Fizika v šoli 19 (2013) 2 85 VPLIV VELIKOSTI IN SMERI ZAČETNE HITROSTI NA NATANČNOST DOMETA Tadej Emeršič 1 in Vladimir Grubelnik 2 1 Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru 2 Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru Povzetek – V prispevku obravnavamo vpliv začetne hitrosti različnih tipov žog na natančnost dometa. Primer je aktualen pri različnih igrah z žogo, kjer želimo zadeti določeno območje v igrišču. Ob upoštevanju zračnega upora pokažemo, da določe- na relativna sprememba velikosti začetne hitrosti pri večjih začetnih kotih meta pov- zroči manjšo spremembo želenega dometa. Za določeno območje dometa predsta- vimo tudi možne relativne spremembe smeri začetne hitrosti v odvisnosti od velikosti začetne hitrosti. Abstract – In the paper, we are considering how the initial velocity of different balls affects the precision of the range. The case is actual for various games with the ball, where the goal is to hit the certain zone. We demonstrate, including the air resistance, that certain relative change in initial speed for bigger angles of elevation causes lesser change of desired range. For certain zone of the range, we show the possible relative changes in the direction of initial velocity with regard to its speed. 1 UVOD Poševni met nam je dobro poznan iz vsakdanjega življenja. Z njegovim fizikalno-ma- tematičnim opisom, brez upoštevanja zračnega upora, se srečamo v srednji šoli pri po- uku fizike [1]. O poševnem metu najdemo tudi veliko prispevkov. Avtorji so pokazali, da je met brez upoštevanja zračnega upora ter z upoštevanjem linearnega zračnega upora analitično rešljiv [2, 3]. V primeru upoštevanja kvadratnega zakona upora, kjer imamo sistem nelinearnih diferencialnih enačb, pa je sistem analitično rešljiv samo ob določe- nih predpostavkah [4, 5], kot je na primer kratek čas leta [5]. Narejene so bile različne analize, kot so čas leta, domet, maksimalna višina itd. V praksi je poševni met raziskan predvsem na področju športa, še posebej iger z žogo [6, 7]. V prispevku se osredotočimo na vpliv velikosti in smeri začetne hitrosti leta različnih tipov žog na natančnost dometa. Obravnavamo poševni met s kvadratnim zakonom upo- ra, saj ta najbolje opiše tire gibanj pri različnih igrah z žogo. Vpliv različnih žog obravnava- mo tako, da upoštevamo različne koeficiente zračnega upora. Na začetku predstavimo matematični model in nekaj primerov koeficientov upora za različne žoge. Nato podamo analitične rezultate za primer, ko lahko upor zanemarimo. V Fizika v šoli 19 (2013) 2 86 nadaljevanju pa se posebej osredotočimo na vpliv zračnega upora. Podamo numerične rezultate vpliva začetne hitrosti meta različnih tipov žog na natančnost dometa. Posebej obravnavamo vpliv velikosti hitrosti in vpliv začetnega kota leta. Primer je aktualen pri raz- ličnih igrah z žogo, kjer želimo z žogo zadeti določeno območje v igrišču. 2 MATEMATIČNI MODEL Obravnavamo tir gibanja žoge, ki je posledica delovanja zunanjih sil na telo, začetne lege (x 0 , y 0 ) in začetne hitrosti v 0 . V našem primeru postavimo začetek leta v koordinatno izhodišče (x 0 = 0, y 0 = 0) ter obravnavamo gibanje žoge pod vplivom teže F g in sile upora F u (slika 1). Uporabimo kvadratni zakon upora in upoštevamo, da deluje sila upora F u v nasprotni smeri gibanja žoge: F u = –k u v 2 v , (1) kjer je k u koeficient zračnega upora in v enotski vektor v smeri hitrosti. Za različne tipe žog (različne k u ) proučujemo vpliv velikosti začetne hitrosti v 0 in začetnega kota leta 0 na domet žoge. Zanima nas, pri katerih pogojih zadenemo določeno območje na vo- doravni podlagi (D min < D < D max ), ki se nahaja na začetni višini leta y = 0 (slika 1). Slika 1: Gibanje žoge pod vplivom zunanjih sil pri poševnem metu z upoštevanjem zračnega upora. Zapišemo drugi Newtonov zakon gibanja v posamezni smeri: ma x = – F u,x , ma y = –F g – F u,y , (2a, b) pri čemer je F g = mg, , in v = . Enačbi 2a in 2b nekoliko preuredimo in zapišemo pospešek v posamezni smeri: a x = –kv x v, a y = –kv y v – g, (3a, b) pri čemer je [5]. V tabeli 1 so podane vrednosti konstante k za nekaj tipov žog, ki jih uporabljamo pri različnih športih. Pri tem upoštevamo, da je k u = cSρ / 2, kjer je gostota zraka ρ = 1,3 kg/m 3 , c = 0,5 in S prečni presek posamezne žoge [1]. Fizika v šoli 19 (2013) 2 87 Tabela 1. Izračunane vrednosti koeficientov k za različne tipe žog. vrsta žoge m [g] S [10 3 mm 2 ] k u [10 -3 kg m -1 ] k [m -1 ] namizni tenis 3 1,3 0,4 0,14 golf 46 1,4 0,5 0,01 tenis 58 14 4,6 0,08 košarka 660 46 15,0 0,02 nogomet 410 37 12,0 0,03 rokomet 425 29 9,4 0,02 odbojka 260 34 11,0 0,04 Ob upoštevanju začetnih pogojev (v x (0) = v 0 cos 0 , v y (0) = v 0 sin 0 , x(0) = 0, y(0) = 0) ter enačb 3a in 3b lahko iz pospeškov in hitrosti: a x = dv x / dt, a y = dv y / dt, (4a, b) v x = dx / dt, v y = dy / dt, (5a, b) določimo tir gibanja x(t) in y(t), kar bomo podrobneje predstavili v nadaljevanju. 3 REZULTATI Predstavljeni so rezultati matematičnega modela (enačbe 4a, b in 5a, b). Proučuje- mo vpliv velikosti hitrosti v 0 in vpliv kota 0 na domet žoge pri različnih vrednostih konstan- te k (tabela 1). Najprej obravnavajmo primer, ko lahko vpliv zračnega upora zanemarimo. V enačbah 3a in 3b predpostavimo, da je k = 0. Iz poenostavljenega modela lahko s pomočjo enačb 4a, b in 5a, b zapišemo tir gibanja, ki je v tem primeru parabola: . (6) Ob upoštevanju, da iščemo domet D na višini y = 0, enačbo 6 izenačimo z nič in izrazimo x = D: . (7) Iz enačbe 7 vidimo, da je domet odvisen od velikosti hitrosti v 0 in kota 0 . Na sliki 2a je prikazano, kako je pri določenem dometu velikost hitrosti pogojena s kotom 0 : . (8) Iz enačbe 8 in slike 2a (črtkana črta) vidimo, da je pri kotu 0 = 45° potrebna najmanj- ša hitrost v 0 , da dosežemo določen domet. Fizika v šoli 19 (2013) 2 88 V nadaljevanju si poglejmo primer, ko zračni upor ni več zanemarljiv. Primer rešimo numerično s preprosto Eulerjevo metodo [8], kjer ob upoštevanju enačb 3a, b zapišemo enačbe 4a, b in 5a, b v diferenčni obliki: x i+1 = x i + v x t, y i+1 = y i + v y t, (9a, b) v x,i+1 = v x,i – kv x v t, v y,i+1 = v y,i – (kv y v + g) t. (10a, b) Za simulacijo enačb (9a, b in 10a, b) lahko uporabimo tabelarično orientirane raču- nalniške programe, kot je Microsoft Excel, ki z vnosom enačb omogoča izračun posamez- nih vrednosti po časovnih korakih t v obliki tabele. Za različne vrednosti konstante k so rezultati prikazani na slikah 2a–d. Iz slik je raz- vidno, da z večanjem vpliva upora potrebujemo večje hitrosti, da dosežemo določeno razdaljo. Kot, pri katerem lahko z najmanjšo hitrostjo v 0 * dosežemo želeno razdaljo, se z večanjem vpliva upora in z velikostjo dometa manjša ( 0 < 45°, slika 2b–d, črtkana črta). V kolikor je velikost hitrosti večja od minimalne (v 0 > v 0 * ), lahko želeni domet doseže- mo pri dveh različnih kotih ( 0,I in 0,II ). V primeru, ko smo upor zanemarili (slika 2a), gre za popolnoma simetričen problem. Domet je namreč enak, ko je sin(2 0,I ) = sin(2 0,II ) (glej enačbo 7). Oglejmo si še, v katerih mejah mora biti velikost hitrosti v 0 in kota 0 , da dosežemo želeno območje dometa D min < D < D max . Kot primer je na sliki 2 sivo obarvano območje, ki določa velikost hitrosti in kota, da dosežemo območje dometa 10 m < D < 15 m. Raz- beremo lahko, da je pri določeni velikosti hitrosti v 0 mogoče precejšnje odstopanje v kotu 0 . Z večanjem vpliva upora opazimo tudi (slika 2d), da je pri večjih kotih 0,II v primerjavi z manjšimi koti 0,I možno večje odstopanje v velikosti začetne hitrosti v 0 . Natančneje si bomo to ogledali v nadaljevanju, ko bomo ločeno obravnavali vpliv spremembe velikosti in smeri začetne hitrosti na domet. Proučili bomo vpliv spremembe velikosti hitrosti v 0 in kota 0 na spremembo dometa. Zanima nas relativno povečanje velikosti hitrosti: r v = (v o,max – v o,min ) / v 0,min (11) in relativno povečanje kota 0, : r = ( o,max – o,min ) / 0,min , (12) ki povzroči povečanje dometa iz D min na D max . Rezultate bomo prikazali za sivo obar- vano območje na sliki 2 (10 m < D < 15 m). Pri tem hitrost v 0,min pri določenem kotu 0 določa domet D min , hitrost v 0,max pa domet D max . Podobno 0,min pri določeni velikosti hitrosti določa domet D min in 0,max domet D max . Slika 3 prikazuje rezultate za različne vplive upora. V primeru zanemarljivega upora (k = 0) je relativno povečanje začetne hitrosti neodvisno od njene smeri. V primeru vpliva zračnega upora (k > 0) pa se relativno povečanje hitrosti povečuje z večanjem kota 0 (slika 3a). Določena relativna sprememba velikosti začetne hitrosti v 0 ima torej pri večjih kotih 0 manjši vpliv na spremembo dometa. Učinek je izrazitejši pri večji vrednosti koeficienta k. Fizika v šoli 19 (2013) 2 89 Slika 2. Velikosti hitrosti v 0 v odvisnosti od kota 0 za različne vrednosti dometa D. Krivulje označujejo določen domet, ki se veča po koraku 5 m. Sivo območje označuje pogoje, pri katerih je domet 10 m < D < 15 m. Črtkana črta označuje kot 0 , pri katerem je potrebna najmanjša hitrost v 0 * , da dosežemo določen domet. a) k = 0 m -1 , b) k = 0,02 m -1 , c) k = 0,05 m -1 , d) k = 0,1 m -1 . Iz rezultatov relativne spremembe kota (r ) v odvisnosti od velikosti hitrosti v 0 vidimo (slika 3b), da obstaja optimalna hitrost, pri kateri je možna največja relativna sprememba kota. Gre za najmanjšo hitrost pri dometu D max (v * 0,max ). Relativna sprememba kota torej narašča z večanjem hitrosti od v * 0,min do v * 0,max . Z nadaljnjim večanjem hitrosti nastaneta dve območji kotov (I in II), ki omogočata željen domet (slika 2d). Iz slike 3b vidimo, da območje I zaradi manjših kotov omogoča večjo relativno spremembo r kot območje II, čeprav so pri določeni hitrosti v območju II možne večje absolutne spremembe kotov (glej sliko 2d). Ob možni natančni določitvi velikosti začetne hitrosti je torej najbolje iz- brati v * 0,max , saj ta omogoča največja odstopanja v kotih tako v relativnem kot absolutnem smislu. Fizika v šoli 19 (2013) 2 90 4 ZAKLJUČEK V prispevku smo proučili vpliv spremembe velikosti in smeri začetne hitrosti leta raz- ličnih tipov žog na natančnost dometa. Rezultate smo prikazali za različne vplive upora, kar je aktualno pri različnih igrah z žogo, kjer želimo zadeti določeno območje v igrišču. Ugotovili smo, da relativno povečanje začetne hitrosti neodvisno od njene smeri povzroči enake spremembe v dometu, če je zračni upor med letom zanemarljiv. Ob upoštevanju zračnega upora pa smo pokazali, da določena relativna sprememba velikosti začetne hitrosti pri večjih začetnih kotih leta povzroči manjšo spremembo dometa. Pokazali smo tudi, da obstaja optimalna hitrost, pri kateri je možno največje odstopanje v smeri začetne hitrosti. V primeru, ko lahko natančno določimo začetno hitrost, je najbolje izbrati naj- manjšo hitrost, ki je potrebna, da dosežemo oddaljen del želenega območja dometa, saj so v tem primeru lahko odstopanja v smeri začetne hitrosti največja. Predstavljeni rezultati dokaj realno opisujejo razmere pri letu žoge in jih lahko s pridom uporabimo pri različnih igrah z žogo. Slika 3. Relativne spremembe velikosti hitrosti v 0 (r v ) in kota 0 (r ) za sivo obarvano območje na sliki 2 (10 m < D < 15 m). a) Relativna sprememba velikosti hitrosti v 0 v odvisnosti od kota 0 . b) Relativna sprememba kota 0 v odvisnosti od velikosti hitrosti v 0 . Fizika v šoli 19 (2013) 2 91 VIRI: [1] R. Kladnik, Fizika za srednješolce. 1, Gibanje, sila, snov. Ljubljana: DZS, 2008. [2] P. J. Brancazio, „Trajectory of a fly ball,“ The Physics Teacher, vol. 23, pp. 20–23, 1985. [3] R. Borghi, „Trajectory of a body in a resistant medium: an elementary derivation,“ European Journal of Physics, vol. 34, p. 359, 2013. [4] P . S. Chudinov, „The motion of a point mass in a medium with a square law of drag,“ Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 65, pp. 421–426, // 2001. [5] G. W. Parker, „Projectile motion with air resistance quadratic in the speed,“ Ameri- can Journal of Physics, vol. 45, pp. 606–610, 07/00/ 1977 . [6] J. Gablonsky and A. Lang, „Modeling Basketball Free Throws,“ SIAM Review, vol. 47, pp. 775–798, 2005. [7] A. Tan and G. Miller, „Kinematics of the free throw in basketball,“ American Journal of Physics, vol. 49, pp. 542–544, 1981. [8] Z. Bohte, Numerične metode. Ljubljana: DZS, 1976.