziskovalna hipoteza, H1, pa je trditev o vrednosti statističnega parametra v statistični množici, ki je nasprotna trditvi H0, in menimo, da drži takrat, ko H0 ne moremo sprejeti oziroma ko jo zavrnemo (Agresti in Finaly, 2009). Za to, da zavrnemo ničelno hipotezo, običajno potrebujemo 90 ali več odstotno verjetnost, da je to pravilna odločitev (oziroma 10 ali manj odstotno verjetnost), da se zmotimo, če H0 zavrnemo, kar imenujemo stopnja tveganja ali stopnja značilnosti preizkusa. Običajno pri preizkušanju hipoteze H0 uporabljamo kot najvišjo še dopustno 5 %-no stopnjo tveganja. Naloga 31 V slučajnem vzorcu n = 200 kupcev je bila povprečna poraba izdelka 20,8 kosov izdelka v časovni enoti, nepristranska ocena variance pa 38,44 kosov2. Izračunajte 95 %-ni interval zaupanja za povprečno porabo izdelka v osnovni statistični množici. Naloga 32 Na zavodu za zaposlovanje, na katerem je prijavljenih 10.000 nezaposlenih oseb, so želeli ugotoviti odstotek (%) nezaposlenih, ki prejemajo plačila na osnovi »dela na črno«. Iz slučajnega vzorca 625 nezaposlenih so ugotovili, da 125 ljudi dela na črno. Upoštevajte stopnjo tveganja 0,20. 6 Osnove vzorčenja 29. Naloga 33 V tabeli so podatki o številu delavcev v podjetjih neke panoge, n = 20, ki smo jih zajeli v slučajni vzorec. Število delavcev Število podjetij Od 1 do 5 3 Od 6 do 10 4 Od 11 do 15 2 Od 16 do 20 1 Od 21 do 25 1 Od 26 do 30 5 Od 31 do 35 2 Od 36 do 40 2 Z 99 %-no verjetnostjo določite povprečno število zaposlenih delavcev v vseh podjetjih te gospodarske panoge. Naloga 34 Ali lahko trdimo, da delavci izdelajo povprečno 100 izdelkov v časovni enoti, če smo za 50 slučajno izbranih delavcev ugotovili, da izdelajo povprečno 102 izdelka v časovni enoti in je nepristranska ocena variance 6,25? Upoštevajte stopnjo tveganja 0,05. Naloga 35 S strojem proizvajamo nek izdelek. Stroj naj bi bil nastavljen tako, da je povprečna dolžina izdelkov 20 cm. Na osnovi slučajnega vzorca n = 5 izdelkov smo ugotovili, da je vzorčna aritmetična sredina 20,3 cm in s = 0,2 cm. Upoštevajte, da je α = 1 %. Ali rezultati kažejo, da stroj ni pravilno nastavljen? Naloga 36 Od 75 naključno izbranih kupcev nekega izdelka smo ugotovili, da jih je 55 zadovoljnih s kakovostjo. Na načilnostni ravni 0,10 preizkusite domnevo, da je tri četrtine vseh kupcev zadovoljnih s kakovostjo izdelka. 30 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 37 V slučajnem vzorcu smo zajeli 10 študentov neke fakultete, za katere velja, da v povprečju porabijo 45 % svojega prostega časa za športne aktivnosti, standardni odklon pa je enak 25 %. Ali lahko trdimo, da študenti te fakultete porabijo v povprečju polovico svojega prostega časa za športne aktivnosti? Upoštevajte 1 %-no tveganje. Naloga 38 V banki „X“ je bilo v slučajni vzorec izbranih 340 imetnikov vrednostnih papirjev, ki imajo v vrednostne papirje vložene naslednje zneske: Znesek v 102 EUR Število oseb Od 10 do pod 20 45 od 20 do pod 40 132 od 40 do pod 80 92 od 80 do pod 120 41 od 120 do pod 200 22 od 200 do pod 500 8 Skupaj 340 a) S 95 % verjetnostjo določite interval zaupanja za povprečni znesek, ki so ga v vrednostne papirje vložili imetniki vrednostnih papirjev pri tej banki. b) Če je v opazovani banki registriranih 3.648 lastnikov vrednostnih papirjev, ocenite z 90 % verjetnostjo skupni znesek vlog v vrednostne papirje pri tej banki. c) Na ravni značilnosti α = 0,10 preverite domnevo, da je povprečen znesek, ki so ga lastniki vložili v vrednostne papirje, 7.500 EUR. d) Z 99 % verjetnostjo preizkusite domnevo, da je % imetnikov vrednostnih papirjev, ki imajo zneske vrednostnih papirjev od 40.102 do 120.102 EUR 35 % oz. največ 35 %. e) Z 80 % verjetnostjo preizkusite domnevo, da je skupni znesek vseh imetnikov vrednostnih papirjev 20.000.000 EUR. Naloga 39 V knjižnem klubu so za devet naključno izbranih oseb zbrali podatke o višini letnih zneskov za nakup knjig. Zneski so: 600 800 1.200 900 400 800 700 500 400 EUR 6 Osnove vzorčenja 31. a) Z 80 % verjetnostjo ocenite povprečen letni znesek za nakup knjig. b) Z 10 % tveganjem preizkusite domnevo, da je skupni znesek za nakup knjig v opazovanem knjižnem klubu, ki ima skupno 2.860 članov, 1.800.000 EUR. Naloga 40 Na ravni značilnosti α = 0,10 preizkusite domnevo, da je povprečna višina denarnih sredstev 120 vlagateljev 5.000 EUR, če smo iz te skupine naključno izbrali 36 vlagateljev in zanje ugotovili, da je ∑ y 2 i = 187.200 in ∑(y − i y) = 28.000.000. Naloga 41 Med 250 podjetji neke regije, ki smo jih zajeli v slučajni vzorec, je 145 takih, ki imajo do 100 zaposlenih. Ali lahko pri 5 %-ni stopnji značilnosti preizkusa trdimo, da ima polovica vseh podjetij te regije do 100 zaposlenih? Naloga 42 V nekem podjetju so na osnovi naključnega vzorca 150 ljudi ugotovili, da je njihova povprečna zamuda na delo 12,5 minut, nepristranska ocena standardnega odklona pa znaša 5 minut. a) Izračunajte in pojasnite 85 %-ni interval zaupanja za povprečno zamujen čas vseh delavcev. b) Pri 1 %-ni stopnji značilnosti preizkusa preverite domnevo, da je povprečna zamuda delavcev v podjetju enaka 10 minut. Naloga 43 V šestih naključno izbranih podjetjih neke regije je med zaposlenimi tak odstotek žensk: 23 %, 47 %, 5 %, 45 %, 65 % in 12 %. Izračunajte in pojasnite interval zaupanja za povprečen odstotek žensk med zaposlenimi v vseh podjetjih. Oceno napravite s 5 % tveganjem. 32 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 44 Naključno smo anketirali 40 gospodinjstev. Skupni dohodek vseh 40 gospodinjstev skupaj je bil 2.750.000 d.e., nepristranska ocena standardnega odklona pa 460 d.e. S 95 %-no verjetnostjo ocenite povprečni dohodek na gospodinjstvo. Napravite tudi grafični prikaz. Naloga 45 Anketirali smo sedem naključno izbranih študentov v nekem študentskem domu. Povprečni mesečni zaslužek sedmih anketiranih študentov je 4.500 d.e. in s = 1.200 d.e. S 5 %-nim tveganjem izračunajte intervalno oceno za povprečni zaslužek študentov v študentskem domu. Naloga 46 Vsebnost nikotina v štirih cigaretah neke znamke, merjena v miligramih, je 21, 19, 23 in 19. Pri stopnji tveganja 5 % preizkusite domnevo, da je povprečna vsebnost nikotina v cigaretah opazovane znamke enaka 22 miligramom. Naloga 47 V trgovini X so za naključno izbranih pet oseb zbrali podatke o višini celotnega nakupa na določen dan. Podatki so naslednji: Kupec Znesek v EUR 1. 186 2. 216 3. 221 4. 266 5. 227 Skupaj 1.116 a) Določite 95 %-ni interval zaupanja za povprečno zapravljen znesek naključno izbranih oseb v trgovini X. b) Pri stopnji tveganja 10 % preizkusite domnevo, da je povprečno zapravljen znesek naključno izbranih oseb v trgovini X več kot 220 EUR. 6 Osnove vzorčenja 33. Naloga 48 Raziskovalci so v slučajni vzorec zajeli n = 7 okuženih oseb s SARS-CoV-2. Zanimalo jih je, koliko dni so bile prisotne posledice slabega počutja s SARS-CoV-2 naključno izbranih oseb. Podatki o slabem počutju v številu dni okuženih oseb s SARS-CoV-2 so v tabeli: Oseba Število dni 1 25 2 30 3 21 4 60 5 17 6 14 7 24 a) Določite 80 %-ni interval zaupanja za povprečno število dni slabega počutja pri okuženih osebah s SARS-CoV-2. b) Pri stopnji tveganja 5 % preizkusite domnevo, da je povprečno število dni slabega počutja pri okuženih osebah s SARS-CoV-2 največ 30 dni. 34 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 7 Časovne vrste Dinamiko v časovnih vrstah lahko analiziramo s pomočjo relativnih števil, ki jih imenujemo indeksi. Pri izračunu indeksnih števil medsebojno primerjamo dva ali več istovrstnih podatkov. Indeksna števila lahko izračunamo iz absolutnih vrednosti, pri primerjavi lahko uporabimo statistične koeficiente, strukturne odstotke ipd. (Mišić, 2019). Tukaj obravnavamo enostavne indekse, medtem ko z agregatnimi indeksi analiziramo relativne spremembe ekonomskih količin, ki so izražene vrednostno ali količinsko in jih na tem mestu ne obravnavamo (Tominc, 2016). Ločimo: a) indekse s stalno osnovo, b) verižne indekse, c) koeficiente dinamike in stopnje rasti. Indeksi s stalno osnovo izražajo posredno odstotno spremembo med vrednostmi členov statistične vrste, ki jih primerjamo z enim od členov, ki ga izberemo za osnovo ali bazo, medtem ko verižni indeksi izražajo posredno odstotno spremembo med dvema zaporednima členoma časovne statistične vrste (Tominc, 2016). Pri verižnih indeksih vrednost člena yt v časovni statistični vrsti vedno primerjamo s predhodnim členom yt-1. 36 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Koeficient dinamike izraža odnos med dvema zaporednima členoma osnovne statistične vrste, stopnja rasti pa pokaže neposredno odstotno spremembo med dvema zaporednima členoma osnovne statistične vrste – pove nam, za koliko odstotkov se vrednost člena yt razlikuje od vrednosti člena yt-1 (Tominc, 2016). Povprečno vrednost v časovni statistični vrsti opredelimo s povprečno stopnjo rasti, ki se izraža v % (na primer, povprečna stopnja rasti plač v Sloveniji v zadnjih 10 mesecih, povprečna stopnja rasti košarice izbranih cen v zadnjem letu ipd.). Povprečno stopnjo rasti v časovni statistični vrsti izračunamo bodisi iz povprečnega koeficienta dinamike ali povprečnega verižnega indeksa. Pri tem izhajamo iz postopka izračuna geometrijske sredine (in ne aritmetične sredine !). Povprečno stopnjo rasti opazovane spremenljivke v preteklem obdobju lahko uporabimo tudi za ocenjevanje vrednosti spremenljivke v prihodnjih časovnih enotah – napovedovanje vrednosti spremenljivke v prihodnjih časovnih enotah. Prvi korak pri analizi katerekoli časovne vrste je običajno grafična predstavitev podatkov – o grafičnem prikazu časovne statistične vrste smo govorili v prvem poglavju. Iz grafičnega prikaza lahko ocenimo, katere komponente ima časovna vrsta: osnovno smer razvoja – trend, sezonsko ali periodično komponento ter slučajne vplive (Brockwel in Davis, 2016). Tukaj bomo obravnavali komponento trenda, ki jo analitično opisujemo s trendno funkcijo (omejili se bomo predvsem na linearno funkcijo) ter na sezonsko komponento, ki jo opisujemo s sezonskimi ali periodičnimi indeksi. Naloga 49 Definirajte oziroma pojasnite naslednje pojme: indeksi, vrste indeksov, koeficient dinamike, stopnje rasti, statistični koeficienti. Naloga 50 Število in naravno gibanje prebivalstva na opazovanem področju v obdobju zadnjih sedmih let je opisano v tabeli – (vsi podatki so v 104 ljudi): Leto Srednje štev. preb. (30.6.) Živorojeni Umrli 1 198 1,94 1,93 2 198 1,89 1,89 3 199 1,87 1,86 4 198 1,82 1,89 5 198 1,78 1,90 6 198 1,75 1,88 7 199 1,81 1,85 7 Časovne vrste 37. a) Analizirajte relativne spremembe v številu živorojenih v opazovanem obdobju: − glede na leto 3, − od leta do leta. b) Izračunajte koeficiente rodnosti (natalitete) in umrljivosti (mortalitete). Komentirajte rezultate. Naloga 51 Letne stopnje rasti pridelave mesa v kg na prebivalca na opazovanem področju v obdobju zadnjih devetih let so bile: Leto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 St% – +18,0 –2,1 +2,7 +2,5 +2,5 –5,0 + 7,0 –5,8 a) Pojasnite največjo pozitivno in največjo negativno stopnjo rasti opazovanega pojava. b) Zapišite in pojasnite relativne spremembe v pridelavi mesa v opazovanih letih: − z vrsto verižnih indeksov, − z vrsto letnih koeficientov dinamike, − z vrsto indeksov s stalno osnovo v letu 4. c) Če je bila pridelava mesa na prebivalca v letu 4 enaka 84,5 kg, izračunajte pridelavo mesa na prebivalca v preostalih letih. Naloga 52 V opazovani organizaciji so podatki o številu zaposlenih in vrednosti proizvodnje po mesecih zapisani v naslednji časovni vrsti: Mesec I II III IV V Vrednost proizvodnje v 106 EUR 652 730 840 752 – Štev. zaposlenih na začetku meseca 214 240 226 208 200 Kolikšna je bila povprečna mesečna vrednost proizvodnje v opazovani organizaciji na 10 zaposlenih? 38 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 53 Za opazovano organizacijo imate na razpolago podatke o povprečni plači zaposlenih v prvih petih mesecih leta: Mesec I II III IV V Povprečna mesečna plača zaposlenih (v d.e.) 2.600 2.800 3.100 2.900 3.200 Mesečna stopnja rasti vrednosti prodaje St % – +15 –10 +8 –12 a) Izračunajte in pojasnite, kako so se relativno spreminjale plače glede na zadnji opazovani mesec. b) Izračunajte in pojasnite, kako se je spreminjala vrednost prodaje glede na prvi opazovani mesec. c) Ali so se v opazovanem podjetju v povprečju bolj dvigovale plače ali vrednost prodaje? d) Napovejte povprečno mesečno plačo zaposlenih v oktobru, upoštevajoč povprečno stopnjo rasti plač v prvih petih opazovanih mesecih. Naloga 54 V preglednici so podatki o številu promocijskih akcij novih izdelkov nekega podjetja, po regijah, v nekem časovnem obdobju ter podatki o porabljenih denarnih sredstvih (v d.e.) za te aktivnosti: Regija A B C D E F G Št. promocijskih akcij 21 25 14 17 25 12 18 Porabljena denarna sredstva (v d.e.) 2.314 3.100 2.100 3.000 2.600 1.750 2.950 a) Izračunajte porabljena denarna sredstva na promocijsko akcijo po posameznih regijah in povprečno porabljena denarna sredstva na promocijsko akcijo za vse regije skupaj. b) Izračunajte, v kateri regiji je vrednost porabljenih denarnih sredstev v primerjavi z regijo G najmanjša in koliko odstotkov porabljenih sredstev v tej regiji predstavljajo porabljena sredstva v ostalih regijah. 7 Časovne vrste 39. Naloga 55 V preglednici so podatki o številu izdanih gradbenih dovoljenj na nekem območju: Leto 1 2 3 4 5 6 7 Št. izdanih gradb. dovoljenj 115 224 118 400 350 320 300 a) Za koliko odstotkov se je število izdanih gradbenih dovoljenj v letu 4 razlikovalo od števila v predhodnem letu? Kako imenujemo izračunano vrednost? b) Koliko odstotkov števila izdanih gradbenih dovoljenj iz leta 1 predstavlja število izdanih dovoljenj v letu 7? Kako imenujemo izračunano vrednost? c) Statistično vrsto prikažite grafično. d) V letu 6 je bilo med izdanimi gradbeni dovoljenji 175 dovoljenj za enodružinske hiše, 45 dovoljenj za gradnjo dvojčka, 63 dovoljenj za manjše bloke in 37 dovoljenj za poslovne objekte. Grafično prikažite absolutno in relativno strukturo izdanih gradbenih dovoljenj v letu 6. Naloga 56 V preglednici so podatki o stopnji rasti plač zaposlenih oseb v nekem podjetju. Leto 1 2 3 4 St % / +18,4 +11,7 –9,2 a) Analizirajte, kako so se relativno spreminjale plače glede na leto 2. b) Izračunajte, kolikšne so bile povprečne plače zaposlenih v obravnavanih letih, če je bila plača leta 3 enaka 170,5 d.e. c) Izračunajte in pojasnite povprečno stopnjo rasti plač v obravnavani 4-letni časovni vrsti. d) Napovejte povprečno raven plač zaposlenih v letu 7, če upoštevate povprečno stopnjo rasti v opazovanem obdobju. 40 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 57 Na opazovanem področju smo zabeležili naslednje število nočitev tujih gostov: Leto I–IV V–VIII IX–XII Skupaj 1 1.200 2.500 1.000 4.700 2 1.100 2.600 1.200 4.900 3 1.000 2.800 1.100 4.900 4 1.300 2.500 1.200 5.000 5 1.200 2.700 1.300 5.200 a) Letne podatke, ki prikazujejo skupno letno število nočitev, narišite v linijskem grafikonu, s prostoročno metodo določite osnovno smer razvoja pojava; z analitično metodo določite parametre funkcije; ocenite število nočitev v prvem prihodnjem letu. b) Izračunajte sezonske indekse, upoštevajte oceno za število nočitev v prihodnjem letu na osnovi funkcije trenda (rezultat naloge a) in izračunane sezonske indekse ter predvidite število nočitev po sezonah v prihodnjem letu. Naloga 58 V podjetju, ki se ukvarja s popravilom strojev, načrtujejo stroške v zvezi z njihovim delom. Na osnovi četrtletnih podatkov za 4 zaporedna leta je podjetje izračunalo funkcijo trenda za stroške (t = leto), in sicer: 𝑌𝑌� = 58,5 + 2,1𝑡𝑡 a) Ocenite stroške za prvo prihodnje leto. b) Sezonski indeks za zadnje četrtletje znaša SI4 = 225,5 %. Kaj ta indeks vsebinsko pomeni? c) Ocenite stroške popravil v zadnjem četrtletju prvega prihodnjega leta. Naloga 59 V preglednici so podatki o številu izdanih gradbenih dovoljenj na nekem območju v zadnjih sedmih letih: Leto 1 2 3 4 5 6 7 Št. izdanih gradb. dovoljenj 115 120 118 125 130 125 145 7 Časovne vrste 41. a) Časovno vrsto prikažite grafično in izračunajte koeficiente ustrezne funkcije trenda. b) Kolikšno število izdanih gradbenih dovoljenj lahko pričakujemo leta 8, če upoštevamo osnovno smer razvoja pojava? Naloga 60 Na osnovi letnih podatkov iz zadnjih petih let so v nekem podjetju izračunali enačbo funkcije trenda za število novo zaposlenih po letih: ∧ 0,2 y = 35⋅ t a) Kako imenujemo zgornjo funkcijo? b) Napovejte število novo zaposlenih v šestem zaporednem letu po četrtletjih, če so izračunani sezonski indeksi SI1 = 65, SI2 = 155, SI3 = 160 in SI4 = 20. Kaj vsebinsko pomeni sezonski indeks za zadnje četrtletje? 42 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman 8 Rešitve nalog V tem poglavju prikazujemo rešitve izbranih nalog. Urejanje in prikazovanje podatkov Naloga 2b 30 25 vin 20 15 10 Število trgo 5 0 Gorenjska Goriška Primorska Koroška Pomurska Posavska Zasavska Regija Naloga 2d V tem primeru smo narisali strukturni krog ter strukturni pravokotnik, oboje s programom Excel. 44 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. % VSEH INVESTIRANIH SREDSTEV Zasavska Gorenjska 17% 21% Posavska Goriška 12% 6% Primorska 7% Pomurska 17% Koroška 20% ali Naloga 3 Mesec I. II. III. IV. V. Skupaj Vrednost prodaje (v 103 EUR) 2.600 3.800 4.100 2.900 3.200 16.600 Število zaposlenih trgovskih potnikov 30 75 82 80 90 357 Vrednost prodaje (v 46,50 – povprečna vrednost 103 EUR) na 86,67 50,67 50 36,25 35,56 prodaje na trgovskega trgovskega potnika potnika v obdobju petih mesecev 8 Rešitve nalog 45. Naloga 5b Prikaz stvarne statistične vrste s stolpci. Dodiplomski študij 2500 2110 2000 ovant 1500 omipl 1000 793 Število d 500 243 71 0 Kmetijske vede Medicinske vede Tehniške in Družbene in naravoslovne vede humanistične vede Naloga 6b Zadovoljstvo fk Fk Od 15 do 25 12 12 Od 26 do 35 9 21 Od 36 do 45 9 30 Od 46 do 55 8 38 Od 56 do 65 2 40 Od 66 do 75 2 42 Od 76 do 85 1 43 Od 86 do 95 4 44 46 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 6c Histogram frekvenčne porazdelitve Število zaposlenih 14 12 h 10 eni 8 aposl z 6 4 Število 2 0 Od 15 do 25 Od 26 do 35 Od 36 do 45 Od 46 do 55 Od 56 do 65 Od 66 do 75 Od 76 do 85 Od 86 do 95 Zadovoljstvo zaposlenih na lestvici od 1 do 100 Naloga 7 Število ur študija fk Fk Od 40 do pod 50 25 25 Od 50 do pod 60 50 75 Od 60 do pod 70 100 175 Od 70 do pod 80 75 250 Od 80 do pod 90 40 290 Od 90 do pod 100 10 300 Skupaj 300 Naloga 9c Hitrost v km/h Število osebnih vozil Od 41 do 50 4 Od 51 do 60 25 Od 61 do 70 24 Od 71 do 80 15 Od 81 do 90 2 Skupaj 70 8 Rešitve nalog 47. Naloga 10c, 10d Število zaposlenih fk Fk f%k F%k Od 11 do 40 15 15 15,5 15,5 Od 41 do 55 17 32 17,5 33 Od 56 do 70 23 55 23,7 56,7 Od 71 do 85 25 80 25,8 82,5 Od 86 do 100 17 97 17,5 100 % Skupaj 97 100 % Naloga 11b, 11c Število vozil fk Fk f%k Od 0 do 4 9 9 19,6 Od 5 do 9 15 24 32,7 Od 10 do 14 8 32 17,4 Od 15 do 19 6 38 13 Od 20 do 24 4 42 8,7 Od 25 do 29 2 44 4,3 Od 30 do 34 2 46 4,3 Skupaj 46 100 % Deskriptivna statistika Naloga 13a Podatke najprej uredimo v ranžirno vrsto: yi 22 26 29 30 33 34 38 39 40 41 43 45 Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Organizacija A: Q = Q3 – Q1 = 41 minut – 29 minut = 12 minut Me = 36 minut 50 % zaposlenih na sredini ranžirne vrste se glede na potreben čas za izdelavo izdelka med seboj razlikuje za največ12 minut; 50 % zaposlenih na sredini ranžirne vrste je porabilo več kot 12 pa do največ 41 minut za izdelavo izdelka. 50 % zaposlenih je porabilo do 36 minut za izdelavo izdelka, 50 % zaposlenih pa več kot toliko. 48 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 13b Povprečno porabljen čas za izdelavo enega izdelka: Organizacija A: y = 420 = 35 minut 12 Organizacija B: y = 24124 = 33,05 minut 730 Naloga 13c Organizacija A: VR = 45 – 22 = 23 minut Zaposleni se glede na porabljen čas za izdelavo izdelka med seboj razlikujejo za največ 23 minut. Naloga 13d Varianca in standardni odklon Organizacija A: σ2 = 15266 − 352 = 47,17 minut2 9 σ = 6,87 minut Organizacija B: σ2 = 817296 − 33,052 = 27,51 minut2 730 σ = 5,25 minut Naloga 13e Organizacija A: KV % = 6,87 100 = 19,6 % 35 Organizacija B: KV % = 5,25 100 = 15,9 % 33,05 8 Rešitve nalog 49. Naloga 14b Porazdelitev je asimetrična v desno stran. 80 70 60 kovni 50 40 30 Število sod 20 10 0 od 31 do 60 od 61 do 90 od 91 do 120 od 121 do 180 od 151 do 180 od 181 do 210 Naloga 14c 29260 y = 260 = 112,54 zadev 3815495 σ2 = 260 − 112,542 = 2.010,08 zadev2 σ = 44,83 zadev KV% = 39,83 % Delež standardnega odklona v aritmetični sredini znaša 39,83 %. Naloga 15a Ranžirna vrsta: yi 9 12 16 41 60 80 100 120 150 Q1: mesto v ranžirni vrsti: 2,5. Vrednost: (12 + 16)/2 = 14 (v 102 EUR) Q3: mesto v ranžirni vrsti: 7,5. Vrednost: (100 + 120)/2 = 110 (v 102 EUR) 50 % vlagateljev, ki so vložili srednje velike zneske, je vložilo zneske v višini več kot 14 pa do največ 110 (v 102 EUR). Me = 60 50 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Vlagatelji, ki spadajo med 50 % tistih, ki so vložili najmanjše zneske, so vložili zneske v višini do 60 (v 102 EUR). Naloga 15b Banka X: KV % = 47,90 100 = 73,3 % 65,33 Banka Y: KV % = 2650 100 = 35,2 % 7530 Vlagatelji v banki X se med seboj (in od povprečja) bolj razlikujejo kot pa vlagatelji v banki Y. Naloga 16c y = 23,06 vozil Naloga 16d σ = 11,58 zadev KV % = 50,2 % Naloga 17a KV BDP% = 35 % preb 1,9 KV %preb.−podj.% = 11,25100 = 16,9 % Naloga 17b Podatke uredimo v ranžirno vrsto: Me = 12,34 % ljudi, ki se ukvarjajo s podjetništvom. 8 Rešitve nalog 51. Naloga 18a Me = 2,925 % zmanjšanja stroškov energije Mo – ga ni mogoče opredeliti, saj se vsaka vrednost spremenljivke pojavlja samo enkrat. y = 3,7625 % zmanjšanja stroškov energije Naloga 18b Q1 = 2 % zmanjšanja stroškov energije Q3 = 5,7 % zmanjšanja stroškov energije Q = 3,7 % točk Podjetja, ki ležijo v kvartilnem razmiku, so dosegla % zmanjšanja stroškov energije, ki je večji od 2 % do največ 5,7 %, kar pomeni, da se glede na te spremenljivke podjetja razlikujejo za največ 3,7 %-nih točk. Naloga 18c KV dobiček% = 75 % 2,14 KV % zmanjšanja str.en.% = 3,7625100 = 56,9 % Naloga 19b Podatke uredimo v ranžirno vrsto. Q1 = 50 d.e. Q3 = 850 d.e. 52 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Teoretične porazdelitve Naloga 20a Standardizirana normalna porazdelitev P (1,8 ure < y < 2,75 ure) = H (–0,4) + H (1,5) = 0,1554 + 0,4332 = 0,5886 = 58,86 % Vrednost H (zi) odčitamo iz tabele: Ploščine H(z) za standardizirano normalno porazdelitev. Verjetnost, da je v naključno izbranem gospodinjstvu družinski računalnik v uporabi za igranje igric med 1,8 in 2,75 urami na dan, je enaka 58,86 %. 8 Rešitve nalog 53. Naloga 20b zi = 6; H(6) = 0,5 P(y > 5) = 0,5 – H(6) = 0,5 – 0,5 = 0 Naloga 20c V tem primeru je podana verjetnost: P(y < zi) = 0,25 H(zi) = 0,25 Iz tabele Ploščine H(z) za standardizirano normalno porazdelitev odčitamo vrednost zi: H(–0,67) = 0,2486 = 0,25 yi = −0,67 • 0,5 + 2 = 1,7 ure V 25 % gospodinjstev, kjer je čas uporabe družinskega računalnika za igranje igric najkrajši, je ta čas do 1,7 ure dnevno. Naloga 21a P (23 let < y < 64 let) = H (–1,00) + H (1,94) = 0,3413 + 0,4738 = 0,8151 = 81,51 % 54 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 21b P(y > 50,8 let) = 0,5 – H(1,00) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 = 15,87 % Naloga 21c P(y < yi) = 30 % H(0,52) = 0,1985 = 0,20 yi = −0,52 • 13,9 + 36,9 = 44,13 let Naloga 22a P(y > 195 minut) = 0,5 + H(–0,36) = 0,5 + 0,1406 = 0,6406 = 64,06 % Naloga 22b Ta delež naročnikov pokriva interval (𝑦𝑦 ± 𝜎𝜎) oziroma 220 ± 70. To pomeni, da pri tistih 68,3 % naročnikih, ki ležijo v simetričnem intervalu okoli aritmetične sredine, beležimo od 150 minut pa do 290 minut pogovora na mesec. Enostavna regresijska analiza Naloga 23a Oblika: Linearna oblika Smer med spremenljivkama: Pozitivna smer, kar pomeni, da z naraščanjem investicij v tehnologijo (x) v povprečju narašča ustvarjen dobiček (y). Jakost povezanosti med spremenljivkama: obstaja močna povezanost med odvisno (ustvarjen dobiček) in neodvisno spremenljivko (investicije v tehnologijo). 8 Rešitve nalog 55. Naloga 23b Izračun parametrov regresijske premice: Preden se lotimo izračuna regresijskih koeficientov b0 in b1, izračunamo: Σ xi = 115 + 130 + 140 + 149 + 160 + 171 = 865 Σ x 2 i= 1152 + 1302 + 1402 + 1492 + 1602 + 1712 = 126.767 Σ yi = 328 + 330 + 390 + 361 + 421 + 400 = 2.230 Σ y 2 i= 3282 + 3302 + 3902 + 3612 + 4212 + 4002 = 836.146 Σ xi • yi = (115•328) + (130•330) + (140•390) +…+ (171•400) = 324.769 x = 865 = 144,1667 6 y = 2230 = 371,6667 6 Oba regresijska koeficienta izračunamo po formuli: b1 = (324769) − 6 • 144,1667 • 371,6667 = 1,5887 (126767) −6 •144,16672 b0 = 371,6667 – 1,5887 • 144,1667 = 142,6291 Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = 142,6291 + 1,5887 • xi Pomen regresijskega koeficienta b0: Pri investicijah v tehnologijo x = 0 lahko v povprečju pričakujemo, da bo ustvarjen dobiček podjetja 142,6291 (v 103 EUR). 56 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Pomen regresijskega koeficienta b1: Če se investicije v tehnologijo (x) povečajo za eno enoto (v 106 EUR), se ustvarjen dobiček (y) v povprečju poveča za 1,5887 (v 103 EUR). Naloga 23c x = 180 (v 106 EUR) y� = 142,6291 + 1,5887 • xi y�x=180 = 142,6291 + 1,5887 • 180 y�x=180 = 428,649 (v 103 EUR) Naloga 23d Parameter, na osnovi katerega določimo smer in jakost linearne korelacijske odvisnosti, je korelacijski koeficient. Izračunamo ga po formuli: Izračun sx in sy: s 2 x = 1 • Σ (x 𝑛𝑛−1 i – 𝑥𝑥)2 s 2 x = 1 • [(115–144,1667)2 + (130–144,1667)2 + (140–144,1667)2 +…+ (171–144,1667)2] 5 = 412,5667 sx = �412,5667 = 20,3117 s 2 y = 1 • Σ (y 𝑛𝑛−1 i – ӯ)2 s 2 y = 1 • [(328–371,6667)2 + (330–371,6667)2 + (390–371,6667)2 +…+ (400–371,6667)2] 5 = 1465,8667 sy = �1465,8667 = 38,2866 (Σ xi • yi) – n • x • y = 324769 – 6 • 144,1667 • 371,6667 = 3277,2302 rxy = 3277,2302 = 0,8428 5 • 20,3117 •38,2866 8 Rešitve nalog 57. Na osnovi rezultata (rxy = 0,8428) vidimo, da obstaja močna povezanost med odvisno (ustvarjen dobiček) in neodvisno spremenljivko (investicije v tehnologijo). Smer povezanosti je pozitivna. Naloga 23e Izračunati moramo delež pojasnjene variance v skupni varianci za odvisno spremenljivko (determinacijski koeficient): r 2 xy = 0,84282 = 0,7103 oz. 71,03 % Delež pojasnjene variance v skupni varianci za odvisno spremenljivko znaša 71,03 %. Naloga 23f Standardno napako ocene odvisne spremenljivke izračunamo po formuli: sy,x = �836146 – (142,6291•2230) – (1,5887 • 324769) = 23,036 6–2 Standardna napaka ocene odvisne spremenljivke je različna od 0, kar pomeni, da na ustvarjen dobiček (odvisna spremenljivka) poleg investicij v tehnologijo (neodvisna spremenljivka) vplivajo še druge spremenljivke in slučajni vplivi. Naloga 23g Intervalno oceno izračunamo po formuli: y�x = 428,649 (izračunano pri nalogi c) syx = 23,036 (izračunano pri nalogi f) Upoštevamo, da je pri γ = 95 %, α = 5 %. 58 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun: tn-2;α/2 = t4;0,025 = 2,776 (gledamo tabelo: Kritične vrednosti za t porazdelitev) Upoštevamo, da je popravek h1 enak 0. Izračunamo intervalno oceno: P(428,649 – 2,776 • 23,036 • 1 < y x=180 < 428,649 + 2,776 • 23,036 • 1) = 95 % P(364,701 < yx=180 < 492,597) = 95 % Pri investicijah v tehnologijo x = 180 (v 106 EUR) bo ustvarjen dobiček podjetja med 364,701 EUR in 492,597 (v 103 EUR), kar trdimo s 95 % verjetnostjo. Naloga 24a Σ xi = 27,6 Σ x 2 i= 165,52 Σ yi = 977 Σ y 2 i= 202.483 Σ xi • yi = 5.776 x = 27,6 = 5,52 5 y = 977 = 195,4 5 Izračun regresijskih koeficientov: b1 = (5776) − 5 • 5,52 • 195,4 = 29,083 (165,52) −5 •5,522 Pomen regresijskega koeficienta b1: Če se obrestna mera (x) poveča za eno enoto, se znesek kratkoročnih oblik varčevanja (y) v povprečju poveča za 29,083 d.e. b0 =195,4 – 29,083 • 5,52 = 34,862 8 Rešitve nalog 59. Pomen regresijskega koeficienta b0: Pri obrestni meri x = 0 bi v povprečju znesek kratkoročnih oblik varčevanja znašal 34,862 d.e. Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = 34,862 + 29,083 • xi x = 7 𝑦𝑦�x=7 = 34,862 + 29,083 • xi 𝑦𝑦�x=7 = 34,862 + 29,083 • 7 𝑦𝑦�x=7 = 238,443 Standardno napako ocene odvisne spremenljivke izračunamo po formuli: syx = �202483 – (34,862 • 977) – (29,083 • 5776) = �439,418 = 12,103 5–2 3 Standardna napaka ocene odvisne spremenljivke je različna od 0, kar pomeni, da na znesek kratkoročnih oblik varčevanja (odvisna spremenljivka) poleg različne obrestne mere (neodvisna spremenljivka) vplivajo še druge spremenljivke in slučajni vplivi. Izračun intervalne ocene: 𝑦𝑦�x=7 = 238,443 syx = 12,103 Pri γ = 95 % je α = 5 %. Izračun: tn-2;α/2 = t3;0,025 = 3,182 (gledamo tabelo: Kritične vrednosti za t porazdelitev) Vrednost za h1 izračunamo po formuli: 60 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. h1 = 1 + (7 – 5,52)2 = 1 + 0,1663 = 0,3663 5 165,52– 27,62/5 5 Izračunane vrednosti vstavimo v enačbo: 238,443 ± 3,182 • 12,103 • √1,3663 Intervalna ocena: P(238,443 – 3,182 • 12,103 • 1,169 < y x=7 < 238,443 + 3,182 • 12,103 • 1,169) = 95 % P(193,423 < yx=7 < 283,463) = 95 % S 95%-no verjetnostjo ocenjujemo, da bo pri obrestni meri x = 7 % znesek kratkoročnih oblik varčevanja med 193,423 d.e. in 283,463 d.e. Naloga 26b Σ xi = 319 Σ x 2 i= 26791 Σ yi = 122 Σ y 2 i= 3264 Σ xi • yi = 9012 𝑥𝑥 = 63,8 𝑦𝑦 = 24,4 Izračun regresijskih koeficientov: b1 = (9012) − 5 • 63,8 • 24,4 = 0,191 (26791) −5 •63,82 b0 = 24,4 – 0,191 • 63,8 = 12,214 Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = 12,214 + 0,191 • xi 8 Rešitve nalog 61. Korelacijski koeficient izračunamo po formuli: Izračun sx in sy: s 2 x = 1 • Σ (x 𝑛𝑛−1 i – 𝑥𝑥)2 s 2 x = 1 • [(25–63,8)2 + (46–63,8)2 + (120–63,8)2 +(91–63,8)2 + (37–63,8)2] = 1609,7 4 sx = √1609,7 = 40,121 s 2 y = 1 • Σ (y 𝑛𝑛−1 i – ӯ)2 s 2 y = 1 • [(15–24,4)2 + (17–24,4)2 + (35–24,4)2 +(30–24,4)2 + (25–24,4)2 ] = 71,8 4 sy = √71,8 = 8,473 (𝛴𝛴 𝑥𝑥𝑖𝑖 • 𝑦𝑦𝑖𝑖) – 𝑛𝑛 • 𝑥𝑥 • 𝑦𝑦 = 9012 – 5 • 63,8 • 24,4 = 1228,4 rxy = 1228,4 = 0,903 4 • 40,121 • 8,473 Determinacijski koeficient: r 2 xy = 0,9032 = 0,815 oz. 81,5 % Standardno napako ocene odvisne spremenljivke izračunamo po formuli: syx = �3264 – (12,214 •122) – (0,191 • 9012) = 4,187 5–2 Naloga 26c x = 180 y� = 12,214 + 0,191 • xi y�x=180 = 12,214 + 0,191 • 180 y�x=180 = 46,594 62 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun intervalne ocene: y�x=180 = 46,594 sy,x = 4,187 α = 5 % Izračun: tn-2;α/2 = t3;0,025 = 3,182 (gledamo tabelo: Kritične vrednosti za t porazdelitev) Upoštevamo, da je popravek h1 enak 0. Intervalna ocena: P(46,594 – 3,182 • 4,187 • 1 < y x=180 < 46,594 + 3,182 • 4,187 • 1) = 95 % P(33,271 < yx=180 < 59,917) = 95 % Naloga 27a n = 7 Σ xi = 1.446 Σ x 2 i= 306.990 Σ yi = 1.598 Σ y 2 i= 383.188 Σ xi • yi = 338.827 x = 206,571 y = 228,286 Izračun regresijskih koeficientov: b1 = (338827) − 7 •206,571 • 228,286 = 1,052 (306990) −7 •206,5712 b0 = 228,286 –1,052 • 206,571 = 10,973 Korelacijski koeficient izračunamo po formuli: 8 Rešitve nalog 63. Izračun sx in sy: s 2 x = 1 • Σ (x 𝑛𝑛−1 i – 𝑥𝑥)2 s 2 x = 1 • [(186–206,571)2 + (216–206,571)2 + …+ (174–206,571)2] = 1.381,286 6 sx = √1381,286 = 37,166 s 2 y = 1 • Σ (y 𝑛𝑛−1 i – 𝑦𝑦)2 s 2 y = 1 • [(257–228,286)2 + (260–228,286)2 + …+ (127–228,286)2 ] = 3.064,571 6 sy = �3064,571 = 55,359 (Σ xi • yi) – n • x • y = 338.827 – 7 • 206,571 • 228,286 = 8.726,129 rxy = 8726,129 = 0,707 6 • 37,166 • 55,359 Determinacijski koeficient: r 2 xy = 0,7072 = 49,98 % Naloga 27b Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = 10,973 + 1,052 • xi Naloga 28 Povprečni % zasedenosti je neodvisna spremenljivka x. Cena v dolarjih je odvisna spremenljivka y. Σ xi = 501,2 Σ x 2 i= 36.105,98 Σ yi = 689,91 Σ y 2 i= 74.444,984 Σ xi • yi = 50.210,032 𝑥𝑥 = 71,6 𝑦𝑦 = 98,559 64 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun regresijskih koeficientov: b1 = (50210,032) − 7 • 71,6 • 98,559 = 3,691 (36105,98) −7 •71,62 b0 = 98,559 – 3,691 • 71,6 = – 165,717 Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: 𝑦𝑦� = – 165,717 + 3,691 • xi 𝑦𝑦�x =95 = – 165,717 + 3,691 • 95 𝑦𝑦�x =95 = 516,362 Standardna napaka ocene odvisne spremenljivke: syx = � 74444,984 – ( – 165,717 • 689,91) – (3,691 • 50210,032) = 26,266 7–2 Izračun intervalne ocene: ŷx=95 = 516,362 syx = 26,266 α = 5 % Izračun: tn-2;α/2 = t5;0,025 = 2,571 (gledamo tabelo: Kritične vrednosti za t porazdelitev) Upoštevamo, da je popravek h1 enak 0. 516,362 ± 2,571 • 26,266 • 1 Izračun intervalne ocene: P(516,362 – 2,571 • 26,266 • 1 < y x=95 < 516,362 + 2,571 • 26,266 • 1) = 95 % P(448,832 < yx=95 < 583,892) = 95 % 8 Rešitve nalog 65. Naloga 29 Σ xi = 621 Σ x 2 i= 50.001 Σ yi = 707,2 Σ y 2 i= 63.670,58 Σ xi • yi = 56.233,9 x = 77,625 y = 88,4 Izračun regresijskih koeficientov: b1 = (56233,9) − 8 •77,625 • 88,4 = 0,745 (50001) −8 •77,6252 b0 = 88,4 – 0,745 • 77,625 = 30,569 Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = 30,569 + 0,745 • xi Izračun sx in sy: s 2 x = 1 • Σ (x 𝑛𝑛−1 i – 𝑥𝑥)2 s 2 x = 1 • [(100–77,625)2 + (91–77,625)2 + …+ (60–77,625)2] = 256,554 7 sx = 16,017 s 2 y = 1 • Σ (y 𝑛𝑛−1 i – 𝑦𝑦)2 s 2 y = 1 • [(105,1–88,4)2 + …+ (96–88,4)2 ] = 164,871 7 sy = 12,840 (𝛴𝛴 𝑥𝑥𝑖𝑖 • 𝑦𝑦𝑖𝑖) – 𝑛𝑛 • 𝑥𝑥 • 𝑦𝑦 = 56.233,9 – 8 • 77,625 • 88,4 = 1337,5 rxy = 1337,5 = 0,929 7 • 16,017 • 12,840 Determinacijski koeficient: r 2 xy = 0,9292 = 0,863 oz. 86,3 % 66 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 30a Korelacijski koeficient: rxy = 0,840 Determinacijski koeficient: r 2 xy = 0,706 Standardna napaka ocene odvisne spremenljivke: syx = 11,334 b0 = –8,647 b1 = 0,734 Naloga 30b x = 180 Izračunana regresijska koeficienta vstavimo v enačbo regresijske premice: y� = –8,647 + 0,734 • xi y�x=180 = 59,182 + 0,126 • 180 y�x=180 = 81,862 y�x=180 = 81,862 syx = 11,334 α = 5 % n = 12 (podatki za povprečno letno porabo izdelka A) Izračun: tn-2;α/2 = t10;0,025 = 2,228 (gledamo tabelo: Kritične vrednosti za t porazdelitev) Intervalna ocena: P(81,862 – 2,228 • 11,334 • 1< y x=180 < 81,862 + 2,228 • 11,334 • 1) = 95 % P(56,609 < yx=180 < 107,114) = 95 % 8 Rešitve nalog 67. Osnove vzorčenja Naloga 31 Dvostranski interval za povprečno porabo izdelka v osnovni statistični množici s 95 %- no verjetnostjo: Imamo velik vzorec, ker je n = 200, ter dvostransko intervalno ocenjevanje aritmetične sredine: γ = 95%, α = 5%, z = ± 1,96 Izračunamo standardno napako ocene aritmetične sredine: seӯ = 6,2 / √200 = 0,438 P (Y – z • seӯ < y < 𝑌𝑌 + z • seӯ) = γ P(20,8 – 1,96 • 0,438 < y < 20,8 – 1,96 • 0,438) = 95 % P(19,941 < y < 21,658) = 95 % S 95 %-no verjetnostjo ocenjujemo, da je povprečna poraba izdelka v osnovni statistični množici med 19,941 in 21,658 enot. Naloga 32 n = 625 (velik vzorec) na = 125 α = 20 % → z = ± 1,28 Izračun strukturnega odstotka iz vzorca: n p a = 100 n p = 125 • 100 = 20 % 625 68 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun standardne napake ocene strukturnega odstotka: p(100 − p ) SE = π n seπ = �20(100−20) = 1,6 625 P(p – z • seπ < π < p + z • seπ) = γ P(20 – 1,28 • 1,6 < π < 20 – 1,28 • 1,6) = 80 % P(17,95 < π < 22,05) = 80 % Z 80 %-no verjetnostjo ocenjujemo, da je odstotek (%) nezaposlenih, ki prejemajo plačila na osnovi »dela na črno«, med 17,95 % in 22,05 %. Naloga 33 Število delavcev Število podjetij (fk) Sredina razreda (yk) (yk – 𝐘𝐘)2 Od 1 do 5 3 3 272,25 Od 6 do 10 4 8 132,25 Od 11 do 15 2 13 42,25 Od 16 do 20 1 18 2,25 Od 21 do 25 1 23 12,25 Od 26 do 30 5 28 72,25 Od 31 do 35 2 33 182,25 Od 36 do 40 2 38 342,25 Skupaj 20 Uporabimo formulo za aritmetično sredino iz frekvenčne porazdelitve: Y = 1 • 390 = 19,5 EUR 20 Uporabimo formulo za vzorčno varianco iz frekvenčne porazdelitve: 8 Rešitve nalog 69. s2 = 1 • 2855 = 150,26 EUR2 19 Standardni odklon: s = �150,26 = 12,26 EUR Nato izračunamo standardno napako ocene aritmetične sredine: seӯ = 12,26 / √20 = 2,74 Imamo mali vzorec, ker je n = 20, ter dvostransko intervalno ocenjevanje aritmetične sredine: P(𝑌𝑌 – tn–1; α/2 • seӯ < y < 𝑌𝑌 + tn–1; α/2 • seӯ) = γ P(19,5 – 2,861 • 2,74 < 𝑦𝑦 < 19,5 + 2,861 • 2,74) = 99 % P(11,661 < y < 27,339) = 99 % Z 99 %-no verjetnostjo ocenjujemo, da je povprečno število zaposlenih delavcev v vseh podjetjih te gospodarske panoge med 11,661 in 27,339 zaposlenih delavcev. tn–1; α/2 = t19; 0,005 = 2,861 (gledamo tabelo: Kritična vrednost za t porazdelitev) α/2 = 0,01/2=0,005 (γ = 99 % → α = 1%) Naloga 34 n = 50 Y = 102 s2 = 6,25 → s = 2,5 70 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. seӯ = 2,5 / √50 = 0,35 α = 5% → z = ± 1,96 Zastavimo ničelno in raziskovalno domnevo: H0: ӯD = 100 EUR H1: ӯD ≠ 100 EUR Izračunamo z po formuli (izračun testne vrednosti pri preizkušanju domneve o aritmetični sredini – z-test): z = 102 –100 = 5,71 (vidimo, da dobljeno število ne pade v interval ± 1,96) 0,35 Na osnovi rezultata vidimo, da delavci ne izdelajo povprečno 100 izdelkov v določeni časovni enoti, tako da zavrnemo domnevo H0 in sprejmemo raziskovalno domnevo H1. Naloga 35 α = 1 % → tn–1; α/2 = t4;0,005 = 4,604 (gledamo tabelo: Kritična vrednost za t porazdelitev) Zastavimo ničelno in raziskovalno domnevo: H0: ӯD = 20 cm H1: ӯD ≠ 20 cm seӯ = 0,2 / √5 = 0,089 8 Rešitve nalog 71. Izračunamo t po formuli (izračun testne vrednosti pri preizkušanju domneve o aritmetični sredini – t-test): t = 20,3 –20 = 3,37 (vidimo, da dobljeno število pade v interval ± 4,604) 0,089 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 36 n = 75 (velik vzorec) na = 55 α = 10 % → z = ± 1,645 ¾ vseh kupcev zadovoljnih s kakovostjo izdelka: 75 % Zastavimo ničelno in raziskovalno domnevo: H0: πD = 75 % H1: πD ≠ 75 % Izračun strukturnega odstotka iz vzorca: n p a = 100 n p = 73,33 % Izračun standardne napake ocene strukturnega odstotka: p(100 − p ) SE = π n seπ = 5,106 72 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun testne vrednosti pri preizkušanju domneve o strukturnem deležu – z-test: z = −0,327 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 37 α = 1 % → tn–1; α/2 = t9;0,005 = 3,250 seӯ = 7,906 t = – 0,632 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 38a Velik vzorec; dvostransko intervalno ocenjevanje aritmetične sredine 𝑌𝑌 = 60,515 s = 58,704 seӯ = 3,184 γ = 95 % → α = 5 % → z = ± 1,96 P(60,515 – 1,96 • 3,184 < 𝑦𝑦 < 60,515 + 1,96 • 3,184) = 95 % P(54,274 < y < 66,756) = 95 % Naloga 38b N = 3.648 𝑌𝑌 = 60,515 SEӯ = 3,184 Ocena totala iz vzorca: Ŷ= N • 𝑌𝑌 = 3.648 • 60,515 = 220.758,72 Standardna napaka ocene totala: SEy = N • SEӯ = 3.648 • 3,184 = 11615,232 8 Rešitve nalog 73. Kritična vrednost spremenljivke z = + 1,645 P(220.758,72 – 1,645 • 11.615,232 < Y < 220.758,72 + 1,645 • 11.615,232) = 90 % P(201.651,663 < Y < 239.865,777) = 90 % Naloga 38c Velik vzorec; dvostransko preizkušanje domneve o aritmetični sredini H0: ӯD = 7.500 H1: ӯD ≠ 7.500 Y = 60,515 SEӯ = 3,184 Kritična vrednost spremenljivke z = + 1,645 (α = 0,10) z = –4, 549 Sprejmemo domnevo H1. Naloga 38d Velik vzorec; dvostransko preizkušanje domneve o strukturnem deležu: Zastavimo ničelno in raziskovalno domnevo: H0: πD = 35 % H1: πD ≠ 35 % Kritična vrednost spremenljivke z = + 2,58 (α = 1%) n = 340 na = 92 +41 = 133 p = 39,12 SEπ = 2,65 z = 1,55 Sprejmemo domnevo H0. 74 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Izračun za največ 35 % (enostransko preizkušanje domneve): H0: πD ≤ 35 % H1: πD ˃ 35 % n = 340 na = 92 +41 = 133 p = 39,12 SEπ = 2,65 Kritična vrednost spremenljivke z = + 2,33 z = 1,55 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 38e Velik vzorec; dvostransko preizkušanje domneve o totalu H0: ӯD = 20.000.000 EUR H1: ӯD ≠ 20.000.000 EUR N = 3648 Y = 60,515 s = 58,704 SEӯ = 3,184 Ocena totala iz vzorca: 𝑌𝑌 = 220.758,72 Standardna napaka ocene totala: SEY = 11.615,232 Kritična vrednost spremenljivke z: z = 1,28 (γ = 80% → α = 20 %) Sprejmemo domnevo H1. 8 Rešitve nalog 75. Naloga 39a Mali vzorec; dvostransko ocenjevanje aritmetične sredine γ = 80 % → α = 20 % ӯ = 700 s = 259,808 seӯ = 86,60 Kritična vrednost spremenljivke t8;0,10 = 1,379 P(700 – 1,397 • 86,60 < 𝑦𝑦 < 700 + 1,397 • 86,60) = 80 % P(579,02 < y < 820,98) = 80 % Naloga 39b Y =700 s = 259,808 seӯ = 86,60 N = 2.860 Ocena totala iz vzorca: Ŷ = 2.860 • 700 = 2.002.000 SEY = 2.860 • 86,60 = 247.676 Mali vzorec; dvostransko preizkušanje domneve o totalu H0: ӯD = 1.800.000 EUR H1: ӯD ≠ 1.800.000 EUR Kritična vrednost spremenljivke t: t8;0,05 = ± 1,86 (α = 0,10) t = 0,816 Sprejmemo domnevo H0. 76 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Naloga 40 H0: ӯD = 5.000 EUR H1: ӯD ≠ 5.000 EUR 𝑦𝑦 = 5.200 seӯ = 149,07 s = 894,43 Kritična vrednost spremenljivke z = + 1,645 z = 1,34 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 41 H0: πD = 50 % H1: πD ≠ 50 % Kritična vrednost spremenljivke z = + 1,96 (α = 5 %) n = 250 na = 145 p = 58 seπ = 3,12 z = 2,56 Sprejmemo domnevo H1. Naloga 42a 𝑌𝑌 = 12,5 minut s = 5 minut seӯ = 0,408 γ = 85 % → α = 15 % → z = 1,44 8 Rešitve nalog 77. P(12,5 – 1,44 • 0,408 < y < 12,5 + 1,44 • 0,408) = 85 % P(11,91 < y < 13,09) = 85 % Naloga 42b 𝑌𝑌 = 12,5 minut seӯ = 0,408 H0: ӯD = 10 minut H1: ӯD ≠ 10 minut Kritična vrednost spremenljivke z = + 2,58 (α = 1 %) z = 6,13 Sprejmemo domnevo H1. Naloga 43 n = 6 (mali vzorec) α = 5 % Y = 32,83 s = 23,19 seӯ = 9,467 t5;0,025 = 2,571 (α = 0,05) P(32,83 – 2,571 • 9,467 < y < 32,83 + 2,571 • 9,467) = 95 % P(8,490 < y < 57,169) = 95 % Naloga 44 Y = 68.750 s = 460 γ = 95 % → α=5 % → z = + 1,96 seӯ = 72,73 78 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. P(68.750 – 1,96 • 72,73 < y < 68.750 + 1,96 • 72,73) = 95 % P(68.607,75 < y < 68.892,55) = 95 % Naloga 45 n = 7 (mali vzorec) α = 5 % Y = 4.500 s = 1.200 seӯ = 453,56 t6;0,025 = 2,447 (α = 0,05) P(4.500 – 2,447 • 453,56 < y < 4.500 + 2,447 • 453,56) = 95 % P(3.390,14 < y < 5.609,86) = 95 % Naloga 46 Y = 20,5 s = 1,9 seӯ = 0,95 H0: ӯD = 22 miligramov H1: ӯD ≠ 22 miligramov Kritična vrednost spremenljivke t: t3;0,025 = ± 3,182 (α = 0,05) t = – 1,58 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 47a Y = 223,2 s = 28,665 seӯ = 12,819 z = ± 1,96 8 Rešitve nalog 79. P(223,2 – 1,96 • 12,819 < y < 223,2 + 1,96 • 12,819) = 95 % P(198,075 < y < 248,325) = 95 % Naloga 47b H0: ӯD ≥ 220 H1: ӯD < 220 Kritična vrednost spremenljivke z = –1,28 (α = 10 %) z = 0,249 Sprejmemo domnevo H0. Naloga 48a n = 7 (mali vzorec) γ = 80 % → α = 20 % → t6;0,10 = 1,440 Y = 27,286 s = 37,622 seӯ = 14,219 P(27,286 – 1,440 • 14,219 < y < 27,286 – 1,440 • 14,219) = 80 % P(6,811 < y < 47,761) = 80 % Naloga 48b Enostransko preizkušanje domneve: α = 5 % → tn–1; α = t6;0,05 = + 1,943 (Kritična vrednost spremenljivke t.) H0: ӯD ≤ 30 H1: ӯD ˃ 30 seӯ = 14,219 t = – 0,191 Sprejmemo domnevo H0. 80 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Časovne vrste Naloga 50a Leto Živorojeni It/3 v % Vt 1 1,94 103,7 / 2 1,89 101,1 97,4 3 1,87 100 98,9 4 1,82 97,3 97,3 5 1,78 95,2 97,8 6 1,75 93,6 98,3 7 1,81 96,8 103,4 Naloga 50b Leto Srednje štev. preb. (30.6.) Živorojeni Koeficient natalitete Umrli Koeficient mortalitete 1 198 1,94 9,8 1,93 9,7 2 198 1,89 9,5 1,89 9,5 3 199 1,87 9,4 1,86 9,4 4 198 1,82 9,2 1,89 9,5 5 198 1,78 9,0 1,90 9,6 6 198 1,75 8,8 1,88 8,8 7 199 1,81 9,1 1,85 9,3 Koeficient natalitete meri število živorojenih na 1000 prebivalcev, koeficient mortalitete pa število mrtvih na 1000 prebivalcev. Naloga 51a, 51b, 51c Leto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 St% / +18,0 –2,1 +2,7 +2,5 +2,5 –5,0 +7,0 –5,8 Vt / 118 97,9 102,7 102,5 102,5 95 107 94,2 Kt / 1,18 0,979 1,027 1,025 1,025 0,95 1,07 0,942 It/4 84,3 99,5 97,4 100 102,5 105,1 99,8 106,8 100,6 Yt (v kg) 71,2 84 82,3 84,5 86,6 88,8 84,3 90,2 85,0 Naloga 52 Mesec I II III IV V Vrednost proizvodnje v 106 EUR 652 730 840 752 – Štev. zaposlenih na začetku meseca 214 240 226 208 200 Štev. zaposlenih na sredini meseca 227 233 217 204 – 8 Rešitve nalog 81. Za izračun tega statističnega koeficienta je potrebno najprej uskladiti razmični podatek (vrednost proizvodnje) ter trenutni podatek (število zaposlenih), tako da opredelimo število zaposlenih na sredini meseca (izračunamo aritmetično sredino števila zaposlenih na začetku meseca in na koncu meseca (oziroma na začetku sledečega meseca), kar je prikazano v 3. vrstici tabele. Povprečni statistični koeficient – povprečna vrednost proizvodnje na 10 zaposlenih – za opazovano obdobje je enak (v 106 EUR): 652 + 730 + 840 + 752 K = 227 + 233 + 217 + 20410 = 33,76 Naloga 53a Mesec I. II. III. IV. V. Povprečna mesečna plača zaposlenih (v d.e.) 2.600 2.800 3.100 2.900 3.200 Povprečna mesečna plača zaposlenih – It/V (v %) 81,25 87,5 96,9 90,6 100 Naloga 53b Mesec I. II. III. IV. V. Mesečna stopnja rasti vrednosti prodaje St % – +15 –10 +8 –12 Mesečna stopnja rasti vrednosti prodaje Kt – 1,15 0,90 1,08 0,88 Mesečna stopnja rasti vrednosti prodaje – It/I (v %) 100 115 103,5 111,8 98,4 Naloga 53c Povprečna mesečna plača zaposlenih K = � 4 3200 = 1,053 2600 S = +5,3 % 82 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Vrednost prodaje: K = � 4 98,4 = 0,9960 100 S = –0,4 % V opazovanem obdobju so povprečne plače naraščale povprečno za 5,3 % na mesec, vrednost proizvodnje pa se je v povprečju zmanjševala za 0,4 % mesečno. Naloga 53d Napoved povprečne mesečne plače za oktober (v d.e.): 𝑌𝑌𝑡𝑡 = 3200 ∗ 1,0535 = 4.142,8 Naloga 54a Regija A B C D E F G Št. promocijskih akcij 21 25 14 17 25 12 18 Porabljena denarna sredstva (v d.e.) 2.314 3.100 2.100 3.000 2.600 1.750 2.950 Porabljena denarna sredstva (v d.e.) na 110,19 124 150 176,47 104 145,83 163,89 promocijsko akcijo Povprečno porabljena denarna sredstva na promocijsko akcijo za vse regije skupaj (v d.e.): 17814 K = 132 = 134,95 Naloga 54b Regija A B C D E F G Porabljena denarna sredstva (v d.e.) 2.314 3.100 2.100 3.000 2.600 1.750 2.950 Porabljena denarna sredstva (v d.e.) v primerjavi z regijo G 78,44 105,08 71,19 101,69 88,14 59,32 100 (v %) V primerjavi z regijo G je najmanjša vrednost porabljenih denarnih sredstev dosežena v regiji F. 8 Rešitve nalog 83. Naloga 55a Verižni indeks za 4. časovno enoto, v %: 400 𝑉𝑉4 = 118100 = 338,98 Naloga 55b Indeks z osnovo 1, za 7. časovno enoto:, v % 300 𝐼𝐼7/1 = 115100 = 260,87 Naloga 56a, 56b Leto 1 2 3 4 St (v %) / +18,4 +11,7 –9,2 Kt / 1,184 1,117 0,908 It/2 (v %) 84,46 100 111,7 101,42 Yt 128,92 152,64 170,5 154,81 Naloga 56c K = � 3 101,42 = 1,063 84,46 Napoved za 7. časovno enoto, v d.e.: Y7 = 154,81 ∗ 1,0633 = 185,90 Naloga 57a Sistem normalnih enačb za izračun funkcije trenda: 5a + 15b = 24.700 15a + 55b = 75.200 Funkcija trenda: Y� = 4610 + 110t 84 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Napoved za število nočitev za 6. leto: Yt�=4610+110∗6=5.270 Naloga 57b Leto I–IV V–VIII IX–XII SKUPAJ 1 1.200 2.500 1.000 4.700 2 1.100 2.600 1.200 4.900 3 1.000 2.800 1.100 4.900 4 1.300 2.500 1.200 5.000 5 1.200 2.700 1.300 5.200 Skupaj 5.800 1.3100 5.800 24.700 Povprečno 4-mesečno število nočitev v obdobju petih let: 24700/3 = 8.233,3 nočitev. 5800 SI1 = 8233,3100 = 70,4 % 13100 𝑆𝑆I2 = 8233,3100 = 159,2 % 5800 SI3 = 8233,3100 = 70,4 % Povprečno 4-mesečno število nočitev v 6. letu: 5270/3 = 1.756,6. Napoved po 4-mesečjih za 6. leto: 𝑌𝑌�𝐼𝐼−𝐼𝐼𝐼𝐼;6.𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡𝑙𝑙 = 0,704 ∗ 1.756,6 = 1.236,7 𝑌𝑌�𝐼𝐼−𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼;6.𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡𝑙𝑙 = 1,592 ∗ 1.756,6 = 2.796,6 𝑌𝑌�𝐼𝐼𝐼𝐼−𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼;6.𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡𝑙𝑙 = 0,704 ∗ 1.756,6 = 1.236,7 Naloga 58a Ocena stroškov za prihodnje leto, v d.e. Y�5 = 58,5 + 2,1 ∗ 5 = 69 Naloga 58c Povprečni četrtletni stroški za 5. leto: 69/4 = 17,25 d.e. Ocena stroškov za 4. četrtletje, 5. leto, v d.e.: 8 Rešitve nalog 85. Y�4,četrtletje,5.leto = 2,255 ∗ 17,25 = 38,90 Naloga 59a Y�t = 109,43 + 4 ∗ t Naloga 59b Napoved za 8. leto, za število izdanih gradbenih dovoljenj: Y�t = 109,43 + 4 ∗ 8 = 141,43 Naloga 60b Napoved za število novo zaposlenih za 6. leto: Y�6 = 35 ∗ 60,2 = 50,08 Napoved po četrtletjih za število novo zaposlenih za 6. leto Povprečna četrtletna vrednost za število novo zaposlenih za 6. leto: 50,08/4 = 12,52 Y�1.četrtletje,6.leto; = 0,65 ∗ 12,52 = 8,1 Y�2.četrtletje,6.leto; = 1,55 ∗ 12,52 = 19,4 Y�3.četrtletje,6.leto; = 1,60 ∗ 12,52 = 20,0 Y�4.četrtletje,6.leto; = 0,20 ∗ 12,52 = 2,5 86 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman Tabele Ploščine H(z) za standardizirano normalno porazdelitev y y z − = σ z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0.0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4014 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 3,5 0,4997 4,0 0,4999 Primer: Za z = 1,96 iz preglednice odčitamo površino 0,4750. (Vir: Artenjak, 2000) 88 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. Kritične vrednosti za t porazdelitev (Vir: Artenjak, 2000) Y yD t − = SE y Prostostne stopinje 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 2,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA P. Tominc in M. Rožman Literatura in viri Artenjak, J. (2000). Poslovna statistika. Maribor: Ekonomsko – poslovna fakulteta. Agresti, A., Finlay, B. (2009). Statistical methods for the Social sciences. Boston: Pearson. Brockwell, P. J., Davis, R. A. (2016). Introduction to Time Series and Forecasting, Springer Nature. Ghauri, P., Grønhaug, K., Strange, R. (2020). Research Methods in Business Studies. United Kingdom: University Printing House. Heumann, C., Schomaker, M., Shalabh, S. (2016). Introduction to Statistics and Data Analysis. Singapore: Springer. Holmes, A., Illowsky, B., Dean, S. (2018). Introductory Business Statistics.Houston: Rice University. Leskovar Špacapan, G., Tominc, P. (2008). Učno gradivo pri predmetu Statistika, naloge za delo na vajah in samostojno delo, interno gradivo. Maribor: EPF. Mišić, E. (2019). Indeksna števila. RS: Statistični urad. Sakaran, U., Bougie, R. (2016). Research Methods for Business, A Skil -Building Approach, 7th Ed.United Kingdom: John Wiley & Sons. Tabachnick, B. G., Fidell, L. S. (2013). Using multivariate statistics. Boston: Pearson. Tominc, P. (2016). Statistika (2. del predmeta). Učno gradivo pri predmetu Statistika (2. del predmeta), interno gradivo. Maribor: EPF. Tominc, P., Kramberger, T. (2007). Statistične metode v logistiki. Celje: UM Fakulteta za logistiko. 90 STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA. STATISTIKA: GRADIVA ZA SEMINARSKE VAJE ZA 2. DEL PREDMETA POLONA TOMINC IN MAJA ROŽMAN Univerza v Mariboru, Ekonomsko-poslovna fakulteta, Maribor, Slovenija. E-pošta: polona.tominc@um.si. maja.rozman@um.si Ključne besede: Povzetek Predmet Statistika (2. del predmeta), za katerega je urejanje in namenjena ta zbirka vaj, je pomemben za to, da študenti razvijejo prikazovanje podatkov, sposobnost razumevanja informacij v podatkih. Gradivo obravnava deskriptivna naslednje vsebinske sklope: prikazovanje podatkov v tabelah in grafih, statistika, enostavna relativna števila, mere centralne tendence, mere variabilnosti, asimetrije regresijska in sploščenosti, intervalno ocenjevanje vrednosti statističnih analiza, parametrov in osnove preizkušanja domnev o statističnih parametrih, osnove vzorčenja, osnove enostavne regresije ter osnove analize in napovedovanja časovne vrednosti v časovnih vrstah. vrste DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-546-7 ISBN 978-961-286-546-7 STATISTICS: SEMINAR TUTORIALS FOR THE 2ND PART OF THE COURSE POLONA TOMINC & MAJA ROŽMAN University of Maribor, Faculty of Economics and Business, Maribor, Slovenia. E-mail: polona.tominc@um.si. maja.rozman@um.si Keywords: Abstract The course Statistics (the second part of the course), for data which this collection of exercises/tutorials is intended, is important for visualisation, students to develop the ability to understand the information in data. descriptive statistics, These tutorials contain the fol owing chapters: data visualisation using simple tables and graphs, relative numbers, measures of central tendency, regression analysis, measures of dispersion, skewness and kurtosis, confidence intervals for basics of statistical parameters and the basis of hypothesis testing of statistical sampling, parameters, basics of simple regression and basics of time series time series analysis and forecasting. DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-546-7 ISBN 978-961-286-546-7 Document Outline 1 Uvod 2 Urejanje in prikazovanje podatkov Naloga 1 Naloga 2 Naloga 3 Naloga 4 Naloga 5 Naloga 6 Naloga 7 Naloga 8 Naloga 9 Naloga 10 Naloga 11 3 Deskriptivna statistika Naloga 12 Naloga 13 Naloga 14 Naloga 15 Naloga 16 Naloga 17 Naloga 18 Naloga 19 4 Teoretične porazdelitve Naloga 20 Naloga 21 Naloga 22 5 Enostavna regresijska analiza Naloga 23 Naloga 24 Naloga 25 Naloga 26 Naloga 27 Naloga 28 Naloga 29 Naloga 30 6 Osnove vzorčenja Naloga 31 Naloga 32 Naloga 33 Naloga 34 Naloga 35 Naloga 36 Naloga 37 Naloga 38 Naloga 39 Naloga 40 Naloga 41 Naloga 42 Naloga 43 Naloga 44 Naloga 45 Naloga 46 Naloga 47 Naloga 48 7 Časovne vrste Naloga 49 Naloga 50 Naloga 51 Naloga 52 Naloga 53 Naloga 54 Naloga 55 Naloga 56 Naloga 57 Naloga 58 Naloga 59 Naloga 60 8 Rešitve nalog Urejanje in prikazovanje podatkov Deskriptivna statistika Teoretične porazdelitve Enostavna regresijska analiza Osnove vzorčenja Časovne vrste Naloga 2b Naloga 2d Naloga 3 Naloga 5b Naloga 6b Naloga 6c Naloga 7 Naloga 9c Naloga 10c, 10d Naloga 11b, 11c Naloga 13a Naloga 13b Naloga 13c Naloga 13d Naloga 13e Naloga 14b Naloga 14c Naloga 15a Naloga 15b Naloga 16c Naloga 16d Naloga 17a Naloga 17b Naloga 18a Naloga 18b Naloga 18c Naloga 19b Naloga 20a Naloga 20b Naloga 20c Naloga 21a Naloga 21b Naloga 21c Naloga 22a Naloga 22b Naloga 23a Naloga 23b Naloga 23c Naloga 23d Naloga 23e Naloga 23f Naloga 23g Naloga 24a Naloga 26b Naloga 26c Naloga 27a Naloga 27b Naloga 28 Naloga 29 Naloga 30a Naloga 30b Naloga 31 Naloga 32 Naloga 33 Naloga 34 Naloga 35 Naloga 36 Naloga 37 Naloga 38a Naloga 38b Naloga 38c Naloga 38d Naloga 38e Naloga 39a Naloga 39b Naloga 40 Naloga 41 Naloga 42a Naloga 42b Naloga 43 Naloga 44 Naloga 45 Naloga 46 Naloga 47a Naloga 47b Naloga 48a Naloga 48b Naloga 50a Naloga 50b Naloga 51a, 51b, 51c Naloga 52 Naloga 53a Naloga 53b Naloga 53c Naloga 53d Naloga 54a Naloga 54b Naloga 55a Naloga 55b Naloga 56a, 56b Naloga 56c Naloga 57a Naloga 57b Naloga 58a Naloga 58c Naloga 59a Naloga 59b Naloga 60b Tabele Ploščine H(z) za standardizirano normalno porazdelitev Kritične vrednosti za t porazdelitev Literatura in viri