ISSN 0351-6652 Letnik 30 (2002/2003) Številka 1 Strani 12-15
Janez Strnad:
O GIBANJU DINOZAVROV
Ključne besede: fizika, mehanika, hoja, tiranozaver, gibanje vretenčarjev.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1502-Strnad.pdf
© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
12
Fizika
O GIBANJU DINOZAVROV
Članek Kako hitro so se gibali dinozavri? (Presek 27 (1999/2000) 142) je opisal, kako so fiziki pomagali določiti hitrost izumrlih plazilcev. Privzeti smemo, da so vsi vretenčarji geometrijsko podobni in se gibljejo dinamično podobno. Potem je razmerje dolžine koraka in dolžine nog linearno odvisno od hitrosti, deljene s korenom iz zmnožka t.ežnega pospeška in dolžine nog. Dolžino nog so določili po izkopanih okamenelih kosteh in dolžino koraka po okamenelih sledeh stopinj. Ugotovili so, da ho plazilci z majhno maso tekli hitro, dvouožni plazilci z maso pol tone npr. s hitrostjo do 12 m/s. Plazilci z veliko maso pa naj bi se premikali znatno počasneje, strah zbujajoči dvonogi tiranozaver z maso 5 ton npr. s hitrostjo do 2 m/s.
Prav pri tiranozavrih, ki so jim ameriški znanstvenofantastični filmi namenili pomembno vlogo, pa so se pojavile težave. Zanje, kot za druge mesojede velike plazilce, namreč ni bilo mogoče neposredno določiti dolžine koraka, ker ni bilo okamenelih sledi stopinj. Ohranile so se le sledi stopinj manjših plazilcev s krajšim korakom. Po primerjavi okostja tiranozavra z okostji izumrlih velikih ptic in drugih hitrih tekačev so nekateri raziskovalci sklepali, da je tiranozaver lahko dosegel hitrost 20 m/s. Takemu plenilcu z 2,5 metra dolgimi nogami in zelo močnimi čeljustmi ne bi mogla ubežati nobena žival (slika 1). Drugi pa so trdili, da bi se tiranozaver resno poškodoval, če bi se spotaknil pri hitrosti, večji od 10 m/s, in da zato ni mogel doseči tolikšne hitrosti. V Presekovem članku smo kot mejo hitrosti pettonskega tiranozavra navedli 2 m/s. Mnenja o največji hitrosti tiranozavra so se potemtakem močno razhajala.
P
S

R
KI
K2
Slika 1. Model odraslega tiranozavra z nakazanim okostjem: KI kolčni sklep, K2 koleno, S skočili sklep, P sklep prsta na nogi, T prijemališče sile tal, ki bi pri ročici R ob od-rivu na sredi koraka, ko bi med tekom bilo težišče tiranozavra najniže, dosegla 2,5-krat-no težo.
Zato je zbudil precej pozornosti članek Johna R. Hutchinsona in Mariana Garcie Tiranozaver ni bil hiter tekač, ki je izšel v februarski številki londonske revije Mature. Osnovne zamisli članka so razmeroma preproste.
Podobne je uporabil že Galilco Galilei v knjigi Razprave in matematični dokazi v dveh novih znanostih, ki zadevata jnehaoiko in lokalna gibanja leta 1638. "Mehanika" ali "prva nova znanost" je zajela razpravo o trdnosti: "Po rečenem preprosto vidite, da ni mogoče izdatno povečati velikosti predmetov v umetnosti ali v naravi Niti ni na primer mogoče zgraditi zelo velikih ladij, palač ah svetišč, da bi njihova vesla, jadrni prečniki, železne vezi, skratka vsi deli, opravljali svoje naloge, niti ne more narava ustvariti izredno velikih dreves, ker bi se njihove veje odlomile zaradi lastne teže. Tako ne bi bilo mogoče sestaviti kosti ljudi, konj in drugih živali, da bi opravljale svojo običajno nalogo, če bi močno povečali višino teh živali" (slika 2).
Prostornina geometrijsko podobnih teles in z njo masa naraščata sorazmerno s kubom linearnih razsežnosti, trdnost kosti pa sorazmerno z njihovim presekom, to je sorazmerno s kvadratom linearnih razsežnosti. Iz tega izhaja približni potenčni zakon, daje trdnost sorazmerna s kvadratom linearne razsežnosti, ki je sorazmeren z maso na eksponent Glede na. tak razmislek bi moral imeti zelo velik kopenski vretenčar zelo debele kosti. Smiselno je namreč privzeti, da imajo vsi vretenčarji približno enako zgrajene kosti.
Podobno je mogoče sklepati za mišice. Tudi sila. s katero more de 1 ovati mišica vretenčarja, je sorazmerna s presekom mišice. Učinkovitost mišic je po tem približno sorazmerna z maso na eksponent | in specifična, to je na enoto mase preračunana, učikovitost mišic sorazmerna z maso na eksponent — ^ = —0,33. Mišice potemtakem delujejo tem bolj učinkovito, čim manjša je masa vretenčarja. (Podrobnejša raziskovanja so pokazala, da je specifična učinkovitost sorazmerna z maso na eksponent —0,26.) Tako sta sklepala tudi Hutchinson in Garcia, ki sta poleg tega podrobno raziskala razmere v štirih sklepih na nogi: kolčnem, kolenskem, s koč nem sklepu in sklepu v prstih. Izračune sta naredila za tiranozavra, manjšega dinozavra ter za piščanca in aligatorja kot zastopnika sedanjih vretenčarjev. Podatke za sedanja vretenčarja je mogoče izmeriti enako kot podatke za dolžino kosti izumrlih plazilcev, maso slednjih pa je mogoče
Slika 2. Galilei je narisal kosi. in trikrat, daljšo kost s trikrat večjo trdnostjo. LtS slike laliko razberete, kako nesorazmerna se zdi večja kost. Jasno, če kdo pri velikanu želi obdržati enako razmerje udov kot pri navadnem človeku, mora najti tršo in močnejšo sestavino kosti, ali se mora sprijazniti z zmanjšano močjo glede na ljudi, če bomo povečali višino, bo [velikan] padel in ga bo stisnila lastna teža."
dokaj zanesljivo oceniti po podobnosti. Predvsem ju je zanimalo razmerje med skupno maso glavnih mišic v štirih sklepih noge in maso vretenčarja. Ugotovila sta, da to razmerje z naraščajočo maso vretenčarja izrazito narašča.
Hutchinson in Garcia sta uporabila več modelov za izumrle plazilce in jih preskusila z modeloma piščanca in aligatorja. Piščanec ima skoraj dvakrat večje razmerje od razmerja, ki omogoča hiter tek, in zato lahko hitro teče. Aligator, bližnji sorodnik Lirauozavra, pa ima približno dvakrat manjše razmerje od razmerja, ki omogoča hiter tek, ter se giblje počasi, in to po štirih, ne po dveh. Vretenčar na dveh nogah ima razmerje veliko manjše kot 50%, ker bi ga sicer sestavljale le mišice obeh nog. Po dobljenih izidih sta znanstvenika sklepala, da tiranozaver m mogel teči. Končni izid sta izrazila dokaj previdno, kar je glede na negotovost nekaterih podatkov in privzetkov pri modelih razumljivo. Po njunem mnenju tiranozaver zagotovo ni dosegel hitrosti 20 m/s in najbrž ne hitrosti 10 m/s, morda v skrajnem primeru 5 m/s. Zanj je bila bolj značilna hoja s hitrostjo I do 2 m/s. Ta sklep je mogoče razširiti tudi na druge izumrle plazilce z veliko maso. Tudi ti so se gibali počasi, tako da so lahko postali plen tirauozavrov. Na splošno je mogoče reči, da. so kopenski vretenčarji postajali vse počasnejši, ko je naraščala njihova masa.
	100%
-	'in*,,
	
•u	80%
"J	
U	70" 11
■Ji C3	60™/, 1
O Zii	50%
c	40%
	
's	30%
/	20%
	10%
	0
popolnoma nemogoče
v , §A ne inorejo leči / s
negotovo, ali lahko tečcio
I
10
dubro točejo
10'
10	I0J kg
inasa vretenčarja
Slika 3, Razmerje med skupno maso mišic ene same noge vretenčarja in telesno maso izrazito narašča z maso vretenčarja. Krivulja kaže odvisnost, za piščanca z vse večjo maso in ustrezno povečanimi drugimi podatki. Pri šesttonskem tiranozavrn hi razmerje doseglo 98% (R). Pri dvonožnem vretenčarju je teoretična zgornja meja za razmerje 50%, praktična meja pa je veliko nižja Tiranozaver tii mogel teči! Votli krožci ustrezajo raznim modelom tiranozavra z maso 6 ton (P z značilnostmi piščanca, A z značilnostmi aligatorja), trikotnik majhnemu dinozavru, križec aligatorju in polni krožeč piščancu.
Razprava še enkrat potrjuje misel, da je fizika zelo koristna v drugih vejah naravoslovja in v drugih znanostih.
Vzemimo, da ima glavna mišica v sklepu i z vodoravno osjo gostoto p, dolžino / in presek S. Masa mišice je m i = pSl. Mišica lahko uravnovesi silo F — a S, če na enoto preseka prenese silo a. Kavor te sile je M — tF, če prijemlje mišica z ročico T glede na os. Za razmerje med maso mišice in maso vretenčarja m sledi
m,- _ plS _ plF _ plM
m m am arm
Gostota mišic je pri vseh vretenčarjih približno 1,06 ■ 103 kg/m3 in sila na enoto preseka približno 3 ■ 105 N/ur. Pri teku naj bi v trenutku, ko je sredi koraka težišče najnižje in se začne pospešeno gibati navzgor, tla na nogo delovala z 2,5-kratno težo vretenčarja (pri noju so izmerili 2,7-krat no težo). Tedaj smemo vzeti, da je vsota sil v sklepih enaka sili tal in navor sil v sklepih enak navoru sile tal z ročico H od prstov do sklepa v prstih. Pri tem pri vzamemo, da teče vretenčar s hitrostjo 20 m/s, ko je kvocient te hitrosti in korena iz zmnožka dolžine nog s težnim pospeškom enak 4.
V kolčnem sklepu tiranozavra je npr. navor mišice 7,5 ■ ID4 m ■ N, dolžina mišice 1,2 m in ročica r = 0,37 m. To da za razmerje med maso glavne mišice v kolčnem sklepu in maso tiranozavra 15%. Za tri druge sklepe dobimo v tem primeru razmerja 4%, 15% in 9%, kar da skupaj 43% in za obe nogi 86%, Različni modeli so dali za tiranozavra z maso 6 ton v teku za omenjeno razmerje od 26% do 100%. Nasprotno od tega so za razmerje mišic noge in mase telesa pri tiranozavru neposredno izmerjeni podatki dali veliko manj, samo 7% do 10%. To je dopustilo sklep, da je tiranozaver imel premalo mišic, da bi izravnale silo tal in njen navor pri odlivu med tekom, torej ni mogel teči. Za piščanca in aligatorja izračunamo razmerji 4,7% in 7,7%, medtem ko dajo merjenja 8,8% in 3,6%. Po tem smo prej trdili, da ima piščanec skoraj dvakrat večje razmerje od razmerja, ki omogoča hiter tek, in aligator razmerje približno dvakrat manjše od razmerja, ki omogoča hiter tek, kar pomeni, da piščanec lahko hitro teče, aligator pa se giblje le počasi.
Janez Stmad