Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016118 Tomaž Žula, Stojan Kravanja•OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP MINLP OPTIMIZATION OF A SINGLE STOREY STEEL BUILDING STRUCTURE doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. tomaz.zula@um.si prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Znanstveni članek UDK 006.82/.83:624.014.2 Povzetek l V prispevku predstavljamo optimiranje mase konstrukcije jeklene hale, izdelane iz jeklenih standardnih vroče valjanih I-prerezov. Konstrukcijo sestav- ljajo glavni okvirji, na katere so pritrjeni lege, prečke in fasadni stebri. Optimiranje je opravljeno z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Pri MINLP optimiranju poteka diskretno optimiranje topologije, materiala in standardnih dimenzij hkrati z računom zveznih parametrov. Razvit je optimizacijski model, kjer je namen- ska funkcija mase konstrukcije podvržena pogojem iz analize konstrukcije in dimen- zioniranja. Pogoji dimenzioniranja so definirani v skladu z Eurokodom 3. Za reševanje nekonveksnega, nelinearnega in kombiniranega diskretno zveznega optimizacijskega problema jeklenih okvirjev smo uporabili modificirani algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ER). Poleg izračunane optimalne mase hale so bili dobljeni še optimalna topologija, trdnost materiala in standardne dimenzije uporab- ljenih I-prerezov. V prispevku sta predstavljena teoretični opis problema in praktični primer z rezultati optimiranja. Ključne besede: optimizacija, optimiranje topologije, optimiranje standardnih mate- rialov, optimiranje diskretnih dimenzij, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP, jeklena hala Summary l The paper presents the mass optimization of a single-storey steel building structure. The structure consists of main portal frames, which are mutually connected with purlins, rails and façade columns. All structural elements are proposed to be built up of standard hot rolled I sections. The structural optimization is performed by the Mixed-Integer Non-linear Programming approach, MINLP. The MINLP performs a discrete optimization of topology, material and standard dimensions, while conti- nuous parameters are calculated simultaneously inside the continuous space. The optimization model is generated, in which the mass objective function of the structure is subjected to structural analysis and dimensioning constraints. The dimensioning constraints are defined in accordance with Eurocode 3. Since the discrete/continuous optimization problem of steel frames is non-convex and highly non-linear, the Mo dified Outer-Approximation/Equality-Relaxation (OA/ER) algorithm was used for the optimiza- tion. Alongside the optimal structure mass, the optimal topology, structural steel grade and standard I sections were obtained. The paper includes the theoretical basis and a practical example with the results of the optimization. Key words: Optimization, Topology optimization, Standard material optimization, Dis- crete sizing optimization, Mixed-integer non-linear programming, MINLP, Single storey steel building Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016 119 OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Enoetažne jeklene okvirne konstrukcije gra- dimo za industrijske, športne in komercialne objekte. Za dosego optimalnih oblik okvirjev so raziskovalci v preteklih letih razvili številne uporabne metode optimiranja, ki so primerne za zvezno kot tudi diskretno optimiranje. O’Brien in Dixon [O’Brien, 1997] sta pred- lagala za optimalen projekt portalnih okvir- jev pristop linearnega programiranja. Guer- lement idr. [Guerlement, 2001] so predstavili praktično metodo, pri kateri so minimizirali maso jeklene hale z uporabo Eurokoda 3, del 1-1 [EN 1993-1-1, 2005]. Saka [Saka, 2003], McKinstray idr. [McKinstray, 2015] so z uporabo genetskega algoritma dosegli optimalni projekt jeklenega okvirja. Z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem MINLP sta Kravanja S. in Žula [Kravanja S., 2010] optimirala izdelavne stroške kon- strukcije jeklene hale brez prečk in fasadnih stebrov. Pred kratkim so avtorji Kravanja S. idr. [Kravanja S., 2013] predstavili para- metrično optimiranje jeklenih industrijskih hal. Eden izmed zadnjih raziskovalnih pri- spevkov na tem področju je delo McKinstray idr. [McKinstray, 2016], v katerem avtorji dosežejo optimalno obliko glavnega okvirja pri minimalni masi. V prispevku predstavljamo optimiranje mase, topologije, materiala in standardnih dimen- zij jeklene konstrukcije hale. Optimiranje kon- strukcije je izvedeno z metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja MINLP. MINLP je kombinirana diskretno zvez- na metoda optimiranja, pri kateri se lahko hkrati izvaja diskretno optimiranje topologije (število in razporeditev okvirjev, leg in prečk), diskretno optimiranje materiala (trdnostnega razreda) in standardnih dimenzij (standardnih jeklenih prerezov stebrov, nosilcev, leg, prečk in fasadnih stebrov) ter optimiranje zveznih parametrov (mase, cene, notranjih statičnih količin, deformacij itd.). Kombinirani diskretno zvezni MINLP optimiza- cijski problem konstrukcije hale je obsežen, nekonveksen in nelinearen. Optimiranje zato poteka v treh korakih. V prvem koraku se izvede generacija mehanske superstrukture različnih alternativ topologije, materiala in standardnih dimenzij. Drugi korak obsega razvoj MINLP modelne formulacije. Zadnji ko- rak pa predstavlja rešitev definiranega MINLP optimizacijskega problema. Namen optimiranja je določiti minimalno maso hale. Namenska masna funkcija je podvržena pogojnim (ne)enačbam, poznanim iz analize in dimenzioniranja jeklenih konstruk- cij. Pogoji dimenzioniranja jeklenih elementov so definirani v skladu s standardom Eurokod 3. Optimiranje konstrukcije je izvedeno z modi- ficiranim algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ER algoritem), ([Kravanja Z., 1994], [Kravanja S., 1998a], [Kravanja S., 1998b]). 1•UVOD 2•SUPERSTRUKTURA JEKLENE HALE V prispevku obravnavamo optimizacijo jeklene konstrukcije enonadstropne hale, sestavljene iz enakih glavnih okvirjev, na katere so pri- trjeni lege, prečke in fasadni stebri, glej sliko 1. Nosilci, stebri, lege, prečke in fasadni stebri so izdelani iz standardnih vroče valjanih jeklenih IPE- ali HEA-profilov. Glavni okvirji so definirani kot nepomični okvirji (αcr ≥ 10). Superstrukturo konstrukcije hale predstavlja množica različnih topoloških/konstrukcijskih alternativ: • zaporedja in binarne spremenljivke za topologijo: n zaporedje števila portalnih okvirjev (stebri in nosilci), n∈N m zaporedje števila leg, m∈M r zaporedje števila prečk, r∈R yn binarna spremenljivka, dodeljena n-ti, n∈N, alternativi portalnih okvirjev ym binarna spremenljivka, dodeljena m -ti, m∈M, alternativi leg yr binarna spremenljivka, dodeljena r-ti, r∈R, alternativi prečk • zaporedja in binarne spremenljivke za standardne dimenzije: i zaporedje standardnih dimenzij stebrov, i∈I j zaporedje standardnih dimenzij nosilcev, j∈J k zaporedje standardnih dimenzij leg, k∈K l zaporedje standardnih dimenzij prečk, l∈L p zaporedje standardnih dimenzij fasadnih stebrov, p∈P yi binarna spremenljivka, dodeljena i-ti, i∈I, alternativi standardnega prereza stebra Slika 1•Konstrukcija jeklene hale yj binarna spremenljivka, dodeljena j-ti , j∈J, alternativi standardnega prereza nosilca yk binarna spremenljivka, dodeljena k-ti, k∈K, alternativi standardnega prereza lege yl binarna spremenljivka, dodeljena l-ti, l∈L, alternativi standardnega prereza prečke yp binarna spremenljivka, dodeljena p-ti, p∈P, alternativi standardnega prereza fasad- nega stebra Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016120 • zaporedja in binarne spremenljivke za standardne materiale: s zaporedje standardnih materialov, s∈S ys binarna spremenljivka, dodeljena s-ti, s∈S, alternativi standardnega materiala Optimiranje obravnavane konstrukcije opra- vimo pri začetni geometrijski imperfekciji ob kombiniranem delovanju lastne teže elemen- tov okvirja in navpični enakomerni zvezni spre- Tomaž Žula, Stojan Kravanja•OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP menljivi obtežbi (sneg in veter) ter vodoravni koncentrirani spremenljivi obtežbi vetra, loci- rani na vrhu stebrov. Notranje statične količine so izračunane po elastični teoriji prvega reda. Dimenzioniranje elementov jeklenega okvirja je izvedeno v skladu z Eurokodom 3, pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji za mejno stanje nosilnosti (MSN) in mejno stanje uporabnosti (MSU). Pri MSN so elementi preverjeni na osno uklonsko nosilnost, strižno nosilnost, upo- gibno nosilnost ter na interakcijo upogibnega momenta in tlačne/uklonske osne sile. Pri MSU so bili navpični končni upogibki wmax in upogibki zaradi spremenljive obtežbe w3 omejeni pod priporočenima mejnima vrednost- ma: razpon/200 in razpon/250. Preverili smo tudi vodoravni upogibek fasadnega stebra u3 zaradi spremenljive obtežbe. Zadoščeno je bilo tudi vodoravnemu pomiku portalnega okvirja, ki ni presegel mejne vrednosti višina/150. 3•MINLP MODELNA FORMULACIJA ZA MEHANSKO SUPERSTRUKTURO Potem ko je MINLP mehanska superstruk- tura definirana, sintezo nadaljujemo z razvo- jem MINLP modelne formulacije mehanskih superstruktur, MINLP-G. Splošni nelinearni, nekonveksni in kombinirani diskretno zvezni MINLP optimizacijski problem (MINLP-G) lahko zapišemo v obliki: (MINLP-G) pri čemer je x vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem območju X, in y je vektor diskretnih binarnih spremenljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0-1. Vsakemu al- ternativnemu konstrukcijskemu elementu su- perstruktureje je dodeljena binarna spremen- ljivka y. Element je izbran, kadar je izračunana pripadajoča binarna spremenljivka ena (y =1), in iz superstrukture izločen, kadar je izračunana binarna spremenljivka nič (y = 0). Funkcija ƒ(x) je namenska funkcija, h(x) je množica pogojnih enačb, g(x) pa je množica pogojnih neenačb. Vse funkcije ƒ(x), h(x) in g(x) so nelinearne, zvezne in zvezno odv- edljive. Dodan je tudi sistem linearnih enačb in neenačb By + Cx ≤ b, ki vsebuje tako zvezne kot diskretne spremenljivke. Na osnovi splošne modelne formulacije MIN- LP-G smo razvili posebno MINLP modelno for- mulacijo mehanskih struktur MINLP-MS. Glede na splošno MINLP-G modelno formulacijo je MINLP-MS formulacija precej bolj obsežna in min ( )xyc fz += T p.p. ( ) 0xh = ( ) 0xg ≤ bCxBy ≤+ x ∈ X = {x ∈ R n : xLO ≤ x ≤ xUP} y ∈ Y ={0,1} m , specifična, predvsem v pogledu spremenljivk in pogojnih (ne)enačb. Zapišemo jo lahko v naslednji obliki: MINLP modelna formulacija mehanskih super- struktur vsebuje: • Zvezne spremenljivke x = {d, p} in diskretne binarne 0-1 spremenljivke y = {ye, ymat, yst}. Zvezne spremenljivke so razdeljene na di- menzijske (določene pri projektiranju) spre- menljivke d = {d cn, d mat, d st} in na izvedbene (določene pri izvedbi) spremenljivke p. Pri tem podvektorji dcn, dmat in dst označujejo zvezne dimenzije, diskretne materiale in standardne dimenzije. Vektor binarnih spremenljivk ye, ymat in yst označujejo po- tencialni izbor konstrukcijskih elementov za topologijo, diskretne materiale in stan- dardne dimenzije. • Masno namensko funkcijo z, ki vsebuje maso, definirano z linearnim izrazom cTy, kakor tudi dimenzijsko pogojeno maso, za- pisano v nelinearnem izrazu ƒ(x). (MINLP-MS) min ( )xyc fz += T p.p. ( ) 0xh = ( ) 0xg ≤ ( ) axA ≤ Ey ≤ e ( ) rxRDy ≤+e ( ) kdLKy ≤+ cne ( ) mdMPy ≤+ mat ( ) ndNPy ≤+ st x ∈ X = {x ∈ R n : xLO ≤ x ≤ xUP} y ∈ Y ={0,1} m . • Nelinearne in linearne pogojne (ne)enačbe h(x) = 0, g(x) ≤ 0 in A(x) ≤ a predstavljajo sistem omejitev, ki so potrebne za statično analizo in dimenzioniranje konstrukcije. • Celoštevilske linearne pogojne enačbe in neenačbe Ey ≤ e opisujejo logične relacije med binarnimi spremenljivkami. • Mešane linearne pogojne enačbe in neenačbe Dy + R(x) ≤ r vzpostavijo med- sebojne povezave med začasno izbranimi alternativnimi konstrukcijskimi elementi ali pa brišejo relacije med začasno zavrnjen- imi, t. i. izločenimi elementi znotraj defin- irane superstrukture. • Mešane linearne omejitve Ky + L(dcn) ≤ k definirajo zvezne dimenzije za vsak obstoječi konstrukcijski element. Prostor je definiran samo, kadar obstaja ustrezen konstrukcijski element (y e =1), drugače je zavrnjen. • Mešane linearne omejitve Pye + M(dmat) ≤ m definirajo diskretne materiale d mat. Po- samezen diskretni material dmat je defini- ran kot skalarni produkt med vektorjem s, s∈S diskretnih številskih vrednosti al- ternativ materiala q = {q1, q2, q3,..., qs} in vektorjem pridruženih binarnih spremen- ljivk ymat = {y mat1, y mat2,..., y mats}, enačba (1). Izračunana je samo ena vrednost stand- ardnega materiala, ker je vsota binarnih spremenljivk enaka 1, glej enačbo (2); (1) (2)1=∑ ∈Ss mat sy ∑ ∈ = Ss mat ss mat yqd • mešani linearni pogoji Py + N(dst) ≤ n defi- nirajo standardne dimenzije dst. Posamez- na standardna dimenzija d st je definirana kot skalarni produkt med vektorjem j, j∈J alternativ standardnih dimenzij q = {q1, q2, q3,..., qj} in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk yst = {y st1, y st2, y st3,..., y stj}, glej enačbo (3). Samo ena diskretna vrednost je lahko izbrana za posamezno standardno Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016 121 OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP•Tomaž Žula, Stojan Kravanja dimenzijo, ker je vsota vrednosti binarnih spremenljivk enaka 1, enačba (4). (3) (4)1=∑ ∈Jj st jy ∑ ∈ = Jj st jj st yqd Za optimiranje jeklene hale je bil razvit MINLP optimizacijski model FRAMEOPT (FRAME OPTimization). Model je bil razvit na osnovi predstavljene MINLP modelne formulacije me- hanskih superstruktur. Optimizacijski model konstrukcije hale smo zapisali v višjem algebra- jskem modelnem jeziku GAMS (General Alge- braic Modeling System) [Brooke, 1988]. Upo- rabljen optimizacijski model vsebuje masno namensko funkcijo, pogojne (ne)enačbe, celoštevilske in mešane celoštevilske pogo- jne (ne)enačbe, vhodne podatke (konstante) in spremenljivke. V optimizacijskem modelu FRAMEOPT se računajo notranje statične količine in deformacije na ravninskih statičnih modelih za vsak konstrukcijski element pose- bej, glavni okvir, strešno lego, fasadno prečko in fasadni steber. 4.1 Masna namenska funkcija Masna namenska funkcija je definirana kot seštevek produktov površine prečnega prereza IPE- ali HEA-profilov, števila elementov, dolžine elementov in njihove gostote za vsak steber, nosilec, lego, prečko in fasadni steber, enačba 5. AC, AB, AP, AR in AFC predstavljajo površino prečnega prereza IPE- ali HEA-profila za ste- ber, nosilec, lego, prečko in fasadni steber. Hc označuje višino stebra, LB dolžino nosilca ter LTOT dolžino jeklene hale (leg in prečk), HFC pa višino fasadnih stebrov, glej sliko 2. NOFRAME predstavlja število portalnih okvir- jev, NOPURLIN označuje število leg, NORAIL predstavlja število prečk in ρ je prostorninska masa jekla. MASS = 2 . (AC . HC . ρ) . NOFRAME + 2 . (AB . LB . ρ) . NOFRAME + (AP . LTOT . ρ) . NOPURLIN + (A R . L TOT . ρ ) . NORAIL + 2 . (A FC . H FC . ρ ) . NOPURLIN – 1 (5) Enačbe (6)–(11) definirajo izračun števila portalnih okvirjev NOFRAME, števila leg NO- PURLIN, števila prečk NORAIL. Posledično so 4•OPTIMIZACIJSKI MODEL FRAMEOPT PROGRAM FRAMEOPT za optimiranje konstrukcije hale iz standardnih jeklenih vroče valjanih I-profilov Masna namenska funkcija: min z = cTy + ƒ(x) pri pogojih: h(x) = 0 g(x) ≤ 0 By + Cx ≤ b izračun notranjih statičnih količin Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosilnosti (MSN): • odpornost prereza na upogibni moment • nosilnost prereza v tlaku • uklonska nosilnost stebra in fasadnega stebra • nosilnost na strig stebra, nosilca, lege, prečke in fasadnega stebra • nosilnost na bočno zvrnitev stebra • nosilnost na uklon + bočno zvrnitev stebra izračun deformacij Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja uporabnosti (MSU): – kontrola deformacij nosilca, lege, prečke in fasadnega stebra – kontrola vodoravnega pomika okvirja Logične pogojne (ne)enačbe optimiranja topologije: – izračun števila okvirjev, leg in prečk Logične pogojne (ne)enačbe diskretnih materialov: – izračun standardnega materiala Logične pogojne (ne)enačbe standardnih dimenzij: – izračun standardnih prerezov – karakteristike standardnega prereza za steber, nosilec, prečko, lego in fasadni steber (površina, odpornostni moment, vztrajnostni moment, torzijski moment in vbočitveni torzijski moment) Vhodni podatki (konstante): • razpon, način podpiranja, obtežba, faktorji varnosti, elastični modul, prostorninska masa itd. Zvezne spremenljivke: x ∈ X • Neodvisne: višina profila, meja plastičnosti jekla, razdalja med nosilci in legami itd. • Odvisne: geometrijske karakteristike prereza, lastna teža, nosilnost itd. Binarne spremenljivke: y ∈ Y • za izračun topologije, standardnega materiala in jeklenih profilov Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016122 Tomaž Žula, Stojan Kravanja•OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP izračunani medsebojni razmaki med legami ep , prečkami er in fasadnimi stebri ep , glej sliko 2. MINNO frame in MAXNO frame predstavljata najmanjše in največje število portalnih okvir- jev, MINNO purlin in MAXNO purlin predstavljata najmanjše in največje število leg, medtem ko MINNO rail in MAXNO rail označujeta najmanjše in največje število prečk. (6) (7) railrail MAXNONORAILMINNO ≤≤ ∑= n nyNOFRAME frameframe MAXNONOFRAMEMINNO ≤≤ (8) (9) (10) (11) ∑⋅= m myNOPURLIN 2 purlinpurlin MAXNONOPURLINMINNO ≤≤ ∑⋅= r ryNORAIL 2 4.2 Pogojne (ne)enačbe Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja jeklene konstrukcije hale so definirane skladno s standardom Eurokod 3. Razdeljene so v dve skupini: pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosilnosti in pogojne (ne)enačbe mejnega stanja uporabnosti. V optimizacijskem modelu so bile upoštevane naslednje predpostavke: – glavni okvir je bil računan kot bočno podprt ravninski okvir (podprt s strešnimi legami, fasadnimi prečkami in vezmi), glej sliko 1; stebri so preverjeni na tlačnouklonsko odpornost okoli obeh osi in na zvrnitev, nosilci pa na upogibni moment v ravnini okvirja (zvrnitev zaradi vodoravnega pod- piranja s strešnimi vezmi ni merodajna), – uklonske dolžine stebrov so računane za nepomično uklonsko obliko okvirja v rav- nini okvirja (uklon okoli osi y -y), v pravo- kotni smeri so enake vertikalnemu razmaku med fasadnimi prečkami (uklon okoli osi z-z), – uklonske dolžine fasadnih stebrov so računane okoli šibkejše osi z-z, – v skladu z Eurokodom 3, del 1-1, poglavje 6.3.4, smo za preverjanje nosilnosti elemen- tov ravninskih okvirjev uporabili enačbo (6,66), kjer ni treba računati interakcijskih faktorjev. V nadaljevanju so prikazane le nekatere pomembnejše pogojne (ne)enačbe. L T OT L e e f f e pe e f e f e f f H f T O T r e r e r e b w,ct f, c t Cb z B f,t C h y y B B htw, B z Slika 2•Konstrukcija jeklene hale Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosil- nosti: • Odpornost proti upogibnemu momentu nosilca, stebra, lege, prečke in fasadnega stebra: (12) (13) 0 , M yel Rdel fW M γ ⋅ = , 1 , M y Rdb fA N γ χ ⋅ = , RdelEd MM ,≤ kjer je MEd računski upogibni moment, Mel,Rd je elastična upogibna odpornost prereza, ƒy je meja plastičnosti jekla, Wel je elastični od- pornostni moment in γM0 je faktor varnosti. • Odpornost na osno silo prereza nosilca, stebra in fasadnega stebra: 0 , M y Rdpl fA N γ ⋅ = , (14) (15) kjer je NEd računska osna sila, Npl,Rd je plastična odpornost prereza na osno silo, A je površina prereza, γM0 je varnostni faktor. • Uklonska nosilnost stebra in fasadnega stebra: Rdpled NN ,≤ (16) (17) RdbEd NN ,≤ kjer je Nb,Rd uklonska odpornost elementa, χ je brezdimenzionalni koeficient uklonske nosilnosti in γM1 je faktor varnosti. • Odpornost proti strižni sili prereza nosilca, stebra, lege, prečke in fasadnega stebra: (18) (19) kjer je VEd računska strižna sila, Vpl,Rd je plastična strižna odpornost prereza, Av je strižna površina. • Interakcija med osno silo in upogibnim mo- mentom: 0 , 1 3 M y vRdpl f AV γ ⋅⋅= , (20) • Interakcija med uklonsko nosilnostjo in nosilnostjo na bočno zvrnitev: (21) (22) kjer je χy brezdimenzionalni koeficient uklon- ske nosilnosti okoli osi y-y, χz je brezdimen- zionalni koeficient uklonske nosilnosti okoli osi z-z in χLT je brezdimenzionalni koeficient pri bočni zvrnitvi. Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja upo- rabnosti: RdplEd VV ,≤ 0,1 // 11 ≤ ⋅⋅ + ⋅⋅ MyelLT Ed Myz Ed fW M fA N γχγχ , 0,1 ,, ≤+ Rdel Ed Rdpl Ed M M N N 0,1 // 11 ≤ ⋅⋅ + ⋅⋅ MyelLT Ed Myy Ed fW M fA N γχγχ Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016 123 OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP•Tomaž Žula, Stojan Kravanja 250 ,3 TOT FS H w ≤ , • Preveritev upogibkov nosilca, lege, prečke in fasadnega stebra (23) (24) (25) 200 max, f ef e w ≤ 250 ,3 f ef e w ≤ 200 max, f Lf L w ≤ 250 ,3 f Lf L w ≤ kjer je wmax,Lf navpični končni upogibek nosilca, wmax,ef je navpični končni upogibek lege in prečke, w3,lf je navpični upogibek nosilca, w3,ef je navpični upogibek lege in prečke za spremenljivo obtežbo ter w3,FS je vodo ravni upogibek fasadnega stebra kot posledica spremenljive obtežbe. • Preveritev vodoravnih pomikov portalnega okvirja: (26) kjer je HC višina stebra. 150 CH≤∆ , 5•OPTIMIRANJE Diskretno MINLP optimiranje lahko rešujemo v splošnem z naslednjimi MINLP metodami in algoritmi: metoda posplošene Bendersove dekompozicije (Generalized Benders Decom- position method) [Geoffrion, 1972], metoda razširjenega rezanja ravnine (Extended Cut- ting-Plane method) [Westerlund, 1998], algo- ritem vejanja in omejevanja (Branch and Bound algorithm) [Tawarmalani, 2004] in algoritem zunanje aproksimacije (Outer Appro- ximation algorithm) ([Duran, 1986], [Kocis, 1987]). Optimiranje konstrukcije jeklene hale je iz- vedeno z modificiranim algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ER), [Kravanja Z. ,1994]. Algoritem OA/ER je bil razvit iz metode zunanje aproksimacije (Outer-Approximation, OA) [Duran, 1986] z namenom, da bi bilo v MINLP problemih možno eksplicitno izraziti tudi pogojne enačbe h(x) = 0, česar OA-metoda ni omogočala. Modificirani OA/ER-algoritem izmenično rešuje zaporedje optimizacijskih podproblemov neli- nearnega programiranja (NLP) in glavnih pro- blemov mešanega celoštevilskega linearnega programiranja (MILP), glej sliko 3. Reševanje posameznega NLP podproblema predstavlja optimiranje zveznih parametrov konstrukcije hale pri držani topologiji, standardnih ma- terialih in standardnih dimenzijah. Rešitev posameznega NLP podproblema predstavlja trenutno zgornjo mejo namenski funkciji, ki jo minimiziramo. Rešitev posameznega MILP glavnega problema pomeni spodnjo mejo namenski funkciji. MILP vsebuje globalno li- nearno aproksimacijo superstrukturnih alter- nativ in identificira novo topologijo, standardne materiale in nove standardne dimenzije, tako da spodnja meja ne preseže najboljše zgornje meje. Izmenično reševanje zaporedja NLP pod- problemov in MILP glavnih problemov se pri konveksnih problemih ustavi, ko napovedana spodnja meja preseže najboljšo zgornjo mejo. Nekonveksni problemi so izračunani, kadar se vrednost NLP podproblemov več ne izboljšuje. OA/ER-algoritem zagotavlja za konveksne in kvazikonveksne optimizacijske probleme rešitev globalnega optimuma. Pri obsežnih nekonveksnih in nelinearnih MINLP problemih z velikim številom diskretnih odločitev je v splošnem zelo težko doseči optimalno rešitev. Zato uporabimo trifazno MINLP strategijo, kjer opravimo optimiranje v treh zaporednih fazah, kar pospeši konver- genco OA/ER-algoritma oz. omogoči izračun rezultata: • Reševaje MINLP problema se začne s prvim NLP-jem, kjer so vse spremenljivke zvezne (tudi topologija, material in dimen- zije). Dobljeni rezultat predstavlja prvo do- bro začetno točko za nadaljnje diskretno optimiranje. STOP Superstruktura Kombinirano optimiranje Podproblem Zvezno optimiranje Diskretno optimiranje Glavni problem Nove binarne spremenljivke Konvergenca ? DA NE MILP Držane binarne spremenljivke NLP MINLP Slika 3•Koraki OA/ER-algoritma Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016124 Tomaž Žula, Stojan Kravanja•OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP • V drugi fazi optimiramo topologijo in stan- dardne vrednosti materiala, pri čemer so standardne dimenzije prečnih prerezov trenut no še vedno relaksirane kot zvezne spremenljivke. Optimiranje topologije, ma- teriala in zveznih parametrov je rešljivo (manjša kombinatorika problema) in hkrati akumulira dobro globalno linearno aproksi- macijo superstrukture (dobra začetna točka za optimiranje celotnega problema v naslednji fazi). • Ko sta optimalna topologija in material dosežena, se standardne dimenzije prečnih prerezov v tretji fazi vzpostavijo v izračun in sočasno diskretno optimiranje mase kon- strukcije, topologije, materiala in prerezov stebrov, nosilcev, leg, prečk in fasadnih stebrov se nadaljuje, vse dokler ni dosežen optimalni rezultat. Čeprav so pri uporabi povezane trifazne MINLP strategije binarne spremenljivke defi- nirane v enem samem nizu, so v prvi fazi de aktivirane. V drugi fazi aktiviramo samo bi narne spremenljivke, ki so pridružene topološkim in materialnim alternativam. Binar- ne spremenljivke alternativ standardnih dimen- zij takrat začasno deaktiviramo (postavimo na vrednost nič). Te binarne spremenljivke aktiviramo v tretji fazi. Enako velja za logične pogojne (ne)enačbe diskretnih spremenljivk materialov in standardnih dimenzij. Te so v prvi fazi izključene iz modela. V drugi fazi vključimo v optimiranje logične pogojne (ne)enačbe topologije in diskretnih materialov. Logične pogojne (ne)enačbe standardnih di- menzij so v prvi in drugi fazi neupoštevane, v tretji fazi pa vključene v optimiranje. Inicializacijo vhodnih podatkov in spremenljivk izvedemo samo enkrat, na začetku. Dobra stran te strategije je tudi, da binarnih spre- menljivk topologije, materialov in standard- nih dimenzij ni treba inicializirati: prva faza predstavlja zvezno optimiranje brez binarnih spremenljivk, prvi NLP podproblem druge faze vedno pričnemo izvajati v prostoru z nizom samo topoloških in materialnih binarnih spre- menljivk, medtem ko tretjo fazo začnemo reševati z MILP glavnim problemom polnega niza vseh definiranih binarnih spremenljivk za sledeči NLP. Omenjena povezana trifazna strategija zagotavlja rešitev globalnega opti- muma za konveksne in kvazikonveksne opti- mizacijske probleme. Optimizacijski model lahko vsebuje več sto (v določenih primerih tudi več tisoč) binar- nih 0-1 spremenljivk. Večina je dodeljena standardnim dimenzijam. Zato je bila raz- vita specialna procedura presejevanja alter- nativ, ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljivi nivo, kar nato omogoči normalno rešitev MINLP problema. Optimizacija v tretji fazi vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke, ki določajo vrednosti topologije, materialov in standardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti, dobljenih v pred- hodni MINLP fazi. V računskem primeru je predstavljeno sočasno optimiranje mase, topologije, materiala in standardnih profilov jeklene hale dolžine 100 metrov (LTOT), širine 20 metrov (Lf) ter višine 10,50 metra (HTOT), glej sliko 4. Konstrukcija je sestavljena iz nepomičnih jeklenih portalnih okvirjev, na katere so pritrjeni lege, prečke in fasadni stebri. 5 % naklon strešine povzroči nadvišanje nosilca okvirja (f ) 0,50 metra. Konstrukcija je obtežena z lastno težo konstrukcije, s kritino, fasadno oblogo in spremenljivo obtežbo, kar predstavlja karakteristično obtežbo. Lastna teža kritine znaša mr = 0,20 kN/m2, fasadna obloga pa mf = 0,15 kN/m2. Spremenljiva obtežba sn = 2,50 kN/m2 (sneg) in wh = 0,5 kN/m2 (vodoravni veter) sta definirani v modelu kot vhodna podatka. Projektna obtežna kom- binacija za mejno stanje nosilnosti je 1,35 · lastna teža + 1,5 · sneg + 1,5 · 0,6 · vodoravni veter, medtem ko za mejno stanje uporab- nosti znaša 1,0 · lastna teža + 1,0 · sneg + 1,0 · 0,6 · vodoravni veter. Tako vodoravna kot navpična enakomerna zvezna linijska obtežba na nosilec se avtomatsko izračunavata med optimiranjem glede na trenutno izračunani razmak med okvirji. Definirana superstruktura jeklene hale pred- stavlja množico različnih topoloških/kon- strukcijskih alternativ, dobljenih s kombinacijo 6•RAČUNSKI PRIMER Slika 4•Globalna geometrija hale različnega števila okvirjev (največ 70), leg (največ 50) in prečk (največ 20). Superstruk- tura vsebuje mešan izbor standardnih pre- rezov za vsak element posebej, vroče valjanih HEA-prerezov (od HEA 100 do HEA 1000) in vroče valjanih IPE-prerezov (od IPE 80 do IPE 600). V superstrukturo so vključena tudi kon- strukcijska jekla (S235, S275 in S355). Tako je za vsak standardni prerez dodeljen vektor diskretnih številčnih vrednosti – alternativ q. Na primer: vektorji diskretnih alternativ višine prečnega prereza qihC, qjhB, qkhP, qlhR, qphFC za vsako Lf = 20,0 m H T O T = 1 0 ,5 0 m h = 1 0 ,0 m f = 0 ,5 0 m LT O T = 10 0, 0 m Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016 125 OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP•Tomaž Žula, Stojan Kravanja skupino konstrukcijskih elementov. Stebri in fasadni stebri predstavljajo prvo skupino el- ementov, kjer poteka izbor izmed 24 različnimi vroče valjanimi HEA-profili (od HEA 100 do HEA 1000) za vsak element posebej: qihC = qphFC = {9,6; 11,4; 13,3; 15,2; 17,1; 19,0; 23,0; 25,0; 27,0; 29,0; 31,0; 33,0; 35,0; 39,0; 44,0; 49,0; 54,0; 59,0; 64,0; 69,0; 79,0; 89,0; 99,0} Nosilci, lege in prečke so druga skupina ele- mentov, kjer poteka izbor izmed 18 različnimi vroče valjanimi IPE-profili (od IPE 80 do IPE 600) za vsak element posebej, prikazani so vektorji diskretnih alternativ višine prečnega prereza: qjhB = qkhP = qlhR = {8,0; 10,0; 12,0; 14,0; 16,0; 18,0; 20,0; 22,0; 24,0; 27,0; 30,0; 33,0; 36,0; 40,0; 45,0; 50,0; 55,0; 60,0} Superstrukturo tako sestavlja (n) možnih alter- nativ portalnih okvirjev, n∈N, N = {1,2,3,…,70}, (2m) sodih alternativ leg, m∈M, M = {1,2, 3,…,25} in (2r) sodih alternativ prečk, r∈R, R = {1,2,3,…,10}, ki dajejo 70 · 25 ·10 =17500 različnih topolških alternativ. Z različnimi: – s alternativami standardnega materiala, s∈S, S = {1,2,3}, – i alternativami standardnega HEA-prereza stebra, i∈I, I = {1,2,3,…,24}, – j alternativami standardnega IPE-prereza nosilca, j∈J, J = {1,2,3,…,18}, – k alternativami standardnega IPE-prereza lege, k∈K, K = {1,2,3,…,18}, – l alternativami standardnega IPE-prereza prečke, l∈L, L = {1,2,3,…,18} in – p alternativami standardnega HEA-prereza fasadnega stebra, p∈P, P = {1,2,3,…,24} je skupno definiranih n · m · r · s · i · j · k · l · p = 70·25·10·3·24·18·18·18·24 =1.7635968·1011 različnih konstrukcijskih alternativ. Za optimiranje je bil uporabljen predlagani MINLP optimizacijski pristop. Namen opti- miranja je bil najti najmanjšo možno maso konstrukcije, optimalno topologijo (optimalno število okvirjev, leg in prečk), optimalno trd- nost jekla in optimalne standardne profile elementov. Optimiranje je bilo opravljeno s programskim paketom MIPSYN, ki je bil izpeljan iz pro- gramov PROSYN [Kravanja Z., 1994] in TOP [Kravanja S., 1992]. Reševanje MINLP prob- lema hale je bilo opravljeno s trifaznim optimi- ranjem in z modificiranim OA/ER-algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb. Za reševanje NLP podproblemov je bil uporabljen program CONOPT2 [Drudd, 1994] (splošna metoda reduciranih gradientov), za reševanje MILP glavnih problemov pa Cplex 7.0 [Cplex] (metoda vejanja in omejevanja). Uporabljena je bila povezana trifazna MINLP strategija. Za prvim zveznim NLP (inicializa- cija), ki predstavlja prvo fazo, drugo fazo nadaljujemo z diskretnim optimiranjem topo- logije in standardnih materialov, medtem ko standardne dimenzije začasno sprostimo v zvezne spremenljivke, glej konvergenco modificiranega OA/ER-algoritma, pregled- nica 1. Na tej stopnji koristimo samo vek- torje binarnih spremenljivk topologije in stan- dardnih materia lov yn , ym , yr in ys , pogojne (ne)enačbe strukturne analize in logične pogojne (ne)enačbe. Ko sta izračunana opti malna topologija in standardni mate- rial (142,83 tone pri 3. MINLP iteraciji, vsi naslednji rezultati so slabši), račun nadalju- jemo s tretjo fazo, kjer vzpostavimo izračun standardnih dimenzij. V tej fazi so v optimiza- cijo vključeni vektorji binarnih spremenljivk yi , yj , yk , yl in yp standardnih profilov stebrov, nosilcev, leg, prečk in fasadnih stebrov kakor tudi logične pogojne neenačbe standardnih dimenzij. Končni optimalni rezultat 153,35 tone je bil dobljen v 5. glavni MINLP iteraciji (vsi naslednji rezultati so bili slabši). Optimalni rezultat predstavlja omenjeno najmanjšo izračunano maso konstrukcije 153,35 tone, dobljeno pri optimalnem številu 19 portalnih okvirjev, 12 legah in 10 prečkah, MINLP Iteracija MINLP Podfaza Rezultat Topologija Standardni prerezi [cm2] Masa [ton] Okvirji Lege Prečke Steber Nosilec Lega Prečka Fasadni steber Faza 1: zvezno optimiranje 1. 1.NLP 140,68 17,45 10,01 10,00 177,13 156,59 26,45 20,26 86,28 Faza 2: diskretno optimiranje topologije in standardnih materialov 2. 1.MILP 325,05 20 12 10 165,29 138,30 17,24 15,59 74,16 2.NLP 144,00 168,97 147,30 19,32 16,45 76,41 3. 2.MILP 3335,27 18 12 10 176,33 151,41 22,44 20,15 77,53 3.NLP 142,83 175,33 154,56 22,16 19,30 76,41 4. 3.MILP 331,91 19 12 10 172,91 147,46 21,78 17,95 77,53 4.NLP 143,27 172,04 150,78 2064 17,77 76,41 Faza 3: diskretno optimiranje topologije, standardnih materialov in standardnih dimenzij 5. 4.MILP 341,08 19 12 10 178,00 156,00 23,90 20,10 86,80 5.NLP 153,35 H 450 I 600 I 180 I 160 H 260 6. 5.MILP 359,93 20 12 10 178,00 156,00 23,90 20,10 86,80 6.NLP 158,59 H 450 I 600 I 180 I 160 H 260 Preglednica 1: Konvergenca modificiranega OA/ER-algoritma Standardni material S355 je bil izbran za steber, nosilec, lego, prečko in fasadni steber. Oznaka H v preglednici 1 pomeni vroče valjani HEA-prerez. Oznaka I v preglednici 1 pomeni vroče valjani IPE-prerez. Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016126 Tomaž Žula, Stojan Kravanja•OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP glej sliko 5, pri izračunanih optimalnih stan- dardnih profilih stebrov (HEA 450), nosilcev (IPE 600), leg (IPE 180), prečk (IPE 160) in fasadnih stebrov (HEA 260) ter pri mate- rialu S355, glej sliko 6. Dobljena optimalna masa jeklene konstrukcije 153,35 tone je bila izračunana pri 19 nepomičnih glavnih/portal- nih okvirjih (αcr ≥10), sestavljenih iz stebrov prereza HEA 450 in lomljenih nosilcev (dvo- kapnica) IPE 600. Za primerjavo smo izvedli tudi optimizacijo mase jeklene konstrukcije hale, ki bi bila sestavljena iz pomičnih portal- nih okvirjev (αcr <10). Izračunana optimalna masa konstrukcije hale bi bila v tem primeru za 7 % večja kot pri hali z nepomičnimi okvirji: konstrukcijo bi tvorilo 27 pomičnih portalnih okvirjev, sestavljenih iz stebrov HEA 400 in nosilcev IPE 500. V tretji fazi je bilo zelo težko doseči optimalni rezultat, saj je število definiranih konstrukcijskih alternativ zelo visoko: 1.7635968·1011. Zato je bila uporabljena posebna strategija prese- jevanja alternativ, ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljivi nivo. V tretji fazi optimiranje vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke, ki določajo vrednosti topologije, standardnih materialov in stan- dardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti, dobljenih v drugi MINLP fazi. Upo- rabljene so bile samo 3 binarne spremenljivke (1 pod in 2 nad izračunano vrednostjo iz 2. faze) za topologijo, steber, nosilec, lego, prečko in fasadni steber posebej. Tako smo zmanjšali število 245 binarnih spremenljivk na vsega 27 binarnih spremenljivk. Število 1.7635968 ·1011 konstrukcijskih alternativ se je znatno zmanjšalo na i · j · k · l · n · m · p · r · s = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =19683 alternativ, kar je bistveno izboljšalo učinkovitost iskanja rešitve. Slika 5•Optimalna konstrukcija jeklene hale Slika 6•Optimalna konstrukcija okvirja V prispevku smo predstavili optimiranje mase, topologije, diskretnih materialov in standar dnih dimenzij jeklene konstrukcije 7•SKLEP hale. Optimira nje je bilo opravljeno z metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega pro- gramiranja MINLP. Predstavili smo teoretični opis pro blema kot tudi praktični primer opti- miranja hale. Z računskim primerom smo pokazali, da je metoda MINLP primerna za reševanje diskretno zveznih optimizacijskih problemov konstrukcij hal. Brooke, A., Kendrick, D., Meeraus, A., GAMS, A User’s Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. CPLEX User Notes, ILOG inc. 2014. Drudd, A. S., CONOPT, A Large-Scale GRG Code, ORSA J. Comput., 6, 207-216, 1994. 8•LITERATURA 10 x 2,0 m 20,0 m IPE 600 H E A 4 5 0 IPE 180 1 0 ,5 0 m 0 ,5 0 m H E A 4 5 0 IPE 600 4 x 2 ,5 0 m IPE 160 10 x 2,0 m 18 x 5,5 5 m 10 0,0 m 1 0 ,0 m 4 x 2 ,5 0 m 0 ,5 0 m 20,0 m 1 0 ,5 0 m Gradbeni vestnik • letnik 65 • junij 2016 127 OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE JEKLENE HALE Z MINLP•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Duran, M. A., Grossmann, I. E., An outer approximation method for a class of mixed-integer nonlinear programs, Math. Program., 36, 307–339, 1986. EN 1993-1-1, Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings Design of steel structures, European Committee for Stan- dardization, Brussels, 2005. Geoffrion, A. M., Generalized benders decomposition, J. Optim. Theory, 10, 237–262, 1972. Guerlement, G., Targowski, R., Gutkowski, W., Zawidzka, J. and Zawidzki, J., Discrete minimum weight design of steel structures using EC3 code, Struct. Multidisc. Optim., 22, 322-327, 2001. Kocis G. R., Grossmann I. E., Relaxation strategy for the structural optimization of process flow-sheets, Ind. Eng. Chem. Res., 26, 1869, 1987. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., Faith, S., Simultaneous Topology and Parameter Optimization of Mechanical Structures, Numerical Methods in Engineering ‘92, Proceedings of the First European Conference on Numerical Methods in Engineering, ed. Ch. Hirsch et al., pp. 487–495, Elsevier, Amsterdam, 1992. Kravanja, Z., Grossmann, I. E., New Developments and Capabilities in PROSYN - An Automated Topology and Parameter Process Synthesizer, Computers chem. Eng., 18, 1097–1114, 1994. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part I: A general view on simultaneous topology and parameter optimization, Int. J. Numer. Methods Eng., 43, 263–292, 1998a. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part II: Simultaneous topology, parameter and standard dimension optimization by the use of the Linked two-phase MINLP strategy, Int. J. Numer. Methods Eng., 43, 293–328, 1998b. Kravanja, S., Žula, T., Cost optimization of industrial steel building structures, Advances in engineering software, 41(3), 442–450, 2010. Kravanja, S., Turkalj, G., Šilih, S., Žula, T., Optimal design of single-story steel building structures based on parametric MINLP optimization, Journal of Constructional Steel Research, 81, 86–103, 2013. McKinstray, R., James, B. P., Lim, Tiku, T., Tanyimboh, Duoc, T., Phanc, W., S., Optimal design of long-span steel portal frames using fabricated beams, Journal of Constructional Steel Research, 104, 104–114, 2015. McKinstray, R., James, B. P., Lim, T., Tanyimboh, D., T., Phanc, W., S., Comparison of optimal designs of steel portal frames including topological asymmetry considering rolled, fabricated and tapered sections, Engineering Structures, 111, 505–524, 2016. O’Brien, E. J., Dixon, A. S., Optimal plastic design of pitched roof frames for multiple loading, Comput. Struct., 64, 737–740, 1997. Saka, M. P., Optimum design of pitched roof steel frames with haunched rafters by genetic algorithm, Comput. Struct., 81, 1967–1978, 2003. Tawarmalani, M., Sahinidis, N. V., Global optimization of mixed-integer non-linear programs: A theoretical and computational study, Math. Program., Ser. A 99, 563–591, 2004. Westerlund, T., Petterson, F., An extended cutting plane method for a class of non-convex MINLP problems, Comput. Chem. Eng., 22 (Suppl.), 357, 1998.