UDK (UDC) 528.236.088.2 513.75 061.3(497.12):528 Geodetski dan„1993" VPLIV POGREŠKA ENE TOČKE v NA NATANCNOST AFINE TRANSFORMACIJE mag. Miljenko Lapaine prof dr. Nedjeljko Frančula Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu Prispelo za objavo: 20.8.1993 Izvleček Afina transformacija je določena s tremi pari pridruženih· točk V prispevku raziskujemo vpliv pogreška ene od teh točk na porazdelitev napak afine transformacije. Ključne besede: afina transformacija, Bled, Geodetski dan, natančnost transformacije, 1993 Abstra.ct Let the ajfine transformation be defined by three pairs of corresponding points. The paper investigates the influence of the error of one of these points on the error distribution of the ajfine transf ormation. Keywords: accuracy of transformation, ajfine transformation, Bled, Geodetic workshop, 1993 UVOD Ena najenostavnejših in najpogosteje uporabljanih transformacij v geodeziji in kartografiji je afina transformacija. Le-ta se lahko razume tudi kot aproksimacija poljubne funkcije in bo tem boljša, kolikor manjše bo zajeto območje za transformacijo. Enačbi afine transformacije se lahko napišeta v obliki: x 1 = a2y + b2 x + c2 (1.1) kjer so (y, x) in (y', x') koordinate točke in njene slike v dveh koordinatnih sistemih, a1, b1, c1, a2, b2, c2 pa so parametri transformacije. Teh šest parametrov se najpogosteje določi z uporabo metode najmanjših kvadratov, tedaj pa se lahko izvedejo tudi ustrezne formule za oceno točnosti samih parametrov, kot tudi za oceno točnosti transformiranih koordinat. Lapaine in Frančula (1990) sta dokazala obstoj zakonitosti delitve srednjih kvadratnih pogreškov koordinat po izvedeni afini transformaciji. Najmanjši srednji pogrešek ima težišče množice točk, ki definira transformacijo, vse točke z enakimi srednjimi pogreški ležijo na koncentričnih elipsah s središčem v težišču. Geodetski vestnik 37 (1993) 3 v ce predpostavimo, da so podani samo trije pari pridruženih točk (x;, y;), (x: , y;), i = l, 2, 3 (1.2) tedaj lahko na podlagi (1.1) napišemo šest linearnih enačb (1.3) , X;= a2y; + b2x; + c2 s šestimi neznanimi parametri a1, b1, c1, a2, b2, ~- Rešitev sistema (1.3) se lahko napiše v obliki p3 a2 =Po, C3 = Y~ - a1Yo - b1Yo, Cz = x~ - a2Yo - b2Yo, če je P0 različno od ničle in ob uvedbi naslednjih oznak: Po = CY1 - Yz)(x2 - X3) - CY2 - y3)(x1 - Xz) P1 = (y; - y;)(Xz - X3) - (y; - y;)(x1 - X2) P2 = CY1 - Yz)(y; - y;) - CY2 - y3)(y; - y;) P3 = (x; - x;)(x2 - x3) - (x; - x;)(x1 - x2) P4 = CY1 - Y2)(x; - x;) - CY2 - y3)(x; - x;) Y1 + Y2 +y3 Yo = 3 , ' ' , ' ' ' Y1 + Y2 +y3 Yo = 3 X1 + X2 +X3 Xo = 3 (1.4) (1.5) Pogoju Po :;z: O se lahko pripiše geometrično tolmačenje, to pa je zahteva, da tri točke (xi, Yi), i = 1, 2, 3, ne pripadajo isti premici. O uporabi afine transformacije na trikotnih površinah je pisal Jenko (1993). VPLIV POGREŠKA ENE OD DANIH TOČK NA AFINO TRANSFORMACIJO Predpostavimo, da ima ena od danih točk, na osnovi katerih se določajo parametri afine transformacije, napačne koordinate. Vzemimo, da so (y3', x3') njene točne koordinate, (y3' + ~y3', x3' + ~ 3') pa napačne koordinate. V kolikor se parametri afine transformacije določajo iz napačnih koordinat tretje točke, se dobijo vrednosti za parametre, ki se razlikujejo od pravih vrednosti (1.4) za naslednje vrednosti: Geodetski vestnik 37 (1993) 3 "b _ Y1 - Yz ",,' il 2--p-;-LU3 (2.1) Če izvajamo afino transformacijo s parametri a1 + 1'.a1, b1 + 1'.b1, c1 + 1'.c1, a2 + 1'.a2, b2 + 1'.b2, c2 + 1'.c2 namesto z a1, b1, c1, a2, b2, c2, - tedaj se bodo transformirane koordinate razlikovale za: , 1'.y = 1'.a1y + 1'.b1x + 1'.c1 = = {A [ (x1 - Xz)(Y - Yo) - CY1 - Yz)(x - Xo)] + ½} 1'.y; = 1 . . = [ (x1 - Xz)(Y - Y1) - CY1 - Yz)(x - X1)] 1'.y; (2.2) &' = 1'.azy + 1'.b'J)( + 1'.cz = = {]0[(x1 xz)(Y -yo) - (Y1 -yz)(x -xo)] + ½} &3' = 1 , = p 0 [(x1 - Xz)(Y - Y1) - CY1 - Yz)(x - X1)] &3 Izrazi (2.2) se lahko zapišejo tudi v krajši obliki: (2.3) kjer smo označili: P = (x1 - xz)(Y - y1) - (Y1 - yz)(x - x1) . (2.4) V zadnjem izrazu je P dvojna površina (do na predznak) trikotnika z vrhovi (x1, y1), (x2, y2,) in (x, y). Če označimo: d' = V &'2 + ~y,2 ' tedaj iz (2.3) izhaja relacija , p , d = j 1/P0 j d3 • (2.5) (2.6) lahko ocenimo odstopanje d3° (2.5), ted~j lahko po zadnji formuli za vsako (x, y) določimo njeno odstopanje d od točnega položaja, zaradi Geodetski vestnik 37 (1993) 3 napačnih koordinat točke (x2', y3\ ki je sodelovala pri določanju parametrov transformacije. Iz izraza (2.6) lahko tudi vidimo, da vzdolž premice, ki poteka skozi točki T1 (x1, y1) in T2 (x2, y2), ni odstopanj 1 ker je za točke te premice P =O.Za točke izven premice T1T2 naraščajo odstopanja d proporcionalno z njihovo oddaljenostjo od te premice. Nadalje, linije, vzdolž katerih so odstopanja konstantna - so premice, vzporedne s premico T 1 T 2. Vzdolž premice, ki je vzporedna s premico T 1 T 2 in poteka skozi točko T3, velja naslednje: ' d =d, (2.7) ker za točke te premice velja P = P0. Na podlagi relacije (2.3) dobimo t,,,y' t,,,y~ -----, = ---r !-,,x 6.X3 (2:8) in iz tega sklepamo, ~a s,o vsa odstopanja v isti smeri, ki je določena s smerjo odstopanja točke (y3 , x3 ). PRIMER Predpostavimo, da želimo digitalizirati list 55 pregledne topografske karte, izdelane v merilu 1:500 000 v Lambertovi konformni konusni projekciji z dvema standardnima vzporednikoma