MODULARNA KOMPOZICIJA RIMSKIH VODNIH KOLES
TINE KURENT 
Univerza, L jubljana
Kolo je narejeno okrog osi tako veliko, da seže do 
potrebne višine. O krog oboda se p ritrd ijo k v ad rasti za­
bojčki, zatesnjeni z voskom in smolo. Ko obračalci s presto­
panjem v rtijo kolo, se zabojčki polnijo in dvigajo, n a poti 
navzdol pa se praznijo v rezervoar.
(V itruvii De A rch itectu ra L iber Decimus, IV, 3; G ran­
ger, Loeb Classical L ibrary, London, MCMLXII)
V itruvijevo poročilo o vodnih kolesih se om ejuje na k ratek opis kon­
strukcije in delovanja. O pušča pa številke o velikosti in zm ogljivosti stroja, 
čeprav so po navadi V itruvijevi opisi drugih strojev in zgradb dopolnjeni 
s števili.
Zato je vodno kolo, razstavljeno v rim ski dvorani B ritanskega m uzeja, 
kam or je prišlo iz rim skega rudnika v Rio Tinto, še posebej pritegnilo mojo 
pozornost. Poleg o hranjenega kolesa so na razpolago še opisi in risbe vodnih 
koles, ki so obstajala še v začetku tega stoletja, pa so zaradi nevednosti in 
nepozornosti bila uničena. V M etallurgia, vol. XXXV, No. 207, p. 160, je 
poleg opisa tu d i risba podobnega kolesa iz S an D om inga v m erilu. K ratek 
opis je tu d i v knjigi C harlesa Singerja A H istory of Technology, vol. II 
(Oxford 1956). — Vse to m i je dalo dovolj podatkov za m ersko analizo kom ­
pozicije rim skih vodnih koles. Ta pa je n ato odkrila princip rim skega 
aproksim iranja iracionalnih količin v krožnih kom pozicijah.
P ri obeh kolesih n ju n prem er dà za obod, ko ga pom nožimo s sicer 
iracionalnim številom n, enostaven in celi m nogokratnik ene od rim skih 
človeških m er, ki je lepo deljiv s številom prečk (»špic«) kolesa.
M ere kolesa, izražene z evropskim i m etrskim i ali pa angleškim i čevelj- 
skim i m eram i, nič ne povedo o kom poziciji koles. Toda iste m ere, prevedene 
v rim ske antropom etrične enote, razkrivajo genialni princip racionalizacije 
iracionalnih krožnih kom pozicij. R azm erje p rem er : obod je zelo blizu raz­
m erju 7 : 22. Z drugim i besedam i — p ri prem eru sedm ih m odulov m eri 
obod dvaindvajset m odulov. M ere obeh vodnih koles dokazujejo, da je to 
bilo Rim ljanom znano.
P rem er m ed naspro tn im i konci prečk p ri kolesu iz Rio T in ta m eri 
4,78 m ± 5 cm. Ce upoštevam o, da se k o larjev e tolerance v zadnjih dva 
tisoč letih najbrž niso povečale, da so konci prečk starega kolesa očitno 
obrabljeni, in pa to, da dolžina lesa n i konstanta, am pak sprem enljivka,

odvisna od stopnje vlažnosti, lahko prevedem o m ero 4,78 m ± 5 cm v mero 
16 V3 rim skega čevlja, k a r je enako 49 trientov. Z drugim i besedam i 7 mo­
dulov po 7 trientov. (Rimski čevelj, pes, im a 3 trien te in m eri 29,57 cm.)
Ce je risba vodnega kolesa iz ru d n ik a v San D om ingu po C rossu Brow- 
nu v m erilu, m eri zu nanji prem er p ri vodnih zabojčkih 16 angleških čev­
ljev, k ar znese 16 1 /s pedes ali M 7 trientov- (Razm erje foot : pes = 30,48 : 29,57.)
P rem eru, velikem u 7 m odulov po 7 trientov, ustreza obod, ki m eri 22 
m odulov po 7 trien to v . V resnici im a vodno kolo iz San Dom inga 22 prečk 
in med njim i 22 intervalov. Vsak osni in terv al pa m eri 7 trien to v . Toda 
v B ritanskem m uzeju razstavljena če trtin a vodnega kolesa iz Rio Tinta 
im a sedem intervalov; na celem obodu b i torej bilo 4 X 7 = 28 intervalov 
in prav toliko prečk. Ce vemo, da m eri 1 trien s 4 uncije, lahko k arak teristič­
n i obod kolesa 22 M 7 trientov predstavim o tu d i ko t 22 Mas uncij. To pa je enako 
28 M .22 uncij. V resnici je osni razstoj m ed dvem a od osem indvajsetih prečk 
ali obodni m odul vodnega kolesa iz Rio T in ta velik 22 palcev. P ri tem ko­
lesu je obodni m odul m anjši ko t p ri kolesu iz San Dominga, k je r m eri 7 
trien to v (= 28 uncij), toda še vedno je izrazljiv s celim številom .
Sl. 1. G rafična in aritm etična predstava m odularne kompozicije rim skih vodnih 
koles iz rudnikov v Rio Tinto in San Domingo te r kompozicije kupole Pantheona. 
P rem er koles je 49 trientes ozirom a 7 m odulov po 7 trientes.
Obod koles je 154 trientov oziroma 22 m odulov po 7 trientov (San Domingo) 
oziroma 28 m odulov po 22 palcev (Rio Tinto).
P rem er središčne lesene plošče pri kolesih je 7 modulov po 7 digitov, kar je 
nekaj več kot petina prem era kolesa. P ripadajoči obod znaša 154 digitov. Ritem 
med prečkam i na tem obodu je torej 7 digitov (v San Domingu) ozirom a 5 V 2 di- 
gita( v Rio Tintu).
Prem er Pantheonove kupole je 98 kubitov ozirom a 7 modulov po 14 kubitov.
Obod Pantheonove kupole je 308 kubitov oziroma 28 modulov po 11 kubitov.
P rem er odprtine n a vrhu kupole je nekaj nad petino prem era kupole.
Krožna kom pozicija rim skih vodnih koles in Pantheonove kupole je racional­
n a in m odularna te r nim a zveze z geom etrično delitvijo krožnice. Teoretično je 
zasnovana n a racionalizaciji razm erja prem er : obod, ki je zelo blizu razm erja 
7 :22. To razm erje (oziroma 7 :11) je prisotno v členih drugega Fibonaccijevega 
zaporedja in v obliki števila 7 in njegovega gnomona 11
Illustr. 1. G raphical and arithm etical presentation of the m odular composition 
of Roman w ater-w heels in m ines of San Domingo and Rio Tinto, and of the 
Pantheons dome.
D iam eter of the w heels is 49 trientes or 7 m odules of 7 trientes.
Circum ference of the wheels is 154 trientes, w hich equals 22 m odules of 7 
trientes (San Domingo), or 28 modules of 22 unciae (Rio Tinto).
D iam eter of th e wooden centre of th e wheels is m odularly 7 M ? di„ .iti, or 
slightly over1 Vs of th e wheels diam eter. The pertaining circum ference is 154 
digiti. The distance betw een spokes at th is circum ference is accordingly 7 digiti 
(in San Domingo) or 5 V 2 digiti (in Rio Tinto).
D iam eter of P antheons dome is 98 cubiti or 7 modules of 14 cubiti each.
Circum ference of Pantheons dome is 308 cubiti, or 28 m odules of 11 cubiti 
each.
The diam eter of th e opening a t the top of Pantheons dome is slightly over 
V s of the domes diam eter.
The circular com position of w ater-w heels and Pantheons dom e is rational 
and m odular. It h as nothing to do w ith geom etrical division of th e circum ­
ference. Theoretically it is based on the rationalisation of the ratio diam eter: 
circum ference, w hich is very closely approxim ated by the ratio 7 : 22. This ratio 
(or rath er 7 :11) is present in the term s of the second Fibonacci series, and in the 
shape of num ber 7 and its gnomon

DÜRER
LEONARDO 
DA VINCI

Razlika, da je k arak terističn i p rem er za kolo iz San Dom inga m erjen 
m ed nasprotnim a zunanjim a robovom a zabojčkov, za kolo iz Rio T inta pa 
m ed nasprotnim i konci prečk, se da p rip isati nejasnem u razum evanju p rin ­
cipa, nim a p a v resnici nobene p rak tičn e posledice. Razlika m ed tetivo, 
lokom in tangento je s stališča kolarskih toleranc zanem arljiva, če gre za 
tako m ajhen kot, ko t je 360° : 22, ali pa celo 360° : 28.
d : du ~ 7 : 22 
ixl 2 x 1
1 - 3 - * - © - ® .
OTT
2*
H
2*
© D-65j'=27 palmi ® D - 7'=28 palmi
Sl. 2. P rem er stebra Apolonovega tem plja v Didymi ob nastavku žlebičev meri 
7 čevljev. Obod na isti višini je 22 čevljev. Osni ritem žlebičev je 22 čevljev : 24 =
“ /1 2 čevlja
Illustr. 2. The diam eter of the columns a t th e tem ple of Apollo in D idym a a t the 
beginning of flutes is 7 G reek feet. The circum ference a t the sam e level is 22 
feet. The rhythm of flutes is 22 feet: 24 = “ / 1 2 of a foot
P rak tičn i precept, ki je ugotavljal, da je razm erje obod : prem er (ali 
n — 3,141592 ...) zelo blizu razm erju 22 : 7 (kar znaša 3,142857, p ri čem er se 
vse decim alke periodično ponavljajo), je olajševal Rim ljanom g rad n jo krož­
nih kompozicij. N ajvečja in najbolj plem enita med rim skim i krožnim i kom ­
pozicijam i p a je ku p o la Pantheona, ki je sestavljena iz 28 re b e r in iz 28 
kasetiranih in tervalov m ed njim i.
Sl. 3. G rafična in aritm etična predstava nek aterih racionalnih aproksim acij, ki 
jih omogoča število 7.
5 : 7 aproksim ira 1 :1/2,
4 : 7 aproksim ira 1 : 1/3,
7 : 22 aproksim ira 1 : n,
7:11 aproksim ira 1 : cp ,
7 : 17 aproksim ira 1 : 0 .
Poleg tega število 7 skupaj z nekaterim i drugim i členi Fibonacci j evih zaporedij 
oblikuje razm erja harm onične, geom etrične, aritm etične, kontraharm onične in 
kontrageom etrične proporcionale
Illustr. 3. G raphical and arithm etical presentation of some rational approxim ations 
m ade possible w ith th e num ber 7. Thuss
5 : 7 approxim ates 1 : v'2,
4 : 7 approxim ates 1 : j/3,
7 : 22 approxim ates 1 : n,
7:11 approxim ates 1 : q ? ,
7 :17 approxim ates 1 : 0
A dditionally num ber 7 form s together w ith some other term s in Fibonacci series 
ratios containing harm onical, geom etrical, arithm etical, contraharm onical, and 
contrageom etrical m eans betw een two extrem es

1 : <T7 : >T7 | 1 : 'T T : 'T 7 = 70 : 89 : 121
1 >17 = 70 : 99
10 X I 9 X I
, _ 3 _ 4 _ @ - @ _ ...
10 X I 11 X I
1 : J 7 2S 70 : 121
1 : < p
T -
iT T + 1 
2
= 1,81ft...
3 1,33
1.75
1,571...
" I -
C O r-| T f
_ i Um v
- k — > *P
- 3
H "
- 4
« J'»
- 7 - 11 - 
i_ llm \
H - — >
1
< P
0,33 0,75 0,571... 0,63
9 = 1 + l f 7 = 2,41«...
3 2,3 2,428 ... 2,411...
" I -
t 'l «
si*- i l s
0
1 - 3 - 7 - 17 - 41 -
- I«
h - um \
1
c -lv /
0
0,33 0,428. .. 0,411. .. 0,414...
HARMONIČNA PROPORCIONALA
ARITMETIČNA PROPORCIONALA
■ KONTRAGEOMETRIČNA PROPORCIONALA
KONTRAHARMONIČNA PROPORCIONALA
1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 1 3 - 21 - 34 - ..
2 - 4 - 6 - 10 - 16 - 26 - (42 ) - 68 - ..
» : Pch :
b
Pch
v _ a2 4- b3 
\ a + b
1 - 3 - 4 - ( / M r - 11 - 18 «- 29 - ( 4 7) - ..

P rem er kupole p ri Pantheonu m eri 43,5 m ozirom a v rim skih m erah 
9 8 rim skih kom olcev ali 7 M 14 kubitov (1 k u b itus je 1 V 2 čevlja).
Modul P antheonovega prem era je M m kubitov. Obod P antheonove kupole 
torej m eri 2 2 M j4 kubitov ozirom a 3 0 8 rim skih komolcev. K er pa je m ed rebri 
kupole 2 8 intervalov, m eri m odul na obodu kupole 3 0 8 kubitov : 2 8 = 1 1 
kubitov.
K om pozicijski princip je torej p ri kupoli P antheona isti ko t p ri vod­
nem kolesu iz Rio T inta.
Toda kom pozicijska podobnost m ed Pantheonom in vodnim i kolesi ni 
om ejena samo na delitev oboda. O dprtina na vrhu Pantheonove kupole in 
lesena središčna plošča p ri kolesu sta v isti proporciji do celote.
P rem er središčne lesene plošče p ri kolesu iz Rio T inta m eri 0,985 m; 
prem er podobne plošče iz San Dom inga pa, če je risba v m erilu, 3' 6 ". V 
obeh prim erih je to za m alenkost več, ko t znaša V5 k arak terističn eg a p rè­
m erà vodnega kolesa. Toda prem er krožnice, ki jo oblikujejo leseni klini na 
središčni leseni plošči p ri kolesu iz Rio T inta, m eri teoretično 35 'h palca, 
pripadajoči obod krožnice pa 112 palcev ali 28 Mj uncije- M odul n a obodu 
krožnice iz klinov, k i p ritrju jejo središčno leseno ploščo na prečke, je torej 
M4 uncije ozirom a Mi triens. Toliko tudi m eri osna razdalja m ed prečkam i 
kolesa na m estu p ritrd itv e s klini.
Tudi o dprtina n a v rh u kupole P antheona je nekoliko večja ko t Vs p re­
m era kupole, toda očitno iz drugačnih razlogov. V tem p rim eru je glavni 
razlog optična k o rek tu ra. O ddaljeni elem enti se vedno zdijo m anjši kot 
elem enti, k i so blizu opazovalca. Zato je treb a bolj oddaljene elem ente 
povečati, če naj se zdijo enako veliki ko t b ližji elem enti.
Kom pozicijska podobnost m ed vodnim kolesom iz Rio T in ta in med 
kupolo P antheona je presenetljiva. O b ak rat dovoljuje prem er, ki je velik 
7 modulov, delitev oboda na 28 m anjših m odulov, središčni elem ent pa je 
v obeh prim erih teoretično velik V5 prem era.
R acionalna aproksim acija razm erja m ed prem erom in polovičnim obo­
dom, 7 :11, je p rik azan a v heptagonalni obliki števila 7 in njegovega gnomo- 
na, 1 1 (grška koncepcija), in pa p red stav ljen a v razm erju m ed četrtim in 
petim členom drugega Fibonaccijevega zaporedja:
1 — 3 — 4 — 7 — 11 — . . . (rim ska koncepcija).
P rak tičn a vrednost razm erja 7 : 1 1 (ozirom a 7 : 2 2 ) je m orala b iti znana 
že pred Rim ljani. To razm erje sem zasledil p ri nažlebljenih steb rih Apolo­
novega tem plja v D idym i. P rem er stebrov D idym aiona ob n astav k u žlebičev 
m eri 7 čevljev, k ak o r je to ugotovil že A rm in von G erkan. P rip ad ajo či obod 
n a tistem m estu to rej m eri 22 čevljev. Žlebičev pa je 24. N a vsak žlebič 
torej odpade 2 2 A4 čevlja, ali 11 palcev. V tem prim eru je prehod z m odula, 
ki je dvaindvajseti del oboda, na m odul, ki je obodova štiriindvajsetinka, 
precej enostaven, k e r je čevelj deljiv z 1 2 .
Podobno je tu d i prehod z dvaindvajsetega dela oboda na osem indvajseti 
del pri vodnem kolesu iz Rio T inta ali p ri kupoli P antheona enostaven, ker 
je m odul na p rem eru v obeh prim erih deljiv z 28. M odul na p rem eru vod­
nega kolesa je n am reč Msguncij; m odul n a prem eru kupole pa M 14 kubiti-
Po E vklidu je 28 popolno število. N jegova praktična (ali bolje kom pozi­
cijska) vrednost p a je ne le v lastnosti, da je enako vsoti svojih lastn ih fak ­

torjev (28 =l+2+4+7+ 11), am pak tu d i v deljivosti s sedem, k i je 
značilni m nogokratnik za definiranje prem erov.
2 2 in 28, k i nasto p ata kot m nogokratnika m odula na obodu, sta veliki 
števili. Geom etrično je lahko razdeliti 360° (ali krožnico) n a 3 oz. 6 oz. 12 
delov; na 4 oz. 8 oz. 16 delov; na 5 oz. 10 delov. Toda ni lahko razdeliti 
polnega kota na 7 oz. 14 oz. 28 delov. Tako geom etrično delitev je prvi 
v naši civilizaciji izvedel šele D ürer. Še bolj nerodno je razdeliti krožnico 
na 11 oz. 22 delov. 11 je še večji p rafak to r kot 7. Toda m odularni način 
delitve oboda na 2 2 ali 28 delov je enostaven in logičen.
V razm erju 7 : 22, k i racionalno aproksim ira razm erje D : D n, se kaže 
le ena od lastnosti števila 7. To število v razm erju z n ek aterim i drugim i 
celim i števili racionalno aproksim ira n ek atera najbolj pogosta iracionalna 
razm erja , ko t so:
1 : ]/2 = 5 : 7;
1 : 1/3" =4:7;
1 : c p je razm erje, k i se m u približujejo razm erja m ed sosednjim i členi
5 + 1
Fibonaccijevih zaporedij; zlati rez q > = —-----
1 : 0 je razm erje, k i se m u približujejo razm erja m ed sosednjim i členi 
Pellovih zaporedij. F ak to r Pellovih zaporedij
0 = 1 + V2 ..
V drugem Fibonaccijevem in v drugem Pellovem zaporedju je število 
7 ključni člen.
Število 7 im a pom em bno vlogo v razm erjih harm onične, geom etrične, 
aritm etične, kontraharm onične in kontrageom etrične proporcionale.
Lastnost, da omogoča racionalne aproksim acije n ek aterih iracionalnih 
vrednosti, je verjetno m ed glavnim i razlogi, da je število 7 postalo »sveto« 
ali »čudežno« število v m nogih religijah, p rav ljicah in rekih.
Bibliografija — Bibliography
V itruvii De A rchitectura G ranger; Loeb Classical Library, London (1962).
M etallurgia, vol. 35, No. 207.
M. Detoni, T. K urent, M odularna rekonstrukcija Emone — The m odular 
reconstruction of Emona. Situla 1, 1963.
T. K urent, The basic law of M odular composition. The M odular Quarterly, 
w inter 1964-65, London.
T. K urent, M odularno oblikovanje lesenih koles vprežnih in ročnih vozil v 
Sloveniji. Slovenski entnograf 16—17, 1963-64 (1964).
T. K urent, Vloga števila 7 v m odularni kompoziciji — The role of the 
num ber 7 in the m odular composition. A rheološki vestnik 13-14, 1962-63 (1963).

SUMMARY
The M odular composition of Rom an W ater-W heels
The m etrical analysis of the Rom an w ater-w heel from the m ine in Rio 
Tinto, now exhibited in B ritish Museum, and of the draw ing of a sim ilar wheel 
from San Domingo offers the explanation of the Roman approxim ation of irra ­
tional values. The ratio circum ference : diam eter, which is the irrational n, can 
be approxim ated w ith the ratio 22 : 7, the half of which (11 :7) appears in the 
sequence of term s in the second Fibonacci series (1—3—4—7—11—...) and in the 
ratio between the heptagonal num ber (7) and its gnomon (11).
The diam eter of the first w heel is 7 m odules of 7 trientes, and th e corres­
ponding circum ference is 22 m odules of th e sam e size. In fact th is w heel has 
22 spokes. It would be very complicated to devide 360° in 22 parts geom etrically; 
the arithm etical calculation of a circum ference, implying irrational it , and its di­
vision into equal p arts is also too dem anding for a simple craftsm an. B ut m odular 
composition sim plifies th e problem.
The diam eter of the second w heel is again 7 modules of 7 trientes, but 
its circum ference is not devided in 22 intervals of 7 trientes (7 trientes = 28 un­
ciae), but in 28 m odules of 22 unciae. E quation 22 M3 8 ”—28 M ^” is obvious.
The sam e com positional principle has been adopted for the P antheons dome. 
The Domes diam eter equals 7 modules of 14 cubiti, but the corresponding circum ­
ference (22 M 1 4 cui,iti) is devided in 28 intervals of 11 cubiti. T he equation 
22 Mj4 cubit; — 28 Mu cubit; is analogous to the previous one and differs only in 
extent.
The practical value of the described principle for the composition of a cir­
cum ference is its sim plicity, facilitating th e w heelm akers or builders task. This 
and other compositional properties probably m ade num ber 7 exceptionally famous 
and 28 a perfect num ber.