Odvod funkcije brez uporabe limit The derivative of a function without the usage of limits Janez Žerovnik Univerza v Ljubljani Σ Povzetek Predstavljena je stara metoda računanja tangente na graf al- gebraične funkcije, ki vodi k prav tako zelo stari Caratheo- doryjevi formulaciji definicije odvedljivosti. Komentiramo primernost pristopa za poučevanje v srednji šoli. Ključne besede: analiza, odvod funkcije, limita, zveznost, tangente, Descartes, Caratheodory Σ Abstract Presented is an old method of calculating the tangent to the graph of the algebraic function, which leads to the likewise ve- nerable Caratheodory’s formulation of the definition of diffe- rentiability. We comment the appropriateness of this approach approach for teaching in high school. Keywords: analysis, derivative of the function, limit, continui- ty, tangents, Descartes, Carathéodory Sporočilo uredništva. Uredništvo revije Matematika v šoli podpira različen pogled na poučevanje in učenje matematike, zato smo se odločili za objavo tega prispevka. Predstavljen način obravnave odvoda še ni bil preizkušen v praksi v Sloveniji, zato morajo biti učitelji pozorni pri takem načinu obravnave. α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 56-62 057 α Uvod Range v [5] predstavi Descartesovo metodo računanja tangent in odpira vprašanje, ali bi bilo smiselno ponovno razmisliti o osnovah kalkulusa, kar bolj ali manj ustreza našemu uvodu v analizo. Pojem limite je abstrakten in sorazmerno zahteven koncept. Posebej je problematično, ker si v srednji šoli težko iz- mislimo primere, ko je limito zares smiselno računati, saj imamo opravka praviloma z vsaj odsekoma zveznimi funkcijami. Izjema so li- mite z x → ∞ (Drugi primer so nezveznosti funkcij v točkah nedefiniranosti, ki pa jih pogosto odpravimo kar z deljenjem ali malo bolj zahtevnim preoblikovanjem.) Po drugi strani pa limito vpeljemo soraz- merno zgodaj in na tem temeljimo veliko poznejše obravnave. Tako na primer rečemo, da je funkcija zvezna na intervalu, če je zvez- na v vsaki točki intervala. Tu se pojavi limi- ta: funkcija je zvezna v točki, če je tam njena vrednost enaka limiti. Precejšnja zmeda ali nepotrebna komplikacija za dijaka, ki pozna samo zvezne funkcije. Tu se lahko vprašamo, ali ne bi bilo bolj naravno definirati zveznos- ti brez omembe limit, in potem verjetno bližje dijakovemu znanju namesto zveznosti v točki takoj definirati zveznost na intervalu, a o tem na kakem drugem mestu. Pojem odvoda je med težjimi abstrak- tnimi pojmi v srednješolski matematiki, po drugi strani pa se mu nikakor ne moremo in nočemo odreči zaradi očitne uporabnosti pri zelo elementarnih uporabnih nalogah. Za običajno vpeljavo pojma odvoda potrebuje- mo najprej pojem limite funkcije, potem pa opazujemo, ali konvergira limita diferenčne- ga kvocienta. Standardni obravnavi [6] sledi- jo srednješolski učbeniki, na primer [1] (ki je trenutno edini potrjeni učbenik za 4. razred gimnazije [9]). Ali se lahko odrečemo vpelja- vi odvoda z limito funkcije? Že Descartes je v 17. stoletju poznal me- todo za direktno računanje tangent, ki pa je danes nekoliko pozabljena [4,5]. Tangente na graf funkcije in seveda tudi smerni koefi- cient tangente lahko izračunamo brez upo- rabe odvoda za veliko družino funkcij. In zgodbo lahko obrnemo: najprej računamo tangente, potem pa odvod definiramo kot smerni koeficient tangente. Descartesov pris- top naravno vodi h Caratheodoryjevi defi- niciji odvedljivosti, še eni skoraj pozabljeni dobri ideji [2,3,8]. Ta pristop je predstavljen tudi v [7], potem ko je bila tema nezanimiva za revijo Obzornik za matematiko in fiziko! Tu bomo najprej povzeli Descartesovo metodo, s katero lahko tangente na grafe mnogih funkcij izračunamo brez vpeljave odvoda. Še več, smerni koeficient tangente lahko v mnogih primerih izračunamo algeb- raično brez pojma limite. Za funkcije, pri katerih se pojmu limite ne moremo izogniti, pa na naraven način pridemo do alternativne definicije odvoda, ki je enakovredna običaj- ni. Alternativna Caratheodoryjeva definicija odvedljivosti in odvoda temelji na pojmu zveznosti funkcije, ki je videti bolj naraven in intuitivno lažje razumljiv kot pojem limite. V nadaljevanju najprej predstavimo Des- cartesovo metodo računanja tangent, na podlagi katere je dana definicija odvoda po- linoma. S primeri pokažemo, da je lastnosti odvoda mogoče sorazmerno preprosto izpe- ljati. Šele za splošno definicijo odvoda potre- bujemo uporabo limite ali, enakovredno in morda primernejšo, zveznosti funkcije. Za- pisana je Caratheodoryjeva definicija odvo- da, ki je naravna posplošitev prejšnje defini- cije. Spet na primerih vidimo, da je izpeljava lastnosti odvodov sorazmerno nezahtevna. 058 Odvod funkcije brez uporabe limit Nezahtevnost ali zahtevnost tega ali onega pristopa je seveda težko opredeliti oziroma je zelo odvisna od (pred)znanja, pa tudi od drugih dejavnikov. Navsezadnje tudi od pri- dobljenih navad in izobrazbe učiteljev. Namesto sklepa tu zapišimo osnovno sporočilo prispevka. Tudi pri poučevanju standardnih vsebin matematike je smiselno vedno znova premišljati o najprimernejšem načinu vpeljave pojmov. Pogosto nam že zna- ne, a včasih po krivici pozabljene ideje lahko pomagajo, da se temu približamo, ne da bi pri tem izgubili splošnost ali celo formalno logično korektnost obravnave. Seveda je na drugi strani potrebna velika previdnost, saj lahko majhna sprememba v definiciji kakega osnovnega pojma povzroči nepričakovane težave na kakem drugem mestu obravnave. β Descartesova metoda Poglejmo najprej primer, kako lahko izraču- namo tangento na parabolo, torej tangento na graf kvadratne funkcije. Ni težko razume- ti, da premica seka parabolo v eni, dveh, ali v nobeni točki. Premica, ki seka graf kvadratne funkcije v dveh točkah, je sekanta, premica, ki graf seka v eni točki, torej se ga dotika, pa je tangenta. Algebraično recimo, da imamo funkcijo s predpisom f(x) = x 2 in želimo izra- čunati predpis linearne funkcije, katere graf bo tangenta v točki (a, a 2 ). Enačba tangente bo y = a 2 + k(x – a), torej dobimo x 2 – a 2 = k(x – a) in od tod ((x + a) – k)(x – a) = 0. Ker imata tangenta in parabola eno skup- no točko, mora imeti enačba dvakratni ko- ren x = a, zato (x + a) – k = 0 in dobimo k = 2a. Če poskusimo razmišljati, kako bi to nare- dili intuitivno jasno in preprosto, bi šlo lahko takole, morda v praksi tudi s pomočjo grafič- ne animacije. Tangenta ni katera koli premi- ca, ki ima skupno točko z grafom funkcije, ampak jo dobimo tako, da sekanto, ki graf preseka v dveh bližnjih točkah, premikamo, tako da se dve presečišči približujeta. Algebraično to pomeni, da se bosta dva korena ustrezne enačbe združila v večkratni koren. To bi dijaki lahko intuitivno razumeli na podlagi že znane obravnave parabole in premice. V animaciji bi tako na primer lah- ko začeli z grafom polinoma tretje stopnje in premico, ki bi ta graf sekala v treh točkah, nazadnje pa bi imeli tangento, ki bi imela z grafom polinoma še eno presečišče. Podobno lahko razmišljamo, če je funkci- ja polinom stopnje r ≥ 2. Tangenta v točki (a, P(a)) je premica z enačbo y = P(a) + k(x – a), x = a pa mora biti vsaj dvakratni koren enačbe P(x) = = P(a) + k(x – a). Ker je x = a ničla polinoma P(x) – P(a), lahko zapišemo P(x) – P(a) = q(x)(x – a), kjer je q polinom stopnje r – 1. Potrebovali smo samo znanje deljenja polinomov. Za- pišimo enačbo presečišč grafa polinoma in naše premice - tangente: P(x) = P(a) + k(x – a). Kot prej preoblikujmo in dobimo (q(x) – k)(x – a) = 0 in ker mora biti x = a dvakratni koren skle- pamo, da mora biti q(a) = k. Ker ima tudi q(x) – q(a) ničlo pri x = a, lahko zapišemo q(x) – q(a) = r(x)(x – a), in P(x) – P(a) – k(x – a) = (q(x) – k)(x – a) = =(q(a) – k)(x – a) + (q(x) – q(a))(x – a) =(q(a) – k)(x – a) + r(x)(x – a) 2 Iz zadnjega zapisa sklepamo, da ima enač- ba P(x) = P(a) + k(x – a) večkratni koren pri 059 x = a natanko tedaj, ko je q(a) = k. Torej je q(a) smerni koeficient tangente na graf poli- noma P v točki (a, P(a)). Iz zapisa tudi sledi, da ima graf polinoma dobro definirano tan- gento v vsaki točki in lahko definiramo: Definicija tangente in odvoda polino- ma. Tangenta na graf polinoma P v točki (a, P(a)) je enolično določena premica, ki v točki (a, P(a)) seka graf polinoma z večkrat- nostjo vsaj dva. Smerni koeficient tangente je enak q(a), kjer je q(x) določen z P(x) – P(a) = = q(x)(x – a). Smerni koeficient tangente ime- nujemo odvod polinoma P pri x = a, in ga označimo s P'(a). Podobno lahko obravnavamo racionalne funkcije, obravnavo pa lahko razširimo na algebraične funkcije [4]. γ Osnovne lastnosti odvoda Za tu definirani odvod veljajo znane lastnos- ti, dokazi pa so preprosti. Poglejmo nekaj zgledov izpeljave pravil za odvajanje. Ome- jimo se na množico funkcij , ki je zaprta za osnovne operacije (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje), komponiranje funkcij in inverze. Potem lahko, seveda na primer- nih definicijskih območjih, privzamemo, da za poljubno funkcijo f ∈ obstaja φ ∈ , tako da je f(x) – f(a) = φ(x)(x – a) [4]. Trditev očitno velja za množico polinomov, pa tudi za množico racionalnih funkcij. Privzemimo, da sta f in g iz množice funk- cij , torej da velja f(x) – f(a) = φ(x)(x – a), za neko funkcijo φ ∈ (1) in g(x) – g(a) = ψ(x)(x – a), za neko funkcijo ψ ∈ (2) Seštejmo (1) in (2), f(x) + g(x) = = f(a) + g(a) + φ(x)(x – a) + ψ(x)(x – a) = f(a) + g(a) + φ(x) + ψ(x))(x – a) = f(a) + g(a) + q(x)(x – a). Torej ima f + g v točki a odvod in (f + g)'(a) = φ(a) + ψ(a) = f '(a) + g'(a). Dobili smo znano pravilo za odvod vsote odvedljivih funkcij. Tu rečemo, da je funkci- ja odvedljiva v točki, če v tej točki obstaja od- vod. Po prejšnji definiciji je to ekvivalentno obstoju tangente na graf funkcije. Pozneje to definicijo posplošimo in jo razširimo na odvedljive funkcije v standardnem pomenu. Za dokaz pravila za produkt pomnožimo f(x) = f(a) + φ(x)(x – a) in g(x) = g(a) + ψ(x)(x – a) ter preuredimo f(x)g(x) – f(a)g(a) = (φ(x)g(a) + f(a)ψ(x) + φ(x)ψ(x)(x – a))(x – a). Vstavimo x = a v oklepaj na desni in z upoštevanjem φ(a) = f '(a) in ψ(a) = g'(a) preberemo znano pravilo (fg)'(a) = (φ(a)g(a) + f(a)ψ(a) + 0) = = f '(a)g(a) + f(a)g'(a). Zelo kratek je tudi dokaz izreka o odvodu posredne funkcije. Izrek. Naj bo y = f(x) odvedljiva funkcija v točki a in z = g(y) odvedljiva funkcija v točki b = f(a). Potem je g ° f(x) = g(f(x)) odvedljiva funkcija v točki a in velja (g ° f)'(a) = (g' ° f)(a) f'(a) Za dokaz zapišimo definicijo odvedljivos- ti za funkcijo g z novimi oznakami g(y) – g(b) = ψ(y)(y – b) ter vstavimo y = f(x), b = f(a) in y – b = = f(x) – f(a) = φ(x)(x – a), g(f(x)) = g(f(a)) + ψ(f(x)) φ(x)(x – a). Torej je kompozitum g ° f odvedljiva funk- cija v točki a in (g ° f)'(a) = ψ(f(a)) φ(a) = g'(f(a)) f '(a) 060 Odvod funkcije brez uporabe limit Podobno kratki in predvsem konceptual- no nezahtevni so tudi dokazi drugih lastnos- ti odvoda, ki jih tu ne bomo navajali. δ Caratheodoryjeva definicija odvedljivosti Pri posplošitvi odvoda na večji razred funkcij ne gre brez uporabe limit. T udi tu lahko limi- te skrijemo v definicijo zveznosti, ki je ver- jetno dijakom precej bolj intuitivno razum- ljiva, saj poznajo skorajda samo funkcije, ki so zvezne na svojih definicijskih območjih. Limite uporabimo šele v konkretnih prime- rih oziroma tedaj, ko res ne gre brez njih. Primerna definicija zveznosti je seveda vredna posebne pozornosti, in kot že omen- jeno, podrobna obravnava presega namen tega prispevka. Vsekakor je dijakom vredno povedati, da gre za formalizacijo lastnosti funkcije, katere graf je neprekinjena krivulja. Potem bi bilo naravno govoriti o zveznosti na (zaprtem) intervalu in uporabiti standard- no definicijo enakomerne zveznosti. Potem lahko rečemo, da je funkcija zvezna tudi v vsaki točki intervala in imamo ekvivalentno definicijo običajni. Bistveno sporočilo tega odstavka je, da je mogoče in morda smiselno definirati zveznost funkcije pred definicijo limite, manj pomembno pa je tu vprašanje, ali to naredimo na tu nakazani ali na stan- dardni način, ko začnemo z definicijo zvez- nosti funkcije v točki. V nadaljevanju predpostavljamo, da so zvezne funkcije in njihove lastnosti znane. Sklepi so, kot bomo videli na primerih, ved- no zelo podobni: ker je nek izraz, sestavljen iz zveznih funkcij, zvezna funkcija, sklepa- mo, da je obravnavana funkcija odvedljiva in iz oblike izraza preberemo pravilo za izračun njenega odvoda. Naj bo zdaj f poljubna realna funkcija, za- nima nas tangenta na graf funkcije f v točki x = a. Enačba tangente mora biti y = f(a) + + k(x – a). Kot prej mora imeti enačba f(x) = = f(a) + k(x – a) pri x = a rešitev, ki ni enos- tavna. Zapišimo f(x) – f(a) = g(x)(x – a) = g(a)(x – a) + + (g(x) – g(a))(x – a). Izkaže se, da je dovolj zahtevati lim x → a g(x) = g(a), ali drugače rečeno, g mora biti zvezna funkcija v točki a. Potem lahko rečemo, da je za k = g(a) y = f(a) + k(x – a) tangenta na graf funkcije f v točki (a, f(a)). To nas je pripeljalo do Cartheodoryjeve de- finicije odvoda: Definicija odvoda odvedljive funkcije (Caratheodory) [2,3]. Funkcija f je odvedlji- va v točki x 0 natanko tedaj, ko obstaja funkci- ja φ, zvezna v točki x 0 , tako da je f(x) = f(x 0 ) + φ(x) (x – x 0 ) (3) Vrednost φ(x 0 ) imenujemo odvod funkcije f v točki x 0 in jo označimo z f'(x 0 ). Odvedljivost funkcije f z leve (z desne) je ekvivalentna obstoju funkcije φ zvezne z leve (z desne). Caratheodoryjeva definicija je posploši- tev prej zapisane definicije odvoda polinoma in je enakovredna običajni definiciji odvo- da, ki ga definiramo kot limito diferenčnega kvocienta, kot v [6] (in podobno [1]): Definicija. Odvod funkcije f v točki x 0 je enak limiti (4) Funkcija je v točki x 0 odvedljiva, če eksisti- ra limita na desni, na kakršen koli način gre h proti 0. 061 Ekvivalentnost definicij je mogoče hitro videti. Res, iz (3) sledi, da je povsod razen pri x = x 0 (5) Funkcija φ je zvezna v točki x 0 natanko te- daj, ko obstaja limita diferenčnega kvocienta (4). Tedaj je φ(x 0 ) = f '(x 0 ). ε Pravila za odvajanje v splošnem Privzamemo, da poznamo definicijo in izre- ke o zveznosti vsote, produkta, kompozitu- ma … zveznih funkcij. Za primer zapišimo dokaz pravila za odvod inverzne funkcije in za odvod kvocienta. Videli bomo, da so tehnično dokazi enaki kot prej, le v zamenjamo z zvezno fukcijo. Naj bo f na neki okolici točke x 0 injektivna. Če v definiciji (3) zamenjamo in x 0 = f -1 (y 0 ), y = f(x) in y 0 = f(x 0 ), dobimo f(f -1 (y)) = f(f -1 (y 0 )) + φ(f -1 (y))(f -1 (y) – f -1 (y 0 )), upoštevamo y = f(f -1 (y)), y 0 = f(f -1 (y 0 )), in preuredimo Če je φ(f -1 (y 0 )) = φ(x 0 ) ≠ 0, predpis da realno funkcijo, ki je zvezna v točki y 0 in Nekaj več, a še vedno ne veliko, računanja je treba za dokaz pravila za odvod kvocienta. Naj bo g(x 0 ) ≠ 0. Ker je funkcija s predpisom zvezna v točki x 0 , je kvocient odvedljiva funkcija in = η Za konec V prispevku smo skicirali alternativni pris- top k definiciji odvoda, kjer odvod najprej definiramo kot smerni koeficient tangente na graf funkcije. Kot smo videli, lahko pri preprostih funkcijah, kot so polinomi in ra- cionalne funkcije, to storimo brez uporabe pojma limite. Tako lahko na primer odvod potence f(x) = x n pri x = a dobimo tako, da zapišemo f(x) – f(a) = x n – a n = (x n–1 + ax n–2 + ... + + a n–1 )(x – a) = q(x)(x – a) in odtod, ali še bolj nazorno, iz enakosti f(x) = f(a) + q(x)(x – a) vidimo, da je x = a odvedljiva funkcija, njen odvod pri pa je enak g(a) = na n–1 . Ker je v izpeljavi poljubno realno število, sledi f '(x) = g(x) = nx n–1 . Pravila za odvod vsote, produkta in kvo- cienta, ki smo jih omenili v razdelku lastnosti odvoda, lahko potem uporabimo za računan- je odvodov racionalnih funkcij, še vedno brez uporabe pojma limite. T ehnika odvajan- ja je tu seveda povsem enaka kot pri običaj- nem pristopu, le vpeljava je bila drugačna. Za razširitev obravnave na vse funkcije, ki jih srečamo v srednji šoli, pa za definicijo odvoda potrebujemo pojem limite, ali ekvi- valentno, pojem zveznosti funkcije, kot smo 062 Odvod funkcije brez uporabe limit naredili v razdelku Caratheodoryjeva defi- nicija odvedljivosti. Za zgled izračunajmo odvod funkcije sinus v poljubni dani točki a. Zapišimo adicijski izrek, ki ga dijaki poznajo, recimo, da je x ≠ a in pomnožimo z . Zdaj seveda ne gre brez limite Funkcija sin je torej v točki a odvedljiva, njen odvod v točki a je enak cos a. Ker je bila a poljubna točka, je za vsak realen x sin' x = cos x. Videli smo, da je pravila za odvajanje in odvode potenc mogoče izpeljati brez vpelja- ve limit, ki so za povprečnega srednješolca dokaj zahteven pojem. Za popolnitev običaj- ne tabele elementarnih odvodov brez limit ne gre, a pomembno je, da jih uporabimo šele takrat, ko je nujno potrebno. Osnovno sporočilo člankov [4,5] in tega prispevka je, da je mogoče znaten del obrav- nave narediti pred vpeljavo pojma limite. Zahvala. Avtor se zahvaljuje anonimne- mu recenzentu za konstruktivne pripombe, urednici Jerneji Bone pa za potrpežljivost pri usklajevanju in tehnično pomoč pri pripravi zadnje različice članka. θ Literatura 1. Bon Klanjšček, M., Felda, D. (2012), Matematika 4, Učbenik za gimnazije, DZS, Ljubljana. 2. Carathéodory, C. (1950), Funktionentheorie, Birk- häuser. 3. Hairer, E., Warner, G. (1995), Analysis by its history, Springer. 4. Range, R.M. (2011), Where are Limits Needed in Cal- culus, Amer. Math. Monthly, letn. 118, str. 404–417. 5. Range, R. M. (2014), Descartes‘s Double Point Me- thod for Tangents: An Old Idea Suggests New Appro- aches to Calculus, Notices of the AMS, letn. 61, str. 387–389. 6. Vidav, I. (1987), Višja matematika I, DMFA, Ljublja- na. 7. Žerovnik, J. (2002/03), O definiciji odvedljivosti, Ma- tematika v šoli, letn. 10, str. 85–88. 8. Žerovnik, J. (2009), Matematika 1, Fakulteta za stroj- ništvo, Ljubljana. 9. Seznam učbenikov na http://www.zrss.si/ dostop maj 2014.