Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 1 Izvirni znanstveni članek / Original scientific article MODELIRANJE VIŠINSKE IN DEBELINSKE RASTI DOMINANTNIH DREVES TER OCENJEVANJE INDEKSOV PRODUKCIJSKE SPOSOBNOSTI GOZDNIH RASTIŠČ MODELING HEIGHT AND DIAMETER GROWTH OF DOMINANT TREES AND ESTIMATING SITE PRODUCTIVITY INDICES Andrej BONČINA 1 , Vasilije TRIFKOVIĆ 2 , Živa BONČINA 3 (1) Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire, andrej.boncina@bf.uni-lj.si (2) Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire, vasilije.trifkovic@bf.uni-lj.si (3) Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire, ziva.boncina@bf.uni-lj.si IZVLEČEK Modeli višinskega in debelinskega priraščanja dreves so pomembni za upravljanje gozdov, saj so podlaga za določanje režima redčenj, ciljnih premerov drevesnih vrst in optimalnega razmerja razvojnih faz ter ocenjevanje produkcijske sposobnosti goz- dnih rastišč. S podatki s stalnih vzorčnih ploskev smo za dva gozdna tipa (gradnovo bukovje na izpranih tleh in predalpsko jelovo bukovje) modelirali višinsko rast dominantnih bukev in smrek glede na njihov premer. Za obe vrsti smo ocenili rastiščni produkcijski indeks (SPI), ki je dominanta višina drevja pri prsnem premeru 45 cm. Na podlagi debelinskega priraščanja do- minantnih dreves smo ocenili prehodne dobe in povprečno starost dreves glede na njihovo debelino. To so bili vhodni podatki za določitev regresijskega modela višine dominantnih dreves glede na njihovo starost. SPI je za smreko v primerjavi z bukvijo pričakovano višji, pri bukvi je vrednost SPI višja na rastišču gradnovega bukovja na izpranih tleh (28,7 m proti 27,9 m), pri smreki pa na rastišču predalpskega jelovega bukovja (31,3 m proti 29,7 m). Vrednosti rastiščnih indeksov (SI; dominantna višina drevja pri starosti 100 let) smreke na rastiščih gradnovega bukovja in predalpskega jelovega bukovja so 33,4 in 32,0, bukve pa 29,0 in 27,0. Z opisanim postopkom smo za izbrana gozdna rastiščna tipa določili indekse produkcijske sposobnosti gozdnih smreke in bukve (SI in SPI); uporabnost postopka je treba preveriti še za druge drevesne vrste in gozdne rastiščne tipe. Ključne besede: dominantna drevesa, višinska in debelinska rast, rastiščni indeks, rastiščni produkcijski indeks, Fagus sylvatica, Picea abies ABSTRACT Modeling the height and diameter growth of trees is an important part of forest management. Growth models provide the basis for determining the thinning regime, target tree dimensions and optimal proportions of developmental phases of forest stands. We developed individual height growth models for dominant Norway spruce (Picea abies (L.) Karst) and European beech (Fagus sylvatica L.) in two forest types (sessile oak-European beech forests and pre-Alpine silver fir-European beech forests). Based on the models, the site productivity index (SPI), defined as the dominant tree height at a diameter of 45 cm, was determined for spruce and beech in both forest types. Based on the diameter increment of the dominant trees, the age of trees in regard to their diameter was calculated, which was the basis for Height-Age modeling. The site productivity index (SPI) of spruce in sessile oak-beech forests and pre-Alpine silver fir-European beech forests is higher than that of beech: 31.3 and 29.7 vs 28.7 and 27.9, respectively. Estimated site indices (SI; dominant tree height at the age of 100 years) in sessile oak- European beech forests and pre-Alpine silver fir-European beech forests were 33.4 and 32.0 for spruce, and 29.0 and 27.0 for beech, respectively. Using the described procedure, it is possible to determine indices of site productivity of spruce and beech (SI and SPI) in the selected forest habitat types. Testing the procedure in other forest types and for other tree species is suggested. Key words: dominant trees, tree height growth, tree diameter growth, site index, site productivity index, Fagus sylvatica, Picea abies GDK 228+522(045)=163.6 Prispelo / Received: 28. 1. 2021 DOI 10.20315/ASetL.125.1 Sprejeto / Accepted: 20. 4. 2021 1 UVOD 1 INTRODUCTION Raziskovanje rasti drevja je pomemben del gozdar- ske znanosti. Rast drevja je eden izmed ključnih pro- cesov v gozdnih ekosistemih. Poznavanje rasti drevja je temelj za razumevanje funkcioniranja gozdnih eko- sistemov, upravljanje gozdov in načrtovanje pa tudi za razumevanje okoljskih vplivov na razvoj gozdnih sestojev. Rast drevja je odvisna od mnogih dejavnikov, med njimi so zlasti pomembni rastiščni in sestojni de- javniki (Pretzsch, 2009). Od začetkov načrtnega gospo- darjenja z gozdovi so se gozdarski strokovnjaki ukvar- 2 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... jali z zakonitostmi priraščanja drevja in ocenjevanjem produktivnosti gozdnih rastišč (Skovsgaard in Vanclay, 2008). Produktivnost gozdnih rastišč je količinska oce- na rastiščnega potenciala za produkcijo lesne fitomase (Sharma, 2019). Načini ocenjevanja produkcijske sposobnosti goz- dnih rastišč (PSGR) so se spreminjali (Skovsgaard in Vanclay, 2008; Sharma, 2019). Med kazalniki PSGR je uveljavljen zlasti rastiščni indeks (SI, ang. site index), ki je primeren predvsem za čiste in enomerne sesto- je. Določen je kot dominantna višina sestoja pri refe- renčni starosti (pogosto 50 ali 100 let). Starost drevja je enostavneje določljiva v čistih sestojih, ki so nastali bodisi s sadnjo ali pa z naravno obnovo s kratko po- mladitveno dobo, praviloma na velikih površinah. V strukturno razgibanih gozdih sestojih, ki so nastali z zlivanjem pomladitvenih jeder z različno dolgimi po- mladitvenimi dobami, je starost drevja manj primerna in zanesljiva spremenljivka za ocenjevanje produk- cijske sposobnosti gozdnih rastišč. Zato so za oceno priraščanja drevja v mladosti namesto fizične starosti uporabljali razvojno starost drevja (Kotar, 1984). Tako je bil rastiščni indeks za večji del gozdov prepoznan kot primeren kazalnik za ocenjevanje PSGR (Kadunc in sod., 2013). Pogosto je kot eden izmed vhodnih spremenljivk vključen v modele (simulatorje) razvoja gozdov (npr. Rosset in sod., 2013). Drugi, podoben ka- zalnik, ki je pogosteje omenjen v zadnjem desetletju, pa je rastiščni produkcijski indeks (SPI, ang. site pro- ductivity index; tudi diametric site index in site form (Beltran in sod., 2017; Molina-Valero in sod., 2019)), ki je definiran kot srednja višina vladajočih in sovlada- jočih dreves pri referenčnem prsnem premeru (Fu in sod., 2017). Ta indeks je uporaben v raznomernih goz- dovih oziroma gozdovih, kjer je starost drevja zaradi načina obnavljanja sestojev in učinka zastrtosti manj uporabna spremenljivka za modeliranje rastiščnih in- deksov (Sharma, 2019). Oba indeksa sta utemeljena na razvoju višine dominantnih dreves: SI glede na starost drevja, SPI pa glede na referenčno debelino drevja. Oba se tudi uporabljata kot vhodni spremenljivki za mode- liranje razvoja gozdnih sestojev (Sharma, 2019). Načini določanja SI so različni (Skovsgaard in Van- clay, 2008; Sharma, 2019). Prva skupina metod temelji na debelnih analizah drevja, druga na spremljanju ra- zvoja gozdnih sestojev v daljšem časovnem obdobju, tretja skupina pa na podatkih gozdnih inventur. Neka- teri različne pristope pri določanju obeh indeksov deli- jo na statične in dinamične (Sharma, 2019). Statični ali tudi tradicionalni načini temeljijo na referenčni starosti drevja. Na podlagi podatkov, ki so pogosto pridobljeni z debelnimi analizami ali pa na dolgoročnih raziskoval- nih objektih, je izdelan regresijski model poteka zgor- nje sestojne višine glede na starost. Vrednost višine drevja pri referenčni starosti je SI sestoja na obravnava- nem rastišču. Pri nas se kot referenčna vrednost pogo- sto uporablja starost 100 let, švicarske sestojne tablice so zasnovane na rastiščnih indeksih pri starosti 50 let. V zadnjih dveh desetletjih se zelo uveljavlja dinamični pristop (Sharma, 2019), pri katerem uporabljajo pred- vsem podatke periodičnih gozdnih inventur (npr. Shar- ma in sod., 2011); mogoče je namreč določiti modele razvoja višine in premera dominantnih dreves na pod- lagi podatkov zaporednih meritev v krajšem obdobju. Pri modeliranju se uporablja postopek »algebraic diffe- rence approach«, zato so modeli poimenovani s kratico ADA, dopolnjeni modeli pa z imenom GADA (»generali- zed algebraic difference approach«) (Bailey in Clutter, 1974; Cieszewski in Bailey, 2000). Razlogi za navduše- nje in množično uporabo tega pristopa v zadnjih letih (Krumland in Eng, 2005; Sharma in sod., 2011, 2019; Sharma in Brunner 2017; Manso in sod., 2020) so pred- vsem v možnosti uporabe podatkov (nacionalnih) goz- dnih inventur, visoki zanesljivosti napovedovanja in re- lativno enostavnih postopkih (Nigh, 2015). Rastiščni produkcijski indeks (SPI) je primernejši za raznomerne in mešane gozdove. Določen je na pod- lagi regresijskega razvoja višine dominantnih dreves glede na njihov premer (Hdom/Ddom model). Postop- ki ADA in GADA se uporabljajo tudi za določanje SPI, dosedanje raziskave so spodbudne (npr. Kim in sod., 2018; Molina-Valero in sod., 2019). V Sloveniji je prikaz raziskav PSGR najbolj celostno prikazan v poročilu ciljnega raziskovalnega projekta Ugotavljanje proizvodne sposobnosti gozdnih rastišč v Sloveniji (Kadunc in sod., 2013), prostorska predstavi- tev PSGR v gozdovih Slovenije pa v članku Bončine in sodelavcev (2014). V zadnjih treh desetletij je največ terenskih raziskav potekalo pod vodstvom prof. Ko- tarja in dr. Kadunca (npr. Kotar, 1989; Kadunc, 2010); izvedba debelnih analiz je časovno zahtevna, ploskve za študij priraščanja dreves so bile izbrane subjektiv- no, praviloma na nahajališčih, ki naj bi bili »reprezen- tativni« primeri ohranjene gozdne združbe. Poskusov ocenjevanja SI in PSGR na podlagi drugih podatkovnih virov je bilo manj. Tako sta Bončina in Poljanec posku- šala oceniti potek višine dominantnih dreves na podla- gi podatkov stalnih vzorčnih ploskev (SVP), vendar je bila raziskava omejena le na en gozdni tip, postopki pa poenostavljeni (Kadunc in sod., 2013). Za ocenjevanje SI je nujno poznati starost drevja; Klopčič in Bončina (2010) sta opisala postopek cenitve starosti dreves na podlagi njihovega debelinskega priraščanja. Kot upora- ben vir modeliranja zgornje sestojne višine se kažejo Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 3 periodična laserska snemanje gozdnega pokrova (npr. Socha in sod., 2017), vendar o takšnih raziskavah pri nas še ne poročajo. Zavod za gozdove Slovenije (ZGS) vzdržuje veliko število SVP , meritve so namenjene predvsem pripravi gozdnogospodarskih načrtov, vendar jih vse pogosteje uporabljamo tudi za raziskovalne namene (npr. Klop- čič in sod., 2009; Ficko in sod, 2011; Pintar in Hladnik, 2018), podobno velja za podatke nacionalne gozdne inventure (npr. Jevšenak in Skudnik, 2020). Na vzorč- nih ploskvah ZGS so periodično izmerjene debeline dreves nad meritvenim pragom, na nekaterih ploskvah je izmerjena višina izbranega drevesa, ki se lahko upo- rabi za preverjanje tarif (Poljanec, 2010). Zanimalo nas je, ali je mogoče te podatke uporabiti za oceno obeh ka- zalnikov produkcijske sposobnosti gozdnih rastišč (SI in SPI). Za podatkovne zbirke SVP je značilno veliko število izmerjenih premerov drevja, izmerjeno je drev- je s prsim premerom ≥ 10 cm, precej manjše pa je šte- vilo izmerjenih višin dreves. V teh zbirkah ni podatkov o starosti drevja, prav tako ni podatkov o periodičnih meritvah višin istih (dominantnih) dreves. Periodični podatki o višinah drevja bi namreč omogočali uporabo metod GADA, ki so priporočljive za modeliranje višin- ske rasti drevja in določanje rastiščnih indeksov. Poglavitni namen naše raziskave je prikazati po- stopke za oceno kazalnikov produkcijske sposobnosti drevesnih vrst na izbranih rastiščih s podatki s stalnih vzorčnih ploskev. Izpeljani cilji naše raziskave so: 1) določiti regresijski model višine dominantnih dreves glede na njihov premer (Hdom/Ddom model) in s tem tudi rastiščni produkcijski indeks (SPI) drevesne vrste na analiziranem rastišču; 2) na podlagi debelinskega priraščanja dominantnega drevja oceniti starost drev- ja in modelirati zgornjo višino dreves glede na starost (Hdom/Starost model), kar je podlaga za določitev rastiščnega indeksa (SI) drevesnih vrst na obravnava- nem rastišču; 3) primerjati vrednosti obeh kazalnikov produkcijske sposobnosti drevesnih vrst na analizi- ranih rastiščih; ter 4) rezultate raziskave primerjati z rezultati raziskav produkcijske sposobnosti drevesnih vrst, ki temeljijo na debelnih analizah drevja. 2 OBJEKT RAZISKAVE 2 STUDY SITE Raziskava je omejena na dva gozdna rastiščna tipa (GRT) (preglednica 1) in dve drevesni vrsti. Nameno- ma sta izbrana GRT iz različnih fitogeografskih območij in različnih višinskih vegetacijskih pasov, vsak GRT pa zavzema relativno veliko površino, kar je zagotovilo za veliko število vzorčnih ploskev. Gozdni rastiščni tip gra- dnovo bukovje na izpranih tleh uspeva v gričevnatem in podgorskem pasu dinarskega in preddinarskega fitoge- ografskega območja, njegov oznaka v gozdarskem infor- macijskem sistemu je GRT 554. Predalpsko jelovo bukov- je pa porašča gorski in zgornjegorski pas predalpskega in alpskega fitogeografskega območja, njegova oznaka pa je GRT 643. V nadaljevanju ju poenostavljeno imenujemo gradnovo bukovje in predalpsko jelovo bukovje. 3 METODE 3 METHODS 3.1 Izbor in število ploskev 3.1 Selection and number of plots Za raziskavo smo uporabili podatkovne zbirke SVP Zavoda za gozdove Slovenije za obdobje pred letom 2014, da smo se izognili velikim spremembam gozdnih sestojev zaradi ujm, ki so tega leta in pozneje prizadele gozdove. Za študij priraščanja drevja v obeh GRT smo izbrali ploskve v odsekih, v katerih je analizirani GRT zavzemal vsaj polovico gozdne površine. V vzorec je bilo skupaj izbranih 8.464 ploskev. Preglednica 1: Osnovni podatki o analiziranih gozdnih rastiščnih tipih (povzeto po Bončina in sod., 2021) Table 1: Basic data on forest types included in the analysis (after Bončina et al., 2021) Gradnovo bukovje na izpranih tleh (GRT 554) Predalpsko jelovo bukovje (GRT 643) Površina (ha) 56.597 41.199 Podlaga apnenec s plitvimi nanosi pleistocenske ilovice, apnenec in laporovec apnenec, dolomit, ponekod primes laporovca, roženca in glinavca Tla evtrična rjava tla rendzina, rjava pokarbonatna tla, evtrična rjava tla Nadmorska višina (m) 270–650 (500) 700–1500 (1560) Vegetacijski pas gričevnati, podgorski gorski in zgornjegorski Povprečna letna temperatura ( o C) 7–10 4–7 Letne padavine (mm) 900–1.400 1.500–2.500 (3.000) Lesna zaloga (m 3 / ha) 299 426 Drevesna sestava (% lesne zaloge) bukev (42,6), smreka (18,1), graden (11,9), beli gaber (5,2), cer (4,0), druge vrste (18,2) smreka (62,9), bukev (21,0), jelka (8,9), druge vrste (7,2) 4 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... 3.2 Določitev dominantnih dreves in priprava podatkov za modeliranje 3.2 Determination of dominant trees and data preparation for modeling Med dominantna drevesa prištevamo 100 najde- belejših dreves na hektar. Pri določitvi dominantnih dreves na SVP smo upoštevali zasnovo inventure ZGS z dvema koncentričnima vzorčnima ploskvama; na dvo- arski ploskvi se meri drevje, tanjše od 30 cm, na pe- tarski pa drevje s prsnim premerom 30 cm in več. Pri izračunu hektarskih vrednosti pomeni inventarizirano drevo na ploskvi s prsnim premerom do 30 cm 50 dre- ves na hektar, drevo s prsnim premerom 30 cm in več pa 20 dreves na hektar, kar smo upoštevali pri določa- nju dominantnih dreves na vzorčni ploskvi. Za drevesa, ki so bila pri prvi meritvi določena kot dominanta in so na ploskvi ostala tudi pri drugi me- ritvi, smo izračunali debelinski prirastek kot razliko obeh premerov. Ti podatki so bili podlaga za določi- tev debelinskega priraščanja dominantnih dreves po debelinskih stopnjah. Število podatkov o debelinskem prirastku je zaradi velike površine obeh gozdnih ra- stiščnih tipov veliko (preglednica 2). Za obe drevesni vrsti smo izračunali povprečne periodične prirastke za debelinske stopnje (preglednica 3). Na podlagi pe- riodičnih prirastkov so bile izračunane prehodne dobe drevja posameznih debelinskih stopenj, ki povedo, ko- liko traja obdobje preraščanje dreves debelinske sto- pnje. Te ocene so bile podlaga za določitev časovnega obdobja debelinske rasti bukve in smreke od meritve- nega praga (Ddom = 10 cm) do Ddom = 80 cm. Obdobje rasti dominantnih dreves od Ddom = 0 do Ddom = 10 cm smo ocenili z linearno regresijo priraščanja tanjših dreves s premerom Ddom < 20 cm, ki smo jo ekstra- polirali za obdobje Ddom = 0–10 cm. Ko je Ddom = 0, je višina drevesa 1,3 m; obdobje rasti do višine 1,3 m Gradnovo bukovje Predalpsko jelovo bukovje Število ploskev 4.250 4.214 Število bukev za analizo debelinskega priraščanja 7.174 2.158 Število smrek za analizo debelinskega priraščanja 3.523 9.290 Število bukev za modeliranje Hdom/Ddom 1.995 470 Število smrek za modeliranje Hdom/Ddom 1.119 1.420 Preglednica 2: Podatki o vzorcu analiziranih smrek in bukev na rastiščih gradnovega bukovja in predalpskega jelovega bukovja Table 2: Data on the analysed spruce and beech trees in sessile oak-beech and pre-Alpine beech-fir forests Ddom (cm) Starost (leta) Hdom (m) (model Hdom/Ddom) - 0,0 0,0 0 5,4 1,3 10 23,6 7,7 15 32,5 12,3 20 41,9 16,5 25 51,9 20,1 30 62,5 23,1 35 74,4 25,4 40 86,5 27,3 45 99,3 28,7 50 111,4 29,8 55 123,4 30,6 60 134,0 31,3 65 144,6 31,8 70 156,5 32,1 75 166,9 32,4 80 176,0 32,6 Preglednica 3: Primer določitve starosti in višine domi- nantnih bukev v gradnovem bukovju glede na njihov premer (Ddom). Starost je določena glede na povprečne periodične debelinske prirastke dreves po debelinskih stopnjah, Hdom je izračunan s Chapman-Richardsovo funkcijo (Hdom/Ddom model). Table 3: Example of determining the age and dominant hei- ght of beech trees in sessile oak-beech forests according to their diameter (Ddom). The age was calculated as the ave- rage of the periodic diameter increments of trees per 5 cm diameter classes, and Hdom was calculated by the Chapman- Richards function. Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 5 smo ocenili kot 30 % obdobja, ki ga drevo potrebuje od Ddom = 0 do Ddom = 10 cm. 3.3 Modeliranje višinske rasti dominantnih dre- ves glede na njihov premer (Hdom/Ddom model) 3.3 Modeling the height of dominant trees according to their diameter (Hdom/Ddom model) Za izračun modelov smo uporabili programsko okolje R (Version 1.3.1073), paket “ robustbase” (Mae- chler in sod., 2021). V raziskavo višinskega priraščanja dominantnih dreves smo vključili samo drevesa z iz- merjeno višino (preglednica 2, slika 1). Za modeliranje višine dominantnih dreves smo uporabili Chapman-Ri- chardsovo funkcijo, ki se pogosto uporablja za ponazo- ritev višinskega priraščanja drevja (npr. Peng, 2011). Kadar je Ddom = 0, je višina dreves 1,3 m, zato smo uporabili obliko: enačba (1), kjer so Y dominantna višina, A, k, p parametri enač- be, X pa dominantni premer. Pri pripravi podatkov za modeliranje Hdom smo vrednosti izmerjenih višin drevja zmanjšali za 1,3 m, pri napovedovanju vredno- sti Hdom pa je treba vrednost 1,3 prišteti. Ko smo izdelali model Hdom/Ddom za posamezno drevesno vrsto na obravnavanem rastišču, smo izraču- nali rastiščni produkcijski indeks (SPI), ki je vrednost funkcije pri Ddom = 45 cm. Za ta referenčni premer smo se odločili zato, ker tudi enačbe za izračun volu- mnov dreves po tarifnih razredih vsebujejo faktor, ki je volumen drevesa pri prsnem premeru 45 cm (Čokl, 1980). Lahko bi izbrali tudi večji referenčni premer, ki bi bil blizu vrednostim ciljnih premerov drevja (npr. Beltran in sod., 2016). 3.4 Modeliranje višinske rasti dominantnih dre- ves glede na njihovo starost (Hdom/Starost model) 3.4 Modeling the height of dominant trees ac- cording to their age (Hdom/Age model) Glede na debelinsko priraščanje dreves in oceno starosti do D = 0 je intervalnim vrednostim premera dominantnih dreves določena starost. Glede na model višinskega priraščanja (Hdom/Ddom model) lahko tabeliranim vrednostim premera drevja (preglednica 3) pripišemo modelirano višino dominantnega drev- ja. Podatke o starosti in višinah drevja smo uporabili za modeliranje višinske rasti dreves glede na njihovo starost (Hdom/Starost model). Glede na cenotski sta- tus so dominanta drevesa vladajoča in sovladajoča, zato domnevamo, da vzorčena dominantna drevesa iz različnih sestojev ponazarjajo značilen razvoj sestoja v celotnem življenjskem obdobju na obravnavanem rastišču. Za določanje rastiščnega indeksa lahko poleg razvoja zgornje višine sestoja (100 najvišjih dreves na hektar) uporabimo tudi razvoj posameznih domi- nantnih dreves (npr. Sharma in sod., 2011), kar je po- Slika 1: Primer podatkov Hdom in Ddom za bukev na rasti- šču gradnovega bukovja Fig. 1: Hdom and Ddom data for European beech in the ses- sile oak-beech forest type 6 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... membno za določanje SI posameznih drevesnih vrst v mešanih gozdovih. Uporabili smo Chapman-Richard- sovo funkcijo (enačba 2) in postopke, kot so opisani v prejšnjem poglavju: enačba (2), kjer so Y višina dominantnih dreves, A, k, p parame- tri enačbe, t pa starost drevja. 3.5 Validacija 3.5 Validation Zanesljivost modelov višinske rasti dominantnih dreves glede na njihov premer (Hdom/Ddom model) smo ocenili z ocenami napak in porazdelitvijo ostan- kov. Za validacijo modelov smo uporabili programsko okolje R (Version 1.3.1073), paket “modelr” (Wickham, 2020). Med različnimi ocenami napak prikazujemo štiri, in sicer: i) RMSE (root mean square error; koren povprečne kvadratne napake), ki pove razliko med na- povedanimi in izmerjenimi podatki, ii) MAPE (mean absolute percentage error; povprečna napaka v odstot- kih), ki je povprečna razlika (v %) med napovedano in izmerjeno vrednostjo; iii) R 2 (R-square; R kvadrat), ki kaže, kako dobro se napovedane vrednosti prilegajo dejanskim vrednostmi; iv) MAE (mean absolute error; povprečna absolutna napaka), ki kaže povprečno razli- ko med napovedano in izmerjeno vrednostjo. Grafično smo analizirali porazdelitev ostankov gle- de na napovedane vrednosti (grafov ne prikazujemo); normalnost porazdelitve ostankov smo preverili s Sha- piro-Wilkovim testom (Whitlock in Schluter, 2020). Izračun modela višinske rasti je izpeljan iz pov- prečnih starostih drevja po debelinskih stopnjah na podlagi debelinskega prirastka dominantnih dreves (preglednica 3). R 2 kaže prilagajanje krivulje Hdom/ Starost podatkom, ki so povprečne starosti dreves po debelinskih stopnjah, določene na podlagi debelinske- ga prirastka dreves, in izračunane višine dominantnih dreves na podlagi modela Hdom/Ddom. 4 REZUL T ATI 4 RESUL TS 4.1 Model HDom/Ddom in ocena SPI 4.1 HDom/Ddom model and SPI estimation Pri vseh štirih modelih (dve drevesni vrsti na dveh rastiščih) so regresijski parametri (A, k, p) statistično značilni (p < 0,05) (preglednica 4). Med analiziranimi primeri je opazna razlika v poteku zgornje višine dre- ves glede na njihov premer (slika 2). Na rastišču pre- dalpskega jelovega bukovja je razvoj smreke in bukve v višino v mladosti upočasnjen, višine drevja pri istem premeru so manjše kot višine smrek in bukev na ra- stišču gradnovega bukovja. Pri debelejšem drevju pa smreke v predalpskem jelovem bukovju bolje prirašča- jo v višino, zato so višine dominantnih smrek pri ve- čjih debelinah precej večje kot na rastišču gradnovega bukovja. Glede na izbrani referenčni premer je največji pro- dukcijski rastiščni indeks (SPI) smreke na rastišču pre- dalpskega jelovega bukovja, sledi SPI smreke v gradno- vem bukovju in potem še SPI bukve na istem rastišču, najnižji pa je SPI bukve v predalpskem jelovem bukov- ju (preglednica 5). Gradnovo bukovje Predalpsko jelovo bukovje Parametri Chapman-Richardsove funkcije* Bukev Smreka Bukev Smreka A 31,9488 38,8366 31,4420 40,8598 k 0,0571 0,03600 0,0634 0,0416 p 1,9320 1,41874 2,8054 1,8569 Ocena skladnosti modela RMSE 4,3328 3,7836 5,0020 4,6407 MAPE 0,1340 0,1106 0,1727 0,1281 R 2 0,3082 0,5632 0,2906 0,4492 MAE 3,4205 2,9572 3,9126 3,5394 Test normalnosti Shapiro-Wilkov test (p) 0,000 0,026 0,025 0,000 *Vsi parametri (A, k, p) so statistični značilni (stopnja tveganja za vse: p < 0,001; le vrednost parametra p za bukev na rastišču predalpskega jelovega bukovja je p < 0,05). Preglednica 4: Parametri Chapman-Richardsove funkcije za modele Hdom/Ddom Table 4: Parameters of the Chapman-Richards function for the Hdom/Ddom models Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 7 4.2 Modeliranje višine dominantnih dreves glede na starost (Hdom/Starost model) in ocena rastiščnega indeksa 4.2 Modeling the height of dominant trees ac- cording to their age (Hdom/age model), and estimating site index Vsi štirje regresijski modeli Hdom/Starost se priča- kovano dobro prilegajo podatkom (R 2 > 0,99) (pregle- dnica 6), so pa med njimi opazne razlike. V predalp- skem jelovem bukovju je višinska rast dominantnih smrek in bukev v mladosti upočasnjena, višine drevja pri isti starosti so zato precej nižje kot na rastišču gra- dnovega bukovja. Primerjava poteka višine dominan- tnih smrek na obeh rastiščih kaže pomembne razlike. Smreka v predalpskem jelovem bukovja pri večjih sta- rostih bolje prirašča v višino in dosega večje višine kot na rastišču gradnovega bukovja. Če bi za referenčno starost SI izbrali 150 let (slika 3), bi bil SI smreke na rastišču predalpskega jelovega bukovja višji kot v gra- dnovem bukovju; pri starosti 100 let pa so višine do- minantnih smrek na rastišču gradnovega bukovja višje kot v predalpskem jelovem bukovju. Rastiščna indeksa smreke sta na obeh rastiščih pri- čakovano višja kot rastiščna indeksa bukve. Najvišji in- deks smo ugotovili za smreke na rastišču gradnovega bukovja, najnižji pa je SI bukve na rastišču predalpske- ga jelovega bukovja (preglednica 7). Slika 2: Modeli Hdom/Dom za bukev in smreko na rastiščih gradnovega bukovja (1) in predalpskega jelovega bukovja (2) Fig. 2: Hdom/Ddom models for European beech and Norway spruce in two forest types (sessile-oak forests (1) and pre- Alpine fir-beech forests (2)) Gradnovo bukovje Predalpsko jelovo bukovje Bukev Smreka Bukev Smreka Rastiščni produkcijski indeks (SPI) (m) 28,7 29,7 27,9 31,3 Preglednica 5: Vrednosti SPI so pri referenčnem prsnem premeru Ddom = 45 cm Table 5: SPI values at the reference diameter Gradnovo bukovje Predalpsko jelovo bukovje Koeficienti Chapman-Richardsove funkcije Bukev Smreka Bukev Smreka A 32,8600 38,2492 32,26000 41,5400 k 0,0273 0,0235 0,02483 0,0199 p 1,8270 1,3631 2,03200 1,7620 Preglednica 6: Parametri Chapman-Richardsove funkcije za modele Hdom/Starost (vsi parametri so statistično značilni, p < 0,001; R2 > 0,99) Table 6: Parameters of the Chapman-Richards function for Hdom/Age models (all parameters are statistically signifi- cant, p < 0.001; R2 > 0.99) 8 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... 5 RAZPRAVA 5 DISCUSSION S podatki s stalnih vzorčnih ploskev smo modeli- rali razvoj Hdom in Ddom za dve glavni drevesni vr- sti gozdnih sestojev na dveh rastiščih v Sloveniji. Oba sestojna znaka sta pomembna za modeliranje razvoja gozdih sestojev (npr. Pretzsch, 2009), saj sta sestavni del spremenljivk, s katerimi prikazujemo spremembe gozdnih sestojev. Potek Hdom in Ddom je pomemben za upravljanje gozdov. Model Hdom/Starost uporablja- mo za določanje produkcijske sposobnosti gozdnih ra- stišč, odločanje o gozdnogojitvenem ukrepanju, pred- vsem o ponavljanju redčenj v gozdnih sestojih oziroma določanju nujnosti redčenj (Kotar, 2005). Razvoj domi- nantnega premera kaže na razvoj gozdnega sestoja, saj je dominantno drevje ogrodje sestoja, izbranci, ki jih z redčenjem pospešujemo, so praviloma izbrani med dominantnim drevjem. Določanje razvojnih faz gozda je tesno povezano z dimenzijami dominantnega drevja (Bončina, 2009). Premeri dominantnega drevja so po- membni tudi za določanje gojitvenih ciljev, saj s ciljni- mi premeri drevesnih vrst vse pogosteje nadomešča- mo določanje proizvodnih dob drevesnih vrst. V naši raziskavi smo modelirali razvoj višine do- minantnih bukev in smreke glede na njihov prsni pre- mer in starost, ki smo jo izpeljali iz debelinske rasti drevja. Najprej smo preverili možnosti za modeliranje Hdom/Ddom. Vrednosti Hdom pri referenčnem pr- snem premeru lahko v mešanih in raznodobnih goz- dovih uporabimo kot cenilko produktivnosti gozdnih rastišč za analizirano drevesno vrsto (npr. Beltran in sod., 2016; Sharma, 2019). V Sloveniji med gojitveni sistemi povsem prevladujejo različice skupinsko-po- stopnega gospodarjenja z naravno obnovo gozdnih sestojev (Diaci, 2006; Bončina, 2012). Parcialne po- mladitvene dobe trajajo od nekaj let pa tja do 40 let ali več (Bončina, 2009). Pri skupinsko-postopnem gospo- darjenju pomladitvena jedra postopno povečujemo in združujemo, tako da je starost drevja v istem sestoju kljub podobnim dimenzijam in celo enomerni zgradbi Gradnovo bukovje Predalpsko jelovo bukovje Bukev Smreka Bukev Smreka SI (m) 29,0 33,4 27,0 32,0 Preglednica 7: Vrednosti rastiščnih indeksov (SI) za bukev in smreko na dveh rastiščih glede na model Hdom/Starost Table 7: Values of site productivity indices (SI) for beech and Norway spruce in two forest types according to the Hdom/ Age model Slika 3: Modeli Hdom/Starost za bukev in smreko na rasti- ščih gradnovega bukovja (1) in predalpskega jelovega bukov- ja (2) Fig. 3: Hdom/Age models for European beech and Norway spruce in two forest types (sessile oak-beech forests (1) and pre-Alpine fir-beech forests (2)) Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 9 lahko zelo različna, kar potrjujejo tudi raziskave eno- mernih bukovih gozdov (Kotar, 1989). Zato je fizična starost manj primeren vhod za določanje produkcijske sposobnosti gozdnih rastišč (PSGR). Lahko jo nadome- stimo z razvojno starostjo (Kotar, 1984, 2005), ali pa namesto referenčne starosti drevja uporabimo refe- renčne premere dreves. Ni povsem enotno določeno, kako izbrati referenčni premer drevesnih vrst. Neka- teri omenjajo dimenzije, ki so nekaj manjše od ciljnih dimenzij (npr. Beltran in sod., 2016), vsekakor pa je treba določiti referenčne dimenzije za starejšo razvoj- no fazo (debeljaki oziroma drevje v zgornjem položaju, če gre za prebiralne gozdove). V tej študiji smo kot re- ferenčni premer drevja izbrali debelino 45 cm, ker je ta referenčni premer primeren za veliko drevesnih vrst, npr. tudi za plemenite listavce. Tudi v enačbah tarif je kot ključni parameter, ki določa tarifni razred, vključen faktor k, ki je volumen drevesa pri d = 45 cm (Čokl, 1980). Razlike med tarifnimi razredi (10 %) so razlike v volumnu dreves pri omenjeni dimenziji. Vrednot SPI je na istem rastišču pričakovano višja za smreko kot za bukev, pri bukvi pa je vrednost SPI pričakovano višja na rastišču gradnovega bukovja, in sicer približno za meter. Pri smreki smo pričakovali podobno, vendar SPI smreke kaže na večjo produktiv- nost v višjem pasu (v predalpskem jelovem bukovju). To sproža vprašanje, ali je SPI ustrezna cenilka PSGR, saj v omenjenem primeru sestojne razmere (gostota dreves) in morfološke značilnosti smreke (npr. širina krošenj) lahko pomembno vplivajo na vrednosti SPI. Gostota smrekovih sestojev v gorskem in zgornjegor- skem pasu je praviloma večja (Bončina in sod., 2021), dimenzijsko razmerje drevja (H/D) pa zato večje, kar vpliva na vrednosti SPI. Model debelinskega priraščanja dominantnega drevja je pomemben za upravljanje gozdov. Na pro- duktivnejših rastiščih dominantna drevesa hitreje pri- raščajo in zato prej dosežejo ciljne dimenzije; razvoj dominantnega premera glede na starost poteka line- arno do vrednosti ciljnih premerov (Ertragstafeln für die Buche in der Schweiz, 1967). Potek je odvisen od gospodarjenja, s katerim vplivamo na gostoto sestojev, odvisen je tudi od strukture in mešanosti sestojev (npr. Bielak in sod., 2014). V študiji smo se omejili na izračun srednje vrednosti debelinskega prirastka dominantnih bukev in smrek po debelinskih stopnjah. V vzorec so bila vključena dominantna drevesa vseh dimenzij (raz- ličnih razvojnih faz gozda), najmanjše število dreves je bilo med tanjšim drevjem (Ddom: 10–20 cm). Domi- nantna drevesa so del zgornjega cenotskega položaja, zato je vpliv gostote na njihovo debelinsko rast rela- tivno manjši kot vpliv sestojne gostote na rast vseh dreves v sestoju, je pa ta vpliv še vedno znaten (npr. Bončina in sod., 2007). Časovno obdobje rasti dreves do Ddom = 10 cm smo ocenili na podlagi rasti tankega drevja (Ddom < 20 cm), za katera smo imeli podatke o rasti. Ker so bile ploskve vir podatkov o sestojnih razmerah v različnih razvojnih fazah gozda, smo s tem nadomestili študij razvoja sestojev v celotnem življenj- skem obdobju. Postopke, uporabljene v tej raziskave, je mogoče preveriti in potem tudi izboljšati. Možnosti so predvsem v dodatnih raziskavah debelinske rasti dominantnega drevja s prsnim premerom, manjšim od meritvenega praga, ki se razvija v razmerah brez za- stiranje nadstojnih dreves, kar bi prispevalo k objek- tivnejšemu določanju starosti drevja za obdobje od vznika do meritvenega praga. Možnosti za izboljšanje modelov Hdom/Ddom in Hdom/Starost so v mode- liranju debelinskega prirastka dominantnih dreves, ki bi nadomestilo določanje povprečnih debelinskih prirastkov (in starosti) drevja posamezne debelinske stopnje. V naši študiji so bile ugotovljene starosti drevja do dimenzije Ddom = 10 cm: 18 let (smreka, gradnovo bu- kovje), 22 let (smreka, predalpsko jelovo bukovje) in 24 let (bukev, predalpsko jelovo bukovje in gradnovo bukovje). Starost do dimenzije Ddom = 50 cm pa: 88 let (smreka, gradnovo bukovje), 111 let (bukev, gra- dnovo bukovje), 113 let (smreka, predalpsko jelovo bukovje) in 127 let (bukev, predalpsko jelovo bukovje). Ugotovljena starost drevja glede na dominantni pre- mer drevja je podlaga za določanje razvojnih faz gozd. Ob določitvi ciljnih premerov in pomladitvenih dob bi lahko s postopkom, ki smo ga uporabili v naši raziska- vi, določali optimalno razmerje razvojnih faz gozdnih sestojev na obravnavanih rastiščih, pri čemer bi morali upoštevati zmes drevesnih vrst. Modeli Hdom/Ddom in Hdom/Starost kažejo na ve- like razlike v priraščanju dveh drevesnih vrst v obrav- navnih gozdnih rastiščnih tipih. Najbolj opazne razli- ke so v priraščanju smreke na obeh rastiščih. Smreka na rastišču gradnovega bukovja ni naravna drevesna vrsta; pogosto je bila pospeševana z umetno obnovo, lahko pa se tudi naravno pomlajuje. Njena višinska rast v »mladosti« je bistveno hitrejša kot na rastišču predalpskega jelovega bukovja, nasprotno je njena vi- šinska rast na rastišču predalpskega jelovega bukovja tudi pri starejšem drevju, starem 100 in več let, pre- cej večja kot na rastišču gradnovega bukovja. Slika 3 kaže na velik pomen referenčne starosti za določanje SI. Če bi uporabili starost 50 let, potem bi bil ocenje- ni SI smreke na rastišču gradnovega bukovja izrazito večji kot v predalpskem jelovem bukovju. Ta razlika je precej manjša pri uveljavljeni referenčni starosti 100 10 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... let, kjer je SI smreke na rastišču gradnovega bukovja za nekaj metrov višji kot v predalpskem jelovem bukovju. Če pa bila referenčna starost 150 let, bi bil tako ocenjen produkcijski potencial smreke na rastišču predalpske- ga jelovega bukovja večji kot na rastišču gradnovega bukovja. Primerjava ugotovljenih vrednosti rastiščnih in- deksov SI z vrednostmi SI, ko so bili ugotovljeni na »klasičen« način z debelno analizo drevja na izbranih ploskvah, značilnih za izbrano gozdno združbo (pre- glednica 8), kaže na ujemanje rezultatov. Vrednosti, ugotovljene v naši raziskavi so praviloma v intervalu med minimalno in maksimalno vrednostjo SI, ugoto- vljenega z debelnimi raziskavami. Izjema je smreka na rastišču gradnovega bukovja, kjer je vrednost, ugoto- vljena v naši raziskavi, nižja. Ploskve za debelne ana- lize dreves na obravnavanem rastišču so bile izbrane subjektivno, pogosto na nahajališčih, kjer so rastiščne razmere ugodnejše od povprečnih razmer za obravna- vani gozdni rastiščni tip (npr. Sharma, 2019). Primerjava vrednosti SI in SPI kaže na delno uje- manje; za bukev so ocene produkcijskih sposobnosti pri obeh postopkih istosmerne, produkcijska sposob- nost bukve je večja na rastišču gradnovega bukovja. Pri smreki pa je produkcijska sposobnost, izražena s SPI, znatno večja v predalpskem jelovem bukovju, merjeno s SI, pa je produkcijska sposobnost smreke večja v gra- dnovem bukovju. Indeks SPI je podobno kot vrste tarif in tarifni razredi odvisen od sestojnih razmer in pro- dukcijske ravni. V ta rastiščni tip so uvrščeni gozdovi Jelovice, Pokljuke, Jelendola in drugih predelov (Bon- čina in sod., 2021), kjer je gostota sestojev praviloma večja kot na rastišču gradnovega bukovja, drevje bolj ozkokrošnjato, razmerje h/d pa večje kot v gradnovem bukovju. Na obeh rastiščih prevladujejo enomerni se- stoji - bodisi malopovršinski ali velikopovršinski. Gle- de na primerjavo z drugimi raziskavami (npr. Kadunc in sod., 2013) in ob upoštevanju sestojnih zgradb ter vplivi na vrednosti indeksov SPI menimo, da je vsaj za obravnavane primere ocenjevanje PSGR s SI primer- nejše kot s SPI. Razlike med rastišči in drevesnimi vr- stami, merjene z vrednostmi SPI, so za preučevane pri- mere relativno manjše kot razlike, merjene s SI. Če bi kot referenčni premer izbrali večji premer, npr. 55 cm, bi bila razlike med analiziranimi primeri izrazitejše. 6 ZAKLJUČEK 6 CONCLUSION Razvili smo postopek za modeliranje Hdom s podat- ki SVP , ki je podlaga za določitev indeksov produkcijske sposobnosti gozdnih rastišč. Predstavljeni postopek je smiselno preveriti tudi za druge drevesne vrste in gozdne rastiščne tipe. Pogoj za to je zadostna količina podatkov o premerih in višinah dominantnega drevja. Pomembno je tudi, da so terenske meritve premerov in višin dreves natančne in da pri vnosu podatkov ni napak. Za sodobnejše pristope pri modeliranju Hdom in Ddom s postopki GADA je treba dopolniti zasnovo gozdnih inventur; ključno je namreč, da bi vsaj za del dominantnih dreves imeli ponovne in natančne izmere njihovih drevesnih višin. 7 POVZETEK 7 SUMMARY Modeling the height and diameter growth of trees is an important part of forest management. Growth models provide the basis for determining the thinning regime, target tree dimensions and optimal proporti- ons of developmental phases of forest stands. We de- veloped individual height growth models for dominant Norway spruce (Picea abies (L.) Karst) and Europe- an beech (Fagus silvatica L.) in two forest types: 1) ses- sile oak-European beech forests and 2) pre-Alpine sil- ver fir-European beech forests. These forest types co- ver 56,600 ha and 41,200 ha of forest area, respective- ly. Data from permanent sampling plots of the Slovenia Forest Service were used for the analyses. More than 20 thousand dominant trees were analysed for diame- ter growth, and the data from five thousand trees were applied for Height/Diameter (Hdom/Ddom) modeling. Hdom/Ddom models for the two tree species and two forest types were defined by Chapman-Richards func- Drevesna vrsta, Gozdni rastiščni tip Vrednosti SI, ugotovljene z debelnimi analizami* Naša raziskava Bukev, Gradnovo bukovje 31,7 (26,4–36,0) 29,0 Smreka, Gradnovo bukovje 37,7 (36,0–40,0) 33,4 Bukev, Predalpsko jelovo bukovje 26,4 (24,0–28,0) 27,0 Smreka, Predalpsko jelovo bukovje 31,4 (18,5–38,0) 32,0 *Srednje ter v oklepaju maksimalne in minimalne vrednosti SI, ugotovljene z debelnimi analizami Preglednica 8: Primerjava ugotovljenih vrednosti SI z vred- nostmi, ugotovljenimi z debelnimi analizami (Kadunc in sod., 2013) Table 8: Comparison of our results with findings deter- mined by the traditional approach (Kadunc et al., 2013) Acta Sil va e et Ligni 125 (2021), 1–12 11 tions. Based on the models, the site productivity index (SPI), defined as the dominant tree height at a diameter of 45 cm, was determined for spruce and beech in both forest types. The site productivity index (SPI) of spruce in sessile oak-beech forests and pre-Alpine silver fir- European beech forests was higher than that of beech: 31.3 and 29.7 vs 28.7 and 27.9, respectively. Based on the diameter increment of dominant trees, the age of trees in regard to their diameter was calculated for 5 cm dbh classes. Estimated average ages of dbh classes were the basis for Height-Age modeling. Estimated site indices (SI; dominant tree height at the age of 100 years) in sessile oak-beech forests and pre-Alpine sil- ver fir-European beech forests were 33.4 and 32.0 for spruce, and 29.0 and 27.0 for beech, respectively. It is evident that the height growth of beech and spruce in sessile oak-beech forests is faster in the first decades of life span if compared to the height growth of the same tree species in pre-Alpine silver fir-European beech fo- rests. The difference in the dynamics of height growth between the two forest types in the first half of the ob- served life span was expected given the significant dif- ferences in site conditions. However, in the second half of the observed period, the height growth of spruce in pre-Alpine forests is more intense than that in sub- mountain forests. At the end of the observed period, spruce reached a significantly higher tree height than that in sessile oak-beech forest. The height growth of beech in pre-Alpine forests is also faster than that in sub-mountain forests. However, the height of beech in the latter remained higher in the whole observed pe- riod. The procedure presented in our study seems to be promising for defining indices of site productivity (SPI and SI), at least in the forest types and tree species studied. To obtain better insight into the applicability of the procedure, we suggest testing it in other forest types and for other tree species. 8 ZAHVALA 8 ACKNOWLEDGEMENTS Raziskava je nastala v okviru ciljnega raziskovalne- ga projekta V4-2014 Razvoj modelov za gospodarjenje z gozdovi v Sloveniji. Zavodu za gozdove Slovenije se zahvaljujemo za možnost uporabe njihovih podatkov- nih virov. Zahvaljujemo se anonimnima recenzentoma za tehtne pripombe. 9 VIRI 9 REFERENCES Bailey R.L., Clutter J.L. 1974. Base-age invariant polymorphic site curves. Forest Science, 20: 155–159. Beltran H.A., Chauchard L., Velásquez A., Sbrancia R., Pastur G.M. 2016. Diametric site index: an alternative method to estimate site quality in Nothofagus obliqua and N. alpine forests. Cerne, 22, 3: 345–354. Bielak K., Dudzińska M., Pretzsch H. 2014. Mixed stands of Scots pine (Pinus sylvestris L.) and Norway spruce (Picea abies (L.) Karst.) can be more productive than monocultures. Evidence from over 100 years of observation of long-term experiments. Forest Sy- stems, 23, 3: 573–589. Bončina A. (ur.). 2012. Bukovi gozdovi v Sloveniji: ekologija in go- spodarjenje. Ljubljana, Biotehniška fakulteta, Oddelek za goz- darstvo in obnovljive gozdne vire: 469 str. Bončina A. 2009. Urejanje gozdov - upravljanje gozdnih ekosistemov. Ljubljana, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obno- vljive gozdne vire: 359 str. Bončina A., Kadunc A., Poljanec A., Dakskobler I. 2014. Prostorski prikaz produkcijske sposobnosti gozdnih rastišč v Sloveniji. Goz- darski vestnik, 72, 4:183–197. Bončina A., Kadunc A., Robič D. 2007. Effects of selective thinning on growth and development of beech (Fagus sylvatica L.) forest stands in south-eastern Slovenia. Annals of Forest Science, 64: 47–57. Bončina A., Rozman A., Dakskobler I., Klopčič M., Babij V., Poljanec A. 2021. Gozdni rastiščni tipi Slovenije: vegetacijske, sestojne in upravljavske značilnosti. Ljubljana, Biotehniška fakulteta, Odde- lek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire, Zavod za gozdove Slovenije: 576 str. Cieszewski C., Bailey R.L. 2000. Generalized algebraic difference approach: theory based derivation of dynamic site equations with polymorphism and variable asymptotes. Forest Science, 46, 1: 116–126. Čokl M. (ur.). 1980. Gozdarski in lesnoindustrijski priročnik. Ljublja- na, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire: 374 str. Diaci J. 2006. Gojenje gozdov: pragozdovi, sestoji, zvrsti, načrtova- nje, izbrana poglavja. Ljubljana, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire: 348 str. Ertragstafeln für die Buche in der Schweiz. 1967. Birmensdorf, Eid- genössische Anstalt für das Forstliche Versuchswesen. Ficko A., Poljanec A., Bončina A. 2011. Do changes in spatial distri- bution, structure and abundance of silver fir (Abies alba Mill.) indicate its decline? Forest Ecology and Management, 261, 4: 844–854. Fu L., Zhang H., Sharma R.P ., Pang L., Wang G. 2017. A generalized nonlinear mixed-effects height to crown base model for Mon- golian oak in northeast China. Forest Ecology and Management, 384: 34–43. Jevšenak J., Skudnik M. 2020. A random forest model for basal area increment predictions from national forest inventory data. Fo- rest Ecology and Management, 479: 118601. Kadunc A. 2010. Kakovost, vrednostne značilnosti in produkcijska sposobnost sestojev doba in gradna v Sloveniji. Gozdarski ve- stnik, 68, 4: 217–226 & 239–240 str. Kadunc A., Poljanec A., Dakskobler I., Rozman A., Bončina A. 2013. Ugotavljanje proizvodne sposobnosti gozdnih rastišč v Sloveniji: poročilo o realizaciji projekta. Ljubljana, Biotehniška fakulteta, Oddelek za gozdarstvo in obnovljive gozdne vire: 42 str. Kim H-J., Kim H-S., Park S-I., Park H-J., Lee S-H. 2018. Development of site index curves and height-DBH growth model of Larix ka- empferi for Deogyu Mountain in South Korea. Forest Science and Technology, 14, 3: 145–150. Klopčič M., Poljanec A., Gartner A., Bončina, A. 2009. Factors related to natural disturbances in mountain Norway spruce (Picea abi- es) forests in the Julian Alps. Ecoscience, 16: 48–57. 12 Bonč ina A., T r i fk o v ić V ., Bonč ina Ž.: Modelir anje v išinsk e in debelinsk e r ast i dominantnih dr e v es t er oc enje vanje ... Klopčič M., Bončina A. 2010. Značilnosti debelinskega priraščanja jelke v Sloveniji. Gozdarski vestnik, 68, 4: 203–216. Kotar M. 1984. Prirastoslovne osnove kot pripomoček pri načrtova- nju gospodarjenja z gozdovi. Zbornik gozdarstva in lesarstva, 24: 83–102. Kotar M. 1989. Prirastoslovni kazalci rasti in razvoja bukovih gozdov v Sloveniji. Zbornik gozdarstva in lesarstva, 33: 59–80. Kotar M. 2005. Zgradba, rast in donos gozda na ekoloških in fizio- loških osnovah. Ljubljana, Zveza gozdarskih društev Slovenije: 500 str. Krumland B., Eng H. 2005. Site index systems for major young-grow- th forest and woodland species in Northern California. California Department of Forestry and Fire Protection, 4: 220 str. Maechler M., Rousseeuw P ., Croux C., Todorov V., Ruckstuhl A., Sali- bian-Barrera M., Verbeke T ., Koller M., Conceicao E.L., Anna di Palma M. 2021. Basic robust statistics: R package version 0.93-7. http://robustbase.r-forge.r-project.org/ (21. 1. 2021) Manso R., McLean J.P ., Arcangeli C., Matthews R. 2020. Dynamic top height models for several major forest tree species in Great Bri- tain. Forestry, 94, 2: 181–192. Molina-Valero J.A., Diéguez-Aranda U., Álvarez-González J.G., Caste- do-Dorado F., Pérez-Cruzado C. 2019. Assessing site form as an indicator of site quality in even-aged Pinus radiata D. Don stands in north-western Spain. Annals of Forest Science, 76: 113. Nigh G. 2015 Engelmann spruce site index models: a comparison of model functions and parameterizations. Plos one, 10: e0124079. Peng C. 2011. Developing and validating nonlinear height-diame- ter models for major tree species of Ontario's boreal forests. Northern Journal of Applied Forestry, 18, 3: 87–94. Pintar A.M., Hladnik D. 2018. Strukturna pestrost gozdnih sestojev na Pahernikovi gozdni posesti. Acta Silvae et Ligni, 117: 1–16. Poljanec A. (ur). 2010. Navodila za snemanje na stalnih vzorčnih ploskvah. Ljubljana, ZGS Slovenije. http://www.zgs.si/filead- min/zgs/main/img/OBVESTILA_SLO/Narocila_male_vredno- sti/2013/Navodila_snemanje_staln_vzorcnih_ploskvah.pdf Pretzsch H. 2009. Forest dynamics, growth and yield: from measure- ment to model. Berlin, Springer-Verlag: 664 str. Rosset C., Schütz J.-P ., Lanz A., Menk J., Gollut C., Weber D. 2013. Si- WaWa: Waldwachstumssimulationsmodell der neuen Generati- on. Schlussbericht: das Waldwachstum für den Praktiker leicht gemacht. Zollikofen. Hochschule für Agrar-, Forst- und Leben- smittelwissenschaften HAFL. Sharma R.P ., Brunner A. 2017. Modeling individual tree height grow- th of Norway spruce and Scots pine from national forest inven- tory data in Norway. Scandinavian Journal of Forest Research, 32: 501–514. Sharma R.P ., Brunner A., Eid T ., Øyen B-H. 2011. Modelling dominant height growth from national forest inventory individual tree data with short time series and large age errors. Forest Ecology and Management, 262: 2162–2175. Sharma R.P ., Stefencik I., Vacek Z., Vacek S. 2019. Generalized non- linear mixed-effects individual tree diameter increment mo- dels for beech forests in Slovakia. Forests, 10, 5. doi:10.3390/ f10050451. Sharma R.P . 2019. Site productivity and forest growth modelling strategies: monospecific versus mixed species forests. Beijing, IFRIT , CAF Skovsgaard J.P ., Vanclay J.K. 2008. Forest site productivity: a review of the evolution of dendrometric concepts for even-aged stands. Forestry, 81, 2: 13–31. Socha J., Pierzschlaski Bałazy R., Ciesielski M. 2017. Modelling top heigh growth and site index using repeated laser scanning. Fo- rest Ecology and Management, 406: 301–317. Whitlock M.C., Schluter D. 2020. The analysis of biological data. 3rd ed. W.H. Freeman: 818 str. Wickham H. 2020. Modelling functions that work with the pipe. R package version 0.1.8. https://CRAN.R-project.org/ package=modelr (26. 1. 2021).