114-^7 Georg Freyherrn von Vega, Landes-Mitstands des Herzogthums Kram, Ritters des Militär. M. TH. Ordens, Oberstlieutenants des k. k. vierten Feldartillerie - Regiments, Mitglieds der gelehrte» Gesellschaften der Wissenschaften zu Berlin, Erfurt, Göttingen und Prag, Vorlesungen über die Mathematik sowohl überhaupt zu mehrerer Verbreitung mathematischer Kenntnisse in den k. k. Staaten, als auch insbesondere zum Gebrauche des k. k. Artillerie-Corps. von Siebente Auflage. Durchgesehen, verbessert und vermehrt Wilhelm Malika, Zweyter Band, d i c theoretische und praktische Geometrie, die geradlinige und sphärische Trigonometrie, die höhere Geometrie, und die Infinitesimal-Rechnung iss 2iri Unterlieutenant und Lehrer der höheren Mathematik im k. k. Bombardier-Corps. MitlKKupfertafeln. Wien, 1835. Verlag von F° Tendler, Buchhändler. 114587 Gedruckt bei I. P. Sollinger. Borre d e zur siebenten Auflage. sehr auch die von dem rühmlichst bekannten Freyherrn von Vega herausgegebenen Lehrbücher der Mathematik die ihnen allgemein zu Theil geworde¬ nen Vorzüge vor vielen anderen gleichzeitig er¬ schienenen Schriften dieser Art verdienten: so wenig vermochten sie, bey den raschen Fortschritten der mathematischen und physikalischen Wissenschaften, diesen Vorrang gegen die vorzüglichen Werke neuerer Mathematiker zu behaupten, welche durch die Be¬ stimmtheit der Begriffe, durch die Strenge der Be¬ weise, durch die logische Ordnung in der Behand¬ lung der Materien, durch die Präcision und Ele¬ ganz ihrer Rechnungsweisen vor den alteren sich auszeichnen. Dieses veranlaßte den mit der Leitung der im k. k Bombardier - Corps bestehenden Ar« tillerie - Schule beauftragten Herrn Hauptmann l>roft.>880i- m3tli68608 Anton Fink, im Einverständ¬ nisse mit dem Herrn Verleger, mich aufzufordern, die Revision der gegenwärtigen Auflage des zweyten Bandes der von Vega zunächst für die k.k. Artillerie bestimmten Vorlesungen über die Mathematik zu besorgen und die nothwendigsten, mit dem Geiste IV und der Tendenz dieses Werkes vereinbaren, Ver¬ besserungen nach Thunlichkeit vorzunehmen. Dem gemäß habe ich diesen Band sorgfältig durchgelesen, theils einzelne Stellen verbessert, Heils ganze Paragraphe, Abschnitte und Hauptstücke neu verfaßt; nahmentlich habe ich die ebene und sphä¬ rische Trigonometrie mit ihren Anwendungen, die Differenzial- und Integral-Rechnung einer voll¬ ständigen Ueberarbeitung unterzogen. Dabey sah ich mich jedoch an vielen Puncten genöthiget, manche wesentliche Verbesserungen und Vermehrungen auf¬ zugeben, theils weil sie sich mit den in dem Lehr¬ buche vorherrschenden Ansichten nicht in Einklang bringen ließen, theils weil — um nicht den Preis desselben zu steigern — weder die Bogenzahl an¬ sehnlich vergrößert, noch die Kupfertafeln bedeutend abgeändert werden durften- Ich enthalte mich der ausführlichen Aufzählung meiner Leistungen, da prüfende Kenner diese leicht selbst aufzusinden und zu würdigen vermögen. Sollte ich auch nicht an jeder Stelle ihres Beyfalls mich erfreuen dürfen, so hoffe ich doch von den Unbefan¬ genen das offene Zugeständniß, daß die von mir vorgenommenen Aenderungen wahrhafte Verbesserun¬ gen sind und dieser Auflage wesentliche Vorzüge vor den früheren sichern. Wien den 1. September 1834. Wilhelm Matzka. Inhalt. Erstes Hauptstück. Von den Eigenschaften der Linien. I. Abschnitt. S. Vorläufige Einleitung in?die Meßkunst. 841 i II. Abschnitt. Vorder verschiedenen Lage und Stellung der geraden Linien 887 11 III. Abschnitt. Von den Vielecken. 877 S6 IV. Abschnitt Bon den Proportionallinien -. 897 4t V. Abschnitt. Von einigen Aufgaben über die Proportionallinien. 417 6t Zweytes Hauptstück. Von den Eigenschaften der ebenen Flächen. I. Abschnitt. Von der Bestimmungldcs Flächeninhaltes geradliniger Figuren 432 79 II. Abschnitt. VonMerIVcrgleichung und Verwandlung geradliniger Figuren 45S 106 III. Abschnitt. Von der Lage und Stellung der Ebenen ........ 46S 117 Drittes Hauptstück. Won den Eigenschaften der Körper. I. Abschnitt. §. S. Begriffe von den geometrischen Körpern, oder Einleitung in die Stereometrie - 477 127 II. Abschnitt. Don der Ausmessung der Oberflächen der Körper 489 136 III. Abschnitt. Von der Ausmessung des Kubikinhaltes der Körper L01 144 Viertes Hauptftück. .Won der Trigonometrie. I. Abschnitt. Von den trigonometrischen Functionen - - - S3S 175 II. Abschnitt. Von der Auslösung geradliniger Dreyecke 555 215 III. Abschnitt. Von der Auflösung der sphärischen Dreyecke 565 234 IV. Abschnitt. Begriffe von der Erd- und Himmelskugel, nebst Anwendung H derselben auf die Lösung einiger der nützlichsten Auf¬ gaben - - 380 268 Fünftes HauptstüE. Won den Anfangsgründen der pract. Meßkunft. I. Abschnitt. Won der Auflösung der nothwendigsten Aufgaben mittelst der > gebräuchlichsten Meßinstrumente 584 283 II. Abschnitt. Von dem Centriren der Winkel, von der Reduktion der schief geneigten Winkel auf den Horizont, von der Ver¬ besserung der Höhen- und Tiefenwinkel und von dem Unterschiede des wahren und scheinbaren Hori- . ronies . ..... §05 333 Inhalt. VII III. Abschnitt. §. S. Vom Nivelliren 611 343 IV. Abschnitt. Von dem Gebrauche des Barometers bey Höhenmessungen - - 619 853 Sechstes Hauptstück. V o n e i n i gen krümmen Linien. I. Abschnitt. Einleitung - -.620 868 II. Abschnitt. Von den Kegelschnittslinien 626 379 III. Abschnitt. Von einigen transcendenten und höheren algebraischen krum¬ men Linien . 671 436 Siebentes Hauptstück- Von der Differenzial - Rechnung. I. Abschnitt. Anfangsgründe der Differenzial - Rechnung ....... 675 450 II. Abschnitt. Anwendung der Differenzial-Rechnung in der Analysis-- - 683 477 III. Abschnitt. Anwendung der Differenzial-Rechnung auf die Geometrie - - 698 521 Achtes Hauptstück. Von der Integral-Rechnung. I. Abschnitt. Anfangsgründe der Integral - Rechnung und die Entwickelung der Grundregeln derselben. 709 565 II. Abschnitt. Integration binomischer Differenzialformeln 720 583 III. Abschnitt. Bon der Integration ter trinomischen Differenzialformeln - ' 73 1 688 VIII Inhalt. IV. Abschnitt. §. S. Verwandlung einiger sehr merkwürdigen irrationalen Differen¬ ziale in eine rationale Gestalt 733 6ZS V. Abschnitt. Integration der merkwürdigsten exponentiellen, logarithmischen und trigonometrischen Differenziale. Entwickelung der Integrale in Reihen - -. 74t 643 VI. Abschnitt. Won der Integration der höhern Differenziale, der Differen- zialformeln mehrerer Veränderlichen und der Diffe¬ renzialgleichungen . 751 6S8 VH. Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung auf die Bestimmung deS Flächeninhaltes krummliniger Figuren, auf die Rektifi¬ kation der krummen Linien und auf die Berechnung der Oberfläche und des Kubikinhaltes der Körper- - 7S3 677 VIII. Abschnitt. Auflösung einiger Aufgaben, welche auf Differenzialgleichun¬ gen mit zwey Veränderlichen führen 766 694 Anhang. I. Birjrichniß der merkwürdigsten goniometrischen Formeln für den Halbmesser 1 ^ . . — 703 II. Tafel zur Bestimmung der Länge der Kreisbogen für den Halbmesser 1 . 713 Erstes Hauptstück. Bon den Eigenschaften der Linien. I. Abschnitt. Vorläufige Einleitung in die Meßkunst. §. 341. ^tätige Troßen (quantitates contimE) werden diejenigen genannt, welche aus ununterbrochen aneinander hängenden Thei- len bestehen. Die Wissenschaft, welche sich mit der Vergleichung undj Ausmessung der stätigen Größen beschäftiget, heißt Geome¬ trie oder auch Neßkunst. Die stätigen Größen werden in drey Hauptgattungen in Rorper, Flächen und Linien abgetheilet. Ein Körper (soiiäum) heißt im mathematischen Verstände eine begrenzte Ausdehnung in die Länge, Breite und Tiefe oder Dicke. In lkix. 1. ist ein solcher Körper abgebildet, den man einen Wür¬ fel nennet. Die Grenzen eines Körpers heißen Flächen (super- Lci68), und sind nichts anders, als bloße Ausdehnungen in die Länge und Breite ohne alle Tiefe oder Dicke; LOkO u. s. w. stellen uns also Flächen vor. Die Grenzen einer Fläche heißen Linien, und sind Ausdehnungen in die bloße Länge ohne alle Breite und Dicke; VL, Öl', u. s. w. stellen uns demnach Linien vor. Die Grenzen, nähmlich der Anfang oder das Ende einer Linie, heißen endlich puncte, die gar keine Lusdeh- Vega Math. n. B. 1 Erstes Hanptstück. bix. nung mehr haben; durch H., L, L, u. s. w. werden also Puncte 1. abgebilder. Mathematische Puncte und Linien können niemahls unseren Sinnen genau vorgestellet werden. Man pflegt in der Aus¬ übung einen Punct auf dem Papiere mit einem kleinen runden Tüpflein, auf dem Felde mit einem Pflocke, oder einem andern beliebigen Merkmahle, und eine Linie auf dem Papiere mit einem feinen Striche, auf dem Felde aber entweder durch eine ausgespannte Schnur, oder auch durch eine schmale und seichte Vertiefung zu bezeichnen. §. 342. Aus dem Begriffe des Punctes, daß er nähmlich ohne alle Ausdehnung ist (§. 341 *), folget, daß er durch seine Bewegung einen Weg oder eine Länge ohne alle Breite und Dicke, das ist, eine Linie beschreibet. Bewegt sich aber eine Linie anders als nach ihrer Richtung z. B. bis L6; so wird der Weg, den sie durchläuft, zwey Ausdehnungen haben, und folglich eine Fläche sepn. Bewegt sich endlich eine Fläche anders als nach ihrer Lage z. B. bis in so wird der Weg, den sie zurückleget, drey Ausdehnungen haben, und folglich ein Körper seyn. Doch kann man aus diesem keineswegs folgern, daß eine Linie aus Puncten, eine Fläche aus Linien, und ein Körper aus Flächen zusammengesetzt sey; nur soviel ist aus dem bisher Angeführten abzunehmen, daß man in einer Linie überall in ihrer ganzen Ausdehnung nach Belieben Puncte annehmen könne, weil sich in einer Linie überall ihr Anfang oder ihr Ende denken läßt. §. 343. Bleibt die Richtung des Punctes während seiner Bewegung ungeändert; so wird er eine gerade Linie beschreiben, und von einem Orte zu dem andern auf dem kürzesten Wege gelangen. Wird hingegen die Richtung des Punctes während seiner Bewe¬ gung in jedem Augenblicke geändert; so wird er eine krumme Li- *) Die Zurückweisung auf die §§. sowohl des ersten Bandes der 4. Auflage als auch dieses zweyten Bandes werden öfters bloß mit der Nummer derselben ohne das Zeichen bemerket werden. Von den Eigenschaften der Linien. g nie beschreiben. Eine Linie heißt nähmlich gerad oder eine Ge¬ rade, wenn alle ihrcTheile überall dieselbe Richtung haben. Eine Linie aber, die keinen geraden Theil hat, heißt krumm oder eine Rrmnme. §. 344. Eine gerade Linie ^V8 ist demnach die kürzeste Entfernung t'iz. ihrer Endpuncte ^V. und 8. Durch zwey Puncte wird die Richtung 2. oder die Lage einbr geraden Linie bestimmt; und durch zwey Puncte läßt sich nur eine gerade Linib ziehen; weil alle übrige geraden Linien, wenn man sie auch in Gedanken ziehen wollte, mit der ersten übereinfallen, und mit derselben nur immer eine einzige gerade Linie ausmachen würden. Hingegen können durch dieselben zwey Puncte -V. und 8 unzählige krumme - oder auch aus Geraden zusammengesetzte Linien ^V88 , ^88 , ^V.88; ^.08 u. s. w. gezogen werden; jedoch ist jede derselben größer oder länger als die Gerade ^8. Auch ist leicht einzüsehen, daß zwey gerade Linien, die sich durchschneiden, nur einen ein¬ zigen Punct und nicht einen Theil gemein haben. Haben hin¬ gegen zwey Geraden einen Lheil, das ist ein gewisses Stück ebner Geraden gemein: so liegen sie beyde nach einerley Richtung über einander und machen nur eine einzige Gerade aus. §. 345. Eine Fläche, auf der sich durch was immer für zwey Punkte eine gerade Linie dergestalt ziehen läßt, daß sie nach ihrer ganzen Länge auf der Fläche liegt, heißt eine Ebene (planum), ".lle Betrachtungen, die man in der Meßkunst vornimmt, beziehen sich auf eine und dieselbe Ebene, wenn man nicht das Gegen- theil erinnert. §. 346. Ärehet sich nun auf einer Ebene eine gerade Lime VE um 3. einen unbeweglichen Punct 6, bis sie wieder in ihre vorige Lage kommt; so beschreibt der Punct tV. eine in sich selbst zurückkeh- rende krumme Linie ^V.8M8^, bey der jeder Punct ^V, 8, 8, 8, von dem in der Mitte liegenden Puncte 0 gleich weit absteht. Die von dieser krummen Linie eingeschlossene ebene Fläche heißt 1 * 4 Erstes Hauptstück. ein Breis oder Zirkel (circulus) ; der Punkt 6 dessen Mittel- Z. punct (centruin) , und die krumme Linie VIIOssssV der Um¬ kreis (perixkeiia). Jeder Theil VL, VL u. s. w. des Umkreises wird ein Kreisbogen (orcus), jede Gerade zwischen zwey Punc- ten des Umkreises z. B. iXiVl eine Sehne (cborcia) , jede Sehne, welche durch den Mittelpunkt geht, der Durchmesser (ciisineter), jede Gerade zwischen dem Mittelpunkte und dem Umkreise der Halbmesser (raäius) , jeder Theil ULLV des Kreises zwischen zwey Halbmessern und einem Kreisbogen ein Ausschnitt (seo tor) , und endlich jeder Theil LOkW des Kreises zwischen der Sehne und dem Bogen wird ein Rreisabschnttr (sexiuentum) genannt. §. 347. >» Aus dieser Entstehungsart des Kreises folgt: I. Daß alle Halbmesser eines Kreises einander gleich sind; weil der Umfang des Kreises von dessen Mittelpunkte überall gleich weit entfernt ist. II. Daß auch alle Durchmesser eines Kreises einander gleichen; weil jeder Durchmesser nichts anders ist, als die Summe von zwey gleichen Halbmessern. III. Daß gleiche Sehnen in demselben Kreise auch gleiche Bo¬ gen, und umgekehrt, abschneiden. Es sey z. B. die Sehne Lss — UM; so ist auch der Bogen Lss — iVM. Denn man bilde sich nur ein, daß der Abschnitt LI? auf den Abschnitt UM dergestalt geleget werde, daß der Punkt L auf Ul, und ss auf iX zu liegen komme; so werden die Sehnen, weil sie einander gleich sind, und auch die Bogen einander decken, weil alle ihre Punkte von dem Mittelpunkte gleich weit entfernt sind, und ihre Endpunkte über einander fallen; folglich müssen diese Bogen einander gleich seyn. IV. Daß endlich jeder Durchmesser die Kreisfläche und den Um¬ kreis in zwey gleiche Theile theilt. Es sey z. B. VL ein Durch¬ messer; man lege in Gedanken den Theil UiXUV. auf den an¬ dern Theil des Kreises VVLV: so werden sie einander decken, und folglich einander gleich seyn. Von den Eigenschaften der Linien. 5 348. Diese Grundwahrheit: Größen, welche einander decken,^ sind vollkommen gleich; und umgekehrt, vollkommen gleiche z Größen (die nicht anders als durch die Verschiedenheit des Ortes von einander unterschieden werden können, als z. B. gerade Li¬ nien von einerley Länge, Kreise von gleichen Durchmessern u. s.w.) decken einander, wenn sie gehörig auf einander yeleget wer¬ den, nebst den zwey folgenden Forderungssätzen: I. Durch jede zwex gegebene puncte kann eine gerade Linie gezogen, un¬ beiderseits nach Belieben verlängert werden, II. Aus jedem gegebenen Punkte kann mit einem beliebigen Halbmesser ein Lreis beschrieben werden, muß man zu den (12) angeführten Grundsätzen hinzufügen, um daraus die meisten Wahrheiten in der Mathematik herzuleiten. Das erstes nähmlich der Zug und die Verlängerung einer geraden Linie geschehen, auf dem Papiere, oder auf einer andern kleinen ebenen Fläche durch Hülfe des Li¬ neals, und auf dem Felde durch mehrere hinter einander gerade gepflanzte Pflöcke, oder Stangen, die man sodann nach Erfordere niß mit einer Schnur verbindet, und längst derselben die gerade Linie mit einer seichten Vertiefung bezeichnet (traciret). Das zweyte hingegen wird auf dem Papiere durch Hülfe des bekann¬ ten Instrumentes, welches man einen Zirkel nennet, und auf dem Felde durch Hülfe einer Schnur verrichtet, von der man das eine Ende an einen in dem angenommenen Mittelpunkte stehenden Pflock befestiget, und sodann auf der Erde die Linie bezeichnet, die das andere Ende der Schnur während der Umdrehung be¬ schreibet. §. 349. Der Umfang eines jeden großen oder kleinen Kreises wird in 360 gleiche Theile abgetheilet, die man Grade nennet. Jeder Grad wird in 60 gleiche Theile, die Minuten heißen, und jede Minute in 60 Secunden abgetheilet u. s. w. Die Grade, Mi¬ nuten, Secunden, Terzen u. s. w. werden mit (°), Oeffnung mache; so wird auch der Bogen aff dadurch in demsel¬ ben Verhältnisse einmahlkleiner, und einmahl größer werden: *> Die neueren französischen Mathematiker theile» den ganzen Umkreis in vier gleiche Theile, in 4 Quadranten; jeden Quadranten in IVO, Ceev tcsityal-Gradez jeden solchen Grad in 100 Centesimal-Minu¬ ten, und jede solche Minute in 100 Centefimal-Secuuden. Bon de» Eigenschaften der Linien. . 7 das ist, der Bogen ab wird 2, 3, . .. mnahl kleiner oder größer ki°. werden, wenn die Oeffnung 2,3,... mnahl kleiner oder 3. größer wird. Auch ist es gleichgültig, ob man den Kreisbogen mit einem kleinen Halbmesser oder mit einem größeren ^0 be¬ schreibet; weil ein Winkel nicht durch die wirkliche Lange des Bo¬ gens, sondern nur durch die Anzahl Grade desselben, das ist durch dessen Verhältniß zu dem ganzen Umkreise gemessen wird, und weil übcrdieß alle zwischen den Schenkeln und LL aus dem Scheitel 6 beschriebenen Kreisbogen dieselbe Anzahl Grade ent¬ halten müssen, da sie zugleich erzeuget werden, wenn sich der eine Schenkel um den Scheitel drehet. §. 352. Es folgt aus diesem, daß man auf einer Geraden ac aus dem 4. Puncte c einen Winkel acb verzeichnen könne, der einem gegebe¬ nen Winkel ^68 gleich ist, wenn man aus dem Scheitel 6 des gegebenen Winkels zwischen seinen Schenkeln mit einem beliebigen Halbmesser 64. einen Bogen ^4.8, und aus dem gegebenen Puncte c der Geraden ne mit eben demselben Halbmesser einen unbestimm¬ ten Bogen all beschreibet; sodann die Sehne ^4.8 aus dem Puncte a auf den unbestimmten Bogen all aufträgt, und endlich durch den auf diese Art gefundenen Punct b, und durch den gegebenen Punct c eine gerade Linie cb führet. Es kann dieses auch mit Hülfe des bekannten Instrumentes geschehen, welches ein Winkel¬ messer oder Transporteur genannt wird, und aus einem Halb¬ kreise von Messing, ungefähr 3 Zoll im Durchmesser, besteht, dessen Rand in 180 Grade abgetheilet ist. Dieses Instrument dient nicht nur auf dem Papiere Winkel zu messen, sondern auch Winkel von efner gegebenen Anzahl Grade zu verzeichnen. §. 353. Die Winkel werden in rechte, spitzige und stumpfe abgcthei- let. Ein rechter Winkel ist derjenige, der den vierten Theil des ganzen Umkreises, das ist 90° zwischen seinen Schenkeln enthält; hingegen heißt ein Winkel spitzig, wenn er weniger als 90, und stumpf, wenn er mehr als 90 Grade enthält. tz Erstes Hauptstück. §- 354, 5. Wenn man die Schenkel HL und LL eines Winkels HLV verlängert; so heißen die zwey entgegengesetzten Winkel HLV und VH, so wie auchH.LV und KLL Scheitelwinkel (auAuii vertic-ües) ; die zwey Winkel HLV und VLK, oder auch DLL und VLB u. s. w. werden Nebenwinkel (ausuli coutiAui) ge¬ nannt. Wenn nähmlich eine Gerade VL eine andere Gerade Hk in einem Puncte L schneidet; so heißen die dadurch auf dieser Ge¬ raden entstandenen Winkel HLV und VLK Nebenwinkel. Bil¬ det man sich ein, daß aus dem gemeinschaftlichen Scheitel L der Nebenwinkel HLV undVLK mit einem beliebigen Halbmesser LH ein Bogen HVK auf der Linie Hk beschrieben sey; so wird dieser Bogen ein halber Umkreis seyn, das ist, er wird 180 Grad ent¬ halten, weil man die Gerade Hk als einen Durchmesser ansehen kann (347 IV.). Nun ist der Bogen HO das Maß des Winkels HLV, und der Bogen Vk das Maß des Winkels VLK, nähm¬ lich HV-l-VK, das ist, der halbe Umkreis oder 180 Grade sind das Maß beyder Nebenwinkel zusammengenommen; folglich ent¬ halten zwey Nebenwinkel auf einer geraden Linie zusammen 180 Grade. Auf eben dieselbe Art läßt sich erweisen, daß auch H.LV -1-HLV--180° ist. Da nun HLV -t- VLK — 180° und auch r HLV -t- HLV — 180° ist; so ist auch HLV VLK -- HLV -r- HLV oder VLK -- HLV das ist, die Scheitelwinkel sind einander gleich. Man kann auf eben diese Art darthun, daß HLV — VLK ist u. s. .w. Würde nun einer aus diesen vier Winkeln bekannt scyn, so sind zugleich auch die drey übrigen bekannt: es sey z. B. HLV — 50°, so ist HLV--18O°—50°--130", VLK -- 50°, und LLV — 130". Auch dieses wird man leicht einsehen, daß alle Winkel um einen Punct L z. B. H.LV, VLK, LLK, LLH, wenn ihrer noch so viele sind, zusammen 360 Grade ausmachen. §. 355. 6. Wenn man die Endpuncte H und 8 der Schenkel LH und LV eures Winkels HLV mittelst einer Geraden HL verbindet; so Von den Eigenschaften der Linien, g heißt die dadurch von drey Geraden eingeschlossene ebene Fläche sir ein Dreieck (trirruzulum) ; und die Geraden 0^4., .48, 80 6 werden dessen Seiten (Interrr) genannt. Sind nun die drey Sei¬ ten einesDreyeckes von gleicher Länge, so heißt das Dreyeck gleich- seitig (rregurlrrteruiu) ; sind nur zwey Seiten einander gleich, so wird das Dreyeck gleichschenkelig (rroguicrurum rrut isoscelcs); und endlich ungleichseitig (scnlcnum) genannt, wenn alle drey Seiten von ungleicher Länge sind. In Hinsicht auf die Winkel heißt ein Dreyeck rechtwinkelig, wenn es einen rechten, stumpf¬ winkelig, wenn es einen stumpfen Winkel enthält, und endlich spitzwinkelig, wenn alle drey Winkel spitzig sind. In einem recht- winkeligen Dreyecke wird noch insbesondere die dem rechten Win¬ kel gegenüber stehende Seite die Kypothenuse, und die zwey übri¬ gen Seiten, die den rechten Winkel einschließen, werden die La- theten genannt. Wir müssen hier einige Haupteigenschaften der Dreyecke anführen, die zu der Bestimmung sehr wichtiger Sätze in der Folge unentbehrlich sind, und können die übrigen Eigen¬ schaften weiter unten auseinander setzW, wo wir von den ebenen Figuren, das ist von den begrenzten Ebenen, ausführlich handeln. §. 356. Diese Haupteigenschaften der Dreyecke sind folgende: I. In jedem Dreyecke ist die Summe zweyer Seiten grö- 7 ßer, als die dritte Seite; z. B, .48 .40 80. Dieses er¬ hellet aus (344), weil der gerade Weg von 8 bis 0 kürzer ist, als was immer für ein Umweg von 8 über bis 0. II. wenn in zwey Oreyecken ^480 und alle zwey Sei¬ en ryit dem eingeschlossenen Winkel einander wechselsweise vollkommen gleich sind; so sind hie ganzen Dreyecke einander vollkommen gleich. Z. B. wenn 80 — sic, 8.4. —sirr, und der Winkel 8 — si ist; so ist auch ^.0 — rrc, der Winkel ^4 — -r, und 0 —c. Um diese Gleichheit einzusehen, bilde man sich nur ein, daß das Dreyeck nsic auf das Dreyeck ^80 dergestalt gelegt werde, daß der Scheitel si auf 8, und die Seite sic auf 80 zu liegen komme; so werden die Winkel 8 und si, die Geraden 80 und sic, und auch die Geraden 8^4 und sirr einander decken, weil sic vermöge der Voraussetzung einander gleich sind. Da nun die 10 Erstes Ha upr stück. k'iss. Seiten ko und 80, und auch ka und 8V einander decken; so 7. muß der Punct u auf V., und der Punct c auf 6 fallen, und die Seiten ac und V0 müssen einander decken, weil ihre Endpunkte über einander fallen; folglich ist die Seite V0 —ac. Äus dem¬ selben Grunde des Deckens ist auch der Winkel V —s, und 0^?c (348). III. Wenn in zwey Dreiecken V80, akc zwey Winkel mit der eingeschlsssenen Gelte einander wechselsweise gleich sind; so sind die ganzen Dreyecke einander vollkommen gleich; z. B, wenn8—K, 0 —c, und 80 —Ko ist; so ist auch 8V—ks, OV^-cs, und V—n. Denn man lege nur das Dreyeck nkc auf das Dreyeck V80 dergestalt, daß die gleichen Seiten ko und 86, die gleichen Winkel k und 8, und endlich auch c und 6 einander decken; so wird die Seite da auf 8.4., und ca auf OV liegen, und der beyden Seiten da und cn gemeinschaftliche Punct n muß in den beyden Geraden 84 und OV zugleich, nähmlich in ihrem Durchschnittspuncte oder Scheitel V. anzutreffen seyn. Da nun der Punct g. in dem Puncte V. anzutreffen ist; so müssen die Sei¬ ten kn und 8V, cn und OV, und auch die Winkel a und V einan¬ der decken; folglich ist 8^4 —kn, OV —on, und V.--L« IV. wenn in zwey DreyeEen V86, nkc alle drey Ger^ t-n einander wechselöweise gleich sind; so sind auch die Win¬ kel, die den gleichen Seiten gegenüber stehen, einander gleich; nähmlich wenn 80 —ko, 8V —kn, und 6V —cn ist, so ist auch V —n, 0 —c, und 8—K, das ist, die zwey Dreyecke sind einander vollkommen gleich. Um dieses deutlich einzusehen, bilde man sich ein, daß aus den Puncten 8 und k, ingleichen aus 0 und c mit den Halbmessern 8V.—kn, und OV —ca die Umkreise VI, l4, und m, n gezogen sind, die sich in den Puncten V und » durchschneiden. Sofort lege man in Gedanken das Dreyeck Kon mit seinen Kreisen dergestalt auf 80V., daß die Seiten ko und 86 einander decken, das ist, daß der Punct k auf 8, und c auf 0 falle, der Punct a aber nach derjenigen Gegend hin zu lie¬ gen komme, nach der V liegt; so werden sowohl die zwey kleinen, als auch die zwey großen Kreise einander decken, weil sie gleiche Halbmesser haben, und ihre Mittelpunkte übereinander fallen. Da Won den Eigenschaften der Linien, Z l nun dcrPunct n in den beyden Umkreisen in und u zugleich, nähm-8ix, lich in ihrem gemeinschaftlichen Durchschnittspuncte sich befindet; 7. so wird er ebenfalls nach dem Auflegen in den beyden Umkreisen N und zugleich, nähmlich in ihrem gemeinschaftlichen Durch- schMspuncte anzutreffen seyn; folglich werden die Seiten llu und 8tV, ca und 6-V, weil ihre Endpuncte übereinander fallen, und auch die Winkel a und k und 8, c und 6 einander de¬ cken; es ist demnach der Winkel .4—n, 6 —c, und 8 —1>. ll. Abschnitt. Pon der verschiedenen Lage und Stellung der gera¬ den Linien. §. 357. Wenn eine Gerade 68 auf eine andere Gerade tV8 derge- 8. statt gezogen ist, daß sie mit derselben gleiche Nebenwinkel, nahm- lich beyderseits rechte Winkel machet; so sagt man, daß 68 auf ^8 senkrecht (perpendikulär) ist. Verlängert man nun 68, so. ist der Winkel ^86 — 888; weil sie Scheitelwinkel sind. Nun ist auch ^86—688; folglich auch 688 — 888, nähmlich diese zwey Nebenwinkel sind einander gleich, jeder derselben ist ein rech¬ ter Winkel, und 88 ist senkrecht auf 68. Wenn demnach 68 auf ^,8 senkrecht ist; so ist auch ^8 auf 68 senkrecht. §. 358. Die Eigenschaften der senkrechten Linien sind folgende: I. Ist ^.8 —88, und 68 senkrecht auf 8^, so ist jeder Punct der Senkrechten 68 von eben so weit, wie von 8 ent¬ fernt, z. B. 6/^ 68, — n8 u. s. w. Denn in den Drey- ecken 68^. und 688 sind zwey Seiten ^.8 — 88, und 86 mit dem cingeschlossenen rechten Winkel ^86 — 688 ein¬ ander gleich; folglich sind die ganzen Dreyccke einander vollkom¬ men gleich, und 6^. -- 68 (356 II.). Eben dieß läßt sich von einem jeden anderen Puncte erweisen. zz Erstes Hauptstück. Li§. Jngleichcn wenn LL senkrecht auf ^L, und L^ — LL ist; 8. so ist auch L^ — LL, und auch — aL u. s. w. Um dieses einzusehen, verlängere man LL, mache LV — LL, und ziehe ^v und LV; so ist ^.v - , LV -- LL, (weil LV -- LL, und ^VL senkrecht auf LV vermöge des Vorhergehenden ist). Da nun LV — LL, und LL — d — ^v ist, so ist auch LV — ^v. Es ist demnach in den Dreyecken LLV und VL^ die Seite ^v — LV, ^L — LL, und VL — VL; folglich sind sie einander vollkommen gleich, und der Winkel ^Lv — LLV (356 IV.). Ferner ist in den Dreyecken ^LL und dL die Seite L^—LL, d LL, und der cingcschlofsene Winkel ^Lv — LLV; folglich sind auch diese Dreyecke einander vollkommen gleich, undL^ —LL. Eben dieses läßt sich von einem jeden anderen Puncte erweisen. Wir ziehen hieraus folgenden Schluß: wenn eine Gerade LV aujLVL senkrecht steht, und ein punkt' dieser Senkrechten von Zwey punktend. und L der Geraden H.L gleichweic entfernt ist; so sind jede zwey Entfernungen was immer für eines Punktes derjSenkrechcen LV von den zrvey Punkten und L der Geraden ^.L einander gleich. II. Wenn zwey Puncte L und a der Geraden LV von zwcy Punkten und L der Geraden ^L gleich weit entfernt, wenn nähmlich' L^ — LL, und auch — aL sind; so ist LV in dem Puncte L senkrecht auf ^L. Denn die Dreyecke ^aL und uLL sind einander vollkommen gleich, weil ihre Sriten einander wechsclsweise gleich sind; folglich ist der Winkel ^.La-aLL. Nun ist in den Dreyecken ^LL und LLL die Seite L^r — LL, d — LL, und der eingeschlossene Winkel H.LL — LLL; folg¬ lich sind auch diese Dreyecke einander vollkommen gleich, und der Winkel LL^. — LLL. Es sind aber LL^V und LLL Nebenwin¬ kel; folglich ist jeder derselben ein rechter Winkel, und LL steht in dem Puncte L senkrecht auf^L. Aus demselben Grunde der Gleichheit der Dreyecke ^L6 und LLL ist L^ — LL„ III. Aus allen Geraden ^VL, L^V, ^.v u. s. w., die aus dem Puncte auf LV gezogen werden können, ist die Senk¬ rechte ^L die kürzeste. Denn jede Gerade oder ^.L, die nicht durch den Punkt L gezogen wird, ist größer als tVL, welches ich Won den Eigenschaften der Linien. 4Z so erweise. Man verlängere die Senkrechte VL, machevL—LV, Isix. und ziehe Ln, LL, LV u. s. w.; so ist Va — uL, VL —LL, 8. weil LV — LL und LV senkrecht auf VL ist. Nun ist Vn-t- .. . ^8 aL > VL (356 I.): cs ist also auch —; nahmlich V» >^L, weil — Vn und — VL ist. Eben dieses läßt sich von einer jeden anderen VL, Vv, u. s. w. erweisen. IV. Da nun aus allen diesen Geraden Vs, VL, Vv, u. s.w. eine einzige die kürzeste seyn kann: so kann aus einem Puncte V auch nur eine einzige Senkrechte auf LV gezogen werden. Und umgekehrt wenn VL aus allen Geraden, die von dem Puncte V auf LV gezogen werden können, die kürzeste ist; so ist sie senk¬ recht auf LV. Denn wäre dieses nicht; so könnte eine andere Senkrechte z. B- Vn gezogen werden, welche auch die kürzeste wäre; und da wären zwey Geraden VL und Vn zugleich die kür¬ zesten, die aus cinerley Puncte V auf LV gezogen sind, welches nicht seyn kann. Nun pflegt man die Entfernung eines Punctcs V von einer Geraden LV durch die kürzeste Linie anzugeben, die von V auf VL gezogen werden kann; folglich ist die Entfer¬ nung eines Punktes V. von einer Geraden LV nichts anders als die Senkrechte VL. §. 359. Wir haben erwiesen (358 I.), daß LV. --- LL, der Winkel VLL -- LLL, LVL -- LLL ist, wenn LV - LL, und LL senkrecht auf VL ist. Nun aber sind VLL und ML rechtwinke- lige Dreyccke, in denen die Hypothenuse LV — LL, und die Ka¬ thete LL — LL ist; folglich können wir sagen, daß zwey recht- winkelige Orepecke einander gleich sind, wenn sie die ^ypo- thenuse und eine Dathete wechselsweise gleich haben. §. 360. Die (358) angeführten Eigenschaften der senkrechten Linien setzen uns in den Stand folgende Aufgaben anfzulösen. I. Eine gegebene gerade Linie VL in zwep gleiche Theile 9. zu theilen. Dieses geschieht auf dem Papiere, wenn man aus den Endpuncten v und L mit einerley Halbmesser, der nicht viel 14 Erstes Ha uptstn ck. 6i§. kleiner als 1)6 ftyn muß, Kreisbogen beschreibet, die sich in 6 A und O durchschneiden, und sodann die Gerade Ist) zieht, welche die gegebene 1)6 in dem Punkte 6 in zwey gleiche Theile 6O --66 theilet. Denn es ist V6 -- 66, VO - 06; folglich isst) senkrecht auf ^e8, und DO —66. Wäre kein Platz übrig den Durchschnitt 8 jenseits der Geraden O6 zu bestimmen; so ma¬ che man mit dem Halbmesser OO — 60 den Durchschnitt ö, .und mit einem anderen Halbmesser Os^-61 den Durchschnitt 1, und ziehe die Gerade 016, so ist ebenfalls DO — 66. Auf dem Felde hingegen wird eine gerade Linie in zwey gleiche Theile gcthcilct, wenn man die gerade Linie ausmißt (das ist, untersucht, wie oft sie eine bekannte Linie, z. B. eine Wiener-Klafter in sich enthalte) und sodann die Hälfte dieses Maßes von dem einen Endpuncte gegen den anderen austrägt. Dieses Ausmessen einer geraden Linie auf dem Felde geschieht meistenthcils mit der i'irdß- kette, deren Länge zehen Klafter beträgt; zuweilen auch mit dem Meßbalken, wenn die größte Genauigkeit erforderlich ist; und Lndlich mit bloßen Schritten, wenn man nur mit einem Ley- na^e zufrieden ftyn kann. Nur ist dazu erforderlich, daß man sich einen gleichförmigen Schritt angewöhne. Bey uns ist es vorge¬ schrieben die Schritte so einzurichten, daß 5 Schritte 2 Klaftern gleich ftyen. II. In dem puncte 6 der Geraden ^8 eine Senkrechte zu errichtem Auf dem Papiere schneide man 66 — 6O ab, be¬ schreibe mit einerley Halbmesser zwey Kreisbogen, die sich in 6 oder O durchschneiden, und ziehe durch 6 und 6, oder durch 6 und O die Gerade 60; so ist sie in dem Punkte 6 senkrecht auf ^8. Denn es ist 6O—66, Ü6^66; folglich 66 senkrecht auf OO (358 II.). Auf dem Felde macht man ebenfalls 6O —66, be¬ merkt die Punkte O, 6, 6 mit Pflöcken, befestiget in O und 0 die Ende einer Schnur, deren Mittelpunkt 6 mit einem beliebi¬ gen Merkmahle bezeichnet ist, ergreifet diesen Mittelpunkt 6, brin¬ get die zwey gleichen Theile O6 -- 66 in eine solche Lage, daß sse beyde gerade ausgezogen, und gleich stark gespannt sind, be¬ merket den Punkt 6 auf der Erde, und zieht sodann die Gerade 660; sü wird sie in dem Punkte 6 auf ^8 senkrecht scyn. Sollte Von den Eigenschaften der Linien. sfI aus dem Endpunkte D einer Geraden HD eine Senkrechte errich-Dix. tet werden, so verlängere man HD um ein beliebiges Stück L6, 9» und verfahre sodann wie zuvor. III. Durch einen außer der Geraden HD gegebenen Punkt eine Senkrechte «ruf HL zu ziehen. Man beschreibe aus dem gegebenen Puncte 6s einen Kreisbogen, welcher die Gerade HL in zwey Pnncten v und 6 schneidet; aus den Puncten I) und 6 beschreibe man mit einem beliebigen Halbmesser zwey Kreisbogen, die sich auf dieser oder jener Seite der Geraden HL in D oder f durchschneiden, und ziehe sodann die GeradeKil; so wird sie senk¬ recht auf^.L seyn. Denn es istD6s--66l, und Df--6k, folglich ID senkrecht auf HL (3581!.). Auf dem Felde läßt sich diese Auflö¬ sung nicht jederzeit anwenden; wir werden daher weiter unten (364) eine andere Auflösung dieser Aufgabe anführen. Auch merken wir noch an, daß man in der Ausführung auf dem Papiere die Senk¬ rechten gemeiniglich mit Hülfe eines hölzernen rechtwinkcligert Dreyeckes zu ziehen pflegt: nur kommt es darauf an, daß dieses Dreyeck genau rcchtwinkelig scy. Man untersucht diese Richtigkeit, wenn man die eine Seite D6 eines solchen Dreyeckes DD6 an eine gerade Linie HL anlegt, und längst der anderen Seite eine Linie DD zieht ; dann wendet man das Dreyeck um, daß nähms lich die Seite D6 in die Lage DD kommt, und zieht längst des andern Seite wieder eine Linie. Wenn nun die zwey gezogenen Linien einander decken, so ist das Dreyeck richtig. Schließen hinge-! gen diese zwey gezogenen Linien einen Winkel ein; so ist das Dreyeck unrichtig, und muß verbessert werden. §. 361. Zwep gerade Linien HL und 6D, die überall gleich weit 10. von einander entfernt sind, heißen gleichlaufend oder paral¬ lel. Da nun die Entfernungen der Puncte einer Linie von einer anderen Geraden nichts anders sind, als die Senkrechten, welche von den Puncten der einen Linie auf die andere gezögen werden; so folget, daß bey den Parallelen HL und 6V alle Senkrechten ^6, DL, DD u. s. w. die aus was immer für Puncten der Linie HD auf6v, oder aus was immer für Puncten der Linie 6D auf Hk gezogen werden, einander gleich sind. Diese Gleichheit IO Erstes Hauptstiick. ki§. der Senkrechten gibt uns ferner zu erkennen, daß Parallelen nie-- 10. mahls zusammenstoßen oder sich durchschneiden, wenn sie auch in das Unendliche verlängert würden. Einige Mcßkünstler haben die¬ ses für die Erklärung der Parallelen angenommen, und die Gleich¬ heit der Entfernungen daraus gefolgert. §. 362. Wenn zwey Parallelen m und 61) von einer Geraden LL geschnitten werden; so sind: I- Lie Wechselwinkel (nnxuli Litern!) in und n, r tintz s einander gleich. Denn man ziehe nur LL senkrecht auf und LH senkrecht auf LV; so ist in den rechtwinkeligen Dreyecken OLL und LLV die Hyyothenuse LL — LL, und die Kathete xO— LLl; folglich sind diese Dreyecke einander vollkommen gleich (359), und der Winkelin —rü Da überdieß n-i-r— 180", und IN -l- 8 — 180° ist; so ist auch n -s- r — IN -t- 8 , und r — 8. Sollte nun einer von den Wechselwinkeln z. B. x (wenn die Parallelen und LV von der Geraden vv geschnitten wer¬ den) ein rechter Winkel seyn; so muß auch der andere y ein rech¬ ter Winkel seyn: folglich muß jede Gerade VL auch auf LV senkrecht seyn, wenn sie auf den Parallelen senkrecht ist, das ist: wenn eine Gerade auf einer von zwey parallelen senkrecht ist, so ist sie auch senkrecht auf der anderen. II. Auch der äußere und innere Winkel auf einerley Seite find einander gleich; nä'hmlich in — p , L— r, n — 2, m s. w. Denn cs ist p—n, und auch in —n; also auch in —x; ingleichen x —5 , und r —s; also auch L — r; u. s. w. III. Lie zwey inneren Winkel auf der nckhmkichen Seite enthalten zusammen 180°, oder sind zwey rechten Winkeln gleich; es ist nähmlich in-t-r, oder n-«-8 —180". Denn es ist n -t- r —180°; nun ist u — IN; also auch IN -t- r — 180°. Eben so findet man, daß p — 2, L — L, L -l- 2 —180° ist u. s. w. Alles dieses findet auch statt, wenn drey, vier oder mehr Parallelen von einer geraden Linie geschnitten werden. 363. H Und umgekehrt wenn zwey Geraden und LV von einer dritten LL dergestalt geschnitten werden: daß I. entwe- Won den Eigenschaften der Linien. 17 der die Wechselwinkel z. B. in — n; II. oder der äußere und 8ix. innere Winkel «uf einerlei Seite einander gleich sind; HI. n. oder endlich daß die zwey inneren Winkel zusammen 180" enthalten; so sind die zwey Geraden -^8 und 6V parallel. Es sey z. B- I. in —n, nähmlich ^88-^m. Wäre nun ^8 nicht parallel zu LV; so könnte durch 8 eine andere Gerade nsi zu LV parallel gezogen werden- und es wäre vermöge des Vor¬ hergehenden n88 — in. Nun ist aber vermöge der Voraussetzung ^88 — in; also ist auch ^88 — s88, das ist, der Theil -^88 ist dem Ganzen n88 gleich, wenn nicht sondern eine andere Gerade durch den Punct 8 parallel zu LV gezogen wäre, welches ungereimt ist. Es ist also auch nicht möglich, daß außer der Geraden ^8 was immer für eine andere nh zu LV parallel sey, wenn sie durch den Punct 8 gezogen ist. Wenn demnach in—n ist, so ist ^8 parallel zu LV. Auf eben diese Art läßt sich erweisen, daß^.8 zu LV parallel ist, wenn eine der zwey anderen Bedingungen statt findet. Dieses geschieht kürzlich auf folgende Art: Es sey II. in—x; so ist wegen X—n auch IN—n; und folglich wegen I. -^8 parallel zu LV. End¬ lich sey III. n-s-L88--180"; so ist wegen inL88—180" auch in — n; folglich ist wegen I. ^8 parallel zu LV. Auch können wir daraus folgern, daß zu einer Geraden LV durch einen gege¬ benen Punct 8 nur eine einzige Parallele gezogen werden könne. §. 364. Sowohl auf dem Papiere als auf dem Felde wird zu einer Geraden LV durch einen gegebenen Punct 6 eine Parallele gezo¬ gen, wenn man aus dem gegebenen Puncte 8 die 811 auf LV senkrecht zieht, dann in einem beliebigen Puncte L der Ge¬ raden LV ebenfalls eine Senkrechte LX errichtet, L-V^8V ab¬ schneidet - und endlich durch die Puncte und 8 die Gerade ^V8 zieht. Diese Gerade ^V8 wird nun parallel zu LV seyn. Denn die zwey inneren Winkel ^LV und L^8 enthalten zusammen 180 Grade. Die Lage der Geraden-^8 wird auch gefunden, wenn man durch den gegebenen Punct 8 eine Gerade 88 dergestalt zieht, daß sie LV irgendwo in einem Puncte 8 durchschneidet, und so¬ dann den Winkel pnci-^ruw, oder auch r-in verzeichnet (352). Vega Math. v. B. 2 zg Ersteü Hauptstück. Denn die durch p und L, oder durch v und r gezogene Gerade 11° wird parallel zu LV seyn, weil die Wechselwinkel in und n, oder der äußere und innere Winkel auf cinerlcy Seite in und x einander gleich find. In der Ausübung ist es sehr bequem auf dem Papiere die Parallelen mit Hülfe eines hölzernen rechtwinkeli- gen Dreycckes zu ziehen- Und nun können wir auf dem Felde aus einem gegebenen Puncte L eine Senkrechte auf eine Gerade LV ziehen, wenn wir mit Hülfe der Wechselwinkel die Lage der Parallelen bestim¬ men und in dem Puncte L die Senkrechte vv auf^v errichten (360 I!.) Denn die Linie vv wird auch auf LI) senkrecht seyn, weil sie auf HL senkrecht ist. §. 365. 12. Wenn man von einem Puncte des Umkreises mehrere Sehnen l^v, ^v, zieht; so ist I. Die Sehne H.V, welci e durch den Mittelpunct gehe, nähmlich der Durchmesser, größer, als sede andere Sehne ^v oder^v. Denn wenn man die Halbmesser LV, LV zieht; so ist H-L-r-LV^^V. Nun aber ist ^L-ß LV — ^L q- ^L; cs ist also auch^.L>^v. Eben so läßt sich erweisen, dass ^L>^vist. II. Die übrigen Sehren sind desto kleiner, je mehr sie sich von dem Durchmesser entfernen; nähmlich ^v < ^v. Denn es ist LV oder LV < LV -r-vv; also auch LV—Lv< LV-^VV — LV; nähmlich VLie nicht in einer gera- 14. , den Linie liegen, und folglich ein DrepeE VV8 bestimmen, einen Rreis zu führen. Dieses geschieht auf folgende Art- Man verbinde die Puncte V, 8, v durch die Geraden V8 und 8V, theile jede derselben durch die Senkrechten LL und 4- 6H in öwey gleiche Theile: so wird ihr Durchschnittspunct 6 der Mit¬ telpunkt des gesuchten Kreises seyn, der durch die drey Puncte 2 § * Erstes H auptstück. H, L, v zu ziehen ist. Dem, HL und LV sind Sehnen, wel- 14° che durch die Senkrechten LL und LV in zwey gleiche Theile gctheilct sind; folglich gehen beyde Senkrechten durch den Mittel- punct (367). Nun aber ist der Punct L so beschaffen, daß beyde Senkrechten LL und 6V durch denselben gehen; folglich ist die¬ ser Punct L der Mittelpunct des gesuchten Kreises. Sollten hingegen die drey Punctc H, L, v in einer gera¬ den Linie liegen; so ist für sich klar, daß sich die Senkrechten niemahls durchschnciden können, weil sie mit einander parallel laufen. Man stellt sich in diesem Falle vor, daß derDurchschnilts- punct der Senkrechten sich unendlich weit entferne; und in diesem Sinne kann man jede gerade Linie als einen Kreisbogen arischen, dessen Halbmesser unendlich groß ist. II. Llen Mitlelpuncc eines Kreisbogens oder auch eines ganzen Umkreises zu finden. Man nehme drey Puncte in dem Bogen an, verbinde sie durch zwey Sehnen, theile jede derselben durch eine Senkrechte in zwey gleiche Theile; so wird dadurch der Mittelpunct, wie im vorigen Falle bestimmt werden. Zu einem ganzen Umkreise kann der Mittelpunct auch auf folgende Art ge¬ funden werden. Man ziehe eine Sehne, theile sie durch eine Senk¬ rechte in zwey gleiche Theile; so wird diese Senkrechte der Durch¬ messer seyn, welchen man demnach nur noch in zwey gleiche Theile zu thcilen hat, um den Mittelpunct des gegebenen Kreises zu bestimmen. III. Einen Winkel HLL in zrrep gleiche Theile zu thei- len. Man beschreibe mit einem beliebigen Halbmesser den Bo¬ gen HVV, aus den Puncten H und L beschreibe man zwey Kreis¬ bogen, die sich in L oder L schneiden, und ziehe die Gerade LL; so wird diese den Winkel HLL in zwey gleiche Theile thei- len, weil sie durch den Mittelpunct L geht, und auf der Sehne HL senkrecht steht. Der Bogen HL hingegen wird in zwey gleiche Theile getheilet, wenn man seine Sehne HL durch die Senkrechte Lis halhirt. Da der Winkel DLL oder der Bogen VL wieder auf diese Weise in zwey gleiche Theile getheilet werden kann; so folgt, daß man jeden Winkel oder jeden gegebenen Kreisbogen in 2, 4, 8, 16, 32 gleiche Theile theilen könne. Sollte hingegen Bon den Eigenschaften der Linien. ein Bogen in 3, 5, 7 . . gleiche Theile zu theilen sevn; so kann 8iZ. es nach den bisher gegebenen Gründen nicht anders ass durch das Versuchen (teutuiläo) geschehen. §. 369. Eine Gerade ^8, die in der Ebene eines Kreises seinem 16. Umfange in einem einzigen Puncte 8 begegnet, und übrigens beyderseits außer der Kreisfläche liegt, wird eine Tangente (Bcrührungslinie) , und der Punct I) der Berührungspunkt genannt. wenn man an den Berührungspunkt 8 einen Halbmes¬ ser 6V zieht; ss steht er auf der Tangente senkrecht. Denn dieser Halbmesser ist die kürzeste Linie, die aus dem Puncte 6 auf die Gerade ^8 gezogen werden kann; folglich steht er in dem Puncte 8 senkrecht auf /V8 (358 HI). Und umgekehrt, wenn die Gerade ^.8 in dem puncte 8 auf dem Halbmesser 68 senkrecht steht; so ist sie eine Tangente des Umkreises. Denn diese Senkrechte ^8 begegnet dem Umkreise in dem einzigen Puncte 8 , und liegt übrigens außer der Kreisfläche, weil jeder andere Punct derselben z. B. oder 8 weiter als 8 von dem Mittelpunkte 6 entfernt ist. Es kann demnach bep einer schon gezogenen Tangente der Berührungspunkt gefunden werden, wenn man aus dem Mittelpunkte eine Senkrechte auf die Tangente zieht. Und durch einen gegebenen punct des Umkreises kann eine Tangente gezogen werden, wenn man am Ende des Halbmessers eine Senkrechte errichtet. Sollte hingegen durch einen gegebenen punct eine 17. Tangente zu einem gegebenen Kreise gezogen werden; so be¬ schreibe man aus mit dem Halbmesser .48 einen Kreis¬ bogen 68, und ans 6 mit einem Halbmesser — 88---68--- 268 einen Kreisbogen 88; durch den Mittelpunkt 6, und durch den Ourchschnittspunct 8 ziehe man die Gerade 68; und endlich ziehe man durch den auf diese Art gefundenen Durchfchnittspunkt 8 des Umkreises, und durch den ycge- benen'punct die Gerade .48: so wird diese in dem puncte 8 dcn gegebenen Kreis berühren. Denn -48 ist in dem End- 22 Er si e v Ha upr stück. vix. punkte des Halbmessers senkrecht auf Ev vder auf EL, weil 18. ^E -- ^v, und LE -- LV VE --- -L-6L---r-EL ist (358 II.). §. 370. wenn sich zvsey Rreise berühren, es mag nun der klei- nereRreiv innerhalb des größeren, oder der eine Rreis außer¬ halb des anderen liegen; so muffen die Mittelpuncte dieser bei¬ den Lreise und der Lerührungspunct derselben in einex ge¬ raden Linre liegen. Dennpocnn diese beyden Kreise sich außerhalb berühren sollen; so kann, d.a sie nur einen Punkt mit einander gemein haben, die Entfernung der Mittelpunkte von einander nicht kleiner seyn als hie Summe der beyden Halbmesser, weil sonst die beyden Kreise.in einander greifen, also sich schneiden müßten. Der Berührungspunkt ist aber von jedem der beyden Mittelpunkte um den Halbmesser des betreffenden Kreises entfernt; also können die Verbindungslinien des Berührungspunktes mit den beyden Mittelpunkten, und die Verbin¬ dung der Mittelpunkte selbst, nicht ein Drcyeck einschließen; weil, wenn ein Dreyeck entstehen sollte, zwey Seiten zusammen genom¬ men gleich oder kleiner als die dritte seyn müßten. Es muß da¬ her der Bcrührungspunct N in der Verbindungslinie der beyden Mittelpunkte siegen. Wenn sich aber die beyden Kreise innerhalb berühren; so kann die Entfernung der beyden Mittelpunkte von einander nicht größer seyn als der Unterschied der beyden Halbmesser, weil sonst ein Theil detz kleinernKreifcs außerhalb des größeren fallen wür¬ de, also die beyden Kreise sich schneiden müßten; die Entfernung der Mittelpunkte kann aber auch nicht kleiner seyn als dieser Un¬ terschied, weil dann die beyden Kreise picht einen Punkt mit einander gemein haben könnten; also ist die Entfernung der bey- dcn Mittelpunkte dem Unterschiede der Halbmesser gleich. Würden die Mittelpunkte und der Berührungspunkt nicht in einer^gcraden Linie liegen; so müßten diese drey Punkte ein Dreyeck bilden, ip welchem die Summe zweyec Seiten so groß als die dritte« Seite wäre, welches unmöglich ist. Von Len Eigenschaften der Linien- 33 Aus diesem Satze folgt, daß wenn sich mehrere Kreise in ei- Li;, nein gemeinschaftlichen Punkte N berühren, die Mittelpunktes 8, 6, 8 u. s. w. dieser Kreise in einer Geraden liegen müssen, und daß die in iVI auf diese Gerade errichtete Senkrechte LI' eine ge¬ meinschaftliche Tangente dieser Kreise iss. 371. Der Winkel m, nähmlich 118, welchen dieTangentell 19. und die Sehne 18 in dem Berührungspunkte einschlicßen, hat zu seinem Maße die Hälfte des Bogens 188, welchen die Sehne abschneidet, nähmlich iu— - 188. Um dieses einzusehen, ziehe man den Durchmesser Le parallel, und 8ä senkrecht auf 81, und dann auch an den Berührungs¬ punkt 1 den Halbmesser LI. Nun iss iu-l-x —90", und auch n-i-)^90"; folglich es ist aber x—(362.1.); folglich auch m —u. Ferner ist u —81; cs ist also auch 81; und endlich ist 81-- '188 (Z67.); folglich auch 188. Eben so leicht ist zu begreifen, daß der Winkel »18--1118 ist; denn es ist 118 »18^ 180"--118ä1--1188 11ä8; nun aber ist 118^1-188; also ist auch »18 --4-1Ü8. §. 372. Der Winkel x am Umkreise, Len zwey Sehnen 18 und 20. 18 einschließen, hat zu seinem Maße die Hälfte des Bogens, auf welchem seine Schenkel stehen, nähmlich x —^-88. Denn man ziehe nur die Tangente 11»; so ist m-s-x-s-n ^180"^4-1L8L1^1LL-i-^88-».-z-8L1. Nun aber ist m -1 1L8, und n 8L1; folglich x 88. Wir ziehen hieraus folgende Schlüsse: I. Der Winkel am Umkreise ist die Hälfte des Mittel- punctswinkels, nähmlich x^--18L8. Denn es ist 8L8 — 88; also auch --8L8 —-1,88; nun aber ist x—-188, daher auch x^ 18L8. II. Alle Winkel am Umkreise L, L, 8, 8, die auf einem 21. und demselben Bogen 188 oder auf eben derselben Sehne 18 stehen, sind einander gleich. Denn jeder derselben hat zu seinem Maße die Hälfte des Bogens 188. 24 Erstes Hauprstück. Lix. III. Ieder Winkel am Umkreise, der mir seinen Schenkeln 22. auf (en Endpunkten des Durchmessers steht, ist ein rechter Winkel. Denn er hat zu seinem Maße die Hälfte des halben Um¬ kreises oder von 180° nähmlich 90°. 23. IV. In einem jeden Vierecke, welches in einem Rreise eingeschrieben ist, enthalten jede zwep gegenüber stehende Winkel zusammen 180°; nähmlich x-t-^ —180°, und auch ln-i-n —180°. Denn es istx^-^ML, und ^-iVI^OL; folglich x -l- v - 4- )»kXL >1^180°. V. Zwep parallele Sehnen schließen gleiche Logen ein; nähmlich DL —0^. Denn man ziehe nur die Gerade OL: so ist L —c (362.1.); nun aber ist L —^-LD, und c—-^-^6; es ist also auch-^-LD —-^^6, oder LV —6^. Und umgekehrt, wenn die eingeschlossenen Logen DL und 6^ gleich sind: so sind die Sehnen ,VL und 6D parallel; weil in diesem Falle die Wechselwinkel u und c einander gleichen. Auf eben diese Art kann man erweisen, daß die Tangente und eine parallele Sehne gleiche Bogen einschließen; und umgekehrt, daß sie mit einander parallel laufen, wenn die eingeschlosscnen Bogen einander gleich sind. §. 373. 24. Und nun sind wiy im Stande an dem Endpuncte L einer Geraden ^L eine Senkrechte 6D zu errichten, wenn auch die Verlängerung -er Geraden ^VL unmöglich wäre; und zwar auf folgende Art. Man schneide von L gegen ein beliebiges Stück LL ab; aus L und L beschreibe man mit eincrlcy Halb¬ messer zwey Kreisbogen, die sich in 6 durchschneidcn; dann ziehe manLLL, mache LL — 6L, und führe durch L und L eine Ge¬ rade D6,; so wird diese in dem PuncteL senkrecht anf^L seyn, weil HLD ein rechter Winkel ist. Denn man bilde sich nur ein, daß aus dem Mittelpuncte 0 mit dem Halbmesser 6L — 6L —61" durch die Punkte L, L, L ein Kreis beschrieben ist; so wird mau gleich einfehcn, daß der Winkel DLL-^LD am Umkreise mit seinen Schenkeln auf den Endpunkten des Durchmessers LL steht, und folglich ein rechter ist. Bon den Eigenschaften der Linien. 25 §. 374. Lin Winkel 666 am Umkreise, den eine Sehne Öl', und 6i^. eine andere Gerade 66 einschließen, deren Verlängerung 6V 25. dem Umkreise Wieder in einem anderen Punkte v begegnet, hat zu feinem Maße die halbe Summe der Bogen 6L6 und 66V; es ist »ähnlich 666--^6v6ff^66v. Denn es ist 666^-66v —180" — 66V66— 6V6 -t-^-66v^^ M6; nun aber ist 66V —^M6; folglich ist 666^ ; 6v6-<-^66v. §. 375. Lin Winkel in innerhalb des Umkreises hat zu feinem Maße die halbe Summe der Logen M und 66, welche seine Schenkel beiderseits einschließennähmlich in -- VL -s-^66. Denn man ziehe nur 66 parallel zu^L; so ist n —^-VL6 ^^VL-^^-L6 —^M-s--^66, weil L6 —66 ist. Nun aber ist n-^in; es ist also auch in— ' VL-l--^66. Eben so leicht laßt sich erweisen, daß 6^v —^-6v->- ' 6VL ist. §. 376. Ein Winkel L-^v — n außerhalb des Umkreises, den zwep Geraden ^.L und ^v einschließen, welche verlängert 26. die Kreisfläche durchschnciden (ein Winkel zwischen zwey Sccan- ten) hat Zu seinem Maße die halbe Differenz der etngeschlosse- nen Logen, nähmlich n — -^-LV—-^-66. Denn man ziehe die parallele Sehne 66; so ist in-n-r-LV -- ; LV ^60 LV 66, weil 6V — 66 ist; nun aber ist n —in also auch n—^-LV—.-^66. Eben so leicht ist zu erweisen. LaßN^L^-^LN— --iVI6, so wie daß ^^Iv> - 'VI6> ist. Soll nun ein rechter Winkel seyn; so muß der Bogen 516^ — 90" scyn. Denn es sey N6lX —a-; so isti>lLM ^360 —a?; nun muß 860—^7 7x — — - —90°, folglich auch L--90" seyn. 26 Erstes H ii uy r st ü>k. m. Abschnitt. Von den Vielecken. §. 377. Eine ebene Fläche von geraden Linien cingeschlossen heißt ein Vieleck (pol^goirum); eine jede einschließende Linie heißt eine Seirs; und alle Seiten zusammen werden der Umfang (Perime¬ ter) des Vieleckes genannt. Es gibt auch Flächen, die entweder bloß von krummen, oder theils von krummen, theils von geraden Linien cingeschlossen sind; allein wir handeln hier nur von den Vielecken oder vielmehr nur von dem Umfange solcher Viel¬ ecke, die von geraden Linien begrenzt sind. Ein Vieleck heißt ins¬ besondere ein Dreieck, wenn es von drey, ein Viereck, wenn es von vier, ein Zünfeck, wenn es von sünfSeiten eingeschlossen ist, u.s.w. nähmlich Secheeck, Siebeneck, Achteck,. ..neck. Einige Schriftsteller nennen diejenigen ebenen Flächen Vielecke, welche von mehr als vier geraden Linien cingeschlossen sind. Eine begrenzte Ebene aber nennen sie überhaupt eine ebene §igur. Von den Drey- > ecken haben wir die Benennungen schon gegeben, und merken hier nur noch an, daß zwey oder mehrere Dreyccke einander ähnlich hei¬ ßen, wenn die Winkel des einen den Winkeln des anderen Drey- cckcs wechselweise gleich sind, weil solche Dreyccke auf vollkommen gleiche Art bestimmt sind, und nur bloß vermöge ihrer wirklichen Größe von einander unterschieden werden können , und daß in einem Dreyccke die Senkrechte, von der Spitze eines Winkels auf die ge¬ genüberstehende Seite gezogen^ die^öhe, und die Seite, aufwelche die Senkrechte gezogen wird, die Grundlinie (Imsis) des Drey- eckcs genannt wird. Bey den Vierecken aber kommen folgende 87. Benennungen vor. Ein Viereck heißt ein Parallelogramm, wenn jede zwey gegenüber stehenden Seiten parallel sind (pi°. 27.. 30). Ein Parallelogramm von gleichen Seiten und Winkeln wird ein 28. G-nadrac (I'ig. 27.); ein Parallelogramm von gleichen Winkeln und ungleichen Seiten ein Rechteck (H.L6I) ssig. 28.); ein Pa- Von ven Eigenschaften der Linien. 2? rallelogramm von gleichen Seiten und ungleichen Winkeln einzig. Rhombus oder eine Raute (L5g. 29.); und endlich ein Paralle- 29. logramm von ungleichen Seiten und Winkeln ein Rhsmboides ZO. oder eine längliche Raute (8ig. 30.) genannt- Die Senkrechte, welche von der einen auf die gegenüber stehende Seite eines Pa¬ rallelogramms gezogen wird, heißt die Höhe, und jede dieser zwey Seiten die Grundlinie des Parallelogramms. Ein Viereck, in welchem nur zwey gegenüber stehende Seiten parallel sind, heißt 31. ein Trapez (8ig. 31.); läuft hingegen in einem Vierecke keine einzige Seite mit der andern parallel; so heißt es ein Trapezoid 32. (8ig. 32.). Ucberhaupt werden die Vielecke in unregelmchßige, wenn weder die Seiten noch die Winkel am Umfange einander gleich sind; in symmetrische, wenn sie von einer geraden Anzahl Seiten umgeben werden, deren jede zwey gegenüber stehende 33. einander gleich und parallel sind (kig. 27..30..33); und end¬ lich in regelmäßige abgetheilet, in denen alle Seiten und Win- 34- kel gleich sind (kix. 27. 34.). Der Winkel am Umfange ei¬ nes Vieleckes von zwey Seiten eingeschlossen heißt der vieleck^- winkel oder Polygon-Winkel; er ist ausgehend wie m, oder eingehend wie n (kix. 33.). Eine Gerade von einem Vielecks- Winkel zu einem andern über die Fläche des Vieleckes gezogen, heißt eine Diagonale, als isiig. 31. 34. ingleichen W, 61? 8ig. 33. §. 378. In einem jeden Dreiecke ^.80 enthalten alle drey Win- 35. kel zusammen 180", oder sie sind zrvey rechten Winkeln gleich; nähmlich m-l-x-r-2 —180". Denn man ziehe nur durch den Scheitel 6 eines Winkels r zu der gegenüber stehenden Seite eine Parallele 88; so ist n-i-r-,-^^180". Nun aber istx—x, und n —in; es ist alsy auch IM», Wir ziehen aus diesem folgende Schlüsse. I. In einem Orepecke ist nicht mehr als Ein rechter, trud um so mehr auch nur ein einziger stumpfer Winkel mög¬ lich, folglich jeder der zwey übrigen spitzig. Erstes H aupstück. I'iss. II. In einem rechtwinkeligen OrcyeLe müssen die zwep spitzigen Winkel zusammen 90° enthalten; sollte demnach der eine bekannt z. B. — 50° seyn, so ist auch der zweyte bekannt und ^90 — 50^40°. III. wenn zwey winkel in einem Dreyecke gegeben sind; so ist dadurch auch der dritte Winkel bestimmt. Es sey z. B. IN 60 ; x 40; so ist - 180° — (m -r- x) 180° —100° 80". 40. IV. wenn zwey Winkel eines Lreyeckes zwey Winkeln eines anderen Dreieckes wechselweise gleich ss.d; so ist auch der dritte Winkel dem dritten gleich, und die Dreyecke sin- einander ähnlich. Sollte in diesem §alle auch noch eine Seite des ersten der gleichnahmigen Seite des zweyten Dreyeckes gleich seyn; so sind die Dreyecke einander vollkommen gleich. Man bezeichne z. B. in einem Dreyecke die drey Winkel mit V, L, L, und in dem andern mit n, b, c; und es sey dabey V —s, L—b; so ist L —c. Denn weil V-i-L6 180°, und s-i-b-t-c —180° ist; so ist auch V-^-V-t-L^L-t-b-l-c; und beyderseits V---n, L —b, nähmlich V-»-L —abgezogen, bleibt 6 ^-c. Wenn nun dabey auch noch eine Seite des ersten der gleichnahmigen Seite des zwcvten Drcyeckes gleich ist, so erhellet, daß die Dreyecke einander vollkommen gleich sind. (356. III.) 35. V. wenn zwey Geraden VD und DO einer dritten V8 dergestalt begegnen, daß die Winkel iu-l-x<180° sind; so stoßen die Geraden VI) und LO auf dieser Seite zusammen, wenn sie hinreichend verlängert werden; und entfernen sich auf der entgegengesetzten Seite der Geraden VL immermehr von einander, wenn die Winkel VVLOLV > 180" sind. Denn wenn in-t-x< 180° ist; so entsteht durch die Verlängerung der Geraden VI) und LO ein Winkel, der sich angcben läßt, und mit den vorigen zwcyen in und x zusammengenommen in dem so entstandenen Dreyecke 180° oder zwcy rechten Winkeln gleich ist. Wenn nun aber die Winkel OVI3-i-OLV > 180° sind; so sind deren Nebenwinkel m -t-x< 180°, folglich stoßen diese zwey Ge¬ raden I)V, OL gegen 6 verlängert zusammen, und entfernen sich daher auf dieser Seite von einander, wo die Winkel DVZ-4-OHVr>180° sind. Daß die Nebenwinkel m-t-x<180" Won dcn Eigenschaften der Linien. 23 ftyn müssen, wennvVK ft-180" sind, erhellet aus Fol-kiz-. gendcm: es ist VVV ft-in — 180", und LLVft-x —180"; also VVLft-in-i-LVVft-x —360"; und hievon V^Lft-VL^ > 180" abgezogen, bleibt in ->- x < 180°. VI. wenn inan aus dec Spitze eines Winkels 6 in einem 36. Dreiecke VVL auf öle gegenüber stehende Seite eine Senkrechte LV zieht; so fällt sie in das Dreieck, wenn die anliegenden Winkel in, n spitzig sind; hingegen liegt die Senkrechte LL ganz außer dem Lreyecke, wenn p ein stumpfer Winkel ist. Denn würde die Senkrechte in das Dreyeck fallen, und die Lagevo haben; so müßte das Dreyeck LeL einen rechten LeL und einen stumpfen Winkel VLo haben, welches nicht ftyn kann. Eben so kann man erweisen, daß die Senkrechte LV in dem Dreyecke liegen müsse. §. 379. wenn man die Seite VL eines Dreieckes VLL verlän¬ gert, so ist der äußere Winkel Ld — ft des Dreieckes der Summe der zwep inneren Winkel in und n gleich, nähm- lich ft —IN ft-n. Denn es ist in ft- n ft-p — 180", und auch p ft-ft —180"; folglich auch p ft-ft —in ft- n ft-p, und endlich g — in -i- N. §. 380. Hieraus folgt, daß ein Winkel VLL zwischen zwey 37. parallelen der Summe der Winkel gleich ist, die seine Sehern kel mit den parallelen cinschließen, nähmiich q —inft-n. Denn man verlängere nur VL bis v; so ist ft —pft-r; nun aber ist p —in, und r —n; folglich auch ft —inft-n. hingegen ist iin Winkel ^VL außer zwey parallelen der 38. Differenz der Zwey Winkel gleich, welche seine Schenkel mit den parallelen einschließen, nähmiich ft —n —in. Denn es ist p —ft-t-r, oder g- ? r; nun aber istp —n, und r —in, folglich auch ft —n—in. §. 381. In jedem Dreiecke steht einem größeren Winkel auch 39, eine größere Seite', einem kleineren winkel auch eine kler nere Seite, und umgekehrt, entgegen. ZO Erstes H aup c st ü S- k'iss. Denn man bilde sich nur ein, daß um das Dreyeck VL6 ein Z9. Kreis beschrieben sey (368.), und es fty so ist auch weil V —und 6 — ^VcL (vermöge 372.), oder LuL >8cV ist: es ist also auch die Sehne, oder die Seite L6 LV (366.). Deßgleichen wenn L6 > LV ist; so ist auch der Bogen Lu6 >LcV; folglich auch-^-LL6 >--^-LeV, und endlich V > (3, u. s. w. §. 382. Wir ziehen aus diesem folgende Schlüsse. I. Zn einem jeden Dreyecke sind gleichen Winkeln auch gleiche Seiten, und umgekehrt, entgegengesetzt. II. Ein gleichseitiges Dreyeck ist auch gleichwinkelig und folg- lrch regelmäßig; jeder Winkel desselben enthält — 60". Es kann demnach auf einer gegebenen Geraden ein regelmäßiges oder gleichseitiges Lrepeck verzeichnet werden, wenn man aus den Endpuneten der gegebenen Linie mit einem Halbmesser, der dieser Geraden gleich ist, zwey Rreisbsgen beschreibet, und ihren Durchschnittspunct mit den Endpunrren der gegebenen Linie durch zwey Geraden verbindet. III. In einem gleichschenkeligen Dreyecke sind die den glei¬ chen Schenkeln gegenüber stehenden Winkel einander gleich, und beyde spitzig. Und umgekehrt, wenn in einem Dreyecke zwey Win¬ kel einander gleichen, so ist es gleichschenkelig. IV. Wenn in einem gleichschenkeligen Dreyecke nur ein Win¬ kel bekannt ist, so sind auch die zwey übrigen bekannt. V. Wenn in einem gleichschenkeligen Dreyecke aus der Spitze des Winkels, den die gleichen Schenkel einschließen', auf die ge¬ genüber stehende Seite eine Gerade gezogen wird, und eines von folgenden drey Dingen statt findet: I. daß der Winkel, II. daß die gegenüber stehende Seite in zwey gleiche Theile getheilrt iss, III. daß diese Gerade auf der gegenüber stehenden Seite senk¬ recht stehet; so müssen auch die zwey übrigen richtig seyn: und umgekehrt, wenn zwey von diesen drey Dingen statt finden, so ist das Dreyeck gleichschenkelig. Von dni Eigenschaften ver öinim. 31 383. 40. I. wenn bey zwep Dreiecken ^LL und nsic die Seiten des einen mit den Seiten des andern Dreieckes wechselweise parallel laufen; so sind diese Dreiecke einander ähnlich; das ist die Winkel des einen sind den Winkeln des anderen Dreycckes wechselweise gleich; nähmlich 6 -- c, /4. — L, 8 — h. Denn man verlängere nur eine Seile des ersten, und zwey Seiten des anderen Dreycckes, bis sie einander durchschncidcn; so ist in — c, und auch in — 6, folglich 6 — c. Jngleichem ist n —n, und auch n —also auch —n. Da nun 6 — c,und — n ist; so ist auch 8 — si. 94. II. wenn bey zwey Orepecken 4r86 und aha die Seiten des einen Llreyeckes, oder deren'Verlängerungen, auf den Seiten des anderen Dreieckes, oder auf deren Verlängerun¬ gen wechselweise senkrecht stehen; so sind diese Lrexecke ein¬ ander ähnlich. Denn cs sey die Seite usi auf der Seite ^48, die Seite aa auf ^.6, und die Verlängerung 1>D der Seite sic auf 86 senk¬ recht; so ist vermöge dieser Voraussetzung g n- g —80». Es ist aber in dem rechtwinkcligen Dreyecke wegen des rechten Winkels bey 8, und (378.) t -t- x — 90°, folglich p -l- g — t -t- p, und g — t- Ferner ist in den zwcy Dreyeckcn 8nl> und nIM (378.) die Summe aller Winkel, nähmlich m-t-s-t-v-t-u—2.180"—360»; eS ist aber vermöge der Voraussetzung v —90°, und u—9'0°; diese beyden Winkel abgezogen, gibt in-t-8 — 180°. Nun ist auch (354.) 8 -l-r —1800; folglich IN -1- 8 — 8 -l-r, und IN — r. Da nun die zwei) Winkel t und g, in und r einander wech¬ selweise gleich sind; so ist auch der dritte Winkel 6 des einen DreycckeS dem dritten Winkel c des andern Dreycckes gleich ; und folglich sind die beyden Dreyecke ^.86 und asta einander ähnlich. §. 384. Wenn rin Drepeck nsia auf ein ähnliches und größeres 41. ^86 dergestalt gelegt wird, daß der gleiche Winkel st auf 8, die Seite hn auf 84., und die Seite sie auf 86 zu lie- Z2 Erst k s H auplsi ü ck. kix. Yen komme / so wird die -ritte Seite ae mit parallel laufen. Denn es ist u — oder 6 — c. Nun sind a und oder c und 0 der äußere und innere Winkel auf einer und derselben Seite; folglich ist ac parallel zu ^6 (363). Eben so könnte man erweisen, daß die Seite »6 mit^VL parallel laufen müßte, wenn c auf 6 , und cm auf gelegt würde; u. s. w- §. 385. 42. Alle Polygon-Winkel (vieleckswinkel) eines jedenviel- eckes, welches kerne eingehenden Winkel hat, enthalten zu¬ sammen so vielmahl 180", als es Seiten oder Winkel bat, weniger 360". Bey den Dreycckcn ist dieser Satz einleuchtend, weil 180"--- 3.180" —360"ist; aber er ist auch bey den übrigen Vielecken eben so richtig. Denn man bilde sich nur ein, daß aus einem innerhalb des Vieleckes nach Belieben angenommenen Punkte ? in alle Bieieckswinkel gerade Linien gezogen sind; so wird das Vieleck dadurch in so viele Drcyecke gethcilct, als es Seiten oder Win¬ kel hat. Nun enthält ein jedes Dreyeck 180"; folglich enthalten alle Dreyecke zusammen so vielmahl 180" als es Seiten oderWiel- eckswinkel gibt. Es sind aber die Winkel dieser Dreyecke, weni¬ ger den Winkeln um den Punkt?, allen Bieleckswinkeln zusammen genommen gleich, und die Winkel um den Punkt ? sind ---360" (354) ; folglich sind alle Polygon-Winkel eines Vieleckes, wel¬ ches keine eingehenden Winkel hat, so vielmahl 180° als es Sei¬ ten oder Winkel hat, weniger 360" gleich. Z. B. L-l-0-l- v -r- L --- 5.180° — 360" --- 900" — 360"----540"; denn cs ist 5.180"; also auch a-t-6-i-c-t-ä-^ e i-s-Ic— 5.180"— (in-s-n-t-p-i-c;-^-?) ; nun ist aberg-l-I> --- 360" , und n-l-h-s-c-l-ä-t- . . . — folglich ^-s-L-i-L-l-I>-t.L---5. 180°—360"---540". Es folgt aus diesem I. daß an einem Vielecke, welches keinen eingehenden Winkel hat, alle äußeren Winkel, welche d! rch die Verlängerung der Seiten entstehen, zusammen 360" enthalten. Denn es sey die Anzahl der Seiten oder Viel- Von den Eigenschaften der Linien. ZZ eckswinkel n, die Summe aller inneren Winkel oder aller Viel-kis- cckswinkcl — s, und die Summe aller äußeren Winkel — x; so 42. ist x-i-s —n.180". Nun aber ist 8 -- n . 180" 360"; folglich x n. 180" — 360" - n. 180", oder x - 360". II. Jeder Winkel des (Quadrates und Rechteckes ist ein rechter Winkel. Denn die vier einander gleichen Winkel enthal¬ ten zusammen 360"; folglich ist jeder derselben —90". Es kann demnach auf einer gegebenen Linie ein Quadrat oder ein regel¬ mäßiges Viereck verzeichnet werden, wenn man an den Endpunc- ten der gegebenen Linie senkrechte Linien errichtet, jede derselben der gegebenen Geraden gleich macht, und endlich die dadurch be¬ stimmten Puncte durch eine Gerade verbindet. Eben so kann über zwey gegebenen Geraden ein Rechteck verzeichnet werden, wenn man an den Endpunkten der ersten senkrechte Linien errichtet, jede derselben der zwcyten gegebenen Geraden gleich macht, und endlich die auf diese Art bestimmten zwey Puncte durch eine Gerade vereinigt. HI. Jeder Polygon - Winkel eines regelmäßigen Vieleckes von n Seiten ist —-- — 180"-; daher enthält n n jeder Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes 180" — — — — 108". Man kann demnach auf einer gegebenen Geraden ein regelmäßi¬ ges Fünfeck verzeichnen, wenn man an den Endpuncten der ge¬ gebenen Linie mit Hülfe des Transporteurs Winkel von 108" ver¬ zeichnet, jeden Schenkel dieser zwcy Winkel der gegebenen Geraden gleich macht, und endlich wieder an den Endpuncten dieser Schen¬ kel Winkel von 108" zeichnet. Diese Verzeichnung ist jedoch nur mechanisch oder handwerksmäßig, und nicht geometrisch; wir werden weiter unten Gelegenheit haben die geometrische Verzeich¬ nung eines regelmäßigen Fünfeckes zu zeigen. _ Eben so ist der Polygon - Winkel bey einem regelmäßigen Sechsecke — 120", bcym Siebenecke — 128^-", Achtecke — 135", Ncunccke — 140", Zehnecke 144", Eilfecke — 147^-", Zwölfecke — 150", u. s. w. Der im Eingänge dieses Paragraphen aufgestellte Satz gilt Vega Mach. II. B. 3 Z4 Erstes HauptstL s. Li§. selbst dann noch, wenn daS Vieleck eingehende, nähmlich 180 42. Grad übersteigende, Winkel hat; so daß in jedem nseitigen Po¬ lygon die Summe aller Winkel (n— 2) 180" ist. — Denn jedes Vieleck von n Seiten kann durch eine Diagonale in ein Drcyeck, daS von dieser Diagonale und von 2 Seiten des Vieleckes be- grenzt wird, und in ein Polygon, welches von derselben Diago¬ nale und den übrigen n —2 Seiten desViclcckes, also vonu—1 Seiten, eingeschlosscn wird, zerschnitten werden. Wiedcrhohlt man diese Theilungswcise, so wird man nach und nach das gegebene neck mittelst 1, 2, 3, in Diagonalen in 1, 2, 3, in Dreyccke und in cin n — 1, n —2, n — 3, n — inseitiges Vieleck zerfallen. Soll letzteres bloß die geringste mögliche Anzahl Seiten, nähmlich 3 enthalten, also n„in —3 werden; so sind hiezu in —n__3 Diagonalen erforderlich. Man kann demnach mittelst n—3 Diagonalen das vorgelegte n eck in in -t-1 — n 2 Dreyccke zerschneiden, deren Winkel zusammen alle Winkel dieses neckes ausmachen. Da nun die Summe der Winkel jedes Drey- eckcs —180" ist, so muß die Summe der Winkel der n-_2 Drey- ecke, d. i. die Summe der Visleckswinkel — (n — 2) 180" sevn. Z. 386. 43. wenn in einem Vierecke jede Zwey gegenüber stehenden Seiten mir einander parallel laufen, ss sind sie auch einander gleich. Dennman ziehe nur dieDiagonale 68, so istm—n,x —ej, und LL —LL, also auch LV —HL, und VL— HL (356. III ). Ilmgekehrr, rvenn jede zrvcp gegenüber stehenden Sei¬ ten einander gleich sind, so sind sie auch parallel. Denn da HL -- LV, HL --- LV, und LL --- LL ist; so ist auch m —n, und p —g; folglich parallel zu LV, und HL paral¬ lel zu LV (363). Endlich, reennnur zrvcp ernander cntgegensiehende Seiten gleich und parallel sind, so sind auch die anderen zrvep gleich und parallel. Denn es scy HL gleich und parallel zu LV, so ist in den Dreyecken LHL und LVL die SeiteHL—LV, LL—LL, und der Winkel n — m; folglich auch HL — LV, der Winkel x — q, und HL parallel zu LV. Bon den Eigenschaften der Linien. 35 §. 387. Bey den Parallelogrammen sind auch folgende Satze zu merken. 8ix. I. Jedes Parallelogramm wird durch die diagonale 86 43. in zwey vollkommen gleiche Dreiecke getheilct, folglich ist jedes Dreieck ^86 die halste eines Parallelogramms L8O6, mit welchem es zwep Seiten und den von diesen eingeschlos- sencn Winkel gleich hat. Dieß erhellet aus der Gleichheit der Dreyccke -^68 und 681). II. Jede der Diagonalen und 68 eines Parallelo¬ gramms wird in ihrem gemeinschaftlichen Durchfchnirtspuntte N wegen der Gleichheit der Dreiecke 6N^ und DN8 m zwey gleiche Theile gctheilet. Sollte nun das Parallelogramm ein Rechteck seyn, wie ^>861) (8ix. 28), so ist N/> — >18 — 28. >16 — NI). Es kann demnach auf einer viereckigen Fläche, z. B. auf einem Bogen Papier, allocl ein Rechteck verzeichnet werden, wenn man die Diagonalen ao und sicl zieht, N> — N8 — >16 — NO macht, und endlich die Puncte .4., 8. 6, O mit¬ telst gerader Linien verbindet. I11. Jede durch den Durchschnittspunct N der Dragon»- 43. len /VI) und 86 gezogene Gerade I>s) theilet sowohl das pa> rallelogramm als auch sich selbst in zwep gleiche Theile. Die¬ ses erhellet aus der Gleichheit der Dreyecke 6>8) und 8N8. Es ist demnach in einem jeden Parallelogramme der Durchschnittspunct der Diagonalen zugleich der Mittelpunkt der Größe des Paralle¬ logramms. Denn derjenige Punct in einer ebenen Figur, durch den eine jede von irgend einem Puncte des Umfanges zu einem anderen gezogene Gerade, sowohl die Fläche als auch sich selbst in zwey gleiche Tbeile theilet, heißt der Mittelpunkt der Große dieser Figur. §. 388. Nicht das Parallelogramm allein, sondern jedes spmme« 33. trische Vieleck hat einen Mittelpunkt der Größe. Denn man ziehe nur die gerade entgegengesetzten Winkel durch Diagona¬ len /VO, 88, 68 zusammen, so wird man sehen, daß wegen der vollkommenen Gleichheit jeder zwcu gerade entgegengesetzten Dreyccke E8 und VN8, 8N6 und 8N8 u. s. w. jede Dia. 3 » Zg Erstes Hauptstück. Fix. zonale in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspuncte 8 in zwey gleiche Theile getheilet ist, und daß nicht nur jede Diagonale, sondern auch jede andere Gerade KO sowohl sich selbst als auch die Fläche des symmetrischen Vieleckes in zwey gleiche Theile thei- let. Daß hingegen die unsymmetrischen Vielecke, selbst wenn sie regelmäßig sind, keinen Mittelpunkt der Größe haben, wird je¬ dermann leicht einsehen. 389. 44. Zwey Parallelogramme ^.886 und K68K auf eurerley Grundlinie68 sind einander am Flächeninhalte gleich, wenn sie gleiche Götzen haben, oder zwischen zwey parallelen stehen. Denn es ist das Dreyeck 88k — ^6K, man subtrahire beyde von ^V68k, so ist -- K68K. §. 390. Wir folgern hieraus 45, I. daß auch zwey Dreyecke, die auf einerlei Grund¬ linie zwischen zwey parallelen stehen, einander am Flächen¬ inhalte gleich sind, nähmlich L.68 — K68. Denn es ist ^688--L68k, also auch 4-^688---^K68K oder das Dreyeck ^68—K68. Eben so leicht ist einzuschen, daß am Flächeninhalte das Dreyeck .^8K dem Dreyecke V6K gleich ist, wenn man zu K8 und K6 aus dem Puncte ^Parallelen führet; 4tz, II. daß auch Parallelogramme /ä8l>6 und körn', oder Dreyecke 868 und K88 zwischen zwey parallelen, wenn sie gleiche Grundlinien 61)—68 haben, einander am Flächeninhalte gleich sind, obschon sie nicht auf derselben Grundlinie stehen. Denn man ziehe nur 6K und I)K; so ist das Viereck K6DK wegen der Gleichheit und des Parallelis- mus der Seiten KD und KK ein Parallelogramm (386), daher (nach 389) ^688--K68K, und auch K68K^K68K; folg¬ lich ^688--L68k, und 4-^688 ^4-L68K oder das Dreyeck 868 -- K68. Da nun Parallelogramme und Dreyecke zwischen zwey Pa¬ rallelen gleiche Höhen HM — kiX haben; so können wir sagen: Bon den Eigenschaften der Linien. 37 daß Parallelogramme und Dreiecke, die gleiche Grundlinien Lix. und Höhen haben, einander am Flächeninhalte gleich sind. III. Daß Parallelogramme von einerlei Höhe sich am 47. Flächeninhalte gegen einander verhalten, wie ihre Erunö- lrnicn, _XI)LL.-LULL^H). LH, wenn diese zwey Paral¬ lelogramme cinerlcy Höhe haben. Zur Ueberzeugung übertrage man die Grundlinie des kleineren Parallelogramms auf die Gxund- linie des größeren, z. B. bis iX, so daß LM--MI)wird, theilc die Grundlinie LH des größeren Parallelogramms in eine so große Anzahl gleicher Theile, daß der Punct lX mit einem Thcilungs- puncteüocr einander falle, und ziehe sodann durch alleLheilungs- puncte die Parallelen nl>, iXXI, csi, u. s. w. Wenn nun LH in n gleiche Lheile, deren jeder gleich La fty, getheilet ist, und der Punct iX mit dem inten Thcilungspuncte übereinfällt; so ist IM —ni.Ln, LH — n. La, daher LiX: LII —in: n; zugleich hat man aber auch LlXHL—in.LallL, LULL — n. LahL, mithin IMXII .LIILI — in:n. Hieraus folgt L-XXIL:LIILL IM. LH (171.); und endlich -VOLL - LULL -- VI) :LII. wenn wir -VDLli für IMXIL und VI) für IM substituiren. Wenn das Werhaltniß VI). Lü irrational wäre; so müßte man die größere Grundlinie in Gedanken in eine unendliche An¬ zahl gleicher Theile theilen, damit die kleinere Grundlinie genau bis auf einen Theilungspunct reiche, wenn sie auf die größere übertragen wird; wäre z.BMI):LH—3: 65; so wäre auch .VIWI) :LLLII^3 Z/ 65. §. 391. Auch Dreyecke von einerlei) Höhe und verschiedenen Grund¬ linien verhalten sich am Flächeninhalte gegen einander, wie ihre Grundlinien, nähmlich VIII): LLH -- .VI): Li!. Denn es ist ^LLV : LLLN -- ^Vv : LII , also auch ;MLLI) : ^LLOH'--.VI) :LH, folglich (nach §. 387. I.) XIW: LLII -- XI): LH, oder auch VIW. VI) -- LLK: LII. §. 392. Um jedes regelmäßige Vieleck ^XLOLLU kann ein Rreis 49. dergestalt geführet werden, daß die Scheitel aller Winkel in dem Umkreise liegen. 88 Erstes Hauptstü S. 8ix. Denn man theile nur zwcy neben einander liegende Vielccks- 49. winkel, z. B. 1148 und 4LI) durch die Geraden r46 und 86 in zwcy gleiche Theile, und ziehe von ihrem Durchschnittspuncte 6 in die Scheitel aller Viclcckswinkel die Geraden 68, 68, 66, 611; so ist wegen des gleichschenkeligen Dreieckes .468 die Gerade 6.4. —68. Ferner ist wegen der vollkommenen Gleichheit der Dreyccke ^68 und 861) die Gerade 6.4.-68 — 68, und der Winkel 688 — 648 — 688 — ' 488— '-888. Eben so ist wegen der Gleichheit der Dreyccke 868 und 868 die Gerade 68 — 68 -- 68 -- 6.4 u. s. w. Da nun 6/4 — 68 — 68—68 ist u. s. w.; so sind die Scheitel aller Vieleckswinkel von dem Puncto 6 gleich weit ent¬ fernt; folglich liegen sie in einem Umkreise, der aus dem Durch- schnittspuncto6 mit einem Halbmesser 6.4. — 68 beschrieben wird. §. 393. Hieraus folgt I. Daß jedes regelmäßige Vieleck durch die Geraden 6^, 68, 68 u. f- w. in so viele gleichschenkelige, und vollkorm men gleiche Drcyecke zerfäller rverde, als es Seiten oder Vieleckswinkel hat. II. Daß jede Seite des Vieleckes einen Logen von Graden abschneiöet, wenn das Vieleck» Seiten enthält, oder daß der Mittelpuncrswinkel eines regelmäßigen Vieleckes, z. L. ^68, Grad besitzt, wenn das Vieleck n Seiten enthält. So ist der Mittclpunctswinkel in einem gleichseitigen Dreyccke, nahmlich 4^68 oder 4.66---^— —120"; dcrMittelpunctswin- kel in einem Vierecke — — gg», in einem Fünfecke ---- 72°. In einem regelmäßigen Sechsecke ist der Mittclpuncts- winkel 468 -- --60°, folglich 648-t-684--180 60 — 120°; nun aber ist das Dreyeck .486 gleichschenkelig, 120 folglich der Winkel 6.48--486--1 - 60°; cs ist also das Bon bon Eigenschaften der Linien. 89 Dreyeck ^L8L auch gleichseitig, und^L—^8—L8, daS heißt: 8ix. Lie Seite eines regelmäßigen Sechseckes ist -em Halbmesser 49. fernes umschriebenen Kreises gleich; oder eine Sehne, die dem Halbmesser gleicht, schneidet einen Logen von 60' ab. §. 394. In jedes gegebene regelmäßige Vieleck kann ein Lreks so eingeschrieben werden, daß denselben jede Seite berühret. Denn man ziehe nur aus dem Mittelpunkte 6 des um¬ schriebenen Kreises die Senkrechten LN, LA, LIL u. s. w. aus die Seiten Dss, IL u. s. w.; so werden alle diese Senkrechten einander gleich scyn, und folglich die Puncte L, 6, u. s. w. in einem Umkreise liegen, wovon d oder LI, der Halbmesser, und /V8, 81), Lss u. s. w. .Tangenten sind, weil die Drcyccke I)L>I, i>IL8, 8LA, ALL, L68 u. s. w. alle einander voll¬ kommen gleich sind. Diese Einschreibung des Kreises ist bey einem jeden, auch unregelmäßigen , Dreyecke möglich. Denn man theile nur zwey Winkel eines gegebenen Dreyeckes in zwey gleiche Theile, ziehe aus dem Durchschnitlspuncte der Theilungslinien senkrechte Linien auf die Seiten des Dreyeckes; so werden diese drey Senkrechten einander gleich scyn, und folglich ihre Einschnitte in die Seiten in einem Umkreise liegen. Die Gleichheit dieser drey Senkrechten läßt sich mittelst §. 356. erweisen. Z. 395. Auch läßt sich in einen gegebenen Kreis jedes regelmäßige Vieleck einschrciben, wenn man an dem Mittelpunkte des Krei¬ ses einen Winkel verzeichnet, der dem Mittelpunctswinkel des verlangten regelmäßigen Vieleckes gleich ist, und sodann die Sehne des Bogens, den die Schenkel des verzeichneten Winkels ab- schncidcn, auf dem Umkreise so oft herumträgt, als es sich thun läßt. Dieses geschieht bey der Einschreibung eines regelmäßigen Dreyeckes, wenn man aus einem Puncte des Umkreises 8 mit dem Halbmesser des gegebenen Kreises- einen Bogen LLV ziehet, der den gegebenen Umkreis in -V. und I) durchschnsidet; und sodann die Sehne von 8 in L oder von in L überträgt. Denn es ist der Bogen ^8-^81)--60---60--120"-- dem Mittel- 40 Erstes Haupt stück. kixr punctswinkei des regelmäßigen Dreyeckes; und da OO — 40 49. ist, so ist auch der Bogen 080—480—120"; und endlich 4110 4110144448080 --- 360 — 240 - 120"; folglich auch .40 —.4.1) ---1)0. Oder man theile den Halbmesser 08 in dem Puncte l) durch die Senkrechte.40 in zwey gleiche Theile; so wird .40 die Seite des regelmäßigen Dreyeckes scyn. Denn cs ist die Seite OO — (^8, <) 4 — 0/4, der Winkel 4t)0 — _4tz8; folglich 4.8 — /40— OO — 08, der Bogen 48 — 80 — 60", und endlich der Bogen 400 — 120". Lheilct man nun die Bogen 480, 01'0, 084 in den Puncten 8, 8, 8 in zwey gleiche Theile, und verbindet die Puncte 4, 8, O, 8, O. II durch gerade Linien; so wird in dem¬ selben Kreise auch ein regelmäßiges Sechseck eingeschrieben seyn. Und so kann durch fernere Halbirung der Bogen aus einem Sechseck ein Zwölfeck, aus dem Zwölfcck ein Vierundzwanzigeck bestimmt werden u< s. w. Das regelmäßige Sechseck wird geschwinder in einen Kreis eingeschrieben, wenn man den Halbmesser sechs Mahl auf dem Umkreise herum trägt. Ein regelmäßiges Viereck oder ein Quadrat wird in einen gegebenen Kreis eingeschrieben, wenn man zwey auf einander senkrechte Durchmesser 80 und >8 zieht, und ihre Endpunkte L, L, O, 4 durch gerade Linien verbindet. Thcilet man nun einen jeden Bogen, den die Seite des eingeschriebenen Qua¬ drates abschneidet,, in zwey gleiche Theile; so wird man auch ein regelmäßiges Achteck cinschreiben können. Und so läßt sich ferner ein 16, 32, 64eck u. s. w. in einen Kreis cinschreiben. Die Einschreibung eines Fünf-, Zehn-, Zwanzigeckes u. s. w. inglcichen eines 15, 30, 60eckes u-s. w- soll weiter unten ver¬ kommen. Die Einschreibung der übrigen Vielecke aber laßt sich nach Gründen der Elementar-Geometrie nicht anders verrichten, als mit Hülfe des Transporteurs, oder durch bloßes versuchen (tentLncio). §. 396. 50. Auch läßt sich um einen gegebenen Kreis ein jedes regelmä¬ ßige Vieleck dergestalt beschreiben, daß jede Seite desselben den gegebenen Umkreis berühret, wenn man aus dem Mittelpunkte Bo» dcn Eigenschaften der Linien. 4t des Kreises einen Winkel 808 verzeichnet, der dem Mittelpunkts- 8i». winkel des verlangten regelmäßigen Vieleckes gleich ist; so¬ dann die Sehne 88 durch die Senkrechte 00 in zwcy gleiche Theile theilct, die Schenkel 08 und 6t' verlängert, durch dcn Punct O die Parallele X8 zu 66 zieht, mit dem Halbmes¬ ser O V oder 08 den Kreis beschreibet, und endlich die Sehne X 8 in diesem Kreise so ost herumträgt, als es sich thun läßt. Der Grund dieses Verfahrens ist aus dem Vorhergehenden leicht einzuschen. IV. Abschnitt. Von den Proportional-Linien. §. 397. wenn man in einem Dreiecke -^80 zu einer Seite 80 51. «ne parallele 08 führt, so werden dadurch die zwep anderen Seiten in proportionale Theile geschnitten; nähmlich cs wird /V8 :-^8 — 88 :08 — K8 :K0. Ueberdieß ist das Drepcck ^88 dem Dreiecke -V80 ähnlich. Denn man ziehe nur die Geraden 88 und 80 ; so ist am Flä¬ cheninhalte das Drcycck 888 — 880, weil diese zwey Drcyecke auf derselben Grundlinie 88 zwischen zwcy Parallelen stehen. Es ist also auch 888-I--V88—880-1-^88, nähmlich K88—,V80. Weil jedoch Drcyecke von gleichen Höhen ihren Grundlinien proportional sind (391-), so ist, da die Drcyecke X88, 808 und KO8 dieselbe Höhe besitzen, ä88 :ä8-- 808:08 -- ^08. /V0 ; eben so hat man, da auch die Drcyecke-V88, 888 und /V88 eincrlcy Höhe haben, /X8:^88-88:888--K8:K88. Multiplicirt man diese Verhältnisse gliedcrweise mit einander und rcducirt, so ergibt sich ^8. ^8 -- 88 : 08 ---V8:^0. Weil ferner der Winkel 8.^0 — 8/V8, und wegen des Pa- rallelismus der Geraden 88 und 80 auch der Winkel ^80 --- 42 Erstes Hauptstück. Di»'. HDD ist; s» sind die Dreyecke HRD und HDD (nach 378. IV.) 51. einander ähnlich. 8. 398. Und umgekehrt, wenn eine Gerade DD zrvey Serien HL und HL eines Oreyeckes in proportionale Theile zerschneidet, so daß von den drcy Verhältnissen HD: HD, LD.DD, HL:HD zwcy gleich sind; so lauft dieselbe zur dritten Seite LD parallel. Denn ist z. B. HI): HD — HL: HD und wäre DL nicht parallel zu LD; so könnte durch den Punct D eine andere Pa¬ rallele, z.B. DO gezogen werden; dann wäre vermöge des Vor¬ hergehenden HD : HO—HD :HO, und vermöge der Vorausse¬ tzung HD: HD — HR: HO, also auch HO: HD — HD: HD; folglich wäre HO —HD, welches nicht scyn kann; cs kann dem¬ nach außer der DD keine andere DO durch den Punct D pa¬ rallel zu LD gefuhret werden. Wenn also HD: HD — HR: HD statt findet; so läuft DD parallel zu RD. §. 399. I. Leg zwe^> ähnlichen Dreiecken HRD und uhc stehen die gleichnahmigen Seiten (Otorn homolvxu), die nahmlrch gleichen Winkeln gegenüber liegen, in Proportion; nähm- lich cs ist HR: ul> — LD: I><- — LH: cu. Denn man lege nur das kleinere Dreyeck uha dergestalt auf daZ größere HRD, daß der Winkel u den Winkel H decke, die glcichnahmige Seite uh auf HR, und uc auf HD falle; so wird die Seite hcmitLD parallel laufen (384.), und eS wird HD — u!>, HD — :w scyn, wenn die Schenkel uh und uc bis D und D rei¬ chen. Nun ist vermöge des Vorhergehenden (§. 397) HR:HD — HD:HD, also auch HL: u!> — DH: uu. Würde man nun den Winkel h auf R, und die glcichnahmige Seite he. auf LD legen; so würde ae mit HD parallel laufen, und vermöge des Vorherge¬ henden folgende Proportion statt finden: HR: uh — LD: he, u. s. w. H. Umgekehrt, wenn die Seiten eines Dreieckes aha mit den Seiten eines anderen Dreieckes HRD in Proportion stehen, nähmlich wenn HL: uh — RD : hc — HD : ue. statt fin¬ det; so sind die Dreiecke ähnlich. Bon tkn Eigenschaften der Linien. 48 Denn man mache nur tD — , tD^-ne, und ziehe die Dix. Gerade DD; so ist (398) DD zur L6 parallel, daher sind (377) 51. die Drcyecket86 und tDD ähnlich, folglich (nach!.) tD.tD — 86. DD; allein der Annahme gemäß ist tL:asi — 86:sic, somit wegentD—»si auch DD—sic. Da nun in den Drey- ecken nsic und tDD die Seiten tD — nsi, tD — ac, DD — sic sind; so sind sie einander vollkommen gleich, das ist gleich und ähnlich, es ist nähmlich tDD osic. Nun aber ist das Dreyeck tDD^ t86, also auch resica t!l6. Wir werden durch dieses (tc) Zeichen die Ähnlichkeit an¬ zeigen. §. 400. wenn in zwep Dreiecken t86 und asic verwinkelt-a ist, und osi :t8 — sc.t6 statt findet; das ist, wenn die Sei: ren, die den gleichen Winkel einschließen, in Proportion stehen, so sind die Drcpecke einander ähnlich. Denn man lege nur das Dreyeck osic dergestalt auf t86, daß der Winkel a den Winkel t decke, die größere Seite resi auf t8 bis D, und die kleinere nc auf tl) bis 8 falle; so wird DD — sic, der Winkel tDD — si, und tDD — c scyn: nun ist r»si : t8 — »c: t6, und asi — tD, nc — tD, also auch tD: VI! — tD:t6, folglich DD parallel zu 8(^ (398.), und das Dreyeck tDD dem Drcyccke t86 ähnlich. Nun aber ist das Dreyeck tDD mit .-»sic identisch, folglich ist auch das Dreyeck ssicä-5t86. ß. 401. wenn man in einem Dreiecke t86 einen Winkel 8t6 52. durch die Gerade tD in zwey gleiche Theile heiler; so ist DD : 6t - DD: t8 - 86 : 6t -t- VD. Denn man verlängere nur 6t, mache tD — t8, und ziehe DD; so ist 8D parallel zu Dt, weil Dt6 — 2x —v-t-/— r.-t-7. — 2r., nähmlich ist (363.); folglich (nach 397.) 6D : 6t — DD: tD — 86 : 6D, oder wegen tD — tD und 6D 6t n- tD -- 6t -D t8, 6D : 6t -- V8 : tD -- D6:6t^-t8. Umgekehrt, wenn die Gerade tv dergestalt gezogen wird, daß von den drep Verhältnissen 6v:6t, D8:t8 44 Erstes Hauptstück. k'ix. und 80:04^-48 zwey gleich sind; so theilt sie den Winkel 52. 840 in zwcy gleiche Theilc. Denn ist z. B. 08:04—88:48, so verlängere man 04, mache 48 — 48, und ziehe 88; so ist 1X4 parallel zu 88, weil vermöge der Voraussetzung 01) : 04 — 88 .48 statt findet (398.); folglich ist x —x. Ferner ist das Dreyeck 848 gleichschenkelig, daher y — r; nun aber ist der Winkel 048 — v -l- r — 2?, oder 0.48 — 2x, und somit x — -5- 048. §. 402- 52 wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke aus der Spitze des rechten Winkels eine Senkrechte auf die ^ypsche- nuse zieht; so sind die dadurch entstehenden Dreyecke dem gege» denen, und unter sich ähnlich; z.B. in8i». 53 ist 488-^ 480 M 480. Denn weil 48 auf 80 senkrecht steht, sind die Drcyecke 488 und 480, eben so wie 840 rechtwinkelig. Ueberdieß hak das Dreyeck 840 mit 488 den Winkel x und mit 480 den Winkel v gemein; daher sind diese Dreyecke 488 und 480 (nach 378. II.) dem Dreyecke 840, folglich auch einander selbst ähnlich. §. 403. In jedem rechn winkeligen Dreyecke 480 ist das (Qua¬ drat der Zypothenuse den (Quadraten -er beyden Rachelen zu- sammcngenommen glerch; es ist nähmlich 80-— 48^-t-40-, oder er- — zr -j_ c-, wenn wir 80 — L, 04 — ö, und 48 — c setzen. Um diese wichtige Wahrheit einzuschen, ziehe man aus der Spitze des rechten Winkels die Senkrechte 48 auf die Hypothc- nusc 80; so ist 408 n 488 n 480 (402.). Es findet demnach in den Drcycckcn 488 und 480 folgende Proportion statt: 80:48 — 48:88, oder wenn wir88 mit ä benennen, a: c — c: ä (A); deßglcichcn ist in den Dreyccken 480 und 480, 80:40 — 40 :80 , oder a : ö — k>: a — ck (B), weil 80 — 80 — 88 -- u —ä ist. Von den Eigenschaften dec Linien. 45 Nun ist aus der Proportion A .... all - und aus der Proportion B.. ki (vermöge 182.); also gibt die Addition . .. . n? — ö? -i- o-; das ist, L6----VL-^6-. Man kann diesen Satz auch auf folgende Art erweisen: Auf jeder Seite des rechkwinkeligcn Dreyeckes verzeichne 54. man ein Quadrat, ziehe die Senkrechte ^Vv, und die Geraden 6k, ^.k, Lk, so wird man leicht cinschcn, daß das Quadrat -^Lkv dem Rechtecke VLVk gleich ist. Denn cs ist das Drcyeck I6L — L^k, weil die Seite Lk — L^V, L6 — M, und der Winkel m -t- p — p -i-n, nähmlich der Winkel kö6— (356. H.) ist. Nun aber ist am Flächeninhalte das Dreyeck k6V — H(VL, und — Ll'6 (390.); cs ist also auch HL — LI>L, und auch 2kVL 2Ll'k, das ist, I ll VL Ll'vk, nähmlich das Quadrat LH ist dem Rechtecke LV gleich. Auf eben diese Art kann man zeigen, daß 6iVI — 6!) ist, wenn man von.4. nach V und von L nach gerade Linien ziehet. Da nun LV^LV, und (M^6V ist; so ist auch LV^-(M- LI) -t- 6V LV, oder L(V- -l- -V6- - L6-. Es ist nähmlich Sitte, das auf einer Geraden ^6 errichtete Quadrat mit Bo¬ eder 6^, oder auch mit zu bezeichnen, wenn man die Ge¬ rade -V6 — - setzt- Anmerkung : Diese zwey Sätze: Las (Quadrat der ^ppo- thenuse ist den Quadraten der bepden Rathecen zusammenge¬ nommen gleich; und in ähnlichen Dreiecken stehen die gleich- nahmigen Seiten rn Proportion: sind ungemein reiche und gleichsam unerschöpfliche Quellen, aus denen die wichtigsten Wahr¬ heiten in alle Theile der niederen und höheren Geometrie fließen. 8. 404. Umgekehrt, wenn in einem Orepecke das M-uadrac der größten Seite den (Quadraten der beyden übrigen zusam¬ mengenommen gleich ist, so ist dieses Drepeck rechtwinkelig; nähmlich wenn ^L? — ^.6?-t-6L? ist, so ist ui —90". Denn man errichte nur auf ^6 in dem Puncte 6 die Senk- 55. rechte 61), und mache 6V — 6L; so ist in dem rcchtwi'nkeligcn 46 Erstes Haupt stück. kix. Dreyecke 461) vermöge des Vorhergehenden 41)- — 64- -t- 61)-, 55. oder 41)---46-4-6L-, (weil 61) L6 und folglich 6!)- — 68- gemacht worden ist). Nun ist aber vermöge der Vor¬ aussetzung 48- - 40- 4- 68-; folglich ist 4V- -- 48-, oder 41) — 48. Da in den Dreyecken 468 und 468 die Seite 46 — 46, 1)6 — 68, und 41) — 48 ist; so sind diese Dreyecke einander vollkommen gleich, und n —m — 90°. §. 405. Aus der Gleichung a- — L- 4-0-folgt, daß auch ö- — n? — a-, und o- —er- ö- ist. Es ist demnach in einem rechtwinkeligcn Dreyecke die Hhpothenuse a—/ (5-4-e-), die eine Kathete L— / (a-_ c-), und die andere / (a-— ö-). Cs sey z.Bi die eine Kathete 5 — 3, und die andere e — 4; so ist die Hypo- thcnuse a—/ (94-16) — 25 — 5; folglich schließen drey Seiten, die sich wie 3, 4, 5 verhalten, ein rechtwinkcligesDreyeck ein. Man pflegt auch wirklich in der Ausübung eine Schnur nach diesem Verhältnisse cinzutheilen, und dann zur Errichtung der Senkrechten auf dem Felde zu gebrauchen. Außer diesen drey ganzen Zahlen 3,4, 5, und ihren Vielfachen 3», 4», Zn (z. B. 6, 8, 10; 9,12,15), gibt es unzählige, die auch ein rechtwinkeliges Dreyeck einschlicßen; z. B. 5, 12-13; denn es ist (13)---(12)-4-5-, nähmlich 169 t--144 4-25 - 169. Man findet dergleichen Zahlen, wenn man die unbestimmte Gleichung a- —1,-4-c- auflöst. Es ergibt sich nähmlich, wenn man im Z. 225 Aufg. 6 die Buchstaben x, v, z. mit c, k, s , c2 rs ,r e ^2 . X2 vertauscht, 6 -- -—4 »nd -- eE Damit a und d ganze Zahlen werden, sehen wir e' e? — m und -- — n, wodurch -- — MN, folglich c — 2 MN, 6 — m n , n — m 4- n wird. Soll aber auch c rational werden, so nehmen wir m —x* und n—v-, und erhalten c--2x^, si — 3^-x-4-x-. Won den Eigenschaften der Linien. 47 Setzen wir nun .... er — 2, 3, 4, 4, 5, Liss, und § — 1, 2, 1, 3, 2, 55. so ist die eine Kathete 3, 5, 15, 7, 21, die andere Kathere . . . o — 4, 12, 8, 24, 20, und die Hypothenuse . . n — 5, 13, 17, 25, 29, u. s. w. Die Formeln n — / (L? 4-«-), und b --- / (a- _ c») geben uns zu erkennen, daß man zu zwcy Katheten die Hypothenuse, und zu der Hypothenuse und einer Kathete jederzeit die andere Kathete durch Rechnung bestimmen könne. Allein wir können dieses auch durch die Verzeichnung finden. Wenn nähmlich zu den gegebenen Katheten 01) und 0X die Hypothenuse durch Zeich¬ nung zu suchen ist; so stelle man die zwcy gegebenen Katheten unter einem rechten Winkel zusammen, und verbinde ihre End¬ punkte durch eine Gerade XL; so wird diese die gesuchte Hypo- thenuse seyn. Desgleichen aus der Hypothenuse und aus einer Kathete wird die andere Kathete durch die Verzeichnung gefun¬ den, wenn man einen Schenkel eines rechten Winkels der ge¬ gebenen Kathete 0X gleich macht, und aus.4. mit einem der Hypothenuse gleichen Halbmesser einen Kreisbogen be¬ schreibet, der den andern Schenkel in I) durchschncidet; die Ge¬ rade LV wird dann der gesuchten Kathete gleich seyn. §. 406- wenn man an dein Endpunkte L einer gegebenen Ge- 56. raden .48 eine Senkrechte LOXL errichtet, die Hypothenuse XO ziehet, OK-OL--^XL, und XL—XL abschneidet; so wird dadurch die gegebene Gerade XL in dem Punkte L nach dem äußeren und mittleren Verhältnisse ge- theilet (ineclin ot oxtrema ratione reeta); nähmlich der grö¬ ßere Theil XL wird die mittlere geometrische Proportionale zwischen dem kleineren Theile LL und zwischen der ganzen Geraden XL seyn; das ist, es wird LL:LX — LX:LX sich verhalten. Denn cs ist X0---XL» 4- LO-, oder (XL-t-LO)'-- 04V 4- LO) - ^4L- 4- LO-, nähmlich XL- -e- 2L0 . XL 4- L0--E^L0-; also auch ^VL- --X8-__2L0 . XL-- 48 Erstes Hauptstück. riss. ^L-_^R.^I) -- (.48-^1)) .,4L, das ist .41)- -- LV.-4L; und endlich LI) : ^41) — 4Ü: 4L (vermöge 185.). §. 407. 57. wenn man den Halbmesser 6L eines Preises nach dem äußeren und mittleren Verhältnisse, nähmlich in dem puncte v dergestalt theilet, daß LV : 1)6 —1)6: R6 sich verhält, und die Sehne L.4 —1)6 macht; so ist diese Sehne die Seite eines regelmäßigen Zehneckes. Denn cs ist der Bogen 4L oder der Winkel u —36"- welches ich auf folgende Art erweise. Es ist vermöge der Voraussetzung LO:I)6 1)6.86, und 1)6 folglich ist in den Dreyecken LI):4 und 8^46, LI): 8^4 — 8.4:86, überdieß ist der Winkels beyden Dreyecken gemein: demnach sind diese zwcy Dreyecke einander ähnlich (400.), und folg¬ lich ist n —r. Ferner ist das Dreyeck ^486 gleichschenkelig; es ist also auch das Dreyeck 88.4 gleichschenkelig, somit iu —p — (g-i-i), und ^48 — ^1) — 86; folglich ist auch das Dreyeck ^486 gleichschenkelig, undn—g. Nun ist in — ng, (379) n 4- n — 2u, also auch p — 2n, und g 4- r — 2n, weil IN—p— (g-»-r) ist; endlich ist auch n-t-p-1- (q-r-r) —180" (378.); folglich ist auch n-t-2u-r-2n — 5n —180", nähmlich 4 800 36()O der Mittelpunctswmkel n —— 36" —oder der Bogen 48 ist der zehnte Theil des ganzen Umkreises, und die Sehne ^48 ist die Seite eines regelmäßigen Zehneckes, die man also zehnmahl aus dem Umkreise Herumtragen wird, um ein regelmä¬ ßiges Zehneck einzuschreiben. §.408. In jedem Vierecke X 1)6 6 (issix. 151.), dessen Winkel- puncte in der Peripherie eines Rreises liegen, gleicht das Product der Diagonalen der Summe -er Produkte der gegen- überstehenden Seiten; nähmlich cs ist .41). I)L -- VI). 6L 4- 46.61). L on den Eigenschaften der Linien. 49 Denn man mache den Winkel OVO — KVK —r/, so wird Kiss. OVK—OVK— n^—6VO; folglich sind, weil in —in/ (372-II) 151. ist, die Dreyecke OV8 und KVK, und wegen x> — (372. II), auch die Dreyecke VLK und KVO (nach 378. IV) ähnlich. So¬ nach erhalten wir die Proportionen VO:V8--VK:KK Vk : OK -- VK: KV oder die Gleichungen VK.VV--VV.KL VL.LK--VK.KO deren Summe, da OL -t-LL — OK ist, Vk. OK ---- vv. kk -I- Vk. KO gibt. . §. 409. I. Jstkk — o eineSehne, oder dieSeite eines regelmäßigen 50. Vieleckes in einem Kreise, dessen Halbmesser r und Durchmesser ä ist; so findet man ihren Abstand vom Mittelpuncte oder den Halbmesser des dem Vielecke eingeschriebenen Kreises KO — § aus dem rechtwinkligen Dreyecke KOK, nähmlich ( - r"— <8 — c- und den Durchmesser desselben Kreises Setzen wir die Seite Vk des jenem Kreise umschriebenen Vieleckes — k, den Halbmesser KV. des Kreises, in dessen Peri¬ pherie die Spitzen dieses Vieleckes liegen — H, und seinen Durch¬ messer — O; so liefern die ähnlichen Dreyecke KKO und KVK die Proportionen K:c — H:r — r:(> — O:ä — ä:A, woraus wir erhalten. Bezeichnet ferner n die Anzahl der Seiten der hier betrach¬ teten regelmäßigen Vielecke, p den Umfang des eingeschriebenen Vega Mach. II. B. 4 50 Erstes Hauptstück. und k jenen des umschriebenen Vieleckes; so wird c — und Ži¬ li , daher findet man n- o 152. ii. Sind (I'iss. 152) die Sehnen ^Vk —fi und KL— c zwcyer Bogen ^.k und KL bekannt, so kann man auch die Sehne H.L — » der Summe ^k -t-KL --- ^KL dieser Bogen berechnen. Denn zieht man zu dem Puncte k den Durchmesser KV — ä und die Sehnen ^v, LV; so ist (nach 405) ^v- l/'-iLV -- daher (vermöge 408) k«! — f> _ c? c , folglich hat man (1) a-fi ^/l-A-»-c H/l 150. Eben so kann man, wenn (Ki^. 150) die Sehnen ^.L — !^> und ^k — c der Bogen ^.KL und ^ck gegeben sind, die Sehne KL -- L finden, welche der Differenz KL dieser Bogen zukommt. Zieht man nähmlich den Durchmesser ^v — ä, die Sehne LV -- und KV -- l^ci-17^; so ergibt sich (nach 408) die Gleichung l, cl^_c? — c cl"_b- -l- ?rcl, ' woraus man erhält. Man sieht leicht, daß die Gleichung (2) aus (1) hervor- geht, wenn man in dieser c in — c verwandelt. III. Die Gleichung (1) läßt sich zur Berechnung der Seh¬ nen der vielfachen Bogen benützen. Bezeichnet nähmlich c die Sehne irgend eines Bogens, c., cz, er, cz,.... die Sehne des 2, 3, 4, 5,.... fachen Bogens; so setze man/ um zuvörderst c> zu finden, n —c- und b — c, wornach Bon Len Eigenschaften der Linien. Z1 (-D c---2c^/l ^4-^ wird. Diese Gleichung kann auch durch die Betrachtung der Fi¬ gur 49 gcrechtfertiget werden; denn ist LI) —c, —cz, so hatman LV — c^, daher gibt die Ähnlichkeit der Drey- ecke LVH und LVL die Proportion 8V:VH--LL:LV, oder c: cz — ä: _c" und somit c- -- 2o __ A Die Gleichung (3) dient uns zur Bestimmung der Sehne c„ des halben Bogens, dessen Sehne c ist; denn da die Sehne c einen nur halb so großen Bogen als die Sehne 02 abschneidet, so gelangen wir zu unserem Zwecke, wenn wir in dieser Gleichung c- sür 02, und a„ statt 0 schreiben und sie dadurch in verwandeln, woraus wir ^2 ,12 folglich I/ werde. — Man kann diese Gleichung ebenfalls aus den ähnlichen Dreycckcn LVH und LVti (Li»-. 49) ableiten; denn nach ihnen ist LH:VV — LV: LL, somit LV — l^LH.LL; nimmt man nun ^v c, LV c„, so wird LH ; Z O VL — Ltz 60°__ 36° -- 24°, also der 15teThcil des Umkreises seyn; folglich ist die Sehne die Seite des regelmäßigen 15cckes und kann demnach mittelst der Gleichung (2) berechnet werden, wenn man in ihr 6 — der Sehne von 60 Grad—r, c— der Sehne von 36Grad—-4-r(—r-l-s/5) undst—2r setzt, wodurch man die Seite deslöeckes oder die Sehne von 24 Grad u —-^-r(l^10 4-2 /5 4-/3 — / 15) erhält. Von dieser kann man sofort mit Hülfe der Gleichung (4) leicht auf die Seite des 30, 60eckes u. s. w. übergehen, welches, so wie die im Vorhergehenden angcdcutcte Bestimmung der anderen Vieleckssei- Lcn, ihrer Abstände von dem Mittelpuncte u- m. a. dem Fleiße des Anfängers überlassen wird. 4. Wollten wir die Seite c des regelmäßigen 7eckes, deckes u. dgl. bestimmen, so würden wir derOrdnung nach 01—03,05—04 u. s. w. setzen und so zu den Gleichungen c° —7r"/4-14/c- —7r°-0 —9r"c°4-27/^ —30r°/4-9r° —0 u. s. W. gelangen, aus denen wir für die Seite c zwar keine geschlos¬ senen algebraischen Ausdrücke, wohl aber nach der 7. Vorle¬ sung des 1. Theiles hinreichend genäherte Werthe anzugeben vermögen. §. 410. wenn sich in einem Rreise zrvep Sehnen öurchschneiden, ^o. so ist das Product aus den Abschnitten der einen dem pro- ducte aus den Abschnitten der anderen Sehne gleich; nähm- lich Z6 Erstes Hauptstück. kix. Denn die Dreyecke NI'? und 68IX sind einander ähnlich, weil der Winkel m — n, 8 —IX, 6 — XI ist (372.); folglich ist LI8:88 -- 8O.8IX (399 ), und XII>.I'IX - 88.88 (182). §. 411. 61. I. Wenn inan aus einem und demselben puncte zwey Ge¬ ranten zu einem Umkreise zieht: so sind die producte aus den ganzen Secanten in ihren Abschnitten außer dem Umkreise einander gleich, oder dieseAbschnitte verhalten sich umgekehrt wie die ganzen Geranten; nähmlich es ist-A.8 oder Denn cs ist das Dreyeck n ^I)L, weil der Winkel 86^und ist (374.): folglich hat man-A8:-AD —lXL:^8, und ^.8. ^8 —.48. Eben so findet man, daß.AI) nähmlich /el? — .AD.-Al), und — ist, weil die Dreyecke -4D1 und A68 einander ähnlich sind. H. DieTangenre ^I'ist demnach die mittlere Proportio¬ nale zwischen der ganzen Secante und zwischen ihrem Ab¬ schnitte außer dem Rreise. Da aus eben demselben Grunde auch s/ (^I)..A8) ist; so ist auch -A8 — .At, das ist, die zwey Tangenten, die aus einem und demselben Puncte an einen Umkreis gezogen werden, sind einander gleich. §. 412. 62. wenn m-an aus irgend einem puncte AI des Um¬ kreises eine Senkrechte Nk auf den Durchmesser ^8 zieht, so ist diese Senkrechte die mittlere Proportionale zwischen den Abschnitten des Durchmessers; nähmlich ä8:MI^IM:88 oder MP^.AP.H Denn cs ist-XN8 — 90" (372.1.), folglich nach §. 402 das Drcyeck.AMI n 8MI; und.A.8: MI —MI: 88. Man kann diesen Satz auch so erweisen: MI. I'v —-A8.88 (410.); nun ist aber 8D--WI (367.), folglich, auch MI--E88. Es sey der Halbmesser — a, so ist-A8—2a; der Ab¬ schnitt .4? des Durchmessers zwischen dem Anfangspunkte und Don den Eigenschaften der Linien. 57 der Senkrechten Nk sey — L, so ist kV — -VV — /Vk — 2a L;kix. und die Senkrechte IM sey—Substituiren wir diese Wer- 62. the, so ist^' —(2a__a-) — 2aa.'_^; eine Gleichung, welche die bekannte Eigenschaft des Kreises ausdrückt, daß das «Qua¬ drat einer jeden Senkrechten IM dem producte aus den dazu gehörigen Abschnitten des Durchmessers gleich ist. Es ist gewöhnlich, daß man nicht nur allein bey dem Kreise, sondern auch bey einer jeden andern krummen Linie die Gerade /VI? eine Absciffe, und die Senkrechte IM eine Ordinate nennet. Um die Lage eines beliebigen Punctes N einer krummen Linie zu bestimmen, wird nähmlich eine Gerade -VII in der Ebene der Krummen nach beliebiger Richtung gezogen, ein Punct derselben, z. B. ^V, für den Anfangspunkt angenommen, und sodann aus dem Puncte N der Krummen eine Senkrechte Nk auf die Gerade /VL gefällt. Durch die bekannten Längen der zwey Geraden /V? und IM ist nun die Lage des Punctes N bestimmt. Die Linie/VL von unbestimmter Länge heißt die Abscissenlinie, der nach Belie¬ ben angenommene Punct /V ist der Anfangspunct der Abscissen, die von einem Puncte N dcrKrummen auf die Abscissenlinie senk¬ recht gezogene GeradeNk wird die senkrechte Ordinäre der Krum¬ men für den Punct N, und das Stück /Vi? der Abscissenlinie zwi¬ schen dem Anfangspuncte /V und zwischen der Ordinate NI? die Abscissc der Krummen für den Punct N genannt. §. 413. Setzet man Lk — a?, d. i. wenn man den AnfangSpunct der Abscisscn in den Mittelpunct versetzet; so ist /Vk — a -r, und kV—folglich ^2— (n—L-) (a-l--r) — L-_O, und (a"— O) (215.). Dieses erhellet auch aus dem recht- winkeligen Dreyccke IM6; denn cs ist in demselben IM? — NO — Ok", nähmlich — a." O, und^ — O). Das Zeichen bedeutet, daß zu einer jeden Abscissc 01'zwey gleiche Ordinate», nähmlich IM und kV gehören, die aber nach entgegengesetzten Richtungen, die eine aufwärts, die andere abwärts zu ziehen sind. Denn cs ist aus dem Begriffe der positiven und negativen Größen bekannt, daß alle Senkrechten kV, pcl, welche von der Geraden zVV abwärts gezogen werden, negativ 58 Erstes Hauptstück. kig. seyn müssen, wenn man die Senkrechten kN, pm, welche von eben 62. derselben Geraden aufwärts gezogen sind, für positiv an¬ nimmt, oder umgekehrt. Jngleichen jede Abscisse 6p von dem an¬ genommenen Anfangspuncte 6 gegen die Rechte gerechnet, muß negativ seyn, wenn man die Meissen 6k von demselben An¬ fangspuncte gegen die Linke gezählt für positiv annimmt, oder umgekehrt. Aus dieser zweytcn Gleichung des Kreises — ili / (a-—a--) können wir folgende, thcils schon erläuterte, thcils noch unerläutcrte Eigenschaften herlciten: I. Die Ordinate in -em angenommenen Anfangspuncte -er Abscissen, nähmlich in dem Mittelpuncte des Rreises, ist -em Halbmesser gleich. Denn man setze nur a.- —0, so ist^ — a. II. Zu zwcp gleichen Abscissen, von denen eine positiv, die andere negativ ist, gehören gleiche Ordinalen; z. B. wenn 6k —-l-x, 6p—— a: ist, so ist auch IM - pm, kV --- xä, ^Iv inst. Zwey Sehnen NI) und inst in demselben ü^eifc, welche von dem Mittelpuncte gleich weit abstehcn, sind demnach einander gleich. Hl. An den Endpuncten des Durchmessers sind die Or¬ dinären — 0; denn man setze nur a- — u, und er — — a.; so ist in beyden Fällen — 0. IV. Ueber die Endpuncte und II des Durchmessers hinaus sind leine Ordinären möglich. Denn man setze nur cr —-I-(Lund a: —— (a-i-p) ; so ist in beyden Fällen die Ordinate — ih / (—2ap___p") unmöglich, wenn p eine beliebig große positive Größe bedeutet. V. Jede Gerade 6N, aus dem angenommenen Anfangs- puncte 6 zu was immer für einem puncte N des Umkreises gezogen, ist — a, und folglich find alle puncte des Umkreises von diesem puncte 6 gleich weit entfernt. Denn cs ist6N-- t/ < 6k- -i- kN-) -- / ler- -I- (a- — er--) g / a- -- n. Wenn nun der Halbmesser in Zahlen gegeben ist, z. B. a -- 10, so kann man zu jeder in Zahlen angenommenen Abscisse die dazu gehörige Ordinate auch in Zahlen bestimmen. Es sey er--6; Von den Eigenschaften der Linien. 59 so ist / (100 —36) —/64 — 8; es sey a? — 7; so ist kig. /--/(100 —49)--/51--7,1414 u. s. w. 62. §. 414. Wenn man an den Endpunct N der Ordinate IM die Tan¬ gente IM zieht, die Absciffcnlinie 6^ verlängert, bis sie die Tangente durchschneidet; so wird das Stück derAbscissenlime zwi¬ schen der Ordinate und dem Durchschnittspuncte der Tangente, nähmlich die Gerade kl, die Subtangente genannt. In dem Kreise ist die Subtangente M —cr. Denn in den zwcy ähnlichen Drcyccken 1MI' und MIO ist kl: MI-- ?M:PO; folglich Setzen wir nun a-—0; so ist die Subtangente --c» (305), welches leicht zu begreifen ist, da in diesem Falle die Tan¬ gente mit der Abscissenlinie parallel läuft, und folglich dieselbe nie durchschncidet. Denn wenn man Ok —L —0 setzet; so verwandelt sich die Ordinate MIin den Halbmesser auf welchen die Tangente -senkrecht steht. Nun aber steht auch die Abscissenlinie 6k auf eben demselben Halbmesser dM senkrecht; folglich läuft Ok mit lXt parallel. §. 415. Vielecke, z. B 4LOI)kk und obcäol heißen ähnlich, wenn oz. sic gleich viele Polygon-Winkel enthalten, die einander wechsel¬ weise gleich sind, und übcrdicß durch glcichnahmige Diagonalen, oder durch andere glcichnahmige gerade Linien in lauter ähn¬ liche Dreyccke zertheilet werden können. Aus dieser Erklärung folgt: I. Daß alle regelmäßigen Vielecke von eincrley Gattung (z. B. alle Siebenecke) einander ähnlich sind. Denn sie können durch gerade Linien, die aus ihren Mittelpunkten an die Spitzen der Viclcckswinkcl gezogen werden, in lauter ähnliche Dreyccke zerschnitten werden. II. Jede zwep Seiten des einen Vielecks stehen mit den zwcp gleichnahmigen Seiten des anderen Vieleckes in einer 60 ' Erstes Hauptstück. kiss. Proportion; z. B- ha : 8^ — hc: 86, oder ko: 86 — ca: 6^. 63. Dieses erhellet aus der Aehnlichkeit der Dreyecke ahc und -V86. Jngleichen äc.86 —ca:6^, und ca: 6^V — cla: 8^ wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke acä und .^68; u. s. w. Da nun hc:86 — ca: 6.^. und auch cic: 86 — ca: 6^. ist; so ist auch hc:86 —clc:86 (190.), nähmlich, bey ähnlichen Vielecken sind die Seiten, welche gleiche Winkel einschließen, einander proportional. III. Der Umfang (porimotor) des einen Vieleckes verhalt sich zum Umfange des andern ähnlichen Vieleckes, wie jede Seite des ersten zu der gleichnahmigen Seite des zweiten Vieleckes, nähmlich (ah -t- hc 4- cä -l- etc.) : (^8 4- 86 -l- 68 4- etc.) — ah : ^8 -- hc : 86 — etc. Denn es ist (vermöge II.) ah: -^8 — hc: 86 — cä: 68 — sie: 88 — u( s. w- folglich (nach 191.) (ah 4- hc 4- cä 4- etc.) : (^8 4- 86 4- 68 -1- etc.) — ah: -hc:86 — etc. §. 416. 64. Die Umfange der regelmäßigen Vielecke von derselben Gattung verhalten sich gegen einander, wie die Halbmesser -er umschriebenen Rreise; z. B. wenn ah und H.8 Seiten re¬ gelmäßiger Vielecke von einerlei) Gattung, ch und 68 aber die Halbmesser der umschriebenen Kreise sind, und der Umfang des ersten — und der Umfang des zwcyten —gcsctzet wird; so findet folgende Proportion statt, —ch:68. Denn die Dreyecke ach und ^68 sind einander ähnlich; folglich ch: ha — 68: ^8, oder ch: 68 — ha: I8V; nun aber ist vermöge des Vorhergehenden—ha:8^.; es ist also auch p:? —ch:68. Eben so kann man erweisen, daß sich die Um¬ fänge der regelmäßigen Vielecke von derselben Gattung gegen einan¬ der verhalten, wie die Halbmesser der eingeschriebenen Kreise, oder wie die Senkrechten cä und 68. Von den Eigenschaften der Linie». 61 Sieht man nun die Kreise für regelmäßige Vielecke von einer unendlichen Anzahl Seiten an; so wird man leicht begreifen, daß 64. sich auch die Umkreise gegen einander verhalten wie ihre Halbmes¬ ser, oder wie ihre Durchmesser; wie auch, daß ähnliche, nähmlich gleich viel Grade haltende, Bogen von verschiedenen Kreisen in Hinsicht auf ihre wirkliche Länge sich gegen einander verhalten wie ihre Halbmesser, nähmlich der Bogen . soll — ^6. sc. Wir bemerken hier nur noch, daß man zu jedem gegebenen Durch¬ messer den Umkreis nach diesem Satze finden könnte, wenn nur zu einem einzigen Durchmesser der zugehörige Umkreis bekannt wäre. Z. B. wenn wir einmahl überzeugt seyn werden, daß man zu einem Durchmesser — 113 den zugehörigen Umkreis — 355 setzen könne; werden wir zu jedem Durchmesser U den Umkreis /> durch folgende Proportion bestimmen können, 113:355—U:/>, denn es ist^—und der zu einem gegebenen Umkreise -z, zugehörige Durchmesser U— -^-p. Wir werden weiter unten das Derhältniß des Durchmessers zum Umkreise durch Näherung zu bestimmen Ge egenheit haben. V. Abschnitt. Von einigen Aufgaben über die Proportional-Linien. §. 417. Zu drep gegebenen Geraden a, ö, e die vierte Proportio- 65. ^>6 nal-Linie a? — — durch Verzeichnung zu finden. Auflösung. Auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels schneide man 6X1 — a, 6iX — b, 61? — cab, ziehe NIX, und durch I> die Parallele ktz; so ist --- a.- - Dcnn6N: 6IX —61?:6t), d. i. a:ö — c:x,daherx— Wäre zu zwey gegebenen Geraden a und L die dritte Propor- -6. tionale zu suchen; so mache man wieder 6X1 — a, 6IX gz ErsteS'Hauptstück. 8iss. -- r>, 88 - k>; ziehe lX4ll, und durch I' die Parallele 8<^; so ist . . L- die gesuchte Proportwnal-Llme §. 418. 67. Zwischen zwey gegebeu.cn Geraden a und d die mittlere Proportionale - r/ ab zu finden. Auflösung. Man ziehe eine Gerade schneide ^48-a, 88 - b ab; auf dem Durchmesser 48 beschreibe man den Halb¬ kreis 4.88, und ziehe die Senkrechte 88; so ist diese Senkrechte die gesuchte mittlere Proportionale L-/ ad-/ (48.88) (412.). 68. Oder man ziehe eine Gerade 88 - b - der größeren gege¬ benen , schneide 84^ - a ab; über der 4D beschreibe man den Halbkreis 488, ziehe durch den Punct 8 die.Tangente 88 (369.); so ist diese Tangente die gesuchte mittlere Proportionale .r — / aö -/(8^4.88)-88 (411.). 69. Oder endlich, man ziehe 88-b, beschreibe darüber den Halbkreis 888, mache 84.-a, ziehe die Senkrechte 48, und die Sehne 88; so ist diese die gesuchte mittlere Proportionale zwischen 88 und 84. Denn in den ähnlichen Dreyecken 88^4 und 888 ist 84.:88- 88:88, folglich 88 - / (84.88. Z. 419. 70. Eine gegebene Gerade 48 in eine bestimmte Anzahl, z. B. in fünf gleiche Theile, zu theilen. Auflösung. Man ziehe eine Gerade 4M, und schneide von N gegen fünf gleiche Theile 41 1, 12, 23, 34, 45 dergestalt ab, daß 415 >48 scy (welches zwar in der Theorie nicht unum¬ gänglich nothwendig, aber in der Ausübung nützlich ist); auf4!5 errichte man ein gleichseitiges Drcyeck 4158, mache 80 -88 — ^48, und ziehe 08, so ist auch 08 -48; endlich ziehe man die Geraden 81, 82, 83, 84; so wird dadurch die Gerade 08 oder die gegebene 48 in fünf gleiche Theile getheilet, nähmlich 0a--^-48, Ob-^48, u. s. w. Denn es ist Oa:O8- 411:418 oder Oa: ,4.8 - 411: 415 - 1:5, folglich Oa - -^48. Dasselbe ist zu beobachten, wenn man die Gerade 48 nach einem gegebenen Verhältnisse theilen soll. Z. W. wenn diese Gc- Von den Eigenschaften der Linien 63 rade in zwey Theile zu theilen wäre, die sich wie 2:3 verhalten;8iss. so schneide man auf der Linie NiX fünf—2-i-3 gleiche Thcile ab, und ziehe die Gerade V2, so ist 68 — ^8 in dem Puncteb in zwey Theile dergestalt getheilet, daß 6b:i)8 —2:3 sich verhält. §. 420. Eine gerade Lime, z. A. fünf Zolle, oder eine andere be- 71. liebige Länge in sehr viele, etwa in 1000 gleiche Theile zu theilen, d. i. einen geometrischen Maßstab zu verfertigen. Auflösung. Man ziehe eine Gerades, trage, von gegen 8, 10 halbe Zolle oder andere beliebige gleiche Theile auf, in und 8 errichte man die Senkrechten .4.6 und 8V, trage auf denselben, von gegen und, von .8 gegen V, 10 gleiche Theile von beliebiger Länge auf; durch diese Puncte ziehe man zehn gerade Linien, die alle zu ^8 parallel seyn werden; auf die letzte derselben, nähmlich auf 6V, trage man wieder die 10 halben Zolle von 0 gegen V auf, welche genau bis V reichen müssen, wenn die Senkrechten ^6 und 8V richtig gezogen sind; die Thei- lungspuncte der beyden Linien ^l.8 und 6V verbinde man mittelst der Geraden ab, 100 ä, 200 e, u.s. w.; dann theile man noch den ersten halbenZoll^b und6a in 10 gleicheTheile, und ziehe durch diese Theilungspuncte die Qucrlinien (Transversalen) am, lOn u. s. w.; endlich schreibe man die Zahlen hin, wie sie in 71 zu sehen sind; so ist die Linie H8 in 1000 gleiche Thcile getheilet. Nähmlich 7p enthält 7, a 10 enthält 10, a30 enthält 30, 7v enthält 37, a 100 enthält 100, und a500 enthält 500 solcher Theile, von denen 1000 — ^8 sind; oder es ist 7p — 7v — --^8 s' Derm in den Dreyecken abm und a7p ist 7p: hm — a7: ab. Nun ist aber a7: al) — 7:10; und -N äM- l°Igl!ch 7k.. — 7:10, und7p—Eben so leicht ist einzusehen, daß 87 — löösi^ ist; denn cs ist 7v — 7p 4- pv; ferner 7p — »I!, Md pv - -> 30 - -e - cv - ; folg. 64 Erstes Hauptstück. dieselbe Art sieht man ein, daß xv —537 ist. Denn es ist xv — x7 4- 7p -t- pv — 500 -t- 7 -l- 30 — 537 u. s. w. Aus der Einrichtung dieses Maßstabes erhellet deutlich, daß man eine Linie, welche z. B- 530 solche Theile enthalten soll, de¬ ren 1000 —-VL sind, von diesem Maßstabe mit dem Zirkel abneh¬ men könne, wenn man eine Spitze in 500 einsetzet, und die an¬ dere bis 30 eröffnet. Sollte eine Linie von 537Thcilen abgetragen werden; so eröffnet man den Zirkel von x bis v; wären endlich nur 536-^-Theile abzunehmen, so müßten die Zirkelspitzen in der Mitte der zwey Parallelen 66 und 7 7, und zwar die eine auf der Senkrechten 500 I», und die andere Spitze auf der Transversalen 30 v eingcsetzet werben, u. s. w. Auch kann man untersuchen, wie viele Theile eine gegebene Gerade auf diesem Maßstabe abschneide, wenn man die Zirkel- spitzen in ihre Endpuncte cinsetzt, und dann diese Oeffnung deS Zirkels auf die Gerade LV so überträgt, daß die erste Spitze auf einem der Theilungspuncte 200, 300 u. s. w. eingesetzt ist, die zwepte aber zwischen L und n eintrifft. Sollte nun diese zwepte Spitze zwischen L und a genau in einem Theilungspuncte z. B- in 30, und die erste in 500 eintrcffen, so würde die gegebene Linie — 530 seyn. Sollte hingegen diese zwepte Spitze zwischen zwey Theilungspuncte, z. B. zwischen 30 und 40 cintreffen; so rücke man mit dem Zirkel so lange parallel herunter, bis diese Spitze genau auf eine Transversale eintrifft. Ereignet sich nun dieses in dem Puncte v, nähmlich wenn die eine Spitze in v auf der Trans¬ versalen 30, die andere aber auf der Parallelen 77, in x eintrifft; so enthält die gegebene Gerade 537 Theile. Würden hingegen die Spitzen nur in der Mitte der Parallelen 66 und 7 7, jedoch auf der Senkrechten 500 und auf der Transversalen 30 eintreffen; st würde auch die gegebene Linie nur 536-^- —536,5 Theile ent¬ halten. Sollte die gegebene Linie, welche auf diesem Maßstabe zu untersuchen ist, größer fepn als LV; so wird nur der 2te, 3tt oder 4te Theil davon auf den Maßstab getragen, und diese Zahl Von den Eigenschaften der Linien. 65 mit 2, 3 oder 4 multiplicirt, um die Lheile der ganzen gegebenen k'iss. Linie zu erhalten. 71. Wenn man nun 6a 100 Zolle, oder 100 Schuhe, oder 100 Schritte, oder auch 100 Klafter u.s. w. gelten läßt, so heißt diese Cintheilung ein verjüngter Maßstab. Die Benützung der Trans¬ versalen zur Cintheilung eines Zolles in Linien und Puncte, des Durchmessers einer Bombe in 64, des Durchmessers einer Kano¬ nenkugel in 32 gleiche Theilc, und die Verfertigung ähnlichcrMaß- stäbc überlasse ich dem eigenen Nachdenken der Anfänger. §. 421. Der eben beschriebene geometrische Maßstab ist bey der Auf¬ lösung einiger geometrischen Aufgaben von großem Nutzen, wenn die Verzeichnung der gefundenen Gleichung einem Anfänger ent¬ weder gar nicht bcyfällt, oder wenn sie weitläufig seyn sollte. Denn in diesem Falle untersuche man nur, wie viele Lheile auf diesem Maßstabe eine jede in der Aufgabe gegebene'Linie enthalte, entwickle aus der gefundenen Gleichung den Werth der unbekann¬ ten Linie in Zahlen, und nehme diesen gefundenen Werth von dem Maßstabe ab; so wird man die gesuchte Linie erhalten. Z.B. Zwischen den zwey gegebenen Linien « und 4 sollen zrvey mittlere Proportionalen w und§- gefunden werden. Vermöge der Bedingung der Aufgabe ist —undx:v — oder X? — av und — I>x ; folglich 2? — z/ und — /.«ich Es sey nun auf dem geometrischen Maßstabe u — 216 und t> —1000; so ist a? — 360, und — 600; man nehme dem¬ nach diese Lheile von eben demselben Maßstabe mit dem Zirkel herab; so werden ihre Längen die gesuchten Linien seyn. Eben so sey'die Seite eines regelmäßigen Zwölfeckes gegeben, man soll daraus den Halbmesser des herumbcschricbcnen Kreises finden. Es sey die gegebene Seite —§—200 Theilen eines geo¬ metrischen Maßstabes, und der unbekannte Halbmesser sey— a; so ist Kl/2—z/3-§ —200 (vermöge §. 400), und — -2-0_ _ . 2 __ 40000 40000. (2-1-V 3) — VL— VI/ " — H/j/ch — (2__ V ») .(2-1-V3) 40000 . (2 -j- X/ ZX '--- 4000 . (2 / 3) -- 4000 . (3,73205) --- Vega Math. II. V. 5 Lö ' 2b ' Man suche also nur zu 2b, zuu 4-c, und zu /,r ^2 auch — c? — b? -l- 2b.v; folglich --- " "?---? , , , (cr 4- e) . (a — c) , I , Wen den Eigenschaften der Linien. 67 Auch für die Höhe 61) läßt sich ein allgemeiner Ausdruck Lix. finden. Denn da^ —n? —ist-, so ist, wenn wir fstr a? sei- 80. uen Werth ) substituiren und reduciren, --- (er d -s- e) (d -t- o er) (c -t- er — d) (er -t- d — e) 2ü oder (r—er) (»—b)(L — o), wenn man die halbe Summe aller drcy Seiten, nähmlich folglich er 4- d -l- o — 2», d 4- c er — 2 (s er), c 4- er L — 2 d), a—2 (^—s) setzt. So z. B. ist im vorigen Falle, wo wir er — 150, d — 140, c —130 angenommen haben, die Höhe --120. §. 423. Zwey parallele Sehnen undLtz eines Rreises, nebst 64. rhrem Abstande kV sind gegeben, man soll daraus den Halb¬ messer bestimmen. Auslosung. Es sey r^L —2cr, kl)---2d, LV—e, der Halbmesser U6 —LL —a, und LV —; so ist UL —2er, VU—UL— VL —2-r—LL —LV 4-VL—^4-c, und LU -- UL - LL --- 2a - 0. Nun ist LV: V8 -- VL. VU (412.), und LL -. Ltz — Ltz: LU, nähmlich: er — er: 2a- und -t- 0: d — L: 2a- — 0. Aus diesen Proportionen erhält man die Gleichungen 2a^_^" —er-, 2>r^ 4- 2cer ^2 2e>^ «2 —, ^,2 welche, wenn man die erste von der zweyten abzicht, 2o (a? ^) folglich geben. Quadrirt man diese Gleichung und addirt sie zur ersten, so hat man x- -- (d --^c2-^ 2 mithin x - p" (ö- st- c' — «-)« -t-4-r- c». 5 " tzg tzrsrtr H auptst Lck. kiss. Setzen wir nun ^8—60, Li)— 80, also und die Höhe -t-, j,, gesetzt wird; so ist Bon den Eigenschaften der ebenen Flächen. -1-L»-i-6"-i-....... cr -r- S -i- o -i-. multipl. 83 kiss. -1- .. l -i-ö^-t-2SL-i-2b6'-t-. der Flächeninhalt -j- -1- 2a1t -r- 2vt> 4^.. ) -er^Q» 4- (aÄ4- ö^^Qkl^ -I- (a6 Qkl" -I- . Die Partial-Producte werden nähmlich in der angeführten Ordnung gehörig unter einander geschrieben, mit der Bemerkung, daß diejenigen Producte, deren bcyde Factoren nur Theile der Klafter bedeuten, verdoppelt werden müssen. Die Zahlen unter der mit (°) bezeichneten Stelle bedeuten dann Quadrat-Klaf¬ tern, mit (i) Klasterfchuhe, mit (") Klafterzolls u. s. w- Dar. auf werden die kleineren Benennungen durch die Division auf eine größere Gattung gebracht. Nähmlich die Klafterpuncte werden durch die Division mir 12 in Klafterlinien, diese ferner durch die Division mit 12 in Klafterzollc, und zuletzt die Klafterschuhe durch die Division mit 6 in Quadrat-Klaftern verwandelt. WaS endlich nach dieser Reduction heraus kommt, ist der gesuchte Flä¬ cheninhalt in Quadrat-Klaftern, Klafterschuhen, Klafterzollen rc. I. Lepspicl. Es fty bey einem Rechtecke die Grundlinie — 15", 4*, 5", und die Höhe — 4'', 2', 6"; so wird der Flächeninhalt auf folgende Art berechnet. / Man sagt nähmlich 15° , 4' , 5" j4°.15°-60Q" 4,2,6 i4°. 4' --16Qktt —Z4°. 5"--20Qk", 60 , 16 , 20 Z2'.15° r^ZOLktt 30 , 16 , 20 . 4> - 8.2Qkl-' 60 , 46 , 126 , 68 , 60 69 Q°, 3O.kl', OQkl", IQkl"', OOkl^ -60Qkl^. 6 * 5"--10.2Qkl'" ß -20Qkl-u, « endlich §6". l5»^90Qkl" f6". 4'-24.2Qkl'" ' — 48Qkl'" 6". 5"-302Qkl»' 81 Zweytt« Hauptstück. Diese letzten 60 Qkl" betragen 5 Qkl"'. Diese 5 Lkl^ zu den 68 addirt geben 73 Qkl"- -- Qkl" -- 6 Qkl" 1 Qk-"-. Der Rest 1 QW" wird ungeschrieben, die 6 Qki" aber wer¬ den zu den 126 Qkl" addirt, und sodann durch die Division mit 12 auf Klafterschuhe reducirt; u. s. w. Fl. -- 6Q°,4.Qkl^, 9Qkl», 4Qkl"l, rOQkl^, 4O.kl^, 4Qkl^ Die Nichtigkeit des angeführten Rechnungsvortheiles ist auZ folgender Betrachtung zu ersehen. Bey der Multiplikation der Grundlinie -t- -l- 6" mit der Höhe — n" -t- -I- 0>I -t- .. .. sind die einfachen Products nL Qk^ , «e Lkl^/ Von den Eigenschaften der ebenen Flächen. 85 -l. Qkl', Qkl" vermöge der Erklärung I'ix. des Klafterschuhcs und Klafterzolles. Hingegen sind d' . L' — vL O? — 2 bL Qkl" wegen 1 Qi -- 2 Qkl"; k>i . 6" -- 12 b" . 6" -n 12 Q" - 2 l>6 Qkl"' wegen 1 Q" --- ^-Qkl c-' . 6" c<7 Q" -- 2 cL Qkl 'v wegen 1 Q " 2 Qkl u. s. w. Aus den oben angegebenen Gleichungen (1 Dkl * — 6 Q'; 1 Qkl " Q' 72 Q"; 1 Qkl'" 6 Q"; iQkl iv- -^-Q" — 72 Q "':c.) lassen sich nun auch Regeln ableiten, wie man einen in Klaftcrschuhen, Klafterzollcn, Klafterlinien berech¬ neten Flächeninhalt in Quadrat - Schuhe, Quadrat - Zolle, Qua¬ drat-Linien, und umgekehrt bequem verwandeln kann. II. Wenn man den Quadrat-Schuh für die Einheit des Flä¬ chenmaßes annimmt, und denselben in 12 Schutzzölle, den Schutz¬ zoll in 12 Schuhlinicn, die Schutzlinie in 12 Schuhpuncte re. ein- thcilet, so findet man den Flächeninhalt eines Rechteckes durch folgenden Nechnungsvortheil in Quadrat-Schuhen (Q'), Schutz¬ zöllen (Sch"), Schuhlinien (Sch'" ) rc. Flächeninh. --69Q', 10 Sch", 5 Sch"', 9Sch", OSchD Die Richtigkeit dieses Verfahrens kann man auS den Er¬ klärungen der Schutzzölle, Schuhlinicn, Schuhpuncte, und aus 86 Zwiytes Hauptstück. 615. den daraus fließenden Gleichungen 1 Sch" — 12 Q", 1 Sch"' — 1Q", 1 Sch^' —12 Q'", 1 Sch^ — 1Q"', rc. erweisen. Auch läßt sich hieraus eine Regel ablciten, wie man Sch", Sch"', Sch'v -'c. in Q", Q"', Q'^', :c. und umgekehrt auf eine leichte Art verwandeln kann. Bey der wirklichen Ausübung kann die Verwandlung deS Riemenmaßes in Quadrat-Maß, und umgekehrt des Quadrat- Maßes in Riemenmaß durch die bevgefügte Tabelle sehr erleich¬ tert werden. Auch ist leicht cinzusehen, daß man sich bey der Multiplikation dieser Längenmaße eines eigens hiezu eingerichteten Einmahleins bedienen kann, aus dem man die einzelnen Partial- Producte nur herausschreiben darf. §. 438. 82. Der Hlacheninhalt eines Parallelogramms VI»(10 rst --- 86 >.V6 — 66.66 — 66.66 — VI) >^V6 — dem pro- ductc aus einer Seite in ihren 2!bsiand von der entgegenge¬ setzten Seite. Denn der Flächeninhalt des Parallelogramms tVL6D ist ---- dem Rechtecke 8666 (389); nun aber ist. daS Rechteck Bon den Eigenschaften der ebenen Flachen. 87 6886 86.88 - 86. 68. Es ist also auch der Flächeninhalt kl?, desParallclogramms-4868 — 86.88 — 86.68 — ^8. ^48, 82. weil' 88 -- -48 -- 86, und 86 -48 ist. §. 439. Der Flächeninhalt jedes Dreieckes X8(. ist —-^86.-48 — dem halben Producer ans der Grundlinie in die Höhe — dem halben Producer aus einer Seite in ihren Abstand von dem entgegengesetzten winkelpuncte. Denn cs ist das Dreyeck ^86 —-^--48^^ (387.1.); nun aber ist ^4868^86..48, weil ,4868 ^86.46 ist; also ist auch das Dreyeck -486 — ^-86.48. Aus der Gleichung -486 — ^86.46 folgt .48 — und 86 — ; das ist, wenn man den Flächeninhalt ei¬ nes Dreieckes durch die halbe Grundlinie dividirt; so ist der (Quotient — der Höhe des Dreyeckes. Dividirt man hin¬ gegen den Flächeninhalt durch die halbe Hohe; so ist der (Quotient der Grundlinie gleich. Es scy z. B- der Flächeninhalt eines Dreyeckes — 11 Qch 4 Qkl* — Q", und die Grundlinie -5°, 1-, 6«--^-; so ist die Hohe 4.60 -- — 4", 2^, 8^. Aus diesem Beyspiele ist leicht zu ersehen, wie dergleichen Divisionen vorzunehmcn sind. §. 440. Wenn man nun bey einem rcchtwinkeligen Dreyecke 486 8Z. eine Kathete siir die Grundlinie annimmt; so wird.die andere Kathete die Höhe dieses Dreyeckes seyn; folglich ist der Flä¬ cheninhalt eines rcchtwinkeligen Dreyeckes gleich dem halben Products aus beyden Ratheten — ^48.86 —-!-aS, wenn 86—5, und 48 —a gesetzt wird. §. 441. Denkt man sich die Höhe 48 — a des rcchtwinkeligen Drey¬ eckes -486 in eine beliebige Anzahl, z. B. in n, gleiche Theil« getheilt, und führt man durch die Theilungspuncte m, n, p...x, die Geraden nm, nk, xx... rx zur Grundlinie 86 — t> parallel; 88 ZweyteS Hauptstück. k'ix. so zerschneiden diese das Dreyeck in Trapeze, von denen'jedes 83. offenbar größer als das über der kleineren, dagegen kleiner als daS über der größeren seiner parallelen Seiten beschriebene, und mit ihm gleich hohe, Rechteck ist; woraus erhellet, daß das Dreyeck größer als alle kleineren, hingegen kleiner als alle größeren Recht¬ ecke zusammen seyn muß. Wenn demnach — IllN — Up — .... — xL — — II und ^Iil — -- —3—, ...^x — —,VL— n — n II ' n' n' 2 ist, so haben wir (nach 397) IN6: — nk: — PA: P.4. —... — XV: X.V — LL: oder me : — — nk:2 — px : 3 xv: (n—1)-- — : A N N^II n somit, wenn wir jedes dieser Verhältnisse mit dem letzten zu einer Proportion verknüpfen, _ ll . . . l) oll mo— —nk—2 —, PA — 3 XV — (n—1) —, n—. Q II II ' ' ' II II Nun ist das an der Spitzel liegende Trapez, da seine kleinere Seite auf den Punct sich zusammen gezogen, also die Länge Null angenommen hat, mit dem Dreyccke ^ime cinerley, und sicher größer als das über dieser kürzeren Seite (Null) denkbare Rechteck, nähmlich größer als 0, dagegen kleiner als das über sei¬ ner größeren Seite me construirte Rechteck oder größer als Eben so ist das zweyte Trapez mein größer als das auf der kleineren Seite iuo verzeichnete Rechteck morn, nähmlich größer als mn.me —jedoch klei¬ ner als das auf der größeren Seite uk stehende Rechteck mk oder größer als mn. ps — . 2 — — 2 Auf dieselbe Weise ist das dritte Trapez nlssp zwar größer als np.nt- - 2 — 2 aber kleiner als op.px — . 3 — 3 , das vierte Trapez Won den Eigenschaften der ebenen Flächen. 89 größer als 3^ und kleiner als 4^ u. f. w., endlich das ute und letzte Trapez größer als (n—l) aber kleiner als Hieraus folgt, daß auch die Summe aller Trapeze, d. i. das Dreyeck größer als die Summe aller kleineren oder einge¬ schriebenen, dagegen kleiner als die Summe aller größeren oder umschriebenen Rechtecke, nähmlich -t-3-r-t- ... n? Il- 1,2 n" und sk , ab ->d , , sk , , sd 1,2 1,2 i,2 i>2 H- ist. Sofort muß auch ^fO-^-1-I-2-»-3-l-...-s- (n__ 1)^ und ^8 6b> n(n-l-l) nähmlich ^86 >—und < seyn. Lassen wir jetzt die bisher beliebig groß gedachte Zahl n nach und nach über alle Grenzen wachsen, so müssen die beyden Größen und-^nb-t--^-, zwischen denen ^80 liegt, . , Al) weil sie bloß um die unendlich abnehmenden Quotienten — von einander verschieden sind, immer enger und enger an einander sich anschließen und zugleich der Größe von welcher sie nur ad abstehen, unaufhörlich sich nähern. Wenn aber der Flächeninhalt des Dreyeckes ^86 zwischen diesen, der Grenze zustrebenden, Größenab — und stets ringeschlossen bleiben soll, so muß derselbe nothwcndig mit dieser HO Iweytes Hauptstück. kiss. Grenze selbst zusammenfallen, und somit die Gleichung 84. .486 —all bestätiget werden. §. 442. I. Auf dieselbe Weise, wie wir im vorhergehenden Para- graphe den Flächeninhalt eines rcchtwinkcligen Dreyeckes bestimm¬ ten, läßt sich auch der Inhalt jener ebenen Figuren aufsinden, welche von vier Seiten begrenzt werden, von denen zwey gerad und parallel sind, die Heyden anderen aber gerad oder krumm seyn können, wie 41nr(Z48, 15- 173.; 84141'8', 8ix.175; 1)4141'8 8iss. 178; 68418 8ix. 179. u. dgl.; daher auch der Flächenin¬ halt jener, in denen eine oder beydc parallelen Seiten in Null übergegangen sind, wie in 41.4m 8iss. 173, .4841 8ix. 175., 441841'4 8ig. 178 u. m. a. 175. In dieser Absicht thrilen wir in 8ix. 175 den Abstand der zwey parallelen Seiten 818 und 4141/, welche man Grund¬ linien nennen kann, nähmlich daS zwischen denselben liegende Stück 88 — x ihrer gemeinschaftlichen Senkrechten 614 in eine willkührliche Zahl n gleicher Theilc, und führen (wie aus 8iss. 84 zu ersehen ist) durch ihre n—.1 Theilungspuncte parallele Ge¬ raden zu 818 und 4148, von denen die ganze Fläche 8,184841 in u trapezförmige Figuren zerschnitten wird, welche man die Elemente dieser Fläche zu nennen pflegt. Uebcr allen diesen parallelen Linien, deren Anzahl (mit In¬ begriff von 818 und 4148) n -t-1 ist, und die wir von 818 gegen 4148 zählen wollen, construiren wir die den Elementen eingeschriebenen und umschriebenen Rechtecke, welche sämmtlich die Höhe^- haben, wie dieses die Figuren 48 und 84 weisen- Ferner bezeichnen wir diese parallelen Theilungslinien, welche, wenn wir der Kürze wegen 4 fürschreiben, der Ordnung nach von der 818 um 0, !r, 2si, 3si, .... (n — 1)si, nsi abstehcn, durch 7o, )'l, 7-, 7r- ? indem wir durch z- den allge¬ meinen Repräsentanten dieser Theilungslinien vorstellen, und sie mittelst der angehängten kleinen Ziffern, welche man Indices (Zeiger oder Srellenweissr) nennt, von einander unterscheiden. Läßt sich, was wir voraussetzen wollen, die Gerade 4148, die wir Won den Eigenschaften der ebenen Flächen. 91 durch v, bezeichneten, wofür wir auch bloß v schreiben können, ffix. durch ihren Abstand x von analytisch ausdrückcn, so findet 175. man die Werthe von .vo, )'», 7-, 7», - - - )„-i, 7„ offenbar, wenn man in dem Ausdrucke von v an die Stelle von x der Reihe nach die Abstände 0, si, 2ll, 3si, ... (n — 1) ll, nll setzt. Zu Folge dieser Annahmen sind die Inhalte der eingeschrie¬ benen Rechtecke siv.,, sivi, iivs/--./ iy'v-i und die der umschriebenen in,, iiv-7 / daher ist, wenn wir die Summe der ersteren mit ff, die der letz¬ teren mit k" bezeichnen, ff — -t- )'i ^! - )'2 .... -f- ) „ L" — si (vi )2 - - - - -t- , Da nun jedes Element größer als das ihm eingeschriebene und kleiner als das ihm umschriebene Rechteck ist, so muß auch die Summe aller Elemente, nähmlich die Fläche deren Inhalt wir durch ff verstellen wollen, größer als die Summe aller eingeschriebenen, aber kleiner als die Summe aller umschriebenen Rechtecke seyn; folglich ist ff > ff und ff -< s". Lassen wir jetzt die Anzahl n der Theile der Geraden x ohne Ende wachsen, so müssen die parallelen TheilungSlinien 7 727 XZ7 --- 7»—i, um so enger an ihre Nachbarn sich ««schließen, und von ihnen in der Länge um so weniger verschieden seyn, je mehr diese Zahl n steigt. Die Folge davon ist, daß jedes eingeschriebene Rechteck sei¬ nem entsprechenden umschriebenen Rechtecke, daher auch beyde dem stets zwischen ihnen liegenden Elemente, welchem sie angehö¬ ren, ohne Ende sich nähern, demnach auch die Summe aller ein¬ geschriebenen Rechtecke und jene aller umschriebenen sowohl an einander selbst, als an die Summe aller Elemente d. i. an die Fläche LiVlsVfflff ohne Ende näher rücken müssen; woraus er¬ hellet, daß beyde Summen von Rechtecken diese Fläche zur ge¬ meinschaftlichen Grenze haben. Die Ausdrücke ff und 1" der Flä¬ cheninhalte der Summen der ein- und umschriebenen Rechtecke 92 Zweytes Haupt stück. k'ix. müssen also bey dem grenzenlosen Wachsen der in ihnen stehenden 175. Zahl n ohne Ende einer bestimmten Grenze 5 sich nähern, welche mit dem verlangten Inhalte k der Fläche Übereinkom¬ men muß; demnach ist 1'' - L Der Umstand, daß U und 1'" nothwendig eine gemein¬ schaftliche Grenze f haben, belehrt uns zugleich, daß cs zur Bestimmung des mit dieser Grenze identischen Inhaltes k hin¬ reicht, bloß eine der Größen ? und s" zu berechnen und die Grenze f auszumitteln, der dieselbe bei der unendlichen Zunahme von n ohne Ende sich nähert. II. Um das bey der Bestimmung des Inhaltes I? der Fläche LNiVI/L/ anzuwendendc Verfahren zu erläutern, nehmen wir an, die Grundlinie —) lasse sich (wie dieß gewöhnlich der Fall ist) aus ihrem Abstande H> — x von der anderen Grundlinie mittelst einer Gleichung von der Form Lx^ -t- 6x° -i-.... bestimmen, in welcher die Coefficienten L, 6, die Größe x nicht enthalten, und die Exponenten a, k, a, .... positive Zahlen (mit Einschluß der Nulle) vorstellen. Setzen wir nun, indem wir die Größe f" zu bestimmen beab¬ sichtigen, k, 2k, 3k, .... nk für x in dem Ausdrucke von so ergibt sich ; i 1° K- L. 1b sib -r- 6.1° K° . — .4.2* k- -r- L. 2>> K>> 6.2° k° -t- . . . Vz — 3- k' -t- L. 3b sib C. Z° , -t- L.nb^b -t--t- . . . folglich ist s" — (1- -f- 2 -I- 3- -r- ... -t- n-) -t-R Kb-I-t (1b-t-2b -t-Zb -t- ... -i-nb) -t-6k°'dt(1°-t-r°-t-3°-i- ... -t-u') Von den Eigenschaften der ebenen Flächen. 83 Summirt man diese Reihen (nach 316); so findet man I'iss. Schreiben wir hierin wieder^- für 6 und ordnen nach den Poten¬ zen von n, so wird i»-Ul c^-1 s"--.4 L -l-l) -t-... n-I-1 k-I-1 c-i-1 Ein Blick auf diesen Ausdruck lehrt, daß alle unter der ersten Zeile stehenden Größen bey dem unendlichen Wachsen der Zahl n unendlich abnehmen, daher die Größe 1 der Grenze ^>-^1 6-^-1 ohne Ende sich nähert; folglich ist der verlangte Flächeninhalt von VNML, >>^-1 c-i-1 a-s-1 d-s-1 c-t-1 Zu demselben Resultate wären wir gelangt, wenn wir 1" be¬ stimmt hätten; wovon sich der Anfänger durch eigene Rechnung überzeugen mag. Vergleichen wir den Ausdruck von IHt jenem der Grundlinie v nähmlich mit -t- Lx'' -t- 6x° -t- . . . so ersehen wir, daß man den Flächeninhalt k erhält, wenn man in jedem Gliede des Ausdruckes von )- den Exponenten von x um eine Einheit vergrößert, und dasselbe durch diesen so vergrößertenEx ponenten dividirt. 94 Z weytes Hauptstück. kix. Um unS von der Richtigkeit dieses Resultates unserer Unter- 46. suchung durch die Anwendung desselben auf besondere Bevspiele zu versichern, wollen wir den Inhalt des Drencckes^LL (k'ig. 48) bestimmen. In dieser Absicht sehen wir LO — x, ^1» — v, und nehmen an, daß die um die Längeneinheit von 0 abstehende zur .^0 parallele Gerade — » sey, wodurch v:a —x:1 also v —sr wird. Hieraus folgt nach unserer Regel der Inhalt des Dreyeckcs — -^3x' oder — -^-x. nx — -ö-xv — LO. wie in §. 4Z9. 82. Eben so ist bei dem Parallelogramm .4801) (kix. 82), wenn wir-48 —3, .40 —x, 80 — v setzen, 7-3 daher der Inhalt dieses Parallelogramms — nx — — -40. 86 wie in §. 438. §. 443. 85. Der Flächeninhalt eines Trapezes -4801) ist — ch Ov oi'. dem Products aus der halben Summe (oder aus dem arithmetischen Mettel) der zwep parallelen Seiten in ihren Abstand. Denn es ist -4801) — 481) -t-VLL. Nun aber ist -48V - und 8vc - ; f-,glich iß 4808_ -DDL. DL -j- LD oi _ — —.' §. 444. 86. Der Flächeninhalt jedes Viereckes /4808 ist — 40 .dem producte aus einer Diagonale in die halbe Summe (oder rn das arithmetische Mittel) ihrer Ab¬ stände von den zwep ihr entgegenliegenden winkelpuncten. Denn es ist .4808-- .408 -D .408. Nun aber ist ^468 — —2, und /408 ——-—; folglich ist /4808 - ^.6 . LL-D/^6. DL DL-l-M --- _ /V0 --- Don den Eigenschaften der ebenen Flächen. 95 §. 445. kiff- Der Alä'chcnmhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem halben Produkte aus seinem Umfange in den Halbmesser des eingeschriebenen Rrerscs, oder in die Senkrechte, welche aus dem Mittelpunkte auf eine Seite gezogen wird. Z. B. wenn die Seite eines regelmäßigen neckes —i, sein Umfang — nl- und die aus dem Mittelpunkte auf eine Seite gezogene Senk¬ rechte — a ist; so ist der Flächeninhalt — Denn man bilde sich nur ein, daß aus dem Mittelpunkte in alle Vicleckswinkel gerade Linien gezogen sind; so wird dadurch das regelmäßige neck in » vollkommen gleiche Dreyecke getheilet, deren jedes al ist; cs ist demnach die Summe aller dieser Dreyecke, das ist, der Flächeninhalt des regelmäßigen neckcs ——wenn wir /0 statt substituiren. 446. Wir wollen die Ausdrücke für den Flächeninhalt einiger re¬ gelmäßigen Vielecke hieher setzen; cS ist nähmlich: I. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen DreyeckeS -4V6 49. —-^-c" / 3, wenn wir die Seite desselben — a setzen; weil Otz - P/ (6V- - tzv-) -- / (c- o-) o- -- -r- a / 3, und folglich ^-4V. OO --- 0 / 3 c-;/ 3 -- -46V ist. II. Der Flächeninhalt eines Quadrates, dessen Seite — 0 ist, ist — eck. III. Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfeckes, dessen 60. Seite —0 ist, ist —-^-eck / 5.) Denn die Senkrechte 6V in einem regelmäßigen Fünfecke ist — wenn ^4L — 0 gesetzt wird (409). Es ist folglich das Dreycck -4EL — -t- 0. o p/ (1 -t- 5) — 02 / (1 / 5), und alle fünf Dreyecke, das ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfeckes ^5.-^2^/ --^- bezeichnet, läßt sich auch so er¬ weisen. Es fty was immer für ein Bogen eines Kreises kk' — t>. Man theilc diesen in Gedanken in eine unendlich zunehmende Anzahl n gleicherTheilckcl, sie,.. ; so istjedersolcherTheil —Durch diese Theilungspuncte ziehe man die Halbmesser c!1r, oL, so wird der Ausschnitt I.IU' dadurch in eine inrendiich wachsende Anzahl gleicher Drcyecke Wä, clke, .... aufgelöst, weil man die unendlich abnehmenden Bogen isst, clo,... für gerade Linien ansehen kann. Nun ist jedes solche unendlich kleine Drcyeck siliü — .-ss. — ; also ist auch N. KLÜ — » .Endlich ist n.Wct — dem Ausschnitte KVH'; folglich auch — dem Ausschnitte 1.81'; nähinlich der Flä¬ cheninhalt eines Rreisausfchnrttes gleicht dem halben Products NUS dein Halbmesser in die Lange des Bogens. Setzen wir nun - —Has ist, theilcn wir den ganzen Umkreis in unendlich viele gleiche Theilc-, so erhalten wir für die ganze Kreisfläche, 'ds ist demnach die ganze Rrersflache gleich dem halben pro- ducce aus -em Halbmesser in die Lange des ganzen Umkreises — einem Drcyecke, dessen Grundlinie?, und Höhe « ist. Vega Mach. II. B. 7 98 Aweyteü Hauptstttck. kix. §. 450. Wäre nun das Verhältniß des Durchmessers zum Umkreise bekannt; so könnte der Flächeninhalt eines jeden Kreises, und auch jedes Kreisausschnittes berechnet werden, wenn nur in dem letzten nebst dem Halbmesser auch der Winkel am Mittelpunkte bekannt wäre. Es scy z. B. das Verhältniß des Durchmessers zum Umkreise —113:355, und die Länge eines gegebenen Halb¬ messers --100'; so ist (§.416) 113:355 --2 . 100':Umkr.; folglich der Umkreis — — 628,318'; und der Flächen¬ inhalt -- -z-.628,318.100 --- 31415,9 Q' -- 31415 Q' und E Q" -- 31415 Q' und 129,6 Q". In demselben Kreise' ist 10 ein Kreisausschnitt, dessen Winkel 60 Grad beträgt, — 5235,9Q', wenn man schließt 360": 60" —628,318 (nähmlich die Länge des ganzen Umkreises) : zur Länge des Bogens eines Ausschnittes 628.318.60 .. , . von 600-- —, und dann diese gefundene Lange Mit dem halben Halbmesser multiplicirt. Man erhält diesen Ausdruck auch, wenn man schließt 360:60 — 31415,9 Q' (nähmlich die ganze Kreisfläche): zum Flächeninhalte des Ausschnittes von 60°--5235,9 Q'. ) 60. Wäre ein Kreisabschnitt zu berechnen; so müßte man erstens den Flächeninhalt des dazu gehörigen Kreisausschnittes zrveprens den Flächeninhalt des Dreyeckes be¬ stimmen, und dann den zweyten Flächeninhalt von dem ersten abzichen; wornach der Ueberrcst dem Flächeninhalte des Kreis¬ abschnittes gleich würde. §. 451. 87. Das verhältniß des Durchmessers zum Umkreise können wir auf folgende Art durch Näherung bestimmen. Wenn man in dem Mittelpunkte 6 I'iss. 87. den Halbmesser t)^ auf den Durchmesser senkrecht errichtet, und einen unbe¬ stimmten Bogen eVL durch die senkrechte Ordinate MI (412.) abschncidet; so muß man trachten diesen Bogen durch die zu¬ gehörige Abscisse (M (413.), und durch den Halbmesser des Von den Eigenschaften der ebenen Flachen- 99 Kreises analytisch auszudrücken. Diesen analytischen Ausdruck 8iZ. wird man erhalten, wenn man 1) das Stück 6-V841 der Kreis- 87. fläche, und 2) die Fläche des Dreyeckes L84I durch die Abscisse L4I und durch den Halbmesser LV — L.>V ausdrückt; 3) L84I von L/484I abzieht, und 4) den dadurch erhaltenen Ausdruck des Kreisausschnittes 8L-4 durch-^L.4 dividirt; weil die Fläche des Kreisausschnittes 8L^4—^L^.,48 (449.), und folglich HZ man einen solchen Ausdruck für den un¬ bestimmten Bogen .48 gefunden; so wird man die Abscisse LN einem gewissen Theile des Halbmessers, z. B. 641 — LV gleich- sctzcn, für welchen der dazu gehörige Bogen -48 ein bekannter Theil des ganzen Umkreises ist. Hiedurch wird sich dieser bekannte Thcil des ganzen Umkreises, und daraus ferner der ganze Umkreis selbst für jeden beliebigen Halbmesser berechnen lassen- 1) Es sey nun der Halbmesser eines Kreises LV — a, und 84l senkrecht auf LV, L4I --a- und 841 —so ist (ver¬ möge §. 413) 7 — oder, wenn wir diesen Ausdruck (nach §.300) in eine unendliche Reihe auflösen, X- 1.x» 1 .3. »6 1.3,5.x« > z —. n oZ HH — 2.4.6.8. g» "" Hieraus finden wir dem in §. 442 begründeten Verfahren gemäß den Flächeninhalt des Stückes LNV^L — X« 1.x« 1 3. X» 2.3.a 2?4, 5. s« 2. 4. 6.7. a« " " 2) Ferner ist der Flächeninhalt des Dreyeckes 8LKl -- LN.418--^.^/-r- x» X / X- 1.x» 1.3.x« X 2 4 ^ Ls' 2.4.S» ^.4.6^r »x x» 1.x« 1.3.x» L 2.4.2.S» " S.4.6.S. ' Itzo ZweyteS Haupt st lick, kiss. 3) Nun ist der Kreisausschnitt Lt7H — L V1LH — LtiiVl; 87. folglich auch -NX (1-4-) 4- 4-^- i-) -«-M?c-:-" 2 2.2.3.S 2.2.4.5.S» 2.2.4.6.7.»2 und endlich 4) Wir haben jedoch auch LLH- ——wenn wir die Länge des Bogens LH — L setzen; folglich ist sr »x 1. x» 1.3.x^ "2 " 's' S.2.H s72747s7»Z 1.x» 1.3.x» 1.3.5.x7 , 1.3.5.7.x» 2.3. 2^4. 5.!,» 2. 4. 6. 7 . s« 2.4.6.8.9 . u" Setzen wir nun X — l7v; so ist » la» 1.3 a» 2.3.»r ' Z» 1-4H' 'S» . /1, 1 1.3 1.3.5 , > V2 2.3.2» 2.4.5.2- 2.4.6.7.2' / Es ist aber bey dieser Annahme HL —r-arc30"- dem Bogen von 30 Grad. Denn wegen der Gleichheit der Dreyccke viVlL und 6HIR wird die Sehne LI) - dem Halbmesser L6; folglich der Bogen LV — 60^ (393. L.), und der Bogen HL — HD — LV — 90»— 60° - 30°. Es ist demnach die Länge eines Bogens von 30» in einem Kreise, dessen Halb¬ messer - a ist, /1 , 1 , 1.3 , 1.3.5 , t,3.5.7 > ' 'v 2 2.3.2» s.4.5.2» ^2.4.6.7.27 2.4 6.3.9.2» ' / also auch 12.Ärc30" -12.3^ 4-. ; VL 2.3.2» 2.4.S.2' 2.4.6.7.27 / nähmlich /1 , 1 1.3 1.3.5 , I.3.5.7. ^-c 360 - 12s. 4- -1- —- -1- 4- . _ 13.5.7.9 ) 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 11 2" / -- heni ganzen Umkreise. Von den Eigenschaften dec ebenen Flächen. 101 Diese Reihe läßt sich auch auf folgende Gestalt bringen; kix. / l 14 11.3.3.5.5 X 87. ,.rc360 o^1.2.3.2^' 1,2.3.4.5.20 ^"l.2.3.4.5.6.7.2^ / und endlich ist/ wenn wir das erste Glied dieser letzten Reihe das zweyte — L, das dritte —6, das vierte — O, das siinfte — L u. s. w. setzen, 3rcZ60" —12n. 4-4-^t.l-^ 4-4-L. 4--4-6. 7^ I , t3 . jJ , 15 . 15 ' 14 . 15 " ' 16 . 17 1 Nun ist - 0/50000000000 i . i -l- 0/02083333333 --- L 2.3 / «r o 4- 4- L . 0,00234375000 -- 6 4- 0,00034877232 - N I- D . 0,00005933974 -- L <) 9 -0 4. L . 7^-77 -- 0,00001092391 - 10 . 11 , 11 . 11 I- '. /' - i 0,0000021182k - 6 4- 0 . ^—1? -- 0,00000042617 - 71 14 . Io 4- s- /7 . ^4-17 -- 0,00000008814 7 10 . 17 , 17 17 -i'-v 7 . 0,00000001862 -- L 4- 4-L . 0,00000000401 -- 1> 4-4- L . 7^-71 0,00000000087 -- ttt ' 8^8 - 0,00000000016 --- IV , Zr; g-- 4- - ^ . ^-7^7 0,00000000004 -- 0,52359877557 102 ZweyteL Haupt sin ck. kiss. — 0,5235987756, wenn wir die letzte Ziffer, weil sie etwas zu 87. klein seyn muß, und folglich ungewiß ist, hinweglasscn, und dafür die vorhergehende um 1 vermehren. Folglich ist urc 360" 12 . L . 0,5235987756. Wenn wir nun den Umfang eines Kreises, dessen Durchmes¬ ser — 1 ist, mit 7r bezeichnen, so ist « — src 360" —-r, und folglich -r -- 12.-r-.0,5235987756 --- 3,1415926536; nähmlich ein Umkreis, dessen Durchmesser — 1 ist, ist — 3,1415926536. Es verhält sich demnach ein jeder Durchmesser zu seinem Um¬ kreise wie 1 zu 3,1415926536 (vermöge 416.), oder wie 10000000000:31415926536, welches Bcrhältniß auch durch7:22 beynahe, oder 113:355 sehr nahe (110.111.) ersetzt werden kann. Das letzte Verhältniß 113:355 ist sehr leicht im Gedächtnisse zu behalten, weil es aus den ersten drey ungeraden Zahlen 1,1,3,3,5,5, zusammengesetzt ist. Das Vcrbältniß des Durchmessers zum Um¬ kreise werden wir jederzeit mit 1: -rbezeichnen, das ist, cs wird jederzeit-r — 3,1415926536, oder auch ,r — seyn. Suchen wir zu dieser Zahl w den briggischen und den natürlichen oder ncper'schen Logarithmus, so finden wir log 6rig. n — 0.4971499 log nat. — 1.1447299 §. 452. Nun ist cs leicht, zu jedem gegebenen Halbmesser sowohl den dazu gehörigen Umkreis als auch die Kreisfläche zu finden. Es sey z.B.derHalbmesser eines Kreises — m Schuh ; so ist dcrdazugehö- rige Umkreis —2nvr Schuh, weil 1:n —2m: zum Umkreise statt findet; und die Kreisfläche ist — m^ Quadrat-Schuh, weil die Kreisfläche dem halben Producte aus dem Umkreise 2m^in den Halb¬ messer m gleich ist. Setzen wir nun den Halbmesser m --- 2 Schuh, so ist der Umkreis — 2.2 - ,c — 4.3,14159... —12,56636 Schuh, und die Kreisfläche — 12,56636 Quadrat-Schuh. Auch zu jeder gegebenen Länge eines Umkreises kann der dazu gehörige Halbmesser gefunden werden. Es scy z. B der gegebene Umkreis —-o Schuh, und der unbekannte Halbmesser — a, so ist —2an, und folglich ar — Schuh. Eben so kann aus Von den Eigenschaften der ebenen Flachen. 108 dem gegebenen Flächeninhalte eines Kreises der Halbmesser ge- k'iK. funden werden. Es sev z. B. der gegebene Flächeninhalt--!,Qua¬ drat-Schuh, und der unbekannte Halbmesser — a; so ist K — und folglich » — s/ — Schuh. §. 453. Wenn man mehrere Glieder der unendlichen Reihe entwi- ekelt, welche den zum Halbmesser a gehörigen Umkreis ausdrückt (451.); so findet man einen noch genaueren Werth für nähmlich -- 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288; allein es ist der früher angegebene Werth von ?r schon so genau, daß man selten alle zehn Decimal - Stellen gebrauchet; man be¬ gnüget sich gemeiniglich nur mit den ersten fünf Decimal-Stel¬ len; nähmlich man nimmt nur —3,14159- Der Näherungswerth des Kreisverhältnisses kann auch auf folgende Weise gefunden werdcn.Man bestimme die Umfänge p und !? zwcyer regelmäßiger Vielecke von derselben Anzahl der Seiten n, von denen das eine in, das andere um den Kreis beschrieben ist; so muß offenbar der Umfang des Kreises größer als jener, p, des eingeschriebenen, und kleiner als der, k, des umschriebenen regel¬ mäßigen Vieleckes scyn. Läßt man hieraus die Anzahl der Seiten dieser Vielecke sich fortwährend verdoppeln, so können die Um¬ fänge der allmählig hervortretendcn Vielecke (nach §.409) bestimmt werden, und müssen der zwischen ihnen liegenden Peripherie des Kreises unablässig sich nähern; wodurch man, wenn die Umfänge der Vielecke in Decimalthcilen des Durchmessers des Kreises aus¬ gedrückt sind, für den Werth der Peripherie diejenigen Anfangs¬ ziffern beyzubehalten berechtiget wird, welche in den Werthen jener Umfänge gleich sind. Am vortheilhaftesten ist es, für den Durchmesser ä des Krci- 59. ses die Längeneinheit oder 1 zu nehmen, und von dem ihm ein¬ geschriebenen regelmäßigen Sechsecke auszugehen, da seine Seite — dem Halbmesser —also sein Umfang p —3 ist-Zu diesem wird man sonach den Durchmesser Z des ihm eingeschriebenen 104 Aw eyt e s H a u p tstu ck. Kreises, nach der Formel Z — H/ 1 —(§.409) und mit- 50. ' telst desselben den Umfang k des dem gegebenen Kreise umschrie¬ benen regelmäßigen Sechseckes nach der Gleichung 1' — end¬ lich den Perimeter pi des demselben Kreise eingeschriebenen re¬ gelmäßigen Zwölfeckcs nach der Formel 15— n f/2(1—Z) bestim¬ men. Bon diesem schreitet mau auf demselben Wege nach und nach zu den regelmäßigen Vielecken von 24, 48,96 Seiten u.s. w., und setzt sich so in den Besitz folgender zusammengehöriger Werthe von u, x> und I*. ura 360" -12 -I- 9- 4-..) ins Unendliche fortläuft, sich daher nicht genau summiren läßt; so kann auch der Umkreis nicht vollkommen rectisicirt, die Kreis¬ fläche nicht vollkommen guadrirt werden. Jedoch da diese Reihe sehr schnell zusammenläuft, so läßt sich ihre Summe durch Annä¬ herung so genau bestimmen, als man cs nur immer verlanget; folglich läßt sich auch jeder Umkreis von einem gegebeneu Halb- Bon den Eigenschaften der ebenen Flächen. 105 meffer durch Annäherung so genau recrisiciren, jede Kreisfläche so F'ig. genau guadrircn, als man es nur immer wünschen kann. 8- 454. I. Eben so leicht, als wir den Flächeninhalt von be- 87. stimmten, läßt sich auch jener eines ganzen oder halben Kreis¬ abschnittes finden. Will man z. B. den halben Kreisabschnitt durch den Halbmesser 6.4. — u des Kreises, und durch die Abscisse VH-x ausdrücken, so findet man die Ordinate O> - H2 -r x_x- (2a—x)^ oder, wenn man nach dem binomischen Lehrsätze potcnzirt. 7 3 .5- - x" 1.x' 4.3.x 2 " Ä X —_ __ 3.2- a" L.4.2'^a" 2.4.6.2"H Hieraus folgt vermöge der (in §. 442. II) gegebenen Regel der Flächeninhalt von 2. 2 ° s " 2. 4^ 2 a ° . 2 1.3.x^ 9 ' 2.4c. 6.2 ° <. " ^^^2ax 2.S.Ä 2.4.7a- 2.4.6.9a» Demnach ist der Flächeninhalt des ganzen Kreisabschnittes M^.--4^2.cx Ij. Man erhält für den Flächeninhalt eines Abschnittes auch einen Ausdruck, der nur den Halbmesser 6.4 —» und die. Sehne M — /. in sich, enthält, wenn man von 6416.4 das Rechteck 6NW abzieht, den Unterschied HiLX mit 2 multipliciret, und sodann 4-LK statt 641 substituirt. Es ist nach gehöriger Reduction 106 SweyteS Hauptstück- z » 23. a 87' 1.8.5.-S 4.6.9.2».^ l.-r 1.3.-^ S.2S.Ä» 4.7.2^.^ 1.3.5.7.2» - 4.6.8.11.2» .s» ii. Abschnitt. Von der Vergleichung und Verwandlung geradli¬ niger Figuren. §. 455. Wenn man die Grundlinie eines Dreyeckes mit 8, die Höhe mit und den Flächeninhalt mit 8 bezeichnet; so ist 8 — -Z- . 8 - Jngleichen, wenn die Grundlinie eines anderen Dreyeckes — d, die Höhe —s, und der Flächeninhalt-s gesetzt wird; so ist ebenfalls 8—-z-rr.ll ( Z. 439.). Es ist also auch 8:8 —-^-^..8:-4- n,1> — Xk-Lll (185.); das ist, die Flacheninhalte der Drei¬ ecke verhalten sich gegen einander wie die produ cte aus den Grundlinien in ihre Götzen. Hieraus folgt I. Daß Dreiecke von gleichen Grundlinien wie ihre Hö¬ hen, und Dreiecke von gleichen Höhen wie ihre Grundlinien sich verhalten. Denn wenn man 8 —b setzt, so ist8:s-H.: ». Jngleichen ist 8 :8 — 8: b, wenn .4.-3 gesetzt wird. II. Daß bey zwey Dreiecken, deren Flächeninhalte ein¬ ander gleichen, die Höhen mit den Grundlinien in einer ver¬ kehrten Proportion stehen. Denn man setze nur 8—8, nähm- lich. L —L.d; so ist-^->V:-^Ä — K:L (185.), oder : L — h: 8. III. Daß Dreiecke, die einen gleichen Winkel haben, sich verhalten wie die produete aus den Seiten, welche den glei¬ chen Winkel einschließen; nähmlich ^86: osic — »si. oc, wenn der Winkel — a ist. Denn es ist^ /V86 : nbc -- ^8.6V: nd. cä --.^8 .'ah. wenn cä und 6V die Höhen sind; nun aber ist wegen der Aehn- Von den Eigenschaften dec ebenen Flächen. 107 lichkeit der Dreyecke /408 und ncd, 40: ne — 01): cd, nähmlich 8ig. °uch 480: akc--äL-- 48 . .40: red. »c. IV. Daß ähnliche Dreyecke sich gegen einander verhalten, 40. wie die Quadrate der gleichnahmigen Seiten; z. B. .480: -dw 802: /48-: ad- -- .40"-: ne- -- 48-: ah-. Denn es ist /480 : »he - 80 . .41) :bc.»ä--- 80 : Iw. -A. Nun ist aber wegen der Achnlichkeit der Dreyecke, nd:48-Iw:80, nähmlich, also auch 480:aIw--- 80 : Iw . -E'- 80-:hc-. Da ferner 80 : he —/40 : sc--- 48 : ah, oder 80-: Iw- -- /40- : ac- -- .48- Lh- ist; so hat man auch /480 : »Iw — .40- : uc- — /48- : nh-, V. Daß alles dieses auch bey Parallelogrammen statt findet; weil ein jedes Parallelogramm nichts anderes ist, als das Doppelte eines Dreyeckes von eben derselben Grundlinie und Höhe. 8. 456. Die Flächeninhalte ähnlicher Vielecke verhalten sich ge: gen einander, wie die Quadrate der gleichnahmigen Seiten; z. B. 480888: nlwdek --- 48-: Lfi- -- 88- : es- --- 48-: ad-, u. s. w. 63. Denn wenn man die ähnlichen Vielecke durch gleichnah- mige Diagonalen in Dreyecke zertheilet; so ist das Dreyeck 480 : Ahe — 48-: nh-, das Dreyeck ^80 : ade — 40-: Le- — 48-: nh-, weil .40: ne — 48: nh ist. Eben so findet man 488 : sed — ^48- : nh-; ingleichen 488: nes—/48-: ad-, u. s. w. Es ist also auch ^408 -i- 480 -i- 488 -t-..) : (seh -i- ade ned -t-....) — -48-: Lh- (191.), das ist /480888: -dwdes -- 48-: afi-. Da ferner 48: sfi — 48: ak — 88: es u. s. w. statt findet; so ist auch ^80888:.chcdec-48-:ss--88-:es-, u. s. w. 108 Zweytes Haupt stuck. 8- 457. Drc Flächeninhalte der regelmäßigen Vrelecke von dersel¬ ben Gattung verhalten sich demnach wie die (Quadrate der Seiten, wie die (Quadrate der Halbmesser, wie die (Quadrate der Durchmesser von den umschriebenen, oder auch von den ein- geschrrcbenen Kreisen. Die Kreisflächen selbst verhalten sich wie die «Quadrate der Halbmesser, wie die (Quadrate der Durchmes¬ ser,wie djeMuadrate der Schnenvon ähnlichen BogeN; u.s.w. 8, 458. 89. wenn man auf den drey Seiten eines rcchtwinkeligen Dreieckes ähnliche Figuren, z. B. gleichseitige Dreiecke, Halbkreise, oder andere ähnliche Vielecke verzeichnet; so ist die Ftgur auf der Hpporhenufe der Summe der zwey Figuren auf den beiden Katheten zusammengenommen gleich. Bezeich¬ nen wir nähmlich die Katheten 86 und 6.4. durch u und ss, die auf ihnen verzeichneten Figuren durch « und /3, die Hypothcnusc -48 aber durch c und die über ihr gezeichnete Figur durch ; so folgt aus der vorausgesetzten Aehnlichkeit dieser Figuren (nach 456) a: : n" — D - ' c" oder vermöge 8- 191 — «-t- /2- Es ist jedoch (8. 403), daher wegen der Gleichheit der zwey letzten Verhältnisse « -b iZ. So ist demnach das Dreyeck -481) — 468^-868 und die halbe Kreisfläche .4.68-4. — der Summe aus den halben Kreisflä¬ chen auf^.6 und 86, nähmlich O-!-8.-i-I> —-r- folglich auch 8 — > l-4i wenn man beyderseits tz-1-8 ab¬ zieht; das ist, die hypokratischen Monde 4l und iX sind zusam¬ men dem rcchtwinkeligen Dreyccke .8. gleich. 8- 459- 90. Nun können wir eine Figur verzeichnen, welche mehreren ähn¬ lichen Figuren zusammengenommen an Flächeninhalte gleich, und zugleich ähnlich ist. Um dieses zu bewirken, darf man nur zwey gleichnahmige Seiten ^48 und86der ersten zwey gegebenen ähn¬ lichen Figuren unter einem rechten Winkel zusammenfügen, und die Hypothenuse ^46 führen, welche die gleichnahmige Seite einer Bon de» Eigenschaften der ebenen Flächen. 109 Figur vorstellt, deren Flächeninhalt jenem der zwey ähnlichen Fi-Lix. guren auf den gleichnahmigcn Seiten -4L undL6 gleicht. Wenn 90. man sodann 61) senkrecht auf-46 setzt, diese Senkrechte der gleich- nahmigen Seite der dritten ähnlichen Figur gleich macht, und die Hypothenuse -4V zieht; so ist diese die gleichnahmige Seite einer Figur, welche den drey gegebenen zusammengenommcncn am Flä¬ cheninhalte gleich, und zugleich ähnlich ist, wenn man die Ver¬ zeichnung (nach 426.) vornimmt; u. s. w. Wären z.B.-4L, L6, und 61) Halbmesser von dreyKreisen, so würde die mit dem Halb¬ messer ^1) beschriebene Kreisfläche den drey andern zusammen- genommen gleich scyn. §. 460. Eben so kann eine Figur verzeichnet werden, welche zwey 69. ähnlichen Figuren ähnlich, und dem Unterschiede ihrer Flächen gleich ist, wenn man auf einer Seite LV der größer» Figur einen Halbkreis zieht, in diesen Halbkreis aus dem Endpunkte 8 des Durchmessers eine Sehne LL cinschreibt, die der gleichnahmigcn Seile der kleineren gegebenen Figur gleich ist, ferner die Sehne VL zieht, und auf derselben als auf der gesuchten gleichnahmigcn Seite eine ähnliche Figur verzeichnet. Denn wegen des rechtwinke¬ ligen Dreyeckes LDL ist die Figur auf LV — dem Unterschiede der ähnlichen Figuren auf LV und LL. §. 461. Wir wollen diese Abhandlung von der Vergleichung und Verwandlung geradliniger Figuren mit folgenden Aufgaben beschließen. 1. Ein gegebenes Vieleck, z. B. das Fünfeck -4L6VL, m 91. ein Lrepeck von gleichem Inhalte zu verwandeln. Auflösung. Manschneide mittelst einer Diagonale, z. B. min leist -46, von dem gegebenen Vielecke ein Dreycck -4L6 ab und verwandle dieses in ein anderes ^4LL, dessen eine Seite -4L in die Richtung einer Seite -4L des Vieleckes fällt, indem man durch die der gezogenen Diagonale -46 gegenüber liegende Dreyecks- lpitze L die LL zur -46 parallel führt, mit ihr die verlängerte ^>eite -4L des Vieleckes in L schneidet, und die Gerade L6 zieht; Ho ZweyteS Hauptstück. wodurch in der That (nach §. 390.1) 1^0 — wird. Durch diesen Vorgang verwandelt man das gegebene Vieleck in ein an¬ deres, welches um eine Seite weniger enthält. Wiederholt man dasselbe Verfahren, indem man z. B. das Dreycck LOLinLOL verwandelt, so wird man schrittweise zu Vielecken von'immer ge¬ ringerer Anzahl Seiten und endlich zu einem Dreyecke, wie Lkik' gelangen, welches dem vorgelcgten Vielecke am Inhalte gleicht. II. Em Dreieck, dessen Grundlinie b, und >^öhe /-z--d/^---z-b/6. 6 ° 36 ° Wäre das gegebene Vieleck unregelmäßig, oder zwar regel¬ mäßig, aber so beschaffen, daß sich sein Flächeninhalt nicht alge¬ braisch ausdrücken ließe; so müßte man alle erforderlichen Linien des gegebenen Vieleckes auf einem geometrischen Maßstabe aus- mcssen, um den Flächeninhalt (nach 447.) bestimmen zu können. Dann müßte man diesen Flächeninhalt mit einem Buchstaben,;. B. mit u bezeichnen, und-§-x?/3—ssetzen, wenn das Vieleck in ein regelmäßiges Sechseck zu verwandeln wäre. Aus dieser Glei¬ chung findet man nun x — -z-/(2a/3)-/i2s^ IV. Ein regelmäßiges Vieleck, z. L. ein Achteck, zu ver¬ zeichnen, welches einen gegebenen Flächeninhalt — u enthält. Auflösung. Es sey die Seite dieses Achteckes —x; so ist dessen Flächeninhalt — 2x- (1 4- / 2). Nun muß vermöge der Bedin¬ gung der Aufgabe 2x- (1-t-/2) —a seyn; folglich ist x— Wäre hingegen ein regelmäßiges Vieleck, dessen Flächenin¬ halt sich nicht algebraisch ausdrücken läßt, z.B. ein regelmäßiges Siebeneck von einem gegebenen Flächeninhalte zu verzeichnen; so beschreibe man mit einem beliebigen Halbmesser einen Kreis, ver¬ zeichne darin durch das Versuchen ein regelmäßiges Siebeneck, und messe bey demselben die erforderlichen Linien, um den Flächenin¬ halt berechnen zu können. Dann sage man: Ller berechnete Flächeninhalt des verzeichneten regelmäßigen Siebeneckes verhält sich ,u dem gegebenen Flächeninhalte, gleichwie das 112 Zwey te s H aup tstü ck. kix. (Quadrat einer Seite des verzeichneten Siebeneckes zu dem (Quadrate der Seite des gesuchten Siebeneckes; man verzeichne ausdieser gefundenen Seite ein regelmäßiges Siebeneck; so wird das¬ selbe den gegebenen Flächeninhalt enthalten. Oder auch: Derberech- net e Flächeninhalt des verzeichneten regelmäßigen Siebeneckes verhält sich zu dem gegebenen Flächeninhalte, gleichwie das (Quadrat des angenommenen Halbmessers zu dem (Quadrate eines anderen Halbmessers. Wenn man nun mit diesem gefun¬ denen Halbmesser einen Kreis beschreibet, und in denselben ein regelmäßiges Siebeneck verzeichnet; so wird dasselbe ebenfalls den gegebenen Flächeninhalt enthalten. 80. Es sind alle örey Seiten 6-4 — s, -48 — b , 86 — c eines Dreieckes 486 gegeben; man soll seinen Flächemn- halt finden. Auflösung. Es scy .48 — 6 die Grundlinie, so ist (ver- Z möge 422.) die Höhe 61)—--/ ls(8 n) (8 i>) (8 — c)l wobty s ------die halbe Summe der drey Seiten bezeichnet; folglich ist der Flächeninhalt des Drcyeckes -486 — -^-,48. 68 — / l8 (s — n) . (s —. h) . (s c)i ; das ist: wenn man von der halben Summe der drey Seiten eines Dreieckes jede Seite abzieht, die drey gefundenen Differenzen sowohl mit einan¬ der, als auch mrt der halben Summe der drey Seiten multt- plicirt, und aus dem Products die (Quadrat-Wurzel zieht; so ist dieses Resultat der Flächeninhalt des gegebenen Dreyeckes. Es sey z. B. n — 150, st — 140, und c — i30 Klafter; so ist 8—210,8—s — nähmlich60,8 b — 70, 8 —. c—80 Klafter, und folglich der Flächeninhalt---/ (210.60.70.80)---/(70560000) — 8400 Quadrat - Klafter. Eben so findet man den Flächenin¬ halt—8400 Quadrat-Klafter, wenn n—210, b-170, und c — 100 Klafter ist. VI. Ein gegebenes Vreleck in ein anderes ähnliches so zu verwandeln, daß der Flächeninhalt des gegebenen zu dem Flä¬ cheninhalte des verwandelten Vieleckes sich verhalte!, wie »> zu n,;. B- wie 9 zu 4. Bsn den Eigenschaften der ebenen FlLchen. 113 ?1uflöfung. Es scy eine Seite des gegebenen Vieleckes --- 2, z. B. — 450, und die gleichnahmigc Seite des gesuchten Wiel« eckcs — x; so ist a" : x- — m : n, und folglich , n"n , Ü'NIN » / 450 X — s/ -— /——s/inn — V" 0.4 — 50. s/ 36 — ne ne- ne U 50.6 —300. Denn der Flächeninhalt des gegebenen Vieleckes verhältsich zu dem Flächeninhalte des gesuchten wie sck zux- (456.). Nun aber verhält sich auch vermöge der Bedingung der Aufgabe der Flächeninhalt des ersten zum Flächeninhalte des zweytenVie!" cckes wie m zu n ; also ist a":x" — m:n. VII. Ern Dreieck 01)1' in n, z. ZZ. m 5, gleiche Theile zu theilen. 2luflösung. Man theile eine Seite Ok des gegebenen Drey- "0. eckes in den Puncten n, 6, c,<1, in n gleiche Theile, verbinde diese Theilungspuncte mit dem entgegengesetzten Winkelpuncte durch gerade Linien; so wird dadurch das gegebene Dreyeck in y gleiche Theile gctheilet. Denn alle ir Drcyccke haben gleiche Grundlinien, und dieselbe Höhe; folglich sind sie einander am Flächenin» halte gleich. Wäre das Dreyeck in zwey Theile zu theilen, die sich wie in zu n, z. B. wie 2 zu 3, verhalten sollen; so theile man eine Seite in m-4-n — 2-t-3—5 gleiche Theile, und verbinde den inten (in unserem Falle den 2tcn) Theilungspunct!> mit der cntgcgcnge« setzten Winkclspitze durch die Gerade 61); so ist dadurch das Dreyeck in zwey Theile ((!>!) und lOIik' getheilet, die sich wie in zu n, das ist, wie 2 zu 3 verhalten. Dasselbe ist zu beobachten, wenn ein Dreyeck in mehrere Theile zu theilen wäre, die sich wie m, n, p, u. s. w. verhalten sollen. Wäre einDreyeck ul>c in n, z. B. in 3, gleiche Theile durchs die Geraden mp und ng zu theilen, die mit uc parallel laufen, so findet man die Theilungspuncte durch folgende Propornon; 3:1— In? : 1»n", und 32:— siu": nähmlich sim,-- s/ und tzn Denn das Dreyeck 620: sirup — 62": in»' (455. IV.); nun aber ist auch sine: simp— 3:1: mithin 3:1-» ba': Iiiur. u. s. n,. Vega Mach. ZZ. ll. 8 414 A wcytts Hauptstück. ,H Wäre endlich ein Parallelogramm in mehrere Thcile zu thci- len, die sich wie m, n, p verhalten sollen; so wird jeder leicht einsehen, daß man zwey Seiten in diesem Verhältnisse theilen, und die Thcilungspuncte durch gerade Linien verbinden müsse. 92. Vlll. Eine geradlinige Kgur m n, z. B. in 3, gleiche Lheile zu theilen. Auflösung. Man ziehe die Diagonalen ^1) und ^6, die Senkrechten LH, DD, DL, messe diese Geraden aus, und berechne den Flächeninhalt der Figur ^VEDL. Diesen in Zahlen gefun- denen Flächeninhalt thcile man durch n (in unserem Falle durch 3), und einen solchen nten Theil wieder durch 2. Dann ziehe man das Dreyeck ^DL von dem erten — 3ten Thcile des ganzen berechneten Flächeninhaltes ab, und dividire diesen Uebcrress durch -^-^.D; so ist der Quotient die Höhe eines Drcy- eckes (439.), welches zu ^DL addirt, einen nten — 3ten Theil zum Vorschein bringt. Man ziehe also nur in der Entfer¬ nung der gefundenen Höhe zu ^D eine Parallele; so wird da¬ durch der Punct I bestimmt, den man mit I) verbinden muß, um IDLr^ —-^XLEDL zu erhalten. Ferner thcile man die Hälfte des ntcn — 3ten Thciles des ganzen Flächeninhaltes durch-4-DI; so ist der Quotient der Höhe eines Dreyeckes DIX gleich, dessen 1 Flächeninhaltist. Man ziehe also nur in der Entfernung der gefundenen Höhe zu DI eine Pa¬ rallele; so wird dadurch der Punct Kl bestimmt- Hierauf thcile man dieselbe Hälfte des 3ten Theiles durch -^-DX, so ist der Quotient die Höhe eines Dreyeckes DKD, dessen Flächeninhalt —-^.-VLEDL ist. Man ziehe also nur in der Entfernung der gefundenen Höhe zu DX eine Parallele, so ist dadurch auch der Punct D bestimmt. Wenn man nun X und D verbindet, so iß VIXD^DIX^VXD^ ' und folglich ist dadurch auch der zweytc gesuchte Theil gefun¬ den. Endlich ist DELL ^.LEVL - VIKD .^IVL -- ^Ll)DL —^EivL_^DODL^^DEVL, und so¬ mit auch der letzte gesuchte Theil bestimmt. Von den Eigenschaften der ebenen Flächen. 115 Wäre nun /VV8t> X8EV8, so ist ganz begreiflich, daß8ix. man ^^8688 vonXV8 abziehen, und diesen Uebcrrest durch 92. Lividiren müsse, um die Hohe eines Dreyeckes zu finden, welches von ^V8 abgezogen, den 3lcn Theil des ganzen Flächen¬ inhaltes zum Vorschein bringt. Wäre endlich eine Figur in mehrere Theile zu theilen, die sich wie m, n, p verhalten sollen; so ist ebenfalls sehr leicht cinzu- sehen, daß man sie nach der gegebenen Vorschrift zuvörderst in (m-t-n-t-p) gleiche Theile theilen, und dann m solcher Theile für den ersten, n für den zweyten, für den dritten gesuchten Theil nehmen müsse, u. s. w. Der Grund, aus welchem der nte Theil dcS ganzen berech¬ neten Flächeninhaltes wieder in zwey gleiche Theile getheilet wird, liegt darin, daß die gesuchten Theile, in welche die gegebene Figur zu theilen ist, nicht durch Dreyecke, sondern vielmehr durch vier¬ eckige Figuren ausgedrückt werden sollen- IX. Ein Dreyeck ^80 durch die Gerade 88, welche 93. durch -en in der Seite ^8 gegebenen punct I) geht, in zwey gleiche Theile zu theilen. Auflösung. Es sey ^8 —a, die größere Entfernung des gegebenen Punctes 8 von einem der anliegenden Winkelpuncte sey^D —c, die diesem Winkel anliegende Seite — b, und ^8 —x; so ist das DreyeckX88:X()8 —^8.-X8:H8.^8 — cx:nsi, (455. III.). Nun aber ist^88:X68 — 1:2; folg¬ lich auch cx:.-ch — 1:2, und endlich x — Wenn nun a, I>, c mittelst eines Maßstabes ausgemessen werden; so läßt sich nach eben diesem Maßstabe x — .^8, und folglich der Punct 8 bestim¬ men, der mit 8 zu verbinden ist, damit das Drcyeck durch die Gerade 88 in zwey gleiche Theile getheilet werde. Der Werth von x — kann in folgende Proportion nähmlich X8:^-^8 — ^.0:x aufgelöset werden. Theilet man nun ^.8 in dem Puncte 8 in zwey gleiche Theile, zieht l)8, und durch 8 die Parallele 88 zu 68; so ist^8:^8---^ :^8, ^ns ist, folglich ist ^8 — x. 8 * 116 Sweyter-Hanptstück. k'IZ. X. Es ist der Flächeninhalt und der Umfang h eines 55. rechtwinkeligen Dreieckes ^.LL gegeben; man soll die drey Seiten St-sielben fnven. Auflösung. Es sey die eine Kathete LeV — x, die andere LL—x, und die Hypothenuse — 2; so ist x-e-^4-2—h, 4-— 2^. Nun ist aus der zweyten Gleichung X4-V — b — 2 und wenn man quadrirt x^ 4-2x^4-^^ — h? _21)2 4-2^. Zieht man hievon die dritte Gleichung nebst dem Vierfachen der ersten ab, so ergibt sich 0-hr_4^__2b2, dr_4^ woraus man .... 2 — —2b — erhalt. Subtrahirt man aber von der dritten Gleichung die vierfache erste, so ist der Rest x* — 2x^ -t-— 2" — 4 , oder wenn man auf den für 2 gefundenen Werth Bedacht nimmt, daher _ x y _ 24.4K- 4- b». Wegen desselben Wcrlhcs von 2 wird aber auch nach der vierten Gleichung 4.4 4- K2 daher ist (vermög §. 222. 1. Aufg.) (4^-e-h-- ^/l6^__24^ 4-b») x(4^-t- k- 4-^16^--24^b--t-h*). ES sey z- B. —6 Quadrat-Schuhen, und h — 12 Schuhen; st ist die eine Kathete x---4, die andere )—3, und die Hypc!he< nuse 2 --- 5 Schuhen. Von den Eigenschaften der ebenen Flachen. H7 kix. m. Abschnitt. Von der Lage und Stellung der Ebenen. 8. 462. Wir haben schon im §. 345 erklärt, daß eine Fläche, auf der sich durch was immer für zweyPuncie eine gerade Linie derge¬ stalt ziehen läßt, daß sie nach ihrer ganzen Länge auf der Fläche liegt, eine Ebene genannt wird. Nun sollen auch einige Eigen¬ schaften, die aus der verschiedenen Lage und Stellung der Ebenen entspringen, aus einander gesetzt werden. Bey dieser Untersu¬ chung wird angenommen, daß man jede Ebene nach allen Seilen in Gedanken soweit ausdehnen könne, als man cs nur immer verlangt. Die vorzüglichsten Eigenschaften derEbencnsind folgende: I. Ls ist unmöglich, daß ein Theil ^8 ei> er geraden Li- 95. nie.46 ans einer Ebene liege, und ein anderer Theil derselben 48X außer diese Ebene (das ist Lch ß- oder je -seits, über oder unter dieselbe) falle. Denn würde ein Theil 48X außer die Ebenes fallen, und der Theil ^V8 in dieser Ebene liegen; so wäre entweder 8t) keine Ebene, oder ^X6 keine gerade Linie, welches wider die Voraussetzung läuft. II. Eine gerade Linie muß nach ihrer ganzen Länge auf der Ebene 8t) liegen, sobald sie zwea punc-e z. L. und 8 mit der Ebene gemein hat. Denn würde z. B. der Theil UiX außer die Ebene fallen, so müßte ein Theil der Geraden ^6 außer die Ebene fallen, und ein anderer Theil derselben ^8 auf der Ebene liegen, weiches unmöglich ist. IH. Em Drepech686 muß ganz auf der Ebene 8t) lie¬ gen, sobald em Theil dec H8che desselben (z. B- 1X88, Ster 6iX8) auf der Ebene 8t) liegt. Denn wenn z. B. 61X8 auf der Ebene 8t) liegt; so hat die Seile 68 mit der Ebene 8t) zwey Punkte 6 und 8 gemein, folglich liegt sie nach ihrer gan¬ zen Länge in der Ebene 8t). Nun hat auch die Seile 68 zwey Puncte IX und 8 mtt der Ebene 8t) gemein (weil 8 in der Ge¬ raden 68 liegt); folglich liegt auch 68 nach ihrer ganzen Länge 118 ZweyteS Hauptstück. kiß'.in der Ebene 6H. Endlich hat auch 66 die zwey Puncte 6 und 95. 6c mit der Ebene I?() gemein (weil jener in der Geraden 66 und dieser in der Geraden 66, nähmlich beyde in der Ebene lie¬ gen); folglich liegt auch die dritte Seite 66 nach ihrer ganzen Länge in der Ebene Da nun alle drcy Seiten des Dreieckes 666 in der Ebene 6^ liegen, wenn der Theil 6?>6 in dersel¬ ben Ebene liegt; so liegt zu Folge dieser Voraussetzung auch das Dreyeck selbst in derselben Ebene. §. 463. Wenn man nun durch einen Theil ?>68 des Dreyeckeskl¬ eine Ebene führen wollte, so würde diese Ebene mit der Ebene oder Fläche des Dreyeckes 666, und folglich auch mit der Ebene ipt) übereinfallen, und mit derselben nur eine einzige Ebene aus¬ machen. Es wird also durch die Lage eines Dreyeckes die Lage oder Richtung einer Ebene gänzlich bestimmt. Nun aber wird die Lage des Dreyeckes durch die drey Puncte 6, 6, 6 bestimmt; cs wird also auch durch dieselben drcy Puncte die Lage der Ebenes festgesetzt; das heißt, Lurch Lrey puncte, die nicht in einer ge¬ raden Linie liegen, laßt sich nur eine einztge Ebene führen. Hingegen können durch drey Puncte, die in einer geraden Linie liegen, das ist durch eine einzige gerade Linie unzählige Ebenen geführt werden. §. 464. Auch ist leicht einzuseyen, daß zwey Geraden 66 und 66, oder H.6 und 86, die sich durchschneiden, in einer und derselben Ebene liegen, das ist, daß durch zwey sich schneidende gerade Li¬ nien nur eine einzige Ebene geführet werden könne. Denn man nehme nur auf den zwey sich schneidenden Geraden 66 und 66 die Puncle 6 und und verbinde sie mittelst der Geraden 1^6; so liegt das ganze Dreyeck 6iX6 in einer einzigen Ebene 6A Nun aber haben die zwey sich schneidenden Geraden 86 und -4( jede mit der Ebene zwey Puncte gemein; folglich liegen sie beyde in dieser Ebene ktz. §. 465. 98. Schneidet cine Gerade ^46 eine Ebene dergestalt, daß sie auf allen Geraden senkrecht steht, welche in dieser Ebene durch Bon den Eigenschaften der ebenen Flächen. 118 den Durchschnittspunct können gezogen werden; so heißt sie senk-Dis. recht auf der Ebene. - 96. 8. 466. wenn eine Gerade .48 auf zrvey Geraden 68 und DL in ihrem Ourchschnittspuncte L zugleich senkrecht steht, so ist sie senkrecht auf jeder Geraden z.D. üufD6, die in derselben Ebene DH durch den Durchschnittspunct L «ezogen wird; das ist, sie ist senkrecht auf der Ebene DH selbst. Denn man verlängere nur 6l> und DL, mache L6—LD --LD--LD, und ziehe DD, DD, DD, D6; ,4V, 4D, 4D, ,4.8, und.46; so istLD--L6, und DD--DD, weil HD durch den gemeinschaftlichen Durchschnittspunct der zwey Diagonalen des Parallelogramms 6DDD gezogen ist (387. Ill.d. Dann ist in den zwcy Dreyeckcn 6D^. und DD,4 die Seite OD--LD, 6.4--L.4, D-4--.4D (358.1.); folglich sind sie vollkommen gleich, und cs ist der Winkel -4DL — 4rDD, oder 4DD — 4D6. Ferner ist in den Dreyeckcn D!I,4 und D6.4 die Seile D.4 —144, DD—D6, und der cingeschlossene Winkel -4DD —^4D6; also sind auch diese zwcy Dreyecke vollkommen gleich, und folglich ist D^ — 6.4. Endlich ist in den zwey Drey- ecken 16'4 und 6L.4 die Seite L^4 —L^., LD —L6, D.4 — 6^4; daher sind auch diese Dreyecke einander vollkommen gleich, und der Winkel .4LD — ,4L6 — M", Folglich steht ^4L in dem Puncre L senkrecht auf D6. Da nun dieses auch von jeder an¬ deren Geraden sich erweisen läßt, die in dcr Ebene DH durch den Punct L gezogen wird; so ist 4L auf jeder solchen Geraden, und folglich auf der Ebene DH selbst senkrecht. Hier ist noch zu merken: I. Daß man aus einem außer einer Ebene DH angenomme¬ nen Puncte ^4 bloß eine einzige Senkrechte ^4L auf diese Ebene führen könne. Denn wäre noch eine andere Senkrechte z. B. ^.6 möglich; so würde das Dreycck ^4L6, welches entsteht, wenn man die PuncteL und 6 durch eine Gerade verbindet, zwcy rechte Winkel 4L6 und _46L haben, was unmöglich ist. D. Daß auch aus einem in der Ebene DH angenommenen 95, Puncte L bloß eine einzige Senkrechte LD auf diese Ebene errich- 120 ZweyteS Hauptstück. kittet werden könne. Denn wäre noch eine andere Senkrechte in dem- 95. selben Puncte auf die Ebene z. B. LV möglich; so müßten beyde Geraden LV und LV auf einer Geraden VV in einer und der¬ selben Ebene in dem nähmlichen Puncte zugleich senkrecht stehen (wenn man nähmlich durch die zwey sich schneidenden Geraden LI) und LV in Gedanken eine Ebene führt, und in der Ebene Lt) die Gerade 6-LI durch den Punct L dergestalt zieht, daß sie auch in der durch L, V, v geführten Ebene liegt); folglich müßte der Winkel VLV — VLV — 90", das ist, es müßte ein Lhei! dem Ganzen gleich seyn, was ebenfalls unmöglich ist. 96. III. Daß die Senkrechte .4V von allen Geraden die kürzeste . ist, die aus dem Puncte^. auf die Ebene gezogen werde» können, und daß sie folglich die Entfernung des PunctcS^ von der Ebene Ltz bestimmt. Anmerkung. Aus einem außerhalb der Ebene gegebenen Puncte kann in der Ausübung am füglichsten eine Senkrechte auf die Ebene gefällt werden, wenn man in diesem Puncte eine Schnur befestiget, dann bey gleichförmiger Spannung und un¬ veränderter Länge der Schnur auf der Ebene drey Puncte bemerkt, ferner diese als drey Puncte eines Umkreises betrachtet, dazu (ver¬ möge 368. II.) den Mittelpunkt bestimmt, und endlich diesen mit dem gegebenen Puncte außer der Ebene verbindet. Daß diese Ver¬ bindungslinie auf der Ebene senkrecht stehen müsse, ist leicht einzu- sehcn- Denn, wenn man die Senkrechte aus dem gegebenen Puncte als schon gezogen denkt; so entstehen drey rechtwinkelige Dreyccke, welche eine gemeinschaftliche Kathete, und gleiche Hypolhenuse» haben, folglich einander gleich sind (359.). Es liegt demnach der Durchschnittspunct der Senkrechten auf der Ebene in demjenigen Puncte, welcher von den drey auf der Ebene abgeschnittenen Punk¬ ten gleich weit entfernt ist, nähmlich in dem Mittelpuncte dc§ durch die drey Puncte gedachten Kreises. Aus einem in der Ebene liegenden Puncte kann eine Senkrechte auf die Ebene am sich"'- sten mit Hülfe eines zuvor geprüften Winkelhakens errichtet wer¬ den, wenn man diesen an den gegebenen Punct in der Ebene anlegt. Don den Eigenschaften der ebenen FlLchen. 121 Z. 467. k'ix. Der Durchschnitt .48 zrvcyer Ebenen 1)8 und 68 ist 97. em? gerade Lini?. Denn man verbinde nur zwcy Puncte ?,I und ihres Durchschnittes (der eine Linie seyn muß, weil die Ebe¬ nen keine Dicke haben) durch die Gerade so liegt diese nach ihrer ganzen Länge in beydcn Ebenen zugleich, weil sie mit jeder derselben zwey Puncte gemein hat. Nun aber ist der Durch¬ schnitt der zwey Ebenen 88 und 68 diejenige Linie, die nach ihrer ganzen Ausdehnung in beyden zugleich liegt; folglich ist die gezogene Gerade der Durchschnitt der zwey Ebenen 88 und 68; das ist, die gezogene Gerade fällt mit der Durch- schnittslinie ch8 überein, oder macht mit derselben nur eine ein¬ zige Gerade aus. 468. Wenn man durch einen Puuct I? der Durchschnittslinie ch8 zweycr Ebenen 68 und 88 auf 48 zwcy Senkrechten H und 1'1, die erste in der Ebene 88, und die zwcytc in der Ebene 68, führt; so heißt der Winkel M der Neigungswinkel der zwey Ebenen 68 und 88. Ist nun dieser Neigungswinkel ein rechter, nähmlich — 90"; so heißen die -wey Ebenen senkrecht auf ein¬ ander. Z. B. 68 und I () in klx. 98., sind senkrecht auf cinan- 98. der, wenn Nchv — 90" ist. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Ebene des Neigungs¬ winkels zrveyer Ebenen uns der Durchschnictslinie derselben senkrecht sieht. (§.466). Eben so leicht sieht man ein, daß, wenn die (sicrade ch8 auf d->r Ebene 8t) senkrecht ist, auch jede durch geführ¬ te Ebene 68auf k0 senkrecht steht. Denn errichtet man in dem VcreinigungZpuncte ch der Durchschnittslinie 69s beyder Ebenen mit der auf ihr (nach §. 465) senkrechten die .48 in der Ebene 80 auf O"!' senkrecht; so ist der Voraussetzung und dem §. 465 gemäß, der Winke! NchO ein rechter. Dieser ist je¬ doch nach der ausgestellten Erklärung der Neigungswinkel der Ebenen 68 und vtz, daher sind diese senkrecht aufeinander. n 98. 122 Aweytes Hauptstück. §. 469. wenn die Ebene 60 auf der Ebene I'tz senkrecht steht, und man fällt aus einem puncte M der Ebene 60 auf die Durchschnittslinie Oldie Senkrechte , oder man errich¬ tet in dem puncte der Durchschnittslime 6P auf diese in der Ebene 60 die Senkrechte -VN; so steht sie senkrecht auf der Ebene Denn man errichte nur in dem Puncte /V in der Ebene 60 die Senkrechte -VI) auf die Durchschnittslinie 60; so ist N-VV der Neigungswinkel der zwcy Ebenen und 60, und folglich ist dieser — 90", weil die zwey Ebenen vermöge der Voraussetzung auf einander senkrecht stehen. Nun aber ist auch N-V6 oder VI V f — 90", weil lN-V auf 61 senkrecht steht. Es ist also N V auf zwey Geraden in der Ebene in ihrem Durch- schnittspnnctc zugleich senkrecht; folglich steht sic auch senkrecht auf allen Geraden, die durch denselben Punct -V in der Ebene 6() können gezogen werden; nähmlich sie steht senkrecht auf der Ebene selbst (466). Eben so läßt sich erweisen, daß jede andere Gerade um — auf der Ebene 6() senkrecht steht, wenn sic in der Ebene 60 auf die Durchschnittslinie 6l senkrecht gezogen ist. Nun sind bey den zwey Geraden N-V. und m.L, die in einer und derselben Ebene 60 liegen und auf der Ebene senkrecht stehen, die Winkel N-Vu -t- mal — S0"-t-90"; folglich laufen sie mit einander parallel (363). §. 470. Umgekehrt, wenn d e Ebene 66 auf der Ebene senkrecht steht, und eine Gerade -VN durch was immer für einen punct der Durchschnittslinie 6P auf die Ebene PO senkrecht gezogen ist; so liegt dieselbe in der Ebene 6Of Denn würde diese Senkrechte -VM außer der Ebene 60 lie¬ gen, so könnte durch diesen Punct./V eine andere Senkrechte -ViX auf die Durchschnittslinie 6P in der Ebene 60 gezogen werden. Nun würde diese Gerade vermöge des Vorhergehenden auf der Ebene 6(^ senkrecht stehen. Es würden also in demselben Puncte /V zwey gerade Linien auf der Ebene 6(0 senkrecht seyn, welches unmöglich ist (466. !!.). Es ist daher auch unmöglich. Bon den Eigenschaften der ebenen Flächen- 123 daß die Gerade .44! außer der Ebene L6l liege, wenn sie in dem kix- Puncte .4 aufktz senkrecht steht. §. 471. wenn zrrep sich öurchschneidende Ebenen LI) und LI 99. auf einer dritten Ebene zugleich senkrecht stehen, so steht auch ihre Lurchschnittslinie K.4 auf derselben Ebene ks) senkrecht. Denn man denke sich nur aus dem Durchschnittspuncte rV eine Senkrechte auf die Ebene so muß diese Senkrechte vermöge des Vorhergehenden nach ihrer ganzen Länge in den beyden Ebenen 6O und Lk zugleich liegen; folglich muß sie mit der Durchschnittslinic dieser zwey Ebenen zusammen fallen, und mit derselben nur eine einzige Gerade ausmachen. Nun aber steht die gezogene Gerade _4L auf der Ebene ktz senkrecht; cs ist also auch die Durchschnittslinie der zwey Ebenen LV und L.L auf der Ebene k() senkrecht. 8. 472. Wenn zwey Ebenen überall gleich weit von einander entfernt, 100. das ist, wenn die Senkrechten, die man aus was immer für einem Puncte der einen Ebene auf die andere ziehen kann, alle einander gleich sind; so heißen die Ebenen gleichlaufend oder parallel. Hieraus folgt, daß zwey parallele Ebenen nie zusammen stoßen können, wenn man sie noch so weit ausdchnt; weil ihre Entfernung von einander immer unverändert bleibt. Auch ist leicht cinzusehen, daß sowohl die Wcchselwinkcl, als auch die äußern und innern Winkel auf derselben Seite einander gleich sind, wenn zwey parallele Ebenen von einer dritten geschnitten werden- Jngteichen, daß eine Ebene, oder auch eine gerade Linie, wenn sie auf eine von mehreren parallelen Ebenen senkrecht gcführet ist, auf allen übrigen parallelen Ebenen senkrecht steht; u- s. w. §. 473. Menn zwey parallele Ebenen und H8 durch eine drsite Ebene geschnitten werden, so laufen diellkurch- schnirtslinien ^4iL und VK. mit einander parallel. 124 Zweyte« Hauptstück. k^x. Denn die zwey geraden Durchschnittslinien und KI) 100. liegen in einer und derselben Ebene -4H)L, und sind so beschaffen, daß sie nie Zusammenstößen können, wenn man sie auch noch so weit verlängert; weil sie in den paralle¬ len Ebenen kl) und L8 liegen; folglich laufen sie mit einander parallel. L. 474. wenn man aus einem außerhalb der Ebene kl) gelege¬ nen puncte N auf die Ebene kl) mehrere gerade Li¬ nien NN, AID, NO, NK, Nk, NlX zieht, und eine Ebene L8 führt, die mit kl) parallel läuft, und die ge¬ zogenen Geraden in u, h, c, g, f, n schneidet; so können fol¬ gende Sätze bewiesen werden. I. Die Abschnitte stehen sowohl unter einander, als auch mit den ganzen Geraden in Proportion; nähmlich Nu: Na — Nb: Lb --- Nc: 6c u. s. w. und Nu: NN - Nlh: NL Nv. N6 u. s. w. — uh: NL — hc: L6 — cel: 6L u. s. w. Denn wenn man durch zwey sich schneidende Geraden NN undNL eine Ebene NNL sich denkt, so laufen die Durchschintts- linien uh und NL mit einander parallel (473.) ; folglich finden in den zwey.ähnlichen Dreyccken N»h und NNL folgende Pro¬ portionen statt Nu: Nu—Nh: LH; Nu: NN —Nh. NL, u. s. w. Eben so läßt sich erweisen, daß Nh: Nc — NL. NL, oder Nh: hc — NL. LL, u. s w. statt findet, wenn man durch die zwey sich schneidenden Geraden NL und LN eine Ebene LNl) sich denkt. II. Die zwep Vielecke NLLLk und uhc^s sind einander ähnlich. Denn man zerschneide nur diese Vielecke durch glcich- nahmige Diagonalen 6N, LL, und Zu, gh in lauter Drcyecke; so wird man gleich einschcn, daß das Dreyeck uhx NL6, hxc vd L6>6 u. s. w., und daß folglich das Vieleck uhcgs NLLLk ist (415.). Die Ähnlichkeit der Drcyecke uh^ und Von den Eigenschaften der ebenen Flächen. 125 H86 erhellet aus der Gleichheit folgender Verhältnisse Ala: 8iZ> N^ -- ah : ^8 -- 32: ^6 -- KIH . N8 -- hx: 86, so daß 100. ah. H8 — nx: /V6 — hx: 86 ist; folglich ist das Dreyeck 2hx vr ^V86 (399. II.). Eben so läßt sich erweisen, daß daS Dreyeck hxc 866, sxf /X68 ist, u. s. w. IH. Oie Flächeninhalte dieser Vielecke verhalterr sich wie die LUmdrare ihrer Entfernungen von dem puncte N, nähm- lich »hcxf. ^8668 — Hin?: NIX?, wenn N?^ aus dem Puncte Hi auf die zwey parallelen Ebenen kl) und 88 senkrecht gezogen ist. Denn es ist uhcxk: ^8668 — ad?: H8?; nun aber ist Nh: N8 — »h: ^X8, oder Nh? . N8? — »h?: .H8?; also auch ahcxf: -^8668 — Nh?: N8?. Endlich findet in den zwey ähnlichen Dreyccken Nhn und N8IX, welche entstehen, wenn die Puncte n und IX, in denen die Senkrechte NnIX die parallelen Ebenen 88 und kl) durchschneidet, mit h und 8 ver¬ bunden werden, folgende Proportion statt: Nh: N8 — Nn: NIX, oder Nh?: N8? — Nn?: N?c? ; folglich ist auch ->hcxf: ^8668 - Nn?: N^?. Z. 475. Da bey den Dreyecken hcx und 866 die Seiten des einen mit den Seiten des anderen Dreyeckes wechselweise parallel lau¬ fen, und diese Drcyeckc einander ähnlich sind; so folgt, daß Dreyecke, deren Seiten mit einander parallel laufen, auch dann noch ähnlich seyn müssen, wenn sie in verschiedenen Ebenen liegen. Daß dieser Satz bey Dreyecken, die in einer und derselben Ebene lie¬ gen, statt findet, haben wir schon (383.) erwiesen. §. 476. Da überdieß in ähnlichen Dreyecken hcx und 866 die Winkel c und 6 gleich sind, und ihre Schenkel paarweise mit einander parallel laufen; so folgt, daß zwey Winkel, deren Schenkel mit einander wechselweise parallel laufen, auch dann einander gleich seyn müssen, wenn sie in verschiedenen Ebenen liegen. 126 Zwe y tc S H a u p t st ü ck. kis- Man kann die Gleichheit der Winkel box und KLO auch 100. erweisen, wenn man durch bc, bx und cx auf L8 senkrechte Ebenen legt, und diese Ebenen so weit ausdehnt, bis sie die Ebene Ltz durchschneiden. Da diese Gleichheit auch bey den Winkeln xbc und OLL, wie auch bey den Winkeln LOL und bxc statt findet; so läßt sich daraus die Ähnlichkeit der Dreyecke bxo und LOL, deren Seiten mit einander wechsel¬ weise parallel laufen, selbst dann noch folgern, wenn sie in verschiedenen Ebenen liegen. 127 Drittes Hauptstück. Bon den Eigenschaften der Körper. I. Abschnitt. Begriffe von den geometrischen Körpern, oder Ein¬ leitung in die Stereometrie. §. 477. ^in Körper von zwcy vollkommen gleichen und pa- rallclen Vielecken , rckm, und von so vielen Parallelogram- 101. men cingcschlosscn, als jedes der zwey Vielecke Seiten hat, heißt ein Prisma (Ecksäule); die zwcy vollkommen gleichen und paral¬ lelen Vielecke , echc heißen die Grundflächen, und ihre Entfernung, das ist die Senkrechte von irgend einem Puncte der einen Grundfläche auf die Ebene der anderen Grundfläche (die man in erforderlichen Falle auch erweitern kann) gezogen, heißt die Zöhe des Prisma. Ein Prisma, dessen sämmtliche Seitenflä¬ chen auf den Grundflächen senkrecht stehen / wird rin senkrechtes genannt; stehen hingegen nicht alle Seitenflächen auf den Grund¬ flächen senkrecht, so heißt cs ein schiefes Prisma. Man nennt ein Prisma dreiseitig, vierseitig, fünfscitig u. s. w., je nachdem die Grundflächen desselben Dreyecke, Vierecke, oder Fünfecke sind. Ein vierseitiges Prisma, dessen Grund- und Seitenflächen 128 Drittes Hauptstück. Parallelogramme sind, und das demnach von sechs Parallelogram- 40!. men eingeschlossen ist, wird insbesondere ein Parallelepipcd ge¬ nannt. Ein senkrechtes Parallelepiped, dessen Grund-und Sei¬ tenflächen einander vollkommen gleich, folglich Quadrate sind, heißt ein Tubus (Würfel), I'ix. 1. Ein Prisma, dessen Grund- 402. flächen Kreise sind, wird ein Cylinder (Rundsäule), und die Gerade, welche die Mittelpunkte der zwey Kreise verbindet, wird die Achse des Cylinders genannt- Ein Cylinder heißt senkrecht, wenn die Achse desselben auf den Grundflächen senk¬ recht, und schief, wenn die Achse desselben auf den Grundflächen schief steht. Wenn man von einem Prisma, oder von einem Cy- linder ein Stück dergestalt abschneidet, daß dieDurchschnittsebene mit der Grundfläche nicht parallel läuft; so heißt der Ueberrest ein schief adgeschnittenes Prisma, oder ein schief abgeschnine- ner Cylinder. §. 478. Da derRaum, den eine Fläche beschreibt, wenn sie sich an¬ ders, als nach ihrer Lage bewegt, drey Ausdehnungen hat, und folglich ein Körper ist; so ist ganz begreiflich, daß ein Prisma 401. ^LLcrrd erzeugt wird, wenn ein Vieleck mit einem Puncte längs einer Geraden immer parallel sich forlbewegt, bis es in nbc anlangt; und baß ein Cylinder entsteht, wenn eine Kreis¬ fläche mit ihrem Mittelpunkte längs einer Geraden KI', 102. bis k sich stets parallel bewegt. Ein senkrechter Cylinder entste¬ het auch, wenn ein Rechteck I I> sich um eine seiner Seiten wie um eine unbewegliche Achse hcrumdreht, bis cs wieder in die vorige Lage kommt. Diese Entstchungsart durch die Umdre¬ hung findet bey einem schiefen Cylinder nicht statt, weil ein schie¬ fer Cylinder, dessen Grundflächen Kreise sind, nichts anderes ist, als ein senkrechtes elliptisches (ovales) Prisma, welches an bey- den Enden durch parallele Ebenen nach einer gewissen Richtung schief abgeschnitten ist, wie wir es in der Folge sehen werden. 8- 479, 400. Eine Pyramide (Spitzsäule) ist ein Körper, der von einer ebenen Grundfläche, und von so vielen Dreyccken e!n- gejchlossen ist, als die Grundfläche Seiten hat. Die senkrecht« Won den Eigenschaften der Körper. 129 Entfernung NIX der gemeinschaftlichen Spitze aller einschließen- 8iss. den Dreyecke von der Ebene der Grundfläche heißt die ^öhe der 100. Pyramide. Pyramiden heißen dreiseitig, vierseitig, fünfseitig, je nachdem ihre Grundflächen Dreyecke, Vierecke, Fünfecke sind. Ucberdieß werden Pyramiden regelmäßig (oder vielmehr gleich¬ seitig) genannt, wenn ihre Grundflächen regelmäßige Vielecke, und die entschließenden Dreyecke alle gleich sind. Eine Pyramide 103- ,V86, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck von unendlich vielen unendlich kleinen Seiten, nähmlich ein Kreis ist, wird ein Regel genannt. Die Gerade 6V, welche den Mittelpunkt der Grundfläche mit der Spitze verbindet, heißt die Achse, und jede Gerade -X6, 86 von der Spitze an den Umkreis der Grundfläche gezogen, heißt die Seite des Kegels. Ein Kegel heißt senkrecht, wenn seine Achse auf der Grundfläche senkrecht, und schief, wenn die Achse auf der Grundfläche schiefstcht. Pyramiden ^68sca 8ix. 100, und Kegel ^X888 8ix. 103, heißen abgestuyt oder abgekürzt, wenn ihre Spi¬ tzen von einer zu der Grundfläche parallelen Ebene abgcfchnittcn sind. §. 480. Eine Pyramide entsteht, wenn ein Vieleck ^8668 mit 100. dem Puncte .X längs einer Geraden _VN sich bis N parallel be¬ wegt, und seine Seiten während dieser Bewegung immer gleich¬ förmig, nähmlich eben so abnehmen, wie die Entfernungen des Punctcs von N. Ein Kegel ^86 aber wird erzeugt, wenn 103. ein Kreis H.8 mit seinem Mittelpunkte längs der Geraden O6 sich immer parallel bewegt, und wenn sein Durchmesser während dieser Bewegung eben so abnimmt, wie die Entfernung des Mit¬ telpunktes V von dem angenommenenPuncte 6. Damit nähmlich bey der Bewegung der Kreisfläche ein Kegel entstehe, so ist erfor¬ derlich, daß sich ^8:88 -- 6V: 66, oder V8: 68 -- 6V:66 verhafte, wenn der Punkt V in 6 anlangt. Wenn hingegen der Durchmesser der Grundfläche während der Bewegung des Kreises nicht gleichförmig, sondern nach was immer für einem anderen Gesetze abnimmt, so heißt der dadurch erzeugte Körper ein?tfter- kegel (Ronoid). Eben so wird ein Körper eine Afecrppranude (ein pyramidaler Körper) genannt, wenn er aus der parallelen Be¬ wegung eines Vieleckes erzeugt wird, dessen Seiten nicht gleichför- vega Mach. 8. N. 9 130 Drittes Hauptstück. Fix. mig, sondern nach was immer für einem anderen Gesetze abneh- 103. men. Ein senkrechter Kegel .^LL entstehet auch, wenn sich ein rechtwinkeliges Drcyeck LVL um die eine Kathete LI) als um eine unbewegliche Achse herumdreht, bis es wieder in die vorige Lage zurückkommt. Diese Entstehungsart durch die Umdrehung eines Dreyeckes findet bey dem schiefen Kegel nicht statt, weil ein schiefer Kegel als ein senkrechter Kegel betrachtet werben kann, dessen Grundfläche eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist, rin¬ der durch eine ebene Fläche nach einer gewissen Richtung schief abgeschnitten wurde. §. 481. 104. Eine Rugel oder Sphäre ist ein Körper, der von einer ein¬ zigen krummen Fläche dergestalt eingeschlossen ist, daß alle Puncle derselben von einem in dem Körper befindlichen Puncte, welcher der Mittelpunkt heißt, gleich weit abstehen. Ein solcher Körper entsteht, wenn eine halbe Kreisfläche sich um den Durch¬ messer -VL herumdreht. Die cinschließende krumme Fläche heißt die Rugelfläche, oder die Oberfläche der Kugel. Jede durch den Mittelpunct bcyderseits bis an die Kugelfläche gezogene Gerade wird der Durchmesser der Kugel genannt. Ein Stück eleö von einer Kugel, durch eine ebene Fläche abgeschnittcn, heißt ein Kugelabschnitt oder Segment. Ein solcher Kugelabschnitt wird durch die Umdrehung des halben Kreisabschnittes Leo um seine Höhe erzeugt. Ein Körper äLovch, der durch die Umdrehung desKreisausschnittcsLLL um den einen Halbmesser LV entsteht, wird ein Kugelausschnitt genannt. Ein Stück DckeL, durch zwei- parallele Ebenen auS einer Kugel ausgeschnitten, heißt endlich eine Zone; sie wird erzeugt, wenn das trapezförmige Stück LLee, welches zwischen zwey parallelen Ordinalen eines Halbkreises liegt/ um den Durchmesser sich herumdreht. §. 482. wenn eine Rugel durch eine ebene Aläche geschnitten wird; so ist der Schnitt jederzeit ein Kreis. Wenn der Schnitt VL durch den Mittelpunct der Kugel ge¬ führt ist, so ist ganz begreiflich/daß er ein Kreis ist, weil alle Geraden LV, LN, LL> welche aus dem Mittelpunkte L an den Bon den Eigenschaften der Körper. 131. Umfang des Schnittes in der Ebene OL gezogen wer-I'iss. den, zugleich Halbmesser derselben Kugel, und folglich einander ^y4. vollkommen gleich sind. Wäre hingegen der Schnitt lle nicht durch den Mittelpunkt der Kugel geführt, so denke man sich eine Senkrechte sie. aus dem Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene än herabgelassen, ziehe durch diesen Punkt c mehrere Geraden am, ce, an, in der Ebene sic, und aus den Punkten des Umfan¬ ges m, o, n die Halbmesser ocr Kugel in6, e6, ir6 bis in den Mittelpunkt der Kugel 6. Nun sind die Dreyeckemc6, ee6, nc6 alle einander vollkommen gleich, weil sie rcchtwinkelig sind, und überdieß eine gemeinschaftliche Kathete c6, und gleiche Hy- pothenusen 6m — 6a — 6n haben. Es ist also auch cm—cc-cn, und folglich der Schnitt llnemä ein Kreis, dessen Mittel¬ punkt c ist. 8. 483. Es ist leicht cinzusehen, daß die Kugelschnitte, welche von dem Mittelpunkte einer und derselben Kugel gleich weit abstehcn, einander gleich, daß jene kleiner, welche weiter, und jene größer sind, welche weniger von dem Mittelpunkte entfernt sind. Die Kugelschnitte, welche durch den Mittelpunkt einer Kugel gehen, heißen größte Areise. Sie sind alle einander vollkommen gleich, weil sie gleiche Halbmesser haben- Jede zwey grö߬ ten Kreise auf einer und derselben Kugel theilen einander, so¬ wohl in Hinsicht auf ihre Flächen, als auch in Hinsicht auf ihre Umkreise, in zwey vollkommen gleiche Theile, weil ihre Durch¬ schnitts - oder Theilungslnüe durch die Mittelpunkte beyder Kreise geht. §. 484. Wenn man in dem Mittelpunkte 6 eines größten Kreises auf die Ebene desselben eine Senkrechte ^8 errichtet, und sie beydcrseits bis an die Kugelfläche verlängert; so heißt sie die Uchle, und ihre zwey äußersten Punkte und 8 werden Pole des Kreises OslsH genannt. Der Punkt 13 oder.3. ist auch zu¬ gleich der Pol eines jeden zu üMlX parallelen Kreises. Dar¬ aus folgt: 1. Alle Punkte der Peripherie eines Breises 9 * 132 D ritteS H au p tstü ck. k'iss. sind von seinem Pole gleich weit entfernt. Denn in den 104. rechtwinkeligen Dreyecken , ^LiXistL^-6V, LL —LL —6IX; folglich sind diese Dreyecke alle einander gleich, und LV — LV —lXV, u. s. w. II. wenn ein größter Äreis LLViX durch den Pol L des Rreises DLLIX gezogen ist, so steht er auf demselben senkrecht. Denn wenn man auf ihre Durchschnittslinie LiX in dem Punkte 6 zwey Senkrechten, eine in der Ebene LIM und die andere in der Ebene LIM errichtet; so wird dieser Winkel der Neigungswinkel der zwey erwähnten Kreisflächen scyn (468.). Nun aber ist dieser Winkel — 90", weil LL auf DLIM senk¬ recht steht; folglich ist auch der Neigungswinkel dieser zwey Kreis¬ flächen—90", und die zwey Kreisflächen stehen demnach senkrecht auf einander- III. Und umgekehrt, wenn ein größter Rreis LLV auf einem anderen größten Rreile DLL senkrecht steht; so geht er durch den Pol des Rreises DLL. Denn man errichte nur aus dem Mittelpuncte 0 der gemeinschaftlichen Durchschnitlslinie VM in der Ebene des Kreises LL die Senkrechte EL; so steht sie senkrecht auf der Ebene des Kreises DLL (469.), und weil sie aus dem Mittelpuncte des Kreises DLL gezogen ist; so ist ihr Endpnnct L der Pol des Kreises DLL. Nun aber geht der Kreis VLL durch den Punct L, weil EL sein Halbmesser ist; folglich geht auch eben dieser Kreis durch den Pol des Krei¬ ses DLL. IV. Oer Durchschnitts-punct L von zwep Sogen größter Rreise LL und LI), die auf einem dritten DLL zugleich senkrecht stehen, ist der Pol des Rrcises DLL oder des Bo¬ gens DL. Denn die Durchschnittslinie LLV der Ebenen LDV und LLV steht senkrecht aufdcr EbeneDLL (471.),und gehtzu¬ gleich durch den Mittelpunkt 6; folglich ist ihr Endpunkt, nähm- lich der Durchschnittspunct L der zwey Kreisbogen LL- und LD der Pol des Kreises DLL, oder des Bogens DL. V. Wenn ein größter Rrers LLVfl°i oder VDLL durch den Pol L eines anderen größten Rr.ises DLVi geführt ist; so ist der Bogen LL oder LD oder IM ---SO". Denn der Win- Bon den' Eigenschaften der Körper. 183 kel 86N oder LEV oder LEN ist 99°; eS ist aber der Bogen Li?. 8!>l das Maß des Winkels LEN, der Bogen LV das Maß des 104. Winkels LEV; und der Bogen LN das Maß des Winkels LEN; folglich ist auch der Bogen MI — 90", LV —90", LN —90°, u. s. w. VI. Da nun allegrößte Kreislinien auf einer und der¬ selben Kugel einander gleich sind, so sind auch ihre vierten Ahei- le, oder die Bogen von 90° einander gleich; folglich ist der Bogen 8V —LN —LN, u. s. w. Es ist demnach der pol einer gröfit.n RreiöUnie auf einer Rugelfläche von jedem Puncer der erwähnten Kreislinie um 90" entfernt. VII. Nun wird es nicht mehr schwer seyn, zu einem auf der Kugclfläche gegebenen größten Kreise VNLN den dazu gehöri¬ gen Pol Voder L zu finden; und auch aus einem angenommenen Polc V eine größte Kreislinie VNLV auf einer gegebenen Kugel mit Hülfe des Taster-Zirkels zu ziehen. Das erste geschieht, wenn man aus zwcyPunctenN und L des gegebenen größten Umkreises mit einem Halbmesser NV — LV—/ (EV^-r-EL^) —;/2(EL)^ — EL/2 — '-VL/ 2;wey sich in V schneidende Bogen auf der Kugelfläche zieht; und das zweyte, wenn man aus dem ange¬ nommenen Pole mit eben demselben Halbmesser-^-VL /2 einen Umkreis beschreibt. §. 485. Ein Winkel VLN, LNL, NLL u. s. w. von zwey Bogen größter Kreise auf der Kugelfläche eingeschlossen, heißt ein sphä'- rijcher Winkel. Ein sphärischer Winkel VMI kommt mit dem Neigungswinkel VMI der zwey größten Kreise VLLV und NRW in Hinsicht auf seine Größe überein; nun aber wird dieser Nei¬ gungswinkel durch den Bogen VN des größten Kreises VNLN gemessen, dessen Pol sich in der Spitze des sphärischen Winkels VMI befindet; es wird also auch ein sphärischer Winkel durch den Bogen eines größten Kreises gemessen, der auS der Spitze, als aus einem Pole auf der dazu gehörigen Kugelfläche zwischen den Schenkeln des sphärischen Winkels in der Entfernung von 90° beschrieben wird. Da der Bogen rimdesParallelkrciseS Omen eben so viele Grade enthält, als der auS dem Pole beschriebene Bogen VN 134 Dritte«, Hauptstück. k'iss- des größten Kreises I)>1Lr> ; so könnte man auch sagen, daß der 104- Bogen clm das Maß des sphärischen Winkels VL>I ist; allein gewöhnlich werden die sphärischen Winkel nur durch Bogen von größten Kreisen ausgemeffen. Nun ist leicht einzusehen, daß sphärische Nebenwinkel zusam¬ men 180" enthalten; wie auch, daß sphärische Scheitelwinkel ein¬ ander gleich sind; u. s. w. 486. Wennzwey Bogen LI) und V>l von größtenKreisen, die auf einer Kugelfläche durch einen und denselben Punct L gezogen sind, durch einen dritten Bogen V>1 eines größten Kreises geschnitten wer¬ den, ehe sie das zweyte Mahl Zusammenstößen; so entsteht ein krumm¬ liniges DreyeckLVN, welches ein sphärisches Drepeck genannt wird. Es ist demnach ein sphärisches Drcyeck ein Stück einer Ku¬ gelfläche, welches von drey Bogen größter Kreise einzeschloffcn wird. Da nun die Bogen LV und L>I, ehe sie noch daS zweyte Mahl zusammenstoßen, von einem dritten Bogen geschnitten wer¬ den müssen, wenn ein Dreycck entstehen soll, und da diese zwey Bogen in der Entfernung vvn 180" das zweyte Mahl zusammen¬ treffen (483.) ; so folgt, daß in dem Drcyccke LV>I jeder der zwey Bogen LI) undL>I-< 180" seyn muß. Eben dieses läßt sich von VL und V>I, und auch von >IL und >11) behaupten. Es ist also jede Seite (oder jeder Bogen) eines sphärischen Drcyeckcs 180". Ein sphärisches Drcyeck heißt rechtwinkelig, wenn es einen, oder mehrere rechte Winkel hat. Das Drcyeck LV>I hat zwey rechte WinkelLV>I-L>IV, weil die Kreise VLL.> undL>L>iX auf VNLIV senkrecht stehen. Wenn nun der Bogen VIVI — 20" ist; so ist auch der Winkel VLIVI — 20", weil der Bogen v>l den Punct L zum Pole hat. Es sind demnach in dieser Voraus¬ setzung alle drey Winke! des sphärischen Dreycckes LV>I zusam¬ men—0090-l-20—200°. Der Winkel VL>! kann größer und auch kleiner werden, ohne daß die zwey übrigen Winkel des sphärischen Dreycckcs LV>I geändert werden. So z. B. enthalten alle drey Winkel in dem sphärischen Dreyecke >ILL zusammen 90-1-90 4-160-340", weil wir VLN --- 20", und folglich KILL--180 —20-160» gesetzet haben. Wir ersehen hieraus, von dtll Eigenschaften der Körper. 135 daß die Anzahl Grade aller drcy Winkel in einem sphärischen kix. Dreyecke veränderlich ist. Man kann demnach bey den sphärischen 104. Drcyecken aus zwey gegebenen Winkeln den dritten nicht bestimmen. §. 487. Ein körperlicher Winkel (»nxulus soliäus) ist ein Winkel, der von mehr als zwey geraden Linien cingeschlosscn wird, welche allein einem Punctc Zusammenstößen, und von denen je zwey in einer andern Ebene liegen. So z. B. ist jedes Eck in einem Zimmer, jedes Eck an einem Würfel, jede Spitze an einer Pyramide ein körperlicher Winkel. Ein körperlicher Winkel besteht demnach auS mehr als zwey ebenen Winkeln, welche alle in einem Puncte zu¬ sammenstoßen. Alle diese ebenen Winkel zusammengcnommen sind dem körperlichen Winkel gleich. Sic müssen in ihrer Summe weni¬ ger als vier rechte Winkel oder 360" enthalten; weil sie sonst in eine und dieselbe Ebene fallen müssen, sobald sie 360" enthalten. §. 488. Regelmäßige Körper werden diejenigen genannt, die von glei¬ chen regelmäßigen Vielecken, und von vollkommen gleichen kör¬ perlichen Winkeln eingeschlossen sind. Deren gibt es nur fünf. I. Die drcyeckige gleichseitige Pyramide, die von vier gleich¬ seitigen Drcyecken eingeschlossen ist; sie heißt wegen der vier ein« schließenden Flächen ein Tetraeder. Jeder körperliche Winkel an diesem Körper ist — 3.60° —180". H. Der Würfel, Tubus oder das Hexaeder ist von 6 Qua¬ draten cingeschlossen. Jeder körperliche Winkel desselben enthält 3.90° --- 270". HI. Das Oktaeder ist von acht gleichseitigen Drcyecken einge¬ schlossen, davon je vier Dreyecke zusammen den körperlichen Winkel machen, der folglich 4.60" — 240"enthält. Ein Oktaeder istnichts anderes als das Doppelte einer viereckigen gleichseitigen Pyramide. IV. Das Dodekaeder ist von zwölf regelmäßigen Fünfecken eingeschlossen, davon je drcy zusammen den körperlichen Winkel machen; und welcher daher 3.108 — 324" enthält. V. Das Ikosaeder ist von zwanzig gleichseitigen Drcyecken eingeschlossen, davon ;e fünf zusammen den körperlichen Winkel machen, der daher 5.60"— 300" enthält. Drittes Hauptstück. kix. Andere regelmäßige Körper gibt es nicht; denn sechs gleich¬ seitige Dreyeckc, vier Quadrate, drey regelmäßige Sechsecke, wenn man sie mit ihren Vicleckswinkcln in einem Puncte zusam- menfügcn wollte, um einen körperlichen Winkel zu machen, wür¬ den um diesen Punct herum schon 360° enthalten, und folglich in einer und derselben Ebene liegen. Noch viel weniger würden mehr als vier Quadrate, mehr als drey regelmäßige Fünfecke, mehr als drey regelmäßige Sechsecke dazu taugen; weil sie gar nicht zusam¬ menpassen, und folglich keinen körperlichen Winkel einschlicßen können. Da übrigens drey Wicleckswinkel von den anderen regel¬ mäßigen Vielecken auch schon über 360" enthalten; so können sie ebenfalls keinen körperlichen Winkel cinschließen, und folglich auch keinen Körper allenthalben begrenzen. ii. Abschnitt. Won der Ausmessung der Oberflächen der Körper. §. 489. 101. Die GVerflache eines jeden senkrechten Prisma -^LLcim ohne die bepden Grundflächen oder die Mantelfläche des ' Prisma ist gleich dem Products aus dem Umfange der Grund¬ fläche in die ^che, d. i. in eine Seite des Prisma. Z.B. wenn die Höhe dieses Prisma — p gesctzet wird, so ist seine Mantel¬ fläche- - (chL -l- LV -i- VL -t- LV -i- v^) . p. Denn diese Mantelfläche ist gleich der Summe der Rechtecke Ln 9-Vll-t-Ls-l-vo-I-; nun aber istLn —_^L.Lb — -^L.p, Ich—LV. ve —LV. p, u. s-w-: folglich ist die Summe dieser Rechtecke, das ist die Mantelfläche dieses senkrechten Prisma -- ^.L. p -1- LV. p -s- VL. p (-VV -i- LV-i-LL -l-..) x- dem Producte aus dem Umfange der einen Grundfläche in die Höhe oder Seite des senkrechten Prisma. Wäre das Prisma schief, so müßte man jedes der ein¬ schließenden Parallelogramme besonders berechnen, und die Flä- Von den Eigenschaften der Körper. 187 cheninhalte addircn, um die Mantelfläche des schiefen Prisma zu issix- erhalten. 101. §. 490. Da nun ein senkrechter Cylinder nichts anderes ist, als ein senkrechtes Prisma, dessen Grundfläche Kreise sind; so ist auch die Oberfläche eines senkrechten Cylinders ohne die beyden Grundflächen oder die Mantelfläche des Cylinders dem pro- ducte aus dem Umkreise der einen Grundfläche in die tzohe des Cylinders gleich. Das ist, wenn wir den Durchmesser der Grundfläche eines senkrechten Cylinders mit l> und die Höhe mit u bezeichnen; so ist seine krumme Oberfläche — ab?,-. Setzen wir die Höhe u — l> — dem Durchmesser der Grundfläche des senk¬ rechten Cylinders, so ist sodann seine krumme Oberfläche — h"ir, und folglich viermal)! so groß, als seine Grundfläche, weil diese — chsi'or ist. Die ganze Oberfläche eines solchen gleichseitigen Cy- linders ist endlich — Anmerkung. Die Mantelfläche eines schief abgeschnitte- nen senkrechten Cylinders, so rvje jene eines schiefen Tylin« ders von parallelen Grundflächen ist gleich dem Produkte aus dem Umfange der auf die Achse senkrechten Grundfläche in die Länge der Achse dieses Cylinders. Die Ursache hievon ist leicht cinzusehen, und es wird dem eigenen Nachdenken der An¬ fänger überlassen, sie abzuleitcn. Dessenungeachtet läßt sich die Mantelfläche eines schiefen Cylinders nach den bisher gegebenen Gründen noch nicht berechnen, weil der Umfang des auf die Achse senkrechten Durchschnittes kein Kreis, sondern eine Ellipse ist, wo¬ von weiter unten gehandelt werden wird. §. 491. Die Mantelfläche einer reoelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkte des Umfangs der Grundfläche in den Abstand der Seiten der Grundfläche von der Spitze der Pyramide. Denn die Mantelfläche einer solchen Pyramide besteht aus so viel gleichschenkeligen einander vollkommen gleichen Dreyeckcn, als die Grundfläche Seiten hat. Nun ist jedes dieser Dreyccke gleich dem halben Produkte einer Seite der Grundfläche in die Senk- 138 Dritte« Hauptstück. 8ig. rechne, welche von der Spitze der regelmäßigen Pyramide auf ir¬ gend eine Seite der Grundfläche gezogen wird. Es ist also auch die Summe dieser Dreyecke, das ist die Mantelfläche der Pyra¬ mide gleich dem halben Producte der Summe aller Seiten, nähm- lich des Umfangs der.Grundfläche in die' Senkrechte, welche aus der Spitze der regelmäßigen Pyramide auf was immer für eine Seite der Grundfläche gezogen wird, d. h. in den Abstand dieses Umfanges von der Spitze der Pyramide. §. 492. Da bey einer unregelmäßigen Pyramide die einschließenden Dreyecke ungleich sind; so muß man ein jedes Dreycck besonders berechnen, und alle diese Dreyecke zusammcnnehmen, um die Mantelfläche einer solchen Pyramide zu erhalten. §. 493. Ein senkrechter Kegel kann als eine regelmäßige Pyramide angesehen werden (479.). Es ist also auch die Mantelfläche ei¬ nes senkrechten Regels gleich dem halben Products aus dem Umkreise der Grundfläche in die Seite des Degels. Die Mantelfläche eines schiefen Kegels läßt sich nach den bisher gegebenen Gründen noch nicht berechnen. 494. 103. Die Mantelfläche eines abgekürzten senkrechten Kegels hinge¬ gen läßt sich auf folgende Weise bestimmen. Sie gleicht dem pro¬ ducte aus dem arithmetischen Mittel der Umkreise bepder Grundflächen in die Seite dieses Regels; nähmlich es ist die Oberfläche ^4888 --- '^^^.88 oder wenn wir D8—n, 68 —b, und 88 —c setzen. Denn die Oberfläche ^4888 ist — der Oberfläche .4.86 — der Oberfläche 886; nun aber ist die Oberfläche.486— a7r. 86 — sir. (88-1-86) — . (c-l-86), und die Oberfläche 886 —Tys» .86, folglich ist die Oberfläche ^.888—lac -4- ?rO-.h^86, oder da die beyden ähnlichen Dreyecke 688 und 888 die Pro¬ portion u— — c:86 also (a — k)86 —sic geben, .4888 ---- ?r (o -4- 8) c. Von den Eigenschaften der Körper. 139 §. 495. 8ig>. Wird 88 in iX halbirt, und 48X parallel zu.4.8 gezogen, so ist 8iX — -^88 —-^-(n_6) und — 8,0 -l- 8>4 — I> -l- (a_in) — 2 (u -t- in), daher NIX — 2lX() — a -l- b; es ist also auch die Mantelfläche eines abgekürzten senkrechten Kegels 4888 — 2?ro.IXtz — ?r.48X.88 — dem Umkreise von 41lX mul- tiplicirt mit der Seite 88. 8. 496. Die krumme Oberfläche 1) einer Zone, 2) eines Äugel-105. abschnittes, und 3) der ganzen Kugel ist gleich der Mantelfläche eines Tplinders, welcher einen grüßten Durchschnitt der Ku¬ gel zur Grundfläche, und in 1) die ^Ühe der Zone, in 2) die ^öhe des Kugelabschnittes, und in 3) den Durchmesser der Kugel zur Kühe hat. Oder was dasselbe ist: Die Oberfläche a) einer Zone, h) eines Kugelabschnittes, und c) der ganzen Kugel ist gleich demllmfange eines größten Kreises derRugel multiplicirt ina) mit der Kühe der Zone, inst) mir üer^öhe des Kugelabschnittes, und in e) mit demDurchmesser der Kugel. Um diese Wahrheit einzusehen, sey 8484.8 der vierte Theil eines größten Kreises der Kugel, 8648 ein Quadrat auf dem Halbmesser 86—a. Man setze ein Stück des Halbmessers 46, nähm- lich 8IX — 6, und 89 — dem nten Theile von6 — ; man theile ferner 8p in dem Punkte 6 in zwey gleiche Theile, und führe durch die Punkte 8, 6, p und IX zu 68 die Parallelen 81), 64!, pH und?,8.. Dann errichte man in dem Punkte 41 die Tangente ()iu, mache um — 8p parallel zu 4.6 , und ziehe an den Berührungs¬ punkt N den Halbmesser 416. Dadurch entstehen zwey ähnliche Drcycckc 6410 und l^mu, weil die Seiten derselben wechselweise auf einander senkrecht stehen(383.). Daher ist l^m: mu—416:416, und i^m. 416 — mn. 416 — mu.L. Dreht sich die ganze Figur um die unbewegliche Achse.46, so beschreibt die Fläche des Quadranten 8.4.6 die Halbkugel, das Stück 1X1-884, pes Quadranten eine Zone, das Trapez ()p8m einen abgekürzten Kegel, während das Quadrat 8648 und die Rechtecke 81X88, hp8D gerade Cy- linder beschreiben, welche alle eine größte Durchschnittsfläche der 140 Dritter Hauptstück. k'ix. Kugel zur Grundfläche haben. Die Oberfläche des entstandenen 105. abgekürzten Kegels ist — tzm. iVlO.2^ (vermöge 495.). Die Oberfläche des durch die Umdrehung von llpkv entstandenen Cy< lindcrs ist — mn. 2?D. — mn . a. 2^. Da nun dem Obigen ge¬ mäß HIN.N6-. —mn.L ist; so sind auch diese beyden Ober¬ flächen einander gleich. Ist nun Issr ein unendlich kleiner Theil von IM, so fallen der unendlich kleine Bogen siL und die Tan¬ gente tZiir über einander. Daher ist die Oberfläche der durch entstandenen unendlich kleinen Zone der Mantelfläche des abge¬ kürzten Kegels, und also auch der Mantelfläche des durch llpW entstandenen Cylinders gleich, welcher einen größten Kreis der Kugel zur Grundfläche, und die unendlich kleine Höhe mn zur Höhe hat. Dieser Schluß gilt von jedem unendlich kleinen Theil- chcnder Höhe kiX, man mag es auf derselben wo immer abschneiden. Folglich ist die Summe der Oberflächen aller der zwischen k und enthaltenen unendlich kleinen Zonen der Summe der Mantelflächen der zwischen ? und N enthaltenen unendlich kleinen Cylinder gleich. Es ist aber die Summe der Oberflächen aller unendlich kleinen Zonen die Oberfläche der durch die Umdrehung von entstandenen Zone, und die Summe der Mantelflächen aller unendlich kleinen Cylinder ist die Mantel¬ fläche des durch klMO entstandenen Cylinders; folglich sind diese beyden Oberflächen einander gleich; das heißt, die Ober¬ fläche einer Zone ist gleich der Mantelfläche eines Cylinders, welche eine größte Durchschnittsfläche der Kugel zur Grundfläche, und die Höhe der Zone zur Höhe hat. Je näher der Punctk an den Punct kommt, desto mehr nähert sich die obengenannte Zone einem Kugelabschnitte; und fällt der Punct k in so geht die Zone in denjenigen Kugel¬ abschnitt über, welcher durch die Umdrehung des halben Kreis¬ abschnittes entsteht. Es ist also auch die Oberfläche eines Kugelabschnittes gleich der krummen Oberfläche eines Cylinders, welcher eben dieselbe Höhe, und den größten Durchschnitt der Kugel zur Grundfläche hat.- Setzen wir die Höhe des Kugelab¬ schnitts—c, so ist dessen Oberfläche — 2n^ . c. Die Halbkugel ist ein Kugelabschnitt, welcher den Halbmesser der Kugel zur Non den Eigenschaften der Körper. 14! Höhe hat; cs ist also ihre Oberfläche —2^.3. Folglich ist kix- die Oberfläche der ganzen Kugel — 2^. 2a — 4?r. Die Ober¬ fläche der Kugel ist demnach gleich der Mantelfläche eines Cylin- ders, welcher die größte Durchschnittsfläche der Kugel zur Grund¬ fläche, und den Durchmesser derselben zur Höhe hat; oder wel¬ ches einerley ist, sie ist gleich dem Producte aus dem Umfange eines größten Kreises in den Durchmesser der Kugel. §. 497. Aus diesem ausgestellten Satze kann man folgern: I. Daß die Rugelflache viermahl so groß ist, als der Flä¬ cheninhalt eines dazu gehörigen größten Rreises. Denn es fty der Halbmesser einer Kugel —n; so ist die Ku¬ gelfläche—2-^.2»—4-^; der Flächeninhalt eines dazu gehö¬ rigen größten Kreises hingegen ist nur 2u7r.chA —g.^. II. Laß die Rugelflache der krummen Oberfläche eines umschriebenen gleichseitigen Cylinders gleich ist. Denn der umschriebene gleichseitige Cylinder hat eine größte Durchschnitts¬ fläche der Kugel zur Grundfläche, und den Durchmesser derselben zur Höhe. III. Daß die Rugelflachen sich gegen einander verhalten wie die «Quadrate der Halbmesser, wie die «Quadrate der Durchmesser, u. s. w. Denn es scy der Halbmesser einer Kugel — a, ihr Durchmesser — ä, dieOberfläche derselben — «, derHalb- messer einer anderen Kugel — V, ihr Durchmesser v, die Ober¬ fläche derselben — 8; so ist s — 4a"7t n , und8 —4V?7t^- folglich ist auch «: 8 — a": ci?: O?. IV. Daß die Rugelflache, die ganze Oberfläche des um- 406. schrjebenen Lplinders, und die ganze Oberfläche des um¬ schriebenen gleichseitigen Regels sich gegen einander verhal¬ ten, wie 4:6:9. Denn cs scy der Halbmesser der Kugeld—a; so '.st die Kugelflächc — 4u"7r, die ganze Oberfläche des (Zylinders — 4a-?r -j-^2^ gz-n-, und die ganze Oberfläche des um¬ schriebenen gleichseitigen Kegels — chll. 7r.II) -l-II-.7r.^-11. --- II? -j- . II- - ---Z?r. IL- — gz-71-, weil (vermöge Hz Dritter Haupt stück kiss. §.409. IV.) 16--2 .LL--2a und IL---I6r _ H--- 106. 4^—L- —3L- ist.Folglich verhält sich die Kugelflächc zur ganzen Oberfläche des umschriebenen Cylinders, zur ganzen Oberfläche des umschriebenen gleichseitigen Kegels, wie 4a"it: 6^^: 9a^ --4.6: 9. §. 498. Eben so läßt sich erweisen, daß die Kugelfläche, die ganze Oberfläche des eingeschriebenen gleichseitigen Cylinders, und die ganze Oberfläche des eingeschriebenen gleichseitigen Kegels sich ge¬ gen einander verhalten wie 16:12:9. §. 499. Daß die Oberfläche einer Zone dem Producte aus dem grö߬ ten Umkreise in die Höhe, die halbe Kugelfläche dem Producte aus dem größten Umkreise in den Halbmesser, die ganze Kugel¬ fläche dem Producte aus dem größten Umkreise in den Durch¬ messer, und die Oberfläche eines Kugelabschnittes dem Producte aus einem größten Umkreise der dazu gehörigen Kugel in die Höhe des Kugelabschnittes gleich ist; läßt sich auch durch die Summirung der Elemente auf folgende Art erweisen. 87. Es sey VVViXI) der Durchschnitt oder Erzcugungskrcis einer Kugel; ein Stück 6N — x des Halbmessers — a sey in n gleiche Theile gctheilct, so daß ein solcher Theil —u wer¬ de; und aus den Theilungspuncten ssyen die senkrechten Ordi- natcn 6Ar, cci, os. ..gr, NL bis an den Umkreis gezogen; st sind die Elemente der Kugelfläche die Zonen, welche bcy der Um¬ drehung der Figur 6NLK um LAI durch die Bogen csi.--- rL erzeugt werden. Ferner denke man sich die Sehnen Lr, rn, nsiUH. gezogen, welche bey der Umdrehung der Fläche LNL.A. Mäntel abgestutztcr Kegel beschreiben. Die Oberfläche des von der Sehne 8r erzeugten Kegelmantels ist —(LAI-l-rg)Lr oder, wenn VN —rg — gesetzt wird, O 4- 70 -t- (7' — 7)' da aber (413) Bon den Eigenschaften der Körper, 142 V -- s/ v' -- / L- — (x — l" r-x. also 87. ^/2 — ),2 2xir — It" — ll (2x— I») ist; so wird die fragliche Mantelfläche auch - n k -i- v-)- (2^11^ Lassen wir nun die Anzahl »der gleichen Theile von x ohne Ende wachsen, so nimmt I» unendlich ab, und rückt immer näher an 7; daher nähert sich die Wurzelgröße (2x —ll)* ohne Ende der Grenze 4y? -t- 4x" — s/ 4rr^ — 2n und die Oberfläche des Kegelmantels der Größe 2^sin. Allein die Grenze, welcher sich der Kegelmantel selbst ohne Ende nähert, ist die von dem Bogen Lr beschriebene krumme Oberfläche der zugehörigen Zone, folglich ist diese — 2^lls. Derselbe Ausdruck ergibt sich auch sür alle übrigen Zonen. Es ist demnach die Summe der Oberflächen aller n Zonen, d. i. die von dem Bogen beschriebene Oberfläche — n.2^tm ^2^n.n!! — 2^nx — dem größten Umkreise 2^ der Kugel mul- tiplicirt mit der Höhe x der Zone. Setzen wir nun x —», so ist die halbe Kugclfläche —2n^.3 — 2^70, und folglich die ganze Kugclfläche—2a^.2a—dem größten Umkreise multiplicirt mit dem Durchmesser; wie oben (§. 496.). §. 500. Wenn man sich cinbildet, daß ein größter Umkreis ONIM 104. in n gleiche Theile getheilet scy, und daß durch diese TheilungS- puncte und durch die Pole und L größte Kreise gezogen wer¬ den; so wird dadurch die ganze Kugclfläche in »Theile getheilet, die einander vollkommen gleich scyn müssen, weil sie alle auf dieselbe Art bestimmt sind. Es seyen nun O und N zwey von diesen Theilungspuncten, zwischen denen m gleiche Theile des Umfan¬ ges liegen, nähmlich es scy der Bogen ON —^ONOiXO; so ist die Fläche ^OLN^. — m solchen ntcn Theilen der ganzen Kugclfläche (VNO^V. äR) ^VN.^S, 144 Dritte« Hauptstück. wenn wir v^l statt VXlLiXV substituiren; d. i. ein Stück der Kugelflache, von zwcy größten Halbkreisen und cingeschlosscn, ist gleich dem Products auS dem Durch¬ messer in den Bogen I)N des größten Kreises, der aus der Spitze II oder -V beschrieben wird. Da nun dieser Bogen den sphärischen Winkel L oder mißt; so kann man auch sagen, daß ein Stück der Rugelflä'che, von zwey größten Halbkrei¬ sen eingeschlossen, gleich ist dem Products aus dem Durch¬ messer der Rugel, rn dre-Lange -es größten Rreiöbogens, der den sphärischen Winkel mißt, welchen die zwey Halb¬ kreise einschließen. in. Abschnitt. Von der Ausmessung des Cubikinhaltes der Körper- §. 501. Der Tubikinhalt (volumen) eines Körpers ist die Größe der Ausdehnung, die von der ganzen Oberfläche deS Körpers cin- geschlossen wird. Zwey Kugeln von gleichen Durchmessern, die eine von Bley, die andere von Eisen, haben gleiche Eubikinhalke, obschon ihre Massen (mnssao), das ist die Menge der Materie, und auch ihre Gewichte verschieden sind. §. 502. Der Cubikinhalt eines Körpers wird ausgemessen, wenn mau untersucht, wie ost ein bekannter, für die Einheit angenommener, Körper in demselben enthalten ist; das ist, wenn man unter¬ sucht, wie ost der bekannte, für die Einheit angenommene, Kör¬ per in dem auszumessenden sich hcrumlcgen lasse. Die Zahl nun, welche dieses anzeigt, bestimmt den Cubikinhalt des auszumes- senden Körpers. Der für die Einheit angenommene Körper, mit dem andere Körper ausgemessen werden, ist gewöhnlich ein Wür¬ fel, oder Cubus, dessen Seite bald einen Zoll, bald einen Schuh/ Von den Eigenschaften der KSrpcr. 145 bald eine Klafter, zuweilen auch eine Meile betragt; und der k'iss» dann in Hinsicht auf die Seite T «bis-Zoll, Cubik-Schuh, TubE-Llafeer u. s. w. genannt wird. §. 503. Menn die Seite des für die Einheit angenommenen 107. Würfels NI in der Länge LI! der Grundfläche eines senf- rechten Parallelerroeds smahl (:. B. 5mahl), in der Vreue LD der Grundfläche bmahl (4mahl) , und in der f^öhe Lis oder L6 oder DL desparallelepipeds cmahl (r. 2. 3mahl) enthalten ist; so ist der Kubikinhalt desselben — n.b.c.m — 5.4.3.IN — KOnr. Denn man theile nur die Länge LL in u, die Breite LD der Grundfläche in h, und die HöheLL des senkrechten Parallsle- pipeds in c gleiche Theile, wenn die Seite des für die Ein¬ heit angenommenen Würfels in in LL. .smahl, in LI) .. bniahl, und inLL.. cmahl enthalten ist, und lege in Gedanken parallele Ebenen; erstlich zur Seitenfläche LL durch die Theilungspuncte der Geraden LL, dann zur Seitenfläche L6 durch die Theilungs¬ puncte der Geraden LD, endlich zu der Grundfläche DL durch die Theilungspuncte der Geraden LL; so wird dadurch dieses Parallclepiped in lauter vollkommen gleiche Würfel zertheilet. Die Anzahl dieser Würfel ist —u.h.c, weil jede Schichte deren n.h enthält, und c solcher Schichten übereinander liegen. Jeder von diesen Würfeln ist —m, weil sic dieselbe Seite besitzen. Es ist also auch a.b.c.m — dem Kubikinhalte desselben Parallelc- pipeds. Setzt man z. B. a — 5, h — 4, c — 3; so ist in diesem Falle der Cubikinhalt dieses Parallclepipeds — 5.4.3 . m 60m. §. 504. Setzt man die Seite des für die Einheit angenommenen Würfels — so ist LL ---s.8l, - LD — b. x, und LL--- c.s, ... . . _4N ,4V , Lk nahmncy.— .i, - — !>, und — c, weil vermöge der BoraussetztWg 8 in LL.. nmahl, in LD..bmahl,und in Lis., cmahl enthalten ist. Es ist demnach auch der Cubik-Inhalt deS Vega Mach. II. B. 10 146 Drittes Hauptstück. Vi?. -4r 407 Parallelepipeds - '» — .^8 _4v _, ... , . .. --.in, wenn man für die Großen a, l> und c ihre Wcrthe substituirt. Setzt man ferner s — 1, z. B. — 1 Schuh, so ist in — iCubik-Schuh, und der Cubik-Jnhalt desParallelepipeds ^.6 --^L.^V.^L Cubik-Schuhen; das ist: der Cubik-Inhalt eines senkrechten Parallelepipeds ist gleich dem produete seiner dre? Abmessungen, nähmlich seiner Lange, Breite und ^öhe. Da übcrdicß .^L.^I) — der Grundfläche LI) ist; so kann man auch sagen, daß der Cubik-Jnhalt eines senkrechten parallelepipeds gleich ist dem producte aus der Grundfläche LI> in die Hohe wobcy für die Einheit rin Würfel auf derjenigen Linie genommen werden muß, mit der die Länge, Breite und Höhe des Parallelepipeds ausge¬ messen sind. §. 505. Da nun ein Würfel nichts anders ist, als ein senkrechtes Parallclepipcd, Key dem die drcy Abmessungen gleich sind; so ist der Cubik-Jnhalt eines jeden Würfels — der dritten Potenz einer Seite. Ein Würfel z. B., dessen Seite 6 Schuh beträgt, das ist, eine Cubik-Klafter ist —6.6 6 —6^-216 Cubik- Schuhen; ein Würfel, dessen Seite 12 Zoll beträgt, nähm- lich ein Cubik - Schuh ist — (12)3 — 1728 Cubik - Zollen; ein Cubik-Zoll ist — (12)3—1728 Cubik - Linien, u. s. w. §. 506. Sind die Abmessungen eines senkrechten Parallelepipeds in Klaftern, Schuhen und Zollen ausgedrückt, so muß man alle diese Großen in Zolle verwandeln, wenn die Zolle die kleinste ge¬ gebene Gattung scyn sollten, damit alle drcy Abmessungen durch dieselbe Einheit gemessen werden; Hieraufmuß man diese drey Zahlen mit einander multipliciren, um den Cubik-Jnhalt in Cubik-Zollen zu erhalten. Dieser Ausdruck wird dann in Cubik-Klaftern und Cubik-Schuhe verwandelt, wenn man ihn durch 1728.216 — 373248, und den Ucberrest durch 1728 dividirt. Bon den Eigenschaften der Körper, 147 Man wird mit der Rechnung meistens geschwinder fertig, kiZ- wenn man die Größen der kleineren Gattung als -Bruche von der größeren Gattung verstellt (92.), und sofort die Mul¬ tiplikation (nach 89.) verrichtet. Es sey z. B. die Länge der Grundfläche eines senkrechten Parallelepipeds — 7" 3', die Breite —2" 4*, und die Höhe—0° 5*9"; nun ist 7" 3' — KO ZZO -ch-, 2» 4' — —, und 0^5' 9" — folglich rst der Cubik- Jnhalt dieses Parallelepipeds — — ^->1. — 19 Cubik - Klafter --19 Cbk° und Cubik - Schuh --19 Cb° und 36 Cb'. 507. Dieselben praktischen Geometer, welche die Quadrat-Klaf¬ ter in 6 Klafterschuhe (oder Niemenschuhc) abtheilen (437.), pflegen auch die Cubik-Klafter in 6 Cubik-Rlafterschuhe, ei¬ nen Cubik-Klaftcrschuh in 12 Cubik-Rlafterzolle, einen Cubik- Klaftcrzoll in 12 Cubik-Rlafterlinien u. s. w. zu theilen. Ein Cubik-Klafterschuh (Cbkl') ist nähmlich ein senkrechtes Parallelepipcd von der Grundfläche — 1 Q° und Höhe —1'; ein Cubik - Klafterzoll (Cbkl") ist ein senkrechtes Parallelepipcd von der Grundfläche — IQ" und Höhe —1"; eine Cubik-Klaf¬ terlinie (Cbkl"') ist ein senkrechtes Parallelcpiped von der Grund¬ fläche — 1Q" und Höhe — 1'"; u. s. w. Es ist demnach vermöge dieser Eintheilung, Benennung und Bezeichnung 1 Cbkl' -- ^Cb" -- 36Cb'; 1 Cbkl" Cbkl' -- 3Cb' lCbkl'"--^Cbkl" ^Eb' --432Cb"; 1Cbkl'"--^Cbkl'" --36Cb"; 1 Cbkl" Cbkl"" -- 3Cb»; 1 Cbkl"'.--Cbkl" --^Cb"; --432 Cb'". Und 1 Cb' --^Cbkl' ---^Cbkl" --4Cbkl'"; ICb" --^Cbkl'" ^-^Cbkl" --4 Cbkl"-; i Cb"' --^Cbkl"u--^Cbkl""i--4Cbkl'"; u. s. w. 10 * 148 Drittes Hauptstück. Nach dieser Eintheilung und Benennung enthält nun das vorerwähnte Parallclepiped einen Cubikinhalt von 19 Cb" 1 Cbkl'. Die Ausrechnung des Cubikinhaltes eines senkrechten Paralle- lepipeds in Cb", in Cbkl', Cbkl", Cbkl'", u. s. w. wenn die Abmessungen in Klaftern, Schuhen, Zollen, Linien u. s. w. ge¬ geben sind, wird sehr bequem durch den (im §. 437 ) angeführ¬ ten Rcchnungsvortheil verrichtet. A. B. Länge --3", 0', 4" Breite — 0,5,3 ' 0 , 15, 0, 4Ö" 9, 0 , 24 Grundfläche—2, 4, 0, 6 Dicke-0, 4, 6, — ' 0, 8,32, 0 , 48 "" 12, 48, 0 , 72 Kubikinhalt-2, 0, 0, 4, 6 nähmlich ----- 2 Cb", OCdkl', OCbkl", 4Cbkl'", 6Cbk'L Bey der Multiplikation der in Q", Lkl', Qkl" rc. ausge¬ drückten Grundfläche mit der in Klafter^, Schuhen, Zollen gege¬ benen Dicke werden eben so wie (§. 437.). diejenigen part-al- prodncee verdoppele, dey welchen keiner der Faktoren ganze Riaftern bedeutet. Die in der angeführten Ordnung angcschrie- bencn Partial-Producte werden dann von der Rechten angefan- gen colonnenwcise zusammenaddirt, und durch die bekannten Reduktions-Zahlen auf größere Benennungen gebracht. Daß dieses Rechnungsverfahren richtig ist, erhellet aus fol¬ gender Betrachtung. Bey der Multiplikation der Grundflä- che — ^L" -t- R Dkl' -i- 0 Qkl" mit der Höhe oder Dicke dcS Parallelepipeds ---- s" -i- d' -t- e" sind die einfachen Producte u" . ^4 Q" — Cb», a" . L Lkl' ----- sL Cbkl', u" . OQkl" --- uOCbkl", b'.^Q" ----- b ^Cbkl', c" . ^Q"- Ebkl". Hingegen sind b' . LLkl' -- b'.6LL' ----6bRCb'--- 2bLCkl" wegen iCb' -----^-Cbkl". Eben so sind I? . OLkl" - 12b" . 72OQ" 864bOCb"-2bOCbkl'", weil iQkl"-- Von den Eigenschaften der Körper. I4Ä 72 Q" (vermöge §. 437.), und ICb"—Cbkl'" wegen der kix. oben angeführten Gleichungen ist. Mittelst dieser Gleichungen ist es sehr leicht, einen in Cbkl', Cbkl", Cbkl'" re. gegebenen körperlichen Inhalt in Cb', Cb", Cb'" und umgekehrt, zu verwandeln. Wenn man zur Ausmessung des körperlichen Inhaltes den Cubik-Schuh für die Einheit annimmt, und denselben in 12 Cu- bik-Schutzzölle, den Cubik-Schuhzoll in 12 Cubik-Schuhlinien re. einlheilt; so wird die Berechnung eben so geführt, wie cs (im §. 437. II.) gezeigt worden. Eben so wie bcy der Berechnung der Flächen kann man sich hier folgender Tabelle bedienen, um in der wirklichen Ausübung Cubik-Klafterschnhe, Cubik-Klafterzolle, u. s. w. wie auchCu¬ bik - Schutzzölle, Cubik-Schuhlinien, u- s. w. nähmlich um Schichten - Maß in Cubik-Maß, und umgekehrt zu ver¬ wandeln. IZY Drittes Hauptstück. Nx. §- 508. 108. Zwep Parallelepipede und H4K von vollkom¬ men gleichen Grundflächen und von gleichen Höhen sind am Lvbik--Inhalte einander gleich, sie mögen noch so verschieden geneigt sexn, wenn sie nur so beschaffen sind, daß sie genau zwischen zwey parallelen Seiten eben en und 6kill sic¬ hen, wenn sie mit ihren gleichen Grundflächen gehörig über einander gestellt werden. Denn cs ist in diesem Falle, wenn man durch die oberen Grundflächen LO und LL eine Ebene legt, das dreyseitige Pris¬ ma — 6HI (weil diese zwey Prismen auf einerlei) Art bestimmt sind) ; nimmt man beyde von dem dreyscitigen Prisma 6kL hinweg, so bleibt das Parallelcpipcd OkXH — §. 509. 109. swep Parallelepipede und ^.0 von vollkommen glei¬ chen Grundflächen und Höhen sind auch noch am Tubikinbalte gleich, wenn sie nicht so beschaffen sind, daß sie genau zwi¬ schen zwep parallelen Seitenebenen liegen, sobald sie mit ihren gleichen Grundflächen gehörig über einander gestellt werden. Denn man bilde sich nur ein, daß zwey solche Parallclcpipe- de und mit ihren vollkommen gleichen Grundflächen ge¬ hörig auf einander gestellt, und bcy einem jeden, zwey entgegen¬ gesetzte Seitenflächen, wie auch die oberen Grundflächen hinrei¬ chend erweitert werden; so wird dadurch ein drittes Parallelepi- ped^I) von eben dieser Grundfläche und von derselben Höhe zum Vorschein kommen. Nun ist aber vermöge des Vorhergehenden das Parallclepiped und auch (weil je¬ des dieser zwey Parallelepipede ^8 und mit einerlei) Grundfläche und Höhe hat, und genau zwischen zwey parallelen Seitcnebenen steht): es ist also auch am Cubikinhalte das P«' rallelepiped 8. 510. Hieraus folgt, daß am Cubikinhalte ein wie immer schiel stehendes Parallclepiped einem senkrechten Parallelepipede von gleicher Grundfläche und Höhe gleich ist. Es ist aber der Eubik- inhalt eines senkrechten Parallclepipeds dem Products aus der Bon den Eigenschaften der Körper. 151 Grundfläche in die Höhe gleich (504.); folglich ist auch der Lu- bikinhnlt eines schiefstehenden parallelepipeds dem producce 109. aus der Grundfläche in die Höhe gleich. §. 511. Der Lubikinhalt eines dreiseitigen Prisma ist 110. gleich seiner dreiseitigen Grundfläche mulriplicirt mit der Höhe des Prisma vk. Denn man lege nur durch die Gerade LL zur Seitenfläche eine parallele Ebene VV, durch die Gerade (iik zur Seiten¬ flächeeine parallele Ebene und erweitere die Grundflä¬ chen VH; so ist das Prisma.4VV — LOV, weil beyde Prismen auf dieselbe Art bestimmt sind. Nun ist.4.vv -l-L06- — dem Parallelepipede -4VV6V; folglich ist auch ^IIVVV, nähmlich es ist ^Lvvv -- . vv -- . vk»; folglich ist LLr -- — ^VO. VV; nähmlich der Cubikinhalt eines drey- scitigcn Prisma ist gleich der dreyseitigen Grundfläche multiplicirt mit der Höhe vv des Prisma, cs möge dieses Prisma senkrecht oder schiefstehend seyn. §. 512. Der Lubikinhalt eines jeden vielseitigen Prisma ist gleich igj, dem Products aus seiner Grundfläche in die Höhe; nähmlich cs ist äcvOäsi —-VLVfiv.k, wenn wir die Höhe dieses Pris¬ ma—v setzen- lDenn man zertheile nur die zwey parallelen vieleckigen Grundflächen durch gleichnahmige Diagonalen in lauter Dreyecke, und lege durch diese (parallelen) Diagonalen die Ebenen so ist^LGeL ^LoVL-t-^aeL()c-t-^aoOä ^cv.v--- (^LL -t- -4V6 -t-^ev) ? -- . ?. Es folgt hieraus, daß Prismen von gleichen Höhen am Cu- bikinhalte einander gleich seyn müssen, wenn nur ihre Grundflä¬ chen einander am Flächeninhalte gleich sind, selbst wenn sie aus Vielecken von verschiedener Gattung bestehen, und wie immer schief stehen. 152 Drittes Hauvtstück. §. 513. Da man nun einen Cylinder für ein Prisma anschen kann, dessen Grundflächen regelmäßige Unendlichecke sind; so ist auch der Cubikinhalt eines jeden Cylinders dem Products aus seiner Grund¬ fläche in die Höhe gleich. Es sey z. B. der Halbmesser der Grund¬ fläche—a, und die Höhe des Cylinders—si; so ist die Grund¬ fläche—u"?r, und der Cubikinhalt des Cylinders —u" brr. §. 514. Es folgt daraus: I. Laß die Lubikinhalte dec Prismen und Lchlindcr sich gegen einander verhalten, wie die Produkte aus Le i Grund¬ flächen in die Höhen: nähmlich es ist §:s —wenn des einen Prisma oder Cylinders Cubikinhalt — 5', Grundfläche —L, Hohe —und des anderen Cubikinhalt — s, Grundfläche-si. und Hohe — u gesetzt wird. II. Daß Prismen und Cylinder von. gleichen -Grundflä¬ chen, wie ihre Höhen; und von gleichen Höhen, wie ihre Grund¬ flächen sich verhalten. Denn man setze nurL —h, so ist 6:s — : nL — : n; ingleichen 8: s — — L : h. wenn -4 — a gesetzt wird. III. Daß Prismen und Cylinder am Lubikinhalte einan¬ der gleich sind, wenn ihre Grundflächen mit den Höhen in rerkehrrer Proportion ssi Heu. DennwennL:h — ist; so ist auch — usi, und folglich istL—s. IV. Laß man aus dem gegebenen Cubikinhalce und aus der Hohe eines Prisma oder Cylinders seine Grundfläche, und auch aus dem Lubikinhalte und aus der Grundfläche die Höhe desselben bestimmen, kann Denn wenn s —ab ist; so ist 2 — -fs, und si—Es sey z. K. der Cubikinhalt eines Cy¬ linders 100 Cbi 96 Cb", und die Höhe n ----- 8- 6" 8"'; so istdie Grundfläche h -- isoi . ^.^LWQua- drct-Schuh. Setzt man nun den Durchmesserdcr Grundfläche dieses Cylinders -- x, so ist -^-x- er und folglich x-- V 3,859 Schuh. Wenn man die gegebene Höhe n—8'6^ 8'" m Won den Eigenschaften der Körper. 158 Linien, und auch den gegebenen Cubikinhalt in Cubik -Linien vcr- I'ix. wandelt; so erhält man nach vollbrachter Division die gesuchte Grundfläche in Quadrat Linien, woraus sich sodann der unbe¬ kannte Durchmesser der Grundfläche in Linien ergibt. Aus diesem Bcyspiele erhellet, wie man sich bey dergleichen Divisionen zu verhalten habe. , Anmerkung. Der Cubikinhalt eines schief abgeschnittenen senkrechten Cylinders ist gleich dem Products aus der auf der Achse senkrechten Grundfläche in die Länge der Achse des Cylinders- Die Ursache hievon wird eben so wie bey der Bestimmung der Ober¬ fläche dieses Cylinders gefunden, uud dem eignen Nachdcnkender Anfänger überlassen- K, 515- Wenn bey dem senkrechten drcyseitigen Prisma , m. die Seite — a, -VD — st, .HcC — c, und der Neigungswin¬ kel -- 90" gesetzt wird ; so ist (vermogc 511.). Man kann dieses auch durch die Summirung der Elemente auf folgende Weiss finden. Man stelle sich vor, daßE-V —c in "gleiche Theile gctheilt, und ein solcher Thcil — — f), II 11 — sey. Durch die Thcilungspuncte denke man sich parallele Ebenen zu ^1); so wird dadurch das Prisma in seine Elemente aufgelöst. Legt man ferner durch die Einschnitte dieser Ebenen in die Ebene L6IL parallele Ebenen zur /Vk, so wird jedem Ele¬ mente ein (kleineres) Prisma eingeschrieben und ein anderes (größeres) umschrieben. Der Inhalt L des Prisma ist dem¬ nach größer als die Summe aller eingeschriebenen und kleiner als die Summe aller umschriebenen Prismen. Diese Prismen haben durchgehends zwey Abmessungen, nähmlich —flund^K- gleich, und ihre dritten zurparallelen Abmessungen sind, wenn man der Kürze wegen « setzt, der Ordnung nach 0, «, 2«, Zw, . . . . (n__1)L, inr, (§.397.). Hieraus folgt, wie man leicht cinsieht, > o Lh 2 «h) -t- 3 (n —1) Li) < reh -p. 2csh 7 -t-. -i- 11 al, / Z54 Drittel? H a up ist tiri. I'ix. oder, wenn man für « und "X ihre Wcrthe schreibt und die Reihen summirt, ske n(n—1) gbc n(n-s-l) , ^<-^2-.-2— / nähmlich sbo ->kc „ sbc sdo - n? - Versetzen wir nun die Zahl n in den Zustand des unendli¬ chen Wachsens, so nähern sich die beyden mit L verglichenen Ausdrücke ohne Ende ihrer gemeinschaftlichen Grenze folglich ist k §. 516. Durch ein Verfahren, welches mit dem in §. 442. zur Be¬ stimmung des Flächeninhaltes ebener Figuren angewcndeten über¬ einkommt, kann man auch den Cubikinhalt solcher Körper be¬ stimmen, in deren Oberflächen sich zwey parallele Ebenen befinden, die wir Grundflächen heißen wollen. Lheilen wir nähmlich den Abstand dieser Grundflächen, in ein- beliebige Anzahl gleicher 112. Theile, und legen, wie cs I'i». 112 vorstellt, durch die Lhei- lungspuncte ebene, zu den Grundflächen parallele Schnitte; s» wird der Körper in seine Elemente zertheilt. Führen wir ferner durch alle Puncte der Umfänge dieser Schnitte senkrechte Gera¬ den, so wird jedem Elemente ein senkrechtes Prisma eingeschrie¬ ben und ein anderes umschrieben. Da nun der Cubikinhalt eines jeden senkrechten Prisma dem Prodncte aus seiner Grundfläche in die Höhe gleich ist, so wie der Flächeninhalt eines Rechteckes dein Producte aus seiner Grundlinie in die Höhe gleicht: so können wir die in §. 442. erläuterte Bestimmungswelse des Flächenin¬ haltes ebener Figuren auf die Bestimmung des Cubikinhaltes von Körpern sehr leicht dadurch übertragen, daß wir die Rechtecke mir senkrechten Prismen, die Theilungs- oder Grundlinien mit Lhei' lungsflächen (Schnitten) oder Grundflächen und den Flächeninhalt mit dem Cubikinhalte vertauschen, so daß wir gegenwärtig unter? den Flächeninhalt der einen Grundfläche, unter x ihren Abstand von der anderen und unter den Cubikinhalt des zwischen beyde" somit Ke s so finden wir den Cubikinhalt dieses Körpers ebenfalls nach der Gleichung Von den Eigenschaften der Körper. 155 Grundflächen befindlichen Körpers begreifen. Besteht demnach 8ix. wie in §. 442 zwischen x und die Gleichung : flc — x: a, und v — Demnach ist der Cubikinhalt des Prisma 8886 ^0 _i>? x" x 9 1 — H— 1 9 2 2 Uebergeht x in », folglich 'v in Iw, so findet sich der Cubikinhalt des Prisma ,4886 — wie in §. 515. a-j-I ^V-s-1 - -j- H I--s- . a-)-1 k-j-I e-j-1 So ist z. B- in einem Prisma, dessen Hohe — x und Grund- 64-r fläche — —flx" ist, der Cubikinhalt — fl — flx — x;- — dem Producte aus der Grundfläche in die Hohe. Eben so sey (in 8i-. 111.) 68 - x, 88 v, 64 », .48 , .48 - c, m. folglich .4888 — I>c; so ist, weil die zu ,4888 parallelen Schnitte Rechtecke von derselben Grundlinie sind, 88: ^48 --- 6?. .48 -- 86: , §. 517. Wir wollen das eben Gefundene auf die Bestimmung des Cubikinhaltes einer Pyramide anwenden. Bedeutet fl den Inhalt der Grundfläche, n die Höhe der Pyramide, v den Flächeninhalt eines zur Grundfläche parallelen Schnittes und x den Abstand des¬ selben von der Spitze; so gilt (vermöge §. 474.18.) die Proportion v : l» — x" : n", folglich ist b r 7 — --2 x^. Hieraus ergibt sich (nach 516) sogleich der Cubikinhalt der über der Fläche stehenden Pyramide — d k x^ x lr „ > . . — 12 - -Z" - Z- - X' - -J- X)- jZO O ritte L HauptstüS. Uebcrgeht x in n, mithin y in k, so ist der Cubikinhalt der gan¬ zen Pyramide k— ab, nähmlich gleich dem dritten Theile des Produktes aus ihrer Grundfläche und Zähe. §. 518. Hieraus ersehen wir, daß jede Pyramide der dritte Thcil eines Prisma ist, welches mit ihr gleiche Höhe und Grundfläche besitzt, und daß Pyramiden von gleichen Grundflächen und Höhen denselben Cubikinhalt haben. §. 519. 113. Daß der Lubjkinhalt einer pyrann.de dem dritten Theile des productes aus der Grundfläche in die Zöhe gleich ist, laßt sich auch auf folgende Meise öarthun, wenn man Len Satz, daß Pyramiden von gleichen Grundflächen und Höhen den¬ selben Cubikinhalt besitzen, als an und für sich wahr zugesteht. Denn gilt dieser Satz, so folgt aus ihm sogleich, daß Pyramiden ihren Grundflächen und Höhen proportional sind, nähmlich Laß, wenn I* den Inhalt, L die Grundfläche und ü die Höhe einer Pyramide vorstellt, L —pLL ist, wofern p den Inhalt derjeni¬ gen Pyramide bedeutet, die zu ihrer Höhe die Längeneinheit (z. B. 1 Schuh) und zu ihrer Grundfläche die Flächeneinheit (z. B. 1 Quadrat--Schuh) hat. Nun sey -lVLO ein senkrechtes dreyseitigcs Prisma, _^L —a, OV —h und senkrecht auf endlich .4L so ist das Prisma o^LO -- H.si,. c — Man denke sich ferner durch L, 8, 0 eine Ebene gelegt; so ist das Prisma ^LO — der Pyramide 8080-r- der Pyramide 8-^Lfl6, also - p.^L88.0v-t-p.L80.00 P . ab. c -t- p. -z- nh. c Zp. 1, mithin ist »bc »da 1 3p . , und.n — — - 3 ) demnach hat man . . 8 - LH, nähmlich jede Pyramide ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Grundfläche in die Höhe. Won bcn Eigenschaften der Körper. 157 §. 520. kix. Auch dec Cubikinhalt eines (senkrechten oder schiefen) Aegels ist gleich dem dritten Theile des Producers aus der Grundfläche in die Höhe; weil man einen Kegel für eine Pyra¬ mide anschen kann, deren Grundfläche ein Kreis ist- 8- 521. Hieraus folgt: I. Daß jede Pyramide dem dritten Theile eines Prisma, und jeder Kegel dem dritten Theile eines Cylinders von gleichen Grundflächen und Höhen gleich ist. II. Daß Pyramiden und Kegel sich am Kubikinhalte gegenein¬ ander verhalten, wie die Products aus ihren Grundflächen und Höhen. III. Daß Pyramiden und Kegel von gleichen Grundflächen, wie ihre Höhen, und von gleichen Höhen, wie ihre Grundflächen sich verhalten- IV. Daß Pyramiden und Kegel am Kubikinhalte einander gleich sind, wenn ihre Grundflächen mir den Höhen in verkehrter Proportion flehen. Alles dieses sieht man sehr leicht ein, wenn man der einen Pyramide Kubikinhalt —8, Grundfläche —8, Höhe — V, und der anderen Pyramide Kubikinhalt — s, Grund¬ fläche — si, und Höhe — a setzt- V. Daß man aus dem Kubikinhalte und der Grundfläche ei¬ ner Pyramide oder eines Kegels die Höhe, und aus dem Kubik- Inhalte und der Höhe die Grundfläche bestimmen kann. Es sey Z-B. der Kubikinhalt eines Kegels — 8 — 10Kb" 72 Cb', die Grund¬ fläche — h — 7Q" 18Q', und die Höhe — x; so ist 8 — -Z-six, -»--tz-r-UM - - - -SA-: »o- - " Klafter---4» 0'9" 7'" 2'v. Man erhält eben diesen Werth für x, wenn man das gegebene « in Kubik-Zolle, und st in Quadrat-Zolle verwandelt, und dann gehörig reducirt- §. 522. Auch der Kubikinhalt einer parallel abgestutzten Pyramide bißt sich aus den beyden gegebenen parallelen Grundflächen, und aus der Höhe bestimmen, wenn man die Höhe des abgeschnitte- nen Stückes der Pyramide aufsucht, dann die ergänzte Pyramide IZ8 Dritter Haupt stück. ki'x.und den abgeschnittenen Theil berechnet, und endlich das zweyte 114. Resultat von dem ersten abzieht. Es sey z. B. V? eine abgestutzte Pyramide, ihre Höhe viVI — a, die untere Grundfläche—L, und die obere parallele Grundfläche ----In Man verlängere in Ge¬ danken die Seiten VI), LL, 0?, bis sie in dem Puncte ? Zu¬ sammenstößen, ziehe aus dem Puncte? auf die Ebene der Grund¬ fläche die Senkrechte IN; so istlN die Höhe der ergänzten Pyramide VLV?, und ?0 die Höhe der abgeschnittenen Pyra¬ mide VH?. Nimmt man ?() — x; so ist IN — ?tz 4- VVI --x-i-s; es ist aber M? : -4LL ?tz-: IN"- (474. M), nähmlich fl: L — x": (x 4- :»)"; folglich ist x:x4-n—z/K: z/v. Hieraus findet man durch übereinstimmende Subtraktion (187. IV.) x:n — : z/8_z/si und x 4- n: A—'/?: z/v_z/I>, sonach _u z I> sz/'L " " /IV- Vb ' " 4- a - Es ergibt sich also der Cubikinhalt (VI -^VL? - v??? -- 4-. IN - ; v?fl. ?tz — (8 -l- k -j. z/ VI>) oder auch — I. Kubikinhalt einer ab- gestutzren Pyramide wird erhalten, wenn man zwischen der oberen und unteren Grundfläche eine mittlere geometrische proportionale flache sucht, diese drey Flächen zusammen addirt, und ihre Summe mit dem dritten Theile der multiplicirt, oder der Lubikinhalc einer abgekürzten Pyra¬ mide gleicht dem producte ihrer r;öhe in das arithmetsichr Mittel von ihren Grundflächen und von dem geometrische Mitcel derselben. Es ist leicht einzusehen, daß sich dieser Satz auf alle tungen der Pyramiden, und auch auf die Kegel erstreckt; nur ist Bon den Eigenschaften der Körper. 159 hiezu erforderlich, daß die beyden Grundflächen mit einander pa-kix. rallel laufen- §. 523. Auch der Cubikinhalt eines schief abgeschnittenen dreyseitigen 115. Prisma laßt sich bestimmen. Er ist gleich dem drit¬ ten Thcile der Summe seiner drey parallelen Seiten multi- plicirt mit der sie senkrecht durchschneidenden Fläche NDk, oder gleich dem producee aus dem arithmetischen Mittel sei¬ ner drep parallelen Rauten in die auf ihnen senkrechte Durchschnittsfläche. Denn der Cubikinhalt ^kOvkv ist — der vierseitigen Pyramide HviMIO 9- der drcyseitigcn Pyramide N6t>'k -t- der dreyseitigen Pyramide NIMk -t- der vierseitigen Pyramide N?)kvv -- . (^k n- )^k. I'(i -t- Nssik. kV . ()k -- (^LssiiVl -t- >1>kk) . tzk -t- (k6 -i-kv) . >!Vk -- 4-. (Zk -l- >I>k. 6V (Vv u- kk) . s siv. >1>k (443.) — -s- (eVV -t- kk). iVkXk -t-^-6v. iVl^'k (439.) — -t- 6v -i- x x §. 524. Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich nun die Cubikinhalte 116. von mehreren unregelmäßigen Körpern berechnen. So z. B. ist der Cubikinhalt des schief abgeschnittenen vierseitigen Prisma .VVkVC -- . k0. -t- kV. ktz. , wenn UDkv die senkrecht durchschneidende Fläche, und k<) die Entfernung der zwey parallelen Grundflächen, nähmlich die Höhe dieses Körpers vorstellt; denn durch die Ebene ^rvkv wird ble¬ ck' Prisma in zwey dreyscitige schief abgeschnittcne Prismen Drittes Hauptstück. 8i§. zerlegt. Jngleichen der zellförmige Körper ^888.6 ist - 188 .- -—-—, wenn die drey Seiten mit einander pa¬ rallel laufen, und von 868 senkrecht durchschnitten werden. 118. Eben so istderCubikinhalt des Körpers ^4688 (8!§.118.), bey dem die vier Seiten -48, 88, 88, 60 parallel lausen, und die Bierecke V886, 8886 nicht eben sind IM. ""^ ^0 0 -t-IMtz . , wenn man sich vorstcllt, daß durch die zwep parallelen Seilen Oll und.48 eine Ebene gelegt, Land der Durchschnitt 48>8i) auf die vier parallelen Seiten senkrecht sey. Durch dieselbe Zerlegung in zwey schief abgeschnittene dreyseitige Prismen läßt sich der Cu- bikinhalt eines Grabens, einer Brusiwehre, eines Dammes, eines Merlons, und einer Schießscharte bey einer regelmäßigen Batterie, und mehrerer anderer Körper dieser Art berechnen. §. 525. Wenn ein unregelmäßiger Körper so beschaffen ist, daß er sich weder in Pyramiden, noch in Prismen, noch in andere be¬ kannte Körper zerlegen läßt; so pflegt man seinen Cubikinhal! durch verschiedene andere Kunstgriffe zu suchen, als z. B. durch das Einlegen in ein mit Wasser angefülltcs senkrechtes Paralle- lepiped, oder in einen mit Wasser gefüllten Cyrindcr. Man kann auch den Cubikinhalt eines Körpers aus seinem Gewichte bestim¬ men: z. B. cs sey das Gewicht eines ausgebvhrten metallenen Bombenmörsers — 1600 Pf., das Gewicht eines Wiener Cubik- Schuhcs von diesem Metalle ist — 480 Wiener Pf., und der Cubikinhalt des Mörsers ohne Bohrung sey — x Cubik-Schuhe so ist x.480— 1000, und folglich x —2^ Wiener Cb6 Umge¬ kehrt aus dem Cubikinhalte des Körpers, und aus dem Gewichte eines Cubik-Schuhes der Materie, woraus der Körper besteht/ kann das Gewicht des Körpers bestimmt werden. Es sey z.B- der Cubikinhalt eines Körpers — a ClO, sein Gewicht — x Pf-, und das Gewicht eines Cubik-Schuhes der Materie des Körpers — ll Ps'/ so ist x — nfl Pf- Aus dieser Gleichung folgt auch Pfund/ Won den Eigenschaften der Körper. !61 das ist, wenn man das Gewicht x eines Körpers durch seinen kiss. in Ludik-Schuhen ausgedrüchcen Kubikinhalt a drvidirt; ss erhalt man das Gewicht eines Lubik-Schuhes der Materie, woraus der Rörper besieht. Dieses Gewicht eines Kubik-Schuhes von einer Materie wird auch sonst die eigentümliche Schwere (FrLvitas spocisica) oder das eigenthümliche Gewicht dieser Materie genannt. §. 526. Der Tubikinhalt einer Äugel ist gleich dem dritten Theile des productes aus der Gberflache in den Halbmesser derselben. Denn man bilde sich nur ein, daß dieKugclfläche in eine un¬ endliche Anzahl gleicher Lheile (z. B. in unendlich kleine Drey- cckc) gctheilet sey, und daß aus den Spitzen dieser Drcyccke gerade Linien zu dem Mittelpuncte der Kugel gezogen werden; so wird da¬ durch die Kugel in Elementar-Pyramiden von gleicher Höhe zer¬ teilet. Nun ist der Kubikinhalt einer jeden solchen Elemcntar- Pyramide — dem dritten Theile des Productes aus dem Halb¬ messer in den unendlich kleinen Theil der Kugclflächc, welche die¬ ser Pyramide zur Grundfläche dienet; es ist also auch die Summe der Kubikinhalte aller dieser Elcmcntar-Pyramidcn, nähmlich der Kubikinhalt der Kugel — dem dritten Theilc des Productes aus dem Halbmesser in die Summe aller dieser unendlich kleinen Lhcile der Kugelfläche, d. i. in die Oberfläche der Kugel. §. 527. Da sich dieses ebenfalls von einem Kugelausschnitte sagen laßt; so ist auch der Kubikinhalt eines Kugelausschnittes gleich dem dritten Theile des Productes aus dem Halbmesser in die Oberfläche dcs Kugelausschnittes. §.528. Setzen wir nun den Halbmesser einer Kugel ---- n, so ist eine größte Kreisfläche — n^Tr, dieKugclfläche — 4n" ?r (497.), und folglich der Kubikinhalt4 a? n der Kubikinhalt der Halbkugel aber ist —-z-a^7r. So z. B. ist der Kubikinhalt unseres Erdballes, wenn man ihn für eine Kugel ansieht — 2659074600 geographischen Kubik-Meilen; und die Oberfläche ist Vega Math. H. B. 11 182 Dritte« Hauptstück. kix. nach dieser Voraussetzung — 9281922 geographischen Quadrat¬ meilen, weil 15 geographische Meilen 1 Grad des größten Um¬ kreises der Erdkugel ausmachen. 87. Daß der Cubikinhalt der Halbkugel — ist, läßt sich auch so erweisen. Dreht sich (in 15?. 87) die Fläche 64lllT4 um ihre geradlinige Seitens, so erzeugt sie eine Kugclzone, deren Inhalt auf folgende Weise bestimmt werden kann. Die von L4I beschriebene Grundfläche ist ein Kreis, also ihr Inhalt oder, wenn man 6^ — z und 641 — x setzt, (»"—x") — — 7rx". Hieraus folgt nach §.516 der Cubikinhalt dieser Zone 8--7ra.x- Setzen wir nunx —a, so ist8 —^4-r—— Tr¬ dem Cubikinhalte der Halbkugel, und-z-e^Tr- der ganzen Kugel. Anmdrkung. Noch einleuchtender, und eben so unabhängig von der Oberfläche einer Kugel läßt sich der Cubikinhalt derselben auf folgende Art bestimmen. 105. Es sey ^01 der Quadrant eines größten Kreises; auf dem Halbmesser CI errichte man daS Quadrat 4.6'18 und verbinde die Puncte 6 und 8 durch die Gerade 68. Bewegt sich die ganze Figur um die unbewegliche Achse.46, so wird der Quadrant4.6k die Halbkugel, das Quadrat.46'18 einen Cylinder, und das rechtwinkelige Dreyeck 648 einen geraden Kegel beschreiben. Alle diese Figuren haben eine gemeinschaftliche Höhe; diese ist der Halbmesser 46. Wenn man demnach diesen Halbmesser in eine unendliche Anzahl gleicher Theile theilet, und durch die Theilungs- puncte Parallelen zu 48 zieht; so sind die erzeugenden Flächen, folglich auch die Körper selbst, in eine gleiche Anzahl Elemente zerlegt. Man setze den Halbmesser der Kugel 46 — g, die gemein¬ same Höhe der Elemente - 6, und 6k -- x; so ist auch kl - r, weil in dem Dreyccke 6.48 die Seiten.46 und 48 einander gleich sind, und kl parallel zu 48 gezogen ist. Ferner istkX — p/ (rk—xO undkll — g. Nun ist in der Entfernung 6k — x vom Mittel¬ punkte das Element der Kugel — n lr (L- —x-) — n k n" — n dx', das gleichnahmige Element des Kegels — Trlx", und das gleich' nahmige Element des Cylinders — Trssu"; woraus man ersieht. Lon Len Eigenschaften Let Körper. 163 daß jedes Element der Kugel dem Ucberschusse des Elementes des Cylinders über jenes des Kegels gleich ist. Folglich ist auch die 105. Summe aller Elemente des Cylinders, vermindert um die Summe aller Elemente des Kegels, gleich der Summe aller Elemente der Halbkugel; oder der Cubikinhalt einer Halbkugel ist der Differenz der Cubikinhalte eines Cylinders und Kegels gleich, welche beyde den Halbmesser der Kugel zur Höhe, und einen größten Kreis der Kugel zur Grundfläche haben. Es ist aber derCubikinhalt die¬ ses Cylinders — smTr.a — und der Cubikinhalt des Kegels —-z-n"?r.n —folglich ist der Cubikinhalt der Halbkugel — Ed der Lubikinbalt öer ganzen Äugel — — ^A.4a"-r — der Oberfläche der lRugel, nnilnplicirr mir dem dritten Theile des Halbmessers. Wenn die Oberfläche Ker Kugel nicht schon aus (§. 496.) be¬ kannt wäre, so könnte man dieselbe auS dem eben gefundenen Ausdrucke des kubischen Inhaltes auf folgende Art viel kürzer ab- leitcn, als es dort möglich war. Denn es ist klar, daß, wenn man die Kugel in pyramidalische, in den Mittelpunkt der Kugel zusammenstoßende Elemente von unendlich kleiner Grundfläche zertheilt denkt, der Cubikinhalt derselben dem dritten Theile des Produktes aus dem Halbmesser in die Oberfläche, welche wie im¬ mer beschaffen seyn mag, gleich ist (526). Setzen wir die unbe¬ kannte Oberfläche — 8, so ist der Cubikinhalt—-z-a8 ; derselbe ist aber auch —folglich hat man nahmlich es ist die Oberfläche einer Rugel 8— 4a"?r vier- mahl so groß als eine größte Rreisflache derselben, wie oben. Diejenigen Anfänger, deren Berstandeskräfte zu eingeschränkt sind, um die in §. 496 gegebene Ableitung der Oberfläche einer Kugel vollkommen einzusehen, können sich zu diesem Zwecke der hier ge¬ zeigten weit kürzeren Methode bedienen. §. 529. Der Cubikinhalt eines der Kugel umschriebenen Cylinders 106. "O '-st — 2a^, wenn wir den Halbmesser /VK — Ei) — a setzen; und der Cubikinhalt der Kugel ist Folglich verhält sich der Cylinder ^.6- zu der Kugel LM--2»^ :, oder IM^3:2, nahmlich cs ist daZ heißt, 11* 184 Drittes Haupt st tick. kix. die Nugel ist gleich zvsep Drirthcilen des umschriebenen 106. gleichseitigen (txlinders. Eben so läßt sich erweisen, daß der umschriebene gleichseitige Kegel, der umschriebene Cylinder, und die Kugel sich am (Kubik¬ inhalte verhalten wie 9:6:4, nähmlich daß die Verhältnisse dieser Körper den Verhältnissen ihrer ganzen Oberflächen gleich sind (497. IV.). §. 539. 104. Wenn wir bcy dem Kugelausschnitte st6eLä die Gerade Ac —x, und den Halbmesser L6 — 2 setzen; so ist die Oberfläche stLe — 227ix (499 ), und folglich der Kubikinhalt dieses Aus¬ schnittes — 227ix.2 —2" X7i. Ziehen wir nun von diesem Kugelausschnitte den Kegel stet) ab; so erhalten wir den Cu- bikinhalt des Kugelabschnittes stcoL^. Es ist aber der Kegel stet) — (stc) - 7i.ct) — l^ (2nx— x^))^7i.-z-(2 — x) — ", Sonach ist der Kugelabschnitt stceLst 2 2 6 Setzen wir ste —2 —2>-, so ist V —-^-1, und somit eben dieser Abschnitt stceDst — -z-xi'7i -l- x^ii. §. 531. 119. Wenn der Halbmesser der Kugel 6N — 2, und 61? — x ge- _ 2s-xn — La-xir-I- —---— — 2x-7r—^X^71. Aus der Glei¬ chung —22x—x'— (stc)? findet man 2— r folglich ist derselbe Kubikinhalt auch — x^'^-t-x^-r x^ir setzt wird; so ist die Zone — 7i2^x — x^ (528.); und aus demselben Grunde, wenn 6(Z — x^ gesetzt wird, ist die Zone — 7i2^x^ —^x^, es ist also auch der Inhalt der Zone V6lH --- X — 712^ (x^ — x)-(x^ — X?) --- 712' (x^ -- x) — (x^—x) (x^-t-x^x t- X') -- (x' —x) (32^— (x^ -t- x'x -t-xH). Won den Eigenschaften der Körper- 165 Setzen wir nun die Dicke dieser Zone — c, den Halbmesser Lig. der größeren Grundfläche PL — b, und den Halbmesser der klei-119. neren Grundfläche — IP; so ist c —x^ —x, also r — Zx'x -t- x-. , ES ist aber auch b- —n-— x- und b^-— n-—x>r. Multiplicirt man jede der beyden letzten Gleichungen mit 3 und addirt sie zu der ihnen vorangehenden, so erhält man 3b- -1-3!p- -t- c" — 6n-— 2 (x'" -t-x^x -t-x-), folglich 3n- — (x^ -t- x(x -t- x") --- -z- (3b" -l- 3b'- c-). Somit finden wir die Zone VOLL — L — c (3b- -t- 3lp- -t- c-), o durch ihre Dicke und durch die Halbmesser ihrer Grundflächen ausgedruckt. Setzen wir in diesem Ausdrucke IP —0, so ist der Kugelab¬ schnitt c (3b- -l- b-c -t- Setzen wir hin¬ gegen c —2n —so ist b und IP—0, und I< — — dem Cubikinhalte der ganzen Kugel. Setzen wir endlich b — b' — -^-c> so ist L — c-?r — dem Cubikinhalte einer Zone, deren Dicke den Durchmessern beyder Grundflächen gleich ist. §. 532. Wenn man den Cubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser — n und Durchmesser — cl ist, mit 5, und den Cubikinhalt einer anderen Kugel, deren Halbmesser — und Durchmesser — v ist, mit 8 bezeichnet; so ist ei', und 8---4-/V»-! Folglich ist auch §:8d. i die Cubikinhalte der Kugeln verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halb- messer, oder ihrer Durchmesser, oder überhaupt wie die dritten Potenzen ihrer gleichnahmigen Abmessungen. Nun aber verhalten sich auch die Cubikinhalte der Kugeln von einerleh Marcric wie ihreGewichte; folglich verhaltet! sich auch die Geveichte der kugeln von einer und derselben Materie wie die dritten Po- 166 Drittes Hauptstäck. k'ix. tenzen ihrer Halbmesser oder ihrer Durchmesser; und somit auch die Durchmesser wie die Cubikwurzeln der Gewichte; sind nähmlich p, I> die Gewichte und el, v die Durchmesser zweycr Kugeln von der nähmlichen Materie^ soist?:!' —also auch —k:Ii^ und ä:/p —O:/? oder cd _ v ch — " b — ' ŽI' chk Es sey z. B. der Durchmesser einer Ipfündigen Kugel von einer gewissen Materie — I) Zollen, so ist der Durchmesser ä einer xpfündigcn Kugel derselben Materie c! — v chp Zollen. Zn der k. k, Artillerie sind eiserne Boll-- und Hohlkugcln, und bleycrne Bollkugeln cingefiihrt. Dem Tcwichtsbetrage der blcyer- nen Kugeln liegt das Wiener, jenem der eisernen Kugeln aber das sogenannte Nürnberger Pfund zu Grunde, welches im Mittel 0,817 (oder nahe , weniger gcnauch/s) Wiener Handelsge¬ wichts-Pfund beträgt. Bey den eisernen Vollkugeln deutet ihre Benennung zugleich ihr wirkliches Gewicht an, so daß eine ^pfun¬ dige Vollkügel in der That 24 Nürnberger Pfund oder 0,817-24 Wiener Pfund, nähmlich 19 Pf. 19Loth wiegt. Die 3- undOpfün- digen Granaten, welche so groß als die gleichnahmigen Vollkugeln sind, würden 3 und 6 Nürnberger Pfund wiegen, wenn sie nicht hohl wären. Die Benennung der übrigen Hohlkugeln (Granaten und Bomben) drückt das Gewicht von steinernen Vollkugcln aus, welche mit jenen in der Größe übcreinkamcn und vor der Erfin¬ dung der Bomben gebraucht wurden; eine solche steinerne Kugel nähmlich, die den Durchmesser einer unserer KOpfündigen Bomben hatte, wog 60 Nürnberger Pfund. — Die Durchmesser aller die¬ ser Kugeln pflegt man in Wiener Zollen und ihren Untcrabthei- lungcn anzugeben, und zwar ist der Durchmesser der Ipf. eisernen Vollkügel — 1" 10'" 2^ — 1", 890046, » » Hohlkugel oder steinernen Kugel — 2" 10'" 5'v ?v — 2",872106/ » » blcyerncn Kugel — 1" 8"' 6'v gv — ich,713542; folglich findet man den Durchmesser Don den Eigenschaften der Körper. IH7 s der xpf. eisernen Kugel st — 1,890046 i>, » » steinernen » st/ — 2,872106 2 » » bleyernen » st" — 1,713542 Um diese Ausdrücke zu vereinfachen, erthcilcn wir ihnen die Form 1,890046 -- f/6,751762 54,014096 oder nahe - 2,872106 -- 40 3, oder nahe Z -- 1/713542 --- /5/031347 3, oder nach §. m, Z 4 3,_ -- . -V Z — l/x" oder nahe 1 b— 4 ^,— --- ^64c> --- s/io-- - b 2^-100 oder nach §. 111. abgekürzt I oder wenn man 6,751762 nach §. 111 abkürzt, — — V 4 — 3 ) /4 3 . ^23/691981 /639,683487 5 !iL Man erhält demnach näherungsweise für eiserne Kugeln st — 1-^-./2p, » steinerne » — 1-^./10p/ oder — 2 » blcyerne „ ä" — s/ 5p" oder — s/322p"; 168 Dritter HaüptstüS. kil,', welche Gleichungen sich leicht in Worte übersetzen lassen. Zugleich erhellet aus den Gleichungen <1 3 ü' — 13-^- ä" ' 5 "6 — s_— / s_ z-. / Z — — HI / t^i> V 4 V p' ^100 V x" ^25 daß der Durchmesser einer 4pf. eisernen Kugel nahe 3 Zoll » 100 » Bombe » 13^- » » 25 ,, Blcykugel » 5 » beträgt. Aus dem angeführten Satze (die Gewichte der Kugeln von einerley Materie verhalten sich gegen einander, wie die dritten Potenzen ihrer Durchmesser) folgt, daß das Gewicht einer Kugel 8mahl größer wird, wenn man ihren Durchmesser verdoppelt, daß daS Gewicht einer Kugel 64mahl kleiner wird, wenn man ihren Durchmesser 4mahl kleiner macht, das ist durch 4 dividirt: mit einem Worte, daß der Durchmesser einer apfündigen Kugel nmahl genommen, den Durchmesser einer r^upfündigcn Kugel gidt u. s.w. Ueberdieß lassen sich mittelst derselben Proportion noch viele andere Aufgaben auflosen, die jedoch mehr speculativ als practisch nütz¬ lich sind. §. 533. Bey ähnlichen Rörpern verhalten sich die Kubikinhalte gegeneinander, wie die dritten Potenzen gl eichnah mixer Abmessungen. Bep ähnlichen Pyramiden läßt sich die Richtigkeit dieses Satzes daraus entnehmen, daß, wenn p, k die Inhalte, b, 1» die Grundflächen, fl, 8 die Höhen zweyer ähnlicher Pyramiden vorstellen, nicht bloß (nach §, 521. II.) hfl: 88, sondern auch (vermöge §. 474. III.) folglich (nach §. 189.) statt finden muß. Sind aber a, irgend zwep gleichnahmige Ab- Won den Eigenschaften der Körper. 169 Messungen dieser Pyramiden , so hat man (nach §. 474. II.) auch I)'-. Ir : II — daher ist (§. 187. VU.) p:I> --- Wenn dagegen die ähnlichen Körper keine Pyramiden, son¬ dern von erner andern Form sind, so müssen sie sich wegen ihrer Aehnlichkeit in gleich viele der Ordnung nach ähnliche Pyramiden zerlegen lassen. Bezeichnen nun 8 und 8 die Cubirinhalte die¬ ser Körper; a, zwey gleichnahmige Abmessungen derselben; p, psi p",.... die Inhalte der Pyramiden, aus denen der erste, und?, I", die Inhalte der Pyramiden, aus welchen der zweyte zusammengesetzt ist; so folgt aus der Aehnlichkeit dieser Pyramiden p : ? : I" -- p": k" ---.--- c?: rsi.", daher ist (§. 491.) p 4- z? -i- p" etc.: I? 4- k" 4- etc. — rr': , und somit s:8 Zlnrnerkung. Bey der gegenwärtigen Entwicklung dieses Lehrsatzes werden die verkommenden Linien, arithmetisch als Zahlen, in Erwägung gezogen. Man stellt sich nähmlich vor, daß jede dieser Linien durch eine für die Einheit angenommene Linie ausgemessen sey. Durch die Zahlen nun, welche anzeigcn, wie ost die für die Einheit angenommene Linie in jeder anderen Linie ent¬ halten ist, werden diese Linien selbst vorgsstcllt. Auf eben diese Art ist der (im §. 493.) gegebene erste Beweis des berühmten Pythagorischen Lehrsatzes durch Zahlen ausgcführt, welche die Seiten des rechtwinkeligen Dreyeckes vorstellen. Die zweytcn Po¬ tenzen dieser Zahlen sind dis Quadrate der durch dieselben bezeich¬ neten Seiten. Der zweyte Beweis dieses Lehrsatzes hingegen ist kein geometrisch. Bey dieser Gelegenheit ist cs nicht überflüssig zu erinnern, daß es in vielen Fällen vortheilhaft ist, sowohl den Pythagorischen Lehrsatz, als auch den Lehrsatz von der Propor¬ tionalität der gleichnahmigen Seiten ähnlicher Dreyecke (§.399.) in arithmetischer Bedeutung zu gebrauchen, so wie cs bisher mei¬ stens geschehen ist, und auch noch im Folgenden vorkommen wird. 170 Drittes Hauptstück. I'iss. Ferner kann man hier noch erinnern, daß ein Product aus drey Linien oder Dimensionen jederzeit einen Körper verstellt, wenn die Einheit dieses ProductcS durch einen Würfel auf derje¬ nigen Linie auSgedrückt ist, mit der die drey Dimensionen aus- gcmcssen sind. ES scy z. B. der Halbmesser der Grundfläche eines schiefen Kegels — x Schuhen, der halbe Umkreis — Schuhen, und der dritte Lheil der Höhe dieses Kegels — r Schuhen; seist Lieser Kegel — xv? Cubik-Schuhen. Eben diese xvr Cubik. Schuhe sind auch einem senkrechten Parallelcpiped gleich, dessen Länge — x, Breite — v, und Höhe — x Schuhen ist; u- s. w. Ein Product aus zwey Linien oder Dimensionen hingegen stellt eine Fläche vor, wenn die Einheit dieses Productcs durch ein Quadrat auf derjenigen Linie ausgedrückt ist, mit der die zwey Dimensio¬ nen ausgemessen sind. Lus diesem Grunde Pflegt man xvr, 2ar)', a-x, 10x2, ___ x^/ak, u. s. w. körperlich^ hrngt- gen <-rx, 2cib, —, x'/o?—X?), u. s. w. flacht/ und endlich r, 3a, -n, u. s. w. lrneare Ausdrucke zu neu- nen, wenn durch jeden dieser Buchstaben eine Linie angczeigt ist. §. 534. Wir wollen diese Abhandlung von den Körpern mit folgenden Aufgaben beschließen. I. Ls ist die Seite eines Würfels gegeben; man fall die Seite eines andern Würfels finden, dessen Lubikinhalt zu dem des gegebenen sich wie n:m verhalt. Auflösung. Man messe die gegebene Seite des Würfels mit einem genau eingetheiltcn Maßstabe aus. Es sey z. B. die Länge Liefer Seite — n — 5000 Punctcn nach dem Wiener Schuhe, die unbekannte Seite des gesuchten Würfels aber sey -- x; ferner scy der Cubikinhalt des gegebenen — 8, und der des gesuchten Würfels — 5; so ist vermöge der Bedingung der Aufgabe 8:»^ m:n; es ist aber 8:s —u^:x^; folglich auch m:n — und endlich x- a/ Es sey z. B. n —2, und m — 1; so ist x --- 5000 2 -- 5000.1/2SS92 --- 6299^- Puncten desselben Bon den Eigenschaften der Körper/ 1^1 Wiener Schuhes. Man verzeichne demnach nur mit Hülfe dieses ksix. Naßstabes eine gerade Linie von6299^-Punctcn; so ist diese Ge¬ rade die gesuchte Seite des Würfels, der am Cubikinhalte zwey- inahl so groß ist, als der gegebene Würfel. Die eben angeführte Aufgabe von der Verdoppelung des Würfels hat in den ältesten Zeiten den Meßkünstlern viel Kopf- brechcns verursachet. Sir suchten immer die unbekannte Seite des Würfels durch eine geometrische Verzeichnung zu bestimmen, weil ihnen die Kunstgriffe der heutigen Rechenkunst vielleicht nicht be¬ kannt waren. Wäre ihnen die gegenwärtige Rechenkunst nebst dem geometrischen Maßstabe bekannt gewesen; so hätten sie gewiß nicht so viel Mühe auf die Erfindung der geometrischen Verzeichnungen verwendet, weil es eine ausgemachte Wahrheit ist, daß die bey der Auflösung einer Aufgabe gesuchten Linien durch Rechnung und mit Beyhülfe eines gut cingetheilten Maßstabes in der Ausübung viel genauer, als durch geometrische Verzeichnung bestimmt werden können. ' H. Man soll den Durchmesser einer gegossenen eisernen Kugel vsn 24 wiener Pfunden nach dem wiener Maße dar¬ aus bestimmen, daß ein Wiener Lubikschuh des gegossenen Eisens 409-^- wiener Pfunde wiegt. Auflösung. Es sev der Durchmesser dieser Kugel — x Wie¬ ner Schuhen; so ist der Cubikinhalt —-^x^r Cubikschuhen. Nun verhalten sich die Cubikinhalte der Körper von einer und derselben Materie, wie ihre Gewichte; hier nähmlich 1 Ehl: -^erCbl - 409 7 Pf.: 24 Pf. Folglich ist 67^8/^28^ k 400^ V 0,4819 Wiener Schuhen — 5", 9"*, 5*7 IH. 1 wiener Lubikschuh Rriegspulver wiegt 50 wiener Pfunde; man soll nun ein bpfündiges cplindrisches Pulver- Piment nach dem wiener Schuhe bestimmen, bep dem der innere Durchmesser der Grundfläche sich Zur inneren Zohe verhält, wie iu;n. X - 172 Dritter Haupt stück. Auflösung. Man setze den inneren Durchmesser — x Wiener Schuhen und die Hohe — y; soist v —weil in:n — x:v sich verhält; und der Cubikinhalt dieses Cylinders ist IN pni Nun ist X und y -- l/ U 50n?r " V 50iN"7r Setzen wir nun in —1, n —2, b —-^-Pf.; so ist 3 1^7- --0,1471 Wiener Schuhen--!»» 9"» 2'v-- dem Durchmesser der Grundfläche eines 8!vthigen Pulver-Ciments, dessen Höhe ^2. (1" 9"' 2»^) 3" 6»»» 4»^ ist. Auf dieselbe Weise können die Abmessungen aller übrigen Pulver-Cimente be¬ rechnet werden, wenn man nur für in, n und b ihre Werthe setzt. IV. Es Ist die Seite einer gleichseitigen viereckigen Py¬ ramide gegeben; man soll die Seite eines Würfels finden, dessen Cubikinhalt jenem der Pyramide gleich ist. Auflösung. Es fty dis gegebene Seite der Pyramide — a; so ist nach vorgenommener Untersuchung, die ich dem eigenen Nachdenken des Lesers überlasse, der Cubikinhalt dieser Pyramide — ^3/2. Es fty ferner die unbekannte Seite des Würfels— x; so ist sein Cubikinhalt — xft Nun ist vermöge der Bedingung der Aufgabe x» folglich ist x--- /(-^/2)------ V. Es ist der Durchmesser einer Lugel gegeben; man soll die Seite eines Würfels von gleichem Inhalte finden. Auflösung. Es fty der gegebene Durchmesser der Kugel — c!, und die gesuchte Seite des Würfels — x; so ist x- -- -z- c?-r, und x -- ä -z- n --- ä . 0,805995977 -- bev- nahc, wenn man den Bruch 0,805995977 (nach 110. 111) >n iCb» : Cb» -- 50 Pf. .- HPf. folglich auch 3 3 Won den Eigenschaften der Körper. 173 verwandelt. Man thcile demnach nur den Durchmesser der ge-^^ gebenen Kugel in 31 gleiche Theile, so sind 25 solche Theile ziem¬ lich genau der Seite desjenigen Würsels gleich, welcher mit der Kugel denselben Cubikinhalt enthält. VI. Ts sey r).V) cm pyramidaler Äorper von der Be- ^20. schaffenheit, daß sich dis zur Grundfläche parallelen Schnüre am Llä'chenjnhalre Fegen einander verhalten. Wie ihre Ent¬ fernungen von dem Scheitel nahmlich der Schnitt VVikils die Grundfläche dieses Rörpers sep — L, und die tzöhe — n, man soll seinen Tubikinhalt finden. Auflösung. Man stelle sich vor, daß in dem Abstande tzk.— x unterhalb des PuncteS tz der Schnitt Lk — v zur Grundfläche parallel gelegt sey; so muß 7:8 —x:n, folglich ^x ftyn. Hieraus finden wir zu Folge §. 516 den Cubikinhalt des pyrami- dalen Körpers "V ' V' ^mit, wenn wir x in s übergehen lassen, den Inhalt des Körpers nahmlich der Cubikinhalt dieser After-Pyramide ist gleich dem halben Producte aus der Grundfläche L in die Höhe 3. Auf eben diese Art wird der Cubikinhalt von mehreren Kör¬ pern berechnet, welche sich in Elemente auflösen lassen, die unter einander ähnlich sind, und nach einem bekannten Gesetze aufeinan¬ der folgen. Man findet z. B. daß der Cubikinhalt des Gewölbes des Produktes aus der Grundfläche L in die Hohe a ist, wenn die Bogen u. s.w.sämmtlich Viertel¬ kreise sind. Denn legen wir in der Entfernung 88 — x einen zur Grundfläche parallelen Schnittig —v, so folgt aus der Aehn- lichkcit der Rechtecke VV und die Proportion oder 8:^ — — x-. Dieß gibt 7 — (L* — x-) -- L — x° ; lomit ist nach §. 516 der Cubikinhalt des Körpers Setzt man hierin x--u, so findet man den Inhalt des ganzen Gewölbes --- H-nL. 174 Drittes HaupkstiiE. Die Berechnung der Oberflächen und der Kubikinhalte der Gewölbe von verschiedener Zusammensetzung ist für die Grenzen dieses Lehrbuches zu weitläufig. Derjenige, welcher sich eine ge¬ naue Kenntniß hievon verschaffen will, kann größere über diese Gegenstände handelnde Werke nachschlagen. Doch sind die gege¬ benen Gründe hinreichend, um in vorkommenden Fällen die dazu - gehörigen Aufgaben richtig aufzulösen. Auch die Theorie der soge¬ nannten regelmäßigen Körper kann nach den vorgetragcnen Sätzen vollständig entwickelt werden, um daraus Regeln abzuleiten, nach welchen man diese Körper unter gegebenen Bedingungen sowohl verzeichnen, als auch verfertigen kann. Doch ist diese Theorie nach den Gründen des folgenden Hauptstückes weit leichter zu entwickeln. Ein Mehreres hierüber ist in I. Salamon's Lehrbuch der reinen Elementar - Geometrie. 2. Ausl. Wien, 1833. S. 235, und in Schulze's Taschenbuch der Dreyeckmeßkunst. Berlin 1783, anzutreffen. 17L Biertes Hauptstück. Bon der Trigonometrie. i. Abschnitt. Von den trigonometrischen Functionen. §. 535. ^edes Dreyeck enthält, ohne seinen Flächeninhalt in Erwägung kix. zu ziehen, sechs Stücke, nähmlich drey Seiten und drey Winkel. Sind nun aus diesen sechs Stücken bcy einem geradlinigen Drey- tcke I. zwey Seiten nebst dem eingeschlosscncn Winkel, oder II. zwcy Winkel nebst einer Seite, odcr lll. alle drey Seiten, oder end¬ lich IV. zwey Seiten nebst einem anliegenden rechten oder stumpfen Winkel gegeben; so ist dadurch jederzeit das Dreyeck bestimmt, und die drey übrigen Stücke können nach den bereits vorgetrage¬ nen Gründen durch Verzeichnung gefunden werden. Durch zwey gegebene Seiten und einen anliegenden spitzigen Winkel wird ein geradliniges Dreyeck, welches keinen rechten Winkel enthält, nur dann hinlänglich bestimmt seyn, wenn die dem gegebenen spitzigen Winkel gegenüber stehende Seite größer als die anliegende ist; im entgegengesetzten Falle aber lassen sich jederzeit zwey verschiedene Dreyccke verzeichnen, welche die gegebenen drey Stücke enthalten, IM Viertes Hauptstück. HZ. Sind z. B. (Liss. 12!.) die Längen der zwey Seiten NL und 121. ML nebst dem anliegenden spitzigen Winkel L gegeben, und man beschreibt aus dem Puncte DI mit dem Halbmesser ML einen Kreisbogen; so muß die Gerade LV in zwey Puncten geschnitten werden. Ist nunML>NL, so muß der Pu-nct L zwischen den zwey Durchschnittspuncten liegen; und es kann daher nur ein einziges Drcyeck entstehen, welches den gegebenen Winkel L in sich faßt. Ist aber NV und NE nebst dem Winkel L gegeben; so müssen die beyden Durchschnitte 6 und^ des aus dem PuncteN mit der gegebenen Seite N6 beschriebenen-Bogens dem Winkel L gegenüber fallen, und daher zwey Dreyecke und NEL entstehen, welche die gegebenen drey Stücke enthalten. Durch drey gegebene Winkel wird endlich ein geradliniges Dreyeck nie 41. bestimmt; denn cS sind unzählige gleichwinkelige Dreyecke, z. B hpm, den, LE^., u. s- w. möglich, die alle in Hinsicht auf ihre Seiten von einander verschieden sind. §. 536. Die Wissenschaft aus drey gegebenen Stücken eines Dreyeckes, wodurch dasselbe bestimmt wird, die übrigen Stücke durch Rech¬ nung zu finden, wird die Trigonometrie genannt. Insbesondere heißt sie die ebene oder geradlinige Trigonometrie (triZonomowa plana), wenn sie sich mit geradlinigen Drcyccken beschäftigt: hin¬ gegen wird sie die sphärische Trigonometrie (triZoiivmetriu sxiwe- ricm) genannt, wenn sie sphärische Dreyecke (486.) zu ihrem Gc- gcnsiande hat, Die unbekannten Stücke eines bestimmten Drey- eckcs werden aus den gegebenen drey Stücken mit Hülfe gewisser Linien berechnet, die in Zahlen ausgedrückt, und so beschaffen sind, daß sic uns die Winkel zu erkennen geben, sobald sie einmal-! be¬ kannt sind, und welche daher Functionen der Minke!, oder viel¬ mehr trigonometrische Functionen (trigonometrische Hülss-Li¬ nien) heißen- Wir wollen sogleich zu ihrer Erklärung schrcilcn. §. 537. Schneiden wir aus einem fcstgestelllcn Puncte der Mss I22.phene eines Kreises (LiZ. 122.) beliebige Bogen ab, so lassen sich dieselben, weil sic nach entgegengesetzten Seiten von dem Von der Trigonometrie. Punčke Q, welchen wir den Anfangspunkt der Bogen nennen Lax. wollen, auslaufen können, in positive und negative unterscheiden, 122. von denen wir die ersteren von-4. auswärts gegeüL zählen werden. Führen wir ferner durch den Anfangspunkt der Bogen den Durch¬ messer QM und einen andern L6e auf denselben senkrecht, so zerschneiden diese zwey Durchmesser, die wir nach der Stellung unserer Figur den horizontalen und vertikalen nennen werden, die Peripherie in vier gleiche Lheile, welche (Quadranten, heißen sollen. Diese wollen wir vom Anfangspunkte aus zählen, wobey, da wir auf dem Umkreise ohne Ende herumgehcn können, mit dem rst^, 2t-", Ztm, 4-°" Quadranten, der 5t- , 6t , 7«° , 8'°, so wie auch der 9t- , 10t- , 11t- , 12t- , u. s. w. völlig cincrley ist. Nehmen wir den Halbmesser des Kreises für die Längenein¬ heit, nähmlich — 1 an, ziehen zu den Punkten Q und L die un¬ begrenzten Berührungslinien LQl und QIL8, fällen wir ferner aus dem Endpunkte L des beliebigen Bogens QL auf den hori¬ zontalen und verticalcn Durchmesser die Senkrechten LV und LV, und verlängern wir endlich den zu dem Endpunkte des Bogens laufenden Halbmesser 6L bis zu seinen Einschnitten in die beyden Berührungslinien: so heißen die Zahlen, welche die Längen der Geraden LV, LV; Ql, LN; 6l, MI; Qv, LV angcben, oder auch diese Geraden selbst, der Ordnung nach der Sinus, Cosinus; die Tangente, Cotangente; Sekante, Ls« seeante; der Sinusversus und Losmusversus derjenigen Zahl u, welche die Länge des Bogens QL angibt, oder auch geradezu des Bogens QL selbst; was man durch folgende Gleichungen ausdrückt- (D lLV — 8rn n, LV—co8 n; Ql—tnnx n,MI —ootn; (El — Leon, LN—cosocn;QV—sinvu, LO—cosvn. Diese acht Linien heißt man die trigonometrischen oder goniometrisch-n Functionen und insbesondere diejenigen, deren Benennungen mit der Sylbs Lo beginnen, die Cofunctionen des Bogens QL. Vega Math. II. B. 12 1^8 Viertes Hauptstück. issrg. Obgleich nach dieser Erklärung die rriFonsmecrischen Func- 122. tionen bloß den Längen der Bogen zukommen, so pflegt man doch auch, vorzüglich bey numerischen Rechnungen, statt der Länge des Bogens das Gradmaß desselben oder seines Mittelpunctswinkels zu gebrauchen; enthält nähmlich der Bogen, dessen Länge — r ist, A/ Grade, so schreibt man in obigen Gleichungen gewöhnlich bloß statt s, obschon man, weil der Bogen von einem Grade die Länge ^^hat, eigentlich^. schreiben sollte. Setzen wir LV--U, V6--V, u. f- w. so übergehen obige Gleichungen in iu — sina, v —cosL, x— tanga, —cota, u. s. w. Wollen wir nun umgekehrt ausdrücken, daß a die Länge des¬ jenigen Bogens (arcus) ist, dessen Sinus u, Cosinus v, Tan¬ gente x, Cotangcnte u. s. w. ist; so schreiben wir L —urcsiri u—arccos v—srctang x —arccot)- u. s-w. §. 538. Vergleicht man die goniometrischen Functioüen zweyer Bo¬ gen mit einander, so hat man dabey eben sowohl ihre gegenseitige Lage als ihre Länge zu beachten. In Betreff der ersteren nennt man die Sinus und Tangenten positiv oder negativ, je nachdem sie über oder unter dem horizontalen Durchmesser liegen; die Cosinus und Totangemen aber werden positiv oder negativ ge¬ nannt, je nachdem selbe links oder rechts vom vcrticalen Durch¬ messer sich befinden; dicSecanren und Tcsecamen endlich heißen positiv oder negativ, je nachdem der Endpunct ihres Bogens zwischen oder außer dem Mittelpuncte des Kreises und dem Endpuncte der Tangente und Cotangcnte liegt; bey den Sinusversus und To- sinusversus findet rücksichtlich der Lage kein Gegensatz statt, da¬ her sind dieselben durchgehends positiv. Zn Betreff der absoluten Größe und der Lage oder Qualität der trigonometrischen Functionen zweyer Bogen erkennt man leicht die Richtigkeit folgender Sätze. I. Bey zwey Bogen a und 180"-t-a, welche um 180" diffe- riren, deren Endpuncte also in einem und demselben Durchmesser Bon dir Trigonometrie. 175 liegen, sind, wie man aus der Figur 122. leicht ersieht, die trigo- k'.--', nomctrischen Functionen (mit Ausnahme der Sinusversus und 122. Cosinusversus, welche sich gegenseitig zu 2 ergänzen) in ihrer Größe gleich, die Qualitätszeichen -e- und — jedoch sind bloß bey den Tangenten und Cotangenten gleich , bey den andern Functionen aber verschieden. Es ist nähmlich «in (180"-t-3) - — «in 3, tanx (180" -i- s) — t3ng- 3, «ec (180"-8 3) -—«ecs, sinv (180" 9- 3) — 2 — «inv 3, co« (180° -t- 3) — — co« 3, cod (180° -t- a) — cot 3, co«ec (180" -k- 3) —— co«ec 3^ co«v (180° -t- 3) — 2—co«v 3. II. Bogen, welche von 90" gleich weit abstehen, daher auf 180° sich ergänzen, und wegen dieser Eigenschaft Supplemems- bsgen von einander heißen, folglich auch die zu 180" sich ergän¬ zenden Winkel, die man Nebenwinkel nennt, haben (mit Aus¬ schluß der Sinusversus, welche sich zu 2 ergänzen) gleich große Functionen, von denen bloß der Sinus, die Cosccante und der Cosinusversus dieselbe Qualität besitzen. Man überzeugt sich hie¬ von leicht, wenn man in Gedanken den Kreis um seinen verti¬ kalen Durchmesser herumdreht. Es ist demnach «in (180" -»)--- «in 3, co« (180« — 3) ----co« 3, lanx (180" — 3) — — t3ng 3, ccw (180" —- n) — — cot 3, «ec (180" — 3) — 8oc3, co«ec (180" — 3) — co«ec 3, «inv (180" — 3) — 2 — «inv 3, cosv (180» — 3) — co«v 3. M. Bey zwey Bogen, welche sich zu 90" ergänzen, und des¬ wegen Tcmplcmentsbogen von einander heißen, sind die Func¬ tionen des einen die Cosunctioncn des anderen- Man sicht dieß leicht ein, wenn man sich den Kreis um 90^> gedreht denkt, wo- ' durch der verticale Durchmesser in die horizontale, folglich der hvrizvntalc in die verticale Lage kommt- Hiernach ist «in (90"—3) — cc>8 3, tanx (90"—3) — cot 3, «ec (90"—3) — co«ec 3, «inv (90°—3) --- cosv 3, t 08 (90"—3) — «in 3, cot (90"—3) — t3ne^3, co«ec (90"—3) — «ec 3, corv (90"—3) — sinv 3. 12 * 180 Dlerte« HauptstüS. IV. Zwcy gleich große, aber im Zeichen entgegengesetzte Bo- 'gcn haben (mit Ausnahme der Eosinusversus, welche sich zu 2 er¬ gänzen) der Größe nach gleiche Functionen, doch stimmen im Qualitätszeichen bloß ihre Cosinus, Secantcn und Sinusversus überein. Hievon überzeugt man sich, wenn man in Gedanken den Kreis um den horizontalen Durchmesser dreht. Sofort ist sin (—3) — — sinn, co8 (—3) — cvs 3, t3nx (—a)——tznx a, cot (—s) — — cot a, rec (—3) — soc 3, cosoc (—3) — — corec 3, rinv (—3) — siiiv3, cosv (—3)—2—cosvL. V. Bogen endlich, welche um eine ganze Zahl von vollen Kreisperipherien diffcriren und demnach einerley Endpunct haben, besitzen ganz dieselben goniomctrischcn Functionen. Es ist sonach, wenn n eine beliebige ganze (positive oder negative) Zahl verstellt, rin (3 -t- 3.360") — rin 3, cos (3 -t- 3.360") — cos 3, t3nx (3 -t- 11.360") — t3nx 3, cot (3 -t- 3.360") — cota, roc (3 -t- n.360") — Lec 3, cc>Loc (3 -t- 3.360") — coLccr, 51NV (3 -t- n.360") — siuv 3, cosv (3 -e- n.360") — cosv a- §. 539. Lassen wir nun den Bogen allmahlig von 0 bis 360' wachscn und betrachten wir die mit seinen goniometrischen Func¬ tionen vergehenden Aendcrungen. I. Ist der Bogen Null, so ist der Sinus, die Tangente und der Sinusversus ebenfalls Null, der Cosinus, die Secantc und der Cosinusvcrsus — 1, die Cotangente und Cosccante aber un¬ endlich groß, nähmlich cs ist rin 0 — 0, tmix 0 — 0, xecO — I, Li'uv 0 - 0, coL 0 — 1, cot 0 — cc>, cvLec O — oo, cosv 0 So lange der Endpunct des Bogens im ersten Cluadranten liegt, wachsen die Functionen und die Cvsunctionen nehmen ab! zugleich sind sie sämmtlich positiv. Wird der Bogen - 80°, so verschwinden der Cosinus, Cotangente und der Cosinusvcrsus, der Sinus, die Cosccante u^ Von der Trigonometrie. 181 der Sinusversus übergehen in 1, die Tangente und Secante end- k'ix. lich werden unendlich groß. In Zeichen ist rin90" —1, taug 90"—22, Loc90" —22, rinv90"-1, cor90"—0, cot90" —0, coLoodO"- 1, cosv90" —0. Den Sinus von 90", welcher unter allen der größte und der Einheit (also dem Halbmesser) gleich ist, nennt man nicht selten den sinus totus (den ganzen Sinus), weil man die übrigen Si¬ nus gleichsam durch seine Theile ausdrückt. II. Uebertritt der Endpunct des BogenS in den zweiten G.ua-ranten; so werden der Cosinus, die Tangente, Cotan- gente und Secante negativ; der Sinus, die Tangente und Se¬ cante nehmen ab, während alle übrigen Functionen wachsen. Bey 180" verschwinden der Sinus und die Tangente, der Cosinus und die Secante übergehen in — 1, der CosinuZvcrsus in 1, der Si¬ nusversus in seinen größten Werth 2, die Cotangente wird—«r, und die Cosecante -i-22. Man hat nähmlich rin 180» -- 0, tnng 180» --- 0, sec 180» --- -1, sinv 180° - 2, cos 180" — — 1, cot180"——22, coscc180"-22, cc>Lvl80" — 1. Ilk. Schreitet der Endpunct des Bogens in den -ritten Quadranten; so ändern der Sinus, die Tangente, die Cotan¬ gente und die Cosecante ihr Zeichen; der Sinus, die Tangente, Secante und der CosinusversuS wachsen, während die übrigen Functionen abnchmen. Wird der Bogen 270", so verschwinden der Cosinus und die Cotangente, der Sinus und die Cosecante verwandeln sich in — 1, der Sinusversus in 1, der CosinuSversuS w seinen größten Werth 2, die Secante wird —22, und die Tangente -j-- 22. Es ist nähmlich sin27O" - — 1 ,tnirA270" — 22, soc270" — —22, sinv 270"—1, coL270°-0, col270"---0, coLec 270"--—1, cosv270"--2. IV. Fällt der Endpunct deS Bogens in den vierten Dua- branten: so verwechseln der Cosinus, die Tangente, die Cotan¬ gente und die Secante ihre Zeichen; der Cosinus, die Cotangente und die Cosecante wachsen, während die andern Functionen ab- 182 Viert e L Hauptstück. k'iss- nehmen. Wird der Bogen 360", so treten dieselben Umstande ein ^MebeyNull. Um die Zeichen, welche die Functionen annehmen, während der Endpunct des Bogens die Peripherie durchläuft, schnell be¬ stimmen zu können, merke man noch Folgendes. Die Smus u. Coseranten sind im 1. u. 2. Quadranten positiv, im 3. und 4. - negativ. Die Tosinus u. Secamen sind im 1. u. 4. Quadranten positiv, im 2. und 3. - negativ. Die Tangenten u. Lotangemen sind im 1. u. 3.Quadr. positiv, im2. u. 4. - negativ. §. 540. Bisher haben wir den Halbmesser des Kreises für die Einheit der Längen angenommen; allein dieses ist dann unthunlich, wenn wir bereits eine andere Linie zu dieser Einheit gewählt haben- Man kann jedoch diesen Fall sehr leicht auf den vorigen zu- rückführen. Denn nach der von uns ausgestellten Erklärung der trigonometrischen Functionen sind die Zahlen, welche die Grefe der Geraden LV,LV; , l'.v ; , (M; ^v, LV in Bezug auf die daselbst zu Grunde gelegte Linear-Einheit/ nähmlich auf den Halbmesser angeben, folglich die Verhältnisse DO iVU M er (M -4V 20 äO / lisi' Itss/ Ul' Hs ' liss? ^6 jener Linien zum Halbmesser, welche nähmlich andeutcn, wie oft in diesen Linien der Halbmesser enthalten ist, respective der Sinus, Cosinus; die Tangente, Cotangente; Sccante, Coftcantti der Sinusvcrsus und Cosinusversus derjenigen Zahl-^-/welche die Länge des Bogens ^rL in Bezug auf den früher zur Längen¬ einheit genommenen Halbmesser oder das Verhältniß des Bogens zum Halbmesser ausdrückt. Es ist demnach ganz allgemein für je¬ den Halbmesser Das eben Gesagte erklärt zugleich den Sinn, den man mit dem Ausdrucke: »LV, LV, u. s. w- sind der Sinus, der »Cosinus, die Tangente u. s. w. des Bogens ^L für den Halb« »Messer lVL«, zu verbinden hat. Will man, wie dicß gewöhnlich geschieht, statt des Verhalt' niffcs des Bogens zum Halbmesser die Anzahl Grade dieses Bogens setzen, welche durch er vorgcstellt werden möge, so erhält man, wenn man zugleich der Kürze wegen _^L- r annimmt, LV r.sin u, LV — r.cos er, ^V1 — r.tnnx a, — r.cod 3, LL —r.8oca, L^I — r.cosecs, ^v — r.sinvL, LV— r.cosvn. Don der Richtigkeit dieser Gleichungen überzeugt man sich 124» auch mittelst der Figur 124. Denn ist in dieser ^L — r, »L- 1, ^LL^-A, so folgen aus dem Umstande, daß LLVn IlLä und ist, die Proportionen LV.HU^LV:Lä--LL:bL und Tel': ar -- (71': Lt - .VL - uL oder LV:8iuu--cv:cosL^r:1 : tanx s—LI:8eca — r: 1, stlglich ist wie früher LV — r.sinrr, LV— r.cosa u. s. w. 184 Viertes Hauptstück. §- 541. 122. Setzen wir den BogenVL —a, und den dazu gehörigen Halbmesser VL — 1; so ist LV — «in n, und LV—cos n. Es ist aber LV--i-LV---KL-, folglich auch I. LIN- L 0- 008- L — 1, cc>8 L — / (1— LIN- L), und sin 3 — / (1 — cos- 3). Es ist gebräuchlich die inte Potenz von sin 3 durch sin"s zu bezeichnen, obgleich man sie eigentlich durch (sinn)'» aus- drucken sollte. Ferner ist in den ähnlichen Dreycckcn LVL und LV1 (tv:VL — LV: VI, oder cos n : sin a — 1 .tLngs; folglich . L'n » I1. tanz 3 — -. eos a Setzen wir 3 — 90", so ist tnng 3 — 22; das heißt, die in dem Puncte V errichtete Tangente kann von dem anderen Schen¬ kel L6 nie durchschnitten werden, und muß folglich mit demsel¬ ben parallel laufen, wenn der Winkel VLL — 90" ist. Eben so ist in den ähnlichen Dreycckcn LVL und LLN, VV:LV--LL:LVI, oder sinn: cosn — 1 :cot3; und folglich III. cot 3 — .- 8IN 3. Endlich ist LV:LL-LV-L^, und LV: LL--LL: lM, das ist, cos 3 : 1 —l'.Lec 3, und Lin 3 : 1 — I : cosoc s , folglich ist IV. sec3 ——— , und cosecn — -—. eoä a 8in 2 Da ferner Vv — LV „ LV, und LL — LL — 66 ist; so ist V. LINV 3 — 1 — cos I., und cosv 3 — 1 — sin 3. Aus diesen Grund - Formeln I. bis V. können noch sehr viele hergelcitct werden, wenn man sie mit einander verbindet. M»l« tiplicirt man z. B. die Gleichungen II. und III. mit einander, st ergibt sich 1 1 VI. turixa.cotL-l, folglich t-wx a- cot L Bon der Trigonometrie. Z8) Verlängert man LV bis L, so ist der Bogen LVL — 2s, LL— Lix. der Sehne von 2 er — cliorän 2 er. Da aber auch LV — sin L und 122. ^-^-LL ist, so hat man VII. Lin er " clrorcl 2er und wenn man er mit^ vertauscht, VIII. clrorci er — 2 sirr a. Wir überlassen die weitere Ausführung dieser Formeln dem eigenen Fleiße der Anfänger, und müssen noch einige andere For¬ meln entwickeln, ehe wir zeigen können, wie man die Sinus, Cosinus, Tangenten, u- s. w., z. B. von Minute zu Minute von 0" bis 99" für einen nach Belieben angenommenen Halb¬ messer in Zahlen berechnen könne. Es ist aus dem Vorhergehenden leicht cinzuschen, daß es nur erforderlich ist, die Sinus und Co¬ sinus bis 45" zu berechnen, um die Sinus und CosinuS bis 90" zu haben. Denn ist z. B. «in 10° und cos 10" gefunden, so ist auch zugleich cos 80" und «in 80" ohne weitere Rechnung bekannt,weil cos 80" — sin (90" 80") — sin 10", und sin80" — cos (90" 80") — cos 10" ist. Sind einmahl die Sinus und Cosinus gefunden, so ergeben sich dir Tangenten und Cotan- gentcn sehr leicht nach den Formeln II. und III. §. 542. Um Formeln abzulciten, mittelst deren der SinuS und Cosinus 12Z. der Summe und Disserenz zweyer Bogen durch die Sinus und Cosinus der einzelnen Bogen sich auSdrücken lassen; sey in einem Kreise, dessen Halbmesser---1 ist, der Bogen VL — n , LL — LV — t>. Bey diesen Voraussetzungen ist VV — a -r- d, A—h, LL sin A, 66 — cos n, V6 sin io, 66 — cos b, VL^sin (n-t-b), 66 — cos (n-l-b), —sin (a Io),VI6 — cos (a—Io). izg Viertes Haupt stück. I'iss. Zugleich ist 123. V1^6k-^I,V, X>I-6I'-60> 6x^ei>-66, 6N--c?^66s^ Ferner geben die beyden (wegen 397) ähnlichen Drepecke LOk und 6W 6P:L6--6I':6L-06:08 oder 68:sin L—08:cos n—cosl>: 1, folglich 01* — sin L ros l>, 0? — cos s cO8 f>. Endlich liefern die (wegen 383. II.) ähnlichen DreyeckeOLL und 61)1,, von denen das letztere dem Dreyecke X6H vollkom¬ men gleich, also 611 —1,1) undXII— 61, ist, die Proportionen 1)1,: 08 61, :LL^-1)6:08 oder DI,: cos N S 8IN k., Substituirt man in den Gleichungen («) die Werthe der in ihnen stehenden Glieder, so findet man 1. sin (a -i- d) — Lin g. coL k -t- co8 n sin k II. 8iii(n — I») — 8in nco8l> — cosasiol, III. cos ( u -t-1) — LOL n cos I> — 810 L LIN I, IV. cO8 (n —1>) — c08 n co8 Ir -i- 8in n sio Ii. Es wird gut seyn zu bemerken, daß man dieselben Ausdrücke auch sehr leicht aus den Gleichungen (1) und (2) in §. 409 erhalten kann. Setzt man nähmlich c — cllorcl 2 iZ — 2 sio , <1 — 2, ferner I> — cliorc! 2 « — 2 sio «, und in (1) .0 — coolst 2 (« -t- /Z) — 2 LIN (« -t- sZ), in (2) L — clorcl 2 (er— ß)—2 sio (« — /?); so findet man die Formeln I. und II. Nimmt man dagegen 1 — cliorä (180—2« ) — 2 sio (90 — «) — 2 cos er und in (2) L —cnorcl (180 — 2 « — 2/?) —2sin (90—« —O) — 2co8 (a-t-ß), in (1) n--- cirorel (180 — 2 a-t- 2 /Z) — 2 «in (90—er-t-lZ) — 2cos («—A) ; so ergeben sich die Formeln III. und IV. Von der Trigonometrie. 187 Diese vicrFormeln kommen in der sogenannten trigonometri-Isix. schen Analysis sehr häufig vor, und sind daher dem Gedächtnisse 123. wohl einzuprägen. §. 543. Setzen wir nun io — a, so ist (vermöge 542.1.). I. siio2a-2.sina.cosa, und folglich siri a . cos a —. sin 2 a. Eben so findet man nach der Formel Hl. (542.). II. cos 2a — cos "a — sin -a oder cos 2a — cos^a — 1 -t- cos "a, nähmlich cos 2a — 2 cos" a—1/ folglich cos-a — . . . ß/l-j-oosSa und endlich cos a — »/ -- Setzen wir ferner in der letzten Formel a —-'-c, so ist Ill. cos-z-c^^-l-oose^ IV. cos c — 2 cos c— 1. Endlich erhalten wir, wenn wir in dieser letzten Formel statt cos^c seinen Werth 1 — sii^-^-c (aus 541. I.) substituircn: V. ' cos c — 1 — 2 sin " c, und VI. sin H c Die eben entwickelten Formeln IV. und V. werden uns- in der Folge sehr gute Dienste leisten. So z. B- findet man mit Hülfe der Formel V, daß II. siiov c — 2 sin " c ist. Denn es ist (§. 541. V.) sinvc—1—cosc, und folglich sinv c—2sin"-2- c, wenn man statt cos c aus V. seinen Werth substituier. Wenn man nun in den Formeln (§. 542. I. und III.) Io—2a setzt, und statt sin 2 a und cos 2 a die eben gefundenen Werthe l. und II. subsiituirt; so erhalt man für «in 3 a und cos 3 a die zu¬ gehörigen Werthe, nähmlich sin 3a—3sina.cos"a— sin Va , cos 3 a —cos^a —3cos a.sin" a. Eben so kann sin 4 a, cos4a 188 Vierter Hauptstück. kzss. gefunden werden, wenn man in eben diesen Formeln (§. 542. I. und III.) d — 3 L, und für «in 3u, cos 3 a ihre Werthe setzt; u. s. w. §. 544. Nun sind wir im Stande einzuschcn, wie man die Sinus und Cosinus aller Bogen von 0" bis 80", etwa von Minute zu Minute berechnen könne. Man setzt nähmlich bey dieser Berechnung den Halbmesser — 4—si-r 90". Denn daraus folgt erstlich sin 30" ——0,5, weil sin 30" — cliorcl 60" (vermöge §. 541. VII.) ist. Es ist aber cfiorä 60" — dem Halbmesser (393. II.) — 1; folglich ist auch «in 30" — -7-. Sodann ist cos 30" —4/3, weil cos 30" — / (1 — sin^30") — / (1 — -/) — /4 -----/ 3 ist. Diese Größe 4 / 3 ist zu¬ gleich sin 60"; nähmlich cs ist sin 60" — 4/ 3, und cos 60" — 4> weil 30" und 60"einander zu 90" ergänzen. Ferner ist sin 18" —4- ( —1 -1- 5). Denn es ist sin 18" — ^-clrvrcl 36" — der halben Seite eines regelmäßigen Zehn¬ eckes, weil die Seite eines regelmäßigen Zshneckes einen Bogen von 36" abschncidet. ES ist aber die Seite eines regelmäßigen Zehneckes — 4 (— Io-/ 5) , wenn man den Halbmesser — I setzt (409.) ; nähmlich es ist ckorä 36" —-/. ( —1 0- / 5), folglich ist sin 18" —-^-. ( —1-1- / 5) — cos 72". Daraus folgt 008 18" — / (10 -j- 2 / 5) ; weil cos 18"— / (1 — sili"l8") - / (4-4- (-10-/5) -1--/ d-^-i-^/5-^) --/ (4^4^ 5)/(10 0-2/5) ^sm 72" ist. Eben so ist sin 45"--/(/6—/2), und cos 45" — 4(/6-i- t/ 2). Denn cS ist (§. 543. VI.) sin 45"-si»4^Ö" - / (4-4 008 30") -- V (-'---5-.4 /3) --4 /(2-/3) —/. (/ 6 — / 2) — ro8 75". Daraus folgt cos 15"— / (1— 8M' 15") — /-11—4 (/ 6— /2) — /(1 —4-1-4 /12 — 4) -4-/(8-e-4 /3)--4(/6-t-/2) - 8in 75". Aus rin 18" und cos 18", sin 15" und cos 15" findet man nun (nach den Formeln II. und IV. §. 542.) sm (18"—15»)- sin 3", und auch cos (18" —45") -- cos 3". Es ist nähmlich Kott ber Lrlgonsmetne. 189 chn 3°--/ . s/ 30 -1- / 10 - /6- / 2 -2 /l5-i-3/5 4- 2/5-1-/5) — 0,052335956243; und cos3°--- /.//30 — / 10 — / 6 -I- /2 4-2/15-1-3/5-1- 2 /5 -1- /51 -- 0,998629534755. Aus diesen wird endlich (nach den Formeln §. 543. III. und VI.) «in 1/o und cos 1/°, und dann Lin/» und cvL/° gefunden- Darauf wird (nach den Formeln §. 542. I. und III.) Lin (1/»-t-/°) — 8in2/° und auch 00L 2/°, ferner «in 3/0, Lin 4/o, sin 5/o, «in 6o, sin 6 °-»... nebst cvL 3 /o, co8 4/», cc>8 5/o, cos 6", cvL 6/», u. s. w- bis «in 45o und cvL 45° be¬ stimmt, und in Zahlen entwickelt. Auf diese Art kommen endlich die Sinus und Cosinus von 0» bis 90° von / zu / Grad zum Vorschein, wenn man die Rechnung nur bis 45° fortfetzt. Da überdicß sin 45° auch aus anderen Gründen bekannt ist, (eS ist nahmlich sin 45° —/clioiä 90° — der halben Seite eines einge¬ schriebenen Quadrates — // 2, und auch coL 45° — // 2 — 0,7071067812); so dienet dieser Umstand zugleich zur Probe, ob bcy der Berechnung der Sinus und Cosinus kein Fehler-cingcschli- chcn sey. Diese Sinus und Cosinus von / zu /Grad von 0° bis 90° sind alle außer «in 90° und sin 30" irrational, und lasten sich nur durch Annäherung so genau in Zahlen berechnen, als man es immer verlangen kann. Damit man nun die Sinus und Cosinus für alle einzelnen Minuten erhalte, ist es nothwcndig vorerst sini' zu finden. Diesen erhält man auf folgende Art. Aus dem mn/» —«in 45^ findet man (nach der Formel §. 543. VI.) xin -/, dann sin"/, ferner sin/, aus diesem Lin// endlichen-/—0,000409061532 und darauf sin / — 0,00020453077 Nun zeigt sich Key dieser Berechnung, daß der sin / in so weit der Hälfte vom «in gleich ist, so n>ie genau LcrHälfte vvi// gleich ist, daß der Feh¬ ler keinen zehntauscndmillionten Theil des Halbmessers oder we¬ niger als 0,0000060001 beträgt. Aus diesem Grunde kann man schließen, daß zwischen §/ und -/ bey dem angenommenen Halbmesser die Sinus mit dem dazu gehörigen Bogen in Propor¬ tion stehen, und findet rin 1^ durch folgende Proportion; i/:1' - sin/^Lin 1'; das Ist ^/.-1' ---0,00020453077 :Li'n1< Itzss Klertcs Hauptstück. ll?lg. und somit sirr . 0,00020453077 0,000290888206. Da jetzt sin 1/ bekannt ist, so kann man die Sinus und Co¬ sinus für alle einzelnen Minuten von 4/ bis 90° (nach den Formeln §. 542. I. und III.) berechnen. Es gibt sehr viele Vortheile, durch welche diese sehr beschwerliche Arbeit um vie¬ les abgekürzt und erleichtert wird. Allein es ist hier der Ort nicht diese Vortheile aus einander zu setzen. Aus den gefundenen Sinus und Cosinus wird man die Tan¬ genten und Cotangenten nach den Formeln tanga — und coca — sehr leicht durch eine bloße Division berechnen. Die LängendieserLiuicn hat man in eine Tafel eingetragen,und überdieß noch zur größeren Bequemlichkeit zu denselben die entspre¬ chenden gemeinen Logarithmen bestimmt, und ebenfalls in Tafeln eingetragen. Um jedoch die für die Rechnung und tabellarische Zusammenstellung unbequemen negativen Logarithmen zu vermeiden, hat man die Logarithmen aller die Einheit nicht überschreitenden Functionen um 10 volle Einheiten vergrößert. Die Tafeln, in denen sich die trigonometrischen Functionen befinden, sind unter dem Nahmen der trigonometrischen Tafeln hinlänglich bekannt. Die älteren dieser Tafeln enthalten gewöhn¬ lich sowohl die Functionen als ihre Logarithmen in sieben Deci- malstellen; von den neueren biethcn jedoch einige bloß sechs oder fünf Stellen, wodurch sie viel geschmeidiger werden und dennoch für die meisten Rechnungen vollkommen zureichend bleiben. In einigen trigonometrischen Tafeln befinden sich auch die Secanten nebst ihren zustimmenden Logarithmen. Allein diese sind in der That entbehrlich, weil srm a — —-—, log soc s — eos L — log 008 n, und coboc a — / log cosec L —— log sinn Sill a ist. Wenn nun zu einer gegebenen Secante h der dazu gehörige Bogen u zu suchen, nähmlich wenn aus der Gleichung sec n —b der unbekannte Bogen u zu finden wäre; so setze man nur ll 1 — woraus c-0L n—-^-folgt. Man suche demnach nur IN Lott der Ltigonoinetrie. 191 den trigonometrischen Tafeln in der mit oosinus bezeichneten Spalte kix. die Zahl auf, so sind die dazu gehörigen Grade und Minuten der gesuchte Werth von u. Sollte in der Tafel die Spalte oosinus nicht anzutreffen seyn, so suche man dieselbe Zahl -sinder Spalte sinn« auf, und ziehe die dazu gehörigen Grade und Mi¬ nuten von 90" ab; der Ueberrest ist der gesuchte Werth von u. Eben so kann zu einer gegebenen Cosecante, und zu einem gege¬ benen 1o§ SLL, IttA cosec, der dazu gehörige Bogen gefunden werden. Aus derselben Ursache sind die Sinusversus entbehrlich, weil sinvers n — Zsin?-^ a , loss sinvers 3 —2lox sin-^n-s-Io^ 2, und IoZ sin L —(lox sinvers 3 — Iox2) (vermöge §. 543. VI l.) ist. §. 545. Die Sinus und Cosinus von 0° bis 90" lassen sich durch unendliche Reihen viel leichter berechnen, wie dieß aus dem Folgenden erhellet. Es ist (nach 451.), wenn man CO — CV — 1, (M —x, 87. und bas Längenmaß des Bogens VL — r setzt, „ , l.x^ , 1.3.8>x7 X — X -4- -— —I— . -4— — -4^. , - 2.3 2.4.5 2.4.6.7 Aus dieser Gleichung findet man (nach 288.) 2^ 2^ X X - - -1-—- -t- .. . 2.3 2.3.4.5 2.3.4.5.6.7 Es ist aber x — sin?, weil x — -- Ur — sin VI» — sin 2 ist. Folglich ist sin r —r-— -I-Ci---1-... 2. z 2.3.4.2 2.3.4.5.6.7 Es sep z. B. 2. -- nr-c 1' --0,0002908882, indem man den Halbmesser —1 annimmt; so ist 'sin are nähm- lich sin 0,0002908882 auch in der zehnten Dezimal-Ziffer noch vollkommen richtig, weil alle übrigen Glieder selbst an der eilften Stelle noch keine bedeutende Ziffer geben. Auf diese Art z 92 Viertes HauptstüS. können die Sinus von sehr vielen kleinen Bogen, etwa bis 8" oder 10", von Minute zu Minute berechnet werden. Da ferner cos 2 -h/ (1 — sin-2) ist; so ist auch cOS2 —1 — -l- 2,3.4.— Li 3.4.576 wenn man den Werth von «in 2, nähmlich die gefundene unend¬ liche Reihe zur zwcyten Potenz erhebt, dieselbe von 1 subtrahirt, und sodann die Quadrat-Wurzel zieht. Durch eben diese Reihe könnten die Cosinus von sehr vielen kleinen Bogen, etwa bis 10° berechnet werden, welche zugleich die Sinus von 80" bis 90" waren. Damit die zwey gefundenen Reihen bey der Berechnung der Sinus und Cosinus von größeren Bogen eine bequemere Gestalt erhalten, so müssen dieselben auf folgende Art eingerichtet werden. Man setze bey dem angenommenen Halbmesser 1 die Länge IN . . m des Bogens von 90" - c, und 2 — . c; so ist sin 2 — sin -^.c, IN . .IN und cos 2 — cos . c oder sin 2 — sin n 90", und o" N inb n" c" in'r '2 ist»' ^7ös^ IN? 273.4.5 »2 L..7 in" c" ist« ' H C0L2-cos 90», weil der Bogen c — 90° ist. Nun substltuire man in den gefundenen zwey Reihen sin SO" statt sin2, co 90°statt cos2,und . c statt 2, .c" statt 2",u.s.w.; seist . NI IN rin — 90" — —. c — n n IQ ,112 cos-90°-1 — Es ist aber, da der Halbmesser — I gesetzt worden, der Bogktt von 90 Grad c--^-?r, nähmlich cs ist c — 1,57079632679, 1,23370055014, ^- 0,64596409751, u.s.w.; folglich ist auch naä) gehöriger Substitution Won der Trigonometrie. IS3 co5 - 90° --1 Wäre nun nach diesen Formeln z. B. rin 9° zu berechnen, so setze man '-2-90°- 9°, näh mlich ^7 substituire ^--sta" so wird man sogleich 8rn 9° — 0,15643446504 erhalten, wenn man nur zwey positive und zwey negative Glieder der vorhergehenden Reihe entwickelt. Wäre «in (59° 30,) —008 (30° 30,) zu entwickeln, so müßte man „ 90 ° DI 61. 61 - 30° 30, -- 304-" -- , nähmlich -7- -- E l-^n/ und in der zweyten Gleichung statt substituiren, und so würde man sehr geschwind eos (30° 30,), nähmlich «in (59°30,) erhalten. Vega Mach. B. II. 13 194 Vierter Hauptstück. Da in diesen beyden Reihens nie größer werden kann alr-^- (wenn man nähmlich sin 45», oder auch co8 45° berechnen will, muß gesetzt werden); so ist leicht einzusehen, daß diese Reihen sehr schnell abnehmen, und daß folglich die Sinus und Co¬ sinus auf diese Art leichter zu berechnen sind, als nach der vori¬ gen Methode. §. 546. Die Sinus und Cosinus, welche man sowohl durch das frü¬ her angegebene Rechnungsverfahren als auch durch diese unendli¬ chen Reihen erhält, gehören zu einem Kreise, dessen Halbmcsser- l ist, oder sind die eigentlichen Sinus und Cosinus der Bogen oder Winkel, denen sie angehören. Wollte man, wie dieß in mehreren Anleitungen zur Trigonometrie zu geschehen pflegt, die trigono¬ metrischen Functionen auf einen anderen Halbmesser als 1 bezie¬ hen, so würde man sie nach den am Schlüsse des §. 540 stehen¬ den Gleichungen mit dem gewählten Halbmesser multipliciren. Sollen aber, wie es bey dem Gebrauche mancher älteren trigono¬ metrischen Tafel nothwendig wird, die auf einen beliebigen, von 1 verschiedenen Halbmesser bezogenen trigonometrischen Functionen auf den Halbmesser 1 zurückgeführt werden; so sind sie durch jenen Halbmesser zu dividiren. Z. B. Wenn man in einer Sinus-Ta¬ fel den Halbmesser r —10000000 und sin 1/ — 2909, tsn^89" — 572899620 findet, so ist, wenn man den Halbmesser—1 M/ sini/-- 0,0002909, tLux 89»--57,2899620, u. s. w. §. 547. Der Gebrauch der trigonometrischen Tafeln läßt sich am be¬ sten erlernen, wenn man eine solche Tafel zur Hand nimmt, und sich zuerst mit der Einleitung, welche diesen Tafeln beygefügt ib/ dann auch mit der inneren Einrichtung derselben bekannt macht- Hiezu dürfte vorzüglich dienlich seyn, mein Logarithmisch-tri¬ gonometrisches Zandbuch, anstatt der kleinen vlacqischen,N)ol- stschen, und anderen dergleichen meistens sehr fehlerhafte" logarithmisch-trigonometrischen Tafeln, für die Mathem«-' Von der Trigonometrie. 195 tik-Beflissenen eingerichtet; Leipzig in der weidmännischen kig, Buchhandlung. Denjenigen, welche sich mit der ausübenden Mathematik beschäftigen, dürften meine Logarithmisch-trigo- nometrische Tafeln; nebst anderen zum Gebrauche-er Ma¬ thematik eingerichteten Tafeln und Formeln in zrvey Ban¬ den, Leipzig in der weidmännischen Buchhandlung, sehr nützlich seyn; sowie diejenigen, welche äußerst feine mathemati¬ sche Berechnungen zu machen haben, meine vollständige Samm¬ lung größerer logarithmisch-trigonometrischer Tafeln (llchesau- rus lossLrilchiuorum completus in ffolio) Leipzig in der weid¬ männischen Buchhandlung 1794 hiezu geeignet finden dürften. Außer diesen können auch noch folgende Tafeln empfohlen werden: Rubles portative sie Io»Lritlmi68 pur b. Oullet; odit, stereotype, Puris; Logarithmisches Handbuch von I. Lindner, 2-Ausl. Wien; Cables ste losssritlnnes pur .1. cle puIsnclL, Puris. Die vorletzte dieser Tafeln gibt die Logarithmen in 6, die letzte nur in 5 Stellen an. Jeder dieser Tafeln ist eine Anleitung zu deren Gebrauche beygefügt. Aus dieser Ursache merken wir hier davon nur Folgendes an. I. Zu einem Winkel oder Bogen, der nebst den Graden und Minuten auch Secundcn enthält, findet man in den Tafeln, die nur von Minute zu Minute berechnet sind, die zugehörige trigo¬ nometrische Linie oder ihren Logarithmus (mit einem Worte die trigonometrische Function) im Allgemeinen auf folgende Art: Man nehme vorerst die den angegebenen Graden und Mi¬ nuten entsprechende Function unmittelbar auS der Tafel, und stelle dann die Proportion auf: 60 Secunden verhalten sich zu den gegebenen Secunden, wie die Differenz der Functionen von dem nächst größeren und nächst kleineren Winkel in den Tafeln sich zu einer 4ten Proportional-Zahl verhält. Diese gefundene Proportional-Zahl wird nun zu der Function des nächst kleineren Winkels addirt, wenn mit den Winkeln auch die Functionen wachsen, oder davon abgezogen, wenn die Functionen abnehmen, während die Winkel wachsen; und das Resultat hievon ist die gesuchte Function von dem gegebenen Winkel, der nebst den Graden und * 13 196 Viertes Hauptstück. HZ. Minuten auch Secunden enthält. Ist insbesondere der Loga¬ rithmus einer trigonometrischen Function, welche die Einheit nicht übersteigt, zu suchen, so ziehe man von dem durch das eben er¬ klärte Verfahren gefundenen Logarithmen (wegen §. 544) die überschüssige Zahl 10 entweder wirklich ab, oder zeige die Sub- trackion bloß an, oder endlich, was das Beste ist, man behalte nur stets im Gedächtnisse, daß ein solcher Logarithme um 10 zu vermindern ist. Z. B. Es sey zu suchen Io§ siu (53" 28- 54"), so ist Io§ «in (53" 290 — 9,9050852 und Io§ sin (53" 280 — 9,9049916, Differenz für 1/ oder 60" .... — -t-936, folglich 60": 54" — 936:x, nähml. x — 842 und weil . . . sin i^53" 280 . . — 9,9049916 die vierte Zahl x wegen . . . 54" — 4-842, so ist . . . . 1c>Z sin (53»28'54") — 9,9050758. Jngleichen es sey zu suchen Io§ cot (53» 28' 54"), so ist 1o§ cot (53» 290 -- 9,8694731 und .... InK cot (53" 280 — 9 ,8697372^ Differenz fürl' oder 69" .... — — 2641, folgt. 60": 54"-- — 2641:x, nähmt, x-- — 2377 und weil Ic>§ cot (53» 280 — 9,8697372 die vierte Zahlx wegen . . . 54" — — 237 7 so ist. . . . Io§cot(53"28'54") - 9,8694995. II. Zu einer gegebenen trigonometrischen Function, die in den Tafeln nicht genau anzutreffen ist, wird der dazu gehörige Winkel oder Bogen in Graden, Minuten und Secunden auf folgende Art gefunden: Man schreibe zuerst aus der Tafel diejenige Anzahl von Gra¬ den und Minuten ab, welche der kleineren von jenen zwey Func¬ tionen entspricht, zwischen denen die gegebene Function liegt; dann bilde man die Proportion: Die Differenz der nächst größeren und nächst kleineren Function in den Tafeln verhält sich zu der Differenz zwischen der gegebenen und nächst kleineren Funtion, wie sich 60" einer 4ren Proportional-Zahl verhalten. Diese 4te Proportio- Von der Trigonometrie- 197 nal-Zahl gibt eine Anzahl von Sekunden, die man zu denGra- I'cZ. den und Minuten der nächst kleineren Function addirt, wenn mit den Winkeln auch die Functionen wachsen, oder davon adzieht, wenn die Functionen abnehmen, während die Winkel wachsen. Wäre die gegebene Function ein negativer Logarithmus, so würde man ihn (wegen §. 544) wenigstens in Gedanken vorläufig so einrichten, daß von seiner positiven Ka¬ rakteristik die Zahl 10 abgezogen werde, d. h. man wird einerseits zu ihm die Zahl 10 addircn, und anderseits dieselbe wieder von ihm abzichen. Es sey z. B- 9,8807832 der Logarithmus des Cosinus eines gewissen Winkels, so findet man in den Tafeln, daß der zu¬ gehörige Winkel größer als 40" 32', und kleiner als 40" 33' ist. Denn es ist. . . loZ cos (40" 33') --- 9,8807215 und.los cos (40" 32') - 9.8808296, Differenz für 1' oder 60".- — 1081, der gegebene Logarithmus.— 9,8807832, der nächst kleinere log cos (40" 33') — 9,8807215 Differenz. ..— 617, folglich—1081:617—60":xnähml.x — — 34", da nun der nächst kleineren Function 40" 33' und der 4ten Zahl x entsprechen — 34", so ist der gesuchte Winkel oder Bogen — 40" 32' 26". Jngleichen es sey 10,1948376 der Logarithmus von der Tan¬ gente eines gewissen Winkels so ist . . ..log taug (57" 27') — 10,1949767 und.log taug (57" 26') — 10,1946981 Differenz für 1' oder 60".— -t-2786, der gegebene Logarithmus 10,1948376 der nächst kleinere log lang (75" 26') --- 10,1946981 Differenz.— 1395, folglich 2786 : 1395 --- 60" : x nähml. x -- 4-30", da nun der nächst kleineren Function 57" 26' und der 4ten Zahl xentsprechen 4- 30", so ist der gesuchte Winkel oder Bogen -57° 26' 30". 198 Viertes Hauptstück.' kix. Der Grund der angeführten Proportion liegt in Folgendem. 124. Es sey NlX — arc 1^ — arc 60", und Nm—arc x", z. B. Nm— Arc 25", so kann NiulX für eine gerade Linie angesehen werden; dann ist das Dreyeck Nnm v-NxlX; folglich Nl^: Nm—plX:nm, nähmlich 60" verhalten sich zu x" — klX — tzN (die Differenz der Functionen z. B. der Sinus) sich zu nm verhält, welches gefundene nm zu tzN addirt wird, um 8m als den Sinus von km zu erhalten. Jngleichen plX: nm — NiX : Nm, oder ItX—tzN:8m—tzN--60".x", und diese gefundenen x" werden zu kN addirt, um km zu erhalten; u. s. w. Da ferner bey sehr großen Zahlen und bey kleinen Unterschieden derselben sich die Differenzen der Zahlen so gegen einander verhalten, wie die Differenzen ihrer Logarithmen; so gilt die eben angeführte Proportion auch von den Logarithmen der Functionen jener Winkel, welche um eine sehr kleine Größe (hier nicht über 60 Secunden) von einander unter¬ schieden sind. Diese Proportion ist bey den Sinus und Cosinus aller (gro¬ ßen und kleinen) Winkel, so wie auch bey den Tangenten von allen Winkeln unter 45°, so gut als vollkommen richtig. Bey den Tangenten und deren Logarithmen nahe bey 60°, bey den Logarithmen der Sinus und Tangenten von kleinen Winkeln hingegen entfernt sie sich etwas von der Wahrheit, und zwar hauptsächlich, wenn man zu dem Winkel die Lunction sucht. Aus dieser Ursache ist es sehr gut, sich mit solchen Tafeln zu versehen, in denen (wie in jenen von Lallet) die trigonometrischen Functionen für die ersten 3 oder 4, und auch für die letzten 3 oder 4 Grade des Quadranten von Secunde zu Secunde oder wenigstens von 10 zu 10 Secunden berechnet sind. §. 548. Wir wollen aus den (542.) gefundenen Gleichungen noch einige Formeln herleiten. Zu diesem Zwecke suchen wir die halbe Summe und Differenz zuerst von den Gleichungen III. und IV- dann von den Gleichungen I. und II., wodurch wir folgende For¬ meln erhalten: Non der Lrigonsmetrie. IAA I. sina sink —cos (3—5) —cos (a-l-k) , ki§. II. cos» cos b —cos (»—!>) cos (a-l-k) , III. sina cos 5 — 4-sio (a-t-b)-r-^-siu (L —b), IV. siasicoss. ---^-sin (a^l-I>)—rin (L — !>). §. 549. Setzt man in diesen 4 letzten Formeln a-l-si-p, und a—k—q, nähmllch-r^4-(p-^ci),und —ci); so ergeben sich nach¬ stehende 4 Formeln: I. siir p -t-sinq — 2sili-^-(p-l-q) cos-^-(p— q) , auslll. II. sin x —sin q -- 281» ^- (p— q) cos-^- (p -I- q) , aus IV. III. cos q -j- cos p — 2 cos (p -t- ' man, wenn man den Zähler und Nenner durch dividirt und auf die Gleichung II. §. 541. Rück- 200 Viertes Hauptstück kix. renz zweyer Bogen durch jene der einfachen Bogen auszudrücken. Denn es ist tanx (Lssch) folglich hat cos Leos ft ficht nimmt: I. t^(.-t-ft) 1— riillgLtSIIAÜ II. Iwz c--I» 1-j- t3n^ a tan^d Hieraus findet man nach der letzten der Gleichungen VI. §. 5)1. III. cot. (a-t-ft) - ^"8-^"^ tanA s lang t> IV. cot (a-ft) -- ^t^-ir a ^d tsiiA s — tan^; t> Nun setze man in I. und III. ft - L, so ist V. ta^2-e- - und VI. cot 2a-- ^2^, 1 — tsiig^ L L tsng a Anmerkung. Aus den bereits entwickelten Formeln können noch viele andere hergeleitet werden, wenn man sie ferner durch Addition, Subtraction, Multiplikation, Division und Sub¬ stitution miteinander verbindet; wenn man einen Bogen a, oder ft, oder p einmahl — 90°, ein andermahl — 0°, einmahl—30", ein andermahl—45°setzt; und sich dabey erinnert, daß 8in90"-ft c08 90° —0, 8in0° —0, cos0° —1, sin 30° —-2, cos 30" — ^-/3, 8in 45° — co8 45° 2, tnux 45°— 1 ist, u. s. w. Daß tLnZ- 45°-list, erhellet auch 124. daraus, daß das Dreyeck ^.16 gleichschenkelig, und folglich V! - - dem Halbmesser ist, sobald man den Bogen oder den Winkel 45° fttzt. Alle diese bisher entwickelten, und noch mehrere andere trigonometrische Formeln, welche bey dem Gebrauche vorkommen können, sind im Anhänge diesem Lehrbuche beygcfügt, damit man sie alle überblicken, und bey dec Anwendung sogleich die nörhigen auswählen kann. Die fähigeren Anfänger können ihre Kräfte versuchen, um sich von der Richtig' keit derselben zu überzeugen. Von der Trigonometrie. 20L 2.3 2.3.4.S 2.3.4.5.6.7 Aus dieser Gleichung findet man 2 — x ^-x" -t- . . . wenn man 2 — -t-Lx^ L x -t- Ox 7 . setzt, und nach (288.) die unbekannten Coefficienten 1, L, l), O . . bestimmt. Da nun X—tunxr ist, so ist umgekehrt 2 — nrc tLi^ X, folglich 1 1 1 1 1 orc tsiiA x —x— -^x' -I- -^-x^ — x? -t- x^ —— x" 4- .... (3->-)x , (7-Sx2)x- , (11-9x-)xS , 173 " H" 9. 11"" . III. Diese Reihe läßt sich mit sehr großem Dortheil zur Be¬ rechnung der von uns mit n bezeichnetenZahl benützen, welche das Verhältniß der Peripherie des Kreises zu seinem Durchmesser, folglich auch die Länge des halben Umkreises vom Durchmesser 1 anzeigt. Zu diesem Zwecke setzen wir für oro tongx einen Bogen, dessen Verhältniß zum Umkreise sich leicht ausdrücken läßt, und dessen Tangente x eine einfache, die Einheit nicht übersteigende Zahl ist. Dazu eignen sich die Werthe §. 553. r- I. Wenn man einen Kreisbogen— 2, und seinen Halbmesser -1 setzt, so ist tLngr---; folglich auch (vermöge 545.) —— — —1— . . . . - —— . > -- —1— ... 2.3 2.3.4. 3 2.3...7 tLNK 2 — -- 2- -6 , 4 4--k-— .—-. 2 2.3.4 2.3.4.5.6 und endlich nach verrichteter Division 2,s 16-^ , 2722? 7936-» 2117 ZZ71 Eben so kann cot - durch eine unendliche Reihe ausgedrückt werden. Diese zwey Reihen könnte man dann eben so einrichten, wie es (545.) Key dem 8in 2 und cos 2 gezeigt worden ist, wenn cs erforderlich wäre, die Tangenten und Cotangenten zu berechnen. II. Setzt man iungr —x, so ist 2-r I62S 272-7 202 Viertes Hauptstück. n arc tanz' x — arc 4c»o - , x — 1, -s 1 arc tanz x-arc 30" — x- Substituirt man den ersten Werth x — 1 in die Gleichung (1), so erhält man die von Leibnitz zuerst angegebene Reihe iii ---4(1- " ('n 'N ssll -t- ' . 1 l/^3 Au dem zweyten Werthe x - - 2-- findet man -- - 2 /3 (1 -t- gr 7.gs -t-..- -16/3 g gl Z 7 gs 'l- Zu -t-.... Dieser Reihe, auf welche I^azn^ seine Bestimmung der Zahl -- gründete, kann man auch die Form ertheilen 1 /16^3X , 2 /16^3 X , 3 /16^3 X , ^^1.3'^ 3l /^S.7'V 3» ^^g,1l'^ 3- 4 / 16^3 X 13.15 ' V 3^ / woraus, wenn man nach der Ordnung die in Klammern einge¬ schlossenen Glieder mit H., L, 6, v, ... bezeichnet, V L 6 v 1 /16^3X 2 /^X 3 /'S X 4 /6> "" 1.3 3 5.7 S.11 IZTlS'^!S/ L 5 /v X -I-. tl 17 .19 V 9/ gefunden wird. Durch diese unendliche Reihe, die sehr schnell abnimmt, könnte der Werth von -r sehr leicht berechnet werden. IV. Setzt man (§. 552. II.) in der Gleichung tanz (a—-b) tanga- lang b 1-l-tangalsngb tanga-«, tanzb-jZ, als» a-arctanz-r,Ii — arc tanz /Z; Bon der Trigonometrie. 203 so ist dANZ (n —b)- , folglich n-si-nrct-rug —; und daraus ergibt sich arctang ce — grctÄNK st -I- orc tMg (2) Würde insbesondere st --- folglich st — so hätte man LL _ _4 _1_ s /1 , , 2" arc tanZ- ^---2arc tanss - (Z) Mittelst dieser zwey Gleichungen läßt sich ein Bogen, dessen Tangente gegeben ist, in zwey andere zerlegen, deren Tangenten kleiner als die gegebene sind. Wendet man diese Zerfällung der Bo¬ gen wiederhohlt an, so hat man es, wie man leicht sicht, ganz in seiner Gewalt, ungemein convergirende Reihen für die Berechnung der Zahl -r sich zu verschaffen. Das hiebcy anzuwendende Verfah¬ ren möge man aus folgenden Beyspielen entnehmen. 1. Beispiel. Es ist— arctgl-orctx^- -l- nrc t°- T o /s 1 i —arc tg -t- are tg^-, Diese Reihe wurde von Euler angegeben. Zerlegt man arc neuerdings, so hat man 1 1 i/>—l/ nrctLn^ — nrc taux -t- nrc tonx 1 1 — orc taug -I-arc — folglich — 2 nrc t»ng -t- arc 204 Viertes Hauptstück. I'ix. oder — — 2 -4— -r, —_1- . V_. > 4 V. 3 3.3^ 5.3^ 7.3^ ' 9.3« 11.3" 'V /1 1 1 1 1 1 1 ^t.7^3.7» ^3.7» 7.7? ^9.7« 11.7" "/ und, wenn man in dieser Gleichung jede zwey neben einander stehende Brüche auf gleiche Benennung bringt, und schicklich reducirt; l /^x S8 /^,X -t- I o) s.7 'V SV S.11 ' i ) 73 /IX 169 /IX 26Z /IX, ? 1.3 ' ^7V 5.7 ' S.11 ' ^7^ oder, wenn man nach der Ordnung die in Klammern eingeschlos¬ senen Glieder mit -X.,'8, 6 , D, .... n, k, c, ä,... bezeichnet, ^.8 L v Diese doppelte Reihe (obschon die Zähler der Glieder um eine beständige Differenz, in der ersten um 32, und in der zweyten Reihe um 96 wachsen) läuft sehr schnell zusammen, und hat da- bey eins gute Gestalt, die Annäherung zu dem Werthe vonn, wenn er noch nicht berechnet wäre, so weit zu treiben, als man cs nur immer verlangen kann- Um z. B. den Werth von -r in 127 Dreimal-Stellen richtig zu erhalten, muß man die Glieder einer jeden Reihe wenigstens in 128 Dreimal-Stellen entwickeln. Man findet auf diese Art 3,14159 26535 8979Z 23846 26433 83279 5 0288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46 ... wo jede Decimal - Ziffer mit Einschluß der 127ten richtig ist/ wie ich mich durch wiederhohlte Berechnung nach einer anderen im nächsten Beyspiele folgenden Formel laut meines Uresaurus 8oA3ritkim. ImpsiLo 1794 PLZ'. 633. überzeugte. Dabey kommt noch zu bemerken, daß dieZifser der 113tcn Decimal-Stelle8,aber nicht 7 scyn muß, wie man es sonst in allen mathematischen Schrif¬ ten, wahrscheinlich nur als einen Schreib-oder Druckfehler findet. Von der Trigonometrie. 205 2. Leyspiel. Man findet auch 13 1 17 -- srctgl—nrctg-^-i- -M tZ i — 2arc iss -^- arctss — 1 44 . 1 , 191 - 3 .ML tg -- -i- ML tx - 4-n-c -^-4- .ML tg — . 1 r 237 --2Lrcts- -i- arctA Um auch nostsarctunx aufzulösen, wird es gut seyn, sich der Gleichung (3) zu bedienen, da I /. / 237 X? z/97Ö94Z6-j-56169 9765625 3125 r V.3146/ — Ä16 " 3116 3116^ folglich Mc Inng — 2 arc: tanx — Z arc t-Mix ist. Man hat demnach « „ 1 3 ^7 — 5 src lang — -1- 2 Lrc taug , und ^/73 . 169 , 265 361_ >) 7, --- 8 ( 13.7» 5.7.7^ 9.11.7» 13.15.7»s ""/ s j /31.9357 3S.21821 3^.34285 f Xi.3.79^ 5.7.79^ 9.11.79» . /1 Z. Beispiel. Nach einer anderen Zcrfällung ist n 1 2 1 7 — nrc 1§ 1 — arc -4- arclZ—2arc1§-^--8 3rc1Z — „1 9,1 1 - 3nrc t§ ^--4-nrctss — — 4 s.rc Iz^--MLiA-^-, und dadurch ergibt sich die von Lerirnnä zuerst gebrauchte Reihe ^—^/2 2» LS. 2? , > V 10 3.10» 5.105 7.107 / -4^__ 4-...") V 239 8.2392 5.239S 7 239^ / Löst man ArctLMA-^ neuerdings auf, so findet man arc tx tg 1- nrc tx 2 Mtss — src t- , folglich — Zarctx —4src1x-^- — arc tZ- , und dar¬ nach die von Auzengeiger angegebene äußerst convergirendcReihe n 1 206 I'iss. Viertes Hauptstück. 1 '3.10» 1 __...t V. 515 3.515» 5.515» / 4^ .. V V. 239 3.239» 5.239» / Auf dieselbe Weise erhält man auch 4k 4 1 — 2 Lrc tLirx — -t- Lrc tLng — « 1 . 11 103444 - 7 arc tsng - -1- Lrc tLng - src tsng 4. Beispiel. Eine andere interessante Benützung der Glei¬ chung (2) läßt sich aus Folgendem ersehen. Es ist i i arc tsng 4 — arc tung 4- Lrc taug I 1 . 1 arc tLiig — Arc tLng 4- arc tung — 4 1 4 1 t Aic taug — Arc tLng 4- Arc tsng — — arc tLiig-- 4- Arc tsnss-^ 111 Lrc taug i — Lrc tsng 4- src taug — I1 i i 1 src tung — src tang — 4- arc tLng — — Arc tang-^4- arc tsng^ . 1,1 1 Arc tung — — Arc tLiig — 4- Arc tLng — 1 1 1 1 4 Arc tang — — Arc tang 4- src tang — src tg 4- arc Iss u. s. w. ---arctg^4-Lrctg^ Verbindet man diese Gleichungen zweckmäßig mit einander, so erfolgt ?r 111 1 — 2 arc tx— 4- Arc --- 2 arc 1g— 4- src tg — 4- 2 arc tK-g ----- 3 src tg 4- 2 arc tg-^ 4- 2 Arc tg / 8 18 1 1 1 — 5srctg —4-2srctg— 4-3Lrctg — --- 5 src tg 4- 5 src -1- 2 Lrc tA 4- 2 src tg^4- 3 src tSzs U. M. dgl. Von der Trigonometrie. 207 Man bemerkt leicht, daß man bey fernerer Fortsetzung und I'ix. treffender Auswahl dieser Gleichungen noch weit mehr convergi- rende Reihen für -r erhalten würde. V. Setzen wir in §. 545 für r seinen Werth urc sinx, so verwandelt sich die erste Reihe in folgende: 1.x? 1.3.x» 1.3.5.x? , »rc 8IN X — X -1- 2 b Z.4-.S S.4-6.7 ' welche gleichfalls zur Berechnung von benützt werden kann. Zu diesem Zwecke setzt man arc sin x -- are 9t)o x — 1 — Arc 60" — ^/Z — arc 45° — , — ^-/2 1.3.5 30° , 3^3 2 --- arc und findet die Reihen 1.3 , 1.3.3- ' 2.3.2- 2.t.Z.2t 2.3.2 2.4.S.2- 2.L.6.7.2- 2.3.2- 2.4.5.2^ Um rascher convergirende Reihen zu entdecken, könnten wir die Gleichung 3rc sin A — src 8in b -4- Arc 8in (a z/ 1 — b? — I, z/ i — A-) , so wie in IV. die Gleichung (2) behandeln; doch damit möge sich der Leser selbst unterhalten. §. 554. Bevor wir die goniometrischen Functionen, ihrer eigentlichen Bestimmung gemäß, zur Auflösung der Dreyecke verwenden, wol¬ len wir noch zeigen, wie mittelst derselben die mit reellen nume¬ rischen Coefficienten versehenen Gleichungen des zweyten und drit¬ ten Grades aufgelöst werden können. 208 Viertes Hauptstück. I'ix. I. Jede geordnete Gleichung des zweiten Grades ist in der allgemeinen Form x" -t- LX -t- I) — 0 enthalten, aus welcher man (nach §. 215) allgemein X-- und wenn man die beyden Wurzeln der Gleichung mit xi und xz bezeichnet, insbesondere - ---tt- - S) - -- - f/i - Z findet. Um diese Ausdrücke mittelst der Logarithmen bestimmen zu können, verwandeln wir dieselben auf folgende Weise. Ist b negativ, so fällt — positiv und x stets reell aus. Was nun auch der Werth dieses Bruches seyn mag, so muß cs, da die absoluten Werthe der Tangenten aller Winkel zwischen 0 und QI sich befinden, immer einen zwischen 0 und90o liegenden Winkels geben, dessen quadrirte Tangente dem erwähnten Bruche gleicht. Setzen wir demnach Z — -^2 — , also tanss P — p/- b, so wird „ cc>5 X2 - — cot '2- g) . p/ — b. Ist abevd positiv, so wird auch der Bruch-^-positiv. Wied er überdieß nicht unecht, so läßt sich, da von keinem Winkel der Sinus die Einheit überschreitet, stets ein zwischen 0 und 90" lic- Won der Trigonometrie. 209 gender Winkel — so ist x — — (1 lji cos g>), oder auch — — 2 sm V wenn wir wieder die Größe n durch ihren Werth ersetzen. Es wird demnach x, — — n sin? y> — — tanx P. Ir, Xr - — Ä cos^ -j- g> — — cot P . r/ !r. Fällt aber der Bruch unecht, daher x imaginär aus,"so setzen wir, auf die vorigen Gründe gestützt, also8in. co? cp . z/ — 1, 2— 2tsi»P 2 wenn wir im letzten Glieds für a seinen Werth 2 8ing>.r/I> schreiben. Sofort ist X, — — -2-1- cos g>. . / — 1, X2 —-2—c08g>. r/k. / — 1. Soll demnach die quadratische Gleichung X? -t- NX -t- b — 0 aufgelöst werden, so suche man, wenn erstens Io negativ ist, zu¬ vörderst den Hülfswinkel q> aus tsmx ; dann die beyden Wurzeln x^ und x- aus Xi — t-rnA^-P.b, X2 --- — qp . t/ —' b « Vega Mach. II. V. 14 2Il) Viertes HauptstüS. kix. Ist aber zweitens k positiv, so bestimme man den Hülfs- winkel mittelst der Gleichung sin , xz — —Lco8"-^ -- 0 verwandelt werden, wenn n-L-^2, geseht wird. Eine der Wurzeln dieser Gleichung ist (vermög §. 338) x — — (u -t- v) , . - ---- wenn -e-A), , 3__ angenommen wird. Von der Trigonometrie. 211 Dlvidl'rt man nun den ersten Theil der Gleichung k'ix. x°-r-NXt> — 0 durch x-t-(u-t-v), und beachtet, daß, weil — (u-j-v) eine Wurzel derselben ist, (u v) -i- n (u -l- v) — b — 0 seyn muß; so findet man x°— X (u -i- v) -1- n-t- (u-t-v)^ —0 oder weil (vermög §. 338) a — — 3 uv ist, x?—x(u-I-v) -t-u" — uv-i-v^ —0; folglich ist X — (ll -l- v) ^7 (u — v) z/ — 3. Setzt man demnach (u-t-v) — p, (u—v) /3— — tanx co, so wird *" u — —tanx co./- folglich p-- (cotco— tsnA cü) -(cot co-t-tsmxco) nähmlich x — cot2co . t/-^ , q — a , a v— cotco. t/--, c> 2 a _ cv8^M — 8in^w , s 3 Lsiii I ' Ist aber » negativ, also n positiv, so schreiben wir, so lange dieser Bruch nicht unecht wird, zur Umstaltung du Wurzelgröße , 3 — . y .. . 2 /— a> 2 H-5.U-P, als05lNP--^(^ ; dadurch wird 3 _, I b 3-- U/l e08v ,__a 2, _ 3 _._, 3 Nehmen wir nun noch / tanx y> — tsn» co, so ist u — tun§co., v —cntco . also l> — (cot co -t- trmA w) / 2 3 2 8inw.eo8co ,,, . / V08^«_ 8Ill^w,/ , 4-- (cotco—tLnxco) — L —-—-;/—s 2 2 8inw.eo8« nähmlich q---eot2w./^ Wäre aber der Bruch unecht, folglich das Radi^ 1 -t- -^-imaginär, Bon der Trigonometrie. 213 sv setzen wir ^'8' —4^-- oder 8M ) v— / / (l -l- / Hl) — (coSP— /—1 siny>) / Es ist jedoch (coscpili/—l8ini!i /—1 «in-Z-) X (cO8-z-P ljl /—l8ill-z-g-) — 008 -§- P 008-z- P_8IH -^- lp sill-z-P /_1(sin-z- x, — (— sin-^-g: —cos-Z-P./3) , x, — (—sin-^P-k-coL^g). /3) /1^. Die beyden Wurzeln x, und xz lassen sich noch einfacher au§- drücken, wenn man bemerkt, daß «in 60° —/ 3, coL60°-^- ist; denn durch die Einführung dieser Werthe wird — Lin-^-P ^1 cos-^- xr —— 2 sin (60° -t- , xz — 2«in(60° — Um daher die cubische Gleichung x^-i-Lx-t-b — 0 aufzulösen, bestimme man, wenn erstens » positiv ist, die HW' winkel y> und co nach den Gleichungen s L / sX - 4 . tLNssP —, tanxw — / tÄNss-z-P , dann die Größen x und q aus x — cot2w . , c; —- endlich die Wurzeln x,, x-, xz aus Xi— — 29, Xz —p-t-ql/—1, Xz—9 — —1- Ist aber zweprens » negativ, so suche man die HülsswiW und w mittelst der Gleichungen s . l 1 t , tiitt-ce — / tiinx kf , Bon dec Trigonometrie. 215 ferner die Größen p und q aus bix. 81ll2l0 s endlich die Wurzeln x», x-, x, aus denselben Gleichungen Xt——2p, Xr —p-i-q/—1, X, —p — q/— 1. Fällt aber hiebey (^) größer als 1, folglich sein Lo. garithmus größer als 0 aus, so suche man den Hülsswinkel P aus der Gleichung und die Wurzeln x, , xx, xz aus x» — 2siu -;-P . xr --- — 2sin (60°-i--7-P) . xi — 2 sin (60°-P) - / -7s- - Anfängern möchten wir rathen, die hier bloß im Allgemeinen erklärten Nechnungsweisen an besonder» Beyspielen zu versuchen. n. Abschnitt. Von dec Auflösung geradliniger Dreyecke. §. 555. Um die zwischen den Seiten und Winkeln eines geradli-125. ntgen Dreieckes bestehenden Beziehungen aufzusinden, betre¬ ten wir folgenden Weg. In dem Dreyecke 4L6 sey die Seite KL—4, L4 —ö, -- der Winkel L4L -- L, 4K6 --- b, LL4 -- e. Man fälle aus dem Punete 6 auf 4L die Senkrechte LO und denke sich aus 4 und L mit den Halbmessern 4L und KL 216 Bi srk «e H a up k stück. Lix. zwischen den Schenkeln der Winkel 2 und si Kreisbogen beschrie- den, so sind (vermöge §. 54O.> die Verhältnisse und die Cosinus der Winkel 2 und 6; nähmlich es ist r^v LV , —0O8 2, — cv8 b; somit auch ^v—L co82, LV — cos I). Zu diesen Gleichungen gelangt man auch, indem man au» ven Puncten X und V mit dem Halbmesser 1 — — Lp Kreis¬ bogen beschreibt, und beachtet, daß sowohl die Dreyccke ^mn und Hvv,als auch die Dreyccke Lpg undLLV einander ähnlich sind, und — oos 2, Lg — co8 s> ist. Setzen wir diese Werthe in die Gleichung äL--LV-^v^> so erfolgt (1) L — ^.jcvs h -t- L cos 2, was man auch dann erhält, wenn der Pnnct v außer den Punc¬ ten und L z. B- zur Linken von liegt, weil in diesem Falle v^ - —L co8 2 und ^L — LV — v^ wird. Diese Gleichung, welche unmittelbar aus dem Begriffe des Cosinus eines Winkels fließt und lehrt, daß,im geradlinige» Dreiecke jede Seite der Summe der Produkte jeder der bei¬ den anderen Seiten in den Losmus des von ihr und der erste» Seite eingeschlossenen Winkels gleich ist, begreift die ganze, sowohl ebene als sphärische Trigonometrie in sich, wie dieß aus dem Folgenden ersichtlich werden wird. Vertauschen wir in der Gleichung (1) zuerst L mit L, folg¬ lich auch c mit 6, dann L mit also auch c mit 2; so gewi»' nen wir noch die zwey mit (1) übereinstimmenden (analoge») Gleichungen (10 L--- Cl c»8 2-t-cc>8 e (1") — L cv8 a -t- 6 cniih. §. 556. I. Werden die eben gefundenen drey Gleichungen der Ord¬ nung nach mit L, L, multiplicirt, so übergehen sic in Won der Trigonometrie. 217 1)? — cv8 h-t- 86 c08 » 8?— 86 cos u -t- ^8 cos c ^.8 co8 c -4- 6^ co81), woraus, wenn man je zwey addirt und die dritte subtrahirt, die Gleichungen L"-t- 6-- 2 86 co8u 6^^.-- L2--2e^cv8ir ^2^ D2__ 2 ^.L c<_8 c hervoctreten, denen wir die Form (2) —Z2_^.(^2_ 286co8u 8---6--t-^ —2 6^cosb 6"---^-I-L^ —2^8oo8c ertheilen, in welcher sie zeigen, daß das (Quadrat einer Seite erhalte,! werde, wenn man von der Summe der (Quadrate der übrigen zwep Seiten das doppelte Product aus eben die¬ sen Seiten und dem Losinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels abzieht. Zu diesen Gleichungen wären wir auch gelangt, wenn wir (§. 422) in der Gleichung ^2 -- ^2- H2 _^2hx. für x den Ausdruck a cos gesetzt hätten. §. 557. II. Aus den Gleichungen (10 und (1") läßt sich die Größe wegschaffen (climiniren), wenn man ihren Werth aus der letz¬ teren in die erstere substituirt, dadurch ergibt sich 8 — 6 cv8 u -t- 8 cc>8" c -l- 6 cu8 h cc>8 c, folglich 8 8,n^c — 6 (c08 a-t-co8b cc>8 c). (sr) Verwechseln wir hierin L mit 0 und b mit c, so erhalten wir 6 8in^h — 8 (co8 uco8b co8 c). (^0 Werden diese zwey Gleichungen gliederweise mit einander multi- plicirt, so erfolgt (cv8u-t- co8h co8 c)? --- 8in^h 8in "c daher co5 z coz c — -I- LIU h 8III c rc>8 A — — (cN8 b LÜS c sin h 811» c) - — cc>5 (h ifi c). 218 Li er lej H a upr stück. 1'5'x. Bon den vor c stehenden zwey Zeichen kann bloß das obere gelten, weil in einem gleichschenkeligen Dreyecke, wo i> —c ist, cosu-— coso —— I, folglich a — 180° würde, was nichr statt findet. Ist aber cos L — — cos (8 -l- c) , so muß die Summe u l-si-l-c ein durch eine ungerade Zahl an¬ gegebenes Vielfache von 180°, als 1.180°, 3.180°, 5.180°,... folg¬ lich, wenn man berücksichtiget, daß jeder Winkel des Drcyeckes unter 180°, also ihre Summe unter 3. 180° ist, 1. 180° seyn; es ist demnach (3) a -l- f> c — 180°. Diese Gleichung lieferte uns zwar schon der §. 378, allein es bleibt doch immer interessant zu sehen, wie auch sie aus der Grundgleichung (1) gefolgert werden könne. III. Multipliciren wir aber die Gleichungen («) und («^) kreuzweise (d. i. den ersten Theil der einen mit dem zweyten Theile der anderen), ziehen aus dem rcducirten Resultate die Qua¬ dratwurzel und bemerken, daß die vorkommenden Größen ihrer Natur nach (essentiell) positiv sind; so erhalten wir: L srn c — 6 sin h, und wenn hierin 6 und c mit und a verwechselt werden, L 81N A — 81111) , daher aus Leyden Gleichungen ... 8 6 (4) - SIU L SIUu SIU e vder (4) sinL — 1! : sink — L:siii c ; woraus wir entnehmen, daß die Seiten dec geradlinigen Dreh¬ ecke den Sinus ihrer Winkel proportional sind. Diesen Satz bestätiget eine einfache Ansicht der Ifix. 125, denn in ihr sind (vermöge §. 540.) die Verhältnisse und dis Sinus der Winkel n und b, nähmlich . 6V 8in,, Svn ddr Trigonometrie. folglich §. 559. 219 OD — V LlN L---: V sin k , woraus unmittelbar — -^7- sich ergibt, oiirs «m d ' oder auch (5) rine Gleichung, durch welche vier nach einander folgende Stücke des geradlinigen Dreyeckes in Verbindung gesetzt werden. ——:- — cot b -t- cot e, 81U e Mittelst der aus der Gleichung (1) entsprungenen vier Glei¬ chungen (2), (3), (4) , (5), vermöchten wir zwar schon alle Dreyecke aufzulösen, allein da es für die numerische Bestimmung der unbekannten Stücke wünschenswerth bleibt, daß ihre Aus¬ drücke sich logarithmisch behandeln lassen, so wollen wir aus jenen Gleichungen noch andere diesem Wunsche entsprechende herzuleiten uns bestreben. In dieser Absicht suchen wir cos a aus der ersten der Gleichun¬ gen (2) und setzen den sich darbiethenden Werth (6) co8-^—E— in die Gleichungen (543. VI. III.) «in2L —(1—cosa) , cos?-^ A — (I -t- cor 2) ; wodurch wir -in - iV- 2 sc L-> I -. (tl - S) -I-R — ) §. 558. IV. Schreiben wir in der Gleichung (1") für 6 seinen aus der Gleichung (4) folgenden Werth , so erhalten wir —L (sin c cotlr-t-cos c) 220 Bleues H a up lstück. co8»^3--(8--l-28^-l-0-—V-) (^-p-L-1-6) (L-,-6-^) 4L6 ' folglich (7) 8i^3 - oder -- (8) 008^-3 - --- ^ ^^uL-l-6-^) oder -- erhalten, wenn wir 8 den halben Umfang des Dreyeckes verstel¬ len lassen. Dividircn und multipliciren wir diese Gleichungen gliederweise durch einander und nehmen aufdie Gleichungen — t3iiA -^-s, 8IH-^-3co8-^-3 — 8in 3 Bedacht; so ergibt sich t3n- 3 - (^8-6) ,(8-v) (8-6) (0) t3nx -3-1/ (6^6^ - -MUs" 1 (10) 8N1 3 -- (^-t-L-t-6) (L^-6-^) (6-^-L) (.^^U-6) 2 1IÖ V«(8-^) (8-L)(8-O). §. 560. Ferner gibt die Gleichung (4) 8:0 — 8in I>: 8iQ c, daher (nach §. 187.III. und IV.) 8 -t- 0 :8 — 6— 8inb-I- 8inc : 8in b — 8in c, . . L -1-6 «inb-4-sine und somit —7; — -7—71—; ° L — 6 sind_ sin o ' folglich, wenn man die Formel §. 551.1. beachtet, .. L-4-6 rsnZ l/2(b-i-c) cot»/2» , L — 0 tnng^/2(d—c) lsnA^fb—c) oder (12) L -1-0:8 — 6 —t3Nss-^- (Ir c) :t3NK-^-(l> — c). Wer sich durch geometrische Betrachtungen hievon überzeugen iz« will, besehe die Figur 131. In ihr ist V6 ^8,^1'— daher sind v, 8, V Puncte einer Kreislinie und V8k — 90°, u—,l LD—ö-l-L, Oiss—8—6;ferner ist6^ Bon der Lrigonometrie. 221 parallel zur 8L geführt, dadurch wird p — t, und u — 7 -l- t, also x—7-1-2t, und hieraus t—-'-(x—7) —(Ii— 0), folglich izi. (x-t-7) —-L-(l>-»-c). Endlich macht der aus 6 mit dem Halbmesser EL gezogene Kreisbogen ersichtlich, daß (nach 8.540) DL—EL tanx (t -l- 7) , 8L —ELtanx t ist, woraus man DL: 8L — tan° (t -t- 7) : tuirxt und wenn die aus dem Parallelismus der Linien DL und EL (vermög §. 397) folgende Proportion DE: EL--DL: DL berücksichtiget wird, DE: EL — taug (t -i-7) : tan^ t, nähmlich (12) 8 -l- E18 — E — tan^ -r- (h -t- c) : tang (h — e) erhält. §. 561. Nachdem wir jetzt die für die geradlinigen Dreyecke im All¬ gemeinen geltenden Gleichungen zusammcngestellt haben, wenden wir uns sogleich zur Auflösung der rechtwinkeligen Drepccke. In dieser Absicht nehmen wir in obigen Gleichungen den Winkel c für einen rechten an und bezeichnen die Hypothenuse E mit 8. Dadurch erhalten wir aus (2) und (3) die bekannten Glei¬ chungen (13) (14) ferner geben die Gleichungen (L) , (1") und (4) (15) — H «in L — II cos h 8 — 8 8insi — 8 co8 a, so wie uns die Gleichung (5) mit ihren analogen die Formen (16) 8t.in§n —8cotsi 8 — -V tanxb — cotu darbiethet. Den vier letzten Gleichungen zu Folge gleicht sede Kathete sowohl dem Products aus der^ppothenuse und dem Sinus des der Rachete gegenüber liegenden oder dem Cosinus des ihm anliegenden Winkels als auch dem Produkte aus der anderen Kathete und der Tangente des der ersten Rathece gegenüber lie- und daher lox tanx « —8,6108797 und der verlangte Aussatzwinkel a --- 2° 20^ 222 Viertes Hauptstück. -i 'ss- yenöen oder dtr Totangente des ihr anliegenden Winkels. Ihre Richtigkeit erhellet übrigens auch aus der Erklärung der tri¬ gonometrischen Functionen (§. 540.). Die Auflösung der rechtwinkeligen Dreyecke kann mit Hulse der Gleichungen (13) bis (16) vollkommen bewirkt werden. Denn sind rrvey Stücke des rechtwinkeligen Dreieckes gegeben und man verlangt ein drittes Stück, so wird man dasselbe aus derjenigen Gleichung suchen, welche diese drey Stücke enthalt. Wir wollen das Verfahren durch einige Beyspiele erläutern. 126. i. Beispiel. Es sey Liz-. 126. ein Kanonenrohr, über den höchsten Punct des vorderen Visirreifes und über den obersten Punct A eines auf dem Hintern Visirreife ausgestellten Aufsatzes nach einem Gegenstände 6 gerichtet, man soll den Aufsatz-oder visirwinkel AID — « berechnen. Zu diesem Zwecke führe man durch L die Li? zur Achse des Kanonenrohres parallel, so ist der Winkel AI»L — 90", und ALI» — AU) — a, folglich in dem Dreyecke AI»8 AI»--I»Ltnnx ALI» Bezeichnet man mit ck den Abstand der Ebenen der bcyden Visirreife, ferner mit H und r den Halbmesser des Hinteren und vorderen Visirreifes, mit a den Aufsatz, (wobey bedungen wird, daß alle Linien durch dieselbe Längeneinheit z. B. durch den Wie' ner Zoll gemessen seyen); so ist AL — H-t- s— r, LI» — ch also k — r -t- L tLNA « — -- Bey einer 12pfdig. Feldkanone ist; <1 -- 66,192"; L --- 6,305"; r -- 5,603", also L — r -- 0,702", ferner sey s —2", so ist L— r -t-n — 2,702". Hieraus folgt loss (L—r-t-a) —0,4316852 Io- ä --1,8208055 Von der Trigonometrie. 223 Wird kein Aufsatz gegeben, so übergeht der Auffatzwinkel in den sogenannten Rernrvjnkel. 126. N—7- Für ihn ist demnach » — o und tnnx « — —. Im vorliegenden Falle ist Io- (k — r) -- 0,8463371 — 1 log st--1,8208055 daher log taug a — 8,0255316 und der Kernwinkel « — 0" 36^. 2. Beispiel. Eine Kanone stehe auf einer Ebene und sey so gerichtet, daß die Achse ihres Rohres mit dieser Ebene parallel läuft; man verlangt die Entfernung x des Einschnittspunctcs deS über die höchsten Puncte der Bisirrcife gehenden Visirstrahles in jene Ebene, von dem Auftreffpuncte der aus dem höchsten Puncte des vorderen Visirreifcs auf die Ebene hcrabgelassenen Senkrecht ten, wenn die Länge dieser Senkrechten — p und der Kcrnwin- kel — «ist. Da x und p in einem rechtwinkcligcn Drcyecke die Katheten sind und «der an x liegende spitzige Winkel ist, so hat man p — x tang a, also x— —-— — pcot«. tsng « Wäre die Kanone der im vorigen Beyspiele gebrauchte Zwölfpfünder, so hätten wir «—0" 36^, p — 4,35 Fuß, also log p —0,6384893 log cot« — 1,9799555 logx -- 2,6184448 und X — 415 Fuß — 173 Schritt. 3. Beyspiel. Die Längenmittellinic der Bettung eines Bat, teriegeschühes bilde mit der Magistrallinie der Batterie den Win¬ kel Z, das eine vordere Eck der Bettung befinde sich in dieser Li¬ nie; man soll den Abstand x des zweyten vorderen Eckes von der Magistrallinie berechnen, wenn die Entfernung beyder Ecke aufder Mittellinie der Bettung senkrecht steht und—st ist. — Eine einfache 224 Bicrte S H auptst!ick. 6iss. Figur lehrt, daß hier x —ä cvs Z ist. Für ä —12', Z--70"ist x —4,lr. §. 562. Da jedes gleichschenkelige Dreyeck von der aus der Spitze auf die Grundlinie gefällten Senkrechten in zwey kongruente rechtwin¬ kelige Dreyecke zerschnitten wird, so läßt sich die Auflösung der gleichschenkeligen Dreiecke auf jene der rechtwinkeligen zu- rückführen. Um hievon eine Anwendung auf die Lehre von den regelmä- 50. ßigen Vielecken zu machen, sey kiss. 50 die Seite eines regelmä¬ ßigen ncckes— 66 — c, derMittelpunctswinkel666 derHalbmesserdes umschriebenen Kreises 66—r; so ist indemrecht- winkeligen Dreyecke 6V6, 66—r, 1)6 —4- c, 661)—4^, folglich c —2r8in4^, r--—, 28111^27 und der Umfang p — uo — 2 u r 8IU 4- Ferner ist der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises, nähm- lich die Kathete 61) — § — r co8-^-^ — c. Für die Seite 6 des umschriebenen gleichartigen regelmäßi¬ gen Vieleckes hat man wegen des rechtwinkeligen Dreyeckes l^66i, — 4 6 --- r taux 4- also 6 — 2rtang-I-^; und für den Halbmesser H des Kreises, in welchem das Vieleck liegt gibt dasselbe Dreyeck V08 >/27 Endlich ist der Flächeninhalt des Dreyeckes 666-4-66.6v--4-c.§--4-c-cot4-^; folglich der Flächeninhalt des ganzen Vieleckes 5 — n. 661' — cot4-7^. §. 563. Bey der Auflösung der schrefwmkeljgen Dreyecke komme» rücksichtlich der gegebenen Stücke vier Fälle zu betrachten. Lvn der Trigonometrie. 225 Es können nähmlich bekannt seyn: kili- 1. Eine Seite mit zwey Winkeln, oder 2. Zwcy Seiten mit dem Gegenwinkel der größeren, oder 3. Zwey Seiten mit dem von ihnen eingeschlossenen Winkel, oder endlich 4. Alle drey Seiten. Wir wollen diese vier Fälle einzeln vornehmen, und jeden durch ein numerisches Beyspiel erläutern. I. Kall. Die Seite und zwey Winkel des Dreyeckes seyen125^ gegeben; man verlangt den dritten Winkel und die beyden an¬ deren Seiten 6. Da zwey Winkel bekannt sind, so findet man sehr leicht den dritten; denn er ist die Ergänzung ihrer Summe zu 180". Sofort berechnet man jede der beyden übrigen Seiten nach den Gleichun¬ gen (4), und erhält sin k 8IN c » SINN «IN» Ferner ist lox -- 2,7387806 lo^sinn — 9,8729003 lox 2,8658713 2,8658713 8IN a ioxsind — 9,9707666 loxsinc — 9,9479969 lc>ss L --- 2,8366379 lox L -- 2,8138682 also k -- 686,496 c: -- 651,431. H- Kall. Es seyen gegeben zwey Seiten ü und 6 mit einem ihrer Gegenwinkel 6; man sucht die Seite und die Winkel a, c. Den Winkel e berechnet man mit Hülfe der Gleichungen (4), wornach man "hält. Bon den für c sich ergebenden zwey Werthcn wird ber- vega Math. H. B. 15 226 viertes HauptstSck. kix. jenige genommen, welcher kleiner als d ist. Wären jedoch beste 125-^-kleiner als k, so könnte es zwey Dreyecke geben, denen dieselbe» Besiimmungsstücke zugehören (§. 535.). Kennt man den Winkel c, so ist der noch fehlende 3 --- 180° — (k -t- c). Die dritte Seite endlich läßt sich nach der aus (4) eni» nvmmrtten Gleichung 8 8iii L _ 6 8>ii s 8IN b sin o bestimmen- Z. B. Es sey wie im vorhergehenden Beyspicle 8 686,496 6 -- 651,431 k -- 69° 12' 45". Hier ist zunächst io§ l) — 2,8138685 Ic>x§inh> — 9,9707666 ' 2,7846351 tos 8 - 2,8366380 lo-sin c 9,9479971 also c -- 62° 31' 2" und » —48 16 13; dann ist log 8 — 2,8366380 toxsinu — 9,8729093 tos -- 0,0292334 los.4- - 2,7387807 und . - . . — 548. III. Lall. Gegeben seyen zwey Seiten 8 und 8 mit eingeschlossenen Winkel a; man sucht die dritte Seite und^ Winkel b, c. Die Seite etgibt sich nach der ersten der Gleichungen -- 02 — 286 co8s. Um aber diesen Ausdruck für die logarithmische Behandle geeignet zu machen, setzen wir (nach §. 550.) füt cosa enteil den Werth 1— 28in2-r.s, oder 2 0052^-3—1; dadurch Won der Trigonometrie. 227 — /l(8 — 6)" -t- 486sin^-4-Ä) — /t(8-4-6)- — 486co8^^-»4 425^- oder — (8— 6) 1 -4— —6)^ ' ,^» 1 / . 4L6o»s^Vs-» — «^-0)^1- ^0>- . Da die Tangenten aller Winkel zwischen 0 und c» liegen, so muß eS offenbar einen Winkel

o /L6, und dann aus . . - eo8 P oder vorerst aus . .sin^ -- /86, und nachher aus . . (8-4-6) cos-^. Die Winkel k> und c findet man, indem man zuerst ihre halbe Summe aus (b -4- c) —90"— und ihre halbe Differenz-^- (b —c) nach (§.559.) Gleichung (42) mittelst der Gleichung (lr —c) — 2^ö cot —» 45* 228 Birrte« Hauptftüek. kix^. berechnet, wornach 125^- -k-c)—c), c — (d -t- c) — -z- (b — c) ist- Beispiel. Man habe 8 — 686,496 651,431 und s-- 48° 16/ 13"; so ist 8 -t- 6 --1337,927 8-6-- 35,065; ^a-24 8 6,5 IV. Fall. Es seyen die Seiten gegeben und die Winkel j" suchen. Hier verwendet man (§. 559.) die Gleichungen 8 -- -z-(V-t-8-t-6), . ,/8(8 — Ist » sehr klein, so erhält man das Resultat genauer die erste Formel, weil die Cosinus kleiner Winkel sich nur u^ deutend ändern; dagegen liefert die zweyte Formel ein genau"'' Resultat, wenn a sehr stumpf ausfä'llt, weil die Sinus der u«d Von der Trigonometrie. 229 an 90" liegenden Winkel nur wenig sich ändern. Unabhängig von k'iss. dieser Vorsicht ist man bey der Anwendung der Formel 125^ . . - (8-L) (8- 6) Bey dem Gebrauche der Gleichung 8inu--^ /s8 (8-^)(8-L)(8-0)^ muß man noch untersuchen, ob von den beyden entsprechenden Winkeln der spitze oder stumpfe zu wählen ist, wozu man den in §. 381. enthaltenen Satz verwendet. Anmerkung. Man kann die schiefwinkeligen Dreyecke, so wie cs die älteren Mathematiker zu thun pflegten, auch dadurch auflösen, daß man sie in zwey rechtwinkelige Dreyecke zerschnei¬ det, von denen das eine zwey bekannte Stücke enthält. Es mag jedoch dem Anfänger überlassen bleiben, diese Auflöfungsweise selbst durchzuführen. §. 564. Aufgaben. I. Man soll allgemeine Ausdrücke für -en Flächeninhalt ^es geradlinigen Dreieckes aufstellen. Auflösung. Es sey LO--^, 80. --», , und die Höhe 01) so ist (y. 440) der Flächeninhalt des Drey- eckcS 230 daher kix. 80. Viert«,! Hauptstück. 1) . Ist die Seite mit den Winkeln gegeben, so hat man ^8IN0 , , 8III s ' ' _ I ^2 81" d 8IN c 2 8111 s 2) . Sind die Seiten H., 8 mit dem der größeren gegenüber¬ liegenden Winkel !r bekannt, so findet man aus der zweyten der Gleichungen (2) 6 — cozb -t- / (8^ — sin^ b), daher ist 8----^-^. (^cosb-t-^/8?— sin b. 3) . Hat man zwey Seiten .4-, 6 und den eingeschlossenen Winkel I> bekannt, so ist a « sine « zill7 q sin (c — 7) 8 — . 8IN h, ein bemerkenswerther Ausdruck. 4). Wenn endlich die Seiten des Dreyeckes gegeben sind, so B wie wir bereits in §. 461. fanden x-- y/s8(8 —^)(8-8) (8 — 6)^. II. Die in §. 424. behandelte Aufgabe ist trigonometrisch aufzulösen. 72. Auflösung. Es sey ^8 — 3, 86—b, 81 —c, ^6 — a — b — « und der Winkel861—; so bestehen in den Dreyecken ^61 u»» /i6 k (vermöge §. 558 5.), die Gleichungen « cot c — cot w , s 8ia e cot — cot w — 1—. ' 8IN 7 Subtrahirt man die erste von der zweyten, so ist , n, « « 8IN (o —'7) cot —cot c — -— — —:— — —- L 8IN 7 L sm v 8IN7 8I1I<- 8111c 8IN7 8IN (c — 7) ' woraus man Von der Trigonometrie. 231 findet, Sind die Bogen c und folglich auch c —so klein, kiss. daß man sie selbst statt ihrer Sinus setzen kann, so hat man 72 . aae -- -7-7-. Lic— (a — a)? Solle werden, so ergibt sich wie in §. 424. Will man die Rechnung mit Hülfe der Logarithmen ausfüh- ren, so bestimme man zuerst aus demDreyecke^Ll den Winkel g/ nach den aus §. 563. HI. folgenden Formeln tLnx (g> -t- ca ) — g ' - tsnss -i- c, -r-(g> —co) — sodann in dem Dreyecke^.66 die Seite >46 nach der aus §. 563.1. sich ergebenden Formel 8IN (v—7) Z. B. Es sey 3-- 1000, 6-100, K--900, c--1°, ^--0"10', so ist » — -c — 100 » -t- cr — 1900 c --- 0°30', -- 1,2787536 — 7,9408584 >ostx4-(g)^-co) - 9,2196120 ^(g> -t-co) -- 9-24'52" — u>) — o 30 g> -- 9" 54' 52" lox« -- 2,95424?5 lox si n P — 9,2360726 2,1903151 toksin (ss>—>?) - 9,2287839 log-4 --- 2,9615312 -- 915,2. Es ist demnach .4 10 — 915,2; eben so findet man ^0--931,0; ^30 —947,2 ;u. s. w- Vergleichen wir diese Resultate mit den in §. 424. erhaltenen, so zeigt es sich, daß d'ese so gut als vollkommen richtig sind. Wollte man untersuchen, wie viel man fehlen würde, wenn wan den Rand in 6 gleiche Thette theilen wollte, so wäre g> auf - ige Art, und aus der Gleichung 2g2 Viertes H auptst ü ck. 8ll4(g) —--- zu bestimmen. In unserem Falle wäre d -- 100,^ -- 900, alfo -- a -t- log 54 - 1,7323938 log- -- 0,2596373—2 loxsin --- 9,2360726 Iog8in( Hauptpol von V88 ist, so muß nicht nur 88.r--90" seyn, ändern es muß auch dieser Pol 8 mit dem Dreyecke V80, folglich 2Z6 Viertes Hauptstück. 8ix. ebenfalls mit der Seite 6^, sofort auch mit dem ihr und der 127. Seite 88 gemeinschaftlichen Puncte 3 in einer und der nähmli- chen von jenen zwey Halbkugeln liegen, in welche die zum Voll¬ kreise erweiterte Seite ^8 die Kugelfläche zerschneidet, woraus sogleich erhellet, daß .7 und 8 in dem Bogen 88 auf einerley Seite von 8 liegen müssen. Auf dieselbe Weise muß, da 8 der Hauptpol von 6^ ist, nicht nur 83 - 90° seyn, sondern es müssen in dem Bogen 88 auch 8 und 8 auf derselben Seite von .7 liegen. Daraus ergibt sich unmittelbar, daß entweder die Puncte 7 und 8 zwischen 8 und 8 oder diese zwischen jenen oder endlich diese aufjenen liegen, daß hingegen nie bloß einer der Puncte) und 8 zwischen, der andere aber außer 8 und 8 sich befinden könne. Liegen nun, wie in der Figur 127., die Puncte .7 und zwischen 8 und 8; so haben wir 38 - 88 - 8.1 - 90°—83 ' rind 88 - 83 8.7 - 90» -l- 83. Befinden sich aber die Puncte 8 und 8 zwischen 5 und 78 so ist, wie leicht zu sehen, 38 - 88-l-83-90°-,-83 und 88-83—83-90°—83. Fiele endlich 8 mit 3 und 8 mit 8 zusammen, so wäre 38 -88 - 90° und 88 -- 83 -- 90°. In jedem Falle erhalten wir demnach 38^-88-180°. Bezeichnen wir jetzt die Winkel des Dreyeckes mil 3, b, c und die ihnen in derselben Ordnung entgegenliegenden Seiten mit^, 8,6, und setzen wir in dem Dreyecke 1)88 die Seiten 88 - 87) - 8", V8 - 6' und die Winkel 81)8-36 888 - d/, 88V -- <8; so ist (nach §- 485.) derBogen 38 - dem Winkel 6^8 - 3; folglich übergeht durch die Einführung dieser Werthe die letzte Gleichung in 3-^-^—780°/ woraus erhellet, daß der Winkel 3 des Dreyeckes H.80 mit der Von der Trigonometrie. 237 auf seinen Schenkeln senkrecht stehenden Seite seines Supple- k'ix. mentar-Dreyeckes VLI' zusammen 180° ausmacht. 127 Weil sich nun alles Vorhergehende ohne Anstand ebenfalls auf die Winkel K und c des Dreyeckes ^86 anwenden läßt, und weil, wie wir oben nachgewiesen haben, dieses Dreyeck das Polar-Dreyeck von 888 ist, so ergeben sich aus der Gleichung -l- s —180° auch die ähnlichen 8^ o- b — 180° -I-c--180°; und -t-—180° 8 -r-ll^l80" 6 0- 180". Diese Gleichungen lehren die Wahrheit, daß jeder Winkel eines sphärischen Dreieckes die auf seinen Schenkeln senkrechte Seite seines polar-Dreieckes, jede Seite aber -en mit sei¬ nen Schenkeln auf ihr senkrecht stehenden Winkel -es polar- Oreyeckes zu 180° ergänzt. Dieser Lehrsatz gewährt in der sphärischen Trigonometrie den nahmhaften Vorthcil, daß man vermöge.desselben in jeder zwischen den Seiten und Winkeln eines Kugeldreyeckes allgemein be¬ stehenden Beziehung (Relation) von diesen auf jene, und umgekehrt sehr leicht übergehen kann. Denn ist irgend eine zwischen den Seiten ^.,8,6 eines sphärischen Dreyeckes^.86 und ihren Gegenwin¬ keln a, h, c statt findende Relation als allgemein gültig nachge¬ wiesen, so muß sie nothwcndig auch für sein Polar-Dreyeck ^8'0>, folglich auch dann noch gelten, wenn man jene Sei¬ ten durch die Seiten 8^, O und jene Winkel durch die Win¬ kel sä, 1/, des Polar-Dreycckes ersetzt. Weil jedoch dem obi¬ gen Satze zu Folge statt 3/, ' h/, e,, 8<, 6/ auch 180° —^,180°—8,180°—6,180° — a, 180°—b, 180"—c gesetzt werden darf, so leuchtet ein, daß aus gedachter Relation eine gleichfalls richtige hervorgehen muß, wenn man statt der in ihr vsrkommenden Seiten ^,8, 0 des Rugel-Drepeckes die Supplemente rhrer Gegenwinkel 180°—n, 180°—k, 180"—e 238 Viertes Hauptstück. ^r-und starr der Winkel », d, c desselben die Supple¬ mente 180° — , 180° — 8, 180° — 6 ihrer Gegensei¬ ten setzt. Dieß benützend werden wir im Folgenden in jeder, von den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreieckes allgemein nachgewiesenen, Relation jede Seite durch das Supplement ihres Gegenwinkels, jeden Winkel aber durch das Supple¬ ment seiner Gegenseite, kurz jedes in diesep Relation er¬ scheinende Stück durch das Supplement seines Gegenstückes ersetzen, um zu einer neuen ebenfalls gültigen Relation zu gelangen. §. 566. Schreiten wir nun sogleich zur Aufstellung der zwischen den Seiten und Winkeln des sphärischen Dreyeckes herrschenden Be' ziehungen. 128. I« Es seyen in dem sphärischen Dreyecke KNN. Kiss. 128. die Seiten Nk--^, KN--L, NN--6; die Winkel KNN-», NNK — 6, NKN — c; man verbinde die Spitzen desselben mit dem Mittelpuncte 6 der Kugelfläche durch die Radien 6k, 6N, 6N und lege durch den einen Winkelpunct N die Ebene NKK senkrecht auf den Halbmesser 6K; so ist (nach §. 485) der Winkel NKK — c. Die beyden geradlinigen Dreyecke NKK und N6K geben nun (nach §. 556.) die Gleichungen KN-^KN-^KK--2kN.kk.cosNKK KN- -- d -I- 6K- — 2 dH cos N6K. Nimmt man sofort den Kugelhalbmesser zur Längeneinheit- so ist NK— sin^r, 6K — cv8^., folglich in dem bey K rechtwinkeligen Dreyecke K6K KK — 6K. tauss K6K — cos . tsriss L --- -' eos66k eosL ' Bon der Trigonometrie. 23A Setzt man diese Werthe in die obigen zwey Gleichungen, kis- so wird 128. „ 8inL.co8 L.8IN8 ^--510^^- OO 82L " - 2-- co«c und 1^-1 -t- .^-2.-^4- . 0056. unv —. I. cos-R costj Subtrahirt man die erste Gleichung von der zweyten, so er- gibt sich eo8^ s-n^oos^sin k 0 — 008^ t^-t-oos^— 2- n 008 6-t-2 - ' VV8 d, 608 LZ 008 LZ . . 008.^. , . .. . , oder wenn man durch 2 m divwirt / 0 — O05/V oos8 — 008 6-l-sio sio8.008 0, Woraus matt endlich (I.) co8 6 — ooso. sio sio 8 -k- oo8 oos 8 als Grundgleichung der ganzen sphärischen Trigonometrie erhält. Nach ihr ist der Cosinus einer Seite des sphärischen Drei¬ eckes gleich dem prsducre aus dem Cosinus des gegenüberlie¬ genden lVinkels in die Sinus seiner entschließenden Seiten, vermehrt um das Product der Cosinus dieser Seiten. 567. Aus dieser zwischen den drey Seiten und einem Winkel be¬ stehenden Gleichung lassen sich noch drey andere, gleichfalls vier Stücke des sphärischen Dreyeckes enthaltende, Gleichungen auf folgende Weise herleiten. II. Zunächst kann man eine Gleichung aufstellen, welche die drey Winkel des Kugeldrcyeckes mit einer Seite verknüpft. In dieser Absicht bilden wir nach der Gleichung (I.) durch Verwechslung von 6 mit 8 und von o mit b die analoge (8.) cos 8 — co8 h. sio 6 sili -i- 008 6 co8 , und substituiren diesen Werth von 0058 in (I.) ; dadurch ergibt sich die Gleichung 0086^008 0.810^810 8-j-oos h 510 .^810 6 oos.^-j-cos 6o0S^, aus der nach einer einfachen Reduction 008 6 sio OOS 0 siti 8 ck- 008 h 00» sili 6 (A) fvlgt. 240 Lirrtcs Hauptstuck. kix. Vertauschen wir hierin mit L!, folglich 3 mit e, so erscheint eos^sin O — c08 3 8in8 -t- cos d eos 6 sin Setzen wir nun den Werth von eos^sin L aus dieser Glei¬ chung in die nächst vorhergehende, so wird 008 6.SIN ^—008 o.8inL -t-008 h.k!08 3.8M 8 -t-008 2 K.co8 L.sillil oder co8 0 8in . 8in^I> — (co8 c -t- co8 3. co8 6) 8in 8 (s) woraus wir durch Vertauschung des Buchstaben 8 mit und b mit 3 co8 6 8m 8.8m^ 3 — (cv8c -t- co83.co8k) 8m.^ (^) erhalten. Multiplicirt man diese Gleichungen («) und (ac^) mit ein¬ ander, so ergibt sich cc>86.8in38ln--- (oo8c -k- co83co8b)^ also auch eo8c -e- co83.co8d — ^oc>8 6.8in 3.8inb. Da aber, wenn3 —6 —90° ist, 6 —o seyn muß, so kann hier nur das obere Zeichen statt finden, folglich ist (II.) co8 e — 008 6. 8m 3 8in 6 — eo8 3 eo8 h. Zu dieser Gleichung, welche lehrt, daß der Cosinus eines Winkels des sphärischen Dreieckes gleich ist dem Products aus dem Cosinus der ihm gegenüberstehenden Seite in die Sinus -er an ihr liegenden Winkel, vermindert um das Product der Cosinus dieser Winkel, gelangt man unmittelbar, wenn man in der Gleichung (I.) für die Stücke 8, 6, c des sphärischen Dreyeckes die Supplemente ihrer Gegenstücke, nähmlich 180° —3, 180° —d, 180°—c, 180°—6 setzt §. 568. III. Eben so können zwey Seiten mit den ihnen entgegen!"- genden Winkeln in eine Gleichung gebracht werden. Denn dividirt man die Gleichung («) durch («^), st er¬ folgt Von der Trigonometrie. 24! »in? b . »in »in 6 ! >8» si»? a .sin L sin^. oder »iii?v «in? l! t»in?.n »in?d woraus sich, wenn man beachtet, daß sowohl die Seiten als auch die Winkel des sphärischen Dreyeckes kleiner al^l80°, daher ihre Sinus positiv seyn müssen, »in »in L »in L »in l> ergibt. Vertauscht! man hierin noch 8 mit 8 und b mit c, so findet man .»in »in 8 »in 6 . — — - . . - — , oder -jINÄ »>nü 8INL (l > l.) «in : 81N n — 8IN 8 : 81N 6 — sin 8 : 8IN c, d. h. im sphärischen Orexecke sind die Sinus der Seiten -en Srnus der Winkel proportional. Diese Gleichung kann man auch auf folgende Weise gewinnen. Addirt und subtrahirt man die Gleichungen (I.) und (8.), so erhält man die Gleichungen (cc>8 8-t-cc>8 8) (1— cos — 8in/V. (co8 c 8in 8 -t- cossi sin 6) (ce>8 8—0058) (1-t-co«^) — 8in^(co8c 8in8 — co8i>8in6), deren Product 008^ 8 — C08? 8 — c08' c 8lir" 8 — co8' h 8rn^ 6 ist, woraus, wenn die Cosinus (nach §.541. I.) durch die Si¬ nus ausgedrückt werden, »in- 8 — 8in" 8 -- 8in"8 — sin^8 8in^c — sin^ 8 -t- 8in" 8. °^er 8ln 8.8iu c — 8iu si.8iu8 ^'igt; daher ist wie früher 8in8:8ii»h — 8iu8:8ino. §. 569. - Endlich lassen sich auch noch zwey Seiten sammt dem von ihnen cingeschlossencn und einem ihnen (entgegen liegenden Kinkel, nähmlich vier neben einander liegende Stücke des Kugel- «.^neckcs durch eine Gleichung verbinden. Vega Mach. 8. B. 16 242 Viertes Hauptstück. kix. Zu diesem Zwecke werden wir bloß aus der oben (§. 567) entwickelten Gleichung (A) durch die Substitution des aus (III.) folgenden Werthes die überflüssige Größe 8 beseitigen. Dadurch erhalten wir vosv.sillO , . „ , cosO LiuV —-:-t-co8U8iu O cos V, SIU.0 oder wenn wir durch §in 0 dividiren, (IV.) 8iuV.cotO — 8inllcotc -t- cosV.cOLb, d. h. bey vier neben einander liegenden Stücken eines sphäri¬ schen Dreieckes ist das Product des Sinus der eingeschlossemn Seite in die Lorangente der anderen gleich dem Produkte des Sinus des eingeschlossenen Winkels in die Cotangente des anderen, vermehrt um das Product der Cosinus beider ein: geschlossenen Stücke. §. 57V. Aus den hier ausgestellten vier Hauptgleichungen erhalten wir durch gleichmäßige Vertauschung der Buchstaben folgende m Systeme von Gleichungen. I. Zwischen den Seiten und einem Winkel. (1) cosV — co8 3.8iu8.Liu 6 -t- cos8.cosl), coL8 — coL h . Liu 6 . slu V -t- cosO.cosV, co8l) — coL c.Liu V.Lin8 -4- cos V.cos8. II. Zwischen den Winkeln und einer Seite. (2) coLL — cosV.Liuh.siuc — coLll-cosc, cosb co58.siuc.8iu3 — cosc.cosu, cos c — co8 0.8iu3.8inl» — coL3.cosI>. III. Zwischen zwey Seiten und ihren Gegenwinkeln- (3) sinb.sin O -- 8iuc.8iu8, Linc.8iuV — 8iu3.8iu0, sin3.Lin8 — Liuh.sinV. Bon der Trigonometrie. 243 IV. Zwischen vier neben einander liegenden Stücken. Fix. (4) 8lnL.cot6 — siua.cotc -I- c08 8.c08s, kin6.cvtL — 8inL. cotd 4- cos6.co8L, 8in6.cot^ — 8i»Il.cotn -I- cos cos», sinV.cotL — sinlr.cotc -I- cos V. cos la, sin V. cotL — sinc.coth 4- cos V-cosc, sinL.cotV. — sinc.cotu -r- cosL.cosc. Aus diesen zwischen je vier Stücken des sphärischen Dreyeckes bestehenden Gleichungen erfleht man sogleich , daß jedes Kugel- dreyeck im Allgemeinen durch drey seiner Bestandstücke gegeben ist, und daß sonach zwey sphärische Dreyecke im Allgemeinen vollkom¬ men gleich sind, wenn sie drey Stücke wechselweise gleich haben. §. 571. Won der ungemein großen Zahl der für die sphärischen Drey¬ ecke von den Geometern bisher gefundenen Gleichungen werden wir hier nur folgende aufnchmen, die sich dadurch vor vielen an¬ dern auszeichnen, daß sie zur logarithmischen Behandlung geeig¬ net sind. I. Der ersten der Gleichungen (1) kann man auch die Ge¬ stalt geben cos L._cos 8 cos 6 cos n --- —--, SIN 8 SIN 6 folglich ist , cos -V — cos 8 cos 6 -I- sin 8 sin 6 sin 8 sin 6 cos — cos (8 -8- 6) sin 8 sin 6 sin 8 sin 6-I-cos 8 cos 6 — cos^ 1 — coSL — —-. . ,,-- SIN 8 SIN 8 cos (8 — 6) — eos^. sin 8 sin 6 / od" nach §. 543. II. und §. 549. IV. cc>z2 — 81" 4 (-^4-8 -i- 6) sin H (8-1-6 — sin 8 sin 6 8in^ — 2 --- si" L (6-,-^ — 8) sin ^ (^ -1- 8 — 6) , ' sin 8 sin 0 16 * 244 Vierte- Hauptstück. Setzen wir der Kürze wegen (5) so übergehen diese Gleichungen in , i sin8.sin(8— (6) cos^-r-a — -. ,, . _—-, 8111 Ij 8IN 6 -21 8IN (8 — L) . 8IN (8 — 0) (7) LIN^ a — -—1-^-- . 5inL.8in6 Dividirt man die Gleichung (7) durch (6), so wird l 2 1» sin (8 — L) . 8IN (8— 0) multiplicirt man aber diese Gleichungen mit einander, so erscheint (9) sna a — -—8in 8 8in(8—^)8in (8 — R)8in (8—ch. 81NIZ81N(^ ' Zu diesen vier Gleichungen lassen sich durch bloße Ver¬ wechslung der Buchstaben auch die analogen für K und c finden. II. Ersetzt man in den eben gefundenen Gleichungen die Stücke -4, L, 6, -r des sphärischen Dreyeckes durch die Supplemente ihrer Gegenstücke d. i. durch 180" —rr, 180"—I), 180" —n, 180°—^, folglich, wenn man der Kürze willen (10) (a -t-1> -t- <-) 8 annimmt, die Größen 8, 8-^, 8-Ij, 8-0 durch 270° —s, 90"— (8 —a), 90"— (8—ch), 90°—(« — c); so ergeben sich nach höchst einfachen Reduktionen die Gleichungen (11) c»8^ -' /t— (» - °) 8in t> 81110 (12) 8111? — 008 8 . c»8 (8 — a) 8inK.8il16 (13) (14) - — — 008 8,008 (s —s) 1108 (8 — I>) . co8 (s — c) / 8IN — —1 - 2 — I / —r»8 8co8(8—s)cv8(8— 8int>,8>nc'' so wie c — (8--^)s--i(8-S) ° ' sin sin L S4S 8W z Lion der Trigonometrie- HI. Da (nach §. 542.) coL-^- (aEb) — co8-^-n. c<>8^-s»Isi sw-^-n.sin-^-d «iuE O^k) — sin 2 a-co8-x-Iii1ico8-^-Ä.8iii-^-I) ferner den Gleichungen (6) und (7) gemäß sinL.sin6 sin (8 — L) . sin (8 — 6) sin ii. sin 6 cos^ (nEd) sin 8-j-8in (8 6) sinj c sin 6 6 n j ( n E l>) sin (8 — li) E. ^in (8 — oos 4 o sin 6 ' SIN 6. SIN SW 6t, 8IN . 8IN^ ist; so ergibt sich durch Substitution dieser Ausdrücke LOS(L-t-k) 8'" 8^7si n (8 — 6) sin (8—si n ( 8—ü) sin 6 ' sin sin L sin-6 — -in(8—L) E «i n (8—^) sin 8 sin (8—6) sin 0 ' sinsin L folglich, w^l cos-'-c — 6' (8-<^) ' sin^sinlj 'st, Ferner haben wir (nach §. 549.) sin p E 8^1 l) — 2 8IN (p q) . cv8 (p g) , ^'her wird, wenn man noch die Gleichung rin 0 — 2 sin 6. c»8 (> b-rücksichiiget, i (-» Ed) - sin 4 (8 ^8 E6) . Los 4 (8E8^6) sin^6.cosj6 -N^E^d) sin z (8 - » E8 . cos 4 (8-8 7j78^ L.) "°^4L sin46.cosj6 Wenn man endlich der Gleichung (5) gemäß für 8 seinen eelh (E Ij schreibt, so erhält man die Gleichungen 246 Viertes Hauptstück. cos j- (-,-t-1>) eos^ (,^-»-8) s'nHe vv8jO (16) und der Seiten V, L; so findet man die Gleichungen (19) taug(u -i- b) — (^-->) cotc, 008 4(^-1-8) (20) tun^ -i- (n — k) -- (^-L) c, 8IN -i- L) 2 ' (21) tang^- (^-t-L) - (22) tnrrg^ (V-L) -- tariss-z-c, welche von ihrem Erfinder die Neper'schen Analogien (Gleich»!" gen) genannt werden. §. 572. Aus den eben gewonnenen Gleichungen lassen sich mehre" wichtige Eigenschaften der sphärischen Dreiecke folgern, von denen sich nachstehende auf die Crenzwepthe der Summe der Seiten und Winkel beziehen. I. Im sphärischen Dreiecke ist die Summe je zweier Seiten größer als die dritte. Man hat nähmlich in dem sphä¬ rischen Dreyecke V.K0 H E > 6 V > I) -t- 8 > 0. Man sieht auf den ersten Blick, daß der Beweis diescS Sah^ nur für den Fall zu geben ist, in welchem die größte Sei"? Bon der Trigonometrie, 247 wofür wir L annehmen wollen, mit der Summe der beyden anderen verglichen wird. In dieser Absicht betrachten wir die Gleichung , s>n 4 -i- 4 — it) - sin 4 L — L) (7) ' welche, weil sin 8 und «in 6 (nach §. i86) positiv sind, nur bestehen kann, wenn die beyben Factorcn des Zählers eincrley Zeichen haben. Nun sind aber diese Factoren zugleich positiv; denn sollte einer von ihnen z. B. sin-^-(^-i-8— 0) negativ werden, so müßte der Bogen —6 entweder negativ oder über 3600 ausfallcn. Das letztere ist unstatthaft, weil und 8 einzeln kleiner als 180°, also schbtt ihre Summe ^V-l-8, folglich um so mehr der kleinere Bogen -l-8— 6 geringer als 360" seyn muß. Könnte 8 — 0 negativ seyn, so bedingte dieß, da 8, 0 ihrer Natur nach (essentiell) positiv sind, daß folglich um so mehr 0 > 8 werde, wodurch be¬ wirkt würde, daß der andere Bogen —8 positiv ausfalle. Wäre demnach der eine Factor negativ, so müßte der andere un¬ bedingt positiv auftreten, was das Bestehen der Gleichung (7) vernichtet. Es kann also keiner von ihnen negativ seyn, sondern beyde sind positiv und sonach ist 8 > 0. 8. Die Summe der Seiten -es sphärischen Dreieckes ist immer kleiner als eine größte Rreisperipherie, oder kleiner als 360", nähmlich -t- 8 -l- 0 -< 360°. Denn damit die Gleichung »in 8 . sln (8— tb) eus- a — -^-7-—- " 8IN . 8IN 'ür a einen möglichen Werth liefere, muß ihr zweyter Theil po¬ sitiv seyn, welches, da sin (8 , sin8 und siul), wie wir i" i- zeigten, immer positive Großen sind, nur dann statt finden kann, wenn sin8 positiv, folglich 8 <180° ist, woraus . 28 360° oder K 8 -t- 0 < 360° folgt- 248 Viertes Hauptstück. kiss. III. Die Summe zweper Winkel des sphärischen Drepr eckes übersteigt den dritten Winkel um weniger als 180». Es ist nähmlich in dem sphärischen Dreyccke h -t- c — n 180° — 6 360° — u — 6 > 180° — c, woraus die aufgestellten Ungleichungen unmittelbar folgen. IV. Die Summe der wmkel eines sphärischen Dreieckes liegt zwischen 2 und 6 rechten Winkeln oder zwischen 180" und 540"; cs ist nähmlich 180° < u -l- 6 -l- c -L 540". Denn da die Seiten V, L, 0 des sphärischen Dreyecktk, also auch ihre Summe essentiell positive Größen sind, so hat man deßwegen und der Vergleichung (II.) gemäß O < L -i- L < 360", folglich, wenn man für Vie Seiten die Supplemente ihrer Gegni' winkel schreibt, 0 < 540" — (n -l- 6 -t- c) 360», woraus sogleich 180° < » -i- h -l- c 540° folgt. 573. Zwischen den im sphärischen Dreyccke befindlichen Gegen¬ stücken bestehen folgende allgemeine Beziehungen. I Im sphärischen Dreiecke liegen gleichen Seiten gleiche Winkel, den größeren Seiten aber die größeren Winkel, unt umgekehrt gegenüber; nähmlich im sphärischen Dreyecke besteht die Vergleichung — I> mit u — 6, V > L mit g >- h, V < II mit s nj6 die Nenner cc>8 c und 8in L der beyden gleichen Brüche, weil c und 6 zwischen 0 und 180" liegen, absolut positiv sind; so müssen auch ihre Zähler 8in-^(n —h) und 8m-^ (A —8), also auch die Bogen n—K und /V —8, welche wegen §. 486 unter 180° liegen, gleichzeitig positiv oder negativ ausfallen, woraus erhellet, daß die Vergleichung > 8 mit a > s> und < 8 mit a c d zusammengehört. Wird ferner einer der Zähler Null, so muß, weil keiner der Nenner Null werden kann, auch der andere Zähler in Null übergehen; folglich bedingen die Gleichungen -V — 8 und a — K einander gegenseitig. 8. In dem sphärischen Drepecke ist die Summe zweyer Seiten mit der Summe ihrer Gegenwinkel gleichartig, d. h. zugleich entweder größer, oder eben so groß, oder kleiner als 180"; nähmlich es besteht die Vergleichung V -l- ll —180° mit a -l- h — 180° 8 > 180° mit s -t- h > 180° -t- 8 < 180° mit a -t- h 180°. Denn in der Gleichung (15) v08tz (kl -l- k) — 608 z -s- R) 8iik «; c»8 6 sind die Nenner 8nr-^-c und cos-^-0 der zwey gleichen Brüche positiv, folglich müssen ihre Zähler cos-^- (n -t-k) und ' o«-t-L) stets gleiche Zeichen besitzen, daher auch die Bo- und-^-(^ -t-8) gleichzeitig unter oder über 90°, mithin und .4.-1-8 zugleich kleiner oder größer als 180° "m. Die Vergleichungen ^4 ch 8 >-180° und n -t- h > 180° -t- 8 < 180» und s -t- h > 180° demnach wechselweise aus einander. 2Z0 Viertes Hauptstück. Ist endlich einer der Zähler Null, also einer der Bogen 3 l-h oder ^4-8 gleich 180", so muß, weil kein Nenner Null werden kann, auch der andere Zähler in Null übergehen; es bestehen sonach die Gleichungen 4-8---180» und 34-K---I8O0 stets mit einander. §. 574. I, Die im Vorhergehenden au-sgemittclten Gleichungen wollen wir nun zuvörderst zur Auflösung der rechtwinkeliye» sphärischen Drepecke benützen. Diese können entweder drey oder zwey oder einen rechten Winkel haben. Bey den ersteren sind auch alle Seiten Quadranten; in den zweyten sind die den rechten Winkeln entgegenstchenden Seiten Quadranten, und die dritte ist das Maß ihres Gegenwinkels; cs bleibt demnach in beydcn Arten von rechtwinkeligen Dreyecken nichts zu be¬ stimmen übrig. Aus diesem Grunde werden wir hier nur jene Km geldreyecke untersuchen, welche bloß einen rechten Winkel besitzen- Bezeichnen wir zu diesem Zwecke den rechten Winkel mit c, die Hypothenuse mit 8, die beyden Katheten mit und st und die beyden schiefen Winkel mit 3 und b, so werden wir, um die Hauptgleichungen des rechtwinkeligen sphärischen Dreyeckcs aufzustellen, in den fünfzehn für die sphärischen Dreycckc (§. 570.) ausgestellten Hauptglcichungcn c—90" und setzen; dadurch erhalten wir die Gleichungen Bon der Trigonometrie. 25 t Dieselben Gleichungen findet man aber auch unmittelbar aus kix. 128, wo das Kugsldreyeck NklX bey 8 rcchtwinkelig 128, ist, indem man durch iX auf die Gerade ON die Ebene MO senkrecht legt, welche demnach (§. 468.) auf der Ebene NL8 senkrecht steht und sich mit der auf eben dieser Ebene senkrechten Ebene iXO8 in der Geraden iXO schneidet, die (471) mit OK und OK rechte Winkel bildet. Dadurch wird der Winkel IXKO-n 60 — co8 ^X, iXO — «in X OK — cos II, iXK — 8iii II- Sofort liefert das bey k rcchtwinkelige Dreycck OKO (8- 561) die Gleichungen OK—OO.cosk oder cosk —cos^x.cosk (1.) KO —00.8111 8 — co« ,x, 8in 8 --- OK. tanz 8 — co8 8. tnnx 8 , und das rechtwinkelige Dreycck IXOK iX 0iX'k. «in » oder «in^X--- sink, «in n (4.) KO —iXk.c08L oder cos L — tanz 8. cot k (5.) ^XO —KO.tLNAN oder sink — tnn»^/X.cot» (6.) Die noch fehlenden Gleichungen (2.) und (3.) lassen sich aus den bereits gefundenen sehr leicht ableiten. Man kann sich aber zu diesem Behufe auch der in kig. 132 angedeuteten Construc- 132. tion bedienen, nach welcher ^8 und IK die Pole der Katheten und 8, n und 6 aber jene der Quadranten IKK und tX/O sind, wodurch die Dreyecke und 8^II> bey 8 und I recht¬ winkelig ausfallen. Wendet man auf eines derselben, etwa auf das letztere, die Gleichungen (4.) und (6.) an, so ge¬ ben sie «in cck -- sin^XOsin 6, sin 18 — tnn^nOcotli, folglich, weil k-90° —A —-X, 18^-900 — 11 ist, c08L^-CO8^ . siu6 (2.), cosk — cotn.cotli (3.) H- In diesen einfachen, zwischen je drcy Stücken des kcchtwinkcligen sphärischen Drcycckcs bestehenden, zehn Glei¬ tungen, welche überdicst zur logarithmischen Behandlung ge- 2Z2 Vierte; Hauptstück. t'-'ss- eignet sind, ist die ganze Auflösung der rechtwinkeligen sphä-. rischen Drcyecke enthalten, da man mittelst derselben zu jeden zwcy gegebenen Stücken dieser Drcyecke die drey anderen be¬ stimmen kann. Diese Gleichungen lassen sich auch durch beson¬ dere und leicht aufzustellende Sätze ausdrücken, die jedoch Las Gedächtniß zu sehr in Anspruch nehmen, als daß wir sie nicht nach Nepcr's Anleitung in einen einzigen Satz vereinigen sollten. Läßt man nähmlich in dem bey IV rechtwinkeligen Drcyecke 128. NlrsX, 128. den rechten Winkel U außer Acht, und nimmt von seinen fünf Stücken /V, L, a, b,8 was immer für drcy Stücke, so lie¬ gen entweder alle drey unmittelbar neben einander, folglich eines zwischen den beyden andern, oder cs befinden sich bloß zwey Stücke neben einander, während das dritte von ihnen getrennt ist. Nennen wir nun jenes mittlere, so wie dieses abgesonderte das Mittelstü'ck, die im ersten Falle rechts und links an das' selbe anstoßenden Stücke aber die anliegenden, und die im zweyten Falle an einander grenzenden, die gegenüber liegenden Stücke; so zeigt sich, daß in den obigen Gleichungen, von dem Mittelstücke und den gegenüber liegenden Stücken durch¬ gehends nur der Sinus und Cosinus, von den anliegenden Stücken aber bloß die Tangente und Cotangcnte vorkommen. Diese Gleichungen können jedoch auch so gestaltet werden, daß von dem Mittelstücke nur der Sinus, von den anliegenden Stücken bloß die Tangente, und von den gegenüber liegenden nur der Cosinus in die Rechnung kommt. Man erhält nähmlich zwischen dem Mittelstücke und den anliegenden Stücken die Gleichungen siu — tairx L. tung (90" — b) sirr L — tang . tunss (W" — «in (90o __ A) — L. tLirg (90" — H) sin (90" — b) — . taug (90» — U) «in (90" — U) -- wnA (90° —n) . tunx (90° — b) s ferner zwischen dem Mittelstücke und den gegenüber liegenden Stücken die Gleichungen Won der Trigonometrie. 253 8in^^co8(90° —.i).co8(90°-H) iH 8M L -- co8 (90» — h) . cos (90° — N) 8in (90°-^-») — ev8^.co8 (90°—k) xin (90° —6) — ev8 L. cv8 (90° — 2) 8in (90° — H) — cv8 V. co8 IZ. Aus diesen Gleichungen erhellet klar, daß, wenn man die Katheten^, L, wie sie sind, von den übrigen drcy Stücken aber ihre Complcmcnte 90° — 2, 90° — si, 90° H in die Rech¬ nung nimmt, folgender unter dem Nahmen »Nepeichche Re- gel° bekannte Satz gilt. Im rechtwinkeligen sphärischen Dreyecke gleicht der Sinus des Mittelstuckes sowohl dem Produkte der Tangenten der anliegenden, als auch dem Produkte ter Cosinus ter gegenüberliegenden Stücke. Um daher aus zwey bekannten Stücken eines rcchtwinkeli- gen sphärischen Dreyeckcs eines der anderen Stücke zu bestim¬ men, wird man dieses mit den beydcn bekannten nach der Neper'schcn Regel in eine Gleichung bringen, und hieraus daS verlangte Stuck berechnen. §. 575.' Die Auflösung der LUmdranten-Orepecke, d. i. derjenigen, in welchen eine Seite ein Quadrant ist oder 90° hält, läßt sich auf die ter rechtwinkeligen sphärischen Dreyecke zurücksührcn, da man bloß ihre rechtwinkeligen Polar-Dreyecke in die Rechnung ZU nehmen hat. Dasselbe gilt auch von den gleichschenkeligen und gleich- sittigeir sphärischen Orcpecken, da der, die Mitte der Grundlinie mit der entgegen liegenden Spitze verbindende, größte Kreisbogen, lvie sich leicht Nachweisen läßt, auf der Grundlinie senkrecht steht, den Winkel an der Spitze halbirt und das Dreycck in ?wey kongruente rcchtwinkelige Dreyecke zertheilcr. §. 576. Eben so ließe sich die Auflöiung der schlesttünkeligen sphärischen Drepccke auf jene der -rechtwinkeligen bringen, " man jedes schiefwinkclige sphärische Dreyeck durch einen auf Grundlinie senkrecht gezogenen Bogen in zwey rcchtwinke- 254 Viertes Ha up «stark. Hx. lige Dreyecke zcrtheilen kann, von denen das eine zwey der ge¬ gebenen Stücke des schiefwinkeligen Dreyeckes enthält. Mein die hiezu ernzuleitenden Rechnungen erhalten in den meisten Fällen eine zu große Ausdehnung, wovon sich der wißbegierige Leser durch eigene Versuche überzeugen kann, weßwegen wir die schiefwinkeligen sphärischen Dreyecke unabhängig von den rrchtwinkeligen auflösen werden. Um' solche Dreyecke aufzulösen, müssen, da die Grund¬ gleichungen derselben zwischen vier Stücken bestehen, noth- wendig drey Stücke gegeben seyn, aus denen die übrigen drei- berechnet werden. Die bey ihrer Auflösung vorkommenden Fälle lassen sich am'einfachsten nach den bekannten Stücken ordnen, wodurch man folgende sechs Fälle erhält. Es können nahmlich gegeben seyn: I. Drey Seiten; II. Drey Winkel; III. Zwey Seiten und der eingeschlossene Winkel; IV. Zwey Winkel und die eingcschlossene Seite; V. Zwey Seiten und ein Gegenwinkel; VI. Zwey Winkel und eine Gegenseite. Diese Fälle wollen wir einzeln durchgehen, und dabcv wo möglich jedes Stück aus den gegebenen unmittelbar be¬ rechnen. l. Fall'. Gegeben seyen: die drey Seiten 8, 6; gesucht werden: die drey Winkel a, si, c. Ohne Rücksicht auf Anwendung der Logarithmen hat nia» zur Bestimmung des Winkels a die Gleichung eos^— vos R.eo8 6 ros a—-- SIN L .SIN L Will man sich der Logarithmen bedienen, so berechne nw" zuvörderst 8 aus 255 tNN" -——-—t/ — cos s cos (s—a) cos (s—k>) cos (s c) LIN d .SIN c ' Welcher von diesen Ausdrücken eine größere numerische Schärfe gewährt, wird nach den bey dem ersten Falle gegebenen Regeln entschieden. Von der Trigonometrie. hierauf s aus einer der Gleichungen i , «in (8—L).sin(8— 6) s>N L — «InIj.slnL SIN 8 . SIN (8 — L) cos — a --- ^/ L ,sin o i /-sin(8 — L).sint8 — 6) 2-3—^ «in Z . «in (8 — sin a------ .Z . V^sin8sin(8—^)sin (8—I5)sin (8—L). mn Ij. sin 6 Was die Genauigkeit der Rechnung in besonderen Fällen anbelangt, so ist es besser den Sinus des halben Winkels zu berechnen, wenn der zu bestimmende Winkel sehr klein aus¬ fällt, den Cosinus aber, wenn dieser Winkel nahe an 90° ist. Bey der Anwendung der Tangente ist diese Rücksicht über¬ flüssig. Bestimmt man den Sinus des ganzen Winkels, so bleibt noch mit Hülfe der ersten Gleichung zu entscheiden, ob der Winkel spitzig oder stumpf ist. H- Hall. Gegeben sind: die drey Winkel a, b, c; gesucht werden: die drey Seiten 8, 6. Für die Seite hat man , cos L cos I>. cos e cos —--, SINL.SIN0 welchen Ausdruck man jedoch nur bey Substitutionen gebraucht. llm die Logarithmen anzuwenden, bestimmt man zu- nächst § aus s — (a -t-1) -l- c) , ^fort nach einer der Gleichungen . . cos s. cos (s — s) 8IN- -«inv.sin^ , . . cos(s—d) .eos(s —c) cos-r-^.—--- sin l>. sine . , cos s. cos (s — n) öos(s—d) cos(s-e) «in L ? 256 Alertes Hauptstück. IH. §all. Gegeben seyen: zwey Seiten und L mit dem eingeschlossenen Winkel c; gesucht werden: die dritte Seite 6 und die beyden andern Winkel a und h. 1. Die dritte Seite 6 findet man aus der Gleichung, co8 6 — cos c 8Üi 8iu L -I- cO8 . co8 L. Um diese Gleichung für die logarithmische Behandlung ein- -»richten, verwandelt man sie in co8c — cc>8L (c08 c.tau^L. 8iu.^ -si co8^) und wählet einen Winkel x so, daß, co8 c tsux L — x ist; dieß macht „ cos L . cos (.4 — x) Man bestimmt daher zunächst X aus tuu^ X — cO8 c. taug L, . cos L . cos (-L - x) dann aus c08 —---. cvs x 2. Die beyden Winkel a und h berechnet man am ein¬ fachsten mittelst der Neper'schen Analogien, man sucht nähmlich 4- (a -j- h) aus tau- (u -t- 6) — - aus (-r-b) -- ^^-^.cot-2-o. Die Summe dieser Werthe gibt sofort den Winkel s, ihre Differenz aber k. lV. ^fall. Gegeben seyen: zwey Winkel a und 6 mit ihrer Zwischenseite 6; gesucht werden: der dritte Winkel c und die beyden andern Seiten und 8- 1. Der dritte Winkel c wird mittelst der Gleichung cos c — cc>8 6 . gin L . 8>n h — c08 L - c«8 d berechnet. Will man sich der Logarithmen bedienen, so gebe man du« ser Gleichung die Form cor c- cnx h (oo8 6. tanxh. 8i'n a — cns a), Wo» Lee Trigonometrie. 257 und nehme- cos 6. tanxl- — tnnKx, wodurch eosd. cos (s4-x> .. cosc —— .-—— wird. cos x Man berechne demnach zuerst x aus innA x — cos 6 tung ll, cos k . cos (s 4-x) dann c aus cos c —-- ' cos x 2. Zur Bestimmung der beyöen Seiten X und 8 be¬ rechne man -r- -e- L) aus tanx 4- -t- L) -- - tanx 6, (^-8) aus tunx4- (4-8) - 6, wornach man die Seite 4 durch Addition, und die Seite 8 durch Subtraction dieser Werthe findet. V. Hall. Gegeben sind: zwey Seiten 4 und 8 mit dem Gegenwinkel a; gesucht werden: der andere Gegenwinkel K, die dritte Seite 6 und ihr Gegenwinkel c. 1. den Gegenwinkel b berechnet man aus - , SIN8. SINS Srno —-. . —. sin Da jedoch der hier gefundene Sinus von ll nicht zu ent¬ scheiden vermag, ob der Winkel k>, wofern er kein rechter wird, über oder unter 90" ist; so erforsche man zuerst, ob die gegebene Seite 8 großer oder kleiner als 4 ist. Da nun (nach §. 573. 1.) der größeren Seite der größere Winkel entgegen liegt, so muß "uch der Winkel b im ersten Falle größer, im andern kleiner al§ '' seyn. Man untersucht daher, welcher von den zwey für d an¬ nehmbaren Winkeln dieser Forderung entspricht. Leistet nur einer ihnen Genüge, so ist sowohl dieser Winkel t> als auch das ^"yeck selbst bestimmt; genügen aber beyde Werthe, so besitzt n Dreyeck zwey Gestalten, d. h. es gibt zwey verschiedene ^eyecke, welche die gegebenen Größen enthalten. veS«M«th.H.'V. 17 I'iss. 258 Viertel H a u p tstü ck. kix. Mit dem gefundenen Winkel k berechnet man sofort 2. die dritte Seite L aus der Ncpcr'schen Analogie cos4(s-i-t>) , , sin^(L^-b) . r>, tÄng-^-L—— 7) tanx^- (V-t-8) — -—-. (^-8) oosj(L-d) °' sm^(a-k) und 3. ihren Gegenwinkel c aus . cosj(^ — 8) . , 8>n4(^ — 8) .i, VI. ^all. Gegeben seyen: zwey Winkel L und 8 mit der Gegenseite gesucht werden: die Gegenseite 8, der dritte Winkel c und seine Gegenseite L. 1. Die Gegenseite 8 findet man aus der Gleichung - sinb.siii^ rm8 —-:-. sm L Auch hier untersucht man zuerst/ ob b größer oder kleiner als a ist, und schließt (nach §. 573.1.), daß auch 8 im ersten Falle größer, im andern kleiner als V seyn muß. Genügt die¬ ser Forderung nur einer der zwey für 8 annehmbaren Werthe, so ist das Dreyeck bestimmt; besitzen jedoch beyde diese Eigen¬ schaft, so hat das Dreyeck zwey verschiedene Formen. Kennt man die Seite 8, so berechnet man 2. den -ritten Winkel c aus . i cos4(^ —8) ,, sinj — 8) . , l,^ langcot-z-(L-t-I)) --- . 7 cot-(s-o> cosj(HL) sm^(^^-L) und 3. seine Gegenseite 6 aus ,-n^c- LEK. i^c^s) - LKL^K. cv8j(a—ü) > Linj(a—b) §. 577. Es erübriget uns noch, die Richtigkeit der in den beydcn letzten Fällen erwähnten Untersuchungsweise der Bestimmt^ oder Unbestimmtheit des sphärischen Dreyeckes darzulegcn. In dem fünften Aalle wird der Winkel i> entweder einen/ oder zwey auf 180° sich ergänzende Werthe erhalten, je nm' dem die dritte Seite 6, folglich auch der^ritte Winkel c eine" Don brr Trigonometrie. 259 oder zwey Werkhe anzunehmen vermag. Um zu erforschen, un- ter welchen Bedingungen dieses oder jenes statt finde, betrach¬ ten wir den Ausdruck dieser dritten Seite tanK- L - tanA (ä. -t- L). —o) Soll nun nicht bloß der Winkel k, sondern auch sein Sup¬ plement 18l)o — K zulässig seyn, so sey der dieser Annah¬ me entsprechende Werth der dritten Seite 6; dadurch verwan¬ delt sich dieser Ausdruck in folglich hat man tsnA 2 0 «in j (s -l- b) eos 4 (°r -s d) sin (d -h s) iSNA tz O' 8IN j (d — s) 008 j (l>—s) 8IN (d—s)' Da L und 6^, wenn sie Seiten des sphärischen Dreyeckes seyn sollen, nothwendig kleiner als 180°, also tan§ 6 und tanx 6^ positiv seyn müssen; so zeigt sich, daß die Seite 6 entweder nur einen oder zwey Werthe erhalten kann, je nach¬ dem der Quotient 8IN (b -j- s) 8IN (b— g) negativ oder positiv ausfällt, folglich, je nachdem die Ver¬ gleichungen K n und d -s- n 180° oder L n und k -i- a 180° Zusammen bestehen. Es ist demnach der Winkel K, also auch das sphärische "-reyeck selbst bestimmt, wenn K a und 180° —1> s d. h. wenn von den beyden auf 180° sich ergänzenden d erthen des Winkels d nur der eine der (nach §. 573. I.) " ) die Seiten k und bedingten Forderung, größer oder "ncr als der Winkel a zu seyn, entspricht. 17 * 260 Viertes Hauptstück. ki§. Dagegen nimmt der Winkel t> zwey Werthe, folglich das sphärische Dreyeck zwey Formen an, wenn K a und 180" —k a ist, d. h. wenn beyde auf 180° sich ergänzende Werthe des Winkels b zugleich größer oder kleiner als a ausfallen. Dadurch ist die für den fünften Fall vorgezeichnete Unter¬ suchungsart gerechtfertiget. Auf dieselbe Weise kann man auch die Richtigkeit der für den sechsten Fall angegebenen Untcrsuchungsmethode darthun, was wir jedoch dem Eifer des Lesers anheim stellen. §. 578. Zum Schluffe wollen wir noch den Flächeninhalt des sphä¬ rischen Dreyeckes ^86 durch die dasselbe bestimmenden Stücke auszudrücken suchen. Zu diesem Zwecke betrachten wir zunächst I. den Fall, rvo die drep Winkel a, K, c gegeben sind. Erweitern wir die Seiten des Dreyeckes ^86 zu vollen Kreisen, so entsteht ein demselben diametral entgegen liegendes Dreyeck aflc. Obgleich nun diese Dreyecke gleiche Winkel und Seiten haben, so lassen sie sich doch keineswegs durch schick¬ liches Uebereinanderlegen zur wechselseitigen Deckung bringen. Dessen ungeachtet gleichen dieselben einander am Flächenin¬ halte oder sind gleich groß; denn vereiniget man die Pole der zwey unter sich parallelen und congruenten kleineren Kreist/ von denen der eine durch die Spitzen deS einen, der andere durch jene des anderen Dreyeckes geht, mittelst größter und (nach §. 104. I.) gleicher Kreisbogen mit diesen Spitzen; st wird jedes Dreyeck in drey gleichschenkelige Dreyecke zer¬ schnitten. Da nun die dreyeckigen Bestandtheile des einen Drey- rckes mit jenen des anderen wegen der wechselweisen Gleichheil der Seiten congruiren, so sind auch die Flächen der ganze" Dreyecke gleich. Nennen wir, zur Abkürzung der Rede, das von zwey hal¬ ben größten Kreisen eingcschlossene Stück der Kugelfläche ein sphärisches Zrvepeck, so sieht man leicht, daß die zu Vollkreist" Von der Trigonometrie. 261 ausgestreckten Seiten des Dreyeckes die Kugelfläche in 6 k'is. Zweyecke LädkL, LvbW; 6ec56, 134. zerschneiden, welche paarweise congruiren, diametral gegenüber liegen, die Winkel L, Io, c enthalten, und von de¬ nen jedes eines der beyden gleich großen Dreyccke nloc und in sich faßt. Daraus erhellet, daß von der Summe aller sechs Zweyecke, in welcher das Dreyeck sechsmahl vor¬ kommt, die Kugelfläche, auf der dieses Dreyeck nur zwey- mahl liegt, um vier solche Dreyccke übertroffen wird. Bezeich¬ nen wir nun mit a, Io, c die Längen der die Winkel n, Io, c des Kugeldrcyeckes ^.86 messenden größten Kreisbogen, wenn der Halbmesser der Kugel—1 angenommen wird; so sind ar, kr, cr die Längen derselben Bogen, wenn der Kugelhalb- mester —r ist. Sofort sind die Inhalte der die Winkel a, lr, c enthaltenden Zweyecke (nach §. 500.) beziehungsweise 2r.»r , 2r.br , 2r.cr; demnach ist die Summe aller sechs Zweyecke — 4r? (n -t- Io -s- c). Weil ferner (nach §. 497. I.) die Kugelfläche — 4nrr^ ist, so muß, wenn 5 den Inhalt des Dreyeckes verstellt, 4r^ (L-t-Io-l-c)—4?rr^ —45, 5 — (ab-t-c— ?r) Man findet daher den Flächeninhalt eines sphärischen -dreyeckes, wenn man den in Bogenlänge für den Halbmesser 1 verwandelten Ueberschuß der Summe aller drey Winkel über öwey rechte, — welcher gewöhnlich der sphärische Epceß des reyeckes genannt wird — mit dem Quadrate des Kugelhalb- messers multiplicirt. Nimmt man den Kugelhalbmesser zur Linien-Einheit, also *^1/ so wird d- h. der inMuadrat-Rugelhaldmessern anzugebende jFlä¬ cheninhalt eines sphärischen Dreyeckes gleicht dem sphäri¬ schen Excesse desselben. 262 Vierte« Hauptstück. I'ix. Sind nun die Winkel eines sphärischen Dreyeckcs, wie 134. eS gewöhnlich geschieht, in Graden, Minuten und Secunden ge¬ geben, so wird man entweder zu jedem einzelnen die für den Halbmesser 1 ihm angehörige Bogenlänge suchen, und die Summe dieser um 7r— 3,1415926 vermindern, oder man wird von der Summe der Winkel vorerst 180° abziehcn, und zu dem erhaltenen Ueberschusse die Bogenlänge für den Halbmesser 1 be¬ stimmen; die so gefundene Zahl ist der sphärische Erceß des Dreyeckcs und gibt den Flächeninhalt desselben in Quadrat- Kugelhalbmesscrn an, daher man diesen Inhalt auch leicht in jeder andern quadrirten Linien-Einheit erhält, wenn man das Quadrat des mit dieser Einheit gemessenen Kugelhalbmessers mit dem sphärischen Excesse vervielfacht. Nun ist nach der im Anhänge befindlichen Tafel die Länge eines Bogens von daher von 77° 16' 16" -- 1,348634, mithin der sphärische Exceß oder der in Quadrat-Kugel- Halbmessern ausgedrückte Inhalt des sphärischen Dreyeckcs --1,3486. Wäre dieser Kugelhalbmesser —3,14 Schuh, so wäre de- Dreyeckcs Inhalt-1,3486. (3,14)---13,297 Quadralschuh- Won der Trigonometrie. 263 II. Sind die Seiten L, 0 des sphärischen Dreieckes kix. gegeben, so kann der in quadrirten Kugelhalbmefsera ausge- drückre Flächeninhalt I auf folgendem Wege gefunden werden. Nach I. ist L-t-h-t-c— er-t-s und folglich auch, wenn die halbe Summe der Winkel mit s bezeichnet wird, s — -;-7r -l--^s. woraus, nun den letzten Factor dieses Ausdruckes zu beseiti¬ gen b . - —. sm c SIN s Ferner haben wir vermög §. 571. Gl. (14) -. „,coss.cos(s—L)cos(s—b)co8(s—c) ; 8IN^ ü 81N weil CO8 8 — —8111-^-5 ist, I gin?^ sin ^ d. sin^o _ 4 ' cos (s — g) cos (s — d)coz(s—o) folgt. Um S-d) . ' gina, sind wodurch wir . cos-r-L. c»8-z-0.8in ^-s--- "halten. Nehmen wir endlich noch darauf Bedacht, daß nach r- 568 Gl. (III.) lind §. 571. Gl. (9) sind sinL gin a gin '«in'T^Z 8. sin (8 — ^) sin (8 — L) sm (8—L) 264 Vierter Hauptstück. k'iss. ist, so finden wir - I <. SIN 8. sill (8 — . «in (8 — 8) . 8!N(8 —6) * 2 co8 j . ov8 j 8 . cv8 j 6 III. Soll der Flächeninhalt des sphärischen Dreyeckes aus zwep Seiten V, L und dem von ihnen eingefchlossencn Winkel c bestimmt werden, so berechne man a-l-b nach der ersten Neper'schen Analogie (§. 571) und substituire in die Gleichung f—L-t-Ir-1-c — 7r. IV. Sind zwep Winkel a und h mit ihrer Zwischen- scite 0 gegeben, so berechne man den dritten Winkel c (nach §. 576. IV.) und substituire in I — a-t-h -e-c — 7r. V. Soll aus zrvep Seiten V, L und einem ihrer Gegen- winkel L der Flächeninhalt bestimmt werden, so suche man die beyden Winkel Ir und c nach den Gleichungen - , ,ina.8>n8 i cv8j(^—8) .i>, LLN d — -—, taiiss v-v cot (a4-b^, 5in.< ° co8j(^-h8) und setze ihre Werthe kn die Gleichung I— L -k-h -t- c —er. VI. Ist der Inhalt aus zwep Winkeln s, b und einer Gegenseite V zu berechnen, so bestimme man den dritten Win¬ kel c mittelst der Gleichungen -D 8lnb8inX . i co84(^ — 8) . i LIN L — ——-, tÄNA-;-c — —. cot-^-(o 4- v-, -iin » ° VO8 4 ch 8) und substituire denselben in die Gleichung I—L-l-h-I-o — ?r. Aus diesen in I. bis VI. gefundenen Gleichungen wird die Größe I zuerst in Graden, Minuten und Secunden berech¬ net, hierauf in Bogenlänge für den Halbmesser 1 verwandelt, wornach sie den Flächeninhalt des sphärischen Dreyeckes »' quadrirten Kugelhalbmcssern angibt. Anmerkung. Es wird den Anfängern überlassen, zurUcbuus über die in §- 574, 575, 576 und 578 allgemein aufgelösten Aus¬ gaben sich numerische Beyspiele aufzusetzen. Don der Trigonometrie. 265 §. 57S. Nx. Die Anwendung der sphärischen Trigonometrie erstreckt sich vorzüglich über die theoretische Astronomie, mathematische Geogra¬ phie, Nautik und Gnomonik. Damit der nach höheren Kennt¬ nissen strebende Schüler zum Lheil einsche, wie dieses geschehen könne, damit er einen Vorgeschmack von diesen ebenso erhabe¬ nen als nützlichen Wissenschaften erhalte, und damit er endlich bey den einfacheren Aufgaben derselben seine Kräfte versuche, wollen wir einige der vorzüglichsten Kreise, Linien undPuncte, welche bey der scheinbaren Himmelskugel betrachtet werden, er¬ klären und mit den eingcführtcn Benennungen derselben aufstel¬ len, dann die Auflösung einiger der nützlichsten Aufgaben hierüber aus einander setzen, und damit dieses Hauptstück beschließen. IV. Abschnitt. Begriffe von der Erd- und Himmelskugel, nebst Anwendung derselben auf die Lösung einiger der nützlichsten Aufgaben. §. 580. Mathematische Eintheilung der Erd« und Himmelskugel. I. Die Erde kommt in ihrer Gestalt einer Kugel sehr nahe, da selbst die größten Unebenheiten und Ausbiegungen ihrer Ober- flache, die höchsten Berge, wie die tiefsten Thäler in Vergleich mit ihrem (bey 6713223 Wiener Klafter großen) Durchmesser als höchst unbedeutend verschwinden. Diese Erdkugel scheint unS in der Mitte einer anderen hoh¬ len Kugel, die wir gewöhnlich den Zimmel, das Firmament oder die Zimmelskugel nennen, so zu schweben, daß beyde Kugeln ei- nerley Mittelpunct haben. 266 Vierter Hauptstück. k^ix. An der innern Fläche dieser Himmelskugel sind ferner die Sonne, der Mond und die Sterne, welche insgesammt die welt- oder Himmelskörper heißen, dem Anscheine nach befestiget. II. Beobachtet man diese Himmelskugel durch einige Zeit ununterbrochen, so nimmt man bald wahr, daß sie sich scheinbar mit allen Weltkörpern höchst gleichförmig und stets nach einer be¬ stimmten Gegend hin um einen unbeweglichen Durchmesser dreht. Obgleich alle diese Erscheinungen nur Täuschungen unseres Auges sind, da es in der That keine Himmelskugel gibt, folglich auch die Wcltkörpcr nicht auf der inneren Fläche derselben haften, sondern im Gegenthcile diese Körper in dem unermeßlichen Welt¬ räume nach verschiedenen Richtungen in eigenen Bahnen und mit mannigfaltiger Geschwindigkeit sich bewegen, während jener scheinbare Umschwung der Himmelskugel eigentlich durch die Dre¬ hung unserer Erde um einen ihrer Durchmesser hervorgcbracht wird: so pflegt man doch in der Astronomie bey vielen, die gegen¬ seitige Lage der Weltkörper betreffenden Betrachtungen und Be¬ rechnungen, die Erde für fest stehend und jene eingebildete Him¬ melskugel sammt ihrer scheinbaren Umdrehung als wirklich vor¬ handen anzunchmen, weil man auf diesem Wege leichter zu den¬ selben End-Resultaten gelangt, welche man aus den wirklichen Stellungen und Bewegungen der Himmelskugel erhalten würde. III. Derjenige sire Durchmesser der Himmelskugel, um wel¬ chen sie sich scheinbar dreht, heißt die Wellachse, ihre Endpunkte werden die Weltpole, oder auch nur schlechthin die Pole, und zwar der bey uns sichtbare der Nordpol, der andere der Südpol genannt. Jener Theil der Weltachse, welcher in der Erdkugel liegt/ heißt die Erdachse, und die Puncte, in denen sie die Erdoberfläche trifft, heißen die Erdpole, und zwar übereinstimmend mit den Wcltpolen, der Nord- und Südpol der Erde. Der auf der Weltachse senkrechte größte Kreis heißt d" Aequator, und wird ebenfalls in den Himmels- und Erd- Aequator abgethcilt. Er zerschneidet die Himmels- und Erdkugel in die nördliche und, südliche Halbkugel (Hemisphäre)- Leder 119. Von! der Trigonometrie. 267 auf der Weltachse senkrecht stehende kleinere Kreis heißt ein Nx. parallelkreio. In kix. 119 bezeichnet -MIIM^ den Umring der Himmelskugel, AM die Weltachse, AI den Nordpol, iX den Südpol; der Kreis über den Aequator, und der Kreis über M oder 61? einen Parallclkreis. IV. Die Richtung der Schwere in dem Orte des Beobachters, d. i. diejenige Gerade, welche ein Punct eines an diesem Orte srey fallenden Körpers durchläuft, geht durch den Mittelpunkt der Erde, und trifft mit ihrer Verlängerung die Himmelsfläche in zwey Puncten, von denen der über dcm Harrpte deS Beobachters liegende der Scheitelpunkt oder das Zenith, der andere der Fußpunct oder das Nadir heißt. Diese Richtung der Schwere wird die vertikale oder die verticallinw des Beobachtungsortes genannt. Der durch daS Auge des Beobachters auf derselben senkrecht gedachte kleinere Kreis heißt der scheinbare, der auf ihr senkrechte größte Kreis aber der wahre oder astronomische. Horizont. Er thcilt die Him¬ melskugel in die (für den Beobachter) sichtbare und unsichtbare Halbkugel. V. Der durch die Weltachse und die Werticallinie gezogene größte Kreis steht auf dem Aequator und Horizonte senkrecht, und heißt Mittagskreit, oder Meridian. Er theilt die Himmelskugel in die östliche und westliche Halbkugel, und wird durch die Weltachse in zwey Halbkreise zerschnitten, von denen jener, wel¬ cher das Zenith enthält, der obere, der andere der untere Meri- dran genannt wird. Der Durchschnitt des Meridians mit dem Horizonte ist die Nittagslittie, von deren Endpunkten der in der südlichen He¬ misphäre liegende der Südpunct, der entgegengesetzte der Nord- punct heißt. Die Durchschnittslinie des Aequators mit dem Ho¬ rizonte heißt die Oft-Wcst-Linie, und endiget sich in zwey Punk¬ ten, von denen der eine der Ost-, der andere der Westpunct ge. 268 Vierte« HauptstüS. kix.nannt wird. Diese vier Puncte heißen die Cardinal-puncte, theilen den Horizont in vier Quadranten, und folgen dergestalt auf einander, daß, wenn man sein Angesicht dem Südpuncte zu¬ wendet, der Ostpunct links, der Wcstpunct rechts, und der Nord- punct im Rücken liegt. Die in der Nähe der Cardinal-Puncte liegenden Thcile des Horizontes heißen die vier Himmelsgegenden: Osten oder Morgen, Süden oder Mittag, Westen oder Abend, Norden oder Mitternacht. Der zwischen dem Horizonte und dem nächsten Pole liegende Theil des Meridians wird die Polhöhe des Besbachtungsortes, ihr Complement, nähmlich der Abstand dieses Polcs von dem Ze¬ nith, die Zenith-Distanz Les poles genannt. Jener Theil des Meridians aber, welcher zwischen dem Horizonte und dem Aequo- tor sich befindet, und den Neigungswinkel dieser zwey Hauptkreise mißt, heißt die Höhe des Aequators und gleicht der Zenith- Distanz des Poles. 133. Lst in 133 62 die Verticale eines Punctes der Erde, und k der Nordpol, also der Aequator; so heißt X das Zenith, XILKX1 der Horizont, k2XIk der Meridian, NiX' die Mittagslinie, lVI der Südpunct, IX der Nordpunct, iXk die Polhöhe, 2k die Zenith-Distanz des Poles, die Aequatorshöhe für diesen Punct der Erde. VI. Nachdem wir die Himmelsgegenden kennen gelernt ha¬ ben, ist es leicht die Richtung anzugeben, nach welcher die H>m- melskugcl sich zu bewegen scheint. Ihre Umdrehung geschieht nähm- lich so, daß die zwischen dem Nordpole und dem südlichen Theile des Himmels befindlichen Sterne sich von Osten nach Westen be¬ wegen, während die zwischen dem Nordpole und dem nördliche" Don der Trigonometrie. 269 Theile des Himmels befindlichen Sterne in entgegengesetzter Rich-Hx. tung von Westen nach Osten schreiten. Bey dieser Umdrehung der Himmelskugel beschreibt jeder Punct derselben einen Parallelkreis, von welchem der über dem Horizonte liegende der Tageboyen, der andere der Nachtbogen heißt. Zugleich geht dieser Punct während einer vollen Umdrehung der Kugel zweymah! durch den Meridian, nähmlich das eine Mahl durch den obcrn, das andere Mahl durch den untern Me¬ ridian. Das Durchgehen eines Punctes durch den Meridian heißt sein Culminiren oder seine Lulmination. Eben so geht jeder Punct der Himmelskugel während eines ganzen Umschwunges der¬ selben zweymahl durch den Horizont, das eine Mahl in der öst¬ lichen, das andere Mahl in der westlichen Hälfte des Horizontes; jenes heißt das Aufgehen oder der Aufgang, dieses das Unter¬ gehen oder der Untergang des Punctes. VII. Beobachtet man die Sterne deS westlichen Himmels an mehreren nach einander folgenden Tagen, eine gleiche Zeit (z- B. eine Stunde) nach Sonnenuntergang, rücksichtlich ihrer Stellung gegen den Horizont; so wird man bald wahrnehmen, daß die Sterne, welche am ersten Tage ganz nahe am Horizonte standen, bereits untergegangen, andere anfänglich höher gestan¬ dene aber näher an den Horizont gerückt sind, so daß zu derselben 3eit nach Sonnenuntergang immer andere und andere mehr ge¬ gen Osten liegende Sterne im Untergehen begriffen sind. Diese Erscheinung veranlaßt uns zu dem Schluffe, daß die Sonne wäh¬ rend unserer Beobachtungstagc den östlicher gelegenen Sternen sich nähere, folglich allmählig von Westen nach Osten sich bewege. Vielfältig wiederhohlte und mit Messungen verbundene Beobachtungen haben gezeigt, daß die Bahn, welche die Sonne während ihrer Bewegung von Westen nach Osten an der Him- welskugel dem Anscheine nach durchläuft, ein größter Kreis ist, °en man die Ecliptik oder die scheinbare Sonnenbahn nennt, und der sich gegen den Aequator unter einem gewissen Winkel u°'gt, welcher die Schiefe der Ecliprik genannt wird, und ge¬ genwärtig 23° 28< beträgt. 270 Alerte« Hauptstück. Die Durchschnittslinie der Ecliptik mit dem Aequator nennt man die Linie Ser Nachtgleichen (Acquinoctien), und ihre Endpuncte die Aequinocnalxuncte, weil, wenn die Sonne sich in einem von diesen Puncten befindet, auf der ganzen Erde Tag und Nacht gleich ist. Bon den Aequinoctialpuncten heißt derjenige, durch welchen die Sonne geht, wenn sie auS der südlichen Halb¬ kugel in die nördliche übertritt, der Frühlingspunct, der andere der Zerbstpunct. Der auf der Ecliptik senkrecht stehende Durchmesser derHim- melskugel oder die Achse der Ecliptik bestimmt die Pole -er Ecliptik, von denen der in der nördlichen Halbkugel befindliche der Nordpol, der andere der Südpol der Ecliptik genannt wird. Der durch die Weltachse und die Aequinoctial-Linie gelegte größte Kreis heißt der Tolur der Aequinoctien, so wie der durch die Pole der Ecliptik und des Aequators gehende Hauptkreis -er Colur der Solftitien. Dieser durchschneidet die Ecliptik in der Linie der Solstitien, deren Endpuncte die beyden Sslstitial- oder Sonnenstillstands-Puncte sind, von denen der in der nörd¬ lichen Halbkugel befindliche der Sommerpunct, der andere der winterpunct genannt wird. VIII. Die Ecliptik pflegt man in 12 gleiche Theile zu thei- len, und jeden solchen Bogen von 30 Graden ein Zeichen zu nennen, welche von den in ihrer Nähe liegenden Sternbildern vom Frühlingspuncte aus gegen den Sommerpunct die Nah' men: Widder, Stier, Zwillinge, Rrebs, Löwe, I»ng- frau, wage, Seorpion, Schütze, Steinbock, Wasserman», Fische erhalten. IX. Bey der täglichen Umdrehung der Himmelskugel be¬ schreibt die Achse der Ecliptik sowohl auf der Erd- als Himmels¬ kugel die beyden Polarkreise, den nördlichen und südliche»- deren Umfänge von ihren benachbarten Weltpolen um die Sch»» der Ecliptik abstehen. Eben so beschreibt die Linie der SolMe» auf den beyden Kugeln die Wendekreise, von denen der i» nördlichen Halbkugel gelegene der Wendekreis des Rrebses, ber andere der Wendekreis des Steinbockes heißt. Bon der Trigonometrie. 271 Durch die Polar- und Wendekreise wird die Oberfläche der^'ss. Erde in fünf Zonen zerschnitten, welche nach dem Grade der mittleren Wärme, die ihnen von der Sonne mitgetheilt wird, benannt werden, so daß die zwischen den Wendekreisen liegende die heiße, die beyden anschließenden die mittleren, und die äußersten die kalten Zonen heißen. In I'iZ. 134 ist 134.' cl'lc der Aequator, cLec die Ecliptik, Del ihre Achse, I) der Nord-, ä » Süd-Pol der Ecliptik, Lck' —die Schiefe der Ecliptik, c der Frühlingspunct, -V » Sommerpunct, 6 „ Herbstpunct, a „ Winterpunct, cO die Linie der Aequinoctien, „ Solstitien, O^I) der Colur der Solstitien. §. 581. Bestimmung der Lage von Puncten auf einer Kugelfläche im Allgemeinen, und insbesondere auf der Erd- und Himmelskugel. I. Bon den verschiedenen Arten die Lage eines PuncteS aufio4. d« Kugelfläche zu bestimmen, ist die folgende in der Astronomie und mathematischen Geographie am gebräuchlichsten. Man wählt (D'x. 104.) einen in seiner Lage unveränderlichen größten Kreis D^VIiVV dieser Kugelfläche, und legt durch seine Pole 8 und durch den zu bestimmenden Punct m einen größten Kreis L>Ii>iI3, welcher sonach (vermöge §.484. II.) auf dem er- stcn senkrecht steht. Zur Abkürzung der Rede mag der erstere der ^'leisten-, dxr andere der Ordinate«-Rreis heißen. Nimmt m»n nun in dem Abscissen-Kreise einen festgesetzten Punct v an; 272 Vierte« H a u p tstü ek. kiss. so ist die Lage des Punctes in auf der Kugelfläche bestimmt, so- 104. bald die Bogen VAI und IVlin gegeben sind. Wir wollen IM die Abscisse, l^Ini die Ordinate, beyde Bestimmungsstücke des Punctes in vereint die Toordinacen dieses Punctes und den Punct v den Ursprung -er Loordinaren oder den Unfang -er Abscissen heißen. Die Abscissen werden gewöhnlich vom Ursprünge der Coordi- naten nach einer bestimmten Richtung z. B. von v gegen U bis 360° gezählt, und sind dann durchgehends positiv; oder man rechnet sie nur bis 180° nach entgegengesetzten Richtungen, von denen die eine positiv, die andere negativ ist. Die Ordinate Mu wird in der einen Halbkugel für positiv, dagegen in der andern für negativ und bloß von 0 bis 90° gerechnet. II. Zur Bestimmung der Lage von Puncten der Himmels, kugel benützt man als Lbscissen-Kreis einen der (in §. 580. HI- IV. VII.) erklärten drey Hauptkreise, nähmlich entweder den Horizont, oder den Aequator, oder die Ecliptik. 1. Nimmt man den Horizont zum Abscissen-Kreise, so heißt derOrdinaten-Kreis, nähmlich der durch das Zenith gelegte größte Kreis der verticalkreis deS zu bestimmenden Punctes. Die Ordinate, d. i. der Bogen des Verticalkreises zwischen dem zu be¬ stimmenden Puncte und dem Horizonte, wird die Höhe genannt Puncte der sichtbaren Halbkugel haben eine positive, jene der un¬ sichtbaren eine negative Höhe. Den Ursprung der Koordinaten verlegt man meistens in den Südpunct. Die Absciffe, d. i- die Entfernung deS Südpunctes vom Verticalkreise, oder der zwischen dem Meridian und dem Verticalkreise befindliche Bogen des Ho¬ rizonts wird das Azimut des zu bestimmenden Punctes genannt Dieses wird gewöhnlich von Süd über West bis 360° gerechnet Außer dem nennt man die Entfernung jedes PuncteS von dem Zenith die Zenith-Vistanz desselben. Non der Trigonometrie. 273 Bezeichnet in kig. 104. VNiXI) den Horizont, und 104. 8 das Zenith, 8 den Südpunct; so ist Lm^R der Verticalkreis ) Nm die Höhe s . , , , -.l. ) deSPuncteSm. Lm » Zentth-Distanz t LN oder der Winkel LLN das Azimut' 2. Wird der Aequator als AbscissMKreis angenommen, so heißt der Ordinaten-Kreis, nähmlich der durch die Weltpole und den zu bestimmenden Punct geführte größte Kreis der Declinations-, Abweichungs - oder Stundenkreis dieses Punctcs. Die Ordinate, nähmlich der zwischen dem zu bestim¬ menden Puncte und dem Aequator liegende Bogen des Decli. nations Kreises wird die DecUnation oder Abweichung dieses Punctcs genannt. Sie ist in der nördlichen Halbkugel positiv, in der südlichen negativ. Den Anfang der Meissen legt man theils in den FrühlingS- Punct, theils auch in den Durchschnittspunct deS AequatorS mit dem Meridiane, welcher von einigen die Mitte des Himmels g«, nannt wird. Im ersten Falle heißt die Abscisse, nähmlich der Ab¬ stand des Frühlingspunctes vom Declinations-Kreise die gerade Aufsteigung (Aecrascension) des zu bestimmenden Punctes, und wird vom Frühlingspuncte aus gegen den Colur des Sommer- Solstitiums bis 360" gezählt; im anderen Falle heißt die Abscisse, "ähmlich der zwischen dem Meridiane und dem Stundenkreise lie- gende Theil des Aequators, oder der vom Meridiane und Stundcnkrcise gebildete Winkel der Stundenwinkel, wel¬ cher vom Meridiane aus über den Westpunct auf 360° gezählt wird. u,d,.di,ß wird d-E-»d m» dIiXV den Erd-Aequator, L seinen Nordpol, Lvvv den ersten Meridian vorstcllen, so ist die geographische Breite ) VN „ I Lange l des Punctts m. §. 582. Zeitmessung. Die Zeit, welche zwischen zwcy unmittelbar auf einander fol¬ genden gleichnahmigen(z. B- oberen) Culminationcn eines und des¬ selben Punctes dcrHimmclskugel verfließt, wird in der Astronomie e>n Tag genannt und in 24 Stunden, jede Stunde aber in 60 Mj- "uten, jede Minute in 60 Secunden, und die Secunde inZchn- tcl, Hundertel u. s. w. abgetheilt. Wahrend dieser 24 Stunden durchläuft jeder Punct des Declinations-KreiscS des erwähnten 18 * 276 Vierte« Hauptstück. kiss. Punctes der Himmelskugel die ganze Peripherie seines Parallel- kreises oder 360 Grad, folglich ändert sich auch der Stundcnwin- kel dieses Punctes der Himmelskugel in seiner Größe von 0 bis 360 Grad, indem der Declinations-Kreis desselben nach und nach mit den Meridianen aller von dem Beobachtungspuncte westlich liegenden Orte der Erde übereinfällt. Aus diesem Grunde pflegt man die Stundenwinkel und die Bogen der Parallelkreise, vorzüglich die Rectascension und die geographische Länge bald nach Gradmaß bald nach Zeit anzugcben. Da nun 24 Stunden — 360 Graden, folglich 4 Stunde — 15 Graden, sonach 1 Zeitminute — 15 Bogenmin. —Grad, und IZeitsecunde — 15Bogcnsec. —Bogenminute, daher auch umgekehrt 1 Grad — Stunde — 4 Zeitminuten, 1 Bogenminute — Zeitminute — 4 Zeitsecunden, 1 Bogensecunde — Zeitsecunde ist; so unterliegt die wechselweise Verwandlung der Zeit und der Bogen keiner Schwierigkeit. Die Astronomie unterscheidet hauptsächlich dreyerley Zeiten, nähmlich die Stcrnzeit, die wahre und mittlere Sonnenzelt, deren Grundeinheiten der Sterntag, der wahre und mittlere Sonnentag ist. Ein Sterntag ist die Zeit, welche zwischen zwey nach einander folgenden oberen Kulminationen des Frühlingspunctcs vergeht. Man sagt daher von einer Uhr, »sie gehe nach Sternzeit", wenn sie bey jeder oberen Kulmination des Frühlingspunctcs 0 oder 24 Uhr zeigt. Eine solche Uhr ist dem beobachtenden Astronomen sehr dienlich, da sie die Rectascension eines jeden culminirenden Ge¬ stirns angibt; allein sie eignet sich nicht für das bürgerliche Le¬ ben, weil die Sonne, nach deren Stand sich alle Geschäfte rich¬ ten, stets ihre Rectascension ändert. Aus diesem Grunde rechnet man im gewöhnlichen Leben nach Sonnenzeit. Man nennt nähmlich die, zwischen zwey nach einander folgenden gleichnahmigen Kulminationen der Sonne, verfließende Zeit einen Sonnentag. Allein die Sonne bewegt sich in der gegen Won der Trigonometrie. 277 denAequator geneigten Ecliptik und zwar bald langsamer, baldig, geschwinder; deßwegen ändert sich auch die Rectascension ungleich, förmig, und die Sonnentage fallen von ungleicher Dauer aus. Dieser Umstand bewog die Astronomen sich eine Sonne zu singiren, welche mit der wahren Sonne einmahl zugleich im Frühlingspuncte sich befand und in dem Aequator mit der mitt¬ leren Geschwindigkeit derselben sich bewegt, wobey diese eingebil¬ dete Sonne, welche man die mittlere zu nennen pflegt, der wahren bald um etwas Weniges voreilt, bald um ein Geringes hinter ihr hergeht. Der zwischen zwey gleichnahmigen Kulminationen dieser mittleren Sonne befindliche Zeitraum wird ein mittlerer "Son- nentag, und die durch ihn gemessene Zeit die mittlere Zeit ge¬ nannt, zum Unterschiede von dem wahren Sonnentage und der wahren Zeit, welche sich auf die wahre Sonne beziehen. Den wahren und mittleren Sonnentag läßt man in der bürgerli¬ chen Zeitrechnung mit der unteren Kulmination (der Mitternacht) der betreffenden Sonne beginnen, wogegen mehrere Astronomen den Anfang dieses Tages auf die obere Kulmination (lMttag) verlegen. Die gewöhnlichen mechanischen Uhren geben die mittlere Zeit, und zeigen 12 Uhr bcy dem mittleren Mittage, während die Sonnenuhren nach wahrer Zeit gehen und bey dem wahren Mittage 12 Uhr angeben. §. 583. Astronomische Aufgaben. An einem Orte, dessen geographische Brette oder Pol¬ höhe P bekannt ist, habe man, etwa mittelst eines Theodo¬ ren, d. i. mittelst eines Instrumentes, dessen vornehmste Be- iEdtheile ein horizontaler und verticaler Vollkreis sind, die E°he si und das Azimut w eines Gestirns für eine bestimmte t gemessen; man suche die Oeclination Z und die vvtascenston oe des Gestirns für dieselbe Zeit. 278 Viertes Hauptstück kix. Bezeichnet in kix. 133. 133. k den Nordpol des AequatorS, 2 das Zenith, 8 daS Gestirn: so ist L8 — lr die Höhe L8 — 3 die Declination des Gestirns, -- ep die Polhöbe von X, --- 62 der Entfernung des ZenithS 2 vom Aequator 6k, folglich — der geographischen Breite von 2; und in dem Dreyecke k82 k2 --- 90° — «p — hex Acquatorshöhe von 2 — k8 — 90o — 3 — hxx Poldistanz des Sterns — p, 28 --- 90o —. k — der Zenith.Distanz desselben-r, 2?8 — s — dem Stundenwinkcl, k28 --- 180" — — hxm Supplemente des Azimuts. Aus diesem Dreyecke findet man sofort (nach §. 57k.) für die Declination 3 oder für die Poldistanz p die Gleichung . - 5IN p sin — r) LIN o — cc>8 p —-—, cos X , wenn tanxx — co8w cot (. . tnnx-^-co 5IN j (N -j- V) . 1/- x 8IN4(K— V) , r .. tan§ (v — 8) --- —-7 . tan§ co °' °os4(d-t-V) zuvörderst den Stundenwinkel 8 in Graden und dann (nach §. 582.) in Zeit. Ist nun t die vorgemerkte Sternzeit der Beobachtung, nahm» lich die zwischen der Culmination des Frühlingspunctes und der eingestellten Beobachtung verflossene Zeit; so hat man, weil das Gestirn zur Zeit « culminirle, und weil seit dieser Culminatie» die Zeit e verstrich, t --- L -1- r Don ter Trigonometrie. 279 Da nun s aus dem Vorhergehenden bekannt ist, so findet k^ix. man die Rettascension deS Sterns durch die Gleichung 1Z3. cr — t — s. II. Die polhohe gr des Leobachrungsorres sep gegeben, und man habe die Höhe ki eines Gestirns beobachtet, dessen Oeclination ^bekannt ist; man verlangt den Stundenwin¬ kel 8 und das Azimut co des Gestirns für den Augenblick der Beobachtung. Da in dem Dreyecke ?X8 I>L -- 90° — 1'8 --- 90° — S --- p 28 — 90° — ki — - bekannt sind, so findet man s und co (nach §.576.) aus den Gleichungen rin^-8 — (p-l-r-'l) --n4(i-t-— P) ' d' 8in^sinp — (r -l- V — ä) sin 4 (2 -p- lt — cos ä eos P cos cos Ir tO8-co — sin4 (r-l-p —-o) ' sin 2 8!N l/»in4 (p-t-k — 8in4 (p -l- V — I>) Hat man zu dieser Beobachtung einen Theodoliten vermen¬ gt, und den Azimutal-Winkel des Gestirns abgelesen, welchen bcr Verticalkreks desselben im Augenblicke der Beobachtung mit gm durch den Nullpunct des horizontalen Kreises des Theodoliten gehenden Verticalkreise einschließt; hat man ferner bey unverän¬ dertem Aufstellungsorte des Instrumentes den Azimutal-Winkel eines entfernten Fixpunctcs z. B. einer Thurmspitze ebenfalls ab- 8ele>en: so läßt sich leicht das Azimut dieses Fixpunctcs, d. i. der >nkel, den der durch diesen Fixpunct gehende VerticalkreiS mit em Meridiane bildet, bestimmen, folglich auch das Fernrohr deS heodoliten in den Meridian bringen, oder die Richtung der M>ttagslinie angeben. 280 Wirrte« Hauptstück. I'ix. III. Aus -er bekannten geographischen Breite yr eines 133. Ortes und -er gegebenen Declination § eines Gestirns für einen bestimmten Zeitaugenblick -. i. für einen festgesetzten Stundenwinkel s sowohl das Azimut«, als auch die Schek -es Gestirns zu berechnen. Für diesen Fall gibt das Dreyeck ?8L (nach §.570.) die Gleichungen: cos tLnx Z — — sin § cot ca -t- sin cos s, sinil— cos s cos P cos Z-»- sing! sin Z, oder coteo — (cos s col A . sin g> — cosg), sin ii — sin 3 (cos s cot 8. cos g) -t- sin g>). Nimmt man sonach cos s cotZ — cotx, so wird cotco---^E.^^, SINXSINS ' . , sin § cos (w — x) SIN n --- -:——-- , 8IN X . cosxtsnes oder tLNgw —K sin — x) i - , cos s cos Fcos (v— x) Sin N —-—--. cos x Zur Auflösung dieser Aufgabe wird man veranlaßt, wenn man mittelst eines Theodoliten am Hellen Tage einen Stern beobachten will, der wegen des Sonnenlichtes mit srepem Auge nicht sichtbar ist. In diesem Falle wird man das Fernrohr des Theodoliten auf die berechnete Höhe und auf das gefundene Azi¬ mut stellen, und wenige Minuten vor dem der Rechnung Z" Grunde gelegten Zeitmomente an das Fernrohr treten, um den Stern gleich bey seinem Eintritte in dasselbe erblicken zu können. IV. Aus den geographischen Breiten zweier Oerter der Erde und -em Unterschiede ihrer Langen die Entfernung derselben in geographischen Meilen anzugeben, von denen 15 «ruf einen Grad des Aequators gehen. Die beyden Oerter seyen tz und 8 (i^ix. 133.), so ist Entfernung tz8 der zwischen ihnen liegende Bogen des durch ste und durch den Mittelpunkt L der Erde gelegten größten Kreisch Won der Lrlgonometrie. 281 weil die Entfernungen zweyer Puncte auf der Oberfläche einer kix. Kugel durch Bogen größter Kreise gemessen werden. Es sey OLK 133. derAequator, k der Pol, N0M1 der erste Meridian; so ist OL OL LL — I die geographische Länge von tz, — L die Länge von 8, daher — L — 1 — X der Längcnunterschied beyder Oer¬ ter, welcher dem Neigungswinkel tz?8 der bey- den Meridiane Ltzk und L8V gleich ist; ferner sind die Bogen 6 undL8—1/ die Breiten der Oerter tz und 8. Man hat demnach in dem Dreyecke ktz8 zwey Seiten ^ — 90°—K und k8 —90°—6^ nebst dem cingeschlossenen Winkel (^1*8 — ?—I — X bekannt, folglich kann die dritte Seite H8 —x, nähmlich die gesuchte Entfernung (nach §. 576. III.) durch die Formeln — cosXcotk/ sinb^ 8in (d-s-v) cos X — ———--— oosx gefunden werden. Hat man sonach die Entfernung x in Graden berechnet, so wird man mit Hülfe der Gleichung 1 Grad — 15 geographischen Meilen — 14,646 österreichischen Postmeilen ihre rectisicirte Länge in Meilen bestimmen. Anmerkung. Diese Aufgaben mögen hinreichen den ausge- drciteten Nutzen zu beweisen, welchen die Anwendung der sphä- r'lchen Trigonometrie in verschiedenen Fällen darbiethet. Noch Mehrere eben so nützliche Aufgaben aufzulösen, als z. B. die Be¬ stimmung des Tagebogens für einen bestimmten Ort der Erde bey gegebener Lage der Sonne in der Ecliptik; die Berechnung der einge und Breite eines Himmelskörpers aus dessen bekannter geraden Aufsteigung und Abweichung und aus der gegebenen ^iefe der Ecliptik, und umgekehrt; die Berechnung des wahren 'stanz-Bogens zweyer Himmelskörper aus der Beobachtung der ?ohenwinkcl und der scheinbaren Distanz derselben in einem be- ^'mnuen Zeitpunkte, endlich die Berücksichtigung der unvermeid- Beobachtungsfehler, und mehr dergleichen verstattet die 282 vierte« Hauptstllck. Grenze dieses Lehrbuches nicht. Auch ist der fähigere Schüler durch das bisher Gesagte schon in den Stand gesetzt, für jede solche Auf. gäbe sich die gehörige Figur zu entwerfen, und dann die gege¬ benen Bedingniffe in Gleichungen zu ordnen. Die Theorie der Gnomonik oder die Lehre, auf einer gegebenen, gegen den Ho¬ rizont wie immer geneigten Ebene die Schattenlinien zu be¬ stimmen, welche ein zur Richtung der Weltachse parallel einge- steckter Stift, der Weiser, in den nach einander folgenden Stun¬ den des Tages auf diese Ebene wirft, kann ebenfalls sehr leicht nach den Gründen der sphärischen Trigonometrie entwickelt wer¬ den, weil diese Schattenlinien in den Durchschnitten der durch den Pol gezogenen Stundcnkreise mit der Ebene der Sonnenuhr liegen müssen. Die Verzeichnung dieser Schattenlinien ist eine Verbindung der geradlinigen und sphärischen Trigonometrie; sie ist in sehr vielen über diesen Gegenstand handelnden Schriften deutlich aus einander gesetzt. Deßwegen wollen wir uns nicht dabey aufhalten, sondern beschließen dieses Hauptstück, indem wir dem nach astronomischen Kenntnissen strebenden Leser die von OelLmkwe, Littrsw, Schubert verfaßten ausführlichen Lehr¬ bücher der Astronomie vorzüglich empfehlen. 283 Fünftes Hauptstück. Von den Anfangsgründen der pracLLschen Meßkunst. i. Abschnitt. Von der Auflösung der nothwendigsten Aufgaben mittelst der gebräuchlichsten Meß-Instrumente. §. 584. Die practische Meßkunst lehrt die Entfernung zweyer in der Natur gegebenen Puncte unter verschiedenen Umständen aus- dessen, die Lage und Länge mehrerer Linien erforschen, zu «nem bestimmten Stücke der Erdoberfläche eine ähnliche Figur in einem gegebenen Verhältnisse verzeichnen, und den Flä¬ cheninhalt sowohl des Ganzen, "als auch.jedes einzelnen Thei- les desselben richtig angeben. Folglich ist sie eine bloße An¬ wendung der vorhergehenden Lehrsätze und Schlüsse, und 'ehrt die Auflösung verschiedener hiehcr gehöriger Aufgaben w'ltelst eigener zu diesem Endzwecke verfertigter Instrumente- Damit man die practische Meßkunst gründlich erlerne, ist es ">cht genug, daß man die mathematischen Auflösungsarten der verschiedenen dabey vorkommendcn Aufgaben begreife; man muß auch die hiezu nvthigen Instrumente in allen ihren Lheilen 284 Fünfte« Hauptstück. I'iss. kennen,-und durch hinlängliche Uebung die geschickteste Be¬ handlungsart derselben sich eigen machen. Eine noch so deut¬ liche Beschreibung der Meßinstrumente würde doch nur unvoll¬ kommene Ideen erwecken. Es ist unumgänglich nothwendig, diese Instrumente selbst vor Augen zu haben, um sich eine vollständige Kenntniß derselben zu erwerben. Aus dieser Ursache übergehen wir ihre Beschreibung gänzlich. Wir werden übrigens in diesem Hauptstücke bloß die nothwendigsten Aufgaben vor¬ nehmen, und bey einer jeden insbesondere die Methode in ge¬ drängter Kürze angeben, nach welcher sie mittelst der gebräuch¬ lichsten Meßinstrumente aufgelöst wird. §. 585. Aufgabe. Linen geradlinigen Winkelmesser (Trans¬ porteur) zu verfertigen, um mit Hülfe desselben einen auf dem Papiere gegebenen Winkel zu messen, oder einen Win¬ kel zu verzeichnen, der eine gegebene Anzahl Grade ent¬ hält. Auflösung. 1.)Man nehme aus einer trigonometrischen Tafel die natürlichen Sinus von 40, 4 2°, 2-x-o, 3»....44/, 45°, und multiplicire jeden Sinus mit 2; so sind diese Produk¬ te die Sehnen der Bogen von 1°, 2°, 3°, 4° .... 89°, dll" eines Kreises, dessen Halbmesser die Längeneinheit ist; denn ist csiorät»—2 sin-/b (vermöge 541.). Die Sehnen aller einzelnen Grade bis 90" eines Kreist dessen Halbmesser — 1 ist, enthält nachstehende Don den Anfangsgründen der praet. Meßkunst. 285 D'ss. SehnenLafel für die Verfertigung des geradlinigen Transporteurs oder Sehnenmaßstabes. Sehne Sehne Sehne Sehne T T T 1.1896 1-2036 12175 1 2313 1'2450 1'2586 0 9235 0-9389 0 9543 0 9696 0'9848 1-0000 01221 0 1395 0'1569 0 1743 0 1917 0 2091 73 74 ,75 ,76 77 78 0'0175 0'0349 0 0524 0 0698 0'0872 0-1047 , 0 3301137' 0'3473 38 03645 39 0'3816 40 0'3987 41 0'4158»42 0'2264 0 2437 0'2611 0'2783 0 2956 0 3129 55 56 57 58 59 60 ,19 !20 21 22 23 24 j 0 6346 0 6511 0 6676 0 6840 0 7004 0 7167 1 , 2 j 3 4 5 6 7' 8 9 10 11 >12 N 14 >5 16 17 18 . ^an ziehe eine gerade Linie errichte die Senk- 135» fiid e scheide von bis 6 12 gleiche Theile ab, und durch aste Lheilungspuncte Parallelen zu schenk ^age ser"" auf^L und 6V nach einem geometri- Ecrad bey welchem eine angemessene (2bis3Zoll lange) Taus ^'nheit angenommen und in Zehntel, Hundertel und gen d" ringethcilt ist, aus der obigen Sehnentafel die Län- Punc " von 1°,2°,3°, .. bis 90°, und verbinde die >st de? transversalen, wie es kix. 135. ausweiset; so r geradlinige Transporteur fertig. 286 Fünftes Hauptstück. §. 586. I'ix. Mit Hülfe eines solchen Transporteurs kann ein auf dm 136. Papiere verzeichneter Winkel ^VLV gemessen, das ist, die An¬ zahl seiner Grade bestimmt werden, wenn man aus der Spitze L des Winkels zwischen seinen Schenkeln mit dem Halbmesser ^60 — L60 1'iss. 135. einen Kreisbogen ^1) (ki§. 136.) beschreibt/ und die Sehne dieses Bogens aufdcn Transporteur überträgt, um zu sehen, wie viel Grade die Sehne abschneidet. Wenn z. B. die Oeffnung des Zirkels, welche die Sehne des Bogens vorstellt, auf der Parallelen 40 mit einer Spitze in40auf^6, und mit der andern auf der Transversalen 25 eintrifft, so enthält dir Winkel ^LI) 250 40^. Ist dagegen der stumpfe Winkel LM zu messen, so wird man die Anzahl seiner Grade finden, wem man jene seines Nebenwinkels auf 180° ergänzt. Mittelst desselben Transporteurs kann auf einer Geraden I'iss. 136. aus dem Puncte L ein Winkel verzeichnet wen den, der eine gegebene Anzahl Grade z. B. 25" 40^ enthält, wenn man aus L mit dem Halbmesser ^60 oder L60 ssix. einen unbestimmten Kreisbogen VO beschreibt (ikiss. 136.),»°" dem Transporteur die Sehne des Bogens von 25° 4G aus^ bis I) in den Kreisbogen einschreibt, und endlich durch D eine gerade Linie führt. Hingegen wird ein stumpfer kel 6LV mittelst seines Nebenwinkels verzeichnet. Den Grund dieses Verfahrens wird jedermann leicht ein^ hen , wenn er sich erinnert, daß in jedem Kreise die Sehne «c 60" dem Halbmesser gleich ist, und daß bey zwey KreislE die nur um einen Grad von einander unterschieden sin^ Differenzen der Bogen sich ziemlich genau gegen einander u halten, wie die Differenzen der dazu gehörigen Sehnen. Anmerkunx. Es ist ohne meine Erinnerung leicht e>": sehen, daß man mit Hülfe der vorigen Sehnentafcl niittl einer gehörig eingethcilten Schnur auf dem Felde jeden kel sowohl messen, als auch aussteckcn könne, wenn man keinem Instrumente zum Winkelmessen versehen ist- Auch ganz begreiflich, daß man bey den mit Diopter-Linealen V on den AnfangSgründcn der pract. Meßkunst. 287 auch mit'Fernröhren versehenen Winkelmessern statt der gcwöhnli- ki?. chen Eintheilung des Wiertelkreises in 90 Grade den oben be¬ schriebenen geradlinigen Transporteur anbringen könnte. §. 587. Aufgabe. Mit Hülfe der Meß-Instrumente eine gera- zz? de Linie auf dem Felde zu messen, die nur an ihren Endpuncten, jedoch nicht nach ihrer ganzen Lange sichtbar und zugangig ist. Auflösung. I. Mit Hülfe des Meßtisches. Man suche einen Ort L von der Beschaffenheit, daß man von tü nach und L sehen und messen könne, stelle den Meßtisch über demsel¬ ben horizontal, und stecke in jenen Punct c der Meßtischplatte eine feine Nadel senkrecht ein, der mit dem Puncte 6 auf der Erde übereinstimmt*). Sodann visirc man mittelst des Visir- lincales von c nach und L, ziehe die unbestimmten Vistr- Ünicn ccr und ob, trage auf dieselben nach einem verjüngten Maßstabe die gemessenen Längen der Geraden und von c bis s und h, und untersuche, wie viel Lheile die Gerade ab auf demselben verjüngten Maßstabe abschneidet ;dadurch wird man *) Um einen 'auf dem Meßtische bereit« befindlichen Punct genau über den gleichnahmigen auf der Erdfläche zu bringen, stellt man erst den Meßtisch über den letzteren in gehöriger Orientirung nach dem Augenmaße, hält dann einen Faden mit einem daran hängenden schweren Körper, welche Vorrichtung ein Senkel oder Ble^loih ge¬ nannt wird, unter da« Tischblatt an die Stelle des darüber liegenden Puncte«, und sicht nach, ob die Fadenlinie de« Senkel« durch ben Standpunkt auf der Erdfläche gehe: ist diese« nicht so muß ber Meßtisch so lange gerückt werden, bi« die Fadenlinie in dem bemerkten Puncte eintrifft. Zu diesem Endzwecke kann man sich einer b'ezu eigens verfertigten Tabclbedienen.Ein im Aufnehmen geübter Teo- Meter wird schon mittelst des bloßen Augenmaßes einen Puuct auf dem Meßtische über den auf der Erdfläche gleichnahmigen ohne viele -^ühe richtig stellen- Zur Prüfung kann man ein vorfindigcs Steinchen an ^as Meßtischblatt unter dem erwähnten Puncte anhalten und stey fallen lassen; dadurch wird die Fadenlinie des Senkel« 288 Fünftes Hauptstück. I'ix. wegen der Ähnlichkeit der Dreyccke asic und 480 die Lange 137. ver Geraden 48 erhalten. II. Mit Hülfe eines Winkelmessers. Man messe den Win¬ kel 408 und die Seiten 04 und 68, so sind in dem Drey« ecke 480 zwey Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel be¬ kannt; folglich kann man (nach §. 563.) die dritte Seite bestimmen. III. Durch Verzeichnung. Man verzeichne den gemessenen Winkel -4.08 auf einem Papiere, und übertrage auf seine Schenkel nach einem verjüngten Maßstabe die gemessenen Län¬ gen der Geraden 04 und 08 von c bis u und 6; so wird auf eben diesem Maßstabe die Gerade ab die wirkliche Länge von 48 anzeigen. §. 588. 138. Aufgabe. Line Gerade.4.8, die nur an einem ihrer Endpuncte -4. zugängig ist, oder die Entfernung des punc- res 4 von 8 zu messen. Auflösung. I. Mit Hülfe -es Meßtisches. Man suche einen Ort 0 von der Beschaffenheit, daß man von 0 nach -4 und ö sehen, und 04 messen könne, stelle den Meßtisch über 0, visire von c nach 4 und 8, und übertrage dir gemessene Gerade 0.4 nach einem verjüngten Maßstabe von c bis a. Dann stelle man den Meßtisch dergestalt auf4, daß der Punct s gerade über -4. zu stehen komme, die Linie ac aber in der Richtung der Ge¬ raden 40 liege, und visire von a nach 8; so wird die gezogene Wisirlinie sb die vorige cb in dem Punctc I> durchschneiden, und die Linie ab auf demselben verjüngten Maßstabe die Länge der Geraden 48 bestimmen, weil die Dreyccke abc und -480 ein¬ ander ähnlich sind. Man kann auch den Meßtisch das erste über 4 und das zweyte Mahl über 0 stellen. 8. Mit Hülfe eines Winkelmessers. Man messe die Standlinie 4.0, und beobachte an ihren Endpunkten die Wic¬ kel 4. und 0; so ist dadurch in dem Dreyccke 480 auch der dritte Winkel 8 bestimmt, und die Seite 48 wird sodann ('M §. 563. I.) gefunden. Won den AnfangSgründen der pract. Meßkunst. 289 III. Durch Verzeichnung. Man ziehe eine Gerade »c, I'iss. trage auf dieselbe nach einem verjüngten Maßstabe die gemes- 138. sene ^L, und verzeichne an ihren Endpuncten die Winkel s —L^.8 und c —^L8; so ist das Dreyeck »sic n ^8L, und folglich kann die gesuchte Länge der Geraden ^3 auf dem¬ selben verjüngten Maßstabe mit Hülfe der Geraden ab bestimmt werden. §. 589. Aufgabe. Eine gerade Linie ^8 zu messen, wenn 139. ihre Endpunkte und 8 unzugängig sind. Auflösung. I. Mit ZÄfe des Meßtisches. Man messe eine Grundlinie LV von der Beschaffenheit, daß man von 6 nach , 8 und v, und auch von v nach 6, .4. und 8 se¬ hen könne. Sonach stelle man den Meßtisch über L, visire von L nach ^,8 und v, und trage die gemessene Gerade von c bis st. Darauf stelle man den Meßtisch mit dem Puncte st über V dergestalt, daß äc genau in der Richtung von VL liege, und visire von st nach und 8;/ so werden die Disirlinien st» und sth die vorigen ca und ck in den Puncten » und K durch¬ schneiden, und die Gerade ab wird wegen der Aehnlichkeit der hier entstehenden Dreyecke die gesuchte Länge von ^8 bestimmen. II. Mit Hülfe eines Winkelmessers. Man messe die Stand- oder Grundlinie LV, und beobachte an ihren Endpunc¬ ten die Winkel ^Lv und 8LV, H.VL und 8VL, so hat man in dem Dreyecke H.LV die Seite LV mit den anliegen¬ den Winkeln ^Lv und ^VL bekannt, folglich kann die Seite H.V (nach §. 563. I.) gefunden werden. Eben so kann wan in dem Dreyecke LV8 aus der Seitz LV und den an¬ liegenden Winkeln 8LV und 8V6 die Seite 80 berechnen. Dann sind in dem Dreyecke ^V8 zwcy Seiten ^V und 8V sammt dem dazwischen liegenden Winkel bekannt; folg- üeh kann die dritte Seite desselben ^8 (nach §. 563. HD berechnet werden. 8l. Durch Verzeichnung. Man ziehe eine Gerade äc, rage auf dieselbe nach einem verjüngten Maßstabe die gemessene Vega Math. H, B. 19 290 Fünfte« Hauptstück. H O6, und verzeichne an ihren Endpunkten die beobachteten Win- 1ZS. kelacä--^L)0, Imst--Itt)I), nclc-^VL und bäc--LVL; so wird auf demselben Maßstabe mittelst der Geraden ab die gesuchte Länge von gefunden. §. 590. Ausgabe, s» einer unzugä'ngigen Geraden durch einen gegebenen puncc I) auf dem Felde eine parallele zu fuhren. Auflösung. I. Mit Hulse des Neßti'ches. Man verfahre nach der ersten Art der vorigen Aufgabe (589.), ziehe dann auf dem Meßtische eine Parallele <15 zu ab, und stecke die¬ selbe auf dem Felde aus, z. B. von O bis I?; so wird Vk parallel zu scyn, wenn der Meßtisch richtig gestellt ist. II. Mittelst eines Winkelmessers. Man bestimme nach der 2ten oder 3ten Art der vorigen Aufgabe (589.) den Win¬ kel V.VI3, und verzeichne auf dem Felde in dem gegeben«! Puncte I) den Wechselwinkel ^.VI?---, so wird vk pa¬ rallel zu H.L sepn (363.). §. 591. Aufgabe. Aus einem auf dem Felde gegebenen Punkte v auf eine unzugssngige Gerade eine Senkrechte ;N Men. Auflösung. Man führe nach der vorigen Aufgabe (590) durch den gegebenen Punkt I) zu eine Parallele vd", und errichte aus demselben Punkte eine Senkrechte auf Ul' cntiv« der mit Hülfe des Meßtisches, oder mittelst eines Winkelmel- sers, oder auch nach §. Z69. II.; so wird diese auch auf senkrecht seyn. Die Lage der Senkrechten wird auch gefunden/ wenn man in v an 1)^ einen Winkel auf dem M ausstcckt, welcher den bereits gefundenen Winkel zu ^0 ergänzt. Z 592. 140. Aufgabe. E- ftx Di) eine zugangigr, über ei"t r-nzugängigr gerade Linie; man soll in de- Linie Won bon AnfanzSzrLabea bor pract. Meßkunst. 291 einen punce eV von der Beschaffenheit finden, -aff di? Pix. von nach einem in der befindlichen sichtbaren Merk» 140» mahle L gezogene Gerade mic derselben einen gege¬ benen Winkel einfthliefie. Auflösung. Man suche auf der Geraden noch ein an¬ deres sichtbares Merkmahl L, messe auf der Geraden Pt) eine Standlinie Op, und bestimme nach (589.) die Gerade LL und den Winkel PL6, so ist dadurch auch der Winkel PL^. gefunden, und in dem Dreyccke ^PL ist sodann die Seite KL mit den anliegenden Winkeln uVLL und PL^ bekannt; folglich läßt sich daraus die Seite p.^ bestimmen, deren ge¬ fundene Länge man von p b!S uV auftragen muß, um den ver» langten Punct in der Linie Pt) zu finden. §. 593. Aufgabe. Einen unzugang-gcn lLollwerksrrinkel 77. dessen Schenkel sich über den Scheitel hinaus verlängern kaffen, in zwey gleiche Theile zu theilen, um die Verlän¬ gerung der Capieallinie ^p sichtbar zu machen. Auslosung. Man nehme in den Verlängerungen der GtsichtSli- nien und^L die Puncte Onnd p von dcr Beschaffenheit an, daß man von I) nach p sehen könne, beobachte die Winkel ^PO und so ist dadurch in dem Dreyccke ^Op auch der dritte Winkel P^ZO, und folglich auch IbXD-gegeben, sodann messe man (nach 588.) die Seite ^O, so ist in-dem Dreyccke ^.pf) die Seite e^O mit den anliegenden Winkeln be- könnt, folglich kann die Seite PO gesunden werden, deren Lange man von O gegen p bis p auflrägt, um den gesuchten Punct p zu bestimmen. Ist einmahl der Punct p gefunden, so kann die Richtung ^p der Capitallinie rückwärts, so weit es erforderlich ist, verlängert werden. §. 594. Aufgabe. Die gerade Linie ^L ftp in ihrer verlan» 141. Gerung rvkyen dazwischen liegender ^i.derniffe unsichtbar, ""u ftll zvoeg puncte I) und p auf -em Felde bestim- die in der Verlängerung von ^L liegen- 19 * 2g2 Fünfter Haupt stück. 8ix. Auflösung. Man bestimme mittelst einer Grundlinie Oi? 141. (nach 589.) die Gerade 80 und den Winkel ^80; so ist dadurch auch sein Nebenwinkel 038 bekannt. Ferner stecke man aus 6 an der Linie 08 einen Winkel 808 von einer be¬ liebigen Große aus; so ist in dem Dreyecke 808 die Seite 80 mit den anliegenden Winkeln bekannt, folglich kann dadurch die Seite 08 gesunden, und ihre Länge auf den Schenkel 08 von 0 bis 8 getragen werden, um den ersten Punct 8 zu erhalten. Eben so wird der zweyte Punct 8 be¬ stimmt, weil in dein Dreyecke 880 die Seite 80 mit den an¬ liegenden Winkeln bekannt ist, und folglich 08 sich daraus finden läßt. §. 595. Aufgabe. Eine zugangige Zähe ^.8 zu messen. Auflösung. Man messe die horizontale Länge einer Stand¬ linie 80 von 0 bis an den unteren Punct 8 der auszu- mefsenden lothrechten Höhe 8^, nähmlich man bestimme 142. 88 — 88 8ix. 142., oder 80 — 88 8ix. 143.; und beob- und achte mit einem über dem Puncte 0 in 8 vertical gestellten 143. Winkelmesser den Höhenwinkel 88^, nachdem man das unbe¬ wegliche Visirlineal des Winkelmessers entweder mittelst einer genauen Schrotwage, oder mittelst einer Libelle (431.), oder endlich mittelst eines angebrachten Bleylothcs in die horizontale Lage gebracht, und das bewegliche Lineal nach gerichtet hat; ferner beobachte man auch den Höhen- oder Ticfenwinkcl 8I)ö> Nun ist in dem rcchtwinkeligen Dreyecke 88^. nebst dem rech¬ ten Winkel auch die Seite 88 und der Winkel 88^ bekannt; folglich kann die Seite 8^. entweder durch Rechnung, oder durch Verzeichnung gefunden werden. Ferner läßt sich in d^ rechtwinkeligen Dreyecke 888 aus der Seile 88 und dem Winkel 888 die Seite 83 bestimmen, welche man 8ix. 142. zu 8^ addiren, und in 8ix. 143 von 8^ abziehe" muß, um die gesuchte Höhe ^8 zu erhalten. Won den Anfangsgründen der pract- Meßkunst 293 §. 596. riss. Aufgabe. Eine unzugängige Höhe H.8, nähmljch die 144. Erhöhung des Punctes über den Horizont des punctes 6 zu messen. Auflösung. Man messe die horizontale Länge einer Stand¬ linie LV, und beobachte in ihren Endpunctcn die horizontalen Winkel LLV und Lvv; so kann man daraus LV berechnen. Ferner beobachte man auch den Höhenwinkel ^LL; so ist in dem rechtwinkeligen Dreyecke -VLL die Seite LL nebst dem Winkel ^LL bekannt; folglich läßt sich daraus die Seite ^8, nähmlich die Erhöhung deS PunctcS über den Horizont deS Ortes L bestimmen. Wenn man bey der horizontalen Stellung des Winkel¬ messers die horizontalen Winkel 8LV und LDL nicht be¬ obachten kann, so muß man die Grundlinie LV auf einem ziemlich horizontalen Boden annchmcn (wenn dieses nicht seyn kann, so mißt man die Länge der geneigten Linie LV) und an ihren Endpunctcn die Fläche des Winkelmessers in die Ebe¬ ne L^VV stellen, um die schief geneigten Winkel ^Lv und ^DL zu messen. Endlich beobachte man auch den Höhcnwin- kel ^VL8. Nun läßt sich in dem schief geneigten Dreyecke ^VLV aus der Seite LV und den anliegenden Winkeln die Seite berechnen. Sonach ist in dem rechtwinkligen Dreyecke ^Ll) die Hypothenuse ^VL nebst dem Winkel ^L8 bekannt; ^iglich läßt sich daraus die gesuchte Höhe ^8 bestimmen. §. 597. Aufgabe. Es sep ^8LV8V6V eine Figur auf dem 145. Felde; man soll auf dem Papiere nach einem verjüngten Maßstabe mittelst -es Meßtisches eine Figur entwerfen, "eiche jener auf dem Felde ähnlich ist; das ist, man soll d'e Frgur ^VLVvrOV aufnehmen. Auflösung. Man messe eine Grundlinie ^8, stelle den Meßtisch über und visire aus einem Puncte a desselben, d" gerade über liegt, nach 8, 6, v, L, v, v, v, und nach einem verjüngten Maßstabe die Läng« der geweste- ZI4 Fünft kj H a u p t st 8 ck. Lix. ncn Grundlinie auf die Wisirlinic aL von 2 bis si. Dann stelle 145. man mittelst des Zurück-Wisirens den Meßtisch dergestalt über L, daß der Punct si gerade über L zu liegen komme, und die gezogene Wisirlinic usi genau in der Richtung von HL sich befinde. In dieser Stellung des Meßtisches visire man nun aus b nach L, v, L; so werden die Wisirlinicn si6, siv, siL die vorigen ac , »ä, ae, in den Puncten c, el, e durchschncidcn. Dadurch sind bereits die Punkte H, L, 6, I), L auf dem Meßtische bestimmt, nähmlich wegen der Ähnlichkeit der Drey- rcke ist asicele t/r HLL8L. Bey der Auswahl der Grundlinie hat man jederzeit zu sehen, daß sie, so viel als cs der Terrain zuläßt, in einer sol¬ chen Lage angenommen werde, daß sich alle von den zwcy End- odcr Standpunkten nach den übrigen zu bestimmenden Punkten gezogenen Wisirlinicn unter einem nicht zu spitzigen Winkel, etwa nicht unter 60» durchschncidcn, damit die Durchschnitts- odcr eigentlichen Bestimmungspuncle nicht zweifelhaft werden, und damit die Arbeit eine desto größere Sicherheit und Rich' tigkcit erhalte. Da jedoch dieses Begehren in der Ausübung nicht überall erfüllt werden kann, wie cs in Lix. 145. bcy den Puncten L, 6, 8 dcr Fall ist, so stelle man den Me߬ tisch weiters über einen andern bestimmten Punct, z- B- e über 8, und visire nach L, 8, II; so werden diese Visir- linicn ok, ex, esi die a s dem Standpunkte H gezogenen »s sx, .-sir in den Punctcn t, x, si durchschncidcn, und die Fi¬ gur usicclolxsi ist sodann der Figur HLLVLL68 ähnlich, läßt sich die wirkliche Länge einer jeden Geraden 68, H.6, 8L bestimmen, wenn man auf dem zu Grunde geleg¬ ten verjüngten Maßsiabe die Länge der gleichnahmigcn Glra- dcn xsi, et', ax, sie untersucht. Die ähnliche Figur asicclefxsi erhalt man auch, wenn w"" die Geraden HL, HL, HI), HL... auf dem Felde ausmißb ihre Längen nach cincm verjüngten Maßsiabe auf die gez^ ncn Wisirlinicn asi, ac, ack, g<>, . . . . aufträgt, und die da' durch bcstimmtcn Punkte gehörig mit einander verbindet. Von den Lnfangsgründen der praet. Mcßkunst. 295 Man pflegt gewöhnlich auf dem ersten Standpuncte die -Magnetnadel auf das Meßtischblatt aufzusetzen und einspiclen 145- zu lassen, dann durch Ziehung einer Rcißbleylinie an der einen oder auch an zwcy gegenüber stehenden Seiten des Gehäuses derselben ihre Richtung zu bemerken, damit man dadurch die Lage der aufgenommcnen Figur in Hinsicht auf die Mittags¬ linie eines gewissen Ortes beynahe erkenne, vorausgesetzt, daß an diesem Orte die Abweichung der Magnetnadel bekannt scy. Die in dem ersten Standpuncte auf dem Meßtische bemerkte Richtung der Magnetnadel hat auch den Nutzen, daß man dadurch in einem jeden anderen Standpuncte den Meßtisch, wenn man gar keine anderen HülsSmittel hat, orienciren, nähmlich denselben so stellen kann, daß alle in den vorigen Standpuncte» auf dem Meßtische gezogenen Visirlinien, und auch alle schon aufgenommcnen Verbindungslinien mit den da¬ zu gehörigen Linien auf dem Felde parallel laufen. Man be¬ zweckt dieses dadurch, daß man den Meßtisch zuerst horizontal, dann die Magnetnadel an ihre auf dem Tischblatte bereits be¬ merkte Stellung aussetzt, und endlich das Meßtischblatt so lan¬ ge herumdreht, bis die Nadel gehörig einspiclt- Den Umfang der vorgelcgten Figur kann man auch auf- nehrnen, wenn man bcy dem zwcytcn Standpuncte L die Linic LL ausmißt, und ihre Länge auf die gezogene Visirli- v" sic nach dem angenommenen verjüngten Maßstabe auf- ^'gt, dann den Meßtisch mit dem bereits bestimmten Punkte c über L gehörig stellt, von c nach O visirt, die Linie (II) mißt, und dieselbe gehörig ciustragt, um den Punct I) auf dem Meßtische zu erhalten. Eben so verfährt man bcy den übrigen Punctcn v, L, k, u. s. w. Bey der Ausnahme der 'm Inneren der Waldungen befindlichen Gegenstände, z. B. "r Straßen, Wege, Grenzen, u. d. gl., wo aus Mangel der ^lcn Aussicht die Puncte nicht mittelst der Durchschnitte Visirlinien bestimmt werden können, ist man gezwun- auf diese Art vorzugehen. Der Gebrauch ter Mag¬ netnadel ist in solchen Fällen wiiklich sehr vortheilhafk, um mehr, da man mit ihrer Hülfe bcy dem Mcsscn und Auf- 296 Fünfte- Hauptstück. tragen des Umfanges einer Figur, oder eines verschiedenartig gekrümmten Weges immer einen Standpunkt mit dem Meßti¬ sche überspringen kann. §. 598. Bey dem Aufnehmen einer weit ausgedehnten Erdstrecke mittelst des Meßtisches und dem Aufträgen aller vorkommenden erheblichen Gegenstände ist vorzüglich Folgendes zu bemerken. I. Die Vorbereitung zum wirklichen Aufnehmen. II. Das geometrische Lrianguliren, nähmlich das Aufneh¬ men der Haupt- oder Fixpuncte der ganzen Strecke. III. Das Figuriren und Aufnchmcn des Details. IV. Das Zusammenstößen der angrenzenden Sectionen bey einer über mehrere Meßtischblätter ausgedehnten Aufnahme. ES soll hier jede dieser Operationen insbesondere erörtert werden. I. Die Vorbereitung zum Wirklichen Aufnehmen. Bevor man zu der wirklichen Aufnahme einer ganzen Ge¬ gend schreitet, besonders wenn man voraus sicht, daß sie nach der erforderlichen oder angenommenen Größe des verjüngten Maßstabes nicht auf ein einziges Meßtischblatt verzeichnet wer¬ den könne, ist cs nöthig durch Besichtigung derselben (wenn man nicht etwa schon mit einer Karte derselben versehen ist) si^ eme so viel als möglich genaue Kenntniß von ihr zu verschaffen- Man erreicht dadurch folgende Vortheile. 1. ) Kann man den schicksamsten Platz bestimmen, auf wel¬ chem die zu messende Grundlinie abzusteckcn ist. 2. ) Wenn ein Meßtischblatt groß genug ist, um die ganze Gegend nach dem angenommenen verjüngten Maßstabe auf das¬ selbe zu bringen; so wird man gleich bey der ersten Stellung des Meßtisches mit Hülfe eines nur etwas geübten Augenmaßes da- Blatt so zu orientiren, und den ersten Standpunct in ein» solchen Stelle darauf anzunehmen wissen, daß alle Lheile der ganzen Gegend sicher auf das Meßtischblatt, nicht aber über das¬ selbe hinaus fallen- Von den Anfangsgrünben der pract. Meßkunst. 287 3. ) Bey der Aufnahme einer größeren Gegend, wozu meh- I'ix. rere Lischblä'tter erfordert werden, wird man sich schon vorder Arbeit einen ziemlich richtigen Entwurf machen können, in wel¬ cher Ordnung und Lage man dieselben am schicksamsten an ein» ander reihen und zusammenstoßcn könne. 4. ) Wird man gleich beurtheilcn können, ob die ganze Ge¬ gend mit einer hinreichenden Anzahl fixer Puncte (von de¬ ren Nothwendigkeit und Gebrauch bey der Aufnahme gleich ge¬ handelt werden wird) versehen ist oder nicht. Im letzteren Falle muß man sich die nöthigen an den schicksamsten Oertern selbst errichten *). 5. ) Kann man dadurch bey der Bearbeitung des Details schon voraus beurtheilen, wie weit man aus einem Stande ar¬ beiten könne, und wo ein nachfolgender am schicksamsten zu neh¬ men sey, ohne erst durch das jedesmahlige Aufsuchen eines schicksamen Standpunctes viel Zeit zu verlieren. 6. ) Man wird mit allen Communicationcn, besonders wo Bache oder Flüsse, Moräste oder Sümpfe vorhanden sind, schon *) Unter dem Nahmen 8ixpuncte ober Leitpunne versteht man bey ber Aufnahme unbewegliche Gegenstände, welche sich durch ihre her¬ vorragende Höhe oder durch ihr Freystehen vor anderen auSzeichnen, und in der Ferne, besonder« von mehreren Seiten gesehen werden können. Dergleichen sind Lhurmspitzen, Martersäulen. Kreuze, ein¬ zeln stehende oder hervorragende Bäume u. m. dgl. Letztere sind eben nicht die zuverlässigsten, weil man, besonder« in kurzen Entfernun¬ gen beym Bisiren nach denselben nicht jederzeit genau ihre Mitte treffen wird, und weil sie sich fast nach jeder Seite in einer anderen Figur zeigen, daher auch leicht verwechselt werden können, und zu Irrungen Anlaß geben. Wenn man wegen Mangel der fixen Puncte in einer Gegend sich selbst einige errichten muß: so geschieht dieß, in- " dem man lange gerade Stangen nimmt, an ihrem oberen dünneren End- Strohbiindel oder sonstige Merkmahle anbindet, und selbe in den angemessenen Punkten besonders auf Anhöhen vertikal aufrichtet und fest stellt. Man kann auch dergleichen Stangen, damit sie höher hervorragen, und um Bäumen größere Bestimmtheit zu geben, auf diese anbinden und über die Wipfel demselben hervorragend machen- AHS Fünfte« Hauptstück. Nx. voraus bekannt, damit man, um irgend wohin zu gelangen, gleich den kürzesten Weg einschlagen könne; u. m. dgl. Die auf eine gute Rccognoscirung verwendete Zeit, wä¬ ren cs nach der Größe der Gegend auch mehrere Tage, wird durch die zweckmäßige Anordnung, und durch die daraus ent¬ stehende Erleichterung der ganzen Arbeit reichlich ersetzt. Die Absicht, in welcher eine Gegend ausgenommen wird, bestimmt die Größe des verjüngten Maßstabes, nach welchem ausgenommen werden soll. Entweder geschieht die Aufnahme zum ökonomischen oder zum militärischen Gebrauche. Im ersteren Falle gibt cs auch noch verschiedene unterge¬ ordnete Zwecke, welche eine bald mehr, bald weniger genaue Aufnahme des Details der ganzen Gegend und jedes darin verkommenden einzelnen Gegenstandes erfordern; mithin kann keine allgemein angenommene Größe des verjüngten Maßstabes statt finden. Doch muß derselbe in jedem Falle immer noch in einer ansehnlichen Größe gewählt werden, um auch Kleinigkei¬ ten, welche in Beziehung auf den Endzweck nur von einigem Belange sind, gehörig ausdrücken zu können. In der militärischen Aufnahme bemerkt man nicht das ganze Detail aller einzelnen Gegenstände, sondern man richtet nur auf diejenigen sein vorzügliches Augenmerk, welche eine Beziehung auf den militärischen Gebrauch, nähmlich zu Mär¬ schen und Bewegungen, zu Stellungen und Dislocationen einer Armee u. d. gl. haben. Hiezu ist kein so großer Maßstab noth- wendig. Bey uns ist es meistens üblich in der militärischen Auf¬ nahme zwey Wiener Zoll, manchmal)! auch nur Einen für die Länge von tausend Schritten oder 400 Klaftern anzunehmen. Zu dem ersten Falle sagt man: die Gegen- ist nach dem ganzen, im zweyten aber: die Gegend ist nach dem halben militäri¬ schen Massstabe ausgenommen. Es wäre zu wünschen, daß für die militärische Aufnahme überall eine gleiche Größe Bestimmung des Maßstabes angenommen würde, weil dicie Gleichförmigkeit den Gebrauch der Karten sehr erleichtern, und manchen anderen Nutzen verschaffen könnte. Von den Airfangrgründen der pract. Meßkunst. Igg II. Dao geometrische Triangulircn, nähmlich das Auf- jssix. nehmen !er ^aupc- oder Kixpuncte der ganzen Strecke. Sebald man nun die Aufnahme mit dem Meßtische an¬ fängt, so ist das Erste dafür zu sorgen, daß man ein Netz von Drcycckcn durch eine richtige Bestimmung der Lage mehrerer Fixpuncte auf das ganze Tischblatt bringe, oder daß man das geometrische Trianguliren vornehme, bevor man sich noch in das Detail einläßt. Zu diesem Zwecke wird die Grundlinie X8 von einer der Größe der aufzunchmcnden Gegend angemessenen Länge abgesteckt, und mit der größten Aufmerksamkeit und Genauigkeit gemessen, endlich sowohl in dem einem Endpunkte 8 (lab. XVI. kig. 207),als auch in der Mitte 6 derselben eine 207, Fahne eingesteckt. Ueber den anderen Endpunct stellt man den Meßtisch, gibt dem Tischblatte, nachdem es horizontal ge¬ stellt ist, nach dem Augenmaße die erforderliche Orientirung, und steckt eine Anschlagnadcl auf diejenige Stelle, wo auf dem Meßtischblatte der Punct sich befindet, über welchen man sich gestellt hat- Nun legt man das, entweder mit gewöhnli¬ chen Absehen (Dioptern) , oder noch besser mit einem Fernrohre versehene Wisirlincal an die Nadel, visirt auf die an der Grund¬ linie ausgestellten Fahnen, und zieht die Reißblcylinie ^8 längs des ganzen Lineals. Ferner visirt man auf alle von die¬ sem Standpuncte aus sichtbaren fixen Punkte n, K, c, cl, e, bemerkt die gezogenen Bisirlinicn mit Buchstaben oder Zeichen, und hält darüber ein eigenes Bormcrkungs-Protokoll. Endlich irägt man die Länge der Grundlinie nach dem verjüngten Ma߬ stabe auf die auf dem Meßtischblatte gezogene zugehörige Linie ^8, und bemerkt zugleich auch den Punct L in der Mitte der¬ selben. Um diese bereits auS gezogenen Bisirlinicn zu durch- schneidcn, dadurch die Lage der anvisirten Fixpuncte zu bestim¬ men und andere anvisiren zu können, ferner um sich zugleich wegen der Richtigkeit sowohl in Hinsicht auf daS Messen, als M!ch auf das Aufträgen der Grundlinie nach dem verjüngten Maßstab sicher zu stellen, wählt man einen zweyten Standpunkt v in eurer solchen Lage gegen die Grundlinie, daß die zwey auS den udpuncten derselben gegen diesen Punct gezogenen Linien H.D 300 Fünftes Hauptstück. und LV sich unter einem nicht zu spitzigen Winkel, nicht 207. viel unter 60 Grad, durchschneiden. Zn einem so gewählten Punkte v läßt man nun eine Fahne aufstellen. Nachdem man diese noch aus dem ersten Standpunkte anvisirt, und die Bleylinie^v nach der ganzen Länge des Lineals gezogen hat; läßt man auch in eine Fahne aufstellen und begibt sich mit dem Meßtische auf den zweyten Standpunkt v *). Nun stellt man den Meßtisch über den zweyten Standpunkt v, und zwar so, daß wenn man demselben schon die beyläufigc Orientirung mit srepem Auge nach der aus dem ersten Stand¬ punkte hieher gezogenen Visirlinie gibt, diese genau über den auf der Erde bemerkten Punkt zu liegen komme. Der Meßtisch wird sodann durch das Zurück-Vifireri möglichst richtig orientirt, und endlich ganz fest gestellt. Hierauf nimmt man die Anschlagnadel aus dem Puncte heraus, und steckt sie in das zweyte Ende der Grundlinie L ein, legt das Visirlineal an die Nadel an, und visirt nach L, zieht die Reißbleylinie von L rückwärts gegen D, welche ^v durchschneidet. Durch dieses Verfahren, welches man das Lückwärtseinschneiden nennt, wird die Lage deS Punctcs v auf dem Meßtische bestimmt. Um zu untersuchen, ob man bcy dieser Operation richtig vorgegangen sey, nähmlich die Grundlinie sowohl richtig gemessen, als auch richtig aufgetragen habe, steckt man die Nadel in den Punkt 6, und visirt gleichfalls nach dieser Fahne. Hat man überall richtig gearbeitet, so muß die dadurch entstehende Visirlinie genau durch den bereits bestimmten Durch- schnittSpunct v gehen. Da die von einem Standpunkte gegen den andern gezogenen Biß" linien zur ferneren Orientirung des Meßtischblattes gebraucht wer¬ den; so ist es höchst nöthig, daß man bey dem Ziehen der Bleylinie die Schneide des scharf gespitzten Reißbleyes gleichförmig an die Kante anhalte, und die Linie so weit führe, als das Lineal oder das Tischblatt es zuläßt, um bey der vvrzunehmenden Richtung dasBißr- lineal mit voller Sicherheit wieder anlegen zu können. Bon den Anfangsgründen brr praet. Meßkunst. Z01 Da der Punct v vor diesem Verfahren noch nicht auf dem kig-. Meßtische sich befindet, und dieser bloß durch die Visirlinic 207. seine Orientirung erhält; so ist es keineswegs nöthig, -aß man sich mit dem Meßtische über denjenigen Ort stelle, wo die Fahne in I) errichtet war. Man kann sich in jedem anderen Puncte der Linie entweder zwischen und v, oder jenseits des Punctes v aufstellen, und das eben beschriebene Verfahren, das Rück- wärtsemschneiden vornehmen. Um in diesem Falle den auf dem Meßtische bestimmten Punct auch auf der Erdfläche anzugeben, damit man daselbst eine Fahne errichten oder diesen Punct mit¬ telst eines eingeschlagenen Pflockes bezeichnen könne; bedient man sich des Senkels oder eines Steinchens, wie bereits §. 587. er¬ wähnt wurde. Nachdem man nun den Punct O auf dem Mest- tischblatte bestimmt hat, steckt man die Nadel in denselben ein und visirt neuerdings alle dort sichtbaren fixen Puncte b,c, 6, ... an, von denen b, c und ä durch daS Durchschneiden der aus zu ihnen gezogenen Visirlinien bereits ihre bestimmte Stelle auf dem Meßtische erhalten haben. Um auch die Puncte k, g und k zu bestimmen, wähle man sich in L einen neuen Standpunct, visire ihn aus v zuvor an, und begebe sich, nachdem man in I) eine Fahne hat aufrichten lassen, nach L. Hier wird der Meßtisch wieder, wie zuvor gesagt wurde, durch das Zurück-Visiren von L nach V gestellt oder vrientirt. Dann schneidet man sich rückwärts ein, wozu der bereits bestimmte fixe Punct k> dient, und die Stelle dcS beym vorigen Standorte v gebrauchten Punctes 8 vertritt *)- Um die Arbeit sicher fortzusetzen, darf man bey jedem Rückwärtseinschneiden überhaupt, besonders aber bey dem Nückwärtseinschneiden auf ei¬ nen Standpunct, aus welchem wieder andere fixe Puncte bestimmt werden sollen, mit einem einfachen Durchschnitte der Linien VL und s>L sich nicht begnügen; sondern man muß noch wenigstens ) Man muß bey der Auswahl sowohl des neuen Standortes, als auch des fixen Punktes, woher man sich rückwärts einschneiden will, be, sonders bedacht seyn, daß die durchschneidendcn Linie» nicht zu schief nicht beträchtlich unter 60», auf einander treffen. Z02 Fünfter Hauptstück. kleinen zweyten fixen Punct c sehen können, um durch daS Ein- 207. stecken der Nadel in denselben und durch das Zurück-Visiren sich zu überzeugen, ob auch diese gezogene Visirlinie genau durch den Durchschnittspunct L gehe. Sind noch mehrere bereits bestimmte fixe Puncte sichtbar; so visire man auch noch aus dem bestimmten Standpuncte L auf dieselben. Treffen alle Bisirlinien auf die glcichnahmigen fixen Puncte der Erdfläche ein, so ist man von der Nichtigkeit seiner Arbeit überzeugt; und man durchschneidct nun auch k, § und li. Bemerkt man, daß die Puncte n und e, welche man in anvisirte, aus v nicht gesehen, mithin und nicht auS die. sem Puncre O durchschnitten werden können; so wählt und be¬ stimmt man einen neuen Standort k. Bon hier auS werden nun endlich auch a und o durchschnitten und bestimmt. Sobald dieses geschehen ist, so ist das Netz für die auf ein Meßtischblatt zu verzeichnende Gegend fertig. Die Bestimmung der Standpuncte durch daS Rückwärts« einschneiben gewährt so viele Vortheile, daß sie von den geschick¬ testen Geometern als die vorzüglichste Are anerkannt und benützt wird. Man erhält zwar auch die Lage eines jeden neuen Stand- punctes, wenn man die Entfernung desselben vom gegenwärtigen Standpuncte ausmißt, und dieses Maß nach dem zu Grunde ge¬ legten verjüngten Maßstabe gehörig aufträgt. Aber es ist leicht einzusehen, daß diese Art wegen des vielfältigen Messens den mei¬ sten Abirrungen ausgesetzt, und nebst dem auch sonst noch mit vie¬ len Beschwerlichkeiten verbunden ist. Bey dem Rückwärtsein¬ schneiden hingegen hat man nur eine einzige Linie, nähmlich die Grundlinie zu messen, für welche man eine zum Messen schicksame Lage auswählen, und hiebey alle nur mögliche Sorgfalt anwen¬ den kann. Man kann nach jeder Richtung und in jeder Gegend, wo man freye Aussicht hat, weitere Standpuncte wählen, ohne daß dazwischen liegende Hindernisse, als Flüsse, Moräste u. dgl- davon abhalten können. Man überzeugt sich in jedem neu gewähl¬ ten Standpuncte von der Richtigkeit seiner Arbeit; eS kann k.m wesentlicher Fehler einschleichen, den man nicht gleich bemerkt-, Von den Anfangsgründen der pract. Meßkunst- Z03 daher auch keiner sich der ganzen Arbeit mittheilen kann, welches bcy der andern Art der Fall nicht ist. HI. Das Figuriren und Aufnehmen des Details. Hat man nun das Netz für die aufzunehmende Gegend auf das Meßtischblatt vollständig und richtig gebracht; so kommt e§ darauf an, auch das Detail dcS ganzen Terrains so hinein zu zeichnen, daß alle darin vorkommenden Gegenstände in ihrer ver- hältnißmäßigen Größe und Lage richtig erscheinen. Obwohl eS nach verfertigtem Netze in Hinsicht auf die Nichtigkeit gleichgültig ist, von welchem Orte aus man diese Arbeit beginnt; so gibt es doch Gegenden, bcy welchen durch eine geschickte Auswahl deS Anfanges die fernere Arbeit wesentlich erleichtert wird. Regeln lassen sich hiezu keine geben, nur eine durch mehreres Aufnehmcn erlangie Erfahrung, geleitet durch reife Ueberlegung, wird dem Geometer diese Uebersicht in der Arbeit verschaffen. Der richtigste Anfang geschieht im Allgemeinen aus einem bereits bey Verferti¬ gung des Netzes bestimmten Standpuncte. Nachdem nun auf einem solchen Standpuncte der Meßtisch richtig gestellt und orientirt ist; wird das sogenannte KiFuriren vorgcnommen. Es geht nähmlich der Geometer mit einem vorläufig abgerichteten Gchülfen, welcher eine hinlängliche Menge numr- rirter Pflöche (kleiner Pfähle) mit sich trägt,, in der ganzen Gegend so weit herum, als der Gchülfe in der Folge von dem gewählten Standpuncte aus noch füglich gesehen werden kann, läßt in dem Puncte cincr jeden besonderen Veränderung des Terrains eine» numcrirten Pflock, in der natürlichen Reihe der (ganzen) Zahlen, Zuschlägen, zeichnet sich in seine Schreibtafel von Pflock zu Pflock mu Beysetznng der gleichnahmigcn Zahlen die ganze Gegend mit den in der Situations-Zeichnung für jeden Gegenstand gewählten Leichen auf. Die Absicht, wozu die Aufnahme geschieht, und die hiezu gewählte Größe des verjüngten Maßstabes, gibt dem Geometer au die Hand, wie viel Puncte er anzunchmen, und wie weit er >n das Detail einzulassen habe. Er kehrt sodann wieder zu seinem Meßtische zurück, sieht "ach einmahl nach, ob dieser nicht etwa verrückt worden sey, läßt Z04 Fünfter HauptstüS. kix. seinen Gehülfen eine Meßfahne über einen jeden eingeschlagenen numerirten Pflock nach der Ordnung der Zahlen aufstellen, visirt die Fahne von dem Meßtische an, und bezeichnet die Bisirlinie mit der Nummer des Pflockes. Diese Visirlinien werden ganz kurz nur in jener Gegend gezogen, wohin beyläufig nach einer ober» sachlichen Schätzung der aufzunehmende Punct auf das Tischblatt fallen dürfte. Denn cs ist höchst überflüssig, dieselben aus dem Standpuncte auS zu ziehen und dadurch gleichsam so viele Sonnen als Standpunkte auf dem Papiere zu bilden. Es wird durch das Verreiben des vielen Rcißbleycs das Papier schmutzig gemacht, und man geräth der so vielen langen Linien wegen leicht in Ver¬ wirrung. Um, wenn mehrere Linien nahe an einander fallen, mit Sicherheit zu wissen, zu welcher jede ausgeschriebene Nummer eigentlich gehöre; stellt man dieselbe bestmöglichst auf die dazu ge¬ hörige Linie, und bezeichnet sie mittelst eines hinter der Nummer genau auf die Linie gemachten Töpfchens, oder man schließt die Nummer mittelst eines Halbkreises an die dazu gehörige Linie ein. Damit der Gehülfe sich nicht eher mit der Meßfahne von einem Puncte entferne, als die Visirlinie gezogen worden, müssen zuvor bestimmte Zeichen zum Abdankerr (Abfertigen) verabredet, und dieselben während der ganzen Arbeit ungeändert beybchalten werden- Da es dessen ungeachtet sich ereignen kann, daß bey großen Ent¬ fernungen entweder beym Meßtische oder bepm Aufstellen der Meß' sahne ein Verstoß geschehe; so verabredet man ein besonderes Zei¬ chen, welches der Gehülfe gibt, wenn er auf einem fünfer und Zehner abgedankt ist, wodurch der Geometer am Meßtische sich überzeugen kann, ob er mit dem Gehülfen eincrley Nummer hat oder nicht. Wird nun dem Gehülfen das nähmliche verabredete Zeichen vom Meßtische her crwiedert, so geht er weiter fort; gt' schicht cs nicht, so ist hieß ein Zeichen, daß von dem vorletzten Fünfer an ein Fehler unterlaufen ist. Daher geht der Gehülfe aut diesen zurück und stellt sich wiederhohlt über die letzten fünf Num¬ mern auf, wo der Geometer zugleich am Meßtische durch wiedcr- hohltes Anvisircn seine gezogenen Linien und Nummern revidi't/ und alles wieder in Ordnung bringt. Durch dieses so einfE praktische Hülfsmittel gewinnt man Sicherheit, und öfters a»-v Bon den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 305 sehr viel Zeit. Denn bcy Unterlassung dessen kann es sich su-I^ gen, daß hundert und mehrere Puncte beym Figuciren aufgenvm- men werden, und am Ende die Nummer der letzten Bisirlinie nicht mit der Nummer des zuletzt eingcschlagenen Pflockes übercinstimmt; man weiß nun nicht, wo eigentlich der Fehler sich eingcschlichen hat. Daher muß der Gehülfe neuerdings mit der Mcßfahne von Nummer Eins über alle Pflöcke sich aufstellcn, und der Geometer allen Visirlinien durch neues Visircn nachsehen. Eben so ist dem Tehulfen gut kinzuschärfcn, daß er im Gehen jederzeit die Fahne so trage, daß die Leinwand derselben an der Erde hinschlcife, und daß er sie über keinen Pflock eher aufstelle, als bis er die Num¬ mer desselben angesehen, und sich überzeugt hat, daß er in der richtigen Ordnung ist *). Es handelt sich nun um einen zweyten Standort zum Durch¬ schneiden der vom ersteren nach allen Puncten gezogenen Visirli- nien. Es ist nicht nothwendig, daß dieß von einem bereits bey Verfertigung des Netzes bestimmten Standpuncte geschehe. Denn diese würden zur Aufnahme des Details bey weitem nicht hinrei¬ chen, und man würde noch viele Zwischenstände nehmen müssen. Hicbey treten die bereits bestimmten fixen Puncte in ihre vortheil- hafle Wirkung. Man erntet nun reichlich nebst der beständigen Si¬ cherheit auch den Ersatz der auf die Verfertigung des Netzes ver¬ wendeten Zeit ein. Schon beym Figurircn wird der Geometer be¬ merken, an welchem Orte er am schicksamsten seinen zweyten Standort annehmen könne; nur muß er sich dabey umfehcn, daß " -um Rückwärtseinschneiden die nöthigcn fixen Puncte besitze. Auf einem so gewählten in der Folge zu nehmenden Standpuncte laßt er eine Fahne aufstellen, und visirt sie von seinem ersten Standpuncte an **). *) Wer nicht selbst viel ausgenommen hat, wird dergleichen Bemerkun¬ gen für geringfügig halten; die Erfahrung aber lehrt, daß man nie SU viel auf Ordnung, Pllnctlichkeit und Vorsicht halten kann, wenn ,*wan sowohl geschwind als richtig arbeiten will. ) Bevor ein neuer Standort anvisirt wird, ist es immer gut der Stel¬ lung des Meßtisches wieder nachzusehen, ob er nicht etwa wahrend der bereits vorgehabten Arbeit verrückt worden sey. veza Mach. II. S. 20 Z06 Fünfte« Hauptstück. Nx. Nachdem dieß geschehen/ und in dem ersten Standpunkte eine Fahne errichtet worden ist, begibt er sich auf den neuen Standort. Hier ist das Verfahren bey der Stellung und Richtung des Meßtisches, dann Key der Bestimmung des Standpunktes auf dem Meßtischblatte dasselbe, wie es bey Verfertigung des Netzes be¬ reits beschrieben worden ist. Ist nun die Nadel in den neu be¬ stimmten Standpunkt eingesteckt, so stellt sich der Gehülfe mit der Mcßfahne wieder über einen jeden mit einem numerirten Pflocke bezeichneten Punkt. Dieß kann nun entweder nach dersel¬ ben Ordnung wie zuvor, oder auch umgekehrt, jedoch aus Verab¬ redung und mit Behutsamkeit im Aufstellen geschehen. Der Geo¬ meter am Meßtische durchschneidet alle zuvor gezogenen Visirli- nien, und sticht die erhaltenen Durchschnittspuncte mit einer Nadel sogleich durch, wornach jeder mit einem Pflocke bezeichnete Punkt auf dem Meßtische bestimmt ist. Sollten die zwey Visirlinien eines Punktes zu schief auf einander treffen, mithin ihr Durchschnitts- punct zweifelhaft bleiben; so mißt man die Entfernung eines an¬ deren sicher bestimmten nahe liegenden Punktes von dem zweifel¬ haften entweder nach Schritten (von denen fünf auf zwey Wiener Klaftern gerechnet werden), oder mit derMeßkette, oder auch mit dem Klafterstabe ab, nimmt diese Entfernung mit dem Zirkel auf dem verjüngten Maßstabe, setzt eine Zirkelspitze in den crsteren Punkt ein, und durchschneidet die Visirlinie des zweyten Punktes, wodurch auch dieser seine richtige Bestimmung erhält. Zn der Nähe des Meßtisches befindliche Puncte können auch durch Aus- messen und Aufträgen ihrer Entfernungen oder ihrer senkrechten Abstände von einer schon bekannten Linie bestimmt werden. So wie dem Gehülfcn das Zeichen zum Abgehen von einem Punkte gegeben wird; zieht derselbe den daselbst eingeschlagenen Pß°ck wieder auS, und sammelt auf diese Art alle ein. Sind nun alle anfangs ausgesuchten Puncte bestimmt; st kann aus diesem zweyten Standorte das weitere Figuriren vorge¬ nommen werden; und man sucht wieder einen neuen Standort, um die hier anvisirten Puncte zu durchschneiden. Auf diese Art Md die Arbeit fortgesetzt, und die ganze Gegend ausgenommen- finden sich bey einem Meßtische zwey Geometer, welche in der Won den AnfangSgrßnden der pract. Meßkunst. 307 Situations-Zeichnung hinlänglich geübt sind, so wird die Arbeit kiss. sehr befördert, wenn der eine bloß die Operation bey dem Me߬ tische, und der andere das Figuriren besorgt. Ist der Geometer am Meßtische gut geübt, so kann zu gleicher Zeit auf einer Seite durchschnitten, und auf der anderen sigurirt werden; nur muß für jede Parthey ein besonderes Zeichen zum Abdankcn angenom¬ men, und alle Aufmerksamkeit auf die Arbeit verwendet werden. Das Einzeichnen des Terrains kann zwar gleich auf dem Meßtischblatte nach dem Durchschneiden vorgenommen werden; gewöhnlich aber geschieht es während der Ruhezeit, wo nicht auf dem Felde gearbeitet wird. Es ist immer nöthig, daß dasselbe nicht zu lange verschoben werde, weil sonst manche mit Rcißbley bezeichnete Nummer auf dem Papiere des Meßtischblattes verwischt, und das Ganze zweifelhaft wird, auch das Bild des Terrains dem Figuranten entfällt, das er sonst mit Bevhülfe der in seiner Schreibtafel verfertigten Zeichnung auf dem Papiere vollkommen darstcllcn kann. Er nimmt nähmlich seine Schreibtafel zur Hand, zeichnet nach den in derselben und auf dem Tischblatte gleichnah- mig numerirtcn Puncten die Situation auf das Tischblatt zuerst mit Neißblcy vollkommen auf, und arbeitet sie dann auch gleich mit Tusche aus. Zur vollkommenen Richtigkeit in der Arbeit gehört auch, daß das Papier auf dem Meßtischblatte ganz flach und eben auflicge. Dieses erzielt man jedoch nicht, wenn das Papier nur wie ge¬ wöhnlich an dem Rande befestigt wird, da es bey feuchter Lust sich erhebt und Blasen bildet, folglich die Arbeit unterbleiben muß. Will man nicht so viel Zeit verlieren, (besonders im Frühjahre und Herbste, wo die Lust des Morgens und Abends meistens flucht ist) - sg kann sich gegen daS Aufsteigen des Papiers auf folgende Art verwahren. Man nimmt das Weiße oder Klare *wcs Eyes, schlägt davon einen Schaum auf einem Teller, fluchtet den zum Aufspannen bestimmten Bogen Papier auf dcr- ttnigen Seite, welche auf das Lischbret zu liegen kommt, mit °wem nassen Schwamme mäßig an, und bestreicht dieselbe Seite überall gut mit dem Eyerschaume. Man legt sonach das Papier auf as Meßtischblatt, und streicht es mit einem weißen leinenen Tuche 20 * Z68 Fun ft, S Hauptstück. I'ix. gut aus, damit cS sich auf und an daSHolz durchaus glatt anlegk. Endlich werten die Ranker mit einem dünnen Schreinerlcim oder mit Buchbindcrpappc angeklcbt. Ein auf diese Art aufge'panutcs Papier erhebt sich selbst in der feuchtesten Luft nicht, zieht sich beym Abschneiden vom Tischblatte nicht zusammen, und ist leicht ohne Bcrletzung herab zu nehmen. IV. Lkas Zusammenstößen der angrenzenden Secris- nen bey einer über mehrere Meßtischblätter ausgedehnten Aufnahme. Ist die Gegend von einem so großen Umfange, daß sie nach dem, der Absicht gemäß, angenommenen verjüngten Maßstabe nicht auf ein einziges Meßtischblatt gebracht werden kann, also mehrere Meßtischblätter erfordert; so kommt es darauf an, auf welche Art man die Zusammenfügung mehrerer Blätter am sicher¬ sten und schicksamsten bewirken könne. Wenn man nur Einen Me߬ tisch hat, muß man wenigstens mit zwey Tischblättern versehen seyn, mit welchen die Aufnahme nach und nach bewirkt werben kann. Hat man mehrere Meßtische, und auch die hiezu erforder. Uchen Geometer; so kann mit allen Meßtischen zugleich dak Detail ausgearbcitet, und dadurch die Aufnahme sehr beschleu¬ niget werden. Hier ist zuerst zu beobachten, daß man sich die Große eineS Rechteckes für jedes auf die Meßtischblätter aufgespannte weiße Papier bestimmt. Man kann etwa zur Grundlinie desselben 24 und zur Höhe 16 Zoll annchmcn, welches Rechteck man sodann eine Geciron nennt * *). Um nun das Netz für sä'mmtliche Sektionen zu verfertigen, welche zu der Aufnahme einer bestimmten größeren Gegend erfor¬ derlich seyn dürsten, kann man einen noch kleineren Maßstab an- uchmen, als derjenige ist, nach welchem ausgenommen werden ) Die Verzeichnung dieser Rechtecke muß mit der grkßtmkgtichstrn nauigkeit scwotl in Hinsicht auf die Langen, als auch aui senkrechte Stellung der Einschiießuugstinien gemacht werden. Da i * §. 887. H. bemerkte Verzeichnung eines Rechteckes kann "" Nutzen angewendet werden. e Don den Ansangtgrßnden der pract. Meßkunst. ZN8 soll; und zwar einen Maßstab von einer solchen Größe, daß mankljs. das Netz der ganzen Gegend auf ein einziges Meßtischblatt bringen kann. Man theilt das Papier dieses Tischblattes in kleine Recht¬ ecke (Scctionen) rin, deren Seiten mit denjenigen, die zur wirklichen Aufnahme bestimmt sind, in eben dem Verhältnisse stehen, in welchem der zur Verfertigung des Netzes angenommene kleinere Maßstab zu dem zurAufnahmc bestimmten größeren Ma߬ stabe steht. Um diese Eintheilung schicksam zu treffen., wird uns die vorläufig gemachte Recognoscirung am besten leiten können. Hierauf wird das Netz der ganzen Gegend nach der vorbeschriebe- nen Weise auf diesem Tischblatte verfertigt, wobey man vorzüg¬ lich noch darauf zu sehen hat, daß in eine jede solche kleine Section wenigstens ein Standpunct, und zwcy aus demselben sichtbare fixe Puncte gebracht werden. Wenn das ganze Netz fertig ist, so wird man gleich daraus ersehen, wie viel Scctionen man eigentlich zur Aufnahme der vor- gklegtcn Gegend nöthig hat. Man kann bey Verfertigung des¬ selben auch gleich den Hauptumfang der ganzen Gegend und die darin vorkommendcn vorzüglicheren Gegenstände des Details aufnehmcn. Dadurch erhält man zugleich das Gerippe (8guc- Ictte) der ganzen Gegend. Nun werden von diesem Tischblatte die in jeder kleinen Section befindlichen Stand- und Fixpuncte in die großen Sec- tionen nach dem angenommenen Verhältnisse mit der größten Ge¬ nauigkeit übertragen- Ebenso kann die Richtung der Magnetnadel bemerkt werden. Soll nun die Bearbeitung des Details vorgenvm- wen werden; so stellt sich jeder Geometer mit dem ihm auf seinerSection übergebenen Standpuncte über den gleichnahmigen auf dcrErdflächc, und orientirt den Meßtisch nach einem ebenfalls übertragenen siren Puncte, indem er das Visirlineal an dcnStand- ""b Arpunct anlegt, das Tischblatt so lange dreht, bis die Bistr¬ ine auf den letzteren genau cintrifft. Man überzeugt sich von der Züchtigkeit der Oricntirung, wenn man auch den zwcyten und ^wa «och die übrigen fixen Puncte aus dem Standpuncte anvifirt, °"" nachsicht, ob die Visirlinien genau durch die gleichnahmigen " puncte auf dem Meßtische gehen. Hiezu läßt sich auch die Magnet- 310 Fünfte» Hauptsttick. «adel benützen. Man-kann nun noch mehrere fixe Puncte, und zwar so viele bestimmen, als ihrer für eine solche Section nöthig scyn dürsten. Sodann wird die Bearbeitung des Details bis zur gänzlichen Ausfüllung einer solchen Section bewirkt. Es gehört mit zur Vorsicht der Arbeit, daß man das Papier, worauf das ganze Netz der Gegend sich befindet, nicht eher von dem Me߬ tischblatte abschueide, bis nicht die letzte Section für das Detail bereits ihre Puncte von demselben erhalten hat. Dieses Verfahren (das Zusammenstößen der angrenzenden Sektionen mittelst des verjüngten Triangulirens) kann statt fin¬ den, wenn die aufzunchmende Gegend nicht zu weit ausgedehnt, und der zur Aufnahme bestimmte verjüngte Maßstab nicht zu groß ist. Denn wäre dicfes der Fall, so würde der zur Verfertigung des Netzes anzunehmende Maßstab nach Verhältniß des ersteren für das Detail bestimmten zu klein ausfallen, und das Netz auf den großen Sektionen zu viel vergrößert werden müssen, wobey, wie jedem Geometer bekannt ist, selbst bey der strengsten Aufmerksamkeit nicht immer eine vollkommene Genauigkeit und Richtigkeit sich erzie¬ len läßt. Man kann die Aufnahme und das Zusammenstößen der Sek¬ tionen auch auf folgende Art bewirken, ohne daß vorher das Netz der ganzen Gegend nach einem kleineren Maßstabe auf ein einziges Tischblatt ausgenommen wird. 208. Nachdem man die Größe für die Sektionen zuvor bestimmt, und die Rechtecke auf die zwey vorhandenen Tischblätter verzeichnet hat; geht der Geometer mit einem derselben Id in diejenige Gegend, wo er bcym Recognosciren den schicksamsten Platz für die Standlinie gefunden hat, welche er absteckt und ausmefstn läßt. Er stellt sich nun mit dem Meßtische über das eine Ende der¬ selben, bestimmt sowohl diesen Punct auf dem Meßtische, als auch die Orientirung desselben so, wie er nach der erhaltene» Kcnntniß der ganzen Gegend glaubt, daß die Lage und Aneinan¬ derreihung dcr Sectionen am füglichsten und schicksamsten aus¬ fallen dürfte. Ferner verfertigt er sich nach II. das Netz für diese Scctic» und sucht dann in der Nähe derjenigen Sections-Grenzlinie, welche die folgende angestoßen werden soll, einige sire Von den Anfangsgrünben der pract. Meßkunst. ZIL (kiss. 208.) O, k, O, H zu bestimmen, welche entweder dieS-Hi-. oder jenseits der Sectionslinie, jedoch noch auf das Meß-208. tischblatt fallen. Zu diesem Ende wird auch ein Standpunct I in derselben Gegend angenommen und bestimmt, welcher desto zweckdienlicher ist, wenn er über die Sectionslinie hinaus liegt. Aus diesem Standpuncte ziehe man gegen einen der vorbesagten Fixpuncte L die Wisirlinie IO in einer solchen Länge, als es das Lineal und Tischblatt zulassen. Man nehme sodann das zweyte Tischblatt lei zur Hand, und übertrage die auf dem ersten Tischblatte gezogene Bisirlinie IO, und die nahe an der Sections-Grenzlinie HD befindlichen Fix¬ puncte O, O, 6-, D, nebst dem Standpuncte I in eben derselben Lage, die sie gegen die Sectionsseite HO haben, auf das zweyte Tischblatt Irl gegen diejenige Sections^Grcnzlinie oä, an welcher diese folgende Section äsi mit der vorigen vereinigt werden soll. Man beschreibe zu dieser Absicht mittelst deS StangenzirkelS aus dem Puncte H mit der Eröffnung HI einen Bogen IN, bis die Sectionslinie in dem Puncte N durchschnitten wird. Mit eben dieser Eröffnung des Zirkels beschreibe man auch auf Icl auS dem Puncte o einen Bogen mi von der Sectionslinie einwärts von unbestimmter Länge, nehme die Sehne NI genau, setze die eine Zirkelspitze in m ein, und durchschneide denBogen in i; so erhält man die Lage des Standpunktes i. Auf eben diese Art verfahre man bcy dem Uebertragen der übrigen nahe an der Sectionslinie liegenden fixen Puncte O, O, O, D. Ferner übertrage man auch zur Ueberzeugung den Durchschnittspunct iX in n, und sehe zu, ob die gezogene Linie ei auch genau durch n gehe. Nachdem alles dieses berichtiget ist, nehme man daS Tischblatt lcl auf das Sta¬ tiv, ste^e sich mit dem Puncte i über den gleichnahmigen auf der Erdfläche, und orientire den Meßtisch nach der Linie ei, wie vorher steigt worden ist. Endlich steckt man die Nadel in i, und über¬ zeugt sich vM der richtigen Stellung durch das Anvisiren der Puncte I, si. Auch hier kann man, wie bcy dem ersten Versah» "n gesagt wurde, die Richtung der Magnetnadel übertragen, und d>°sclbe durch das Aufsetzen und Einspielen der Nadel prüfen. Treffen die Visirlinien sämmtlich in den gleichnahmigen Puncten ZI2 Fünfter Hauptstück. ki-t-ein; so kann man nun di- weitere Verfertigung des Netzes für 208. die Section am fortsetzcn. Man hat hier nicht mehr nöthig eine Linie auszumessen, sondern man kann aus diesem ersten Stand¬ punkte i einen weiter folgenden und mehrere neue Fixpuncte an- visircn, dann auf dem neu gewählten Standpunkte mittelst der übertragenen Fixpuncte sich rückwärts cinschnciden, und von da aus die neuen Visirlinien durchschneioen; wornach die Arbeit für dieses Tischblatt, wie bereits bekannt ist, fortgesetzt wird. So wie man an die Liniedie Section nc angestoßen hat; eben so kann man an alle übrigen Sectionslinien sowohl von^.L als von nc noch andere Sektionen anstoßcn und zusammenreihen. Sind mehrere Geometer vorhanden; so arbeitet einer gleich, sobald an eine Section alle angrenzenden angestoßen worden sind, an dem Detail derselben. Auf diese Art wird bis zur Beendigung der ganzen Arbeit fortgefahren. Durch das Verzeichnen gleich großer Sektionen auf die Tisch- blätter und durch das Zusammenstößen derselben auf oben beschrie¬ bene beyde Arten erhält man die wesentlichen Vortheile, daß erstens bey der Bestimmung der Hauptpunkte, bey der geome¬ trischen Lriangulirung, in allen Sektionen nur ein einziges Maß/ die gemessene Grundlinie, zum Grunde liegt; daß zrvepcens bey dem Zusammenstößen der Sektionen dieselben genau zusammcn- passen müssen, wenn anders die Ausfüllung einer jeden insbeson¬ dere richtig vorgenommen worden ist; drittens daß bey zwey Geo¬ metern, deren aufzunehmende Sektionen an einander grenzen, keine besondere Ausflockung und Ucbergabe der Grenzlinie auf dem Terrain nvthig ist, und daß doch dabcy jeder derselben be¬ stimmt weiß, was von ihm ausgenommen werden muß; endlich viertens gewinnt die Karte ein besseres Ansehen, weil sie aus gleich großen Blättern mit geraden in eine Richtung fallenden Linien zusammen gesetzt wird. Das Zusammenstößen nach ein" Umfangslinie irgend einer Gegend ist das unsicherste und schiech' teste Mittel. Kon Len Anfangsgriinden der praet. Meßkunst. 31Z Zl n m e r k u n g e n. 1) Wenn sich der Fall ereignet, daß man die Aufnahme ei¬ ner Erdstrecke in einer Gegend anfangen muß, wo das Terrain zu uneben ist, als daß man eine Grundlinie mit zureichender Genauigkeit messen könnte; so kann man auf folgende Art Vor¬ gehen. Von dem Standpuncte, von welchem die Aufnahme begin¬ nen soll, wähle man zur Grundlinie eine angemessene Entfernung gegen einen auf dem Terrain schon vorhandenen ausgezeichneten oder aber mit einer Fahne ausgesteckten Punct, und zwar eine Entfernung beyläusig von der Größe und Lage, wie sie zu der beabsichtigten Aufnahme beschaffen seyn soll. Für das Längen¬ maß dieser gewählten Grundlinie, ohne sie wirklich zu messen, nehme man eine nur nach dem Augenmaße abgcschätzte Zahl von Klaftern an. Man stelle sich mit dem Meßtische über den einen Endpunct der angenommenen Grundlinie, und verfahre weiters ganz so wie in II. gesagt worden ist. Endlich trage man das abgeschätzte Längenmaß auf die gegen den anderen Endpunct der angenomme. neu Grundlinie gezogene Visirlinie nach dem zur Absicht der Auf¬ nahme erforderlichen verjüngten Maßstabe auf. Um sich auf dem zweyten Standpuncte rückwärts einzuschnei- den, hat man bey diesem Verfahren nur einen einzigen Punct. Nähmlich der Meßtisch wird nach der aus dem einen Endpunkte der Grundlinie, worüber man sich zuerst gestellt hatte, gegen diesen zweyten Standpunct gezogenen Visirlinie orientirt, und dann dieser zwcyte Standort aus dem zweyten Endpuncte der Grundlinie rückwärts eingeschnitten. In diesem zweyten Standorte wird man noch in keiner vollen Überzeugung seyn, ob der durch das Rückwärtscinschneiden be¬ stimmte Standpunct und auch die aus demselben bereits durch¬ schnittenen fixen Puncte die volle Nichtigkeit in der Bestimmung chrer Lage haben oder nicht. Kommt man aber weiter auf den dritten Standort; so wird man sich daselbst von einem der bereits durchschnittenen fixen Puncte rückwärts einschneiden, und durch Z14 Fünfte« Hauptstück. Irx. das Anvisiren der übrigen von der Richtigkeit der Arbeit über, zeugen können. Nun kann man die Arbeit mit Verfertigung des Netzes nöthigen Falls über mehrere Sektionen fortsetzen, und auch die Aufnahme des Details vornehmen, jedoch ohne Messen und Aufträgen der Entfernungen der vorkommenden Puncte, sondern immer durch das Anvisiren und Durchschneiden derselben. Kommt man endlich mit einer Scction in eine Gegend, wo das Terrain die genaue Messung einer Linie znläßt; so steckt man diese aus, bestimmt die Endpuncte derselben mittelst des An- visirens und Durchschneidens auf dem Meßtische, und mißt sie auf der Erde genau ab. Man nehme dann die auf dem Meßtische so - bestimmte Entfernung dieser zwey Puncte, trage dieselbe auf eine seitwärts gezogene Linie, und thcile sie in so viel gleiche Theile, als man Klaftern bey der Messung für die Länge der Entfernung dieser zwey Puncte auf der Erde gefunden hat. Dadurch erhält man den Maßstab für die bereits geschehene Aufnahme. Damit die Theilung dieser Linie zur Verfertigung des Maßstabes leichter geschehen könne, so messe man auf der abgesteckten Linie eine runde Zahl von Klaftern ab, und stecke in diesen bestimmten Punct die zweyte Fahne als in einen Fixpunct ein. Sollte nun eine auf diese Art aufgenommene Karte mit einer andern, nach einem andern verjüngten Maßstabe aufgenomme¬ nen zusammen gestoßen werden; so versteht es sich von selbst, daß jene erst nach diesem Maßstabe vergrößert oder verkleinert wer¬ den müßte. 2) Mehrere Vortheile, welche bey dem Aufnehmen einer Gegend angewendet werden können, lassen sich nicht wohl in ei¬ nem Lehrbuche deutlich angeben, weil sie von den Veränderungen des Terrains abhängen, und deßwegen eben so wie diese mannig¬ faltig sind. Die verschiedenen Behelfe und Kunstgriffe wird man durch fleißige und aufmerksame Uebung, durch eigenes Nachden¬ ken und Lurch eine geschickte Anwendung und Combinirung der erlernten theoretischen Gründe sich zu erwerben im Stande seyn. Man glaubt auch noch wicderhohlt anempfehlen zu müssen daß an Pünctlichkeit und Ordnung ja nichts vernachlässigt werde. Von den AnfangSgründrn der pracl. Meßkunst. 815 weil ost eine kleine Vernachlässigung von sehr üblen Folgen seyn, kix. und den Verlust vieler Zeit und Arbeit nach sich ziehen kann. 3) Ein Gebäude, einen Garten, und andere dergleichen öko¬ nomische Gegenstände im Grundrisse, im Querdurchschnitte und nach der äußeren Ansicht (ka^-räe) aufzunehmen, und nach einem angenommenen verjüngten Maßstabe aufzuzeichnen, ist man im Stande, wenn man die ersten Aufgaben der practischen Meßkunst inne hat, und in der Zeichnungslehre unterrichtet ist. Eben dahin gehört auch das Abzeichnen eines vorgelegten Körpers nach einer gewählten Ansicht, wie auch die perspektivische Vorstellung dessel¬ ben aus einem angenommenen Gesichtspunkte auf einer gegebenen Ebene, und mehr dergleichen, welches hier mit Stillschweigen übergangen wird. 4) Das Ausstecken einer auf dem Meßtische nach einem fest, gesetzten verjüngten Maßstabe verzeichneten Figur (z. B. des Grund¬ risses einer Festung) nach voraus gegangener Aufstellung und Orientirung des Meßtisches, wird jeder leicht ausführen können, der sich das bisher Vorgetragene eigen gemacht hat; daher man für überflüssig hält, darüber etwas insbesondere zu sagen. 5) Schließlich kommt noch zu bemerken, daß für den mili¬ tärischen Gebrauch im Felde der Meßtisch und daZ Vistrlineal, die wegen ihrer Größe und Schwere im Kriege von einzelnen In¬ dividuen nicht leicht mitgeführt werden können, bey Verfertigung des Netzes (bey dem geometrischen Trianguliren) und bey der Ausfüllung des Details einer militärisch aufzunehmenden Gegend mit zulänglicher Genauigkeit durch einen Spiegel-Sextanten oder catsptrischen Zirkel, ersetzt werden können. Einen solchen Spie¬ gel-Sextanten oder catoptrischen Zirkel kann man leicht bey sich in der Rocktasche tragen, mit demselben jeden nöthigen Winkel ohne Beyhülfe eines Stativs beobachten, und ihn sodann auf ein Papier übertragen, welches auf irgend einem Reißbrett aufge¬ spannt ist. 6) Die Aufnahme ohne alle Instrumente, bloß nach Scheit¬ ln und nach dem Augenmaße, wenn man sich einige Hauptpunkte aus einer vorhandenen geographischen oder topographischen Karte ium vorläufigen Netze nach dem gewählten verjüngten Maßstabe Z16 Fünfte» HauptstSck. kiss. heraus genommen hat/ wird nur derjenige mit einiger Zuverlässig- keit zu bewirken im Stande seyn, welcher sich im Aufnchmcn mit dem Meßtische bereits mehr Uebung erworben hat, und um ver¬ schiedene practische Wortheile nicht verlegen ist. §. 599. Soll die in §. 597. vorgclegte Aufgabe trigonometrisch auf- 145. gelöst, d. h. die in ssix. 145. vorgcstcllte Gegend mit Hülfe eines Winkelmessers ausgenommen werden; so muß man dabey auf folgende Art verfahren. Man messe eine Grundlinie ^8, und beobachte an dem einen Endpuncte derselben die Winkel 8^V6-, 6-V8, 8^8, 8-^1), 6^8, und an dem anderen End¬ puncte die Winkel 888, DLL, 88-^, und in 8 die Winkel HO, 688, 8H Nun ziehe man auf dem Papiere eine Gerade ak, trage aus dieselbe die Länge der gemessenen Grund¬ linie nach einem verjüngten Maßstabe, und verzeichne an beyden Endpunctcn derselben die bekannten Winkel; wodurch die Puncte n, K, c, 6, e bestimmt werden. Ferner zeichne man in dem schon gefundenen Puncte e an der Linie ea die in 8 beobachteten Win¬ kel; so werden dadurch auch die übrigen Puncte bestimmt. Oder man berechne in den Drcyecken ^88, ^c88, anS der Seite ^8 und den daran liegenden Winkeln die Seiten ^8, ^8, ^8. Ferner berechne man auch in den Dreyccken ^88, ^V68, -^88 aus der schon gefundenen Seite ^8 und den anliegenden Winkeln die Seiten -^.8, ^6, ^8. Sodann verzeichne man aus einem Puncte n die in beobachteten Win¬ kel , und trage auf die Schenkel derselben nach einem verjüngten Maßstabe die Längen der Geraden ^8, ^X8, H.8, ^8, ^8, -^0, ^8; so wird wegen der Achnlichkeit der Dreyecke die dadurch er¬ haltene Figur asicciesAss der Figur auf dem Felde ähnlich scyn- Man kann auch in den Dreyecken H88, ^88, ^88 u- s- w- alle Seiten berechnen, und dann die Puncte o, cl, e über der angenommenen Grundlinie asi mittelst der Durchschnitte von Kreisbogen bestimmen, wenn man aus a und l> mit den gehörig^ Halbmessern Kreisbogen beschreibt u. s. w. Es ist gut, wenn man alle drey Winkel eines solchen Dreycckes beobachtet, damit man sogleich sehen könne, ob die Beobachtung derselben richtig vorge- Don bon AnfangSgrLnden bor pract. Meßkunst. ZI? nommen wurde. Sollte die Summe dieser Winkel nur um etwas Hss. Weniges von 180° entfernt seyn, so kann man den Unterschied verhältnißmäßig vcrtheilen, und dann die Seiten berechnen. Bey großen trigonometrischen Vermessungen ist cs nichtrath- sam die berechneten Dreyccke nach der angeführten Art mittelst des Transporteurs oder mittelst der Durchschnitte der Seiten zu verzeichnen, weil jeder bcy dem Aufträgen begangene Fehler, so klein er auch ist, sich den übrigen Dreyeckcn mittheilen, und in der Folge beträchtlich werden kann. In solchen Fällen nimmt man eine Linie M an, welche durch einen Standpunct und 146. durch einen anderen PunctiX gezogen ist, berechnet die darauf senk¬ rechten Ordinate» Le, vel, kl, 6c, Lb, li, Oss, Hk, wie auch die Abstände dieser Senkrechten von dem Punkte^.oder die zugehö¬ rigen Abscissen, nähmlich ^cl, ^s, u. s. w. und verzeichnet mittelst dieser Abscissen und Ordinate» die berechnete Figur. Man zieht nähmlich auf dem Papiere eine Gerade 8iX, nimmt auf derselben für den Standpunct an, und trägt nach einem verjüngten Maßstabe von bis k die berechnete Abscisse er¬ richtet aus si eine Senkrechte KL, und trägt auf dieselbe die be¬ rechnete Länge der Ordinate I>8, um den Punct L zu erhal¬ ten. Cbcn so werden die übrigen Puncte 6, D, u. s. w. be¬ stimmt. Diese Art der Verzeichnung hat den Vortheil, daß, wenn auch irgendwo bey der Bestimmung eines Punctes ein kleiner Fehler begangen wird, derselbe jederzeit für sich allein bleibt, und sich den übrigen Pnncten nicht mittheilet. Ist man mit den nöthigcn Hülfsmitteln versehen, um in bem Puncte (nach der in §. 583. Aufgabe II. gezeigten Me¬ thode) die Richtung der Mittagslinie genau ausstcckcn zu können; nimmt man die Gerade M in dieser Richtung an, damit da- durch die Lage des berechneten trigonometrischen Netzes in Hin¬ sicht auf die Weltgegenden Ost, West, Süd und Nord festgesetzt werde. Hiebey erhält man den Vortheil, daß die geographische Lünge und die Breite oder Polhöhe eines jeden durch die auf sich beziehenden Abscissen und Ordinaten bestimmten Punc- n? leicht gefunden werden kann, wenn die geographische "ünge und Breite des PuncteS bekannt ist. Denn in diesem ZI8 Fünfte« Ha uptstück. 8ig. Falle sind die Abscissen die Breitenunterschiede, und die Ordi- 146, naten die Längenunterschiede zwischen dem Puncte und dem zugehörigen Puncte. Sollte aber die Lage der Mittagslinie nicht genau gefunden werden können; so ist es besser, um allen Jrrthümern auszuweichen, irgend eine andere bestimmte Richtung für die Abscissenlinie anzunehmen. Die Ordinaten Le, Dä, 6c, 6-x, u. s. w. nebst ihren von dem Puncte gerechneten Abscissen können aus den vor¬ her berechneten Seiten und Winkeln der ganzen Figur auf fol¬ gende Art gefunden werden. Man beobachtet in den Winkel, welchen eine aus in was immer für einem bestimmten Puncte gezogene Gerade mit E einschließt, z. B. den Winkel so können in dem rechtwinkeligen Dreyecke ^86 aus der Hypo- thenuse ^8 und aus dem Winkel t>^8 die Seiten ^6 und öl> berechnet werden, da Hch — H.8. cos 6^8 und 68 — ^8. rin b.^L ist. Ferner hat man in dem rechtwinkeligen Dreyecke 6^c die Hypothenuse 6^ nebst dem Winkel 6^c — 6^8— 6^8 be¬ kannt; folglich können daraus die Seiten 6c und ^c gefun¬ den werden. Man ziehe von 180" den Winkel 6^8 -l- M6 ab; so ist der Ueberrcst --- 6^.°-. Folglich ist in dem rechtwinkeli¬ gen Dreyecke 6-^x nebst der Hypothenuse auch der Winkel 6^2 bekannt, und 6lx, können sonach berechnet werden. Ferner ist (H8 — — 8^6, und endlich 8^6 -l-1^8—1^- Es können demnach in den zwey rechtwinkeligen Dreyecken und I^i die Seiten 86, ^r6, und li, gefunden werden. Um k8 und -^ci, ä8 zu erhalten, denke man sich durch 8 «ine Parallele 8tz zu äiX ; so ist ^8(Z ^180"—^8 (ver¬ möge 362. HI.) und ^8(Z —-^86 —68V^V8(Z. Nun können in dem rechtwinkeligen Dreyecke VY8 die Seiten und vtz berechnet werden. Ferner ist8tz -t- 6^ -- 6ä -i- 68 — vtz - ätz - vtz -- 68 und 888—V8tz -- LLL N dem rechtwinkeligen Dreyecke 8I»L können somit 8? und gefunden werden, und es ist dann 88^-6^---^, "nd 88-1-86-85. Man denke sich auch durch 8 eine Parallele 88zu E oder 8tz, s, ist 888 -180°—tz88, und V; so wird 209. LL ein Stück des Meridians des Punctes nnd 00 ein Stück des auf 88 senkrechten größten Kreises, welcher auch der erste verticalkreis des Punctes genannt wird, vor¬ stellen. . 3) Aus dem Puncte .4. trage man nach 8 und 8 auf W den halben Breitenunterschied, welchen die ganze Section. enthalten soll, nach dem angenommenen Maßstabe auf. Die durch die abgeschnittenen Puncte 8 und 8 auf 88 senkrecht gezogenen Bogen von größten Kreisen werden, und zwar der erste die obere oder nördliche, der zweyte aber die untere oder süd¬ liche Sections - Linie bestimmen. 4) Damit man nun diese Sectionslinien 80 und 88 er¬ halte; so müssen für eine angenommene Entfernung ^.O, im Bo¬ genmaße des größten Kreises, die Durchschnittspuncte 6 und k' dieser Sectionslinien mit einem in dem Puncte I) auf H.V senkrechten größten Kreise 008 gesucht werden. Es sey dem¬ nach, um die sphärischen senkrechten Abstände 80 —x und des Punctes 6 von dem Meridiane und dem ersten Verticalkreise des Punctes zu finden, die Entfernung — a und der Brcitenunterschied H.L der Puncte und K — A in Graden, Minuten und Secunden ausgedrückt. Man verlängere die Bogen ^O und 80 der auf dem Meridiane senkrechten ersten Berticalkreise der Puncte und 8, sie sich in dem Pole O dieses Meridians d. i. in dem Ost- puncte vereinigen, folglich die Bogen ^O und 80 Quadran- len werden. In dem durch diese Construction entstehenden bcy " "chtwinkeligen Dreyecke 080 ist der Winkel OOD--^8--sZ ""d OO--.4.O—^0^90°-» 00--80 —8O--90°-x erhalten wir (nach §. 574.) tLNAx — cosctLUAÄ, tLNg^----cO8Lt3Nsc. Vega Math. II. L. - 21 Z22 FÜ n fte s H a u p tst ü ck. 8ix. Daraus findet man sowohl 86 als auch 68 in Graden, 209. Minuten und Sccunden ausgcdrückt. Diese Bogenmaße für 86 und 68 nehme man auf dem geradlinigen Maßstabe, beschreibe aus den Puncten 8 und 8 mit dem Halbmesser 86 oben und unten einen Kreisbogen, und durchschneide beyde aus dem Punčke 8 mit dem Halbmesser 68; so sind die Puncte 6 und 8 gefun¬ den, welche sowohl mit 8 und 8 als auch mit 8 verbunden werden müssen. Hat die Zeichnung gegen Osten und Westen, oder gegen Norden und Süden eine sehr große Ausdehnung über 18 Grade deS größten Kreises; so müssen im ersteren Falle für die nördliche und südliche Sectionslinie, im zweyten Falle für die östliche und westliche mehrere Zwischenpuncte bestimmt werden, damit man durch die Verbindung dieser Puncte die Sectionsli- nicn richtiger erhalte, z. für ^8 --10°, ^8 -- 20° ist 86 ---19° 43'11", 86 -- 9° 24'2S"i für ^8--10°, ^.8'--10° ist 86'-- 9°51' 4",8'6'--9°51' 4"; für ^8'-- 5°,^8--20°ist8'6"--19°55'47",86"--4°41'59". 5) Um die Lage der Meridian-Kreise für die von Grad zu Grad aufeinander folgenden, von dem durch den Punct ge¬ henden Meridiane gerechneten Längenunterschiedc zu erhalten, müssen die Durchschnitte derselben auf der oberen, mittleren und unteren Sectionslinie gesucht werden. Setzen wir allgemein den von dem mittleren Meridiane 88 gerechneten Längsnunterschied eines bestimmten Meridians, von welchem ücl'ä" ein Stück is' — A; verlängern wir ferner die Bogen 8^8 und rlcl'st" Meridiane, bis sie sich in dem Nordpole 8 schneiden: so werden, wenn hch'ch" die geographischen Breiten der Puncte 8, ' bezeichnen, folglich k —l/—k"ist, 88 --- 90° — 8, 8^ --- 90° — k', 88 -- 90° — k" die Pol-Distanzen oder Aequatorshöhen dieser Puncte 8, Setzen wir ferner Bon den Anfangsgründen der pract. Mcßkunst. 323 Lei -- I, -- ft, Lä" -- I"; so liefern die bey L, L rechtwinkeligen Dreyecke ULk, 209, welche den Winkel Mä — X gemein haben, (nach §. 574.) die Gleichungen tanx 1 — tanz X co8 ft tairx ft — X cos tanx ft^ — tanx X oo8 I)". Man darf also nur diese Entfernungen für die auf einander folgenden Grade der Längenuntcrschiede berechnen, dann nach dem angenommenen Maßstabe von L, /V und L aus gehörig auftragen, und die erhaltenen glcichnahmigen Puncte mit ein¬ ander verbinden; so sind dadurch die von Grad zu Grad auf einander folgenden Meridiane gezogen. Für die zwey gegebenen Parallel-Kreise, zwischen welche die aufzutragenden Haupt¬ punkte fallen, kann man zur Beschleunigung der Arbeit allen¬ falls auch die Bogen I, ft, 1" in eine Tafel zufammen- tragcn. Um daS Netz möglichst richtig zu erhalten, kann man auch auf der Sectionslinie und auf einer in der Mitte zwischen und L auf^L nach 4) senkrecht gezogenen Sectionslinie die Durchschnittspuncte der Meridiane mittelst der angeführten For¬ meln bestimmen. 6) Damit endlich auch die Lage der Parallel-Kreise für die von Grad zu Grad fortlaufenden Polhöhen gefunden werde; bestimme man sich die Ausbiegung oder Abweichung der Paral- lel-Kreise von den drey Sectionslinien L0, ^V, ftik, nähm- üch die Linien cift---v, cftlft--v', Hiezu dienen die bereits in 5) betrachteten Kugeldreyccke «iLft,Denn setzt man voraus, daß gft, ^"di'e geographischen Breiten der Puncte 6, cft, 6" sind, folglich kä -- 90° —

". Beachtet man ferner, daß K, 6^, b" die geographischen Breiten nicht bloß der Puncte L, L, sondern auch der Puncte ä, ä-', ä" sind; so ergeben sich die Abweichungen v —b> — gr, v"— h"— g)". Die erhaltenen Maße müssen von dem Maßstabe gehörig abgenommen, dann von der oberen, mittleren und unteren Secki- onslinie, auf jedem zugehörigen Meridiane aufgetragcn, und jede drey neben einander erhaltenen Puncte mittelst eines Kreisbogens verbunden werden. Sobald dieses geschehen ist,lassen sich auch die übrigen Parallcl-Kreise leicht ziehen. Auch die Abweichungen oder Ausbiegungen der Parallel-Kreise kann man zur Förderung der Arbeit in eine Tafel bringen. Ueber eine nach einem gegebenen Maßstabe richtig und genau gezeichnete Karte kann man eben so leicht ein geographisches Ku- gclnetz spannen, wenn nur durch einen Punct derselben die W- tagSlinie gezogen, und die Polhöhe für diesen Punct bekannt ist- In diesem Falle muß man sich aus dem Maßstabe der Kack nach dem bekannten Verhältnisse der angenommen Längeneinhei! zu einem Grade einen Grad-Maßstab verfertigen. Wenn z-iö> bey der Aufnahme und Zeichnung der Karte entweder die Ack- ner Klafter, oder auch die österreichische Postmeile zu Grunde liegt, so muß man im ersten Falle 58583,93 Wiener Klastck und im zweyten 14,646 österreichische Postmeilen für 1 Grad des geradlinigen Maßstabes annchmen. Ferner muß man in die" Puncte^, dessen Polhöhe bekannt ist, eine Senkrechte auf die bekannte Richtung der Mittagslinie errichten, und die Entfern^'! der bepden äußersten Puncte L und I) von dem Puncte eck diesem Grad-Maßstabe messen; so ist in den oben in 4) ange¬ führten Formeln die Polhöhe in dem Puncte ^. — 1^, der Breits' unterschied —und die Entfernung eXO--- s bekannt. können die Durchschnitte 6 und kder Sectionslinien LLundkt' wie auch die Durchschnittspuncte der Meridiane und die Ausbiß Won den Anfangsgründen der praet. Meßkunst. 325 qen der Parallel-Kreise nach der oben gegebenen Methode ge¬ funden werden. 209. UcbrigenS ist einleuchtend, daß bey der Eintheilung deS geo¬ graphischen KugelnetzeS dasselbe Verfahren auf der westlichen Hälfte beybehalten werden muß. Anmerkung. Die hier aus einander gesetzte ZeichnungZart eines geographischen KugelnetzeS hat vor den bisher gewöhnli¬ chen, selbst vor der beliebten Murdochischen projection erheb¬ liche Vorzüge, weil bey der hier vorgeschlagenen Zeichnung des geographischen Kugelnetzes die Umrisse der Länder, die Lage und die wechselseitigen Entfernungen der darin bemerkten Oerter we¬ niger verunstaltet werden, als bey jeder anderen bisher gebrauch¬ ten Projection. Man vergleiche damit Tob. Mayer vollständige gründliche Anweisung zur Verzeichnung der Land-, See- und Himmels-Karten und der Neye zu Loniglobien und Rugeln. Erlangen. 1794. §. 601. Aufgabe. Oie Entfernung zweyer puncte und L 137» 137. nebst der Richtung der Magnetnadel, ist auf dem Uleßcische gegeben; man soll auf demselben die Lage des Standpunctes 6 bestimmen, wofern man von diesem nach und L visiren kann. Auflösung. Man stelle den Meßtisch mittelst der Magnet¬ nadel dergestalt über 6, daß ab mit der gleichnahmigen Linie parallel laufe, lege bey dieser Stellung des Meßtisches daS Nssirlineal zuerst an a, dann an b, und visier bey der ersten Zulage nach und bey dcr.zwcyten nach L; so werden sich auf Meßtische die bemerkten Visirlinicn in dem Puncte c schnei¬ en, und dadurch wegen der Achnlichkcit der Dreyecke aeb und die Lage des Punctes L in c bestimmen. §. 602. Aufgabe. Die Länge einer unzugängiyen Geraden 147, 'st gegeben, man soll die Lage der punne e und I) bestim- von denen man nach und L sehen kann. 326 Fünftes Hauptstück. Nx. Auflösung. I. Mit A'ilfe des Meßtisches. Man stelle den 147. Meßtisch in 6 , und visire nach ^4, 8, 1). Sodann stelle man den Meßtisch in V dergestalt, daß die Visirlinie <^<8 genau in der Richtung 6V liege, und visire aus einem beliebigen Puncte dieser Visirlinie <8 nach-4und 8; so ist wegen derAehnlichkeit der Dreyecke die Figur O6^8. Endlich trage man nach einem verjüngten Maßstabe die Länge ^48 auf die Gerade b8 von I> bis n, und verzeichne (§. 426.) die Figur bucci n so ist dadurch die Lage der Puncte 6 und V bestimmt. II. Mittelst eines Winkelmessers. Man beobachte in 6 die Winkel )468, 86V, und in V die Winkel 6V^4, ^VL. Dann nehme man für 6V eine willkührliche Länge an, z. B. man setze 6V — 1, und berechne nach dieser Voraussetzung 40, 4V, 68, V8 und 48. Endlich schließe man wegen der Aehn> lichkeit der Dreyecke: die berechnete Lange 48 verhalt sich) zu der wirklichen bekannten Lange 48, wie jede andere be¬ rechnete 46, .4V, 6V, .... sich zu der wirklichen Länge von 46, 4V, 6V, .... verhält. Man findet die Lage eben-dieser zwey Puncte durch Verzeichnung, wenn man an einer Geraden von willkührlicher Länge die beobachteten Winkel verzeichnet, dann 84 nach einem verjüngten Maßstab! auf Kr8 von b bis u aufträgt, und endlich (nach §- 425) »cäb v!) verzeichnet. Es ist ohne meine Erinnerung klar, daß diese Aufgabe auf dieselbe Art aufgelöst werden kann, wenn einer der My Puncte V und 6 diesseits,),der andere jenseits der bekannten Linie 48 liegt. §. 603. 148. Aufgabe. .4, 8, 6 sind drey Oerter auf dem Selbe, bis deren Lage gegen tteinanderj ^bekannt ist, V ist ein riec- 153. ter Ort, von dem man nach 4, 8, 6 sehen und die Winkel m, n beobachten kann; man soll daraus die des puncces V, nähmlich die Entfernungen V4, Vö, bestimmen. Von den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. Z27 Auflösung. Wen» nebst der Lage der drey Puncte tV, 8, isiix. 6 auch noch die Richtung der Magnetnadel auf dem Meßtische 148. gegeben ist; so kann der Standpunct v (nach §. 601.) gefunden bis werden, wobey zugleich die dritte Visirlinie, wenn sie sich mit 453. den zwey ersteren genau in einem Puncte durchschneidet, zur Ver¬ sicherung dient, daß der Meßtisch richtig orientirt ist. Wenn hin¬ gegen die Richtung der Magnetnadel nicht gegeben ist; so wird die Lage des Punctes I) auf folgende Art bestimmt. Erster Fall, wenn der Vrt v entweder in einer Seite 148. deo bekannten Dreieckes -^8L, 8i§. 148-, oder auf der ver- 149. langerung liegt, 149. Auflösung. Man beobachte den Winkel m, so sind in dem Dreyecke alle drey Winkel nebst der Seite ^.0 bekannt. Folglich kann daraus und VL gefunden werden. ' Ist das Dreyeck ^.86 148, 149 auf dem Meßtische gegeben, so stelle man denselben dergestalt über v, daß die zu gleichnahmige Linie genau in der Richtung der ^8 und der Punct O beynahe unter seinem correspondirenden Puncte liege, lege dann das Visirlineal an den zu 6 gleichnahmigen Punct, und visire nach L; so wird diese Visirlinie die zu -^8 gleichnahmige Linie, welche man im erforderlichen Falle verlän¬ gern muß, durchschneiden, und dadurch die Lage des PunctcS 0 auf dem Meßtische bestimmen. Es ist gar nicht schwer zwischen zwey unzugängigen Punc- ten und 8 8i-. 148. einen dritten Punct v auf dem Felde s» finden, der mit und 8 in einer und derselben Geraden llegt. Zu diesem Zwecke stellt sich ein Mann in einen beliebigen Punct o und ein zweyter in ci auf die Verlängerung von ^e. ^un geht der Mann e in die Gegend von ^8 mit dem Auge ll'itwarts nach <1 sehend, und der Mann ci folgt ihm dergestalt "uch, daß er beständig in der Verlängerung von .-Ve bleibt, ^enn nun e so weit vorgerückt ist, daß er den Mann ci und "" Punct 8 in einer und derselben geraden Linie erblickt; " bleibt er stehen, und beyde Männer e und ci befinden sich ,°uach m der Geraden ^8, der erste in 8 und der zweyte 'n v. Z28 Fünftes Hauptstück. Lix. Zwepter wenn der Vrt I) außer dem bekannten 150. Drepecke ^rLE liegt, Lig. 150, 151. 151 Auflösung. Man stelle sich vor, daß durch die zwey äußer¬ sten Puncte 6 und durch den gesuchten Punct v ein Kreis geführt sey, und denke sich die Gerade LV und die Sehne und EL gezogen; so ist in—in^, n —n^(§. 372.II.).Nun kann in dem Dreyecke aus der bekannten Seite ^6 und aus den daran liegenden Winkeln die Seite LE berechnet werden. Dann sind in dem Dreyecke LLE die zwey Seiten LE und LE nebst dem cingeschlofsenen Winkel LLL bekannt; folglich,kann dadurch der Winkel ELL Liss. 150. und auch ELV Lig. 151. gefunden werden. Endlich sind in dem Dreyecke ELV alle drey Winkel nebst der Seite LE bekannt; folglich kann dadurch VE und LL und dann auch V.4. bestimmt werden. Da in diesem Falle auch p — i^und g — ist (§. 372.H-); so kann der Standpunkt v, wenn das Dreycck auf-dem Meßtische gegeben ist, auf folgende Art durch Verzeichnung ge- funden werden. Man stellt den Meßtisch übcrv, Liss. 150., und visirt aus dem gerade darüber liegenden Puncte des Meßtisches nach^, L, E, um die Winkel m und n zu erhalten. Nu» tragt man den links beobachteten Winkel m rechts, und den rechts beobachteten Winkel n links auf die Linie ac des gegebe¬ nen DreyeckeS, um den Punct e zu erhalten. Darauf zieht man durch e und b eine unbestimmte gerade Linie. Endlich verzeichnt man ucst- sest, und esst — stec, nähmlich x/ —x, und so ist, wegen stabe v) V^LE, in dem Durchschnittspuncte st die gesuchte Lage des Punctcs v gefunden. Wenn cs nun erforderlich ist, aus dcmStandpuncte v »ach anderen Gegenständen zu visiren, um entweder- einige be reils gezogene Visirlinien zu durchschneidcn, oder um Wisirlinic" zu erhalten, die man in folgenden Standpuncten durckschnci^ muß; so ist cS allerdings nothwendig den Meßtisch in V zu entiren. Dieses geschieht, wenn man den Meßtisch mit dem be¬ reits gefundenen Puncte «1 gerade über v stellt, das VW - Meßlineal an st und c anlegt, und den MeßtischM lange h"- umdreht, bis man durch die Dioptern des Meßlineals den Punc Von den Anfangsgründen der praet. Meßkunst. 329 0 erblickt. Sodann legt man bey dieser Stellung des Meßt!» la¬ sches das Meßlineal an än und äk, und untersucht, ob man 150. auch die zwey Punctes und L genau in dieser Richtung erblicke, 151. welches eintreffen muß, wenn sich bey der Verzeichnung der Fi¬ gur ck-Lc kein Fehler eingeschlichen hat. Aus Liss. 150. ist leicht zu ersehen, daß die Lage der Ge¬ raden LV und auch des Punctes v unbestimmt bleibt, wenn die beobachteten Winkel m, n den bekannten Winkeln LL^, L/^L des gegebenen Dreycckes ^LL gleich sind, oder welches einerley ist, wenn m -t-n-t-^.LL —180° wird, weil in diesem Falle die Puncte L und L über einander fallen. Es ist schwer, nach der angeführten Art in Liss. 150. den Punct v auf dem Meßtische durch Verzeichnung vollkommen genau zu bestimmen. Man erhält seinen Endzweck leichter und richtiger, wenn man daS gegebene Drcyeck auf dem Meßtische Liss. 151. mit einem dreyfüßigen Zirkel absticht, und dasselbe auf die gezogenen Visirlinien v^, VL, VL dergestalt durch bloßes Versuchen überträgt, daß der Punct -»genau in derVisirlinie v^, b in VL, und c in VL liege. Sodann nimmt man mit dem dreyfüßigen Zirkel auch das Dreyeck und über¬ trägt es auf die Linie , folglich «in (q — x) : sin x — 3 sin n : d sin in oder sin q cvtx — cos cx: 1 — nsinn: I) siniu , woraus L SIN N cotx — cot q -s- s—---— ' d sin in sin q gefunden wird. Setzt man endlich 3 sinn s-—---— — cotcp. b sin in sin q ' so wird cotx — cotq -e- cot

sinysinP sin (q -I- P) . sin q sin P Bestimmt man demnach y> aus . sin q sin w tanxx— -7—-- Sin (q-i- Y>) ZZ2 Fünfte« Hauptstück. Lix. Kennt inan den Winkel x so ist 154. Lcv -- q - X, .4LV --180»— UI — X, VL6 --180°- n - <1-1-! 155. und man erhält die in den Drcyccken^.LV und L6V liegenden Sei- 156. ten ^4V, LV, 6V (vermöge §. 563 I.) nach den Gleichungen 157. . LLIN (ui -t- x ) s sin X OD -- (n-t-g —r) 8ININ ' LIN IN ' sinn Leyspiel. ES sey Liss. 154. x -126° 40', in - 25», n -- 36», a -- 621 Kl., d -- 919 Ll.; so ist q - 172° 20'. Nun kann x mit Hülfe einer trigonometrischen Tafel auf folgende Art berechnet werden. Es ist lossL--2,7930916 lossrin n-9,7692187 l 2,5623103 lossk-2,9633155 lossLin IN — 9,6259483 log sin q --- 9,1251872 loss cot g, — 0,8478593 § - 8° 4' 45,3" 9--172 20 0 9180 24 45,3 loss 3,1671433 SIN IN lvss sin (in -i- x) - 9,8417146 log sin x —9,9701242 loss^v —3,0088579 lossLV-3,1372675 ^v-1021 LV -1372 log sin (q -1- xco8^ -9M1M 19,7349162 «-S»i7 t Bon den Lnfangsgrünben der vract. Meßkunst. 337 Bey der trigonometrischen Aufnahme einer Reihe von Drey- kix. ecken muß diese Neduction der Winkel auf den Horizont jederzeit vorgenommcn werden, wenn man die horizontalen Winkel nicht unmittelbar messen kann, weil cs erforderlich ist, die Sängen der Seiten aller Dreyccke in demjenigen Horizonte zu berechnen, in welchem die Grundlinie gemessen worden ist. m. Von der Verbesserung der Höhen- und Tiefenwinkel und von dem Unterschiede des wahren und scheinbaren Horizontes. §. 607. Es sey ^Lk ein Stück des Durchschnittes unserer Erd-ikft. kugel; cS scycn ferner ^L, KL zwcy Halbmesser und folglich die Richtungen der Schwerkraft oder die Richtungen frey fallen¬ der Körper in und L; endlich sey senkrecht auf.^L, und kik senkrecht auf UL: so ist Vv eine durch den Punkts, und ök eine durch den Punct L (z. B. durch den Gipfel eines Berges) gezogene Horizontallinie. Eine solche Horizontal- linie, nähmlich eine gerade Linie, welche auf der Richtung der Schwerkraft senkrecht steht, muß man eine scheinbare tzsrizontalUttie nennen, um sie von der wahren Horizontal- lime zu unterscheiden, weil nur diejenige Linie, deren alle Punctc von dem Mittelpunkte der Erde gleich weit entfernt sind, "ähmlich der Bogen eine wahre Zorizontallmie genannt wird. Eben so heißt eine durch den Punct -X auf.-VL senkrecht gelegte ebene Fläche die scheinbare Horrzontalfläche des Punc- l'S ; hingegen wird eine durch den Punct.-V gelegte Fläche, de¬ ren alle Puncte gleich weit von L abstehcn, nähmlich ein Stück der Kugelfläche, deren Halbmesser der Abstand des Punctcs «on L dem Mittelpunkte der Erde ist, die wahre Horizontal- näche der Punctcs genannt. Nur dann kann man von zwcy rdcr mehreren Punkten sagen, daß sie in einem und demselben wahren Horizonte liegen, wenn sie gleich weit von dem Mittel¬ punkte der Erde entfernt sind. Wenn man aus nach 8, oder vtya Mach. H, B. 22 338 Fünfte« Hauptstück. 8i'g. aus8 nach 4. visirt, so heißt V4^8 der scheinbare Höhenwin- 160. kel, und 88^4 der scheinbare Tiefenwinkel; 848 und 6L4 161. hingegen heißen die wahrcnHöhen- und Tiefenwinkel, wenn man im zweytcn Falle durch 8 den Kreisbogen oder wahren HorizontLO sich denkt. Eben so ist 8V oder vielmehr die Senkrechte Lei die scheinbare Erhöhung des PunctesL über den Horizont des Punc- tes 4.. Das Stück 8V des verlängerten Halbmessers zwischen dem wahren und scheinbaren Horizonte des Punctes 4^ heißt der Unterschied oder vielmehr die Erhöhung des scheinbaren Ho¬ rizontes für die Entfernung 48. Wenn eine sehr weit entfernte Höhe (nach §. 592.) zu be¬ stimmen ist, so ist es allerdings nothwcndig aus dem beobachteten scheinbaren Höhenwinkel den wahren Höhcnwinkel zu suchen, und dann aus diesem und aus der horizontalen Entfernung die ver¬ langte Höhe zu berechnen. Wie aus einem scheinbaren Höhen- oder Tiefenwinkel der wahre zu finden sey, lehrt folgende Aufgabe. §. 608. Aufgabe. Aus dem gemessenen scheinbaren Höhen- ober Tiefenwinkel, aus der gegebenen horizontalen Entfernung 48 zweyer Gegenstände 4o und 8, und aus dem Hau¬ messer der Erde .48 den wahren Höhen- oder Tiefenwinkel zu finden. Auflösung. In 8ix. 160. ist 848 --- v 48 84D, und 884. --- 88-4 — 68k, hingegen ist in 8ig. 161. 8)48 -- 8.4V - V4.8. ES ist aber 84V--^-8, und auch 8888 (vermög 8- 371.), weil V4^ und 88 in 4. und 8 die Kreisbogen 4.8 und 6 berühren. Es ist demnach auch 8ix. 160. 8^48 -- V48 -t- -^-8, 884. --- 884. — -^-8, und 8ig. 161. 84.8 8 - v^48. Bon den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 339 Setzen wir nun den Halbmesser der Erde ^6 — a, Issx. und die horizontale Entfernung — K, 160. welche mit dem Bogen und auch mit cinerley ist, so 161. lange der Winkelt) noch sehr klein ist; so kann der Winkel 6 auf folgende Art gefunden werden. Es ist der ganze zu -^6 gehörige Umkreis - 2 an (vermöge §. 452.); ferner verhält sich 2L?r : 360" — k : 0"; folglich ist --EOh Minuten. 2u?r Lrr urr Nun ist der Halbmesser der Erdkugel n —3356611 Wiener Klafter; folglich ist nach gehörigerReduction 6 —0,00102k Mi¬ nuten, wofern die Entfernung —k in Wiener Klaftern aus¬ gedrückt ist. Endlich ist (kiF. 160.) -t- 0,00051k Minuten, — 0,00051 k Minuten, und kix. 161. L.-V13 — 0,00051k Minuten — V/VR. Es scy z. B. Hx. 160. der gemessene scheinbare Höhenwinkel —4057/ und die horizontale Entfernung — K —1960 Wiener Klafter, so ist der wahre Höhenwinkel -- 4" 57/ -l- 0,00051 . 1960 Minuten 4" 57' -t- 1' --- 4" 58'. Da der Unterschied zwischen dem wahren und scheinbaren Höhenwinkel in einer Entfernung von 1960 oder beynahe 2000 Wiener Klaftern erst eine einzige Minute beträgt; so ist offenbar, daß man bey denjenigen Winkelmessern, mit denen aufs höchste ^uzelnc Minuten beobachtet werden können, die angeführte Ver¬ besserung in den meisten Fällen außer Acht lassen kann, weil man selten auf Gegenstände visirt, die über 2000 Wiener Klafter ent¬ kernt sind. Um so mehr kann diejenige Veränderung'des scheinbaren Hohenwinkels außer Acht gelassen werden, die von der Brechung b" Lichtstrahlen verursacht wird, weil sie nach der wahrschein- lichsten Meinung nur des Mittclpunctswinkels beträgt. Es ist "ahmllch aus sicheren Erfahrungen bekannt, daß der Lichtstrahl 22 * 840 Zünfte« Hauptstück. Liss. von einem nahe am Horizonte befindlichen Gegenstände L (Liss.162.) 462. nach einer etwas in die Höhe gebogenen krummen Linie in das Auge des Beobachters in gelangt. Da nun der Beobachter in die Lage des Gegenstandes 8 nach der letzten Richtung des Lichtstrahles, nähmlich nach der Richtung der Tangente ^I> beurtheilt; so wird dadurch der wirkliche scheinbare Höhenwin- kel V^L um den Winkel L^b zu groß beobachtet. Dieser Refractionswinkel L^b aber ist nach der wahrscheinlichsten Mei¬ nung — .^VL — L.^v. Nach eben dieser Meinung ist Lk --- 4 LV. §. 609. L6Z. 2lufgabe. Für jede gegebene Entfernung ^v, welche man noch ohne merklichen Fehler — /VL setzen kann, die Erhöhung des scheinbaren Horizontes, nähmlich LV zu finden. Auflösung. Es ist vermöge §. 411. Lv:^v-^v.vv; folglich ist auch M - °d,r -- öö- , weil wir tVL nur so groß angenommen haben, daß man ohne merklichen Fehler ^Vv — ^VL setzen kann. Ferner kann man auch in eben derselben Voraussetzung ohne merklichen Fehler vv --- LV --- annehmen. Es ist sodann LV -- ES sey z. B. ^L --- 200 Wiener Klafter; sa >st LV -- weil der Durchmesser der Erde tVL — 6713223 6713223 Wiener Klafter ist, nähmlich es ist LV -- 0,00595 Wiener Klafter -- 5,148 Linien. Diese Methode, die Erhöhung deS scheinbaren Horizont für eine gegebene Entfernung zu bestimmen, hat zwar keine voll¬ kommene geometrische Schärfe; jedoch weicht sie bey nicht gar-" großen Entfernungen, die in der Ausübung am gewöhnlichst'" vorkommen, nicht merklich von der Wahrheit ab, wovon ma" L°n de» AnfangSgriinben ber pract. Meßkunst. 341 sich auf folgende Art überzeugen kann. Es ist vollkommen genau k'ix. V0--ov-cL-cv-^c. 16Z. Es ist aber in dem rechtwinkeligen DreycckeH.LV die Hypothenuse ev / (HL- 4- 4v-); folglich ist auch Lv -- i/ (HL- HV-) -HL. Setzen wir nun wie im vorigen Falle Hv — 200, und HL —3356611 Wiener Klafter; so ist / (HL- -t- HV-) -- v/ 11266837445321 - 3356611,00596, und folglich LV --- 3356611,00596 — 3356611 - 0,00596 Klafter -- 5,149 Linien; nähmlich cs ist die wahre Erhöhung des scheinbaren Hori- zontes für die Weite von 200 Kl. nur um Linie größer, als sie nach der vorigen 2krt gefunden wurde. oder §. 610. Da man nun für eine bestimmte Entfernung z. B- für die Entfernung von 200 Kl. die Erhöhung deS scheinbaren Hori¬ zontes — 5,15 Linien kennt, so kann für jede andere in Wiener Klaftern gegebene Entfernung 6 die zugehörige Erhöhung x in Li« nien auf folgende Weise berechnet werden. Zn kig. 163. ist (ver¬ wöge des Vorhergehenden) M- E Hh solglich ist auch HL-:H>I---LV:^. Setzen wir nun HL -200 Wiener Kl.; so ist LV --5,15 Linien. Nehmen wir ferner HM —6 Wiener Klafter und die zu« gehörige Erhöhung des scheinbaren Horizontes 4VX — x Linien °"- und substituiren diese Werthe in der Proportion; so ist 200- - h- 5,i- , , nähmlich x -- -0,00012875h- wiener Linien. 342 Fünftes Hauptstück. kiss. So z. B. findet man nach dieser Formel in einer Entfernung 163. von 1000 Wiener Klaftern die Erhöhung des scheinbaren Horizon¬ tes — 128,7 Linien —10 Zoll 8-z- Linie; für die Entfernung L60 Wiener Klafter, die Erhöhung 40,4 Linien — 3 Zoll 4,4 Li¬ nien u. s. w. Nach dieser Formel sind die Erhöhungen des schein¬ baren Horizontes für die von 10 zu 10 Klaftern auf einander fol¬ genden Entfernungen von 50 Wiener Klaftern angefangen, in Linien berechnet, und in folgende Tafel eingetragen worden, bey deren Gebrauche man in der ersten verticalcn Columne die Hun¬ derte, in der ersten horizontalenZeile aber die Zehner der in Klaf¬ tern angegebenen Entfernung aufsucht, und aus demjenigen Fache, welches sowohl zur Rechten der Hunderte als auch unter den Zehnern steht, die gesuchte Erhöhung des scheinbaren Hori¬ zontes entnimmt. Es ist einleuchtend, daß diese Tafel nöthigen Falls sehr leicht fortgesetzt werden kann. Tafel zur Bestimmung der Erhöhung des scheinbaren Horizontes. Bon den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 843 8iss. lli. Abschnitt. Vom Nivellirerr. §. 611. Nivelliren (abwägen) heißt die Höhenunterschiede von meh¬ reren gegebenen Puncten einer Linie oder einer Gegend mittelst horizontaler Vistrstrahlen durch die wirkliche Ausmessung bestimmen. Wenn z. B- der Punct 8 in einer sehr großen Entfernung von nur um etwas Weniges über den wahren Horizont des Punctes ä. erhöht wäre (8ix. 164.); so ist offenbar, daß man diese Er-164. Höhung nach §-595. nicht mit hinlänglicher Genauigkeit bestimmen könne. Es ist jedoch zuweilen erforderlich, diese Erhöhung 88 oder den Höhenunterschied der zwey Puncte und 8, nähmlich den Unterschied ihrer Abstände von dem Miktclpuncte der Erde, auf das Genaueste zu bestimmen. Dieses geschieht durch daS Ni- velliren auf folgende Art. Aus einem in der Mitte zwischen und 8 befindlichen Puncte 8 denke man sich die VcrticallinievO, und aus einem Puncte derselben 6 die Vistrstrahlen LV und 08, welche durch irgend ein Hülfsmittel in den scheinbaren Horizont dcS Punctes 0 gebracht sind. In und 8 bemerke man ferner auf vertical gestellten Latten die Puncte v und 8, wo die Vistr¬ strahlen 0V und 08 in einem und demselben scheinbaren Hori¬ zonte die Latten treffen, und messe die Höhen ^v, 88; so ist ^8 — 88 — 88 — ^8 — dem Höhenunterschiede der zwey Puncte und 8. Denn man denke sich nur durch 0 den wahren Horizont 800, durch 8 den wahren Horizont 88, und durch den wahren Horizont so ist8v —08, weil der Punct I' und auch 0 in der Mitte zwischen den Verticallinien ^v und ^8 angenommen, und weil in gleichen Entfernungen von eben demselben Puncte die Erhöhungen des scheinbaren Horizontes gleich stud, welches leicht einzusehcn ist, wenn man die Verticallinien 80 und 88 so weit verlängert denkt, bis sie in dem Mit» ^'Puncte der Erde zusammen stoßen. Ferner ist auch wegen der oonccntrischen Kreisbogen oder wahren Horizonte 88 — 80, 844 Fünfter Haupistück. I^L, und-V8—86; folglich ist auch-X84-8V—86-l-68, 464. nähmlich ^v—88. Es ist aber 88—88—88; folglich auch 4V —88---88. Wären die zu nivellirenden Puncte AI und 8 von 8 nicht gleich weit entfernt; so müßte man für die Entfernungen IM und 88, oder 6iX und 68 die Erhöhungen des scheinbaren Hori¬ zontes ()iX und 68 (nach §. 610.) berechnen, jene von der gemessenen Höhe des VisirstrahleS AljX, und diese 68 von 88 abzichen, und dann die dadurch verbesserten Höhen All) und 86 von einander subtrahircn, um den Höhenunterschied 88 zu erhalten. Wenn der Punct 8 genau in der Mitte zwischen 4 und 8 sich befindet; so ist cs nicht unumgänglich nothwendig, daß beyde Wisirstrahlen6V und 68 in einem und demselben scheinbarenHo- rizonte liegen, sondern es ist hinlänglich, wenn sie nur beyderseitS mit der Verticallinic gleiche Winkel c68 —ä68 einschließcn. Denn es ist dann noch immer 4ä —8o-88, weil in den zwey vollkommen gleichen Dreyeckcn V6ä und 68e die Seiten vä und 8o einander gleich sind. §. 612. 165. DaS Instrument, wodurch man einen Bisirstrahl in den scheinbaren Horizont bringt, wird ein Nivellrr-Instrument, eine Nivellirwage oder eine Wasserwage genannt. DaS ein¬ fachste Nivellir-Jnstrument ist die sogenannte Wasserwage rm ei¬ gentlichen vinne. Die Wasserwage besteht aus einer blecher¬ nen an beydcn Enden aufwärts gekrümmten Röhre A1-X, bei¬ der an bcyden Enden gläserne hohle Cylindcr 8, l) cingekittet sind (I'iz. 165.). Mit Hülfe dieser Wasserwage wird ein Biße- strahl in den scheinbaren Horizont gebracht, wenn man die Röhre mit Wager füllt, und über die beyden Oberflächen desselben durch die gläsernen Eylindcr 8, tz visirt, weil das Wasser die Eigen¬ schaft hat, daß die Oberfläche desselben in mittheilenden Röhren sich in einen und denselben Horizont stellt. Diese Wasserwage hat die vorzügliche Eigenschaft, daß sie bcym Gebrauche nie einer W' richtigung bedarf; nur führt sie die beträchtliche Unbeguemlich^ Kon den A'nfaugsgründeu der praet. Meßkunst. 345 mit sich, daß man mit ihr auf größere Entfernungen, als etwa 8iA. 20 Klafter, nicht mehr hinlänglich scharf visiren kann- 165. Außer einem Nivellir-Jnstrumente sind auch noch zwey Ni- vellirlatten zur Ausübung erforderlich. Sie sind ungefähr 2 Klafter lang, nach ihrer ganzen Länge in Schuhe, Zolle und Linien ein« getheilt, und so beschaffen, daß sich auf jeder derselben ein vier¬ eckiges Zielbret auf- und abwärts bewegen, und in jeder Stelle mit einer Schraube befestigen läßt. Die vordere Fläche des Ziel» bretes ist durch zwey senkrechte Linien kn vier gleiche Theile ge- thcilt, wovon zwey entgegen gesetzte Theile schwarz und die übri¬ gen zwey Theile weiß überstrichcn werden. Es ist für die Ausübung sehr bequem, wenn die Abmessungen des Zielbretts an beyden Nivellirlatten gleich sind. §. 613. Aufgabe. Den Höhenunterschied zweier puncte und 8 durch das Nivelliren zu finden, wenn diese Punkte so beschaf¬ fen sind, daß man mit einer dazwischen gestellten Wafferwage 8 nach beyden visiren kann. Auflösung. Man schicke einen Gehülfcn mit einer Nivellir. latte nach 4^ und einen anderen nach 8, visire von über die Oberflächen 8, H nach 8, und lasse daselbst den Gehülfcn bey ver- tical gestellter Latte das Zielbret nach verabredeten Zeichen in eine solche Lage bringen, daß der Bisirstrahl genau den Zielpunkt treffe. In dieser Lage wird nun das Zielbret befestigt, und die Anzahl Schuhe, Zolle und Linien von 8 bis an den unteren Rand deS Zielbretts gezählt, wenn die Abmessungen des Zielbretts an bcy- ben Nivellirlatten gleich sind, im Gegentheile muß man die ganze Entfernung von 8 bis auf den Zielpunct messen. Dasselbe ge¬ schieht in^, nachdem man auch von Hüber die Oberflächen H, I' nach p višjih hat. Wird nun die Erhöhung des Zielbretts an der Nivellirlatte 88 von der Erhöhung .41) abgezogen, so gibt der Uebcrrest den gesuchten Höhenunterschied 1,8 —a/V ; denn cS ist 1,8 —1,8 — 88. Es ist aber 88 — .4.1), wenn man zwischen den Senkrechten 48, 1,8 die Parallelen .»8, .48 zu dem Hon- tonte V8 sich denkt; folglich ist auch H8-.48 —88. 346 Fünftes Hauptstück. H- §. 614. Äußer der oben beschriebenen Wasserwage 165.) gibt cs noch sehr viele andere Einrichtungen der Nivellirwagen, mit¬ telst deren man ebenfalls entweder durch die Lberfläche eines still¬ stehenden Wassers, oder durch einen frey hängenden Perpendikel (Senkel), oder endlich mittelst der Wasserwage mit der Luftblase (kiss. 78.) einen horizontalen Visirstrahl erhält. Damit man nun mit einem Nivellir Instrumente auf große Entfernungen genau vi- sircn könne, ist es erforderlich an demselben ein Fernrohr anzu¬ bringen, welches aus einem Ocular- und einem Objectivglasc be¬ steht, in deren gemeinschaftlichen Brennpunkte sich ein sehr feines Fadenkreuz befindet. 166. , die Ausübung ist die Wasserwage mit der Luftblase und mit dem einfachen Fernrohre sehr bequem (kig. 166.). Bey die¬ ser ist das Fernrohr, bey das Ocularglas, und bey L daS Dbjcctivglas; ist die gläserne Röhre mit der Luftblase in ei¬ nem messingenen Gehäuse, welches auf das messingene Fernrohr dergestalt befestigt ist, daß es sich mittelst der Rectifieir-Schraube > nach Erfordcrniß etwas höher oder niedriger stellen läßt; 6 ist ein Zirkelgewinde, af> ein Arm von Eisen oder Messing unter dem Zirkclgewinde an die Hülse v befestigt, x die Elevations-Schraube, wodurch sich das Fernrohr sammt der darauf befindlichen Röhre mit der Luftblase nach Belieben erhöhen oder erniedrigen laßt, nachdem man dieses Instrument auf ein dazu gehöriges Stati» gesetzt hat. 8. 615. Dieses eben beschriebene Nivcllir-Jnstrument muß bey jeder vorzunehmenden Nivcllir-Lperation berichtiget (rectificirt) werden, nahmlich man muß cs so cinrichten, daß man mittelst desselben an einem jeden beliebigen Orte einen horizontalen Visirstrahl er- ha en kann, welches nach einer von folgenden drey Arten sehr leicht geschehen kann. 167. . Erste Lerichtigungsmethode. (D>. 167.). Man messe auf einem ziemlich ebenen Boden die horizontale Länge einer Linie e wa von 200 Klaftern, und bemerke genau auf der Hälfte der- jelbcn den Punct L. Dann stelle man die Nivellirwage in Bon den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 347 dergestalt, daß das Zirkelgewinde derselben genau über 6 zukrss- stehen komme, in v und tz aber lasse man Nivellirlatten vertical467. über die bemerkten Puncte v, tz ausstellen. Nun richte man das Objectivglas k des Nivellirrohrcs gegen tzk, bringe mittelst der Elevations-Schraube x die Luftblase an ihre angewiesene mitt¬ lere Stelle, und lasse in dieser Stellung den Visirstrahl auf der Latte tzL in anmerken. Hierauf kehre man bey unverrücktem Stative das Nivellirrohr um, damit das Objectivglas 6 gegen kV gerichtet scy, bringe neuerdings mittelst der Elevations- Schraube die Luftblase an ihre angewiesene mittlere Stelle, und lasse in dieser Stellung den Visirstrahl auch an der Latte vv in U anmerken und zugleich M4 abmcssen; so stehen die zwey Puncte und N in einem und demselben wahren Horizonte, weil die Entfernungen 1*6 und Ltz vermöge der Voraussetzung einander gleich sind, und weil beyde Visirstrahlen mit der Ver- ticallinie in L gleiche Winkel einschließen. Nun übertrage man das Nivellir-Jnstrument nachv, stelle cs daselbst dergestalt nieder, daß der Anfang des Fernrohres beymLcularglase gerade über den bemerkten Punctvzu stehen komme, das Objectivglas abergegentzlX gerichtet sey, bringe in dieser Stellung das Fernrohr nach dem Augenmaße beynahe in eine horizontale Lage, und messe die Er¬ höhung der Achse deS Fernrohres, nähmlich die Erhöhung des Fadenkreuzes über den bemerkten Punctv, das ist, man messe vv. Dann übertrage man den Unterschied zwischen VO und Miaus die Latte (M von dem bemerkten Puncte bis L aufwärts, wenn D höher liegt als IVI, oder von bis L abwärts, wenn v niedriger liegen sollte als iVl; so sind wegen —auch die Puncte und L in einem und demselben wahren Horizonte. Ferner be¬ rechne man für die Entfernung x>(^ —OL (nach §.609.) die Erhöhung des scheinbaren Horizontes, welche sürxtz —200 Wie. >"r Klafter nur 5 Linien beträgt, und übertrage dieselbe von dem bereits gefundenen Puncte L jederzeit aufwärts bis e; so befinden sich dadurch die zwey Puncte v und e in einer durch v geführten lcheinbaren Horizontallinic. Endlich richte man mittelst der Ele« Orions-Schraube daS Fernrohr auf den Punct e, so ist der Visirstrahl desselben im scheinbaren.Horizonte. Steht nun bey Z48 Fünftes H a up »stuck. klK. dieser Stellung des Fernrohres die Luftblase an ihrer angewiesenen mittleren Stelle, so war das Nivellir-Jnstrumcnt schon zuvor be¬ richtiget, und zu einer vorznnehmendcn Nivellir-Operation voll¬ kommenrauglich, wenn sich sonst kein Fehler daran befindet. Steht hingegen bcy dieser letzten Richtung des Fernrohres die Luftblase nicht an ihrer angewiesenen mittleren Stelle; so muß man bcy eben dieser Stellung des Fernrohres, ohne dasselbe aus seiner Lage zu verrücken, die Luftblase mittelst der Rectisicir-Schraube 7 an ihre angewiesene mittlere Stelle bringen. Dadurch ist endlich das Nivellir-Instrument berichtiget. Man kann nähmlich dann mit Hülfe dieses berichtigten Nivellir-Jnstrumentes an jedem Orte einen horizontalen Bisirstrahl erhalten, wenn man nur mittelst der Elevations-Schraube das Fernrohr in eine solche Lage bringt, daß die Luftblase ihre angewiesene mittlere Stelle einnimmt; doch gilt dieses nur in so lange, als an dem Fadenkreuze, an der Lage der Gläser, und an der Nectisicir-Schraube keine Aenderung vor¬ gegangen ist. Wäre bey dem Nivellir-Instrumente statt der Luftblase ein Perpendikel angebracht; so müßte man eben so verfahren, und bey der letzten Richtung des Fernrohres die Lage des Perpendikels mit einem Mcrkmahle bezeichnen. Man erhält dann mittelst eincS solchen Instrumentes jederzeit einen horizontalen Bisirstrahl, wenn man das Fernrohr in eine solche Lage bringt, daß der Perpendikel seine bezeichnete Richtung einnimmt. Es ist ohne meine Erinnerung klar, daß man die Winkel' Messer, bey denen entweder eine Luftblase oder ein Perpendikel angebracht ist, um die Höhen- und Liefenwinkel zu messen, ans eben diese Art berichtigen kann. 168. ZwepteNerichrigungsmcthsdc (ki§.168.). Man messe die horizontale Länge einer Liniel^, etwa von 400 Klaftern, theile I'l'i in , und iu 8 in zwry gleiche Theile; lasse in g und r Nivcllirlattcn aufrichtcn, über 8 aber stelle man das zu berich' tigende Nivellir-Instrument, und visire vvn 6 einmahl nach und einmahl nach t,, nachdem man in beyden Fällen mittelst der Elevations-Schraube die Luftblase an ihre angewiesene Stelle bracht hat; so stehen die zwey angemerkten Bisirpuncte » Won den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 349 in einem und demselben Horizonte. Sodann stelle man das ki?. Instrument über den Punct 1', visirc ohne auf die Luftblase Acht 168. zu haben, von v auf den bemerkten Punct k, und lasse bey die¬ ser Richtung auf der Latte q den Punct in anmerken, auf wel¬ chen der Visirstrahl DI, trifft. Ferner übertrage man am von m bis» jederzeit auf die entgegengesetzte Seite; so liegen auch die zwey Puncte v und n in einem und demselben Horizonte, weil we¬ gen der gleichen Wechselwinkel mDn — inlla die Linien Dir und ab parallel laufen. Denn in den zwey Dreyecken vmn und dm», ist am —inn, inla—inv, und der Winkel Vinn — Inna; folg¬ lich sind sie einander vollkommen gleich, und cs ist der Winkel iuvn-int,J. Nun richte man daS Fernrohr auf den Punct n, wenn für die Entfernung die Erhöhung des scheinbaren Horizontes unmerklich ist (im Gegcntheile übertrage man die zugehörige Erhöhung des scheinbaren Horizontes von dem Punc¬ te n aufwärts, und richte das Fernrohr auf diesen gefundenen Punct); so ist dadurch der Visirstrahl in den scheinbaren Hori¬ zont gebracht. Endlich bringe man bey dieser letzten Richtung des Fernrohres die Luftblase mittelst der Rectificir-Schraube an angewiesene mittlere Stelle; so ist dadurch das Nivellir- Instrument berichtiget. Dritte Berjchtigungsmcthode. Nebst den zwey angegebe¬ nen Berichtigungsmcthodcn der Nivellir-Instrumente gibt eS noch eine, bey der man nicht nöthig hat, eine Entfernung genau zu messen. Man läßt nähmlich auf einem ziemlich ebenen Boden eine Nivcllirlatte aufrichten, und stellt in einer mittleren Entfer¬ nung von bcynahe 400 bis 500 Schritten, damit der Höhenun¬ terschied des wahren und scheinbaren Horizontes außer Acht ge¬ lassen werden könne, das Nivellir-Instrument auf. Wenn vie¬ les nun in eine solche Lage gebracht worden ist, daß die Luft¬ blase in der Mitte einspielt; so lasse man auf der Latte die Höhe des Visirstrahles bemerken. Zieht man ferner von dieser Höhe die Höhe des Instrumentes ab, so erhält man den Höhenunterschied von dem Standpuncte dcS Instrumentes und von dem Stand- buncte der Latte. Sodann übertrage man das Instrument auf den öwevtcn und die Latte auf den ersten Punct und gehe hier eben 350 Fünftes HauptstüS. so wie bey dem ersten Puncte vor. Sind in beyden Fällen 168. die Höhenunterschiede gleich, so war das Instrument schon berichtiget; sind sie aber ungleich, so trage man das arith¬ metische Mittel (d. i. die halbe Summe) der zwey gefundenen Höhenunterschiede auf die Latte, richte den Bisirstrahl auf den da¬ durch bestimmten Punct, und bringe dann die Luftblase mittelst der Rectisicir-Schraube in die Mitte. Dadurch ist nun das Nivellir- Jnstrument berichtiget; wovon man sich durch das Stellen auf den andern Punct überzeugen kann. Anmerkung. Man muß bey der ersten Berichtigungs-Me¬ thode auf den Nivellirlatten jederzeit denjenigen Punct anmer¬ ken, welcher mit dem Zielpunkte des Bretes übercinstimmt, wenn man den Visirstrahl auf den Zielpunct gerichtet hat- Wollte man aber lieber den unteren Rand des Bretes an den Nivellir¬ latten anmcrken; so müßten bey der ersten Berichtigungsmethode auch die Visirstrahlen an den unteren Rand des Bretes gerichtet werden. Hingegen bey der zweyten Bcrichtigungsmethode und bey wirklichen Nivellir-Operationen wird der Visirstrahl jeder¬ zeit auf den Zielpunct gerichtet, und die Erhöhung des unteren Randes des Zielbretcs an jeder Latte bemerkt, wenn das Zielbret an beyden Nivellirlatten einerley Abmessungen hat. Die oben beschriebene Nivellirwage wird ein Nivellir- Jnstrument mit einem einfachen Fernrohre genannt, um das¬ selbe von andern Nivellirwagen zu unterscheiden, welche ent¬ weder mit zwey parallelen Fernröhren, oder auch nur mit einem einzigen Fernrohre versehen sind, bey welchem aber zwey jectivgläser dergestalt angebracht sind, daß man von beyden Seiten das Ocularglas einschieben kann. Da es nicht gar leicht ist, bey einer jeden vorzunehmcnden Nivellir-Operation die richM ge Uebercinstimmung der Achsen von beyden ObjcctivglaM und der in beyden Brennpuncten angebrachten Kreuzföden an solchen Nivellir-Instrumenten zu untersuchen; so wird derjenige am besten handeln, der mit einem solchen Instrumente eine vellir - Operation auszuführen hat, wenn er sich desselben nu> wie eines Nivellir-Instrumentes mit einem einfachen Fernrohr bedienet, und dieses auf die oben beschriebene Art bericlM' Non den Anfangsgrünben der praet. Meßkunst. 351 Wenn man z. B mit einem Nivellir-Instrumente, dessen Fern- k'iL- rohr mit zwey Objectivgläsern versehen ist, eine Nivellir-Lpe- ration auszuführen hat; so kann man sich vornehmen dasOcular- glas immer an derjenigen Seite stehen zu lassen, wo die Eleva¬ tions-Schraube angebracht ist, und man muß dann von dieser Sei¬ te das Nivellir-Instrument eben so berichtigen, als ob es nur mit einem gewöhnlichen einfachen Fernrohre versehen wäre. Es gibt auch Nivellirwagen mit der Luftblase, bey denen anstatt des Fernrohres doppelte horizontale Dioptern angebracht sind. Dergleichen Nivellirwagen werden auf folgende Art be¬ richtiget. Man läßt in einer Entfernung von 30 oder 40 Klaftern (H 169.) eine Nivellirlatte aufstellen, bringt mittelst 169. der Elevations-Schraube die Luftblase an ihre angewiesene mitt¬ lere Stelle, und läßt die Höhe des Bisirstrahles anmcrken. Nun wendet man die Wasserwage so um, daß das Diopter u ge¬ gen die Latte gekehrt sey, bringt neuerdings die Luftblase mit¬ telst der Elevations - Schraube an ihre angewiesene mittlere Stelle, und läßt wieder die Höhe des Wist'rstrahlcs anmerken. Sind nun beyde Wisirhöhen vollkommen gleich; so war die Wasserwage schon zuvor berichtiget. Sind hingegen die Bisirhö- hen ungleich; so weichen die zwey Visirstrahlen nach entgegenge¬ setzten Richtungen von der Horizontallinie kx> gleichviel ab. Dann thcile man den Unterschied mn auf der Latte in p in zwey gleiche Theile, richte den Bisirstrahl nach p, bringe bey dieser Richtung des Diopterlineals die Luftblase mittelst der Nectisicir- Schraube an ihre angewiesene mittlere Stelle; so ist dadurch ein solches Nivellir-Jnstrument berichtiget. 8. 616. Aufgabe. Len Höhenunterschied zrveyer puncte und 170. 6 Zu finden, die so weit von einander entfernt sind, daß man aus einem einzigen Zrvischenstande nicht nach beiden puncten »iskren kann. Nx. 170. . Auflösung. i.) Man lasse eine Latte durch einen Gehülfen und in cmer schicklichen Entfernung durch einen ande¬ rn Gehülfen ebenfalls eine Latte in l- aufrichten, das Nivellir- "^strpment aber stelle man nach dem Augenmaße beyläussg in dit Z52 Fünftes Ha uptstück. Liss. Mitte zwischen und 6 in 1., damit man die Erhöhung 170. des scheinbaren Horizontes außer Acht lassen kann. Sodann brin¬ ge man den Visirstrahl des berichtigten Nivellir-Instrumentes in den scheinbaren Horizont einmahl gegen L und einmahl gegen (3, und lasse jeden Gehülfen seine Visirhöhe, nähmlich die Er- Höhung des unteren Randes des Zielbretts über den Boden, aufschreiben. 2. ) Man schicke den vorderen in 6 gestandenen Gehülfen mit seiner Latte weiter auf eine schickliche Entfernung nach O, den zweyten in ^ gestandenen Gehülfen aber lasse man seine Latte über den Punct 6 aufrichten, und stelle das Nivellir-Instrument beyläusig in die Mitte zwischen 6 und D in jXro. 2.,visire sodann nach I und D, und lasse auch hier jeden Gehülfen seine Visir« höhe aufschreiben. 3. ) Dasselbe beobachte man auch in den folgenden Stand- puncten, nähmlich der vordere nun in D gestandene Gehülst wird weiter nach L geschickt, der Hintere in 6 gestandene Gehül- fe stellt seine Latte auf den Punct I), daS Instrument aber wird in s^ro 3. aufgerichtet; u. s. w. bis endlich der vordere Gehüb fe in 6 angelangt ist. 4. ) Endlich lasse man jeden Gehülfen seine gefundenen Vi> sirhöhen zusammen addiren, und ziehe die kleinere Summe von der größer» ab; so ist der Ueberrcst der gesuchte Höhenunterschied zwischen und 13. Ist nun die Summe der Visirhöhen des vor« deren Gehülfen, der mit seiner Latte zuletzt auf 13 stand, kleiner als die Summe des Hinteren Gehülfen, der zuerst auf sta^' so liegt 13 um den gefundenen Unterschied höher als Im gentheile liegt 13 um eben diesen Unterschied niedriger als Denn es ist -4L — 66 --- 6c 6kl — DI -- D6 DK — DD — — Dm l - LA — Le; folglich auch Don den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 853 c»-,- vx -1- x>i - (66 -l- vixx v?>) x:?. — (6c -t- Vä) — (Dm -l- Xe) 170. --- (clt) -I- I)U) — (1)m -t- mn) -- vtz — O.r -- y» -- -- Li,. Anmerkung. Es ist nicht unumgänglich nothwendig, daß alle Standpuncle des Nivcllir-Instrumentes und der Latten in einer und derselben Bertical - Ebene sich befinden. Man erhalt den gesuchten Höhenunterschied der zwey Puncte und L eben so richtig, wenn man auch wegen dazwischen liegender Hin¬ dernisse nach was immer für einem Umwege von bis ü zu ni- velliren gezwungen ist. §. 617. Aufgabe. Die Abstande mehrerer puncte von -em Ho- riz,me eines angenommenen punctes (Xig. 171.) durch 171« das Nrvelliren zu finden, es mögen die zu nioellirenden Puncee entweder alle in einer und derselben verrjcal- Ebene sich befinden, oder in einer Gegend zerstreut her. umliegen. Auflösung. 1.) Man lasse an alle solche Letter Pflöcke ein. schlagen, wo sich merkliche Veränderungen des.Bodens zeigen, "ähmlich man bemerke alle zu nivellircnden Puncte mit Pflöcken, und stelle das Nivellir. Instrument unweit /V in 1., die kalte aber durch einen Gehülsen in und lasse die Visirhöhe anmerken. Sodann stellt eben derselbe Gchülfe seine Latte >u L, sublrahirt die Visirhöhe in -L von der in /V gefundenen und schreibt den Unterschied an den in die Erde eingeschlagenen Pflock mit dem Zeichen-t-an, wenn derselbe positiv ist. Ware Zugegen dieser Unterschied negativ und folglich X niedriger alS so müßte er mit dem Zeichen — ungeschrieben werden. Dar' auf stellt eben dieser Gehülfe seine Latte über 6, sublrahirt über¬ zahl; die Visirhöhe 6p von der ersten in beobachteten und verfährt übrigens wie in L. Auf diese Art können nun meh- "re um iXro.i. liegende Puncte auS diesem Standpuncte durch daS dergleichen mit der in beobachteten und angcmerkten Visirhöhe uivellirt werden. Vega Math. H. B. 23 354 Fünftes Hauptstück. ^iss. 2.) Sodann überträgt man das Nivellir-Instrument wei- 171. ter in lXro. 2. Der erwähnte Gchülfe stellt seine Latte auf was immer für einen schon bestimmten punct z. B. auf den Punct 6, beobachtet die Visirhöhe Lc, und addirt zu derselben den auf dem Pflocke 6 ausgeschriebenen Höhenunterschied mit dem gehörigen Zeichen -i- oder —, um kc, nähmlich den Abstand des Visirstrahles c8 von dem Horizonte zu erhalten. Mittelst die¬ ser Höhe kc, die wir die vergleichungohöhe nennen wollen, werden nun die Abstände der Puncte O, L, I? von dem Hori¬ zonte gefunden, wenn der Gchülfe die Visirhöhen Dg, Lr, kr von der in 6 gefundenen Vergleichungshöhe kc abzieht, und die Unterschiede mit den entsprechenden Zeichen -t- oder — an die Pflöcke bcy V, 6, k gehörig anschreibt. Auf diese Art können abermahls mehrere Puncte um ?kro. 2. herum mit¬ telst der Vergleichungshöhe I>c dieses Standpunctcs nivellirt werden. 3.) Man übertrage das Nivellir-Instrument in lXro. 3., der Gchülfe stelle seine Latte auf irgend einen schon nivellir- ten Punct, z. B. aufl', und addire zu der Visirhöhe I? den an dem Pflocke k' eingeschriebenen Höhenunterschied mit dem ent¬ sprechenden Zeichen-t- oder —, um für diesen neuen Standpunkt iXr». 3. die Bergleichungshöhe 85 zu finden. Darauf stellt eben derselbe Gchülfe seine Latte in 6 und dann in H, subtrahirt die Visirhöhen Ot, 8x von der in Is bestimmten Vergleichungs¬ höhe 85 dieses Standpunctcs, und schreibt die Unterschiede mit dem gehörigen Zeichen -i- oder — an die Pflöcke in 6 und Ü! u. s. w. Es wird jedermann leicht einsehen, daß man die angeführte Subtraktion der Visirhöhen von der Wergleichungshöhe vermei¬ den könne, wenn man bcy jedem Standpunkte die gefundene VcrgleichungShöhe auf die Nivellirlatte gehörig aufträgt, und mit einem Merkmahle bezeichnet, weil sich dann unmittelbar die Höhenunterschiede der nivellirten Puncte auf der Latte ergeben. Nähmlich der Abstand des Merkmahles von dem unteren Rande des ZielbreteS gibt den gesuchten Höhenunterschied des nivellirte" Punktes. Dieser Höhenunterschied ist positiv, wenn das Mer' Bon den AnfangLgriinden der pract. Meßkunst. Z55 mahl höher sicht, oder er ist negativ, nähmlich eine Vertiefung, wenn krss. das Merkmahl der Vergleichungshöhe niedriger ist, als die Vi- 171. sirhöhe des nivellirten Punktes bis an den unteren Rand des Ziel- bretes. Wenn man mit mehreren Nivellirlatten und mit mehre¬ ren verläßlichen Gehülfen versehen ist; so kann, um die Arbeit zu beschleunigen, bey einem jeden Standpunkte die entsprechende Vergleichungshöhe auf jede Latte aufgetragen werden- Die Gehülfen schickt man sodann mit diesen Latten auf die um den Standpunkt Herumliegenden Punkte, und läßt sie die gefundenen Höhenunterschiede mit dem entsprechenden Zeichen -t- oder — auf die Pflöcke gehörig aufschreiben, womit die zu nivellirenden Punk¬ te bemerkt sind. Wenn in einem besonderen Falle die Punkte L, 0, v, u. s. w. sämmtlich in einer und derselben Vertikal - Ebene liegen; so werden auch ihre horizontalen Abstände gemessen, um ihre Ent¬ fernungen von dem Punkte zu erhalten, welche man sonach sammt den zugehörigen Höhenunterschieden in eine Tafel ordent¬ lich cinträgt. Mittelst einer solchen Tafel läßt sich der Durchschnitt der .ni¬ vellirten Strecke nach einem beliebigen verjüngten Maßstabe auf einer Geraden verzeichnen. Auch kann man mittelst dieser Tafel den Höhenunterschied von jeden zwey nivellirten Punkten finden, wenn man ihre Abstände von der Horizontallinie in der Tafel von einander abzieht. Wenn hingegen die nivellirten Punkte auf einer Gegend zer- streut herumliegen, so müssen dieselben mit dem Meßtische or¬ dentlich ausgenommen, und die entsprechenden Höhenunterschiede dazu ausgeschrieben werben. Will man nicht zu jedem nivellirten Punkte des aufgcnommencn Planes den zugehörigen Höhenunter¬ schied schreiben, um denselben nicht mit zu viel Ziffern zu über- daufen; so kann man die aufgenommcnen Punkte auf dem Pla- wit Buchstaben bezeichnen, und diese Buchstaben sammt entsprechenden Höhenunterschieden in eine Tafel eintragen. Man muß bey dieser Nivellir-Operation nicht auf zu gro- Entfernungen, etwa nicht über 100 Klaftern visiren, damit 23 * 356 Fünftes H a u p tstück. I'ix. man die Erhöhung des scheinbaren Horizontes außer Acht las¬ sen könne. §. 618. 172. Aufgabe. Es fey ktzH eine Grube, die bis auf eine durch den punct -V gelegte horizontale flache auszuflil- len ist; man soll den Kubikinhalt der Grube unter die¬ ser Horizonralflache berechnen, damit man die Men¬ ge der zur Ausfüllung erforderlichen Erde bestimmen könne. Auflösung. 1.) Man suche an den Wanden der Grube mehrere Puncte Ü,L....V,L... welche in der durch gelegten Horizontalfläche liegen. Dieses geschieht, wenn man das Nivellir - Instrument etwa in c aufstellt, über den gegebenen Punct eine Nivellirlatte ausrichten, auf derselben die Visir- höhe bemerken, und in dieser Höhe das Zielbret befestigen laß!. Mit dieser Latte schickt man sodann den Gehülfen gegen L, und läßt ihn daselbst so lange mit aufgerichteter Latte und unverrück- tem Bretc hin und hergehen, und einen Punct L suchen, bis der Vistrstrahl genau auf das Zielbret eintrifft; dieser Puncl L wird sodann mit einem Pflocke bezeichnet. Auf diese Art sucht man mehrere Puncte 6, D, ki . . . Wenn man nun aus die¬ sem Standpuncte c nicht den ganzen Umfang der Grube übcrse' hen kann, so muß man das Nivellir-Instrument weiter in saus- richten, die Latte aber auf einen bereits gefundenen Punct z. auf l". stellen. Von f visirt man auf 6, und läßt in der Höhe des horizontalen VisirstrahleS abcrmahls das Zielbret befestigt- Mit dieser Viflryöhe sucht nun der Gehlilfe, eben so wie btt dem vorigen Standpuncte, mehrere Puncte I?, 6-, H, che mit L und folglich auch mit .4. in einem und demselbs" Horizonte liegen, und bemerkt diese gefundenen Puncte Pflöcken. 2.) Ist einmahl die horizontale Grenze funden und jeder Winkelpunct derselben mit einem Pflockt merkt; so theilt man die ganze innere Oberfläche der be unter der bestimmten Horizontalflläche durch dir Bon den Anfangtzründen der praet. Meßkunst- 357 z, d, c, cl, e . . . . dergestalt in Dreyccke ein, daß jede- k'i». Dreyeck für sich betrachtet nach dem Augenmaße eine ebene, wie 172. immer schief geneigte Fläche ausmache. Sodann bestimmt man durch das Nivcllircn (nach §. 617.) die Vertiefungen der Puncte a, d, c, ci, . . . unter der Horizontalflläche , schreibt die gefundenen Vertiefungen an die Pflöcke, womit die Puncte 3, b, c, ck, . . . bemerkt sind, und nimmt darauf die ganze Figur ordentlich mit dem Meßtische auf, um alle horizontalen Grundflächen ^laO, ^.laer, ulac, ... zu erhalten, und schreibt zu einem jeden aufgenommcnen Puncte seine entsprechende Ver¬ tiefung. 3.) Endlich berechnet man den Flächeninhalt eines jeden aukzenommencn horizontalen Dreyeckcs, stellt sich vor, daß der innere Raum der Grube unter der Horizontalflläche aus so vielen dreyseitigcn an dem untern Ende schief abgeschnittenen geraden Prismen zusammengesetzt sey, als Dreyccke vorsindig sind, berechnet den Cubikinhalt eines jeden Prisma aus seiner horizontalen Grundfläche, und aus seinen drcy nivellirten Seiten oder Höhen (nach §. 523.), und addirt alle diese berechneten Prismen zusammen, so wird der gesuchte Cubikinhalt der Grube zum Vorschein kommen. Es sey zum Beyspicl der berechnete Flä¬ cheninhalt des Dreyeckcs ulac — 1500 Q', und die Vertiefung deS Punktes c--10-^->; so ist derJnhalt der schief abgcschniktcncn Pr'sma, welches ulic zur Grund¬ fläche hat - 1500 X (5-^- -1-7-1- 10^) --11375 Cub. Fuß. Die äußersten Körper, wie z. B. und aVnb können immer Zn Wien ist an dem Horizonte, der ungefähr durch den Fuß des St. StephanS-Thurmes durchgeht, die mittlere Barometerhöhe s-336 Wiener Linien, und am Kahlenberge unweit von Wien sey an dem Horizonte der Kirche die mittlere Barometerhöhe — 325,5 Wiener Linien. Um nun die Erhöhung x des Kirchen-Horizontes am Kahlenberge über den St. Ste¬ phans-Horizont zu bestimmen, messe man ein Stück von der Höhe des St. StephanS-Thurmes, z. B. das Stück vom Fuße deS ThurmeS bis zu der Achse, an welcher die Uhrzeiger befestigt sind. Diese Höhe beträgt nun ziemlich genau 37 Wiener Klafter. Ferner beobachte man an diesem Orte die Barometerhöhc c zu einer Zeit, da am Fuße des Thurmes die Baromcterhöhe 336 Wiener Linien beträgt. ES sey zu dieser Zeit bcy der Uhrachse die Barometerhöhe c —333,15 Wiener Linien. Nun wird, um die Erhöhung des Kirchen - Horizontes am Kahlenberge über den St. Stephans-Horizont zu finden, die Rechnung auf folgende Art angelegt: lox a - 2,5263393 Io§d --- 2,5125510 lox c -- 2,5226398 fox-r —lo-k - 0,0137883 -----v loxa—loxc — 0,0036995 — ä ioxv -- 0,1395108 — 2 lox ä - 0,5681430 — 3 0,5713678 loglc --- 1,5682017 loxx --- 2,1395695 folglich x --- 137,9 -- izg Wien. Kl. Von -en Anfangrgründc» der Met. Meßkunst. ZtzI Jeder wird ohne meine Erinnerung leicht einsehen, daß man k'i auch den Höhenunterschied zwischen dem Kirchen-Horizonte am Kahlenberge und zwischen dem St. Stephans-Horizonte auS ih¬ ren für bekannt angenommenen mittleren Barometerhöhcn finden kann, wenn man am Kahlenberge eine leicht auszumessendc Hö¬ he wirklich genau ausmißt, und an dieser Höhe die Barometer¬ höhe zur gehörigen Zeit beobachtet. ES sey z. B. an dem höchsten Thurmfenster am Kahlenberge die Barometerhöhe — 324 Wiener Linien zu einer Zeit, da am Kirchen-Horizonte die Barometer- hohe 325,5 und am St. Stephans-Horizonte 336 Wiener Linien beträgt; die Erhöhung des angeführten ThurmfensterS über den Kirchen-Horizont sey —20,07 Wiener Klafter. Aus diesen wird nun der gesuchte Höhenunterschied bestimmt, wenn man a-325,5, k—336, c-324, Ic-20,07 setzt, und diese Werthe in der gefundenen Gleichung X---Ic -t —lo^k loss » — tox c substituirt. ES ist nähmlich loss» --- 2,5125510 loxk ----- 2,5263393 lox c ----- 2,5105450 lox A —loxk ------0,0137883 --- v ioxa—loxo ----- 0,0020060 — ü logv---- 0,1395108 — 2 n loj-ä---- 0,3023309 — 3' 0,8371799 n toxic --- 1,3025474 loxx ----- 2,1397273 n folglich x -----137,95 ---—138 Wien. Kl. 364 Fünftes Hauptstück. kig. Dieses Zeichen (—) zeigt an, daß der gesuchte Höhenunter¬ schied in Hinsicht auf den Kirchen-Horizont am Kahlenberge ne¬ gativ, nähmlich eine Vertiefung sey. V. Der Höhenunterschied zweyer Oerter läßt sich aus ihren mittleren Barometerhöhen noch bequemer, jedoch minder genau, alS nach der eben angeführten Art berechnen. Man kann nähmlich die Rechnung auf folgende Art abkürzen. Wenn man mehrere mit dem Barometer angestcllte Versuche mit einander vergleicht, so sinket man erstens, Laß an der Mee- rcsfläche die mittlere Barometerhöhe 345 Wiener Linien beträgt; zweitens, daß in einer Erhöhung von 25-^-Wiener Klaftern über die Mecresfläche die Barometerhöhe um 2 Wiener Linien niedri¬ ger; nähmlich 343 Wiener Linien gleich ist. Setzen wir daher in der oben (kV.) gefundenen Gleichung, L —345, a —343, Ic — 25-^-— 25,25, und die Erhöhung eines beliebigen Ortes über die Mecresfläche, dessen mittlere Barometcrhöhe k Wiener Linien beträgt,—)! so ist nach gehöriger Reduktion 5 - 10000. (log 345 —log I/) Wien. Kl. Eben so ist die Erhöhung eines anderen Ortes über die Mee- rcsfläche, dessen mittlere Barometcrhöhe k/ Wiener Linien beträgt, )'/ — 10000. (log 345— logl/) Wien. Kl. Es ist also auch v'—10000. (log345 —logh') —10000. (log 345 — logh) — 10000. (log h — log l/) Wien. Kl. oder wenn wir ) / —-X setzen, X — 10000 (log h— log l/) Wien. Kl. Nähmlich man drücke die mittleren BarometerhLhen und sie der Zwe? Derter, deren Höhenunterschied gesucht wird, in Linien oder in Zollen aus, und multiplicire tn Differenz der Logarithmen dieser Larometcrhchen mit 10000/ Do» den Anfangsgründen der praet. Meßkunst. 365 indem man den Dreimal: Strich um vier Stellen weiter ge- t'ix. gen die Rechte rückt; so wird der gesuchte Höhenunterschied in wiener Mastern zum Vorschein kommen. Z. B. der Höhenunterschied zwischen dem St. Stephans- Horizonte in Wien und zwischen dem Kirchen-Horizonte am Kahlenberge wird aus den angenommenen mittleren Barometer- Höhen dieser zwey Oerter — 336 und 6^-325,5 auf folgende Art gefunden. loxl> --2,5263393 2,5125510 0,0137883 x —138 Wien. Kl. Wir wollen diese Regel noch auf folgendes Beyspiel anwen» den. Nach Louguers Beobachtung (figure ste I» Zserre I>n- rir 1749.) ist auf dem Gipfel des Berges pichinchs in Peru die Barometerhöhe 6--191, und zu Lacabourou ist die Barome¬ terhöhe —254,75 Pariser Linien. Nun ist log 6 —2,4061142 logd'--2,2810334 0,1250808 alsoX--1251 Wien. Kl.; folglich ist die Erhöhung deS Pichincha über Carabourou gleich 1251 Wiener Klafter. Durch die genaueste trigonometrische Bestim¬ mung fand Bougucr diese Erhöhung--1209 Pariser Klafter, oder - 1242 Wiener Klafter. Die Berechnung nach der gegebe¬ nen Regel weicht demnach von der wirklichen Ausmessung unge¬ fähr um 9 Klaftern ab. ES ist leicht einzusehen, daß es in diesem Falle gar nicht nothwendig ist, die in Pariser Linien ausgedrück- len Barometerhöhen auf Wiener Linien zu reduciren- Wenn man die Höhe eines Berges mittelst des Barometers bestimmen will; so muß man zwey übereinstimmende Barometer baden, welche nähmlich unter einerley Umständen gleich hohe Quecksilbersäulen zeigen. Man wird dann bey einer gelinden Wit¬ terung beynahe zu einer und derselben Zeit sowohl am Fuße als auch am Gipfel des Berges die Barometerhöhe beobachten lassen. 366 Fünfter Haup istück. Nif. In einigen Fällen wird der Beobachter am Berge mit einem Feuer-Signale das Zeichen zur Beobachtung geben können; wo¬ nach sowohl am Gipfel als auch am Fuße des BergeS in meh¬ reren auf einander folgenden Zcittheilen die Barometerhöhe beobachtet, und dabey zugleich die Zeit der Beobachtung ange- merkt wird. Die Verfertigung solcher übereinstimmender Barometer ist eben so, wie die Erzeugung anderer Meßinstrumente die Sache des Mechanikers, und kann daher in einem gedrängten Lehr¬ buche der Geometrie nicht abgehandelt werden; weßwegen wir jenen Leser, welcher sie selbst anzufertigen wünscht, auf die Lehrbücher der Physik verweisen. Um die Barometerhöhe geschwind übersehen zu können, muß an dem Gestelle, worauf die Barometerröhre befestigt ist, eine Eintheilung von Zollen und Linien angebracht seyn. Dcr Nullpunct (der Anfangspunct der Eintheilung) kann bey der Leffnung dcS aufwärts gekrümmten Schenkels angenommen werden. Bey einem so eingerichteten Barometer wird die wirkliche Barometerhöhe ge¬ funden, wenn man die Abstände der beyden Oberflächen dei Quecksilbers von dem angenommenen Nullpuncte zusammen addirt. Die Decimaltheile der Linien können mit Hülfe eines VernierS 206. bestimmt werden, wir es aus kix. 206. zu ersehen ist. Anmerkung. Eine ausführlichere Abhandlung über die prac- tische Meßkunst, über die Prüfung und Berichtigung verschiedener Instrumente, über die Bestimmung der davon abhängenden Zu¬ verlässigkeit, u. m. dgl. kann in dieses Lehrbuch nicht ausgenom¬ men werden, thcils weil dadurch die Grenzen desselben zu weit ausgedehnt würden, theils auch, weil dazu noch andere Kennt¬ nisse als. Dioptrik, Catoptrik, Astronomie u. s. w. erfordert wer¬ den. Auch ist das bisher Gesagte hinreichend, jeden fähigere» Schüler in den Stand zu setzen, daß er vollständigere Abhand¬ lungen hierüber einschen, und im vorkommenden Falle benütze» könne. Diese Gegenstände findet man unter andern in folgende» Schriften: Bon den Anfangsgründen der pract. Meßkunst. 367 Haußer (Math. Oberst-Lieut.) analytische Abhandlung der AnfangSgrönde I'iz-. der Mathematik znm Gebrauche der k. k. Ingenieur« - Academie. 2ter Theil, 2ce Auflage. Wien 1819 in der k. k. Ingenieurs-Acade¬ mie-Kanzley. Tobias Mayer gründlicher und ausführlicher Unterricht zur practischen Geometrie. S Bände. Erlangen 179t. Winkler (G. Professor der Mathem. am k. k. Forstlehrinstitute zu Maria- Brunn bey Wien) Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauche auf Forst- Academien- 2ter Theil Ite und 2te Abtheilung. Die praktische Geo¬ metrie, angewandt auf die Vermessung der Wälder und ganzer Gegen¬ den, enthaltend. Wien 1817; ferner seine Praktische Anleitung zum graphischen und geometrischen Trianzuliren mit dem Meßtische. Zunächst für solche Individuen, welche sich mit der Catastral-Vermeffung befassen, so wic überhaupt für jeden, der geo¬ metrische Vermessungen mit dem Meßtische zu leiten oder felbst au«- zuführcn hat. Wien 1820; dann seine Beschreibung eines verbesserten, bequemen und einfachen Reise-Barome¬ ter«, nebst praktischer Anleitung zum Gebrauche desselben, sowohl bey einzelnen Höhenmeffungen als bey Nivellirungen ganzer Gegen¬ den. Wien 1821. Montan uS (August Schulz) Systematisches Handbuch der gesammten band- und Erd^ Messung mit ebener und sphärischer Trigonometrie auch Beschreibung der neueren brauchbaren Meßinstrumente. Berlin 1819. Ereile (A. L.) Handbuch de« Feldmessen« und NivellirenS in den ge¬ wöhnlichen Fällen. Berlin 1826. Ulrich (Georg Carl Justus) Lehrbuch der practischen Geometrie. Göt¬ tingen 1832. 2 Bände. 368 Sechstes Hauptstück. Von einigen krummen Linien I. Abschnitt. Einleitung. r. 620. Um die Lage eines Punctes iVI in der Ebene festzusetzen, 176. ziehen wir (Nx. 176.) wie bereits in §. 412. erklärt wurde, eil" unveränderliche Gerade H, fällen aus dem zu bestimmenden Puncte auf diese Gerade die Senkrechte und siriren in der einen Punct O. Sind nun und sowohl ihrer Grefe als Lage nach gegeben; so ist durch sic der Punct unzweydeuliz bestimmt. Man nennt die 2lbftisse und (M die Ordina-e, beyde zusammen die Tsordinaten (Bestimmungsstücke) des Punctes den Punct 6 den Anfang der Abscissen, oder den Ursprung der Tsordinaten, die Gerade H die Absässmü"^ oderAbscissenachse, die durch den Anfang der Abftissen zu"" Ordinalen parallel laufende Gerade die Vrdinatenliirie Drdinatenachse beyde zusammen die Toordinatenachseu- Abscissen werden auf der einen Seite des Anfangs der Abscifst"' für positiv, folglich auf der entgegengesetzten für negativ erk!»U' Eben so sind die auf der einen Seite der Abscissenlinie liegen"" Ordinalen positiv, daher auf der andern negativ. Bon einigen krummen kinicn. Ztzg Diese Methode die Lage eines PunctcS in einer Ebene zu ffi?. bestimmen, ist in den meisten Fällen sehr vorthcilhafr, weßwegen176. wir dieselbe, wenn nicht ausdrücklich eine Ausnahme angegeben wird, stets anwcnden werden. Zuweilen ist es jedoch zweckdien¬ lich, die Ordinate» nicht senkrecht, sondern unter einem bestimm¬ ten Winkel auf die Abscissen schief zu stellen. Solche Coordi- naten werden schjefwjnkelige und der unveränderliche Winkel, unter welchem sie sich treffen, der Coordinatenrvinkel genannt; weßwegen die vorher betrachteten zur Unterscheidung rechrrvinke- lige Coordinaren heißen. So bestimmt man z. B. die Lags dcS Punctes DI auch mittelst schiefwinkeliger Coordinaten, indem man die Gerade ^.6 zur Abscifsenlinie, den Punct /D zum Anfang der äbscissen annimmt, und die Ordinate DIk unter dem bestimmten CoordinatcnminkelDIPO — 1^6 zur unveränderlichenOrdinaten- achse parallel führt. 24 Nebst diesen parallelen (schief- und rechtwinkligen) Or¬ dinären gebraucht man auch bisweilen mit nicht geringem Vor¬ theile die in einen punct zusammen laufenden Ordinären. Um nähmlich (kix. 190.) die Lage eines PuncteS DI in der Ebene zu 190. bestimmen, zieht man auS einem beliebigen Puncte 6 eine feste Gerade 6D, und an den zu bestimmenden Punct DI die Gerade LDI. Ist nun der Winkel ^D6DI oder die Länge des mit dem Halbmesser ^V6 —I in denselben eingeschriebenen Bogens ^1', und die Länge der Geraden 6DI gegeben, so ist auch der Punct festgesetzt. Man heißt den Punct 6- den Pol, die unveränder¬ liche Gerade 61) die Polarachse, die Gerade 6D1 d-n Radius- vector, den Winkel-D6DI den polarrvinkcl, und die bendcn letzten Stücke, weil sie den Punct DI bestimmen, die polar- Toordinaten der, puncres DI. Dabey wird der Polarwinkel, so ^ie der zwischen seinen Schenkeln liegende Bogen, rücksichtlich der Polarachse, in der einen Lage ^6D1 und D.P für positiv, in der orderen D6ur undfür negativ genommen. Der Radiusvektor positiv, wenn er auf dem Schenkel des Polarwinkels liegt, ^sativ dagegen, wenn er auf der rückwärtigen Verlängerung dir» Schenks sich befindet. V'S» Mach. H. Lb. Z70 Sechstes Hauptstück. II. Eine Linic ist (nach §.341.) die Grenze einer Fläche und läßt sich daher als ein System oder als eine Reihe von Punkten ansehen, welche eine gemeinsame Eigenschaft besitzen, durch die sie von allen anderen Puncten dieser Fläche vollkommen unter¬ schieden werden können. Jene Abteilungen (Zweige oder Aeste) der Linien insbesondere, in denen die Puncte stetig neben und an einander liegen, kann man zur Erleichterung ihrer Untersu¬ chung als Wege betrachten, welche ein bewegter Punct durchläuft. Bey vcr Untersuchung der Eigenschaften einer Linie muß nm zuerst sich bemühen, die allen ihren Puncten gemeinschaftlichen Mcrkmahle oder das Gesetz, welches der Punct bey seiner Bewegung beobachtet, kurz die Natur der krummen Linie durch eine zwischen den Koordinaten des beweglichen Punctes bestehende Gleichung auszu¬ drücken, welche die Gleichung und insbesondere die Polargleichung dieser krummen Linie genannt wird, wenn sic Polar-Evordinaten 62. enthält. So besteht z. B. das Gesetz, welches der Punct N (Pix. 62.) bey der Beschreibung einer Kreislinie beobachtet, darin, daß cr immer gleich weit von dem puncte 0! entferne bleibt. Dieses Gesetz oder die Natur der Kreislinie läßt sich nun auf folgende Art durch eine Gleichung ausdrücken. Man setze, indem man de» - Durchmesser VII zur Abscisscnlinie und den Punct zum Anfang derselben annimmt, die dem Puncte N zukommende Abscisst — x, seine Ordinate PIVI — und den Halbmesser äck) NO -- L; so ist kN- -- NO- - PO- , oder (a- x)-, folglich /(2sx-x-). Diese Gleichung zeigt uns an, daß man für jedes gegebene x das zugehörige x, daher auch den entsprechenden Punct in der krum¬ men Linie finden kann. Daß aus dieser Gleichung alle übrige Eigenschaften der Kreislinien sich ableiten lassen, ist aus §- zu ersehen. Nimmt man den Mittelpunct 0 der Kreislinie zum Prü und den Halbmesser 0^ zur Polarachse an, damit iVlO --r ter Radiusvector und ^.ON -- der Polarwinkcl werde, so ist > die Polargleichung der Kreislinie. 197. Bey der Erzeugung der geraden Linie N^ON (Pix- > befolgt der bewegliche Punct N das Gesetz, daß die Zunah'" Bon einigen krummen Linien. 37t seiner Ordinate mit der Zunahme seiner Absciffe im geraden Ver- kig. hältnisse steht. Wählen wir 81 zur Abscissenachse, 8 zu ih-197. rem Anfänge/ so daß 8k —x, kN —ist, und setzen wir die der Absciffe Null entsprechende Ordinate 86—s>. Wenn der Punct N in 6 sich befindet, ist seine Absciffe x — 0, seine Or¬ dinate /—86 — s>. Während seiner Bewegung von 0 nach N wächst seine Ordinate, da sie von 86 in kN übergeht, um IM - 86 -- kN — Ntz -- ktz, nähmlich um , die Absciffe aber schreitet von Null bis 8k — x vor, wächst also um x—0—x. Setzen wir ferner fest, daß, wenn die Absciffe um die Längen¬ einheit, d. i. um 1 wächst, die Ordinate um u zunehme, so muß, weil die Zunahmen derOrdinate, 7—k> und s, mit ihren entspre¬ chenden Zunahmen der Lbscissen, x und l, im geraden Verhältnisse stehen sollen, die Proportion — Ir : a — X: 1 statt finden, aus welcher wir — nx 4- k als Gleichung der geraden Linie erhalten. Um die Größe a für rechtwinkelige Coordinaten noch auf eine andere Weise auszudrücken, beachten wir, daß der obigen Pro¬ portion gemäß a und wenn der Winkel tz8k — « X gesetzt wird, indem rechtwinkeligen Dreyecke tzk8 , auch fff» — --- — taug«, folglich u — taug w , und V — X tuug L -t- l> >st- Geht die gerade Linie durch den Ursprung der Coordinaten, .0 'st — 0, also — ux x tangw 'l>re Gleichung. Läuft sie zur Abscissenachse parallel, so wird «—0, daher v — b die Gleichung einer in dem Abstande s» zur Abscissenachse parallelen geraden Linie; für I, — 0, wird v —0 die Gleichung Abscissenachse selbst. . ^^jenigen krummen Linien, deren Natur sich durch eine raische Gleichung zwischen x und vorstcllen läßt, heißen 80 ratsche krumme Linien. Man nennt aber eine algebraische 24 - §. 621. Z72 Sechste« Hauptstück. kiss. Gleichung zwey endliche einander gleiche Ausdrücke von veränder¬ lichen und beständigen Größen, die sich dergestalt ordnen lassen, daß darin kein veränderliches irrationales Glied, und in keinem Exponenten eine veränderliche Größe sich befinde. So z. B. iß 7 —— x?) eine algebraische Gleichung, weil sich die¬ selbe auch in der Form 7" —rr-—x-, oder -t-x? — r? — 0 darstellen läßt. Eben so ist 7 —eine algebraische L — X Gleichung, und folglich die krumme Linie, deren Natur durch diese Gleichung vorgestcllt wird, eine algebraische krumme Linie. Hingegen heißen diejenigen krummen Linien transcendenc, deren Natur sich durch keine algebraische Gleichung ausdrückcn läßt, oder in deren Gleichungen sich Kreisbogen, Sinus oder andere tri¬ gonometrische Functionen, Logarithmen, unendliche Reihen, die sich nicht genau summircn lassen, u. s. w. befinden. So z. B. sind diejenigen krummen Linien transcendent, welche durch fol- gende Gleichungen vorgestellt werden; X — p" (2 — x?) -I- nrc cos — x) ; X k 4- dx -t- — -i- - —-1- 1.2 1.23 X — Llo§x; u.'s.w. 1,23.4 Das Verfahren, durch welches man die Gleichung einer Linie findet, besteht im Allgemeinen darin, daß man das Gesitz, wel¬ ches der beweglich gedachte Punct be» dem Beschreiben dieser Li¬ me befolgt, oder den gemeinsamen Hauptkarakler aller Punkte, kur; die Natur der Linie in einer Gleichung zwischen jenen Raum- großen (Längen, Flachen- und Körperinhalten), welche auf die Mur dieser Linie Einfluß nehmen, »iedcrschreibt und diese RauM- gloßen durch zweckmäßig gewählte Coordinaten ausdrückt. So folgt Z- B. auS der Natur der Kreislinie unmittelbar die Gleichung aus jener der geraden Linie die Gleichung M ---> worin nur noch die Längen Alt), tzl>, PL durch recht- odtt schiefwinkelige oder durch Polar-Coordinaten auszudrücken sind- Won einkgen krummen Linien. 373 Dabey pflegt man einem ziemlich allgemein angenommenen Gc- b>'§. brauche zu Folge die Abscisse mit x, die Ordinate mit y, denRadius- vector mitr, den Polarwinkel mit g-, den Bogen, welcher zwi¬ schen dem beweglichen und einem festgesetzten Puncte der krum¬ men Linie liegt, mit s, und die unveränderlichen geraden Linien mit den Anfangsbuchstaben a, la, c... zu bezeichnen. Eine gerade Linie heißt ein Durchmesser der krummen Linie, wenn sie alleparallelenSehnen (Verbindungslinien zweyerPuncte der krummen Linie) in zwey gleiche Theile theilt. Insbesondere heißt derjenige Durchmesser ein Hauvtdnrei-messer oder eine Achte, welcher auf den von ihm halbirten parallelen Sehnen senk¬ recht steht. Wird der Durchmesser oder die Achse von der krummen Linie geschnitten, so heißt der Einschnittspunct der Scheicel dcS Durchmessers oder der Achse Daraus erhellet, daß, wenn die Abscissenlinie ein Durch¬ messer (oder bey rechtwinkeligrn Coordinaten eine Achse) seyn soll, zu jeder Abscifse zwey gleiche, aber in der Lage entgegenge¬ setzte Lrdinaten -t- x und — gehören müssen, daher die Glei¬ chung der krummen Linie keine Acndcrung erleiden kann, wenn man in — verwandelt. Diese Eigenschaft besitzt eine solche Gleichung in dem besonderen Falle, wo nur mit geraden Ex¬ ponenten behaftet, oder einer Wurzelgröße von geraden Wurzel¬ exponenten gleich ist. Eben so muß, wenn die Ordinatenachse ein Durchmesser, (oder bey rechtwinkligen Coordinaten eine Achse) seyn soll, jede Ordinate 7 zwey gleichen, in ihrer Lage aber entgegengesetzten Abscifsen -t- x und — x angehören-, so daß die Gleichung der krummen Linie keine Aenderung erfährt, wenn man x mit — x vertauscht. Dieser Fall tritt ein, wenn in der Gleichung die heisse x nur gerade Exponenten trägt, oder einer Wurzelgröße geraden Wurzel-Exponenten gleicht. 374 Sechstes Hauptstück. ksx. So z. B. ist in den Linien, deren Gleichungen IX -t- 2 — cx^, X -I- 008 — A , a^x sind, die Abscisscnachse, in den Linien X — , x^ -t- s^x? — b, x — / -t-1,; die Ordinatenachse ein Durchmesser; und in den Linien x? -r- , — -t- — 1, cv5 x^ — x^ v? ist sowohl die Abscissen- als Ordinatenachse ein Durchmesser. Ein Punct, der alle durch ihn gehenden Sehnen einer Linie halbirt, heißt ein Mittelpunkt. Solche Sehnen pflegt man ebenfalls Lurchmeffcr und ihre Hälften Halbmesser der Linie zu nennen. Der Durchschnittspunct zweyer Durchmesser oder Achsen einer Linie muß demnach ein Mittelpunct derselben seyn. Soll der Ursprung der Coordinatcn ein Mittelpunct seyn, so muß, wie man leicht einsieht, zu jedem Puncte, dessen Coordinatcn x und? sind, noch ein anderer gefunden werden können, dessen Coordi- naten —x und — sind; folglich darf sich die Gleichung der Linie nicht ändern, wenn man x in — x und zugleich yin-l übergehen läßt. In een Linien Lx, x^s — — a, »rc t»nx — o08 x^ ist demnach der Ursprung der Coordinatcn ein Mittelpunct. 173. Eine Gerade IN in der Ebene der krummen Linie, welchk dieser in einem einzigen Puncte N begegnet, ohne sie an diesem Orte zu schneiden, heißt die Tangente der Krummen an dem Puncte N. Das Stück k? der Abscissenlinie zwischen der Lrdi- nate IM des Berührungspunctes und zwischen dem Durchschnitt puncte 1 heißt die Subtangente. Die Gerade NIX aus dem Äe- rührungspuncte N auf die Tangente senkrecht gezogen, und bis an die Abscissenlinie verlängert wird die Normale, und das Stil IM der Abscissenlinie zwischen der Ordinate kN des Punctcs und zwischen dem Durchschnittspunct! IX wird die Subnorm^ genannt. Von einigen krummen Linien- 375 Eine Gerade 6V, der sich eine krumme Linie HMO zwarkig. ohne Ende nähert, dieselbe aber nie durchschneidet, wenn man 173. beyde auch noch so weit ausdehnt, heißt eine ?lspmptore der krummen Linie. Daß es krumme Linien gibt, welche Asymptoten haben, erhellet aus Folgendem. Es sey z. B. eine krumme Linie, deren Natur für senkrechte Ordinaten durch die Gleichung ——— vorgestellt ist, bcy welcher— x, VN— L — X und die unveränderliche Gerade ^V6 — u gesetzt wird; so ist offen¬ bar, daß die Gerade 6V auf^.6 senkrecht gezogen eine Asymptote der krummen Linie ^N6l ist. Denn man setze x —A-l-r; so ist y — 1 — — eine unmögliche Größe, es möge 2 wie immer groß oder klein an¬ genommen werden. Folglich liegt kein einziger Punct der krummen Linie HNO diesseits der Geraden 6V, nähmlich die Gerade 6V wird von der krummen Linie nie durchschnitten. Dabcy nähert sich die krumme Linie HNO der Geraden 6V ohne Ende, nähmlich der¬ gestalt, daß man einen Punct der krummen Linie finden kann, welcher von der Geraden 61) um weniger abstcht als um jede gegebene noch so kleine Größe. Um das Letztere zu begreifen, setze man nur x —3 — r, so ist — 1^. Nun kann man in dieser Gleichung t so klein annchmen, und folglich einen Punct der krummen Linie so nahe an der Geraden 6V bestimmen, als man nur immer will. §. 622. Ist die zwischen den Coordinaten x und bestehende Glei- . '8 einer krummen Linie so beschaffen, daß man die eineCoor- binate durch die andere ausdrücken kann, so läßt sich die Linie mittelst der Bestimmung einzelner getrennter Puncte verzeichnen. Wenn man z. B. die im vorigen Paragraphe betrachtete ^"mme Linie 7 — verzeichnen will; so kann man L — X §76 Sechstes Hauptstück. I'-ss- z B. L — 100 setzen, nach einem verjüngten Maßstabe diese 173. 160 Lhcile von bis L auftragcn, und etwa nach jeden ^hei¬ len Senkrechten auf ^.6 errichten. Sodann setzt man in der Glei¬ chung v — ^100^—-— der Ordnung nach 100 — x x — 5, x — 10, x — 15 u. s. w. berechnet zu diesen Abscissen die entsprechenden Ordinaten, tragt dieselben auf den gezogenen Senkrechten rechts und links auf, und zieht die dadurch bestimmten Puncte durch eine ununterbrochene krumme Linie zusammen. ES ist bey der angenommenen Glei¬ chung für x— 5; 10,15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50;... 7---22,9; 33,3; 42; 50; 57,8; 65,5; 73,4; 81,6; 90,4; 100; ... Nach derselben Methode könnte die krumme Linie beschrieben 174. werden, die durch v---4^x^^H vorgestellt wird (kix.174.), n — X wenn man 08 für die Abscissenlinie, und .4. für den Anfangs' punct der Abscissen annimmt, für n und I, beliebige Wcrthe z. B. a — 100, und b —40 setzt, die positiven Abscissen von^ gegen 8 und die negativen Abscissen gegen L zählt, und dann fü,r verschiedene Abscissen die entsprechenden Ordinaten berechnet- Diese Verzeichnung ist bey allen krummen Linien anwend¬ bar, deren Gesetz durch eine Gleichung gegeben ist. Sie :st das leichteste Mittel die Gestalt einer krummen Linie zu finden, wenn dieselbe aus der gegebenen Gleichung nicht leicht gefol¬ gert werden kann. So Z. B. findet man, wenn nach der Glu- chung — s-x? — x* die zugehörige krumme Linie (die Lemmocate) verzeichnet wird, daß dieselbe in ihrer Gestalt nnt der Ziffer 8 übereinstimmt. Eine Linie läßt sich auch nach ihrer Polargleichung verzeich¬ nen , wenn man auS dem gewählten Pole gerade Linien zieht, du mit der angenommenen Polarachse Winkel von bestimmter GE z. B. von 5o, 10°, 15», 20°, ... bilden, zu diesen Wink-" theilg mit Hülfe trigonometrischer Tafeln ihre goniometris e" Functionen oder die Logarithmen derselben bestimmt, theilS^' Lon einigen krummen Linien- 377 telst der im Anhänge befindlichen Tafel die Längen der zwischen ki?. ihren Schenkeln mit dem Halbmesser 1 beschriebenen Kreisbogen sucht, und für die Polarwinkel in der gegebenen Gleichung substituirt, endlich die Längen der Nadienvectoren berechnet und nach einem geometrischen Maßstabe auf die gezogenen Geraden vom Pole aus aufträgt. Um z. B. die der Gleichung r — an- gehörige Linie zu zeichnen, nehmen wir den Polarwinkel — 5°, 10", 15°, 20°,... und erhalten die Länge dcS ihn messenden Bogens ---- 0,087; 0,175; 0,262; 0,349; ... daher den Radiusvector r -- 0,295 ; 0,418; 0,512; 0,591; ... 623. Ist einmahl für eine Abscisscnlinie die Gleichung einer krummen Linie bekannt, so ist es leicht für jedeanderechelicbigeAbscissenlinie die Gleichung derselben Linie zu finden. Es sey z. B. (kix.17Z.) 47z. für die Abscissenlinie ^6 die Gleichung I'in' — ^V6-. -v? /V6 - .4k' Wenn man nun bey eben dieser krummen Linie die Gerade 6L für die Abscissenlinie annimmt, und 6p --x, pm —7 setzt; so läßt sich 7 durch x auf folgende Art ansdrücken. ES ist I'in — 6p — x, pin — k6 — 7, ^V6 — 2, und substituirt man nun diese Wcrttze in der Gleichung I'm? -- ^6- . . ^6 — ' so ist x- - 2 — (2—7) und folglich 7 --—-. Wenn man bey eben dieser krum- 2? 4- x^ 'nen Linie die Geradeso für die Abscissenlinie annimmt und den Anfangspunkt der Abscissen in 6 setzt, ferner 6k mit x, 'U't 7, und 6^ mit 2 bezeichnet : so ist >k--ä6 —k6--2-x, W1--7, folglich 2 378 Sechstes Hauptstück. §. 624. Es ist aus dem bisher Gesagten leicht zu ersehen, daß die in gleichen Abständen gezogenen Ordinaten einer krummen Linie nichts anders vorstellen als eine gewisse Reihe, bey der die Stellen der Glieder durch die Abscissen bezeichnet werden. Die Glei¬ chung der krummen Linie ist dabey das allgemeine Glied dieser Reihe. So wie man nun eine jede Function einer veränderlichen Größe x, z. B. die Function—-— für das allgemeine Glied 1 -j-x? irgend einer Reihe annehmen kann, wenn man durch x die Stel¬ len der Glieder bezeichnet; so kann man auch jede Function einer veränderlichen Größe z. B — für die Gleichung irgend ei- 4 -t- x" ner krummen Linie annehmcn, wenn man durch die veränderliche Größe x die Abscissen bezeichnet. Man kann in einem solchen Falle die angenommene Function dergestalt mit derjenigen unveränder¬ lichen Größe verbinden, welche bey der Bestimmung der verschie¬ denen Werthe von x die Einheit ist, daß die angenommene Func¬ tion ein lineärer Ausdruck wird (§. 533. Anmerkung.) und daß sie der Ordinate x einer krummen Linie gleich gesetzt werden kann. Z. B. die Function —-— läßt sich mit einer unverän- 4 -t-x^ terlichen Größe n auf folgende Art verbinden ———- , damit rck -t- x sie ein lineärer Ausdruck wird. Nun kann man rck -t- x setzen, und die Eigenschaften der zugehörigen krummen Linie st' chcn. Man wird nach vorgenommener Untersuchung finden, daß die zu dieser Gleichung zugehörige krumme Linie dieselbe ist, vo» der wir schon (§. 624.) geredet haben. §. 625. Wenn der höchste Exponent einer veränderlichen x oder oder die höchste Summe beyder Exponenten eint' Gliedes in einer geordneten Gleichung einer algebraischen krum¬ men Linie -- 2 ist; so heißt die dazu gehörige krumme Linie eine Bon einigen krummen Linien. 37g Linie der zweyten Ordnung, oder eine krumme Linie der Iig. ersten Ordnung. Ist der höchste Exponent oder die höchste Summe beyder Exponenten — 3; so heißt die zugehörige krumme Linie eine Linie der dritten Ordnung oder eine krumme Linie der zweyten Ordnung, u. s. w. Ucberdieß werden diejenigen algebrai¬ schen krummen Linien von verschiedenen Ordnungen zu einer und derselben Familie gezählt, deren Gleichungen einerley Glieder enthalten, die nur in den Exponenten verschieden sind. So z. B. sagt man, daß. die krummen Linien, welche durch 7? — px, —p^x, ^4 —^4 — ^x3, — ^n>x» dorgestellt werden, zur Familie der Parabeln gehören. Bey der Untersuchung der krummen Linien muß man trachten 1) aus der Natur der krummen Linie die Gleichung sür die¬ selbe herzuleitcn, oder wenn die Gleichung gegeben ist, die zuge¬ hörige krumme Linie zu verzeichnen, welches in Ermangelung an¬ derer Hülfsmittel jederzeit nach §.622. geschehen kann; 2) für jeden gegebenen Punct der krummen Linie die Tan¬ gente, Subtangente, Normale und Subnormale zu bestimmen; 3) an jedem Orte der krummen Linie die Krümmung zu finden; 4) den Ort der größten oder kleinsten Ordinate zu bestimmen; 5) den Inhalt der Fläche zu berechnen, welche von einer Abscifse, 'hren Drdinaten und dem zugehörigen Bogen cingeschlossen ist; 6) die wirkliche Länge eines Bogens zu finden; u. s. w. II. Abschnitt. Von den Kegelschnittslinicn. §. 626. Unter dem Nahmen Reyelschnittslinien begreifen wir dic- icnigcn krummen Linien, welche auf der Oberfläche eines geraden -Kegels von kreisförmiger Basis entstehen, wenn ihn eine Ebene nach verschiedenen Richtungen schneidet. Es können auf diese 380 SechrteS Hauptstück. Fix. Weift nebst der geraden und der Kreislinie noch drey andere krumme Linien entstehen; nähmlich die Parabel, Ellipse, und Hyperbel. Sie werden in diesem Abschnitte nach der hier angeführten Ord¬ nung einzeln aufgestellt; dann wird zu Ende desselben eine all¬ gemeine Gleichung hergeleitet werden, welche zeigt, wie diese krummen Linien auf der Oberfläche eines Kegels durch ebene Schnitte entstehen. I. Won der Parabel. 627. 175. ES sey OO eine fixe gerade Linie (Fix. 175.), und F ein außerhalb derselben liegender unveränderlicher Punct. Man denke sich eine Linie N^N von dec Beschaffenheit, daß jeder ihrer Puncte von F eben so weit als von der Geraden 01) entfernt, nähm¬ lich daß überall die Senkrechte NV — NF sey; so heißt eine solche Linie eine Parabel. Die Gerade ÖD wird die Leitlinie (- rectrix), und der Punct F wird der Brmnpuirct (socus) der Parabel genannt. Wenn man den unveränderlichen Abstand FF des Brenn« puncteS F von der Leitlinie OD in dem Puncte in zwey glci« che Theile theilt; so ist ein Punct der Parabel, weil er von i und der Leitlinie OO gleich weit entfernt ist. Will man mehr«! Puncte der Parabel durch Verzeichnung suchen; so hat man meh¬ rere Senkrechten NM auf 6^ zu errichten, und den Abstand F? einer jeden derselben von der Leitlinie aus dem Brennpunkte k auf die Senkrechte NM bis N' und N mittelst eines Zirkel zu übertragen. Hiezu eröffnet man den Zirkel von F bis 6, kehl eine Spitze in F, und durchschneidet mit der anderen die in 1' er« richtete Senkrechte in N und N^. Man kann die Parabel auch durch eine ununterbrochene W« wcgung beschreiben, wenn man an einem rechtwinkeligen Winkel¬ haken 8VF einen Faden —81) anbringt, das eine Ende des¬ selben in 8, und daZ andere in F befestigt, dann den Winkel¬ haken längs der Leitlinie Ov fortbcwegt, und mit einem SB- ^1 den Faden während der Bewegung immer an den Winkel!?' Bon einigen krummen Linien. 38 t ken andrückt. Denn der Stift AI wird bey dieser Bewegung kl», eine Linie beschreiben, bey welcher jeder Punct eben so weit vonk als von OO entfernt ist. Diese Linie wird demnach eine Parabel seyn, welche k zum Brennpunkte, und 6,1) zur Leitlinie hat. §. 628. Aufgabe. Erne Gleichung für die Parabel zu finden. Auflösung. Man nehme die aus dem Brennpunkte kauf die Direktrix 61) gefällte Senkrechte 6l^ für die Abscisscnlinie und A für den Anfangspunkt der Abscissen an, setze —x, die senkrechte Ordinate ON — v, und den Abstand des Brennpunk¬ tes von dem Anfangspunkte— .A.6 — c. Da die Glei¬ chung NO — Nk bereits die Natur der Parabel angibt, so kommt es bloß darauf an, die Längen NO und Nk durch die gewählten rechtwinkeligcn Coordinaten x, und durch die konstante Größe c auszudrücken. Nun ist M -- / (Nk- -i- Ok-) - -I- (x—c)« ; daher ist 4- (x — c)^ — (x 4- c) und , folglich 7 —4cx. Würde OvsürdieAbscissenlinie, 6 für den Anfangspunkt der Abscissen angenommen, und 6O — x, ON — , und 61 — 2c gesetzt, so würde v-----t-c gefunden. Wäre aber die in dem 4c Scheitel A. errichtete Tangente die Abscifsenlinie, und der An- sangspunct der Abscissen; so würden die darauf senkrechten Lrdi- 2 "»len durch die Gleichung 7 auSgedrückt werden. Diese Gleichung / 4cx gibt zu erkennen: 1. Last die Abscissenlinie^IX eine Achse der Parabel und ihr Schritel ist (§. 626), weil wegen der Zeichen zu jeder positiven Abscisse zwey gleiche senkrechte nach entgegengesetzten Achtungen gehende Ordinalen gehören, und weil für x-0 "uch>---o wird. 382 Sechstes Haupt stück. Pix. 2. Diesseits der Leitlinie von angefangen wachsen 175. die Abscissen und Ordinären ohne Ende. Denn mit x wächst das Product 4cx, also auch h^4cx oder und für x —cw wird — iji-», das heißt i die zwey Schenkel der Parabel laufen dies¬ seits der Leitlinie ohne Ende fort. 3. Nimmt man x negativ an, so ist 4cx) eine unmögliche Größe. Folglich liegt kein einziger punct der Pa¬ rabel über hinaus nach der Gegend 4. Setzt man X —c —^p, so ist)- — ^2c, nähmlich PL -- 2^p — PL^, und folglich — 4.4p 4c. Die in dem Brennpuncte p auf die Achse senkrecht errichtete Sehne M wird der Parameter der Parabel genannt, welcher jederzeit dem doppelten Abstande des Brennpunktes von der Leitlinie, folglich auch dem vierfachen Abstande des Brennpunktes von dem Schei¬ tel gleich ist. Setzt man den halben Parameter oder die im Brenn¬ punkte auf der Achse senkrechte Ordinate LP — p —2c; so ist v -t- 2j»x, oderx? —2px. 5. Da 7? — 2px, und 1? — 2pX ist (wenn man mit X eine andere Abscisse und mit V die zugehörige Ordinate bezeich¬ net); so ist auch —x:X, nähmlich die Ouadrate der Ordinären der Parabel verhalten sich wie dre zugehörigen Abscissen. 6. Eine Gerade IM aus dem Brennpuncte an irgend eine" Punct M der Parabel gezogen heißt der Leitstrahl (raüius ver¬ lor) des Punktes M. Der Leitstrahl eines jeden Punktes ^er Parabel ist gleich der zugehörigen Abscisse mehr dem vierten Theile des Parameters, nähmlich es ist, wenn r diesen Leit- strahl vorstellt, r -- x -t- Denn es ist kN -- KID -- PL -- ^p ^6 -- ^.p ^p, folglich r -- x -1- §. 629. Um die im vorhergehenden Paragraph? ausgestellte Krn'" gleichung der Parabel Np - Nv durch Polar-Coordinaten Won einigen krummen Linien. 383 zudrücken, wählen wir (iig. 175.) den Brennpunkt I zum Pol, die Achse I^r zur Polarachse, so daß tVIN — und IN —r 1^5. wird. Nun hat man aber NO - LI — LI II — p ch IN. cos IIN — p - r cos co8^g> die gesuchte Polarglcichung der Parabel. §. 630. wenn man aus einem puncte N der Parabel zur Achse eine parallele NO und die Gerade NI zu -em Brennpunkte zieht, endlich -en Winkel INO durch die Gerade KZ halbirt, so berührt diese Gerade die Parabel in dem Punkte N. Denn jeder andere Punkt i(Z der Geraden ^(Z dies- oder jenseits des Punktes N liegt außer der Parabel, welches man auf folgende Art erweisen kann. Man schneide NO — NI ab, und führe durch O eine Senkrechte LO auf NO; so ist LO die Leitlinie. Ferner ziehe man die Gerade IO; so ist wegen der Gleichheit der Dreyecke INX und VNX die Gerade KZ senk¬ recht auf IO, und IL--KO. Es ist also auch (ZV--(ZI (§- 358.). Nun ist aber die Senkrechte (ZI<ß auch (ZI < tZI. Der Punkt (Z liegt demnach außer der Pa¬ rabel, weil im Gegentheile (ZI —(ZI seyn müßte. Eben dieses laßt sich.von jedem anderen Punkte der Geraden KZ außer erweisen. §. 631. Wir ziehen hieraus folgende Schlüsse: I- Die Subtangente H ist gleich der doppelten Abseisse, Denn wegen der Gleichheit der Dreyecke IH und ONK ist tI--vN-LO: also ist auch H-^I-LI-^L, nähm- >ch üblich ist ^P^I-^I^I, mithin Z84 Sechstes HauptstSS. Xix. ES kann demnach an jeden PuncL N der Parabel eine Tangente sehr leicht gezogen werden, ohne den Brennpunkt in Erwägung zu ziehen, wenn man auf die Achse die senkrechte Or¬ dinate kiVl führt, VI —W abschneidet, und endlich N miti durch eine Gerade verbindet. Ist hingegen auS einem Puncte X, der außer der Parabel liegt, eine Tangente an die Parabel zu ziehen; so muß man auS X mit der Entfernung 1-V die Leitlinie in O durchschneiden, ans v zur Achse eine Parallele 1)8 ziehen, und den Durchschnitts- punct N mit dem gegebenen Puncte 1, durch eine Gerade IN verbinden. Denn diese Gerade VN wird die Parabel in dem Puncte N berühren, weil sie den Winkel VNO halbirt. Auch ist leicht einzufehcn, wie man bey einer schon gezogenen Tangente den BcrührungZpunct finden könne. II. Die Gubnormals ist gleich dem halben Parame¬ ter, und folglich bey einer und derselben Parabel unver¬ änderlich. Denn in den ähnlichen Dreyecken IVN und VNN ist WeXN — VN: VN, nähmlich 2x: /2px — y/2px:VN; folglich ist VK — p. Es kann demnach zu jeder Parabel, bey der die Lage der Achse gegeben ist, der zugehörige Parameter, Brenn¬ punkt und Abstand der Leitlinie gefunden werden, wenn man an einen beliebigen Punct ZI eine Tangente IM zieht, die Senk¬ rechte NN auf "IM errichtet, und dann -^1'N von V blS t und 6 überträgt. IH. Die Tangente IN ist -- l/ (IM- -t- VN-) -- ^4x (x-l-; " Die Normale NN findet man — l/ (VN" -4- vn^) — 2px -t- p- — h' 2p (x 4- > p) — i 2pr> IV. Bezeichnen wir mit v den Abstand XV der Tangente NI von dem Brennpunkte V, so ist, weil wegen der Congrn- «nz der Dreyecke DKM und XXV die Gerade XX--NX-^ ist und XV zur NN parallel läuft, XX---; NN, folglich — h^-^-pr — h^cr. Von einigen krummen Linien. 385 V. Da wegen derCongruenz der Dreyecke NX!' und XXI, Xiss. nicht bloß XX —XVI, sondern auch IX — X!X ist/ so folgt aus 175. dem Parallelismus der Linien VXX und XX nach §. 397./ daß XI —XIX, also auch —VIX ist. Wenn man demnach aus dem Brennpuncte X den Leitstrahl XVI auf der Achse beydcrseits nach X und IX aufträgt/ so wird NX die Tangente und NIX die Normale. VI. In einem jedem Puncte der Parabel ist der Winkel 8^I() —XNX, weil jeder derselben dem Winkel I)NX gleich ist. Wenn demnach an eine hohle parabolische Fläche, welche durch die Umdrehung einer halben Parabel VXN um ihre Achse erzeugt wird, mehrere Feuer-, Licht - oder Stimmstrahlcn mit der Achse parallel einfallen; so werden sich dieselben nach dem Ab¬ prellen in dem Puncte X vereinigen,weil dcrAbprellwinkclXNX jederzeit dem Einfallwinkel 8Ntz gleich ist. Umgekehrt, wenn aus dem Brennpuncte einer hohlen parabolischen Fläche (eines Parabolischen Hohlspiegels) mehrere Feuer-, Licht- oder Stimm¬ strahlen nach was immer für Richtungen ausgehen; so werden alle diejenigen, welche an die hohle parabolische Fläche anstoßen, nach dem Abprellcn in einer zur Achse parallelen Richtung fort¬ laufen. Befestigt man "un an den entgegengesetzten Wänden ejnes Zimmers zwey parabolische Hohlspiegel dergestalt, daß ihre Achsen in einer und derselben geraden Linie liegen, und ihre Aus¬ höhlungen gegeneinander gekehrt sind; so werden die Strahlen, welche aus dem Brennpuncte des einen Hohlspiegels ausgehen, sich in dem Brennpuncte des cntgegcnstchenden Hohlspiegels ver¬ einigen. Wenn man demnach in dem Brennpuncte des ersten Spiegels glühende Kohlen, und in dem Brennpuncte des zwey- ten Schießpulver anbringt, so wird das Schießpulver entzünden; °der, wenn jemand seinen Mund in den Brennpunkt des ersten Spiegels,und ein anderer scinLhr in den Brcnnpunct des zwey- l°"hält; so wird der zweyte di- Worte des ersten vernehmen, "-'kun sie auch so leise ausgesprochen werden, daß keiner von den Anstehenden dieselben vernehmen kann. Vega Math. H. B. 25 ZZg Sechstes Hauptstück §. 632. 176. Aufgabe. Eine Gleichung für die Parabel zu sinken, wenn man «ineGerade^O, die zu dcrAchseLO parallel laust, für die Absciffen'inie und den punct zum Ursprung Ker Abfcifsen annimmt, und die Vrdinaren zu der Tangente eil parallel zieht, (ki^. 176.) Zluflösung. Es sey der Anfangspunkt der Meissen, —X, —x, der Leitstrahl eil —c, Hl die Achse, H.O und senkrecht auf derselben, und 2p — dem Parameler der Achse. Da die Gleichung der Parabel, wenn die Abscissen auf der Achse gerechnet werden, (§. 628.) — 2p. L() ist; st wird man jene für die Abscisscnlinie eiO erhalten, wenn nun sowohl iil() als auch durch x, und durch die unvcräntcr> liehe Größe c ausdrückt. Dieses kann auf folgende Art geschehen. Man setze, weil die Lage des Punktes ei unveränderlich ist, so ist ei 6 - /ZU 16-2-r, I'8^,Vsi^2 / (l,i.136) --2/ca, N8 -- l8 — IM 2 / e.u - In den zwcy ähnlichen Drcycckcn ei61 und iil()8 ist Altz -- — (2 /ca — 7) /2pu 2^/cu 80 --- - I O — (2 /oa —;,) 2a 2/^ - 2u - v / c Ferner ist/ Ltz--Dtz - l'L--18-l-8tz - 1L--.4.?-t-- ^6 — x->2a — — — a—x -i- u-— c c * Won einigen krummen Linien. 387 Substituirt man in dcr oberen Hauvtgleichung 2p.L(^ Fss». für und die hier entwickelten Wcrthe; so ist 176, — 7 / — -t- 2p—2? ^x-i-3 —7/ , v c 4c/ V c/ folglich —4cx, oder wenn man 4c—2-i setzt, 7^ — 2gx. §. 633. Diese Gleichung —2gx oder > —4^/2qx gibt unS zu erkennen: !. Daß zu jeder positiven Abscisse zwey gleiche Ordinate» nach entgegengesetzten Richtungen gehören, und daß folglich ^.6 ein Durchmesser der Parabel ist; /V ist dcr Scbcitcl des Durch¬ messers (vertex cliaurctri). Eine Gerade —4^ —4c —2g wird der Parameter des Durchmessers genannt; er gleicht dem vierfachen Abstande des Scheitels /V vcn dem Lrennpuncte. Auch ist leicht einzuschcn, daß derjenigen Abscisse, die dem Ab¬ stande'tss, folglich dem Leitstrahle oder c gleich ist, die Or¬ dinate ^/4c. c — 2c — g zugehöre, die durch den Brcnnpunct geht, und nach bcydcn Richtungen zusammen genommen den Parameter des Durchmessers gibt; woraus erhellet, daß dcr Pa¬ rameter 2g des Durchmessers dcr durch den Brcnnpunct ge¬ benden Doppel'Ordinate oder Sehne gleich ist. II. Die «Quadrate der Ordinate» des Durchmessers verhrlten sich gegen einander, rrie die zugehörigen Ab- fiissen. iH- Da alles dieses auch bcy einer jeden anderen zur Pa¬ rallelen statt findet, so folgt, daß j.'de zur Achse parallel gezo¬ gene Gerade e n Durchmesser der Parabel ist. Auch ist leicht huschen, daß jeder Durchmesser die Parabel nur in einem ein¬ igen Puncte durchschneidct; denn nur fiir x —0, ist auch —0. Wenn man hingegen aus was immer für einem Puncte /V dcr Parabel eine Gerade zieht, die nicht mit dcr Achse parallel läuft; 25 ' 888 Sechstes H a u p tstück. lixr. so wird dieselbe hinreichend verlängert/ die Parabel noch einmahl 176. durchschneiden. IV. Da nun jeder Durchmesser der Parabel alle jene Seh¬ nen halbirt/ welche mit der Langente des Scheitels des Durch¬ messers parallel laufen/ so kann bey einer ausgezeichneten Para¬ bel die Lage der Achse auf folgende Art gefunden werden. Man ziehe zwey parallele Sehnen, halbirc jede derselben, führe durch diese zwey Punctc eine gerade Linie, nähmlich einen Durchmes¬ ser, errichte auf diesen Durchmesser eine Senkrechte, welche sich bcyderseits in der Parabel endiget, und folglich eine doppelte Or¬ dinate der Achse vorstellt. Endlich theile man noch diese letzte Doppel - Ordinate der Achse durch eine Senkrechte in zwey gleiche Lheile; so wird man die Lage der Achse erhalten, und darauf den Scheitel, Parameter, Brcnnpunct, Leitlinie, u. s. w. be¬ stimmen können. V. Aus einer auf der Achse senkrechten Sehne VI)-in ' und aus dem Winkel HO — in, welchen sie mit der Tangente VI ihres Anfangspunktes V bildet, läßt sich das Stück LO der Achse, und folglich auch der Parameter der Achse bestimmen. Denn im Dreyecke VKV ist 10 — -2^-iang. folglich LO — -^-h. lang m. Ueberdieß ist VO? — 2p. LO, nähmlich 2p -- D" ; mithin ist der gesuchte Parameter der Achse --1,2 2p — - — la cot m. — n tung in §. 634. I. Dev Inhalt einer parabolischen Alache, welche einer Abscisse, der zugehörigen Ordinate und dem daZ^ schen liegenden Bogen ein geschlossen wird, ist gleich Dritthcilen des productes aus der Abscisse ist die Dr lin-' Bon einigen krummen Linien. 389 Nähmlich es ist EP -- . PN -- -z-x^, 175. und folglich NE-- ° Denn nach §. 628. ist N? -- 7 -- /2^ --2 daher vermöge §. 442. die Fläche I 1 3, EI' — 2M-"x. H. Der Tubikinhalt eines paraboloiös N'E (eines Körpers, welcher durch die Umdrehung der halben Parabel um die Achse erzeugt wird) ist gleich) dem halben Cplinder von derselben Grundfläche und Höhe; nähmlich es ist der Cubikin- halt von ME -- ^I>. NMer -- XV?. Denn die Grundfläche dieses Körpers ist der von der Ordi¬ nate Np — beschriebene Kreis, daher — nv? — 277px; hieraus slndet man nach §- 516. den Inhalt des Paraboloids NE 2^'' --- -- '^xv^. 2 2 2 Um den letzteren Satz auf die Lösung eines interessanten 177. Problems anzuwendcn, gestatten wir, wie dieses gewöhnlich ge¬ schieht, die Voraussetzung, daß der von einer auf die vorthcil- hastcste Weise geladenen Mine ausgewvrfene Minentrichter in "nem gleichartigen Erdreiche ein Paraboloid scy, Key dem der Halbmesser der Grundfläche der kürzesten Widcrstandslinie gleich ist, und daß der Mittelpunct des Mincnofens k mit Brennpunkte des Paraboloids cinerley sey; so kann man °us der kürzesten Widcrstandslinie (aus der Ber¬ ufung des Mincnofens) den Cubikinhalt des Minentrichters auf legende Art finden. Es ist Zgg Sechster Hauptstück. k',-. 8L-- p/ 177. --n/2---LL--^I), 8V — ^v —— a (V^2 —1) , re------^c/2-1), und xe — /vr -»- re — -^.a (i-r- / 2). Nun ist das Paraboloid ee8---r-^e.^8-7r. folglich ist der gesuchte Cubikinhalr des Minentrichters ---^-2 (1-l-/2).L-7r — -^-71 (1-t-/2) .1^-- 1,896^. Es sey z. B. — 20 Schuhen; so ist der Cubikinhalt des Mi¬ nentrichters —15168 Cubikschuhcn. II. Von der Ellipse. §. 635. 178. Es sey /^8 eine gerade Linie, r, f zwey Puncte auf der¬ selben. Man denke sich eine krumme Linie von der Beschaffenheit/ daß die Summe der Abstände iVlr -j- ^15 von den Punkten I, f eines jeden Punctcs einer unveränderlichen Geraden gleich, und zugleich 2n>ri sey; so wird eine solche krunune Linie eine Ellipse genannt. Die Puncte r, 1 heißen Lren"- puncte. Der hier ausgestellten Erklärung zu Folge kann man aus d" unveränderlichen Summe der Abstände Ali -t- ivrr --- r r, und aus dem gegebenen Abstande der Brennpunkte — n Ellipse durch eine ununterbrochene Bewegung beschreiben, i»^ inan in 8 und k die Endpunkte eines Fadens befestigt, deffenö^ze ---r-Ns--- ist, und einen Stift N dergestalt herumbewegt, daß er nM" bcyde ^.hcile des Fadens in gehöriger Spannung erhält; der Stift N wird während dieser Bewegung eine Eliipll schreiben. Auch kann man mittelst des Zirkels mehrere Punkte Ellipse bestimmen, wenn man eine gerade Linie Von einigen krummen Linien. 39l M-t-Nk zieht/ diese in mehrere (gleiche oder ungleiche) kix. Theilc theilt, und dann mit jeden zwey zusammen gehöri- 178. gen Thcilen der Geraden als Halbmessern / aus k und s Durchschnittspuncte von Kreisbogen, also Puncte der Ellipse be¬ stimmt. Wenn man z. B. mit dem Halbmesser kN — k aus k, und mit dem Halbmesser N^k aus k Kreisbogen beschreibt; so wird ihr Durchschnittspunct N ein Punct der Ellipse seyn. Auch m wird ein Punct derselben Ellipse seyn, wenn man auskmit dem Halbmesser km — k^irk einen Kreisbogen beschreibt, und aus s mit dem Halbmesser sm — km^ denselben durchschncidet. Auf diese Art können unzählige Puncte einer und derselben Ellipse bestimmt werden. §. 636. Aufgabe. Line Gleichung für die Ellipse zu finden. Auflösung. Man nehme ^8 für die Abscissenlinie, und den von s und k gleich weit abstehenden Punct 6 für den An- fangspunct der Absciffen an; setze 6k — x, die senkrechte Ordi¬ nate die gegebene unveränderliche Summe der Abstän¬ de 2a, den unveränderlichen Abstand 6s — 6k — c, den Leitstrahl Nk — r und Ns— so ist ks — c X, kk — c -I- x. ^un ist nach derErklärung der Ellipse r -i- — 2a ihre Grundglei- chung; ferner hatman in den rechtwinkeligen DrcyeckcnNks und Nkk Ns---Nk--l-I>s' und Nk^-Nk-^kk-, nähmlich -t-(c —x)' , (c-t-x)^. H'"aus folgt r--s>---4cx und wenn man durch r -i- — 2a bividirt, r p — 2^ . somit ist r —a-t-ssZ , ^ubstituirt man diesen Werth von r in die Gleichung 392 Sechstes Hauptstück. k'iss- v" — r" — (c x) 178. und nimmt darauf Bedacht, daß in dem Dreyccke kM stets s>i Nff > ri, also 2a > 2c und a >c ist; so wird >. L/ L' oder .2 (L'-x-), folglich a §. 637. Diese gefundene Gleichung gibt uns zu erkennen: I. Daß, weil sowohl x als auch) bloß mit geraden Exponenten vorkommen, nicht nur die Ordinaten-, sondern auch die Abscifsin' linic eine Achse, daher der Ursprung der Coordinaten ein Mit- telpunct der Ellipse ist; weßwegen man jede durch diesen M>t' telpunct gehende und in ihm halbirte Sehne einen Durchmesser der Ellipse und seine Hälfte einen Halbmesser nennt. II. Daß dre Ellipse eine in sich zurückkehrende Linie iss- Denn für jede positive oder negative Absciffe, die kleiner als» ist, erhält man zwey gleiche Ordinaten nach entgegengesetzt Richtungen. Für x — a und x — — a hingegen istx — 0, nahm' lieh in der Entfernung 6.4 — 6L geht die krumme Linie durch die Achse. Endlich ist für jede positive oder negative Abscissr» wenn sie größer als a ist, die zugehörige Ordinate eine unmög¬ liche Größe. Ueber -4 und über L hinaus gibt es demnach keine Ordinaten mehr, und x4, L sind die zwey Scheitel der Ellipse. III. Daß der Absciffe x —0 die größte Ordinate ent' spricht, nahmlich daß LV - 6L die größte Ordinate ist/ daß sowohl von 6 gegen L als auch von 6 gegen 4. die Ordin»' tcn immer abnehmen, bis sie endlich in ^4 und L gänzlich Bon einigen krummen Linien. 393 schwinden. Auch ist leicht einzusehen, daß die größte Ordinate 8iüt. Lvc68 ist, weil LV- -- u- — c- und 68- - u- ist. 178. IV. Oaßbepde Brennpunkte von den anliegenden Schei¬ teln der Ellipse gleich weit entfernt sind. Denn es ist 68 — 6k, und 6^ — 68; also ist auch 8^ — k8. V. Der Leitstrahl kiVI ist (nach §. 636.) —§ — a und 8Vi —r —s-l- — L' VI. Da nun 68 —L, und auch 6^. —u gefunden wird, wenn man — 0 setzt; so ist ^8 — 2s. Es ist aber vermöge der Annahme 2a die unveränderliche Summe der Abstände eines je¬ den Punktes N der Ellipse von ihren Brennpunkten; folglich ist in der Ellipse die Summe der Abstä'nde eines jeden puncr tes N von den Brennpunkten der Geraden ^8 gleich, welche die Scheitel verbindet. §. 638. i Diese durch beyde Brennpunkte bis an die Scheitel der Ellipse gezogene Gerade ^8 wird die große Achse (sxis mL- M-) genannt. Der von beyden Brennpunkten oder auch von beyden Scheiteln gleich weit abstehende Punkt 6 der großen Achse heißt der Mittelpunkt, und der Abstand des Mittelpunktes von dem einen Brennpunkte wird die Epcentricität genannt. Die durch den Mittelpunt auf die große Achse senkrecht gezogene und beyderseits bis an den Umfang der Ellipse verlängerte Gerade heißt die kleine oder vereinigte Achse (uxis ininor, uxis con- juAatuz). Aus der großen Achse und der Excentricität der Ellipse kann jederzeit die kleine Achse gefunden werden, und umgekehrt. Denn ist vermöge der gefundenen Gleichung, wenn man x —0 setzt, 7 - / - c-) -- 61) / (68- - 6k-). Dieses läßt sich auch aus den rechtwinkeligen Dreyecken 868 und l68 ableiten. Denn da in diesen zwey vollkommen gleichen Dreyecken 88 — 8k, und vermöge des Vorhergehenden 88 -t- 8k -- ^8 ist; Z9l Sechste« Hauptstück. k'-'x. so ist auch (Lk -t- Ls) — -r-.VL, 178. nähmlich Ls -- LL. Es ist aber LL -- -/ (Ls- — 6s-); folglich ist auch LL — p' (LL- — 6?) — v'(L- —c-). Aus der Gleichung LL -/(LL- —Ls-) folgt LL- - (LL -k- Ls) . (LL - Ls) - (L^ -t- Lt) (LL - Ls) - ^s. w; daher auch ^s:LL --LL:sü. Nähmlich die kleine Halbachse ist die mittlere Proportionale zwischen den Abständen eines Drennpuncres von den bcpden Scheiteln der Ellipse. Anmerkung. Mit Hülfe beyder Achsen L'L und kann die Ellipse beschrieben werden,indem man dieselben derge¬ stalt auf einander senkrecht stellt, daß sie sich wechselweise in L halbircn, und dann aus dem Endpuncte L der kleinen Achse mit einem Halbmesser LL --- die große Achse ^L in L und i durchschneidct, um die Ercentricität Ls— LL und dicBrennpunc- 1e L und szu erhalten. Sind einmahl die Brennpuncte bestimmt, so wird die Ellipse nach §. 635 beschrieben. Auch kann aus der gegebenen kleinen Achse und aus dem Abstande der Brennpuncte die große Achse, oder aus der großen Achse und aus dem Abstam de der Brennpuncte die kleine Achse gefunden werden. §. 639. Wenn wir die kleine Halbachse mit 6 bezeichnen, nähmlich wenn wir n-— c- —b- setzen, und diesen Werth in der gefunde¬ nen Gleichung für die Ellipse substituiren; so erhalten wir oder ^-.-^--1. a- ' L- b- Setzen wir in dieser Gleichung b — n, oder in der vorigen c-^0, so ist^---^t-^/ (z- —x-) eine Gleichung für die senkrechten Lr dinaten einer Kreislinie, in welcher die Abscissen auf dem Durch¬ messer von dem Mittelpunkte an gerechnet werden. Etne Wen einigen krummen Linien. ZgZ wirb demnach in eine Rreislinie verwandelt, wenn man kix. die zwey Achsen einander gleich setzt, oder die Lxcentricität 17z. verschwinden laßt. nr Aus dieser gefundenen Gleichung — — (3-—x-) 3 folgt auch: I. Daß sich das (Quadrat einer jeden Ordinate zum Products aus den beiden Abschnitten der großen Achse ver- halt, wie das (Quadrat der kleinen Achse zum (Quadrate der großen Achse, weil sich die gefundene Gleichung auch auf fol¬ gende Art darstellen läßt; (g-,-;) (a-x), 4u- nähmlich es ist kN- - -O^-.ä-k.kL, und endlich kN-.^k.kL-VL-:^L-. II. Daß sich die (Quadrate der Ordinate» gegen einan¬ der verhalten, wie die Products aus den ^zugehörigen Ab¬ schnitten der großen Achse. Denn da l>2 v? — t- (a 4- x) (3—x) 3" und (L-i-X) (3-X) 3- 'st, so ist auch ... -z-x) (3 —x): (3 4-X) (3 —X). III. Daß sich bey gleichen Abscisscn jede Ordinate der Ellipse auf der großen Achse zu der Ordinate des Rreises verhält, wie die kleine Halbachse zur großen oder wie die kleine Achse zu -er großen: nähmlich daß (kix. 179.) 179- kN. kN'--Lk. 08 'st- Denn in der Ellipse ist kN---^ (3--X-), 3- und im Kreise ist kN'- -- 3- — x- 396 Sechstes Hauptstück. k^.für eben dieselbe Abscisse LP-x; folglich ist auch ^0' xn-: xzi" (L- — - z- _ x- , L- nähmlich §. 640. Für die Ellipse läßt sich auch eine Gleichung finden, wenn man den Anfangspunkt der Abscissen an das eine Ende der großen Achse versetzt. Denn cS fey und VL-LL-I,; so ist ex ---x— a. Nun ist vermöge des Vorhergehenden (6L--ex-); folglich ist auch ) (X —L)-^, 1^2 und endlich (2LX — X-) o- eine Gleichung, aus der sich ebenfalls alle bisher entwickelten Eigenschaften der Ellipse ableiten lassen, und welche fürb—s, in die Gleichung — 2ox — x- der Kreislinie übergeht. §. 641. Eine dritte Proportionallinie zur großen und kleinen Achse, nähmlich - oder - wird in der Ellipse der Parameter 2r a der großen Achse genannt. Eine dritte Proportionallinie zur klei¬ nen und großen Achse aber, nähmlich — heißt der Parameter 6 der kleinen Achse. Bezeichnen wir die Hälften dieser Parameter durch x und x, so ist k -- - und x Dake», also p b, also ist; nähm- lich weil der Parameter der kleinen Achse größer als die große Achse ist. Wenn man (§. 640.) in die Gleichung —^(2ax—x") re¬ den Parameter der großen Achse bringt, nähmlich b?—sp setzt; seist ^--2px— L wieder eine Gleichung für die Ellipse. Setzen wir in dieser Gleichung p —a, so ist 2ax—x- eine Gleichung für den Kreis. Setzt man hingegen a in Hinsicht auf p so groß, daß der Quotient L- kleiner als jede angebbare Größe sey, läßt man nähmlich u in Hinsicht auf p unendlich groß werden; so versckwin- d" für jede endliche vom Scheitel an gerechnete Abscisse das zweyte Glied der Gleichung — 2px—- in Hinsicht auf das krste Glied, und diese übergeht in 2px, d. i. in die Glei¬ tung der Parabel. Berücksichtigen wir zugleich denAbstandtk' —ä Scheitelst von dem nächsten Brcnnpuncte, so zeigt sich: daß, weil 398 Sechstes HauptstüS. ri — » — c — a —— h^--3^1—I—— ' X ' 3^/ -L- ist, bey unendlicher Vergrößerung der Halbachse s der Abstand ä — wird. 2 Eine Ellipse als-, deren große Achse in Ansicht auf ihren Parameter unendlich groß ist, kann in jeder endli¬ chen Entfernung von ihren Scheiteln als eine Parabel angesehen werden, die mit ihr einerlei Parameter, Abscis- senlinie und Scheitel hat. Da bey dieser Voraussetzung auch die Ercentricikät unendlich groß ist; so folgr, daß man sehr excentri- sche Ellipsen bey ihren Scheiteln (z. B. die Laufbahnen der Cometen bey ihren Sonnennähen) für parabolische Linien an- sehen könne. §. 642. Auch läßt sich für die Ellipse eine Gleichung finden, wen» man die kleine Achse für die Abscisscnlinie und den Miltelpunct oder auch den einen Scheitel der kleinen Achse für den AnfangS- 180. punct der Abscifsen annimmt (k'iss. 180.). Es sey z. B- t)p—x, die senkrechte Ordinate I?iVl—x, l>Llind ce--h; so ist6ivi--6p--x, Nun ist (vermöge §. 639.) folglich ist auch x- (3^ — ^). Daraus findet man Von einigen krummen Linien. 399 Setzt man hingegen kig. Vk — x, kN — 180. so ist c? - x - b -- ON, folglich r (x-b)- - (^-7'); und endlich -»2 -- .-2 (2bx — x"). Jede dieser zwey Gleichungen gibt uns zu erkennen: I. Laß die Abscissenlinie VL eine Achse der Ellipse ist. II. Laß sich das (Quadrat einer jeden Ordinäre der klei« nen Achse zum Produkte aus den beiden Abschnitten eben die¬ ser kleinen Achse verhalt, wie das (Quadrat der großen Halb¬ achse zum (Quadrate der kleinen Halbachse; wie auch, daß sich die (Quadrate der Ordinären der kleinen Achse gegen einander verhalten, wie die prcducte aus den zugehörigen Abschnit¬ ten der kleinen Achse von ihren Scheiteln oder Endpunk¬ ten gezählt. III. Laß sich jede elliprische Ordinate auf der kleinen Achse zur übereinstimmenden Äreiö-Ordinare auf ebendieser Achie verhält, wie a zu h. In der letzten Gleichung (2six — -?) setze man v- —bk; so ist ^2 —2kx ——- wieder eine Gleichung für die h Ellipse durch die kleine Halbachse und ihren Parameter aus- gcdrückt. §. 643. Aus dem Vorhergehenden sehen wir, daß, wenn man sich «chtwinkcliger Coordinatcn bedient, bey der Ellipse folgende drey Gleichungen vorzüglich zu bemerken sind. I. oder - -i- — 1, wenn man den Mittelpunkt der Ellipse für den Anfangspunct der Abscissen an- numnt, die eine Halbachse mit a, die andere mit b bezeichnet, und die Abscissen auf der Halbachse u zählt. 400 Sechstes Hauptstück. II. (2ax —X-), wenn man die eine Halbachse mit A- a, die andere mit d benennt, die Achse 2a für die Abscifsenliim, und ihren Scheitel für den Anfangspunct der Abscisscn annimmt. III. 7- —2px— H-, wenn man eine der zwey Achsen L mit 2a, und ihren Parameter mit 2p bezeichnet, die Achse 2a für die Abscifsenlinie und ihren Scheitel für den Anfangspunct der Abscissen annimmt. §. 644. I. Nehmen wir (liss. 178.), um eine Polargleichung der 178. Ellipse zu finden, denBrennpunctl? für den Pol und die Achsel für die Polarachse an, wodurch ^.IM — cp der Polarwinkel und IM — r der Radiusvcctor wird; so haben wir in dem Dreyecke IN M^2a —jV1F--2a —r, ri--2c, NI?--180°-P, folglich (nach Z. 556.) die Gleichung 4a- — 4ar -t- 4^2 -p 4^ ^gz , woraus die verlangte Polargleichunz a- — r - a -t- c cos P a -t- c c<>8 g; unmittelbar folgt. II. Soll der Pol in dem Mittelpunkte 6 liegen, ^66--? und 66 — r seyn; so findet man die Polargleichung der ElliM am schnellsten, wenn man in der Gleichung (§. 643. I.) 61- 16- . nach der Angabe des rechtwinkligen Dreyeckes 616 61 — rco88-w sin-w 1 — ° ? oder' r --- 1_ -P XL- 6- / erhält. 401 180. 181. N?. 181. Von einigen krummen Linien. §. 645. Wenn man an irgend einen punct HI der Ellipse (kix. 181.) aus bexden Brennpuncten die Leitsircchlen kN, IN zieht, einen derselben z. B. den größeren IN verlängert, und den Winkel ONk durch die Gerade Nk halbirt; so be» rührt diese Gerade Nk die Ellipse in dem puncte N. Denn jeder andere Punct der Geraden Nk liegt außer der Ellipse,' was man auf folgende Art darthun kann. Man schneide NO—Nk ab, und ziehe 6k, so istOk —kk und HU senkrecht auf 6k. Ferner ziehe man aus was immer für ci. nem Puncte die Geraden l)6, Ok, 01, so ist <)6 — ()k. Nun ist aber tzs-t-tzO r-'IO; folglich auch tzs-l-tzk>tO. Es ist jedoch 16 -- IN -t- Nk /HL ; daher auch tzl-l-Ok r» -HL. Der Punct liegt demnach außer der Ellipse, weil sonst Hl-t-l^k — /HL seyn müßte. Eben dieses laßt sich von einem jeden anderen Puncte außer N erweisen. Sonach ist cS sehr leicht an einen gegebenen Punct N der Ellipse eine Tangente zu ziehen. Ist hingegen durch einen außer der Ellipse gegebenen Punct k (kix. 180.) eine Tangente an die Ellipse zu führen; so beschreibe man aus diesem Puncte mit leiner Entfernung kl von dem einen Brennpunkte einen Kreis¬ dogen IL, durchschneide diesen aus dem anderen Brennpunkte mit dem Halbmesser kL. — .HL, verbinde L und k durch di« Gerade Lk, und ziehe von k zu dem Puncte O die Gerade ktz, welche die Ellipse in berühren wird. Denn cs ist kO-kk, uud auch tzt'—folglich ist IL senkrecht auf kl), und der Winkel Itzk -- L,tzk. Es ist (kix. 181.) der Winkel kNk —INtz, weil jeder ^Nelken dem Winkel 6Nk gleich ist; nähmlich die Leitstrahlen und desselben Punctcs der Ellipse schließen mit der Tan- 8^>te dieses Punctes gleiche Winkel ein. Wenn demnach mehrere wr, Licht- oder Stimmstrahlen auS einem Brcnnpuncte eine- lptnchen Hohlspiegels (der durch die Umdrehung der halben i /H.NL um die große Achse -HL erzeugt wird) nach was "'Uer für Richtungen ausfahrcn; so werden dieselben nach dem on sich wieder in dem anderen Brennpuncte vereinigen. ^3» Mach. L. B. 26 402 Sechste- Hauptstück. kiz. §. 646. 181. Nun laßt sich in der Ellipse für jede gegebene Abscisse die zugehörige Subnormale die Normale XI-X, die Subtan- gcntc kl und die Tangente ÄH bestimmen, wenn man aus dem Puncte XL die Senkrechte XLlX auf XU errichtet. Es ist nähmlich I. Die Subnormale — ---, wenn man die Absciffcn auf der großen Achse von dem Mittelpuncte zählt. Denn da UX undl^O senkrecht auf XU sind; so istdasDreyeckkXQn 16k; folglich ist auch 10: Ib' -- QI Es ist aber 10 2a, H -- 2c, QL -- a -1- ; L daher ist 2a: 2c — s-i-—: kiX', a nähmlich iXi — c -t- . Ferner hat man klX — II' — M, und kl? c -t- x folglich ist piV —. —. — c") x la^x II. Die Subtangente L^i' findet man aus den ähnliche Dreyeckcn XI'XI und kXI^. Denn es ist L»? -- -- 1>"x x Setzt man x--0, so ist kl--«,; folglich läuft die gente an dem Scheitel der kleinen Achse mit der großen Achse rallel. Nimmt man abcrx —a, soistl?^ —0; folglich sted^ ' Tangente an dem Scheitel der großen Achse senkrecht auf derst?^ Aus der Subtangente 1'1 findet man —x, nähmlich 01-^' L Von einigen krummen Linien. 403 III. Die Normale UM und die Tangente findet man ki'^. aus den rechtwinkeligen Dreyecken UIM und N?1'. Denn 181. es ist -- - j/v- b -i- , ' ' bx 's" 6^ ' man findet aber auch oder — rs> (nach §. 636.); daher ist die Normale UIX — — s und die Tangente N?- OX §. 647. Führen wir (I^-182.) an den Endpunct des Halbmes-. 182. i^rs 0^ hx,. Eliase die Tangente ^1; so ist, wenn wir setzen, (8-646.) die Subtangente Bezeichnen wir ferner die Winkel ^6^ und ^.10 durch 2 und ce, so finden wir I'' 6? Hieraus ergibt sich k" tLNxsPtSNAw— i!2enn wir nun auf dieselbe Weise die Winkel, welche ein anderer Halbmesser OL und die an seinen Endpunct L gelegte 26 * 404 Stchlkeö Haupt stück, Tangente IX mit der großen Achse bilden, mit und be- L82. zeichnen; so ist auch 1,2 tnll° co^ — — , folglich tnnxg) tLnzeco — tnnssco^. Führen wir insbesondere den zweyten Halbmesser LL zur Tangente H/I? des ersteren ^6 parallel, so wird g/ — co , daher tanZ co^ — tanss g> somit auch, da die Winkel — 82 «in 2 6 82 008 26- ' Mittelst der Gleichungen (1), (2), (3) lassen sich nun zu zwey conjugirten Durchmessern 2^., 28 und dem von ihnen cui- geschlossenen Winkel 6 die Achsen 2a, 2d der Ellipse, welcher sie angehoren, der Größe und Lage nach bestimmen. Denn aus (1) und (2) findet man a -t- d — / " I.s Bon einigen krummen Linien. Ueberdieß biethet die Gleichung (3) tau» 2 w —-—- V- ü" cös 2-Z- ein Mittel zur Bestimmung des Winkels g>, welchen der Durch messer 2V. mit der großen Achse 2u der Ellipse einschließt. z /cu5"co sin" cox cor g) cor co sin gi «in w b" / 408 Sechstes Hauptstück. Isix. Beachtet man aber, daß nach §. 644. 182' cor"

e Non einigen krummen Linien. 409 Lheilungspuncte; so wird die Verbindungslinie ein Durchmesser, kix. folglich die Mitte desselben der Mittelpunct der Ellipse seyn. Aus diesem Mittelpunkte durchschneide man die Ellipse mittelst eines Kreisbogens von beliebigem Halbmesser oben und unten, oder auch rechts und links in zwcy Punclen; so ist ihre Verbindungslinie eine doppelte Ordinate auf der großen oder auf der kleinen Achse. Theilt man diese in zwey gleiche Theile, und verbindet den TheilungS- punct mit dem Mittelpuncte, so ist diese Verbindungslinie ent¬ weder die große oder die kleine Achse, und eine in dem Mittel, puncte auf ihr errichtete Senkrechte die andere Achse. Durch¬ schneidet man ferner auS dem Endpunkte der kleinen Achse mit einem Halbmesser, welcher der großen Halbachse gleich ist, auf beyden Seiten die große Achse; so erhält man durch diese Durch- schnittspuncte die Brennpunkte, also auch die Excentricität der Ellipse. 651. Um den Inhalt der elliptischen Fläche und deS ellip-179. tischen SeclorS zu bestimmen, stelle man sich vor, daß die Abscissc 0k 179.) in eine unendliche Anzahl gleicher Theile gctheilt sey. Man denke sich ferner aus allen Theilungspuncten senkrechte Ordinate» bis an den Umfang der Ellipse gezogen, und verlängere dieselben bis an den Umkreis auf der großen Achse; so wird dadurch sowohl die Fläche als auch die Fläche in ihre Elemente aufgelöst. Nun verhält sich jedes elliptische Ele- wcnt zu dem übereinstimmenden Kreiselemente, wie die elliptische Ordinate zu der übereinstimmenden Kreisordinate, weil jede zwey solche Elemente für zwey Rechtecke auf einer und derselben Grund- ^nic angesehen werden können, deren Höhen die Ordinaten sind, ^der jedes elliptische Element verhält sich zu dem übercinstim- wend.'n KreiSclcmente, wie die kleine Halbachse k> zu der großen», weil sich jede elliptische Ordinate zu der übereinstimmenden Kreis- vrdmate auf der großen Achse wie k zu » verhält. Es verhält sich °wnach auch die Summe aller elliptischen Elemente zur Summe Kreiöelemente wie bzu »(§. 191.); nähmlich die Fläche 61^6 L 410 Sechstes Hauptstiick. kix. verhält sich zur Fläche wie I> zu L, oder es ist 179. -- k : L, folglich ()If6ckL — — . LI . Ferner findet man nach §. 455. I. und §. 639. III. die Proportion : cro" -- : ro" -- b.-a, daher LxL' . Lk'O". Subtrahirt man diese Gleichung von der vorhergehenden, so ergibt sich LOL' n Nun ist aber (nach §. 449.) . L'L", folglich auch, weil (vermöge §. 540.) I^^6l" — L^-arcsiii — a. arc sin ist, a a" . arc sin L und LL6ck — . aro sin — . L Zu demselben Ausdrucke gelangt man auch auf folgendem Weg<- Es ist ^6ck — oder (nach §. 451. 1) a v--d ——1^-^. ...; eck ' 2 a» ' 2.4 -r« ' 2.4 6 folglich findet man nach §. 442. II. den Inhalt der Fläche eck 2.3 eck 2.4.5 -ck 2.4.K.7 Ferner ist das Drepeck L oder (nach §. 451. 1) k 1.3-rck ^,,, 2 äH ' 2.4.2 ' 2-4.6 2 Von einigen krummen Linien- 411 Wird diese Gleichung von der vorhergehenden abgezogen, so kix. erscheint 179. bx b 1 d 1.3.x^ Ir 1.3.5.x^ . " "2 ' 2.3.2 ' 2.4.Z.2 a° ' 2.4.6.7.2 oder r?^/ i , 1 x^ 1.3 x^ 13.5 ..x - -^ab . - 4-— . . -4- ) Mein nach §. 553. V. ist die letzte Reihe nichts anderes als »rcsin^, folglich ist wie oben Ä ab arc sin . a Uebergehtnun derPunctO^ in^, also x ina, undLLO^inLL^; so wird arcsili — arcrinl — —, folglich — ^-sb, a 2 4 und der Inhalt der ganzen elliptischen Fläche — Trab. Da abTr — (/ab)-Tr ist; und / erb die mittlere geometri¬ sche Proportionale oder das geometrische Mittel von a und b vor¬ stellt; so ist die ganze elliptische Fläche einem Kreise gleich, dessen Halbmesser das geometrische Mittel der Halbachsen der Ellipse ist. §. 652. Um den Cubikinhalt eines ellipsoidischen Segmentes zu fin¬ den, welches durch Umdrehung der elliptischen Fläche 81^1 um d>e große Achse entsteht; so bemerken wir, daß die Grundfläche dieses Körpers der von der Ordinate beschriebene Kreis, daher _ » b^ »v 2rrb" Tib" , — —rr.- (2ax— x-) -x——ist. Hieraus findet man nach §. 516. den Inhalt des von Ll^l "zeugten ellipsoidischen Segmentes Tr b'x' _ Trb'x^ Trli'x' H" 3a' Ucbergeht x in 2a, so ergibt sich der Cubikinhalt des durch Umdrehung der halben Ellipse um die große Achse entstehen¬ den Ellipsvids - 3 412 Sechstes Hauptstück. kix. Vertauscht man in diesen Ausdrücken -r mit K; so erhalt man 179. den Cubikinhalt eines ellipsoidischen Segmentes, dessen Achse in der kleinen Achse der Ellipse liegt, -- 22^1 (Zd — x); folglich 3d" jenen des um diese Achse liegenden Ellipsoids — Es ist demnach, wie man leicht sicht, jede» Ellipsoid gleich zwey Drittheilen desjenigen geraden Cylinders, von welchem eS eingehüllt wird. m. Von der Hyperbel- §. 653. 183. Es seycn k, 5 zwey Puncte von unveränderlicher Lage. Man denke sich eine krumme Linie von der Beschaffenheit, daß die Differenz der Abstände 5^5— kiV5 eines jeden Punctes U von den bcyden Fixpuncten I? und 5 einer unveränderlichen Geraden —2a gleich sey; so heißt eine solche krumme Linie eine Zpperbel. Die zwey Puncte 5, 1? werden wie bey der Ellipsi Brennpunkte genannt; und der von 5 und k gleich weit ab¬ stehende Punct k der Geraden 5k heißt der Mircelpunct der Hyperbel. Mittelst der gegebenen Geraden 5k und kann dem- nach eine Hyperbel beschrieben werden, wenn man die Gerade verlängert, auf derselben mehrere Puncte 6 nach Be¬ lieben annimmt, sodann mit dem Halbmesser ö-6- aus i einen Kreisbogen beschreibt, und diesen mit dem Halbmesser auS I durchschneidet, um die Puncte sV5, m der Hy¬ perbel zu erhalten. Auf diese Art kann man so viele Punct- der Hyperbel bestimmen, als erforderlich sind. — Auch läßt sich Hyperbel durch eine ununterbrochene Bewegung beschreiben, wem man an ein Lineal 5k einen Faden k>Ik anbringt, der kürzer ist als 5k. Sodann befestigt man das eine Ende des Fa- dens in k und das andere in k, dreht das Lineal M mit de" Ende k um den unbeweglichen Punct 5, und drückt bey dir!" drehenden Bewegung den Faden Iblk mit einem Stifte M imn>" Bon einigen krummen Linie». 413 an das Lineal f6; so wird der Weg, welchen der Punct U bey dieser Bewegung zurücklegt, eine Hyperbel seyn. 183. §. 654. Aufgabe. Eine Gleichung für die Hyperbel zu finden. Auflösung. Bezeichnet man die Abstände Nk und Ns des PuncteS N von k und f durch r und p, so drückt die Gleichung Nf— Nk— oder — r —2a die Natur der Hyperbel vollständig auS. Um rcchtwinkelige Coor-- dinaten in dieselbe cinzuführen, nehme man die durch f, k ge. zozene Gerade für die Abscisscnlinie und 6 für den AnfangSpunct der Abscissen an, setze Lk —Ol —c, 61? —x, die senkrechte Ordinate kN — y. Nun ist in den rechtwinkeligen Dreyecken skN und kkN s — ^.2 x" -t- 2cx -t- , r* — y- -I- (x — x) r — ^.2 — 2cx -t?- ; daher findet man die Differenz x? — — 4cx, und wenn man durch p — 1 --- 2a dividirt , , 2cx p -l- r --. L Dadurch ergibt sich Substituirt man diesen Werth in die Gleichung y- — — X- -I- 2cx -- und beachtet, daß in dem Dreyccke (nach §. 356. 1.) M-Nfi heißt die zrvcpte Halbachse. Sie ist die mittlere geometrische Proportionale zwischen r-t-a und c — a, nähmlich zwischen den Abständen eines Scheitels der Hyperbel von den beyden Brennpunkten. Will man nun aus dem Mittelpunkte l auf die erste Achse eine Senkrechte verzeichnen, die der zweytc" Achse gleich ist; so durchschneide man die Senkrechte LD aus mit einem Halbmesser ^v —Lk —c, so ist 6V die Halbachse, und folglich VL die ganze zweyte Achse, wenn ma» OL — (il) abschneidet. Denn e§ ist —- c-- Bon einigen krummen Linien. 415 Will man hingegen an dem einen Scheitel der Hyperbel Liss, (kix. 184.) eine Senkrechte LV verzeichnen, die der zweyten 184. Achse gleich ist; so darf man nur die gezogene Senkrechte LV aus dem Mittelpunkte L mit dem Halbmesser LL in L und v durchschneiden. Denn es ist sodann ^v' LV- — L^2 -- c' — - i)° und^v---der zweyten Halbachse.Hieraus ist nun auch leicht zu ersehen, wie man aus den gegebenen zwcy Achsen einer Hyperbel die Brennpunkte bestimmen, und sodann die krumme Linie (nach §.653.) beschreiben könne. Die abgekürzte Gleichung der Hyperbel ? (x- — a-) -- ^(x-l-u) (x - n) L' L gibt uns zu erkennen, Saß sich das (Quadrat einer jeden Or¬ dinate zum Produkte aus den Abständen der Ordinären von den beiden Scheiteln verhält, wie das Quadrat der zwey- ten Achse zum (Quadrate der ersten Achse; ferner, daß sich die (Quadrate der Ordinären gegen einander verhalten, wie die Produkte aus den Abständen der Ordinären von den bey- den Scheiteln der Hyperbel. Z. 657. Wenn man die Senkrechte Lp (Liss. 183 ) für die Abscissen- linic, und L für den Anfangspunkt dcr Abfcissen annimmt, und Lp—x, pm —z', L^r--s, LV — 6 lkht; so ist («ach §. 656.) (LL--^); a- °aher wird wegen Lm — Lp — x und LL — pm -- , x2--^()--a2) v2---(x2-I-hr) H2 zweyte Gleichung der Hyperbel. 416 Sechste« Hsuptstiick. H Nimmt man hingegen 6? für die Abscisscnlinie und den 183. Scheitel der Hyperbel für den Anfangspunkt der Absciffen an,. und setzt .4? - X, IM — ; so ist(2sx-t- x^) n- auch eine Gleichung für die Hyperbel. Denn es ist IM--- r —2-) A- ;>r — — (2nx -t- x*). §. 658. Eine dritte Proportionallinie zur ersten und zweyten Achse heißt der Parameter der ersten Achse. Eine dritte Proportionab linie zur zweyten und ersten Achse aber heißt der Parameter der zweiten Achse; nähmlich es ist der Parameter der ersten Achs« - - 2k- .. I- 2p ——-, alsop - — L I und der Parameter der zweyten Achse 2?-^-, folglich?-?' 1) d Der Parameter der ersten Achse gleicht einer Geraden/die durch den Brennpunkt auf die verlängerte erste Achse senkrecht gk' zogen ist, und sich beydcrseits in der Hyperbel endet. Denn man setze nur in der im §. 654. gefundenen Gleichung Nähmlich die durch den Brennpunkt gezogene Ordinate . . — -p oder der halbe Parameter der ersten Achse. §. 659. Wenn man aus dieser Gleichung - ---p den Wcrthb'-^ in die Gleichung (x- -t- 2ax) Kon einigen krummen Linien. 41- substituirt; so ist ^iss- 182 wieder eine Gleichung für die Hyperbel. Die vier bisher entwickelten Hauptgleichungen für die senk¬ rechten Ordinate» der Hyperbel in Hinsicht auf ihre Achsen sind wohl zu merken, weil sie öfters vorkommen. Rühmlich: N2 > ^2 ^,-2 I. ^2 — (^2-z2) ghxx 5- - — I, L? L- d- wenn man die Abscifsen auf der ersten Achse 2a von dem Mittel- puncte zählt. II. ) ' " - (x^ -t- , b" wenn man die Abscissen auf der zweyten Achse 2b aus dem Mit- telpuncte zählt. III. )s2 — (^2 2nx), re" wenn man die Abscissen auf der ersten Achse 2ec von einem Schei¬ tel zählt; oder (x--2ux) sür negative Abscissen. IV. ) 2 — 2px -t- X' , L ^enn man die Abscissen auf der ersten Achse 2u von dem einen scheitel zählt, und durch x> den halben Parameter - der ersten ^chst vorstellt. §. 660. Die zweyte Achse der Hyperbel kann kleiner oder auch grö- b" siyn als die erste. Aus dieser Ursache nennt man V8 die erste, "tcht °ber die große Achse, und VL die zwcyte, jedoch nicht die kleine Auch können die zwcy Achsen der Hyperbel einander, und täglich auch dem halben Parameter gleich seyn. Eine solche Hy- Vtga Mach. II. Bd. 27 418 Sechstes Hauptstück. perbel, bey dera —t> —p ist, wird gleichseitig (ueguilstorz) 183. genannt. Die Gleichungen für die gleichseitige Hyperbel sind demnach — x? — a?, — x" -t- er-, ) — x" -t- 2.ax, — 2px -t- x'. I. Vergleicht man die in §. 644. I. II. für die Ellipse und in §. 659.1. II. III. für die Hyperbel gefundenen Gleichungen,so zeigt sich, daß die Gleichungen IN und (2ax — x^) der Ellipse oder Hyperbel zugehören, je nachdem k* positiv oder negativ ist, da jede derselben in die andere übergeht, wenn man I» in — 1 verwandelt. .II. Hält man aber die in §. 628. für die Parabel, in §. 644.Ist- für die Ellipse und in §. 659. IV. für die Hyperbel gefundenen Gleichungen an einander, so sieht man, daß die Gleichung ^2 2px -4- gx?, in welcher, wenn rr und 1r die beyden Halbachsen der Ellipse oder Hyperbel vorstellen, 6- I? x — — , q — — a re¬ ist, der Hyperbel, Parabel oder Ellipse angehört, je nachdem«! positiv, Null oder negativ ist; und daß sie in Rücksicht der P"' ragraphe 660. und 639. einer gleichseitigen Hyperbel oder ein« Kreislinie (gleichseitigen Ellipse) zukommt, je nachdem 4 positiven oder negativen Einheit gleicht. §. 661. I. Nehmen wir, indem wir für die Hyperbel eine Polargb'' chung aufzustcllen beabsichtigen, in kig. 183 den Brennpunkt zum Pol und die Gerade Ist zur Polarachsc an, damit I^I — r werde, so liefert das Dreyeck Ik^Is in welchem!^', und der Natur der Hyperbel gemäß M — 2a r ist, "" 556 die verlangte Polargleichung Bon einigen krummen Linien- 41!) 4a* 4- 4ar 4- r? — 4- die Ausdrücke 6k — rcc>8^> , kN — rsin

- r- Mangen, welche man auch in der Form / /cos^ «x «iikip x X/ schreiben kann. , §. 662. Wenn man an einen punct N der ^pperbel aus bep« .Brennpunkten die Geraden M und kN (die Leitstrah. ^n) zieht, und den Winkel kNI durch eine Gerade IN halbirt; so wird diese Gerade die Hyperbel in dem Pun^e ^1 berühren. Denn jeder andere Punct der Geraden kN liegt außer d" Hyperbel, was man auf folgende Weise darthun kann. Man schneide Ntz--Nk ab, ziehe iXk, und iVtz, so ist oder s°lglich Yl>iX>s—oder iVI— weil ist. Der Punct IV liegt demnach außer der Hy. p"bel, weil sonst Nk—iVk -^.V seyn müßte. I- Licht man die Gerade kt), so steht sie senkrecht auf kN laust folglich mit der Normale N?i parallel. Daher verhält 27 * kiss, 48S. 4S0 Sechtte« Hauptstück. sich nahmlich 2a.2-t-^--2c:M; a also ist M — c -t- — , a" 2- c? — 2^ I^>^x s? 2^ ' nähmlich bey der Hyperbel ist, wenn die Abscisse x auf der er¬ sten Achse von dem Mittelpuncte gezählt wird, die Subnormalr l>?x -i- —; folglich ist bey der gleichseitigen Hyperbel die Subnor¬ male der (von dem Mittelpuncte gezählten) Abscisse gleich. H. Da ferner I*N: INI - I*>l: kl' statt findet, so ist die Subtangente H 22 ^2 . 2 ^»2 . I>"x X X ' Der Unterschied zwischen LI* und 1*1' ist demnach Öl' --- — ; dieser Unterschied wird immer kleiner, je größer LI' X -r ? angenommen wird. Da nun LI — — ist; so muß — a--- X * seyn. Setzt manx —22, so wird Ll^o und ^1—a- Auch ^8 läßt sich bestimmen; denn es ist ^8 : IM -- : k'r oder ^8:^ —(x —n) : , X o"x folglich ^8 - - . ---kl/ a x » x-t-a Setzt man nun x--- 22; so wird ^8—K. Dieses gibt uns zu daß zwey gerade Linien 06^ und 818, welche aus dem Mitte p" Von einigen krummen Linien. 42l der Hyperbel durch die Endpuncte v und L der an ihren Schei- Hx. tel angelegten zweyten Achse gezogen werden, den Schenkeln der 183. Hyperbel nie begegnen. r,r„ III. Da wir bey der Hyperbel dieselben Ausdrücke -und eck d" Subnormalc und Subtangente, wie in §. 646. bey der Ellipse erhielten, so müssen auch AM -- a 6x -ck die Normale und Tangente der Hyperbel ausdrücken. Weil ferner — / -4-a) oder nach §. 654. — /rg ist; so ergibt sich die Normale AM— — z/rp und die Tangente wir in §. 646. für die Ellipse. n auch L. 663. Die durch den Mittelpunkt der ersten Achse und durch die der an den Scheitel der Hyperbel angelegten zweyten gezogenen geraden Linien 60' und Hkl'(k'ig.184.), denen sich 184. ^'prrbel unaufhörlich nähert, ohne dieselben jemahls zu durch- " en, heißen ihre Asymptoten. Um sich von der erwähntenEigen- leser Geraden zu überzeugen, ziehe man die Ordinate IM— y, sitze 6l>--x; so ist 6L: v'L--6?:IM, nähmlich , 422 Sechstes H a u p t st ti ek. und 184. a" folglich ist auch kN- — kAI- -- d», oder (kN -»- Mi) (kN - kN) ---- k- --- (kN kN) . E; daher AM--_ IM-t-kN Dieses AM wird demnach immer kleiner, je größer kN-t-M angenommen wird, weil der Zähler k- unveränderlich ist, kN -t- kN aber ohne Ende wächst; folglich nimmt M unaufhörlich ab, nähmlich die Hyperbel nähert sich den Ge¬ raden 60 und LH ohne Ende, erreicht dieselben jedoch nie, da NN nie Null wird. Setzt man Lk unendlich groß, so ist auch kN -t-kN-w, und folglich AM — — , nähmlich in einer unendlichen Entfer- nung wird der Unterschied der Ordinalen kN und IM unendlich klein, das ist kleiner als jede angebbare noch so kleine Größe. In diesem Sinne könnte man sagen, daß die Schenkel der Hyperbel in einer unendlichen Entfernung ihren Asymptoten begegnen. Aber daß die Hyperbel ihre Asymptoten in einer uncnd' lichcn Entfernung durchschneide, läßt sich nicht behaupten, weil auch in einer unendlichen Entfernung kN--kN---k-, folglich kN>kN ist. Da wir (kN -t-kN)NN — 6- gefunden haben, und kN --kN' ist; so ist auch AM (kN^-kN') folglich NN.NN'--b-. §. 664. Wenn man aus dem Scheitel L die Gerade LL Asymptote EL parallel zieht; so sind LLD', L'LV' ähnl> ' und gleichschenkelige Dreyccke. Folglich ist V'L -- LL -- LL LV' / (LL- -l- v'b') — 4- / -l- A-) — c. Dieses Quadrat 4 §. 665. —02 ES sey LR. — — — K, die Absciffe t)() — x, die zur Asymptote parallele Ordinate ()kl —y, und KIL parallel zu LH; so ist und oder Von einigen krummen Linien. 423 nähmlich das Quadrat der halben Exccntric tat wird die Potenz der Hyperbel genannt. KM : - V'L . LL, KM'': KM - V'L : LL, KM : V --- h . Ic KM'': x -- h : k, KM.KM'-.xy--h-:Ic'. daher ist Es ist aber vermöge des Vorhergehenden KM-KM' —Ich- folglich ist auch lc' XV — , und y — — X eine Gleichung für die Hyperbel zwischen ihren Asymptoten, welche, wenn man die halbe Excenlricität Ic für die Längenein, heit, d. h. — i annimmt, in xy —1 übergeht. Ich Setzen wir in dieser Gleichung x — 02, so ist y — — Ic^ unendlich klein. Setzen wir hingegen x —0, so ist y — paS heißt, die Ordinate verwandelt sich in die Asymptote, wenn man die Absciffe -- 0 setzt. Nimmt man xnegativ, so wird auchy negativ, und zwar in glei¬ ten Abständen von 6 sind die negativen Ordinate» für die nega« Nven Abscisscn eben so groß, als die positiven Ordinate» für die positiven Abscissen; folglich ist 6 (§. 621.) der Mittelpunkt der Hyperbel. Da xy -- sch, fär eine andere Absciffe ebenfalls Xis Ei so hat man auch xv-XX,und folglich y.ks-X-x. Nähm- tch die Drdinaten der Hyperbel an der Asymptote verhal- ton sich gegen einander umgekehrt wie ihre Abscissen. 424 Sechstes Haupt stück. §. 666. wenn man durch irgend einen punce 8 der Hyperbel (8i°-. 185.) nach was immer für einer Richtung eine Gera¬ de t48 zieht; ft» sind die Abschnitte dieser Geraden zwischen der Hyperbel und zwischen ihren Asymptoten jederzeit einan¬ der gleich, nahmlich es ist -48 — 88. Um diese Wahrheit cinzusehcn, ziehe man durch 8 und v auf die Achse die Senkrechten 6-8 und HU; so ist .48.68^^8 :H8, und 88:88--88.88, also auch ^8.88:88.88--^8.88:HD.88. Es ist aber 68.88--H---HD.D8; folglich auch ^48.88 -- ^D. 8D, oder ^48 (8V -i- 88) -- (.48 -!- 88) 88, nahmlich eS ist ^48 — 88, wenn man diese Gleichung gehörig reducirt. §. 667. Hieraus läßt sich leicht ersehen, daß eine Tangente "8 der Hy¬ perbel zwischen den Asymptoten in dem Berührungspuncte 41 i» zwey gleiche Thcile IN —Nt getheilt wird. Zieht man nun die Ordinate ND zu der Asymptote 68 pa¬ rallel, so ist auch 8^80, weil das Dreyeck '8N8 ^1t6 ist- Nahmlich bey der Hyperbel ist die auf der Asymptote gezMc Subtangente der Abftisse gleich. Es ist demnach sehr leicht an einen gegebenen Punct der Hyperbel zwischen ihren Asymptote» eine Tangente zu ziehen. Anmerkung. Da stets ^48 -- 88, 88 -- pH ist u- s-! so ist cs auch sehr leicht zwischen den Schenkeln eines gegeben» -Winkels .4.08 eine Hyperbel zu beschreibens die durch einen gcbencn Punct 8 geht. Denn man ziehe nur durch Punct 8 mehrere Geraden ^8, H8 zwischen den AsyE toten, mache ^48--88, tzp--88, u. s. w. Dann ziehe abcrmahls durch die schon gefundenen Puncte 8, p..e- wehr»n Bon einigen krummen Linien. 425 Geraden wie 08, nach verschiedenen Richtungen, und schneide kiss» Ii8 — 88 ab; so ist 6 wieder ein Punct dieser Hyperbel. Auf 185. diese Art kann man beliebig viele Puncte dieser krummen Linie bestimmen. §. 668. Eine Gerade NM, die durch den Mittelpunkt der ersten Achse, oder durch die Spitze des Asymptoten-Winkels geht, und sich beydcrseits an der Hyperbel endet, heißt ein Durchmesser der Hyperbel. Die -Puncte N,N^ aber werden die Scheitel des Durchmessers genannt. Die Tangente 8t zwischen den Asympto¬ ten an dem Scheitel N heißt der vereinigte Durchmesser von NM. Wenn wir LN-^V, N i — 8, die Abscisse 88 —x, und die zum vereinigten Durchmesser parallele Ordinate 88 — set¬ zen, und überdieß uc, senkrecht auf die verlängerte erste Achse ziehen; so ist 88:88^Nt:Nu und 8^:8tz--N8.Nc; also ist auch "hält, welche Gleichung der Hyperbel zukommt, wenn die Coor- 428 Sechstes Hauptstück. I'ix. dinaten-Achsen zu zwey vereinigten Durchmessern parallel laufen, und ihr Ursprung in dem Mittelpuncte der Hyperbel liegt. Aus dieser Gleichung läßt sich ersehen, daß die Hyperbel in Hinsicht auf ihre vereinigten Durchmesser eben dieselben Eigen¬ schaften besitzt, wie in Hinsicht auf ihre Achsen. Anmerkung. Wie man bey einer verzeichneten Hyperbel die Lage und Größe der ersten Achse, die Brennpunkte, die Lage der Asymptoten u. s. w. durch Verzeichnung finden könne; ist aus den abgeleiteten Sätzen sehr leicht einzusehen, und wird dem eigenen Fleiße der Anfänger überlassen. 8- 669. Wenn man Ic, ex -- X, I>N --- 186. und den Asymptoten-Winkel — MO— « setzt (x>8. E-); st ist x — k, « und der Winkel, den der (senkrechte) Abstand des PuncteS von der Geraden welchen wir mit x^ bezeichnen wollen, mit » bildet, --- — 90" — 90°, wodurch man — (x — Ic) cos (« — 90°) — (x — !c) sin « erhält. Nun ist (nach §. 665.) v — —, oder wenn man den aus dn X nächst vorhergehenden Gleichung folgenden Werth LIN« substituirt, lc -r-— «in « tc sin « wenn man der Kürze wegen — n setzt. ksin « Von einigen krummen Linien. 427 Löst man den Bruch- durch Division in eine Reihe 1 n Loo, auf, so findet man —-— — 1—— iX-l-. ..... 1 4- u daher — Ku4-Ku^— ku^-d- .... oder, wenn man für u seinen Ausdruck zurückstellt, x-k—-^4- —ä^—.x^ — —-^--.x^ LIN« lcSIN^« K"SIN^» Da hier die Grundlinie 1')i — x der Fläche — 1 durch ihren Abstand x^ von der anderen Grundlinie H.L ausgedrückt ist, so findet man nach §. 442. i-k^ — _1_„ 1 —-k-.... «in « ' 2 k sin^ »3 sin* « 4 oder wenn man für X seinen Werth Kusin« setzt, und K?«in« jum Factor heraus hebt, 1— k? sin« (n-. u^ -i- . ub-^-.n^4-...). Die hier vorkommende Reihe erkennt man (nach §. 293.) leicht als den natürlichen Logarithmen von 14-n, oder als Ixi 4-u), wenn man der Kürze wegen die natürlichen Logarithmen durch den Buchstaben k, andeutet; daher wird 1 — IX »in «.1X14- u); Eö ist aber 14-N--1 »---^---14-^ -1- ,- ksin« k lc ' k-k-sin«.!.^.. Legt man ferner denjenigen Logarithmen, deren Modul 3- 293.) der Größe sin « gleicht, die Karakteristiki bey, so ist "ach §. 293. X > X LIN ».1^ — I — K K ""d somit 428 Sechstes Hauptstück. kix. Nimmt man endlich die halbe Excsntricität Ic der Hyperbel 186. für die Längeneinheit, also ihr Quadrat oder die Potenz der Hyperbel für die Einheit der Flächen, nähmlich Ic —1 an; so erfolgt s — Ix, d. h. der durch die Potenz der Hyperbel ausgedrückte Inhalt des hyperbolischen Flächenraumes oder des ihm glei¬ chen hyperbolischen Sectors L6N *) ist der Logarithme der auf der Asymptote 66-gerechneten Abftisfe 6? seines entfernteren Eckpunctes N in jenem Logarithmen- Systeme, dessen Mo¬ dul der Sinus des Asymptoten - Winkels « -er Hyperbel ist. Soll b die Grundzahl dieses Logarithmen-Systems seyn, so kann der Asymptoten-Winkel « der Hyperbel, deren Sectoren die aus demselben Systeme entnommenen Logarithmen werden sollen, nach §. L93. aus der Gleichung 1 8IN A — —- berechnet werden. Z. B. Sollen die Logarithmen natürliche werden, so mß h —der Grundzahl der natürlichen Logarithmen — st, also LIUA- 1, und «—90", 1 daher in der gleichseitigen Hyperbel s—6xseyn. Bey der glerchseitiFen Hyperbel sind demnach öie Flächenräume an der Asymptote oder die Scc- toreu 6LN natürliche Logarithmen der Abscissm von dem Mittelpuncte gezählt, wenn man die Potenz ber Hyperbel zur Flächeneinheit annimmt. Aus dieser Ursache werden die natürlichen Logarithmen zuweilen hyperbolische nannt- Diese Benennung ist jedoch nicht ganz schicklich, weil, wie wir gesehen haben, jede andere Gattung der Logarithmen *) Denn es ist L.LN?^86Ll NOL —-4OS, ferner (§. tss. M0L:L.0L^0I>.kN:^0.^S —allein nach §. 66Z. 'st »x —K2, folglich auch L0k---^0L und ^LNL —LOL Bon einigen krummen Linien. 429 ebenfalls durch hyperbolische Räume an der Asymptote vorgcstellt krx. werden kann, wenn man den Sinus des Asymptoten-Winkels dem Modul der Logarithmen gleich setzt. Denn soll das Zeichen ! z.B. briggischeLogarithmen andeuten oder k —I^x seyn, so muß b —10, folglich ——-—- —0,43129448, und " 1-10 2,3025851 « —25° 44^ 25,5" werden; d. h. die gemeinen oder briggischen Logarithmen können durch die Sectoren einer Hyperbel dargestcllt werden, bey welcher der Asymptoten-Winkel—25°44^ 25,5", und die unveränderliche Gerade ^XL — 1 ist. Allgemeine Gleichung für die KegelschniLLslinien. §. 670. Aufgabe. Oer senkrechte Regel ULM werde durch eine Ebene IXLIX" geschnitten: man untersuche diejenige Linie, 187. welche durch diesen Schnitt auf der Regelstäche entsteht. Auflösung. Man lege die Ebene EVV durch die Achse des Kegels senkrecht auf die Ebene ÜXLÜX", mit welcher sie sich in der Geraden L(Z schneidet. Diese Gerade Ltz wählen wir zur Abscis- fenlinie und in ihr den Punct L zum Ursprung der Coordinatcn. Ziehen wir nun aus einem beliebigen PunctcU der Kegelschnitts¬ linie IXE' die Ordinate UL aufLtz senkrecht, so befindet sie sich (nach §. 469.) auch gegen die Ebene ELO in senkrechter Stellung. Zur Bestimmung des Kegels ULM nehmen wir den Winkel OLL - «, folglich ELV 2«; zur Fixirung der Lage der schneidenden Ebene IXLIX" diene die Entfernung ^XV — st, und der Winkel LLO--sZ; endlich zur Feststellung des Punctes U sey M-x die Absciffe, und LU^^ die auf ihr senkrechte Or¬ dinate desselben. Um die Gleichung der Kegelschnittslinie tX^X^L zu erhalten, 'egen wir durch LU senkrecht auf die Achse des Kegels, die Ebene OU-DU, welche die Kegclfläche in einer Kreislinie und die "dene ELO in einem ihrer Durchmesser LO schneidet, auf wel- 430 Sechstes Hauptstück. Nss. chem (nach §. 465.) die Ordinate IM senkrecht steht; weßwegen 487. (vermöge §. 412.) d) N?- --- v? . re eine Gleichung sowohl der Kreislinie als auch der KegelschnitkS- linie vorstellt, in welcher nur noch die Linien iVI?, v?, I?L durch die von uns gewählten Coordinaten auszudrücken sind. Zu diesem Zwecke besehen wir das Dreyeck in wel¬ chem wir ivvv - 5 -- Lve -- (180° - OVV) --- 90° — L --180° — -- 90° — (A — «) —x, folglich LIN 008 finden, wodurch sin^DI* c08« V8 -- -- Ir -t- x wird. cor « Ferner liefert das gleichschenkelige Dreyeck LLV noch §. 561. 6V -- 2. OL. cos LVL --- 2 sirin» -t-2x co5,(/3 --)5m« cor cr mithin ist kL--6I) —v? ^,1 - , co8 3.2810 «co8 «—-8lo st(1—2rrn2«) — 2ll8III» -t- x -—ti-!--- cor « _ „, - . cor 6 8in 2 « —8in^ co82« co8 « co8« Setzen wir diese Werthe statt Vk, k6, und überdicß ? den Platz von iVIk in der Gleichung (1) ; so erscheint für die e gelschnittslinie die Gleichung (2) x" -- 2si t-rn§ -c rin sZ. x -t- ' -i"' cor^« Von einigen krummen Linien. 431 Da diese Gleichung, wenn wir (3) irtanx«--in/Z --p, 187. co8^ « sehen, in die Gleichung (4) — 2px -4- qx- übergeht, welche (nach §.660. II.) der Hyperbel, Parabel oder El¬ lipse zukommt, je nachdem g positiv, Null oder negativ ist; so muß die Kcgelschnittslinie unter denselben Bedingungen eine von diesen drcy krummen Linien werden. Weil ferner die Winkel -rund A zwischen 0 und 180" liegen, so wird der Winkel 2« —/3 mit der Größe q gleichzeitig positiv, Null oder negativ. Folglich wird -er Regelschnitt eine Hyperbel, wenn der Winkel kleiner als 2 «ist, oder da in diesem Falle LLV-l-VVL r> 180° au§> fällt, wenn (§. 378. IV.) die schneidende Ebene die zwey Sei¬ ten LV und Lä des Kegels, folglich bepbeAbtheilungen 6LV und cLä derRegelfläche trifft. Der Schnitt übergeht ferner in eine Parabel, wenn A —2« wird, nähmlich (§.363.) wenn die schneidende Ebene zur Seite L6 des Regels parallel läuft; er wird endlich eine Ellipse, wenn ß!> 2« ist, oder weil dann LLV 4-< 180° wird, wenn (§. 378. IV.) dre schnei, dende Ebene beyde Seiten LV und LL des Kegels, also bloß eine Abteilung der Regelfläche trifft. -- Da die schneidende Ebene nur in einer einzigen Lage zur Seite des Kegels parallel laufen kann; so bildet der parabolische Schnitt gewisser Maßen di« Scheidewand zwischen den hyperbolischen und elliptifchen Schnit¬ ten, und die Parabel läßt sich als die Grenze ansehen, der sich die Ellipsen und Hyperbeln nähern, wenn sie mit ihr eincrley Para. Meter besitzen und ihre Achsen ohne Ende sich vergrößern. Mittelst der Gleichungen (3) können zu einem bekannten Schnitte aus den Größen L, /Z, I, der halbe Parameter p und t'e Größe g, d. i. das quadrirte Verhältniß der beyden Halb- Achsen berechnet werden. Da ferner nach §. 660. II. 1,- p , UNd g / 432 Sechste« HauptstüÄ kis- folglich 187. d-p 0 Vq ist, so können mittelst der Gleichungen Ii sin2« , i - sin 8 (5) L — —-- , u — n srn « s/ —-L- 2 8IN (2« — /Z) 8IN (2«. — ß) die beyden halben Achsen a und b des Schnittes berechnet werden. Eben so kann man umgekehrt in einem Kegel, der durch den Neigungswinkel « seiner Seiten gegen die Achse gegeben ist, ei¬ nen Schnitt von bestimmter Art und festgesetzten Dimensionen füh¬ ren, indem man die Größen /Z und Ir sucht. Zur Bestimmung der ersteren dient uns die zweyte der Glei¬ chungen (3), nähmlich 8IN (2« — A) sin /Z — q cos" L, aus der wir nach §. 548. I. co8 2 (« — jZ) — co8 2« — 2 q cc>8'«, oder wenn der Neigungswinkel —« der Achse des Kegels gegen die schneidende Ebene mit 7 bezeichnet, nähmlich gesetzt wird, co8 2 7 — 2 q cos?« -I- co8 2« — (1 -I- g) cos 2« -t- q erhalten, woraus wir endlich (nach §. 550.) cos" 7 — (1 -t- q) cos-» , 8in^ 7 — cos 2«, folglich (6) cos 7--cos«/1-t-q, sin 7 — —co» 2 finden. Mit dem auf diesem Wege gewonnenen Werthe von 7 ergil" sich zu Folge der ersten der Gleichungen (3) die Länge (7) kr — pcol» , sirr («. -I- 7) Soll z. B. der Schnitt eine gleichseitige Hyperbel, solgl^ g — 1 werden, so findet man co87—co8«^/2 , sin/ cc>82«. Aon einigen krummen Linien. 433 Damit hier^möglich werde, darfco8 2^ nichtposi'tiv ausfaUen, 4^. folglich 2» nicht unter 90" liegen, d. h. der an der Spitze des 187. Kegels liegende Winkel muß ein rechter oder stumpfer seyn, wenn sich in den Kegel eine gleichseitige Hyperbel einschneiden lassen soll. Damit der Schnitt eine Kreislinie werde, muß (nach §.660.) <1 — 1, folglich cc>8)- —0, »in^ —1, nähmlich ^ — 90" seyn, d. h. der Schnitt muß, wie wir bereits wissen, auf der Achse des Kegels senkrecht stehen. Wird insbesondere jZ --- 0 oder 180", so wird /-0, folglich verwandelt sich der Schnitt in eine ge¬ rade Linie, nähmlich in die Seite des Kegels. Führt man den Schnitt durch die Spitze des Kegels, laßt man nähmlich 6-0 werden, so wird (8) 7 — 1^—— . ^8in(2«— /Zh siiifZ. cos« Da diese Gleichung (nach§. 621.) zweyen durch den Ursprung der Koordinaten gehenden geraden Linien zugehört, so übergeht die Kcgelschnittslinie in zwey Seiten des Kegels, so lange die Wurzelgrößc 8in (2?—D) »injZ reell ist. Wird aber f?--0, oder — 2oe oder —180", so ergibt sich ) —0, d. h. der Schnitt fällt in die Seite des Kegels. Fällt endlich st >2», daher diese Wurzelgröße imaginär aus, so kann die Gleichung nur für x--o und 7-0 bestehen, woraus man ersieht, daß der Kegelschnitt in einen einzigen Punct, nähmlich in die Spitze des Kegels sich zusammenzicht. Setzen wir endlich so ist aus dem Drcyecke -VOL -VIZ — — oder t» — ; 8in-VLt4 srn« ^^durch übergeht die Gleichung (2) in v? » »in st , »in (2«— st)»>nst r 7 --- 2r-l- . x -I- -»--7 ' cc>8 « oo5 « Mach. H. B. 38 434 Ecchrte« Hauptstück. I'iss. Lassen wir nun, indem wir den Punct und seinen Abstand 187. ^6 von der Achse fest halten, den Winkel « ohne Ende abnehmen, folglich den Kegel immer spitziger werden, und sich einem Cylinder unaufhörlich nähern; so wird sich der Kegel für « —0 in einen Cylinder verwandeln, und (9) ) — 2r sin . x — sin? . x^ die Gleichung des Schnittes eines CylinderS werdest, aus wel¬ cher man ersieht, daß Lieser Schnitt stets eine Ellipse ist, deren kleine Achse mit dem Durchmesser des Cylinders übereinkommt. Zusatz. Der aufmerksame Leser wird mit unS die Erscheinung bewundern, daß daS in der Gleichung v" — 2px -t- rix- begriffene Geschlecht der Kegelschnittslinien durch die Modification der von den Coordinaten x und v unabhängigen oder constantm Größen p und g in drcy in ihrer Form wesentlich verschiedene Specics: Hyperbel, Parabel und Ellipse zerfällt, je nachdem g positiv, Null oder negativ ist; daß sich ferner, falls der Zahl- wcrth von U aus- iudruckcn, bemerken wir, daß Nv--p6--p^-t-^L--x^-^- , N-i-1 Und iu dem rechtwinkeligen Dreyeckc Npr nä x- . - Von einigen krummen Linien. 4ZZ nisse eine willkührliche Größe n beylegcn, so daß die Gleichung rip. Np 175. Nv die zu erzeugende Krumme vollkommen karakterisirt. Wählen wir, um diese Gleichung durch rcchtwinkelige Koor¬ dinaten auszudrücken, die durch den Fixpunct r auf die unverän¬ derliche Gerade LO senkrecht gestellte Linie KM zur Abscissenlinie, und in ihr zum Ursprünge der Koordinaten denjenigen Punct in welchem die krumme Linie die Abscissenlinie schneidet, für welchen also 4r daher, wenn ir-ck .. , n-

c gleichen Abständen errichteten Ordinate» in einer geometrih Reihe auf einander folgen, heißt eine logarithmische K-ittie eine Logistik. Wenn nähmlich ^6 -- 62 --- 23 -- 34 u- s- »>- genommen wird, und man errichtet in diesen Punctcn scnkuu Ordinaten, welche in den Proportionen : 6V --- 61) : 22' — 22': 33' - 33': 44' u. s- w- fortlaufen, so heißt die ununterbrochene krumme Linie, che durch die Endpunctc dieser Ordinaten geht, eine Leg'!' Won einigen krummen Linien. 437 Um für die Logistik eine Gleichung zu finden, nehme man^ss. einen willkührlichcn Punct^ der Geraden I^k für den Anfangs-188. punct der Abscisscn, setze die gegebene Ordinale dieses Punctcs lVL— c, die Abscisse ^i? — x und die Ordinate IM — ^. Eine andere gegebene Ordinate 61) sey — I, der gegebene Abstand dieser Ordinate von sey ^6—a. Ferner scy ^I> —ir.^.6, nähmlich x — na. Wenn man nun ^6 -- 62 -- 23 -- 34 .... a fttzt; so ist ^2 —2a, -V3 —3a, u. s. w., folglich entsprechen den Abscifsen 0 , a , 2a , 3a , na die Lrdinaten c, d , — , — , ..... —- ; c c- d. i. der Abscisse na —x gehört die Ordinate — c i c°-i v c / an. Eliminirt man die Größe n aus diesen zwey Gleichungen, so tthalten wir die Gleichung — c " / v c/ welche jedoch ihrer Herleitung gemäß, zunächst nur jenen Punk¬ ten der Logistik zukommt, deren Abscifsen Vielfache der constan- tcn Abscisse a sind. Um aber auch ihre Gültigkeit für alle Puncte dieser Linie darzulegen, sey x zwar nicht von a wohl aber von ei- "cm aliquoten Tbcile desselben, etwa von - , ein Vielfaches NI i- B. das nfache, nähmlich x — n . — oder mx —na. Setzen wir nun na---x/, so entspricht dieser Abscisse dem Vorhergehenden gemäß die Ordinate 7^ —c - Allein auS demselben Grunde entsprechen den Abscissen 0 , x , 2x , 3x , ^Drdinaten c, ec" 438 Sechster Hauptstück. t'ix. folglich gehört, da mx — na ist, der Abscisse x^---mx — m 488. die Ordinate Hieraus findet man jedoch und c / m L V c / daher gilt diese Gleichung auch für jene Puncte der Logistik, de¬ ren Abscissen zur constanten Abscisse n in irgend einem rationa¬ len Verhältnisse — stehen. m Ist jedock) dieses Verhältuiß der beydcn Abscissen x und a irrational, fo läßt es sich als die Grenze anschcn, welcher daS durch — vvrgestellte rationale Verhältniß derselben ohne Ende sich m nähert; wodurch wir berechtiget werden, obige Gleichung auch für dicfe Grenze, d. h. für jedes irrationale Vcrhältniß — geb 2 ten zu lassen. Die Logistik besitzt demnach für jeden ihrer Puncte die Gleichung X — c ) * . Um dieselbe einfacher darzustellen, schreiben wir » i * und für c, wodurch sie in übergebt. Nehmen wir übcrdieß die der Abscisse 0 angehörige O- dinate zur Längeneinheit an, so reducirt sich diese Gleichn^ ohne Beschränkung ihrer Allgemeinheit auf H — 3*, woraus man, wenn der Buchstabe 1 die Logarithmen dcsjen'g'" Systems karakterisirt, dessen Grundzahl s ist, die Gleichung x --- I/ Von einigen krummen Linien. SZY findet, aus welcher wir ersehen, daß in der Logistik dieAbscissen Li'x. Logarithmen ihrer Ordinären sind. 188. Da ferner, wenn U die Grundzahl und L die Bezeichnung der natürlichen Logarithmen vorstcllt, dem Begriffe der Loga¬ rithmen gemäß 1. a — Ir oder — h" ist, wenn La — gesetzt wird, so übergeht die Gleichung 7,—a auch in 7 — , der man auch die Form x --- ertheilen kann. Aus der Gleichung v — n ersieht man, daß, so lange a größer als 1 ist, die Ordinalen mit den positiven Abscissen inS Unendliche wachsen, wogegen bey der lmendlichcn Zunahme der negativen Abscisse die Ordinate unend¬ lich abnimmt, ohne jedoch zu verschwinden oder negativ zu wer¬ den; was uns erkennen läßt, daß die Abfcissenlinie LIL eine AsMpcore der'Logistik ist. §. 672. Bon der Cycloide. ein Kreis (Lig. 189.) auf einer geraden Linie 189. oder wälzeiid fortbcwcgr; so beschreibt ein jeder Wenn sH rollend . o-- ,. - .. ' i Punct^l des Umkreises eine krumme Linie HL^L, welche eme ExUoiLe oder Radlinie genannt wird. Wenn wir die Cyclone ^L in Erwägung ziehen, welche der anfängliche Berührungs¬ punkt I) während einer Umdrehung beschreibe; so heißt der Kreis der Erzeugungskreio, die Gerade DL die Grundlinie, und der Durchmesser L^ des Erzeugungskreiscs, welcher die Grundlinie senkrecht haldirt, ist vermöge der Erzeugung der Cycloide eine Achse, und ihr Scheitel. Aus dieser Entstchungsart der Cycloide folgt: D Daß die Grundlinie DL dem ganzen, und DL dem halben Umfange des Erzeugungskreiscs gleich ist- B 440 Sechstes Haupt stück. kix. 2) Daß auch jede Gerade ()iVI, welche man auS einem Puncketz 189. des halben Umkreises zu der Grundlinie DD parallel bis an die Cycloide führt, dem Bogen des ErzeugungskreiseS gleich ist. Denn wenn wir die Sehnen iXIVI und ziehen, so ist we¬ gen der Gleichheit der Dreyecke DD() und KDl>I die Sehne öl) gleich und parallel der iMI, folglich auch LiX — (386.). Nun ist IM — dem Bogen NiX —und VL — folglich ist OL—DiX —— HL, nähmlich iXL- und endlich <^i>I— die Grundglcichung der Cycloide. Um nun rechtwinkelige Coordinaten in dieselbe cinzuführen, setzen wir HD —x, D>l - - v, und den Halbmesser des Erzcu- gungskreiseS ^.6 —s, dann ist D(Z -- /(2ax-x^), und (nach §. 540.) . - x - h/^2sx—x? a—r ) — A. Arc srnv — — A . src sin ' - -— u. src cos — - LA L Nun ist tzN —MI —D()—— ^/2LX —x^; folglich auch A. arc cos — I—/(2ux —x^), A und endlich — ^2ax— X? -t- A. Arccos--- A — 2o.x — x" -i- A. arc LIN vers > /vl-, - h/ 2-'cx — x^ — I/2Lx — x? -t-L. Arcsiu!--—— L eine Gleichung der Cycloide. Würden die Abflüssen auS dem Puncte V auf der linie VD gerechnet und mit x^, die Ordinate» aber mit > zeichnet, so wäre x —tXD—DD-^2a— , )' — DI) — x'' — »a und die Gleichung / — /2Ax—x^ -d- LLrcsinv^ , Bon einigen krummen Linien, verwandelte sich in — s/23)-'— >'2 -t- 713—3.3rcsiuv 3 nähmlich in x' —3. nrc siuv --^/23)-' — 441 k'ix. 189. ?lnmerkung. Um den Ausdruck nrc cos mittelst der trigonometrischen Tafeln, denen der Halbmesser Izum Grunde liegt, in Zahlen zu entwickeln, muß man den in einen Dcci- malbruch verwandelten Bruch —- in der Spalte Cosinus oder 3 seinen Logarithmen in der Columne lox. cos. aufsuchcn, die ihm entsprechenden Grade, Minuten und Secunden heraushcben, und endlich zu dem gefundenen Gradmaße mittelst der imsAnhange befindlichen Tafel -er Lreisbogenlckngen für.den Halbmesser 1 bie Länge des Bogens bestimmen. ES sey z. B. -- 3 --- 50 , E --- x --- 80 ; so ist — 0,6000000. Nun gehört zu dem Cosinus 0,6000000, so wie zu lox--9,7781513 der Bogen 53°7'48", 50 und folglich zu dem Cosinus — 0,6000000 der Bogen 180° — 53° 7' 48" ----- 126» 52' 12". Ferner ist die Fänge eines BogenS von 126° 52' 12", nähmlich nrc 126° 52' 12" - 2,214299 — 3rc oos . 3 Folglich ist 3 . arccos--- — 110,71495. 3 442 Sechste- Hauptstück. I'ix. §. 673. Von den Spirallinien. 188. Man denke sich (kig. 188.) eine auf ein System von recht¬ end winkeligen Coordinatenachscn -Vtz bezogene Linie KM, 191. ferner (kig. 191.) einen unveränderlichen Punct 6 als den Pol und eine feste Gerade 6D als die Polarachse von Polar-Coor- dinaten. Um den Pol 6 beschreibe man mit einem zur Längeneinheit gewählten Halbmesser 6^.-1 eine Kreislinie von ol¬ len senkrechten Ordinaten der krummen Linie NM aber schneide man mittelst einer von der Abscissenlinie um die Längeneinheit — 1 entfernten, daher zu ihr parallelen Gerade» die Längeneinheit ab. Nach diesen Vorbereitungen bringe man in Gedanken die I88ste Figur über die 191stc dergestalt, daß der Ursprung der Abscissen auf den Pol 6, dieOrdinatenlinic^ längs der Polarachse LO, daher der Einschnitt L der Ordinaten- linre in die um die Längeneinheit von der Abscissenlinie abstehende Parallele auf den Punct der mit dem Halbmesser 1 verzeichne¬ ten Kreislinie zu liegen komme, folglich diese Parallele die Kreis¬ linie berühre. Nun denke man sich die nach der Richtung der po¬ sitiven Abscissen fortlaufende Hälfte derselben Parallelen nach der einen Seite von gegen I*, ihre auf der Seite der negativen Abscissen befindliche Hälfte aber nach der andern Seite von gegen H auf die Kreislinie so aufgelegt (oder einem biegsamen Faden gleich wie auf einem Reife aufgcwunden), daß die mit die¬ ser Parallelen unter rechten Winkeln'unveränderlich verbundenen Ordinaten in die Richtungen der Halbmesser oder Normalen d« Kreislinie, folglich sämmtliche Puncte der Abscissenlinie in d<» Pol 6 fallen. Durch diesen Vorgang werden die Endpuncte aller Ordina¬ te» , das ist die Linie NM (kiz-. 188.) in eine eigcnthünil^ Linic 6^NN^ 191.) zu liegen kommen, welche man Spirallinie oder Spirale der ursprünglich vorhandenen L»"' NM (Ng. 188.) nennt. Ist nähmlich NM Bon «knigen krummen Linken. 443 Kreislinie, eine Ellipse, eine Cycloide u. dgl. so wird D'x. (kix. 191.) eine Spirale der Kreislinie, der Ellipse, der 188. Lpclside u. s. w. genannt; insbesondere heißt die Spirale der und geraden Linie die lineare oder archimedische, jene der Parabel, 191. Hyperbel, Logistik, die parabolische, hyperbolische, logarith¬ mische Spirale. Gewöhnlich wird dec Begriff der Spirallinien in einem eingeschränkteren Sinne genommen, indem man darunter nur jene krummen Linien begreift, welche in unzähligen Win¬ dungen einen Punct umkreisen, wie in kig. 190. und 191.; in unserer Abhandlung aber wollen wir den ausgedehnteren Sinn durchgehends beybehalten. Aus der oben beschriebenen Erzeugung der Spirale einer Linie ziehen wir folgende Schlüffe: 1. Da sowohl die Lage des rechtwinkeligen Coordinatcn-Sy- stems der gegebenen Linie, als auch die Einheit der Längen will- kährlich angenommen werden kann; so lassen sich aus jeder Linie unzählig viele wesentlich von einander verschiedene Spiralen ab- - leiten. 2. Eben deßwegen kann umgekehrt jede Linie als die Spi¬ rale einer andern angesehen werden. 3. Die Ordinatenachse der ursprünglich vorhandenen Linie (kiss.188.) übergeht in die Polarachse, jede Ordinate aber w einen Radiusvcctor der aus dieser Linie erhaltenen Spirale . Hix den Abscissen gleichen Stücke der zur Abscissenlinie in dem Abstande 1 parallelen Geraden, wenn selbe auf die mit dem Halbmesser 1 verzeichnete Kreislinie aufgelegt werden, verwandeln sich in Kreisbogen, oder da diese daS Maß ihrer entsprechenden Mittelpunctswinkel sind, in Polarwinkel. Es verwandeln sich demnach die Abscissen x und die Ordinaten y der gegebenen Linie in die Polarwinkel y- und in die Radienvectoren ihrer Spirale, oder cs wird 4. Besitzt man demnach die auf daS g'wahltt «chtw L 'hrer Spirale OäMM (Ns- 191-)r 444 Sechstes Hauptstück. I'ix. Gleichung statt x und r statt schreibt. So z. B. gehört die Gleichung x" ^2 Kreislinie, -t- 1 einer Ellipse, Ä- 0' — h-^2six— x" -t- n.urcsinv^ einer Cycloide n an; folglich entspricht die Polargleichung -t- r- — A- der Spirale der Kreislinie, -l- -- 1 » » » Ellipse n? b- r — h/2s ' 5^5-) ist, folglich für unendlich kleine Werthe von

und aLecg) Abstände des Poles von den Einschnitten der beweglichen Go r^'n in hie Kreislinie und Tangente. 448 Sechstes Hauptstück. Da nun der Radiusvektor r des veränderlichen Punctes der Entfernung nsocg> — Lcosg, dieser zwey Puncte von einander gleich seyn soll, so ist X L LIN^ cc> r — re (soc g) — cos g>) —-- — n xin w tren^ w cosep die Polargleichung der Cissvis. Würde man denselben Drehpunkt der beweglichen Linie siir den Anfang der Abscifsen annchmen und diese auf dem Durch¬ messer rechnen, so fände man für rechtwinkelige Ordinalen die Gleichung III. Eine Linie, Key welcher der Abstand jedes Punctes M einer fixen Geraden dem Winkel proportional ist, den die Ent¬ fernung jenes Punctes von einem in dieser Geraden besindlichni fixen Puncte mit derselben Geraden einschließt, wird die ill"«-' dratrip oder vierungsUme genannt. Nimmt man die feste Gerade zur Polarachse und den fiM Punct zum Pole an, so ist der Abstand jedes Punctes von dn Polarachse — rsing', daher ist, wenn a das konstante Verhältnis dieses Abstandes zu jenem Winkel g> vorstellt, r sin w . n cp --- L oder r — g> LIN g) die Polargleichung der Quadratrix. Wird aber der fixe Punct zum Ursprung rechtwinkeligerKoor¬ dinaten und die feste Gerade zur Lrdinatenlinie angenommen/ findet man die Gleichung x , x - - --- X cot —. tsnx — a IV. Streckt man eine Kreislinie, indem man einen Puncte fest hält, nach der Richtung des durch diesen Punct senden Durchmessers aus, und errichtet in jedem Puncte dM" Geraden eine Senkrechte, die dem Abstande des auf ihn Punctes der Kreislinie von dem Durchmesser proportional ist? bilden die Endpuncte dieser Senkrechten die Sinuslime. Von einigen krummen Linien. 443 Nimmt man den fcstgehaltenen Punct zum Ursprung derx^. koordinaten, den an ihn gezogenen Durchmesser zur Abscissenli- nie, so werden die Abscissen den Kreisbogen gleich und die Or¬ dinate» den Sinus derselben proportional, folglich wird jeder ausgcstreckte Kreisbogen — x, und der Abstand seines End¬ punktes von dem Durchmesser — wenn st den Halb- I) Messer der Kreislinie bezeichnet. Soll nun die senkrechte Ordinate x diesem Abstande propor¬ tional seyn, so wird v — ass sin , li oder wenn man s> — 1 fcht, — Lsinx die Gleichung der Sinuslinie. Diese Linie schlängelt sich zu bcyden Seiten der Ordinaten- iuuc mit gleichen dies- und jenseits der Abscissenlinie liegenden Windungen inS Unendliche fort. Mach. H. B. 29 450 Siebentes Hauptstil ck. Bon der Differenzial - Rechnung. I. Abschnitt. Anfangsgründe der Differenzial-Rechnung- §. 675. u . Witter einer unendlich kleinen Größe verstehen wir, nn< bereits in §. 306. erklärt wurde, eine solche, welche kleiner ill als jede angebbare noch so kleine Größe derselben Art- Denkt man sich nun diese kleine angebbare Größe, mit welcher die n"' endlich kleine verglichen wird, immer kleiner und kleiner ang«' nommen, so erhellet, daß eine Größe unendlich klein ist, sie unter jede angebbare Größe hinabsinkt, mithin ohne Endcak- nimmt und sich der Grenze Null nähert. Die Vorstellung von unendlich kleinen Größen erzeugt in uns, wenn wir die nach einander folgenden Aenderungen tiger Größen beobachten. So nimmt die Zeit in so geringen schnitten zu, daß man keinen Zwischenraum wahrzunehmcn mag, wie klein er auch angenommen werden möge. Eben - - gi ößern sich die von den verschiedenen Punctcn eines sich gcnden Körpers durchlaufenen Wege, die nichts anders a!^ nien sind, um unendlich kleine Längen; denn kein Punct kann -- l Bon der Differenzial-Rechnung. 451 einer Lage in eine andere kommen, ohne jede zwischen beyden befind- issi'x. liehe durchzugehen ; und von zwey nach einander folgenden Lagen jedes Punctes läßt sich schlechterdings kein Abstand angeben, wollte man ihn auch noch so klein annchmcn. Auf dieselbe Weise erhal¬ len auch Flächen und Körper unendlich kleine Vergrößerungen, wenn eine oder mehrere ihrer Dimensionen stetig zunehmen. Die unendlich kleinen Größen bestehen demnach wirklich in der Natur, und sind keineswegs ein bloß von den Mathematikern ersonnenes Erleichrerungsmittel ihrer Untersuchungen. Eine unendlich kleine Größe kann das Zwey -, Drey Vier¬ fache u. s. w. einer anderen gleichfalls unendlich kleinen Größe siyn; es stehen demnach unendlich kleine Größen in bestimmten Verhältnissen zu einander, deren Ausmittelung ein Hauptgeschäft der Infinitesimal - Rechnung ausmacht. Ist das Verhältnis; zwcycr unendlich kleiner Größen a und st endlich, so heißen sie unendlich klofne Größen derselben Grd- ""ng. Ist aber das Verhältniß von st zu « selbst unendlich klein, d' >)' ist st in Hinsicht auf » eine unendlich kleine Größe, so w>rd st ein unendlich Tleines der zevepten Ordnung genannt. >st 193.) wenn man die Sehne »L eines Kreisbogens 193. unendlich klein annimmt, der Sinusversus IrL desselben Bogens eine unendlich kleine Größe der zweyten Ordnung: denn es ist KL aV --- -rL : /VL h- das Verhältniß des Sinusversus l>L zur Sehne nik ist eben ° unendlich klein, als jenes der unendlich kleinen Sehne aL endlichen Durchmesser ; folglich ist der SinusversuS ^"chicht dxZ endlichen Durchmessers ein unendlich Kleines der iahten Ordnung. ferner, wenn man st als eine unendlich kleine Größe r iwcyten Ordnung anerkannt hat, das Verhältniß von einer zu st ebenfalls ein unendlich Kleines der ersten nennt man v eine unendlich kleine Größe der dric- 29 * Ne. 452 Eirbentr» Hauptstück. Daraus schließen wir, daß ein Product von n unendlich kleinen Zahlen der ersten Ordnung alZ eine unendlich kleine Größe der uten Ordnung angesehen werden muß. Aus der ausgestellten Erklärung der unendlich kleinen Größen folgern wir alS einen Hauptlehrsatz der Analysis, daß zwep endliche Größen, welche sich bloß um eine unendlich kleine unterscheiden, für gleich angesehen werden mässen, weil sich zwischen ihnen keine Verschiedenheit angeben läßt, wir klein man sie auch annehmen möchte. Dasselbe gilt auch bey mn endlich kleinen Größen von einer und derselben Ordnung, wklchc nur um ein unendlich Kleines einer höhcrn Ordnung differireu-Ma» behandelt sie nähmlich a!S Größen, welche im strengsten Sinnt gleich sind, oder deren Verhältniß zu einander die Einheit ist Man pflegt diese Sätze auch dadurch auszudrücken, daß man sagt: man könne ohne Beeinträchtigung der Richtigkeit einer Rechnung sowohl die unendlich kleinen Größen, wkM st endlichen, alu auch die unendlich kleinen Größen höherer Ordnungen, wenn sie unendlich kleinen von niedrigere" Ordnungen bevzugeben sind, vernachlässigen. §. 676. Wenn eine veränderliche Größe, r um einen unendlich kleinen Lheil vergrößert wird, so heißt dieser daS Differenzial von r. Man pflegt diese unendlich kleine Zunahme der Brr- änderlicheu x durch flx zu bezeichnen, indem man den staben fl, nicht etwa als einen Factor von x, sondern als rä Symbol ansieht, womit man das Wachsthum der Variabel»' andeutet. DaS Differenzial einer Function von einer oder mrh"' reu veränderlichen Größen ist der Unterschied, um welchen d» Funclion zunimmt, wenn man jede in derselben Vorkommen^ veränderliche Größe um einen unendlich kleinen Theil vermehr: nähmlich wenn inan in der Function jede veränderliche Größe »' ihr Differenzial vergrößert. Daß man eine allenfallflge Ab»»l me oder Verminderung der veränderlichen Größen und Funcst"" Don der Differenzial-Rechnung. - 45Z a!S eine negative Zunahme in die Rechnung aufzunehmen habe, 1 ix. bedarf wohl kaum einer Erinneruisg. Die Wissenschaft endlich, die Differenziale gegebener Func¬ tionen zu finden, heißt die Differenzial-Rechnung. Das Diffe¬ renzial einer Function wird angezeigt, wenn man dieselbe in Klammern cinschließt, und das Zeichen «1 vorletzt, oder wenn man zwischen die zu differenzirendc Function und das ihr vorgesetzte Differenziationszeichcn st einen Punct stellt, oder endlich da, wo keine Zweideutigkeit entstehen kann, wenn man vor der zu diffe- renzirenden Function bloß das Zeichen st schreibt, z. B. st/-^.-l-1)^, —x")', st.xsinx, st^/x !«gt an , daß man die Functionen —-t-Ir, (en —x')^, xsinr, h^x b'ffcrenziren, nähmlich finden soll, um was sich dieselben verän¬ dern, wenn man in ihnen nur die veränderliche Größe x um >hr Differenzial stx vermehrt. Dabey ist jedoch wohl zu merken, daß man die Bezeichnung , co, x vorsetzen, so daß 1 (x, z- , r) , o- (x, v, r) , co (x, , r) verschieden gestaltete, durch die Art der Verbindung der Variabel» unterschiedene , Functionen der Veränderlichen x, v, r, dagegen i (x) , f(v) , f(x7.) , gleich gestaltete oder ähnliche Functionen der Größen x, x, xr, vorstellen: so wird obige Grundregel für mehrere Veränderliche» durch die Gleichung (2) cl.f(x, v, r....) — f(x-l- clx, x -l- cl)-, ..) — k(x, für Eine Veränderliche insbesondere aber durch stf(x) — f(x -l- clx) — t(x) vollständig ausgcdrückt. Nach dieser Regel sinder man z. B- wenn man die Fumn»' u — 2er^x- diffcrenzircrt soll, clu -- 2s"c!x —^-h^clz- -l- lOcrclr i . Don der Differenzial- Rechnung. 455 vorausgesetzt, daß (nach §. 276.) 2, si, c unveränderliche Grö¬ ßen verstellen. Es ist nähmlich ein — 2a? (x -t- elx) —si" (> -t- civ) -I- 5c(r -t- cir) — 2»^x -l- 2or"clx -— -^-issllv -t- 5c/? -l- lyc/.cli -i- Zccir" — 2^"x -t- -^-k>"v — 5cr" — 2a'c!x-^"clv -i- lOcrcir -l- 5cclr', folglich, wenn man das letzre Glied als ein unendlich Kleines der zweytcn Ordn ng rücksichklicd der übrigen, welche sämmtlich von der ersten Ordnung sind, beseitiget, siu — 2-r"cix--t- lOcrelr. Hieraus erhellet, daß, wenn man eine Function von einer ein¬ igen Veränderlichen x differenzirt, ihr Differenzial ci^ stets auf die Form v^elx reducirt werden könne, wo eine andere Func¬ tion von x vorstellt. Der mit llx verbundene Factor wird der Differenzial-Loefficient, oder, weil er, wenn man die hier bestehende Gleichung --- v'cix in der Form -- schreibt, das Verhältniß des Differenzials clv der Function ; zum Diffe¬ renzial 'm vorhergehenden Paragvaphe erklärte Grundregel der "tzial-Rechnung setzt uns in den Stand die Differenziale u, v> v, X, r eben sowohl absolut veränderliche ' auch Functionen einer oder mehrerer Variabel» Die ^iffere staben§"""ioncn aufzusiellen, wobey wir die Buch- ^"äßen dorff,n üuncrionen einer ooer meyrercr lassen, daher geradezu Functionen nennen wollen. ^iZt. 456 Si el> en te s H a u P ist ü ck. fffix. I> Ist ist — u— x-t-v— v-t-.... eine Summe, deren sä'mmtliche Bestandtheile Functionen verän¬ derlicher Größen sind; so hat man äll — (u -l- stu) — (x -t- stx) -l- (v 4- stv) — -t- sty) -l-.... — u I- X — v-j-v — .... folglich (5) st (u — x -t- v — v -l- ...) — stu — stx 4- stv — st)- -t-...., woraus erhellet, daß das Differenzial einer algebraischen Summe von Funciionen der Summe der Differenziale -er einzelnen Glieder gleich ist. II- Besteht die Function a-t-x aus einem constanten Glie¬ be a und einer Function x, so erhält man st (L -I- x) — (A -i- x -l- stx) — (se 4- x) oder st(L-^-x)^stx. Wollten wir aber den Ausdruck a -t-x nach der in I. aufge¬ stellten Regel differcnziren, indem wir auch a als eine Function behandeln, so fänden wir st(a -l- x) — stu -t- stx. Um demnach diesen besonderen Fall unter den vorangehen¬ den bringen zu können, sehen wir uns bemüssiget (6) - sta 0 anzunehmen, folglich das Differenzial einer constanten Größe für Null zu erklären. III. Ist in dem Produkte ux der Factor a constant, st er¬ gibt sich st(ax) — u(x -i- stx) — ax, nähmlich (7) st(sx) — ustx; woraus wir lernen, fdaß man bey dem Differcnziren einer Function die vorkommenden constanten Factoren vor d>-o Differenzialzeichen stellen könne. IV. Sind aber in dem Producte ux beyde Factoren Fu»c iionen, so finden wir st. ux — (u -l- stu) (x -i- stx) — ux — xstu -1- ustx -l- stustx , «der, weil wir (nach 675.) zur Beseitigung von stust- b-tt iiget sind, Von der Differenzial-Rechnung. 457 (8) ff. ux — xäu -t- uclx. x. Hiernach erhalten wir ff. ux^ — ff (ux. 7) — )>ff. ux -t- uxff^, nähmlich (9) ff - uxv ---- x^ffu -t- ) uffx -t- uxff^. Auf dieselbe Weise finden wir (10) ff. uxvr — xvr ffu -1- )-ru ffx -i- rux äv uxv äx, u. s. w. Man erhält demnach das Differenzial eines producteg, wenn man das Differenzial jedes Factors mit allen übrigen Faccoren mulnplicirt und sämmtliche partial - producte addirt. Die Gleichungen (8), (9), (10) kann man übrigens auch in der Form ff - xvx . . . -j- .... x) 2. ... x v r anschreiben. V. Von dem Bruche findet man das Differenzial x -t- äx x x) -l-vclx —xv — xä^ ) ffx — xffv -l- - nx° ^clx -t-- mithin (14) cl. x" — nx" ^clr. Man findet demnach das Differenzial einer Poren;, in¬ dem man den Exponenten derselben mit der in ihrem Expo¬ nenten um eine Einheit verminderten Potenz und mit dem Differenzial, der Wurzel multiplicirr. Wegen seines häufigen Erscheinens ist der Fall, wo man n —-^-hat, besonders merkwürdig; für ihn erhält man (15) ä/x--.-2^_, 2 /x daher man das Differenzial einer «Quadratwurzel findet, wenn man das Differenzial der unter dem Wurzelzeichen stehenden Größe durch die doppelte (Quadratwurzel dl- vidirt. Zu der höchst wichtigen Forme! (14) gelangt man auch oh»' Zuziehung des binomischen Lehrsatzes (§. 299.) auf folgendem Wege. Setzen wir in IV. die n Facloren des Produktes x?r - - " sämmtlich einander gleich, so wird offenbar cl. x» — n.x'^^clx, wobey n eine ganze positive Zahl andeutet- Bon der Differenzial-Rechnung. 459 Ist aber n ein positiver Bruchs , so setze man <1 X 1 — u , folglich / — r?. Don diesen zwcy gleichen Functionen erhält man die noth- wendig gleichen Differenziale x —1 a —a, r —"i xx clx — qu clu — qx i clu, daher ist (x) — 1- , und ^ — 1 X folgen. Es ist demnach wie oben Lx --- 5?. Da aber Ix — ml^x , .sf. üx clx also — --- ui — XX ist, so muß die Eonstante dem Modul dcS logan^ mischen Systems und lllx -- iii X seyn. Don der Differenzial - Rechnung. 463 VIII. Bedeutet s eine positive konstante Größe, so ist lffi^. 6 . L* - — A' --- L- (3^ — 1) oder (nach §. 295.) — ri'sl^a.clx -t- (I^a)^är' -t-. ...^, nahmlich (20) ä. L" — n' . . clx , d. h. das Differenzial einer Lxpsnenrialgröße wird erhallen, wenn man dieselbe mit dem natürlichen Logarithmen ib' rer Lasis und dem Differenziale ihres Exponenten multi- plicirt. Man erhält diese Gleichung auch nach der Formel (17); denn dieser gemäß ist ä.n* — L*. cll^(u*) — a^cl (xl^n) — a'. . äx. Wird s --- der Grundzahl der natürlichen Logarithmen --- ss, folglich IuA — I^li ---1, so erfolgt (21) cl.ss'— Ii*clx. IX. Die Differenziale der goniometrischen oder KreiSsunc- lionen lassen sich auf folgende Weise gewinnen. Es ist cl «in:r --- Lin (x -t- clx) — rin x — LIN X cor clx -I- cos X rill clx — sin X cl eor x — cor (x -t- - corx x ergeben. Lassen wir nun x ohne Ende abnehmen, oder unendlich klein werden; so nähert sich eos x, dem eben geführten Beweise gemäß, ohne Ende der Einheit; folglich muß auch stets der zwi¬ schen eos x und 1 liegende Quotient ohne Ende der Grenze x 1 sich nähern, d. h. es ist, für einen unendlich kleinen Bogern, —--1, odersinx-x. Setzen wir demnach »instx —äx, cc>s äx--1, so erfolgt (22) cisinx— o08x«ix (23) clcoLx——»inxüx. Ferner ist nach der Gleichung (11) cltLirxx---<1 cosx co§x.cl8inx—8inx.<1cc>»x 008' x cc>8'x stx-i-8lir" x äx co8'x und äcotx--ä521? 8INX — 8111? X 6x—008' X üx oiir^x Von der Differenzial-Rechnung. 4L5 nahmlich t'ix. (24) 6 tsrix x -- cc)5^ x (25) cl cot x —-——. srn' x Eben so findet man nach Gleichung (12) 4 «i cr>8 x 8ln x 6x nahmlich (2b) M s^x senx Endlich,st _ ' ^„cosx)-- —äcosx--rinxäx liLINVX — a (1 — cosx- äoosvx-ä(1 —siilx) - —üslnx ' - nahmlich (28) cl sinv x -- sin x clx (29) ä cosv x- — cosxäx. !l,r» X Um <»dUch au» noch di- Diff«-»Ml- d-r dmch . - Miometrischen Functionen bestimmten Kreisbogen zu n , zeichnen wir die in IX. differenzirten trigonometrischen Fun durch X./, nahmlich wir setzen in - (22) xinx -- x^, x — arc sin x^, cosx --^ 1—x (23) co8 x -- x^, x -- arc cos x', 8inx-^1— (24) tunFx —x^, x—nrc tnnssx^co8-x — 1 (25) cotx —x^, x — LrL cot x^, sirix— (26) secx-x^, x —sro sec x^, tangx—— 1, cos x (27) cc>86c x — x^, x — arc cosea x^, cot x---h^x 1,siux (28) 8MV X---X/, x — are 8nrv x^, 8in x--/2x^--x^ (2D co8vx--x', x—Lrccosvx', cv8x---/2x'^ ^'8^ Nlael-, II. 8. äsecx — cv8X äeoxecx cos^x o«s x clx cc>8? x ä8,'n x 8IN? x 8lN^X . smx ct8ecx —-— eo8^x cc>8 x ä co8oo x — cl. -^— 8INX ^--!^äx co8 x 466 Siebentes Hauptstück. kix. Dadurch erhalten wir, wenn wir der Größe x^ den nach vollendeter Reduction überflüssigen Strich abnehmen, §. 679. Um uns die Anwendung der im vorangehenden Paragraph für die Differenziation der Functionen erlernten speciellen Regeln geläufig zu machen, wollen wir folgende Beyspiele differenziren. 1. ) Es sey so ist clu-flH-äc?,) o <1 p- ch'. 2. ) Hat man 6 c so findet man cla — cl. xz^ — — cl. xr 6 c — (z^clx -i- xcl^) — — (rclx -t- xär) o c — 6 . i , sx i 6x i — (-i-v ——clx-i-— cl^-ur. c> c n c 2 468 I'ix. 10.) Siebenter H a u p t stuck. ?' _ _Illi 2 °-2— 12.) cl. okorclx — ä.2sin-;-x — oos-^-x. äx. 8in"x cos"x. ä«in* x—810^x6. oosx oo8x 008"x —, 008^ x. 2 sin xäx-t-Lin^x äx oo8? x 8II1 X (2 008" X -t- 8in" x) äx 008" X rin x (1 4- o os" x) 008" x .. 2 < , - 6. tnri° ^-x -;-c!x 14.) ci. tanz-^-x —-— tsnx^x 008--^x 1 t»nz-v-x clx — c!x 28in 2-x oos-^-x siii x' 15.) »rc t»n§ (3 -b- x") 2xclx 10-I-6x"-t-x^ 16.) 6 . 31'0 008 x^,^- ^/iH-" ^1-'' 17. ) ct^Linx- -- cotxäx. ^IO X 801 X 18. ) Wenn 7 --.°, (x—30)--l-298(x-30) -1-4437^(r^ ist, so hat man is.) ä 20.) tl. 008 X (-^-8iri4 X-^bill^x — 7^,)---8111^X008 X. Won der Differenzial-Rechnung. 469 680. Nx. Die im Vorhergehenden ausgestellten Differenziation^ - Re¬ geln erstrecken sich wegen der Allgemeinheit ihrer Herleitung über alle Functionen, wie groß auch die Anzahl der auf sie einwirken- den Veränderlichen seyn möge. Ist demnach u eine Function von x, r, .... so findet man daS Differenzial von u, wenn man es mit den Differenzia¬ len von X, y, r, . i . . auf dieselbe Ordnung unendlicher Klein¬ heit reducirt, in der Form (38) äuIVlx-j-()clv-i-Ksir^t-.... wo I>, tz, k, .... im Allgemeinen Functionen der Veränder¬ lichen x, x, r, .... sind. Sieht man nun in der Function u ein Mahl bloß x, ein an¬ deres Mahl bloß v, ein drittes Mahl nurr, u. s. w. für verän¬ derlich, alle übrigen Größen aber sür constant, folglich ihre Differenziale für Null an; so erhält man der Ordnung nach (39) ch, — I*ckx, äu — clu.— Iläx, . . . . oder (40) , . - - - ckx ' ciz ' elr Die in dem Ausdrucke I?clx <^clv -t- llelx -l-.... wit üx, ü)', ch,.... verbundenen Factorcn k, k,.... sind demnach die Differenzial - Quotienten der Function u, wenn man in ihr der Reihe nach x, v, . als die einzige veränderliche behandelt. Die in (39) zusammengestellten Differenziale von n werden ^ic Partiellen und zwar beziehungsweise die nach x. v, x, ... . genommenen partiellen Differenziale, daher 1', k, .. . . nach x, genommenen partiellen Differenzial- Duotjeinen der Function u genannt, während das in (38) ent¬ haltene das vollständige (totale) Differenzial von n heißt- Man bezeichnet die von der Function u nach x, v, x, > - ' 8^'ommenen partiellen Differenzial - Quotienten ik', O, li,. - . "^ch Euler durch die Symbole M- (L> G- 470 Siebenter Hauptstück. D'jj> gewöhnlicher über nach I^ontsilie bloß durch äu clu elu , r.. clx ci^ ' cir ' so daß das vollständige Differenzial von II durch (41) clx elr vorgcstellt wird. *) Das vollständige 5 iff-ronzial einer von mehreren ver¬ änderlichen abhünciigen Function ist dcmnuch die Summe ihrer nach den einzelnen veränderlichen genommenen par¬ tiellen Differenziale. Ist z- B. n—x^ — >3, f, rer clci 2 clcc » so Ist — 3x- , ——Zv.r tix ,iv / daher . clu —Zx'clx— 3^^cl)-. , Hatmanaber ti — x cyxz-f-^cc>8 2-t--rcv8x, so wird cv5z- — r sin x clx clu — — cos 2 X 8lN )- a/ cin . .- — — cor x — V8IU7., 5)-—r sin x) clx-l- (cos 7—X 8IN)-) cl^-t- (coz X—)> rin r)^E §. 681. ! Won den höheren Differenzialen. 1. Nach §. 677. ist der Differenzial-Coefficient^ einer von eimr einzigen Veränderlichen x abhängcndcn Function wieder eii" zweckmäßigen Bezeichnuuz der M nur Quotienten darf man jedoch nie vergessen, daß l>- durck N '' ke".-smegi aber durch wirklich- Theilung der Gr-st ,r'n,^r''8^'^^ " " entstandene Quotienten find, d-ther-ch- n ae e hwrutretenden Factoren schlechter^ nicht aufgehoben werden können Von der Differenzial-Rechnung. 471 Function derselben Veränderlichen x; daher kann auch er der kix. Differenziation unterworfen, folglich sein Differenzial-Coeffici- cnt 7" gefunden werden. Wendet man nun auf diesen und auf alle nach einander her¬ vortretenden Differenzial - Cocfficicnten 7"^, 7" , 7* , . . . . die Differenziation an, so erzeugt man eine Reihe solcher Coeffi- cicnken, deren jeder der Differenzial-Cocfficient der ursprüngli¬ chen Function 7 von der so vielten Ordnung oder der so vielte Differcnzial-Coefficient heißt, als Differenziationen zu seiner Dar¬ stellung erforderlich sind. So ist demnach -- 7", — 7"/, —7-' , -- 7" u. s. w. äx ' «Ix elx ' «Ix stx und 7/, 7", 7"/, 7-" , 7' . . . . werden beziehungsweise der Differenzial-Toefficient der er¬ sten, zweiten, dritten, .... Ordnung, oder der erste, zwepte, dritte,.... Differenzial-Ouscient der Function 7 genannt. Diese Differenzial-Coefficienten 7", 7" , be¬ sten die bemerkenswerthe Eigenschaft, daß sie aus den succcfsi- ven Differenzialen der ursprünglichen Function 7 abgeleitet werden können, wenn man den unendlich kleinen Zuwachs elx der absolut veränderlichen Größe x, (das Differenzial von x) lür konstant annimmt. Denn um den Coefficientcn 7" ^arzu- gellen, ist es erforderlich «I7/ zu bestimmen, zu welchem Zwecke wir - «Ix d'ffercnziren, wodurch wir, da «Ix constant angenommen wird, "halten. Bezeichnen wir einer allgemeinen Ucbercinkunft gemäß das zweymahl von 7 genommene Differenzial «167 durch <1'7 i^d halten wir uns stets gegenwärtig, daß die dem Buchstaben ' ^geschriebene Zahl kein Exponent, sondern nur ein Wiederhoh- ""gs-Zeiger der Differenziation ist, so ergibt sich r , <1'7 ax folglich 472 folglich. u. s. w. Die nach einander folgenden sogenannten höheren Differen¬ ziale der Functhon )-, nähmlich äzr, ä^-, . . wel^e be¬ ziehungsweise das erste, zraeyre, dritte^ .... Differenzial von heißen, ergeben sich daher nach den Gleichungen ch' ä-z- cl)-'. äx — z-"elx' — ciz^/. clx — -i- clz-"l. clx — v" clx^ r . - u. s. w. , folglich ihre Differenzial-Cocffi.cienten nach den Gleichungen äx c!^ „ clx- clx «lx^ clx - «Siebente« Hauptstück. v" — clx . ^x- Eben so erhalt man clx- clx- odex wenn man ää-z- — cläclz- durch vorstellt, ..stx" clx clx^ Auf diesem Wege fortschreitend findet man auch clx^ ' ' cix clx^ cl^v clzb cl^r "cH^' ' "clx -lx- U. s. w. Von der Differenzial-Rechnung. 478 indem man die gegebene Function wicderhohlt nach den in §. 678. Nx. ausgestellten Grundregeln differenzirt, und dabey äx wie eine constante Größe behandelt. Zugleich erkennen wir hieraus, daß, da die Differenzial- Coefficicnten die endlichen Verhältnisse von ci^, .... zu äx^, cix^, clx^, .... . angcben, (vermöge §. 675.) c?x mit cix^, - ci^ mit äx^, u. s. w. von derselben Ordnung unendlicher Kleinheit sind. Bezeichnen wir endlich die Function durch f(x), und er- theilen wir mit ihren nach einander folgenden Differen- zial-Ouotienten die Zeichen ?(x), f"(x), ?"(x), . . . . 5">(x) ; so finden wir aus 7 — f(x) die Differenzial - Quotienten , ^s(x- e-clx)-l(x) c>k(x) ) <°) I ^-s (x)^n(n-1)(li-2)....3.2.1, welcher Ausdruck nichts Veränderliches enthält, weßwegen die noch höheren Differenziale dieser Function sämmtlich Null sind. 2. Leyspjel. Es sey unter der Voraussetzung, daß n eine ganze positive Zahl vorstellt, n »—1 n—2 2 s(x) —^x-t-^x -I- ^x -t- .... -t- ^x -t- ^x -t- 0 1 2 »—2 »—1 » so ist n—1 n—2 n—3 s/(x) —n^.x-t-(n—1)^x-t- (n—2)^.x-l-....'t-2^x-t-.^ 0 12 °—2 Q—2 n—3 s"(x) —n(n—1)^ X -t- (n—1) (n—2)^x -j- .. . -t-2^ o 1 —2 ?"(x)-n(n—1) (n— 2)^gx"^-t- (n— 1) (n—2) (n-3)^'^ -t-.... -t-3.2^-3 (,) n—r s (x) —n(n—1) (n—2)..(n—r-t-1)-^x-I-..-t-r(r—1)..2>^ o s (x) —n(n—1) (ir—2) 3.2. I^g und . c--ck2) 1 (x) --0, s (x) -0, u. s. w. Von der Differenzial-Rechnung. 475 3. Beispiel. Sucht man die nach einander folgenden Diffe-kstss- renzial-Coefficienten von st (x) — I- (1 x), so erhält man l' -- st'(x) -- 4- -1- 1 4- X v" -- st"(x) --- — —, (14-X>r 2 (l4-x)-> . 2.3 4. Beispiel. Zu st - , st" (x) - .V. (I-L) , ?" (x) -- L' . (1^) », .... folglich ist für st(x) — st" st (x) -st* st" (x) st" , .st'" (x) - st" , 5..Beispiel. Ist st(x) ---- sraxz so wird st(x) - eos X, (x) sin X, st"(x) -— cos X,st" (x) - sin X U- s. w. ' ' . .. und für st (x) — cosx, st(x) xlnx, st"(x)——cosx, st"(x) —sinx,st"(x)-cosx u. s. w. 6. Beispiel. AuS st «gibt sich V' — st(x)gp(x) -t-st(x)g!^ (x) 7" - st" (x)g)(x) -i- 2st (x) (x) -t- st (x)-x" (x) 7'" - st"(x)c/-(x) -l- 3st" (x)P' (x) -i- 3st (x)g>" (x) -l-st(x)(x) -d-4st" (x)ss/ (x) -t-kst" (x)cp" (x) -l-4st (x)ss/" (x) ^-st(x)ss" (x) uud allgemein mit Rücksicht auf §. 299. ^-st"'(x)^ -st . -^-nst (x) (x) 4- st (x) 7>^(x). 476 Siebentes Hauptstück. kix. II. Sollte gegen unsere obige Annahme äx sammt seinen höheren Differenzialen ä'x, ck-x, cl*x,... veränderlich seyn, so wird man bey der Darstellung der höheren Differenziale der voni dependirenden Function sich genau an die allgemeinen Diffe- renziationsregeln (§. 678.) halten. Z. B. Wenn X — ist, und clx für veränderlich angesehen werden soll; so hat man cly — si'clx cl"x — si'clx' -t- si'cl^x — si'(äx' -4- ck'x) cl^v — si'clx- -4- 2si'üxcl'x -I- si'clxcl'x -4- si'clx — si' (clx- -4- Zclxcl'x -4- cl-x). In manchen Fällen schließt sich an die angenommene Ver¬ änderlichkeit von clx auch noch die Bedingniß an, daß ein be¬ stimmtes Differenzial einer gewissen Function von x konstant, folglich das nächst höhere Differenzial Null fey. Unter diesen Um¬ ständen wird man aus der so ausgesprochenen Bedingungsglei¬ chung das höchste in ihr verkommende Differenzial von x durch alle niedrigeren ausdrücken, und in den Differenzials der Function substituircn. Sollte in unserem Beyspiele ct'.x^ 0 seyn, so hätten wir cl.x^4x-clx, ä'.x^^I2x'clx'-4-4x-cl'x--0, daher cl'x -— 3^- x g. » und «?x -- 21 -- ; x' somit würde .l'v - si' (l — ? ) .Ix' g- —clx-. X X X / §. 682. ?luch die höheren Differenziale der Functionen mehrerer Va riabeln lassen sich nach den allgemeinen Regeln der Differenzial" gewinnen» Von der Differenzial-Rechnung. 477 So z. B. falls u — x^ I'ix. ist, findet man ciu — ^clx -t- xckz- cl^u — vcl^x -I- äxckv -t- (Ixciv -l- xcix — cl^ (elxsix-t-—)ckxcl^)- 'ch^ H 6xcl)^ -l- ^cl^xcl^— ^6xä^ ii. Abschnitt. Anwendung der Differenzial - Rechnung in der Analysis- ^-. Taylor'sche und Maclaurin'sche Reihe. §. 683. Ln der Analysis handelt es sich oft um die Bestimmung des Wethes, welchen eine Function einer einzigen Veränderlichen 'wpfängt, wenn diese um eine endliche Große zunimmt. Wächst "ähmlich j» s(x) die Variable x um a, so fragt es sich um den Werth von s (x -l- a). Setzen wir demnach zur Entwickelung die¬ ses Ausdruckes s (X A) — 5 (x) -t- LP (l) , 478 Siebenter H auptstück. Hx. indem wir uns s(x-l-L) aus zwey Theilen bestehend denken, von denen der eine die ursprüngliche Function s(x) selbst, der andm das Product von n und einer noch unbestimmten Function von x ist, damit, wie es scyn muß, bey dem Verschwinden von a dcr gewählte Ausdruck auf 1 (x) sich reducire. In der Absicht die Function cx (x) aufzusinden, lassen wirx um sein Differenzial wachsen oder in x-t- cix, dagegen n in a—cix übergehen; so ergibt sich s (x -t- s) --- s (x -t- clx) -t- (a — cix) y> (x -t- cix) , daher, wenn wir hievon die vorhergehende Gleichung subtrahim und durch cix dividiren, 0 --- g>(x-»-äx)— (x -i- cix) — (x -t- cix) -t- (n — cix) (x -l- cix) ab, und theilen den Rest durch cix, so erfolgt cp(x-t-cix)—cx(x) (x-t-cix)—1^(x) cix clx -k- n. rlx) _ y;/(x -l- äx), clx und wenn wir auf die in §. 681. gewählte Bezeichnung RückM nehmen, cp/ (x) — s"(x) -t- n x^(x), ^"(x), ... aus den Gleichungen («), (st) , (/) ,so erhalten wir die gesuchte Größe k(x-t-L) nach den natürlichen Potenzen des Zuwachses n entwickelt, mit¬ telst der Gleichung (1) f(x4-a) —s(x) 4-a?(x) 4-s"(x) 4- s/"(x) . cls(x) cl^5(x) M s(x4-L)--s(x)4-a -2-^- 4- — n- äx 1.2 cix^ L» ä-s(x) 1.2.3 clx» »der auch, wenn 5(x) — und s(x4-s) — y gesetzt wird, (3) ./4-^-.7" Diese Reihe, welche nur dann abbricht, wenn von einem bestimmten Differenzial-Coefficienten der Function angefangen alle folgenden verschwinden, sonst aber ohne Ende fortläuft, wird "ach ihrem Erfinder Isz-lor die Taylor'sche Reihe genannt. Setzen wir in derselben x-0 und bezeichnen die Werthe, welche die Differenzial-Quotienten s(x), s/(x), 5"(x), ?"(x) unter dieser Voraussetzung annehmen, durch s(0), ?(0), s"(0), s"'(0) und schreiben wir zugleich x statt a, so stoßen wir auf die von ' ''^Äurln erfundene Reihe (D s(x) -- s(0) 4- x?(0) 4--^- t"(0) 4- t'"(0) 4-.. 1.2 12>r 480 Siebentes Hauptstück. kix. Diese Reihe läßt sich auch auf folgende Weise herlM Wenn die Function 5(x) durch eine nach der natürlichen Fch der Potenzen von x fortschreitende Reihe dargestellt, somit 5(x) --- -t- 8x -t- Ox? -I- Dx^ -b- 8x^ -t- ... angenommen werden kann, so erfolgt 8(x) — 8 -t- 26x -t- 3Vx? -t- 48x^ -t- ... 5"(x) -- 2 6 -t- 2.3vx -t- 3.4Lx- 5'"(x)---2.3v-t-2.3.4Lx -t- ... u. s. w. Wird hierin x —0 gesetzt, so erhält man --5(0) , 8 ---5(0) , 6 ---^5"(0), v 1.2 1.2.3 daher 5(x) -- 5(0) -t- x?(0) -t- — 5^(0) -t- 5"'(0) -t- 1.2 1.2.3 §. 684. I. Setzen wir zur Anwendung der Taylor'schen Reihe, 1. Beispiel, 5(x) — x^ -t- 2x^ -i- 3x -t-1, so finden wir 5(x-t--r) --- (x-t-s)^ -t-2(x-l-g)^-l-3(x-t-s)^^ 5^(x) — 3x?-t- 4x -t- 3 5^^(x) — 6x -t- 4 8"(x) - 6; daher (x -t- L) ^2(x-l- rr)^-i-3 (x-t-a)-i-1—xb-4-2x--t-3x-l-1-t-n(3x21- -t- (3x-t-2) -l-Ab. 2. Beispiel. Wird 5(x) — x" genommen, so ist 5(x-t-s) — (x-l-a)», und wenn wir auf die in (§.681. Beyspiel 1.) abgeleiteten renzial-Quotienten Rücksicht nehmen, (L) (x-l-n)"— x"-t-nx"-^-t- x--2 A- 1.2 , n(n—1) (n—2 2» ^. .. " 1.2.3 Bon der Differenzial-Rechnung. 481 Diese Herleitung des binomischen Lehrsatzes ist folgerecht, kiss. wenn man ihn nicht zur Ableitung des Differenzials von V ver¬ wendet. (Z. 678. VI.) 3. Beyspiel. Ist s(x)—sinx, so ist s(x-l-a) — 8rn (x -t- n) , daher (nach §. 681. Beyspiel 5.) (6) rin (x-1-s) --- sin x >- s cosx — —8in x — ------- eosx 1.2 1.2.3 -I-- 8IN X ........ 1.2.3.4 4. Beyspiel. Für s(x)---cosx hat man s(x-t-n) — cns (x-t-n) , daher (nach §. 681. Beyspiel 5.) ? (7) cv8(x-i-s) — eo8 x— L «inx —cos x 4- " II. Mittelst der Maclaurin'schen Reihe lassen sich folgend» Functionen leicht entwickeln. 1. Beyspiel. Es sey KV -I-(ln), so ist (nach §. 681. Beyspiel 3.) L(0)--i, —1, s"/(O)-2, k'VM daher (8) IXI-l-x) x-^x- .. 2. Beyspiel. Nehmen wir f(x) — ' s° ergibt sich, weil (nach 8- 681. Beyspiel 4.) l(0)--a"-l, ?(O) --I-n. I"(O) - (I-a)' - 'st, (D -1 s . x-(I^)" . -t- . -n- 4- -m 1 2.3.4 Hieraus folgt unmittelbar (10) st* — i _ — 4- .. m 12-3.4 Diese Ableitung der Entwickelungen der Fumt-onen '^l-t-x), „„h ist consequent, wenn sie nicht zur Bc - "'»ng ihrer Differenziale gebraucht wurden. (§. 678. v .V v'lla Mach. II. B. 482 Siebentes HauptAück. 3. Leyspic-. Letzen wir 1(x) — xinx, so ist (nach K. 681. Bcyspiel 5.) f(O)--LmO^O- ?(0)^1, s"(0)^0, -- -1. t" (0)^U. u. st w., daher Vb X 5 V (11) 5lN X---X— - -i--- — ---- 1.2.3 1.2 3.4 5 1.2.34.5.6.7 4. loevsprel. Wird 1(x) — cosx angenommen, so erfolgt (nach §. 681. Bepsp. 5.) 1(0) - 1, ?(0) -0, 1"(0)--1, ?"(0)--0, 1"(0)--1. u. s. w., also , . x'^ , x° , (12) co.^x —1 —- 4---- 4- 12 L.2.3.4 1.2.3.4.56 5. Degspiel. Soll 1(x)—nrcsinx entwickelt werden, so ist Da die Darstellung der höheren Differenziale dieser Function einigen Schwierigkeiten unterliegt, so bedienen wir uns des fol genden Kunstgriffes. Ben nochmahligcr Differenziation erfolgt j// (x) — (1-x-)^ daher ist h/(x) 1-n-X^ i" (x) " ' und xf'(x) - (1 —x-)t"(x). Sucht man von diesen zwey gleichen Functionen (nach§'^ Bcyspiel 6.) den Differenzial-Quotienten der nten Ordnung/ ergibt sich, weil ck--x--0^(1 -x-) 2xstx,cl-(1-x") 2stx",ä»(L-^) -0 c»4-i) i°> .1^, xt(x) 4- ns(x) — (1—x") 1(x) —2nx1(x)— n(n —l)l(^) daher, wenn man x—0 setzt, <»> (»42) <») nl(0) ^ ! (O) — n (n — 1) 1(0) , (»42) (») also k(0) -- n«1(O) Bon der Differenzial-Rechnung. 4Ä3 Da nun 1(0) — nrc sin 0 — 0 und ?(0) —I ist, so findet man nach dieser Formel f"(0) -- t-' (0) -- 1"' (0) ---.- 0 ?"(0) -- 1-, t'(0) -- 3-, l'-(0) --3^.5', .... Es ist demnach (1s) nrcsrnx — x 4--4--4- ----4-. 1.2.3 1.2.3.45 1.2.3.4.5.6.7 6. Beispiel. Damit 1(x) — arctanssx entwickelt werde, suchen wir ?(x) —... —. 14-x^ Zur Bestimmung der höheren Differenziale geben wir dreser Gleichung die Form (l4-x-)?(x) -- 1, daher erhalten wir (nach §. 681. Bcysviel 6.) (1-l-x^) f(x) 4-2nxt(x) 4- u(n 1)r(-i) / und wenn x —0 gesetzt wird, 5(0) 4- n (n— 1) 5(0) — 0, „ (ng-1) nähmlich 5(0) ——n(n—1)5(0). Da nun f(0) — nrctnnAO — 0 und 1^(0)—1 M/ so hat man s"(0) -- s-' (0) -- t>- (0) 0 und i'"(0)—1.2, 5'(0) ---1.2.3.4, ?--(0)---1-2 3.4.56 Sonach ist lD LrotLliKx-x—-^x°4--x'—- 3 5 7 sss- In jenen Fällen, wo die Anwendung der Maclaurin schen Hcche zlir Entwickelung der Functionen Schwierigkeiten unterliegt, ^nn man die zu entwickelnde Function auch einer nach den na. Uuüchcn Potenzen der Veränderlichen fortlaufenden Reihe mit unbestimmten Eoefficienren gleich setzen, und diese letzteren aut ^n- zweckdienliche Weise besummen, wi, man aus folgenden Bcysvielen ersehen kann. 31 * 48-1 Siebente» H a u p tstück. 1^'. 1. Lryspiel. Soll src i-tnx x mit Hülfe unbestimmter Coeffi- cientcn entwickelt werden, so setzen wir, da diese Function mitr zugleich verschwindet und mit derselben zwar das Zeichen nicht aber den Zahlwerth ändert, nrc Inn;; x — 4- 8x^ 4- Ox^ 4- vx^ 4- -. - Differenzirt man diese Gleichung, so erscheint --1- 4- 38x- 4- 5(X» 4- 7vx« 4- ..., 1-i-x" folglich ist 1 -- 4- (^. -t- 3L)x- 4- (38 -l- 50)x" 4- («c 4- 7v)x° 4...- woraus man — j 8 — — -^ , 6 , V - — , u. s w. 3 2 7 daher -r ^7 (14) Lro tan» x — x — — - — - 4- ' 3 5 7 findet. 2. Leyspiel. Aus denselben Gründen sehen wir in dcrAbsichl die Function arcrinx zu entwickeln, «rc sin x --- ^x -I- 8x^ 4- l)x° 4-vx^4-... Daraus gewinnen wir durcb zwenmahlige Differenziation dn Gleichungen 1 --1 V 4 3Lx" 4 5('.x" -I- 7Vx° i --- (1-x-) - 1 -- 2.38 -8 4.50x" 4' 6.7»x» b (1— welche für x —0 die Coefficientcn — 1, 8 — —liefern/ 12.3 «nd durch einander gethcilt die Gleichung 4 _ -l-38x'58x4-t-78xb. 2.38 4^-4.56? 4- 6.7vx4 ' darbicthen, aus welcher —2.38 4-(3-8 -4.50)X-4-(5'6-6.7V)x4 4- »-H,- c --4^- . o - . - c -- 1SS4.S ir-!4S.S7 Lvn der DrfferenM-R-chnunz. 485 mithin (13) arcsinx-x-t- sich ergibt. ki.-r. x- 3-.x^ 3^.5-.x^ 1.2.3 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 3. Leyspiel. Man suche'eo8nx durch sin x, nähmlich wenn manmnx —u setzt, cos (nurc sinu) durch n auszudrücken, wo¬ fern n eine ganze Zahl vorstellt. Nehmen wir zu diesem Ende cos (u arc 8iil n) — ./V 4- 8n 4- Eu? 4- Du^ 4- kn^ 4- ..., so wird für u — 0 , c-os 0 — 1 — Diffcrcnzirt man nun diese Gleichung, so ergibt sich -^i n(nurcmn u) 4- 3l)n- 4- 4kn- 4- .... /1-u- also auch — n sinsn urc Ziri u) — (8 4-2ku4-30n^ 4-4ku^ 4-. .)^/i—u^, woraus für u—0, 8---0 gefunden wird. Wird diese Gleichung neuerdings diffcrenzirt, so erfolgt __n-co8(n2r^inv.) ^6 4- 2.3vu 4- 3.4kn- 4- .. .)/l"' ^1-..- 2.3O 3.41) 4.5k 5.60 —4^L u. s. w. (84-26,14-300^4-48 u*4-..). — u" daher — sin«) -^20 4-(2.3O —8)u 4-(Z.4k — 2^0)u' 4-(4.5k — 3^O)u^ 4- (5.60—4^k)n^4-. - Tetzt man hierin den für cosnsarcmnu) angenommenen ^-r-h, so erhält man " lkkil,-N'Oll' — — It^ku^-. . . 2k 4- (2.30 - 8) „ -j- (Z.48 _ 220) r? -r- (4.5k-3w) u' , , . 4- (5.60 —4^k) u^ 4- ,. 2K - - >.-X - 8 — I»2jj » -2^0 --- — n-O 3-0 - — i?I) n-k Nx. 1.2 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6 Mit Hülfe desselben Kunstgriffes erhält man auch (16) sinnx — nsin x — sii?x 1.2.3 N(n"-1")(ll2-Z2) . -—_ «in' x 486 Eiebrutcs Hauptstück. Man findet demnach ^--1,v--0, c- —0^0, ' " 12.3.4 x-0. 2^(tr^), 1.2.3.45^ daher ist, wenn man statt u wieder sinx cinführt, (15) cosnx — 1 — sin" x -l- -— sin^ x 1.2^ 1.2.3.4 - n- (n-' - 2-) (->' - 42) 8. Zusammenhang dec Expo nentialg roßen mit den Kreis function en und derKreisbogen mit den Logarithmen. §. 685. Die Vergleichung der (in §. 684. Gl. 10, 11, 12) fürk'- «inx und cosx gefundenen Reihen zeigt, daß die Glieder der er¬ stem mit jenen der beyden andern in der Größe, wenn auch nickl immer im Zeichen Übereinkommen, daß aber die Zeichen gleicb «erden, wenn man x in x/—1 verwandelt; denn hiedurch wut 1 " ..4 — 1- -0 ——— — - -l- ... 1.2 12.3.4 1.2.3.4.5.6 __ 1.2.3 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6 7 in welcher Gleichung die vorrommendcn Reihen offenbar die Eu Wickelungen von cosx und sinx sind, durch deren Einfuhr^ dieselbe in —j (17) fi — cosx -l- —I sin x übergeht. Schreibt man hierin —x für x, so wird , —xV_r (18) fi — cosx —Isinx. (19) (20) aro »ec x — 2x). Do» der Differenzisi-Rschnu»g. 487 Aus diesen Gleichungen erhält man durch Addition und l'iss Subtraction «rctgirtzx — —ch— 1. -—- 2f/—1 1-x/—1 arc rinv x — —— 1^ (^ 1/ —1 ') L-- Folge di- Art der Logarithmen nicht na>)-c best' wird, sind jrderi«it die natürlichen oder neper'schen g 1 V »rc cos x — ——- I. —1 r »"1 It -!- N l^,5X — —- 2 xp'—1 —i !r — si 8lN X — -7—--, 2s/-1 und durch Division (21) 1 — s/ —1 tang x Nimmt man von den Gleichungen (17), (18), (2!) die Logarithmen *), so findet man r - ^..I/co8x-l-i/ —1 8inx",f^—1 »iur) s/ 1 1 1 -I- s/—4 tunx x 2s/— 1 4 — s^/—4 tan°' x Setzen wir in diesen Gleichungen die vvrkommenden goniome- trischcn Functionen des ganzen, halben oder doppelten BogenS x s'eichx/ z. B. sin x —x/ 8in-^x—x/ cosx —tangx-x^, Iilng2x^:x^ U- s. w., und werfen wir nach vollendeter Reduktion den Accent hinweg, so erhalten wir die Gleichungen (22) ar-! rin x — —I. (xl/ — 4 4- /l — x') /-1 -- f/—1 -1.. (1 — 2x- — 2x 1/— 1) 488 Siebentes H a u p tstück. ik'ix- Bezeichnen wir nun auch umgekehrt in den eben gefundenen Gleichungen die Zahl, von welcher der Logarithmus genommen wird, mit x^, drücken x durch x^ aus, und beseitigen am Ende den Strich des letzter»; so finden wir (23) I^x— —1 —larccos-^^- —larctang^--—larcsec-^ ^1^-x^ > I-l-? — —1 Lrc 8IIIV ——^0. . —2x §. 686. Diese Gleichungen lehren uns eine höchst wichtige Eigenschaft der Logarithmen. Setzen wir nähmlich in einer von ihnen z- in der Gleichung I,x — 2^/ — 1 arc tonx — 0 die Zahl x — 1, so wird I^I — 2^/—1 nie tanxO. Allein derjenige Bogen, dessen Tangente Null ist, nnif (§. 538. V. und §. 539. I. II.) ein Vielfaches der halben Kreis- Peripherie, nähmlich da die Länge der mit dem Halbmesser 1 er¬ zeugten Kreislinie 2-r, also ihre Hälfte 17 ist, gleich n seyn, m fern r eine ganze positive oder negative Zahl vorstellt, d. h> man hat »rclrrnssO — rti, folglich (24) 1,1 -- 2r77h/—1. Nehmen wir aber in derselben Gleichung x— — 1, so !,(—1) — 2H^—larctangc». Allein arcttrux c» gleicht (§. 538 u. 539 ) einem ungerade" Vielfachen des Quadranten, dessen Länge beträgt, nähm^ cs ist »rclanx«) — (2l-t-I) folglich (25) I.(-1) - (2r-t-1)er.^/—1. Von der Differenzial - Rechnung. 488 Du nun die unbestimmte Zahl r alle zwischen —-»und -r-c» kig. liegenden ganzen Zahlen vorstellen kann; so hat der Logarithme der positiven und negativen Einheit unendlich viele imaginäre Werthe und bloß jener der positiven erhält für r — 0 den einzigen reellen Werth Null. Weil ferner, wenn s eine essentiell positive Zahl verstellt, rr — » . 1 — A » (-1) ist, so leuchtet ein, daß der Logarithme jeder Zahl unendlich viele imaginäre Werthe besitzt. 0. Moivre's Binomi alfo rmel. L. 687. Schreiben wir (§. 685.) in der Gleichung (17) 6 -- cosx -l- f/—Irmx nx für x, so ergibt sich nxz/"—1 (26) i, — cos nx -I- I sin lix. Erheben wir aber dieselbe Gleichung zu der durch den beliebigen, jedoch reellen Exponenten n angczeigten Potenz, so erfolgt nxp^—1 (22) I, — (cos x-t-I sin x)", daher ist (cns x -l- f/— 4 8in x) " — cos nx -t- — 1 «in nx. Wird endlich in dieser Gleichung x-l-2r?r statt x geschrieben, wobey r eine beliebige ganze Zahl und ee die Länge der halben Krcisperiphcrie vorstellt, so erhalten wir (mit Rücksicht auf d- o38. V.) die Gleichung i (er>8 X — 1 «Inx) > — vos n -l- v'— 1 »in n (X -t- 2r»), ^"chc nach ihrem Erfinder die Moivrcksche Lmsmialformel ge- "°nnt wird. 4i)0 Siebe n L e?) H a Ü ptst ü ck. v. Won der Vielfältigkeit und Bestimmung der Wertste der Potenzen. §. 688. l. Setzen wir in der eben gefundenen Gleichung (28) für > die zwey Werthe 0 und so gibt sie (29) 1" — co«2ril^ -t- h/— 15in2rn?7 (30) (—1)" — cos (2r-t-1)n 77-t-—Isiir (2r1-1)nir. Da nun für jeden ganzzahligen Werth von r> «in 2rr>7r — 0, c:os.2rrr« — 1 und «in (2r -t-1) N77 — 0, c«8(2r -t-1)ii77 — -t-1 oder -1 ist, je nachdem » gerad oder ungerad ist, so hat man für jrdr ganze Zahl n " 3" 1 -- 1 , (-1) 1 , (—1) 1 wie wir ohnehin aus §. 118 und 119 wissen. Allein wenn tr keine ganze Zahl ist, so müssen diese Polens wegen der Willkührlichkeit der von -—22 bis-k-w sich ausbreiteo- den Werlhe der ganzen Zahl r ini Allgemeinen unendlich viele Wer- ^he anzunchmen fähig feyn. Hieben drängt sich uns jedoch dieFrage auf, ob bey den Cosinus und Sinus der Bogen 2rnrr und (2r-l-1)0" nicht etwa eine periodische Wiederkehr eintretcn, d. h. ob cs niÄ zwey Zählen rund ergeben könne, für welche diese Kreisfunctieiien, also auch 1" und (—i)", gleiche Werthe erhalten. Da nun 8- 538. V.) zwey Kreisbogen nur dann durchaus gleiche Krci-' functionen besitzen, wenn sie um ein Vielfaches derKreisperiphc"' differiren; so hängt die Beantwortung obiger Frage von dkn Gleichungen 2rn7r — 2r^N77 — 2g77, (2r-t-L)n--- (2r^-t-1)u»e^ 2^ ab, in denen p eine willkührlichc ganze Zahl andeuket- Weil nun beyde Bedingungsgleichungen sich in die emsige (31) (r — >-chn — g oder n — ° .. r — vereinigen, so ersehen wir, daß bey den Potenzen 1" und (-l/ eine Wiederhohlung derselben Werthe nur in dem Falle, und Do» der Differenzial-Rechnung- 491 nothwendig eintrete, wcnn n ein rationaler Bruch ist. Folglich I'ix. fällt die Anzahl der Wcrthe dieser Potenzen unendlich groß aus, wenn der Exponent n irrational ist. II. Besehen wir nun noch den Fall, wo n einem auf seine kleinste Benennung herabgebrachtcn rationalen Bruche gleicht, folglich lc und m ganze Zahlen sind, etwas näher; so zeigt sich zuvörderst m >N 1 — /1 M m (—1)-» — x/(—1)°- — l/1 falls gerad, oder — /—1 wenn Ic ungcrad ist; was uns folgern läßt, daß die Anzahl der Werthe der Poten- >> >< Ml"' und (—1) lediglich von dem Nenner m abhänge, den wir stets für positiv ansehen wollen, und daß wir nur die Wur- zeln z/1 und z/ —1 zu untersuchen haben, deren Werthe uns durch die Gleichungen (32) im — — l8in —. irr m (ZS) (-1)^ m "> dargcbothen werden. Dey diesen Wertsten tritt demnach, wie man aus der Glei¬ tung (Zi) ersieht, welche für den vorliegenden Fall in )A4) ,.- x/ — „„ übcrgcht, eine periodische Wiederkehr ein, wenn zwey Zahlen rundi-/ um ein Vielfaches desWurzel Exponenten munterschieden ^ud. Die Anzahl der verschiedenen Werthe dieser Potenzen ist demnach —m, und man findet diese Werthe selbst, wcnn man "us der Reihe der von —c» bis -t-c» fortlaufenden ganzen Zah- m nach einander folgende, etwa die m kleinsten, positiven Wahlen o, 1, 2, 3, ... „i-i für r setzt. Sollen aber zugleich, immer wünschenswerth bleibt, die Zahlwcrthe der Bogcn 492 S i ebc » lc -i H a up t sr k ck. I i-,'. 2i^ „„d so klein alS möglich ausfallen, so wird nm IN IN die eine Hälfte der Werthc von i aus demGebiethe der positiven, die andere Hälfte dagegen aus jenem der negativen Zahlen hcr- aushrben, folglich alle zwischen— , und -t-liegenden ganzen Zahlen, und wenn für ein gerades in die Zahlwerthe dieser Gren¬ zen zusammenfallen, nach Belieben die eine oder die andere setzen. Von diesen Werthen sind übrigens nur diejenigen reell, für welche sin^-ll- —0, oder sin^-l!^ 77 — 0 IN NI wird; es ist nähmlich, für r—0, s/ 1 — t, und wenn in eine gerade Zahl ist, fürr — , p/ 1 — — 1; endlich wenn in ungcrad ist, für r — , ^/— 1 — — 1. So finden wir z. B- für v' l die Werthe cosO -i- /—1 sin O —-t-1 und cosir-^-V'—1 silier——l; L 2 ^7 —— « 2 77 — t—' für s/1 die Werthe cos s/ —1 LIN-————' 3 3 cos 0 4-;/ — 1 «in 0 — 4- l 277^ . 2ir — cos — 4- /—1 «in — —- 3 3 2 , für i/— 1 die Werthe cos —- 4- /— 1 sin —- -— 3 3 cos 77 -t- s/ —1 sin 77 cos — -s- p/ — 1 sin — 3 3 ---1 "^2^ lis. Die vorhergehenden Betrachtungen setzen unS in Stand, nicht bloß sämmtliche Werthe der Potenzen 1' und <> § ' sondern auch, da n —2.1 und — a- r. — 1 Bon der Differenzial - Rechnung. 498 ist, jene von n-und (— a)" zu bestimmen. Man wird nähmlich lH- die reelle nte Potenz des Zahlwcrthcs von L mit allen Werthen von 1" oder (—1)" multiplicircn; je nachdem die Wurzel positiv oder negativ ist. k. Von der Auflösung der rein en algebraischen Gleichungen. §. 689. Aus der reinen algebraischen Gleichung (35) x" iti -- 0 des ntcn Grades, in welcher -V eine essentiell positive Größe ver¬ stellt, finden wir x — (ch^)° — z/^.. — wenn.^ — n» angenommen, durch a also die mittelst wirklicher Ertraction bestimmte nie Wurzel von bezeichnet wird. Setzen wir nun für '/1 und /—1 ihre im vorigen Paragraph« gefun- denen Werthe, so erhalten wir 1. die Wurzeln der Gleichung x»-t-n" —0 in der allgemeinen Form x----u (cos —I sin-er) n " 2. jene der Gleichung x»— a> —0 der Form x -- a (cos -t- ' n " vorausgesetzt, daß r allen zwischen —und 4- liegenden 8"nzcn Zahlen der Ordnung nach gleich gesetzt wird. Hieraus folgt (nach 324.) der nach seinem Erfinder 6"," benannte Lehrsatz, daß das Binom x" 4- u- " binomische Factoren von der Form r— .1 (eos 77 4- z/— 1 ?r) > Strauch, wenn man die Factoren, welche gleichen, aber im ^"ben rmgegengfsktz^n Werthen von -- entsprechen, mit einander 494 Siebente» Haupt stück. multiplicirt, in trinomische Factoren von der Form 2 o 2i^-1 » x^ — 2nx c08 - 77 -t- II' n und 2. das Binom x» — n- in n binomische Factoren von der Form 2r?7 . - 2l'ir . X — L (oO8 - -t- X —1 8IN -) , II n folglich auch in trinomische Factoren von der Form x" — 2nx co8 8 1 sin ^)l 2 2 — (x — n /— 1) (x -t- a / — 1). Für das Binom — A» ergeben sich die zweytheiligen Factoren r- n (co8 0 -t- z/ — 18iii 0) -- x — ,i x .1 (cc>8 -t- x --1 8III-^) — x-t-zasi—z/'Z— x— ri (co8 r" --x^ssi-z/'5^/'(t0-l-2^2) ss^^ X— ^(7Lii?x- crs) t.-n>2nx-_ °" ^ 2.3 ' - (n-2) (..-3)^ , 1.S t.2.3.4 1.2.3.4 1- — 1 tn an; x sin x — —-- co« x siir^ x 4- ., 1.2.3 welche, da sich reelle Großen mit imaginären in Rücksicht ihrer Große nicht vergleichen lassen, nur dann bestehen kann, wenn die reellen Großen den reellen, die imaginären aber den imaginären gleich sind. Hieraus folgt sonach 36) «-o, nx < <>8"x— " 0? — 1). coL xsiickx 4- .. - 1.2 (37) Lin nx — n cos x sin x — ——co; x 51»^ x 4- ..; . 1.2.3 daher auch ^-Entwickelung der Potenzen der Sinus und der einfachen Bogen nach den Sinus Cosinus der vielfachen Bogen. ' §. 691. mau die auS §. 685. Gl. (19) und (20) folgenden (Zu. j i 2coLX7-r, irinr---si — Ii Nus und Erhebt Gleichungen Siebente« Hauptstück. jur uten Potenz unter der Boraussetzung, daß n eine ganze positive Zahl vorstellr, so erhält man —t (n——1 (n——1 —(n—2)xz/"—1 —li-.z/" - 1 (2cosx)E — si -e- nli -1 -——-—- si -t- ......... -r- nli -4- li 12 —1 (n—2)xsi"—1^ (n——1 n— 1—(n—2)ix/"—1 -nxp"—! (2/—Isinx)»—fi — Illi -i - K -k- —1) isti -l- (—1)»!l. 12 Nimmt man nun in den zweyten Theilcn dieser Gleichungen die vom Anfänge und Ende gleich weit ab¬ stehenden Glieder zusammen, setzt ferner für den Exponenten u zuerst die gerade Zahl 2m, dann die ungerade Zahl 2m-l-1 und beachtet, daß den Gleichungen (39) gemäß allgemein (n— 2r)xz/"—1 —(a—2i-)xz/"—1 (n—2r)r^—1 —(n—2i')rp^— I I, -l- !> — 2cos(u-7-2r)x, Ii — ti — 2^7—Isinsn—2r)x (40) -ö-(2cosx) 1.2.3 .... ni (2m^-1)(2m)..(m-I-4) z _ 1.2.3 . . (in—2) -t- (—1)"-iin (Sm-^l)x. ist; so findet man nach gehörig vollbrachten Neductionen 2n> , 2m(2in—1)..(in^-1) , 2m(2in—1)..(in-I-S) Sin(2ni—t)..(m-t-3) . , ' ' n. 3 . I.."^ 2 .^77 2 -1.2.3 7"iid2) 2-nx i i 2m(2ia—1)..(m^t-1) 2msSm—1)„(m-j-2) 2m(2in—1)..(m-t-3) - «->» o -- . -77^—^- 17-Is .. 17-7^77-,^-?''"--^"""'--- - (2»in (2in-t-1) (2m)..(m-l-2) (2m)..(m^-3) 1.2,3 ... . ni 1.2.3 . . . sm—1) Do» der Differenzial-Rechnung. 497 14. Verwendung der Differenzial-Rcchnung b'iss. z ur Z e rl e g u n g gebrochener r a ti o n a l e r F unc- tionen in Partialbrüche. §. 692. I. Bey der in Z. 287. erläuterten Zerlegung der echt gebrochenen rationalen Functionen in einzelne sogenannte Partialbrüche, kann man die Differenzial.Rechnung zuweilen mit sehr großem Vortheile benützen. Nachdem man nähmlich die zu zerlegende Function der Summe ihrer im Zähler mit unbestimmten Coefficicnten behafteten Partialbrüche gleich gestellt, und durch eine bloß angczeigte Mul. tiplication mit dem Nenner der Function alle Brüche aus der Glei¬ chung beseitiget hat, differenzirt man beyde Theilc der Gleichung wiederhohlt, und setzt in den so gewonnenen Gleichungen für die Veränderliche entweder Null oder solche Werthc, durch welche einzelne Factoren verschwinden. Auf diese Weise erhält man für bie Berechnung der unbestimmten Cocfficienten mehrere Bedin- gungsglcichungcn, aus denen diese sofort nach den bekannten Re- Lkln gesucht werden. -i. B. ES st, d,r Bmch Partialbrüche aufzulösen. Man setze — a. I)4-Lx x)2 " 1-t-x 14-x- (1—x)^ so wird --^(1 x)"-1- (I4-t-6x)(1-t-x)(1 —x)E (1) 4- kx) (4 4- x) (1 4-x^). man hierin x —0 und x-1, so erfolgt 1 4- L I) v L. 4 Differenzirt man ferner obige Gleichung, so erhält man "x--2^x(1 —x)2 —2^.d4-x2)(1 —x) ' 6 (1-t-x) (1—x)" -t-(R-k- 6x) (1 — x) — 2(L-j-Lx) (1-t-x)(1 —x) 4- L(l4-x) (l4-x-) ->-(v-i-Lx)(l4-x-) 4-2x(v4-Lx)(l4-x). N7«rh. n, 32 498 Sieben teS Hauptstück. 6ix. Setzt man hierin x—0 und x —1, so ergibt sich 3 6v 106. Differcnzirt man zum letzten Mahle und setzt sogleich x--1, so kann man alle jene Glieder übergehen, welche den Factorx-1 nach vollbrachter Differenziation behalten; dadurch ergibt sich 2 -- 2/V (1 -i- x^) -I- 2(6 -e- Lx) (1 -t- x) -i- 6 (1 x-) -t- 26x (1 x) -i- 6 (1 -t- X«) -i- 2x M -I- 6x) -t- 2 (v -i- 6x) (1 -i- x) -I- 26x(1 -i- x) -t- 2x (0 -i- 6x), folglich für x —1 2 -- 4^ -t- 46 4- 46 4- 86 -t- 206 oder 4-64-6-I-2V4-56. 2 Man findet demnach 14-x-t-x? 1 X— 1 , 9 — 3x (l4-x)(l4-x-)(1—x)^- 8(l4-x) 4(14-X-) 8(1-x)' II. Vermag inan aber den Nenner der zu zerlegenden gebro¬ chenen rationalen Function in lauter Factoren von der Form (x —-r)" zu zerlegen, in welcher n eine positive ganze Zahl vorstellt; was man dadurch erzielt, daß man jenen Nenner gleich Null setzt diese Gleichung nach den in §. 320 bis 3Z9, §- 554 und § ertheiltcn Vorschriften auflvst: so kann man sich folgender von dmucliz- erfundenen Methode mit vielem Vorthkilc bedienen- Es scy6(x) die zu zerlegende gebrochene rationale Funel^ (x — s)" ein Factor ihres Nenners, 1(x) diejenige Function/ u> welche 6(x) übergeht, wenn man (x — a)" aus dem Nenner wegläßt, so daß rcx) . (x-o- ist. Nun hat man nach dem Taylor'schen Lehrsätze (§. l(x) -ssL4-(x-a)sI-f(-r)4-(x-a)?(8) 4- Von der Differenzial«Rechnung. 499 daher auch 1 1 f(») ?O) I"(x) — n->^ u-2^ °-Z (x—3) (x-3) (x—3) -t- etc. Man wird demnach, wenn man die successiven Differenzial- Quotienten von s(x)—^(x).(x— n)" bildet, und in ihnen x — a setzt, sehr leicht die Zähler aller dem Factor (x—3)" entsprechen¬ den Partialbrüchc erhalten. Wendet man überdieß dasselbe Ver¬ fahren auf alle übrigen Factoren des Nenners an, indem man die jedesmahligen Ausdrücke von s(x) eigens bestimmt, so wird man nach und nach den gegebenen Bruch vollständig zerlegen können. Ist insbesondere n — 1, so entspricht dem Factor x — s der Partialbruch k(-0 -/ L-Ä und für N--2 ergeben sich zu dem Factor (x—3) r die Partialbrüche s( 3) ?(3) (x — 3) X — 3 1. Lepspiel. Zerlegen wir den obigen Bruch 1 x -i- X? (l-I-x)d -t-x-) (1-x)r nach der eben beschriebenen Methode; so ist k(x) --_ 1-1-x-t-x- .. (1 -t- x) (x -t- z/— 1) (x— z/ —1) (1— X)" 8ür den Factor 1 x ist s(x) -- —, ""d wenn man X-t-1--0, also X — —1 setzt, d«her der ihm entsprechende Partialbruch — ' 32 * 500 Siebentes Hauptstück. kix. Eben so findet man für den zwcyten Factor aus x-l- /-i-g den Werth von x -— —1, und s(x) -, (1 -t-x) (x — - 1) (1 —x)'- also k(—/—1) - ——- - 1"-^ / --- (1- /— 1) (—2/—1) (1 s/ -1) - 1 4(1-l-h/ —1) ' und den verlangten Partialbruch 1_ 4(1-«-/— 1) (x -1-/— 1) ' Der dritte Partialbrlich ergibt sich auf dieselbe Weise 1 4(1-/-1)(x-/—1)' Endlich ist für den Factor (1 —x)° . 1-i-X-t-X^ t (x) —-—- (1-i-x)(1-1-x^) —1 -t — (1-4-X-I-X^)(1-«-x)(l4-x') , daher -1 -1 -2 -l ?(x) -- (1-^2x) (1-^x) (1-i-x-) — d-i-x-t-x") (1-l-x) (14-xy —1 -2 — 2x(1-«-x-t-x2) (1-I-x) (1-d^- Setzt man nun x —1 — 0, also x —1, so erhält man ^3 6 3 4 o o o und die Partialbrüche --—— — ——- - 4(x—1)^ 8(x—1) ES ist demnach l-i-x-I-x^ — 1 __ (1-t-x) (1-I-X-) (1-x) - 8 (1-I-x) 4 (1-i-/-1) (x-tV 1 3 ^4(1-/—1X^—/—1)^4(1—x)- 8(1^' Von der Differenzial-Rechnung. 501 2. Verspiel- Man zerlege K» --^4-2x--^3x-i-1 Hier ist k(x) -- ^-z-2x^3x-l-1, daher (x) — 3x^-z-4x-i-3 L"(x)-6x-t-4 1"(x) — 0, und für X — 2, i(2)--23, ?(2)--23, ^-^k'"(2)--1, , _l"(2) ^0, 1.23.4 folglich x'^2x--^3x^-1 __ 23 23 8 t . ^^2)^' (x—2)°^(x-2)" (x-2)" (x-2)^ x° (x—l)^(x-t-l)^ 3. Beyspjel. Zu zerlegen (x--1)- 1 4 2x^ (x-1)' 1 . 4 ' Hier hat man zuerst x—1---0 ^2 s(x) — .-"H (x-l-1) k(1) - , 4 und dann x-l-1-0, _-2 -co - , folglich findet man . 1 — - — 4 _ -4^ H 'H>L 4(x4-1) V-1)-" 4(x-1? 4(x-D 4(x4-1) 2x- (x-1-1)' 1 ' 4 ' also x —1, ?(x) -- (x-i-D- l'(1) - mithin x —— 1, ?(x) - 502 Siebentes Hauptstnck I. Bestimmung der eigentlichen Werthe des Bruches 8- 693. l. Manche gebrochene Functionen einer einzigen veränderlichen Größe reducircn sich für gewisse Werthe dieser Veränderlichen auf die unbestimmte Form 0- , obgleich man ihnen aus anderweitigen Gründen einen bestimmten Werth zuzuschreiben berechtiget ist So z. B- ist die Summe der geometrischen Reihe 1 -t- X -t- X' -t- -t-.-t- x" 1 bekanntlich § —-- , X—1 welcher Ausdruck für x — 1 in 8 — übergeht, daher unbe¬ stimmt wird; obschon, wie man leicht sieht, L — I -t-1 -t- 1t-..-l-1 — n werden muß. Eben so übergeht der Bruch für x --0 in den Äusdm-l X und doch fanden wir (§. 678. IX.), daß derselbe in diesem Falle —1 ist. II. Zur Ausmittelung der wahren Werthe solcher Brüche sich die Differenzial-Rechnung in den meisten Fällen mit e!U derem Vortheile benützen. Es sey nähmlich I(x) k(x) g «in Bruch, welcher für x — a in den unbestimmten Ausdru o sni' übergeht, weil sowohl der Zähler als auch der Nenner s Werrh bon x verschwindet- Bon der Differenzial-Rechnung. Z<>3 Sctzen wir X —3-t-uund behandeln wir sowohl f(3-l-u) I'iss. als k'(a-l-u) nach dem Taylor'schen Lehrsätze, so ergibt sich s(x) f(:r-l-u) f(a)-I-uss(3)f"(3)-t-.... 1' (x) IXn-t-u) I' (s)-l-uk'^(a)-t--^-u-b " (s)-l-.... oder, wenn wir bedenken, daß f(a)—0, Ka)—0 ist, f(n-l-u) p(n) -r--^-u s "(a) -z- 5 (3-^-u) 1 (3) -t- , u h (3) -t-. .. . Nehmen wir nun n —0, so erhalten wir (41) l(-0 V 5(3) k(3) 0 k'(3) woraus ersichtlich ist, daß man den wahren Werth einer für einen bestimmten Werth ihrer veränderlichen in überge¬ henden gebrochenen Funcrjon findet, wenn man den Diffe- ren;jaI-Toefficienten des Zahlers durch jenen oes Nenners dividjrr und in dem G.uotienten für die veränderliche denje« mgen Werth setzt, bey welchem der Zähler und Nenner der ursprünglichen Function verschwindet. 1- Vexspiel. Behandelt man die Summe x"— 1 5 — - X — 1 der obigen geometrischen Progression auf diese Weise, so erhält man für x--i 2. Sepspiel. Eben so findet man fürx —0 daS Verhältnis! 3. Beispiel. Für x — 0 wird —1 -r- x »nd für X —1 erhält man-—^- - V " 1 504 Siebentes Hauptstück. kix. 4. Lcyspiel. Sucht man den Werth von I —-r—- für x — 0, X" so ergibt sich >. - —-- —1— -- 1. 2x^/1,--x- 2^/si--x2 2?/ 5. Beispiel. Für x — -2. wird der Werth des Bruche» cos x — 8in x -p- 1 — sin x — co8 x — 1 cc>8 x-i-sin x — 1 —8ln x->-co8x —1 6. Leyspiel. Auf dieselbe Weise findet man fürx —1 den Bruch I.x^^ (1-r-x) I x --22 (1 —x)2 -2(1—x) 0 III. Wenn sich der Fall ergibt, daß der durch obiges Ver¬ fahren gewonnene Bruch ^'0 neuerdings die unbestimmte Form annimmt, so wird man dasselbe Verfahren wicderhohlt und so lange anwenden, bis man zu einem bestimmten Werth« des vor¬ gelegten Bruches gelangt. 1. Verspiel. So wird für x — 1 der Bruch (n—1)x"—nx"-i-i-1 (n—1)nx"^—(ll—1)nx° (x—1)' ^^(x-1) 0 (n -1) n l ( n -1) x"^— (ll -2) 2 (n—1)n 2 2. Beispiel. Für x — 1 erhält man 1 —2x -p 2x^— x^ —2-j-6x' — 4x^ — 0 " (1—x)» —^3 (1 — x? Ö" 2(x —x') 0s 1 — x 0 2(1 —2x) 2 — 1 Bon -er Differenzial-Rechnung. 505 Z. Beispiel. Bestimmt man den Werth von 1^'. 5(x) _x^— x-z-2— 2xh/2x— x? r2 ertheilt; denn für x — 1 . . e 3(x-1)- - 0 4x(x--1) 0 _ 6(x —1) 12x^ —4 2. Beyspiel. Aus r/(x»-i-2x--3) ^/2u-i-u" ^/2-i-u daher für u — 0 , x — /5. Dasselbe findet man, wenn man obige Gleichung in - 2 x^-i-2x-»-3 Form )' - —;—-— schreibt, da man für x —4 sogleich >2 - - 2x- 3x - 5 2x erhält. V. Von denjenigen Functionen, welche für einen gew — - Wendet man nun zur Bestimmung dieses Werthes die Diffe¬ renziation an, so erhält man -- -1 --1. 77 - 77X 77 — — 8lN — 2 2 3. Beispiel. Die Function _ x-1 I.X übergeht für x---1 in 2O —c»; 508 Siebentes Hauptstück. Nx. wenn man ihr aber die Form (x—1) (x-1)I^X anweist, in Bestimmt man diesen Werth, so wird X 1 — X 0 -—-— 7 , X-1 xl^x4-x-1 0 I^x -i- - X — 1 — 1 - inm " 2" 4. Leyspiel. Für X —0 wird die Function s(x) — x(1 — I^x) in 0. —02 verwandelt. Ertheilt man jedoch dieser Gleichung die Form M -- 1 - I,x X und differenzirt, so entsteht ?(x) s(x) , I X x^ X oder x?(x)—k(x) — — x. Setzt man hierin x —0, so findet man den verlangten Werth s(0) --0. L. Bestimmung der größten und kleinsten Werthe der Functionen. §. 694. I. Wächst in der Function s(x) die Veränderliche x um unendlich kleines Differenzial äx, das wir für eine essentiell po sitive Größe ansehen wollen, und ist ihr Differenzial s(x-t-clx)—s(x)-^äs(x), daher auch ihr Differenzial-Cocfficient ^A--s'(x) clx Bon der Differenzial-Rechnung. 509 positiv, so erfährt auch die Function selbst eine Vermehrung, ksi'g. oder sic wächst; fällt aber dieses Differenzial negativ aus, so erlei¬ det die Function eine Verminderung, oder sie nimmt ab. Die Func¬ tion s(x) wird demnach bey dem Wachsen ihrer Veränderlichen zu- odcr abnetzmen, steigen oder fallen, je nachdem ihr Differenzial- Coefficient k^(x) eine positive oder negative Größe ist. Soll nun bey ununterbrochener Zunahme der Veränderlichen r die Function k(x) aus dem fortwährenden Steigen wieder in ein stetes Sinken versetzt werden, so muß ihr Differenzial-Coefficient si(x) aus dem positiven in den negativen Zustand, und umge¬ kehrt, wenn dem Sinken ein beständiges Steigen folgen soll, aus dem negativen Zustande in den positiven übergehen, folglich für einen gewissen Werth von x entweder Null oder unendlich groß werden, weil ein solcher Uebergang aus dem Positiven in das Negative nur durch 0 oder w geschehen kann; wie man dieß am deutlichste» an den Krcisfunctioncn (§. 539.) ersieht. Wenn nun der Werth der Function k(x) für einen bestimmten Werth der Veränderlichen x alle seine benachbarten, nähmlichalle jene Werthe dieser Function übersteigt, welche man erhält,wenn man x um kine äußerst geringe Größe zu- oder abnehmen läßt: so heißt die¬ ser besondere Werth der Function ein Größtes Maximum). Fällt dieser Werth aber kleiner aus als alle seine benachbarten, so wird er ein Kleinstes (iVIinimum) genannt. Daraus folgt, daß die Function s(x)'nur dann ein Größtes »der Kleinstes werden kann, wenn ihr Differenzial - Eoefficient i^(x) in 0 oder «o übergeht. Ik- Um demnach diejenigen Werthe der Variabeln x zu sin- den, für welche s(x) ein Größtes oder Kleinstes werden kann, wird man die Gleichungen (§2) ?(x) --- 0 und ?(x) --- oo oder -- 0 Auflösen; man wird nähmlich, wenn der Differenzial - Quotient " zu untersuchenden Function auf die Form eines veränderlichen -oruches gebucht werden kann, sowohl seinen Zähler als auch Innen Nenner der Nulle gleich stellen, und sofort die Wurzeln der Zig Siebentes Hauptstück. k'ix. so erhaltenen Gleichungen bestimmen. Die diesen Wurzeln ent¬ sprechenden Wcrthc der Function s(x) ergeben sich dann, wenn man in derselben die Größe x durch diese Wurzeln ersetzt. Um aber auch entscheiden zu können, ob der, einer bestimm¬ ten Wurzel x—2 entsprechende, Werth 6(2) der vorgelegten Func¬ tion ein größter oder kleinster sey, muß man die Größe » um eine sehr kleine absolut positive Größe « sowohl vermehren als auch vermindern, und die den Werthen 2-1-L und s —» der Veränderlichen x entsprechenden Werthe 6(2-1-«) und 6(2 —a) der Function s(x) mir dem zu untersuchenden Werthe 1'(s) ver¬ gleichen. Je nachdem nun dieser Werth 6(2) für die kleinsten Werthe von « größer oder kleiner als die Werthe 6(2-1-«) und 6(2 — «) ausfällt, wird man ihn auch entweder für ein Größtes oder für ein Kleinstes erklären. Diese Untersuchung läßt sich aber in den Fällen, wo 2 eine Wurzel der Gleichung 6'(x) ----- 0 ist, auf folgende Weise vereinfachen. Dem Taylor'schen Lehrsätze (§. 683 ) gemäß ist 1'0 -1- -0 -- 6(2) -t- «6'0) -t- — 6" (2) -t- 6"'O) 1.2 1.2.3 6(2-«) ---1'0) — «6'0) -l- 6"(2) - 1^(2) 1.2 1.2.3 daher, weil der an die Größe 2 gestellten Forderung gemäß 6'0) - 0 sO -l- «) — 6(3) -- 6" (2) -l- —6"'(2) -t- . > - - ' 1.2 1.2.3 6(3 — «) — 6(2) ---- 6"O) — 6"'O) -1 - - - " Je kleiner nun die Größe « angenommen wird, desto ntthl reducirt sich der Werth der zweytcn Theile dieser Gleichung" bloß auf ihr gemeinschaftliches erstes Glied — 6"0); 1.2 Kon der Differenzial-Rechnung. 511 das Qualitätszeichen dieses Gliedes oder, da — stets positiv 12 bleibt, jenes des Differenzial-Coefficienten 1"0) übergeht dem¬ nach stets auf die Differenzen —k(a) , s(a — «)—k(a), welche, je nachdem sie gleichzeitig negativ oder positiv auS- fallen, die Größe f(n) unserer Erklärung gemäß, zu einem Grö߬ ten oder Kleinsten machen. Um demnach in den Fällen, wo u eine Wurzel der Gleichung ?(x) -- 0 ist, zu erforschen, ob k(s) ein Größtes oder Kleinstes sey, kann man die Wurzel x — s in den zweyten Differenzial - Coefficienten k"(x) der vorgelegten Function 5(x) setzen. Je nachdem dann sein Werth W(n) negativ oder positiv ausfällt, wird man auch w) für ein Maximum oder Minimum erklären. In einzelnen Fällen kann man auch theilS aus der Natur der Function 1(x),theils aus gewissen an sie gestellten Bedingun¬ gen in voraus beurtheilen, ob sie einen größten oder kleinstenWerth zu¬ lasse. So z. B- wenn eine Function 5(x) bloß positiver Werthe fähig ist, von denen zwcy t(n) und t(k>) für x —a und x---Ir gleich sind, so muß sie wenigstens ein Größtes, oder ein Kleinstes gestatten, je nachdem sie, während x von n gegen d zunimmt, über den Werth 1(a) --wo sich erhebt, oder unter denselben herabsinkt. Hl- Ergeben sich aus den Gleichungen (42) mehrere Wur- a, Ir, c, . . . so müssen, wenn ihre Werthe in dieser Aufeinanderfolge wachsen, die ihnen entsprechenden Werthe > Wo, l(c) , . . . . der Function l(x) abwechselnd größte und kleinste seyn, da offenbar jedem Eintritt« eines Größten ein Steigen vorhcrgchen und ein Sinken folgen, dem ^scheinen eines Kleinsten dagegen ein Abnchmen vorhergehen, ""d ein Zunehmen Nachfolgen muß, sofort nie zwcy Größte oder »'ucy Kleinste unmittelbar auf einander folgen können. Man kann demnach, wenn man sichere Ueberzeugung be- M, daß man keine der Wurzeln K, c, der «lei- 512 Siebentes Hauptstü S. k'ix. chungen (42) übergangen habe, die bisweilen beschwerliche Un¬ tersuchung der sämmtlichen Werthe ls(s) , 1(b) , 1(c), . . .. bloß auf einen oder zwey derselben beschränken; denn häkle man z. B- gefunden, daß 1(a) ein Größtes ist, so muß k(l>) einKlciN' stes, dagegen 1(c) wieder ein Größtes scyn, u. s. w. Aus diesen sogenannten relativen Größten und kleinsten kO) , ß(l>), 1(c), .... ergibt sich sofort das absolute Maxi¬ mum oder Minimum von selbst; nur muß man bey diesen Un¬ tersuchungen ein negatives Maximum als ein posikives Minimum, folglich ein negatives Minimum als ein positives Maximum be¬ handeln, indem man von zwey Größen diejenige für die kleinere erklärt, welche von der andern abgezogen eine positive Diffe¬ renz läßt. §. 695. Zur Erläuterung dieser allgemeinen Untersuchungen mögen folgende Beyspiele dienen. 1. Leyspiel. Man untersuche, ob 1(x) -- x- -i- 8x 9- 2 ein Größtes oder Kleinstes gestatte. Hier ist ße(x) — 2x 9- 8, folglich muß für ein Größtes oder Kleinstes 2x -i- 8 --- 0 nähmlich x - — 4 werden- Für diesen Werth x — — 4 findet man f(x) --- s(—4) -- 16 — 32 9- 2 —14 Ferner ergibt sich ß"(x) — 2; daher ist—14 ein Kleinstes von ß(x). Daß dieser Werths kleinster, nicht aber ein größter sey, konnten wir schon aus dem Umstande folgern, daß für x — 0, 1(0) § ßer als 1(-4) —14 ausfällt. Und in der That ist k(—4-i-°e) -- (—49-«)--t-8(—49-°ch9-2--—l49-«' 1(—4—«)-(-4—°e)^9-8(—4-«)-t-2--—149-«" Donner Differenzial - Rechnung. A 13 2. Beispiel. Man untersuche, ob die Function kssx. s(x)-x^-l-3x"-9x-l-18 ein Größtes oder Kleinstes zulasse. Da hier l? (x) 3x^ -i- 6x — 9 — 0 oder x^ -t- 2x — 3, folglich x —— 1^2, nähmlich x — — 3 und x — -l- 1 ist; so hat man, weil 1'"(x) -6x-t-6 wird, I" (—3) - -12 und 1"(1) -12. Für x - — 3 ist demnach k(-3) — —27-i-27-t-27-1-18-45 ein Größtes, dagegen wird für x — 1 1(1) -1-1-3 — 9-1-18-13 ein Kleinster der vorgelegien Function. 3. Beispiel. Man bestimme die Werthe von x, für welch« die Function ssx) — 3x^ -1- 4x^ — 60x" -t- 96x -l-1350 ein Maximum oder Minimum wird. Hier ist t'/ (x) - 12x» -t- 12x- — 120x -1- 96 - 0; also 10x-l-8-0, woraus (nach §. 325.) x — — 4, x-1, x—2 öffundcn wird. Da ferner der Differenzial-Coefficient I"(x) -12(3x^-1-2x —10) x- -4, x-1, --2 . . positiv, negativ, positiv ausfällt, '° der entsprechende Werth von k(x), nähmlich 518 , 1393 , 1382 ein Kleinstes , Größtes, Kleinstes, ""d zwar ist 518 das absolute Minimum der Function. Mach. II. B. 33 514 Siebenter Hauptstück. I'iss. 4. Beispiel. Man untersuche, ob die Function ssx) — — 4 -t- x^ einen reellen größten oder kleinsten Werth besitze. Hier ist 1>(x) --0, folglich x —^4. Um hier der Bestimmung des zweyten Differenzial-Cocffici- enten k^(x) auszuweichcn, machen wir die Bemerkung, daß so¬ wohl für x —0 als auch für x — w die Function s(x) verschwin- det, und für x —1 den positiven Werth liefert, was uns be¬ rechtiget, diesen für ein Größtes, folglich den zux — — 1 gehöri¬ gen Werth—r-für ein Kleinstes zu erklären. 5. 25epspiel. Die Zahl x soll so bestimmt werden, daß /x ein Größtes werde. Wir erleichtern uns die Rechnung, indem wir erforsche"/ Es ergibt sich demnach für x — si der größte Werth i> /ir ^4,4446678. 515 Voir der Differenzial-Rechnung. 6. Beispiel. Aus — sin? x cos x findet man / --- Lsinxcos^x—sln^x — sinx (2—3 sin" x) —0 cosx(2—3sin^x) —6sin"xcvLx — cO8 x (2 — 9 sin? x). Die Gleichung 7' — 0 zerfallt aber in die Gleichungen sinx —0 und 8inx —isi/—, 3 von denen, wenn m, n, p ganze Zahlen bedeuten, die erste x — in. 180°, die andere x —2n.180°^54° 44' und x - (2p -l- 1) 180° 54° 44' liefert, weil Ivß 8inx — (Io§2 — Ioss3) — 9,9119543, also x---54°44' ist. Ordnet man sämmtliche Werthe von x nach ihrer Größe, so ffndet man V--.., o,- 2 3/3 180°,—125° 16'—54°44',0°,54°44', 125° 16', 180°, .. 4 4 ... 4 ^4_ 2, . /3'^'"/3' /3' 2 o 0,.. 3/3 ' 3/3' 3/3 Hier können wir den Umstand nicht unbemerkt lassen, daß ^0 nicht nur als ein relatives Maximum, sondern auch als ein relatives Minimum der Function erscheint, und daß das absolute Maximum der Function — / das absolute Minimum hingegen — — ß. 696. Die Untersuchung, ob eine Function u mehrerer veranSer- x, . größte oder kleinste Werthe besitze, laßt s'ch auf die in §. 694 vorgetragene Bestimmung derMaxuna und 33 516 Siebente« Haupt stück. kirr. Minima der von einer einzigen Veränderlichen abhängigen Func¬ tionen zurückführen. Denn soll die Function n — k(x, x, r,....) für gewisse Werthe der Veränderlichen x. v, x .... in ein Größtes oder in ein Kleinstes übergehen; so muß, wenn man diese Variabel» um die äußerst kleinen Größen pw, qw, rco,.... welche zu einer und derselben sehr kleinen positiven Größe finden endlichen positiven oder negativen Verhältnissen g, r, . . . - stehen, sich ändern läßt, für die kleinsten Werthe von », im ersten Falle s(x -t- PU, v -l- qco, r -t- r-U, ....)< 5(x, v, r, im andern Falle aber s(x^i-pco, ; -t- gw, L-t-rco , ....)> s(x, ) , r, ....) erscheinen, oder es muß, wenn man ) /.-l-rU, ....) — ^(co) setzt, die nur von co abhängende Function IX-o) die Function k'(U) muß für co — 0 ein Maximum in jenem, odn ein Minimum in diesem Falle werden, was für Wertste auch Größen p, q, r, .... erhalten mögen. Es muß demnach (8. 694.) der Differenzial-Coefficient x><«) ÜU für U —0 entweder Null oder unendlich groß werden, es muß, wenn wir nur den ersten Fall, weil er am vorkommt, untersuchen, 1^0) -- 0 seyn. Nun ist aber (§. 681.) stk (co) — iss^(U)c!U --- Is(U -i- 6eo) — k(«) oder — s(x-I-pU-I-j>clU, 7 -t-gU-1-eiclU,..) —1.(x4-I?U- 7 folglich, wenn man » — 0 und ^(co) — 0 setzt, nähmlich hauf-B-" Bon der Differenzial-Rechnung. 517 1(.x-»-pclU, v -t- czcl«, r -t-räco,..-.) — k(x, v, .) — 0, und wenn man, was nicht verwehrt werden kann, äx, ch, clr, . . . . für pcls,, czcico, rclro, ^. . . schreibt, s(x 4- cix, z- 4- ciz-, 2 4- clr, . . . .) — k(x, , r, < . . .) — 0. Beachtet man noch, daß der ursprünglichen Annahme ge¬ mäß t(x, v, . .) ist, so stellt der erste Theil dieser Gleichung das vollständige Differenzial von n, nähmlich — x — v-7777» ... ... , m-^-n-t-p u>-t-n I erhält. Das gesuchte Product, das den Bedingungen der ÄM be gemäß nur ein Größtes seyn kann, ist demnach M-" n" pk L"-1-n-l-i> u — x" )-" (L — X — )-) k ein Maximum werden, folglich hat man sich zunächst mit der Auf¬ lösung der Gleichungen — MX"—2 v" (L — X — )-) o px" )'N (L—X — )-) clx — x°>-1 )-" (a — x — )-) r—1 (inL — mx — m) — px) — 0 - — NX'" (L — X — px"> )-" (L — — x")"—^(L — X ' — x)r—^(NL— NX — nv — p)) —0 zu beschäftigen ; aus denen man, danach der Natur der Aufgabe we¬ der x —0, noch )- —0, noch auch a —x— v—0 zugclaffn werden kann, durch Verbindung der Gleichungen ML — IN)-- (m -t- p) X — 0 na— nx — (n -t- p) x — 0 Bon dec Differenzial-Rechnung. 5Is) bestehen. Da n, folglich auch I^u — IN fsiX -I- I1-i- p ein Maximum und du — 0 seyn soll, so wird man diese Gleichun¬ gen differenziren und dadurch dx -t- dx dr — 0 dl^n — — dx -t- — dv -t- dr — 0 x / ' r gewinnen. Würden wir nun aus diesen zwey Gleichungen ein Differen¬ zial, etwa dr eliminiren und zu diesem Zwecke die erste Glei¬ chung mit dem unbestimmten Factor — multiplicircn, beyde Gleichungen addiren, in der so gewonnenen Gleichung —X dx-t-) d^-t-dr--0 den Factor — X — O setzen, und den für X daraus folgenden Werth in die mit dx und d;- verknüpften Factorcn substitui- rcn: so könnte die auf diese Weise entstehende Gleichung wegen der völligen Willkühr der Differenziale dx, d;- nur unter der Bedingung bestehen, daß die Factoren von dx und dv einzeln Null, nähmlich X 7. I 2 folglich m X V 2 werden. Allein man sieht auf den ersten Blick, daß man zu demsel¬ ben Ziele gelangen müsse, wenn man den unbestimmten Factor °ls eine unbekannte Größe behandelt, welche die mit dx, dv, dr Gebundenen Factoren zugleich auf Null bringt. Man wird dem¬ nach alle diese Factoren gleich Null setzen, und auS den erhaltenen Gleichungen X--O, ——X--O, X--O x x " 520 Siebenter Hauptstück. kix. mit Zuziehung der Gleichung X -i- -t- r — n die Größen x, 7, 7. suchen; wozu man folgenden Weg einschla¬ gen kann. AuS diesen Gleichungen ergibt sich nahmlich X 7. folglich findet man, da (nach §. 191., wenn man den daselbst ausgesprochenen Lehrsatz in der Form nq_dq_cq _ äcj_ _nci-t-Iiq-1-cg-1-stg-t- . ... n I) c ä anschreibt,) IN _ n_p IN -t- n -i- p m -t- n -i- p X X X -t- -t-sr N seyn muß, III s NN PN X —-, —-7. — ---. IU-t-N-t-p IN-t-N-l-p in-pn-pp 2. Beispiel. Man bestimme diejenigen Werthe von x und^ für welche das Product x>- ein Maximum wird, wenn zugleich b» Bedingungsgleichung x^ -l- — n x)' statt findet. Damit hier n — x^ , also auch I,n — I^x -t- I,) ein Maximum werde, muß äu — 0 . äx , c>x — n oder — -I- — — 0 , X und'wegen der Bedingungsgleichung x^ -1- ) — NX) — 0 auch noch (3x^ — nv) äx -1- (3x" — sx) cly — 0 . bestehen. Vereinigt man beyde Differenzial Gleichungen mi des unbestimmten Multiplikators X, so ergibt sich die Klci M (3x^ — nv -r- -^) clx -t- (3; — nx -t- —) 0 - x I aus der sofort 3x" — nv -l- — — 0 , 3v^ — nx -t- — 0, x I folglich X — axx —3x^---»xv—L)'" Bon der Differenzial-Rechnung. 52t und X — 7 erhalten wird. Durch die Einführung dieses Werthcs übergeht aber obige BcdingungSgleicbung in 2x^ — M -- 0, woraus man, da x—0 unzulässig ist, x — — v, und u — — 2 4 findet. in. Abschnitt. Anwendung der Differenzial - Rechnung auf die Geometrie. Untersuchung der ebenen krummen Linien. Bestimmung der zu dieser Untersuchung dien liehen Hülfslinien und Hülfs winkel. §. 698. Esscy (riss.194.) LKI6 eine in einerEbcne gezogene krumme 194. Linic (Eurve) M eine Abscissenlinie,k. der Anfang der Meissen,und für einen beliebigen Punct KI der Eurve UKIE scy KU die 'Misse, I>kl---v die auf ihr senkrechte Ordinate, U der Anfang d« Bogen, IM — 8 ein Bogen der krummen Linie: so kann man für das Differenzial oder Element cis des Bogens s, für den Neigunyswinkcl KI w der Eurve, welchen nähm- l'ch die an KI geführte Tangente mit der Abscissenlinie bildet, für die Subtangente Ul'— t, für die Subnormale für die Tangente KU ---1, für die Normale KUX --- ik', für die Entfernungen —II, undk.O-V des Anfangs Abflüssen von den Einschnitten der Tangente kffl in die Abscissen- und Ordinatenlinie, endlich für den senkrechten Abstand dieser Tangente von dem Ursprünge der Eoordinaten, oder für das Perpendikel k allgemeine Ausdrücke aufstellen; womit wir uns zunächst beschäftigen wollen. 522 Sieb« n trs Hauptstück. §. 699. Ni,'. 194. Au diesem Zwecke vermehren wir die Abscisse Wum ein end¬ liches Stück , ziehen die Ordinate pm, ferner die Gerade UH zur Abscisse parallel, und verbinden U und m mittelst der Sehne Um, welche wir bis an dieAbscissenlinie verlängern. Aufdiest Weise wird die zweyte Ordinate ym um das Stück mH größer als die erste Ordinate I?U werden, und der Bogen Lm den friihern Bogen LU um das Stück Um übertreffen. Lassen wir nun die Linie Lp ohne Ende abnehmen, so nä¬ hert sich der Punct m dem Puncte U, 8 dem Puncte "k, also die Sccante mU8 der Tangente U^ ohne Ende; folglich wird, wenn man die Zunahme der Abscisse unendlich klein, nähmlich Lp — äx annimmt, mL die unendlich kleine Zunahme css du Ordinateder Bogen Um die rrnendlich kleine Wergrößerungch des Bogens s; zugleich kann man annehmen, daß die Sehne Um mit dein Bogen Um übereinfalle und beyde in der Richtung der Tangente liegen. Dadurch wird der Winkel mUIl --- U?I> daher auch das von den unendlich kleinen Seiten UL —clx , Lm — cl/ , mU —cks eingeschlossene geradlinige Dreyeck ULm, welches einige Geonic- tcr das karakteristische Dreyeck der krummen Linie nennen, d §. 378. IV.) ähnlich. Bey diesen Voraussetzungen folgt aus dem rechtwinklig'" karakteristischen Dreyccke Um- -- UL- -l- Lm- also (1) cis-— clx--l-cl^- oder (2) cis — h/ (ix- -t- c!) -, folglich (3) — — 1 -i- äx ckx- oder, wenn wir die Abscisse x, wie cs gewöhnlich zu geschehen 1',". pflcgt, als die absolut oder unabhängig veränderliche Größe an- 194 sehen, und die Differenzial - Coefficienten — von y und 8 ckx ckx nach §. 681. durch und bezeichnen, Ferner ergeben sich aus demselben Dreyecke für den Nei¬ gungswinkel die Gleichungen Aus der Ähnlichkeit der Dreyecke Nkm und erhal¬ ten wir und aus der Ähnlichkeit der Dreyecke Nkm und IVll'iX, (1V) die Subnormale n—7--— NX ^11) die Normale N — ckx Da ferner ——> und so findet man die Heyden Entfernungen D und^V des r pt ges der Coordinaten von den Einlchnittcn der Langen e Koordinatenachsen mittelst der Gleichungen (12) D--x->^ 0)' (13) ax 524 Siebentes H a u p t st ti ek. kiss. Endlich ist das aus .4. auf die Tangente herabgelasM 194. Perpendikel I? — sin — (t— x) sin w oder ci« 05 08 §. 700. Kennt man nun die zwischen den rechtwinkeligen Coordim- ten x und v bestehende Gleichung der krummen Linie, so wird man dieselbe differenziren, daraus die Differenzial-Quotient!» liv st8 Ü8 , 8^ n > oder v', - llx llx «V bestimmen, und in obigen allgemeinen Ausdrücken subslituim, wie dieses durch folgende Beyspiele deutlich werden wird. - 1. Lepspiel. Die Gleichung der Parabel ist (nach §.628.) v? — 2px, daher ihr Differenzial )'X Ferner ist t , n , k^x wenn wir bloß die absolute Länge dieser Linien berücksichtigen. Für die Kreislinie ist ll — n, also iunxco —— 77, V t — — a—- , n —x; X L weßwegen alle ihre Normalen durch den Mittelpunkt gehen. Man erhält diese Großen sehr leicht für die Hyperbel, wenn "an (nach §. 661.) in obigen Gleichungen — K- statt 1," schreibt. 3- Verspiel. Für die Kegelschnittslinien ist im Allgemeinen — 2px -l- cjx^, folglich ch I> A- e,x ckx --- (p Hieraus ergibt sich " , p -t- c/x l ang « — -— I v" —L- , n —p-t-gx, p-l-cix P A- qx 526 Siebente« Hauptstück. kix. Für x — 0, nähmlich am Scheitel des Kegelschnitte» 194. ist t — 0 , n — p, 1- l>, — p. 4. Beispiel. Bey der Logistik, deren Gleichung (Z. 671.) ist, findet man , clx a n daher ist tan^co — — — » N L V? t — n , n , woraus wir ersehen, daß in -er Logistik die Subtangente um veränderlich ist. 5. Beispiel. Aus der Gleichung (§. 672.) der Cycloide 2ax — x" -l- n . arc sinv clv _ a — x s 2a * clx s/2ax—/ (2a-x)^ nähmlich s/ 2a -X . tlx X somit ist tanz- ca — X 197. Zieht man nun (kix. 197.) die Sehne -Xtz, so wird rx. / / (1 -t- / ?a, e!x x x 'r -- v V/ 2»— x x 6. Beispiel. Die Gleichung (§. 674.) v — usinx der Sinuslinie gibt flv — — L0OSX, «ix daher ist tanxco — acosx, t — tnu^ X , II — a" sin X cos X — — a" SIN 2x. 2 Ist insbesondere a- 1, so hat man ) — sinx, --- tanečo — cosx, -t-aos^x, clx clx t — tnn§x, — tnnxX s/l -t-cos?X, " — sinxcosx, iX — sin x ^/l -t-cos? x. sonder Krümmung und dem KrümmungS- Halbmesser. §. 701. l- Unter allen krummen Linien ist die Kreislinie die einzige, welche in jedem ihrer Puncte gleich stark gekrümmt ist; zugleich die Krümmung an verschiedenen Kreislinien verschieden , und >war nimmt sic ab, oder zu, je nachdem der Halbmesser größer °d-r kleiner wird, was man deutlich einsieht, wenn man in irgend -'nem Puncte einer Geraden eine Senkrechte errichtet und aus al- Puncten dieser Senkrechten mit ihren Abständen von der Ge¬ lben als Halbmessern Kreislinien beschreibt, welche die Gerade ''"ühren, und sich desto enger an sie anschließen, folglich desto weniger gekrümmt oder desto flacher ausfallen, je mehr ihre Hal - "'ester sich vergrößern. Man kann demnach die Krümmung, welche 528 Siebente« Hauptstück. k'ijr. eine krumme Linie an einem ihrer Puncte besitzt, mit jener eim Kreislinie vergleichen, und gewisser Maßen die Krümmung de Kreislinie für den Maßstab der Krümmung der krummen Linie! annehmen. Lassen wir nun — weil die Krümmung der Kreislinie zu oder abnimmt, je nachdem ihr Halbmesser im Ab- oder Zunehnm begriffen ist — die willkührliche Annahme gelten, daß die Krümmen, gen der Kreislinien ihren Halbmessern umgekehrt (indirekt) proper tional seyen, und nehmen wir die Krümmung der mit dcrLänM einheit als Halbmesser beschriebenen Kreislinie für die Einheit du Krümmung an; so kann die Krümmung der mit dem HalbmesserK verzeichneten Kreislinie durch — ausgedrückt oder der Bruch geradezu die Rrümmung dieser Kreislinie genannt werden. Di ferner die Kreislinie, folglich auch die Krümmung derselben durch die Größe des Halbmessers bestimmt wird, so ist auch die Krüm¬ mung einer krummen Linie an einem jeden Puncte bestimmt, so¬ bald man den Halbmesser derjenigen Kreislinie kennt, welche cüu eben so große Krümmung hat, als die Curvc an diesim Puncte. Diese Kreislinie nun, deren Element mit jenem der krummenLn« zusammcnfällt, nennt man den Rrümmnngskreis, ihren messer den Rrüinmungohakbmeffec und ihren Mittelpunkt de» Rrümmungsmittelpunct der krummen Linie an dem bezeichnt" Puncte. 196. II. Aus diesen Erklärungen folgt, daß (ssiss- 196.) dieKrü^' mungsmittelpuncte der krummen Linie an den Puncte« - und m in den Normalen iVIL, uiL dieser Puncte liegen; du > wird, wenn man denPunct m so unendlich nahe an U anmm^ daß man s>ln, für das Differenzial des Bogens ansehcn kan«/^ Mittelpunkt des Krümmungskrcises an dem Puncte Durchschnitte L beydcr Normalen liegen. Soll nun mit dem Elemente iVIm der krummen Linie 0-^ das Element der Kreislinie übereinfallen, folglich unendlich kleiner Kreisbogen von dem Halbmesser werden können, so muß es erlaubt seyn — u'i- s» wodurch wir in den Stand gesetzt werden, den Krümmung Von der Differenzial - Rechnung. 528 meffer jeder krummen Linie an jedem ihrer Punctc auf folgende Weift zu bestimmen. 196- Es sey — 8 ein Bogen der krummen Linie die Abscissenlinie, ihr Anfang, —x die Abscisse, und ?N — 7 die senkrechte Ordinate des Punctes N, folglich ?p — cix, km — 67 Nur — äs; zugleich sey der Krümmungs¬ halbmesser iVlL — k. Sehen wir nun Nm — cis als einen unend¬ lich kleinen Kreisbogen von dem Halbmesser NE —k an, und bezeichnen wir die Länge des mit der Längeneinheit zwischen den Schenkeln des unendlich kleinen Winkels N6m beschriebenen Bo¬ gens mit so muß, weil (nach §. 416.) ähnliche Kreisbogen ihren Halbmessern proportional sind, k : 1 — cis: s, also k -- - L ftyn; daher wir nur nochs zu bestimmen haben. Dieser Winkele, welcher von den beyden an die Endpuncte N und m des Elementes Nm der krummen Linie gezogenen Normalen eingeschlossen ist, gleicht aber, wie man leicht sieht, dem Winkel, den die an die¬ selben Puncte N und iu gelegten und auf jenen Normalen senk¬ recht stehenden Tangenten bilden, und welcher der Tontingen;- ober Rrümmunyswinkel genannt wird. Allein dieser Contingenzwinkel ist (nach §. 379.) dem Unter¬ schiede der Winkel gleich, welche die Tangenten mit der Abscissen» linie bilden und die (nach §.698.) die Neigungswinkel der Curve den Puncten N und m sind. Bezeichnen wir aber, wie im 698 den Neigungswinkel an N mit co, so muß derselbe, wenn wan vonN zu dem unendlich nahen Puncte m übergeht, eben so wie die Abscisse x, die Ordinate 7 und der Bogen s, welche dem Puncte N entsprechen, um sein Differenzial cico wachsen, ftlg- ^ch in übergehen; demnach ist der Contingenzwinkel (co-t-äu)— — cico, mithin auch r —— cl«. Führt man "len Werth in obiger Gleichung ein, so wird der Krümmungs¬ halbmesser (15) „ cis Vega Mach. II. B. 24 li - §. 702. daher ist folglich ist (18) daher auch (19) cis? Sehen wir clx für constant an, so erhalten wir (nach §-682.) clx? -t- 6^? oder weil (nach §. 699.) clx?-t-cl^ — üs? ist, (17) III. Dieser einfache Ausdruck des Krümmungshalbmessers läßt sich noch auf sehr verschiedene Weisen gestalten, von denen wir jedoch nur die brauchbarsten anführen wollen. Nach §. 699 ist tangco — , also co — arctsn^^. clx clx Kennt man nun die Gleichung zwischen den rechtwinke Coordinaten einer Linie, so unterliegt die Bestimmung Krümmungshalbmessers keiner Schwierigkeit, wie dieses an genden Beyspiclen zu ersehen ist. _ _ cis? § clx cl?/ X' 1. Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Kegelschn-^ linien ist (§. 661.) r'- — 2^x -t- qx?, ch' _ p -t- qx «Ix 5Z0 Siebentes Hauptstück. und die Krümmung Nach §. 69S ist aber Von der Differenzial - Rechnung. 531 und wenwman neuerdings differenzirt, ä-v ^07- (l^Ox) s° Somit ist für die Kegelschnittslinien lVS (20) k -- , und wenn wir den halben Parameter p — 1 setzen, k -- Nehmen wir x—0 an, so wird (nach §. 700. Beyspiel 3.) IX p, folglich k p. An den Scheiteln der Kegelschnittsli- nien ist demnach der Krümmungshalbmesser dem halben Pa¬ rameter gleich. Insbesondere ist (§. 631.) in der Parabel 2r IX —h^2pr, daher H-2r^/^-> in der Ellipse und Hyperbel aber (§. 646. und 662.) ist und , folglich k - L L 01) 2. Bepspiel. Aus der Gleichung der Cycloide — f/2nx—x^ -t- L. urc sinv folgt — ./ 2-r—x (2^—1) und 8^ — ' üx x x «x x daher ist v" - - -_ __ , x^/(-— 1) x/2ox-x- ""d H --- 2 H/ 2,-,(2n—x). Da nun (kiA. 197.) 107. vXL^2a, M-2N -x, folglich - /2n(2a-x) . ' so hat man 532 - Siebentes Hauptstück. Hk- 3- Beispiel. Bey der Sinuslinie — 3 sin x findet man - 3 cos x, s' - ^1-^3-cos-x, llx ckx mithin ^'--^--2sinx, clx^ und den Krümmungshalbmesser 3 (1-i-3^ COL^x) 3 8INX 4. Lexspiel. Die logarithmische Linie V— 3 D.X gibt 3 6s ^3^^ c>-c x ' «ix? x^' «lx x ' daher ist ihr Krümmungshalbmesser 3 k 4- . 3X Bestimmung der Lage der Asymptoten krum¬ mer Linien. §. 703. Soll eine krumme Linie (nach §. 621.) ihrer geradlinigen Asymptote unendlich sich nähern, dieselbe aber, wie weit man auch beydc verlängern möge, nie erreichen können; so muß die Tan¬ gente, welche den unendlich nahe an die Asymptote rückenden be¬ weglichen Punct U stets begleitet, um so mehr der Asymptote sich nähern, je weiter dieser Punct von dem Ursprünge der Ccor- dinaten sich entfernt. Folglich läßt sich die Asymptote als die Grenze ansehen, der sich die Tangente der krummen Linie bey dem unendlichen Entfernen des Berührungspunctcs von dem Ur¬ sprünge der Coordinaten ohne Ende nähert. Um demnach auszu- mitteln, ob und wo eine durch ihre Gleichung gegebene krumme Linie Asymptoten besitze, wird man jwcy die Lage der Tangente bestimmende Stücke (§. 699.) Bon der Differenzial-Rechnung. 533 , . fix xr äv (21) Dl —X —, V--^ —X, cly ax clx clv . äv I' x -2 , tanx co — cls 65 ux suchen, hierauf eine der Coordinaten x oder y positiv oder ne- gativ unendlich groß, folglich — oder — gleich Null setzen, die andere aber mit Hülfe der bekannten Gleichung derCurve bestim¬ men, und sonach beyde in obigen Ausdrücken substituiren. Erhält nun das Perpendikel k, oder wenigstens einer der beyden Abstände I) und V einen endlichen Werth; so hat die krumme Linie eine Asymptote, und zwar wird ihre Lage entweder durch zwey dieser Längen, oder durch eine derselben und durch den Nei¬ gungswinkel w, oder endlich, wenn diese drcy Längen zugleich Null werden, folglich die Asymptote durch den Ursprung derCoordina- ten geht, hloß durch den Winkel co bestimmt. Insbesondere läuft die Asymptote zur Abscissenlinie parallel, wenn l_I unendlich groß, dagegen V — D und endlich ausfällt; sie läuft mit der Ordinatenlinie parallel, wenn D unendlich groß, hingegen Dl —1> und endlich wird. Wird aber D, folglich auch jede der beyden Entfernungen l und V unendlich groß oder imaginär, so besitzt die krumme Linie keine Asymptote. Die zur Abscissenlinie parallelen Asymptoten erhält man auch, wenn man indcr Gleichung der krummen Linie x-^c» setzt, und iusieht, ob x einen endlichen Werth erhält. Eben so lassen sich die °ur Ordinatenlinie parallel laufenden Asymptoten finden, wenn wan in der Gleichung der krummen Linie x — — oa> annimmt und wucrsucht, ob x endlich ausfällt. Daß übrigens krumme Linien, bcy denen keine der Eoordi- "^^n x und unend'ich große Wcrthe anzunchmcn vermag, wie '° Kreislinie, die Ellipse, die Lcmniscate u. a. keine Asympto- esitzcn können, ist an sich klar. 534 Siebentes Hauptstück. 1. Beispiel. Bey den Kegelschm'ttslim'en ist (nach §. 700. Beyspiel 3.) x-b-qx ^-t-cxx x V -- v — px P . . 1 Setzen wrr hienn — —0/ so wlrd D---P, V-- p ; woraus erhellet, daß nur die Hyperbel, bey welcher p —« noch eine zweyte Ordinate piu parallel zie¬ hen und sie bis an die Tangente in I) verlängern, der Abschnitt nM positiv oder negativ ausfalle, je nachdem die Linie LIVI concav oder convex ist. Es sey nun, wenn wir ^1*-x annehmen, y —t'(x) die Gleichung der krummen Linie, so ist die Ordinate der Curve v,— s(x-t-L) —s(x) -t-L?(x)-t- s"(x) 4--^-—?"(x)4-... Zugleich wird, wenn die Gerade N1' die Krumme in N berührt, tun» iVl II' — tang co — — I^(x) ax und die Ordinate der Tangente — ),, — "Ip t-mg co — (v 4- ce) — V 4- us^(x), ' chv ox folglich übersteigt die Ordinate der Tangente jene der Curve um , (22) - s"/(x) ... . 1.2 1.2.3 Da nun die Länge für die kleinsten Werthe von « wit dem ersten Gliedc — — s"(x) einerley Zeichen annimmt, 1.2 lo fällt sie positiv oder negativ aus, und die Linie ist concav oder convex gegen die Abscissenlinie, je nachdem I"(x) — oder ouch bloß das zweyte Differenzial el"v der Ordinate negativ odex positiv ist. Man kann sich von der Nichtigkeit dieses Kennzeichens da- §en, daß, wie man init Hülfe einer einfachen Fi- Erklärung leicht folgern kann, die unendlich kleine das Differenzial des Neigungswinkels « der krum- """ Linie bey zunehmender Abscifse negativ oder positiv, bcy Jur aus obiger Zunahme oder 194. 188. 538 Siebentes Hauptstück. kiss. abnehmender Abscisse aber umgekehrt positiv oder negativ, folg¬ lich der Quotient negativ oder positiv ausfällt, je nachdem clx die Linie concav oder convex gegen die Abscissenlinie liegt. Nun ist aber (Gl. 17.) clca cl?^ clx clx? / daher bewährt cs sich auch hier, daß die Concavität der Linie aus dem negativen, ihre Convexitä't aber aus dem positiven Zeichen des Differenzials cl?^ gefolgert werden könne. Hieraus ersehen wir zugleich, daß dem für den Krümmungs¬ halbmesser gefundenen Ausdrucke k V : ^clx/ clx? gemäß bey concavcr Stellung der Linie gegen die Abscisse der Krümmungshalbmesser positiv, bey convexer aber negativ scy, wenn der Bogen und die Abscisse zugleich wachsen. So ist z. B. bey der Parabel 7? — 2px cl?v .. — j? clx? 7^ bey der Cycloide 7 — s/ 2x — x? -t- nrc siuv x ^11 — 1 clx? x 2x — x? folglich liegen diese Linien concav gegen ihre Abscisse. Dagegen ist bey der gleichseitigen Hyperbel xv —1 cl?7 - 2 clx? x^' bey der Logistik 7 — chL chs.' - clx? n? ' sonach zeigen diese Linien der Abscissenlinie ihren convexen - Bon der Differenzial-Rechnung. 539 Von den besonderen Puncten der krummen Linien. 705. Mit diesem Nahmen belegt man jene Puncte, in denen die krummen Linien einen bcmerkenswerthen Umstand darbiethcn- Dergleichen Puncte sind: 1. ) Diejenigen, in denen die Ordinate der krummen Linie den größten oder kleinsten Werth erreicht; z. B. iVl, iX, Nz. 198. 198. 2. ) Jene Puncte, in welcher die krumme Linie aus der con- caven Stellung gegen die Abscifsenlinie in die convexe oder umge¬ kehrt übertritt: Wendungo - oder Viegungspuncce; z. B- 198. L, (?, k'i». 198; iVl I'ix. 201. 201. 3. ) Puncte, wo die krumme Linie plötzlich endigt und nach einer rinderen Richtung zurückkchrt: Rückkehrpuncte, Spitzen 199. oder Schnäbel; z. B. iVI 199 und 200. 200. 4. ) Puncte, durch welche die krumme Linie mehrere Mahle geht: vielfache puncte: z. B. 174. 47t. 5. ) Puncte endlich, welche zwar von der Linie ganz getrennt sind, aber doch die ihren übrigen Puncten gemeinsamen Eigen- chaften besitzen: deygeordnete, conjuxirte Puncte. Wir wollen das Nothwendigste von diesen Puncten in Kürze erwähnen. I. puncte der größten und kleinsten Drdinaten. Soll bey einer krummen Linie die Ordinate eines Punctcs größten oder kleinsten ausfallen, so kann dieses nur gedacht werden, wenn die an diesen Punct gelegte Tangente entweder >ur Abscissenlinie parallel läuft, wie in 498, 198. ^er auf ihr senkrecht steht, wie in kiss. 199 und 200. 499. Es muß demnach die Neigung co an diesen Puncten entwe- 209. d"Null oder 90", folglich mng co odcr^ entweder-0oder-«- 540 Siebentes Hauptstück. N-l. seyn. Man wird daher jene Abscissen aufzusuchen haben, für welche die Gleichungen (23) 0 , - 0 ax 6^ bestehen. Allein nicht allen so gefundenen Abscissen gehört unbedingt 201. eine größte oder kleinste Ordinate an; denn so ist in HZ. 201 bcy 200. U die Tangente zur Abscissenlinie ^I>, in 200 aber zur Ab- scissenlinie parallel, ohne daß die Ordinate des Punctes N 175. eine größte ist; eben so steht in Fix. 175 und 201 bey und N 201. die Tangente auf der Abscissenlinie 1)8 und senkrecht, ohne daß an diesen Stellen größte Ordinaten vorhanden sind- An den Stellen, wo die krumme Linie in der That eine größte Ordinate hat, und die Tangente zur Abscissenlinie parallel 198. läuft, (wie bey lVI und iX Isix. 198.) muß die krumme Linie ge- gen die Abscisscnachse concav liegen, folglich nach (§. 704.) negativ seyn, und umgekehrt muß da, wo die krumme Linie eine kleinste Ordinate besitzt, und die Tangente ebenfalls zur Absciffen- achse parallel lauft, (wie bey iVI' in 1^. 198.) die krumme Linie gegen die Abscissenlinie convex liegen, folglich ^-positiv seyn. Stehr aber an einem Otte, wo die krumme Linie eine größte oder kleinste Ordinate zuläßt, die Tangente auf der Abscissenlinie 199. senkrecht, wie in 199 und 200 bey so bildet die Lime 200. jederzeit eine Spitze, und man hat demnach die krumme Lim- vor und hinter diesem Puncte riicksichtlich des Steigens oder Fal, lens insbesondere zu untersuchen. Da jede Function einer einzigen Veränderlichen als die Lr- dinate einer krummen Linie angesehen werden kann, (§- 624 so wurden wir durch diese Betrachtungen allein schon nach dem Beyspiele älterer Mathematiker die Lehre von der Bestimmung der größten und kleinsten Werthe solcher Functionen begründen kou nen, wenn dieses nicht bereits (§. 694.) aufrein analytischem Kege geschehen wäre. Bon der Differenzial - Rechnung. 541 So erhält die Ellipse I'iss. -t- 1 L' ll- fürx — o ihre größte Ordinate b; die Lemniscate (4 — x^) 1 .1 für x — die größte Ordinate ; die Muschellinie (§. 62Z.) 7— -—- 1^1- X für x 0 die größte Ordinate 1; die Sinuslinie —asinx fürx-^^^3^-, ^5.^, die größte Ordinate a. genügen. Hat man auf diese Weise x^a und gefunden, so kann dieser Punct der Linie ein Wendungspunct seyn; man muß nber, um zu untersiichen, ob dieses wirklich statt finde, den Lauf verkrümmen Linie dadurch erforschen, daß man in dein gefundc- zweytcn Differenzial-Quotienten für x die Werthe a-t--r und u —fttzt und nachsieht, ob bey den kleinsten Wcrthcn von eiestr Differenzial - Quotient in der That entgegengesetzte Zci- erhält, da bloß in diesem Falle ein wirklicher Uebertritt aus II. Die wendungspuncte. Soll eine krumme Linie bey einem Wendungspuncte die Concavität und Convexität gegen die Absciffenlinie verwechseln, so muß der zweyte Differenzial-Quo¬ tient aus dem positiven in den negativen Zustand, oder umgekehrt, folglich durch 0 oder «0 gehen. Man wird demnach zur Bestimmung dieser Puncte aus der Gleichung der krummen Linie den Differenzial - Quotienten ableiten und jene Wbrthe von x suchen, welche den Gleichungen ^--0, 0 clx? ci^ 2 5 6x- s — L) ° 542 Siebentes Hauptstück. kix. der concaven Luge in die convexe oder umgekehrt statt findet, folglich der gefundene Punct ein wendunygpunct ist. So gibt die Linie essentiell negativ, und für x --- äx- die Differenzial-Quotienten — c(x—s) clx o 7 —- — —c(x — a) » — —- . clx- ?5 I. 25 (x — a) s Nimmt man.nun, was hier allein zulässig ist, so wird X — L. Zugleich erhält man für x — a -l- « 6a 7 25« s L — « 6e 7 25« s essentiell positiv, folglich ist der Punct, für welchen x —» —ist, ein Wendungspunct. Eben so findet man für den Wendungspunct der Linie s — x -t- (x — a)^ die Coordinaten x — a , — g. III. Die Rückkehrpuncte oder Spitzen. Soll ein Pnn-l eine Spitze scyn, so müssen in ihm wenigstens zwey Acste f vereinigen, eine gemeinschaftliche Tangente und Normale c zen, und nur auf der einen Seite dieser Normale liegen, legt man den Ursprung der Coordinaten in diesen Rückkchrpl und die Abscissenachse in die Richtung der gemeinschasi'' Von der Differenzial-Rechnung. 543 Tangente, so können in der dadurch abgeänderten Gleichung der k'ig Linie die kleinsten Werthe der Abscisse x entweder bloß positiv oder bloß negativ seyn, und die Ordinateso wie der Neigungs¬ winkel co der krummen Linie muß für x-^0 bloß den einzigen Werth 0, für jeden andern zulässigen sehr kleinen Werth von x aber mehrere Werthe erhalten. So ist z. B. bey der Cyssois die Gleichung u—X und diese zeigt, daß X nur positiv seyn kann, daher hat man clv (3u — 2x) x -1-7- 2(3 —x) 2 woraus man ersieht, daß fürx---0 auch co —0 ist, und zu je¬ dem äußerst geringen Werthe von x, zwey Winkel-t-co und — « gehören. Es ist also der Ursprung der Coordinaten eine Spitze der Cyssois. Cbcn so findet man, daß dieser Punct auch in der Muschel¬ linie cine Spioe ist, wenn K — a, folglich ihre Gleichung r / 2ax — x" x - L — X wird; ferner daß die Cycloide, deren Gleichung — l/2x — x^ -t- zrc sinv x für x 2 die Ordinaten ^rbiekhet, in allen den unzähligen Puncten, wie v, L, . . . . 'n welchen sie die Grundlinie OL trifft, Spitzen bildet. . Die vielfachen puncte. Ein vielfacher und nahmentlich "n zwey.- drey- oder vierfacher Punct befindet sich da, wo zwey, vier, oder mehrere Aeste der krummen Linie sich vereinigen, °hne dieselbe Langenle zu besitzen. So ist der Ursprung der Coor- n'nten bey der Lemniscate z" — ^^(1 - X^) , 544 Siebentes Hauptstück. kiZ. deren einzelne Aeste die Gleichungen v — -t- X 1 — x^ , v — — x^4 — besitzen, und von zwey durch den Ursprung der Coordinaten ge¬ henden Geraden X - — x und — -t- X berührt werden, ein zweyfachcr Punct. Eben so ist der Ursprung der Coordinaten auch in den Linien — x arc tanss — x" cos x X ()'" — x") — x^ LIN X ein vielfacher Punct. V. Oie conjugirten puncte. Da die Coordinaten dieser Puncte zwar auch der Gleichung der krummen Linie Genüge lei¬ sten, aber die Puncte selbst von der krummen Linie ganz getrennt sind, so muß, wenn die Abscisse eines solchen Punctes x —s ist, seine Ordinate x —d reell ausfallen; allein für jeden noch so nahe an s liegenden Werth von x muß imaginär werden. So ist in der Muschellinie x —, wenn d < a ist, der Ursprung der Coordinaten , in der Linie (x-t- s) /x . der Punct x - — a , —0 , in der Linie v —b-t-(x— a)^^/x — 2a der Punct x —a, 6 , ein conjugirter Punct. Bon den Evoluten der krummen Linien. §. 706. I. Aus der über die Bestimmung der Krümmung der kim^ men Linien gepflogenen Untersuchung ist deutlich zu ersehen, jedem Puncte der krummen Linie ein eigener Krümmungsnntlc punct zugehöre, und daß der Inbegriff aller Krümmungs^e puncte eine mit der gegebenen krummen Linie im engsten Bon der Differenzial - Rechnung. 543 menhange stehende Linie seyn müsse. Diese Linie, welche die Mittelpunctscurve genannt zu werden pflegt, wollen wir nun etwas näher kennen lernen. ES scy hiezu (issix. 196.) irgend eine krumme Linie, 49g. x dieAbscisse, IMdie Ordinate,.^!—s der Bo« gen, N6 —k der Krümmungshalbmesser und cs die Neigung an dem Puncte N. Für den correspondirenden Punct 6 ihrer Mit. telpunctscurve LO sey — x, die Abscisse, <)6 — z-, die Or¬ dinate, L6 — s, der Bogen, und cs, die Neigung gegen Ltz; zu¬ gleich werde L gesetzt. Verlängern wir Nk und 6tz bis zu ihrem Vercinigungspuncte 6c, so ist in dem rcchtwinkeligen Drey- eckeN66 der Winkel 6M6-w, daher 66c —H8incü , N6l —kcvsco. Es ist aber auch 6O--6tz-i-LI'--6, -l- L — X — n 8IN co (25) -t- x, — H co8 co. H. Diese Gleichungen lehren uns den merkwürdigen Zusam. wenhang zwischen der krummen Linie .^M und ihrer Mittel« punctScurve L6. Denn differenziren wir dieselben und beachten, daß (nach M. Gl. 15.) Hclco — — äs 'ii, so ergibt sich clz-, — äx — 8in cs clll — cos cs cis llx, -t- ä)- — cos cs llH -t- sin cs cis. Allein nach §. 699. Gl. 5 und 6 ist . äx—cos cs cis , ciz-— sin c-o üs , °ah°r auch (26) . - ch-, — sm cs lltc tlx, -- cos cs llli.. ^'8» Mach. H. A, 35 546 Siebente« Hauptstück. Dividirt man die erste dieser Gleichungen durch die zweyte, so 496. wird (28) tangco ; (IX/ woraus, da nach §. 699. Gl. (7) 6^, ——tLNss«, (IX/ ist/ sogleich tang ca,---tanxco , und weil beyde Winkel unter 180° liegen, (29) w, w folgt. Quadrirt man aber die Gleichungen (26), (27), und zieht auS ihrer Summe die zweyte Wurzel, so wird 68--ijis/6x,--t-6v? oder, weil (nach §. 699. Gl. 1.) 6x,r -l- 6?,' - 6s? , ist, auch 68, — 6s,. Bemerken wir überdieß, daß nach der Anlage unserer Zeich- nung der Krümmungshalbmesser KI6 mit dem Bogen 86 wächst, so muß in unserem Falle (30) 6K -- 6s, seyn. Aus der Gleichung (29) läßt sich nun deutlich entnehmen, daß der dem Puncte KI angehörige Krümmungshalbmesser wil¬ der gegebenen krummen Linie KM die Mittelpunctscurve 86 in dem Krümmungsmittelpuncte 6 des Punktes KI berühre; so wie man aus der Gleichung (30) erkennt, daß der Krümmungshold Messer KI6 mit dem Bogen 86 der Mittelpunctscurve um gleich¬ viel zunimmt. Denkt man sich daher an dieser Linie 86, vorans- gesctzt, daß sie weder unstetig ist, noch einen Wcndungsplmct oder eine Spitze hat, einen vollkommen biegsamen, un- ausdehnbaren und gleichförmig dicken Faden 68k. angelegt und diesen, indem man bey gleicher Spannung desselben sei" Ende kr fortbewegt, allmählig von der Linie 86 abgewiekelt, so wird sein geradliniger Lheil in jeder seiner Lagen, wie etwa Von der Differenzial - Rechnung. 547 in MO die Linie LO berühren und der Krümmungshalbmesser 1^. derjenigen Linie HM scyn, welche der Endpunct H deS Fadens 196. beschreibt. Weil man sich demnach die Linie HM durch Abwicke¬ lung ihrer Mittelpunctscurve erzeugt denken kann, so pflegt man auch die Linie HM die abwickelnde Linie oder die Evol¬ vente, ihre Mittelpunctscurve LL aber die abgewickelte oder Evolute zu nennen. Hl. Aus der Gleichung der Evolvente, die wir durch (31) 1(x, ^)—0 vorstellen wollen, laßt sich mit Hülfe der Differenzial-Rechnung die Gleichung der Evolute im Allgemeinen ohne Schwierigkeit finden. (23) («) Setzen wir nähmlich in den gefundenen Gleichungen (24) und (25) die Werthe (§. 699. 701.) - sl-o . stv 6x k —— , LINA—-/ , coSA — — , 6x6^ clr o» so übergehen sie in (32) ^--1-4 35 * 6s^ s^-0 cl^v 6x ^—---0 ch-v Man wird demnach zur Ausmittelung der Gleichung der Evo¬ lute aus der gegebenen Gleichung (31) der Evolvente die durch 'Ir ausgedrückten Werthe von 6^, 6s bestimmen, in die b-yden ander« Gleichungen (32) und (33) substituiren, auS den so erhaltenen von allen Differenzialen befreytcn drey Glei¬ tungen die Größen x und eliminiren und so zu der, nur die Koordinaten x, und z-, enthaltenden, Gleichung der Evolute ge¬ lungen; wie dieses durch folgende Beyspiele klar werden soll. 1') Sucht man die Evolute der gemeinen oder Apollonischen Parabel - —2px, ° ündet man aus ihr 6> 6'v — — 6x 6x* 548 Siebentes Hauptstück. daher übergehen die Gleichungen (32) und (33) in 196- —x—M ^3 und x, — — 0. (/) k Eliminirt man nun x aus («) und so wird 2 P und wenn man hierin den aus (^) folgenden Werth 2 — p x,3 substituirt, so erscheint 1 2 3 — — —x>- -P- x,» als Gleichung der Evolute der Parabel. Setzen wir ferner die willkührliche Constante n — p, nimmt diese Gleichung die einfache Form X, , oder x? -- px/ L o an. Die Evolute der gemeinen Parabel ist also die von i^eii zu erst untersuchte cubische Parabel ^-?7px-. 8 2.) Bey der Ellipse — -t- 1 n' t>' findet man die Hülfsgleichungen, falls man in ihnen die Con stante a-0 setzt, v. - x(1- x- folglich Xb / bx, X :t —k'/ !> b>"/ Bon der Differenzial-Rechnung. 519 und sonach die Gleichung der Evolute der Ellipse t'ix. 2 2 2 oder wenn man die halben Parameter der großen und kleinen Achse mit p und bezeichnet, 2 > —V-r- p/. 3.) Für die Cycloide (I'ig. 197. §. 672.) 197. V — z/2x — X? -t- nrc slnvx "geben sich die Hülfsgleichungen ze, -I-n — 4 4- X — 0 X, -I- > — 2 2x—x" — 0. Nehmen wir nun u —4, d. h. verlegen wir den Ursprung der Coordinaten der Evolute nach so wird x — — ), , also auch X — —2v, —) -t- »rc sinv (—>,) , und X, — ^/'— 2v, — — Lrc LINV (— V,) , «der wenn wir die positiven Meissen und Ordmaten auf die enl- ffkgcngcsctzte Seile verlegen, also x, in — x, und in verwandeln, x, — 2y, — v/ — urc 8inv ^"ses Resultat läßt uns (nach §. 672.) folgern, daß die Evolute der Cycloide eine andere ihr vollkommen gleiche Cycloide ist, deren Scheitel und Grund- linie ist. Don der Richtigkeit dieses Ergebnisses kann man sich durch ^ Betrachtung der rix. 197 überzeugen- Denn ist UM der Krümmungshalbmesser, so läuft er (§. 700.) zur Sehne Ltz pa¬ rallel und gleicht dem Doppelten derselben, daher ist 550 Siebente« Hauptstück. kix. Beschreibt man über der in auf errichteten Senkrech- 197. ten den Halbkreis zieht zu Ltz pa¬ rallel, und die Gerade so ist der Winkel also auch src — src und die Sehne — Ltz — IVI6 — 6^, daher ist (§. 386.) ein Parallelogramm, folglich tz/M — H/0, und auf senkrecht. ES ist aber auch (Z. 672.) arc^tz--, LN-r auszudrücken, übergehen wir von dem Punkte N der krummen Linie auf den unendlich nahen m, so daß der Polarwinkel

ähnlich. II. Nun ist,wenn wir die Längen der mit demHalbmefserük—1 beschriebenen Bogen statt der Polarwinkel in die Rechnung neh¬ men, Nü: üp - LN - üü, also Nü --- rcig); daher in dem rechtwinkligen Dreyecke Nüm NM---NÜ--1-ÜM-, nähmlich ^) cis" — -t- är^, oder wenn wir den Polarwinkel - -—— 8 - clw cl^> III. Bezeichnen wir nun noch mit co den Winkel, welchen die Tangente NI mit der Pslarachse VL bildet, so ist, wie man leicht sieht, w--^LN-«-LNl--?-t-90o —X, also auch (40) co — u -j- src tsnx — — w -t- src taiiß r^ ar und (41) isnss (co —'§>) — . clr r' Eben so findet man den (senkrechten) Abstand ö der Tan¬ gente von dem Pole I>--Ll.8inölN---t8inX nähmlich c«> i>-^L - c>8 8^ Setzt man demnach in der Gleichung der krummen Lin'' r —c», sucht den zugehörigen Werth von und substituirt bei)" in den Ausdrücken (41) tsnx(»-^)und (42) clr «8 so wird die krumme Linie, wenn ö und co endlich und reell aill' fallen, eine Asymptote besitzen, welche um die Größei' von ' absteht, und gegen die Polarachse unter dem Winkel co geneigt'!' IV. Stellen wir ferner den Krümmungshalbmesser durch ö und den Contingenzwinkel NLm durch r vor, st wie in §. 701. L Won der Differenzial-Rechnung. gzz Allein eine einfache Betrachtung zeigt, daß hier ik'ix. - - cico 195. ist; daher erhalten wir (4Z) IV -- ^5 . clcc> Differenziren wir nun die Gleichung (40) co — w -t- arc tseng , elr indem wir clx für constant anfthcn, so wird eico b 2c1r^cl^ — rä"rcl^ r?-t-2r^—rr" *) Dieser Ausdruck der Krümmungshalbmessers kann auch durch folgende Letrachtung gewonnen werde». Fällen wir (k iZ-195.) aut dem Krüm- mungsmittelpuncte 6 die Gerade 60 auf SN senkrecht und setzen ON —u, OO —v, so wird OM.Llm „ d, ... ON— —oder k — u.—(1) ON reiP Allein wenn wir von dem Puncte lll auf den unendlich nahen m übergehen, so dürfen wir den Krümmungshalbmesser für unveränderlich ansehen, folglich dir — 0 oder d» . -s- u . d — 0 (2) rd^ vdP setzen. OM.mN dr Ferner ist 60----^—, oder v^u-^-, V , lil' , är' daher äv — äv». -7- -j- u . ä —r— . räc/r i'tl-- Die Zunahme civ von 00 ist aber —O^, und da man den unendlich kleinen Kreisbogen kx auch für eine auf LM senkrecht er¬ richtete Gerade annehmen kann, so hat man ?p.SO , Og-(r-u)dP , folglich dv — (r—u)dP, uni» ^u(d.-^--d?)---rd<,. (3) 554 S lebe n t e« H a up t stii (k. kix. V. Die krumme Linie wird sich von dem Pole entfernen, wenn bey zunehmendem Polarwinkel y> derRadiusvector r wächst, also är positiv ist; die Linie wird dem Pole ihre concave oder convexe Seite zuwenden, je nachdem äu oder (45) —oder r--»-2r^-rr" äxr th- positiv oder negativ ausfällt. VI. Endlich findet man den Ort des größten Abstandes der krummen Linie vom Pole mittelst der Gleichungen (46) g, - 0, / OP or und die Wendungspuncte mit Hülfe der Gleichungen (47) r- 4- 2r" — rr" --- 0 ,- 1- --- 0. r? 4-2r^— rr" Wir wollen das hier Erlernte auf einige Beyspiele anwenden. 1. ) Der Kreislinie gehört (§. 620.) die Polargleichung r — L zu, folglich ist , clr .. ----- 0, 5' — I— L , sin X — 0 , cor X — I, X —0 , t — «o, n — 0 , 1 — Q2 , iX— s, k — a- Oie Tangente steht demnach auf dem Halbmesser st"k recht, und die Normale endigt sich in dem Mittelpunkte. 2. ) Bey der Parabel (§. 629.) ist r --_ v— , 2 cos^ lx Eliminirt man nun aus den Gleichungen (1), (t), M die Kr^' u und äu, so findet man — äs" R --- ---—--——-, lirä. -ä» ä , —-l- rä» rä^> woraus man nach Vollendung aller Sieductionen den obigen druck (44) von k erhält. Don der Differenzial-Rechnung. 555 , ür , r ._Ü8_, z' i r also r'——--rtsnss-^w , L^ —— — H/ — clw «P eo8^P tanssX — tsil§-^-^> und « — 90° Hieraus finden wir üco — -^- cl^-, und R. ----- ----- 2 -- , c!co UP demnach k -- 2s^-- -^- — —^- - cos-^P co8b-^d 3 ) Für die lineare Spirale (§. 673.) r — P findet man 1 , r" 0 , 8^ — tsnxX—— , cot XP---r, , ' z 2 -i- 4-) Für die hyperbolische Spirale (§. 673.) i-M —1 , oder r —— . P "gibt sich r^ — — — --- — r-, 5^ — rh^l -l- r^; daher ist Setzen wir nun r--«r , so wird, -> achse parallel laufende Asymptote. 556 Siebentel! Hauplstück. 2.) Bey der logarithmischen Spirale ist §. 673. r - 1 2 daher — — — — , a r» und tsng! X — , somit cot X — <1. r s Bep -er logarithmischen Spirale ist demnach der Win¬ kel, welchen der Radiuovector mit der Tangente bildet, unveränderlich. L. Anwendung der Differenzial-Rechnung zur Bestim¬ mung der größten und kleinsten Werthe von Raumgrößen. §. 708. In vielen interessanten geometrischen Aufgaben wird die Bestimmung des Größten oder Kleinsten von Linien, Flächen oder Körpern gefordert. Alle diese Aufgaben wird man leicht auflölen, wenn man diejenige Raumgröße, welche ein Maximum oder Mi¬ nimum darbiethen soll, als Function der sic bestimmenden und veränderlich betrachteten Größen darstcllt, und von dieser Function nach §. 694 oder 696 die größten oder kleinsten Werthe bcstimml. Uebrigcns wird hier oft schon eine einfache Untersuchung da Bedingungen der Aufgabe und der Natur der in Betrachtung zu ziehenden Raumgrößcn entscheiden, «b man ein Maximum oder ein Minimum gefunden habe. 202. 1- Aufgabe. Man soll (k^. 202.) aus einem Rreisauo- schnitte den Mantel eines geraden Regels bild-"- und dabep die Länge des Bogens so wählen, das- Inhalt des Regels ein Größtes werde. Es sey der Halbmesser ^6 —LL —1, die Länge bes^ genS — x, so ist der Umfang der Grundfläche des zu l» folglich und 203. I'iss. 202. von der Differenzial - Rechnung. 557 den Kegels — x, daher ihr Halbmesser — —, die Höhe des Ke- 27V gels — /(1 -- ) , und der Cubikinhalt 4^ welcher Ausdruck ein Größtes werden soll. Um dieses zu finden, ertheilen wir der letzten Gleichung die Form (12 77^)2---x(x) zugleich wachsen oder abnehmen, folglich auch für denselben Werth von x ein Größtes oder Kleinstes werden müssen, 'ÄM - (x) - (877"- - 3x-) g (Ix , 27r" stch ergibt. Da hier x —0 nicht statt finden kann, so muß 8772 — 3x2^0, r 8 , x2 — — 77^ , 3 X — 277s/— — ?-77s/6,^ 3 3 x^360°./- -- 293° 56' 20" 3 »der in Graden seyn. Hiezu findet man V— 277 9/3 ' welcher Werth nothwendig ein Größtes ist, weil L fur x--0 und ^2-277 verschwindet. 2- Aufgabe- In emem. Rreife soll das größte Rechteck ""zeichnet rverdvn. Es sey (x,§. 203.) der Durchmesser ^0-1, der Bogen ^U---x, --mn-z-x, Nl)^cos4-x; ist der Inhalt des Rechteckes . LO -- sin^ X- 4-8,nX, 558 Siebentes Hauptstück. kix. wornach für das größte Rechteck x —90° sich ergibt, und dieses 203. selbst ein Quadrat wird. Daraus läßt sich schließen, daß unter allen vierkantigen Bal¬ ken, die man aus einem kreisrunden Baume aushauen kann, derjenige das meiste Holz enthält, dessen Durchschnitt ein Qua¬ drat ist. Ein solcher Balken wird aber nicht zugleich das größte Tragvermögen besitzen, da die Mechanik lehrt, daß die Stärke eines vierkantigen Balkens der Grundlinie H.8 und demtüua- Lrate der Zöhe 86 seines senkrechten Ouerdurchschnittes proportional ist. Bestimmen wir unter dieser Bedingung die Abmessungen des stärksten vierkantigen Balkens, so sey der Durchmesser ^6 — 1, ^8 — x, 68 — 1 — x, folglich ^L--r/x, 68--^1-x. Nehmen wir nun die Stärke desjenigen Balkens für 1 an, dessen Querdurchschnitt ein Quadrat von der Seite 1 ist, so kön¬ nen wir die Stärke des zu untersuchenden Bälkens, wenn er mit der Seitz ^8 aufliegen soll, 8-^8.68-- (l-x)^x setzen. Soll diese ein Größtes werden, so muß also 1—3-----0, x---^ sevn. Daraus folgt ^8 — , 86 — , 3 »i und ^8:86 --- 1:/2. 3. Aufgabe.' In eine Rugelfläche soll ein gerader Regcl eingeschrieben werden, dessen Achse durch den Mittelpmu geht, und welcher die größte mögliche Oberfläche besitzt. ES sey (8ix. 203.) der halbe Durchschnitt des Kegels da- Dreyeck 688, der Durchmesser der Kugel ^6 —le Höhe des Kegels 68 --- x, so ist 68--^x, L8--r/x-x-; Bon der Differenzial»Rechnung. 559 daher die Oberfläche des Kegels kix. o — 77^x—x?.h^x, folglich , ) — X?-x^— s(x). Hieraus findet man für die größte Oberfläche ^»(x) — 2x— 3x? — x (2 — 3x) — 0, also x— — , und O - -- 3- 3 9 4. Aufgabe. Man 'suche denjenigen vollen geraden Ty- linder, welcher einen gegebenen Lubikinhalt bey der! möglich kleinsten Oberfläche enthält. Der gegebene Inhalt des CylinderS sey — a, sein unbekann¬ ter Halbmesser — x; so ist seine Grundfläche — nx?, seine Höhe--- der Umfang seiner Grundfläche — 2nx, seine Man- nx? telfläche -- 2nx.-5_- — —, daher seine ganze Oberfläche NX? X 0--^-t-2nx?, folglich — — nx? — (x) , 2 x und ^(x)----^-t-2nx^0. d -"° Hieraus ergibt sich X^ — — , 2n und X - ; '"d-I du HSH, -^.^-2^-2. 77 »L77 -- dem Durchmesser. ^er gesuchte Lylinder rst demnach glekchseittg. Z6st Sieben te« Hauptstück. kiss. 5. Aufgabe. Zwischen denDchenkeln pm und p8 (stix. 194.) 194. eines rechten Winkels 8pm ist ein punct iVl gegeben; man soll durch ihn die kürzeste Gerade 8m ziehen, welche von den Schenkeln begrenzt wird. Setzen wir zur Bestimmung der Lage des gegebenen Punctes pk —a, I>iVI —st, und zur Fixirung der zu suchenden Geraden Liu den Winkel m8p —x, so ist I?8 — cnt M8P — st cotx, daher p8 — p? A-k8 — a-i-st cotx, . p8 u . st und 8m — —r——--4- -— —x- ess m 8p cO8 x 8in x Soll x ein Kleinstes werden, so muß fix u 8IN X st cc>8 X 0 fix c»8^x 8m?x folglich tang^x—— und tangx — ' L Ä seyn. Setzen wir ferner Ilm—u , 88 —V, so ist u — L tnng X , V — st cot X, 3 - 3 .- daher auch u — s' st , v p ust^, s. woraus man a:u — urv — v:st — st, und die kürzeste Gerade X -4- /stHv- st ") erhält. Folglich sind für die kürzeste Gerade Ä I) / die Abschnitte u und v die beyden mittleren geometriiche» portionalen zwischen a und st. 178. 6. Aufgabe. Aus einem (I'iss. 178.) in der Achst befindlichen puncte 8 an die Ellipse die längste Gerad» zu ziehen. Kon der Differenzial-Rechnung. 561 ES sey die Achse -VL, in welcher sich der Punct H befindet, ki?. -2a, die andere Achse O6--2b und der Abstand 6H —s;178. ferner setze man 61--x, IO--/, »0--u, seist (x —, oder (§. 639.) wegen O- — x-) auch u--(x-g)2-l-1? — ^. Hieraus folgt clx -t- -t- lielr -t- . . . das Differenzial der von x, x . . . abhängigen Function n so kommt dieser Differenzialformel das Integral /(j?c!x -t- kckx -t-. . ) oder u zu. §.711. Das eben Gesagte läßt sich auch durch die Gleichung (1) ---x , vollständig ausdrücken, wofern x entweder eine einzelne v" liche Größe, oder eine Function anderer veränderlicher Ercl-cu stellt; zugleich ersieht man aus derselben, daß die bcyden culgcgc § setzten Operationen des Differenzirens und IntegrirenS, do,k Vor» der Integral-Rechnung. 567 ihre Zeichen äund /, sich geradezu aufhcben, wenn sie bey einer und der nähmlichen Function nach einander angewendet werden sollen. Ueberdieß läßt sich leicht einsehen, daß man das Integral /stx nicht bloß — xj. sondern auch — x^b, oder auch — x^f-^ oder auch — x-t-2.'ch —c- u. dgl. setzen könne, nähmlich daß cS erlaubt sey, das gefundene Integral x einer Differenzial- große stx nach Gefallen um eine willkührliche unveränderliche Große zu vermehren oder zu vermindern, um ein anderes gleich¬ falls richtiges Integral dieser Differenzialgröße zu erhalten.Denn jedes dieser Integrale bringt durch die Differenzirung wieder >ix zum Vorschein, weil (§. 678. II.) die unveränderlichen Glieder einer Function kein Differenzial besitzen, daher in der Differcnzialformel gar nicht erscheinen. Ob zu einem gefundenen Integrale, welches bereits die Ei¬ genschaft hat, daß cs durch Differenzirung die gegebene Differen¬ zialgröße wieder herstellt, noch eine unveränderliche Größe hinzu- zusitzcn sey, läßt sich nicht anders al§ aus den Umständen und Be¬ dingungen derjenigen Aufgabe entscheiden, welche durch die Inte¬ gral-Rechnung aufgelöst wird, wie es weiter unten (im VII. Ab¬ schnitte) zu ersehen seyn wird. Indessen pflegt man zu einem jeden gefundenen Integrale -i-Lonstans, oder -t- Oonst., oder auch nur -t- hinzuzusctzen, um das vollständige Integral der vorge- ^glen Diffcrenzialformel zu erhalten, wobey L diejenige unver¬ änderliche positive oder negative Größe bedeutet, welche man auS drn Umständen der Aufgabe zu bestimmen hat, die jedoch zuwei¬ len auch -- o wird. Auf diese Weise erhalten wir ganz allgemein (?) /stx — x-t-Oonst. — x-t- 6- Bey der Aufstellung der allgemeinen Integralformcln werden 'rnr zwar, theils um sie übersichtlicher zu erhalten, theils zur Ersparung des Raumes, bloß die veränderlichen Bcstandtheilc deS integral« mit Weglassung der willkührlichen Constante anschrei- dsn; doch müssen wir den Lernenden erinnern, bey der wirk¬ en Auflösung von Problemen daS Ansetzen dieser Constante "" zu vergessen. 568 Achtes Hanptstiick. §. 712. Die unveränderliche oder beständige Größe 6 läßt sich bcy einem gefundenen Integrale auf folgende Art bestimmen. Ma» erwäge, was für eine Größe durch das gesuchte Integral porgestellt werde, und untersuche, bey welchem aus den Um¬ standen der Aufgabe schon bekannten werthe des gesuchtenIn: legrals auch der Werth der dazu gehörigen veränderliche» Größe bekannt sey. Diese zwey bekannten werthe subsn- tuire man nun in die gefundene Integralgleichung ; so wir- sich daraus die gesuchte unveränderliche Größe 6 bestimmen lassen. Wenn nähmlich aus der gegebenen Differenzialgleichung cl^ — stx X —/clx — x -t- folgt, und dabey bekannt ist, daß für den Werth x—Ldie Function in y —übergeht, oder umgekehrt; so ist — L -t- 6 und 6 — — V. -Oder findet man aus äv —g>(x)üx das Integral z- —/h)(x)c!x — s(x) -t- 6, und kennt man für x — a den Werth von ; so wird —s(»)-l-6, folglich 6 —-V — 5(a) und («D r —(^) 6x — s(x) -t- — s(a). Es sey z. B. bey der Integralgleichung ) — ^/inix — NX -t- 6 , welche aus der Differenzialgleichung , cl)- — aclx , abgeleitet wird, aus den Umständen der Aufgabe bekannt, u' bey dem Werthe a? des gesuchten Integrals /astx, die verän-^ liche Größe x den Werth hat, nähinlich daß für dazu gehörige veränderliche Größe x —ist, so folgt L? — a . -k- (i , daher 6 — —, und somit das gesuchte vollständige Integral v — ax- Ist hingegen für — 0 vermöge der Umstände x — — - so ist 0---L.—-h-t-L, Äon der Integral »Rechnung. 569 nähmlich 6 — ad, und folglich für einen solchen Fall 6ix — LX -l- ab. Wäre also für z—0, auchx — 0, so wäre 0 —» . O-t-6, nähm¬ lich 6 — 0, und folglich /»clx—ax. Gewöhnlich sind die Umstände der Aufgabe so beschaffen, daß bep dem Werthe 0 des gesuchten Integrals auch der Werth der dazu gehörigen veränderlichen Größe besannt ist, nähmlich, daß mau den¬ jenigen Werth der veränderlichen kennt, für welchen fdie Function selbst verschwindet. In diesem Falle wird für x —» die Größe ^—0, daher die Function (4) v — s(x) — s(a). ES verdient auch noch bemerkt zu werden, daß man, so lange die dem Integral einer Differenzialformel beyzufchreibende Constante noch unbestimmt ist, wenn man cs für zweckmäßig findet, dieselbe um jede beliebige constante Größe vermehren oder vermindern, durch jede willkührliche Zahl multipliciren oder divi- diren, nach jedem beliebigen constanten Erponcnten potenziren, auS ihr jede durch einen unveränderlichen Wurzel-Exponenten angc- deutete Wurzel ziehen, oder von ihr den Logarithmen auS einem Systeme nehmen könne, dessen Grundzahl unveränderlich ist. ES ist demnach erlaubt, statt der unbestimmten Constante 6 auch s 6-t-a, 6-3, 6-, /6, 66 dgl- zu schreiben. Allein auch für jeden veränderlichen Bcstand- theil des Integrals kann ein jeder andere veränderliche Ausdruck geschrieben werden, der sich bloß um eine constante Größe von dem ersteren unterscheidet. So kann z. B. für arc x auch — urc cot x gesetzt werden, weil src tunZ x — — urc cot x ist; denn durch alle diese Veränderungen erleidet daS Differen¬ tial des erhaltenen Integrals keine Störung, sondern gleicht stets zur Integration vorgclcgtcn Differenzialformel. Bey der Anwendung der Integral-Rechnung wird jederzeit aus einer Differenzialgleichung zwischen veränderlichen Größen, d>e Gleichung in endlichen Gliedern zwischen eben diesen veränder« 570 Achtes Hauptstück. lichcn Größen gesucht werden. ES ist leicht ci.nzusehen, daß man in solchen Fällen die anfänglich noch unbekannte, aber dabey noch unveränderliche Große <ü nach Belieben auf einer oder auf der andern Seite des Gleichheitszeichens bey der integrirten Gleichung hinzusetzen könne. Z. B.Aus der Differenzialgleichung — gstx , folgt V — ax -I- 6, oder auch 5 -t- 6 — »i Wir werden in der Folge um Weitläufigkeit zu vermeiden, ge¬ wöhnlich die Differenzialgrößen für sich allein betrachtet integri- ren, ohne dieselben als Differenzialgleichungen ausdrücklich anzusetzen. §. 713. Indem wir uns zunächst an die Bestimmung der in derallge- meinen Form/g)(x)elx begriffenen Integrale einer einzigen Ver¬ änderlichen x wenden, bemerken wir, daß die in §. 678. ausge¬ stellten Fundamentalformeln der Differenzial - Rechnung vermöge §. 710, wenn man sie der Integration unterzieht, auch die ein¬ fachsten Integrale unmittelbar darbiethen, *) und die Grund« geln der Integration lehren. *) Bon diesen einfachsten Integralen, welche geradezu aus den Differenz«» tionsregeln (§. 678) fließen, verdienen vorzüglich folgende gekannt j" werden. (-) (1) ^/st^clx I»*, (6) x llx ——cos x, dx (8) /'-^---cotx, (IN) " arctaugr, (IS) -- »rc Lon der Integral-Rechnung. 571 So folgt z. V. (§. 678.1.) aus fi'ix. du — dx -t- dv — d^ ^ . . . — d(u — x -1- v—)- -l- . . .) sogleich /(du — dx -I- dv— d^ -t- ...) — u — x -I- v — ) -t- ..., oder weil (§. 711.) u—/du, X—/dx, v— /dv, >' —/dv , > - - - ist / (5) /(du — dx-l-dv — dv -t- ...) —/du —/dx -I-/dv —/d^ -t- ..., woraus wir ersehen, tast das Integral, einer aus mehreren Differcnzialgröstcn zusammengesetzten algebraischen Summe ter Summe der Integrale ihrer einzelnen Glieder gleicht, oder tast man das Integral einer algebraischen Summe fin¬ det, wenn man jedes einzelne Glied für sich integrirc. Eben so fließt (§. 678- III.) aus udx — d(ax) umgekehrt /»dx — nx, oder da (§. 711.) x -- /dx ist, (6) /udx — u/dx ; welche Gleichung lehrt, dast man die unveränderlichen Haeto- rcn der zu integrirenden Difierenzialformcln stets sogleich vor das Integralzeichen schreiben dürfe. Auf dieselbe Weise liefert auch (§. 678. 1^) die Gleichung udv -I- vdu — d(nv) ^ie Jntegralformcl /(udv -l- vdu) — uv , vdcr nach Gleichung (5) /udv -I-/vdu -- uv ; voraus wir die sogenannte Zerthcilungsformel /udv — uv — /'du S^winnen, welche die Grundlage der theilweifen Iutegra- Nvn ist. 572 Acht«« Hauptstück. kis. ' §. 714. Vermöge §. 678. VII. ist ä(kx) — —, X und auch 5 5 — (3x^-I--;-x)cIx — Setzt man aber x° -t- -^-x" — u , so wird 3r- -1- X --- äu , 6x" -1- r - 2stu , daher V — /-6 1 6 , , . " 1 6 > I 2" 6b'L ^ 5 5 5 1.2 5I-» §. 716. Endlich ist (vermöge §. 678. VI.) cl.x" . .—. — x'-ar ; n 576 Achtes Hauptstück. x,.,. Setzt man nun n — 1 — in , so ist (12) /x"'äx - . iu-t-1 Diese Gleichung kann man auf folgende Art mit Worten au§- drücken. Das Integral eines einnahmigen Differenzials, worin sich ^eine Potenz der veränderlichen Größe befindet, wird gefunden, wenn man nach Beseitigung des Differen¬ zials der variabel» in ihrer Potenz den csnstanten Exponen¬ ten um 1 vermehrt, und diese durch ihren neuen Exponen¬ ten -ioidirt. Z. L. ^ -t- cx'-) , 2c , j /(4- hx) (^x -t- hx*)(lx - /(L--t-2hx) clx. L -r — o?x -t- hx^) : 2 — — (z^x -1- hx^) - 3 Won der Integral-Rechnung. Z77 /x"—I^xn)?clx — ^6x. (a -k- t>x")k NO NO n(p-l- 1)b --/-x"^'(i> -^ax-^Vstx 1 -ll-1. -Np — — — /— NA X chx(K-l-3X ) na — — (1> -I- ÄX^"'V^^: (p -t-1) NL n(x -t- 1)a 1 / L -t- bx" xpcht n (p-l-l)A x" / n>-1-1 Anmerkung. Wenn in der Formel /x^äx—, m — — 1 seyn sollte; so würde —1 V» /X äx-^- Dm Vorschein kommen. EZ ist^ aber einem völlig richtigen Be¬ weise (§. 714.) zu Folge /x I (Ix — fty/ §. 717. ni -t-1 daß diffes Integral für x —a vu< Nach den Formeln (9) I.x i o?8 Achtes Hau pt stück. Hx. Daß daS Integral/x^ dx für in — — 1 wirklich in 1.x über¬ gehe, läßt sich auch durch folgende Betrachtung rechtfertigen. ES ist I uud sofort hat man Zx—i c/x'öx -t-' Von Ker Integral-Rechnung. 579 daher nach Gleichung (12) /^vS-I-1 (14) /(^.x-4-Lxd4-Lx°4-...)x-3-l-2cx— ? )clx — s/x^äx — la/x"^ clx 4- 2c/x " 3x -l- 4- 3ox^ . 3 2 /(x° 4- 5-?-3x-3 4- ^-)äx-/x«llx 4- 5/x^clx- 3/x-^clx 4- 8/^ 3x-^-^8l-x 7 2 L I /(sx'-hx ^-x-1)clx^n/xUlx—la/x " 3x —/x-^ilx 3 _3^ 2ax 4lax "3^ 3 /^14-3x4- 9x- 4- 27 x') 6x —/(Ix 4- 3/xcIx4- 9/x^clx 4-27/x^clx §. 718. . S° »i, wir »un mi»„st d« 5.7s" "»vnalcn Differenzialformeln zu mlegrn auch werden wir durch die Gleichung (9). m den ' «llg-mei- gebrochenen rationalen Differenziale, we u "en Form (15) n 4-lax 4- cx'4-^ ^4-13x4-0x"4- .... ">s»»n> lind, zu iuttzrk.u. Dm» di, mil <1- --rbu» -»- !> ,°.i-u«i- xuu-liu» iiiß. sich «-» S. 2»d. uud^ «> " 580 Achtes Hauptstück. IH zeit als Summ« einer ganzen rationalen Function und mehrere: Partialbrüche darstellcn, welche die Formen (16) — L -l- six (a -I- 1>x)" besitzen, wofern n eine ganze positive Zahl andeutct; somit läßt sich auch jede gebrochene rationale Differenzialformel in Theile zerfallen, von denen einige ganz und rational, daher nach der Gleichung (12) integrabel sind, andere aber in den gebrochenen Formen ./Vllx ^elx L-t-six ' (rr-t-six)" erscheinen. Da nun ^c!x _ i clx llcix L-t-six L-t-dx sia-t-dx ' Z' —/(a-t-i)x)""r)"' bclr, (a-t-dx)" 6 1 2 1 X-—1 " x- folglich ---2x-t-I^(x— 1)— I^(x-t folglich (17) /I.(L -I- six) , (18) (n-i-iax)- '^^ (a-t-bx)' 6 —n-t-1 ist: so lassen sich auch die Integrale aller gebrochenen rationale» Disscrcnzialformeln nach bestimmten Regeln darstellen. 1. Leyspiel. Es sey Z''— «/ x^—1 zu bestimmen. Zerlegt man den Bruch — in Partialbriichd x"—1 findet man 2x Ben der Integral- Rechnung. 38t 2. Verspiel. Wenn daZ Integral üx /(14-x) (1-1-X-) zu suchen ist, so bestimmt man zuerst 1— x-t-x- —_ 1 —X-I-X- _ (14-x) (14-x^) (14-x) (x4-/—1) (x—/"1) 3 1 2(l4-x) 2(x-I-/—1)(1- /-D 1 2(x-/-1)(l4-/-1) ' daher ist I— / -—- cl^ (1-4-x) (14-x^) ,8 äx 1 äx / > llx - -1. (14-x) —_—_.L(x-I-^-l) —-- 2 8(1—1) 2(1-,-^-1) - (14-x) - L (x^-'/- >) - -- L I. (t^x) - I. (x--^.1) -^-^-11. 3 - 1 I- (l-l-x) — (t, I,(x2^1) — — si-cwll° X , «^2 wenn man auf §. 685 Rücksicht nimmt. 3' ^epspiol. Sucht man daS Integral seist 8-4x-t-x-^' _ 8 4 —54x _— (» —2-2^1)(x —24-2/—1) —27 4-6/ —1 274-6/—1 . »—2—2/—1 x—24-2/-1 ' s. 719. lluö den beydcn vorhergehenden Paragraphen läßt sich kW ergehen, öost jede algebraische Djfferenzialformel einer einzige» veränderlichen integrirt werden kann, sobald sie raticnalif. Man wird zu diesem Zwecke bloß nöthig haben, die in ihr etwa ange-cigten Multiplican'onen und Potenzirungcn wirklich auszu- fühlen, die Zerlegung in Partialbrüchc vorzunehmen, und end¬ lich die einzelnen Glieder nach den Formeln (9) und (12) zu in- tegrircn. So bestimmt und umfassend dieses Jntegrationsverfab«" bey rationalen algebraischen Differcnzialsormeln ist, sowenig»»' mag man eine allgemeine Vorschrift für die Integration irratw- noler algebraischer Differenzialsormcln aufzustcllen. Zwar könnit man sie, so wie überhaupt jedes in der allgemeinsten Ferm / z: (x) stx begriffene, auf eine einzige Veränderliche x sich beziehende5" tegral dadurch darstellcn, daß man die mit dem Differenzial^ der Variabcln x verbundene Function ^(x) in eine nach den tenzcn dieser Bariabeln fortschreitende unendliche Reihe ausl->' und die so erhaltene Differenzialformel (nach §- 716- ^l-l-^ integrirt. Allein theils die stets wünschenswerthe Einfachh»^ ''' Calculs, theils der Umstand, daß die durch diese Rcchu^' i operationen gewonnenen Reihen entweder nicht für alleV»w der Veränderlichen, oder zu wenig zusammenlaufcn (convcrgm'^ veranlaßte die Analysten, Mittel auszusinnen, auch dieZnlcg^ irrationaler Diffcrcnzialformeln in geschlossenen Ausdrücken 582 Achtes Haupt stück. . folglich findet man 84—54x ^8-4x-s-I-^ — — (27-6^—1) I. (x—2-2^—1) - (r7-t-6^—1) L (x-2-t-S/-t> - - 27L (x--4x-z-8) — 6 z/— 1. L S-I-VH'—1 x—2-2p^—1 --- — 271. (x2 —4x-I-8) —12arc tgiiK (^.x—1). l , Von der Integral-Nechnung. ZtzZ zustellen, was ihnen allerdings, für die freylich sehr mäßige An-t'i'x. zahl solcher Diffcrenzialformcln vollständig gelang, auf welche sich unser Lehrcurs wegen der ihm angewiesenen Grenzen beschränken wird. Diese Mittel bezwecken im Allgemeinen die Rcduction des darzustellcnden Integrals auf ein einfacheres oder schon bekanntes und bestehen hauptsächlich in zweckdienlicher Einführung neuer Veränderlichen, und in der theilweisen Integration. II. Abschnitt. Integration binomischer Differenzialformeln. §. 720. Sehr viele derjenigen Integrale, auf welche man bey der Auslosung geometrischer und mechanischer Aufgaben stoßt, sm m der allgemeinen Formel (1) >(sx°° -t- bx^eix . enthalten, in welchen die Coefficientcn u, I. beliebige, die Erpo- nenlen ? aber rationale Constantcn sind. Da man nttr 8°rmel dadurch, daß man x" oder x^ aus dem Binom ms Fac¬ tor heraushebt, auch die Gestalten ») elx , (si-l--rx°-^)' ^x ertheilen, folglich dieselbe aiif die Formel (D /x'" (n-t-six")'', p ganze Zahlen seyn. Besteht aber seine ^rra 581 Ächte« Hauptstück. darin, daß die Exponenten in und u gebrochen sind, so wird man, wenn x ihren gemeinschaftlichen Nenner vorstellt, e. r s—r (4) ^/x —n , x —n , und äx — gu stu setzen, daher mittelst dieser Substitution auf das rationale Integral übergehen, in welchem man nach vollbrachter Integration nur noch für n den Werth zurück zu stellen hat. Die Integration der Differenzialformel X" (a-j-six")l> clx läßt sich demnach gewiß austühren, wenn p eiire ganze Zahl ist; und zwar wird man, wenn p eine positive ganze Zahl ist, die Potenz (a-t-six")v nach dem binomischen Lehrsätze (§. 299.) entwickeln und, wie auch die Exponenten in und n beschaffen scyn mögen, die Glieder einzeln integriren; dagegen wird man, wenn p eine negative ganze Zahl ist, zuerst die Zerlegung in Par> tialbrüche vornehmen, und dann diese derLrdnung nach integriren. Wäre aber x ein Bruch und zwar g sein Nenner, so setze man >i_ (5) hH -i- six" — n; dadurch wird x — N V I) / folglich auch IN-I-1 n -1 /x"(n-l-f»x")e clx — —(ii'i—s) " cln. Ist nun — i eine ganze Zahl, so ist n rational, folglich läßt sich die vorgelegte Differenzialformel in" griren, und zwar entweder, wenn ----i eine ganze positive Bon der Integral-Rechnung. 585 die Null übersteigende Zahl ist, nach der Anwendung des binomi- k'i-r. schen Lehrsatzes, wie eine ganze rationale Differcnzialformel nach Gl. (12) oder, wenn i eine ganze negative Zahl mit Einschluß der Nulle ist, nach vorgenommener Zerlegung in Partialbrüchc, wie die gebrochenen rationalen Diffcrenzialformeln. Noch mag hier bemerkt werden, daß, wenn I eine positive ganze Zahl ist, die Exponenten von n nicht unbedingt ganze Zah¬ len seyn müssen, folglich g sogar beliebig, daher wohl am ein¬ fachsten — 1. angenommen werden könne, weßwegen man in die¬ sem Falle bloß der Substitution (6) .1 > i»x" - u sich bedienen wird. Wenden wir die eben gefundene Bedingung auf das vorge¬ legte Integral ,/x" (.1 I- ux")k clx an, nachdem wir ihm dadurch, daß wir aus dem Binom u-i-six" den Factor x» herausheben, die Form ertheilt haben; so sehen wir, daß es sich mit Hülfe der Substitution tf b -t- — n auf ein rationales Integral znrückführen läßt, wenn m -t- Np -t- 1 . / in -t- 1 , x i --- , also auch — s--t- p ) — k — n V n > Ewe ganze Zahl ist; und zwar kann es, wenn 1c eine positive ganze von Null verschiedene Zahl wird, nach vorgenommencr Auflösung mittelst des binomischen Lehrsatzes nach El. (12), da¬ gegen wenn 1c eine ganze negative Zahl mit Einschluß der Nulle wird, nach ausgeführter Zerlegung in Partialbrüche nach §. 718 dargestellt werden. Auch hier kann man, wenn Ic eine positive ganze Zahl ist, annehmen, folglich bloß (8) I) -I- <1x"" — II sitzen. Da außer den angeführten drey Fällen keiner mehr bekannt isi, wo die Irrationalität der Differcnzialformel (3) aufgehoben 1.2.3.4 . . r 1. Verspiel. Man bestimme das Integral der Differenzial- formet x"'(a-r-kx") r clx unter der Boraussetzung, daß i> eine positive ganze Zahl sey. 721. Wir wollen die eben erklärten Integrations-Methoden durch folgende Beyspiele erläutern. Entwickelt man die Potenz (a-l-hx")» nach dem binomische» Lehrsätze (§. 299.), so ist ihr allgemeines Glied p(p —1) (p—2)...(p—r-t-1) zl— 586 Achtes Hauptstück. kix. werden könnte; so sind wir zu dem Schluffe berechtiget, daß die Differcnzialformcl x'" (-r-r-hx")r im er¬ sten Falle eine negative ganze Zahl mit Ausschluß der Nulle, im zwcyten i eine negative ganzcZahl, die Null mit einbegriffen, und im dritten Ic eine negative ganze Zahl mit Einschluß der Nulle vorstellt. 1.2.3.4 . . . . r daher das allgemeine Glied der Differenzialformcl 1>(p—1) (p—2)...(p—r-t-1) 1.2.3.4 .... e und jenes ihres Integrals p(p—1)(p—2)...(p—r-<-1) '' ^'m4-rrr4-1 Lon der Integral-Rechnung. 587 Setzt man hierin für r die Zahlen 0, 1,2, ... p — 1, p und der Kürze wegen L-t-llx"-X; so ist m-r-14-n ^m-j-1-j-2a m-t-1-i-2n .' ^ia-l-1-t-nx — 2a m-t-1-t-np—2u 1 m-t-1-t-np—n m4-1-t-n^ (9) /x'"X>' üx up m-t-1^ 1 p(p— 1 . 2 p(p—1) —2 1 . 2 Excmpel. /x^(1—x)^.4x — 3x-l-3x"—x^) x")e(!x , wenn — -i- — Ic eine positive ganze von Null ver¬ schiedene Zahl ist. Setzt man hier la-l-nx—° — n, 590 Achte« Haupt stück. kiss. folglich ^/ x°> (A -t-f)X")k (Ix — -t- LX—")^ tt »^1 . — -j- ? --x—1 — -— — I)) t!n n — — —-— ^1? (u — l))k—' clu. inr^ Das allgemeine Glied des letzten Integrals ist aber (le-1)(!e—2) .... (le-r) , 1.2.3. r p-t-le-r' mithin jenes des zu bestimmenden Integrals 1 (le—1) (le- 2)....(Ie—r) (—ll) ' / a-t-dx" x nr? 1.2.3 . r p-t-le—rV x" / Man hat daher, wenn der Ordnung nach 0, 1, 2, .... le —2, le —1, fürr, und um abzukürzen, X statt Ä-i-bx" ge¬ setzt wird, (11) /x^Xkelx^-^-^-^-s—' j p -I- le^x"/ p-1-le—1 xx"/ — (le—1) (le—2)1? >< X ^->^-2 1.2.(p-j-le—2) x- - _ , , (Ie-1) / X Xit- (-10""V X P-I-2 V x" / " x-t-1 V x° / j Für le —1 findet man insbesondere /x" (a -t- l)x")k Z — / 3 —5x- xL 63 X x" / 9 X r- / 3u> —— L°/x-r (gx-l-x?) ^äx x^(ax-^-x^)2 — ^x-3 (AX—-^- 1) chx setzt man Lx-i-i-1 —u, x — a(u —1)-^, üx —— a (u — !)— daher ist — —a/u ^(n — 1)cln —— s/(w^—u «fei A 4. Beispiel. Man suche das Integral /> cix »-l-6x^ welches sich angebcn läßt, weil p eine negative ganze Zahl ist. Da — 6 (x -t- !/) (x-«) wenn man der Kürze wegen — « setzt; so hat man v V Z' c! x 1 Z' / lix _ üx X (x -I- «) (x — «) 26« «^Xx — w x-^-a/ —-- -ckL 26« «-»-x - I. / —-e-x^/6 — u6 —n x^/ 6 592 Achtes Hauptstück. oder nach §. 685 1 . > /- 6 — - arc tanx x . ab g Es ist demnach ,/a-I-bx^ 2^/—ab a—xh/ —b ^ab a Bey diesem und bey allen folgenden Integralen nimmt man für bestimmte gegebene Werthe von a und b entweder den Loga¬ rithmen oder den Kreisbogen, je nachdem dieser oder jener reell ausfällt. So ist z. B. (13) — arctangx ./l-t-x' (14) 1—X- 1 X Man findet dieses Integral viel leichter auf folgendem Wege- Es ist äx _ 1 äx a-t-bx^ a , d 2 1 —x" A Setzt man nun — x? — u? , so wird a x — u , äx — _1^ — I. " xs/1-1^ 2^ ^/1- x2 -r-1 ' x^/x-— 1 Auch dieses Integral läßt sich einfacher bestimmen, wenn 'hm die Gestalt 1 / » äx a (16) (17) (18) '"h°'lt, und-^--u-^ x--ul/-äx--elu/175 setzt. n L 6 o ^eTa Math. II, B. 38 594 Achtet Hauptstück. du ist , I'iss. Denn dadurch ergibt sich äx 1 ,/^6 -arc8ocxs/- , — a — L — 1 oder weil (nach §. 678. und §. 713. Note) /» (In /- — . . — nre secu ns/n-— 1 oder nach §. 685. 1 i .s/a -t- 6x^ — "s/» " x 6. Lcyspiel. Um das Integral " s/ L-t-6x' aufzufinden, welches wegen '^l-t-x-,0^1.-^-0 Q 2 2 angebbar ist, crthcilen wir ihm die Form clx < xs/ (I)-i-Äx—-2) _Z und setzen s/ (f>-t-ax ) —u , wodurch wir x — , llx — — n'n (>? — 6) "du , folglich /» 6x "n _ ciu____ o- 2s/ 1) "s/!)-n 2f/I» — I^(xs/6-t-s/a-l-chx^) Von der Integral-Rechnung. AgZ erhalten. Sonach ist (19) ——- — —I- (x /6 -t- / a 1- 6x^) 1 - —6 — —7—- arcsenx/ - . / —ü » Insbesondere findet man (20) I-(x / lH^) , 1 -t- (21) - -- m-c 8in x. " /1 — X' Setzen wir, was uns (nach §. 678. und 713. Note) ge¬ stattet ist, diese letzte Gleichung als bekannt voraus, so können wir bey der Bestimmung des obigen Integrals auch so vorgehen. Es ist oder nach §. 685, — —I-(x/Ir -t--i-Irx?), /6 7. Beispiel. Eben so findet man, wenn man um der Kürze Een setzt: M) x^X ast /a— —1>x ^/nlr (23) 2 2 xX^ (24) 2 (^^^/x) - -F- arc «in / . 38 * 596 Achtes Hauptstück. ' (25)-- l Z I. ^17^-^/3. urc tar>2^-^? xX' ^/x /X-t-2/» (26) i -i- - -,rc lauu " xX" ^.t-r P^X ^X-.-2/a' §. 722. So bestimmt und erschöpfend auch die in §. 720 erörterte In tegratiotpsmethode des binomischen Differenzials x"(n -t- i2x")n-!x ist: so bleibt es doch wünschenswerth, der bisweilen sehr be¬ schwerlichen Zerlegung der gebrochenen rationalen Functionen in Partialbrüche ausweichen zu können. Dieß veranlaßt uns zu erforschen, ob wir nicht mit Hülfe der theilwcisen Integration, welche, wie (L. 713.) die Zcrtheilungsformel (8) /uckv — uv — vclu zeigt, ein bestimmtes Integral /uüv auf ein anderes /vclu zu¬ rückführt, von dem zu suchenden Integrale -t- stx")l>äx zu einem ähnlich gebauten ' /x^c-r-t-stxn)"stx , welches mit geringerer Mühe sich darsteüen ließe, übergebe» könnten. In dieser Absicht setzen wir in der Zertheilungsformcl (8) (27) uclv^x-'X-'stx , vüu--!^X"ckx, indem wir, um abzukürzen, X für n-t-kx" schreiben und kl,?,- unbestimmte Constanten andcuten lassen. Da jedoch diese Annab' men nicht bestehen können, wofern nicht, sowohl u und v, »'s auch üu und clv, Producte eines konstanten Multiplicators mit einer Potenz von x und einer Potenz von X sind: so haben wir dasNecbt (28) u^yx'-X-, v-r.x'X- zu setzen, indem wir die Constankcn (1, c,, r,! sogleich bestimmen uns vornehmen. Von der: Integral-Rechnung. 597 Differenziren wir zu diesem Ende die Gleichungen (28), 1^. so erfolgt (29) x -t- nx lix chlx civ — Hx X frX -t- nt I>x ^stx- Wenn wir nun aus diesen sechs Gleichungen die Größen n, x, ein, äv climiniren, so erhalten wir: (ZO) , (31) x nsirx"^ , und wenn wir die Gleichung (31) durch (30) dividiren, n n r X -l- nt Irx rn -1- (r -l- nt) kx Da in diesen drey Gleichungen vor dem Gleichheitszeichen bloß Productc aus Potenzen von x und X mit constantcn Multi- Pücatorcn stehen; so müssen, damit auch hinter dem Glcichheits- Zeichen solche Products auftreten können, die am Schlüsse der Gleichungen stehenden zwcygliedrigcn Ausdrücke sämmtlich ein¬ gliedrig werden. Dieß kann jedoch, da a und st von der Nulle verschieden vorausgesetzt werden, nur dann geschehen, wenn in der Gleichung (30) eine der Größen r, t, r 9- nt , >n der Gleichung (31) aber eine der Größen «g, s, q -t- «n ; jedoch wegen der Gleichung (32) weder g mit r, noch s mit t, noch auch -Lir mit r-t-nt zugleich verschwindet. Es kann dem¬ nach nur einer der folgenden sechs Fälle statt finden: ^3) r — 0 , (in -t-1 -i-np) h , — (in-l-1-t-n-t-np)h /-"'^"x^ä» ( )---- (in -p 1) n (in -I- 1) a m-pl vp IN -p 1 -t- Np NI -p 1 Np (Z7) s- — , IN -t- 1 -l- n -l- (38) (39) Ron brr Integral-Rechnung. 599 /x"X^1x^ - " x?^' — III-t-1 ,^IN—n (p-l-l)nl, (p-t-l)iil) in-l-1 -.p - _^/x'^"X^ clx . m -1-1 m -t- 1 §. 723. Nachdem wir nun factisch nachgcwiescn haben, daß es mög- lich ist, das Integral /x'" X^üx auf das ähnliche ^/x^X stx zu¬ rückzuführen, so können wir uns in den Besitz der eben gefunde¬ nen Rcductionsformcln auch auf folgende Weise setzen, welche uns zugleich Gelegenheit darbiethct, den Vorgang bey der theil- weisen Integration an einem Bcyspiele zu erörtern. Soll die Differenzialformel x^X^x nach Anleitung der Gleichung (§. 713.) (8) /ü elv — uv — /vc!u theilweisc integrirt werden, so zerlegen wir dieselbe in zwey Fak¬ toren ii und 6v dergestalt, daß der letztere das Differenzial einer vollständig angebbaren Function v ist. Kennt man sonach die Grö¬ ßen ii und v, so bedarf es bloß der Substitution derselben in dem Wcyten Lhcilc dieser Zcrthcilungsformel. Da wir nun im vorliegen¬ den Falle ohne Mühe erkennen, daß x «Ix ein leicht integrablcs Differenzial ist, so setzen wir e!v —x clx , daher n —, und erhalten , <1u -pX^elX -1,npx"^X^^x. m-t-1 Substituircn wir diese Werthc, so ergibt sich (39) x^Ix -- /x'" m -t-1 m -t-1 600 Achte« Haupt stück. kirr. Suchen wir hieraus das letzte Integral, und setzen sowohl IN— n statt in, als auch p -t-1 statt p; so finden wir IN-PI—N p-j-I (38) X^x -- (p-pl)nh (p-pl)nh Zur Äufsindung der übrigen Formeln zerlegen wir in dem letzten Integrale die PotenzX^^oder (a-r-hx")^^^ in die Facto- ren O-pIix")^ und a-i-Iix"; dadurch übergeht diese Glei¬ chung, wenn wir zugleich den Nenner beseitigen, in (p-pl)nh/x X^6x — inl'1 —n ,,in t „M-II„P. , „m p — X X* —(in-pl—n) a/x (Ix- (tt!v1-n)h/x XX Zx und wir erhalten (34) /x^X^üx-, IN-P4-N P-P1 . X X X (in -j- I — n) L n ^p 1 — -----— ^/x NX. (in -I-1 -t- np)I> (n> -t- 1 -t- np)Ii Bestimmen wir auch hier das letzte Integral, indem wir zugleich in -t- n statt in setzen, so ergibt sich (35) /x X' clx - Nl-pt ^^N-P1 , , X X _ (in -p 1-t-N -p np)n ^^n-pn ^p (in -t- I) A (in -p 4) L Schreiben wir endlich das vorgelegte Integral „IN 1 n p _ /x (n-p hx )^clx „ »in-pnp — n , v, IN der Form /x (h -t- NX ) clx, und wenden wir auf dasselbe das erste oder das letzte Paar tu eben gewonnenen Gleichungen an, so erscheinen, nach vollbrach ten Reductionen die Formeln n>-pt „ < SS) "p- IN-t-1-I-NP IN-t-1-l-NP (37) X^clx -- NI-PI _,P-P1 , . __ _ L X_IN - t- 1 -t- n -t- Np ^NI . (P-P-I)NA (p-t-l)NL Won der Integral-Rechnung. 601 §. 724. Behandeln wir das gesuchte Integral 4-!xx")^ux nach jeder der obigen Reductionsformcln mehrmahl, indem wir z.' B. bey der ersten wiederhohlt m—n für in setzen, und jedes der bervortretendcn Integrale in den Ausdruck des vorhergehenden substituiren, so erhalten wir folgende Gleichungen, in denen X für n 4- 6x" steht. (4V) - (m-I-t—n) (mj4- (i»4-14-nx>—n) - , , . . »41—2» (in 4-1— n) sx (i»4-14-n^>—n) t>" -2n). . (m-fl—(r—1)n) . (i»4-14-np —(r—1)n)b^ ( — 1) (m-j-1—n)(in-e-1—2n).. (m4-1-rn)a „ >»—>>> x -----—7/ x x rlx, , (i»-j-1->-n^ —(n—1)n)k f >»41 . . , , ,, '»rH" (41) — X_, * _ 4-np4-n)I>x . M4-1 t 3 (in4-14-n)s" , ,.r—1 ... , r-1 >»4114-l)»- l"1) ln^-fl-fir p-fnion-fl-snp-fLn,. . (mj 1j-np4(r—1)NN> X j (in-sich») . . . (m 's 1 j- (r—1)n)n l-1) (nif-lf-np-fn) (m-ftj-n^f-2n) . , (in^l-hnp-srn) I/ >»tr»^r (m-fl) (m)-l)-n'>(ni-f1f.2n) . . (in-f1st(r-1)n)a^ >»11 - ^I>—1 (42) ^-2_ s X? _. IN-l-1-l-Nj, (m-j-1-I-IIP —n) 1)(p—2) . . . (i,-i'4-2)n^V"^X^^^ 1 4- ? (?—1) (x—2).(? - 1-4-1)» a ^.r-^ (m4-l4-»i>) (m-I-1-t-n^—n) . . (in-t-1-s-nx—(n—1)n) (43) — _ , (m 4- 1-t-iix-l-n . zi-I-1 ! na (p4-2)n"a" 4- lm4-l4-np4-n) (m4-14-ni>4-2n) .. (m4-14-np 4-(r-1)n)X^ 'j (p4-2).(^4-i-)n'n 4- Ofj 4-l4-Nj,4-n) (in4-14-np4-2n) - . - (>n4 -14-ns>4-i n) ^" x^^clx, (p4-1)(x-I-2).(x-s-r)»''»' 602 Achtes Hauptstück. /x'x'L- „ x»> s - »>^' x . p-I-1 I>t> (p-j-2)n"x>2 —n) (m-t-1—2n). .(m-sl—(r—1)n)x"^^ ^"x' 4 (p-s2).(p-s-r) ss ss ( — 1)^ —N) (iN-t-t-2n) . - . (nl-t-1 —rnj^m—rll (p-I-1) (x-t-2) (p-I-3).(x-4-r)i/t/ x ' ^-I> pnb x X . (m-p-l-i-n).(in-t-1-t-(r—1)n) ( —l/x(x>-1).(x-r-t-l)n ss n>-^r„ (>n-t-1)(ni-I-1-i-n) - - - (ni-t-1-I-(r—1)n)^ §. 725. Untersuchen wir nun, was wir mittelst dieser Rcductions- formeln zu leisten vermögen, so zeigt sich, daß wir durch diesel¬ ben, mögen sie auch in was immer für einer Ordnung angewen¬ det werden, das Integral ^/x"(a-t-s>x")^clx bloß auf ein ähnlich gebautes ^/x^ (n -t- six )"clx zu bringen im Stande sind, dessen Exponent von dem Exponenten m des gegebenen um ein Viel¬ faches von n sich unterscheidet, während sein Exponent von dem Exponenten p des vorgelegten um eine ganze Zahl diffcrirt. Daraus folgt, daß die Zahlen p UNd 77 und ri il und 77 n n stets zugleich entweder ganz oder gebrochen, mithin bcyde J»ic grale /x^(n-t-six")k- und —) besitzen. Denn Won der Integral-Rechnung. 603 I. Wenn p eine positive ganze Zahl mit Einschluß der Nulle, also p — 1 ist, so muß in den Formeln (42) und (45) der klein¬ ste Factor p — i-t- 1 des Zählers im Schlußglicde wenigstens -1-1, folglich p — r-l-0 seyn, weil, wenn er verschwände, keine Reduktion des gegebenen Integrals auf ein ähnliches statt fände. Soll aber dann p—r — 77 werden, so muß 77 -t- 1 >0, mit¬ hin auch 77 — 1 seyn. II. Wenn- eine positive von Null verschiedene ganze n Zahl, mithin > 0 ist, so muß in den Formeln (40) und n (44) in dem Endgliede der kleinste Factor - - oder — r des Zählers, wenigstens -t-1, daher'" ^^—r>0 n n seyn. Es ist aber m — rir —, solglich auch -- > 0. III. Ist — ("> p) eine positive ganze von Null ver- II schiedene Zahl, oder - (—^ 4- p) > 0, so ist auch in den u Formeln (41) und (43) der kleinste Factor — (-—-) oder — ( i" 1 pes Zählers im letzten Gliede we- n nigstens 1, folglich — ('^-^ -l-p -i-r) > 0. Damit nun n 4-rn -- ^und p—77 werde, muß auch — (^ ^— -t-7r)> 0 seyn. kV. Ist p eine negative von Null verschiedene Zahl, sofort b<0; so kann in den Formeln (43) und (44) im letzten Gliede d" größte Factor p -t- r deS Nenners höchstens — 1, daher nicht aber Null selbst seyn, weil dieses Glied sonst unendlich groß würde. Da nun in diesem Falle p-t-r —77 wird, ist auch 77 < 0. 604 Achtes Hauptstück m -j- 1 V-Jst— eine negative ganze Zahl mit Einschluß der Nulle, folglich < 1; so kann'in den Formeln (41) und (45) in dem Schlußgliede der größte Factor n oder 4-r— 1 des Nenners höchstens — 1, folglich - 4- I —1 ) <1 ist; st darf in den Formeln (40) und (42) der größte Factor II It des Nenners im Schlußglicde höchstens — 1, folglich ,111 4- I , , .. — (- 4- 1> — r -I- I) 0 il sepn. Soll nun m — m — und p —?c werden, so muß auch — sst ->7i4-1) <0 oder — ( st-^-- 4- 77) < 1 n 11 scyn- Man kann demnach das Integral /x^(J4-i>x"/ nur auf ein anderes gleich gestaltetes ^/x^(n4-stx")"llx bringen, wel¬ ches nach derselben Regel (§. 720.), wie das gegebene sich uile grircn läßt, oder welches mit dem gegebenen von einerley Art ist, wenn wir zur Vereinfachung der Rede, je nachdem m 4-1 , m 4- 1 , , P , - , —(-4-p) n kl positive oder negative ganze Zahlen sind, sechs Arten solcher bn Lott der Integral - Rechnung. 605 nomischen Integral? unterscheiden. Folglich ist es geradezu un- I'ix. möglich Integrale der Isten und 4ten Art der 2ten und 5ren Art der 3ten und 6ten Art wechselweise auf einander zurückzuführen. Obgleich wir sonach in obigen Reductionsformeln, gegen un¬ fern Wunsch, keineswegs das Mittel finden, eine Differenzialfor- mel, welche den im § 720 aufgestellten Bedingungen der Jnte- grabilität nicht Genüge leistet, auf eine integrable zurückzufüh- rcn: so leisten sie uns doch dadurch schon sehr wesentliche Dienste, daß wir mit ihrer Hülfe jedes in der Form be¬ griffene Integral auf das einfachste seiner Art zu rcduciren ver¬ mögen, bey welchem nähmlich die Zahlwerthe der Exponenten m und n so klein als möglich sind, und das zugleich den einfachsten Ausdruck vcrstattet. Es wird demnach unsere nächste Sorge seyn, die einfachsten Integrale der angeführten sechs Arten auszumit- trln, auf welche sich das vorliegende Integral mittelst der gefun¬ denen sechs Reductionsformeln bringen läßt. §. 726. Zu diesem Ende gehen wir die hier möglichen Fälle einzeln durch, indem wir zur Erleichterung unserer Forschungen den Ex¬ ponenten n als eine ganze positive Zahl voraussctzcn, da die^s, wenn er negativ wäre, durch die Substitution x — — , oder durch das Hcrausheben des Factors salls er aber in der Bruchform X aus dem Binom 2 4- Iix , erschiene, durch die Substi- tution x-- ii^ leicht bewirkt werden könnte. Ist p eine positive ganze Zahl, so wird man bey der An- u^endung der Reductionsformeln (42) oder (45) stets die positive Lanze Zahl r dergestalt wählen können, damit der Factor l' - r -i- 4 und mit ihm das Schlußglied der Gleichung gänz- l>ch verschwinde. (46) positive ganze (40) und (44) daß der Factor Man könnte zwar dieses Integral, wenn k > "" telst der NeductionSformel (40) auf clx «/ N—Ir , a x O -t- Iix ) 606 Achtes Hauptstück. II. Eben so wird man, wenn eine n von Null verschiedene Zahl ist, in den Formeln die positive ganze Zahl r so annehmen können , in -l-1 — IN — »(-- .. — r) ri und mit ihm das letzte Glied verschwinde. III. Endlich wird man, wenn—-t- p) eine positive n ganze von Null verschiedene Zahl ist, eine solche positive ganze Zahl r finden können, daß in den Formeln (41) und (43) der Factor m -t- 1 -j-np -t-rn — n('" -i-p -t- r) , und durch ihn ii daS Schlußglicd aufgehoben werde. In diesen drcy Fällen kann man demnach mit Hülfe einer dergestalt gewählten Reductionsformel, daß in ihr dasjenige In¬ tegral, auf welches man das gegebene zu bringen beabsichtiget, gar nicht erscheint, die Integration vollständig bewirken. IV. Ist p eine negative und ui erstens eine ganze Zahl, so kann man mit Hülfe der Formel (43) oder (44) den Exponenten p höchstens auf — 1 herabbringen, weil, wenn man ihn auf Null reduciren wollte, der Nenner deZ letzten Gliedes verschwän¬ de. Ferner läßt sich der Exponent in, wenn er positiv ist, mittelst der Neductionsformeln (40) und (44), und wenn er negativ ist, mittelst (41) und (45) auf einen positiven Exponenten 1c redu¬ ciren, welcher kleiner als n ist, und gefunden wird, wenn man ni durch n so dividirt, daß der Rest Ic positiv ausfällt. Sofort ist das einfachste Integral dieser Art 1 n Voli' der Integral-Rechnung. 607 bringen, wo der Exponent u —Ic von x kleiner als^, da- her auch kleiner als Ic ist; allein dann würde der Bruch -—.-— in 2u —Ic Partialbrüche zerlegt, folglich das Integral selbst auS 2u— Ic Gliedern bestehen, während das In¬ tegral (46) deren nur n, also um n —Ic weniger enthält. So lassen sich z. B. die Integrale /» x"dx /» dx dx (L -l- Irx^)^ ' x^^fg-t-bx^)^ ' x^(u-t-ssx^) auf die einfachsten Integrale /» xrlx x^dx / x ) clx unter diesen Umständen reducirt werden kann. Z. B. Die einfachsten Formen, auf welche man die Integrale _s > /> x^clx clx üx bringen kann, sind demnach s 4 /» x^clx /»clx Z' V. Wenn eine negative ganze Zahl (mit Einschluß n der Nulle) und die positive Zahl q der Nenner des gebrochenen Exponenten p ist, so reducirt sich das Integral „IN , NN /x (n-t-l>x ) clx durch die Substitution 4 /-r -t- lrx" - u auf das Integral ni-t-t , /.?^^(ul-a)^ 6u , welches, weil x g -t- cs — 1 eine ganze Zahl ist, auf die ein¬ fachste Form u^clu u — L gebracht werden kann, in welcher Ic den positiven Rest vorsttlll, den die Theilung von px^) ' x"(u-^-i,x^ ' auf die einfachsten Formen clx clx / > clx x^ L -t- dx^ X (A -t-dx^) 3 zurückführcn. IflL. VI. Ist endlich— ( *" -t-p) eine ganze negative Zahl mit Einschluß der Nulle und g der positive Nenner des gebrochenen Exponenten p, so reducirt sich das Integral /x"(a-t-l>x )^clx durch die Substitution 4.—-- h/l>->-UX—» — u auf das Integral -x-1 welches, daxq-t-q—1 eine ganze Zahl ist, auf die einfachste Form u^-l, gebracht werden kann, wofern Ic den aus der Division von pci-^ci—1 durch q zurückbleibenden positiven Rest vorsteur. Setzt man hierin für u seinen Werth zurück, so wird (49) /» _ «/ — n.l- X (k -d- LX ) Vega Math. II. Bd. 610 Acht«« Hauptstück. I'iss. das einfachste Integral, auf welches das gegebene Integral m Np ^/x (a-i-ox ) cix Key diefen Voraussetzungen sich bringen läßt. So z. B. können die Integrale i, uz» /x^O-t-bx?) Z «Ix 6x _6x_ ' x(1> -t-3x"b)^- ' x(K-t-LX 4)^ E x(K-I-3X ^) ' oder z» ckx /» x^ckx z- stx / 'V _ -_ ' / i 3-e-6x^ (s-t-bx^) ^ s -1- reducirt werden. §. 727. l. Um demnach eine gegebene binomische Differenzialformcl zu integriren, wird man zuerst untersuchen, ob und weßwegen sie integrabel ist, oder zu welcher Art sie gehöre. Tritt einer der Fälle ein, daß x oder oder — -i- p) eine ganze n n positive Zahl ist, nähmlich daß das Integral zu einer der drey er¬ sten Arten gehört, so wird man entweder geradezu oder wenigstens nach einer zweckmäßigen Substitution die Auflösung nach dem bi¬ nomischen Lehrsätze vollbringen, und dann glicderweisc integriren, oder nach dem im vorigen Paragraphe I. II. III. angegebenen Re- ductionsformeln die Integration ausführen. Ist aber entweder p oder oder — n n eine negative ganze Zahl, gehört nähmlich das gegebene Integral zu einer der drey letzten Arten, so wird man dasselbe (nach §. 726. IV. V. VI.) auf das einfachste seiner Art herabbringen, und dieses nach §. 720 bestimmen. Zu dieser Reduction wird man entweder die im §.723 gefun¬ denen Formeln wiederhohlt anwenden, oder die im §.724 aufge- Von der Integral-Rechnung. ßH stellten Reductionsformeln gebrauchen / wobey man jedoch die zu I'ix. benützenden Formeln stets den Umständen gemäß auszuwählen hat. Wir wollen dieses Rechnungsverfahren durch einige Bey- spiele erläutern. 1. Beispiel. Man suche ZV- ^1-t-x- Da hier m --- 6, n — 2, x — — —, a — 1, d — 1 ist, so hat man m 4-1 , 7 — 1 » -4- p - —— - 3, n 2 folglich kann das Integral nach §. 726. VI. auf das einfachste zurückgebracht werden. Nun erhalten wir nach Glei- /l-l-x- chung (40) 5x^ 5.3x > 5 3.1 / » 6x ''^14^ v^6 6^4 6^2/ 6.4.2^/!^ Es ist aber (§. 721. Gl. 20.) (x 4- ^14-x^) ; daher ist 2. Leyspiel. Zu bestimmen sey Z' -———. x(1-x-)^ Hier ist —1, n--2, p--- — A--1, b--—1, -0; 2 n daher wird man das Integral nach §. 726. V. auf daS einfachste äx / bringen können. VI—x- Hiezu gibt die Gleichung (43) _1 1 /> ckx r(1— x-)^ Z(1-x-)^' (1 —x")^ x^l — 39 » Achtes Hauptstück. 612 kix. ferner ist nach §. 721. Gl. 71. folglich hat man clr l/l—X- —1 - — Li -————. » clx 1 1 , y i—X- — 1 x(1—x-)^ 3(1-x^)^ (1-x^)^ 3. Beispiel. Man bestimme das Integral /'(x- —1)^äx ./-- s Nun liefert die Formel (45) -D^äx 1^ ^4 und die Gleichung (18) in §. 721 clx /— . — nrc secx, xs/ x"—1 daher ist 3 (X-—1)- 3 , , -Ü4-— z-X-(x--l) j (Ix 1 5 , 3 " 8 "°""' II. Ereignet sich bey der Reduction eines binomischen Inte¬ grals auf ein anderes derselben Art der Fall, daß ein Nenner Null wird; so kann man, wenn auch der Zähler 0 wird, diesem Uebclstande dadurch am leichtesten begegnen, daß man die Werthe von in und z> nicht auf ein Mahl, sondern theilweise, und zwar zuerst den Werth derjenigen Große substituirt, welche nicht in den Factoren des Zählers und Nenners zugleich erscheint, weil Da hier in — — 5, n —2, p —, a — — 1, I> —1, folglich —— 2 ist, so kann dieses Integral (§. 726. V.) n auf - gebracht werden. Bon der Integral- Rechnung. 613 sich dann die gleichen Factoren schon nach der ersten Substitution aufhcben. Wird der Nenner —0 und erhält im Zähler entweder x oder u-t-s>x" den Exponenten 0, so hat man für die Ausdrücke und (nach §. 716) I-x und I- O4-Kx") zu setzen. Wird endlich ein Nenner Null, ohne daß im Zähler ein Factor oder ein Exponent verschwindet, so ist dieses ein Zeichen, daß man das gegebene Integral mit Hülfe der gewählten ReductionSformcl auf ein Integral einer andern Art zu bringen strebt, was jedoch diese Formel nach §. 725 durchaus nicht zu leisten vermag. 1. Beispiel. Wenn man das Integral— sucht, so istm —— 4, n-^3, p---— 1, folglich läßt sich dieses Integral auf das einfachste zurückführen. Zu diesem Zwecke be¬ nützen wir die Formel (41), in welcher wir aber, da m 4-14- pH 4- rn — 0 und IN 4-1 4- n—0 wird, zuerst p — — 1 und r —2 setzen, wodurch wir „ IN, IN4-1 , NI 4-14-n in4-Ln Z' x clx x bx / > x . clx -l4-dx°" ö'Hl)?M4-14-N)L- erhalten. Setzen wir nun in — —4, n —3, n — 1, d — — 1, sowird » ckx 1 x" x"clx x^(1 —x^) 3x^ 0 1—x? Es ist aber nach §. 714 1-x- 3 ^her hat man 6x 1 . r 1 / -—- "1- — — x»(1—X-) 3x» 3 1^(1 —X-) 1 1 1—x^ 3^» 3 ' x« ' 614 Achtes Hauptstück. 2. Beispiel. Eben so kann man das Integral — x(a-t-ox) auf das einfachste Integral^-^- seiner Art zurückführen. Denn nach Gleichung (35) ist, wenn man, weil m-j- 1-l- n -t-np — 0 und in-i-1 — 0 wird, zuerst p ——1 und n — 1 setzt, NI , IN-PI IN-PI . z» X x ' folglich ist für in —— 1 stx — x" _I) z» clx x(n-pi)x) 0.L N^L-pbx — Iix — — 1^ -p lrx) L n --11, . L n-pox 8. 728. Von den in der Form x'"(a-pkx")stx begriffenen Differen¬ zialen kommen bcy den Anwendungen der Integralrechnung auf Geometrie und Mechanik vorzüglich diejenigen vor, in welchen n — I odern —2 ist. Dieser Umstand hat uns bewogen, die am häufigsten erscheinenden Integrale dieser Form in folgenden zwey Verzeichnissen zusammenzustcllcn. Dabey haben wir zum schnellem Aufsindcn eines gesuchten Integrals die Anordnung dieser Ver¬ zeichnisse so getroffen, daß diese Integrale nach ihren sechs Arten zusammengestellt wurden, daher sich in der mit I. II III. I IV. V. VI. überschriebenen Abtheilung diejenigen Integrale befinden, bey denen p, ^1, -(^-Pp) p, NN n n eine positive ganze eine negative ganze Zahl ist. Von der Integral-Rechnung- 615 729. Nss- verzerchniß der brauchbarsten binomischen Integrale vsn der Aorm (z bx) " clx, in welcher in und x ganze Zahlen bedeuten. n -I- bx — X. I. 1 x— 1 x m4-I X ' IN-t-1 II. 1)'" ">(m —1) 1.2 V x'" X'' clx -- t ! l xkt"> -I-7^- - MN .- x-t-m-t-1 ;> -t- i> .. 1-2 x-4-ra—1 ,n-2X^^ n.-1 ,.-2X'' ^ " "X''") - Hier ist ii eine beliebige reelle, m aber eine positive ganze Zahl mit Einschluß der Nulle. />"4x^1 i) - -4- pao- k- O-7 . 1.2 —1 in-1-p m-l-^-t-1 Dabcy stellt p eine positive von Null verschiedene ganze, m aber eine beliebige reelle Zahl vor. Für p — 0 ist /x^ clx — 616 Achtes Hauptstück. L -t- 1)X — X. x-äx x^ sx X 2d ,- x?äx /x^ z^2 i 2s , ^-x2-"^-"üZ-)x "W /- — / 2sx Zs- . 1 X» ( d- 2d- ) X- d« /^-(zx-z.)K^ /-x^-(^x-z.)Kx» d- d-xi X^ L 2X" 2X^ d- s "4 oX /.-X^Ax--(1-X--^sX^ ^-s- X° 6^-- (^ X- - s X -t- s-) A* xäx 2 X- 2 s -t- dx äx _2^ X^ äx XZ 2X^ d- x2äx X^ Bon der Integral-Rechnung. 617 a -t- k.x -- X. III. /x'" X'' äx --- 2 rru - z 1 !_1_ /X X (K-2)b /Xx tIe-S> " x / 2^x > 1.2(x-kli—3)^x > (-1)"(k-2)(k-3)d ^X^ ' b X/ "' 1.2.(x-t-3) x-i-2 , 1t _ 1t—2 v 's-11 . (-1) b x-l-1 ^x^ ) Hier ist die Summe — (m-i-P) - le eine positive die Einheit übersteigende ganze Zahl. /, äi Ix xx^^^x äx 1 Ix xX2— sx X „ äx ^-3 Lx^ 1 1 X xX->-^-IxZ-t-^L 1" X /, äx 1 l> x /" 1 2^ X — — r X ^x-X- ——I-^X -r»^X » äx < 1 9d Sb2x >, — Zd X"- ' - gx 2^2 X" X /-^ — -?- X^xx L VX^ z-^, /1 2x2 /x^ xix^ u ) 3u X> x-xl a ^x> Z' /lx _ _» -j- 2 bx r'x^ x^xi Z-^.'sl 4(a-l-2bx)x 2 618 lH x^äx 2 , x v» x^äx Lx Achtes Hauptstück. » -t- bx — X. Sax^ 4b X 15s^ Xx > Ss X^äx^ /-^ 2 IV. ^^3-1-^'—Lx 2 ./dr sre tsng — SV r>dr src »in — Z' xix 2 . kx__ 1 V—sb s— ^-Lx^^sb 2 , , ^dx 1 2^sbx 1 --^—x- sre »in V sre tsna --,n Six: »n —v ^/slr X ^sb " s— dx ^x 1 . 2bx -n arccos l/———— srccos————n src »inv -^7- ^sb X ^str X ^sd X äx ^x 1 . üx ^4x2 ^X 2s äx ^-1 3 >^"x 3 . äx x^X^ X 2s>2s X Ls^ ^4^ Von der Integral-Rechnung, 619 L -l- bx — X. „x2 ^x 3a , , är 1--^Vd- d> X " 2d- /,^-Ix 2x 3a , 3 )/x , 3 äx X- — dX 2L-X"^'4b-' X 8d- dx /- äx Z , 2dx> 1,1 äx xX- ^2a s- äx /-!--- xX^ 1 ^x—2 ^X-^s ^/a^^X-t-^a^a^ nre oo«^-^- _2 -X 1 . 2X -77-—nrv tßl/ ——-srv SINVX7 ---v^—: < V-a °r — a- a dx a 6x 21 äx 2 - — aro V^—a 1 2a-t-dx 2 - , /^X -srovos-—7— --—-arcsinl/ — dx V—» ' dx 1 2a-I"dx ' ^ot^XV-» ^x X^ b llx x-X^ 2a ^4 / bd> 1 3d . äx x-XZ—sx^a->^4 2»-^^ /-^-— 5d-x X 1 Sb „ ä; x-X^-->x—3a-— a» xX^ /^^zX^a/-^. 2x4^-ar/-^- _ VZ _ ?äx--(1.x--^ aX a-)2X^»-' /-^- 0 3 Achtes Hauptstück. L VI. x4 X.4 äx X2 620 IN!.'. X- x^ X^ -z ckx -- X» X- , . Xx 4 3sb 6x 9abx bV. ,'X^j. , 1 -4^-2")(v) -l- llx xxi / äx- k X- -t- abX -I- Sa-b)^ XX^ äx x^X^ " Vb ^-X^bx 2 . —bx 2 . ^—bx 1 . —2bx 1 — —- aro «inv -— —— sre coa b a k a X^ x x a „ äx / - clx x X >, . /^öax bx^ X/ Xx^ 3a^ „ äx 2 —- arecos l/- —o ' « a -^- 2bx Bon der Integral - Rechnung. 621 » -i- — x. in» Z , xX 3n2x n-l-2bx z j s»4 clx /r X g— " X ^x4 s 6x K 2d ^4 2 .x .L 1 „ äx xz b(x)^b^^^ ,3 , Xi X2b 4K« - 8d- ^^4 bs äx X^ Xb^br-XX- Lb- 3 z Xx X 3K d2^ )^x) t>2^4^4 622 AchtetHauptstüS. ki?. §. 730. verzeichnest -er vorzüglichsten bmomischen Integrale von -er Form /'x" O -1- bx^) äx, in welcher m und p beliebige ganze Zahlen vorstellen. a -1- bx- --- X. I. II. /x" XH-- x m-j-1 . m-j-3 - __ p»- b^_Eli) »---b- -1-. in-i-1 m-j-3 1-2 inch5 , „ n>-j-2x-S , ,n-i-2x-1 ? -»tSktl ... -^ i-i-d ' 12 m-j-Äp—S inl-29-1 m-j-Sxil wenn p eine ganze positive, in eine beliebige ganze oder gebro¬ chene Zahl vorstellt. lN-1 , w-3 -z-t? , Q-1)(m-3) X-4. . '-1.2- w-3t2l> ">—1 m-S ,, -»-(-1) - (m-1)0-3) , g ^,^.1) 1.2.2- x-t-3 IN—3 w-3 n-s2 M-Iz^ /x-°X äx-- 1 t2X 2 2b 2 -n—1 m—1 ^k^l) ° -' -^il' IN-1-1 wenn ——eine positive ganze (von Null verschiedene) also in eine ungerade ganze Zahl, x> dagegen beliebig ist. „ Xtlx 1 - xäx _ 1 X- " Lb X - rcll_ 1 X» 4d X- Von der Integral-Rechnung- z -t- dx^ --- X. -N—LX X " 2b 2d2 _^-4. -^—LX X- — Lb-X^ 2b- . x^äx / b X 1 - 'M- — 2b" 4K2 - X- , X- Z' l X'^äx— -n- 5b 7 r X^ /xX-äx-- -- 7k / ,>X^><--(^ -A-,) x' ,> X äx X^ ^--k- / — — — -^— X^ kxi / — 1 . 3b X- ^3b Sb« X' x4 -> x^är Ss x 1 —d - "sb--^z 623 t'iL' 624 Achtes Hauptstück. Fitzt. A -t- — X. III. /x'V äx- i s i /X (k-i) (k-r)b- ^x^ 2a^ j x-t-b ^x2> I.Z.(pl-Ir-L) (k-S)k^ x x^ <-1)"^di-1)k^ x/^ 1.2(x-t-3) V^L/ p-i-2 (-1)" d"-^x^"r x-tz-1 ) ' wo — ("-^ -<- p) — Ic eine negative ganze (von Null ver¬ schiedene) Zahl, folglich m gerad ist. Ix"n^x äx 1 1x2 IM — ZäX^'Zär X ckx /3 bx2 x 1 1 x^ IM — xr^ 2s» X äx b^ x^ x^ X 2 sx^ Lk>2 X »äx . 1 kxl Kx2 ( 2sM —»2>X —ä» X » äx , 1 9b Zb-x-x 1 3d x- x-X»— 2sx- — 4»2 — Za» - N"" 2s» X äx x X- aX? _ xi - ( 3sX 3s- ) ^4 x2b — —— src tg x^—— sre V^—»77-1^0 »>n ^sd " s ^sb X so . n—dx^ 1 . 2bx» ^d 2^d "° °°° 1 Z'^? ^Xr-Z^x^ZI-^X /-^ /1 8x x 3 ^,äx X»-. ^X 8^ X x s ^äx X X z> 'i-ä^ x 1 />äx LbX^Ld-'X ? 1 > z^ 8K> xr^ Ssb X 1 b „äx X NX L -/ jX / -^V. < 1 3bx. 1 Sd^ . är ^X- V 2-^)x 2-^2 Xj / ^_-_ < 1 2Zdx 13KV. 1 15b ^äx ^X-- - g^Z-8s» ^X- Ss»-^ X^ Bon der Integral-Rechnung, a -l- Iix^ — X. ^x X^ x^X^ / i' -^- 2dx> 1 x-X^ ^SL'" s? > Z" 8b^x» x 1 x-X--»^ -.X^ Vega Mach. II. B. 40 626 Achte« Hauptstück. a -1- — X. V. Z' l- ----- L V^X-t-^s V- r 1 b 1 . X ---—-sresevx^—— - — aretsns^/ — a —L » - — » 1 x^b 1 -- -- --- sro eosecL-—— --- sre cos ------ —a ^X a x^b 1 . ^X 1 . LX s-> —— sre 8IN— -----—- src SI»V ------ L 2^—« ox-r - äx 1 1 „ äx xX^ »X^ xX^ Von der Integral-Rechnung. 627 a 4- kx? — X. r x i - X- , , . X^ , 3-»b ^^-,11---^^ - LV^Ü "° V X 1 . —2l-x2 are cos , , X , z-»> /-^5- / X^ ^X -g-/ X .-!- .<, x » X /X'-. . X» -,-A/^- 6 2t 16^ x2<1^ x X^ g äx ^4 Ld"' ^4 ^x^clx x 1 ^—clx-(-^ kxX -j- X? X X Li 2 A 2 ^4 X^ , / ^,<-r. § r. ^,1Sa-Lx>X^ iSa-b .äx / -äx^-l — —^.dx X^-j—-abxX-^-MW)--i- —-—/ -r. x2 V x 4 8 8 ^^4' m. Abschnitt. Von der Integration der trinomischen Differen- zialformeln. §. 731. Die bey manchen 2ltiwcndungen der Integral-Rechnung auf Gegenstände der Geometrie und Mechanik in der Form x (g. -t- hx -t- cx?)^clx sich darbiethenden trinomischen Differenziale lassen sich, wenn w und p ganze Zahlen sind, nach §. 720 vollständig integriren. Sie können jedoch auch dann noch integrirt werden, wenn m eine ganze Zahl und p ein Bruch von dem Nenner 2 ist, weil sie sich unter diesen Bedingungen auf integrable binomische Differenziale von der Form ^x (a -1- hx?) cix zun'ickführen lassen. Denn cs ist n -t- hx -t- cx? — e (x?,-t- — x -t- —) ; c c folglich kann das zweyte Glied des letzten Factors nach §- Bon der Integral-Rechnung. gzg beseitiget werden, wenn man x —u— — substituirt. Bey 2c dieser Substitution wird, wenn man 5^—1^.— 1^ setzt, 4c n 4-- six 4- cx? — !c 4- c, äx — äu und in X— /x (n 4-bx 4-cx')^ ein rationaler Bruch vom Nenner 2 sey. Ist aber in eine negative ganze Zahl, so kann das Trinom n 4- dx 4- cx?> wenn ihm die Gestalt 2/I.K 1 . c X »x^ l — 4- — . — 4- — > Vx^ nx n / "Heilt wird, nach §. 329 durch die Substitution 1 b _ ---- u — — X 2^ ^uf ein Binom zurückgebracht werden. Durch diese Substitution . "gibt sich 2nu — ' (2nu— d)? 2 nu — d/ a 4-bx 4-cx^(n u^4-§) , ^2nu- K/ 630 Achtes Hauptstück. 4 At' _s»? wenn man.—-— setzt; mithin ist —/'x (a-I-six4-ox^)^äx V«-»- -/<>». So lange demnach — (m -t- 2p -4- 2) eine positive ganze Zahl mit Einschluß der Nulle, folglich — (m 4-2p 4-2)> — 1 und daher — 4-p) > 0, nähmlich — (---^— 4- s>) eine positive ganze die Null übertreffende Zahl ist, kann daS gegebene trinomische Differenzial mit Hülfe der Substitution 1 k> . . — — u — --auf kine integrable binomische Differenzialfor- x 2a mel zurückgebracht werden. Dieser Fall tritt aber gewiß ein, wenn m eine negative ganze Zahl und p ein negativer rationaler Bruch vom Nenner 2 ist. Wäre jedoch dieser Bruch p positiv, so hälfe diese Substitu¬ tion nur so lange, als p «c ist. Allein in diesem Falle hat man, da nur seyn kann, IN . n /x'" c. 4- l>x 4- cx-)k ckx üx. L4-bx4-cx' Löst man nun die Potenz (s 4-six 4-cx-)" nach dem bin»' mischen Lehrsätze auf, so hat man nur noch Integrale von den Formen x^elx clx clx_ 4- six 4- cx? n4- six 4- cx? zu bestimmen, von denen dem eben Erwiesenen zu Folge die I) bcyden ersten Arten mittelst der Substitution x — u — ' Bon der Integral - Rechnung. 6ZI die letzte aber durch die Substitution -- -- u — - sich x 2a darstcllen lassen. Das folgende Vcrzeichniß, welches die am gewöhnlichsten vorkommenden trinomischen Integrale enthält, biethot dem Le¬ ser eine reichliche Auswahl an Beispielen dar. §. 732. verzeichniß der vorzüglichsten trinomischen Integrale von der Horm i X- LoX X» teX- " n -t- kx -t-cx^) " 6x , in welcher m und n ganze Zahlen vorstellen. Der Kürze wegen sey L -t- l>x -t- cx^ X , 4ac — Ic. I. Integrale rationaler Differenziale. . (2ex-i-b)^K 1 k .> "° ^LeX 2ox-s-b 2 . 2cx^-b 1 , Ic 1 . äx x- - X X / , ^-)(2«chb)-^ b-/ ' x- s.,rkX2 t x X 2v Lo X /> nix 1 d /'»cx -t- L^( Iix")"1^ X 632 Achtes Hauptstück. kiss. a-k-bx-t-cx? — X, 4»c — —lc. /- b ^k? a>/.ckx _2a „äx X- — cX o ' KX > X ^> x?äx " 3^ 12^?) X- b) ^) 6c? < d? a > „ ckx l^'öv?"^ So^ X ckx 1 x? d . äx ^X " X" 2^-^ X - ckx 1 b 2ex -t-b Ix? k.e 1> />äx n- L^x 2^ ' LX X - ^ (L^ 2^ X XX» " 'ZIx?' 2^-x" X 2l (ZiiX^r Vx) b 2ox-t-b d /So? c t ^äx 2a? ' '^KX a ^-L? »K^ 2a?^^ X Von der Integral - Rechnung. 633 ii. riss. Integrale irrationaler Differenziale. L -l- lox -l- cx? — X , 4Lc — Iff — le. klx! 2 (2cx -I- b) ckx 1 8e^ 2(2cx-I-b) (3KX ^X r6r _ 2 (2a -l- dx) x äx ^L(Sox^-b-l-L^oX)--^-. arcsin- — b b 4e 2(2cx-I-k)2_ SILV - 2 x^—c - arc tana -'- — v 1 — 7-7--arc cos V — 0 1 — — sro 8>/-^ eX 1 — 2ex — b —X—— — - arc tans -,-- ..i __ Sb» 3ab X _ ^clx 'V 3o iZ^r 8e» Sc»^ X 16c» 4c» Z, I bk ü x 8a "" 2a 2 4c-' — 160- ^?X /xX^-^_^^-4 Le ISeVe LK Lc- 8KK- 2Z6c--/ P^X -.4. /"x Sbx z 5k- a> 2cx-<-k /x X äx--- (^ — -^z) Xr -4- z' Sk- a > 6x "b'Sc^lSo- 4c^-/^X /-x- X^x- x4_». s^- —) (Lax-4- b)/X -> Sc 60c- 24a- - So^Sc 64c-> 8K- /-7L- äx 128c-24c- So)"' ^'X 2g-s-bx sre tsirs -—-— b L^-aX äx 1 2a-s-dx—2^aX 1 xi?x — x — 1 d 2cx-p-l> 1 x X-^ä^X 1 ' K^X ^X / _55_- __VX —z. 6x x-xi Ix 2s"/ xp^X äx _, 4 Sd x t /SL- 4vx2ax-j-4» "/ ^2x2 2s- s) Kp^X 31' /"_^- 2s--/ x/X äx / 4 3b ^ /- /8d- «> -Ix ^^Xi^ 2^^ 4^-1-^^ V8^-Zl)"/x^X äx ^4 5K s15k- 3c 4 VX ^ISb» 13do>2ax-4-k ^15b- Ra "'x Ls» -"2^) K^X -" 2s-)-/ »/'X X^äx_ ^4 k ^-k- a äx. — V2^ ^/X— - -z)7 Von der Integral-Rechnung. 635 L-t-ssx-l-cx? — X , 4ac— k»? —Ic. »x4 clv / -- - /. x4 llr äi ^"X'g Lc ^^2 (^^Lc^Vx /> ilx IV. Abschnitt. Verwandlung einiger sehr merkwürdigen irrationa¬ len Differenziale in eine rationale Gestalt. §. 733. Wenn keine Methode und kein Kunstgriff bekannt ist, um ein vorgelegtes irrationales Differenzial zu intcgriren; so muß wan noch untersuchen, ob sich dasselbe nicht auf eine rationale Gestalt bringen lasse, wodurch das ganze Integrations-Geschäft w'f die im I. Abschnitte erläuterte Integration der rationalen Differenziale beschränkt wird. Allgemeine Regeln, wodurch wir im Stande wären, jedes irrationale Differenzial auf eine rationale Gestalt zu bringen, gibt cs gar keine. Aus dieser Ursache wollen wir bloß die merkwürdigsten irrationalen Differenzial-Großen ^"führen, und die Substitutionen, wodurch dieselben eine ratio- "ale Form erhalten, nur kurz berühren. §. 734. Das Differenzial Xclx, in welchem X irgend eine Function d" veränderlichen Größe x bedeutet und dabey die Eigenschaft 636 Achtes Hauptstück. I'ix. hat, daß sie außer rationalen (d. i. durch ganzzahlige Exponenten angegebenen) Potenzen von h/a-t-Kx^, wie -j-hx^/, wenn g eine ganze Zahl vorstellt, keine andere irrationale und auch keine transcendcnte Function der Größe x enthält, wich eine rationale Gestalt erhalten, wenn man L -t-k>x? — 2 — xx/h> setzt; deng dadurch wird u -t- ---2" — 2rx z/h -t- six^, folglich x — -—, äx — Ü2 und ^L-t-dx^—- ; daher das irrationale Differenzial Xc!x in eine rationale Diffe- renzialformel von 2 übergeht, nach deren Integration man wieder 2 — X^/ h -t- -t- hx^ setzen wird. Z. B. DaS Integral />--5^— L -t- hx" übergeht durch diese Substitution in 1 />62 1 7 —.— / — — - Q 2 , h 2 x/h daher ist /—- D (x/h-t--t-six^). Aus der Gleichung folgt, wenn man s-tzt, g, _ I Ü2 , 16'^ 2° 16^ 2° welches sich sehr leicht nach §. 720 integriren läßt- Kon der Integral-Rechnung. 637 Mittelst derselben Substitution findet man auch /(x-t-^/äx — ^-/2" clr -I- str, /(bx-j-c a-t-x^) (x-l-^/n-l-x^)" äx — (d-t-c) -t-^ 20/2^ a^(c—, 2 4 wenn man ^a-t-x" — 2 — x setzt. §. 735. Ertheilt man, um die imaginäre Form der Wurzelgroßen zu vermeiden, dem obigen Radical die Gestalt j/n-bx?; so wird das Differenzial Xäx auch eine rationale Form anneh- mcn, wenn man l»? oder ^(v/er-t-xl/b) (/n—x/b) — r(.^/a-t-x/!>) fitzt, damit /n— x/d — 2-(/a-t-x/b) , folglich x --- clx -- --^-77 , und r - -e—lox^ werde. Es ist z. B. />_, q, r, L, ... verschieden sind, vorerst in die Functionen (^n-t-I»x") , (^/a-t-I>x^) , u. s. w. eines und desselben Wurzel-Exponenten p verwandeln. Dann wird ein solches Differenzial X-- eine rationale Gestalt anneh- men', wenn man , /st- — setzt, damit x"--^, und p s-Y. Z. B. Es ist (l-l-x')^clx h/ (1 -t-x") stx_ _ ri^eir x^—x^/ch-I-x" x^—^/l-t-x" «/ (7? —i) (7?—r.—1) — 2 -I- / - --- -Ll2 , 1)(7?—2—1) wenn man --- 2 setzt. ? §. 737. Wenn bey dem Differenziale Xstx die FuNction X außer den irrationalen Functionen st_, « ._ - (^/L-t-dx) , (^L-1-six) , U. s. w- oder andern r - —, z «I. r (^u^six) , (^/A-t-six) , u. s. w., welche alle auf einen gemeinschaftlichen Wurzel-Exponenten zu bringen sind, keine andern irrationalen Functionen der veran- Von der Integral-Rechnung. 639 derlichen Größe x enthält; so. wird ein solches Differenzial Xclx, I'ix. Lader vorige Fall für n---1 in diesen übergeht, eine rationale Gestalt annehmen, wenn K ^L-t-s>X 2 gesetzt wird, damit 2 —n .1 irr är X --- —- , und ox --- O 0 sey- §. 738. Jedes gegebene Differenzial X. — , welches außer X « u. s. w. X s-t-LX»/ keine andern irrationalen Functionen enthält, diese Wurzelgrößen mögen mit rationalen Functionen der Potenz x" wie immer ver¬ bunden sey«, wird in ein Differenzial von einer rationalen Gestalt verwandelt, wenn man z -l- !)X" k-t-gx» seht, damit dann > ' X» — 3 clx zr(hs—.62 d—n(tr^s)(b — werde. setzt, d-t-s?)- wenn man 3-B. Aus der Differenzial-Gleichung ,1._.,d t-x- ,1_ 1—x^ X 1-x^ 1-X Lrctnnssh/^--^- 640 Achtes Hauptstück. r:-. §. 739. Wenn das Differenzial Xäx außer « B u. s. w. X t-t ssx/ X f-»-AX/ keine andere irrationale Function enthält, so kann dasselbe, weil es in der vorhergehenden Art von Differenzialen für n —1 ent¬ halten ist, durch nachstehende Substitution in ein rationales ver¬ wandelt werden: .l^s-i-chx — a -— 2, nahmlich x—- s-t-xx d-x/ ux —- (h— §. 740. Jedes gegebene Differenzial X^ — von der Beschaffenheit, X daß es irrationale Functionen zweyer verschiedenen Binonuen (h/'ä^kx")^ u. s. w., und u. s. f. enthält, welche mit rationalen Functionen der Potenz x wie uw mer verbunden seyn mögen, kann durch folgende Substitution m ein Differenzial verwandelt werden, welches nur eine einzige irra¬ tionale Function ss?" enthält, sofort nach §. 734 oder nach §. 735, zuweilen auch nach §. 736 eine rationale Gestalt annc)- men wird. Wenn man nähmlich im §. 738 jr — 2 setzt; so ist x" --- eix 2(ds-n s)^^, k>—' x —a) ) . - Ä -i- dx und x — 7. — 41 Wenn daher irgend ein Differenzial Xclx irrationale Functio¬ nen zweyer verschiedenen Binomien von der Gestalt (a-t-Irx) und ^(s-j-gx)^ enthält, welche mit rationalen Tunctionen der veränderlichen Größe x wie immer verbunden seyn mögen; so kann dieses durch Anwendung vorstehender Substitution in ein an¬ deres Differenzial verwandelt werden, welches bloß eine einzige irrationale Function ^/l>—ssr? enthält, folglich nach §. 734 oder nach §. 735, zuweilen auch nach L. 736 rational gemacht wer¬ den kann. endlich setzt. Vega Mzch. H. §. 741. Das Differenzial Xäx, woyn X außer (a 4-hx 4-cx?)hx 4-cx")^ , u. s. w. keine andere irrationale Function enthält, cs mögen diese Wur- ^elgrößcn mit rationalen Functionen von x wie immer verbunden setzn, wirb in ein rationales Differenzial verwandelt, wenn man z/ (n 4- hx 4- cx?) — L — x^Z c, folglich a-i-hx-4-cx- --2- —2^x/c-l-cx-, Nähmlich x — x — ' „_ , h — nähmlich fttzt- I)? 4-4nc. h—h/ch?4-4ac -) — r- (x- t-- 2c 2c H(1 4-2?) -l- (1—2?) /l?4-4ac ^2c(j-!-^) c(14-r?)? ——-?s/ch?4-4-t^ / V/ u4-dx—cx? — —7- , V (14--') /c 2s/cO4-s>x— cx?) 2 —» .. - — ' 2cx—1)4- h/h?4-4Lc §. 743. Jedes Differenzial Xclx, welches außer den einnahmigcn Wurzelgrößen ^7x" , ^/xl , x'", u. s. w. ,°- mögen diese übrigens unter einander und mit rationalen Fun nen von x wie immer verbunden seyn, keine andere irratwn Function enthält, wird eine rationale Gestalt annehmen, 642 Achtes Haupt stück. kig. §. 742. Schreibt man, um die imaginäre Form der Wurzelgrößen zu vermeiden, das Nadical H^L-i-hx4-cx? in der Gestalt O 4-hx — cx?) ; so ergeben sich aus der Gleichung u 4- I>x — cx? — 0 . h4-h/h^4-4ac . I)—h/h?4-4ac/ daher ist ,, - h4-s/h?4-4ac. . h—h^h?4-4ac. a 4- I)x — cx- — —c(x— —-2l-) (x — -!—-)- 2c .2c Das Differenzial Xäx wird demnach eine rationale ^Gestalt erhalten, wenn man z/ (s 4- hx — cx?) — r^(x — --/ c , 2c folglich Bon der Integral-Rechnung. 643 man alle einzelnen Wurzelgrvßen auf e nen gemeinschaftlichen^. Wurzel-Exponenten zc bringt, und sodann ^/x—x , x —2^ , cix--^2^ setzt. Z. B. Es ist /»(a-l-^/x")chx /'(a.-l-p^x^llx -I- x^— x -l- f/x .V z—2^— 2^ -t-1 xx -t- s/ x" für 2 — p^x. V. Abschnitt. Integration der merkwürdigsten exponentiellen, lo¬ garithmischen und trigonometrischen Differenziale. Entwickelung der Integrale in Reihen. §. 744. I. Die Integration der in der Form L (x) I-Ä V 43 (1-!t)» (-1-3)/ -t- ( — ^2) x 3 NX. Eine besondere Würdigung verdient das Integral, in wel¬ chem X —x" ist; für dasselbe hat man (nach §. 681.) fi'X . m—n. X — — m(m—1)(u>—2) . . . . (iu—n-t-1)x , Ux' (I^)- clx A in(in—1)(in—2) . . . (m—n-s-1)x' So ist z. B. .Nx,^c!x, X, — /X6x — /x äx — 1 6x-- X- --/X>äx -- m-i- 1 1 ni-t-2 X (ui-i-1) (m-t-2) m-^-3 Xz-^äx- --/x^6x--._'_ (IU -1-1) (lil -1-2) (n>) 1) (lu)2) (mt3) 616 A cht e s H a up tstü ck. I?ig. mit deren Hülfe man (7) /Xu-äx -- 3'fXi-I.3 Xo-t- (l.-r)-Xz .... -t- (-l.»)""^ -t- (— I.3)"^/X»3^Üx erhalt. Setzt man auch hier X —x" , so findet man nach §. 716 IN^N (in-t-1) (in-t-2) . . . (m-i-n) ' daher ist (8) /x"V äx -- m-1-1 - m-1-2 m-t-S — lx 1.3.x (1^3)^. x .... (in-l-1 (in-t-1) (iil-I-2) (in-l-1) (n>-t-2) (ni-t-3) (-1^.)°-^ (m-hl) (m-h2)... (nl-hn)l (m-f-1) (m^2)...(inin) Ist in eine negative ganze Zahl, so wird, weil der größte im Nenner des Schlußglicdes befindliche Factor in -l- n höchstens —1 werden kann, das einfachste Integral, auf welches das gegebene sich zurückführen läßt; man findet daher (9) -- X" kl In -b - — —3^/---j---— ^ü-3 m l in-2^, '(.n-1ix (in-1) (m-2)X (m-1) (iu-2) (m-3)^ m—2 r - m— 1 1 (I>3) _ (1.3) _ />^5. . (u.-1)(lu-2)...3.2.1.x' (IN-1) (m-2) ...3.2.1^ X Von der Integral-Rechnung. 017 , ri , x I.» F Das Integral^/ kann noch auf dieForm^/ - / , oder wenn man hierin x für xl-a schreibt, auf die Form /'!' gebracht werden. Dieses Integral aber läßt sich bloß " x mittelst Reihen bestimmen, wie wir am Schlüße dieses Abschnit¬ tes zeigen werden. §. 745. I. Die theilweise Integration kann man auch zur Bestim¬ mung des Integrals /X(I.x)"cIx zuweilen mit Worthcil an¬ wenden. Denn setzt man in der Zerthcilungsformel (§. 713) stv — Xclx , u — (I.x) , folglich V--/Xäx, cIu--2-O^ clx ; x so findet man (10) /X (1.x) "äx -- (1.x) "/Xelx - n/ . äx. X Läßt sich nun /'Xclx wirklich angeben, so kann diese For- mol, bey wiederhohlter Anwendung, den Erponenten n nach und "ach um 1, 2, 3, ... . Einheiten vermindern; wobey am Ende, wenn „ xjne ganze und positive Zahl ist, nur noch die Integration einer algebraischen Differenzialformel vorzunchmen bleibt. Diese theilweise Integration der Differenzialformel ^(1-x) stx kann auch auf folgende Weise ausgeführt werden- Es ist X(I.x) clx —Xx.(I-x) — — Xx-(I-x) 6(1.x). X 648 Achtes Hauptstück. kix. Setzt man nun in (8) §. 713 ckv — (I-»)__ n-,1 ^x) "--<1. UI -1-1 IN -1- 1 /x'" (Ixx)""^ckx -- " -1 - 2 /x'"(Iix)""3(Ix IU-1-1 IU-1 1 u. s. w. folglich ist (12) /x"' (Dx) "ckx — -- " .j (I,x)"—. - ". (I,x)""^ -1- (I-x)°"dch- UI -1- 1 f UI -1- 1 (ui -I- 1) r—1 , Il-r ^(- 1)n(n-1)..(n-r-s2) ^^'' f^.i/ v(ulX.(n-rch1^ . clx- (uiti)' 1 (uril)' IN m. X clx_ (15) sn-1)(n-2). .(n-r)(I.x) 1, 2, 3, Substilution "scheint IN X L1X X n-2 (-1)"n(n-1).. 3.2.1 Von der Integral-Rechnung. Ist n eine positive ganze Zahl, so bricht diese Reihe ab, und man erhält IN-t-1 (13) /x"' (I/x) "clx — -- . m-t-t ci (Xx) ä. x ckx (l,x)"--(l-x)"^ ^,n(n-1)^ (m-t-l)r (m-t-1)" > Die Formel wird unbrauchbar, wenn m — — 1 ist; für diesen Fall hat man jedoch II. n-l-1 (14) (I-x^llx ^>(^) " <1 (1^) - X n -t- 1 III. Nehmen wir ferner zur Bestimmung des Integrals IN -äx (1.x)" in der Gleichung (11) V IN . , X —X , somit — ax an, so verwandelt sich diese in IN IN-t-1 /> X clx X - _ / (i.-,^ s^>ci.o"^ »o"'' Wird nun hierin der Exponent n nach und nach um .... Einheiten vermindert, und die succcfsive der entfallenden Ausdrücke vorgcnommcn; so n»2 (n-1)(n-2)(I.x) , r m, (ni -i-1) x cjx . (^)° ^^2lich ergibt sich, wenn n eine positive ganze Zahl ist, (1.x) I n-1 (n-1) (l-x) I-—1 --X I^x ^Xclx , /'Xäx.Lrc sinx—arcsinx /Xckx. arc oc>s x — arc cos x (18) (19) /Xclx , /x _ (n-1)(n-2).. 3.2.1. (l.x) - (n-1) (n-2)... 3.2.1 ^x^ m-t-1 iu-t-1^^1 —X- in-d-1 . rn-l-l, . x nrc tnnss x 1 /> x clx "2)^/x clx.srctnnxx——-—-2--- /—7--—x- m-l-1 in-l-1^ 1-^-x^ u- s. W. Es ist nach §. 720 klar, daß diese Integrale für jede ganze 3ahl m, sie möge positiv oder negativ seyn, vollständig angege¬ ben werden können, den einzigen Fall in — — 1 ausgenommen, weil in diesem der Nenner in -t- 1 — 0 wird. §. 747. Vermöge §. 710 ist, wie in der Note zu §. 713, (23) ce>8 x äx — sinx (24) ^8inxclx — cv8x, (25) --t-wKx (26) cot xj 008- x «in x (27) Z' x c lx tanx x x cc>8^ x -Z cO8 x (28) Z' cc>8 x cl x Z' x — — cosec x sin^ x «Z xjö X (30) (31) (32) oder c!x (33) 2 (34) 2 SIU X 652 ' (29) Daraus folgt /» clx clu 1-u- 6x ^,clx:co8"x sruxcosx / taux x — l^tanx ( —-t- — 4 2 Diese Formeln erhält man auch, wenn man sin x oder cosx—u setzt, und dann die g- hörige Substitution und Neduction in den trigonometrischen Ausdrücken vornimmt. Um z. B. die Formel (33) zu finden, setze man cosx —u , nähmlich x —arccos u; so ist 8in x 1—u', clxs-—st (src xiir u) — — ———- - U' fix cos^ x -4- sin" x siuxcosx 8inxco8x -- /'^stx-t- stx r/ 8IUX r/ cO8X — I, sin X — I, cos X — 1^ tLNA X a^-x 2, 1 -—> — §-— I) taux — x srrrx »/ - i l 2 srn— x cos — 2 2 Achtes Hauptstück. /^coSxäx ^clssinx) - / —:-— / —--- — L.SIUX 8INX «/ 8INX z?8inxclx /1—cI.cO8x /-— /- — — I^cosx >/ LO8X cosx sirr x cos x clx —/ 8iir x. <1 (sin x) — sin? x 2 tanssx 653 folglich ist LIN X und 1 4- cos X --- 2 cos? x ; folglich ist auch clx sin §. 748. Es ist aber sinx-2 LIN — Won der Integral-Rechnung. Nun ist aber (§. 721. Gl. 14 ) ein 1 -I- n . ./ 1-u- 1 xcos — x r sinx 1-t-co«x - i LIN — X -- I, tnnx-?-x . 1 r cos — x 2 Ein ähnlicher Weg muß bcy der Herleitung der übrigen Formeln betreten werden- . I. Die Integrale u, /cosmxcosnxäx , ^sinmxcosnx^x , ^sinmxrinNxclx findet man / wenn man die mit clx verbundenen Producte nach § 548 in Summen verwandelt, und die einzelnen Glieder nach dkn Formeln (23) und (24) inlegrirt. So ergibt sich ^cos inx cos izx clx — /cos (m — n) x clx -1- cos (m 4-n) x clx 2 1 1 --/cos(m-n)x. cl(in-n)x-h .^—. /cns>^n)x. cl(m-fn)x, --(m-n) 2(mf-n) Nähmiich (35) i sin(m—n)x , sin(m4-n)x V cos MX cos NX clx — —---1- —-—-- 2(m-n) 2(m-d-n) . Auf dieselbe Weife erhält man (3g) />- „ i cos(m4-n)x cos(m-n)x -c «in mx cos nx clx -— „ -— — -X7"—17^ 2(m4-n) 2(m-n) (37) i «m (m-n)x __ « m(m-e-n)x 654 Achtes Haupt stück. II. Die Integrale/Hii"x4-bcosx)" b u (b'—»^-t-2au u^) m— 1 (40) «iu^xckx_ 1 —a"-f2^u—u-) (a-»-bco8x)i " " wodurch man auf die trinomischen Integrale §. 731 verwie¬ sen wird. Um die Integrale > x^in x clx , /x"' co8 x stx sinden , wenn ur ganz und positiv ist, wird man die theil- Integration vornehmen, indem man in der Formel (8) §.713 IN u — x m1 IN—2 : 8lNX-I-iu(iu—1)x 0O8X... dadurch erhalt man rn . ^>"xckx---^x co8x-1-inx , in . -- X m . m— 1 m— 2 . xckx —X Liiix-t-UIX 0O8X—m(m—1)x SlllX...» 656 Achte« Hauptstück. I'ix. 749. Bernoullische Reihe. Wendet man auf das Integral (x) tlx die theilweise Integration an, indem man in der Formel /Uv — uv — /v du dv —dx , u—c/>(x) , folglich v —x , du — dtp (x) — (x) dx setzt, so erhält man /, g) (x) dx — x P (x) — /'^(x).xdx--- y)^(x)— /'g)^(x).x^dx. Auf dieselbe Weise findet man /'"(x).xbdx /y>^(x).x»dx-- -9'"(x)—^/>"(x).xtdx u. s. w. Werden diese Gleichungen mit einander verbunden, si er- scheint die von Johann BernoulU zuerst gefundene Reihe 2 S '4 (41)/x(x)dx—xx(x)—^-x/(x) -l- §. 750. Integration mit Hülfe der Reihen. Mit Hülfe der Bernoullischen Reihe, oder auch dadurch, man die Function ^(x) in eine Reihe auflöst, läßt sich, " sonst kein anderes Mittel zu Gebothe steht, die allgemeine D> 42 x nähmlich Won der Integral-Rechnung, 657 renzialformel P(x)c!x jederzeit intcgriren; nur führt diese Methode ost den Nachtheil mit sich, daß die durch sie gewonnenen Reihen entweder nicht für jeden Werth von x oder zu wenig rasch con- vcrgiren: daher sie selten mit besonderem Dortheile angewendet werden kann. So z. B. findet man das Integral mittelst /1 4-X der Bernoullischcn Reihe, indem man 1.2^ , w"(x)— 4--—; daher ?'(x)---- (1-l-x)- u- s. w. setzt. Es ist nähmlich /» üx x x^ 1 4-x 1-j-x 2(1-l-x)^ 3(4-t-x)r Um das Integral ru bestimmen, auf welches sich, wie wir in §.744 gesehen ha- den, die Integrale IN (I.X)" "halten. ^ega Mach, n, Vd. 2.3 (14-x)» L dx IN X ^urückführen lassen, lösen wir / nach §. 684. Gl. (9) in eine Reihe auf, wodurch wir folglich 660 AchtrS Hauptstück. 1) Soll z. B. x^clx^ integrirt werden, so ist ///x-äx' -- /äx/äx/x-cix. ES ist jedoch /x-6x - - 4- 6 , daher /^äx/'x^ äx — Z' (- — 4- 6äx) ----- —— 4- 6x 4- 6' 3 3.4 und /'äx^äx^x^äx — 4- 6x äx 4- 6'6x) , oder ///x-äx'-- 4- 4- 6'x 4- 6". 2) Hat man die Gleichung ä'^ 3x (1 4- x-) zu integriren, so ist ------ Z' 3xäx 1 (14-x^)^ (14-X-)^ daher /*-4-/Läx (14-x-)- --- —— -t- 6x4-6' , -t- x^ und endlich 4-V6xäx4-/6'äx 4-x^ --^14-x-4- ^4-6'x4-6". 2 Don der Integral-Rechnung. §. 752. Integration der Differcnzialformeln mit mehreren Veränderlichen. Wir werden hier, da wir es in der Folge nur mit die¬ sen allein zu thun haben werden, bloß diejenigen Differenzial- formcln mit zwey Veränderlichen vornehmen, in denen nur die Differenziale der ersten Ordnung in der ersten Potenz erscheinen, und welche demnach stets auf die Form (5) käx -t- tzcl/ gebracht werden können, in welcher k und im Allgemeinen Functionen der beyden Veränderlichen x und verstellen. Soll u diejenige Function der beyden Veränderlichen x und y seyn, durch deren D fferenziation die gegebene Diffcrenzialformel küx-j-HZ^ erhalten wird, soll nähmlich äu — kcix -t- ^yn; so hat man (nach §. 680.) und tz. cix <>)' Nun wirken auf die Bestimmung des partiellen Diffcrenzial- Quvtienten I? von u in Bezug auf eine der Veränderlichen x und bloß diejenigen Glieder von u ein, welche diese Veränder- Uche enthalten. Wenn wir demnach das Differenzial I>äx so inte- griren, daß wir bloß x für veränderlich, dagegen als con- stant ansehen, so erhalten wir sicher alle jene Glieder von u, 'n welchen die Variable x erscheint; daher ist, wenn wir der Kurze wegen . /I»äx -- II setzen, u — II -i- abhängig' Function ch(x, >), die wir der Kürze wegen nur durch -s")) deuten wollen, so wird , , ki. — <1/ ch(v) llx , . c>x clv folglich nach §. 677 __ / ch (>' -t- clv) clx —ch()') clx oder da äy, in sofern die Integration nur nach X ausgefü^ wird, als konstant behandelt werden kann, / äv Bon der Integral- Rechnung. ggz somit vermöge §. 677 k'i'g. ciy oder — Z' äx *) . Uz- Hieraus folgt aber cM Ux U^ wodurch obige Bedingungsgleichung in (6) ^.-^2 äx clx übergeht, welche stets erfüllt werden must- wenn?Ux-i-tzc1zl ein vollständiges Differenzial einer Function zweyer Veränder¬ lichen scyn soll. Unter dieser Voraussetzung ist demnach (7) /(käx-t- - v -Mcl/ , wenn (8) ii^/käx, angenommen wird; oder wenn wir dieie Werthe selbst setzen, (9) /(käx^tz^)^/?stx^/((Z- Nach vollbrachten Integrationen hat man dem Endresultate noch eine willkührliche Constante beyzuschreiben. In dem besonder» Falle, wo I> nur von x, und nur von abhängt, folglich — ---^2-0 ist, wird k —0, daher Uv Ux /(käx-t-tzch) ; ) Da wir durch diese Folge von Transformationen auch die Gleichung ä/ ?äx /, cl? , ä)- ,/ ä)- sinken, so lernen wir zugleich, wie man den Differenzial-Quo¬ tienten eines Integrals in Bezug auf eine andere Veränderliche findet, als auf welche das Integral sich bezieht. 664 Achtes Hauptstück. Iix. weßwegen wir im Einklänge mit der in §. 71ZGl.(5)crtheiltenRegel die einzelnen Glieder der gegebenen Differenzialformel inte- griren. Um diese Lehre durch Beyspiele zu erläutern, sey die Formel äu — (—-— 4- 2x — 16x^) äx -t- (—-—. -t- 3v" — 8x") clv x-t- zu integriren. Hier ist I» --- —-t-2x — 16xv , tz - ——. -r- 3^-8-?, x-t-^ x-t-^ tl? _ 1 6^ eix (x -t- ' folglich 17 —/^Vcix —Z' —-t- 2^/x6x — 16v/xclx x -t- y --- L(x -i- -t- x^—8x"^ , 8x-, tz-k-3)-, x -t- /(tz-W ä)' --/3^-7-. Das gesuchte Integral ist demnach il — I^(x -t- -t- x' — 8x^6. Eben so wird man das Integral finden. Denn hier hat man folglich ä?_c!(^ x" — clx (x^ -t- Nun erhält man 17—/?stx—/ --- .-rrc tÄiix— , x 4-^ daher K-M- x x^-i-^ und folglich ist Von der Integral-Rechnung. V65 Nx. Integration der vollständigen Differen¬ zialgleichungen. Enthält eine Differenzialgleichung von zwey Veränder¬ lichen x und die Differenziale äx und ä^ der ersten Ordnung in der ersten Potenz, so läßt sie sich jederzeit auf die Form (10) käx-t-tzä^O bringen, in welcher I*und tz im Allgemeinen Functionen von x und andeuten. Falls nun diese Functionen ? und tz so beschaffen sind, daß sie der Bedingungsgleichung äl? ätz d/ äx genügen; so ist käx-t-tzä^ das vollständige Differenzial einer Function u der Veränderlichen x und , daher wird (11) u -- Loust. das Integral der vorgelcgten Differenzialgleichung (10). So z. B. wenn (6x^ -t- 2x) äx -t- (3x" -t-1) ä/ — 0 sunntegriren ist, so hat man f? — 6x^ -t- 2x , 1? 3x" ä-1, § - ^x, äv äx v --/käx --- 3x-> -t- X- , II ' folglich ist 3x^x-y - 6 verlang,e Integral der gegebenen Differenzialgleichung. 666 Achtes Hauptstück. Nx. Dieser günstige Fall tritt offenbar auch dann ein, wenn I' bloß x, und tz bloß > enthält, oder wenn die Differenzialglei¬ chung, wie man zu sagen pflegt, abgesondert ist, weil auch hier die Formel I>äx -l- schon an sich vollständig integrirt werden kann. So z. B. wenn Zx^clx -t- 8) ^cl> — 0 ist, so findet man sogleich die Integralgleichung x- -t- 2^ -- 6. ' §. 754. Absonderung der Differenzialgleichungen. I. Da sich die abgesonderten Differenzialgleichungen, deren allgemeine Form I (x) äx -t- s(>) civ — 0 ist, leicht integriren lassen, so wird man da, wo es thunlich ist, diese Absonderung zu bewirken suchen. Ein solcher Fall tritt ein, wenn in der Differenzialgleichung I'cix -t- (I)- — 0 sowohl!^, als auch ein Product von Functionen ist, deren jede nur eine der beyden Veränderlichen enthält. Denn befreyt man durch Division das Differenzial jeder Veränderlichen von je¬ nen Factoren, welche diese Veränderliche nicht enthalten, so ge¬ langt man ohne Anstand zu einer abgesonderten Differenzial¬ gleichung. Z. B- So erhält man aus (>2 — 1) flx — 0 , X - - wenn man durch — 1 und — theilt, die abgesonderte Zleu X chung xäx -t- —— — 0 , ^ — 1 deren Integral Von beL Integral-Rechnung. 667 Aus äx^/l— z? -- 1 — x? findet man, wenn man durch x?. dividirt, die abgesonderte Gleichung 6x _ klv deren Integral Arcsiax — nrcsin^ -t- 6 ist. Diese Gleichung kann auch auf eine algebraische Form gebracht werden; denn aus ihr folgt 6 — arc sin x — nrc «in — urc siu (x^/ 1 7 1—x^) ; sofort ist 8in6 — x^l——x^ , oder endlich, wenn wir für die unbestimmte Constante 8in 6 bloß schreiben x^l—x^ — 6. Eine ähnliche Vereinfachung gestattet das Integral der Gleichung O -t-1»') clx — (a -t- Kx^) , welche durch Absonderung in clx L -i- dx^ L -t- ' und durch Integration in NIctLlixXl/— — 7-7^7- nrc taug s/ Lv " A ad A ubcrgcht. Hieraus folgt — src tAng- x — src tAng s/— ---- src tällg--- . (x—v) all — nrc tLE-^-7^—' ' n-i-bxx somit auch l »Ns - x — v. a -t- bx> 668 Achtes Hauptstück. I'iss. und endlich x—— 6 ^L-t-Kx^) , wenn man wieder für die unbestimmte Constante l/ab bloß 6 schreibt. II. Daß aber auch bcy andern Differenzialgleichungen die Absonderung der Veränderlichen erzielt werden könne, läßt sich aus folgendem Falle ersehen. Soll die Differenzialgleichung 6/ -t- (x) äx -t- (x) cix — 0 integrirt werden, so setze man —uv, folglich — väu -t- uäv , indem man u und v beliebige Veränderliche vorstellen läßt. Da¬ durch verwandelt sich die vorgelegte Gleichung in väu -t- uciv t- uvP (x) äx -j- ch (x) äx — 0, oder vLciu-t-UP(x)äxg -t-uäv-t-^(x)äx — 0- Da NUN» und V beliebig sind, so können wir u so wählen, daß äu -t- UP (x) äx — 0, folglich auch uäv -t- ch (x) cix — 0 wird. Die erste dieser Bedingungsgleichungen gibt äu — — UP (x) (ix, daher Lu——/P(x)äx und u — ll Aus der zweyten Gleichung aber folgt nach der Substitution dieses Werthes und v — —/l/^ (x) öx, daher ist 7 --- -1"^ ^/i? (x) äx daS verlangte Integral der gegebenen Differenzialgleichung- Von der Integral-Rechnung. 669 Ist z. B- x?ä^ -l- 3xz äx -l- äx — 0, so hat man auch äz- -t- 7. — äx -t- — 0; x x^ folglich ist hier ^w(x)six — 3/° — — 3I-x —I-x^, x ^(x)äx — g 2 . und — X b /xäx — --"t- 6 — ^- -t- 2 2x §. 755. Integration der gleichartigen Differen« zialgleichungen. I. Gleichartige oder homogene Differenzialgleichungen nennt man diejenigen, deren sämmtliche Glieder einerley Summe ter Exponenten der Veränderlichen besitzen. Die Differenzial¬ gleichung käx-t-tzäy--0 iss demnach gleichartig, wenn in allen Gliedern von und () tie Summe der Exponenten der Variablen x und dieselbe ist. solche homogene Differenzialgleichungen, welche nur zwey Ver- änderiiche x und? enthalten, können stets dadurch abgesondert werden, daß man für eines der Verhältnisse , -^-eine neue ^"Lnderliche einführt. Denn setzt man --n, wird - ux , c ' 6)- — xäu -l- uäx ; , folglich übergeht obige Gleichung durch Einführung dieser Wcrthc in (I?-l-tzu) äx-l-tzxän--0. 670 Achtes H auptstück. I'ix. Da ? und tz gleichartige Functionen sind, deren Dimension —nseyn mag;so gestaltet sich jede derselben durch die Substitution X—ux zu einem Producte, dessen ein Factor x", der andere hin¬ gegen eine bloß von u abhängige Function ist, so daß ? —x"^(u) , ()—x"ih(u) wird. Sofort verwandelt sich obige Gleichung, wenn man? und durch diese Werthe ersetzt, und durch den gemeinsamen Factor x° abkürzt, in lH:(u) -t-mh(u)zstx-t-ch(u)xäu — 0, woraus man, wenn durch xtx(u)-t-nH(u)) getheilt wird, die abgesonderte Gleichung stx ch(u)(u) ist. Nach wirklich vollbrachter Integration wirst) man endlich an den Platz von u wieder das Verhältniß^- zurückstellen, um das X Integral der gegebenen Differenzialgleichung bloß durch x und) ausgedrückt zu erhalten. Zur Erläuterung dieses Verfahrens mögen folgende Mv Beyspiele dienen. 1. Beispiel. Die homogene Differenzialgleichung (x-l-x)äx-t- (^—x)ch' —0 übergeht durch die Substitution —u , —rix , t!^ — xäu-t-uäx x in x(1-t-u)clx -t- x^(u—1)stu -t-x(u—1)uäx — 0, woraus man, wenn durch x abgekürzt wird, (1 -i-nck) clx -t- (u—1) xäu — 0, folglich auch -- 0 Bon der Integral-Rechnung. erhalt. Jntegrirt man, so erscheint I^x -t- — srctanxu --- 6 , daher, wenn man den Werth von u zurückstellt, I>x -1- 1 — arc tanx ( 2 x^ x oder (x" -j- — arc Muss 6. x 671 2. Beispiel. Zur Integration der Gleichung )äx — — 0 setzen wir — u , x — u/ , äx — xäu -t-uck^, folglich erhalten wir ) cku -t- uä^ — 1-t-u? — 0, oder 6u —u oder endlich Ä — (^/i-e-u^-t-u) äu — 0, woraus durch Integration oder gefunden wird. X 2? -- 6 n. Da gleichartige Differenzialgleichungen stets abgeson werden können; so ist cs wichtig zu untersuchen, °b "M «uw ungleichartige Differenzialgleichungen durch gut gewählte wu - tutionen in gleichartige sich verwandeln lasten Daß diese-, - stcus in einzelnen Fällen möglich ist, kann aus folgen fielen abgenommen werden. Seht man in die Differenzialgleichung (A-l-I)x-k-c^)äx ck-' 672 Achtes Hauptstück. kiss. welche, da die Dimension einiger Glieder —0, anderer aber-1 ist, zu den ungleichartigen gehört, X — p-t-u, q^-v, daher 6x — äu , clz- — —t , -l- px II -t- ü^px II . ) (In — 0 übergeht, gleichartig werden, wenn die Gleichungen »-j- «p — h -p- jZp — m -t- (zi -p 1) p — 1 — n -p (r -p 1) p — 1, oder .> --- — « — p — «. -p 1 v — « -p 1 statt finden. So verwandelt sich z. B. die Gleichung (x) 3 -p llx — ü)' — 0 durch obige Substitution in Soll diese Gleichung gleichartig werden, so muffen die Gleichungen 1 -l- 3p — 2 -l- 4p — p — 1 nur einen einzigen Werth für p liefern. Da dieses in der Thal statt findet, indem p — 1 wird; so läßt sich die aus der obigen hervorgehende gleichartige Differenzialgleichung nach den in I. ausgestellten Regeln intcgrircn. §. 756. bkn eine Differenzialgleichung dor ersten Ordnung, rn sicher höhere Potenzen von stx und stv vorkommen, zu rn- ^riren, wird man zuvörderst alle Werlhe des Differenzial- ^uotienten-I aus derselben bestimmen, und dann jede der ent- clx lallenden Gleichungen, da sie die Form -- l(-,)), äx vega Math. H. B. 43 IH 674 Achte« Hauptstüü. oder fix— i(x,x)fix —0 besitzen muß, nach den für die Integration der Gleichung I'fix -t- (^fiv — 0 ertheilten Vorschriften rntcgriren, wodurch man Integralgleichun¬ gen von der Form ^(x,x) — 6on8t. — 0 erhält. Jede dieser Integralgleichungen sowohl, als auch jedes Product aus einer beliebigen Anzahl derselben ist sofort ein Inte¬ gral der ursprünglichen Differenzialgleichung. folglich daher auch Wird z. B. die Differenzialgleichung des zweyten Grades fix" - n-fix- -- 0 zur Integration vorgclegt, so findet man fix- ^---n und st--n, fix fix fix nfix und fix — — nfix. Hieraus ergibt sich durch Integration X — NX -i- 6 und X —— sx -t- 6^; mithin sind sowohl die Gleichungen s—NX —6 — 0, x-l-nx—6^ —0, als auch die Gleichung (v — nx — 6) (x -k- gx — Lch — 0 Integrale der vorgelegten Differenzialgleichung. Von den bcydcn ersteren ist dieses an sich klar; die letztere aber gibt, wenn mau differcnzirt NX — 6) (fix -l- nfix) -t- (x -t- nx — 6ch (fix — nfix) r- 0- Eliminirt man nun aus diesen Gleichungen mit Hülfe vorhergehenden einmahl 6, dann O, so erhält man beziehungs¬ weise die Gleichungen fix -t- nfix — 0 , und fix — nfix — 0 , von denen jede der ursprünglichen Differenzialgleichung Genüge leistet. Don der Integral-Rechnung. 675 §. 757. kiss. Integration der Differenzialgleichungen höherer Ordnungen. Von denjenigen Gleichungen, welche höhere Differenziale der in ihnen vorkommenden Veränderlichen enthalten, können wir wegen der unserem Lehrbuche vorgezeichneten Grenzen nur ein¬ zelne Differenzialgleichungen der zweytcn Ordnung mit zwcy Ver¬ änderlichen x und behandeln, von denen eine, etwa x, die Rolle der absolut Veränderlichen spielt. Eine Gleichung dieser Art sieht man als intcgrirt an, wenn man im Stande ist, sie auf eine Differenzialgleichung der ersten Ordnung zurückzuführen. Dieses wird in den gewöhnlichsten Fällen gelingen, wenn man — p , folglich — pclx und — stpelx clx setzt. Vermag man nähmlich mit Hülfe dieser Substitution eine der Veränderlichen x oder z- aus der gegebenen Differenzialglei- chung ganz zu verdrängen, sofort die gewonnene Gleichung zu intcgriren und den Werth von x zu bestimmen, so reducirt sich dadurch, daß man für p den Differenzial-Quotienten wie¬ der zurückstellt, das weitere Geschäft bloß auf die Integration einer Differenzialgleichung der ersten Ordnung, wie dieses aus folgenden Beyspielen zu entnehmen ist. 1- Beispiel. Es sey -j- sstxä^ -i- — 0 Zu integriren. Wendet man hier die erwähnte Substitution an, so übergeht diese Gleichung in ckp -t- (up -t- IrpO ckx — 0 , woraus man die abgesonderte Differenzialgleichung cix -t-— 0 sp -t- dp" "hellt, deren Integral X -t- -l" -1-0 ---0 LS A 4L * 676 AchtksHauptstück. k?iß. ist. Hieraus folgt — —sx, . , 6p .—sx daher -— h L -t- op und p --— . 61?*-k Da nun p —ist, so ist auch stx stv L 61?*—k ' folglich /» äx st. nx /- st. i> ^6ti°*-h 6-1rk"°* ^6-ist. ---1.6(6-!)^^) -^I.6> ^.17 6-1,1"^ Setzt man nun so ergibt sich die Gleichung 6 als das gesuchte Integral der gegebenen Differenzialgleichung- 2. Beispiel. Aus st->'-l-Xstxst^ — 0 erhält man, wofern X eine Function von x verstellt, mittelst der¬ selben Substitution stp -l- pXstx — 0 , daher — -k- Xstx — 0 , und i6p -t-/Xstx — 6; Von der Integral-Rechnung. 67^ , 6-/Xäx folglich x --- K Da nun tl) — päx ... , ,, 6—/'Xäx . lst, so ergibt sich . äx. 3. Beispiel. Wendet man obige Substitution bey der Differenzialgleichung x-ä-.v—(x^-l)äx-^O an, so erhält man x"äp — (x^ — 1) 3x — 0 ; folglich 3^ - (x — clx und n — -t- — -I- 6 ; 2 x daher ist x? clx -t- -l- 6" Bon bor Integral-Rechnung. 67!) die Gleichung 2 4L 176. O— p L -t- L dar, wornach man 2^2 2 4 6 o erhielte. Würde nun noch t)^I—lo gesetzt, so ergäbe sich der Aus¬ druck I' — — (x)' — ali) 3 für die Fläche 2. xeylpicl. Bey der Logistik (Nss. E) ist, wcz-n man 188. ^L^x, und setzt, X -j-L. Nun ist für k' — 0, auch x —0, nähmlich 0 — uir" -t- 0 — 3 -l- 6; X ui>o (i — — n , und k' ---ai> — 3 , °d-r I^^-a--3()' —1). Setzt man in dieser Gleichung v —0, oder unendlich klein, und nimmt k negativ, so ist 1^3 der Flächenraum längs der ganzen Asymptote von aus gerechnet. 3. Lepspiel. Es sey (rix. 205.) eine gleichseitige 205. Hyperbel, bey der jede Halbachse 3 ist; so ist — ^/x- — 3' , ^nn man den Anfangspunct der Abscisscn in dem Mittclpuncte annimmt, und Achtes Ha up rsr.ück. , t'i?. Es ist aber in diesem Falle für I' — 0, die Absciffe 205. also ist 6 und r-- 2 2 n Wie man diesen Flächenraum für ein in Zahlen gegebenes 3 und x zu berechnen habe, ist für sich klar. 4. Beispiel. Bey der SinuZlinie ist — nxiux , daher die Fläche t — a^sin xäx — 6 — a cos x. Es ist jedoch t' —0 für x----0 , daher 0—0 —n und k' — L (1 — cos x) — 2» 8ii? x. 2 Für x —77 ist I'— 2a. Z. Verspiel. Ist bey einer krummen Linie (kis-176.) — X , — X , a t> ^0 und F --- -t- j>x -t- l^x -t- . . . . , so findet man die Fläche x--/(^.x° 4-L? 4- Lx°4- . . . )stx , nähmlich , s-t-1 d-t-1 v-,-1 )Vx , Irx , i^x , tl — --I- -- -t- -4- . - - - ' L 4- 1 h-i-1 O-t-1 wenn ? mit x zugleich verschwindet. Man erhält demnach für den Flächcnraum deige- Len Ausdruck, welcher (§. 442.) durch die Summirung der Elt mente zum Vorschein kam. In der Lhat ist die Anwendung der Integral-Rechnung Mi —äk dieser Fläche den Abstand der parallelen Seiten pm und kN von einander — äx.Lin«, daher äk — —ä^)äx.sinL —xäx.sin«; woraus endlich k — »In »/^äx solgt. So ist z. B. für die Hyperbel, wenn die Coordinaten- '^chsen in die Asymptoten verlegt werden, und 1 2 2 «"genommen wird, (nach §- 665.) Ic- A — - > daher — I" oin « . I-x 6 . 682 Achtes Hauptstück. ki-. Verschwindet die Fläche für x — !c, ist nähmlich 186. 0 — sin « Llr -t- 6 , so ergibt sich k — sin « L , Ic wie in §. 669. §. 759. Bezieht man eine krumme Linie auf Polar-Coordinaten, so läßt sich eine allgemeine Formel für den zwischen zwey Radien- vectorcn liegenden Flächenraum auf folgende Art finden. Man 195. setze (ki§. 195.) den Polarwinkel ^LU — , den Nadiusvec- torLU —r und den Fiächenraum ^LU —k. Ferner scy an den Punct in, der unendlich nahe an U liegt, der Radiusvektor Lm geführt, und aus L mit dem Halbmesser LU der Kreisbo¬ gen Uk gezogen; so ist Uk —rä^> und LUK —äk , weil Umk in Hinsicht auf LUK für 0 anzusehen ist. Nun ist Lillk -- -1 Uk . LU 2 nach §. 449, nähmlich äk r- äqi , folglich k — äg) . So ist z. B. bey der archimedischen Spirale r — , daher die Fläche Verschwindet k mit x 8 — f/ x 4- -^px 4^ — p 1^-t-r-!- . 4 p Setzen wir x — p , so ist 5-- p/2 4- pI.c3 4-2/2) --^-9/2 4-^ 91./34-2/2 --^l>^2-r-I.(l4-/2)^ , weil (14-/2)?--3 4-2/2 ist- Wenn man bey eben dieser Parabel (kix. 205.) den Bogen —8 durch die Ordinate v ausgedrückt haben will, so wird man in die Formel «--/^/(14-^) für seinen Werth setzen. 6/ Aus der Gleichung für die Parabel — x 29 findet man nun ckx — ; ? Von der Integral-Rechnung. 685 folglich ist « -- /6^ ^(14- 1 p I, (?-,- /?^). 205. Nun ist für 8 — 0, auch ^-0, nähmlich 0 — 6-l-^pI^p, also ist 8-- I. 1 s, . 2p 2 l> Es sey 7 — x , so ist 8--^p /2 1-Kl 4- ^2)^ , wie oben. Die gemeine Parabel läßt sich demnach mittelst der Lo¬ garithmen rectisiciren- 3. Beispiel. Es sey (kig. 87.) L.N-x, 6^—» und ^L-5; 87. so ist NL — — /L- — , ch' __ —. üx ' v2 /Iv folglich ist 8 / üx / (1 4- -a/ — a/(a" —x") ^üx—a . arc8in-l.4-6, daher 8 — L . arc 8M — ; n wenn 8 mit x zugleich verschwindet. Dieses Ergebniß wird durch die Figur 87 bestätiget, denn in ihr ist vermöge §. 540 folglich — — aro gin— . a a 4. Beispiel. Bey der Ellipse ist für die Meissen, auf der großen Achse vom Mittelpunkte gerechnet, 7 /?^x^ . Achter Hauptstück. also 8 686 kiss. Daraus folgt stx_ 6x V L-(L" —x")/ «-°)---. — L' Dieses Integral läßt sich durch keinen bisher bekannten Kunst¬ griff weder algebraisch, noch mittelst der Kreisbogen, noch auch mittelst der Logarithmen entwickeln. Wäre es nun unumgänglich nothwcndig die Länge eines elliptischen Bogens durch Rechnung zu finden, so müßte man die Zuflucht zu einer unendlichen Reihe nehmen. §. 761. Für Polar-Coordinaten ist (nach §.707. Gl. 34.) die Bo¬ genlänge « --//^st^st? -/stx / (r- -t- ) -/str/ (1-^-M. st^ m 195. wenn man (kix. 195.) ^L>1 - — r , und — L setzt. Aus der Gleichung für die logistische Spirallinie r r - folgt — nl^r , ä^> — , r also ist 8 — /str /1 -i- rck — r /1 -t- .1) um die Abscifsenlinie erzeugt wird; ^1' — x, und die krumme Oberfläche, welche bey der Umdrehung durch den Bo¬ gen erzeugt wird, sey -- O, so ist das Differenzial (oder das letzte Element) dieser Oberfläche nichts anders, als die Ober¬ fläche des abgekürzten Kegels, welcher bey der Umdrehung dmch das Trapez Ul^nr erzeugt wird, weil man miVl für eine gera¬ de Linie anschcn kann. Vermöge §. 494 aber ist die Oberfläche die,es abgekürzten Kegels — (I?Dl -l- pni) «. Dlnr — ()' -t- v—st)') - sts — 2^sts ; folglich ist stO — Zorvsts und o — 2-r^ sts — 2^^x sts. 688 Achtes Hauptstück. N-.-. 305. 1. Beispiel. Es fty z. B. VN eine Parabel, so ist Zx —und cis — -t-^ ), p ' l> folglich findet man O -- ^-/767^ -t- 7")^-- (P- -t- -i- 6. ? 3p Nun ist für 0-0 auch 7 — 0; also ist 6- — -^- p^, und die Oberfläche des Paraboloids 0^^5(p2-t-7-)^—^-p^ —^x2s(l 1^- 3p 33p 2. Lepspiel. Um die Oberfläche eines Ellipsoids zu berech¬ nen, benützen wir die Gleichung der Ellipse zu Folge deren - Ox a^7 mithin cis — 6x ^/(1 -t- ^-) »7 ist. Bringen wir diesen Ausdruck in die Gleichung O — 2^/7 cis, so erscheint O — /'cix -t-ll V; woraus, wenn wir den von der ersten Gleichung für 7" dargcbo- nr thenen Werth-- (L^—x") substituiren, L" o - ^/cix/^-(L--t?)? gefunden wird. Zntegrirt man nach §. 730. VI., so ergibt sich . 0 - -m oder O— —L^)x^ -t- —(x -t- -i- , Won der Integral-Rechnung. 689 je nachdem 2s die große oder' kleine Achse der Eklipse vorstellt. Soll die Oberfläche O.für x —0 verschwinden, so findet man im ersten Falle 6 — 0, im andern » --- f/b'—n" Es ist daher die Oberfläche eines Abschnittes des länglichen Ellipsoids, welches durch die Umdrehung einer Ellipse um die große Achse 2s. erzeugt wird, re nd , , 7-ivIr - xl/— d ' O — —-xl/f»-)x^ -I- — —. »rcsiu—--— - , f/n-—I)- »° während bcy einem abgeplatteten Ellipsoide, dessen Umdrehunqs- achse die kleine Achse 2k der Ellipse ist, x^/d^ —»2 -I- -t- (t>' — wird. Nimmt man in diesen Ausdrücken x —n an, so erhält man die Oberfläche des halben, und wenn man den Ausdruck verdop¬ pelt, die Oberfläche des ganzen Ellipsoids. Es ist nähmlich die Oberfläche des länglichen Ellipsoids — 2?rfl2 -4- k (1 — k_) , und jene des abgeplatteten Ellipsoids -- -t- i, /K _ iv x n- - Setzen wir endlich f> — s, so liefern bcydeFormeln dieObtr- fläche der Kugel, in welche das Ellipsoid übergeht, — 2^3^ 2^2 — 4773^ 'vk'l die Ausdrücke 6^^urcLiii/(1—und V-Sn Mach. H. B- 690 Achtes Hauptstück. Iix. welche für b — a die unbestimmte Form annehmen, nach §.69Z in 1 übergehen. §. 76Z. 2lufgabe. Eine allgemeine Formel für den Cubikinhalt der¬ jenigen Körper zu finden, welche durch die Umdrehung krummer Linien von senkrechten Ordinate» entstehen. 205. Auflösung. Es sey bey der krummen Linie (^iZ.205.), die Umdrehungsachse, ^I> — x, IM — und der Cubikin- halt des Konoids — X; so ist der abgekürzte Kegel zwi¬ schen den Ebenen IVIM und das Differenzial von X. Diesen abgekürzten Kegel kann man für einen Cylindcr ansehen, weil die Halbmesser der zwey Grundflächen nur um eine unendlich kleine Größe, nähmlich um IM — 6/ von einander verschieden sind. Es ist demnach äX ein Cylindcr, dessen Grundfläche — dem Kreise aufMM, und dessen Höhe —ist; nähmlich es ist und folglich X — 1- Veyspiel. Es sey ^Mv eine Parabel, so ist 7? -- 2px ; alfo X — 2^p^xclx — «px^, weil X mit x verschwindet, also L — 0 wird; daher auch X— x—dem halben Produkte aus der Grundfläche in die Höhe (wie §. 634.). 2. Beyfpiel. Dreht sich eine Kegelschnittslinie um die durst! ihren Scheitel laufende Achse, so ist --- 2px -l- qx? , daher der Inhalt des entstehenden Konoids X — 77^" äx — 77/'(Lpx -l- s . X — rr )c xhZ3^—x"-(3" — x^) — ca? arc SIN .—' l' oder X ---- rr (cx^— E" nrc SIN z.) « 3 L Seht man nun x--L, folglich x —0; so erhält man dm Inhalt des ganzen Ringes--2c^rr^ wenn man 3rcsm0--" annimmt. Bvn ber Integral-Rechnung. Hgz §. 765. Auch die Cubikinhalte der pyramidalen Körper lassen sich mittelst der Integral-Rechnung berechnen. Man stelle sich nähmlich vor, daß die Höhe eines pyramidalen Körpers in unendlich viele gleiche Theile getheilt sey; man denke sich durch alle diese Thei- lungspuncte zur Grundfläche parallele Ebenen; der Inhalt der Durchschnittsfläche, welche in der Entfernung x von dem Anfänge des Körpers zur Grundfläche parallel ist, sey — so ist ?ckx das Differenzial oder das allgemeine Glied in der Reihe der Elemente eines solchen Körpers. Folglich ist der Cubikinhalt der Stückes vom Anfänge bis zur parallelen Durchschnittsfläche y gerechnet L - /?ckx. Kann man nun y nach der Eigenschaft dcSKörpers durch x ausdrücken, so läßt sich z'stx im Allgemeinen integriren, und sofort der Cubikinhalt des gegebenen pyramidalen Körpers bestimmen. Es sey z. B. Vtz-V ein Konoid (rix. 120.), dessen Höhe 120. tzk —L ist, seine Grundfläche, die ein beliebiges Vieleck seyn mag, fty Dieses Konoid sey so beschaffen, daß alle seine Seitenlinien aus Quadranten von Kreislinien bestehen, welche aus dem Mittelpunktek mit dem Halbmesser be¬ schrieben sind. Setzen wir nun <^k —x, und die Durchschnitts- släche Lk —so ist vermöge der Eigenschaft des KreiseS die Gerade kr --- /2ax-x-. Ferner verhält sich die Grundfläche zur Fläche kk, w'e z» KK-; nähmlich b : : 2ax — x- ; also ist 2a1>x —llx^ 7 --z- ' und K — /»/2dxäx d)?äx X z L- - lax» bx» —-— H , a 6tz4 ' Achtes Hauptstück. ritz, weil 6 --0 ist. Man setze X — n, so ist der Cubikinhülr des ganze» 120- Konoids — — ab — zwey Dritthellen des Productes aus der 3 Grundfläche in die Höhe wie in §. 534. Ist allgemein ^--^x -4- Lx 6x -t- . . . , so findet man X — /(^x^ 4- Lx^ -t- (üx° -t- . . .) äx , nähmlich wie in §. 516, a-t-1 d-t-1 o-s-1 X--^^_-t- -4-6^- -t- . . ., a-t-i b-t-i c-t-1 wenn X mit x verschwindet. vm. Abschnitt. Auflösung einiger Aufgaben, welche auf Differen¬ zialgleichungen mit zwey Veränderlichen führen. §. 766. Viele interessante analytische und geometrische Untersuch»»- gen führen zu Differenzialgleichungen mit Hwcy Veränderli¬ chen; weßwegen wir einige hieher gehörige Probleme behandeln wollen. 1. Aufgabe. Man suche die Summe der unendliche" Reihe 1.2 1.2.3 1.23.4 Aus erhält man äx 1.2 1.2.3 Von der Integral-Rechnung folglich 34 2.3 x wegen x 1 X x X 3 x^ "4 5 x^ 3 x"' X? X» 3 4 x- 5 X» X» oder Es ist aber für x — 0 auch — 0, sofort 0— l-t-6, 6— — 1 —X X- , — 4- 2 wir der Kürze und Ii . 2. Aufgabe. Man bestimme die Summe V v2 v2 N'-- — 4--^-4--^-4--/-4-.. 4.5 x^ -4- 4 st)' X^ -!-... daher ist . st)^ 1 ÜX oder st)' 4- stx — stx — 0. Jntegrirt man diese Gleichung nach §. 754. H. so ist y)(x)— 1 , >s>(x)—— 1 , —X X —X X — b /b stx — It (b 4- 6) —x )---1 4-6b 1.2 Da hier ^1— stx 2 folglich x stx 2 ist, so hat man 7 4-x^-- äx Setzen so daß 2 ---- wird; so ist str L " und x^-- stx 69S r-g. 696 Achte« Hauptstück. folglich auch (1 — x) 1. ax Hieraus ergibt sich nun cir — —, 1 —X mithin 2—---6 —Ia(1—x) , 1-X oder da für x — 0 auch 2 — 0 und 6-0 seyn muß, 2 - — 1X1—x). Es ist demnach v-t-x^-4- L(1^-x) -0 , 6x , , oder äv -t- v -t- 6x — 0. x x^ Integrirt man diese Gleichung nach §. 754. II. so hat man X X daher /'^(zchüx—— lax, x I/Ia(l-x)cir X X -t- X -t- (1 -x)Ia(1 -X) !(§.745.II). X I 1 Allein für x —0 ist 7 —0, daher auch6-0 und sonach 1 -1- d — . x Für x — 1 wird (§. 693.) (1 —x)Ia(l'-^x) ---0 , und wie in (§. 313.) , 1.1'1^- _ a -' -7- - -s- ,- -t- ..... — 1 1.2 2.3 3.4 3. Aufgabe. Die Curve zu sinden, deren Subnornme einer gegebenen Function ^(^) von v gleicht. Nach §. 699 ist die Subnormale — , clx und X — 697 N«. Soll v(^) --- seyn, so wird X O.a ax also — h , Ehrn die gesuchte Linie eine Logistik seyn. 4. Aufgabe. Man suche die vortheilhaftesle Gestalt der innern Höhlung der pctardenglocken. Bey der Petarde hat man die Absicht durch die Expansivkraft des Gases, in welches das im Innern der Glocke entzündete Pulver aufgelöst wird, einen heftigen Stoß auf das mit ihr ver¬ bundene Madrilbret hervorzubringen. Soll nun dieser Stoß die größte mögliche Intensität erhalten, so muß er sich über die 1 X . n-cht negativ Von der JnreMt - Rechnung, folglich ist 7^ — cf(l) ctx die Differenzialgleichung der gesuchten Curve. Aus ihr ergibt sich äx ?(7) 7_ (n 2) L Damit z. B. n —0, mithin die Subnormale constant ausfalle, muß X — L- , 2L oder ^2—2ax, demnach ist die gesuchte Linie eine gemeine Parabel. Soll re-— 2, folglich die Subnormale — nähmlich dem Quadrate der Ordinate proportional seyn, so muß 7° __ 1^7 a 698 Achtes Hauptstück. iffiss. Grundfläche gleichförmig verbreiten, folglich müssen alle von dem Mittelpunkte der Grundfläche der Glocke gleich weit abstehenden' Puncte gleich starke Stöße erleiden, und die Richtungen allerStöße auf der Grundfläche senkrecht seyn. Das Erste kann nur erreicht werden, wenn die innere Wölbung der Glocke eine durch Um- 175. drehung einer Linie (kix.175.) um eine mit ihr in derselben Ebene liegende fixe Gerade ^.iX entstandene Fläche ist, die von der Umdrehungsachse getroffen wird. Das Zweyte erheischt, daß die kleinsten Theilchen des Pulvergases, welche aus dem Ent- zündungspuncte Is des Pulvers gegen die innere Wand der Pe¬ tardenglocke geschleudert werden, von da parallel zur Achse ab¬ prellen, und daß diese auf die Grundfläche senkrecht stehe. Um nun die Gestalt der Linie aufzusinden, nehmen wir den Entzündungspunct k des Pulvers zum Pol und M zur Po- larachse an, so daß für den Punct Xl dieser Linie -^MI — MI — r wird. Ist MI die Richtung des Radiusvectors, nach welcher ein Atom des Pulvergascs aus I' an den Punkts! der innern Fläche der Petardenglocke getrieben wird, so ist der von ihr und der Normale iVIiX des Punktes Xl gebildete Winkel MliX— X der Einfallwinkel, und wenn dieses Atom nach der Richtung iVl8 von der innern Wand abspringt, der Winkel der Abprellwinkek, daher dem Einfallwinkel X gleich. Soll nun iVI8 zur parallel laufen, so muß (nach §. 36Z.) MIA - LMr -- seyn. Es ist aber HMI -- MM -t- LM, also — X -l- X — 2X, und iV — Allein im §. 707 fanden wir , rclw daher ist die auf Polar-Coordinaten sich beziehende Differenzial gleichung der gesuchten Curve . i är Lott der Integral-Rechnung. 699 Aus dieser ergibt sich k'sx. folglich wenn man integrier, I-r --- 2 /' ä.cos-^ cos-^-y- cc>8-^-P -1-6—21-cos-^-P—I---- , cos? -!- und r -- —. coL^-^-^ Bezeichnen wir mit c den dem Polarwinkel x—0 entspre¬ chenden Radiusvektor, so wird c — L, also ist c 2c r --- —— —-— cos^ P 1 -l- cos die Gleichung der gesuchten Linie, welche nach §. 629 eine Pa¬ rabel seyn muß. Man wird daher zur innern Fläche einer Petardenglocke mit besonderem Wortheile ein Paraboloid wählen. Dabcy erreicht man nothwendig noch den Vortheil, daß die Wege, welche die Atome des Pulvergases von dem Entzündungspuncte I' des Pulvers aus bis zu ihrem Anlangen an der Grundfläche zurücklegen, durch¬ gehends gleich sind, mithin alle von ihnen bewirkten Stöße auf diese Fläche zugleich erfolgen. Denn ist dieser Weg IM -j- N8 - , und der Abstand des Punctcs I' von der Grundfläche — a, so ist IM — r , N8 — L — k? — a-t-rco8P, daher r --- n. -t- r (I -l- co8 ^>) — a -l- 2c eine unveränderliche Größe. 5. Aufgabe. Mau suche diejenige Turve, bey welcher der von einem bestimmten puncce aus gerechnete Bogen der trigonometrischen Tangente des Neigungswinkels dec Lurve an dem Endpunkte dieses Bogens proportional ist. L äx? 700 Achtes Haup tstück. kiss» Bezeichnet s die Länge dieses Bogens, x die Absciffe, y die Ordinate, so ist^ die trigonometrische Tangente des Neigungs¬ winkels der Curve gegen die Absciffenlinie, folglich der Bedin¬ gung der Aufgabe gemäß L -- N . «X Differenziren wir diese Gleichung, indem wir x als absolut veränderlich behandeln, so wird cis cl'x äx cix' Allein nach §. 699 ist äs äx daher hat man -A - cix" äx? als Differenzialgleichung der zu suchenden Linie. Setzen wir nun L' -- p, f-lgüch L - ; cix clx^ cix so verwandelt sie sich in --- cix woraus sogleich äx - - , und x — n Z' ^1-^- nähmlich 6 x --- al- gefunden wird. Soll nun der Neigungswinkel, also auch seine Tangente — x mit x verschwinden, so muß 6-0 werden. Sofort erhalten wir -t- x — a oder Von der Integral-Rechnung. 701 und wenn wir durch beyde Theile der Gleichung die Einheit Hss. dividiren V — L.-- , 2 oder wenn man die Gleichung (19) §. 685 berücksichtiget, 7 — —1). L Die gefundene Linie ist die Rettenlinie, welche ein glcich- sö'rmig beschwerter, vollkommen biegsamer und durchgehends gleich dicker Faden bildet. Man sehe hierüber Eytelwein's Hand¬ buch der Statik, 2. Aufl. -Berlin 1833. 6. Aufgabe. Die Trirve zu finden, bep welcher der Krümmungshalbmesser der dritten Potenz der Normale proportional ist. Da der Krümmungshalbmesser (nach §. 701.) für rechtwin¬ klige Coordinaten — — v , V — L.- -1- 2 Soll nun für x----0, ^---L seyn, so muß 6-0 werden und man findet x iH — p -- , folglich aus beyden Gleichungen X X b°-Ir " P - - . 2 Da nun äy —pstx ist, so findet man X X /.h"- lr . )" — /---. ax, 2 702 Achtes Hauptstück. die Normale aber (nach §. 699.) — x — NX ist; so muß — 5,2 äs» /Vtl8 r---0 . 3?r 8IN — -- - 2 cosO^-1 oo5——0, eos rr ——1, co« — — 0 '2 2 sinO —0, sin-^-—1 , siir ir^-ü 2 tsnA 0---0, tsng — LOt 0-^O2, oot 0 , cot 71 ——02, oot ' 2 —w, tsng ic—0, tanA ^---—OO, tsng27---0 , —--0, eot2>r—Lo 2 ' sln(—x)——sinx , cos(—x) —cosx, t3nx(—x)——tÄNKx, cot(—x)—-cotx. sin(x-t-2n rr) — sin x, cos(x-I-2nrr) — cosx (2n ^)rr) — cosx, costx -t- (2a -1- — —sinx 2 r (2n-1-1)77Ü-—sinx, cosk-1- ——cosx «inLx-j- (2n-<- —)^——cosx, cosLx-t-(2n-i- —)^---sinx L 2 tsnss(x -t- V7r) — tan^x, cot(x -t- Nir) — cot x ^^nx^x-^-(2n^-^-);r)---—cotx, cotLx-t-(2n-t- txx. 2 2 704 Anhang. Relationen zwischen den Functionen eines und desselben Bogens. sin^x -t- cos^x — 1 tnii§ x. cot x --- 1 sec" x — 1 -t- tanA^x , cosec^x — 1-1- cot' x -tnnssx 1 sm x — 1 — cos^ x — — —— — — .— 1 -1- tnnx? x 1-t-cot^ x , 1 col x cos x — 1 — sin^ x — — - — — — 1 -t- x 1-j-cot^x sin x 1 cosx cotx co8x 1 sin x tLiix x -- ,—-— — 1 -1- inng^ x cosx cosecx — —7-^— — 1 -t- cot^x LIN x sinvx — 1 — cosx cosvx — 1 — sinx Relationen zwischen den Functionen des ganzen und halben oder doppelten Bogens. ckoräx— Lrin^x 2 „ - 1 1 1 u 1-, 2tnnA^x sin x ---2sin — x cos — x — — cnorclZx — -- 222 l-t-tun^-.-x —— V/ 1 -1- sin2x—-s/l —>sin2x 2 2 sin2x — 2rinx cosx 1 . 1 1 — tnnx"^ cosx — 2cosr —x —. 1 -- 1 — 2sin^ — x — r 2 1 tnng ---- — l/'l-t-sinLx -1- -^^/l —sin2x 2 2 cos Zx --- 2cos'x — 1 — 1 — 2§in^x tnn^x cot x sec x Anhang. 705 tan»x --- - ^^H^2x 1—iNNA?-§-X 1 -t- LOS 2x tan^ 2x - 1 — tLNA? X sinvx. --- 2sin?2.x 2 t - ,/ 1 co8x t ./^— -- t ,/--:- SIN — X — V — - --—i/ 1 -t- LIN X — — t/ 1— IIIIX 2 2 2 2 f.08 — X --- ^/ 0^ X- — -^ ^/l -4- LIN X 4- 2. 1—sin X 2 2 2 . L . / l sinx 1 — 008X — 1—^-co8x t»Nss — X - --—-.-. --- s/ -- 2 l4-cosx 8INX l4-cosx . '-- ' v - ' t>g^ 1 'l- cO8 X — 8INX 1 4- cos X 2 8INX 1,— L08X 1-^cosx Zusammensetzung eines Bogens von 30, 45 und 60 Graden mit einem andern. 1 4- 8INX — 2sin? (450 4- 2. x) ? r 1 sinx'— 2sin? (45°-2 x) 2 l^sinx ^ss( 45 °4--z-x)^ tanx?(45° -i-^x)-cc>?(45°-^x) 1 —8INX tLNA(45°-—^x) 2 2 ---- tanx(45° 4- -1- x) --- cot(45°- 2.x) cosx 1 — Linx 2 2 ^44-5in2x 5in(45°^x) ^^(45»^,) 2—-rnn^x 1 — sinLx sin (45°—x) tLn^x — x) — cot (45° 4- x). xn-tanxx sili(Zgo-^x)--: cosx—sin(30°—x) ^08 (Zgo — ^08 (30» — x) — sin X 'in(60°^x) — 8in(60°—x) ^rinx. . V-8K Mach. II. B. 45 706 A » h a n g. Formeln für die Functionen der Summe und Differenz zweyer Bogen. «in (x -t- ^) — sin x cos^ -t- cos x sin sin(x—x) — sinxcos;'— cosxsin^ cos (x-t- — cos xcos^— sin x sin cos(x—---cosxcos^ -t-sinxsin^ tsnxx -t- tsnss^ — cotx -t- cot^ 1—tLNAxtLNssx cotxcot—1 tsnxx — tanx^ cot^ — cotx 1-t-tLnxxtang^ cotxcot^-t-1 cotx cot —1 — 1—tsnxxtnnx^ cotx -t- cot^ tanx x -t- tsnx cotxcotx -t-1 — 1 tsnssx tanssx cot — cot x tnnx x — t»nx sin x«in v — cos (x—-—- cv8 (x -t- 2 2 co8 x cv8 v— — co8 (x—-t- — cos (x -t- 2 2 . . . sin x cos v — — sin(x-t-^) -t- — sin(x — 2 2 cos x sin v— sin(x-t-^)-- sin(x—)') 2 2 rinx -t- sinv — 2sin— (x-t-^)cos (x— 2 2 sinx — sinv ---- 2cos-^ (x-t>^)sin(x— 2 2 cos v -^-cos x«-2cos * (x-t-x)cos (x—x) /- 2 2 cosv — cosLs--2sin(x-t-^)sin — (x—y) 2 2 tsnA(x-t-^) — tsn-;(x—v).— cot(x-1-^) — cot(x — — Anhang. 707 sinx cos^ --2sin — (90°-<-x—^)cos^ (x-^-v—90°) L r — 2cos (90°-1-y—x)cos — (90° — x—v) r r sinx — cos^ ---2co8 — (90°-«-x—^)sin — (x-t-y —90°) r L — 2sin — (90° -t- x — x)sin — (x -1- v — 90°) r r tsnssx -t- tsnssx — — cos x cos t»oxx — tLvssx — cos x cos x Ex cot). - SINX sin^ cot x - coty -- sin x sin^ cos(x — v) cotx -t- tLNA v -- sin x cos „ . cos(x-t-v) cor x — trmx Liii x. cos 1 tanx x.tsmx^— cosx. co«)-, cosx.cos^ «m(x^).8in(x—v) —sln^x—s!n^-- -^-cos 2v — -^- cos2x L L ^°b(x-t-^), Los(x—^)—eos^x—sir?^— cos 2/ -—cor2x §!n(x—^) . cos(x—v)— 5in 2x ^- — sin 2/ r r ^'N(x — ^), xoz (x-t-v) sin 2x — sin 2/ r r 4S * 708 Anhang. Potenzen der Sinus. xm? x — — (— cor 2x 4-1) 2 rin^x — (—rin 3x 4-3 8Ü1 x) 4 «n*x — — (cor 4x —4 cor 2x4-3) 8 »in^x — — (sin5x— 5 rin 3x 4-10 rin x) 16 rin^x — (—cor 6x 4-6 cor 4x—15cor2x4-10) 32 Potenzen der Cosinus. eos^x -- (cos 2x4-1) 2 cos^x -- — (cor 3x 4-3 cos x) 4 cos*x -- — (cos 4x 4-4 cos 2x4-3) 8 cos'x s- (cos 5x4-5 cos 3x4-10 cos x) 16 eo8^ x — (cos 6x 4- 6 cos 4x 4-15 cos 2x 4-10) 32 cot?x — , , 3rinx—sin3x tLNA^X ----- 3cosx4-cor3x 3corx4-cor3x 3rillx—siiiZx Potenzen der Tangenten und Cotangenten. . ? 1—cor2x t^»» x " - l4-6O82x l4-cc)82x 1—cor2x Sinus der vielfachen Bogen. sin2x--2eosx. riux rin3x—(4eo8^x—1)5inx---3sinx—4si»bx 8in4x—(8cor^x—4cc>8x) sinx— (4sinx—8sin^x). cosx sin5x—(Ikcos^x—12cvL^x4-1)Linx — 5si»x—20810^x4-l6d"> Anhang. 709 Cosinus der vielfachen Bogen. 85x — cos^x—108in^x cos^x -l- 5sin^xco8x. Ausdrücke für die Kreisbogen. 'lrcZinx — srcco8^/l—x^ — arcisnss— .. — Arc coree --- »rc c08v (1—x) x - 2Lrc rsns src tx 710 Anhang. arc cos x — arcsia^l—x? — ÄrctsnAl._— x 1 ---- arcsec — arcsillv (1— x) x — 2arccos --- — arccos (2x"—1) 2 2 — 2arc tsnxarc tanF 1^-x r 2x^—1 . X 1 srctanssx--arcsm— .— — arccos— - - — arc cot — ----2 arc tanss x x — — arc taass L t — — arc sin L 2x t—X^ 1 — — arc cos L 1 arc cot x — arctanA — x 1 1 arc sec x — arc cos — , arc cosec x — arc srn — , X X src sinvx ---- arc cos (1—x) , arc cosvx--arc sin (1—x) arc sin x arc sin 7 — arc sin (x^/l—1—x?) arc siax arccosx----arcsin (x7^^1—x^. ^1—7^) arc cos x arc cos 7 — arc cos (X7 Isl 1—x^. 1—7^) arc tanxx arc tanZ^ — arc tanx l-i-x,' arc cot x arc cot 7 — arc cot - 7^1^ arc lanx x arc cot 7 — arc tanx 712 A n h a n'g< II. Tafel zur Bestimmung der Länge der Kreisbogen für den Halbmesser 1. Seite Z Zeile 14 von unten statt setze man > Skit« 624 Zeile 5 von oben — 626 — 3 v. u. — 627 10 v. o. — 634 4 v. o. — 634 — S v. o. statt st m. j?-? st. XS s. m. 2 3 st. X, s. m. X- nach s. m. — 4v über 16c^ s. m. sli^ — 642 — 9. «. 2. v. u. st. s, s. m. 2 2 652 — S. v. o. st. cos — s. in. ov!> — x. 2 2 '.v Abänderungen der im dritten Bande vorkommenden Citaten des 1 i^i; iv. Il.n. 1^^-XI II<> I'.ü xii. ix, VN vnku im li li N6P00N5I IN MI1K?I7^7N5I