i
i
“1001-Prosen-ena” — 2010/6/17 — 9:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 5
Strani 290–292
Marijan Prosen:
ENA NALOGA RODI DRUGO
Ključne besede: naloge, razvedrilo.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/17/1001-Prosen-naloga.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
290
ENA NALOGA RODI DRUGO
Prispevek Triktrat o neki na/agi (Presek 16. 351) me je spodbudil. da tudi
sam pristavim l onček in posredujem še eno zanimivo nalogo o dveh ladjah .
Do nje sem prišel po naključju .
V tretjem letniku smo pri sinusnem izreku reševa li tole nalogo: Ladji A
in B sta v razdalji r . Vsaka zase se giblje s sta lno hitrostjo . prva pod ostrim
kotom a . druga pa pod ostrim kotom f3 glede na r (slika 1). Srečata se po
času t . Izra čuna] hitrost posamezne ladje.
Rešitev te naloge je preprosta:
Vi = r sin f3/t sin( a+ f3) in V2 = r sin a /t sin( a + (3 )
Iz nagajive. a hkrati domiselne pripombe v razred u. ali sinusni izrek " odpove" .
če je v2 >vl (ladja B uide ladji A). pa je nastala naslednja naloga. ki je v
razredu nismo reševali.
Ladji A in B sta v medsebojni razdalji r . Prva se giblje s hitrostjo Vi.
druga pa z V2(V2 >Vl) . Koliko časa in pod kolikšnim kotom glede na r naj
plove ladja A. da se ladji B . ki plove pod ost rim kotorn f3 glede na r . najbolj
približa?
Sli ka 1. L adj i se sre čata v to čkl
C . Iz sinusnega Izreka a/ sin a =
b/ sin /3 = r i sin, ni tetko Iz danih
podatkov lzra ču natl hitrost Vi ln v2 '
B
0·< i3 < 90·
I
I
1
Iy
1
I
A
B
a
A
c
r
b
Slika 2 . K ra č u na nju najma nj-
Se razd alje la dj e A od ladje B. V
Casu t pr id e ladja Iz A v A l' preplu le
raz da lj o I AA l I = Vi t, ladj a B pa
pr epl uj e I BBl I = v2 r : Y - razdalja
med ladj ama po č a s u t.
291
Kot . pod katerim naj plove ladja A. označimo z x (Oo <x <1800 ) . razdaljo
med ladjama z y . čas pa s t (slika 2). S slike 2 z uporabo si nusnega izreka
izpelj emo ena čbi :
(v1t+y) jr= sin f3 j sin( f3+ x) i n v2t jr= sin x j sin( f3+x)
Iz obeh enačb sestavimo zvezo med y in x :
y = r( sin f3 - v1 sin x) j sin (f3 + x)
v2
Da dobimo najm anjšo vrednost razdalje y . mora biti prvi odvod gornje
funkcije enak ni č. torej y' = O. Iz
dy = -r(~cosx sin(f3+x)+(sin ,6 - V1 sin x )cos (,6 + x ))jsiJ/ (,6+x) =
dx v2 V2
= - r sin,6 ( V1 + cos(,6+ x)) j sin2(,6+x) =0
v2
9r'\ 7 min
8'0..
o.:::.:.: -,
-c-..-c ..
12 ."" "",.
"o .
....
Ymin = 110 · cos 96,87° 1km == 1,2 km
X o = 96 ,87 °
to = 2,48 h
....
0-._._ ._._ - - - .
y,
r
blA L...-- ~
Slika 3. NajmanjSa razdalja med ladjama za primer r = 10 km. v1 = 3
km/h . v2 = 5 km/h ln f3 = 300 . S slike razbe res Se medsebojno razdaljo med
ladjama po prvi uri (Y1) ln po drugi uri (Y2) '