UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
ODDELEK ZA MATEMATIKO IN MEHANIKO
Jasna Prezelj
HOMOTOPSKI PRINCIP ZA SUBMERZIJE S SPRAYEM NAD STEINOVIMI PROSTORI
Doktorska disertacija
Mentor: prof. Franc Forstneriˇc
Ljubljana, 2000
Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Francu Forstneriˇcu za znanje, potrpeˇzljivost, ˇcas in spodbude pri delu, ˇclanom seminarja za kompleksno analizo, ki so hrabro vztrajali med serijo predavanj o homotopskem principu in posebej ˇse prof. Globevniku za skrb in dobre nasvete.
Hvala starˇsem in prijateljem, ki so mi bili vedno pripravljeni stati ob strani.
Kazalo
1.  Homotopski princip za submerzije s sprayem nad Steinovimi prostori       6
1.1    Uvod .......................................     6
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije ....................     9
1.3    H-Rungejev izrek   ................................   16
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari    ...............   24
1.5    Konstrukcija majhnih prerezov    ........................   33
1.6    Kompleksi in prizme   ..............................   36
1.7    Cartanski nizi in konstrukcija zaˇcetne zvezne prizme .............   38
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi    ...................   40
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.   . ..............................   51
1.10  Dokaz izreka 1.1.2. za sploˇsni primer    .....................   56
1.11  Primeri prostorov s sprayi in uporaba .....................   61
2.  Vloˇzitve Steinovih mnogoterosti z interpolacijo
na diskretni mnoˇzici                                                                                           64
2.1    Uvod .......................................   64
2.2    Definicije in oznake ...............................   65
2.3    Skoraj prave in prave preslikave  ........................   66
2.4    Tehnikalije ....................................   74
2.5    Dokaz glavnega izreka    .............................   81
3
Povzetek
V prvem delu je dokazan homotopski princip za submerzije s spravi:
Naj bo Z kompleksen prostor, X Steinov prostor, h : Z —> Z surjektivna holo-morfna submerzija, ki lokalno dopušča spray, P kompakten Hausdorffov prostor in ap : X —> Z, p G P, zvezna družina zveznih prerezov submerzije h : Z —> X. Potem obstaja taka zvezna družina zveznih prerezov ap>t '¦ X —> Z, p G P, t G [0,1], da je (ip,o = ap, p G P in je za vsak p & P prerez aPt\ : X —> Z holomorfen.
Glavni izrek v drugem delu je vložitveni izrek za Steinove mnogoterosti z interpolacijo na diskretnih množicah.
Naj bo X n-dimenzionalna Steinova mnogoterost, Y C X diskretna podmnožica in (p : Y —> Cra+<? prava injekcija. Če je n = 1 in q > 2 ali n > 1 in q > max{[^yi] + 1,3}, obstaja prava holomorfna vložitev $ : X —> Cra+<?, A;i razširi ip.
Math.  Subj.  Class.  (1991): 32E10, 32H02, 32H35, 32L05
Ključne besede: kompleksen prostor, Steinov prostor, holomorfna submerzija, prerez holomorfne submerzije, tangentni prostor, homotopski princip, prava preslikava, holomorfna imerzija, holomorfna vložitev
4
Abstract
The first part contains a proof of the homotopy principle for holomorphic submersions with sprays:
Let Z be a complex space, X Stein space, h : Z —> Z surjective holomorphic submersion which locally admits a spray, P a compact Hausdorff space and ap : X —> Z, p G P, a continuous family of continuous sections of the submersion h : Z —> X. Then there exists a continuous family of continuous sections ap>t : X —> Z, p G P, t G [0,1], of h : Z —> X, such that aP)o = ap, p & P and the section aPt\ : X —> Z is holomorphic for each p & P.
The second part is an embedding theorem for Stein manifolds with interpolation on discrete sets.
Let X be an n-dimensional Stein manifold, Y c X a discrete subset and <p> :Y —> Cn+q a proper injective map. Ifn = 1 andq >2orn>1 andq > max{[^—] + 1,3} then there exists a proper holomorphic embedding ? : X —> Cn+q extending <p>.
Math. Subj. Class. (1991): 32E10, 32H02, 32H35, 32L05
Key words: complex space, Stein space, holomorphic submersion, section of holo-morphic submersion, tangent space, homotopy principle, proper map, holomorphic immersion, holomorphic embedding
5
1.    HOMOTOPSKI PRINCIP ZA SUBMERZIJE S SPRAYEM NAD STEINOVIMI PROSTORI                                                                                6
1.    Homotopski princip za submerzije s sprayem nad Steinovimi prostori
1.1    Uvod
Naj bosta X, Z kompleksni mnogoterosti in h : Z —> X surjektivna holomorfna sub-merzija. Prerezi submerzije h : Z —> X so preslikave a : X —> Z, ki izpolnjujejo pogoj h o a = idx- Pravimo, da za prereze submerzije h : Z —> X velja homotopski princip (h-princip), če lahko vsak zvezen prerez ao : X —> Z s homotopijo at '¦ X —> Z, t G [0,1] premaknemo v holomorfen prerez a\ : X —> Z. Če je P kompakten Hausorffov prostor in ap : X —> Z, p E P zvezna družina zveznih prerezov, zahtevamo obstoj take homotopije Optt ¦ X —> Z, (p, t) E P x [0,1], da je ap = aPto in je prerez aPt\ holomorfen za vsak p E P. Ce za P izbiramo kocke P = [0,1] , iz h-principa sledi, daje inkluzija 0(X, Z) ^^ C(X, Z) med holomorfnimi in zveznimi prerezi šibka homotopska ekvivalenca, kar pomeni, da inducira izomorfizme med vsemi homotopskimi grupami prostorov 0(X,Z) in C(X,Z). Za submerzije, da katere h-princip velja, je zagotovljena eksistenca (vsaj kakega) holo-morfnega prereza, takoj ko vemo, da obstaja zvezni prerez. Poleg tega lahko najdemo holomorfni prerez v predpisanem homotopskem razredu (npr. Grauertov izrek 1.11.4.). Med najbolj znanimi primeri uporabe h-principa so vložitveni izrek za Steinove prostore v afine prostore minimalne dimenzije ([Fr2], [EG2], [Selil]), pa izreki Forster - Ramspott o kompletnih presekih ([FR]).
Očitno h-princip velja za preslikave X —> Cra, tj. za prereze trivialnega svežnja X x Cn —> X. Ce je mnogoterost X Steinova, je vsak vektorski sveženj V nad X podsveženj trivialnega svežnja in zato velja h-princip tudi v tem primeru. Grauet je v [Gra] dokazal, da velja h-princip za prereze holomorfnih glavnih G-svežnjev nad Steinovo bazo X, kjer je G kompleksna Liejeva grupa in za prereze svežnjev z G-homogenimi vlakni (vlakno F je G-homogeno, če na njem Liejeva grupa G deluje holomorfno in tranzitivno). Ideja dokaza je, da lahko s pomočjo levo-invariantnih vektorskih polj na G problem prevedemo na glavne G-svežnje. V dokazu pomembno vlogo igra eksponentna preslikava.
Gromov je v [Gr] posplošil omenjeni dokaz na prostore s spravi. Opazil je, da lahko problem s pomočjo Cartanove leme lokaliziramo in da lahko eksponentno preslikavo nadomestimo s sprayem.
1.1    Uvod
7
Definicija 1.1.1. Spray na kompleksni mnogoterosti F je trivialen vektorski sveženj p : F x CN —> F skupaj s tako holomorfno preslikavo s : F x CN —> F; s(x, 0) = x, da je za vsak x E F vertikalni odvod V D six) := Kjs(x,t)\t-o : Cw —> TTF surjektiven.
Izrek 1.1.1. [Gr] Če je V —> X holomorfni sveženj nad Steinovo mnogoterostjo X z vlaknom F, ki ima spray, potem velja h-princip za prereze svežnja V.
Pogosto pa se zgodi, da imamo opraviti s submerzijami, ki niso svežnji, recimo če iz trivialnega svežnja X x Cn odstranimo analitično podmnožico. Tudi bazni prostor je pogosto kompleksen prostor s singularnostmi. Zato se v nadaljevanju ne bomo ukvarjali le s kompleksnimi mnogoterostmi, ampak s kompleksnimi prostori (definicije so v naslednjem poglavju). Grobo rečeno, lokalno kompleksen prostor zgleda kot analitična množica v nekem evklidskem prostoru; definicija je v resnici precej splošnejša. Gromov je v [Gr] v grobem razložil, kako naj bi se dokazal izrek 1.1.1., vendar je bil dokaz pomanjkljiv. Glavni izrek prvega poglavja je naslednji.
Izrek 1.1.2. (Singularni h-princip). Naj bo X Steinovprostor, Y C X analitična podmno-žica, Z kompleksen prostor, h : Z —> X surjektivna holomorfna submerzija, d polna metrika na Z, kompatibilna s topologijo na Z, K C X holomorfno konveksna kompaktna množica, U D K njena odprta okolica in e > 0 poljubno število. Naj ima vsaka točka x G X \ K tako odprto okolico Ux C X, da submerzija h : Z —> X dopušča spray nad Ux (definicija 1.2.2.).
Naj bo P kompakten Hausdorffov prostor (prostor parametrov), Po C P njegova zaprta podmnožica, P\ C P njena odprta okolica in ap : X —>   Z, p E P taka zvezna družina zveznih prerezov, ki so holomorfni na U, da je za vsak p G P\ prerez ap holomorfen na X in je za vsak p G P prerez ap\y holomorfen.   Potem obstaja zvezna družina prerezov aPtt '¦ X —> Z, p G P, t G [0,1] z lastnostmi:
(1)  za vsak p G P je prerez aPti holomorfen,
(2)  Optt = ap za vsak p E Po,
(3)  prerezi aPtt so holomorfni na fiksni okolici K in velja d(ap(x), aPtt(x)) < e za vsak t G [0,1] in x E K in
(4)  Op,t|y = clp\y za vsak t E [0,1].
Posledica 1.1.1. Naj bodo X, Z, h : Z —> X, K, U, e in P kot v izreku 1.1.2. Naj bo zaprta množiza Po C P krepki okoliški deformacijski retrakt v P in ap : X —> Z taka zvezna družina zveznih prerezov, ki so holomorfni na U, da je za vsak p E Po prerez ap holomorfen na X. Potem obstaja zvezna družina prerezov aPtt '¦ X —> Z, p E P, t E [0,1] z lastnostmi (l), (2) in (3) iz izreka 1.1.2.
1.1    Uvod
8
Dokaz posledice. Naj bo r : P2 x [0,1] —> P2 krepka deformacijska retrakcija odprte okolice P2 D Pq na P, r(-,0) = id\p2, r(P2,1) = Po- Naj bo P\ C P2 taka odprta okolica Po, da je P\ C P2. Obstaja taka gladka funkcija x '¦ P ~^ [0,1], da je suppx = P\. Definirajmo družino prerezov aPtt '¦ X —> Z, (p, t) G P x [0,1], s predpisom:
Q"P,t   '¦=   dp, P € (P \ SUPPX), t ^ [0,1], 0"p,t    '¦=    ar(p,x(p))> P ^ SUPPX, t E [0,1].
Takoj opazimo, da prvi predpis določa zvezno družino na (P \ suppx) x [0,1] C P x [0,1]. Ker sta retrakcija in funkcija x zvezni, je tudi drugi predpis zvezen na P2 x [0,1]. Na preseku definicijskih območij se oba predpisa ujemata, zato je družina aPtt zvezna. Ker je r krepka deformacijska retrakcija, je aPtt = ap za vsak p G Po, t G [0,1]. Pri t = 0 dobimo začetno družino, pri t = 1 pa družino, ki ustreza predpostavkam izreka 1.1.2., saj je po definiciji krepke deformacijske refrakcije r(Pi, f) C Po, kar pomeni, da so prerezi apl holo-morfni na X za vsak p G P\. Ce izberemo množico P\ dovolj majhno, bo homotopija aPtt zadoščala pogoju (3) iz posledice l.f .f. Po izreku f .f .2. obstaja homotopija med družino aP)i, p G P, in družino holomorfnih prerezov, ki miruje na Po in aproksimira prereze aPt\ nad K.                                                                                                                                      X
Opomba. Pri interpolaciji predpostavke, da so prerezi ap holomorfni na X za vse parametre p G P\ v splošnem ne moremo nadomestiti s predpostavko, da je Po krepki deformacijski okoliški retrakt, ker pri reparametriziranju - razen v posebnih primerih, kot recimo, če je ap\y = CLq\v za vsak par p, q G P2 - izgubimo interpolacijski pogoj.
Na kratko pojasnimo idejo dokaza glavnega izreka, če je prostor parametrov P samo točka. Skozi vsako točko a(x), x G X napeljemo ‘majhen’ holomorfen prerez ax : Ux —> Z, definiran na odprti okolici Ux C X točke x. Izmed teh prerezov izberemo tako manjšo števno družino prerezov {an : Un —> Z}ne-^0, da je UUn = X in poskusimo prereze iz te družine ‘zlepiti’ v globalen holomorfen prerez. Ker pa lahko lepimo le prereze nad Cartan-skimi pari (definicija 1.2.f.), ki so holomorfno homotopni, moramo začetne prereze izbrati tako, da bomo nad preseki definicijskih območij imeli ‘dovolj’ holomorfnih homotopij in zvezne homotopije med prerezi an in začetnim prerezom a. Za popis teh homotopij bomo vpeljali poseben prostor parametrov. Najprej bomo dokazali izrek za primer, ko sta X in Z mnogoterosti; dokaz za kompleksne prostore zahteva nekaj dodatnih tehničnih sredstev.
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
9
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
Definicija 1.2.1. Urejen par kompaktnih podmnožic (A,B) kompleksne mnogoterosti X je Cartanski par oziroma Cartanski niz dolžine 2, če velja:
(i) množice A, B in AU B imajo baze Steinovih okolic,
(ii) (A\ B) n (B \ A) = 0 in
(iii) množica C = A D B je Rungejeva v B (množica C je lahko prazna).
Opomba 1. Množica C je Rungejeva v B, če ima B tako bazo odprtih množic {Ui}, da je C Rungejeva v Ui za vsak i.
Opomba 2. Definicija ima smisel tudi za kompleksne prostore, vendar za dokaz h-principa na kompleksnih prostorih ni dobra, dobra je le za nekatere dele dokaza. Dejstvo, da ima A U B bazo Steinovih okolic v mnogoterosti X bomo uporabili zato, da bomo našli strogo psevdokonveksne okolice za to unijo in na njih reševali d- enačbe z ocenami v sup normi, kar na singularnih prostorih zaenkrat ni znano.
Navedli bomo nekaj osnovnih definicij iz teorije kompleksnih prostorov ([GR1],[GR2]). Naj bo -D C Cn odprta množica, Od snop zarodkov holomorfhih funkcij na D in J C On koherenten snop idealov (koherenten ideal). Naj bo O a = Od IJ in A = suppOA-Množica A je analitična podmnožica v D in prostor (A, O a) imenujemo zaprt kompleksen podprostor v (D, Od)- Ce je ideal nilpotentov M C J trivialen, imenujemo prostor (A, O a) reduciran. Naj bo J a C Od ideal zarodkov tistih holomorfhih funkcij na D, ki so enake 0 na A. Ce je O a = Od/Ja, bomo (reduciran) snop O a imenovali kanonični. Naj bo X topološki prostor in Ox snop lokalnih algeber nad C, torej takih, da ima za vsak x G X algebra Ox,x natanko en maksimalni ideal mx. Par (X, Ox) je kompleksen prostor, če ima vsaka točka x G X tako odprto okolico f/, da je (U, Ox\u) izomorfen kakemu zaprtemu kompleksnemu prostoru (A, O a ) nekega območja D C Cn za kak n G N. Ce za vsak x G X ideal nilpotentov Afx C Ox,x trivialen, je snop Ox reduciran. Naj bo Cx snop zarodkov zveznih funkcij na X. Snop Ox lahko na naraven način vložimo v Cx natanko takrat, ko je Ox reduciran. Kompleksni prostori, s katerimi se bomo ukvarjali, bodo vsi reducirani in bomo zanje pogosto uporabljali oznako X namesto (X, Ox)- Namesto izraza snop idealov bomo uporabljali izraz ideal.
Naj bo (X, Ox) kompleksen prostor in m C Ox maksimalni ideal. Za vsak x G X je T*(X, Ox) '¦= mx/mx končno razsežen vektorski prostor, ki se imenuje kotangentni prostor v točki x G X, njegov dualni prostor TX(X, Ox) '¦= (TL(X, Ox))* pa tangentni prostor Zariskega v točki x G X. Kotangentni prostor T*(X, Ox) je definiran kot
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
10
T*(X, Ox) = m/m2 in tangentni prostor Zariskega kot T(X,Ox) '¦= (T*(X,Ox))*-Tangentni prostor je kompleksni vektorski sveženj v okolici vsake regularne točke x E X. Naj bosta (X, Ox) in (Z, Oz) reducirana kompleksna prostora in / : (X, Ox) —> (Z, Oz) holomorfna preslikava. Označimo z m C Ox in n C Oz maksimalna ideala. Za vsak x G X preslikava / določa preslikavo fx : w/(x) ~^ tox, tako da zarodku a G ^/(m) priredi zarodek ao/ g mx. Ker je fx(n2f(x)) ^- mx> preslikava fx inducira kotangentno preslikavo
f* : Tf(x)(Z, Oz) = nf(x)/^f(x) ~^ TX(X, Ox) = mx/mx,
kije homomorfizem vektorskih prostorov. Njej dualno preslikavo Dxf = f*tX : TX(X, Ox) —> Tf(x)(Z,Oz) imenujemo tangentna preslikava ali odvod preslikave /.
Vložitvena dimenzija točke x G X, emdimx(X, Ox) (ali krajše emdimxX), je naj-manše tako naravno število n, za katerega obstajata odprta okolica U d X točke x in prava holomorfna vložitev U —> Bn, kjer Bn = Bn{l) pomeni kroglo v Cn z radijem 1. Izkaže se, da je emdimx(X,Ox) = dimc(mx/mx). V vsaki regularni točki je vložitvena dimenzija enaka dimenziji X v tej točki, v singularnih točkah pa je emdimxX > dimxX. Vložitvena dimenzija kompleksnega prostora (X,Ox), emdim(X,Ox) je definirana kot emdim(X,Ox) = sup{emdimx(X,Ox), x G X}. Kompleksni prostori so lahko neskončno dimenzionalni in tudi če so končno dimenzionalni, imajo lahko neomejeno vložitveno dimenzijo.
Holomorfna preslikava h : Z —> X je skoraj submerzija v točki z G Z, če je odvod Dzh : TZZ —> T/j(^)X surjektiven in skoraj submerzija, če je skoraj submerzija v vsaki točki. Če je h skoraj submerzija v z, je število k := dimkerDzh korang preslikave h v z, k = corgzh in velja emdimzZ = emdinih^X + corgzh.
Trditev 1.2.1. [Fi] Naj bo h : Z —> X skoraj submerzija v točki z G Z in k = dimkerDzh. Potem je k = emdimzh~l(h(z)).
Preslikava h : Z —> X je submerzija v okolici točke z E Z, če obstajajo odprta okolica U za h(z) v X, odprta okolica V točke z v Z in taka biholomorfna preslikava tp : U x Bk —> V (za nek k E N), da je h o ip = pru- Število k je korang preslikave h v z. Preslikava h je submerzija, če je submerzija povsod. V primeru, ko sta X in Z mnogoterosti, zaradi izreka o rangu pojma skoraj submerzija in submerzija sovpadata. Očitno je vsaka submerzija skoraj submerzija.
Posledica 1.2.1. Skoraj submerzija h : Z —> X je submerzija natanko takrat, ko je vložitvena dimenzija emdimzh~l(h(z)) lokalno konstantna (vlakna Zz := h~l(h(z)) so torej mnogoterosti, katerih dimenzija je lokalno konstantna). V tem primeru je kerDh vektorski sveženj nad Z.
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
11
Dokaz. Ker je vsaka submerzija skoraj submerzija, moramo dokazati le, da je skoraj submerzija z lokalno konstantnim korangom submerzija. Izberimo z G Z, naj bo m = emdimzZ, n = emdinih^X in k = corgzh. Velja m = n + k. Po definiciji vložitvene dimenzije obstajajo odprta okolica U d Z točke z, odprta okolica V C X točke h(z) in taki pravi holomorfni vložitvi iz '¦ U —> Bm in tx '¦ V —> Bn, da je i z {z) = 0 in ix(h(z)) = 0. Preslikava
h := bx ° h, o iz   : lz(U) —> Bn
je definirana na zaprti analitični podmnožici v Bm in ima razširitev H na Bm. Preslikava H je submerzija v 0 v običajnem smislu in je zato submerzija še na okolici 0. Po izreku o rangu je H (v ustreznih kartah) lokalno projekcija Bm —> Bn vzdolž L>&. Ker je imela skoraj submerzija konstanten korang k na okolici točke z, se vlakna H nad točkami iz Lxiy) ujemajo z vlakni h', torej je h v primernih lokalnih kartah tudi projekcija.         X
Trditev 1.2.2. Naj bo h : Z —> X submerzija med kompleksnima prostoroma in z E Z poljubna točka. Naj bo n = emdinih^X vložitvena dimenzija točke h(z) G X in k = corgh. Potem obstaja odprta okolica V točke Z in taki vložitvi iz : V —> Bn x L>& in Lh(z) '¦ h(V) —> Bn, da je th(z) ° h\v = Vrn ° lz
Dokaz. Po definiciji submerzije obstajajo odprta okolica V C Z za z, odprta okolica U C X točke h(z), U = h(V), odprta krogla B^ in taka biholomorfna preslikava p : U x Bk —> V, da je ho p = prjj- Ker ima točka h(z) vložitveno dimenzijo n, obstaja prava holomorfna vložitev i^^ : U —> Bn. Definirajmo iz := (ih(z), id) op-1 : V —> Bn x B^.     X
Izrek 1.2.1. ([GuR], Holomorfni razcep vektorskega svežnja). Naj bo X Steinov prostor, V, W holomorfna vektorska svežnja nad X in h : V —> W surjektiven holomorfen homomorfizem vektorskih svežnjev. Obstaja desni inverz d : W —> V za h, ki inducira izomorfizem D : ker h © W —> V.
Posledica 1.2.2. Vsak vektorski sveženj nad končno dimenzionalnim Steinovim prostorom X je podsveženj trivialnega svežnja X x CN za nek dovolj velik N G N.
Dokaz. Naj bo V n-dimenzionalen vektorski sveženj nad m-dimenzionalno Steinovo bazo X. Za generičen nabor globalnih vektorskih polj v\,... ,vn je množica A vseh tistih točk x G X, kjer polja Vi(x),... ,vn(x) ne napenjajo Vx, (m — l)-dimenzionalna analitična podmnožica v X. Z indukcijo navzdol pridemo do končnega števila vektorskih polj
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
12
V\,... ,vn, ki napenjajo V v vsaki točki x G X. Preslikava h : X x CN —> V, definirana s predpisom h(x,t) = ^ iVi(x)ti, je surjektiven holomorfen homomorfizem, zato ima po izreku 1.2.1. desni inverz, ki vloži V kot podsveženj v X x Cw.                                     X
Izrek 1.2.2. ([Siu], [Sen]). Naj bo Z kompleksen prostor in X C Z lokalno analitična podmnožica v Z. Ce je X Steinov prostor, obstaja Steinova odprta okolica U za X v Z.
Izrek 1.2.3. Naj bo X Steinov prostor, U d X Steinova odprta množica, Z poljuben kompleksen prostor in h : Z —> X surjektivna holomorfna submerzija. Naj bo f : U —> Z holomorfen prerez submerzije h in naj bo VT{U) := kerDh\f(jj)- Potem obstajajo odprta okolica ničelnega prereza V C VT(U), odprta okolica W C Z množice f(U) in taka biholomorfna preslikava ip : V —> W, daje za vsak x G U preslikava >px : VC\VTf^{U) —> h~l(x) Pi W biholomorfizem.
Preslikavo <p : V —> W imenujemo lokalni spray nad U in sveženj VT(U) vertikalni sveženj submerzije h : Z —> X, zožen na U.
Dokaz. Naj bo Uq C Z Steinova okolica množice f(U) v Z, v\,... ,vn vektorska polja na Uo, ki generirajo VT\u0, 9tl njihovi tokovi, s(x,t) := 9fl o ... 9tN (f(x)), x G U in d : VT\f(u) —> U x CN desni inverz za qis{x, t). Preslikava <p := s o d je iskana preslikava.
Definicija 1.2.2. Naj bosta Z in X kompleksna prostora, h : Z —> X surjektivna submerzija in U C X odprta množica. Submerzija /i dopušča spray nad U, če za nek m G N obstaja taka preslikava s : h~l(U) x Cm —> /i_1([7), daje
s(z, 0) = z za vsak z G /i_1([7),
s(z,Cm) C h~l(h(z)) za vsak z G h~l(U) in
vertikalni odvod s, VD(s)(z) := ^rs(z,t)L-o : Cm —> kerDzh je surjektiven.
Spray nad U, pridružen submerziji h : Z —> X, je trojica (E,p,s), kjer je E = h~l(U) x Cm trivialen vektorski sveženj nad /i_1([7), p : L" —> h~l(U) standardna projekcija in s zgornja preslikava. Submerzija h : Z —> X med kompleksnima prostoroma lokalno dopušča spray, če ima vsaka točka x G X tako odprto okolico U C X, da submerzija h dopušča spray nad U.
Opomba 1. Tak spray imenujemo tudi vertikalni spray ali spray po vlaknih.
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
13
Posledica 1.2.3. če je submerzija h : Z —> X sveženj z vlaknom F, ki ima spray, submerzija h : Z —> X lokalno dopušča spray.
Opomba 2. Za definicijo spraya v resnici zadoˇsˇca, da je preslikava h : Z —> X skoraj submerzija. Zakaj je definicija napisana za submerzije, pojasni naslednja
Trditev 1.2.3. Naj bo preslikava h : Z —> X skoraj submerzija, ki lokalno dopušča spray. Potem je h : Z —> X submerzija.
Dokaz. Ker je izrek lokalen, smemo privzeti, da sta prostora X in Z povezana. Izberimo poljubno toˇcko x G X in naj bo U C X taka povezana odprta okolica za x, da ima preslikava h spray nad U. Naj bo preslikava s : h~l(U) x Cm —> h~l(U) spray nad f/. Za vsak z E Z naj bo ^ := h~l(h(z)) vlakno skozi toˇcko z.
Iz teorije kompleksnih prostorov (glej [Fi]) je znano, da je preslikava z —> corgzh navzdol polzvezna in daje emdimzZz = corgzh. Seveda je tudi preslikava (z, t) —> corg(z>t)S navzdol polzvezna. Velja enaˇcba:
corg(Ztt)S + emdims(Z}t)Zs(z,t) = m
za vsak (z,t) G h~l(U) x Cm. Vstavimo t = 0 in upoˇstevajmo, da je s(z,0) = z in emdimzZz = corgzh. Takoj dobimo
corg(z>o)S + corgzh = m,
kar zaradi polzveznosti pomeni, da sta funkciji z —> corgzh in z —> corg^Zto) konstantni. Preslikava /i : Z —> X ima torej lokalno konstanten korang, kar pomeni, da je submerzija.
Definicija 1.2.3. ([Gr], 1.3) Naj bosta (E\,pi, s\) in (L-2,^2, L2) spraya na Z, pridružena submerziji h : Z —> X. Sestavljeni spray (E* ,p*, s*) je definiran z naslednjim predpisom
E* := {(ei,e2), Si(ei) = P2(e2)}> P*(ei,e2) :=pi(ei) in s*(ei, 62) := ^2(62).
Xaj 60 (E,p, s) spray pridružen submerziji h : Z —> X. Za vsako naravno število k G N je fc-ti sestavljeni spray (E^k',p^k\ s^k') iz (E,p,s) definiran s predpisom
E  ' := {(ei,..., efc), ej G L", 1 < j < fc, s(e.,-) = p(e.,+i)}, P    (ei, • • •,efc) := p(ei) in s    (ei,..., efc) := s(efc).
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
14
Sestavljeni spray ni spray nad Z, saj p^k' : E^k> —> Z v splošnem nima strukture holomorfnega vektorskega svežnja nad Z, je pa vektorski sveženj nad (E^k~l>,pyk~l>, s^k~1') s projekcijo (ei,..., e^) —> (ei,..., e^-i). Naslednja lema pove, da zožitve sestavljenih sprayev na Steinove podmnožice v Z dopuščajo strukturo vektorskega svežnja.
Lema 1.2.1. ([Gr], [Pr]) Naj bo V Steinov prostor, p\ : E\ —> V vektorski sveženj nad V in P2 ¦ E2 —> E\ vektorski sveženj nad E\. Potem je p\ op2 : E2 —> V vektorski sveženj nad V, ki je izomorfen direktni vsoti E\ © E2\y, kjer je E2\y zožitev svežnja na ničelni prerez v E\.
Posledica 1.2.4. ([Gr], 1.3A’) Zožitev kakršnegakoli sestavljenega svežnja na Steinovo odprto množico V d Z dopušča strukturo vektorskega svežnja nad V.
Lema 1.2.2. ([Gr],1.2) Naj bo X Steinova mnogoterost, Y C X analitična podmnožica, h : Z —> X holomorfna submerzija s sprayem (E,p,s). Za vsak holomorfni prerez f : X —> Z obstaja tak vektorski podsveženj E' C E\f(x), da preslikava s preslika odprto okolico ničelnega prereza v E' biholomorfno na odprto okolico f(X) v Z.
Ce je ft '¦ X —> Z, t E [0,1], holomorfna homotopija, ki miruje na Y in V C X poljubna relativno kompaktna množica, lahko za vsak t E [0,1] najdemo tako odprto okolico It C [0,1] in holomorfno homotopijo L*, w E It prerezov svežnja L-'|/t(y), da je Q ničelni prerez, L«|ynv = 0 in je s(^*) = fu za vsak u E It-
Naj bo [to := 0,Li,... ,L& = 1] delitev intervala [0,1], podrejena pokritju {It}te[o,i] in privzemimo, da je V Steinova. Prereze ^,u E [ti,ti+\], i = 0,..., k — 1, lahko po vrsti dvignemo do take zvezne družine L* prerezov sestavljenega svežnja (I?1- >,p^ >,s^ )\f0(x), da je C\{Ynv) = 0 in L° = 0.
Dokaz. Ker je E\f^ sveženj nad Steinovo bazo, ima jedro preslikave VD(s), ki je vektorski sveženj nad Z, holomorfen komplement E' v E\f^x)- Ker je odvod preslikave s : E' —> Z izomorfizem v točkah iz ničelnega prereza, preslika odprto okolico ničelnega prereza v E' biholomorfno na odprto okolico f(X) v Z. Druga in tretja trditev sta takojšnja posledica.                                                                                                                 X
Naj bo P topološki prostor in Po C P njegov podprostor. Prostor Po je krepki okoliˇski deformacijski retrakt v P, če obstaja odprta okolica U za Po v P in krepka deformacijska retrakcija r : U x [0,1] —> U, tj. zvezna družina takih preslikav r(-,t) : U —> U, da je r(-, t)|p0 = id\p0, r(-, 0) = id\u in r(-, 1) : U —> Po retrakcija.
Radi bi tudi znali na kanoničen način (z operatorji) razširjati funkcije z analitičnih podmnožic v Steinovih mnogoterostih na odprte okolice.    To bomo potrebovali v več
1.2    Osnovne definicije, oznake in tehnikalije
15
primerih: pri konstrukciji začetnih prerezov za interpolacijo na Y, za dokaz Rungejevega izreka na Steinovih prostorih itd. Prvi tak znan rezultat je naslednji
Izrek 1.2.4. ([HL1], 4.11) Naj bo X Steinova mnogoterost, D d X strogo psevdokonvek-sna odprta množica, U D D poljubna odprta množica in Y C U zaprta podmnogoterost. Obstaja omejen razširitveni integralski operator
Qn : H°°(D n7)^ H°°(D),
torej operator, ki zadošča Qd(I)\y = /•
Radi bi tudi omejen razširitveni operator za analitične podmnožice. Ce je Y analitična množica in ne mnogoterost, v splošnem ne obstaja omejen razširitveni operator Rjj : H°°(D Pi Y) —> H°°(D) za kako relativno kompaktno strogo psevdokonveksno območje D C X kot v izreku 1.2.4., lahko pa dobimo opetaror Rd,d' '¦ H°°(D n7)^ H°°(D') za vsak D' C C D.
Trditev 1.2.4. (Omejen razširitveni operator). Naj bo X kompleksna mnogoterost, X0 C X zaprta podmnogoterost in D d X relativno kompaktna psevdokonveksna množica. Za vsako relativno kompaktno množico D\ C C D obstaja omejen linearni razširitveni operator Rd,D! '¦ H°°(Dr)X) —> H°°(Di).
Opomba. Ce je D C C X strogo psevdokonveksna, Xo nima singularnosti na bD in seka bD transverzalno, po [Hen], [HL1] obstaja omejen razširitveni operator Rjj : H°°(D D X) —> H°°(D).
Dokaz. Idejo dokaza dolgujem B. Berndtssonu. Ker je D psevdokonveksna v X, je zožitveni operator S : O (D) —> O(X0 D D) surjektiven ([GuR], str. 245, izrek 18). Ker sta oba prostora Frechetova, lahko uporabimo izrek o odprti preslikavi. Naj bo D' C X tako območje, da je D\ C C D' C C D. Po izreku o odprti preslikavi množica V = S({f G O (D), ||/'||l°°(L)') < 1}) vsebuje odprto okolico izhodišča v O(X0 D D), recimo Wu = {/ G O(X0nD), \\f\\L°°(u) < ^jzanek^ > 0 in odprto množico U C X0C\D. To pomeni, da ima vsak / G W razširitev /' G O (D) z ((/'^^(D') < 1- Zato obstaja taka konstanta M < oo, daje vsak h G 0(XqC\D) mogoče razširiti do take funkcije h1 G O (D), ki zadošča oceni
||t/||                   ^   A/fllAII
\\li \\L00(D/)  — -tVl \\li \\ L°°(U) •
Res, če izberemo poljuben / G O(X0 D D), funkcija g = ^//||/||L°°(t/) leži v W in ima zato razširitev g', ki leži v V. Za funkcijo /' = g'\\f\\L°°{u)/^ velja
\\ J  UL^iD') ^  \\Q \\ L°° (D')\\ J \\ L°°(U) / u ^  \\ J   lL°°ft/)/^-
1.3    H-Rungejev izrek
16
Konstanta M je kar 1/8.
Privzeti smemo, da je U D X0 D D', saj je Wu1 G Wu za vsak U\ D U. Ker je zožitev h'\r>> omejena, leži v Bergmanovem prostoru H = L2(D') n O (D'), kjer L2-normo merimo glede na neko gladko hermitsko metriko na X. Prostor H je Hilbertov in vsebuje zaprt podprostor H0 = {/ E H, f\x0 = 0}. Naj bo Hi ortogonalni komplement H0 v H in 7T : H —> i^i pripadajoča projekcija. Funkcija h := 7r(/i') je tista razširitev h, ki ima med vsemi razširitvami h na -D" najmanjšo L2 normo na D'. Očitno je s tem funkcija h enolično določena, in predpis RD,D'(h) = h določa omejen linearen operator Rd,d' '¦ H°°(D nJo) -^ L2(D'). Ce zožimo h na Di, dobimo omejen razširitveni operator Rd,D! '¦ H°°(Dr)Xo) —> H°°(Di).                                                                                     JI*
1.3    H-Rungejev izrek
V tem razdelku se bomo ukvarjali s homotopsko verzijo Rungejevega izreka. Za funkcije je to naslednji izrek:
Izrek 1.3.1. (Homotopski Rungejev izrek za funkcije). Naj bo X Steinova mnogoterost, K d X holomorfno konveksna kompaktna množica, U D K odprta okolica za K, V odprta holomorfno konveksna, relativno kompaktna množica, ki vsebuje U, P kompakten Hausdorffov prostor, e > 0 in fp : U —> C, p E P zvezna družina holomorfnih funkcij. Obstaja taka zvezna družina holomorfnih funkcij fL'-V^ C, da je \\fp(x) — fL(x)\\ < e za vsak x E K.
Družini fp in /' lahko nad množico U povežemo s tako holomorfno homotopijo gPtt : U —> C, p E P, t E [0,1], da je
(1)  gpfl = fP, gP,i = fp in je
(2)  ||<jfp,t(:r) — /p(^)|| < s za vsak x E K, (p, t) E P x [0,1].
Dokaz. Privzeti smemo, da je V strogo psevdokonveksna, saj je X Steinova (če ni, jo nadomestimo z večjo strogo psevdokonveksno množico V G X m dokažemo izrek za V). Naj bo r : X —> R+ taka gladka strogo plurisubharmonična funkcija izčrpanja za V, da je K G r_1((—oo, 0]) C U, \ : V —> [0,1] gladka funkcija na V, ki je na okolici K enaka 1 in ima kompakten nosilec v U. Definirajmo družino (0, l)-form s predpisom
ap := d(xfP) = fPdx-
Ker so funkcije fp holomorfne na U, je suppap C supp<9% C r~l(\ti,t2\) za primerna ti, ^2 > 0. Naj bo M > 0 tako veliko realno število, da je
e
\\a p\\L2(V,e-Mr) <  7T Z
1.3    H-Rungejev izrek
17
za p G P.
Označimo s hp zvezno družino rešitev enačbe dhp = ap, ki je ortogonalna na 0(V) v prostoru L2(V, e~Mr). L2 ocene za rešitve 5-enačbe povedo (glej npr. [HL1]), daje
kjer je konstanta D\ odvisna le od območja in ne od uteži.
Privzemimo za trenutek, da je V odprta v Cn.  Naj bo 8 > 0 tako število, da unija
množic
Uk '¦= I J Bn{x, 8) xeK
ne seka supp5%. Po lemi 3.2 iz [FL], str.144 za vsako gladko funkcijo h velja ocena:
\ii[ •% )\ _i ^2   0          \\h\\ L2 (B (x 6)) ~r ^K^'^   L°°(B (x 6)) J •
Funkcije hp so za vsak x G K holomorfne na Bn(x,8), zato zadnji člen v oceni odpade. Očitno je
ll"'pl|L2(i?n(a;,(5))  5:  || hp \\L2{Uk)  —  II hp\\L2{UK,e^Mr) —  II hp \\L2(V,e-Mr) >
zato je
II hp || K < D28~n~   ||/ip||L2(y,e-Mr)-
Podobne ocene naredimo na mnogoterostih. Ugotovili smo, da je
L
\\hp\\K  <  D\\hp\\L2lye-Mr\   <  D-,
2 kjer je konstanta D odvisna le od \^V in kart na V.   Definirajmo /' := \fp — hp in 9p,t '¦= (1 ~~ t)fp + tf'   p G P, t G [0,1]. Očitno je \\f — Jp\\k = II^pIIk < L-                    4^
Včasih je začetna dužina funkcij fp,p G P taka, da so funkcije fp za kako množico parametrov Po že definirane in holomorfne na V. V tem primeru hočemo, da bodo za parametre p G Po funkcije /' enake začetnim in bo homotopija gPtt za p G Po mirovala.
Posledica 1.3.1. (Predpostavke kot v izreku 1.3.1.) Naj bo Pq C P zaprta množica, P\ C P njena odprta okolica in V strogo psevdokonveksna množica. Ce je za vsak p G P\ funkcijo fp mogoče razširiti na V, lahko homotopijo gPtt : U —> C izberemo tako, da ima lastnosti (1) in (2) iz izreka 1.3.1. in zadošča gPtt = fp za vsak p G Po, t G [0,1].
Dokaz. Dokaz je enak dokazu izreka 1.3.1., le da si moramo zagotoviti to, da bodo za parametre p G Po forme ap ničelne (potem bodo tudi rešitve ustreznih enačb ničelne).
1.3    H-Rungejev izrek
18
Naj bosta funkciji r : V —> R+ in \ : V —> [0,1] kot v dokazu izreka 1.3.1. in naj bo ip : P —> [0,1] taka gladka funkcija, da je supp-0 C P\ in ip enaka 1 na odprti okolici Po. Definirajmo družino (0, l)-form s predpisom:
ap := <9((1 — V'(p))x/p))    p E P
Izberimo konstanto M kot v dokazu zgornjega izreka 1.3.1. in naj bodo hp rešitve enačbe dhp = cip, ki so ortogonalne na O (V) v prostoru L2 (V, e~Mr). Ker je 1 — ip(p) = 0 za vsak p E Pq, je ap = 0 in tudi hp = 0. Po enakem sklepu kot v prejšnjem izreku družina holomorfnih funkcij /' := (1 — ip(p))xfp ~ hp aproksimira fp na K, p G P. Ker je hp = 0 za p G Po, je f' = fpz&pE Po in gp>t := (1 — t)fp + t/' : U -^ C,p G P, t G [0,1], je iskana homotopija.                                                                                                                  X
Opomba. Očitno oba izreka veljata tudi za preslikave v Cn.
Posledica 1.3.2. (H-Rungejev izrek s fiksnimi parametri in interpolacijo za funkcije). Naj bodo X, K, U, V, Po, P\, P, e > 0 kot v izreku 1.3.1. in fPtt : U —> C, p G P, t G [0,1], to&a družina holomorfnih funkcij, da so funkcije fPtt, p G Pi,t G [0,1] in fPto, p E P definirane in holomorfne na V. Potem obstaja taka homotopija gPtt,s '¦ U —> C,p G P, t, s G [0,1], da je
(1)  9p,t,o = fp,t, P ^ P, t G [0,1],
(2)  <7p,t,s = fPtt, P E Po, t, s E [0,1] in 5fp,o,s = fp,o, P ^ P,
(3)  funkcije gPtt,i so holomorfne na V in
(4)   \\gP,t,s(x) — fp,t(x)\\ < s za vsak x E K.
Naj bo Y C X analitična podmnožica in naj bo družina fPtt taka, da je za vsak fiksen p E P fPtt\Ynu = /p,o|ync/) t E [0,1]. Potem lahko homotopijo gPtt,s ¦ V ^ C izberemo tako, da bo za vsak fiksen p E P veljalo
(5)  gp,t,s\Ynv = fP,o\rnv, s, t E [0,1].
Opomba. Tudi ta posledica velja za holomorfne preslikave v Cn. Ker je vsak vektorski sveženj nad Steinovo bazo podsveženj trivialnega svežnja nad isto bazo, velja posledica tudi za prereze vektorskih svežnjev nad Steinovo bazo.
1.3    H-Rungejev izrek
19
Dokaz. Za dokaz posledice brez interpolacije bomo problem prevedli na prejšnjo posledico. Najprej reparametrizirajmo družino glede na spremenljivko t. Izberimo 8 > 0 in za vsak fiksen p G P definirajmo novo družino
Ipt   :=   /p,0) t G [0, 8],
fp,t    '¦=    fP,(t-6)/(l-6), t G [8,1]
Ko gre 8 —> 0, gre f't —> fPtt enakomerno po kompaktih, zato L na if aproksimira fPtt tako dobro, kor želimo. Definirajmo P' := P x [0,1], P{ := Pi x [0,1] U P x [0, 8) in Pq := Po x [0,1] U P x 0. Naša družina zdaj izpolnjuje predpostavke posledice 1.3.1. za Po, P[ in P' namesto Po, P\ in P.
Za drugi del izreka postopamo podobno. Najprej definiramo družino f't. p G P, t G [0,1] in množice Pq, P[ in P' kot zgoraj. Definirajmo novo družino
fpt := fpt ~ fpo>    p G P, t G [0,1].
Naj bodo 71, • • • 7m : X —> C holomorfne funkcije, ki na okolici V generirajo ideal J(Y) zarodkov holomorfnih funkcij, ki so na Y enake 0. Označimo z O™ kartezični produkt m primerkov snopa Ou in definirajmo preslikavo ^ : O™ —> J(Y)\u za vsak x G U s predpisom: ^x{a\>X)... , am>x) = Y]™ di,x1i,x- Oznaka %tX pomeni zarodek funkcije Qi v točki x. Naj bo koherenten snop /C jedro preslikave ^>. Kratko eksaktno zaporedje
0 —> /C —> O™ —> J(y)|{/ —> 0
inducira dolgo eksaktno zaporedje
o^ v(u, /c) —> r(f/, c)m —> r(f/, j7"(y)) ^ h (u,tc) —>¦ ...
Ker je f/ Steinova mnogoterost in snop /C koherenten, je Hl(U, /C) = 0, kar pomeni, da je prostor T(U,Ou)m = 0(U)m izomorfen direktni vsoti prostorov T(U,1C) in T(U,J(Y)). Naj bo t : T(U, J(Y)) —> 0(U)m vložitev, ki jo ta izomorfizem inducira in naj bodo ipPtt := L(fpt) dvigi te družine v prostor 0(U)m, torej m-terice holomorfnih funkcij. Aproksimacijo bomo izvedli na teh funkcijah in jo bomo s preslikavo ^ prenesli na začeten prostor.
Naj bo ip : P' —> [0,1] taka gladka funkcija, ki ima nosilec v P[ in je enaka 1 na okolici Po in x '¦ U —> [0,1] gladka funkcija s kompaktnim nosilcem, ki je na okolici K enaka 1. Naj bo ip' t : V —> Cm, p G P, t G [0,1] zvezna družina rešitev enačbe dip't = aPtt iz izreka 1.3.1. za zvezno družino (0, l)-form, definirano s predpisom
apt '¦= d((l — ip(p, t))x<Pp,t)i    P ^ P} t G [0,1].
1.3    H-Rungejev izrek
20
Naj bo
K) t := (1 ~~ V'(P) t))xfP,t ~ f'pti    p E P, t E [0,1] in naj oznaka h'ti pomeni z-to komponento preslikave h't. Definirajmo
m
h p,t ¦= y(h'p>t ) = ^ litiji
i=\
Po konstrukciji družina holomorfnih funkcij hPtt, p G P, t G [0,1], aproksimira družino fpt na K in je hPtt\Ynv = 0, saj so funkcije Qi enake 0 na Y. Družina holomorfnih funkcij gp>t>1 := fp>0 + hp>t : V -> C aproksimira začetno družino in gp,t,i\Ynv = fP,tWnv-Homotopija
9P,t,s ¦= fp,t\u + s(gp,t,i\u - fP,t\u),    P ^ P, s, t G [0,1]
ima vse želene lastnosti.                                                                                                         X
Posledica 1.3.3. Izrek 1.3.1. in posledici 1.3.1., 1.3.2. veljajo tudi za X, ki je Steinov prostor.
Opomba. Ni znano, kako se na singularnih prostorih rešuje 5-enačbe, razen za posebne primere dvo- in tridimenzionalnih Steinovih prostorov z eno samo singularno točko, pa še za ta primer so znane le ocene v L2 normi ([FG]).
Dokaz. Naj bo W C X odprta, holomorfno konveksna, relativno kompaktna množica, ki vsebuje V. Ker je vložitvena dimenzija na vsaki relativno kompaktni množici Steinovega prostora X končna, lahko W prav vložimo v evklidski prostor CN za dovolj velik N. Označimo to vložitev z i. Naj bosta D, D\ C CN taki odprti množici, da je K C DiC\t(U), D\ C C D in D psevdokonveksna, relativno kompaktna odprta množica in je l(U) zaprta analitična podmnožica v neki odprti okolici D (to pomeni, da l(U) sega še čez rob D). Z omejenim razširitvenim operatorjem Rd,d-l (izrek 1.2.4.) lahko zvezno družino fp z odprte okolice D D t{U) razširimo do zvezne družine holomorfnih funkcij /' na strogo psevdokon-veksni odprti okolici W C CN, W n i(U) C t(U'). Zdaj pa so izpolnjene predpostavke izreka 1.3.1. in posledic 1.3.1., 1.3.2., ki nam dajo homotopije g't in zožitve teh homotopij ustrezajo vsem pogojem.                                                                                                        X
Izrek za splošen primer, ko se ne ukvarjamo le s funkcijami, ampak s prerezi holomorfnih submerzij, bomo s pomočjo sprayev prevedli ravno na primer funkcij.
1.3    H-Rungejev izrek
21
Izrek 1.3.2. (H-Rungejev izrek, [FP1]). Naj bo X Steinov prostor, Y C X analitična podmnožica, Z kompleksen prostor, opremljen s polno metriko d, kompatibilno s topologijo na Z in h : Z —> X holomorfna submerzija. Naj bo K d X kompaktna holomorfno konveksna množica, U, V, W C X take odprte holomorfno konveksne množice, daje K C C V C V C W in je W taka relativno kompaktna strogo psevdokonveksna množica, da submerzija h dopušča spray (E,ir, s) nad W.
Naj bo P kompakten Hausdorffov prostor, Po C P zaprta množica, P\ C P njena odprta okolica in e > O dano število.
Naj bo fPtt : U —> Z, t G [O, l],p G P, taka zvezna družina prerezov submerzije h, da velja:
(i) za vsak fiksen p E P je fpjlmu = /p,o|ync/ za vsak t G [0,1],
(U) prereze /P)o, p E P in fPtt, t E [O, l],p G P\ lahko razširimo do holomorfnih prerezov na W.
Potem obstaja odprta okolica U' C U množice K in zvezna družina prerezov gPtt,s '¦ U —> Z, p E P, t, s E [0,1] submerzije h z naslednjimi lastnostmi:
(1)  9p,t,o = fp,t in prereze gPtt,i lahko razširimo do prerezov na V za vsak p E P,t E [0,1],
(2)  d(gPtttS(x), fPtt(x)) < e za vsak x E K, p E P, t, s E [0,1],
(3)  gP,o,s = fp,o za vsak p E P, s E [0,1] in fPtt = f't za vsak p E P\, t, s E [0,1],
(4)   9p,t,s\YnU' = Jp,t\YnU'-
Preden se lahko lotimo dokaza izreka, potrebujemo še naslednjo trditev.
Trditev 1.3.1. Naj bo X Steinov prostor, Z kompleksen prostor, h : Z —> X holomorfna surjektivna submerzija, (E,ir) vektorski sveženj nad Z in U d X relativno kompaktna holomorfno konveksna množica. Naj bo P kompakten Hausdorffov prostor in gp : X —> Z, p E P zvezna družina holomorfnih prerezov. Označimo z Ep zožitev svežnja E na gp(X). Obstajajo N E N, zvezna družina holomorfnih homomorfizmov vektorskih svežnjev Hp : U x CN —> Ep\u in zvezna družina desnih inverzov
ip : Ep\u —> U x C   , p E P,
torej zvezna družina takih preslikav, daje za vsak p E P preslikava ip : Ep\jj —> ip(Ep\u) izomorfizem vektorskih svežnjev in je ip(Ep\u) vektorski podsveženj v U x CN, določen s projekcijo np = ip o Hp : U x CN —>¦ ip(Ep\u). Tudi družina projekcij je zvezna v p.
1.3    H-Rungejev izrek
22
Dokaz. Naj bo V odprta, relativno kompaktna Steinova okolica U. Za vsak p E P obstaja Steinova okolica Vp množice gp(X) v kompleksnem prostoru Z po izreku [Siu]. Ker je E\y vektorski prostor nad Steinovo bazo, obstaja končno vektorskih polj vPt\,... ,vPtn , ki ta sveženj generirajo. Ker je družina gp zvezna v parametru p, obstaja taka odprta okolica Qp C P točke p, da je gq(V) C Vp za vsak q E Qp. Naj bo {Qi := QPi,i = 1,... ,m} končno podpokritje pokritja {Qp,p G P} za P in {Q'i7i = 1,... ,m} tako finejše zaprto pokritje za P, da je Q\ C Q%. Naj bodo Xi '¦ Q% ~^ [0,1] zvezne funkcije s kompaktnim nosilcem, ki so na Q\ enake 1. Ce dodamo ničelna polja, smemo privzeti, da je nPi = l za vsak i = 1,..., m. Pišimo Vi = VPi in definirajmo vektorska polja
vi j := Xi(p)vPi,j\gP(u),    j = l,... ,1, i = l,... ,m.
Za vsak fiksen p je družina vektorskih polj t>f •, j = 1,...,/, z = f,... ,m dobro definirana, saj je Xi(p)vPi,j = 0 za vsak p G' Qi. Poleg tega po konstrukciji za vsak p ta polja
~                 77*1           '           77"!                           T                          AT                       1    •                      ¦'J               ""                                              P
generirajo sveženj hi\Vi m hi\g (u)- Naj bo iv = mL m prestevilcimo polja: f^_1v, • := ff-, j = l,...,l,i l,...,m. Definirajmo zvezno družino preslikav Hp : U x CN —>¦ Ep\gp{u), p L P s predpisom
N
Hp{x, a\,..., a«) := >   a^(gp(x)).
i
Preslikave Hp so surjektivni homomorfizmi vektorskih svežnjev, zato po [GuR] obstaja zvezna družina desnih inverzov ip : Ep\u —>¦ U x CN.                                                    X
Dokaz izreka 1.3.2. Naj bo (E,ir,s) spray nad W in Ep := E\f 0^) zvezna družina vektorskih svežnjev nad W,p G P. Ker je preslikava s : Ep -^ Z submerzija, preslika odprto okolico ničelnega prereza v Ep na odprto okolico prereza fPto v Z. Naj bo Eo := kerVDs jedro vertikalnega odvoda preslikave s. Ker ima s konstanten korang, je Eo vektorski sveženj nad h~1(W), ki ga na naraven način vložimo v E. Ker je W Steinova, ima sveženj Eo\f 0 holomorfen komplement v Ep. Celo več, obstaja taka zvezna družina vektorskih podsvežnjev E' C Ep,p G P, da je
Ep = E0\fpfi 0 E'p
(glej npr. [GuR] ali lemo 4.4 v [FP1]). Ker je za vsak p G P vertikalni odvod VDs : E' —> VT(Z)\f 0(w) izomorfizem vektorskih svežnjev, preslika s okolico Up ničelnega prereza E' biholomorfno na okolico Vp C Z prereza fP,o(W). Naj bo preslikava up : Vp —> Up inverz za s : Up -^ Vp. Ker sta K in P kompaktni množici, obstaja tak #0 > 0, da je fPtt(K) C Vp za vsak p E P, t E [0,#o]- Definirajmo prereze LP)t := up(fpj)- Definicijsko
1.3    H-Rungejev izrek
23
območje prerezov LPtt je neka manjša odprta okolica U\ C U množice K. Ker so bile preslikave up biholomorfizmi, bo LPtt = 0 za p E Pi,t G [0,8q] in Šp,t\fpt(YnK) = 0 za p G P, t G [0, #o]-
Najprej opazimo, da za vsak dovolj majhen e > 0 in t G [0,1] in vsako zvezno družino holomorfnih prerezov gp : W —> Z, ki zadošča d(fPtt(x),gp(x)) < e za x E K obstajajo take odprte okolice V^ D ^(W) (definirane analogno kot zgoraj za družino prerezov gp namesto fPto) in tak 8t > 0, neodvisen od družine gp, da je fp>s(K) C Vp, za vsak p E P, s E [t — 8t, t-\-8t\. Za ta sklep potrebujemo le kompaktnost množic K in P in dejstvo, da je spray (E,p, s) definiran nad W. Izberimo e > 0 in naj bodo 8t,t E [0,1] kot zgoraj. Družina odprtih množic I := {(t — 8t,t + 8t),t E [8o, 1]} je odprto pokritje za interval [8o, 1], zato obstaja delitev [ti := 8o,t2, ...,L&:= 1] tega intervala, podrejena pokritju I. To pomeni, da lahko za vsako zvezno družino prerezov g1 : W —> Z, l = 1,... , k — 1, ki na K aproksimira družino fPttt e-natančno, prereze fPtt, p E P, t E [ti,ti+\] dvignemo do zvezne družine prerezov svežnjev E1 := E\gi (wy Po fc-korakih bomo pokrili vso homotopijo in dobili prereze Lp>t sestavljenih svežnjev (Ek,nk, sk)\f 0.
Za nadaljevanje zadostuje pojasniti, kako aproksimiramo že dvignjene homotopije $,P,t, P E P,t E [0,Li] in dvignemo homotopije za t G [ti,^2]- Naj bo W\ C W taka odprta holomorfno konveksna množica, da je V C W\ C W\ C W. Svežnje Ep razumemo kot svežnje nad W in jih lahko, zožene nad W\, po trditvi 1.3.1. predstavimo kot zvezno družino vektorskih podsvežnjev nekega trivialnega svežnja W\ x CN za nek dovolj velik IVeN. Naj bo 7TP : W\ x CN —>¦ Ep pripadajoča zvezna družina holomorfnih projekcij. Družino prerezov LPtt, p E P,t E [0,ti] lahko identificiramo z ustrezno družino preslikav U\ —> CN. Izberimo poljubno zaprto množico P2 C P\, ki vsebuje Po v svoji notranjosti in e' > 0. Po posledici 1.3.2. za množice Po := P2, P\, P in družino LPtt, t E [0, ti] obstaja zvezna družina preslikav ryPtt,s '¦ U\ —> CN, p G P, t G [0, ti], s G [0,1], z naslednjimi lastnostmi:
(1)' 1p,t,o = Šp,t in prereze 7P,t,i lahko razširimo do prerezov na W\ za vsak p E P, t E [0, ti], (2)' <i(7P)t)S(x),$,p,t(x)) < e1 za vsak x E K, p E P, t E [0,ti],s G [0,1], (3)' 7p,o,s = Cp,o za vsak p G P, s G [0,1] in Lp>t = f t za vsak p E P\, t E [0, ti], s E [0,1], (4)' 7p,Ml/p,0(Ynt/i) = Cp,t|/P,o(Ync/i) za t G [0,ti], s G [0,1].
Družina
9p,t,s '¦= S O 7Tp(7P)t)S),     p E P, t E [0,ti], s G [0,1]
ima lastnosti (1) — (4) iz izreka 1.3.2., če smo le izbrali dovolj majhen e' > 0. Ker je družina gi  := gPttlt\ '¦ W\ —>   Z nad X e-blizu družini fPtt1-l lahko nad neko manjšo
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
24
odprto okolico C/2 C U\ množice K dvignemo prereze fPtt, p E P, t G [ti,^2] do prerezov LPtt, P G P,t G [L1,^2] vektorskih svežnjev Ep := E^i^), ki so ničelni za p G P2,t G [0,1] in zadoščajo LPtt\f t(YnK) = 0 za p E P, t E [ti, L2]- Nadaljujemo kot v primeru intervala [0,Li]. Po fc-korakih dobimo homotopijo gPtt,s '¦ U' := Uu —> Z, p E P, t, s E [0,1].           X
Iz dokaza tega izreka direktno sledi
Posledica 1.3.4. (Dvig prerezov submerzije v vektorski sveženj) Naj bodo predpostavke kot v izreku 1.3.2. in U' C X odprta okolica kompaktne množice K, kompaktno vsebovana v U.   Obstaja tako naravno število k E N in zvezna družina holomorfnih prerezov LPtt
svežnja -c/    |j q(u')?
p E P, t E [0,1], da velja:
(1)  če je t = 0 ali p E P\ je Lp>t ničelni prerez v E^k'\fp 0(v),
(2)  za vsak fiksen p E P je za vsak t E [0,1] prerez LPtt enak 0 naY in
(3)  s^k'(^Pyt) = fp,t, p G P, L G [0,1].
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
Trditev 1.4.1. Naj bo X Steinova mnogoterost, Y C X analitična podmnožica (lahko prazna), W strogo psevdokonveksna relativno kompaktna množica v X in W C C W.
Obstaja omejen integralski operator Tw,w '¦ ^0lAW,J(Y)) —> Cb(W',J(Y)) iz prostora omejenih zveznih (0, l)-form na W, ki so ničelne na YC\W v prostor omejenih zveznih funkcij na W, ki so ničelne naYDW, ki reši enačbo d(Tw,w f) = /•
Dokaz. Skličemo se na izrek 3.2.2 iz [HL1], ki pove, da obstaja tak omejen integralski operator R\y na zaprtih (0,1)-formah z omejenimi koeficienti, da za vsako zvezno zaprto (0, l)-formo / na W z omejenimi koeficienti funkcija u := Rw(f) reši du = f. Ce je / zaprta (0,1)-forma z omejenimi koeficienti, ki je na W n Y enaka 0, je RwiDlmw holo-morfna funkcija. Po izreku 1.2.4. obstaja omejen linearen razširitveni operator Qw,w '¦ H°°(W H Y) —> H°°(W), Qw(g)\Ynw = g\wnY- Operator T\y,w, definiran s predpisom Tw,w(f) '¦= Rw(f)\w — Qw,w(Rw(f)\Ynw) ima vse želene lastnosti.                          X
Trditev 1.4.2. Naj bo (A, B) Cartanski par v Steinovi mnogoterosti X inY C X zaprta podmnožica (ki je lahko tudi prazna). Potem imata A in B taki bazi okolic {L/j}ieN> tA+i C C/j, z G N in {Vi}j<=N, Vj_|_i d Vi po vrsti, da za vsak i E N veljajo naslednje trditve:
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
25
(1)  Množica Wi := f/j U ^ je strogo psevdokonveksna in (Vi \ C/j) H (C/j \ Vj) = 0.
(2)  Za vsaA; i obstajata taka omejena linearna operatorja
Ai : H°°(Ui H Vj, J(Y)) —> HQO(Ui+i,J(Y)) in
Bi : H°°(Ui H Vj, J(y)) —> i7°°(Vj+i, J(y)),
da je
c = ^4j(c) — Bi(c), c G H°°(Ui H Vj, J(y)), i G N.
Dokaz. Naj bo {W/} poljubna baza okolic za A U i? in {C/j} in {V^} taki bazi relativno kompaktnih okolic za A in B po vrsti, da je W( = U[ U V(. Ker je A U B Steinov kompakt, ima tako strogo psevdokonveksno okolico Wi C Wi C W[, da za množici C/j := C/' H Wi in Vj := V/ H Wi velja trditev (1).
Ce pa trditev (1) velja, obstaja taka C°°-razčlenitev enote {xi, 1 — Xi\ na ^> podrejena pokritju {C/j,Vj}, da ima forma dx% omejene koeficiente na Wi. Fiksirajmo nek indeks i G N in definirajmo W := Wi, W = Wj+i, U = C/j+i, V = Vj+i, x := X% m privzemimo, da je supp x C C/. Naj bo c holomorfna funkcija na C/jPl Vj, ki je na Y enaka 0. S predpisom / := dx c je zato definirana zaprta (0,1)-forma na W z omejenimi koeficienti, ki je na Y enaka 0. Po trditvi 1.4.1. obstaja tak omejen linearen operator T = Tw,w, ki reši enačbo dTf = f, da je Tf = 0 na Y. Naj bo E = \\T\\. Definirajmo A(c) := T(f) + (1 — x)c na C/, B(c) := T(f) — x c na V. Na U D V je A(c) — B(c) = T(f) + c — xc ~ T(f) + xc = c-Očitno je
dA(c) = dT(f) — cdx = 0 in dB(c) = dT(f) — cdx = 0
in veljata oceni
||^.(c)||{/    <    ll^1(/)llvt/ + Hcllt/nv < -E"||c||f/nyll^xlliy + Hcllt/nv < (-^ll^xlliy + l)llcllL/ny> ||L>(c)||y    <    H^X/Ollv^ + ||c||[/ny < -E-||c||t/ny||<9xlliy + IMIt/ny < (-^ll^xlliy + l)||cl|f/ny-
Lema 1.4.1. [FP1] (Lema o lepljenju za preslikave v Cn). Naj bo X Steinova mnogoterost Y C X analitična podmnožica (lahko prazna), (A, B) Cartanski par, C odprta okolica C := A n B v X, U odprta okolica izhodišča v Cn in tpo ¦ C x U —> Cn taka omejena holomorfna preslikava, da je ipo(%, 0) = 0 za vsak x G C in je preslikava ipo(%, •) : U —> Cn injektivna. Obstajajo odprti okolici A' D A in B' D B z C := A' n B', odprta okolica W preslikave tpo v Banachovem prostoru H°°(C x U,J(Y x 0)ra) in taka gladka operatorja
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
26
A! : W —> H°°(A', J(Y)n), B' : VF —> H°°(B', J(Y)n), daje A!(ipo) = 0, B'(ipo) = 0 in da za vsak ip E W omejeni holomorfni preslikavi a := A!(ip) : A' —> Cra in /3 := B'(ip) : B' —> Cra zadoščata
a\y = 0, /3|y = 0,
ip{x, a{x)) = p[x)  [x E A n d ).
Ce preslikava ip E W zadošča še ip(x, 0) = 0 za vsak x E C, je A!(ip) = 0 in B'(ip) = 0.
Dokaz. Dokaz je popolnoma enak dokazu trditve 5.2 v [FP1], le da je potrebno namesto leme 2.4 v [FP1] uporabiti trditev 1.4.2. zgoraj in vmes enkrat več skrčiti okolice zaradi operatorjev Ai in Bi.                                                                                                                     Jl»
Izrek 1.4.1. (Splošna lema o lepljenju z interpolacijo). Naj bo X Steinovan-mnogoterost, Y d X analitična podmnožica, (A, B) Cartanski par v X in Ijr,VC X taki odprti okolici za A in B po vrsti, daje UOV Rungejeva v V in je množica UUV strogo psevdokonveksna (take okolice obstajajo po definiciji Cartanskega para). Naj bo Z kompleksna mnogoterost z dano polno metriko d, ki je kompatibilna s topologijo na Z in h : Z —> X holomorfna submerzija, ki dopušča spray (E,p,s) nad V. Naj bo P kompakten Hausdorffov prostor in Pq C P njegova zaprta podmnožica in P\ C P odprta okolica P\.
Naj bosta ap : U —>   Z in bp : V —>   Z dani zvezni družini holomorfnih prerezov submerzije h : Z —> X z lastnostmi
(i) za vsak p E P\ se ap in bp ujemata naUOV,
(ii) za vsak p E P se ap in bp ujemata na množici Y D U D V in
(iii) obstaja taka zvezna družina holomorfnih prerezov fPtt : UD V —> Z, t E [0,1], p E P, da je fPfl = ap\unv, fP,i = bp\UnV in je za vsak t G [0,1], p G P fp,t\vnunv = ap\Ynunv-
Obstaja tak e > 0, da velja: če je d(fPtt(x), ap(x)) < e za vsak x E AdB, p E P, t E [0,1], obstajata odprti okolici A', B' za A, B po vrsti in taki zvezni družini prerezov aPtt '¦ B' —> Z, bPtt '¦ B' —> Z, t E [0,1],p E P, da je
(1)  aPtt = ap in bt}P = bp za vsak t E [0,1], p E Po,
(2)  d(ap(x), Optt(x)) < e za vsak x E A, t E [0, l],p E P
(3)  Op,iU'nB' = bp>1\A>nB> za vsak p E P in
(4)  Op,t\YnA'nB' = bPtt\Yr\A>r\B> = ap\YnA>r\B> za vsak t E [0, 1], p E P.
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
27
Opomba. Zgornji izrek je posplošitev izreka 5.5 iz [FP1]. V predzadnjem razdelku tega poglavja bomo pokazali, da velja tudi za Steinove prostore. Dejstvo, daje X mnogoterost, potrebujemo le za uporabo leme 1.4.1. v dokazu.
Dokaz izreka 1.4.1. S pomočjo sprayev in lokalnih sprayev bomo poskusili problem lepljenja prerezov prevesti na problem lepljenja funkcij. Ideja dokaza izreka 1.4.1. je ta, da konstruiramo trivialna svežnja E\ = U' x CN —> U', L2 = V x CN —> V za nek dovolj velik IgN nad odprtima okolicama U' C U, V C V za A,B po vrsti in zvezni družini takih holomorfnih preslikav SitP : E\ —> Z, sitP(x,0) = ap(x), S2)P : E2 —> Z, S2,p(x,0) = bp(x,0), ki slikajo vlakna svežnja na vlakna submerzije h : Z —> X, da so vertikalni odvodi VD(s\tP) in VD(s2,p) surjektivni in bp(U' H V) C sPt\(Ei). Dovolj je, če so preslikave sitP definirane na okolici ničelnega prereza v E\.
Recimo, da za dovolj majhen r\ > 0 lahko najdemo tako zvezno družino injektivnih holomorfnih preslikav <pp : (U' C\ V) x B^{rj) —>¦ (U' C\ V) x CN oblike <pp(x,t) = (x,t/jp(x,t)), ki reši enačbo S2)P o (x,t/jp(x,t)) = sitP(x,t) vsaj na neki majhni okolici ničelnega prereza. Ce so preslikave ipp enakomerno blizu takim injektivnim holomorfnim preslikavam ipPto = (id,ipPto), da je t/jPto(x,0) = 0, po lemi 1.4.1. obstajata manjši odprti okolici A', B' za A, B po vrsti in zvezni družini prerezov ap, v E\\a', /3p, v -E^Ib', da je '•Pp(Pp)(x) = Cip{x) za vsak x G A' n B'. S predpisom
ap,t   =   Si,p(tctP), t G [0,1],                                           (1)
bP,t   =   S2,p(t/3P), t G [0,1]                                             (2)
je definirana homotopija med prerezi ap = ap^ in prerezi apl in homotopija med bp = 6P)o in bPt\. Ker je (pp(/3Pti(x)) = aPti(x) za x G U'CiV, je bPti(x) = S2,p°<pp(/3p,i) = sitP(aPti(x)), kar pomeni, da za vsak p G P prereza aPti in bP)\ definirata holomorfni prerez na A' D B'.
Ce se prerezi ap in bp ujemajo na Y, lahko poiščemo take preslikave ipp, da bo ipp(x, 0) = 0 za vsak x G Y, kar nam bo dalo homotopiji aPtt in 6P)t, ki mirujeta na Y. Ker želimo, da bodo homotopije mirovale na Po, saj imamo za te parametre že prereze nad A' U B', bomo poiskali tako družino preslikav ipp, da bo za vsak p E Po veljalo ipp(x, 0) = 0 za vsak x G A' n B'.
Da bomo izrek dokazali, moramo najprej poiskati prej omenjene preslikave s\tP, S2,p in ipp (trditev 1.4.3.) in se prepričati, da homotopije aPtt na množici A aproksimirajo začetni prerez tako natančno, kot želimo.                                                                                  X
Trditev 1.4.3. Naj bo X Steinov prostor, Z kompleksen prostor, h : Z —> X holomorfna submerzija, A, B C X Steinova kompakta, U, V C X odprti okolici za A, B po vrsti in Ui,Vi manjˇsi odprti okolici za A,B po vrsti, kompaktno vsebovani v U,V po vrsti.
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
28
Privzemimo, da ima množica C = A D B bazo odprtih okolic, ki so Rungejeve v V in izberimo 8 > 0. Naj imajo družine prerezov ap, bp in fPtt lastnosti (i) — (iii) iz izreka 1.4-1. Obstajata taka e > 0,7/ > 0, da velja: če družine prerezov ap,bp in fPtt izpolnjujejo še pogoja d(ap(x),bp(x)) < e in d(ap(x), fp,t(x)) < s za vsak x E U\ n V\, obstajajo
-  zvezna družina lokalnih sprayev (E\ := U\ x CN ,irp, s\tP),
-  zvezna družina sprayev (E2 := V\ x CN,irp,S2>p) in
- zvezna družina preslikav Lpp = (id,ipp) : (UiC\Vi)xBn(t]) —> (UiC\Vi)xCN, ki na okolicah ničelnih prerezov v EPti\uiny1 in EPt2\uiny1 rešijo enačbo s2tP o (x,t/jp(x,t)) = sitP(x,t), zadoščajo <pp(x, 0) = 0 za vsakx E UiCiVi, za katerega je ap(x) = bp(x) in so 8-blizu zvezni družini takih injektivnih holomorfnih preslikav >^Pto = (id,ipPto) : (U\ D V\) x 5jv(r]) -^ {JJ\ n Vi) x CN, da je vfjpfi(x, 0) = 0 za vsak ig Ui C\Vi.
Lema 1.4.2. (Eksistenca zvezne družine lokalnih sprayev). Naj bo h : Z —> X holo-morfna submerzija med kompleksnima prostoroma, (A, B) tak par Steinovih kompaktov, daje AUB Steinov kompakt, U, V C X odprti okolici za A, B po vrsti, P kompakten Haus-dorffov prostor, Pq d P zaprta množica in Pi C P njena odprta okolica. Privzemimo, da ima množica C = AdB bazo okolic, ki so Rungejeve v V. Naj bo ap : U —> Z taka zvezna družina holomorfnih prerezov, da je za vsak p E Pi prerez ap mogoče razširiti na U U V. Obstajo:
-  odprti okolici U', V množic A, B po vrsti, kompaktno vsebovani v U,V po vrsti,
-  odprta okolica P2 D Po, kompaktno vsebovana v Pi,
-  družina takih Steinovih odprtih okolic Dp C Z, da je ap(U') C Dp za vsak p E P in je ap(U' U V) C Dp za vsak p E P2,
-  števili r/ > 0, N E N,
-  zvezna družina vektorskih polj v1 = \v\,... ,ifN\, definiranih na L)p, ki generirajo VTZ(Z) v vsaki točki z E Dp in
-  zvezna družina holomorfnih preslikav syP : Dp x Bjsi{'q) —> Z z naslednjimi lastnostmi:
(i) Sityp(z,t) C h-1 (z), (H) Siyp(z,0) = z,
(iii) vertikalni odvod VDsyP(z) : CN —>   VTZ(Z),   z E Dp je surjektiven, natančneje
ali
—svp(z, 0) = vVi,{z) za vsak k = 1,..., N, p E P.
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
29
Opomba. Preslikave syv imajo vse lastnosti sprava, le da niso definirane za t G CN, ampak le za t G Bn(t]). Tudi te imenujemo lokalni sprayi.
Dokaz leme 1.4.2. Naj bo (VT(Z),tt) vertikalni sveženj nad Z, P2 odprta okolica Po, kompaktno vsebovana v P\ in U', V odprti okolici za A, B po vrsti, kompaktno vsebovani v U, V po vrsti. Za vsak p G P obstaja po [Siu] in [Sen] Steinova odprta okolica Vp C Z za ap(U') in za vsak p G P\ obstaja Steinova odprta okolica Vp za ap(U' U V). Ker pa je Vp Steinova, obstajajo vektorska polja v^,j = 1,... ,np, ki generirajo vektorski sveženj VT(Z)\v • Vsak p G P ima tako odprto okolico Qp C P, da je aq(U') C Vp za vsak q G Qp] za parametre p G P\ pa naj bo Qp taka odprta okolica za p v P, da poleg aq(U') C 14,, g G Qp velja še ap(U' U V) C V^> za vsak p G Qp H Pi. Kot v dokazu trditve 1.3.1. obstaja odprto pokritje {Qi := QPi,i = l,...m} za P in finejše zaprto pokritje {Qi,i 1,... ,m} in privzeti smemo, da je Qi n P2 = 0 za vsak p» ^ Pi. Ker imamo le končno število prerezov pi, smemo privzeti, da je rti = l za neko naravno število / za vsak i = 1,..., m, saj lahko dodamo ničelna vektorska polja.
Naj bodo Xi '¦ Q% ~^ [0,1] take zvezne funkcije s kompaktnim nosilcem, daje x%\q'- = 1, in definirajmo
v\j := Xi(p)vlj%    j = l, ¦ ¦ ¦ ,1, i = l, ¦ ¦ ¦ ,m.
Za vsak p G P2 so vektorska polja v\ • definirana na neki odprti Steinovi Dp C ^ množice
ap(U' U V); če je Pi G Pi, so polja iLz po konstrukciji definirana na okolici ap(U' U V), saj je za pi ^ P\ presek Qi n P2 prazen in zato Xi(p) = 0- Podobno vidimo, da so za vsak p G P polja ff • definirana (in holomorfna) na odprti okolici Dp množice ap(U').
Naj bo iv = m/, l/^ = \vk, k = 1,... , to}, kjer je ffi_1v, • := v\ .-, L = 1, • • • ,m, j = 1,..., / in naj bodo 9Pttk, k = 1,..., N tokovi teh polj na Dp. Ce okolice Dp zmanjšamo, obstaja tak r\ > 0, da ima zvezna družina preslikav syP : Dp x Pjv(r]) —> Z, definirana s predpisom
S\ yp [Z^t\j . . . , t/\f J   !^ C/'      O (7        O . . . O (/
vse želene lastnosti:
(i) Si)vp(-2,i) C h~l(h(z)), saj smo integrirali vertikalna vektorska polja, (11) S1 vp l Z, U ) = z, ker so 0p,ti tokovi vektorskih polj in
R                        d               /       f\                 V/         •                          V                                   Trn /        \
ker je t^-s^vp^z, U) = vk{z) m polja vk generirajo VI {Z)\op, je vertikalni odvod
VDs\yv(z) : CN —> VTZ(Z) surjektiven.                                                                       X
Lema 1.4.3. (Zvezni razcep družine svežnjev). Naj bosta B in C C B Steinova kompakta v Steinovem prostoru v X, W C V odprti Steinovi okolici za C, B po vrsti, P kompakten
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
30
Hausdorffov prostor, P2 C P zaprta množica, P\ C P njena odprta okolica in ap : W —> Z, p G P, zvezna družina holomorfnih prerezov submerzije h : Z —> X, ki se za p E P\ razširijo na V. Naj bo (E,p,s) spray (lahko le lokalni) nad V. Obstaja družina Steinovih okolic Dp d Z za ap(C), ki za p E P2 vsebujejo še ap(B) in zvezna družina razcepov E\d  = kerVD(s)\]jp © E'.
Dokaz. Naj bodo Steinove okolice Vi, točke pi E P, i = l,...,m in odprto pokritje {Qi, i = 1, • • • , m} množice P kot v trditvi 1.3.1.:
-  za vsak p E Qi je ap(C) C Vi,
-  če je Pi E P\ in p E P\ H Qj je ap(B) C V^,
-  za vsak p» ^ Pi je presek Qi D P2 prazen in
-  unija U{Qi,Pi E P\] vsebuje množico P2.
Preslikava VD(s) : E\vt —> VT(Z)\Et je po definiciji sprava surjektivni homomorfizem vektorskih svežnjev in ima desni inverz di : VT(Z)\y. —> E\y.. Za vsak j ^ i, za katerega je Vi Pl Vj ^ 0, leži razlika <ii(i>) — cij(f) v jedru kerVD(s)(z) po definiciji desnega inverza za vsaka z E V,r)Vj in v E VTZ(Z). Naj bo Xi razčlenitev enote na P, podrejena pokritju {Qi} in definirajmo dp = ^2T Xi(p)di- Ce je Xi(p) 7^ 0 to pomeni, da je ap(C) C Vi, torej je za vsak p preslikava dp dobro definirana na Steinovi odprti množici Dp := ^\{Vi,Xi(p) 7^ 0}, ki vsebuje ap(C). Prepričajmo se še, da je za parametre p E P2 ta preslikava definirana na okolicah množic ap(B). Za vsak p E P2 je Xi(p) = 0, če pi E" P\, torej so edini neničelni koeficienti v zgornji konveksni kombinaciji pri tistih i-jih, kjer množica Vi vsebuje ap(B). Družina svežnjev E' := dp(VT(Z)\]jp) je iskana družina komplementov jedra kerVD(s)\np v E\Dp.                                                                                                                          X
Dokaz trditve 1.4.3. Ker se zvezni družini prerezov ap : U -^ Z in bp : V —> Z zap E P\ na preseku definicijskih območij ujemata, lahko zvezno družino holomorfnih prerezov ap razumemo kot družino prerezov, ki se za p G P\ razširijo do holomorfnih prerezov U U V. Po lemi 1.4.2. obstajajo odprti okolici U', V za A, B po vrsti, kompaktno vsebovani v U, V po vrsti, družina Steinovih odprtih okolic Dp d Z za ap{U'), ki vsebujejo ap(U' U V) za vsak p iz odprte okolice Po, ki jo označimo kar s P\, zvezna družina lokalnih sprayev svp '¦ D„ x BM(n) —> Z in pripadajoča družina vektorskih poli Vp = jf? = ^-svp(-,0)|, ki generirajo VT(Z) na Dp. Naj bo (E,p,s) spray nad V in naj bo e > 0 tako majhen, da je bp(U' D V) C Dp in je ap{U' C\ V) C s(L"|5 (y)).
Naj bo P2 C Pi zaprta množica, ki vsebuje Po v notranjosti.   Ker je V D (s) : E —> VT(Z) surjektiven homomorfizem vektorskih svežnjev, obstajajo po lemi 1.4.3. Steinove
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
31
okolice D' za ap(U' 0 V), ki za p G P2 vsebujejo ap(V') = bp(V') in razcep E\]j>   = kerVD(s)\]j> © E'  kjer je E' zvezna družina holomorfnih koniplementov.
Naj bodo vektorska polja v1 = \vk, k = 1,..., iV} dvigi polj vk v vektorski sveženj E'. Ne pozabimo, da so vektorska polja vk za p G P2 definirana nad bp(V), za ostale p G P pa nad bp(U' n V). Definirajmo družino preslikav š-pp : D' xC^-* Z s predpisom
šyp(z, t\,..., tjv) := s
S preprostim računom se prepričamo, da je
(N                 \
5_„      „      5
—šyP(z, 0) = VDz(s)vk = vk =—S\ yp(z, 0).                            (3)
otk                                              otk   '
Naj bo D1' C DpC\h~l{VC\U) družina Steinovih okolic za ap(C). Za vsako zvezno družino vektorskih polj Wp = {w^,... ,wpN} nad D1'p G P, definirajmo družino preslikav
( N               \
SyyP(z,t) = S     /    tkWk(z))      ,      Z G D'' t G C    .
Očitno je sy\?P(z, 0) = z in
7;—%p(2, Uj = itn,(2;J.                                                         (4)
atfc
Da bi dokaz dokončali, potrebujemo še naslednjo lemo.
Lema 1.4.4. Naj bo d metrika na Z in d! norma na trivialnem svežnju E. Obstajajo taka r\ > 0,8 > 0, da velja: za vsak par točk z,w G D'' h(z) = h(w) in vsako zvezno družino vektorjev Wp = {w^,... ,wpN} C Ew, ki zadoščajo d!{vpAz))w^) < 5, obstaja taka zvezna družina injektivnih holomorfnih preslikav (f)y^P(z,w-) : B^{rj) —> CN, da je
(1)  Sy\?P(w, (f)y\?P(z, W, t)) = S\yP(z,t),
(2)  preslikave (f)yyP so zvezne v p in za vsak fiksen p holomorfne v z,w,W,t,
(3)  (py\}p(z, z,0) = 0 za z G D''
Dokaz leme 1.4.4. Naj bo D" x CN = kerVD(s\yv)\D" © Mv, p G P, zvezna družina razcepov trivialnega svežnja kot v lemi 1.4.3. (mogoče je potrebno okolice D1' zmanjšati). S tem je za zveznost v p poskrbljeno. V nadaljevanju se bomo ukvarjali le še s holomorfnostjo v ostalih parametrih. Naj bo za vsak (z, t) G Dp x CN t = {t1 ,t") G kerVD(s\yP) © Mp razcep t glede na razcep trivialnega svežnja vad D" Za vsak z G D'' preslikava s\yP : Mp —> Z preslika okolico ničle 0^ v Mvz biholomorfno na okolico z v Zz = h~l{h{z)). Enako velja tudi za preslikave
S\yp(z,t', •) : Mvz —> Zz                                              (5)
1.4    Osnovne leme o lepljenju nad Cartanskimi pari
32
za vse dovolj majhne t' G kerVD(s\yP).
Iz enačb (3) in (4) sledi, da je za vsak par točk z, w G Zz, ki sta dovolj blizu in vsako zvezno družino vektorjev Wp, ki zadošča d'{ufk)vpk{z)) < 8, k = 1,..., N, za nek dovolj majhen 5, vektorski prostor Mp C C komplementaren tudi prostoru kerVD(syyP) za %P(i) = J^1 tkWvk. Zato preslikava
Sy\?p(w, t , •) : Mz —> ^                                                              (6)
preslika okolico 0^ v Mp biholomorfno na odprto okolico w v Zz,\li vsebuje tudi točko z. Za tako izbiro točk z,w in vektorjev Wp naj bo (f)'-^P(z,w,t', •) : Mp —> Mvz kompozitum preslikave (5) in (enolično določenega) inverzapreslikave (6) na okolici 0Z v Mvz. Preslikava
(f)yyP(z,W,t' ,t") = (t'\(f)'^p(z,W,t' ,t"))
je za vsak par z, w definirana za vse t G CN, ki so dovolj blizu izhodišča in je neodvisna od z,w in Wp, če sta točki z,w dovolj blizu in so vektorji Wp dovolj blizu vektorjem Vp(z).
*
Nadaljujmo dokaz trditve 1.4.3. Naj bosta U\ C U', V\ C V taki odprti okolici za A, B po vrsti, da je U\ n V\ Rungejeva v V (take okolice obstajajo po privzetku trditve). Po n-Kungejevem izreku 1.3.2. obstaja zvezna družina vektorskih polj vvl = {u^,... , u^j,
 ~                  77^1                                                             -      T7                                                                                            '                                                    ~P       •
v trivialnem svežnju h^ (y/), ki na U\ n V\ poljubno dobro aproksimirajo polja vk m se za vsak p iz neke odprte okolice Po ujemajo s polji %Fk. Definirajmo družino preslikav
$2,p '¦ v x cra —> z,
s2,p(%, t\, . . . , tjv) = S
(N                            \
Y;tkWpk(bp(x))\
Naj bo s\tP : U' x Bjsi{'q) —> Z družina preslikav, definirana s predpisom
SitP(x,t) = SityP(ap(x),t),    x G U',
$2,p = sy\?p in sotP(x,t) = §yp(ap(x),t),x G U' H V. Ce so prerezi bp nad U\ n 14 dovolj blizu prerezom ap in so bila polja wk dovolj blizu poljem ifk, obstaja po lemi 1.4.4. za vsak x G U\ n V\ injektivna holomorfna preslikava
ij)p{x, •) = (pyyp(ap(x), bp(x), •) : Bn(i]) —> C   ,
ki reši enačbo S2,p(x, rtpp(x, t)) = SitP(x, t). Očitno je rtpp(x, 0) = 0 za vsak x, za katerega je ap(x) = bp(x), saj je (f)yyP(z,z, 0) = 0. V primeru interpolacije na Y je ta pogoj izpolnjen
1.5    Konstrukcija majhnih prerezov
33
za vsak x G Y n U\ n Vi in vsak p E P. Ker je ap|{/nv = &p|t/nv z& vsak p G Pi, je tudi ipp(x,0) = O za vsak p G P\. Ce so bile aproksimacije dovolj dobre, so preslikave ipp enakomerno blizu preslikavam
tpPto(x, •) = (p\!p(a(x), a(x), •) : B^(rj) —> C   ,
ki zadoščajo ipXto = 0 za vsak x G U\ n Vi.                                                                     X
Zaključek dokaza izreka 1.4.1. Trditev 1.4.3. je poskrbela za eksistenco preslikav s\tP, S2tP in (f)p = (id,ipp). Prepričati se moramo še, da homotopije aPtt aproksimirajo ap = aPto nad A. Lema 1.4.1. pove, da so norme HojplU' in Hulls' odvisne le od kvalitete aproksimacij prerezov ap s prerezi bp in kvalitete aproksimacij polj Vp s polji Wp. Ker so preslikave S\tP odvisne le od prerezov ap, predpis (1) pove, daje d(ap(x), aPtt(x)) odvisna le od Ho^Ha', kar nam da aproksimacijo nad A'. Ker pa so preslikave S2)P odvisne tudi od polj Wp, ki smo jih dobili z Rungejevim izrekom, in ne le od prerezov bp, dobimo ocene za d(bp(x), bPtt(x)) le za x G A' n B'.                                                                                                           X
1.5     Konstrukcija majhnih prerezov
Konstrukcijo začetnih majhnih prerezov bomo posebej pojasnili za različne primere.
1. Privzemimo, da je P = {p}, Y = 0 in X in Z kompleksna prostora. Naj bo a : X —> Z dan začeten zvezen prerez. Zaradi enostavnosti privzemimo, da sta prostora X in Z povezana. Naj bo n dimenzija vlaken Zx, x G X (zaradi povezanosti X in Z je n neodvisen od x G X). Po definiciji submerzije obstaja za vsako točko x G X odprta okolica Ux in odprta okolica Va^x) C Z točke a(x) ter biholomorfna preslikava gx : Ux x Bn(l) -^ Va^x-j, kjer je Bn(l) = Bn enotska krogla v Cn. Naj bodo okolice Ux tako majhne, da ima Z\ux spray po vlaknih in je a(Ux) C Va(x)- Definirajmo holomorfne prereze ax s predpisi
ax := gx\uxx{o}, x G X.
Teh prerezov je seveda veliko preveč, zato izberemo tako podpokritje {UXn =¦ Un}ne-^0 pokritja {Ux}xex, da vsak prerez an := aXn, zožen na množico Umr)Un, leži v Vm := Va(Xm) za vsak m < n. Pri tem se lahko zgodi, da moramo okolice Ux pomanjšati, kar pa ni nobena težava. S tem dosežemo, da sta prereza am in an nad Um D Un holomorfno homotopna, saj smo v evklidskem prostoru in lahko za homotopijo vzamemo kar konveksne kombinacije
Q"m,n,t(%) := tam(x) + (1 — t)an(x), x G Um D Un, t G [0,1].
1.5    Konstrukcija majhnih prerezov
34
če je začetni prerez a holomorfen na okolici U kompaktne holomorfno konveksne množice K bomo seveda izbrali Uq := U in a0 := a\u-
2.  Naj bo prostor parametrov P poljuben kompakten Hausdorffov prostor in Y prazna množica. Ker je prostor parametrov P kompakten, lahko na enak način konstruiramo začetne majhne prereze, katerih definicijska območja so neodvisna od parametrov p G P.
3.   Nekaj več težav pa nam bo povzročila interpolacija. Naj bo ap : X —> Z dana zvezna družina zveznih prerezov, ki so holomorfni na Y. Želimo, da se bodo začetni majhni prerezi, ki pripadajo prerezu ap, na podmnogoterosti Y ujemali s prerezom ap. Naj bo nx = emdimxX. Po definiciji submerzije (oziroma izreku o rangu) obstajajo za vsako točko x E X odprta okolica Ux C X, zvezna družina odprtih okolic Va (x) C Z točke ap(x) ter zvezna družina biholomorfnih preslikav gPtX : Ux x Bn —> Va (xy, ker je prostor parametrov P kompakten, lahko izberemo eno okolico Ux, ki bo dobra za vse prereze ap. Naj bo lx :UX —> Bnx(l) prava holomorfna vložitev (taka obstaja po definiciji vložitvene dimenzije; lahko, da moramo Ux zmanjšati) in identificirajmo Ux z l(Ux) C Bnx(l) = Bnx. Naj bodo odprte okolice Ux tako majhne, da je ap(Ux) C Va (x) za vsak x G X,p G P. Za vsak p G P in x G X prerez ap definira holomorfno preslikavo aPtX : Ux C\Y -^ Bn (če je presek Y D Ux slučajno prazen, ravnamo kot v primeru brez interpolacije). Na tem koraku pa je potrebno poiskati zvezno družino holomorfnih funkcij ap>x : Ux -^ Bn, ki so razširitve funkcij aPtX, sicer nimamo nobenega upanja, da bo končna družina holomorfnih prerezov zvezna v parametru. Pri tem nam bo pomagal izrek 1.2.4. Ker pa ta izrek zahteva, da je ambientni prostor mnogoterost, bomo razširili preslikave na krogle Bnx. Izberimo t G (0,1), naj bo U'x = Bnx(t) H Ux in definirajmo
ap,x := R Bnx{i),Bnx{t) (®p,x )\u>x-
Lahko se zgodi, da moramo naše definicijsko območje U'x zmanjšati, da bo slika aPtX(Ux) ležala v Bn. Pri zmanjševanju okolic moramo paziti, da se ne skrčijo v točko. V tem primeru imamo opravka s kompaktnim prostorom parametrov P in s samo enim omejenim razširitvenim operatorjem (ker imamo skupno definicijsko območje Ux), zato se to ne zgodi. Pripomnimo še, da bomo v primeru, ko so vsi prerezi ap,p G P holomorfni na neki odprti odprti okolici U holomorfno konveksne kompaktne množice K, definirali Uq := U.
Podobno kot v najosnovnejšem primeru, ko je bila podmnogoterost Y prazna in smo imeli le en začeten prerez, lahko izberemo tako števno podpokritje {Un := Ux }raeN0
1.5    Konstrukcija majhnih prerezov
35
pokritja {U'x}xex in zvezno družino prerezov ap,n : Un —> Z, p G P, da za vsak par indeksov m < n E N0, za katera je Um D Un ^ 0 velja ap,n{Un n [7TO) C Vp)TO := VPtXm.
To pomeni, da sta (pri fiksnem p E P) vsaka dva prereza ciPtm in <^P)ri
nad presekom
definicijskih območij Um D Un holomorfno homotopna in je homotopija nad Y n Um D Un fiksirana. Podobno so v primeru, ko je Um C\ Un C\ Uk ^ $ z& m < n < k prerezi dp,m, ctp,n in aPtk paroma holomorfno homotopni in holomorfni homotopiji med aP)TO in aV)n ter aP)Tl in aPtk lahko povežemo s holomorfno homotopijo nad presekom definicijskih območij Um n [/„ n f/fc, ki miruje na Y n Um C\Un dUk- Potrebujemo še homotopije med majhnimi prerezi in začetnimi zveznimi prerezi. Vsak prerez aP)TO je nad Um zvezno ho-motopen začetnemu prerezu ap\um] ker so okolice dovolj majhne, lahko vse delamo v evklidskem prostoru in homotopijo aP)TO)t,t E [0,1] dobimo kar s konveksnimi kombinacijami: aP)TO)t := taP)TO + (1 — t)ap\um,t E [0,1]. Ker sta se prereza ujemala nad Y n Um, taka homotopija miruje na Y n Um. Na enak način vidimo, da je tudi vsaka holomorfna homotopija med aP)TO in aP)Tl nad Um D Un zvezno homotopna aP\u„num in tako naprej.
4. Poglejmo si še splošnejši primer. Naj bo prostor parametrov P kompaktem Haus-dorffov prostor in Po C P zaprta podmnožica in P\ njena odprta okolica v P. Naj bo dana taka zvezna družina ap, p E P zveznih prerezov, da je za vsak parameter p E P\ prerez ap : X —> Z holomorfen. Radi bi, da bodo za p E Po začetni majhni prerezi apm kar enaki ap\um, česar nam zgoraj opisani postopek ne zagotavlja. Z razčlenitvijo enote bomo začetne majhne prereze popravili. Naj bo x '¦ P ~^ [0,1] taka zvezna funkcija, ki je na okolici Po enaka 1 in ima nosilec v P\. Zadostuje, da popravljanje pojasnimo le nad eno odprto množico Um in pri tem uporabimo dejstvo, da lahko problem prenesemo v evklidski prostor. Nove majhne prereze bomo definirali tako:
:=   Cip,m za vsak p E P \ P\,
:=    (1 — x(p))ap,m + x(p)ap\um, p E P\ in
'¦=   ap\um za vsak p E Po.
Ker so prerezi ap za vsak p E P\ holomorfni na vsem X, so tudi prerezi a' m holomorfni na Um za vsak p E P\. Po konstrukciji se prereza aP)TO in ap\um ujemata naFfl Um, zato se tudi a1     ujema z ap\um na y Pl Um. Homotopija med prerezi apm in a'     je naslednja:
dp,m,t   '¦=   dp,m za vsak p E (P \ P\) U Po, t E [0,1],
dp,m,t   '¦=    (1 — t)ap,m + ta'    .
Za nadaljevanje potrebujemo učinkovito sredstvo za popis homotopij. Prereze ap,n bi radi lepili med seboj tako, da bomo še vedno imeli vse holomorfne in zvezne homotopije.
p,m *p,m *p,m
1.6    Kompleksi in prizme
36
H-Rungejev izrek nam pove, da lahko lepljenje naredimo na tak način, da lahko s ho-motopijo popravljamo še vse ostale homotopije. Po vsakem koraku lepljenja se moramo seveda prepričati, da je dobljen prerez homotopen začetnemu. Za lepljenje prerezov v primeru submerzije h : Z —> X, ki je sveženj, potrebujemo Cartanske pare, v tem splošnejšem primeru pa to ne zadošča več.
1.6    Kompleksi in prizme
Na družino prerezov bi radi vpeljali strukturo, ki bo popisala vse holomorfne homotopije, pa holomorfne homotopije med temi homotopijami in tako naprej. Kar sami od sebe se nam pri tem ponudijo simpleksi, oziroma natančneje, simplicialni kompleksi.
Oznaka Ara naj pomeni standardni n-simpleks v Rra, ki ga določajo točke eo := 0 in ei,..., en, kjer je e^ = (0,..., 0,1, 0,... 0) z enico na i-tem mestu. Naj bo {io,..., ik} C ,..., n}. Oznaka J = (io, ¦ ¦ •, i k) pomeni tisto fc-dimenzionalno lice simpleksa Ara, ki ga določajo točke ej0,..., ejfc, oznaka \J\ telo tega lica, \J\ := A™ in oznaka Kn simplicialni kompleks, ki ga sestavljajo vsa lica simpleksa Ara.
Naj bodo A0,..., An podmnožice v X. Simplicialni kompleks K(A0,..., An) C Kn je živec niza (A0,..., An), če velja naslednje:
J = (io,..., ifc) G K(A0,..., An) <^=^> Aio n ... n Aik ^ 0.
Vpeljimo še dve koristni oznaki:
A j   :=   Ai0 n... n Aik, AJ   :=    Aiol) .. .1) Aik.
Naj bo Z —> X holomorfna submerzija in U odprta podmnožica v X. Z 0(U, Z) bomo označili množico vseh holomorfnih prerezov / : U —> Z, s C(U, Z) pa množico vseh zveznih prerezov / : U —> Z.
Naj bo (Ao,..., An) zaporedje kompaktnih množic, Ui C X pa take odprte okolice množic Ai po vrsti, da je K(Ao,..., An) = K(Uo,..., Un). Družina preslikav
/* = {fj, J G K(Ao,..., An)}
je holomorfni kompleks nad K(Ao,..., An), če je za vsak J G K(Ao,..., An) preslikava fj : \J\ -^ 0(Uj,Z) zvezna in je za vsako lice / G K(Ao,... , An), I C J izpolnjena zahteva
fj(t) = fi(t)\uJ} t G |/|.
{0
1.6    Kompleksi in prizme
37
Podobno definiramo zvezni kompleks. Če je /* (holomorfni ali zvezni) kompleks nad simplicialnim kompleksom K in je K' C K njegov podkompleks, je zožitev kompleksa /* na K' definirana z J*\k' '¦= {/j, J L K'}- Ce sta /* in f[ (holomorfna ali zvezna) kompleksa nad simplicialnima kompleksoma K in K1 po vrsti, je /*</*, če je K1 C K in je fl = J*\k'- Zaporedje kompleksov {/™}„eN je naraščajoče, če je /™ < /™+1 za vsak n G N. Naj bo Y C X analitična podmnožica. Holomorfni (zvezni) kompleks miruje na Y, če vse homotopije mirujejo na Y. To pomeni, da se na Y vsi holomorfni prerezi ujemajo.
Naj bo S kompakten Hausdorffov prostor. Družina zveznih preslikav
/* = {Ij '¦ \J\ x5-> 0(Uj, Z), J G K(A0,..., An)}
holomorfna S-prizma nad K(Aq, ... ,An), če je za vsak s G S družina preslikav f*,s '¦= {fj\\J\x{s}, J ^ K(Ao,..., An)} holomorfni kompleks. Podobno definiramo zvezno prizmo. Ce je S = [0, l]k bomo tako prizmo imenovali kar fc-prizma, če pa je S = [0, l]kxP, kjer je P nek drug kompakten Hausdorffov prostor, bomo namesto izraza S-prizma uporabljali tudi izraz zvezna družina fc-prizem.
Ce je /* (holomorfna ali zvezna) prizma nad simplicialnim kompleksom K in je K' C K njegov podkompleks, je zožitev prizme /* na K' definirana z J*\k' '¦= {/j, J L K'}-Ce sta /* in f[ (holomorfni ali zvezni) fc-prizmi nad simplicialnima kompleksoma K in K' po vrsti, je fl < /*, če je K' C K in je fl = J*\k'- Zaporedje fc-prizem {/™}„eN je naraščajoče, če je /™ < /™+1 za vsak n G N. Naj bo Y C X analitična množica. Holomorfna (zvezna) prizma miruje na Y, če vse homotopije mirujejo na Y.
Holomorfni (zvezni) kompleks /* nad K(A0,... ,An) je konstanten, če obstaja holo-morfen (zvezen) prerez h : lj(°'-'n> —>¦ Z in je fj(t) = h\uj za vsak t G \J\, J G K(Ao,..., An). V takem primeru bomo namesto oznake h za globalni prerez uporabljali kar oznako /. Holomorfna (ali zvezna) fc-prizma /* je po nivojih konstantna, če je za vsak t G [0, l]k kompleks f*>t konstanten. Po nivojih konstantna holomorfna (zvezna) fc-prizma nad kompleksom K(Ao,... ,An) določa zvezno družino družino holo-morfnih (zveznih) prerezov ft : U^°''"'n' —>¦ Z.
Z rn : Ara x [0,1] —> Ara+1 bomo označili refrakcijo, definirano s predpisom rn(u, s) := (u(l — s), s).
1.7    Cartanski nizi in konstrukcija zaˇcetne zvezne prizme
38
f'2
Sličica 1: preslikava V2-
1.7    Cartanski nizi in konstrukcija začetne zvezne prizme
Kot smo že omenili, je oblika definicijskih območij majhnih prerezov pomembna za lepljenje. V primeru dveh množic znamo zlepiti holomorfno homotopna prereza nad Cartan-skim parom. Poskusimo pojasniti, zakaj za lepljenje majhnih prerezov Cartanski pari ne zadostujejo. Vzemimo holomorfne prereze aPto,aPti in aPt2, ki so definirani na Uo,U\,U2 po vrsti. Recimo, da smo že zlepili prereza aP)o in aPt\ v holomorfen prerez ap,(o,i) nad unijo [/o U [/i. Ta prerez bi zdaj radi zlepili s prerezom aPt2, ki sicer ni holomorfno homo-topen ap,(o,i) n&d (C/o U U\) fl L^- Imamo pa dve drugi holomorfni homotopiji: holomorfno homotopijo med «p,(o,i) in <^P,2, definirano nad C/o H U2, ki jo dobimo iz prvotne homotopije med apfl in ap2 in homotopije med aP)o in ap,(o,i) ter holomorfno homotopijo med «p,(o,i) in ap2) definirano nad U\ n C/2, ki jo dobimo iz začetne homotopije med aPti in ap2 in iz homotopije med «p,(o,i) in ^P,i- Prva stvar, ki nam pride na misel je, da bi poskusili (s homotopijo) zlepiti ti dve homotopiji v homotopijo med ap,(o,i) in Qp,2, ki bo definirana na (C/o U C/i) fl C/2- Ce bi nam to uspelo, bi preko te homotopije zlepili še prereza «p,(o,i) in aPt2- Ce želimo izvajati lepljenje na tak način, mora biti par množic (C/o H C/2, C/i fl C/2) Cartanski (za lepljenje homotopij) in par (C/o U U\, C/2) tudi Cartanski (za lepljenje «p,(o,i) in aP)2). Tako urejeno trojico (C/o, U\, C/2) bomo imenovali Cartanski niz dolžine 3. Splošna definicija Cartanskih nizov je naslednja.
Definicija 1.7.1. [Gr] Naj bo X kompleksna mnogoterost in Ao,... ,An zaporedje kompaktnih podmnožic mnogoterosti X. Pravimo, da je (Ao,..., An) Cartanski niz dolžine n + 1, če sta niza (A0,..., An_i) in (A0 D An,..., An_\ n An) Cartanska in (A0 U ... U An_i,An) Cartanski par.
Lokalno končno pokritje A = (Ao, A\, A2,...) je Cartansko pokritje, če je za vsak n G N niz (Ao,..., An) Cartanski.
1.7    Cartanski nizi in konstrukcija zaˇcetne zvezne prizme
39
Naše izbrano začetno pokritje seveda ni Cartansko, zato ga bomo malce popravili.
Izrek 1.7.1. [HL] Ce je X Steinova mnogoterost in {t^}i<=N0 odprto pokritje za X, obstaja tako Cartansko pokritje (Ao,A\,...), da vsak Ak leži v kaki množici Ui. Ce je K C Uq kompaktna holomorfno konveksna množica, lahko pokritje (Ao,A\,...) izberemo tako, da je intA0 D K poljubno majhna okolica K in je K n Ai = 0 za vsak i G N.
Opomba. Cartansko pokritje iz izreka 1.7.1. imenujemo podrejeno pokritju {Un}ne]si0.
Naj bo {t/rajneNo odprto pokritje iz razdelka 1.2. in (A0,Ai...) Cartansko pokritje iz izreka 1.7.1., ki je podrejeno temu pokritju. Naj bo n^ najmanši indeks, pri katerem je Ak C Unk in naj bo fPtk ¦= ap,nk- Da se bomo izognili večkratnim indeksom, bomo v bodoče pisali kar Uk namesto Unk. Ce okolice Uk zmanjšamo, lahko dosežemo, da je K(A0,..., An) = K(Uq, • • •, Un) za vsak n G N0. Tako pokritje {Un}ne^ bomo imenovali zvesto pokritju {An}n^^.
Zdaj pa že lahko definiramo začetno družino holomorfnih kompleksov (ali P-prizmo) in začetno družino zveznih 1-prizem (oziroma zvezno P x [0, l]-prizmo). Začasno fiksirajmo nek parameter p G P in si oglejmo prereza fPto in fp\. Po konstrukciji sta ta dva prereza holomorfno homotopna nad Uq H U\ in skupaj s homotopijo določata holomorfni kompleks J1?'1 nad K{Uq, U\). Ker pa lahko prereza in homotopijo med njima z zvezno homotopijo povežemo z začetnim prerezom ap, dobimo tako zvezno 1-prizmo g^1 nad K(Uq, Ui), daje zvezni kompleks g^'0 konstantni kompleks, ki ga določa začetni prerez ap in je g^\ = /f'1. Ko dodamo še množico U2, dobimo zvezno družino holomorfnih kompleksov /f'2 nad K(Uq, U\, U2), fl'2\K(u0,u1) = /f'1 m tako zvezno družino holomorfnih 1-prizem g^2, da je za vsak p G P g1*'2\K(u0,u1) = 9*'1, 9*'o Je konstantni kompleks, ki ga določa začetni zvezni prerez in g^\ = /f'2 in tako naprej. Zvezna družina prerezov T9 = {fPtk '¦ Uk —> Z)k&$0 za vsak p G P torej določa naraščajoče zaporedje holomorfnih kompleksov
LV.k           f LV,k        I   71             /r\/TT                          _    js (   A                              ~\        7     ^-
J*    = \Jj    '¦ K I ~~*  ^{Uj, Z),  J E K (Ao,. . . , Ak)), K G N o in naraščajoče zaporedje zveznih 1-prizem
V.k            f    V M        I   Ti   w   Ta        l              n/TT                           _    js (                                    ~\        7     ^-
9*    = \9j    '¦ K I x |U, 1J —> C{Uj, Z),  J G K {A0, . . . , An)), K G N o
za katere je g^'0 konstantni zvezni kompleks, ki ga določa začetni zvezni prerez ap, kompleks g^\ pa je enak kompleksu f%'k.
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
40
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
Najprej si poglejmo, kako lahko ‘na zvezen način’ lepimo holomorfne (zvezne) prereze, kar v jeziku prizem in kompleksov pomeni, da poskušamo poiskati pot med začetnim in konstantnim kompleksom oziroma med začetno fc-prizmo in tako fc-prizmo /*, da je /*)(? konstanten kompleks za vsak parameter q G [0, l]k. Ker je lepljenje narejeno z operatorji, je mogoče vse naslednje trditve narediti zvezno v parametru p G P za poljuben kompakten Hausdorffov prostor parametrov.
Trditev 1.8.1. Naj bo h : Z —> X holomorfna submerzija, ki lokalno dopušča spray, Y d X analitična podmnožica, (Ao,..., An) pa tak Cartanski niz, da ima Z\ut spray nad neko odprto okolico Ui C X množice Ai, i = 0,... ,n. Naj bo Kn = K(Ao,..., An) živec niza (A0,... ,An), Q C [0, l]k zaprta množica, ki je krepki okoliški deformacijski retrakt v [0, l]k, P kompakten Hausdorffov prostor, Po G P zaprta množica in P\ C P njena odprta okolica. Naj bo f*,p G P taka zvezna družina holomorfnih k-prizem nad Kn, da je družina f% := {fj\\j\x{g}, J L Kn} konstanten kompleks, če je q G Q ali p G P\. Naj za vsak fiksen p G P prizma /^ miruje na Y. Potem obstaja odprta okolica P[ C P\ množice Po in taka zvezna družina k-prizem /f'*, p G P, t G [0,1], da je
(1)  f*'° = f* za vsak p G P,
(2)  fl'1 = fl   za vsak t G [0,1], če je q G Q ali p G P{,
(3)  f%'q je konstanten kompleks za vsak p G P, q G [0, l]k in
(4)  za vsak fiksen p G P je (k + l)-prizma /f'* konstantna vzdož Y.
Opomba. Trditev bomo uporabljali za množice Q, ki bodo unije določenih stranskih ploskev <9[0, l]k.
Dokaz. Trditev bomo dokazali z indukcijo na n. Dokaz baze indukcije je najbolj zoprn, indukcijski korak pa je precej bolj spodoben. Ker v primeru Q = [0, l]k ni česa dokazati, privzemimo, da je Q ^ [0, l]k.
n = 2 : Ce je Ao H A\ = 0 trditev očitno drži, zato privzemimo, da je Ao fl Ai ^ 0. Ideja dokaza je naslednja. Najprej bomo uporabili h-Rungejev izrek, da bomo prereze, definirane na okolici A0, nad A0 H A\ aproksimirali s prerezi, definiranimi na okolici Ai, saj lahko lepimo le bližnje prereze. Vse to bomo naredili s homotopijami. V drugem koraku pa bomo družini prerezov zlepili.
Aproksimacija.    Ker je Q krepki okoliški deformacijski retrakt v [0, l]k, lahko z reparametriziranjem v [0, l]k dosežemo, da bo pogoj /f'* = fj   veljal za vsak q G Q\,
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
41
kjer je Q\ C [O, l]k neka odprta okolica Q. Kocke [0, l]k reparametriziramo enako za vsak parameter p G P kot v dokazu posledice 1.1.1. Naj bosta P'l)Q'l odprti okolici za Po,Q po vrsti, kompaktno vsebovani v P\,Qi po vrsti.
Uporabili bi radi h-Rungejev izrek 1.3.2. Družino preslikav in množice, ki nastopajo v predpostavkah izreka, bomo navedli spodaj. Vlogo časovnega parametra t iz izreka bo prevzel krajevni parameter, to je parameter, ki določa simplicialni kompleks K(Ao,A\) (ta je daljica), in sicer tako, da se premikamo od krajišča, ki pripada A\ proti krajišču, ki pripada A0. Naj bo fl dana fc-prizma nad K(A0, A\). To pomeni, obstajata odprti okolici Uq,Ui C X za A0, Ai po vrsti in zvezna družina takih preslikav {fjq : | J| —> 0(Uj, Z), J G K(Aq, A\), q G [0, l]fc}, da je za vsako lice J C K(Aq, Ai) izpolnjena zahteva
jqV-) = Ji,q\S-)\uj z& vsako lice 1 C K{A0, Ai), 1 C J.                         (7)
V K(Ao, Ai) imamo samo 3 lica: (0), (0,1) in (1). Za lici (0) in (1), ki sta točki, dobimo samo družim preslikav ap>q = /f0N (UJ : Uq —> Z m bp>q = /f^ (UJ : Ui —> Z, p G P, q G [U,1J . Lice (U, 1J pa je daljica, parametnzirana s parametrom t G [U, 1J, zato je jj za vsak fiksen par p, q naslednja 1-parametrična družina: ffn ,^ (t) : Uin n = C/nlK/i —> ZA G 1(0,1)1 = [0,11. Zahteva (7) za te družine pomeni, da se na UnCiU-i družina ffn ^ (0) uiema z a„ „, družina/>n , n 1 pa se uiema z družino bvn. Družina tvnt '¦= t n -n 1-t ,tL 0,1 je družina holomorfnih prerezov Z, ki je definirana na Uq fl C/i in pri t = 0 so prerezi definirani na U\ (saj se ujemajo s prerezi bPtq). Poleg tega pogoj, da za vsak fiksen p prizme fl mirujejo na Y pomeni, da se vse homotopije iz teh prizem na Y D Uo D U\ določajo en sam holomorfni prerez na Y fl (Uo U Ui). Ker je za vsak p G Pi prizma fl konstantna, se (za vsak p G Pi) prereza aPA in bPA ujemata na preseku definicijskih območij, kar pomeni, da vse homotopije iz te prizme določajo en sam prerez na UqVMJ\. Podobno je za parameter q. Ce je prizma fl konstantna za nek q G [0,1] , to pomeni, da vse homotopije v fl sovpadajo na preseku definicijskih območij in tako določajo prerez fV)q nad UqVMJ\.
Po h-Rungejevem izreku 1.3.2. za K = Ao D Ai, U := Uo D Ui, V = Ui, množice (P[ x [0, l]fc) U (P x Q'i), (Pi x [0, l]fc) U (P x Qi), P x [0, l]k namesto Po, P\, P in družino Jpat) obstajata manjši odprti okolici Uq, U[ za A0, Ai po vrsti in zvezna družina prerezov 9v,q,t,s '¦ UqHU'i —>¦ Z, ki na K aproksimira začetno družino, za vsak fiksen (p, q) G Px [0, l]k miruje vzdolž Y, prereze gP,q,t,i je mogoče razširiti na U[ in homotopija miruje, če je p G P[ ali q G Q'i ali t = 0. Da ne bo še več oznak, zamenjajmo U'0 in U[ z oznakama
p,s
Uq,Ui. Z druzmo prerezov gPtqtt,s definiramo zvezno družino holomorlmh /c-pnzem j^ nad K(Ao,Ai), p G P, s G |0,1J, ki povzeuje začetno prizmo /j := /+ s prizmo / + na naslednji način (zamenjati moramo smer parametra t in biti previdni pri definicijskih
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
42
območjih). Za vsak p G P, q G [0, l]fc, in s G [0,1] definirajmo
~^p,s
/(o)o(°) := aP,g>
/(1) g(0) :=
9p,q,0,2s,        S G  [0,1/2],
9p,q,2s-l,l,     S G  [1/2, 1]
/(0 1) g(^)  :=
jp,s                      gp>q>i-t,2stj          s L [0,1/2],
9p,q,l-2t(l-s),t,     S G  [1/2,1].
Opomba. če gledamo par (g, s) kot parameter v [0, l]fc+1, je /,' , p 6 P, zvezna družina (fc + l)-prizem.
Lepljenje. Pišimo aP)9 := aPtQ = /(0),g(0), 6p,g := f([),q(0) in /pgt := f^,i),q(t). Spomnimo se, da je družina aPtq definirana na Uq D A0, družina bp>q na U\ D A\ in da homotopija fpqt, definirana na Uq H U\, povezuje družini ap>q in bp>q. S h-Rungejevim izrekom smo dosegli, da za vsak p G P,q G Q velja d(fpgt(x),aPtq(x)) < s za vsak x6 j4oflAi,i6 [0,1]. Zdaj pa lahko uporabimo izrek 1.4.1. (splošni izrek izrek o lepljenju z interpolacijo) za množice A = A0, B = Ai, U = Uq, V = Ui, družine aPtq, bPtq, fpqt in prostore parametrov (P[ x [0, l]fc) U (P x Q'i), (P\ x [0, l]fc) U (P x Qi), P x [0, l]k namesto Po,Pi,P Podobno kot pri h-Rungejevem izreku je rezultat zvezna družina k-prizem f%'s,p G P, s G [0,1], z lastnostmi:
-za vsaka p, q družina /f'* miruje na Y,
-če je p G P[ ali q G Q[ je 1-prizma /f'* konstantna in
~f*q Je konstantna za vsak p G P,5 G Q.
Družini /^   in /P'8 skupaj določata homotopijo med začetno in po nivojih konstantno prizmo:
f?p,t    :=    fp,2t, t ? [0, 1/2],
~ f?p,t    :=   fp,2t-1, t ? [1/2, 1].
n = 3 : Zaradi boljˇsega razumevanja bomo posebej pojasnili ˇse ta primer, in sicer brez interpolacije in brez zahteve, da morajo homotopije ostati fiksirane za p ? P1. Videli bomo tudi, zakaj je potrebno imeti homotopije fiksirane za doloˇcene parametre in zakaj mora biti izrek formuliran za prizme poljubne dimenzije (samo kompleksi niso dovolj).
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
43
Imamo simplicialni kompleks K(A0,Ai,Ai), Uo,Ui,U2 naj bodo odprte okolice za A0, Ai, A2 po vrsti, in f%,p E P, zvezna družina holomorfnih fc-prizem nad K(A0, Ai, A2). Privzemimo, da je Ao n A\ n A\ ^ 0 in predstavimo |X(Ao, A\, A2)\ kot trikotnik T v R2 z oglišči (0,0), (1,0) in (0,1), ki ustrezajo množicam Aq,A\,A2 po vrsti. Prostor parametrov, ki pripada fc-prizmam, je T x [0, l]k.
Primer n = 2 pove, da lahko družino J*\k(a0,Ai) s homotopijo /f'*,t G [0,1], premaknemo do take družine fc-prizem, ki bo po nivojih konstantna. Na prostoru parametrov to pomeni, da smo na ploskev [0,1] x 0 x [0, l]k nalepili kvader [0,1] x [—1,0] x [0, l]k. Ker je prostor T homeomorfen T U [0,1] x [—1,0], lahko družini f% in f^'f reparametriziramo tako, da bomo dobili družino fc-prizem, ki bo na K(Ao,A\) po nivojih konstantna. V jeziku prerezov to pomeni:   nad odprto okolico U D Ao U A\ imamo družino prerezov
^      Ti          ^                  t                                                                                  —~.                  ~\         ~'                                                                 LV         /A
a>Ptq,p E r,q E [0,1], nad odprto okolico U2 D A2 druzmo prerezov bPtq = /f2^ (O); za vsak (p,q) G P x [0, l]k imamo tri holomorfne homotopije:
-  holomorfno homotopijo prerezov fp,q,(o,2),t, definiranih nad Uq D U2, ki povezuje prereza aV)q in bPtq, t G [0,1]; to homotopijo popisuje stranica trikotnika T, določena z ogliščema (0, 0) in (0,1),
-  holomorfno homotopijo prerezov ^,5,(1,2),*, definiranih nad U\ D U2, ki povezuje prereza aV)q in bPtq, t G [0,1]; to je homotopija, ki jo popisuje stranica T, določena z ogliščema (1, 0) in (0,1);
-  holomorfno homotopijo prerezov fp,q,(o,i,2),s, s E T, definiranih nad Uq D U\ D U2 ki povezuje homotopiji fp,q,(o,i),t in fP,q,(i,2),t in miruje za s2 = 0, ker imamo nad spodnjo stranico trikotnika konstanten kompleks in miruje za s2 = 1, ker je to le točka.
Naj bo S = [0, l]2 in r : S x [0,1] —> S krepka deformacijska refrakcija S na T v vodoravni smeri. Reparametrizirajmo družino fp,q,(o,i,2),s, s E T s predpisom fp,q,(o,i,2),s '¦= fp,q,(o,i,2),r(s), s = (S1)S2) G S. Definirajmo simplicialni kompleks K1 := K(A0 n Ai,Ai n A2) in sestavimo zgornje tri homotopije v (k + 1) prizmo FL nad K1 na naslednji način:
-  prerezi ap>q so na spodnji stranici S, (s2 = 0)
-  homotopija fp>qt(o,2),t js na levi navpični stranici,
-  homotopija fPtqt(it2),t Je na desni navpični stranici,
-  na zgornji vodoravni stranici imamo konstantno homotopijo, ki jo določa prerez bp>q,
(s2 = 1)
-  v notranjosti kvadrata imamo homotopijo /M,(o,i,2),s-
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
44
Za vsak (p, q, s2) G P x [O, l]k x [0,1] zgornje homotopije definirajo holomorfni kompleks F?„ „   na naslednji način:
rfn\            U        =       /Tn o^     W    U, So      ,
i</n ,»            Si         =        tfn i  n\     WSl,So )),
U.l   .0.8    ^     L'                J    U.1,2   .0 ^     ^     ^ '      ^
(U,l),g,S2 v      '                ^ (u,l,2),g
(!),(/,S2
f(i\       U     =     /,o\  (ril, so))
Lica (U), U, 1 ,  1  so lica kompleksa K  , torei so prerezi pfn-.       U  aenmram na Uor\Uo,
 \         /'  \    /                                                                     J                                (,UJ,g,82 ^    '                                        v         L•)
prerezi Kv, ^ s i aenmram na (Uo(\ Uo) i\ (U-t (I L/o m prerezi p;-.-, U aenmram na U\ n [/2- Lica (O, 2), (1, 2), (0,1, 2) so lica kompleksa K(Ao, A\, A2).
Z                    -Cl                                                   ~                                     i*                                                                   7^P                               ~
a vsak nksen nabor p,g,S2 želimo prerez jPtq^it2),s2 (ki mu ustreza r[i)QS ) vzdolž
nomotopije /p,g,(o,i,2),(si,s2)) si ^ [u, 1J (ki ji ustreza /^ 1-)   s (Si)) pomakniti blizu prerezu
jp,q,(o,2),s2 (temu ustreza r^      ) m ju potem zlepiti, da bomo dobili za rezultat prerez
fP,q,s2i definiran nad (Uo D U2) U (U\ D [/2)- Pri vrednosti parametra S2 = O imamo prerez
aV)q definiran nad Uo U U\, za S2 = 1 je prerez bPtq definiran nad U2, nad presekom pa
bomo dobili homotopijo fp,q,s2) s2 G [0,1] med aPA in bp>q. Taki družini prerezov pa znamo
zlepiti (korak n = 2). Na kar moramo pri aproksimaciji in lepljenju paziti je, da se prerezi
pri vrednostih S2 G {0,1} ostanejo enaki, saj bi v nasprotnem primeru za rezultat dobili
homotopijo, ki s prerezi aPM in bPM nima nobene zveze. Aproksimacijo in lepljenje moramo
narediti zvezno v parametrih p, q, S2-
Ker je K1 kompleks dolžine 2, lahko uporabimo primer n = 2 za (k + l)-prizme Fp
in množico Q = [O, l]k x {0,1} in za rezultat bomo dobili družino (k + l)-prizem, ki je
po nivojih konstantna, kar pomeni, da imamo med prerezi aPA in bPA homotopijo nad
(Uo U U\) n [/2- Ker je (A0 U A\, A2) Cartanski par, lahko spet uporabimo korak n = 2 in
zlepimo prereze aPtQ in bp>q.
n —» n + 1 : Naj bo
Kn+   := K(Ao,... , An+i),
Kn := K(Ao,... , An),
K™ := K(Aq n An+i,... ,An n An+i),
Q C [O, l]k dana množica in fl taka zvezna družina fc-prizem nad Kn+l, da je kompleks fl konstanten, če je q G Q ali p G P\ in za vsak fiksen p G P prizme mirujejo na Y. Naj bo P[ C P\ taka odprta okolica za Po, da je P\ C P\. Po indukcijski predpostavki s P[ namesto Po obstaja pot /f'* med fc-prizmo
f* := {f\j) J ^ Kn}
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
45
in tako prizmo /f'1, da je fp'q konstanten kompleks za vsak p G P, q G [0, l]fc. če je g G Q ali p G P[, je /f'* = /f'° za vsak t G [0,1]. Zato smemo privzeti, da je že kompleks fp konstanten na Xra x {g} za vsak p G P, q G [0, l]fc. Definirajmo družino (k + l)-prizem
*  := {-Fj '¦ \J\ X [U, 1J    X [U, 1J —>  U{Uj, Z),  J G iv1 }
s predpisom
77^ /                             LV             (       (                                              ^    I    Ti    w    Tn      lfc   w    [A      1            ^     ISTI
Pj{u,q, s) := j(jn+i)vn{u, s),q), (u,q, s) G \J\ x [u, 1J   x [U, 1J, J E Kl.
Na tem koraku smo dolžino kompleksa zmanjšali za 1 in imamo tako en krajevni parameter manj, vendar smo zato morali dodati še en časovni parameter. Družina (k-\- l)-prizem Fp ustreza indukcijski predpostavki za množico Q\ := Q x [0,1] U [0, l]k x {0,1}. Zato obstaja pot Pjf'*, t G [0,1], ki miruje za q G Q\ ali p G Po, tj. Fp'fq = P*,g, q G Q\, Fp'° = Fp in je FL'g konstanten kompleks za vsak p G P, q G [0, l]fc+1. To pa pomeni, da smemo privzeti, da so prizme fp take, da je za vsak p E P družina preslikav
l/jlG J|nRn x{s})x{t} >   <J  E J\        j
konstanten kompleks za vsaka s G [0,1], t G [0, l]k.
Take prizme pa predstavljajo holomorfne prizme fp nad Cartanskim parom (A0 U... U An, An+i), zato po indukcijski predpostavki obstaja taka pot /f'* med fp'° = fp in prizmo /f'1, da je za vsak t E [0,1] fp'fq = /f za g G Q ali p G Po in je fpq konstanten kompleks za vsak p E P, q E [0,1] .                                                                                               X
Posledica 1.8.1. ./Vaj bo X Steinova mnogoterost, Z kompleksna mnogoterost, Y C X analitična podmnožica, h : Z —> X holomorfna submerzija, ki lokalno dopušča spray, prostori parametrov Po,P\,P in Cartanski niz (A0,...,An) kot v trditvi 1.8.1., Kn := K(A0,... ,An) in fp = {/j, J E Kn} zvezna družina holomorfnih kompleksov nad Kn, ki za vsak p mirujejo na Y in so konstantni za vsak p E P\. Potem obstaja zvezna družina poti jp,t, t E [0,1], p E P, med fp'° = fp in konstantnim kompleksom, ki je konstantna za vsak p E Pq in miruje na Y.
Ce so kompleksi fp := fl\K(A0,...,An-i) konstantni za vsak p E P, lahko pot fp'f izberemo tako, da je fp'f := fp't\K(A0,...,An-1) konstanten kompleks za vsak t E [0,1]. Naj bo fp(t) zvezna družina prerezov nad okolico A0 U ... U An_\, ki jo definirajo konstantni kompleksi /f'*. Potem lahko pot fp,t, t E [0,1] izberemo tako, da je fp(t) poljubno blizu fp(0) nad
/ig U . . . U ^±n   1 •
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
46
Dokaz. Prva trditev je direktna posledica trditve 1.8.1. za 0-prizme. Dokažimo še drugi del posledice.
Naj bo Kn~l := K(Aq, ... , An-i), Kn := K(Aq, ... , An) in f% zvezna družina takih holomorfnih kompleksov nad Kn, ki mirujejo vzdolž Y, da so holomorfni kompleksi fl := {/j, J G K™1-1} konstantni in so kompleksi /^ konstantni za vsak p E P\. Holomorfni kompleksi /f določajo s predpisom
ra—1
Fj(u, s) := ffJnJrn-i(u,s)), (u, s) G | J| x [0,1], J E K"
kjer je X™~ := X(A0 H An,... , Ara_! n An), zvezno družino holomorfnih 1-prizem FL, ki so konstantne za s G {0,1} in mirujejo na Y. Po trditvi 1.8.1. za Q := {0,1} obstaja taka pot Fl'1 med F^'° = F% in prizmo Ff'1, ki za vsak p G P miruje na Y, da je F^'1 = FLs, če je s G {0,1} ali p G Po, m Je F^'1 konstantni kompleks za vsak s G [0,1],p G P. Zato smemo privzeti, da so kompleksi /f taki, da je družina preslikav
\J J\ (| J|nR.n~* x {s}) x {i} ?   »V  t Iv    j
konstanten kompleks za vsaka s G [0,1], t G [0, l]k in imamo za vsak p G P homotopijo med prerezom, definiranim nad okolico Ao U... , Uj4„_i, ki ga določa konstantni kompleks
lir)  '                                 LV    /r\\            •                                          1                 /1
p m prerezom n> () , ki le definiran na okolici A„.
rn                                                                                                                                                                                                                             ž7^
lake komplekse pa lahko (kot prej) razumemo kot holomorfne komplekse /^ nad kompleksom K1 := X(A) U ... U An-i,An). Zdaj pa imamo primer n = 2 iz trditve 1.8.1., saj je X1 simplicialni kompleks dolžine 2. Po h-Rungejevem izreku (izrek 1.3.2.) in lemi
 ~rP>t               ~rP        ~rPfl
o lepljenju (izrek 1.4.1.) obstaja taka pot /^ med /^ = /^ m konstantnim kompleksom /V , da je /(o)(0) na Ao U ... U ^4ra-i tako blizu /(o)(0), kot želimo in miruje na Y.        X
Trditev 1.8.2. (Lema o lepljenju za zvezne prizme). Naj bo X Steinova mnogoterost, Z kompleksna mnogoterost, Y C X analitična podmnožica, P kompakten Hausdorffov prostor, Po C P, Q\ C [0, l]k dani množici, (A0,..., An) Cartanski niz in /f toA;a zvezna družina zveznih k-prizem, da je f\ konstantni kompleks za vsak q G Q\, prizme f\ so konstantne in holomorfne za p G P\,q G [0,1] in za vsak fiksen p G P prizma /f miruje na Y. Potem obstaja taka zvezna družina poti /^'* med /^'° = /^ in prizmo fl'1, ki miruje na Y, da je /f'* = /f za q E Q\ ali p G Pi in je /f'1 konstantni kompleks za vsak q G [0, l]fc. C*e je prerez f?0<, (0) (H je definiran na okolici množice Aq) holomorfen na okolici množice A0 \ int(Ai U ... U An) za neka p G P, q G [0,1]', lahko pot fl'1 izberemo tako, da bo tudi fL\   (0) holomorfen na (moaoče manjši) okolici An \ int(A-\ U ... U A„).
Dokaz. Spet bomo trditev dokazali z indukcijo na n.
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
47
n = 2 : Če je Aq n Ai = 0, trditev očitno drži, zato privzemimo, da je Aq n Ai ^ 0. Nai bo fi = i />nN, f/-,N, f/n „ dana družina fc-prizem m c/n, c/i odprti okolici za An,Ai iz definicije prizme nad K(Ao,A\). Ker je (Ao,A\) Cartanski par, obstaja taka zvezna funkcija x '¦ Uo U U\ —> [0,1], da je x = 0 na okolici Uo \ U\ in \ = 1 na U\ \ Uo- Funkcijo X lahko izberemo tako, da je X_1((0>1)) H (A0 U A{) C A0 n Ai. Za vsak g G [0, l]fc,p G P definirajmo
J(0)     \V)\X)y              X E  Uo  \ U\,
f?0 1-)  (x(;r))(;r))   ^ 6 C/ofK/i,
ffi\    (l)(x),           X G  U\  \ Ua.
Za vsak (p,q) G P x Q\ U Pi x [0,1] označimo z /^ prerez, ki ga določa konstantni kompleks f% . Očitno je P? = /^ za vsak g G Qi ali p G Pi, saj so bili kompleksi konstantni. Takoj opazimo, da se Ff! na Y ujema z vsemi homotopijami, saj so te na Y mirovale in da je prerez P^ holomorfen na okolici Ao\ A\, če je bil tak tudi prerez /*\ Družina zveznih prerezov P? definira tako zvezno družino zveznih fc-prizem Pjf, da je za vsak q G [0, l]k,p G P kompleks Pf   konstanten. Za vsak t G [0,1] je s predpisom
V t                        I    Pol    \V)\x)y                X E Uo \ U\,
w,?                           t/ni\   (tY(x))(x),    XEUo(\U-\,
tni\    (U)(X    :=  ffn -n        1 — i M + IY X      XK       X G L/n H L/i v t                        I    PlIoV^K^J)                                    X G  C/i \ C/o,
/m   (0)(x) :=           V      /1       l/1            /   -.-.-./   s                 rr       rr
()'q                            f,„„     1 — t 1 — Y x       X ,    X G Uo H C/i,
definirana pot fl'1 med prizmo /^'° = /f in prizmo J^'1 = Pjf, ki miruje na Y in je konstantna, če je q E Q\ ali p E P\.
n —» n + 1: Naj bo
PJra+     :=    PJ(A0,. . . , Ara+1), PJra    :=   K(A0, ¦ ¦ ¦ , An), K™   :=   K(Ao d An+\,..., An D An+\),
Qi C [0, l]fc, Pi C P dani množici in /^ taka zvezna družina zveznih fc-prizem nad Kn+l, da je fl konstantni kompleks za vsak q E Q\ ali p E P\ in za vsak fiksen p prizme /f mirujejo vzdolž Y. Po indukcijski predpostavki smemo privzeti, daje flq\Kn konstantni kompleks za vsak q E [0, l]k,p E P. S predpisom
Fj(u,q, s) := ffJn+1s(rn(u,s),q), (u, q, s) E \ J\ x [0,1]   x[0,1], J E K™
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
48
je definirana zvezna družina (k + l)-prizem Ff, ki ustreza indukcijski predpostavki za množico Q'x := Q\ x [0,1] U [0, l]k x {0,1} namesto Q\. Zato obstaja taka zvezna družina poti -Ff'*, ki miruje na Y, da je FL'q = FL , q G Q\ ali p G P\, FL = F^'° in je Ff'1 konstanten kompleks za vsak q G [0,1] +1,p G P. To pa pomeni, da smemo privzeti, da je da je prizma /^ taka, da je družina preslikav
{fj\(\J\nnn-1x{s})x{t}, J ^ Kn}
konstanten kompleks za vsak s G [0,1], t G [0, l]k,p G P. Kot prej to pomeni zvezno družino zveznih fc-prizem f%,p G P, nad K1, kjer je K1 := X(A0 U ... U An_i, An), zato po indukcijski predpostavki (oz. primeru n = 2) obstaja taka zvezna družina poti /f'* med /^'° = /^ in prizmo /jf'1, ki miruje na Y, da je f%'q = /^ za g G Q ali p G Pi in je _/?« konstanten kompleks za vsak q G [0, l]k,p G P.                                                             X
Posledica 1.8.2. ./Vaj feosča Q\ C [0, l]fc in P\ <Z P dani množici. če je k-prizma fj nad kompleksom K = K(A0,..., An) taka, da je zožitev f^q\K(A0,...,An-1) konstanten kompleks za vsak q G Q\ ali p G P\, je pot /f'* iz trditve 1.8.2. taka, da je
fj'q(u)(x) = fj„(u)(x), x G A   \ intAn, J G K, q G Q\ ali p G P\.
Recimo, da je dano naraščajoče zaporedje kompleksov {/™}raeN0 in da kompleks /™ po poti zapeljemo v konstanten kompleks /™. Naslednja lema opisuje, kako z repara-metriziranjem zvezno popravimo zaporedje kompleksov {fk}keN0 v zaporedje {/ }fceN0> rn __ tn ja pOS^ane naraščajoče.
Lema 1.8.1. Naj bodo X, Y, Z in P kot doslej in {f%'k}k€Noi P L P družina zaporedij (holomorfnih ali zveznih) kompleksov (f%'k je kompleks nad K(Aq, ¦ ¦ ¦ ,Ak)), ki za neko naravno število n G N zadošča pogojema:
-  kompleksi fl'k so konstantni za k < n — 1 in
-  zaporedja {fl'k}k&t0, p ^ P so naraščajoča.
Naj bodo h% take l-prizme nad K(A0,..., An), daje h^0 = f^'n in h^ konstanten kompleks. Potem obstaja taka družina naraščajočih zaporedij 1-prizem {^*'fc}fceN0; kjer so Hl'k prizme nad K(Aq, ..., Ak), da je H^'0 = fl'k in H^\ \K(A0,...,An) = ^* i> k > n. če za nek p G P kompleksi fl'k,k G N in prizma h?^ mirujejo vzdolž Y (oz. so konstantni) tudi l-prizme H^'k mirujejo na Y (oz. so konstantne).
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
49
Dokaz. Naj bo m tako najmanjše naravno število, da je Amo n (A0 U ... U An) = 0 za vsak Too > to. Množica |X(A0,..., Am)\ leži v Rm, množico |X(A0,..., An)\ C Rra pa bomo identificirali z |X(Ao,..., An)\ x {o}"1-"- c Rm.
ei                e2
eo                                     e3
e5                e4
Sličica 2: telo kompleksa |X(Ao,..., An)\ za n = 5.
Na zgornji sliki je telo takega kompleksa K(A0,..., An), da je Aj n Aj n A^ = 0 za vsak nabor i,j,k,Q<i<j<k<n, na spodnji pa primer kompkeska K(Ao,... Am) za zgoraj izbrani m (v tem primeru m = 9), kjer so edine tri množice z nepraznim presekom Aa, A4 in Ag.
e%                                       e\                  e2
eo                                     e3
e7                e6
Sličica 3: telo kompleksa |X(A0,..., Am)\ za m = 9.
Definirajmo množico M s predpisom
M := |X(A0,... , Am)\ x {0} U |X(A0,... , An)\ x [0,1] C Rm+ .
Množica M pove, kako smo prizme hP^ ‘nalepili’ na komplekse f%' , k > n. Definirajmo točke v o,..., vm
/ e^ + em+i,   j < n, f7- :=
1.8    Lepljenje prerezov nad Cartanskimi nizi
50
V\
V2
68
e-j
66
Vo                                             V3
ei             e2
eo       t>5             v4              e3
65
64
eg
Sličica 4: množica M.
Vsakemu licu J = (io,..., ik) G K(Ao,..., Am), io < ... %i < n < ... < %k pridružimo lice Jn = (io,---,ii) G K(A0,...,An) in množico točk Jc := {ei0,... ,eih,Vi0,... ,Vih}. Množica \JC\ naj bo konveksna ovojnica množice Jc. Vsak parameter u G | J\ lahko (na en sam nacmj zapišemo kot u = 2^ii=\ujej- Množica M je retrakt množice
R:={\JC\, J G K(A0,... , Am)}
in retrakcijo r lahko izberemo tako, da zadošča pogoju
r(l^c|) = \J\ U (| Jn\ x [0,1])
za vsako lice J G K(A0,..., Am).
Sličica 5: množica R.
Naj bo s{u,t) := r(ti>o(l — l^j=iuj) + Z^7=iU ~~ ^)ujej + ^ujvj)i kjer Je r omenjena retrakcija. S pomočjo preslikave s lahko definiramo 1-prizmo H^'m nad K(A0,..., ATO):
ti j   [u, t) :=
j j    {s{u,t)) ,    s{u,t) G R    x {U}, hpJn (s(u,t))        sicer ,
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
51
za vsak u  E   \J\, J   E  K {A0,... , Am). Brez težav se prepričamo, da je tij   {u,0)  = j   («), ii;^ |k(a0,...,a„) = 1% i m ^j   (.^jij = tij   \u->v) za vsak u E \J\ m vsako lice J E K(Aq, ...,..., Am), ki ne seka K(Aq, ... ,An). Naj bo H%'k := -fff'm|K(yio,...,Afc) z& k < m. Z& k > m definirajmo 1-prizme s predpisom
fc»                   ti i   (u,t),   u E \J\, J E K [Aq, ... , Am),
------                CVk/                                              I    71
j j   {u)          u E \J\, J E K (A0,. . . , Ak) \ K (A0,. . . , Am).
Hj(u, t) := Očitno je zaporedje prizem {Hk}k^f>}0 naraščajoče.                                                             X
Posledica 1.8.3. Naj bosta Q C [0,1]' in P\ C P dani množici, {fk'p}k&i0 Pa družina zaporedij (holomorfnih ali zveznih) l-prizem (fl'k je prizma nad K(A0,..., Ak)), ki za neko naravno število tieN zadošča pogojem:
-  kompleksi fl'k so konstantni za q E Q,
-  prizme fj'k so konstantne za p E P\,
-  kompleksi fl'k so konstantni za q E [0,1]' in k < n — 1,
-  za vsak p E P prizme mirujejo na Y in
-  za vsak p E P je zaporedje {/^'fc}fceN0 naraščajoče.
Naj bo h? taka družina (l + l)-prizem nad K(Ao,..., An), ki za vsak fiksen p E P
'      '              J     7-                       '         P                        LT) n                                     ^    [n        il      '        IV                                                                    7
miruieio vzdolž Y, da ?e h , „> = vi'„\ za vsak a E U, 1 ?e n. , ... konstanten kompleks, za vsak p E P\ je prizma n% konstantna m velja ft^/ t> = /i^, 0-, za vsak q E Q. Potem obstaja družina naraščajočih zaporedij (/ + 1)-prizem {H^'k}k^-N0, kjer je H^'k prizma nad
T^ /   A                   A             7                TVM                 rrt k        TVM       I                                     p                                       ^    [r\      1/           \
A (/in,... , -A/v), aa ?e H J, ^ = tr„ , H',  .Jt-Mn    a ) = h\ ,  n za vsak g G  U, 1   , k > n
7P,/c                  TTVik
 I    +\   =   W    /    n\
m Ji ,  ,n = Ji  , ns ^a vsa/c i G  U, 1 , o E (J aliv E P\.
XqjA                   ,U7.U                                          l        j?  ^        "^             r               i
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
Najprej bomo dokazali izrek za primer, ko sta X in Z mnogoterosti in Y C X analitična podmnožica. Ponovimo predpostavke: P je kompakten Hausdorffov prostor, Po C P je zaprta množica in P\ C P njena odprta okolica, K d X holomorfno konveksna kompaktna množica, U C X njena odprta okolica, ap : X —> Z, p E P, zvezna družina zveznih prerezov, ki so holomorfni na U, za vsak p E P so prerezi ap\y holomorfni in za vsak p E P\ so prerezi ap holomorfni na X. Konstruirali smo že tako Cartansko pokritje A =
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
52
{A0, Ai,...} mnogoterosti X, da je K C A0 \ (A\ U A\ U ...) in začetno družino razdrobili v družino majhnih holomorfnih prerezov (začetna družina holomorfnih kompleksov), ki jih z začetnimi prerezi povezuje zvezna homotopija, ki miruje na Y (začetna družina zveznih prizem). Dokazati moramo dve stvari: da družino majhnih holomorfnih prerezov lahko zlepimo v družino globalnih holomorfnih prerezov in da lahko poiščemo homotopijo med družino začetnih zveznih prerezov in dobljeno družino globalnih prerezov, ki bo mirovala na Y in bo aproksimirala začetno družino nad K. Naši začetni podatki so družina naraščajočih zaporedij holomorfnih kompleksov
f*'   = {/j    : 1^1 ~* @(Uj, Z), J G K(Aq, ..., Ak)}, p E P,
ki za vsak fiksen p G P mirujejo na Y in so konstantni za vsak p G P\ in tako naraščajoče zaporedje 1-prizem
9V*    = {<7j   : 1^1 x [0> 1] ~* @(Uj, Z), J G K(Aq, ..., Ak)},
ki za vsak fiksen p G P mirujejo na Y in so konstantne za p G P\, da je za vsak p G P, k G N g^'0 konstantni kompleks, ki ga določajo prerezi ap in je g^\ = fj'k. Izberimo si e > 0 in naj bo d polna metrika na Z. Konstruirali bomo zvezno družino globalnih holomorfihn prerezov Fp (oziroma zvezno družino naraščajočih zaporedij konstantnih holomorfnih kompleksov {_Ff'ra}raeN0), ki zadošča d(Fp(x), ap(x)) < e za x G K in Fp\y = clp\y in naraščajoče zaporedje 1-prizem {/i*'ra}raeN0> ^*'o = f*'nj ^*'? = Fp'n, ki mirujejo na Y in so konstantne za p G P\. Dovolili smo si majhno nedoslednost. Odprto okolico P\ na vsakem koraku malce zmanjšamo, kar ne povzroča nobenih težav, saj želimo fiksirane homotopije le za parametre p E Po.
Prizme hp'n bomo nazadnje nalepili na ustrezne prizme gp'n in tako dobljeno družino naraščajočih zaporedij prizem Gp'n'° s homotopijami pomaknili v naraščajoče zaporedje konstantnih 1-prizem Gp'n, GVJ1 = G*'™' za i = 0,1. Ker je Gp'n naraščajoče zaporedje konstantnih 1-prizem, določa homotopijo Gv med ap in Fp, ki miruje na Y in aproksimira prerez ap nad K.
Zaporedja {Fp'n}n^^0 in {/i*'ra}rieNo bomo poiskali kot limito Fp'n := lim^oo Fp'n'k, hP/1 := linifc^oo hP1'n'k. Kako do takih dvojnih zaporedij pridemo, pove naslednja
Lema 1.9.1.  Obstaja zvezna družina holomorfnih kompleksov
F*'n'   = {Fj'n' , | J\ —> 0(Uj, Z), J E K(Aq, ¦ ¦ ¦, An)}, n,k G No, p G P,
ki izpolnjuje pogoje
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
53
(a) za vsak p E P je kompleks Fp'n'k konstanten za vsak n < k in zato določa holomorfen prerez Fp'k'k na okolici A0 U ... A^ za vsak k G N,
(6) za vsak p G P in k G N je zaporedje {Ffn'fc}reeN0 naraščajoče
(c)  d(Fp'n'k(x), Fp'n'k~l{x)) < e2~(k~l> za vsak x G A0 U ... U An, n < k,
(d)  za vsak p G P\ so kompleksi Fp'n'k konstantni,
(e)  za vsak p G P kompleksi Fp'n'k mirujejo na Y,
in družina holomorfnih l-prizem
hp'n'   = {hpjn'   : | J\ x [0,1 — 2~ ] —> 0(Uj, Z), J E K(Aq, • • •, An)}, n,k G No, p G P A;i izpolnjuje pogoje
(1)  ^*'o'    = /rn; ^ ^ ^0; p G P,
(2)  za vsak p E P in k E No je zaporedje prizem {/^'ra'fc}raeN0 naraščajoče,
(3)  za vsaA; s G [1 — 2_(-fc_1), 1 — 2_fc] je hp'™'k konstanten kompleks, ki ga kar identificiramo z ustreznim holomorfnim prerezom hps'n'k, definiranim nad okolico Aq U ... U An,
za x G Ao U ... U An, k < n (k >  l) in s E
M        O-(&— 1)   i        o—fcl
—                    ?      —            h
(5)  /^'™'fc = hp'™'k~l za s E [0,1 — 2~(k~l>], k,n G No, fc > 1, p G P,
(6)  h p^'_k = F p'n'k ,
(7)  za vsaA; p E P prizme hp'n'k mirujejo na Y in
(8)  za vsak p G Pi in k,n G N so prizme hp'n'k konstantne.
Opomba. Pogoj (8) pomeni, da za vsak p G Pi družina ftP'"-^ določa globalni holomorfni prerez, ki je enak začetnemu prerezu ap.
Dokaz leme 1.9.1. Spet indukcija na k. Kar bomo v tem dokazu počeli, je reparametriza-cija obstoječih homotopij in lepljenje prizem nanje, ki pa je neodvisno od parametra p G P. To pomeni: če so za fiksen p E P vsi kompleksi prizme mirovali na Y ali pa so bili konstantni, bo to veljalo tudi za nove komplekse in prizme pri istem p. k = 0 : Definiramo hp'n'° := fp'n in Fp'n'° = fp'n. Očitno je zahtevam (a) — (d) in (1) — (8) zadoščeno.
k —» k + 1 : Na tem koraku že imamo zaporedja kompleksov {Fp'n'm}neisi za m = 0,..., k, ki izpolnjujejo pogoje (a) — (d) in zaporedja prizem {hp'n'm}ne^ za m = 0,..., k, ki izpolnjujejo zahteve (1) — (8). Po indukcijski predpostavki je kompleks Fp'k'k konstanten in
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
54
zato določa holomorfni prerez Fp'k'k na okolici A0 U ... U A\.. Zato po posledici 1.8.1. obstaja taka družina poti Fp'1, p E P,t E [0,1] med kompleksom Fp'k+l'k in konstantnim kompleksom Ff'1 nad K(Aq, • • • , -Afc+i), ki za vsak fiksen p G P miruje na Y in je konstantna za vsak p G Pi (Pi je na tem mestu potrebno zmanjšati), da je Fp,t\K(A0,...,Ak) konstantni kompleks in je
d(Fp'\x),Fp'k'k(x)) <e2~k
za vsak x G A0 U ... U A^\ s Fp'* smo označili prereze nad A0 U ... U A&, ki jih določajo konstantni kompleksi Fp,t\K(A0,...,Ak)- Naj bo hp družina 1-prizem nad K(A0,..., Ak+i), ki jo določa družina poti Fp'f. Po lemi 1.8.1. obstaja tako naraščajoče zaporedje prizem {H*'n}neTss0> da je HP'$ = Fp'n'k, n G N0, HP'k+l = hp, za vsak p G P prizme mirujejo na Y in so za vsak p G P\ konstantne. Ker je zaporedje naraščajoče, je
H      '     =     H                     A               \
*                  *           |K (.Ao,...,AnJ
za n < fc + 1 in vsak p G P. Definirajmo
t—|tq 77   /i*-|- 1                      T'P TI
f*   '        := H*\ ¦
Popraviti moramo še prizme hp'n'k,k,n  G  N, p  G  P. To storimo tako,  da nanje nalepimo prizme HP'n :
 ~Lp,n,k 1                  ,b*,s     i
:=            jjP,n
 *,{s— 1
fc+1          "-* s     j                   S G:  [0, 1 — 2   fc],
'l*\s       -~       /P'ra                     s ^ M _ 2_fc 1 — 2~(fc+1)l.
Brez težav se prepričamo, da novi kompleksi in prizme izpolnjujejo dane pogoje.          X
Definirajmo
Fp'n :=  lini Ff'n' .
k—> oo
Zaradi pogoja (c) ta limita obstaja in zaradi pogoja (6) je Fp'n konstanten kompleks za vsak n G No. Iz pogoja (a) sledi, da je zaporedje kompleksov {Fp'ra}rieN0 naraščajoče, zato definira globalne holomorfne prereze Fp, ki zaradi pogoja (c) izpolnjujejo zahtevo d(Fp(x), ap(x)) < 2e za vsak x G A0. Zaradi pogoja (d) za vsak p G P velja Pp|y = ap|y. Podobno je s prizmami hp'n'k. Definirajmo
hp'n '¦= lim hp'n' .
k—> oo
Limitne prizme
ti*    = \tij    : |J| X [v, L) —>  U{U   ,Z)\
sestavljajo naraščajoče zaporedje. Ce dodatno definiramo
h pJ1 := F p'n ,
1.9    Dokaz izreka 1.1.2.
55
dobimo naraščajoče zaporedje 1-prizem {hp,'n}ne^0, ki izpolnjuje pogoja Iip'q = f^'n in nl\ = rL' m je dynj {u,t){x),ap{x)) < e za vsak x E A0 n /lj, (w,t) G |J| x [U, 1J, J G K(Ao,..., Ara), n G No in p G P. Zaradi pogoja (7) za vsak p G P, n G N prizme /i^'"-mirujejo na Y in zaradi pogoja (8) so za vsak p G P\, n G N konstantne. Zlepimo prizme <jr^'n in h^'n s predpisom
*,s
(    p,n
^mnO             V*2s)        S G  [0, 1/2],
Gi\'    :=         »                    n       n
S G   1/2,1 •
Za vsak n G N0 je prerez Gj (m, ij nolomorren na okolici {A0 \ int\A\ U ... U An)) n Aj in zadošča d(Gpjn' (u,t)(x),ap(x)) < 2e, x G K n AJ za vsak (m,t) G |J| x [0,1], J G K(Ao,..., Ara) in p G P.
Kar nam je še ostalo, je popravljanje tega naraščajočega zaporedja prizem do ‘po parametrih konstantnega’ zaporedja prizem, kar pomeni, da bomo homotopije, skrite v prizmah G^'ra'° po korakih zlepili v homotopije, definirane na vsem X. Spet nas čaka podobna induktivna konstrukcija kot prej, ko smo popravljali komplekse F^'n'°, le da nam na tem mestu ni treba paziti na homotopije, ki nastajajo pri popravljanju (na 2-prizme, ki bodo povezale GPi'n'k z GP.'n'k+l, podobno, kot so v prejšnjem koraku 1-prizme hPi'n'k povezovale komplekse F^'n'k in i^P'ra>fc+1).
Lema 1.9.2. Obstaja taka zvezna družina zaporedij zveznih 1-prizem {G^'ra'fc}raeN0; k G No, p G P, kjer so GPi'n'k prizme nad K(Aq, • • •, An), da velja:
(1)  za vsak k G No, p E P je zaporedje {G^'ra'fc}raeN0 naraščajoče,
(2)  za n < k je Gyt    konstanten kompleks za vsak t G [U, 1], p G P
(o) G j    [u, t){x) = G j        [u, t){x) za vsak u E |J|, x G [A   \ A^), J E K (Ao,... , A^),
(4)  Gyt    = Gyt    za t E {U, 1}, k,n E N0 m p E P
(5)  za vsak fiksen p E P\ so 1-prizme GP:n'k konstantne in
(6)  1-prizme GP1'n'k mirujejo na Y za vsak fiksen p E P.
Dokaz leme. Indukcija na k.
k = 0 : Ni potrebno ničesar dokazati, saj začetna zaporedja {G^'ra'°}raeN ustrezajo (1), (4),
(5) in (6).
k —» k + 1 : Po trditvi 1.8.2. obstaja pot G^'s,  s E [0,1], Gp''l = Gp't    ' ,  t E {0,1},
med QP'k+l'k in tako prizmo G^'1, da je Gp't konstanten kompleks za vsak t E [0,1] i
in
je Gpjs(u, t){x) = Gpj     ' (u,t)(x) za vsak x E (Aq U ... U A&) \ intAk+i- Ta pot definira
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za splošni primer
56
2-prizmo hp. Po posledici 1.8.3. obstaja tako naraščajoče zaporedje 2-prizem {HP'n}ne^j0, da je Hp'q = Gp'n'k za n G N0 in je HP'k+l = hp. Definirajmo
G*           := H^\ .
Novo zaporedje očitno ustreza vsem pogojeni.                                                                     X
Zdaj bo pa zares kmalu konec. Zaradi pogoja (3) za vsak n G N0 obstaja
QP,n ._    jjm   QP<n<   _
k—> oo
Zaradi pogoja (1) je zaporedje {Gp'n}ne^0 naraščajoče, zaradi pogoja (2) je G*'™ konstanten kompleks za vsak t G [0,1], zato določa družino globalnih prerezov Gp'*, t G [0,1]. Zaradi pogoja (4) je Gp'° = ap in Gp'1 = Fp za vsak p G P. Po (3) je vsak prerez Gp'*, t G [0,1] na okolici A0\int(AiUA2U...) holomorfen in zadošča d(Gp,t(x), ap(x)) < 2e za vsak x G K C Ao \ int(A\ U A2 U ...). Zaradi pogoja (5) je homotopija Gp,t konstantna za p G Po in po (6) za vsak fiksen p G P homotopija Gp,t miruje na Y.                             JI*
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za splošni primer
Privzemimo, da je X Steinov prostor. Za dokaz h-principa v primeru mnogoterosti smo reševali 5-enačbe na relativno kompaktnih strogo psevdokonveksnih podmnožicah v X z ocenami v sup normi, kar na singularnih prostorih zaenkrat še ni znano.
Najbolj naravna ideja je, da poskusimo prevesti problem na mnogoterosti. Idealno bi bilo, če bi za dano submerzijo h : Z —> X obstajali mnogoterosti Z' D Z, X' D X in submerzija h' : Z' —> X', h'\z = h, ki bi imela enak korang kot h. To so zaenkrat žal le lepe želje.
Ce natančno premislimo, smo potrebovali dejstvo, da je X mnogoterost, le za eksistenco omejenega razširitvenega operatorja (za razširjanje funkcij zFflDna D\ C X) in v lemi 1.4.1., kjer smo reševali 5-enačbe. H-Rungejev izrek velja tudi za Steinove prostore. Prav tako dobimo eksistenco lokalnih sprayev - trditev 1.4.3. velja tudi za Steinove prostore. Edina težava je lepljenje - lema 1.4.1. in iz nje izhajajoči izrek 1.4.1. Prednost leme 1.4.1. je, da imamo opravka s preslikavami v C in se nam ni treba ukvarjati s spravi in nelinearno strukturo na Z. V lemi 1.4.1. imamo: Cartanski par (A, B), odprti okolici U, V za A, B po vrsti in lepilne preslikave ipp. Ce sta A, B taka Steinova kompakta v Steinovem prostoru X, da je A U B Steinov kompakt, G = A n B Rungejeva v neki okolici V D B, znamo konstruirati lepilne preslikave ipp. V dokazu rešujemo 5-enačbo in samo na tem mestu potrebujemo strogo psevdokonveksnost A U B.
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za splošni primer
57
Recimo, da smo okolico Steinovega kompakta A U B vložili v nek evklidski prostor X' (to je vedno mogoče, ker je na relativno kompaktnih podmnožicah Steinovih prostorov vložitvena dimenzija navzgor omejena) in da obstaja tak Cartanski par (A', B') v X', daje A = A' C\X in B = B'dX. Recimo, da znamo zvezni družini holomorfnih preslikav ipp, ipPto razširiti do zveznih družin holomorfnih preslikav ip'p,ip'p0 '¦ C = (A'ilB') x Bm(jJ) —> CN, ki na C zadoščajo analognim pogojem kot ipp, ipPto (slikajo biholomorfno vlakna na vlakna in ip' 0(x', 0) = 0 za vsak x' G C). Zdaj pa lahko uporabimo lemo 1.4.1. za množice A', B' in lepilne preslikave ip' in dobimo prereze a'(3'. Definiramo ap := ol'\a, /3p '¦= /3'p\b m dokončamo dokaz kot v primeru mnogoterosti. Zadnji del dokaza, sestavljanje prizem, je samo še kombinatorika. Prva stvar, ki bi jo bilo potrebno narediti, je definicija Cartanskih parov na X v smislu zgornjega razmišljanja, torej (A, B) je Cartanski par v X, če obstajajo X', A', B' kot zgoraj.
Videti je vse lepo, ampak v resnici ni tako. Prvič, norma a' je odvisna od norme preslikave ip' na A' x Bn(t]), ki v splošnem nima nobene zveze z normo ipp na A x Bn(t]), kar pomeni, da izgubimo aproksimacijo na A. Drugič, zagotoviti si moramo eksistenco preslikav ip' 0 s predpisanimi lastnostmi. Ni nujno, da bo razširitev ip' 0 preslikave ipPto nad vsemi točkami iz C slikala vlakna biholomorfno na vlakna in da bo preslikava ip' enakomerno blizu ip' 0 nad C x Bn(t]). Veliko več upanja bi imeli, če bi bile preslikave vphpfl = (idx,ipp,o) kar identiteta. Zato bomo poskusili lepilne preslikave ipp popraviti tako, da bodo blizu identiteti.
Definicija 1.10.1. (Cartanski par v kompleksnem prostoru). Naj bo X kompleksni prostor. Urejen par kompaktnih množic (A, B) in X je Cartanski (ali C-par ali Cartanski niz dolžine 2) če obstaja odprta okolica U d X množice A U B, kompleksna mnogoterost X' in taka (ne nujno prava) vložitev t : U —> M, da obstajata kompaktni množici A', B' C X' z lastnostmi:
(i) A = A' n t{U) in B = B' n i(U),
(U) množice A', B', in A' U B' imajo bazo Steinovih okolic,
(iii) A'' \ B' n B'' \ A' = 0 (separacijski pogoj) in
(iv) množica C = A' n B' je Rungejeva v B' (C je lahko prazna).
Opomba. Par (A', B') je Cartanski v smislu definicije 1.2.1. in tudi par (A, B) ima vse lastnosti iz te definicije. Razlika je v tem, da po tej definiciji lahko Cartanski par vložimo v kompleksno mnogoterost na tak način, da imamo dovolj psevdokonveksnih okolic v X' (ne zahtevamo baze psevdokonveksnih okolic za i(A),i(B) ali i(A U B)). V primeru kompleksne mnogoterosti X obe definiciji sovpadata. Množici A in B sta lahko tudi prazni. Razširimo še definicijo Cartanskih nizov na singularne prostore.
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za splošni primer
58
Definicija 1.10.2. (Cartanski niz v kompleksnem prostoru). Naj bo X kompleksen prostor in A0, Ai,..., An C X kompaktne podmnožice (n > l). Zaporedje (A0, A\,..., An) je Cartanski niz dolžine n-\-l, če obstaja odprta okolica U d X množice AoU.. .UAn, kompleksna mnogoterost X' in taka vložitev t : U —> X', da obstaja Cartanski niz (A'0,..., A'n) v X' z lastnostjo A^ = A'^tiU), i = 0,..., n. Niz (A'0,..., A'n) bomo imenovali pridružen Cartanskemu nizu (Ao,..., An).
Lokalno končno pokritje A = (Ao, A\, A2,...) prostora X s kompaktnimi množicami je Cartansko pokritje, če je (A0, A\,..., An) Cartanski niz za vsak n G N.
Opomba. Ce je X kompleksna mnogoterost, zgornja definicija sovpada z definicijo 1.7.1. Dopuščamo, da so nekatere od množic Ai prazne.
Trditev 1.10.1. Naj bo X Steinov prostor s končno vložitveno dimenzijo in {t/j}ieN0 odprto pokritje za X. Obstaja Cartansko pokritje A = (A0, A\,...), podrejeno {t/j}ieN0-
Dokaz. Naj bo 1 : X —> CN prava holomorfna vložitev (za nek N G N) in U C CN Steinova odprta okolica množice t(X). Definirajmo U'_l := U\X in izberimo tako pokritje V[ C U, da je C/j = U[ H t(X). Po [HL] obstaja Cartansko pokritje A' podrejeno pokritju {C/J}, ki inducira Cartansko pokritje A, podrejeno {C/j}.                                               X
Posledica 1.10.1. Naj bo X Steinov prostor, K C X holomorfno konveksna kompaktna množica in U C X odprta, relativno kompaktna holomorfno konveksna okolica K. Naj bo {C/jjieNo tako odprto pokritje množice U, da je K C C/o- Potem obstaja tako Cartansko pokritje (Ao, A\,...) množice U, podrejeno pokritju {C/j}ieN, da je K C Ao in Aid K = 0.
Dokaz. Ker je U relativno kompaktna, ima končno vložitveno dimenzijo in zato obstaja prava holomorfna vložitev 1 : U —> CN za dovolj velik N. Razširimo pokritje kot v trditvi in uporabimo izrek [HL].                                                                                                X
Trditev 1.10.2. Naj bo (A,B) Cartanski par v Steinovem prostoru X, množica C := Ad B, kompleksna mnogoterost X', preslikava t in Cartanski par (A',B') pa pridruženi (A, B) (definicija 1.10.1.). Naj bo U d X odprta okolica množice A U B, V C U odprta okolica C in V C X taka odprta, relativno kompaktna psevdokonveksna okolica množice C = A' n B' (taka obstaja po definiciji Cartanskega para) X', da je (V D t(U)) CC t(V). Naj bo V{ CC V odprta množica, ki vsebuje C, P kompakten Hausdorffov prostor in 0 < 771 < r/ poljubni pozitivni števili. Za vsak e > 0 obstaja tak 8 > 0, da velja naslednje: če je
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za sploˇsni primer
59
ipp : V x Bn(0, rj) —> C   , p E P
zvezna družina preslikav, ki zadošča \\ipp(x,u) — u\\ < 8 za vsak (x,u) E V x Bj^(0,rj) in p G P, obstaja zvezna družina preslikav
ip' : V( x L>jv(0,?7i) —> C   ,
ki zadoščajo \\ip' (x',u) — u\\ < e za vsak (x',u) G V\ x Bj^(0,r]i), p E P in ip' (i(x),u) = t/jp(x,u) za vsak p G P in (x,u) ElJ x Bj^(0,r]i).
Dokaz. Da ne bo preveč pisanja, bomo t{U) kar identificirali z U C X'. Po definiciji je U d X' zaprta analitična množica. Definirajmo družino preslikav (f)p(x,u) = ipp(x,u) — u za (x, u) E V x Bn(t]) in p e P. Po privzetku je
< e.                                                (8)
Naj bosta D,Di C V x Bj^{rf) psevdokonveksni množici, ki vsebujeta V[ x Bj^(r]i) in naj bo D\ kompaktno vsebovana v D. Uporabimo omejen razširitveni operator Rd,d-l '¦ H°°(D Pl U) —> H°°(Di) z normo M iz izreka 1.2.4. po komponentah preslikav (pp in dobimo družino preslikav <f>' : D\ —> CN, ki zadoščajo oceni
\\(prt\\ijoo(j)i) ^ 1*1 \\tp\\L°°(DnU) ^ -IVIL•
Zadnjo neenakost dobimo iz (8). Naj bo 8 = e/M. Preslikave ip'(x,u) := (f)'(x,u) + u, (x,u) E V{ x L>jv(?7i), so razširitve preslikav ipp in so e-blizu preslikavi (x,u) -> tina V{ x Bn(t]i).                                                                                                                             Jl»
Trditev 1.10.3. Naj bo X Steinov prostor, V C X poljubna množica in r\ > r/' > 0 poljubno število, P kompakten Hausdorffov prostor, ipp : V x B^{rj) —> Cw zvezna družina takih preslikav, da je ipp(x, •) : B^{rj) —> CN injektivna za vsak x E V. Obstaja tak e > 0, da velja: če so preslikave ip' : VxB^ijf) —> CN take, daje \ip'(x,u) — ipp(x,u)\ < e za vsak (x,u) E V x Bn(i]'), je za vsak x E V in p E P tudi preslikava ip'p(x, •) : B^{rf) —> C injektivna.
Dokaz. Injektivna preslikava med prostoroma enake dimenzije je regularna, injektivnost in regularnost skupaj pa sta na kompaktih odprt pogoj.                                                X
Trditev 1.10.4. Naj bo X Steinov prostor, Z kompleksen prostor, V C X odprta holo-morfno konveksna množica, U G V Rungejeva v V, in LpPto = (idjj, Vv,o) : UxBn(tj) —> CN družina preslikav iz trditve 1.4-3. Naj bo r/' E (0,r/), U' C C U in e > 0 iz trditve 1.10.3.
1.10    Dokaz izreka 1.1.2. za splošni primer
60
Obstaja taka zvezna družina preslikav $P)o : V x CN —> V x CN, $P)o = {id,^Pfl) z tyPto(x,0) = (x,0) za vsak x E V, ki na U' x Bj^(r]') e-dobro aproksimira družino ipPto in ima zato inverz $p0 : <&Pto(V x B^ij]1)) —> V x B^{rj).
Dokaz. Ker je U x B^{rj) Rungejeva v V x Cw, lahko preslikave ipPto na C/' x Bn(i]') po posledici 1.3.2. poljubno dobro aproksimiramo s preslikavami $P]0 : V x Cw —> Cw, ki zadoščajo ^^(x, 0) = 0 za vsak x E V.                                                                                   Jl»
Dokaz leme 1.4.1. za Steinove prostore. Naj bo (A, B) Cartanski par v Steinovem prostoru X, (A', B') pridružen Cartanski par v mnogoterosti X' in t : V —> X' prava vložitev neke relativno kompaktne, holomorfno konveksne odprte okolice V D A U B. Naj bo U' C X' odprta psevdokonveksna okolica množice C = A' D B' in U = U' D t{V). V nadaljevanju bomo identificirali V z t{V) v X'.
Ker ima Cartanski par (A, B) vse lastnosti iz definicije 1.2.1., lahko definiramo preslikave s\tP, S2tP in <pp, Lppfi '¦ U x Bn(i]) —> U x CN po trditvi 1.4.3. Naj bodo $P)o preslikave iz trditve 1.10.4. in definirajmo p1 := $p0 o (fip in <pp0 = $~0 o <pPto- Ce so bile preslikave ifp dovolj blizu preslikavam ipPt0 in so preslikave $P)o dovolj dobro aproksimirale preslikave ippfi, bodo preslikave tpp = (idu, ipp) in tpp 0 tako blizu identiteti, kot želimo. Zdaj pa lahko uporabimo trditev 1.10.2. za razširjanje preslikav ^p z množice U' x Bn(tj) do preslikav ip' : U" x B^sij]1) —> CN, kjer je C/" CC C/7 in rj' E (0,rj). Ce so bile vse aproksimacije dovolj dobre, so razširitve ip' = (idu»,ipp) tako blizu identiteti idu//xc>v, kot želimo. Po lemi 1.4.1. dobimo zvezno družino preslikav a' ki so definirane na odprti okolici A" C X' za A' in zvezno družino preslikav /3' ki so definirane na odprti okolici B" C X' za B', ki zadoščata
/3p(x ) = >p (a (x ))                                                      (9)
za vsak x' G A" D B". Naj bo aP := Q!p|vrvt" in /3P := /3p|yns"- Ti dve družini preslikav tudi zadoščata enačbi (9) na V D A" D B",
Pp{x) = (pp{ap) = <p (ap) = $ Oo ipp{ap{x)), x E V \\ A   f] B ,                (10)
kar pomeni, da je $P)o(/3p) = >pp(ap) na V D A" D B" oziroma
s2,p ° *&p,o(/3p(%)) = si,p(ap(x))} x E V D A" n B". Družini preslikav
&P,t   =   si,p(t&p), t E [0,1], bP,t   =   s2,p ° &p,o(t/3p),t E [0,1] imata torej vse zahtevane lastnosti.                                                                                       X
1.11    Primeri prostorov s sprayi in uporaba
61
1.11     Primeri prostorov s spravi in uporaba
Trditev 1.11.1. Kompleksna mnogoterost F ima spray v naslednjih primerih ([Gr]):
(1)  F je kompleksna Liejeva grupa (spray generirajo levo invariantna vektorska polja, ki v enoti napenjajo TeF);
(2)  obstaja Liejeva grupa L, ki na F deluje holomorfno in tranzitivno (mnogoterost F je L-homogena); če je s : L x CN —> L spray na L in (p : L x F —> F delovanje grupe L na F, je s predpisom s(x,t) := (f)(s(e,t),x) definiran spray na F;
(3)  F = CN \ A, kjer je A algebraična podmnožica kodimenzije vsaj 2. Primer (3) je dokazan v [Pr]. Na podoben način dokažemo tudi naslednjo
Trditev 1.11.2. (Obstoj sprayev).   Naj bo U C Cn odprta množica (n > 1) in naj bo
S C U x C9 za q > 2 taka zaprta analitična podmnožica, da ima vsako vlakno T.x = {w G C9: (x,w) G S} kompleksno kodimenzijo vsaj dva v C9 (vlakno je lahko prazno). Privzemimo, da obstaja taka neprazna odprta množica Q C CP9_ , da je za vsak [v] G Q linearna projekcija 7TV: U x Cq —> U x C9-1 definirana z
nv(x,w) = (x,nv(w))    (x G U, w G C9)
prava na S. Potem projekcija h: (U x C9) \ S —> f/, dana z h(x,w) = x, dopušča spray.
Za dokaz vložitvenega izreka potrebujemo še naslednji primer prostorov s sprayi.
Trditev 1.11.3. Naj bo X Steinov prostor, X0 C X\ C X zaprti analitični podmnožici, n G N naravno število, i : X x Cn —> X trivialen vektorski sveženj in S C X x Cra analitična podmnožica z naslednjimi lastnostmi:
(1)  prx(S) C Xi \Xo,
(2)  za vsak x G X\ \ X0 obstaja odprta okolica U C X in biholomorfna preslikava ip : Ux Cn -^ Ux Cn, ki ohranja vlakna in zadošča <p((UdX\) x Cra\S) = (UdXi) x (Cn\A); A G X je taka analitična množica, da ima mnogoterost F = Cn\A spray s : Fx CN —>¦ F, ki ga je mogoče razširiti do holomorfne preslikave S\ : Cn x CN —>¦ Cn.
Potem submerzija ir : (X x Cra) \ S —> X dopušča spray lokalno nad X \ X0.
Dokaz. Očitno je, da zgornja submerzija dopušča spray nad vsemi točkami iz X\Xi, zato privzemimo, da je x G X\ \X0 in naj bodo f/, ip, F in s\ kot v (2). Naj bo U tako majhna, da je Ud X0 = 0. Po Cartanu obstajajo holomorfne preslikave gi,- ¦ ¦ ,gM '¦ X —>   Cra,
1.11    Primeri prostorov s sprayi in uporaba
62
ki so enake 0 na X\ in generirajo ideal J{X\)n na U (privzeti smemo, da je U relativno kompaktna). Definirajmo š : (U x Cra) x QN+M _> [J x Cn s predpisom
M
~i(x, U, tft, t m) = {%¦> S\{u, tw) + y     tM,i9i(x)).
i=\
Očitno je s(x,u,0) = (x,u) za vsak (x,u) E U x Cra. Prepričati se moramo, daje
(i) za vsak (x,u) E U x Cn \ S vertikalni odvod Kjs(x,u,t)\t-o, t = (L/v,Lm), suriektiven in
(U) š (({y} x Cra) \ S, Cw+M) C ({y} x Cra) \E za vsak y E U.
Za y E UOXi je #i(y) = 0 po definiciji, torej s(y,u, t^, Lm) = (y, s(x,tt, t a?)), kar pomeni, da sta obe zahtevi izpolnjeni. Ker množica S ne seka y E U \ X\, je drugi pogoj trivialen in ker funkcije o,- generirajo J{X\)a na C/, ie že ^—s(:r,«, t)I/—o suriektiven. Preslikava t^_1 o s o (<^, idCN+M) je spray nad C/.                                                                                    X
Napišimo še nekaj primerov uporabe.
Trditev 1.11.4. [Gra] Naj bo X Steinov prostor in p\ : E\ —> X in p2 ¦ E2 ^ X kompleksna vektorska svežnja nad X. Vektorska svežnja E\ sta natanko tedaj holomorfno izomorfna, ko sta izomorfna kot topološka kompleksna vektorska svežnja.
Dokaz. Naj imata svežnja rang n. Lokalno je izomorfizem med vektorskima svežnjema predstavljen kot preslikava x —> GLc(n). Ker je GLc(n) kompleksna Liejeva grupa, velja h-princip, zato lahko vsak zvezen izomorfizem s homotopijo premaknemo do holo-morfnega.                                                                                                                                 X
Trditev 1.11.5. Naj bo X Steinova mnogoterost, Y C X analitična podmnožica, (E,p) vektorski sveženj nad X in F vektoreki podsveženj v E\y- Obstaja odprta okolica U d X za Y in tak vektorski podsveženj F\ v E\u, da je F\\y = F.
Dokaz. Naj bo (E,p) podsveženj trivialnega svežnja X x CN za nek dovolj velik N in naj ima sveženj F rang n in E rang m. Po [Hal], [Ha2] obstaja odprta okolica Vclza Y in krepka deformacijska refrakcija r : V x [0,1] —> V množice V na Y (v splošnem samo zvezna; holomorfna refrakcija obstaja natanko takrat, ko je Y mnogoterost, [Fi]). Naj bo (zvezen) vektorski sveženj F' na V pull-back svežnja F z refrakcijo r(-, 1) : V —> Y in 7Te : X x CN —> E projekcija. Linearna preslikava iTE,y '¦ F' —> E\y ima pri vsakem y EY
1.11    Primeri prostorov s sprayi in uporaba
63
rang n, zato ima rang n še na odprti okolici U D Y; po [Siu] smemo privzeti, da je U Steinova. Definirajmo F" = tte(F\u)- Lokalno lahko na projekcijo ir : E\jj —> F" gledamo kot na zvezno preslikavo ti : U' -^ Pm,n = {^4 G Cmxm,A2 = A, rang A = n}. Na Pm.n deluje Liejeva grupa U(m) holomorfno in tranzitivno, zato lahko uporabimo h-princip in zvezno preslikavo ir deformiramo v holomorfno preslikavo it. Sveženj F\ := tt(E\u) je iskani sveženj.                                                                                                                X
Najbrž najpomembnejši primer uporabe h-principa je vložitveni izrek za Steinove prostore v prostore minimalne dimenzije. V naslednjem poglavju je predstavljen vložitveni izrek za Steinove mnogoterosti z interpolacijo na diskretnih množicah.
2.    VLOŽITVE STEINOVIH MNOGOTEROSTI Z INTERPOLACIJO NA DISKRETNI MNOŽICI                                                                                  64
2.    Vložitve Steinovih mnogoterosti z interpolacijo na diskretni množici
2.1    Uvod
Klasični rezultati o vložitvah Steinovih mnogoterosti pravijo, da za vsako n-dimenzio-nalno Steinovo mnogoterost obstaja prava holomorfna vložitev v CN za N > 2n + 1 ([GuR], str. 226), kar je analogno rezultatu za (gladke) vložitve realnih mnogoterosti. Ker je znano, da je vsaka n-dimenzionalna Steinova mnogoterost homotopno ekvivalentna realnemu n-dimenzionalnemu CW-kompleksu, je naravno pričakovati, da bo vsako n-dimenzionalno Steinovo mnogoterost mogoče vložiti v CN za N > 2n + 1 — [?1. Leta 1971
 -----                                          L 2 J
sta Gromov in Eliashberg najavila ([EG1]), da je to mogoče za dimenzije N > [^] + n + 2 in kasneje sta z uporabo h-principa ([Grl) to mejo zmanjšala do N > [^—1 -\-n-\-1 ([EG21).
 J                                                                                                      -----    L      2      J                                                      J
Nazadnje je Schurmann dokazal, da je vsako Steinovo n-mnogoterost mogoče vložiti v CN za N = m] + n + 1. Te meie ni mogoče izboljšati ([Selili). Glavni izrek ie naslednji:
Izrek 2.1.1. iVaj bo X n-dimenzionalna Steinova mnogoterost, Y d X diskretna množica, N = max-171^— 1 + 1, 31, N' = maxjf1^— 1,1| in lo : Y ^ Qn+i preslikava za nek o > 0. Potem veljajo naslednje trditve:
(a)  Ce je n = 1 in q > 2 ali n > 1 in q > N in je preslikava ip prava injekcija, obstaja prava holomorfna vložitev $ : X —> Cra+9, A;i razširi p.
(b)  Ce je q > N' in preslikava p prava, jo je mogoče razširiti do prave holomorfne imerzije $ : X —> Cra+9;
(c)  Ce je q > 1 in preslikava p prava, potem obstaja prava holomorfna razširitev $ : X —>
(d)   Ce je q > 0, lahko preslikavo p razširimo do skoraj prave holomorfne preslikave $ :
X —> Cra+?.
Najpomembnejši del izreka 2.1.1. je trditev (a), ki je interpolacijski analog vložitvene-ga izreka Eliashberg-Gromov-Schiirmann. Dobljeni razultat je za sode n optimalen, za lihe pa bi ga bilo morda mogoče zmanjšati za 1. V tem trenutku še ni jasno, ali je razlika posledica metode. Trditev (b) je interpolacijski analog za holomorfne imerzije. Ce privza-memo, da je je slika <p(Y) naše diskretne množice Y pohlevna (tame) podmnožica Cn+q v smislu [RR], lahko izrek 2.1.1. izboljšamo:
2.2    Definicije in oznake
65
Izrek 2.1.2. Naj bo X n-dimenzionalna Steinova mnogoterost, Y d X diskretna množica, q > max{[^] + 1,2} in ip : X —> Cn+q taka holomorfna preslikava, da je p\y ¦ Y —> Cn+q prava injekcija in <p(Y) pohlevna podmnožica Cn+q. Za vsak y eY naj bo my G No dano število.
Obstaja taka prava holomorfna vložitev $ : X —> Cn+q, da je jmy(&)(y) = imy(0)(ž/) za vsak y eY.
Dokaz. Vložitveni izrek v [Schl] da tako vložitev g : X —> Cn+q, da je slika vsake diskretne podmnožice X pohlevna. Po [BFo] obstaja tak avtomorfizem G prostora Cn+q, da je za vsak y eY izpolnjen pogoj jmy(G o g)(y) = jm <p(y)-                                       X
Vložitveni izrek z interpolacijo na podmnogoterostih so rešili Aquistapace, Broglia in Tognolli v [ABT] po Narasimhanovih idejah ([Na]). Njihov rezultat je naslednji:
Izrek 2.1.3. Naj bo X Steinova n-mnogoterost in Y C X njena zaprta podmnogoterost. Za vsak m > 2n + 1 je vsako pravo holomorfno vložitev f : Y —> Cm mogoče razširiti do prave holomorfne vložitve F : X —> Cm.
Za m = 2n je obstoj take razširitve še odprt problem, za vsak m < 2n— l, m > n-\-1, pa obstajajo protiprimeri za izrek 2.1.3., ki jih dobimo z s pomočjo naslednjega izreka:
Izrek 2.1.4. ([Fo]) Za vsak k G {1,...,/ — 1} obstaja taka prava holomorfna vložitev f : Cfc —> C1, da je vsaka holomorfna preslikava g : Cl~k —> C1 \ f(Ck) degenerirana.
Za konstrukcijo protiprimerov si izberimo m < 2n — 1, m > n + 1 in pišimo / = m, k = m — n. Naj bo / : Cfc —> Cm preslikava iz izreka 2.1 A. in privzemimo, da jo je mogoče razširiti do prave holomorfne vložitve F : Cn —> Cm. Ker je F injek-tivna, je F(Cn \ Ck) podmnožica Cm \ f(Ck). Definirajmo G : Cn -^ (Cn \ Ck) z G(z\,..., zn) = (z\,..., Zk, exp(zfc+i),..., exp(zra)). Preslikava F o G : Cn —> Cm \ f(Ck) je potem nedegenerirana, kar je v nasprotju z izrekom 2.1 A. V resnici preslikava / nima niti nobene injektivne holomorfne razširitve F : Cn —> Cm.                                            Jl»
2.2    Definicije in oznake
Naj za y G Cn oznaka \y\ := sup{|yj|,l < i < n} pomeni supremum normo in \\y\\ evklidsko normo. Z Mkxn bomo označili množico vseh k x m matrik nad C. Naj bo X kompleksna mnogoterost, K C X kompaktna množica in / : X —> Cn zvezna preslikava. Uporabljali bomo oznaki \f\x '¦= niax{|/(;r)|) x ^ K} in \\f\\K := niax{||/(x)||, x G K}.
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
66
Z Bn(r) bomo označili kroglo v Cn s središčem v izhodišču in radijem r; če je n = 1 bomo indeks spuščali: B(r) := L>i(r).
Z O(X) bo označen prostor vseh holomorfnih preslikav na kompleksni mnogoterosti X z običajno topologijo enakomerne konvergence na kompaktih. Ce je Y C X analitična, bomo z r(X, J(Y)) označili podmnožico vseh holomorfnih funkcij na X, ki so enake 0 na Y.
Odprta relativno kompaktna množica P v n-dimenzionalni kompleksni mnogoterosti X je specialni analitiˇcni polieder, če obstajajo take holomorfne funkcije fi,..., fn : X —> C, da je P unija končno mnogo povezanih komponent množice {x G X, \fi(x)\ < 1, ..., |/n(^)| < !}• Funkcije f\,..., fn imenujemo definicijske funkcije za   P.
Naj bo X kompleksna mnogoterost. S TX označimo kompleksni tangentni sveženj nad X in s TXX kompleksni tangentni prostor na X v x. Naj bo tudi Y kompleksna mnogoterost in / : X —> Y holomorfna preslikava. Z Df : TX —> TY označimo odvod preslikave / in z Dxf : TXX —> Tf(x)Y odvod /vi. Z jm(f)(x) bomo označili jet reda mza/v točki x.
Holomorfna preslikava / : X —> Y je skoraj prava če so za vsak kompakt K d Y povezane komponente of f~l(K) kompaktne. Stratifikacija je tako končno padajoče zaporedje analitičnih množic Am D Am_\... D Ao, da je Ai \ Ai_\ kompleksna mnogoterost (i = 1, • • •, m).
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
V tem razdelku se bomo ukvarjali z razširjanjem pravih in skoraj pravih preslikav. Trditvi (c) in (d) v izreku 2.1.1. sta posebna primera trditev v tem razdelku.
Trditev 2.3.1. Naj bo X n-dimenzionalna Steinova mnogoterost, Y C X diskretna množica in F : X —> Cn holomorfna preslikava. Naj bo {PjJ-jeN normalno izčrpanje X s takimi specialnimi analitičnimi poliedri, da je dPj D Y = 0 za vsak j G N. Naj bo za vsak y eY dano število my G No. Naj bo K C P\ kompaktna množica in e > 0.
Za vsako zaporedje pozitivnih realnih števil {4/}jeN obstaja holomorfna preslikava H : X —> Cn z lastnostmi:
(a)   \H — F\k < L,
(b)  inf^p. \H\ > dj za vsak j G N in
(c)  Jmy(F)(y) = jmy(H)(y) za vsak y eY.
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
67
Opomba.    če gre zaporedje {dj}je-^ proti neskončnosti, je preslikava H skoraj prava.
Dokaz. Za vsak m G N naj bodo h™,..., h™ definicijske funkcije za polieder Pm. Izberimo zaporedje (pozitivnih) realnih števil {#m}meN, ki zadoščajo ^ mSm < min{e, 1}. Preslikava H bo limita primernega zaporedja holomorfnih preslikav {Hm}me-^, ki ga bomo konstruirali z indukcijo na m.
Označimo Po := K in definirajmo {yi,.. .yno} := Y D K in {yrim_i+i, • • • ,2/rim} := Y n (Pm \ Pm-\) za vsak m G N. Poenostavimo oznake in pišimo rrik := myk za vsak k G N. Nadaljujemo z indukcijo na m.
m = 1. Konstrukcija preslikave i/1 poteka po komponentah. Pišimo F = (Fi,..., Fn). Ker je |/i*|k < 1 in \h\(yk)\ < 1 za vsak fc = 1,... ,n\ in i = 1,... ,n, obstajajo take konstante a» > 1, da je \aih\\K < 1, |aj/4(yfc)| < 1 za k = 1,..., n\, i = 1,..., n in je \aih\\dp1r\{\hir\=i} = di > 1 (i = 1,..., n). Zato lahko izberemo tako dovolj veliko naravno število N G N, da je
ril
I   I   \(aihi)      ~ (aihi(yk))     \k*        <     ^l/2,
fc=l ril
inf        I I |(aj/4)    — (dihi(yk))   \mk+1   >   <ii +       sup       |Fj| + 1. {H\=i}ndPi^                                                                       {\hl\=i}ndi\
Definirajmo
rii tt\          n        T   T  T       7 1\./V              7 1/AH mfc+l
-"i := -Tj + I I |(ain,jj    — (ai^lyk))   \ fc=i
Zlahka se prepričamo, da je jmk(H})(yk) = jmkFi(yk) za fc = 1,..., ri\. Obstajajo take holomorfne funkcije Qi : X —> C, i = 1,... , n, da je
(1)  jmk+i(9i)(yk) = 0, k = l,... ,rii,
(2)  jmk(gi)(yk) = jmk(Fi — Hl)(yk), k = ri\ + 1,..., ^2 in
(3)  l^ilp  < #i/2.
Definirajmo
-ffj '¦= Hi + Qi, i = 1,... ,n.
Preslikava i/1 = (Hi,..., i^) : X —> Cra ima lastnosti
(ai) l-ff1 — F|x < 5\,
(b\) infgp1 {H1] > d\ -\- 1 — 5\ in
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
68
(ci) jmk{Hl)(yk) = jmk{F){yk), k = 1, . . . Tl2-
m —» m + 1. Recimo, da smo že konstruirali zaporedje preslikav H1,..., Hm : X —> Cra, ki zadoščajo
(am) \Hm — _ffm_1|p      < 8m,
 l                                .r m _ l
('z     \   •    r          I TTm\  -.     i                   v^"i r    •
(oTOj mi9pm \H   \ > am + 1 — 2^i <Ji m
(cm) jmk(Hm)(yk) = jmk(F)(yk), k = 1,... nm+\.
Preslikava i/1 zadošča tem lastnostim, če definiramo Po := K in H° := F. Preslikavo Hm+1 konstruiramo po komponentah na enak način kot H1. Za z-to komponento izberimo Oi > 1 in tako dovolj veliko število N G N, da je
nm+l
n|(aj/i™+ )    — (aj/i™+ i]Jk))   \Trr     < ^m+i/2,
fc=l
n m+l
inf             I I  |(ai/i^+ )    — (aih"1^ i]Jk))   \mk+   >
> <^m+l +           SUp           {H™] + 1.
Definirajmo

"¦m +1
fc=l Naj bodo <jfj : X —> C, i = l,... ,n take holomorfne funkcije, da je
(1)  jmk+i(gi)(yk) = 0, i = 1,..., nm+\,
(2)  jmk(9i)(yk) = jin^H™1 ~ H™+  )i]Jk),   & = ^ra+1 + 1, • • • , ^ra+2> in
(3) \gi\p     < 8m+\/2.
Definirajmo
-ff™+   := H^+  + 9i, i = 1, ¦ ¦ ¦ ,n.
Preslikava Hm+l = (H^ ,..., H™+1) : X -+ Cn ima lastnosti
\"m+l)   \-tl                -^      |pm  ^ Om+1 •>
yJm+l) ^^^dPm+l I             I        "m+1    i    ^        / j\        "i ni
(cm+i) jmk(H)m+1 (yk) = jmk(F)(l/k),   k = 1, . . . nm+2-
2.3    Skoraj praveinprave preslikave                                                                  69
Lastnost (am) pove, da je \H — f\x < e in da zaporedje Hm konvergira enakomerno po kompaktnih množicah v X k limiti H := lirr^^oo Hm : X —> Cn. Lastnost (cm) zagotavlja, da velja jmyH(y) = jmy(F)(y) za vsak y E Y, lastnost (bm) pa, da je infap. \H\ > dj + 1 — 2^i o i > dj za vsak j E N.                                                                                    «1»
Trditev 2.3.2. Naj bo X Steinova n-mnogoterost, Y d X diskretna množica in ip : X —> Cra holomorfna preslikava. Naj bo za vsaky E Y dano število my E No. Potem je množica
A := {F : X —> Cra,   F skoraj prava holomorfna, jmy(F)(y) = jmy(p)(y) Vy E Y}
residualna v množici
B := {F : X —> Cra, F holomorfna, jmy(F)(y) = jmy(p)(y) Vy G Y}.
Opomba. Trditev (d) izreka 2.1.1. je poseben primer trditve 2.3.2.
Dokaz. Ker je znano, da je množica vseh skoraj pravih holomorfnih preslikav X —> Cn residualna v Frechetovem prostoru O(X) (glej [Bi] in [Schl]) in je B zaprt afin podprostor v 0(X)n, zadošča dokazati, da je A gosta v B.
Izberimo F E B, kompaktno množico K C X in e E (0,1). Naš cilj je poiskati preslikavo H E A, ki zadošča \H — F\k < e. Naj bo {Kj}je-^ tako normalno izčrpanje X s kompaktnimi množicami, da je K\ = K. Izberimo poljubno skoraj pravo preslikavo h : X —> Cn. Obstaja tako zaporedje pozitivnih števil q -^ oo, da za vsak j E N velja naslednje:
Ce je polieder P j definiran kot unija končnega števila tistih povezanih komponent množice h~l(B(cj) x ... x B(cj)), ki sekajo Kj, je dPj C\ Y = 0.
Privzeti smemo, da je K C P\. Izberimo naraščajoče zaporedje (pozitivnih) realnih števil {či/jjeN, ki gre v neskončnost. Po trditvi 2.3.1. obstaja preslikava H : X —> Cn z lastnostmi
(a)  \H — F\k < e,
(b)  vaidPj \H\ > d j za vsak j G N in
(c)  jmy(H)(y) = jmy('-p)(y) za vsak y eY.
Ker gre zaporedje {dj} v neskončnost, nam lastnost (b) zagotavlja, daje H skoraj prava, iz (c) pa sledi H E A.                                                                                                    X
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
70
Trditev 2.3.3. Naj bosta X inY kot v trditvi 2.3.2., q G N število in p : X —> Cn+q taka preslikava, da je p\y ¦ Y —> Cn+m prava. Naj bo za vsak y G Y dano število my G N0. Potem je množica
A := {F : X —> Cn+q,   F prava holomorfna, jmy(F)(y) = jmy(p)(y) Vy G y}
gosta v množici
B := {F : X —> Cra+9, F holomorfna, jmy(F)(y) = jmy(p)(y) Vy G y}.
Opomba. Trditev (c) izreka 2.1.1. je poseben primer zgornje trditve 2.3.3.
Dokaz. Izberimo poljubno preslikavo F G B, kompaktno množico K C X in e > 0. Iščemo holomorfno preslikavo (H, G) : X —> Cra+9 iz A, ki zadošča \F — (H,G)\k < s. Definirajmo ip' := (p\,..., ipn), p" = (pn-\-\,... , pn+g), ter naj bo F' := (F\,... , Fn), F" = (Fn+i,..., Fn+q). S pomočjo strogo plurisubharmonične funkcije izčrpanja na X lahko izberemo tako normalno izčrpanje X s holomorfno konveksnimi kompaktnimi množicami {CjjjeN, da je K C C\, za vsak j > 2 množica (Cj \ Cj_i)nY vsebuje natanko eno točko, ki jo označimo z yj in je množica dCj D Y prazna za vsak j G N. Poenostavimo oznake in pišimo m j := my. za vsak j G N. Iz tehničnih razlogov privzemimo, da 0 ^ p"(Y) (ker je Y diskretna, je to vedno mogoče doseči s translacijo koordinatnega sistema). Za vsak yj obstajajo odprta okolica Uj C Cj točke yj in taka holomorfna preslikava fj '¦ Uj —> C9, da je jmj(fj)(yj) = jmj(p")(yj) in \fj\i/j > \fj(yj)\/2- Naj bo Yj-\ odprta okolica Cj-\. Privzeti smemo, da je Uj D Yj-\ = 0- Ker so množice Cj U {yj+i} holomorfno konveksne, lahko uporabimo Bishopove rezultate ([Bi], Theorem 2) in aproksimiramo množice C j U {yj+i} s takimi specialnimi analitičnimi poliedri Pj, da za vsak j E N velja:
-  (Cj U {yj+i}) C Pj C (Vj U Uj+\) in K C P\ H Vl;
-  <9Pj n y = 0, (Pj \ Pj_i) H Y = {yj} kjer je Pj := Pj D Vj;
-  množica P" := Pj D Uj+\ vsebuje točko yJ+i in ima natanko eno povezano komponento.
Očitno je {Pj} normalno izčrpanje X. Naj bo n^ := |t/?(yfc)| (za vsak k G N) in izberimo tako naraščajoče zaporedje pozitivnih števil {<i,-}jeN, da je dj ^ rik za vsak j, k G N in dj > max{ni,... ,Tij+\} + 1. Ker je p prava na Y, gre zaporedje rik v neskončnost in prav tako zaporedje {dj}jew Iz trditve 2.3.1. sledi, da obstaja skoraj prava preslikava H : X —> Cra, ki zadošča |P' — H\k < 6, jmy(F[){y) = jmy(p')(y) za vsak y G Y in inf^p^. |_ff| > (i,-, j G N.
Za vsak j G N definirajmo analitiči polieder Q'- kot unijo (končnega števila) povezanih komponent množice H~1(B(dj) x ... x B(dj)), ki ležijo v Pj in naj bo Q"j tista povezana
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
71
komponenta množice H~1(B(dj) x... xB(dj)), ki vsebuje točko jjj+i. Zaradi izbire števil d j je množica Q" podmnožica P" in zato tudi podmnožica Uj+\. Naj bo Qj := Q'jUQ". Zlahka se prepričamo, da je {QjjjeN normalno izčrpanje X in da velja K C Q[, dQj D Y = 0 in (Q? \ Qj-i) H y = {yj+i} za vsak j > 2.
Konstruirali bomo tako holomorfno preslikavo G : X —> C9, da bo jmy(G)(y) = jmy('-p")(y) za vsak i; e 7 in preslikava (H, G) : X —> Cra+g prava, kar pomeni, da mora biti funkcija |G| velika na množicah, kjer je funkcija \H\ premajhna. Te množice definiramo z naslednjim predpisom:
L\ '¦= Q\ in Lj := {z E Qj \ Qj-i, \H(z)\ < 'rij+\ — 1/2}, j > 2.
Izbira števil dj zagotavlja, daje vsaka množica Lj kompaktna podmnožica (Qj \Qj-\) in množica L := U^°Lj je Rungejeva X. Ce točka yj+\ leži v množici Lj, potem je povezana komponenta Lj, ki vsebuje y^+i, podmnožica Q" C Uj+\. Označimo to komponento z L"-. Ce točka yJ+i leži v L j, to pomeni, da je
Uj+\ = \ip {yj+i)\ = \jj+i{yj+i)\-                                        (J-J-J
Ce je Y n Lj = 0, definiramo L'' := 0.
Definirajmo preslikavo g : L —> C9 s predpisom (/|li = ^"'Ui> S'Il" := /?+i če L" 7^ 0 in (/|l \l" := nj+i za j > 2.
Po enačbi (11) je |(/(x)| > rij+\/2 za vsak x G L". Pišimo Xi := K in iC,- := {z G Lj, |-ff(z)| < nj+i ~ 1} za J ^ 2. Ker je L Rungejeva v X, obstaja taka preslikava G : X —> C9, da je jmy(G)(y) = jmy('-p")(y) za vsak y G y in |G — g|x < e za j G N. Ker velja
I (G, -H") |<5j\Qj_i > min{nj+i — 1 — e, rij+\/2 — e} > rij+\/2 — e — 1 za vsak j > 2
in je linija oo^j = 00, je preslikava (H, G) : X —> Cra+9 prava. Po konstrukciji je jmy(H,G)(y) = jmy('-p)(y) za vsak y eY in \(H,G) — F\k < e.                                          Jl»
Trditev 2.3.4. Naj bo X Steinova n-mnogoterost, Y C X diskretna množica, ip : X —> Cra holomorfna preslikava in o1 = f1^— 1. Xa? 60 za vsaA; «67 dano ne&o število m,, G Nn. Množica vseh skoraj pravih holomorfnih preslikav F : X —> Cra, A;i zadoščajo
(1)  Jmy(F)(y) = jmy('-p)(y) za vsak y EY in
(2)  dim{x E X \Y, rangxF < n — i} < 2(q' — i -\- 1), i = l,... ,n
je residualna v množici Q vseh holomorfnih preslikav G, ki zadoščajo jm (G) = jmy(p)(y) za vsak y EY. CejeY prazna ali pa je my = 0 za vsak y EY, lahko (2) nadomestimo z
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
72
(2')dim{x G X, rangxF < n — i} < 2(q' — i + 1), i = 1,..., n Opomba. Analitična množica A z dim A < 0 je po definiciji prazna.
Dokaz.    Po trditvi 2.3.2. je množica Q\ vseh skoraj pravih holomorfnih preslikav, ki zadoščajo (1), residualna v Q.   Pokazati moramo še, da je množica Q2 vseh preslikav F G G, ki zadoščajo (2), residualna v Q. Naj bo T := TX, S := X x Cn in
V = Horric(T, S) = Uxex{L : Tx —> Sx, L je C-linearna}.
Označimo s prx '¦ V —> X sveženjsko projekcijo. Za vsak p = 0,..., n — 1 naj bo Vp = UXLx{L G Vx, rangL = p}. Znano je, da je Vp mnogoterost kodimenzije codimvVp = (n — p)2. Za vsako množico A C X naj bo Vp\a '¦= ^x^a{L G Vx, rangL = p}. Definirajmo preslikavo ip(f) ¦ (X \ Y) -^ Vp\(x\y) s predpisom
ip(f)(x) = Dx(f),
naj bo 7ip množica vseh tistih holomorfnih preslikav /, za katere je ip(f) transverzalen na ^p|x\y in 7~L '¦= ^pZo7~LT''¦ Trdimo, da je vsaka izmed množic 7ip (in s tem Ti) residualna podmnožica Q. Privzemimo, da to velja, in dokončajmo dokaz trditve. Transverzalnost ip(f) na Vp pomeni
dim{x G X \ Y, ip(f)(x) G Vp} = dim[ip(f)(X \ Y)] — dimV + dimVp. Ce enačbo preuredimo, dobimo
dim{x G X \ Y, ip(f)(x) G Vp} = n — (n — p) ,
za vsak p = 0,..., n — 1, oziroma, če vstavimo i = n — p,
dim{x G X \ Y, rangxf < n — i} = n — i
za i = 1,..., n. Brez težav se prepričamo, da je n — i2 < 2(q' — i + 1) za i = 1,..., n. Vsaka preslikava f E Ti torej zadošča pogoju (2) iz trditve 2.3.4., zato je Ti podmnožica C/2- Ker je Ti residualna v Q, je tudi Q2 residualna v Q.
Da bi dokazali, da je Tip residualna v Q zadošča videti, da je za vsako kompaktno množico C C Vp\^x\y) množica Tipc vseh tistih holomorfnih preslikav / G Q, za katere je ip(f) transverzalna na Vp na C, odprta in gosta v Q za vsak p = 0,..., n — 1. Fiksirajmo neko tako kompaktno množico C. Ker je transverzalnost nad kompaktom odprt pogoj, je množica ric odprta podmnožica y.
2.3    Skoraj prave in prave preslikave
73
Da bo dokazali, da je gosta, izberimo poljubno preslikavo F E Q, kompaktno množico K C (X \ Y) in e > 0. Privzeti smemo, da K vsebuje prx(C) v svoji notranjosti. Izberimo take holomorfhe funkcije g\,..., gu ¦ X —> C, da ima preslikava g = (g\,..., g k) maksimalen rang v vsaki točki iz K in je jmy(gi) = 0 za vsak y E Y, i = 1,..., k. Ce je my = 0 za vsak y eY (ali Y = 0), take funkcije obstajajo za vsako kompaktno množico K C X. Definirajmo preslikavo ^ : Mnxk x K —> V\k s predpisom
^(A, y) := Dy(F + A^f).
Preslikava ^ je (odprta) afina surjektivna submerzija nad neko okolico K in zato transverzalna na vsako izmed množic Yv\k- Thomov izrek o transverzalnosti pove, da je množica
Me '¦= {A G Mnx , ^(A, •) je transverzalna na Vp nad C}
gosta v Mnxk. Ce izberemo A G M k dovolj blizu ničelni matriki, bo preslikava G := F + Ag blizu F na X in ip(F + Ag) transverzalna na yp nad C, kar pomeni, da F + Ag lezi v npc.
Ce je y = 0 ali my = 0 za vsak y G Y, je dokaz enak, le da izbiramo kompaktne množice C kot podmnožice Vp (namesto Vp\x\y)-
Posledica 2.3.1. Naj bo X Steinova n-mnogoterost, Y = {yj}jeisi C X diskretna množica, tp :Y -^ Cn preslikava, {(ij}jeN zaporedje pozitivnih števil in {Pj}jLN tako normalno izčrpanje X s specialnimi analitičnimi poliedri, da je dPj r)Y = $in (po morebitnem preštevilčenju yj-jev) (Pj+i \ Pj) C\Y = {yj} za vsak j G N. Potem obstaja skoraj prava preslikava H : X —> Cn z lastnostmi
(1)  H(yj) = <p(yj) za vsak j G N;
(2)  \H\dp. > dj za vsak j G N in
(3)  dim{x G X, ranqrH < n — i} < 2([1^— 1 — i + 1), i = 1,... n.
Dokaz. Naj bodo V in V^3, p = 0,..., n— 1 kot v dokazu trditve 2.3.4. Tam smo dokazali, da je množica Ti vseh tistih holomorfnih preslikav F : X —> Cra, za katere je preslikava x i—> An F transverzalna na vsako izmed množic Vp, residualna v množici Q vseh razširitev preslikave ip. V temle primeru je my = 0 za vsak y eY. Izrek o transverzalnosti pove, da za vsak F E G, vsako kompaktno množico K C X in vsako relativno kompaktno odprto okolico U za K obstaja tak e > 0, da velja:
(*) če G : X —> Cra zadošča |G — F|{/ < e potem je preslikava x i—> DXG transverzalna na Vp, p = 0,... ,n — 1 viza vsak x E K.
2.4    Tehnikalije
74
Za vsako število j G N naj bo Uj C P/+i odprta okolica P j. Induktivno bomo konstruirali zaporedje holomorfnih preslikav iP : X —> Cra in tako padajoče zaporedje {sj}, da bo Lj G [0,1) za vsak j G N in
(a,-) IPPUp. > dj + 1 — y^f   •. i Lu/2k+l za i = 1,..., 7 (bi) PP leži v Ti in IP-7 — PJ_1|rr. , < e1_i/2:' za 7 > 2, (cj) Lj zadošča (*) za F := PJ, U := Uj in K := Pj.
j = 1. Naj preslikava h1 : X —> Cra zadošča (1). Ker je 7Y residualna v L?, obstaja taka preslikava i/1 G 7Y da je \H1\gp1 > d\ + 1. Po izreku o transverzalnosti obstaja tak L\ G [0,1), da velja tudi (c).
j —> j + 1. Recimo, da smo P-7 že konstruirali. Obstaja taka preslikava /i-'+1 : X —> Cra, da je |PJ — /i-7^1!^ +1 < Lj/2^+2 in |/iJ+1 |aJp.+1 > dj+\ + 1. Ker je Ti residualna v Q, obstaja taka preslikava PJ+1 G Ti, da je l^'-1-1 — H^+1\uj+1 < Lj/2^+2. Preslikava PJ+1 zadošča pogojema (%+i) in (&j+i). Zaradi enakih razlogov kot zgoraj obstaja tudi tako število Lj+i G [0,1), da velja (cj+i).
Zaradi (bj) zaporedje {H3} konvergira enakomerno po kompaktih v X in ima zato limito H : X —> Cn. Iz (oj) sledi, da H zadošča (1). Ker je \H — H^\uj < Y1T Li/^l+l < Lj za vsak j G N, je preslikava x 1—> DXH transverzalna na vse množice Vp, p = 0,..., n — 1, kar pomeni, da H zadošča (2).                                                                                       X
2.4    Tehnikalije
Da se bomo lahko lotili še dokazov trditev (a) in (6) glavnega izreka, potrebujemo še nekaj tehničnih pripomočkov. Kot prej naj bo X n-dimenzionalna Steinova mnogoterost in Y C X diskretna množica. Spomnimo se, da smo že definirali števili
N   :=   max{[^] + 1, 3} in N'   :=   maxjf1^],!}.
Naj bo ip = (p', p") : Y —> Cn+q prava preslikava za nek q G N in naj bo H : X —> Cn skoraj prava holomorfha razširitev p' : X —> Cra iz posledice 2.3.1. V tem razdelku bodo število q in preslikavi P in p fiksirani. Za R > 0 naj bo XB poljubna unija končnega števila povezanih komponent množice H~l(Bn(R)) C X in naj bo ZR = H(XR) = Bn(R). Preslikava Hxr '¦ XR —> ZR je prava.
Lema 2.4.1. Obstajata stratifikaciji Xn := XR D Xn_\... D X0 D X_i = $ in Zn := ZB D Zn_i... D Z0 D Z_\ = 0, z X0 in Z0 ^ 0, z lastnostmi
2.4    Tehnikalije
75
(1)  X0 d Xr C\Y in Z0 d H(Y Pi Xr),
(2)  Xj = H~l(Zj) n XR,
(3)   analitični množici Xj in Z j sta največ j -dimenzionalni in množici X* := Xj \ Xj_i, Z* = Zj \ Zj_i sta j -dimenzionalni mnogoterosti (ali prazni),
(4)   če X* ni prazna, je preslikava H : X* —> Z* imerzija j G {O,..., n},
(5)  rang H je konstanten na vsaki povezani komponenti množice X* za vsak j G {O,..., n}.
Dokaz. Lema 6.1 iz [Schl] da stratifikaciji {X'A in {Z'A z vsemi zahtevanimi lastnostmi, razen (1). Definirajmo:
Xn   :=   Xn, in Zn := Zn,
Xj    :=   Xj U [X   Pl H~ (H(Y n X  ))], in Zj := Zj U H(Y n X  ) j = 0,... , n — 1, X_i    :=   X'_1 = Z_\ := Z'_1 = 0.
Novi stratifikaciji imata vse želene lastnosti.                                                                        X
Sklicali se bomo še na dva rezultata iz [Schl] (skoraj prava preslikava H in prava preslikava ip sta fiksirani).
Izrek 2.4.1. Naj bo R > 0 in XR unija končnega števila povezanih komponent množice H~l(Bn(R)). Za r G (0, R) naj bo Xr := XRC\H~l(Bn{r)). Ce je q > N in Lp : Y —> Cn+q injektivna, potem obstaja preslikava G : Xr —> C9, A;i zadošča pogojem
a(r) preslikava (H, G) : Xr -^ Cra+g injektivna,
(3{r) preslikava (H, G\,..., G^) : Xr —>¦ Q,n+N je imerzija,
7(r) (-ff, G)|ynxr = '-p\Ynxr in
8(r) ((H, G)(Xr \ Y)) n (<p(Y \ Xr)) = 0.
Ce je q > N' in ip ni nujno injektivna, obstaja preslikava G : Xr —> C9 zadošča le pogojema /3(r) in 7(f).
Dokaz. Sledimo dokazu izreka 3.3 v [Schl] z majhnimi spremembami. Izberimo r' G (r, R) in pišimo Xr := XR n H~l(Bn{r')).
Najprej privzemimo, da je g > X in preslikava ip injektivna. Na ničdimenzionalnem stratumu Xo definiramo g' : Xo -^ Cq tako, da je g'\x0OY = ^"IxonYj njene vrednosti v vsaki točki Xo\Y ležijo v Cq\ ((pn+\,..., pn+q){Y)) in je g1 injektivna. Izrek 3.3 v [Schl] nam da preslikavo G1 : Xr —> C9, ki se na X0 ujema z (/' in ima lastnosti a{r'), f3{r') in
2.4    Tehnikalije
76
7(7"'). S perturbacijo, ki je nad Xr dovolj majhna, dobimo preslikavo G : Xr —> C9, ki zadošča a;(r),/3(r), 7(7") in S(r).
Ce je q > X' in preslikava t/? ni nujno injektivna, definirajmo g' : Xo —> C9 z (/|x0ny = Y>"|x0nY m g'\x0\Y = 0. Spet po izreku 3.3 v [Selil] obstaja preslikava G : Xr —> C9, ki zadošča /3(r) in 7(7").                                                                                                               X
Izrek 2.4.2. Naj bo R,r > 0, XB in Xr kot v izreku 2.4-1- Izberimo r' G (r,R) in pišimo Xr  := XR Pl H~l(Bn{r')).
Ce holomorfna preslikava G : Xr —> C9 z q > N' zadošča pogojema /3(r) in 7(f) iz izreka 2.4-1 ¦, jo je na množici Xr mogoče poljubno dobro aproksimirati s preslikavo G' : Xr —> C9, /ci zadošča f3{r') in 7(7"') iz izreka 2.4.1.
Privzemimo, da je q > N in p : Y ^ cra+9 injektivna. Naj bo G : Xr —> C9 preslikava, ki zadošča pogojem o;(r),/3(r);7(r) in #(r) iz izreka 2.4.1. Potem jo je na množici Xr mogoče poljubno dobro aproksimirati s preslikavo G' : Xr —> C9, ki zadošča a(r'),/3(r'), 7(7"') #(r') iz izreka 2.4.1.
Dokaz. Sledimo dokazu izreka 3.4 v [Selil]. Ce je g > N' in preslikava p ne nujno injektivna, definiramo g' : XoUXr —> C9 z g'\x0OY = Y>"|^onY> S'/|xr := G 5,/|x0\(yuxr) = 0. Po izreku 3.4 v [Selil] obstaja preslikava G' : Xr —> C9, ki zadošča /3(r') in 7(7"') in aproksimira G.
Ce je q > X in p injektivna, definiramo g' : Xo U Xr —> C9 tako, da je g'\xr = G, </|x0nY = Y>"|xonY> S,/(;r) €= C9 \ (((/?ra+i,..., pn+q){Y)) za vsak x G Xo \(7U Xr) in </ injektivna. Izberimo r" G (r', R). Izrek 3.4 v [Selil] nam da preslikavo G" : Xr —> C9, ki ima lastnosti a(r"),/3(r") in 7(7"") in aproksimira G na množici Xr. S perturbacijo, ki je na množici Xr dovolj majhna, dobimo preslikavo G, ki zadošča o;(r/),/3(r/),7(r/) in 6(r').
Lema 2.4.2. Naj bo X G CN n-dimenzionalna analitična množica, X0 G X pa taka analitična podmnožica dimenzije največ n—l, da je X\X0 mnogoterost. Naj bo dano število k G N in naj bo S taka zaprta podmnožica X x Ck, da je prx '¦ V := (X x Cfc) \ S —> X sveženj nad X \ Xo z (n — l)-povezanimi vlakni.
Izberimo d G R in pišimo K := {x G X, ||x|| < d} (K je lahko prazna). Vsak zvezen prerez d : Xo Uif-> V|x0uk je mogoče razširiti do zveznega prereza c : X —> V.
Posebej je mogoče vsak zvezen prerez d : Xo —> V^l^o razširiti do zveznega prereza c : X —> V (vzamemo d < 0).
Skica dokaza. Pišimo a® := d, Co := d in izberimo naraščajoče zaporedje pozitivnih realnih števil {ajj^N, ki gre v neskončnost z a0 < Qi- Naj bo Ki := {x G X, ||x|| < a^} za
2.4    Tehnikalije
77
vsak i > O (opazimo, da je K = K0.). Lemo bomo dokazali z indukcijo na i, natančneje, dokazali bomo, da je vsak zvezen prerez c» : (X0 U Ki) —> V|x0uKi niogoče razširiti do zveznega prereza Ci+\ : (Xo U Ki+\) —> Vx0uKi+i- V limiti bomo dobili globalni prerez c := linija oo Ci : X —> V, ki razširi Co = c'.
Začetni korak je trivialen, saj je prerez cq : X0 U K0 —> V\x0uk0 že definiran. Za indukcijski korak privzemimo, da smo že konstruirali prerez q : Xo Uifj -> V|x0uKi-Naš cilj je razširiti prerez q do prereza Cj+i : Xo U iCj+i —> V. Ker je V = X x Cfc \ S, ima prerez c» obliko Cj(x) = (x,ryi(x)), kjer je 7» : X0 UKt -> Cfc zvezna preslikava. Po Tietzejevem izreku obstaja zvezna razširitev 7» : X —> Cfc preslikave 7». Ker je množica S zaprta in se q izogne S, obstaja taka odprta okolica U d X množice Xo U Ki, da se tudi prerez q := (ž<ix>7i) izogne S nad f/. Zdaj moramo razširiti prerez Qz[/na okolico X0 U Ki+i. Naj bo L kompaktna množica, ki vsebuje i^+i v notranjosti. Obstaja taka gladka funkcija p : X —> R, ki ima 0 za regularno vrednost, da je Xo U iQ C {p < 0} C U in p strogo plurisubharmonična na okolici L \ (Xo U Ki). S perturbacijo funkcije p, ki je na množici L \ {p < 0} dovolj majhna, lahko tako deformiramo p, da ima na L \ {p < 0} samo nedegenerirane kritične točke in je še vedno strogo plurisubharmonična na okolici L \ {p < 0}. Po [HL] obstaja tako končno zaporedje funkcij po := p, p\..., pm, ki so strogo plurisubharmonične na okolici L\{p < 0}, daje XoUKi+\ C {pm < 0}, za vsak i = 1,..., n je supp(pi — Pi-i) G (L \ X0) in je vsaka podnivojska množica {pi < 0} homotopno ekvivalentna {p^ < 0} s prilepljeno /-celico. To pomeni, da lahko v končno korakih deformiramo začetno podnivojsko množico {p < 0} v podnivojsko množico {pm < 0} na tak način, daje vsaka deformacija ekvivalentna dodajanju /-celice (’pseudoconvex bumps’ v [HL]). Ker so funkcije p» strogo plurisubharmonične na okolici L \ {p < 0}, je / < n. Ker smo lepili celice izven množice Xo in je V^lxxxo sveženj z (n — l)-povezanimi vlakni, lahko na vsakem koraku razširimo naš prerez še nad prilepljeno celico do zveznega prereza V. Po zadnjem koraku dobimo zvezen prerez Cj+1 : {pm < 0} —> V, ki razširi cq. Prerez Cj_i_i := či+i\x0\jKi+1 je iskani prerez.                                                                                      X
Naslednji rezultat se nahaja v [Gr] in je poseben primer izreka 1.1.2.:
Izrek 2.4.3.  (H-princip za mnogoterosti)
Naj bo X Steinova mnogoterost, Z kompleksna mnogoterost, h : Z —> X pa taka submerz-ija, da ima vsak x G X tako okolico U G X, da h dopušča spray nad U. Naj bo d metrika na Z, kompatibilna z dano topologijo na mnogoterosti. Potem velja:
(a) Vsak zvezen prerez /o : X —> Z je mogoče s homotopijo deformirati v holomorfen prerez f\ : X —> Z, t.j. obstaja enoparametrična družina zveznih prerezov ft : X —> Z, t G [0,1].
2.4    Tehnikalije
78
(b) če je K C X kompaktna holomorfno konveksna množica in je začetni prerez /o holo-morfen na okolici K, potem za vsak e > 0 obstaja taka homotopija ft : X —> Z, t G [0,1], da je d(ft(x), fo(x)) < e za vsak x E K in t E [0,1], vsak ft je holomorfen na okolici K in /i je holomorfen na X. V tem primeru zadošča, da ima submerzija h : Z —> X spray nad X \ K.
Lema 2.4.3. Naj bo d pozitivno število, prcn '¦ V = Bn(d) x C9 —> Bn(d) trivialen sveženj in T. C V taka zaprta analitična podmnožica, da je zožitev preslikave prcn '¦ V —> Bn(d) na S prava preslikava. Naj obstaja tako število k G N, da ima vsako vlakno T,y := (S n ({y} x C9)) največ k točk za vsak y G Bn(d). Naj točka Xq = (x'0, x'q) E V \T. zadošča \\xo\\ < d. Definirajmo c = ^p- in privzemimo, da je q > 3. Potem obstaja holomorfen prerez C : Bn(d) —> V \ S lastnostmi
(1)  C(xq) = xo in
(2)   ||C(x)|| > c ^a vsaA; x G Bn(c).
Opomba. Ce je U Steinova mnogoterost, q > 3 in S graf take preslikave (<7i,#2) : t^ ~^ Bn(d') x C9, da je (/1 : f/ —> Bn(d') prava, potem za vsak d < d' trivialni sveženj Bn(d) x C9 in S|^n(d) zadoščata predpostavkam leme 2.4.3.
Dokaz. Ukvarjati se moramo z dvema problemoma: prvi je, kako poiskati prerez V \ S skozi predpisano točko in drugi, kako doseči, da bo prerez dovolj velik nad množico Bn(c). Da bi rešili prvi problem, bomo uporabili /i-princip (izrek 2.4.3., trditev 1.11.2.). Očitno množica S zadošča predpostavkam trditve 1.11.2., torej lahko najdemo holomorfen prerez, ki se izogne S, če obstaja zvezen prerez, ki se izogne S. Ker pa /i-princip ne da nobenih ocen za velikost prereza, bomo iskali prerez nekega ’afinega podsvežnja’, natančneje, prerez Bn(c) x (z + L), kjer bo z G C9 točka in L < C9 vektorski podprostor kodimenzije 1. Pri prehodu na večjo kroglo bomo uporabili aproksimativno verzijo /i-principa (izrek 2.4.3. (6)). Glede na položaj točke xo moramo obravnavati dva primera.
Primer 1. Privzemimo, da je x'0 E Bn(c). To pomeni, da je ||xq||2 > 3c2. Pišimo d' := (c + d)/2 in naj bo L ortogonalni komplement x'q in C9. Najprej konstruiramo prerez C nad Bn(d'), ki zadošča (1) in (2). Definirajmo V := Bn(d') x (x'q + L), S' := S n V. Po 1.11.2. ima submerzija prcn '¦ V \ T.' —> Bn(d') spray, saj so vlakna T,'x (če niso prazna) končne množice, torej algebraične množice kodimenzije q — 1 > 2 in je prepis prava. Iz transverzalnosti sledi, da je (analitična)                         (S') dimenzije (največ) n — 1 za
skoraj vse izbire L (izbrani L lahko po potrebi malo premaknemo).
2.4    Tehnikalije
79
Naj vektorji V\,... ,vq_\ tvorijo bazo za L in naj bodo gi,...,gm : Bn(d') —> C holomorfne funkcije z x'0 kot edino skupno ničlo. Prerez C iščemo v naslednji obliki:
q—\            m
C I (   l          (   I      H   \    \              \             (   l\      (   l
[X ) = [X ,X0 +   >     Vi •   >     Ct>i,j{X )9j\X )),
i=\      i=\ kjer je a = (aij) prerez trivialnega svežnja Bn(d!) x Qmx(<i-1>_ Oglejmo si preslikavo
definirano z
g—1            m
o      i                 (i     a   i   ^ ^        ^ ^             /   /
oi(x , a) := [x , x0 + >   Vi •  y   a,ijgj{x ))
%=\       j=\ in pišimo Si := S^   (S'). Preslikava 5*1 : Bn(d') x Cmx(-9_1^ \ Si —> V \ S' je surjektivna submerzija povsod, razen nad točko x'0. Zato je preslikava
S := pre™ o S\ : W := Bn(d!) x Cmx^_ ^ \ Si —> Bn(d!)
submerzija, ki ima spray nad okolico vsake točke x ^ x'0; če je namreč U C Bn(d') taka okolica x, da obstaja spray s : (V\E')|t/ x Cw —> (V\E')|t/ (za nek iV G N), je preslikava VKf/ x CN —> Wjj, definirana z (y,z,t) i—> s(Si(y,z),t) spray na H^ ((y,z) G PV|c/, t G Cw).
Ničelni prerez ao nad Bn(d!) x Cmx(-9_1) je prerez VK nad majhno okolico x'0 (ker xo ni in S). Zdaj smo v naslednji situaciji: dim(pr'cn(Ei)) < n — f, vlakna Ei so (če niso prazna) algebraične množice kodimenzije q— f, kar pomeni, da so vlakna W vsaj (n — 2)-povezana. Obstaja taka stratifikacija Bn(d') = Bn D Bn_\... D B0 ^ 0, da je za vsak j = 1,..., n množica Bj \ Bj_\ taka j-dimenzionalna mnogoterost (ali prazna), da je število točk v Sij, konstantno na vsaki povezani komponenti Bj \ Bj_\, točka Xq leži v B0 in je Ei)X prazna za vsak x G Bn \ Bn_\.
Najprej z indukcijo po stratumih konstruiramo zvezen prerez. Za začetek razširimo naš prerez ao do zveznega prereza a0 nad okolico Bo, kar ni težko, saj je množica E zaprta. Zdaj pa lahko uporabimo lemo 2.4.2. (a) induktivno po stratumih. Indukcijski korak je naslednji. Privzemimo, da smo že konstruirali zvezen prerez a'- v W, definiran nad okolico množice Bj, ki je holomorfen na okolici x'0. Po lemi 2.4.2. obstaja zvezen prerez aJ+i v WIbj+d ki se ujema z a'- na okolici Bj. Ker je E zaprta, je prerez aJ+i mogoče razširiti do zveznega prereza a'+1 v W, ki je definiran nad neko okolico Bj+\ in je holomorfen na okolici x'0.
Rezultat je zvezen prerez a'n v W nad Bn(d'), ki je holomorfen na okolici x'0. Iz izreka 2.4.3. dobimo želen holomorfni prerez a (in C).
2.4    Tehnikalije
80
Primer 2. Naj bo zdaj x'0 G Bn(d)\Bn(c) in definirajmo d' = (\\x'0\\ +c)/2. Ker EnV^^/) leži v Bn(d') x Bq(R) za nek dovolj velik R > c, lahko definiramo kar C'(x) = (x, R + 1) za x G Bn(d').
V obeh primerih prerez C" zadošča HC"^')! > c in v primeru 1 zadošča še C'(x'0) = Xq.
Zdaj pa iščemo holomorfen prerez C : Bn(d) —> V \ E skozi predpisano točko, ki aproksimira C nad Bn(c). Ideja je podobna kot v primeru 1. Naj bodo gi,...,gm : Bn(d) —> C holomorfne funkcije z Xg kot edino skupno ničlo. Prerez C iščemo v obliki
m                                         m
C{x') = (0,x'q) + (V, y   ai>j(x')gj(x'), ¦ ¦ ¦,/   aq>j(x')gj(x')),
i                                           i
kjer je a = (ctij) prerez trivialnega svežnja Bn(d) x CmX9. Definirajmo preslikavo
Si : Bn(d) x Cmxq _> V, s predpisom
m                                         m
bi\x ,a) := {v,x0) + [x , >   a>i,j[x )gj{x ),...,>   a>q,j(x )gj{x ))
j i
in naj bo Ei := Si (E). Preslikava 5*1 : Bn(d) x Qmx(i-l> \ ~Li —> V \ E je surjektivna submerzija povsod, razen nad x'0. Kot v primeru 1 je preslikava S := pro o Si : W := Bn(d) x CmX9 \ Ei —> Bn(d) submerzija s sprayem nad okolico vsake točke x' ^ x'0.
Ker je C holomorfen prerez nad Bn(d'), obstaja tak holomorfen prerez b' v W\Bn(d'), da je L [X ) = {v,x0) + [x, }_^i bl j{x )gj{x ),..., }_^i b Ax )gj{x )). Prerez o je, ce je U dovolj majhna, prerez W\B„(d')- Podobno kot v primeru 1 naj bo Bn := Bn(d) D Bn_i... D 50 ^ 0 stratifikacija glede na število točk v Ex/, le da v tem primeru Y,x> ni prazna za x' G Bn \ Bn_i. Ker je Bo diskretna množica, je trivialno razširiti prerez b' do holomorfnega prereza bo nad okolic Bo U Bn((c + d')/2). Ce lemo 2.4.2. (6) uporabimo induktivno, dobimo zvezen prerez bn v W, ki sovpada z b' nad okolico B0 U Bn((c + d')/2). Prerez bn je holomorfen na okolici B0 U Bn(c). Po izreku 2.4.3. (b) obstaja holomorfen prerez b : Bn(d) —> VK ki aproksimira 6' nad Bn(c). Prerez
U(x) = {v,Xq) + (x, >   ^ija^ )9j{x ),...,>   bqj{x )gj{x ))
1                                                1
ima vse želene lastnosti.                                                                                                         X
2.5    Dokaz glavnega izreka
81
Opomba. če je n = 1, lema velja za q > 2, ker je množica prc(S') diskretna in za konstrukcijo holomorfnega prereza nad pre (S') ni potrebno uporabiti h-principa na afinih podsvežnjih, za kar smo potrebovali q — 1 > 2. Za dokaz vložitvenega izreka z interpolacijo za n = 1 zato zadostuje g > 2, kar pa je znan rezultat ([ABT]).
2.5    Dokaz glavnega izreka
Dokaz izreka 2.1.1. Najprej bomo dokazali trditev (a) izreka 2.1.1. Privzemimo, daje q > N in pišimo Y = {^ijieN, f' = (fi, ¦ ¦ ¦ , '-fin)- Izberimo tako izčrpanje {PjjieN mnogoterosti X s specialnimi analitičnimi poliedri, da je dPi Pl y = 0 za vsak i G N in (Pi+i\Pi)r)Y = {yi-\-i} za vsak i > 2 (modulo preštevilčenje 7/j-jev). Naj bo rrii := ||</?(yi)|| in izberimo tako naraščajoče zaporedje števil {a^j^N, ki zadošča
(i) d\ > max{l,777,1,777,2} + 1,
(m) (ii+i > max{?77i+2, di} + 1 za i G N.
Ker je t/? prava, gre zaporedje {m^i^ v neskončnost (ko gre i v neskončnost) in prav tako zaporedje {(iijieN- Ce izberemo primeren koordinatni sistem v Cn+q, lahko privzamemo, da je nii > 2 za vsak i. Fiksirajmo skoraj pravo razširitev H : X —> Cn preslikave ip' iz posledice 2.3.1., ki zadošča
(1)  \H\dPi > di za vsak j G N, in
(2)  dim{x G X, ranqrH < n — i} < 2([^—1 — 7 + 1) za i = 1,..., n.
Za vsak j G N izberimo take konstante dj,bj,Cj in e.,-, da je m&x{dj_i,mj+i} < ej < a j < bj < Cj < dj. Definirajmo Qj kot unijo (končno mnogo) tistih povezanih komponent množice H~1(Bn(dj)), ki ležijo v Pj. Potem je {Qj}je~n normalno izčrpanje X z (Qj \ Qj-i) H Y = {t/j}. Preslikava H : Qj —> Bn(dj) je prava za vsak j G N. Definirajmo:
Kj    :=    {x G Qj,  \\H(x)\\ < dj},
Uj    :=    {x G Qj,  ||_ff(x)|| < Cj},
K,    :=    {x G Qj+\ \ Qj,  \\H(x)\\ < dj},
Uj    :=    {x G Qj+i \ Qj,  ||-ff(x)|| < Cj},
Lj    :=    |x G Vj+i \ Vj,   ||-n(x)|| < -------}.
2.5    Dokaz glavnega izreka
82
Očitno sta Uj in [/' disjunktni odprti okolici Kj in K'- po vrsti, yJ+i G K'- in Lj C K'- za vsak j G N.
Iščemo tako holomorfno preslikavo G : X —> C9, da je (H, G) : X —> Cra+9 prava holomorfna vložitev, ki razširi </?. Da bo (H, G) prava, zadošča, daje ||G|| dovolj velika na množicah L,- (kier ie IIi/II premajhna), recimo ||G||r. > TOj0+1 za vsak 7 G N. Potem bo ||(-ff, G)\\q.+1\q. > J2+1 in ker gre zaporedje rrij v neskončnost, bo preslikava (H, G) prava. Preslikava G bo limita zaporedja holomorfnih preslikav G^>.
Z indukcijo bomo konstruirali tako zaporedje holomorfnih preslikav
G^3' : {x G Uj, \\H(x)\\ < bj} —> C9, j G N in tako zaporedje pozitivnih realnih števil, {cjJ-jgn da velja:
(1)  G^3' zadošča a(bj),(3(bj), 7 (&.,•) in 8(bj) iz izreka 2.4.1.;
(2)  če je G : {x G L/j, ||_ff(x)|| < bj} —> C9 taka holomorfna preslikava, da je ||G(:r) — G^(x)|| < Lj za vsak x G iC/, potem G zadošča o.(ej), P(ej) in 8(ej);
(3)  1 > Lj_i > Ej > 0 za j > 2;
(4)  za G^3+l> = (G\3     ,... , Ga      ) ie ||G^'+1mx)|| > TOj0+1 — 2_:' za vsak x 6 L-;
(5)  ||G^'+1^(x) — G^(x)|| < ^~3Sj za vsak x G iC,-.
j = 1. Izbrati moramo tako preslikavo G^l> in e\, da bosta izpolnjena pogoja (1) in (3). Izrek 2.4.1. za (r,R) = (bi,C\) in XC1 := Ui nam da holomorfno preslikavo G^l> : {x G [/1, ||_ff(x)|| < 61} —> C9, ki zadošča a(bi) — 8(bi). Ker sta pogoja ‘biti regularen in injektiven na kompaktni množici’ in ‘izogniti se diskretni množici nad kompaktom’ odprta, obstaja tak ei G (0,1), da velja (2).
j —> j; + 1. Recimo, da smo Lj in G1--7^ že izbrali. Do preslikave G^3+l> pridemo v dveh korakih. V prvem konstruiramo tako holomorfno preslikavo G : {x G Up \\H(x)\\ < bj} —> C9, da (_ff, G) vloži to množico v^:= Bn(bj) x C9 na tak način, da slika ne seka množice S = (H, G^3')({x G Uj, \\H(x)\\ < bj}) (slike prejšnje vložitve). Preslikavi G in G^3' skupaj sestavljata vložitev množice {x G Qj+i, ||-ff(x)|| < bj}. V drugem koraku uporabimo izrek 2.4.2. za aproksimacijo te preslikave s preslikavo G^3+l> : {x G t/j+i, ||-ff(x)|| < bj+i} —> C9, ki ima želene lastnosti.
Najprej pojasnimo konstrukcijo preslikave G. Po izreku 2.4.1. za (r,R) = (bj,Cj) in XCj kot unijo tistih končno mnogo povezanih komponent množice [/', ki sekajo množico {x G Uj, \\H(x)\\ < bj}, obstaja holomorfna preslikava G : {x G Uj, \\H(x)\\ < bj} —> C9,
2.5    Dokaz glavnega izreka
83
ki zadošča a(bj) in/3(bj). Problem z G je, da slika (H, G) : {x G Up \\H(x)\\ < bj} —> Cn+q lahko seka S := (H,G^')({x G Uj, \\H(x)\\ < bj}). Da bi ju potegnil narazen, človek najprej poskusil dodati dovolj veliko konstanto eni od komponent preslikave G, kar pa seveda ne gre, saj moramo zadostiti interpolacijskemu pogoju. Namesto tega s pomočjo leme 2.4.3. poiščemo holomorfen prerez C : Bn(bj) —> V \ S. Ko pa enkrat tak prerez imamo, lahko sliko G stisnemo v neko majhno cevasto okolico G, ki se tudi ogne S; vzamemo lahko kar konveksno kombinacijo G(x) := C(H(x)) + 8(G(x) — G(yJ+i)).
Očitno SVGZGI1J rpT'(^n  : V —>   Bn(bj), S in Xq = (x'0,x'q) := ip(yj+i) ustrezajo predpostavkam 2.4.3., zato obstaja holomorfen prerez C : Bn(bj) —> V \ S z lastnostmi
(i) C(x'0) = Xq in
(ii) \\C(x)\\ > ^r^ = TOj0+1 za vsak x G Bni™1^1).
Ce G malo perturbiramo, lahko dosežemo, daje (C(Bn(bj))\{xo})r\>p(Y\{yi,..., yj+\}) = 0. Izberimo število Tj G (dj,bj). Obstaja tak 8 > 0, da za
velja:
G(x) := C(H(x)) + #[G(:r) — G(yj+i)]
(i/, G)({x G Uj, \\H(x)\\ < rj})   n   (H,G^J')({x G f/j, ||_ff(x)|| < Tj})   = 0,
||G(x)|| >            za vsak x G L j in
2
(H, G)({x G [/' \ {yj+i}, ||-H"(^)|| < &j}) H ip(Y \ {yi,..., yj+i}) = 0-Pišimo i4={iL Uj+\, \\H(x)\\ < rj} in naj bo G' : A —> C9 preslikava, definirana z
G'{x) :=
G^(:r),    iGf/jH A, G(x),       X G [/' n A.
Jasno je, da je preslikava (H, G') injektivna in regularna na A (po konstrukciji G) in da ie ||G'(:r)|| > TOj0+1 za vsak x G L,-. Iz definicije G sledi, da ie preslikava (H,G') razširitev ip z A n y na A in ((_ff, G')(A \ y)) n (</?(^ \ A)) = 0, kar pomeni, da G' uztreza predpostavkam 2.4.2. za (r,r',R) := (r^, &j+i, Cj+i) in množico t/j+i kot unijo končnega števila povezanih komponent množice H~l(Bn{cj+i)). Zato lahko preslikavo G' na množici {x G t/j+i, ||-ff(x)|| < rj} poljubno dobro aproksimiramo s preslikav G^+l> : {x G Uj+\, \\H(x)\\ < bj+\} —> C9, ki zadošča a(bj+\), (3{bj+\), 7(&j+i) in 8{bj+\). Izberimo G^+l> tako blizu G', da za vsak x G t/j+i z ||_ff(x)|| < o,- velja \\G^+l'(x) — G'(x)\\ < 2~^Lj. Ker G' in G^ sovpadata na množici AilUj, preslikava G^+l> zadošča (5). Za vsak x G L j je
|G^+   (^)| > I G'(a?) I — |G^+ ' (x) — G'(x)\ >-------2~JLj >-------2--',
2.5    Dokaz glavnega izreka
84
(spomnimo se, da je Ej < 1) kar pomeni, da velja (4). Podobno, kot v primeru j = 1, obstaja tak eJ+1 < ej, da velja tudi (2).
Zaradi (3) in (5) je preslikava G = (G\,..., Gq) : X —> C9,
G{x) := lim (G^'(x))
holomorfna in ker preslikave G^> zadoščajo 7(6j), je preslikava (H,G^') razširitev <p na Uj Pl H~1(Bn(bj)). Iz (3) in (5) sledi, daje
||G(x) — G^(:r)|| < Ej, x G {xr G Uj, \\H(x')\\ < o,-}
za vsak j G N. Zaradi (2) preslikava G zadošča pogojema a(ej), /3(ej) za vsak j G N, kar pomeni, daie (H, G) iniektivnaimerziia. Iz pogojev (3) —(5) sledi, da ie ||G(x)|| > "\+1 — 1 za vsak x E Lj, torej je (_ff, G) prava. S tem je trditev (a) iz izreka 2.1.1. dokazana.
Dokaz trditve (6) je podoben, vendar precej enostavnejši. V tem primeru se nam ni treba ukvarjati z injektivnostjo, natančneje s pogojema a(r) in S(r), in za vsak j G N lahko najdemo holomorfen prerez G (tiskega, ki je nad Lj dovolj velik in gre skozi predpisano točko kot v lemi 2.4.3.) z aproksimacijo primerne konstante nad Lj.                   JI*
LITERATURA
85
Literatura
[ABT] Aquistapace, F., Broglia F., Tognolli, A.:  A Relative Embedding Theorem for Stein Spaces. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, str. 507-522 (1975)
[Bi] Bishop, E.:   Mappings of partially analytic spaces. Amer. J. Math. 83, str. 209 -242 (1961)
[BFo] Buzzard, G., Forstneriˇc, F.:    An interpolation theorem for holomorphic automorphisms and embeddings in Cn. J. Geom. Anal. 10, (2000)
[EG1] Eliashberg, Y. in Gromov, M.:    Nonsingular mappings of Stein manifolds. Funct. Anal. and Appl. 5, str. 156-157 (1971)
[EG2] Eliashberg, Y. in Gromov, M.:    Embeddings of Stein manifolds. Annals of Math. 136, str. 123-135 (1992)
[Fi] Fischer, G.:   Complex Analytic Geometry. LNM 538, Springer-Verlag (1976)
[FG] Fornaess, J.E., Gavosto, E.:  The Cauchy Riemann equation on singular spaces. Duke Math. J.   Vol. 93, No.3 (1998)
[Fr1] Forster, O.:     Some remarks on paralellizable Stein manifolds. Bull. Amer. Math. Soc.73, str. 712-716 (1967)
[Fr2] Forster, O.:   Plongements des varietes de Stein. Comm. Math. Helv. 45, str. 170-184 (1970)
[FR] Forster, O., Ramspott, K.J.:  Analytische Modulgarben und Endromisbu¨ndel. Invent. Math. 2, str. 145-170 (1966)
[FL] Forstneriˇc, F. in Low, E.:    Global Holomorphic Equivalence of Smooth Submani-folds. Indiana Univ. Math. J., Vol. 46, str. 133 -153 (1997)
[Fo] Forstneriˇc, F.:     Interpolation by holomorphic automorphisms and embeddings in Cn. J. Geom. Anal., no.1, str. 93-118 (1999)
[FP1] Forstneriˇc, F., Prezelj, J.:    The Oka’s principle for sections of holomorphic fiber bundles with sprays. Math Ann 317 (2000) 1, 117-154
[GS] Globevnik, J., Stensones, B.:   Holomorphic embeddings of planar domains into C2. Math. Ann. no. 4, str. 579-597 (1995)
LITERATURA
86
[GG] Golubitsky, M., Guillemin, V.: Stable mappings and their singularities. Grad. Texts in Math. 14, Springer - Verlag (1973)
[Gra] Grauert, H.: Holomorphe funktionen mit Werten in komplexen Lieschen Gruppen. Math. Ann. 133, str. 450 - 472 (1957)
[GR1] Grauert, H. in Remmert, R.: Theory of Stein Spaces. Grundl. Math. Wiss. 227, Springer-Verlag (1977)
[GR2] Grauert, H. in Remmert, R.: Coherent analytic sheaves. Grundl. Math. Wiss. 265, Springer-Verlag (1984)
[Gr] Gromov, M.: Oka’s principle for holomorphic sections of elliptic bundles. J. of the AMS 2, p. 851-897 (1989)
[GuR] Gunning, C.R., Rossi, H.: Analytic functions of several complex variables. Prentice - Hall (1965)
[Ha1] Hamm, H.: Zum Homotopietyp Steinscher R¨aume. J. Reine Angew. Math. 338, str. 121-135 (1983)
[Ha2] Hamm, H.: Zum Homotopietyp q-vollst¨andiger R¨aume. J. Reine Angewandte Math. 364, str. 1-9 (1986)
[Hen] Henkin, G.M.: Continuation of bounded holomorphic functions from submanifolds in general position in a strictly pseudoconvex domain. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36, str. 540-657 (1972)
[HL] Henkin, G.M., Leiterer, J.: The Oka-Grauert principle without induction over the basis dimension. Math. Ann. 311, str. 71-93 (1998)
[HL1] Henkin, G.M. in Leiterer, J.: Theory of functions on Complex manifolds. Matem-atische monographien, Band 60, Akademie - Verlag, Berlin (1984)
[Na] Narasimhan, R.: Imbedding of holomorphically complete spaces. Amer. J. Math. 82, str. 917-934 (1960)
[Pr] Prezelj, J.: Vloˇzitve Steinovih mnogoterosti v afine prostore minimalne dimenzije. Magistrsko delo (1998)
[RR] Rosay, J. -P., Rudin, W.: Holomorphic maps from Cn to Cn. Trans. Amer. Math. Soc. 310, str. 47-86 (1988)
LITERATURA
87
[Scn] Schneider, M.: Tubenumgebungen Steinshcer R¨aume. Manuscripta Meth. 18, str. 391-397 (1976)
[Sch1] Schu¨rmann, J.:     Einbettungen Steischer R¨aume in affine R¨aume minimaler Dimension. Schriftenreihe des Math. Inst. Univ. Mu¨nster, 3.Serie, Heft 7 (1992)
[Sch2] Schu¨rmann, J.:
Embeddings of Stein spaces into affine spaces of minimal dimension Math. Ann. 307, p. 381-399 (1997)
[Siu] Siu, Y.T.: Every Stein subvariety admits a Stein neighbourhood. Invent. Math. 38, str. 89-100 (1976)
[Wie] Wiegmann, W.:    Einbettungen komplexer R¨aume in Zahlenr¨aume. Invent. Math. 1, str. 229-242 (1966)
IZJAVA
Izjavljam, da je disertacija avtorsko delo.
Jasna Prezelj