i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 161 — #1 i
i
i
i
i
i
POTENCE KOVINSKIH RAZMERIJ
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11A55, 11B39
V prispevku pokažemo, kako se izražajo cele potence kovinskih razmerij v obliki pe-
riodičnih verižnih ulomkov.
POWERS OF METALLIC RATIOS
In this contribution we show how the integer powers of metallic ratios can be expressed
by periodic continued fractions.
Uvod
V zadnjih desetletjih je z razvojem teorije dinamičnih sistemov nastalo več
del, na primer [2, 4, 5], ki obravnavajo kovinska razmerja kot posplošitve
bolj znanega zlatega razmerja, ki ga navadno srečamo pri zlatem rezu, pa
tudi njihovo uporabo, na primer v [1]. V članku želimo predstaviti nekaj
lastnosti kovinskih razmerij. Za razumevanje je treba znati nekaj geome-
trije in elementarne algebre, reševati homogene linearne diferenčne enačbe
s konstantnimi koeficienti ter osnove teorije o verižnih ulomkih, s katerimi
bomo izrazili potence s celimi eksponenti kovinskih razmerij.
Kovinski pravokotniki
Vzemimo pravokotnik ABCD s stranicama a = |AB| in b = |BC|, pri čemer
je a > b in a/b ni naravno število (slika 1).
Od stranice AD proti stranici BC lahko od pravokotnika odrežemo k =
ba/bc (buc pomeni celi del realnega števila u) kvadratov s stranico b, tako
da ob stranici BC ostane manǰsi pravokotnik BCFE. Zanima nas, kdaj je
pravokotnik BCFE podoben pravokotniku ABCD. Pogoj za podobnost je
seveda enakost
a− kb
b
=
b
a
. (1)
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 161
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 162 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 1. Kovinski pravokotnik.
Takoj vidimo, da razmerje σk = a/b zadošča kvadratni enačbi λ
2−kλ−1 =
0, ki ima rešitvi
λ1 = σk =
1
2
(k +
√
k2 + 4) in λ2 = σ̂k =
1
2
(k −
√
k2 + 4). (2)
Pozitivno rešitev σk imenujemo kovinsko razmerje reda k ali kovinsko sre-
dino reda k. Iskani pravokotnik ima potemtakem stranici v kovinskem raz-
merju reda k, to je a/b = σk. Tak pravokotnik imenujemo kovinski pravo-
kotnik reda k. V posebnem primeru imamo števila
σ1 =
1
2
(1 +
√
5), σ2 = 1 +
√
2, σ3 =
1
2
(3 +
√
13), (3)
ki jih v tem vrstnem redu in v skladu s tremi najbolǰsimi športnimi uvr-
stitvami imenujemo zlato, srebrno in bronasto razmerje. Namesto besede
razmerje uporabljamo tudi besedi število in sredina. Ustrezni pravokotniki
so zlati, srebrni in bronasti pravokotnik (slika 2).
Manǰsi pravokotnik BCFE je seveda, tako kot pravokotnik ABCD, tudi
kovinski pravokotnik reda k. Od pravokotnika BCFE lahko tudi odrežemo
k kvadratov s stranico a−kb, tako da ostane še manǰsi kovinski pravokotnik
reda k. Postopek lahko nadaljujemo v nedogled. To pomeni, da v kovinskih
pravokotnikih obstaja neka fraktalna struktura.
Evklidska konstrukcija kovinskega pravokotnika reda k pri dani stranici
b je preprosta. Sledi neposredno iz zapisa σk v obliki
k
2
+
√(
k
2
)2
+ 1.
162 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 163 — #3 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
Slika 2. Zlati, srebrni in bronasti pravokotnik.
Slika 3. Konstrukcija bronastega pravokotnika.
Na sliki 3 je narejen primer bronastega pravokotnika za b = 1.
Podobno kot delimo daljico AB v zlatem rezu, jo lahko delimo tudi v
srebrnem in bronastem rezu, na splošno s točko Rk v rezu reda k. Veljati
mora: |ARk|/|RkB| = σk. Preprost račun pokaže, da je
|ARk| =
σk − 1
k
|AB|, |RkB| =
k + 1− σk
k
|AB|.
Da pa se daljico AB razdeliti v rezu reda k tudi z geometrijsko konstrukcijo.
Ni težko videti, da je k < σk < k + 1 za vsako naravno število k. To
161–170 163
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 164 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
dokažemo s kratkim zaporedjem relacij:
k =
1
2
(k +
√
k2) <
1
2
(k +
√
k2 + 4) = σk <
1
2
(k +
√
k2 + 4k + 4) = k + 1.
Zato, ker je število σk med k in k + 1, je zanj smiselno uporabljati izraz
sredina. Ker sta σk in σ̂k rešitvi kvadratne enačbe λ
2 − kλ − 1 = 0, zanju
veljata Viètovi formuli σk + σ̂k = k, σkσ̂k = −1. Za dovolj velik k je
razlika med σk in k poljubno majhna:
lim
k→∞
(σk − k) = lim
k→∞
(−σ̂k) =
1
2
lim
k→∞
(
√
k2 + 4− k) = 0.
Število (diskriminanta) k2 + 4 za noben naraven k ni kvadrat, kot sledi iz
relacije
k <
√
k2 + 4 <
√
k2 + 4k + 4 = k + 2.
Če bi bilo število
√
k2 + 4 naravno, bi to šlo samo v primeru
√
k2 + 4 = k+1,
kar pa vodi v protislovje 2k = 3. Od tod sledi, da so vsa kovinska števila
σk iracionalna.
Razvoj v verižni ulomek
Kovinsko razmerje ima lep razvoj v (enostaven, navaden, pravilen) verižni
ulomek. Vsako necelo realno število ξ lahko zapǐsemo v obliki
ξ = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
.. .
.
Pri tem so a1, a2, a3, . . . naravna števila, a0 = bξc pa celo število. Za cela re-
alna števila tak zapis nima smisla. Verižni ulomek po dogovoru označujemo
kraǰse takole:
ξ = [a0; a1, a2, a3, . . .].
Naj bo ξ > 1. Tedaj je očitno a0 > 0 in
1
ξ
= [0; a0, a1, a2, . . .].
Za 0 < ξ < 1 je a0 = 0 in
1
ξ
= [a1; a2, a3, . . .].
164 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 165 — #5 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
Racionalna števila imajo končen, iracionalna pa neskončen razvoj v verižni
ulomek. Pri končnih verižnih ulomkih vzamemo najkraǰsi zapis, v katerem
je zadnji člen na desni strani podpičja 2 ali več. Neskončen verižni ulomek
oblike
ξ = [a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+p, ak+1, . . . , ak+p, . . .]
imenujemo periodičen s periodo dolžine p. Kraǰse ga zapǐsemo v obliki
ξ = [a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+p].
Števila a0, a1, . . . , ak sestavljajo predperiodo. Vsaka kvadratna iracionala
(a+
√
b)/c, kjer sta a in c 6= 0 celi števili, b pa naravno število, ki ni kvadrat,
ima razvoj v periodični verižni ulomek. Samo števila, ki so pravkar opisane
kvadratne iracionale, imajo razvoje v periodične verižne ulomke. Več o tem
najdemo v obširni matematični literaturi, na primer v [6].
Verižni ulomek za σk dobimo zelo enostavno iz zveze σ
2
k − kσk − 1 = 0,
če jo prepǐsemo v obliko σk = k + 1/σk:
σk = k +
1
σk
= k +
1
k +
1
σk
= [k; k].
Kovinska razmerja lahko povežemo z Gaußovo preslikavo G : [0, 1) →
[0, 1), ki je definirana s predpisom G(x) = {1/x} za x ∈ (0, 1) in G(0) = 0.
Pri tem pomeni {u} ulomljeni del števila u, to se pravi {u} = u − buc.
Negibna točka preslikave G je po definiciji vsako tako število ξ ∈ [0, 1), za
katero je G(ξ) = ξ.
Ker veljata relaciji k < σk < k+1 in Viètovi formuli za σk in σ̂k, dobimo
G(1/σk) = {σk} = σk − k = −σ̂k = 1/σk.
Preslikava G ima zato neskončno mnogo netrivialnih negibnih točk, in sicer
ξk = 1/σk. Števila 1/σk so vse negibne točke preslikave G, česar ni težko
utemeljiti, dokaz pa najdemo na primer v [3].
Verižni ulomki za negibne točke preslikave G so
ξk = [0; k, k, k, . . .] = [0; k].
161–170 165
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 166 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Potence kovinskih razmerij
Zanimajo nas potence σnk kovinskih razmerij za naravne eksponente n. Vi-
deli bomo, da se te potence da izraziti s periodičnimi verižnimi ulomki. To
ni presenetljivo, saj je potenca z naravnim eksponentom kvadratne iracio-
nale tudi tako število, kar je izraženo s spodnjim zapisom potence. Posebej
pa moramo obravnavati potence z lihimi in sodimi eksponenti.
Potencam je ne glede na parnost eksponenta skupna oblika. Nedvomno
je ta oblika
σnk = En(k) + Fn(k)σk,
kjer so En(k) in Fn(k) neka racionalna števila. Očitno je E0(k) = 1 in
E1(k) = 0 ter F0(k) = 0 in F1(k) = 1. Ker pa za n ≥ 0 velja σn+2k =
kσn+1k + σ
n
k , imamo enakost
En+2(k) + Fn+2(k)σk = kEn+1(k) + kFn+1(k)σk + En(k) + Fn(k)σk.
Zaradi enoličnosti zapisa morata veljati relaciji:
En+2(k) = kEn+1(k) + En(k) in Fn+2(k) = kFn+1(k) + Fn(k).
Začetka zaporedij {En(k)}∞n=0 in {Fn(k)}∞n=0 sta naslednja:
En(k) : 1, 0, 1, k, k
2 + 1, k3 + 2k, k4 + 3k2 + 1, . . . ,
Fn(k) : 0, 1, k, k
2 + 1, k3 + 2k, k4 + 3k2 + 1, . . .
Števila Fn(k) imenujemo k-Fibonaccijeva
1 števila. Tudi števila En(k) so k-
Fibonaccijeva: En(k) = Fn−1(k). Smiselno je vzeti E−1(k) = −k, F−1(k) =
1, kar je tudi v skladu z enakostjo σ−1k = −σ̂k = −k + σk. Tako smo našli:
σnk = Fn−1(k) + Fn(k)σk. (4)
Za k = 1 so števila Fn = Fn(1) običajna Fibonaccijeva števila. Prav tako
dobimo
σ̂nk = Fn−1(k) + Fn(k)σ̂k. (5)
Če odštejemo (5) od (4) in upoštevamo enakost σk − σ̂k =
√
k2 + 4, naj-
demo eksplicitni izraz za k-Fibonaccijeva števila, tako imenovano Binetovo2
1Fibonacci, Leonardo iz Pise (okoli 1170–1250), je bil italijanski matematik.
2Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) je bil francoski matematik, astronom in
fizik.
166 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 167 — #7 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
formulo:
Fn(k) =
1√
k2 + 4
(σnk − σ̂nk ). (6)
Do rezultata (6) lahko pridemo tudi, če rešimo diferenčno enačbo Fn+2(k) =
kFn+1(k) + Fn(k) po običajnem postopku z nastavkom Fn(k) = λ
n, karak-
teristično enačbo λ2 − kλ − 1 = 0 s korenoma λ1 = σk, λ2 = σ̂k, linearno
kombinacijo C1σ
n
k +C2σ̂
n
k obeh rešitev ter z upoštevanjem začetnih pogojev
F0(k) = 0 in F1(k) = 1.
S k-Fibonaccijevimi števili so tesno povezana k-Lucasova3 števila Ln(k),
ki jih vpeljemo s prav tako diferenčno enačbo kot k-Fibonaccijeva števila,
to je Ln+2(k) = kLn+1(k) + Ln(k), toda pri začetnih pogojih L0(k) = 2 in
L1(k) = k. Za rešitev dobimo s prej opisanim postopkom ustrezno Binetovo
formulo
Ln(k) = σ
n
k + σ̂
n
k . (7)
Iz diferenčne enačbe in začetnih pogojev induktivno sledi, da so vsa
števila Fn(k) in Ln(k) naravna, le F0(k) je za vse k enak 0.
Z relacijama F−n(k) = (−1)n+1Fn(k) in L−n(k) = (−1)nLn(k) razširimo
zaporedji k-Fibonaccijevih in k-Lucasovih števil v dvostranski zaporedji.
Enakosti (4) in (5) potem veljata za vsako celo število n. Prav tako Binetovi
formuli (6) in (7), iz katerih dobimo še
lim
n→∞
Fn+r(k)
Fn(k)
= lim
n→∞
Ln+r(k)
Ln(k)
= σrk
za vsako celo število r.
Z upoštevanjem Viètovih formul lahko izrazimo iz (5) tudi potence z
negativnimi celimi eksponenti:
σ−nk = (−1)
n(Fn+1(k)− Fn(k)σk). (8)
Za števila Fn(k) in Ln(k) velja več identitet. Omenimo samo eno, ki jo
bomo potrebovali:
(k2 + 4)F 2n(k) = L
2
n(k) + 4(−1)n+1. (9)
Enakost (9) preverimo neposredno z Binetovima formulama (6) in (7):
(k2 + 4)F 2n(k) = (σ
n
k − σ̂nk )2 = σ2nk + σ̂2nk − 2σnk σ̂nk
= (σnk + σ̂
n
k )
2 − 4(σkσ̂k)n = L2n(k) + 4(−1)n+1.
3François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) je bil francoski matematik.
161–170 167
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 168 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
V primeru lihega indeksa imamo:
(k2 + 4)F 22n+1(k) = L
2
2n+1(k) + 4. (10)
Sedaj izračunajmo σ2n+1k . Ker je σ
2n+1
k +σ̂
2n+1
k = L2n+1(k) in σ
2n+1
k σ̂
2n+1
k =
(σkσ̂k)
2n+1 = (−1)2n+1 = −1, sta σ2n+1k in σ̂
2n+1
k rešitvi kvadratne enačbe
µ2 − L2n+1(k)µ − 1 = 0. To pa pomeni, da je σ2n+1k kovinsko število reda
L2n+1(k). Rezultat izrazimo še z verižnimi ulomki:
[k; k]2n+1 = [L2n+1(k);L2n+1(k)], [k; k]
−(2n+1) = [0;L2n+1(k)].
Lotimo se še potenc σ2nk . Za k = 1 in n = 1 je najenostavneje: σ
2
1 =
1 + σ1 = [2; 1], σ
−2
1 = [0; 2, 1]. Verižna ulomka imata periodo dolžine 1.
V preostalih primerih pa imajo potence σ2nk , zapisane kot verižni ulomek,
periodo dolžine 2. Kako pridemo do tega?
Za števili σ2nk −1 in σ̂2nk −1 veljata enakosti (σ2nk −1)+(σ̂2nk −1) = L2n(k)−
2 in (σ2nk − 1)(σ̂2nk − 1) = 2−L2n(k). To pomeni, da sta νk = σ2nk − 1 > 0 in
ν̂k = σ̂
2n
k − 1 rešitvi kvadratne enačbe ν2 − (L2n(k)− 2)ν − (L2n(k)− 2) =
0. Označimo K2n(k) = L2n(k) − 2. Pri tem je vedno K2n(k) > 0. Iz
ν2k −K2n(k)νk −K2n(k) = 0 dobimo
νk = K2n(k) +
K2n(k)
νk
= K2n(k) +
1
νk
K2n(k)
= K2n(k) +
1
1 +
1
νk
= K2n(k) +
1
1 +
1
K2n(k) +
K2n(k)
νk
= · · · = [K2n(k); 1,K2n(k)].
Vstavimo izraza za νk ter K2n(k) in dobimo
σ2nk = [L2n(k)− 1; 1, L2n(k)− 2], σ−2nk = [0;L2n(k)− 1, 1, L2n(k)− 2].
Dobljena verižna ulomka imata periodo 2. Izjema nastopi takrat, ko je
L2n(k) = 3, kar pa je možno le v primeru n = k = 1 (glej tabelo 1), kar pa
smo že obravnavali.
168 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 169 — #9 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
n → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fn(1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Ln(1) 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199
Fn(2) 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741
Ln(2) 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726 16238
Fn(3) 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 42837 141481
Ln(3) 2 3 11 36 119 393 1298 4287 14159 46764 154451 510117
Fn(4) 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289
Ln(4) 2 4 18 76 322 1364 5778 24476 103682 439204 1860498 7881196
Tabela 1. Nekaj k-Fibonaccijevih in k-Lucasovih števil (k = 1, 2, 3, 4).
Ekvivalenčni razredi
V množico naravnih števil N lahko s kovinskimi razmerji uvedemo ekviva-
lenčno relacijo ∼ in ustrezne ekvivalenčne razrede [k]∼. Naravni števili k in
k′ sta v relaciji ∼, kar zapǐsemo kot k ∼ k′, natanko tedaj, ko obstajata taki
racionalni števili α in β, da velja σk′ = α+ βσk. Ker se σk in σk′ izražata s√
k2 + 4 oziroma
√
k′2 + 4, lahko zapǐsemo tudi v ekvivalentni obliki: k ∼ k′
velja natanko tedaj, ko je
√
(k′2 + 4)/(k2 + 4) pozitivno racionalno število.
Relacija ∼ je očitno refleksivna (k ∼ k), simetrična (k ∼ k′ ⇒ k′ ∼ k)
in tranzitivna (k ∼ k′ ∧ k′ ∼ k′′ ⇒ k ∼ k′′), torej ekvivalenčna relacija.
Primer. 1 ∼ 4, ker je
√
(42 + 4)/(12 + 4) =
√
20/5 =
√
4 = 2, 11 ∼ 76,
ker je
√
(762 + 4)/(112 + 4) =
√
5780/125 =
√
1156/25 = 34/5, toda 11 6∼
14, ker je
√
(142 + 4)/(112 + 4) =
√
200/125 =
√
8/5, kar ni racionalno
število.
Razrede [k]∼ vpeljemo za vsak k ∈ N kot običajno: [k]∼ = {k′ ∈ N :
k′ ∼ k}. Zlati, srebrni in bronasti razred so naravna zaporedja:
[1]∼ = {1, 4, 11, 29, 76, 199, . . .},
[2]∼ = {2, 14, 82, 478, 2786, . . .},
[3]∼ = {3, 36, 393, 4287, 46764, . . .}.
Če je k ∼ k′, potem je [k]∼ = [k′]∼, če pa k 6∼ k′, je [k]∼ ∩ [k′]∼ = ∅.
Če primerjamo števila v zlatem, srebrnem in bronastem razredu s tistimi
v tabeli 1, opazimo v razredih 1-, 2- in 3-Lucasova števila z lihim indeksom:
L2n+1(k). Res. Če je k najmanǰse število v razredu, potem z enakostjo (10)
dobimo: √
L22n+1(k) + 4
k2 + 4
= F2n+1(k),
kar je celo naravno število. To pomeni, da je k ∼ L2n+1(k) za vsak k ∈ N
in n ≥ 0.
161–170 169
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 170 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Za konec
V ravnini kompleksnih števil so n-ti koreni enote rešitve enačbe zn = 1.
Zapǐsemo jih lahko kot zk = exp(2kπi/n), kjer je k = 0, 1, . . . , n−1. Koreni
zk so oglǐsča pravilnega n-kotnika, ki je včrtan krožnici |z| = 1. Dolžina an
stranice takega pravilnega n-kotnika je an = |z1 − z0| = 2 sin(π/n), različne
dolžine dn,k diagonal pa so dn,k = |zk − z0| = 2 sin(kπ/n), kjer vzamemo
k = 2, 3, . . . , bn/2c. Diagonale in stranica so v razmerju
dn,k
an
=
sin(kπ/n)
sin(π/n)
.
Za n = 4 je to razmerje
√
2 = σ2 − 1, za n = 5 pa (1 +
√
5)/2 = σ1. Za
n = 6 dobimo
√
3 in 2, za n = 8 pa
√
2 +
√
2 =
√
1 + σ2, 1 +
√
2 = σ2 in√
4 + 2
√
2 =
√
2 + 2σ2. Vidimo, da je razmerje med diagonalo in stranico v
pravilnem petkotniku zlato razmerje, v pravilnem osemkotniku je razmerje
med srednje dolgo diagonalo in stranico srebrno razmerje. V [4] pa avtorica
pokaže, da razmerje med diagonalo in stranico v nobenem pravilnem n-
kotniku ni bronasto razmerje. Pač pa zavidanja vreden članek [1] uporablja
bronasto razmerje v teoriji kvazikristalov. Pripomnimo, da je bil ta članek
uvrščen na šesto mesto med desetimi najodličneǰsimi raziskovalnimi dosežki
Univerze v Ljubljani v letu 2017.
LITERATURA
[1] T. Dotera, S. Bekku in P. Ziherl, Bronze-mean hexagonal quasicrystal, Nature mate-
rials, 2017, DOI: 10.1038/NMAT4963.
[2] S. Falcon, Relationships between some k-Fibonacci sequences, Applied Mathematics 5
(2014), 2226–2234.
[3] M. Lakner, P. Petek in M. Škapin Rugelj, Diskretni dinamični sistemi, DMFA – zalo-
žnǐstvo, Ljubljana, 2015.
[4] A. Redondo Buitrago, Polygons, diagonals, and the bronze mean, Nexus network jo-
urnal, 9 (2007), 321–326.
[5] V. W. de Spinadel, From the golden mean to chaos, Nueva Libreria, Buenos Aires
1998.
[6] H. S. Wall, Analytic theory of continued fractions, Van Nostrand, New York in drugje,
1948.
170 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5