M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 3 8 ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 ) š t e v il k a 6 6 ISSN 0351-6652 • morski ježki in petkotnik • atomi, molekule in prožnostni modul • kroglasta kopica m 13 • risanje s programom sage časov naprej matematika in druge znanosti razvijale, če Arhimedova odkritja ne bi bila tako grobo izbrisana. Eno najbolj vznemirljivih razkritij Arhimedove misli se je zgodilo s pomočjo rentgenskih žarkov. Ti so pro- drli skozi sliko, nastalo v štiridesetih letih prejšnjega stoletja, ki je zakrila originalno besedilo. Odkrili so železo v starodavnem črnilu, s tem pa tudi Arhimdo- vo delo Metoda izrekov o mehaniki. Temu odkritju sta botrovala prav sodobna matematika in fizika; krog ra- zvoja Arhimedove misli se tako na prav poseben, sim- bolen način zaokrožuje. Ne smemo namreč pozabiti, da je eden Arhimedovih dosežkov tudi izračun približka števila π. • Arhimeda imamo skupaj z Newtonom in Einsteinom za enega največjih genijev vseh časov. Žal se je marsi- katero Arhimedovo delo v času izgubilo. Dogajalo pa se tudi je, da so Arhimedova dela preprosto brisali in take vrste praznih listov ponovno uporabili. V enem Ponovno odkr ivanje geni ja Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 38, šolsko leto 2010/2011, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Vladimir Bensa, Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2010/2011 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1700 izvodov © 2011 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1834 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe- matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 Presek 38 (2010/2011) 6 tovrstnih del, napisanem na listu z bolj ali manj izbrisnam Arhimedovim besedilom (tako vrsto be- sedila imenujemo sicer palimpsest), so z najno- vejšo računalniško tehno- logijo odkrili do tedaj še neznane Arhimedove za- pise o kombinatoriki in o računstvu. Ob takem od- kritju se seveda sprašuje- mo, kako bi se od antičnih matematika Morski ježki in petkotnik (Mihael Škrget) Škotska matura (Darka Hvastija) Polinom (Marko Razpet) Naloga (Marko Razpet) Peter J. Bentley: Knjiga o številih– Skrivnost števil in kako so ustvarila sodobni svet (Marko Razpet) Irena Majcen: Smelo na Olimp, 303 naloge iz teorije števil (Janko Bračič) fizika Atomi, molekule in prožnostni modul, stisljivost, površinska napetost (Janez Strnad) Kaj se zgodi s plastenko – odgovor naloge – Poizkuševalnica v hribih (Mojca Čepič) Dobro uglašena steklenica – Poizkuševalnica doma (Gorazd Planinšič) Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) Utripanje luči (Aleš Mohorič) razvedrilo Svetlobni steber – Naravoslovna fotografija (Aleš Mohorič) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 38/5 (Marko Bokalič) Križne vsote Futošiki Barvni sudoku računalništvo Risanje s programom SAGE (Andrej Taranenko) matematični trenutki Ponovno odkrivanje genija astronomija Kroglasta kopica M 13 (Bojan Kambič) Nemo melje nad toroidno traso (Marko Razpet) tekmovanja Preizkusni komplet nalog za maturo 2012, POLA 1: 35 vprašanj izbirnega tipa Preizkusni komplet nalog za maturo 2012, POLA 2: 6 strukturiranih nalog 21. državno tekmovanje iz razvedrilne matematike 2 4–6 6 7–8 8 9–10 11 12–14 14–15 18 19 20–21 22–24 24 25–29 31 16–17 30 10 15 29 priloga priloga priloga k a z a l o Kazalo Slika na naslovnici: Na notranjski strani vetrobranskega stekla je 27. decembra zjutraj nastala nenavadna, na poligone razmejena slana. Slana na strehah in steklih avtomobilov je sicer zelo pogost pojav. Ponavadi nastaja na zunanji strani – a tokrat je nastala na notranji strani. Poskusite odgovoriti na vprašanja: Zakaj sta na strehah in steklih avtomobilov rosa in slana dosti bolj pogosti, kot na tleh? Kako nastane rosa in kako nastane slana? Kako pa nastane ivje? Ali bi znali razložiti črte in razdeljenost slane na mnogokotnike med črtami? Odgovore pošljite na presek@dmfa.si, jih bomo zelo veseli. (Foto: Jože Rakovec) 3Presek 38 (2010/2011) 6 4 m a t e m a t i k a Na apnenčastem oklepu morskega ježka so na dnu in vrhu točke, ki jih lahko povežemo v pet- kotnik (slika 1). Zanima nas primerjava med dolži- nami stranic posameznega petkotnika s povprečno dolžino stranice petkotnika in regresijska analiza višine ježkov na stranice petkotnikov. Slika 1 Zgradba morskega ježka Telo morskega ježka je po videzu peterosomerno in kroglasto. Število pet se pri morskih ježkih večkrat pojavi: že prej omenjena petkotnika, ki imata po pet diagonal, pet zob na dnu oklepa, na oklepu dvakrat po pet pasov izboklin za bodice, ki jih ločuje enako število pasov drobnih luknjic, skozi katere izhajajo nožice za premikanje. Meritve in izračuni V plitvini morja sem nabral petnajst različnih dimen- zij oklepov morskih ježkov. Doma sem s kljunastim merilom pri vseh izmeril višino (v) in dolžino stra- nic petkotnikov (a). Napaka pri merjenju je bila do- volj majhna in sem jo pri računih zanemaril. Dolžine stranic petkotnikov (a) so enake razdaljam med so- sednjimi točkami na dnu morskega ježka (slika 1). Povprečno dolžino stranic (a) sem izračunal po for- muli x = x1 + . . .+ xn n , kjer so x1, . . . , xn rezultati meritev dolžine stranic, n pa število meritev. Standardni odklon od povprečne dolžine stranic sem izračunal po formuli δ = √ (x − x1)2 + . . .+ (x − xn)2 n . Velikost standardnega odklona nam govori o razpr- 2 l j i , i ji l - i ( li ). i i j l i- i i i l i i i i ij li i i j i i . li j l j j i i l . il i i j i j i: j j i , i i i l, l , l i li i , i ji l j il i l ji , i i j j i i j . i i i i li i i j l j li i i - ij l i j . lj i il i i il i i ( ) i l i - i i ( ). i j j j il - lj j i j i i il. l i i i ( ) lj - ji i i j ( li ). l i i ( ) i l - li . . . , j , . . . , l i i l i i , il i . i l l i i i l li . . . . li l i - t t t t t t t t t t t t t r r r t r r r t t t r r r t r t t t t t r t t t r t r r r t r t r r t t r r t r r r tr t t r r r r r tr t t r t r r tr r f r 1 r 1 r t t r t tr t r t t r r tr r f r 1 2 2 t t r r r r a a e čas e o e ors ega ež a so a r oč e, a o o eže o e o s a 1 . a a as r er a a e o ž a s ra c osa ez ega e o a s o reč o o ž o s ra ce e o a regres s a a a za š e ež o a s ra ce e o o . S ka 1 g a ba o skega ežka e o o skega ežka e o v ez e e oso e o k og as o. Š ev o e se o sk ežk večk a o av : že e o e e a e ko ka, k a a o e ago a , e zob a ok e a, a ok e vak a o e asov zbok za bo ce, k oč e e ako š ev o asov ob k c, skoz ka e e z a a o ož ce za e ka e. e ve z ač v o a se ab a e a s az č e z ok e ov o sk ežkov. o a se s k as e o vse z e v š o o ž o s a c e ko kov . a aka e e e b a o vo a a se o ač za e a . o ž e s a c e ko kov so e ake az a a e so se očka a o skega ežka s ka 1 . Pov eč o o ž o s a c se z ač a o o n k e so n ez a e ev o ž e s a c, a š ev o e ev. S a a o k o o ov eč e o ž e s a c se z ač a o o ( ) ( n) e kos s a a ega o k o a a govo o az 2 N pn n t kl pu k j k n dnu in v hu t k , ki jih l hk p v v p t- k tnik ( lik ). Z ni n p i j v d d l i- n i t ni p n p tk tnik p vp n d l in t ni p tk tnik in ij k n li vi in j k v n t ni p tk tnik v. li Z r d r j T l r j j p id u p t r rn in r l t . t il p t pri r ih j ih r t p j i: pr j nj n p t tni , i i t p p t di n l, p t n dnu l p , n l pu d r t p p t p i lin di , i jih l uj n t il p dr nih lu nji , i t r i h j j n i pr i nj . M rit in i r uni V plit ini rj n r l p tn j t r li nih di n- ij l p r ih j . D ljun ti ril pri h i ril i in (v) in d l in tr - ni p t tni (a). N p pri rj nju j il d - lj jhn in j pri r unih n ril. D l in tr ni p t tni (a) n r d lj d - dnji i t i n dnu r j ( li ). pr n d l in tr ni (a) i r un l p f r- uli x = x1 + . . .+ x n , j r x1, . . . , x r ult ti rit d l in tr ni , n p t il rit . t nd rdni d l n d p pr n d l in tr ni i r un l p f r uli δ = x − x1 2 + . . .+ x − x 2 n . V li t t nd rdn d l n n ri r pr- Na apnenčastem o lepu morskega ježka so na dnu in vrhu točke, ki jih lahko povežemo v pet- otnik (slika 1). Zanima nas primerjava med dolži- nami stranic p samez ega petkotnika s povprečno dolžino stranice petkotnika in regresijska analiza višine ježkov na stranice petkotnikov. Slika 1 Zgradba morskega ježka Telo morskega ježka je po videzu peterosomerno in kroglasto. Število pet se pri morskih ježkih večkrat pojavi: že prej omenjena petkotnika, ki imata po pet diagonal, pet zob na dnu oklepa, na oklepu dvakrat po pet pasov izboklin za bodice, ki jih ločuje enako število pasov drob ih luknjic, skozi katere izhajajo nožice za premikanje. M itve in izračuni V plitvini morja se nabral petnajst različnih dimen- zij oklepov morskih ježkov. Doma sem s kljunastim merilom pri vseh izmeril višino (v) in dolžino stra- nic petkotnikov (a). Napaka pri merjenju je bila do- volj majhna in sem jo pri računih zanemaril. Dolžine stranic pe kotnikov ( ) so enake razdaljam med so sednjimi točkami na dnu morskega ježka (slika 1). Povprečno dolžino stranic (a) sem izračunal po for- muli x = x1 + . . .+ xn n , kjer so x1, . . . , xn rezultati meritev dolžine stranic, n pa število meritev. Standardni odklon od povprečne dolžine stranic sem izračunal po formuli δ = √ (x − x1)2 + . . .+ (x − xn)2 n . Velikost standardnega odklona nam govori o razpr- 2 • slika 1. Točke na dnu oklepa morskega ježka lahko povežemo v petkotnik. resek 38 (2010/2011) 6 mihael škrget Morski ježki in petkotnik radba morskega ježka 5 m a t e m a t i k a grafikon 1. Odvisnost višine ježka od pov- prečne dolžine stranice petko- tnika vseh petnajst ježkov z regresijsko premico. tabela 1. Prikaz dobljenih podatkov meritev in izračunov pri pet- najstih ježkih. Na apnenčastem oklepu morskega ježka so na dnu in vrhu točke, ki jih lahko povežemo v pet- kotnik (slika 1). Zanima nas primerjava med dolži- nami stranic posameznega petkotnika s povprečno dolžino stranice petkotnika in regresijska analiza višine ježkov na stranice petkotnikov. Slika 1 Zgradba morskega ježka Telo morskega ježka je po videzu peterosomerno in kroglasto. Število pet se pri morskih ježkih večkrat pojavi: že prej omenjena petkotnika, ki imata po pet diagonal, pet zob na dnu oklepa, na oklepu dvakrat po pet pasov izboklin za bodice, ki jih ločuje enako število pasov drobnih luknjic, skozi katere izhajajo nožice za premikanje. Meritve in izračuni V plitvini morja sem nabral petnajst različnih dimen- zij oklepov morskih ježkov. Doma sem s kljunastim merilom pri vseh izmeril višino (v) in dolžino stra- nic petkotnikov (a). Napaka pri merjenju je bila do- volj majhna in sem jo pri računih zanemaril. Dolžine stranic petkotnikov (a) so enake razdaljam med so- sednjimi točkami na dnu morskega ježka (slika 1). Povprečno dolžino stranic (a) sem izračunal po for- muli x = x1 + . . .+ xn n , kjer so x1, . . . , xn rezultati meritev dolžine stranic, n pa število meritev. Standardni odklon od povprečne dolžine stranic sem izračunal po formuli δ = √ (x − x1)2 + . . .+ (x − xn)2 n . Velikost standardnega odklona nam govori o razpr- 2 t l j i t , i ji l t- t i ( li ). i i j l i- i t i t t i l i t i t t i i ij li i i j t i t t i . li r r j l r j j i t r r i r l t . t il t ri r i j i r t j i: r j j t t i , i i t t i l, t l , l r t t i li i , i ji l j t il r i l ji , i t r i j j i r i j . rit i i r i lit i i rj r l t j t r li i i - ij l r i j . lj ti ril ri i ril i i ( ) i l i tr - i t t i ( ). ri rj j j il - lj j i j ri r i ril. l i tr i t t i ( ) r lj - ji i t i r j ( li ). r l i tr i ( ) i l f - li 1 . . . , j r 1, . . . , r lt ti rit l i tr i , t il rit . t r i l r l i tr i i r l f r li 1 2 . . . 2 . li t t r l ri r r- Na apnenčastem oklepu morskega ježka so na dnu in vrhu točke, ki jih lahko povežemo v pet- kotnik (slika 1). Zanima nas primerjava med dolži- nami stranic posameznega petkotnika s povprečno dolžino stranice petkotnika in regresijska analiza višine ježkov na stranice petkotnikov. Slika 1 Zgradba morskega ježka Telo morskega ježka je po videzu peterosomerno in kroglasto. Število pet se pri morskih ježkih večkrat pojavi: že prej omenjena petkotnika, ki imata po pet diagonal, pet zob na dnu oklepa, na oklepu dvakrat po pet pasov izboklin za bodice, ki jih ločuje enako število pasov drobnih luknjic, skozi katere izhajajo nožice za premikanje. Meritve in izračuni V plitvini morja sem nabral petnajst različnih dimen- zij oklepov morskih ježkov. Doma sem s kljunastim merilom pri vseh izmeril višino (v) in dolžino stra- nic petkotnikov (a). Napaka pri merjenju je bila do- volj majhna in sem jo pri računih zanemaril. Dolžine stranic petkotnikov (a) so enake razdaljam med so- sednjimi točkami na dnu morskega ježka (slika 1). Povprečno dolžino stranic (a) sem izračunal po for- muli x = x1 + . . .+ xn n , kjer so x1, . . . , xn rezultati meritev dolžine stranic, n pa število meritev. Standardni odklon od povprečne dolžine stranic sem izračunal po formuli δ = √ (x − x1)2 + . . .+ (x − xn)2 n . Velikost standardnega odklona nam govori o razpr- 2 Na apnenčastem oklepu morskega ježka so na dnu in vrhu točke, ki jih lahko povežemo v pet- kotnik (slika 1). Zanima nas primerjava ed dolži- nami stranic posameznega petkotnika s povprečno dolžino stranice petkotnika in regresijska analiza višine ježkov na stranice petkotnikov. Slika 1 Zgradba morskega ježka Telo morskega ježka je po videzu peterosomerno in kroglasto. Število pet se pri morskih ježkih večkrat pojavi: že prej omenjena petkotnika, ki imata po pe diagonal, pet zob na dnu oklepa, na oklepu dvakra po pet pasov izboklin za bodice, ki jih ločuje enako število pasov drobnih luknjic, skozi katere izhajajo nožice za premikanje. Meritve in izračuni V plitvini morja sem nabral petnajst različnih dimen- zij oklepov morskih ježkov. Doma sem s kljunastim merilom pri vseh izmeril višino (v) in dolžino s ra- nic petkotnikov (a). Napaka pri merjenju je bila do- volj majhna in sem jo pri računih zanemaril. Dolžine stranic petkotnikov (a) so enake razdaljam med so- sednjimi točkami na dnu morskega ježka (slika 1). Povprečno dolžino stranic (a) sem izračunal po for- muli x = x1 + . . .+ xn n , kjer so x1, . . . , xn rezultati meritev dolžine stranic, n pa število meritev. Standardni odklon od povprečne dolžine stranic sem izračunal po formuli σ = √ (x − x1)2 + . . .+ (x − xn)2 n . Velikost standardnega odklona nam govori o razpr- šenosti merjenih dolžin stranic okoli povprečne dol- žine stranice. Bolj ko se veča standardni odklon, bolj so vrednosti razpršene in različne druga od druge. Velikosti standardnega odklona so prikazane v ta- beli 1. Tabela 1 Regresijska analiza S programom Excel sem narisal razsevni grafikon od- visnosti višine ježkov od povprečne dolžine stranic petkotnikov (grafikon 1). Glede na razporeditev točk sem z istim programom naredil linearno regresijo po metodi najmanjših kvadratov. Mero linearne poveza- 2 • Presek 38 (2010/2011) 6 ritve in izračuni Regresijska analiza Ježek a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) a4 (cm) a5 (cm) a (cm) σ (cm) v (cm) 1. 1,12 1,07 1,09 1,12 1,11 1,10 0,02 2,07 2. 0,92 0,91 0,93 0,90 0,91 0,91 0,01 1,87 3. 0,85 0,84 0,83 0,86 0,85 0,85 0,01 1,60 4. 0,79 0,78 0,79 0,80 0,78 0,79 0,01 1,49 5. 1,00 1,01 1,01 1,04 1,02 1,02 0,01 2,05 6. 0,84 0,82 0,83 0,83 0,82 0,83 0,01 1,50 7. 0,74 0,74 0,74 0,75 0,73 0,74 0,01 1,33 8. 0,90 0,92 0,93 0,92 0,89 0,91 0,01 1,88 9. 0,82 0,80 0,82 0,81 0,78 0,81 0,02 1,42 10. 1,11 1,09 1,12 1,12 1,09 1,11 0,01 2,01 11. 0,85 0,81 0,85 0,82 0,84 0,83 0,02 1,52 12. 0,94 0,96 0,98 0,96 0,96 0,96 0,01 1,87 13. 0,64 0,65 0,62 0,64 0,62 0,63 0,01 1,18 14. 0,96 0,94 0,94 0,92 0,93 0,94 0,01 1,89 15. 0,81 0,85 0,83 0,83 0,82 0,83 0,01 1,39 Velikost standardnega odklona nam govori o razprše- nosti merjenih dolžin stranic okoli povprečne dolžine stranice. Bolj ko se veča standardni odklon, bolj so vre- dnosti razpršene in različne druga od druge. Velikosti standardnega odklona so prikazane v tabeli 1. šenosti merjenih dolžin stranic k li povprečne dol- žine stranice. Bolj ko se veča standardni odklon, bolj so vrednosti razpršene in različne druga od druge. Velikosti standardnega odklona so prikazane v ta- b 1. Tabela 1 egresijska n liza S programom Excel sem narisal razsevni grafikon od- visnosti višine ježkov od povprečne dolžine stranic petkotnikov (grafikon 1). Glede na razporeditev točk sem z istim programom naredil linearno regresijo po metodi najmanjših kvadratov. Mero linearne poveza- nosti dveh spremenljivk nam pove korelacijski koe- ficient. Korelacijski koeficient znaša 0,942, kar kaže na močno linearno povezanost med višino in pov- prečno dolžino stranice petkotnika. Regresijsko pre- mico dveh spremenljivk prikažemo z enačbo y = ax + b , kj r sta a in b parame ra. Določena sta tako, da je vsota kvadratov od lonov pravih vrednosti višine od vrednosti v šine na regresijski premici najmanjša. V obravnavanem primeru znašata: a = 2,105, b = −0,190. Grafikon 1 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 vi ši na (c m ) y = 2,105x - 0,190 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 stranica (cm) 6 m a t e m a t i k a Literatura [1] N. I. Koškin in M. G. Širkevič, Priročnik elemen- tarne fizike, Tehniška založba Slovenije, Ljub- ljana 1990. [2] R. Jamnik, Matematična statistika, Državna za- ložba Slovenije, Ljubljana 1980. 4 • www.presek.si presek 38 (2010/2011) 6 • • darka hvastija Škotska matura 1. Trup in glava snežnega možaka na sliki sta kro- ga. Enačba trupa je x2 +y2 − 10x − 12y + 45 = 0. Napišite enačbo glave, če je razdalja med najvišjo in najnižjo točko telesa 14 cm. 2. Premici AM in BM sta tangenti na krožnico s središčem v točki S in z radijem 12. Točki A in B sta dotikališči, središčni kot α = π 3 . Izračunajte natančno vrednost dolžine daljice AM in ploščino S črtkanega lika. Rešitev 1. Enačbo trupa zapišemo v obliki (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25, od koder preberemo, da je središče v točki T(5,6) in r = 5. Iz slike vidimo, da je radij glave 2, središče glave pa je v točki A(5,13). Enačba glave je (x − 5)2 + (y − 13)2 = 4. 2. Povežemo S in M trikotnika SAM in SBM sta dva skladna, pravokotna trikotnika. (Zakaj že?) Daljica SM razpolavlja kot α in lahko izračunamo |AM| = 12 · tan π6 = 4 · √ 3. Polovico ploščine črtkanega dela lahko dobimo, če od ploščine trikotnika SAM odšte- jemo 112ploščine kroga. S = 2 · ( 12 · 4 √ 3 2 − π · 12 2 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 1. Trup in glava snežnega možaka na sliki sta kro- ga. Enačba trupa je x2 +y2 − 10x − 12y + 45 = 0. Napišite enačbo glave, če je razdalja med najvišjo in najnižjo točko telesa 14 cm. 2. Premici AM in BM sta tangenti na krožnico s središčem v točki S in z radijem 12. Točki A in B sta dotikališči, središčni kot α = π 3 . Izračunajte natančno vrednost dolžine daljice AM in ploščino S črtkanega lika. Rešitev 1. Enačbo trupa zapišemo v obliki (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25, od koder preberemo, da je središče v točki T(5,6) in r = 5. Iz slike vidimo, da je radij glave 2, središče glave pa je v točki A(5,13). Enačba glave je (x − 5)2 + (y − 13)2 = 4. 2. Povežemo S in M trikotnika SAM in SBM sta dva skladna, pravokotna trikotnika. (Zakaj že?) Daljica SM razpolavlja kot α in lahko izračunamo |AM| = 12 · tan π6 = 4 · √ 3. Polovico ploščine črtkanega dela lahko dobimo, če od ploščine trikotnika SAM odšte- jemo 112ploščine kroga. S = 2 · ( 12 · 4 √ 3 2 − π · 12 2 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 . r i l li i t r - . c tr j 2 2 . a išite e ac la e, ce je ra alja e aj išj i aj ižj t c telesa c . 2. Pre ici in B sta tangenti na krožnico s središče v točki S in z radije 12. očki in B sta dotikališči, središčni kot 3 . Izračunajte natančno vrednost dolžine daljice in ploščino S črtkanega lika. Rešitev 1. Enačbo trupa zapiše o v obliki (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25, od koder prebere o, da je središče v točki T(5,6) in r = 5. Iz slike vidi o, da je radij glave 2, središče glave pa je v točki A(5,13). Enačba glave je (x − 5)2 + (y − 13)2 = 4. 2. Povežemo S in M trikotnika SAM in SBM sta dva skladna, pravokotna trikotnika. (Zakaj že?) Daljica SM razpolavlja kot α in lahko izračunamo |AM| = 12 · tan π6 = 4 · √ 3. Polovico ploščine črtkanega dela lahko dobimo, če od ploščine trikotnika SAM odšte- jemo 112ploščine kroga. S = 2 · ( 12 · 4 √ 3 2 − π · 12 2 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 1. Trup in glava snežnega možaka na sliki sta kro- ga. Enačba trupa je x2 +y2 − 10x − 12y + 45 = 0. Napišite enačbo glave, če je razdalja med najvišjo in najnižjo točko telesa 14 cm. 2. Premici AM in BM sta tangenti na krožnico s središčem v točki S in z radijem 12. Točki A in B sta dotikališči, središčni kot α = π 3 . Izračunajte natančno vrednost dolžine daljice AM in ploščino S črtkanega lika. Rešitev 1. Enačbo trupa zapišemo v obliki (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25, od koder preberemo, da je središče v točki T(5,6) in r = 5. Iz slike vidimo, da je radij glave 2, središče glave pa je v točki A(5,13). Enačba glave je (x − 5)2 + (y − 13)2 = 4. 2. Povežemo S in M trikotnika SAM in SBM sta dva skladna, pravokotna trikotnika. (Zakaj že?) Daljica SM razpolavlja kot α in lahko izračunamo |AM| = 12 · tan π6 = 4 · √ 3. Polovico ploščine črtkanega dela lahko dobimo, če od ploščine trikotnika SAM odšte- jemo 112ploščine kroga. S = 2 · ( 12 · 4 √ 3 2 − π · 12 2 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 . . . , . . . , . . . , , . , , . . . , . . , . . i l li i t - t j 2 2 i it l j lj j i j i j i j t t l i i i t t ti i i t i i ij i i t ti li i i i t I jt t t l i lji i l i t li it tr i li i 2 2 r r r j r i t i , i I li i i j r ij l r i l j t i , l j 2 2 i tri t i i t l r t tri t i ( j ) lji r l lj t i l i r | | · t 6 · l i l i rt l l i l i tri t i t - j 112 l i r · · · 2 . r s s s r . r 10 12 45 0. š , r š s . . r s r s sr š r . s š , sr š 3 . r r s š S r . eš e . c še ( ) ( ) , e e e e , e s e šce c ( ) r . s e , e e , s e šce e e c ( ). c e e ( ) ( ) . . e e s s , . e? c c . c šc e c e e , ce šc e š e e šc e . . 1. T up in glava nežnega ožaka na liki a k o- ga. Enačba upa je x +y − x − y + = . Napi i e enačbo glave, če je azdalja ed najvi jo in najnižjo očko ele a 14 c . 2. P e ici A in B a angen i na k ožnico edi če v očki S in z adije 12. Točki A in B a do ikali či, edi čni ko α = π . Iz ačunaj e na ančno v edno dolžine daljice A in plo čino č kanega lika. R i v 1. Enaˇbo upa zapi o v obliki x − 5 + y − 6 = 25, od kod p b o, da j di ˇ v oˇki T 5,6 in = 5. Iz lik vidi o, da j adij glav 2, di ˇ glav pa j v oˇki A 5,13 . Enaˇba glav j x − 5 + y − 13 = 4. 2. Pov ž o S in iko nika SA in SB a dva kladna, p avoko na iko nika. (Zakaj ž ) Dalji a S azpolavlja ko α in lahko iz aˇuna o A = 12 an π = 4 √ 3. Polovi o plo ǐn ˇ kan ga d la lahko dobi o, ˇ od plo ǐn iko nika SA od - j o plo ǐn k oga. S = 2 ( 12 4 √ 3 2 − π 12 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 1. Trup in glava snežnega možaka na sliki sta kro- g . Enačba trupa je x2 +y2 − 10x − 12y + 45 = 0. Napišite enačbo glave, če je razdalja med najvišjo in najnižjo točko telesa 14 cm. 2. Premici AM in BM sta tangenti na krožnico s središčem v točki S in z radijem 12. Točki A in B sta dotikališči, središč i kot α = π 3 . Izračunajte natanč o vrednost dolžine daljice AM in ploščino S črtkanega lika. Rešitev 1. Enačbo trupa za išemo v bliki (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25, od koder preberemo, da je središče v točki T(5,6) in r = 5. Iz slike vidimo, da je r dij l e 2, središče glave pa je v točki A(5,13). Enačba glave je (x − 5)2 + (y − 13)2 = 4. 2. Povežemo S in M trikotnika SAM in SBM st dv skladna, pravokotna trikotni a. (Z kaj že?) Daljica SM razpolavlja kot α in lahko izračunamo |AM| = 12 · tan π6 = 4 · √ 3. Pol vi o ploščine črtkanega ela lahk dobimo, č od ploščine trikotnika SAM odšte- jemo 112ploščine kroga. S = 2 · ( 12 · 4 √ 3 2 − π · 12 2 12 ) = 24 √ 3− π 6 . 2 a . i l li i - . j . i i l , j lj j i j i j i j l . . i i i i i i i i ij . i i i li i, i ni . I j n l i lji i l i li . i . i li i , , j i i , i . I li i i , j ij , i l j i , . l j . . i i i i l , i . ( j ) lji l lj i l i . i l i l l i , l i i i - j l i . . r s s st r tr 2 2 10 12 45 0 š t r š t t s r st t t r s sr š t r st t š sr š t 3 r t t r st š S rt eš te c tr še ( )2 ( )2 er re re e sre šce t c ( ) r s e e r sre šce e e t c ( ) c e e ( )2 ( )2 e e tr t st s r t tr t e? c r t r c | | · t 6 · šc e crt e e c šc e tr t šte e 112 šc e r · · · 2 ratura tev šenosti merjenih dolžin stranic okoli povprečne dol- žine stranice. Bolj ko se veča standardni odklon, bolj so vrednosti razpršene in različne druga od druge. Velikosti standardnega odklona so prikazane v ta- beli 1. Tabela 1 Regresijska analiza S programom Excel sem narisal razsevni grafikon od- visnosti višine ježkov od povprečne dolžine stranic petkotnikov (grafikon 1). Glede na razporeditev točk sem z istim programom naredil linearno regresijo po metodi najmanjših kvadratov. Mero linearne poveza- nosti dveh spremenljivk nam pove korelacijski koe- ficient. Korelacijski koeficient znaša 0,942, kar kaže na močno linearno povezanost med višino in pov- prečno dolžino stranice petkotnika. Regresijsko pre- mico dveh spremenljivk prikažemo z enačbo y = ax + b , kjer sta a in b parametra. Določena sta tako, da je vsota kvadratov odklonov pravih vrednosti višine od vrednosti višine na regresijski premici najmanjša. V obravnavanem primeru znašata: a = 2,105, b = −0,190. Grafikon 1 3 1 g a a s ež ega ža a a s s a ga E aˇ a a e 10 12 45 0 p n ˇbo g v ˇ zd d n v o n n n o oˇko 14 T α = π A 7 m a t e m a t i k a Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s , potem lahko zapišemo: x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. Dobimo Viètove formule: x1 + x2 + x3 + x4 = −4p , x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 6q , x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 = −4r , x1x2x3x4 = s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polinoma Λ(x) sta p in r negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabimo znano neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≥ n√a1a2 . . . an, (A–G) pri čemer jen poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an pa so poljubna pozitivna realna števila. Enačaj v zgornji neenakosti pa velja natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Izraz na levi strani v (A-G) je aritme- tična, izraz na desni strani pa geometrična sredina števil a1, a2, . . . , an. Uporabimo (A-G), pa iz prve in četrte Viètove for- mule dobimo: −p = x1 + x2 + x3 + x4 4 ≥ 4√x1x2x3x4 = 4 √ s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove formule: −r = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 4 ≥ 4 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = 4 √ s3 . Dobljeni neenakosti lahko zmnožimo, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, pozitivna števila. Imamo torej: (−p)(−r) = pr ≥ 4 √ s 4 √ s3 = 4 √ s4 = s . Zato velja prva od neenakosti v dani nalogi: pr ≥ s. 2 , , , . , , , . : . : , . , . , . , . , : : , , , . : : . li j i i i l i l i j lj l iji i ji i lj i j j i , , , i l li , l i . I i i i i j i i i l , , , . i i i i l i i l , , , li i i i i i i i l i ili j i . . . . . . , ( ) i j lj il , , . . . , lj i i l il j ji i lj j j . . . I l i i ( - ) j i - i i i i i i il , , . . . , i ( - ) i i i - l i 4 4 . l i i j i i l 4 4 . lj i i l i j i l i i i i i i il I j 4 4 4 . lj i i l i Polino (x) x4 4px3 6qx2 4rx sΛ = + + + + naj i a pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . okažite, da tedaj veljata relaciji pr s, q2 s≥ ≥ in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 x2 x3 x4= = = . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polino a (x) x4 4px3 6qx2 4rx s , pote lahko zapiše o: x4 4px3 6qx2 4rx s (x x1)(x x2)(x x3)(x x4) . Izračuna o produkt na desni strani in pri erja o koeficiente. obi o Viètove for ule: x1 x2 x3 x4 4p , x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 6q , x2x3x4 x1x3x4 x1x2x4 x1x2x3 4r , x1x2x3x4 s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polino a (x) sta p in r negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabi o znano neenakost a1 a2 . . . an n a1a2 . . . an, ( – ) pri če er je poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an pa so poljubna pozitivna realna števila. Enačaj v zgornji neenakosti pa velja natanko tedaj, ko je a1 a2 . . . an. Izraz na levi strani v ( - ) je arit e- tična, izraz na desni strani pa geo etrična sredina števil a1, a2, . . . , an. porabi o ( - ), pa iz prve in četrte Viètove for- ule dobi o: p x1 x2 x3 x4 4 4 x1x2x3x4 4 s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove for ule: r x2x3x4 x1x3x4 x1x2x4 x1x2x3 4 4 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 4 s3 . obljeni neenakosti lahko z noži o, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, pozitivna števila. I a o torej: ( p)( r) pr 4 s 4 √ s3 4 √ s4 s . Zato velja prva od neenakosti v dani nalogi: pr s. 2 D Λ = + + + + + + + + = − − − − D + + + = − + + + + + = + + + = − = Λ + + + n ≥ √ A G n = = = A G U A G − = + + + ≥ √ = √ − = + + + ≥ = √ D − − = ≥ √ = = ≥ Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma (x) x4 4px3 6qx2 4rx s , potem lahko zapišemo: x4 4px3 6qx2 4rx s (x x1)(x x2)(x x3)(x x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. obimo iètove formule: 1 2 3 4 4 , 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 , 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 r , 1 2 3 4 s . ri iti i r l i i l 1, 2, 3, 4 li m ( ) t i ti i, i s iti i r l i t ili. j im t . . . . . . , ( ) i m j lj il , , , . . . , l i i l il . i i , . . . . m , m m V x x x x p 6q 4 P v ea c a a s a r e a v a v ea š e r s 1 2 n 1 2 t j t t j j t lj t t j j I l i i ( - ) j i - i i i i i i il , , . . . , . i ( ), i i i m m : Λ = + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x poz n h n h n ˇ h po no n n g n q n p poz n n v Se a o ab o z a o ee ako n n – r c r r š 1 2 s r š r 1 2 r tr r t t r tr tr r t - t t t f - l i 4 4 . i i i i m : Presek 38 (2010/2011) 6 • marko razpet Polinom Enačaj v njej očitno velja natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Za dokaz druge neenakosti v nalogi uporabimo drugo in četrto Viètovo formulo ter (A–G): q = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 6 ≥ 6 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = √ s . Po kvadriranju obeh pozitivnih strani dobimo, kar smo želeli: q2 ≥ s. Enačaj v tej neenakosti prevlada natanko tedaj, ko je x1x2 = x1x3 = x1x4 = x2x3 = x2x4 = x3x4 , kar pa je samo takrat, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Dodatek Če ima polinom Λ(x) same pozitivne ničle x1, x2, x3, x4 in če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, ima polinom Λ(x) eno samo pozitivno ničlo x0 četrte stopnje in velja x0 = x1 = x2 = x3 = x4 . Zato je tedaj Λ(x) = (x−x0)4. Iz Viètovih formul dobimo povrsti: p = −x0, q = x20 , r = −x30 , s = x40 . 1. Če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s pri nega- tivnih p in r ter pozitivnih q in s, pa to še ne pomeni, da ima polinom x4+4px3+6qx2+4rx+s eno samo pozitivno ničlo četrte stopnje. Za p = −3, q = 3, r = −3, s = 9 sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, toda polinoma x4− 12x3+ 18x2− 12x+ 9 se očitno ne da zapisati v obliki (x − x0)4 za nobeno realno število x0. Zato M(x) nima ničle četrte stopnje. 2. Če sta izpolnjena pogoja pr > s in q2 > s, to še ne pomeni, da ima polinom x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s pozitivne ničle. Polinom x4−36x3+218x2−460x+ 725, pri katerem je p = −9, q = 109/3, r = −115, s = 725, ima dve pozitivni ničli x1 = 5, x2 = 29 in dve konjugirano kompleksni, x3 = 1 + 2i, x4 = 1 − 2i, čeprav izpolnjuje pogoja pr > s in q2 > s. 3. Za polinom x4 + 20x3 + 140x2 + 400x + 384 je p = 5, q = 70/3, r = 100, s = 384. Tudi zanj sta iz- polnjena pogoja pr > s in q2 > s, toda njegove ničle x1 = −2, x2 = −4, x3 = −6, x4 = −8 so negativne. 3 Enačaj v njej očitno velja natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Za dokaz druge neenakosti v nalogi uporabimo drugo in četrto Viètovo formulo ter (A–G): q = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 6 ≥ 6 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = √ s . Po kvadriranju obeh pozitivnih strani dobimo, kar smo želeli: q2 ≥ s. Enačaj v tej neenakosti prevlada natanko tedaj, ko je x1x2 = x1x3 = x1x4 = x2x3 = x2x4 = x3x4 , kar pa je samo takrat, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Dodatek Če ima polinom Λ(x) same pozitivne ničle x1, x2, x3, x4 in če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, ima polinom Λ(x) eno samo pozitivno ničlo x0 četrte stopnje in velja x0 = x1 = x2 = x3 = x4 . Zato je tedaj Λ(x) = (x−x0)4. Iz Viètovih formul dobimo povrsti: p = −x0, q = x20 , r = −x30 , s = x40 . 1. Če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s pri nega- tivnih p in r ter pozitivnih q in s, pa to še ne pomeni, da ima polinom x4+4px3+6qx2+4rx+s eno samo pozitivno ničlo četrte stopnje. Za p = −3, q = 3, r = −3, s = 9 sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, toda polinoma x4− 12x3+ 18x2− 12x+ 9 se očitno ne da zapisati v obliki (x − x0)4 za nobeno realno število x0. Zato M(x) nima ničle četrte stopnje. 2. Če sta izpolnjena pogoja pr > s in q2 > s, to še ne pomeni, da ima polinom x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s pozitivne ničle. Polinom x4−36x3+218x2−460x+ 725, pri katerem je p = −9, q = 109/3, r = −115, s = 725, ima dve pozitivni ničli x1 = 5, x2 = 29 in dve konjugirano kompleksni, x3 = 1 + 2i, x4 = 1 − 2i, čeprav izpolnjuje pogoja pr > s in q2 > s. 3. Za polinom x4 + 20x3 + 140x2 + 400x + 384 je p = 5, q = 70/3, r = 100, s = 384. Tudi zanj sta iz- polnjena pogoja pr > s in q2 > s, toda njegove ničle x1 = −2, x2 = −4, x3 = −6, x4 = −8 so negativne. 3 i l , . : il . i i l . . i l j j i , i, i li iti i l . li , ri t r j , , , , i iti i i li 1 , 2 i j ir l s i, 3 i, 4 i, c r i l j j j s i 2 s. . a li 4 3 2 je , / , r , s . i a j sta i - l je a g ja r s i 2 s, t a jeg ve icle 1 2, 2 4, 3 6, 4 8 so egativ e. 3 šitev Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s , potem lahko zapišemo: x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. Dobimo Viètove formule: x1 + x2 + x3 + x4 = −4p , x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 6q , x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 = −4r , x1x2x3x4 = s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polinoma Λ(x) sta p in r negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabimo znano neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≥ n√a1a2 . . . an, (A–G) pri čemer jen poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an pa so poljubna pozitivna realna števila. Enačaj v zgornji neenakosti pa velja natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Izraz na levi strani v (A-G) je aritme- tična, izraz na desni strani pa geometrična sredina števil a1, a2, . . . , an. Uporabimo (A-G), pa iz prve in četrte Viètove for- mule dobimo: −p = x1 + x2 + x3 + x4 4 ≥ 4√x1x2x3x4 = 4 √ s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove formule: −r = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 4 ≥ 4 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = 4 √ s3 . Dobljeni neenakosti lahko zmnožimo, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, pozitivna števila. Imamo torej: (−p)(−r) = pr ≥ 4 √ s 4 √ s3 = 4 √ s4 = s . Zato velja prva od neenakosti v dani n logi: pr ≥ s. 2 Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s , potem lahko zapišemo: x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. Dobimo Viètove formule: x1 + x2 + x3 + x4 = −4p , x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 6q , x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 = −4r , x1x2x3x4 = s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polinoma Λ(x) sta p in r negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabimo znano neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≥ n√a1a2 . . . an, (A–G) pri čemer jen poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an pa so poljubna pozitivna realna števila. Enačaj v zgornji neenakosti pa velja natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Izraz na levi strani v (A-G) je aritme- tična, izraz na desni strani pa geometrična sredina števil a1, a2, . . . , an. Uporabimo (A-G), pa iz prve in četrte Viètove for- mule dobimo: −p = x1 + x2 + x3 + x4 4 ≥ 4√x1x2x3x4 = 4 √ s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove formule: −r = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 4 ≥ 4 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = 4 √ s3 . Dobljeni neenakosti lahko zmnožimo, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, pozitivna števila. Imamo torej: (−p)(−r) = pr ≥ 4 √ s 4 √ s3 = 4 √ s4 = s . Zato velja prva od neenakosti v dani nalogi: pr ≥ s. 2 li 4 3 2( ) r s j i iti l i l 1, 2, 3, 4 . it , t j lj t l iji , 2r s s i ji ti lj ti t t j, j 1 2 3 4 . it 1, 2, 3, 4 i l li 4 3 2 , t l i : 4 3 2 1 2 3 4 . I r r t i tr i i ri rj i t . i i t f r l : 1 2 3 4 , 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 , 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 , 1 2 3 4 . ri iti i r l i i l 1, 2, 3, 4 li t i ti i, i iti i r l i t ili. j r i t 1 2 . . . n 1 2 . . . , ( ) ri r j lj r t il , 1, 2, . . . , lj iti r l t il . j r ji ti lj t t j, j 1 2 . . . . I r l i tr i ( - ) j rit - ti , i r i tr i tri r i t il 1, 2, . . . , . r i ( - ), i r i trt i t f r- l i : 1 2 3 4 4 1 2 3 4 4 . l i i tr tj i trt i t f r l : 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 3 . lj i ti l i , r t j ri , l i i i tr i, iti t il . I t r j: 4 4 3 4 4 . t lj r ti i l i: . Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s , potem lahko zapišemo: x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. Dobimo Viètove formule: x1 + x2 + x3 + x4 = −4p , x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 6q , x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 = −4r , x1x2x3x4 = s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polinoma Λ(x) sta p in r negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabimo znano neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≥ n√a1a2 . . . an, (A–G) pri čemer jen poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an pa so poljubna pozitivna realna števila. Enačaj v zgornji neenakosti pa velja natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = an. Izraz na levi strani v (A-G) je aritme- tična, izraz na desni strani pa geometrična sredina števil a1, a2, . . . , an. Uporabimo (A-G), pa iz prve in četrte Viètove for- mule dobimo: −p = x1 + x2 + x3 + x4 4 ≥ 4√x1x2x3x4 = 4 √ s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove formule: −r = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 4 ≥ 4 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = 4 √ s3 . Dobljeni neenakosti lahko zmnožimo, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, pozitivna števila. Imamo torej: (−p)(−r) = pr ≥ 4 √ s 4 √ s3 = 4 √ s4 = s . Zato velja prva od neenakosti v dani nalogi: pr ≥ s. 2 Polinom Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s naj ima pozitivne realne ničle x1, x2, x3, x4 . Dokažite, da tedaj veljata relaciji pr ≥ s, q2 ≥ s in da v njih hkrati velja znak enakosti natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4 . Rešitev Če so x1, x2, x3, x4 ničle polinoma Λ(x) = x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s , potem lahko zapišemo: x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) . Izračunamo produkt na desni strani in primerjamo koeficiente. Dobimo Viètove formule: x1 + x2 + x3 + x4 = −4p , x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 6q , x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 = −4r , x1x2x3x4 = s . Pri pozitivnih realnih ničlah x1, x2, x3, x4 polinoma Λ(x) sta p n negativni, q in s pa pozitivni realni števili. Sedaj uporabimo znano neenakost a1 + a2 + . . .+ an n ≥ n√a1a2 . . . an, (A–G) pri čemer jen poljubno naravno število, a1, a2, . . . , an a so poljubna pozitiv realna števil . Enačaj v zgornji neenakosti pa elja natanko tedaj, ko je 1 = a2 = . . . = an. Izraz na evi s rani v (A-G) je aritme- tična, izraz a desni stran pa geometrična s edina števil a1, 2, . . . , an. Uporabimo (A-G), pa iz prve in četrte Viètove for- mule do : −p = x1 + x2 + x3 + x4 4 ≥ 4√x1x2x3x4 = 4 √ s . Podobno sledi iz tretje in četrte Viètove formule: −r = x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3 4 ≥ 4 √ x31x 3 2x 3x34 = 4 √ s3 . Dobljeni neenakosti lahko zmnožimo, ker nastopajo pri obeh, na levi in desni strani, p zitiv števila. Imamo torej: (−p)(−r) = pr ≥ 4 √ s 4 √ s3 = 4 √ s4 = s . Zato velja prva od neenakosti v dani nalogi: pr ≥ s. 2 . , , . : . : , . , . , . , . , : : , , , . : : . li j i i i l i l , , , i j lj l iji , i ji i lj i j j i , , , i l li , l i . I i i i i j i i i l , , , . i i i i l i i l , , , li i i i i i i i l i ili j i . . . . . . , ( ) i j lj il , , . . . , lj i i l il j ji i lj j j . . . I l i i ( - ) j i - i i i i i i il , , . . . , i ( - ) i i i - l i 4 4 . l i i j i i l 4 4 . lj i i l i j i l i i i i i i il I j 4 4 4 . lj i i l i , , , . , , , . : . : , . , . , . , . , : : , , , . : : . • 8 m a t e m a t i k a Rešite enačbo 3 √ 13x + 37− 3 √ 13x − 37 = 3 √ 2. Rešitev Uporabili bomo enakost (a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a− b). Če v dani enačbi vzamemo a = 3 √ 13x + 37 in b = 3 √ 13x − 37, dobimo s kubiranjem: (13x + 37)− (13x − 37)− 3 3 √ 13x + 37 3 √ 13x − 37 ( 3 √ 13x + 37− 3 √ 13x − 37) = 2 . Z upoštevanjem 3 √ 13x + 37 − 3 √ 13x − 37 = 3 √ 2 dobimo po preureditvi in krajšanju 3 √ 2(13x + 37)(13x − 37) = 24 . Po ponovnem kubiranju dobimo najprej 2(13x + 27)(13x − 37) = 243 , nato pa po krajšem računu enačbo x2 − 49 = (x − 7)(x + 7) = 0, ki ima korena x1 = −7 in x2 = 7. Preprost račun po- kaže, da sta to res rešitvi dane enačbe. 2 Naloga marko razpet • presek 38 (2010/2011) 6 Enačaj v njej očitno velja natanko tedaj, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Za dokaz druge neenakosti v nalogi uporabimo drugo in četrto Viètovo formulo ter (A–G): q = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 6 ≥ 6 √ x31x 3 2x 3 3x 3 4 = √ s . Po kvadriranju obeh pozitivnih strani dobimo, kar smo želeli: q2 ≥ s. Enačaj v tej neenakosti prevlada natanko tedaj, ko je x1x2 = x1x3 = x1x4 = x2x3 = x2x4 = x3x4 , kar pa je samo takrat, ko je x1 = x2 = x3 = x4. Dodatek Če ima polinom Λ(x) same pozitivne ničle x1, x2, x3, x4 in če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, ima polinom Λ(x) eno samo pozitivno ničlo x0 četrte stopnje in velja x0 = x1 = x2 = x3 = x4 . Zato je tedaj Λ(x) = (x−x0)4. Iz Viètovih formul dobimo povrsti: p = −x0, q = x20 , r = −x30 , s = x40 . 1. Če sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s pri nega- tivnih p in r ter pozitivnih q in s, pa to še ne pomeni, da ima polinom x4+4px3+6qx2+4rx+s eno samo pozitivno ničlo četrte stopnje. Za p = −3, q = 3, r = −3, s = 9 sta izpolnjena pogoja pr = s in q2 = s, toda polinoma x4− 12x3+ 18x2− 12x+ 9 se očitno ne da zapisati v obliki (x − x0)4 za nobeno realno število x0. Zato M(x) nima ničle četrte stopnje. 2. Če sta izpolnjena pogoja pr > s in q2 > s, to še ne pomeni, da ima polinom x4 + 4px3 + 6qx2 + 4rx + s pozitivne ničle. Polinom x4−36x3+218x2−460x+ 725, pri katerem je p = −9, q = 109/3, r = −115, s = 725, ima dve pozitivni ničli x1 = 5, x2 = 29 in dve konjugirano kompleksni, x3 = 1 + 2i, x4 = 1 − 2i, čeprav izpolnjuje pogoja pr > s in q2 > s. 3. Za polinom x4 + 20x3 + 140x2 + 400x + 384 je p = 5, q = 70/3, r = 100, s = 384. Tudi zanj sta iz- polnjena pogoja pr > s in q2 > s, toda njegove ničle x1 = −2, x2 = −4, x3 = −6, x4 = −8 so negativne. 3 Rešiteenačbo 3√ 13x+37− 3√ 13x−37= 3√ 2. Rešitev Uporabilibomoenakost (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b). Čevdanienačbivzamemoa= 3√ 13x+37in b= 3√ 13x−37,dobimoskubiranjem: (13x+37)−(13x−37)−3 3√ 13x+37 3√ 13x−37 ( 3√ 13x+37− 3√ 13x−37)=2. Zupoštevanjem 3√ 13x+37− 3√ 13x−37= 3√ 2 dobimopopreureditviinkrajšanju 3√ 2(13x+37)(13x−37)=24. Poponovnemkubiranjudobimonajprej 2(13x+27)(13x−37)=24 3 , natopapokrajšemračunuenačbo x 2 −49=(x−7)(x+7)=0, kiimakorenax1=−7inx2=7.Preprostračunpo- kaže,dastatoresrešitvidaneenačbe. 2 šitc 333 . it rilit . ii 3 i 3 ,iij: 33 . 2 Rešiteenačbo 3√ 13x+37− 3√ 13x−37= 3√ 2. Rešitev Uporabilibomoenakost (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b). Čevdanienačbivzamemoa= 3√ 13x+37in b= 3√ 13x−37,dobimoskubiranjem: (13x+37)−(13x−37)−3 3√ 13x+37 3√ 13x−37 ( 3√ 13x+37− 3√ 13x−37)=2. Zupoštevanjem 3√ 13x+37 3√ 13x−37= 3√ 2 dobimopopreureditviinkrajšanju 3√ 2(13x+37)(13x37)=24. Poponovnemkubiranjudobimonajprej 2(13x+27)(13x−37)=24 3 , natopapokrajšemračunuenačbo x 2 −49=(x−7)(x+7)=0, kiimakorenax1=−7inx2=7.Preprostračunpo- kaže,dastatoresrešitvidaneenačbe. 2 j j j it lj t t j, j . r ti l i r i r i trt i t f r l t r ( ): 6 . rir j iti i tr i i , r l li: . j t j ti r l t t j, j , r j t r t, j . t i li iti i l , , , i t i l j j i , i li iti i l trt t j i lj . t j t j . I i t i f r l i r ti: , , , . . t i l j j i ri - ti i i t r iti i i , t i, i li iti i l trt t j . , , , t i l j j i , t li it i ti li i r l t il . t i i l trt t j . . t i l j j i , t i, i li iti i l . li , ri t r j , , , , i iti i i li , i j ir l i, i, i, r i l j j j i . . li j , , , . i j t i - l j j i , t j i l , , , ti . tek šitev www.dmfa.si www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si • 9 m a t e m a t i k a Naloga • Presek 38 (2010/2011) 6 • marko razpet Peter J. Bentley: Knjiga o številih — Skrivnost števil in kako so ustvarila sodobni svet S števili se pravzaprav srečujemo vsepovsod, in to celo življenje, od najnežnejšega otroštva naprej. Brez zadržkov lahko rečemo, da ljudje uporablja- mo števila na vseh področjih svojega delovanja in bivanja. Števila ne sodijo samo v matematiko, z njimi imamo opravka v vsakdanjem življenju v zvezi z denarjem, še posebej v kriznih časih. S šte- vili se srečamo npr. v avtu, veliko jih je v naših osebnih dokumentih, koledarjih, da o računalnikih ne govorimo. Knjiga o številih nas na svojevrsten pripovedni način popelje skozi zgodovino razvoja pojma števila, od najpreprostejšega štetja in zapisa števil v sivi dav- nini naprej. Posebej je poudarjeno, kateri ljudje si lastijo posebne zasluge, da je znanje o številih ne- nehno napredovalo. Dandanes uporabljamo v zapi- sih števil in računanju z njimi ničlo in le malokdo pomisli, da je ljudje pred dva tisoč leti še niso upora- bljali, ampak da jo je nekdo moral izumiti. Prav tako se je godilo tudi z danes vsepovsod prisotnim dese- tiškim sistemom za zapis števil in ustreznimi štev- kami. Knjiga se ne more izogniti znanim številom, kot so krožno število π , zlato število φ = (1+ √ 5)/2, ki ga nekateri označujejo s τ , in število e, osnova naravnih logaritmov. Seveda izvemo tudi marsikaj o Pitagori in pitagorejcih, ki so svoj nauk o številih povzdignili skoraj na raven religije. Starogrška matematika je sicer dosegla marsikaj, saj je skoraj do podrobnosti obvladala racionalna števila, zataknilo pa se ji je pri iracionalnih številih, kakršno je na primer √ 2. Pi- tagorejci se z njim preprosto niso ukvarjali. Toda prej ali slej so se ljudje morali spopasti tudi z iraci- onalnimi, celimi in kompleksnimi števili. Seznanimo se še z marsičim, tudi z zablodami, nesporazumi in problemi prvenstva ter avtorstva v matematiki. Pripoved v knjigi ne poteka v zgodovinskem za- poredju, ampak v soglasju s števili, od majhnih prek malo večjih proti neskončnosti in se konča s kom- pleksnimi števili. Temu ustrezno sta prvi poglavji posrečeno oštevilčeni z −1 in 0. Tema sledi Poglavje 0,000000001, označeno s številom, ki predstavlja ne- kaj zelo majhnega. Sledijo poglavja, ki so po vrsti oštevilčena z 1, √ 2,φ,2, e,3, π in 10. Namesto Po- glavje 13 zapiše Poglavje 12a, da s tem vključi v pri- poved še malo vraževerja in igre na srečo. Nato sle- dijo še poglavja, oštevilčena s c, hitrostjo svetlobe v praznem prostoru, z ∞ in z i, imaginarno enoto. Vsako poglavje nam ponuja nekaj zgodovine mate- matike, sproti spoznavamo tudi pomembne ljudi, ki so jo ustvarjali. Knjiga je bogato likovno opremljena, v njej je ve- liko lepih in zanimivih računalniških slik, fraktalov, starodavnih risb, poslikav in drugih upodobitev, fo- tografij in podobnih gradiv, ki imajo opravka s šte- vili. Vsekakor ponuja zanimivo branje, pri katerem še tako zahteven bralec izve tudi marsikaj novega 2 S števili se pravzaprav srečujemo vsepovsod, in to celo življenje, od najnežnejšega otroštva naprej. Brez zadržkov lahko rečemo, da ljudje uporablja- mo števila na vseh področjih svojega delovanja in bivanja. Števila ne sodijo samo v matematiko, z njimi imamo opravka v vsakdanjem življenju v zvezi z denarjem, še posebej v kriznih časih. S šte- vili se srečamo npr. v avtu, veliko jih je v naših osebnih dokumentih, koledarjih, da o računalnikih ne govorimo. Knjiga o številih nas na svojevrsten pripovedni način popelje skozi zgodovino razvoja pojma števila, od najpreprostejšega štetja in zapisa števil v sivi dav- nini naprej. Posebej je poudarjeno, kateri ljudje si lastijo posebne zasluge, da je znanje o številih ne- nehno napredovalo. Dandanes uporabljamo v zapi- sih števil in računanju z njimi ničlo in le malokdo pomisli, da je ljudje pred dva tisoč leti še niso upora- bljali, ampak da jo je nekdo moral izumiti. Prav tako se je godilo tudi z danes vsepovsod prisotnim dese- tiškim sistemom za zapis števil in ustreznimi štev- kami. Knjiga se ne more izogniti znanim številom, kot so krožno število π , zlato število φ = (1+ √ 5)/2, ki ga nekateri označujejo s τ , in število e, osnova naravnih logaritmov. Seveda izvemo tudi marsikaj o Pitagori in pitagorejcih, ki so svoj nauk o številih povzdignili skoraj na raven religije. Starogrška matematika je sicer dosegla marsikaj, saj je skoraj do podrobnosti obvladala racionalna števila, zataknilo pa se ji je pri iracionalnih številih, kakršno je na primer √ 2. Pi- tagorejci se z njim preprosto niso ukvarjali. Toda prej ali slej so se ljudje morali spopasti tudi z iraci- onalnimi, celimi in kompleksnimi števili. Seznanimo se še z marsičim, tudi z zablodami, nesporazumi in problemi prvenstva ter avtorstva v matematiki. Pripoved v knjigi ne poteka v zgodovinskem za- poredju, ampak v soglasju s števili, od majhnih prek malo večjih proti neskončnosti in se konča s kom- pleksnimi števili. Temu ustrezno sta prvi poglavji posrečeno oštevilčeni z −1 in 0. Tema sledi Poglavje 0,000000001, označeno s številom, ki predstavlja ne- kaj zelo majhnega. Sledijo poglavja, ki so po vrsti oštevilčena z 1, √ 2,φ,2, e,3, π in 10. Namesto Po- glavje 13 zapiše Poglavje 12a, da s tem vključi v pri- poved še malo vraževerja in igre na srečo. Nato sle- dijo še poglavja, oštevilčena s c, hitrostjo svetlobe v praznem prostoru, z ∞ in z i, imaginarno enoto. Vsako poglavje nam ponuja nekaj zgodovine mate- matike, sproti spoznavamo tudi pomembne ljudi, ki so jo ustvarjali. Knjiga je bogato likovno opremljena, v njej je ve- liko lepih in zanimivih računalniških slik, fraktalov, starodavnih risb, poslikav in drugih upodobitev, fo- tografij in podobnih gradiv, ki imajo opravka s šte- vili. Vsekakor ponuja zanimivo branje, pri katerem še tako zahteven bralec izve tudi marsikaj novega 2 ili j , i l i lj j , j j j. l , lj j lj - il ji j l j i i j . il ij i , ji i i j i lj j i j , j i i i . - ili . , li ji j i i i , l ji , l i i i . ji ili j i i i lj i i j j il , j j j i i il i i - i i j. j j j , i lj j i l ij l , j j ili - l . lj i- i il i j ji i i l i l l i li, j lj j i l i i - lj li, j j l i i i. j il i i i - i i i i il i i i - i. ji i i i i il , il , l il , i i j j , i il , i l i . i i i j i i i i j i , i j ili i ili j li ij . i j i l i j, j j j i l l i l il , il ji j i i i l i ili , j i . i- j i ji i j li. j li l j lj j li i i i i- l i i, li i i l i i ili. i i i , i l i, i i l i i i. i ji i i - j , l j ili, j i l ji i i i - l i i ili. i l ji il i i . l i l j , , il , i lj - j l j . l ij l j , i i il , , , , , , i . - l j i l j , lj i i- l j i i . l - ij l j , il , i j l , i , i i . l j j j i - i , i i lj i, i j j li. ji j li lj , j j j - li l i i i i i l i i li , l , i i , li i i i , - j i i i , i i j - ili. j i i j , i l i i i j t t t t t t t t t t t t r t r r t r r t t t t r r t r t t r r t r r t t r r t r t t r t t t t tr t r t t t r t t t t r t r r t t r t r t r t r r r t r r t t r r r r t r t t r r t r r r t r r r t r r r t t r t r t r r r t t r t r t t t r t r t r r t t t tr t r r t t r t r t t t t r r r r r t t tr t t r r t r i r t t t r t t t r t r r fr t t r r r t f t r r r t r r r t r t t r t r S š evili se pravzaprav srečuje o vsepovsod, in o celo življenje, od najnežnejšega o roš va naprej. Brez zadržkov lahko reče o, da ljudje uporablja- o š evila na vseh področjih svojega delovanja in bivanja. Š evila ne sodijo sa o v a e a iko, z nji i i a o opravka v vsakdanje življenju v zvezi z denarje , še posebej v kriznih časih. S š e- vili se sreča o npr. v av u, veliko jih je v naših osebnih doku en ih, koledarjih, da o računalnikih ne govori o. Knjiga o š evilih nas na svojev s en p ipovedni način popelje skozi zgodovino azvoja poj a š evila, od najp ep os ejšega š e ja in zapisa š evil v sivi dav- nini nap ej. Posebej je pouda jeno, ka e i ljudje si las ijo posebne zasluge, da je znanje o š evilih ne- nehno nap edovalo. Dandanes upo ablja o v zapi- sih š evil in ačunanju z nji i ničlo in le alokdo po isli, da je ljudje p ed dva isoč le i še niso upo a- bljali, a pak da jo je nekdo o al izu i i. P av ako se je godilo udi z danes vsepovsod p iso ni dese- iški sis e o za zapis š evil in us ezni i š ev- ka i. Knjiga se ne o e izogni i znani š evilo , ko so k ožno š evilo π , zla o š evilo = (1+ √ 5)/2, ki ga neka e i označujejo s τ , in š evilo e, osnova na avnih loga i ov. Seveda izve o udi a sikaj o Pi ago i in pi ago ejcih, ki so svoj nauk o š evilih povzdignili sko aj na aven eligije. S a og ška a e a ika je sice dosegla a sikaj, saj je sko aj do pod obnos i obvladala acionalna š evila, za aknilo pa se ji je p i i acionalnih š evilih, kak šno je na p i e √ 2. Pi- ago ejci se z nji p ep os o niso ukva jali. Toda p ej ali slej so se ljudje o ali spopas i udi z i aci- onalni i, celi i in ko pleksni i š evili. Seznani o se še z a siči , udi z zabloda i, nespo azu i in p oble i p vens va e av o s va v a e a iki. P ipoved v knjigi ne po eka v zgodovinske za- po edju, a pak v soglasju s š evili, od ajhnih p ek alo večjih p o i neskončnos i in se konča s ko - pleksni i š evili. Te u us ezno s a p vi poglavji pos ečeno oš evilčeni z −1 in 0. Te a sledi Poglavje 0,000000001, označeno s š evilo , ki p eds avlja ne- kaj zelo ajhnega. Sledijo poglavja, ki so po v s i oš evilčena z 1, √ 2, ,2, e,3, π in 10. Na es o Po- glavje 13 zapiše Poglavje 12a, da s e vključi v p i- poved še alo v aževe ja in ig e na s ečo. Na o sle- dijo še poglavja, oš evilčena s c, hi os jo sve lobe v p azne p os o u, z in z , i agina no eno o. Vsako poglavje na ponuja nekaj zgodovine a e- a ike, sp o i spoznava o udi po e bne ljudi, ki so jo us va jali. Knjiga je boga o likovno op e ljena, v njej je ve- liko lepih in zani ivih ačunalniških slik, ak alov, s a odavnih isb, poslikav in d ugih upodobi ev, o- og afij in podobnih g adiv, ki i ajo op avka s š e- vili. Vsekako ponuja zani ivo b anje, p i ka e e še ako zah even b alec izve udi a sikaj novega 2 t t t t t t t t t t t t r t r r t r r t t t t r r t r t t r r t r r t t r r t r t t r t t t t tr t r t t t r t t t φ t r t r r t t r t r t r t r r r t r r t t r r r r t r t t r r t r r r t r r r t r r r t t r t r t r r r t t r t r t t t r t r t r r t t t tr t r r t t r t r t t φ t t r r r r r t t tr t t r r t r i r t t t r t t t r t r r fr t t r r r t f t r r r t r r r t r t t r t r m , , . m , m . m m m , m m m m m, . m . , m , , m . m , . , , . m m m m , , m m m . m m m m m m . m m m, , , , , m . m m , . m m m , , , m . m . m m , m m m . m m m, m , m m m m . m , m , m m m m . m . m , , m, m . , . m , m m . , , m , ∞ , m . m m m , m m m , . m , m , , , , , m . m , m m št ili s r r sr j s s , i t l i lj j , j jš tr št r j. r r l r , lj j r lj - št il s r ji s j l j i i j . t il s ij s t ti , ji i i r s j i lj j i rj , š s j ri i si . št - ili s sr r. t , li ji j ši s i ti , l rji , r l i i ri . ji šte ili s s je rste ri e i ci elje s i i r j j šte il , j re r stejše štetj i is šte il si i - i i rej. se ej je rje , teri lj je si l stij se e sl e, je je šte ili e- e re l . es r lj i- si šte il i r c j ji i icl i le l isli, je lj je re tis c leti še is r - lj li, j je e r l i iti. r t se je il t i es se s ris t i ese- tiš i siste is šte il i stre i i šte - i. ji se e re i iti i šte il , t s r šte il , l t šte il ( )/ , i e teri c jej s , i šte il e, s r i l rit . e e i e t i rsi j it ri i it rejci , i s s j šte ili i ili s r j r e reli ije. t r rš te ti je sicer se l rsi j, s j je s r j r sti l l r ci l šte il , t il se ji je ri ir ci l i šte ili , rš je ri er . i- t rejci se ji re r st is rj li. rej li slej s se lj je r li s sti t i ir ci- l i i, celi i i le s i i šte ili. e i se še rsici , t i l i, es r i i r le i r e st ter t rst te ti i. ri e ji i e te i s e - re j , s l sj s šte ili, j i re l ecji r ti es c sti i se c s - le s i i šte ili. e stre st r i l ji srece šte ilce i i . e sle i l je , , ce s šte il , i re st lj e- j el j e . le ij l j , i s rsti šte ilce , , , , e, , i . est - l je iše l je , s te lj ci ri- e še l r e erj i i re srec . t sle- ij še l j , šte ilce s c, itr stj s etl e r e r st r , i i, i i r e t . s l je j e j i e te- ti e, s r ti s t i e e lj i, i s j st rj li. ji je t li re lje , jej je e- li le i i i i i r c l iš i sli , fr t l , st r i ris , sli i r i ite , f - t r j i i r i , i i j r s šte- ili. se r j i i r je, ri tere še t te e r lec i e t i rsi j e S ev e p avzap av eču e o v epov od n o ce o ž v en e od na nežne ega o o va nap e B ez zad žkov ahko eče o da ud e upo ab a o ev a na v eh pod oč h vo ega de ovan a n b van a Š ev a ne od o a o v a e a ko z n a o op avka v v akdan e ž v en u v zvez z dena e e po ebe v k zn h ča h S e v e eča o np v av u ve ko h e v na h o ebn h doku en h ko eda h da o ačuna n k h ne govo o Kn ga o v h na na vo v n p pov dn naˇ n pop koz zgodov no azvo a po a v a od na p p o ga a n zap a v v v dav n n nap Po b pouda no ka ud a o po bn za ug da znan o v h n n hno nap dova o andan upo ab a o v zap h v n aˇunan u z n n ˇ o n a okdo po da ud p d dva oˇ n o upo a b a a pak da o n kdo o a zu P av ako god o ud z dan v pov od p o n d k o za zap v n u zn v ka Kn ga n o zogn znan v o ko o k ožno v o z a o v o 1 5 2 k ga n ka oznaˇu o τ n v o o nova na avn h oga ov S v da zv o ud a ka o P ago n p ago h k o vo nauk o v h povzd gn ko a na av n g S a og ka a a ka do g a a ka a ko a do pod obno obv ada a a ona na v a za akn o pa p a ona n h v h kak no na p 2 P ago z n p p o o n o ukva a Toda p a o ud o a popa ud z a ona n n ko p k n v S znan o z a ˇ ud z zab oda n po azu n p ob p v n va av o va v a a k P pov d v kn g n po ka v zgodov n k za po d u a pak v og a u v od a hn h p k a o v ˇ h p o n konˇno n konˇa ko p k n v T u u zno a p v pog av po ˇ no o v ˇ n z 1 n 0 T a d Pog av 0 000000001 oznaˇ no v o k p d av a n ka z o a hn ga S d o pog av a k o po v o v ˇ na z 1 2 2 3 n 10 a o Po g av 13 zap Pog av 12a da vk uˇ v p pov d a o v až v a n g na ˇo a o d o pog av a o v ˇ na h o o v ob v p azn p o o u z n z ag na no no o V ako pog av na ponu a n ka zgodov n a a k p o poznava o ud po bn ud k o o u va a Kn ga boga o kovno op na v n v ko p h n zan v h aˇuna n k h k ak a ov a odavn h b po kav n d ug h upodob v o og afi n podobn h g ad v k a o op avka v V kako ponu a zan vo b an p ka ako zah v n b a zv ud a ka nov ga 2 , , . , . , , . . , , , . , . , , . D , , . . , π , = + √ , , , . , . , , , √ . . , . , , . , , . − . , , , . ,√ π . N , . N , , , , . , , . , , , , , , . , 10 m a t e m a t i k a presek 38 (2010/2011) 6 Križne vsote • • S števili se pravzaprav srečujemo vsepovsod, in to celo življenje, od najnežnejšega otroštva naprej. Brez zadržkov lahko rečemo, da ljudje uporablja- mo števila na vseh področjih svojega delovanja in bivanja. Števila ne sodijo samo v matematiko, z njimi imamo opravka v vsakdanjem življenju v zvezi z denarjem, še posebej v kriznih časih. S šte- vili se srečamo npr. v avtu, veliko jih je v naših osebnih dokumentih, koledarjih, da o računalnikih ne govorimo. Knjiga o številih nas na svojevrsten pripovedni način popelje skozi zgodovino razvoja pojma števila, od najpreprostejšega štetja in zapisa števil v sivi dav- nini naprej. Posebej je poudarjeno, kateri ljudje si lastijo posebne zasluge, da je znanje o številih ne- nehno napredovalo. Dandanes uporabljamo v zapi- sih števil in računanju z njimi ničlo in le malokdo pomisli, da je ljudje pred dva tisoč leti še niso upora- bljali, ampak da jo je nekdo moral izumiti. Prav tako se je godilo tudi z danes vsepovsod prisotnim dese- tiškim sistemom za zapis števil in ustreznimi štev- kami. Knjiga se ne more izogniti znanim številom, kot so krožno število π , zlato število φ = (1+ √ 5)/2, ki ga nekateri označujejo s τ , in število e, osnova naravnih logaritmov. Seveda izvemo tudi marsikaj o Pitagori in pitagorejcih, ki so svoj nauk o številih povzdignili skoraj na raven religije. Starogrška matematika je sicer dosegla marsikaj, saj je skoraj do podrobnosti obvladala racionalna števila, zataknilo pa se ji je pri iracionalnih številih, kakršno je na primer √ 2. Pi- tagorejci se z njim preprosto niso ukvarjali. Toda prej ali slej so se ljudje morali spopasti tudi z iraci- onalnimi, celimi in kompleksnimi števili. Seznanimo se še z marsičim, tudi z zablodami, nesporazumi in problemi prvenstva ter avtorstva v matematiki. Pripoved v knjigi ne poteka v zgodovinskem za- poredju, ampak v soglasju s števili, od majhnih prek malo večjih proti neskončnosti in se konča s kom- pleksnimi števili. Temu ustrezno sta prvi poglavji posrečeno oštevilčeni z −1 in 0. Tema sledi Poglavje 0,000000001, označeno s številom, ki predstavlja ne- kaj zelo majhnega. Sledijo poglavja, ki so po vrsti oštevilčena z 1, √ 2,φ,2, e,3, π in 10. Namesto Po- glavje 13 zapiše Poglavje 12a, da s tem vključi v pri- poved še malo vraževerja in igre na srečo. Nato sle- dijo še poglavja, oštevilčena s c, hitrostjo svetlobe v praznem prostoru, z ∞ in z i, imaginarno enoto. Vsako poglavje nam ponuja nekaj zgodovine mate- matike, sproti spoznavamo tudi pomembne ljudi, ki so jo ustvarjali. Knjiga je bogato likovno opremljena, v njej je ve- liko lepih in zanimivih računalniških slik, fraktalov, starodavnih risb, poslikav in drugih upodobitev, fo- tografij in podobnih gradiv, ki imajo opravka s šte- vili. Vsekakor ponuja zanimivo branje, pri katerem še tako zahteven bralec izve tudi marsikaj novega 2 in pri tem lahko uživa ob pogledu na izredno lepe ilustracije. Pri tem je morda najpomembnejše, da spozna, kako je matematika nastajala in se razvi- jala, kako so se rodila nekatera nova matematična področja in kateri so tisti dogodki, ob katerih lahko rečemo, da je matematika doživela znaten napredek. Še nekaj besed o avtorju. Britanski profesor Pe- ter John Bentley se je rodil leta 1972 in je zaposlen na University College v Londonu. Diplomiral je na področju umetne inteligence in pri svojih 24-ih letih doktoriral. Njegovo znanstveno področje sta raču- nalništvo in njegova uporaba, zlasti v biologiji. Napi- sal je kar nekaj del za popularizacijo matematičnih in računalniških znanosti, čemur se posveča tudi na javnih prireditvah ter na radiu. 3 www.dmfa.si www.presek.si Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zapore- dnih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v črnem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa mo- rajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) raz- lične. 1 5 3 14 11 19 10 13 9 8 7 14 15 15 19 49 1826 25518 618 96 5 314 1119 10 13 98 714 15 15 19 rešitev • • • 11 m a t e m a t i k a Eden najstarejših in verjetno tudi najlepših delov matematike je teorija števil. Mnogi veliki matema- tiki, od Pitagore in Evklida naprej, so prispevali k njenemu razvoju. Carl F. Gauss, veliki nemški mate- matik, ki je deloval v prvi polovici 19. stoletja, je to teorijo imenoval kar kraljica matematike. Verjetno si teorija števil ta naziv tudi zasluži. V njej namreč naj- demo bistvo matematike: preprosta vprašanja z raz- vejanimi odgovori in odprte probleme, okrog katerih nastajajo nove matematične teorije, ki širijo naše ve- denje o številih in s svojo uporabo segajo celo v naše vsakodnevno življenje. V slovenščini je kar nekaj knjig, ki obravnavajo teorijo števil. Nova knjiga avtorice Irene Majcen je pomemben kamenček v tem mozaiku. V njej so ob nalogah predstavljene osnove teorije števil. Na tak način je bralcu ponujen dvojni užitek: odkrivanje novega in uporaba že naučenega. Naloge so raz- deljene v tri poglavja: Deljivost, Reševanje celošte- vilskih enačb in Celoštevilske funkcije. Njihova te- žavnost je razpeta od lahkih nalog, katerih rešitev zahteva le kratek premislek, do trših orehov, ki jih lahko stremo le s poglobljeno analizo. Na srečo je avtorica dodala tudi rešitve nalog oziroma velikokrat kar celoten potek reševanja. To je velika prednost te knjige, saj jo lahko uporabimo kot učbenik za samo- stojno učenje. Prepričan sem, da bo knjiga popestrila marsikatero urico učencem in dijakom, ki radi trejo matematične orehe. Veseli pa je bodo tudi njihovi učitelji, saj jim bo v pomoč pri pripravah na mate- matična tekmovanja. Na koncu, za pokušino, zastavimo bralcu vpraša- nje. Ali obstajata dve zaporedni naravni števili, ka- terih zmnožek je število 123 456 789? Kaj pa zapo- redni naravni števili, katerih zmnožek je 12 345 678? Na eno od obeh vprašanj lahko hitro odgovorimo, na drugo pa potem, ko polistamo po knjigi. Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po članski ceni 14,39 EUR. 2 Eden najstarejših in verjetno tudi najlepših delov matematike je teorija števil. Mnogi veliki matema- tiki, od Pitagore in Evklida naprej, so prispevali k njenemu razvoju. Carl F. Gauss, veliki nemški mate- matik, ki je deloval v prvi polovici 19. stoletja, je to teorijo imenoval kar kraljica matematike. Verjetno si teorija števil ta naziv tudi zasluži. V njej namreč naj- demo bistvo matematike: preprosta vprašanja z raz- vejanimi odgovori in odprte probleme, okrog katerih nastajajo nove matematične teorije, ki širijo naše ve- denje o številih in s svojo uporabo segajo celo v naše vsakodnevno življenje. V slovenščini je kar nekaj knjig, ki obravnavajo teorijo števil. Nova knjiga avtorice Irene Majcen je pomemben kamenček v tem mozaiku. V njej so ob nalogah predstavljene osnove teorije števil. Na tak način je bralcu ponujen dvojni užitek: odkrivanje novega in uporaba že naučenega. Naloge so raz- deljene v tri poglavja: Deljivost, Reševanje celošte- vilskih enačb in Celoštevilske funkcije. Njihova te- žavnost je razpeta od lahkih nalog, katerih rešitev zahteva le kratek premislek, do trših orehov, ki jih lahko stremo le s poglobljeno analizo. Na srečo je avtorica dodala tudi rešitve nalog oziroma velikokrat kar celoten potek reševanja. To je velika prednost te knjige, saj jo lahko uporabimo kot učbenik za samo- stojno učenje. Prepričan sem, da bo knjiga popestrila marsikatero urico učencem in dijakom, ki radi trejo matematične orehe. Veseli pa je bodo tudi njihovi učitelji, saj jim bo v pomoč pri pripravah na mate- matična tekmovanja. Na koncu, za pokušino, zastavimo bralcu vpraša- nje. Ali obstajata dve zaporedni naravni števili, ka- terih zmnožek je število 123 456 789? Kaj pa zapo- redni naravni števili, katerih zmnožek je 12 345 678? Na eno od obeh vprašanj lahko hitro odgovorimo, na drugo pa potem, ko polistamo po knjigi. Knjižico lahko naročite pri DMFA–založništvo po članski ceni 14,39 EUR. 2 Presek 38 (2010/2011) 6 Irena Majcen: Smelo na Olimp, 303 naloge iz teorije števil janko bračič • 12 f i z i k a presek 38 (2010/2011) 6 Atome so iz antične grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki so se zanimali za velikost atomov, je bil Thomas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil Esej o koheziji tekočin in dvanajst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- speval geslo Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisali silo, ki „telesa drži skupaj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presekom, vzporednim z osnovnima plo- skvama, razdelimo na dva dela. Vsak od njiju deluje s privlačno silo, kohezijo F0, na drugega. Pravokotno na presek moramo premagati to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi pa prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na osnovno ploskev. Young je razmerje med dolžino l obremenjene prizme in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na polovico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizma pretrga. Za relativno spremembo velja zveza, ki jo dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitivna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na stisk, se njena dolžina zmanjša. Če je dodatna sila negativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- datna sila veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . Kohezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne gostote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zapišemo minusa. Prožnostni modul E imenujemo tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – z današnjimi besedami – prožno- stni modul izenačil z natezno trdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri se prizma pretrga. Četudi sta bili zamisel in pot do rezultata sporna, enačba velja. V njej prepoznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient k postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antične grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki so se zanimali za velikost atomov, je bil Thomas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil Esej o koheziji tekočin in dvanajst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- speval geslo Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisali silo, ki „telesa drži skupaj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presekom, vzporednim z osnovnima plo- skvama, razdelimo na dva dela. Vsak od njiju deluje s privlačno silo, kohezijo F0, na drugega. Pravokotno na presek moramo premagati to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi pa prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na osnovno ploskev. Young je razmerje med dolžino l obremenjene prizme in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na polovico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizma pretrga. Za relativno spremembo velja zveza, ki jo dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitivna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na stisk, se njena dolžina zmanjša. Če je dodatna sila negativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- datna sila veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . Kohezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne gostote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zapišemo minusa. Prožnostni modul E imenujemo tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – z današnjimi besedami – prožno- stni modul izenačil z natezno trdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri se prizma pretrga. Četudi sta bili zamisel in pot do rezultata sporna, enačba velja. V njej prepoznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient k postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 . . , , . . , . , . , , . , , . , . , . , , : . , , . , , . , , : , , , . , , , . , . , . . , , , , . , . , . t s i ti rš isli r sl j sli i i t . st l tj . r i i i i, i s s i li li st t , j il s ( – ). ji j ri - lj l r išj j r sti tr i t l s i t - i . i r j j lj t , j i il is l s tl i t l j et je j il sej eziji te ci i jst let eje rit s e ci l e ij ri- s e l esl ezij . e j s s ezij is li sil , i „teles r i s j“. ri i tr e s i isli s rese , re i s i l - s , r eli el . s jij el je s ri l c sil , e ij 0, r e . r t rese r re ti t sil , ri re- tr . s l s e ri e e , r i ri re e i stis t sil r t s l s e . je r erje e l i l re e je e ri e i cet l- i e re e je e ri e l0 i r il l l0 0 0 . e i t e sile, , se l i e s re e i: l/l0 . e je t sil e e iji, 0, se l i s rci l ic l/l0 12 . e s t li š sil ri re e i te , 0, r erje l/l0 r ste ce se eje i se ri retr . rel ti s re e elj e , i j i , ce le e i es e str i e c e šteje : l l0 l0 0 . e je t sil iti , r e i, ri re e i stis , se je l i jš . e je t sil e ti , r e i, ri re e i te , se l i ec . e je - t sil eli jš e ije 0, l i e lc e ri r ti 0 i elj l l0 l0 0 . e ij 0 je is l t r t l s e st te e ije 0/ i rese ri e . - es r lj e c (l l0)/l0 /( ), le c si e iše i s . r ž st i l i e je t i l. rejš j e c e, je – š ji i ese i – r - st i l i e cil tez tr stj , t je te- sil , rer c e t rese , ri teri se ri retr . et i st ili isel i t re lt t s r , e c elj . jej re s (l l0), tere - e cie t st i /l0 i se e e i re . A o e o z an čne g ke v na avo ov e zane ke k na zače ku 19. o e a. ed p v fiz k , k o e zan a za ve ko a o ov, e b Tho a Young 1773 1829 . Do n h ga e p pe a o az an e o p ožno dn h e e n eko č n. S ce e Young na bo znan po e , da e ož v za e o ve ob ko va ovan u L a 1804 Young ob av E o koh koˇ n n dvana pozn za B an ko n k op d o p p va g o Koh a. T da o koh o op a o, k a d ž kupa . P z o z dn nov v h p ko , vzpo dn z o novn a p o kva a, azd o na dva d a. V ak od n u d u p v aˇno o, koh z o F , na d ug ga. P avoko no na p k o a o p aga o o, da p z o p ga o. O novno p o k v p z vpn o, na d ug pa p z o ob n o na k z doda no o F p avoko no na o novno p o k v. Young az d do ž no ob n n p z n zaˇ no do ž no n ob n n p z z az z = F F + F Č n doda n , F = 0, do ž na n p n : = 1. Č doda na a naka koh z , F = F , do ž na k ˇ na po ov o = . Č o k no o p z o ob n o na na g, F = −F , az na a ˇ z v n p z a p ga. Za a vno p bo v a zv za, k o dob o, ˇ od v n d n an naˇb od o 1: − = − F F + F Č doda na a poz vna, ka po n , da p z o ob n o na k, n na do ž na z an a. Č doda na a n ga vna, ka po n , da p z o ob n o na na g, do ž na pov ˇa. Č do da na a v ko an a od koh z F , ahko F v nova u zan a o p o F n v a − = − F F = − F ES Koh z o F Young zap a ko p oduk p o kovn go o koh z E = F S n p ka p z S. Da n upo ab a o naˇbo − = −F ES , da vˇa h n zap o nu a. P o no n odu E nu o ud Youngov odu . P n a naˇba kaž , da Young z dana n b da p ožno n odu z naˇ z na no dno o, o z na zno o, p aˇunano na no o p ka, p ka p z a p ga. Č ud a b za n po do zu a a po na, naˇba v a. V n p pozna o Hookov zakon F = k = k − , v ka ga za ko fi n k po av o k = ES n n n o za p dznak. 2 i i i li l j li i i l j i i i i i i li li j il ( ) ji j i - lj l i j j i i l i - i i j j lj j i il i l l i l j j j il j iji t i i j l j it i l ij i- l l ij j ij i li il i l i j i i i i li i i l - li l jij l j i l il ij i il i - l i i i i i il l j j l i j i i l- i j i i il . i il l i i j il iji l i i l i li il i i j j i i l i lj i j i l i i j . j il i i i i i i j l i j j il i i i i l i j - il li j ij l i l i i i lj . ij j i l l ij i i - lj l i i i t i l i j i l j j j ji i i - i l i il t t tj j - il i i i i ili i l i l lj j j - i i i i t s t rš s r s s t . st t . r , s s st t , s – . r r š r st tr t s t . r t , s s t t et e se ez e c st et e e r s e c e r s e es ez . e s s ez s s , „te es r s “. r tr e s s s rese , re s s , r e e . s e e s r c s , e 0, r e . r t rese r re t t s , r re tr . s s e r e e , r r re e st s t s r t s s e . e r er e e l re e e e r e cet e re e e e r e l0 r l l0 0 0 e t e s e, , se e s re e : l/l0 . e e t s e e , 0, se s rc c l/l0 12 . e s t š s r re e te , 0, r er e l/l0 r ste ce se e e se r retr . re t s re e e e , , ce e e es e str e c e šte e : l l0 l0 0 e e t s t , r e , r re e st s , se e š . e e t s e t , r e , r re e te , se ec . e e t s e š e e 0, e c e r r t 0 e l l0 l0 0 e 0 e s t r t s e st te e e 0/ rese r e . es r e c (l l0)/l0 /( ), e c s e še s . r ž s e e t . re š e c e, e – š ese – r st e c ez r s , t e te s , rer c e t rese , r ter se r retr . et st se t re t t s r , e c e . e re s (l l0), tere e c e t st /l0 se e e re . • janez strnad Atomi, molekule in prožnostni modul, stisljivost, površinska napetost 13 f i z i k a Izbor podatkov kaže, da se prožnostni modul zna- tno razlikuje od natezne trdnosti. Tabela 1 Gigapascal, GPa, je 109 N/m2 in megapascal, MPa, 106 N/m2. Preglednica poleg prožnostnega modula in natezne trdnosti navaja še mejo. Mejo sorazmer- nosti, pri kateri podaljšek ali skrček preneha biti so- razmeren s silo, bi morali razločiti od meje prožno- sti, po kateri podaljšek ali skrček ne izgineta popol- noma, ko sila preneha. Merjenje pa je zahtevno in nenatančno, o čemer pričajo navedeni intervali. Zato se zadovoljimo z enim samim podatkom za mejo. Young je premislek razširil na tekočino v cevki z batom s presekom S. Pri tem je prožnostni mo- dul nadomestil z obratno vrednostjo stisljivosti. Sti- sljivost vpeljemo kot kvocient zmanjšanja relativne prostornine tekočine in tlaka ∆p = F/S, ki povzroči zmanjšanje prostornine: χ = −(∆V/V)/∆p. Tako je Young za tekočino v cevki dobil (l− l0)/l0 = −χF/S. V Youngovih časih so navedli, da bi se navpičen stolpec vode zaradi teže pretrgal pri višini l0 = 2,29· 105 m. Če upoštevamo, da je po Youngu kohezija enaka „natezni trdnosti“, dobimo χ = 1/(F0/S) = 1/(ρgl0). To da za stisljivost vode 4,4 · 10−10 (N/m2)−1. Najbrž so prišli do podatka o dolžini stolpca vode, ki se pretrga zaradi teže, po izmerjeni stisljivosti vode. V tablicah najdemo pri sobni temperaturi za stislji- vost vode 4,6 · 10−10 (N/m2)−1. Glede višine, pri kateri se stolpec pretrga zaradi teže, so se motili. Leta 1950 so ugotovili, da se stol- pec vode pretrga pri negativnem tlaku 290 barov = 290 · 105 N/m2, ki mu ustreza stolpec z višino 2900 metrov. Vodo so dali v cevko z obliko črke Z in jo vrteli v centrifugi z naraščajočo frekvenco. Stolpec vode se je pretrgal pri frekvenci, ki je ustrezala na- vedenemu tlaku. Vodo so prekuhali in jo pred posku- som za kratek čas izpostavili velikemu tlaku, da so iz nje izgnali vse mehurčke. Izmerjeni tlak se je tudi dobro ujemal z napovedjo enačbe stanja za pline, ki se utekočinijo. Young je vpeljal še površinsko napetost in za vodo zanjo nameril v današnjih enotah 0,075 N/m. Osre- dotočil se je na plast vode pod gladino z debelino dosega sil med molekulami d. Ugotovil je, da naj bi bila površinska napetost enaka tretjini ploskovne gostote kohezije, pomnožene z debelino te plasti: γ = 13(F0/S)d = 1 3χd. Z navedenima podatkoma je dobil za doseg: d = 3χγ = 0,1 nm . To je samo malo manj od današnje ocene za pre- mer atomov. Young pa je molekule imel še za veliko 3 Izbor podatkov kaže, da se prožnostni modul zna- tno razlikuje od natezne trdnosti. Tabela 1 Gigapascal, GPa, je 109 N/m2 in megapascal, MPa, 106 N/m2. Preglednica poleg prožnostnega modula in natezne trdnosti navaja še mejo. Mejo sorazmer- nosti, pri kateri podaljšek ali skrček preneha biti so- razmeren s silo, bi morali razločiti od meje prožno- sti, po kateri podaljšek ali skrček ne izgineta popol- noma, ko sila preneha. Merjenje pa je zahtevno in nenatančno, o čemer pričajo navedeni intervali. Zato se zadovoljimo z enim samim podatkom za mejo. Young je premislek razširil na tekočino v cevki z batom s presekom S. Pri tem je prožnostni mo- dul nadomestil z obratno vrednostjo stisljivosti. Sti- sljivost vpeljemo kot kvocient zmanjšanja relativne prostornine tekočine in tlaka ∆p = F/S, ki povzroči zmanjšanje prostornine: χ = −(∆V/V)/∆p. Tako je Young za tekočino v cevki dobil (l− l0)/l0 = −χF/S. V Youngovih časih so navedli, da bi se navpičen stolpec vode zaradi teže pretrgal pri višini l0 = 2,29· 105 m. Če upoštevamo, da je po Youngu kohezija enaka „natezni trdnosti“, dobimo χ = 1/(F0/S) = 1/(ρgl0). To da za stisljivost vode 4,4 · 10−10 (N/m2)−1. Najbrž so prišli do podatka o dolžini stolpca vode, ki se pretrga zaradi teže, po izmerjeni stisljivosti vode. V tablicah najdemo pri sobni temperaturi za stislji- vost vode 4,6 · 10−10 (N/m2)−1. Glede višine, pri kateri se stolpec pretrga zaradi teže, so se motili. Leta 1950 so ugotovili, da se stol- pec vode pretrga pri negativnem tlaku 290 barov = 290 · 105 N/m2, ki mu ustreza stolpec z višino 2900 metrov. Vodo so dali v cevko z obliko črke Z in jo vrteli v centrifugi z naraščajočo frekvenco. Stolpec vode se je pretrgal pri frekvenci, ki je ustrezala na- vedenemu tlaku. Vodo so prekuhali in jo pred posku- som za kratek čas izpostavili velikemu tlaku, da so iz nje izgnali vse mehurčke. Izmerjeni tlak se je tudi dobro ujemal z napovedjo enačbe stanja za pline, ki se utekočinijo. Young je vpeljal še površinsko napetost in za vodo zanjo nameril v današnjih enotah 0,075 N/m. Osre- dotočil se je na plast vode pod gladino z debelino dosega sil med molekulami d. Ugotovil je, da naj bi bila površinska napetost enaka tretjini ploskovne gostote kohezije, pomnožene z debelino te plasti: γ = 13(F0/S)d = 1 3χd. Z navedenima podatkoma je dobil za doseg: d = 3χγ = 0,1 nm . To je samo malo manj od današnje ocene za pre- mer atomov. Young pa je molekule imel še za veliko 3 Izbor podatkov kaže, da se prožnostni modul zna- tno razlikuje od natezne trdnosti. Tabela 1 Gigapascal, GPa, je 109 N/m2 in megapascal, MPa, 106 N/m2. Preglednica poleg prožnostnega modula in natezne trdnosti navaja še mejo. Mejo sorazmer- nosti, pri kateri podaljšek ali skrček preneha biti so- razmeren s silo, bi morali razločiti od meje prožno- sti, po kateri podaljšek ali skrček ne izgineta popol- noma, ko sila preneha. Merjenje pa je zahtevno in nenatančno, o čemer pričajo navedeni intervali. Zato se zadovoljimo z enim samim podatkom za mejo. Young je premislek razširil na tekočino v cevki z batom s presekom S. Pri tem je prožnostni mo- dul nadomestil z obratno vrednostjo stisljivosti. Sti- sljivost vpeljemo kot kvocient zmanjšanja relativne prostornine tekočine in tlaka ∆p = F/S, ki povzroči zmanjšanje prostornine: χ = −(∆V/V)/∆p. Tako je Young za tekočino v cevki dobil (l− l0)/l0 = −χF/S. V Youngovih časih so navedli, da bi se navpičen stolpec vode zaradi teže pretrgal pri višini l0 = 2,29· 105 m. Če upoštevamo, da je po Youngu kohezija enaka „natezni trdnosti“, dobimo χ = 1/(F0/S) = 1/(ρgl0). To da za stisljivost vode 4,4 · 10−10 (N/m2)−1. Najbrž so prišli do podatka o dolžini stolpca vode, ki se pretrga zaradi teže, po izmerjeni stisljivosti vode. V tablicah najdemo pri sobni temperaturi za stislji- vost vode 4,6 · 10−10 (N/m2)−1. Glede višine, pri kateri se stolpec pretrga zaradi teže, so se motili. Leta 1950 so ugotovili, da se stol- pec vode pretrga pri negativnem tlaku 290 barov = 290 · 105 N/m2, ki mu ustreza stolpec z višino 2900 metrov. Vodo so dali v cevko z obliko črke Z in jo vrteli v centrifugi z naraščajočo frekvenco. Stolpec vode se je pretrgal pri frekvenci, ki je ustrezala na- vedenemu tlaku. Vodo so prekuhali in jo pred posku- som za kratek čas izpostavili velikemu tlaku, da so iz nje izgnali vse mehurčke. Izmerjeni tlak se je tudi dobro ujemal z napovedjo enačbe stanja za pline, ki se utekočinijo. Young je vpeljal še površinsko napetost in za vodo zanjo nameril v današnjih enotah 0,075 N/m. Osre- dotočil se je na plast vode pod gladino z debelino dosega sil med molekulami d. Ugotovil je, da naj bi bila površinska napetost enaka tretjini ploskovne gostote kohezije, pomnožene z debelino te plasti: γ = 13(F0/S)d = 1 3χd. Z navedenima podatkoma je dobil za doseg: d = 3χγ = 0,1 nm . To je samo malo manj od današnje ocene za pre- mer atomov. Young pa je molekule imel še za veliko 3 Presek 38 (2010/2011) 6 Atome so iz antične grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki so se zanimali za velikost atomov, je bil Thomas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil Esej o koheziji tekočin in dvanajst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- speval geslo Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisali silo, ki „telesa drži skupaj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presekom, vzporednim z osnovnima plo- skvama, razdelimo na dva dela. Vsak od njiju deluje s privlačno silo, kohezijo F0, na drugega. Pravokotno na presek moramo premagati to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi pa prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na osnovno ploskev. Young je razmerje med dolžino l obremenjene prizme in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na polovico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizma pretrga. Za relativno spremembo velja zveza, ki jo dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitivna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na stisk, se njena dolžina zmanjša. Če je dodatna sila negativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- datna sila veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . Kohezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne gostote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zapišemo minusa. Prožnostni modul E imenujemo tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – z današnjimi besedami – prožno- stni modul izenačil z natezno trdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri se prizma pretrga. Četudi sta bili zamisel in pot do rezultata sporna, enačba velja. V njej prepoznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient k postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antične grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki so se zanimali za velikost atomov, je bil Thomas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil Esej o koheziji tekočin in dvanajst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- speval geslo Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisali silo, ki „telesa drži skupaj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presekom, vzporednim z osnovnima plo- skvama, razdelimo na dva dela. Vsak od njiju deluje s privlačno silo, kohezijo F0, na drugega. Pravokotno na presek moramo premagati to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi pa prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na osnovno ploskev. Young je razmerje med dolžino l obremenjene prizme in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na polovico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizma pretrga. Za relativno spremembo velja zveza, ki jo dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitivna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na stisk, se njena dolžina zmanjša. Če je dodatna sila negativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- datna sila veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . Kohezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne gostote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zapišemo minusa. Prožnostni modul E imenujemo tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – z današnjimi besedami – prožno- stni modul izenačil z natezno trdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri se prizma pretrga. Četudi sta bili zamisel in pot do rezultata sporna, enačba velja. V njej prepoznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient k postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antične grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki so se zanimali za velikost atomov, je bil Thomas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil Esej o koheziji tekočin in d anajst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- speval geslo Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisali silo, ki „telesa drži sku aj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presek m, vzporednim z osnovnima plo- skvama, razdelim na dva del . Vsak od njiju deluje s privlačno silo, k hezijo F0, na drugega. Pravokotno na presek moramo premagati to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi a prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na snovno ploskev. You g je razmerje med dolžino l obremenjene pri me in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na pol vico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizma pretrga. Za relativno spremembo velja zveza, ki j dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitiv a, kar pomeni, da prizmo obremenimo na stisk, se njena dolžina zmanjša. Če je dodatna sila egativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- dat a sila veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . K hezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne gostote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zapišemo minusa. Prožnostni modul E imenujem tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – današ jimi besedami – prožno- stni modul izenačil z natezno trdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri se prizma retrga. Četudi sta bili zamisel in pot d rezultata sp rna, enačba velja. V njej prepoznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antičn grške mis i v naravoslovje zanesli kemiki n začetku 19. stole j . Med prvimi fiziki, ki s se zanimali za velikost atomov, je bil Th m s Young (1773–1829). Do njih ga je pripe ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil E ej o koheziji tekočin in d najst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- peval ges o Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisal silo, k „telesa drži sku aj“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s presek m, vzpor dnim z osnovnima plo- kvam , razdelim na dva del . Vsak od njiju deluje s privlačno silo, k hezijo F0, na drugeg . Pravokotno na presek moramo premagat to silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi a prizmo obremenimo na stisk z dodatno silo F pravokotno na snovno ploskev. You g je razmerje med dolžino l obremenjen pr me in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, se dolžina skrči na pol vico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nateg, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizm pretrga. Za r lativno spr membo velja zveza, ki j dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je dodatna sila pozitiv a, kar pomeni, d prizmo obremenimo n stisk, se njena dolžina zm njša. Če je dodatna sil egativna, kar pomeni, da prizmo obremenimo na nateg, se dolžina poveča. Če je do- dat a si a veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . K hezijo F0 je Young zapisal kot produkt ploskovne go tote kohezije E = F0/S in preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le da včasih ne zap šemo minusa. Prožnostni modul E imenuj m tudi Youngov modul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – današ jimi besedami – prožno stni modul izenačil z natezno rdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na enoto preseka, pri kateri s prizma retrga. Četudi sta bili zamisel in pot d rezultata sp rna, enačba velja. V njej p poznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antičn grške mis i v naravoslovje zanesli kemiki n začetku 19. stole j . Med prvimi fiziki, ki s se zanimali za velikost atomov, je bil Th m s Young (1773–1829). Do njih ga je pripe ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil E ej o ko eziji tekočin in d najst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- peval ges o Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisal ilo, k „telesa drži sku j“. Prizmo iz trdne snovi v mislih s prese m, vzpor dnim z osnovnima plo- kvam , razdeli na dva del . Vsak od njiju deluje s privlačno silo, k hezijo F0, na drugeg . Pravokotno n presek moramo premag t o silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi a prizmo bremenimo a stisk z dod tno silo F pravokotno na s ovno ploskev. You g je razmerje med dolžino l obremenjen pr me in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji, F = F0, s dolžina skrči na pol vico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nat g, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizm pretrga. Za r lativno spr membo velja zveza, ki j dobimo, če od eve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je odatna sila pozitiv a, kar pomeni, i i stisk, se njena dolžina zm njša. Če je dodatna sil egativna, kar pom ni, d prizmo obremenimo na nateg, se d lžina poveča. Če je do- dat a si a veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . K hezijo F0 je Y ung zapisal kot produkt ploskovn go tote koh zije E = F0/S i preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le d včasih ne zap šemo mi usa. Prožnostni modul E imenuj m tudi Youngov mo ul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – da š jimi besedami – prožno tni modul izenačil z natezno rdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na noto preseka, ri k teri s prizma retrga. Četudi sta bili zamisel in pot d rezultata sp rna, enačba velja. V njej p poznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antičn grške misli v naravoslovje zanesli kemiki na začetku 19. stoletja. Med prvimi fiziki, ki s se zanimali za velikost atomov, je bil Th mas Young (1773–1829). Do njih ga je pripe- ljalo razmišjanje o prožnosti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil E ej o ko eziji tekočin in d najst let pozneje za Britansko enciklopedijo pri- peva ges o Kohezija. Tedaj so s kohezijo opisal ilo, k „telesa drži sku j“. Prizmo iz trdne snovi v m s ih s prese m, vzpor dnim z osnovnima plo- kvam , razdeli na dva del . Vsak od nj ju deluje s privlačno silo, k hezijo F0, na drugeg . Pravokotno n presek moramo premag t o silo, da prizmo pre- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi a prizmo bremenimo a stisk z dod tno silo F pravokotno na s ovno ploskev. You g je razmerje med dolžino l obremenjen pr me in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, se dolžina ne spremeni: l/l0 = 1. Če je dodatna sila enaka koheziji F = F0, s dolžina skrči na pol vico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obremenimo na nat g, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizm pretrga. Za r lativno spr membo velja zveza, ki j dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je odatna sila pozitiv a, kar pomeni, a stisk, se njena dolžina zm njša. Če je dodatna sil egativna, kar pom ni, d prizmo obremenimo na nateg, se d lžina poveča. Če je do- dat a si a veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . K hezijo F0 e Y ung zapisal kot produkt ploskovn go tote koh zije E = F0/S i preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le d včasih ne zap šemo mi usa. Prožnostni modul E imenuj m tudi Youngov mo ul. Prejšnja enačba kaže, da je Young – da š jimi besedami – prožno tni modul izenačil z natezno rdnostjo, to je z nate- zno silo, preračunano na noto preseka, ri k teri s prizma retrga. Četudi sta bili zamisel in pot d rezultata sp rna, enačba velja. V njej p poznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Atome so iz antičn grške mis i v naravoslovje zanesli kemiki n začetku 19. st le j . Med prvimi fiziki, ki s se zanimali za velikost atomov, j bil Th m s Young (1773–1829). Do njih ga je pripe lj lo razmišjanje o prožn sti trdnih teles in teko- čin. Sicer je Young najbolj znan po tem, da je oživil zamisel o svetlobi kot valovanju Leta 1804 je Young objavil E ej o ko eziji tekočin in d naj t let pozneje a B ita sko enciklopedijo ri- peva ges o Kohezij . Te aj so s k hezijo opisal ilo, k „telesa drži sku j“. Prizmo iz trdne snovi v m s ih s prese m, vzpor dnim z osnovni a lo- kva , razdeli na dva del . Vsak od nj ju del je s privlačn silo, k hezij F0, na drugeg . Pravokotno n presek moramo premag t o sil , da prizmo p e- trgamo. Osnovno ploskev prizme vpnemo, na drugi a prizmo bremenimo a stisk z dod tno silo F pravokotno na s ovno ploskev. You g je razmerje med dolžino l obremenjen pr me in začetno dol- žino neobremenjene prizme l0 izrazil z l l0 = F0 F0 + F . Če ni dodatne sile, F = 0, s dolžina ne spre ni: = 1. Č je dodatna sila enaka koheziji F = F0, s dolžina skrči na pol vico l/l0 = 12 . Če s tolikšno silo prizmo obrem nimo na nat g, F = −F0, razmerje l/l0 naraste čez vse meje in se prizm pretrga. Za r lativno spr membo velja zveza, ki j dobimo, če od leve in desne strani enačbe odštejemo 1: l− l0 l0 = − F F0 + F . Če je odatna sila pozitiv a, kar pomeni, a stisk, se njena dolžina zm njša. Če je dodatna sil egativna, kar pom ni, d prizmo obremenimo na nateg, se d lžina poveča. Če je do- dat a si a veliko manjša od kohezije F0, lahko F v imenovalcu zanemarimo proti F0 in velja l− l0 l0 = − F F0 = − F ES . K hezijo F0 e Y ung zapisal kot produkt ploskovn go tote koh zije E = F0/S i preseka prizme S. Da- nes uporabljamo enačbo (l − l0)/l0 = −F/(ES), le d včasih ne z p šemo mi usa. Prožnostni modul E imenuj m tudi Youngov mo ul. Prejšnja en čba kaže, da je Young – da š jimi besedami – pr žno tni modul ize čil z natezno rdnostjo, to je nate- zn silo, preračunano na noto preseka, ri k teri s prizma retrga. Četudi sta bili zamisel in pot d rezultata sp rna, enačba velja. V njej p poznamo Hookov zakon F = ks = k(l − l0), v katerega za ko- eficient postavimo k = ES/l0 in se ne menimo za predznak. 2 Izbor podatkov kaže, da se prožnostni odul zna- tno razli uje od natezne trdnosti. Tabela 1 Gigapascal, GPa, je 109 N/m2 in megapascal, MPa, 106 N/m2. Preglednica poleg prožnostnega modula in natezne trdnosti navaja še mejo. Mejo sorazmer- nosti, pri kateri podaljšek ali skrček preneha biti so- razmeren s silo, bi morali razločiti od meje prožno- sti, po kateri podaljšek ali skrček ne izgineta popol- noma, ko sila preneha. Merjenje pa je zahtevno in nenatančno, o čemer pričajo navedeni intervali. Zato se zadovoljimo z enim samim podatkom za mejo. Young je premislek razširil na tekočino v cevki z batom s presekom S. Pri tem je prožnostni mo- dul nadomestil z obratno vrednostjo stisljivosti. Sti- sljivost vpeljemo kot kvocient zmanjšanja relativne prostornine tekočine in tlaka ∆p = F/S, ki povzroči zmanjšanje prostornine: χ = −(∆V/V)/∆p. Tako je Young za tekočino v cevki dobil (l− l0)/l0 = −χF/S. V Youngovih časih so navedli, da bi se navpičen stolpec vode zaradi teže pretrgal pri višini l0 = 2,29· 105 m. Če upoštevamo, da je po Youngu kohezija enaka „natezni trdnosti“, dobimo χ = 1/(F0/S) = 1/(ρgl0). To da za stisljivost vode 4,4 · 10−10 (N/m2)−1. Najbrž so prišli do podatka o dolžini stolpca vode, ki se pretrga zaradi teže, po izmerjeni stisljivosti vode. V tablicah najdemo pri sobni temperaturi za stislji- vost vode 4,6 · 10−10 (N/m2)−1. Glede višine, pri kateri se stolpec pretrga zaradi teže, so se motili. Leta 1950 so ugotovili, da se stol- pec vode pretrga pri negativnem tlaku 290 barov = 290 · 105 N/m2, ki mu ustreza stolpec z višino 2900 metrov. Vodo so dali v cevko z obliko črke Z in jo vrteli v centrifugi z naraščajočo frekvenco. Stolpec vode se je pretrgal pri frekvenci, ki je ustrezala na- vedenemu tlaku. Vodo so prekuhali in jo pred posku- som za kratek čas izpostavili velikemu tlaku, da so iz nje izgnali vse mehurčke. Izmerjeni tlak se je tudi dobro ujemal z napovedjo enačbe stanja za pline, ki se utekočinijo. Young je vpeljal še površinsko napetost in za vodo zanjo nameril v današnjih enotah 0,075 N/m. Osre- dotočil se je na plast vode pod gladino z debelino dosega sil med molekulami d. Ugotovil je, da naj bi bila površinska napetost enaka tretjini ploskovne gostote kohezije, pomnožene z debelino te plasti: γ = 13(F0/S)d = 1 3χd. Z navedenima podatkoma je dobil za doseg: d = 3χγ = 0,1 nm . To je samo malo manj od današnje ocene za pre- mer atomov. Young pa je molekule imel še za veliko 3 snov E meja trdnost aluminij 70 GPa 15 do 20 MPa 40 do 50 MPa baker 130 33 212 titan 120 100 do 225 140 do 370 volfram 411 550 550 do 620 • 14 f i z i k a Tudi če niste načrtno izvedli preizkusa, ki smo vam ga predlagali, ste ga morda kdaj izvedli nena- črtno. Če ste na vrhu smučišča popili pijačo in oko- lju prijazno sami odnesli v nahrbtniku plastenko v dolino, ste ugotovili to, na kar vas danes želimo opozoriti. Plastenka se je skrčila. Poglejmo rezultate našega poskusa. Namenoma je poskus potekal v nekoliko večjem višinskem razpo- nu, kot je za naše hribe običajno. Z gondolo smo se povzpeli namreč na goro visoko zelo blizu 3000 m (Schilthorn 2970 m), na vrhu smo izpraznili pla- stenko (za občutek si jo oglejte na sliki 1), nato pa smo se s plastenko v nahrbtniku začeli spuščati v dolino. Vmes smo se ustavili na planinski postojanki 1000 m nižje (slika 2), ogledali pa smo si jo tudi v do- lini na višini okoli 750 m (Lauterbrunnen 759 m), kar lahko vidimo na sliki 3. Slika 1, 2, 3 Prostornina plastenke se je občutno zmanjšala. Za- kaj le? V vsakdanjem življenju se gibljemo po dnu oceana zraka. Teža zraka nad nami povzroča tlak 1 bar. Ko pa se dvignemo v višino, se debelina plasti zraka nad nami zmanjša, zato se zmanjša tudi tlak. Na naše občutje sprememba tlaka ne vpliva ne vem koliko. Seveda se v višinah, zaradi redkejšega zraka in manjše vsebnosti kisika, hitreje zadihamo. Poleg občasnih glavobolov, je to običajno tudi vse, dokler se gibljemo na višinah nekako do tri ali štiri tisoč me- trov. Čutila, ki bi nam povedalo zračni tlak, nimamo, čeprav ljudje radi ob spremembi vremena trdijo vse mogoče o svojih občutjih sprememb tlaka. Če se tlak spremeni, se spremenijo tudi prostor- nine teles. Medtem, ko so te spremembe v trdnih snoveh in tekočinah zelo majhne, dokler hodimo le na planinske izlete, pa za zrak pri teh tlakih to ne velja. Za zrak pri približno stalni temperature velja Boylov zakon, ki pravi, da je produkt tlaka in pro- stornine plina stalen (p0V0 = p1V1). Zato ima zrak v višinah manjšo gostoto, saj se zaradi manjšega tlaka njegova prostornina poveča. Naša plastenka je poka- zala prav to. Na višini je bila polna zraka pri nižjem tlaku. Zaprli smo jo dovolj tesno, da se zrak v njej ni mogel izmenjevati. S spuščanjem v dolino se je tlak povečeval, stiskal plastenko in zrak v njej. Prostor- nina zraka v plastenki se je zmanjševala. Vidimo, da pri 2000 m višinske razlike je učinek vse prej kot zanemarljiv. Plastenka je na sliki 3 kar precej tanka. 2 Izbor podatkov kaže, da se prožnostni modul zna- tno razlikuje od natezne trdnosti. Tabela 1 Gigapascal, GPa, je 109 N/m2 in megapascal, MPa, 106 N/m2. Preglednica poleg prožnostnega modula in natezne trdnosti navaja še mejo. Mejo sorazmer- nosti, pri kateri podaljšek ali skrček preneha biti so- razmeren s silo, bi morali razločiti od meje prožno- sti, po kateri podaljšek ali skrček ne izgineta popol- noma, ko sila preneha. Merjenje pa je zahtevno in nenatančno, o čemer pričajo navedeni intervali. Zato se zadovoljimo z enim samim podatkom za mejo. Young je premislek razširil na tekočino v cevki z batom s presekom S. Pri tem je prožnostni mo- dul nadomestil z obratno vrednostjo stisljivosti. Sti- sljivost vpeljemo kot kvocient zmanjšanja relativne prostornine tekočine in tlaka ∆p = F/S, ki povzroči zmanjšanje prostornine: χ = −(∆V/V)/∆p. Tako je Young za tekočino v cevki dobil (l− l0)/l0 = −χF/S. V Youngovih časih so navedli, da bi se navpičen stolpec vode zaradi teže pretrgal pri višini l0 = 2,29· 105 m. Če upoštevamo, da je po Youngu kohezija enaka „natezni trdnosti“, dobimo χ = 1/(F0/S) = 1/(ρgl0). To da za stisljivost vode 4,4 · 10−10 (N/m2)−1. Najbrž so prišli do podatka o dolžini stolpca vode, ki se pretrga zaradi teže, po izmerjeni stisljivosti vode. V tablicah najdemo pri sobni temperaturi za stislji- vost vode 4,6 · 10−10 (N/m2)−1. Glede višine, pri kateri se stolpec pretrga zaradi teže, so se motili. Leta 1950 so ugotovili, da se stol- pec vode pretrga pri negativnem tlaku 290 barov = 290 · 105 N/m2, ki mu ustreza stolpec z višino 2900 metrov. Vodo so dali v cevko z obliko črke Z in jo vrteli v centrifugi z naraščajočo frekvenco. Stolpec vode se je pretrgal pri frekvenci, ki je ustrezala na- vedenemu tlaku. Vodo so prekuhali in jo pred posku- som za kratek čas izpostavili velikemu tlaku, da so iz nje izgnali vse mehurčke. Izmerjeni tlak se je tudi dobro ujemal z napovedjo enačbe stanja za pline, ki se utekočinijo. Young je vpeljal še površinsko napetost in za vodo zanjo nameril v današnjih enotah 0,075 N/m. Osre- dotočil se je na plast vode pod gladino z debelino dosega sil med molekulami d. Ugotovil je, da naj bi bila površinska napetost enaka tretjini ploskovne gostote kohezije, pomnožene z debelino te plasti: γ = 13(F0/S)d = 1 3χd. Z navedenima podatkoma je dobil za doseg: d = 3χγ = 0,1 nm . To je samo malo manj od današnje ocene za pre- mer atomov. Young pa je molekule imel še za veliko 3 manjše. Sklepal je, da je povprečna razdalja med molekulama v nasičeni vodni pari, ki se utekočinja, enaka dosegu sil med molekulami. Površinsko nape- tost je izmeril pri temperaturi 15,6 ◦C. Zato je za raz- merje med gostoto nasičene pare pri tej temperaturi in gostoto vode upošteval 1/60000 (boljši podatek bi bil 1/72000) in ocenil premer molekule z 0,1 nm 600001/3 = 0,1 nm 40 . Zavedal se je slabosti, da je ocena odvisna od tempe- rature, ker je od nje odvisna gostota nasičene pare. Danes vemo, da je bila Youngova ocena približno petdesetkrat premajhna. Z Youngom večkrat povežejo oceno za velikost mo- lekul. Masi m do vrelišča segrete vode moramo do- vesti toploto Q = mqi, da jo spremenimo v paro. Enako delo A = γS opravimo proti površinski nape- tosti, ko to maso vode razpršimo v „kapljice“ z ve- likostjo molekul. Oboje izenačimo ter za maso mo- lekul vstavimo m = N(4πr 3/3)ρ in za njihovo po- vršino S = N · 4πr 2. Pri tem je N število molekul in ρ gostota vode. Tako dobimo za premer molekule oceno: 2r = 6γ ρqi . S površinsko napetostjo 0,072 N/m, gostoto 103 kg/m3 in izparilno toploto 2,3 ·106 J/kg dobimo za premer 2 ·10−10 m = 0,2 nm. Računali smo, da so molekule kroglice s prostornino 4πr 3/3 in površino 4πr 2. Kroglice ne izpolnijo prostora. Enak rezultat bi dobili, če bi vzeli da so molekule kocke s prostor- nino a3 in površino 6a2. Rezultat je samo ocena, saj je površinska napetost količina iz velikega sveta in ni uporabna v svetu molekul. Ocenjena velikost mo- lekule vode je smiselna. Oceni sicer ne gre zaupati, a jo zaradi preprostosti radi navedejo. 4 manjše. Sklepal je, da je povprečna razdalja med molekulama v nasičeni vodni pari, ki se utekočinja, enaka dosegu sil med molekulami. Površinsko nape- tost je izmeril pri temperaturi 15,6 ◦C. Zato je za raz- merje med gostoto nasičene pare pri tej temperaturi in gostoto vode upošteval 1/60000 (boljši podatek bi bil 1/72000) in ocenil premer molekule z 0,1 nm 600001/3 = 0,1 nm 40 . Zavedal se je slabosti, da je ocena odvisna od tempe- rature, ker je od nje odvisna gostota nasičene pare. Danes vemo, da je bila Youngova ocena približno petdesetkrat premajhna. Z Youngom večkrat povežejo oceno za velikost mo- lekul. Masi m do vrelišča segrete vode moramo do- vesti toploto Q = mqi, da jo spremenimo v paro. Enako delo A = γS opravimo proti površinski nape- tosti, ko to maso vode razpršimo v „kapljice“ z ve- likostjo molekul. Oboje izenačimo ter za maso mo- lekul vstavimo m = N(4πr 3/3)ρ in za njihovo po- vršino S = N · 4πr 2. Pri tem je N število molekul in ρ gostota vode. Tako dobimo za premer molekule oceno: 2r = 6γ ρqi . S površinsko napetostjo 0,072 N/m, gostoto 103 kg/m3 in izparilno toploto 2,3 ·106 J/kg dobimo za premer 2 ·10−10 m = 0,2 nm. Računali smo, da so molekule kroglice s prostornino 4πr 3/3 in površino 4πr 2. Kroglice ne izpolnijo prostora. Enak rezultat bi dobili, če bi vzeli da so molekule kocke s prostor- nino a3 in površino 6a2. Rezultat je samo ocena, saj je površinska napetost količina iz velikega sveta in ni uporabna v svetu molekul. Ocenjena velikost mo- lekule vode je smiselna. Oceni sicer ne gre zaupati, a jo zaradi preprostosti radi navedejo. 4 anjše. Sklepal je, da je povprečna razdalja ed olekula a v nasičeni vodni pari, ki se utekočinja, enaka dosegu sil ed olekula i. Površinsko nape- tost je iz eril pri te peraturi 15,6 ◦C. Zato je za raz- erje ed gostoto nasičene pare pri tej te peraturi in gostoto vode upošteval 1/60000 (boljši podatek bi bil 1/72000) in ocenil pre er olekule z 0,1 n 600001/3 = 0,1 n 40 . Zavedal se je slabosti, da je ocena odvisna od te pe- rature, ker je od nje odvisna gostota nasičene pare. Danes ve o, da je bila Youngova ocena približno petdesetkrat pre ajhna. Z Youngo večkrat povežejo oceno za velikost o- lekul. asi do vrelišča segrete vode ora o do- vesti toploto = qi, da jo spre eni o v paro. Enako delo A = γS opravi o proti površinski nape- tosti, ko to aso vode razprši o v „kapljice“ z ve- likostjo olekul. Oboje izenači o ter za aso o- lekul vstavi o = N(4πr 3/3)ρ in za njihovo po- vršino S = N · 4πr 2. Pri te je N število olekul in ρ gostota vode. Tako dobi o za pre er olekule oceno: 2r = 6γ ρqi . S površinsko napetostjo 0,072 N/ , gostoto 103 kg/ 3 in izparilno toploto 2,3 ·106 J/kg dobi o za pre er 2 ·10−10 = 0,2 n . Računali s o, da so olekule kroglice s prostornino 4πr 3/3 in površino 4πr 2. Kroglice ne izpolnijo prostora. Enak rezultat bi dobili, če bi vzeli da so olekule kocke s prostor- nino a3 in površino 6a2. Rezultat je sa o ocena, saj je površinska napetost količina iz velikega sveta in ni uporabna v svetu olekul. Ocenjena velikost o- lekule vode je s iselna. Oceni sicer ne gre zaupati, a jo zaradi preprostosti radi navedejo. 4 j . l l j , j r r lj l l i i i ri, i t i j , il l l i. r i - t t j i ril ri t r t ri , ◦ . t j r - rj t t i r ri t j t r t ri i t t t l ( lj i t i il ) i il r r l l , 1/3 , . l j l ti, j i t - r t r , r j j i t t i r . , j il ri li t t r t r j . r t j li t - l l. i r li r t r - ti t l t i, j r i r . l r i r ti r i i - t ti, t r r i „ lji “ - li tj l l. j i i t r - l l t i ( 3 ) i ji - r i · 2. ri t j t il l l i t t . i r r l l : i . r i t tj , , t t 3 3 i i ril t l t , · 6 J i r r · 10 , . li , l l r li r t r i 3 i r i 2. r li i l ij r t r . r lt t i ili, i li l l r t r- i 3 i r i 2. lt t j , j j r i t t li i i li t i i r t l l. j li t - l l j i l . i i r r ti, j r i r r t ti r i j . m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m M m m Q m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m • mojca čepič Kaj se zgodi s plastenko o d g o v o r n a l o g e Tudi če niste načrtno izvedli preizkusa, ki smo vam ga predlagali, ste ga morda kdaj izvedli nena- črtno. Če ste na vrhu smučišča popili pijačo in oko- lju prijazno sami odnesli v nahrbtniku plastenko v dolino, ste ugotovili to, na kar vas danes želimo opozoriti. Plastenka se je skrčila. Poglejmo rezultate našega poskusa. Namenoma je poskus potekal v nekoliko večjem višinskem razpo- nu, kot je za naše hribe običajno. Z gondolo smo se povzpeli namreč na goro visoko zelo blizu 3000 m (Schilthorn 2970 m), na vrhu smo izpraznili pla- stenko (za občutek si jo oglejte na sliki 1), nato pa smo se s plastenko v nahrbtniku začeli spuščati v dolino. Vmes smo se ustavili na planinski postojanki 1000 m nižje (slika 2), ogledali pa smo si jo tudi v do- lini na višini okoli 750 m (Lauterbrunnen 759 m), kar lahko vidimo na sliki 3. Slika 1, 2, 3 Prostornina plastenke se je občutno zmanjšala. Za- kaj le? V vsakdanjem življenju se gibljemo po dnu oceana zraka. Teža zraka nad nami povzroča tlak 1 bar. Ko pa se dvignemo v višino, se debelina plasti zraka nad nami zmanjša, zato se zmanjša tudi tlak. Na naše občutje sprememba tlaka ne vpliva ne vem koliko. Seveda se v višinah, zaradi redkejšega zraka in manjše vsebnosti kisika, hitreje zadihamo. Poleg občasnih glavobolov, je to običajno tudi vse, dokler se gibljemo na višinah nekako do tri ali štiri tisoč me- trov. Čutila, ki bi nam povedalo zračni tlak, nimamo, čeprav ljudje radi ob spremembi vremena trdijo vse mogoče o svojih občutjih sprememb tlaka. Ce se tlak spremeni, se spremenijo tudi prostor- nine teles. Medtem, ko so te spremembe v trdnih snoveh in tekočinah zelo majhne, dokler hodimo le na planinske izlete, pa za zrak pri teh tlakih to ne velja. Za zrak pri približno stalni temperature velja Boylov zakon, ki pravi, da je produkt tlaka in pro- stornine plina stalen (p0V0 = p1V1). Zato ima zrak v višinah manjšo gostoto, saj se zaradi manjšega tlaka njegova prostornina poveča. Naša plastenka je poka- zala prav to. Na višini je bila polna zraka pri nižjem tlaku. Zaprli smo jo dovolj tesno, da se zrak v njej ni mogel izmenjevati. S spuščanjem v dolino se je tlak povečeval, stiskal plastenko in zrak v njej. Prostor- nina zraka v plastenki se je zmanjševala. Vidimo, da pri 2000 m višinske razlike je učinek vse prej kot zanemarljiv. Plastenka je na sliki 3 kar precej tanka. 2 Tudi če niste načrtno izvedli preizkusa, ki smo vam ga predlagali, ste ga morda kdaj izvedli nena- črtno. Če ste na vrhu smučišča popili pijačo in oko- lju prijazno sami odnesli v nahrbtniku plastenko v dolino, ste ugotovili to, na kar vas danes želimo opozoriti. Plastenka se je skrčila. Poglejmo rezultate našega poskusa. Namenoma je poskus potekal v nekoliko večjem višinskem razpo- nu, k t je za naše hribe obič jno. Z gondol smo se povzpeli namreč na oro visoko zelo blizu 3000 m (Schilthorn 2970 m), na vrhu smo izpraznili pl - stenko (za občutek si jo oglejte na sliki 1), nato pa smo se s plastenko v nahrbtniku začeli spuščati v dolino. Vmes smo se ustavili na planinski postojanki 1000 m nižje (slika 2), ogledali pa smo si jo tudi v do- lini na višini okoli 750 m (Lauterbrunnen 759 m), kar lahko vidimo na sliki 3. Slik 1, 2, 3 Prostornina plastenke se je občutno zmanjšala. Za- aj le? V sakdanjem življenju se giblj mo po dnu oceana zraka. Teža zraka nad nami povzroča tlak 1 bar. Ko pa se dvignemo v višino, se debelina plasti zraka nad nami zm njša, zato se zmanjša udi tlak. Na naše občutje sprememba tlaka ne vpliva ne vem koliko. Seveda se v višinah, zaradi redkejšega zraka in manjše vsebnosti kisika, hitr je zadih mo. Poleg občasnih glavobolov, je to običajno tudi vse, dokler se gibljemo na višinah nekako do t i ali štiri tisoč me- trov. Čutila, i b nam poved lo zračni tlak, nimamo, čeprav ljudj radi ob spremembi vremena trdijo vs mogoče o svojih občutj h sprememb tlaka. Če se tlak spremeni, se spremenijo udi prostor nine teles. Medtem, ko so te spremembe v trdnih snove in tek činah zelo majhne, okler hodimo le a planinske izlete, a za zrak pri teh tlakih t ne ve ja. Za zrak pri približno stalni temperature velja Boylov zakon, ki pravi, da je pro ukt tlaka i pro- st rnine pli a stalen (p0V0 = p1V1). Zato ima zrak v višinah manjšo gostoto, saj se za di man šega tlaka jegova prostornina poveča. Naša plastenka je poka- z la prav to. Na višini je bila polna zra a pri nižjem tl ku. Zaprli smo jo dovolj te no, da se z ak v njej ni mogel izmenjevati. S spuščanjem v dolino se je tlak povečeval, stiskal plastenko in zrak v njej. Prostor- nina zraka v plastenki se je zmanjševala. Vidimo, da pri 2000 m višinske razlike je učinek vse prej kot zanemarljiv. Plastenka je na sliki 3 kar precej tanka. 2 i i t t i li i , i l li, t j i li - t . t i ili ij i - lj ij i li t i l t li , t t ili t , li iti. l t j il . l j r lt t . j t l li j i i r - , t j ri i j . l li r r i l li ( ilt r ), r i r ili l - t ( t i j l jt li i ), t l t r t i li ti li . t ili l i i t j i i j ( li ), l li i j t i - li i i i i li ( t r r ), r l i i li i . li , , r t r i l t j t j l . - j l j i lj j i lj r . r i r tl r. i i i , li l ti r i j , t j i tl . tj r tl li li . i i , r i r j r i j ti i i , itr j i . l i l l , j t i j t i , l r i lj i i t i li tiri ti - tr . til , i i l r i tl , i , r lj j r i r i r tr ij ji tji r tl . tl r i, r ij i r t r- i t l . t , t r tr i i t i l j , l r i l l i i l t , r ri t tl i t j . r ri ri li t l i t r t r lj l , i r i, j r t tl i r - t r i li t l ( 0 0 1 1). t i r i i j t t , j i j tl j r t r i . l t j - l r t . i i i j il l r ri i j tl . rli j lj t , j j i l i j ti. j li j tl l, ti l l t i r j j. r t r- i r l t i j j l . i i , ri i i r li j i r j t rlji . l t j li i r r j t . l pres k 38 (2010/2011) 6 • Futošiki V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa- kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz- polnjene vse relacije. 1 www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si p o iz k u š e v a l n ic a v h r ib ih Tudi če niste načrtno izvedli preizkusa, ki smo vam ga predlagali, ste ga morda kdaj izvedli nena- črtno. Če ste na vrhu smučišča popili pijačo in oko- lju prijazno sami odnesli v nahrbtniku plastenko v dolino, ste ugotovili to, na kar vas danes želimo opozoriti. Plastenka se je skrčila. Poglejmo rezultate našega poskusa. Namenoma je poskus potekal v nekoliko večjem višinskem razpo- nu, kot je za naše hribe običajno. Z gondolo smo se povzpeli namreč na goro visoko zelo blizu 3000 m (Schilthorn 2970 m), na vrhu smo izpraznili pla- stenko (za občutek si jo oglejte na sliki 1), nato pa smo se s plastenko v nahrbtniku začeli spuščati v dolino. Vmes smo se ustavili na planinski postojanki 1000 m nižje (slika 2), ogledali pa smo si jo tudi v do- lini na višini okoli 750 m (Lauterbrunnen 759 m), kar lahko vidimo na sliki 3. Slika 1, 2, 3 Prostornina plastenke se je občutno zmanjšala. Za- kaj le? V vsakdanjem življenju se gibljemo po dnu oceana zraka. Teža zraka nad nami povzroča tlak 1 bar. Ko pa se dvignemo v višino, se debelina plasti zraka nad nami zmanjša, zato se zmanjša tudi tlak. Na naše občutje sprememba tlaka ne vpliva ne vem koliko. Seveda se v višinah, zaradi redkejšega zraka in manjše vsebnosti kisika, hitreje zadihamo. Poleg občasnih glavobolov, je to običajno tudi vse, dokler se gibljemo na višinah nekako do tri ali štiri tisoč me- trov. Čutila, ki bi nam povedalo zračni tlak, nimamo, čeprav ljudje radi ob spremembi vremena trdijo vse mogoče o svojih občutjih sprememb tlaka. Če se tlak spremeni, se spremenijo tudi prostor- nine teles. Medtem, ko so te spremembe v trdnih snoveh in tekočinah zelo majhne, dokler hodimo le na planinske izlete, pa za zrak pri teh tlakih to ne velja. Za zrak pri približno stalni temperature velja Boylov zakon, ki pravi, da je produkt tlaka in pro- stornine plina stalen (p0V0 = p1V1). Zato ima zrak v višinah manjšo gostoto, saj se zaradi manjšega tlaka njegova prostornina poveča. Naša plastenka je poka- zala prav to. Na višini je bila polna zraka pri nižjem tlaku. Zaprli smo jo dovolj tesno, da se zrak v njej ni mogel izmenjevati. S spuščanjem v dolino se je tlak povečeval, stiskal plastenko in zrak v njej. Prostor- nina zraka v plastenki se je zmanjševala. Vidimo, da pri 2000 m višinske razlike je učinek vse prej kot zanemarljiv. Plastenka je na sliki 3 kar precej tanka. 2 Presek 38 (2010/2011) 6 f i z i k a 15 slika 1. Prazna plastenka (cca 3000 m visoko). sl k 2. Prazna plastenka (cca 1800 m visoko). slika 3. Prazna plastenka (cca 750 m visoko). • 645213 321654 264135 536421 413562 152346 Futošiki 6 1 41 4 4 5 < > << <<< > > < > > >> rešitev • • • r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 38 (2010/2011) 6 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s Presek 38 (2010/2011) 6 • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 31. julija 2011, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. Raziščimo, od česa je odvisna višina tona, s katerim zapoje steklenica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šumeče tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjujejo in po zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklenici zapo- jeta z enakima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natočimo v eno steklenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimeter nad dnom stekle- nice. Druga steklenica naj ostane prazna. Zaigrajmo na prvo in nato na drugo steklenico ter pri tem pa- zimo, da v obeh primerih pihamo na enak način. Ka- tera steklenica zapoje z višjim tonom? Prosimo pri- jatelja ali prijateljico naj pove, kateri ton je višji, in se prepričajmo, da se vsi strinjamo o primerjavi med višinama tonov. Dolijmo nekaj vode v prvo stekle- nico in poskus ponovimo. Kaj slišimo? Nadaljujmo z dolivanjem in vsakič primerjajmo tona obeh ste- klenic. Z besedami opišimo, kako je višina tona, s katerim zapoje steklenica, odvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe steklenici natočimo enako vode, tako da sta gladini vode kak centimeter nad dnom steklenic. S pihanjem se prepričajmo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj prepolovimo šumečo tableto in jo vrzimo v eno od steklenic. Počakajmo nekaj minut, da se tableta popolnoma raztopi in da se mo- rebitne pene, ki pri tem nastajajo, poležejo. Nato previdno zaigrajmo na eno in na drugo steklenico ter pozorno poslušajmo. Kaj slišimo? Primerjajmo tona med seboj in svoja opažanja opišimo. Prosimo še prijatelja ali prijateljico, naj primerja tona, in si zapišimo še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 Potrebščine presek 38 (2010/2011) 6 p o iz k u š e v a l n ic a d o m a gorazd planinšič Dobro uglašena steklenica • 18 f i z i k a Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. Raziščimo, od česa je odvisna višina tona, s katerim zapoje steklenica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šumeče tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjujejo in po zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklenici zapo- jeta z enakima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natočimo v eno steklenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimeter nad dnom stekle- nice. Druga steklenica naj ostane prazna. Zaigrajmo na prvo in nato na drugo steklenico ter pri tem pa- zimo, da v obeh primerih pihamo na enak način. Ka- tera steklenica zapoje z višjim tonom? Prosimo pri- jatelja ali prijateljico naj pove, kateri ton je višji, in se prepričajmo, da se vsi strinjamo o primerjavi med višinama tonov. Dolijmo nekaj vode v prvo stekle- nico in poskus ponovimo. Kaj slišimo? Nadaljujmo z dolivanjem in vsakič primerjajmo tona obeh ste- klenic. Z besedami opišimo, kako je višina tona, s katerim zapoje steklenica, odvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe steklenici natočimo enako vode, tako da sta gladini vode kak centimeter nad dnom steklenic. S pihanjem se prepričajmo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj prepolovimo šumečo tableto in jo vrzimo v eno od steklenic. Počakajmo nekaj minut, da se tableta popolnoma raztopi in da se mo- rebitne pene, ki pri tem nastajajo, poležejo. Nato previdno zaigrajmo na eno in na drugo steklenico ter pozorno poslušajmo. Kaj slišimo? Primerjajmo tona med seboj in svoja opažanja opišimo. Prosimo še prijatelja ali prijateljico, naj primerja tona, in si zapišimo še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 li j ili i i l i l i l i , j - j i i l i . j i - i j i i - l l, i l i , l i l j i . i i , j i i i , i j l i . li l j - i ( l j li ): li i i l i i li l i, il , l , l i i l , i j l ji i , i - l j j j i i j j j . . j j i j , i l i i - j i , i li . . i l i l , l i i li i l - i . l i j . i j i l i i - i , i i i i . - l i j i ji i i- j lj li ij lji j , i j i ji, i i j , i i j i j i i i . lij j l - i i i . j li i lj j li j i i i j j - l i . i i i , j i i , i j l i , i li i l i i. . l i i i , l i i i l i . i j i j , l i i j i . j l i l i j i l i . j j i , l l i i - i , i i j j , l j . i i j i l i l j . j li i i j j j i j j i i . i ij lj li ij lji , j i j , i i i i ji i . . l i ji l . i l i , t r t t ? r t t r t t t r t r t r t r r r t r t t t t š s s š t s t r st tr s tr š s r st st r š t t s r r st r s t s r s t st st r s r r r st t t r t t st t r t t r st r st st r r r t r st t r r t r r t r st š t ? r s r t r t t r t š s r r s s str r r š t r st s s s š ? s r r t st s š š t s t r st s st st t t st t t r st s r r st t t r š t t r st t s t t r t s r t r t st t r r r st t r r s š s š ? r r t s s š r s š r t r t r r t s š š t t š s s s li j ili i i l i l i l i , j - j i i l i . j i - i j i i - l l, i l i , l i l j i . i i , j i i i , i j l i . li l j - i ( l j li ): li i i l i i li l i, il , l , l i i l , i j l ji i , i - l j j j i i j j j . . j j i j , i l i i - j i , i li . . i l i l , l i i li i l - i . l i j . i j i l i i - i , i i i i . - l i j i ji i i- j lj li ij lji j , i j i ji, i i j , i i j i j i i i . lij j l - i i i . j li i lj j li j i i i j j - l i . i i i , j i i , i j l i , i li i l i i. . l i i i , l i i i l i . i j i j , l i i j i . j l i l i j i l i . j j i , l l i i - i , i i j j , l j . i i j i l i l j . j li i i j j j i j j i i . i ij lj li ij lji , j i j , i i i i ji i . . l i ji l . i l i , Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. Raziščimo, od česa je odvisna višina tona, s katerim zapoje steklenica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dv enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šum če tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vod Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjujejo in po zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklenici zapo- jeta z en kima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natočimo v eno steklenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimeter nad dnom stekle nice. Druga steklenica naj ostane pr zna. Zaig ajmo na prvo in nato na drugo steklenico ter pri tem pa- zimo, da v beh primerih piham n enak način. Ka- tera steklenica zap j z višj onom? Pr simo pri jat lja ali prijateljico naj p ve, kateri ton je višji, in se prepričajmo, da se vsi strinjamo primerjavi med v šinam tonov. Dolijmo nekaj vode v prvo stekle nico in poskus ponovimo. Kaj slišimo? Nadaljujmo z doliv njem in vsakič primerjajmo tona obeh ste- klenic. Z besedami opišimo, kak je višina tona, s kateri zapoje steklenica, odvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe stekl nici natoči o en vode, tako da sta gladini vode kak centimeter nad dnom steklenic. S pihanj m se prepričajmo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj prepolovimo šumečo tableto in jo vrzimo v eno od stekl ic. P čakajm nekaj minut, da s tableta popolnom razt pi in da se mo- rebit e pen , ki i te nastajajo, poležejo. N to previdno zaigrajmo na eno in na drugo steklenic ter pozorno poslušajmo. Kaj slišim ? Pri erjajmo tona med boj in svoja opažanja opiš mo. Prosimo š prijatelja ali prijat ljico, naj primerja tona, in si zapišim še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemi o slamico, 2 Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. Raziščimo, od česa je odvisna višina tona, s katerim zapoje steklenica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šumeče tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjujejo in po zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklenici zapo- jeta z enakima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natočimo v eno steklenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimeter nad dnom stekle- nice. Druga steklenica naj ostane prazna. Zaigrajmo na prvo in nato na drugo steklenico ter pri tem pa- zimo, da v obeh primerih pihamo na enak način. Ka- tera steklenica zapoje z višjim tonom? Prosimo pri- jatelja ali prijateljico naj pove, kateri ton je višji, in se prepričajmo, da se vsi strinjamo o primerjavi med višinama tonov. Dolijmo nekaj vode v prvo stekle- nico in poskus ponovimo. Kaj slišimo? Nadaljujmo z dolivanjem in vsakič primerjajmo tona obeh ste- klenic. Z besedami opišimo, kako je višina tona, s katerim zapoje steklenica, odvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe steklenici natočimo enako vode, tako da sta gladini vode kak centimeter nad dnom steklenic. S pihanjem se prepričajmo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj prepolovimo šumečo tableto in jo vrzimo v eno od steklenic. Počakajmo nekaj minut, da se tableta popolnoma raztopi in da se mo- rebitne pene, ki pri tem nastajajo, poležejo. Nato previdno zaigrajmo na eno in na drugo steklenico ter pozorno poslušajmo. Kaj slišimo? Primerjajmo tona med seboj in svoja opažanja opišimo. Prosimo še prijatelja ali prijateljico, naj primerja tona, in si zapišimo še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. Raziščimo, od česa je odvisna viš na tona, s kate im zapoje steklenica. P trebovali bomo slednj po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šumeče tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- po njujejo in zahtev o ti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklenici zapo- jet z enakima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natočimo v eno steklenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimeter nad dnom stekle- nice. Druga st klenica naj ostane prazna. Za gr jmo n prvo in n to a drugo stekl nico ter pr tem pa- zimo, da v obeh primerih pihamo na nak način. Ka- ter steklenica zapoje z višji tonom? Prosim pri- jatelja ali jateljico naj pov , kateri ton je višji, in se prepričajmo, da se vsi strinjamo o prim rjavi ed višinama tonov. Dolijmo n aj vode v rvo stekle- nic in poskus onovimo. K slišimo? Nadaljujmo z dolivanjem in vsakič primerjajmo ton obeh ste- kl n c. Z besedami opiši o, kako je višina tona, s katerim zapoje steklenica, odvisna od količine vo e v steklenici. 3. V obe steklenici natočimo enako vode, tako da sta gladini vode kak centimeter d dnom stekle ic. S pihanjem se prepričajmo, a teklenici zapojeta z en ima tonoma. Zdaj prepolovimo šumečo tableto in jo vrzim v eno od steklenic. Počakajmo n kaj minut, da se tableta popolnoma raztopi in da se mo- reb tne pene, i pri tem nastaj jo, oležejo. Nato previdno zaig ajmo na eno in na drugo steklenico ter pozorno poslušajmo. Kaj slišimo? Primerjajmo tona med seb j in svoja opažanja opišimo. Prosimo še prijatelja li prijateljico, n primerja tona, in si za išimo š nj hove ugot vitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica zapela z jasnim tonom. R ziščimo, od česa je odvisn višina tona, s katerim zapoje stek nica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šumeče tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozar c vode Raziskava naj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjujejo in po zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se prepričajmo, da prazni steklen ci zapo- jeta z enakima tonoma, če pihamo na eno ali drugo. 2. Nato natoč mo v eno st klenico malo vode, tako da bo gladina približno en centimet r n d dnom stekle- ice. Druga steklenic naj ostane praz a. Zaigrajmo na prvo in nato na drugo steklenico ter pri tem p zimo, d v obeh primerih piham na enak način. K tera steklenic zapoje z višjim tonom? Prosimo pri- jatelja ali prijatelji o pove, kateri ton je višji, in se prepričajm , da se vsi strinjam o p imerjavi med v šinama tonov. D lij nekaj vod v prvo stekle- nico in poskus ponovimo. Kaj sliši o? Nadaljujmo z dolivanjem in vsakič primerj jmo t a obeh ste- lenic. Z bese mi op šim , kako je višin tona, s katerim zap je steklenica, odvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe st klenici na oči o enako v de, o d sta glad ni vod kak centi eter nad dnom steklenic. S pihanjem se preprič mo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj pr polovimo šumečo tableto in j vrzimo v eno od steklenic. P čak jmo nek j minut, da se t bleta popol oma raztopi in da se mo- rebitne pene, ki pri tem nastajajo, poležej . Nat previdn zaigr jmo na eno in na drugo steklenic er pozorn poslušajmo. Kaj slišimo? Primerjaj tona med seboj in sv ja opaž nja opišimo. Prosimo še pr jat lja al jateljico, naj primerja t na, in si zap šimo še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 Ali ste že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice naslonimo na brado tako, da je spo- dnja ustnica tik nad robom steklenice. Č zdaj pih- nemo in z zgornjo ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica z pela z jasnim tonom. R zi imo, od ˇesa je odvisn višina tona, s katerim zapoje stek nica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šu eˇe tablete, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskava aj poteka po naslednjih korakih, ki se do- polnjuj jo in o zahtevnosti stopnjujejo. 1. Najprej se repričajmo, da praz i steklen ci zapo- jeta z kima tonoma, č pihamo na en ali drugo. 2. N to natoč mo v eno st klenico m lo vode, tako da bo gladin približno e centimet r n d dnom stekle ce. Druga steklenica naj ostane praz . Z igrajmo na prvo in nat na drugo steklenico ter pri tem zimo, da v obeh rimerih ham enak nač n. Ka t ra steklenic zap je z višjim tonom? Prosimo pri- jatelj ali prijateljico naj pove, kateri ton je išji, in se prepričajmo, da s vsi strinjam o primerj vi m d v šinama tonov. D l j neka v de v prvo stekl nico in poskus ponovimo. Ka slišim ? Nadaljujmo z dol vanj in v akič primerj jm tona ob h ste- l n c. Z besedami op šim , kako je višina tona, s katerim zapoje steklenica, odvisna od količine vode v stekle ici. 3. V obe st kleni i a očimo enako v de, a o da sta gladini vod kak centi eter nad dnom steklenic. S pihanjem se pr prič mo, da steklenici zapojeta z enakima tonoma. Zdaj pr polovimo šumeč tableto in jo vrzimo v no d steklenic. P čakajmo nekaj minut, da se tableta popol oma r ztop in da s m - r b tne pe e, ki pri tem nastaj j , poležejo. Nat previdn zaigrajmo na eno in na drugo stekl nic r pozorno posluš jm . Kaj slišimo? Primerjaj tona med seboj in svo a paž n a o išim . Prosimo š pr jatelja al prijateljic , aj primerja tona, in si za išimo še njihove ugotovitve. 4. Sledi še zadnj del poskusa. Vz mim slamico, 2 Ali e že kdaj poskusili igrati na steklenico? Vrat steklenice aslonimo na brado tak , da je spo- dnja ustnica tik nad obom steklenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornj ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica ela z jasnim tonom. R zi imo, od česa je odvisn višina tona, s katerim zapoje stek nica. Potrebovali bomo naslednje po- trebščine (glej sliko): Slika 1 d e enaki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šu eˇe tablete, slamico z r brastim kolenom, kozarec vode Raziskava naj poteka po naslednjih kora ih, k se d polnjuj o n o zahtevnosti stop juj jo. 1 jprej se prepričajmo, da prazni steklen ci zapo- jet z e kima to ma, ˇ p hamo en ali drugo. 2. Nato natoč mo v eno st klenic m lo vode, tako da bo gla i a približno en centim t r n d dnom stekle ce. Druga steklenica naj ostane praz . Z igrajmo na prvo n to a drugo stekl ico ter pr tem zimo, da v obeh primerih iham n enak nač n. Ka t ra stekle ic z p je z višjim t n m? P osi o pri jatelj ali prijateljic naj pove, kateri ton je višji, in se prepričaj o, da s vsi strin am primerj vi ed v šinama tonov. D lij n ka v d prvo stekl nico n poskus pon imo. Kaj lišimo? N daljujmo z dol v njem in vsakič primerj jm tona b h st - lenic. Z be edami op šim , kako je višin tona, s katerim zapoje steklenica, dvisna od količine vode v steklenici. 3. V obe st klenici n očimo enako v de, a d s a gladini v d k k centi ter nad dn m steklenic. S pihanjem pr prič m , da steklenici zapoj ta z enakim tonoma. Zdaj pr polovim šum čo table in jo vrzimo v eno od stekle ic. P ˇakajmo nekaj minut, da se t bleta po ol ma r zt pi in da s m - r bitne pene, ki pri tem n stajajo, poležej . N t previdn z igrajmo n e i na drugo stekle ic r pozor o posluš jm . Kaj sliš o? Primerjaj tona ed seboj in svoja paž ja opišimo. Pros mo še r jatelja l prijateljico, naj primerja tona, in si zapišimo še n ihove ug tovitve. 4. Sledi zadnji del p skusa. Vzemimo slamico, 2 Ali e že kd j p skusili igrati na steklenico? Vrat steklenice aslo imo na brado tak , da je spo- dnja ustnica tik nad obom st klenice. Če zdaj pih- nemo in z zgornj ustnico usmerimo tok zraka ra- hlo navzdol, proti vratu steklenice, bo steklenica ela z jasnim ton m. R zi imo, od česa je odvisn višina tona, s katerim zapoje stek nica. P trebovali bomo slednj po- trebščine (glej sliko): Slika 1 dve naki prazni steklenici ali plastenki, ravnilo, šu eˇe tabl te, slamico z rebrastim kolenom, kozarec vode Raziskav naj poteka p naslednjih kora ih, k se d polnjujejo n zahtev o ti stopnjuj j . 1 jprej se prepričajmo, da prazni steklen ci zapo jet z e kima to ma, ˇ p hamo en ali d ugo. 2. Nat nat č mo v eno st klenic m lo vode, tako da bo gla ina približn n cent e r n d dn m stekle c . Druga steklenica naj stane praz . Z igrajmo na prvo n n o na drugo st kl nic er pri tem z mo, d v obeh primerih ih na nak n č n. Ka t ra stekle ic zapoje z višji tonom? Prosimo pri jatelj li prijateljic naj pove, kateri ton je višji, in se prepričaj o, da se vsi strin m prim rj vi m d v šina a tonov. Dolij neka v d prvo stekl nico n poskus ponovimo. K lišimo? Nadaljujmo z dol vanjem in vsakič primerj jm ton ob h ste- len c. Z bes dami op ši o, k je višina tona, s katerim zapoje steklenica, dvisna količine vode v stekl nici. 3. V obe steklenici n očim ako v de, a da s a gladini vod kak centi ter d dn m stekle ic. S piha jem pr rič , da steklen ci z poj t z n kima tonoma. Zdaj pr polovimo šum č table in jo vrzim v eno od stekle ic. P čakaj o kaj minut, da tablet popol oma r zt p in da se - r bitn pene, ki pri t m n sta j , oležejo. Nat prev dn z igrajmo na eno in na drugo stekle ic er pozorno posluš jm . Kaj slišimo? Primerjaj tona med seb j in svoja paž nja opiši o. Prosimo še pr jat lja l prijateljico, na primerja tona, n si za išimo še njihove ugot vitve. 4. Sledi še zadnji del poskusa. Vzemimo slamico, 2 prepognimo rebrasto koleno in slamico potisnimo v steklenico, v kateri je raztopljena šumeča tableta. Pa- zimo, da pri tem slamice ne potopimo v tekočino. Slamico dajmo v usta in nekaj časa pihajmo v ste- klenico. Nato slamico odstranimo. S pihanjem na steklenici zopet primerjajmo višini tonov, s katerima zapojeta steklenici. Zapišimo svoja opažanja. V naslednji številki bomo opisali izide poskusov in jih poskusili razumeti. 3 , . , , . , , . : , , , , e , . . , , . . , . . , o . e i o , , , . . . , o , , . . , . , . . o , n , pr , . a . . , , . . . m , 19 f i z i k a Presek 38 (2010/2011) 6 mitja rosina Razmisli in poskusi • 43. „Varčne žarnice“ Ali so „varčne žarnice“ zares varčne? Preberemo lahko, da 20-wattna varčna žar- nica sveti enakovredno kot 100-wattna navadna žar- nica na wolframovo nitko. Preveri! Primerjaj osve- tljenost dane ploskve pri uporabi različnih navadnih in varčnih žarnic. Navadna žarnica na žarečo nitko ima slab izkori- stek, ker gre večina energije v toploto s sevanjem in prevajanjem. 100-wattna žarnica oddaja kakih 1200 lumnov svetlobe, torej ima svetilnost 1200/4π =100 sveč. (To je naklučje, da je približno ista številka pri moči v wattih in pri svetilnosti v svečah.) Idealen izkoristek pa bi dal 5400 sveč, če bi šla vsa ener- gija v zeleno svetlobo, za katero je naše oko najbolj občutljivo. Varčne žarnice običajno vsebujejo živo- srebrne pare, ki sevajo ultravijolično, toda na steni se ultravijolična svetloba pretvori v „belo“ svetlobo (cel spekter vidne svetlobe). Izkoristek je nekajkrat boljši kot pri navadnih žarnicah, vendar svetloba ni tako pijetna. Varčne žarnice so tudi dražje. Priča- kovati sicer je, da se bodo tovrstne žarnice še izpo- polnile. Najboljši izkoristek (čez 30%) imajo diode LED (light emitting diodes), toda zaenkrat so še pre- šibke. Te žarnice lahko videvamo na čelnih svetilkah in kolesarskih žarometih. Sprva so bile preveč mo- drikaste, a tudi te žarnice izboljšujejo. Nasvet. Svetilnost žarnic lahko primerjaš z upo- rabo fotoaparata. Na mizo položi bel papir in na stojalo v določeni višini fotoaparat. Nekje nad fo- toaparatom naj bo svetilka, v katero boš dal različne žarnice. Ko slikaš papir, se digitalni fotoaparat sam prilagodi osvetljenosti. Javi tudi podatke o slikanju, iz katerih lahko sklepaš na osvetljenost. Pomni, da je svetlobni tok, ki ga fotoaparat sprejme, sorazme- ren z osvetljenostjo papirja, s časom ekspozicije in s kvadratom premera zaslonke. Ker avtomatski foto- aparat izbere fiksen optimalni vhodni svetlobni tok, lahko sklepamo, da je bila osvetljenost ploskve obra- tno sorazmerna s časom ekspozicije in s kvadratom premera zaslonke. Uporaben je tudi navaden neav- tomatski fotoaparat z vgrajenim svetlomerom. Na fotoaparatu odčitaš čas ekspozicije in zaslonko, in iz njiju spet sklepaš na osvetljenost. Morda je bolje vzeti namesto praznega lista pa- pirja papir z besedilom. Metodo lahko preveriš tako, da z isto žarnico osve- tljuješ pri razlǐcnih razdaljah od žarnice do papirja. Osvetljenost mora biti obratno sorazmerna s kvadra- tom razdalje od žarnice od papirja. Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka 42. Kako hitro se svinčnik prevrne? Postavi svinč- nik na mizo navpično na konico in ga kar se da pre- vidno izpusti. Štopaj ali oceni, v kolikšnem času se svinčnik prevrne in pade na mizo. Kolikšen čas se ti je največ posrečil? Zakaj svinčnik pravzaprav pade, saj je v ravnotežju? Odgovor. Svinčnik pade, ker ni v stabilnem, temveč v labilnem ravnovesju. Sila svinčnikove teže in sila podlage pod konico sta sicer nasprotno enaki, ven- dar prej ali slej nastopi tudi majčkena prečna sila zaradi tresljajev okolice in zato, ker svinčnik ni čisto 2 43. „Varčne žarnice“ Ali so „varčne žarnice“ zares varčne? Preberemo lahko, da 20-wattna varčna žar- nica sveti enakovredno kot 100-wattna navadna žar- nica na wolframovo nitko. Preveri! Primerjaj osve- tljenost dane ploskve pri uporabi različnih navadnih in varčnih žarnic. Navadna žarnica na žarečo nitko ima slab izkori- stek, ker gre večina energije v toploto s sevanjem in prevajanjem. 100-wattna žarnica oddaja kakih 1200 lumnov svetlobe, torej ima svetilnost 1200/4π =100 sveč. (To je naklučje, da je približno ista številka pri moči v wattih in pri svetilnosti v svečah.) Idealen izkoristek pa bi dal 5400 sveč, če bi šla vsa ener- gija v zeleno svetlobo, za katero je naše oko najbolj občutljivo. Varčne žarnice običajno vsebujejo živo- srebrne pare, ki sevajo ultravijolično, toda na steni se ultravijolična svetloba pretvori v „belo“ svetlobo (cel spekter vidne svetlobe). Izkoristek je nekajkrat boljši kot pri navadnih žarnicah, vendar svetloba ni tako pijetna. Varčne žarnice so tudi dražje. Priča- kovati sicer je, da se bodo tovrstne žarnice še izpo- polnile. Najboljši izkoristek (čez 30%) imajo diode LED (light emitting diodes), toda zaenkrat so še pre- šibke. Te žarnice lahko videvamo na čelnih svetilkah in kolesarskih žarometih. Sprva so bile preveč mo- drikaste, a tudi te žarnice izboljšujejo. Nasvet. Svetilnost žarnic lahko primerjaš z upo- rabo fotoaparata. Na mizo položi bel papir in na stojalo v določeni višini fotoaparat. Nekje nad fo- toaparatom naj bo svetilka, v katero boš dal različne žarnice. Ko slikaš papir, se digitalni fotoaparat sam prilagodi osvetljenosti. Javi tudi podatke o slikanju, iz katerih lahko sklepaš na osvetljenost. Pomni, da je svetlobni tok, ki ga fotoaparat sprejme, sorazme- ren z osvetljenostjo papirja, s časom ekspozicije in s kvadratom premera zaslonke. Ker avtomatski foto- aparat izbere fiksen optimalni vhodni svetlobni tok, lahko sklepamo, da je bila osvetljenost ploskve obra- tno sorazmerna s časom ekspozicije in s kvadratom premera zaslonke. Uporaben je tudi navaden neav- tomatski fotoaparat z vgrajenim svetlomerom. Na fotoaparatu odčitaš čas ekspozicije in zaslonko, in iz njiju spet sklepaš na osvetljenost. Morda je bolje vzeti namesto praznega lista pa- pirja papir z besedilom. Metodo lahko preveriš tako, da z isto žarnico osve- tljuješ pri razlǐcnih razdaljah od žarnice do papirja. Osvetljenost mora biti obratno sorazmerna s kvadra- tom razdalje od žarnice od papirja. Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka 42. Kako hitro se svinčnik prevrne? Postavi svinč- nik na mizo navpično na konico in ga kar se da pre- vidno izpusti. Štopaj ali oceni, v kolikšnem času se svinčnik prevrne in pade na mizo. Kolikšen čas se ti je največ posrečil? Zakaj svinčnik pravzaprav pade, saj je v ravnotežju? Odgovor. Svinčnik pade, ker ni v stabilnem, temveč v labilnem ravnovesju. Sila svinčnikove teže in sila podlage pod konico sta sicer nasprotno enaki, ven- dar prej ali slej nastopi tudi majčkena prečna sila zaradi tresljajev okolice in zato, ker svinčnik ni čisto 2 43. „Varčne žarnice“ Ali so „varčne žarnice“ zares varčne? Pr beremo lahko, da 20-wattn varčna žar- nica sveti enakovredno t 100-wattna navad na wolframovo nit . Preveri! Primerjaj osve tljenost dane ploskve pri upo abi azličnih n vadnih in varčnih žarnic. N vadna žarnica na žarečo nitko ima slab izkori- stek, ker gre več n energije v topl to s sevanjem in prevajanjem. 100-wattna žarnica oddaja kakih 1200 lumnov svetlobe, torej ima svetiln st 1200/4π =1 sveč. (To j naklučje, da je približno ista številka pri mo i v wattih in pri svetilnosti v sveč h.) Idealen izkoristek pa bi dal 5400 sveč, če bi šla vsa n r- gija v z leno svetlobo, za kat ro je naše oko najbolj občutljivo. Varčne žarnice običa no vs bujejo živo- srebrne pare, ki s vajo ultrav jolično, toda na steni e ultravijolična vetl ba pretv ri v „belo“ svetlobo (cel spekter vidne svetlobe). Izkoristek je nekajkrat boljši ko pri navadnih žarnicah, vendar svetloba ni tako pijetna. Varčne žarnice so tudi d ažj . Priča- kovati sicer je, da se bodo tovrstne žarnice še izpo p lnile. Najboljši izkoristek (čez 30%) imajo diode LED ( ight emitting diode ), toda aenkrat so še pre- šibke. Te žarnice lahko videvamo na čelnih svetilkah in olesarskih žarometih. Sprva so bile pre č mo- dri aste, a tudi te žarnice izboljšujejo. N vet. Svetilnost žarnic lahko primerjaš z upo- rabo fotoapara a. Na mizo položi bel papir in na stojalo v določeni višini fotoaparat. Nekje nad fo- toaparatom naj bo svetilka, v katero boš dal različne žarnice. Ko slikaš papir, se digi alni f toapar t sam prilagodi osvetljenosti. Javi tudi podatke o slikanju, iz katerih lahko sklepaš na osvetljenost. Pomni, da je svetlobni tok, ki ga foto parat sprejme, sorazme- r n z osvetljenostjo papirja, s č som kspozicije in s kvadratom premera zaslonke. Ker avtomatski foto- ap rat izbere fiksen optimalni vhodni svetlobni tok, lahko sklepamo, da je bila osvetljenost ploskve obra- tno sorazmerna s časom ek pozicije in s kvadratom preme zaslonke. Uporaben je tudi avaden neav- tomatski fotoaparat z vgrajenim svetlomerom. Na f to paratu dčitaš čas ekspozicije in zasl nko, in iz njiju spet sklep n osvetljenost. Morda je bo je vzeti namesto praznega lista pa- pirja papir z bes dilom. Metodo lahko preveriš tako, da z isto žarnico osve- tljuj š pri razlǐcnih razdaljah od žarnice do papirja. Osvetljenost mora biti obratno sorazmerna s kvadr - tom razdalje od žarnice od papirja. Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka 42. Kako hitro se svinčnik prevrne? Postavi svinč- nik na mizo navpično na konico in ga kar se da pre v dno izpusti. Štopaj ali oceni, v kolikšnem času se svi čn k prevrne in pade na mizo. Kolikš n čas se ti je ajveč pos ečil? Z kaj svinčnik pravzaprav pade, saj je ravnot žju? Odgovor. Svinčnik pade, ker ni v stabilnem, temveč v labilnem ravnovesju. Sila svinčnikove teže in sila podlage pod konico sta sicer nasprotno enak , ven- dar pr j ali slej nastopi tudi majčke a prečna sila z adi tresljajev okolice in zato, ker svinčnik ni čisto 2 navpičen. Primerjajmo čas padanja s teoretičnim pričakova- njem. Izpeljava (ki je tukaj ne navajamo) pokaže, da naklonski kot φ raste s časom približno eksponen- tno, φ(t) = φ0 exp(t/τ) , kjer je značilni čas τ =√ /3g. Čas padanja je torej približno t ≈ τ ln(φ1/φ0). Privzemimo končni kotφ1 = π/2 in začetni kotφ0 ≈ 0,1◦ = 0,0017 , kar pomeni, da smo vrh svinčnika dolžine  = 18 cm držali le za x0 = φ ≈ 0,3 mm nenatančno. Dobimo značilni čas τ = 0,077 s in čas padanja t = 0,53 s. In res nisem uspel bolje kot pol sekunde! 3 navpičen. Pri erjaj o čas padanja s teoretični pričakova- nje . Izpeljava (ki je tukaj ne navaja o) pokaže, da naklonski kot raste s časo približno eksponen- tno, (t) = 0 exp(t/τ) , kjer je značilni čas τ =√ /3g. Čas padanja je torej približno t ≈ τ ln( 1/ 0). Privze i o končni kot 1 = π/2 in začetni kot 0 ≈ 0,1◦ = 0,0017 , kar po eni, da s o vrh svinčnika dolžine  = 18 c držali le za x0 =  ≈ 0,3 nenatančno. Dobi o značilni čas τ = 0,077 s in čas padanja t = 0,53 s. In res nise uspel bolje kot pol sekunde! 3 0 ovor na vprašanj iz pr jšnje št vil- ke Preseka 20 f i z i k a presek 38 (2010/2011) 6 aleš mohorič Utripanje luči • Utripanje luči, ki jih uporabljamo za hišno raz- svetljavo, redkokdaj opazimo. Ko pa ga, nas zmoti; običajno je tovrstno utripanje posledica okvare v napajanju ali kakšnih drugih posebnih okoliščin. Večino luči napaja izmenična napetost, izjema so ba- terijske svetilke. Zaradi izmeničnega napajanja luči utripajo, četudi tega človeško oko ne zazna. Le-tega pa ni težko naplahtati; že spreminjanje slik s hitro- stjo 25 slik na sekundo namreč v očesu vzbudi videz tekočega gibanja – to izkoristijo v kinu in na televi- ziji. Seveda je oko bolj občutljivo za ostre kot mehke spremembe. Spremembe so ostre, če se kader hitro in močno spreminja, npr. izmenjevanje belega in čr- nega zaslona. Primer mehke spremembe je posnetek potujočega oblaka. Tekoča zaznava zaporedja slik je povezana z izvenevanjem signala iz vidnih živcev in tvorbo slike v korteksu možganov. Najpreprostejša svetila – žarnice – so narejena ta- ko, da električni tok teče po tanki žici, ki se zato segreje do visoke temperature (več kot 1000 ◦C) in seva elektromagnetno valovanje. Večina sevanja je v infrardečem območju; ta del občutimo kot toplotni tok, če blizu žarnice pridržimo roko. Del energije žarnica izseva kot vidno svetlobo. Svetlobni tok, ki ga izseva žarnica, je sorazmeren s četrto potenco temperature žarilne nitke. Zvezo podaja Stefanov zakon j = σT 4 . j je gostota izsevanega svetlobnega toka, σ = 5,67× 10−8 Wm−2K−4 je Stefanova konstanta, albedo sve- tila pa privzamemo 1, kar ni čisto res, a zgodbe no- čem po nepotrebnem zapletati. Temperatura žarilne nitke se spreminja zaradi neravnovesja med prejeto električno energijo in izsevano toploto. Električno energijo prejema s trenutno močjo, ki je enaka pro- duktu napetosti in toka skozi žarilno nitko: P = UI. Če napetost niha sinusno U = U0 sin 2πνt , ima tudi tok po ohmovem zakonu enak časovni po- tek in amplitudo U0/R. R je upor žarnice, ν je fre- kvenca, s katero niha napetost. V Evropi je frekvenca napetosti 50 Hz, kar ustreza nihajnemu času 1/ν = 20 ms. Trenutna moč žarnice je P = U 2 0 R sin2 2πνt = U 2 0 2R (1− cos 4πνt) = = P0(1− cos 4πνt) in niha med 0 in P0 = U 2 0 2R z dvakrat večjo frekvenco kot napetost. Nazivna moč žarnice, ki je napisana na bučki ali podnožju, je običajno efektivna moč Pef = P0/2. 2 Utripanje luči, ki jih uporabljamo za hišno raz- svetljavo, redkokdaj opazimo. Ko pa ga, nas zmoti; običajno je tovrstno utripanje posledica okvare v napajanju ali kakšnih drugih posebnih okoliščin. Večino luči napaja izmenična napetost, izjema so ba- terijske svetilke. Zaradi izmeničnega napajanja luči utripajo, četudi tega človeško oko ne zazna. Le-tega pa ni težko naplahtati; že spreminjanje slik s hitro- stjo 25 slik na sekundo namreč v očesu vzbudi videz tekočega gibanja – to izkoristijo v kinu in na televi- ziji. Seveda je oko bolj občutljivo za ostre kot mehke spremembe. Spremembe so ostre, če se kader hitro in močno spreminja, npr. izmenjevanje belega in čr- nega zaslona. Primer mehke spremembe je posnetek potujočega oblaka. Tekoča zaznava zaporedja slik je povezana z izvenevanjem signala iz vidnih živcev in tvorbo slike v korteksu možganov. Najpreprostejša svetila – žarnice – so narejena ta- ko, da električni tok teče po tanki žici, ki se zato segreje do visoke temperature (več kot 1000 ◦C) in seva elektromagnetno valovanje. Večina sevanja je v infrardečem območju; ta del občutimo kot toplotni tok, če blizu žarnice pridržimo roko. Del energije žarnica izseva kot vidno svetlobo. Svetlobni tok, ki ga izseva žarnica, je sorazmeren s četrto potenco temperature žarilne nitke. Zvezo podaja Stefanov zakon j = σT 4 . j je gostota izsevanega svetlobnega toka, σ = 5,67× 10−8 Wm−2K−4 je Stefanova konstanta, albedo sve- tila pa privzamemo 1, kar ni čisto res, a zgodbe no- čem po nepotrebnem zapletati. Temperatura žarilne nitke se spreminja zaradi neravnovesja med prejeto električno energijo in izsevano toploto. Električno energijo prejema s trenutno močjo, ki je enaka pro- duktu napetosti in toka skozi žarilno nitko: P = UI. Če napetost niha sinusno U = U0 sin 2πνt , ima tudi tok po ohmovem zakonu enak časovni po- tek in amplitudo U0/R. R je upor žarnice, ν je fre- kvenca, s katero niha napetost. V Evropi je frekvenca napetosti 50 Hz, kar ustreza nihajnemu času 1/ν = 20 ms. Trenutna moč žarnice je P = U 2 0 R sin2 2πνt = U 2 0 2R (1− cos 4πνt) = = P0(1− cos 4πνt) in niha med 0 in P0 = U 2 0 2R z dvakrat večjo frekvenco kot napetost. Nazivna moč žarnice, ki je napisana na bučki ali podnožju, je običajno efektivna moč Pef = P0/2. 2 Utripanje luči, ki jih uporabljamo za hišno raz- svetljavo, redkokdaj opazimo. Ko pa ga, nas zmoti; običajno je tovrstno utripanje posledica okvare v napajanju ali kakšnih drugih posebnih okoliščin. Večino luči napaja izmenična napetost, izjema so ba- terijske svetilke. Zaradi izmeničnega napajanja luči utripajo, četudi tega človeško oko ne zazna. Le-tega pa ni težko naplahtati; že spreminjanje slik s hitro- stjo 25 slik na sekundo namreč v očesu vzbudi videz tekočega gibanja – to izkoristijo v kinu in na televi- ziji. Seveda je oko bolj občutljivo za ostre kot mehke spremembe. Spremembe so ostre, če se kader hitro in močno spreminja, npr. izmenjevanje belega in čr- nega zaslona. Primer mehke spremembe je posnetek potujočega oblaka. Tekoča zaznava zaporedja slik je povezana z izvenevanjem signala iz vidnih živcev in tvorbo slike v korteksu možganov. Najpreprostejša svetila – žarnice – so narejena ta- ko, da električni tok teče po tanki žici, ki se zato segreje do visoke temperature (več kot 1000 ◦C) in seva elektromagnetno valovanje. Večina sevanja je v infrardečem območju; ta del občutimo kot toplotni tok, če blizu žarnice pridržimo roko. Del energije žarnica izseva kot vidno svetlobo. Svetlobni tok, ki ga izseva žarnica, je sorazmeren s četrto potenco temperature žarilne nitke. Zvezo podaja Stefanov zakon j = σT 4 . j je gostota izsevanega svetlobnega toka, σ = 5,67× 10−8 Wm−2K−4 je Stefanova konstanta, albedo sve- tila pa privzamemo 1, kar ni čisto res, a zgodbe no- čem po nepotrebnem zapletati. Temperatura žarilne nitke se spreminja zaradi neravnovesja med prejeto električno energijo in izsevano toploto. Električno energijo prejema s trenutno močjo, ki je enaka pro- duktu napetosti in toka skozi žarilno nitko: P = UI. Če napetost niha sinusno U = U0 sin 2πνt , ima tudi tok po ohmovem zakonu enak časovni po- tek in amplitudo U0/R. R je upor žarnice, ν je fre- kvenca, s katero niha napetost. V Evropi je frekvenca napetosti 50 Hz, kar ustreza nihajnemu času 1/ν = 20 ms. Trenutna moč žarnice je P = U 2 0 R sin2 2πνt = U 2 0 2R (1− cos 4πνt) = = P0(1− cos 4πνt) in niha med 0 in P0 = U 2 0 2R z dvakrat večjo frekvenco kot napetost. Nazivna moč žarnice, ki je napisana na bučki ali podnožju, je običajno efektivna moč Pef = P0/2. 2 tri a je l či, i ji ora lja o za iš o raz- s etlja o, re o aj o azi o. o a ga, as z oti; o ičaj o je to rst o tri a je osle ica o are a aja j ali a š i r gi ose i o olišči . eči o l či a aja iz e ič a a etost, izje a so ba- terijske svetilke. ara i iz e ič ega a aja ja l či tri ajo, čet i tega človeško oko e zaz a. Le-tega a i težko a la tati; že s re i ja je slik s itro- stjo 25 slik a sek o a reč v očes vzb i vi ez tekočega giba ja – to izkoristijo v ki i a televi- ziji. Seve a je oko bolj obč tljivo za ostre kot e ke s re e be. S re e be so ostre, če se ka er itro i oč o s re i ja, r. iz e jeva je belega i čr- ega zaslo a. Pri er e ke s re e be je os etek ot jočega oblaka. ekoča zaz ava za ore ja slik je oveza a z izve eva je sig ala iz vi i živcev i tvorbo slike v korteks ožga ov. aj re rostejša svetila – žar ice – so areje a ta- ko, a električ i tok teče o ta ki žici, ki se zato segreje o visoke te erat re (več kot 1000 ◦ ) i seva elektro ag et o valova je. eči a seva ja je v i frar eče ob očj ; ta el obč ti o kot to lot i tok, če bliz žar ice ri rži o roko. el e ergije žar ica izseva kot vi o svetlobo. Svetlob i tok, ki ga izseva žar ica, je soraz ere s četrto ote co te erat re žaril e itke. vezo o aja Stefa ov zako j 4 . j je gostota izseva ega svetlob ega toka, 5,67 10−8 −2 −4 je Stefa ova ko sta ta, albe o sve- tila a rivza e o 1, kar i čisto res, a zgo be o- če o e otreb e za letati. e erat ra žaril e itke se s re i ja zara i erav ovesja e rejeto električ o e ergijo i izseva o to loto. Električ o e ergijo reje a s tre t o očjo, ki je e aka ro- kt a etosti i toka skozi žaril o itko: P I. ˇe a etost i a si s o 0 si 2 νt , i a t i tok o o ove zako e ak časov i o- tek i a lit o 0/ . je or žar ice, ν je fre- kve ca, s katero i a a etost. Evro i je frekve ca a etosti 50 z, kar streza i aj e čas 1/ν 20 s. re t a oč žar ice je P 2 0 si 2 2 νt 2 0 2 (1 cos 4 νt) P0(1 cos 4 νt) i i a e 0 i P0 U20 2R z vakrat večjo frekve co kot a etost. aziv a oč žar ice, ki je a isa a a b čki ali o ožj , je običaj o efektiv a oč Pef P0/2. 2 Utripanje luči, ki jih uporablja o za hišno raz- svetljavo, redkokdaj opazi o. Ko pa ga, nas z oti; običajno je tovrstno utripanje posledica okvare v napajanju ali kakšnih drugih posebnih okoliščin. Večino luči napaja iz enična napetost, izje a so ba- terijske svetilke. Zaradi iz eničnega napajanja luči utripajo, četudi tega človeško oko ne zazna. Le-tega pa ni težko naplahtati; že spre injanje slik s hitro- stjo 25 slik na sekundo na reč v očesu vzbudi videz tekočega gibanja – to izkoristijo v kinu in na televi- ziji. Seveda je oko bolj občutljivo za ostre kot ehke spre e be. Spre e be so ostre, če se kader hitro in očno spre inja, npr. iz enjevanje belega in čr- nega zaslona. Pri er ehke spre e be je posnetek potujočega oblaka. Tekoča zaznava zaporedja slik je povezana z izvenevanje signala iz vidnih živcev in tvorbo slike v korteksu ožganov. Najpreprostejša svetila – žarnice – so narejena ta- ko, da električni tok teče po tanki žici, ki se zato segreje do visoke te perature (več kot 1000 ◦C) in seva elektro agnetno valovanje. Večina sevanja je v infrardeče ob očju; ta del občuti o kot toplotni tok, če blizu žarnice pridrži o roko. Del energije žarnica izseva kot vidno svetlobo. Svetlobni tok, ki ga izseva žarnica, je soraz eren s četrto potenco te perature žarilne nitke. Zvezo podaja Stefanov zakon j = σT 4 . j je gostota izsevanega svetlobnega toka, σ = 5,67× 10−8 −2K−4 je Stefanova konstanta, albedo sve- tila pa privza e o 1, kar ni čisto res, a zgodbe no- če po nepotrebne zapletati. Te peratura žarilne nitke se spre inja zaradi neravnovesja ed prejeto električno energijo in izsevano toploto. Električno energijo preje a s trenutno očjo, ki je enaka pro- duktu napetosti in toka skozi žarilno nitko: P = UI. Če napetost niha sinusno U = U0 sin 2πνt , i a tudi tok po oh ove zakonu enak časovni po- tek in a plitudo U0/R. R je upor žarnice, ν je fre- kvenca, s katero niha napetost. V Evropi je frekvenca napetosti 50 Hz, kar ustreza nihajne u času 1/ν = 20 s. Trenutna oč žarnice je P = U 2 0 R sin2 2πνt = U 2 0 2R (1− cos 4πνt) = = P0(1− cos 4πνt) in niha ed 0 in P0 = U 2 0 2R z dvakrat večjo frekvenco kot napetost. Nazivna oč žarnice, ki je napisana na bučki ali podnožju, je običajno efektivna oč Pef = P0/2. 2 i j l i, i ji lj i - lj , j i . , i; i j j i j l i j j li i i i li i . i l i j i i , i j - ij il . i i i j j l i i j , i l . - i l i; i j j li i - j li i i i j i i ij i i l i- iji. j lj lji . , i i i j , . i j j l i - l . i j j l . j li j i j i l i i i i i li . j j il i j - , l i i i i i, i j i ( ) i l l j . i j j i j ; l i l i , li i i i . l ij i i i l . l i , i i i , j il i . j . j i l , , j , l - il i , i i , - l i. il i i j i j j l i ij i i l . l i ij j j , i j - i i i il i : . i i i , i i i - i li . j i , j - , i . i j i , i j . i j i i i i 2 0 j . i i , i j i i li j , j i j i . tr r š r s t r s t t rst tr s r š r s š ec c e c et st e s ter s e s et e r e c e c tr cet te c eš e e te te t t e s re e s s tr st s se rec ces e te ce – t r st te e e e e c t stre t e e s re e e re e e s stre ce se er tr c s re r e e e e e cr e s r er e e s re e e e s ete t ce e c re s e e e e e s ce t r s e rte s re r ste š s et – r ce – s re e t e e tr c t tece t c se t se re e s e te er t re ec t ◦ se e e tr et e ec se e fr r ece c t e c t t t t t ce r ce r r r e e er e r c se t s et et t se r c e s r ere s cetrt te c te er t re r e t e e tef j 4 j e st t se e s et e t 8 2 4 e tef st t e s e t r e r c st res e ce e tre e et t e er t r r e t e se s re r er es e re et e e tr c e er se t t e tr c e er re e s tre t c e e r t et st t s r t I e et st s s 0 s t t t e e c s te t 0/ e r r ce e fre e c s ter et st r e fre e c et st r stre e c s / s re t c r ce e 2 0 s 2 t 2 0 ( c s t) 0( c s t) e 0 2R r t ec fre e c t et st c r ce e s c e c efe t c ef 0/ slika 1. Časovni potek svetljenosti občutljivega in hitrega svetlo- mera, na katerega sv ti ža nica. Žarnico napaja izmenična napetost s frekvenco 50 Hz, tok pa niha okoli povprečne vrednosti s frekvenco 100 Hz: 10 nihajev v 0,1s. Žarnica nikoli čisto ne ugasne, saj se zaradi hitrih sprememb moči ne ohladi dovolj. 400 300 200 100 0 0,00 0,02 0,04 0,06 čas (s) os ve tl je no st (l ux ) 0,08 0,10 21 f i z i k a Presek 38 (2010/2011) 6 Utripanje luči, ki jih uporabljamo za hišno raz- svetljavo, redkokdaj opazimo. Ko pa ga, nas zmoti; običajno je tovrstno utripanje posledica okvare v napajanju ali kakšnih drugih posebnih okoliščin. Večino luči napaja izmenična napetost, izjema so ba- terijske svetilke. Zaradi izmeničnega napajanja luči utripajo, četudi tega človeško oko ne zazna. Le-tega pa ni težko naplahtati; že spreminjanje slik s hitro- stjo 25 slik na sekundo namreč v očesu vzbudi videz tekočega gibanja – to izkoristijo v kinu in na televi- ziji. Seveda je oko bolj občutljivo za ostre kot mehke spremembe. Spremembe so ostre, če se kader hitro in močno spreminja, npr. izmenjevanje belega in čr- nega zaslona. Primer mehke spremembe je posnetek potujočega oblaka. Tekoča zaznava zaporedja slik je povezana z izvenevanjem signala iz vidnih živcev in tvorbo slike v korteksu možganov. Najpreprostejša svetila – žarnice – so narejena ta- ko, da električni tok teče po tanki žici, ki se zato segreje do visoke temperature (več kot 1000 ◦C) in seva elektromagnetno valovanje. Večina sevanja je v infrardečem območju; ta del občutimo kot toplotni tok, če blizu žarnice pridržimo roko. Del energije žarnica izseva kot vidno svetlobo. Svetlobni tok, ki ga izseva žarnica, je sorazmeren s četrto potenco temperature žarilne nitke. Zvezo podaja Stefanov zakon j = σT 4 . j je gostota izsevanega svetlobnega toka, σ = 5,67× 10−8 Wm−2K−4 je Stefanova konstanta, albedo sve- tila pa privzamemo 1, kar ni čisto res, a zgodbe no- čem po nepotrebnem zapletati. Temperatura žarilne nitke se spreminja zaradi neravnovesja med prejeto električno energijo in izsevano toploto. Električno energijo prejema s trenutno močjo, ki je enaka pro- duktu napetosti in toka skozi žarilno nitko: P = UI. Če napetost niha sinusno U = U0 sin 2πνt , ima tudi tok po ohmovem zakonu enak časovni po- tek in amplitudo U0/R. R je upor žarnice, ν je fre- kvenca, s katero niha napetost. V Evropi je frekvenca napetosti 50 Hz, kar ustreza nihajnemu času 1/ν = 20 ms. Trenutna moč žarnice je P = U 2 0 R sin2 2πνt = U 2 0 2R (1− cos 4πνt) = = P0(1− cos 4πνt) in niha med 0 in P0 = U 2 0 2R z dvakrat večjo frekvenco kot napetost. Nazivna moč žarnice, ki je napisana na bučki ali podnožju, je običajno efektivna moč Pef = P0/2. 2 Literatura [1] http://www.100fps.com/how_many_frames_can_humans_see.htm (ogled: 21. 4. 2011) 4 Literatura [1] htt ://www.100fps.com/how many_frames_can_humans_see.htm (ogled: 21. 4. 2011) 4 Literatura [1] http://www.100fps.com/how_many_frames_can_humans_see.htm (ogled: 21. 4. 2011) 4 teratura slika 2. Žarnica (levo) na premaknjeni foto- grafiji (desno) pusti utripajočo sled. slika 3. Sledi nočne lučke (levo) in neonske svetilke (desno) na premaknjeni fotografiji kažeta bolj izrazito utripanje kot sled žarnice, saj se ti svetili hitreje odzivata na spremembe električnega toka. slika 4. Časovni potek osvetljenosti občutljivega in hitrega svetlomera, na katerega sveti neonka. Jasno razločimo, da neonko napaja na cel nihaj usmerjena napetost. Slika 1, 2 Svetilnost žarnice se spreminja z enako frekvenco kot trenutna moč; nekaj razlike je le v časovnem poteku, saj temperatura zaradi končne toplotne ka- pacitete žarilne nitke in omejenega toplotnega toka ne sledi popolnoma električni moči. Svetilnost zato ne niha med ničlo in največjo vrednostjo, temveč z manjšo amplitudo okoli povprečne vrednosti. To opazimo tudi na grafu časovnega poteka osvetljeno- sti izmerjene z občutljivim in hitrim svetlomerom (slika 1). Utripanje žarnice lahko razkrijemo tudi s fotoa- paratom, kjer nastavimo nekoliko daljšo osvetlitev (izbrali smo 0,1 s). Svetilo slikamo tako, da kamero premikamo (ali vrtimo) in se pri tem svetilo v kadru premika. Posnetek moramo narediti ob pravem tre- nutku, zanj pa potrebujemo tudi nekaj vaje. Na sledi, ki jo svetilo pusti na sliki, lahko opazimo spreminja- nje svetlosti (slika 2). Podobno lahko raziščemo tudi druga svetila; poi- grali smo se še z neonko in nočno lučko na sveteče diode (slika 3). Pri teh svetilih časovni potek svetil- nost ni t k kot pri žarnici, saj ta svetila napajamo z usmerjeno napetostjo. Če napetost usmerjamo samo na pol nihaja (napetost poganja tok samo v tisti po- lovici nihaja, ko je pozitivna), potem svetilo utripa s frekvenco 50 Hz. Če pa je usmerjanje na cel ni- haj, ko usmernik negativno napetost pretvori v pozi- tivno, pozitivno pa ohrani, svetilo utripa s 100 Hz. Pri utripanju s 100 Hz pričakujemo deset svetlih in deset temnih prog na posnetku, pri katerem je osvetlitev trajala 0,1 s. Očitno je, da o prehodi med svetlim in temnim pri neonki in sveteči diodi znatno bolj ostri kot pri žarnici, to pa zato, ker ni zamika pri segrevanju in ohlajanju. To opazimo tudi na grafu za neonko (slika 4). Slika 3, 4 3 www.presek.si 400 300 200 100 0 0,00 0,02 0,04 0,06 čas (s) os ve tl je no st (l ux ) 0,08 0,10 a s t r o n o m i j a 22 presek 38 (2010/2011) 6 bojan kambič Kroglasta kopica M 13 • Kroglasta kopica M 13 je zagotovo najbolj pri- ljubljena kopica med amaterskimi astronomi naših geografskih širin. V jasni, temni, brezmesečni noči in daleč stran od svetlobnega onesnaženja jo za- slutimo že s prostim očesom kot zvezdico 6. ma- gnitude med zvezdama Eta in Zeta Herkula. Kopico prvi omenja Edmund Halley leta 1715, odkril pa jo je povsem po naključju že leto dni prej. M 13 je če- trta po svetlosti med kroglastimi kopicami našega neba. Svetlejše od nje so le Omega Kentavra, NGC 104 v Tukanu in M 22 v Strelcu. Prvi dve z naših geografskih širin nista vidni, slednja pa je vedno nizko nad obzorjem. Kopica je dobro vidna že v daljnogledu 10× 50, a le kot približno 10 ločnih minut velika meglica z neko- liko svetlejšim osrednjim delom. Velikost in videz sta seveda močno odvisna od trenutnih opazovalnih razmer. Če hočemo na njenem robu razločiti posa- mezne zvezdice, pa potrebujemo teleskop s preme- rom objektiva vsaj 10 centimetrov. V večjih amater- skih teleskopih pri velikih povečavah je kopica zares sijajna – pa če jo vidimo prvič ali stotič. Iz gostega središča, ki ga v posamezne zvezde ne razločijo niti največji teleskopi na svetu, se vijejo veličastni loki nizov zvezd. Število zvezd v kopici so ocenili na mi- lijon, njihov kupni izsev pa je več kot 300 000-krat večji od Sončevega. Najsvetlejše članice so rdeče or- jakinje, ki na našem nebu sijejo z 11. magnitudo, re- snični izsev vsake od njih pa je vsaj 2000-krat večji od Sončevega. Naše Sonce bi s te oddaljenosti že kar težko videli tudi v največjih teleskopih – le kot zvez- dico 19. magnitude. Današnja ocena o oddaljenosti kopice je okoli 25 000 svetlobnih let. Njena starost je več kot 10 mi- lijard let in sodi med najstarejše kopice v naši Gala- ksiji. Premer M 13 je okoli 145 svetlobnih let. Ocena je zelo groba, saj je težko določiti njene meje. Večina zvezd je zbranih v središčnem predelu, ki v premeru meri vsega 100 svetlobnih let, nekatere posamezne članice pa najdemo v premeru vse do 200 svetlobnih let. Si sploh lahko zamislimo, kakšna je gostota zvezd v bližini središča takšne goste kopice? Fotografije, posnete z največjimi teleskopi, dajejo vtis, kot da so zvezde v središču tako lepo in enakomerno razpore- jene druga ob drugi, da se skoraj dotikajo. Seveda je to posledica tega, da kopico gledamo s tako ve- like oddaljenosti. Kot smo že omenili, je osrednje območje veliko 100 svetlobnih let oz. štiri milijone kubičnih svetlobnih let. Če to območje naseljuje mi- lijon zvezd, je povprečna gostota ena zvezda na štiri kubična svetlobna leta. (Le za primerjavo: v naši ve- soljski soseščini pride po grobi oceni ena zvezda na 360 kubičnih svetlobnih let!) Proti središču kopice je morda gostota nekoliko večja, a vseeno ni takšne 2 l i j j lj i- lj lj i i i i i i i i . j i, i, i i i l l j j - l i i i . - i i l . i i j ll l , il j j lj j l i j. j - l i l i i i i . l j j l , i l . i i i i i i i i, l j j i j . i j i lj l , l i li l i i li li - li l j i ji l . li i i i i l i . j l i i - i , j l - j i j i . ji - i l i i li i j i ij j j i i i li i . I i , i l ij i i j ji l i , ij j li i l i i . il i i ili i- lij , ji i i j - ji . j l j l i - j i j , i ij j . i , - i i i ji j j - ji . i lj i i li i j ji l i l - i . i . j lj i i j li l i l . j j i- lij l i i j j i i l - iji. j li l i l . j l , j j l i i j j . i j i i l , i i l i l , l i j l i l . i l l i li , j li i i i i j , j ji i l i, j j i , i l i - j i, j i j . j l i , i l - li lj i. ili, j j j li l i l . i i ilij i i l i l . j lj j i- lij , j i i i l l . ( i j : i - lj i i i i i i i i l i l !) i i i j li j , i t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t t t t t f t r t r t t r t t tr t r r r r t tr t r r t t tr t r t r r r t t t r r t t t t t t r t t r r t r r t t t r t t t t t t t t t r t t r t t r r r t t r t t r r r r r r t t t r r r t t t t r t t t r t t t t r t r r r r r r t t t t t t r t t t r t t t r t t t r t t r r r r t t r t r r t t t roglas a kopica 13 je zago ovo najbolj pri- ljubljena kopica ed a a erski i as rono i naših geogra skih širin. jasni, e ni, brez esečni noči in daleč s ran od sve lobnega onesnaženja jo za- slu i o že s pros i očeso ko zvezdico 6. a- gni ude ed zvezda a E a in Ze a erkula. opico prvi o enja Ed und alley le a 1715, odkril pa jo je povse po naključju že le o dni prej. 13 je če- r a po sve los i ed kroglas i i kopica i našega neba. Sve lejše od nje so le ega en avra, C 104 v Tukanu in 22 v S relcu. Prvi dve z naših geogra skih širin nis a vidni, slednja pa je vedno nizko nad obzorje . Kopica je dob o vidna že v daljnogledu 10 50, a le ko p ibližno 10 ločnih inu velika eglica z neko- liko sve lejši os ednji delo . Velikos in videz s a seveda očno odvisna od enu nih opazovalnih az e . Če hoče o na njene obu azloči i posa- ezne zvezdice, pa po ebuje o eleskop s p e e- o objek iva vsaj 10 cen i e ov. V večjih a a e - skih eleskopih p i velikih povečavah je kopica za es sijajna – pa če jo vidi o p vič ali s o ič. Iz gos ega s edišča, ki ga v posa ezne zvezde ne azločijo ni i največji eleskopi na sve u, se vijejo veličas ni loki nizov zvezd. Š evilo zvezd v kopici so ocenili na i- lijon, njihov kupni izsev pa je več ko 300 000-k a večji od Sončevega. ajsve lejše članice so deče o - jakinje, ki na naše nebu sijejo z 11. agni udo, e- snični izsev vsake od njih pa je vsaj 2000-k a večji od Sončevega. aše Sonce bi s e oddaljenos i že ka ežko videli udi v največjih eleskopih – le ko zvez- dico 19. agni ude. anašnja ocena o oddaljenos i kopice je okoli 25 000 sve lobnih le . jena s a os je več ko 10 i- lija d le in sodi ed najs a ejše kopice v naši ala- ksiji. P e e 13 je okoli 145 sve lobnih le . cena je zelo g oba, saj je ežko določi i njene eje. Večina zvezd je zb anih v s ediščne p edelu, ki v p e e u e i vsega 100 sve lobnih le , neka e e posa ezne članice pa najde o v p e e u vse do 200 sve lobnih le . Si sploh lahko za isli o, kakšna je gos o a zvezd v bližini s edišča akšne gos e kopice? Fo og afije, posne e z največji i eleskopi, dajejo v is, ko da so zvezde v s edišču ako lepo in enako e no azpo e- jene d uga ob d ugi, da se sko aj do ikajo. Seveda je o posledica ega, da kopico gleda o s ako ve- like oddaljenos i. Ko s o že o enili, je os ednje ob očje veliko 100 sve lobnih le oz. š i i ilijone kubičnih sve lobnih le . Če o ob očje naseljuje i- lijon zvezd, je povp ečna gos o a ena zvezda na š i i kubična sve lobna le a. (Le za p i e javo: v naši ve- soljski soseščini p ide po g obi oceni ena zvezda na 360 kubičnih sve lobnih le !) P o i s edišču kopice je o da gos o a nekoliko večja, a vseeno ni akšne 2 K t M t m m t m t m f . V , t m , m t t t m t m m t . m t m m t t H . K m m H t , m t . M t t t t m t m m . t Om K t , NG M t . f t , m. r × , t r m t m t m r m m. t t m tr t r m r. m m r r t m , tr m t r m r m t t m tr . m t r t r r m r t t . t r , m r t t t , t . t m , t r t . N t r r , m . m t , r r t . N t t r t t t t . m t . D t t t. N t r t t m r t m t r G . r m r M t t. O r , t t m . r r m r , r m r m r t t, t r m m r m r t t. m m , t t r t t t r , t m t , t , t r t m r r r r r , r t . t t , m t t . t m m , r m t t . t r m t t. t m m , r t t t r t t . r m r : r r t t! r t r m r t t , t l i j j lj i- lj lj i i i i i i i i j i i i i i l l j j - l i i i - i i l i i j ll l il j j lj j l i j j - l i l i i i i l j j l i l i i i i i i i i l j j i j i j i lj l l i li l i i li li - li l j i ji l li i i i i l i j l i i - i j l - j i j i ji - i l i i li i j i ij j j i i i li i I i i l ij i i j ji l i ij j li i l i i il i i ili i- lij ji i i j - ji j l j l i - j i j i ij j i - i i i ji j j - ji i lj i i li i j ji l i l - i i j lj i i j li l i l j j i- lij l i i j j i i l - iji j li l i l j l j j l i i j j i j i i l i i l i l l i j l i l i l l i li j li i i i i j j ji i l i j j i i l i - j i j i j j l i i l - li lj i ili j j j li l i l i i ilij i i l i l j lj j i- lij j i i i l l ( i j i - lj i i i i i i i i l i l ) i i i j li j i rog as a o ca 13 e zago o o a o r e a o ca e a a ers as ro o aš geogra s š r . as , e , rez eseč oč a eč s ra o s e o ega o es aže a o za s o že s ros očeso o z ez co 6. a g e e z ez a a E a e a er a. o co r o e a E a e e a 1715, o r a o e o se o a č že e o re . 13 e če r a o s e os e rog as o ca ašega e a. S e e še o e so e ega e a ra, 104 a 22 S re c . Pr e z aš geogra s š r s a , s e a a e e o z o a o zor e . o ca e ob o v a že v a og e 10 50, a e ko b ž o 10 oč ve ka eg ca z eko ko sve e š os e e o . e kos v ez s a seve a oč o o v s a o e o azova az e . ˇe oče o a e e ob az oč osa ez e zvez ce, a o eb e o e esko s e e o ob ek va vsa 10 ce e ov. več a a e sk e esko ve k ovečava e ko ca za es s a a – a če o v o v č a s o č. z gos ega s e šča, k ga v osa ez e zvez e e az oč o a več e esko a sve , se v e o ve čas ok zov zvez . Š ev o zvez v ko c so oce a o , ov k zsev a e več ko 300 000 k a več o So čevega. a sve e še č a ce so eče o ak e, k a aše eb s e o z 11. ag o, e s č zsev vsake o a e vsa 2000 k a več o So čevega. aše So ce b s e o a e os že ka ežko v e v a več e esko – e ko zvez co 19. ag e. a aš a oce a o o a e os ko ce e oko 25 000 sve ob e . e a s a os e več ko 10 a e so e a s a e še ko ce v aš a a ks . P e e 13 e oko 145 sve ob e . ce a e ze o g oba, sa e ežko o oč e e e e. eč a zvez e zb a v s e šč e e e , k v e e e vsega 100 sve ob e , eka e e osa ez e č a ce a a e o v e e vse o 200 sve ob e . S s o a ko za s o, kakš a e gos o a zvez v b ž s e šča akš e gos e ko ce? Fo og a e, os e e z a več e esko , a e o v s, ko a so zvez e v s e šč ako e o e ako e o az o e e e ga ob g , a se sko a o ka o. Seve a e o os e ca ega, a ko co g e a o s ako ve ke o a e os . o s o že o e , e os e e ob oč e ve ko 100 sve ob e oz. š o e k b č sve ob e . ˇe o ob oč e ase e o zvez , e ov eč a gos o a e a zvez a a š k b č a sve ob a e a. Le za e avo: v aš ve so sk sosešč e o g ob oce e a zvez a a 360 k b č sve ob e ! P o s e šč ko ce e o a gos o a eko ko več a, a vsee o akš e 2 l t k pi j t v n jb lj p i- ljublj n k pi d t ki i t n i n ih f kih i in j ni t ni b ni n i in d l t n d v tl bn n n nj j - luti p ti k t v di - nitud d v d t in Z t kul pi p vi nj d und ll y l t dk il p j j p v p n klju ju l t dni p j j - t t p v tl ti d k l ti i k pi i n n b v tl j d nj l nt v C v Tuk nu in v t l u vi dv n ih f kih i in ni t vidni l dnj p j v dn ni k n d b j K pi j d r idn d ljn l du l t pri li n l nih inut li li n - li tl j i r dnji d l V li t in id t d n d i n d tr nutnih p lnih r r C h n nj n r u r l iti p - n di p p tr uj t l p pr - r j ti j nti tr V jih t r- ih t l pih pri li ih p h j pi r ij jn p j idi pr i li t ti I t r di i p n d n r l ij niti n j ji t l pi n tu ij j li tni l i ni d t il d pi i nili n i- lij n njih upni i p j t - r t ji d n j tl j l ni rd r- j inj i n n n u ij j nitud r - ni ni i d njih p j j - r t ji d n n i t dd lj n ti r t id li tudi n j jih t l pih l t - di nitud n nj n dd lj n ti pi j li tl nih l t j n t r t j t i- lij rd l t in di d n j t r j pi n i l - iji r r j li tl nih l t n j l r j j t d l iti nj n j V in d j r nih r di n pr d lu i pr ru ri tl nih l t n t r p n l ni p n jd pr ru d tl nih l t i pl h l h i li n j t t d li ini r di t n t pi t r fij p n t n j ji i t l pi d j j ti t d d r di u t l p in n rn r p r - j n dru dru i d r j d ti j d j t p l di t d pi l d t - li dd lj n ti K t nili j r dnj j li tl nih l t tiri ilij n u i nih tl nih l t C t j n ljuj i- lij n d j p pr n t t n d n tiri u i n tl n l t ( pri rj n i - lj i ini prid p r i ni n d n u i nih tl nih l t ) r ti r di u pi j rd t t n li j n ni t n . , , . . , . . , . , . , . . , . . , , . , . , . , . . . . . . , . , , . , , , , , . , . , . . , . : ! , Kr l s i j j lj ri- lj lj i rs i i s r i ši r s i širi . V j s i, i, r s i i i l s r s l s j j - sl i s r s i s i . - i i H r l . K i r i j H ll l , ril j j s lj j l i r j. j - r s l s i r l s i i i i š . l jš j s l O K r , NG i r l . r i ši r s i širi is i i, sl j j i rj . ic je i e lj le × , le i li l c i i eli e lic e - li s e lejši s e ji el . eli s i i e s se e c is e i l i e . e ce je e l ci i s - e e e ice, e je eles s e e- je i s j ce i e . ecji e - s i eles i i eli i ec je ic es sij j – ce j i i ic li s ic. I s e s e išc , i s e e e e e l cij i i j ecji eles i s e , se ijej elic s i l i i e . e il e ici s ce ili i- lij , ji i i se je ec - ecji ce e . N js e lejše cl ice s ece - j i je, i še e sijej . i , e- s ic i i se s e ji je s j - ecji ce e . N še ce i s e lje s i e e i eli i j ecji eles i – le e - ic . i e. D š j ce lje s i ice je li s e l i le . Nje s s je ec i- lij le i s i e js ejše ice ši G l - siji. e e M je li s e l i le . Oce je el , s j je e l ci i je e eje. eci e je i s e išc e e el , i e e e i se s e l i le , e e e s e e cl ice j e e e se s e l i le . i s l l isli , š je s e li i i s e išc š e s e ice? je, s e e j ecji i eles i, jej is, s e e s e išc le i e e e- je e i, se s j i j . e e je sle ic e , ic le s e- li e lje s i. s e e ili, je s e je cje eli s e l i le . š i i ilij e ic i s e l i le . e cje selj je i- lij e , je ec s e e š i i ic s e l le . ( e i e j : ši e- s ljs i s sešci i i e i ce i e e ic i s e l i le !) i s e išc ice je s e li ecj , see i š e og a ta o ca M 13 e zagoto o a o e a o ca me amate m a t o om a geog af . a , tem , ezme eč oč a eč t a o et o ega o e aže a o za t mo že o t m oče om ot z ez co 6. ma g t e me z ez ama Eta eta e a. o co ome a E m a e eta 1715, o a o e o em o a č že eto e . M 13 e če t ta o et o t me og a t m o cam a ega e a. S et e e o e o e mega e ta a, 104 a M 22 St e c . P e z a geog af ta , e a a e e o z o a o zo em. o a obro v a ž v a og 10 50, a kot r b ž o 10 oˇ m t v ka m g a z ko ko v t m o r m om. ko t v z ta v a moˇ o o v a o tr t o azova razm r. ˇ oˇ mo a m rob raz oˇ t o a m z zv z , a otr b mo t ko r m rom ob kt va v a 10 t m trov. v ˇ amat r k t ko r v k ov ˇava ko a zar a a a ˇ o v mo rv ˇ a tot .̌ z go t ga r ˇa, k ga v o am z zv z raz oˇ o t a v ˇ t ko a v t , v o v ˇa t ok zov zv z . Št v o zv z v ko o o a m o , ov k z v a v ˇ kot 300 000 krat v ˇ o So ˇ v ga. a v t ˇ a o r ˇ or ak , k a a m b o z 11. mag t o, r ˇ z v v ak o a v a 2000 krat v ˇ o So ˇ v ga. a So b t o a o t ž kar t žko v t v a v ˇ t ko kot zv z o 19. mag t . a a a o a o o a o t ko oko 25 000 v t ob t. a taro t v ˇ kot 10 m ar t o m a tar ko v a a a k . Pr m r 13 oko 145 v t ob t. a z o groba, a t žko o oˇ t m . ˇ a zv z zbra v r ˇ m r , k v r m r m r v ga 100 v t ob t, kat r o am z ˇ a a a mo v r m r v o 200 v t ob t. S o a ko zam mo, kak a go tota zv z v b ž r ˇa tak go t ko Fotogra , o t z a v ˇ m t ko , a o vt , kot a o zv z v r ˇ tako o akom r o raz or r ga ob r g , a kora ot ka o. S v a to o a t ga, a ko o g amo tako v k o a o t . ot mo ž om , o r obmoˇ v ko 100 v t ob t oz. t r m o k b ˇ v t ob t. ˇ to obmoˇ a m o zv z , ov r ˇ a go tota a zv z a a t r k b ˇ a v t ob a ta. L za r m r avo: v a v o k o ˇ r o grob o a zv z a a 360 k b ˇ v t ob t! Prot r ˇ ko mor a go tota ko ko v ˇ a, a v o tak 2 r l s k pi j v n jb lj pri- ljublj n k pi d rski i s r n i n ših r skih širin. j sni, ni, br s ni n i in d l s r n d sv l bn n sn nj j - slu i s pr s i s k v di . - ni ud d v d in Z rkul . pi prvi nj d und ll y l , dkril p j j p vs p n klju ju l dni pr j. j - r p sv l s i d kr l s i i k pi i n š n b . v l jš d nj s l n vr , C v Tuk nu in v r l u. rvi dv n ših r skih širin nis vidni, sl dnj p j v dn ni k n d b rj . K pic je d idn e d ljn ledu , le p i li n l cnih inu eli e lic ne - li s e lejši s ednji del . Veli s in ide s se ed cn d isn d enu nih p lnih e . Ce h ce n njene u l ci i p s - e ne e dice, p p e uje eles p s p e e- je i s j cen i e . V ecjih e - s ih eles pih p i eli ih p ec h je pic es sij jn – p ce j idi p ic li s ic. I s e s edišc , i p s e ne e de ne l cij ni i n j ecji eles pi n s e u, se ijej elic s ni l i ni e d. e il e d pici s cenili n i- lij n, njih upni i se p je ec - ecji d nce e . js e lejše cl nice s dece - j inje, i n n še ne u sijej . ni ud , e- snicni i se s e d njih p je s j - ecji d nce e . še nce i s e dd ljen s i e e ideli udi n j ecjih eles pih – le e - dic . ni ude. n šnj cen dd ljen s i pice je li s e l nih le . jen s s je ec i- lij d le in s di ed n js ejše pice n ši l - siji. e e je li s e l nih le . cen je el , s j je e d l ci i njene eje. Vecin e d je nih s edišcne p edelu, i p e e u e i se s e l nih le , ne e e p s e ne cl nice p n jde p e e u se d s e l nih le . i spl h l h isli , šn je s e d li ini s edišc šne s e pice? fije, p sne e n j ecji i eles pi, d jej is, d s e de s edišcu lep in en e n p e- jene d u d u i, d se s j d i j . e ed je p sledic e , d pic led s e- li e dd ljen s i. K s e enili, je s ednje cje eli s e l nih le . š i i ilij ne u icnih s e l nih le . Ce cje n seljuje i- lij n e d, je p p ecn s en e d n š i i u icn s e l n le . ( e p i e j : n ši e- s ljs i s sešcini p ide p i ceni en e d n u icnih s e l nih le !) i s edišcu pice je d s ne li ecj , seen ni šne a s t r o n o m i j a 23 • Presek 38 (2010/2011) 6 gneče, kot je videti na prvi pogled. Še bolj nazorno si lahko razmere predstavljamo, če v mislih naredimo model kopice. Zamislimo si, da imamo milijon zrnc mivke, ki predstavljajo milijon zvezd kopice. Vsako zrnce je veliko približno pol milimetra, razporediti pa jih moramo v kroglo s premerom 480 kilometrov. Če jih enakomerno razporedimo po tej namišljeni krogli, je razdalja med dvema sosednjima zrncema kar pet kilometrov. Tudi če je osrednje območje ko- pice veliko bolj zgoščeno, je med dvema sosednjima zrncema mivke še vedno razdalja nekaj sto metrov. Tako lahko vidimo, da je po zemeljskih merilih tudi najgostejša kopica v resnici razmeroma redko pose- jana z zvezdami, po vesoljskih merilih pa ne. Če na- mreč enak model z mivko naredimo za Sonce in nje- govo soseščino, je najbližja zvezda Proksima Kenta- vra oddaljena od nas kar 20 kilometrov! Prav zanimivo bi bilo živeti na planetu, ki bi kro- žil okoli zvezde v bližini središča kopice. To bi bil prizor brez primerjave! Nebo bi bilo polno samih svetlih zvezd, ob katerih bi bile naše Sirij, Antares ali Vega videti prav šibke in nepomembne. Kar ne- kaj tisoč zvezd pa bi imelo sij med Venero in polno Luno. Na planetu verjetno sploh ne bi bilo noči, kot jo poznamo na Zemlji. Prebivalci tega planeta sko- raj zagotovo ne bi ničesar vedeli o drugih zvezdah, o naši Galaksiji ali o drugih galaksijah, saj bi bilo nji- hovo nebo veliko presvetlo za astronomijo. Za njih bi bilo vse vesolje kar njihova domača kroglasta ko- pica. Žalostno!? Še ena zanimivost je povezana s to kopico. Leta 1974 so M 13 izbrali za cilj enega prvih radijskih sporočil, ki so ga astronomi poslali v vesolje za mo- rebitna inteligentna bitja. Kopico so izbrali zato, ker je tam na kupu toliko zvezd in je verjetnost, da je okoli katere od njih planet z inteligentnim življe- njem, največja. Kodirano sporočilo je na pot odšlo z radijskega teleskopa Arecibo. Vedeti pa moramo, da kljub temu, da signal potuje z največjo možno hi- trostjo v vesolju, bo do kopice potreboval kar 25 000 let. In če ga bo kdo prebral in nam takoj odgovoril, bomo odgovor dobili nekje okoli leta 50 000. Ja, to pa je žalostna stran vesoljske komunikacije! Slika 1 In kje kopico najdemo? Herkul je veliko, a raz- meroma nevpadljivo pomladno ozvezdje, saj najsve- tlejša zvezda Beta sije le z 2,8 magnitude. Še naj- boljša zvezda vodnica je svetla Vega v Liri, ozvez- dje Herkul pa leži približno 30 stopinj vzhodno od nje. Najbolje je, če si pri iskanju pomagamo z vr- tljivo karto. Ko ozvezdje enkrat prepoznamo, nam kroglaste kopice ne bo težko najti. Slika 2 Slika 3 3 gneče, kot je videti na prvi pogled. Še bolj nazorno si lahko razmere predstavljamo, če v mislih naredimo model kopice. Zamislimo si, da imamo milijon zrnc mivke, ki predstavljajo milijon zvezd kopice. Vsako zrnce je veliko približno pol milimetra, razporediti pa jih moramo v kroglo s premerom 480 kilometrov. Če jih enakomerno razporedimo po tej namišljeni krogli, je razdalja med dvema sosednjima zrncema kar pet kilometrov. Tudi če je osrednje območje ko- pice veliko bolj zgoščeno, je med dvema sosednjima zrncema mivke še vedno razdalja nekaj sto metrov. Tako lahko vidimo, da je po zemeljskih merilih tudi najgostejša kopica v resnici razmeroma redko pose- jana z zvezdami, po vesoljskih merilih pa ne. Če na- mreč enak model z mivko naredimo za Sonce in nje- govo soseščino, je najbližja zvezda Proksima Kenta- vra oddaljena od nas kar 20 kilometrov! Prav zanimivo bi bilo živeti na planetu, ki bi kro- žil okoli zvezde v bližini središča kopice. To bi bil prizor brez primerjave! Nebo bi bilo polno samih svetlih zvezd, ob katerih bi bile naše Sirij, Antares ali Vega videti prav šibke in nepomembne. Kar ne- kaj tisoč zvezd pa bi imelo sij med Venero in polno Luno. Na planetu verjetno sploh ne bi bilo noči, kot jo poznamo na Zemlji. Prebivalci tega planeta sko- raj zagotovo ne bi ničesar vedeli o drugih zvezdah, o naši Galaksiji ali o drugih galaksijah, saj bi bilo nji- hovo nebo veliko presvetlo za astronomijo. Za njih bi bilo vse vesolje kar njihova domača kroglasta ko- pica. Žalostno!? Še ena zanimivost je povezana s to kopico. Leta 1974 so M 13 izbrali za cilj enega prvih radijskih sporočil, ki so ga astronomi poslali v vesolje za mo- rebitna inteligentna bitja. Kopico so izbrali zato, ker je tam na kupu toliko zvezd in je verjetnost, da je okoli katere od njih planet z inteligentnim življe- njem, največja. Kodirano sporočilo je na pot odšlo z radijskega teleskopa Arecibo. Vedeti pa moramo, da kljub temu, da signal potuje z največjo možno hi- trostjo v vesolju, bo do kopice potreboval kar 25 000 let. In če ga bo kdo prebral in nam takoj odgovoril, bomo odgovor dobili nekje okoli leta 50 000. Ja, to pa je žalostna stran vesoljske komunikacije! Slika 1 In kje kopico najdemo? Herkul je veliko, a raz- meroma nevpadljivo pomladno ozvezdje, saj najsve- tlejša zvezda Beta sije le z 2,8 magnitude. Še naj- boljša zvezda vodnica je svetla Vega v Liri, ozvez- dje Herkul pa leži približno 30 stopinj vzhodno od nje. Najbolje je, če si pri iskanju pomagamo z vr- tljivo karto. Ko ozvezdje enkrat prepoznamo, nam kroglaste kopice ne bo težko najti. Slika 2 Slika 3 3 gneče, kot je videti na prvi pogled. Še bolj nazorno si lahko razmere predstavljamo, če v mislih naredimo model kopice. Zamislimo si, da imamo milijon zrnc mivke, ki predstavljajo milijon zvezd kopice. Vsako zrnce je veliko približno pol milimetra, razporediti pa jih m ramo v kroglo s prem rom 480 kilometrov. Če jih enakomerno r zporedimo po tej namišljeni kr gli, je razdalja med dvema sosednji a zr cema kar p t kilometro . Tudi če je osr dnje območje ko- pice veliko bolj zgošče , je med dvema sosednjima zrncema mivke še vedno razdalja nekaj sto Tako lahko vidimo, d je po zemeljskih merilih tud naj ostejša kopica v resnici r zmeroma redko pose- jana z zvezdami, po vesoljskih merilih pa ne. Č na mr č nak m del z mivko naredimo za Sonc i nje- govo soseščino, j najbližj vezda Proksima Kenta- vra ddaljena od nas kar 20 kilometrov! Prav zanimivo bi bilo živeti na planetu, ki bi kro žil okoli zvezde v bližini središča kopice. To bi bil prizor brez primerjave! Nebo bi bilo p lno samih svetlih zvezd, ob katerih bi bile naše Sir j, Antares ali Vega videti prav šibke in nepomembne. Kar ne- kaj tisoč zvezd pa bi imelo sij med Venero in polno Luno. Na planetu verjetno sploh ne bi bilo n či, kot jo p znamo na Z mlji. Prebivalci tega la eta sko- raj zagotovo ne i nič sar vedeli o drugih zvezdah, o naši Galaksiji ali o drugih galaksijah, saj bi bilo ji hovo nebo veliko presvet za astronomij . Za njih bi bilo vse vesolje kar njihova domača kr glasta - pica. Žalostno!? Še ena zanimivost je povezana s to kopico. Leta 1974 so M 13 izbrali za cilj enega prvih radijskih sporočil, ki so ga astronomi poslali v vesolje z mo- rebitna inteligentna bitja. Kopic so izbrali z to, er je tam na kupu toliko zvezd in je verjetnost, da je okoli katere od njih planet inteligentnim življe- njem, največja. Kodirano sporočilo je na pot odšlo z radijskega teleskopa Arecib . Vedeti pa mora , da kljub temu, da signal potuje z največjo možno hi- trostjo v vesolj , bo do kopice potreboval kar 25 000 let. In če ga bo kdo prebral in nam takoj odgovoril, bo o odgovor dobil nekje okoli eta 50 000. Ja, t pa je žalostna stran vesoljske komunikacije! Slika 1 In kje kopico najdemo? Herkul je veliko, a raz- meroma nevpadljivo pomladno ozvezdje, saj najsve- tlejša zvezda Beta sije le z 2,8 magnitude. Še naj- boljša zvezda vodnica je svetla Vega v Liri, ozvez- dje Herkul pa leži približno 30 stopinj vzhodno od nje. Najbolje je, če si pri iskanj pomagamo z vr tljiv k rto. Ko ozvezdje enkrat prepoznamo, nam kroglaste kopic ne bo težko najti. Slika 2 Slika 3 3 Kroglasta kopica M 13 je zagotovo najbolj pri- ljubljena kopica med amaterskimi astronomi naših geografskih širin. V jasni, temni, brezmesečni noči in daleč stran od svetlobnega onesnaženja jo za- slutimo že s prostim očesom kot zvezdico 6. ma- gnitude med zvezdama Eta in Zeta Herkula. Kopico prvi omenja Edmund Halley leta 1715, odkril pa jo je povsem po naključju že leto dni prej. M 13 je če- trta po svetlosti med kroglastimi kopicami našega neba. Svetlejše od nje so le Omega Kentavra, NGC 104 v Tukanu in M 22 v Strelcu. Prvi dve z naših geografskih širin nista vidni, slednja pa je vedno nizko nad obzorjem. Kopica je dobro vidna že v daljnogledu 10× 50, a le kot približno 10 ločnih minut velika meglica z neko- liko svetlejšim osrednjim delom. Velikost in videz sta seveda močno odvisna od trenutnih opazovalnih razmer. Če hočemo na njenem robu razločiti posa- mezne zvezdice, pa potrebujemo teleskop s preme- rom objektiva vsaj 10 centimetrov. V večjih amater- skih teleskopih pri velikih povečavah je kopica zares sijajna – pa če jo vidimo prvič ali stotič. Iz gostega središča, ki ga v posamezne zvezde ne razločijo niti največji teleskopi na svetu, se vijejo veličastni loki nizov zvezd. Število zvezd v kopici so ocenili na mi- lijon, njihov kupni izsev pa je več kot 300 000-krat večji od Sončevega. Najsvetlejše članice so rdeče or- jakinje, ki na našem nebu sijejo z 11. magnitudo, re- snični izsev vsake od njih pa je vsaj 2000-krat večji od Sončevega. Naše Sonce bi s te oddaljenosti že kar težko videli tudi v največjih teleskopih – le kot zvez- dico 19. magnitude. Današnja ocena o oddaljenosti kopice je okoli 25 000 svetlobnih let. Njena starost je več kot 10 mi- lijard let in sodi med najstarejše kopice v naši Gala- ksiji. Premer M 13 je okoli 145 svetlobnih let. Ocena je zelo groba, saj je težko določiti njene meje. Večina zvezd je zbranih v središčnem predelu, ki v premeru meri vsega 100 svetlobnih let, nekatere posamezne članice pa najdemo v premeru vse do 200 svetlobnih let. Si sploh lahko zamislimo, kakšna je gostota zvezd v bližini središča takšne goste kopice? Fotografije, posnete z največjimi teleskopi, dajejo vtis, kot da so zvezde v središču tako lepo in enakomerno razpore- jene druga ob drugi, da se skoraj dotikajo. Seveda je to posledica tega, da kopico gledamo s tako ve- like oddaljenosti. Kot smo že omenili, je osrednje območje veliko 100 svetlobnih let oz. štiri milijone kubičnih svetlobnih let. Če to območje naseljuje mi- lijon zvezd, je povprečna gostota ena zvezda na štiri kubična svetlobna leta. (Le za primerjavo: v naši ve- soljski soseščini pride po grobi oceni ena zvezda na 360 kubičnih svetlobnih let!) Proti središču kopice je morda gostota nekoliko večja, a vseeno ni takšne 2 slika 1. Krog sta kopica M13. Fotografija: NOAO/Tom Bash a s t r o n o m i j a 24 • presek 38 (2010/2011) 6 marko razpet Nemo melje nad toroidno traso slika 2. Kroglasto kopico M 13 enostavno najdemo, saj jo v odlič- nih opazovalnih razmerah zaslutimo že s prostim očesom. V daljnogledu10x50 se pokaže kot velika, svetla in torej dobro vidna lisa svetlobe. Vodnici do kopice sta svetla Zeta in 0,7 magnitude šibkejša Eta. Kopica leži vmes, nekoliko bliže Eti. Karta: Bojan Kambič slika 3. Ozvezdje Herkul z zvezdami do 6. magnitude. Karta: Bojan Kambič • • Odgovor: Mednarodno leto astronomije. • Tudi v letu 2009 je Nemo tam gori še vedno mlel. Kaj je bilo takrat (tri besede)? Nemo je bil kapitan podmornice Nautilus v ro- manu Dvajset tisoč milj pod morjem pisatelja Julesa Verna. Toroidno je telo, ki ima obliko av- tomobilske zračnice. 25 r a č u n a l n i š t v o V prejšnji številki Preseka [2] je avtor na kratko predstavil program Sage in omenil le peščico nje- govih zmožnosti. Namen tega prispevka je pri- kazati možnosti za risanje grafov s pomočjo pro- grama Sage, pri čemer se bomo omejili na risanje v 2D ravnini kljub temu, da je možno risati tudi objekte v 3D prostoru. Točke, daljice in besedilo Osnovni objekti, ki jih lahko rišemo, so točke, da- ljice in besedilo. Za risanje točk uporabljamo ukaz point(parametri) ta za parameter prejme karte- zične koordinate točke, ki jo želimo narisati. Z uka- zom point((1,1)) tako npr. narišemo točko s koor- dinatama (1,1). Vidimo, da koordinate točke zapi- šemo kot dvojico, torej obe koordinati ločeni z vejico zapišemo znotraj oklepajev. Z ukazom point lahko narišemo tudi več točk na- enkrat tako, da za parameter podamo seznam točk, ki jih želimo narisati. Spomnimo se, da v programu Sage seznam tvorimo tako, da elemente zapišemo znotraj oglatih oklepajev in jih ločimo z vejicami. Tako z ukazom point([(1,1),(2,2)]) na isto sliko narišemo dve točki, prvo s koordinatama (1,1) in drugo s koordinatama (2,2). Točkam, narisanim na sliki, lahko spremenimo do- ločene lastnosti, npr. barvo, s katero je točka izri- sana, ter velikost prikazane točke. Barvo določimo s parametrom rgbcolor. Njegova vrednost je trojica realnih števil med 0 in 1, kjer števila v trojici pred- stavljajo barvo v RGB (Red Green Blue) modelu, to- rej rdečo, zeleno in modro komponento barve, v tem vrstnem redu. Velikost točke pa določimo s parame- trom size, čigar vrednost je celo število. Le-to pred- stavlja premer kroga, ki predstavlja točko na sliki. Privzeta barva za točke je modra, privzeta velikost točke pa 10. Poglejmo primer na sliki 1, kjer smo z rdečo barvo narisali točko s koordinatama (1,1), velikost točke pa določili na 20. Slika 1 Prvi parameter ukaza point morajo biti koordi- nate točke oz. seznam koordinat vseh točk, ostale lastnosti pa lahko določamo v poljubnem vrstnem redu. Recimo, da želimo nad točko zapisati še oznako te točke, kot vidimo na sliki 2. Poljubno besedilo iz- pišemo z ukazom text(parametri), pri čemer sta ključna parametra besedilo, ki ga želimo izpisati, in koordinate, kje se naj besedilo prikaže. Za tema dve- ma parametroma lahko še spreminjamo lastnosti be- sedila, med drugimi velikost pisave, barvo pisave in naklon besedila v stopinjah. Velikost pisave dolo- čimo s parametrom fontsize, čigar vrednost je celo število. Barvo pisave določimo s parametrom 2 • Presek 38 (2010/2011) 6 andrej taranenko Risanje s programom Sage • V prejšnji številki Preseka [2] je avtor na kratko predstavil program Sage in omenil le peščico nje- govih zmožnosti. Namen tega prispevka je pri- kazati možnosti za risanje grafov s pomočjo pro- grama Sage, pri čemer se bomo omejili na risanje v 2D ravnini kljub temu, da je možno risati tudi objekte v 3D prostoru. Točke, daljice in besedilo Osnovni objekti, ki jih lahko rišemo, so točke, da- ljice in besedilo. Za risanje točk uporabljamo ukaz point(parametri) ta za parameter prejme karte- zične koordinate točke, ki jo želimo narisati. Z uka- zom point((1,1)) tako npr. narišemo točko s koor- dinatama (1,1). Vidimo, da koordinate točke zapi- šemo kot dvojico, torej obe koordinati ločeni z vejico zapišemo znotraj oklepajev. Z ukazom point lahko narišemo tudi več točk na- enkrat tako, da za parameter podamo seznam točk, ki jih želimo narisati. Spomnimo se, da v programu Sage seznam tvorimo tako, da elemente zapišemo znotraj oglatih oklepajev in jih ločimo z vejicami. Tako z ukazom point([(1,1),(2,2)]) na isto sliko narišemo dve točki, prvo s koordinatama (1,1) in drugo s koordinatama (2,2). Točkam, narisanim na sliki, lahko spremenimo do- ločene lastnosti, npr. barvo, s katero je točka izri- sana, ter velikost prikazane točke. Barvo določimo s parametrom rgbcolor. Njegova vrednost je trojica realnih števil med 0 in 1, kjer števila v trojici pred- stavljajo barvo v RGB (Red Green Blue) modelu, to- rej rdečo, zeleno in modro komponento barve, v tem vrstnem redu. Velikost točke pa določimo s parame- trom size, čigar vrednost je celo število. Le-to pred- stavlja premer kroga, ki predstavlja točko na sliki. Privzeta barva za točke je modra, privzeta velikost točke pa 10. Poglejmo primer na sliki 1, kjer smo z rdečo barvo narisali točko s koordinatama (1,1), velikost točke pa določili na 20. Slika 1 Prvi parameter ukaza point morajo biti koordi- nate točke oz. seznam koordinat vseh točk, ostale lastnosti pa lahko določamo v poljubnem vrstnem redu. Recimo, da želimo nad točko zapisati še oznako te točke, kot vidimo na sliki 2. Poljubno besedilo iz- pišemo z ukazom text(parametri), pri čemer sta ključna parametra besedilo, ki ga želimo izpisati, in koordinate, kje se naj besedilo prikaže. Za tema dve- ma parametroma lahko še spreminjamo lastnosti be- sedila, med drugimi velikost pisave, barvo pisave in naklon besedila v stopinjah. Velikost pisave dolo- čimo s parametrom fontsize, čigar vrednost je celo število. Barvo pisave določimo s parametrom 2 j ji il i [ ] j il i il l i j - i i. i j i- i i i j j - , i jili i j i i lj , j i i i j . , lji i il i j i, i ji l i , , - lji i il . i j lj j - i i , i j li i i. - . i - i . i i , i i- ji , j i i l i ji i j l j . l i i - , , i ji li i i. i , i , l i j l i l j i ji l i ji i. i li i i, i i i . , i i li i, l i - l l i, . , j i i- , li t i . l i . j j ji l i il i , j il ji i - lj j ( l ) l , - j , l i , . li l i - , i j l il . - - lj , i lj li i. i j , i li . l j i li i , j i li i , li l ili . li i j i i i- . i , l l i l l lj . i , li i i , i i li i . lj il i - i , i lj il , i li i i i, i i t , j j il i . - l i j l i - il , i i li t i , i i l il i j . li i l - i , i j l il . i l i r š št r s t r r t r st r r š st t r s r t st r s r f s r r r r s r s r t r s t t t r st r c e ce ese s e t r še s t c e ce ese r s e t c r t r eter re e rte c e r te t c e e r s t t r r še t c s r t r te t c e še t c t re e r t ce e c še tr e e r še t ec t c e r t t r eter se t c e r s t se r r e se t r t e e e te še tr t e e c e c st s r še e t c r s r t r s r t c r s s s re e ce e st st r r s ter e t c r s ter e s r e t c e r c s r etr e re st e tr c re šte e er šte tr c re st r e ree e e t re r ec e e r e t r e te rst e re e st t c e c s r e tr c r re st e ce šte e t re st re er r re st t c s r et r t c e e r r et e st t c e e r er s er s r ec r r s t c s r t e st t c e c r r eter r t r te t c e se r t se t c st e st st c e rst e re ec e t c s t še te t c e t s ese še r ce er st c r etr ese e s t r e e se ese r e te e r etr še s re st st e se e r e s s e r s e ese st e st s e c s r etr c r re st e ce šte r s e c s r etr j ji il i [ ] j il i il l i j - i i. i j i- i i i j j - , i jili i j i i lj , j i i i j . , lji i il i j i, i ji l i , , - lji i il . i j lj j - i i , i j li i i. - . i - i . i i , i i- ji , j i i l i ji i j l j . l i i - , , i ji li i i. i , i , l i j l i l j i ji l i ji i. i li i i, i i i . , i i li i, l i - l l i, . , j i i- , li t i . l i . j j ji l i il i , j il ji i - lj j ( l ) l , - j , l i , . li l i - , i j l il . - - lj , i lj li i. i j , i li . l j i li i , j i li i , li l ili . li i j i i i- . i , l l i l l lj . i , li i i , i i li i . lj il i - i , i lj il , i li i i i, i i t , j j il i . - l i j l i - il , i i li t i , i i l il i j . li i l - i , i j l il . i l i r jš ji št il i r s [ ] j t r r t r st il r r i il l š i j - i sti. t ris j ri- ti sti ris j r f s j r - r , ri r s jili ris j r i i lj t , j ris ti t i j t r st r . c e, ljice i ese il s i je ti, i ji l riše , s t c e, - ljice i ese il . ris je t c r lj t r eter rej e rte- ic e r i te t c e, i j eli ris ti. - t r. riše t c s r- i t . i i , r i te t c e i- še t jic , t rej e r i ti l ce i ejic iše tr j le je . l riše t i ec t c - e r t t , r eter se t c , i ji eli ris ti. i se, r r e se t ri t , ele e te iše tr j l ti le je i ji l ci ejic i. ist sli riše e t c i, r s r i t i r s r i t . c , ris i sli i, l s re e i - l ce e l st sti, r. r , s ter je t c i ri- s , ter eli st ri e t c e. r l ci s r etr . je re st je tr jic re l i šte il e i , jer šte il tr jici re - st lj j r ( e ree l e) el , t - rej r ec , ele i r e t r e, te rst e re . eli st t c e l ci s r e- tr , ci r re st je cel šte il . e-t re - st lj re er r , i re st lj t c sli i. ri et r t c e je r , ri et eli st t c e . lej ri er sli i , jer s r ec r ris li t c s r i t , eli st t c e l cili . li r i r eter r j iti r i- te t c e . se r i t se t c , st le l st sti l l c lj e rst e re . eci , eli t c is ti še te t c e, t i i sli i . lj ese il i - iše , ri ce er st lj c r etr ese il , i eli i is ti, i r i te, je se j ese il ri e. te e- r etr l še s re i j l st sti e- se il , e r i i eli st is e, r is e i l ese il st i j . eli st is e l - ci s r etr , ci r re st je cel šte il . r is e l ci s r etr č e, daljice in besedilo 26 r a č u n a l n i š t v o • presek 38 (2010/2011) 6 V prejšnji številki Preseka [2] je avtor na kratko predstavil program Sage in omenil le peščico nje- govih zmožnosti. Namen tega prispevka je pri- kazati možnosti za risanje grafov s pomočjo pro- grama Sage, pri čemer se bomo omejili na risanje v 2D ravnini kljub temu, da je možno risati tudi objekte v 3D prostoru. Točke, daljice in besedilo Osnovni objekti, ki jih lahko rišemo, so točke, da- ljice in besedilo. Za risanje točk uporabljamo ukaz point(parametri) ta za parameter prejme karte- zične koordinate točke, ki jo želimo narisati. Z uka- zom point((1,1)) tako npr. narišemo točko s koor- dinatama (1,1). Vidimo, da koordinate točke zapi- šemo kot dvojico, torej obe koordinati ločeni z vejico zapišemo znotraj oklepajev. Z ukazom point lahko narišemo tudi več točk na- enkrat tako, da za parameter podamo seznam točk, ki jih želimo narisati. Spomnimo se, da v programu Sage seznam tvorimo tako, da elemente zapišemo znotraj oglatih oklepajev in jih ločimo z vejicami. Tako z ukazom point([(1,1),(2,2)]) na isto sliko narišemo dve točki, prvo s koordinatama (1,1) in drugo s koordinatama (2,2). Točkam, narisanim na sliki, lahko spremenimo do- ločene lastnosti, npr. barvo, s katero je točka izri- sana, ter velikost prikazane točke. Barvo določimo s parametrom rgbcolor. Njegova vrednost je trojica realnih števil med 0 in 1, kjer števila v trojici pred- stavljajo barvo v RGB (Red Green Blue) modelu, to- rej rdečo, zeleno in modro komponento barve, v tem vrstnem redu. Velikost točke pa določimo s parame- trom size, čigar vrednost je celo število. Le-to pred- stavlja premer kroga, ki predstavlja točko na sliki. Privzeta barva za točke je modra, privzeta velikost točke pa 10. Poglejmo primer na sliki 1, kjer smo z rdečo barvo narisali točko s koordinatama (1,1), velikost točke pa določili na 20. Slika 1 Prvi parameter ukaza point morajo biti koordi- nate točke oz. seznam koordinat vseh točk, ostale lastnosti pa lahko določamo v poljubnem vrstnem redu. Recimo, da želimo nad točko zapisati še oznako te točke, kot vidimo na sliki 2. Poljubno besedilo iz- pišemo z ukazom text(parametri), pri čemer sta ključna parametra besedilo, ki ga želimo izpisati, in koordinate, kje se naj besedilo prikaže. Za tema dve- ma parametroma lahko še spreminjamo lastnosti be- sedila, med drugimi velikost pisave, barvo pisave in naklon besedila v stopinjah. Velikost pisave dolo- čimo s parametrom fontsize, čigar vrednost je celo število. Barvo pisave določimo s parametrom 2 V prejšnji številki Preseka [2] je avtor na kratko predstavil program Sage in omenil le peščico nje- govih zmožnosti. Namen tega prispevka je pri- kazati možnosti za risanje grafov s pomočjo pro- grama Sage, pri čemer se bomo omejili na risanje v 2D ravnini kljub temu, da je možno risati tudi objekte v 3D prostoru. Točke, daljice in besedilo Osnovni objekti, ki jih lahko rišemo, so točke, da- ljice in besedilo. Za risanje točk uporabljamo ukaz point(parametri) ta za parameter prejme karte- zične koordinate točke, ki jo želimo narisati. Z u a- zom point((1,1)) tako npr. narišemo točko s koor- dinatama (1,1). Vidimo, da koordinate točke zapi- šemo kot dvojico, torej obe koordinati ločeni z vejico zapišemo znotraj oklepajev. Z ukazom point lahko narišemo tudi več točk na- enkrat tako, da za parameter p da o seznam točk, ki jih želimo narisati. Spomnimo se, da v programu Sage seznam tvorimo tako, da elemente zapišemo znotraj oglatih oklepajev in jih ločimo z vejicami. Tako z ukazom point([(1,1),(2,2)]) na isto sliko narišemo dve točki, prvo s koordinatama (1,1) in drugo s koordinatama (2,2). T čkam, narisanim na sli i, lahko spremenimo o- loč ne lastnosti, npr. b rvo, s atero je točka izri- sana, ter velikost prik zane točke. Barvo določimo s parametrom rgbc lor. Njegova vredno t je trojica realnih števil med 0 in 1, kjer števila v trojici pred- stavljajo barvo v RGB (Re Green Blue) mod lu, to- r j rdečo, zelen in modro mpo ent barve, v tem vrstn redu. Velikost točke pa določimo s parame- trom si e, čigar vrednost je celo število. Le-t pred- stavlja premer krog , ki predstavlja točko na sliki. Privzeta barva za točke je modra, privzeta velikost točke pa 10. Poglejmo primer na sliki 1, kjer smo z rdečo barvo naris li točko s koordinat a (1,1), velik st t čke pa določili na 20. Slika 1 Prvi parameter ukaza point morajo biti ko rdi- nate točk oz. seznam koordinat vseh točk, ostale lastnosti pa lahko določamo v polj bnem vrstnem du. Reci o, da ž limo nad točko zapisati še oznako e točke, kot vidimo na liki 2. Poljubn b sedilo iz pišemo z ukazom text( arametri), pri čemer sta ključna parametra bes dilo, ki ga želimo izpisati, in koordin te, kje se naj besedilo prikaže. Za t ma dve- ma parametr ma lahko še spreminjamo lastnos i be- sedila, med drugimi velik st pisave, barvo pisave in naklon besedila v stopinjah. Velikost pisave dolo- čimo s parametrom fontsize, čigar vrednost je celo število. Barvo pisave določimo s parametrom 2 rgbcolor, ki deluje enako kot pri prej omenjenem ukazu point. V kolikor želimo spremeniti naklon napisa, določimo parametru rotation vrednost, ki predstavlja kot naklona v stopinjah v nasprotni smeri urinega kazalca. Daljice rišemo z ukazom line(parametri), pri čemer je obvezen prvi parameter, ki je seznam koor- dinat obeh krajišč daljice. Ostali parametri so opcij- ski in spreminjajo npr. debelino, s katero je izrisana daljica, barvo daljice ter slog črte, s katero je nari- sana daljica. Za določanje barve črte podobno kot v prejšnjih dveh ukazih uporabimo parameter rgbcolor. De- belino črte spremenimo s parametrom thickness, katerega privzeta vrednost je 1, v splošnem pa mu lahko določimo poljubno celo število. Slog črte, s ka- tero je izrisana daljica, določa parameter linestyle. S slogom črte lahko določimo, kako je izrisana da- ljica. Možne vrednosti tega parametra so naslednje: ’-’ predstavlja polno črto, je privzeta vrednost. ’--’ predstavlja prekinjeno črtkano črto. ’:’ predstavlja prekinjeno pikčasto črto. ’-.’ predstavlja prekinjeno črto, v kateri se iz- menično pojavljata črtica in pika. Program Sage za vsak grafični objekt nariše svojo sliko, seveda pa lahko različne objekte prikažemo na isti sliki, za to uporabljamo operator +. Da bi bilo delo preglednejše, najprej vsak objekt shranimo v spremenljivko, na koncu pa vse objekte prikažemo na skupni sliki. Primer Spomnimo se, da lahko vrednosti in objekte v pro- gramu Sage shranimo v spremenljivko s prireditve- nim stavkom oblike ime = vrednost. V spodnjem primeru shranimo pet različnih grafičnih objektov v spremenljivke, v zadnjem ukazu pa vse objekte pri- kažemo na isti sliki z uporabo operatorja +. Tako z naslednjim zaporedjem ukazov dobimo sliko, ki je prikazana na sliki 2. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0)) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 2 Opazimo lahko, da program Sage samodejno do- loči razmerje med enotami na x in y oseh ter naj- manjšo in največjo vrednost, ki je prikazana na vsaki 3 rgbcolor, ki deluje enako kot pri prej omenjenem ukazu point. V kolikor želimo spremeniti naklon napisa, določimo parametru rotation vrednost, ki predstavlja kot naklona v stopinjah v nasprotni smeri urinega kazalca. Daljice rišemo z ukazom line(parametri), pri čemer je obvezen prvi parameter, ki je seznam koor- dinat obeh krajišč daljice. Ostali parametri so opcij- ski in spreminjajo npr. debelino, s katero je izrisana daljica, barvo daljice ter slog črte, s katero je nari- sana daljica. Za določanje barve črte podobno kot v prejšnjih dveh ukazih uporabimo parameter rgbcolor. De- belino črte spremenimo s parametrom thickness, katerega privzeta vrednost je 1, v splošnem pa mu lahko določimo poljubno celo število. Slog črte, s ka- tero je izrisana daljica, določa parameter linestyle. S slogom črte lahko določimo, kako je izrisana da- ljica. Možne vrednosti tega parametra so naslednje: ’-’ predstavlja polno črto, je privzeta vrednost. ’--’ predstavlja prekinjeno črtkano črto. ’:’ predstavlja prekinjeno pikčasto črto. ’-.’ predstavlja prekinjeno črto, v kateri se iz- menično pojavljata črtica in pika. Program Sage za vsak grafični objekt nariše svojo sliko, seveda pa lahko različne objekte prikažemo na isti sliki, za to uporabljamo operator +. Da bi bilo delo preglednejše, najprej vsak objekt shranimo v spremenljivko, na koncu pa vse objekte prikažemo na skupni sliki. Primer Spomnimo se, da lahko vrednosti in objekte v pro- gramu Sage shranimo v spremenljivko s prireditve- nim stavkom oblike ime = vrednost. V spodnjem primeru shranimo pet različnih grafičnih objektov v spremenljivke, v zadnjem ukazu pa vse objekte pri- kažemo na isti sliki z uporabo operatorja +. Tako z naslednjim zaporedjem ukazov dobimo sliko, ki je prikazana na sliki 2. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0)) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 2 Opazimo lahko, da program Sage samodejno do- loči razmerje med enotami na x in y oseh ter naj- manjšo in največjo vrednost, ki je prikazana na vsaki 3 rgbcolor, ki deluje enako kot pri prej omenjenem ukazu point. V kolikor želimo spremeniti naklon napisa, določimo parametru rotation vrednost, ki predstavlja kot naklona v stopinjah v nasprotni smeri urinega kazalca. Daljice rišemo z ukazom line(parametri), pri čemer je obvezen prvi parameter, ki je seznam koor- dinat obeh krajišč daljice. Ostali parametri so opcij- ski in spreminjajo npr. debelino, s katero je izrisana daljica, barvo daljice ter slog črte, s katero je nari- sana daljica. Za določanje barve črte podobno kot v prejšnjih dveh ukazih uporabimo parameter rgbcolor. De- belino črte spremenimo s parametrom thickness, katerega privzeta vrednost je 1, v splošnem pa mu lahko določimo poljubno celo število. Slog črte, s ka- tero je izrisana daljica, določa parameter linestyle. S slogom črte lahko določimo, kako je izrisana da- ljica. Možne vrednosti tega parametra so naslednje: ’-’ predstavlja polno črto, je privzeta vrednost. ’--’ predstavlja prekinjeno črtkano črto. ’:’ predstavlja prekinjeno pikčasto črto. ’-.’ predstavlja prekinjeno črto, v kateri se iz- menično pojavljata črtica in pika. Program Sage za vsak grafični objekt nariše svojo sliko, seveda pa lahko različne objekte prikažemo na isti sliki, za to uporabljamo operator +. Da bi bilo delo preglednejše, najprej vsak objekt shranimo v spremenljivko, na koncu pa vse objekte prikažemo na skupni sliki. Primer Spomnimo se, da lahko vrednosti in objekte v pro- gramu Sage shranimo v spremenljivko s prireditve- nim stavkom oblike ime = vrednost. V spodnjem primeru shranimo pet različnih grafičnih objektov v spremenljivke, v zadnjem ukazu pa vse objekte pri- kažemo na isti sliki z uporabo operatorja +. Tako z naslednjim zaporedjem ukazov dobimo sliko, ki je prikazana na sliki 2. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0)) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 2 Opazimo lahko, da program Sage samodejno do- loči razmerje med enotami na x in y oseh ter naj- manjšo in največjo vrednost, ki je prikazana na vsaki 3 slika 1. Slika, narisana z ukazom point((1,1),size=20,rgb colo =(1,0,0)). r er 27 r a č u n a l n i š t v o • Presek 38 (2010/2011) 6 osi. V kolikor želimo te vrednosti določiti sami, imajo grafični objekti na voljo naslednje parametre: aspect_ratio predstavlja razmerje med enotami x in y osi. Če želimo, da so enote na obeh oseh enake, temu parametru določimo vrednost 1. Če pa- rametra ne določimo, bo razmerje določeno samo- dejno. xmin, xmax, ymin, ymax predstavljajo najma- njšo oz. največjo vrednost, prikazano na x oz. y osi. V kolikor jih ne določimo, se določijo samodejno, glede na objekte prikazane na sliki. Primer Recimo, da želimo na sliki iz prejšnjega primera pri- kazati še izhodišče koordinatnega sistema ter dolo- čiti enako razmerje med enotami na obeh oseh. Do- volj je, da ustrezne parametre določimo v enem iz- med objektov, prikazanih na sliki; mi jih bomo dolo- čili za objekt tockaA. Rezultat te spremembe je vi- den na sliki 3. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0), xmin=0, ymin=0, aspect_ratio=1) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 3 Risanje grafov funkcij Program Sage omogoča tudi izris grafov funkcij. Spo- mnimo se, da funkcijo v tem programu definiramo na naslednji način: f(x) = predpis, pri čemer je x vedno definiran kot neodvisna spremenljivka. Za lažjo demonstracijo bomo najprej definirali funkcijo, katere graf bomo risali, v našem primeru bo to funk- cija f(x) = x2, ki jo v programu Sage zapišemo kot f(x) = x**2. Operator ** predstavlja potenciranje. Risanje grafa funkcije ene spremenljivke izvedemo z ukazom plot(parametri). Prvi parameter ukaza plot je funkcija, katere graf želimo narisati. Ostali parametri so opcijski in so naslednji: xmin, xmax, ymin, ymax kot prej, predstavljajo najmanjšo in največjo vrednost prikazano na ustre- zni osi. rgbcolor določa barvo grafa funkcije in prejme vrednosti v že predhodno opisani obliki, torej (r,g,b). thickness določa debelino črte, s katero je izri- san graf funkcije. 4 . , : . , , . , . . , . . , , . , . , , ; . . . , : , . , , , . . . , . : , . , . , . rgbcolor, ki deluje enako kot pri prej omenjenem ukazu point. V kolikor želimo spremeniti naklon napisa, določimo parametru rotation vrednost, ki predstavlja kot naklona v stopinjah v nasprotni smeri urinega kazalca. Daljice rišemo z ukazom line(parametri), pri čemer je obvezen prvi parameter, ki je seznam koor- dinat obeh krajišč daljice. Ostali parametri so opcij- ski in spreminjajo npr. debelino, s katero je izrisana daljica, barvo daljice ter slog črte, s katero je nari- sana daljica. Za določanje barve črte podobno kot v prejšnjih dveh ukazih uporabimo parameter rgbcolor. De- belino črte spremenimo s parametrom thickness, katerega privzeta vrednost je 1, v splošnem pa mu lahko določimo poljubno celo število. Slog črte, s ka- tero je izrisana daljica, določa parameter linestyle. S slogom črte lahko določimo, kako je izrisana da- ljica. Možne vrednosti tega parametra so naslednje: ’-’ predstavlja polno črto, je privzeta vrednost. ’--’ predstavlja prekinjeno črtkano črto. ’:’ predstavlja prekinjeno pikčasto črto. ’-.’ predstavlja prekinjeno črto, v kateri se iz- menično pojavljata črtica in pika. Program Sage za vsak grafični objekt nariše svojo sliko, seveda pa lahko različne objekte prikažemo na isti sliki, za to uporabljamo operator +. Da bi bilo delo preglednejše, najprej vsak objekt shranimo v spremenljivko, na koncu pa vse objekte prikažemo na skupni sliki. Primer Spomnimo se, da lahko vrednosti in objekte v pro- gramu Sage shranimo v spremenljivko s prireditve- nim stavkom oblike ime = vrednost. V spodnjem primeru shranimo pet različnih grafičnih objektov v spremenljivke, v zadnjem ukazu pa vse objekte pri- kažemo na isti sliki z uporabo operatorja +. Tako z naslednjim zaporedjem ukazov dobimo sliko, ki je prikazana na sliki 2. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0)) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 2 Opazimo lahko, da program Sage samodejno do- loči razmerje med enotami na x in y oseh ter naj- manjšo in največjo vrednost, ki je prikazana na vsaki 3 rgbcolor, ki deluje enako kot pri prej omenjenem ukazu point. V kolikor želimo spremeniti naklon napisa, določimo parametru rotation vrednost, ki predstavlja kot naklona v stopinjah v nasprotni smeri urinega kazalca. Daljice rišemo z ukazom line(parametri), pri čemer je obvezen prvi parameter, ki je seznam koor- dinat obeh krajišč daljice. Ostali parametri so opcij- ski in spreminjajo npr. debelino, s katero je izrisana daljica, barvo daljice ter slog črte, s katero je nari- sana daljica. Za določanje barve črte podobno kot v prejšnjih dveh ukazih uporabimo parameter rgbcolor. De- belino črte spremenimo s parametrom thickness, katerega privzeta vrednost je 1, v splošnem pa mu lahko določimo poljubno celo število. Slog črte, s ka- tero je izrisana daljica, določa parameter linestyle. S slogom črte lahko določimo, kako je izrisana da- ljica. Možne vrednosti tega parametra so naslednje: ’-’ predstavlja polno črto, je privzeta vrednost. ’--’ predstavlja prekinjeno črtkano črto. ’:’ predstavlja prekinjeno pikčasto črto. ’-.’ predstavlja prekinjeno črto, v kateri se iz- menično pojavljata črtica in pika. Program Sage za vsak grafični objekt nariše svojo sliko, seveda pa lahko različne objekte prikažemo na isti sliki, za to uporabljamo operator +. Da bi bilo delo preglednejše, najprej vsak objekt shranimo v spremenljivko, na koncu pa vse objekte prikažemo na skupni sliki. Primer Spomnimo se, da lahko vrednosti in objekte v pro- gramu Sage shranimo v spremenljivko s prireditve- nim stavkom oblike ime = vrednost. V spodnjem primeru shranimo pet različnih grafičnih objektov v spremenljivke, v zadnjem ukazu pa vse objekte pri- kažemo na isti sliki z uporabo operatorja +. Tako z naslednjim zaporedjem ukazov dobimo sliko, ki je prikazana na sliki 2. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0)) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 2 Opazimo lah o, da program Sage samodejno do- loči razmerje med enotami na x in y oseh ter naj- manjšo in največjo vrednost, ki je prikazana na vsaki 3 slika 2. Več grafičnih objektov na isti sliki slika 3. Uporaba parametrov xmin, ymin in aspect_ratio osi. V kolikor želimo te vrednosti določiti sami, imajo grafični objekti na voljo naslednje parametre: aspect_ratio predstavlja razmerje med enotami x in y osi. Če želimo, da so enote na obeh oseh enake, temu parametru določimo vrednost 1. Če pa- rametra ne določimo, bo razmerje določeno samo- dejno. xmin, xmax, ymin, ymax predstavljajo najma- njšo oz. največjo vrednost, prikazano na x oz. y osi. V kolikor jih ne določimo, se določijo samodejno, glede na objekte prikazane na sliki. Primer Recimo, da želimo na sliki iz prejšnjega primera pri- kazati še izhodišče koordinatnega sistema ter dolo- čiti enako razmerje med enotami na obeh oseh. Do- volj je, da ustrezne parametre določimo v enem iz- med objektov, prikazanih na sliki; mi jih bomo dolo- čili za objekt tockaA. Rezultat te spremembe je vi- den na sliki 3. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0), xmin=0, ymin=0, aspect_ratio=1) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 3 Risanje grafov funkcij Program Sage omogoča tudi izris grafov funkcij. Spo- mnimo se, da funkcijo v tem programu definiramo na naslednji način: f(x) = predpis, pri čemer je x vedno definiran kot neodvisna spremenljivka. Za lažjo demonstracijo bomo najprej definirali funkcijo, katere graf bomo risali, v našem primeru bo to funk- cija f(x) = x2, ki jo v programu Sage zapišemo kot f(x) = x**2. Operator ** predstavlja potenciranje. Risanje grafa funkcije ene spremenljivke izvedemo z ukazom plot(parametri). Prvi parameter ukaza plot je funkcija, katere graf želimo narisati. Ostali parametri so opcijski in so naslednji: xmin, xmax, ymin, ymax kot prej, predstavljajo najmanjšo in največjo vrednost prikazano na ustre- zni osi. rgbcolor določa barvo grafa funkcije in prejme vrednosti v že predhodno opisani obliki, torej (r,g,b). thickness določa debelino črte, s katero je izri- san graf funkcije. 4 osi. V kolikor želimo te vrednosti določiti sami, imajo grafični objekti na voljo naslednje parametre: aspect_ratio predstavlja razmerje med enotami x in y osi. Če želimo, da so enote na obeh oseh enake, temu parametru določimo vrednost 1. Če pa- rametra ne določimo, bo razmerje določeno samo- dejno. xmin, xmax, ymin, ymax predstavljajo najma- njšo oz. največjo vrednost, prikazano na x oz. y osi. V kolikor jih ne določimo, se določijo samodejno, glede na objekte prikazane na sliki. Primer Recimo, da želimo na sliki iz prejšnjega primera pri- kazati še izhodišče koordinatnega sistema ter dolo- čiti enako razmerje med enotami na obeh oseh. Do- volj je, da ustrezne parametre določimo v enem iz- med objektov, prikazanih na sliki; mi jih bomo dolo- čili za objekt tockaA. Rezultat te spremembe je vi- den na sliki 3. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0), xmin=0, ymin=0, aspect_ratio=1) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Sli a 3 Risanje grafov funkcij Program S ge o goča tudi izris grafov funkcij. S o mnimo se, da funkcijo v tem programu definiramo na naslednji način: f(x) = predpis, pri čemer je x vedno definiran kot neodvisna spre enljivka. Za lažjo demonstracijo bomo jprej definirali funkcij , katere graf bomo risali, v našem primeru bo to funk cija f(x) = x2, ki jo v programu Sage zapišemo kot f(x) = x**2. Operator ** predstavlja potenciranje. Risanje grafa funkcije ene spremenljivke izvedemo z ukazom plot(parametri). Prvi parameter ukaza plot je funkcija, katere graf želimo narisati. Ostali parametri so opcijski in so naslednji: xmin, xmax, ymin, ymax kot prej, predstavljajo najmanjšo in največjo vrednost prikazano na ustre- zni osi. rgbcolor določa barvo grafa funkcije in prejme vrednosti v že predhodno opisani obliki, torej (r,g,b). thickness določa debelino črte, s katero je izri- san graf funkcije. 4r er isanje grafov funkcij 28 r a č u n a l n i š t v o • presek 38 (2010/2011) 6 linestyle določa slog črte, s katero je izrisan graf funkcije. Možne vrednosti so opisane pri ukazu line. fill S tem parametrom, lahko osenčimo del slike v odvisnosti od izrisanega grafa funkcije. Prva mo- žna vrednost za ta parameter je ’axis’, ki pomeni, da se osenči del med grafom funkcije in x osjo. Vre- dnosti ’min’ in ’max’ določata, da se osenči vse, kar je pod oz. nad grafom funkcije, v tem vrstnem redu. Če za vrednost parametra podamo konstanto C, nam le-ta predstavlja premico y=C, zato bo osenčeno vse, kar je med grafom te premice in grafom izrisane funkcije. Kot zadnjo možnost za vrednost tega pa- rametra omenimo, da lahko podamo poljubno funk- cijo, recimo g(x); tako bo osenčen del med grafoma funkcije g(x) in grafom funkcije, ki jo rišemo. [fillcolor] S tem parametrom spremenimo ba- rvo senčenja, možne vrednosti so pa enake kot pri parametru rgbcolor. V prejšnjih primerih smo vsak objekt shranili v svojo spremenljivko. Včasih je bolje delati z eno spremenljivko, še posebej, če imamo veliko število objektov. V tem primeru si lahko pomagamo z ope- ratorjem +=, ki ga lahko beremo kot dodaj. Upora- bimo ga na naslednji način: ime += objekt, torej v spremenljivko ime dodaj objekt. Vsak grafični objekt vsebuje tudi funkcijo show(parametri), s katero lahko med drugim dolo- čamo parametre, ki so skupni vsem grafičnim objek- tom. Uporabimo jo v obliki objekt.show(parametri), pri čemer je objekt poljuben grafični objekt, parametri pa so skupni različnim grafičnim objek- tom. Poglejmo si možnost uporabe te funkcije v na- slednjem primeru. Primer Spodnje zaporedje ukazov izriše sliko, ki je vidna na sliki 4. p = plot(f(x), (-0.5, 1.4)) p += line([(0,0), (1,1)], color=(0,1,0)) p += line([(0.5, 0.5), (0.5, 0.25)], color=(1,0,1)) p += point(((0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.25), (1, 1)), color=(1,0,0), pointsize=20) p += text(’A’, (-0.05, 0.1), color=(1,0,0)) p += text(’B’, (1.01, 1.1), color=(1,0,0)) p += text(’C’, (0.48, 0.57), color=(1,0,0)) p += text(’D’, (0.53, 0.18), color=(1,0,0)) p.show(xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=2, aspect_ratio=1) Slika 4 5 linestyle določa slog črte, s katero je izrisan graf funkcije. Možne vrednosti so opisane pri ukazu line. fill S tem parametrom, lahko osenčimo del slike v odvisnosti od izrisanega grafa funkcije. Prva mo- žna vrednost za ta parameter je ’axis’, ki pomeni, da se osenči del med grafom funkcije in x osjo. Vre- dnosti ’min’ in ’max’ določata, da se osenči vse, kar je pod oz. nad grafom funkcije, v tem vrstnem redu. Če za vrednost parametra podamo konstanto C, nam le-ta predstavlja premico y=C, zato bo osenčeno vse, kar je med grafom te premice in grafom izrisane funkcije. Kot zadnjo možnost za vrednost tega pa- rametra omenimo, da lahko podamo poljubno funk- cijo, recimo g(x); tako bo osenčen del med grafoma funkcije g(x) in grafom funkcije, ki jo rišemo. [fillcolor] S tem parametrom spremenimo ba- rvo senčenja, možne vrednosti so pa enake kot pri parametru rgbcolor. V prejšnjih primerih smo vsak objekt shranili v svojo spremenljivko. Včasih je bolje delati z eno spremenljivko, še posebej, če imamo veliko število objektov. V tem primeru si lahko pomagamo z ope- ratorjem +=, ki ga lahko beremo kot dodaj. Upora- bimo ga na naslednji način: ime += objekt, torej v spremenljivko ime dodaj objekt. Vsak grafični objekt vsebuje tudi funkcijo show(parametri), s katero lahko med drugim dolo- čamo parametre, ki so skupni vsem grafičnim objek- tom. Uporabimo jo v obliki objekt.show(parametri), pri čemer je objekt poljuben grafični objekt, parametri pa so skupni različnim grafičnim objek- tom. Poglejmo si možnost uporabe te funkcije v na- slednjem primeru. Primer Spodnje zaporedje ukazov izriše sliko, ki je vidna na sliki 4. p = plot(f(x), (-0.5, 1.4)) p += line([(0,0), (1,1)], color=(0,1,0)) p += line([(0.5, 0.5), (0.5, 0.25)], color=(1,0,1)) p += point(((0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.25), (1, 1)), color=(1,0,0), pointsize=20) p += text(’A’, (-0.05, 0.1), color=(1,0,0)) p += text(’B’, (1.01, 1.1), color=(1,0,0)) p += text(’C’, (0.48, 0.57), color=(1,0,0)) p += text(’D’, (0.53, 0.18), color=(1,0,0)) p.show(xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=2, aspect_ratio=1) Slika 4 5 l c sl crte, s ter je i ris r f f cije. e re sti s is e ri . te r etr , l se ci el sli e is sti i ris e r f f cije. r - re st t r eter je , i e i, se se ci el e r f f cije i sj . re- sti i l c t , se se ci se, r je . r f f cije, te rst e re . e re st r etr st t , le-t re st lj re ic , t se ce se, r je e r f te re ice i r f i ris e f cije. t j st re st te - r etr e i , l lj f - cij , reci ; t se ce el e r f f cije i r f f cije, i j riše . [ ] te r etr s re e i - r se ce j , e re sti s e e t ri r etr . rejš ji ri eri s s je t s r ili s j s re e lji . c si je lje el ti e s re e lji , še se ej, ce i eli šte il je t . te ri er si l e- r t rje , i l ere t j. r - i sle ji ci : , t rej s re e lji j . s r c i je t se je t i f cij , s ter l e r i l - c r etre, i s s i se r c i je - t . r i j li i , ri ce er je lj e r c i je t, s s i r lic i r c i je - t . lej si st r e te f cije - sle je ri er . i je re je i riše sli , i je i sli i . li , . . , . , , . , , . , . , , , . , , ; , . , . . , , . , . : , . , , . , , . . , . linestyle oloča slog črte, s katero je izrisa graf f kcije. ož e vre osti so o isa e ri kaz line. fil S te ara etro , la ko ose či o el slike v o vis osti o izrisa ega grafa f kcije. Prva o- ž a vre ost za ta ara eter je ’axis’, ki o e i, a se ose či el e grafo f kcije i osjo. re- osti ’min’ i ’max’ oločata, a se ose či vse, kar je o oz. a grafo f kcije, v te vrst e re . ˇe za vre ost ara etra o a o ko sta to C, a le-ta re stavlja re ico y=C, zato bo ose če o vse, kar je e grafo te re ice i grafo izrisa e f kcije. ot za jo ož ost za vre ost tega a- ra etra o e i o, a la ko o a o olj b o f k- cijo, reci o g(x); tako bo ose če el e grafo a f kcije g(x) i grafo f kcije, ki jo riše o. [fil color] S te ara etro s re e i o ba- rvo se če ja, ož e vre osti so a e ake kot ri ara etr rgbcolor. rejš ji ri eri s o vsak objekt s ra il v svojo s re e ljivko. časi je bolje elati z e o s re e ljivko, še osebej, če i a o veliko število objektov. te ri er si la ko o aga o z o e- ratorje +=, ki ga la ko bere o kot dodaj. ora- bi o ga a asle ji ači : ime += objekt, torej v s re e ljivko ime o aj objekt. sak gra č i objekt vseb je t i f kcijo show(parametri), s katero la ko e r gi olo- ča o ara etre, ki so sk i vse gra č i objek- to . orabi o jo v obliki objekt.show(parametri), ri če er je objekt olj be gra č i objekt, parametri a so sk i različ i gra č i objek- to . Poglej o si ož ost orabe te f kcije v a- sle je ri er . Pri er S o je za ore je kazov izriše sliko, ki je vi a a sliki 4. p = plot(f(x), (-0.5, 1.4) p += line([(0,0), (1,1)], color=(0,1,0) p += line([(0.5, 0.5), (0.5, 0.25)], color=(1,0,1) p += point( 0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.25), (1, 1) , color=(1,0,0), pointsize=20) p += text(’A’, (-0.05, 0.1), color=(1,0,0) p += text(’B’, (1.01, 1.1), color=(1,0,0) p += text(’C’, (0.48, 0.57), color=(1,0,0) p += text(’D’, (0.53, 0.18), color=(1,0,0) p.show(xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=2, aspect_ratio=1) Slika 4 5 linestyle dol ča slog črte, s katero je izrisan graf unkcije. Možne vrednosti so pisane pri ukazu line. fil S tem par metrom, lahko senčimo del s ike v odvisnosti od izrisanega graf funkcije. Prva mo- žna vrednost za ta par met r je ’axis’, ki pomeni, da se osenči del med grafom funkcije in x osjo. Vre- dnosti ’min’ in ’max’ dol čat , da se osenči vse, kar je pod oz. nad grafom funkcije, v tem vrstnem redu. Če za vrednost par metra podamo konstanto C, nam le-ta predstavlja premico y=C, zato bo senčeno vse, kar je med grafom te premice in grafom izrisane funkcije. Kot zadnjo možnost za vrednost ega pa- rametra omenimo, da l hko podamo poljubno funk- cijo, recimo g(x); tako bo senčen del med grafoma funkcije g(x) in grafom funkcije, ki jo rišemo. [fil col r] S tem par metrom spremenimo ba- rvo senčenja, možne vrednosti so pa enake kot pri par metru rgbcol r. V prejšnjih primerih smo vsak objekt shranil v svoj spremenljivko. Včasih je bolje delati z eno spremenljivko, še poseb j, če imamo veliko število objektov. V tem primeru si lahko pomag mo z ope- ratorjem +=, ki ga lahko ber mo kot do aj. Upora- bimo ga na naslednji način: ime += objekt, torej v spremenljivko ime do aj objekt. Vsak grafični objekt vsebuje tudi funkcijo show(par metri), s katero lahko med rugim dol - čamo par metre, ki so skupni vsem grafičnim objek- tom. Uporabimo jo v oblik objekt.show(par metri), pri čemer je objekt poljuben grafični objekt, par metri pa so skupni različnim grafičnim objek- tom. Poglejmo si možnost uporabe te funkcije v na- slednjem primeru. Primer Spodnje zaporedje ukazov izriše sliko, ki je vidna na slik 4. p = plot(f x), (-0.5, 1.4) p += line([ 0, ), (1, )], col r=(0,1 0) p += line([ 0.5, 0.5), (0.5, 0.25)], col r=(1,0 1) p += point( 0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.25), (1, 1) , col r=(1,0 ), pointsize=20) p += text(’A , (-0. 5, 0.1), col r=(1,0 ) p += text(’B , (1.01, 1. ), col r=(1,0 ) p += text(’C , (0.48, 0.57), col r=(1,0 ) p += text(’D , (0.53, 0.18), col r=(1,0 ) p.show(xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=2, aspect_ratio=1) Slika 4 5 l c sl crte, s ter je i ris r f f cije. e re sti s is e ri . te r etr , l se ci el sli e is sti i ris e r f f cije. r - re st t r eter je , i e i, se se ci el e r f f cije i sj . re- sti i l c t , se se ci se, r je . r f f cije, te rst e re . e re st r etr st t , le-t re st lj re ic , t se ce se, r je e r f te re ice i r f i ris e f cije. t j st re st te - r etr e i , l lj f - cij , reci ; t se ce el e r f f cije i r f f cije, i j riše . [ ] te r etr s re e i - r se ce j , e re sti s e e t ri r etr . rejš ji ri eri s s je t s r ili s j s re e lji . c si je lje el ti e s re e lji , še se ej, ce i eli šte il je t . te ri er si l e- r t rje , i l ere t j. r - i sle ji ci : , t rej s re e lji j . s r c i je t se je t i f cij , s ter l e r i l - c r etre, i s s i se r c i je - t . r i j li i , ri ce er je lj e r c i je t, s s i r lic i r c i je - t . lej si st r e te f cije - sle je ri er . i je re je i riše sli , i je i sli i . li linestyle določa slog črte, s katero je izrisan graf funkcije. Možne vrednosti so opisane pri ukazu line. fill S tem parametrom, lahko osenčimo del slike v odvisnosti od izrisanega grafa funkcije. Prva mo- žna vrednost za ta parameter je ’axis’, ki pomeni, da se osenči del med grafom funkcije in x osjo. Vre- dnosti ’min’ in ’max’ določata, da se osenči vse, kar je pod oz. nad grafom funkcije, v tem vrstnem redu. Če za vrednost parametra podamo konstanto C, nam le-ta predstavlja premico y=C, zato bo osenčeno vse, kar je med grafom te premice in grafom izrisane funkcije. Kot zadnjo možnost za vrednost tega pa- rametra omenimo, da lahko podamo poljubno funk- cijo, recimo g(x); tako bo osenčen del med grafoma funkcije g(x) in grafom funkcije, ki jo rišemo. [fillcolor] S tem parametrom spremenimo ba- rvo senčenja, možne vrednosti so pa enake kot pri parametru rgbcolor. V prejšnjih primerih smo vsak objekt shranili v svojo spremenljivko. Včasih je bolje delati z eno spremenljivko, še posebej, če imamo veliko število objektov. V tem primeru si lahko pomagamo z ope- ratorjem +=, ki ga lahko beremo kot dodaj. Upora- bimo ga na naslednji način: ime += objekt, torej v spremenljivko ime dodaj objekt. Vsak grafični objekt vsebuje tudi funkcijo show(parametri), s katero lahko med drugim dolo- čamo parametre, ki so skupni vsem grafičnim objek- tom. Uporabimo jo v obliki objekt.show(parametri), pri čemer je objekt poljuben grafični objekt, parametri pa so skupni različnim grafičnim objek- tom. Poglejmo si možnost uporabe te funkcije v na- slednjem primeru. Primer Spodnje zaporedje ukazov izriše sliko, ki je vidna na sliki 4. p = plot(f(x), (-0.5, 1.4)) p += line([(0,0), (1,1)], color=(0,1,0)) p += line([(0.5, 0.5), (0.5, 0.25)], color=(1,0,1)) p += point(((0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.25), (1, 1)), color=(1,0,0), pointsize=20) p += text(’A’, (-0.05, 0.1), color=(1,0,0)) p += text(’B’, (1.01, 1.1), color=(1,0,0)) p += text(’C’, (0.48, 0.57), color=(1,0,0)) p += text(’D’, (0.53, 0.18), color=(1,0,0)) p.show(xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=2, aspect_ratio=1) Slika 4 5 ri er slika 4. Več grafičnih objektov na isti sliki osi. V kolikor želimo te vrednosti določiti sami, imajo grafični objekti na voljo naslednje parametre: aspect_ratio predstavlja razmerje med enotami x in y osi. Če želimo, da so enote na obeh oseh enake, temu parametru določimo vrednost 1. Če pa- rametra ne določimo, bo razmerje določeno samo- dejno. xmin, xmax, ymin, ymax predstavljajo najma- njšo oz. največjo vrednost, prikazano na x oz. y osi. V kolikor jih ne določimo, se določijo samodejno, glede na objekte prikazane na sliki. Primer Recimo, da želimo na sliki iz prejšnjega primera pri- kazati še izhodišče koordinatnega sistema ter dolo- čiti enako razmerje med enotami na obeh oseh. Do- volj je, da ustrezne parametre določimo v enem iz- med objektov, prikazanih na sliki; mi jih bomo dolo- čili za objekt tockaA. Rezultat te spremembe je vi- den na sliki 3. tockaA = point((1,1), rgbcolor=(1,0,0), xmin=0, ymin=0, aspect_ratio=1) tockaB = point((2,2), rgbcolor=(1,0,0)) daljicaAB = line([(1,1), (2,2)], linestyle=’-.’) oznakaA = text("A", (1,1.03)) oznakaB = text("B", (2,2.03)) daljicaAB+tockaA+tockaB+oznakaA+oznakaB Slika 3 Risanje grafov funkcij Program Sage omogoča tudi izris grafov funkcij. Spo- mnimo se, da funkcijo v tem programu definiramo na naslednji način: f(x) = predpis, pri čemer je x vedno definiran kot neodvisna spremenljivka. Za lažjo demonstracijo bomo najprej definirali funkcijo, katere graf bomo risali, v našem primeru bo to funk- cija f(x) = x2, ki jo v programu Sage zapišemo kot f(x) = x**2. Operator ** predstavlja potenciranje. Risanje grafa funkcije ene spremenljivke izvedemo z ukazom plot(parametri). Prvi parameter ukaza plot je funkcija, katere graf želimo narisati. Ostali parametri so opcijski in so naslednji: xmin, xmax, ymin, ymax kot prej, predstavljajo najmanjšo in največjo vrednost prikazano na ustre- zni osi. rgbcolor določa barvo grafa funkcije in prejme vrednosti v že predhodno opisani obliki, torej (r,g,b). thickness določa debelino črte, s katero je izri- san graf funkcije. 4 29 r a č u n a l n i š t v o Barvni sudoku V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2× 4) nastopalo vseh 8 števil. 1 Presek 38 (2010/2011) 6 Naloga Zapišite zaporedje ukazov, ki izrišejo sliko, kot je razvidna na sliki 5. Želim vam obilo zabavnih slik pri ekperimentiranju z opisanimi ukazi. Slika 5 6 Literatura [1] http://www.sagemath.org/ (ogled: 7. 4. 2011) [2] Matjaž Kovše, Program in projekt SAGE, Presek 38 (2011) 5, 27–30. 7 teratura loga slika 5. Katero zaporedje ukazov izriše zgornjo sliko? www.dmfa-zaloznistvo.si www.dmfa.si www.presek.si r e š it e v b a r v n i s u d o k u • • • • Barvni sudoku 6 1 2 2 3 4 5 4 8 7 7 3 4 5 8 2 4 1 46317582 28573146 72154863 63482715 85621374 31746258 14835627 57268431 r a z v e d r i l o 30 r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 8 / 5 • Za nagradno križanko iz četrte številke 38. letni- ka Preseka smo prejeli 11 pravilnih rešitev. Nagra- dno geslo se je glasilo Pri- marno gorišče teleskopa. Izžrebani reševalci, Jasna Jakobčič iz Novega me- sta, Zvonko Perat iz Je- senic in Predrag Grujić iz Zagorja so razpisane nagrade prejeli po pošti. presek 38 (2010/2011) 6 Svetlobni steber r a z v e d r i l o 31 • n a r a v o s l o v n a f o t o g r a f ij a aleš mohorič Presek 38 (2010/2011) 6 V prejšnji številki smo na naslovnici objavili foto- grafijo nenavadnega sončnega zahoda, posneto proti koncu letošnjega januarja, in vzpodbudili radoved- nost bralcev z vprašanjem: kateri atmosferski op- tični pojav je videti na sliki? Danes sledi odgovor. Fotografija prikazuje optični pojav, ki ga imenu- jemo svetlobni steber. Če izvira od Sonca, ga poime- nujemo sončni steber. Nastane zaradi odboja sve- tlobe na ledenih kristalih. Najlepše je pojav viden, če so kristali ploščati in obrnjeni vodoravno. Svetlobni stebri se v obliki ozkega pasu svetlobe raztezajo nad in pod izvirom svetlobe, ki je lahko tudi ulična sve- tilka ali pa Luna. Najbolje so vidni, ko je Sonce tik nad ali pod obzorjem. 2 foto: Andrej Guštin M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 3 8 ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 ) š t e v il k a 6 6 ISSN 0351-6652