 P50(2022/2023)4 20 Opazovanje asteroida Vesta s teleskopom GoChile A G V ˇ clanku bom na kratko predstavil svojo izku- šnjo iz udeležbe na poletni šoli GoChile. Povedal bom nekaj besed o orbitalni mehaniki, asteroidih inoraˇ cunalniškemprogramu,kisemganapisalza avtomatiˇ cno obdelavo podatkov. Uvod Konec avgusta 2022 sem se udeležil prve poletne astronomskešoleGoChile,kijojevAjdovšˇ ciniorga- nizirala Univerza v Novi Gorici. Petdnevne šole se je udeležilo 16 dijakinj in dijakov iz razliˇ cnih gimnazij v Sloveniji. Podnevi smo poslušali zanimiva preda- vanja, ponoˇ ci smo opazovali nebo: malo z lastnimi teleskopi, pretežno pa na daljavo s slovenskim ro- botskim teleskopom v ˇ Cilu. Opazovanja s telesko- pom v ˇ Cilu smo opravljali v dvojicah. Vsaka dvojica se je lotila svojega projekta. Moja skupina se je osredotoˇ cila na raziskovanje asteroidov. Ti so izjemnega pomena za prouˇ cevanje zgodovine Osonˇ cja, ker so ostali veˇ cinoma nespre- menjeni od njegovega nastanka. Trki asteroidov z Zemljo so v preteklosti opazno spremenili našo bi- osfero. Polegtegabodomordaasteroidipredstavljali neprecenljiv vir surovin v prihodnosti. Najprej sva poiskala primeren asteroid za ta pro- jekt. Moral je biti neprekinjeno viden v ˇ cilski noˇ ci, konec avgusta v ˇ casu vsaj enega obrata okoli svoje osi. Pri izbiranju sva uporabila podatkovno bazo JPL malih teles Osonˇ cja [2]. Izbrala sva asteroid Vesto – najsvetlejši na nebu in najveˇ cji v asteroidnem pasu. Imela sva še mnogo drugih kandidatov, ampak ta je izstopal po svojih lastnostih. Iz meritev sva doloˇ cila njegoveorbitalneelemente, svetlobnokrivuljoinpe- riodo vrtenja. Naopazovanjesvasetemeljitopripravila. Izdelala svapodrobennaˇ crtzaopazovanje,preverilavremen- skonapoved,doloˇ cilafrekvencoslikanja,filterinek- spozicijo. Vsetosvanaredilapodskrbnimvodstvom mentorjev. Kojeprišelˇ caszaopazovanje,svasepri- javila na nadzorni raˇ cunalnik Vega. Zagnala sva sne- manjeinvneslanastavitve. Potemjebilotrebaˇ cakati pri raˇ cunalniku. Naslednji dan sva obdelala slike na Vegi in si jih prenesla na najina raˇ cunalnika. Izsliksejedalorazbratirelativnosvetlostinpolo- žaj objekta glede na bližnje zvezde. Iz meritev rela- tivnesvetlostisvanarisalasvetlobnokrivuljoastero- ida (slika 1). Pike ustrezajo posameznim meritvam, modraˇ crta pa je polinomska aproksimacija svetlob- ne krivulje. Ocenjen ˇ cas rotacije asteroida je 5,4 h, kar se dobro ujema z znanimˇ casom 5,34 h. Na podlagi dobljenih geocentriˇ cnih ekvatorialnih koordinat sva lahko ocenila orbito Veste. Ker je teleskop samo en, smo ga uporabljali v raz- liˇ cnih terminih. Moja skupina je lahko uporabljala teleskop predzadnjo noˇ c pred koncem poletne šole. V preostalih kratkih 30 urah sva morala obdelati vse pridobljene podatke in na koncu predstaviti najin projekt drugim udeležencem poletne šole.  P50(2022/2023)4 21 SLIKA1. Svetlobna krivulja Doloˇ canjetirnice Priobdelavivelikemnožicepodatkovvkratkemˇ casu sva si pomagala s programom, ki sva ga napisala še pred opazovanjem. Ko sva opravila opazovanje in pridobila vse podatke, sva jih vstavila v programe in takojdobilarezultate. Program,kigabompredstavil v nadaljevanju, sva napisala, da bi lažje vizualizirala razliko med znano in izmerjeno orbito asteroida. Dabisilažjepredstavljaliorbitoasteroida,svado- dalašenekajteles vanimacijo: Zemljo, MarsinJupi- ter. Za vsako telo v animaciji sem izraˇ cunal Kepler- jevo orbito. Upošteval sem le gravitacijski privlak med telesom in Soncem. Keplerjeva orbita je dolo- ˇ cena s šestimi orbitalnimi elementi. Obliko elipse, po kateri kroži nebesno telo, doloˇ cata velika polos in izsrednost (ekscentriˇ cnost). Tretji element je kot, ki nam pove orientacijo orbite v njeni ravnini. Dolo- ˇ cen mora biti tudi ˇ cas, ko telo preˇ cka neko posebno toˇ cko, za katero je obiˇ cajno vzet perihelij. Ko pre- skoˇ cimo v tretjo dimenzijo, potrebujemo še dva pa- rametra: inklinacijo – kot, za katerega je nagnjena ravnina tira, in dolžino dvižnega vozla oz. kot, ki nam pove orientacijo ravnine tira glede na izhodišˇ c- noravnino(npr.ekliptiko). Prikazorbitalnihelemen- tov je na sliki 2. SLIKA2. Orbitalni elementi Iz teh podatkov lahko izraˇ cunamo lego telesa v odvisnosti od ˇ casa. ˇ Ce poznamo vse orbitalne ele- mente, si to tirnico zelo nazorno predstavljamo. Na- mesto orbitalnih elementov lahko uporabimo vek- torja zaˇ cetne hitrosti in položaja (skupaj 6 vektor- skihkomponent), karjeboljprimernozanumeriˇ cno rešitev. Ta metoda je bolj univerzalna, saj je z njo mogoˇ ce upoštevati vplive drugih teles, ki popaˇ cijo orbito. Vbistvusoanalitiˇ cnorešljivenalogelemanj- šina od vseh matematiˇ cnih nalog: eden od znanih primerovjeproblem3teles. Tupridepravuporabno znanje programiranja, ki je izjemnega pomena tudi za obdelavo podatkov, še posebej v astronomiji. Program Napisati sem moral program, ki izraˇ cuna položaje telesanadanemˇ casovnemintervaluinjihpotemna- riševtridimenzijskemprostoru. Obstajaveˇ cnaˇ cinov storiti to. Za tirnico sem raˇ cunal posamezne toˇ cke s pomoˇ cjo analitiˇ cne metode, za koordinate telesa pa sem uporabil numeriˇ cno metodo. Pri prvi metodi sem najprej izraˇ cunal pravo ano- malijo in razdaljo od Sonca. Potem sem te pretvoril v heliocentriˇ cne ekliptiˇ cne koordinate. Pri drugi me- todi sem sledil istemu postopku za zaˇ cetni položaj inhitrost. Inzatemsemintegriralpoˇ casusfunkcijo odeint iz knjižnice scipy. Za risanje toˇ ck sem upora- bil knjižnico matplotlib, za animacijo pa sem upora- bil funkcijo FuncAnimation iz matplotlib.animation, ki v enakih ˇ casovnih intervalih pokliˇ ce drugo funk- cijo za posodobitev položajev teles (v mojem pro- gramu se imenuje animate()).  P50(2022/2023)4 22 SLIKA3. Anomalije Za koordinate telesa je najprej treba dobiti pravo anomalijo: lahko jo imamo že podano ali jo lahko izraˇ cunamo v odvisnosti od ˇ casa. Za to uporabimo Keplerjevoenaˇ cboE−esin(E)=M,kjerjeE ekscen- triˇ cna anomalija,M srednja anomalija. Enkrat, ko imamo ekscentriˇ cno anomalijo, lahko dobimopravoanomalijof: tg  f 2  = q 1+e 1−e tg  E 2  . Pri raˇ cunanju s koti moramo paziti, da so v pravilnih kvadrantih. Izraˇ cunajmo razdaljo telesa od gorišˇ ca orbite: r =a(1−ecos(E))=a 1−e 2 1+ecos(f) . Zdaj lahko pretvorimo pravo anomalijo in orbi- talneelementevekliptiˇ cneheliocentriˇ cnekoordinate z nekaj sferiˇ cne trigonometrije (slika 4). Prinumeriˇ cnimetodipabotrebarešitiznanodife- rencialno enaˇ cbo: − ⇀ r ′′ = GM r 3 − ⇀ r . Zaˇ cnemo z znanimi zaˇ cetnimipogoji–imamoževektorjapoložajainhi- trostiobˇ casut=0. Natoizraˇ cunamonovpoložajin hitrostpoˇ casudt. Intakosepostopomapremikamo naprej. Oglejmo si enaˇ cbe gibanja. Pospešek lahko izraˇ cunamo iz Newtonovega gravitacijskega zakona. Vemo tudi, da je hitrost sprememba razdalje v ˇ casu dt: − ⇀ v = d − ⇀ r dt ; pospešek pa je sprememba hitrosti v ˇ casu dt: − ⇀ a = d − ⇀ v dt . V funkciji calcPos() ustvarimo zanko, ki bo s pomoˇ cjo funkcije updateVect() raˇ cu- SLIKA4. Orbitalni elementi nala nove vrednosti hitrosti in položaja: acc=− GM (pos[0] 2 +pos[1] 2 +pos[2] 2 ) 3 2 ·pos vel+=acc·dt Pos, acc in vel so vektorji položaja, pospeška in hi- trostizapisanistabelamiknjižnicenumpy.array(),ki nam omogoˇ ca lažjo manipulacijo tabel. Z adaptacijo funkcij drdt() in calcPos(), bi se dalo trivialno prilagoditi program za sistem veˇ c teles. Bralci, ki si želijo ogledati program, ga lahko naj- dejo na spletni strani https://github.com/Alex- Outis/animationOrbits/. Literatura [1] Notes on celestial mechanics (chapters 1, 9, 10, 13), Fundamental astronomy(chapter 6), Wikipe- dia in dokumentacija uporabljenih knjižnic. [2] https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_ lookup.html#/ in https://ssd.jpl.nasa. gov/tools/sbwobs.html#/ ×××