i i \Cencelj" | 2021/12/13 | 9:12 | page 139 | #1 i i i i i i Nonlinear analysis – theory and methods N. S. Papageorgiou, V. D. R adulescu in D. D. Repov s, Nonlinear analysis { theory and methods, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2019, 577 strani. V minulih petdesetih letih se je neline- arna analiza razvila v zelo siroko interdi- sciplinarno raziskovalno podro cje in no- bena knjiga ne more v celoti predstaviti niti najnovej sega razvoja na vseh njenih podpodro cjih. Avtorji knjige, ki je iz- sla pri eni izmed vodilnih znanstvenih zalo zb na svetu, so se odlo cili pouda- riti tiste aspekte nelinearne analize, ki se uporabljajo pri studiju nelinearnih rob- nih problemov. Glede na to so jo razde- lili na naslednjih sest poglavij: 1. Pro- stori Soboljeva, 2. Kompaktni operatorji in operatorji monotonega tipa, 3. Teo- rije stopenj, 4. Delna urejenost, teorija negibnih to ck, variacijski principi, 5. Te- orija kriti cnih to ck in 6. Morseova teorija in kriti cne grupe. Na koncu vsakega po- glavja so dodali opombe in reference na ustrezno literaturo. Monograja je prvi zvezek dvodelne publikacije in je v celoti posve cena razvoju omenjenih tem v abstraktnem okviru. Naslednji zvezek, ki je v tisku pri isti zalo zbi, pa je posve cen najpomembnej sim aplikacijam in modelom, ki jih narekuje realni svet. Prvih pet poglavij uporablja analiti cne metode, ki jih tisti, ki so sezna- njeni s funkcionalno analizo, ze poznajo. S sibkimi odvodi funkcij v Lebes- gueovih prostorih na evklidskem prostoru so vpeljani prostori Soboljeva. Tak uvod je precej uveljavljen, prvi rezultati so dokazani z regularizacijo z gladkimi konvolucijskimi jedri. Topolo ski vektorski prostori niso omenjeni, teorija distribucij pa le mimogrede. To je razumljivo glede na namen, da se gre v delu preko sicer siroke palete metod za linearne parcialne diferencialne ena cbe. Standardni rezultati o vlo zitvah prostorov Soboljeva pa so podani in tudi njihovi dualni prostori so predstavljeni ze na za cetku. Za tem sledi poglavje o kompaktnih operatorjih na Banachovih in Hilbertovih prostorih. Za neskon cno-dimenzionalne separabilne Hilbertove prostore je predstavljen in dokazan Spektralni izrek. Dodani so tudi monotoni operatorji, ki se iz- ka zejo za zelo koristne za predstavitev teorije. Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4 139 i i \Cencelj" | 2021/12/13 | 9:12 | page 140 | #2 i i i i i i Nove knjige Naslednja poglavja izkazujejo pomen homotopije (in nato tudi homolo- gije) parov prostorov, ki pri obravnavi nivojskih mno zic operatorjev dajeta pomembne informacije. Poleg kompaktnih operatorjev so na siroko obdelane ve cli cne funkcije (ki preslikujejo to cke Banachovega prostora v podmno zice istega prostora). Leray-Schauderjevi teoriji stopenj je dodana diskusija Bro- uwerjeve teorije stopenj za retrakte in raz sirjena na primer ve cli cnih funkcij (kjer je s sto zci vpeljana struktura delne urejenosti). Vseskozi se pred- stavitev za cne na metri cnih prostorih in nadaljuje na splo snih topolo skih prostorih. Teorija kriti cnih to ck je uporabljena za iskanje minimumov ener- gijskih funkcionalov, ob tem pa so predstavljeni tudi variacijski koncepti. Zadnji poglavji, o Morseovi teoriji in homolo skih grupah kriti cnih mno zic, od bralca zahtevata nekaj znanja algebrske topologije. Gre za zelo dobro napisan uvod v obravnavano podro cje. Vsi omenjeni izreki so pomembni in predstavljeni na kompetenten in strogo znanstven na cin. Uvod je jedrnato zastavljen, vendar ne predpostavlja poglobljenega poznavanja algebrske topologije in se podaja v to podro cje z vidika mate- mati cne analize. Vsa orodja za studij nelinearnih parcialnih diferencialnih ena cb so vklju cena in razlo zena na dovolj jasen na cin za uporabo v razisko- valnem delu. To je eden najbolj sih uvodov za vse, ki zelijo raziskovati na podro cjih teoreti cne in uporabne nelinearne analize. Pravzaprav je ciljna publika te knjige precej sir sa, saj gre za odli cen prikaz podro cja in detajlno in zelo navdihujo co monograjo. V celoti gledano je knjiga odli cen tekst za nadaljevalni te caj iz nelinearne analize na podiplomskem nivoju kakor tudi odli cen referen cni priro cnik za raziskovalce in u citelje teorije in upo- rabe parcialnih diferencialnih ena cb. To dokazuje tudi izjemna citiranost te knjige: po podatkih osrednje referen cne revije Mathematical Reviews je ta knjiga dale c najve ckrat citirana med vsemi matemati cnimi knjigami, ki so iz sle istega leta. Du san Repov s je redni profesor na Univerzi v Ljubljani, na In stitutu za matematiko, ziko in mehaniko pa vodi Skupino za topologijo, geometrijo in nelinearno analizo. Objavil je ze ve c kot 450 raziskovalnih clankov in 4 monograje, ob tem je imel ve c kot 400 vabljenih predavanj na konferencah in tujih ustanovah sirom po svetu. Je ustanovni clan In zenirske akademije Slovenije, clan Evropske akademije znanosti in umetnosti in drugih tujih akademij. Prejel je nagrado Republike Slovenije za znanstveno-raziskovalno delo, priznanje ambasador Republike Slovenije v znanosti, medaljo Bogolju- bova in druga tuja priznanja. Je urednik v ve c tujih revijah in clan stevilnih tujih matemati cnih zdru zenj. Matija Cencelj 140 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4