ˇ SOLA ZGODOVINARE ˇ SEVANJAPOLINOMSKIHENA ˇ CB MARJAN JERMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 12D10, 97H30 V ˇ clanku je kratek oris zgodovine reˇ sevanja polinomskih enaˇ cb. HISTORY OF SOLVING POLYNOMIAL EQUATIONS The article outlines a short history of solving polynomial equations. Uvod Ko skuˇ samo predstaviti nova poglavja iz matematike, veˇ cinoma pose- ˇ zemo po najkrajˇ sih in najbolj elegantnih poteh. Takˇ sen naˇ cin je po navadi najbolj pregleden in estetsko vˇ seˇ cen. Do cilja pridemo sorazmerno hitro, posluˇ salca pa na poti obremenimo z najmanjˇ so moˇ zno koliˇ cino potrebnih vmesnih rezultatov. Veˇ cina ljubiteljev matematike nas je nad takim naˇ ci- nom navduˇ senih, leredkopa se zavemo, da zelopreˇ ciˇ sˇ cenareˇ sitevproblema pogosto zakrije motivacijo za njegovo postavitev in intuicijo, ki je privedla do reˇ sitve. Tako velikokrat zamudimo priloˇ znost pokazati, kako iz razliˇ cnih zornih kotov pogledati na problem in kako ga napasti z razliˇ cnimi sredstvi. Za veˇ cino dijakov je reˇ sevanje linearne enaˇ cbe ˇ zal le enostaven posto- pek premetavanja ˇ clenov, reˇ sevanje kvadratne enaˇ cbe pa je enakovredno pomnjenju sorazmerno zapletenega obrazca. Prav tako nekateri ˇ studenti matematike o kubiˇ cnih enaˇ cbah vedo le, da se dajo reˇ siti z zelo zoprnimi in teˇ zko izraˇ cunljivimi formulami. V ˇ clanku bi rad pokazal, kako lahko z zgodovinskim pogledom na reˇ sevanje enaˇ cb vsaj nekatere dijake inˇ studente navduˇ simo za matematiko in jim predstavimo, koliko iskrivih in globokih idej je skritih za na videz suhoparnimi rezultati. Ukvarjali se bomo z reˇ sevanjem polinomske enaˇ cbe a n x n +···+a 1 x+a 0 =0. (1) Zgodovina in matematika se prepleteta ˇ ze pri postavitvi problema: Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 183 Marjan Jerman (i) Kaj sploh pomeni simbolni zapis (1)? (ii) Kateri ˇ stevilski mnoˇ zici pripadajo koeficienti polinoma a i ? V kateri mnoˇ zici iˇ sˇ cemo reˇ sitev x? (iii) Alijemoˇ znainkakopotekaosnovnaaritmetika(seˇ stevanje,odˇ stevanje, mnoˇ zenje in deljenje) s temiˇ stevili? (iv) Ali je obstoj reˇ sitev in ali so metode reˇ sevanja problema podobne za vse izbireˇ stevilskih mnoˇ zic? Na videz odveˇ cna vpraˇ sanja skrivajo globoke ideje, ki so se rojevale vsaj 5000 let. Za ilustracijo bom navedel le nekaj zelo pomanjkljivih odgovorov, s katerimi ˇ zelim osvetliti njihov pomen: (i) Simbola + in − je uvedel Johannes Widman (1462–1500), simbol za enakost = Robert Recorde (1510–1558), simbol za koren pa Christoff Rudolff (1499–1545). Pribliˇ zno v istem ˇ casu so zaˇ celi simbolno zapiso- vati tudi potence. Pred tem so bile enaˇ cbe opisane z dolgim in teˇ zko preglednimtekstom,kiniomogoˇ caldanesnavidezenostavnihalgebraj- skih manipulacij. (ii) Pitagora (570–500 pr. Kr.) je trdil, da vsaki stvari ustreza ali naravno ˇ stevilo ali kvocient dveh naravnih ˇ stevil. Niˇ clo so po dolgih stoletjih teˇ zavzmestnimzapisomodkriliBabilonci, verjetnopasojozaresrazu- meli ˇ sele dosti kasneje v Indiji. Negativnih ˇ stevil v zahodni civilizaciji niso znali uporabljati skoraj do konca renesanse. (iii) V Egiptu so za zapis ˇ stevil uporabljali sistem, v katerem se da soraz- merno lahko seˇ stevati in odˇ stevati, mnoˇ zenje in deljenje pa sta zelo za- pletenioperaciji. ˇ SeleEudoxusu(405–355pr.Kr.) jenaprecejzapleten naˇ cin uspelo definirati mnoˇ zenje pozitivnih realnih ˇ stevil. ˇ Se danes je recimozeloteˇ zkonasrednjeˇ solskemnivojuodgovoriti,kajsplohpomeni zapis 2 √ 3 . (iv) ˇ Ce zahtevamo, da so koeficienti in reˇ sitve v enaˇ cbi (1) realna ˇ stevila, je iskanje niˇ cel polinoma bistveno razliˇ cno od reˇ sevanja starogrˇ skih dio- fantskihenaˇ cb,kjersokoeficientiinreˇ sitvecelaˇ stevila. ˇ Seboljzapleteni sonekateriproblemiizteoretiˇ cnegaraˇ cunalniˇ stva,kjersokoeficientipo- linoma celoˇ stevilski ostanki pri deljenju s praˇ stevilom. 184 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Zgodovina reševanja polinomskih enaˇ cb ˇ Clanek ni sistematiˇ cen pregled zgodovine reˇ sevanja polinomskih enaˇ cb. V nadaljevanju bom navedel le nekatere pomembne utrinke iz zgodovine matematike, ki so povezani z njihovim reˇ sevanjem. Koeficienti naˇ sih polinomov bodo realni, reˇ sitve pa veˇ cinoma realne, vˇ casih tudi kompleksne. Linearne enaˇ cbe Skoraj vso egiptovsko matematiko poznamo iz Rhindovega in Mosko- vskega papirusa, ki izvirata pribliˇ zno iz let 1850 pr. Kr. in sta se skoraj neverjetno ohranila zaradi zelo suhega podnebja. Rhindov papirus 1 je dobrih 30 centimetrov ˇ sirok in ˇ sest metrov dolg zvitek, ki vsebuje 87 nalog. ˇ Stiriindvajseta naloga pravi: ˇ Ce neki koliˇ cini dodamo njeno ˇ cetrtino, dobimo 15. Kolikˇ sna je ta koli- ˇ cina? Danes bi se naloge lotili z reˇ sevanjem enaˇ cbe x+ x 4 =15. Pred skoraj 4000 leti pa so se problema lotili drugaˇ ce, z metodo napaˇ cne predpostavke. To metodo so uporabljali do renesanˇ cnih ˇ casov. Da bi si poenostavil raˇ cunanje, pisar Ahmes najprej poskuˇ sa z reˇ sitvijo x = 4. Ko izraˇ cuna vrednost izraza x+ x 4 = 5, ugotovi, da je reˇ sitev za trikrat premajhna. Zato je prava reˇ sitev x=4·3=12. Nekateri zgodovinarji Ahmesovo reˇ sitev interpretirajo drugaˇ ce. Najprej Ahmes neznano koliˇ cino razdeli na ˇ stiri enake dele, nato pa ugotovi, da je vsak del vreden tri enote. Bralci naj sami premislijo, pri katerih polinomih lahko za iskanje niˇ cel uporabimo Ahmesovo metodo. Iz pribliˇ zno istega ˇ casa izvira babilonska 2 glinena tablica ˇ stevilka 8389, ki jo hranijo v Muzeju antiˇ cnega Bliˇ znjega vzhoda v Berlinu. Prva naloga se v razˇ sirjenem prevodu glasi nekako takole: 1 Alexander Henry Rhind (1833–1863) je bilˇ skotski egiptolog, ki je leta 1858 na trˇ znici vLuxorjukupilpapirus,odnesenizRamzesovegatemplja. PapirusjenapisalpisarAhmes pribliˇ zno 1850 let pr. Kr. Papirus je od leta 1863 v Britanskem muzeju. 2 Babilonci so ˇ ziveli v Mezopotamiji, med rekama Evfrat in Tigris. Na tem obmoˇ cju se je razvila sumerska civilizacijaˇ ze pred letom 3500 pr. Kr. Med leti 2300 in 2100 pr. Kr. so obmoˇ cje zasedli Akadijci, leta 2100 pr. Kr. pa so Sumerce premagali Babilonci. Razliˇ cne kulture so se v doseˇ zkih zelo plodno medsebojno dopolnjevale. 183–195 185 Marjan Jerman Prvo polje da 4 kur/bur pˇ senice, 3 drugo pa 3 kur/bur. Prvi pridelek presega drugega za 500 sil. Skupna povrˇ sina obeh polj je 1800 sar. Koliko pridelka je zraslo na posameznem polju? Zdanaˇ snjimisredstvibinalogozapisalikotsistemdvehlinearnihenaˇ cb: x+y = 1800 1200 1800 x− 900 1800 y = 500 Reˇ sitevnatablicipajenapisanakotzaporedjeraˇ cunov,brezkakrˇ snekoli razlage. ˇ Cejorazloˇ zimoinopiˇ semozdanaˇ snjimmatematiˇ cnimjezikom,gre nekako takole: Najprej so izraˇ cunali x+y 2 =900. Nato so na videz uvedli novo spremen- ljivkoz = x−y 2 ,kijeziskanimakoliˇ cinamaenostavnopovezana: x=900+z, y =900−z. Hkrati ustreza linearni enaˇ cbi z le eno neznanko: 2 3 (900+z)− 1 2 (900−z)=500. Od tod so dobili: z =300, x=1200 in y =600. Kvadratne enaˇ cbe Babilonska tablicaˇ stevilka 13901, ki izvira pribliˇ zno iz leta 1600 pr. Kr. in je shranjena v Britanskem muzeju, vsebuje 24 nalog. Ker je napisana v retoriˇ cnem slogu, je bila verjetno namenjena pouˇ cevanju matematike. Prva naloga na tablici pravi: ˇ Ce ploˇ sˇ cini kvadrata priˇ stejemo stranico, dobimo 3 4 . Poiˇ sˇ ci stranico kva- drata. Danes bi nalogo prevedli v kvadratno enaˇ cbo: x 2 +x= 3 4 . Na tablici pa reˇ sitev poteka takole: Vzemi 1 in jo deli z 2, dobiˇ s 1 2 . ˇ Ce to polovico pomnoˇ ziˇ s samo s sabo, dobiˇ s 1 4 . Seˇ stevek 1 4 in 3 4 je enak 1, to je kvadrat ˇ stevila 1. Na koncu od 1 odˇ stej ˇ stevilo, ki si ga prej mnoˇ zil s sabo (to je 1 2 ). Stranica kvadrata je torej 1 2 . 3 Pribliˇ zno velja: bur = 1800 sar, 1 sar = 36 m 2 , kur = 300 sil, 1 sila = 1 liter 186 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Zgodovina reševanja polinomskih enaˇ cb Na videz nerazumljiv tekst skupaj s podobnimi babilonskimi nalogami razkriva, da so ˇ ze takrat znali reˇ siti kvadratno enaˇ cbo x 2 +ax= b (2) s formulo x= r  a 2  2 +b− a 2 . In kje se skriva druga reˇ sitev kvadratne enaˇ cbe? Enaˇ cba (2) je zapisana tako, da so njeni koeficienti pozitivna ˇ stevila. Tudi stranica, ki jo iˇ sˇ cemo, je pozitivnoˇ stevilo, zato je pred korenom smiseln le pozitivni predznak. ˇ Se bolj nazorno so se precej kasneje kvadratnih enaˇ cb lotili Arabci. AbuJafarMuhammadibnMusaAl-Khwarizmi(780–850)vsvojemdelu Hisab al-jabr wal-muqabala brez uporabe matematiˇ cnih simbolov najprej klasificira ˇ sest razliˇ cnih tipov linearnih in kvadratnih enaˇ cb. Na videz pre- tirana razdelitev je potrebna, ker so takrat za koeficiente priznavali le po- zitivna ˇ stevila. Nato opiˇ se operaciji al-jabr in al-muqabala, ki vsako line- arno ali kvadratno enaˇ cbo prevedeta na enega od teh tipov. V danaˇ snjem jeziku operacija al-jabr poskrbi za odpravo negativnihˇ clenov (na obeh stra- neh enaˇ cbe priˇ steje nasprotno vrednost negativnih ˇ clenov), operacija al- muqabala pa uravnoteˇ zi odveˇ cne ˇ clene v enaˇ cbi (na obeh straneh odˇ steje manjˇ so od skupnih koliˇ cin). Zato veliko zgodovinarjev matematike ˇ steje Al-Khwarizmija za zaˇ cetnika moderne algebre. Bralec lahko ugane, od kod prihaja beseda algebra, iz njegovega polatinjenega imena pa izvira tudi be- seda algoritem. V nadaljevanju pokaˇ ze, kako reˇ siti vsako od teh ˇ sestih enaˇ cb. Ker je reˇ sevanje v svojem bistvu geometrijsko, obstajajo ˇ spekulacije, da Al- Khwarizmijeve metode temeljijo na poznavanju prejˇ snjih del, morda Evkli- dovih Elementov 4 (300 pr. Kr.) ali pa ˇ zidovskega dela Mishnat ha Middot 5 (pribl. 150 po Kr.). 4 Evklid iz Aleksandrije (325–265 pr. Kr.) je v trinajstih knjigah zbral vse starogrˇ sko znanje matematike in ga postavil na aksiomatiˇ cne temelje. Elementi so veˇ c kot 2000 let ostali najpomembnejˇ se matematiˇ cno delo zahodne civilizacije. 5 Mishnat ha Middot (razpravaomerah)jenajstarejˇ seˇ zidovskodeloogeometriji. Pisec rabin Nehemiah obravnava like in telesa, med drugim navede tudi Heronovo formulo za ploˇ sˇ cino trikotnika. Razprava ima tudi teoloˇ sko vrednost: rabin skuˇ sa na mehak naˇ cin zaobiti v Bibliji navedeno dejstvo, da je π = 3. V jeruzalemskem templju naj bi stala ogromna posoda z okroglim robom, premerom 10 kubitov in obsegom 30 kubitov. Rabin pravi, da so premer merili z zunanje, obseg pa z notranje strani posode. Rob naj bi bil ˇ sirok pribliˇ zno toliko, kot lahko razpremo dlan. 183–195 187 Marjan Jerman 39 5 2 5 2 5 2 5 2 x x Slika 1. Reˇ sevanje enaˇ cbe x 2 +10x = 39 Enaˇ cbo x 2 + 10x = 39 na primer reˇ si takole (glej sliko 1): Vzemimo kvadrat s stranico x in mu nad vsako od stranic nariˇ simo pravokotnik z osnovnico x in viˇ sino 5 2 . Skupna ploˇ sˇ cina kvadrata in ˇ stirih pravokotnikov je x 2 + 4· x· 5 2 . Ob ogliˇ sˇ cih prvotnega kvadrata lahko med pravokotniki doriˇ semoˇ stiri manjˇ se kvadratke, ki skupaj s pravokotniki dopolnjujejo kva- drat s stranico x do veˇ cjega kvadrata s stranico x+2· 5 2 . Veˇ cji kvadrat ima ploˇ sˇ cino enako x 2 +4·x· 5 2 +4·  5 2  2 =(x 2 +10x)+25=39+25=64, zato je njegova stranica dolga 8, stranica x manjˇ sega kvadrata pa meri 8−2· 5 2 =3. Enako kot prej lahko vidimo, da druga reˇ sitev geometrijsko ni smiselna. Morda je na tem mestu prav omeniti, da je ˇ sele Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) leta 1849 dokazal, da ima polinom stopnje n z realnimi koeficienti natanko n kompleksnihniˇ cel. ˇ Ze leta 1799 je v svojem doktoratu pokazal, da se da vsak realni polinom razstaviti na nerazcepne linearne in kvadratne faktorje, vendar argumenti v njegovem topoloˇ skem dokazu ne zadoˇ sˇ cajo danaˇ snjim matematiˇ cnim standardom. Leta 1816 je izdelal prvi popolnoma pravilen algebraiˇ cen dokaz. 6 6 Za dan polinom Gauss skonstruira nov polinom veliko viˇ sje lihe stopnje, ki ima niˇ cle prek kvadratnih enaˇ cb povezane z niˇ clami prvotnega polinoma. Ker je novi polinom lihe stopnje, ima vsaj eno realno niˇ clo, zato ima prvotni polinom vsaj eno kompleksno niˇ clo. 188 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Zgodovina reševanja polinomskih enaˇ cb Kubiˇ cne enaˇ cbe Prve kubiˇ cne enaˇ cbe so se pojavile ˇ ze pri Babiloncih kot praktiˇ cni pro- blemi pri izkopavanjih kleti. Na primer, enaˇ cbo ax 3 +bx 2 = c so najprej prevedli v obliko y 3 +y 2 = d, nato pa so jo vsaj pribliˇ zno reˇ sili s pomoˇ cjo obstojeˇ cih tabelic za vrednosti n 3 +n 2 . Znan je tudigrˇ skimito orakluizDelosa, kije za konˇ canjekuge svetoval prostorninsko podvojitev Apolonovega oltarja v obliki kocke. Arhimed (287–212 pr. Kr.) se je v svojem delu O sferi in valju vpraˇ sal, kje je treba odrezati kroglo z ravnino tako, da bosta nastala kosa v volum- skem razmerju 1 : 2. Bralec se lahko hitro prepriˇ ca, da sta tedaj polmer krogle r in viˇ sina odrezane kapice v povezana s kubiˇ cno enaˇ cbo v 3 −3rv 2 + 4 3 r 3 =0. (3) Zgodovinsko pomembno je tudi vpraˇ sanje, ali je moˇ zno samo sˇ sestilom in ravnilom narisati pravilni sedemkotnik. Zelo lahko je videti, da se ga da narisati natanko takrat, ko se da narisati pravilni ˇ stirinajstkotnik. ˇ Ce je r polmer ˇ stirinajstkotniku oˇ crtanega kroga, a pa njegova stranica, se da na zvit naˇ cin brez uporabe kotnih funkcij ugotoviti (slika 2), da ustrezata kubiˇ cni enaˇ cbi a 3 −ra 2 −2r 2 a+r 3 =0. Ker je enaˇ cba za primerno izbiro polmera r nerazcepna nad racionalnimi ˇ stevili, 7 je ta konstrukcija nemogoˇ ca. Pravzadnjadvaproblemastaveˇ ckottisoˇ cletkasnejevzpodbudilaarab- ske matematike, da so se intenzivno lotili reˇ sevanja kubiˇ cnih enaˇ cb. Omar Khayyam (1048–1122) je klasificiral 14 tipov kubiˇ cnih enaˇ cb (s pozitivnimi koeficienti), za vsakega od tipov preˇ stel pozitivne reˇ sitve in jih predstavil kot presek dveh krivulj drugega reda. Tako je recimo reˇ sitev Arhimedove enaˇ cbe (3) abscisa preseka primerno izbrane parabole in hiperbole (slika 3) y = x 2 , (x−3r)y =− 4 3 r 3 . Seveda takratˇ se niso poznali matematiˇ cnega simbolizma in enaˇ cb krivulj v koordinatnem sistemu. Obe stoˇ znici Khayyam opiˇ se geometrijsko. 7 V primerur = 1 dobimo enaˇ cbop(a) =a 3 −a 2 −2a+1 = 0. ˇ Cep ne bi bil minimalni polinom (nad Q) za a, bi vseboval vsaj en linearen faktor, kar pomeni, da bi imel vsaj eno racionalno niˇ clo. Edina kandidata za racionalne niˇ cle a = ±1 pa nista polinomovi niˇ cli. Samo z ravnilom inˇ sestilom se dajo narisati le nekateraˇ stevila, ki imajo minimalni polinom stopnje 2 m za primeren m∈N∪{0}. 183–195 189 Marjan Jerman O A B X Y α α 2α 2α α 3α 3α Slika 2. Na sliki je enakokrak trikotnik △ABO, ki ima kot ob vrhu enak α = 1 7 ·180 ◦ , kota ob osnovnici pa merita 3α. Ta trikotnik jeˇ stirinajstina pravilnegaˇ stirinajstkotnika, iz katerega zlahka dobimo pravilni sedemkotnik. Evklid je zvito izbral toˇ cki X in Y na krakihtako, daje∠ABY =αin∠BXY = 2α. Samospomoˇ cjopodobnostilahkodobimo kubiˇ cnozvezomedOA =OB inAB (upoˇ stevamo,daje△ABO∼△YAB indastaviˇ sini trikotnikov △OYX in △OAB v razmerju OX :OB). Dokonˇ cna reˇ sitev kubiˇ cne enaˇ cbe je priˇ sla z renesanso in je povezana s hudimi spori o njenem avtorstvu. V tistih ˇ casih so matematiki velik deleˇ z svojih dohodkov pridobili na matematiˇ cnih tekmovanjih, ki so jih razpisali bogati pomembneˇ zi, zato je poznavanje reˇ sitve kubiˇ cne enaˇ cbe pomenilo veliko prednost pred tekmeci. Kubiˇ cno enaˇ cbo brez kvadratnih ˇ clenov x 3 +px+q =0 (4) je prvi reˇ sil Scipione dal Ferro (1465–1526). Reˇ sitev je napisal kot recept brez vsakrˇ sne razlage. Zaradi tedaj ˇ se zelo nerodne uporabe simbolov in nepoznavanja negativnihˇ stevil dal Ferro ni opazil, da je s tem v bistvu reˇ sil poljubno kubiˇ cno enaˇ cbo oblike x 3 +ax 2 +bx+c=0. (5) Translacija y = x+ a 3 namreˇ c poskrbi, da v enaˇ cbi (5) izginejo kvadratni ˇ cleni in jo tako prevede na enaˇ cbo oblike (4). Neodvisno od dal Ferra je reˇ sitev poljubne kubiˇ cne enaˇ cbe odkril Ni- colo Tartaglia (1500–1557). Prav v tem ˇ casu je Girolamo Cardano (1501– 1576)skuˇ salnapisatiknjigo Ars Magna, kibivsebovalatudireˇ sitevkubiˇ cne enaˇ cbe. Podaljˇ semprepriˇ cevanjumujestrikomuspeloprepriˇ catiTartaglio, da mu je razkril reˇ sitev. Pri tem mu je sveto obljubil, da reˇ sitve nikomur 190 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Zgodovina reševanja polinomskih enaˇ cb -1 1 2 3 2 4 6 8 Slika 3. Reˇ sitev Arhimedove kubiˇ cne enaˇ cbe (3) v primeru r = 1 kot abscisa preseka parabole in hiperbole. Smiselna je le reˇ sitev 0