i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 193 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995, 374 strani. Sijajno komponirana knjiga predstavi postopen razvoj idej analize od začetnih po- gumnih, a nezadostno doka- zanih metod računanja z ne- skončno majhnimi količinami prek postopnega izčǐsčevanja pojmov ob pomembnih pro- blemih, primerih in protipri- merih do formulacije njenih načel v strogi obliki in razši- ritve njenega dometa na pro- bleme z več spremenljivkami. Številni originalni citati in primeri nalog tvorcev analize (Eulerja, Newtona, Bernoul- lijev itd.) bralcu še dodatno omogočijo globlje vživetje v duha analize, kot ga prinese zgolj premočrtno obvladova- nje njenih že izdelanih po- stopkov. Knjiga je razdeljena na štiri poglavja. Prvo poglavje z naslovom Uvod v analizo neskončnosti obravnava izvor elementarnih funkcij in pojasni pre- lomni vpliv, ki ga je imela Descartesova Geometrija (1637) na njihovo izra- čunavanje. Descartesa je navdihnil eden od nerešenih problemov starogrške geometrije, Pappusov problem, ki ga je rešil z vpeljavo koordinatnega sis- tema, v katerem pa se osi ne sekata pod pravim kotom (kar običajno pove- zujemo s pojmom kartezičnega koordinatnega sistema). Samo idejo prevesti geometrijski problem na sistem enačb, v katerih znane in neznane količine Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 193 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 194 — #2 i i i i i i Nove knjige označimo s črkami, ki je pri Descartesu doživela poln razcvet, je formuliral že François Viete v delih In artem analyticam isagoge (1591) in Algebra nova (1600). Nadaljnja prelomna ideja je bila namesto algebraičnih enačb tipa f(x) = g(x) iskati ničle polinoma y = p(x). Avtorja zelo jasno prikažeta zveze med interpolacijskim polinomom, Newtonovo diferenčno shemo, Pa- scalovim trikotnikom in binomskim izrekom (pri dokazu katerega je Pascal podal enega prvih dokazov z indukcijo) ter posplošenim binomskim izrekom. Predstavita tudi ključno vlogo, ki jo je odigral Euler pri definiciji in izpeljavi osnovnih formul v zvezi z eksponentno, logaritemsko in trigonometrijskimi funkcijami ter kompleksnimi števili (npr. eix = cosx+ i · sinx). Na primeru računanja logaritmov ter iskanja približkov za π spoznamo ogromen napre- dek, ki so ga prinesle neskončne vrste, neskončni produkti ter verižni ulomki (s pomočjo katerih je bilo mogoče npr. dokazati, da je π/4 = arctan 1 iraci- onalno število). Avtorja posvečata veliko pozornost primerjavi konvergence različnih vrst (npr. Mercatorjeve (1668) za ln(1 + x) in Gregoryjeve (1668) za 1+x1−x). Konvergenco različnih vrst nazorno prikažeta tudi s številnimi slikami. Drugo poglavje, naslovljeno Diferencialni in integralski račun, prikaže nastanek diferencialnega in integralskega računa (ki je precej stareǰsi, saj je računanje ploščin, površin in volumnov zaposlovalo največje matematike od antike dalje – npr. Arhimeda, Keplerja, Cavalierija, Vivianija, Fermata). Predstavljene so osnovne formule v zvezi z odvodom, vǐsjimi odvodi, obrav- navan je Fermatov problem o maksimumih in minimumih, Fermatovo načelo lomljenja svetlobe, Taylorjeve vrste, Newtonova metoda iskanja ničel, ovoj- nice in ukrivljenost krivulj. Poudarjen je prelomen pomen, ki ga je imelo odkritje Newtona, Leibniza in Johanna Bernoullija, ki so neodvisno drug od drugega spoznali, da je integracija inverzna operacija od diferenciranja, kar je omogočilo, da se reševanje nalog s tega področja prevede na nekaj prepro- stih pravil. Avtorja predstavita še uvedbo nove spremenljivke, integracijo po delih, Taylorjevo formulo z ostankom, integracijo racionalnih funkcij in numerične metode računanja integralov. Obravnavo navadnih diferencial- nih enačb uvajajo Leibnizeva izohrona, traktrisa (katere iskanje je spodbudil Claude Perrault), Bernoullijeva verižnica, ter brahistohrona. Predstavljena 194 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 i i “Kovic” — 2012/12/10 — 9:01 — page 195 — #3 i i i i i i je tudi Eulerjeva (1768) metoda iskanja rešitev enačb s t. i. Eulerjevimi poligoni ter Euler-MacLaurinova sumacijska formula. V tretjem poglavju, Temelji klasične analize, je predstavljeno obdobje, ki je sledilo Eulerjevi smrti 1783, ko se je zdelo, da je Euler na 30 000 straneh svojega dela odkril že vse, kar je bilo vrednega odkriti. Novo obdobje, ki je prekinilo to stagnacijo, so napovedale Lagrangeeva ” Theorie des fonctions analytiques“ (1797), Gaussova disertacija (1799) o ” Osnovnem izreku alge- bre“ ter študij konvergence hipergeometrijske vrste (Gauss 1812). Cauchy je (1821) v svojem slavnem ” Cours de analyse“ zastavil naslednja vpraša- nja: Kaj so v resnici odvod, integral, neskončna vrsta? Odgovor na vsa ta vprašanje je bil: limite. In kaj je limita? Število. In kaj je število? Na to vprašanje so odgovorili Weierstrass in sodelavci okrog 1870–1872. Razjasnili so pojme enakomerne konvergence, enakomerne zveznosti ter odvajanja in integriranja neskončnih vrst po členih. Četrto poglavje, Diferencialni in integralski račun v več spremenljivkah, se začne z obravnavo topologije n-razsežnega prostora, potem pa obravnava večkratne integrale in mnoge pojave, ki pri funkcijah ene spremenljivke sploh ne nastopajo (npr. Jacobijevo (1834) produktno formulo za gama funkcijo). Med drugim srečamo tudi slavno Cantorjevo množico (1883), pa trikotnik in kvadrat Sierpinskega (1915, 1916) in krivuljo Peano-Hilberta (1890, 1891). Knjiga je vredna branja, saj prikaže znane teme iz analize v zgodovinski perspektivi, z zanimivim prikazom in številnimi izvornimi citati ter netrivi- alnimi nalogami pa bralca še dodatno motivira za nadaljnji poglobljen študij analize. Jurij Kovič VESTI POROČILO O STROKOVNEM SREČANJU IN 64. OBČNEM ZBORU DMFA SLOVENIJE Vsakoletno srečanje članov našega društva je letos potekalo 19. in 20. ok- tobra 2012 v Rimskih Toplicah. Dvodnevni strokovni program je prinesel vrsto zanimivih prispevkov, ki so jih pripravili avtorji z različnih ustanov – med drugimi so na srečanju sodelovali predavatelji z vseh štirih slovenskih Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 195