i
i
“Drnovsek-Cauchy” — 2010/6/1 — 11:06 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 6
Strani 355–357
Roman Drnovšek:
CAUCHYJEVA NEENAKOST
Ključne besede: matematika, Cauchy.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/915-Drnovsek.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
CAUCHYJEVA NEENAKOST
V Preseku 14 (1986/87) št. 1 smo spoznali Jensenovo neenakost. Tokrat bomo
obravnavali še eno tudi pomembno neenakost: Cauchy-jevo neenakost (izg.
Koši). Ime je dobila po francoskem matematiku Augustin Louisu Cauchyju
(1789 - 1857).
Neenakost se glas i:
Za realna števila al , a2, " ', an in b l, b 2, ... , bn (n E IN) velja :
(a12 +a2 2 + ... +a 2)(b 12 +b2
2 + .,. +b 2) ;;' (albi +a2b2 + ... +a b )2nnnn
pri čemer velja znak enakosti samo v primeru, ko je al = t.b «, a2 = t.b 2, ... ,
a = t.b za neko realno število t ali pa je b . = O (i = 1, ' '', nj.n n I
Neenakost bomo dokazali na dva načina:
1. Hitro se prepričamo o veljavnosti Lagrangeove enakosti za realna števila
aj' b j (i= 1,2, .. .,n):
(a1 2 + a2 2 + .., + a 2 )(b l 2 + b/ + ... + b 2 ) =n n
n
=(albl+a2b2+ ... +ab)2+ L (ah .-a.b .)2
n n t.i- 1 I J J I
j < j
saj se po kvadriranju in množenju na desni strani dvojni produkti 2.a.ahh .
lJI J
(i,j = 1,2, ... , n in i < j I uničijo, ostane samo vsota kvadratov (ah .)2 u.I>
= 1, 2, .... nl, kar pa je enako levi strani. Ker je vsota na desni str;n( enakosti
nenegativna, je veljavnost Cauchyjeve neenakosti očitna. Enakost velja natanko
tedaj. ko je a.b . = a.b .. Sedaj ločimo dva primera:
• I J J I
a) Ce niso vsi b j enaki nič, lahko predpostavimo, da obstaja tako na-
ravno število i, da je b . =1= O. Tedaj je za vsa naravna števila j med 1 in n res
• I
aj =arb/b;- Ce pišemo t =a/b j , potem je aj = t.br
o) Vsi b j so enak i nič za vsa naravna štev ila i med 1 in n. V tem primeru
tudi velja enakost.
Tako je prvi dokaz neenakosti končan.
2. Izhajamo iz očitne neenakosti, ki velja za poljubna realna števila al, a2' ...,
an inb l,b2, ...,bn (nEIN)tert:
(a 1 - bitI 2 + ~ 2 - b 2 tl 2 + ... + (an - b n tI 2 ;;;;. O
saj Je vsota kvadratov realnih števil vedno nenegativna. Po kvadriranju in ure-
janju členov po potencah števila t dobimo:
355
Na levi strani neenakosti smo dobili kvad ratno funkcijo. Ker je p ri poljubnem
realnem številu t nenegat ivna, je njena d iskr iminanta nepozi tivna:
4.(a lb l +a2b 2 + ... + anbn)
2 - 4.(a l 2+a22+ ... »;2 )(b l 2+b 22 +...+ bn 2) ,;;; O
Odtod takoj sled i Cauchyjeva neenakost:
(al b I +a2b2 + oo . +a
nbn)
2 ';;; (a12 +a22 +oo. +an 2 )(b 1
2 + b 2
2 + oo . +bn 2 )
Enakost velja natanko tedaj, ko je d iskriminanta enaka nič ,oziroma natanko
tedaj, ko obstaja realno število t, da velja ai - b / =Ooziroma a i = tb i za vsako
naravno štev ilo i med 1 in n .
Oglejmo si še dve posledici Cauchyjeve neenakosti :
1. V neenakost postavimo bl = b 2 = ... = bn = 1 in naj bo ai ~ O li = 1,2, ''' ,
nj. Tako dobimo:
( 2 2 2) ~ ( )2a l +a2 + .oo+an .n w al +a2+oo. +an
od koder po korenjenju in deljenju z n sledi:
~2~~~·2· ·~~·. '~~;:2)/;;j ~ (a1 + a2 + oo . + an) l n
V izrazu na desni strani prepoznamo aritmetičnosredino nenegativnih real-
nih števil al, a2, .oo , an' na levi pa kvadratna sredino istih števil. Ugotovili smo,
da kvadratna sredina ni manjša od aritmetične sredine poljubnih nenegativnih
števil. Enakost velja le v primeru a l = a 2 = ' oo = a .
2. Sedaj pa v Cauchyjevo neenakost postavimo e , =..;;" b. = l i";;', kjer so
I I I I
Xi ( i = 1, 2, oo., n ) poljubna pozitivna realna števila. Tako dobimo po urejanju
še eno pomembno neenakost :
(X I + X2 +.oo + xn) /n ~ n /(l lx I + 11x 2 +oo. + l lxn)
Izraz na desni st rani neenakosti se imenuje harmonična sredina poz itivn ih rea l-
nih števil X I , X2 , oo ,, xn ' Aritmetična sredina pozitivnih realnih štev il je večja ali
kvečjemu enaka harmonični sred ini. Za konec rešimo še eno nalogo, ki naj bo
pr imer uporabe Cauchyjeve neenakosti.
Če za poljubna pozitivna realna števila Xi' Yi li = 1, 2, .oo, n) velja XI + X2 +
+ ' OO + x n = 1, YI + Y2 + oo. + Yn = 1, potem je resnična tudi neenakost :
XI2/YI +X22/Y2+" , + x n 2IYn ~1
Rešitev: Če v Cauchyjevi neenakosti napravimo zamenjave ai = x/.J"Y; in
b i = VV; li = 1,2, ..., n) dobimo neenakost:
(X I
2
/Y I+ X22 /Y2+ oo. +x 2/y )(YI+Y2+"' +Y) ~ (XI +X2+oo.+ x )2nnn n
356