i
i
“1005-Milosevic-Kombinatorna” — 2010/6/17 — 9:56 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 6
Strani 332–333
Dragoljub M. Miloševíc, prevod in priredba Tomaž
Košir:
KOMBINATORNA GEOMETRIJA
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/17/1005-Milosevic-Kosir.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
332
KOMBINATORNA GEOMETRIJA
Namen tega zapisa je bralce seznaniti s kombinatorno geometrijo. eno mlajših
vej matematike. Danes je še težko zadovoljivo odgovoriti na vprašanje. kaj
je kombinatorna geometrija. Med drugim kombinatorna geometrija raziskuje
odnose med točkami. premicami. deli ravnine in deli prostora . Najbolje jo
bomo predstavili z nekaj primeri.
Primer 1. Bela ravnina je poljubno popackana s črno barvo . Pokaži. da
na ravnini obstaja daljica. katere končni točki in središče so enake barve .
Izberimo točki A in B . ki sta enake barve (denimo bele) . Točko C
izberimo tako. da je B središče daljice AC (slika 1). Ločimo dve možnosti:
0---0
A B
0---0---0
ABe
0--<>----4
ABe
~
O ABe
..--o--o-----e
O ABe
Slika 1
e----o-o-<>----
DAE B C
e---o-e-o-----e
DA E B C
točka C je bela ali točka C je črna . V primeru , ko je C bele barve . je dokaz
končan (daljica AC ima središče v točki B) . Če je točka črna, poiščimo še
točko D . ki leži ta ko. da je točka A sred šče daljice DB . Če je točka D bele
barve. je iskana daljica DB s središčem v A. V primeru , ko je D črne barve.
pa poglejmo, kakšne barve je središče E daljice AB . V obeh primerih lahko
najdemo daljico ziskano lastnostjo. Če je točka E bele barve. daljica AB
ustreza pogojem trditve. v nasprotnem primeru pa je to daljica DB .
Primer 2. Pokaži. da v vsakem konveksnem enajstkotniku obstajata vsaj
dve taki diagonali. da manjši kot med premicama, na katerih ležita. ni večji
od 5° .
Če obstajata vzporedni diagonali. trditev velja (saj je kot med nosilnima
premicama O°). Predpostavimo. da nobeni dve diagonali nista vzporedni.
Vseh diagonal je (11 . (11 - 3)) : 2 = 44. Skozi izbrano točko v ravnini
potegnimo 44 premic vzporednih z diagonalami. Premice tako delijo cel kot
na 88 delov . Vsaj eden od teh je manjši od 5° , ker je 360 : 88 = 4.09 .. oO
Primer 3. Na kvadrat s stranico 1 drn vržerno 76 točk . Pokaži, da
med temi točkami obstajajo najmanj 4, ki jih lahko prekrijemo s krogom s
polmerom t.