let. - vol. 4~7 C2001D št. - no. 9 STROJNIŠKI JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING I-24BO STJVAX Izbočitev krožnega kolobarja v elasto-plastičnem področju: elastičen linearno utrjevalni reološki model Buckling of a Circular Annular Plate in the Elastic-Plastic Region: an Elastic Linear Hardening Rheological Model Vloge orodjarn v dobavni verigi The Role of Toolmakers in the Supply Chain Analiza poškodb na površini orodja za tlačno litje nosilca iz aluminijeve zlitine AISiSCu3 Damage Analysis on the Surface of Die Casting Die of Girder Made by Aluminium Alloy of AISi9Cu3 © Strojni{ki vestnik 47(2001)9,553 Mese~nik ISSN 0039-2480 © Journal of Mechanical Engineering 47(2001)9,553 Published monthly ISSN 0039-2480 Vsebina Contents Strojni{ki vestnik - Journal of Mechanical Engineering letnik - volume 47, (2001), {tevilka - number 9 Razprave Bremec, B., Kosel, F.: Izbočitev krožnega kolobarja v elasto-plastičnem področju: elastičen linearno utrjevalni reološki model 554 Fulder, T., Polajnar, A., Pandža, K.: Vloge orodjarn v dobavni verigi 566 Kosec, B., Kosec, L., Kopač, J., Škrinjar, A.: Analiza poškodb na površini orodja za tlačno litje nosilca iz aluminijeve zlitine AlSi9Cu3 575 Poročila 579 Strokovna literatura 583 Osebne vesti 587 Navodila avtorjem 589 Papers Bremec, B., Kosel, F.: Buckling of a Circular Annular Plate in the Elastic-Plastic Region: an Elastic Linear Hardening Rheological Model Fulder, T., Polajnar, A., Pandža, K: The Role of Tool-makers in the Supply Chain Kosec, B., Kosec, L., Kopač, J., Škrinjar, A.: Damage Analysis on the Surface of Die Casting Die of Girder Made by Aluminium Alloy of AlSi9Cu3 Reports Professional Literature Personal Events Instructions for Authors stran 553 glTMDDC © Strojni{ki vestnik 47(2001)9,554-565 © Journal of Mechanical Engineering 47(2001)9,554-565 ISSN 0039-2480 ISSN 0039-2480 UDK 539.3:539.374 UDC 539.3:539.374 Pregledni znanstveni ~lanek (1.02) Review scientific paper (1.02) Izbo~itev kro`nega kolobarja v elasto-plasti~nem podro~ju: elasti~en linearno utrjevalni reolo{ki model Buckling of a Circular Annular Plate in the Elastic-Plastic Region: an Elastic Linear Hardening Rheological Model Bo{tjan Bremec - Franc Kosel V prispevku obravnavamo stabilnostni problem krožne plošče - kolobarja, pri čemer se nestabilno stanje in potek izbočitve pojavi v trenutku, ko je napetostno stanje v najbolj obremenjenih točkah plošče že v elasto-plastičnem področju. Obravnavani so primeri, pri katerih so obremenitev, napetostno stanje ter način podprtja plošče osnosimetrični. Zunanji in notranji rob kolobarja sta lahko poljubno podprta (togo ali členkasto) ali prosto ter obremenjeno z nespremenljivima zveznima obremenitvama p in p v poljubnem medsebojnem razmerju. Z uporabo ravnotežne metode so izračunane kritične obremenitve za različna razmerja notranjega in zunanjega polmera a/b. Pri tem je upoštevano, da se plošča lahko izboči osnosimetrično (kupolasto m=0) ali pa osnonesimetrično z m>0 valovi v obodni smeri. V rezultatih je prikazan vpliv stopnje utrjevanja materiala f na kritično zunanjo obremenitev. Podana je primerjava med rezultati, dobljenimi na podlagi upoštevanja končnih ter diferencialnih napetostno-deformacijskih zvez. © 2001 Strojniški vestnik. Vse pravice pridržane. (Ključne besede: kolobarji krožni, procesi izbočitve, področja elastoplastična, modeli reološki) This paper treats the buckling problem of a circular annular plate where the unstable state and the buckling process occur when the stress state at the most loaded points of the plate is already in the elastic-plastic region. We analysed the cases with axisymmetric loads, the stress state and the supports of the plate. The outer and inner edges of the annulus were supported (clamped or simply supported) or free, and loaded with constant pressures p and p in an arbitrary ratio. With the use of the equilibrium method the buckling loads were calculated for different ratia of the inner and outer radii a/b. It is supposed that the plate buckles asymmetrically (spherically m=0) or non-axiasymmetrically with m>0 waves in the circumferential direction. The results show the influence of the material-hardening coefficient f on the buckling load. A comparison between calculations with a consideration of finite and incremental stress-strain relations is given. © 2001 Journal of Mechanical Engineering. All rights reserved. (Keywords: circular annular plates, buckling processes, elastic-plastic regions, rheological models) 0 UVOD Vse teorije, ki obravnavajo začetno stabilnost plošč v elastičnem in elasto-plastičnem področju zahtevajo, da določimo napetostno stanje v trenutku tik preden plošča preide v nestabilno stanje in se lahko pojavi potek izbočenja. Izbočitev v elasto-plastičnem področju se pojavi pri ploščah, ki so primerno toge, tako da je napetostno stanje v trenutku izbočitve že v elasto-plastičnem področju. Zaradi soodvisnosti kritične obremenitve od funkcije napetosti je, v takšnih primerih zaradi zahtevnosti problema, primerno uporabiti iterativni postopek reševanja. Nasprotno je pri obravnavanju stabilnosti v elastičnem področju zveza med napetostnim stanjem in obremenitvijo plošče linearna, zato je določanje kritične obremenitve preprostejše in hitrejše ([1] do [5]). 0 INTRODUCTION All theories dealing with the initial stability of plates in the elastic and in the elastic-plastic regions demand knowledge of the stress state at the moment before the plate goes into an unstable state and starts to buckle. The problem of buckling in the elastic-plastic region arises with plates that are sufficiently stiff for the stress state at the moment of buckling to already be in the elastic-plastic region. Because of the complexity of this problem, which is caused by the interdependence of the buckling load and the stress function in such cases, an iterative procedure needs to be adopted. In contrast, when dealing with the buckling of plates in the elastic region the relationship between the stress function and the load on the plate is linear, and this makes the calculation of the buckling load easier and quicker, [1] to [5]. VBgfFMK stran 554 B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate 1 STABILNOST PLOŠČ V ELASTO-PLASTIČNEM PODROČJU Pri obravnavanju problema bomo upoštevali naslednje predpostavke: - 1 THE BUCKLING OF PLATES IN THE ELASTIC-PLASTIC REGION - - material je homogen in izotropen tako v elastičnem kakor tudi v plastičnem področju, pred pojavom nestabilnosti je v plošči ravninsko napetostno stanje, velja Kirchofova upogibna teorija, kritično obremenitev določimo s Shanleyevo hipotezo [6], ki predpostavlja, da je v začetni fazi izbočitve celoten prečni prerez plošče v plastičnem območju, celotne deformacije so sestavljene iz elastičnih in plastičnih, ki so istega velikostnega razreda, sprememba prostornine v plastičnem območju je posledica le elastičnega dela deformacij, velja Misesov pogoj tečenja, upoštevamo teorijo drugega reda po Chwalli. Vzemimo, da poznamo pred izgubo stabilnosti v poljubni točki plošče ravninsko napetostno stanje sij ter temu ustrezno deformacijsko stanje eij, kjer sta sij in eij kartezična tenzorja. Diferencialno enačbo za določitev nestabilnega stanja določimo po teoriji drugega reda z momentnim ravnotežnim stanjem na plošči z elementarno deformacijo. Pri prehodu iz osnovnega v novo ravnotežno stanje dobijo prvotne deformacije ej v novi legi neskončno majhne prirastke de, ki jih, upoštevajoč Kirchofovo upogibno teorijo, zapišemo v naslednji obliki: Pri tem smo z w označili elementarno majhen premik osrednje ravnine plošče iz prvotne lege, z pomeni oddaljenost od osrednje ravnine plošče, Eij pa so neskončno majhni prirastki tenzorja deformacij osrednje ravnine plošče. Prirastkom tenzorja deformacij deij ustrezajo prirastki tenzorja napetostnega stanja dsi. Medsebojno odvisnost pomenijo napetostno-deformacijske zveze, ki jih splošno lahko zapišemo: The following assumptions will be made: the material is homogeneous and isotropic in the elastic and plastic region; before the buckling process the plate is in a plane stress state; Kirchof’s bending theory is accepted; the buckling load is determined using Shanley’s hypothesis [6], which supposes that at the onset of buckling the whole cross-section of the plate is in the plastic region; the total strain is made up of the elastic and plastic strains of the same magnitude; the change of volume in the plastic region is only caused by the elastic part of the deformations, the Mises’s yield criterion is used, Chwalla’s second-order theory is adopted. Let us suppose that the stress state sij and the resulting strain state eij are known at the onset of buckling, where sij and eij are Cartesian tensors. The differential equation, from which the unstable state of the plate is obtained, is determined on the basis of the second-order theory with a moment equilibrium state on a plate with an elementary displacement. When the plate passes from the basic into the new equilibrium state the primary strains eij acquire infinitesimal increments deij in the new position, which can be expressed using Kirchof’s bending theory in the following form: - zw,ij (1). Where w denotes the elementary small displacement of the middle plane of the plate from the basic position, z denotes the distance from the middle plane and Eij are the infinitesimal increments of the strain tensor of the middle plane of the plate. The stress-tensor increments dsij correspond to the strain-tensor increments deij. These are related by the stress-strain relations, which can in general be written as: deij = bijmnds mn (2), kjer je bijm tenzor mehanskih lastnosti materiala. Z obrnitvijo enačbe (2) izrazimo prirastke tenzorja napetostnega stanja dsij s prirastki tenzorja deformacij de: where bijmn is the tensor of the mechanical properties of the material. By inverting equation (2) the stress-tensor increments dsij are expressed with strain-tensor increments deij : dsij = aijmnde mn (3). Prirastke tenzorja napetosti dsij izrazimo z ukrivljenostmi w,ij. Glede na Shanleyevo hipotezo [6], ki predpostavi, da je v začetni fazi izbočitve celoten prečni prerez plošče v plastičnem področju in tako ne upošteva učinkov razbremenitve, veljajo The stress-tensor increments dsij are expressed with curvatures w, ij. According to Shanley’s hypothesis [6], which supposes that in the initial phase of buckling the whole cross-section of the plate is in the plastic region and does not consider the effects of unloading, the B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate enačbe za prirastke napetosti po celotni debelini plošče. Z integracijo prirastkov tenzorja napetosti dsi po debelini plošče dobimo prirastke enotskih momentov dm. Novo stanje na deformirani plošči je ravnotežno, ij izpolnjena mora biti momentna ravnotežna enačba sil v smeri pravokotno na osrednjo ravnino plošče: equations are valid for the whole plate thickness. By integration of the stress-tensor increments dsij through the plate thickness the increments of the unit moments dmij are obtained. The new state on the deformed plate is an equilibrium state, the moment equilibrium equation of forces in the direction perpendicular to the middle plane of the plate must be fulfilled: dm hs w, =0 (4). Diferencialno enačbo, ki je namenjena za The governing differential equation, which določanje kritične obremenitve plošče, dobimo tako, da v is used to calculate the buckling load, is obtained by enačbo (4) vstavimo izraze za prirastke enotskih momentov: substituting the unit moments in equation (4): (Daijmnw,mn),ij+phpw,\ (5). Pri tem smo v enačbi (5) z D označili upogibno togost plošče, s p pa zunanjo obremenitev plošče. Enačba je homogena linearna parcialna diferencialna enačba četrtega reda s spremenljivimi koeficienti. V splošnem so upogibna togost D in elementi tenzorja mehanskih lastnosti materiala aijm funkcije kraja. Rešitev mora upoštevati robne pogoje podprtja plošče. Ti se nanašajo na pomik roba w, prirastek enotskega upogibnega momenta dm in reducirane prečne sile dq , kjer n pomeni normalo na rob plošče. Ker so tudi robni pogoji homogeni, nas reševanje problema vodi k določanju lastnih vrednosti homogene diferencialne enačbe (5), katere reševanje v sklenjeni obliki je verjetno v splošnem skoraj nemogoče. V našem primeru uporabimo za reševanje metodo končnih razlik, ki je opisana v nadaljevanju. 2 DOLOČANJE ELEMENTOV TENZORJA MEHANSKIH LASTNOSTI MATERIALA fl^ Elemente tenzorja mehanskih lastnosti materiala aijm določimo na dva načina, in sicer po teoriji končnih napetostno deformacijskih zvez na podlagi Henckyevih enačb ali pa po teoriji diferencialnih napetostno deformacijskih zvez na podlagi Reuss-Prandtlovih enačb. Modula Et0 (6) in E0 (7) sta določena po enoosnem nateznem preskusu, kjer sta s natezna ali tlačna napetost, e pa ustrezna deformacija v vzdolžni smeri: - tangentni modul In equation (5) D denotes the flexural rigidity of the plate and p denotes the outer load of the plate. Equation (5) is a homogeneous linear partial differential equation of the fourth order with variable coefficients. In general, the flexural rigidity D and the coefficients aijmn are functions of position. The solution of the differential equation must consider the boundary conditions of the supports of the plate. These are related to the displacement of the edge w, the increment of the unit bending moment dmn and the reduced unit shear force dqn, where n denotes the direction normal to the edge of the plate. Because the boundary conditions are homogeneous, the solution of the problem leads to the determination of the eigenvalues of a homogeneous differential equation (5), which probably cannot be solved analytically for a general case. For this reason a numerical finite-difference method, described below, was used in our study. 2 DETERMINATION OF THE TENSOR OF THE MECHANICAL PROPERTIES OF THE MATERIAL aijmn The elements of the tensor of the mechanical properties of the material aijmn are determined in two ways: using the theory of finite stress-strain relations based on Hencky’s equations or using the theory of differential stress-strain relations based on the Reuss-Prandtl equations. The modulus Et0 (6) and Es0 (7) are defined on the basis of a uniaxial tensile test, where s is the tensile or compressive stress and e is the resulting strain in the longitudinal direction: - tangent modulus e0 = ds de - sekantni modul - secant modulus e0 = s (6) (7). V primeru ravninskega napetostnega stanja In the case of a plane stress state the relation je zveza med enoosnim preskusom in ravninskim between the uniaxial test and the plane stress state is VBgfFMK stran 556 B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate napetostnim stanjem podana prek dejanske napetosti se in dejanske specifične deformacije ee. Sekantni modul E definiramo kot razmerje med dejansko napetostjo se in dejansko deformacijo ee, tangentni modul Et pa kot razmerje prirastkov istih količin. given by means of the effective stress se and the effective strain ee . The secant modulus Es is defined as the ratio between the effective stress se and the effective strain ee, where the tangent modulus Et is the ratio of the increments of the same quantities. s e s e Es = Et = Pri tem razlikujemo med sekantnim modulom E0 (7) ter modulom E (8). Medsebojno zvezo, dobljeno z analizo enoosnega napetostnega stanja, podaja enačba (10). Zveza med tangentnim E0t (6) in modulom E (9) je enaka enačbi (10): ds e de e (8), (9). It is necessary to distinguish between the secant modulus Es0 (7) and the modulus Es (8). The relationship, obtained by the analysis of the uniaxial stress state, is given by equation (10). The relationship between the tangent Et0 (6) and Et (9) is similar to equation (10): 1 1 1-2n =0 -E E 3E (10). Teorija končnih napetostno-deformacijskih zvez Elemente tenzorja mehanskih lastnosti materiala bijm v enačbi (2) določimo z variiranjem napetostno-deformacijskih zvez, pri čemer dobimo: The theory of finite stress-strain relations The elements of the tensor bijmn in equation (2) are determined by the variation in the stress-strain relations where we obtain: 3s V E + 2EpJ dd + im jn E 2E dd + 11 1 ij mn s 2 E E (s>- 1 d'>svl3 s™- 1 d™s* ' Teorija diferencialnih napetostno-deformacijskih zvez Elementi tenzorja mehanskih lastnosti materiala bijmn za diferencialne napetostno-deformacijske zveze so: The theory of differential stress-strain relations The elements of the tensor of the mechanical properties of the material bijmn for differential stress-strain relations are: deij ds mn 1+n n 3 dd - dd + E im jn E ij mn 2s2 E - E 1 s ij - 3 d'li si± J1 2 s™ - 2 ds kk (12). 3 IZRAČUN NAPETOSTNEGA STANJA Napetostno stanje je opredeljeno s krožno ploščo nespremenljive debeline, ki je na zunanjem in notranjem polmeru obremenjena z enakomerno zvezno obremenitvijo pz in pn (sl.1). Obremenitvi sta določeni z osnovno obremenitvijo p ter koeficientoma a in b: 3 CALCULATION OF THE STRESS STATE The case of a circular annular plate of constant thickness loaded with constant pressure on the inner radius pn and the outer radius pz is studied (Fig.1). The load cases of the plate are defined in terms of the basic load p and the coefficients a and b in the following way: p-a p-b (13), (14). Problem rešujemo v polarnem koordinatnem sistemu (r , j). Zaradi obremenitve je napetostno stanje v plošči ravninsko osnosimetrično (sr=0 ), kar precej poenostavi nalogo. Uporabimo numerično metodo reševanja [7], ki je zasnovana na izračunu napetostnega stanja s diferenčno metodo ter na metodi reševanja z zaporednimi približki rešitev. The problem is solved in the polar coordinate system (r , j ). Because of the specific loading the stress state is plane axisymmetric (srj=0 ), which makes the task easier. A numerical approach is used [7], which is based on the calculation of the stress state with the finite-difference method and on the method of successive approximations. gfin^OtJJlMISCSD 01-9 stran 557 |^BSSITIMIGC B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate a a Sl. 1. Obremenitev plošče - kolobarja ter reoloski model snovi Fig. 1. Plate loading and the stress-strain curve of the material 4 IZRAČUN KRITIČNE OBREMENITVE PLOŠČE Zaradi osnosimetrične geometrijske oblike in obremenitve plošče problem obravnavamo v polarnem koordinatnem sistemu. Pri tem je treba pri zapisu diferencialne enačbe (5) upoštevati spremembo diferencialnih operatorjev iz kartezičnega v polarni koordinatni sistem. Pri tem upoštevamo simetrijo napetostnega tenzorja sij=sji, iz katere izhaja ar =a , a =a in a =a. Diferencialna enačba za ploščo nespremenlj jjj ve debeline (5) ima v polarnem koordinatnem sistemu naslednjo obliko: 4 CALCULATION OF THE BUCKLING LOAD Because of the axisymmetric geometry and the loading of the plate, the problem is solved in the polar coordinate system. For this reason the transformation of the differential operators from the Cartesian to the polar coordinate system must be considered in the notation of equation (5). The symmetry of the stress tensor sij=sji, from which follows a =a , a =a and a =a , is rrrj rrjr rjrj rjjr jjrj jjjr considered. The differential equation for a plate of constant thickness (5) written in the polar coordinate system has the following form: f2_ 2d dr 2 r dr 1 d2 1 d a -w, +2 ¦ a w,r \ + arr r drdj r dr 1A_1c>2 r dr r 2 dj a ¦ w, +2 ¦ a a -w, +2-a (ptprr rr (p w, +a w, +a 11 w,r+2w, rr 11 w,r +2 w, rr 11 w,+ w, (15). +-----1 srr-w,+-------I -w,—w, \+^-1 -w,+-w, = 0 Zaradi simetrije problema in ob upoštevanju predpostavke, da se plošča lahko izboči osnosimetrično m=0, ter osnonesimetrično z m>0 valovi v obodni smeri, lahko problem prevedemo iz dvodimezionalnega (r,j) na enodimenzionalni (r) z uporabo ustrezne funkcije za upogib plošče w [9]: Because the problem is symmetric and the plate buckles in an axisymmetric m=0 and non-axisymmetric mode with m>0 waves in the circumferential direction, a two-dimensional problem (r , j ) can be transformed to one-dimensional problem (r) by using an appropriate function for the displacements w [9]: w(r, j) = f(r) ¦ cos(m ¦ j) (16), kjer je m število valov v obodni smeri. Z where m is the number of waves in the circumferential nastavkom (16) preide homogena parcialna direction. With function (16) the homogeneous partial diferencialna enačba (15) v navadno homogeno differential equation (15) becomes a normal fourth- diferencialno enačbo četrtega reda ene neodvisne order homogeneous differential equation of a single spremenljivke: independent variable: VH^tTPsDDIK stran 558 B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate V4 A () dnf Pri tem so v enačbi (17) A (r,m) in B (r,m,p) pripadajoči koeficienti, ki so funkcije polmera r in izbranega števila valov m, v elasto-plastičnem področju pa tudi od obremenitve plošče p. Tudi tukaj uporabimo za reševanje enačbe (17) metodo končnih razlik. Tako dobimo z upoštevanjem robnih pogojev sistem enačb, ki ga lahko zapišemo v matrični obliki: 2Bn dnf dr n (17). In equation (17) An(r,m) and Bn(r,m,p) are the belonging coefficients, which are functions of the radii r, the selected number of waves m and, in the elastic-plastic region, also of the outer load p of the plate. The solution is obtained by the finite-differences method. Considering the boundary conditions, a system of equations is obtained what is in the matrix form: ([A(m)] + p-[B(m,p)]){f} = 0 (18). Pri tem sta [A(m)] in [B(m,p)] pripadajoči matriki koeficientov ob vektorju neznank {f}T={f1, f2, ..., fN+1}. Pogoj za netrivialno rešitev homogenega sistema linearnih enačb (18) vodi v določanje lastnih vrednosti sistema enačb. V splošnem ima tak sistem p (m) lastnih vrednosti, kjer je n=1, ...,N+1. Kritično obremenitev, kjer se pojavi labilno stanje, pomeni najmanjša realna lastna vrednost: Here [A(m)] and [B(m,p)] are the matrices of coefficients to the vector of unknowns {f}T={f1,f2,..., fN+1}. The condition for a nontrivial solution of a homogeneous system of linear equations (18) leads to the determination of the eigenvalues. In general, such a system has pn(m) eigenvalues, where n=1,...,N+1. The buckling load, where the unstable state arises, is determined by the smallest real eigenvalue: pcr (m) = min{pn (m),n =1, ..., N +1} min {pcr (m), m = 1,2,... } (19), (20). Izračunani p (m) (19) pomeni kritično obremenitev za dani cr obremenitveni primer pri številu valov m. Določiti je treba število valov m, pri katerem je kritična obremenitev najmanjša. Na ta način določimo obliko, v katero se plošča izboči. V primeru, ko je napetostno stanje v elastičnem področju, je razmerje sij/p za celotno območje nespremenljivo, v elasto-plastičnem področju pa zaradi nelinearnosti mehanskih lastnosti materiala to ne velja več. Zaradi tega so koeficienti matrike [B(m,p)] (18) odvisni od napetostnega stanja sij oziroma obremenitve p. To zahteva iterativno reševanje. Shematičen potek reševanja prikazuje slika 2. 5ŠTEVILČNI PRIMERI Številčne primere smo izračunali z lastnim programom. Uporabili smo naslednje podatke: zunanji radij plošče b=200 mm, elastični modul materiala E=210 GPa, meja plastičnosti sp =210 MPa, Poissonov količnik n=0,3. Program smo preverili z analizo nekaterih elastičnih primerov izbočitve, za katere so znani analitični rezultati [10]. Pri tem smo analizirali vpliv delitve N na natančnost rezultatov, ki je razviden iz preglednice 1. Rezultati so podani v obliki izbočitvenega koeficienta k za primer VI načina podprtja in za obremenitveni primer p =p =-p. Izbočitveni koeficient k je za ploščo nespremenljive debeline v naslednji zvezi s kritično obremenitvijo plošče pc : The calculated pcr(m) (19) represents the buckling load for a determined load case and a number of waves m. It is necessary to determine the number of waves m, where the buckling load is the smallest. In that way the buckling shape of the plate is determined. In cases where the stress state in the plate is within the elastic region the ratio sij/p is constant, which is not true in the elastic-plastic region, where the mechanical properties of the material are nonlinear. For this reason the coefficients of the matrix [B(m,p)] (18) are dependent on the stresses sij and on the load p, respectively. This demands an iterative procedure for solving the problem. The procedure is schematically shown in fig. 2. 5 NUMERICAL EXAMPLES Numerical examples were calculated with our own programme. The following data were considered: outer radius of the plate b=200 mm, Young modulus of the material, E=210 GPa; yield stress, spl=210 MPa; Poisson’s ratio, n=0.3. The program was tested with an analysis of the elastic buckling cases for which the analytical solutions are known [10]. The influence of the number of intervals N on the results was analysed and the results are shown in Table 1. The results are given in form of the buckling coefficient k for the case of support VI and the load case pn=pz=-p. The buckling coefficient k for a plate of constant thickness is calculated from the buckling load pcr in the following way: B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate Vhodni podatki Model input data I Izračun napetosti sij(p=1) Stress evaluation Elasto-plastična kritična obremenitev Elastic-plastic buckling load Sl. 2. Shematični potek izračuna kritične obremenitve Fig. 2. Calculation of the buckling loads 2D pcr k hb 2 Izkaže se, da je treba pri manjših razmerjih a/b vzeti večje število delitev N zato, da dosežemo boljšo konvergenco rezultatov. Ker je čas računanja odvisen od izbranega števila delitev, lahko to ugotovitev s pridom uporabljamo v izračunih. V preglednici 2 je podana primerjava rezultatov izbočitvenih koeficientov k krožne plošče nespremenljive debeline v elastičnem področju z E-h2 12b2(1-n2) (21). It can be seen for at smaller ratia of a/b a greater number of intervals N must be taken to obtain a better convergence of the results. Because the calculation time depends on the chosen number of intervals, this is used to advantage in the calculations. Table 2 shows the comparison between the buckling coefficients k for a circular annular plate of constant thickness in the elastic region with analytical Preglednica 1. Vpliv števila delitev N na konvergenco k, VI(a=-1,b=-1) Table 1. Influence of the number of divisions N on the convergence k, VI(a=-1,b=-1) a/b N 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10 3,157 4,479 1,394 1,386 1,300 1,211 1,132 1,064 1,005 50 1,785 1,510 1,605 1,450 1,322 1,219 1,135 1,065 1,005 100 1,935 1,794 1,611 1,452 1,323 1,220 1,135 1,065 1,005 150 1,958 1,798 1,612 1,452 1,323 1,220 1,135 1,065 1,005 VH^tTPsDDIK stran 560 B. Bremec - F. Kosel: Izbo~itev kro`nega kolobarja - Buckling of a Circular Annular Plate I. V. ~L A- II. § III. ~A A~" A- "A 1 VI. f- VII. - 1 f- I V. A- "^ A- "A VIII. A- ~A Sl. 3. Primeri podprtja plošče Fig. 3. Cases of plate supports analitičnimi za primer osnosimetričnega načina izbočenja m=0 [10]. Obravnavali smo osem različnih načinov podprtja plošče (sl.3), pri čemer je bila obremenitev plošče takšna, da je bilo napetostno stanje homogeno (p =p =-p,sr=s =-p). Iz primerjave je razvidno dobro ujemanje rezultatov [10], ki so dobljeni z uporabo energijske metode reševanja. Nadalje smo analizirali nekatere primere izbočitve v elasto-plastičnem področju. Rezultati so prikazani v odvisnosti od vitkosti plošče l, definirane kot razmerje zunanjega premera plošče 2b in debeline h. Mejna vitkost lpl (22), pri kateri se pojavi nestabilno stanje v elasto-plastičnem območju, določimo tako, da izenačimo obremenitev, pri kateri se prične plastifikacija s kritično obremenitvijo v elastičnem področju. Odvisna je od izbočitvenega koeficienta *- v elastičnem področju ter mehanskih lastnosti: el for the case of axisymmetric buckling m=0 [10]. Eight different cases of plate supports were studied (fig.3), for each load case the resulting stress state was homogeneous (pn=pz= -p, sr=sj=-p). Good agreement was obtained with the results in [10], which were obtained by the energy method. Next, some cases of elastic-plastic buckling were analysed. The results are given in terms of the slenderness of the plate l, which is defined as the ratio between the outer diameter 2b and the thickness of the plate h. The limit slenderness lpl (22), where buckling in the elastic-plastic region occurs, is determined by equating the load at which the plastification starts with the buckling load in the elastic region. It depends on the buckling coefficient kel in the elastic region and on the material properties: lp 2b h pl M p = 1 ) EKel Model preverimo tako, da rezultate kritičnih obremenitev v elasto-plastičnem področju primerjamo z rezultati v [12], kjer je obravnavana plošča nespremenljive debeline z naslednjimi številčnimi podatki, a/b=0,2, primer podprtja IV, obremenitveni primer pa je pz =-p, pn =0, kar ustreza o=0,/*=-1. Rezultati v [12] so izračunani za idealno plastični material, ki ustreza standardu DIN 4114 z razmerjem E/spl= 1000 in v=0,3. Ker se pri idealno plastičnem materialu, f=0, v našem modelu pojavi singularnost 1/E=cc, izberemo zelo majhno, od nič različno stopnjo utrjevanja f=104. Primerjava je podana v preglednicah 3 in 4. Rezultati so prikazani le za primere izbočitve v elasto-plastičnem področju, ki se za obravnavani primer pojavljajo pri vitkostih l